I universit' OIPARTMENTO Ot MATEMATICA *6. CASTELNUOVO” BIBUOTECA 01-1 FONDO ANTICO X^'Oo 5 c M UNIVERSITA' 01 ROMA TA SAPIENZA' Digilized by /r yV// Digitized by Googie 1 ( I ninMzari hvOnnnlfl^ COMMERCIUM EPISTOLICUM ' j'iy D.pHANNISCOLLINS, 0 ET ALIORUM ^ ' (>V^ - AN A°LYS I PROMOTA: JUSSU SOCIETATIS REGI^ ,In lucem editum. L 0 N D I N I : Typis Pearsonianis, AnnoMDCCXII. los-Ken.C- Digitized by Google A D LECTOREM. Q 'DAM ob cdafam edJt£ fint hx Ef ifloU CbtrtuUque coU tellanex, aff arebit ex Literis D. Leibnitii & D. Keillii in fine fubjunifis. Offenfionem attulerant D. Leiboicio ___ nonnulldy qux fcrifto prodidit D. Keillius in Altis Londi* ncnfibus anno iyo2, iujur/am D.Newtono oblatam propulfans, Datis igitur ad Societatis Regalis Secretarium tiUriSy de calumnia quejlus D. Lelbnitius, remedium a Societate petiit ; idque eos xquum crediddt judicaturos, ut D. Keillius culpam Juam publice fateretur. D. Kcil- lio ea e(l pars vifa potior, ut ad illa, qu£ queflus erat D. Leib- nitius, literis fcriptis rejponderet : Quibus in literis qax antea edide- rat & expofuit plenius & vindicavit. D. Lcibgitius nequaquam his. fatis fibt facium arbitratus. Uteros alteras ad Societatem dedit ; in qui- b-ts adhuc de D. Keillio queflus, novum eum hominem pa- rumquc peritum rerum antea^arum cognitorem, nec mandatum ab eo, cujus interelTet, liabentem ; Socutatifq\^si^mxi committit, annon coercendx fint vans & iniuftx vociferationes. Verfabatur />> Anglia D. Leibnitius ineunte anno \6q\, iterumq\ menfe Octobri 1676 ; & interjello iUt temporis intervsJlo in Gallia. egit. Quo omni temporis fpatio, mutuis acceptis datifq; literis, commer- cium habuit cum D. Oldenburgo, &, Oldenburgi opera, cum D.Col- linio itidem, & nonnunquam etiam cum D. Newtono. Quid autem ille ex Anglis tandem, vel tum cum Londini fj/r/, vel ex literis ifiis mutue datis, edidicerit, in eo fere vertitur hoc omnis quoflio. D. 01- denburgus&T Collinius jam diu obierunt •, D. Ncwtonus autem tum Cantabrigi® ; parumq, amplius novit, quam quod ex literis ipfus a D. Wallifio ^inceps editis apparet. D. Newtonus neque a D. Keillii partibusTeflis ejfe potefl, nec D.Lcihaitiusipfe a fuis : Alius autem in vivis Tejlis ejl nullus. Societas it aq\ Regalis, o D. Leiboitio bis ad- verfus Digitized by Google t De hac Methodo ex Methodis Serierum & Fluentium compofi- la fcriplit infra Hcvtt- »<“. P»g- »4. JJ, i«. 3°. 55i $6, 71, 8t, 85. Ad ledorem. vrrfm tx SorretJite xriitTornm ttnfejjim ccn(lunity qui Uteros Uterarumque tronferiptornm libellos, aiiojqae chartuUis a D.Oldcnburgo pems SocJeUtem relUfas, dr fiquid inter D. Collinii fchedas repertum huc faceret, perfcrutaresitur, Sententiamq\ futm ad Societatem referrent : ]u]jitq\ tandem ut Sententia illa a fleUio- rttm arlntrortpn eonfefii relata, trua cum ipfs iiterarum tliarumque chartularum excerptis, emitteretur. Cum D. New‘lonU6 Aualjftn ifam feripto traderet, qua fub initi- um horum CoHecl aneor um impreffa' efi, habuit jam tum Methodum generalem aquationes finitos in infrntos refihendt, sjr aquationes tum finitas tum infinitos applicandi ad Problemata folvendo, npe proportionum Augmentorum momentaneorum ^antitatrm nafeentium & augefeentium. Aug» menta hac app.llat D.Newtonus Particulas & Momenta’, D. Leib- nictus autem Jnfimtefhnales, htdrvifibiles & Differentias. Quantita- tes aagefcentts appellat D. Newtonus fluentes ; D. Leibnitius au- tem Stemmas. Et •velocitates augmenti appellat D. Newtonus Fluxio- nes ; ijlajqi fluxiones exponit per quantitatum fluentium momenta. Qua pars hujus ^kthodi in eo fit a eft ut aquationes finita in infi- nitas refolvantur, ejm ctm D. Leibnitio, rogatu fuo, communicavit D. Newtonus, literis ad illum datis Junii l^.& Oftobiis 14. 1676. Reliquam hujus Methodi partem, pofiquam eoufp attigerat ut eam fatis * obviam fallam exifiimaret ne ftbi dein- J;^** ***^ ceps fubriperetur 'priufquam eam exponere vifum foret, li- teris occultis ita-cilavtt, quomodo Galiixus atque Hugenius fece- rant. Hujus pofierioris partis inventionem ftbi vendicat D. Leibni- tiiis: D. Kelllius r.fw £). Ncwtono ; Keillioq; fuffra- />atar Sententia feldlorum e Societate arbitrorum con/effus. Alios ta- men Exteros, qui methodum iflam aD.\^^\hf\\i\Q acceperint aut aliter obtinuerint, nthil quidquam in hisColleclaneis efi quod ullo pallo afficiat. HU, quid inter D. Leibnitium & D. Oldenburgum commercii ejjet, ig. norabant. Hlis,qu'bd Methodum, quam uttlem effe eompererant, in rem fuam adhibuerint atq\ excoluerint ; id vero laudi efi dandum. Subjunlla Junt Epifiolis Annotationes quadam ; quo Leliores, qui- bus minsss -efi otii, & Epifiolas inter Je facilius conferre, d- Jemel jrerlellas intelligere queant. • Commer- Digitized by Googl D.JOHANNIS COLLINS, ET ALIORUM De Analyfi promota : JUSSU SOCIETATIS REGIiE In lucem editum. Excerpta ex EpifloU reverendi viri . D, Ifaaci Barrow ad D. J. Collins, Cantabrigis 20 Julii 1669 datd, cujua habetur Au* tographon. A M I C U S quidam apud nos commorans, qui eximio in his ■ /\ rebus pollet ingenio, nudiuflertius chartas quafdam mihi tradidit, in quibus Magnitudinum dimenfiones fupputandi ■ jC JL MethodoSjAf^rcjfcrwmethodo proHyperbola fimiles,maxirT7e vero Generales, defcripfit, limulque TEquationes refolvendi, quae, ui opinor, tibi placebunt, quas una cum proximis literis ad te mittam. * A Friend of mine hercj that hath an excellent Genius to tbefe Things, broupht ine the other Day forne Papers, wherein he hath fet down Methods of calculatmg the Dimenfions of Magnitudes, like that Of }Ar. Mercator fbr 'thc Hyperboia, but very general, as alfo of Refolving Equations, which 1 fuppolc will plcale you, and 1 ihali fend them by the nexe. B Ex Digitized by Googie JSx JM*i‘ ,l66-^ d*t4t f^ri^tique ipfius Barrovii rmnu /cripu. * Mitto quas pollicitus eram Amici chartas, qui uti fpero haud pa- rum te obkftahunt. Remittas, quifo, quum eas quantum tibi vifum fuerit perlegeris j id enim poftulavit Amicus meus, cum primum eum rogavi, ut eas tecum communicare mihi liceret. Quantocyus igitur, oblecto, te eas rccepiffe fac me certiorem,^ quod illis metuo, quippe qui eas per Veredarium publicum ad te mittere non dubitaverim, quo tibi motem gererem quam citiflime. ’ I fend you the Papersof my Friend I promis’d, which I prefume will give you n«li SatijfatUofV: i pray, Iuivin| perufed them Ib mUcI» as you flynlt goyj, ri^ mtiij them to me, according to hisdefire, when I ask’dliim tbe rheufto you j I pray glve me notlceof yom' receivm^ them, wlth your^lboncft Conveiiience, that I may be latisfied of their Reception j bccaufc I atii afra!d of them, venturing them by the Poft, that I nlay not longer delay to corrcfpond with your delire. £x Epijlola ejufdem ad eundem^ zo Augufti 1669 datay tujits etiam comparet Autographo». Amici chartas tibi placuifle gaudeo-, eft illi nomen Nevtoniu^ Collegii noftri Socius, 8c juvenis, ( fecundus enim, ex quo Artium Maginri gradum cepit, jam agitur annus,) et qui, eximio quo eft acu- mine, permagnos in hac re progreffus fecit. Illas, fi vis, cum Nobili Domino Vicecomite Bromhro communica. ** I am glad my Frlend’s Paper glves you fo much SatisfafHon ; his Name is Mr. Ntwtin, a Fellow of our College, and very young, ( being but the lecond Year Mafter of Arts,) but of an extraordinary Genius and Proficiency in thefe Things ; you may impart the Papers, if you pWc, to my Lord Srtimkcr. Exem- Digitized by Googie 'ExmpUr di5t*rum (htrt/trumy mMu D. Colllns exdratum & i» jcriniis ejtts repertum^ quod cum ipjius D. NewtonT Autographo col- latum id verhum confcMtire invenimus. Hujus autem titulus efi DE ANALYSI PER '.E Q.U ATIO NES NUMERO TERMINORUM INFINITAS. MEthodum gener altm, ' quam de Curvarum quantitate per Infi- nitam terminorum Seriem menfuranda, olim excogitaveram^ in fequentihus breviter explicatam potius quam adcurate demonjlratam hibes. , ' .j [ A S I Curvs alicujus ^D, fit Applicata BD pCTpendiciilaris : Et vocetur AB = x, BD =y,- Sc--' =■ fint a, b, c, 8cc, Quantitates datat, &Lmj Uy Numeii- IntegrL I^dc, . Curvarum Simplicium Quadratura. REG. I. Si''ax^ '=ij ; erii^J^ = Area ABD. '■ 'Res Exempto 'paiehH': ‘ 1. Si X» (= = jf, hoceft, a=i=>s = a j Erit fx» = ABD. 2. Si i^x (= 4x^) = ; i Erit (= =.. ABD. 5. Si ^xs (s= x^‘) = y 1 Erit (r? ARD, ^ ^ . 4. Si n (= *■") = id eft, fi q = i = tim — 2 , , Erit(.4^"T = )— x-‘(=-i)=«BD, | \ infinite verfus * protenfic, quam Calculas j \ ponit negativam, propterea quod jacet ex ’ altera parte Lineat BD. ' '! ■ •’* ' ' 5. Si (=x-T) Erit(.4#‘^=)^ =: BD<. . • ■ 1 I- c: 6. Si j- ( = x'0 =y i Erit = 4^» - jv jv . 4.X1 =4-= Infioitat, quilis eft AiuHypeibolzex utiaque pme Linea: BD. Com- Compofitarum Curvarum Quadratura ex Simplicibus. R E G. II. Si vdlor ipfius y ex flttrihus ifliufmodi Terminis componitur^ Ares etism compofsetur ex Areis qas a Jingulu Terminis emsnant. Exempla Trima Si x> + = ji i Erit fx» + 1*^ = ABD. ^ Etenim fi femper fit x*=BF, etx5=FD, erit, ex pratcedente Regula, -f*' = fuperficiei AFB defcripta per Lineam BF, et -JxF = AFD defcriptjc per DF j Quare -|x*+t^^=P toti ABD. Sic fi X» — Erit yXJ—|xT= ABD. Et fi ?x — 2x» -F x’ — jx^ =y i Erit |x* — -j-xJ + ^x4 — x» = ABD. Exempla Secunda. , . . 1 ^ ^ ^ _ i * • ' ... - Si x-H*~ ’■ = J > Erit — x-« — 2x“t = *BD. Vel fi x-» — x~^ = y. Erit x"‘ + 2x“t = «BD. ' Quarum figna fi mutaveris habebis Affirma- tivum valorem (x“* ■^-'ax''’^' verx“* —Sx t) fuperficiei *BD, modo tota cadat fupra bafim AB*. Sin aliqua pars cadat infra (quod fit cum Curva decuflat fuam Bafin inter B et ut hic vides in /, ) ifta parte a parte fuperiori fubdu£la, habebis valo- a| rem Differenti* : Earum vero Summam fi cupis, quxre utramque Superficiem feor- fim, et adde, (^od idem in reliquis hujus Regulx exemplis notandum volo. . I I Exempla Digitized by Googlc Exempla Tertia. Si j(» 4: X-» ==^ i Erit ix3 — *-■ = Superficiei defcriptat. Sed hic notandum eft, quod diftac Superficiei panes Cc inventa: jacent ex diverfo latere Lineat BD. Nempe, pofito x» = BF, 8c**** = FDj Erit |xJ = ABF Superficiei per BE deferip- tij 8£ x-‘ = DF* Superficiei deferiptx per DF. -Et hoc fempet accidit «um Indices ( ^ ) rationum Bafis x in valore Superficiei Quxfitat, fint variis fignis affe£li. In hujufmodi Cafibus, pars aliqua Superficiei media (qua: fola dari poterit, cura Super- ficies fit utrinque infinita) fic invenitur. Subtrahe Superficiem ad minorem Bafin A/s pertinentem, a Superficie ad majorem Bafin AB pertinente, & habebis /sBDj' Superficiem diflferentix Bafium infiftentem. sic in hoc Exemplo. Si AB = 2, K A/3 = I ; Erit ^BDj> = V ' Etenim Superficies ad AB pertinens (viz. ABF — DF«) erit -f — i fiveV •, et Superficies ad A/S pertinens (viz. A?^ — «f'?*) erit 4- — i, five — -j- : et earum differentia ( viz. ABF — DF<» — Af>^ + reperia- tur,ifte Terminus (cum Hyperbolicam fuperfi- ciem generat) feorfim a reliquis confideran- dus eff. Ut fi x> -V X- ’ -F x-‘ = jf : Sitx-‘ = BF, 5c X» -F X- ’ = FD, ac Afl = I i Et erit «/'fFD = 4 4- T*’ — utqote qux ex Terminis x»-F X-* generatur. Quare, fi reliqua Superficies iSjiFB, qux Hyperboiica eft, ex Calculo aliquo fit data, dabitur tota ^BD8fc. Et fic vice hujus y-^, nova prodit j = ^ — -r — ferie iftac infinite continuata } Adeoque (per Regulam Secundam)' Area quatfita ABDC atqualis erit ipfi _ flfl Infinita etiam feriei, «jus tamen Termini pauci imtiales £it in ufiim quemvis fatis exafti, G modo x fit aliquoties minor quam h. Eodem modo, fi fit = y. Dividendo prodibit liTr arTip ^ ± r\ Regulam Secundam) ent ABDC — x — yx» -j- yxJ — yx7 + Sx», gcc,. ^ Vel Digilized by Googie Vel fi Terminns xx ponatur in divifbre primus, hoc modo xx + i), Stodibic X-* — x-4 + x-^ — x"», &c. pro valore ipfius y j Unde (per egulam Secundam) erit BD Dividendo prodit I -4" “ 3* 2x'^ — 2x + 7x* — 13X» + 34xx 8cc. unde erit ABDC = ->• — X» + — T*’ Exempla Radicem Extrahendo, Si fit Vm4-xx = jr. Radicem fic extraho, 1 /■ I ** , I* Et hacc eft Quadratura Circuli V«I. _ f 8 ) , Vel G ponas V* — x* = > j erit Radix a:qualis inGnita: feriei **■ — — vrr*^ Et Area quiGta ABD squalis erit |x^ — «> «. V gjc. Gve xl in -fx — -fx» — - V** — tt** — Et hxc eft Area Circuli quadratura. Si = y> (Cujus Quadratura dat Longitudinem curvs Ellipti- > cs 5 ) Extrahendo radicem utramq; prodit Et Dividendo, Gcut Gt in FraQionibus Decimalibus, habes ‘ + T + tV + A^*x^ 6tc.‘ '4"T^ '4' "E E'*. — 77«*^ — + -.TJ’ +TT''’^ — TTT«* Adeoque Aream quiGtam x + +-7V**#fJ acc. + T’» +YTii — YTi* Sed obfervandum eG, quod Operatio non raro abbreviatur per debitam ' ./Cquationis preparationem, ut in allato Exemplo = » ^ Vi-ix» •'* Si utramque partem fraSionis per Vi-bxx multiplices prodibit Vl+M* — aix« — " Lt;» ^ reliquum opus perficitur extrahendo Radicem Numeratoris tantum, & dividendo per Denominatorem. Ex hifce, credo, fatis patebit modus reducendi quemlibet valorem ip- Gus y (quibufeunque Radicibus vel Denominatoribus fit perplexus, ut hic videre eft j x* -|- Vx - V 1 - a Vtx‘ 'x5 4-2x1 — X* = y) in feries V*4-x* — ^2Z — X^ Infinitas fimplicium Terminorum, ex quibus, per Regulam Secundam, qusfita Superficies cognolcetur. ' Exem- Digitized by Google Exempla per Refoluticnem /Equat tonum. . Numeralis jE^u^ionum sffeilarum Refoluth. ' ■ Quii tota ‘difficultas in’ Relblutione later, modum quo ego utor in iEquatione Numerali primum illuftrabo. Sit^yJ — — 5 =o, rclblvenda : Et fit 2, numerus qui minus quam decima fui pane differt a- Radice qujcfita' Tum pono 2-V*'p =7, K fubliituo hunc ipfi.valorem in TEquationem, 8c inde nova prodit f* -f- 6p* ►f lop — 1‘= o, cujus Radix p exquirenda eff/ut quotienti addatur : Nempe (negle£tis 6p' ob prvitatem) lop-^- 1 =0, five p = o,i 'prope veritatem elt | itaque foibo 0,1 in quotiente,- ?c fuppono o]i ^ q = p, & hunc ejus valorem, ut prius fubftituto, unde prodit g* -t- o,odi =a -- Ut.i. . ■ • 7’— 2y—'5 = b‘ “F 2,10000000 — 0,0054485? + 2,09455147 =y ..;a+I>=7 • ■ +. 7‘ — 27 — 5: + 8 + 1 Jp + 6p^ •+ p* — 4—^ — 5 . ' ' • • Summa — I + ic^i + 6p» + p» 0,1+7 t ’ * * • * t i-j ; 'A.'.., . . . • :j J ■ 1 u 1 : r- + pi + 6p» 4 iop • i; •: + 0,001+ 0,0^7 + 0,97» -F 7J + 0, 06 + 1,2 +6,0 41.. — }% ■ ' ■ •' '■' • ^linfima ! II * ^ ^ i- + •1,23« + 0.0^1 +'oloooT837'b8' V0.068c4r.-F -^o,c^o<4J + 4^0,0^! ■; . ■ Summa -F o,p;co54 * 708-F i l,t 6 t'96rrF.6. • r ’ f.-|-.1i •/- X. • ■ ! {7 '; . •: • • . t • t m . ■ y I ' Et cum 1 1,2 57 OjOdi vcritari prope accedit, five fere Gt 7 «qualis — 0,0054 (dividendo nempe donec tot eliciantur Figur«,- quot IccTs primat Figurae hujus & principalis quotientis exdufive dtftant) feribo ^bi,oo54 in inferiori parte quotientis,’ cutn ' negitin fif. V ' ' '- * • i Et fu pponens'^ 0,0654 XI t.prkis fiffiffiiuio,' & operf'* tionem fic prodiico quo u% plactJcrit.’ -Verum fi »d bis tot figuras tan< tum quot in quotitOte jam feperttmtut una 'dempu, • operam' coh- «• • • • ' tinuarc ( tmu-irc cupiam, pro q fubftituto — o,cc?4 + * 'm h^nc + 0,0^1, fcilican .pranso. ^ws..tewnu»q H?’) f>ropeec cxHitatem foatn negkJto, prodit 6,jr* -f it,\6t^6r + 0,000^41708 = o, fere, Cve (rejsQo 6,^r^yn=. ^ o,o‘6c(^85; fere, ‘quam fcribo in negniva pine Qiotientis. Denique negjtiwtn partem Qaotiemis ab Af- Hrinarlva febdutens habeo 2,094^7147 (potientem quatfiram. .T,qua:io.iics plurium dirnenfionum nihuo fecius refolymuur, ic operam ^feb fina. dt' b1c' fi., primos ^ ejus twrpiaos gi^datim ;^mfleu?.\7' r . i''r:-;A .li ’ j .:., c^;.. 'i VPi?;efe4 notar4umc^.qq6d inhoce^r^ p dubuarem an_D,i Vetjhti (aci$ accedere!,^ pro icp — i =; o, finxiflem' 6;?*'+ lop — 1 =0, Ar ejus radicis primarh figuram in Qpotiente fcfipfiflertj & fecundam vel tertiam QilOtienris fig,uram fic e^loxare convenit, ubi in liquatione ifta 'uliimci rdujrante quadratum coeracientis penul^lml lermiiii, npn fit de^ cies majus quani fe£tus ex ultimo termino dufto ifi coefflcientem termini amepenuUimi. - - , • Imo laborem plerumque minues- prarlertim in Aquationibus plurima- tum dimenHonum, fi figuras omnes Quotienti addendas di£lo modo (hoc elt extrahendo minorem radicum, ex tribus ultimis terminis .Aquationis poviflTme reluUantis) exquiras: Ifio ^nim modo figuras duplo plures qua- libet vice Quotienti lucrabeps. — I Harc Methodus refolvcndi Aquatifines-^pwijgata an fit nefcio, cerje mihi videtur pra reliquis fimplex^ & 1 ufiii accommodata. Demonftratio ejus ex ipfb modo operandi pater, unids'cutn opus fit, in tiKcnoriam facile revocitur.' .j. i ,0-- '"i - i I Aquationes in quibu^v^aliquiveljmilli^erniinidefint, eadem fere fq- pilitate tra£bintur} St' Aquatio fempu nelinquittir, cujus Radix una cum acqi[Tfi]ta Quorieme«dp5qr^;Radicerip primo propofitat. Un- de Examinatio Operis hic 'atque poterit inltirai ac in reliqua Arithmetica, auferendo neippe Quotieptera a Ka_d|ce prima; Aquationis (ficut Analy- llis notum eft> ut Aquatio pltitna «el Termibi ejus duo trefve ultimi produeantur inde. Uuioquid laboris hic efl-, iftud in Operatione fubm- tuendiqjaarkirads unas p^liiskpcjfietiu; Jd t^od-vari&^ficias, a^* quenrem-fiiodum.jnaximejexpediiumlputQ, piadbrtlm uIANumerl GteT- ficientes conflant ex pluribus figuris. • Sippff-tgfubftmiendaprojilnhancj»*— 47«+ f/*— lajiH- 17 = 0. F.I dum ifixpoffit tefblviin hinc formam *- - - ■ - — g-.-vn -I — --V • . o i',!.." ' n -i. n r,;'"! — i8. 8f pVl" + quai quaerentur, Literalh Digitized by Google ■ Liieralis yEquatiojttm MjfeffarMm Refoltith. . . ; I- 0^1- i.i t f. , . His ir> numeris fic often&$ : Sit ^qtiatio literalisjr’ + + «7 — 4H ,= o, rofolvenda. . l ,. j . - , Primum inquiro valerem ipfius y cum x iit nulla, .hoc eft, elicio Radi- cem hujus ffiquationis)’ -f a*y — aa’ = o, Cc invenio cfle -j- «• Itaque Icribo + / in Quotiente, 8c fui^nens + <* + ^ = J», fubflituo pro j va- loTcm cjui & Terminos inde relultantes (p’ -t- ?up*. + ^’p, (fc.) margini appono-i Ex quibus aflumo + 4«‘p + <>** terminos utique ubi p 8c At Ic- ornm funt minimarum dimenitonatn^ ec eos nihilo fere ztjualfs efle fup- pono, fivcp =; — 4» fere, vel p = — -f q. Et fcribens — -Jjf in Qpoticnte, fui>(lituo — -j* ‘+ ? pto p •, Et terminos inde refultantes ite- rum in margine .(cribo, ut vides in anneao fehemate, 8C inde alTumo Quantitates -V 4J‘» 4- x'y - jx» in quibus * 8l JP vel leorfim velfioiuliiittltiplicatz, funt 81 plurimarum, fir zqualinm ubiquedimenfi- onum } & ex iis quafl nihilo aqualibus Radicemelicio. Hanc invenio elTe X, 8t in Quotiente faibo. Vel quod eodem recidit, ex g» -f j — a (uni- ute pro X fubfiituta) Radicem extraho quz hic prodic i, & eam per x multiplico, & faftum (x) in C^uotiente feribo. Denique pono x -f p = * K fic procedo ut Jn priori Exemplo, doncc habeam Quotientein adtoqlre Aream ~ —7 + !~J - — vide exempla tertia Regulz fecundz. Lucis pracia dedi hoc exemplum io omnibus idem cum priori, modo x fic a fibi invicem ibi fubftituantur, ut non opus ellet aliud Kefolucionis exemplum hic adjungere. * • • ‘ “ Area autem terminatur ad Cumm quz juxta + ; + II*' AQrmptoton aliquam io infinitam lerpit ; & Termini initiales (x — .^) valoris cxtraQi de ^ in AfimiptotoR illam lemper terminantur i unde por- tionem Alymptoti facile invenies. notandum elt cum Area defignatur terminis plus plufque divifis pet n 4>ntiaue, | przcerquam quod vicc Alymptoti refla quan4«^ habeatur Parabola Cwnca, Td alia ma- gis coipponta. , - : ‘ I . —Sed Digitized by Google • Sed hunc modum mifium &ciens> utpote pafticulanm, qu!u non appli- '«abilem Curvis in orbem ad inftar Ellipfium flexis ) de altero modo per . exfimplum jf» + + axj — aa* — x» = o, fupra oftenfo (Icilicet quo ‘ dimenfiones ipflusxin numeratoribus quotiends perpetuo augeantur) an* notabo lequentia. I. Si quando accidit quod valor ipGusjf, cum* nullum efle fingitur, fit quantitas furda vel penitus ignota, licebit illam litera aliqua defignare. Ut in exemplo, y’ + a»y + a;gp'— * aa’ — ** = o, fi radix hujus y’ -f a*^' — 2a’ fuiflet furda vel ignota, finxiflem quamlibet (i) pro ea ponendam j 8t refolutionem ut fequitur perfecilTem. Scribens i in Qjiotiente, fuppono ^ + P = J». & iftumproyfubftituo, ut vides j unde nova 8tc refultat, rejeflis terminis + a'b — 2a>, qui nihilo funt atquales, prop* terea quod b fupponitur Radix hujus y’ -f a*y — 2a* = o. Deinde termini + <»’P + «bx dant quotienti apponendum, 8c 3 fubllituendum pro p, 8tc. . , - Completo opere, fumo numerum aliquem pro a, & hanc y’ + a’y — 2a' = o, ficut de numerali zquatioReoltenfum lupra refolvo } 8c radicem aus pro b fubilituo. a. Si diftus valor fitnihil, hoc eft fi in zquatione refolvenda nullus fit terminus nifi qui per * vel j fit multiplicatus, ut in hac y» — a^j + *» = 0 •, tum terminos (—axy •+• *’) feligo in quibus * feorfim &y etiam fe. orfim fi fieri pote^ alias per * multiplicata, fit minimarum dimenfionum. Et illi dant + -7 pro primo termino quotientis, 8t 7 •+ p proy fubftitu- . * E endum. ( 1+ } endum. Ifi hac p — + «xy — *» =: o, licebit priniDiQ tcrtninuin quotientis vel ex — ,a'j — x’, vd ex — a*y elicere. . . j 3. Si valor ifte fit imaginarius,ut in hac / + ji* — iy + 6 — x*j»* — ax X» + x4 = 0, augeo vel imminuo quantiaiem x donec diftus valor e- vadat realls. Sic in annexo fchemate, cum AC (x) nulla efi, tum CD (y) eft imaginaria. Sin minuatur AC per datam AB, ut BC fiat X s tum polito quod BC (x) fit nulla, CD (y) ^erit valore quadruplici (CE, CF,CG, velCH) ■ i jealis ; quarum radicum (C£,CF, CG, vel CH) quzliUt poteft efle primus terminus quotientis, , prout fu^rficies BtDC, BFDC, BGDC, vel BHDC defideratur. In aliis etiam cafibus, ii quando hzfitas,- te hoc modo extricabis. ^ - Deniq; fi index poteftatis ipfius x vel y fit fiaCUo' reduco ipfum ad in- tegrum ! ut in hoc exemplo ^ xr := o. Pofirio jrr = u, & xT. = *, refultabit w* — **« + s* = o, cujus radix eft » = * -F *», 8cc. five (reftituendo valores) jrr = xt + Scc. & quadrando j = xf + axr, &c. ■ . . Et hatc de areis curvatum invefiigandis di£la fufficiant. Imo cum Pro- blemata omnia de curvatum Longitudine, de quantitate St fuperficie folido- rum, deque Centro Gravitatis, pofiTunt eo tandem reduci ut quzratur uantitas Superficiei planz linea curva terminatz, non opus eft quicquam e iis adjungere. In Ulis autem quo ego operor modo dicam brevillime; Apflicatio pr^tMUomm-dd reliqud ipiufinodi Probltmtta. Sit ABD curva guzvis, 8t AHKB re£langn- lum cujus latus AH vel BK eft unitas. Et co- gita* reflara OBK uniformiter ab AH motam, areas AB08c AK delcribere ; £t quod BK (i) fit momentum quo AK (x) 8c BD (7) momen- tum quo ABD gradatim augetur; &t quod ex momento BD perpetim dato, poflis, per prz- di£las regulas, aream ABD iplb defcriptam in- veftigare, five cum AK (x) momento 1 de- icripta conferre. Jam qua ratiohe Supaficies ABD ex momento fuo perpetim dato per przcedentesreguJaselicitur, .eademquzlibet alia quantitas ex mornento fuo fic dato elicietur. Exemplo res fiet clarior. * N. B. Hic dercribinr Methodus per Fluentes & carum Momenta. Hxc Momenta a p. Leiinitit Di&rentix poAmodum vocau fuM .• £t inde nomen MtthnU Differm- titia. - . Loniituiine Digitized by Google ( 15 ) , LoHgituiints Curvaram invenire. S!t ADLE diculus cajus arcas AD longitudo efi indaganda. Du£lo tangente DHT, 8t completo indefinite parvo ie61angulo HGBK, 8t poGto AE=i =aAC. • Erit ut BK five GH, momentum Baiis AB (x), ad HD momentum Arcus AD : : BT : DT ::BDi(Vir;]:) ; DC Cf) :: i (BK) ; CW Adcoque five eft momentum Arcus AD. Quod redudum fit + ^x^ + &c. Qpare, per regulam lecun* 9 ‘•-x% invenies Arcum + •iVx’’ + + tVtX dam,' longitudo Arcus AD eft x^ + + .^Lx'*’ + Trfr* ^ 8tc. five x'*' in i + -ix + -^x* + tttx» &c. Kon Ittus ponendo CB eue x, & radium CA efle i LD efle x h- + tVx^ + i Sed notandum eft quod unitas ifta qux pro n»mento ponitur eft Su- perficies cum de Solidis, sc linea cum de fuperficiebus, & punSum cum de lineis (ut in hoc exemplo) agitur. . , , . ’ Nec vereor loqui de unitate inpunftis, five lineis infinite parvis, fi qui- dem proportiones ibi jam contemplantur Geometrae, dum utuntur metho- dis Indivifibilium. £x his fiat conjeQura de Ciperficicbus fic quantitatibus folidorum, ac de Centris Gravitatum. Invenire pradiiieram converfum. Verum fi e contra ex area vel longitudine &c. Curva: alicujus data longitudo Bafis AB defideratur, ex zquationibus per ptzcedentes regulas inventis extrahatur radix de X. Inventio Bafis ex Area data. , . . .. - Ut fi ex area ABDC Hyperbolz = y) data, cupiam bafim AB invf ftigare, area ifta nomi nata .extraho radicem hujus z(/VBCD) = X — 4-x’ + u-xj ^xt, is^c. negleQis illis terminis in tjuibusx eft plurHimdimen- fionum quam z in quotiente defideratur. .Ut il vellem quou z .id o ' -nue nntnm * Exempluia calculi per Momeou duentiuiQ. dimenfioncs Digitized by Googl dimenfiones in quoticnte afcendat, n^Iigo omnes — 4jc'^ — Ijjt» 8tc. 8c radicem hujus tantum fx* — ^4 ^ _ 2 = 0 ex- rttaho. ' J X = z -f iz* -f 4X5 + z + p=x -1-4x5 — 4X4 + 4*’ — 4x‘ + * — z + T*». &c. — 4»* — x’p, &C. f ' + + ^'p + &c. -4 z -f p — z r. » t + — 4P* z»p + — zp + p — 4Z4 + 4*« -•4Z* + T*^ &C. — 4** — 4**?, &c. • ‘ ■ — 4»:^ 8cc. , + 4** + i'? — 4»* — rq + 4>^*+? + -4x4 -1-4X» / ; -4x*. • • r — z + 4z») 4*' — 4** + tV*» (4*’ + | Analyfin ut vides exhibui propter adnotanda duo feqaentia. 1. Quod inter fubftituendum, iftos terminos ftmper omitto quos nulli deinceps ufui fore praevideam. Cujus rei regula efto, quod poft primum terminum ex qualibet quantitate fibi collaterali refultantem non addo plu- les terminos dextrorfum quam iftius primi termini index dimenfionis ab indice dimenfionis maximae uniutibus diftat. Ut in hoc exemplo, ubi maxima dimenfio eft 5, omifi omnes terminos poft poft **pofui’ uni- cum, & duos tantum poft z\ Cum radix extrahenda (*) fit parium ubi- que, vel imparium dimenfionum, haec efto regula 5 Quod poft primum terminum ex qualibet quantitate fibi collaterali refultantem non addo plures terminos dextrorfum, quam iftius primi termini index dimenfionis ab indice dimenfionis maximae binis unitatibus diftat} vel ternis unitati- bus, fi indices dimenfionum ipfius x unitatibus ubique ternis a fe invicem diftant, 8t fic de reliquis. 2. Cum video p, 0, vel r, &c. in aequatione novifltme refultante elle unius tantum dimenfionis, qus valorem, hoc eft, reliquos terminos quo- tieuti addendos, per divifionemquxro. Ut hic vides hftum. Inventio. Digitized by Googie . - J ( 17 ) IhveHtio Bajis ex data Longitudine Carv*. Si ex dato arcu *D Sinus AB defideratur •, aqua- * tionis z = jc + 4-x’ -f 8cc. fupra inventa, Cpofito nempe AB = = z,8c A* = i,) radix extraftaerit x=x — 4-z’ -+■ -I-r*' — *h TTiVrv**’) Et prztetea fi Cofinum AjS ex i(to arcu dato cu- pis, ficA^ (= = I — 441’ -t- ^Z+ — y^-rZ* , g ^ "• 40J20^ 3«2S8oo'' &C, De Serie progrefjlonum continuanda. Hic obiter notetur, quod y vel 6 terminis iftarum radicum cognitis, eas plerumque ex analogia oblervata potetis ad arbitrium producere. Sic hanc * = z -r- 4x» -V -f _^z4 + ,4.^$, 8cc. produces, dividendo ultimum terminum per hos ordine numeros 2, ?, 4, y, 6, 7, 8cc. Et hanc * = z — 4-z» -E y.