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Springer, |cl921. 300/1 650/1 710/1: : I a 20 p, I b diagrs. | c 22 cm. 0: I a Geometry | x Foundations :2 : I a Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 998: : | c RAS | s 9120 Scanned by Imagenes Digitales Nogales, AZ On behalf of Preservation Division The University of Michigan Libraries Date work Began: _ Camera Operator: _ y Google y Google GEOMETRIE UND ERFAHRUNG ERWEITERTE FASSUNG DES F E ST VORTRAGES GEHALTEN AN DER PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU BERLIN AM 27. JANUAR 1921 ALBERT EINSTEIN BERLIN VERLAG VON JULIUS SPRINGER 1921 y Google Alle Rechte vorbehalten. Copyright 1921 by Julius Springer in Berlin. y Google Uie Mathematik genießt vor allen anderen Wissen- schaften aus einem Grunde ein besonderes Ansehen; ihre Sätze sind absolut sicher und unbestreitbar, während die aller andern Wissenschaften bis zu einem gewissen Grad umstritten und stets in Gefahr sind, durch neu entdeckte Tatsachen umgestoßen zu werden. Trotzdem brauchte der auf einem anderen Gebiete Forschende den Mathematiker noch nicht zu beneiden, wenn sich seine Sätze nicht auf Gegenstände der Wirklichkeit, sondern nur auf solche unserer bloßen Einbildung bezögen. Denn es kann nicht wundernehmen, wenn man zu übereinstimmenden logischen Folgerungen kommt, nachdem man sich über die fundamen- talen Sätze (Axiome) sowie über die Methoden geeinigt hat, vermittels welcher aus diesen fundamentalen Sätzen andere Satze abgeleitet werden sollen. Aber jenes große Ansehen der Mathematik ruht andererseits darauf, daß die Mathematik es auch ist, die den exakten Naturwissen- schaften ein gewisses Maß von Sicherheit gibt, das sie ohne Mathematik nicht erreichen könnten. An dieser Stelle nun taucht ein Rätsel auf, das Forscher aller Zeiten so viel beunruhigt hat. Wie ist es möglich, daß die Mathematik, die doch ein von aller Er- fahrung unabhängiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich paßt? Kann denn die menschliche Vernunft ohne Er- fahrung durch bloßes Denken Eigenschaften der wirklichen Dinge ergründen? Hierauf ist nach meiner Ansicht kurz zu antworten : Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklich- y Google — 4 — keit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die WiikHchkeit. Die volle Klarheit über die Sachlage scheint mir erst durch diejenige Richtung in der Mathematik Besitz der Allgemeinheit ge* worden zu sein, welche unter dem Namen ,,Axiomatik" be- kannt ist. Der von der Axiomatik erzielte Fortschritt be- steht nämlich darin, daß durch sie das Logisch-Formale vom sachlichen oder anschaulichen Gehalt sauber getrennt wurde; nur das Logisch-Formale bildet gemäß der Axio- matik den Gegenstand der Mathematik, nicht aber der mit dem Logisch-Formalen verknüpfte anKchauiiche oder sonstige Inhalt. Betrachten Avir einmal von diesem Gesichtspunkte aus irgendein Axiom der Geometrie, etwa das folgende: Durch zwei Punkte des Raumes geht stets eine und nur eine Ge- rade. Wie ist dies Axiom im älteren und im neueren Sinne zw interpretieren? Ältere Interpretation. Joder weiß, was eine Gerade ist und was ein Punkt ist. Ob dies Wissen aus einem Ver- mögen des menschlichen Geistes oder aus der Erfahrung, aus einem Zusammenwirken beider oder sonstwoher stammt, braucht der Mathematiker nicht zu entscheiden, sondeni überläßt diese Entscheidung dem Philosophen. Gestützt auf diese vor aller