Arithmetica Unroerſaks ; SIVE DE COMPOSITIONE E T RESOLUTIONE ARITHMETICA LIBER. 18 ' *%% # 0 9. "Bj 0 Of Arithmetica Univerſahs ; f SIVE | DE COMPOSITIONE __ RESOLUTIONE -ARITHMETICA. LIBER. Cui acceſſit H AL. L Aguationum Radices Arithmetice in veniendi methodus. In U ſum Juventutis Academice. CANTABRIGICA. TI ACADEMILCIS. LONDINI, Impenſis Benj. Tooke Biblio- pole juxta Medii Templi Portam in vico vulgo vocato Fleerftreer, A. D. MDCCVIIL, _— * © nn AD 'H UM poſt haud paucos Do- forum Virorum in Arte Analytica tradenda labores Li- ber aliquis materia plenus, mole parvus, in regulis neceſſarits bre- vis, in exemplis certo conſilio ele- ctis longus, & primis Tyronum © conatibus accommodatus etiam. num deſiderari videretur; inter- 775 ebẽ,ů:ꝗY&a noſtra Academica juſmodi Tractatus M. J. pub. licas Profeſſoris Mathematici tun: temporis Celeberrimi Prælectiones, triginta fere abhinc annis in S -Falis habitas continens, mihi ſtatim occurreret; Dedi Operam ut Libellus iſte, imperfectus licet, A 3 — AD LECTOREM. & currente calamo pro officit ur- entis ratione compoſitus, nec pra- Þ ullatenus deftinatus, tamen in uſum ſtudioſe jurventutis nunc in publicum prodiret. In quo qui- dem QOueſttones haud pauce e va- rus Scitentits adductæ multiplicem Arithmetic Uſum ſatis often. dunt. Animadvertendum tamen Conſtructiones illas ſive Geometri- cas ſive Mechanicas prope finem adpoſitas inveniendis ſolum dua. bus tribuſue Radicum figuris pri- oribus, uti ſuo loco dicitur, inſer- vire Opus enim Cl. Autor ad umbilicum nunquam perduxit ; Cubicarum AMaquationum Conſtru- ctionem hic loci tradidiſſe conten- tus; dum interea in animo ha- buerit Biquadraticarum aliarum- que ſuperiorum poteſtatum Con- ftrudtionem methodo generali ex- ponen- Sad. hs 2D. K ——— y _ 4 | o 7 Ap LECTOREM. ponendam adjicere, & qua rati- one reliquæ Radicum Figuræ eſſent extrahendæ ſigillatim docere. Cum autem ſummo Viro hiſce minutiis poſt modo vac are minime placuerit, defectum hunc aliunde ſupplere vo- lui; atque eum in finem genera- lem planeque egregiam Cl. Halleit LEquationum Radices extrahendi met hodum ex Adis noſtris Phi- loſaphicis, exorata prius utrobique venta, huc transferendam judi- cavi. Vale Lector, & conatibus uoſtris fave. Dabam Cantabrigiz ITI. Kal. Mai. A. D. mpccyvn. L E- ene s velim Titulum Perpetuum = Dif N —_— — bie a hie — 32 e, Tft fue i. at came a recuſis jam jam fecimus. ER RAT A. Pa“ Lin. 12. Lege inſtitui p. 20. 1 p. 24. Lult. 65. p. 26. 1.3. /as xx. 1-40. multiplicats p. 28. I. 14. p. 31. 1. 27. inftitui p. 34. I. 20. & 23 & 29 27s. p. 35+ Luk. 3x4 Pp. 39. L 17 & 22 4. I. 20. r2bbxx. b. 44- 1. 11. tantum |. ult. mn 27 33 p- 43. . 23, 26. progreſhogis qui ſts © p. 35. L 2%, —— 91 5 P- 88. |. penult. ab 35 & 36. p. 129. |. 20. y. p' 140. 13. 4 A J. penult. HK. 356 av L24 regione termini o pro” 100is primZz. p. ay 2. 1,01: p.48. 1-26. Ut P. 63. 1.8. 23 * P» 6. e | 405. / ens op 7 7˖˙r—T a k . —— —_— — — ARITHMETICA UNIVERSALIS, S IVE De Compoſitione & Reſolu- tione Arithmetica | ns 1 ˙ 9 3 © NOnevrtartto vel fit per numeros ut in yulgari Arithmetica, vel per ſpecies ut Analyſtis mos eſt. Utraque iiſdem inni- titur ſundamentis, & ad eandem metam collimat: Arithmetica quidem definite & particu- lariter, Algebraica autem indefinite & uni verſali- ter; ita & enuntiata ferè omnia quæ in hic com- putatione habentur, & præſertim concluſiones, Theoremata dici poſſint. Verum Algebra maximè præcellit quòd cùm in Arithmetica Quæſtiones tan- tum reſol vantur progrediendo à datis ad quæſitas quantitates, hæc I quæſitis tanquam datis ad datas tanquam quæſitas quantitates plerumque regreditur; ut ad concluſionem aliquam, ſeu «/£quationem, quo- cunque demum modo perveniatur , ex qui quanti- tatem quæſitam elicere liceat. Eoque pacto confi. ciuntur difficillima Problemata quorum reſolutio- nes ex Arithmetica ſola fruſtra peterentur. Arith- metica tamen Algebræ in omnibus ejus operationi- bus ita ſubſervit, ut non niſi unicam perfectam computandi Scientiam conſtituere videantur; & u- tramque propterea conjunctim explicabo. Quiſquis hanc Scientiam aggreditar, imprimis vocum & notarum ſigni ficationes intelligat, & fun- damentales addiſcat operationes, Additionem * , 7 A Sub —_— -—— 6 . * nnr. — . . ( . „ | 7 ö 2 NOTATIO. Subductionem, Multiplicationem, Diviſionem , Extractionem Radicum, Reductiones fractionum & radicalium quantitatum, & modos ordinandi ter- minos Æquationum, ac incognitas quantitates (u- bi plurcs ſunt) exterminandi. Deinde has operatio- nes, reducendo Problemata ad æquationes, exer- ceat; & ultimò naturam & reſolutionem æquatio- num contempletur. De Vocum quarundam & notarum 1 P* R Numerum non tam multitudinem unita- tum quam abſtractam quantitatis cujuſvis ad aliam ejuſdem generis quantitatem quz pro unitate haberur rationem intelligimus. Eſtque triplex ; integer, fractus & ſurdus: Integer quem unitas metitur, fractus quem unitatis pars ſubmultiplex metitur, & ſurdus cui unitas eſt incommenſurabilis. Integrorum numerorum notas (o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, & notarum, ubi plures inter ſe nectun- tur, valores nemo non intelligit. Quemadmodum verò numeri in primo loco ante unitatem, ſive ad ſiniſtram, ſcripti denotant denas unitates, in ſecundo centenas, in tertio millenas, &c. {ic numeri in primo loco poſt unitatem ſcripti denotant decimas partes unitatis, in ſecundo centeſimas, in tertio milleſi- mas, &c. Hos autem dicimus Fractos Decimales quòd in ratione decimali perpetuò decreſcant. Et ad diſtinguendum integros à decimalibus interjici ſolet comma, vel punctum, vel etiam lineola. Sic nu- merus 732569. denotat ſeptingentas triginta duas unitates, una cum quinque decimis, ſex centeſimis, & novem mille ſimis partibus unitatis. Qui & ſic 732, 56g, vel fic 732 569. vel etiam fic 732 L569. nonnunquam ſcribitur. Atque ita numerus 57104 NOTAT IO. 3 57104 2083. denotat quinquaginta ſeptem mille, centum & quatuor unitates; una cum duabus deci- mis, octo milleſimis, & tribus decimis milleſimis partibus unitatis. Et numerus oo denotat ſex cente ſimas & quatuor mille mas partes. Surlorum & aliorum fractorum notx in ſequentibus habentur. Cum rei alicujus quantitas ignota eſt vel indeter- minate ſpectatur, ita ut per numeros non lic eat ex- primere, ſolemus per ſpeciem aliquam ſeu iteram de ſignare. Et 2 cognitas quantitates tan- 2 indeterminatas ſpectemus, diſcriminis cauſa de- ignamus initialibus Alphabetæ literis a, b, c, d. & incognitas finalibus ⁊, y, x, c. Aliqui pro cogni- tis ſubſtituunt conſonantes vel majuſculas literas, & vocales vel minuſculas pro incoguitis. Quantitates vel athrmativz ſunt ſeu majores ni- hilo, vel negativæ ſeu nihilo minores. Sic in re- bus humanis poſſeſſiones dici poſſunt bona affirma- tiva, debita vero bona negati va. Inque motu lo- cali progreſſus dici poteſt motus affirmativus, & regreſſus motus negativus, quia prior auget & po- ſterior diminuit iter confectum. Et ad eundem modum in Geometria, ſi linea verſus plagam quam- vis ducta pro affirmati va habeatur, negativa erit quæ verſus plagam oppoſitam ducitur. Veluti fi AB dex- trorſum ducatur, & | BC ſiniſtrorſum; ac HER TIRED: AB ſtatuatur athr- mati va tunc BC pro negativa habebitur, ed quod in- ter ducendum diminuit AB; redigitque vel ad bre- viorem AC, vel ad nullam fi forte C inciderit in ipſum A, vel ad minorem nulla ſi BC longior fue- rit quam AB de qua aufertur. Negative quanti- _ tatidefignandznota—, Affirmativæ nota + prefigi ſolet. Ad hoc ꝓ ſignum incertum eſt, & + ſignum etiam incertum ſed priori contrari um. " MY In _ — ITE Lt - * # - + 4 NOTATIO. In aggregato quantitatum nota ſignificat quan- titatem ſuthxam eſſe cæteris addendam, & nota — eſſe ſubducendam. Et has notas vocabulis plus & minus exprimere ſolemus. Sic 2 ＋3, five 2 plus 3, valet ſummam numerorum 2 & 3, hoc eſt 5, Et 5 —3, five 5 minus 3, valet differentiam quæ ori- tur ſubducendo 3 à 5, hoc eſt 2. Et - 5 z valet differentiam quæ oritur ſnbducendo 5 a 3, hoc eſt — 2. Et6—1-+3 valet 8. Item a +6 valet ſummam quantitatum a & U: Eta—bvalet diffe- rentiam, quæ oritur ſubducendo baba. Et a—b-+c valet ſummam iſtius differentiæ & quantitatis c. Puta ſi a fit 5, bz, & c 8; tum a +6 valebit / &Ca—bz%a—b+c1:. Item2 a +34 valet 54. Et 30 - 24 —b+3avaletzb +a; nam 3 = bviiet2b& 14 +3 & valet a, quorum ag- gregatum eſt 16 +a. Et ſic in aliis. Hæ autem no- tz + & — dicuntur Sigua. Et ubi neutrum initial quantitati præfigitur, ſignum + ſubintelligi debet. Multiplicatio propriè dicitur quæ fit per nu- mer''s integros, utpote quærendo novam quanti- tatem toties quoties majorem quantitate multipli- canda quot numerus multiplicans ſit major unitate. Sed aptioris vocabuli deſectu Multiplicatio etiam dici ſolet quæ fit per fractos aut ſurdos numeros; quzrendo novam quantitatem in ea quacunque ra- tione ad quantitatem multiplicandam quam habet multiplicator ad unitatem. Neque tantùm fit per ahſtractos numeros ſed etiam per concretas quanti- tates, ut per lineas, ſuperficies , motum localem, 2cndera &c. quatenus hæ ad aliquam fui generis adam quantitatem tanquam unitatem relatz, ratio- ume rorum exprimere poſſunt, & vices fi Aucmadmadum ſi quantitas A multiplican- per meam duodecim pedum , poſito quod ipedalis fit unitas, producentur per _ multi- 4 | | . NOTAT IO. 5 multiplicationem 6 A, ſive ſexies A, perinde ac ſi A multiplicaretur per abſtractum numerum 6, ſi- uidem 6 A fit in ea ratione ad A quam habet linea uodecim pedum ad unitatem bipedalem. Arque ita ſi duas quaſvis lineas | AC & AD per ſe multi- plicare oportet, capia- tur AB unitas, & agatur BC eique parallela DE, & AE productum crit hujus multiplicationis, : eo quod ſit ad AD ut AC ad unitatem AB. Quin- etiam mos obtinuit ut geneſis ſeu deſcriprio ſuper- ficiei per lineam ſuper alia linea ad rectos ann! moventem dicatur multiplicatio iſtarum linearum. Nam quamvis linea utcunque multiplicata non poſ- ſit evadere ſuperficies, adeoque hæc ſuperficiei è li- nets generatio long? alia fit à multiplicatione, in hoc tamen conveniunt, quod numerus unitatum in alter- utra linea, multiplicarus per numerum unitatum in altera, producat abſtractum numerum unitatum in ſuperficie lineis iſtis comprehenſa, fi modo Unitas ſuperficialis definiatur, ut ſolet, Quadratum cujus latera ſunt unitates li- A B neares. Quemadmodum 55 1 ſi recta AB conſtet qua- | tuor unitatibus & AC 1 | tribus, tum re ctangulum | | AD conſtabit quarter tri- E; bus ſeu duodecim unita= tibus quadratis ut inſpi- | ; cienti Schema patebit. E ſtque ſimilis analogia ſo- lidi & ejus quod continua trium quantitatum mul- tiplicatione producitur. Et hinc viciſim evenit quod vocabula ducere, contentum , rectangulum, quadratum, cubus, dimenſio, latus, & Ima mw A 3 2 2 — — ws, 0 * * . * 1 4 * , 4 ö ad Geometriam ſpectant, Arithmeticis tribuantur operationibus. Nam per quadratum, vel rectan- = vel quantitatem duarum dimenſionum non quantitatem alterius cujuſcunqu* generts quæ mul- tiplicatione aliarum duarum quantitatum produci- tur, & {xpiſhme ineam quæ producitur multipli- catione aliarum cuarum linea um. Atque ita di- cimus Cubum vel Parallelepipedum, vel quantita- tem trium dimenſionum pro eo quod bims multi- plicationibus producitur, latus pro radice, aucere pro multiplicare; & fic in aliis. Numerus ſpeciei alicui immediatè præfixus de- notat ſpeciem illam tories ſumendam eſſe, Sic 24 denotat duo a, 30 tria ö, 15 x quitdecim x. Duz vel plures ſpecies immediatè connexæ de- ſignant factum, ſeu quantitatem quæ fit per multi- plicationem omnium in ſe invicem. Sic ab denotat quantitatem quz fit multi icando @ per b. Et abæ denotat quantitatem quæ iz: :aultiplicando 4 per 6, & factum illud per x. Puta ſi a ſit 2, & b lit 3 & x fit 5, tum ab erit 6 & abx 30. | Inter quant:tat's ſeſe multiplicantes, nota X, vel vocabulum iz, ad factum deſignanium non- nunquam interſcribitur. Sic 3 x 5 vel 3 in 5 de- notat 15. Sed uſus harum notarum præcipuus eſt, ubi compofitæ quantitates ſeſe multiplicant Veluti fi 3 — 2 multiplicet) + 6, terminos utriuſque multi- plicatoris lineola ſunerimpoſità connectimus & ſcri- bimus y - 2 iny +6, vel) - 2bXy +6. Diviſio propriè eſt quæ fit per numeros integros quærendo novam quantitatem toties minorem quan- titate dividenda quoties unitas ſit minor Diviſo- re. Sed ob analogiam vox etiam uſurpari ſolet cum nova quantitgg in ratione quacunque ad quantitatem dividendam quzritur quam habet unitas ad diviſo- | | | rem: empcr intelligimus ſuf erficiem, fed ut plurimùum 5 4 : ene nn. .. „ » quæ oritur ex diviſione NOT AT To. , rem: five diviſor ille fit fractus aut ſurdus nume- rus aut alia cujuſvis generis quantitas. Sic ad di- videndum lineam AE per lineam AC, exiſtente 2 AB unitate: agenda eſt ED parallela CB, & erit AD Quotiens. Imo & Diviſio propter ſimili- tudinem quandam dici- | tur cum rectangulum ad datam lineam tanquam Ba- ſem applicatur ut inde noſcatur altitudo. Quantitas infra quantitatem cum lineola inter- jecta denotat quotum, ſeu quantitatem quæ oritur ex diviſione ſuperioris quantitatis per inferiorem. Sic ⁊᷑ denotat quantitatem quæ oritur dividendo 6 per 2, hoc eſt 3. & 3; quantitatem quæ oritur divi- dendo 5 per 8, hoc eſt octavam partem numeri 5, & denotat quantitatem quæ oritur dividendo 4 per h. puta fi a fit 15 & b 3, tum denotat 5. Ec e A videndo ab — bb per a + x. Atque ita in aliis. Hu- juſmodi autem quantitates fractiones dicuntur, parſ- que ſuperior Numerator, ac inferior Denominator. Aliquando Diviſor quantitati diviſæ, interjecto arcu, pizfigitur. Sic ad deſignandum quantitatem denotat quantitatem quæ oritur di- x "ITT per 4 —b, ſcribi po- teſt 4 ) 7 4 ; Etſi multiplicatio per immediatam quantitatun conjunctionem denotari ſolet, tamen numerus inte- ger ante numerum fractum denotat ſummam utriuſ- que. Sic 33 denotat tria cum ſemiſſe. | A 4 | ITY 8 NOTATIO. Si quantitas ſeipſam multiplicet, numerus facto- rum, compendii gratia, ſufhgi ſolet. Sic pro 444 ſcribimus a? , pro aaaa ſcribimus a*, pro aaaas ſcribimus a, & pro aaabb ſcribimus a* bb vel a. Puta fi a fit 5 & b fitz, tuma*erit 5X5 X 5 ſive 125, & 4 erit z X 5X 5X5 hive 625, atque a*b*erit5X5X5X2 X2 ſive 500. Ubi nota quod numerus inter duas ſpecies immediatè ſcrip- tus, ad priorem ſemper Jun. Sic 3 in quanti- tate 4*bb non denotat bb ter capiendum eſſe ſed 4 in ſe bis ducendum. Nora etiam quod hæ quanti- rates tot dimenſionum vel poteſtatum vel dignita- tum eſſe dicuntur quot factoribus ſeu quantitati- bus ſe multiplicantibus conſtant, & numerus ſuf- fixus vocatur index um vel dimenſionum. Sic aa eſt duarum * τeonum vel poteſtatum, & 45 trium, ut t ſuffixus numerus 3. Dicitur etiam 44 quadratum, 4* cubus, a* quadratu-qua- dratum, a* quadrato-cubus, 40 cubo-cubus, 4” quadrato-quadrato-cubus, & fic porro. Ft quan- titas 4 ex cujus in ſe mu'tiplicatione hx pateſtates generantur dicitur earum radix, nempe radix qua- dratica quadrati aa, cubica cubi a*, &c. Cum autem radix per ſeipſam multiplicata pro- ducat quadratum, & quadratum illud iterum per ra- dicem multiplicatum producat cubum &c. erit (ex definitione Multiplicationis) ut unitas ad radicem, ita radix ad quadratum, & quadratum ad cubum &c. Adeoque quantitatis cujuſcunque radix qua- dratica erit medium proportionale inter unitatem & quantitatem illam, & radix cubica primum è duo- bus medie proportionalibus, & radix quadrato- qua- dratica primum è tribus, & fic præterea. Duplici igitur affectione radices innoteſcunt, tum quod ſeipſas multiplicando producant ſuperiores poteſta- tes, tum quod ſint & mediis proportioralibus inter 1 4 11 . . * NOTATTIO. F iſtas poteſtates & unitatem. Sic numeri 64 radi. cem quadraticam eſſe 8 & cubicam 4, vel ex eo pa- tet quod 8 8 & 4 X 4 X 4 valeant 64, vel quod ſitr ad 8 ut 8 ad 64, & 1 ad 4 ut 4 ad 16 & 16 ad 64. Et hinc fi lineæ alicujus AB radix quadratica extrahenda eſt, produc eam ad Cut fit BC unitas, dein ſuper AC deſcribe ſemicir- culum, & ad B erige perpen- diculum huic circulo oc- B C curens in D, eritque BD radix, quia media propor- tionalis eſt inter AB & unitatem BC. Ad de ſignandam radicem alicujus quantitatispre- figi ſolet nota / ſi radix fit quadratica, & / 3: ſi fir cubica, & / 4: ſi quadrato-quadratica &c. Sic 4 denotat 8 & / 3: 64 denotat 4; & / aa denotat a; & y ax denotat radicem quadraticam exax; & V;: 4axx radicem cubicam ex 4 4xx. Ut ſi a ſit 3, & x12; tum ax erit / 36, ſeu 6; & /ũ;: 4 axx crity/3: 1728, ſeu 12. Et hz radices ubi non licet extrahere dicuntur ſurdæ quan- titates, ut / ax; vel ſurdi numeri, ut / 12. Nonnulli pro de ſignanda quadratica poteſtate u- ſurpant , pro cubica c, pro quadrato-quadratica 3. pro quadrato- cubica gc, &c. Et ad hunc modum pro quadrato, cubo, & quadrato- quadrato ipſius A, ſcribitur Ag, Ac, Aqq, &c. Et pro radice cubica ex abb— x* ſcribitur Vc: abb — x*. Alii alias notas adhibent, ſed quz jam fere exoleverunt. Nota S deſignat quantitates hinc inde zquales eſſe. Sic x —= b defignat x æqualem eſſe 6, Nota : : ſignificat quantitates hinc inde propor- tionales eſſe. 'Sica.b:: c. d, ſignificat eſſe à ad b ut c ad d. Et 4. b. e:: c. d. f eſſe a, b & e inter ſe ut ſunt c, d & f inter ſe reſpectivè, vel eſſe à ad c, bad d & eadf in eadem ratione. | Deni- - ng 0 9 r 6 8 — — 1 — 8 NOTATIO. Si quantitas ſeipſam n numerus facto- rum, compendii gratia, ſuffigi ſolet. Sic pro aaa ſcribimus a* , pro aaaa ſcribimus 4, pro aa ſcribimus a, & pro aaabb ſcribimus a* bb vel. Puta fi a fit 5 & b ſit 2, tum a erit 5X5 X 5 ſive 125, & a*erit5X 5X 5X5 hve 625, atque a*h*eritzX5X5X2 X2 hve 500. Ubi nota quod numerus inter duas ſpecies immediate ſcrip- tus, ad priorem ſemper Jones: Sic 3 in quanti- tate 4*bb non denotat bb ter capiendum eſſe ſed 4 in ſe bis ducendum. Nota etiam quod he quanti- tates tot dimenſionum vel poteſtatum vel dignita- tum eſſe dicuntur quot factoribus ſeu quantitati- bus ſe multiplicantibus conſtant, & numerus ſuf- fixus vocatur index ttm vel dimenfionum. Sic aa eft duarum num vel poteſtatum, & 4* trium, ut Ast ſuffixus numerus 3, Dicitur etiam 44 quadratum, 4* cubus, 4 quadratu-qua- dratum, 4 quadrato-cubus, a* cubo-cubus, 4” quadrato-quadrato-cubus, & fic porro. Ft quan- titas 4 ex cujus in ſe mu'tiplicatione hx poteſtates generantur dicitur earum radix, nempe radix qua- dratica quadrati aa, cubica cubi a*, &c. | Cum autem radix per ſeipſam multiplicata pro- ducat quadratum, & quadratum illud iterum per ra- dicem multiplicatum producat cubum &c. crit (ex definitione Multiplicationis) ut unitas ad radicem, ita radix ad quadratum, & quadratum ad cubum &c. Adeoque quantitatis cujuſcunque radix qua- dratica erit medium proportionale inter unitatem & quantitatem illam, & radix cubica primum è duo- bus medie proportionalibus, & radix quadrato- qua- dratica primum è tribus, & fic præterea. Duplici igitur affectione radices innoteſcunt, tum quod ſeipfas multiplicando producant ſuperiores poteſta- tes, tum quod ſint & mediis proportioralibus inter 1 A (tas —— 4. frod 3 * NOTATIO. , iſtas poteſtates & unitatem. Sic numeri 64 radi. cem quadraticam eſſe 8 & cubicam 4, vel ex eo pa- tet quod 8 8 & 4 X 4 4 valeant 64, vel quod ſit ad 8 ut 8 ad 64, & 1 ad 4 ut 4 ad 16 & 16 ad 64. Et hinc ſi lineæ alicujus AB radix quadratica extrahenda eſt, produc eam ad Cut fit BC unitas, dein ſuper AC deſcribe ſemicir- culum, & ad B erige perpen- diculum huic circulo oc- B C curens in D, eritque BD radix, quia media propor- tionalis eſt inter AB & unitatem BC. Ad de ſignandam radicem alicujus quantitatis præ- figi ſolet nota / {i radix fit quadratica, & / 3: ſi fir cubica, & / 4: ſi quadrato-quadratica &c. Sic v 64 denotat 8 & / ;: 64 denotat 4; & / aa denotat a; & y ax denotat radicem quadraticam exax; & V;: 4axx radicem cubicam ex 4 4xx. Ut ſi a ſit 3, & x12; tum V ax erit /ͥ 36, ſeu 6; & V;: 4 axx erit / 3: 1728, ſeu 12. Et he radices ubi non licet extrahere dicuntur ſurdæ quan- titates, ut / ax; vel ſurdi numeri, ut / 12. Nonnulli pro deſignanda quadratica poteſtate u- ſurpant , pro cubica c, pro quadrato-quadratica 44. pro quadrato-cubica c, &c. Et ad hunc modum pro quadrato, cubo, & quadrato- quadrato ipſius A, ſcribitur Ag, Ac, Aqq, &c. Et pro radice cubica ex abb— x* ſcribitur Vc: abb — x*. Alii alias notas adhibent, ſed quz jam fere exoleverunt. Nota S deſignat quantitates hinc inde æquales eſſe. Sic x = b deſignat x æqualem eſſe 6. Nota: : ſignificat quantitates hinc inde propor- tionales eſſe. Sic 4. ö: : c. d, ſignificat eſſe a ad b ut c ad d. Et 4. b. e:: c. d. f eſſe a, l & e inter ſe ut ſunt c, d & f inter ſe reſpectivè, vel eſſe à ad c, bad d & e ad f in eadem ratione. | Deni- 10 NOTAT IO. Denique notarum quæ ex his componuntur in- terpretatio on Analogiam facile innoteſcit. Sic enim 4 43 bþ denotat tres quartas partes ipſius 43 bb, &z——ter „ & 7 / ax ſepties / ax. Item — x denotat id quod fit multiplicando per -*-, & 705: Z3 1d quod fit multiplicando Z 3 per => hoc eſt per Quotum exortum diviſi- one gee per 44 De; & 25 ax id quod fit multiplicando / ax per : > & 22 quotum 9c | exortum diviſione 7 4/ ax per c; & —- 24 + y cx quotum exortum diviſione 8 a4 cx per ſummam 1 quantitatum 24+ cx, Et fic 3 a + * notat quotum exortum diviſione differentiz * per ſummam 4 2 i axx — x per ſumm x — 3 P + 5 4 + x an af x id quod fit multiplicando radicem illam per ſum- mam 2 4 +3c. Sic etiam / aa + bb denotat ra- dicem ſummæ quantitatum 4 aa & bb, & / Za + + aa + bb radicem ſummæ quantitatum 14 & N $44 +bh, & ——— 34+ /4aa-+ ndi- 3 radicem ejus Quoti, & 24 +3c y/ 3 — cem illam multiplicatam per NG... EM Et fic in : ag — X aliis. Cztcrum f |; s —_— T_T — ere OR —— 429 1710. 11 Cæterùm nota quod in hujuſmodi lexis quantitatibus non opus eſt ad ſignificationem fingu- larum literarum ſemper attendere; ſed ſufficit in ge- nere tantum intelligere, e. g. quod JT + aa +bb ſignificat radicem aggregati 44 + / 4 a4 +bb; quodcunque tandem prodeat illud ag- gregatum cum numer vel linez pro literis ſuſtitu- wg Yais+v 4344 +bb a—s a ſignificat quotum exortum diviſione quantitatis untur. Atque ita qu + 3 a +v 4 aa 0 per quantitatem 4 — ab, pe- rinde : ſi „ ſimplices eſſent & __ nitz, etſi quænam ſint imprzſentiarum prorſus igno- retur, & ad ſingularum partium conſtitutionem aut ſignificationem neuti quam attendatur. Id quod monendum eſſe duxi ne complexione terminorum Tyrones quaſi conterriti in limine hæreant. DE ADDITIONE. Umerorum, ubi non ſunt admodum compo- ſiti, Additio per ſe manifeſta eſt. Sic quod 7 & ꝗ ſeu 7 +9 factunt 16, & quod 11 + 15 fa- ciunt 26 prima fronte patet. At in magis compo- ſitis opus peragitur ſcribendo numeros ſerie deſcen- dente & ſummas columnarum figillatim colligendo. Quemadmodum fi numeri 13 57 & 172 addendi ſunt, ſcribe alterutrum 172 inſra alterum 1357 ita ut hujus unitates 2 alterius unita- 13 57 tibus 7 ſubjictantur , cæterique numeri nu- 172 meris correſpondentibus , nempe deni 7 de- 1529 nis 5, & centenus 1 centenis 3. Tum in- cipiendo ad dextram, dic 2 & 7 ſaciunt 9 quem ſcribe infra, Item 7 & 5 faciunt 12, cujus poſte- riorem 12 4 D110. riorem numerum 2 ſcribe infra, priorem vero x aſſerva proximis numeris 1 & 3 adjiciendum, Dic itaque præterea 1 & 1 faciunt 2, cui 3 adjectus fa- cit 5, & ſcribe 5 infra, & manebit tantim 1 prima _ ſuperioris numeri, quæ etiam infra ſcribenda eſt, & ſic habebitur ſumma 1529. Sic numeros 87899 ＋ 13403 + 885 -+ 1920, uo in unam ſummam redigantur, ſcribe in ſerie eſcendente ita ut unitates unam colu- mnam, deni numeri aliam, centeni ter- 87899 tiam, milleni quartam conſtituant, & ſic 13403 præterea. Deinde die 5 ＋3 valent 8, 1920 & 8 + 9 valent 17, ſcribeque 7 infra, & 885 x adjice proximis numeris dicendo 1 +8 114107 valent 9, 9 +2 valent 11, ac 11 +9 valent 20: Subſcriptoque o, die iterum ut ante 2 +8 valent 10, 10 +9 valent 19, 19 +4 valent 23, &23 ＋8 valent 31, adeoque aſſervato 3 ſub- ſcribe 1 ut ante, & iĩterum dic 3 + 1 valent 4, 4 +3 valent 7, & 7 +7 valent 14. Quare ſubſcribe 4, de- nuoque dic 1 + 2 valent 3, & 3 +8 valent 11, quem ultimò ſubſcribe, & omnium ſummam habe- bis 114197, Ad cundem modum numeri deci- 630.95 3 510807 males adduntur ut in annexo paradig- 5 4˙2 mate videre eſt. ** _ 9873037 In terminis Algebraicis Additio fit connectendo quantitates addendas cum ſignis propriis, & inſu- per uniendo quæ poſſunt uniri. Sic 4 & bfaciunt a+b; a& faciunt a — ; —- 4 & - faciunt —4—b; 7a&ga faciunt 74494; 4 / ac & ac faciunt —=a/ac+by ac velby/ ac 4 ac , nam perinde eſt quo ordine ſcribantur. Quantitates affirmativæ quæ ex parte ſpecierum conve- ADDITIO. 13 conveniunt, uniuntur addendo numeros præ fixos quibus ſpecies multiplicantur. Sic 7 4 + gafaciunt 164. Et Ac +15 bc faciunt 26bc. Item — +5 = faciunt 8 , & 2 v ac + 7w ac faciunt 9v ac, & 64/ ab —xx+7y ab — xx faciunt 13 ab — xx. Et ad eundem modum 6/3 +74 3 faciunt 13 4/3. Quinetiam ay/ ac + by ac faciunt a+b\y ac, additis nempe 4 & b tanquam ſi eſſent numeri multiplicantes v ac. Er ſic 24 +3c 1 . 1 ＋ 32 2 7 faciunt 34 +3c * eo quod 24 ＋43 c& 3 4faciant 54 41 Fractiones afhrmativz quarũ idem eſt denominator, uni untur addendo numeratores. Sic j ++ faciunt 3, & 24X 3Z4X- . Jar, S | 17a4/cx b + b ag b _ za ＋N Cx 24+4y/cx . 2544/CX, 44 bx "44 4-#x- faciunt KG Tom faciunt 2 Negativæ quantitates eodem modo adduntur ac affirmative. Sic — 2 & — 3 faciunt — 5; — * b & F faciunt — 755 -A ax& - ax faciunt - / ax. Ubi verò negativa quanti- tas affirmative adjicienda eſt, oportet affirmati vam negativã diminuere. Sic 3 & — 2 faciunt 1; 11 A* >: ax & IE faciunt =; 2 &ͤ by A 1 b b faciunt -a ac. Et nora quod ubi negativa quan- titas excedit affirmativam, aggregatum erit nega- | tiyvum 14 ADDIT1O. tivum. Sic 2 & — 3 faciunt — I; — ITax & b hog faciunt 7, ac 2 % 4c & 7 ac faciunt —5 * AC. In additione aut plurium aut magis compoſita- rum quantitatum , convenit obſervare formam ope- rationis ſupra in additione numerorum expoſitam. 4 Quemadmodum ſi 17ax—144+3, & 44a +2 1 84 & 72 - ax addendz ſunt, diſpono eas in 0 ſerie deſcendente ita ſcilicet ut termini maxime af- fines ſtent in iiſdem columnis. Nempe numeri 3 & 2 in una columna, ſpecies — 14 4 & 44 & 74 in alia columna, atque ſpe- cies i 7 ax & — $ax & ax I74x—144 +3 in tertia. Dein terminos cu- — 8ax+ 4442 juſque columnæ figillatim — 9g ax + 74 addo dicendo 2 & 3 faciunt 5 * — 3435 quod ſubſcribo, dein 7 4 & 44 faciunt 11 4 & inſuper — 14 à facit — 3 a quod iterum ſubſcribo, denique — 9g ax & — $ ax faciunt — 17 ax & inſuper 17 ax facit o. Adeo- que prodit ſumma — 34 -+ 5. Eadem methodo res in ſequentibus exemplis ab- ſolvitur. : ha t2x+ 74 116 277% c _* ; 1 x =T 94 I5bc +24 ac eee * 19x +164 26 K 5 ac 2 | — 6xx +3; x | | 5 x? IT ap45<"=2; A - — £ — 2 4jj — 4 aay +a? i 1 GX & +3 x 7 2-242 | 4 * ls ww ] whe wi = — — 2 7. SUBDUCTIO. 15 14% +2 ax? | —zx* —24ax* +844" aa +xx —2x* þ+5bx* —204* /aa—xx —4br* —744* /aa+xx * bx* þa* Yaa+xx—204* /ae—xx. De SUBDUCTIONE. N Umerorum non nimis compoſitorum inventio etiam Differentiz per ſe patet. Quemadmo- dum quod 9g de 17 relinquat 8. At in magis com- poſitis Subductio fieri ſolet ſubſcribendo numerum ablati vum & ſigillatim auferendo figuras inferiores de ſuperioribus. Sic ad auferendum 63543 de 782579, ſubſcripto 63543, dic 3 de g relinquit 6, quod ſcribe infra: Dein 4 de 7 relinquit 3 quod pariter ſcribe infra: Tum 5 de 5re- 782579 linquit o quod itidem ſubſcribe: Po- 63543 ſtea 3 de 2 auferendum eſt, ſed cum 3 fit or majus, figura 1 a proxima figura 8 mutuò ſumi debet, quæ una cum 2 faciat 1 2, à quo aufer- ri poteſt 3, & reſtat 9, quod inſuper ſubſcribe : Ad- hæc cum præter 6 etiam 1 de 8 auferendum fir, adde tad 6, & ſumma 7 de 8 relinquet 1 quod etiam ſubſcribe. Denique cum 1n interior! numero ni- hil reſtet auferendum de ſuperiori 7, ſubſcribe etiam 7, & fic tandem habes differentiam 719036. Cæterùm omnino cavendum eſt ut figuræ numeri ablativi ſubſcribantur in locis homogeneis; nempe unitates infra alterius numeri unitates, deni numeri infra denos, decimz partes infra decimas, &c : ficuc 719036 in Additione dictum eſt. Sic ad auferendum decima- lem o'6; ab integro 547, non diſpones numeros hoc modo 3.3 fed fic . ita nempe ut circuits qui locum unitatum in decimali occupat, ſubjicia- tur — + —— — — ——— 7 r . —— 1 = . > "© * = OS as -- . © as SC » 1 * 5 4-14 — * is SUBDUCTTIO. tur unitatibus alterius numeri. Tum, circulis in locis vacuis ſuperioris numeri ſubintellectis, dic 3 de o auferendum eſſe, fed cum nequear, debet 1 de loco anteriori mutuo ſumi ut © evadat 10 i quo auferri poteſt & dabit 7, quod infra ſcri- Dein illud 1 quod mutuò ſumitur, 547 adjectum 6 facit 7, & hoc de ſuperiore o 63 auferendum eſt ; ſed cum nequeat, debet 546 37 iterum 1 de loco anteriori ſumi ut o eva- dat 10, & 7 de 10 relinquet 3, quod ſimiliter in- fra ſcribendum eſt. Tum illud 1 adjectum o fa- cit 1, & hoc 1 de 7 relinquit 6, quod itidem ſub- ſcribe. Denique figuras etiam 54, ſiquidem de illis nihil amplius auferendum reſtat, ſubſcribe, & habebis reſiduum 546 ˙37. Exercitationis gratia plura tum in integris tum in decimalibus numeris exempla ſubjecimus. 1673 1673 458074 3572 46,5003 308,7 1541 1580 g205 14˙32 3,078 25,74 — — — oc ——ä—— 132 93 448869 214 43,4223 282,96 Siquando major numerus de minori auferendus eſt, oportet minorem de majore auferre, & reſiduo præfigere negativum ſignum. Veluti ſi auferen- dum fit 1673 de 1541, & contra aufero 1541 de 1673, & reſiduo 132 przfigo ſignum - In terminis Algebraicis Subductio fit connecten- do quantitates cum ſignis omnibus quantitatis ſub- ducendæ mutatis, & inſuper uniendo quæ poſſunt uniri, perinde ut in Additione factum eſt. Sic 474 de + 94 relinquit 494 74 ſive 243 —74 de + 9 4 relinquit +94 +74 ſive 164; +7ade —9 a relinquit — 94 74 five —164; &— 74 de — 9 4 relinquit — 94 + 7 a ſive —2 4. Sic de 5 valet 9. Inſuper ad di- videnduin 37 per y, præſige diviſorem 7, & im- primis opus inſtituens in initialibus figuris Dividen- di proximè majoribus Diviſore, nempe in 37, dic quoties 7 continetur in 37? 7) 371 (53 Reſp. 5. Tum ſcripto 5 in Quoto, 35 | aufer 5 Xx 7 ſeuz5 de 37, & reſtabit 2, — cui adnecte ultimam figuram Dividen- 21 di nempe 1, & fit 21 reliqua pars Di- 21 videndi, in qua proximum opus inſti- hs tuendumeſt. Dic itaque ut ante quo- 0 ties 7 continetur in 21 ? Reſp. 3. Quare ſcripto 3 in Quoto, aufer 3 x 7 ſeu 21 de 21 & reſtabit o. Unde conſtat 53 eſſe numerum præ- cisè qui oritur ex divi ſione 371 per 7. Atque ita ad dividendum 4798 per 23, opus _ primo inſtituens in initialibus figuris 47 dic quo- ties 23 continetur in 47? Reſp. 2. Scribe ergo 2 in Quoto, & de 47 ſubduc 2 X23 ſeu 46, reſtat- ue 1, cui ſubjunge proximum numerum Divi- 24. nempe 9, & fit 19 in ſubſequens opus. Dic itaque quoties 23 continetur in 19? Reſp. o. Quare ſcribe o in Quoto; & de 19 ſubdue o X23 ſeu o; & reſtat 19, cui fubjunge ultimum nume- rum 8, & fit 198 in proximum opus. Quamobrem ic ultimò quoties 23 continetur in 198, (id quod FX : * Sm AS An ont Am Q Hen. ELEMENTA 23 ex initialibus numeris 2 & 19 conjici poteſt, 2 3) 4798 (208, 6086 &c. 46 f animadvertendo quo- ties 2 continetur in 19)? Reſp. 8. Quare ſcribe 8 in Quoto & de 198 ſubduc 8 x 23 ſeu 184, reſtabitque 14 adhuc dividendus per 23. Adeoque Quotus erit 20831. Quod ſi hujuſmodi fractio mi- nds placeat, poſſis Di- vi ſionem in Eractioni- bus decimalibus ultra ad libitum proſequi, ſemper adnectendo cir- culum numero reſiduo. Sic reſiduo 14 aduecte o, fitque 140. Tum 9 OO 98 84 140 138 20 oo — — 200 184 160 dic quoties 23 ſit in 140? Reſp. 6. Scribe ergo 6 in Quoto; & de 140 ſubduc 6 x 23 feu 138, & re- ſtabit 2, cui adnecte o ut ante. Et fic, opere ad ar- bitrium continuato, emerget 6086 &c. tandem Quotus 208, Ad eundem modum 46,1) 3,5218 (0,7639 fratio decimalis 3, 5218 er fractionem decima- om 46, 1 dividitur, & prodit o, 07639 &c. Ubi nota quod in Quoto tot figure pro decimalibus abſcindende ſunt quot ſunt in ultimo dividuo plures quam in diviſore : ut in hoc exemplo quin- B 4 3227 2943 2766 1820 1383 — — que 24 ALGEBREeA que, quia ſex ſunt in ultimo dividuo o, oo 4370 & una in Diviſore 46, 1. Exempla plura lucis gratia ſubjunkimus. 9043} 20844115 (2305 72, 4) 2099, 6 (290 18086 | 1448 ; 27581 6516 27129 6516 45215 | © * 0 $018)137-995 (275. o, rz 2) 97115 6.907 10036 ö 396 37635 1191 35126 1188 2500 330 23090 264 — * * 660 In terminis Algebraicis Diviſio fit reſolendo uicquid per multiplicationem conflatur./ Sic ab ric per 4 dat b pro Quoto. 6 ah div. per 2 4 dat 3b; L. Fa. per — 24 dat — 3 6. — 646 div. per 2 dat 35; & div. per —2 4 dat 3 b. 16 be? div. per 2 ac dat 8bce. —84 4 K div. per —124axx dat 7 axx. e. per # dat 3. = div. per- det 7 Af div. per 7, * J. diy. | | | —B—— Yds ELEMENTA ug per 3 dat ;; & viciſſim ? div. per + dat ſeu 3. | 3947 div. per 2 « dat 1 & viciſhm divil. cc cc per . dar att Trem / 1j div. per / 3 at j. | | 70 ace div. per OL dat > 2 Atque its a +b y ax div. per a +6 dat / ax, & viciſſim div. per / ax dat a + b. . v ax div. per —— data V aN vel div. per adar iV five Yor 449% & viciſſim div. per 2 dat 2. Cæterùm in hu- b juſmodi n omninò cavendum eſt ut quantitates ſint ejuſdem ordinis quæ ad invicem applicantur. Nempe ut numeri applicentur ad nu- meros, ſpecies ad ſpecies, radicales ad radicales, nu- meratores Fractionum ad Numeratores ac Denomi- natores ad Denominatores ; nec non in Numerato- ribus, Denominatoribus, & Radicalibus quantitates cujuſque generis ad quantitates homogeneas, . Quod fi quantitas dividenda nequeat fic per Diviſorem reſolvi, ſufficit ubi ambæ quanti- rates ſunt integræ ſubſcribere Diviſorem cum lineola interjecta. Sic ad dividendum 46 per c ſcribitur =; & ad dividenduma +6 cx per a * bycx a -+-b 4 4 ſcribitur — rel —— ef £x..: Fs 26 ALGEBR@GOO ax — xx fic / ax — xx diviſ. per / cx dat * AX — XX — - kt aa þ+ ab 3 2xx diviſ. per a—b y/ 44 — XX dat wr 8 . Er12y/ 5div. per 4/7 dat 77. Ubi vero fractæ ſunt illæ quantitates, Duc Nu- meratorem Dividendæ quantitatis in Denominato- rem Diviſoris ac Denominatorem in Numeratorem, & factus prior erit Numerator, ac . Deno- minator Quoti. Sic ad dividendum + ; per — ſcri- bitur - multiplicatio ſcilicet à per d & 6 per c. Parique ratione 3 diviſ. per + dat 4+ & - v/ ax EN 20 1544 a diviſ. per * dat g e r, dwiſ. autem ger 20 V — xx 154'x pa Nax 8 cc /aa—xx Et ad "Om modum 7 divid, per c (five per — -) dat 7. Et c ( ſive ) diviſ. per dat A Et + div. per 5 dat 3. Et 3 div. per 4 dat Et /exdiv. N | per «dat 4 Ver. Et a+bycx div. per = dat . | — - y cx. Et Ws diviſ. per 3 „/c dat jy axx | a — OO OO” EEE ELEMENT A. 27 R , 4 z EVR Div. autem per 3 \/=dat } BS ce d Er V diviſ. per 3 / dat; VN. Et ſic in aliis. Quantitas ex pluribus terminis compoſita dividi- tur applicando ſingulos ejus terminos ad Diviſorem. Sic aa + 3ax — xx diviſum per à data + 34 — =. At ubi Diviſor etiam ex pluribus terminis con- ſtar, diviſio perinde ac in Numeris inſtitui de- bet. Sic ad dividendum 4 + 2 aac — 4b — 3abc + bbc per a—b, Dic quoties 4 continetur in a*, nempe primus terminus Diviſoris in primo Dividendi? Reſp, 44. Quare ſcribe 44 in Quo- to, & ablatoa—b in as live 4 — aah de Divi- dendo, reſtabit 24 — 3abc + bbc adhuc dividen- dum. Dic itaque rurſus quoties 4 continetur in 2aact Reſp. zac. Quare ſcribe etiam 24c in Quoto, & ablato a — b in zac five z — 2abc de præfato Reſiduo, reſtabit etiamnum — abc 4 bbc, Quam- obrem dic iterum quoties 4 continetur in — abc ? Reſp. — bc. Et proinde ſcribe — bc in Quoto, & ablato denuo +a - in — bc five — abe + bbc de noviſſimo Refiduo, reſtabit nihil. Quod indicat Diviſionem peractam eſſe, prodeunte Quoto aa + 2 ac — be, Czterum ut hujuſmodi operationes ad formam qua in Divifione numerorum uſi ſumus debit re- . ducantur, termini tum dividendz quantitatis tum Diviſoris juxta dimenſiones literz alicujus quæ ad hanc rem maximè idonea judicabitur, in ordine diſponendi ſunt, ita nempe ut illi primum locum occupent in quibus litera iſta eſt plurimarum dimen- ſionum, iique ſecundum in quibus dimenſiones ejus ad maximas proximæ ſunt; Et ſic deinceps uſque ad terminos qui per literam iſtam non omnino mul- tiplicantur, adeoque ultimum locum * | c 28 ALGEBREOA Sic in allato Exemplo f termini ordinentur juxta dimenſiones literz a, formam operis exhibebit ad- . 42— 9 1 -e (aa+2ac—be — 4 — 446 © +244c — 3abc © 224 — 2abc — 21 o — abc -c — abc + bbc _—_— | 89 8 junctum Diagramma: Ubi videre eſt quod termi- nus a five 4 trium dimenfionum occupat primum locum dividendz quantitatis, terminique **, in quibus a eſt duarum dimenſionum ſecundum oc- cupat, & fic præterea. Potuit etiam di videnda quanti tas fic ſcribi a Fa as — za bbc. Ubi termini ſecundũ locum occupantes, uniuntur aggre- ye factores literz juxta quam fit ordinatio. Et oc modo fi termini juxta dimenſiones literæ b dif- nerentur, opus ſicut in proximo Diagrammate in- itui deberet, Cujus explicationẽ adnectere vis eſt, —3ac 2 +4 + 24c —b +a) bb 21 ( -c r 7 ach —24c ＋ 4 3 5 + 24a —24C ＋ 244c — 44 ＋ 2 6 — © 1 Dic e 44; a ELEMENT A. 29 Dic quoties — 6 continetur in ch? Reſp. ch. Quare ſcripto — cb in Quoto, aufer —b +4 in cb ſeu bbc abe & reſtabit in ſecundoloco —_ b. Reſiduo huic adnecte. ſi placet, quantitates in ul- timo loco, nempe SG & dic iterum quoties - . —24C 1 continetur in 2 ? Reſp. * Quare his in Quoto ſcriptis, aufer —b+4 in Th *-. _— b 25 & reſtabit nihil. Unde conſtat diviſionem peractam eſſe, prodeunte Quoto ch + 24 + 44 ut ante. Atque ita fi dividere oportet aay* aac C yyc* +3* -h = — 24 cc 4 yy per yy —as — cc: quantitates juxta literam y ad hunc modum 5 —4a\ ,6+ 44 4— a* 5 ordino, FJ os —2ccJ 4. ani way Dein Diviſionem ut in ſubjecto Diagrammate in- ſtituo. Adjiciuntur & alia exempla, de quibus in- ſuper obſervandum eſt quod ubi dimenſiones literæ ad __ ordinatio fit, non in eadem ubique pro- ione Arithmetica ſed per ſaltum alicubi proce- dunt, locis vacuis ſubſtituitur nota &. obs 6 „ N +c* I) wed I... HRT Jil (ff — 75 HY Th 0 2 — cc + 244 30 AL GEBRe(e/AM 4 — 2 a* 4+b) aa* — bb (a—b „ N 24) — 344. OT- — * 1 aabb 4 5 /2— aabb — V2 —2aabb—ab* n ” + aabbaab* /2 + aabb + ab 3 Oo 2+ bs O 0 0 Aliqui Diviſionem incipiunt ab ultimis terminis, ſed eodem recidit ſi inverſo terminorum ordine inci- piatur à prioribus. Sunt & aliæ methodi di videndi ſed facillimam & commodi ſſimam noſſe ſufficit. De * S* ate 4 * W mn > $2” nnn ! * E LE ME NTA. 31 De EXTRACTIONE RA DIC UN. UM numeri alicujus radix quadratica extrahi debet, is in locis alternis, incipiendo ab uni- tate, punctis notandus eſt; Dein figura in Quoto ſeu Radice ſcribenda cujus quadratum figurz vel figuris aute primum punctum aut æquale ſit aut pro- ximè minus. Et ablato illo quadrato, cæteræ radi- cis figuræ ſigillatim invenientur dividendo reſiduum r duplum radicis eatenus extractæ, & ſingulis vi- cibus auferendo è reſiduo illo factum I figura noviſ- ſimè prodeunte & decuplo prædicti Diviſoris figura illa aucti. | | Sic ad extrahendam radicem ex 998 56, imprimis nota cum punctis ad hunc modum 9'98'56. Dein quære numerum cujus g'g8'56(416 quadratum æquatur primæ figuræ 9, 9 nempe 3; ſcribeque in Quoto. Et -— de 9 ablato quadrato 3 „3 ſeu 9, re- ogg ſtabit o; cui adnecte *＋ ante pro- Gr ximum punctum, nempe 98 pro ſe- —— uente opere. Tum neglecta ultima 3756 2 8, dic quoties duplum 3 ſeuõ 3756 continetur in priori 92 gi Qua- - re ſcripto I in Quoto, aufer factum 0 1 x 61 ſeu gt de 98 & reſtabit 37, cui adnecte ultimas figuras 56, & fiet 3756 nume- rus in quo opus denuo inſtituti dedet. Quare & hujus ultima figura 6 neglecta, dic quoties duplum z ſeu 62 continetur in 375 (id ak, ex initialibus figuris 6 & 37 conjici poteſt animadvertendo quo- ties 6 continetur in 37?) Reſp. 6. Et ſcripto 6 in Quoto aufer factum 6 x 626 ſeu 3756, & reſtabit nihil. Unde conſtat opus peractum eſſe; prodeunte Radice 316. | Arque 31 4LGEB RA Atque ita fi radicem ex 2217871 extrahers oportet, imprimis facta punctatione quære numie- rum cujus quadratum, (ſiquidem id nequeat æquari) fit proxime minus figuris 22 antecedentibus primum punctum, & invenies eſſe 4. Nam 5 x 5 five 25 major eſt quam 22, & 4 x 4 five 16 minor. Quare 4 crit prima figura radicis. Et hac ita- i= 22178791 (4709,4363 7&c. que in Quoto ſcri= 16 ta, de 22 aufer qua -— tum 4 X 4 ſeu 6157 16, reſiduoque d ad- 609 junge deſuper pro- Ximas 17, & 88791 habebitur 617, cu= 84681 jus diviſione per duplum 4 elicienda 4110.00 eſt ſecunda figura 3767 36 radicis. Nempe, neglecta ultima fi- 3426400 gura 7, dic quoties 2825649 8 continetur in 61 ? —— Reſp. 7. Quare ſcri- 60075100 be 7 in Quoto, & 56513196 de 615 aufer factũ 7 — — in 87 ſeu 609 & re- 356190400 ſtabit 8, cui adjun- 182566165 proximas duas fi- — guras 87, & habe- 73624231 viſione per duplum 47 ſeu 94 elicienda eſt tertia figurz, Utpote dic quoties 94 continetur in 882 Reſp. o. Quare ſcribe o in quoto, adjungeque ulti- mas duas figuras 91, & habebitur 88791 cujus di- viſione per duplum 470 ſeu 940 elicienda eſt ul- tima figura. Nempe dic quoties 940 W in . .. FFP ELEMENT A. 33 $879? Reſp. 9. Quare ſcribe 9 in Quoto, & radi- cem habebis 4709. ge, Cæterum cum faQus 9 x 9409 ſeu 84681 abla- tus de 88791 relinquat 4110, id indicio eſt nume- rum 4709 non eſſe radicem numeri 22178791 præ- ciſe, ſed ea paulo minorem exiſtere. Et in hoc caſu aliiſque ſimilibus ſi veram radicem magis appropin- quare placeat, proſequenda eſt operatio in decima- libus numeris, adnectendo ad reſiduum circulos duos in ſingulis operationibus. Sic reſiduum 41 10 ad- ne xis circulis, evadit 411000; cujus diviſione pet duplum 4709 ſeu 9418 elicietur figura prima deci- malis, nimitum 4. Dein ſcripto 4 in Quoto, auſer 4 X 94184 ſeu 376736 de qrto00 & reſtabit 34264. Atque ita adnexis iterum duobus c:rculis, opus pro luvitn continuari poteſt , prodeunte tandem radice 4709, 43637 &c. | | Ubi vero radix ad medietatem aut ultra extracta eſt, cæteræ figurz per diviſfionem ſolam obtineri poſſunt. Ut in hoc exemplo, fi radicem ad uſque novem figuras extrahere animus eſſet, poſtquam quinque priores 4709, 4 extractæ ſunt; quatuor poſtertores 3637 elici poſſent dividendo re ſiduum 34264 ys dupium 4709, 4. 1 Et ad bunc modum ſi radix 3*29*76(181, 5g ex32976 ad uſque quinque fi-! — guras extrahi debet: poſtquam * guræ punctis notantur, ſcrihe _ I in Quoto, utpote cujus qua- 229 dratum1 xa ſeu r maximum eſt 22.4 quod in 3, figura primum pun- — ctum antecedente, continetur. 57 Ac de 3 ablato quadrato illo 361 annexis proximis figuris 29, 36f) 215 (59 Quere quoties duplum i ſeu 2 885 . S ct 34 4LGEB RA continetur in 22, & invenies quidem pluſquam 10, ſed nunquam licet diviſorem vel decies ſumere, imo neque novies in hoc caſu quia factus 9 x 29 live 261 major eſt quam 229 unde deberet auferri. Quare pone tantum 8. Et perinde ſcripto 8 in Quoto, & ablato 8 x 28 five 224 reſtabit 5. Huic inſuper annexis figuris 76, quære quoties duplum 18 ſeu 36 continetur in 57, & invenies 1 , adeoque ſcribe 1 in Quoto ac de 576 ablato 1 x 361 ſeu 361 reſtabit 215. Denique ad cæteras figuras eli- ciendas divide hunc 215 per duplum 181 ſeu 362 & exibunt figuræ 55, quibus etiam ſcriptis in Quo- to, hahebitur Radix 181, 59. Eadem methodo radices etiam è decimalibus nu- 29, 76 radix eſt 18, 159. meris extrahuntur. Sic e Et ex 3, 2976 radix eſt 118 159. Et ex o, o32976 | radix eſt o, 18159. Et fic præterea. Sed ex 3297, 6 ; radix eſt 57,4247. Et ex 32, 976 radix eſt 5,74247. 4 Atque ita ex 9, 9856 radix eſt 3,16. Sed ex | 0, 998 56 radix eſt o, 999279 &c. Quemadmodum I è ſubjectis Diagrammis conſtare poteſt. 32*97;6(57,4247&c. o; B 1 : 25 CR — 797 1885 749 1701 4860 18460 4576 17901 48284 (247 1998) 559 (279 Extractionem radicis cubicæ & aliarum omnium, regula generali comprehendam, praxi potius intel- lectu facili quam expeditæ conſulens, ne moram in | — ELEMENTA. 