Google 


This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project 
to make the world's books discoverable online. 

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover. 


Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the 
publisher to a library and finally to you. 


Usage guidelines 
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the 


public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to 
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying. 





We also ask that you: 


-* Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individual 
personal, non-commercial purposes. 





and we request that you use these files for 


* Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine 
translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the 
use of public domain materials for these purposes and may be able to help. 


-* Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 


* Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of 
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe. 






About Google Book Search 


Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers 
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web 
a[nttp: //books . google. con/] 














Digitized by Google 


or 


Puor. DEM ZiwkT 











ISAACI 


NEWTONI 


OPUSCULA 


IN TRES TOMOS DISTRIBUT A. 








4)36 | andi P2 2 


IS AA CI 


NEWTONL 


EQUITIS A4URATI, 


OPUSCULA 


MATHEMATICA, PHILOSOPHICA 
E T 
PHILOLOG I C A. 
^ Colegit partmque Latinà vertit ac recenfuit 
JOH. CASTILLIONEUS 
JURISCONSULTUSM 


TOMUSPRIMUS 
Continens m 
MATHEMATIC A 
Accalfit Commentariolusde VrTA. Á UG TORIS. 
n5 
? 


LAUSANNE & GENEV 4, 


Apud Max cuu-MicuasLEM BoUsQqUET 
Socios. 


MDCCXLIV. 


» 

















ILLUSTRISSIMEE 
SOCIETATI REGI/E 
. NE 


SERENISSIMO REGE 


»CAROLO IL 


AD PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM 
FUNDAT XE 
E T 
AUSPICIIS 


AUGUSTISSIMI REGIS 


GEORGII 


FLORENTI, 


391568 


OPUSCULA H/EC 
VIRO IMMORTALI 
| jaflm d 
SOCIO CLARISSIMO, PRJESIDE DIGNISSIMO; 


ISAACO NEVTONO 
CONSGAIPTA 


DAT, DICAT, DEDICAT, 
SEU POTIUS 
REDDIT, RETRIBUIT, RESTITUIT 


4. CasTILLIONEUS 
Colledor & Editor. 


osi Google I 


U Pater & rerum Inventor; Tu patriasnobis 

Suppeditas praecepta, tuífque ex, Inclute, chartis: 
Floriferis ut Apcs in faltibus omnia limant 
Omnia nos itidem depafcimur aurca di&a, 
Aurca, perpetuá femper digniffima vit. 


LvcazT De Rer. Naturá 
Lib. LII. verf. 9. & fg, 


PRAEFATIO 


JOH CASTILLIONEUS 
LECTORIGS 


.O Tr fummi ingenii nominifque in 
re literarià celebratiffimi Viri doc- 
torum Opufículis , immó & Opuf- 
culorum fragmentis ac reliquiis col- 
ligendis , recenfendis , & publicandis 
operam dedére, eáque infigni bene- 
ficio Scientiarum cultores affe&os 
zqui omnes duxerunt eruditi , ut il- 
lorum exemplo, & iftorum judicio ,. 

"fimul ac inftituti utilitate plus fatis 

profe&ó rationum habeat, quibus fefe tueatur , confiliumque 
Íuum adprobet Cenforibus, qui tempus , diligentiam & curam 
impenderit incoepto hujufmodi. Quin etiam & rem ftudiofis , 
ad quorum ufus monumenta ingenii docrinzque pertinere pof- 
Íunt, gratam íe fufcepiffe eó magis jure conftituet , quà praf- 
tantiora, orbis eruditi fententiá, dudum habentur, quó infuper 
minüs erant parabilia, ac denique etiam pluribus éruditionis 
partibus illuftrandis funt aptiffima. Inde cur ego, Mathefi Phy- 
ficzque univerfz deditus, Opufcula NEW TONI, prz ceteris 

Jf. Newtoni Opufeuia , Tom. I. t id 


11 FDIYOIZRIS 
id genus, elegerim colligenda, nemo earum cultor, quíque quo 
pretio peritis Viri illius (int fcripta quavis, vel famá compere- 
. rit, ut & ex iis effe áliqua, quibus, infuperabili poené difficul- 
"tate, exteris plerifque carendum in hunc ufque diem fuerit, non 
intelliget continuó. — Videbit certé momenta hec fingula , con- 
jun&aque, animum difcendi, & in commune aliquid etiam. con- 
ferendi cupidum, excitáffe, impuliffeve tam :vehementer , ad 
hanc ineundam provinciam , ut nec labori parceret , neque 
fumptibus abfterreri , aut difficultatibus , quas circumfpiciebat , 
multis magnííque oppidó , à propofito avocari fefe pateretur. 
Sciunt utique, qui fruftra toties NE W T ONI Scripta omnia 
comparare fibi laborarunt , vel fortunz literatis miniis faventis 
injurià, vel Lingue Britannis vernaculz , quà Vir illuftris plura 
publicavit , infcitid nimis fané communi eruditis aliàs hominibus 
peregrinis , vel commercii: inter. Regni illius Bibliopolas , & 
aliarum Regionum Librarios infrequentiá , factum eó ufque fuif- 
fe, ut ne oculis quidem ufurpare potuerint longé hinc diffiti 
. fudiofi nonnulla, quorum defiderio. maxim? tenerentur, Ex- 
flare porró alia veluti demerfa in aliorum. Scriptis pretii non 
levis, qua prepterea paucis emere licet , itidem. notum eft. 
Quibus fin & hoc addatur, nempe , omnium precellentis illius. 
Philofophi commentationum plenam Gentium aliarum eruditos. 
notitiam. nec dum effe confequutos , quarum idcirco nulla vel 
fera certé futura fuiffet cupido , nedum acquifitio ;. haud malé 
me de iis mereti, cujus inveftigatione follicit , voti , ftatim at- 
jue conceptum erit, compotes fieri jam facilé poterunt , quan- 
tüm faltem. optata mihi datum eft adipifei , prorfus confido. 
Reliquum igitur nihil eft ampliüs, quod monere de his neceffe: 
fit. Verüm quid praftare conatus fuerim , quibufque auxiliis 
banc colle&ionem fufceperim , audire Lectorem intereft , tüm. 
quz ad hiftoriam cujufcumque Opufculi fpe&tantia. repereriim , 
non ignorare, Ea tamen dumtaxat hic ediferam , quantüm ad. 
fcopum meum facient, & ad afferendum Au&ori Íno N E w- 
"KONO, que funt ab eo lucubrata. Cetera Vitz magni. Viri 
. inferenda refervavi.. MM 


POR EK P 4 T 1! Uv. In 


"Ét primó quidem , utinam omnia Nz w TON: Opufcula 
colligere potuiffem , atque certó Ícire me omnia collegiffe t 
Sed, càm eum morientem (4) plures de Antiquitatibus, Hit 
torià , Mathematicis, Chemiá , & T'heologià, differtationes 
ineditas reliquiffe conftet; cümque etiamnunc (proh pudor! ) 
hoc vitio do&i teneantur , ut foli habere malint hujufcemodi 
thefauros cum fummo publici boni detrimento , quàm cos di- 
' vulgati fine ullo privato: damno , quis audcat afferere fe omnia 
cujufvis Scriptoris opera protuliffe; feu potiüs,, quis diligentiam 
fuam plura fugiffe non vercatur?. Hic ergó tibi , benigne Lec- 
tor, exhibeo non emi«, Íed quorguet invenire licuit , Opufcula 
NEWTONI: reliqua, fi que in manum veniant , eádem for- 
mi , typííque , modico pretio, tanquam Appendicem editurus, 
Quaret forían aliquis, cur editionem in tempus illud non dif- 
tulerim, quo cunda.me adeptum certó fcirem ? Sed certitudi- 
nem hanc nihil creare poteft, nifi fcriptum Au&oris Opera 
fua dinumerantis, & fua dumtaxat effe, quz recenfuit , teítan- 
tis; quapropter , eadem , quz nunc dico ; femper dicendi lo- 
xus fuiffet ; cüm precipue nihil intentatum , nihil inhaufüm re- 
liquerim , ut omnium compos fierem. : Nam, primó , quantá 
potui diligentiá , Celeberrimi hujus Viri fcripta conquifivi, & 
conquifitorum indicem ad Clariffimum Do&iffimumque G A- 
BRIELEM CRAMERUM in Genevenfi Academiá Mathema- 
tum Profefforem , mifi, qui, preclarorum omnium Virorum , 
& idcirco NEW T ONI, ftudiofiftmus, atque l'tterariz peritif- 
fimus hiftoriz, in Angliá pretereà dià verfatus, & fummi no- 
minis Anglis fauiliaris ca , que requirebam , Opufcula omnium 
optime poterat indicare, & re ipsá nonnulla, qu me fugerant, 
pro fummá fud humanitate indicavit: ac deinde , (ut praeteream 
fcripta bis à me hoc ipfum obfecrante in publicam lucem emiffa, ) 
doáiffimos Anglos aliquot, ut, quz reperire poffent , mihi 
Compararent , exoravi, - 


Quoniam 


(a) Vide ejus Vitam fub fino. 


Iv E bITo RIS 


Quoniam de Clariffimo CR AM ER O injeda mentio eft ; 
locum opportuniorem non expe&abo agendi pro beneficiis, qui- 
bus me cumulavit , gratias , & palàm teftandi illum mihi hec 
molienti ca tribuiffe, ut plura à parente proficifci non potuerint. 
Neque hoc mirum ;. fiquidem Vir fummus utilitatem publicam 
unicé diligit, eíque fe totum. jamdiu devovit, ut meliüs pate- 
ret, fi Vir modeftiffimus orbem eruditum fcire quot & quanta 
€i debeat, aut paífus effet , aut pateretur. Sciant ergo emnes 
CRAMBRI efle quidquid boni hic invenient, mihi & imbe- 
eillitati mea atque ejus abfenti, quidquid. mali occurret, effe: 
wibuendum. Nunc Opufcula omnia fingillatim. profequamur. 


p Opufculs 'TOMUM PRIMUM eonfituentibus. 


- Seriem ducit. 4nalfis per /Eguationes Numero Termizorum ine. 
Jfitas... Hanc menfe Julio anno 1669. BAROY IO communi-- 
cavit NEW TONUS(4) ;,BAROVIUSautem COLLINSIO; 
qui cam tranícripfit ;. atque. poftea OLDEMBURGIO (4); 
qui eam dicit suiverfalem. Metbodvm. Zdnalyticam. , inférvientem. 
zuenfarandés Zdreis omnium ejufmodi Curvarum', dr earumdem Peri- 
vwetrorum ,. in. quibue Ordinate eamdem Babent communem babitu-. 
dinem ad Bafm. llinc autem Analyfim, de quà loquitur 
* OLDEMBURGIUs, ipfiffimam noftram effe patet apertiffimé. 
tum ex initio, ( Merhodurs generalem, quam... .. . excogitaveram,). 
& fine (nec quidquam hujufmodi [cio..- . pesficiat , ) ibi relatis ( e );- 
tum ex defcriptione , quz illic habetur (c). Sed animadverten-. 
dum.videtur à Nz w TONO finem pavulifper immutatum fuiffe ;. 
nam, in eo exemplo, quod OLDEMBUR GIU s habuit, lege-. 

batur. per verbum perficiat ( 4). 
- Et bac de reis Curvarum irrefligandis dicha fuffciant.. 1m; 
«m. Problemata de Curvarum. Longitudine , de: Quantitate C Su-. 
perfciee 


(4) Commerc. Epiftol. N*: I. pag. 65. 66: edit. fecandz.. 
(b) Ibidem N*: XII pag.93.. — 
(c) Ibidem pag. 94. 

(4) Hujus Colleót. Tom: I. pag; 2$. 


PR £F AT1O0 v 


perfcie: Solidorum , déque Centro Gravitatis , poffit e tandem re- 
desi , ut querar Quantitas Superficiei plana Lined curvd termina- 
de, non opus eff quidquam de iw adjungere (4). 

Libellum hunc inter papyros à COLLINSsIO vitá fun&o re- 
li&as invenit. Clariff. o NES: defcriptum ejufdem Co L LINSsIF 
manu ; & , cim ex BARO WII litteris tribus (^) ibidem re- 
pertis eam. effe NEWTOQNI didiciffet, 4b ee, ait ille (2) ; 
Jüifeitatus fum. mum. penes fé adbuc e[fet autographuns , quod quidem. 
Ae: exquirems imvenit, e mibi tradidit cum. exemplari. Collinfiano 
«d verbum nu[que.comvenienz.  Eumdemri COLLINSII manu def- 
€riptum habuerunt quoque Au&ores Cowwercii: Epiffolici ( 4). 
Nos illum ab Audore latine fcriptum inde fideliter tranfcripfimus.. 

Secundo loco eft Meiodsw Flexionum c Serierum infinitarum.. 
Mens NEW TONI. priüs fuerat (e) illam adjungendi K.1N- 
CKHUYSZNII introdu&ioni ad Analyfin fpeciofam, quam 
ipfe prelo paraverat. E'einde, confilium mutans , eam edere 
conftituerat (f) cum Tracatn de. Refracfione Luci Coloribus ,. 
[yid fum * im prompt habebat, ut ipfius verbis utar , ( nam- 

ditores Commercii Epiftolici afferunt hunc Tra&atum illum; 
ipfum effe, de quo mentio fada jam fuerat ( «) , quod liquet: 
etiam ex Auctoris defcriptione (e); fed obje&iones à NEW- 
TONI de Luce fententiá natz eum déterruerunt.. Hanc K 1IN-- 

CKHUYSENII introdu&ionem. à N.EWw T ON O auctiorem: ^ 
redditam, cum hujus Methodi additamento , edendam fibi cu-- 
1e fore pollicitus et CoL LINsIUS (A); videtur autem obfti- 
ts natum: 


(4) Comm. Epiftol. N^. XIIE. pag. 94. 9$: edit. fecund- 

(5) Ha Litterz fuerunt.edite in Comm. Epiftol. N*. I. pag. 65. 66:- 
edit. fecund. 

(c) Pracfat: in Analyf. per. Quartitatum Séries, Fluxiones , & Differene- 
tis, &c. 
. (4) Comm: Epiftol. N*: II. pag. 67. edit. fec. 
- Ce) Ibidem Nis. XXII. XXIII. pag. 101. 102. 

Cf) Ibidem. N*: LVIL pag. 149. & hujus pag. 334. Tom. I. 

*- Anno 1671; 

(g) Ibidem. 

(b) Ibidem. N*. XXXIII pag. 102: 


v1 ED ITO RIS 


satum NEW TONI pacis ftudium huic negotio obftaculo fuiffe, 
Miülto tempore poft librum hunc edere, NE w TONO confen- 
tiente, decreverat P & M BER T ONUS, vetuit autem Áudoris 
mors  Aitenim Vir Clariffimus (4) fe typis suandare decre- 
viffe marbematieum Tractatum , quem lacus NEWTONUS 
»oulto. tempore ante. feripferat , prima. Fluxiomum principia complec- 
sMIem ; etenim , pergit ille, eum denigue exoraveram ut bunc [- 
brum divulgari fieret. Omnes computationes examineveram , e 
Figuras , partim , peraveram : féd , cum ultima bujus Traltetis pers. 
nondum effet perfetta , mibi curabat féripta ,. quibue ea fuppleri pof- 
Kent, que defideramtur. — Ejufdemm. vero imteritwe obffitit. quà minu — 
sem cxfequerer.. Defideratur autem modus folvendi Problemata, 
quz ad Quadraturas reduci nequeunt. Siquidem Opufculum 
hoc tres continet partes, quarum prima de Seriebws infinitis agit 
(4), qua. tamen zz Tradiatu iffo non magnam partem obiinchant, 
ut ait ipfe; Secunda circa Fluxiones verfatur ; T'ertia veró do- 
cet quomodo Methodus Fluxionum ad Curvarum Geometriam 
accommodetur. Adjicienda reftabat pers ee , 4«4 decreverat 
explicare modum [olvendi Problemata, que ad Quadraturas reduci 
sequeumt (c) ;. Atque utinam adjeciffe. Multum enim perdidi- 
mus, Jit aliquid de Fundamenti ejus pofüerit (4). Illum tan- 
dem anglicé nobis impertivit Clariffpus Cor soNus, undc 
ego hunc exhibui, 

Pratermittendum autem non videtur eumdem Gallicá Linguá 
donatum à Dodtiffimo BU FFONO, typis excufüm fuiffe Lerc- 
ri« Perifirum anno 1740. — Quam verfionem utiliter me confu- 
luiffe fateor; & eo nomine Clariffimo illius Au&ori gratias mul- . 
tas ago. : 

Ceerüin, ait V ALLISIUS (e) fe quidem audiviffe Ng w- 
TONUM-aliquid de Scricbus & Quadraturis przlo paratum Es 

buiffe 

(a) Pemberton a Vicw of Sir Ifaac Newtor': Philofophy. Prefac. füb fine, 

" (5) Comm. Epiftol. N*. LVII. pag. 149. edit. fec. vel pag.334. Tom. 
iujus. H 


(2) Oper. Math. Tom. II. pag. 350. 


PREF 4.7.1 0 VII 


buiffe anrio 1671. , fed quod infortunio quodam flammis periit. 
Utrüm W ALLIsIO falía nunciata fuerint , utrüm aliud exem- 
plum NzwTONUS fuperftes habuerit, utrüm denique 4/gwid 
illud à Tra&atu hoc diverfum fuerit ,. non definio. 

Sequitur "Tra&atus de Quadraturá Curvarum , quem. primó 
NrwroNvus ipfe edidit Losdimi anno 1704, (quamquam 
"Typothetarum negligentiá in titulo noftro legatur 1706, ) ad 
finem fuz Optices , unà cum fequente de E»wmeratione Linearum 
zertii ordinis, — Ipfe ufus fum editione Parifienfi collatà cum eá, 
quam Celeberrimus W. JoNzs curavit divulgandam Lesdiss 
anno 1711, in colleione, cui titulus /£sabfis per Quantitatum 
Series , Fiaxiones , ac. Differentias , cum. Enumeratione Linearum 
zertii ordini. 

Hanc ipfam enumerationem appellat Clariffimus BR A G E- 
LONGNIUS (4) fpe&aculum inter pulcherrima & maxima à 
Geometriá edita referendum. Cüm NEzw roNus Analyfim, 

uá hzc Curvarum genera , earumdémque figuras & proprietates 

letexerat , celaviffet ; illuftrifmus S-TIR LINGIUS tredecim 
atinis póft illam explicare aggreffus, ejus principia vulgavit in 
libro, cui titulus Z/effratio Trazatás D. NEW T ONI Ze epume- 
xatione Lincarum tertii ordimi , edito Oxonie auno 1717 *. Dein- 
de Celeberrimss Cog1iN-MA c-LAURINUS hoc negotium 
profecutus eft libro edito anno 1720 (4). Poftea eafdem con- 
fideravit Clariffmus N1COLIUs (4), & denique BR AGE- 
LONGNIUS (4) fupra laudatus. 

Hinc habetur Mer£odus. Differentiala , quam , Autore per- 
gnittente, ex ejus autographo defcripfit JoNEs (4). Compir- 
itur autem. doifrinam deferibendi Guruas ex datis Differemiis Dif- 
gremiarum Ordinatarum.. Hae Methodus Differentialis insitizur 
Problemati ducendi Curvam Paralolici generiseper. data. quotcunque 

x. Punta ;: 


(4) Memoir. de Acad. Royal. des Seienc. An. 1730: pag. 229. edit. 
Amít. an. 1733. 


* ant 1718, Vide Memoir. de Acad. Royal. An, 1729. pag. 272. 
(5) Ibidem. 


€c) Anal. per Quantit. Ser. Flux..& Differ. &e. ;.ia Pracfat. prope finem:. 


VIii ED ITO RI13S$ 


Pesda; de quo Cleriffomus 7ducor olim mentionem fecerat (a) in 
Epiftol4 [ud ad OLDEMBURGIUM 24. Ocfob, 1676, c cu- 
jus. folutionem dedis im. Lem, V. lb. I1. Princip. Philof. ; non 
gamen prorfus eamdem ,. quoad. conffrmifienem , cum ud, uam im 
prefentiarum tradimus. Flac habet JONES loco citato , € quà 
Colle&ione noftra Merlodi Differemialis exemplum defumpfimus. 

Opufculi fexti Articulus primus diecudubio NEWTONI 
eft, de fecundo autem dubitatur; fed quoniam breve eft, ad 
rem facit, &: Auctoris ingenium fapere videtur , afferendum 
cenfui, melius me fa&urum arbitratus, fiquid alienum ponerem, 
quàm fi quid NEW TONI pratermitterem. Indubia funt Opuf- 
cula reliqua. 

Opuículum feptimum. Newroniavum effe teflatur FON T z- 
NELLIUS (5). 

Opufculum decimum & undecimum habentur etiam in Col- 
le&ione Jonss (c), & in Operibus V ALLIsII(4). Has 
editiones inter fe diligenter contuli, & uno in loco, ubi varia 
ledio erat alicujus momenti, eam attuli. 

Opufculum decimum tertium legitur in W ALLISII Operi- 
bus (2), eft etiam in JoNzs Colleáione, fed minis perfec- 
tum quàm in W ALLISII Operibus. Eft excerptum Epifto- 
larum, Newtonianarum. Epiftolas ipfas habere non potui. Ne- 
quc id mirum, càm JoNzs ipfe Anglus, NzwTONO ami- 
cus eas habere nequiverit ; fiquidem excerptum dedit, Hac 
Opufcula latiné ab Au&tore fcripta funt. — Reliqua gallice cdita 
funt in libro, cui titulus, Recwei de diverfes pieces für la. Phi- 
Jofaphie, la Religion naturelle , [ Hiffoirey Jes Matbematiques crc. 
Par Mrs. Leibniz, Clarke ,| Newton Qr. autres. Auteurs. cébbres. 
Iterum edito drficodami apud Frameifcum Changuion an. 1741. 

om. 


(a )Pa ag. 340. huj us. 
(5) Vide Newton Elogium jn Hift. de Acad, Royale des Scenes 
An. 1727. 
(c) Anal. per Quantit. Serier. Flux. & Diff. pag. 23. 31. 
(4) Tom. III. pag. 622. & 634. 
(e) Tom. II. pag. 391., 


P'PPATIGO IX 


Tom. fecund. initio & gallice littere LEIBNITIL, anglicé 
NrwTONI in libro inícripto Hiftoria Fluxionum five Trada- 
tus originem & progreffum peregregiz iftius Methodi breviffimo 
compendio , ( & quafi fynopticé ) exhibens. Per Jofephum Ra- 
phfonum A. M. & R. S. S. Lendini,, typis Pearfonianis an. 1715. 
à pag. »7. ad finem , unde veras cas hic exhibui. Et hec 
quidem de Tomo Primo. ] ' . 


D Opsfiulis ToMUM SECUNDUM cemponentibus, 


Secundus initium ducit à Mundi fyftemate , quod Angli om- 
nes NEWTONO tribuunt, Priüs editum fuit verfum in An- 
gum fermonem, deinde veró latiné, ut ab. Autore confcriptum 

erat, & nos eum fiftimus fideliter à latiná editione tranícrip- 
tum. 