-.zt — 5fc. per hos 2Xj, 4xy, 6x7, 8x9, lOXII, &C, Er hanc * = i — 4z* +'.j^z'‘ — yj-r**, &c. per hos 1x2, 3x4, yx6, 7x8, 9x10, &c. ' -Et hancz = * + + _L*r 4- -4^x7, &c. multiplicando per hos Hj. g' 5. g. «'■ Applicatio pradiciorum ad Curvas Mechanicas. At hac de Curvis Geometricis difta fulEciant. Quinetiam Curva etiamfi Mechanica fit, methodum tamen nollram ne- quaquam refpuit. Exemplo fit Trochoides, ADFG, cujus ver- tex A, 8£ axis AH, 8c AKH rota qua deferibi- tur. Et quzratur Superficies ABD. Jam po- lito AB = AT, BD = 7, ut fupra, &: AH = i ^ primo quaro Longitudinem ipfius BD. Nempe ex natura Trochoidis eft KD = arcui AK. Qiiare tota BD = BK -J- arc. AK. Sed eft BK ( = VTTTx) = *^ — — {xv _ y-/S&c. & (ex pradiais^ arcus AK = -E tota BD = — -K*' — — T-^, &c. Et (per Reg. 2.) area ABD ~ T*’ “* 'iTAf* T~r** ~~ fifC. Vel brevius fic : Cum^reaa AK tangenti TD parallela fir, erit AB ad BK ficut momentum linea AB ad momentum linea b’d, hoc eft X : 1/;^^ : : 1 : W~ = x“^ - -4:^ - ^ Quare Digitized by Google f i8 ) Quare (per Reg. 2.) BD = 7x^ — -fx* — — ■jV'"*’ — ■i4T*’', 8cc. Et fuperficies ABD = yx'*' — y*,x^ — — ttt*^ — ttVt* &c. Non diflimili modo (polito C centro circuli, Ac CB = x) 6£tinebis aream CBDF, &c. Sit area ABDV Quadratricis VDE(cujus vertex cft V, g£ A centrum circuli interioris ViC cui ap- tatur) invenienda. Du£la qualibet AKD, demit- to perpendiculares DB, DC, KG. Eritque KG : AG : : AB (x) : BD (y), live = y. Verum ex natura Qiiadratticis ell BA (=DC) = arcui VK, five VK = X. -Quare polito AV = i, erit GK = X — + -Wx’, 8£c. ex fupra oftenlis, 8c GA = I — ix* -f -^x* — rvvx*, &c. . , , -jfxAG. I — 7X* -t- ’_x+ — Adeoque y (= -^) = , Kc. five, di- vifione faQa, y = i —^x*—^x* — -^x*, &c. & (per Reg. 2.) area AVDB = X — Tx’ — &c. Sic longitudo Quadratricis VD, licet calculo difficiliori,determinabilis ell. Nec quicquam hujufmodi fcio ad quod hxc methodus, idque variis mo- dis, fefe non extendit. Imo tangentes ad Curvas Mechanicas (fi quando id non alias fiat) hujus ope ducantur. Et quicquid vulgaris Analyfis per atouationes ex finito terminorum numero conflantes (quando id fit polfi- biie) perficit, hatc per aequationes infinitas femper perficiat : Ut nil dubi- taverim nomen Analyfis etiam huic tribuere. Ratiocinia nempe in hac non minus certa lunt quam in illa, nec aequationes minus exaUz^ licet omnes earum terminos, nos homines & rationis finiiat nec defignare neque ita concipere poflimus, ut quantitates inde delid^ratas exafle cognolcamus : Sicut radices furdz finitarum zquationum nec numeris nec quavis arte Analytica ita poflunt exhiberi, ut alicujus quantitas a reliquis diftinfta exa£le cognofeatur. Denique ad Analyticam merito pertinere conleatur, emus beneficio Cur- varum arez 8c longitudines 8cc. (id modo fiat) * cxa£te & Gtomerrice determinemur. Sed illa narrandi non ell locus. Relpicienti duo pri reli- quis demonllranda occurrunt. 1. Dem onJl> Atio quadraturx curvArum (ImpUcJum in Regula prima. Prapjratio pro Regula prima dcmnujlranda. t Sit iraque cunz alicujus AD/ Balis AB = x, perpendiculari- ter applicata BD = y, K area ARD = z, ut prius. Item fit R/J = n, • N. B. Quadratura Curvarum per yliqimtiones infinitas, qux nonnunr|u8m termi- ' nantur & finiti- evadunt. < Exemplum luculentum CalAtIi per memenu Fluentium. 6K Digitized by Google i >9 ) BK = w, & rcdangulum B;9HK ( ov) aquale ipatio B^D. Eft ergo A/3 = * + = r + ou His prztniffis, ex relatione inter x & z ad arbi- trium aflbmpta quaro p ifto, quem lequentem vides, modo. Pro lubitu fumatur = x, 6ve ix« = zz. Tum x + o (A/J) pro x, & z. + ot» (AJ'/3) pro z fubftitutis, prt^ibit ^ in *’ + 3**o + jxa* -l» o* = (ex natura Curva) z* -1- azou + o*w’- Et fublatis (4x’ & zz) aqualibus, reliquilque per o divLfis, redat^in 9x* •+ 3x0 -f 0* = azu -1- ov'. Si jam fupponamus B/j in infinitum diminui 8c evanefcere, live 0 efle nihil, ^nt vScy aqua- les, 8c termini per 0 multiplicati evanelcent, quare reflabit i x ?xx = azu, five jxx (=zy) s=jx^y, fivex* (= ^, = y. Quare e contra fi = erit = X. Dtmonjhatio. m\n Vel generaliter, fi x«x ~ = z j five, ponendo ^ = c, & w -j- « s= p, fi cx* = z, five c"xr = z" : tum x o pro x, & z + ov (five, quod perinde eft, z + «y) pro z, fubftitutis, prodit c” in xf -f poxf-‘, &c. = z" «cyz""', &c. reliquis nempe terminis, qui tandem evanelcerenr, omiifis. jam fublatis • Et fic. de reliquis. • Hac Propo&lone e» xquatlone Fluentes uivolveme inveniuntur Fluxiones. 2. Demon- Digitized by Googie 2. Demonfiratio refolut tonis nqu At tonum affeHArum'. Alterum demonftrandumeft literalis atquationum affe£larum refblutio. Nempe quod Quotiens, cum x fit fatis parva, quo magis producitur eo magis ad veritatem accedit, ut defeSus (p, y, velr, &c.) quo diftat ab exa«o valore ipfius y, tandem evadat minor quavis data quantitate j 8c in infinitum produfta fitipfi jr arqualis. Quod fic patebit. 1. Quoniam ex ultimo termino atquationum quarum p, 7, r, &c. funt radice^ quantitas illa in qua x eft minima: dimenhonis (hoc eft, plufquam dimidium illius ultimi termini, fi fupponis x fatis parvam effe) in quali- bet operatione perpetuo tollitur: ifte ultimus terminus (per r. 10. Elem.) tandem evadet minor quavisdata quantitatej & prorfus evanefcet fi opus infinite continuatur. Nempe fi x = 4., erit x dimidium omnium x -t x^ -1- x» -t-x+, 8cc. Etx» dimidium omnium x* -f x’ x4 -f x\ &c. Itaque fi x-n 4, erit x pluf- quam dimidium omnium x + x* x*, scc,. Et x* plufquam dimidium omnium x* x’ -1- x+, &cc. Sic fi Tt erit x plufquam dimidium omnium * + T + reliquis. Et numeros coefBcientes quod attinet, illi plerumque decrefcunt perpetuo, vel fi quando increfcant tan- tum opus eft ut X aliquoties adhuc minor fupponatur. ’ 2. Si ultimus terminus alicujus arquationis continuo' diminuatur donec tandem evanefcar, una ex ejus radicibus etiamdiminueturdonec cum ulti- mo termino fimul evanefcar. 5. Qjiare quantitatum p, q, r, &c. unus valor continuo decrefcit donec tandem, cum opus in infinitum producitur, penitus evanelut. 4. Sed valores iftarum p, — xj = o fupra oflenfa, percipies y = a -f p ~ * tx -f 5 = <* — + f, 8cc.) Unde fatis liquet propofi- tum quod quotiens infinite produElaeH una ex valoribus de y. Idem patebit fubftituendo quotientem pro y in aquatione propofita. Videbis enim terminos illos fefe perpetuo deftruere in quibus x eft mini- marum dimenfionum. Excerfta Digitized by Google Excerpta, tx Epiliols D. Oldenburgh ai D. Renatum Francifcum Slufium Canotticum Lcodienfcm, Anno 1669, 14 Septembris St. vet. dita: cujtu Apografhum confpicitar in Lthro Societatis Regis, quo conjervantur EpifioU^ A’». 3. pag. 174. INfuper communicavit ille QRjitowwI univerfalegi Methodum Analy- ticam, ipli tranfmiflam a D. Ifaaco Nmtono^ inlervientem menfuran- > ^ dis Are^ omnium cjufmodi Curvarum, & earundem Perimetrorum, in quibus Ordinata eandem habet communem habitudinem ad Bafin : Hac- que methodus alia non eft ab illa, quam particulariter applicuit D. Mer~ cator ad inveniendas areas Hyperbola, univerfalis reddita. Auflor lic incipit. , - • E)e Analyfi per JEquationet numero terminorum infinitas, “ Methodum generalem, quam de Curvarum quantitate per Infinitam “ terminorum feriem menfufanda, olim excogitaveram, &c. Et poltquam ejus beneficio oftendit complurium Curvarum Quadratu- ram, accedit ad Circulum » 8c convertendo vel in Seriem *' infinitam, oftendit complures ejufmodi Series applicari pofle ad Circu- lum, adeo ut datis horum quibullibec duobus j Radio nempe. Sinu, Arcu, 8c Area Segmenti, reliquorum quodvis inveniri pofiit infinite verum : (res ni fallor ab omnibus Auftoribus prargrtflis valde expetita) Ejufdem eti- am adminiculo eximie faj;ilicavit inventionem Radicis ^uationis cujuHi- bet, 8t mediarum Proportionalium 1 & Seriem largitur ad inveniendam lineae Elliptica: longitudinem. Similiter, ut oftenderet methodum fuam ad Curvas mechanicas earumque Tangentes fe porrigere, quadrat Cy- cloidem ejufque portiones 5 Areamque curva: Quadratricis, ejulque Peri- metrum invenit : Atque ad calcem lic ait. “ Necquicquam hujufmodi feio ad. quod hate Methodus, idq; variis “ modis,fefe non extendat. Imo Tangentes ad Curvas mechanicas i fi quan- “ do id non alias fiat) hujus ope ducuntur. Et quicquid vulgaris Analyfis “ per aequationes ex finito tetminorum numero conltantes (quando id fit “ pollibile) perficit, haec per Aiquationes infinitas femper perficiat. “Et haec de AreisCurvarum inveftigandiS di£la fufficiant. Imo cum Pro- “ blemita de Curvatum Longitudine, de quantitate & Superficie Solido- “ rum, deqj Centro Gravitatis, poliunt eo tandem reduci ut quarratur “ quantitas Superficiei planz linea curva terminatx, non opus dt quic- “ quam de iis adjungere. vA G En Digitized by Coogie ( 22 ) Ex EpifioU D. Collins W D. Jacobum Gregorium 1 66% 25 Novemb. dau. Qax quidem Epiflola^ r/ianu du£ii D. Collins defcriptSy confervstu efl. BAttovIus provinciam fuam publice praelegendi remifit cuidam nomine Kewtono Cantabrigienfi, cujus, tanquam viri acutiflimo ingenio prae- diti, in Prifttione Prileftionum Opticarum, meminit : quique antequam ederetur Mercaturis Logarithmotechnia, eandem Methodum adinvenerar, eamque ad omnes Curvas generaliter, 8c ad Circulum diverlimode, api- plicarat. Ex EpifioU D. Jacobi Gregorii ad D. J. Collins, ad Fanum St. Andrex apud Scotos Anno 1670, ao Aprilis data, prout tn Autographo ipfius Gregorii legitur, SEricm a te milTam de Circuli Zona intdligere nequeo, nempe 2RB — “4 — Si hxc refte deferipta fit, Seriem legitimam non ede fiifpicor. Ex Epifiola ejufdem Gregorii ad eundem, Anna 1 670, . 5 Septemb. data. B-^rrowj [Geometricas] Lc£liones fiimma cum voluptate & attentione perlegi j atoj omnes toni ^riem de Circuli Zonis (quam jam dudum ad me mififti) una cum Infinito iftiufmodi Serierum numero, Conleflarium illius elle poflTe, quam mifi de Logarithmis ; nempe, Dato Logarithmo invenire ejus Numerum 5 vel radicem Poieftatis cujufcunq*, purat in infinitam feriem -- A A ^ mm JV 0 M « A A « « ■ a « «A 4 4 4 44^^ 44 «44 Sm M 44 ^ ^4 ^^4 4I4A 4A ^4 4a 4 ^4 mum induxeram, fi modo Series eflet, me in eam incidere polle, ope ali- quarum e Seriebus meis pro Circulo inter fe combinatis, quarum quidem plurimas ad manus habeo ^ neque ullam aliam dcfideraiam Methodum. Series tua paululum produfta fit 2RB — ~ Eifdem etiam pofitis, erit Arcus 7B»« ' i4®8K.® 21B* > 6656R’ • &C. 5I2oR* * (cujus Sinus B) = B •+ ^ ^ ^ + tt^IrT- + &c. Plurcs hujufcemodi Series proferre poflem *, fed Tu fortalTe plus meipfo de his rebus nofti. Ex Digitized by Googie .A ( 24) ExEpijioU £). Collins ad diHftm D. Gregorium, 24 Decembris no 1670 data: cujus habetur Exenjplar manu ipfius D. Collins defcriptum. QUum D. Dary ^ Mifcellanea fua in lucem edidit, exemplar libelli, mi- ^fitad D, i\Wro7/nOT, qui di£\um D. Davy Serie pro Area Zonae Circum- ii, quam ad te mifi,' remuneravit j quae fine omni dubio Series elt legU tima & eximia : Ope D. Banovii nonnullas alias Series e Methodo A^(?irrowf generali derivatas obtinui ^ ealque conferto colloquio deprehendi A naiytice deduci poffee datis cujufvis rigurce proprietatibus ^ 8c multas Series ad fingulas Figuras applicari polle. UrilveriaTem quoque eifle, cu- julque ope omnes Quadraturas perfici pofiis, tam Curvarum quas Cartfjius Geometricas effe admittit, quam earum quas cenlet Mechanicas. " ‘ Hac itaqj methodo Curvae omnium Figurarum communi proprietate definitarum re£lificantur, earum Tangentes 2£ Centra Gravitatis inve- niuntur; item Rotunda earum Solida & Segmenta lecunda cubantur; & in liniverfis Curvis, Longitudine curvilinea data, ordinaiim applicat* inveniuntur, 8c vice verfa. • . Exempla quadam. Arcu & dato, invenire Sinum vel Corfinum y 5 pofita Unitate pro Radio. ,p r f /j'/.' : % * y=zi— \z^ + + Trf— X* — TTx-l-T^’ * + ^C. Et dato Sinu x, invenire ». z = x + -F -f 4. Veterum quod attinet, nulla Methodus, nullus Geometra ejus Aream exhibere valuit. Sit igitur AV Radius cir- ' culi inlcripti Unitas, & VTC Arcus x, erit Area BDVA = X — -'-x* — ?^_x7 — Efc. Traflatum hac de re fcripfit, in quo inventio longi- tudinis totius vel datae partis Curvx bUipticez, d^^udra- tricis DV, nec non Area: lupradiftx, eft inter Exempla. ^ N. B. Mifcellanea edidit D. bliducl Dary, Amio iCC^. Ex DigMzed by ( 25 ) ,1. r/'!'"'' ,' *■ I •( q ■ - li . ' ■ „p: y.u-: ! 1 Ex^^ E^floU D. Jacobi Gregor» td.D. Cpllins, if •ol 11 'V >■: ■ u: ■ -J I tn tail Anno itfy-f dats^ cujus habetur AutographoM,’. ftn :i f. ■ r. tri iiCA iflup Epittolatn ad -re dedi, tres» te accepi, unam -CWaBir^. .ij,t Xy ,alterao)./)£f; Z4- terdam »i, nupec.elapfi dauoKi \ . .p|nor, fnihi^ipnotefcit, tam quoad Geometricas quam Mechanicas Cur- ,vas. , Nihilo tamen minus ob &ri^ ad me millas gratias habeo, quas ut lemuoeKm^miuo quz fequuD^r. jj ; p j , d ii..; . >. C ,'i:Slt Radius;=i r,' ArcuS' ts: Tangens =s r<, 'Secirt$'=s:/,J" P »''' ’ c. ^ itIJ tiir < I J L t7 L t'j' ifn E Oj'.. j':‘ .» 1 Et erit <* Eritqv t =« + 3,1+ ,175.3 v^+J^Tv’" _ . - - ,*4 ■ ■ 4i> ■ Et I _i_ Jf- -V . a. ^ - arc — ^ + 57 + ,4,» ^ Tlor» • bo&W» S\tc?unc,..TdDgpps»itificiatis «#, 8^B«n^.afd6Cii?ljs.(^ .quadrans = y, Frit * — il -w ^4-^4. r * lar* ^ ^ 252orT ^;'ui z83>jr' -4f »‘,4^7 tRii*' -r4ar_^8c4r>.,7(,,4«7 ^ 3^ ’ lo«’» 'p +“ U7C*'» ' ' 'T ’ '1 .Jiyj/''' , • -3 jsl •detWminei‘ur Ellipfeos /Ipecies, Series’ hzc fimpllcibr evadef.. ■ Ut fic = 2V, foret .ICutva ptacdiaa; = a +. ^ + + 7M>-7472''‘ ' I , •. . • . ,;.... I . i', • ■' ‘ ■■’ H ■ Reliquis Digitizod by Googlc ( 2:7 '■) dus a Mercatore ufufpata, !n ejus Logartthmotechnfa ad Hyperbolam qua- drandami generalis rCdditaf - — t). Jacobai Cre£erhi 'ipvA’ SaKot aU' peirime Incidit in eandem methodum. ' •. .Vj ’ .0 • "U ^ i - ! : I ■ .1 :ii. ■ ‘ ' ... " T ’ • ‘ ‘ Bk Epidpla D, J.t Collins htliim ad D. Alphoofum Borel- •'>' iunt ; ^'menfe -Decembri' Jnno 1671 dafM': cujujhaie- •'■t,ur^^empli^mahuipfiusp.i2o\[\ai'defcri^^ ' KFfichbu)fenjt lattoixiRio ad Analylim Speciofam, ^uam Stel-kmjf vo- cat^- a p. Zyiwfoifo macto bati^ qui jam Mathematices Proflor 'apud Can^aivigjentes wtjus ral Huib adj unget ,ipfiu s Met ho- dumi' 'benenlem ^Puadnrmatbm Analyiicamj cujus op^ <5aIcuIo eruit bmbiUm .communi altiqua propri- etate gaoijentium’ Arearn 4 earundem Cutyarum Reftificationem ^ inven- tionem Centrorum gravitatis 'earum \ iiemq; rotunda Solida’ & Supafi- cies eorum rotatione genitae ^ 5t Secunda iftorum Solidorum Segmen- ta : imo dato quovis Logarithmico Sinu, Tangente vel Secante in Ca- »9f)«;4fH>efHfe -iicet Arcum ei eompctci^tem, abtqv ^twrali Sinu, Tan- gente vel Secante prius invento, & vice vetia} idq^ generaliter, line |illa Radicum excraQion^ . . . ■^Hu^us pro Circulo appofui. ^ N. B, In hujus Eflfithc txemfUri, heus vaeuus Seriei interferetseU hie rellBus fuit. -c-'.- r tf::'i ! . t' ' rr t.r;’' riiu ' '1 :oi' r '.'J '> t; j... , "u .; :i.i < . ■7 - , . '' T. .. _ 1 _ Ex Bf idola ejufdem B. CkiWins- ad D. Ffancifcum Vernon Anzlnm ttlm a^enUm^ Londini a,6 Decembris Anno 1671 data', ^cujus^ Isabetur^ exemplar maflu ipftus D. iCollins D. ‘Eartrwhis certiorem tne facit-.D Ntwtonvm pene adornafl" Khtch ■ i^fij/rjrw ad Algebratn Introdnftionem (cujus hic brevi edendx nego- tium mihijcutnt . erit).' eamq-. de'propriaMpfiiis penu .Tjfliorem reddi- dilPe. ‘ Hn’c Tubjltier^gcrteraflcdl * (iiam infinitarum Scr’ 11; ; n. i.i ‘ . « ' . derierum metho- •OT B. * Hat TraBettus unuj rfl cc ilUt eitjus inivtUvem D. KoA rojms :u Et-jiilis Oifeh. fer h. o^denhurgutn D. I.eibnitio esmmcnieats { c“ /w e>ie' iitcthsiii Scritrum ipfiiitiirita; cjr Huxininm JmmI er.tlieeirntsx, t:t .'ii leei metmrr.;. ri bq., • . i I _'i : I ' ; r . ■ dum Digitized by Googie •I 5 . . . . '( '28 ) . duhfi Analy.-iicani» :cujus; ope xon^pMtantur.dmaiura iSpatjorum cumline*: orum /\ieac, tiim Geometricorum' tum eorum quac.ex, mente_ ^e* chanica lunt,(modo Figura una aliqua aut pluribus communibus proprie- tatibus definita finr)ipTarumq; Curvarum longitudines, Centra Gravitatis,’ rotunda Solida“&' Superficies eorum rotatione genita '. "Hinc etiam eru‘uri- tur multa pro Circulo Series ; necnon quovis numero dato, tanquam •L(%a7itbmico Siriir', Tangente vel Secante, calculo berfacili,V &i'e ulU ■Radicum oxtraftrone, fine ullis^Tabulis, ^inveniri potelt Areus ei refppn- dens, & vice ver Ia-, idq^ vero quantum \^lis proxime, a()%naturaji Sinu, Tangente, aut Secante prius invento ; tot tantilb* commodis foeta *eft hac Dodrina, de qua non nifi comperta loquor! Una cum jhis, mittet .viginti Le^iiones ej^s Opticas, quas D.,^Jrrot;fwi.,opuSj cenle? quo\maj^ p^- fens ansjvqx protulit., Admonui maturaridam ideo effe ejus impi‘emoneijiJ quoniam D. Hugmtis traUatum' de.Didptrica &de Curvarum evolutionq jam molitur. Ule aureni contra,' le magis 'cupiere, ut jajdcepto hafurn rerum nuncio, Hugenius potius excitaretur quam tardaretur V ratus minime* vetifimile utriulq^ _ HypotRefes vel ' deduftiones ' ealdem^efle pofle. 1 ' » L /. ili ■ l i f )< '> r i '■ 'M.,; 5 rr tt ■*»*> 'f :fT I Ex EpiftoU D. J. Collins nA D Thomam. Strod[Cy ■ \6j2 Adta : cujus hahetur exemplar' wduri ipfius' D, CoWiii^ 'de» fcriptum. •.t\ .5! Q Uod Geometriam cumrum figurarum fpeflat j hanc tandem gene- _ ralirer ad Calculum Analyticum reduci pofle, ■omhiho Ofbi literato novum atq^ inauditum efl:. Hujus atquationes funt Series terminis numero infinitis conflatae '(quorum tambn' pauci' fufficibhAcoinroiiniew) ei^’ no& Curvarum proprietatibus erutae. -AuOorem qupd attinet^ liujufq', metho- di priltantiam, haec .acci pe. i . ' Menfe Septembri i668, Logarithmotechniam edidft Yu- am, quae fpecimen hujus Methodi ij. e. Serierum Infinitarum) in imiqa tantum Figura, nempe (iuadraturam* Hyperbolae continet, . Haud- ntilto poli quam in publicum prodierat , liber, exemplar cju;> Cl.^ 1fCalltjioX)x» owitjw mifi, qui fuum de eo ;judiciuna in Bnl^ophicU aliumq^ Barrovio Cantabrigiam^ qui quafdam Nerrtom chartas (qui jim Barrcvuim in Mathematicis Praelecilbnibus 'publicis' excipF^^^ exfemi^ re- mifit ; E quibus &ex aliis, quae olim'ab Auctore cum Barrovio communi- cata fuerant, patet illam Methodum a diito Newtono aliquot annis antea excogitatam & modo univerfali appjicatam fuilTerita ut ejus ope ih quavis Digitized by Qoogle ( 29 ) quavis Figura Curvillnea propofita, qux una vel pluribus Proprietatibus definitur. Quadratura vel Area di£lx Figurx, accurata fi poffibile fir, fin minus infinite vero propinqua 5 Evolutio vel longitudo linex curvxj Centrum gravitatis Figurx 5 Solida ^us rotatione genita, 8c eorum Su- perficies ; fine ulla Radicum ExtraQione obtineri queant. Poltquam intellexerat D. Gregoriut hanc methodum, a D. Mercatore in Logarithmotecbnia ufurpatam, & Hyperbolo, quadrandx adhibitam, q^uamqj adauxerat iple Gregoriut, jam univerlalem redditam efie, om- mbufqj Figuris applicatam ^ acri ftudio eandem acquifivir, multumq^ in ea enodanda defiidavit. Ucerqj D. Nevtonus 8c Gregoriut in animo habet hanc methodum ex- ornare : D. Gregoriut autem D. Nevtonnm primum ejus Inventorem anti- cipare haud integrum ducit. EpiftoU D. Collins ad D. Newtonurn 30 Julii Anno data, cujus hahetur exemplar manu ipjius D. Collios defcriptum. P Arandis Seriebus pro extrahendis radidbhs in Speciebus [Algebraicis^ ad modum Viet* [in NnmcrltiS^ credo D. Gregarium haud modicam impendifle operam: nihil autem de ea re Icribere fufcipiet,' antequam Tu, methodi hujus repertor, proprias de ea lucubrationes in lucem eim- fcris i fed aliis rebus per interim intentus eft. Ex Epifiola D. Newtoni ad D. Collins, Anno 1671, 10 Decem- bris data. Repertum autem efi ip^s Newtoni Autographum in fcriniis D. Collins, una cum ejufdem exemplari manu D. Collins , defirifte. EX animo gaudeo D. Barrovii amici noftri reverendi leftioncs Mathe- maticis exteris adeo placuifle, neqj parum me juvat intelUgere eos [^Slufium & Gregorium'] in eandem mecum incidifife ducendi Tangen- tes Methc^um. Qiialem eam eide conjiciam ex hoc exemplo p»ci- pies. Pone CB appUcaum ad AB, in quovis angulo dato, terminaji ad quamvis Curvam AC, 8t dicatur AB x 8t BC 7, habitudoqj inter x 8c I 7 ex- Digitized by Googie X> jsil iJ ( 30 ) y exprimatur qualibet atquatlone, puta x» — 7xscy 4- bxx •— Jix 4- byy — = o, qua ipfa determinatur Curva. Regula ducendi Tangentem hac eft multiplica aquatio- nis terminos per quamlibet progreflionem arith- meticam juxta dimenliones y, puta x’ — 2xxy o 1 4" — bbx 4- hy — J'* j juxta dimenfio- o o 2 3 nes' X, puta x’ — 2xxy 4- bxx — bbx -f byy — yi. Prius produflum 3 2 2 100 erit Numerator, 8c pofterius divifum per x Denominator Fraftionis, qua exprimet longitudinem BD, ad cujus extremitatem D ducenda eft Tangens CD : eft ergo longitudo BC = . Hoc eft unum particulare, vel corollarium potius Methodi generalis, 3ua extendit le, citra moleftum ullum calculum, non modo ad ducen- um Tangentes ad qiiafvls Curvas, five Geometricas, five Mechanicas, vel quomodocunq; re£las lineis aliafve Curvas refpicientes ; verum e- tiam ad relblvendum alia abftrufiora Problematum genera de Cur- vitatibus, Areis, Longitudinibus, centris Gravitatis Curvarum, ©"c. Neqj (quemadmodum Huddenii methodus de Maximis & Minimis) ad folas re- ftringirur aco^uationes illas, qux quantitatibus furdis funt immunes- - v Hanc methodum intertexui akeri ifii, qua Aequationum Exegefin in- ftituo, reducendo eas ad Series infinitas. Memini me ex occafione a- liquando narrafle D. Barrovio, edendis Leflionibus fuis occupato, inftra- £lum me efle hujufmodi methodo Tangentes ducendi: Sed nefcio quo diverticulo ab ea ipfi defcribenda fuerim avocatus. ^ Sbifii Methodum Tangentes ducendi brevi publice prodituram confido» quamprimum advenerit exemplar ejus ad me tranfaittere ne grave du- cas. EpifloU D. Slufii D. Oldenburgh, Anno 1674, ‘Janutrii Leodii data, qua continetur methodus ejus ducendi Tangentes^ in- ter EpifioUs Regt£ Societatis sjfervatur Ltb. N*. 6. pt^. n. Legitur autem imprejfa in Tranjdlionibus Phtlofopbicis N^. 90. Ex Dtgitized by Googlc Ex EpiftoU D. Oldenburgh D. Slufium, Jnno i(57y, 29 nuArii data, qua pradiciis Slufii literis refpondetur. Legitur au* tem exemplar ejus i/s Ithris Regia Societatis 6. pag. 27. STatui, deo dante, prima occafione Methodum iplam, prout Epiftola tua concinetur, Tr.infa£tionihus Philolbphicis inferere. Non ingra- tum interea fuerit accipere quae Do£liflimus nofter Nervtonusy in Acade- mia Cantabrijijevji Mathematum Profeffbr, de eodem argumento ad D/ Collinium noltrum, qui te fummopere 8c jugiter colit, nuper perfcriplit in haec verba. “ Non parum me juvat intclligere. Mathematicos exteros in eandem “ mecum incidifle ducendi Tangentes methodum. Qualem eam efle con- “ jiciam ex hoc exemplo percipies. Atq-^ ita deinceps vt in pracedente ip~ Jiia Newtoni Epiftola habetur, ■ Haflenus Newtonus^ quae ideo nunc perferibo ut cum noviffimis tu- is comparare poflis. 1 — y*”' — - Epijlola D. Slufii ad D, Oldenburgh, j4nno 167^, ^ Maii Lco- dii data, qua continentur fundamenta Methodi Tangentium SIu- fianx, cujujque affervatur exemplar in libris Eptjlolarum Reg, Societatis 6- pag^ ili* itnprejfa legitur in Phil, Tranfa^i, N°. 95. Ex Epiftola D. Oldenburgh ad D. Slufium, Jnno 1^73? ^oju- lii data. Legitur autem inter Epiftolas Regia Societatis, Lib, pag, 196, En tibi. Vir illuftriflime, imprelTum modum tuum demonftrandi me- thodum tuam ducendi Tangentes ad quaslibet Curvas, quemadmo- dum pofttemis tuis Uteris eum mihi communicaveras ; Subticui vixi no- men men ofFenfionis evitandi tentijm. “ Ex priori tua Epiftola fubdubirabam, exiftimaretne celeberrimus ^ Slufius ^r ea, qui ipfi de me Icripleras, me mihi tribuere methodum “ ipfius ducendi Tangentes ; donec iritelligerem a D. Collinio, te ipfi “ fignificafle, eam, ex binione tua, ferius hic inventam fuifle. Tibi “ quippe videtur, eam D. A/n/o perfpeftam fuifle aliquot annis priufi “ quam ederet Mefolabum fuum, proindeq^ antequam ego eam intelr “ ligecem. At fi res fecus fe haberet, cum tamen eam primus com- “ municaverit amicis fuis & literato orbi, jure merito ipfi debetur. “ C^uoad methodos illas, eaedem funt, quanquam, crediderim, ex prin- “ cipiis divetfis derivati. Nefeio tamen num ipfius principia eam lar- “ giantur adeo generalem ac mea j qui ad iquationes terminis fiirdis “ affeftas fe extendunt, abfq^ eorum ad alium formam redu£tione. Hic ille, qui io bonam ^rtem a te acceptum iii confido. caula. Scripfit mihi D. Kewtmut in hanc fen* Excerpta ex Epiftola D. Gothofredi Guilielmi Leibnitii ad D.. Oldenburgh, Ldhdimi^ Amno 167^, 3 Feh. data. Hujus Au. tograpboa in feriniis Regia Societatis extaty & exemplar ejus in Itb. Epift. dt£la Societatis 6. pag. 53 deferiptum legitur. CU M heri apud illuftriflimum Boyliim incidiflem in clariflrmum PelU. um Mathematicum infignem, ac de Numeris incidiflet mentio commemoravi ^0, du£lus occafione Sermonum, elTe mihi methodum ex quodam differentiarum genere, quas voco generatrices, colligendi terminos Seriei cujufcunq; continue crefeentis vel decrefccntis. Di^n- tias autem generatrices voco, fi dati Seriei inveniamur differentii 8c differentii differentiarum, & ipfarum ex differentiis differentiarum dif- ferentii (Sfc. 8t feries conftituatur ex termino primo & prima differen tia, 8c prima differentia differentiarum, & prima differentia ex differen tiis differentiarum C^c.j ea Series erit differentiarum generatricium. ut fi Series continue crefeens vel decrefeens foerit a, b, c, d. ■ Pofta C/J afferentia Nota,'] differentii generatrices erunt. I a . 2 atjjb .i av>bv)bv)c . ^ ata bvibtoic ^ bvict/i 4« bigitized by Googlc 4 { 33 ) 4 a (jib b c ob ^ C/3C C/3C C/3 ^ 3 a C/3 ^ C/3 ^ C/3 c b tii c ^ i. 2 a on b b c c Vi i 1 a b c ' d ' Aut in Numeris *, fi Series fit Numerorum cubicorum deinceps ab uni- tate crefcentium, differentiae generatrices erunt numeri o, i, 6, 6. Voco autem generatrices, quia ex iis ceno modo multiplicatis producuntur ter- mini Seriei ; cujus ufus tum maxime apparet, cura differentiae genera- uices funt finita: 5 termini autem Seriei infiniti j ut in propofito exem» pio Numerorum Cubicorum, 0 o 0 , 6 5 6 6 6 12 18 24 30 1 ■37 61 1 S 27 ^4 I2J Hoc cum audiffet clariflimus PcW/w refpondit, id jam fuiffe in literas relatum aD. Mouton Canonico Lugdunenji^ ex oblervatione nobilifiimi viri Frattcifci Regnaldi Lvgdunevfi^ dudum in literario Orbe celebri, in libro laudati D. Monton de diametris apparentibus Solis & Lunx. Ego qui ex Epiftola quadam a Regvaldo ad Moncomjiwn feripta, & Diario itine- rum Monconifiavo inferta, nomen D. Moutoni & defignata ejus duo didi- ceram 5 Diametros Luminarium apparentes, & confilium de menfuris re- rum ad pofteros tranfmittendis j ignorabam tamen librum ipfum prodi- iffe : quare apud D. Oldenburgtum Societatis Regalis Secretarium, fumtum mutuo tumultuarie percurri, & inveni veriffime dlxiffe Pelliwn. Sed & mihi tamen dandam operam credidi, ne qua in animis relinqueretur fufpicio, quafi tacito inventoris nomine alienis 'meditationibus honorem mihi qua:rere voluiffem j &; fpero appariturum effe, non adeo egenum me meditationum propriarum ut cogar alienas- emendicare. Duobus autem • K argumenn Digitized by Googie f 34- ) argumentis ingenuitatem meam vindicabo. Primo fi ipfas Schedas meas confufas, in quibus non tajitum inventio mea fed & inveniendi modus oc- cafioq-, apparet, monltrem : deinde fi quatdam momenti maximi Reg- naldo Moutovoq; indi£la ^ddam, qux ab hefterno vefpere confixiflTe me non fit verifimile, quaq^ non poflunt facile expeftari a Tranlcriptore. Ex Schedis meis occafio inventi hccc apparet; quaerebam modum in- veniendi differentias omnis generis poteltatum, quemadmodum con- ftat differentias Quadratorum effe numeros impares j inveneramque regiam generalem ejufmodi. Data potentia gradus dati praecedente, invenire lequentem (vel contra) diltanciae datae vel radicum datarum ^ feu invenire potentiarum gradus dati utcunqj diftantium differentias. Multiplicetur potentia gradus, proxime praecedentis radicis majoris per differentiam radicum j & diffe- rentia potentiarum gradus proxime praecedentis multiplicetur per radi- cem minorem: produ£lorum fumma erit quaefita .differentia poten- tiarum, quarum radices funt datae. Eandem regulam ita inflexeram, ut fufiiciret, praeter radices, cujuslibet gradus, etiamfi non proxime prae- cedentis, potentias datarum radicum dari, ad differentias potentiarum al- terius cujufeunq, licet altioris gradus inveniendas. Et oftendi quod in Quadratis obfervatur, numeros impares efle eorum diflFerentias, id non nifi regulx propofitae fublumptionem effe. His meditationibus defixus, quemadmodum in Quadratis differentiae funt numeri impares, ita quoq-, quaefivi quales effent differentiae Cubo- • rums qua: cum irregulares viderentur, quaefivi diflferentias differentia- rum, donec inveni differentias tertias elfe numeros fenarios. Haec obfer- vatio mihi aliam peperit : videbam enim ex differentiis praecedentibus ge- nerari terminos differentiafqj fequentes, ac proinde ex primis, quas ideo voco generatrices, ut hoc loco o . i .6.6, fequentes omnes. Hoc conci u- fo reflabat invenire, quo additionis, multiplicationifve, aut horum compli- cationis genere, termini fequentes ex differentiis generatricibus produceren- tur. Arq^ ita refblvendo experiundoqj deprehendi primum Terminum o componi ex prima differentia generatrice o fumta femel feu vice una ; Se- cundum I ex prima o femel S>c fecunda i femel : Tertium 8 ex prima o femel, fecunda i bis & tertia6 femel 5 nam oxi-i-iX2-f-6xi = 8 Q.uartum 27,ex prima o femel, fecunda i ter,tertia 6 ter, quarta 6 femeh nam oxi + iX3-f6x3-f6xi = 27, tfc. idq; Analyfis mihi uni- verfale efle comprobavit. Hxc fuit occafio obfervationionis meae longe alia a Moutoniana^ qui cum in Tabulis condendis laborarer, in hoc cal- culandi compendium cum Regnaldo incidit : nec vel illi vel Regnaldo ad- imenda lausj quod & Briggius in Logarithmicis fuis jam olim talia quae- dam, obfervante Pellio^ ex parte advertit. Mihi hoc fupereft ut addam nonnulla illis indifta, ad amoliendum Tranferiptoris nomen j neq^ enim interefl Reipublicac quis obfervaverit, interefl quid obfervetur. Primum ergo illud adjicio, quod apud Movtomiim non extat, & caput tamen nitu DIgitized by Googl^ rei cft ; quinam fint illi numeri, quorum Tabulani ille exhibet ui infi- • infinitum continuandam, quorum du£lu in differentias generatrices, pro- duftis inter ft iunftis, termini Serierum generentur. Vides enim ex ip- Ib modo quo tabula ab eo pag. 385.' exhibetur, non fuillb id ei latis ex- ploratum 5 alioqui enim verifimile eft ita Tabulam fuiffe difpofituri^ ut ea numerorum connexio atq-, harmonia appareret j nili quis de indu- Itria texilfe dicat ; ita enim fe habet pars Tabulae. 