35 eo quod rarò uſu veniet, diſcentibus inferani. Ni- mirum tertia quzque figura incipiendo ab unitate, primo punctis notanda eſt ſi radix fit cubica, aut unaquzque quinta fi fit quadrato- c ubica, &c. Dein figura in Quoto ſcribenda eſt cujus maxima poteſtas ( Toe eſt cubica ſi radix fit cubica, aut quadrato- cubica ſi radix fit quadrato-cubica &c.) aut zque- tur figutæ vel figuris ante primùm punctum, aut proxime minor fit. Et ablata illa poteſtate, figura proxima elicietur dividendo reſiduum proxima nu- meri refolyendi figura auctum, per poteſtatem Quo- ti penè- maximam ductam in indicem maximæ | teſtatis, hoc eſt, per triplum Quadratum Quoti fi radix fit cubica, aut per quintuplum quadrato- qua- dratum ſi radix fit quadtato-cubica &c. Rurſuſque à numero reſolvendo ablata maxima Quoti pote- ſtate, figura tertia invenietur dividendo reſiduum illud proxima numeri reſolvendi figura auctum per poteſtatem Quoti 1 ductam in indi- cem maximæ poteſtatis. Et fic in infinitum. Sic ad extrahendam radicem cubicam ex 13312053, numerus ille primo piinctis ad hunc modum 1 70 12*053 notandus eſt. Deinde in Quoto ſcribenda eſt illa figura 2 cujus cubus 8, ſiquidem æquari nequeat, pro- C ans minor fit e 1855 (239 tis 13 antecedentibus 4 5 punctum. Et _ _ 8 Sa ablato illo cubo fe- ) Tear 5504. zut 3. ſtabit 5, quod proxi- om, aulcrc.12167 4827 1587) reſtat 11450 (7. r triplum quadra- OT e tum quoti 2 diviſum, aufer c. 13 or, : 23 nempe quo- 2 es 4 ſeu 12 continetut in 53, dat 4 pfo fe- OI PENS! S2 2 36 ALGEBRA cunda figura Quoti. Sed cum Quoti 24 iret cubus 13824 major quam qui auferri poſſet de fi- guris 13312 antecedentibus ſecundum punctum, ſcribi debet tantum 3 in Quoto. Tum Quotus 23 in charta aliqua ſeorſim per 23 multiplicatus dat uadratum 529, quod ite rum per 23 multiplicatum * cubum 12167, & hic de 43312 ablatus relin- quit 1145; quod proxima reſolvendi numeri fi- gura © auctum, & per triplum quadratum Quoti 23 diviſum, quærendo nempe quories 3 x 529 ſeu 1587 continetur in 11450, dat 7 pro tertia figura Quoti. Tum Quotus 237 per 237 multiplicatus dat quadratum 56169 quod iterum per 237 mul- tiplicatum dat cubum 13312053, & hic de reſol- vendo numero ablatus relinquit nihil. Unde patet radicem quæſitam eſſe 237. | Atque ita ad extrahendam radicem quadrato-cu- bicam ex 36430820, punctum ponitur ad quintam figuram, & figura3, cujus quadrato- cubus 364*30820 (32,5 243 proxime minor — eſt figuris 364 ante- 243 cedentibus punctum 405) 1213 (2 iſtud, ſcribitur in Quoto. Dein qua- 33554422 drato - cubo 243 de 5242880) 2876388, (5 364 ablato, reſtat 121 quod proxima reſolvendt numeri figura 3 auctum & per quinquics quadrato-quadratum 1 di- viſum, quærendo nempe quorics 5 81 ſeu 403 continetur in 1213, dat 2 pro ſecunda figura. Quotus ille 32 in ſe ter ductus efficit quadrato- quadratum 1048576, & hoc iterum in 32 ductum efficit quadrato- cubum 33554432 ; qui à numero reſolyendo ablatus relinquit 28763 g8. Itaque 32 eſt integra pars radicis, ſed non juſta radix, & proinde 2 had? ni . 1 4 . 1 A by a N " 4 E L EME NTA. 37 proinde {i opus in decimalibus numeris 332 animus eſt, reſiduum circulo auctum di vidi debet per quinquies prædictum quadrato-quadratum Quo- ti, quzrendo quoties 5 x 1048576 ſeu 5242880 continetur in 28763 88,0, & prodibit tertia figura five prima decimalis 5. Atque ita auſerendo qua- drato-cubum Quoti 32, 5 de numero reſolvendo ac dividendo re ſiduum per quinquies quadrato-qua- dratum ejus, erui poteſt quarta figura. Et fic in infinitum. Cum radix quadrato-quadratica extrahenda eſt, oportet bis extrahere radicem quadraticam, eo quod valeat „ . Et cum radix cubo- cubica ex- trahenda eſt, oportet extrahere radicem cubicam & ejus radicis radicem quadraticam, eo quod / valeat : Unde aliqui radices haſce non cu- bo- cubicas fed quadrato- cubicas dixere. Et idem in aliis radicibus quarum indices non ſunt numeri primi obſervandum eſt, E fimplicibusquantitatibus Algebraicis extractio radicum ex ipſa Notatione patet. Quemadmodum quod / aa fit a, & quod y aacc lit ac, & quod vy gaacc fit zac, & quod / 49a*xx it a. At- y a* 44 3 4 que ita quod 4/ _ ſeu aab 9462D 368 fit 08 qued et I * & quod y # : 38 4 ſit 3. Et quod / 57 ſit Toe quod ab fit / ab. Quinetiam quod & y/ aace ſcu b in Vaace ga X valeat & in ac five abe. Et quod 3 , 7% ** L . OOO... A 4T 3x leat 3 6 * 12 ſive oF Et quod : C 3 abr“ cc 3 reſtabit 266 + bb pro eli- wy 38 ALGEBREOCE N is eB; 2bxx er ge zabxx+6bx*, * 4 Sac Hæc inquam * ſiquidem propoſitas quan- titates è radicibus in ſe ductis produci (ut 44 ex 4 in 4, AACC ex ac in ac, 9 AACC ex ZAC in zac &c. ) prima ſronte conſtare poteſt. Ubi vero quantitates pluribus terminis conſtant, opus perinde ac in nu- meris abſolvitur. Sic ad extrahendam radicem quadraticam ex 44 ** 2 ab +6b, imprimis radicem aa+2ab +bb(a+6 primi 4 44 nempe 4 44 ſcribe in Quoto. Et ab- — lato ejus quadrato 4 T 4 © cienda reliqua parte radi- 2 ab 4 bb cis. Dic itaque quoties — - duplum quoti ſeu 24 con- . tinetur in primo reſidui termino 246? Reſp. b. Adeoque ſcribe b in Qua- to, & ablato fatto bin 2a +6 ſeu 24b + bb reſta- bit nihil. Quod indicat opus peractum eſſe, pro- de unte radice a+ 6b. Et fic ad extrihendam radicem ex 4 464 b + 5 aabb — 12 ab* + 46*, imprimis pone in Quo- 4 +64'b + $06bb —12. +486 (44434626 a* © — 44abb — 12 ab* + 4b* o © © | to 2 Ps . : : $ b 7 ELEMENT A. 39 to radicem primi termini “ nempe 4, & ablato ejus quadrato 44 X 4a ſeu 4“ reſtabit 64% + gaabb — 12 ab* ＋ 46* pro reliqua radice eliciends. Dic itaque quoties 244 continetur in 64*%6 ? Reſp. zab Quare ſcribe 3ab in Quoto & ablato facto z ab in 2aa + 3abſeu 64*b + gaabb reſtabit etiam- num—gaabb —124b* 4 46* pro opere proſequendo. Adeoque dic iterum quoties duplum Quoti, nempe 2 44 + Gab continetur in — 4 aabb — 12 4b, five quod perinde eſt dic quoties duplum primi ter- mini Quoti ſeu 244 continetur in primo reſidui termino —q4abb? Reſp. —2bb. Et proinde ſcripto — 26b in Quoto, & ablato facto — 2 bb in 2 44 + 6ab — 2bb ſeu — 4aabb — 12 ab* 44%, reſta- bit nihil. Unde conſtat radicem eſſe 44 +3 ab —2 bb. Atque ita quantitatis xx —ax 344 radix eſt * —34, & quantitatis y* +4 y —$z + 4 radix „ +29 — 2, & quantitatis 16 a* — 244axx +gx* 4 2bbxx — 16 aabb A 46* radix 3xx — 44a + 266 ut è ſubjectis diagrammis conſtare poteſt. XX — 4x + 244 (x — 74, xx o —&x +444 ”S...0 * — 2444 41647 — 444 PX I 11 K © 16aabb (J * T 258. 9x + 46+ : 0 —2 1 64* + 1266 ** _ 164abb +4 b+ 0 49 ALGEBRECA J 1% * = +4 (yp +2y=2 J O v +4 Ro 9 ＋ 4 5 Si radicem cubicam ex 4 ＋ 34ab + 3abb + b oportet extrahere, operatio eſt hujuſmodi. Extrahe a* þ+zaab +3abb +6b* (a +6. 5 ORE 244) © +3aab (b a + 3aab + 3abb +6 0 O Oo radicem cubicam primi termini a* nempe a, & pone in Quoto. Tum ablato ejus cubo 4; dic quoties tri plum e ejus ſeu 3aa continetur in pro- ximo reſidui termino zaab? & prodit b. Quare ſcribe etiam 6 in Quoto, & cubo Quoti 4 ＋ þ ab- lato reſtabit nihil. Radix itaque eſt a + 6. Eodem modo radix cubica, ſi extrahatur ex 25 +625 — 40 4962 — 64, prodit r +2z — 4. Atque ita in altioribus radicibus, 4 | . | £ I | ELEMENT A. 41 DeREepucrionet FRACTIONUM & RADICALIUu. r operationibus inſervit reductio fractarum & radicalium quantitatum, idque vel ad minimos terminos vel ad eandem denomi- nationem. | De RrpucrlioN E FRACTIONUM ad minimos terminos. Ractiones ad minimos terminos reducuntur di- videndo numeratores ac denominatores per ma- ximum communem diviſorem. Sic ſractio VP reducitur ad ſimpliciorem 7 dividendo utrumque aac & bc per c; & 39 reducitur ad ſimpliciorem dividendo utrumque 203 & 667 per 29; & 203 A reducitur ad = dividendo per 29c. At- 667 be . Ga" —gacc „ 244—JZCC .. que ita —— 3 evadit —— %s dividendo per "op * 3 evadit = 2 dividen- aa — ab e do per 4b. Et hac Methodo termini poſt Multiplicationem vel Diviſionem plerumque abbreviari poſſunt. 3 Quemadmodum fi multiplicare oportet : = per „ OTE bad, 1. 18 4ab cc 44 vel id dividere pron prodibit 8 | | 4 & 42 4 L GEB RA & per reduQtionem f. Sed in hujuſmodi ca- ſibus præſtat ante operationem concinnare terminos, dividendo per maximum communem diviſorem quos poſtea dividere oporteret. Sic in allato ex- emplo fi dividam 2463 & bdd per communem di- viſorem b, & zecd ac gacc per communem diviſo- rem zec; emerget ſractio : 7 multiplicanda per 25 vel dividenda per < prodeunte tandem _ S a b i . 3 ut ſupra, Atque ita — in x evadit = in I ſeu 5 „ „a. cx „ Ac XX AA ax I * x c. Et 28 div, per } evadit 4 div. per 3, ſeu 12. De inventione Diviſorum. H 7c ſpectat inventio diviſorum per quos quantitas aliqua dividi poſſit. Si quantitas ſimplex eſt divide eam per minimum ejus diviſo- rem, & quotum per minimum di viſorem ejus, do- nec quotus reſtet indiviſibilis, & omnes quantitatis diviſores primos habebis. Dein horum di viſorum ſingulos binos, ternos, quaternos, &c. duc in ſe, & habebis etiam omnes diviſores compoſitos. Ut {i numeri 6© diviſores omnes deſiderentur, divide eum per 2, & quotum zo per 2, & quotum 15 per 3 & reſtabit quotus indiviſibilis 3. Ergo divi- fores primi ſunt 1, 2, 2, 3, 5: ex binis compoſiti 47 6, 10, 15: ex terms 12, 20, 30, ex omnibus 60. Rurſus ELEMENT A. 43 Rurſus ſi quantitatis 21 abb diviſores omnes deſi- derentur, divide eam per 3, & quotum 7 «bb per 7, & quotum abb per a, & quotum bb per b, & re- ſtabit quotus prim us h. Ergo diviſores primi ſunt 1, 3, 7. 4, b, ö; ex binis compoſiti 21, 34, zb, 7a, 7b, ab, bb; ex ternis 214,216, zab, 3bb, ab, ybb, abb; ex quaternis 2 14b, 21bb, 3 abb, 7abb; ex qui- nis 21abb. Eodem modo ipſius 1 — Gaac divi- ſores omnes ſunt t, 2, 4, bb — zac, 24, 2bb — Gac, abb — zaac, 2abb — Gaac. Si quantitas poſtquam diviſa eſt per omnes ſim- plices diviſores manet compoſita & ſuſpicio eſt eam compoſitum aliquem diviſorem habere, diſpone eam ſecundum dimenſiones literæ alicujus quæ in ea eſt, & pro litera illa ſubſtitue ſigillatim tres vel plures terminos hujus progreſſionis Arithmeticæ, 3, 2, 1, 0, — I, —2, ac terminos totidem reſultan- tes una cum omnibus corum diviſoribus ſtatue & regione corre ſpondentium terminorum progreſſio- nis, poſitis diviſorum ſignis tam affirmativis quam negativis. Dein è regione etiam ſtatue progre ſſio- nes arithmeticas quæ per omnium numerorum di- viſores percurrunt pergentes i majoribus terminis ad minores eodem ordine quo termini progreſſionis ,2,1,0, —I, —2 pergunt, & quarum termini dif- erunt vel unitate vel numero aliquo qui dividit alti ſſimum terminum propoſitæ quantitatis. Siqua occurrit ejuſmodi progreſſio, iſte terminus ejus qui ſtat è regione termini o progreſſionis primæ, divi- ſus per differentiam terminorum, & cum ſigno ſuo annexus litteræ prefatz, componet quantitatem per quam di vi ſio tentanda eſt. | Ut ſi quantitas fit & —xx— 10x +6, pro x ſubſtituendo figillatim terminos progrethonis 1. o. — 1, orientur numer! — 4, 6, — 14 quos cum omnibus edrum diviſoribus colloco E regi- * — 0 , e | one P_— 44 4LGEB RA one terminorum progre ſſionis 1. o. — 1 hoc modo. Dein quoniam altiſſimus 1 41.2.4. [44 . terminus x3 per nullum nu- o 6 1.2.3.6 |+3. merum præter unitatem di» —1 14 1.2. 7.14 +2. viſibilis eſt, quæro in di- viſoribus progreſſionem cujus termini di fferunt uni- tate, & a ſuperioribus ad inferiora pergendo de- creſcunt perinde ac termini progreſſionis lateralis 1. 0. —I. Et hujuſmodi progreſſionem unicam tan- tam invenio nempe 4. 3. 2. cujus itaque terminum + 3 ſeligo qui ſtat è regione termini o progreſſionis primæ 1.0. 1, tentoque diviſionem per x ＋ 3. Et res ſuccedit, prodeunte xx — 4x -þ 2. Rurſus ſi quantitas fit 6y*— y* —211y +335 +20. Pro y ſubſtituo ſigillatim 1. 0. —1 & numeros re- ſulrantes 7. 20. 1 cum omnibus eorum diviſoribus © regione colloco ut ſe- quitur. Et in diviſo- 17 [1.7 +7. ribus hanc ſolam eſſe 0oj20[r.2.4.5.19.20|+4. antmadvertodecreſcen- — 1] [1 +1. tem progreſſions arith- a meticam +7. + 4. +1. Hujus terminorum diffe- rentia 3 dividit altiſſimum quantitatis terminum 6+, Quatre terminum ＋ 4 qui ſtat è regione termini a, diviſum per di fferentiam terminorum 3 adjungo li- teræ y, tentoque diviſionem per y ++ vel quod pe- rinde eſt per 35 4, & res ſuccedit prodeunte 5 29 3, + 5+. Atque ita ſi quantitas fit 244 5044 44943 — 1404 + 644 +30: operatio erit ut ſequitur. 242 1. 2. 3. C. 7. 14.21. 42. [+3++3:+7 I 23 1.23. 4.1.41 O30 1.2. 3. 5.6. 10. 15.30. |-I.—$.—5 | —1 492 1.3.9.1. 33.99.97. —3.—9.—11 Tre; )J E LEME NTA. 45 Tres occurrunt hic progreſſiones quarum termini —1. —5. —5 diviſi per differentias terminorum 2. 4. 6, dant tres diviſores tentandos 4 — 3, 4— 4 & 2. Et diviſio per ultimum diviſorem a — 5 ſeu 64 5 ſuccedit prodeunte 44 — 54? + 444 — 204—6. % Si nullus occurrit hac methodo diviſor, vel nul lus qui dividit propoſitam quantitatem, concluden- dum erit quantitatem illam non admittere diviſo- rem unius dimenſionis. Poteſt tamen fortaſle, ſi plurium ſit quam trium dimenſionum, diviſo- rem admittere duarum. Et ſi ita, diviſor ille in- veſtigabitur hac methodo. In quantitate illa pro litera ſubſtitue, ut ante, quatuor vel plures termi- pos progreſſionis hujus 3. 2. 1. 0. -I. — 2. — 3. Divifores omnes numerorum reſultantium ſigilla- tim adde & ſubduc quadratis correſpondentium ter- minorum progreſſionis illius ductis in diviſorem aliquem numeralem altĩſſimi termini quantitatis pro- poſitæ, & ſammas di fferentiaſque è regione progreſ- ſionis colloca. Dein progreſſiones omnes collatera- les nota quæ per iſtas ſummas di fferentiaſque per- currunt. Sit FC terminus iſtiuſmodi N nis primæ, ꝓ B differentia quæ oritur ſubducendo tC de termino proxime fuperiori qui ſtat è regione termini 1 progreſſionis primæ, A prædictus termini altiſſimi diviſor numeralis, & Ilitera quæ in quan- titate propoſita eſt, & erit AA BIFC diviſor tentandus. ; Ut fi quantitas propoſita fit x*—x* — 5xx-þ 12x s, pro x ſcribo ſucceſſivè z. 2. 1. o, — l. 2. & prode untes numeros 39. 6.1. —6.—21.—26,una cum eorum diviſoribus è regione diſpono, addoque & ſubduco diviſores terminis progreſſionis illius qua- dratis ducti ſque in diviſorem numeralem termini x+ qui unitas eſt, viz. terminis 9. 4. 1. 0. 1. 4, & ſummas Fel differen- #& ws... T2. _ 46 ALGEBRA differentiaſque è᷑ latere pariter diſpono. Dein pro- ſſiones quæ in iiſdem obveniunt è latere etiam Eribo, ut ſequitur. Harum progreſſionum termi- nos 2 & —4 qui ſtant è regione termini o pro- 3139 1.3-13-39] 9 —30.—4-6.8.10.12,22.49. | —4. 6. 2| 61.2. 3. 6|4|— 2-1.2-3.5-6.7-10, |—2. 3.| 1] 11. 1} 0. 2. 7 Sy of 611.2. 3. 6] 0] —6-3.—2.—1.1.2:3.6. 2.—3. —1 271.3. 7-21] 1] —20.—6.— 2.0 2. 8.22. | 4-—6. —2 126 1. 2.13.2614 —22.—9.2.3. f. C. 15. 30. 6.—g. greſſionis illius quæ in columna prima eſt, uſurpo | ſucceſſive pro ꝓ C: Differentias quæ oriuntur ſub- ducendo hos terminos de terminis ſuperioribus o & © nempe —2 & - 3 uſurpo reſpectivè pro ꝓ B. Unitatem item pro A; & x pro I. Et ſic pro All+ Bl +C habeo diviſores duos tentandos xx + 2x —2 & xx—3x +3, per quorum utrum- que res ſuccedit. Rurſus ſi proponatur quantitas 3 y' 67 + y® —$ yy — 147 + 14, Operatio erit ut ſequitur. Pri- mo rem tento addendo & ſubducendo divifores qua- dratis terminorum progreſſionis 1. o. 1 uſurpato 1 pro A, ſed res non ſuccedit. Quare pro A uſur- 3170 27 | | (7-37 þ 2| 38.2. 19.3861 — 26.— 7. 1 0.1 1.1 3.14. 3 1. 0. —7. 11 1] 10. 2. 5. 10 7.— 2. 1. 2. 4. 5. 8. 13. —7. 75 o 14. 2. 7. 14 14— 7.—2.—1. 1.27.14 7.—1 — 110. 2. 5. _ 3— 7-— 2.1. 2. 4. 5. 8. 13. —7.—7 —2 190 112 —7.—1 1 po 3, alterum nempe termini altiſſimi 3)“ diviſo- rem numeralem, & quadratis iſtis multi plicatĩs per 3 hoc eſt numeris 12. 3. o. 3 addo ſubducoque di- viſores; & progreſſiones in terminis reſultantibus hafce duas invenio —7. —7. —7. —7 & 11. f. —1. 7. Expeditions gratia neglexeram diviſo- tes extimorum numerorum 170 & 190. Quare con- ak ah. / * — -y WM ww 4 IM. : F p EN 6 1 FOE 4 wat. a 8 "5 A: ELEMENTA. 47 continuatis progreſhonibus ſumo proximos earum hinc inde terminos, via. — 7 & 17 ſuperius, & —7, & — 13 inferius, ac tento ſi ſubductis his de numeris 27 ac 12 qui ſtant è regione in quarta columna differentiz dividunt iſtos 170 & 190 qui ſtant è regione in columna ſecunda. Et quidem differentia inter 27 & —7 id eſt 34 dividit 170 & differentia 12 & —7 id eſt 19 dividit 190. Item differentia inter 27 & 17 id eſt 10 dividit 170 ſed differentia inter 12 & —13 1d eſt 25 non dividit 190. Quare poſteriorem progreſhonem rejicio. Juxta priorem FCeſt —7, & I B nihil; terminis progreſſionis nullam habentibus differentiam. Quare diviſor tentandus A B31 C, erit 3313 +7. Et diviſio ſuccedit, prodeunte y3 — 2yy — 2y + 2. Si nullus inveniri poteſt hoc pacto diviſor qui ſuccedit, concludendum eſt quantitatem propoſitam non admittere diviſorem þ A dimenſionum. Poſſet eadem methodus extendi ad inventionem di- viſorum dimenſionum plurium, quærendo in præ- dictis ſummis differentiiſque progreſhones non arithmeticas quidem ſed alias quaſdem quarum ter- minorum differentiæ primæ, ſecundæ, tertiæ, &c. fant in arithmetica progreſſione: at in his Tyro non non eſt detinendus. Ubi in quantitate propoſita duæ ſunt literæ, & omnes ejus termini ad dimenſiones æquè altas aſ- cendunt ; pro una iſtarum literarum pone unitatem, dein per regulas przcedentes quzre diviforem, ac diviſoris hujus comple deficientes dimenſiones re- ftituendo literam illam pro unitate. Ut ſi quanti- tas ſit C) — cy? — 21 + 3 cy zoc“ ubi ter- mini omnes ſunt quatuor dimenſionum: pro c po- no 1, & quantitas evadit 6) —=1* 215 37 20, cujus diviſor at ſupra eſt 35 + 4, & com- eta deficiente dimenſione poſterioris 3 per imen- 43 ALGEBR AM dimenſionem c, fit 3y + 4c diviſor quæſitus. Ita ſi quantitas fit x“ — 4 poſito 1 pro 6, & quantitatis reſultantis x* — x? —$xx +12x—6 invento diviſore xx + 2x — 2 compleo ejus deficientes dimenſiones per dimenſio- nesb, & fic habeo diviſorem quæſitum xx + 2 6x —2 bb, Ubi in quantitate propoſita tres vel plures ſunt ſiteræ, & ejus termini omnes ad eaſdem dimenſio- nes aſcendunt; poteſt diviſor per præcedentes regu- las inveniri; ſed expeditius hoc modo: Quære om- nes diviſores terminorum omnium in quibus litera- rum aliqua non eſt, item terminorum omnium in qui bus alia aliqua literarum non eſt, pariter & om- nium in quibus tertia litera quartaque & quinta non eſt ſi tot ſunt literz. Et fic percurre omnes literas. Et è regione literarum colloca diviſores reſpectivꝭ. Dein vide ſi in ſerie aliqua diviſorum per omnes literas pergente, partes omnes unicam tantum li- teram involventes tot vicibus reperiantur quot ſunt literæ una dempta in quantitate propoſita: & partes duas literas involventes tot vicibus quot ſunt li- teræ demptis duabus in eadem quantitate. Si ita eſt; partes iſtz omnes ſub ſiguis ſuis ſemel ſumptæ erunt diviſor quæſitus. Ubi ſi proponatur quantitas 12* —14bxx+gexx —1zbbx —6bcx +8ccx + 8 —12bbe Abe cc; terminorum $4* — 12 bbc — 4 bee + 6c in quibus non eſt xdiviſores unius dimenſionis per præcedentes regulas inventi erunt 20-36 &4b—G6c : termi- norum 12 x* þgcxx + $ccx + 6c in quibus non eſt b, diviſor unicus 4x + ze: ac terminorum 12 x? — 14 bxx'—12 bbx +86* in * 26 ze. 46—6c. quibus non eſt c, diviſores b 4x+3c. 2x—b & 4x—zb. Hos diviſo- c 2x b. 4x—26, res è regione literarum x, c 4900 3 —gbbxx +126*'x 6: Ad. 8 Pee 22 r ELEMENTA a diſpono ut hic vides. Cum tres ſintliteræ & divi- ſorum partes ſingulæ non niſi ſingulas literas invol- vant, in ſerie diviſorum debent partes illæ bis repe- riri. At diviſorum 46 — 6c & 2x— b partes 4 b, Sc, 2x, 5 non ni ſi ſemel occurrunt. Extra diviſo- rem illum cujus ſunt partes non reperiuntur. Quare di viſores illos negligo. Reſtant tantum tres diviſo- res 26 — 3c. 4x ＋ 3e & 4x— 26. Hi in ſerie ſunt E omnes literas x, C, c pergente, & eorum partes ngulz 26. 3c. 4x. bis reperiuntur in ipſis ut N tuit, idque cum ſignis iiſdem, ft modo ſigna di vi- ſoris 26 — ze mutentur, & ejus loco ſcribatur — 26 ＋ze. Nam ſigna diviſoris cujuſvis mutare licet. Sumo itaque horum partes omnes 26. 3c. 4x ſemel ſub ſignis ſuis, & aggregatum — 26 ＋ 3c + 4xdi- viſor erit quem invenire oportuit. Nam ſi per hunc dividas quantitate propolitam prodibir 3 xx — 2bx + 2cc — 4bb. 4 5 | Rurſus fi quantitas fit 12 * — 10 ax* + 9 bx* —264ax* +12abx* + © bbx* + 244* xx —8 aabxx —8 abbxx —24 b*xx —4 a*bx + 6aabbx 1246 x +186*x +12 a*b +32 aab* — 1267; divifores terminorum in quibus x non eſt colloco regione x ; illos terminorum in quibus 4 non eſt, è regione 4 & illos terminornm in quibus & non eſt, è regione 6, ut hic vides. Dein illos omnes qui ſunt unius b. 2 b. 4 b. 44 + 3 bb. 244 +66bb. 444 þ 12 bb, * — 344. 20 644. 4bb 1244 a 4 —3bx ＋ 26 b. 12xx — gbx + 6bb. 5 x. zx. zx 44. 6x 84. zxx — 44x. 6xx | 2X8 + 4x — 344. 4XX + 24 — Gaa. dimenſionis rejiciendos eſſe ſentio, quia ſimplices b. 2b. 4b. x. zx, & partes compoſitorum 3x — 44. 6x — $4, non niſi ſemel in omnibus diviſoribus re- periantur; tres autem ſunt literæ in quantitate pro- | | poſits Sax. 50 ALGEBRE@A poſita, & partes illz unicam tantum involvunt, at- que adeo bis reperiri deberent. Similiter diviſores duarum dimenſionum aa + 3 bb. 2 aa + 6bb. 444 +12 bb. bb — 34a & 4bb — 12 aa rejicio, quia par- tes corum 44. 244. 44a. bb & 4bb unicam tantum li- teram 4 vel h involventes non nifi ſemel reperiun- tur. Diviſoris autem 2bb — 6aa, qui ſolus reſtat & regione x, partes 25¹ & Ca quæ ſimiliter unicam tantum literam involvunt, iterum reperiuntur, nempe pars 266 in diviſore 4xx — 3bx + 2b & rs 6aa in diviſore 4xx + 24x — 64s. Quin etiam i tres di viſores in ſerie ſunt, ſtantes è regione trium literarum x, 4, 6 ; & omnes eorum partes 2bb, 6aa, 4xx quæ unicam tantum literam involvunt bis re- periuntur in ipſis, idque ſub propriis ſignis; partes vero zbæ, 2ax quæ duas literas involvunt non niſi ſemel occurrunt in ipſis. Quare horum trium di- viſorum partes omnes diverſæ 2bb, daa, 4xx, 3bx, z ax ſub ſignis ſuis connexæ, diviſorem deſideratum 2bb — Ca + 4xx - zx + 2ax conflabunt. Per hunc itaque divido quantitatem propoſitam & ori- tur 3x3 —gaxx — 2aab — 63 Si quantitatis alicujus termini omnes non ſunt æ- que alti, . e ſunt dimenſiones deficientes per dimenſiones literæ cujuſvis aſſumptæ, dein per præcedentes regulas invento diviſore, litera aſ- ſumpta delenda eſt. Ut ſi quantitas fit 1 2&3 —14bxx + gxx —12bbx —6bx 48x +863 —-12bb —4b +6: ailume literam quamvis c, & per dimenſiones ejus comple dimenſiones quantitatis propoſitæ ad hunc modum 12 x3 — 14bxx + 9cxx — 12bbx — 6bcx + $cex + $63 — 12bbe — 4bee ＋ 6c3. Dein hu- jus diviſore 4x — 2b + 3c, invento dele c; & habe- bitur diviſor defideratus 4x — 2b + 3. Aliquando divifores facilius quam per has regu- las inveniri poſſunt. Ut ſi litera aliqua in quantitate propo- 4 * 5 : Sf r us * 4 we” a 4 £4 ” RE 1 e " nnn, tes EP” * r 88 1 1 _ 3 5 2 1 a hs. od | | ELEMENTA. 7 propoſita fit unius tantum dimenſionis; quæren- dus erit maximus communis diviſor terminorum in quibus litera illa reperitur, & reliquorum termino- rum in quibus non reperitur, nam diviſor ille to- tam dividet. Et ſi nullus eſt ejuſmodi communis diviſor, nullus erit diviſor totius. Exempli gratia, fi proponatur quantitas x* ; — 8$4axx + 184* x — x3 + acxx — 8aacx + 6a*c — 84*; quzratur communis diviſor terminorum —cx3 +acxx — $aacx + 64*c in quibus c unius eſt tantum di- menſionis, & terminorum reliquorum x* 3 4x3 — 8 aaxx +18 a x — $4* ac diviſor ille nempe xx +2 4x — 2 aa dividet totam quantitatem. Czterum maximus duorum numerorum diviſor communis, {1 prima fronte non innoteſcit, inve- nitur perpetua ablatione minoris de majori & reli- = de ablato. Nam quæſitus erit diviſor qui tan- em nihil relinquit. Sic ad inveniendum maxi- mum communem diviſorem numerorum- 203 & 667, aufer ter 203 de 667, & —_—_— 58 ter de 203, & reliquum 29 bis de 58, reſtabitque nihil: Quod indicat 29 eſſe diviſorem quæſitum. | Haud ſecus in ſpeciebus communis diviſor, ubi compoſitus eſt, invenitur ſubducendo alterutram quantitatem , aut multiplicem ejus de altera: fi modo & quantitates illæ & reſiduum juxta literæ alicujus dimenſiones ut in Diviſione oſtenſum eſt, -ordinentur, & qualibet vice concinnentur dividen- do ipſas per ſuos omnes diviſores qui aut ſimplices ſunt, aut ſingulos terminos inſtar ſimplicium divi- dunt. Sic ad inveniendum communem di viſorem Numeratoris ac Denominatoris fractionis hujus x* —3 4x3 —8aaxx +186 8 „ * — , multiplica K — 4axx — 8aax + 6 43 | | Denominatorem per x ut primus ejus terminus eb a- 1 dit 52 4LGEB RNA dat idem cum primo termino numeratoris. Dein aufer, & reſtabit — 2 ax3 +12 2 — $4*, quod concinnatum dividendo per — 24 evadit x3 Ga + 44*. Hoc aufer de Denominatore & reſtabit — 4xx — 24ax + 2. Quod itidem per — 4 divi- ſum fit xx» + 24x — 244. Hoc autem per x mul- tiplica, ut ejus primus terminus evadat idem cum primo termino noviſſimi ablati x3 — G A + 443 z de quo auferendum eſt ; &reſtabit — 2axx — 44ax + 443 , quod per —24diviſum fit etiam xx + 24x — 244. Et hoc cum idem fit ac ſuperius reſiduumy . ablatum relinquat nihil, quæſitus erit iviſor per quem fractio propoſita, facta Numera- toris ac Denominatoris diviſione, reduci poteſt ad xx — $ax + 446 x —34 Atque ita ſi CA +15 4% —44*cc —I0aabce habeatur ſractio 94*b — 27aabc — Gabce + 186c® I termini ejus imprimis abbreviandi ſunt dividendo numeratorem per 44 ac Denominatorem per 36. Dein ablato bis 3 43 — 9 aac — 2acc + 6c3 de 64 + 15 aab — 4acc — lobe, reſtabit 1187 | ſimpliciorem, nempe ad bis 44 ng Quod concinnatum dividendo terminum utrumque per 56 þ 6c perinde ac ſi 56 þ 6c ſimplex eſſet quantitas, evadit 344 — 2cc. Hoc multiplica- tum per à aufer de 343 — 944c — 2 4cc ＋ 6c3 & ſe- cunda vice reſtabit — gaac + 6c3 quod itidem con- cinnatum per applicationem ad —3c, evadit etiam 344 — 2Cc ut ante, Quare 344 — 2cc quæſitus eſt diviſor. Quo invento, divide per eum partes fra- Rionis propoſitæ & obtinebitur 2 prope nur "3b — gbs Quod ELEMENTA 33 Quod ſi diviſor communis hoc pacto non inve- piatur, certum eſt nullum omnino exiſtere, niſi for- ſan è terminis prodeat per quos Numerator ac De- nominator fractionis abbreviantur. Ut {1 habeatur factio aadd — ccdd — aacc . — 4acd — 2acc + 2c | juxta dimenſiones literæ 4 diſponantur ita ut Nu- aa } 1 — aacc merator evadat dd + _ Fins Hos imprimis oportet abbreviare dividendo utrumque Numeratoris terminũ per aa ce & utrumque Denominatoris per 24— 2c perinde ac ſi aa - cc & za 2c eſſent ſimplices quantitates. Atque ita vice Numeratoris emerget dd cc, & vice Deno—- minatoris 24d — cc, ex quibus fic præparatis nullus communis diviſor obtineri poteſt. Sed è terminis aa — cc & 24 2c per quos Numerator ac Deno- minator abbreyiati ſunt, prodit ejuſmodi divi- ſor, nempe a—c, cujus ope fractio ad hane add + cad — acc — c 444 - 2 ce que termini a4 —cc & 24 — 2c communem diviſo- rem habuiſſent, fractio propoſita ſuiſſet irrcducibilis, Et hec generalis eſt methodus inveniendi com- munes diviſores : Sed plerumque expeditius inve- niuntur quzrendo omnes alterutrius quantitatis - diyiſores primos, hoc eſt, qui per alios dividi nequeunt, ac dein tentando fiqui alteram di- vident abſque reſiduo. Sic ad reducendum a3 — aab + abb — 63 — ad minimos terminos, inye- aa — ab m . niendi ſunt diviſores quantitatis 24 — ab, nempe 4 & a —b. Dein tentandum eſt an alteruter & vel a — dividet etiam 4 — aab + abb —b3 abſque denduo. D 3 De ac termini ejus ac Denominator reduci poteft. Quod fi ne- 66 JLEKBRLE DeREepucTioneEt FRACTIONUM ad communem Denominatorem. Ractiones ad communem Denominatorem redu- cuntur multiplicando terminos 0 28 per denominatorem alterius. Sic habitis © & 3 duc 7 a 2 3 a i terminos unius in d, & viciſſim terminos alterius ad 7 in b, & evadent 22 ja & 7 quarum communis eſt 2 denominator d. Atque ita a & 7 ſive a & 2 ac ab 8 ; evadunt w & =, Ubi vero Denominatores com- munem habent diviſorem, ſufficit W al- 2 ternè per Quotientes. Sic ſractiones > 7 & =, ad 2 a c haſce - — & 75 3 reducuntur, nckiabceads alternè per Pos Wn c ac d ortos di viſione denominato- rum per communem diviſorem 6. Hzxc autem Reductio præcipuè uſui eſt in Ad- ditione & Subductione ſractionum, quæ fi diverſos habent denominatores, ad eundem en ſunt antequam uniri poſſunt. Sic 74 7 per reductio- be ad + be ab nem cvadit 24 ſive Eta + f eva- 3 40 +46 4 2 a dA c hes dit * — Ext 3 | — evadit — 1 wins, Et ELEMENTA 55 Of + xt ** PORES | ; Et —-— —cc xx evadit ———-. Atque ita cc —xx CC — xXx + ++ evadit 3+ 11 ſive La ge hoc eſt 27. Et „ z eyadit 43 — 2, five #3, Et 4 — 4 evadit A mn five & hoc elt; 3. Et z. "ae + þ $ evadit AL 4. + five . Et 254 eum . Fractiones 3 * ſunt gradatim uniri de- 2 X ax 44 bent. 3 ab TE” :: Gas x aufer a & reſtabit © == = adde £5 & pro- — 3 dibit 2 N „unde aufer denique nies * CES | & reſtabit 3* — - Atque ita | z aa — 3 AXX {1 habeatur 3+ — +, imprimis aggregatum 3+ inve- niendum eſt nene dein ab hoc auferendum 4 & reſtabit 11. De RE DU TIONE RADICALIUM ad minimos termings. Adicalis, ubi totius radix extrahi nequit, ple- rumque concinnatur extrahendo radicem di- viſoris alicujus. Sic y/ aabc extrahendo radicem di- viſoris 44 fitay/be. Et y/ 48 extrahendo radicem diviſoris 16 fit 4/3. Et „48 aabc extrahendo radicẽ io] OR 3 diviſoris 16aa fit 44 / 36c. Et V — . ne extrahendo radicem di viſoris © — 5 + == 25 D 4 4 — 0 4 LGEB RA — aaoomm 4 aams3 ey y ab. Et 1 ——- — 4 extrahen- do radicem diviſoris — fit 2 00 + 4p. Et 6 extrahendo WY 1 diviſoris 43 fit 32/2, five „ radicemque denominatoris adhuc extra- hendo, fit „1 / 6. Et fic «\/2 five a Ve extra» hendo radicem denominatoris fit y/ ab. Et y* $4*%k +164* extrahendo radicem cubicam diviſo- ris $84* fit 244/* : b + 24. Haud ſecus /* a* ex- trahendo radicem quadraticam diviſoris aa fit / in „ax vel extrahendo radicem quadrato-gyagrati- 3 2 a cam di viſoris a* fit a Atque ita /: 4 X SEES i 4 E convertitur in 4 „: 4, vel in axy 65 * vel in 5 2x * * 3 AA.. Cæterùm hæc reductio non tantùm concinnan- dis radicalibus inſervit, ſed & earum Additioni & dubductioni, ſi modo ex parte radicali conveniant ubi ad formam ſimpliciſſimam reducuntur. Tunc enim uniri poſſunt, quod aliter non fit. Sic 48 ++ 75 per reductionem evadit 4/3 +5y3 hoc cit 93. Et / 48 — 3% per reductionem evadit 4v3z—Fyz hoceſt */3. Et fi VE + * . 0 4 | Lad extrahendo quicquid eſt rationale, evadit 7 40 ＋ 26 ab hoc eſt - ab. Et /: 84b +164* —*:4* ＋ abi CVa- ELEMENTA 57 evadit 244/*: b+2a—by*:b+24 hoc eſt 24 —byz:b +24. De REpucriont RADICALIUM ad eandem denominationem. UM in radicalibus diverſe denominationis inſtiruenda eſt multiplicatio vel diviſio, opor- tet omnes ad eandem denominationem reducere, idque przfigendo ſignum radicale cujus index eſt minimus numerus quem earum indices dividunt abſque reſiduo, & ſuffixas quantitates toties dempta una vice in ſe ducendo quoties index ille jam ma- jor evaſerit. Sic enim y/ax in : aax evadit : A*; in VS: A hoc eſt Y: 4 X. Et a in /“: ax evadit / *:aain Y: ax hoc eſt /*: ax. Et & in /: ; evadit /*: 36 in /“: 2 hoc eſt /+*: 30. Eadem ratione 4 / bc evadit / aa in le hoc eſt / aabc. Etqay 36c evadit / 1644 in ; bc hoc eſt / 48 aabe. Et 24 5: 424 eva- dit /: 843 in V: Æ 2a hoc eſt * : 8464164“. - "of 8 .; of as ac 6 abb Atque Ita 3 ſit bb five VF. Et 7718455 fit VI 44b* „ien +2 ab, Et ſic in aliis. 3838 ALGEBRA DeREeEpuUucTiIoONEtE RADICALIUM ad ſimpliciores radicales per extrattionem radicum. | — quantitatum quæ ex integris & radi- calibus quadraticis componuntur, ſic extrahe. Deſignet A quantitatis alicujus partem majorem, . | . A+4y/AA—BB B partem minorem : & exit ———— . * . 0 A AA—BB quadratũ majoris partis radicis; & * : quadratum partis minoris, quz quidem majori ad- nectenda eſt cum ſigno ipſius B. Ut ſi quantitas tit 3 + y/$, ſcribendo 3 pro A, & s pro B, erit AA-BB =, indeque quadratum majoris par- 4.5 tis radicis 2 25 id eſt 2, & quadratum minoris partis — id eſt 1. Ergo radix eſt 1 . Rur- ſus ſi ex /32 24 radix extrahenda fit, ponen- do 4/32 pro A & /24 pro Berit / AA — BB 3, & inde LEA — hoc eſt z V2 & V2 quadrata partium radicis. Radix ita- que eſt 9178 — 51. Eodem modo fi de aa +2x aa — xx radix extrahi debet, pro A ſcribe aa, & pro B zx Laa —xx, & erit AA BB —a* — 44a xx + 4 x*. Cujus radixelt aa — 2xx. Un- de quadratum unius partis radicis erit 4a — xx, il- lud ELEMENT A 59 lud alterius xx ; adeoque radix x + y/ 4a — XX. Rurſus fi habeatur 44 ＋ 5ax —24y ax +4xx, ſcribendo aa + 5 ax pro A & 24 ax +4xx pro B, fiet AA — BB —a* +64*x þ gaaxx cu- jus radix eſt aa +3 ax. Unde quadratum majoris partis radicis erit aa + 44x, illud minoris ax, & ra- dix /A +4ax — + 4 Denique ſi habeatur 6+ /8—y12 — y 24, ponendo G ＋ 8 A & —y/12 —4/24=B fiet AA BB 8. Un- de radicis pars major / 3 + y/ hoc eſt (ut ſupra) I ＋ VI, & pars minor y/3, atque adeo radix ipſa 1+y/2—y3. Cæterum ubi plures ſunt hujuſ- modi termini radicales, poſſunt partes radicis citius inveniri dividendo factum quarumvis duarum radi- calium per tertiam aliquam radicalem quz producit quotum rationalem & integrum. Nam Quoti iſtius radix erit duplum partis radicis quæſitæ. Ut in ex- ; SBXV/Iz V8Xv24 __ emplo noviſhmo = = IR = y/ 12 X24 / 1 26. Ergo partes radicis ſunt 1,2, y ut ſupra. > Eſt & regula extrahendi altiores radices ex quan- titatibus numeralibus duarum potentia commenſu- rabilium partium. Sit quantitas A B. Ejus pars major A. Index radicis extrahendæ c. Quære mini- mum numerum N, cujus poteſtas N- di viditur per AA — BB {ine reſiduo, & fit quotus Q. Computa Ee — — /A +#BXyQ in numeris integris proximis. Sit illud r, Divide Ay Q per maximum diviſorem | rationa- 60 4ILGEB RA rationalem: Sit quotuss, ſitque +7 in numeris in- | 25 | 5 ts yu - ,. tegris proximis t. Et erit "I radix quæ· fita, ſi modo radix extrahi poteſt. Ut fi radix cubica extrahenda fit ex / 968 + 25 ; erit AA BB z; ejus diviſores 7,7, 73 ergo N—=7&Q=1. Porro A＋BNJVYOQſeu y 968 ＋ 25 extracta prioris partis radice fit paulo major quam 56: ejus radix cubica in numeris proximis eſt 4. Ergo r —4. Inſuper A/ Qſeu y/ 968 ex- trahendo quicquid rationale eſt fit 22 /2. Ergo \/ 2 ejus pars radicalis eſt 5, & 5 ſeu — in numeris integris proximis eſt 2. Ergo : 2. De- — 2c 6 nique es eſt 2 / 2, /itss —neſti &/Q ſeuyn eſt 1. Ergo 24/2 +1 eſt radix quæſita {i modo radix extrahi queat. Tento itaque = multiplica- tionem ſi cubus ipſius 2/2 +1 fit / 968 þ 25 & res ſuccedit. Rurſus ſi radix cubica extrahenda ſit ex 68—4/43 74; erit AA BB —250, Cujus diviſores ſunt 33.2. Ergo N J, 2 —10, & Q. Et ATEX ſeu 88 + + 4374 X 2 in numeris proximis in- tegris eſt 7 r. Inſuper A/ Q ſeu 68 /4 extra- hendo quicquid rationale eſt fit 136 /1. Ergo t, & gh ſeu 7+” in numeris integris pro- 23 WES ximis eſt 4 :: ergo tt =4, Vit - =y/6 & /Q ELEMENT A. 61 2 74 ſeu / 2 atque adeo radix tentanda 8 v2 | | Iterum f radix quadrato-cubica extrahenda ſit ex 29/6 +4ty3;EritAA — BB =}, adeoque N;. Q=81,7r=5,5=y/6, t=1. ts s. tu —n=4/; & Y 81 ſeu 75 atque 6 | adeo radix tentanda LEELI, 7 F Cæterum in hujuſmodi operationibus {i A tas fractio fit vel ejus communem — di vi ſorem; radices denominatoris, & factorum ſeor- fim extrahe. Ut fi ex / 242 — 12 fl radix cubica extrahenda ſit; hoc, reductis pms ad commu- 68 — nem denominatorem, fiet V9 : * Dein ex- tracta ſeorſim numeratoris ac denominatoris radice cubica orietur = — 2 Rurſus ſi ex 3993 2 + 17578125 radix aliqua extrahenda fit; divide partes per communem diviſorem v3, & emerget i +y/ 125. Unde quantitas propoſita valet v3 in 11 + y/ 125, cujus radix invenietur extrahendo 7 radicem factoris utriuſque v3 & 11 + 125. De 62 'ALGEBReEeA De forma AQUATIONIS. i QUAT1ONES, quz ſunt quantitatum aut ſibi mutuo æqualium, aut ſimul nihilo zquipol- lentium congeries, duobus przcipue modis conſide- tandæ veniunt: vel ut ultimæ concluſiones ad quas in Problematis ſolvendis deventum eſt, vel ut me- dia quorum ope finales æquationes acquirendæ ſunt. Prioris generis æquatio ex unica tantum incognita quantitate * involuta conflatur, modò Pro- blema fit definitum & aliquid certi quærendum innuat. Sed ez poſterioris generis involyunt plu- res quantitates incognitas quæ ideo debent inter ſe comparari & ita connecti ut ex omnibus una tan- dem emergat zquatio nova cui ineſt unica quam quærimus incognita quantitas admiſta cognitis. Quz quantitas ut exinde facilius eliciatur, æquatio iſta variis plerumque modis transformanda eſt, do- nec evadat ea {impliciſſima quæ poteſt, atque etiam ſimilis alicui ex ſequentibus earum gradibus, in uibus x deſignat quantitatem — ad cujus 2 termini, ut vides, ordinantur, & Þ> 4» r, 3 alias quaſcunque quantitates ex quibus deter- minatis & cognitis etiam x determinatur, & per me- thodos poſt explicandas inveſtigari poteſt. X p. K . Xx=px -þ q- Vel xx—px —q =0. & —pxx+qx br. * —pxx—qx ro. x*—px* +qrx-þrx+s. * - —qzx—rx—s$=0. &c. &c. Ad horum normam itaque termini æquationum ſecundum dimenſiones incognitæ quantitatis in or- dinem ſemper redigendi ſunt, ita ut primum lo- cum occupent in quibus incognita pms eſt pluri- ELEMENTA 6z plurimarum dimenſionum, inſtar x, xx, x*, *, & ſecundum locum in quibus ea eſt una dimenſione minor, inſtar p, px, pxx, px*, & ſic præterea. Ee quod ſigna terminorum attinet, poſſunt ea omni- bus modis ſe habere : imo & unus vel plures ex intermediis terminis aliquando deeſſe. Sic x3 & — bbx + 63 —0© vel x3 = bx —b3, eſt æquatio tertii gradus, & 2725 * 2 =O qua- tio quarti. Nam gradus æquationum æſtimantur ex maxima dimenſione quantitatis incognitæ, nullo reſpeftu ad quantitates cognitas habito, nec ad in- termedios terminos. Attamen ex defectu interme- diorum terminorum æquatio plerumque fit multò ſimplicior, & nonnunquam ad gradum inferiorem quodammodo deprimitur. Sic enim x* —qzxx + s æquatio ſecundi gradus cenſenda eſt, fiquidem ea in duas ſecundi gradus zquationes reſolvi poteſt. Nam ſuppoſito xx —y, & y pro xx in zquatione illa perinde ſcripto, ejus vice prodibit yy —qy + s, æquatio ſecundi gradus: cujus ope cum y inventa Es æquatio xx—y ſecundi etiam gradus, da- IT x, Atque he ſunt concluſiones ad quas Problemata deduci debent. Sed antequam eorum reſolutionem aggredlar, opus erit ut modos transformandi & in ordinem redigendi æquationes, & ex mediis elicien- di finales æquationes abſtracte doceam. Æquatio- nis autem ſolitariæ reductionem in ſequentibus re- gulis complectar. De 7 elicietur per Reg. 5. ſequentem, 64 4LGEB RA. De concimanda (guat ione ſolitaria. RES. I. SA ſunt quantitates quæ ſe mutuo deſtruere, vel per Additionem aut Sub- ductionem coaleſcere poſſunt, termini perinde mi- nuendi ſunt. Veluti ſi habeatur 56 — 3a + 2x = 54 +3x aufer utrinque 2x & adde 34 proditque — 444, de- 2 ab + bx 5b=84+x. Atque ita lendo zquipollentes . — E, endit 2 S4. Ad hanc Regulam referri debet etiam ordinatio terminorum æquationis quæ fieri ſolet per tran ſla- tionem ad contrarias partes cum ſigno contrario. Ut ſi habita zquatione 5b — 84 + x deſideretur x; aufer utrinque 84, vel, quod eodem recidit, trans- fer $4 ad contrarias partes cum ſigno mutato, & pro- dibit 56 —$4—=x. Eodem mode ſi habeatur aa — 3 ay = ab — bb + by ac deſideretur y, tranſ- pone — 3ay & ab —bb, eo ut ex una parte conſiſtant termini . eo per y, & ex altera reliqui ter- mini, & prodibit 44 — ab + bb = 3ay + by; unde ividendo ſci- licet utramque partem per 34 +6, prodibit enim 8 =. Atque ita æquatio abx +a? 34 +6 — 4ax — abb — 2 abæ — x3 per debitam tranſpoſi- aa — a3 tionem & ordinationem evadit x3 — 1 4 Labb, REG. II. Siqua compareat quantitas per quam omnes æquationis termini multiplicantur, debent omnes per illam quantitatem dividi: vel ſi per | eandeny * N 2 ts . 2 + h * 3 5 * o 1 1 2 * 1 . of * * 8 5 ELEMENT A. 65 eandem quantitatem omnes dividantur debent om- nes per illam multiplicari. Sic habito 15 — 2 + 36x, divide terminos omnes per 6 & fit 156 =244+3X. Deinde per 3 & fit gb —=84+ xXx. 43 bbx xx Vel habito 3 multiplica omnes per e 63 bbx a C Res. III. Siqua fit fractio irreducibilis in cu- jus denominatore reperiatur litera illa ad cujus di- menſiones æquatio ordinanda eſt, omnes æquatio- nis termini per iſtum denominatorem, aut per ali- quem diviſorem ejus mu'tiplicandi ſunt, Ut fi 1 | 8 æquatio +6b — x ſecundum x ordinanda fit, mulriplicentur omnes ejus termini per 4 — x dend- a 8 : 1 minatorem fractionis wg” ſiquidem x inibi repe- riatur, & prodit ax þ ab — a —xx, ſeu ab — bx xx, & acta utriuſque partis tranſla- tione xx — bx — ab. Atque ita ſi habeatur 3 c terminique juxta q ordinandi fi . que juxta y ordinandi ſint. multiplicentur per denominatorem 2 cy — cc vel fal- tem per diviſorem 23 c quo y tollatur E denomi- a3 — 4 - natore, & exurget - 275 — 30 Her &cor- —cc +3 = . Adeundem modum = —4 —=x multiplicando per x evadit aabb x: 4a — AX = xx, & 2 X. = multiplicando * . primo 66 ILGE BRA primo per xx, dein 42 + b — x evadit SES 7 22 2 RE G. IV. Sicui ſurdæ quantitati irreducibili litera illa involvatur ad cujus dimenſiones æquatio ordinanda eſt, cæteri omnes termini ad contrarias partes cum ſignis mutatis trans ferendi ſunt, & utra- | > pars æquationis in ſe ſemel multiplicanda ſi ra- ix quadratica fit, vel bis ſi fit cubica &c. Sic ad ordinandum juxta x æquationem y/ a4 - 4x = x, transferatur 4 ad alteras partes, fitque y aa — 4x =X — 4; & quadratis partibus, 44 —ax — xx — 24x -þ aa, ſeu o xx ax hoc eſt x . Sic etiam : aax + 24x x —x3 - +x=—0, tranſ- ponendo — a+ x evadit : 4 + 2 axx —x* Sa- x, & partibus cubicè mu tiplicatis aa + 24axx — x3 —=43 zaax +3 axx — x*, ſeu xx =44x - 44. Et ſic y=y/a +y —4av4—» quadratis partibus evadit yy —ay +3j —4 / = & terminis debit? tranſpoſitis ay =a y/ ay — yy ſeu FN . & partibus iterum quadratis yy — ap — yy, & tranſponendo denuo, 2yy = ay five 23 —=4. Res. V. Terminis ſecundum dimenſiones li- teræ alicujus ope præcedentium regularum diſpoſi- tis, ſi maxima ejuſdem literæ dfmenſio per cogni- tam quamlibet quantitatem multiplicetur, debet tota æquatio per eandem dividi. Sic 23 S divi- dendo per 2 evadit y = 54. Et - — 4 dividendo b 4a 3 —247 per — Evadat x = T · Et "= af 5 1 | ws Lu Tur —4*cc — © dividendo per 2.4c — cc evadit 15 * 1 » S | ELEMENTA. 67 3 3 3 L xx 7 * *x Acco, ſive 2 pr * faac aac | 90" ar —or 8 ——_— 2AC — CC REC. Vi. Aliquando reductio inſtitui poteſt dividendo zquationem per compoſitam aliquam quaotitatem. Sic enim 5 = Is JV) + zbcy — bbc, ad hanc yy — — 20 + bc reducitur trans- ferendo terminos omnes ad eaſdem partes hoc modo, FE Ty —3bcy + bbc So, & dividendo pet y - ut in capite de diviſione oftenſum eſt : prodibit enim yy + 2cy — bc =o. Aſt hujuſmodi diviſorum inventio difficilis eſt & alibi ſatius docebitur. XE S. VII. Aliquando etiam reductio per ex- tractionem radicis ex utraque æquationis parte in- ſtituitur. Quemadmodum fi habeatur xx — Las bb, extracta utrobique radice prodit &= bb. Quod ſi habeatur xx + as = 2ax + bb transfer 24 & exurget xx 24 +aa = bb, extraftifque par- tium radicibus x — a= vel —b, ſeu x = at b. Sic etiam habito xx —ax — bb, adde utrinque —ax + 3aa & prodit xx & + $aa ia — bb, & ex- tracta utrobique radice x —$a == ſew Et fic univerſaliter Si fit xx . p. J, erit . % TV. Ubi tp &qiifden ſignis ac & q in æquatione priori aficienda ſunt; ſed + 28 EE — 68 ALGEBRA ſemper affirmative ponendum. Eſtque hoc exem- plum Regula ad cujus ſimilitudinem æquationes omnes quadraticæ ad formam ſimp icium reduci ene poſſunt. E. 8 Propoſita qus LOT. ”y — * | | . „ + xx, ad extrahendam radicem conſer 5 cum p, & xx cum q, hoc eſt ſcribe — pro 27 & * 25 | 3 xx _ + *x pro 7; pp+q, atque orietur y —= + »* xx 8 Ve + xx, vel y = f V2 Eodem modo æquatio yy - 2cy +44 — ce conferendo 4—2c cum p, & 44 — cc cum q, dabit y —3; 4—c + y £44 —ac. Quinetiam æquatio quadrato - qua- dratica x* = — aa xx + ab3 cujus termini impares de ſunt, ope hujus regulæ evadit xx == 2 aa + y/44* +ab*, & extracta iterum radice x = * 14 ＋ν +ab*. Et ſic in aliis. Suntque hæ regulæ pro concinnanda æquatione ſolitaria, quarum uſum cum Analyſta ſatis perſpe- xerit, ita ut æquationem quamcunque propoſitam ſecundum quamlibet literarum in ea complexarum diſponere noverit, & ejuſdem literæ ſi ea unius fit dimenſionis, aut maximæ poteſtatis ejus ſi plurium, valorem elicere: haud difficilem ſentiet compara- tionem plurium æquationum inter ſe; quam pergo jam docere. — «tn. Zeit. Afi eta. 5. 