De Le&tionibus Opticis quz fequuntur, optime, cenfeo re- ' 
feram partem prafationis editioni Londinenfi prafixz. Ibi dif. 
cimus effe has Prele&iones publicas primas, quas NE w T 0- 
NUs Cantabrigie habuit, quando BARROVIUSs anno 1669 
€i conceffit munus prcfefforium in Cathedri Lucafiani. Hunc 
librum edidiffet ipfe Au&or, ni(i ineptz quorumdam imperito- 
rum cavillationes eum deterruiffent. ( Hic forte eft Tradatus ille 
de Refra&ione Lucis & Coloribus, quem , edendi cum Serie- 

, rum infinitarum & Fluxionum Methodo confilium coeperat 
NewTONUSs.) ' 

Liber de Opticis anno 1704 editus ab hoc tradtatu haud parum 
differt. Multa quidem in utroque inveniuntur eodem fenfu , fed ra- 
tione diversá tradita ;multa tamen praclara hic occurrunt , que in 
altero non habentur. Ibi enim Au&or caviffe , quantüm potuit , vi- 
detur, ne demonftrationes geometricas cum argumentis philofophi- 
cis immifceret ; & ubi neceffe fuit Propofitionem mathematicam 
proponere , ejus demonftratio vix unquam occurrit. Contrà autem, 
hic omnia geometrica in hoc argumento neceffaria fusé demon- 
ftat; quz forfitan in altero libro ideo omiferit , quoniam 
haud dubitavit, quin hx przle&iones aliquando lucem effent 

Jf. Nowtoni. Opuféeula ; Tom. L tt vifure ; 


x BED ITO R15 


vifure; càüm non modó publice Cantabrigiz le&z in Archivis 
fuerant repofitz , fed etiam alia exemplaria in amicorum mani- 
bus adfervabantur. Quod fpe&at ad prima optices elementa, 
au&or nofter hic ubique BARROVII prelediones opticas fe- 
quitur ; & quz, ile de omni luce feripferat ; NEwTO- 
NUs perfequitur ulteriüs, & applicat ad diverfam Radiorum 
Refrangibilitatem; rem BARROVIO ignotam, fed ab eo om- 
nino probatam quando ei ab auctore noftro' explicata fuit ; 
quod una ex epiftolis D. CorriNsI: in Commercio epif- 
tolico edita teftatur, ubi BARROvrUS de his przledionibus 
loquens, opus vocat, quo majus preíens atas vix protulit. 
Hic. etiam multe propofitiones demonftrantur, quas au&or cum 
BARROvVIO communicavit, & in przle&ionibus ejus, de- 
monftrationibus pratermiffis, edite fuére. Hic nimirum de- 
monftratur modus illius focum fuperficierum fpharicarum inve- 
niendi, & in omnibus aliis curvis locum habere oftenditur ope 
Radii, qui dicitur, curvature; item cauftice , ( quas vocant) 
à refraQione ortz hic determinantur. Has utique caufticas in 
fuperficiebus fpharicis, & ipfe BARROVIUS determinavit. 
Hifce veró prele&ionibus N Ew TONUs in curvis omnibus Ra- 
dii curvature. earum ope has caufticas exhibet. 

Harum przlecionum exemplum NE w ToNUs olim GRz- 
GoRIO aftronomiz Profeffori Saviliano dedit, à quo defum- 
tum eft illud unde hac editio defcripta eft, quod fummá fide 
& curá defcriptum fuiffe cum eo GREGORII conferentes in- 
venimus. Exemplum autem Gregorii, cüm ab ipo NEw T Oo- 
NO fuiffet acceptum, non dubitavimus, quin perfe&um effet ; 
fed poftquam editio noflra typis fuerat impreffa, audivimus e- 
xemplum illud Cantabrigiz , in Academiz archivis affervatum , 
magis effe abfolutum ; cujus exemplum nad , ex collatione rem 
ita effe invenimus.  Differentias igitur unà cum erratis typo- 
graphics ad libri ealcem adnotavimus.  ( Nos autem eas [locis 

is oppofuimus.) — Notularum , quas Editor addiderat , eas re- 
liquimus, quibus loca indicantur ad que NewWtonus refpicit, 

vel 


PR X F AT 1 6. xi 
vel idem corrigitur. Unam aut alteram , quibus explicabatur, 
omifimus , quia ejus explicandi locus hic non eft. . ] 

Ceterum cüm hujus opufculi editio fatis mendofa fit, & càm 
verofimillimum fit, non omnes "T'ypogrsphicos errores, in er- 
ratorum Indice, compreheníos fuiffe; non pauca & conje&u- 
rà correxi ; fed qua folàüm ad ftylum fpe&arent; & id quidem 
maximá fobrietate, ita ut potils verear, ne reprehendar, quód 
non fatis NEW TONI latinum fermonem ad nativum nidorem 
reftituerim , quàm quód nimis auda&er id fecerim. 

Opufculum XIX. à Tranfa&ionibus totum defumptum eff. 
Latiné ab Auctoribus fcripti fuerunt Articuli XII. XIII. XIV. 
XV. & XVI. cetera ex Anglo fermone verti. Ante Articu- 
lum XXXI. legitur in Tranfa&ionibus brevis differtatio conti- 
nens Refractionum hiftoriam , & alia ad rem facientia, quam, 
quia NEW TONI non erat pretermifi. 

Opufculum. XX defümpfi ex HARRIs Lexico Techno, 

ui, illud à NEw TONO fcriptum fuiffe teftatus, duo cum 
Aidoris veniá affert exempla , latinum alterum autographum , 
alterum Anglicum à fe concinnatum. Duo hec exempla non 
paucis difcriminibus intet fe diffentiunt, qux, licét Audtori 
fuerint approbata, pratereunda cenfui, quía leviffima funt. Sed 
hoc adeft notatu dignum. Pag.414. lin. rx, & rz. Tomi 
noftri fecundi habetur. — 5j Particule acide minori propertione cum 
terreffribus jungantur , st. ab iis fupprimi. d. eccultari videantur. 
Anglicum veró fonat. Si: A«- acide. Particula jungantur. terreis 
dumtaxat in parvd. Quantitate, Ade). frmiter b. illis retinentur , 
wt omninb ab iis. fupprimi , C occultari videantur. — Et mihi. qui- 
dem hac fecunda le&io ita primz anteftare videtur, ut diu du- 
bitaverim an hanc afferrem , primàmque füpprimerem , fed Edi- 
toris fidei magis confonum judicavi "l'extum fideliter exhibere , 
& de hoc difcrimine hoc loco monere. 

Ultimum locum occupat Scele Graduum Galoris d Frigoris. 
Edita hzc fuit in Tranfa&ionibus Philofophicis fine Auctoris 
nomine; fed eam aperté NEW TONO wibuit CorTzsiUs 

2 aunt 


XII ED ITO RIS 


aut cjus Interpres. («) Ad eam quoque refpicere videtur N e w- 
TONUS (2) ipfe, dum ait, "Termormetro expertus fum, quid 
 féptuplo falis effivi calore «qua ebullt , ut optime notat Doc.iffi 
mus Interpres. (6) 

Sic igitur perluftrato Tomo fecundo ad tertium veniamus. 


' Dc Opsfiulis ToMUM T'ERTIU M confeientibus, 


De Brevibus Chronicis hzc habeo. (c) .Digniffima. JVallie 
Princeps, & deinde Britannis Regina, quz ab ipfo NEw T O- 
N 0 nonnulla de Chronologiá fuá didicerat , eum per virum doc- 
triná & fanguine nobiliffimum ,. 24A£eren. CON T1, Patricium 
Venetum tunc in Britanniá degentem , accivit petitura ea, quz ' 
de Chronologiá fcripferat. llle , fcripta hzc imperfe&ia effe cau- 
fatus , eorumdem fummarium fe confe&urum recipit. Brevi 
conficit, affert, eó adigitur, ut ejus exemplum cum nullo com- 
municandum /fiéii CONI impertiret. Lic poftea, Lueriam 
Parifíorums delatus , tantum. thefaurum. omnino celandum non 
putavit ; quo "factum eft ut Brevia Chrenica , in Gallicam Lin- 
guam à Clarifmo FRERETO verfa cum quibufdam ejuídem 
obfervationibus , Au&ore fruftra renuente , ederentur. Lurerie 
Perifirum anno 1725. Deinde, poft NEW TONI mortem, 
anglicé typis excufa fuerunt cum Chronologiá , unde ego ea in 
Latinum fermonem verti. — Ceterüm , de ipsá JValiie Principe, 
reor, verba facit ( 4) nofter in. Ápologiá fud pro Brevibus 
Chronicis. 

Affeit NEW TONU s ipfe (e) fe Centalrigie degcntem 
Hiftorià & Chrenologid reficere folitum , dum alia ftudia fatiga- 

- tus 


(4) Legons de Phifique expérimentale &c. traduites de l'Anglois de 
Mt. Cottes &c.. à Paris 1742. pag. 384. 
* (5) Princip. Mathemat. cum. Comment. P P. Thema le Sueur & Fran- 
*eifci Jacquier Tom. III: Par. Prim. pag. $1. $2. 

(c) Ex Elogio Aewtoni fupra cit. collato cum Opufc, XXIV. Hujas 
collec. T. III. pag. 275. 

(4) Tom. III. hujus Colle&. pag. 276. 277. 

(e) Ibid. pag. 280. 


PRAEFATI XII 


tus intermittere cogebatur. Hinc orta eft ejus Chronologia, 
quam ut publice luci deftinaret , nondum animum inducere po- 

' terat anno 1725. Tamen, pauló ante quàm mortuus eft , eam 
emendavit & edere conftituerat (4) , quod effe&um fuit à CoN- 
DUITTO , ejus affine, anno 1728 , qui monet (^), quód, 
cüm Caput quintum cum aliis tranfcriptum non effet , dubitan- 
dum videbatur, an Auctor illud' vulgare decreviffet, — Quia ta- 
men erat inter ejus fcripta , & , ( ut patet; ) ad hujus operis pro- 
fecutionem pertinet, non omittendum cenfuit. Poftea, codem 
anno ab Anonymo, cui multum me debere fateor, in' gallicam 
linguam verfa typis vulgata fuit Lwrerie Pariforum. 

Okfervatienes «d. DANIELIS vaticinia , nec non ad Santi 
JoANNirs ^fpocalypfim, pariter poft [ícriptoris interitum anno 
1733 edite fuerunt anglicé. — Eafdem latinitate donavit egre- 

ius verbi divini minifter Gai/ie/mus S UDERM ANNUS quicas 
edidit Amftelodami anno 1738. Càm Doàiffimus Interpres mul- 
tum opere in hac verfione impenderit, & cüm illam optime ex- 
ceperint Docti , meliüs me fa&urum putavi, fi eam afferrem , 
àm fi novam , multo minoris pretii certé futuram, concinna- 
rem. Jam Interpretem ipfum de hoc NEW TONI libello, & 
de verfione fuá loquentem audiamus. . 

Quas tibi offerimus, Le&or, llluftriffimi NEw TOoNI lu- 
cubrationes, non commentarium, ( quem vocant, ) ad D A- 
NIELEM & fpocabypfin, continent. Obférvationsum illis, quod 
attendas, nomen eft. Non fingula hic explicantur verba; mi- 
nüs, etiam, minutias fe&atur Nofter : nec ulla, tamen, in his 
vaticiniis extat res memorabilior, que , quó referenda fit, ip- 
fius judicio, non, in genere, faltem , innuat. Ex ipfis rerum 
eventibus vaticinia interpretatur, & hos, quidem , limites pre- 
tergredi , fummo jure, ipfi ftultum ac ridiculum videtur. Ce- 


terüm , abíque ambagibus fuam fententiam exponit , rerümque: 


geftarum hiftorià illuftrac. 
T3 Supereft , 


(4) Monit. in Chronol. edit. Londinen. 
- (9) Ibidem. ! 


XIY EDITO RIS . 
Supereft, ut quid, hac in verfione & editione , ego prtefti- 
terim, paucis exponam. " Quantüm potui Latiné locutus fum ; 
nec tamen, in rebus plerumque Ecclefiafticis, omninó vocibus 
Barbaris abftinere licuit ; quibus ipfis, tamen vix, nifi cüm vel 
prorfus , vel eádem notione , Latine deérant , ufus fum. Ce: 
term multüm abeft, ut ftylus fit, qualem vel ipfe cupiebam, 
vel reddere eum potuiffe mihi videor, In alienis vertendis, ip- 
fius Au&oris ftylo , quantüm poffit , inhzrendum effe Interpreti 
cenfeo. Simpliciffimus, ver , eft ftilus NEwroNr. Aliis 
nihilominus, phrafibus & vocibus hic illic uti licuiffet. Scias, 
autem, Le&or, me, poftquàm integram hanc veríionem ador- 
náffem adeó majorum negotiorum majori copiá fuiffe prohibicum 
quantüm decreveram temporis illi limandz impendere , ut vel 
ipfa ejufdem editio hac de causà nunquam fortaffe fuiffet prodi- 
tura, nifi illam fermé qualis effet emittere , in eorum gratiam 
qui Anglica non intelligunt ; quàm premere , melius duxiffem. 
orró , Sacra Scripture loca , Noftro citata , fimpliciter, prout 
hic ea vel ipfe vertit, vel ex Anglicá verfione delumfit , Latin& 
reddidi , nullam ex Latinis quz exftant verfionibus fequutus, eó 
quód fzpilis ipfa Anglicana ver(io ab aliis, fzpiüs etiam N E w- 
TONUS ab illà differ. Eodem modo egi in locis , Noftro 
ex veteribus & Ecclefiz Patribus citatis. Ubicumque Anglicé 
ea promebat , Latiné ea verti; ubicumque ipfe Latine, five ex 
fuá, five ex aliorum interpretatione, ea dabat , verbotenus def- 
cripfi. Sxpiffimé aliter facere omninó non licuit, multis eorum, 
quos citat NEW TONUS , Áu&orum , non inftru&o ; atque 
hoc ipfum in causá fuit , quód non femper , ubi fuos ille Auc« 
tores adícribit, & loca diftin&& adnotat, num id re& fecerit, 
confülére potuerim. Sapiüs, itaque, hoc fa&um, fepilis etiam 
citationes indé emendatz : fepiüs notata Au&orum , quos no. 
mine tenus dumtaxat Nofter appellabat loca. Sepiüs, autem;: 
fieri non potuit , cüm nec ipfos Auctores aliquando nofter in- 
nueret. Vitia, infuper , Typographica fuftuli; ex. gr. p. 40o. 
bis legebatur PAiometor , tüm pro Epiphase , tüm pro Seleuco 
Phikpatere, — Aliquando tamcn. Lectores vitii monendos effe, 
ceníui, 


BOR EK FUA T ] O0. |. xv 
tenfu, utp. 326 &c. Aliquando, ctiám, bis eadem occurre- 
bant, ubi femel omittenda duxi; fcilicet , non tantüm pag. 361 
& 406 , ubi illud monui, verüm etiam pag. 355 & 356. Prater 
animadverfiones quafdam , & fummaria rerum in margine , tres 
indices ad calcem adjeci. ( Quorum duos rejeci, ne libernimiüm 
excrefceret , alterum inter meum invenies.) . 

De Notis , autem , pauca monenda funt. Mas, ab illis 
quz Auctori debentur, unciculis , quibus ille includuntur , dif- 
tin&as videbis. — Longé autem. plura adnotare erat animus, fed 
eadem, cujus mentionem feci, negotiorum majorum , & qua 
minime negligi fas eft, copia , obftitit quó minüs variis rebus 
penitiàs inveftigandis otium fuppeteret: quo fi majori gavifus 
fuiffem ,. de fundamentis expofitionum NE W T ONI & aliorum, 
praefertim quod ad vaticinium 4e /epruaginta Pbebdomadibus , egií- 
fem diftin&iüs. Eadem mihi otii penuria in causá fuit, quare 
non examinaverim , num rede, nümve perperam Nofter hifto- 
rias, (fi qua de iis fit inter Viros Do&os controverfia) referat ; 
quod tamen aliquatenus feci ad initium Cap. IX. — Et ad illud 
quidem caput, quid ad fingula praftare intenderam , fpecimen 
exhibui, Non ; itaque, credendum , me, ubicumque nihil no- 
tàvi, vel ejufdem cum noftro effe fententiz , vel nihil notandum 
duxiffe, — Multa erant prz manibus, verüm ulterils expendenda, 
aliique ad illa confulendi fcriptores , priüs quàm par effet ea emit- 
tere: atque hec omittenda potiüs , quàm non coca faris tibi 
offerenda, videbantur. Uno loco, paginá, fcilicet , 422 , ad 
hanc meam Prafationem te remitto , quód , variis de caufis , me- 
liis videbatur , hic , quàm illic, quz neceffe erat, monere. 
Docet ibi Nofter , in variarum que memoraverat , fuperftitio- 
num propagatione antefignanos fuiffe Monachos , atque hiíce 
ducem ANTONIUM. Egerat, autem , pracipué de invocatio- 
ne San&orum, atque hanc in Ecclefiam introdu&tam dixerat ho- 
noribus, Sanc&orum reliquiis exhibitis , eó maxime, quód ZE- 
'gyptii Martyrum cadavera inhumata , in le&ulis , privatim in 
dibus fuis, fervabant. Fuit, autem, in Angliá, qui NE w- 
TONUM pofltremz. ofcitantiz accufavit, eó quód harum füpcr- 
. ftitionum 


XVI: EDITOS? 13s 


ftitionum non tantüm eximium promotorem faciat À N T ONIU M, 
verüm etiam, & hoc praefertim ex ATHANASII loco citato 
id probaretur: integer, enim À THANA 1I locus, cujus par- 
tem Nofter citat, alieniffimum ab iis füperftitionibus fuifle À N- 
TONIUM, judice hoc Anonymo, teftatur. Hac cüm accufa- 
tio, forté fortuná, mihi innotuiffet, A T HANASIUM coníu- 
lendum, atque omnia quó refpicit , hic defcribenda cenfui. Ita, 
ergo, Epifcopus Alexandrinus , i» u4 ANTONII, verslis fi-- 
nem, Operum Vol. IH. pagg. $01. dc. Editionis Parifienfir, annà 
1627. Quis, verb , vite finis ipfi fuerit , equum eff cy me comme- 
morare , C vos cupido audire , cum (jr. boc emulationem mereatur. 
Monachos , more [so, im monte exteriore vifebat : divindque provi- 
denti de vite fua exitu eertior factus; pofiremum vos jam vifo , in- 
quit fratribus, dre. — Ad bec chm fratres ipfum, wt maneret fe- 
cum, vel imitum, adigere conarentur ,. ibidémque vitá fungi , re- 
fragatus eff, chm aliae ob. multas cam[ae ,. quod. ipfe filentio offendit, 
sàm ob banc potiffenum :. Amant Egypti pi. defuncierum , atque 
sn primis [antterum Martyrum cerpora funerare quidem cr linteis in- 
volvere ; non autem mandare terre, fed , leifulo impofita , intra pri- 
vatos. parietes retinere 5. »nertuos. ed ratione. bonore fe. afficere exifti- 
mantés,— ANTONIUS idcirco fapius Epifcopos rogavis ut populum 
erudirent ;. fimiliter etiam laicis. pudorem injecit , C. mulieres objur- 
gavit; boc neque. legitimum ,. meque omnino [ancium effe. adferens. 
Nam d» Patriarcharum dr. Profetarum corpora, ad bunc ufque diem 
Jepulchris fervari , ipfum etiam Domini corpus in monumentum po- 
fitum fuiffe , faxum quoque. obvolutum , quo. tegeretur , donec die 
tertio refurgeret., — Quibus verbis peccare demonffravit eum, qui poft 
mortem , defuntiorum corpora non bumaret , quamvis [ancfa effent: 
quid, enim , majus fancfiéfoe corpore Demini. . Multi , ergo , boe 
audito , poflea [ub terram condiderunt cadavera , gratia/gque Deo ege- 
runt, quid tam probo inffituii effent... ANTONIUS, autem, bu- 
jus moris gnarus , metuén[que ne (b fuo ita c«daveri facerent, poft 
quàm Monachis , qui in exteriore crant monte, mandata. dediffet 
Jefe. inde abffulit , smomtémque interiorem ingreffus , ubi commorari 
doktbas , pofl menfes pauses-im. mporbum. incidi, — Tum vocatis dis, 
. . 4» 





POROEFAT I xXvit 
qui cum ipfo erant (duo erant bi , qui C intus. manebant, quinde- 
eim-annos aexdueyu , eque , propter fenecfutem , mimiffrantes) ipfe 
dixit: Equidem , wt firiptum eff , viam patrum. proficifcor 5 me, 
quippe , 4 Domino vocari "video: ves ,— autem, fabri efte , mec 
diuturnam vefftram doxsei perdite , fa, tanquam primordio jams 
capto , alecritatem animi veffri us retincatis incumbite, — Noffüs in- 
fidiatores. Damones , noffis. quam fist immanes quidem , at. viribus 
imbecilles. — Ne , igitur , iffos timeatis , verum potins femper Chrif- 
tum [Dirate , eque credite , ac vivite tamquam in dies merientes , ipfi 
velis caventes , earámque memores admenitionum , quas ex me au- 
düffis. Nulla, porro , vobis fit cum fehifmaticis confuetudo , neque 
emnine cum bercticis Arianis :— [citis enim qui. C. ego iles fim 
averfatus , propter. perveram ipforum. Chrifféque adverfam [étiam. 
Zauddétle dé. ni oDav xai Vptis » dti cuvawlus cavlic» weomysjtvug 
m TG Kopig» Éreda dé vois dylo 1ya pela Sayu]oy Vnde £i; Tag 
ulus exmpds » ai QUA xai yrepipus» déZoslas xed 'avlo. lala 
Joyittr9 ; 1ésla Quite. xai && H4A Djiy epi £u » xad urpae- 
ywvere dig arepi rarpog" py aQiré mas vo ca pad pest Afde]y és Aryvmlor, 
pn aru £y Toig daxoig trà Olaus. ld vg yap p £ig SAO €i 70. d, o6» 
xai 1A96 dde. oidars dé xad was aci £yérperoy Tig viro molas » 
xal magi year madcarD« ris luadrus cuDelac. Sdxlale 2v 1d. 
vpélégoy neige » xai V-O yy» xgoslrale. xa) (gu TO map 6n pina 
Qu/ar]ld uevoy rag Vjsiv » dc usdéva "ymdexem vy vómoy, wv] py 
paovay. ya ydp » € Tfl ayagdeti lay exa amos NVojaa Tapa T8 
ZolipO- dS aploy duro. [Vos, autem, c ipfi potis operam na- 
vate ut. adbereatis prim, quidem , Domino , deinde Santis 5 wt 
poft mortem ves , im aterna tabernacula, temquam amicos cy notos, 
€ ipfi recipiant. Hac obfervate , bec wnimadvertite , «c fi qua vobis 
mei cura , dr inflar patris mei mementote. — Ne finatis ullos meum 
cadaver in. Egyptum ferre , me quando in fuis demibus id deponant. 
Propterea , enim , in. montem abii , C buc veni. — Scitis, autem , 
€ quomedo femper ebjurgaverim illud facientes , c adhortatus fi 
ut mitterent ilum morem. Vos , itaque , meum cadaver. fepelite , 
€ (ub. terrd condite :. ac olférvetur à vobis id quod dixi , ade) wt 
nemo, ke vos folos, locum [ciat, — Ego, emim, im refurretfione 

Jf. Newtoni Opufcula , Tom. L ttt THITNO- 


xvIIL EDITORIS 


mortuorum ,| illud. incobruptum À Servatore recipiam] — Cenfet A- 
honymus.nullam effe., quá ingentis criminis abfolvatur NEW -- 
TONUS rationem, nifi vel ipaum À THAN AsrUM non legiffe,, 
fed tantüm , hzc, alii citata, memoriz causi notiffe, poftea: 
exa&iüs expendenda;. vel has pofthumas Obfervationes,, ut alias. 
aliorum. magnorum virorum , nibil, effe , prater adverfaria, & 
qbus opus ejufmodi componere mors Au&orem prohibuit. 

oftrema conjedura non omnino prater rationem videtur. At- 
tamen & aliá ratione, criminis certé magni, abfolvi INE W T 0-- 
NUS poffit, etiam (i ipfe, quo. modo ez funt edite, has Ob- 
fervationes perfcripferit. Scilicet, nihil aliud culpat AN T o- 
NIUS , nifi corpora irhumata fervari ; nihil aliud. vetat, nulli 
alii rei moribundus profpicit , nifi ne fuum inhumatum fervetur.. 
Miraculorum edendoruni virtutem offibus San&orum adícribere- 
non vetat; nec magis animarum eorum invocationem. Quin 
banc potiüs, quz fuperftitionum NE W T oNo eft cumulus, ta- 
cité probat, jubendo ut Difcipuli lui Sai adbercans , ut c Hi: 
3pfos , paff mortem , quafi amicos C mexos , recipiant im aterma taber- 
macula, Minimüm San&orum animabus , rerum , quz in. terris 
aguntur, confcientiam , tacit? adícribit : quod fatis profe&tó cffe 
queat, nec multüm. fuperftitioni deditis. hominibus , ut haud: 
fruftra fefe. illas invocaturos. credant.. ' 

Hzc etiam adnotanda proponit. vit omni laude dignus. 

