■ Digitized by Goqgfe & NAZ10NALE B. Prov. 433 NAPOLI Num." d ordine * '-yr* Digitized by Google Digitized by Cooglt’ A N A L Y S I S Per Quantitatum SERIES, FLUXIONES, A C DIFFERENTIAS CUM Enumeratione Tinearum TERTII ORDINIS. L 0 tf D 1 N I: Ex Officina Pearsoniana. Anno M.DCC«)£L Digitized by Google Digitized by Google Praefatio Editoris. Rattatus aliquot Mathematicos Viri' Illufir i fiimi D. Nevvtoni in lucem edimus , quorum primus & ultimus nunc primum prodeunt , reliqui vero vel a je vel ab aliis ante hac publici juris fahli funt. Hac autem Editio cafui , fed tamen non fine ipfius confenfu prius impetrato , ortum acceptum refert . Etenim fecundus jam agitur annus ex quo fcrinia D.ColIinlii [qui, uti notum e fi, ampli (fimum cum fui faculi Mathematicis commercium bamt ) meas in manus inciderunt ; & in illis plurima reperi a cunttis fere totius Europae eruditis ipfi communicata ; & inter ea non pauca , qua k Viro Cl D • Nevvtono fcripta fuerunt qua cum tanta molis e fient , ut fiimul Tractatum breviufculum po fient conficere , capi de iis a • edendis Digitized by Google P R M F A T I O. edendis cogitare. • autem anima dvertifiem [cripta ejus qua jam in lucem prodierunt ferme idem cum hifce argumentum habere , haud opera pretium me fati urum, fi typis mandarem, exifiimavi. Unus tamen erat brevis de Curvarum Quadra- tura T raclatus adeo luculenter & concinne Jcriptus , atque ita accommodatus ad injlituendos eos, qui non- dum totam i fiam Methodum per [pectam habeant , ut abfiinere non potuerim , quominus Auctoris licentim eundem edendi peterem . Quam Ille non [olum[umma cum humanitate conceffit j [ed & in(uper veniam dedit reliqua ipfius colligendi, qua ad idem argumentum f pe Hiabant . Hicce T raclatus , quem D. Collinfii manu exa- ratum competi, infiriptus [uit De Analyii per Aquationes Infinitas, & licet neque AuHloris nomen , neque tempus quo fcriptus [uerat ullibi compa- ruerit ; multa tamen continere ad D. Newtoni Me- thodos [pe Hiantia fiatim agnovi , utpote Epifiolarum autographo illi ad amujfim rejpondentia , quod antea ipfc D. Newtonus ad D. Oldenburgum mifirat . I inde [u[picabar totum ex eodem [onte emanafie ; nihilominus [u[pen[o eram animo , u[que dum inventis , inter eajdem chartas , Epifiolis aliquot D. JBarrovii ad D. Collinfium [criptis ; tres reperi ad hunc Tra- ttatum Digitized by Google PRAEFATIO. Elatum immediate fpeff antes ; ex quibus facile intel- lexi quomodo D. Collinfius eum obtinuerat. In una Epijlolarum e Collegio S. S. Tr. data 20 Julii 1669, verfus finem D. Barrovius hac fcribit. * Amicus quidam apud nos commorans, * qui eximio in his rebus pollet ingenio, nu- ‘ diuftertius chartas quafdam mihi tradidit, ‘in quibus Magnitudinum dimenfiones ‘ fupputandi Methodos, Mercatoris methodo ‘ limiles, maxime vero Generales, deleri pfit, ‘ fimulque Aquationes refolvendi, quse, ut. ‘opinor, tibi placebunt, quas una cum ‘ proximis literis ad te mittam. In hac Epiftola narrat argumentum chartarum Amici fuifuijje Computationem dimenfionum Magnitu- dinum , S ELquationum refolutionem , quod cum Tr affatus hujus argumento quadrat. Verfus finem alterius Epiftola ad D. Collinlium e Collegio S. S. Tr, data ult, J ulii 1 66 9, D. Barro- vius ita feri biti Mitto » A Fricnd of mine here, that hash an eicellent Genios io thefc thiogi, brooght me the otlicr Day. Come Pa- peos wherem he bath let down Mctbod» of Cakulatmg ihe Dimenfion» or Magniiodc*. like that of Mr. Mtrcaioc, boi rcry genera t* as aUa of tUijlvmg fcqiacioas, whieh 1 loppolc *iU pleale yuu, and l Uull knd jou ihcm by (tu MSI. Digitized by Google P R EL F A T I O. t Mitto quas pollicitus eram Amici char- * tas, quas uti fpero haud parum te oble&a- ‘ bunt. Remittas, quasfo, quum eas quantum c tibi vifum fuerit perlegeris ; id enim poflu- ‘lavit Amicus meus, cum primum eum ro- ‘ gavi, ut eas tecum communicare mihi lice- ‘ ret. Quantocyus igitur, obfecro, te eas * recepihe fac me certiorem, quod illis me- ‘ tuo, quippe qui eas per Veredarium publi- cum ad te mittere non dubitaverim, quo ‘ tibi morem gererem quam citiflime. Ex hac Epiflola conflat D. Barrovium ditium Librum mifijfe , ea lege , ut fibi remitteretur. Unde manifejlum ejl, quare Tr affatus, quem inveni , D. Coi- linlii manu fcriptus fuit , autographo nempe ipfi Auffori rejlituto . In tertia a D. Barrovio ad D. Collinfium Epi- flola data 20 Augufti 1669, conflat D. Nevvto- num fuiffe, Amicum illum, de quo D. Barrovius in duabus prioribus Epiflolis mentionem fecerat, quod bis verbis confignat. Amici 4 I fend ynu the Paper» of my friend I promi»’d, which I preCume wiil givc you much laiisfaflion • I nray having pcruftd ihcra Ib much as you thiok eood, rcmand ihem ro me, accurding 10 hudchrc when 1 a>k’d Mm she ltberty to impirt ihem toyou ; I pray glve me notice ot yirar rcceiviog ilicm, wuli your Ibonclt convenit ne e ihat l m.iy b; lambed ot ihcir rcccption ; bciaofe 1 am altaid ut them, reururing ilitm by ibc Poli, iliat i may not longcr dclay io corrcfpocd wah your deure. Digitized by Google R£FATIO. * Amici chartas tibi placuifle gaudeo f ‘ eft illi nomen Nem onus, Collegii noftri So- ‘ cius, & juvenis, ( fecundus enim, ex quo ‘Artium Magiftri gradum cepit, jam agitur ‘ annus, ) et qui, eximio quo elt acumine, ‘ permagnos in hac re progreifus fecit. Illas, ‘ii vis, cum Nobili Domino Vicecomite * ‘ Brounkero communica. Berfpeffo jam D. Newtonum hujus Tr affatus Aufforem ejfe ; ab eo fcifcitatus fum nam penes fe adhuc effiet autographum , quod quidem ille exquirens inve- nit, & mihi tradidit, cum exemplari Colli niiano ad verbum ufque conveniens . Etiamfi vero hic Tr affatus ad D. Colliniium miffus fuijfet menfe Julii 1669, quod aliquantulum erat pojleaquam D. Mercator Logaritbmotecbniam fuam in lucem ediderat ; manifieftum eft ex quibufi- dam aliis Epiftolis , (qua itidem inter D. Colliniii chartas fuerunt,) quod antea fcriptus effet, imo quod D. Newtonus invemffet Methodum inveftigandi Magnitudinum Dimenfiones per Infinitas Series vel aliquot annos antequam D . Mercator Librum fuam in vulgus edidit i ut liquet ex Epiftola a Coli in fio b ad « 1 am 9 lad my K»end\ Paper gives you & tnoch fatisfitflKw** N.ime ;s Mr. A»V*ro", a °!? r Co.lqje* i -icry vouQfl, (t*i but the flcond Ycar Maller oF Aeth) boi ot aa citra >rc»tar> OvU:u$ and Profkie.icy u\ 'bck thinp ,1 ou may impue the l»Apen> i: yw plcaic, to my turi . Digitized by Coogle P R^FATIO. adD. JacobumGregorium data 25.Novemb. 1 669, ubi bac funt verba. * Barrovius Provinciam fuam Publice prae- 4 legendi remilit cuidam nomine New tono 4 Cantabrigienfi, quem tanquam Virum acutilfi- 4 mi ingenii, in Praefatione Praele&ionum Op- ticarum memorat, & qui, antequam edere- tur Mercatoris Logarithmotechnia, Metho-' ‘ dum invenerat eandem, eamque ad omnes ‘Curvas generaliter, & ad Circulum diver- • limode applicarat. Quine tiam D. Collinfius in Epifiola ad D. Strode, data 26. Julii 1672, fic jcribit. + Menfe Septembri 1668, Mercator Loga- * rithmotechniam edidit luam, quae fpeci- ‘men hujus Methodi fi. e. Serierum Infini- ‘ tarum ) in unica tantum Figura, nempe, 4 Quadratura Hyperbolae continet. Haud 4 multo poftquam in publicum prodiret liber, ‘exemplar unum Ch Wallifio Oxoniam mili, ‘qui luiim de eo judicium in Actis Vbilo - * (opbicis ftatim fecit: alterum Barrovio Can - 4 tabrigiam , qui quafdam Newtoni chartas, qui ‘jam Barr ovium in Mathematicis Praele6ti- ‘ onibus * Mr. Bar.ov hath rcfignM his L«rture’s Place to onc Mr. Kcwton oi Csmbr;dfc t wlmm hemcntions in his Optic Pre^cc a» a vcry ingcnious Ptrlbn ; cne who hath, belorc Mr. Meratior'* lagani hin .xcchuia was manf, iaacului tbt. Ui»c Mcib and u^pUcd it gcucully u> ai» Luxvcs, and divexa waj> 10 Uac Ouk, Digitized by Google PRAEFATIO. * onibus publicis excipit, extemplo remifit : * Ex quibus & aliis, quas olim ab Audore ‘cum Barrovio communicata fuerant, patet ‘ illam Methodum a dido Newtono aliquot ‘ annis ante excogitatam, & modo generali ‘ applicatam fuille : ita ut ejus ope in quavis ‘ Figura' Curvilinea proponta, quae una vel 4 pluribus Proprietatibus definitur, Quadra- tura vel Area didae Figurae, accurata fi 4 pofiibile fit, fin minus infinite propinqua ^ 4 Evolutio vel Longitudo lineae Curvae ; Cen- trum gravitatis Figurae i Solida ejus rota- tione genita, &' eorum Superficies i fine 4 ulla Radicum Extradione obtineri queant. Ubi obirer notemus in hac Collinfii bifloriola, methodum argumentandi ufurpatam a D. Newtono in Tratfatu fuo De Quadratura Curvarum, quafi digito monftrari , dum dicit hanc Methodum exhibere Quadraturam Yigurarum accuratam , fi modo fieri pofiit , fin minus in infinitum approximan- tem. f In September td$3, Mr. Mercator publilVd hl$ Logarithfmtechnia, containing a Specimen of fhi* Mcrhoi, (thac i*, of Infinite Serie») io onc only Fisure, to witin chc Quadrature of the Hyj>erbola. Nui long alter rhe Book came out, I lene one ot them to Dr. Wah* at Oxford , «lio forthwith gave his Icnfeof it in the Phiioll Tran<ions ; another of them l Icat to Dr. B.trrove at CamBadze, who forthwith lent me up tbrae Paper* of Mr. Nt»ion y wfan n linet becomc the Dottor** Succdlor in the Machenuitical LeAurc* there. By which, and torrrer communica tinos made thercol from the Author to the Donor, it appear» th.tt tlic laid Merhod was mvcn.ed lomc Ycar» brforc by the laid Mr. towtoti, and generali y applied : Ib that ihereby in any Corvilincar Figurc propo*’d, tbat is dctermm’5 by ooe or more tommon Propertie», by the lame Merhod may be obcaio*d the Quadrature or Arca of the laid 1 t- gurc, acturately when it can bc doce, buc always infinitcly near - } the fcvolunon, or tengih of the laid Curve I ioc 4 the Centre of oravity of tbe Figurc 9 it» rjund Sci di aude by ftjtaiioo» *aa thcir Surfaccs aod a 1 ] pciurat’^ wuhoui any titcaflioa of ftoots. Digitized by Google P R /E FATI O. tem , atque i fla omnia fieri fine ulla Extractione Radicum ; Hac enim ipfa e fi argumentatio in diBo Tr affatu ob fervat a : o propter e a hanc Methodum [altem Anno 1672 coat aneam extitiffie non eft dubi- tandum. Inveni etiam in exemplari EpiftoU , a D. Col- linfio ad D. Davidem G regor ium' pradiffi Jacobi fratrem , data 11. Aug. 1616, prater eadem fere qua D. Strode fcripferat, etiam verba fequentia ; *Supradi6ta Serierum Infinitarum do- ‘ dbrina, a Nevotono biennium ante excogi- ‘ tata fuit, quam ederetur Mercatoris Lo- * garithmotechnia, & generaliter omnibus ‘Figuris applicata. Simulque affirmat fe olim cum quibufdam Acade- micis Parifienlibus hac eadem feripto communicaffe. Quapropter, cum D . Mercator Librum fuum Anno 166 8 in lucem ediderit, [equitur eandem Do~ ffrinam Infinitarum Serierum Figuris omnibus gene- raliter applicatam fuiffie Anno 1 666. Denique in Epiftola, circa idem tempus ad D. OI- denburgum [cripta, afferit Collinfius, Jacobum Gregorium non nili conipe&a aliqua e Serie- bus * The l»id Doftrine of Infinite Seriei «at invented by Mr. Nemta, about two Ycars beforc tbe Publicatiuo •I Mr. Mtrcator'% Logaruhtnotcthoia, and gracraUy applied io ali Curvet. Digitized by Google P R A F A T I O. bus Newtoni , quam illi impertierat, in ean dem Serierum Methodum incidide. Ex Newtoni autem Schedis quibufdam a vie vifis intellexi i quod is Quadraturam Circuli , Hyperbola , & aliarum quarundam Curvarum per Series Infini- tas ex Wal lilii nofiri Arithmetica Infinitorum, per Interpolationem Serierum ejus, primo deduxit , id que Anno 166$; deinde Methodum excogitavit eafdem Series per Divifiones & Extractiones Ra- dicum inveniendi, quam Anno fequente generalem red- didit. Et cum fcriptus fuerit bic Tractatus , quo tempore hac recens inventa ejfent, ideo Cl. Auctor dignatus ejt multa in eo dilucidare , ad Refolutionem Equationum per Infinitas Series [pedantia, qua in aliis Libris fruftra quaras. His fub junximus diverfa Epiflolarum Audoris fragmenta , qua ad eafdem Dodrinas pertinent, quaq; olim inter Cl. Wallifii Opera in lucem prodiere. Epifiolas haud dedi integras, ut evitarem repetitio- nem non ne ce fartam multarum rerum, qua fupra in Tradatu De Analyli per Aquationes Infinitas tradita funt : Quinimo Exempla quadam in iis Epiftolis pratermifi ipfius CL Audoris monitu , Regu- las fuas per fe fatis claras ejfe credentis , neque ullam dilucidationem defidcrare. c Inter Digitized by Google P RiEFATI O. Inter D. Collinfii fcbedas reperi autographum EpiftoU data 8. Novemb. 1676, cujus fragmen* tum fub finem adjeci , & dignum luce putavi quo- niam in eo memoratur folutio Pr obleniatis admo- dum generalis in Comparatione Curvarum usus , qua perficitur in Cor . 2. Prop. 10 .TraPt. De Quadra- tura Curvarum : Unde lactor intelligat folutionem illam Auctori jam tum innotuiffe. Hifce Fragmentis annexus e fi ille ipfe TraPt at us De Quadratura Curvarum j una cum altero De Enumeratione Linearum Tertii Ordinis» quorum uter que primum typis mandatus e fi Anno 1 704, ad finem Optices eximia ejufdem Cl Auctoris, Coronidis loco [abjicitur TraPt at ulus, cui titu- lo e fi. Methodus Differentiatos, quemCl.AuPlom per mi [fu ex ejus autographo defieri p fi ■, Comple Ptitur autem DoPtrinam deficribendi Curvas ex datis Diffe- rentiis differentiarum Ordinatarum. Hfic Metho- dus Differentialis innititur Problemati ducendi Curvam Parabolici generis per data quote unque punPta i de quo Cl. Auctor olim mentionem fecerat in Epifiola fua ad D.Oldenburgum 1676 mififia j & cujus f 'dationem dedit in Lem. 5. Lib. 3. Princip. Philof. non tamen prorfus eandem quoad ConfiruPH- onem cum ea quam imprafientiarum tradimus. Hujus Digitized by Google P RiEFATIO. Hujus Geometria Newtonianse non minimam effie laudem duco , quod dum per limites Rationum V rimarum & Ultimarum argumentatur , aque demon - fi rationibus Apoditticis ac illa Veterum munitur ; ut- pote qua haud innititur duriufcula illi Hypothefi quantitatum Infinite parvarum vel Indivifililium .qua- rum Evanefcentia olfiat quominus eas tanquam quan- titates [pe culemur. Neque parum pracellere videtur , quod tam paucis innixa Propofitionibus tam late fefe extendat bac Mathefis , intra fe omnia Problemata difficiliora vulgatas Methodos eludentia complectens ; fi qui dem qui c quid proponitur poterit Geometrice per ah cujus Curva Aream effingi ; vel per Methodum Univerfalem Extrahendi Radices ex Equatione quavis erui ; vel ad fumrnum , ducendo Curvam per terminos quantitatum datarum folvi. W. Jones. Digitized by Google INDEX OPUSCULORUM Qua i n hoc Libro continentur. ' P*g. Analyfi per jEquationes Infinitas. ............ i ( Ai D. Oldenburgum ij Jun. 1676. . . 1 . .. . 13 Ai D. Oldenburgum 24 O&ob. 1676 31 EftjfoUrum. jj p Wallifium Anno 1 697 34 L Ad D. Collinfium Nov. 8. 1676 38 De Quadratura Curvarum. 