1 2 I 3 2 I (4) 3 3 I 5 4 6 4 I 6 5 10 10 5 I 7 6 ty 20 *5 6 8 7 2t 35 35 21 9 8 28 5 .1 I t vr • *r* Vi" *ii* 6^ c, ^c. c. Multa alia circa hos numeros obfervata fune a me, ex quibus illud emi- ner, quod modum habeo fummam inveniendi Seriei Fra£lionum in infi- nitum decrelcentium j quarum numerator Unitas, nominatores vero nu- meri illi Triangulares aut Pyramidales, aut Triangulo Triangulares Vt- *yideV!ikhiVi\TriangulumArithmeticumj Parifiis^»»J 1^65' editumy pag. x. ali definit ionum »ntefenultimn hac ejl. Le rombre le cbaqttt ceUuk efl egal a celttj de la ceUvle qui Ia precede dane fon rang perpendicubire, plus a celuy de la cellule qui la precede dant Jon rang parallele. Ainji la cellule F, c^efl a dire le numine de Ia cellule F^ egale la cellule C plus la cellule £ ^ (St ainfi des autres. J» jeriniis etiam Reg. Societatis ajfervantur Autographa quinque Epiflolarumy a D. Leibnitio ad D. Oldenburgutn eodem Anno 167) (criptarum \ prima autem Londini data efi Februarii 20, reliqua vero Paridis Martii jo, Aprilis x6, Maii 34, et Juoii 8. Omntumquey fi fecundam exciptaSy exemplaria leguntur in Libro Regia Societatis Ny6. Pag. 34, loi, ixo er 137. (^inetiam dua alia D. Lelbnltii ad Oldcflburgutn Epifiolay altera Anno 1674 Julii 15, altera Oftob. 16 fequentey Paridis datay leguntur in. Lib. Epifi» Regia Societatis N°. 7. pag. 93 et i iCy eademque reperiuntur imprejft in Tomo tertio Operum MathemtUi* - carum D. J. Wallis. £x harum priore 1 5 Julii data. Alta mihi Theoremata funt, momenti non paulo majotis. Ex qui-' bus illud imprimis mirabile eft, cujus ope Area Circuli, vel Seao- tis ejus dati, exaae exprimi poteft pei Seriem quandam Numerorum rationalium continue prrau£lam in indnitum. Sed & Methodos quat dam Analyticas habeo generales admodum 8c late diias, quas majoris facio quam Theoremata particularia 8c exquifica. . Ex pofieriore 26 Oftob. data. PORRO, in ea Geometrise parte. rem memorabilem mihi evenille' nuncio. Scis D. Vicecomitem Brounherumy 8t Cl. Nic. Mercatorem exhibuide Infinitam Seriem numerorum ration^ium, fpatio Hyperbolae L aequalem. r 38 ) arqualcm! Sed hoc in Circulo efficere haClenus potuit * nemo. Etfi enim illi Bromkertu K VaUifm dederint numeros rationales magis ma- gilque appropinquantes j nemo tamen dedit [/mo wterque dedit-, fed forte rtoH ejttt fmfu,'] Progreffionem Numerorum rationalium, cujus in infini- tum continuatz fumma iit exade xqualis Circulo. Sed vero mihi tan- dem feliciter fucceffit. Inveni enim feriem Numerorum valde fimplicem, cujus fumma exafte xquatur Circumferentis Circuli j polito Diame- trum effe Unitatem. Et habet ea Series id quoque peculiare, quod mi- ras quaiclam Circuli 8c Hyperbolz exhibet harmonias. Itaque Tetrago- nifmi Circularis Problema, jam a Geometria traduftum eft ad Arithme- ticam Infinitorum. Quod haUenus frultra quzrebatur. Reftat ergo tantum, ut DoUrina de Serierum feu Progreflionum numericarum fum- mis perficiatur. Quicunque haUenus Quadraturam Circuli exaftam ^zfivere j ne viam quidem aperuere per quam eo «rvenire polle Ipes fit. ^od mnc privaivt a me faSum dicere au/im. Ratio Diametri ad Circumi retiam exa£le a me exhiberi poteft per Rationem, non quidem Nume- ri ad Numerum, (id enim foret ablblute inveniflej) fed per rationem Numeri ad totam (pandam Setiem numerorum rationalium valde fimpli- cem 8c regularem. Eadem Methodo etiam Arcus cujullibet, cujus Sinus datur. Geometrice exhiberi per ejufmodi leriem, valor'poteftj, nullo ad integrz Circumferentis dimenfionem recurfu. Ut adeo necefle iion fit, Arcus rationem ad Circumferentiam nolle. * CiUiniHf jam ante quadrennium Series Kevtmimat, ante triennium Crtgtrlanae cum Amicis communicare coepit. Lrilmitrhi in jtngUm diverfabatur Anno fuperiore &hurufinodi Series nondum communicaverat, nec prius cum Amicis commu. nicare coepit quam sAiOUtnburgt acceperat, ut mox patebit j neque alias communicavit quam quas acceperat. Methodum exhibendi Arcum cujus Sinus datur Ltibnitim ab Oldtnburtt poftea quscfivit M»ii \ : l6-]6- Excerfta ex Epiftok D. Oldenbin^ ad D. Leibnitiam, Mno 1^74, 8 Decembris data, cujus ajfervatur Autographum. Eadem autem legitur inter Bpiflolas Regis Societatis, Lib. N». 7. pag. 119 ; epque refpon/um ad Uteros O. Leibnitii i6 Oftobris procedentis datos. QU O D de profe£lu in Curvilinearum dimenfione memoras bene fe habet: led ignorare te nolim Curvarum dimetiendarum rationem 8c Methodum a laudato Gregario, nec non ab Ifuco Nevtono ad Curvas quallibct t Digitized by Coogie (39) quaflibet tum Mechanicas,' tum Geometricas, quin 6c Circulum ipfum le extendere, ita fcilicet ut fi. in aliqua Curva Ordinatam dederis, iftius Methodi beneficio poflis Lineae Curvae longitudinem, Aream figursc, ejufdepi centrum Gravitatis, .Solidum rotundum ejulq; fuperfi^iem five ereftam five inclinatam, folidiqj rotundi legmenta fecunda 5 horumq; omnium converla invenire ; quin & dato quolibet arcu in .^adrante, Logarithmicum Sinum, Tangentem vel Secantem, non cognito naturali, -& cbnverfum cotnputare, Qu<^ vero ais neminem ha^enus dediffe pro- ^eflionem numerorum rationalium, cujus in infinitum continuatae fum- -ma fit xqualis circulo, id vero tibi tandem feliciter fuccdliile, de eo ■quidem tibi gratulor, &c. • • ' . , Ex EpifioU D* * LeiSnitii ai D, 30 Martii data. Ext at Autog\ ^ ^ ^ firipta inter Epifiolas Reg. Soc, 7. pag, 21 Hac autem re- fponietur ai fupraiiSfas Oldenburgi Uteros 8 Decembris proci- dentis datas» : . jr i ■ • Oldenburg, PariGis, Anno 1^75-, 'aphum feriptoris ; et repentur de* SCribis clatiflimum'AVto»»w veftrum habere methodum exhibendi Quadraturas omnes, omniumqj curvarum fuperficierum & folidorum ex revolutione genitorum dimenfiones, & centrorum gravitatis inventio- ijes,, per. appropinquatiop^ fcilicet, ita , enim iqrerpretor. Qua: metho- dus .fi eft univerlalis & commoda,, meretur sftimm j nec dubito fore ingeniofiflimo Authore dignam. Addis tiile quid Gregorio innotuifle. Ex EptItoU D. Oldenburg ai D. Leibnitium, Anno 1675, 15’ Aprilis datay cujus habetur exemplar inter EpifloUs Reg. Societatis A^®. 7. pag. 216. Hac refponietur ai D, Leibnitii Martii procedentis datas : Anglice 'autem extat manu D. Collins defignata ac 10 Aprilis data, eamque Latine tranjluUt D.Oklen- burg & ad D. Leibnitium m/Jit. DCollhius, prxmifla filute, quee fcquiintur remittit. Primo • Cl. Gregorhm in poftrema fua ad Illuftrem Hugevium refponfione Seriem fuppeditaffe ad femicircuraferentiam circuli inveniendam quic talis. Pone Digitized by Googie ( 40 ) Pone radium dimidium latus quadrati Infcripti circulo = bigitized by Googie ( 4+ ) -£jf EpifioU D. Lelbnitii ad D- Oldenburg, Parifiis 1675, 12 Julii ^4/4. Hujus extat Autographam ; habet urque Exemplar ejiu i» Lib. Epi(l. Reg Societatis N<> 7. pag. 149. Refponfum au- tem efl ad Liter.u pracedentes D. Oldenburgi, impre(fa legitur inter opera, D. VValiifii, In hac perperam fcnbitur Parius pro Darius. MF.thodum Celeberrimi Nevtoni, radices Aquationum inveniendi per Inlfrjmcntuin, credo differre a mea. Naqueenim video, in mea, quid aut Logarithmi aut Circuli concentrici conterant. Quoniam ta- men rtm Vubis non ingratam video, conabor ablblvere, ac libi commu- nicare, quamprimum otii fat erit. Scriplifti aliquoties, Veltrjites omnium Curvatum dimenfiones per appropinquationem dare. Velim nofle, an poiBnt dare Geometrice Di- meiitiunem Curvx Ellipleos vel Hyperbolae ex data Circuli aut Uypet- bolx quadratura. Ex Epiflola D. Oldenburgi aJ D. Leibnitium, 1675, ^oSep- temb. data. Cujus extat Exemplar manu D. Oldenburg deferip- tum. Legitur etiam in Lib. Regia Societatis N°. pag. ^ Rejponfum eji ad pracedentem. SCjiptum quoddam Belgicum Belga quidem Georglus Mohr vocatus, Algebrz Oc Kl^rhanUi» piubc perttus, apud Cbllimum noftrum reli- quit, qui apographum ejus, quale hic infertum vides, impertire tibi voluit Tfcbiirnhaujiiu nuper Parifios hinc profeflus eft, & te fine du- bio jam falutavit. — Scire cupis an dare noltrates Geometrice Bjfiint dimenfionem Curvx Ellipleos aut Hyperbolx, ex data Circuli aut yperbolx quadratura. Ait Coi/rnrnr illos id prxftare non pofle Geome- trica prxeifione, fed dare eos pofle ejufmodi approximationes qux qua- cunque ouamitate data minus a fcoi» aberrabunt. Et fpeciatim quod attinet aliciijus arcus circuli reftifkationem, impertiri tibi poterit lauda- tus rfcbiimhjufius Methodum a Gregario noftro inventam^ quam curo apud nos efiTet, ColUtihs ipfi communicavit. Ex -«• Digitized by Googie ( 45 ) Ex £^/^0/4 D.Lcibnitii D. Oldenburg, Parifiis 28 Decembris Anno 167J data. Ext at Autographum ejus, defcrtbiturq\ in Lib. Reg. Societatis N°. 7. pg. 189. & a D. Wallifio imprejfa ejl. Quod TfcbUmbav/ium ad nos mlfifti, fecifti pro amico: multum enim ejus confuetudine deleUor, tSc ingenium agnofco in' Juvene priclarum 8c magna promittens. Inventa mihi oftendit non pauca, Analytica 8c Geometrica, fane perelegantia. Unde facile judico, quid ab eo e::peibri poflit. . ^ Habebis & a me Inftrumentum JEquationes omnes Geometricas con- ftruendi unicum j Et meam Quadraturam Circuli ejufque partium, per Seriem Numerorum Rationalium infinitam •, de o^ua aliquoties Icnpfi, & quam jam pluiquam Biennio abhinc Geometris hic communicavi. Ex Epiflola D. Leibnitii 4^ D. Oldenburg, Parifiis 12 Maii no 1676 data, cujus Autographum in Jcriniis RfgU Societatis af- fervatur, cum Notis manu Oldenburgi m tergo jcnptis. CU M Georgius Mobr Danus £ Jiiperius Eelga ]] in Geometria 8C Analyfi verfatiflimus, nobis attulerit communicatam fibi a Doaif- fimo CoUhiio veftro expreflionem relationis inter Arcum & Sinum per infinitas Series fequentes : Polito Sinu *, Arcu z. Radio i. X = » + + ^«< + A”’ + Tif." , = X - i .■ + «• Hjcc^ Induam, cum nobis attulerit ille, qui milii valde ingeniofa videntur 8£ pofterior imprimis Series elegantiam quandam fingularem . habeat ideo rem gratam mihi feceris, Vir ClarilTime, fi demonftratio- nem mnEmifetis. Habebis viciflim mea ab his longe diverfa circa hanc rem meditata, de quibus jam aliquot abhinc Annis ad te perfcnpfilTe credo, demonfttatione tamen non addita quam t nunc polio. Oro ut Cl. Collinio multam a me falutem dicas : is facile tibi materiam fuppedi- tabit fatisfaciendi defiderlo meo. . • Quafi ante Annum eafdem non accepIlTet ab Ohi/nhr^. . t Opufculum praidiQum de Quadratura Arithmetica D. Le.tmuui polire perrexir. N Ex Digitized by Google r+«) Ex EpifioU D» Collins ad D. Oldenburgum, D. Leibnitio tum Parifiis agenti tranfmittenda. Hujus exemplar^ Anno i6j$ 14 Junii, manu ipjius D, CjQ\Xit\s defcriptunty ac in /criniis ejus repertum eliamnum confervatum eft» U Elpondeas, fi placer, ad ea quae quaerit D. Leihitm in Literis ejus 1 2 iWa/; datis, Seriei orimae numeros Coefficientes — -1 -L _15. ’ tum : unde intelligi pofTic hanc Seriem elegantia minime cedere converlac cjjluem, qnac lamen riii magis irridec. Meditata ejus de eodem Argu- mento, cum fundamentis plane diverfis innitantur, non poflunt nobis non efle accepr fii na ^ atque exoptamus ej fidem nolfram exuperare pofie. Hujus a./rem Merhodi ea eit maeltantia, ut cum tam late patear ad nullam harreat difficul ratem Gregarium autem aliofque in ea fuifle op niorfe arbitror, ut quicq iid ufp'am antea de hac re innotuit, quali dubia diluculi lux fuit, fi cum meridiana claritate conferatur. HOC Anvo cum D. Gregorius emortuus efjet^ qua cum Amicis cmmunU caverat in umm corpus folicitante D. Leibnitio colleSa funt. Et ex* tat colUSio manu D. J. Collins exarata^ cum boc Titulo 5 '^Excerpta ex D. Gregorii Epiftolis cum D, Leibnitio communicanda^ tihiqne pofi^uam perlegerit ille reddenda. Et fic orditur. f^Uandoquidem impenfe rogafti me, permotus folicitationibus D. Leib- nitii & aliorum ex Academia Regia Parifina^ ut Hiftoriolam aliquam concinnarem. Studia S Inventa dofliflimi D. Jacohi Gregorii nuper de- funfti exhibentem 5 quoniamque at£la inter nos amicitia, crebraqueduni hoc modo compofitos atque ita deinceps in infini* f £). H. Oldenburg Armigero, * viveret ( 47 ) viveret literarum reciprocatio fuit : In honorem Nominis ejus, quatcunqj majoris momenti in literis ejus occurrunt, fumma fide in unum colligere llatuo, &tc. * Extrtlh frm Mr. Gregory’$ Litttrs, tt ie Int Mmjinr Leibnin ti ftrufe ; ■mht M dtjtrtd tt ntum tht faynt tt jtu. t 71) H. Oldenborg, Efjuire. S I R FOrafmuch as you have much prelled rae your felf, being inciced thereto by the earneft Derires of Mr. Ltilmitx. and otbers of the Royal Academy at Ptru, to glve an Account of the great Palns and Attainments of the late learned Mr. Jtmtt Crtgtry, deceas’d ; there being a great Friendihip, and frequent Correfpondence be- twcen us in his Life time ; 1 fliall for the Honour 1 bear to his Memory, impartially give you an Account of the moft material PaiTages in his Letters. In bac ColkSlone bahetur EpiJfoU fuperm impreja, qua Gregorius §ua- iratvram pradiSam jtrhbmeticam initio Anni 1671 cmn D, Collins commu- nicjvit : Habetur £?' Epifloh D. Newtoni ad D. G)llins, lo Decemb. 1672 data, Cf fnp-rhu impreffa^ tn Nevi tonus fe Methodum generalem habere dicit ducendi Tangentes^ quadrandi Curvilineas, O’ fmilia peragen- di ’ Methodum Exemplo ducendi Tangentes exponit : quam Methodum IX . Leibnitius differentialem pojlea vocavit. Ex EpilioU D, Collins ad D. Davidem Gregoriutn pradiBi Jacobi Gregorii rtuper defunBi fratrem. Data autem efi Auao 167 6y ir Augufti, ejuff, hdetur exemplar manu ipfius I?.. Collins de- fcriptum. Hlftoriolam compofui, qua in unum congelll quaccunq; unquam z- Fratre tuo de rebus Mathematicis, vel litetis alialve Icripto, vel colloquio acceperim : eo fine ut eandem fcriniis Re|iat Societatis (ciyus erat fodalis) commiflam fic affervatam, Amici qus infpicere poflint, vel fi libuerit Ibluto pretio tranfcriptam habere. Confiat autem duode- cim circiter fchedis. Me vero nihil omififle quod alicujus momenti cfle poterit, fi nonnulla cum Hugenio aliifvc controverla excipias, aras facras juraturus contingere aufim. Mathematicis Gallis quoufque profecerat, quzque reliquerat Frater tuus, fcire aventibus, me operam d^ifie ut iis utisfacerem ex fequentibus comperies. Sub fnem autem extumioris hujus i Epifiola, hac fubjunxerat D. Collins. Eruditi, Digitized by Google U8 ) Eruditi ex Academia Regia Vartfievfi^ audita D. Gregcrii morte, cupi- i de fcifcitabantur ea qua: moriens reliquerat j fimulq; narrationem eorum qua: attinent doftrinam Serierum infinitarum apud nos repertam pete- bant : Sequentem ideo ad eos tranfmittendam curavi, ac deinde ad Davi- dem Gregarium Fratrem Jacobi fuperititem. Quod attinet Doftrinam Serierum infinitarum ; Mercator in Logarith- motechnia fua primum Specimen ejus orbi exhibuit, applicando eam ad Hyperbolre Quadraturam tantum, & ad Logarithmorum ConltruOioneirj, ablque radicum extraftione. Hanc ipfam ejus doflrinam a D, 1f'alltfio in TranfaQ. Philofoph. illuftratam habemus ; eamque poltea adauxit tsc promovit D. Gregariut in Exercitationibus ejus Geometricis eodem anno editis. '■ Paucos poft mcnles quam editi funt hi Libri, mifli funt ad D. Barro- vium Cantabrigi& : ille autem refponfum dedit, hanc infinitarum Serierum doftrinam Jam ante biennium a D. Ifaaco Newtono inventam fuiffe, Sc quibufvis nguris generaliter applicatam j fimulque tranfmifit D. Kew^ tmi opus manuferiptum, a D. Collini deinde cum D.Vicecomite Brounker 'Regia: Societatis tum Praefidi communicatum. Barrovio autem cathe- dram Mathematicam abdicante, Nevtonus ab eodem commendatus in •fucceflbrem qus eleClus eft, & de hac Do£irina publice pralegitj Lc£t- ionelque ejus in Bibliotheca publica Cantabrigievfi aflervantur. Coltint deinde, mediante D. Birrrovio, D. Kewtano familiaris faftus II- terarum commercium cum eo habuit j & ab eo Epiltolam obtinuit 10 Decembris 'Anno 1672 datam, qua docet modum ducendi Tangentes ad Curvas Geometricas, ope iEquationis qua relatio inter Ordinatim ap- plicatas & Ablciflas exprimitur. Vide Eptftolam banc pag, 29, 30. Collins etiam in diverfis literis Anno 1669 ad D. Gregarium datis^ ei- dem fignificavii Newtoni in hac materia fuccelTus. Gregarius autem con- tra, fe quoque plures habere pro circulo Series ; fimulque petiit nonnul- las e Newtonianis, quas cum propriis conferre voluit, ad fe mitti. Mifit igitur aliquas D.Collins, quas Gregarius a fuis prorfus diverfas, 8c faciliores calculoque aptiores inveniens, haud levi ftudio in eandem ipfam Newtoni Methodum incidit, circa -Annum exeuntem 1670: ficui ipfe aperte in Epiftola 1 9 teftatur. R^.23. Cum D. Leibnitius Methodum perveniendi ad Series Anno fnperiori fibi mijfas dejideraret, Cf ut Gregoriana omnia Lutetiam Parifiorum mitteren- tur : Oldenburgus Cf Collins Newtonum enixe rogarunt ut ipfe Metho- dum fuam deferiberet cum D, Leibnitio communicandam. ' j EpifloU I Digitized by Coogie EfifioU frior D. Ifaaci Newton, Mathefeos Profejforu in Celeberri- ma. Academia Cantabrigienfi ; ad D. Henricum Oldenburg, Regalit Societatii Londini Secretarium ; ij Junii i67<5, cum ' Ulufirifpmo Viro D. Godfredo Guilielmo Leibiiitio {eo mediante) communicanda. Literis Oldenburgi, (a6 Junii) ad Leibnitiuni mijfa. QUanqaam D. Leibnhn modeftia, in Excerptis quat ex Epiftola ejus ^ad me nuper mififti, Nofiratibus multum tribuat circa Speculatio- nem quandam Infinitarum Serierum, de qua jam coepit effe rumor : Nul- lus dubito wmen quin ille, non tantum, quod ajferit. Methodum redu- cendi Quantitates qualcunque in ejufmodi Series, fcd & varia Compen- dia, forte noftris fimilia fl non & meliora, adinvenerit. Quoniam tamen ea fcire j^velit qua ab Anglis hac in te inventa funt j & ipfe ante annos aliquot in hanc Speculationem inciderim : Ut votis gus aliqua faltem ex parte fatisfacetem, nonnulla eorum qua mihi oc- currerunt ad te tranfmifi. FraUiones in Infinitas Series reducuntur per Divifionem j & Quanti- tates Radicales per ExtraUionem Radicum i perinde inftituendo Opera- tiones iftas in Speciebus, ac inllitui Iblent in £>ecimalibus Numeris. Hac fune Fundamenta harum JleduUionum. ■ Sed ExtraQiones Radicum multum abbreviantur per hoc * Theorema. = p" + AQ Ba+ ca+ Da-F &c. Ubi P -F PQ. fignificat Quantitatem cujus Radix, vel etiam Dimen- fio quavis, vel Radix Dimenfionis, inveftiganda eft. P, Primum Ter- minum quantitatis ejus } Q., reliquos terminos divifos per primum. Ety, numeralem In^cem dimenfionis ipfius P-F PQ.: five dimenfio illa Integra fit, five (ut ita loquar) FraUa j five Affirmativa, five Ne- gativa. Nam, ficut Analyfta, pto patebit fubftituendo in alla- tam Regulam, i pro «, f pro m, c» pro P, & pro Q, Poteft etiam—** fubftitui pro P, 8c"-^ proa Et tunc evadet v^TTTi+^v^.. j_ ^ ^ ™odus eligendus eft fi X valde parvum fit i pofterior, fi valde magnum. Exempl. 3. Eft (hoc eft, N x_yj_,*yl-T) aqualis N«-^ + ^ + |f+lff>'- ‘i=-5- » = -i. «=3. A(P" hocefty. B (=-fAa=-T>«y 5c_") = 8CC. ^ n' 3>’ Exemplum 4. Ra^i* Cubica ex Quadrato quadrato ipfius d 4- e, (hoc eft, 5+;i^) eft «lU ^ ^ ^ + 8tc. Nam P = i. Q. = f . WS4. n=3* A( — P*)=d^, 8tc. Exem- Digitized by GoogI ( 5r ) EiefflpL Eodein modo fimplices etiam poteflates eliciantur. Ut, fi quadraco-cubus ipfius d + c, (hoc eft, feu defideretur : Erit juxta Regulam, P = d. Q.= -f. w = 5. & « = i. Adeoque A (=P^)=d'. B (=7AQ) = f d'*<. &ficC=iod‘«a. D=iodde». E =: f dif*. F = e’. & G (= ^FQJ = 0. Hoc eft, T+T,!? = d‘ + 5 i* e + 10 d‘«e + IO dde’ + 5 de* + Exempl. 6. Quinetiam Divifio, Cve fimplex (It, five repetita, per eandem Regulam perficitur. Ut fi (hoc eft, five in feriem fimpliclum terminorum refolvendum fit : Erit, juxta Regulam, Y=d. Q.= 7. wi = — i. w= i. 8c A(=P“ = d"T) = d" fcu -f. B(= ^AQ= — ix-^x-f)=-^. EtficC= D=-j^&c. Hoc eft, jh = -ir- ^ ^ per d + f, vel + 8£c." Exemp. Sic 8t 7+71-’, (hoc eft. Unitas ter divifi femel per cubum qus) evadit — -y- +-^‘ — H Exempl. 8. Et N x (hoc eft, N divifum per Radicem cubi- cam ipfius d + 0 evadit N x -p p + _ ^4^’ ,i\ id? ' ydi" 81 d^' + &C. Exempl. 9. EtNx7+;|~^, hoc eft, N divifum per radicem qua- drato-cubicam ex Cubo ipfius i^e, five ) evadit VT * - ii. 4. ilii — 4. &c ^dl 5dr 25 d'^ 125 d'T Per eandem Regulam, Genefes Poteftatum, Divifiones per Poteftates aut per Qpantitates Radicales, & ExtraUiones Radicum ahiorum in Nu- meris, etiam commode inftituuntur. ExtraBiona Radicum JEquationum ASeUarum in Spwiebus imitantur earum Extraftionem in Numeris. Sed Methodus Vieta £5' Ovghtredi noftri huic negotio minus idonea eft. Quapropter aliam excogitare adaGus fum, cvjiu fpecimina, ne repetantur^ vide in IraQatu de Analjfi, Cfc. Diem Digitized by Googie ( 52 ) Dicam tantum in genere, Quod radix cujufvis ^uationis femel ex- tra£la, pro Regula refolvendi conGmiles zauationes afl«vari polIic ; quodque ex pluribus ejufmodi Regulis, Regulam Generaliorem plerum- que efiormare liceat ^ 8c quod Radices qmnes, five Gmplices fint five aiie£lz, modis inGnitis extrahi polTint j de quorum fimplicioribus haque iemper confulendum eft. (Quomodo ex Aquationibus fic ad Infinitas Series reduflis, Arez & Longitudines Curvarum, contenta & Superficies Iblidorum, vel quorum- libet Segmentorum figurarum quarumvis, eorumque Centra Gravitatis determinantur ^ & quomodo etiam Curvz omnes Mechanicae ad ejufhio- di Aquationes Infinitarum Serierum reduci poflint, indeque Problemata circa illas relolvi perinde ac fi Geometrica eflent ; nimis longum foret deferibere. Sufficiat Specimina q^uzdam ulium Problematum recenfu- ilTe : Inque iis, brevitatis gratia, literas A, B, C, D, &c. pro terminis Seriei, ucut fub initio, nonnunquam ufurpabo. . I. Si ex dato Sinu Re£lo, vel Sinu Verlo, Arcus defideretur : Sit ra- dius r, & finus reflus x : Eritque Arcus = x ^ ^ .1^ &c. Hoc eft, = X + -f &c. Vel fit d diameter, ac x finus verfus } & erit Arcus = ^ &c. Hoc eft, = -/ix in 1 + ^ + &c. llia* — -U 3 V 6Jr 4orfl’ 2. Si vicifiim ex dato Arcu defideretur Sinus : Sit radias r, 8c ardis z: Eritque finus redus =: *_ ^ Et finus verfus Hoc eft, = X ZX 2 X 3 rr 9340 r .-55-B— '-^C — 8fc. 4X5rr 6x7 rr = -t- -b&c, Hoceft,-^- ar 24r> ~ 7ior« 4032^’ ~ ‘>i»2r J«4rr 5» — s U - 7 ^» — 9 8cc. . Ubi n fignificat numeram di- 2^ 4^^ 6 ^ tS ^ 10^ menfionum ipfius c in denominatore iftius fupremi termini. E.g. ut ter- minorum infra numerales coefficientes inveniantur, pono « == 6, ducoque ^ (numeralem coefficientem ipfius ) in hoc'eft in 1 •, & prodit ^ numeralis coefficiens termini proxime inferioris : deiii duco hunc Vr in five in hoc eft, in i- ; & prodit ^ nume- ralis coefficiens tertii termini in ifta columna. Atque ifta ^ x * tj * ® facit numeralem coefficientem quarti termini 3 & -j-f- ^ facit ..^■y numeralem coefficientem infimi termini. Idem in aliis ad infini- tum ufque columnis pracitari poteft : Adeoque valor ipfius DG per hanc Regulam pro libitu produci. . P - ; •.* . . Adhac, Digitized by Googie ( 5+ ) BG :icus $ * . z r ,■ '• J . 1 ’■ iU y V 4 ,S >-x* 9 e' f '>0.. ?oe ir VX : .+ *’ 'ei 7 . < • ijjLii: I1 • 9n Quare, fi ambitus totius Elfipi^s defidirretur j Brfeca quire Arcum DG per prius Theorema, & Arcum BG per poflerius. ’ 6. Si, vice verfa, ex dato Arcu Elliptico DG quiratur Sinus ejus CFj - j?rv* CB* tum difto CD = ^ = c, & Arcu illo DG,^ v erit -i; - •’ .1 . ■ ^ -'GF ^ X • tcc 10 rei i4rrc^. &c. . .]'i ; 120 C* ? + 420 rc t m 5040 c* Qui autem d4 EllipG di€la funt omnia, facile accommodantur ad Hyperbolam i mutatis rantum fignis iplb- rum e 8c e, ubi 1‘unt- Imparium dimenfio- num. 7. Prircrea, fi fit CE Hyperboli, cujus Alymptoti AD, AF reftum angulum FaD conftituant •, &L ad AD erigantur utcunque perpetidicuIa.BC, DE occurrentia Hyper- bola: in C 8c E : 8C AB dicatur a, BC b, & Area BCED z j Erit BD = 4 + + 6^ + + ,1^477 + 8tc. Ubi Coefficientium Denominatores prodeunt multiplicando terminos hujus Arithmetici Progreffionis i, 2, 3» 4» S» 8cc. in fe continuo. Et hinc ex Logarithmo dato poteit Nu- merus ei competens inveniri. 8. Efto VDE Quadratrix, cujus vertex eft V ; exiftente A centro, & AE femidiametro Circuli ad quem aptatur, ac angulo VAE reclo : De- milloque ad AE perpendiculo quovis DB, & aQa Quadratricis Tangente DT occurrente axi tjus AV in T : Dic AV = a, & AB = x-, Eric- N B -AD que DB = « — id — — M ta 45<»> H50' VT + + + &c. Kc. Et Et Area l\ \r T AVDB Digitized by Google AVDB = «-f’- 94 j;T 2254* 2*^ &c. Et Arcus VD = X + Ai! 2744 + ^ viciflim, ex dato BD, vel VT, aut Aiea AVDB, arcuve VD, per Refolutionem afFeftarum aquationum erui potell X ftu AB. 9. Efto denique AEB Spharoides revolutione Ellipleos AEB circa axem AB genita, & lefta Planis quatuor, AB per axem tranleunte, DG parallelo AB, CDE perpendiculariter biftcante axem, K FG parallelo CE ; Sitque refla CB = a, CE = c, CE = x, & FG = j .