Ad ea, qua leguntur pag. 336. 337. ( Cüm Nofter Sena. 
tum populümque & Principatum Romanum inter decem cornua;. 
Cap. VI, non memoraverit , Imperiíque veteris Romani reli-. 
quias jam. in regno Ravenna ftatuerit ,. manifeftum eft , humani: 
aliquid paffurn fuiffe Virum Summum. cüm hac fcriberer. ). 

d pag. 410. lin. a. à fine [ Errat NE vv ToNUS, cujus me- 
morie. non redé obverfatus effe fequens locus A THANASII. 
(in fine Przfationis ad Vitam A N To N.LI) videtur. A;« Tire 
rep avlós le ymdoxe » sroAAdsig yap ciloy éuipaxet ». xad €i. jar: 
fidorj Ow sapi rl dnos Os cvuilog ciulg: xgdvey sc. 2a yov, nud 67i flog. 
Qidap nuld xesos avli » pasan vw éuAasim Uudiy rmdduce. Propte-. 
ft& C que ipfe novi, (fape , emm, iym vidi,) C" qua "ilcere ab eo. 

z . pots: 


REF AT 10 XIX 
getui , qui non purum temporis ipfum fequutus eff, cir aquam manis 
bus. adfudit , veffre benevolentia fcribere diligenter. fIudui.'] 

"Totam Prafetionem , utpote longiufculam, non defcipfi; 
hac afferre contentus, que Recon vifa funt. 

Ultimum Opufculum de Sacro Judeerum Cubito cc. Latine ab 
Audore ícriptum , Anglicé editum fuit inter Opera mifcellanea 
Celeberrimi Joannis. GR A v 11, Tom. IL. pag. 405. ann. 1737- 
Londini , unde nos illud defumpfimus. 

En, Le&or optime, quz tibi in prefentia poffum offerre. Si 
meum rem tibi gratam & utilem faciendi ftudium non difpliceat, 
voti reus factus íum. — Ceterüm , in verfionibus meis perfpicui- 
tatem fum potiàs quàm elegantiam fecutus. Res ipfa id petere 
videbatur, tum , quia Mathematica , Phyfica , & hujufcemodi 
funt dilucidé tradenda, tum, quia NE w To Nr ftylus (cui 
meum accommodandum cenfui, ) omnino fimplex eft & omni 
ornamento deftitutus prater illud, quod fponte gignunt verba, 
ciim : 

-— — provifam rem non invita fequuntur (4). 


Praterea , fruftra, fateor, elegantiam effem venatus. Nam ; 
& profedó patet . 
— — — ddnglorum 'obícura reperta 
Difficile inluftrare Latinis verfibus effe, . 
(Multa novis verbis praefertim cám fit agendum, ) 
Propter egeítatem lingue, & rerum novitatem (4); 


& Romané 
Judice , quem nofi, Crgn1co (c) 


Ícribere folàm datur illi, qui per aliquot annos, ceteris omni- 
bus negle&is ; optimos illius linguz Auctores diurná nournà- 
ttf a que 

(4) Horat. Art. Poet. verf. 311. 


(5) Lucret. de rerum nat. Lib. L verf. 137. 138. 139. 140. 
(c) Cler. Biblioth. Ant. & Nov. Tom, 2$. pag. 381. 


xx EDITORI1S PREFATI0. 


que manu verfavit. Mihi veró, ab ineunte atate, rebus potiiis 
uàm verbis addifcendis deftinato , quantüm voluiffem opere 
tinis Litteris navare non licuit. Sed, peropportuné accidit , 
wt hic ornamenta non requirantur, perípicuitas & fidelitas fuffi- 
ciant. Quz duo utrüm przftiterim , penes Do&os judicium efto. 
Nihil certé , quod ad utrumqne, & przcipué ad fidelitatem ver- 
fionis, conduceret , pretermifi. Quandoquidem , poftquàm, 
quantá potui diligenti opufculum aliquod fum interpretatus , 
illud cum Gallicá, fiqua aderat, verfione accuraté contuli , aut, 
quantàm licuit, cum Viris rerum ipfarum , & Anglice ac La- 
tine Lingue peritiffimis emendavi. — Quamobrem illis à me 
, debetur gratia maxima, eófque obfecro, ut publicum hoc grati 
animi teftimonium non refpuant. Quamquam autem totis viri- 
bus errores vitaverim , eos non evitavi , fatis fcio. "Tuam, 
igitur, cüm pro meis, tum pro Typographorum mendis cle- 
mentiam imploro, Le&or benigne. Vale, & memento quód, 
bumanz naturz vitio , 


—— — Opere in longo fas eft obrepere fomnum (4). 
(4) Horat, Art. Poetic. verf. 360. 


DE 


DE VITA 


ISAACI NEWTONEI 


COMMENTARIOLUS 


SAACUS NEW TONUS , natus eft 
Wooljropie in. Limcolni Regione ipfo Na£i-. 
| vitats Domimice die ( Veteri Stilo) anno 
' 1642 ; origirem fuam referebat ejus fami- 
| lia ad natu maximum Johamss NE w TONE 
| Equitis aurati, & MWooljiropie Domini , fi-. 
lium. Hujus Gens per totos ducentos an-. 
nos in Wooljiropiam dominata fuerat , ubi 
fe tranítulerat ex AWejiby in eàdem Regio-. 
me; orta autem erat Newfoni, qua Lan- 
cajisi Urbs eft. Matrem habuit IsAACUS. 
nofter 44m ASCOUGH, antiquo ge- 
xere prognatam , quz , càm Virum , Audoris noftri patrem , amififlet 
iterum nupfit. Hzc flium fuum, duodecim annos natum, mifit in pu-. 
blicum Grantbami Ludum litterarium ; unde illum aliquot poft annis re- 
movit, ut res fuas ipfe curare confuefceret. A quo negotio tam alienum, 
& tam libris fuis. deditum. experta eft, ut eum Granthanume remitteret 
quó fibi poffet indulgere: Hinc tranfit ad" Collegium Trimitata in Uni 
verfitate Cantabrigienfi ; anno 1660 , tatis annum agens duodevicefimum, 
Audor eft FON TENELL1US (a) eum , Mathemata difcere cupientem 
3 Operam. 

€) Hifhire de iAcad. Royale des Science, An. 1727. Eleg. Newt. 


XXI 18544CI NEW TONI 


operam Euclidi non dediffe, utpote qui nimis perfpicuus, nimis fimplex, 
& indignus, in quo pervolvendo tempus tereretur, illi videbatur. PEM- 
BERTONUS feré eadem narrat; affirmat (4) enim fe NaxwTONUM 
. fiepiüs querentem audiiffe, quód Mathematum curriculum aggrediens to- 
tum fe tradidifet libis CAmTEs11 & aliorum Zf/gebrifiarum , minus 
attenté perledis EU CLIDIS elementis, quam tantus Auctor merebatur. 
Perfundiorié igitur evolutis elementis fedulam operam dedit CAR TESI 
Geometrie , & KEPLERI Opticis. Patet ex ejus expenfi rationibus illum 
ScHOOTENII Mifelauea, & CARTESII Geomerriam , atque NV AL- 
LISII opera emiffe anno 1663 pauló ante diem quo Domini nativitas 
celebratur. Hoslibros, dum legebat, notis & obfervationibus augebat , 
ac fcientias, de quibus agebant, multüm promovebat. Sic (5) annis 
1664, 1665, dum proferre conabatur Walifianam interpolationem , ex- 
cogitavit rationem Serierum obtinendarum per Radicum Extradionem & 
per Divifionem. Anno 1664 artium Baccalaureus factus eft. Anno (c) 1666 
admirandz fux Opticx fundamenta jecit; & anno 1668 artium Magifter 
creatus fuit , cüm jam Collegii foeius fuiffet electus. Hoc eodem anno, 
menfe Septembri (funt verba. (4) Clariffii CoL L1NsI1) MERCA- 
TOR Loggritbnotechniam edidit fuam , quz fpecimen hujus Methodi , 
( videlicet. Serierum infinitarum) in unicà tantàm Figur, nempe Quadra. 
turam Hyperbole continet. Haud multo poftquam in publicum prodierat 
liber , exemplar ejus Clariffimo NVA LL 1510 Oxoniam mifi . . . . , aliàmque 
BARROY£0 Cantabrigiam , qui quafdam NEw TONI chartas(e) .... 
extemplo remifi. E quibus, & ex aliis , qux olim ab Auctore cum 
BARROVIO communicata fuerant , patet illam Methodum à dicto Ng w- 
TONO aliquot annis antea excogitatam , & modo univerfali applicatam 
- fuiffe ; ita ut ejus ope in. quàvis Figurá curvilineà propofità , quz unà vel 
pluribus proprietatibus definitur , Quadratura vel Area dictz Figura, ac- 
* curata 4 poffbile fit, fin minus, infnité vero propinqua ; Evolutio 
vel Longitudo Linez curva; Centrum Gravitatis Figura ; Solida ejus ro- 
tatione genita, & eorum Superficies fine ullà Radicum Extractione, ob- 
tineri queant ; quo invento, ait Celeberrimus FON TENELLIUS (f), 
mihil fübtilius nihil felicius excogitari poteft ad opem humani intelle&üs 
ámbecillitati ferendam. 
Tamen tanta erat N Ew T ON 1 modeítia, ut (g ) maturam ad [criben- 
. dum 


Pembert Préf. iu a Vievo of.Sir Vac Nowton's Pbilofopky. 
Vide Tom. I. hujus, pag. 329 -- 332. . 


c 


4) 
5) 
c) Vide Tom. II. hujus, pag. 379. 
4) Comm. Epiftol. N*. XXIV. pag. 103. edit. fec. " - 
) He charue funt Zia/yfis per. ZEquatioues ssonero. Termitorim infiniti, 
) Loco citato. | 

) Vide Tom, 1. hujus, pag. 333- H 


ALAS 


f 
& 


FIT Z4 XXII 


diaz etatem. expeBaret , licit , vel MERCATOREM ipfum jam noffe (4) 
Extraionem  Radicum equé ac Divifionem , "vel alios [altem , Divifone pa- 
gefaGlá. inventuros reliqua fufpicaretur ; id eft, lic&t alios iriventionis gloriam: 
eccupaturos putaret. Libellus. igitur de Seriebw , quem confcripferat ,, 
communicatus. tantummodo fuit cum CoL L1NsrIiO & FiceComiti 
BROUNCHERO. Ele&us fuit anno 1669. Mathematum Profeffor in 
Univerfitate Cawtabrigienfi, quam. Provinciam B A R R O Y LU S abdicaverat. 
Eodem anno & duobus proximis publicé prelepgit LeSiones Opricas, illas , 
nos.exhibuimus (5 quz, in Anglicum fermenem , edita. 
erunt Londini anno 1728 in 8v0., & poftea Latiné, quemadmodum  &ripte 
fuerant pariter Londini an.1729 in 4". Ibi continentur ea, quz de Luce 
& Coloribus. detegere: coeperat anno. 1666 , & de quibus docuit Regiam So« 


etatem anno 1671 , Ícripte quodam , quod infertum fuit Philofophica ! 


qranfatlionibu Fehruarii 19 an. 1672. N^. 80. (c). Hinc ortz funt plures 
controverfie, que NEWTONU.M, illarum inimiciffimum, à Le&onibus 
ipfis edendis cum. TraGatu de Methedo Serierum infmitarum €&9 Fluxionum: 
abflerruerunz (d). In iifdem. Tranfadioxiba Martii 28 an. 1672 N*. 81. 
defcripfit novum: Caza-Dioptricum Telefcopium à. fe excogitatum: quam dez 
criptionem Docliflimus zibbas GALLOLS inferuit in Eruditorum Diario 
Februarii 29 an. 1679 ,. addità Hu GE N11Epiftolà (4) ,.quà Vir omni 
laude major oftendit quot & quantis commodis hoc genus Telefcopia ce-- 
téra antecellant. Adíunt in Phubfophicis Tranfatlionibws alia. fcripta ( e) ad. 
Telefcopium hoc, & ad novam. Theoriam. de. Lace €9* Coloribus pertinen-- 
tia, qux Auctoris ingenium , diligentiam , atque perfpicacitatem in pre-. 
perulo ponunt. Anno 1672 edidit Camtabrigie in 8vo. librum , cui titu-- 


us Bernardi V ARENII Geographia generali , in quà affeBiones generales: ^ 


Telluris explicantur , aua €3. iluftrata ab ISAAcO NEWTON, que- 
xurfus excufa fuit, pariter in 8Y6. , anno. 1687; fed.ea, que NEWTO-- 
NUS, publice utilitati ftudens ,, & gloriam fuam negligens, contulit ad: 
eam augendam & illuftrandam , ita cum reliquis perd funt, ut ab iis: 
diftingui, nedum fepararí nequeant. Hyeme illo, qui finis fuit anni 1676. 
& principium anni 1677 , NEW TONUS demonítravit quód , fi vires 
centripeta veciprocé [mz wt Quadrata diflantiurum ,. Planeta motu. fuo defcribet' 
Elipjam circa Centrum virium fitam im inferiore Elipfeos Foco, Cd, Radiür 
«d hoc Centrum du& , reas dejcribet Temporibw proportionales. — Anno 
1683 hoc argumentum rurfus meditari copit, & jam detect: Propofitio- - 
mi nonnulàs alias ad cgeleftia Corpora fpectantes adjecit; inter quas nom: 
ultimum locum occupat. Demonftratio notitfimz illius. Kepleriane Propofi-. 
tionis, quód, fcilicet; Planete im Elipfibw moventur; C9, fi. Radii ducan- 


fu 
a) Tom. Il. E. &c. (4) Vide Tom. II. hujus, pag. 295. adi 
b) Tom. Hl. hujus, pag. $79. 300. 
£). Vide Tom. l. hujus, pag. 334» — (e) Vide. Tom. IL hujus, p, 301. ad.4o9v- 


XXIV 1$844CI NEWTONI 


Yur ad Solem fitum in inferiore Ellipfeos Foco, Jreae Temporibw proportia- 
nales defcribunt. Hanc eof onem mi(it Celeberrimo HALLEIO 
menfe Decembri 1684, qui eam cum Regali Societé communicavit , & 
in hujus Tabularüs infcripta fuit. —Celeberrimá hac Societate rogante , & 
HALLEIO etiam pervicaciter contendente, ad id adductus tandem fuit 
NEWTONUS, ut Íua Principia fcriberet, quorum duo priores libri ma- 
nu exarati Regali Societati ledi fuerunt ; fed, càm Hookivus fe ante 
Toftrum Auctorem K EP LER. Problema demonítraviffe contenderet , ter- 
tium librum fupprimere ftatuit NEW TONUS, quod tamen ne faceret 
ejus Amici exoraverunt. Affert PEMBERTONUS (2), quód prima 
cegitata , quibus ad Primpia fua manuductus fuit, ei in mentem vene- 
runt anno 1666 , cüm Canzabrigió , metu Peltilentix , receffifet. Nam , 
folus in hortis -deambulans'Gravitatis vim , (aliqui dicunt à pyro cadente 
'admonitus) confiderare coepit; quód , nempe , quoniam hzc vis fenfibus 
non deprehenditur imminuta. ad maxima à Terre Centro intervalla , ad 
quz pervenire liceat , neque. ad faítigia altiffimorum zdificiorum , neque 
etiam ad fuüblimiorum montium cacumina inde conficiendum probabiliter - 
videtur, qíód hzc vis multo latius patet , quàm vulgo credi foleat ; 
quidni ad Lunam ufque, tacitus dicebat ? Si vero ita fe res haberet, 
certé vim iftam Lunz motus fentiret , & ab eà fortaffe Luna in orbità 
fuá retineretur. Quanquam autem vis Gravitatis non. mutetur , ( quod 
quidem fenfibus percipi poffit, ) exiguis mutationibus intervallorum à 
Centro telluris , ad qua evadere poffumus , tamen arbitrabatur fieri pof- 
.fe, ut hzc vis multó minor effet apud Lunam , quàm apud nos. De- 
tedurus quanta effet hzec imminutio , fecum ipfe reputabat, quód , fi Lu. 
nam in orbe fuo retinet vis Gravitatis, procul dubio Planete primarii 
circa Solem à non abfimili vi circumducuntur. Et, plurium Planetarum 
Periodos cum eorumdem à Sole intervallis comparans , invenit, quód, fi- 
quz vis Gravitati fimilis Planetas in fuis orbitis continet , hac decrefce- 
re debet in duplicatá ratione incrementorum diftantiarum ; ad quam con- 
clufionem venit, ponens Planetas accuraté defcribere Circulos Soli con- 
centricos , à quibus quidem circulis orbes à pluribus Planetis'defcripti vix 
differunt. Igitur, Apponens vim Gravitatis, ad Lunam ufque fe ex- 
tendentem , in eàdem ratione decrefcere , rationes fubducere coepit , perf- 
pe&urus utrüm hzc vis ad Lunam in orbità fuá retinendam fufficeret, 
Càm veró tunc libris deflitueretur , pofuit, quemadmodum Geographi 
paffim, & Angli Naute, antequam Nonvoonus Terram effet di. 
menfus , arbitrabantur, quód unus Latitudinis gradus in terreftzi fuper- 
ficie fexaginta milliaria Anglica complectitur ; fed , quoniam hc hypothe- 
fis à veró. non parum aberrat, quandoquidem finguli gradus novem & 

: fexaginta 


(a) Pembert. Pref. is à View» of Sir lGac Newton's Pbilofopho. 


riva C7 xxi 


fexaginta milliaria Anglica cum dimidio, circiter, continent , hinc 
tum eft , milii gia eum mio, oris eminet Nac fc 
xaufam Talem jungendam «ffe vi Gravitatis in Lunam agentis. EÀ dere 
hujus argumenti confiderationema aliquamdin. intermifit. Sed aliquot an- 
nis pó& Hooztr epiftola eum excitavit ad inveftigandum quammama- 
Lineam reipía defcribat corpus é fublimi cadens, íi Terre timca fuum 
Axem motus non negligatur. Hujufcemodi Corpus , cim fervet motum 
illum , quem Terr revolutio tribuit loco , quem cadendo defecit, confide- 
Turi debet tanquam smieriorem, parten Wernis projedum s & fimul trac-.— 
tum deorfüm , ad Terre Centrum. Hinc iterum ad meditandum Lunze 
smotum animum adjecit; atque ufus Terre dimen(ionibus , quas paulà 
griüs Celeberrimus PrcARTVUSs conflituerat , Lunam in orbe fuo reti- 
meri à folà. Gravitatis vi perípexit : unde fequebax haric vim decreicere 
quà magis à Terr Centro reoeditur , quemadmodum ipíe jampridem 
vonjecrat. Ex hoc principio deduxit Lineam à. cadente Corpore defcrip. 
tam efle Ellipin , cujus .Focus alter eft Terr Centrum. Et, quoniam 
primarü Planetx circa Solem in gyrum adi Ellipticos Orbes de(cribunt , 
difquifitionem hanc, quam animi gratiàfufceperat, ad altiora poffe accom- 
modari non fine voluptate cognovit. Compofuit. igitur , duodecim , prater- 
propter , Propofitiones ad Planetarum prucipuorum circa Solem motum per. 
tinentes. Aliquot poft annis, fermonibus HALLEIX, qui, eum invi 
furus, Cantabrigiam petierat , eo adductus eft, ut rurfus meditationes [uas ad 


hoc argumentum converteret , inde. de hac re librum , cui titulus 
Philofophie natwrala Principia ica divulgavit. Hic e tot, & 
tam accuraté excogitatarum rerum plenus , duodeviginti menfibus confcrip- 


tus fuit, quamquam feré nullam , prater eam quam renlimus , Tuppel- 
ledilem fibi paraviffet. Hactenus "PEMAERTONUS. Hic Hber primó 
editus fuit Londimi in 4". anno 1687; atque iterum pluribus in locis ab 
Auctore auctus & emendatus Cawabrisie anno 1713 in 4* curante Ro- 
&£eo CoTTEs10, Vim illutriffmo, & in eà Univerfitate Aftronomize 
atque Phyficz experimentalis Profeffore: Tertió Zfmjlelodami , anno 17145 
& denique Londini anno 1726 curà Henrici P EMBER T QNI rurfus auctus, 
Hic liber, (juxa FONTENELLIUM C ) in quo novum Philofo. 
hix Syüena profundiffima: Geometrie fuperftruitur , ftatim omnes illas 
des non obtinuit, quas merebat, & quas aliquando habiturus erat, 
Quoniam acutilimé. cogitata multa. paucis verbis efferuntur , & ex prin. 
cipis fumma oeleritate deducuntur ea, quz inde confici poffunt , atque 
Le&or non pauca, quibus principia & conclufiones connedantur , pro. 
prio marte fupplere debet, tempore opus erat ut intelligeretur. — Mathe. 
maticorum Principes die rem d. dam operum, Ji vavare condi fame, 
Af. Newtoni Opufaula , Tom, L t &. 


[22 Hift. de l'Acad. Royale des Sciences , An. 1727. Elog. de Mr. Nexwtow. 


xxvi 1$544t€r REWTONF 


; &ii, qui mini ingenia & doctrinà pollebant , illud ntare navigare tiom 
funt aggreffi , mifi quando Princi cipum temenin aimes adddenmt Sed 

- tandem , quando: libri pretium fts perfpectum fuit, undique concurre- 
runt füffragia , que tam, lentà fibi Jededum & "omnia plaufus com- 
Fieverunt. Omnes mirgti funt. mentem rerum inventricem , & quafi crea- 
trice, mentem, qtke,, fi minus modefta fuiffet, meliori ,, quàm Lu- 
SRATIVSS jure exdamaáre potuife . 


viz 'Pieridüm. peragro loca, mullius anté- 
|o ocCRri flos juva à integros! accedere: fontes j. 