41 Enumeratio Linearum Tertii Ordinis 69 Methodus Differentialis, 93 Digitized by Google Per Aquationes Numero Terminorum INFINITAS. M Ethodum generalem , quam de Curvarum quanti- tate fer Infinitam terminorum Seriem menfuran- da , olim excogitaveram , in fequentibus breviter explica- tam potius quam accurate demonfiratam habes. A S I AB Curva: alicujus AD , fit Applicata BD perpendicularis : Et vocetur AB=x, BD=y , & fint b, c, &c. Quantitates datat, & w, *, Numeri Integri. Deinde, Curvarum Simplicium Quadratura. REGULA I. Si ax=y$ Erit = Area ABD. Res Exemplo patebit. I. Si x 1 ( = id) — y, hoc eft, a = i =», sc m = 2 5 Erit Jx* — ABD. Digitized by Google i DEANALYSI 2. Si 4/x (= 4XT) = y j Erit |x> (= 4 Vxs) = ABD. 3. Si Vx» ( = xF) = y ^ Erit 4** C = -jV* 1 ) = ABD. 4- Si j-, ( = x- *) = j», id elt, fix = i=w, fi£ M = — 2 } Erit (_4 x“t = ) — x - ' ( =“t) = *BD, I infinite verfus * protenfat, quam Calculus po- J nit negativam, propterea quod jacet ex altera parte Linea: BD. y.Si^ ( = x"F) =y- t Erit(_4x“T=: = BD*. 6 . Si \ ( = x - ' ) = y ; Erit ix* = ix° = A ix 1 = 4.= Infinitac,qualis eft Area Hyperbola: ex utraque parte Lineat BD. Compostarum Curvarum Quadratura ex Simplicibus. REGULA If. Si valor ipfius y ex pluribus ifliufmodi Terminis com- ponitur > Area etiam componetur ex Areis quee a fingu - lis Terminis emanant. Exempla Prima. Si x» + x=- = y •, Erit |x* + -fx« = ABD. Etenim fi lemper fit x’ = BF, et x ; = FD, erit, ex prxcedente Regula, -fxt = fuperficiei AFB defcriptac per Lineam BF, et -fx* = AFD deferipta: per DF ; Quare -}x>+ix* = toti ABD. Sic fi x 1 — x’ ~y j Erit|xJ— 4xF = ABD. Et fi 3x — 2x l + x> — yx 4 =y t Erit -Ix‘—fx5 + 4 x 4 —x f = ABD. Ex- Digitized by Google PER JE QU AT IONES INFINITAS. j Exemplet Secunda. Si x-* + x~* =y ; Erit — x-« — 2*~^ = per procedentes Regulas deinceps elicies. Exempla Dividendo. Sit TTx -y •> Curva nempe exiftente Hyperbola. Jam ut iEquatio ifta a Denominatote fuo liberetur, Divifionem fici n- ftituo. Si c. B • Et Digitized by Google DE ANALYSI 6 Et fic vice hujus y = nova prodit j>= 7- — 7,, + 71 pr~>o£c~ ferie iftac infinite continuata * Adeoque (per Regulam Secundam) Area quaefica ABDC aequalis erit ipfi 7 jf* ^ 1F» 4JU infinitae etiam feriei, cujus tamen Termini pauci initiales funt inf ufum quemvis fatis exafti, fi modo x fit aliquoties minor quam b.. Eodem modo, fi fic — = h Dividendo prodibit v = 1 — x s 4- x* — * 4 •+- * 8 &c - Unde (P rr Re g u,am Secundam) erit ABDC = x — i * 5 ■+■ t t x ' & 5' . , . Vel fi Terminus xx ponatur in divtfore primus, hoc moaoxx + j), prodibit x— — x~ 4 + x-« — x-* &c. pro valore ipfius y Unde (per , +;x .,_ K , p ri0 ri modo pio- cede cum x eft fetis parva, pofteriori cum fetis magna fuppomtur. f % Denique fi - — : — = Dividendo prodit I f «T- jx — ax+ 7*' — 1 } xl + ?4x f 8tc. unde erit ABDC =4 **"— *’ + ^ x* — -V*5 &C. Exempla Radicem Extrahent/c. Si fit yCidfTx = y f Radicem fic extraho, / x * 1 x< 3 ** _ &Jr dCl -V XX ( * ' "5J C* "■ 1 6ai Wmm I2&* 7 * ✓ aa v+ * x ** »♦ XX + C *■* 'ixi- — g — r»_ J * O + 8« 4 644,1 ^ _£ 11 , *** < gj H ■ ~t~ 256«'° ' 5x* , »*•* 1 O “ tua t “T <54^4 25 i«' • 8cc. Digitized by Googk 7 PER JE QJJ A T IO N ES INFINITAS. Unde, pro Aquatione —j t nova producitur, viz, y = « + S - £ + rS? — & &c - Ec C P« Reg. 2.) Area quxfira ABDC erit = « + 5 — &c. Echxc eft Quadra- tura Hyperboli. Eodem modo, fi fit ■/*. - « = y, ejus Radix erit a • _Hl a 1384’ CCC. 11 — 11 11 2£l, 8£C. " -* — * 11534’ 4» 44 24 84» 1«4» Adeoque Area quxfita ABDC erit aqualis « — 7; — — nsi Et hxc eft Quadratura Circuli. Vel fi ponas V*-** = y, erit Radix xqualis infinita: feriei X* 4-JtT i*» 1 TTX^ t4t** Et Area quxiita ABD aqualis erit T*‘ — T- f** rr*‘ Tt* t “ rW* 1 Et hic eft Areat Circuli Quadratura. ^ \ f ax 1 Si /, - fal = >’> (Cujus Quadratura dat Longitudinem curva: Ellipti- ci 5) Extrahendo radicem utramq* prodit 1 -b ',4X' — -:-a’2c4 4- T y aix« — T t T ii4x s 1 — .jZw 1 — — • r v£ } x ' 1 — Et Dividendo, ficut fit in Fra&ionibus Decimalibus, habes r •+ t^X 1 + t^X + -b - 7 -rb'X 6 +tV> + X 8 8tc. + J4» -b*«fr -b T t <»* 5 — r** — —^'6* ”b + -fT ai b — t4v » 4 Adeoque Aream quxfitam x -b-^x 5 -b &c * -b t« + .V** — Sed. * Digitized by Google 8 T) E ANALYSl Sed obfervandutn eft, quod Operatio non raro abbreviatur per debitam TEquationis prarparationem, ut in allato Exemplo = y. Si utram- que partem frattionis per Vi - b*x multiplices prodibit + f** — 4& 4 — = j, 8c reliquum opus perficitur extrahendo Radicem Nu- meratoris tantum, & dividendo per Denominatorem. Ex hifce, credo, fatis patebit modus reducendi quemlibet valorem ip- lius j? (quibufeunque Radicibus vel Denominatoribus fit perplexus, ut hic videre eftj . + - - = y) in feries Infinitas *'«'* t*» l/xTx* — Vi*- xT fimplicium Terminorum, ex quibus, per Regulam Secundam, quaefita Superficies cognofcetur. Exempla per Refolutionem fiLquationum s NUMERALIS JE QU A T I O N U M AFFECTARUM RESOLUTIO. Quia tota difficultas in Refolutione latet, modum quo ego utor in JE- quatione Numerali primum illuftrabo. Sit ji — ty — 5 = o, refolvenda : Et fit 2, numerus qui minus quam decima fui parte differt a Radice quaffita. Tum pono 2 4 p =y, & fub- flituo hunc ipfi valorem in JEquarionem, & inde nova prodit p> + 6 p* 4- iop — 1 =0, cujus Radixp exquirenda eft, ut quotienti addatur : Nempe (negleflisp’> 4 6 p' ob parvitatem) iqp — t = o,fivep=o,i prope veritatem eft * itaque fcribo 0,1 in quotiente, & fuppono 0,1 ■+ q = p, & hunc ejus valorem, ut prius fuhltiruo, unde prodit gi -f 6,jg* - 4 - 1 1,2 iq + 0,061 = o. Et cum 1 1,2317 4 - c,o6i veritati prope accedit, five fere fit q aequalis — o,oof 4 (dividendo nempe donec tot eliciamur Figurat, quot locis primat Figura: hujus & principalis quotientis exclufive dittantj fcribo — 0,0054 in inferiori parte quotientis, cum negativa fit. Et Digitized by Google PER iEQ.tl At IONES INFINITAS. 9 Et fupponens — 0,0054 +' , r = 9, hunc ut prius fubftituo, 8c operati- onem fic produco quo u% placuerit. Verum fi ad bis tot figuras tan- tum quot in Quotiente jam reperiuntur una dempta, operam con- tinuare cupiam, pro 9 fubftituo — 0,0054-+- r in hanc 6,39* + 11,259 + 0,061, fcUicet primo ejus termino (q*) propter exilitatem fuam >5 — 27— 5 =0 + 2,10000000 — 0,00544853 + 2,09455147 =7 2+j p =j + J 3 + 27 — s + 8 + I2p + 6p l + pi — 4 — 2 P — ? Summa — I iCjp 6 p x .0,1+9 =JP + P' + * r + iop — 1 + 0,001 •+■ 0,039 + 0,39* + qi + 0,06 +1,2 + 6,0 + I, + 10, — *» Summa + 0,061 + 1 1,239 + 6,39 j + 9* —0,0054 + r = q A 6,39’ + 11,259 -t- 0,061 + 0,000183708 — o,o68o4r+6,3r‘ — 0,060642 +11,23 + 0^61 Summa + 0,000541708+1 i,i6i96r+6,3r» — 0,00004854 + J = r negle&o, 8t prodit 6, jr s -+- 11,161 96 r 0,000541708 = o f?re, five (rejefto 6 ^r') r= = “ 0,0000485? fere, quam ftribo in negativa parte Quotientis. Denique negativam partem Quotientis ab Affirmativa fubducens habeo 2,09455147 Quotientem qua+nam. Aquationes plurium dimenfionum nihilo lecius refokruntur, & ope- Tam lub fine, ut hic faftum fuit levabis, fi primos ejus terminos grada- tim omiferis. , . Praeterea notandum eft quod in hoc exemplo, fi dubitarem an 0,1 =p veritati fatis accederer, pro ic p — 1 =0, finxiflem 6o J + lep — 1 =0, S: ejus radicis primam figuram in Quotiente fcripfillem * 2 c fecundam vel tertiam Quotientis figuram fic explorare convenit, ubi in Aquatione ifta ultimo refultante quadratum coefficientis penultimi termini, non fit decies majus auam facluffex ultimo termino du£k> In coefficientetn termini antepenultimi. C Imo Digitized by Google IO DE ANALYSI Imo laborem plerumque minues priferym in Aquationibus plurima- rum dimerifionum , fi figuris omnes Quotienti addendas ditto modo (hoc eft extrahendo minorem radicum, ex tribus ultimis terminis A- quationis novilfime refulrantis) exquiras : Ifto enim modo figuras duplo plures qualibet vice Quotienti lucraberis. Hic Methodus refolvendi Aquationes pervulgata an fit nefcio, certe mihi videtur pri reliquis fimplex, & ufui accommodata. Demonftra- tio ejus ex ipfo modo operandi patet, unde cum opus fit, in memoriam facile revocatur. . Aquationes in quibus vel aliqui vel nulli Termini defint, eadem iere facilitate trafhntur ; 8t Aquatio lemper relinquitur, cujus Radix una cum acquifita Quotiente adiquat Radicem Aquationis primo propolin. Un- de Examinatio Operis hic ique poterit inttitui ac in reliqua Arithmetica, auferendo nempe Quotientem a Radice primi Aquationis (ficut Ana- lyitis notum eft) ut Aquatio ultima vel Termini ejus duo trefve ultimi producantur inde. Quicquid laboris hic eft, iltud in Operatione fublti- tuendi quantitates unas pro aliis reperietur: Id quod vade perficias, at fequentem modum maxime expeditum puto, prifertim ubi Numeri Coefficientcs confiant ex pluribus Figuris. Sit p +‘ 3 fubfticuenda pro y in hanc y * — — uy + *7 = o. Et cum itta polii t relblvi in hanc formam jZr lSt %y $ xj — 12x71 + 17 = 0. Aquatio nova fic generabitur p — i xp+ 3 = p’ + 2p — 3. et p 1 + 2 p + 2 inp + 3 = p* + ?p s + 8 p + 6. et pi + *p l + 8p — 6 in p + 3 =p4 + 8p» + 2jp 4 + i8p— 18. et p* + 8pi + 2 + i8p — 1 =0, qui quirebatur. literalis aquationum affectarum RESOLUTIO. His in numeris fic oftenfis : Sit Aquatio literalis yi + a^y — xa> + axy — xi = o, refolvenda. ' Primum inquiro valorem ipfius y cum x fit nulla, hoc eft, elicio Radicem hujus Aquationis y 5 + a'y — 2 a’ = o, 8c invenio efle + a. Itaque feribo + a in Quotiente, &fupponens + a + p = y, fubftituo pro y valorem ejus, & Terminos inde refultantes (p) -E ?ap* + 43^ &c.) margini appono j Ex quibus aflumo + qa’p + a*x terminos utique ubi p 8c x feorfim funt minimarum dimenfionum, if eos nihilo fere iquales efle fuppono , five p ? — -’x fere, vel p = — + q. Et feritens — i* % Digitized by Google P E R Jt QJU AT ION ES INFINITAS. i., — v* in Quotiente, fubftituo — |x 4- q pro p j Et terminos inde refultantes iterum in margine fcribo, ut vides in annexo fchemate, 8c inde aflumo Quantitates + 4 * 2 q — - V** 1 , in quibus utiq ; q & x feorfim funt minimarum dimenfionum, &c fingo q =^iere,five q = + + r j 8c adneftens + -^Quotienti, fubftituo ~ + r pro g 5 8c fic procedo quo ulque placuerit. > } + a*} — 20* 4- axj. — x* = 0 y =a — ~ 4. — — '.dii! i » J ^ < 54 J 5 IS«* ' 16334«» &C * + <* + p = y + J” ■+- a'y 4- axy — 2 a* — x» + * ! + 3 «’p 4 - jap* 4 - »» 4 " 0 ’ 4 - a ’p H- a'x -4 ‘”2* — 2 J* — X* “ T*+ i=P + y 4- ?a/>* 4 " 4 “'P 4- axp + a'x — x> — t4*' + tV**? — |xg* 4- q* 4 - T 7 r<« — i ax q 4 - wq 1 — a' x 4 ** 4a’g — ■i ax 1 4- axg 4 - a 1 * — x» + ?>aq' — ±axq ’\‘-ri* 1 q — T^X 1 ■ + c + s- + S- Sin duplo tantum plures Quotieuti terminos, uno dempto, iungendoc adhuc vjellem ; p nmo term.no (?) TEquationis noviflime refultS m.T* fo, 8 c ifta etiatn parte (- fecundi, ubi * eft tot dimenfionum Q uor in penultimo termino Obdentis ; In reliquos terminos (w' + margini Digitized by Google vjv, DE ANALYSl margini adfcriptos ut vides, fubftituo ~ + r pro q ex ultimis duo-^ bus terminis — *{+*’ + rs*’' — + 44’r) /Equationis in- de refutantis, fafta divifione 44 1 — ',-ax + rr*’) + ^rr* 1 “7^5 C elicio + jgg + Quotienti adneftendos. Denique Quotiens ifta (a — ^ -f ^ Scc.) per Regulam fecundam, + g^jy* 5 cc. pro Arca quatfita, quz ad I Jir 4 dabit ax—j- + 55 t 87?**» veritatem tanto magis accedit, quanto * fit minor modus eafdem Refolvenc/i. Sin valor Areat tanto magis ad veritatem accedere debet quanto x fit major Exemplum dio jt-f <*xy + x 'y — <*> — a*’ = o. Itaque hanc refoluturus excerpo terminos y’ ■+■ x'y — a*' inquibusx &y vel feorfinx, vel fimul multiplicata:, funt Sc plurimarum, & aequalium ubique di- menfionum ; & ex iis quafi nihilo aequalibus Radicem elicio. Hanc inve- nio efle x, & in Quotiente fcribo. Vel quod eodem recidit, ex y' -f y — 2 (unitate pro x fubftituta) Radicem extraho quae hic prodic 1, 8c eam per x multiplico, Sc fidium (x ) in Quotiente fcribo. Denique pono * P — y, & lic procedo ut in priori Exemplo, donec habeam Quoti- entem * - { + £ + gg + &c. adeoque Aream ~ ~ — — 3 17^T»’ ( l na v *de exempla tertia Regulat fecun- di. Lucis gratia dedi hoc exemplum in omnibus idem cum priori, modo x Sc a fibi invicem ibi fubftituantur, ut non opus eflet aliud Re- folutionis exemplum hic adjungere. Area autem (7 7 nd 6 \* Scc. terminatur ad Curvam qux juxta Afymptoton aliquam in infinitum ferpit •, 8 t Termini initiales • (x — valoris exiratti de y, in Afymptoton iihm femper terminantur * unde portionem Afymptoti facile invenies. Idem femper notandum eft cum Area defignatur terminis plus plufque divifis per x continue, priter- quam quod vice Afymptoti re£ti quandoque habeatur Parabola Conica, vel alia magis compofita. Sci Digitized by Google « PER 1 E Q.U ATIONF.S INFINITAS. ij' Sed hunc modum miffum fidens, utpote particularem, quia non applicabilem Curvis in orbem ad inltar Ellipfium flexis ; de altero modo * per exemplum yi + + a *y — 2 a! — x» = o, fupra oftenfo ( Icilicet quo demenfiones ipfius * in numeratoribus quotientis perpetuo augeantur) annotabo fequentia. 1. Si quando accidit guod valor ipliusj», cum x nullumeflefingitur,fit quanti- tas furdavel penitus ignota, licebit illam litera aliqua defignare. Ut in exem- plo, jM-f a l y-\-axy — 2 ai — *s=o, fi radix hujus yi+a^y — 2«» fuiflet furda vel ignota, finxiuem quamlibet (b) pro ea ponendam ; et refolutionem ut fe- quitur perfeciflem. Scribens b in Quotiente, fuppono b •+• p = 7, 8c iftum proj fubftituo,ut vides ; unde nova P’ + lbp', 8tc. refultat, rejeftis terminis b'-\-a'b — 2*»*, qui nihilo funt aequales, propterea quod b lupponitur Ra- dix hujus y 1 + a-y — 2«* = o. Deinde termini 3 b'-p + a l p -V <*bx dant — quotienti apponendum, et — q fubftituendum pro p, 8tc. jr* •+- aay axy — 2 ai — xi = 0. Sit cc = 3 b 1 -+■ a 1 . 1 abx , a+bx* , x* , y -b e » + c , + c , + c . — e , + c . . 8CC. b + p~y y' + bi + ib'p + ibp* + p* + axy + abx 4- axp + “<*) oab “V" aa p — xi — *» — 2 ai — 2 a’ — al' x , -PT J ri=P P 5 &c. + 3 &P 1 + ^ q 8tt. + axp -‘-%1 + axq + ecp — abx -1* c:q Xi — xt 4- abx -P abx 1 6 at’ r * l + " — ) - 7 T- + * 5 + *« \ c« + c* + KC | Completo opere, fumo numerum aliquem pro a, 8c hanc + a\y — jat = o, ficut de numerali aequatione oftenfum fupra refolvo ; 8c radicem eius pro b lubftituo. . _ , , ,, " 2. Si diftus valor fit nihil, hoc eft fi m aequatione refolvenda nullum fit terminus nifi qui perxvel^fit multiplicatus, ut m hac — «7+ ** = 0 j tum terminos ( — axy + x ! ) feligo in quibus x feorfim & 7 etiam le- orfim fi fieri poteft, alias per x multiplicata, fitmurnitarnmdimvnlwnum. M Dftjitized by Google *4 DE ANALYSI illi dant + " pio primo termino quotientis, 8c ^ -V p pro y fubftituen- dum. In hac jr* — a*y-\-axj — *i=o, licebit primum terminum quoti* entis vel ex — >Vy — vel ex j’ — a'y elicere. 