3 Ut ſi E L EME NTA 6 De duabus pluribuſue æquationibus in unam transformandis ut incognitæ quantitates exterminentur. ( UM in alicujus problematis ſolutionem plures habentur æquationes ſtatum quæſtionis com- prehendentes, quarum unicuique plures etiam in- cognitæ quantitates involvuntur: æquationes iſtæ (duæ per vices ſi modo ſint plures duabus) ſunt ita connectendæ ut una ex incognitis quantitatibus per ſingulas operationes tollatur, & emergat æquatio nova. Sic habitis æquationibus 2 * =y +5, & x —y +2, demendo æqualia ex æqualibus prodi- bit x ;. Et ſciendum eſt quod per quamlibet æquationem una quantitas incognita poteſt tolli, atque adeo cum tot ſunt æquationes quot quanti- tates incognitæ, omnes poſſunt ad unam denique reduci in qua unica manebit quantitas incognita. Sin quantitates incognitæ ſint uni plures quam æ- quationes habentur tum in æquatione ultimò re- ſultante duæ manebunt quantitatis incognitæ, & ſi ſint duabus plures quam æquationes habentur tum in æquatione ultimò reſultante manebunt tres, & ſic præterea. 88 Poſſunt etiam duæ vel plures quantitates incog- nitæ 2 duas tantum æquationes ſortaſſe tolli. t ax -U ab - ax, & bx + by — bb þ az: tum æqualibus ad æqualia additis prodibit ax + bx = 4b + bb, exterminatis utriſque y & S. Sed ejuſ- modi caſus vel arguunt vitium aliquod in ſtatu quæſtionis latere, vel calculum erroneum eſſe aut non ſatis artificioſum. Modus autem quo una quantitas incognita per ſingulas æquationes tolla- tur ex ſequentihus patebit. E 3 Exter - 70 AL GEBROE Ecxtermmatio quantivztis incognite per equalitatem valorum ejus. EE M quantitas tollenda unius eſt tantum di- a menſionis in utraque zguatione, valor ejus uterque per regulas jam ante u Nlitas quærendus eſt, & alter valor ſtatuendus æqualis alteri. Sic poſitis 4 +x=b+y & 2x ＋45 = zl. ut exterminetur y æquatio prima dabit 4 + x — b =, & ſecunda dabit 30 — 2x — yp. . a+x—b i W —=3b — 2x, five ordinando x = -— — . b Atque ita 2X =, & 5 + x = ydant * i +x ſeu x — F- Et ax — 2by = ab, & xy = dant 4 = fe ordinando xx — br 2 Se. Item PEI —ab + xy, & bx + = 2.44 tollendo x dant * 229 = 9 : & red ucendo 7 — 2 52 2 =D ) + bbc SO. Denique x +3 —z—0o & ay = xs tollendo z A dantx+y () = 1 five xx + xy =ap. Hoc idem quoque perficitur ſubducendo alter- utrum valorem quantitatis incognitæ ab altero, & porerdo refiduum æquale nihilo. Sic in exemplo- rum primo tolle 39 — 2x wed et — 6 & manebit 3 4+3x—4b , five x 3 Ex. n — E L EME NTA. 51 Exterminatio quantitatis incognitæ ſubſti- tuendo pro ea valorem ſuum. UM in altera ſaltem æquatione, tollenda quan- titas unius tantum dimenſionis exiſtit, valor ejus in ea quærendus eſt; & pro ſe in æquationem alteram ſubſtituendus. Sic propoſitis xyy —b* & xx . ut exterminetur æ, prima da- bit : quare in ſecundam ſubſtituo — pro xz * PE 25 & prodit 1 + yy =by — —, ac reducendo y —by* + ab*yy 4-68 =. 3 Propoſit is autem ayy + aay—z* ; & - x, ut y tollatur, ſecunda dabit y — =. Quare pro "2 þ — 24% +44 . Et reducendo, z* — 24 + A —24'2, +4* =0. = ©. ) ſubſtitudo — in primam, proditque — Pari modo propoſitis 7 =2 & cy + 272 ce, ad ⁊ tollendum pro eo ſubſtituo 2 in æquationem ſecundam, & prodit cy + == cc. Cæterum qui in hujuſmodi computationibus ex- 1 ercitatus fuerit ſæpenumero contractiores modos | percipiet quibus incognita quantitas exterminari | N 8 bbx —< az poſſit. Sic habitis 4 = & x e ee fi 4a | zqualia multiplicentur zqualibus, prodibunt æqua- lia axx abb live x . Sed caſus ejuſmodi par- 1 ticu- 72 4LGEB RA ticulares ſtudioſis proprio marte cum res tulerit in- veſtigandos linquo. E xterminatio quantitatis incognite que plu- rium in utraque equatione dimenſianum exiſtit. 2 UM in neutra zquatione tollenda quantitas unius tantum dimenſionis exiſtit valor maxi- mæ poteſtatis ejus in utraque quærendus eſt; De- inde ſi poteſtates iſtæ non ſint eædem, æquatio po- teſtatis minoris multiplicanda eſt per — 5 quantitatem aut per ejus quadratum aut cubum &c. ut ea evadat ejuſdem poteſtatis cum æquatione al- tera. Tum valores illarum poteſtatum ponendæ ſunt æquales, & æquatio nova prodibit ubi maxima poteſtas ſive dimenſio tollendæ quantitatis dimi- nuitur. Et hanc operationem iterando quantitas illa tandem auferctur. | Quemadmodum fit xx + 5x zy & 2xy —3xx q; ut tollatur, prima dabit xx = — 5x -þ 3y7 & ſecunda xx — -_ 7. Pono itaque 3) — 5x 2 S 2Y | ; . — 2 5 . & fic x ad unicam tantum dimenſio- nem reducitur, adeoque tolli poteſt per ea quæ paulo ante oſtendi. Scilicet æquationem noviſſi- mam debite reducendo prodit gyy—1 5x=2x)—4s 11 : a five 5: ww 2 Hunc itaque valorem pro * in 8 2) +15 . : : aliquam ex zquationibys primo propoſitis (velut in S274 7210-6 4) +529 4225 __ —= Y. Quam, ut in ordinem rediga- xx + 5x =3))) ſubſtituo, &oritur tur ELEMENT AX. 73 tur, multiplico per 4% + 6oy + 225 , & prodit S + 7275 +16 + 999* +4% +675) + 300 =12p*+ 1803* Y, live 699* — g0y* +7277 +409 +316 =0. Præterea ſi fit y* =x1y + 3x, & = xx — — 3: ut , tollatur multiplico poſteriorem æquatiò- nem per ) & fit y* —xxy -- xyy — zy totidem di- menſionum quot prior. Jam ponendo valores ip- ſius j fibimer æquales habeo xyy +3.x —xxy — xyy — 37, ubi y deprimitur ad duas dimenſiones. Per hanc itaque & ſimpliciorem ex æquationibus primo propofitis yy X — xy — 3 quantitas y prorſus tollj poteſt infilieado veſtigiis prioris exempli. Sunt & alii modi quibus hæc eadem abſolvi poſ- ſunt; idque ſæpenumero contractius. Quemadmo- 2.x * dum ex * =—=< + xx & yy=2.xy 72 ut y de- leatur, extrahe in utraque radicem y ſicut in Reg. 7. 4 oſtenſum eſt, & prodibunt y===+ V= + xXx, 25 a & y—=x + V 7 xx. Jam hos ĩpſius valores po- . x* nendo æquales habebitur _ * * _ + xx =x þ+ — — k —Ü—2—— - 4 V— + xx, & rejiciendo æqualia * 2 + xx, re- xx ſtabit , vel xx =ax & K =. Porro ut ex æquationibus x +) + 2 — 20, & 4 | xx +) + _ =140 tollatur x, aufer y de parti- bus 74 4 L GEB RA bus æquationis primæ, & reſtat x ＋ 2 =20 1. E partibus quadratis fit xx + 2yy + 2 2400-409 4 + 372 tollendoque utrinque yy reſtat xx + yy + | = 400 — 497. Quare cum 400 — 40% & 140 iiſ- dem quantitatibus æquentur, erit 400 — 4OJ — 140, five y 6. Et fic opus iu pleriſque aliis æquatio- nibus conttahere liceat. Cæterum cum quantitas exterminanda mu'tarum dimenſionum exiſtit, ad eam ex æquationibus tol- lendam calculus maxime laborioſus nonnunquam re- quiritur: ſed labor tunc plurimum minuetur per ex- empla ſequentia tanquam regulas adhibita. RE G. I. Ex axx +bx þ+c =0,& fxx +gx +h=0, Exterminato æ prodit ah—bg—zcf x ab : +bh—cg Xx bf : F Nc o. Res. II. Ex ax Ex x +x +d=0, & fxx +gx+hb=o, 3 Exterminato x prodit ab- by --2cf x ahh: + bh cg 24 x fh: + —dp XA g F: + 3agh + bgg +4f x df =0. REG. III. Ex ax* A Ac Axe, & xx +gx+hb=0, 2 Exterminato x prodit ak—by —28f x ah? : +bh -cg —24f Ab: 4 agg + ct ch —deh+egg —2ej/2 + 3agh+bgg +dff x dtb : + 2 + 3bgh -afg +ef x ef : — by — 24h * gg s. REC. ELEMENTA 5 Res. IV. Exax +bxx+cx+d=9, & 3 +hbx+k=0, he: Exterminato x prodit ah — bg — 2c Kab — achk : + ak. + bb —c —24f oe +4f —34fk. k— 24g Xx bbfk; Verbi gratia, ut ex æquationibus xx +5x—3y)=0, & zxx—2.xy+4—0 exterminetur x: in regulam pri- mam pro 4, b, c ; f, g, & h reſpective ſub- ſtituo 1, 5, -; 3,—2&4. Et fignis + & — probe obſervatis oritur 4+109 +1897 X 4 : +20 — 6y* x I5: +4) =27)) X — YS = ©. Sive 16 +40 +72) +300 — 909? + 699* = 0. Simili ratione ut y deleatur ex æquationibus E= O +xy —Xx +3 =0, ia re- gulam ſecundam pro | „ W , f g b, & x ſubſtituo, I,—X, o, —3X ; 1, x, —xx+3, &y, reſpective, proditque 3 — xx + xx X 9 — 6xx + x* : —3x TX +6xX zx K: + 3xx X xx1 + 9x zx —x* —=3x zx S e. Tum de- lendo ſuperflua & multiplicando, fit 27 — 18x + 3xt, = gxx T, þ+3x* — 18K Iz =, Et ordinando x* ＋ 18x* — 45xx +27 -- 0. Hactenus de unica incognita qua..:.:ate E duabus æquationibus tollenda. Quod {: piures è pluribus tollendæ ſunt, opus per gradus peragetur: ex æ- quatiombus ax = yz, + y=2 &5r—y z, ft quantitas y elicienda fit, imprimis tolle alteram quartitatum æ aut , puta & ſubſtituendo pro ba | : 5 valo- — . zadb—cdf x agh — . — — — — R 76 4LGE B RA valorem ej 155 (per æquationem primam inven- tum) in æquationem ſecundam ac tertiam. Quo pacto obtinebuntur 2 + 0 r. * =J+32: E quibus deinde tolle ⁊ ut ſupra. De modo tollendi quantitates quotcunque furdas ex æquationibus. UC reſerre licet quantitatum ſurdarum ex- terminationem fingendo eas literis quibuſli- — — — bet æquales. Quemadmodum ſi fit / ay — 4/ aa 4 = 24 + y*: ay» ſcribendo z pro yay, v pro aa — ay, & xpro y: ayy habebuntur æquatio- nes: —#V=24 +X, It =4), Vu = — ay, & * — ay, ex quibus tollendo gradatim t, v, & x re- ſultabit tandem æquatio libera ab omni Aſymme- tria. Quomodo Quæſtio aliqua ad equationem redigatur. 5 Tyro in æquationibus pro arbitrio tranſ- formandis & concinnandis aliquamdiu exerci- tatus fuerit, ordo exigit ut ingenit vires in quæ- ſtionibus ad æquationem redigendis tentet. ro- ſita autem aliqua Quæſtione, Artificis ingenium in eo præſertim requiritur ut omnes ejus conditio- nes totidem æquationibus deſignet. Ad quod faci- endum perpendet imprimis an propoſitiones ſive ſententiæ quibus enunciatur ſint omnes aptæ quæ terminis algebraicis deſignari poſſint, haud ſecus quam concęptus noſtri charafteribus græcis vel la- | tinis. 1 1 ry # : + { 9 3 ELEMENT A. 77 tinis. Et ſi ita, (ut ſolet in quæſtionibus quæ circa numeros vel abſtractas quantitates verſantur,) tunc nomina quantitatibus ignotis, atque etiam notis, ſi opus fuerit, imponat; & ſenſum quæſtionis ſermone, ut ita loquar, analytico _— Et conditiones ejus ad algebraicos terminos fic tranſlatz tot dabunt æquationes, quot ci ſolvendæ ſufficiunt. Quemadmodum fi quzrantur tres numeri con- tinue proportionales quorum ſumma fit 20, & qua- dratorum ſumma 140: poſitis x, y & & nomini- bus numerorum trium quæſitorum, Quæſtio è lati- nis literis in algebraicas vertetur ut ſequitur. Queitio latine enunciata. | Eadem algebraice. Quzruntur tres nume . 5. 4 his conditionibus | Ut {int continue propor- tionales, Ut omnium ſumma ſit 20. * +) += =20. Et ut quadratorum ſum- | , e ma ſit 140. f 3 *. 71: 3. ⁊. ſive x2 =) Atque ita quæſtio deducitur ad zquationes X2 =)), x +3 =20 & xx + jj +22 —=140, quarum ope x, j & ⁊ per regulas ſupra traditas in- veſtigandi ſunt, Cæterum notandum eſt ſolutiones quæſtionum eo magis expeditas & arti ficioſas ut plurium eva- dere quo pauciores incognitæ quantitates ſub initio ponuntur. Sic in hac quæſtione poſito æ pro primo numero & y pro ſecundo, erit 23 tertius continue proportionalis; quem proinde ponens pro tertio aumero, quæſtionem ad æquationes ſic reduco. Quæſtio : * { : 78 ALGEBRe@OA Quæſtio latine enunciata. Quzruntur tres numeri con- tinue proportionales, Quorum ſumma ſit 20, Et quadratorum ſumma 140. Habentur itaque zquationes x + y + 2 =20. | ] Eadem algebraicez *. 5.2 ? x +1+2 =20. * ** +37 + 5 = 140. 4 & xx ＋ * 140 quarum reductione x & determinandi ſunt. Aliud exemplum accipe. Mertator quidam num- mos ejus triente quotanis adauget, demptis 100 45 quas annuatim impendit in familiam, & poſt tres annos fit duplo ditior. Quæruntur nummi. Ad hoc autem reſolvendum ſciendum eſt quod plures latent propoſitiones quæ omnes ſic eruun- tur & enunciantur. Latine. Algebraice. Mercator habet num- mos quoſdam *. Ex quibus anno primo — — OO | „ acdauget x—100+ I:“ five * ſecundo ex- |4*— 429 28. pendit 100 h. Deen Et reliquum adauget |4*—799 422 G I6x—2800, triente. EY * Et fic anno tertio ex- 16x—2800 16* — 3700. pendit 100 N | We relies "= # 4 4 4 1 4 4 N 1 - A 7 ELEMENTA 35 16x—3700 , 16x—3700 Et reliquo trientem fi- | + 2 > ee = 9 7 militer lucratus eſt. 64x—14800, Fitque duplo ditior| 64x— 14800 __ quam ſub initio. 27 __ * Quæſtio itaque ad æquationem — 5 = —2x redigitur ; cujus reduſtione eruendus eſt x. Nempe duc eam in 27 & fit 64x — 14800 = 54x ſubduc 54x & reſtat 10x — 14800 , ſeu 10x = 14800, & dividendo per 20 fit x — 1480. Quare 1480 bh ſunt nummi ſub initio, ut & lucrum. Vides itaque quod ad ſolutiones quzſtionum quæ circa numeros vel abſtractas quantitatum relationes ſolummodo verſantur, nihil aliud fere requiritur quam ut è ſermone Latino, vel alio quovis in quo Problema proponitur, tranſlatio fiat in ſermonem (ſi ita loquar) Algebraicum, hoc eſt in characteres qui apti ſunt ut noſtros de quantitatum relationi- bus conceptus deſignent. Nonnunquam vero po- teſt accidere quod ſermo quocum ſtatus quæſtionis exprimitur ineptus videatur qui in Algebraicum pollit verti; ſed paucis mutationibus adhibitis, & ad ſenſum potius quam verborum ſonos attendendo verſio reddetur facilis. Sic enim quælibet a Gentes loquendi formæ propria habent Idiomata: - quz ubi obvenerint, tranſlatio ex unis in alias non verbo tenus inſtituenda eſt ſed ex ſenſu determi- nanda. Cæterum ut hujuſmodi problemata hac me- thodo ad æquationes redigendi familiaritatem con- vincam & illuſtrem, & cum Artes exemplis ſacilius quam præceptis addiſcantur, placuit ſequentium problematum ſolutiones adj ungere: PRO B. 80 JI LGEB RA Pros. I. Data duorum numerorum ſumma 4 & di fferentia quagratorum &, invenire numeros ? Sit eorum minor æ & erit alter 4 — x, eorumque quadrata xx & aa — 2ax + xx : quorum differentia aa — 24x ſupponitur b. Eſt itaque 44 — 2ax = b, indeque per reductionem 44 — b= 2ax ſeu —_ I " — - 4 —- —) = Sp 2 24 ExEMPLI GR, St ſumma numeroram ſeus ſit 8, & quadratorum differentia ſeu b 16: erit —a _ (=4&4=—1)=3 —=x & 4—x=5. Quare numeri ſunt 3 & 5. PRO B. II. Invenire tres quantitates X, & 2 quarum paris cujuſque ſumma datur. Si ſumma paris x & y lit a; paris x & z, 6; ac pa- ris & z,c: pro determinandis tribus quæſitis x, y & ⁊ tres habebuntur æquationes x + y a, x + z b, & y+z =c. Jam ut incognitarum duz puta y & exterminentur, aufer x utrinque in prima & ſecunda zquatione, & emergent y=a—x & -x, quos valores pro y & ⁊ ſubltitue in tertia, & orietur a+b—c, 2 4K +b—x—c & per reductionem x Invento x æquationes ſuperiores y =a —x & X b — x dabunt y & r. | ExkupT. Si ſumma paris x & y ſit 9, paris x & ⁊ 10, & paris j & X 13: tum in valoribus x, y & ⁊ ſcribe 9 pro 4, ro pro b,& 13 proc; & evadet 245 * Eo 2 4+b—c=6, adeoque x (= (Sax) , & (=b—x) =7. PROS, ELEMENT A. 81 PRO B. III. Quantitatem datam ita in partes quotcunque dividere ut majores partes ſuperent minimam per datas differentias. Sit 4 quantitas in quatuor ejuſmodi partes di vi- denda, ejuſque prima atque minima pars x, & ſu- = hanc exceſſus ſecundæ partis b, tortiæ partis c quartz partis : & exit x + b ſecunda pars, x + & tertia pars & x +4 quarta pars, quarum omnium aggregatum 4x +6 + c +d æquatur toti lineæ 4. Aufer jam utrinque 6 * ta y reſtat 4x = A—b—t—d — * * — 4 live x = 4 | ExEmPL. Proponatur linea 20 pedum fic in 4 par- tes diſtribuenda ut ſuper primam partem exceſſus ſecundz ſit z pedum tertiæ 3 ped. & quartz 7 ped. a —b—c- Et quatuor partes erunt x ( ET” live 5 2. x+b=4, x +c=5 & x 1429. Eodem modo quantitas in plures partes iiſdem conditionibus dividitur. PRO E. IV. Viro cuidam nummos inter men- dicantes diſtribuere volenti, deſunt octo denarii 2 minus det ſingulis tres denarios. Dat itaque ingulis duos denarios & tres denarii ſuperſunt. Quæritur numerus mendicantium. VE Eſto numerus mendicantinm æ & deerunt $ de- narii quo minus det omnibus 3x denarios ; habet itaque 3x — $ denarios. Ex his autem dat 2.x de- narios, & reliqui denarii x — $ ſunt tres. Hoc eft x—8=3 ſeu x =I. Pros. V. Si Tabellarii duo A & B 59 millia- ribus diſtantes tempore matutino obviam eant, quo- rum A conficit 7 milliaria 2 2 horis, & B * $2 4LGEB RAA in 3 horis, ac B una hora ſerius iter inſtituit quam A: Quzritur longitudo itineris quod A conficiet antequam conveniet B. Dic longitudinem illam x; & erit 59 — xlongi- tudo itineris B, Et cum A pertranſeat 7 mill. in 2 hor, pertranſibit ſpatium x in > bert, eo quod fit 7 mill. 2 hor. : : x mill. — hor. Atque ita cum b pertranſeat 8 mill. in 3 hor. pertranſibit ſpatium ſuum 59 — x in — 1 horis. Jam cum horum temporum differentia fit 1 hor; ut evadant æqua- lia adde differentiam illam breviori tempori nempe tempori — — & emerget 1 + —_ Et per reductionem 35 — x. Nam multiplicando per 8 fit 185 — 3x— TD Dein multiplicando eti- am per 7 fit 1295 —21x — 16x, ſeu 1295 =37x- Et dividendo denique per 37, exoritur 35 x. Sunt itaque 35 mill. iter quod A conficiet ante- quam conveniet B. Idem generalius. Datis duorum mobilium A & B eodem curſu pergentium celeritatibus, una cum intervallo loco- rum ac temporum à quibus incipiunt moveri: de- terminare metam in qua convenient. Pone mobilis A eam eſſe celeritatem qua ſpatium c pertranſire poſſit in tempore f, & mobilis B eam eſſe qua ſpatium d pertranſire poſſit in tempore g & locorum intervallum eſſe e, ac þ temporum in quibus moveri incipiunt. Cas. ELEMENT A. 83 Cas. I. Deinde fi ambo ad eaſdem plagas ten- dant, & A fit mobile quod ſub initio motus longius diſtat a meta: pone diſtantiam illam eſſe x, indeque aufer intervallum e, & reſtabit x—e prodiſtantia B a meta. Et cum A pertranſcat ſpatium c in tempore f, tempus in quo pertranſibit ſpatium æ erit A co quod {it ſpatium c ad tempus f ut ſpatium æ ad tem- pus E. Atque ita cum I pertranſeat ſpatium d in * g- tempus in quo pertranſibit ſpatium x — e erit 2" 4 ew Jam cum horum temporum differentia ſupponatur h, ut ea evadant æqualia adde þ brevi- * . * * * . e . * 5 ori teinport, nempe tempoti {1 modo B prius in- C 5 7 * — : : cipiat moveri, & evadet _ + h . Et F Ts 4. dh 5 per reductionem — vel 2- —=x. Sin A. == prius moveri incipiat adde þ tempori . & evader © =b& 482 755 » & per reductionem cge — cah g —af Ie Cas. II. Quad ſi mohilia obviam eant, & x ut a t: ponatur initialis diſtantia mabilis Aa meta, tum e—x exit initialis diſtantia ipſius B ab eadem & K E 5 *, atque 2 7 tempus in quo E conficict diſtan- — &. meta; tempus in quo A conficiet diftantiam F 2 | ttam 84 ILGE BRA tiam ſuam e — x. Quorum temgorum minori, ut ſupra, adde di fferentiam h, nempe tempori a ſi B prius incipiat moveri, & fic habebitur [= +h MY „ WO” þ 0 per reductionem IF * ” A prius incipiat moveri, adde h tempori 7 fe _ e —gx : & evadet * = +, & per reductionem 3 5 co + df — 25 E xEmPL. I. Si quotidie Sol unum gradum conficit & Luna tredecim, & ad tempus aliquod, Sol fit in principio Cancri atque poſt tres dies Luna in principio Arietis: quæritur locus conjunctionis proxime futuræ. Reſp. in 104 gr. Cancri. Nam cum ambo ad eaſdem plagas eant, & ferior fit Epo- cha motus lunæ quæ longins diſtat a meta: erit A Luna, B Sol g longitudo itineris lunaris, quæ, ſi ſcribatur 13 proc; rprof, d, ac g; 90 pro e; & 3 pro h; evadet Der, | 1351 — 151 hoc eſt 22 „ five 1004. Hos itaque gradus ad- jice principio Arietis & prodibit 104 gr. Cancri. ExE M . II. Si Tabellarii duo A & B 59 mil- liaribus diſtantes tempore matutino obviam eant, quorum A conficit 7 milliaria in 2 horis, & B 8 mil- laria in 3 horis, & B una hora ſerius iter inſtituit quam A: quæriter iter quod A conficiet antequam SY conve- E L EME NTA. 85 conveniat B. Reſp. 35 mill. Nam cum obviam eant & A primo inſtituat iter, ener iter quæ- ſitum. Et hoc, fi ſcribatur 7 pro c, 2 pro 7 8 pro d, 8,1 L „& h, der 22.32 $9 + 7» — 3 prog, 59 pro e, & i pro h, evade 775 ＋ 152 | hoc eſt =L five 35. Pros. VI. Data agentis, alicujus poteſtate, invenire quot ejuſmodi agentes datum effectum 4 in dato tempore h producent. Sit ea agentis poteſtas qua effectum c producere teſt in tempore 4, & erit ut tempus d ad tempus , Ita effectus c quem agens iſte producere poteſt in tempore d, ad effectum quem poteſt producere in tempore 6, qui proinde erit 7 Deinde ut unius 8 ad omnium effectum 4, ita agens d iſte unicus ad omnes agentes: adeoque agentium agentis effectus numerus erit —, bc ExEmMPL. Si ſcriba in $ diebus 15 folia deſcri- bere poteſt, quot ejuſmodi ſcribæ requiruntur ad deſcribendum 405 folia in 9 diebus? Reſp. 24. Nam ſi ſubſtituantur 8 pro d, 15 pro c, 405 pro 4 ad 485, 8 3240 1 8 bs 2 1 & 9 pro 6, numerus r evadet 3 es Try five 24. Pros. VII. Datis plurium agentium viribus, tempus determinare in quo datum effectum 4 conjunctim producent. F Agentium A, B, C, vires ponantur quæ in tem- poribus e, f, g producant 8 28 45 bi c W ; 3 8 & ALGEBROCE & hę in tempore x producent effectus— 5 25 D. Quare eſt — . + — 7 . & per reductionem — 4 SRI SSIS EXE. Tres mercenarii opus aliquod cer- tis temporihus perficere potſunt, viz. A ſemel in tri- bus ſeptimanis, B ter in octo ſeptimanis, & C quin- quies in duodecim ſeptimanis. Quzritur quanto tempore ſimul abſolvent? Sunt itaque Agentium A, B, C vircs quæ temporibus 358, 12 producant effectus 1, 3.5 reſpective: & e quo abſolvent eſfectum 1. Quare pro a, b, c, 4 . 2 ſcribe 15 35 55 1535 8, 123 & proveniet x — . n +43 +5 live ; ſept. hoc eſt 6 dies 55 horz, tempus quo ſi- mul abfolvent. PRO. VIII. Diſſimiles dyarum pluriumve re- tum mitturas its componere ut res illæ commiſtæ datam inter fe rationem acquirant. Sit umius miſturæ data quantitas 4 Ae B ATF C, aterius eadem quantitas gA -þ+hB+kC, & ea- dem tertiæ LA ＋ [ es ubi A, B, & C denotent res mii 2s, & 40, {; vg. h, EC. proportiones earundem in miſturis. Et fit yA + qB +rC mittura quam ex his tridus portet COMPONCTE 3 finge que x. y &'znu- m, A BTA C e collatis terminis ax + &7 +{> =p, ex +hy E , & fr +ky+#z=r, & per reductio- nem ELEMENT A. 87 nem ENA r— hy —nz e CE: . Et rurſus zquationes 22 == _ FED & — wWEERS — per reduction dant ep — dg + dmz, — elz, fq —er + enz,— fm eg — ah 5 ah 2 fh — & Quæ, ſi abbrevietur ſcribendo « pro ep q, x pro amel, 1 pro eg—ah, J pro fꝗ -er, 7 pro en fm, & o pro fh- el, evadet — — 2 . & per re- ductionem — = ⁊. Invento = pone = — =) & © — = = & ExxEMD TL. Si tres ſint metallorum collique- factorum miſturæ, quarum primæ pondo continet argenti 312, æris Ji, & ſtanni $3, ſecundæ pondo continet argenti FI, æris F512, & ſtanni $3, & tertiz pondo contineꝶ æris 514, ſtanni 52 & ar- genti nihil; ſintque hz miſturæ ita componendæ ut pondo compoſitionis contineat argenti 54 zris 39 & ſtanni 5; : pro d, e, F; g/ , Hl. , 1; p, q r ſcribe 12, 1, 3; 1, 12, 3; o, 14, 23 4, 9, 3 reſpe- ctive, & erit « (=ep—dqz=1,4 — 12,9) = — 104, & 4 ( dm el = 12, 14-1, 0) 168, & lic, —= — 143, J 24, = 40, & = zz. Adeoque z (= SY RENE 06 ; _«+ 6x 3 5720 $544 * A . CORES... 400 — —-1 =o Ee (nM Re” — #,. Quare ſi miſceantur ,*, partes pondo miſturæ ſecundæ, 4 partes pondo tertiæ & nihil primæ, F 4 48greo 88 ALGEBREe/A aggregatum erit pondo continens quatuor uncias argenti, novem æris, & tres ſtanni. Pros. IX. Datis plurium ex iiſdem rebus mi- ſturarum pretiis, & proportionibus mi ſtorum inter ſe, pre ti um cujuſvis è miitis determinare. Cujuſvis rerum A, B, C, miſturæ 4A ＋ ZB +/C pretium eſto p, miſturæ eA ＋hB + mC pretium 3. & miſturæ A + kB +»C pretium r; & rerum il- larum A, B, C quærantur pretia x, & K. Utpote pro rebus A, B, & C ſubſtitue earum pretia x, y & 2, & exurgent æquationes dx + gy Eg, ex + by + mz, q, & fx + ky + nz r, ex quibus per- gendo ut in præcedente Problemate, elicientur iti- 60 — v0 _ * EEx 2 _ n= . 1 => Ex EMV. Emit quidam 40 modios tritici, 24 modios hordei, & 20 modios avenæ ſimul 15 libris 12 ſolidis; Deinde conſimilis grani emit 26 modios tritici, 30 modios hordei, & 30 modios avenæ fi- mul 16 libris: Ac tertio conſimilis etiam grant emit 24 modics tritici, 120 modios hordei & 100 modios avenæ ſimul 34 lib. Quzritur quanti æſtimandus fit modius cujuſque grani ? Reſp. Modius tritici 5 ſolidis, hordei 3 ſolidis & ayenz 2 ſolidis. Nam pro 4, gel; e, kh, m; , EA; 5. 4, & r ſcribendo re- ſpective 40, 14, 20; 26, 30,50; 24. 120, 100; 15516, & 34; prodit « (=ep- dq=26,154, — 40, 16) =—2345; & 8 (—am — el = 40, 50 — 26, 20) =1480. Atque ita == 576, © —=— 500, 2 18 — 88 ) = . F (= {— 1400, & 1— — 2400. Adeoque z ( 56256q — 28300 274560 = - $06400 þ 345200 © 2745600 es 223474148 — 2 ) Sen 22 — 242060 * 4 =15+ % ELEMENTA , PRroB. X. Datis & miſturæ & miſtorum gra- vitatibus ſpecificis invenire proportionem miſtorym inter ſe. Sit e gravitas ſpecifica miſturæ A + B cujus A gravitas ſpecifica eſt a, & B gravitas b : & cum gravitas abſoluta ſeu E componatur ex moie corporis & gravitate ſpecifica, erit 4A pondus ip- ſius A, bB pondus ipſius B & eA þeB pondus aggregati A + B, adeoque aA + bB =eA + eB, indeque 4A —eA —eB —bB ſeue—b, 2—e:: A. B. Exp. Sit auri gravitas ut 19, argenti ut 10%, & Coronæ Hieronis ut 17 ; eritque 10. 3 (:: a> 4—e:: A. B) : : moles auri in corona, ad molem argenti, vel 190. 31 (:: 19 X 10,103 X3::4 Xe—b, bX a—e) :: pondus auri in corona, ad pondus ar- genti, & 221. 31 : : pondus coronæ, ad pondus ar- genti. Pros. XI. Si boves 4 depaſcant pratum & in temporec; & boves d depaſcant pratum zque bo- num e in tempore f, & gramen unitormiter creſcat : quzritur quot boves depaſcent pratum ſimile g in tempore h. Si boves ain tempore c depaſcant pratum b; tum per analogiam boves 74 in eodem tempore c, vel boves 3 4 in tempore f, vel boves j a in tem- pore h, depaſcent : pratum e: puta fi gramen poſt tempus c non creſceret. Sed cum propter graminig . : MN N incre- 3 | vo ALCE BRA incrementum bovesd in tempore f, depaſcant ſolum- modo pratum e, ideo graminis in prato e incrementum illud per tempus f—g tantum erit quantum per ſe ſuf- eca ficit paſcendis bobus 4 — F er tempus f, hoc eſt eca | a quantum ſufficit paſcendis bobus 7 35 ber tem- pus h. Et in tempore h c per analogiam tantum erit incrementum quantum per ſe ſufficit paſcendis 6 ach —ecah — bacf 4-aecc „ c Hoc incrementum adjice bobus 75 & prodibit bafh — ecah — bdcf + ec fa bth — bch paſcendis ſufficit pratum e per tempus h. Adeoque per analogiam pratũ g bobus bafgh — 7215 h . | per idem tempus h paſcendis ſufficiet. E x£mP1. Si 12 boves depaſcant 3+ jugera prati in 4 ſeptimanis; & 21 boyes depaſcant 10 ju- gera confimilis prati in 9g ſeptimanis; quæritur quot boves depaſcant 36 jugera in 18 ſeptimanis? Reſp. 36. Iſte enim numerus invenietur ſubſtituendo in bdfoh — ecagh — bac ecfoa a 21, 10, 9, 36, & 18 pro literis a, C, c, d, e, f. g & h reſpective. Sed ſolutio forte haud minus expedita erit ſi è primis principiis ad formam ſolutionis præ- cedentis literalis eruatur. Utpote fi 12 boves in 4 ſeptimanis depaſcant 33 jugera, tum per analogiam 36 boves in 4 ſeptimanis vel is boves in 9 ſepti- manis vel 8 boves in 18 ſeptimanis depaſcent to ju- gera: puta ſi gramen non creſceret. Sed cum prop- ter graminis incrementum 21 boves in 9 ſeptima- nis numerus boum quibus ELEMENT A. 91 nis depaſcant ſolummodo to jugera, illud graminis in 10 jugeris per poſteriores 5 ſeptimanas incremen- tum tantum erit quantum per ſe ſufficit exceſſiui boum 21 ſupra 16, hoc eſt 5 bobus per g ſeptima- nas, vel quod perinde eſt £ bobus per 18 ſeptima- nas paſcendis. Et in 14 ſeptimanis (exceſſu 18 ſu- 4 primas) incremeutum illud graminis per ana- giam tantum erit quantum ſufficiat 7 bobus per 18 ſeptimanas paſcendis; eſt enim 5 ſept. 14 ſept. q boves. 7 boves. Quare 8 bobus quos 10 jugera line incremento graminis paſcere poſſunt per 18 ſeptimanas adde hoſce 7 boves quibus paſcendis ſolum incrementum graminis ſufficit, & ſumma erit 15 boves. Ac denique ſi 10 jugera 15 bobus per 18 ſeptimanas paſcendis ſufficiant, tum per ana- logiam 24 jugera per idem tempus ſufficient 36 bobus. | | Proe. XII. Datis ſphæricorum corporum in eadem recta moventium, — occurrentium mag- nitudinibus & motibus, determinare motus eorun- dem poſt reflexionem. Hujus reſolutio ex his dependet conditionibus, ut corpus utrumque tantum reactione patiatur quantum agit in alterum, & ut eadem celeritate poſt reflexionem recedant ab invicem qua ante ac- cedebant. His poſitis ſint corporum A & B celeri- tates 4 & b reſpective; & motus (ſiquidem com- ponantur ex mole & celeritate corporum ) erunt aA & bB. Et ſi corpora ad caſdem plagas tendant, & A celerius movens inſequatur B, pone x decre- mentum motus 4A, & incrementum motus bB per- cuſſione exortum: & poſt reflexionem motus erunt aA—x&bB-+x;& celeviemes = ac RES A * quarum differentia æquatur a — differentiæ ce- lcritarum ante re flexionem. Habetur itaque æquatio bB + * 92 ALGEBRA —aA 4x EZ ab, & inde per reductio- nem fit e uo pro x in cel | — AFB » quo pro x in cele- ah —x 6B + x ritatibus K & Wo Hes ſubſtituto prodeunt aA—aB+26bB 3 24A —bA+bB —b celeritas ipſius A, & TB celeritas ipfius B poſt reflexionem. Quod fi corpora obviam eant, tum ſigno ipſtusb nbique mutato, celeritates poſt reflexionem erunt aA —B—25B, 26A +34 —6B al 2 Tr * terutra ſi forte negati va obvenerit, id arguit mo- tum illum poſtreflexionem ad plagam dirigi ei con- trariam ad quam A tendebat ante reflexionem. Id quod etiam de motu iplius A in caſu priori intelli- gendum elt. EXE MPT. Si corpora homogenea A trium li- hrarum cum celeritatis gradibus 8, & B novem li- brarum cum celeritatis gradibus 2 ad eaſdem plagas tendant: tunc pro A, a, B&b ſcribe 3, 8, 9 & 2; & aA —aB+26B 24A —bA+6B e "A+B ) 5. Recedet itaque A cum uno gradu celeritatis poſt reflexionem, & B cum quinque gradibus progre- dietur. Pros. XIII. Invenire tres numeros continue proportionales quorum ſumma ſit 20, & quadrato- rum ſumma 140. 4; | pone numerorum primum x, & ſecundum y ; erit- A, adeoque x +y + 2Z—20;& xx} 7 +1 ) evadit —1,ac ( que tertius ELEMENT A. 91 + 2 140. Et per reductionem XX + / X+y =0, & x* ba. xx +5* =0. Jam ut extermi- netur x, pro 4, b, c, d, e, f. g & h in Reg. 3. ſub- ſtitue reſpective 1, 0, ½ — 140, o,“; 1, — 20, & yy ; Et emerget — yy +280 9: + 2 — 497 x 260? — 409! : +3) x5* 2 — 2p x50 —49" + 400 y* : o. Et per multiplicationem 1600y® — 16400)! . ſeu y ge. Id quod etiam bre- vius alia methodo ſed minus obvia ſupra inventum eſt, Porro ut inveniatur x ſubſtitue 6 pro y in #+ quatione x 2 = if o. Et exurget xx 132A 4425 , ſeu xx =135x - 421. Et extracta radice x=64 vel - „;. Nempe 64 4 eſt maximus quæ ſitorum trium numerorum, & 6; — y 3 minimus. Nam x alterutrum extremorum numerorum ambigue deſignat, indeque gemini pro- deunt valorcs, quorum alteruter poteſt eſſe x, exi- ſtente altero 2. Idem aliter. Poſitis numeris x, y & 2 ut ante, eritx +y +Z= 20, ſeu xx — 22 — 7 & ex- tracta radice x—10 — 27 + ioo — 1057 — 4757 primus numerus: Hunc & 7 aufer de 20 & reſtat 77 =10 —;2) — 4/100 — Toy — yy tertius numerus. Eſtque ſumma quadratorum à tribus hiſce numeris 400 — 40), adeoque 400 —4Cy = 140, five y—64. Invento medio numero 64, ſubſtitue cum pro y in | | primo 94 4 LGEB RA primo ac tertio numero ſupra invento; & evadet pri- mus 64 ＋˙ eU 2c tertius 64 z +, ut ante. PRO B. XIV. Invenire quatuor numeros con- tinue proportionales quorum duo medii ſimul con- ſtituant 12, & duo extremi 20. 1 ; ; xXx Sit x ſecundus numerus; & erit 12 —x tertius; | 124 | 144—24x + xx — primus; 3 quartus: adeoque r —.—— 3 20. Et per reductionem ** —12x—30* ſeu K 2 GV. Quo invento cæteri nnmeri è ſuperioribus dantur. PRO EH. XV. Invenire quatuor numeros con- tinue proportionales, quorum datur ſumma 4, & ſumma quadratorum 6. Etſi deſideratas quantitates ut plurimum imme- mediate quærere ſolemus, ſiquando tamen duæ ob- venerint ambiguæ, hoc eſt quæ conditionibus om- nino ſimilibus præditæ ſunt, (ut hic duo medii & duo extremi numerorum quatuor proportionalium) præſtat alias quantitates non ambiguas quærere per quas hæ determinantur, quemadmodum harum ſum- mam vel di fferentiam vel rectangulum. Ponamus ergo ſummam duorum mediorum numerorum eſſe 5, & rectangulum r; & erit ſumma extremorum 4— 5, & rectangulum etiam v propter proportionalitatem. Jam ut ex his eruantur quatuor illi numeri, pone x primum & ſecundum; eritque s—y tertius; & a —$—x quartus; & rectangulum ſub mediis y Y Zr, indeque medii y— 35 + is —r & $—J=435— 4/ 455 —7: Item rectangulum ſub extre- mis ax - — xx =#, indeque extremi x = —— — m Ry ELEMENT A. 95 | — 44 4 4-5 i A2 — — Ys Summa quadratorum ex hiſce quatuor numeris eſt 255 — 245 +44 — 4r quzeſt . Ergor — 18 —345 +444 — 4b, quo ſubſtituto pro r prodeunt quatuor numeri ut ſequitur. Duo medii 25 + iu. 1 —y/3Þ —355 +45 —+ as. _ ” 4+ + 2 + 4a —8$ Py Duo extremi Ma i + . > 64. Reſtat tamen etiamnum inquirendus valor ipſius . Quare ad abbreviandos terminos pro numeris hiſce ſubſtitue. 4 —$ 25 +Þ- 8 TE A—s 25 —=Þ» 1 Et pone rectangulum ſub ſecundo & quarto æ- quale quadrato tertii fiquidem hæc problematis con- Np : oy 46 — 4 ditio nondum impleatur, eritque —44＋ pa — ps | — —1 Apr. Pone etiam rectan- gulum ſub primo & tertio æquale quadrato ſecundi, & erit 2 411 2% ep. Harum æquationum priorem auſer è poſteriori & e reſtabit 96 ALGEBRe@A reſtabit 9s — pa + ps = 2ps, ſeu 95 —pa + ps. Re- ſtitue jam y/ 5b — $55 +45 — 344 in locum p, & v {5b — 35s in locum q, & habebitur 5 /4b—+45; —=4 +5 VA 4444. Et quadrando s5— 6 b bb — 2 424416, ſeu D Vis + 244 — 26 quo invento dantur quatuor numeri quæſiti è ſu- perioribus. PRO R. XVI. Si penſio annua librarum à per quinque annos proxime ſequentes folyenda, ematur parata pecunia c, quzritur quanti æſtimanda fit uſura uſuræ centum librarum per annum. Pone 1 —x uſuram uſurz pecuniz x in anno, hoc eſt quod pecunia 1 poſt annum ſolvenda valeat x paratz pecuniz ; & per analogiam pecunia à poll an- num ſolvenda valebit ax paratz pecuniz, poſt duos annos axx, poſt tres ax*. poſt quatuor ax & poſt quinque ax. Adde jam hos quinque terminos & erit ax + ax* + ax* þaxx + ax =c, ſeu & + x* + x* þxx+x= 7 æquatio quinque dimen- ſionum, cujus ope cum x pet regulas poſt docendas inventum fuerit, pone x. 1 : : 100. y.&erit y—100 uſura uſuræ centum [ibrarum per annum. Atque has in quæſtionibus ubt ſolæ quantitatum proportiones abſque poſitionibus linearum conſi- derandæ veniunt, inſtantias dediſſe ſufficiat: per- gamus jam ad Problematum Geometricorum ſolu- tlones. 2 Quo- ELEMENTA 97 Quomodo Quæſtiones Geometricæ ad æqua- tionem redigantur. Uzſtiones Geometricz eadem facilitate iiſ- demque legibus ad zquationes nonnunquam redigi poſſunt ac quæ de abſtractis quantitatibus pro- ponuntur. Ut fi recta AB in extrema & media r- E. — tione ſecanda ſit in 6 ol * | b eſt ita ut B E quadratum ma- | ximæ partis fit æquale re- ctangulo BD ſub tota & mi- A——< B nore parte contento: poſito AB S4, & BC -x erit Ac = x, & xx = 4 in 4—x; æquatio quæ per reductionem dat x= — 34 + y aa. Sed in rebus Geometricis quæ frequentius oc- currunt, à variis linearum poſitionibus & relatio- nibus complexis ita dependere ſolent ut egeant ul- teriori inventione & artificio quo ad Algebraicos terminos deduci poſſint. Et licet in hujuſmodi ca- ſibus difficile ſit aliquid præſcribere, & cujuſque in- genium ſibi debeat eſſe operandi norma: conabor tamen diſcentibus viam præſternere. Sciendum eſt itaque quod quæſtiones circa eaſdem lineas definito quolibet modo ſibi invicem relatas, poſſint varie proponi, ponendo alias atque alias quærendas eſſe ex aliis atque aliis datis. Sed de quibuſcunque ta- men datis vel quæſitis inſtituitur quæſtio, ſolutio ejus eadem plane methodo ex Analy ſeos ſerie per- ficietur, nulla omnino circumſtantia variata præter fictas linearum ſpecies ſive nomina quibus datas à quæſitis ſolemus diſtinguere. Quemadmodum fi quæſtio fit de Iſoſcele CBD in circu'um inſcripto, | G | cujus 6: LCESR Ab cujus latera BC, BD, & baſis CD cum diametro circuli AB conferenda ſunt : ea vel proponi poteſt de in- veſtigatione diametri ex datis lateribus & baſi, vel de inve- ſtigatione baſis ex datis late- ribus & diametro, vel deni- que de inveſtigatione late- | rum ex datis baſi & diame- tro: ſed utcunque proponitur, redigetur ad æqua- tionem per candem ſeriem Analyſcos. Nempe fi quæratur diameter pono AB , CD—a, & BC vel BD = b. Tum (ducta AC) propter ſimilia tri- angula ABC & CBE eſt AB. BC :: BC. BE, ſive x. b:: b. BE. Quare BE—=. Eſt & CE 2 D five 34: & propter angulum CEB rectum, <4 CEq + BEq—BC4g, hoceſt 444 + == bb. Quz zquatio per reductionem dabit quxſitum x. Sin quzrarur Baſis, pono AB - c, CD = & & BC vel BD ==. Tum (ducta AC) propter ſim. tri. ABC & CBE cit AB. BC: : BC. BE, five c. b:: b. BE. Quare BE == Eſt&CE CD ſive z, & propter angulum CEB rectum CE4 4 ＋ BEq —= BCꝗ hoc eſt q xv + 2 — bb; æquatio quæ per reductionem dabit quæſitum x. Atque ita fi latus BC vel BD quzratur, pono AB—c, CD—a& BC vel BD—x. Et (AC ut ante ducta) propter ſimilia triangula ABC & CBE eſt AB. BC: : BC. BE; fivec.x::x. BE. Quare BE ==. Eſt & E Cb five 14 & prope | ter * ELEMENTA. 5 ter angulum CE B rectum eſt CEq + BEq — BC4, 4 hoc eſt {aa += S xx; æquatio quæ per reductio- nem dabit quæſitum x. Vides itaque quod in unoquoque caſu calculus - pervenitur ad æquationem, per omnia ſimilis it, & eandem æquationem pariat, excepto tantum 2 lineas aliis atque aliis literis deſignavi prout atæ vel quzſitz ponuntur. Ex diverſis quidem datis & quæſitis oritur dive rſitas in reductione æqua- 4 tionis inventæ: nam æquationis 5 44 += =bbalia : . 2bb eſt reductio ut obtineatur x = —-== valor de * 4 — 44 4 AB, & æquationis 4 xx + = alia reductio ; 2b — ut obtineatur x — /bb — cc valor de CD; & | c 4 e * | | æquationis ; 44 + — = xx reductio. longe ali ut = CS — — — —"—— obtineatur x c = ic Vcc — aa valor de BC | 4 vel BD: (perinde ut hæc } 44 += bb, ad eli- ciendum c, a, vel 6 diverſis modis reduci debet :) fed in harum æquationum inventione nulla tun diverſitas. Et hinc eſt quod jubent ut nullum in- ter datas & quæſitas quantitates habeatur diſcrimen. Nam cum eadem computatio cuique caſui datorum quæſitorum competat, convenit ut fine diſcri- mine concipiantur & conferantur quo rectius judi- cetur de modis computandi : vel potius convenit ut hngas quæſtionem de ejuſmodi datis & quæſitis ä 8 2 pro- 100 4LGE BRA propoſitam eſſe per quas arbitreris te poſſe ad æqua- tionem facillime pervenire. Propoſito igitur aliquo Problemate, quantitates uas involvit confer, & nullo inter datas & quæ- tas habito diſcrimine, perpende quomodo aliæ ex aliis dependeant ut cognoſcas quænam ſi aſſuman- tur, ſynthetice gradiendo, dabunt cæteras. Ad quod faciendum non opus eſt ut prima fronte de modo cogites quo aliæ ex aliis per calculum Alge- braicum deduci poſſint, ſed ſufficit animadverſio generalis quod poſſint directo nexu quomodocun- que deduci. Verbi gratia; ſi quæſtio ſit de cir- culi diametro AD tribuſque lineis AB, BC, & CD in ſemicirculo inſcriptis, & cx reliquis datis quzra- tur BC; primo intuitu maniſeſtum cf! diametrum AD determinare ſemicirculum, dein lineas AB & CD per inſcriptionem determinare puncta B & C atque adeo quæ ſitum BC, id que nexu maxime di- recto; & quo pacto tamen BC ex his datis per Analyſin eruatur non ita manifeſtum eſt. Hoc B idemquoquede AB vel CD ſi ex reliquis datis quærerentur, intelligen- | dum eſt. Quod ſi AD N D ex datis AB, BC & CD c quæreretur, æque patet id non fieri poſſe Synthetice; ſiquidem punctorum A ac D diſtantia — ex angulis B & C, & illi anguli ex circulo cui datæ lineæ ſunt inſcriben- dz, & ille circulus non datur ignota AD diametro. Rei igitur natura poſtulat ut AD non Synthetice ſed Lu ejus aſſumptione quzratur ut ad data fiat re- us. | | Cum varios ordines quibus termini quæſtionis fic evolvi poſſint perſpexeris, è ſyntheticis quoſlibet | adhibe, 4 ELEMENT A. IO1 adhibe, aſſumendo lineas tanquam datas à quibus ad alias facillimus videtur progreſſus & ad iplas vi- ciſhm difficillimus. Nam computatio, ut per varia media poſſit incedere, tamen ab iſtis lineis initium ſumet; ac promptius perficietur fingendo quæſtio- nem ejuſmodi eſſe ac ſi de iſtis datis & quæſito ali- = ab iſtis facillime prodituro inſtitueretur, quam e quzſtione prout revera proponitur cogitando. Sic in exemplo jam allato ſi ex reliquis datis quæ- ritur AD: cum id ſynthetice fieri non poſſe per- cipiam, ſed ab ipſo tamen, ſi modo daretur, diſcur- ſum ad alia directo nexu incedere, aſſumo AD tan- quam datum & abinde computationem non ſecus incipio quam ſi revera daretur & aliqua ex datis AB, BC & CD quæreretur. Atque hac methodo computationem ab aſſumptis ad cæteras quantitates eo more promovendo quo linearum relationes diri- gunt, æquatio tandem inter duos ejuſdem alicujus quantitatis valores ſemper obtinebitur, ſive ex va- loribus unus ſit litera ſub initio operis quantitati pro nomine impoſita, & alter per computationem inventus, five uterque per computationem diverſi- mode inſtitutam inveniatur. Czterum ubi terminos quæſtionis fic in genere comparaveris, plus artis & inventionis in eo requi- ritur ut advertas particulares iſtos nexus ſive linea- rum relationes quæ computationi accommodantur. Nam quæ laxius perpendenti videantur immediate & relatione proxima connecti, cum illam relationem algebraice deſignare volumus, circuitum plerumque quoad conſtructiones Schematum de novo molien- das & computationem per gradus promovendam exigunt: quemadmodum de BC ex AD, AB & CD collrgendo conſtare poteſt. Per ejuſmodi enim propoſitiones vel enunciationes ſolummodo gradi- endum eſt quæ aptæ ſunt ut terminis algebraicis de- | 3 ſignen· 102 AL GEBREA ſignentur, quales præſertim ab Axiom. 19, Prop. 4. lib. 6, & Prop. 47. lib. 1. Elem. ſcaturiunt. Imprimis itaque promovetur calculus per addi- tionem vel ſubductionem lincarum eo ut ex valo- ribus partium obtineatur valor totius, vel ex valo- ribus totius & unius partis obtineatur valor alte- rius. Secundo promovetur ex linearum proportiona- litate: ponimus enim (ut ſupra) factum a mediis terminis diviſum per alterutrum extremorum eſſe valorem alterius. Vel quad perinde eſt, ſi valores omni um quatuor proportionalium prius habeantur, ponimus æqualitatem inter factos extremorum & factos mediorum. Linearum vero proportionalitas ex triangulorum ſimilitudine maxime ſe prodit, quæ cum ex æqualitate angulorum dignoſcatur, in Hs comparandis Analyſta debet e ſſe perſpicax, at- que adeo non ignorabit Prop. 5, 13, 15, 29 & 32. lib. 1. Prop. 4, 5, 6, 7 & 8. lib. 6. Et Prop. 20, 21, 22, 27 ac 31. lib. 3. Elementorum. Quibus etiam referri poteſt Prop. 3. lib. 6. ubi ex propor- tionalitate lincarum colligitur angulorum æquali- tas & contra. Atque idem aliquando præſtant Prop. 36 & 37. lib. z. LIertio promovetur per additionem vel ſubducti- nem quadratorum. In triangulis nempe rectan- gulis addimus quadrata minorum laterum ut obti- neatur quadratum maximi, vel a quadrato maximi lateris ſubducimus quadratum unius è minoribus ut obtineatur quadratum alterius. Atque his paucis fundamentis (ſi adnumeretur Prop. 1. lib. 6. Elem. cum de ſuperficiebus agitur, ut & aliquæ propoſitiones ex lib. 11 & 12. de- ſumptæ cum agitur de ſolidis,) tota Ars Analytica quoad Geometriam rectilineam innititur. Quin etiam ad ſolas linearum ex partibus compoſitiones | Y Y Z; Y * * N * "I I.” of CEE ELEMENTA 103 & ſimilitudines triangulorum poſſunt omnes Pro- blematum difficultates reduci; adeo ut non opus fit alia Theoremata adhibere : quippe quæ omnia in hæc duo reſolvi —.— & proinde ſolutiones etiam quæ ex iſtis depromuntur. Inque hujus rei inſtantiam ſub;unxi Problema de perpendiculo in baſem obliquanguli trianguli demittendo fine ad- jumento Prop. 47. lib. 1. ſolutum. Etſi vero ju- vet ſimpliciſſima principia à quibus problematum ſolutiones dependent non ignoraſſe, & iſtis ſolis ad- hibitis poſle quælibet ſolvere; expeditionis tamen gratia convenit ut non ſolum Prop. 47. lib. 1. Elem. cujus uſus eſt frequentiſſimus; ſed & alia etiam Theoremata nonnunquam adhibeantur. Quemadmodum {1 perpendiculo in baſem obli- quanguli trianguli demiſſo, de ſegmentis baſis ad calculum promovendum agatur; ex uſu erit ſcire quod, Differentia quadratorum è lateribus æquetur duplo rectangulo ſub baſi & diſtantia perpendicult a medio baſis. F | Si trianguli a!icu'us verticalis angulus biſecetur, computationi non ſolum inſerviet quod baſis ſece- tur in ratione late um, fed etiam quod differentia ſactorum i lateribus & à ſegmentis baſis æquetur quadrato lineæ biſecantis angulum. Si de figuris in cir.ulo inſcriptis res eſt, Theo- rema non raro ſuhvenict quod Inſcripti cujuſlibet quadrilateri faſtus i diagoniis æquetur ſummæ fa- ctorum à lateribus oppoſitis. Et hujuſmodi plura inter exercendum obſervet Analyſta, & in penum forte reſervet; ſed parcius utatur ſi pari ſacilitate aut non multo difficilius poſſit ſolutionem è ſimplicioribus computandi prin- cipiis extruere. Quamobrem ad tria primo pro- poſita tanquam noticra, ſimpliciora, magis gene- ralia, pauca, & omnibus tamen ſufficientia animum G =: Pres 104 ALGEBREOOA præſertim advertat, & omnes difficultates ad ea præ cæteris reducere conetur. Sed ut hujuſmodi Theoremata ad ſolvenda Pro- blemata accommodari poſſint, Schemata plerumque ſunt ultra conſtruenda, idque ſæpiſſime producen- do aliquas ex lineis donec ſecent alias, aut ſint aſſig- natæ longitudinis; vel ab inſignioti quolibet puncto ducendo lineas aliis parallelas aut perpendiculares, vel inſigniora puncta conjungendo, ut & aliter non- nunquam conſtruendo, prout exigunt ſtatus Pro- blematis, & Theoremata quæ ad ejus ſolutionem ad- hibentur, Quemadmodum fi duæ non concurrentes lineæ datos angulos cum tertia quadam efficiant, pro- ducimus forte ut concurrentes conſtituant triangu- lum cujus anguli & proinde laterum rationes dan- tur. Vel ſi quilibet angulus detur, aut ſit alicui æ- qualis, in triangulum ſæpe complemus ſpecie datum, aut alicui ſimile, idque vel producendo aliquas ex lineis in ſchemate vel ſubtenſam aliter ducendo. Si triangulum ſit obliquangulum, in duo rectangula ſæpe reſolvimus, demittendo perpendiculum. Si de figuris multilateris agatur, reſolvimus in triangula, ducendo lineas diagonales: Et ſic in cæteris; ad hanc metam ſemper collimando ut ſchema in trian- gula vel data, vel ſimilia, vel rectangula reſolvatur. | Sic in exemplo propoſito duco diagonium BD, ut Trapezium ABCD in duo triangula, ABD re- ctangulum, & BDC ob- liquangulum reſolvatur. | Deinde refolvo triangu- A Dlum obliquangulum in duo rectangul a demittendo perpendiculũ à quolibet ejus angulo B, C, vel D in latus oppoſitum: quem- admodum a B in CD productam ad E ut huic per- pens ELEMENT A. 105 ndiculo BE occurrat. Interea vero cum anguli AD & BCD duos rectos (per 22. 