• Et Spha- roideo? fegmentum CDGF, difl.is quatuor Planis comprehenfum, erit Ubi numerales Coefficientes fupremorum terminorum (2, — T ^ &c.) in infinitum producuntur, multiplicando primum coefficientem 2 continuo per terminos hujus progteffionis — LLI 5JLZ -2JLL 6tc. Et numerales coeffictentes terminorum in una- 6xr>-«*9 > 10*11 > . . ^ , 1 • I- . quaque columna defcendentium in infinitum, producuntur multiplicando continuo coefficientem fupremi termini, in prima columna, per eandem progreffionem i in fecunda autem, per terminos hujus jri > K! J . , 8cc. in tertia, per terminos hujus > ^cc. in quirta, per terminos hujus , ffj , &c. in quinta, per termi- nos hujus , 8cc. Et fic in infinitum. Et eodem modo fegmenta aliorum Solidorum dejignari, 8c valores eo- rum alitando commode per Series quafdem numerales in infinitum pro- '^'^Ex^is^ videre eft quantum fines Analyfeos per hujufmodi infinitas aquationes ampliantur : Quippe qua, earum beneficio, ad omnia pene dixerim problemata {, fi numeralia Diopha«ti & fimilia excipias) fefc extendit. Ncn ( 5? ) Non tamen omnino nniverfjlis evadit, nifi per ulteriores quafdam methodos eliciendi Series infinitas. Sunt enim qujedam Problemata in quibus non liceat ad Series Infinitas per Divifionem vel Extraftionem Ra- dicum fimplicium afteftarumve pervenire. Sed quomodo in iftis cafi- bus procedendum fit, jam non vacat dicere j ut neque alia quaedam tra- dere, quae circa Reduftionem Infinitarum Serierum in finitas, ubi rei na- tura tulerit, excogitavi. Nam parcius feribo, quod hat fpeculationes diu mihi faftidio efle coeperunt, adeo ut ab iildern jam per quinque fere annos abdinuerim. Unum tamen addam : quod poftquam Problema aliquod ad Infinitam .Aquationem deducitur, ^flint inde.variac Approximationes, in ulum Mechanica, nullo fere negotio formati 5 qua, per alias methodos qua- fita, multo labore lemporifque difpendio conflare fblent. Cujus rei exemplo elTe poffunt Traflatus Hugenii aliorumque de Qua- dratura Circuli. Nam, ut ex data Arcus Chorda h; 8c dimidii Arcus Chorda B, Arcum illum proxime affequaris 5 Finge arcum illum efle i, 8c circuli radium r j juxtaque fuperiora erit A (nempe duplum Sinus + *' iXl5xi£xiior' 2X \6x6rr ^ — 8cc. Duc jam B in numerum fiflitiiim », & a X i6x6t produfto aufer A, 8c refidui fecundum terminum^ (nempe — - j * ' ~x ^ _ vel -f &c. DB-.AD:: Finge ergo AG = U—ix : & vicilfim erit DG (! J—ix) : DB : : DA : AE — DB Qparc Digitized by Googlc ( 57 ) Quate AE — DB = + -^ + ^ + »c. Adde DB 5 » ptodit ^ “idi Joorf» X < Z J. JiL 4. 4 4 &c. Hoc aufer de valore ipfius 6d'* 40 A j in DP cape MD = ac ad D & M erige perpendicula D^, MN occurrentia femicir- culo fuper Diametro AP deferipto : Eritqj lAniA? X 4 AD =BM proxime : Vel pro- ximius,crit‘''^’^+-^x 4AD = BM s fi modo capiatur DM = CantabrlgiA Junii 15. l6‘}6. Tuus, &cJ IJ\ Newton. EpiJloU Digitized by Googie EpifloU D. Lcibnitii' ad ■ D. Oldenburgum, 27 Auglifti 1676 datj, cttm D, Newtono com^un/canda. CUrifJim FirOy D. Hcnrico Oldcnburgio, Godefredus Guiliclmus Lcibnitivi>.; . ^ ; < . • t ^ 1 • LIteicc tuae, die 26 datae, plura ac.memoraWliora, circa rem Ana- lyticam continent, quam, multa volumina fpilla de his rebus edita. Qtiare tibi pariter ac Clarillimis Vi^is Ncwtmo ac Collinio gratias ago, qui nos participes tot meditationum egregiarum efle voluittis. ’ Inventa Nevtoni ejus ingenio digna funt, quod. ex Opticis Expetimen. tis & Tubo Catadioptrico abtjnde eluxit. Ejulque methodus inveniendi Radices TEquationuin. Areas' Figura- rum, per Series Infinitas, prorfus differt a mea : Ut mirari' libeat diverfi- tatem itinerum per quat eodem pertingere licet. ! MercaUtr Figuras Rationales, feu in quibus Ordinatarum valor ex datis Abfeiflis rationaliter exprimi poteft, ( ut Icilicet indeterminata Quantitas in vinculum non ingrediatur,) quadravit } 5c ad, Infinitas Series reducere docuir, per Uivifiones. Newtomu autem, per Radicum ExtraUiones, Mei Methodus Corollarium eft tantum' doUrinac generalis de 7ra*i/,r. matiombus ^ cujus ope Figura propofita quzlibet, quacunque .Aquatione explicabilis, tranEmutatur in aliam Analyticam zquipollentem ^ talem ut in ejus ffquatione, ordinatz dimeniio 'non afeendat ultra Cubum' aut Quadratum, aut etiam Simplicem Dignitatem feu Infimum gradum. Ita fiet ut quzlibet Figura, vel per ExtraOionem Radicis ^biez vei Quadratiez, Nevtoni more j vel etiam, Methodo Mercatoris^ per fim- plicem Divifionem 5 ad Series Infinitas reduci queat. Ego vero ex his Tranfmutationibus fimpliciflimam ad remprziratem delegi. Per quam fcilicet ♦ unaquzque Figura transformatur in aliam zquipollentem rationalem j in cujus zquatione, Ordinata in nullam f rorfus afeendit Poteftatem : Ac proinde Ibla Mercatoris Divifione per nfinitam Seriem exprimi poteft. ^ Ipfa porro * generalis Tranfmutationum methodus, mihi inter potifli- ma Analyfeos cenfenda videtur. Neque enim tantum ad Series Infinitas & ad * Hic modus tranEmutandi figuras Curvilineas in alias ipfis xquales, eiufdem eft ge- neris cum Tranfmutationibus Barrntanis St Cregtriaaii. Et Conice Seftiones &ic Methodo femper ad Series Infinitas reduci polfunt per divifiones. Generalis ramen non eft : Nam fi Curva fit fecundi generis, incidetur in aequationem quadraticam • fi tertii generis in cubicam, fi quarti in quadrato-quadraticam, fi quinti in quadrato^ cubicam, &c. priterquam in cafibus quibufdam valde particularibus. Per ex- traftiones vero Radicum Problemata facilius folvuntur abfque Tranfmurationibus Digitized by Googie ( 59 ) & ad ApEroximationes •, ftd & ad folutiones Geometricas, aliaque innu- mera vix alioqui traQabilia infervit. Ejus vero fundamentum vobis candide libereque fcribo \ perfuafus quae apud vos habentur przclara mihi quoque non denegatum iri. Transformationis fundamentum hoc eft : Ut figura propofita reftis innumeris utcunque, modo fecundum aliquam regulam five legem duftis, relblvatur in partes i quae partes, aut alia: ipfis aequales, alio fitu aliave forma reconjunftae, aliam componant figuram priori scquipollcntem feu ejuldem Areat, etfi alia longe hgura conflantem. Unde ad Quadraturas abfolutas, vel hypotheticas Geometricas, vel fetie infinita expreflas Arith- meticas, jamjam multis modis perveniri potefl. Ut intelligatur i Sit Figura AQCDA. Ea, duftis reftis BD parallelis, refolvi potefl in Trapezia iB aD, 2B3D, 8tc. Sed, duUis reftis con- vergentibus ED, refolvi potefl in Triangula E iD aD, E aD jD, 8cc. T A. Si jam alia fit Curva A iF aF jF, cujus Trapezia iB aF, aB 5F fint Triangulis EiDaD, EaD?D ordine refpondentibus aqualia, tota figu- ra AE 3D aD iDA, toti figurae A iF aF ?F ?B A erit zqualis. Quinetiani Trapezia Tr^eziis conferendo, fieri potefl ut iNaP, vel quod eodem redit, Reaangulum iN aP, fit zquale Trapezio re- fpondenti iBaD, five ReFlangulo iBaDitametfi refta iNiP non fit zqualis reftz iB iD, modo fit iN aN ad iBaB ut iBiDadiNiP) quod infinitis modis fieri potefl. Quz omnia talia funt ut cuivis ftatim ordine prqpedienti, ipla natura duce, in mentem veniant ; contineantque Indivifibilium Methodum ge^ rjeralifiime conceptam, nec (quod fciam) haftenus latis univerfaliter ex- plicatam. Non tantum enim Parallelz & Convergentes, fcd & aliz quzcuiique certa lege duflz, reftz vel curvz, adhiberi poflunt ad Refq- lutionem. Quanta autem 8c quam abftrnfa hinc duci polfint, judicabit qui methodi univerlalitatem animo erit complexus, tertum enim eft omnes Quadraturas haftenus notas, abfolutas vel hypotheticas, nonnifi exigua ejus fpecimina efle. Sed Digitized by Googl ( eo ) Sed nunc quidem fuflPecerit applicationem oftendcre ad id de quo agi> tur i Series fcilicet infinitas, 8c modum Transformandi figuram datam in aliam acquipollentem rationalem, Mercatoris Methodo tra^Vandam. AQCA nt Quadrans Circuli : Radius AQ.= r ; AblcilTa A i B = x .• Ordinata iBiD=jf.* liquatio pro Circulo arx — x» =j»’. Ducatur refla AiD: producaturque donec ipfi QC etiam produflat occurrat in iN : Et Q.iN vocetur z. Et ** erit A iB feu x = — : Et iB iD five j = \ • Eodem modo, dufla A aD aN, fi Q.aN = z — /5 (po- r X» * fita fcilicet iN aN = /j) erit A aB j Sc A aB — A i B, five refta iB 2B, erit • Sive, pofita /3 infinite parva, (poft dcfirufliones & divifiones,) erit iBaB = . Habita ergo refla iBiD, fit refla iBaB, habebitur valor Reflanguli iDaB, multiplicatis eorum valoribus in le invicem j habebitur inquam pro valore Reflanguli iD aB. Srfz'$ Sit jam Cun'at 1P2P3P ficc. natura pro arbitrio alTumpta talis, ut Ordinata qus iN iP (ex data ablfcifla Q.iN five z) fit . ijeo quoniam iN aN = erit reflangulum iPaN, etiam *''*^*^ proinde arquale Rcflangulo iDaB, fit fpatium 1P1N3N3P2P1P zquale fpatio Circulari refpondenti iD iB jB ?D aD tD. Eit aurem quarlibet Ordinata NP rationalis, ex data abfciffa QjN j quia, pofitd QN = z, Ordinata NP eft ■ , five 8rV r‘-p jr**.*- Ergo ipOi per Infinitam Seriem Integrorum exprimi potell. Dividendo. Et Spatium talibus Ordinatis comprehenfum, srquipollens Circulari, infinita SCTie numerorum Rationalium, Methodo Mercatoris quadrari poteft. Quod cum facillimum fit facere hic omitto. Neque enim elegantia: fux” fed Methodi Generalis expliandi caufa, hoc exemplum aflumpfi. ’ Ita fiquis loco Circuli mihi dediffet Curvam, in qua Ordinata afcen- diflet ad gradum Cubicum, potuiflem eam reducere ad Curvam, in qua Ordinata non aflurrexiflet ultra Quadratum, vcl etiam ne quidem ad Quadratum. ' Ita- hanc Methodum vulgari more prolixius hic exponit, quam Ana- lyfis ejus nova paucis exliibere potuillet, ideoque Analyfm illam novam nondum invenerat. Digitized by Googl ( ) Itaque lemper, five Extraftionibus Radicum Nevtonhnh gradus cu- fuflibec dati), vel Divifionibus Mercatoris^ poterit cujuflibet Figura: fpa- tium inveniri, interventu alterius atquipollentis. Multum autem ad Simplicitatem interelt quid eligas. Omnium vero poffibilium Circuli, 8£ SeSoris Conici Centrum haben- tis cujuflibet, per Series Infinitas quadraturarum, fimpliciflimam hanc efle dicere aufim quam nunc fubjicio. Sit Q.A iF [Fii. Se£lor, duabus reftis in Centro Q. concurrentibus & Curva Conica A iF, ad Verticem A five Axis extre- mum perveniente, comprehenfus. Tangenti Verticis AT occurrat Tan- gens iFT. Ipfum AT vocemus ti'8c Reflangulum fub Semi-latere R^o in &mMatus Tranfvetfum fit Unitas. Erit t Se£lor Hyperbolae, Circuli vel Ellipleos, per Semi-latus Tranfvetfum divifus, =-7i-Y + 7+ 7 Signo ambiguo + valente + in Hyperbola, — in Cir- culo vel Ellipfi, Unde, pofito Quadrato Circumferipto i, erit Circulus 7 — -J-+ T — T Quae expreflio, jam Triennio abhinc fic ultra a me communicata amicis, haud dubie omnium pol- fibilium fimpliciflima eft maximeque afficiens mentem. Unde duco Harmoniam fequentem ; * Ubi f + Vt + -5V Kc. exprimit Aream Circuli ABCD, 8c4 + 7r + -f- 8tc. aream Hyperbolae aequilaterz BCEF, cum fit BC dupla ip- fius EF, 8c quadratum inferiptum = i, Numeri 8, ly, 24, &c. funt Quadrati Unitate minuti. Vicifiim, ++ ex Setiebus RegrelTuum pro Hyperbola hanc inveni. Si fit nutiietus aliquis Unitate minor i — w, ejulque Logarithmus Hyper- bolicus l Erit w = t — Si numerus fit major Unitate, ut i + « ; tunc pro eo inveniendo mihi etiam tt prodiit Regula, quz in Nevtoni Epiftola exprefla eft i fcilicet erit »i = -|- -E Prior tamen celerius appropinquat. Ideoque t Vid. pag. »5, lin. 10, & pag. 41. lin. 8. ’ Vide A&a Lipllca Fei. ifiSj. • R efficio ‘ Digitized by Googie efficio ut ea pofliim uti, etiam cum major eft Unitate numerus i + Nam idem eft Logarithmus pro i + « 8c pro Unde, fi i + n fit ma- jor Unitate, erit minor Unitate, Fiat ergo i — j« = , ac inventa m, habebitur & i -F n numerus quzfitus. Quod regreflum ex Arcubus attinet, tt incideram ego direUe in Re- gulam, quz ex dato Arcu Sinum Complementi exhibet. Nempe, Si- nus Complementi = i — gcc. Sed poftea quoque depre- hendi ex ea, illam nobis communicatam pro inveniendo. Sinu Refto, qui eft -j &c, pofle demonftrari. Quod tribus verbis fic’fit. Summa Sinuum Complementi ad Arcum, feu omnium * I X 2 1x1x314 "i 1 X2X3 1x2x3x41} Potto, Sum- ma Sinuum Complementi ad Arcum (ieu Arcui in locis debitis infiftenti- um) zquatur Sinui Re£lo du£lo in Radium, ut notum eft Geometris j id eft, zquatur ipfi Sinui Refto 3 quia Radius hic eft Unitas. Ergo Sinus Reftus = -^ — 8cc. Hinc etiam, ex dato Arcu & Radio, fine ulla prorfus aliorum notitia, haberi poteft Arca Segmenti - ----- - - :+ n Circularis duplicati: quz eft— ^ — , — ^ ^ 1x2x3 ix2X}x4xj ' ix2X3X4X}x6x7 Unde optime Segmentorum Tabula ad Gradus 8c Minuta &c. calculabi- tur. Pro Trigonometricis autem operationibus, percommoda mihi videtur hatc expreffio : Ut Sinus Complementi c ponatur = * — 7^ + —*** ._ j quoniam Ibla, memoria retenta, omnibus cafibus 8c operationibus, di- reftis fcilicet fimul 8c reciprocis, fufficit j Quod ideo fit, quoniam •Quatio c=i — plana. Unde fi vkiffim quzras Arcum ex Sinu Complementi, radix extrahi poteft •, adeoque fiet Arcus <* = '^6— exafle fatis ad ufutn eorum qui in itineribus Tabu- larum commoditate carent j quia error aquationis non eft tt N.B. Methodum perveniendi ad has Series Uihnitim a Kmtm» fam modo acce- perat, idque ex ipfius rogatu. Imo Series ipfas a Nmtmt una cum Methodo perve- nien^ ad eafdcm jam modo acceperat, & pro Hyperbola fignum tantum mutavit s pro Circulo Sinum Verfum a acceptum fubdiuit a JGdio, ut haberet Sinum complementi. Innu- Digitized by GoogU ( ) Innumera alia pollent dici, qoz his fortaile elegantia 8c exa£iitudine non cederent. Sed ego ita fum comparatus ut plerumque, Methodis Generalibus deteftis, rem in poteftate habere contentus, reliqua libenter aliis relinquam. Neque enim illa omnia magnopere zllimanda funt, nifi quod artem Inveniendi perficiunt, mentemque excolunt. Si quz oblcu- riora videbuntur, ea libenter elucidabo : £t illud quoque explicabo, quo* modo hac Methodo ^uationum quoque utcunque Afleuarum Radi* ces per Infinitam Seriem dari poffint, line ulla Extra£lione } quod mirum fortalFe videbitur. Sed delideraverim ut Clarifiimus Nevttnus nonnulla quoque amplius explicet j ut Originem Theorematis quod initio ponit : Item, Mc^um quo quantitates f, 9, r, in fuis Operationibus invenit : Ac denique. Quo* modo in Methodo RegrelTuum le gerat, ut cum ex Logaritbmo quzrit Numerum. Neque enim explicat quomodo id ex Methodo fua derive* tur. Nondum mihi licuit qus Literas qua merentur diligentia legere : quo- niam tibi e velligio refpondere volui. Unde non latis nunc quidem affir- mare aufim, an nonnulla eorum quz fupprelUt, ex Ibla earum leUione conl^ui polFum. Sed optandum tamen foret, ipfum ea potius fupplere . Newtomm: Quia credibile eR, non polTe eum fetibere, quin aliquid lemper przclari nos doceat (ut apparet) egregiarum meditationum ple- nus. Ad alia tuarum literarum venio ^ quz DoUifiimus Colimus communi- care gravatus non ell. Vellem adjeciflet appropinquationis Gr^orianst linearis Demonllrationem. Credo tamen aliam luberi iimpliciorem, etiam in infinitum euntem 4 quz fiat line ulla Bif^ione Anguli, imo, line fuppofita Circuli Conllru£lione j Iblo Redarum duClu. Vellem Gregarima omnia conlervari. Fuit enim his certe ftudiis pro- movendis aptiffimus : Czterum ejus demondrationi editz, de Impofli- bilitate Quadraturz abfolutz Circuli 8c Hjperbolz, multa haud dubie defunt. De .ffiquationum Radicibus Surdis Gerteralibus inveniendis ; five, quod idem ell, tollendis iEquationum potellatibus intermediis, multa & ego meditatus fum ^ & jam Vere anni fupCTioris Spaimina Hugmo commu- nicaveram Regularum CardmkU fimilium. Swem enim habebam ^ut modi Regularum in infinitum euntem % in quibus 8z Cardmica contine^ Mtur. Sed ultra gradum Cubicum non erant Generales. Perfpexi tamen inde veram Methodum propediendi longius. Quamquam multis adhuc opus iit artibus, quas excutiendas libenter ingeniofillimo TfebiimbanSo re- linquo.^ qui hic ad eadem quz ego habebam Specimina, imo & alia prz- terea, etiam de fuo pervenit. Ex iis quz Collinius ait de Gregontna Methodo, difficile non fuit nobis , certo divinare in quo confidat ejus fubdancia. Imagi- Digitized by Googie v. [6^) Imaginariarum quantitatum in Realium Radicum exprcfliones Ingre- dientium fublationem, fruttra putem fperari, imo quatri. Neque enim illac ullo modo vel Calculis vel Conltru(!lionibus obfunt : Et Verx Rea- lefquc funt Quantitates, fi inter fe conjunguntur, ob deftruftiones virtu- ales. Quod multis elegantibus Exemplis & Argumentis deprehendi. Exempli gratia, — j + v— 3 =V 6. Tametfi enim neque ex Binomio — neque ex Binomio V| — radix extrahetur j nec proinde fic deftruetnr imaginaria V — 3 : fiipponenda tamen eft de- ftruQa efle virtualiter, quod a£Iu appareret fi fieri poflet Extra£tio. Alia tamen via hxc fiimma repetitur efle V6. Unde in Cubicis Binomiis ubi realitas ejufmodi formularum (tunc cum Extra£lio ex fingulis Binomiis fieri nequit) ad oculum oftendi non poteft j mente tamen intelligitur. Qiiare fruftra Cartejius aliique cxprefiiones Card^micas pro particularibus habuere. Siquis poflet invenire Quadraturam Circuli & ejus Partium, ex data Hyperbolx & ejus Partium quadratura, is poflet eas tollere; modo in ipfjm Quadraturam imaginarix illx rurfiis ingrediantur. • Cxterum ex illis quas habeo meditationibus circa Radices xquatio- niim inationales, neceflario fcquitur res latis Paradoxa : Scilicet omnes .ffiquationes gradus OSavi, Noni, Decimi, pofle ad gradum Septimum reduci. Itaque & omnia Problemata ad I^cimum gradum ufque occur> rentia poITant ad Septimum deprimi. Horribiles Calculi fubeundi erunt illi qui in hoc Argumentum velut per vim irrumpet ; fed facillimi ipfi qui ante meditab rur : cum, ut prxvideo, ipfa natura rei ducat ad compendia quxdam, ptr qux fiies eft Calculi magnam partem abicindi; remque elegantibus artificiis. Ingenii potius vi quam Calculi labore, tranfigi pofle. Sed fiquis laborem non fubterfngeret, eum docere pofllim Methodum Analyficam generalem infallibilem, per quam omnium iEquationum radices generales invenire licerer. Verum meliora illis proponerem agenda qui Caknio deleftarentur. Confilium enim habeo Tabularum Analyticarum, qux non minoris fiitu- rx effent ufus in Analyfi, quam Tabulx Sinuum in Geometria Pra£lica ; imo, arbitror, qui paulum in iis calculandis verlatus fit, eum progreflio- nes teperturum in infinitum, quarum ope magna Tabulx pars fine labore continuari poflit. Nihil elt quod norim in tota Analyfi momenti majo- ris. Nam in his Tabulis pleraque Problemata ftatim foluta haberentur,; aut levi opera polTint inde deduci. Pendet negotium ex re longe majore, Arte fcilicet Combinatoria gene- rali ac vera. Cujus vim ac potelfatem nefeio an quifquam haflenus fit confequutus. Ea vero nihil differt ab Analyfi illa fuprema, ad cujus in- tima, quantum judicare poffum, Cartefm non pervenit. Eft enim ad eam conftituendam opus Alphabeto Cogitationum humanarum. Et ad inventionem ejus Alphabeti, opus eft Analyfi Axiomatum. Sed non mi- ror Digitized by Googl ( ^5 ) ror ifta nemini fatis confiderata : Quia plerumque ftcilia negligimus 5 8c multa, qux clara videntur, afiumimus. Quod quamdiu faciemus, nun- S[uam ad illud perveniemus, quod mihi videtur in rebus intelLffualibus ummum nec genus Calculi etiam non-Mathematicis accommodati obtinebimus. Optarim Q. Pellium generalia fua Meditata, & illud Ipeciatim quod memoras Cribrum Eratojihatis^ non fupprimere. Nam etfl omnia Forte quz deftinarat non abfolverit ; meditata tamen ipfa &c Conlilia egregi- orum Virorum non perire publici intereft. Utilia quoque fiitura funt quz de Sinuum Tabula ad iEquattones accommodanda habet. Item de Limitibus & Radicibus. Quod dicere videmini, pleralque difficultates (exceptis Problematibus Diophant&is ) ad Series Infinitas reduci •, id mihi non videtur. Sunt enim multa ufque adeo mira Sc implexa, ut neque ab iEquitionibus pen- deant, neque ex Quadraturis. Qualia fiint (ex multis aliis) Problemata * methodi Tangentium inverfo i quz etiam Cartcjius in poteftate non efle faffijs e(f. In tomo 3° Epilfolarum, una habetur ad Beaunium ) in qua, ad pro- Eofitas a Beaunio, Curvas qualdam invenire conatur 5 quarum una eft udus Naturz, ut intervallum inter Tangentem ad (axem) dire£lricem ulque produftam & Ordinatim-applicatam ex Curva ad dire£fricem fit femper idem •, re£la fcilicet conftans. Hanc Curvam nec Cartejim nec Beauvius nec quifquam alius (quod fciam) invenit. Ego vero qua pri- mum die, imo hora, coepi quzrere, ttatim certa Analyfi folvi. Fateor tamen nondum me quicquid in hoc genere defiderari poteft confecutum : quamquam maximi momenti efle fciam. Ac de his quidem nunc fatis. Ego id agere conftitui, ubi primum otium naflus ero, ut rem omnem Mechanicam reducam ad puram Geometriam ; problemataque circa Ela- teria, & Aquas, & Pendula, & Projefta, & Solidorum Rdiftentiam, Friftiones, &c. definiam. Quz haflenus attigit nemo. Credo autem rem omnem nunc efle in poteflate ex quo circa Regulas Motuum mihi penitus perfeftis demonftrationibus fatisfeci ; neque quicquam amplius in eo genere defidero. Tota autem res, quod mireris, pendet ex Axio- mate Metaphyfico pulcherrimo ; quod non minoris eft momenti circa Motum, quam hoc, totum effe majus parte, circa magnitudinem. De Centro- baricis quoque lingularem quendam aditum reperi ad novas ac plane a prioribus diverlas contemplationes, in Geometria pariter ac Mechanica magno ufui futuras. Hzc ubi (Deo volente) aMblvero, re- liquum temporis, quod fcilicet Philofophicis meditationibus dcftinare fas erit, Naturz indagationi debeo. Tfchiirithaujius proximo Tabellione fcribet. ' Si iquationcs difftrentiales D. Le!bnit!t )»m innotuiflent, haud dixifTet ProMfmata Methodi Tangentium inverl» ab itquationibus non pendeie S Excerpta Digitized by Googie ( 66 ) ExcerfU ex EpifioU D. Ehrcnfried de Tfchiirnhaufe ad D. Oldcn- burgum, Parifiis i“ Scptcmb. 1676 data, cujus extat exemplar -manu D. CollLns defcriptum. • EXpcftabatn cum defiderio refponfum, cum aliquot abhinc menfibus ad te literas meas tranrmiferamj IM nec ex modo datis colligere licet has receptas fuifle. Interim admodum oble£latus fui, hifbe confpe£fia quz ad O. Leibnitium exaralf i ■, maximeque me tibi devinxilii, quod me participem volueris facere tam ingenioiarum inventionum, & promotio- nis Geometris tam pulchrz quam utilis. Statim curlim eas pervolvi, ut viderem num forte inter hafce Series Infinitas exifteret^eaqua ingeniofilli- mus D.Lelbmtius Circulum, imo quamvis leflionem Conicam (centro in finita diltantia gaudentem) quadravit, tali ratione ut mihi perfuadearot fimpliciorem viam, nec quoad linearem conftruQionem, nec numeralem expreflionem, nunquam vifum iri; quique hifce porro infiftens, generaletrii adinvenit Methodum Figuram quamvis datam in talem rationalem tranf- mutandi, quz per folum inventum (admodum przftans meo judicio) D. Mercatoris^ ad Seriem Infinitam poflet reduci j fed hac de materia, cum ipfe non ita pridem mentem fuam declaravit, non opus eft ut prolixi- or fim. Verum ut ad Ipecimina perquam ingeniola D. Netrtoni revertar» hzc non potuere non mihi placere, tam ob utilitatem qua fe tam late ad quarumvis quantitatum dimenfioncs, ac alia difiicilia enodanda in Mathe- maticis extendunt, quam ob deduftionem harum a fundamentis non mi- nus generalibus quam ingeniofis derivatam : non obftante quod exilti- mem, ad quantitatem quamvis ad infinitam feriem zquipollentem redu- cendam, fundamenta adhuc dari & fimpliciora 8c univerlaliora, quam funt fractionum & irrationalium reduftio ad tales Series, ope Divilionis aut Extraftionis jquz mihi tale quid non nili per accidens przilare videntur; cum hzc fuccelfum quoque habeant, licet non adfint fraftiones aut irra- tionales Quantitates. Similia pcrro''‘ quz in hac re przftitit eximius ille Geometra Gregarius memoranda certe funt, & quidem optime famz ip- fius confulturi, qui iplius relifta Manufcripta luci publicz ut exponantur operam navabunt. ’ Annon D. TfchurnhAufe viderat Excerpta ex Gregari/ Epiftolis cum D. Leiimit/a communicata, ubi habetur Series Gregarii quam Leilmiria hic tribuit ? Vide pag. 46 & 47. Upijlola Digitized by Google ( ) , I ■ ■■■»■ I I —■ , ■ ■ Illi I I , , EpifioU D. Newtoni fojleriory td D. Oidcnburgum, 06fol^. 14 l6j6 datOy cum D. Leibnicio communicanda. Vh DlgrtijPmj QUanta cum voluptate legi EpiRoIas Clariflimorum Virorum Ti. Leib- . nitii & D. Tfcbiimbaufii vix dixerim. Perelegans fane eft LeibrikH methodus perveniendi ad Series Conver- gentes : U latis oftendifiet ingenium Authori^ etfi nihil aliud faipf^er. Sed quz alibi per Epiilolam fparfit fuo nomine dignilTima efficiunt eti- am ut ab eo fperemus raatima. l!}tverfitas modorum quibus eodem ten- ditur eo magis placuit, quod mihi tres Methodi perveniendi ad e^l^ modi Series innotuerant i adeo ut novam nobilcum communicandam vix, expe£brem. linam e meis prius delcrinfl : jam addo aliam ; illam fiiilket qua pri- mum incidi in has Series. Nam incidi in eas antequam icitem Divifiones 8t ExtraCliones Radicum quibus jam utor- Et hdus explicatione pan- dendum elt fundamentum Theorematis liib initio Epiftolz prioris pofoi, quod D. Leibithha a me defiderat. Sub initio Rudiorum meorum Mathematicorum, ubi incideram in * opera Celeberrimi WaUtfi noftri, confiderando Series quarum intercala- tione ipfe exhibet Aream Circuli 5c Hyperbolz j utpote quod in Serie Curvarum, quarum Balis leu Axis communis fit x. St Ordinati m-appll- catz I — I — xx^- I — .Txi*'- I — .Yxl*" 1 — I — 8ic. fi Arez alternarum qu* funt x, x — yxi, x — .fx* 4- t*S x— -f 4xr-*-4xv gcc. interpolari poflent, haberemus Areas intermediarum j quarum prima T eft Circulus : ad has interpolandas notabam, quod in omnibus, primus terminus effet x, quodque fecundi termini -;x3,.Jx>, |x», &c. elTent in Arithmetica progteffione i 8C proinde quod duo primi termini Serierum intercalandarum deberent^eflex—i|I, ^ — Ad reliquas intercalandas confiderabam, quod Denominatores 1, 3, 5, 7, 6£c. erant in Arithmetica progreflione adeoque fol* Numeratorum Coefficientes numerales effent inveftigandz. Hz autem in alternis datis Areis erant figutz poteftatum numeri undenarii ; nempe harum 1 1«, 1 1 •, 11% iiJ, II+. Hoc eft, primo i ; deinde i, 1 5 tertio i> 2, i i quarto 3j 1 > quinto I, 4, 6, 4, 1 i &c. • Vide D. U'aaijii Arithmeticam infinitorum, Prop. u8, lai, &e. gebram, Cap. 81, Eiufqae AI- Quzrebam Digitized by Googie ( «58 } Qiiacrebam itique, quomodo in his Seriebus, ex datis duabus primis figuris, reliquz^ivari poflent. Et inveni quod polita fecunda figura m, reliquz producerentur per continuam multiplicationein terminorum hujus Senei,a^>cZfx^x:^^^Sce. Exempli gratia j Sit (terminus fecundus) m = 4 ; & erit 4 x hoc eft 6, tertius terminus 5 & 6 x hoc eft 4, quartus i & 4 x hoc eft I, quintos ; & 1 x hoc eft o, fextus ; quo feries in hoc , cafu terminatuT. ' 1 • ’ • ■ ' . Hanc Regulam itaque applicui ad Series interferendas. Et cum, pro Circulo, fecundus terminus eflet ^ , pofui m = 4 j' 8c prodierunt ter- mini 4 x fjve — 4 V— 4 X five + -rV i -f tV X fi ve — - It- ; & fic in infinitum. Unde cognovi defideratam Aream fegmenti Circularis efle ; ■}*> rrx’ rh-r^ &C. ,i*> 35 7 9 Et eadem ratione prodierunt etiam interferendi arez reliquarum Curvarum : ut & area Hyperbolz tsc exterarum alternarum in hac Serie 1 4" **'’■> I 4- Et eadem eft ratio intercalandi alias Series, idque per intervalla duo- rum pluriumve terminorum fimul deficientium. Hic fuit primus meus ingrelTus in has meditationes : qui e memoria fane exciderat, nili oculos in adverlaria quxdam ante paucas feptimanas retuliflem. Ubi vero hzc didiceram, mox confiderabam terminos , _ I — x*r I — *i)’, i— »!s 8cc. hoceft, i, i — xx, i — sxx-j-x*, 1 — ^xx-j-^x* — x^, &CC. eodem modo interpolari poiTe ac areas ab ipfis generatas : &ad hoc nihil aliud requiri quam omilfionem denominatorum r, ; 7, 6cc. in terminis exprimentibus areas j hoc eft, coefficientes termino- rum quantitatis intercalandx i — vel , — vel generaliter , — x*l", prodire per continuam multiplicationem terminorum hujus Seriei 234 Adeoque (exempli gratia) 1 — valeret i — ^jc'- — 4*+ — —fX^^Scc. Et I — 'xxl^ valeret i — 4** j-x* + -rV** Et i— xx,'*' valeret i — |jrx _4x4 — tVx*' 8tc. Sic itaque innotuit mihi generalis ReduHio Radicalitim in infinitas Series, per Regtibm quam pofui initio Epiftolx prioris, antequam Icirem Exua^iones ^dicum. Sed, Digitized by Googl Sed, hac cognita, non potuit altera tne diu latere. Nam ut probarem has operationes, multiplicavi i — 4jc* — jjc* — &c. in le ^ Sc fiftum elt I — XX, terminis reliquis in infinitum evanelcentibus per con- tinuationem feriei. Atque ita i — ~xx — }x4 — -^x‘ &c. bis in fe du- £Vum produxit i — xx. Quod, ut certa fuerit harum conclufionum Demonftratio, fic me manuduxit ad tentandum e converfo, num hz Se- ries, quas fic conftitifefle Radices quantitatis i — xx, non polftnt inde extrahi more Arithmetico. Et res bene fucceffit. Operationis forma in Quadraticis Radicibus hzc erat. 1 — *X (i — T*X — — tV** &C. O — XA? His perlpeQis neglexi penitus interpolationem Serierum ; & has ope- rationes tanquam fundamenta magis genuina folummodo adhibui. Nec latuit Reduaio per Divifionem •, res utique facilior. Sed StRefolutionem affeQarum ^uationum mox aggrefibs fum, eam- que obtinui. Unde fimul Ordinatim-applicatz, Segmenta Axium, aliz- que quzlibet Re£lz, ex Areis Curvarum vel Arcubus datis innotuere. Nam regrelfio ad hzc nihil indigebat przter Refolutioncm iEquationum, quibus Arez vel Arcus ex datis reUis dabantur. Eo tempore Peftis ingruens, [jins contigit annis 1665, coegit me hinc fugere, Sc alia cogitare. Addidi tamen fubinde condituram quan- dam Logarithmorum ex Area Hypetbolz, quam hic fujungo. Sit dFD Hyperbola, cujus Centrum C, Vertex F, & Qiiadratum interjeftum CAFE = I. In AC cape AB, Ab hinc inde =-^ ftu o. I : Et, eredis perpendiculis BD, bi gl ad Hyperbolam terminatis, erit femt-fum- ma Ipatiorum A I 0.00001 ) — 1 “ 2 8c Ai = o.i f &c, et femi-difFerentia I o.oei 3 4 ^ < 0. 