3t. Si valor ilte fit imaginarius, ut in hac • 2jr-F 6 — *y — 2* -Vx*+x-' = o, augeo vel imminuo quantitatem x donec ditius valor e- vadat realis. Sic in annexo fchemate, cum AC (x) nulla eft, tum CD (y) ett imaginaria. Sin minuatur AC per datam AB, ut BC fiat x j tum pofito quod BC (*) fit nulla, CD (y) erit valore quadruplici (CE, CF, CG, vel CH) realis •, quarum radicum (CE, CF, CG, vel CH) quaelibet poteft efie primus terminus quotientis, prout fu perficies BEDC, BFDC, BUDC, vel BHDC defideratur. In aliis etiam cafibus, fi quando haefitas, te hoc modo extricabis. Deniq,fi index poteftatis ipfiusx veljr fit ftatiio, reduco ipfumad integrum : • 4 I J_ ut in hoc exemplo >» — *j T +x' =0. Pofkoj T = i>, & x r = *, refulta* bit v 6 — * 3 z/-Fz 4 =o, cujus radix eft v=?x-rxt,8i£.five(reftituendqvalores> 11 a 4 y* =x> -f x, &c. 8t quadrando y = x* + 2x', 8cc. Et haec de areis curvarum inveftigaodis d itia fufficiant. Imo cum Pro* hiemata omnia de curvarum Longitudine, de quantitate & fuperficie foli- dorum, deque Centro Gravitatis, pofiunt eo eandem reduci ut quzratur quantitas Superficiei plana: linea curva terminatae, non opus eft quic- quam de iis adjungere. In iftis autem quo ego operor modo dicam, bieviffime. Applicatio pradittorum ad reliqua ijliufmodi Vrollemata. Sit ABD cum quaevis, 8c AHKB reftangu- lum cujus latus AH vel BK eft unitas. Et co- gita retiam DBK uniformiter ab AH motam, areas ABD 8t AK deferibere 5 & quod BK (1) fit momentum quo AK (x) 8t BD (y) momen- tum quo ABD gradatim augetur ; 8c quod ex momento BD perpetim dato, pofiis, per prae- ditias regulas, aream ABD ipfo deferiptam in- veftigare, five cum AK (x) momento I de- feripta conferre. Digitized by Google PER JE QJJ A T I O N E S TN F I N IT A*S. ir J3tn qua ratione Superficies ABD ex momento fuo perpetim dato, per • procedentes regulas elicitur, eadem quaelibet alia quantitas ex momento fuo fic dato elicietur. Exemplo res fiet clarior. Longitudines Curiarum invenire. Sit ADLE circulus cujus arcus AD longitudo eft indaganda. Du£lo tangente DHT, 8t completo indefi- nite parvo reftangulo HGBK,8t po- lito AE = i = 2 AC. Erit ut BK nive GH, momentum Bafis AB (*), ad HD momentum Arcus AD : : BT : DT ::BD(v^): DC^):: i (BK): ( DH ). Adeoque five eft momentum Arcus AD. Quod reduGum fit + A** -E A*^ + AV*^' + AV* T &«■ Quare, per regulam fecundam, longitudo Arcus AD eft + ^ + tt4v*‘‘ + -rvrr* 1 ^" Kc. five xHn I + 4* *E A** "E t ' 1 ,* 1 *E -r-Err** “E -rrrr* 5 i 8tp- Non fecus ponendo CB efle *, & radium CA efle i, invenies Arcum LD efle * + A* 5 A-tA* 7 » . a „ Sed notandum eft quod unitas ifta quae pro momento ponitur elt super- ficies cum de Solidis, Sc linea cum de fuperficiebus, fit punftum cum de lineis fut in hoc exemplo) agitur. . . . Nec vereor loqui de unitate in punftis, five lineis infinite parvis, 11 quidem proportiones ibi jam contemplantur Geometra, dum utuntur me- thodis Indivifibilium. _ , , Ex his fiat conje&ura de fuperficiebus fit quantitatibus lolidorum, ac de Gentris Gravitatum. Invenire pradittorum converfum . Verum fi e contra ex area vel longitudine &c. Curvat alicujus data longitudo Bafis AB defideratur, ex xquationibus per pratcedentes regulas inventis extrahatui radix de x. Jnven • * -V ' 1 •* . Digitized by Google DE ANALYSl 16 Inventio Bafis ex Area data. Ut fi ex area ABDC Hyperbolae ( ^ = y) data, cupiam bafim AB in- veftigare,area ilta z nominata, extraho radicem hujus z ( ABCD ) =x — — 4* 4 , &c. negleftis illis terminis in quibus * eft plurium dimenfionum quam z in quotiente defideratur. Ut fi vellem quod z ad quinque tantum dimenfiones in quotiente alcendat, negligo omnes — i* 6 + 4 * 7 — 4 **, 8tc. et radicem hujus tantum 4* J — 4* 4 + r* 5 — 4* 1 •+• * — \< A. z = o extraho. _ X3 B x = z + |z> + z-fp = x + 4* 5 -f4-Z5, icc. — 4*4 — iz 4 — z s p, &C. + t* 5 + 4z? + x 3 p+zp% 8tC. — qz»— zp— .;p» + * + z+p Z x t x1 + 3 ~P + zp' + t*’, &C. —ip 1 — -:^ 4 — ace. Z *p — &C. + z'p + 7* 4 + * 5 3 — z p — ;zi— z <7 + p + d*’ + 3 + 4* 5 + 4* s — 4* 4 — i-Z4 + 4 2J + -IZ5 —4** — 7** J i — — 4Z4 — JLir ( >5 + ^Z4 4- t 4vZ5 Analyfm ut vides exhibui propter adnotanda duo fequentia. i. Quod inter fubftituendum, iftos terminos femper omitto quos nulli deinceps ufui fore praevideam Cujus rei regula efto, quod poft primum terminum ex qualibet quantitate fibi collaterali refultamem non addo plures terminos dextxorlum quam illius primi termini index dimenfionis * • 'ab Digitized by PER E Q.U A T I O N E S INFINITAS. 17- ab indice dimenfionis maxima: unitatibus diftat. Ut in hoc exemplo, ubi maxima dimenfio eft ;, omifi omnes terminos poft z 5 , poft z+ pofui unicum, & duos tantum poftz>. Cum radix extrahenda (x) fit parium ubique, vel imparium dimenfionum, harc efto regula ; Quod poft pri- mum terminum ex qualibet quantitate fibi collaterali relultantem non addo plures terminos dextrorlum, quam iltius primi termini index di- menfionis ab indice dimenfionis maximiE binis unitatibus diftat 5 vel ter- nis unitatibus, fi indices dimenfionum ipfius x unitatibus ubique ternis a fe invicem diltant, 8 c lic de reliquis. 2. Cum video p, <7, vel r, &c in arquatione noviffime refultante efie unius tantum dimenfionis, ejus valorem, hoc eft, reliquos terminos quo- tienti addendos, per divifionem quxro. Ut hic vides faftum. Inventio Ba/is ex data Longitudine Curvae. Si ex dato arcu eD Sinus AB defideratur * arqua- tionis z = x-j- v* 5 + -jV* 5 +tW» 7 , &c. fupra in- ventae, (polito nempe AB = x, *D = z, 8t A* = 1,) n radix extrafta erit x = z-^n-V-rhx 5 — "1 " ttttt - . 2,9 ') Et prxterea fi Cofinum As ex ifto arcu dato cu- pis, fac Ae( = V— x )= i— — 1 1 -.g ■ ! »10 fir- * 40320* 3628800 * * t De Serie progrejjionum continuanda. Hic obiter notetur, quod'; vel 6 terminis illarum radicum cognitis, eas plerumque ex analogia oblervata poteris ad arbitrium producere. Sic hanc x = z + ~ ** + -jz> + ^z* + —z?, 8tc. produces dividendo ultimum terminum per hos ordine numeros 2, 3, 4, 6, 7, &c. Et hanc x = z— iz> + T -^z» — ttW* 7 , &c. per hos 2x3, 4x5, 6x7, 8x9, ioxi 1, 8tc. Et hanc x = 1— iz* + ^Z4 — t^z 1 ®, &c. per hos 1x2, 3x4, 5x6, 7x8, 9x10, &c. Et hanc z = x + ix» + tV* 5 + T -rr* 7 > &«• multiplicando per hos iS, SS, pz, &c. Et fic in reliquis. 2x3 4x5 6 % 7 8x9 ^ - E Ap~ Digitized by Google •18 DE ANALYSI Applicatio pradittorum ad Curvas Mechanicas. Et hsrc de curvis Geometricis di£>a fufficiant. Mechanica fit, methodum tamen noltram ne- quaquam refpuir. Exemplo fit Trochoides,ADFG, cujus vertex A, &c axis AH, & AKH rota qua defcribitur. Et quatratur Superficies ABD. Jam pofito AB = x, BD = ut fupra, St AH = i * primo quaro Longitudinem ipfius BD. Nempe ex natura Trochoidis elt KD = arcui AK. Qua- re tota BD = BK •+• arc. AK. Sed elt BK ( ■— Vx _ xx ) ~ x' — i’'* 1 X*'- T V**» &C* Quinetiam curva etiamfi & ( ex pracdiftis) arcus AK = x? + ^ + ~x' + -~x r , Stc. Ergo to- ta BD = 2 *'” — I* 1 — Et (per Reg. 2 .) area ABD S= -Jx^ — ttt* t ’ & c * Vel brevius fic : Cum refla AK tangenti TD parallela fit, erit AB ad BK ficut momentum linea: ABad momentum linea: BD, hoc elt x : V7ZT X : : , : V— =x-^— i-x* — t** — -A**— -rrr*S& c - Opare ( per Reg. 2-) BD = 2xi — **<• — T V*‘ — T V*‘ — TTr*^ J &c. Et fupeificies ABD = i* T jn**' Tt*‘ TT >-* T TTTTT* * > Non diflimili modo (pofito C centro circuli, aream CBDF, 8cc. . Sit area ABDV Quadratricis VDE (cuius vertex elt V, & A centrum circuli interioris VK cui ap- tatur ; invenienda. Dufta qualibet AKD, de- mitto perpendiculares DB, DC, KG. Eritque KG : AG : : AB (x; : BD (y), five = y. Verum ex natura Quadratricis elt BA (= DC) = arcui VK, five VK = x. Quare pofito AV = r, erit GK = x — ixi -f ~xs, 8tc. ex fupra olten- 4 poxr->, &c. = z» 4- xojz"- 1 , 8tc. reliquis nempe terminis, qui tandem evanefcerenr, omiflis.. Jam fublatis c"xt & z" a:qualibus, reliquilque per 0 divifis, reflat c"px»-* = >tyz. n -‘ ( = ~ =2^ five, dividendo per c^xf, erit px~ l =z .2? cx* CX« five pex » = ny ; vel refti tuendo^- pro c, 8c m + » pro p, hoc efl, « m m prop — w, 8 c «x pro pe, fiet «x" =7. Quare e contra, fi ax« = y , erit sfc ^ E ' D ' Inventio curvarum qua pojfunt quadrari. Hinc in tranfitu notetur modus quo curva: tot quot placuerit, quarum areat funt cognitat, poffunt inveniri 5 fumendo nempe quamlibet aquatio- nem pro relatione inter aream z fic bafin x ut inde qua:ratur applicata y. Ut fi fupponas V«Tx* = z, ex calculo invenies = y. Et fic de reliquis. 2 . Demonjlratio refolutionu aquationum affeftarum. Alterum demonftrandum eft lireralis arquationum affe£larum refolutia Nempe quod Quotiens, cum x fit fatis parva, quo magis producitur eo ma- gis ad veritatem accedit, ut defeftus (p,j, vel r,8cc . ) quo diftat abexafto — valore Digitized by Google 21 TER iEQ.UATIONES INFINITAS. valore ipfius y, tandem evadat minor quavis data quantitate; & in infi- nitum produ&a fit ipfi y aequalis. Quod fic patebit. 1. Quoniam ex ultimo termino aequationum quarum p, y,r, &c. funt radices, quantitas illa in qua x elt minimae dimenfionis (hoc elt, pluf- quam dimidium iftius ultimi termini, fi fupponis x fatis parvam efle) in qualibet operatione perpetuo tollitur: ille ultimus terminus (pet i. io. , Elem.) tandem evadet minor quavis data quantitate ; & prorfus evanefcet fi opus infinite continuatur. Nempe fi x = .^ erit x dimidium omnium x 4- x* 4- x* 4- x*, &c. et * s dimidium omnium x* 4- xs + x* + x*, 6 cc. Itaque fi x "3 ^ erit xpluf quam dimidium omnium x + x»+x», 8cc. et x'- plufquam dimidium omnium x’ 4- x? + x+, 8 cc. Sic fi ^ "3 |, erit x plufquam dimidium omnium x 4- ^ —5* — 4 -ff, &c, Et fic de reliquis. Et numeros coefficientes quod attinet, illi plerumque decrefcunt perpetuo, vel fi quando increfcant, tantum o- pus elt ut x aliquoties adhuc minor fupponarur. 2. Si ultimus terminus alicujus aequationis continuo diminuatur donec tandem evaneicat, una ex ejus radiemus etiam diminuetur donec cum ultimo termino fimui evaneicat. i. Quare quantitatum p, q, r, 8tc. unus valor continuo decrelcit donec tandem, cum opus in infinitum producitur, penitus evaneicat. 4. Sed valores illarum p , q y vel r, 8tc. una cum quotiente eatenus ex- tracta adaequant radices aequationis propofitae (Sic in refolutione aquatio- nis 4- aay 4 - axy — 2 x’ — xi =0, fupra oltenla, peteipies y = a-‘ r p = a — .1*4 -q = a — 4x4- ~ 4-r, &cc.) Unde fatis liquet propolitum quod quotiens infinite produfta elt una ex valoribus deji. Idem patebit lubltituendo quotientem pro y in aequationem propofitam. . Videbis enim terminos illos lele perpetuo deftruere in quibus x elt mini- marum dimenfionum. ’ . . • Digitized by Google C UM in Fpiftolis D. New toni, vel in lu- cem jamdudum edicis , vel nuce in manus nofiras inciderunt , reperiantur aliqua quae ad banc Dodrinam pertinent , ea excerpere & buic Tradat ui adjungere vifum e fi . Digitizec) by Google EXCERPTA Ex Epiftolis D. NEWTONI Ad Methodum FLUXIONUM, E T SERIERUM INFINITARUM Spe&antibus. Fragmentum *Efifiola ad D. Oldenburgium i j Junii 1676 mijfa. RaQiones in Infinitas Series reducuntor per diviiionera 5 & quantitates radicales per extra&ionem radicum, perinde inftituendo operationes illas in fpeciebus ac inftitui folent in decurialibus numeris. Hzc funt fundamenta harum re- ductionum ; fed extrafliones radicum, multum abbrevi- antur per hoc Theorema. F+Tui - = p- + f Aa+ ~ Ba+ - 't ^ dq. + &c. Ubi P + PQ. fignificat quantitatem cujus Radix, vel etiam dimenfio quaevis, vel radix dimenfionis, inveltiganda eft. P, primum terminum quantitatis qus ; Q., reliquos terminos diviios per primum. Et ”, nu- meralem indicem dimenfionis ipfius P + PQ.; Sive dimenfio illa integra fit } five (ut ira loquar) fra£ta 3 five affirmativa, five negativa. Nam, ficut Analyftz, pro aaa, 8rc. fcribere folent a», a\ Sic. fic ego, pro i/a\ v , C.«t,&C.fcribo a?, aJ, a* j &pro ^^.j^fcribo Et * Extat Efifitla in Ttm. 3. C fetum WalliTil Digitized by Coogle 24 epistolarum Et fic pro —4~ fcribo aa X a* + A=x| r h & pro s * r ^c: d»| Mx v f. t>*M%£i\b*x fcribo a 1 txfl» + b , *j _ t : In quo ultimo cafu, fi a» 4- £**| _ i concipiatur efle P + PU1* in Regula -, erit P = a\ 0. = ^-,', m = — 2 ,&« = ?. Denique, pro terminis inter operandum inventis in quoto, ufurpo A, B, C, D, &c. nempe A pro primo termino P-, B pro fecundo " AQ, & fic dein- ceps. Cacterum ufus Regulat p atebit e xemplis. ^ Exempl. i. Eft ■/«*♦** (&“ c’ + x l l’ ) = c + £- — + — ifs» 4- 21 1! gf C . Nam, in hoc cafu, eft P = c’, Q.= Ii, m =s i, n — 2, A (= 2 p1 = «iT)=c,B(=?AQ)=^ C( = ^* BQ.) = -^, 8t fic de- inceps L»wpo» , - - - - , Exempl. 2. Eft (i e. cf+c+x— -*»| t ) = c + C 4 * — X* 2 C*x* ♦ A£*X* — 2* * * + 8ic. Ut patebit fubftituendo in allatam Regulam, i pro m, s pro w, c* pro P, at ■— c ~ — - pro Q. Poteft etiam — ** fubftitui pro P, & c --r^r P 10 Q., et tunc evadet Vy <» ♦<««-*' = — * + c -^ £l 4. 2C * T ’ &c p r j Qr mcx j us eligendus eft, fi x valde parvum fit * pofterior, fi valde magnum. Exempl. ?. Eft 7^=™ (hoc eft, NxyJ — «*jl " *> aequalis Nxj- + ^+^+^ + 6CC Nara P=^» Q-==f, "=“ f * » = ? . A(=F-r=/‘ _l ) = j-»,boceftf. B(= "AQ.= '-r*r*") 5= — , 8 tc. v* ’ Exempl. 4. Radix cubica ex quadrato-quadrato ipfius d+e, ( hoc eft.J+Tlbdt^+^+g-^ + Sc. Nam P = d, Q=-j, m = 4» M = 3» A (= P? ) = &c - Exempl. y. Eodem modo fimplices etiam poteftates eliciuntur. Ut fi quadrato-cubus ipfius d + e, (hoc eft, J+T| r , feu d + «' • ) defidere- tur : erit, juxta Regulam, P - d, Q^= 7 > M = & * = 1 » adeoque A(=P?) = d 5 , B (= -AQ.) = 5 8t fic C = io**N D = io^c J , E = y de\ F = & G (= =0. Hoc eft, d+ ef = d s -E ydv 4 - Ioi=e J + icd : e 5 + 'jde * 4" < J - Exem. Digitized by Google FRAGMENTA. 19 Exempl. 6 . Quinetiam Divifio, five fimplex fit, five repetita, per eandem Regulam perficitur. Ut fi ^ (hoc eft d + ej - ' five d -+• e\ in feriem fimplicium terminorum refolvendum fit : Erit juxta Regulam P = 3 * rr * 1 4 * i re 6 iyrr 1 t tyrr 1 Vel Digitized by Google 2<5 epistolarum Vel, fit d diameter, ac * finus verfus ; & erit Arcus aequalis i'; x r 4. 4 + 5 - T , + -^T + &c - hoc eft > — in $*f» 40 <*» ll2 Et finus verfus = ^ ^TTr A “ ?7^B— ~C— &c. Eritque finus reftus = z — */, -f. — + ,-£r - cSr + h “' n ' = r“ - 5. Si Arcus capiendus Jit in ratione data ad alium Arcum : Efto diameter = d, chorda arcus dati = x, & arcus quatlirus ad arcum illum datum ut n ad 1 } Eritque arcus quatfiti Chorda = nx -f JV5<(<1 **A + + ^> c +&-D + ^xxE + &c. Ubi nota, quod cum » eft numerus impar, feries definet efle infinita, & evadet eadem qui pro- dit per Vulgarem Algebram ad multiplicandum datum angulum per iftum numerum ». 4. Si in Axe alterutro AB,Ellipfeos ADB (cujus centrum C, & axis alter DH) detur punctum aliquod E, circa quod re£ta EG occurrens Ellipfi in G, motu angulari fere- tur ; 8c ex data area fe£toris Elliptici BEG, quiratur refta GF, qui a pun&o G ad ax- em AB normaliterdemirtitur : Efto BC =q, DC = r, EB = t, ac duplum areat BEG — * . et erit GF = j&x» + + &c. Sic itaque Aftronomicum illud Kepleri Problema refolvi poteft. 5. In eadem Ellipfi, fi ftatuatur CD = r, = c & CF = x : Erit arcus 1 y « 5 >- 4 - - 1 y‘*-f StC i8r>c’ * “ s-r^e 4 * ‘ * xt - EUipticusDG=x+^x , + — x 5 + ~x 7 + 40 c* 14 aircT . i ... 