-xrid b feni vix eme eir d Dodo 
epu lortiuntuz.. quó quifque magis. ingenio: pollebat, eó. magis. 
- mirabatur , ita ut HosPITALIUS ile , Eruditorum. nobiliffimus., & 
Nobilium eruditiffimus , àb Anglis (4) eum invifentibus petere foleret , 
NrwTONUs-ne wfer, edit, bibi, dormit , wt liomines alii facimmt ? 
Ego quidem. illum: mibi fango: tanquam: Genium, 8: mentem. à corporeis vin- 
«ulis omninó folutam, Innituntur Primpia Mathematica duabus precipué- 
Theoriis, doctrinà virium. centralium , & Mediorum refiftentià - utraque: 
feré prorfus nova db, & per fublimem: Auctoris noftri. Geometriam ex-. 
plicata. KEPLIRUS ex coleftibus T &cHo Ns obférvationibus tria 
eonfécerat Primó , quód iidem. Planeta «qualibus temporibus zquales. 
Areas: circa Solem. deftribunt.. Secimd? , quód per Ellips moventur , in 
"quarum oommuni Foco eft Sol — Tei? , quód., in diverüis Planetis, 
Quadrata. ex temporibus periodicis. funt ut Cubi ex tranfveríis Orbitarums 
Diametris Ex primo Phenomeno. confecit Auctor Planetes verfus Cen-. 
trum. Solis attrahi; — Ex. féeundo vires hujus attradionis elfe, reciprocé , ut. 
Quadrata fpatiorum:, quibus Planetz diftans à. Solis Centro. tertio. 
denique Planetas omnes eandem Centripetam. vim fentire: Eodem anno; 
"Principia ifta. fuerunt, edita , Rex FA conUS Ll. privilegia Univer-. 
fais Cantabrigienfis aggraffus. et » pro quibus, inter alios , acerrimé: 
fleic NE w TONUs, qui fuit inter illos, quos Univerfitas ad-Zflei Confeffas: 
. Curiam. delegavit. Electus pariter fuit unus ex; ejus Membris; dum anno- 
1588. Pa&iows Comitia fuerune ooa , quibus adfuit quamdiu manfe- 
xunt. . Anno 1696 llluftritfimus MouNTAGUE, tunc Scacarüi Can- 
tellarius, & poftea Comes. Hallfaxiu- illi à Rege GULLIELMO munus. 


PES 





Cultodis pecuniz fertundz ebtinuit, quo munere dum fungeretur , exim:afuit. 


ejus. opera quando nummi jam cuíi novis imaginibus.(ignandi fuerunt. 
Tribus.annis póft creatus fuit Magifter-Fabrorum nummos: cudentium ;, 
Made non. xiguam. lucrum: ei, redibat ,; &: hoc munere, quoad vixit ; 
potitus; 

i De Miss. Recueil. de. diverfés Pieces fur. la Philofophie &c. Pre&. 


YE X 4T uA ; Xx 
potitus efl. — Anno 1699.in Regiam 'Sciosiarum deademian , qux. Lutetie 
Parifiorum floret , cooptatus fuit. : Anno 1701 iterüm Univerfitate 
JCantabrigienfi Comitiorum :Membrum ele&us fui. Anmo 1703 creatus 
fuis Preíes Regala apud Londimenjes Societas , quam Dignitatem per to- 
tum vitz fuz tempus ,. hoc eb, tres & viginti continuos annos , obtinuit. 
Anno 1704 edidip Londiwi in 4 j*. fuam Opticam , feu lihrum de Reflexio- 
nibus, Refradionibus , Iofesionibus y & Coloribus Lucis ; qui fiber 
audus. iterüm typis excufus fuit. pariter Londmi anno 1718 in 8vo., 
fertió anno 1721 in $Y9. In Latinam linguam verfus éx primá ediio- 
neà Celeberrimo Samuele CL AR&KE editus fut. Londiti anno 1706 
in 4^. & ex feoundà anno 1719 pariter Londini in 4". lluftris Pemw ' 
CosTE eumdem Gallià Linguà donavit ex 'edidone fecundà , & fie 
verfum edidit 7imffelodami 1720 in. 12mo. in duo volumina divifüm , & 
Lutetie Pariforum eidem formà anno 1722. Juxta ingeniofitfimüm F o N- 
TENELLIUM (4) hic liber totus circa Lucis Anatomiam verfatur. 
Tenuiffümus Lucis Radius in cubiculum prorfus obfcurum intromiffus , 
(qui tamen , quantumvis fit exilis, femper eft quafi Fafciculw ex infini- 
.to Radiorum numero conftans , ) ita dividitur & diffocatur,, ut exhibeat 
tandem elementares componentes Radios ab aliis fegregatós , atque fin- 
&ulos propris Coloribus imbutos , & , poft hanc feparationem , nullis 
mutationibus obnoxios. Omnes hi Radii diverfimodé colorati , fi com- 
mifceantur , eo ipfo Albedinem , quà totus Radius praeditus eft, confü- 
iuunt atque progigüunt. Primigenii & colorati Radii, numquam fortaffe 
feparari Potuifent,, nifi ita naturà comparati fuiffént | ? ut, dum idem 
Medium , idem vitreum Prifma tranfineant , fub diverfis Angulis refrin- 
gerentur , & hoc pado, ad commoda intervalla excepi difgregati com« 
parerent. Hac varia rubei, favi, viridis, coerulei, purpurei, & alio. 
rum mediis coloribus diftin&orum quamplurium Radiorum refrangibilitas , 
:de quà nulla fuerat fufpiio , & ad quam vix conjiciendo poterat deve- 
niri, eft precipua veritas circa quam hic NEW TONI liber verfatur. 
Ab hac ducimur ad variam reflexibilitatem. — Quinimo , radii fub eodem 
angulo füper eamdem fuperficiem cadentes alterné refringuntur & reflec- 
tuntur. Praeterea, Radü qui prope Corporum extremitates tranfeunt , 
oit illa non tangant , attamen à Lineà redà detorquentur , qua fola 
res non primim NEW TONO perfpedta fuit, & imlexio nuncupatur. 
Ex his omnibus exfurgit nova Optica, ab alis tam diverfa , ut hzc 
Scientia totà Audri noftro debita videatur. Huic libro, cüm primüm 
editus fuit, fubjecit Tractatus duos, 4e Speciebw 69 magnitudine Figura- 
vun curvilinezrum , hoc elt, de Quadraturá Cirvarum , & Emumeratio Li- 
mearum tert ordini , quos deinde fuftulit , quia de rebus nimiüm ab. 
Opticà alienis agebant Anno 170j Eques creatus fuit ab ANNA Reginá. 

trita : Anno 


(43 Mémoir; de Acad. Royal. des Sciences , an, 1727. Elog. de Mr. Nrsstai. 


XXYIIL ISAAMCI NEWTON? 
fur de Compofitione SP Rifoltiowe Aridimeticà liber idque infcio Auctore, 
i&tque etiam , qjrando reíGivit, érgré ferente. ( «:).. Illum faripférat N & w- 
TONUS tziginta feré aunis antequany ederetur,. anno.nempe: 1677, cüm 
"Mathemata: Cantabrigiae profiteretur ,. & quidem. currenti calamo, pro ur- 
. [ped ratione ,. & ejus exemplum ,, pro. more, im Univerfitatis Ta- 
lariis. reliquerat , unde: editus. fuit. Secundb. editue. fui Lomdixi anno 


'dem.s'GRAVESANYEE jam: diu: perfeci ,, im lucem pxoditurum. 
diem; .& hoc ipfó anno, Ípere. Anno L7rL vulgsta fuit qus. 
dnalyfis per. Quantitat: Serie | Fluciones ,, E^ Differentias., cum. Enane-. 
tatione, Lineavum terhi ordine , Londini in 4^. à Gulielmo: ] 03 c $.,. Armi- 
gero, qui primüm. ilfam: reperit inter. cripta. Joemu C.O-L bTNS IF, qua: 
anno.1669 à BAR RO VIO acceperat. Ánno. 1712 plurs NEWTONL 
, Spiftolic impreffie fuerunt in libello, cui titulus. Commercium: Epijiolicum D. 
loannis. COL LIN s. E aliorum: de "Afnaly( root , julfu Socetata. Regie 
GgoRcro.L regnum. obtinente: meliüs etiam in. Aulà. cognitus. fuit. 
NEwTONUs, quandoquidem ornatillima alie Princeps , ac deinde: 
Britamis Regina illum. plucibus. de. rebus ad:fublimiores diíciplinas. perti-. 
mentibus, interrogare folehat ,, & à refpondantis ore pendebat , ita.ut fapé- 
fe felicem: proedicavetit,. cui endem., quo:N RW E-ONUS,, tempore vivere, 
illámque: audire contigilet Seripferat hic de. Chronologia. librum , quem: 
in lucem. non. emittere deereverat ;. at optima. Princeps , cum qpà praci- 
pua. füi- Syftematis:chironologiei- capita eommunicaverat., tantum. novitatis. 
ingenii in. ilis perfpexit , ut.fibi fummarium- optayerit, quod. nemini: 
daret, & apud fe fummá. fide & diligentia fervaret. Veruntamen: unum. 
Wujus: Summarii exemplum in Galliam pervenit , ubi in- Gallicam: Lin-- 
conyerfüm fuit & editum. Luwterie: Parifiorymn: , cum. nonnullis. in; 
En lud obfervationibus. Quaprepter N Ew T o N vs. Tranfactionibus Philo.. 
fophicis, inferuit animadverflones qua(lam in;has obíervationes, quz ani-. 
madverfiones itidem Gallicà Linguà donatmw. fuerunt  typilque divulgatse: 
Lutetie: Parifrorum anno- V726 in- 8Yo.. cum- epiftolà Excellentiffimi 4bbarz : 
'"CowT1, quà refpondebat: ad nonnulla. quz. de eo: dixerat. N.&Rw T. 0-. 
Wus. in fuis animadverfionibus. Anno. autem. 1728. ipfa: Chronologia: 
edita füit: Londini in.4*? In. ee libro praecipue. de hoc agitur, ut. acuté 
fine & ingeniose , legendo tenuiffima nonnulla. vetuítioris. Grecorunv Af-- 
* wologix. veftigia. inyeítigesur. quemnam. lecum; tempore. Chironat Coitayri: 


^ Dee i; da Árihms, Univer Newtoui edit. Betas. . 
Ip non ti ibis ui Lugà. 1733- 


FIT A xxix 
€olorus quinociorum occuparet. Siquidem, quoniam hodie notum eff 
fixas Stellas unum in Longitudinem Gradum peragrare fpatio annorum 
duorum & feptuaginta , fi fciremus per quas Stellas tranfiret. Colurus ille 

- €uiRO»xs temporibus, dimetiendo intervallum , quo diftant Stella , 
per quas. nunc tranfit, . ab. illis per tunc: tzanfibat ,. facil? quot anni 
à Chiroms tempore: ad: prafens À nr, determinaretur. E, qa 
CuinOom fuit inter /rgonautas , hinc: notiffimz Imjus expedidonis, & 
idcirco Troyes belli. tempus. defiriretur ,. duonim nempe maximorum fa-- 
einorum, ex quibus. tota vetus. Chronologia pendet. Ea ílatui N EW- 


TTONUS.toetis annis. qui is recentiora, quàm: alii' vulyó" Clironologi. 
Contra. lioc Syftema fcripferunt due: dodi Galli e.tres /ugli , Iri 
iburw BEDFORD, & Senuel SHUGRORD in ad fecundum: 


Volumen fuz Crexcior  Hijlovie [acre atque girone , atque NV ARBUR- 
TON in. Sedione V. Lib. IV. de Diviná Mofis legarione.  Ceterüm. non: 
tantàm fuis. laboribus. orbem litteratum. ditavit, etiam alios .ad: idem. 
compulit, ut de fe teftatur V O0 D'W ARDUS. (2) 

Bona valetudine ufus. cft ad. octogefimum. atatis. anitunt fioe» quo- 
urinz incontinentià affligi coepit ;. attamerr quinque fequentibus annis, per 
fats magna intervalla bene fe labuit, aut certé non-malé, prudenti. 
vi&às ratione ,. curifque, quarum anten'men indiguerat ,. efficicbat. — Pro-- 
vincam: fuam: curandz Menetz Nobili Viro CaN Du rr TO,. qui NEW- 
TONI. Nepter. uxorem düxerav, demandare conus: fuit... Magnos do- 
Tores.nunquam. perpeffus eft prater viginà policemos vitze fuse dies; tune 
pro certo: creditum: eft. euuv. calculo: laborare, & valetudinem recuperare 
non poffe: Dum. tantis doloribus cruciabatur , ut fudor per vul. 
tum difflueret, nunquam. ejulàtum edidit , aut eos-xgré fe "teftatus: 
eft, .&, (i qua dabatur quies, fübridere ftatim , wt folebat, & khetà facie: 
loqui.. Semper aliquot. horas. quotidie: lectoni. aut fcriptioni dederat.. 
Scripta, quibus quid novi acciderit, enarratur , legit die Sabbathi duo-- 
devicefimo: Men(is Martii'anno 1727, & diutius cum Céleberrimo M E A-- 
DIO, quo Medico webutur collocutus 8x Ko ipei BEN 
mentis compos erat [ub.vefperam. mente. lapfus nec unquam .fibi: 
editus. E vità deceffit proximo- die Lurrz , vio ejuflem menfis . 
matus annoe ocoginta quinque. Compofitum fuit. ejus- cadaver in ledo: 
funebri ad Les e in: Cubiculo: Jerofolyme Weimonajteri , unde: - 


efferuntur Magrates,. & aliquando Reges... Latum ad fepulturam fuit in: 
Abbatia preme 'wimonaflerü y & pallam , feu. &rágulum , quo. feretrum obdüc-- 
tum erat, fuftim fupremus Angli Cancellarius, Dux Montrofz , 


Bux Roxhurdi , Comes Pemlirockiz ,. Comes. Sutfexii . &. Comes. Ma-. 
eles£elda.. Epilbopus- Rocheftriz ,. quem emnes ejus Ecclef Clerici óo-- 
HH xe mitaban.- 


Marl ad calcem fai libri ; ; tui tiiulos. Foffr of aE Kinds digefisi iu-iuo 


xx |: TISA4CI NEW TONI 


.nitabantur; funereas preces recitavit. Cadaver fepultum fuit ubi aditus 
vےt ad Chorum. Ejus Familia monumentum illius mezorix pofuit, im 
guo infzulprum fuit hoc Epitaphium : 


H. S. E. 


ISAACUS NEVTONUS Eagzs AURATUS: 
QUI ANIMI VI PROPE DIVINA 
PLANETARUM MOTUS, FIGURAS, 
COMETARUM SEMITAS, OCEANIQUE ESTUS, 
SUA MATHESI FACEM PREFERENTE, 
PRIMUS DEMONSTRAVIT. . 
RADIORUM LUCIS DISSIMILITUDINES, ; 
COLORUMQUE INDE NASCENTIUM PROPRIETATES, 
QUAS NEMO ANTE SUSPICATUS ERAT, | 
PERVESTIGAVIT. 

"NATURE, ANTIQUITATIS, S. SCRIPTURE, 
SEDULUS, SAGAX, FIDUS INTERPRES 
DEILO. M. MAJESTATEM PHILOSOPHIA APERUIT, 
EVANGELII SIMPLICITATEM MORIBUS EXPRESSIT. 
$I1BI GRATULENTUR MORTALES 
TALE TANTUMQUE EXTITISSE 
HUMANI GENERIS DECUS 
NAT. xxv. DEC. A. D. MDCLII. OBIIT. 
MART. xx. MDCCXXVL 


Deinde Poéta fummus lexander P 0 PE hoc Epitaphipm in ejus hona- 
rem confcripfi it. 


ISAACUS NEWTONUS: 
QUEM IMMORTALEM : 
TESTANTUR TEMPUS, NATURA, COELUM: 
MORTALEM : 

HOC MARMOR FATETUR 


rYrrTA- :  XXXS 


& id quidem latin? , fequitur autem ditichum anglicurh, quod. fic. ex- 
primere conati fumus. 


Naturam, lrgtfque. foe mox atra. tegebat 7. 
Sa NEW TONUS, eit Dew , 69. Lyc cunla fuerunt. 


Fuit ffatnrá mediocri, & fubpinguis, faltem fenex. Vultu fuit ju- 
eundo fimul & vénerando , lertüm, cüm, fiditià cómá ablatà, ve- 
' sam detegeret canam. denfamque. Nunquam perfpicillis ufus eft, & ununt 
* dentem amiferat. — Fuit illi, juxta FON TENELEIUM, acies oculorum. 
vivida & acris, Áed' juxta alios, qui NE WTONUM noverunt, & pre- 
fertim juxta Epifcopum fgerburyien[em , im quàádam epiftolà, mes lon- 
£$ aliter fe: habebat; faltemi, inquit ille, viginti ab Binc annis. 
«uo tempore, circiter, illum nofcere coepi. Neque in vultw., neque in 
: agendo acutam illam fagacitatem , quie in ejus libris deprehenditur, prx- 
fferebat;»quin potiàs languorem quemdam, qpi nibil nragni polliceba-- 
'tur illis, qui eum ignorabant. Leniffimus erat , & pacis ftudiofiffimus. 
Maluiflet obfcuram agere vitam , quàm in illas lites. & contreverfias in- 
"€idere, quibus Viri ingenio doctrináque praftantiffimi funt obnoxii. Hinc 
faCcnim eft , ut Ledfiones Cpricas » i. Mertodams Fhexiosum 63 Serierum 
snfnitzrum:, quamvis jam. Typis. paratas, fupprimeret, fiquidem, ut ait 
ei (a) , fübort ftatim per diverforum Epiftolas, ( objectionibus , aliif- 
que refertas , ) crebtz interpellationes me prorsüs à confilie deterruerunt, 
& effecerunt ut me arguerem imprudentim, quód', umbram captando , 
'eatenus perdideram quietem meam , rem prorfus fubítantialem. Sed, 
ebfervat Fow TENE LL IUS(b), lac umbrá fraudatus non fuit, neque 
"wt eam fibi compararet , amifit quietenr, quam tanti faciebat , & infuper 
'*x hac umbrá tantumr vetz felicitatis, quantum: ex quiete, accepit. 
Modeftià fuit fummá, & ab eà ne. latum quidem un; difceffit, quam-. 
wis omnes in illam confpirarent. Semper ita de fe, & de alis locutus: 
eft, ut ab omni vel minirà jacantix fufpicione remotus unicuique , 
eam iniquiffimo , videretur: Simplex erat & affabilis, atque , ad cu-- 
jufque captum íe accommodans , emnibus parem fe przítabat. Nun-- 
«uam à vite communis officis immunem redditum ingenio , aut famà . 
quibus pellebat , fe credidit. Quamquam. Eoclefie Anglicanz foret ad.. 
dictus , "nunquam tamen aliter fentientes vexaviffet , ut illos ad eam re-- 
vocaret; mon quia Religionem naturalem dumtaxat admitteret , nam Re-- 
velationi firmiter adherebat , ita-ut inter tot libros, quos: affidue- verfübat,. 
mullum Íxpiüs & attentius legeret , quàm Sacra Volumina. Nullam íe: 
Neneficum przítandi neglexit occafionem , in quà re.fibi indulgere pote-- 
m ] T3t y 
: el Epifolà poft..ad Oldewb. Tom. L. pag. 334. Bujgm- 


Loco fape «itato, 


OxxxifI 1$AA4ACI NEW TON! 


rat , quandoquidem & avità re opimá, & quzítuofo munere potiebatur , 
quos reditus prudentiffimà difpenfatione augebat. Splendidus enim erat 
B magnificus, quando res ferebat, ceteroquin frugi , & ab omni divi- 
:iarum oftentatione , & apparatüs atque deliciarum ftudio alieniffimus. 
"Hinc fa&um eft, ut non femel in affines, feu potiàs in. indigos quofcun- 
que liberaliffimus effe poffet. Cüm teftamento largiri domum non putaret, e 
infellatus mortuus eft, & xeliquit wriginta & duo millia librarum ferdiua- 
rum, rernm quidem mobilium. Ceterüm , uxorem nunquam duxit. 
Quamquam, cüm jam effet magne natu , & morti proximus, memoriá 
minus firmá uteretur , attamen libros fuos inselligebat (4) ; quod, (ait 
PEMBERTONUS,) adverfatur iis, quz à pluribus andiwi. Cujus rei 
rao foraffo e, quód aliquando minüs ad Drmones de hífie rebus ha- 
bendos paratus erat, quàm optabetur. Sed animadvertendum eft magnos 
Viros animo non raró peregré effe, nen folüm quando agitur de rebus 
zd vitam pertinentibus , fed etiam quando res eít de írientüs, quibus 
prxcipuam operem navárunt. inventores non eodem , quo reliqui, pacto 
cogitata in mente congerere /& difponere videntur. Etenim , quoties illa 
gproferre debent , partim faltem quodammodo rurfus inveftigare coguntur ; 
1deó' non femper fibi fnnt zquales: fed illi , qui res ope firme memoriz: 
retinent, fxpe inventoribus ipfis peritiores videntur. Ab eodem difiimus 
NEWTONUM pauciores, quàm quis crederet , ex recentioribus Ma- 
fhemnticis legiffe ; fed inveniendi facultas, qua miranda in illo erat , fa- 
cile illi fufficiebat, quae neceffaria erant ad profequendum argumentum , 
quod fufpeperst. Szpiüs ( reprehemdebat quód reg maeré cas al- 
gebraicis rationibus tractaviflet , & quód libro fuo de trithmeti- 
£& Univerfala titulum pofuiflet , melius aflerens CAR T ES1UM fuum de 
re eàdem volumen dixifle Geometriam , ut (ic oftenderet hag computatio- 
nes fubfidia tantüm effe Geometris ad inveniendum. — Magni faciebas 
SrLUSICM, BARROVIUM, & HUGENIUM, qui hac corruptelá 
vitiari fe non fiint. |Commendare folebat laudabile inceptum. Hago 
de Omerique, qui vetérum Amnalyfim reftituere tentaverat , & fummo in 
pretio habebat APOLLONII libros de SeGiowe Rarioss , quia , cujus ge- 
neris effet bzc Analyfis, perfpicué demonftran. Quamquam BARRO- 
y1Us inveniendi facultate non minüs , quin etiam fortaffe magis valeat, 
quàm mecentiorum quilibet , prater Auctorem noftrum, tamen N&w- 
TONUS praecipui HuGgNIUM commendare folebat , quem recentio- 
rum el iffimum & optimum Veterum imitatorem nuncupabat. Ho. 
rum inílitutum & demonítrandi rationem vehementer mirabatur , femet 
ipfe reprobans , quód non magis illis adhz(ifet ; lugebat errorem , in quo fe 
incidifle dicebat , cüm ,.quagdo Mathefi coepit ineumbere, CAR T ESI, 
gliorámque de Algebrà Seriptorum libris fefe totum tradidiffet non Li 


£21 D'aaberton AA Vie, of Sir Ifaae Newiods! Philofophy. Prefa. 


y I T A XXXIII 
«uant4 par erat diligentià confideratis Eu cL 1 Drs Elementis, qux , ut 
alia Veterum Geometrarum fcripta tanti faciebat, (4) ut dicere foleret 
nihil neceffe futurum de Geometrià atque adeó univerfa Mathe(i fcribe- 
xe; fi veterum commentationes ad nos pervenient. Poftquam ei cre- 
ditum fuit munus argenti feriendi nihil magni, quod ad Philofophiam . 
& Mathefes attineret , aggreflus eft. Nam, quamvis pro magno incocp- 
to haberi poffit folutio notiffimi Problematis de TrajeBoriis, quod An- 
glis, tanquam ingenii lapis lydius propofuerat LETBNITIUS cum illis 
tontendens, & quod, utpote intricatitfimum & difficillimum , elegerat , ta- 
men ludus jocifque fuit, NE w TONO, qui ut afferitur illud fub vefpere 
vecepit revertens ex zede , in quà nummi conflantur, & quidem laffus, atque 
illud folvit, antequam cubitum abiret. Differtationes plures de Antiqui- 
tatibus, Hiftorià, Theologià, Chymiá, aliifque argumentis reliquit. Re- 
fers Clariffimus Cos T1 Us (5), quód càm aliquando cum N E wr 0- 
* 0 colloqueretur de iis, quz habet Lo ckr vs in libro fuo de Men- 
te Humaná lib. IV. Cap. X. $. 18. quód , fcilicet, fieri poffet , ut quam- 
vis imperfecté , aliquo tamen pado cognofcatur quomodo materies Dei 
virtute creata fuerit , ab illo audivit fe auctorem elfe hujus explicationis, 
quam indicat Lo CK 1 Us; illam fibi in mentem veniffe dum de'hoc re 
verba faceret cum eodem L o ck 10, & Anglo quodam non minus ingenio 
& docrinà, quàm geuere claro ; & hanc eífe. Aliquo pado, aiebat , 
intelligere liceret quo pa&o Materies creata fuerit , (i fupponeretur Deum 
Ífuà potentià vetuille ne quid penetrare poffet in certam Spatii partem , 
juod purum Spatium naturá eft penetrabile , aeternum , neceffarium , in- 
itum ; fic enim illa Spatii pars impenetrabilitate gauderet , quz qua- 
litas de Materiei effentià eft: & , quoniam purum Spatium omnino uni. 
forme eft, fupponi poffet Deum hoc impenetrabilitatis genus alteri Spa- 
tii parti impertiviffe , & hinc quodammodo ideam mobilitatis haberemus , 
qux iterum qualitas ad effentiam materiei pertinet. 