1 000000000000 3333?33393 20000000 142857 IMI ? b A o + &c. Quz reduda fic fe habent, 0.0050000000000 250000000 J666666 12500 100 I o.ioo335?4773*o 0.0050251679267 Horum ( 70 ) Horum fumma o»io; ;5o; i eft A/ j & differentia 0.09J? 10179804? eft AD. Et eadem ratione, pomis AB, Ab hinc inde = 0.2, obtinebitur Ad = o.22;i435;i?i42, K AD = 0.1823215567939. Habitis fic Lo- garithmis Hyperbolicis numerorum quatuot decimalium 0.8, 0.9, i.i, & 1.2 I cum fit ^ X — = 2 j St 0.8 K 0.9, fint minores Unitate : adde ' 0,3 0.9 • Logarithmos eorum ad duplum Logatithmi 1.2, & habebis 0 69314718- 05597 Logarithmum Hy^rbolicum numeri 2. Cujus triplo adde Log. 0.8 (fiquidem fit^^^^ = 10,) St habebis 2.3025850929933 Logarith- raum numeri 10 : Indeque per Additionem fimul prodeunt Logatithmi numerorum 98C ii : Adeoque omnium Primorum horum 2, ?, 5, ii Logatithmi in promptu funt. Infuper, ex fola depreflione numerorum 1'uperioris computi per loca Decimalia St Additione, obtinentur Loga- rithmi Decimalium 0.98, 0.99, i.oi, 1.02 ; ut St horum 0.998, 0.999, i.ooi, 1.002. Et inde per Additionem St SubduUionem prodeunt Lo- E arithmi Primorum 7, 13, 17, 37, Stc. Qui una cum Cip»ioribus, per ogarithmum numeri 10 divifi, evadunt veri Logatithmi in Tabulam in- ferendi. Sed hos poftea propius obtinui. Pudet dicere ad quot figurarum loca has computationes otiofus eo tempore produxi. Nam tunc^ane nimis deleftabar inventis hilce. Sed ubi prodiit ingeniola illa * Nicobi Mercatoris Logarithmotechnia (quem fuppono fua primum inveniffe) ccepi ea minus curare j fulpicatus, vel eum noffe Extraflionem Radicum atque ac Divifionem FraQionum ; vel alios laltem, Divifione patefa£la, inventuros reliqua, prius quam ego aetatis effem maturae ad feribendum. Eo ipfo tamen tempore quo liber ifte prodiit, communicatum elt per amicum D. Barrov ( tunc Matheleos Profeflbrem Cantab.) cum D. Colli- vio, + compendium quoddam Methodi harum Serierum ; in quo fignifi- caveram Areas 81 Longitudines Curvarum omnium. St Solidorum fuper- ficies St Contenta, ex datis Re£lis ; St vice verla, ex his datis Reftas •de- terminari poffe: St Methodum ibi indicatam illuftraveram diverfis Itriebus. Suborta deinde inter nos Epillolari confuetudine s D- Collinius, Vir in rem Mathematicam promovendam natus, non deftitit fuggerere ut hic • publici * Mathem.itici priores invenerunt hoc Theorema, quod futnma trrmtnerum prep^ejlit. «is Gennetriae in ivfinitum per^tntis eft at! tsrminerunt primum & maximum, ut hicttriiiinus ad di^triutiam duorum termincrum primorum. Idem demonftrarur Arithnictke multi- plicando extrema St media. Dcmonftravit fValUJiut dividendo refbangulum Cub me- diis per extremum ultimum. Vide rr^d///y!'i opus Arithmeticum Anno 16x7 editum cap.J}. §68. l’er WaililH divilionem Mercator demonAravit Quadraturam Hyperboli a la. Brounkcr prius inventam. Et Gregorius idem demonAravit tjeometrice. Sed horum nemo methodum generalem quadrandi curvas per divifionem invenit. Mercator hoc nunquam prolcllus cA. Gregori/u ejufmodi. methodum, licet vir acutifiimus JSt literis CoHi-aii admonitus, vix tandem invenit. Sewtonue invenit per interpolationem Scrie- jum, & poAca divifionibus & extraflionibus radicum ut notioribus ulus eA. t Analyrmintelligit per/Equationes Infinitas lupra imprel;'am, Jc qua vid.pag. i, j, 3. d by Goo ( 71 ) jjubllci juris facerem. Er ante annos quinque [1^71^ cum fuadentibus amicis confilium ceperam edendi Tra£tatum de Refraflione Lucis, & Co* loribus, quem tunc in promptu habebam j coepi de his Seriebus iterum cogitare j & Traftatum de iis etiam confcripfi, ut utrumque fimul ederem. Sed, ex occafione Telefcopii Catadioptrici, Epiftola ad te mifta qua breviter explicui conceptus meos de Natura Lucis, inopinatum quiddam effecit ut mei interefle fentlrem ad te feftinanter feribere de Impreffione iftius Epiltoli. Et fubortx ftatim per diverforum Epiftolas (Obje£lio- nibus aliifque refertas) crebrx interpellationes me prorfus a confllio deterruerunt j & effecerunt ut me arguerem imprudentiae, quod um- bram captando, eatenus perdideram quietem meam, rem prorfus fub- llantialem. Sub eo tempore Jacobus Gregorm, ex unica quadam Serie e meis quam D. CoUhim ad eum tranfmiferar, poft multam confiderationem (ut ad CoI~ IhiuM refcriplit) pervenit ad eandem Methodum, & Traftatum de ea re- liquit quem fperamus ab Amicis ejus editum iri. Siquidem pro ingenio quo pollebat non potuit non adjicere de fuo nova multa, qiix rei Mathe- maticx intereft ut non pereant. Ipfe' autem Traftatum meum non penitus abfolveram, ubi dediti a propofito neque in hunc diem meus rediit ad reliqua adjicienda. Deerat quippe pars ea qua decreveram explicare modum folvendi Pro- blemata, qux ad Quadraturas reduci nequeunt ^ licet aliquid de Funda- -mentis ejus pofuiffem. Citerum in Traftatu Ido, Series Infinitx non magnam partem obtinebant. Alia haud pauca congefli, inter qux erat Methodus ducendi Tangentes, quam lolertidimus Slujfus ante annos duos trefve tecum communicavit j de qua tu (fuggerente^ioUwfc^efcriplidi eandem +t mihi etiam innotu- iffe. Diverfa ratione in eam incidimus. Nam res non eget Demondra- lione prout ego operor. Habito meo Fundamento nemo potuit Tangen- tes aliter ducere, nifi volens de refta via deviarer. Quinetiam non hic hxretur ad iEquationes Radicalibus unam vel utramque Indefinitam Quantitatem involventibus utcunque affe£las ; fed abique aliqua talium iEquationum Reduftione (qux opus plerumque red- deret immenfum) Tangens confedim ducitur. Et eodem modo fe res habet in quxdionibus de Maximis 8c Minimis ^ aliifque quibufdam, de •quibus jam non loquor. Funda- V ** Hujus TraQarus meminit D. Celllns in EpiAoIis duabus fupra itrpreflis, png 27, :8. •H Vide Epiflolam Fnptmi fupr» imprefiam, pag. sp, 30. Digitized by Googie f 72 ) Fundamentum harum Operationum, fatis obvium quidem, (quoniam jam non poffum Explicationem ejus profequij fic potius celavi ♦ 6accdx Hoc fundamento conatus fum etiam reddere t fpcculationes de Qpadra- tura Curvarum fimpliciores *, pervenique ad Theoremata quzdam gene- raliora. Et, ut candide agam, ecce primum Theorema. Ad Curvam aliquam Iit Otdinatim-applicata, termino abfciflk feu bafis z normaliter inCfiens : ubi literz d, <,/ denotant quafli- bet quantitates Datas } St 8, x, ^ indices Potefta tum live Dignitatum quan- titatum quibus affixzfunt. Fac^ = r, A+r=*, ^ x 7+7^1*'* ‘ = Q_, 8c r».— H='w: & Area Curvz erit Q.inv — — ^ ^ literis A, B, C, D ficc. deoountibus terminos . proxime antecedentes j nempe A terminum^, B terminum — ^ x ~ &c. Hzc Series, ubi r fraftio eft vel numerus negativus, continuatur in infinitum ; ubi vero r integer eft 8c affirmativus, continuatur ad tot terminos tantum quot funt Unitates in eodem r ; & fic exhibet Geome- tricam Quadraturam .Curvz. Rem Exemplis illuftro. Exemplum Proponatur Parabola, cujus Ordinatim-applicata fit • Vaz. Hac in formam Regula redufla fit z® x o-f «i-p. Quare d=r, 8=0, fi=0, /=a, x=ij A=-!.. Adeoquer = i, j = li., Q= i x «•, > ., = 0. Et erit Area quzfita -j x azHn ^ i hoc eft, \zVax. Et fic in genere, fi cz« ponatur Ordinatim-applicata, prodibit Area z/* * ExempL 2. Sit Ordinatim-applicata ct-iaLiz* ■ P®*" RedufH- onem fit * = — ht , = _j. Et Area, a in ett (t— 3««’*^+ 'i»!K7j — e^zz Exempl. 4. Sit denique Ordinatim-applicata H2C ad formam Regulat redua*, fit frer x c — «i | lndcqneefti=^, §=.}-, e=c,/=— a, "=T> •'=^2, *=T, 0.= — Et Aiea Quod fi res non fuccefliflet in hoc cafu, exiftente r vel fraftione vel nu- mero negativo tunc tentaftem alterum cafum, purgando terminum az,T in Ordinatim-applicata a Coefficiente z? j hoc eft reducendo Or- dinatim-applicatam ad hanc formam, bz~-^X’—a+ cz-lT^ Et fi r in neutro cafu fiiiffet numerus integer & affirmativus, conclufiflem Cur- vam ex earum nume;o efle quz non poffunt Geometrice quadrari. Nam quantum animadverto, hzc Regula exhibet in infinitis ^uatio- uibus’ Areas omnium Geometricam Quadraturam admittentium Curva- rum quarum Ordinatim-applicatx conftant ex Potettatibus, Radicibus, ( 74 ) vel quibuflibet Dignitatibus B'nomii cujufcunque ; -licet non dire£le, ubi index Dignitatis ett numerus Integer. At, quando hujurmodi Curva aliqua non poteft Geometrice quadrari ; funt ad maniis alia Theoremata pro comparatione ejus cum Conicis Seftionibus, vel faltem cum aliis Figuris Simpliciflimis quibufcum poteft comparari : ad quod fufficit etiam hoc iplum unicum jam defcriptum Theorema, fi debite concinnetur. ■ Pro Trinomiis etiam, & aliis quibufdam. Regulas quafdam conpin- navi. Sed in fimplicioribus viilgoque celebratis Figuris, vix aliquid relatu dignum reperi quod evafit aliorum conatus j nifi forte Longitudo Ciffoidis ejufmodi cenfeatur. Ea fic conftruitur. Sit VD CilTois, AV Diameter Circuli ad quem aputur, V Vertex, AF Alymp- tota ejus, ac DB perpendiculare quod- vis ad AV demiffum. Cum fcmi-axe AF=AV, & lemiparametro AG — yAV, defcribarur Hyperbola FIK ; 8c inter AB & AV fumpta AC media proportionali, erigantur ad C & V perpendicula Ck, VK Hyperboln: occurrentia in ^ 8c K ; Et agantur reSi KT, kt tangentes Hy- perbolum in eifdem K 8t fc, & occur- rentes AV in T & 1 5 & ad A V conftitu- atur reftangulum A VNM aequale fpatio TKAr. Et Ciflbidis VD longitudo erit Sextupla altitudinis VN. Demonftratio perbrevis eft. Sed ad Infinitas Series redeo. Quamvis multa reflent inveftiganda circa modos approximandi, &■ di- verfa Serierum genera qui pofliint ad id conducere -. tamen vix cum D. Tfchumhaujio fperaverim dari pofle aut fimpliciora aut magis generalia fundamenta reducendi Quantitates ad hoc genus Serierum, de quo agi- mus, quam funt Divifiones & Extraftiones Radicum, quibus Leibvitius 8c ego utimur ; Saltem non generaliora : quia pro Qiiadratura 8t Curvarum ac fimilibus, nulla: poflunt dari Series ex hifce fimplicibus ter- minis Algebraicis (unicam tantum indefinitam Quantitatem involventibus) conflantes, quas non licet hac Methodo colligere. Nam non poffunt efle plures convergentes Series ad idem determinan- dum, quam funt indefiniti Quantitates, ex quarum Poteftatibus Series conflentur: Sc ego quidem ex adhibita quacur,q’ e indefinita quantitate Seriem novi colligere •, & idem credo Leihnitio in poteftate efle. Nam quamvis mea 'methodo liberum fit eligere, -pro conflanda Serie, 'quantitatem quamlibet indefinitam, a qua quifitum dependeat ; 8c me-- thodjs. Digitized by GpogI thodos^ qnam ipfe nobifcum communicavit, determinata videatur ad de£lionem talium indefinitarum quantitatum quibus opus commode de- duci poteit ad Fraftiones 5 qiii per folam Divifionem evadant Series In- finiti : tamen aliae quaecunque indefiniti Qiiantiates pro Setiebus con- flandis adhiberi poflunt, per methodum iftam qua afFeclac TEquationes re- folvuntur, dummodo refolvantur in propriis terminfs hoc elt, conficien- do Seriem ex Iblis terminis quos iquatio involvit. . - Prattetea, non video cur dicatur his Divifionibus 8c Extraflionibus pro- blemata refolvi per Auidem : Siquidem hi operationes eodem modo le liabeant ad hoc genus Algebra;, ac vulgares Operationes Arithmetici ad Algebram vulgo notam. . . .. Q^uod autem ad fimplicitatem methodi attinet nolim Praftiones & Radicales ablque privia Rcduftione femper refolvi in Series Infinitas: Sed!, 'ubi perplexi quantitates occiimint, tentandi funt omnimodi Re- duftiones i me fiat augendo,' minuendo, multiplicmdo, vel dividendo quantitates indefinitas 5 five'- per. methodum Tranlmutaroriam LtUfnitii, aut alio quocunque modo qui occurrat. Et tunc Relblutio in Series per Divifionem & Extraftionem opportune adhibebitur. Hic autem pricipue nitendum eft, ut Denomit'arores Fn£t'oniim, 8c Quantitates in Vinculo Radicum, /educantur ad q um paucifiimis ist mi- nime compofitas ; & ad tales etiam qui in Striem ibe .nr cit Uimt con- vergentem, etfi Radices neque convertantur in Ftu£lioiics ncq.ie depri- mantur. Nam, per Regulam initio alterius Fpilloli, Exirattio altifii- marum Radicum ique fimplex 8c facilis eft ac ExtratUo Radicis Qiiadra- tici vel Oivifio ; 8t Series qui per Divifionem eliciuntur folent minime omnium Convergere. Ha£lenus de Seriebiis unicam indefinitam Quantitatem involventibus locutus fum. Sed poliunt acia»»; petfpefta MCThodo, Series ex duabus vel pluribus afiignatis Indefinitis Quantitatibus pro arbitrio confici. Quinetiam beneficio ejufdem methodi poffunt Series ad omnes Figuras eftbrmari, Gngorhnis ad Circulum & Hyperbolam editis affines ; hoc eft, quarum ultimus terminus exhibebit quifitam Aream. Sed calculum hic onerofiorem nolim lubens fubire. Poflunt denique Series ex terminis compofitis eadem Methodo confli- tui. Quemadmodum, fi fit v' au — ax+ ~ Ordinarim - applicata Cur- vi alicujus i pono aa — ax = zz, Sc ex Binomio + 7 cxtra£la Radice, prodibit * + ^ &c. Cujus Seriei omnes termini quadrari pof- funt per Theorema jam ante deferiptum. Sed hic minoris facio, quod ubi Series fimplices non funt fatis tractabiles, aliam nondum communi- catam Methodum habeo, qua pro libitu acceditur ad quifitum, w: . . - ' . . . Ejus f 70 ) Ejus fundamentum eft commoda, expedita, generalis Iblutio hujus Problematis, Curvam Geometricam defcribere qu& fer data quotcunque Puu3a trarjfibit. Docuit Euclides defcriptionem Circuli per Tria data Punfta. Poteft etiam Conica Se£lio defcribi per Quinque data Pun£la : 8c Curva Trium Dimenfionum per Septem data Punfta (adeo ut in poteftate habeam defcriptionem omnium Curvarum illius ordinis, quac.per Septem tantum pun£la determinantur.) Hscc llatim Geonnetrice fiunt nullo Calculo in- terpofito. Sed fuperius Problema eft alterius generis ; 8c quamvis prima fronte intra£labile videatur ^ tamen res aliter fe habet. Eft enim fee ex pulcherrimis. quae folvere defiderem. Seriei a D. Leibnitio pro Quadratura Conicarum Seflionum propofitx, affinia funt Theoremata quaedam, quae pro Comparatione Curvarum cum Conicis Se£lionibus in Catalogum ^ dudum retuli. PofTum Utique cum Seflionibus Conicis Geometrice comparare Curvas omnes ( numero infinities infinitas, ) quarum Ordinatim-applicatac iimc vel &c. vel In — t Aut Aut e +fzj>-\-gz2^ vel X • 8^* &c. * ^ tiz* ~ ‘ Aut -?== Aut Aut ~ I X ^ e-^-fz* vel VTnFT^HFi^ &c. g-^hz vel Kc. vel g -p hz* X "p/i’ g "b X Vtf -p fzj> Aut ± vel X &c. g-^bz'* 'Hic d.e^f^g fignificant quafvis datas Quantitates cum fuis Signis +’ 8c — affeOas 5 z Axem vel Balem Curvae ^ & », 2», — i, > — r, « — I, 2»-r-i Indices Poteftatum vel Dignitatum z, five Cnt Affirma- tivi vel Negativi, five Integri vel Frafli 5 & lingula bina Theoremata • funt duo primi termini Seriei in infinitum progredientis. In Tertio & Quarto, * Ex his patet Propolitioncs Newttni dc Quadratura Curvarum diu ante annum 1676 inventas fuilTe. I Digilized dy Googie Qjjarto, 4«^ debet efle non maji's qnam ff, nifi « & f fint contrarii Signi. In exteris nulk e(t limitatio. Horum aliqua (nempe. Secundum, T«tium, Quartum, Quintum, 8i Decimum-tertium) ex Areis duarum Conicarum SeQionum conjunftis conftant. Alia quxdam (ut Nonum, Decimum, 8£ Duodecimum^ funt aliter latis Compofita. Et omnia quidem in continuatione Progreffionum cito evadunt compofii'flima ^ adeo ut vix per Tranlmutationem figurarum, quibus Jacobus Gregoriut 8C alii nfi funt, ablque ulteriori fundamento inveniri polfe putem. E^o quidem haud quicquam generale in his obtinere potui, antequam abSratftrem a contemplatione Figurarum, 8c rem totam ad fimplicem confiderationem lolarnm Ordinatim-applicatarum reducerem. Sed, cuna hxc, & hifce generaliora, fint in poteftate j non dubitabitnr, credo, de Binomialibus longe facilioribus qux in his continentur, 8c prodeunt po- nendo literam aliquam e vel f vel x — Oi 8c» = i ycl a i etfi' Senes, in quas ifta refolvantur, non pofuetim in Epittola priori, nedum forte computaverim j intentus, non in omnia particularia enumeranda, fed in illuftrandam Methodum per unam & alteram in fingulis rerum generi- bus inftantiam, q^x ad oftendendam ejus generaliiatem fufficere videba- *** Cxterum hxc Theoremata dant Series plulquam uno modo. Nam primum fi ponatur f — o &» = i, unde-prodit Series no- bis communicata. Sed fi, ponatur 7eg=ff, & it=i, inde tandem obtinemus hanc Seriem * i + T ” t “ t + 7 T pro longitudine Qua Jnntalis Arcus, cujus Chorda elt Unitas : vel, quod -ierinde elt, hanc • + — ttt pro longitudine di- mid i ejus. Et has torre, quia xque hmplices lunt ac alterx, 8c magis convergunt, non repudiabm» Sed ego rem aliter xftimo. Illud enim melius quod utilius elt, 8f Problema minori labore lolvit. Sic, quamvis hxc ^atio x» — » = i appareat fimplicior hacce - v*o = •✓20 j tamen in confeflb ett jxdteriorem revera limpliciorem effe, piopterea quod Radicem qus } Geometra faciliuf' eitiit. . • 'j- a' i.' ' e- r w j Et ob hanc rationem Series pro obtinendis Arcubus Circuli, vel (quod eodem recidit) pro obtinendis Seftoribus Conicarum Seftionum, pro op- timis habeo qux componuntur ex porcltatibus Sinuum. Nam fiquis vellet per fimplex computum huius Seriei 1 •+ 4. + .! 8ic. colligere longitudinem Quadrantis ad Viginti figurarum loca ~ ° X decimalia, • D. Vicecomes Brourihr Hyperbolam per hanc Seriem + ^Ta + TTS -4- &c ideft per h.-mc + (conjunais binis ter- minis) primus omnium quadravit. Mtrcat,r hanc Quadrawram ahter demonitravir. Crr**r/«/ communicavit hanc Seriem pro Circulo 1 — f +t-“ J -ri^TT + StC. &. • i.V»r»r-hanc ' v ( 78 ) declmalia, opos eflet 5 000 000 000 terminis Seriei circiter \ ad qath Tum (Siculum Milleni Anni requirerentnr. Et res tardius obtineretur per Tangentem4? Graduum. Sedj adhibito Sinu reflo 4^ Graduum, Quinqua- gtnta-quinque vel Sexaglnta termini hujus Seriei x 8^. Tofficerent : quorum computatio Tribus, ut opinor, vel Quatuor PiebVs abfolvi poSer. Et tamen hic non eft optimus modus compuundi totam Peripheriam- Nam Series ex fiou reflo 30 graduuna, vel finu yerfo dpgradquai ^-oh- ilata, multo , citius dabit Arcum fuum } cujus iextuplum vel iwod^* f>lum eft tota Periphetia. Neque majori labose eruitur area totius ^Qr- cvli ex fegmento cujus Sagitu eft quadrans diametri. Ejus Computi ftiecimen, fiquidem ad manus eft, vifum fuit apponere > & una adjun- gere Aream Hyperbolae quae eodem calculo produ. . Pofho Axe tranfverfo s 1, $c finu verfo leu legmenti, Sagitta' == f ‘j erit ^mi-fegmentum in j* ± T ±7T&c. H2k autem Series ftc in infinitum producitur, Gt 2x^ = a. ~ ^ t. 3= c. = r., = /. 8tc. Et erit Semi - fomentum ciS?”'*} =l±T-7±f-iT±^ fumma ■- — 7 ” n — ^ femi-difleremia 7 + -7 + ^ + 6cc. His ita praeparatis, fuppono x = quadrantem nempe Axis i & prpdit a (*= t) = 0;25 7 = TT» ) — f ~ ^ .0.00- 1953*25 : d'(= ) = o.cx302^14o625. ^ Et Sc procedo olqoe dum venero ad terminom deprefliifioaum, qui poteft ingredi opus. Deinde hos terminos per 3, 5, 7, 9, ii,.fitc. ref^flive divilqs dilpono in duas Tabulas: Ambiguos cum primo in unam.} fic Negativos in aliam } 8c Addo ut hic vides, . , 0.0833333333333333 62500000000000 ' 271267361111 5135K59396 1446289^17 495458» 190948 79^3 352 16 I 0.0896109885646618 0.0002790178571429 34679066051 834465027 26285354 961296 38676 1663 75 4 0.0002825719389575 Digitized by Googie ( 79 ) Tunc a priori fumma auf»o poftcriorem, Sc reflat o.o89;a84i6^3;704) Area Semi-fegmenti Hyperbofici. Addo 'etiam eas fummas, 8c aggr^a* tum aufero a primo termino duplicaro 0.1^5^^6^66666^665, & reflat o.07677?io6i63047? Area ^Semt-fcgmenti Circularis. Huic addo Tri- angulum iftud quo completur m Seftorem, )ioc efl leu 0.054126- 5877^65274, 8c habeo SeQorem 60 graduum, o.i?o89969j8995747, cujus fextuplum 0.785^981652^74482 efl Area totius Circuli; Qux divifa per -j- five quadrantem Diametri, dat rotam Penpheriam 5.141 5- 926555897928. Si alias artes adhibuiflem, potui per eundem nunierum terminorum Seriei pervenifle ad multo plura loca figurarum, 1 puta Vigio- 9 qpinque aut amplius : Sed animus fuit hic oflendere, quid per fim- plex Seriei computum prxftari pofler. ' Quod fine haud difficile efl, cura in omoi opere multiplicatores ac divifbres magna ex parte non majores .qpam il, & nunquam majores quam 41 adhibere opus fit. )Por Serlerp Lethatn etiam, fi ultimo loco dimidium termini adjiciatur, pL alia^quxdam fimilii artificia adhibeantur, poteft computum produd ad multas figuras: ' Ut 8c poncndo fummjm' terminorum 1 — 4- 1 + -rV”TV+ iVtt-5V + tt8^c. elTe ad 'totam Ser‘em i— -•.■4-4 — 4. — tV' H- 6ic. ut I -j- /2 ad 2. Sed optimus ejus ufus videnir efle, quando vel conjungitur cum.duabus aliis palipiilibus Sc ci^iffime conver- gentibus Seriebus ; vel fbla adhibetur 4d computandum arcum 59 gradu- um, pdfita Tangente Vf. Tunc enim Series' illa evadit i’— ^ -f i ■-1 — — P — Ij- &C. qux cito 'convergit. Velj^fi conjunges cum aliis Se- fkbos, pone circidi Diametrum s= .1, « = t a & are^ totius cuculi «it fumma harpm muWjkrieyim^j^^^-t^^^ -j-. 8cc a«« . *•* 4. j«'* T 3 ' > ' ■ 7 9 ^ I 3 ~ s. Hic confideravimus Series quatenus adhibentur ad computandum to- tuni Circulum- Sed quando computandx funt partes ejus, tpnc qnxli- bet Series habet proprium ufum, & in fuo genere optima efl. Si datur Tangens fatis parva vel fatis magna, non recurrendum erit ad Sinum aliquem ut inde computetur Arcus, n^ue vice verfa. Series dato con- gruens efl xquatio pro fblvendo proprio Problemate. Credo Cl. Leihntivm, dum ppfutt Seriem pro determinatione Co-finus ex Arcu dato, vix anlmadvertifle Seriem meam pro determinatione Sinus Verfi ex eodem Arcu } fiquidem hxc idem funt. Neque obfervafle videtur motem meum generaliter ufurpandi literas pro quantitatibus cum Signis fuis -f & — affeflis, dum dividit hanc Seriem *- + ^ + ^ Nam cum Arca Hyperbo- lica Digitized by Googie \ ( 8o ) ^ • Iic3 BE, Irc fignificata perz, fit affirmativa vel — negacivj, prout jaceat ex una vel ahera parte * Ordinatim-applicatac BC ; li Area illa in nu- " meris data fit /, / fubftituatur in S^ie pro x; ‘ ^ orjetur vel ~ ^ ^ &c. . .—.i- rh ^ 8CC 5 pro. Ut / fit a&mariva vel negativa. Hoc eft; polito /I =: 1 1= & / logarithmo Hyperbo-’ ' lico i nunaeriis ei correlpondens erit I + -- + — + v 4*^ ^ ^ affirmativus & i r 4~ t — y + fi / fit tiegativus. Hoc modo fugio multiplicationem Theorematum, qnat alias in nimiam mo- lem crefcerent. Nam v. g. fllud unicum Theorema, quod fupra pofui pro (Quadratura Curvarum, refolvendum effet, in 3;2 Theoremata,' fi pro Signorum varietate multiplicaretur. Przterea, quz habet Vir Clariflimus de Inventione-N umeri Unitae ma- joris per datum Logarithmum Hyperbolicum,'ope Seriei ^ 4* , ^ ,4 / •’ - '7, — 77^7Tt^-+ *=• P9'"“S ope SetUi r +, •+ sTl ,+ Stc. nondum percipio. Nam fi unus termmus adjiciatur amplius ad Se- riem pofteriorem quam ad priorem, pofleri«> = x — x» — ...Vx« — &c. Huic addo -Vx’, & fit x — ^x» 4 .^> = x -f .jlx+ 4 icc. Aufero 8c reftat x — ..^z» 4 4^z» — ^z+ = x — ~^xf &c. Addo vl-rXS & fit z — -i-z* 4 ^z^ — Vt»* + = X quamproxime j live X = X •— .;x» 4 4.X» — 4-Z4 4 _^z5 8ic. Eodem modo Series de una Indefinita Quantitate in aliam transferri poflunt. Quemadmodum fi polito r Radio Circuli, x Sinu refto arcus x, 8c * + £ + ^ + Longitudine arcus iftius j atque hanc Seriem a Sinu refto ad Tangentem vellem transferre : Quxro longitudinem Tan- gentis » & reduco in infinitam Seriem x 4 4 4 8cc. Vo- cetur ha:c quantitas t. Colligo poteftates ejus »• = x' 4 gjc_ t j = xi 4 8ic. Aufero autem t de c, 8c reftat z — t = — y — ^17 &c. t Hanc Refolutionem vid. pag. 11. Addo Digitized by Google r ( 85 ) Addo it3, & fit r — t + T^* = T*' + Aufero i-tf, & reftat s — t ^ — ^t5 = o qiiamproxime. Quare eft z = t — yti -j- -i-tf — &c. Sed fiquis in ufus Trigonometricos me jufliflet exhibere expreflionem Arcus per Tangentem 5 eam non hoc circuitu, fed direfta methodo qux- fiviflcixi Per hoc genus Computi colliguntur etiam Series ex duabus vel pluri- bus indefinitis quantitatibus conllantes Sc Radices afteftarum Aequatio- num magna ex parte extrahuntur. Sed ad hunc polteriorem ufum adhi- ^0 potius Methodum in altera Epiftola deferiptam tanquam generalio- rem, & (.Regulis pro Elifione fuperfluorum terminorum habitis) paulo magis expeditam. Pro Regreflione vero ab Areis ad Lineas Re£las, 8c fimilibus, poffunt hujufmodi Theoremata adhiberi. Theorema i- Sit &c. Et viciflim erit y = ^ — JT*’ + — ^ ^ ^ Exempli gratia. Proponatur iEquatio ad Aream Hyperbolx, z—y 2!4-11 ■*— 4- — 8tc. Et fubftitutis in Regula i pro «, — i pro l>, 2*3 4 ' i ^ pro c, — i pro d, 8t i pro e i viciflim exurgir, y = z-\- {zx + ^-V^X*+fi£C. Theorema 2. Sits=<9+^yHo^-bdy?+ey'^+&c. Et viciflim erity = ^ “ I Exempli gratia.. Proponatur iEquatio ad Arcum Circuli, x =j» + ~ j. Jil 4. 8CC. Et fubftitutis in Regula i pro a, ^ pro 3, ^ pro c. &C. _i-- pro d 8CC 5 orietur y = z— ■ 6rr I2cf» 504or‘ "^Alterum modum regrediendi ab Areis ad Lineas re£las celare ftatui. Ubi dixi omnia pene Problemata folubilia exiftere j volui de iis ptx- fettim intelligi circa qux Mathematici fe haftenus occuparunt, vel fal- tem in quibus Ratiocinia Mathematica locum aliquem obtinere poffunt. Nam alia fane adeo perplexis conditionibus implicata excogitare liceat, ut non fatis comprehendere valeamus •, & multo minus tanurum compu- tationum onus fuftinere quod itta requirerent .. D Attamen ne nimium dixiffe videar, inverla de Tangentibus Problema- ta funt in poteftate, aliaque illis difficiliora. Ad qux folvenda ufus fum duplici Methodo j una concinniori, altera generaliori Utramque vifuin ^ Z eft Digitized by Googie ( 85 ) eft impratfentia Uteris tranfpofitis confignare, ne propter alios idem obti- nentes, inttitutum in aliquibus mutare cogerer. j accd-s io«//A 1 2 /4 " /5 w IO w6o<7<7 r 7 r 1 1 1 lou ? AC .• 11 ab ^cddio e Ag loi v 6 o^p ^ q6r’}f\it‘]vx, 91 A 6 /4/4?