3 Elem.) pe- rinde ac BCE & BCD conſtituant ; 2 an- gulos BAD & BCE æquales eſſe, adeoque trian- gula BCE ac DAB ſimilia. Atque ita video com- putationem (aſſumendo AD, AB & BC tanquam fi CD quzreretur) ad hunc modum inſtitui poſſe, viz. AD & AB (propter tri. ABD rect.) dant BD. AD, AB, BD & BC (propter im. tri. ABD & CEB) dant BE & CE. BD & BE (prop- ter triang. BED rect.) dant ED; & ED EC dat CD. Unde obtinebitur æquatio inter valorem de CD fic inventum & litteram pro ea ſuffectam. Poſſumus etiam (& maximam partem ſatius eſt quam opus in ſerie continuata nimis proſequi,) à diver- ſis principiis computationem incipere, aut ſaltem di verſis modis ad eandem quamlibet concluſionem promovere, ut duo tandem obtineantur ejuſdem cu- juſvis quantitatis valores qui æquales ponantur. Sic AD, AB & BC dant BD, BE & CE ut prius; deinde CD + CE dat ED; acdenique BD & ED (propter triang. rect. BED) dant BE. Poteſt etiam computatio hac lege optime inſtitui ut valores quan- titatum inveſtigentur quibus alia quæpiam relatio cognita intercedit, & illa deinde relatio æquatio- nem dabit. Sic cum relatio inter lineas BD, DC, BC & CE ex Prop. 12. Lib. 2. Elem. conſtet; nempe quod fit BDq —BCq—CDq —=2CD x CE: - quzro BDq ex aſſumptis AD & AB; ac CE ex aſ- ſumptis AD, AB & BC. Et aſſumendo denique CD facio BDq - BC — CDq=2CD x CE. Ad hos modos & hujuſmodi conſiliis ductus, de ſerie Analyſcos, deque ſchemate propter eam conſtr endo ſemper debes una proſpicere. Ex his credo manifeſtum eſt quid fibi velint Geometræ cum jubent putes factum eſſe quod quæ- Its, numero aſſumimus quam in 106 AL GEBR@OOU[A ris. Nullo enim inter cognitas & incognitas quan- titates habito diſcrimine, quaſlibet 1 calculum aſſumere potes quaſi omnes ex prævia ſo- lutione fuiſſent notæ, & non amplius de ſolutione Problematis, ſed de probatione ſolutionis ageretur. Sic in primo ex tribus jam defcriptis computandi modis, etſi forte AD revera quæratur, fingo tamen CD quzrendum eſſe, quaſi vellem probare an valor ejus ab AD derivatus quadtet cum ejus quantitate prius cognita. Sic etiam in duobus poſterioribus modis pro meta non propono quantitatem aliquam quzrendam eſſe, fed zquationem e relationibus li- nearum utcunque eruendam : Et in ejus rei gra- tiam aſſumo omnes AD, AB, BC, & CD tanquam notas, perinde ac ſi (quæſtione prius ſoluta) de ten- tamine jam ageretur an conditionibus ejus hæ pro- be ſatisfaciant, quadrando cum quibuſlibet æqua- tionibus quas linearum relationes prodent. Opus quidem hac ratione & conſiliis prima fronte agreſ- {ns ſum, ſed cum ad æquationem deventum cit ſen- tentiam muto, & quantitatem deſideratam per iſtius æquationis reductionem & ſolutionem quæro. Sic denique plures quantitates e cognitas ſæ pe- atu quæſtionis ex- primuntur. Hujuſque rei inſignem in 42 ſe- quentium problematum inſtantiam videre eſt, ubi a, (& c in æquatione a+bx+cxx=— yy, pro de- terminatione Sectionis Conicæ les ut & alias etiam lineas v, 5, t, v de quibus Problema prout pro- ponitur nihil innuit. Nam quaſlibet quantitates aſſumere licet quarum ope poſſibile ſit ad æqua- tiones pervenire: hoc ſolum cavendo ut ex illis tot æquationes obtineri poſſint quot aſſumptæ ſunt quantitates revera incognitæ. Poſtquam de computandi methodo conſtat & ornatur ſchema, quantitatibus quæ computationem ingre- ELEMENT A. 107 ingredientur (hoc eſt ex quibus aſſumptis aliarum valores deri vandi ſunt, donec tandem ad æquatio- nem perveniatur) nomina impone, delegendo quæ problematis omnes conditiones involvunt, & operi præ cæteris accommodatæ videntur, & concluſio- nem (quantum poſſis conjicere) ſimpliciorem red- dent, fed non plures tamen quam propoſito ſuffi- ciunt. Itaque pro quantitatibus quæ ex aliarum vocabulis facile deduci poſſint, propria vocabula vix tribuas. Sic ex tota linea & ejus partibus, ex tribus lateribus trianguli rectanguli, & ex tribus vel quatuor proportionalibus unum aliquod mini- mum ſine nomine permittere ſolemus, eo quod valor ejus è reliquorum nominibus facile derivari poſſit. Quemadmodum in ex- emplo jam allato ſi dicam AD = x & AB a ip- ſum BD nulla litera de- ſigno quod fit tertium latus trianguli rectanguli ABD & proinde valeat + xy xx - aa. Dein ſi FE ws cam BC —b, cum triangula DAB & BCE ſint ſimilia & inde lineæ AD» AB:: BC. CE pro- portionales, quarum tribus AD, AB, & BC impo- ſita ſunt nomina; ea propter quartam CE ſine no- . . # R a mine permitto, & ejus vice valorem — ex hac pro- portionalitate detectum uſurpo. Atque ita ſi DC vocetur c, ipſi DE nomen non aſſigno quod ex ; b partibus ejus DC & CE, live c & - valor c += prodeat. 5 Cæterum dum de his moneo, Problema ad «- guationem pene redactum eſt. Nam poſtquam li- | | | teræ 108 ALGEBRA terz pro ſpeciebus principalium linearum præſcriptæ fant, nibil aliud — reſtat quam 2 4 * valores aliarum linearum juxta metho- um præconce ptam eruantur, donec modo quovis proviſo in æquationem coeant. Et in hoc caſu nihil reſtare video niſi ut per triangula rectangula BCE & BDE dupliciter — BE. Nempe eſt 4 BC — CEq (live bb — — BEq, ut & BDg 2abc aabb — DE (five ær C = = > = —_} = BEg. Et hinc (utrobique deleto _ æquationem ha- bebo bb are quæ reducta fit + 44 + cc Cum vero de ſolutione Problematis hujus plures modos etſi non multum diſſimiles in præcedenti- bus recenſuerim quorum iſte de Prop. 12. Lib. 2. Elem. deſumptus fit cæteris quodammodo conc in- nior; eundem placet etiam ſubjungere. Sit ita- gue AD =x, AB = 4, BC=6, & CD =c, | ab eritque BDq * —aa, & CE — = ut prius. Hiſce dein ſpeciebus in Theorema BDq - BCz — CDq — 2CD x CE ſubſtitutis orietur xx — aa | aa -e e,; & facta reductione A — + bbx ＋ cc + 2c. Ut ante. Sed ut pateat quanta ſit in ſolutionum inventione varietas, & proinde quod in eas incidere 3 | S0 ELEMENTA 109 Geometrz non ſit admodum difficile: viſum fuit plures adhuc modos hoc idem perficiendi docere. Atque equidem ducto Diagonio BD ſi vice per- pendiculi BE à puncto B in latus DC ſupra de- miſſi demittatur perpendiculum à puncto D in la- tus BC vel à puncto C in latus BD, quo obliquan- gulum triangulum BCD in duo rectangula utcun- que reſolvatur, iiſdem ferme quas jam deſcripſi methodis ad æquationem pervenire licet. Sunt & alii modi ab iſtis ſatis differentes; Quemadmod um {i diagonii duo AC & BD du- cantur, dabitur BD ex aſſumptis AD & AB; ut B & AC ex aſſumptis AD & CD; deinde per no- tum Theorema de figu- E ris quadrilateris in cir = culo inſcriptis, nem quod fit ADX BC-+ ABXCD —AC x; BD ob- tinebitur æquatio. Stantibus itaque linearum AD, AB, BC, CD vocabulis x, a, 9 c; erit BD = y xx —aa & AC — / xx —cc per 47. 1. Elem. Et his linearum ſpeciebus in Theorema jam recen- ſitum ſubſtitutis, exibit xb + ac —\/ xx —cc Xx / xx — aa. Cujus æquationis partibus deni- que quadratis & reductis obtinebitur iterum & + 2abc. ＋ Cc Czterum ut pateat etiam quo pacto ſolutiones ex iſto Theoremate petitæ poſſint inde ad ſolas trian- gulorum ſimilitudines redigi : erigatur BH ipfi BC perpendicularis & occurrens AC in , & fient tri- angula BCH, BDA ſimilia, propter angulos ad B rectos, & ad Cac D (per 21. 3. Elem.) æquales; t R 110 ALGEBReA & triangula BCD, BHA ſimilia, propter zquales angulos tum ad B (ut pateat demendo communem angulum DBH à duobus rectis,) tum ad Dac A (per 21. 3. Elem.) Videre eſt ĩtaque quod ex pro- portionalitate BD. AD :: BC. HC detur HC; ut & AH ex proportionalitate BD. CD:: AB. AH. Unde cum fit AH + HC— AC, habebitur zqua- tio. Stantibus ergo præfatis linearum vocabulis x, 4, b, c, nec non ipſarum AC & BD valoribus VX & /xx—aa : prima proportionalitas dabit ac HC — , & ſecunda dabit Al- XX -44 XxX —aa 3 Unde propter AH + C=aACm —__=_—_—== ==: XX — 44 xx cc; æquatio que (multiplicando per xx — aa & quadrando) reducetur ad formam in præcedentibus ſæpius deſcriptam. Adhæc ut magis pateat quanta ſit ſolvendi co- pia, producantur BC & AD donec conveniant in F; & fient triangula ABF & CDF ſimilia, quippe quorum angulus ad F communis eſt, & anguli AB & CDF (dum complent ang. CDA ad duos rectos wo. Wo WF 5 . 0. WY & Rn ELEMENT A. 111 BF - CE — BC) emergeret æquatio. Sed cum duæ quantitates 1 AD ac DF tanquam datæ aſſumantur, reſtat alia æquatio invenienda. Demitto ergo BG in AF ad rectos angulos, & pro- portio AD. AB :: AB. AG. dabit AG : quo ha- bito, Theorema e 13. 2. Elem. petitum, nem quod fit BFq + 2 FAG ABT AF4, dabit æ- quationem alteram. Stantibus ergo a, b, c, x ut prius, & dicto AF ): erit (inſiſtendo veſtigiis Theoriæ jam excogitatæ) 22 CF, p — x = DF. 4 ' . indeque ) = 21, * 3 5 quatio prima. Erit etiam —=AG, adeoque aayy — 244xy ＋ g 24% ; ay > 2 +9), Zquatio ſecunda. Quæ duæ per reductionem dabunt æqua- tionem de ſideratam. Nempe valor ipſius y per æ- abc + aax quationem priorem invenrus eſt — - qui in aa ſecundam ſubſtitutus, dabit æquationem ex qua recte | 2 aa * diſpoſita fiet X* — + bb X þ 2abc, ut ante. + CC Atque ita ſi AB ac DC producantur donec ſibi mutuo occurrant, ſolutio haud aliter ſe habebit, niſi forte futura fit paulo facilior. Quatre aliud hujus rei ſpecimen è fonte multum diſſimili peti- tum potius ſubjungam, quærendo nempe aream quadrilateri propoſiti, idque dupliciter. Duco igi- tur diagonium BD ut in duo triangula quadrila- terum reſolvatur. Dein uſurpatis linearum voca- bulis x, 4, 6, c ut ante, invenio BD xx aa inde- 56s. SLES BÞUd indeque 544 xx — aa (= AB x BD) aream triati- i ABD. Porro demiſſo BE perpendiculariter in CD, (erit propter ſimilia triangula ABD, BCE) — AD. BD: : BC. BE, & proinde BE == — Quare etiam © xx —aa (=ECDXBE) erit area trianguli BCD. Haſce jam areas addendo orie- ax + bc tur 2* ſecus ducendo diagonium AC & quzrendo areas triangulorum AC D & ACB, eaſque addendo, rur- fus obtinebitur area quadrileteri =+= ES / xx — aa area totius quadrilateri. Non Quare ponendo haſce areas zquales & utraſque mul- tiplicando per 2x, habebitur ax + bc / xx — aa —=6cx + ba y xx cc, æquatio que quadrando ac ac dividendo per aax —ccx redigetur ad formam ſæ- pius inventam x? — + bþ* + 2abc. | Acc | Ex his conſtare poteſt quanta fit ſolvendi copia, & obiter quod alii modi ſint aliis multo concinnio- res. Quapropter ſi in primas de ſolutione Proble- matis alicujus cogitationes modus computationi male accommodatus inciderit, relationes linearum iterum evolvendz ſunt donec modum quam poteris idoneum & elegantem machinatus fueris. Nam qua: leviori curz ſe offerunt laborem ſatis moleſtum plerumque parient fi ad opus adhibeantur. Sic in Problemate de quo agitur nil difficilius foret in ſe - quentem modum quam in aliquem è præcedentibus inci- ELEMENT A. I13 incidere. Demiſſis nempe BR & CS ad AD norma- libus, ut & CT ad BR, figura re ſolvetur in triangula rectangula. Et videre eſt quod AD & AB cant AR, AD & CD Gant SD, AD—-AR-SD dat RS vel TC. Item AB & AR dant BR, CD & SD dant CS vel TR, & BR—TR dat BT. Denique BT ac TC dant BC, unde obtinebitur æquatio. Siquis autem hoc modo computationem — fuerit, is in terminos Algebraicos profu- 10res quam ſunt ulli præcedentium incidet & ad finalem æquationem ægrius reducibiles. Et hæc de ſolutione problematum in rectilinea Geometria : niſi forte operæ pretium furrit anno- taſſe præterea quod cum anguli five politioggs li- nearum per angulos expreſſæ ſtatum quæſtionis in- grediuntur, angulorum vice debent adhiberi lineæ aut linearum proportiones, tales nempe quæ ab an- | wr datis poſſunt per calculum Trigonometricum erivari ; aut à quibus inventis anguli quæſiti per eundem calculum prodeunt; hoc eſt quæ ſe mutuo determinant: cujus rei plures inſtantias videre eſt in ſequentibus. Quod ad Geometriam circa lineas curvas atti- net, illæ deſignari ſolent vel deſcribendo eas per motum localem rectarum, vel adhibendo æquatio- nes indefinite exprimentes relationem rectarum cer- ta aliqua lege diſpoſitarum & ad curvas de ſinen- tium. Idem fecerunt Veteres per ſectiones Soli- dorum, ſed minus commode. Computationes vero quæ curvas primo modo deſcriptas reſpiciunt haud ſecus quam in præcedentibus peraguntur. Quem admodum fi A KC lit curva linea deſcripta per K ver- ticale punctum normæ AK, cujus unum crus AK per punctum A poſitione datum lihere dilabitur, dum alterum K# datz longitudinis ſuper rectam AD po- ſitione datam ptomovetur. & quæratur punctum C im 114 ALGEBReA C in quo recta quævis CD poſitione data hane curvam ſecabit: duco rectas ACF que normam in poſitione quæſita referant, & relatione linearum (line aliquo dati & quæſiti diſcrimine aut reſpectu ad curvam) conſiderata, percipio dependentiam cz- terarum à CF & qualibet harum quatuor BC, BF, AF & AC Syntheticam eſſe; quarum duas itaque ut CF & CB — x aſſumo, & inde computum ordiendo ſtatim lucratus ſum BFV — xx & AB —— propter ang. rectum CBE, lineaſ- y 44 — Xx que BF. BC :: BC. AB continue + quo wa Porro ex data poſitione CD datur AD quam ita- que dico b, datur etiam ratio BC ad BD quam pono d ad e & fit BD & AB =b—=. Eſt ergo ex XX b- 7 =— zquatio quæ (quadrando partes y 44—XXx & multiplicando per aa -x &c.) reducetur ad hanc forms X*= 2bde x dd + ce | unde demum è datis 4, b,d, & e erui nen 23 ELEMENTA. 115 las poſt tradendas, & intervallo iſto x ſive BCacta ipſi AD parallela recta ſecabit CD in quæſito puncto C. Quod ſi non deſcriptiones Geometricæ ſed æ- quationes pro curvis lineis deſignandis adhibeantur, computationes eo pacto faciliores & breviores eva- dent, in quantum ejuſmodi æquationes ipſis lucro cedunt. Quemadmodum fi datz Ellipſeos ACE interſectio C cum recta CD poſitione data quzratur : pro Ellipſi deſignanda ſumo notam aliquam zquatio- nem ei propriam, ut rx — rn ubi x inde- finite ponitur qualibet axis ang te Ab vel AB, & 1 ve BC ad curvam termina- to; x vero & dantur ex data ſpecie Ellipſis. Cum itaque CD 28 detur, dabitur & AD, quam dic a; & crit D-a—x, dabitur etiam angulus ADC & inde ra- tio BD ad BC quam dic 1 ade, & erit BC (y) = ea — ex, cujus quadratum ecaa — 2eeax þ eexx æquabitur rx — 7 * Indeque per reductio- 24a8ex + rx — aaee nem orietur & == & + © 9 ſeu : ' + 5 rr aar ace , Ar T. VAr . ee + © | Quinetiam etſi Curva per deſcriptionem Geome- tricks vel per ſectionẽ ſolidi deſignetur, poteſt tamen inde æquatio obtineri quæ naturam Curvæ definiet, adeoque huc omnes Problematum quæ circa eam pro- ponuntur difficultates reduci. H 2 dic 116 4 LOGE RNA. Sic in exemplo priori fi AB dicatur x & BC y, tertia proportionalis BF erit 2 „cujus quadratum una cum quadrato BC æquatur CFA, hoc eſt J Xxx hc gquatio qua Curve AKC unumquodque pun- ctum Cunicuique baſis Jongitudini AB congruens (adeoque ipſa Curva) definitur, & è qua proinde ſolutiones Problematum quæ de hac curva propo- nuntur petere liceat. Ad eundem fere modum cum curva non datur ſpecie ſed determinanda proponitur, poſſis pro ar- bitrio æquationem fingere quæ naturam ejus gene- raliter contineat; & hanc pro ea deſignanda tan- quam ſi daretur aſſumere, ut ex ejus aſſumptione quomodocunque perveniatur ad æquationes ex qui- bus aſſumpta tandem determinentur: Cujus rei ex- empla habes in nonnullis ſequentium problematũ quæ in pleniorem illuſtrationem hujus doctrinæ & exerci- tium difcentium congeſſi, quæque jam pergo tradere. M 4a; live y* +xxyy =aaxx. Eſtque Pros. I. Data recta terminata BC a cujus extremi- tatibus due rectæ BA, CA ducuntur in datis angulis ABC, ACB : in venire 4 altitudinem concurſus A ſupra datam BC. IT BC=4, & AD =; & cum anguius ABD detur, dabitur (ex tabula ſinuum vel tangentium) ratio inter lineas AD & BD quam pone ut d ade. Eſt ergo d. e:: AD 0). BD. Quare BD 2. Similiter propter datum angu- 5 lum ELEMENT . 117 lum AC dabitur ratio inter AD ac DC quam pone ut dad F & erit bc =. At ED + DC BC, hoc eſt 2 +2 —4. Quæ reducta multi- plicando utramque partem æquationis per d, ac di- videndo per e + f evadit y , PR O B. II. Cujuſlibet Trianguli ABC datis lateribus AB, AC, & Baſi BC quam perpendiculum AD ab angulo verticali ſecat in D: in- venire ſegmenta BD ac DC. IT AB—a, AC=—6b, BC, & BD x, erit- que DC=c -. Jam cum ABq— BD (aa—xx) — ADq; & ACq—DCgqg (bb—cc+ 2cx—xx) —=ADgq: Erit aa—xx=bb—cc+2cx—xx quæ per reductio- aa—bb +cc 1 Cæterum ut pateat omnes omnium Problematum di fficultates per ſolam linearum proportionalitatem ſine adminiculo Prop. 47. primi Elementorum, li- cet non abſque circuitu, enodati poſſe : placuit ſe. uentem hujus ſolutionem ex abundanti ſubjungere, A puncto D in latus AB demitte DE normalem, & ſtantibus jam poſitis linearum nominibus, erit AB. BD: : BD. BE. mc Et BA —- BE (4 = a a H 3 | —=E A. nem fit „ F-.8 . n bd __ dd ec, & reducendo, evadit „ , Fd e 2 2bbd Ea * æquatio prodiiſſer etiam quærendo crus AB; nam crura AB & AC ſimiliter ſe habent ad om- nes conditiones problematis. Quare ſi AC pona- bd 2 b tur F f „ crit AB Hf TLF & viciſſim: atque horum ſumma 2f fubduts te p : eritque majus latus, puta BC , & minus AC c -K. 1 ELEMENT AX. 121 c—z. Subduc CDq de BC & AC4g, & exibit hinc BD = Vcc + 232 + zz» 44, & inde AD „cc — 2c T — 44. Subduc etiam AB de BD & exibit iterum AD cc +2c2 + 22.—aa —2b, Quadratis jam valoribus AD & ordinatis terminis, orietur bb e —=by cc + 262 + 23 44. Rur- ſuſque quadrando & redigendo in ordinem obtine- bitur cr — bbzz — bbc — bbaa — bY, Etz — aa EY 6 oo mos. th * 323 Unde dantur latera. PR OB. VI. Datis baſi AB, ſumma laterum AC + BC, & angulo verticali C, determinare latera. I T baſis Sa, ſemiſumma laterum =, & ſemi- IF difterentia —= x, eritque majus latus BC Ax & minus AC=b—x. Ab alterutro ignotorum angu- lorum A ad latus oppoſitum BC de- mitte perpendiculum AD & prop- ter angulum C datum dabitur ratio AC ad CD puta à ade, & proinde erit CD E. Eſt etiam per B * 1 1F II. 6 — os 0 + 209 hoc eſt —CD ; adeoque habetur æqua- 2bb + 2xx—aa 26 + 2x tio inter valores CD. Et hæc reducta fit x = / daa + 2ebb — 2dbb V 24 + 2e : Si anguli ad baſin quærerentur, concluſio foret concinnior; utpote ducatur EC datum 3 iſe- Unde dantur latera. 122 ALGEBREOE bifecans & baſi occurrens in E; & erit AB. AC + BC (:: AE - AC): : fin. ang. ACE. fin. ang. AEC. Et ab angulo AEC ejuſque complemento BEC ſi ſubducatur dimidium anguli C relinquen- tur anguli ABC & BAC. PR OB. VII. Datis Parallelogrammi cujuſcunque lateri- bus AB, BD: DC & AC, & uns linea diagonal; BC, invenire alteram diagona- lem AD. IT E concurſus diagonali- um, & ad diagonalem BC X77 demitte normalem AF, & per 13. II. Elemencrena erit ACg- — An + BCq _ Cp. . ACq—AE +E yo atque etiam 1 6 2 cx. Quare cum fit EC —$ BC, & AE = AD, erit ACq—ABq+BCg _ACq-;3ADq+; = K 2BC 1 BC facta reductione AD = 4 2ACq +2ABgq — BCg. Unde obiter in quolibet parallelogrammo, 2 ma quadratorum laterum æquatur ſummæ qu torum diagonalium. \ PRO. ELEMENT A 123 PR OB. VIII. Datis Trapegii ABC D angulis, perimetro, F area, determinare latera. 8 Atera duo quzliber AB ac DC produc D donec concurrant in E, . * ſitque AB & & BC=y, & propter angulos omnes 4 datos rationes BC B 2d CE & BE; quaspone d- & f; & exit CE = 4 & BE — adeoque AE 8 A. Dantur etiam rationes AE ad AD ac DE; quas pore's &badd; x erit AD ==) & xD 1 4 CD 2. & ſumma omnium laterum dx dx *#+J+ 47 ,++2 23 quz, cum de- tur, eſto a, & _— etiam termini ſcribendo 4 1 pro dato I Th + 7 · & 4 pro dato 1 +* +£ J, & habebitur a qustio -A 4. 4 Adhæc propter datos omnes angulos datur ratio BCq ad triangulum BCE, quam pone ms ad » & erit triang. BCE = =p. Datur etiam ratio AE, ad triangulum ADE; quam pone mad 4; & erit | triang. Ol — — 124 ALGEBRGOAE triang. kve -. ES 2 1. Quare cum area AC, quæ eſt horum triangulorum di fferentia, detur, eſto bb, & erit +700 — —bb. Atque ita habentur duz zquationes ex quarum re- ductione omnia determinantur, Nempe ſuperior æquatio dat 99 EPR ſcribendo 5 26 pro x in inferiori , provenit ares — 2 4yrey + dog? ppm * _ #9) pI =O —bb. Ex abbrevia- tis terminis ſcribendo s pro dato 75 — * ans FE, 4 ac atv pro dato bm PP P drraa we. oritur yy—=2tyþev ſeu y=t + / it + rv. & it pro dato — PR O B. IX. Piſcinam ABCD perambulatorio ABC D EFGH date areæ, & ejuſdem ubique la- titudinis circundare. — torii latitudo x S 19 & ejus area aa. Et a punctis A, B, C, D, ad lineas EF, FG, 2 OH & HE demiſ- P ſis perpendiculmi- Q FL bus AK, BL, BM, CN; N E Sto perambula- - — n n fo n , ELEMENT A. 125 CN, CO, DP, DQ, Al, perambulatorium divide- tur in quatuor trapezia IK, LM, NO, PQ & in quatuor parallelogramma AL, BN, CP, DI, latitu- rudinis x, & ejuſdem longitudis cum lateribus dati trapezii. Sit ergo ſumma laterum (AB + BC + CD + DA) , & erit ſumma parallelogrammo- rum = bx. Porro ductis AE, BF, CG, DH; cum fit AL — AK erit ang. AEI = ang. AEK = IEK five DAB. Datur ergo ang. AEI & proinde ratio ipſius Al ad IE, quam pone dad e; & exit IE —=. Hanc a duc in 1 A1 Ve 4 x & fiet area trianguli AEI = Sed propter æquales angulos & latera, tri- angula AEI & AEK ſunt æqualia, adeoque tra- pezium IK (a triang. AE = . Simili mo- do ponendo BL. LF: : d. f, & CN. NG: d · g. & DP. DH: : 4. H, (nam illæ etiam rationes dantur ex datis angulis B, C, ac D) habebitur trapezium hxx LM i a NO =>" & PQ 7 Quamo- brem f LL L877 be L ribendop pro e+f+g Tb, erit æquale trapeziis quatuor IK + LM + NO-þ PQ; & proinde 7 Tx, æ- quabitur toti perambulatorio az. Quæ æquatio di videndo omnes terminos per 45 & extrahendo ra- 8 A — ab + N + 4 aapd 2 Latitudine Perambulatorii ſic inventa ſacile eſt ip- dicem ejus, evadet x — ſum deſcribere. PRO S. | \ 126 4LGEB RA | Paos. X. A dato puncto C retfam lineam CF ducere que cum aliis duabus poſitione datis rectis AE & AF ulum date udi- e PX ww —— — ä——ä— — ge CD AE, & C ic EG iculares AF, dre. BA F & trianguli AEF ares cc, & TR pter proportionales _ AF (:: DC.AE) : : CB. EG, hoceſt a-þ-x. x. ::b = e EG. Hanc duc in: AE, & emet- «+x 4 +x —_ —— quantitas arez AEF quz proinde æ- 24 +2x quatur cc. Atque adeo æquatione ordinata eſt acc + acc . . o+ . xx = ſeu x = — PRO B. ELEMENT A. 127 PA OBD. XL Punctum C in dat 8 determi- nate, à quo ad tiene „ &B autte re- OE He AC & BC data habeant difſerentiam. Datis ad punctis 8 itte icula- 4 A5 & BY, & dic AD —a, BF=6b, DF 2. DC = x, & erit — AC = xx, FC =# -c, & BC/ bb + xx —2cx + cc. Sit jam data harum differentia 4, ex- iſtente AC majori quam BC erit / 4a +xx — d —=4/ bb + xx — 3cx +6. Et quadratis partibus aa + xx + dd — 24 / aa+xx =bb 4 xx—tcx Ac. 1 & Wtrertandt cauſa 1 tis 44 + dd — bb — cc ſcripto 2 ce, emerget ee + cx = dy/ as + xx. Iterumque quadratis partibus e ＋ 1 ceex ＋ coxx — 4 + ddxz, Er zquatione redufts xx = EDD, ſeu x» = +v ©*dd — aad* + aaddee s oo dd — ec « Haad ſecus problema reſolvitur fi linearum AC & BC ſumma vel quadratorum ſumma aut differen- tia, vel proportio vel rectangulum vel angulus ab 2 enſus detur: vel etiam ſi vice rectæ , circumferentia circuli, aut alia quævis curva linea adhibeatur, modo calculns (in hoc ultimo præ- ſertim caſu) referatur ad lineam conj ungentem pun- ca A&B, 7 PROB. „ f ponatur # ad y habebitur ZB =—— 128 ALGEBR {HE PR O B. XII. — Punctum E determinare à quo ad quatuor poſitione datas rettas lineas FA, EB, FC, GD, ſi aliæ quatuor lineæ ZA, ZB, LC; V in datis angulis ducantur, duarum e ductis ZA & rectangulum & alia- rum duarum LC & ZD ſumma detur. F. Lineis elige aliquam poſitione datam FA ut & poſitione non datam ZA quz ad illam du- citur, ex quarum longitudinibus punctum Z de- terminetur, & cæteras poſitione datas lineas produc donec his, fi opus eſt etiam productis, occurrant, ut vides. Dictiſque EA & & AZ =y, propter angulos trianguli AEH datos dabitur ratio AE ad AH quam pone pad q. & erit AH —= . Adde AZ, fitque ZH 42 . Et inde cum propter datos angulos trianguli HZ B detur ratio HZ ad BZ fi ea 242. Præ- ELEMENT A. 129 Przterea ſi data EF dicatur a, crit AF A- x, indeque, ſi propter datos angulos trianguli AFT ſta- tuatur AF ad Al in ratione p ad r, evadet A — — Hanc aufer ab AZ & reſtabit LE=p 5 — hn 0 Pp Et propter datos angulos trianguli ICZ, fi IM FR IZ ad ZC in ratione mz ad p, evadet Z C — +, Ad eundem modum fi ponatur EG b. AG. AK:: I: X ZK. ZD: p. i. obtinebitur ZD = 2 1 - Jam ex ſtatu quæſtionis ſi duarum ZC & 2D cans Of = 8 6 — 5x — py —— —. ponatur æqua- lis dato alicui f; & aliarum duarum rectangulum 2 22 * ah we” 4 ——zquale Zgobabebuntur duz æquationes pro determinandis x & y, Per poſteriorẽ fit N: & hunc ipſius x valorem ſcribendo pro eo in priori æquatione, evadet 2 — 4 TP wy 42 Fs . — f. Et reducendo. = apqry —bmgs) + 8 Tm er: Et ab- n * breviandi cauſa ſcripto 2h pro 1 Ppq-ppr—mpq+mps & kb pro SEAT feet ) —2by + kb, r n a 9 +8 five y = + 0 hh + kk. Cujus 2quationis ope cum 1 | J inno- 130 ALGEBRA y innoteſcit, æquatio N — ou x. Quod ſufficit ad f WET IO e : Ad eundem fere modum punctum dererminatur à quo ad plures vel pauciores poſitione datas rectas totidem aliæ rectæ ducantur ea lege ut aliquarum ſumma vel di fferentia vel contentum detur, aut æ- quetur cæterarum ſummèæ vel differentiz vel con- tento, vel ut alias quaſlibet habeant aſſignatas con- ditiones. PR OB. XII. Angulum rectum E AF data recta EF ſub- tendere, quæ tranſibit per datum punctum C, a liners rectum anoulum comprehenden- tibus £quidiſtans. ” 252 Uadratum ABCD compleatur, & linea EF biſcetur in G. Tum dic CB vel CD eſſe 4, EG vel FG eſſe b, & CG eſſe x; eritque CE — * —b, & CF=x+6b. Dein cum CFq — BCę — BFg, erit BFV xx + 2bx + bb — aa. Deni- que propter ſimilia triangula CDE, FBC, eſt CE. CD ::CF . BE, five x - . 4 :: x + b. y xx + 2bx + bb — aa, 95 ax + ab = ELEMENTA 131 +—d\/ xx Þ 2bx + bb—aa. Cujus zquationis utra- que parte quadrata, & prodeuntibus terminis in or- dinem redactis, prodit æð — 4 266 XX + * Et extracta radice ſicut fit in æquationibus qua- draticis, prodit xx —=aa + bb + Y + 4aabb. Adeoque x =1\/ aa + bb + y a* + 4aabb. CG fic inventa dat CE vel CF, quæ determinando punftum E vel F problemati ſatisfacit. ladem aliter. Sit CE=x, CD, & EF=b6, eritque CF—x-þb & BF —y/ xx TAX +bb —aa. Et proinde cum fit CE. CD:: CE. BF, five &. 4: : ͤ 16. y xx + 2bx + bb — aa, erit ax ＋ ab = x4/ xx +2 bx +bb — aa. Hujus æquationis parti- bus quadratis, & terminis in ordinem redactis pro- dibit x*+26x* * XX — 2aabx — aabb Sõ, #- quatio biquadratica, cujus radicis inveſtigatio diffi- cilior eſt quam in priori caſu. Sic autem inveſti- gari poteſt. Pone x* ＋ 2 * XX — 2 aabe + 4* —aabb + a* , & extracta utrobique radice xx+bx—aa=Ta aa + bb. Ex his occaſionem nactus ſum tradendi regulam de electione terminorum ad ineundum calculum. Scilicet cum duorum terminorum talis obvenit at- fini tas five ſimilitudo relationis ad cæteros terminos quæſtionis, ut oporteret æquationes per omnia ſimiles ex utrovis adhibito produci, aut ambos ſi ſimul adhi- berentur eaſdem in æquatione finali dimenſiones & | I 3 | ean- 132 4LGEB RA eandem omnino formam (ſignis forte T & — ex- ceptis) habituros eſle ; (id quod facile proſpicitur :) tunc neutrum adhibere convenit, ſed eorum vice rertium quemvis eligere qui ſimilem utrique rela- tionem gerit, puta ſemi ſummam vel ſemidi fferen- tiam, vel medium proportionale forſan, aut quam- vis aliam quantitatem utrique indifferentur & fine compare relatam. Sic in præcedente problemate cum viderim lincam EF pariter ad utramque AB & AD referri (quod patebit ſi ducas itidem EF in angulo BAH, ) atq; adeo nulla ratione ſuaderi poſſem cur ED potius quam BF, vel AE potius quam AF vel CE potius quam CF pro quærenda quantitate ad- hiberentur : vice punctorum C & F unde hæc ambi- guitas proficiſcitur, ſumpſi (in ſolutione priori) inter- mediũ G quod parem relationem ad utramque linea- rum AB & AD obſervat. Deinde ab hoc G non de- miſi perpendiculum ad AF pro quzrenda quanti- tate, quia potui eadem ratione demi ſiſſe ad AD. Et eapropter in neutrum CB vel CD demiſi, ſed inſtitui CG quærendum eſſe quod nullum admit- tit compar: & ſic æquationem biquadraticam ob- tinuĩ ſine terminis imparibus. Potui etiam (animadverſo quod punctum G ja- ceat in peripheria circuli centro A, radio EG de- ſcripti) demiſiſſe GK perpendiculum in diagonalem AC, & quæſiviſſe AK vel CK, (quippe quæ ſimi- lem etiam utrique AB & AD relationem gerunt:) atque ita in æquationem quadraticam yy ey + 2bb incidiſſem poſito AK—y, AC e, & EG g. Et AK ſic invento erigendum fuiſſet perpendiculum KG przfato circulo occurrens in G. per quod CF tranſiret. | Ad hanc regulam animum advertens, in Prob. 5. & 6. ubi trianguli latera germana BC & AC de- terminanda erant, quæſivi potius ſemidifferentiam quam = WW Wo”. -_—__ þ J | quam alterutrum eorum. Sed reguiz hujus utilitas t ſequenti Problemate magis eluceſcet. PRO B. XIV. Rectam DC date longitudinis in datam Co- nicam ſeftionem DAC fic inſcribere ut ea per punctum C poſitione datum tranſcat. IT AF axis Cur- væ, & a pun- cis D, G & Cad hunc demitte nor- males DH, GE, & CB. Jam ad deter- minandam poſitio- nem rectæ DC pun- cti D aut C _—_ tio proponi poteſt : 8 * ſint germana, & adeo pa- ria ut ad alterutrum determinandum o- peratio ſimilis eva- ſura eſſet, ſive quæ- rerem CG, CB, aut AB; ſive comparia DG, DH, aut AH: ea propter de tertio aliquo puncto proſpicio quod utrumque D & C ſimiliter reſpectet, & una determinet. Et hujuſmodi video eſſe punctum F. Jam fit AE a, EG =, DC —=c, EF ; & præterea cum relatio inter AB & BC habeatur in æquatione quam ſuppono pro Conica ſectione determinanda datam eſſe, fit AB = x, & BC =—y, & erit FR—=x —a+z. Et propter CE- EE:: 13 CB. FB - — - | 4 8 | : | | 134 4J4LGE B RA CB. Fg erit iterum FB ==, Ergo — = His ita præparatis tolle x per æquationem que curvam deſignat. Quemadmodum {1 Curva fit Pa- __ no rabola per æquationem rx —= yy deſignata, ſcribe= prox; & orietur 2 — 4 ＋ =>. Et extracta ra- dice, = TVs + ar — xx. Unde patet * 75 + 4ar — 4s eſſe differentiam gemini va- loris y, id eſt linearum + BC & — DH, adeoque (demiſſo DK in CB normali) valere CK. Eſt autem FG. GE : : DC. CK, hoc eſt y/ bb . b::C» * * + 4ar —4rz. Ducendoque quadrata extremorũ & medinorũ in invice, & facta — — br —4 r orietur * =” r 2.6 ho + b*ce, i 1 : æquatio quatuor tantum dimenſionum , quz ad octo dimenſiones aſcendiſſet ſi quæſiviſſem CG vel CB aut AB. PR OB. XV. Datum angulum per datum numerum mul. tiplicare vel dividere. N angulo quovis FAG inſcribe lineas AB, BC, CD, DE, &c. Ejuſdem cujuſvis longitudinis, & erunt triangula ABC, BCD, CDE, DEF, &c. Iſoſcelia: adeoque per 3 2. I. Elem. erit ang. CBD Sang. A ACB =2 ang. A, & ang. DCE — 7 | A+ ELEMENTA 335 A-+ADC =; ang. A & ang, EDF ATAED S4 ang. A, & ang. FEG=; ang. A, & ſic deinceps. Po- ſitis jam AB, BC, CD, &c. radiis zqualium circulo- rum, perpendicula BK, CL, DM, &c. demiſſa in AC, BD, CE, &c. erunt ſinus iſtorum angulorum, & AK, BL, CM, DN, &c. ſinus complementorum ad rectum. Vel poſita AB diametro illæ AK, BL, CM, &c. erunt chordæ. Sit ergo AB z & AK = x, dein fic operare. 3 AB. AK:: AC. AL, xx A & 34S 7 AL—AB Et xx __ — BL, Duplicatio. — — r AB-AK::AD(2AL—AB.)- AM, 2.XXx x3 dF 3 $2 —— . ; r rr AM—-AC Et x* rr AB. AK:: AE (2zAM—AC). AN. 5 22 2x3 x* 2xx 9 * * rr — 4X» = — 7 „ don Triplicatio, Et x* Axx £ — DN, Quadruplicatio. EC _— — * nor w_-— = * eee 42923 136 ALGEBReA AB AK:: AF (zAN—AD) - AO. 2x+ 6xx : ”* 2 . + 2 — FS = — OS parts =. 7 AO-AE 9 Eh a 9a? EO, Quintuplicatio, ow +, Et fic deinceps. Quod fi velis angulum in ali- quot parres dividere, pone q pro BL, CM, DN, &c. & habebis xx — 2rr = qr ad biſectionem, x* — 3rrx = qrr ad triſectionem, x#* — 4rrxx +2r* — gr? ad quadriſectionem, & — 5 rrx? + 5r*x = gr* ad quinquiſectionem &c, Pow XVL Cometæ in linea recta BD unifarmiter pro- greatentis poſitionem curſus ex tribus ob- ſervationibus determinare. 8 A oculus ſpecta- : torts, B locus Co- D metz in prima obſer- tione, Cin ſecunda ac D in tertia: quærenda erit inclinatio lineæ BD ad lineam AB. Ex obſervationibus itaque * dantur anguli BAC / BAD; adeoque ſi BH K ducatur ad AB norma- lis & occurrens AC & AD in E & F, ex aſſumpto utcunque AB dabuntur BE & BF, tangentes nempe præfatorum anyulorum reſpectu radii AB. Sit er- go AB Sa, BE =-b, & BF c. Porro ex catis obſer- ELEMENTA 137 obſervationum intervallis dabitur ratio BC ad BD quæ fi ponatur b ad e, & agatur DG parallela AC, cum fit BE ad BG in eadem ratione, & BE dicta fuerit h erit BG Se, adeoque GFS - c. Ad- hæc ſi dimittatur DH normalis ad BG, propter tri- angula ABF & DHF ſimilia & ſimiliter ſe ta li- neis AE ac DG, erit FEE. AB:: FG. HD, hoc eſt c-. a: :e np. Erit etiam FE. FB:: FG. FH, hoc eſt c- .cc: :e * ce - cc — ce c —FH : cui adde BF five c & fit BH C—b Quare eſt — 5 ad —7 (five ce ch ad ae ac, vel — ad a) ut BH ad HD; hoc eſt ut tan- c gens anguli HDB five ABK ad radium. Quare cum 4 ſupponatur eſſe radius, erit — = tangens — anguli AB K, adeoque facta reſolutione erit ut e—c ad e—b (ſive GF ad GE) ita c (five tangens an- guli BAF) ad tangentem anguli ABK. Dic itaque ut tempus inter primam & ſecundam obſervationem, ad tempus inter primam ac t-rtiam, ita tangens anguli BAE, ad quartam proportiona- lem. Dein ut differentia inter illam quartam pro- portionalem & tangentem anguli BAE, ad differen- tiam inter eandam quartam proportionalem & tan- gentem anguli BAE, ita tangens anguli BAE, ad tangentem anguli ABK. | PROB, | | I EI —— — 2 * - - Is „73 ͤ „ AS ee - 0 1383 ALGEB RA. PR OB. XVII. Nadiis a puncto lucido ad ſphæricam ſuper- ficiem refringentem divergentibus, inve- nire concurſus ſingulorum refractorum cum axe ſphere per punctum illud lucidum Tranſeunte. 8 A punctum illud lucidum, & BV ſphæra, cu- jus axis AD, Centrum C, & vertex V, ſitque AB radius incidens & BD refractus ejus, ac demiſ- ſis ad radios iſtos perpendicularibus CE & CF, ut & BG perpendiculari ad AD, actaque BC, dic AC a, VC vel BC r, CG=x, & CD K, eritque AG = 4 — x, BG = y/rr xx, AB = N= za + rr: & propter (im. tri. ABG & ACE, CE =— 5 ee Item GD =z + x, v aa—2ax Tr BD —y/ zz + 24x + rr : & propter ſim. tri. DBG 24/ rr — xx ac DCF, CF = , a ratio ſinuum incidentiæ & refractionis, adeoque CE „zx +rr ad CF detur, pone illam rationem eſſe a ad f, & erit fayrr—xx azs/ rr — xx „zar rr XT +22x+rr cando in crucem, diyidendoque per 4 / rr — xx, eri LS a hea — ELEMENT A. 139 erit fy/ zz +2zx TTT =2 4 44 — 24x rr. & , ac redigendo terminos in ordinem, 2fxz + frr A * ir +rr—f* a be y, & qpro dato a+=—p, Kerit 2 pre 21 —2x Deniqua pro dato = cri. 12 3 Inventum eſt — Ax itaque z ; hoc eſt agiado CD, adeoque punctum . N quo refractus BD concurrit cum axe. E. E. | Sofa hic incidentes radios divergentes eſſe, & in Medium denſius incidere; ſed mutatis mutan- dis Problema perinde reſolvitur ubi convergunt, vel incidunt è denſiori Medio in rarius. PR OB. XVIII. Si Conus plano quolibet ſecetur, invenire fi- guram ſectionis. eee | IT ABC conus circus A lari baſi BC inſiſtens; IE M ejus ſectio quæſita; KILM alia quælibet ſe- ctio parallela baſi, & oc- currens priori ſectioni in HI; & ABC tertia ſectio perpendiculariter bi ſecans priores duas in EH & KL, & conum in triangulo ABC. Et producto EH B donec occurrat ipſi AK * — in D, actiſque EF ac DG parallelis KL & occur- rentibus AB & AC in F ac G, dic EES, DG—6, ; - _— 0 * — ; * * o 2 te ———— — * ALGOEBRAÆ ED =c, EH=x, & HIS): & propter ſim · tri. EHL, EDG, erit ED - DG :: EH. HL. b ; = - Dein propter ſim. tri. DEF, DHK, erit DE. EF: : DH. (c—x in Fig. 1, & c+x in Fig. 2.) HK * 1 c Denique ci ſectio KIL {it parallela baſi adeoque circularis, erit HK x HL 2 xx Y, Zquatio quæ exprimit relationem inter EH (x) & HI (9) hoc eſt inter axem & ordi- natim applicatam ſectionis EIM, quæ æquatio cum ſit ad Ellipſin in Fig. 1, & ad Hyperbolam in Fig. 2. patet ſectionem illam perinde Ellipticam vel Hy- perbolicam efle. Quod ſi ED nullibi occurrat AK, ipſi parallela exiſtens, tunc erit AK — EF (a), & inde 2 (HK x HL) y. æquatio ad Parabolam. PROR, OY YE I PER I AE Ati lh Us ln Ales rad | _ eo 2 a — —* * 4 * * VS * , = Pl Py * * * , * * b * a f E ” +. Pl oy £ 1 ; * * - * MK F * of . 1 * * ELEMENT A. 141 PR OB. XIX. Si recta V circa axem AB, ad diſtantiam CD, in data inclinatione ad planum DCB convolvatur, & ſolidum PARUTS iſta con volutione generatum ſecetur plano quo- libet IN. K : invenire figuram Sectionis. * # _— 7 BYE © G AH Aly Sto BHQ vel GHO inclinatio axis AB ad planum ſectionis; & L quilibet concurſus rectæ ! XV cum plano illo. Age DF parallelà AB, & ad AB, DF & HO demitte perpendiculares LG, LF, LM, ac junge FG & MG. Dictiſque CD = a, CH—6, HM —x, & ML —y; & propter datum angulum GHO pofito MH. HG:: d.e: crit | =GH, & b +5 GC vel FD. Adhæc propter angulum datum * 142 ALGEBROE datum LDF (nempe inclinationem rectæ XY ad planum GCDF) poſito FD. FL :: g.h, erit - + 1 —FL, cujus quadrato adde FGq, (DCg 2 hbhbex hhbb ſeu aa) & t GL — 4— — emerget CL. +0 +; + —_— Hinc aufer MG (HM -H ſeu ddgg xx a) & reſtabit ME _ + 2 bhee — dd ee i * xx (SML) =. qua- tio quæ exprimit relationem inter x & y, hoc eſt inter HM axem ſectionis, & ML ordinatim appli- catam. Et proinde cum in hac æquatione x & ad duas tantum dimenſiones aſcendant, patet figuram INQLK eſſe conicam ſectionem. Utpote ſi an- you MUG major-fit angulo LDF, Ellipſis erit æc figura; ſi minor, Hyperbola ; f1 æqualis vel Parabola, vel (coincidentibus inſuper punctisC & H) parallelogrammum. PR OB. XX. Si ad AF erigatur perpendiculum AD date longitudints, & norme DEF crus unum ED continuo tranſeat per punttum D dum alterum crus EF æquale A dilaba- tur ſuper AF : invenire curvam HIC quam crus EF medio ejus puncto C de- ſeribit. IT EC vel CF —a, perpendiculum CB =p, AB x, & propter ſimilia triangula FBC, FEC, erit BF (yaa —13) BC + CF 9 4 = 2p CT 2 * n wal 5 ta Sf 4:4 3 * - ELEMENT A. 143 EF (24.) EG + CF (AG +GF) ſeu AF, Quare A ae . N < H X 2 ay + 244 | Jim (—=AF=AB + BF) =X + 22 — . Jam multiplicando per er Y fit 24 þ+ 244 S -T , ſeu 24) +aa += x y/ aa eee +> ac ordinando prodit y* + 39) | __ bh =D Idem aliter. + — 2 — N a * f i In BC cape hinc inde BI, & CK zquales CF, & 80 144 4I4LGEB RA age KF, HI, HC, ac DF; quarum HC ac DF oc- currant ipſis AF & IK in M &N, & in HC de- mitte normalem IL. Eritque angulus K — BCF = 1 EGF S OFD AMH — MHIL —=CIL.; a- deoque triangula rectangula KBE, FBN, HLI & ILC ſimilia. DicergoFC—a, HI = x, &1C=—y; & erit BN (24—y.) BK) :: LC. LH: : CI4 (5). HI (xx). ade6que 2axx — yxx —=y*. Ex qua #- om facile colligitur hanc curvam eſſe Ciſſoi- em Veterum, ad circulum cujus centrum fit A ac radius AH pertinentem. Per ® 4 0 S date longitudinis recta ED angulum da- tum EA ſubtendens ita moveatur ut termini ejus D & E anguli iſtius latera AD & AE perpetim contingant : pro- ur Curvam FCG determmare quam punctum quoduis C in recta iſta ED da- tum deſcribit. 5 A Dato puncto C age CB paralle- lam EA; & dic AB —x, BC =}, CE =s & CD , & propter ſimilia triangulaDC B, | — — DEA erit EC. AB:: A BHG D CD. BD. hoc eſt 4. 412 BD=. Præterea demiſſo perpendiculo CH, propter datum angulum DAE vel DBC, adeo- que datam rationem laterum trianguli rectanguli BCH fit a. e. :: BC. BH, & erit BH =>, Aufer | | oa E L E ME NTA. 145 hanc de BD & reſtabit HD = — triangulo BC H propter angulum rectum BHC "ED 7 eſt BCq—BHq — CH g, hoc eſt yy — -- = CH. Similiter in triangulo CDH propter angulum CHD rectum, eſt CDq — CHq = H Dq, hoc eſt bb — yy 4-7 (= HDgq —£=9 quadrato ) Jam in _ bbxx — 2 bexy + ceyy Et per reductionem aa „ — : Ubi cum incognite quantitates ſint duarum tantum dimen ſionum, pa- tet curvam eſſe Conicam ſectionem. Præte rea ex- bex TUN — aaN © tracta radice fit y = EX —5 — . Ubi in termino radicali coefficiens ipſius xx eſt ee — aa. Atqui erat 4+e:: BC. BH; & BC neceſſa- rio major eſt linea quam BH, nempe Hypotenuſa trianguli rectanguli major latere ; ergo 4 major quam e, & ee — aa negativa eſt quantitas, atque adeo curva erit Ellipſis. PR OB. XXII. Si norma EBD ita moveatur ut ejus crus unum EB continuo ſubtendat angulum rectum E AB, dum terminus alterius cru- ris BD deſcribat curvam aliquam lineam FDG: invenire lineam iſlam FDG quam punttum D deſcribit. F Puno D ad latus AC demitte perpendicu- jum DC; & dictis AC , & DC =, at- que EB =a & BD =6b = ttiangulo BDC prop- 4 ter 4 146 ALGEBRA ter angulum rectum ad C, eſt BCq — os fon DC Ergo BC * — WX AB rea propter ſimilia tran- — ”— gula BEA DBC, eſt /:D BD. DC:: EB. AB. | — hoc eſt bey:ttaox— AFB CTC \/Þh-y.Qurebr-b 4 bb—yy —ay, five bx—ay—by bb —yy. Et partibus quadratis ac debite reductis — — ä + bb 7 Et extracta radice ee Unde patet iterum Curvam eſſe Ellipſin. Hzc ita ſe habent ubi anguli EBD & EAB recti ſunt: Sed ſi anguli iſti ſunt alterius cujuſvis magnitudinis, dummodo ſint æquales, fic proce- — — — 2 A. B H C dendum erit. Demittatur DC perpendicularis ad AC ut ante, & agatur DH conſtituens angulum DHA æqualem angulo HAE puta obtuſum, di- ctiſque EB , BD =b, AH=x & HD, propter ſimilia triangula EAB, BHD erit BD . DH::EB+ AB. hoc eſt b.y::4, AB=Y. Au- | _ fer ELEMENTA 147 fer hanc de AH, & reſtabit BH —x —7. Præ- terea in triangulo DHC propter omnes angulos da- tos, adeoque datam rationem laterum, aſſume DH ad HC in tatione quavis data, puta b ad e, & cum DH ſity, erit Ec 2, & HB He-. Denique per 12. II. Elem. in triangulo BHD eſt BDq = BHq + DHq + : BH x HC, hoc eſt = 24xy aay 2e 24 bb = xx — © + —_— +9 +—7 . Et + | extraftaradice = 9 — v #9) — #97 + #000. ; | AE | b Ubi cum 6 fit major e hoc eſt ee — bb negativa | quantitas, patet iterum curvam eſſe Ellipſin. Pon. Un. Trianguli cujuſvis rectilinei datis lateribus & baſi, invenire ſegmenta baſis, perpen- diculum, aream & angulos. Rianguli ABC dentur latera AC, BC & baſis AB. Biſeca AB in I& in ea utrinque pro- dufta cape AF & AE æquales AC, atque BG & „% ĩðͤ - | Sas Þ BH zquales BC. Junge CE, CF; & i Cad baſem demitte perpendiculum CD. Et erit ACq— BCg | K 1 1 << 148 ALGEBR od nets = dies live hy ex. Sit etiam BD-DC ::y/dd+fok—d 3 \_fa—fx—< & e === (= DC) == five 1 55 ( ) / ad + f 4 1 . ex a — fx ky=fa fx. Eſt itaque 7 ( =EFE; & per reductionem = K. Quare cape EB. EF b. F dein BD. EB — ꝛe· by & habe; bitur punctum quæſitum D. PRO B. XXVIII. Invenire punctum D, a quo tres rectæ DA, DB, DC ad data tria puncta A, B, C ductæ, datam inter ſe rationem obtineant. E Datis tribus punctis junge duo quævis puta A & C; & à tertio B ad lineam conjungen- tem AC demitte perpendiculum BE, ut & perpen- diculum DF à puncto quæſito D: dictiſque AE g], AC =, EB =c, AF -= x, & FD =, erit ADq=xx +y. FC =b—x, CDq(=FC +FDq ELEMENT A. 155 + FDg) =bb — 2bx xx Ty. EF=x 2 5 (EF ＋ EB EB Fb quad.) 1 2 2C) + K 1D A ED D Aa in ny he ratione, fit ĩſta ratio 4 ad e; & exit CD = Fo xx + Jy. 3 2M Cum etiam fit AD ad BD in data ratione, fit iſta ratio 4 ad f, & erit BD = 2 7 + yy. Adeoque eſt = N21 * —— a N ee xx + py 2 (=CDq) =bb—2bx T* +, * fn (=BDgq) = xx — 2ax + 44 + cc + 2zey -+ yy. In quibus ſi, abbreviandi cauſa, pro dd _ a” — {cribatur p, & q pro ==> of, emerget bb abr +£ xx ++ y So, & aa + CC — 24x + 2c) +4 xx +4 Se. - Per priorem eſt 2bqx —bbq 4 — ; = pro = 7 xx +4 4 * ſcribe 4 Xx +7 7 J): Quare in poſteriort 2bqx — — bbq „& orietur abbreviandi cauſa, ſcribe pro 4 — 4, & 2cn pro | bb 156 4LGEB RA 8 & erit mx þ 2c =2C) 3 terminiſ- P que per 2c diviſis — — +» —y. Quamobrem in æ- quatione bb — 2bx + xx + E yy So, pro yy ſcribe quadratum de * ＋, & habebitur bb— 2b ＋ xx + fr ax +—T "= ax + H. Ubi de- 7 nuo fi, abbreviandi cauſa, — - {cribatur pro ET dc? 46 & — 7 2 „ habebitur xx = 25x — 1. Et extracta radice x = X y 55 —rb, Invento x æquatio 5 4 dabit 3; & ex datis x & , hoc eſt AE & FD determinatur punctum quæſi- tum D. Per . Invenire Triangulum ABC cujus tria la- tera AB, AC, BC, & perpendiculum DC, ſunt in Arithmetica progreſſione. 