112 c c 24 r*c 6 4- — ~ &rcl 5 JI52C* 22r*c s 1 S 2 r»c 7 O. - 3 _ ' 88r»f* _ ; 3,aw» + — - 1 28I8C* 0 Hic numerales Coefficientes fupremorum terminorum (->, ^ -Ju, &c.) funt in Mufica progreflione : Et numerales Coefficientes omnium inferi- orum in unaquaque columna prodeunt multiplicando continuo numera- lem Coefficientem fupremi termini per terminos hujus progreffionis T”-l Digitized by Google FRAGMENTA. 37 s ^, ^- 7 > &c. Ubi n fignificat numerum dimenfionum ipfius c in denominatore iftius fupremi termini. E. g. ut terminorum in- ira —4 ^ numerales coefficientes inveniantur, pono » = 6, ducoque ^ (numeralem coefficientem ipfius 55^4) in — — , hoc eft, in 1 j 8£ prodit numeralis coefficiens termini proxime inferioris : dein duco hunc T ' r in i^-2, five in hoc eft, in ^ ; &c prodit numeralis coefficiens tertii termini in ifta columna. Atque ifta ^ x ^-5 coefficientem quarti termini ; 6c rfr f acit tt cientem infimi termini. Idem in aliis ad infinitum ulquc columnis pra:- ftari poteft: Adeoque valor ipfius DG per hanc Regulam pro lubitu produci. Adhacc v fi BF dicatur x, fitque r latus reflum Ellipfeos, & e = ^ . Erit Arcus Ell ipticus facit T f r numeralem -r numeralem coeffi- BG = ifrx in 1 + 2 1 — —40 + 4 ) — 10 + ?eW - 9H xJ + ?o =* + £ + sgr + iggr + ac B — Unde viciflim, ex dato BD, vel VT, aut area V\ AVDB, arcuve VD, per refolutionem affefla- < \ \ rum atquationum erui potelt x leu AB. a 1 _ J \ 9. Elio denique AEB Spheroidei, revolutione V r Ellipfeos AEB circa axem AB genita, & lefla planis quatuor, AB per ax- em tranfeunte, DG parallelo AB, CDE perpendiculariter bifecante axem & FG parallelo CE ; iitque refla CB = a, CE — c, CF = x, & FG = j. Et Sphatroideos fegmentum CDGF diflis quatuor planis comprehenfumj erit + 2 cxy-Zy' — ~ y 5 — ^7/ - jjgr/ — &c. __ «1 i! _ * xl _ _ &c 3 «» iSca 1 40 c>d» 3 )£c , 1 • I* in unaquaque columna defcendentium in infinitum producuntur multipli- cando continuo coefficientem fupremi termini in prima columna per eandem progreflionem, in fecunda autem per terminos hujus X IX X Wr &c. in tertia per terminos hujus XX X X &c * in quarta per terminos hujus X»' ’ frf-» &c - * n *l u ‘ na P er terminos AUJUS X X X &c ' Et flc ia iDfinitum ' i6cc>4< ~~i — 8 tc. 3J6ca* — 8tC. Digitized by Google FRAGMENTA. 19 Et eodem modo fegmenta aliorum folidorum defignari, St valores eo- rum aliquando commode per feries quafdem numerales in infinitum produci poflunt. Ex his videre eft, quantum fines Analyleos per hujufmodi infinitas aequationes ampliantur : Quippe qua:, earum beneficio, ad omnia pine dixerim problemata (fi numeralia Diopbatiti St fimilia excipias) fefe extendit. Non tamen omnino univerfalis evadit, nifi per ulteriores quafdam methodos eliciendi feries infinitas. Sunt enim quidam Problemata in quibus non liceat ad feries infinitas per divifionem vel extractionem ra- dicum fimplicium affeCtarumve, pervenire. Sed quomodo in iftis cafibus procedendum fit, jam non vacat dicere * ut neque alia quaedam tradere qua: circa reduftionem infinitarum ferierum in finitas, ubi rei natura tu- lerir, excogitavi. Nam parcius feribo, quod hac fpeculationes diu mihi faftidio efle coeperint, adeo ut ab iifiem jam per quinque fere annos abltinuerim. Unum tamen addam : quod poftquam Problema aliquod ad infinitam aquationem deducitur, poflint inde variae approximationes in ufum Me- chanica:, nullo fere negotio formari ; qua:, per alias methodos quatfiti, multo labore temporiique difpendio conltare folenr. Cujus rei exemplo eue poliunt TraCtarus Hugtnii aliorumque de Qua- dratura circuli. Nam, ut ex data arcus chorda A, 8t dimidii arcus chor- da B, arcum illum proxime aflequaris 5 finge arcum illum efle z, St cir- culi radium r ; juxtaque fuperiora erit A (nempe duplum finus dimidii z) — z- *> s< lior* -8ec. EtB = jz- Z * VXi6kor *« 2 x 16 * 16 x I2?r* — &C. Duc jam B in numerum fi&itium w. St a produ&o aufer A, Strefidui ' “ ' Prrjr»’) 60 uc evanefeat, po- 2 * 1 6 x 6 r* * fecundum terminum (nempe ne = 0 ; indeque emerget n = 8, et erit 8B— A = 3* * — + &c * hoc eft SB- ~ = z ; errore tantum exiftente — ^ — Stc. in exceflu. Quod eft Theorema Hugemmtan. Infuper, fi in Arcus B£, fagitta AD indefinite produ&a, quaeratur punftum G, a quo afla: refla: GB, G b abfeindant Tangentem Ec quam proxime arqualem Arcui iiti : Elio circuli centrum C, diameter AK = rf, St fagitta AD = x : Et erit DB ( = vW -** ) 1 x 2 — d , x i , '~ f ' , Stc. 7 d’ 6 d' \ 6 d' Et AE (= AB) = i r x~ : + + “r + cd* 40 d 7 H + SCO. 1 Et Digitized by Google EPISTOLARUM 3 ° Et AE - DB : AD : : AE : AG •, Quare AG = — ££ — vel 4 - &c. Finge ergo AG = \ d - 4*3 et viciflim eri t DG (, 1 -d— •?•*) : DB : : DA : AE — DB; Quare AE — DB = ^4 + 77 4 - + &c - Adde 1)8 > & prodit 3 d* 5 dT 300*1* AE=A = — 4 — , —< — &c. Dein quaererem conftru&iones id‘ K + -p |x*, 8tc. xt = x‘ 4* 5 , &c. z* = x* -t- 2X», 8cc. z'—x\ &c. Jam de z aufero |-zx, gt reitarx — ±zz = x — p*? — J~x* — rl-* s , Stc. Huic addo -1**, & fit z — iz' -f .J.xt =2 x + /-X4 -p .^r, 8tc. Autero^x^Si rritat* — ±z'-\-izi — r '-z* —x — r J--x',&c. Addo -a v x', & fit z — r.z* a- — r ' T x’ -p T a r t! = x quimproxime i live x = x— 4.Z 1 ■+• v * 3 — i 2 ?* 4 + Tri*') &c. Eodem Digitized by Ooogle FRAGMENTA. n Eodem modo. Series de una indefinita quantitate, in aliam transferri poliunt. Quemadmodum fi polito r radio circuli, * finu reflo arcus z, & x + ~ + &c. longitudine arcus illius ; atque hanc Seriem a Sinu reflo ad Tangentem vellem transferre ;Quatro longitudinem Tangentis & reduco in infinitam Seriem *+ + £? + 8tc. Vocetur hac quantitas, t. Colligo potellates ejus f i = x» + HI t s = x s -f & c . Aufero autem t de z, 8c rellat z — t = — — -jL*? — &rc. Addo t », & fit z— t + -;tJ = -fx5 + 8£c. Aufero -J/t, 8c rellat z — t-f-jt» — -ft J ==o' quamproxime. Quare e(lz=t— + & c . Sed fiquis in ufiis Trigonometricosme julfilfet exhibere expreflionem Arcus per Tangentem ; eam non hoc circuitu, fcd diretla methodo quatfiviffem. Per hoc genus Computi colliguntur etiam Series ex duabus vel pluribus indefinitis quantitatibus conflantes ; &Radices affeclarum.Tquationum mag- na ex parte extrahuntur. Sed ad hunc pofleriorem ufum adhibeo potius methodum in altera Epiftoladelcriptamtanquam generaliorem, 8t (Regulis pro Elifione fuperfluorum terminorum habitis) paulo magis expeditam. Pro Regreffione vero ab Areis ad Lineas reflas, 8 c fimilibus, polTunt hujufmodi Theoremata adhiberi. THEORE MA I. Sit ui =: qi J -l- — l- ey 1 , 8tc. Et vicilfim erit y = j + ^ \ — *,!' l — a * d ExempU gratia. Proponatur TEquatio ad Aream Hyperboli, z =s y —t}' 4 -rJ 3 — tJ 4 + x) ! & c - Et fubllitutis in Regula i pro a, — pro h, t pro c, — pro d , -J- pro e ; vicilfim exurgit , y —z + .t*» -f ^ + rr* 4 + 8tC. T HEORE M A II. Sit z = ay -E byi -f •+■ dyi -F ey* -f 3tc. Et vicilfim erit^y = | -4*> d 4 + 8 Scy fubftituti dant Refolvendam novam xdp -\-pp—zzp -\-dz = o, ubi p &cp vices fubeunt ipfarum y & y. Terminus unicus in quo nec p neque p reperitur eft dz, qui cum termino lz x collatus dat a= i. Terminis reliquis 2 dp, pp 8c— zzp pone fcy/ ae- qualem fucceffivc ; 8c inde in primo calu habebis f*=o, «=i, & P=o 5 in fecundo fi=o, *=2, & / 3 =o ; & in tertio /*=2, *=o, & fl=i. Et hinc evadit primo cafu 1, in fecundo ^ in tertio o. Unde reft 1, gcaz’ Sc r iz'~' Eunt az & a. Termini duo ultimi az & a in Refolvenda pro p fc P refpeflive feripti, producunt 2daz+ = \z-\-q, fc inde /» = — - + Qui valores prop8tpin Refolvenda noviflima fubftituti producunt Refolvendam novam a dq~zq-\-qq + }ix xzq = o. Ubi q Scq vices fupplent ipforum ySiy. Terminus unicus in quo neque q nec q reperitur eft -’zt, qui cum kz' collatus dat a=2. Terminis reliquis 2 dr/, —zq, -f qq, —zzq pone /zA/*/ ecqualem fuccef- fivr j Si inde in primo cafu habebis /* = o, * = 1, & F- =0 5 in fecundo. Digitized by Google FRAGMENTA. 37 (i=i, «=!, S = o; in tertio, t* = o, * = 2, & = 0 : in quarto ^ = 2, * = o, 6 = 1: 8c inde evadit in primo calli 2, in fecundo, tertio, 8 c quarto 1. Et hinc r elt 2, vel az’ & vaz’~ l lunt az 1 8c 2az. : qui va- lores in Refblvenda pro q & q fubftituti dant 2 B \ tium ratio ultim3, id eft ratio ultima Pb ad Db, \ ea erit qux eft PB ad DB, exiftente angulo PDB reflo, & propterea in hac ratione eft fiuxio ipfius AB ad fluxionem ipfius PB. Retia PB circa datum Polum P revolvens fecet alias duas pqfitione datas rcBas AB 1$ AE in B (St E : quaritur proportio fluxionum retiarum illarum AB (St AE. Progrediatur refla revolvens PB de j loco fuo PB in locum novum Pb reflas X X AB, AE in punflis b 8t e lecantem, & refla: AE parallela BC ducatur ipfi Pb occurrens in C, 8c erit Bb ad BC ut Ab ad Ae, & BC ad Ee ut PB ad PE, 8c conjunflis rationibus Bb ad Ee ut Ab x PB ad AexPE. Redeat Jam linea Pb in lo- cum fuum priorem PB, 8c augmentum evanefcens Bb erit ad augmentum evanefcens Ee ut ABxPB ad AExPE, ideoque in hac ratione eft Huxio reflx AB ad fluxionem refla: AE. Hinc fi refla revolvens PB lineas quafvis Curvas politione datas fecet in punflis B St E, 8t reflx jam mobile? AB, AE Curvas illas tangant in Seflionum punflis B & E : erit fluxio Curvx quam refla AB tangit ad . fluxionem Curvx quam refla AE tangit ut AB x PB ad AE x PE. Id quod etiam eveniet fi refla PB Curvam aliquam politione datam perpetuo tan- gat in punflo mobili P. Fluat quantitas x uniformiter (St invenienda Jit fluxio quantitatis x n . Quo tempore quantitas x fluendo evadit x ■+■ o, quantitas *" evadet x + oj«, id eft per methodum ferierum infinitarum, x n -\-nox n - i + n -^o* = o, produceretur 3 *’jc — 59* — 2*)7 + = o. Ubi fi fluxionem v«T-"w tollere velis, pone Voi-.» = z, & erit a* — 7» = z>, & ( per hanc Propofitionem) ax — 277 = 2x2 feu dX ~ = x, hoc eft = VTT^. Et inde 3* 5 * — *?* — 2*77 + Et per operationem repetitam pergitur ad fluxiones fecundas, tertias & fequentes. Sit aquatio xy> — x+ + a* =0, & fiet per operationem primam 271 + 3*77* — 4** 1 =0, per fecundam 27’+ 6277* +3277’ +6x7*7 — 422= — 122=2* = 0, per tertiam. 271+9277= +9277*+ 1827=7+3277* + 1 82777+ 6x7 1—422’ — 36222* — 242*2 = o. Ubi vero fic pergitur ad fluxiones fecundas, tertias & fequentes, conve- nit quantitatem aliquam ut uniformiter fluentem confiderare, & pro ejus fluxione prima unitatem fcribere, pro fecunda vero & fequentibus nihil» Sit aquatio 27» — x*+<** = o, ut fupra •, 8c fluat z uniformiter, fitque ejus fluxio unitas, & fiet per operationem primam 75 + 3277* — 42’ = 0, per fecundam 677* +3277=+ 627=7—722* =0, per tertiam 977’+ 187=7 + 3277*+ 182777+6271—242 = 0. In hujus autem generis aquationibus concipiendum eft quod fluxiones in fingulis terminis fint ejufdem ordinis, id eft vel omnes primi ordinis 7, 2, vel omnes fecundi 7, 7*, 72, 2*, vel omnes tertii 7, 77, 72, 7^ 7=2, 72», 2*, &c. Et ubi res aliter fe habet complendus eft ordo per fubin- tellefbs fluxiones quantitatis uniformiter fluentis. Sic aquatio noviflima complendo ordinem tertium fit 9277*+ 1 8 27*7 + 3 277* + «82777 + 6zy i — 2422’ =0. * PROP. Digitized by Google 48 DE Q^U ADRATURA P R O P. II. P R O B. II. Invenire Curvas qua quadrari fejfunt. Sit ABC figura invenienda, BC Ordinatim applicata reftangula, 8r AB abfcifla. Producatur CB ad E ut fit BE = i, & compleatur parallelogrammum ABED : & arearum ABC, ABED fluxiones erunt ut BC 8 c BE. Affir- matur igitur atauatio quivis qua relatio arearum definiatur, & inae dabitur relatio ordinatarum BC & BE per Prop. i. Q. E. I. Hujus rei exempla habentur in Propofitionibus duabus fequentibus. PROP. IU. T H E O R. I. Si pro abfcifla AB & area AE feu AB x i promilcue feribatur z, & fi pro e 4- fv+gx? M -f bz» 4- Kc. feribatur R : fit autem area Curvae z 9 R\ erit or dinatim applicata BC aqualis Se-t-8 k/*'4 - A x^z 2 * 4- 8 xbz}»4-8tc.xz 9 - , RA->. 4- A* + 2A» 4 " 3 ** Demonftratio. Nam fi fit x 5 R v =t>, erit (per Prop. i) e« 9_1 R x 4 - ^RR*- 1 = c. Pro R K in primo aquationis termino 8tz’ in fecundo fcribe RR^-i sczz 9 -', & fiet flzR 4- azR in z 9 - 1 R x -' = v. Erat autem R = e +fic.' 4- gz* + £z 1 >4-8rc. et inde (per Prop. 1) fit Rsh/zz*-' + * + &c. quibus fubftitutis & fcripta BE leu 1 pro z, fiet |e4-sx/z*4- 8 xgz 1 " 4 - 8 xbzi" 4- &c. xz 1 - 1 R *- 1 An 2^ "t" 3 A " Q. E. D. v = BC. PROP. Digitized by Google CURVARUM. 49 xi 5 -' Rv-‘ S u- ‘ P R O P. IV. T H E 0 R. II. Si Curvae abfeifla AB fitz, & fi pro e 4~/z’ 4- 4- gfc. feribatur R, 8c pro t + w* 2 " 4- Scc. feribatur 5 j fit autem area Curvae z , R»»S' 4 : Erit ordinatim applicata BC aequalis s x/iz' + a 4* 4* 4- 9 xefc" + 8 x//z** 4- a xjk* . . . sjc 4* f*1 +A» 4- 2Xlf 4-^n 4-p* 4- a X ejnz 1 " 4" 6 x finzS* 4- 8 X^mz4«. 4- 4-m 4" 4- Sft» 4- Demonftratur ad modum Propofitionis fuperioris. PROP.V. T H E O R. III. Si Curvae abfeifla AB fitz, & pro e 4- yz*4-^ 2, 4-fc» , *4- 8rc. feriba- tur R : fit autem Ordinatim applicata x'-'R K ~' xa4-fcrf , 4-£x »jjT^ t jt 4^8cc. 8c ponatur 6 -= r , r4-* = i, 14. k =3*, 1 4>\ = v, &c. t EritArea=x 5 R’4n4- ^ r* i*f - fe-iTT xf B -tnA 2n r» 211 'A. ftf-TTjx/t-TTi xgB-tbA 4 = 7 3 rt? L!_ * 1 — rn» fb~t 1 2 »fC - v t ixbB ^in r t*x * a. 4-8fc. Ubi 4 A, C, Z), 8£c. denotant totas coefficientes datas terminorum Un- gulorum in ferie cum lignis fuis 4- & — , nempe A primi termini coefficientem B fecundi termini coefficientem re C tertii termini coefficientem Et fic deinceps. .c-j t i%fB—tgA r t 2 t e N DemonJlrjtio Digitized by Google 5° D E Q.UA DRATURA Demonjlratio. Sunto juxta Propofitionem tertiam. Curvarum Ordinata ‘1 1 . ieA + 9 xfJz' + 8 *gAg?“ + 8 xbAz. u , &c. 4- A» -i- 2 A# ■+■ 3 A» 2 . . . 4- aT»xe£z.* + rni x /B** 4- H* Xgfc" &c , 4 * A* +J>^_ />Cai 9 - «Ra-M 3 4'fft2»xeC& 2 *4r 8ta»x/CV* 8cc. •j* AU 4 A RE>€ 'At? Ra |&.»**Ra Ct} * 2 * R> Dz ? ♦ 2 " R' Et fi fumma Ordinatarum ponatur iqualis Ordinati a + bf + cz ,** •4- (fe.’* + &c. in x?~ l R>~ fumma arearum z? R‘ in A + Bv 4 - CzP 4- •D* 5 ' + 8 cc. iqualis erit arei Curvi cujus ifta eft Ordinata. TEquen- tur igitur Ordinatarum termini correfpondentes, et fief a = QeA, b — f+i; xfA + $+r n x eB, c = ^r^% & A + 94 - » 4 - A «x/B + 8 4 - w X eC, Sic. et inde A = _ h-t ♦ «» « f/< ** ~~ .<■» f-a ♦ 2».» t f. A- 9 ♦ »♦ \« « fB 6 * 2 »«« Et fic deinceps in infinitum. Pone jamf = r, r + A = i, <4A = t, &c. et in area z? R' in A + Bz/ + Cz." 4- D*” + &c. fcribe ipforum A, B , C, &c. valores inventos, 8 t prodibit feries propofita. Q, E. D. Et notandum eft quod Ordinata omnis duobus modis in leriem refolvi- tur. Nam index » vel affirmativas efle poteft vel negativus. Proponatur Ordinata ’• Hic vel fic fcribi poteft ai-i-xji — — /x* + jto»P» vel fic *-a x — 1 4 - 3 fc 6-2 X jB—fe -1 - 4 - fct-*|-r. In Digitized by Google CURVARUM. 