/» y w 8o<74r aadd/teeeee iiimmnnooprrrsssssttuu. Inverfum hoc Problema de Tangentibus, quando Tangens inter pun- flum contaftus & axem Figura: elt data: longitudinis, non indiget his Methodis. Eft tamen Curva illa Mechanica, cujus determinatio pendet . ab Area Hyperbolo:. Ejufdem generis eft etiam Problema, quando pars Axis inter Tangen- tem & Ordinatim applicatam datur longitudine. Sed hos cafus vix numeraverim inter ludos naturae. Nam quando in Triangulo Re£langulo, quod ab illa Axis parte 8c Tangente ac Ordina- tim-applicata conftituitur, relatio duorum quorumlibet laterum per /Fquationem quamlibet definitur. Problema folvi poteft abfijue mea Methodo Generali : Sed ubi pars Axis ad pun£lum aliquod politione datum terminata ingreditur Vinculum; tunc res aliter fe halrere Iblet. Communicatio Refolutionis Afteftarum Aiquationum per Methodum Lclbnltii, pergrata erit ; juxta Sc explicatio quomodo le gerat, ubi indices poteftatum font FraQiones 5 ut in hac Aiquatione 20 -F — x^y'f — jr^V — o ; aut Surdat Quantitates, ut in hac ac*'?i'''* =y : ubi Vi 8c Vy non defignant Coeracientes ipfius x, led indices Poteftatum leu Dignita- tum ejus ; 8t indicem Dignitatis Binomii x*'^ x*^. Res, credo, mea methodo patet ; aliter delcripfiflem. • Sed meta tandem prolixi huic Epiftola: ponenda eft. Literi fane ExcellentiflTimi Leibnitii valde dignat erant, quibus fufius hoc Rcfponfum darem. Et volui hac vice copiolior efle, quia credidi amoeniora tua ne- gotia ieveriori hoc feribendi genere non debere a me crebro interpellari. Tui Studiofillimus If. Kewton. * Id eft, XT»n httthtdM ctnfiJUt in txtraBitni flumtii quantitatis tx ^uarhnt Jimul i»m niatvente fluxienem tyts : altera tantum in affumytione Seriei pra quantitate qualibet incognita ex qua eatera ctmmade derivari peffunt, (b" in ctliatiene terminorum homologirum aquationis refultantis, ad eruendot terminet ajfumpta Seriei. Analylln per I' luentes & earum Momen- ta in xquationibm tam infinitis quam 'linitis, Newtenut In his EpiftoIIs ad Regulas quatuor reduxit. Per primam extrahitur Fluens ex IJinomiis, aJeoque ex xquationi- bus quibufeunque non afieflis in Serie Infinita, & Momentum fiuentis fimul prodit, quo evanefeente Series in /liquationem finitam redit. Per (ecundam pxrrahitur Flu- ens ex iquatioaibus afleOIs Fluxionem non involventibus. Per tertiam extrahitur Fluens ex i-quationibus affeftis Fluxionem fimul involventibus. Per quartam eruitur Fluens ex conditionibus Problematis. Regulx dui primi in principio Fpiftolx fu- periorls, dux ultimi in fine hujus ponuntur. Harum Regularum Hemtonum efle in- ventorem primum nemo dubitat. Excnrpta Digitized by GoogI Exerpta ex EpijioU D. Collins /iJ D. Newtonum, Londini 5 Mar- tii 1677 dat/t. Integra -dutem extat impreffn in Tomo tertio Ope- rum D, Wallifii pag, 646, &c. CloTifime Vir, ADerat hic D. Labnitlm per unam Septimanam, in menfe OSnbrU in reditu fuo ad Ducem Hancrueru ; cujus literis revocatus erat, in ordine ad quandam Promotionem. Dixit Leibnitius, fe poffe &c velle confilia impertire, pro obtinendis Seriebus, ablbue Speciofa Extraftione Radicum dajuationum affeflarum j modo quis velit laborem illum obire. Et confequenter ad hoc, (poltquam ego D. Bakerum ipfi nominaveram,) literis ejus ad D. OWewiiirj/nw, Amjielodami, Novemh. 1676, hacc ftribit. ‘ D. Coliimo hxc quatfo communica. Dixit ille mihi D. Balerum, do- * ftum admodum & indullrium apud vos Analyticum, utilibus confiliis ‘ exequendis parem efle. Elegi ego unum pri reliquis utile 8t facie. * Nimirum, Methodus Tangentium a Slujio publicata nondum rei fatligi- * um tenet. Poteft aliquid amplius priltari in eo genere, quod maximi ‘ foret nfus ad omnis generis Problemata ; Etiam ad meam (line extra£lio- * nibus) liquationum* ad Series rcduftionem. Nimirum, Pi liet brevis ‘quaedam calculari circa Tangentes Tabula, eoufque continuanda, donec * progreflio Tabulae apparer-, ut eam ftilicet quilque, quoufque libuerit, ‘ fine calculo continuare poflit. ‘ Amjlelodami cum Huddenio locutus fiim 5 cui negotia civilia ^tempus * omne eripiunt. Elt enim ex numero 12 urbis Confulum, qui fubinde * imperium obtinent : Nuper Conful Regens erat -, nunc Thelaurarii mu- ‘ nus exercet. Praeclara admodum in ejus Schedis fuperelTe certum elh ‘ Methodus Tangentium a Slujio publicata dudum illi fiiit nota. Amplior * ejus Methodus elt, quam qui a Slujio fuit publicata. Sed & Quadratu- ‘ ra Hyperboli Mercatoris ipfi jam Anno 1662 innotuit. Haflenus Ldb- ‘ ni t itu. P. S. Exemplar Epiftoli tui (quatuor fchedarum) nondum elt ad D. Leibnitium miflum : Sed, intra Septimanam, elt quidam hinc pro- fecturus Hanoveram, qui tum illud, tum libros quofdam laturus elt. ( 88 ) EpiftoU D. Leibnitii aA D. Oldenburgium, 21 Junii 1677, dtis cum D. Newtono communicandi. Cujus extat exemplar manu D. Collins defcriptum. Ampliffime Domine, ACcepi Literas tuas diu expe£latas, cum inclufis lane pul- cherrimis •, quas plus lemel legam cum cura Sc medicatione ; qui* bus certe non minus dignx funt quam indigent. Nunc pauca quae fefii* nante oculo obeunti incidere e veftigio annotabo. Egregie placet, quod defcripiic qua via in nonnulla fua elegantia fane Theoremata inciderit. Et qux de WaUiJianU Interpolationibus habet, vel ideo placent, quia hac ratione obtinetur harum Interpolationum De- monftratio, cum res ea antea (quod fciam) fola Induftione niteretur )- tametfi pirs eorum per Tangentes fit demonltrata. Clarilfimi SlulH Methodum Tangentium nondum elTe abfblutam Cele- berrimo Ntwtouo alTcntior. Et jam a multo tempore* rem Tangentium longe generalius tra£lavi j fcilicet per di fterenti as Ordinatarum. Nem- pe TiB (intervallum Tangentis ab Ordinata in Axe fumptum) eft ad iBiC Ordinatam, ut iCD (difterentia duarum Ablciflarum A iB, AaB,) ad DaC (differentiam duarum Ordina- tarum iBiC, 2B2C.) Nec refert quem an- gulum faciunt Ordinatx ad Axem. Unde pa- tet, nihil aliud elTe invenire Tangentes, quam invenire Differentias Ordinatarum, politis dif- ferentiis Abfeiffarum (1'eii 1B2B = iCD) fi placet squalibus. Hinc nominando t in polte- rum, d^ differentiam duarum proximarum y (nempe A iB & A 2B ; ) & dx leu D 2C diffe- rentiam duarum proximarum x (prioris iBiC, pofterioris 2B 2C ; ) patet iy'- effe 2yij ; & dj» effc 37‘d7, 8cc. Pe ita porro. Nam fint dux proximi fibi (id eff, diffe- rentiam habentes infinite parvam) fcilicet AiB = 7j8cA2B=7 ' Quoniam * IJcm fecit D. Bitrrcv In ejus Lc£t. lo, Anno j66^ Imprefla, idque calculo con- fimil!. t Cnepit igitur D. Leitiiiiins hoc Ipfo tempore Methodum dlfferentialem cum ami- cis fcripfo communicare ; Icitis prius que Ktwt^rn de hac Methodo in duabus Epillo- lis fcripfcrat, Lcilis forte.in & aliis Ncwtmianis fub finem Anni 1676, ubi domunr per Ltndinam redibat. Digitized by Google ( 89 ) Quoniam ponimus d>» efle differentiam quadratorum ab his duabus re£Hs, heluatio erit dji* = v' + 2»d> + djidj» — ji*. Seu, omiflis y' — quat fe deltruunr, item omiffo quadrato quantitatis infinite parvae (ob rationes ex Methodo de Maximis St Minimis notas,) erit d>* = 7ydy. * Idemque elt de catteris potentiis. Hinc etiam haberi poffunt differentiae quantita- tum ex diverns indefinitis in (e invicem duQis faftarum : ut Ayx erit = jrdjf + xdjf i 8c Ay^x = 2xy\y -f /Jx. Hinc fi aequatio a by-^ cx -f iyx -I- ey^ + gy^x -f- hyx^ Sic. = o ; ftatim habetur Tangens Curvx ad quam elt iita iEquatiQ, Nam ponendo AB =^, St AaB = > + d> (lcilice\ quia 1B2B Teu iCD = d;»i) Itemque ponendo iBiC = x, St 2B2C = x-)-dx (fcilicet, quia 2CD = dx,) Et quia eadem aequatio exprimit quocme relationem inter A2B8C 2B2C, quae eam exprimebat inter AiB St iB iC j + Tunc 'in aequatione illa pro > St x fubltituendd > -f dj», St x -f dx, fiet » + -4-tx -\-ifyx &c. "j Hjf-\-edx-\-dydx ifxdx-^ -A- thxydx &c. I -^Jxdy ' -^-gjr^dx &c. ^ lidxd/-]- tdjfdjt -\-fdxdx-\-gxdydy fydxdx I (/eft quantitas communi more. + levd^d*- - 2/;rdxd^ &c. I d cft nota Differentix. gtXxdydy- - hdydxdx j Ubi, abjeiHs iilis qbte funt fupra primam lineam, quippe nihilo aequali- bus per aquationem praecedentem ; St abjeftis illis quae funt infra fecun- dam quia in illis duz infinite par\’ae in fe invicem ducuntur ; hinc refta- bit tantum aequatio haec biy cdx-f dydx Stc. = o, quicquid fcilicet re- + dxdy peritur inter lineam primam St fecundam. Et, mutata aequatione in ra- tionem feu dnalogiam, fiet — dx c+tfy+ifx4- -f 8tc. . _ b-\-dx-\-ity-\- zgxy *.t* 8tc. Cq«'a — feu ■iBiB, feu— iCD _ D iC ■ y Urit^^" jBiC lil iBiC* Quod coincidit cum Regula Shifum^ oftenditque eam ftatim occurrere hanc Methodum intelligenti. Sed Methodus ipfa (priore) noftra longe eft amplior. Non tantum enim exhiberi poteft, cum plutes funt literac indeterminatae quam yStx * Id eft, Si fecundus terminus Binomii Iit difierentia primi termini, fecundus ter- minus potentis Binomii erit differentia potentix. Hoc eft fundamentum Methodi differentialis a Ltibnith jam pcfitum. Et hoc idem fundamentum Methodi fu® NewitH ii Anno 1669 poluerat in Analyfi fupra impreffa, pag. 19. Perfimilibus cal- culis » Momenta, & Ltiinititii Diffcientias colligerunt, 8c diferepant folum in rerum nominibus. ... , , . • + Calculus etiam in his Exemplis allatus a calculo in lolis notarum tor- mulis diflert, led notis minus aptis obfcurior redditur. A a (quod Digiti2Gd by Googie % ( 90 ) (quod nrpe fit tmxitno cnm frn£l:u •,) Sed Si tunc utilis eft cum inter- veniunt irrationales, quippe quae eam nullo morantur modo,. neque ullo modo necefic clt irrationjles tolli, quod in Methodo Shjii necefle ett, & calculi difficultatem in immenfum auget. Quod ut appareat, tantum utile erit in irrationalitatibus fimplicioribus rem explanare, ht primum fit in •fimplicdlimis generaliter. Si fit ali- qua potentia aut radix \ erit dat» = xx*“‘dx. Si z fit feu fi fit Vx, erit d**, fcu hoc loco AVx = .'oc“odx lea — ; ut notum aut facile demonflraPie. Sit jam Binomium, ut v'»: -c. qnatritur d/’ : 4-|- feu dx», pofito y = 7., S^ a by cy^ &c. = x. Elt autem dx = bdy _ , dx t.1 >■ -4- 2f y 'y &c. _ .1. jnidvScc. Ergodx*leu — ,- = — — r tadem Metho- Sx’’' 3 X jq-Ay-f7*Scc.i^ dus adhiberi poteft etfi Radices in Radicibus implicentur. Hinc fi detur jEquatio valde intricata, ut a -f bx\'y'-t : i -\-y-\-hx'yVy'-\-yvT^=:o. ad aliquam Curvam cujas Abrciffa Iit (AB,) Ordinata x ( BC, ) rtinc Aquatio proveniens utilis ad inveniendam Tangentem TC, Itatim fine calculo feribi poterit ; & erit hstc ,4; -4- _ X aydji -f — "b bx*djt -4- 2bxycix x \ —y -f — • — 3 ^ I -b/^ / X 7yiy + d)!/ 1 —y — = °- Seu, mutando Quotientem hdne inventam in Analogiam, erit — dyad. dx, feu TiBad iBiC, ut omnes provenientis atquationis termini per dx' multiplicati, ad omnes ejuldem tcrminos*per djt multiplicatos. Ubi fane mirum & maxime commodum evenit, quod dj & dx fem- per extant extra vinculum irrationale. Methodo autem Slujiayta omnes ordine irrationales tollendas elTe nemo non videt. Arbitror, quae celare voluit Ncirtoniu dc Tangentibus ducendis, ab his non abludere. Quod addir, ex hoc eodem fundamento ^ quadratirras quoque reidi faciliores, me in fententia hac confirmat, nimirum femper figuri illae funt quadra biles quae funt ad iEqiiaiionem Diflercnriaye.n, iEqua- * Charafteres Methodi Leiimltim hic enumcr.it, &: gaudet Ic in Metho- dum incidlirc cui Charaiteres hi omnes competunt, l atetur etiam Kmtmn~,i intcl- lexiire facilem quadraturam l igurarum qux funt .id .^'quationem Difieienrialem. Vel deceat Methodum aliam in rerum natura cxt.are cui Charafteres hi omnes com- petunt, vel defmat negare fe in Methodum JsVwrrai incidille. Digitized by Googie e 91 ) Aquationem DifFerentialem voco talem qra valor ipfius dx exprimitur, qua-que ex alia derivata elt qua valor iplius x exprimebatur. Exempli gratia i fit AB=>. EB=x ponatur b g e>)^ Scc, 2/1 &c. Quatitur Quadratura figura ARPA (quamquam forte fiepe tale Trilineum non fit prodiriirnm quale hoc lchemate dcpin- 'C ximus.) Delcribatur alia Curva AC, talis ut y\ BC [ qua ] fit ^ ipfius Ordinatam ] fignificet -, & Rc£hn- gulum lub refla Av reprefentante Unitatem , yr / Canftruftionis, & fub Ordinata nova BC,iqua- X X bitur figura ABEA. Faufmodi Theoremata , condi pofliint infinita : Imo pleraque fub ge- '1- — 'R n^ralifiimis quibiifdam complefli. Licet nihil refert five Series hx pro- ducantur,' five ubilibet finiantur. Unde patet hinc unicam Regulam pro infinitis figuris quadrandis infervire, diveffa: plane naturf ab iis quae hafteniis quadrari folebant. Pulcherrima: funt 'llac Series A'nrfo»;j>»i fit y — &c. vel y = — — -r &c ; idem praftari polTet ; ut fcilicer, inter extrahen- dum radices ex xquationibns aut binomiis, invenire liceret Radices ratio- nales finitas q lando ez infunt, vel etiam irritionales ; Tunc dicerem , IVlerhodum Serierum infinirarum ad fummam perfeflionem efie per- diflam . Opus effet tamen praterea, difcerni polfe variis xquationis ejufmodi Radices : Ittm necefle elTet, ope Serierum, dileerni a:qu3tiones PdTibi- les ab Impoffibilibus. Quodfi hxc nobis obtinuerit ir in his (ludiis maximus, atque tftecerit fcilicet ut p< flimus Seriem Infinitam convertere in Finitam quando id fieri potell, aut filtem ngniTcere ex quanam finita fir deduQa : Tunc in methodo Serierum Infinitarum, qnx Divifione Extraflione inveniuntur, vix quicquam amplius optandum rellabir. Harc,' fi quifquam mortalium, certe i necefle eft enim infvenirc b)^ -—i ^ qiiic autem exprimat V — i appropinquando > Scripfi oiim CoUinio me remedium invenifle, quod etiam ad omnes gradus luperiores valeat ; id . ccce hic uno verbo. Ex Binomio V’ : »-4-*'— u extraho radicem per Se- riem Infinitam, five per Theorema Newtoniamm, five etiam more meo • priore, inftituendo calculum fecundum naturam cujufque gradus, cum fcilicet nondum Theorema generale abUraxilTem : quz radix ponatur dTel-f mv' — bb + n-^pV — bbtic. Extrahatur jam & radix ex Binomio altero V’ : fiet illa -4- 1 — wV— bb-\-n— pV— bb 8cc. ut fe- cile demonftrari poteft ex calculo : ergo t addendo hzc duo extra£la, de- ftruentur imaginariz quantitates, 8f fiet z = 2I -4- 2» &c. quz funt ez . Serici portiones in quibus nulla reperitur imaginaria. Invento ergo va- lore ipfius z quantum &tis eft propinquo, quemadmodum Sebotenm po-- ftulat, reliqua methodo Sebateniema, perinde ac in aliis Binomiorum ex-i trahendorum generibus, tranfigentur. Jmii 21. 1^77. 4 Rogatur D. Ltlhiitiiu ut hoc Theorema lucem tandem videat. • Summa eft quantitas triplex poflibills, ideoque non nifi tripliciter exhiberi poteft.' ^ Exandntnda cft Metboouj. • v -n 1 I Digiiized by (96) EpijheU i^.Lcibnitii ad /7. Oldenburgum, Julii 1677 dnts, cum D. Ncwtono commuuicdndd. Hujus extst exemplar manu D, Col- lins defcriptum, O" tmprejfa eft a D. Wallifio pag. 6 ji, AmpUffime Domine, T^Uperas meas credo acceperis, nunc iftas mature fummitto, ne faci- i.>l litate D. Ncvpioni abutamur. Rogaveram enim in prioribus, ut qux- dam fux Epiftolz loca explicaret j nempe quomodo inveniflet Theore- mata, quod polito i = -1- ^7» -1- 9» 8tc. fit 7= -j — ^ -p &c. '■el 7 = T” ^ + ’-^7— 8£c. Nunc vero, rele£lis ejus literis, video id facile non tantum ex ejus extraflionibus derivari, ftd & altera illa me- thodo fub finem literarum ejus expofita inveniri, qua me quoque taliquan- do ufum in veteribus meis Schedis reperio ) fed cum in exemplo, quod forte in manus meas fumferam, nihil prodiilTet elegans, folita impatien. tiam eam porro adhibere neglexiUe. Difficultatem moveram in przcedentibus literis circa aquationes im- poffibiles, quarum radices poflibiles videntur inveniri per Series Infinitas • necdum vero illa fubiata elr, & meretur res cxcuti diligentius; illud ta* men video, fi in zquationc data % = ay-^ 9* &c. literz z & * fint indeterminaiz, tunc aquationem femper efle poflibiIem"i fed fi z ^et determinata, rurfulque in iplis.a vel ^8ic. lateret zquatio, jwlTct efle impoflibilis, & tamen per Seriem generalem aliqua prodire vidwtur ra- dijyxjffibilis} cujus difficultatis folutionem, re diligenter expenla, reperiri polle arbitror : led nunc in ifta accuratius inquirere non licet. Meretur autem explicari rum quomodo ex Seriebus agnofei poffit zquariones efle impollibiles (quanquam id alias fatis facile inveniatur) tum quomodo dignofeantur diverlz radices. ^ Przter ea qu* in fuperiore Epiftola notavi, fcilicet Methodum Tangen- tium inverfam Sc Geometricam (ftlrem fuppofitis Curvarum analyticarum quadraturis) & alia id genus, ♦ deeft nobis circa Quadraruras utfeire certo polTimus, an non quadratura figurz alicujus propofiiz reducatur ad qua- draturam Circuli aut Hyperbolz : nam plerique figurz haClenus trafla- tz • • t D. Ltilmjtiut SeriM plures reciprocas ante biennium ab Oli/aiturp acceperat Me- thodum Serierum reciprocarum anno liiperiore S:9tsnum rogaverat, hoc anno acceoT tam agre intellexerat, & intelleaam le olim Invenifle ex chartis luis antiquis didicit : Et quamvis Series pro Hypcrbola & Circulo ante annos plures haberet Sc hac methodus ex arcu daret Sinum, ex Logaritlimo daret numerum, & Scriero-n omnium exhiberet reciprocas ; eandem tamen ojim inventam neglexilFe ut inutilem Sic Methodum, quam diu defideraverat, rogaverat, acceperat & a-gre intellexerat vel pTimus vel laltem proprio marte fcilicet invenit. ’ * ■ Quod hic defider.itur, Nivun»! in Epiftola ftia noviflima fignificavit le aliqua ex par te invenifle, & quod Invenerat poftea publicavit in Libro de Quadratura Curvarunt DigitizedOy Googli ( 91 ) tx ope alterutrius quadrari potuerunt. Quod fl demonftrari poteft (ut arbitror) qiiafdam figuras non e(Te quadrabiles nec per Circulum nec Hy- psrbolam, reltat ut alias quafdam figuras primarias altiores conltitua- mus, ad quarum quadraturam reducantur cactera: omnes, quando id fieri poteft. Hoc quamdiu non fit hiremus, 8£ fepe per Seriem infinitam pirticularem quatrimus, quod ad Circuli aut Hyperbolo: aut aliam noti- oris figurat quadraturam reduci poterat. Crediderat Gregory.u dimenfio- ne.Ti Curvarum Hypcrbolx & Ellipfeos non pendere a quadratura Circuli aut HyperbolcC ; ego vero reperi aliquam fpeciem Curvo: Hyperbolicx quam ex data iplius Hyperbolae quadratura metiri poflum ; de caeceris nondum mihi liquet. Hannovcrs 12 Julii 1677. Brevi pollea, '/iutvmno yW/iVet anni 1^77, murs Oldenburgi huic Uterorum Commercio finem impojhit. Deinde anno 1682 JRa erudito, rvm Lipfiot primum edita Junt^ ejujque anni Menfe Februario prodiit D. Leib- nitii Quadratura Arithmetica Circuli /dliict Cf HyperhoU, quorum prior non dijfat a Gregoriana toties diSo, neque pofierior ab ea Vicecomitis Broun- keri, ante qmtuordecim anms, in Philolophicis Tranfaflionibus A'®. 74 pro menfe Aprilis 1668, publicata. Non multo pofl.^ antio fcilicct 1684, i» iifdem A3is Lipficis pro menfe Oflobri, Calculi diHcrentialis Elementa primum D. Leibnitius literis G G.L. defignatiu. Anno autem i68;t od finem vergente, D Newtonus Erop.fitioncs principales earum qua in Philolb- phi.TPrincipiis Mathematicis habentur Londinum mifit, eailemq-, cum Soci- etate Regia wo.v coww/HW/VafD! y«»r ; annnquc \6c6 Ltber ille ad hvcietatem mijjiis ejl tit imprimeretur, proximoque anno lucem vidit : Exemplar ejus D. Nicolao Fatio datum eJl ut ad Leibnitium mitteretur. Deinde anno 1688 Epitome ejm in A.ftis Lipficis imprejja efi : tjui lecli D. Lcihnitius Epifiolam de lineis Opticis, Schediafma de refijlentia Medii Cf mitu ErojeRi. Irum gravium in Medio rfllente, Cf Tcntatnin de Motuum Cale/lium caujis comp jiiit, tSi' in AtVls Li plicis incutite anno 1689 imprimi curavit, quafi ipfe quoque prAcipu.n Newtoni de his rebus Ernp fitlones imunijjet, idqiie diverja methodi qua vim noiuis Geometricas aperuijjet tP’ librum Navtoni tamen nondum vidijet. * Hi.c licentia ccT.ceffii autiiores.qtiilitjct inventU fuis facile pi Iv.11 1 pr.flTunr. \’I. derat Lc.'ine;i'u I pircmcn Liliri in Liefint: Per comricrciiinr l-.|)iltolicum, qin J cum V iris [•aliiin halxliar, cnlium luas eJe iiTdem re- bus in Itinere fciipuas compclitiones pii'. licarer. L'icunt aliqni fallas elie 'i entami- iiis 'r ropofiilone» >1, 12 & *St i- L). ab Ilis per ca. culum iVium tlefiuvilie Ibcpofitiones 19 & 21 ejuftlem 'ientaminis. Talis autem calcul :s ail Picpc-litiones prius inventas aptaii ipuiJcia potuit, nen aiitern inventorem conlVitueie. C c Anno Digitized by Google ( 98 ) aufe>» 1^95’ Opera Mathematica Celeberrimi VCd.\\x(\i dit ht-t J ( Mis Oxonii prodiere : & in Actis Eruditorum unni injtqueutts lUc/jfe Junio, Libetur libri Epitome ; tn qua jcquentia Icuntur^ p.ig.X‘P’] & jcq. " ' • NEwtonianis ethm feriehus jam in AngJicava editione expr.Jith^ adjicit quudam (jiiei David Gregorius Hcotus Profejfor Oxonieniis, (Jf Archi- . baldus Pitearnius AM’c7h<< Li^gduni Batavorum Profefptr, non abludentia attulerunt. Addit cap 95 Algcbra. pag. 589 apud exteros (ut verba ejus fanant) etiam Lcibnitium t> 1 fchurnhaufium nonnihil ejujmodi prxjiitijje, tif apud Britannos Jacohum Gregorium tSf Nicolaum Mercatorem, yi:} (/«« /wt ut plurimum nmnifi cajits Mrthiilares intra ambitum generalem regularum Newtoni- Cakuh quaque uiferentiali Leibnitii ajf nem effe methodum Fluxio- vum Ntwtoni in Principiis A'aturet Mathematicis primum editam) tum utra- que ejje antiquiorem Burovii ^ iSl amnes Waliilianx 'Arithmetica Infinitorum fuperfirui, qua C.ivailerii Geometriam pr., movit, ut hic Archimedeam. Exhi- bet etiam Methodum quandim J >lephi Ktphlbn pro Infinitis Seriebus, libello Londini 1690 edito fub titulo .dnalyfc' s jF. luationum univerfalis comprehen- fam. Caterum ipji Ncwionus n n minus candore quam praclaris in rem Mathematicam meritis infignis. * publice privatim agnovit, Lcibnitium tum cum (intetveniente celeberrimo Viro Henrico Oldenburgo hremenfi, SuCieta- tis Keg'x Angiicanx tunc Hccietario) inter ip/01 ( ejujdem jam tum' Societatis Suchs) c mmocium intercederet, id efl j tm fere ante annos viginti amplius Calculum futim Diffcrentiakm, Scriefque Infinitas £7’ pro iis quoque Methodos generales habulfe j quod W li ifius. In prafatione Operum faOa iuter eos cmmunicationis mentionem jacien\ prateriit, quoniam de eo fortaffe non fatis ipfi conflabat. Caterum D'’jf rertijrum confider.rtio Leihnitiaiia, cujus mentionem facit Wallifiiis quis fciiicct, ut i;fe ait, caufaretur de Cal- culo Differentiali nihil ab ipfo di8um fuijfe ) meditationes aperuit, qua ali- % unde * Methodum Dlfierentia1em,We«riin/ t). LtihnitUn habuit anno KS7J, &fuam e(?e vo- luit : Meihcdum aliam Differentialem nondiim habuit. Series pollea habuit, fcJ «luas anno 167 J ab accepit, ab aliis prius accipere (jotuiiict. Mclhc Jum i;cneralem perveniendi ad ejulinodi Sei irs anno proximo ab Oht.nl/urri> petiit, a W.»- VoMj accepit, antea nem habuit. Methodum extrahendi Radices in Ipccicbus a A’,wr> «J (Imul accepir, qua Methodus ejus per Tiarilinutaticnem iigurarum nondum peneralis, in Methodum nu.indam ge.niraitm evalit, led inutilem : Per Kxtraitiones folas res citius peragitur. An.no 1677 •iethodum novam Uiffirentialcm h.ibuir. ac tanr„m Methodi hujus antiquitatem Editores jaftant, majorem non afierunt. Me- thodum generalem vel .Verierum vel Diflercntialcm, Ultmilu»/ Vel primum vel pro- rio mane invenilTc Stwtm/n nondum agnovit publice. ‘ Digitized by Coogle tmie nm *que tiafcebaMtar, Efl enim DiferemU Analjticum qvtddam O* cal- culi capax^ ^ quod rei caput eji^ SummA reciprocum. Eaque demum ratione faSum efty ut calculus Analyticus non minus in Geometria altiore^ quam Carte* fius a fuo calculo excbejerat, quam in ordinaria ah ipfo traBata procedat. Et quemadmodum Apollonius £5" alii Veteres habebant quidem prnprsetates ordina- tarum pro lineis Conicis & aUis, ex quibsu jormata funt pojiea aquationes a Cartefio ^ ita fasiUter Unea, quas ipfe Cartefius, quippe calculo fuo intraBa- biles., a Geometria excluferat, Leibnitiana primum methodo aquationibus fini- tis funt exprejfa leges Analyfeos redaBa ; qua ratione omnes earum proprietates Analytico jam calculo inveftigari poffunt, prorfus ut in ordinariis. Et cum antea per viam figurarum Cf imaginationis etiam praftantifmi Geo- metra faciliora tantum affequi in bis potuerint, nunc ope hujus calculi non tantum priora iUa primo velut obtutu patent, qua tunc merito admirationi erasit, fed multo magis abjlrufa deteguntur ad qua imaginatio non pertingit, in quo confifiit potijjhnus calculi Analytki ufus. Caterum ipfum celeberrimum Wallifium, quo eft candore, non dubitamus etiam Nofiratium meditationibus, fi fujf dentem earum habuijfet notitiam, locum ampliorem in fuo Opere daturum fuife. Sed ipfe queritur, ultima Algebra fua pagina, bac nofira Eruditorum ABa, in quibus bona earum pars continetur, minus fibi fuiffe vifa ; unde ne- que illa fatis fibi cognita ah, qua de Geometria Incomparabilium, vel Analyfi Infinitorum, a Leilmitio data fuere, qua libenter alsoqui in fuo quoque opere exhibiturus fuerh. Caterum bac ouafiune Cf de Nicolao Mercatore, (quem Wallifius velut inter fuos recenfere videtur) notare voluintus. Germanum fuijfe, iSf ex Hollatia oriundum, etfi in Angliam habitatum cono frit j eum- que primum fuiffe, quantum confiet, qui ^adraturam publice didtrit per Se- riem irfinitim, tametfi tunc quoque Newtonus in eadem ipfo infdo inddffet, eaque nsulto longius produx ffet. Excerpta ex Eptflola D. J. WalliAi ad D. Leibnltium, Oxonii 1®. Decemb. 1696 data, epua refpondetur ad ea qua ex Aliis Erudito- rum modo defcripfimus. Dum hnte feripturus eram 5 oftendit mihi non nemo, hefterno die, ABa Lqficaf pro Menfe Junii pra:fentis Anni J6q6. Quorum Eruditus Editor dignatus eft inibi amplam meorum Operum Mathema- ticorum (Oxonii editorum) mentionem facete. Quo nomine me ipfi ob- firiftum lentio, & gratias habeo. Sed conqueri videtur (laltem fubinfinuare) quod, qmim Nevetoni Me- thodos fufius expofuerim ; de Ldhnitianis parcius dixerim. At nolim ego Te (quem magoi xftimo) a me quoquo modo Izfum ki. Sed gra- • tulor . f 100 j tulor potiu?, Te, In tanta nobilitate politum, ad res noftras Mathemj- ticjs clelccndere voliiifle. Et tantum abeft ut velim ego Tibi quocunqtis modo iniquus tlFe, ut liqua ferat occalio, demerere malim. Dum addit Eruditus Editor, Illas me forte prarteriiUe quod de illis mihi non litis conlliterit ; id omnino verum elt. Dicam utique quod res elt (neque enim fateri pudet:) Tuarum ego rorum nihil (quod memini) vidi quicquam, prater ha:c duo. Qjioriun alterum, illud cit quod inter Londinerjium QMdiiones thilojlphkiis habe- tur (dJ abique Demonltratione) ex A[lh Lipjidt delcriptum j De ^la- druio Divnctri ad Aream Circuli ; ut i ad — 1 v — t', C^C. in infinitum. Quod ego meis inferui (ut a *Te factum) ad Algcbra mea: Prop. 9j. Alterum ell illud de Tejhdine ^litadrabili j cujus ego (ut de Tuo) mentionem facio in Algebr.TC mea: poltremo folio. Prater hac duo, li plura noverim, non teticuilTem. Tuam Geometriam hconfarabilium vel Avahjin Infinitorum^ (quam ibi- dem a te memoratam dixi,) ego nondum vidi ; nec cjui quicquam vel de nomine ante inaudiveram, quam prout ibidem ad calcem Algebtx diftum elt. Neque Calculi Dijferentialis vel Nomen audivifle me memini, nili poft» quam utrumque Volumen abfolverant opera:, eratque Pra:lationis tpia:ff- gtndi) poltremum folium fub Prelo, ejulque typos jam pofuerant Ty- potheta:. Quippe tum me- monuit amicus quidam (harum rerum gna- rus) qui peregre fuerat, tum talem methodum in Belgio pixdlciti, tum illam cum Kemtoni methodo Fluxionum quali coincidere. Quod fecit ut (ttanfmotis typis jam politis) id monitum interleruerim. Si-d gi ante monueram, Algebra: Prop. py. pag. 589. (quod folum po- tui) Leibnitium Sc Tfchiirnhaufinm talia meditatos i led qua: ego non vide- ram. (Necdum vidi.) Et licubi forte viderim literas G. G,L. nelciebam quem illa: Virum indicabant. Extant, credo, plura in AHis Lipfich j fed quee ego non vidi : Uti nec tu, credo, vidifti Brounkeri ^adraturam Hyperbole:, qui extat in TranP afliunibus. Loniittenfibus. Mihique condonari potelt, hac xtate, (qui annum Oftogefimum fuperavi) n non omnia Icifcitarer. Noveram quidem jamdudum (& indicavi) de rebus hujufmodi nonnulla te meditatum elle •, tibique cum Newtono ( mediante Oldetiburgo ) inter- cclTiire Literas quafdam tuas : Sed, quas ego non vidi, nec fcio quales fuerint : eratque Oldenburgut diu mortuus, ut non potuerim ab illo Icifci- tari. ’ \gnotAV\t IVaSip-u Qr.