Mathematik gegebene Kenntnis ist das genannte Axiom (sowie alle anderen Axiome) evident, d. h. es ist der Ausdruck für einen Teil dieser Kenntnis a priori. Neuere Interpretation, Die Geometrie handelt von Gegenständen, die mit den Worten Gerade, Punkt usw, be- zeichnet werden. Irgendeine Kenntnis oder Anschauung wird von diesen Gegenständen nicht vorausgesetzt, sondern nur die Gültigkeit jener ebenfalls rein formal, d. h. losgelöst von jedem Anschauungs- und Erlebnisinhalte aufzufassenden y Google Axiome, von denen das genannte ein Beispiel ist. Diese Axiome sind freie SciiÖpfungen des menschlichen Geistes, Alle anderen geometrischen Sätze sind logische Folgerungen aus den (nur nomiiialistisch aufzufassenden) Axiomen. Die Axiome definieren erst die Gegenstände, von denen die Geo- metrie handelt. Schlick hat die Axiome deshalb in seinem Buche über Erkenntnistheorie sehr treffend als „implizite Definitionen" bezeichnet. Diese von der modernen Axiomatik vertretene Auf- fassung der Axiome säubert die Mathematik von allen nicht zu ihr gehörigen Elementen und beseitigt so das mystische Dunkel, welches der Grundlage der Mathematik vorher an- haftete. Eine solche gereinigte Darstellung macht es aber auch evident, daß die Mathematik als solche weder über Gegenstände der anschaulichen Vorstellung noch über Gegenstände der Wirklichkeit etwas auszusagen vermag. Unter „Punkt", „Gerade" usw. sind in der axiomatischen Geometrie nur inhaltsleere BegrifFsschemata zu verstehen. Was ihnen Inhalt gibt, gehört nicht zur Mathematik. Anderseits ist es aber doch sicher, daß die Mathematik überhaupt und im speziellen auch die Geometrie ihre Ent- stehung dem Bedürfnis verdankt, etwas zu erfahren über das Verhalten wirklicher Dinge. Das Wort Geometrie, welches ja „Erdmessung" bedeutet, beweist dies schon. Denn die Erdmessung handelt von de« Möglichkeiten der relativen Lagerung gewisser Naturkörper zueinander, näm- lich von Teilen des Erdkörpers, Meflschnüren, Meßlatten usw. Es ist klar, daß das B^riffssystem der axiomatischen Geometrie allein über das Verhalten derartiger Gegenstände der Wirklichkeit, die wir als praktisch-starre Körper be- zeichnen wollen, keine Aussagen liefern kann. Um derartige Aussagen liefern zu können, muß die Geometrie dadurch ihres nur logisch-formalen Charakters entkleidet werden, daß y Google den leeren BegrifEsscheraeu der axiomatischen Geometrie er- lebbare Gegenstände der Wirklichkeit (Erlebnisse) zug-eord- net werden. Um dies zu bewerkstelligen, braucht man nur den Satz zuzufügen : Feste Körper verhalten sich bezüglich ihrer Lagerungs- möglichkeiten wie Körper der euklidischen Geometrie von drei Dimensionen; dann enthalten die Sätze der euklidischen Geometrie Aussagen über das Verhalten praktisch starrer Körper. Die so ergänzte Geometrie ist offenbar eine Natur- wissenschaft; wir können sie geradezu als den ältesten Zweig der Physik betrachten. Ihre Aussagen beruhen im wesentlichen auf Induktion aus der Erfahrung, nicht aber nur auf logischen Schlüssen. Wir wollen die so ergänzte Geometrie „praktische Geometrie" nennen und sie im folgen- den von der „rein axiomatischen Geometrie" unterscheiden. Die Frage, ob die praktische Geometrie der Welt eine eu- klidische sei oder nicht, hat einen deutlichen Sinn, und ihre Beantwortung kann nur durch die Erfahrung geliefert werden. Alle Längenmessung in der Physik ist praktische Geometrie in diesem Sinne, die geodätische