4c IC Ac =, BC x; & erunt DC — 2x -a, & AB = 24 Lx. Erunt eti- Fg * am AD (—4/ ACq—DCz) * D NAA — 4xx & BD _— 'BCq-—DCgq) — _= v/ gax — zææ — aa. Atque 5 rurſus AB AAN —4:xx þ+ /4ax—3xx—4aa. Quare ELEMENT A: 157 Quare 24 — x = / 44x —4xX E 44X—3Xxx—44, ſive 24 — x NAA —4xx = N 44x — ZXX — 44, Et partibus quadratis 444 — 3xx — 44 +2x V Aa —4xx — 4ax — 3xx — 4a, live 544 — Aar —44 —2x y/ 4ax — 4xx. Et partibus iterum qua- dratis ac terminis rite diſpoſitis 16 * — 8oax? + 1444axx — 104 4*x +254* =-0. Hanc æqua- tionem divide per 2x — 4, & orietur 8 x* — 36axx + J - 254* So, æquatio cujus reſolutione dabitur x ex aſſumpto utcunque 4. Habitis a & x conſtitue triangulum cujus latera erunt 24 — x, a, & xz & perpendiculum in latus 24 — x demiſſum erit 2X — 4. Si poſuiſſem differentiam laterum trianguli eſſe d, & perpendiculum eſſe x; opus evaſiſſet aliquan- to concinnius, prodeunte tandem æquatione * —24 ddx — 48 4. PAO. XXX: Invenire Triangulum ABC cujus tria la- Tera AB, AC), BC, & perpendiculum CD, ſunt in Geometrica progreſſione. D IC AC = x, & BC ga; &erit AB == Et D. Eft & AD (A= C55 Ss 4+ — * & BD(—=y/BC4—DCg) 2 xx 4 * a* adeoque ” (=AS) =V xx —= + 8 % + 1 ſive 5 — / AA — SS — V XX — — Et parti bus 3 xx Xx qua- =" — be & = i mo Quad”. ¼— 2 „„ „ ” . — — — „108 158 4 LGEB RA ME . „ wxx & uationis quadratis, — — — 44 — — + 44 = 1 44 4 | = a* a* — — =xx , hoc eſt x*t—aaxx TK = 24a Xx xXx xx - aa. Et partibus iterum quadratis x* 24 + 3a*x* — 24 X +4* = 4a*x* — 44*xx. Hoc eſt x* — 2aax* — a*x* þ24*xx 4 =o. Di- vide hanc æquationem per & * — GAXX — a* , & orie- tur x* — aaxx —a*. Quare eſt & —aaxx + . Et extracta radice xx = 348 + N, , five x = 4 VII. Cape ergo five BC cujuſvis longitu- dinis, & fac BC. AC:: AC. AB:: 1. Ya ＋ AZ; & trianguli ABC ex his lateribus conſtituti per- pendiculum DC crit ad latus BC in eadem ta- tone, | Idem aliter. 0 Cum fit AB. AC:: BC - DC dico angulum Ac rectum eſſe. Nam ſi negas age CE conſti- 2 tuentem angulum ECB A E D rectum. Sunt ergo tri- EF angula BCE, DBC fi- milia per 8. VI. Elem. adeoque EB. EC:: BC. DC. hoc eſt EB. EC:: AB. AC. Age AF per- pendicularem CE & propter parallelas AF, BC, erit EB. EC:: AE»FE:: AB-FC. Ergo per 9. V. Elem. eſt AC = FC, hoc eſt Hypotenuſa trian- gula rectanguli æqualis lateri contra 19. I. Elem. Non eſt ergo angulus ECB rectus, & proinde ip- ſum ACB rectum eſſe oportet. Eſt itaque ACq + BCq — ABq Sed eſt ACq—AB x BC, ergo AB x BC + BCq — ABgq, & extracta es B * — — : , ER —ͤ A Ä TT 5 0 . . & bf a N 4 75 by * 4 * Ef * KF == ELEMENTA 1459 AB = ABC + y/ 5BCgq. Quamobrem cape BC. AB: x, EL] 2 » & AC mediam proportionalem inter BC & AB, & triangulo ex his lateribus con- ſtituto, erunt AB, AC. BC. DC continue propor- tionales. PR OB. XXXI. Super data baſi AB triangulum ABC con- fituere, cujus vertex C erit ad rectam EC poſitione datam, baſis autem medium exiſtet Arithmeticum inter latera. Afis AB biſecetur in F, & producatur do- nec rectæ EC poſitione datæ occurrat in E, & ad ipſam demittatur per- —+ — * e CD: dictiſ- A DF B . que AB -a, FE =, & BC -AB =x, erit BC S4 Tx, AC—=a—x. Et per 13. II. Elem. BD — ACq+AB ca + 1) —=2x+34 Adecoque FD=2x, DE=b+zx, & CD TBq—BDJ) Naa —3xx. Sed propter datas poſitiones re- ctarum CE & AB, datur angulus CED; adeoque & ratio DE ad CD; quæ ſi ponatur 4 ad e dabit analogiam 4. e:: U 2x. / 44 —3xx, Unde, multiplicatis extremis & mediis in ſe, oritur æquatio eb + 2ex — 4 4/444 — z xx, cu- S. partibus quadratis & rite diſpoſitis, fir Ee — b er — Et radice extracta 4˙ + 34d | 4 2 lt 6 4 LG EBR AA PORK.» 2eeb + d y/ 3eeaa REES I [1 autem x, datur BC =a+x & AC SH -x. Pr os. XXXII. Datis poſitione tribus rectis AD, AE, BT, uartam DF ducere, cujus partes DE | F prioribus intercept e, datarum erunt > longitudinum. jp 5 © 1 A B wy In | "A D BF demitte perpendicularem EG, ut & | obliquam EC parallelam AD, & rectis tri- | bus poſitione datis concurrentibus in A, B, & H, dic AB—a, BH =, AH = c, ED =4. EF=e, & HE x. Jam propter ſimilia triangula ABH, | ECH, eſt An · AB: HE · Ec , & AH. | HB: : HE CH . Adde HB, & fit CB — bx + bc 33 1 s 4 : » Inſuper propter ſimilia triangula FEC, FDB, E L EME NTA. 162 FDB, eſt ED. CB: : EF. cr. A. nique per 12 & 13. II. Elem. eſt a 4+ ZFC (= CG) = — CH, hoc eſt Ax AAXX N One) ebx 4 ebe ends cc. be sive De er ee ac #— 1 eb x ebe__ cox — adx — bbx " ebx+ebc * 4 b hy Hic, abbreviandi cauſa, pro 7 {cri aadxx — eedcc ebc be m; & erit —— zi +—7 = mx, ac ter- minis omnibus multiplicatis per x + c, fiet aadxx — eedec ebex ebcc = — cum pro , ſcribe p, pro me 4D ſcribe Bpq, & pro > += ſcribe prr, & evadet xx mxx + mcx, Ite- =2qx -þ7r, & x=q3 Y err Tnvento x ſive HE, C parallelam AB, & Cape FC. BC: . N acta FED conditionibus quæſtio- nis atisfacior, | L PAO. 162 ALGEBRA Pr OB. XXXIII. Ad Circulum centro C radio CD deſcrip- tum ducere Tangentem D, cujus pars PB inter rectas poſitione datas AP, AB ſita ſit date longitudinis. 8 - A Centro C ad alterutram rectarum 22 datarum puta AB demitte normalem CE, eamque produc donec Tangenti DB occurrat in H. Ad eandem AB demitte etiam normalem PG, & dictis EAS 4, EC—=6b, CD = c, BP—d, & PG x, propter ſimilia triangula PGB, CDH erit GB (/dd—xx) « PB: : C D. CH cd — „ dd — xx d Adde EC; & fiet EH=b+——= _ Porro eſt PG. CB EH ER +. Ad- hec propter angulum PAG datum datur ratio PG ad AG, qua poſita e ad f erit A0 . Ad. de * 5 * * 7 ** . 5 n * . Ss 1 0 * ELEMENTA 163 de EA & BG, & habebitur denuo EB — a + + / dd — xx. Eſt itaque © +2 C= =4 + +» dd — xx, & per tranſpoſitionem termi- norum r ==. Et parti- * * bus æquationis quadratis aa + 1 | 2caf ccdd bbdd 2bd4 — — - bb - : ——— + 2bx + dd —xx. Et per debitam reductionem aace * + 24ef , + bbee + 2bddee ccddee = 2beeX — Ad — 2acdee* 7664455 —— . UU e PR O B. XXXIV. Si punctum lucidum A radios verſus re- 7 ſuperfictem planam CD ei- ciat : invenire radium AC, cujus refra- ctus CB impinget in datum punttum B. N Puncto iſto lucido ad reſtingens plarum de- mitte perpendiculum AD, & cum eo u- trinque producto concurrat refractus radius BC in E, & perpendiculum à puncto B demi ſſum in FE, & agatur BD; dictiſque AD —a, DB = 6, BF = c, DC—x, ſtatue rationem ſinuum inci- dentiæ & refractionis; hoc eſt ſinuum angulorum CAD, CED eſſe 4 ad e, & cum EC & AC | L 3 (ut 164 ALGEBRA (ut notum eſt) ſint in eadem ratione, & AC ſit WA ENS x/ aa + xx erit EC . Præterea eſt ED (SVEN — CDg) N r= & DFP Y cc, atque EF = YU ce 3 - xx. Denique propter ſimi- 2 3 ECD, EBF, eſt ED. DC:: EE . FB, &, ductis extremorum & mediorum valo- 2 ä ribus in ſe, c +x AER, FRY five a EEE r bb cc. Et partibus æquationis qua- . & rite diſpoſitis — ex=x4/bb —cc + dadcc — 26x? 2 Xxx — 2ddaacx + ddeace — CC = da — ee Sh Pros; : * A 2 * * os - ai - W „ 1 ELEMENT A. 165 PROB. XXXV. Invenire locum verticis trianguli D, cujus baſis AB datur, & anguli ad baſem DAB, DBA datam habent differen- tiam. BI angulus ad Verticem, five (quod perinde eſt) ubi ſumma angulorum ad baſem datur, docuit Euclides locum verticis eſſe circumferentiam circuli ; propoſui- III. 29. Euclid, mus igitur inventionem loci ubi differentia angulorum ad baſem dator. Sit angu- lus DBA major angulo DAB, fitque AB E eorum data differentia , re&a 1 occurrente AD in FE. +3 In 166 ALGEBRE@OOA Inſuper ad BF demittatur normalis DE, ut & ad AB normalis DC, occurreas BF in G. Dictiſque AB--4, Cx, & CD, erit BC -x. am in triangulo BCG cum dentur omnes anguli dabitur ratio laterum BC & GC ; fit iſta dad a, & 44 — 4 erit CG — Aufer hanc de DC ſive 7 | & reſtabit DG — r. Præterea propter ſimilia triangula BGC, DGE eſt BG. BC .:: DG. DE. Eſt autem in triangulo BGC, a + d:: CG. BC. Adeoque aa » dd: : CG. BCq, & com- ponendo aa + dd « dd: : BUqe BCꝗ. Et extractis radicibus y/ aa + dd +d (:: BG. BC) :: DG + DE. dy — aa + ax - .Adhæc cum @ngulus Ergo DE = - v aa + dd ABF fit differentia argulorum BAD & ABD, adecque anguli BAD & FBD zquentur, ſimilia erunt triangula rectangula CAD & EBD, & pro- inde latera proportionalia DA. DC:: DB- DE. Sed eſt DC—y. DA (—/ ACq+DCq) KX H. DB (= BCq + DC = aa — 24x +xx +))z dy — aa + ax & f 3 = — | | upra erat DE — r Quare eſt ay —aa + ax XX +yy.y: eee, Et extremorum & mediorum quadratis in ſe du- - . | adx + ElL1S aayy — 24 + * * + Fd — — +29 — 24adxxy — 24ady* + 2adyx* - + - 24d xy? + a*xx +4) = 24x) 1 4 N 2 + aax* K. 5 | aa + dd . _- omnes ELEMENT A. 167 omnes terminos in 44 + dd, & prodeun- tes redige in debitum ordinem, & orietur WS. FI). -d * += * 4 XxX by X 1 200 — 0 | 4.24 a 4 » ua Divide hanc æquationem per xx * „& 2 +Y orietur Xx 24 - —J) —o. Duz itaque 1 3 dierunt æquationes in ſolutione hujus Problematis. Prior xx —ax +9 0. Eft ad circulum, lo- cum nempe n ubi angulus FBD ſumitur ad alias partes rectæ BF quam in figura deſcribi- tur, exiſtente angulo AB F ſumma angulorum DAB DBA ad baſem, adeoque angulo ADB ad verti- — 4 cem dato. Poſterior xx , 24% =. 4 gt ad Hyperbolam, locum puncti D ubi ang. FBD ſitum obtinet à recta BF quem in Figura de ſcrip- ſimus: hoc eſt ita ut angulus ABF ſit differentia angulorum DAB, DBA ad baſem. Hyperbolz autem hec eſt determinatio. Biſeca AB in P. Age PQ conſtituentem angulum BPQ æqualem dimidie anguli ABF. Huic erige normalem PR, & erunt PQ, PR Aſſymptoti hujus Hyperbolæ, & B punctum per quod Hyperbola tranſibit. Et hinc prodit tale Theorema. Hyperbolz rectangulæ diametro quavis AB ducta, & à termi- nis ejus ad Hyperbolz puncta duo quævis D & H ductis tectis AD, BD, AH, BH; he tectæ angu- Fan L 4 . boy N = - - e n -&t - ny l————ůö˙ :: —B — ——— — — 168 AILGE BR los DAH, DBH ad terminos diametri conſtituent æquales. Idem brevius. Ad PRO. XIII. Regulam de commoda ter- minorum ad ineundum calculum electione tradidi ; ubi obvenit ambiguitas in electione. Hic diffe- rentia angulorum ad baſem eodem modo ſe habet ad utrumque angulum; & in conſtructione Sche- matis æque potuit addi ad angulum minorem DAB, ducendo ab A rectam ipfi BF parallelam, ac ſub- ſtrahi ab angulo majori DBA ducendo rectam BF. Quamobrem nec addo nec ſubſtraho, ſed dimi- dium ejus uni angulorum addo, alteri ſubtraho. Deinde cum etiam ambiguum fit utrum AC vel BC pro termino indefinito cui ordinatim applicata DC einſiſtit adhibeatur, neutrum adhibeo ; bi- ſeco AB in P, & adhibeo PC: vel potius acta MPQ conſtituente hinc inde angulos APO, BPM æquales dimidio differentiæ angulorum ab baſem, | ita ut ea cum rectis AD, BD conſtitu- at angulos DQP, DMP zquales; ad MQ demitto nor- males AR, BN, DO & adhibeo DO pro ordinatim applicata, ac PO indefinita linea cui inſiſtit. Voco jitaque PO = x, DO —y, AR vel L | BN=—6, & PR vel PN —c. Et propter ſimilia triangula BNM , ELEMENT A. 169 DOM, erit BN. DO:: MN. MO. Et divi- dendo, DO—BN (y —6) - DO (3) :: MO-=MN (ON five c — x) . MO. Quare MO =2=7 Similiter ex ** parte propter ſimilia oh ARQ, DOQ, ent AR. DO:: RQ. QO: & componendo DO + AR ( +6) «DO (yp) QO + RQ (OR yy 512) - . -= Denique propter — angu- los DM, DQM æquantur MO & QO, hoc eſt 3b = — TXT Divide omnia per y, & mul- tipliea per denominatores, & 323 222 — Kb =6) An del — xb, five c ma æquatio ad 8 Quin etiam "a 42 — D fine calculo Alge- braico prodire poruit. Eſt enim ex 33 Do- BN . ON: : DO » MO (OO): : Do AR. OR. Hoc eſt DO BN, DO + BN : : ON. OR, & mixtim DO » BN :: — OR (NP) — 5 CE (OP). Adeoque DO x OP PR OB. XXXVI. Locum verticis trianguli invenire cufus Ba- fit datur, & an m ad Baſem unus dato angulo 2 à duplo alterius. N Schemate noviſſimo ſuperioris N fit ABD triangulum iſtud, AB baſis biſecta in P, AER BPM dimidium anguli dati, quo anzu- 170 ALGEBROE engulus DBA excedit duplum anguli DAB: & angulus DM erit duplus anguli DQM. Ad MQ demitte perpendicula AR, BN, DO; & an- gulum DMQ biſeca recta MS occurrente DO in S; & erunt triangula DOQ, SOM ſimilia; adeo- que O- OM: : OD » & dividendo OQ — OM. OM ::SD- OS:: (per 3. VI. Elem.) DM. OM. Quare (per 9. V. Elem.) OQ-OM — DM. Dictis jam PO =x, OD =. AR vel BN, & PR vel PN=c, erit ut in ſuperiori Problemate OM — 7 » & OQ= 1 adeoque oQ — on —27 2 Pone jam D cc 2c ＋ DOg+OMqg=DMzg, has eſt T4 br +64) __ 4bbce + 8bexy + 4x37 = —F + I: Et per debitam | reductionem orietur tandem * —2bxx +.- +." ws WM 1 * ** Z a — z xx —_— bbxx Divide _— Lay J+ b, & evadet Br dc - 81808 * byy 2 * 22 Quare punctum | —z3xx + bxx D eſt ad Curvam trium dimenſionum; quæ tamen evadit Hyperbola ubi angulus BPM ſtatuitur nul- lus, ſive angulorum ad baſem unus DAB duplus alterius DBA. Tunc enim BN, five h evaneſcente, æquatio fiet yy = ; þ+ 26x — CC. | Ex hujus autem æquationis conſtructione tale elicitur Theorema, Si centro C, Aſymptotis CS, bl ELEMENTA 1571 CT, angulum SCT 120 graduum continentibus deſcribatur Hyperbola quævis DV, cujus ſemis axes ſint CV, CA: produc CV ad B, ut fir 4% VB—VC, & ab A & B actis utcunque rectis AD, BD concurrentibus ad Hyperbolam, erit angulus BAD dimidium anguli ABD, triens vero angu- li ADE quem recta AD comprehendit cum BD producta. Hoc intelligendum eſt de Hyperbola quæ tranſit per punctum V. Quod ſi ab iiſdem punctis A & B actæ rectæ Ad, Bd conveniant ad conjugatam Hyperbolam quæ tranſit per A: tunc externorum angulorum trianguli ad baſem, ille ad erit duplus akerius ad A. Pros XXXVII. Circulum per data duo puncta deſcribere qui rectam poſitione datam continget. 8 A & B puncta data, & EF recta poſitione data, & requiratur circulum ABE, per iſta Punta deſcribere qui cantingat rectam iſtam FE. ' | * 172 4 L GE BRA Junge * & eam biſeca in D. Ad D erige nor- | malem DF occurren- tem rectæ FE in F, & circuli centrum inci- det in hanc noviſſime 2 DE, puta in C. B Junge rgo CB; & ad E * CE nor- malem, eritque E * ctum contactus, CB, CE zquales 1 — F ter ſe, utpote radii cir- culi quæſiti. Jam cum puncta A, B, D, & FE dentur, eſto DB — a, ac DF; & ad determinandum centrum circuli quæ- ratur DC, quam ideo dic x. Jam in triangulo CDB propter ang ulum ad D rectum, eſt / DBq + DC, hoc eſt / + xx = CB. Eſt & DF — DC five b—x—CF. Et in triangulo rectangulo CFE cum dentur anguli, dabitur ratio laterum CF & CE ; fitiſtadade; &erit CE —+ x CF hoc eſt ==® Pone jam CB & CE, (radios nempe circuli quzſiti,) æquales inter ſe, & habebitur æ- quatio / 44 + xx == Cujus partibus quadra- tis & multiplicatis per da, oritur aadd + ddxx—eebb + cebb —uerba-þeexe: Sive * X —2ecbx— aadd, Et ex- N88 2 4.4% + ccaa — ddaa tracta radice, & == 3 — — Inyenta eſt ergo longitudo DC adeoque centrum C, quo circylus per puncta A & B B defcribendus eſt ut contingat rectam FE, 5 PRO 8, N T ö | | Eꝰr datum pun- 0 n l 4 1 q 25 * — 7 1 N ee Nr EA e . » „„ _ * n þ - ELEMENT A. 173 POR. XXXVIIL tas continget. ctum A, & ſint EF, FG rectæ duæ poſitione datæ, & AEG circulus quz- ſitus eaſdem contin- gens, ac tranſiens per punctum iſtud A. Recta CE. biſecetur angulus EFG & cen- trum circuli in ipſa reperietur. Sit iſtud C; & ad EF & FG demiſſis perpendiculis CE, CG, erunt E ac G puncta contactus. Jam in tri- angulis CEF, CGF, cum li ad E & G, fint recti, & anguli ad E {-miſles n EFG, dan- tur omnes anguli adeoque ratio laterum CF & CE vel CG. Sit iſta d ad e, & fi ad determinandum centrum circuli quæſiti C, aſſumatur CF &, erit ex CE vel CG = Præterea ad FC demitte nor- malem AH, & cum punctum A detur, dabuntur etiam rectæ AH & FH. Dicantur iſtæ 4 & U, & ab FH five 6 ablato FC five x reſtabit CH — x. Cujus quadrato bb — 2bx + xx adde quadratum ipſius AH, five 44 & ſumma aa + bb — 2bx + xx, erit AC per 47. I. Elem. ſiquidem angulus AHC ox Hypotheſi fit rectus, Pone jam radios * 174 4LGEB RA AC & CG inter ſe æquales; hoc eſt pone æquali- tatem inter eorum valores, vel inter quadrata eo- rum, & habebitur æquatio 44 + bb — 2bx + xx eexx 2 3 a 3 ＋. Aufer utrobique xx, & mutatis omni- bus ſignis erit — 4450 + 2bx =xx . Duc omnia in dd, at divide per dd — ee, & evadet — aadd — bbdd + :bddsx : 3 F =xx, Cujus æquationis extracta radix eſt x — 1 3 2 Inventa eſt itaque longitudo FC, adeoque punctum C, quod centrum eſt circuli quæſiti. Si inventus valor x five FC auferatur de 6 five — eb — ddaa HF, reſtabit HC = - — — 222 ans A eadem æquatio quæ in priori problemate prodiit ad de terminandum longitudinem DC. g PRO B. XXXIX. Circulum per data duo puncta de- Vice ſcribere, qui alium circulum po- Prop. 1 ſitione datum continget. Int A, B puncta data, EK circulus poſitione I & magnitudine datus, F centrum ejus, ABE circulus quæſitus per puncta A & B tranſiens, ac tangens alterum circulum in E, & C centrum ejus. Ad AB productum demitte perpendicula CD, & FG & age CE, ſecantem circulos in puncto con- tactus E, ac age etiam FH parallelam DG, & oc- currentem CD in H. His conſtructis dic AD oe F 1 vel ELEMENT A. 175 vel DB —=a, DG vel HF =, GF =c, & EF (radium nempe circuli dati) , atque DC x: & erit CH (= CD—-FH) =x—c, & CFA (CH IHF) =xx—2cx + cf + bb, atque CB (=Cbq + DBg) xx + aa, adeoque CB ve | C_— —— I —_— CEN xx +44. Huic adde EF, & habebitur CF—=d+y/ xx +aa, cujus quadratum dd -þ 44 " +xx +24/ xx +44, æquatur valori ejuſdem CFq prius invento, nempe xx—2cx þ cc + bb, Au- fer utrobique xx, & reſtabit dd + aa+ 24 y/ 4 cc +bb-2cx. Auſer inſuper dd + aa, & ha- bebitur 24 / xx + aa =cc +bb — dd — aa — 2cx, Jam, abbreviandi cauſa, pro cc + bb — dd — aa, ſcribe 2gg, & habebitur 24 y/ xx + a4 = 2gg —2cx, five d / xx +44=gg —cx. Et partibus æquati- onis quadratis, erit ddxx + ddaa = gf — 2go0cx + cexx. Utrinque aufer ddaa & ccææ, & So bit ddxx — ccxx = g* — ddaa — 2gg0x, Et parti- bus æquationis diviſis per dd cc, habebitur 1 — 2090 ad . cc , — = - — — — — — — —— —ͤ— 2 176 42LGEB RA Inventa igitur x; five longitudine DC, biſe- ca AB in D, & ad D erige perpendiculum Dc = =&© +4vE, — + ==. Doin — CC Fe centro C per punctum A vel B deſcribe circulum ABE; nam hic continget alterum circulum EK, & tranſibit per utrumque punctum A, B. Q. E. F. PA OB. XL. Circulum per datum punctum deſcribere qui datum 23 & rectam lineam poſi- tione datam cont inget. F 1 -- IT circulus iſte deſcribendus BD, ejus centrum C, punctum per quod deſcribi debet B, reQa quam continget AD, punctum contactus D, cir- culus quem continget GEM, ejus centrum F, & punctum contactus E. Junge CB, CD, CF, & CD erit perpendicularis ad AD, atque CF ſecabit circulos in puncto contactus E. Produc CD ad Q ut ſit D g EE, & per Q age QN parallelam AD. Denique 3 B &F ad AD & QN demitte perpendicula BA, FN, & 3 Cad AB & FN per- ELEMENT AX. 177 pendicula CK,,CL. Et cum fit BC CD vel AK, erit BK (AB AK) AB — BC, adeo- que ug fo —= ABq—:ABxBC-+ BCA. Aufer hoc de BCg, & Eſtabit 2AB x BC— ABg, pro quadrato de CK. Eſt itaque AB X2BC —AB — CKg; & eodem RO erit FN x 2FC—-FN =CL9q, atque adeo oo + AB = 2zBC, & C SL + FN =2FC. Quamobrem fi pro AB, CK, n. & CL, baer 4, 1, b, c, & c-, erit 2 - +44=BC, &= —__— —FC. De FC aufer BC, & reſtabit EF 22 , +6 26 —2 — 4. Jam ſi puncta ubi FN producta ſe- cat rectam AD, & circulum GEM notentur li- teris H, G, & M & in HG producta capiatur HR = AB, cum fit HN (=DQ=—EF) CF, addendo FH utrinque erit FN — GH, adeoque AB —FN(=HR — GH) = GR, & AB FN +2EF, hoc eſt 2 -U +2EF—RM, & 44 —56 + EF = RM. Quatre cum ſupra ſuerir EF =—=1 + +36 =_ — Ea, {i hoc ſcriba- tur pro EF habebitur ZRM = 20 42 . Dic ergo RM d, & erit 42. Due omnes terminos in 4 & b, & orietur abd — acc — %. Aufer utrinque acc — zg, & lab 2] abd — acc + . ha — by). D: my a + 426 — Quæ concluſiones fic abbreviari poſſunt. 6. 6: d. e, deina—bea::cef; & erit fe fe + 2fy =p, five z=fTy/F+fe—fc. Invento 7 five KC vel AD, cape AD =fT Fefe. ad D erige perpendiculum DC (— BC) = | ＋ AB, & centro C, intervallo CB vel CD de- ſcribe circulum BDE, nam hic tranſiens per da- tum punctum B, tanget rectam AD in D, & cir- culum GEM in E. Q. E. F. Hinc circulus etiam deſcribi poteſt qui duos da- tos circulos, & rectam poſitione datam continget. extras radice 7 — Sint enim circuli dati RT, SV, eorum centra B, E, & recta poſitione data PQ. Centro E, radio FS — BR deſcribe circulum EM. A puncto B, ad rectam PQ demitte perpendiculum BP, & pro- ducto eo ad A ut fit PA — BR per A age AH pa- rallelam PQ, & circulus deſcribatur qui tranſeat p< ELEMENTA. 179 . B, tangatque rectam AH, & circulum EM. Sit ejus centrum C; junge BC ſecantem cir- culum RT in R, & eodem centro C, radio vero CR deſcriptus circulus RS tanget circulos RT, SV, & rectam PQ, ut ex conſtructione mani fe- ſtum eſt. PR OB. XLI. Circulum deſcribere qui per datum punctum tranſibit, & alios duos poſitione, & mag- nitudine datos circulos continget. E punctum datum A, ſintque circuli pofitione, & magnitudine dati TIV, RH ,s, centra eo- tum C& B, circulus deſcribendus AIH, centrum ejus D, & puncta contactus I & H. Jos AB, AC, AD, DB, ſecetque AB producta cifculum RIS in punctis R & S, & AC, producta circu- e M 2 lum 1830 ALGEBReA lum TIV in T & V. Et à punctis D & C de- mi ſſis perpendiculis DE ad AB, & DF ad AC oc- currente AB in G, atque CK ad AB; in trian- gulo ADB erit ADq — DBq + ABq=2AE X AB, per 13. II. Elem. Sed DB=AD + BR, adeo- que DBq—ADq-+2AD x BR + BRg. Aufer hoc de ADq ABA, & reſtabit ABq — 2AD x BR — BRZ, pro z AEX AB. Eſt & ABq — BRq—AB <= BR x AB + BR —=AR x AS. Quare AR x AS—-2AD x BR =2AE xx AB. Et ARXAS—2ABXAE ___ap. Et fimili ra- BR = tiocinio in triangulo ADC emerget iterum D- TAV—2CAF | RAS —2BAE JETTE 'TAV —2CAF |. TAV _ RAS 2BAE „C ö 2CAF | TAV _ RAS 2BAE CT =”. * 7 "un "UE 20S — AF. Unde cum fit AK. AC:: AF. AG, erit TAV RAS , 2BAE CT hoc de AR five = N , & reſtabit GE RAS TAV 2BAE , 2KAE , CT = "a mT cf ir Unde cum fit KC. AK:: GE. DE; erit DEN _ TAV _2BAE 2KAE CT = cr "mn To of *mc In AB cape AP quz fit ad AB ut CT ad BR, 4 . AE _2BAE 2PK x AE 6g e er a FTE | _2BAE zKAE ue Df _ RAS TAV oy ER tot Rd - | | — 2PK ELEMENT A. 181 2PKENXAE CT | E e * KC Ad AB erige ergo perpendi- KAS TAY CT a culum ꝙAaQ BR — CT * KC & in eo cape PK XxX A QO = — — = & erit AO g DE. Junge DO, DQ, CP, & triangula DOQ, CKP erunt ſimilia, quippe quorum anguli ad O & K ſunt recti, & la- tera (KC. PK:: AE, vel DO. QO) proportio- nalia. Anguli ergo OQD, KPC æquales ſunt, & proinde O perperdicularis eſt ad CP. Quam- | obrem ſi agatur AN parallela CP, & occurrens O in N, angulus ANQ erit rectus, & triangula AQN, PCK ſimilia; adeoque PC. KC: AQ. RAS TAY CT an.” WT SC OF X36 RAS FAY er AN erit FK CT X TE: Produc AN ad Mut fit NM = AN, & erit AD DM, adeo- que circulus quæſitus tranſibit per punctum M. Cum ergo punctum M datum ſit, ex his, ſine ulte- riori Analyſi, talis emergit Problematis reſolutio. In AB cape AP, quæ ſit ad AB ut CT ad BR; junge Cp eique parallelam age AM, quæ fit ad r ut CT ad PC: & ope Prob. 39. per puncta A & M deſcribe circulum AIH M qui tangat alterutrum circulorum TIV, RHS, & idem circulus tanget utrumque. Q, E. F. Et hinc circulus etiam deſcribi poteſt qui tres circulos poſitione & magnitudine datos continget. Sunto trium datorum circulorum radii A. B. C, & centra D. E, F. Centris E & F, radiis B TA | M C + 182 ALGEBROE C 2 A deſcribantur duo circuli, & tertius circu- Jus qui hoſce tangat, tranſeatque per punctum A. Sit hujus radius G, & centrum H, & eodem cen- tro H radio GTA deſcriptus circulus continget tres primos circulos, ut ficri oportuit. PR OB. XLII. Erettis alicubi terrarum tribus baculis ad Horixontale planum in punctis A, B, & C perpendicularibus, quorum is qui in A ſit ſex pedum, qui in B oftodecim pedum, C. qui in Cocto pedum, exiſtente linea AB triginta trium pedum : F pf gpoaan die exctremitatem umbræ baculi A, tran- fire per puncta B & C, baculi autem B. per A & C, ac baculi C per punctum A. Queritur declinatio ſolis & elevatio Po- li, ſive dies locuſque ubi hæc evenerint? Uoniam umbra baculi cujuſque deſcripſit Co- nicam ſectionem, ſectionem nempe Coni ra- dioſi cujus vertex eſt baculi ſummitas: fingam BC DE, eſſe hujuſmodi curvam (live ea fit Hy- perbola, Parabola vel Ellipſis) quam umbra ba- culi A eo die deſcripſit, ponendo AD, AE, AF ejus umbras ſuiſſe cum BC, BA, CA reſpective ſuerunt umbræ baculorum B & C. Et præterea fingam PA Q eſſe lineam Meridionalem ſive axem hujus curvæ ad quem demiſſæ perpendiculares BM, CH, DK, EN, & FL, ſunt ordinatim applicatæ. Has vero ordinatim applicatas indefinite 8 itera ELEMENT A. 133 litera y, & axis partes interceptas AM, AH, AK, AN, & AL litera x. Fingam denique æquationem m4 FE: | TE —— 2 L : 7 "i V A E\ : - | : C aa L bx 4-cxx=yy, ipſarum æ & j relationem (i.e, naturam Curvæ) deſignare, aſſumendo 44, b, & e tanquam cognitas ut ex Analyſi tandem invenian- tur. Ubi incognitas quantitates x & , duarum tantum dimenfionum poſui quia æquatio eſt ad Conicam ſectionem; & ipſius y dimenſiones im- pares omi ſi quia ipſa eſt ordinatim applicata ad axem. Signa autem ipſorum þ & c, quia indeter- minata ſunt de ſignavi notula L quam indi fferenter pro + aut uſurpo, & ejus oppolitum ＋ pro ſigno contrario. At fignum quadrati 44 a ffirmati vum poſui, quia baculum A umbras in adverſas plagas (C & F, D & E) projicientem concava pars curvæ nece ſſario complectitur, & proinde fi ad punctum - A erigatur perpendicum As, hoc alicubi occurret curvæ puta in 8, hoc eſt, ordinatim —_— 7. ubi x nullum eſt, erit reale. Nam inds ſequitur quadratum ejus, quod in eo caſu eſt as, athrmati- vum eſſe. Conſtat itaque quod zquatio hæc fictitia 44 + bx +cxx == y, licut terminis ſuperfluis non refertur ſic neque reſtrictor eſt quam ut ad omnes hujus M 4 pro: — „„ —— 184 ALGEBREOE problematis conditiones ſe extendat, Hyperbolam, Ellip.in ve! uabolam quamlibet deſignatura prout 2 aa, b, c. valoics determinabuntur, aut nulli orte reperientur, Quid autem valent, quibufque ſignis b & c debent affici, & inde quznam fit hzc curva ex ſequenti Analyſi conſtabit. Analyſeos pars prior. Cum umbrz int ut altitudines baculorum erit BC. AD:: AB. AE (:: 18. 6.) :: 3. 1. Item CA AF (:: 8. 6) :: 4. 3. Quare nominatis AM r, MB =, AH, & HC - TL. Ex ſimilitudine triangulorum AMB, ANE, & AC, Ai NE SALE 3 3 4 Et LF =+ 4 quarum ſigna ſignis ipfarum AM, MB, AH, HC contraria poſui quia tendunt ad con- trarias plagas reſpectu puncti A à quo ducuntur, axiſve PQ cui inſiſtunt. His autem pro x & y in æquatione fictitia aa L bx 4 cxx —= yy, teſpe- ctive ſcriptis, : & ; dabuntaa + br + crr = 5s. —- & — = dabunt aa + - + gerr = 31. et & Lv dabunt 44 + L ctt = vv. —3t & 440 dabunt aa Thbt Lc = 2,00. Jam è prima harum exterminando t ut obtinea- 244 | =. SF nd et + - 1, =. Onde patet 6 eſſe afhr mativum. Item è tertia & quarta exterminando wv ; . 44 6 ther” ut obtineatur : prodir t. Et ſcriptis inſu- 36 Per tur 7, prodit ELEMENT A. 185 244 per g pro yin prima, & = ; I pro: in tertia, ori- 4 4c untur 344 Ts =, & f 344 4, =vv. Porro demiſſa Ba perpendiculari in CH, erit BC AD (::3.1) :: Ba» AK:: CA. DK. OED fit Ba (= AM—AH=r— =I. eit AK= 255 vel potius =— 7. Item cum fit Ca (= CH 4 BM —v+s) == S's erit DK (q Me 1 44 4 1 Quibus in æquatione 44 þ bx Lcxx , pro Ak ac DK ſive x, & * _— ſcriptis, prodir 2 - + 81 15 27 * 91 66 X * 2. 5 Et per reductionem —bb L AA 2 360 5 1aabbc ＋ 4a cc, & partibus qua- dratis iterumque reductis, exit o = 1 43 b+ — 1436 - 196 aabbc, ſive —_ 6 Unde con- Mat Lc negativam eſſe, adeoque æquationem fi- ctitiam 44 + bx Lr =, hujus ef 'orme 44 + bx — cxx — yy, & ideo curvam quam deſig- — Ellipſin eſſe. Ejus vero centrum & axes duo fic eruuntur, Ponendo „ o, G cut in Figutæ verticibus Þ & Qconringit, habebjtur 44 + bx cxx, & extra- _ ta 186 4 LOGE BRA © b + jbh as AQ cta radice, TW ih 7 = AP* Adeoque | ſumpto AV = 2 , erit V centrum Ellipſis, & VQ 3 a vel VP( * * * ſemiaxts maximus. Si porro ipſius AV valor —. Pro x in æquatione 44 ＋ bx bb —cxx n ſcribatur, fiet aa + SEW Quare 2 3 24, hoc eſt quadrato ſemiaxis minimi. Denique in valoribus ipfarum AV, VQ, Wi cripto 243 56 jam inventis, crip 0 196 aa pro C3, excunt 984⁴ 112 44v3 84 % — —AV — =VQ, & VZ. 1436 " 2436 * Analyſeos pars altera. Deni- ELEMENT 187 22 ducatur RV, & cum V perpendiculari- ter inſiſtat plano RP, (ſectio utique exiſtens pla- norum eidem perpendiculariter inſiſtentium) fiet triangulum RV rectangulum ad V. Dictis jam RA —4, AV =e, VP vel VQ=—f, & VZ g. erit AP=f—e, &RP = f — 2ef Tee + dd. Item Aq nf, &RQ=y/f + 2ef Tee + dd: adeoque RZ 6 CN 2 2 — — = — Cujus quadra- 2 tum A 3 „ zcef + ef + 2ddf F 2ddee TA, eſt æquale (RVq + VZq RA, + AVq + VZq=) dd þee + gg. Jam reductione facta eft /f* — 2eeff e ＋ 24dff 2 ddee + 4. — dd Tec — ff + 29g, & partibus quadratis ac in ordinem redactis, daf = dagg + eegg Hg + gf, wn IF =d+e—f+m Denique 6, 2 £8 212083 Gavy 14350 4143 VQ, & VZ) pro d, e, f, ac g reſtitutis, oritur (valoribus ipſorum AR, AV, 143 138 ALGEBRE@(AE 1964* 19244 36, 14,1444 . T 4 2 reductionem 5 In primo Schemate eſt AMq + MBA = ABg, hoc eſt pt re Erat autem , & 5 = , *, unde wa & (ſubſtituto bb 3 143 bb Wi 444 19644 pour Ong. — N & inde per „ iterum reſultat 2 WE $3361 —444 —bb. Ponendo igitur zqualitatem inter duo bb, & dividendo utramque partem æquationis per 49 * + 36as_ _ 4a* | = 44 + 1287 33361 — 444” Cages paribus in crucem multiplicatis, ordinatis, ac diviſis per 49, exit 44* = 98144 + 274428, cujus radix aa eſt 981 +4 1589625 8 22802254144. Supra inventum ſuit 7382 — —bb, ſive . Unde AV 27255 elt 4 $3361 — 444 _ 7 y $3361 — 446 75 „ & VP ͤvel VQ ge eſt = 0768 160083 — 1244. Hoc eſt 1 280122 $4144 pro 44, ac terminos in decimales nu- meros reducendo, AV — 114188297, & VP vel VQ=22L147085, Adeoque AP (PY A) ELEMENT A. 189 101958788, & AQ(AV + VQ) 3313353892. Denique ſi 4 AR five 1 ponatur Radius, erit AQ five 31355897 tangens anguli ARQ79gr. 47.48, & ZAP five 11826465 tangens anguli ARP 61 gr. 17. 52+. Quorum angulorum ſemiſumma o gr. 32. 50", eſt complementum declinationis ſolis ; & ſemidifferentia 9 gr. 14'. 58”, complemen- tum latitudinis Loci. Proinde 141. ſolis erat 19 gr. 27. 10", & Latitudo loci 80 gr. 45". 20% Quz erant invenienda. | PR OB. XLIIL Si ad extremitates fili DAE circa paxillum A labentis appendantur pondera duo D & E, 22 pondus E labitur per li- neam obliquam BG : invenire locum pon- deris E, ubi pondera hæc in æquilibrio conſiſtunt. Uta fatum, & iph AD age parallelam EF quæ fit ad AE, ut pondus E ad pondus D. Et 2 punctis A & F ad lineam BG demitte dicula AB, FG. Jam cum pondera ex Hypotheſi fint ut lineæ AE, EF, exponantur pondera per li- neas iſtas, pondus D per lineam AE, & pondus E per lineam EF. Ergo Corpus five E proprii pon- deris vi directa EF tendit verſus F. & vi obliqua EG tendit verſus G. Et idem Corpus E ponde- ris D, vi directa AE trahitur verſus A, & vi ob- liqua BE trahitur verſus B. Cum itaque pondera ſe mutuo ſuſtineant in æquilibrio, vis qua pondus E trahitur verſus B æqualis eſſe debet vi contrariæ qua tendit verſus G, hoc eſt BE æqualis eſſe 8 | e 190 ALGEBR 2 bet ipſi EG. Jam vero datur ratio AE ad EF ex Hypotheſi, & propter datum angulum FEG datur etiam ratio FE ad EG cui BE zqualis eſt, Ergo \B 2 E * | 2 datur ratio AE ad BE. Datur etiam AB longi- tudine. Et inde triangulum ABE, & punctum ” E facile dabitur. Nempe dic AB , BE =x, & erit AE=4/aa+xx, fit inſuper AE ad BE in data ratione d ad e, & erit e + xx =dx. Et partibus æquationis quadratis & reductis, ce — ddxx — eexx, live 7 — Inventa eſt Pr longitudo BE quæ determinat locum pon- eris E. Q. E. F. | | Quod fi pondus utrumque per lineam obliquam deſcendat , Computum fic inſtitui poteſt. Sint CD, BE obliquæ linez poſitione datz per quas ndera iſta D & E deſcendunt. A paxillo A ad as lincas demitte perpendicula AC, AB, iiſque productis occurrant in punctis G & H lines — | FR ] H 7 ELEMENT A. 191 DH, à ponderibus perpendiculariter ad Horizon- tem erectæ, & vis qua pondus E conatur deſcendere juxta lineam perpendicularem, hoc eſt tota gravitas ipſius E erit ad vim qua pondus idem co- natur deſcendere jux- ta lineam obliquam 1 'P 1 ö : BE ut GE ad BE, at- H . que vis qua conatur. : 3 BY * juxtalineam iſtam ob- : A i liquam BE deſcende- : re erit ad vim qua co- : natur juxta lineam AE deſcendere, hoc eſt ad : vim qua filum AE E diſtenditur ut BE ad AE. Adeoque gra- | vitas ipſius E, erit ad tenſionem fili AE ut GE ad AE. Et eadem ratione gravitas ipſius D erit ad tenſionem fili A D ut HD ad AD. Sit itaque fili totius DA AE longi- tudo c, ſitque pars ejus AE , & erit altera pars AD =c—-x. Et quoniam eſt AEq—ABq=BEgz, & ADq—ACq=— CD4, fit inſuper AB g, & AC=b, & erit BE=y/ xx—a« & CDS N +cc -. Adhæc cum triangula BEG, CDH dentur ſpecie, fit BE. EG:: f. E, & CD. DH: : fg, XX—2CX & erit EG NLV & DHE + cc — bb® Quamobrem cum fit GE.AE : : pond. E. tenſ. AE. Et HD. AD: : pond. D. tenſ. AD, & ten ſiones | Ex y XX — 44 o F A1 — - — iſtz 2quentur inter ſe, erit 7 S tenſ. 193 ALGEBREA Dc — Dx AE = tenſ. AD = y &x—2cx +cc - Cujus æquationis reduQione provenit gx y/ xx — 2cx WOT OM OL To x „ xx — 44, five Tec, b * 72 BD. * 85 — 2DDcaex | DDaa + DD ccaa o. :- Si caſum deſideras ＋ uo hoc e per Re- gulam & circinum con 1 queat, pone pondus D ad pondus E ut ratio -— 2 rationem EG iy © © vadet g =D, adeoque vice præcedentis æquatio- nis habebitur hec hp xx — 244cx ＋ aacc = 0; ſive 2 a+b PRO B. XLIV. Si ad flum DAC BF circa paxillos duos A, B, labile appendantur tria pondera D, E, F; D & F ad extremitates fili & E ad medium ejus punctum C, inter pa- xillos 7770 oſitum : ex datis ponderibus & ſitu paxillorum invenire ſitum puncti C, ad . medium pondus appenditur ubi pon- dera conſiſtunt in æquilibrio. UM tenſio fili AC — uetur tenfioni fili AD, & tenſio fili BC tenſioni fili BF, tenſiones filorum AC, BC, EC erunt ut pondera D, F, E. In ELEMENTA 193 In eadem ponderum ratione cape partes filorum CG, CH, CI. Complcatur triangu'um GHI, Produc IC donec ca occurrat GH in K, & erit GK — KH, & CK = ACI, a deoque C centrum gravitatis trianguli GHI. Nam per C agatur 3 CE per- wr 5g are PQ, & uic à punctis G & H perpendicularia GP, HQ. Et ſi vis qua filum AC vi ponderis D trahit oo punctum C verſus A, exponatur per lincam GC, vis qua filum iſtud trahet idem punctum verſus P exponetur per lineam CP, & vis qua trahit illud verſus K exponetut per lineam GP. Et ſimili- ter vires quibus filum BC vi ponderis E, trahit idem punctum C verſus B, Q & K, exponentur per lineas CH, CO, HQ; & vis qua filum CE vi ponderis E, trahit punctum illud C verſus E, exponetur per lineam CI. Jain cum punctum C viribus æquipollentibus ſuſtineatur in æquilibrio, ſumma virium quibus fila AC & BC, ſimul tra- hunt punctum C verſus K, æqualis erit vi contra- rie qua filim EC, trahit punctum illud verſus E, hoc eſt ſumma GP + HO, zqualis erit ipſi CI; & vis qua filum AC trahit puntum C verſus P, 2quilis erit vi contrariæ qua filum BC, trahit idem punctum C verſus Q, hoc eſt linea PC zqualis li- nex CO. Quare cum PC, CK & QH parille!z ſint, efit etiam GK KH, & CK 0 | 194 ALGEBRA — ZCI. Quod erat oftendendum. Reſtat itaque triangulum GCK determinandum, cujus latera GC & HC, dantur, una cum linea CK, quz à vertice Cad medium baſis ducitur. Demitratur itaque a vertice C ad baſem GH perpendiculum CL, & FT Ss . erit ko is "2 I KL = — * =, 26H 5 2 Pro 2 GK ſcribe GH, & rejecto communi diviſore GH, & ordinatis terminis, erit GC q- 2K C q4+CHq — 2GKg, ſive / 3GCq — KCq+ 3CHq= CK. Invento GK ve! KH, dantur {;mul anguli GCK, KCH, five DAC, FBC. Quare à punctis A & B in datis iſtis angulis DAC, FBC duc lineas AC, BC concurrentes in puncto C, & iſtud C erit pun- Rum quod quzritur. | Czterum quæſtiones omnes quz ſunt ejuſdem generis non ſemper opus eſt per Algebram ſigilla- tim ſolvere, fed ex ſolutione unius plerumque con- ſectatur ſolutio alterius. Ut ſi jam proponeretur hæc quæſtio. | Filo ACDB in datas partes AC, CD, DB diviſo, & extremitatibus ejus ad paxillos duo A, B poſitione datos lipatis, 2 pun- fa diviſionum C ac D appendantur pon- dera duo E & F: ex dato pondere F, & ſitu punctorum C ac D, cognoſcere pondus E. 4 —_= F* præcedentis Problematis ſolutione fatis fa- cile colligetur hæcce ſolutio hujus. Produc lineas AC, BD, donec occurrant lineis DF, CE in G&H: & crit pondus E ad pondus F ut DG CH. Ec ELEMENT A. 195 Et hinc obiter patet ratio componendi ſtate- A B . 5 »s ram ex ſolis filis, qua pondus corporis cujuſvis E, ex unico dato pondere F cognoſci poteſt. F PR O B. XLV. Lapide in puteum decidente, ex ſono lapi- dis fundum percutientis, altitudinem pu- tei cognoſcere. 6 * altitudo putei x, & ſi lapis motu uniformi- ter accelerato deſcendat per ſpatium quodlibet datum 4 in tempore dato 6, & ſonus motu uni- formi tranſeat per idem ſpatium datum à in tem- pore dato d, lapis deſcendet per ſpatium x, in tem- pore bV=, bonus autem qui fit à lapide in fun- dum putei impingente aſcendet per idem ſpatium x, + in 196 ALGEBRe@GA in tempore 2. Ut enim ſunt ſpatia gravibus de- cidentibus deſcripta, ita ſunt quadrata temporum deſcenſus. Vel ut radices ſpatiorum, hoc eſt ut VX & V, ita ſunt ipſa tempora. Et ut ſpatia x & , per quæ ſonus tranſit, ita ſunt tempora tran- ſitus. Ex horum temporum bV= & 7 ſumma, conflatur tempus à lapide demi ſſo ad ſonus redi- tum, Hoc tempus ex obſervatione cognoſci po- teſt, Sit ipſum t, & erit 60 - += =. Ac W. Et partibus quadratis n = —7 + = Et per reductionem zadt Ca aatt _ 8 XxX =— 1 9 2 Et extracta radi ce adt + abb ; PR OB. XLVI. Dato trianguli rectanguli perimetro & per- pendiculo, invenire triangulum. C * ABC ſit C re- ctus angulus & CD per- pendiculum inde ad baſem AB demiſſum. Detur AB 3 B TBC TAC, & CD =. A DD Pone baſem AB — x, & erit laterum ſumma 4 -x. Pone laterum differentiam , & erit majus latus AC =—= 27 ; minus BC = ELEMENT A. 197 BC=—==/ Jam ex natura trianguli re- ctanguli eſt AC + BCq —= ABA, hoc eſt . wn ad; Eſt & AB. AC:: 2 BC-· DC, adeoque AB I DC S AC x BC, hoc F 2 - = % 32 : * ＋ a . —— — —-— — Per priorem æqua- tionem eſt yy =xx + 24x —aa. Per poſteriorem Y =xx —2ax + aa —4bx. Adeoque xx þ 24x — 4 —Xx — 24x +44 — 4bx. Et per reductio- nem 44x + 4bx = 24a, live * =— IF Geometrice fic, In omni den rectangulo, ut eſt ſumma perimetri & perpendicu!: ad perime- trum, ita dimidium perimetri ad baſem. —— — . ‚—‚— . ‚ e LL. — — —ͤ—ũ——— — — — — —— — :! Aufer 2x de 4, & reſtabit 2 N exceſſus late- — — —— _— — — — —U—— —_——— — gulo rectangulo, ſumma perimetri & perpendiculi ad perimetrum, ita perpendiculum ad exceſſum la- rum ſuder baſem. Unde rurſus, Ut in omni trian- | | | terum tuper baſem. PRO B. XLVII. Datis trianguli rectanguli baſi AB, & ſum- " ma perpendiculi & laterum CA C + CD, invenire triangulunr Sto CA + CB +CD ga, AB =, CD = x, L & erit AC CB=4—x, Pone AC-CB—y, & exit ac = i. & CB = EE Eſt aytem ACq + CBq = ABq, hoc eſt | | 1 4 — 08 ALGEBRA. 64 =24X FXXTY —_ &. Eft & AC CB=AR 2 | Xx CD, hoc eſt pots WED — AFOY oy Qui- bus comparatis fit 266 — aa þ 24 — xx —yy = a4 — 24x + xx —4bx. Et per reductionem xx + 2bx —aa+bb, & x T- 2ab + 266. Geometrice fic. In omni triangulo rectangulo de fumma perimetri & perpendiculi aufer mediam proportionalem inter eandem ſummam & duplum baſis, & reſtabit perpendiculum. | Idem aliter. Sit CA + CB + CD =a, AB = b, & AC , & erit BC= = xx, CD ELD Er x +CB + CD g, five CB +CD Ax, at- que adeo +2 bb —xx=a — x. Et quadratis partibus atque multiplicatis per bb, fiet — x*— 2bx? + 2b* x +b* — aabb — 2abbx + bbxx. Qua æqua- tione per tranſpoſitionem partium ad hunc mo- dum ordinata x* + 2 b + we xx I 3 e 8 n by , +46 „ +26 + 240" = + 2ab NA + 4abb® + 24b*? Le extra- cta utrobique radice, orietur xx + bx + bb + ab =x-+by 24b +265, Et extracta iterum radice x =—1b+ /idb4 5ab Ty/b, 2616 — 155 — 105. Con- ELEMENT A. 199 Conſtructio Geometrica. f B F D E C F 1 ot 1 BM _w_= * * 4 1 EN" Cape igitur AB = , BC =, CD AB. AE mediam proportionalem inter 6 & AC, & EF hinc inde mediam proportionalem inter 6 & DE, & erunt BF, BF duo latera trianguli. PR OB. XLVIII. Datis in triangulo rectangulo ABC ſumma laterum AC + BC, & perpendiculo CD — invenire trianguium. IT AC+BC=4, CD =I, AC=x, & erit BC = A4 x, AB —=4/ AA — 24 ͤ + 2.XX. Aſt AX —XX & CD- Ac: . BC. AB. Ergorurſus AB. Quare ax — xx — b aa 24 + 2xx, & partibus | 1 quadratis & ordinatis & — 2ax? T1, xx + 2abbx — aabh o. Adde ad utramque partem aabb + b*, & fiet & —- 2ax? T xx + 2abbx 46* —aabb 4 b+.Et extracta utrobiq; radice xx—ax —bb—=—by aa + bb, & radice iterum extracta x=26 Fa ta +bb —b / aa +bb. N 4 cu 200 L GEB RAA Conſtruw. | Cave AB = BC D . Ad C erige 5 CD a3 3-2 es * F ad E ut fit DE — DA. Ecr inter CD & CE cape. F medium proportio- | nale CF. Centro- E que F, radio BC 3 ſcriptus circulus lll ſecet rectam BC in G & H, 8 erunt BG & BH latera duo trianguli. Idem aliter. Sit AC BC =, AC - BC =, AB = x, ac DC , & erit HH AC, 2 _ = Ms | 22 IE 2 xr.” 3 ACq + BCq = APq= xx. > S DC © AB = x. Ergo 2xx —44=J) —aa — Alx, & xx — aa — 2bx, & extracta radice x ——b+y/bb+aa. Unde in ſuperiori con- ſtructione eſt CE Hypotenuſa trianguli quæſiti. Data autem baſi & perpendi- F De culo tam in hoc quam in ſuperiore Problemate, tri- | | 2 angulum ſic expedite con- C ſtruitur. Fac parallelo- grammum CG cujus latus CE erit baſis trianguli, latus ELEMENT A. 201 latus alterum CF perpendiculum. Et ſuper CE deſcribe ſemicirculum ſecantem latus oppoſitum FG in H. Age CH, EH, & erit CHE triangu- lum quæſitum. PRO B. XLIX. In triangulo rectangulo, datis ſumma late- rum, & ſumma perpendicul: & baſis in- venire Triangulum. IT laterum AC & BC ſumma a, baſis AB & per- pendicuii CD ſumma 6, latus AC = x, baſis AB =y, & erit BC=a—x, CD=b-y, a4—2ax zx = ACq + BCq — ABq=y, ax — xx Kate Bc — AB x CD = wah as + 24x — 2xx, & by = aa —ax + xx. Hujus qua- dratum 4 —24* x + 3aaxx — 2ax* + x*, pone æ- quale yy in bb, hoc eſt æquale aabb - 2 abbx + 2bbxx, Et ordinata æquatione fiet x* — 24x? + 277 xx + x + 2 So. Ad utramque partem æ- quationis adde & —aabb, & fiet xe a an x — 2? + af $I +2abb* + ** == aabb. Et extracta utro- bique radice xx — ax + a4 —bþ = —b bb —aa, & ndice iterum extrata_x 30 „U — — e Cor- 202 ALGEBReA Conſtructio Geometrica. Cape R mediam proportionalem inter b ＋ & -a, & S mediam proportionalem inter R & R, & T mediam proportionalem inter £4 + S & 148, & erunt 24 ＋ T & 14 — , latera trianguli. PR OB. L. Datum angulum CB recta data CD ſub- tendere ; ita ut ſi a termino iſtius rectæ D ad punttum A in recta CB producta da- tum agatur AD, fuerit angulus ADC equalis angulo ABD. C BAE 3 CD S4, AB =, _ & erit '— BD-BA:: CD-DA=>. Demitte perp. aabb BDq—ADq+BAg=xx— 2 DE, EritBE 3 DO... 2b Ob datum angulum DBA pone BD-· BE:: h e. b ; bb & habebitur iterum BE =. ergo xx — + bb = 2ex. Et x*—2ex* +bbxx — aabb Oo. PROS, ELEMENT A. 203 PR OB. LI. Datis trianguli lateribus in uenire an- gulos. Entur latera AB c - = 4, AC = 6, BC —c, quæratur an- gulus A. Demiſlo ad AB perpendiculo CD quod angulo iſti op- onitur, erit imprimis bb — cc = ACq — BCq = ADq — BDq AD ＋BD Xx AD —-BD=ABX2zAD—AB=—2AD bb — Xa — aa. Adeoque ja + — — AD. Unde prodit hocce primum Theorema. Ut AB, ad AC +BC, ita AB—BC, ad quartam proportionalem N. NA. Ut AC ad AD, ita radius ad Coſinum anguli A. A Adhæc DCq = ACq— AD = 244 —_ + 2bbcc -a —b* —c* f a+b+cxa$b-cxa-b 35 - Unde multiplicatis numera- 444 +£X —4 +6 +6c toris & denominatoris radicibus per b, conflatur hocce Theorema ſeeundum. Ur 2ab ad medium proportionale inter a +b +cxa+b—c, & a—b +X —a+6 +c, ita radius ad ſinum anguli A. Inſuper in AB Cape AE = AC, & Age CE, & erit angulus ECD æqualis dimidio angu!i A. Auter AD de AE, & reftabit DE =b—*;z | — bb — ce 204 ALGEBRA bb—cc__ cc—aa42ab—bb _ c+a—bxc-a+b 24 24 | Unde DE _c+a—bxc+o—bxc—a+byxe—a+b Et hinc confit Theorema tertium quartumque, viz. Ut 2abad c þa—bXxc—a+b (ita AC ad DE) ita radius ad. firum verſum anguli A. Et, Ut medium proportic nale inter a +6 + c, & 4a +b — c ad medium proportionale inter c+a—6b, & c -441 (ita CD ad DE) ita radius ad tan- gentem dimidii anguli A, vel dimidii cotangens ad radium. 