-gerium hanc Seriem anno 1671 cum CdiT/b/i», Olitcnhurgum anno 1675 cum Ltihnitio c(jmmunicalle ; Sc pri-tcrca Leihnitium in ytii^lia fuille anno 1673. Cdtinhts enim, Leiinstit tum non ignotus, ab anno 1670 Series a Nevtoni 8c cr.^sr/ii acceptas rogatus non rogatus liberrime nec fine jaiilantia communicavit, uc ex llipcrioribus patet. Digitired by Googie ( lOI ) tari. Rogabam quidem (per literas) Nevtonm noftrum, nt fi eas penes fe haberet, earum mihi copiam faceret literarum 5 fed retulit ille, fe non habere. (Et quidem periilTe credo flammis inopinato coneptas, cura pluribus Newtoni fcriptis meliori luce dignis : & nili per me ftetiflet, periiflent etiam Nevtoni literz.) Eoque animo rogabam, ut tuas illas cum Nevtoni literis jun£tim ederem. Idque etiamnum, fi ferat occalio, fafturus forte fum, modo mihi dignaberis earum copiam facere.* Quod Hetiricvs Olienbmgut fuerit Brmevjit ; Sc Nicolaut Mercator Holfatus i ( quod fuggerit Eruditus Editor ) omnino verum efle credo j faltem Anglos non fuille latis novi, (eqlque propterea Germanis, veftrz non invideo ) Adeoque non Noflratet dixi, led Apai Nos : nec tamen ideo minus eos aut amavi, aut zftimavi. Nam mihi perinde elf qua quis gente fit (Tros Tyrhfve foret, vuBo iifcrimine) modo fit vir bonus & bene meritus. Sed apui Nos diu vixerant St quicquid hac in re fece* rinr, apui Nos fafVum elt. . Quz fiiGusexpofui, ut fentias quam Tibi non iniquus fuerim, aut pa- rum candidus. ’ Eas tandem obtipuit D. WMJiui e fchediafmatis CtUintr. Ex EpijloU D. Lcibnitii sd WaUifium fcriptSy ii Marti/, ineur/tis Anni 1697* -- Quoniam videris nonnulla, in A£Us di£fa, ita accepifle, quafi animi parum erga Germanos zqui accuferis, & quafi vidflim t^ recenfendo extenuentur : Putavi non ingratum Tibi fore, fi Epiltolam Dominis Edi- toribus Aaorum Icribcrem (cuihs hic Exemplum addo 0 qua (fi ipfis videretur) Aftis iifdem inferta, totisfieri tibi, fcrupulis illis fublatis, pol- fit.' (Habetur in A5is Lipfcis pro menfc >»/o 1697.3 Ego qui Te magni facio, & publice profeflus fum quantum meo ju- dicio Tibi debeat altior Geometria, aquiffimum puto viris praelate, non de fuo tantum feculo fed Sc pofteritate, meritis debitas gratias rependi. Ut autem animi mei certior efle poflis, ecce verbo tenus tranfcripta quz ipfe de Tuis meritis Geometricis dixi, ASorum Lipjienjtum Menje Juma. 1686, pag. 298. ' „ n • /• 1. . “ Paucis dicam, quid potifiimum infignibus noltri leculi Matuematicis “ in hoc Geometriz genere mea fententia debetur. “ Primum Galtlsus 8C CavaBerius involutilfimas Co«o«h 8c Arcbimcdts “ artes detegere coeperunt. ^ o • • r • -r “ Sed Geometria Indivifhihum CavaBem Scientia renaicentis non nih “ Infantia fuit. Majora fubfidia attulerunt Triumviri celebres •, Ferma- tius» inventa methodo de Maximis £3^ Mitttmis .* Cattejius, oflenfa ratione - ^ . D d “ Lineas Digitized by Google 1 ( 102 ) “ Lineas Geometrix communis (Tranfcendentes Cnim exclufit) exprimen.' “ di per JEquationet ; Et P. Gregmus a S. Viitcentio^ multis prxclaris In- “ ventis. Q.uibus egregiam Guldiri Regulam de Motu Cmri Gravitatu “ addo. “ Sed & hi intra cCrtos limites conUirerc} quos tranrgrefli Tunt Hiae- “ mw & WaUifius, Geometria inclyti. Satis enim probabile eft Hugetiima “ Heuratio^ & Jf^aBifana Nelio 8t Wrenwo (qui primi Corvis zquales R<^as “ demonftravere) pulcherrimorum inventorum occafionem d«Iiflc. Quod “ tamen meritiffima: laudi Inventionum nihil detrahit. ^ “ Secuti funt hos Jacobiu Gregarius Scotus & Ifaacus Barrovitu Anglus : ** qui praedatis in hoc genere Theorematibus fcientiam mirifice locuple- “ rarunr. “ Interea Nicolaus Mercator Holfatus, Mathematicus & ipfe priftantifli- “ mus, * primus (quod fciam) Quadraturam aliquam dedit per Seriem In- definitam. “ At idem inventum non fuo tantum Marte aflecutus eft, ftd & nni- “ verfali quadam ratione ablblvit, profundiffimi ingenii Geometra ^aacus Nevetonus. Qui, fi fua cogitata ederet, qux illum adhuc premere in- “ telligo, haud dubie nobis novos aditus ad magna Scientia: incrementa “ compendiaque aperiret. Quibus deinde nonnihil de iis addo, t qux mea opera acceflere j Prxw fertim dum novo Calculi genere effeci ut etiam Algebram tranfeendentia Analyfi fubjiciantur i & Curvas, quas Cartefius a Geometria male exclu- fcrat, fuis quibuOam ** ffiquationibus explicare docui. Unde omnes earum proprietates certo calculi filo deduci poffunt. Exemplo Cycloidh^ xui ^uafionem ibidem affigno, y = V2x — XX Ubi Vlx~xx f fignlficat Summationem •, & d, Differentiationem i x, Abrciffam ex Axe inde a Vertice } 8cy, Ordinatam normalem. De Te autem queri nunquam mihi in mentem venit ^ quem ficile ap- paret noftra, in ABit Lipfienfibus prodita, non fatis vidifle. Qu* inter OIJenhurgum & me commuutx funt Literx, quibus aliqua accefferant a D. Nemtono excellentis ingenii Viro, variis meis itineribus & negotiis ab hoc Rudiorum genere plane diverfii, vel periere ut alia multa • Utreettr quadraturam D. Brtmktr! per divifionem Wtttlftfntm tantum demonftra- vit ut lupra. • _ . ^ t Ltibnitint recitando inventa nova Mathematica, pritermittit Methodum Fluxio, num, quafi Analylti tota Infinitefunalis fola lua opera accellerat. " Annon Nrotontu hujulmodi xqnaticnes prius invenit, qui docuit Fluentem ex iTquatione Muxionem involvente extrahere, & Curvas Mechanicas ad /Cquationes Numeio Terminorum Infinitas reduxit, pergendo ab hujufmodi zquacionibus finitis > Annon tota Fluxionum Methodus inverla, ubi de Curvis agitur, pendeat ab hujufl modi /Aquationibus ad Curvos applicatis ^ ' Digitized by Googie ( J°3 ) multa, vel jacent in mole chartarum aliquando excutienda digerendaque, ubi a necefliriis occupationibus vacatio erit ; quam mihi tam fubito quam vellem promittere non poflum. Ex EpiJloU Wallifii nd D. Leibnitium, Apr. 6. 1697. Vir Nobiliffime Celebarimeque, L Iteras tuas hamaniirimas Martii 44 HartmverA datas, accepi ( & exof- culatus fum) Martii ftilo noftro i>Vxox6x0x>)tio\ Uc. Et Brounkeri Q = 1 4 , ^ V 8tc. Sed 8c omnes mearum tabellarum firies, in Arithmetica Infinitorum, fiint Series IvfmitA ; 8c earum plurimae quales qui Vobis dicuntur (novo no- mine) Series Tranfcendentales, Nolim utique ut Clariffimo Viro fraudi fit nova Compellatio. Nam ouas ego vocaveram Q ntinuas Approximationes, vocat Jacobus Gregarius Series Convergentes ■, tH Newtonus Series Ivfinit.is ; (ed res eadem elt. Sic quod ego vocaveram Centrum Percujfijnit^ vocat Hugenius (novo nomine) Centrum OfeiUationis j fed eadem res elt. Et Fermatii H\perboU InfinitA eidem funt cum meis Seriebus Reiiprocis. Et GaVtl&i Cychides, Merjenni D d * Troeboides^ t /> Digitized by Googie f 10+ ) 'Jrochoides, mea Qdoh, &: Cufjfii Curva ( quocurque nemine dicatur > fjnt res eadem. Sic K.eftifkata Curva Kelii, & Curva Hcmjtil, & Cur- va demum FermAtii^ eidem ell cum mea PjraboWiie Sunt cubicali. Et Gallorum Socia Cyclulis eft ea Curva q a: (mihi) terminat Figuram Si- ritum reStrim. Et, ni fallor (fic filicm mihi nunciatum elt) A'evtoni DnSrina Fluxif viim res eadem elt (vel quam limillima) qui vobis dicitur Calculus Differ ciitialis : Quod tamen neutri praijudicio efle debet. £x EpijloU £). Lcibiiitii ai Wallifium feripta, 28 Maii 1697. MF.thodum Phixioiium profundiffimi Kcirtoni, cognatam elTe methodo mei Differevtiali, non tantam animadverti ■'^poflquam opus ejus Si tuum prodiit ; led etiam profelTus fum in Eruditorum, 8i alias quoque monui. Id enim candori meo convenire judicavi, non minus quam ipfius metito. Itaq -e communi nomine delignare Ibleo + Analffeot InjiriteJJimalis qui latius quam Methodus Tctra^nniJHca patet. Interim, quemadmodum & Vietsa 8i Carteji.via methodus Analyfcnt Speciofn nomine venit 5 difetimina tamen nonnulla fuperlunt : ita fottafle & Nemtouiana &c Alea diUerunt in nonnullis. Mihi conlideratio Differentiarum 8c Summarum in leriebus Numero- rum, pr'mam lucem affuderat, cum a ni mtd verterem Differentias Tangentibus, & Summas Quadraturis, refpondere. Vidi + mox Diffe- rentias Difterertiarum in Geometria iffcuUs exprimi. Et notavi mirabi- lem analogiam relationis inter Differentias K Summas, cum relatione inter Potentias 8t Radices. Itaque judicavi, priter affeifiones quantita- tis * Quafi Leihnitlui hoc non advertilTet anno i<>77, ubi primum incidit In Metho- dum tCnrt.ni. Vide liccras ejus fupra imprella.s, p, 9C, 91. Certe Methodum ,Vn*. rg»; ante annum 1671 inventam fuilfe Ldinithu ex Literis ejus intellexerat, led in Aftis V.pftcit hoc nunquam agnovit. Vide fupra p. 73, 71, 72. Sic JJt fc ab Otden- tur.-^c Senes S’ervtm;.was Si Crc^tr!.mat ineunte anno 167? accepllle, ftatim oblitus elV ; p. 40, 4!, 41, 45. Et Methodum Scrierum l’e ab O.V.nWg» polhilalle & a Sewtitn accepilie, hatim oblitus eft ; p. 45, 61, 98. Et Problemata Tangentium inverlh. ab /Es]uatIonibus & Quadraturis pendere le primum negalTc & lubindc a Kfvtjnt didicllle, ftatim oblitus cft ; p. 65, 8t, 86, 93. ■f Methodum Fluxionum & Methodum DilTerentialem efle unam & eandem Me- thodum Leiimitim Kic agnofcit, ideoq; le ccuimuni nomine AnaljOcos InHnlteliinalis delignare folcre, licet in ncnnullis differre pollinr, ut Analyfis Ipcciolh V'ieti‘ & ea Cirrirfi! in nonnullis differunt. Quxritur quis Iit Analylcos hujus Infinitelimalis in- ventor primus & ecquid alter alterius inventis addiderit. **■ Fatetur hic Methodum Tangentium per DilTcrentias primam lucem ipfi affudiCe, Id eft, Methodum q\.’am Arw.jt/vr, &Vggcr,VM, B.irrivtni coluere, p. 14, It, ad Qu.antiiatum augmenta momentanea generaliter applicuit, ll.iacce Tangentium methodum Icilis ,V< meditatur, p. 47, 71, 86, 87, 88, generalem reddit, p. 88, 89, & AV»fcH;’.ia.r limilem effe ftatim v idet, p. 9?, 91, 95. I Firmarim & Sclttertmii hoc antea viderunt, determinando Punitum tlexus con- trarii in Concholde. Digitized by Googie I f 105 ) tis haflcnus receptas >, j\ y\ y^, &c. vel generaliter five [p*]/,’ vel potentis ipfius fecundum exponentem e ; pofie adiiiberi novas Dif- ferentiarum vel Fluxionum affeflioines, d;, d*jr, (fcu ddj,)d»jf, (leu dddpj hno utiliter etiam occurrit d^, 8c limiliter generaliter^e d'jr. Hac jam Aii^ione admilTa, * vidi commode per itquationes exprimi pofle quantitates quas a fua Analyfi & Geometria excliferat Cartejiiu ^ 8C Curvas, quas ille non refle vocat Mecbanicasy hac ratione calculo non minus fubjici, quam ab ipfo in Geometriam receptas. Et, quemadmo- dum Veteres jam ^uationes Curvarum LocaUi obfervaverant, fed Car- tejiut tamen utilem o^^ram nobis navavit dum eas calculo itio exprtfllt : ita putavi me non inutiliter fa£lurum, fi offenderem Methodum Curvas ab ipfo exclufas fimiliter per ^uationes exprimendi ) quarum ope om- nia de iis certo calculi hio haberi polTint. Et licet fatean quemadmodum rem ipfam, in JEquationibus Curva- rum Localibus facilioribus, calculo CarteJH expreffam, jam tenebant Ve- teres j itarem ipfam, meis ^nationibus Oifferentialibus facilioribus ex- prefTam, non potuiflTe Tibi aliilque egregiis Viris elTe ignotam : non ideo minus tamen puto St Cartejim & ^^e aliquod utile prsffitifle. Nam an- tequam talia ad conflantes quofdara Charafferes calculi analjtici redu- cuntur, tantumque omnia vi mentis Sc imaginationis funt peragenda, non licet in magis c<)mpofita abditaque penetrare j qus tamen, calculo lemel conffituto, lufus quidem jocufque videantur. Unde jam mirum non eff, t Problemata quzdam, poft receptum cal- culum meum, Ibluta haberi, qus antea vix fperabantur : Ea przlertim auz ad tranfitum pertinent a Geometria ad Naturam. Quoniam fcilicet Vulgaris Geometria minus fnf&cit, quoties InSniti involvitur confideratio } quam pleriique Naturz operationibus inefle conlentaneum eff, quo me- Uus referat Autorem fuum. Hrgenius certe, ^ qui hzc ftudia haud dubie profundillime infpexerat, multilqiie modis auxerat, initio parvi faciebat Calculum meum, nondum perfpeUa gus utilitate. Putabat enim dudum nota fic tantum nove exprimi : prorfus quemadniodum RoberoaUius 8c alii, initio, Cartefi Cur- vatum calculos parvi faciebant. Sed mutavit poffea Hvgcnm fententiam fuam, * Lelhiitiiu boc non vidit ante annum 1C77. Scripfit enim anno 1^71? inverla Tangentium Problemata, & alia multa ab stipationibus non pendere. RefcripHt Hcwtma hujurmodi Problemata in poteAate efle, nem^ per .^uationes fuas. Et tum demum Ltiknitim a tJivtm admonitus hxc vidit. Vide pag. 65. lln. i^. t Mirum eft hzc a D. LtihtUh dici, qu! ex Liceris & Principiis Nrmtml intellexe- rat Methodum folvendi huiufmodi Problemata Ktrtcnt tnie annum 1671 innotuifle, & ipfum primdm per hanc Methodum Problemata traQafle quz ad tranfitum perti- nent a Geometria ad Naturam. *• Hiigetiiia Liceras qu* inter Ntmtnum it LtiMtinm medianteO/iw^Kr^o Intercelle- rant nunquam vidit. E e DiijM--^l by Gt -Oglc f ) fuam^ cuffl videret qaam commoda eflet hzc exprimendi rado, Sequam Sicile per atn res invoIutifOmac evolverentur. Itaque maximi eamafe fieri aliquot ante obitum annis, non tantum in privads ad me aliofque literis, led publice quoque eft profefibs. iterum Tran/cendentium appellationem, neqnid a me przter rationem in phrafi Geometrica novati putes, fic accipio ut Tranlbendentes quanti- tates opponam Ordinariis 8t Algebraicis : Et Algebraicas quidem vel Or< dlnarias voco Quantitates, quarum relatio ad datas exprimi potelt Alger braice ^ id el^ pei iEquationes ceui gradus, prinai, fecundi, & tertii, &c. Juales quantitates Cartefiiu folas in fuam Geomeiriam recipiebat : Sed ranfeen^tet voco, quz omnem gradum Algebraicutn tranfeendunr. Har autem exprimimus, vel per valores Infinitos, 8c in fpecie per Series^ (neque enim ipCis Series TranfiendentaUs voco, fed Quantitates iptis ex- primendas) vel per TFo iationes Finitas % ealque vel Difterentiales ( ut cum Ordinau Cycloinis Methodo mea exprimitur per ^uationem xdx V -vf ) vel Exponentiales, (ut cum incognita quidam x expri- mitur per hanc iFxjuationem x*” -f * = i.) Er quidem Trrnfeenden- tium Exponentialem pro pertatliffima habeo; quippe qua obienta, ni- IhI ultra quzrcnium rellaie arbitror -, quod fecus ett in citeris. Primus autem, ni fa!'or, etiam E.^onentiaks iEquationes introduxi, cum Ignota ingreditur Exponentem. Et jam anno primo * Adoxum Lip. fcnf im, ftecimen dedi in exemplo quantitatis Ordinarii Trattfcendmali. rrr txpiefli, ut res fieret intelligibilior ; Nempe, fiquiratiirx*-fx=jo, patet X = 3 latisfacere j cum bt 3 J -F 3 == 27 + 3 = 30. ♦Imo Anno \6^^. Vide pag. 94, py. t Legendum j-= Idem fic . . yai—xx • defignari poteft y = — , Vel fic } = ■ 1]— . Et nota quod ubi Differenti* ^ax~xx ^az-^xx referantur ad Summas, reOius diurentur Panes. Sunt enim non Differenti* Sum- marum fed Partes, & nullam relationem habent ad Summas, niil quatenus funt earum Partes. ' Ex Efiftolx WalliHi Leibnitium, Julii 30, 1697. OPtaverim item ut Tibi vacet tuum Calculum D^eretithkm^ 8c Nevtana fuam Fluxionum Methodum^ jufto ordine exponere; ut quid fit utrioue Commune, 8c quid interfit Diftriminis, 8c utramque diftinftius inteUigamus. *' l Ut Ixihitim Difierrntiaut Methodonun exponat iterum rogat fruflra. .i^igitized by Googie ( 107 ) In Dijfertdticne D. Nicolai Fatii Dulllierii, K* S. S. de invejlign- tione Geometriu Lioeae Breviflimi defccafus &c. Londini Anno 1699 edit*. f*g. 18, h*c hahenfur. ** ptimum, ac pluribus Annis vetufiiilimuai, hujus Calculi “ iN Inventorem, ipla itrum evidentia coaflus, agnolco : a quo utrum ** quicquam mutuatus fit Leibnitiut lecundus gu$ Inventor, malo eorum, “ qnam meum, fit Judicium, quibus vilz fuerint HevUm Liter^ aliiquo " guidem Manulcripti Codices. Et refundit D. Leiboitius m AHU Lipfienfiiu Men/e M^ 1700.- ** /^I^rte cum Elementa calculi mea edidi anno 1684, f ne confiabat “ quidem mihi aliud de Inventis qus in hoc genere, quam quod ” iplb olim fignificavetat in literis, pofle fe Tangentes invenite non fubla- “ tis Inationalibus ^ quod Hvgenitu quoque ie pofle mihi fignificavit pO; ** itea, etfi czterorum iftius calculi adhuc expers : fed majora mulco confecutum Ntvtmnnn, viio demum libro Principiorum ejus fatis in- tellexi. Calculum tamen di^rentiali tam fimilem ab eo exerceri, non “ ante didicimus, quam cum non ita pridem magni Geometrx Johamu^ “ operum volumina ptimum 8c fecunduns prodiere, HugertwfqM^ “ curio&ati mex favens locum inde de&riprum ad Nevtonum pertinentem “ mihi mature tranfmifit. Et pojl aliqua : ** Quam {methodum^ ante Dominum Nevtotam ii. mk “ nuUus quod iciam Geometra habuit ^ uti ante hunc maximi nominis Geometram, NEMO fpecimine publice dato le habere probavit : ante Dominos'A«rxoidh’ res reddi, & Problemata Tangentium inverfa D. Newtmi Methodis folvi ; idque non- nunquam per quadraruras folas, nonnunquatn per Methodos generaliores. Conier Literasejus pag. 90, 91, & feq.cum pag. 71, 71, 8;, 8S, ut &cum pag. 30. lio. i;, 16, & pag- 47i lin. 4. 8. • J. &c. D, Fatio autem Replicationem fuam ad Editores Lipfienfes ut publi- caretur mittente^ Hiy quafi lites averfati^ eandem JSlu fuis ■ infe- rere'recufarunt. f^ide Aft. Lipf. Martii 1701, pag. 134. Taxdem ( i'o8 ) Tandem ubi prodiere Newtotii Libri de Numero Curvarum fecundi ^eneriSf deque f^adralura Figurarum^, Editores Aftorum Lipden* fiJm, ft)b Leibnitiano, Srnopfin Itbri prioris his verbis' cossclufe- runt. hde A£1. LipC JanUarii i yof . nJEterum autar non attingit Focos vel Umbilicos Curvartm fecundi generis £)' multo minus generum ahiorum. Cum * ergo ea res abfirvforis ft indagi- nis Cf maximi tamen in boe genere ifus^ tum ad def^iptiones tum ad alias proprietates Cssruarumy O' doSrina hac Focorum ab illu/M^mo D. || D. T. profundius fit verfata j fvpplementum ejus pro bis Curvis ab ipfius ingenio ex- peBamus, Dein libri altaius Synopfin feqaentem (fi SynopGs dici mereatur) eo- dem ttylo fubjunxerunr. Ingeniojijfimus deinde Autor antequam ad ^adraturas Cttrvarum (vel po- tha Figurarum CurvilinearumJ t vesiiat, praniittit brevem llagogen. f ut melius httedigatur,, Jtiendum eft cum magnitudo aliqua continue crefdt, vkuti Linea ( exempli gratia ) crefdt fiuxu Fun8i quod eam deficribit, ** incrementa illa momentanea appellari dijferentias, nempe inter magnitudinem qua antea eraty £9' qua pn mutationem momentaneam efi produBa •, atque hinc natum efe Calculum Diferentialem, eique redprocum Summatorium } cujus elementa ab Mu«itor« D. Godeftido Guilielmo I^ibnitio i« his ASis fmt tradita^ va. ^ riique ujus tum ab ipfoy tum a D. D. Fratribus Bernoulliis, tum Uf D. Mar- '' cbione Holpitalio, {aijus. nuper extinBi immaturam mortem omnes magno- pere dolere debent, qui profundioris doBrina profcBum amant ) fiunt ofienfi. Pro difierentiis igitur Leibnitianis D. Newtonus +t adbibet, femperque ad- hibuit, Fluxiones, q''* funt quam proxime ut Fluentium augmenta arqua- Hbus temporis particulis quani minimis genita j iifque tum in fuis PrJnd- piis Natura Matbematids, tum in aliis poflea editis eleganter efi ujus, quemad- modum (fi Houoratus Fabrius htfua Sjnopfi Geometrica, motuum prngreffus Ca- valieriaflz * Compilatores Aftorum in ftrlbendis librorum Breviariis, a cenTuris temerariis abfUnere debent. Ex hac cenfura natet animus fcriptoris in D. Ntwttnim. II Literis D. T. Tfch$tnih*ii/iiu deiignatur, + Hjec ifagige & Corollarium Propofitionis ultimx fcripta funt ubi liber prodiit, iclimia ex MS. antiquo manibus amicorum trito imprelTa funt. t Ut ifiigugt melius inteiligatur, LtHnitita defcribir calculum fuum diflerentialem & omittit calculum Ntvtmiamm, quem folum defcribere dcbuillet. Hoc fecit, non ut calculus Ncwtsnimru in ifagcgi tiaditus melius inteiligatur, fed ut rejiciatur. ” Incrementa illa momentanea Nmttnra momenta,_ LeUmititu pollea differentias vocavit. Et inde natum eft nomen Calculi differenrialis. ■ft Senius verborum eft quod Nemtcntu Fluxiones Differentiis Z.rifoiiV/VfnM fubftituit, quemadmodum Hcncratia Fabrius motuum progreflus Cavalleriana methodo fiibfliru- erat ; id efi quod Ltilmitiiu Aurhor primus fiiit hujus Methodi, & Kewtmus eandem a Leiinitis habuit, fubflituendo Fluxiones pro Difibreotiis. Digitized by Cooglc T 109 ) vallerianx methodo fubflitujt. ^ Subinde Editores vice Symbolorum Nevt(h ni defaibunt l^mbola Leibnki\ & poftea librum Ncwtom fic breviter at- tingunt. Cwn regrefiu a Diferentiis ad quantitates^ vel a quantitatibus ad fummas^ vel denique a Fluxionibus ad Fluentes non femper Algebraice jieri pojjit^ ideo qnarendum efl^ tum quibus caftbus ^adratura Algebraice (uccedat^ tum quomodo Algebraico fucceffu dejiciente aliquid fubfidiariiim adhiberi queat. In utroque enim a D. Newtono ejl utiliffim laboratum^ tum alias ^ tum in boc Traifatu de ^adraturis^ ubi Series adhibet Infinitas qua eo cafn quo ab- rumpuntur feu finiuntur^ qu&jitum Algebraice exhibent. De quo etiam diSum eft nuper in recenfione Tradatus D. Cheynati, Medici Scoti Londini degentis. Conferri etiam potefiTraSatulD.Clsugii Scoti de ^adraturis, ^ ejufdem Theorema ad ^tadraturas pertinens, nuper in bis Adis exhibitum j quA faciunt etiam ut ipfis D)eorematis Newtonianis recenfendis fuperfedeamus, quia paucis exponi non pojfunt : quemadmodum nec ejufdem Theoremata qnst- dam redudioms ad ^ladraturas faciliores, *, Senfus cft quod, Qux Ntwttnru habet In hoc Tra£bitu de Quadraturis, & f^cia- tim de Quadraturis illis ubi Series abrumpuntur’ vel finiuntur, a Chcynao ic Craigio prius difta funt, 8c in his A£Hs nuper exhibita ; qux quia multa lunt faciunt.ut a Niwtnii/jnts rcccnfcndis Editores Aftorum fuperfcdcant. Et eodem fenfu D. Leibm- tius ad Secretarium Societatis Regix nuper fcripfit, fuum cuique hic redditum ejfe, quafi fecundam Ncwtom ad Oldenburgum Eplftolam ad le mifTam & iupra imprefTain nunquam IcglfTct. "Vide pag. 71, 73, 74, 76. ■ His permotus D, Joannes Keill, in Epijiola in Philofophicis Tranf- aftionibus A. C. 1708, menfibus Maio & Junio imprejfay fcripfit in contrarium, quod Fluxionum Arithmeticam, fine oiijni dubio, primus invenit Dominus Newtbnus.y ut cuiji^t ejus Epiftolas a Wallifio editas legenti facile conftabit. Eadem tamen Arith- metica poftea mutatis Nomine & Notationis modo, a Domino Leibnitio in Aciis Eruditorum edita eft. • ^ { * - . - • • • Epifiola D, Leibnitii ad D. Hans Sloane Regia Societatis Secreta- rium, 4®. Martii 1 7 n data. s GRatias ago quod noviflimum Volumen praeclari . Operis Traifiadionm Pbilofophicarum ad me mlHfti quamvis ,iunc demum mmi ReroU- num excurrenti redditum iit. Itaque exculabis quod pio munere .fuperia> ris anni nunc demum gratis dudum debtts redduntur. Vellem inlpe£lio Operis me non cogeret nunc lecunda vice ad vos que- .relam deferre ; Olim Nicolaus Fativs DuWierm pupugerat in publico F f feripto, { IIO } fcripto, tanquam alienum Inventum mihi atttibuilTem. Ego eum in A8if Eruditorvm Lipfienjibui meliora docui j &c vos ipfi, ut ex Literis a Secre* tario Societatis veltrat inclytz (id eft, quantum memini, a Teiplb) fcriptis didici, hoc improbaftis. Improbavit mvtonus ipfe vir excellentiflimus, (quantum intellexi ) przpollerum quorundam hac in re erga veftram gentem 8£ fe (ludium. Et tandem D. KeiUm in hoc iplb volumine, menle Sept.OSob. 1708, pag. 185, renovare ineptiflimam accufationem vifus eH, cum (cripfit, Fluxionujn Arithmetisam a Newtono inventam, mu- tato nomine (Sf notationis modo a me editam fuijje. Qiiz qui legit, & cre- dit, non potell non fufpicari alterius inventum a me larvatum fubditiciis nominibus charaderibufque fuilTe protrufum. Id quidem quam falfum fit nemo melius iplb D. Newtono novit. Certe ego nec nomen Calculi Fluxionum faodo audivi, nec Chara^leres quos adhibuit D. Kewtonm his oculis vidi, antequam in JKalliJianU Operibus prodiere. Rem etiam me habui(Te, multis ante annis quam edidi, ipfz literx apud l^jIUJium editz demonllrant. Quomodo ergo aliena mutata edidi quz ignorabam. Etfi autem D. KeiUinm ( a quo magis przcipiti judicio quam malo animo peccatum puto) pro calumniatore non habeani •, non pofTum tamen non ipfam accufationem in me injuriam pro calumnia habere. Et quia verendum e(l ne (kpe vel ab improbis vel ab imprudentibus repe- tatur } cogor remedium ab Inclyta vellra Societate Regia petere. Nem- pe zquum efle vos ipli credo judicabitis, ut D. KeiUius telletur publice, non fuifle fibi animum imputandi mihi quod verba infinuare videntur, S[uafi ab alio hoc quicquid elt Inventi didicerim St mihi attribuerim, ta Ule St mihi Izfo fatisraciet, St calumniandi animum a (e alienum e(Ie oRendet j St aliis aliis fimilia aliquando jaflaturis frocnum injicietur. Qiiod fupereft vale St iave. Dabam Berolini 4 Martii 171 r. EpifloU D. JohanDis Keill, A. M. exyEde Chrifii Oxon, R. S. Sociiy jam Afirommi/t Profejforis Saviliani, ad D. Hans Sloaoc M. D, Regix Societatis Secretarium^ cum D. Leibnitio communicanda. CU M D. Leibnitii EpiRoIam mecum Vir Cl. communicare dignatus fis i ea etiam quz mihi vilum fuerit relcribere, ne graveris accipere. Sentio Virum egregium acerrime de me queri, quafi ei injuriam fecerim. St rerum a fe inventarumgloriam alio tranRulerim fateor querelam hanc ideo mihi moleltam eRe, quod nolim ea fit de me hominum (^inio, quali ego calumniandi fiudio, cuiquam in rebus Mathematicis verlantf, nedum Digitized by Google { III ) , nedum Viro in iifdem verfatiflimo, obtre£tarem 5 certe nihil ab ingenio meo magis alienum e(h quam alterius laboribus quicquam detrahere. ^nofeo me dixifle fcluxionum Arithmeticam a D. Newtono inventam fuifle, quae mutato Nomine &Notationis modo a Lelbnhto edita fuit j led nollem hacc verba ita accipi, quali aut Nomen quod Methodo fux impo- fuit NeiPtonus, aut Notationis formam quam adhibuit, D.Letlmhio inno- tuilTe contenderem j ftd hoc Iblum innuebam D. Nmtonum fuifle primum inventorem Aiithmeticz Fluxionum, ftu Calculi Diflerentialis 5 eum autem in duabus ad OUenbitrgum feriptis Epiflolis, & ab illo ad Leib- mtium tranfmillis, indicia dedilfe .perfpicaciflimi ingenii viro fatis obvia 5 unde Leibnithu principia illius Calculi haufit, vel faltem haurire potuit : At cum Loquendi & Notandi formulas, quibus ufus eft Kewtomu^ Ratio- cinando alTequi nequiret Vir illuftris, fuas impofuit. Hzc ut feriberem impulerunt Aftorum Lipfienfium Editores, qui in ea quam exhibent operis NewtonUni de Fluxionibus Icu Quadraturis enarra- tione, diferte affirmant D. Leibmlium fuilTe illius Methodi Inventorem, & Netvtonum aiunt pro Differentiis Leibnitiavit Fluxiones adhibere, femperque adhibuifle. Id quidem in iifdem Icriproribus oblervatu dig- num, quod Loquendi 8c Notandi formam a Newtono adhibitam, in «/tMWJw paflim in eadem enarratione transferunt-, de Differentiis Icilicet Sc Summis 8c calculo Summatorio loquuntur, de quibus elt nullus apud Newtonmn Sermo 5 quali inventa Newtom Leibnithnis pofteriora fuerint, & a Calculo Leibnitii in A£lis Liplienfibus Anno 1684 delcripto ortum derivarint. Cum revera Newtonus, ut ere lequentibus patebit, Fluxionum Methodum invenerit, oftodecim faltem annos antequam quic- quam de Calculo Differentiali edidifler, Traflatiimque de ea re conlcrip- lerit } cujus cum fpecimina quzdam Leibnhio oltenfa lint, rationi non in- congruum elt, ea aditum illi ad Calculum Differentialem aperuifle. Unde fl quid de Leibnhio liberius dixifle videar, id eo animo feci, non ut ei quicquam eriperem, fed ut quod Nevtoni efle arbitrabar au£lo- ri fuo vindicarem. Maxima equidem