und astro- nomische Längenraessung ebenfalls, wenn man den Er- fahrungssatz zu Hilfe nimmt, daß sich das Licht in gerader Linie fortpflanzt, und zwar in gerader Linie im Sinne der praktischen Geometrie. Dieser geschilderten Auffassung der Geometrie lege ich deshalb besondere Bedeutung bei, weil es mir ohne sie un- möglich gewesen wäre, die Relativitätstheorie aufzustellen, Ohne sie wäre nämlich folgende Erwägung unmöglich ge- wesen: In einem relativ zu einem Inertialsystem rotierenden Bezugssystem entsprechen die Lagerungsgesetze starrer Körper wegen der Lorentz-Kontraktion nicht den Regeln der euklidischen Geometrie; also muß bei der Zulassung vo)) y Google Nichtinertialsy Sternen als gleichberechtigten Systemen die euklidische Geometrie verlassen werden. Der entscheidende Schritt des Überganges zu allgemein kovarianten Gleichungen wäre gewiß unterbÜeben, wenn die obige Interpretation nicht zugrunde gelegen hätte. Lehnt man die Beziehung zwischen dem Körper der axiomatiscben euklidischen Geometrie und dem praktisch-starren Körper der Wirklichkeit ab, so gelangt man leicht zu der folgenden Auffassung, welcher insbeson- dere der scharfsinnige und tiefe H. Poincare gehuldigt hat: Von allen anderen denkbaren axiomatiscben Geometrien ist die euklidische Geometrie durch Einfachheit ausgezeichnet. Da nun die axiomatische Geometrie allein keine Aussagen über die erlebbare Wirklichkeit enthält, sondern nur die axiomatische Geometrie in Verbindung mit physikalischen Sätzen, so dürfte es — wie auch die Wirklichkeit beschaffen sein mag — möglich und vernünftig sein, an der euklidischen Geometrie festzuhalten. Denn man wird sich lieber zu einer Änderung der physikalischen Gesetze als zu einer Anderung- der axiomatiscben euklidischen Geometrie entschließen, falls sich Widersprüche zwischen Theorie und Erfahrung zeigen. Lehnt man die Beziehung zwischen dem praktisch starren Körper und der Geometrie ab, so wird man sich in der Tat nicht leicht von der Konvention freimachen, daß an der euklidischen Geometrie als der einfachsten festzuhalten sei. Warum wird von Poincar^ und anderen Forschern die naheliegende Äquivalenz des praktisch-starren Körpers der Erfahrung und des Körpers der Geometrie abgelehnt? Einfach deshalb, weil die wirklichen festen Körper der Natur bei genauerer Betrachtung nicht starr sind, weil ihr geome- trisches Verhalten, d. h, ihre relativen Lagerungsmöglich- keiten, von Temperatur, äußeren Kräften usw. abhängen. Damit scheint die ursprüngliche, unmittelbare Beziehung zwischen Geometrie und physikalischer Wirklichkeit zer- y Google stört, und maa fühlt sich zu folgender allgemeinerer Auf- fassung hingedrängt, welche Poincares Standpunkt charak- terisiert. Die Geometrie (G) sagt nichts über das Verhalten der wirklichen Dinge aus, soiideni nur die Geometrie zu- sammen mit dem Inbegriff (P) der physikalischen Gesetze, Symbolisch können wir sagen, daß nur die Summe (G) -f- (P) der Kontrolle der Erfahrung unterliegt, Es kann also (G) willkürlich gewählt werden, ebenso Teile von (P) ; alle diese Gesetze sind Konventionen, Es ist zur Vermeidung von Widersprüchen nur nötig, den Rest von (P) so zu wählen, daß (G) und das totale (P) zusammen der. Erfahrungen gerecht werden. Bei dieser Auffassung erscheinen die axiomatische Geometrie und der zu Konventionen erhobene Teil der Naturgesetze als crkeiintnislheoretisch gleichwertig, Sub specie aeterni hat Poincare