9 8 Præterea eſt CE.q = CDq + DEq = = —— == Xc+4—bXc—a+6. Unde Theorema quintum & ſextum : Ut medium propor- tionale inter 24 & 20 ad medium proportionale in- ter 44 -, & c —a +b, vel ut 1 ad medium he . c+a—b _c—a+b proportionale inter 3 * (ita. AC ad a CE vel CE ad DE) ita radius ad ſinum dimidii anguli A. Et ut medium proportionale inter 24 & 26 ad medium proportionale inter a ＋ Nc, & 44 - ita CE ad CD) ita radius ad coſinum dimidii anguli A. St præter angulos de ſideretur etiam area trianguli, duc CD in ;ABq, & radix viz. 34/a+b +c Xa+b—cxa—b+cxX—4+b+c, crit area illa quæſita. 12 7955 2abb + bee A FROB, ELEMENT A. 205 PR OB. LIL E Comete motu uni formi rectilineo per Cæ lum trajicientis locis quatuor obſervatis, diftanitam a terra, motuſque determina- tionem, in Hypotheſi Copernicea colligere. I e centro Cometæ in locis quatuor obſervatis, ad planum Eclipticæ demittantur totidem per- pendicula: ſintque A, B, C, D puncta in plano illo in quæ perpendicula incidunt ; Per puncta illa agatur recta AD, & hæc ſecabitur I perpendiculis in eadem ratione cum linea quam Cometa motu C ö 2 | xo ſuo deſcribit, hoc eſt, ita ut fit AB ad AC ut tempus inter primam & ſecundam obſervationem ad tempus inter primam ac tertiam, & AB ad AD ut tempus illud inter primam & ſecundam obſer- vationem ad tempus inter primam & quartam. Ex obſervationibus itaque dantur rationes linearum AB, AC, AD ad invicem. Inſuper in eodem Eclipticæ plano fit S Sol, EH ar- cus lineæ Eclipticz in qua terra movetur, E, F, G, H loca quatuor terræ temporibus obſervationum, E lo- | | | | | | | | 206 ALGEBRG@GA E locus primus, F ſecundus, G tertius, H quartus. Jungantur AE, BF, CG, DH, & producantur do- nec tres poſteriores priorem ſecent in I, K & L, BF inf, CG in K, DH in L. Et erunt anguli AIB, AKC, ALD di fferentiæ longitudinum ob- ſervatarum Cometæ; AIB differentia longitudinum loci primi Cometz & ſecundi; AKC differcntia longitudinum loci primi ac tertii; & ALD diffe- rentia longitudinum loci primi & quarti. Dan- tur itaque ex obſervationibus anguli AIB, AKC, ALD. | Junge SE, SF, EF; & ob data puncta 8, E, E, datumque angulum ESF, dabitur angulus SEF. Datur etiam angulus SEA, utpote di fferentia lon- gitudinis Cometæ & Solis tempore obſervationis primæ. Quare fi complementum ejus ad duos re- Eos, nemqe angulum SEI, addas angulo SE, da- bitur angulus IEF. Trianguli igitur IEF dantur anguli una cum latere EF, adeoque datur etiam la- tus IE. Et ſimili argumento dantur KE & LE. Dantur igitur poſitione lineæ quatuor AI, BI, CK, DL, adcoque Problema huc redit, ut lineis qua- tuor poſitione datis, quintam inveniamus quæ ab his in data ratione ſecabitur. | Demiſſis ad AI perpendiculis BM, CN, DO, ob datum angulum AIB datur ratio BM ad MI. Eſt & BM adCN in data ratione BA & CA, & ob datum angulum CKN datur ratio CN ad KN. Quare datur etiam ratio BM ad KN: & inde ra- tio quoque BM ad MI—KN, hoc eſt ad MN AIX. Cape Pad IK ut eſt AB ad BC, & cum fit MA ad MN in eadem ratione, erit etiam P MA ad IK + MN in eadem ratione; hoc eſt in ratione data. Quare datur ratio BM ad P + MA. Et ſimili ar- gumento fi capiatur Q ad IL in ratione AB ad BD, dabitur ratio BM ad Q + MA. Et proinde ratio ELEMENTA wy ratio BM ad ipſorum P + MA, & Q + MA dif- ferentiam ' quoque dabitur. At differentia illa, nempe PQ vel QP, datur. Et proinde da- bitur BM. Dato autem BM, ſimul dantnr P + MA, & MI, & inde MA, ME, AE, & an- gulus EAB. I His inventis, erige ad A lineam plano Eclipticz ndicularem, quz fit ad lineam EA ut tan- gens latitudinis Cometz in obſcrvatione prima ad radium, & iſtius perpendicularis terminus erit lo- cus centri Cometæ in obſervatione prima. Unde datur di ſtantia Cometæ à Terra tempore illius ob- ſervationis. Et eodem modo fi è puncto B eri- gatur perpendicularis quæ fit ad lineam BF ut tan- gens latitudinis Cometz in obſervatione ſecunda ad radium, habebitur locus centri Cometæ in ob- ſervatione illa ſecunda. Et acta linea à loco pri- mo ad locum ſecundum, ea eſt in qua Cometa per Cœlum trajicit. Pro DB. LIII. Si an gulare A poſitione datum, & angulus da- tus CBD circa punctum angulare B po- ſitione datum ea lege circumvoluantur ut crura AD, BD ad ͤredtam poſitione "datam EF ſeſe ſemper interſecent : in- venire lineam illam curvam quam reli- quorum crurum AC, BC interſectio C de- ſeribit. Roduc CA ad d ut fit Ad = AD, & CB ad 4 ut fit BY BD. Fac angulum Ade æqua- lem angulo ADE, & angulum B xqualem an- gulo lus datus CAD circa punctum an- | ' 208 4 LC ERB R U gulo BDF, & produc AB utrinque donec ea oc- currat de & If ine & f. Produc etiam ed ad G, ut fit dG—#, & à puucto C ad lineam AB, ipſi ed parallelam age CH, & ipſi f# parallelam CK. Et concipiendo lineas eG, d immobiles manere dum auguli CAD, CBD lege præſcripta circa polos A & B volvantur, ſemper erit Gd zqualis ipſi fu, & triangulum CH K dabitur ſpecie. Dic itaque Ac a, eG b, Bf c, AB —=m, BK x, & CK — y. Et erit BK. CK :: Bf· a. Ergo 622 — Gd. Aufer hoc de Ge, & reſtabit ed=b —2. Cum detur ſpecie triangulum C KH, pone CK-CH :: 4. e; & CH. HK: : 4. f, & erit CH=2, & HK . Adeoque AH = = 4 „ l mi ln Me t Acad hes off m-x—Ly 2 4 62. Ergo ducendo me- dia & exfrema in fe, fiet mb 72149 | — k bf " * A © a * ELEMENT AM. 209 be <9 _9 —47 PIO =-7 Duc omnes terminos in dx, coſque in ordinem redige ; & fiet fe — ae xy — dcmy — bixx + bamx o. Ubi cum incognitæ quantitates x & , ad duas tantum dimenſiones aſcendunt, patet curvam lineam quam punctum C deſcribit elſe Conicam Sectionem. Pone wa <7. 1 2 == 2p, & fict % = 7 77 2 bam P +7 xx — X. Et extracta radice 227 * am bd am bam addmm + N XX ＋ *. U * 2 © Unde colligitur Curvam Hyperbolam eſſe ta U 75 affrmativum, vel negativum & non majus quam Pp bad # Parabolam ſi fit 7 negati vum & quale 2 3 F bd : Ellipſin vel circulum ſi fit = & negativum & fe majus quam 7. Q. E. I. PR OB. LIV. Parabolam deſcribere que per data qua- tuor puncta tranſibit. * puncta illa data A, B, C, D. Junge AB & eam biſeca in E. Et per E age rectam aliquam VE, quam concipe diametrum eſſe Parabolæ, pun- co V exiſtente vertice _ Junge AC ip 1 . - g a WY, - - - * >. * — — ws. 5 - 210 4 LGEB RAA AB parallelam age DG occurrentem AC in G. Dic AB Sa, AC =, AG=—c, GD — d. In | K AC cape AP cujuſvis —— 5 longitudinis & a Page PQ parallelam AB, & concipiendo Q pun- Gum eſſe Parabolz : dic AP = x, PQ NY. & æquationem quam- vis ad Parabolam aſſu- me quz relationem in- ter AP & PQexprimat. Ut quod fit ) —e-þfx + * Ax. ſive æ g o, puncto P incidente in ipſum A, fiet PQ five y—o, ut & = — AB. Scribendo autem in æquatione aſſumpta O pro x, fiet y Se „g: hoc eſt Se Tg. Quo- rum valorumi ipſius y major e g eſt —o, minor e—g—=—AB ſive — 4. Ergo e = - g & e g- hoc eſt 2g — a, ſive g — 4. Atque adeo vice æquationis aſſumptæ habebitur hæc q =—44 + fx —»— — — * TY 34a + bx. Adhæc ſi ponatur AP ſive x — AC ita ut pun- ctum P incidat in C, fict iterum PQ—o. Pro x igitur in æquatione noviſſima ſcribe AC five b, & pro y, o, & fiet 0=— 34 +fb + y 44a +bb, hve 4a —fb N +hbb; & partibus quadratis — afb + fbb = hb. Sive fb fa h. Atque ita vice aſſumptæ æquationis habebitur iſthæc 52-4 ETL In- Jam ſi ponatur AP 8 a > ; , : H 7 * * #2 & ge 3 „ 3 E L EME NTA 1211 Inſuper fi ponatur AP five x AG ſive c, fiet PQ five y=— GD five — 4. Quare pro x & y in æquatione noviſſima ſcribe c & - 4, & fiet — 4 34 Aff -a fbe fac. Sive 34 4 fe = 44a +ffbc fac. Et partibus quadratis —ad — fac + dd + 2acf fee = ffbe — fac. Et æqua- tione ordinata & reduc F= * = W 988 Ree Pro b—c hoc eſt pro GC fcribe k, & æquatio illa fiet ff = 4 f+ = 1 75 Et extracta radice 7 £ 4 Ty = * ak. Invento autem f, æqua- tio ad Parabolam, viz. y=— 34 +fx + y fad + fbx fax, plene determinatur : cujus itaque conſtructione Parabola etiam determinabitur. Con- ſtructio autem ejus hujuſmodi eſt. Ipſi BD pa- rallelam age CH occurrentem DG in H. Inter 'DG ac DH cape mediam proportionalem DK, & iph CK paraliclam age EI biſccantem AB in E. & occurrentem DG in I. Dein produc IE ad V, ut fit EV. EI: : EBq+» D1% —EBq, & ent V vertex, VE diameter, 7 latus rectum Para- VE bolæ quzſitz. PA OB. LV. Conicam ſectionem per data quinque puucta deſcribere. | 82 puncta iſta A, B, C, D, E. Junge AC, BE ſe mutuo ſecantes in H. Age DI parallelam BE, & occurrentem AC in I. Idem EK, N . O 2 20. | f \ F F \ fl J. 212 ALGEBR OE. lam AC, & occurrentem DI productæ in K. Pro- duc ID ad F, & EK ad G; Jut fit AHC. BHE :: AIC+»FID:: EKG. EKD, & erunt puncta F *P ; ac G in conica ſectione, : „B ut notum eſt. Hoc ta- 1 ” men obſervarc debebis, LN quod ſi punctum H ca- SY Ys dit inter puncta omnia yy ; 1 71 A, C& B, E, vel extra 1 ea omnia, punctum I ca- E 7 5 dere debebit vel inter » puntia omnia A, C & 1 P, D, vel extra ca om- nia; & punctum K in- ter omnia D, F & E, G, vel extra ca omnia. At ſi punctum H cadit in- ter duo puncta A, C, & extra alia duo B, E vel inter illa duo B, E, & extra altera duo A, C, debe- bit punctum I cadere inter duo punctorum A, C & FE, D, & extra alia duo eorum; & ſimiliter pun- ctum debebit caccre inter duo punctorum D, P & E, G, & extra alia duo eorum: Id quod fiet capiendo IF, KG ad hanc vel illam partem pun- ctorum I, K, pro cxigentia problematis. Inventis punctis F ac G, biſcca AC, EG in N& O; item BE, FD in L & NI. junge NO, LM fe mutuo ſecantes in R; & erunt LM & NO diametri conicæ ſections, R centrum cjus, & BL, FM ordinatim applicatæ ad diametrum LM. Produc LM hinc inde fi opus eſt ad P& Q ita ut fit BL - FMg : : PLQ- PMQ, & erunt P & Q vertices Conicæ ſectionis & PQ latus tranſverſum. Fac PL LBg::PQ+T. Et erit I latus rectum, Quibus cognitis cognoſcitur Figura. Reſtat | - 7 7, _ * = DC, & DC, pro- ELEMENT XA. 213 Reſtart tantum ut doceamus guomodo LM hinc inde producenda fit ad P & Q ita ut fiat BL4q» FEM: : PLQ. PM. Nempe PLQ five PLXxLQ eſt PR-LR x PR + LR, nam PL eſt PR - LR, & LQ eſt RQ +LR ſeu PR + LR. Porro PR—LRXPR-+LR multiplicando fit PRq—LRg. Et ad cundem modum PMQ eſt PR +RM x PR—RM, ſeu PR- RM. Ergo BLq+ FMq : PR- LRA - PRq—RM4, & dividendo BLq —FMz.FMzy : : RMq—LRgq. PR- RMA. Quam- obrem cum dentur BLq—FMq, FM, & RMg —LRqdabitur PRq-RMg. Adde datum RMq, & dabitur ſumma PR, adeoque & latus ejus PR, cui QM æqualis eſt. PROM I. Conicam ſectionem deſcribere que tranſibit per quatuor data puncta, 4 in uno iſto- rum puntlorum continget rectam poſitione datam. Int puncta qui- tuor data A, B, C, D, & re cta po- ſitione data AE, quam conica ſectio contingat in pun- cto A. Junge duo quævis puncta ducta ſi opus eſt, occurrat tangenti in E. Per quar- tum punctum B ipſi DC age parallelam BE, quæ occurrat eidem tangenti in F. Item tangenti pa- O 3 rallelam 214 J L GER RA rallelam age DI, quæ occurrat ipſi BF in I. In FB, DI, ſi opus eſt productis, cape FG, HI ejus longitudinis ut fit AE - CED; : AFq+ BFG: DIH. BIG. Et erunt puncta G & H in Conica ſectione, ut notum eſt: {1 modo capias FG, IH ad legitimas partes punctorum F & I, juxta regulam in ſuperiore Problemate traditam. Biſeca BG, DC, DH in K, L& M. Junge KL, AM ſe mutuo ſe- cantes in O, & erit O centrum, A vertex, & HM ordinatim applicata ad ſemidiametrum AO. Qui- bus cognitis cognoſcitur figura. PR OB. LVII. Conicam ſectionem deſcribere que tranſibit per tria data puntta, & in duobus iſto- rum punctorum continget rectas poſitione datas. C | „%%% ®”. © Int puncta illa data A, B, C, Tangentes AD, 9 BD ad puncta A & B, D communis interſectio tangentium. Biſeca AB in E. Age DE, & pro- duc eam donec in E occurrat CF actæ parallelæ AB: & erit DF diameter, & AE, CF ordinatim appli- catz ad diametrum. Produc DF ad O, & in DO cape OV mediam proportionalem inter DO & EO, | N = ea ELEMENTA. 215 ea lege ut fit etiam A EA « CFq:: VE VGA. VF Xx VO + OF: &erit V vertex, & O centrum Figurz. Quibus cognitis Figura ſimul cognoſci- tur. Eit autem VE — VO — OE, adeoque VE x VO+OE=VO-—-OE x VO + OE = VOg OE. Præterea quia VO media proportionalis eſt inter DO & EO erit vo = DOE, adeoque VO - OEq = DOE - OEq=— DEO. Et ſi- mili argumento erit VF x VO + OF = VOg — OFq = DOE — OFg. Ergo AE. CFq:: DEO . DOE—OFgq. Eſt OFq=EOq-2FEO + FE. Adeoque DOE — OFq = DOE—OEq +2FEO - FEq—DEO + 2FEO — FE. Et AE. CFq:: DEO. DEO-+ 2FEO — FE4 : : DE »-DE +2FE — = Datur ergo DE + EQ FEq 1 2FE — EG Auicr hoc de dato DE + 2FE, & | . FEE 8 2. "= ceſtabit ED datum. Sitillud N; & erit =EO, adeoque dabitur EO. Dato autem EO ſimul da- cur VO medium proportionale inter DO & EO. Hoc modo per Theorcmata quædam Apollonii ſatis expedite reſolvu tur hæc problemata : que tamen {ine iſtis Theoremitibus per Algebram ſo- lam reſolvi poſſent. Ut fi proponatur primum trium noviſhmorum Problematum : ſint puncta quinque data A, B, C, D, E, per que Conica ſe- ctio tranſire debet. Junge duo quævis AC, & alia duo BE rectis ſe ſecantibus in H. Ipſi BE parallelem age DI occurrentem AC in I: ut & alam quamvis rectam KL occurrentem AC in K, & conicæ ſectioni in L. Et finge Conicam ſectio- nem datam elle, ita ut cognito puncto K ſimul cog» O 4 noſcatur 216 ALGEBROE noſcatur punctum L. Et poſito AK—x & KL—y, ad exprimendam relationem inter x & y, aſſume * ** 240 a * * „ellen ULI quamvis æquationem quæ Conicas ſectiones gene- raliter exprimit, puta hanc 4 + bx + cxx ＋ 47 + exy + yy So, ubi a, b, c, d, e denotant quantita- tes determinatas cum ſignis ſuis, x vero & y quan- ritates indeterminatas. Si jam quantitates — natas 4, b, c, d, e invenire poſſumus, habebimus Coni- cam ſectionem. Fingamus ergo punctum L ſuc- ceſſive incidere in puncta A, C, B, E, D, & videa- mus quid inde ſequetur. Si ergo punctum L in- cidit in punctum A, erit in co caſu AK & KL, hoc eſt x & y nihil. Proinde æquationis omnes termini præter a evaneſcent, & reſtabit 4—o. Quare delendum eſt à in æquatione illa, & cateri termini bx + cxx + dy +exy + yy erunt o. Porro ſi L incidit in Cerit AKſeux—AC, & LK ſeu y=o. Pone ergo AC —f, & ſubſtituendo f pro x, & o pro æquatio ad curvam bx + cxx + dy | | +exy ELEMENT A. 217 + exy +) So, evadet bf + cf — o, ſeu b=—ef. Et in æquatione illa ſcripto f pro b evadlet — cfx + cxx +dy +exy + o. Adhæc ſi punctum L incidit in punctum B, erit AK ſeu x AH, & KL ſeu y BH. Pone ergo AH =g & BH —h, & perinde ſcribe g pro x & h pro , & æquatio -c ＋cxx, &c. evadet — cfg + cog + db + e ＋ o. Quod fi punctum L incidit in E erit AK—AH ſeu x=g, & KL ſeu y=HE. Fro liE ergo ſcribe —k cum ſigno negativo quia HE ja- cet ad contrarias partes lineæ AC, & ſubſtituendo g pro x & A pro , æquatio — f A cxx, &c. evadet —cfx +cgg — dk —egh +kk—o. Auſer hoc de ſuperiori zquatione —cfg + gg + dh + eh + hh, & reſtabit dh + egh+ hb ALT- bh---0. Divide hoc per h+k, & fiet 4 þ eg 13 - &-= 0. Hoc ductum in 5 aufer de—cfg + cgg + dh + eg + 1 So, & reſtabit — cfg + cgg ＋ C= o, ſeu 8 c. Denique {i punctum L incidit in —2 - - Ka punctum D, erit AK ſeu x= Al. & KL ſcuy—ID. Quare pro Al ſcribe m & pro ID, & perinde pro x & j ſubſtitue & A, & æquatio —cfx -4- cx», &c. evadet —cfm + comm + dn emu + nn == O. Hoc — C1792 + cn 1 divide per » & ſi et —- +4 Ten fun . Aufer d ＋ eg +h—kb—o, & reſtabit += Tem —eqg+#—b+k=o. Sive — += —b+k—eg em. Jam vero ob data puncta A,B,C, D, E dantur AC, AH, AI, BH, EH, DI, hoc — Fg. m, b, k,n. Atque adeo per æqua- , tionem Z 7 Dc datur c. Dato autem c, per æqua- tionem 218 ALGEBRc@ OA tionem — ＋ * — h =w += OF = 0 datur eg em. Divide hoc datum per datum Z, & emerget datum e. Quibus inventis æquatio d + -o, ſeu 4—k—b—eg dabit 4d. Et his cog- ritis ſimul determinatur æquatio ad quæſitam Co- nicam ſectionem cfæ —cxx + dy +exy + yy. Er ex ea æquatione per methodum Cartelii determi- nabi tur Conica ſectio. Quod ſi quatuor A, B, C, E, & poſitio rectæ AF quæ tangit Conicam ſectionem ad unum iſto- rum punctorum A daretur, poſſet Conica ſectio fic facilius determinari. Inventis ut ſupra æquatio- nibus f =cxx + dy + exy +11, 4=k—h—eg, & c= * „ concipe tangentem AF occurrere A | x rectæ EH in P, dein punctum L moveri per peri- metrum figure CD E donec incidat in punctum A: & ultima ratio ipſius LK ad AK erit ratio FH ad AH, ut contemplanti figuram conſtare poteſt. Dic vero FH —p, & in hoc caſu ubi LK eſt ad AK in ultima ratione erit 9 · g:: x, five E === Xo Quare pro x in æquatione cfx =cxx+dyTtexy+)), ſcribe Q „& orictur . 2 + dy + 27 +))- P 8 PP P Divide omnia per) & emerget fg = + 4 + 3+: Jam quia ſupponitur punctum L inci- dere in punctum A, adeoque KL ſeu j infinite par- vum vel nihil eſſe, dele terminos qui per) multi- licantur, & reſtabit 2 d. are fac — —- =c, F cet Boats = dein ELEMENT A. 219 fg d, denique . Se, & inventis c, d 7 : : & e, æquatio cfx =cxx + dy + exy + y determi- nabit conicam ſectionem. Si denique tria tantum puncta A, B, C dentur, una cum poſitione duarum rectarum AT, CT quæ tangunt Conicam ſectionem in duobus iſtorum pun- ctorum A & C, obtinehitur ut ſupra ad Conicam. ſectionem æquatio hæc cfx = cxx-+ dy +exy +7, dein — Deinde fi ſupponatur ordinatam KL parallelam eſſe tangenti AT, & concipiatur eam produci donec rurſus occurrat Conicz ſectioni in M, & lineam il- lam LM accedere ad tangentem AT donec cum ea conveniat ad A: ultima ratio 2 KL & KM ad invicem erit ratio zqualitatis, ut contemplanti figuram conſtare poteſt. Quamobrem in illo caſu exiſtentibus KL & KM, fibi invicem æqualibus, hoc eſt duobus valoribus ipſius y (affirmati vo ſci- licet KL, & negativo KM) æqualibus, debent æ- quationis efxx = cxx + dy + exy-+ yy termini illi in quibus y eſt imparis dimenſions, hoc eſt ter- mini dy + exy reſpectu termini yy in quo y eſt pa- cis dimenſions, eyaneſcere, Aliter enim * va Jloxes 202 ALGEBRe@A lores ipſius y, affirmativus & negativus, æquales | eſſe non poſſunt. Et in illo quidem caſu AK in- finite minor erit quam LK, hoc eſt x quam y, pro- inde & terminus exy quam terminus yy. Atque adeo infinite minor exiſtens, pro nihilo en erit. At terminus er termini yy, non evaneſcet ut oportet, ſed eo major erit niſi 4 ſupponatur eſſe nihil. Delendus eſt itaque terminus dy, & fic re- ſtabit cfx c exy +3), æquatio ad conicam ſectionem. Concipiatur jam tangentes AT, CT ſibĩ mutuo occurrere in T, & punctum L accedere ad punctum C donec in illud incidat. Et ultima ratio ipſius KL ad KC erit AT ad AC. KL erat 1; AK,x; & AC, f; atque adeo KC, f— x. Dic AT g. & ultima ratio yad f—rx, erit ea quæ eſt g ad f. Equatio fr —cxx+exy+ yy, ſubducto utrobique cxx fit f —cxx —=exy # 21, hoc eſt, Fx in cx j in ex ). Ergo eſt yef—x:: cx · ex +y, adeoque g- F:: ex 49h. At pun» cto L incidente in C, fit y nihil. Ergo g · F: ic ex. Divide poſteriorem rationem per x, & evadet g Fc e, & Z =. Quare ſi in æquatione cfx —cxx-FexyT 1, ſcribas 7 pro e, fiet cf —=cxx f +L xy +, æquatio ad conicam ſectionem. De- nique ipſi KL ſeu AT a dato puncto B per quod Conica ſectio tranſire debet age parallelam BH oc- currentem AC in H, & concipiendo LK accedere ad BH donec cum ea coincidat, in eo caſu erit AH = x, & BH=y. Dic ergo datam AH m, & datam BH —#, & perinde pro x & y in æqua- tione cf = 6xx 72 xy + , ſcribe m & u, & orie- | | tur ELEMENT AX. 221 tur fm See an. Aufer utrobique . & fict cfm — mm — T 1 2 ; 8 Pone . & erit com — nu. Divide u- tramque partem æquationis per 59, & orictur nn . ==. Invento autem c, determinata habe- tur Zquatio ad Conicam ſectionem cfx = cxx 17 xy +3y. Et inde per methodum Carte ſii Conica ſectio datur & deſcribi poteſt. PR OB. LVIII. Dato globo A, poſitione parietis DE, G centri globi B à pariete diſtantia BD ; invenire molem globi B ea lege ut in ſpa- tits liberis, & vi gravitatis deſtitutis, ſi globus A, cujus centrum in linea BD, que ad parietem perpendicularis eſt , ul- tra B producta conſiſtit, uniform: cum motu verſus D feratur donec is impingat in alterum quieſcentem globam B; glo- bus iſte B poſtquam reflettitur a pariete, denuo occurrat globo A in dato puncto C. 8 globi A celeritas ante reflexionem 4 & eric per Pros. XII. p. gr. celeritas globi A poſt 'aA — aB : | reflexionem ZLB & cms globi B poſt refle- 222 ALGEBREA 24A reflexionem — ALB Ergo celeritas globi A ad celeritatem globi B eſt ut A B ad 2A. In GD cape gD = GH diametro nempe globi B, & E D N celeritates iſtz erunt ut GC ad Gg +gC. Nam ubi Globus A impegit in globum B, punctum G quod in ſuperficie globi B exiſtens movetur in li- nea AD, perget per ſpatium Gg antequam globus ille B impinget in parietem, & per ſpatium gC poſtquam à pariete reflectitur; hoc eſt per totum ſpatium Gg ＋gC, in codem tempore quo globi A punctum F perget per ſpatium GC, eo ut globus uterque rurſus conveniant & in ſe mutuo impin- gant in puncto dato C. Quamobrem cum dentur intervalla BC & CD, dic BC n, BD + CD =, & BG=x, & erit C= N & G ＋ COD DC- 22D GB +BD +D — 20H = E= Ax, ſeu g- zx. Supra erat A—B ad 2A ut celeritas globi A ad celeritatem globi B, & celeritas globi A ad celeritatem globi B ut GC ad Gg +gC, adeoque AB ad 2A ut GC ad Gg + gC, ergo cum fit GC Ax, & Go + —=zu—3x, erit A- B ad 2A ſicut m + xad z—3x. Porro globus A cit ad globum B ut cubus radit ejus AF ad cubum radii alterius GB, hoc eſt ſi ponas radium AF eſſe , ut ad &. Ergo s -& 23 (:: AB. 2A): : f - zx. Et ductis extremis & mediis in fe ha- e eee ELEMENT A. 223 bebitur æquatio - z - +3x* = + 2xs*, Et per reductionem 3x* A — 553 + 5's Cu] LON! ſtructione da „ o. Cujus æquationis con one da- Si datus eſſet Globus B & quzrerctur globus A ea lege ut globi duo poſt reflexionem convenirent in C, quzſtio forert facilior. Nempe in inventa æquatione noviſſima ſupponendum eſſet x dari & s quæri. Qua ratione per debitam reductionem lus æquationis, tranſlatis terminis — 5 x e —25*23z ad zquationis partem contrariam ac viſa zæ —xx utraque parte per 5x nn, emergeret — res Ubi per ſolam extractionem radicis cubicæ obtinebitur 3. Quod ſi dato Globo utroque quæreretur pun- ctum C in quo poſt reflexionem ambo in ſe mutuo impingerent: eadem æquatio per debitam reductio- 4 3 & —X' * nem daret =-. hoc eſt ETA 2 x HD + DC. Nam ſu- pra erat » — 3x = Gg +gC. Unde ſi auferas 2.x eu GH reſtabit 2 l ＋ C. Cujus di- midium eſt, 3» — 5x = ;Hg + 3gC. Porro de » ſeu BD + CD aufer x ſeu BH, & reſlabit »—x 2 * 224 ALGEBRA x $27 1 2 N, ſeu , = HDCD. E. : x* — wx? B ſignis mutatis „ KK HD cp. PR OB. LIX. o - Si globi duo A & tenui jungantur jilo 7 & prndente globo B a globo A, ſi daqnitiat:ir globus A, ita ut globus uter- que ſimul ſola gravitatis vi in eadem li- neu perpendicular PQ cadre incibiat, deen g lobus inferior B, poſtquam a jundo feu plano horizontals FG ſurſum reflecti- tur, ſuperiors deciaenti globo A occurrat in puncto quodam D: ex data fili longi- tudine PQ, & puncti illius D a fundo diſtantia DF, invenire altitudinem P, a qua globus ſuperior A ad hunc effetium demitti debet. * fili PQ longitudo a. In perpendiculo PQRF ab F ſurſum cape FE H. s globi inferioris diametro QR, ita ut cum globi illius pin tum infimum R incidit in fundum ad E, pun- ctum ejus ſupremum Q occupet locum E; ſitque ED diſtantia per quam globus ille poſtquam i {undo refſectitur aſcendendo tranſit antequam glo- bo ſuperiori decidenti occurrat in puncto D. Igi- tur ob datam puncti D à fundo — DF, glabique inferioris diametrum EF, dabitureorum differentia DE. Sit ea g. Sitque altitudo per quam globus ille inferior antequam impingit in tundum cadendo deſcribit RF vel Q x, ſiqui- | diem ELEMENTA. 225 dem ea ignoretur. Et invento x fi eidem addan- tur EF & PQ habebitur altitudo PF, à qua glo- bus ſuperior ad effectum deſideratum demitti de- bet. Cum igitur fit PQ=4, & QE — x, erit PE =a+x. Au- fer DE ſeu 6, & reſtabit PD = 4 ＋* — 6b. Eſt autem tempus de- ſcenſus globi A ut radix ſpatii ca- dendo deſcripti ſeu /a +x , & tempus deſcenſus globi alterius B ut radix ſpatii cadendo deſcrip- ti, ſeu / x, & tempus aſcenſus ejuſdem ut differentia radicis il- lius & radicis ſpatii quod cadendo tantum 2 Q ad D deſcriberetur. Nam hæc differentia eſt ut tem- pus deſcenſus 3D ad E, quod æ- quale eſt tempori aſcenſus ab E ad D. Eſt autem differentia illa x -N =. Unde tempus de- Y ſcenſus & aſcenſus conjunctim erit TE ut 2 Xx - =. Quamobrem | cum hoc tempus æquetur tempori deſcenſus globi ſuperioris exit Ja+x—b=ty/x—+/x—b. 3 Cujus æquationis partibus quadratis habebitur 4x —b=zx—b—4y/xx—bx, ſeu = AV x, & ordinata zquatione 4x —a =4 y/ xx—bx. Cu- jus partes iterum q ndo oritur 16 xx — 8 ax +44 =16 xx —16bx, ſeu a4=8ax —16bx. Et diviſis omnibus per $4—16b, fiet — 42 Fac igitur ut 8416 ad 4 ita 4 3d x, & habe - birur x ſeu QE. Q. E. I. P 226 4LGEB RA Quod fi ex dato QE quæreretur fili longitudo PQ ſeu 4: eadem æquatio 44 = $ax -- 16bx ex- trahendo affectam radicem quadraticam daret 4a=4x—4/ 16xx— 16x. Id eſt fi ſumas Q mediam proportionalem inter OD & QE, erit PQ =—4EY. Nam media illa proportionalis erit xXx, ſeu xx bx quod ſubductum de x, ſeu QE relinquit EY, cujus quadruplum eſt 4x —4y xx — bx. Sin vero cx datis tum QE ſeu x tum fili lon- gitudine PQ ſeu a, quzreretur punctum D in quo 72 ſuperior in inferiorem incidit ; puncti illius dato puncto E diſtantia DE ſeu 6b, è præce- dente æquatione 44 — $ax — 16bx, eruetur trans- ferendo as & 16bx ad æquationis partes contra- rias cum ſignis mutatis, & omnia di videndo per 8a x — 44 | 2 * 6. Fac igitur — 16x, ad 8x - A ita à ad b, & habebitur 6b ſeu E. Hactenus ſuppoſui globos tenui filo connexos ſimul dimitti. Quod fi nullo connexi filo diver- ſis temporibus dimittantur, ita ut globus ſuperior A verbi gratia prius dimiſſus, deſcenderit per ſpa- tium PT antequam globus alter incipiat cadere, & ex datis diſtantiis PT, PQ ac DE quæratur alti- tudo PF à qua globus ſuperior dimitti debet ea lege ut in inſeriorem incidat ad punctum D: fit PQ =—4a, DE —6, PT =, & QE x, & erit PD=—4a+x—6 ut ſupra. Et tempora quibus globus ſuperior cadendo deſcribat fpatia PT ac TD, & globus inferior prius cadendo dein reaſ- cendendo deſcribat ſummam ſpatiorum QE-+ED erunt ut / PT, / PD—y/PT, & 2 / E- D hoc eſt ut /c, y/ a+x—b—yc, & 2X 3 [4 16x. Orictur enim ELEMENTA. 227 t ultima duo tempora pterea TD; & QE + ED D ſimul L ſunt. Ergo / 4+x—b—/£=2/x—y/ x—b, Ec partibus qua quadratis 4 f C —2 Vea ex — „ 252 4LGEB RA quadratorum, e ſumma quadrato-cuborum, f ſum- ma cubo-cuborum, & fic in reliquis. Ut in z- quatione x* — x* — I9xx + 49x —30 =0, ubi cognita quantitas ſecyndj termini eſt —1, tertii —T9, quarti +49, quinti - 30; ponendum erit I =p, 19 f. 49 r, 30=s. Et inde ori- entur a=(p=)1. b=(pa+2q=1 +38=)39. c=(pb +qa+3r=39 +19 —147 =) 89. 4 = (pc ＋ 7% +ra + 45 =—89 + 741 — 49 ＋ 120 =) 723. Quare ſumma radicum erit 1, ſumma quadratorum radicum 39, ſumma cuborum 8g, & ſumma quadrato-quadratorum 723. Ni- mirum æquationis illius radices ſunt 1, 2, 3, & —5, & harum ſumma 1 + 2 + 3—5 eſt 1, ſumma qua- dratorum 1 +4 +9 +25 eſt 39, ſumma cubo- rum 148 +27 125 eſt —89, & ſumma qua- drato-quadratorum 1416 +8: +625 eſt 723. Et hinc * limites inter quos conſiſtent m radices æquationis ubi nulla earum im- De limitibus poſſibilis eſt. Nam cum radicum om- nium quadrata ſunt affirmati va, qua- dratorum ſumma affirmativa erit, ideoque quadra- to maximæ radicis major. Et eodem argumento, ſumma quadrato - quadratorum radicum omni um major erit quam quadrato- quadratum radicis ma- ximæ, & ſumma cubo-cuborum major quam cubo- cubus radicis maximæ. Quamobrem ſi limitem deſideres quem radices nullæ tranſgrediuntur, quæ- re ſummam quadratorum radicum & extrahe ejus radicem quadraticam. Hzc enim radix major erit quam radix maxima æquationis. Sed ad radicem maximam propius accedes ſi quæras ſummam qua- drato-quadratorum & extrahas ejus radicem qua- drato-quadrati cam, & adhuc magis ſi quæras ſum- mam cubo- cuborum & extrahas ejus radicem cubo- cubicam: & ita in infinitum, Sic in æquatione præ· CT TS. TT 5 FS 1 "ew 1 * 1 en 1 — —— A. —— — — ELEMENT A. 253 przcedente radix quadratica ſummæ quadratorum radicum, feu /ͥ 39, eſt 65 quam proxime, & 6% magis diſtat à nihilo quam ulla radicum t, 2, 3, —$. At radix quadrato-quadratica ſummæ qua- 4 drato-quadratorum radicum nempe y/ 723 quæ eſt $3 98 propius accedit ad a a nihilo re- motiſſimam —$5. Si inter ſummam quadratorum & ſummam qua- drato-quadratorum radicum inveniatur media pro- rtionalis, erit ea paulo major quam ſumma cu- rum radicum ſub ſignis affirmativis connexorum. Et inde hujus mediz proportionalis & ſummæ cuborum ſub propriis ſignis, ut prius inventæ, ſe- miſumma erit major quam ſumma cuborum radi- cum affirmativarum, & ſemidi fferentia major quam ſumma cuborum radicum negativarum. Atque adeo maxima radicum afhrmativarum minor erit quam radix cubica illius ſemiſummæ, & maxima radicum negativarum minor quam radix cubica il- lius ſemidifferentiz. Sic in æquatione præcedente media proportionalis inter ſummam quadratorum radicum 39, & ſummam quadrato-quadratorum 723 eſt 168 circiter. Summa cuborum ſub propriis ſignis ſupra erat - 89. Hujus & 168 ſemiſumma eſt 392, ſemidifferentia 1283. Prioris radix cu- bica, quæ eſt 33 circiter, major eſt quam maxima radicum affirmati varum 3. Poſterioris radix cubi- ca quz eſt 5; proxime, tranſcendit radicem ne- gativam —5. Quoexemplo videre eſt quam prope ad radicem hac methodo acceditur ubi unica tan- tum radix negativa eſt vel unica affirmativa. Et tamen propins adhuc accederetur, ſi inter ſummam quadrato-quadratorum radicum & ſummam cubo- cuborum media proportionalis inveniretur atque e hujus, & ſummæ quadrato - cuborum 1 ; mi- — 899 „ S— © coco „%% nos « 254 ALGEBRA ſemiſumma & ſemidifferentia radices quadrato-cu- bicæ extraherentur. Nam radix quadtato-cubica ſemiſummæ tranſcenderet maximam radicem affir- mativam, & radix quadrato-cubica ſemidi fferen- tiæ maximam ſeu extimam negati vam, ſed exceſſu multo minore quam ante. Cum 1gitur radix quæ- libet, augendo vel dimnuendo radices omnes fieri poteſt minima, dein minima in maximam converti, & poſtea omnes præter maximam fieri negativæ, conſtat quomodo radix imperata quam proxime poteſt obtineri. Si radices omnes præter duas negativæ ſunt, ſſunt illæ duæ ſimul hoc modo erui. Inventa juxta methodum præcedentem ſumma cuborum duarum illarum radicum, ut & ſumma quadrato- cuborum & ſumma quadrato-quadrato-cuborum ra- dicum omnium; inter poſteriores duas ſummas quæ- re mediam proportionalem, & ea erit di fferentia in- ter ſummam cubo-cuborum radicum affirmati va- rum, & ſummam cubo-cuborum radi cum negati- varum quam proxime; adeoque hujus mediæ pro- portionalis & ſummæ cubo- cuborum radicum om- nium ſemi ſumma erit ſemiſumma cubo-cuborum radicum affirmativarum, & ſemidifferentia erit ſumma cubo- cuborum radicum negativarum. Ha- bita igitur tum ſumma cubcrum, tum ſumma cubo- cuborum radicum duarum afhrmativarum, de du- plo ſummæ poſterioris aufer quadratum ſummæ prioris, & reliqui radix quadratica erit differentia cuborum duarum radicum. Habita vero tum ſumma tum differentia cuborum habentur cubt ipſi. Extrahe corum radices cubicas & habebun- tur æquationis radices duz affirmative quam pro- xime. Et ſi in altioribus poteſtatibus opus con- ſimile inſtitueretur magis adhuc accederetur ad ra- dices, Sed he limitationes ob difficilem ealculum M1Nus ELEMENT A. 255 minus uſui ſunt, & ad zquationes tantum exten- dunt quz nullas habent miles imaginarias. Qua- propter limites alia ratione invenire jam docebo quæ & facilior ſit & ad omnes æquationes ex- tendat. Multiplicetur æquationis terminus unuſquiſque per numerum dimenſionum ejus, & dividatur fa- ctum per radicem æquationis. De in rurſus mul- tiplicetur unuſquiſque terminorum prodeuntium per numerum unitate minorem quam prius, & fa- ctum dividatur per radicem zquatioris. Et fic pergatur ſemper multiplicando per numeros unitate minores quam prius, & factum di videndo per ra- dicem, donec tandem termini omnes deſtruantur uorum ſigna di verſa funt à ſigno primi ſeu altiſ- imi termini præter ultimum. Et numerus ille - erit omni affirmati va radice major; qui in terminis prodeuntibus ſcriptus pro radice, efficit eorum qui ſingulis vicibus per multi plicationem produceban- tur aggregatum ejuſdem ſemper eſſe ſigni cum pri- mo ſeu altiſſimo termino æquationis. Ut ſi pro- ponatur æquatio xi — 2x* — 10x* + 3axx +63x — 120 = ©, Hanc primum fic multiplic 5 1 2 I O . | i 5 10x? + 30xx ＋ 63x 120. Dean | terminos prodeuntes diviſos per x rurſum multi- 2 1 1 puco lic 83 — ZOxx + 60x + 63, * $4 minos prodeuntes rurſum dividendo per x pro- | deunt 20x*.— 24xx — 60x + 60, quos mi- nuendi gratia divido per maximum 12 4 & fiunt 5x* —Gxx — 15x +15. Hi iti- em multiplicati per progreſhonem 3. 2. I. o, & diviſi per x fiunt 15xx —12x—15, & rurſum diviſi per 3 fiunt 5xx - 4K t, Er hi multiplicati per progreſſionem 2. 1. 9 a ivifs | 256 AL GEBRe@A di viſi per 2x fiunt 5x —2. Jam cum terminus æquationis altiſſimus x* afhrmativus fit, tento qui- nam numefus ſcriptus in his / 24-7 pro x, effi- e. ciet ea omnia a tiva e Et quidem ten- tando 1, fit 5x —2 23 affirmativum ſed z xx Ax — 5, fit — 4 negativum. Quare limes erit major quam 1. Tento _ numerum aliquem majorem puta 2. Et in ſingulis ſubſtituendo 2 pro x, evadunt x —=2 — 8 Jar — 3-1 =7 | Fx? —6xx —15x +15=1 5x+ — 8x* — 30xx + 60x + 63 =79 * — 2x* — 10x* +30xx + 63x — 120 46. Quare cum numer prodeuntes 8. 7. 1. 79. 46, {int omnes affirmativi, erit numerus 2 major quam ra- dicum afhrmativarum maxima. Similiter ſi limi- tem negativarum radicum invenire vellem, tento numeros negativos. Vel quod perinde eſt muto ſigna terminorum alternorum & tento afhrmativos. M.utatis autem terminorum alternorum ſignis, quan- titates in quibus numeri ſubſtituendi ſunt fient 5x +2 gx TA - zr + 6xx - 15X—15 gxt+ + 8x* zoxx — 6ox + 63 * + 2x* —10x* —zoxx + 63x +120. Ex his ſeligo quantitatem aliquam ubi termini ne- gativi maxime prævalere videntur : puta 5x*+$8x+ — Zoxx — 60x + 63, & hic ſubſtituendo pro + numeros 1 & 2 prodeunt numeri negativi — 14 & —33. Unde limes erit major quam —2. Sub- ſtituendo autem numerum 3 prodit numerus affir- mativus 234. Et ſimiliter in cæteris quantitatibus ſubſtituendo numerum 3 pro + prodit ſemper nu- merus affirmativus. Id quod ex inſpectione — com- diviſores admittunt. Sed ante- ELEMENTA. 257 colligere licet. Quare numerus — 3 tranſcendit omnes radices negativas. Atque ita habentur li- mites 2 & — 3 inter quos radices omnes conſi- ſtunt. | Horum vero limitum inventio uſui eſt tum in reductione æquationum per radices rationales, tum in extractione radicum ſurdarum ex ipſis; ne for- te radicem extra hos limites aliquando quæramus. Sic in æquatione noviſſima ſi radices rationales, ſiquas forte habeat, invenire vellem: ex ſuperio- ribus certum eſt has non alias eſſe poſſe quam di- vi ſores ultimi termini æquationis, qui hic eſt 120. Proin tentando omnes ejus diviſores, ſi nullus ea- rum ſcriptus in æquatione pro radice x efficeret omnes terminos evaneſcere: certum eſt æquatio- nem non admittere radicem niſi quæ ſit ſurda. At ultimi termini 120, diviſores permulti ſunt, nimirum I. - 1. 2. 2. 3.3. 4.4. 5. 5. 6.—6. 8. —$. 10. —10. 12. — 12. 15. — IF. 20. 20. 24. — 24. 30. — ZO. 40. — 40. 60. — 60. 120. & 120. Er hos omnes diviſores tentare, tzdio eſſet. Cognito autem quod radices inter limites 2 & z conſiſtunt, liberamur à tanto labore. Jam enim non opus crit diviſores tentare ni ſi qui ſunt inter hos limites, nimirum diviſores 1, —1, & —2. Nam ſi horum nullus radix eſt, certum eſt æqua- tionem non habere radicem niſi quæ ſit ſurda. HFactenus reductionem æqua- tionum tradidi quæ rationales Z4*«tionum redudtio per drviſores ſurdos. — you æquationem quatuor, ſex, aut plurium dimen- 10num irreducibilem eſſe concludere poſſumus, tentandum erit etiam annon per ſurdum aliquem diviſorem reduci queat; vel. quod perinde eſt, ten- tandum erit annon æquatio ita in duas æquales partes dividi poſſit ut ex utraque radix — | tur. \ ae "es. 12 od IFLCEpPReA/ hatur, Id autem fiet per ſequentem metho- dum. | Diſpone zquationem ſecundum dimenſiones li- teræ alicujus, ita ut omnes ejus termini ſub ſignis ſuis conjunctim æquales ſint nihilo, & terminus altiſſimus affirmativo ſigno afficiatur. Deinde ft æquatio quadratica ſit (nam & hunc caſum ob rei analogiam adjicere lubet) aufer utrobique termi- num infimum, & adde quartam partem quadrati * nitæ quantitatis termini medii. Ut ſi æquatio fit xx - a —b—o, aufer utrobique -* & adde aa, & emerget xx —ax ＋ 4 —=b + 44a, & extracta utrobique radice fiet x —ja= t y'b +5aa, five 422144 y b + 5.44. Quod ſi æquatio ſit quatuor dimenſionum, fit ea x* +px* + qzx +rx +5s—0, ubi p, 3, r, & 5, denotant cognitas quantitates terminorum æqua- tionis ſignis propriis adfectas. Fac 7 — 4% Sa. 1 — 2 s. * 4 — Dein pone pro n communem aliquem termino- rum 8 & 24, diviſorem integrum, & non quadr3- tum, qui & impar eſſe debet, & per 4 diviſus uni- tatem relinquere, fi termininorum p & xv alteruter fir 1mpar. Pone etiam pro k diviſorem aliquem quantita- AT a : ea tis ſi p lit par; vel imparis diviſoris dimidium ſi p fit impar ; vel nihil, ſi dividuum s fit nihil. Aufer Quotum de 2p, & reliqui dimidium dic 1. Dein pro Q pone 2 +, & tenta ſi » dividat QQ — 5, & Quoti radix fit rationalis, & æqualis /. Si hoc contigerit, ad utramque partem æquationis adde nhkxx + 2uklx + nll, & radicem extrahes utrobique, prodeunte xx -þ 3px+Q =»; in kx. Exem- ELEMENT F. 259 Exempli gratia proponatur æquatio x* + 12x — 17 So, & quia p & q hic deſunt, & r elt 12, & 5 elt —17, ſubſtitutis hiſce numeris fiet -o, 8=—=12, & &—— 17, & ipſorum 8 & 28 ſeu 12 & —34 communis diviſor unicus, nimirum 2, erit , Porro * eſt 6, & ejus diviſores 1, 2, 3, & 6 ſucceſſive tentandi ſunt pro k, & —3, —2, —I, —+ prot reſpective. Eſt autem = 8 id eſt K. xquale Q. Eſt & es. id eſt SET =. Ubi numeri pares 2 & 6 ſcribuntur pro &, Q fit 4 & 36, & QQ--5numerus erit impar adeo- que dividi non poteſt per a ſeu 2. Quare nume- ri illi 2 & 6 rejiciendi ſunt, Ubi vero 1 & 3 ſcri- buntur pro k. Q fit 1 & 9, & QQ fit 18 & 98, qui numeri dividi poſſunt per 2, & quotorum ra- dices extrahi. Sunt enim 43 & ＋7: quarum ta- men ſola 3 congruit cum I. Pono itaque E=, {=—3, & Q=—=r, & quantitatem , A 2»klx + xll, id eſt 2xx—12x+18, addo ad utramque partem æquationis, & prodit xt + 2xx +1 x —12 +18, & extracta utrobique radice, xx +I —=xy/2—3y2. Quod ſi radicis extractionem ef- ſugere malueris pone xx + 3px + Q=y nX kx +0, & invenietur ut ante xx+1=+4/2Xx—3+ Et ex hac æquatione i radices iterum extrahas prove- niet K 211 2 kx At; Vn, hoc eſt, ſe- cundum ſignorum variationes, x=14/2+v/3v/2—% &x=ily/2—yſz34/2—;. Item x 2-12 VVV N A N N= R 2 Q — 260 ALGEBRc@© OA Quz quidem quatuor ſunt radices zquationis ſub initio propoſitæ x* + 12x 17 g. Sed earum ultimz duz ſunt impoſſibiles. Proponamus jam æquationem & — 6x* S —T14x— 11 o, & ſcribendo —-6, —58, -114, & II pro p, q. r, &5 reſpective, orietur — G a, —315=8, & —I133;-= 2, Numerorum 8 & 28, 4533 ſeu — 315 & — communis diviſor eſt uni- cus 3, adeoque hic crit », & ipſius 5 {cu —105 diviſores ſunt 3, 5 7, 15, 21, 35, & dy: qui ita- que tentandi ſunt pro . Quare tento — 35 & quotum —35, qui prodit dividendo = — perk ſeu —105 per z, ſubduco de , ſeu —3 X, & reſtat « ＋ nkk 2 26 ; cujus dimidium 13 eſſe debet J. Sed , —=67 +27 ſeu id eſt - 20 erit Q & QQ erit 2 411, qui dividi poteſt per » ſeu z, ſed quoti 137 radix non poteſt extrahi. Quamobrem rejicio 3 & tento 5 pro K. Quotus qui jam prodit divi- dendo = V per k, ſeu 105 pers, eſt zt, & hunc a de 3pk ſeu —3 Xx reſtat 6, cujus di- midium 3 erit fe Eſt & Q ſeu —— — ts om id eſt 2 * 2 numerus 4. Et QQ -, feur16+1r 41 poteſtſper » ; & Quoti, qui eſt , radix extracta congruit cum I. Quamobrem concludo eſſe z, = 5, Q=4, & ;, & fi abłxx + 2nklx+ i, id eſt 73xx +gox +27 ad utramque partem æqua- tionis ELEMENT A. 261 tionis addatur, radicem utrobique extrahi poſſe, & prodire xx+$px + Q—\//n x kx +1, ſeu xx—3 x +4=tv3X5x+3, & extracta iterum radice | 214 = + \/ 17 + ö 2 2. Haud ſecus {i propone tur æquatio hæcce x*—g.x? ＋I FI 27K 49 = o, ſcribendo - 9, + 15, 27, & +9, pro p, 4. r. & s reſpective, emerget — $3 —=#, —50;z Se, & 2. Ipſorums & 28, ſeu — * & , communes diviſores ſunt 3, 5,9, 1 5, 27, 45, & 135; ſcdg quadratus eſt, & 3, 15, 27,135 diviſi per numerum 4 non relinquunt uni- tatem, ut ob imparem terminum p oporteret. His itaque rejectis reſtant ſoli 5 & 45 tentandi pro x. 5 ; 3 . Ponamus primo #= 5, & ipſius = ſeu — i di- viſores impares dimidiati nempe 3, 4, 4 , , ten- tandi erunt pro k, Si & ponatur 2, quotus — qui prodit dividendo - per K ſubductus de pk feu A rclinquit 18 pro i, & £+29 ſeu —2 eſt Qu & QQ = s ſeu — 5 dividi quidem pon goes 1b ſeu 5, ſed Quoti negativi —1 radix impoſſibilis eſt, quæ tamen deberet eſſe 18. Quare concludo non eſſe ; & tento jam fi fir 3. Quotum qui oritur dividendo - per k ſeu , per 3 nempe Quotum , ſubduco de & ſeu — & reſtat o. * + »kk. Unde | jam nihil erit. Eſt autem 5 ſeu 3 æqualis Q, & QQ—s nibil eſt; unde rurſus 4, qui hujus QQ — diviſi per à radix eſt, invent. * tur 4 | : | 262 ALGEBRA tur nihil. Quamobrem his ita quadrantibus con- cludo eſſe x» =5, K, [S, & Q—3, adeo- que addendo ad utramque partem æquationis pro- poſitæ rerminos nkkxx + 2nlkx + zl id eſt xx, & radicem quadraticam utrobique extrahendo pro- dire xx + ADN I QA H & KNA, id eſt xx — 4 +3—=v NAx. f . Eadem methodo reducuntur etiam æquationes literales. Ut ſi ſuerit x+ — 24* * TX 24 x +a* g o, ſubſtiruendo — 24, 244 — cc, —24* & 4 pro q,p,r, & 5 reſpective, obtine- buntur aa cc a, Acc - — B, & 44 + iaacc ic . Quantitatum & 2% diviſor commu- { ; . : 2 nis eſt az + cc qui proinde erit x; & - ſeu — 4 diviſores habet 1 & 4. Sed quia » duarum eſt di- menſronum, & k / non niſi unius eſſe debet, ideo & nullius erit, adcoque non poteſt eſſe 4. Sit ergo k — 1, & diviſo - per k aufer quotum — à de 2k ſeu —a & reſtabit nihil pro l. Porro A ſeu aa eſt Q, & QQ - 5 ſeu at —a* nihil eſt; & inde rur ſus prodit nihil pro J. Quod arguit quantita- tes u, &, l, & Q recte inventas eſſe; & additis ad u- tramque partem æquationis propoſitæ terminis »whhxx + 2A ll, id eſt aaxx + ccxx, radicem utrobiqne extrahi poſſe, & extractione illa prodire xx +3px+Q=+nXxXkxr+1, id eſt xx— ax +44=Ixy aa +cc. Et extracta iterum rzdice * 2 144K aa ++ vel — „ec — 144 + 4 Fer, Hactenus ELEMENTA 263 Hactenus regulam applicui ad extractionem ra- dicum ſurdarum: poteſt tamen eadem ad extractio- nem etiam rationalium applicari, fi modo pro quan- titate »» uſurpetur unitas; eoque pacto una vice examinare poſſumus utrum æquatio fractis & ſur- dis terminis carens diviſorem aliquem duarum di- menſionum aut rationalem aut ſurdum admittat. Ut ſi æquatio x+ — xi —5xx +12x—6 =0 pro- ponatur, ſubſtituendo —1, —5, + 12, & —G6, pro p, g. v, & 5 reſpective, invenientur — 34 g, 9s, & 10311 —x. Terminorum 84 & 2g, ſeu 7 & — , communis diviſor eſt ſola unitas. Quare 3 MPs nals pono = I. Quantitatis - ſeu , diviſores ſunt N 1, 3, 5, 15, 25, 75: quorum dimidia (ſiquidem p ſit impar) tentanda ſunt pro k. Et ſi pro & ten- temus 2, fiet 294K — 2 — — 5, & ejus dimidium l. Item Ad. & — 'Y cujus radix congruit cum /. Concludo itaque quantitates , K, I, Q rede inventas eſſe; & additis ad utramque partem æquationis terminis nhkxx + 2uklx + al!, id eſt xx —125x + 64, radi- cem utrobique extrahi poſſe; & extractione illa pro- dire xx + jipx + Q = iV/n A. id eſt æx 2 2 TIN 21K 23, ſeu xx—3x+3 =o, & xx +2x 2 =0, adeoqu?2 per haſce duas æqua- tiones quadraticas, æquationem propoſitam qua- drato-quadraticam dividi poſſe. Sed hujuſmodi diviſores rationales expeditius inveniuntur per aliam methodum ſupra traditam. $1quando quantitatis - multi ſunt diviſores ita — K4 ut .: „„ -»- — » n . = 204 4LGEB RA ut omnes pro & tentare moleſtum ſucrit, poteſt eorum numerus cito minui quærendo omnes divi- ſores quantitatis a- Arr. Nam horum alicui aut imparis alicujus dimidio debet quantitas Qæqua- lis eſſe. Sic in exemplo noviſſimo «s — rr eſt —2, è cujus diviſoribus 1, 3, 9 aut iifdem dimidiatis 3» 2, 3» aliquis debet eſſe Q. Quare ſigillatim ten- r 9 tando quantitatis — di viſores dimidiatos 4, +, 2, NR , , & . pro k, rejicio omnes qui non effi- ciunt 1. b, ſcu - 1 ＋ 11; id cit Qeſſe aliquem è numeris 1, 3, 9, 1%, . Scribendo au- tem 2, 4, +5, 1 &c. pro k, prodeunt reſpective 2, 1, +53 ＋ , &c. pro Q, e quibus foli — 2 & 3 reperiuntur in prædictis numceris, 1, 3, 92, 2, 2, adeoque, cæteris rejectis, aut crit þ— 4, & Q=—3 aut k =; & Q :. Qui quo caſus examinantur. Atque hactenus de æquationibus quatuor dimenſionum. Si æquatio ſex dimenſionum reducenda eſt, fit ca x* px +qx*+rx* +5xx + ix KU O, & fac q—3pp == r— ipe—86, $— 2Þ3=v- y e g. 16 — 2. v—388 . „ — 4 —A, Dein ſumatur pro a, communis aliquis terminorum 28, „„ 20 diviſor integer & non quadratus, nec per numerum quadratum diviſibilis, qui etiam per nu- merum 4 diviſus relinquit unitatem; ſi modo ter- minorum p, v, t aliquis fit impar. Pro & ſumatur * * * * * . A * diviſor aliquis integer quantitatis re MY ſit par, A vel diviſoris imparis dimidium ſi p fit impar, vel nihil ſi a nihil fit. Pro Q, quantitas 1. + A. 1 Q fix Pro 4, diviſor aliquis quantitatis = ELEMENT A. 265 Q ſit integer; vel diviſoris imparis dimidium fi Q fit fractus denominatorem habens numerum 2 ; vel nihil 6 dividuum iſtud ELD gt nibil. * Et pro R quantitas 3” — 105 + uk. Dein ten- ta ſi RR — v dividi poteſt poſſit per , & Quoti radix extrahi; & præterea ſi radix iſta æqualis . . QR —-3e IP ſir tam quantitati — — quam quantitati | QQ+pR — Si hzc omnia evenerint, dic zl radicem illam m; & vice æquationis propoſitæ ſcribe hanc x* + 3pxx + Qx +r = T yn Xkxx+ be +m. Etenim hæc æquatio, quadrando partes & aufe- rendo utrobique terminos ad dextram, producet æquationem propoſitam. Quod ſi ea omnia in nullo caſu evenerint, reductio erit impoſſibilis, ſi modo prius conſtet æquationem per diviſorem ra- tionalem reduci non poſſe. Exempli gratia proponatur æquatio & 24K —24aabb <4 + 2bbx* + 2abbx* 12 xXx 2 26. .