5i In cafu priore eft 0 = 3 i, 6 = 0, c — — 7 , e = k,f=o, g = — 7 , b = m, *=!, ■ = I, e— 1 =— 4., 8 = — | = r, * = — 1, r = — 4-, 0 = 0. In pofteriore eft 0 = — 7 , b = o, c = ik, e = m, / = — 7 , g=o, b = k, a =|, » = — 1, 8 — r= — 2, 8 = — 1, r=i, 1= if, t = 2, u=2j- Tentandus eft cafus uterque. F.c fi ferierum alterutra ob terminos tandem deficientes abrumpitur ac terminatur habebitur area Curvat in terminis finitis. Sic in exempli hujus priore cafu fcribendo in ferie valores ipfbrum 0, b, c , e, /, g, h, a, 8 , r, », t, v, termini omnes poft primum evanelcunt in infinitum 8c area Curvat prodit — 2v ^~ "* ■ ' Et hatc area ob fignum negativum adjacet abfciflk ultra ordinatam pro* du£hr. Nam area omnis affirmativa adjacet tam abfciflat quam ordinati, negativa vero cadit ad contrarias partes ordinata: & adjacet ablciffie pro- du&ar, manente fcilicet figno Ordinatae. Hoc modo feries alterutra St nonnunquam utraque femper terminatur & finita evadit fi Curva geome- trice quadrari poteft. At fi Curva talem quadraturam non admittit, feries utraque continuabitur in infinitum, 8t earum altera converget St aream dabit approximando, pratterquam ubi r ( propter aream infinitam) vel nihil eft vel numerus integer & negativus, vel ubi aqualis eft unitati. Si —■ minor eft unitate, converget feries in qua index* » affirmativus eft : fin ~ unitate major eft, converget feries altera. Si in uno cafu area ad- jacet abfcifli ad ufque ordinatam du£bc, in altero adjacet abfciflat ultra ordinatam produOat. Nota infuper quod fi Ordinata contentum eft fub faftore rationali ^ & faftore furdo irreducibili R r & fattoris furdi latus R non dividit fafto- rem rationalem erit a — 1 =75 cR K ~' —K*. Sin fafloris furdi latus R dividit fatTorem rationalem femel, erit a — 1 = ■*■ -f 1 8t /?*- « = /? Tt 1 : fl dividit bis, erit a — 1 = t 2 & R 1 '- 1 = R T>3 : fi ter, erit a — 1 = t + 3, St R k ~ 1 = R rt} : St fic deinceps. Si Ordinata eft fraflio rationalis irreducibilis cum denominatore ex duobus vel pluribus terminis compofito : refolvendus eft denominator in divifores fuos omnes primos. Et ii divifor fit aliquis cui nullus alius eft atqualis. Curva quadrari nequit : Sin duo vel plures fint divifores atquales, rejiciendus eft eorum unus, 6£ fi adhuc alii duo vel plures fint libi mutuo atquales Sc prioribus inaequales, rejiciendus eft etiam eorum unus, & fic in aliis omnibus aequalibus fi adhuc plures fint : deinde divifor qui relin- S iuitur vel contentum fub diviforibus omnibus qui relinquuntur, fi plures irnt, ponendum eft pro R, 8t ejus quadrari reciprocum R - 3 pro R K ~\ pratterquam ubi contentum illud eft quadratum vel cubus vel quadrato quadratum, 8tc. quo cafu ejus latus ponendum eft pro R Sc poteltatis in- dex 2 vel 3 vel 4 negative fumptus pro a , et Ordinata ad denomin3torem R‘ vel R> vel 72 + vel fis 8tc. reducenda. Ut Digitized by Google 5 i DE QUADRATURA Ut fi Ordinata fit >t \ i quoniam ha:c fraflio irreduci- bilis eft 8t denominatoris diviiores funt pares, nempe z — i, z — i, x — i & z -f 2, z + 2, rejicio magnitudinis utriuique diviforem unum, 8c. reli- quorum z— i, z — i, z + 2 contentum z« — ?z -f 2 pono pro R 8t ejus quadrati reciprocum 5V * eu P r0 Rk ~ *• ^ein Ordinatam ad denomina- torem R ' feu R' - K reduco, & fit |f===r,i.e.* 1 * 8-9z+z»X2- jz+z»|-* Et inde eft a = 8 , i = — 9, c = o, d = 1 , &c. e = 2, / = — 3, g = o, i = 1, a — i= — 2, a = — i, h=i, 8 — 1 = 3, 8 = 4 = r, 1= 3, t = 2, v = 1. Et his in ferie fcriptis prodit area terminis omnibus in tota ferie poft primum evanefcentibus. Si denique Ordinata elt fra&io irreducibilis 8t ejus denominator con- tentum eft fub faftore rationali Q 8c faftore furdo irreducibili R*, inve- niendi funt lateris R divifores omnes primi, 3 t rejiciendus eft divifor unus magnitudinis cujufque & per divifores qui teftanr, liqui finr, multiplican- dus eft faftor rationalis jj? : & fi fa&um aequale elt lateri # vel lateris illius poteftati alicui cujus index eft numerus integer, elto index ille m, ftt erit a — 1 — — t — m, & R *- 1 =R- w - m . Ut fi Ordinata fit t T » quoniam factoris furdt latus JZleugi + 7’x — qx'—x' diviiores habet 9+*, 9 + *, 9 — z qui dua- rum funt magnitudinum, rejicio diviforem unum magnitudinis utriufque & per diviforem q -Y x qui relinquitur, multiplico faftorem rationalem q' — x'. Et quoniam factum qi-\-q*x — qx * — x’ atquale eft lateri #, pono » = 1, Scinde, cum x fit f, fit a — i = — Ordinatam igitur reduco ad denominatorem R =', & fit x 8 X 29*+ 2(/ s x Yr 89*x , 4-8 — 7 q 1 x * — 6 qx'*.q'-> r q i x — qx 1 — xjj~? Unde eft a — 39% b — 29* 8cc. e = 9’, / = 9* &c. 8— 1 = o, # 6 = 1 = n, a = — , r = 1, j = t = -j, u = o. Et his in ferie feriptis prodit area , terminis omnibus in ferie tota poft tertium evanefcentibus. yi ♦ y*x-$x , -x ».T P R 0 P. VI. T H E O R. IV. Si Curva: abfcifTa AB fitz, & fcribmtur /? pro e -f fr’ + S* 1 * + iz’»-f &c. 8c J pro A + /z« + mz» + ?iz’* -t- &c. fit autem Ordinarim applicata *’ 1 #'-1 iS**-* in a-Y iz»*-t- dx u •+ 2cc. et fi terminorum, e, /, g, b, 8rc. et A, /, w, w, 2cc. reftangula lint ck fk gk hk 8tc. e l fl g l h l Scc. cm fm gm hm Stc. • en fn gn bn &c. £j Digitized by Google CURVARUM. Si 'Et G re£tangulorum illorum coefficientes numerales fint refpeftive — — r. r+A=i. j 4 - a = r. t -f * = t>. i!fc. 9 * * 4 r + * + /* = *. t-\- [j.=v. v-\-i* = w. uc. 4 44 » n » 4* i a i + ft=r. — U + W-J -#4 = X. OC. 44 44» »4 44» 44 441 4» 44» ^ t-\-tx=V. V -p f* = v. W ■+■ f* = -v. X + f*=y. £>C. Area Curva: erit haec z’ S 1 * in + "t + .C r * i x r ^ “f«t * /Mu r/ - l ; 'm ^211 + rt ” ft _ -t-H.* -* * i -t/ 4/ JL J — J * 2 X ftC -fM i x /7 '**—/♦ 2* W — -v" , , ’~' R x ~\Si Arear p.4 St (/A, exiftente R quantitate trium nominum e +/z* 4- g^"- Et cum perProp. 3 .fit z,» R x areaCurvi cuj usOrd inata eft 8c 4-FF** x/z* 4- A -(-2 a» x^z 1 * in z~' R ~\ fubdu c Ordina tas 8t Areas priores de Area St Ordinata po- fteriori, St manebit ge — p-\- 8x? -yXz,»4- 8 x^xs 4 " 1 ^' 1 Ordinata -j-AH + 2AII nova Curvi, et z>R K — p A — gB ej ufdem Area. Pone 8* = p, St 8/4- *»/= & Ordinata evadet 0 4- 2 a* xiz.” x z, ~ 1 /? ~ 8t Area z 5 R' — 6 eA — QJB — a* fB. Divide utramque per 0^4- a* 1 #, 8c Aream prodeuntem dic C, StalTumpta utcunque r, erit rC Area Curvi cujus Ordinata eftrz Et qua ratione ex Areis pA St qB Aream rC Ordinati rx ! 7, ~ ' R '~ 1 con- gruentem invenimus, licebit ex Areis qB 8 c rC Aream quartam puta rD, Ordinati re'* 1,-1 R*~' congruentem invenire, St fic deinceps in infinitum. Et par ett ratio progrefiionis ab Areis B 8t A in partem contrariam per- gentis. Si terminorum 8, 0-f-A», & 8 -i- 2 a» aliquis deficit St feriem ab- rumpit, aflumatur Area pA in principio progrelnonis unius &c Area qB in principio alterius, «Btcx his duabus Areis dabuntur Arei omnes in pro- greflione utraque. Et contra, ex aliis duabus Areis allumpris fit regreflus per Analyfin ad Areas A Si. B, adeo ut ex duabus datis citen omnes dentur. Q. E. O. Hic eft cafus Cunarum ubi ipfius z index g augetur vel diminuitur perpetua additione vel fubduftione quantitatis ». Cafus alter eft Curva- rum ubi index * augetur vel diminuitur unitatibus. C A S. II. Ordinati pz~'R K et jz 4 1 ” “ 1 ^VluibusAreip^etgjBjamrefpondeanr fi in R fc u 1 4-/z* 4- g* 1 " ducantur ac d einde ad R viciffim applicentur* evadunt pe 4- pfz’ 4- /)£z“xz*~ 1 R>~\ et qez'-\- qjz 1 ' 4- qgzi‘Xz/~ 1 R'— ** Et (per Prop. 3. ) eft cn?R K area Curvi cujus Ordinata eft t je -f 0 -f- x» x ajz' -f 0 4- 2 aji x ^gz^x z , “ 1 12' — et bz area Curvx cujus Digitized by Google CURVARUM. JY cujus Ordinata eft 9+-» x bez'-\- 9+» x bfz"-\ x £gzi'x z ’-’^ v - Et harum quaruor Arearum fumma eft p.4 + » * <*f v -+■ 9->-2>.a x ag s 1 »-^ rfTraA» Y.bgz^Y.z' 1 R y ~ l . •¥pe+ti+»*be +9+-» +K*xbf +1 xqg + » *pf + l *A? + I * qe ■+ I x qf Si terminus primus tertius & quartus ponantur feorfim xquales nihilo per primum fiet 9«-i-pe = o, feu — ta=p, per quartum — 8b — »b — 2 Mb = ?, & per tertium (eliminando p &q)*J*=:b. Unde fecundus fit - ^ff-y^^ adeoq; fumma quatuor Ordinatarum eft 1 St fumma totidem refpondentium Arearum eft ax^R k -f tiV*’ Q a J + - ! ^ liL .^ D | vidanturhacfumm3: p CT i^£^ j& . fi Qyoju,,, pofterius dicatur D, erit D Area curva: cujus Ordinata eft Quotum prius z * * ~ ‘R x ~ l Et eadem ratione ponendo omnes Ordinata: terminos prxter primum xquales nihilo poteft Area Curvat inveniri cujus Ordinata eit z ’- 1 R K ~ l . Dicatur Area ilta C, & qua ratione ex Areis A & B invcntx funt Arete C ac D, ex his Areis C ac D inveniri poliunt aliae duae E & F Ordinatis z ’- 1 R K ~ 2 et x 6 * . R -* congruentes, 8 t fic deinceps in infinitum. Et per Analyfin contrariam regredi licet ab Areis E & F ad Areas CacD & inde ad Areas A & B, alialque qux in progreflione fequuntur. Igitur ii index * perpetua unitatum additione vel fubdu&ione augeatur vel minua- tur, Sc ex Areis qux Ordinatis lic prodeuntibus refpondent dux fimplici- flimx habentur ■, dantur alix omnes in infinitum. Q. E. O. V C A S. III. Et P“ “fus holce duos conjunftos, fi tam index 9 perpetua additione vel fubductione ipfius quam index a perpetua additione vel fubduftione unitatis, utcunque augeatur vel minuatur, dabuntur Arex fingulis prode- untibus Ordinatis relpondentes. Q. E. O. * C A S. IV. Et fimili argumento fi Ordinata conftat ex quatuor nominibus in vinculo radtcali & dantur tres Arearum, vel fi conftat ex quinque nominibus & dantur quatuor Arearum, 8c fic deinceps : dabuntur Arex omnes qux ad- dendo * Digitized by Google 5 5 DE QUADRATURA dendo vel fubducendo nutrurum » indici ® vel unitatem indici * generati poliunt. Et par eft ratio Curvarum ubi Ordinatae ex binomiis conflantur, et Area una earum qui non funt Geometrice quadrabiles datur. Q. E. 0 . P R O P. VIII. T H E O R. VI. Si pro e /z> gx'- M + 8tc. et k + fz* + mz” + Stc. feribantur R 8t S ut fupra, fit in Curva: alicujus Ordinata z 8 ^' R K ~ T S*~’ maneant quan- titates datte 9 , », a, jn, e, /, jj, i, /, m, fite. qt pro «■, r, & <*, feribantur fuccdbve numeri quicunque integri : 8c fi dentur Area: duarum ex curvis qua: per Ordinatas fic prodeuntes defignantur fi quantitates R 8 c S funt binomia, vel fi dentur Area: trium ex curvis fi R 8t S conjunftim ex quinque nominibus conftant, vel Areat quatuor ex curvis fi R 8 cS con- junftim ex fex nominibus confiant, fic fic deinceps in infinitum : dico quod dabuntur Area: curvarum omnium. Demonftratur ad modum propofitionis fuperioris. P R O P. IX. T H E O R. VII. JEquantur Curvarum Area inter fe quarum Ordinata funt reciproce ut fluxiones Abfciffarum. Nam contenta fub Ordinatis fit fluxionibus Abfciflarutn erunt aequalia, fit fluxiones Arearum funt ut hate contenta. C O R O L. I. Si aflumatur relatio quaevis inter Abfciffas duarum Curvarum, 8t inde per Prop. i. quaeratur relatio fluxionum Abfciflarutn, & ponantur Ordi- natae reciproce proportionales fluxionibus , inveniri poffunt innumera: Curva: quarum Area: fibi mutuo a:quales erunt. C O R O L. II. Si enim Curva omnis cujus hax eft Ordinata z 8- ' x e fz' gz” &c. \\ aflumendo quantitatem quamvis pro *, fit ponendo -7 = s } 8t z 1 = Xy migrat in aliam fibiatqualem cujus Ordinata eft x«*t -./*’+***’ + &c7|\ COROL. » Digitized by Google CURVARUM. $7 C O R O L. III. Et Cum omnis cujus Ordinata eft “ 1 x a + bv «» + &cc. x e-\-fx‘ + £x J * + 8cc.| x , aflumendo quantita- tem quamvis pro r Bt ponendo 7 = *,& x* = x, migrat in aliam fibi aequalem *9-M cujus Ordinata eft 7*~x a 4- bx ■ 4- c* 1 ’ + &c. + &c.|S C O R O L. IV. Et Curva omnis cujus O rdinata eft z 9 - ‘ x a + bv + «*■ 4 &c. xe-Yjv +#£”+ &c!|* x i 4- &c.j% aflumendo quantitatem quamvis pro ,, & ponendo 7 = *, 8c z? = x, migrat in aliam flbi aequalem cujus Ordingta eft ►9 - » ^ ^ ~x~ x a + bx’ 4- cx l ' 4- 8ic. Xe+/x'+^x 1 >+&c.| x xi -f /x' 4 mx 1 ' 4 - 8 EC.j , ‘ C O R O L. V. Et Curva omnis cujus O rdinata eft X ~ 1 x e-\ + &c.i\ ponendo £ = x, migrat in aliam fibi aequalem cujus Ordinata eft -77; x e 4j* -: "Hr 8tc“|* id eft ^ x/4 t*’f fi duo funt nomina in vinculo radicis, vel -7^77— xg 4- /x" + ex 2 ']' fi tria funt nomina i fit fic deinceps. * C O R O L. VI. Et Curva omnis cujus Or di nata eft z 9_ 1 X e 4 g-z" + &C.| K x F4 /z» 4 mz-* 4- 8tc.]“, ponendo % — x, mi- grat in aliam fibi squalem cujus Ordinata eft ■gu x e 4 fx-‘+gx->' + &c.| x x k + lx— 4- wx--*-t- &c.|“ id eft ^7777777 x/ 4 - «**| x x / 4 ix*|^ fi bina funt nomina in vinculis ra- dicum, vel r STT £ xi+JxT+etf •j' x / + *x’j M £1 tria funt nomina in vinculo radicis prioris ac duo in vinculo pofterioris : Sc fic in aliis. P Et Digitized by Google $8 DE O.U ADRATURA Et nota quod Arex dux xquales in novifiimis hifce duobus Corollariis jacent ad contrarias partes Ordinatarum. Si Area in alterutra Curva adjacet Abfciflx, Area huic xqualis in altera Curva adjacet Abfciflx pro- duftx. C O R 0 L. VII. Si relatio inter Curvx alicujus Ordinatam y&c AbfcifTam z definiatur per xquationem quamvis affeflam hujus formx, j' x e 4 fy’1* 4 Z)" 7 - 1 * 4 k) 1 ' x ' f 4 &c. = z^x k Ifz* 4 my^-z** 4- &c. hxc Figura aflumendo i = ~-, x = -i-z', & x = przf,, mig 13 * < n aliam fibi xqualem cujus Ablciffi x , ex data Ordinata v, determinatur per aqua- tionem non affe£hmd-i>*' ,k xe4/i;'+£y ! '48ic.|'xJ!:4/u*4mt; 1, '-F8{.c.r x =x. C O R O L' vm. Si relatio inter Curvx alicujus Ordinatam y & Abfciflam z definitur per xquationem quamvis affcftum hujus formx, y m x e 4 4 jy 3 ’z j/ 4 8tc. = z fi x i 4 ly m z* 4 »y 5, z :/ 4 &c 7 + x p -F qyn/ + ry-i tf 4~ SccT bxcFigura aflumendo i = = — £,& * = migrat in aliam Gbi xqualem cujus Abfciflaxex data Ordinata «determina turper xqua- tionem minus affeftam i^xe-y-fv-tgv^-t&c. = sw &c~ • *+ r *’ *p -+ ?« , -F»'^ 1 "-F SoT. C O R O L. IX. Curva omnis cujus Ordinata eft tx 8 ~ 1 x rg -F >-F « 7 g + p -F_2'i^ z ’ v 'jF 8cc. x e fz’ gz'-‘ i n u + bxaf+jx- *» 4 A z‘».'*-F 8 tc:rl*, fi fit 0 = >.r, & affumantur * = ez’ +jx' '• 4 g*’ ta * 4 &c.| T , «r = -1, & * = '4T migrat in aliam fibi xqualem cujus Ordinata eft x 44 bx' { \ Et nota quod Ordinata D rW an hoc Corollario evadit fimpticior ponendo x = 1, V el ponendo r = , efficiendo ut radix dignitatis extrahi poffir cujus index elt « vel eriar^ ponendo - = — 1, & a = 1 =t = , = x, U t alios callis prxieream corol. Di'gitized by Google CURVARUM. 59 CORO L. X. Pro 1 2 *+&c. ^ fi»» - > -f & c . A -f /i* -f wx** + 8cc. et »lz-~ 1 + -f &c. fcribantur R, r, S & i refpe£live, 8c Curva omnis cujus Ordinata eft »S 'r-\- 9 Rsx R'~' S u '* xaS' fi iit ^ = T = ;,T = ».T S *. &*'* = *, migrat in aliam fibi squalem cujus Ordinata eft * 5 xa + bx’ j\ Et nota quod Ordinata prior evadit fimplicior, ponendo unitates pro r, u } & a vel fS 8 c faciendo ut radix dignitatis extrahi poflit cujus index eft *, vel po- nendo •> = — 1 vel = o. P R O P. X. P R O B. III. Invenire Figuras fimpliciffimas eum quibus Curva quae - vis Geometrice comparari potefl y cujus Ordinatim appli- cata y per aequationem non affeftam ex data Abfcijfa z determinatur. C A S. I. Sit Ordinata az ~\ & Area erit-i-az 9 , ut ex Prop. 5. ponendo b = o — c — i —J =g = h, & e = j, facile colligitur. C A S. II. • • Sit Ordinata az 4 - 1 xe+/z«+#e*" -f & c.