efle Leibnitii in Rempublicam Lireratiam merita lubensagoofco -, nec eum in reconditiore MatheliScientilTimum efle diffi- tebitur qui ejus in Aftis LipfienGbus feripta perlegerit : cum autem tan- tas tamque indubitatas opes de proprio polTideat, certe non video cur fpoliis ab aliis detra£lis onerandus fit. Quare cum intellexerim popula- res luos ita illi favete, ut eum laudibus non fuis accumulent; hjtid pr/t- pnfimm in gentem nnftram Jludium ejfe duxi, fi Newtono quod fuum eft tueti 8c conletvarc anniterer. Nam li Liplienfibus fas fuerit aliena Leibnhio affingere, Britannis faltem ea qui a Newtono erepta lunt fine cri- mine calumnii repofeete licebit ; itaque cum ad Regiam Societatem ap^ pellet Vir iliuftris, meque publice teftari velit calumniandi animum a me alienum efle ; ut Calumniandi crimen a me amoveam, mihi oftendendum ineam- ( '12 ) incumbit D. Kfn Leihiitii, in Formulas Fluxionum vel Calculi Differentialis incide- mus, 8i regreflus cpio a data Tangentium proprietate ad naturam Curvx perveniebant, (quem Methodum Tangentium inverlam nominabant) eadem plane res erat ac Methodus qua a Fluxionibus ad Fluentes rever- titur: interim fuam Methodum non ultra Fluxiones primas extendebant ^ neque eandem ad Quantitates Surdis aut Fraftionibus involutas accom- modare potuerunt. At prius quam quicquam de hoc argumento a fum- mis hifce viris publico datum elt, D. Aeatokiu Methodum excogitavit, priori quidem non diflimilem fcd muito latius patentem, qux non liiblii- tit ad dtquationes eas in quibus una vel utraque quantitas indefinita Ra- dicalibus eft involuta, led abfque ullo xquationum apparatu Tangen- tem confeftim ducere monftrabat, Quxftiones de Maximis & Minimis eodem Artificio traflabat, & Speculationes de Quadraturis facilius ex- Elicuir. Hxc conflant ex Epiftola Newtoni adD.CoJifmrum data, Decembri* >ie IO, Anno 1672, & inter CoUimi Chartas reperra. Hdc Epijlola habetur itrmrejfa pjg, 29, 50. Ex hac Epiftola clare conflat D. Newtomm Methodum Fluxionum , habuiffe ante annum 1 670, eodem nempe quo Barrovii Le£liones editx funt. Anno 1669 mifit Nevimus ad D. Traflatum de Analyfi per JEquationes Infinitas j quem etiam inter fchedas GoBiuii repertum D.Jones nuper edidit. Sub hujps fire habetur demonllratio Kegulx pro Quadraturis Curvarum, nata ex proportione Augmentorum nafeen- tium AbfcifTx & Ordinatx, cum Ablcilla fit * & Ordinata x^ ; qux qui- dem demonllratio commune fundamentum ctt tara Doftrinx fluxionum, quam Calculi EHfferentialis : ex eo autem Tra£latu non pauca amicis fuis communicanda deprompfit Collinius. Unde certum eft D. Nevtono ante Ulud tempus Fluxionum Arithmeticam innotuifie. Prxterea conftat ex pofteriore Newtoni ad OldciJnrgum Epiftola : “ Eum fuadentibus amicis “circa annum 1671 Tra£latum de hifce rebus conlcripfifTe •, quem una “ cum Theoria Lucis 8c Colorum in publicum dare ftatuerat: feribitque “ Oldenburgo Digitized by Googlc ( J«3 ) “ Oldfvburgo Series Infinitas non magnam ihl obtinuilTe partem ^ fequc “ alia haud pauca congefiifle, inter quae erat Methodus ducendi Tangen. “ tes quam Iblertiflimus SIuJius ante annos duos trefve cum Olicnbur- “ go communicaverat ^ fed quat generalior fafta, non ad iEquationes, “ aui Surdis aut Fraftionibus involuta: funt, haerebat j & eodem fun» “ damento ufum ad Theoremata generalia, Qiiadraturas Curvarum “ Ipeibantia, pervenifle fe ait Nevtonus. Horum unum Exempli loco in “ ipfa Epiftola ponit ; Seriem exhibens cujus termini dant Quadraturam " Curvx, cum abfctfla eft t & Ordinatim-applicata dr? x Quat Series abrumpitur Sc terminis finitis Curvat Quadraturam cot^rehendir, quandecunque illa finita atquatione exprimi poiefl’. Hoc dicU efle primum Theorematum Generaliorum ^ unde lequitur eum alia ad Cafus diffici- liores 8£ magis intricatos accommodata habuifle : elt autem' Theorema illud propolitio V in TraQatu de Ci;iadraturis, Eodem etiam fpeflat ejuf’ dem Prop. VI, fed ad Cafus magis implicatos fe extendit. Propofitiones Tertia 8c Qiiarta funt Lemmata Theor. hifce demonftrandis pratmifla. Secunda autem in Quadraturis propolitio extat in Tra£latu de Analyfi fsr /Equationes Infinitas, & prima Propolitio elt ea ipla, quam in difta pilfola fundamentum Operationum vocat, 8£ tranfpofitis Literis celari tunc voluit. Scribit etiam Nentonus fe dudum' Theoremata quaedam, qua: comparationi Curvarum cum feftionibus Conicis inferviant, in Catalo- gum retulifle, 8c Ordinatas Curvarum qute ad eam normam comparari polTunr, in eadem Epiftola deferibit j ^uar profefto eadem plane funt cum iis, qu3s,Tabula fecunda ad Scholium Propofitionis X in Traftatu de Quadraturis, exhibet j unde fatis liquet Tabulam illam & Propofitio- nes 7, 8, 9 & 10 qui funt in TraQatu de Quadraturis, (a quibus Tabula pendet) AWrowwwi dudum invenifle ante annum l6^6, quo feripta eft Epiftola illa poftefior. Cum vero, in prima id OldcnbiirgumEpiUola, dicit fe ab ejufmodi ftudiis per Quinquennium abftinuifte, hinc fatis clare colligi poteft, Propofitiones in Traftatu de Quadraturis a -D, Nevtono in- ventas luille, quinquennio faltem anteouam Epiftoli illi ad Oldtvburgvm feripti eflent, totamque illam de Fluxionibus Doftrinam, ante illud tempus ulterius a Neivtom prove£lam efle, quam ad hunc ufque diem a quoquam alio fa£lum eft fub nomine Calculi DifFerentialis. Certe neminem novi qui in hac provincia peragranda iquis pafiibus cum Nev- tono progrelfus fit : 8C pauci funt, iique infignes Geometri, qui profpi- cere queant, quoulque ille in eadem provincia proceflTerit. Priterca in poftetiore illa ad Oldevburgum Epiftola modum dclcribir, quo in Seriem inciderit cujus termini F'luxiones feu Differentias quantitatum in infinitum exhibent j qui poftquam inventa elfet, dicit Pellem ingruentem ipliim coegifle hic ftudia deferere & alia cogitare. At Peltis illa contigit An- nis i66y 8c 16664 unde patet, etiam ante illud tempus Fluxionum Calculum D. Nevtmw innotuifle, hoc eft duodecim lalcem Atfnos ante- G g quam ( II4 ) quam Calculum fuum OUeuburfro communicavit LcihnUlus j & novemde- cim annos antequam Vir lliuftris eandem in Aftis Lipfienfibus edidit : & certe ante vifas hafce duas Newtom Epiftolas, Lelbnhium Calculum fuum Differentialem habuifle nulla apriarent veltigia. His omnibus rite per- penfis certiflime cuivis conflabit, D. Nejvtqmim pro vero Inventore Arith- metica Fluxionum habendum efle. Rettat jam ut inquiramus quanam fuere Indicia Leihvhio a Neivtom derivata, unde ei facile foret Calculum DifFercntialem elicere, Ft pri- mo, ut dixi, nullibi ollendit fibi notum fuifleCalculumDifieren- tialem, ante vifas has duas Newtoni Fpiflolas ; imo ante illud tempus longiore ufus eft circuitu, cum res facilius multo & fuccinflius ex Cal- culo fluerent DifFerentiali. Hujus rei teflisfit Fpiftola ad OUeitburgum data ~ Novembris 1676, qua in Operum Tf^alllJijnoritm Tomo tertio etiam ex- tat, in qua modum tradit exprimendi rationem fibtangentis ad Ordina- tam, in terminis quos non ingreditur Ordinata ; ubi fi loco)i 8t dji ipfarum valores vinculo inclufos pofuiffet, flatim fcopum attigiflet. In prima Fpiftola qua per Oldenbvrj^im ad Leibmtmn tranfmilTa eft, docuit iVe-vtotiKi methodum qua quantitates in Series Infinitas reducenda fint, i. e, qua quantitatum fluentium incrementa exhiberi poflunt. In iplb enim initio Seriem oftendit, cujus Termini hac incrementa repre- fentant. Sed illa D. Leibniuum ptotfus latebat, ante vifam Kewtonl Epiftolam qua exponitur. Sit 0 incrementum momentaneum quantitatis fluentis x, & index dignitatis ejufdem, & fi pro x fcribatur x -f 0, x -f- 20, x-f- 30, x -f- 4^, 01 m m m &c. et Quantitates r+T*'i" > Series In- finitas expandantur, habebimus totidem Series, quarum prima hac eft qua In omnibus Scriebus primus terminus erit ipfa quantitas fluens x" j & fi prior qualibet Series a pofteriore auferatur, habebimus harum Serierum differentias primas, in quibus omnibus primus terminus eft Seriei prima m—n terminus primus quem ingreditur quantitas 0, fcil. ~ox " ; & evanef n cente 0 fit ille terminus differentiis hifce primis aqualis j vel quod idem «•-n eft, erit quantitas ~ox * Fluentis incrementum primum. Praterea fi differentia quaiibet prior a pofteriori auferatur, devenic- mus ad differentias Inundas j quarum omnium terminus primus per 2 di- . vifus. Digitized by Google ( *i5 ) vifus, idem cft cum termino fecundo Seriei primae quem ingreditur quantitas o } 8c evanefeente o fiunt differentiae illae per Binarium divifae lin- gulae iquales termino illo primo Seriei, qui eft ” . Et eodem II % modo inveniemus fupra defcriptic Seriei terminum — ooox " , aequalem effe fingulls differentiis tertiis per fex divifis. Et quilibet ter- minas ejufdem Seriei ad differentias refpeftivas femper habebit datam ra- tionem, fcil. terminus primus quem ingreditur o aequalis eft differentiis primis, fecundus, eft differentiarum fecundarum pars media, tertius pars fexta differentiarum tertiarum 8cc, Hafce Series, quarum termini diffe- rentias omnes in infinitum reprefentant, invenit Nevtoma, uti dixi, ante annum ; fed illae ante vifam Newtotti Epiltolam, in qua exponitur, D. Leibmtium latebant 5 nam ante illud tempus agnofeit Leihmius fem- jper ipfi neceffe fuiffe tranfmutare quantitatem irrationalem in Fractio- nem rationalem, 8c deinde, dividendo Mercatorii Methodo, FraCtionem in Seriem reducere. Exinde etiam patet Seriem hanc differentias continen- tem non habuiffe D. Lslhnhium, quod poltquam ipfi per Ollenburgvm oftenfa eft, ^ rogat ut D. Nevtonus ipfius originem fibi pandat. Sit jam quantitas quxlibet ex conftanti St indeterminatis utcunque m compofita & vinculo inclufe, ftil. a , cujus differentia habenda eft ; coiiftat per Regulam prius traditam quantitatis a -f bx‘ differen- tiam effe cbxP-\o (polito quod 0 fit incrementum momentaneum Fluen- tis x) quate fi-pro a -+• bx^ feribatur z, & pro cbx'=-'o feribatur •>, erit a-\- bx‘ = z -E "l" j qux fi per regulam Neatom in Seriem m ^ ^ expandatur, fit z“ -F — "z " -j- Kc, cujus Seriei terminus — «z " m m eft differentia prima quantitatis z’* , feu*» -f .Undefilocoz&^re- ftituanturiplbrumvalores,a-FAx^ & cbxf-% habebimusdifferentiamquan- _ m^n ti tatis a+TJx^i'* = " ‘0 X a 4- “ : vel fi more Leibnhiano pro 0 po- ni —n natur dx, erit quantitatis a-yb*’^" differentia -^cix^-'dxxi/-l-(>x‘| " j ubi videmus quantitatem differentialcm ^cbx^~‘dx extra vinculum femper manere. Atque hinc facile fuit D. Leibnitio, ope Regulx Nevtonians, diffe- Vide Eplftolam LclbnitH ad OUkHl/urrnm i6t6. p.ig. 6',. ]. jo. ( •>« ) diffiirentias quantirntcm omnium exhibere, uteunque quantitates fluentes Surdis aut braciionilvjs fint implicata: :id quod ante Epiltolicum illud per OUenlfurgiim cum Ncwtono commercium ipfi minime notum fuit. Quamvis ho;c per fe fatis maniftfta fitnt Calculi Difterentialis indicia ; in fecunda tamen Epittola qutc pet Oldevburgum ad Leibnitiam milTa elf, alias aJlTiic clariores defcribit Kewtonm Methodi fua: notas. Dicit enim fe habuifle methodum ducendi Tangentes, quam folertiflimtis ante annos duos trelve OUenbmgo impertitus elf, ita uf habito fuo fundamen- to nemo poffet Tangentes aliter ducere, nifi de induftriaa reQo tramite erraret. Quineiiam ibi quoque oftendit “Methodum hanc non hirere “ ad atquationes quibus una vel utraqne quantitas indefinita radicalibus “ involuta elt ; fcd abfque ulb aequationum reduflionc (qua: opus ple- “ rumque redderet immenfum) Tangentem confeftim duci, & eodem “ modo in quaeltionibus de Maximis & Minimis aliifque quibufdam “ rem fic fe habere. Fundamentum harum Operationum dicit effe fatis “ obvium, quod tamen tranfpofitis literis in illa Epiftola celare voluit “ hoc etiam adjicit, hoc Fundamento fpeculationes de Quadraturis Cur- “ varum fimpliciores fe reddidilTcj & ad Theoremata quatdam generalia “ fe pervenifle fcribit. . . .• Cum vero Methodus Slujiana tunc temporis Leibnltium minime latere potuit i utpote in A£lis Philofophicis publicata : Cumque Nemtonia dicit eandem 8c fibi innotuilTe, ex fundamento quo habito non hsrebat ad aequationes radicalibus utcunque involutas ^ (in qua quidem tota rei difficultas polita eft.) Cumque in priore Epiftola Seriem defcripfir, cujus ope diferentia: haberi poQunt, ubi Fluentes Surdis aut Fraclio- nibus utcunque implicata: funt : Cum denique idem Fundamentum ad Quadraturas Curvarum fe applicuifle dicit j minime dubitandum eft h.Tc omnia facem Leibititio pra:tulille, quo facilius Methodum Newtoni perfpiceret. Quod fi harc non fuffecifle videantur indicia ^ etiam ulterius procefTu Nevtonus, & Exempla Methodi fua: dedit, & Regulam oftendit, qua ex datis quarundam -Curvarum Ordinatis, earundem Area: exhibentur iri ter- minis finitis, cum hoc fieri potttt j hoc eft, in Stylo Leibnitiam, ipfi ex- empla tradidit quibus a Differentiis ad Summas pervenitur. Et a fim- plicioribus orfbs,^ proponit primo Parabolam cujus abfeiffa eft z, Or- dinatim applicata & Curva: Area erit hoc eft, quando differentia Arex eft dz x Vaz, feu a^z^x dz, oftendit fore Aream -’a-z^; unde viciffim concluditur, fi quantitas differentianda fit a'zv,fore ejus dif. ferentiam Ja^z^dz feu ^dzVaz. Exemplum ejus fecundum eft Curva cujus abfeiffa eft t, fic Ordinatim- applicata : ubi oftendit Ncwtonus 'Videpag. 71. Curvx Digitized by Goagle r ( H7 ) Cun’* Aream fore , hoc eft fi difforentla Area: fit , often*’ dlt Aream fore — r . Unde vidlfiio fi quantitas difieremiarrda fit 2C — 2^ — . concludi ‘poteft differentiam fore . Vel fi eiufdem ac*~i?*’ «*— «1*1 ■' a* Curvx Ordinata fic ennncietur > erit Area = • Quare & vicifTim, fi quantitas differentianda fit , erit differentia *5} (quod fipe fit maximo cum fru- “ Qu) fed & tunc utifts eft, cum interveniunt Irrationales, quippe quae “ eam nullo morantur modo, neque ullo modo neceffe eft Irrationales “ tolli ; quod in Regula Slufii neceffe eft, fii Calculi difficultatem in “ immenfiim auget.” Hic omnia a Kewtono prius in fecunda ejus EpU ftola dida funt. Inde Exempla proponit, quorum quidem quod pri- mum eft, rcicio qno fato, idem prorfus eft ac id, quod, in ea Epiftola quam Leibmtio tranfmiferat Oldenburgut^ etiam primum protulerit Ner- tomis. Mox addit Vir itlulfriffinius, ^ “ Arbitror qui celare voluit Kevtovtu de “ Tangentibus ducendis, ab his non abludere. Qiiod addit ex hoc Fun- “ damento Qiiadraturas quoque reddi faciliores, me in hac lententia con- “ firmat : nimirum femper Figuri illi quadnLilts, qui funt ad ffilqua- “ tionem Differentialem. Alquationem Differentialem voco talem qua “ valor ipfius d.x exprimitur, quique ex alia derivata eft, qua valor ip- Hh “fius * Vide pag. 89, 90. Digitized by Googie ( u8 ) *'• fius X exprimebatur ” Et paulo poft, fuam de hac re Sententiam plenius aperit, dicitque hanc unicam Regulam pro infinitis Figuris quadrandis intervire, diverfe plane naturae ab iis quae haftenus quadrari iblebant. Quis eft jam qui haec perpendet &r non videbit Indicia 8c Exempla New- tom fatis a Leibmtio perfpefta fuifle ; faltem quoad differentias primas > Nam quoad Differentias fecundas, Lnbnithm Methodum Newtomcmam tardius intellexiffe videtur, quod brevi forfan clarius monftrabo. Interim facile illuftri Viro affentior, & credo eum nec nomen Calculi Fluxionum fando audiviffe •, nec Charafteres quos adhibuit Newtonus oculis vidiffe, ante quam in Jf^aUiJianis operibus prodiere. Obfervo enim ipfum* * Nevtonum fkpius mutaffe Nomen & Notationem Calculi. In Traftatu de Analyfi iEcjuationum per Series Infinitas, incrementum Ab- feiffa' per literam o dehgnat : Et in Principiis Philofophia Fluentem quantitatem Genitam vocat, ejufque incrementum Momentum appellat : Illam literis majoribus A vel B, hoc minufculis ai^ b defignar. Id etiam ultra agnofeo, inter caetera qua de re Mathematica praeclare meritus ett Leibnitius, hoc itidem illi deberi, quod primus fuerit qui Cal* culum hunc typis edidit & in publicum produxir : itaque eo faltem no- mine magnam apud Mathefeos amantes inibit gratiam, quod Inventum ita nobile, & in multiplices ufus deducendum, diutius eos noluerit latere. Habes Vir Cl. quae de hoc argumento Icribenda duxi, unde facile credo percipies, hoc qualecunque fuerit meum in Gentem noftram ftudium ita parum prxpofterum fuirfe, ut nihil omnino nifi quod Newtoni erat Lclb~ nitio detraxerim j nec dubito quin aequi rerum atltimatores uno ore fate- antur me, uti nullo calumifTandi animo, ita nec praecipiti Judicio, ea dixiffe, quae tibi tot argumentis luce meridiana clarius comprobavi. LeHa eft hac Epiftola coram^ Regia Societate^ hi Conventu die 24® Maii j 7 1 1 habito^ ^ ut Exemplar ejus D. Leibnitio mingetur D. bloane Seae~ tario fuo mandatum cft. Epiftola D. Leibnitii D. Hans Sloane M. D, & R. S. Scer, QUTE D. johannes ReiUius nuper ad Te fcripfir, candorem meum .apertius quam ante oppugnant: quem ut ego hac aetate, poft tot documenta vitae, Apologia defendam, & cum homine do£lo, fed novo, & parum perito rerum antea£larum cognitore, nec ^ mandatum habente ab eo cuius intereft, tanquam pro Tribunali litigem, nemo prudens aequuf- que probabit. * Quafi Metliodum Moutom, & Series Broutikm, WalllJIt 8c Gregcri: aliorumque In- venta non liceat propriis authi>ribus, nifi authoritate ab Ius accepta, alTerere. Qua: f II? J ^ Qujt ille de meo rem cognofcendi modo fufpicatur, haud latis exer- citatus artis Inveniendi arbiter, iplius quidem docendi caula non eft cur refellam : fed norunt * amici quam longe alio & ad alia proficuo itinere procefierlm. Fruftra ad Exemplum Aftorum Liplienfium provocat, ut lua difta exculet 5 in illis enim circa hanc rem quicquam cuiquam’ de* traftum non repcrlo, led potius paflim + luum cuique tributum. Ego quoque & amici aliquoties oftendimus libenter a nobis credi, illuftrem Fluxionum Autorem per le ad fimilia nolhis fundamenta pervenifle. Neque eo minus Ego in Inventoris jura venio, qux etiam Hugeytm^ in. dex intelligentiflimus incorruptiffimufque, publice agnovit : in quibus tamen mihi vendicandis ** non properavi, led inventum tt plulquam nonum in annum prefli, ut nemo me przcucurrille queri poflit. Itaque veflrx aequitati committo, annon coercendx fint vanx & In- jullx vociferationes, quas + ipli Nevtono, Viro infigni & geftomm opti- me confeio, improbari arbitror : ejulque Sententix fux libenter datu- rum Indicia mihi perfuadeo. VALE, Dabam Hmitovent 29 Dccemb. 171 1. * Si Amici illi funt Germani, iijvenit is hanc Methodum poft reditum fuum in Cef‘Mantam, ^ t Scrlpferat KetUtru in Iiic Verba. Hac w feriierem impulerunt jlUtrum Upfien(ium Eiiiterts, ?»» in ea ijuam exhibent tptru Newroniani Jt Fluximibtii feu Sjmtiraturli £nar. ratione, iliferte affirmant^ Leibnitium fuJffi iftim MethuU Inventorem, iy Ncwtcmum aiunt pro Differentia 'Lcibnitianis Fluxiones adhibere femperaue adhibuife. Leihnitius Edi- tores hic palam defendit contra KeiUitem, quafrfuum cuique reddidillent. *’ In Epiftola-Soj. 17. 1676. properavit fe coinventorem Methodi Serierum pro- . ponere. In Epiftola >»// 11. 1677, properavit Methodum ut fuam deferibere, de qua Ktvotcnus traAatum ante annos quinque rcripferat. In Schedis tribus anno 1689 impredis, properavit Propofitiones principales Principiorum PhilofophU ad Calcu- lum fuum revocatas in lucem edere, ut in Inventoris jura veniret. •tt Probandum eft. t Kevotonra & Leibnitiut nec funt idonei Judices nec Teftes. Ex monumentis antiquis judicium ferendum eft. H h ^ Cum Digitized by Googie i 120 ) Cum D. Leibnitius a D. ut hotnine novo ad Societatem Re- tiam provocaret, Sodetas juiTit monumenta antiquiora confuli, r Sociis aliquot qui his examinandis aptiores viderentur in mandatis dedit, ut in hanc rem inquirerent ; 8c qux in feriptis antiquis invenirent ad fe referrent, una cum eorum Sententia. Et Arbitrorum Confefliis collefl-ionem ex Epiftolis & aliis MSS. fupra imprelTam ad Societatem retulerunt, una cum eorum Sententia fequente. W£ bave eonfulted the Letters Md Letter-books in the Caftody of tht Roynl Societj^ nnd thofe found tmong the Pnoers of Mr. John Collins, ddted betmtn theTears 1669 and 1677 inclufive ; nnd fhevetd ihem to fuch as knerv and avouched the Hands of Mr. Bar» row, Mr. Collins, Mr. Oldenburg and Mr. Leibnitz ; and com- faPd thofe of Mr. Gregory xvith one another^ and rvithCopies of forne of them tdken in the Hand cf Mr. Collins ; and have extra£fed from them what relates to the Matter referrd to /ts ; atl rvhich Ex- traBs herewith deliverd to you^ rve believe to be genuine and authen- tick : And by thefe Letters and Papers we find, I, That Mr. LeibnitZ was in London in the beginning of the Tear 167 j, and rvent thedie in or about March to Paris, tvhere he kept a Correfponeknu with Mr, Collins by means of Mr. Oldenburg, till about September 1676, and then retarnd by London A m Iler- dam to Hannover : And that Mr. Collins tv.u i>ery free in commu- , nicating to ahle Matbematicians what he had receivd from Mr. Newton WiWr. Gregory. ‘W.That LltcTAS 8c Literarum 'Apographa tam qux in Archivis Regix Societatis, quam qui inter Chanas D. Jtrnnit CtBim! afTervantur, & inter Annos 1669 & 1677 dati funt, inTpeximus ; Se ex his, qui D. Barrtvii, D. C«1Hh!1, D. OUntiurg! & D. Leiknitii nomen ferebant, ex fide aliquorum qui eorum autographa probe nove- rant, iplbrum efie certo didicimus. Literas autem qui Grtgcnum prx le ferebant auUorem, ipfius ede cognovimus fide Ctllimii, qui nonnullas earum Grt^trit allignatas manu fua exfcripferat. Ex his omnibus excerpfimus quxeunque ad rem nobis com- miflam peninere videbantur ; atque illa excerpta qux una cum ipfis lireris jam vobis traduntur, fideliter Se accurate fitfbi efie competimus. Ex his autem Literis chartifq; nobis confiat. 1. D. Ltihutium smno ineunte 1^73 Lmdini fiiifie, unde Menfc MartSt vel circiter Ptriltii adiit, ubi Literarum commercium habuit cum D. CtlUnU intercedente OUen. twrgt, ufque in Menfem Seftemkrm ^6^6. Deinde per LtnMnum AmJldaJmwm Hmm. vtrtm reverfum efie. D. autem Ctllinlum Mathefeos peritis ea qux a D. Sewtem Se Gr^trit acceperat lubentiiliine coaununicafie. II. D. Lt:6- Digitized by Google j j ( I2I ) II. That n>be.i Mr. Leibnitz wtu the frft time in London, he con^. tended for the Invention of another Diflcrential Method froj^rlj fo eslCd ; and notrvithfitndin^ th»t he was fbew» hj Dr. Peli that it mas Mouton*/ Methody perftfied in maintaining it to he his omn Invention^ hy resfon that he hsd fonnd it hi himfelf^ mithout knowing what Mouton had done heforey and had muco improvtd it. And me find no mention of his having anj other Differentia! Method than MoutonV, hefore his Letter of ii(l of June 1677, vhich mas a Tetr after a Copy of Mr. NeWtonV Letter y of December 1672, had heen fent to Paris to he communicated to h^ ; and ahove four Tears after Mr. Collins hegan to communicate that Letter to his Correfpondents ; in mhich Letter the Method of Fluxions mas fufficiently defcrih^d to anj intelUgent Perfon. III. That hi Mr. NewtonV Letter of the x^tbcf June 1676 it appearsy that he had the Method of Fluxions ahove fve Tears hefore the mnting of that Letter. And hj his Analyfis per jEquationes numero Terminorum Infinitas, communicated hj Dr. Barrow to Mr. Collins in July 1669, me find that he had invented the Method hefore that time. IV. That the Differential Method is one and the fame mith the Method of Fluxions, excepting the Name and Mode of Notation ; Mr. Leibnitz cal/tng thofe Quantities. DifFerences, which Mr. Newton 'talis Moments or Fluxions; and marking them mith the Letter Ay a Mark II. D. Leihutittm, cum prima vice Lndinum adiit, Methodi cujuf(hmi Dificrentia* lis, proprie fic difts, fe Inventorem perhiBuilTe : Et etiamfi D. PtUiM ipfi monftia- verat eandem antea a D. Mnttnt ufurpatam fiiifie, haud tamen fibi Inventoris jura aflerere deftitilTe ; cum quia proprio ut aiebat mane fua illa inveniffet, nondum vifis iis quae Meutmns prius ediderat, tum quia plurima adjeciflet. Neque ufquam mentio- nem repetimus faftam alterius Methodi ejus Differentialis priter iftam Mtutml, ante Literasejus ir 7«miV 1677 datas j hoc eft. Anno integro poltquam Q. Nent, ni Epifto- la, IO Dteemirii 1671 Icripta, Ptrifut iofi communicanda tranfmilTa fuit ; 8t quadrien- nio pollquam D. Ctlliniut eandem Epillolam cum Amicis communicare coepit. In hac autem Epiftola Methodus Eluxionum idoneo harum rerum cognitori evidenter fatis III. Ex Literis D. Newtni 13 Junii i6y6 datis, manifeftum eft Fluxionum Metho- dum' ipfi innotuifle, quinquennio prius quam Epiftolam illam feriberet. Et ex .Snaly/i e\vis ytt j£tjuati,n(t nunjcroTtTminarum Infinitjtf quam D. Bairsvi.v/ cum D.C0//1- ni, M^enlc JuH> Anni 1669 communicavit, conftat illum etiam ante illud tempus eandem exccgitafte. , . . . , IV Utthtiut DiferentUlit una eademque eft cum Mtthni, Fluxunum, (i Nomen 6i Notationis modum exceperis. D. Ltibnititu enim eas quantitates Difrntiat appellat quas D. Niwltma Mtmtnta vel Fluxisn,, : eafque nota liter* [d] defignat, quam non adhibet ( 122 ) Jf’]srk not ttfed hjf Mr. Newton. And therefore ive take tht proptr to bty not whoinvented this or that Mithod^ hut xvho n\u tht Inventor of the Metliod. And nt helieve thst thofe who hnve 'repnted Mr. Leibnitz the firfl Inventor^ hiew little or noihin» of' his Correfpondence rvith Mr. Collins and Mr. Oldenburg long bejore ; nor of Mr. Newton’/ having that Alethod ahove Fiftcen Tears bejore Mr. Leibnitz hegan to publifh it in the Adi Eruditorum ^-LeipAcIf. For tvhich ^Reafons^ xve reckon Air. Neu ton the firjt Inventor ; and are of Opiniony that Air. Kcill in ajferting 'the fame, has been no wajs injrtrious to A/r. Leibnitz. And ne Jub» it to the fudgment of the - Soeiety, whether the Extratl of LttUi s and Papers now prefented to }on, together with rehat is extant to the fame purpofe in Dr. Willis’/ third Volume, maj not dtjerve to be made Publick. adhibet Rem proinde de qua aeimus hanc autumamus efle j non Uter hanc uter illam Methodum invenerit; fed Uter Methodum ipfiira, qux unica eft, prior inve- nerit. Simul illos qui D. Leilmitlum pro Inventore primo habuere, de eo quod inter illum & D. Csllimum olini interccircrat commercio parum aut nihil refeivide opina- mur ; neque intellexidc D. Nonrrn/i-a eadem Alethodo uluin ede, quindecim prius annos quam D. uOmitiru eam in Aftis Eruditorum evulgare ca'pit. * Quibus perpendis, D. Kevtcnum primum ede hujus Methodi Inventorem arbitra- mur ; atque_ ideo_ D. KeUJium, eandem illi aderendo, nullo medo D. Lithnitium ca- lumnia aut injuria affecide. Judicio autem Societatis permittimus, utrnmne Ex- cerpta Literarum, reliqua-que chartx his fubnexi, una cum iis Qui extant in tertio Volumine Operum D. yr«lliji! huc ftieftantibus, fimul imprimi « in publicum pro- dire mereantur. ‘ Hu avtem Die Aprilis 24® J7T2 acceptis. Societas Regia coUeSionem Epi.\ flolarum Pf Pf Sentmiatn Covfefus impimi jvjjit ; af pf quicquii amplius ad banc Hifloriam tlvcidandam idoneum in A8'js Eruditorum occur- reret. -t- \ FINIS. Digitized by Google Errata fic Corrigantur, Pag. Lin. pro 5 7 BE II 18 1 509x4 ' 1*35« » 24 — 4^ + g 12 22 *+T 13 »7 >x • H 19 + 2*T 16 4 + tM» »7 20 LL® 8x9 30 13 — 1 0 OQ 37 12 120 & 137 38 2; Amicis 40 19 + ;^,*’+3«SSo*’ + yo IS + C» 57 6 '^^\Vdx 52501 70 38 Mercator demonflravit 34 ^Ult. & reflat z — t S6 34 Analyfin per 104 27 Pag- 70. 7’» 72 ic8 32 Corollarium 109 24 Mato 8t Lege BF 1 — ^ + 9 X — — 4 + 2X^ iZi + ^X4 + 7X7 819 BD ii; 8t 137^ Amicis in j^rgSa jo*o* j4l88o^ + 2C*» i^Vdx 525,0 Mercator demonftravit Sc anxit & (ponendo i pror) reflat z — t Analyfin inverfam per Pag. y5, 70, 71, 72 SchoUum Segt, & OQobri Digitized by Googli Digitized by Google Digitized by Googie Digitized by Google