& ſcribendo — 24, + 26, + 2abb, — 24abb + 245 —4ab*, o, & zaab —a*bbpro p, 4, r, 5, t, & vreſpe- ctive, prodibunt 2bb—aa—#s., 4abb -A —b. 244 ＋zaabb - 4b - . —b* 4+24*b+3aabb—4ab* e- — 4 =. 14 —a*bb . & 3aab* —a*bb—45 —0, Et terminorum 25, », & 20 communis diviſor eſt aa—2bb, ſeu 2b aa perinde ut aa vel 2bb majus fir. Sed eſto as majus quam 26bb, & aa—2bb erit u. Debet enim » ſemper affirmativum eſſe. Porro 5 eſt — {aq + 266+46b, 2 eſt ., & 2 ef | | — . - ron ug ww ww rt yy ers —w Cu + — — = —— — 4 >, 8 — — DTU—Uä[— > -- 3 — ene ew d—_ _ Wie. n — - „ . . — 42 —aabb, adeoque 266 4 LGEB RA C- 8 0 _ | 2 n 47 ⁊ un eſt 34 —44*b + $a*bb - 4 U — lab, cujus diviſores ſunt 1, 4, aa; ſed quia / A non niſi unius dimenſionis eſſe eek, & V unius eſt, ideo K nullius erit; proinde non niſi nume- rus eſſe poteſt. Quare rejectis 4 & aa, reſtat ſolum 1 pro k. Præterea 30 + . dat nihil pro 84 — — etiam nihil eſt ; adeoque 1, qui ejus diviſor elle debet, crit nihil. Denique Ex — 5pQ + 5nkl dat abb pro R. Et RR — v elt —24aab* + a*bb, quod dividi a9 per » ſeu aa—2bb, & quoti aabb radix extrahi, & radix illa A negative ſumpta, nempe —ab, indefinite quanti- tati — ſeu non eſt inæqualis, quantitati ; — xl — vero definitæ QQ-+P 1 wh, æqualis eſt. Quamobrem radix illa —ab erit n, & loco æqua- tionis propoſitæ ſcribi poteſt x — 4pxx + QQ +R—=/ nxkxx + lx + m, id eſt x — axx+abb —+/ aa—2bbX xx —ab. Cujus concluſionis ve- ritatem probare potes quadrando pores æquationis inventæ & auferendo terminos ad dextram ex u- traque parte. Ea enim operatione producetur æ- quatio & — 24 + 2b + 2abbx* — 2aabbxx + 24 bxx — 4ab* xx + aa - a*bb — ©, quz re- ducenda proponebatur. Si æquatio eſt octo dimenſionum fit ea x*þ py” 1 + 5x+ TX +oxx+ wx+z2=0, & fiat 2 — 3% . 1 — p. 6. — % — 1 ＋π. — 257 —1˙ = 9. v 17-463 —1, W==] ay —C- e 377 = % Et terminorum 24 24, 29, 8», quæ ELEMENT A. 267 quære communem diviſorem qui integer fit, & non quadratus nec per quadratum diviſibilis, quique etiam per 4 diviſus relinquat unitatem, {1 modo terminorum alternorum p, r, t, w aliquis fit impar. Si nullus eſt ejuſmodi diviſor communis, certum eſt æquationem per extractionem ſurdæ radicis qua- draticæ reduci non po & ſi non poteſt ea ita reduci, vix occurret illarum omni um quatuor quan- titatum diviſor communis. Opuſculum igitur ha- ctenus inſtitutum examinatio quædam el utrum æquatio reducibilis ſit necne, adeoque cum ejuſ- modi reductiones raro poſſibiles ſint, j finem operi ut plurimum imponet. Et ſimili ratione ft æquatio fit decem, duode- cim, vel plurium dimenſionum, impoſſibilitas redu- ctionis cognoſci poteſt. Ut ſi ea fit x** ＋ px? +4qx* T rx +5x* + t + v þ ax? + bxx +cx+d=0o, faciendum erit q—4pp=a, r- Apa g, S— 8-44 =", t == IP —2%8 d, v 20% 2 —4 383 , — 149 — 18 = 2 239— 4% = W c -, d 4% , & quzrendus communis diviſor terminorum quinque 2, 28, 85, 48, 8, qui integer ſit & non quadratus, quique etiam per 4 diviſus relinquat unitatem ſi modo terminorum al- ternorum p, r, t, a, c aliquis fit impar. | Sic fi duodecim dimenſionum æquatio fit x"? + px"' + q +rx? ＋ 5x* þ rx” + vx5 + ax) bx* + cx* +dxx ＋ ex + f =o, faciendum erit 7 p De 1h =, 5 —2p8 — 4 , 2 4 , v 25% — % — 466 , 415. — 22 — % =t, b—fas — 2 — 4% —=n, 48. 222 — 0, d— 27 4%. x, e—3% =. Fiu, & quærendus communis diviſor integer & non qua- dratus terminorum ſex 28, 8, 4% 8, 4a, gw qui per 4 diviſus relinquat unitatem, fi modo termi- | | norum 268 ALGEBRe@A norum alternorum p, v, f, 4, c, e aliquis fit impar- Atque ita in intinitum progredi licebit, & æqua- tio propoſita ſemper per extractionem ſurdæ radi- cis quadraticz irreducibilis erit ubi ejuſmodi di- viſor communis nullus eſt. Siquando vero ejuſ- modi diviſor x inventus ſpem faciat futurz redu- ctionis, poteſt ea inſtitui inſiſtendo veſtigiis ope- ris quod in æquatione octo dimenſionum ſubjun- gimus. Quzre numerum quadratum cui per » multipli- cato ultimus æquationis terminus z, ſub ſigno pro- prio adnexus quadratum numerum efficit. Id au- rem expedite fiet ſi ad z ubi » elt par vel ad 4z ubi „ eſt impar ſucceſſive addantur x, zu, 5», 7», 92, 11x, & deinceps donec ſumma zqualis fiat nu- mero alicui in tabula numerorum quadratorum quam ad manus eſſe ſuppono. Et fi nullus ejuſ- modi quadratus numerus prius occurrit quam ſum- mz illius radix quadratica aucta radice quadratica exceſſus illius ſummæ ſupra u'timum æquationis terminum, quadruplo major ſit quam maximus ter- minorum æquatienis propoſitæ p,q,r,F, t, v, &c. non opus erit rem ultra tentare. Æquatio enim reduci non poteſt. Sed ſi ejuſmodi numerus qua- dratus prius occurrit, ſit ejus radix S ſi a eſt par, vel 92 : 2S ſi x eſt impar; & \/ - = dic 5. Debent au- tem & h eſſe numeri integri ſi » eſt par, at fi x impar eſt, poſſunt eſſe fracti denominatorem haben- tes numerum binarium. Et fi unus eorum fractus eſt, alter fractus eſſe debet. Quod idem de nu- meris R & M. Q&/, P& K, poſt inveniendis obſervandum eſt. Et omnes numeri S & h, qui intra præfatum limitem inveniri poſſunt in catalo- gum referendi ſunt. Rl Poſtea pro x tentandi ſunt omnes numeri 8 Ive E LE ME NTA. 269 five qui non efficiunt »k + 3p, quadruplo majus quam maximus terminus æquationis, & ponendum + tandi ſunt ee numeri omnes qui non effi- ciunt r Q, quadruplo majus quam maximus terminus æquationis, & in omni tentamine po- Yz eſt in omni caſu = Q. Dein pro | ten- nendum — R. Denique pro m rentandi ſunt ſucceſſive omnes numer! qui non ef- ficiunt am + R quadruplo majus quam maximus terminorum æquationis, & videndum an in caſu quovis ſi fiat s — QQ PR + A = 2H, & H + »km —S, fit S aliquis numerorum qui * pro S in Catalogum relati erant; & præterea ſi al- ter numcrus ci S reſpondens, qui pro h in eundem Catalogum relatus erat ſit his tribus WW zum » 20S + RR — v - nm a 2£S +2QR —2— 2uim 211 5 2k æquaſis. Si hæc omnia in aliquo caſu evenerint, vice æquationis propoſitæ ſcribenda erit hæcce A + Qxx +Rx +S5=yn Xkr)'+lxx +mx-+h. Excmpli gratia proponatur æquatio & ＋ 4x? — XK — 10x" + gxt—5x*— 10xx — an- o. Et erit 3 4 = 1 — 42 —5 e. rA 10 +io=0=8, 5 —3p8 — 4225 — 3 u. t -A Ai ===. V—27—448 =—L0—— i. 8 2-22 _— 4 2 0. =. Ergo 20%, 20, 28, 80 re- ſpective, ſunt — 5, —*3+, —20, & At, & ea- rum diviſor communis 5, qui per 4 diviſus relin- quit x, perinde ut ob terminum imparem 5 oportuit. Cum itaque inventus fit diviſor communis s ſeu 5 qui : — ow Cc alc ed wi. „ — x EEE OE ICC — — - ” a. HY” oo >. SS. < — „„. TR” WM —ͤů OT — os Tr. CO” — — r —_—_ * *„ - 270 ALGEBRc, adeoque horum ſum- pa — 3 — Z 3 ma VIA V ir +/—br—Virr+L, erit x. Poſſunt etiam æquationum biquadraticarum ra- dices mediantibus cubicis erui & exprimi. Tol- lendus eſt autem primum ſecundus æquationis ter- minus. Sit æquatio reſultans x* r + rx +$=0. Pone hanc multiplicatione duarum xx +ex+f=0, & xx —ex +g =0 generari, id eſt eandem eſſe cum ELEMENT A. 275 +f cum hac & & +g Xxx 7 In + fg So, & collatis — ee terminis fiet ? g - ee =q, eg —ef r, & ff. TELE Quare J ＋ e A- . — 3 3 77 + 2 ＋ “ — . © { =) =4 & per reductionem e ＋ 2qe* 79 ee —rr So. Pro ee ſcribe 5, & fiet y* + 2975 TH y—rr=0, oquais cubica cujus terminus ſecundus tolli po- teſt, & radix deinceps per regulam præcedentem vel ſecus extrahi. Dein habita illa radice regre- diendum erit ponendo / e, 3 F. 2 Bn bas & xx ex +g — 0, extractis earum radicibus da- bunt quatuor radices æquationis biquadraticæ x* +qxx +rx +5 —0,nimirum x=—je+ ee -A, & x—zjetyhee—g. Ubi notandum eſt quod ſi æquationis biquadraticæ radices quatuor poſſi- —g, & æquationes duæ xx Ne +f= biles ſunt, æquationis cubicæ y* + 2% 2 y Erro radices tres poſſibiles erunt, atque adeo per regulam præcedentem extrahi nequeunt. Sic & ſi æquationis quinque vel plurium dimenſionum radices affectæ in radices non affectas mediis æ- quationis terminis quoquo pacto ſublatis conver- tantur, illa radicum expreſſio ſemper erit 28 2 82 117 276 4 LGE B RA bilis ubi plures quam una radix in æquatione im- parium dimenſionum poſhbiles ſunt, aut plures quam duz in æquatione parium dimenſionum quz per extractionem ſurdz radicis quadraticæ metho- do ſupra expoſita reduci nequeunt. Docuit Carteſius æquationem biquadraticam per regulas ultimo traditas reducere. E. g. proponatur æquatio à nobis ſupra reducta & x +12x—6—0. Tolle ſecundum terminum ſcri- bendo v +4 pro x, & orietur v* — + vv + 0 — So. Ad tollendas fractiones ſcribe 4 pro v, & orictur & — 86zz + 600z — 851 —o. Hic eſt —86 =q, 600 r, & — 851 , adeoque 7 +299 I „ro, ſubſtitutis æquipol- lentibus fiet 3 172 ＋ 10800y — 360000 —0. Ubi — omnes ultimi termini diviſores 1, —1, 2. — 2, 3, —3z 4» —4»> 5» —5» & deinceps uſ- que ad 100 invenietur tandem y —t00. Quod idem multo expeditius per methodum à nobis ſu- pra c xpoſitam inveniri potuit. Dein habito y, radix ee — —86 4100-60 ejus 10 erit e, LA *, id eſt — 4 — 2 ſeu —23 erit f, & * ſeu z7 crit g, adeo- q+©+ 2 que æquationes xx er +f—o, & xx ex +g =o, ſcripto æ pro x, & ſubſtitutis æquipol- lentibus evadent zz + 10z — 23 , & -l + 37 S. Reſtitue v pro 4z, & orientur vv+253v — ig So, & vv —23v ++; go. Reſtitue in- ſuper x —4 pro v, & emergent xx + 2x 2 =0, & xx zx +3 So, Zquationes duz quarum ra- dices quatuor x =—1+y/3, & IT-, eæadem ELEMENT A. 277 exdem ſunt cum radicibus quatuor æquationis bi- quadraticz ſub initio propoſitæ x* — x? — 5xx 412x—6—0. Sed hz facilius per methodum inveniendi diviſores à nobis ſupra explicatam in- veniri potuerunt. Hactenus æquationum reductiones modis ni fal- lor facilioribus & magis generali- 5 bus quam ab aliis factum eſt tra- _ a Radicums didiſſe ſuffecerit. Sed quoniam ** 8 in hujuſmodi operationibus ſæpe devenimus ad ra- dicales complexas quæ ad ſimpliciores reduci poſ- ſunt, convenit etiam harum reductiones exponere. Ez fiunt per extractiones radicum ex binomiis, aut ex quantitatibus magis compoſitis quæ ut bino- mia conſiderari poſſunt. [Verum cum hoc jamdudum præſtitum ſit in Capite De Reductione Radicalium ad ſimpliciores ra- dicales per extrattionem Radicum , pluribus im- præſentiarum ſuperſedemus.] 83 eus. _-_ >_> — — ELEMENT A. 279 AQUATIONUM Conſtruftio linearis. Actenus æquationum proprietates, tranſmu- tationes, limites & omnis generis reductiones, docui. Demonſtrationes non ſemper adj unxi quoni- am ſatis faciles mihi viſæ ſunt, & nor nunquam abi- que nimiis ambagibus tradi non poſſent. Reſtat jam tantum ut æquationum poſtquam ad formam commodiſſimam reductæ ſunt, redices in nume- ris extrahere doceam. Et hic præcipua diffi- cultas eſt in figuris duabus vel tribus prioribus obtinendis. Id quod commodiſſime per æqua- tionis conſtructionem aliquam ſeu Geometricam five Mechanicam confit, Qua de cauſa non pigebit hujuſmodi conſtructiones aliquas ſub- jungere. Veteres, ut ex Pappo diſcimus, triſectionem an- uli, & inventionem duarum medie proportiona- ium, ſub initio per rectam lineam & circulum fruſtra aggreſſi ſunt. Poſtea conſiderare cœperunt alias permultas lineas, ut Conchoidem, Ci ſſoidem, & Conicas ſectiones, & per harum aliquas ſolve- runt Problemata. Tandem re penitius examinata, & Conicis ſectionibus in Geometriam recepris, Problemata diſtinxerunt in tria genera: Plana quæ per lineas } plano originem derivantes, Rectam S 4 | nempe 280 ALGEBRA nempe & Circulum ſolvi ia 12 Solida quæ per lineas ortum à ſolidi id eſt Coni conſidera- tione derivantes ſoivebantur; & Linearia ad quo- rum ſolutionem requir*baorur line æ magis com- poſitæ. Et juxta band diſtinctionem, proble- mata ſolida per alias lineas quam Conicas ſectio- nes ſolvere à Geometria aH ů m/ eſt; præſertim fi nullæ aliæ line præter re tam, cir.u um, & Conicas ſectiones in Geometriam recipiantur. At Recenticres longius progreiſi recepcrunt li- neas omnes in Geometriam quæ per æquationes exprimi poſſunt, & pro dimenſionibus æquatio- num diſtinxerunt lineas illas in genera, legem- que tulerunt non licere Problema per lineam ſu- perioris generis conſtruere quod conſtrui poteſt per lineam inferior:s. In lineis conteinplandis, & erucndis earum propiietatib us, diſ inctionem earum in gerera juxta dimenſiones æquationum per 3 deſimuatur laudo. At adustio non eſt, ſed deſcriptio quæ curvam Geometric am efficit. Circulus linea Geometrica eſt, non quod per æ- quationem exprimi poteſt; ſed quod deſcriptio ejus poſtulatur. Æquationis ſimplicitas non eſt, ſed deſcriptionis facilitas, quæ lineam ad con- ſtructiones Problematum prius admittendam eſſe indicat. Nam æquatio ad Parabolam fimplicior eſt quam zquatio ad circulum; & tamen circ u- lus ob ſimpliciorem deſcriptionem prius admit- titur. Circulus & Coni ſectiones fi æquationum dimenſiones ſpectentur ejuſdem ſunt ordinis, & tamen circulus in conſtructione problematum non connumeratur cum his, ſed ob ſimplicem de- ſcriptionem deprimitur ad ordinem inferiorem lineæ rectæ; ita ut per circulum conſtruere quod per rectas conſtrui poteſt, non ſit illicitum; per Fi En, Conicas ( { | | ELEMENT A. 281 Conicas vero ſectiones conſtruere quod per cir- culum conſtrui poteſt vitio vertatur. Aut igi- tur legem à dimenſionibus æquationum in circu- lo obſervandam eſſe ſtatue, & ſic diſtinctionem inter problemata plana & ſolida ut vitioſam tolle; aut concede legem illam in lineis ſuperiorum ge- nerum non ita obſervandam eſſe quin aliquæ ob ſimpliciorem deſcriptionem præferantur aliis ejuſ- dem ordinis, & in conſtructione Problematum cum lineis inferiorum ordinum connumerentur. In conſtructionibus quæ ſunt æque Geometricæ præferendæ ſemper ſunt ſimpliciores. Hæc lex omni exceptione major eſt. Ad ſimplicitatem vero conſtructionis expreſſiones Algebraicæ nil conferunt. Solæ deſcriptiones linearum hic in cenſum veniunt, Has ſolas conſiderabant Geo- metræ qui circulum conjungebant cum recta. Prout he ſunt faciles vel difficiles conſtructio fa- _ cilis vel difficilis redditur. Adeoque à rei na- tura alienum eſt leges conſtructionibus aliunde præſcribere. Aut 1gitur lineas omnes præter re- ctam & circulum & forte Conicas ſectiones 8 Geometria cum Veteribus excludamus, aut ad- mittamus omnes ſecundum deſcriptionis ſimpli- citatem. Si Trochoides in Geometriam recipe- retur, liceret ejus beneficio angulum in data ra- tione ſecare. Numquid ergo reprehenderes ſiquis hac linea ad dividendum angulum in ratione nu- meri ad numerum uteretur, & contenderes hanc lineam per æquationem non definiri, lineas vero quæ per æquationes definiuntur adhibendas eſſe? Igitur ſi angulus e.g. in 10001 partes dividen- dus eſſot, teneremur curvam lincam æquatione pluſquam centum dimenſionum definitam in me- dium afferre, quam tamen nemo mortalium de- | ſcribere 282 ALGEBREeA ſcribere nedum intelligere valeret; & hanc an- teponere Trochoidi quæ linea notiſſima eſt, & per motum rotæ vel circuli facillime deſcribi- tur. Quod quam abfurdum fit quis non videt? Aut igitur Trochoides in Geometriam non eſt admittenda, aut in conſtructione Problematum curvis omnibus difficilioris deſcriptionis autefe- renda. Et eadem eſt ratio de reliquis curvis. Quo nomine triſectiones anguli per Conchoidem quas Archimedes in Lemmatis & ＋ in col- lectionibus poſuere præ aliorum hac de re inven- tis omnibus laudamus : ſiquidem lineas omnes præter iectam & circulum è Geometria excludere debeamus, aut ſecundum deſcriptionis ſimplicita- tem admittere, & Conchoides fimplicitate deſcrip- tionis nulli curvarum præter circulum cedit. AE- quationes ſunt expreſſiones computi Arithmetici, & in Geometria locum proprie non habent, niſi quatenus quantitates vere Geometricæ (id eſt li- neæ, ſuperficies, ſolida & proportiones) aliquæ aliis æquales enunciantur. Multiplicationes, Di- vi ſiones, & ejuſmodi computa in Geometriam re- cens introducta ſunt; idque inconſulto, & con- tra primum inſtitutum ſcientiæ hujus. Nam qui conſtructiones Problematum per rectam & circu- lum à primis Geometris adinventas conſiderabit, facile ſentiet Geometriam excogitatam eſſe ut ex- pedito linearum ductu effugeremus computandi tædium. Proinde he duz ſcientiæ confundi non debent. Veteres tam ſedulo diſtinguebant eas ab invicem, ut in Geometriam terminos Arithmeticos nunquam introduxerint. Et re- centes utramque confundendo amiſerunt ſimpli- citatem in qua Geometriæ elegantia omnis con- ſiſtit. Eſt itaque Arithmetice quidem ſimpli- clus cius quod fimpliciores æquationes determina- tur, 4 8 — eſt quod per ſim- pliciorem ductum linearum 7 & in Geometria prius & præſtantius eſſe - debet quod eſt ratione Geometrica ſimplicius. Mihi igitur vitio vertendum non erit ſi cum Mathematico- rum Principe, Archimede, aliiſque Veteribus Conchoidem ad Solidorum problematum con- ſtructionem adhibeam. Attamen fiquis aliter ſenſerit , ſciat me hic de conſtructione non Geometrica ſed qualicunque follicitum eſſe, qua radices æquationum in numeris proxime aſſe- quar. Cujus rei gratia præmitto hoc problema Lemmaticum. Inter 284 ALGEBR@OCOA Inter datas duas lmeas AB, AC re- tam date longitudinis BC ponere que produtta tranſeat per datum punttum P. Wo circa polum P gyret linea BC, & ſimul ter- mino ejus C incedat ſuper recta AC, ejus al- ter terminus B deſcribet Conchoidem Veterum. Secet hæc lineam AB in puncto B. Junge PB, & ejus pars BC erit recta quam ducere opor- tuit. Et eadem lege linea BC duci poteſt ubi vice rectæ AC linea aliqua curva adhibetur. Sicui conſtructio hæcce per Conchoidem minus placcat, poteſt alia per conicam ſectionem ejus vice ſubſtitui. A puncto P ad rectas AD, AE age PD, PE conſtituentes parallelogrammum EADP, & à punctis C ac D ad rectam AB de- mitte ELEMENT AX. 285 mitte perpendicula CF, DG, ut & à puncto E ad rectam AC verſus A productam ndicu- lum EH, & dictis AD=a. PD = b. BC —c. AG d, AB x, & AC—y. Erit AD. AG :: AC- AF, adcoque AF =2 Erit & AB. AC:: CD- PD, ſeu x+-3::b-a—y. Ergo by — ax — yx, quæ zquatio eſt ad Hyperbolam. Rurſus per 13. II. Elem. erit BC — AC; + ABq —2FAB, id eſt c = + xx — A 5 Prioris æquationis partes ductas in 7 aufer de TY ge | | 2bay partibus hujus, & reſtabit cc — — YA — 24x, zquatio ad circulum, vbi x & y ad re- ctos ſunt angulos. Quare ſi haſce duas lineas Hyperbolam & Circulum ope harum æquatio- num componas, earum interſectione habebis x & 5, ſeu AB & AC qux poſitionem rectæ BC de- terminant. Componentur autem lineæ illæ ad hunc modum. Duc rectas duas quaſvis KL æqualem AD, & KM æqualem PD continentes angulum rectum MKL. Comple parallelogrammum KLMN, & aſymptotis LN, MN per punctum K deſcribe Hyperbolam IKX. In KM verſus K producta cape KP æqualem AG & KQ zqualem BC. Et in KL producta verſus K cape KR æqualem AH, & RS æqua- lem RQ. Comple parallelogrammum PKRT , & centro T intervallo TS deſcribe circulum. Se cet 286 ALGEBReA Secet hic Hyperbolam in puncto xX. Ad Kp de- mitte perpendiculum XY, & erit XY æqualis . | E L — Fa — | „ * AC & KY æqualis AB. Quæ duæ line AC & AB vel una earum cum puncto P determinant poſitionem quæſitam rectæ BC. Cui conſtructi- oni demonſtrandæ, & ejus caſibus ſecundum ca- ſus Problematis determinandis non immoror. Hac, inquam, conſtructione ſolvi poteſt Pro- blema ſicui ita viſum ſit. Sed hæc ſolutio ma- gis compoſita eſt quam ut uſibus ullis inſervire poſſit. Nuda ſpeculatio eſt, & ſpeculationes Geometricæ tantum habent elegantiæ quantum ſimplicitatis, tantumque laudis merentur quan- tum utilitatis ſecum afferunt. Ea de cauſa con- ſtructionem per Conchoidem præfero ut multo ſimpliciorem, & non minus Geometricam ; & quæ reſolutioni æquationum à nobis propoſitæ optime conducit. Præmiſſo igitur præcedente Lemmate conſtruimus Geometrice Problemata cu- bica, & quadrato-quadratica | utpote que ad cubica reduci poſſunt] ut ſequitur. Pro- ELEMENTA. 287 Proponatur æquatio cubica x * ＋ qx +7 =0, cujus — ſecundus deeſt, tertius vero ſub | Gigno ſuo deſignatur per +9, & quartus per Tr. Duc quamlibet KA — — s. In KA utrinque producta cape KB = Had eaſdem partes cum KA | ti habeatur +9, aliter ad contrarias. Biſeca BA min C, & centro K radio KC fac circulum Cx, cui 288 4LGE BRA cui inſcribe rectam Cx æqualem — , & produc eam utrinque. Dein junge AX & produc eam u- trinque. Denique inter has lineas CX & AX inſcribe EY ejuſdem longitudinis cum CA, quz- que producta tranſeat per punctum K, & XY erit radix æquationis. Et ex his radicibus affirmativæ erunt quæ cadunt ad partes X verſus C, & nega- tivæ quæ cadunt ad partes contrarias, ſi habeatur +r, & contra ſi habeatur — 7. Demonſtratio. Ad demonſtrationem præmittimus Lemmata ſe- entia. LE M. I. Eſt X ad AK ut CX ad KE: E- tenim age KF parallelam CX, & ob ſimilia trian- gula ACX, AKF, & EX, EKF, erit AC ad AK ut CX ad KF, & W ad YE ſeu AC ut KF ad KE, adeoque ex æquo perturbate YX ad AK ut Cx ad KBE. Q. E. DP). LE M. II. Eſt XX ad AK ut CY ad AK RE. Nam componendo eſt YX ad AK ut YX Cx. id eſt CY ad AK KE. Q. E. D. LEM. ELEMENT A. 289 LEM. III. Eſt KE BK ad YX ut YX ad AK. Nam per 12. II. Elem. eſt YK - CK —CYq—CY xXCX=—CY x YX, hoc eſt ſi theo- rema reſolvatur in proportionem CY ad YK-CK ut YK + CK ad IX. Sed eſt VK - CK YK —YE +CA-CK—KE—BK. Et IK ACK =YK—YE +CA+CK—KE AK. Adeo- que eſt CY ad KE - BK ut KE + AK ad XX. Sed per Lemma ſecundum erat CY ad KE + AK ut XX ad AK. Ergo ex =quo eſt XX ad KE — BK ut AK ad XX. Seu KE BK ad YX ut YX ad AK. Q.E.D. His præmiſſis Demonſtrabitur Theorema ut ſe- quitur, In primo Lemmate crat YX ad AK ut CX ad KE, ſeu KE x YX = AK x CX. In ter- tio erat KE — BK ad YX ut YX ad AK. Unde ſi prioris rationis termini ducantur in YX het KE XYX - BK x YX ad YXq ut YX ad AK, id eſt AK x CX BK YX ad YXgq ut YX ad AK, & ductis extremis & mediis in ſe AKq x CX —AKXxXBEXYX=YXczs. Denique pro YX, AK, BK, & CX reſtitutis x, 1,4, & - orietur 1 r—qx —=x*, Q. E. D. Quod vero ad ſignorum variationes attinet, iſtis ſecundum catus Problema- tum determinandis non immoror. Proponatur jam æquatio cujus tertius terminus deeſt x þ+pxx +r—0, Et ad ejus conſtructio- nem aſſumpto quolibet , cape in recta aliqua lon- gitudines duas KA == & KB S p idque ad eaſ- dem partes fi r & p habeant eadem ſigna, aliter ad contrarias. Biſeca BA in C, & centro K radio KC deſcribe circulum cui inſcribe CX æqualem , & produc eam utrinque. * junge AK, & * uc 290 ALGEBROOA duc cam utrinque. Denique inter has lineas CX & AX inſcribe EY ejuſdem longitudinis cum CA, ita ut ea (1 producatur tranſeat per K, & KE erit radix æquationis. Radices autem affirmative ſunt ubi punctum Y cadit à parte puncti Xx verſus C, & negativæ ubi punctum Y cadit ad alteras partes puncti X ſi modo habeatur +r, & contra ſi ha- beatur — r. Ad hujus Propoſitionis demonſtrationem Sche- mata & Lemmata de priori propoſitione mutuo ſumantur, & Demonſtratio erit ut ſequitur. Per Lemma t, erat VX ad AK ut CX ad KF fu YXXKE AK x« CX, & per Lemma z, KL. — KB ad YX ut YX ad AK, aut (ſumpto KB ad contrarias partes) KE + KB ad YX ut YX ad AK, adeoque KE + KB in KE ad YX x KF, fea AK X CX ut XX ad AK, ſeu CX ad KE. Quare ductis extremis & mediis in fe, eſt KE cub. + KB x KEq—AK xCX4, & ipfarum KE, KB, AK, & CK reſtitutis valoribus ſupra aſſignatis, x? + pxx =7r- Proponimus jam æquationem trium dimenſio- num x* +pxx +qx +r =o, nullo termino ca- rentem, & cujus tres radices non ſunt omnes affir- mati væ neque omnes negativæ. Et primo ſi ter- minus negativus eſt, in recta aliqua KB capian- tur longitudines duz KA — - & KB =p, idque ad eaſdem partes puncti K ſi y & = habent ſigna diverſa; aliter ad contrarias. Biſeca AB in C, & 2d punctum illud C erige perpendiculum CX #- quale radici quadraticæ termini : Et inter lineas rectas AX & CX, utrinque productas in infinitum inſcribatur recta EM quz æqualis fit rectæ AC, & N. «1 3" 4 3 1 þ, x 1 5 * * = * . 5 5 F IF * 5 * «1 * EY £5 1 1 * * 2 by 2 ELEMENT A. 291 producta tranſeat per punctum K, atque KE erit radix æquationis, quæ quidem affirmati va erit ſi == IE © X — — e / | 2E 2 3 punctum X cadat inter puncta A & E, negati va ve- ro ſi punctum E cadat ad partes puncti X verſus A. Quod ſi terminus q affirmativus eſt, in recta KB capiantur longitudinis illæ duæ KA = = & KB — idque ad eaſdem partes puncti K, fi G8 KA 9 ah © i * 7 & K habent ſigna diverſa; aliter ad con trarias: Biſeca AB in C, & ad punctum illud C erige perpendiculum CX æquale termino : & in- ter lineas rectas AX & Cx, utrir que productas in inſimitum inſcribatur recta EY q iæ zqualis fit rectæ AC, & produRa tranſeat per punctum K. atque XY erit radix æquationis; quæ quidem ne- gati va erit ſi punctum x cadat inter puncta A & E. affumativa vero ſi punctum J cadat ad partes pun- & X verſus punctum C. „ I-03 De- 292 4LGEB RA Demonſtratis caſus prioris. Per Lemma primum erat KE ad CX ut AK ad YX, & ita (componendo) eſt KE + AK, id eft KY + KC ad CX xX, id eſt CY. Sed in triangulo rectangulo KCY eſt YCq æquale YK —KCg, id eſt zquale KY + KC in KY — KC, & reſolvendo terminos æquales in proportionales, KY + KC ad CY ut CY ad KY — KC, ſeu KE +AK ad CY ut CYad EK — KB. Quare cum in hac proportione fuerit KE ad Cx; duplicetur proportio, & erit KEA ad CXxq ut KE + AK ad KE—KB; & ductis extremis & mediis in ſe KE cab. — KB x KEq=CXq x KE + CXqx AK. Et reſtitutis valoribus ſupra aſſignatis & — pxx = 4x + Yr. Demonſtratio caſus ſecundi. Per Lemma primum eſt KE ad CX ut AK ad YX, ductiſque extremis & mediis in fe fit KE X YX—CXx AK. Scribe ergo in ſuperioribus KE x YX pro CX AK, & fiet KE cab. KB x KEq—=CXqxKE +CXXKExXYX. Et ap- plicatis omnibus ad KE erit KEA KBx KE — CXq+CX x YX: ductiſque omnibus in AK habebitur AK Xx KEq—AKxXKBxXKE—AK x CXq+AKXCXx YX: Ac rurſus ſcripto KE X YXpro CX x AK, fiet AK x KEH AK X KB xKE —KEX YXXCX-+KE x YX9: & appli- catis omnibus ad KE orietur AK x KE AK x KB — YX X CX -þ YXq: ductiſque omnibus in YX emerget AK X KE X YX — AK x KB x VX — YXqx CX + YN cub. & pro KE x YX ſcrip- tis in primo termino CX x AK, fiet CX x AKg —AK ELEMENTA 293 —AKXxXKBXYX=CX x YXq-+ YX cb. ſeu quod perinde eſt VX cab. +CX x YXq + AK x KBXx YX—CXXAKq=o. Atque pro XX, CX, AK & KB ſubſtitutis yaloribus ſupra aſſigna- tis x, p, * I Ns emerget tandem x* + pxx + qx +r —=0, æquatio conſtruenda. | Solvuntur etiam hz æquationes ducendo rectam lineam datæ longitudinis inter circulum & aliam rectam poſitione datos, ea lege ut recta illa ducta convergat ad punctum datum. Proponatur enim æquatio cubica x* * + qx +r o, cujus terminus ſecundus deeſt. Duc rectam KA ad arbitrium. Eam dic ». In KA utrinque producta cape KB 4 » idque ad eaſdem partes puncti K cum linea KA ſi modo habeatur — q, aliter I F 5 ad diverfas. Biſeca BA in C, & centro A intervallo AC deſcribe circulum Cx. Ad hunc apta lineam rettam Cx =, & per puncta K, C, & X deſcribe BF T4 circu⸗ 294. 4 LGE B RA circulum KCXG. Junge AX, & junctam produc donec ea iterum fecet circulum ultimo deſcriptum KCXG in puncto G. Denique inter hunc ulti- mo defcriptum circulum & rectam KC utrinque productam inſcribe rectam EY ejuſdem Jongitudi- nis cum recta AC, ita ut ea convergat ad punctum G. Et acta recta EC erit una ex radicibus æqua - tionis. Radices autem affirmativæ ſunt quæ ca- dunt in majori circuli ſegmento K GC, & negati- væ quæ in minori KFC ſi habeatur —r; & con- tra ſi habeatur +r affirmativæ in minori ſegmen- to KFC negativæ in majori K GC reperientur. Ad hujus vero conſtructionis demonſtrationem præmittimus Lemmata ſequentia. L. I. Poſitis quæ in conſtructione ſuperiore, 7 CE ad KA ut CE ＋ CX ad AY, & CX ad Fs Nam recta KG ducta, eſt AC ad AK ut CX ad KG, idque ob ſimilia triangula ACX, AKG. Sunt ctiam triangula YEC, YKG ſimilia: quippe que communem habent angulum ad Y, & angulos ad G & C 1n codem circuli KCG ſegmento EGCK, atque adeo æquales. Inde fit CE ad EY ut KG ad KY, id eſt CE ad AC ut RG ad KY co quod EY & AC juxta Hypotheſin æquantur. Collata autem hacce cum ſuperiore proportionalitate colli- gitur ex æquo perturbare quod ſit CE ad KA ut Cx ad KY, & viciſſim CE ad CX ut KA ad KY. Unde componendo fit CE CX ad CX ut KA + KY :d KY, id eſt ut AY ad KY, & viciſſim CE + CX ad AY ut (X ad KY hoc eſt ut CE ad KA. Q.E.D. Le u. II. Demiſſo ad lineam GY perpendi- culo CH, fict rectangulum 2HE Y æquale rectan- culo CE x CX. Nam ELEMENTA 295 Nam demiſlo etiam ad lineam AY perpendiculo GL, triangula KGL, ECH rectos habentia angu- los ad L& H, & angulos ad K & E in eodem cir- culi CG K ſegmento CK EG., adeoque æquales, æquiangula ſunt & proinde ſimilia. Eſt ergo KG ad KL ut EC ad EH. Porro, à puncto A ad li- neam KG demiſſo perpendiculo AM, ob zquales AK, AG biſecabitur KG in M, & triangula KA M KGL ob angulum ad K communem, & angulos ad M & L rectos fient ſimilia: & inde eſt AK ad KM ut KGad KL. Sed ut c{t AK ad KM ita eſt 2AK ad z: KM ſeu KG, & ita (ob fimilia tri- angula AKG, ACX) eſt 2AC ad CX; & (ob æ- quales AC & EV ita eſt E ad CX. Ergo eſt 2EY ad CX ut KG ad KL. Sed erat KG ad KL. ut EC ad EH, ergo eſt 2E Y ad CX ut EC ad EH, atque adeo rectangulum 2HEY (dutiis nimi- rum extremis & mediis in fe) æquale eſt rectangulo ene OE. 0. Aſſumpfimus hic lineas AK, AG zquales eſſe, Nimirum rectangul2CAK, XAG (per Corol. Prop. 36. lib. III. Elem,) xqualia ſunt, atque adeo ut CA eſt ad XA ita AGeſt ad AK. Sed CA, XA æquales ſunt per Hypotheſin; ergo & AG, AK. LEM. III. Conſtructs omnibus ut ſupra, tres line BY, CL, KA, ſunt continue proportio- nales. Nam (per Prop. 12. lib. II. Elem.) eſt CYq —EYq+CEq+2EYxXEH. Et ablato utrin- que EVA fit CYq—EYq=CEq+2EY x EH, Sed 2EY Xx EH (per Lem. 2.) æquale eſt rectan- gulo CE x CX, & addito utrinque CEq fit CE +2EYXxEH=CEq+CE xCX. Ergo CY — EYq zquile eſt CEq+CE x CX, id eſt CY +EY in CY — EY zquale eſt CEq + CE x CX, Et reſolutis æqualibus rectangulis in latera propor- | ; tionalia * 2 — ee ˙¹ rr ——_— oo ret o—_—_—— ” ca 296 4ILGE B RAA nalia fit CE + CX ad CY + EY ut CY — EY ad CE. Sunt autem tres linex EY, CA, CB æ- quales, & inde CY + EY —CY + CA = AY, & CY —EY —CY — CB = BY. Scribantur ita- que AY pro CY + EY, & BY pro CY—EY, & fiet CE -þ CX ad AY ut BY ad CE. Sed (per Lem. r.) eſt CE ad KAutCE + CXad AY, ergo eſt CE ad KA ut BY ad CE, hoc eſt linen tres BY, CE, KA, ſunt continue proportionales. QE. D. Tandem ope horum Lemmatum conſtructio ſu- perioris Problematis ſic demonſtratur. Per Lemma 1. eſt CE ad KA ut CX ad KY, adeoque KA x CX — KY x CE, & applicatis his æqualibus extremorum & mediorum rectangulis ad CE fit WE KY. His lateribus æqualibus adde BK & zqualia erunt BK A r Unde per Lemma tertium eſt BK + * ad CE ut CE ad KA, & inde, ductis extremis & medits in fe provenit CEA zquale BK x KA VET, & omnibus præterea ductis in CE fir CE cub. æquale BK x KA x CE + KAqx CY. CE erat radix æquationis dicta x, KA erat », KB Z. & CX--. His pro CE, KA,. KB. & cx ſubſtitutis oritur x} —qx +r, ſeu x* - i H , æquatio conſtruenda ; ubi & r negativa prodeunt ſumptis KA & KB ad caſdem partes puncti K, & ridice athrmativa in major! ſegmento CG exi- ſtente. Nic upus caſus eſt Conſtructionis demon- ſtrandæ. Ducatur KB ad partes contrarias, id eſt mutetur ELEMENTA. 297 mutetur ſignum ejus ſeu ſignum ĩpſius 7 vel quod 1 perinde eſt, ſignum termini , & habebitur conſtru- ctio æquationis x* +qx = = o: Qui caſus eſt alter. In his caſibus Cx, & radix affirmativa CE cadunt ad eaſdem partes lineæ AK. Cadant CX & radix negativa ad eaidem mutato ſigno ipſius CX ſeu _ vel (quod perinde eſt) ſigno ipſius v, & habebitur caſus tertius x* +qx r — o, ubi radices omnes ſunt negative. Et mutato rurſus ſigno ipſius KB ſeu 1 vel ſolius q, incidetur in caſum quartum x —qx +r =o. Quorum om- nium caſuum conſtructiones rm licebit, & ſigillatim demonſtrare ad modum caſus primi. Nos uno caſu demonſtrato cæteros leviter attingere ſa- tis eſſe putavimus. Hi verbis iiſdem mutato ſolum linearum ſitu demonſtrantur. Conſtruenda jam fit æquatio cubica x* + pxx * +r go, cujus tertius terminus deeſt. In figura ſuperiore aſſumpta longitudine quavis u, capias in recta quavis infinita AY, KA, & KB quarum KA valeat Ld „& KB vaicat p. Has cape 1 ad eaſdem partes puncti K, fi modo ſigna termi- norum p & r ſint eadem, ſecus ad contrarias. Bi- feca BA in C, & centro K intervallo KC deſcribe circulum CX G. In eo aptes rectam CX zqualem longitudini aſſumptæ a. Junge AX & produc jun- tam ad G ita ut fiat AG æqualis AK, & per pun- cta K, C, X, G, deſcribe circulum. Denique in- ter hunc circulum & rectam KC utrinque pro- ductam inſcribe rectam EV ejuſdem 2 cum recta AC ca lege ut hæc inſcripta recta tran- ſcat 298 4LGE B RA ſeat per punctum G, ſi modo ipſa producatur: & acta recta KY erit una ex radicibus zquationis, Sunt autem radices athrmative quæ cadunt ad partes puncti K verſus puntum A ſi modo ha- beatur r; fin habeatur — r, affirmative ſunt quæ cadunt ad partes contrarias. Et ſi affirmativæ radices jacent ex una parte puncti A, negativz ſunt quæ jacent ex altera. Demonſtratur autem hæc conſtructio ope Lem- matum trium noviſſimorum in hunc modum. Per Lemma tertium ſunt BV, CE, KA continue proportionales; & per Lemma primum ut eſt CE ad KA ita eſt CX ad KY. Ergo BY eſt ad CE ut CX ad KY. BY idem eſt quod KY — KB. Ergo KY — KB eſt ad CE ut CX ad KY. Sed ut eſt KY — KBadCE ita eſt KY—KB in KY ad CE in KY, idque per Prop. 1. lib. VI. Elem, & ob proportionales CE ad KA ut CX ad KY eſt CE in KY æquale KA in CX. Ergo KY — KB in KY eit ad KA in CX (ut KY—KB ad CE, hoc eſt) ut CX ad KY. Et ductis extremis & mediis in ſe invicem fit KY — KB in KV quale KA in CX4: id eſt KY cub. — KB x KY quad. equale KA x CX quad. Erat autem in conſtru- ctione, KY radix æquationis dicta x, KB æqua- lis p, KA zqualis —, & Cx zqualis . Scri- bantur igitur *. p: & pro KY, KB, KA, & CX reſpective, & fiet x —pxx =r, ſeu & —pxXx —7—0. Reſolvi poteſt conſtructio demonſtranda in hoſce quatuor æquationum caſus, x* — pxx —r = 0, x? —pxx +Y — x? + pxXXx —7 —=0z & x + pxx ro. Caſum primum jam demonſtratum de- On . dis ELEMENT A. 299 di, cæteri tres iiſdem verbis mutato tantum li- nearum ſitu demonſtrantur. Nimirum uti ſumen- do KA & KB ad eaſdem partes puncti K, & radi- cem affirmati vam KY ad contrarias partes, jam pro- diit KY cab. — KB x KYq= KA x CXq, & inde x* —pxx -g: fic ſumendo KB ad contrarias partes puncti K, prodibit ſimili argumentationis progreſſu KY cub. ＋KBNK T= KAXxCXꝗq. & inde x +pxx —r . Et in hiſce duobus ca- ſibus ſi mutetur ſitus radicis affimativæ KY ſu- mendo eam ad alteram partem puncti K, per ſimi- lem argumentationis ſeriem devenietur ad alteros duos caſus KY cab. + KB x KYq=— KA x Cxq. ſeu x* þ+pxx +r =0, & KY cub. — KB x KY = - KA x Cxq, ſeu & — pxx . dul omnes caſus erant demonſtrandi. Proponatur jam æquatio cubica x* + px* + qx Tr =o, nullo (niſi forte tertio) termino carens. Ea conſtruetur ad hunc modum. Cape ad arbitrium longitudinem x. Ejus dimi- dio æqualem duc rectam quamvis GC, & ad pun- dum G erige perpendiculum GD zquale Ve ——C Deinde ſi termini p & V habent contraria figna , centro C intervallo CD deſcribe circulum PBE. An — ——— — —— — —äůͤ —— — — - - — 309 4LGEB RNA Sin eadem ſunt corum ſigna, centro D intervallo GC defcribe circulum occultum ſecantem rectam GA in ; dein cen- | P | tro C intervallo C . GH deſcribe circu- lum PBE. Tum fac GA — FT JAR > ” mp eamque duc in linea GC ad partes pun- cti G verſus C fi modo quantitas -7 YL, — r . * * * . — — (ignis terminorum p, q, 7 in æquatione con- n ſtruenda probe obſervatis) affirmativa obvenerit: ſecus age GA ad alteras partes puncti G, & ad pun- Rum A erecto perpendiculo AY, inter hoc & cir- culum PB E ſuperius deſcriptum inſcribe lineam E æqualem termino p, ea lege ut hæc inſcripta con- vergat ad punctum G. Quo ſacto & producta illa EY ad G, erit linea EG una ex radicibus æ- quationis conſtruendæ. Quæ quidem radices af- hrmative ſunt ubi punctum L. cadit inter puncta G & X, & negativæ ubi E cadit extra, fi modo habeatur +p; & contra ft — p. Demonſtration hujus conſtructionis præmitti- mus Lemmata ſcquentia. LE M. I. Demiſſo ad AG perpendiculo EF & acta recta EC: eſt EGq-þ GCq— ECq + 2CGF. Nam per Prop. 12. lib. II. Elem. eſt EGq—ECg + GCq + 2GCF. Addatur utrinque GC & fier EGq + GCq—ECq+2GCq + 2GCF. Sed 2GCq 42GCF et 2 6C in GCC; id eſt 2CGF. I.rgo LGa + GCq = EC + 2COF., Q. E. D. | LI u. ELEMENT A. 301 LEM. II. In conſtructionis caſu primo ubi circulus PB E tranſit per punctum D, eſt EGg —_ GDq=—=2CGF. Nam per Lemma primum cit EGq + GCq —ECq-+ 2CGF, & ablato utrinque GC, fit EGq —= ECq —- GCq + 2CGF. Sed ECq—GC9q idem eſt quod CDq - G, hoc eſt idem quod GDg. Ergo EGq —= GDq + 2CGF, & ſubdufto utrobique GDq, fit EGq GD —2CGF. Q. E. D. | LEM. III. In conſtructionis caſu ſecundo, ubi circulus PCD non tranſit per punctum D, eſt EG + GDq = 2CGF. Namque in Lemmate primo erat EGq + GCq—ECq +2CGF. Auſer utrin- que ECA & het EGq + C- ECq—2CGE. Sed GC DH & EC SCP CCH: ergo GCq — ECq=DHq - GHq= GDg, atque adeo ECV + GDq = 2CGE. Q. E. D. L. IV. Eſt z CGF in GY = 2CG in AGE. Namque ob ſimilia triangula GEF, GA eſt GF ad GE ut AG ad GY ; hoc eſt (per Prop. 1. lib. VI. Elem.) ut 2CG x AG ad 2CG x GY. Ducan- tur extrema & media in ſe, & fiet 2CG x GY x GF =2CG x AG xXGE. Q. E. D. Tandem ope horum Lemmatum conſtructio Pro- blematis fic demonſratur. In caſu primo eſt (per Lem. 2.) EG- D/ —2CGF, & ductis omnibus in GY fit EGqx GY. —GDq x GY—2CGF x GY (hoceſt per Lem. 4.) —2CG XxXAGE. Pro GY ſcribe EG EV. & fiet EG cab. + EY x EGq— GDqxEG — GDg Xx EY=2CGA x EG, ſeu EG cab. +EY x EGq — CP, x EG—GDq xEY =o. In caſu ſecundo eſt (per Lem. 3.) EGq + GDqg = 2CGF, & ductis omnibus in GY fit EGqxGY +GDq x GY=2CGEF x GY (hoc eſt per Lem. 4.) 21068 Pre DDr — „ — Oo Een % 4: 4 ov wh + ooo att fwmaeroce 4: 9-mqu 302 ALGEBREGOUE —2CG x AGE. Pro GY ſcribe EG EV. & ſiet EG cab. EY x EGq + GDqxEG + GDqxEY —2CGA x EG, ſeu EG cab. ＋ EY x EGA +: x EG + GDq x EY =o. Jam vero erat EG radix æquationis conſtrutz dicta x; item GD V. EY=p, 2CG =», * GA 2 — id eſt in caſu primo ubi ter- minorum p & r diverſa fant ſigna: at in caſu ſe- cundo ubi alterutrius p vel r mutatur ſignum fiet -T+ = — GA. Scribantur igitur pro EG, GD, EY, 2CG, & GA quantitates æ, Vi p, nm, & 4% 14 3 , & caſu primo fiet æ þ px? ow. NS. +9 +5 —7=0, id eſt x* Dr +qzx —r =o, caſu au- tem fecundo x -þ px? 2 1 o, id eſt 5 P * +pxx +qx +r =o. Eſt igitur in utroque caſu EG vera longitudo radicis x. Q. E. D. Subdiſtinguitur autem caſus uterque in caſus plures particulares : Nimirum prior in hoſce x3 + px* +qx —r =0, x* +pxx — qx —r g, x* —pxx +qx +r=0, x* —pxx—qz +r=0, * +px* —r=0 & x*—pxx A —=0; poſterior in hoſce x* +pxx+qz TO, x* +pxx — 4 Tro, x* —pxx +qx - , x* —pxx —qx —r=0, x* +pxxþr=0, & x*—pxx —r=0. Quorum omnium. demonſtrationes verbis irfdem ac duorum jam demonſtratorum, mutato tantum li- nearum frtu, compinguntur. 1 | * ELEMENTA 303 Hz ſunt Problematum conſtructiones przcipuz per inſcriptionem rectæ longitudine datæ inter cir- culum, & rectam lineam poſitione datam ea lege ut inſcripta ad datum punctum convergat. Inſcri- bitur autem talis recta ducendo Conchoidem vete- rum, cujus Polus ſit punctum illud ad quod recta inſcribenda debet convergere, Regula ſeu Aſymp- totos recta altera poſitione data, & intervallum longitudo rectæ inſcribendæ. Secabit enim hæc Conchoides circulum præfatum in puncto E per quod recta inſcribenda duci debet. Suffecerit ve- ro in rebus practicis rectam illam inter circulum, & alteram poſitione datam rectam ratione quacun- que mechanica interponere. In hiſce autem conſtructionibus notandum eſt quod quantitas , ubique indeterminata & ad ar- bitrium aſſumenda relinquitur, id adeo ut ſingulis problematis conſtructiones commodius aptentur. Hujus rei exempla in inventione duarum medie proportionalium, & anguli triſectione dabimus. Inveniendæ fit inter 4 & 6 duz medie propor- tionales x & . Quoniam ſunt 4. * continue proportionales erit 4? ad x* ut x ad 6b, adeoque * Saab, ſeux* 4 O. Hic deſunt æqua- tionis termini p & . & loco termini v habetur 4. Igitur in conſtructionum formula prima, ubi recta EY ad datum punctum K convergens in- ſeritur inter alias duas poſitione datas rectas EX & YC, & red CX ponitur #qualis — id eſt . qualis ==> aſſumo » zqualem 4, & fic fit Cx zqualis — 6, Unde talis emergit conſtructio. Duco quamvis KA æqualem «4, eamque biſeco in C, centroque K intervallo KC deſcribo cir- culum N * * Ah. 5 - - 6 44 —U— — 2 wu * — — > — 304 ALGEBRA culum CX ad quem apto rectam CX zqualem 6, * & inter rectas AX, CX infinite productas po- no EY æqualem CA, & convergentem ad punctum K. Sic efunt 1 continue proportiona- 5 : les, id eſt XY & KE B IS duz medie proportio- . : nales inter a & b. Con- K — 65 A ſtructio nota eſt. In altera autem conſtructionum formula ubi rea EY ad datum punctum G convergens ponitur in- ter circulum GE Cx & rectam AK, eſtque cx \ 1d eſt (in hoc Problemate) _— pono ut pri- us » 4, & fic fit CX —b, czteraque peragun- tur ut ſequitur, | Duco rectam quamvis KA zqualem a, eamque biſeco in C & centro A intervallo AK deſcribo circulum KG ad quem apto rectam KG æqualem 26 conſtituendo triangulum æquicrurum AKG. Dein per puncta C, K, G circulum deſcribo & in- ter hujus perimetrum & rectam productam AK in- ſeribo rectam EY æqualem KC, & n. ELEMENT A. 305 ad punctum G. Quo facto continue proportio- nales erunt AK, EC, K, KG, id eſt EC & K duz medie proportionales erunt inter datas « &ͤ 6. Secandus jam fit angulus in partes tres æquales. Sitque angulus ſecandus ACB, partes ejus inveni- endæ ACD, DCE, ECB. Centro C intervallo CA de- £ ſcribatur circulus ADEB ſecans rectas CA, CD, CE, CB in A, D, E, B. Jun- gantur AD, PE, EB ut & AB ſecans rectas CD, CE in F& H, & ipſi CE pa- rallela agatur DG occur- rens AB in G. Ob ſimilia triangula CAD, ADF, DEC, continue proportionales ſunt CA, AD, DF, FG. Ergo fi dicatur Ac , & AD =x, fiet 3 DF ==, & FG ==. "Eft autem AB 2 BH z | x*. 