(a) Au&or Verfionis Gallice Chronol. Newt. in Prafat, 
(9) Eflai Philofoph. de Locke traduit par Mr. Cofte Edit, fec. 17g. 


. 


Jf -Newioni Opufowa, Tom. L netto IN. 





Digitized » Google 





TOMI PRIMI. 


OPUSCULUM I 


Analylis per /Equationes numero Terminorum infinitas, pag. 3 
OPUSCULUM IL — 


Methodus Fluxionum & Serierum infinitarum, cum ejufdem ap- 
plicatione ad Curvarum Geometriam, 

Introdudio. De Refólwtione. /Equationum per. Series imfnitas , 31 

Problema I Dar Helarione , quam invicem babent. fluentes Quan- 
titates , determinare ationem , que. inter. carum Fluxiones in- 
tercedit , $$ 

Problema II. Dar JEgwatione , que contineat. Quantitatum. Flu- 
xiones, imvenire quam. elationem babeant inter fé ba. Quanti- 


tates. fluentes , 61 
Problema III. Quantitatum maxima (f minima determinare, 86 
Problema IV. Ducere Tangentes ad Curvas , 89 
Problema V. Determinare  Quantitaterm. Curvature ,— quam. babet 

data quevis Curva in dato Puno, 104. 
Problema Vl. Dererminare Qualitatem Curvatura ad datum Punc- 

tum cujuslibet Curve , ! 12$ 
Problema VII  Reperire quotlbet Curvas ,— quarum zirea. poffint 

exhiberi finitd yEquatione , 137 


Problema VIIL Lrvesire quotlibés Curvas , quarum drea ad 7r- 
t t ita t4m 


XXXV INPEX 
eam. cujafcunque date. Curva Dabeant Relationem expofitam finitd 
KÉgquatione , . 132. 
Problemz IX. Determiuare Zfream: eujufcunque. Curve propofita 
. 0. 184 
Problema X. L»wvenire duotliber Curvas, querum. Longitudo: fini- 
1d equatione po[ft exprimi , 176 
Problema Xl levenire quotlibet Curvas , quarum Longitudines com- 
pareri poffint. cum. aliquá. Curvd. prepofitd , aut cum. fuir. Areis 
"applicatis date Linee , Ídque per fuitam /Equationem, 185 
Problema XIL Dererminare Gurvarum. Longitudimem , 19I 


OPUSCULUM LII. 
De Quyadraturà Curvarum.- 


Rptroductio , 203 


Tractatus de Quadraturá Curvarum , 208 
OPUSCULUM IF. 

Enumeratio Linearum tertii ordinis , 247 
OPUSCUELUM F. 

Methodus Differentialis , 273 
OPUSCULUM VI 


Solutio duorum. Problematum à Jof«s»e BER NourLrO propofi- 
torum , 286 
De. Ratione "T'emperis , quo. Grave labitur per. Reifam data. duo 
Puntía conjungentem. Ad Tempus brevilfimum ,. quo vi Gravitatis 
tranfit. ab horum. umo ad alterum per arcum Cychidis , 29L 


OPUSCULUM VIL 


| Problematis! cojuldam folutio, 293 


OPUSCULORUM XXX Yvr£ 
OPUSCULUM VIII. 

Éxcerptum Epitole Nz wTosr ad CorriNsriUM, 297 
OPUSCULUM IX 


Krtíc. T. Exerptum Epiffole Ou.Dg m nunt: ad$SrvsruM m que 


continetur pars Epiffole Ny wroui, 299 
Krtic. Ik. Excerptum ex Epiffolé LgrnuvTII «d On DE MBUR- 
GIUM, - 800 
Artic. IFE. Exeerptum ex. Epiffold OL. DE MBuRGIY adLErBNi- 
TIUM, qud fuperiori refpondetur , 301 
Artic. TV. Excerprum ex Epiffeld Ot. DE MauRGII «d LgiBNI- 
,TIUM, 392 
Artic. V. Excerptum ex: Epiffold Lg1sN1TYI ad Or DEMBUn- 
6rUM, 303 
Artic. VL. Excerptum ez. Epiffold Corr msi 42 Ot DEMBUR- 
G1U M, qud fuperiori re[pondetur ,. ; 304. 


OPUSCULUM X 
Epiftola Prior Nzw rou: ad OrpEMsUuRGIUM, 307 
OPUSCULUM XI. 


Epiftola Pofterior Nzw rowr ad OrpEMBURGIUM, 
Artic. I| Excerpzum ex Epiffold Lg1nwiTi: 4d OL DE MBUR- 


GIUM, 325 
Artic. IL Excerptum: ex Epiffold TscuuRNAUSII 4d OLDEM- 
BURGIUM, 327T 


Artic. IIl. Epiffolé Ng wToN1 ad Or pg w5vunG1um, 328 
OPUSCULUM XII. 


Fragmentum Epiftole NEwrox1 ad CorriNsiuM, 358 


rff QPUS 





xxviii INDEX OPUSCULORUM 
OPUSCUCUM XIiilI 


Excerptum ex duabus Epiftoils Ngw Tox: ad NlALLISIUM, 
361 


OPUSCULUM XIV. 


Epiftola NgwToN: ad CHAmBERLAYNUM, 

Artic. I. Excerptum ex. Epifeld Lg1nw1Tii ad CHAMBERLATY- 
NUM, 373 

Arc. IL Epifoli N&wTON: dd CHAMBERLAYNUM, 37$ 


OPUSCUCUM Xp. 


Epiftola Newrowi ad Abbatem CowTi, 
Artic. I Pars Epiffole Le1sN1TII ad Zfblaten Cow T1, 379 
Artic. IL Epifole NEwTON1 4d Ziliatem Cow, 383 


OPUSCULUM XVI 


.Note Nzw roNr in Epiftolam Lg 1s N1T:1 ad Abbatem 
Couri, 


Artic. I. Epiffela Leynw1TIY ad Abbatem Cow T1, 391 
Artic. IL zdpipsedverfiones N g w T om vinfnperiorem Le sN1TII 
Effe, - 401 


OPUS. 


OPUSCULUM L 


ISAACI NEWTONI 
ANALYSIS 


PER /EQUATIONES NUMERO 
TERMINORUM INFINITAS 


Edts LONDINI 1711 


Jf. Newteni Opsfenla , Tom, 1 A 


, 
* 
Js. 


C 











2v PES nx 
REN - 
1 M * 
» c 2j 
SIC 1C Dar. 
. r " 
m I ad 








D E 


ANALYSI 
PER EQUATIONES NUMERO 
TERMINORUM INFINITAS. H ^ 


Methodum generalem, quam de Curvarum quantitate 


per Infitam terminorum. Seriem menfuranda , 


* olim excogitaveram, in fiquentibus breviter expli- 


catam potius quam accurató demonfiratam babes. 
^7 C Asr AB CFig. 1.) Curve alicujus 

4D , üt Applicia B.D perpendicul- 

ris: Et vocetur 448 —»x, BD— 5, 

& fint 4, £, c, &c. Quantitates datz, 

& m, », Numeriintegii Deinde, - 


Curvarum Simplicium Quadratura, 
REGULA IL 
—— an men 
Sj axn —)y ; Erit maa 5 cra 4BD. 
Aa Re 


TABR.L 


TAB.I 


E» 
zi 


* OPUSCULUM L 
s , Bes. Exemplo patelis. 


^1. Si eom hoceft, aia 8i; Et i! o MID: 


2. Sia Vx (mrt) y Erit ic 34 x) —ABD. 
3. Spe Cb Erit [33 (1 4 3* ) —ABD.- 
4 Si EIC )—, id eft, fi g—r—», & m-—-—2i 


Erit (— 1 71) — 7! (71) a BD, infaitiver- 


sàs « protenfe ( Fig. 2.) , quam Calculus ponit negativam , prop- 
terea quod jacet ex altera parte Linez; B D. 


$7 "1 ijo; Ent (— 1 x—i—) 4^ —BDa. 


—Vx 
esie 7): Eit ixi ix *—[xr:—ib—lnie 


"nite, "qualis eft. Area Hyperbolz ex utraque parte Linee BD. 
Compofiterum "Curvarum Quadraura ex Simplicibus. 
(R E G ULA IL 


$ valer. dpfiue yx e paribus iffi fedi Termini compositur Area 
, etiem eempenetur ex reis que 4 yg, nga Termims emanant.. 


ExzMPLüA PmrIMa 


"S4 xy Erit 5x* 4 ixt— ABD. 
7 Li 

Etenim ( Fg. 3.) fi femper fit x* — BF, & x* —FD, erit; 

*x precedente Regula, 55! — fuperficiei A F B. defcripte per Li- 
- Li 
neam BF, & £x*—-AFD defcripte per DF ; Quare jx! 4r- ;x*—3á 
toti-ABD. . 
Li 

Sic fi x' — y; Erit 1x! ——2 f— ABD. 

Et fi 3x — ax* 4px! — 5x* — 3 ; Edtzx* —w Tix 
—x* —ABD.. . 


Exc 


DE ANAL. PER EQUAT. INFIX. * 


(Exsurha Srcvxpa 


xr rr mn Erit (Fig. 6)—x— —cican TAE 


Vel fi x— x7i—jys Erit — 74a P—.BD. 
Quarum "- mutaveris, habebis Affirmativum valorem Qc 


axi vel, x7 — 2x - fuperficiei «BD, modó tota cadat 
fupra bafim A Ba. 

Sin aliqua. pars cadat infra (quod fit cüm Curva decuffat fuam 
Bafin inter B & «, ut hlc (Fig. 4.) vides in, ) iftà parte à parte 
fuperiori fübdu&tà, habebis valorem Differentie : Earum veró Sum- 
mam fi cupis, quare utramque Superficiem feorfim, & adde. Quod 
idem in reliquis hujus Regule exemplis notandum volo. 


ExzurLa TrzRTIA 


Si x*  -x7* —)j Eit pe — x7! — Superficiei defcripte: 
Sed hic notandum eít, quód "dide Superficiei partes fic inventz ja- 
cent ex diverfo latere Linee BD. 

Nempe, (Fig. 5.) pofito x* —BF, & x^ FD; Erit tx? 
—ABEF Supexticiei per BF defcripte, &, — x ^' —DF « Super- 
ficici defcripte per DF. 


Et hoc femper accidit cum Indices ( -F-7) rationum Bafis x in 


valore Superficiei quzfitz, fint variis fignis affedi. In hujufmodi 
Cafibus , pars aliqua BD4&8 Superficiei media ( que fola dari pote- 
rit, cum Superficies fit utrinque infinita) fic invenitur. 


Subtrahe Superficiem ad minorem Bafin A O pertinentem , à Su- | 


perficie ad majorem Bafin AB pertinente , & habebis 8BD 4 Su- 
perficiem differentiz Bafium infiftentem. Sic in hoc Exemplo. (Vide 
Fig. precedentem.) 
Si AB — 2, & A8 — 1; Erit GBDZ — '7 
Narr: Superficies ad AB pertinens ( ABÉ L pra) , erit 
1 five 2 ; & luperficies ad A8 pertinens ( A9 —4242a) 


A. $ erit 


U- cw wp 


,TARIL 


TAB. 1L 


6 OPUSCULUM Il 
erit 1—-1;, five—5 : & earum differentia ( ABF — DF« 
— AQ -- 494 — OBD^4) erit 7 4-5 five "7. 

Eodem modo, fi Ag—1, AB—e; Erit JBDA—,- - pe! —Á—t, 

Sic fi ax! — 3x! —3x 7*--xX 7 —5, & AB— 1i 

Erit QBD4—1x* —1xf --5x 7! --£xT —1. 

Denique notari poterit, quod fi quantitas x ^* in valore ipfius 7 
reperiatur , ifte Terminus ( cum. Hyperbolicam fuperficiem generat ) 
feorfim à reliquis confiderandus eft. 

Ut fi (Fig.6.) x'-Ex 7! tx 7! — yi Sitx7' —BF, & x* 
x7! —EFD, ac A8— I; Eterit 29 FD—4- p pe —ix7, 
utpote que tx Terminis x* ;- x ^* generatur. 

Quare, fi reliqua Superficies 94 FB, que Hyperbolica eft, ex 
Calculo aliquo fit data, dabitur tota BD 4 


vijarum. omnium. Quadratura. 
REGULA IIL 

dio valor ipfits y , vel aliquis ejus "Terminus ft. precedentibus sa- 
£u compofitus » in Terminos. Simpliciores reducendue eff 5 aperan- 
de im Literis ad eundem nodum. quo. Arithmetici in. Numeri 
Decirnalibus dividunt ,| Radices extrabunt , vel affectat /Equatio- 
pes foluunt ; C ex ifta Termini quefitam Curve Superficiem , 
per precedentes Regulae deinceps. elicies. 


Exempla. Dividendo. 


Sit FER ——J; Curvá nempe exiftente Hyperbolá (/;4. Fig. x 1) 


Jan 


DE ANAL PER JEQUAT. INFIN.. 


Jam vt JEquatio ifta à Denominatore fuo liberetur, Divifionem 
fic inftituo. 


bu x)4e o G — TL E A &c. 


aax 
4n T 











a*w y an 
PI TE 
—5, &c. ferie iftac infinità continuatà ; Adeoque (per Re- 
plan Secum) Ara quia ABDC equis ph fj — ou 
Lr p &*x* Kc. infinite etiam feriei, Cujus tamen Termini pauci 


initle funt. in ufum quemvis fatis exadi, fi modo x fit aliquo- 
ties minor quam &. * 


Eodem modo, fi f Dividendo prodibit. 


g—1— x*--x* — x*--x* &c.. Unde ( per Regulam. Secun- 
dam) erit ABDO—x— 4! dex px! Hpjs? &o 


Et fic vice hujus y—; 





; nova prodit y s 5- — 


3 OPUSCULUMI 


Vel fi Terminus xx ponatur in divifore primus, hoc modo (4-1), 
* &c. pro valore ipfius 2 


prodibit x * —x—7* 4p x -*$——x— 
Unde (per Regulam Secundam ) erit BDa — —x^7' 4- 5x 
— kx 75 4-137? &c. Priori modo procede cura x dn ftis par- 


va, pofteriori cum faris, Qnem fupponitur. 
st Disidendo proli ade 








Denique fi 2* 
T 
L13x* 4p &c. unde erit. "'ABDC— fi x* * xs 
—'y x! &c 
^ Exempla. Radicem enrabendo. 
Si fit Vza-]-xx —) : Faden. fic éxtraho , 
LANA x* «a5 
4t bn GET ia uei apa Se 
44 ] . 
To xx 
^ 
xs m 
o 2 
42 
t Kui Tm xt 
AS Rs T ua 
. x* xt. 
? Ta 6p t 1 
x* & xt? xt 
*a *ae 6444 "RE 256455 
" $x* xl? x! a 


90 ur tus 77 agéa!s 
&c. 


Unde, Pas equtione, MetMÁ » nova producitur i 
pL —bis —s e Et (per Reg. 2.) Area 
TAR.L quii (Fg) ABDCeit ae — ac T nado Tu 


"Ec. Ethac eft Quadratura Hyperbolz. Eodem 


DE XANAX) PER EQUAT INFIN. 1g 
"Boden mado; 00e varo qoceog, ejus Rude * 
EL. -— iscorirte na Dii TAB. Y, 
quzfta ABD Ceritzqualizex 2-55 o x^ o e cg 


T 6a 409 dia nias 
Et hzc eft Quadratura Circuli. 
Ve, fi ponas vicc gius, ert Rádix- aqualis infinite fric 
: Erbedbg &c. E (Fs 1.) TAR.L 


u aM sut Eolo; [MEA 
pu" ABD esci : ELE a Ev 














si D vum ( Cujus Quads de Lonphadiem cares 

elliptice; ) Extrahendó Radicenr vislque prodi: ES 

x oben neue x*—— um uL 
1—le— —i6e— - Dec. S —dup 

E dividendo, ficut, fit in. Fradionibus: 'Deoinalibus , bes - 

DpIbe-ivees bise C -ESEire hd " 


. 1L 1L Hi A RENT) 
ht rv *i ein 


P 








6 * 
o far-. 3 ] 
1 —$^4 —75 —e 
H I I 
Tu T 5,45 
x 
n . m i28 ^ 
Adeóque Aream quaefitam x-- I6 s ] 
*uy4 usb 
i Lour 


JC Nei Opsfisla, Tom L^ ^ $ed 


Q8 0 0c OPUSCULUM L 

Sed obfervandum eft ,. quà Opézaiio non rarà sbbreviatar per di. 

, Jbitam JEquationis preparationem,, utin lito Exemplo LESS — 
. Si utramque partem Fractionis i per Vi—bx mulkipliee radii 
un *-- abut: 
——ERCO C —E& reliqui opis pergitur exrdbendo Ra 
, dicem .Numeratoris tantàm , & dividendo per'Denominatorem. 

Éx hifce, credd , fatis patebit modus reducendi quemlibet valo-. 
rem ipfius y ( quibufcumque Radicibus vel. Deneminatoribus fit per-. 
m at Hie videre ett; ^ 

| EYE, DYa ael EN nn 

TasUpe 0 KeRe— uec. Donde. 

infinitas fimpliciuni Téminorum, ex quibus ,. pe Regulam Secun-- 
Sm, ,gnefita: Superficies, cognofcetur, ^. : 


Exempla: per, Befalirismein: JEgeetnr Cil 
NUMERALIS EQUATIONUM AFFECTARUM 
U ,.RESQLUT.IO. 258 2221 


Quia; tota dias: Réfolutione litét, módum quo ego-utor- 
in IEquatione, Nyumerali primünt illuftrabo. E 

Sit ,*— 2j — $0; refolvenda: Et/fit 2, numerus qui mi-- 
mus quam decimj fui, parte , differt. à Radice quafiti.. Tum pono: 
2p). & fübflituo hunc ipfi valorem ih JEquationem,. & inde- 
nova prodit p*:3- 6j" -I- 13$ — ro; eujus.Radix p exquirenda. 
elt, ut Quotienti addatur : Nempe (neglectis?! -- 6p ob parvitatem). 
30p— 1——c0; five p.220, 1,. prope veritatem eft ; itaque fcribo- 
€, I. in Quotiente, ; & fuppono o, x 4-4 —.,.& hunc ejus valorem,, 
wt prius fubftituo, unde-prodit 4*--6, 34*-1-11,.234--0, o61—o.. 

Et cóm In 234-0; o61——0 veritati prope accedat, five fere fit 4. 
equalis 2-0, 0034 .( dividendo nempe donec tet eliciantur Figure - 
uot locis prime Figure hujus& principalisQuotientis exclufive diftant). 
fgribo —40, 0054. ih. inferiori parte Quotientis, .cünt negativa fit. 

Et fupponens -——29, 0054-1-7 —4 , hunc ut prius fubftituo, &- 
eperationem fic groduso quo vfque placuerit, Veràm fi ad.bis tot: 


ose, Google 


DE AN AE. PER JZQUAT. VNFIN. EL 


figuras tantüm quot i& Quotiente jam reperiuntur und demptl, opere 
"Continuare cupiam , pro 7 fubfting — o, oo54---r in hanc 6, 34*. 
Trinasgro; o61,fclict primo ejas Termino (g*) propter exiliem, 
. "4-2, 10000000 
(1—0:00544853 
c 3:09455147 — 


^datbmy| -35[|4$-|1246 
—A4——ab 


—i1rE1rpBe CTS 

O€1-c4-—| - P fw cuesxnes 
T 6P!| 4- 606 i 12 *69 
10, ; : 














» —d— $e 








fuam negledto, & prodit 6,37" 4- 11, 16196 4-0,000541708 —0: 
fere; five ( rejedo 6, 37^) r— EXTA —.—.0,00004853 
fere, quam ícribo in negatifa parte. Quotientis. — Denique negati- 
vam partem Quotientis ab Affirmativa fubducens lalieo 2,0945 147. 
Quotientem .quefitam. ^ ^- . 