mit dieser Auffassung nach meiner Meinung Recht, Der Begriff des Meßkörpers sowie auch der ihm in der Relativitätstheorie koordinierte Begriff der Meßuhr findet in der wirklichen Welt kein ihm exakt entsprechendes Objekt. Auch ist klar, daß der feste Körper und die Uhr nicht die Rolle von irreduzibeln Ele- menten im Begriffsgebäude der Pliysik spielen, sondern die Rolle von zusammengesetzten Gebilden, die im Aufbau der theoretischen Physik keine selbständige Rolle spielen dürfen. Aber es ist meine Überzeugung, daß diese Begriffe beim heutigen Entwicklungsstadium der theoretischen Physik noch als selbständige Begriffe herangezogen werden müssen; denn wir sind noch weit von einer so gesicherten Kenntnis der theoretischen Grundlagen entfernt, daß wir exakte theo- retische Konstruktionen jener Gebilde geben könnten. Was ferner den Einwand angeht, daß es wirklich stan-c Körper in der Natur nicht gibt, und daß also die von solchen behaupteten Eigenschaften gar nicht die physische Wirklich- keit betreffen, so ist er keineswegs so tiefgehend, wie man y Google bei flüclitiger Betrachtung- meinen möchte. Denn es fällt nicht schwer, den physikalischen Zustand eines Meßkörpers so genau festzulegen, daß sein Verhalten bezüglich der relativen . Lagerung zu anderen Meßkörpem hinreichend eindeutig wird, so daß man ihn für den ,, starren" Körper substituieren darf. Auf solche Meßkörper sollen die Aussagen über starre Körper bezogen werden. Alle praktische Geometrie ruht auf einem der Erfahrung zugänglichen Grundsatze, den wir uns nun vergegenwärtigen wollen. Wir wollen den Inbegriff zweier auf einem praktisch- starren Körper angebrachten Marken eine Strecke nennen. Wir denken uns zwei praktisch-starre Körper und auf jedem eine Strecke markiert. Diese beiden Strecken sollen „ein- ander gleich" heißen, wenn die Marken der einen dauernd mit den Marken der anderen zur Koinzidenz gebracht werden können. Es wird nun vorausgesetzt: Wenn zwei Strecken einmal und irgendwo als gleich befunden sind, so sind sie stets und überall gleich. Nicht nur die praktische euklidische Geometrie, sondern auch ihre nächste VeralJgemeineriing, die praktische Rie- mannsche Geometrie und damit die allgemeine Relativitäts- theorie, beruhen auf diesen Voraussetzungen. Von den Er- fahrungsgründen, welche für das Zutreffen dieser Voraus- setzung sprechen, will ich nur einen anführen. Das Phä- nomen der Lichtausbreitung im leeren Raum ordnet jedem Lokal-Zeit-Tntervall eine Strecke, nämlich den zugehörigen Lichtweg, zu und umgekehrt. Damit hängt es zusammen, daß die oben für Strecken angegebene Voraussetzung in der Relativitätstheorie auch für Uhr-Zeit-Intervalle gelten muß. Sie kann dann so formuliert werden: Gehen zwei ideale Uhren irgendwann und irgendwo gleich rasch (wobei sie un- mittelbar benachbart sind), so gehen sie stets gleich rasch, unabhängig davon, wo und wann sie am gleichen Orte mit- y Google — 10 — einander verglichen werden. Wäre dieser Satz für die natür- lichen Uhren nicht gültig, so würden die Eigenfrequenzen der einzelnen Atome desselben chemischen Elements nicht so genau miteinander übereinstimmen, wie es die Erfahrung zeigt. Die Existenz scharfer Spektrallinien bildet einen überzeugenden Erfahrimgsbeweis für den genannten Grund- satz der praktischen Geometrie. Hierauf beruht es in letzter Linie, daß wir in sinnvoller Weise von einer Metrik im Sinne Riemanns des vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuums sprechen können. Die Frage, ob dieses Kontinuum euklidisch oder gemäß dem allgemeinen Riemannschen Schema oder noch anders strukturiert sei, ist nach der hier vertretenen Auffassung eine eigentlich physikalische Frage, die durch die Erfahrung be- antwortet werden muß, keine Frage bloßer nach Zweck- mäßigkeitsgrün den zu wählender Konvention. Die Rie- maiinsche Geometrie wird dann gelten, wenn die Lagerungs- gesetze praktisch-starrer Körper desto genauer in diejenigen der Körper der euklidischen Geometrie übergehen, je kleiner die Abmessungen des ins Auge gefaßten raum-zeitlichen Ge- bietes sind. Die hier vertretene physikalische Interpretation der Geometrie versagt zwar bei ihrer unmittelbaren Anwendung auf Räume von submolekularer Größenordnung. Einen Teil ihrer Bedeutung behält sie indessen auch noch den Fragen der Konstitution der Elementarteilchen gegenüber. Denn man kann versuchen, denjenigen Feldbegriffen, welche man zur Beschreibung des geometrischen Verhaltens von gegen das Molekül großen Körpern physikalisch definiert hat, auch dann physikalische Bedeutung zuzuschreiben, wenn es sich um die Beschreibung der elektrischen Elementarteilchen handelt, die die Materie konstituieren. Nur der Erfolg kann über die Berechtigung eines solchen Versuches entscheiden. y Google der den Grundbegriffen der Rieniann sehen Geometrie über ihren physikahschen Definitionsbereich hinaus physikalische Realität zuspricht. Möglicherweise könnte es sich zeigen, daß diese Extrapolation ebensowenig angezeigt ist wie die- jenige des Temperaturbegriffes auf Teile eines Körpers von molekularer Größenordnung. Weniger problematisch erscheint die Ausdehnung der Begriffe der praktischen Geometrie auf Räume von kos- mischer Größenordnung. Man könnte zwar einwenden, daß eine aus festen Stäben gebildete Konstruktion sich von dem Starrheitsideal desto mehr entfernt, je größer ihre räumliche Erstreckung ist. Aber man wird diesem Einwand wohl schwerlich prinzipielle Bedeutung zuschreiben dürfen. Deshalb erscheint mir auch die Frage, ob die Welt räumlich endlich sei oder nicht, eine im Sinne der praktischen Geo- metrie durchaus sinnvolle Frage zu sein. Ich halte es nicht einmal für ausgeschlossen, daß diese Frage in absehbarer Zeit von der Astronomie beantwortet werden wird. Ver- gegenwärtigen wir uns, was die allgemeine Relativitäts- theorie in dieser Beziehung lehrt. Nach dieser gibt es zwei Möglichkeiten, 1. Die Welt ist räumlich unendlich. Dies ist nur möglich, wenn die durchschnittliche räumliche Dichte der in den Sternen konzentrierten Materie Jm Welträume ver- schwindet, d. h. wenn das Verhältnis der Gesamtmasse der Sterne zur Größe des Raumes, über welchen sie verstreut sind, sich unbegrenzt dem Werte Null nähert, wenn man die in Betracht gezogenen Räume immer größer werden läßt. 2. Die Welt ist räumlich endlich. Dies muß der Fall sein, wenn .es eine von Null verschiedene mittlere Dichte der ponderablen Materie im Welträume gibt. Das Volumen des Weltraumes ist desto größer, je kleiner jene mittlere Dichte ist. y Google Ich will nicht unerwähnt lassen, daß ein theoretischer Grund für die Hypothese von der Endlichkeit der Welt gel- tend gemacht werden kann. Die allgemeine Relativitäts- theorie lehrt, daß die Trägheit eines bestimmten Körpers desto größer ist, je mehr ponderable Massen sich in seiner Nähe befinden; es erscheint demnach überhaupt