| x "‘, et fi Curva cum Figuris re&ilineis Geometrice comparari poteft, quadrabitur per Prop. j. ponendo b = o = c = d. Sin minus convertetur in aliam Curvam fibi squalem cujus Ordinata eft ~*“""~x »+/*+**» + & c-f" 1 per Corol. 2, Prop. 9 . Deinde fi de dignitatum indicibus — & a — 1 per Prop. 7. rejiciantur unitates Digitized by Google 6 o D E CLU ADRATURA unitates donec dignitates illi fiant quam minimi, devenietur ad Figuras fimpliciffimas qui hac ratione colligi poflunt. Dein harum unaquique per Corol. y, Prop. 9. dat aliam qui nonnunquam fimplicior eft. Et ex his per Prop. 3. 8 c Corol. 9, & 10, Prop. 9. inter fe collatis, Figuri ad- huc fimpliciores quandoque prodeunt. Denique ex Figuris fimpliciffimis afliimptis fafto regreffu computabitur Area quifita. C A S. III. Sit Ordinata s , ‘ 1 x«-+!* , + a'- + 8tc. x e + 4- 4- scc. \ K ~ \ 8 c hic Figura fi quadrari poteli, quadrabitur per Prop. y. Sin minus, di- ftinguenda cft Ordinata in partes z“~ l Xtfxe-4- Jx' + gz l ' 4- 8tc.|* -1 , x*~‘ x fe x « 4-/e* + J*” + &C.1"' 1 , &c. et per Caf 2. invenienda: funt Figuri fimpliciflimi cum quibus Figuri partibus illis refpondentes compa- rari poflunt. Nam Arei figurarum partibus illis refpondentium lub fignis fuis 4- — conjuntti component Aream totam quifitam. C A S. IV. Sit Ordinata z*~‘ cz 1 * 4- 8tc. xe 4- jv 4 &c.i x “ 1 in Jb -4- fe.» 4- »re. J » 4- 0Sec.|“ -1 5 et fi Curva quadrari poteft, quadrabitur per Prop. 6 . Sin minus, convertetur in fimpliciorem per Corol. 4, Prop. 9. ac inde comparabitur cum Figuris fimpliciffimis per Prop. 8. et Corol. 6, 9 & 10, Prop 9. ut fit in Cafu 2 8c 3. C A S. V. Si Ordinata ex variis partibus conflat, partes finguli pro Ordinatis cur- varum totidem habendi funt, & Curvi illi quotquot quadrari poflunt, figillatim quadrandi funt, earumque Ordinati de Ordinata tota demendi. Dein Digitized by Google CURVARUM. 6 1 Dein Curva quam Ordinati pars refidua defignat feorfim (ut in Cafu 2, 3 8c 4,) cum riguris fimpliciifimis comparanda eft cum quibus comparari poteft. Et fumma Arearum omnium pro Area Curvi propofitz habenda eft. COROL. I. Hinc etiam Curva omnis cujus Ordinata eft radix quadratica affe&a iquadonis fui, cum Figuris fimpliciffimis feu re&ilineis feu curvilineis comparari poteft. Nam radix illa ex duabus partibus lemper conftat quz feorfim fpechti non funt iquationum radices affe&z. Proponatur zquatio ay-\- z 1 ) 1 = 2 *i J 7 + — x+, 8 c extraQa radix a\ty = cujus pars rationalis & pars irrationalis f unt Ordinati curvarum qui per hanc Propofitionem vel quadrari polTunt vel cum Figuris fimpliciffimis comparari cum quibus collationem Geometricam admittunt. C O R O L. II. r' Et Curva omnis cuius Ordinata per iquationem quamvis affe&am definitur qui per Coro! 7. Prop. 9. in iquationem non affeOam migrar, vel quadratur per hanc Propofitionem fi quadrari poteft, vel comparatur cum Figuris fimpliciffimis cum quibus comparari poteft. Et hac ratione Curva omnis quadratur cujus iquatio elt trium terminorum. Nam zquatio illa fi affefta fit, tranfmutarur in non affeftam per Corol. 7. Prop. 9. ac deinde per Corol. 2. & 5. Prop. 9. in fimpliciffimim migran- do, dat vel quadraturam Figuri fi quadrari poteft, vel Curvam fimpliciffi- mam quacum comparatur. COROL. III. Et Curva omnis cuius Ordinata per iquationem quamvis affe&am definitur qui per Corol. 8. Prop. 9. in iquationem quadraticam affeftam migrat •, vel quadratur per hanc Propofitionem & hujus Corol. 1, fi qua- drari poteft, vel comparatur cum Figuris fimpliciffimis cum quibus col- lationem Geometricam admittit. a s c h o- Digitized by Google 6t DE QUADRATURA SCHOLIUM. Ubi quadrandi funt Figurae i ad Regulas hafce generales femper recur- rere nimis molettum eflet : prittat Figuras qui fimpliciores funt 8c magis ufui efle poflunt femel quadrare 8c quadraturas in Tabulam referre, de- inde Tabulam confulere quoties ejulmodi Curvam aliquam quadrare oportet. Huius autem generis funt Tabuli dui fequentes, in quibus x denotat Ablciffam, y Ordinatam re£langulam,& t Aream Curvi quadran,- di, St J, e, f t £, A, t funt quantitates dati cum fignis fuis -f fit— . TABULA CURVARUM SIMPLICIORUM QXLfi QUADRARI POSSUl ’ j Curvarum Forma-: C URVA RUM A REAE m dz'~‘ = y i*'- f m PBbhk ■ wmammmmsmamm - — s* J dz^-Wt+Ji” = y TtfRd * £. exii tente Jl = Yt+ji* i --%P±dv-t J dz” Vt TJz* =y 4 u* Ve +/Z' —y „*sy* * *■ t - c 1 FD|H| ii J 1 i & dR - t ■ f 4 1 1 Digitized by Google CURVARUM. 6 j In Tabulis hifce, feries Curvarum cujufque formx utrinque in infinitum continuari poceft. Scilicet in Tabula prima, in numeratoribus Arearum formx tettix & quartx , numeri coefficientes initialium terminorum (j. — 4, 1 6, — 9 6, 868, 8cc.) generantur multiplicando numeros — 2, — a, — 6, — 8, — io, 8tc. in fe continuo, 8 c fubfequentium terminorum coef- ficientes ex initialibus derivantur multiplicando ipfos gradatim, in Forma quidem tertia, per — a, — a, —-U — f, — 14 , &c. in quarta vero per — | — — 4, — 4 -, — -rr, 8tc. Et Denominatorum coefficientes 3, 1 5, 105, 8tc. prodeunt multiplicando numeros 1, 3, 5, 7, 9, 8tc. in fe continue. In fecunda vero Tabula, feries Curvarum formx primx, lecundx, quim tx, lextx, nonx, & decimx ope fblius divifionis, &c formx reliqux ope Propofitionis tertix 8c quartx, utrinque producuntur in infinitum. Quinetiam hx feries mutando lignum numeri » variari (olent. Sic enim. t. g. Curva 4*7+7? = J, evadit -^-4-vT+T? = 7 . P R O P. XI. THEOR. VIII. Sit ADIC Curva quxvis AbfcifTam habens AB = x, & Ordinatam BD =7, & fit AEKC Curva alia cujus Ordinata BE xqua- lls eft prioris arex ADB ad unitatem applieatx, m & AFLC Curva tertia cujos Ordinata BF xqualis eft lecundx Arex AEB ad unitatem applieatx, / & AGMC Curva quarta cujus Ordinata BG xqualis eft tertix arex AFB ad unitatem appli- I catx, & AHNC Curva quinta cujus Ordinata I BH xqualis eft quartx Arex AGB ad unitatem j m; applieatx, & fic deinceps in infinitum. Et funto / j A, A, C, D, E , 8tc. Arex Curvarum Ordinatas 11/ / L habentium 7, xj, x’7, z% 6cc. et Abfciflam j L communem x. / j J ! Detur Abfciffa quxvis AC = r, fitque BC= /■ / / K " t — X =x, 8t funto P,gjR,S,T Arex Curvarum jfW Ordinatas habentium 7, x’7, *'7, «V 8cc. et IfL e Abfciflam communem x. . Terminentur autem hx Arex omnes ad Ab- fciflam totam datam AC, nec non ad Ordinatam / politione datam 8t infinite produftam CI : /,■: ~ * Et erit Arearum fub initio politarum A. D C Prima ADIC = A = P, Secunda AEKC =t/f — B = Tertia AFLC = 4 i?. Quarta AGMC = =4.5, Quinta AHNC = ^ 7 , COROL. COROL. Digitized by Google <>4 DE Q_U ADRATURA C O R O L. Unde fi Curvat quarum Ordinatat funt y, xjr, z’j, z>jr, &c. vel y, xy, *>», x'y, 8tc. quadrari poffunt, quadrabuntur etiam Curva: ADIC, AEKC, AFLC, AGMC, 8tc. et habebuntur Ordinatat BE, BF, BG, BH, Areis Curvatum proportionales. SCHOLIUM. Quantitatum fluentium Fluxiones efle primas, fecundas, tertias, quartas, alialque diximus fupra. Hat Fluxiones lunt ut termini lerierum infinita- rum convergentium. Ut fi z’ fit quantitas fluens & fluendo evadat deinde refolvatur in feriem convergentem z* + »vz -f — ooz A — c»z * -f &c. terminus primus hujus feriei z* erit quantitas illa fluens, fecundus *oz*-' erit ejus incrementum primum feu difkrentia prima cui nafcenti propor- tionalis efl ejus Fluxio prima, tertius "^pooz" -2 erit ejus incrementum fe- cundum feu differentia fecunda cui nafcenti proportionalis eft ejus Fluxio fecunda, quartus *' erit ejus incrementum tertium feu diffe- rentia tertia cui nafcenti Fluxio tertia proportionalis eft, & fic deinceps in infinitum. Exponi autem poffunt hat Fluxiones per Curvarum Ordinatas BD, BE, BF, BG, BH, 8tc. Ut fi Ordinata BE ( = fit quantitas fluens, erit ejus Fluxio prima ut Ordinata BD. Si BF ( = fit quantitas fluens, erit ejus Fluxio prima ut Ordinata BE, 5 1 Fluxio fecunda ut Ordinata BD. Si BH ( = ^') fit quantitas fluens, erunt ejus Fluxiones prima, fecun- da, tertia & quarta, ut Ordinatat BG, BF, BE, BD refpe&ive. Et hinc in atquationibus qua: quantitates tantum duas incognitas invol- vunt, quarum una eft quantitas uniformiter fluens &c altera eft Fluxio quariibec quantitatis alterius fluentis, inveniri poteft fluens illa altera per quadraturam Curvarum. Exponatur enim Fluxio ejus per Ordinatam BD, St fi hacc fit Fluxio prima, quatratur Area ADB = BExi, fi Fluxio fecunda, quatratur Area AEB = BFxi, fi Fluxio tertia, quatratur Area AFB = BGx i, 8tc. et Area inventa erit exponens fluentis qusfitx. Sed Digitized by Googld CURVARUM.* 6 f Sed & in aequationibus quae fluentem & ejus fluxionem primam fine altera fluente, vel duas ejuldem fluentis fluxiones, primam 8 t fecundam, vel fecundam 8t tertiam, vel tertiam & quartam, fitc. fine alterutra fluente involvunt : inveniri poflunt fluentes per quadra- turam Curvarum. Sit aequatio aav = av + w t exiftente v — BE, v = BD, z = AB, Sc z = 1, fit aequatio illa complendo dimenfiones Fluxio- num , evadet aav — avt -+■ vvz, leu = z. Jam fluat v uniformiter, fit fit ejus Fluxio u= 1, & erit = z, 8t quadrando Curvam cujus Ordinata eft & Ablcifla v, habebitur fluens z. av t w 7 •9 • • * Adhaec fit aequatio aav — av-\- vv, exiftente v=BF, v — BE, v = BD, fit z = AB, 8 £ per relationem inter v 8t v leu BD fit BE invenietur relatio inter AB fit BE, ut in exemplo fuperiore. Deinde per hanc relationem inveni- etur relatio inter AB fit BF quadrando Curvam AEB. iEquationes qua: tres incognitas quantitates involvunt aliquando reduci poflunt ad aequationes qux duas tantum involvunt, 8t in his cafibus fluentes invenientur ex fluxionibus ut fupra. Sit aequatio a — bx m = cxyy + fy'yy > ponatur yy = v, 8t erit a — bx m = cxv + dvv. Flate aequatio quadrando Curvam cujus Ablcifla eft x 8t Ordinata v dat Aream v ; 8c aequatio altera yy = v, regrediendo ad fluentes, dat ^ / 1 1 = v : Unde habetur fluens y. Quinetiam in aequationibus, quae tres incognitas involvunt, 8t ad aequati- ones quae duas tantum involvunt, reduci non poflun t, fluentes quandoque prodeunt per quadraturam Curvarum. Sit aequatio ax m -j- bx , \P = rex r -'y -f stx r yy - 1 — fyy\ exiftente « = 15 Et pars pofterior rex r - l y-\-sex T yy‘- « — /j/, regrediendo ad fluentes, fit «y — quae proinde eft ut Area Curvx cujus Abfcifla eft x & Ordinata ax m -F bxrf, 8t inde datur fluens y. R. Sit Digitized by Google 66 D E Q^U ADRATURA Sit iquatio xxaF+fcf = y?= > Et flucns cu j us flo* 5 ® eft xx>j.x m + bx/erit ut Atea Curvi cujus Abfciffa eft x 8c Ordinata eft Jyy-l ax m + bx ■ f . Item fluens cujus Fluxio eft -7=^ erit ut Area Curva: cujus 1 Vr+/jr dy'~ l Abfeiffa eft v 8t Ordinata -/= , id eft (per Cafum i. Formi quarti v ' +// Tab. I.) ut Area ^ v^e +$■. Pono ergo ) f Ve+f/ aequalem Arei Curva: cujus Abfciffa eft x 8c Ordinata ax* + bx' f, 8t habebitur fluens y. £t nota quod fluens omnis, qui ex Fluxione prima colligitur, augeri poteft vel minui quantitate quavis non fluente. Qui ex Fluxione fecun- da colligitur, augeri poteft vel minui quantitate quavis cuius Fluxio fecunda nulla eft. Qui ex fluxione tertia colligitur, augeri poteli vel minui quanti- tate quavis cujus fluxio tertia nulla eft. Et fic deinceps in infinitum. Poitquam fluentes ex fluxionibus collefli funt, fi de veritate Conclufionis dubitatur, fluxiones fluentium inventarum viciflim colligendi funt, & cum Fluxionibus fub initio propofitis comparandi. Nam fi prodeunt iquales, Conclufio re£te fe habet : fin minus, corrigendi funt fluentes fic, ut earum Fluxiones fluxionibus fub initio propofitis iquentur. Nam Sc fluens pro lubitu affumi poteft, & affumptio corrigi, ponendo fluxionem fluentis affumpti iqualem Fluxioni propofiti, St terminos homologos inter le comparando. Et his principiis via ad majora fternitur. Digitized by Google ENUMERATIO LINEARUM TERTII ORDINIS Digitized by Google Digitized by Google ENUMERATIO LINEARUM TERTII ORDINIS. I. Linearum Ordines, Ineat Geometricat fecundum numerum dimenfionum atquationis qua relatio inter Ordinatas 8c Abfciflas definitur, vel (quod perinde eft) fecundum nume- rum punflorum in quibus a linea refla fecari pof- funt, optime diltinguuntur in Ordines. Qua ra- tione linea primi Ordinis erit Refla fola, ea: fecun- di five quadratici Ordinis erunt fefliones Conica: & Circulus, fi i ea: tertii five cubici Ordinis Parabo- la Cubica, Parabola Neiliatta , Ciflois veterum, 8c reliquat quas hic enumerare fufcepimus. Curva autem primi Generis, (fiquidem refla inter (furvas non eft numeranda) eadem eft cum Linea fecundi Ordinis, 8c Curva fecundi Generis eadem cum Linea Ordinis tertii. Et Linea Ordinis infinitefimi ea eft quam refla in punflis infinitis fecare poteft, qualis eft Spiralis, Cyclois, Quadratrix, & linea omnis qua: per radii vel rotat revolutiones infinitas generatur. S II. Prc. Digitized by Google 70 enumeratio linearum II, Vroprietates Seftionm Conicarum competunt Curvis fupenorum Gener um. Seflionum Coniarum proprietates praecipuae a Geometris paflim tradun- tur. Et confimiles funt proprietates Curvarum fecundi Generis, 8c reliqua- rum, ut ex fequenti proprietatum prxeipuarum enumeratione conflabit. i . De Curvarum fecundi generis Ordinati s. Diametris^ Verticibus , Centris , Axibus. Si reflx plures paralleli & ad Conicam fe&ionem utrinque termi- nati durantur, refla duas earum bilecans bifecabit alias omnes, ideoque dicitur Diameter liguri 8c re£lx bifettx dicuntur Ordinatim applicata ad Diametrum, 8 1 concurfus omnium Diametrorum efl Centrum figura, 8c intetfellio Curvi & diametri Vertex nominatur, 8t diameter illa Axis ell cui Ordinatim applicati ioliftunt ad angulos reflos. Et ad eundem mo- dum in Curvis fecundi Generis, fi re£lz dui quivis paralleli ducantur occurrentes Currat in tribus punftis : refta qua ita fecat has parallelas ut iumma duarum partium ex uno fetantis latere ad Curvam terminatarum atquetur parti tertii ex altero latere ad curvam terminari, eodem modo- jecabie omnes alias his parallelas curvxque in tribus pu nilis occurrentes reflas, hoc efl, ita ut fumma partium duarum ex uno ipfius latere femper aquetur parti tertii ex altero latere. Has itaque tres partes aux hinc inde aquantur, Ordinatim applicatas , 8£ re£lam fecantem cui Ordinatim applicantur Diametrum , 8c interfeilionem diametri & Curvi Verticem, 8c concurfum duarum Diametrorum Centrum nominare licet. Diameter aurem ad Ordinatas nflangula fi modo aliqua fit, etiam Axis dici potefl, 6t ubi. omnes Diametri in eodem puafto concurrunt, iftud erit Centrum generale. 2. De AJymptotis ise earum proprietatibus. Hyperbola primi generis duas AfympMoi , ea lecundi tres, ea tertii qna- tuor &c non plures habere potefl, & fic in reliquis. Et quemadmodum S rtcs linei cujufvis re£li imer Hyperbolam Conicam 8c duas eju» ymptotos funt hinc inde aquales ; fic in Hyper bolis fecundi Genens fi- ducatu») Digitized by Google TERTII ordinis; r* ducatur refla quivis iecans tam Curvam quam tres gus Afymptotos in tribus punftis, fumma duarum panium iftius refla qua a duobus quibuf- vis Alymptotis in eandem plagam ad duo punfla Curva extenduntur, aqualis erit pani tertia quz a tertia Afymptoto in plagam contrariam ad. tertium. Cuna punflum extenditur. 