JEquationes plurium dimenfionm nihilo fecins refolvuntur, &, 
operam füb fine, ut. hic factum foit, levabis, i primos ejus Termi« 
Tos gradatim omifetis ^ 

Praeterea notandum eft quid i in hoc exemplo, Ji dubltarem an. 
O, Y —p veritati fatis accederét , pro 109 — 1 —-0 , finxiffem 
69 d- 109 — 1 — 0, & ejus Radicis primám Figurain in Quotiente 
fctipfiffem ; & fecundam vel tertiam Quotientis Figuram fic explorare. 
convenit , ubi in JEquatione ifta ultiinà relultante quadratum coelfi- 
Gientis penultimi Termini , non fit decies majus quam factus ex ultimo 
Termino dudo in coefficientem Termini Penh TM 


33 M. "ue RY SAUL. UM IL 

*1mo laborem plerumque münues, prafertim in HM pluri 
marum dimenfiorium , fi Figuras omnes. Quotienti addendas dicto 
niodo" (hóc eft ethlichdó niiiorem. Fadicum, , éxtribus ültimi$ Té 


Certe mihi vidétur.pre ique per, & ufui accommodata. De- 
zuonftratio 6j .exiipfo modo operndi patet , wundeteüm opus fit, 
in memoriam facile revocatur. - 

JEquationes in quibus vel aliqui lvl mulli Termini defint, eadem: . 
fere facilitate tractantur; & JEquatio femper. relinquitur, cujus Ra- 
dix unà cum ácquifita Quotiente adzquat Radicem JEquationis primo 
propofitz, Unde Examinatio Operis hic eqüe poterit inftitui ac in. 
reliqua Arithmetica, auferendo riempe.Quotientem à Radice prime 
JEquationis (ficut Analyftis notum eft) ut JEquatio ultima vel Ter- 
mini ejus duo trefve ultimi producantur inde. Quicquid laboris hic 
eft; iftud in Operatione. fubftituendi quantitates unas pro aliis repe- 
rietur : ld quod varie perficias, at fequentem modum maxime ex- 
peditum puto, preíertim ubi Numeti ocflicientes conftant ex plu-- 
ribus Figuris. 

Sit P -- 3 fübftituenda pro j in hanc j* — 4j! -- 5j —rnek 17 
z— o. : Et ciim ifta pofiit. refolvi in hare formam 
p jy np so. ZÉquatio nova fic generabitur. 
p gue j3—pinpapi3. & pibe apb a in p s. —pt 
HE3p* c 8p -E 6L c pu 39! 8p 6 in pb 3 — p^ b 89^ 
Tr 23^ rpi$ &p TuuP. Migoicte me . 
quarebotur 





. . à 
at eU? 


LITERALIS x QUATIONUM AFFECTARUM 
^ RESOLUTIO. 


' 


His i in mmeris ic otenís: Sit JEquatio literalis j* --« y 
px x5*—0, rélolvenda. 


DE AXAL. PER EQUATM TNFIN.— ig^ 
Primünr inquiro valorem ipfius y cum x fit mila, hoc eft, elicio 
Radicem hujus /Equationis 5* -4- «e 5 — 24*—0, & invenioeffe Ee, ^ 
Itaque fcribo--I-4 in Quotiente , & fupponens -Fatp—) » fub- 
ftituo pro y valorem £jus, & Termiios inde tefultantes (p* Xi 

44p. Gv. ) mirgini appono; Ex quibus affumo --44^p r^s: 
l'erminos utique ubi p & x feorfim funt minimarum dimentionum, : 


$ eos nihilo fere equales effe fuppono , five p——3i* fere, vel — 
pc labo Et. fcribens —— i in Quotiente , fubftituo 
—4nH pro p; Et Terminos inde refültantes iterum in margine - 
fcribo , at vides in annexo fchemate , & nde affumo Quantitates * 
aa^ $—;54. in quibus utique 4 & « feorfim funt minimarim : 
dimenfiomum , & fingó f— fere, five T—EU & adi 
nedens -F $5 Quotienti, fübftitao 22r. pro 45 ^ fic procedo- 
que ufque placuerit 


Géosc any 


-OPRUSCULUM'L 










jT4j—2 eno 
Er" 16 aro» &c. 


. — xo xX* | | 
; J—4— uut uae T i6 
*4 ÓPtiÓ4 TP 
1 T 1] Te4p 





]t** 
|] nex xp 
— a4 
i-e 









2a5)Q.i39f 0:80 


2 12$ 





Tac—le 
Sin duplo tautáàm plures Quotienti Terminos, uno dempto, jun- 
gendos adhuc vellem : Primo Termino (4*) JEquationis novifime 
tefültantis miffo, & iftà etiam parte (—Àin fecundi, ubi x eft 
tot dimenfionum quot in penultimo Quotientis ; In reliquos Termi- 
nos (347* -- 4*4, c.) margini adícriptos ut vides, fübftitug 
* n ien J 
daa V7 RIO di S ex iktimis duobus Terminis ( A —nm" 
4 


DE ANAL. PER XQUAT. INFI. 71; 
ie r— Lasr- a *r) JEquationis. inde refultantis , facta divi- 
p 


$124* 
1.  $09x* o 
E 163845" Quotienti adnedendos,. 


^. Denique. Quotiens ifta G4 4 p &c.) per. Regulam fe- 
^. dabi V Lex. A21ix* 

eundam,, dàbit 4x — —- ^mt dm aes cues. E 

.pro Area quafita, que & vien nto nagi aid, quarito x» 

"fi. minor.. js 








iiw modis edm. TFufolvend: . 


;,L Sli dor Aree tantà. magis ad veritatem. acgedere debet quanto 
fit majó Exeniplam efto j* Texte 3j 4! nnax ome. Xa- 
;qué. Tiánc refolutürus éxcerpo Terminos 5*-4- x*j.—— 3x* in quibus 
u*&)j vel feorfim, vel fimul multiplicate funt.& plurimarum, & 
"aequalium ubique dimenfionum ; & ex iis qpafi nihilo.equalibus Ra- 
:dicem elicio.: -Hanc Anvenio effe x*, & in Quotiente fcribo- — Vel, 
quod eodem recidit, ex )* Xj—: (unitate pro x fubftituta ) Ra- 
dicem extraho, quz-hic prodit : , & eam per x multiplico, & fac-- 
tum (x) in Quotiente fcribo.. Denique pono x-I-g—J, & fic: 
procedo ut in. priori Exemplo, donec habeam. Quotientem 
4 4a- 1314" $09a*^ 
. 4 C 6x CT grax * 16384x*" &c- Adeóque Are 
7 ax aa 1314 4o! 
xt —tr —Mx s de qua vide exempla terz - 
ti Regule fecundz. Lucis gratia dedi hoc. exemplum in omnibus. 
idem cum priori, modó x & 4 fibi invicem ibi fübftituantur ,. ut non: 
opus effet aliud EE exemplum hic. adjungere. 


Are antem (£8 — 5 [zl » &ic) termisaturad Carmmqua- 
jaxta Afpnptoon aliquam in infinitum. ferpit ;. & Termini initiales 
G—LÓ valoris extracti.de y ,. in Afymptoton iftam femper ter-- 
minantur; unde portionem Afymptoti facile invenies.. Idem femper- 

MoUune- 











s 0 C UEPUBRÓULUM: T. 
" notandum eft cm Area defignatur Terminis plàs pláfque divifis-per » 


continué, preterquamquod vice Afymptoti reda quandique habea- 
tur Parabola conica, yel alia magis compofita, 


Sed hunc moduin miffam faciens, utpote particularent, quia non 
applicabilem Curvis in orbem ad inftar Ellipfium flexis; de altero 
modo per exemplum j* Tk y de xy — aat — x! zo, fupra 
oftenfo (fcilicet quo dimenfiones ipfius x in Numeratoribus Quo- 
tientis perpetuo augeantur) annotabo Íequentia —. 


1. Si quando ascidit quód valor ipfius y , cum x nullum effe fig. 


"gitur, fit quantitas furda vel penitus ignota, licebit illant litera alt- 


qua defignare. Ut in exemplo, j* F4 y H- xy — 24^ — x — 0$ 
fi Radix hujus j* -- 4*y — 24 fuiffet fürda vel ignota, finxiflem 
quamlibet (4). pro ea donendam; & Refolutionem ut fequitur .per- 


"feciffem: '- Scribens &-in' Qüotiente, fuppono. PX), & iftum 
pio y fubítituo, ut vides; unde ova p* -- 3/p*, &c. refultat, re- 
;je&tis Terminis &* -- 4* — 24* , qui nihilo funt: aquales, propterea 


quod & füpponitur Radix hujus y* «4 I—- Deinde Ter- 
iini 38r "pe ad fant -—— gg pueden poiendon, 


agri fübfütueüdum pro », &c. 


3 ay 


DE ANAL. PER QUAT. INFIN. (m 
, Tepte a4! — x! —o. Sit cc — 36* -Fa*. 


J 
t7 3 a! b*: LI 5px 6. 555. » 
y 9E t ps TRU Tt M —Àá;s-,&c. 









LIE (3, . 
rg — Ss e, 8. 
M 


— abx Tee 





Completo opere, fumo numerum aliquem pro «, & hanc '-t-4*y 
-— 24! —o , ficut de numerali JEquatione oftenfum fuprà, refolvo ; 
& Radicem ejus pro é fübftituo, 

2. Si dictus valor fit nihil, hoceft, fi in JEquatione refolvendá nul. 
lus fit Terminus, nifi qui per x vel j fit multiplicatus, ut in hác-- 
y! — axy Á- x! —30; tum Terminos ( — «x 4- x*) feligo, in qui 
bus x feorfim & y etiam feorfim, fi fieri poteft, alás per x multi 


plicata, lit minimarum dimenfionum. Et illi dant 4-.— £e pro pri» 
mo Termino Qnotentis, & *5-Fp pro y fubftiuendum. in hue, 
» — 43 xg — x -—0; licebit primum Terminum Quotientis 
vel ex — 4*3 — x* , vel ex:j* — 4*j elicere. 

8. Si valor ifte t imaginarius, ut in Hac 5* wy —2)4-6—x*y*. 
—ax4-x* 4 x*——0, augeo vel imminuo quantitatem x donec 
ictus valor evadat realis. " ] 

If. Nowtosi. Opsfeula , Tom. Y c Sib 


"$ - (QPUSCULUM EL 


TAB. IL ln Sic in annexo Jrbemate (Fig. 8.). cam A C x-muilla eem 


DO) eft imaginaria. 
Sin minuatur AC per datam AB, ut BC fiat x; tum pofito quid 


' 3C («) fit nulla, CD (jy). erit valore quadruplici (CE, CF, CG, 


eft effe primus Terminus Quotientis , prout fuperficies BEDC, 


pra realis; quarum Radicum ( CE, CF, €G, vel CH) qualibet 
FDC, BGDC, vel BHDC defideratur. In aliis etiam cafibus, 


. fi quando hafitas, te hoc modo extticabis. " 


' Denique, fi index poteftatis ipfius x vel 7 fit fradio » reducoipfam 


: hà integrum : at in hoc exemplo gy gat eodor 7Páfita 
. pw &.s LE, refültabit vf —— 6i 4-5* —0 , cujus Ra; 


üix eft v — 2-2, &c. five (reftituendo valores) y Rx x, 2 


' & quadrando pm t. ax, &c. 


. Ethzc de areis Curvarüin inveltigahdis dida füfficiant. Imo, càm 
Problemata omnia de Curvarum Longitudine, de quantitate & fu- 
perficie Solidorum, déque Centro Gravitatis, poflunt eó tandem re- 


" duci, utqueratur quantitas Supetficiei planz lineà curvá terminat&e, 


TAB. II. 


fon. opus -eft quicquam- de- iis adjungere. — In iftis autem: quo- ego" 
Operor, modo dicam breviffime. | 


"dpplicatio pradicforum 4d reliqua dffiufmmedi Problemata, 


'OSit 'CFie. 9.) ABD Curvaquzvis, & AHKB rectangulum, cu- 
jus latus AH vel BK eft unitas. — Et cogita redam DBK uniformi- 
ter ab AH motam, areas ABD & AK defcribere; & quód BK (1) 
fit momentum, quo AK (x), & BD (j) momentum, quo ABD 
gradatim augetur ;; & quód ex momento BD perpetim dato, poffis, 
per predictas regulas, aream ABD ipfo defcriptam inveftigare, five 
Cuni areà AK (x) momento 1 defcriptá conferre. 

. Jam, .quà ratione Superficies ABD ex momento fuo perpetim 
dato, per praecedentes regulas elicitur , .eádem quzlibet alia, quan- 
titas ex momento fuo üic dato elicitur. nuns fiet clarior. 


EE ba 


DE AN Ad; PER ReQu TNFIX. $5. 


. . DADA "n 
Longitudines Curvarum. invenire. 


" S CFig 10.) ADLE Circilus, cojus Acus AD. longitudo ef TAB. It 


iüdaganda. Dudá tangente DHT, & completo índefinite parvo 
rectangulo HGBK, & pofito AE— : —2AC. Erit, ut BK, (ive 
GH, momentum Bafis AB (x), ad HD mosnentum Arcós AD 


DBT:IDT:s BD(Vs—m) DC : (BK): 
i (DH). Adeóque 7 —— five VR et mos 
mentum Arcüs AD, — Quod reductum REEL s 
Tij aet E TE , &c. Quare, per regulam fecundam, 
longitudo Arcüs AD eft x T i.i xp Ran: 4 Jf yt 








M 11j2 

1 Lue 

tat L8 ivo dal * dit ITE 
tins. Bd : 


Non fecus pónendo CB efe x,& Radium CA effe 1, invenies 
Arcum L D effe E4IS ES x" 4- nul &c. 

Sed notandum eft, quód unitas ifta, que pro momento ponitur, eft 
Superficies cum de Solidis, & Linea cum de Superficiebus, & Punc- 
tum cum de Lineis (ut in hoc exemplo) agitur. 

Nec vereor loqui de unitate in Pundis , five Lineis infinite parvis, 
fiquidem proportiones ibi jam contemplantur Geometre, dum utun- 
tur methodis Indivifibilium. 

Ex his fiat conjectura de Superficiebus & quantitatibus Solidorum, 
ac de Centris Gravitatum. 


TAB. H;, 


TM 


ac ;;- ORFUSCULUM E 
dovenire. praditorum. comverfum. 


-Verim f * contra ex areà vel longitudine &c. Curve alicujus: 
data longitudo Bafls A B defideratur , ex JEquationibus per praceden- 
tes regulas inventis extrahatur Radix de x. 


Dovestio Bafs. ex. ren. datu; 


Ut fi (Fig. 11) ex areh ABDC Hyperbolz Gr ——J) di 
tà, cupiam bafim AB inveftigare , areà ift z nominatà, extraho. 
Radicem hnjus e (ABCD) m — 76^ 4px! st, Re 


négledis illis Terminis, in quibue: eft plurium dimenflomum quàm z 
in Quotiente defideratur., 

| Ut; fivellem quód z ad quinque tantüm diinenfiones in Quotiénte 
afcendat , negligo omnes — IU TU—." &c. & Ra- 
dicem- hujus tantüm IU —3i xt4- 17—3À7 TL—& 
x0 extraho.. 


DE ANAL. PER KQUAT. INFIN. x 










Ig Lx 
cu^ rc 





LEE 






ER , &c. 
"04 


- ;" quEpEIPU,. Eel 


TAB. IL 


** .0o0U09TPUSCULTUM'L 

1. Quód inter fubftitnendum , iftos Terminos femper umttto , quos 
nulli deinceps: àftri fore prevideam. Cujus rei regula effo, quód poft 
primum Terminuim ex qualibet quartitate fibi collaterali refultaritem, 
noh addo plures Terminos dáxttorfpm, quam iftius pfimi Terehini ini 
dek dimenfionis ab indice dimenfionis maximz unitatibus diftat. Ut 
in hoc exemplo , abi maxira dimerifio eft 5, omifi omnes Terminos 
poft z', poft s* pofui unicum, & duos tantüm poft £^. Cüm 
Radix extrahenda (x) fit pariuín ubique, vel imparium dimenfio- 
num, bxc efto regula ; Quód poft primum Terminum ex qualibe 
quantitate fibi collaterali refultantem, non addo plures Terminos dex 
trarfum, quam iftius primi Termini index dimenfionis ab indice di; 
menfionis maximz binis unitatibus diftat ; vel ternis unitatibus, fi 
indices dimenfiongm ipfius x umitatibus ubique ternis à fe invicena 
diftant, & fic de reliquis. 

2. Càm video p, 4. Velr, &c. in JEquatione noviffime refultantd 
effe unius tantàm dimenfionis, ejus valorem , hoc eft, reliquos Ter- 
minos Quotienti addendos , per divifionem quero. Ut. hic vided 
factum. 2. : M ' 

drventio Befis ex. data Longitudine Curve. ' 

Si (Fig. 12. 2 ex dato arcu «D Sinus AB defideratur ; /Equatio- 
nis ax 4 Igi Là£e ES & &c. fupra invente, (po- 
fito nempe Ab, Doe & Aa-zi; ;) Radix extracta erié 

Legal b eio 
Xu—£— PE Tono — fo^ use , &c. 
Et praterea, fi Cofinum A B. ex ifte artu. dato cupis, fac Ad 
i—)—i— ia balt2 bata io ut! 
Gm Vi—m)—i— 4S bur me T ioo | 


—L. ae. MEE BE 
—7 3x 5 96 . 





^ De. Serie. progreffontm. conzinuasda. 


Hic obitetuoketur, quód $ vet 6 Teiminis tarum Radicum cognitis, 
eas plerumque ex analogia obfervata poteris ad arbitrium producere. 


Sic 
- 


DE ANAL. PER XQUAT DNFIN. is 


* Sic hant x za a Tue) ized s &x. pro- 
duces dividendo ultimum Termisum per hós ordine à numetos 2,3, 
4. $.6, 7, &c. 


i 5 Lg 

. ' Ethan — d Tu — deret 

AX, 6x7, $39, IOXTY, &t, : MEORUM M 
I-, 

n Ethan xác ie) ^E po a y deg hos 


ma, x. 3X6, T pnto, Ac. 5 ard 





deme m Bi m 


Api graditrep « ferya. mybentus. 


Ét hzc de cutvis geometeicis /dictá füfficiant. ' Quinetiam Curva 
etiamfi mechanica fit, methodum tamen noftram Demum nt 
puit. . 

Exemplo fi CFig. 13.) Trochoides ADFG, cujus vertex, A, 
& axis AH, & AKH rota, quá defcribitur. Et quzratur Supérft 
cies ABD. Jam pofito AB — x, BD — 5, ut fupra, & AH— 1; 
primo quero Longitudinem ipfius BD. Nempe ex natura Trochoi- 

. dis eft K D — arcui AK. , Quare tot BD —BK 7 arc AK Sed 


| et BK(— Vecino s d MEXMLM x*, &c. 








& (ex predittis) arcas AK —at 4. 3L HEN 
&c. Ergo wa BD casi — i — 

Et ( per Reg, 2:) ara ABD — LS - 

x, &c. um 


"Vel brevis fic: cinis i EK tangenti T D parallela. B, erit AB 
ad BK ficut momentum | genu ner BD, Hocets 


4h32 
, Y x— xa 





TAB. IL 


24 OPUSCULUM L: Ut 

-— Logmw—bL bata i pir 
dE Xxx1DI: X ax m —a3 7 ie 
M5 iss, ie Que (ger Reg i) BD mad d 
—Ligk yt, 4s. B Supedin ABD ce 

20 ^ $6 7176 | (3 
"uu &é—id4—i4 L1. '&c. 

"Non diffimili modo ( pofito C' centro "Ctodi, &CB-—x) 
obtinebis aream CBDF, &c. 

Sit ( Fig. 14.) area ABDV Quadratricis VDE (eujus vertex 
eft'V, '& A centrum cirouli interioris V K cui aptatur) invenien- 
da  Du&à qualibt AKD, demitto perpendiculares DB, DC, 


KG. Eritque KG: AG:: AB(x): BD(5); üe tA S —. 
Verüm ex naturá Quadiatricis et BA (—DC) — arcui VK , 


five VK —x. Quare pofito AV —1, eG —x— x* 
x x^ , &c , ex fapra oftenfis, & GA—1 —i rREU 


20 ) 
1 1 I 
«AG, — 1—6 bL MD xf 
LOSS c 2 24 720 
Adeóque 3( KG abes 1 P &c. 
6 120 77 $040 
4 ; —1(:-——- X4 2 ys 
ive, dirione fid, j— I ;* mihi 55" mE 
— loa lig. AR. xyà. 
Pndd 2.) ara AVDB — ——— $5 —2 5 —GuuN . 


1 Sic longitudo. Quadrazici. VD, licet. calculo, dificon , de- 
(rminabilis eft^ — 

Nec quicquam hujufmodi fcio, ad quod hec niethodos, Ídque va-. 
fiis modis, fefe non extendit. — Imo tangentes ad. curvas mechani- 
as (fi quando id' non aliàs fiat) hàjus ope ducantur. 'Et quicquid 
vulgaris Analylis per ZEquatidhes ex fitito Terininorum numero conf- 

- tantes 


DE ANAL. PER JEQUAT. INFIN. 1$ 


tantes, ( quando id fit poffibile, ) perficit, hac per JEquationes infini- 
tas femper perficiat: Ut nil dubitaverim nomen Analyfis etiam huic 
tribuere. Ratiocinia nempe in hac non minus certa funt quàm in 
illà, nec JEquationes minus exacte ; licét omnes earum Terminos, 
nos homines & rationis finite nec defignare neque ita concipere 
poffimus, ut quantitates inde defideratas exacte cognofcamus : Sicut 
Radices furdz finitarum JEquationum nec numeris nec quavis arte 
analyticà ita poffunt exhiberi ut alicujus quantitas à reliquis diftincta 
exacte cognofcatur. 

Denique ad Analyticam meritó pertinere cenfeatur cujus beneficio 
Curvarum aree & longitudines &c. ( id modó fiat ) exaté & geome- 
tricé determinentur. Sedifta narrandi non eft locus; refpicienti duo, 
pra reliquis , demonfítranda occurrunt. 


L 
Demonfiratio quadratura Curvarum fimplicium 
in Regula prima. 

Preparatio pro. Regula prima. demonffranda. 


Sit itaque ( Fig. 15. ) Curve alicujus AD 2 Bafis AB ——x, per- TAB.II. 


pendiculariter applicata BD ——3, & area ABD — 2, ut priüs. 
Item fit B8—o, BK — v, & rectangulum BGHK ( ev) equale 
fpatio B/22D. : 

Eft ergo Ad —x-Fo, & Ad8—s --ov. His premiffis, 
ex relatione inter x & z ad arbitrium affumptá , quaro y ifto, quem 
fequentem vides, modo. 


Pro lubitu fumatur i xt L—t, five d oe zs Tumx-e 
(A8) pro x, &zd-ev(Ad8) pro z fübftitutis, prodibit HE 
X! 4- 3x*o -- 3xo*-- o* — ( ex natura Curve ) z^ J- 2zev -- o*v*. 
Ft fublatis ( i x! & zz) aequalibus, reliquífque pero divifis, reftat 
tin 3x* H- 3xo- ó* — ize --ov'. Sijam füpponamus BÓ in 

Jf. Nevtoni Opsfeula , Tom. I. . D infi 


aé OPUSCULUMIfE 

infinitum diminui & evanefcere, five o effe nihil, erunt v. & y 

xquales , & Termini per « multiplicati evanefcent, quare reftabit 
3 , s 

está tiv, fen Coup jivex* (— 5) —. 

9 P "0$ x 


Quare: & contra, fi x — 5, erit erit t at —a. 
Demosfratio. 