3 Dic AB , & fiet b=z3x—=> ſeu x* 34 4 aab =o. Hic deeſt zquationis terminus ſecun- dus p, & loco & r habentur - 344 & aab. Ergo in conſtructionum formula prima ubi erat p =o, kA =, kB = A, & cx , id eſt in pro- n nn bleinate jam conſtruendo KB = , & CX =, ut hz quanritates evadant quam ſimpliciſ- ſimæ pono »—4, & fic fit KB =— 3a, & 67 0 ; V — — 306 ALGEBR@A =. Unde talis emergit Problematis con ſtru- ctio. 0 Ago quamvis KA — a, & ad contrarias partes KB = za. Biſeco BA in C, centroque K inter- vallo KC deſcribo circulum, cui inſcribo rectam » k B CX —b. Et acta recta AX, inter ipſam infinite productam & rectam CX pono rectam EY æqua- lem AC, & convergentem ad punctum K. Sic fit XY —x. Quinetiam ob zquales circulos AD EB, CXA, & æquales ſubtenſas AB, CX, nec non æ- quales ſubtenſarum partes BH, XY, zquales crunt anguli ACB, CKX ut & anguli BCH, XKY, at- que adeo anguli CRX tertia pars crit angulus XKY. Dati igitur cujuſvis anguli CK pars ter- tia XKY invenietur ponendo inter chordas CX, AX infinite productas rectam EV æqualem dia- metro AC, & convergentem ad circuli cen- trum K. Hinc ſi à circuli centro K ad ſubtenſam CX demittas perpendiculum KH, erit angulus HKY tertia pars anguli HKX, adeo ut ſi detur quilibet angulus HK inveniri poſſit ejus pars tertia HK demittendo à quolibet lateris utriuſvis KX ow 0 ELEMENTA 3oy Ao X ad latus alterum KH perpendiculum XH. & Jateri KH ducendo parallelam XE, dein rectam YE duplam ipſius KX, & convergentem ad pun- ctum K ponendo inter rectas XH & XE. Vel ſic. Detur angulus quilibet A XK. Ad latus alterutrum K H * * AX erigatur perpendiculum XH, & A lateris al- terius XK puncto quo is K agatur recta KE cu- jus pars YE interjacens lateri AX producto, & ejus perpendiculo XH fit dupla lateris XK, & erit an- gulus KEA tcrtia pars anguli dati AXK. Tum rurſus erecto perpendiculo EZ, & acta KF cujus pars Z F inter EF & EZ fit dupla ipſius KE, fiet angulus KFA tertia pars anguli KEA, & ſic per- gitur per continuam anguli triſectionem in infini- tum. Exſtat autem hæc triſectio apud Pappum, lib. 4. Prop. 3 2. Quod fi angulum per alteram conſtructionum ſormulam ubi recta inter aliam rectam & circulum ponenda eſt, trifariam dividere malueris: hic etiam erunt KB 2 5 CX= 2. id eſt in problemate de quo nunc agimus 1133 en N ann yz adeoque ponendo A fiet KB—— 34, & Cx —b. Et inde talis emerget conſtructio. A puncto quovis K ducantur ad eaſdem partes rectæ duz KA a, & KB —34. Biſeca AB in N — 4 C, cen- - . 7 * 1 W —— * — ung? " — ©» „ — — PP — 308 ALGEBREOA C, centroque A intervallo AC deſcribe circulum. In eo pone rectam CX =. Junge AX, & jun- ctam produc donec ea iterum ſecet circulum jam deſcriptum in C. Tum inter hunc circulum & rectam KC infinite productam pone rectam EY æ- qualem rectæ AC, & convergentem ad punctum G, & acta recta EC erit longitudo quæſita x, qua ter- tia pars anguli dati ſubtenditur. Talis conſtructio conſequitur formulam ſuperi- us allatam: quæ tamen ſic evadet concinnior. Ob Eæquales circulos ADE B & KX G, & æquales ſub- tenſas CX & AB, æquales ſunt anguli CAX five KAG & ACB, adeoque CE ſubtenſa eſt tertiz partis anguli KAG. Quare dato quovis angulo KAC, ut ejus inveniatur pars tertia CAE, pone inter circulum KC G, & anguli latus KA infinite productum rectam EY æqualem circuli ſemidia- metro AG, & convergentem ad punctum G. Sic docuit Archimedes angulum trifariam yu A. ſecare. Eædem conſtructiones facilius 8. 3 * explicari poſſint quam hic factum eſt ; ſed in his volui oſtendere quomodo ex generalibus Problematum conſtructionibus ſuperius expoſitis conſtructiones ſimpliciſſimas particularium proble- matum derivare liceat. | Præter ELEMENTA 20g Præter conſtructiones hic expoſitas adjungere li- ceret quamplurimas. Ut fi inter a & b inveniendz eſſent duz medic proportionales, Age quamvis AK —6b, & huic perpendiculare AB = a. Biſeca AK in I, & in eadem AK, ſubtenſæ BI zqualem pone AH; ut & in linea AB producta ſubtenſæ BH æqualem AC. Tum in linea AK ad alteras par- tes puncti A cape AD cujuſvis longitudinis, & huic æqualem DE, centriſque D & E intervallis DB, EC deſcribe circulos duos BF, CG, & in- ter eos pone rectam FG zqualem rectæ AI, & convergentem ad punctum A, & erit AF prima duarum medie proportionalium quas invenire oportuit. Docuerunt Veteres inventionem duarum medie proportional ium per Cifſoidem ; ſed lineæ hujus de- ſcriptionem commodam manualem nemo, quod ſcio, appoſuir. Sit AG diameter & F centrum circuli ad quem Ciſſois pertinet. Ad punctum FE erigatur normalis FD, eaque producatur in infinitum. Et producatur FG ad P, ut FP zqualis fit circuli Dia- metro. Moveatur norma rectangula PE ea lege ut crus ejus EP perpetuo tranſeat per punctum P, & crus alterum ED circuli Diametro AG ſeu FP æquale, termino ſuo 7 ſemper lineam | Is 310 4 L G E B RA & cruris hujus medium punctum C deſcribet Ciſ- ſoidem deſideratam GC K ut ſupra expoſui. Quare ſi inter duas quaſvis 4 & 6 inveniendæ ſint duæ mediæ proportionales: cape AM a, erige per- pendiculum MN —6. Junge AN; & lege præfata moveatur norma PE D, uſque dum punctum ejus C incidat in rectam AN. Tum demiſſo ad AP perpendiculo CB, cape : ad BH, & v ad BG, ut eſt MN ad BC, & ob continue proportionales AB, BH, BG, BC erunt etiam continue proportio- nales a, 1, v 5. Simili normæ applicatione conſtrui poſſunt etiam alia Problemata ſolida. Verbi gratia proponatur æ- quatio cubica x* pxx —qx +7 o: ubi q ſem- per negativum ſit, 1 affirmativum, & p ſigni utriuſ- vis. Fac 48 eamque biſeca in E, & cape FR g , idque OY A ſi habeatur y aliter verſus P. Fac inſuper AB = /q, & erige norma- les FD, BC, In normæ autem crure ED cape ED & EC ipfis AG & AR zquales reſpective, & applicetur deinceps norma ad Schema fic ut pun- ctum ejus P tangat rectam FD, nctum C re. ctam BC, & erit BC æquationis "= quæſita . Sed in his nimius ſum, Fendt 7 ELEMENT A. 311 Hactenus conſtructionem ſolidorum Problema- tum per operationes quarum praxis manualis maxi- me ſimplex eſt & expedita exponere viſum fuit. Sic Veteres poſtquam confectionem horum pro- blematum per compo ſitionem locorum ſolidorum aſſecuti fuerant, ſentientes ejuſmodi conſtructio- nes ob difficilem Conicarum ſectionum deſcriptio- nem inutiles eſſe, quærebant conſtructiones faci- liores per Conchoidem, Ciſſoidem, extenſionem ſilorum & figurarum adaptiones quaſcunque me- chanicas: prælata mechanica utilitate inutili ſpe- culationi Geometricæ, ut ex Pappo diſcimus. Sic magnus ille Archimedes triſectionem anguli per coni ſectiones à ſuperioribus Geometris expoſitam neglexit, & in Lemmatis ſuis angulum modo à no- bis ſuperius expoſito trifariam ſecare docuit. Si veteres problemata per figuras ea tempeſtate in Geo- metriam non receptas conſtruere maluerint, quan- to magis præferendæ nunc ſunt illæ figuræ, in Geometriam æque ac ipſz coni ſectiones à pleriſ- que receptæ. | Verum tamen novo huic Geometrarum gene- ri haud aſſentior, qui tiguras haſce omnes in Geometriam recipiunt. Eorum regula admitten- di lineas omnes ad conſtructionem Problematum eo ordine quo æquationes quibus line illæ de- fini untur, numero dimenſiomm aſcendunt, arbi- traria eſt, & in Geometria ſundamentum non ha- bet. Imo ſalſi eſt, propterea quod circulus hac lege cum Coni ſectionibus cogjungendus eſſet, quem tamen Geometræ omnes cum linea recta conjungunt. Vacillante autem hac regula tollitur fundamentum admittendi certo ordine lineas om- nes Analyticas in Geometriam. In Geometriam planam meo quidem judicio lineæ rullz præter re- fam & circulum admitti debent, nifi forte linea» V 4 rum 312 4LGEB RA rum diſtinctio aliqua prius excogitetur qua linea circularis conjungatur cum recta, & a reliquis ome nibus ſegregetur. Quinimo ne tum quidem au- | eſt Geometria plana numero linearum. Nam gurz omnes ſunt 1 quæ admittuntur in Geo- metriam planam, id eſt quas Geometræ poſtulant in plano deſcribere. Et problema omne planum eſt quod per figuras planas conſtrui poteſt. Sic 2 admiſſis in Geometriam planam conicis ſe- ionibus, aliiſque magis compoſitis figuris, pro- blemata omnia ſolida & plus quam ſolida quæ per has figuras conſtrui poſſunt evadent plana. Sunt autem problemata omnia plana ejuſdem ordinis. Linea recta Analytice ſimplicior eſt quam circu- Jus; hoc non obſtante Problemata ejuſdem ſunt ordinis quæ per rectas ſolas, & _ per circulos conſtruuntur. Solis poſtulatis reducitur circulus ad eundem ordinem cum recta. Et multo magis Ellipſis quæ minus differt à circulo quam circu- Jus à recta, poſtulando conſimiliter deſcriptionem ejus in plano, reduceretur ad eundem ordinem cum circulo. Siquis ſpeculando Ellipſin incideret in problema aliquod ſolidum, & ipſum beneficio e- juſdem Ellipſeos, & circuli conſtrueret: hoc pro- blema jam pro plano habendum eſſet, eo, quod Ellipſis jam ante in plano deſcripta haberi bub e nitur, & conſtructio omnis quæ ſupereſt abſolvi- tur per circuli ſolius deſcriptionem. Eadem de cauſa problemata quævis plana per datam Ellipſin conſtruere licitum eſt. Verbi gratia ſi datæ El- lipſeos ADEG requireretur centrum O, ducerem parallelas duas AB, CD Ellipſi occurrentes in A, B, C, D, aliaſque duas EF, GH Ellipſi occurrentes in E, E, G, H. Has biſecarem in I, K, L, M, & junctas IK, LM producerem uſque ad concurſum jfuum in O. Legitima eſt hæc conſtructio plani | 55 ELEMENT A. 313 lematis per Ellipſin. Nil refert quod Ellipfis _ ice definiatur æquationem duarum 5 menſionum. Nil quod Ellipſis Geometrice gene- Ei retur ſectione figurz ſolide. Hypotheſis ſola, quod Ellipſis jam deſcripta habetur in plano, pro- blemata omnia folida per ipſam conſtructa reducit ad ordinem planorum, efficitque ut plana omnia per ipſam legitime conſtruantur. Et eadem eſt ratio Poſtulati. Quod vi poſtulatorum heri poteſt, ut jam factum, & datum aſſumere conceſſum eſt, Poſtuletur igitur Ellipſin in plano deſcribere, & ad ordinem planorum problematum reducentur ea omnia quæ per Ellipſin conſtrui poſſunt, planaque omnia per Ellipſin licebit conſtruere. Neceſſe eſt igitur aut Problemata plana & ſolida inter ſe * aut lineas omnes rejici E Geome- tria plana præter rectam & circulum, & ſiqua for- ſan alia detur aliquando in ſtatu conſtruendi alicu- jus Problematis. Verum genera problematum con- fundi nemo certe iſerit. Rejiciantur igitur & Geometria plana ſectiones Conicæ, aliæque figuræ omnes præter rectam & circulum, & quas conti- gerit in ſtatu problematum dari. Alienz ſunt igt- tur 3 Geometria deſcriptiones illæ omnes contcarum ſectionum in plano quibus hodierni Geometræ tan. Pr — „„ 2LCEaUReR topere indulgent. Nec tamen ideo Coni ſectiones è Geometria rejiciendæ erunt. Hz in plano non deſcribuntur Geometrice, generantur vero in ſo- lidi Geometrici ſuperficie plana. Conus conſtitui- tur Geometrice, & plano Geometrico ſecatur. Tale Coni ſegmentum figura Geometrica eſt, eundem- que habet locum in Geometria ſolida ac ſegmen- tum circuli in plana, & hac ratione baſis ejus, quam Coni ſectionem vocant, figura Geometrica eſt. Lo- cum igitur habet Coni ſectio in Geometria quate- nus ea ſuperficies eſt ſolidi Geometrici. Alia au- tem nulla ratione Geometrica quam ſolidi ſectione generatur, & ideo non niſi in Geometriam ſolidam antiquitus admiſſa fuit. Talis autem Conicarum ſectionum generatio difficilis eſt, & in rebus pra- cticis, quibus Geometria potiſſimum inſervire de- bet, prorſus inutilis. Ideo veteres fe ad varias fi- gurarum in plano deſcriptiones mechanicas rece- perunt, & nos ad eorum exemplar conſtructiones æcedentes concinnavimus. Sunto conſtructiones illæ Mechanicæ: fic & conſtructiones per Cont ſectiones in plano (ut jam moris eſt) deſcriptas Me- chanicæ ſunt. Sunto conſtructiones * datas Coni ſectiones Geometricæ: ſic & conſtructiones per alias quaſcunque figuras datas Geometricæ ſunt, & ejuſdem ordinis cum conſtructionibus planorum Problematum. Nulla ratione præferendæ ſunt in Geometria Sectiones conicæ figuris aliis, niſi qua- tenus illæ à ſectione Coni, praxi ad ſolutionem pro- blematum prorſus inutili, derivantur. Verum ta- men ne conſtructiones per Conicas ſectiones omnino præteream, viſum fuit aliqua de his ſubjungere, in quibus etiam praxi manuali non incommodæ con- ſulatur. Conicarum ſectionum ſimpliciſſima eſt Ellipſis. Hzc notior eſt, & circulo magis afhnis, & praxi | manual} ELEMENT A. 315 manuali facilius deſcribitur in plano. Parabolam przferunt plerique ob ſimplicitatem æquationis per quam ea exprimitur. Verum hac ratione Parabo- la ipſo etiam circulo præferenda eſſet, contra quam fit. Falſa eſt igitur argumentatio à ſimplicitate ze uationum. Æquationum ſpeculationi nimium indulgent hodierni Geometræ. Harum ſimplicitas eſt conſiderationis Analyticæ. Nos in compoſi- tione verſamur, & compoſitioni leges dandæ non ſunt ex Analyſi. Manuducit Analyſis ad Compo- ſitionem: ſed Compoſitio non prius vera confit uam liberatur ab omni Analyſi. Infit compoſi- tioni vel minimum Analyſeos, & compoſitionem veram nondum aſſecutus es. Compoſitio in ſe perfecta eſt, & à mixtura ſpeculationum Analyti- carum abhorret. Pendet Figurarum ſimplicitas 3 ſimplicitate geneſeos & Idearum, & æquatio non eſt ſed deſcriptio (ſive Geometrica ſive Mechani- ca) qua figura generatur & redditur conceptu fa- cilis. Ellipſi igitur primum locum tribuentes, do- cebimus jam quomodo zquationes per ipſam con- ſtruere licet. Proponatur æquatio quævis cubica x* — pxx + qx +7, ubi p, 4 & datas terminorum æquatio- nis coefficientes cum ſignis ſuis & — ſignificant, & alteruter terminorum p & 4, vel etiam uterque deeſſe poteſt. Sic enim æquationum omnium cu- bicarum conſtructiones una illa operatione quæ ſe- quitur exhibebimus. | A puncto B in recta quavis data cape duas quaſ- cunque rectas BC, BE ad eaſdem partes; ut & in- ter ipſas mediam proportionalem BD. Et BC di- cta n, cape etiam in eadem recta BA 2. idque yerſus punctum C fi habeatur — . aliter ad paxtes | ton. 316 4LGE BRA contrarias. Ad punctum A erige perpendiculum A, inque eo cape AF æqualem p, FG æqualem AF, FI zqualem 25 & FH in ratione ad FI ut eſt BC ad BE. FH vero & FI capiendæ ſunt ad CE partes puncti F verſus C ſi termini p & yr habent eadem ſigna, aliter ad partes verſus A. Comple- antur parallelogramma IACK & HAEL, centro- que K, & intervallo KG deſcribatur circulus, Tum in linea HL capiatur ad utramvis partem puncti H longitudo HR, quz fit ad HE nt BD ad BE; Agatur GR ſecans EL in S, & movea- tur linea GRS — ejus R ſuper linea HL, & puncto 8 ſuper linea EL incedente, donec tertium ejus puuctum G deſcribendo Ellipſin, occurrar | eircula = a ms are; Saas Gate. ood 209% ELEMENTA 317 circulo, quemadmodum videre eſt in poſitione yer. Nam dimidium perpendiculi X ab occurſus illius puncto in rectam AE demiſh erit radix æqua- tionis. P.xeſt autem Regulæ GRS vel ver termi- nus G vel v. circulo in tot punctis occurrere quot ſunt poſſit ãles radices. Et è radicibus hz ſunt affirmativæ quz cadunt ad eas partes rectæ AE ad quas recta EI ducitur à puncto E, & illæ negativæ 2 cadun. ad contrarias partes lineæ AE, fi mo- o habeatur TY: & contra fi habeatur — x, Demonſtratur autem hæc conſtructio ſubſidio Lemmatum ſequentium. LEA. I. Poſitis quæ in ſuperiore conſtructi- one, eſt 2CAX-AXq=vXq—2AIXvX+2AG x FI. Namque ex natura circuli eſt Kyq — CXq, æ- uale quadrato ex yX AI. Sed eſt K,q zquale Gly Aq, & CXq zquale quadrato ex AX—AC hoc eſt æquale Ax q — 2CAX + Aq, atque adeo horum di fferentia Glq + 2CAX — AXꝗ, æquatur quadrato ex X Al, id eſt ipb X - 2AI x yX + Alg. Auferatur utrinque Glq, & manebunt æaqualia 2CAX — AX. & ,Xq—2AIX 4X +Alq — GI. Verum Alq (per prop. 4. lib. II. Elem. zquale eſt AGq 4-2 AGI + Gly, atque adeo Alg — Glq zquale eit AGq+2AGT, hoc eſt æquale 2AG in FAG þ GI, ſeu æquale 2AG x FI, & proinde 2zCAX — AX4q, zquale eſt XA 2Al X+X+2AGxFIl. Q. E. D- LI Mu. II. Pofitis quæ in ſuperiore conſtructi- | | F one, eſt EAX AXq zquale 12 XY — 25 AH. FH XXy +2AGXEL | 318 ALGEBRA Notum eſt enim quod punctum motu regulæ yer ſuperius aſſignato deſcribit Ellipſin cujus cen- trum eſt L, & axes duo cum rectis LE & LH coin- cidunt, quorum qui in LE zquatur 29g five 2 GR, & alter in LH æquatur 2% five 268. Et horum ratio ad invicem ea eſt quæ lineæ HR ad lineam HL, ſivæ linez BD ad lineam BE. Unde latus tranſverſum eſt ad latus redtum principale ut BE ad BC five ut FI ad FH. Quare cum T ordi- natim applicetur ad HL, erit ex natura Ellipſeos GSq — LTq æquale _ T. Eſt autem LT #- quale AE — AX, & Ty zquale X/ — AH. Scri- bantur horum quadrata pro ETq & T4, & fiet GSq—AEq+2EAX — AXq= hy in X/9q—2 AH Xy + AHq. Eſt autem GSq— AE zquale XIE ex GH +TLS, cos: quod Gs — tenuſa eſt trianguli rectanguli cujus latera ſunt ip- ſis AE & GH LS æqualia. Eſt & (ob ſimilia triangula RGH, RSL) LS ad GH ut LR ad HR, & componendo GH LS ad GH ut HL ad HR, & dupſicando rationes, quadratum ex GH + LS, eſt ad GHq ut HLq ad HRg, hoc eſt (per con- ſtructionem) ut BEꝗ ad BD4g, id eſt ut BE ad BC, ſeu Fl ad * adeoque quadratum ex GH + LS zquale eſt FE Hg. Eſt itaque GSq — AER. Fl FI quale PEN GH, atque adeo EA GHq + 2EAX 3 — Ax = 18 in XY — 2AH x Xy + AHq. Au- I ſeratur utrinque ff GHq, & reſtabit 2 EAX | | — AXq a Om ot Lond ELEMENT A. 319 — AXq= — in X- 2 AH XXI AHq-GHg. Eſt autem AH = AG + GH, adeoque AH? —AGq+2AGH + GHq, & ſubducto utrinque GHz reſtat AHq - GHq = AGq + 2AGH, hoc eſt —2AG in AG + GH, ſeu =2AGx FH, BY atque adeo eſt 2EAX Ax = Fr Xyq—2AH FI 2 FI XX» +2AG x FH id eſt FHN - AH XX, +2 AGxFI. Q, E. D. LEM. III. Iiſdem poſitis eſt AX ad Xy—=AG ut Xy ad 2BC. | Nam fi de æqualibus in Lemmate ſecundo ſub- ducantur æqualia in Lemmate primo, reſtabunt : HI 2Fl zqualia 2CE x AX & RH Xvq = FH AH x xv +2AIx Xy. Ducatur pars utraque in FH, & fiet 2FHx CE X AX æquale HI x Xyq—2FI x AH XXY +2AI Xx FH XXV. Eſt autem AI AH + HI, adeoque 2Fl x AH - 2FH x AL =2FI X AH — 2FHA— 2FHI. Sed 2FI XxX AH—-2FHA —=2AHI, & 2AHI—2FHI —= 2HI x AF. Ergo 2FIXAH —=2FHx AI =2HI x AF, adeoque 2FH xXx CEXAX=HIxXyq—2HIXAF x Xy. Et inde HI ad FH ut 2CE Xx AX ad X,q—-2AF XX. Sed per conſtructionem HI eſt ad FH ut CE ad BC, atque adeo ut 2 0E x AX ad 2BC XAX, & proinde 2BC x AX & Xyq —2AF XXV (per prop. 9. lib. V. Elem.) erunt æqualia. A-qualium vero rectangulorum proportionalia ſunt latera, AX ad X/ 2AF id eſt ad X/ — AG) ut XI ad 2BC, Q. E. D. | LIM. 320 ALGEBROA LEM. IV. liſdem poſitis, eſt 2FI ad AX Nam de æqualibus in Lemmate tertio, nimirum 2BC x AX = Xyq — 2AF xXx, ſubducantur æ- qualia in Lemmate primo, & reſtabunt zqualia —2ABXAX + AXq=2FIxX Xy —2AG x FI, hoc eſt AX in AX —=2AB —2Flin X, — AG, Aqualium vero rectangulorum proportionalia ſunt latera 2FI ad AX — 2AB ut AX ad Xy — AG, hoc eſt (per Lemma tertium) ut Xy ad 2BC. Q, E. D. Præſtratis his Lemmatibus, Conſtructio Proble- matis ſic tandem demonſtratur. Per Lemma quartum eſt X/ ad 2BC ut 2 Fl ad AX — z AB, hoc eſt (per prop. 1. lib. VI. Elem.) ut 2BC x 2FI ad 2BC x AX — 2 AB, ſeu ad 2BCXAX—2BC x2AB. Sed per Lemma ter- tium eſt AX ad X/y - 2AF ut X ad 2BC, ſeu 2BC X AX = Xyq — 2AF xXx, adeoque Xx eſt ad 2BC ut 2BC x zFI ad X-q—2AF x Xy — 2BCXx2AB. Er ductis extremis & mediis in fe, fit Xy cub. — 2AF xX-q—4BCxXAB x Xy — $BCq x FI. Addantur utrinque 2AF x X +4BCx AB NIX, & het X cub. = 2 AF Xx Xyq +4BCXAB XX, + * FI. Erat autem in conſtructione demonſtranda, 3 Xx radix æqua- tionis dicta x, nec non AF —p, BC = AB, & FI==, adeoque BC x AB =. Et BCg X FI =r. Quibus ſubſtitutis fiet & =px* x + 7. Q. E. D. Corol. E LEMENT A. 321 Corol. Hinc fi AF & AB ponantur nulla, per Lemma tertium & quartum fiet 2 FI ad AX ut AX ad X/ & X ad 2BC. Unde conſtat inven- tio duarum medie proportionalium inter datas qua- ſlibet FI & BC. Scholium. Hactenus æquationis cubicæ conſtru- ctionem per Ellipſin ſolummodo expoſui: ſed re- gula ſua natura generalior eſt, ſeſe ad omnes co- ni ſectiones indifferenter extendens. Nam fi lo- co Ellipſeos velis Hyperbolam adhiberi, cape li- neas BC, BE ad contrarias partes puncti B, dein puncta A, E, G, I, H, K. L & R determinentur ut ante, excepto tantum quod FH debet ſumi ad partes ipſius F contra I, & quod HR non in li- nea HL, ſed in linca Al ad utramque partem pun- cti H capi debet, & vice rectæ GRS duz aliz rectæ à puncto L ad puncta duo R & R hinc inde duci pro aſymptotis Hyperbolæ. Cum iſtis ita- que aſymptotis LR, LR deſcribe Hyperbolam per punctum G, ut & circulum centro K intervallo KG: & dimidia perpendiculorum ab eorum in- terſectionibus ad rectam AE demiſſorum erunt radices æquationis propoſitæ. Quæ omnia, fig- nis + & — probe mutatis, demonſtrantur ut rius. l Quod ſi Parabolam velis adhiberi, abibit pun- cum E fn infinitum, atque adeo nullibi capi- endum erit, & punctum H cum puncto F coinci- det, eritque Parabola circa axem HL cum latere recto principali BC per puncta G & A deſcribenda, ſito vertice ad partes puncti F ad quas punctum B ſitum eſt reſpectu puncti COC. | Sic ſunt conſtructiones per Parabolam, ſi ſim- plicitatem analyticam ſpectes, ſimpliciſſimæ om- nium. Eæ per Hyperbolam proximum locum ob- tinent, & ultimum locum tenent quæ per * abſol- 322 ALGEBRA abſolvuntur. Quod fi praxeos manualis in de- ſcribendis figuris ſpectetur ſimplicitas, mutandus eſt ordo. In hiſce autem conſtructionibus obſervandum venit quod proportione lateris recti principalis ad latus tranſverſum determinatur ſpecies Ellipſeos & Hyperbolæ, & proportio illa eadem eſt quæ linea- rum BC & BE, atque adeo aſſumi poteſt: Parabo- Iz vero ſpecies eſt unica quam artifex panendo BE in finite longam aſſequitur. Sic igitur penes arti- ficem eſt æquationem quamcunque cubicam per conicam ſectionem imperatæ ſpeciei conſtruere. A figuris autem ſpecie datis ad figuras magnitudine datas devenietur augendo vel . in ra- tione data lineas omnes quibus figuræ ſpecie da- bantur, atque ita æquationes omnes cubicas per datam quamvis Conicam ſectionem conſtruere li- cebit. Id quod fic plenius explico. Proponatur æquationem quamcunque cubi cam 33 = prep W r. ope datæ cujuſcunque ſectionis conicæ coanſtruere. A puncto quovis B in recta quavis infinita BCE, cape duas quaſcunq; longitudines BC, BE ad eaſdem 7 a A "S 208 /- partes {1 data Coni ſectio ſit Ellipſis, ad contrarias fi E L EME NT A 323 ſi ea fit Hyperbola. Sit autem BC ad B E ut da- tz ſectionis latus rectum priuc ale ad latus tranſ- verſum, & BC nominata N, cap: 3A 22. idque 7 verſus C fi habeatur — 4, aliter ad partes contra- rias. Ad punctum A erige perpendiculum AI, in- que eo cape AF æqualem ↄ & FG æqualem AF; xem FI æqualem 2. Capiatur vero Fl verſus G X 2 | ſi x {0 . 1 \ i 324 4 LGEBRN A ſi termini p & V habent eadem ſigna, aliter verſus A. Dein fac ut fit FH ad FI ut BC ad BE, & hanc FH cape à puncto F verſus I ſi ſectio fir Ellipfis, aut ad partes contrarias ſi ea ſit Hyper- bola. Porro compleantur parallelogramma JACK & HAEL, & hz omnes jam deſcriptz linez trans- ferantur ad datam ſectionem Conicam, aut quod rinde eſt, his ſuperponatur curva, ita ut axis ejus 2 tranſverſa diameter principalis conveniat cum recta LA, & centrum cum puncto L. His ita conſtitutis agatur recta KL ut & recta GL ſecans conicam ſectionem in g. In LK cape Lk quæ fit ad LK ut Lg ad LG, centroque k & intervallo kg deſcribe circulum. A punctis ubi hic ſecuerit curvam impoſitam demitte perpendicula ad lincam LH, cujuimodi fit „T. Denique verſus ,, cape TY quæ fit ad Ty ut LG ad Lg, & hæc TY produ ta ſecet rectam AB in X, eritque recta XY una ex radicibus æquationis. Sunt autem ra- dices a ffirmativæ quæ jacent ad partes rectæ AB ad quas recta EI jacet à puncto E, & negative quæ jacent ad contrarias partes ſi modo habeatur + x, & contra ſi — r obvenerit. | Hoc modo conſtruuntur æquationes cubicæ per Ellipſes & Hyperbolas datas : Quod ſi detur Parabo- la, capienda eſt BC æqualis lateri recto ipſius. Dein punctis A, E, G, I& K inventis ut ante, cen- tro K intervallo KG deſcribendus eſt circulus, & Parabola ita applicanda ad Schema jam de ſcriptum (aut Schema ad Parabolam) ut ipſa tranſeat per puncta A & G, & axis ejus ipſi AC parallelus per pun*tum E, cadente vertice ad partes puncti illius F ad quis punctum B cadit à puncto C. His ita conſtitutis. ſi perpendicula ab ejus occurſibus cum circulo demittantur ad lineam BC, eorum dimidia erunt radices æquationis conſtruendæ. Et ELEMENT A. 325 Et notes quod ubi ſecundus æquationis termi- nus deeſt, & latus rectum Parabolæ ponitur nume- rus binarius, hæc conſtructio evadet eadem cum illa quam Carteſius attulit in Geometria ſua, præ- terquam quod lineamenta hic ſunt illorum dupli- cia. Hzc eſt conſtructionum regula generalis. Ve- rum ubi problemata particularia proponuntur , conſulendum eſt conſtruftionum formulis ſim- pliciſſimis. Libera enim manct quantitas z, cu- jus aſſumptione conſtructio plerumque ſimplici- or reddi poteſt. Ejus rei exemplum unum ſub- jungo. Detur Ellipſis, & inter datas lineas a & & inveni- endæ ſint duæ mediæ proportionales. Sit earum 8 kx : prima x & 4. x. —. b erunt continue proportiona- 3 les, adeoque ab — =, ſeu x? —aab æquatio eſt quam conſtruere oportet. Hic deſunt termini p, & . & terminus r eſt aab, adeoque BA & AF nul- Iz ſunt, & Fl eſt 3 Ut terminus noviſſimus e- vadat ſimplicior aſſumatur » = a, & fiet FI b. Deinde conſtructio ita ſe habebir. A puncto quovis A in recta quavis intinita AE - cape AC—a, & ad eaſdem partes puncti A cape AE ad AC uteſt Ellipſeos latus rectum principale ad latus tranſverſum. Tum in perpendiculo Al cape Al =, & AH ad Al ut eſt AC ad AE. Compleantur parallelogramma ACK, HAEL. Jungantur LA, LK. Huic ſchemati imponatur Ellipſis data. Secet ea rectam AL in puncto g. Fiat Lk ad LK ut Lg ad LA. Centro & inter- yallo kg deſcribatur circulus ſecans Ellipſin in v. AQ U * : : . CE * . b — 5 o * 4 - . . 326 4LGEB RAA Ad AE demittatur perpendiculum X ſecans HL in T. & producatur id ad Y ut ſit TY ad Ty ſi- * 2 ©. 2700 . I Ee 1 8 4 ö de — : WT $ ”" ® os REIN = il ' | — — — 3 E cut TA ad Ty. Sic fiet XY prima duarum medie proportionalium x, Q. L. I. Met hodus ELEMENT 4. 327 Methodis Nova Accurata & facilis in- veniendi Radices Aiquationum qua- rumcunque generaliter, ſme præwia Reduftione. Per Edm. Halley, Geom. Prof. Savil. Edita in Actis Fhilotoph. No. 210. A. D. 1694.| A eſt Problemata Mathematica ad æquatio- nes Jn, eaſque terminis quantum fieri poſſit iſta manca quodammodo, nec ſatis Analytica we- rito videretur, niſi Methodi quædam ſub mint ra- rentur, quarum ope Radices, live Linez {ive Nu- meri ſint, ex jam inventis æquationibus elicere liceret, eoque nomine Problemata ſoluta dare. Veteribus ſane vix quicquam ſupra Quadrati- carum æquationum naturam innotuit; quæcun- que vero ſcripſere de Solidorum Problematum Ef- fectione Geometrica ope Parabolz, Ciſſoidis, ali- uſve Curvæ, particularia tantum ſunt, ac caſibus particularibus deſtinata; de Numerici vero Ex- tractione ubique altum ſilentium; ita ut quic- 2 in hoc genere jam calculo præſtamus, mo- dernorum inventis fere totum debetur. Ac primus quidem ingens ille Algebræ hodi- ernæ rcpertor ac reſtaurator Franciſcus Vieta, an- nis abhinc circiter centum, Methodum generalem aperuit pro educendis radicibus ex æquatione qua- libet; eamque ſub titu'o De Numerosa poteſta- tum ad Exegeſin Reſolutione publico donavit, 201 que ut ait obſervando retrogradam Compoſit:onis viam. Hujuſque Veſtigiis inſiſtentes Harriottus, | X 4 | Ort. Rtis Analytice precipuvs quid:m uſus impliciſſimis exhibere. Ars autem —_ 0 „ „„ 328 ALGEBROE Owghtredns aliique, tam noſtrates quam extranei, 12 de hac re ſcriptis mandarunt, i Viera eſumpta debent agnoſcere. Qualia vero in hoc negotio præſtiterit ſagaciſſima ingenii Newtoniani vis, ex contractiore Specimine a Clariſſimo Wal- liſio, Cap. xciv. Algebrz ſuz, edito, potius con- jecturà aſlequi quam pro certo comperiri licet. Ac dum obſtinata Authoris modeſtia amicorum precibus devicta cedat, inventaque hec ſua pul- cherrima in lucem promere dignetur, expectare cogimur. Nuper vero eximius ille juvenis D. Jaſephus Ralphſon, R. S. S. Analyſin A quationum Unver- ſalem Anno 1690. cvulgavit, ſuæque Methodi præ ſtantiam pluribus exemplis abunde illuſtravit; quo Genii Mathematici maxima quæque pollicen- tis nobile indicium prodidit. | Huius exemplo ac ductu (ut par eſt credere) D. de Lagney, haud vulgaris apud Pariſienſes Ma- thematum Profeſſor, idem argumentum agu re ſſus eſt; qui cum totus ſere ſit in eliciendis Poteſta- tum purarum radicibus, præſertim Cubica, pauca tantum eaque pei plexa nec ſatis demonſtrat: de affectarum radicum extract ione ſub ungit. Re- gulas autem binas compendioſas admodum pro approximatione radicis Cubicæ profert, alte- ram rationalem, alteram irrationalem; nempe | ab Cubi 444 +6 latus eſſe inter a + prog ac * 14⁴ + = Ä Radicem autem poteſtatis Quin- — — | 3 3 re a” +6 ſic exprimit 221.0 + * * 44˙＋ 28 (non za ut perperam legitur in libro Gallico im- \ N | 'F orefſſo) P r, JJ A welt i i RR RS ELEMENT A. 339 preſſo.) Has Regulas, cum nondum librum vide. ram, ab amico communicatas habui, quarum vi- res experimento edoctus, compendiumque admi- ratus, volui etiam Demonſtrationem inveſti Ea vero inventa ad Univerſalem A quationum omnium reſolutionem eandem methodum accom- modari poſſe ſtatim cognovi ; Eoque magis eas excolere ſtatui, quia uno intuitu rem totam Syn- optice explicari poſſe videbam, quodque hoc pa- cto ſingulis calculi reſtaurati vicibus ſaltem tri- plicarentur notæ ſive Ciphræ in radice jam in- ventæ, quæ quidem omnibus aliorum omnium computationibus non niſi part cum datis numero augentur. Demonſtrantur autem Regulæ prædictæ ex Ge- ne fi Cubi & Proteſtatis quintz. Poſito enim La- tere Cubi cujuſque 4 +e, Cubus inde conflatus fit aaa + 3aae + z aee + eee, adeoque fi ſuppona- tur aaa Numerus Cubus proxime minor dato quo- vis non Cubo, eee minor erit Unitate, ac reſidu- um five b æquabitur reliquis Cubi membris 3 aae + 3ace ＋ ece : rejectoque ece ob parvitatem, b —3aae + 3ace. Cumque aae multo majus fit quam ace, — non multum excedet ipſam e, po- b b ſitoque e 7 7055 057 0 pn ; | . . . 8 . ſi tur quantitas , „ Iinvenietur = Tas fy 340 We 34a — +b : hoc eſt - adeoque latus 10 Cubi 330 ALGEBRA Cubi 444 C habebitur a + 2 quæ eſt ip- fa formula rationis Di de Lagney. Quod fi aaa fuerit Numerus Cubus proxime major dato, La- tus * aaa — 6 pari ratiocinio invenietur r atque hæc Radicis Cubicæ ap- proximatio ſatis expedita ac facilis parum admo- dum fallit in defectu, cum ſcilicet e refiduum Radicis hoc pacto inventum paulo minus juſto ſit. Irrationalis vero formula etiam ex eodem fonte derivatur, viz. 6 — z aue + 3ace, ſive 75 de & ee; adeoque 944 — . = 74 + e, atque * 444 + 5 +24 Sa e, five Radici quæſitæ. | Latus vero Cubi 444 — eodem modo habcbitur 124 +V 444 — 15 Atque hæc quidem formula aliquanto propius ad ſcopum collimat, in exceſſu peccans ſicut altera in defectu, ac ad praxin ma- gis commoda videtur, cum reſtitutio Calculi ni- hil alĩiud fit quam continua additio vel ſubductio g eee : ipſius ws fecundum ac quantitas e innoteſcat ; þ eee ita ut potius ſcribendum ſit V4 444 + * ＋ 12 in priori caſu, ac in poſteriori 34 + * 1. Utraque autem formula Ciphræ jam cognitz in Radice extrahendi ad minimum triplicantur, quod quidem ELEMENTA. 331 quidem Arithmeticz ſtudiofis omnibus fore confido, atque ipſe Inventori abunde gratulor. Ut autem harum regularum utilitas melius ſen- tiatur, exemplum unum vel alterum adjungere placuit. Quæratur Latus Cubi dupli, five 444 412. Hic 4 =1 atque 51. adeoque : ＋ Vin five 1, 26 invenietur Latus prope ve- rum. Cubus autem ex 1,26 eſt 2,0003 76, adeo- „000376 que 0,63 + \/ »3969 1 ſive 0,63 + +, 3968005291005291 = I,259921049895 — ; quod quidem tredecim figuris Latus Cubi dupli exhibet, nullo fete negotio, viz. uni Diviſione & Lateris Quadrati extractione, ubi vulgari ope- randi modo quantum deſudaſſet Arithmeticus no- runt experti. Hunc etiam calculum quouſque velis continuare licet, augendo quadratum addi- tione = Quæ quidem correftio hoc in caſu non niſi unitatis in Radicis figuri decima-quart3 augmentum affert. Exemp. II. Quzratur Latus Cubi æqualis men- ſuræ Anglice Gallon dictæ, uncias ſolidas 23 1 con- tinentis. Cubus proxime minor eſt 216 cujus La- tus 6 a, ac reſiduum 15 , adeoque pro pri- ma approximatione provenit 3 NOA = Ra. dici. Cumque 49,8333... fit 3,1358... pa- tet 6, 1358 g e. Supponatur jam 6, 13 358 , & habebimus Cubum ejus 231, o008 53894712. ac juxta regulam 3, 67 + v 941201041 —,ooo853894712 æquatur accu- 18,4974 ratiſſime 332 4 LG E RA ratiſſime Lateri Cubi dati, id quod intra horz ſpatium calculo obtinui 6. 13 579243566 195897, in octodecima figura juſtum, at deficiens in de- cima nona. Hæc vero formula merito præferenda eſt rationali, ob ingentem diviſorem, non ſine magno labore tractandum; cum Lateris quadrati extractio multo facilius procedat, ut experientia multiplex me docuit. Regula autem pro Radice Surſolidi Puri ſive poteſtatis quintæ paulo altioris indaginis eſt, at- ue etiam adhuc multo perfectius rem præſtat: atas enim in Radice Ciphras ad minimum quin- tuplicat, neque etiam multi nec operoſi eſt Cal- culi. Author autem nullibi inveniendi metho- dum ejuſve demonſtrationem concedit, etiamſi maxime deſiderari videatur: præſertim cum in Libro impreſſo non recte ſe habeat; id quod im- peritos facile illudere poſſit. Poteſtas autem Quinta Lateris a +e conficitur ex his membris 4 ＋ 5afe lo ee + foa eee + 34e þ ef — 4 +6, unde b — 5afe + 10 ee + 1a ＋ 5e, | b rejecto e* ob parvitatem ſuam : quo circa I a*e + 24*e* ＋ 2e e, atque ntrinque addendo 440 habebimus 944444 14. = Nie + + 24%? ＋ 24e þet 244 + ae + ee. Dein utrinque ſubducendo 4344, 14 +e Zquabitur 22 +\/ A +2, —$44= radici poteſtatis 4 +6b. Quod ſi fuiſſet 4 , (aſſumpta 4 juſto ELEMENT A. 333 juſto majore, ) regula fic ſe haberet, 144. b 9 —- 4 Atque hæc regula mirum in modum approxi- mat, ut vix reſtitutione opus ſit; at dum hæc mecum penſitavi, incidi in formularum methodum quandam generalem pro quavis poteſtate ſatis con- cinnam, quamque celare nequeo; cum etiam in ſuperioribus poteſtatibus datas radicis figuras triplicare valeant. Hæ autem formulz ita ſe habent tam rationa- les quam irrationales. VA +b=y/aa+bvela + 244 + 5b — b 54 +b =4a +\/ taa+ A vel a + 55 v*a* +b =44+ Vas += vel a+, 4 þ+b =ia + V tat +55 144575 af . e VI += 1 ＋ 6 8 Et ſic de cæteris etiam adhuc ſuperioribus. Quod ſi aſſumeretur a radice quæſita major; (quod cum fructu fit quoties Poteſtas reſolvenda multo pro- pior ſit poteſtati Numeri integri proxime majo- ris quam proxime minoris,) mutatis mutandis ex- dem radicum expreſſiones proveniunt. 24 iz, ALGEBRA - V -N I ve 2 — 244 —i6 y *aaa—b—5a + Via 2 vel 2 — — - = —6 ab 54? — 2 N- NV vel a — | b a _— —_ E Ef b=b+\ hm TT Atque inter hos duos terminos ſemper conſiſtit vera Radix, aliquanto Jus irrationali quam rationali ; e vero juxta formulam irrationalem in- venta, ſemper peccat in exceſſu, ſicut in defectu 2 rationali formula reſultans Quotus ; adeoque 11 ſuerit + b, 1rrationalis majorem juſto exhibet ra- dicem, rationalis minorem. E contrario vero fi fuerit — 6. Atque hæc de eliciendis radicibus E Poteſtatibus puris dicta ſunto, quæ quidem, ad uſus ordinarios ſafficientes multo ſacilius haben- tur ope Logarithmorum: quoties vero ultra Ta- bularum Logarithmicarum vires accurati ſſime de- finienda eſt radix, ad hujuſmodi methodos neceſ- ſario recurrendum eſt. Præterea cum ex harum formularum inventione ac contemplatione, Uni- verſalis Regula pro æquationibus affectis (quam non ſine frutu Geometriæ ac Algebræ ſtudioſis omnibus uſurpandam confido) mihi ipſi oblata lit, volui ipſius inventi primordia qua poſſim cla- ritate aperire. qua- „ „ 6 rn do tg E ELEMENTA 335 A.quationum quidem affectarum Quadrato- quadratum non excedentium Conſtructionem Ge- neralem concinnam admodum ac facilem, Num. 188. harum 7ranſact. jam tum inventam publici juris feci: ex quo ingens cupido animum inceſſit, idem Numeris efficiendi. Atque brevi poſt D- Ralphſon magna ex parte voto fatisfeciſle viſus eſt, uſque dum D- de Lagney etiam adhuc compen- dioſius rem peragi poſſe hoc ſuo libello mihi ſug- geſſit. Methodus autem noſtra hæc eſt. Supponatur Radix cujuſvis æquationis z com- poſita ex partibus 4 + vel —e, quarum à ex hy- potheſi aſſumatur ipſi ⁊ quantum fieri poſſit pro- pinqua, (quod tamen commodum eſt, non ne- ceſſarium) & ex quantitate 4 + vel — e formen- tur Poteſtates omnes ipſius ⁊ in Æquatione in- ventæ, iiſque affigantur Numeri Coefficientes re- ſpective: deinde Poteſtas Reſolvenda ſubducatur © ſumma partium datarum in prima columna, ubi e non reperitur, quam Homogeneum Comparatio- nis vocant, ſitque differentia Tb, Dein habea- tur ſumma omnium coefficientium ipſius lateris e in ſecunda Columna, quæ fit :; denique in tertia addantur omnes coe fficientes quadrati ee, quarum ſummam vocemus :: Ac radix quæſita z, formula i : b rationali habebitur =4 + vel — 28 8 Ir- : RS xz * 74 _— b id rationali vero fiet 2 4 + ow, SE” t, id quod F exemplis illuſtrare fartaſſe operæ pretium erit. Inſtrumenti vero loco adſit Tabella, Poteſtatum omnium ipſius 4 4+ vel — e Geneſin exhibens, que {i opus fuerit continuari facile poſſit. A ſeptima vero incipiam, cum pauca Problemata eo- uſque : 8 . — AO 3235 . 2 158 N 88 oo Y 28 38 263822 * 238 =] 1. G ella » 18 5 15 56 + 7let t Poteflat E t Þ 342 bs has + e + um. 25 N ha 6 þ 21% ee ” | a 4 8 7 8 9 +1 5ha? + 35la* Ys tht 2} ga” + e+1 ee + e * 8 4 2 7454 e 1 525 28 & 2214 r Eine + 214 S8 . =c4 1 7 ee + 4ga © + 5ha 447 Gha e 1 : Ki ce ec 1 2 * 2% 4E 5.2. 5 5 48 8 N ELEMENT A. 337 Quod fi fuerit 4 —e —2, ex iifdem membris conficitur Tabella, negatis ſolummodo imparibus Poteſtatibus ipſius e, ut e, e*, ef, e” : & afhrma- tis paribus e, e*, . Sitque Summa Coefficien- tium lateris e ; Summa Coefhcientium Qua- drati ce t; Cubi ; Biquadrati - ; Sur- ſolidi ef ; Summa vero coefficientium Cubo- cubi = &c. | Cum autem ſupponatur e exi tantum ' par radicis — — * — ipſius e 1 to minores evadunt ſimilibus ipfius 4 Poteſtatibus, adeoque pro prima Hypotheſi rejiciantur ſuperio- res, (ut in poteſtatibus puris oſtenſum eſt) ac for- mata æquatione nova, ſubſtituendo 4 Te = ha- bebimus ut diximus + b — Ti + tee. Cujus rei cape exempla ſequentia, quo melius intelli- gatur. Exemp. I. Proponatur æquatio z2*— 322 + 752 = 10000. Pro prima Hypotheſi ponatur 4 — 10, ac conſequenter prodibit zquatio, T & 44 + 6a*ce 4% + of Adi = — da* dae dee +3 =-+ c4 ce =-þ 10000 40008 + Soore 40 + &* — 30 6oe — zee + 730 73 — 10c00 | — — + 40-401 j. T 359040 2% TY 8 Y Signis 338 ALGEBROA Signis + ac - (reſpeftu e ac e*) in dubio re- lictis, uſque dum ſciatur an e ſit negativa vel af. firmativa; Quod quidem aliquam parit difficul. tatem, cum in æquationibus plures radices admit- tentibus, ſæpe augeantur Homogenea Comparatio- nis, ut appellant, à minuta quantitate 4, ac è con- tra ea aucta minuantur. Determinatur autem ſig- num ipſius e ex ſigno quantitatis b; ſublata enim Reſolvenda ex Homogeneo ab a formato, ſignum ipſius te, ac proinde partium in ejus compoſitione przvalentium, ſemper contrarium erit ſigno dif- ferentix 6, Unde patebit an fuerit —e vel +, ſive an 4 major vel minor radice vera aſſumpta 2— 9d bt, t quoties b act eodem figno notantur ; quo- ties vero diverſo ſigno connectuntur, cadem + ir. Ipſa autem e ſemper æquatur Ls ＋ 6 — 15 fit — . Poſtquam vero compertum lit fore — e, in affirmatis æquationis membris ne- entur e, e, e, Cc. in negatis affirmentur; ſcri- bantur ſcilicet ſigno contrario; ſi vero fuerit -þ e, affirmentur in affirmatis, negentur in negatis. Ha- bemus autem in hoc noſtro exemplo 10450 loco Reſolvendæ 10000, five = = +450, unde con- flat a majorem juſto aſſumptam, ac proinde haberi —e: Hinc æquatio fit 10450 4015 + 597ee — 40e + & — 10000. Hoc elt 450 — 401 fe + 597ee o. Adeoque 450 = 401 5e— 597ee live $5 —4y/ $55 — br. b —5e tee cujus Radix e fit = ny” 8 : ' Vel ſi mavis 2 8 —7 id eſt, in præſenti caſu, 42 ELEMENT A. 339 e = 20073 —4y/ 37614067 597 quæſita prope verum, 9,886. Hoc vero pro ſe cunda Hypotheſi ſubſtituto, emergit a Te == accuratiſſime 9,8862603936495...., in ultima figura vix binario juſtum ſuperans; nempe cum x Þy = —— 3 * Atque hoc etiam ſi opus ſuerit, multo ulterius verificari poſſit, ſubd u z þ 2+ | zue — Te* —— ſi fuerit + e, vel addendo v 355 + tb 4435s -- tb radici prius inventz, fi fit —e. Cujus compen- dium eo pluris æſtimandum quod quando que, ex ſola prima ſuppoſitione, ſemper vero ex (ecunda, iiſdem conſervatis coe fficientibus quouſque velis calculum continuare poſſis. Ca terum æquatio prædicta etiam negativam habet radicem, v.. : = 10, 26...., quam cuilibet accuratius exp.icart icet. » unde provenit Radix Exemp. II. Sit 2 — 19zz + 54z =350 ac ponatur 4—=10. Ex præſcripto Regulæ, x = aaa ＋ z; aae + zee T eee AE daa 2 dae — dee +cz S c 446. : b s e Id eſt -þ- 1000 ＋ 300e ＋ z oe þ cee — 1700 — 340e — 1 7ee + $49 + 546 PEP — — Sive — 1104 4e + 13ee A cee . 1 2 Cum 340 ALGEBRA Cum autem habeatur — 510, conſtat 4 minorem juſto aſſumi, ac proinde e afhrmativam eſſe, ac 41 ex 510 4e + Izee fit A ass 2. unde z fit 15,7... quæ nimia quidem eſt ob late ſumptam 4; ideo ſupponatur ſecundo 4 2 iy, ac parti ratiocinio habebimus 1 — 495 — 2 1093 =v 117104 he ow: t | 28 | inde 2 = 14,954068. Quod ſi calculum adhuc tertio reſtaurare velis, uſque in vigeſimam quin- tam figuram vero conformem invenies radicem: Paucioribus vero contentus, ſcribendo 20 T reee loco th, vel ſubtrahendo aut addendo radici prius = zeee kts a ad ſcopum ſtatim pervenies. 9 22 Inventæ Aquatio vero propoſita nulla alia radice explicari poteſt, quia Poteſtas Reſolvenda 350 major eſl Cubo ex +, vel 34d. | Exemp. III. Sit Æquatio illa quam in Reſo- lutione diffficillimi Problematis Arithmetici adhi- bet Clariſſimus Malliſius, Cap. LXII. Algebræ ſuæ, quo radicem Vietæ Methodo accuratiſſime 8 eſt: Eandemque exemplum Me- thodi ſuæ affert laudatus D- Ralphſon, pag. 25, 26. nempe 2* — 80 + 1998z* — 14937 + 5000 So. Hzc autem zquatio ejus formulz eſt, ut plures habeat radices A fhrmativas, ac quod diffi- cultatem ejus augeat, prægrandes ſunt Coefficientes reſpectu Reſolvendæ datæ: Quo melius autem tractetur, dividatur, ac juxta notas punctationum Hane ag Sri og banc wee and gs regulas i ( | ELEMENTA. 34 Nr oy (u eſt e in zquatione propoſita) ac pro prima Hypotheſi habeamus «= 1. Proinde +2—50—30 + 46 e, _ Hoc eſt 14—=$5e + 2ee; hinc r v3 2 adeoque ⁊ 1,27: Unde con- ſtat 12,7 . eſſe æquationis propoſitæ vers vicinam. Secundo loco ſupponatur z — 12,7 ac juxta M TROL 3 — —e fit — * 25343 ge-. ＋163670,640 +38709,60e-+3048 eg-+80 22 —$0749.2 — 1998 +1896999 +14937 * an — + 298,6559— 52961326 82,26e6-þ-29,20z—2,==0, Adeoque —298,6559 =— 5296,132e + $2, 26e, J ws 25 — 4 455 —be cujus radix e juxta regulam . fit x 2648, 066 — v/ 6987686, 106022 82,26 250564408033 1. oy =0 minori vero: Ut au- RI FR zue — 30 FOE ,Q026201..... Sur. . | 26433423. 0200006 fir ,coooogg117 , ac e correcta =05 644179448 ; Quod fi adbuc — fi- guras deſideras, farmetur ex e correQa ewe? — te+ DP) Prop an; = an as" o, 43 105602423. act v3 2 - — live 2648,066 — / 6987685,67496597577-+-. r Y 3 =,056 342 ALGEBROGE: = SIC IO 4402 ge, unde 42 4e == 2 radix accuratiſſima fit 12,5644 179448074402. qualem invenit Cl. Valliſius in loco citato. Ubi obſervandum redintegrationem calculi ſemper tri- plicare noms veras * aflumpta a, quas prima cor- rectio five — — quintuplices reddit, quæ- que etiam commode per Logarithmos efficitur. Altera autem correctio poſt primam, etiam du- plum Ciphrarum numerum adjungit, ut omnino aſſumptas ſeptuplicet; prima tamen plerumque uſibus Arithmetices abunde ſufficit. Quæ vero dicta ſunt de numero ciphrarum in radice recte aſſumptarum, ita intelligi velim, ut cum 4 non niſi decima parte diſtet à vera radice, prima fi- gura recte aſſumatur; fi intra cente ſimam partem, uz primæ: Si intra mille ſimam tres priores rite ſe habeant; quæ deinde juxta noſtram regulam tractatæ ſtatim novem evadunt. Reſtat jam ut nonnulla adjiciam de noſtra for- TEN 40 ; 3 mula rationali, viz. e=— 79 quæ quidem ſatis expedita videbitur, nec multum cedit priori, cum etiam datas ciphras 1 valeat. Formata autem æquatione ex 4 Te, ut prius, ſtatim tebit an 4 aſſumpta fit major vel minor vero, cum ſcilicet g ſigno ſemper notari debeat contra- rio ſigno differentiz Reſolvendæ ac Homogenei | fuiex @produtti, Deinde pofieo quod | „ + vel —tee—=0; diviſor fit 55 —7b quoties & ac rt 1tiſdem ſignis notantur; idem vero fit 5s ＋ br, ñ ſigna iſta diverſa ſint. Praxi autem magis ac- | commodata ELEMENT A. 343 commodata videtur, fi ſcriberetur Theorema , ==, 1 * cum una multiplicatione ac 3 duabus di vi ſionibus res peragatur, quæ tres mul- tiplicationes ac unam diviſionem alias requireret. Hujus etiam Methodi exemplum capiamus A prædictæ AÆquationis radice 12,7... : ubi 298,6559—5296,132e+ 82, 28 e 29, ze —e*—0, +# —ͤ—o.!:᷑ ＋ + * adeoque = th =* hoc eſt, fiat ur s ad t ita b 9 ad $296, z2) 298,6559 in $2,26(4,63$75... quocirca diviſor fit == = 1291,43 298,6559(0,056441 .....=e, viz. quinque fi- guris veris adjectis radici aſſumptæ. Corrigi autem nequit hæc formula ſicut præſens irrationalis ; adeoque ſi plures deſiderentur radicis figuræ, præ- ſtat aſſumpta nova Hypotheſi calculum de integro repetere: ac novus Quotus triplicando figuras in radice cognitas ſupputatori etiam maxime ſcru- puloſo abunde fatisfaciet.