nahe- liegend, die gesamte Trägheitswirkung eines Körpers auf Wechselwirkung zwischen ihm und den übrigen Körpem der Welt zurückzuführen, wie ja auch die Schwere seit Newton vollständig auf Wechselwirkung zwischen den Körpern zurückgeführt ist. Es läßt sich aus den Gleichun- gen der allgemeinen Relativitätstheorie ableiten, daß diese restlose Zurückführung der Trägheit auf Wechselwirkung zwischen den Massen -— wie sie z. B. E. Mach gefordert hat — nur dann möglich ist, wenn die Welt räumlich end- lich ist. Auf viele Physiker und Astronomen macht dieses Ar- gument keinen Eindruck. In letzter Linie kann in der Tat nur die Erfahrung darüber entscheiden, welche der beiden Möglichkeiten in der Natur realisiert ist; wie kann die Er- fahrung eine Antwort liefern? Zunächst könnte man meinen, daß sich die mittlere Dichte der Materie durch Be- obachtung des unserer Wahrnehmung zugänglichen Teils des Weltalls bestimmen lasse. Diese Hoffnung ist trüge- risch. Die Verteilung der sichtbaren Sterne ist eine unge- heuer unregelmäßige, so daß wir keineswegs wagen dürfen, die mittlere Dichte der Sternmaterie in der Welt etwa der mittleren Dichte in der Milchstraße gleichzusetzen. Über- haupt könnte man — wie groß auch der durchforschte Raum sein mag — immer argwöhnen, daß außerhalb dieses Raumes keine Sterne mehr seien. Eine Abschätzung der mittleren Dichte erscheint also ausgeschlossen. Es gibt aber noch einen zweiten Weg, der mir eher y Google gangbar scheint, wenngleich auch dieser große Schwierig- keiten bietet. Fragen wir nämhch nach den Abweichungen, welche die der astronomischen Erfahrung zugänglichen Konsequenzen der allgemeinen Relativitätstheorie gegen- über denen der Newtonschen Theorie bieten, so ergibt sich zunächst eine in großer Nähe der gravitierenden Masse sich geltend machende Abweichung, welche sich am Merkur hat bestätigen lassen. Für den Fall, daß die Welt räumücli endlich ist, gibt es aber noch eine zweite Abweichung von der Newtonschen Theorie, die sich in der Sprache der iMew- tonschen Theorie so ausdrücken läßt: Das Gravitationsfeld ist so beschaffen, wie wenn es außer von den ponderabeln Massen noch von einer Massendichte negativen Vor- zeichens hervorgerufen wäre, die gleichmäßig über den Raum verteilt ist. Da diese fingierte Massendichte ungeheuer klein sein müßte, so könnte sie sich nur in gravitierenden Systemen von sehr großer Ausdehnung bemerkbar machen. Angenommen, wir kennen etwa die statistische Ver- teilung der Sterne in der Milchstraße sowie deren Massen. Dann können wir das Gravitationsfeld nach Newtons Ge- setz berechnen sowie die mittleren Geschwindigkeiten, welche die Sterne haben müssen, damit die Milchstraße durch die gegenseitigen Wirkungen ihrer Sterne nicht in sich zusammenstürze, sondern ihre Ausdehnung aufrecht- erhalte. Wenn nun die wirklichen Geschwindigkeiten der Sterne, welche sich ja messen lassen, kleiner wären als die berechneten, so wäre der Nachweis geführt, daß die wirk- lichen Anziehungen auf große Entfernungen kleiner seien als nach Newtons Gesetz. Aus einer solchen Abweichung könnte man die Endlichkeit der Welt indirekt beweisen und sogar iJire räumliche Größe abschätzen. Können wir uns eine dreidimensionale, endliche und doch grenzenlose Weit anschaulich vorstellen? y Google Auf diese Frage wird meist mit „nein" geantwortet, .