. ma 
Vel generaliter, fi ax Tix fre ponendo "e 


. 0B ; 
mc, & ma—p, fcxi—, fired? x? —2: tum x4-o 
pro x, & « 4- ev. (five,. quod perinde eft, e 4-25) pro c, fübfti- 
tutis ,. prodit e" in xP--pox! , &c. —s2zameyz" |, c. 
reliquis nempe Terminis, quitandem: evanefcerent, omiffis. Jam 
fublatis c" x? & e" qualibus , reliquífque p à disifis, reftat c" 

Pb I. n-——L Lm ol me xP. 
C—7L— 


px "—Rn)5 





five , dividendo. per 
E 
r—n 
—— TP sepes 7 m 85; vel refttuendo 
e 
1. & m -p- n. pro p, lioceft, »prop.— n», &spropc;, 





PS, nit px 








na 

mds 

- z mn 

fiet. ex" —c 5. Quare &contrafi ax" —, erit x ?oLlxX. 
Q. E. D. : 

Joventio, Curuerum que poffunt quadrari:. 
. Hincintranfitu.notetur.modus quo Cürvz tot quot plácuerit , quas - 
Tum aes. funt cognite, polfunt inveniri; fumendo nempe quam. 





' 


Digitized by Google 


DE ANAL. PER EQUAT. INFIN.— aj 


libet zquationem pro relatione inter aream & & bafin x ut inde 
quaratur applicata y. Ut fi fupponas Vaa--xx ——4, excalculo 


invenies VER Et fic de reliquis. 


IL 
Demonfiratio vefolutionis. ZEquationum. affttarum. 


Alterum. demonítrandum eft literalis /Equatiorm affectarum re- 
folutio. Nempe, quód Quotiens, càm x fit fatis parva, quo ma- 
Eis producitur eo. magis ad veritatem accedit, ut defedus ( p, 7, 
velr, &c.) quo diftat ab exado valore ipfius y , tandem evadat 
minor quavis data quantitate ; & in infinitum produda fit ipfi y 
qualis — Quod fic patebit. 

1. Quoniam ex ultimo Termino JEquationum, quarum p, 2, r, 
&c. funt Radices , quantitas illa, in qua x eft minime dimenfionis 
(hoc e£ , .plufquam dimidium iftius ultimi Termini, fi fupponis x 
fatis parvam eífe) in qualibet operatione perpetuo tollitur: ifte 
ultimus Terminus (per zr. 10. Elem.) tandem evadet minor qua- 
vis data quantitate; & prorfus evaneícet fi opus infiriite continuatur. 

Nempe fi x— erit x dimidium omnium x-- x* 4- x!--x*, 
S&c., & x* dimidium omnium x* 4- x! -I-x* --x*, &c. Itaque fi 
x füperet T erit x plufquam dimidium omnium x 4- x* 4- x*, &c., 
& x* plufquam dimidium omninm x*-x* 4-x*, &c. Sic &ü 
T major fit T erit x plufquam dimidium omnium x -- 7- -- H* 
&c. Etfic de reliquis. Et numeros coefficientes quod attinet, illi 
plerumque defcrefcunt perpetuo , vel fi quando increfcant, tantàüm 
Opus eft ut x aliquoties adhuc minor fupponatur. 

2. Si ultimus Terminus alicujus. /Equationis continuo diminuatur 
donec tandem evanefcat, una ex ejus Radicibus etiam diminuetur 
donec cum ultimo Termino fimul evanefcat. 

3. Quare quantitatum p, 4, r, &c. unus valor continuo decref- 

. Da cit 


at OPUSCULUM LI. 
cit donec tandem , cüm opus in infinitum producitur, penitus 
evaneícat. 

4. Sed valores iftarum p, 4, vel r, &c. unà cum Quotiente ea- 
tenus extradà adequant Radices JEquationis propofitz ( Sic in refo- 
lutione /Equationis J* -- 44y H- 4x y — 24! —»x' —-o , fupra 
Oftenà, percipies y —— «-- p —4— it T4—2a4 —41 x 
c E» -pr, &c.) Unde fatis liquet propofitum , quód Quotiens in- 
finite produ&us fit unus ex valoribus de y. 

Jdem patebit fübítituendo Quotientem pro y in IEquationem pro- 


pofitam. Videbis enim Terminos illos fefe. perpetuo deftruere, in. 
quibus x eft minimarum dimenfionum. 


OPUS 


OPUSCULUM IL 


METHODUS 
FLUXIONUMETSERIERUM 
INFINITARUM, 

Cum cjuídem 


APPLICATIONE AD CURVARUM 
GEOMETRIAM; 
AUCTORE 


ISAACO NEWTONO, 
Equite €9. Regia. Societatir. Prefide , 
. Ánglícé edita 
à Jouausx Corsowo M. Á & R S. S. &c. 
LONDINI An 1736. 


Digtzed » Google 


METHODUS 
FLUXIONUM ET SERIERUM 
INFINITARUM. 





INTRODUCIIO. 
De. Refolutione. JEguationum. per. Series infinitas. 


Um aniimadvertiffem , quód multi.ex: 

' recentioribus Geometris , neglecà Ve-. 

terum fyntheticá methodo , praecipuam: 

dedérant operam colenda arti analyti-- 

' ce, quà freti perficere valüerunt tot,. 

'&.tam ardua, ut omnes geometricas : 

* fpeculationes pertractaffe- &. exhoufiffe 

. videantur , prater Curvarum quaórz- 

turas, & nonnulla alia. hujus generis 

"^ nondum fatis perfpeda & ponderata :: 

non extra rem putavi libellum hunc in Tyronum.Geometrarum gra-- 

tiam confcribere, in quo fines Analyfeos proferre,. &.Curvarum dó-- 
Grinam augere comatus fum.. — 


Ojeratios- 


32 OPUSCULUM IL 

Operationes ,. quz /feciebue , & eg que vulgaribus swwerie pet- 
ficiuntur, perfimiles funt, & folàm differre videntur characteribus 
quibus exponuntur, quorum primi funt generales & indefiniti , 
alteri veró definiti, & peculiares; quapropter miror neminem ani. 
mum appuliffe (fi faltem excipias Hyperbole quadraturam inventam ' 
à Nicorao MzncaATORE) ad fpeciebus accommodandam nu- 
per repertam doctrinam Fra&ionum decimalium , precipué cüm fic 
via fieri potuiffet ad inventa difficiliora & majoris momenti. Quia 
veró hac fpecierum doctrina eandem habet rationem ad Algebram, 
ac numerorum decimalium fcientia ad vulgarem Arithmeticam ; hinc 
facilé additionem , fübtractionem , divifionem , multiplicationem, & 
Radicum extradionem difcere quis poteft, dummodo in decimali 
ac fpeciofà Arithmeticà verfatus fit, nec animum divertat unquam 
ab analogià, quz eft inter decimales Fractiones  & algebraicos Ter- 
minos in infinitum produdos. Nam, quod numeris accidit , id eft, 
quód e magis eorum valor decrefcit in decimali, vel fubdecuplá 
fatione, quó magis ad dextram accedunt, id, refpedivé, locum 
etiam habet in fpeciebus, quando Termini ( üt fepius in fequentibus 
imperatur)juxta dimenfiones Numeratoris, vel Denominatoris cu- 
jufque funt difpofiti in uniformem progreffionem in infinitum pro- 
latam. Et, ut Fradiones decimales hocafferunt commodi , quód 
"vulgares frate, & radicales Qpantitates , ad Arithmeticam decima- 
lem relate, integrorum numerorum maturam aliquatenüs induunt , 
& ut integre tractari poffunt; fic, utilitas, quz fpeciofas infinitas 
Series confequitur , eft, quód omnigeni complicati Termini ( ut Fra- 
Giones, quarum Denominator complexus eft; Radices complexarum 
Quyantitatum , aut affe&tarum /Equationum &c. ) redigi poffunt ad 
fimplicium Quantitatum ordinem, id.eft, ad infinitam Fractionum 
Seriem, qharum Numeratores, & Denominatores funt fimplices Ter- 
mini, quo pacto labor non longus fuperat difficultates, quae fub alià 
formà fere infuperabiles vifi fuiffent. ' Quamobrem 

Primó oftendam quomodo he Redudiones. perfici poffint, aut, 
quomodo compofite Quantitates reduci poffint ad fimplices Termi- 
nos, precipué càm computandi methodus obvia non eft. 


Deinde hanc Analyfim applicabo ad. folutionem Problematum. 
Ratio 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. jj 

Ratio reducendi per Divifionem, & per Extradüionem Radigüm 

patebit fequentibus exemplis, ubi comparaveris invicem Methodos , 
que adhibentur in decimali, & fpecios ArithmeticA. 


Exempla, Roductonsom per Divifenetm. - . 
Propofià Fradione 2 » divide 44 per &-I-x, ut videbis im 
fequenti fchemate. 
b4-x) 44o(S 


LLL4Àx Q aax* — dax y aax* 


A E Er 








4axx 











o *upc* o 
aaxx , «ax 7 
tU». 
Li 
o —*"W- 4 
aax* 4ax* 
— C» ae 





^ 
Quotiens igitur eft ^ — 77 -F T—rF To5W-&oque 
Series in infinitum prolata zquivalet ;^ [re Si veró fumas x pro pri- 
mo Diviforis Termino ( fic x -I-& ) 44-4-0) Quotiens erit I 
aus &c., quem inveniens operando ut fpa 
E. * Netoni Opsfenia , Tom. 1 E Pariter 


» y: OPUSCULUM tL 
1furter Fra&tio. iix tuulabitur in pipe 


e—3x5*; &c velin x—*—a7* 4x mx! ax; &c. 
end fiet ast hd i495 e 13xx 4- 3435 
MSTGR 
-— I jgx*i &c. t 


Hic opportuné- obfervandum eft , qud em, pro —.; - E 


x 
—À —— — s, 
ze. iPineo x. x*o0.3N "ud tes Ros x^ x5 xb. 
n 
EA &c. pro Va; xh; Vxt; 4; v Vxx$ &c; acxX 7x ?; 
1. 


435, | &c pro 75i 3 T Age & id ims. Amdogi, ut 
períficis ex fequenti, aut fimili geometricà cà Progreflione, zig 


x x; x*; x3 xt, (velt; )E—hs — E —kHg 5x75 
Eodem patto pro ** — 2a ME) As inbipondt d 


—4bx HF atbx - H &c, 
/—— Pariter pro. VES sibee let z— ,€& zd 
ab* — y!| EM Qp—» 
pro Quadrato ipiis 44.— 3 , & EZ] pe p )& 
fic de. ceteris. 


Igitur haud impropri difüngui poffent.Potefbtes in. dfrma- 
tue, & Nagetivw s Iniegras ,, & Fracfas.. 





Exempla Bedaiogum per Extrafimem Radiis, — 7s 


'sS proponatur Qyantitas act nn, ejus Radix quadrata fic Pw 
. trahi poteft. 


» 


METHO, FLUXIOAET SERIER) INFIN.. $n 


xx « xt gx aqu . ant 
abus CL uti Taie T 356 z^ io24s * 
44 : 





od xx 
x9 * L4 
Mrs d dca 
zt 
T o. RÀ 
' —4de a T us 
x* x* 
nu 84* ^ 64 
x* at at'* 
tg tis utis 
$ ] x'* x'* 
DT € T dat agat? 


x: 7x'* . 
2 1age : Ld &&. 
X Ix 
* 1284 * CM 
aix" 07 
—imes $9 


Inque Radix ient eft 5 S s e al no: 
iri poteft, quód circa finem Operationis negligo Ternilnos omnes, 
quium Dinenlones fapenys Dineslouem Temi, quen ai 
mum effe volo) ex. Pp 


Licet antem ordinem Terminorum fici dovere, xe dae, actuno 
Tudig inventa fores pf 4 


ied — bL &e. 


E a Pariter 








5 Duivi AUPNLECITHL UU MUTET. 
"pii aiiis à da i ee 
gt Radix x — x adi i— i45—L4. &c. 


JYpfius 4« -I- 5x — xx eft PLNS . 


rem rai 4xx i aan b ean 
EVI et 1—, lxx — , bbx*— i6 s B ie 
qua praterea ( Cp dividendo) fit- : 
1 TIR 4 $e ur Pix 
X 1 25 
ci^ T rid Then &c.. 


ul 2X DOE 
LL. Tg —3uett 
- Tu4 
Sed Operationes ifte fepius (Quantitatibus rit$ praeparatis) Bre-- 
wiores fieri res fieri poffunt , ut in fuperiori. Exemplo ,. in quo. quarebatur: 


y rre fi Numeratoris & Denominatoris Forma non. fuiffet. 
eadem , cunda dixillem in, Vr — xx... unde. habuiffem. 


I esc - 

M »-&-opus perftciiem extrahenda Raslicem. folita. 
1-— m x 
Numeratoris, &, ,eam dividendo per Denomihatorem:, 

* Hinc. puto ,, fatis-apparet, quo pacto. quzvis.alix Radices: extrahi: 
poll, & quomodo ad infinitas .fimplicium Terminorum Series revo-. 
Cri; ya]eant. compofita. Quantitates quantiümyis Radicalibus ,. aut. aut. De, 

yx 


—vi-xmx 5 v $—— 
nominatoribus x 8H d usx Xs Like 235— d Y 
Yackss —VasuP 
Boplicate, | . 


METHO..FEUXIO. ET $ERIEQ. INFIN. 37 
D Redline Aoferherum Equation. MEM 


'o Jam explicare aggredior, quà ratione Radices affedarum JEqua- 
.Gonum iri Series infinitas deduci poffint; quod argumentum magis 
'accuraté. mihi perfequendum €t; quia, qua hactenus tradita fue- 
runt à Mathematicis de-numeralibus JEquationibus, valde perple- 
xa funt; & fapervacaneis- Operationtbus intricata, ita ut Exemplo 
nobis effe noi. poffint adl opus.in fpeciebus perficiendum. — Idcircó 
Primüm indicabo , quomodo breviter refolvi poflint numerales /Equa- 
tiones aRedze, Secundó eandem "Methodum. ad fpecies transferam. 
Sit. JEquatio. )* — 2; —— s — o refolvendà, & 2 fit Numerus, 
(quomodocunque tandenr repertus.) qui minis quàm decimá: fui 
Parte differat à verà Radice. Tünc affumo.2 4-p.— 5; & fubf. 
.tituo: 'adep proy in affignatà Jquatione, undé exfürgit nova JEqua- 
tio ?? -« 6pp d- rop —  1.—0; aut p —0,1., que Quantitas 
quàmpropiüs Veritati accedit ; quapropter eam Qyotienti appono,  . 
& fingo o,1 4-7 — p, & hunc fiditium. Valorem. pro p repono, ^ * 
ut antea, quod dat 4'4-6,324 -- 11,234-4-:0,061 —0 ; & 
.hinc conficitur 11,234 -4-0,061 —0,, quod propé verum eft, 
;aut ( quod, propius ). 4———— 9,9954; hoc autem obtinetur. divi- 
dendo 0,061. per. 11,23 ». donec. habeantur tot t Figure, quot lo- 
ca funt inter primas liujus ; & Quotientis. precipui Figuras exclu- 
fivé, ut hic duo loca funt inter 2 & o,oo5.. Scribo igitur Lo, 
0054, in ihferiore. Quotiéntis. partez, quia eft. Quanfitas Negati- 
va, & ficfo — 0,005 4 P r—4 , fübftituo ut fupra, &- ita-pro- 
fequor. Operationem quóufque- libet , ut X. viderur in übiedto Dia-- 
grammite. 











$8 044 OPIRSCULUM IL. 
3 —2597—$-—09 -. |4.2. 10000000 - 
— 0,00$44852 
-fo2.094$$148; &c. — 


"F o,0014- 0,034 4-0,342 o- 4^ 
T9606 -F na 6 
16, 


, 9,061 -- 11, 239 -- 6 347 f 


REL Rs 4! 1— 9, 0000001 * 4- 0,000 *r ** 
4-6, 344| d- 0,0001837 *— 0,068 * * 
T1523 — 0,069642 4 ir23 
-H 9,061| - 6,961 .. . 


Adpein $us Ho 000íate - r1 1éar 
EC TTTTITETELI : 


, Sed: opus ,. praefertim cüm Fquatioaes pluriem -Dimenfionum 
fünt,füb finem lmud parüm brewus reddi poteft hoc pado. Statue 
quónfque Rajicis Extra&ionem :yells exteodere , -& quot locafuper- 
Tunt implenda in Qnotiente, tot (incipiens à primo ) fume in Coef-- 
ficiente penultimi Termini JEquationis , qux in Diagrammatis dex- 
trà parte formatur , ac rejice Decimales, qui funt extra hzc loca. 
At Decimales in ultimo Termino negligendos invenies, addens fü- 
periori locorum ammero tot loca, quot decimalium numerorum 
plena jam funt in Quotiente. Sed i in antepenultimo Termino rejice 

*os, 
NB. Habebatur — 0,00000014244€& -1- 000048248 -]- 2,52 £21* --9*. 
4-0,000183708  — 0,068924. Te 
od , ck. Numeri tranfvetfo calamo notati omittendi fint , & Tics 
turbarent » €0s huc rejecimus, 





METHO, FLUXIO: KT-9bERHER INFIN. 32 
eos, qui funt poít tot loca, quot reftant dempto locorum plenorum 
ex implendorum numero; atque ita porró progrediendo arithme- 
ticé juxta locorum intervalla: Vel, quod idem eft, femper abícin- 
di debent tot Figure, quot in penultimo Termino, ita ut ima loca 
efficiant Pxogreflionem. arithmeticam juxta Termigorum Seriem, aut, 
(cigi aliter accidit ) fupponi debent fuppleta:circulis; fic in-prafenti 
Exemplo, fi Opus petfequi nolim ultra odayum: Decimalium locum, 
pattquàm pofüi prog, o,0954--£: (. nbi-quamor loca Decimalium 
impleta fant in. Quotiente, aC totidem. Irmanent) negligere 
polius Figuras, que quinque loca ipfegióra tepent,, quàs.idcircà tranf- 
verb calamo notavi ,. & omittere poflem etian» primum TTerminum 7 
quavis iis illius Cotfficiens effet 0,099999, &c: Deletis igitur his Fi-- 

i P quens dat. Aggregatum ;. 9,000 54- 16-- ini6ar, 
ep. , pet ' Divifionem producta quculque Terminus ! praftribit, 
edycitur 750.0600 4853.3-z, que Quantitas, Quptientem , quà 
volebàmus, perducit. Nunc, fübdu& negativ. Quotientis Parte ex 
affirmativà; habebimus 2,0945.5 148, Radicem' JEquationis propofitz, 

Pariter obfervari. o quód fi, in Operis initio, dubitarem 
vwtrüm 0,1. fati. Radici. propinquaret ,. pro. T0 p — 1 ——0 
finxiffem 6p5 -- 1og— r —o, & Qnotienti appofüuiffem primam 
. hujus Radicis Figuram; tanquam nihilo propiorem; & benb hoc 
pado reperietur fécunda, aut etiam quarta Figura Quotientis, càm 
in fecundarià /Equatione ,. quam, tractas ,, Quadratum ex: Coefficien- 
te penultimi "Termini decuplum. faltém non: eft: prodirti ex: ultimo 
Termino. im Coefficientem antepenultimi; Imó quidem fepius la- 
borem. imminues ,. precipué cüm JEquationes ad plures Dimenfio- 
nes afcendunt, quzrendo Figuras omnes Quotienti addendas eàdem. 
methodo, fcilicet extrahendo. minimam Radicum ex tribus ultimis. 
"Terminis: JEquationis fecundariz;: fic. enim pleramque Figuras u- 
plo plus. Quotienti.lucraberis. -- 

Jam ex numeralium.ad fpeciofargm. JEquationum folutionem tran ' 
Ítamus; fed premittendum eft. 


Primó, quód. unus ( quicunque ie ille fit) ex fpeciofis , aut: 
Rgregan- 








literalibus Coeffigientibus ,;, quando gluxes;adfunt;; à ceteris 

dus eft, qut. fupponarlus. multà: suajory, anf plo. minor quàm qe - 

liqui omnes, vel proximior. data Quantitati. Ratio eft, quód quia: 
ejus: 


4o " OPUSCULUM IL 
ejus Dimenfiones femper crefcunt in Numeratoribus, vel Denomi- 
natoribus Terminorum Quotientis, hi Termini jugiter decrefcunt, & 
idcircó Quotiens affidué accedit ad Radicem quafitam, ut perípici 
poteft ex iis, qux fuperiüs obfervavimus de ípecie x in Exemplis 
Reductionum per Divifionem & Radicis Extradiohem. In fequen- 
tibus autem pro his fpeciebus ufürpabo xvde; &p $;ri55 &c. 
pro Radicalibus fpeciebus extrahendis. 

Secundó, quód cim Fra&iones complex, five Quantitates fürdse 
occurrunt ih propofiti' JEquationibus; aut deinde fuborinntur in 
proceffu , fémovenda: Fa Méthodis, quas Analyfte fatis norunt. 


"Ut fi haberes j* N punr— ——o, JÉquationem duc inÁ — x, 
& ex Produdio * E, * by V " » —0 "quere Valorem ipfius j. 
Potes eliam firigere y X j — x ——w, & fctibens pP reperies 
. A - Dbun — B! x* -- 3bbx* — 3bx* 4-x5 —0;  ; "hinc excude Rae 
dicem s; atque ut obtiness y, € Quotientem divide per  — x. Item 
& JEquatio y* L0 — 0 proponéretur , affumere potes 


* m, & x3 — e, ac fübltititis aw pro 7. & x! pro x, exfurget 
&* — z! y-j- z* — o, in quà JEquatione refolutá reftitui debent x, 


&). Invenietur enim Radix a £-F£' J-62*. &c, &, refti- -. 


tuendo y acx, habebitury! — x x éx5 &c. & quida 


do, jy—x? 7 axi oraxx; &c. 

^ Pariter, fi adeffent negative Dimenfiones x, vel jJ, removeri poffent 
fncendo in x, vel y; ut, fi daretur Equatio x* -Fjxxy "aáíx- 
— key —:o; ducinz, &y, ande conficietur x* p - eJ 
Lua "t — 6x0; Etfi JEquatio effet —— -5 E] LT A 
multiplica per )* , & habebis xy? —4259 — 24! y-- 3. & "ác 
de ceteris. 

^ Tertió , Jquatióne fic preparatà; Opus ineipiendurh ef ab in- 
veüitione primi ex Terminis Quotientis; ad. hujus dutem , ' & fequen- 
tlum Terminorum inveftigationeth conducit: Regula geuetilis , -cüm 


METHO, FLUXIO. ET SERIER. INFIN. jt 
indefinite fpecies (x vel y) párve fupponuntut , ad quein cafum - 
duo reliqui poffunt revocari. 

Regula autem hec eft. Ex omnibus Terminis, é quibus abfunt 
fpecies radicales (5; p; q5 r5 &c.) *lige illum , in quo fpecies 
indefinita ( x; vel 2; &c.) minime Dimenfionis cft; Deinde elige 
alium Terminum, qui radicalern fpeciem contineat, & talis fit, 
ut Progreffio Dimenfionum uniufcujufque ex fupradictis fpeciebus, 
aut quo majori poteft gradu defcendat, aut quo Tuinori afcendat ; 
Et fl plures funt Termini, quorum Dimenfiones: non recedant ab 
hac Progrefione, quóufque libet produ&à, pariter fumendi funt. 
Demum ex his Terminis ita fepofitis, & nihilo equatis, excude va-. 
lorem dicte radicalis fpeciei, & illum 'Quotienti adfcribe. 