3. De Lateribus reSiis (y tranfverfis. Et quemadmodum in Conicis feflionlbus non Parabolicis quadratum Ordinarim applicatae, hoc eft, reflangulum Ordinatarum qua ad contra- rias partes Diametri ducuntur, eft ad reflangulum partium Diametri qua ad Vertices Ellipfeos vel Hyperbolz terminantur, ut data quadam linea quz dicitur Latus retium, ad partem Diametri quz inter Vertices jacet 8t dicitur Latus tranfverfum : fic in Curvis non Parabolicis fecundi Generis parallelepipedum fub tribus Ordinarim applicaris eft ad parallelepipedum- fub partibus Diametri ad Ordinatas 8t tres Vertices figura abfeiflis, in ra- tione quadam data : in qua ratione fi fumantur tres refla ad tres partes diametri inter vertices figura fitas, fingulz ad lingulas, tunc illa tres refla dici poliunt Latera re3a figura, & illa partes Diametri inter Vertices La- tera tranfverfa. Et ficut in Parabola Conica quz ad unam St eandem diametrum unicum tantum habet Verticem, reflangulum fub Ordinatis aquatur reflangulo fub parte Diametri qua ad Ordinatas St Verticem ablcinditur & refla quadam data quz Latus rcQum dicitur: fic in Curvis lccundi Generis qua non nifi duos habent Vertices ad eandem Diame- trum, parallelepipedum fub Ordinatis tribus aquatur prallelepipedo fub. duabus partibus Diametri ad Ordinatas & Vertices illos duos abfeiflis. gi. refla quadam data quz proinde Lotus retium dici poteft. 4. De Ratione contentorum fub Parallelarum fegmentis . Denique ficut in Conicis feflionibus ubi duz parallela ad Curvami utrinque terminata feeantur a duahus parallelis ad Curvam utrinque terminatis, primi a tertia, 8t fecunda a quarta, reflangulum partium prima eft ad reflangulum partium tertia ut reflangulum panium fecunda ad reflingulum partium quarta : fic ubi quatuor tales rcfhe occurrunt Curva fecundi Generis, fingulz in tribus punflis, parallelepipedum par- tium prima refla erit ad parallelepipedum partium tertia, ut parallelepU- gedum partium fecunda ad parallelepipedum partium quarta. 5 , Der Digitized by Google 72 ENUMERATIO LINEARUM 5. De Cruribus Hyperbolicis & Parabo/icis (*r eorum plagis. Curvarum fecundi & fuperiorum Generum ique atque primi crura •omnia in infinitum progredientia vel Hyptrbolici funt generis vel Pitabolici. Crus Hyperbolicum voco quod ad Alymptoton aliquam in infinitum appropinquat ■, Pjrjbulicjni quod Alymptoto deltituitur. Hic crura ex Tangentibus optime dignofcuntur. Nam ii pu iflumcont-iflus in infinitum abear, Tangens cruris Hyperholici cum Afymptoto coi ncider, & Tangens cruris’ Par th ilici in infinitum receier, evanelcec 8t nullibi reperietur. In- venitur igitur Afymptotos cruris cujufvis quaerendo Tangentem cruris illius ad punflum infinite difttns. Puga autem cruris infiniti invenitur quaerendo pofitionem refla? cujufvis qua: Tangenti parallela elt ubi punilum conuflus in infinitum abit. Nam hacc refla in tandem plagam cum crure infinito dirigitur. III. Redarii 0 Curvarum omnium Generi* Secundi ad ecquationum cajus quatuor. Linei omnes Ordinis primi, tertii, quinti, feptimi 8t imparis cujufque duo habent ad minimum crura in infinitum verius plagas oppofitas pro- gTedientia. Et lineat omnes tertii Ordinis duo habent ejuimodi crura in plag 3 s oppofitas progredientia in quas nulla alia earum crura infinita (priterquam in Parabola Cartcjuna') tendunt. C A S. I Si crura illa fint Hyperbolici generis, fit GAS eorum Afymptotos, 8t huic parallela agatur refla quaevis CBc ad Curvam G utrinque (fi fieri poteft) terminata, eademque bifecetur in punflo X, & locus punfli illius X erit Hyperbola Conica ( puta X* ) cujus una Afymptotos eft AG. Sit ejus altera Afymptotos AB, & iquatio qua relatio inter Ordinatam BC & Abfciftam AB definitur, fi AB dicatur x, Sc BC y, femper induet hanc formam xyy-\-cy~ax* + bxx + cx + d. Ubi termini, e, a, b, c, defignant quantitates datas fignis fuis + Sc — afftflas, quarum quilibet deeflepoflunr modo ex earum defeflu figura in feflionem Conicam non vertatur. Poteft autem Hyperbola illa Conica cum Afymptotis fuis coincidere, id eft punflum X in refla AB locari : 8c tunc terminus + 9 deeft. CAS. y . A X _ v. | B c Digitized by Google TERTII ORDINIS. 71 C A S. II. At fi refla illa CBc non poteft utrinque ad Curvam terminari, fed Curvae in unico tantum punflo occurrit : age quamvis politione datam reflam AB Afymptoto AS occur- ‘ c rentem in A, ut 8t aliam quamvis BC Alymptoto \ illi parallelam Curvatque occurrentem in punflo C, 8c aquatio qua relatio inter Ordinatam BC & Ab- lcifiara AB definitur, femper induet hanc formam, xj — axi 4- bx* 4- cx + d. <,•{ C A S. III. Quod fi crura illa oppofita Parabolici fint generis, refla CBc ad Curvam utrinque, fi fieri poteft, terminata in plagam crurum ducatur & bifecetur in B, 8c locus punfli B erit Linea refla. Sit ifta AB, terminata ad da- tum quodvis punflum A, 8t atquatio qua relatio inter Ordinatam BC Sc Ablciflam AB definitur, lemper induet hanc formam , yj ■=. ax* + ta’4* cx + l ’ • C A S. IV. At vero fi refla illa CBc in unico tantum punflo' occurrat Curvx, ideo- que ad Curvam utrinque terminari non pofiic : fit punflum illud C, & incidat refla illa ad punflum o B in reflam quamvis aliam politione datam & ad datum quodvis punflum A terminatam AB : &c — b_ aquatio qua relatio inter Ordinatam BC & Ab- ftiflam AC definitur, femper induet hanc formam, y = + bx' 4- cx-f d. i r No. Digitized by Google 74 enumeratio linearum Nomina formarum. Enumerando Cuivas horum cafuum, Hyperbolam vocabimus, Jnfcriptam , qui tora jacet in Alymptoton angulo ad inftar Hyperboli conicae ; Circum- [criptam, qua: Afymptotos fecat 8 c partes AbfcilTas in finufuo ample£litur } Jmbigenam , qua: uno crure infinito inferibitur 8 c altero circumlcribitur j Convergentem, cujus crura concavitate fua feinvicem refpiciunt 8c in plagam eandem diriguntur v Divergentem, cujus crura convexitate fua feinvicem refpiciunt & in plagas contrarias diriguntur * Cruribus Contrariis pr&ditam, cujus crura in partes contrarias convexa funt & in pbgas contrarias infi- nita •, Conchuidalem, quae vertice concavo & cruribus divergentibus ad Afymp- toton applicatur i Anguineam, qui flexibus contrariis Afymptoton fecat 8£ utrinque in crura contraria producitur; Cruciformem, qui conjugatam de- cuflat; Nodatam, qn leipfum decuflat in orbem -“deundo ; Cvfpidatam , cujus partes dui in angulo contaftus concurrunt 8c ibi terminantur ; PunUatam, qui conjugatam habet Ovalem infinite parvam id elt punttum; 8t Puram , ? ui per impoflibilitatem duarum radicum Ovali, Nodo, Cufpide & unfto conjugato privatur. Eodem lenfu Parabolam quoque convergen- tem, divergentem, cruribus contrariis praditam, cruciformem , nudatam , elapi- datam, punSatam 8c puram nominabimus. In cafu primo fi terminus affirmativus eft, Figura erit Hyperbola triplex cum fex cruribus Hyperbolicis qui juxta tres Afymptotos quarum nulli funt paralleli, in infinitum progrediuntur, bini juxta unamquam- que in plagas contrarias. Et hi Alymptoti fi terminus bx 1 non deeft, le mutuo lecabunt in tribus punftis triangulum (DdJ 1 ) inter fe continentes, fin terminus bx 1 deeft, convergent omnes ad idem punttum. In priori cafu cape AD = ^ , fit Ad = A/ = ~ , ac junge Dd, DA & erunt Ad, Dd, D^ tres Afymptoti. In pofleriori duc Ordinatam quamvis BC, Ordi- nati principali AG parallelam, & in ea utrinque produfta cape hinc inde BF &l Bf libi mutuo iquales & in ea ratione ad AB quam habet vG ad i, jungeque AF, Af & erunt AG, AF, Af tres Afymptoti. Hanc Hyperbo- >am vocamus Redundantem , quia numero crurum Hyperbolicorum Sefti- ones C< nicas fuperat. In Hyperbola omni Redundante, fi neque terminus ey defit, neque fit iquale aeVa, Curva nullam habebit Diametrum, fin eorum alterutrum accidit Curva habebit unicam Diametrum, & tres fi utrumque. Diameter autem femper tranfit per interfettionem duarum Afymptoton, & bifecat rcftasomr.es qui ad Afymptotos illas utrinque terminantur &: paralleli funt Afymptoto tertii. • Eflque AbfcifTi AB diameter Figuri quoties terminus ey deelt. Diametrum vero abfolute diflam hic & in fequentibus in vulgari fignificatu ufurpo, nempe pro Abfcifla qui paflim h^.bet Ordinatas binas arquales ad idem pun&um hinc inde infiftentes. IV. Emt- Digitized by Google TERTII ORDINIS. 75 IV. Enumeratio Curvarum. i. De Hyperboli* novem redundantibus qua diametro c/efli- tuuntur Isr tres habent Afymptotos triangulum capientes.. Si Hyperbola redundans nullam habet diametrum, quaerantur Aquatio- nis hujus ax* bx* + cx* dx •+■ ±ee = o radices quatuor feu valores ipfiusx. Ea: funto AP, A», Ax, Ap. Erigantur Ordinata: PT, «r, x7, pt, & hac tangent Curvam in punitis totidem T, t,7, t, & tangendo da- bunt limites Lun a; per quos Species ejus innotefeet. Nam fi radices omnes AP, A«, Ap, {Fig. i, 2.) funt reales, ejufdem figni & inaequales. Curva confiat ex tribus Hyperbolis, (inferipra, circum- ieripea 8t ambigena) cum Ovali. Hyperbolarum una jacet verius D, alter* verfus d, tertia verfus /, & Ovalis lemper jacet intra Triangulum Dd/, atque etiam inter medios limites 7 8t t, in quibus utique tangitur ab Ordi- natis »7 8t ‘ot. Et haec cft Species prima. Si e radicibus duae maximne A», Ap, (Fig. 3.) vel dua: minima: AP, A ■»- (Fig. 4.) aequantur inter fe, & ejufdem funt figni cum alteris duobus. Ovalis 8 £ Hyperbola circumfcripta fibi invicem junguntur coeuntibus earum punitis conta&us 7 8c t vel T 8t r, & crura Hyperbola fele de- cuflando in Ovalem continuantur, figuram Nodatam efficientia. Qux Species cft fecunda. ' Si Digitized by Google ENUMERATIO LINEARUM Si e radicibus tres maximae A p. A», Arc in linu Afymptoton jjcent. U Si. Digitized by Google 7 8 ENUMERATIO LINEARUM Si dux cx radicibus fbnt impoflibilcs habebuntur tres Hyperbolx Pier* fine Ovali decufiatione vel cufpide. Et hujus cafus Species lunt quatuor s nempe decima quarta fi Hyperbola Circumicripta jacet verfus D, (Fig. ;o.) 1 ‘9 A 20 A. 21 ly » ^ rx j' 8 c decima quinta fi Hyperbola Inlcripta jacet verfus D, (Fig. 31.) decima /exta fi Hyperbola Circumicripta jacet fub bafi d / trianguli Dd A P_ 52 \ & / T 7 . De Hyperbolis feptem Parabolicis Diametrum non habentibus. Si quando in primo xquationum cafu terminus axi deeft & terminus bx 2 non deeft, Eigura erit Hyperbola Parabolica duo habens crura Hyper- bolica ad unam Afymptoton SAG 8c duo Parabolica in plagam unam 8c eandem convergentia. Si terminus ey non deeft figura nullam habebit diametrum, lin deeft habebit unicam. .In priori cafu Species funtha^ Si tres radices AP, Aar, A * (Fig. 50.) xquationis hujus bx* + cx»-+- dx + ■[■ee = o funt inxquales & ejufdem figni, figura conflabit ex Ovali &c aliis duabus Curvis qux partim Hyperbolicx funt 8t partim Parabolicar. Nempe crura Parabolica continuo du&u junguntur cruribus Hyperbolicis fibi proximis. Et hxc eft Species quadragefma /exta. Si radices dux minores funt xquales, & tertia eft ejufdem figni. Ovalis 8c una Curvarum illarum Hyperbolo-Parabolicarum junguntur & fe de- cuflint in formam Nodi (Fig. jl.) Qux Species eft quadragejima feptima. Si Digitized by Google TERTII ORDINIS. 83 Si tres radices funt aequales, Nodus ille in Cufpidem vertitur {Fig. 52.) Eftque Species quadr age fima udava. Si radices dui majores funt aequales 8C tertia eftejufdem figni, Ovalis in Pundum conjugatum evanuit ( Fig. 53.) Qua: Species eft quadragejima nona. Si duae radices funt impolTihiles, manebunt Pura illae duae cutvac Hyper- bolo-parabolica: fine Ovali, Decuffatione, Cufpide vel Punfto conjugato j p k. '1 Si radices duae funt aequales & tertia eft figni contrarii. Curvae illae Hyperbolo-parabolicar junguntur fefe decurtando in morem crucis {Fig.55.) Eftque Species quinquagefima prima. Si radices duae funt inaequales 8 t ejufdem figni 8c tertia eft figni contra- rii, figura evadet Hyperbola Anguinea circa Afymptoton AG, {Fig. 56} cum Parabola conjugata. Et hacc eft Species quinquagejima fecunda. \ s6 \ 57 JF — \ ■] p J k B Vi T f 7 \^ 8 . De Hyferbolis quatuor Parabolicis Diametrum' habentibus. In altero cafu ubi terminus ey deeft & figura Diametrum habet, fi duae radices aequationis hujus bx 1 -+■ cx + d =0 funt impoffibiles, duae habentur figurae Hyperboloparabolicae a Diametro AB (Fig. 57.) hinc inde aequaliter diltantes. Qua: Species elt quinquagefima tertia. Si aequationis illius radices dua: funt impoflibiles, Figura: Hyperbolo- parabolicae junguntur fefe decurtantes in morem crucis ; 8t Speciem quin - quagefimam quartam conftituunt. Fig. 5 8. Digitized by Google 84 ENUMERATIO LINEARUM Si radices i!!at funt inaequales & ejuldem figni, habetur Hyperbola Conchoidalis cum Parabola ex eodem latere Afymptoti (Fig. 59.) Eftque Species qninquagejima quinta. Si radices illae funt ligni contrarii, habetur Conchoidalis cum Parabola ad alteras partes Afymptoti (Fig. 60.) Quot Species eft qninquagejima /exta. 9. De Quaiuor Hyperbclifmis Hyperbolae. Si quando in primo aequationum cafu terminus uterque ax t 81 bx* deeft, figura erit H\ perbolifmus ltflionis alicujus Conica H\ perbolifmum fi- gur* voco cujus Ordinata prodit applicando contentum fub Ordinata figura: illius 6c refla data ad Abfciflam communem. Hac ratione linea refla vertitur in Hyperbolam Conicam, 8c feflio omnis Conica vertitur in aliquam figurarum quas hic Hyperbolifmos feflionum Conicarum voco. Nam aquatio ad figuns de quibus agimus, nempe xy 1 + ey = cx -f d, dat y = — qua: generatur applicando cpntentum fub Ordi- nata feftionis Conica: ejtVtt+^Jt-vzx 2 m 8c refla data w, ad cunarum Abfciflam communem x Unde liquet quod figura genita Hyperbolifinus erit Hyperbolo:, Ellipfcos vel Parabola:, perinde ut terminus cx affirmati- vus eft veLnegativus vel nullus. 1 [/ 60 61 fH \ \ __ Jj i £ Hyperbolifmus Hyperbola: tres habet Afymptotos, quarum una eft Or- dinata prima & principalis Ad, alterat duae funt parallelae Abfciffa: AB, ab ■eadem hinc inde aequaliter diftant. In Ordinata principali Ad, cape Ad, A/ 1 hinc inde aequales quantitati Vc ; & per punfla d ac r 1 De Parabolis quinque divergentibus. In Tertio cafu aequatio erat y = axi 4 foi C x -f f & Parabolam de^ fignat cujus crura divergunt ab invicem & in contrarias partes infinite pro- grediuntur. Abfcifik AB elt ejus diameter 8 t Species ejus funt quinque fcquentes» Si Digitized by Google TERTII ORDINIS. Si aquationis axi 4. bx l -f cx -f i — o, radices omnes At, AT, At funt reales 8£ inxquales, figura eft Parabola divergens. Campaniformis cum Ovali ad verticem (Fig. 70, 71.) Et Species eft fexagcfima Jcptima. Si radices dux funt aquales, Parabola prodit vel Nodata contingendo Ovalem (Fig. 79,) vel PunSata ob Ovalem infinite parvam (Fig. 74.) Qux dux Species funt fexagcfima o 3 ava & fexagefima nona. Si tres radices funt xquales Parabola erit Cufpidata in vertice (Fig. -j 6 .) Et hxc eft Parabola Neiliana qux vulgo Semicubica dicitur. Et eft Species feptuagefima. Si radices dux funt impoflibiles, habetur Parabola Pura campaniformis (Fig. 74, 75,) Speciem feptuagefimam primam conftituens. In Quarto cafu xquatio erat y — axi 4. £> x j 4- C x 4- d, &: hxc xquatio' Parabolam defignat qux crura habet contraria & Cubica dici fblet (Fig.