■iber mit Unrecht. Dies darzutun, ist der Zweck der fol- genden Ausführungen. Ich vnll zeigen, daß wir uns ohne sonderliche Mühe zu der Theorie von der Endlichkeit der Welt ein anschauliches Bild machen können, in dem wir uns bei einiger Übung leicht heimisch fühlen. Zuerst eine Bemerkung erkenntnistheoretischer Art. Eine geometrisch-physikalische Theorie ist als solche zu- nächst notwendig unanschaulich, ein bloßes System von Be- griffen. Aber diese Begriffe dienen dazu, eine Vielheit von wirklichen oder gedachten sinnlichen Erlebnissen in ge- danklichen Zusammenbang zu bringen. Eine Theorie „ver- anschaulichen" heißt also jene Fülle von Erlebnissen zur Vorstellung bringen, deren schematiSche Ordnung durch die Theorie geleistet wird. In unserem Falle haben wir uns zu fragen; Wie läßt sich dasjenige Verhalten fester Körper in bezug auf ihre gegenseitige Lagerung (Berüh- rung) vorstellen, das der Theorie von der Endlichkeit der Welt entspricht? Alles, was ich in dieser Beziehung vor- zubringen habe, entbehrt eigentlich der Neuheit; aber un- zählige an mich gestellte Anfragen beweisen mir, daß m dieser Beziehung dem Bedürfnis der wißbegierigen Menschen noch nicht vollständig Genüge geleistet ist. Der Eingeweihte verzeihe deshalb, wenn ich zum TeÜ längst Bekanntes vorbringe. Was wollen wir ausdrücken, wenn wir sagen, unser Raum sei unendlich? Nichts anderes, als daß wir beliebig viele gleich große Körper aneinander legen könnten, ohne daß er jemals voll würde. Denken wir uns viele gleich große würfelförmige Kisten hergestellt, so können wir sie nach der euklidischen Geometrie so übereinander, nebeneinander und hintereinander legen, daß ein beliebig großer Raumteil erfüllt wird; aber diese Konstruktion y Google würde nie zu Ende sein; immer neue Würfel ließen sich außen anlegen, ohne daß je Platzmangel einträte. Dies wollen wir ausdrücken, wenn wir sagen, der Raum sei un- endlich. Besser wäre es zu sagen: der Raum ist unendlich in bezug auf praktisch-starre Körper, vorausgesetzt, daß die Lagerungsgesetze für die letzteren durch die euklidi- sche Geometrie gegeben sind. Ein anderes Beispiel eines unendlichen Kontinuums ist die Ebene, Auf einer Ebene können wir quadratische Plättchen aus Karton so nebeneinander anlegen, daß jc- weilen an alle vier Seiten eines Kartonquadrats je eine Seite eines Kartonquadrats anliegt. Die Konstruktion wird nie fertig; immer neue Karton quadrate lassen sich an- legen — falls deren Lagcrungsgesetze denen ebener Fi- guren der euklidischen Geometrie entsprechen. Die Ebene ist also in bezug auf die Kartonquadrate unendlich. Man sagt demgemäß, die Ebene sei ein unendliches Kontinuum von zwei Dimensionen, der Raum ein solches von drei Di- men.^ionen; was hier unter Dimensionszahl verstanden wird, darf ich wohl als bekannt voraussetzen. Nun geben wir ein Beispiel eines zweidimensionalen Kontinuums, das endlich, aber ohne Grenzen ist, Wir denken uns die Oberfläche eines großen Globus und eine Menge gleicher kreisrunder kleiner Papierscheibchen. Wir legen ein solches Scheibchen irgendwo an die Globusober- fläche an. Verschieben wir es mit dem Finger beliebig auf der Globusfläche, so stoßen wir bei dieser Reise nii^ends an eine Grenze. Wir sagen deshalb, die Kugei- fläche des Globus sei ein unbegrenztes Kontinuum. Die Kugelfläche ist ferner ein endliches Kontinuum, Klebt man nämlich solche Papierscheibchen auf den Globus auf, derart, da3 niemals zwei Scheibchen aufeinander geklebt werden, so wird die Globusfläche endlich so voll, daß kein y Google neues Scheibchen mehr darauf geht; dies bedeutet eben, daß die Kugeltläche des Globus in bezug auf die Papier- scheibchen endlich sei. Die Kugclfläche ist ferner ein nichteuklidisches Kontinuum von zwei Dimensionen, d. h. die Lagerlingsgesetze für in ihr liegende starre Gebilde stimmen nicht mit denen der euklidischen Ebene überein. Dies ist so zu konstatieren. Man lege um ein Kreisscheibchen sechs Kreisscheibchen im Kreise herum, um jedes dieser wieder sechs usw. Macht man diese Konstruktion auf der Ebene, so entsteht auf ihr eine lückenlose Lsgermig, bei welcher jedes nicht außen liegende Scheibchen von sechs Scheibchen berührt wird. Auf der Kugelfiäche scheint die Konstruktion anfangs auch zu ge- lingen, desto besser, je kleiner der Radius des Scheibchens gegen den der Kugel ist. Je weiter die Konstruktion vorschreitet, desto mehr wird ■ '' es offenkundig, daß die Lagerung der Scheibchen in der angedeuteten Weise nicht lückenlos möglich ist, wie es gemäß der euklidischen Geometrie der Ebene sein sollte. Auf diese Weise könnten selbst Wesen, die die Kngelflächc nicht verlassen können, und die auch nicht aus der Kugel- fläche heraus in den dreidimensionalen Raum gucken können durch bloßes Experimentieren mit Scheibchen fest- stellen, daß ihr zweidimensionaler ,,Raum" kein eukli- discher sondern ein sphärischer ist. Nach den letzten Ergebnissen der Relativitätstheorie ist es wahrscheinlich, daß auch unser dreidimensionaler Raum ein angenähert sphärischer ist, d. h. daß die Lage- ningsgesetze starrer Körper in ihm nicht durch die eukli- dische sondern angenähert durch die sphärische Geometrie gegeben werden, wenn man nur genügend große Gebiete der Betrachtung unterwirft. Hier ist nun die Stelle, an welcher die Anschauung des Lesers revoltiert. ,,Dies kann y Google Terlug' von JuIIiin »priiEger in I6e»'|i«i %V« Die Quantentheorie, ihruraptimgiuiciiin-c liutwickiiiLi^. Von Privatdozent Dr. Fritz Reiche, Berlin. Mit lüXextabbildungei]. 1921. Preis M. 34,—. Einleitung in die Mengenlehre. Einegemeinver stündliche Einführung in das Reich dei unendlichen Größen. Von Dr. Adolf Fraenkel, Privatdozent an der Universität Marburg. Mit 10 Testabbildungen. 1919. Preis M. 10,—, Das Wesen des Lichts. Vortrag, gehauen in der Haupt- vevaammiang der Kiuser-WUhelra-Gesellachaft am 28, Oktober 1919. Von 1' Max Planck, Professor der theoretischen Physik an der Üni- vcrsii^h Berlin. Zweite, unverändert« Auflage. 1920. Preis M. 3,60. Val( azkräfte und Röntgenspektren, zwei Aufsätze über das Elektronengehände des Atoms. Von Prof, Dr. W. Kossel, Kiel. Preis etwa M. 10,- . Die radioaktive Strahlung als Gegenstand wahrscheinlichkeitstheoretischer Unter- suchungen. Vor. I'rofn^^or L. V. Borlkiewicz. Mit f, Text- abbild an gen. UM,-'. Preis M. 4.— . Die Iterationen. Ein Beitrag zur Wahrscheinllchkeitstheorio. Voii Professor L. v. Boriklewicz, Berlin. 1917. Preis M. 10,—. Tafeln und Formeln aus Astronomie und Geodäsie für die Hand des Forschungsreisen den, Geographt ., Astronomen und Geodäten. Von Dr. Carl Wirtz, Universitätsprofessur in Straßburg i. E. 1Ö18. Gebunden Preis M. 18,—. Felix Klein, Gesammelte mathematische Abhandlungen. (Von f. Kleln mit ergänzenden Zusätzen versehen.) jiand 1: Uniengeometne — Grundlegung der Geometrie -- Zum Erlanger Programtti. Herausgegeben von R, Fricke und A. Ostrowski. Mit einem Bildnis. 1921. Preis M. 186,-. Hierzu Teiierungszuschliige, y Google