-j-j.) Et fic Species omnino funt feptuaginta dita. V. Genefis Curvaram per Umbras. Si in planum infinitum a pun£to lucido illuminatum umbrx figurarum 1 projiciantur, umbrx Sectionum Conicarum femper erunt Se£tiones Conicx, ex Curvarum fecundi Generis femper erunt Curvx fecundi Generis, ex Curvarum tertii Generis femper erunt Curvx tertii Generis, 3c fic deinceps in infinitum. Et quemadmodum Circulus umbram projiciendo generat Se&iones omnes Conicas, fic Parabolx quinque divergentes umbris fuis generant &c exhibent alias omnes fecundi Generis Curvas 5 &c fic Curvx quxdam fimpli- ciores aliorum Generum inveniri poflunt qux alias omnes eorundem Ge- nerum Curvas umbris fuis a puncto lucido in planum projectis formabunt. De Digitized by Google 83 ENUMERATIO LINEARUM De Curvarum Pu/iflii duplicibus. Diximus Curvas fecundi Generis a Linea refla in punflis tribus fecari polle. Horum duo nonnunquam coincidunt. Ut cum Reda per Ovalem infinite parvam tranfit vel per concurlum duarum partium Curvae fe mu- tuo fecantium vel in culpidem coeuntium ducitur. Et liquando Reda: omnes in plagam cruris alicujus infiniti tendentes Curvam in unico tantum punflo fecanr, (ut fit in ordinatis Parabola: Cartefiin& 8t Parabolae cubicae, nec non in redis Ahfeifia: Hypsrbolifmorum Hyperboli & Parabolae paral- lelis) concipiendum ell quod. Redae illa: per alia duo Curvat punda ad infinitam dittantiam fna (ut ita dicam) tranfeunt. Hujufmodi inter- fediones duas coincidentes five ad finitam fint diltantiam five ad infinitam, vocabimus PunSum Duplex. Curva: autem qua: habent Pundum Duplex deferibi poliunt per fequentia Theoremata. VI. De Curvaram defer iptione Organica. THEOR. I, Si Anguli duo magnitudine dati PAD, PBD circa polos politione datos A, B rotentur, & eorum crura AP, BP con- curfu fuo P percurrant Lineam redam j cru- ra duo reliqua AD, BD concurfu fuo D de- feribent Sedionem Conicam per polos A, B tranfeuntem : praeterquam ubi Linea illa reda tranfit per polorum alterutrum A vel B, vel anguli BAD, ABD fimul evanefeunt, quibus in cafibus pundum D deferibet Lineam redam. THEOR. II. Si crura prima AP, BP. concurfu fuo P percurrant Sedionem Conicam per polum alterutrum A tranfeuntem, crura duo reliqua AD, BD concur- lil Digitized by Google TERTII. ORDINIS. 8 ? fu fuoD defcribent Curvam fecundi Generis per polum alterum B tranfeun- tem Sc PunCtum duplex habentem in polo primo A, per quem feCtio Conica tranfit : priterquam ubi anguli BAD, ABD fimul evanefcunt, quo cafu punCtum D defcribet aliam feCtionem Co- nicam per polum A tranfeuntem. A / .3 T H E O R. III. At fi feCtio Conica quam punCtum P percurrit tranfeat per neutrum po- lorum A, B, punCtum D defcribet Curvam fecundi vel tertii generis PunCtum duplex habentem. Et Punctum illud duplex in con- curfu crurum defcribentium, AD, BD inve- a .A •' A 8 nietur ubi anguli BAP, ABP fimul cvanef v \ eunt. Curva autem defcripta fecundi erit ^- ipA Generis fi anguli BAD, ABD fimul evanef ■" eunt, alias erit tertii Generis Sc alia duo habebit PunCta duplicia in polis A & B. \ Seftionum Conicarum deferiptio per data quinque punRa. Jam feCtio Conica determinatur ex datis ejus punCtis quinque 8c per eadem fic defcribi potelt. Dentur ejus punCta quinque A, B, C, D, E. Jun- gantur eorum tria quivis A, B, C, 8c trianguli ABC rotentur anguli duo quivis CAB, CBA circa vertices fuos A 8C B, St ubi crurum AC, BC inter- fectio C fucceflive applicatur ad punCta duo reliqua D, E, incidat interfcCtio crurum reliquorum AB St BA in punCta P Sc Q. Agatur Sc infinite producatur reCta PQ., 8c anguli mobiles ita roten- tur ut interfcCtio crurum AB, BA percurrat reCtam PQ., Sc crurum reli- quorum interfeCtio C defcribet propofitam feCtionem Conicam per The - vremjt primum. • Z * Cnr- Digitized by Google 90 ENUMERATIO LINEARUM Curvarum fecundi generis PunSlum duplex habentium defcriptio per data feptem punfta. Curvi omnes fecundi generis Punflum Duplex habentes determinantur ex datis earum punflis leptem quorum unum ell Punflum illud duplex, & per eadem pundla fic deferibi poflunt. Dentur Curvat delcriben- dac punfla quaelibet feprem A, B, C, D, E, F, G, quorum A eft Punflum Duplex. Jungantur nuntium A & alia duo quatvis e punflis puta B &c C 5 & trianguli ABC rotetur tum angulus CAB circa verticem fuum A, tum angulorum reliquorum alteruter ABC circa verticem fuum B. Et ubi crurum AC,.BC concurlus C fuc- ceflive applicatur ad punfla quatuor reliqua D, E, F, G incidat concurfus crurum reliquorum AB & BA in punfla quatuor P, Q., R, S. Per punfla illa quatuor & quintum A deferibatur fedtio Conica, &: anguli pnbti CAB, CBA ita rotentur ut crurum AB, BA concurfus percurrat feQionem illam Conicam, Sc concurfus reliquorum crurum AC, BCde- deferibet Curvam propofiiam per Theorema fecundum. - .B Si vice punfli C datur politione refla BC qui Curvam defcribend3m tangit in B, lineat AD, AP coincident, 6d vice anguli DAP habebitur linea refla circa polum A roranda. Si Punflum duplex A infinite diftat debebit Refla ad plagam punfli illius perpetuo dirigi 8i motu parallelo ferri interea dum angulus ABC circa polum B rotatur. Deferibi etiam poflunt hac Curva: paulo aliter per Theorema tertium, fed deferiptionem fimpliciorem pofuifle fufRcit. Eadem methodo Curvas tertii, quarti & fu periorum Generum deferibere licet, non omnes quidem fed quotquot ratione aliqua commoda per motum localem deferibi poffunt. Nam Curvam aliquam fecundi vel fuperioris generis Punflum duplex non habentem commode delcribere Problema elt inter difficiliora numerandum. VIL C» / / t r Digitized by Google TERTII ORDINIS. 9 i VIL Conjlruftio aquationum per dejcriptionem Curvarum. Curvarum ufus in Geometria eft ut per earum interfefliones Problemata folvantur. Proponatur aquatio conftruenda dimenfionum novem x? jjc 4 - bx 7 -\- cx * + dx'-\- +/** 4 -g * 1 -\-bx-\- k = o. +« Ubi b , c, i, &c. fignificant quantitates quafvis datas fignis fuis -f & — affeftas. Aflumatur aquatio ad Parabolam cubicam x*=y, St aquatio prior, fcribendoy prox 1 , evadet y 1 + bxy* -f cy' + dx'y 4 - exy 4* tny 4 - /x» 4- £x* 4 - bx 4 - it = o, aquatio ad Curvam aliam fecundi Generis. Ubi m vel / dee (Te poreft vel pro lubitu aflumi. Et per harum Curvarum defcriptiones St interle&io- nes dabuntur radices aquationis conftruenda. Parabolam cubicam lemel defcribere fufficit. Si aquatio conftruenda per defeUum duorum terminorum ultimorum bx St k reducatur ad feptem dimenfiones, Curva altera delendo m, habebit PunUum Duplex in principio Ablcifla, St inde facile defcribi poteft ut fupra. Si aquatio conftruenda per defe&um terminorum trium ultimorum gx 1 4 - fcx-f £ reducatur ad fex. dimenfiones, Curva altera delendo /evadet fe£lio Conica. Et fi per defe&um fex ultimorum terminorum aquatio conftruenda re- ducatur ad tres dimenfiones, incidetur in conftruflionem irallifimum per Parabolam cubicam & Lineam reftam. Conftrui etiam poffunt aquationes per Hyperbolifmum Pjrabola cum diametro. Ur fi conftruenda fit hac aquatio dimenfionum novem termi- no penultimo carens, a 4 - ex 1 4- dx' 4" fx+4r/x*4- gx e 4- bx 7 -\- kx t -\-Ix?=o * -f m Aflumatur aquatio ad Hyperbolifmum illum x\y = j, St fcribendoji pro aequatio conftruenda vertetur in hanc ay* 4- cy J 4- dxy 1 4- V+fxy-Y mx’y + g 4- hx 4- £x‘ 4 - /x? = o, qua curvam fecundi Generis defignatcujusdeferiptione Problema lolverur. Et quantitatum m ac g alterutra hic deefie poteft, vel pro lubitu aflumi. Pes Digitized by Google ENUMERATIO LINEARUM yi Per Parabolam cubicam & Curvas tertii Generis conftruuntur etiam arquationes omnes dimenfionum non plufquam duodecim, & per eandem Parabolam & Curvas quarti Generis conllruuntur omnes dimenfionum non plulquam quindecim i Et fic deinceps in infinitum. Et Curvx illa: tertii, quarti & fuperiorum Generum defcribi femper poliunt inveniendo eorum pun&a per Geometriam planam. Ut fi conftruenda fitxquatio x 1 * * -f bx 9 + cx®.+ dx7 + ex f + /x» +£x«-|- /;x’-E ix 1 -Efcx-f J=o, & defcripta habeatur Parabola Cubica fit aequatio ad Parabolam illam Cubicam x’ =y, 3i feribendo y pro x», aequatio conftruenda vertetur in hanc y* + axy' + cx^ 1 -f fx'y + ix* = o, 4 b 4 dx + *x 4 Lr 4 ® "E b -t • l nux eft xquatio ad Curvam tertii Generis cujus deferiptione; Problema iclvetur. Defcribi autem poteft hxc Curva inveniendo ejus punfta per Geometriam planam, propterea quod indeterminata quantitas x non nili ad duas dimenfiones alcendit. \ Digitized by Google Digitized by Google A B Curvarum simpliciorum q ua: cuj Sit jam aGDvel PGD vel GD S Sectio Conica cujus Area ad Qu; Semtaxis conjugatus AP, datum Ablcilsa’ principium Avel a vel 5 vel aBDCive 1 aBDti-r, exiltente i9 differentiarum fic divi- ti a farum Digitized by Google METHODUS DIFFERENTI ALIS 94 farum differenti* dividi poffint per Ordinatarum bina rum intervalla , isr harum differentiarum fic divi farum differenti , 9, r, r, f, &c. fucceflive, fit ad Abfciflarum fic datarum terminos erigantur Ordinata: *, y, r qr 1 r > = r r — 0 y—f i + cxrff- 4 + dxrr rr+ 44 + exr 3 + r's + rr’ 4- r 3 = 6 s — r) jt — • b -V* exi “V f dx ss st -p tt j 1 s 2 t st 1 -f- * p — 0 4 — » c -4 dxp + q + r + ex pp -f pq -f qq pr + qr •+ rr = a q—i) 11 — 9 c -b d*q-\-r-\- 1 «X(/t/+ qr + rr +54 rr + 44 = ;* r — t ) 8 — c c -f Jxr -fr + r' -+• exrr+ rr -f « + rf -f rt -f tf = r p — t) K—p. ^+«X/' + 2+ r + 1 = ?• q—t) p — r I fint barc *» l > OT ’ ”> r » *» &c - «4 cy A 6 -*<■ quorum ultimus figmficet ulti- / 4 b 6 I 1 mam differentiam * penultimus ey c6 A7 ? 7 medium Arithmeticum inter duas d 6 l>7 i \ penultimas differentias j ante* cj A8 — penultimus mediam trium ante- is . j \ R penultimarum differentiarum, ££ A9 fic deinceps ulque ad primum quod erit vel medius terminorum A, A2, A3, 8tc. vel Arithmeticus medi- us inter duos medios. Prius accidit ubi numerus terminorum A, A 2, A?, ficc. eft impar s polterius ubi par. C A S. I. In Ca fu priori, fit AyB; ifte medius terminus, hoc eft, AyB 5 = i, ^ = /,c 4 = w, f^=p,g2=q, hJ r=r,i = ’- Et erefia Ordinatim applicata PQ, dic AyP = * ; Sc duc terminos hujus Progreflionis 1*7*7 * “ X 4 X I* 71 s* 10 h* ‘i '3* in fe continuo ; & orientur termini x t J)-J- x*-T> (49T»~3i & c collige alios terminos intermedios, tota ferie prode unte 1 x — A x>— ^A-flx-f <^8, x> — J'4-2 ^x> -V &c. per cujus terminos multipli ca feries fe, 1, w, w , 0, &c. Et aggregatum produftorum fe + x— / xl + x l — / + 8* + + &c. erit longitudo Ordinatim applicatae PQ;. „ , _ C A & Digitized by Google METHODUS DIFFERENTIALIS: 99 C A S. II. In Cafu pofteriori, fint A4B4, A5B5 duat medi* Ordinatim applicat*, hoc eft, HBtpBl = t, * 4 = /, ‘-ilii = w , d, = «, = 0 , / 2 = p , &c. Et alternorum k, w, 0, 7, 8tc. Coefficientes orientur ex multiplicatione terminorum hujus Progreffionis in fe I Xx— O A4XX— O A $ XX — O A 3 XX — O A6Xx — OA 2 XX— OA7 X x'— t>A X x^ O A 8 &C. Et reliquorum Coefficientes ex multiplicatione horum per terminos hujus Progreuionis »OA4*OAi _ *OA?*OA< * t OA2 t OA7 _ *OMOK9 1 1 — 2 » 2 » - a > &c- Hoc eR,erit k-\- x — * - ,Al i tllA ^ xl+* 1 — OA4+OA5X + OA4 x OAj xm,8cc. Ordinatim applicata PQ., vel P(i= 4 + x x/+ X X + X XW+ * x-f x x 4 - X Xtf&C. — 'OA 4 - OA4 — OA< — OA 4 — OA< SOA3 — ■ ;oas . 1 ;.OA6 Sive dic x — ioaaIOaa 2 = x — 0 a 4 xx- 1 O 3 > wi II • f X X — t OA} t OA6 2 = *, f xx— OA3 Xx — OA6 = r. TXX — *OA 2 *OA 7 2 = y » tXx — OA 2 X x — OA 7 = f X x — t OA ♦ OA8 2 ?xx — OA Xx — OA8 - 4 , ■ ' 2 ^ Et erit i + *7 + rw + -+■ to + v t + H + xr + 4 1 = PQ; P R O P. V. Datis aliquot terminis feriei cujuf cunque ad data inter* valla difpofitis , invenire terminum quemvis intermedia um quamproxime. Ad rettam politione datam erigantur termini dati in dato angulo, inter- pofitis datis intervallis, & per eorum punfta extima, per Propofitiones? pratcedentes, ducatur linea Curva generis Parabolici. Haec enim continget leiminos omnes intermedios per feriem totam, PROPl Digitized by Google TOO METHODUS DIFFERENTI ALI S. PROP. VI. Figuram quamcunque Curvi lineam quadrare quamproxime, cujus Ordinata, aliquot inveniri pojfunt. Per terminos Ordinatarum ducatur linea Curva generis Parabolici ope Propofitionum praecedentium. Hic enim figuram terminabit qui femper quadrari potelt, et cujus Area iquabitur Arei figurx propolin quam- proxime. SCH0L1VM. Utiles funt hx Propofitiones ad Tabulas conftruendas per interpolatio- nem Serierum, ut St ad folutiones Problematum qui a quadraturis Cur- varum dependent, prxfertim fi Ordinatarum intervalla & parva fint & iqualia inter fe, & Reguli computemur, 8 t in ufum referventur pro dato quocunque numero Ordinatarum. Ut fi quatuor fint Ordinati ad iqualia intervalla fitx, fit A fumma primi 8t quarti, B fumma fecundi 8t ter- tii, & R intervallum inter primam 8t quartam, 8t Ordinata nova in me- dio omnium erit 8t Area tota interprimam 8 c quartam erit ^ R. Et nota quod ubi Ordinati ftant ad xquales ab invicem diltantias, fu- mendo fummas Ordinatarum qui ab Ordinata media hinc inde xqualiter diftant, 8t duplum Ordinati medii, componitur Curva nova cujus Area per pauciores Ordinatas determinatur. St xqualis eft Arei Curvi prioris quam Invenire oportuit. Quinetiam fi pro Ordinatis novis fumantur fum- ma Ordinati primi 8t fecundi, et fumma tertii & quarti, et fumma quinti & fexti, St fic deinceps ; vel fi fumantur fumma trium primarum Ordinatarum, 8t fumma trium proximarum, 8t fumma trium qui funt deinceps 5 vel fi fumantur fummi quaternarum Ordinatarum, vel fummx quinarum : Area Curvi novi iqualis erit Arei Curvi primo propofiti. Et fic habitis Curvi quadrandi Ordinatis quotcunque quadratura ejus ad quadraturam Curvi alterius per pauciores Ordinatas reducetur. Digitized by Google METHODUS DIFFER ENTIA LIS. ioi Per data vero pun£ta quotcunque non iolum Curvat linea; generis Para - bolici, fed etiam Curva: alia; innumera; diverforum generum duci poliunt. Sunto CDE, FGH Curva; duatAbfciflam haben- tes communem AB, et Ordinatas in eadem re£ta e , jacentes BD, BG j 8c relatio inter has Ordinatas c y' definiatur per atquationem quamcunque. Dentur — ^ punQa quotcunque per qua; Curva CDE tranfire -p g debet, 8c per arquationem illam dabuntur pun- J • fta totidem nova per qua; Curvi FGH tranfibit. ^ ^ Per Propofitiones fuperiores defcribatur Curva FGH generis Parobolici quz per punfta illa omnia nova tranleat, 8c per arquationem eandem dabitur Curva CDE qua; per pun£ta omnia primo data tranfibit. Digitized by Googie Digitized by Google Digitized by Google