Sed, ut hzc Regula meliüs intelligatur, illi lucem afferam fequen- 
.ti Diagrammate. — Fac Angulum BAC, & ejus latera BA, AC, di- 
vide in zquales partes, & edudtis Perpendicularibus, diftsibue fpa- 





tium Angulare in zquàlia Quadrata vel Parallclogramma , quz-con- 
Cipies denominata a Dimenfionibus Ípecierum x & y iis infcripta-. 
rum. Deinde, propofità JEquatione, aliquo Signo nota Paralle- 
logramma refpondentia omnibus ejufdem Terminis, & Regulam ap- 
plica duobus, aut forté pluribus ex Parallelogrammis ita notatis, quo- 
rum unum fit imum in columnà AB ad finiftram pofità, alterum veró 
contingat Regulam veríüs dextram, & reliqua omnia Regulam nou 
fangentia fint füpra eam. Tum fume eos /Equationis Terminos, 
qui Parallelogrammis à Regulà tactis includuntur , '& ex iis extru- 
de Quantitatem in Quotiente ponendam. Sic fi Radix j debeat ex- 
s 


trahi ex. JEquatione j* — 5x)* 4 -XY — 744xxjyy-- 6a! x* 
4- lbx* — o; noto ( Fig. 1.) Parallélogramta pertinentia ad Ter: TAB. V 
Jy. Newoni Opufenla , Tom. L F minos 


4a OPUSCULUM IL 

minos hujus JÉquationis Afterico *, ut hic factum vides. Deindé 
Regulam DE applico ad infimum parallelogrammorum notatorum 
in finiftrá columná, & Regulam in gyruin dextrorfüm ago ex infe- 
rioribus verfüs fuperiora; donec incipiat fimiliter aliud , vel fort& 
plura ex parallelogrammis notà diftindis contingere, & video loca 
fic tacta effe ea quibus includuntur termini x*, xxyy, & j*.. Igitue 
€x his effingo JEquationem )* —  744xxyy -I- 64! x' — o, (quam 
pratereà, fi placet, redigo ad «* — 744-16 ——0 , ponendo 
Js 4X,) ac ex ezquzro Valorem ipfius y, quem invenio qua- 
druplicem, nempe 4- V«x, — Vax, 4- Va4x, &«— vV24x, à 
quibus quemlibet affumere poffum pro, Quotientis Termino primo, 
tamen feligendus eft ille qui convenit huic aut illi Radici, quam 
extrahere cupio. 

Sic,. propofitá JEquatione y —433 d - 9b xx — x! —0, 
fegrego Terminos — £y -1- géxx, & hinc habeo j — 3x pro Quo- 
tientis Termino primo. 

E fi daretur j* t 4xj--a4j — x* — 34^ —o, accipe. 
rem 5! 4-443 — 24* , cujus Radix eft 4- «, quam Quotienti 
adícribo.. 

Pariter, fi haberem x x3* —dgEtsgy e ed L-—o0, 
excerperem. xxj* 4-c?, undé obtinerem j.—— — V 5, que Quan- 
titas effet primus Quotientis Terminus. Atque ita pori. 

Sed hoc Termino reperto, fi is aliquam  Poteftatem. nega- 
tivam includit, JEquationem deprimo eàdem indefinitz fpeciei Po-. 
teftate, tàm ut neceffarium non fit eam deprimere in ipfà Refo- 
Tutione, tàm ut concinné adhiberi poffit Regula inferiüs tradenda de 
füppreffi one Terminorum füpervacaneorum. Sic, propofità JEqua- ' 


tione $2)* -- z*yy — 274? —0o, cujus Radix incipit à Terminó- 
2 eam deprimo ipfà zz, antequàm Refolutionem aggrediar , ita. 


ut evadat 82^! 4- ez*yy — 274?z—* —o. 

Tàm , opere progrediente, reliqui Termini , quibus Quo- 
tiens augendus eft, eodemr pacto excuduntur ex variis JEquatiohi- 
bus fecundarüs, fed plermque minori conatu; nam totum nego-. 

üum: 


METHO, FLUXIO. ET $ERIER. INFIN. 4s 
tium perficitur dividendo infimum ex iis Terminis, qui & indefi- 
nité parvis fpeciebus ( x, xx, x*, &c.) funt affe&i & Radicalium 
fpecierum (2; 4, 7, &c.) expertes; per Quantitatem quá afficitur 
Quantitas Radicalis unius Dimenfionibus & libera ab indefinità fpe- 
Cie, & Quotienti adícribendo quidquid indé conficitur. Sic um 

: N i4, xx 1gix* : u 
exemplo Pu T: 4' 644" Sana" » &c. gignuntur divides- 
131 
dir: rm 128 aeo per ann 


Quibus pramiffis , exhibenda fupereft praxis Refolutionis. 

Sit igitur /Equatio y* -1- 44y -4xy — 24! — x? —o, ea cujus 
petitur Refolutio. Ex aliquot ejus Terminis conficio fictitiam /Equa- 
tionem j* -- 4j — 24! — o (juxta ea quz tertio loco. premifi- 
mus) & hinc obtineo y — « — 0; quapropter fcribo in Quotien- 
e d- 4: fed quia H- 4 non. eft accuratà Valor ipfius y, fuppono 
4-Fp—J, &in Terminis Equationis. margini adícriptz pono «4-9 
pro j, & iterüm in margine fcribo Terminoshinc exeuntes ( f*; 
-F 349p -i- px , &c.), inter quos denuó, per tertio loco premiffa, 
eligo Terminos 4449 4- 4«x — o tanquam ficitiam /Equationem , 


que cum det p — L5. foribo in Quotiente — — x: Quia 


4, 


tamen — T x non zquat juftum Valorem ipfius p, ficio 
-F4-——p. &in marginalibus Terminis pro 9 fübftituo — Tt 


-F 4, atque "Terminos ihdé confidtos (4— T 44x d- 3494, &c.) 
rurfüs margini adfcribo , & quibus iterüm , juxta przcedentem Re- 
gulam, fegrego Terminos 442 — z 4xx —co pro fictà JEquatione, 
.que quia prebet 9 — E bác ipfà Quantitate Quotientem augeo. 

! ex N xx 
| Item quia ga, 0n eft accuratus Valor ipfius 4, fuppono are 
& in Terminis marginalibus pro 4 fübftituo ien & fic pergo 
quóufque libet, ut pre oculis ponit fequens Tabella. . 
F a » Tas 





^t €PUSCULUM I 





D bap beg ipa RI EHE 4 RT, 


T4 3247 32 t 
dx px: 2^ , 
o4 Jq- nap 
— x* 











a 
c ig — i ee 3444 


— i exx-eagx 





495 
*iepa 





* Ehre 


I Sus 















. L1. 9. I31 
cn *- aug" — 










at 
56s * 4T n rXX4- 347r 






METHO.'FLUXIO. ET SERIER.INFIN. a5, 


Si Quotiens-ad certam periodum: tantàm perducendüs foret, 
ita ut, ex gr. in. nltimo "Tegpino x non afcenderet fupra datam 


-Dimenfione, - faeiens Férminorum fabftitutionem;-eos omitto quos. 


non ufu-venturos: przvidéo ;. quí- de re. hzc ligbetur. Regula :. Pri- 
mo Termino ,. qui füboritur ex quávis Quarititate in collaterali mar. : 
gine, tot fubjüngitu. verfüs dextram, quot funt- Unitates , quibus In- 
dex ejus Poteflatis, quz. altillima debet din Quotiente , excedit. 
Indicem iftius fuborti-Termini. : . 

Volo, ut mi ti utarexempllo, ut Quotiens (aut in Quo-.' 
tiente fpecies x "non afcendat quim ,. puta, ad quartam Di- 
menfionem.. Omitto itque- Terminos emnes-poft x*, & unum. 
pono poft x x! :. Quocirca pro. deletis habendi-funt omnes Termini ' 
poft fignum * Hoc. .pado opus profequere quoad tandem pervenigs. : 
ad Terminos -—— 19 Ie. Taur — T arn, in quibus py ; 
4. f. aut s, que repraíentant Raditis extrahendz fupplementa, funt 
vnius Dimenfionis,, & é quibus per: Divifionem tot; potes obtinere : 
Terminos, quo. d vidifü. ad. Quotientem .complendum ( id.: 

I3Ix* 
ett -— v aas T px 95): itque" démüm liabebis y — 4— iU 
xx 131x* -soss* 
64a T uaa T 1638s!" &c. 

Rem- melijs explicaturus . sitim sid eremplam relies 
düm,. Detur. /Equatio Ty — t De $^ —imt—s 
-—0; & Quotiens inveniendus fit'ufque ad quintam Dimenfio-- 
nem tantüm, . & fuperflui. Termini rejet concipiantur poft fignum: 


[03 





"5 n 
Eos a 


4 c "OPUSCULUM IL- 


UETUEUTERS 


£*——pu S, 
3? I4 ppez ppt &c. 


r 


*o 





P. Pariter 


METHO:FLUXIO; ET.£ERIER. INFIN, 4 
Paritàr , | fi. ander ag" diri yc 


itx 3 y irf4j—4— o refolvendam folàm ad no- 


nam ufque Quom Dine, rejicere potes ante ipfum Ope- 
tis exordium a8 mU , & iüter operandum. omnes Terminos qui 
fuperant z?, admittere autem unum poít x7, duos poft £5 ; ob- 
fervabis enim Quotientem paritér afcenfurum per duarum Unitatum 
intervalla, hoc pacto z, 25, x5, z^, &c. Demüm autem habebis 
— L £i c I P À 
1—5— $2 ut gus E ngo t 
Hinc detegitur artificium , quo JEquationes affedz i» iwf»i- 
iym, aut conítantes infinito Terminorum numero , tamen refolvi 
poífunt :. Videlicet, antequàm opus aggrediaris, rejice omnes Ter- 
minos in quibus Dimenfio fpeciei indefinit parve & non affede à 
Radicali fpecie excedit altiffimam Dimenfionem in Quotiente requi- 
fitam, aut é quibus, càm pro Radicali fpecie fübítituis primum 
Terminum detedtum ope Parallelogrammi , utfuprà, exfürgere ne. 
queunt nifi Termini excedentes; eà de caufà iu ultimo exemplo 
"Terminos omifi ultra j* , licét ad infinitum progrederentur. Eodem 
pado, ut Cubica Radix. extrahatur ufque ad quartam Dimenfionem. 
iplius £ ex /Equatione 


— 8 4- £c —— 45* -- 9s — 16z*, &c. 
pg dne—2z*-o-32*— a4s'.&6 
Q—4 —jinzs— z*-F s—  x',.&e 


|j! in zs— iUt —31 £!, &c. 
Omitto Terminos in infininm omnes fuperiores iis qui. conflantur 
tx 7F)* in ec —4i z* *i z*, &ex — yy inze — x* d «5, 
atqueex -- yin zz — 2£*, & ex yin — $-Fez — 4z*. Quaproptct 
hanc folam JEquationem refalvendam affumo — c^j* —1 xt yt 
dou? 





48 ;- . OPUSCUDUM IL 
xf y! eu y! os sí yet y unyj at yug — ant 
"- zz — 8 — 0: Primus enim Quotientis Terminus ( 2& ^?) fubf- 
titutus pro y in eá Equationis depreffz per x? parte quam neglexi- 
mus, dat femper plus quàm quatuor Dimenfiones. 
Quadratis JEquationibus accomodari poffunt quz de altis. 
zibus diximus; ut fi peteretur Radix hujus JEquationis 
[» d 
— un abt ti E s. &c. 
"n 
444 


oz 


"ufque ad x*; omitto cun&os in infinitum Terminos altiores quàm 
— jin «cs. 77, & folàm affumo quationem y — 4j —x 
efRR E o, quam refolvo aut. more folito faciens jy —— 


T—31—3— 2 
Il LeRi xd mo tunt iembL. aut breviüs 
& faciliüs jm endi afiectrum quiiontm niecthodo, quà ob- 
tinebis y S, *, in qui ultimus requifitus Terminus eva- 


nefcit , aut equalis nihilo fit. 

Radices autem poítquàám extradz. funt ufque ad fatis magnum 
Terminorum numerum, ulteriüs-quóufque libet extrahi poffunt, 
folà Serierum Analogià ben& obfervat. Sic in infinitum profequi 


potes hanc c Tre bur" £44 ist » &c (que eft 


Radix JEquationis — — —ÀY &c ) 
femper dividendo Terminum ultimum per hanc Numerorum fe- 


&hzon m sl es lI 
tiem Pene 5—'$* —i" — qoi 


AB—— 36 zm zzz4z5 ^. &c. produci. poteft, continuam faciendo Divifionem 
pet 





METHO. FLUXIO. ET SERIER?INFIN. 49: 


per Numeros aX3, E 6X7, 8X9, &c.: Rurfus hujus 4-- 
xx xt x* . 
227 ge T— 168 — PE *&c., quotyis Termini reperiri por 
fünt, jam repertos refpedivé multiplicando per Fradtiones ur 
—L, —L—L —r, &c., & fic de reliquis. 

Sed, càm inveftigatur primus Quotientis Terminus , aut ali- 
quando etium fecundus, vel tertius, feíe offerre poteft diflicillas" 
fuperanda; nam; ejus valor, ut füpra detedus, effe potcft Qsan-- 
titas furda, vel inextricabilis Radix altioris JEquationis affe ;: 
quando autem idforté evenit, Radix ifta, ( dummodó non fit im. 
poffibilis, ) exponi poteft per aliquam Litteram , quo fado proce- 
demus more folito, tanquam fi cognita foret. Ut in exemplo 3*: 
E x] d aeg — x! — 24! — 0, fi Radix JEquationis y* 74e —zato 
z— o effet furda aut incognita , ponere potuilfem aliquam Litteranu 
(puta, £) pro eá, & perfeciffem Solutionem, ut fequitur , pofito quàd* 
inveniendus effet Quotiens tantüm ufque ad tertiam Dimenfionem. : 


3! - 4 d- axy — 24^ — x5 z— 0. Ficze 3 me: Tas 
—. 


abx a*bxx ox! a! ixi aibx* ^ albixt 
o 












—f 45 &c- 


aabxx aem 
— EE p aqu 4 : 


— bx 4- «c4 
—x. 2H 


Sai z * xx: 


IUNCTUS CMPERDDDOREIIM 


q6. cC Hn OPUSCULUM. IL 
Hic ,.. fcripto. &. in Quotiente , fingo.& -I- p — 5, & poft 
illum fubitituo pro y,.ut vides, undà oritur pc 3bpp, &c. ,. 
rejedis" "Terfüiftis 1* 24- a 4 £ —: 2,6; -ut nihilo «equalibus ; füppo-- 
fuimys enim é ef[e Radicem. Eiquationis j! Mimi Ter-. 


mini veró slip a ap abeant p ST, que Quantitas. 
adjinigenda et Quótienti, & pro p fabftituendum — pf. 


- Sedi brevitatis gratià , fcribo: cc pro: 365 -F «a ,. quz tamen: 
Quantitas 35b ci «a reftituenda eft, quandocunque. percipiam. hoc. 
pado. Terminos fieri breviores. Opere peracto ,. affumo Numerum 
aliquem . pro. «,. & reíolvo. /Equationem 5? -- 44j — 24* — o, ut. 
"füpra: ápdicavi de; numeralibus. JEquationibus, & pro £: pono ali- 
qhám. ex; ejus "Radicibus, fi tres Radices ea habeat. Seu. potiüs 

Bacfiquationem libero à. fpeciebus, ( quantàm fieri poteft, )& pre- 
fbrtim ab indcfinitis ,. eà methodo quam fupra. infinuavimus; & pro. 
reliquis fi que reítant quz expelli nequeant,. pono Numeros: Sic 
Di daa — 24! —o liberari poteít ab 4, Radice per « divifà , 

dit: yim. cujus Radicem: quare , per4 multiplica, 

i fubítitue pro £.. - 
— Hádenis. fpecie indéfinitas parvas efie füppofüinius: Si: ve-. 
1Ó Ó quàm propius accedere ponerentur date Quantitati, pro indefini- 
parvá differentià iftà fpeciem: aliquam adhibeo, quá fubftitutá fol-. 
P JEquationem ut anteà: Scio, ex. gr.; aut fiappono, quód in JEqua-. 





fone 7 —1 PA *LCS-ÓÁIDj Gba et x. 

ferb aqualisalicui Quantitati, ut 4. Dico igitur earum differentiam. 

tfle £z, & fícribendo pro ^ «4 d- EZ, vell 4—— 2, conficietur- 

c y-— iy YR inr Feo, quz. folvi poteft: 
Methodo m prefcript. : 

Quód fi hzc fpecies poneretur. indefinité magna ,. fcriberem- 
liquam. fpeciem: pro, ejus. Reciproot-, . que idcirco. effet. indefi- 
ité parva, & fpecie iftà fubftitutà, "progredior - ad. Refolationem 

folito... rigore, ex: gn, y poankno. —o,.& 
E I n Kms; 





METHO. FLUXIO, ET SERIER. INFIN. sr 
fciamus aut fingamus , quód x fit Quantitas permagna; itumo pono. 
pro cjus parvà Reciprocà i .& i fübflitud pro'x dabit j* 4-57 
*—i a7 cujus Radix eft y — i— ESE- FERE TEE: 
*-ü &c, que, refüituto , 8 iet p A: E 
—áA du IL. Ee. 

iu 81x 

Sin autem ifarum artium mulla ex animi fententià fuccede- 
ret, adaliam confugere potes. Ut, in JEquatione y* — xxyy -- xyy 
ay — 257b 1 —o, in quà primus Radicis Tetminus quar 
debet ex Hypothefi, quàd y* -- 253 — 2j 4 i ——0; fed hzc 
JEquatio nullam habet' Radicem poffibilem ; quare tentabis quid 
poffis aliqu aliá ratione conficere. Potes , ex. gr. , fupponere, quód 
x parüm differat à-I- 2, vel quód 2 -F- z ——x; fübftituens autem 
242 pro x invenies y* —£2yy — 329j — 2j dc 1——0, '& Quo- 
tiens incipiet ab Unitate. Potes Siam fupponere quód » x'eft Quan- 


titas indefinité magna., vel quód 4 "isi2 "dé deduces* — 


Tau r9: & z chorum Teminorum d — 


Quodente: z 

Hoc patto procedens juxta v varias Hypotieks, potes: variis so- 
dis Radicem extrahere & exprimere. 

Si vis determinare quot modis hoc perfici poteft ; tibi perf- 
piciendum. eft quot fünt. Quantitetes , quz fcriptz in. /Equatiorie pro- 
pofità pro indefinità fpecie /Equationem illam  divifibilem reddunt 
per y d-vel — aliquá. Quantitate , vel-per y tantàm; Hoc, ex: 
&£r., accidet in. /Equatione 5* rax cb aeg — x^ 1— 24! — o0, fi 
fubítituas -]- 4 vel — 44, vel —— 24, vel — 24 ze pro x. Quocirca 
bené potes fupponere Quantitatem x parum differre ab -- 4 vel — 4 
vel — 24 vel — gal, & totidem modis extrahere Radicem JEqua« 
onis propofite, & forfan rurfüs totidem modis ponendo Tas diffe- 
rentias indefinit& magnas. Pratereg, fi fumas pro indefinità Quan 

D. G 2 titate 





po OPUSCULUM Ik 


titate nanc hanc, nunc illam ex fpeciebus Radicem exprimentibus ; 
voti compos fies fort? aliis modis; & iterum aliis fübftituendo pro 
a co 
indefinità fpecie quofvis fictitios valores , ut «-4-Uze., —- PR ERS 
&c., & operando, ut anteà, in /Equatione hinc proveniente. 

Ut. autem. in apertum ponatur veritas hujus Conclufionis, nempe 
quód Quotientes fic inventi, & producti ad libitum adeó propé ad 
JEquationis Radicem accedunt, ut denique ab eà differant Quantita- 
te minori, quàm quzvis affignabilis, & idcirco quód in infinitum 
protradi omninó ab eà non differunt, animadvertendum eft quód. 
Quantitates, quz funt in finiftráà Columná dextri Lateris Diagram- 
matis, funt ultimi "Termini /Equationum , quarum Radices funt p, 
4; r5; &c., & quód, illis evanefcentibus, evanefcunt. quoque Ra- 
dices p» 4. 7, 55 &c. , id eft, differentiz inter Quotientem & Radi- 
cem quafitam ; itaut Quotiens nihil omninó tunc differat à verá Ra- 
dice. Quapropter füb ipfum Operis initium , fi videas quód Ter- 
mini, qui funt in indicatà Columná, fefe omnes invicem deftruant, 
concludendum eft Quotientem liuc ufque protra&tum perfectam JEqua- 
tionis- Radicem. effé: Quód f res alitér fé habeat, videbis tamen 
quód, omnes Termini , in. quibus fpecies. indefinit parva eft pauca- 
rum Dimenfionum ; id' eft, omnes maximi Termini auferuntur à 
Columná ift, ita ut denique, aut nulli reftent in eà, aut ii tan- 

. tàüm ,, qui affignatà quilibet. Quantitate minores. fant ,, & idcirco ni- 
hilo non majores, ubi Opus in infinitum eft protractum ;. ergo Quo- 
Gens extractus in. infinitum eft demum ipfiffima Radix. 

Denique, licét fpecies, qua, perfpicuitatis grati, fuerunt hac- 
tenüs fuppofite indefinité parve , fupponantur quantumvis magnz ;. 
tamen. Qnotiens erit adhuc verus, quanquam non adeó.celeriterad 
veram Radicem «onvergat: Quod patet ex rerum Analogià —Sed 
hic confiderandi funt Radicum Limites, aut maxime & minima 
Quantitates; nam, harum proprietates communes fünt finitis. & in- 
finitis JEquationibus: In his Radix eft maxima vel minima; cüm ma- 
xima aut minima eft differentia, qua intercedit inter Aggregata af 
firmiativorum & negativorum Terminorum; limitata autem eft , 
spando indefinita Quantitas ,. (que propterea non. malé fuppohi pa 

tefic 


METHO. FLUXIO. ET -SERIER, INFIN. ss 
teft perexigua, ) major fieri nequit, quin Radicis magnitudo íta- 
tim evadat infinita, id eft, impoffibilis. 

Ad huic argumento ]ucem affundendam fit ( Fig, 2.) ACD fe- 
micirculus defcriptus fupra Diametrum AD, & fit BC ordinatim 
Applicata Fac AB—»x; BC —; AD —^«. Brit igitur y — 
Max — xx — Vax — T Van — D Wax — uen &c.,ut. 
fupra Quapropter, tunc BC vd 7 Fendi maxima, cüm Mni 
ximo intervallo. faperat omnes Terminos. -- 7 £z vex T p" Vx: 


ies &c. , id eft, cüm x — T6 PNEU 
x —c4; fi enim fingas x majorem qum 4', Summa omnium Ter- 


minorum —— -— Vax-—5* ax. 5 ax; &c. in infinitum 
2a 8a 16a 


excreícet ; fed' etiam eft alter Limes, cüm fcilicet x — o; ob im- 
poffibilitatem ipfius V — 4x, quibus Terminis , five- Limitibus Ki- 
pondent femicirculi Limites, flve Termini. 


TRANSITIO £D , 
METHODUM FLUXIONUM 


Hadenüs de hác computandi Methodo, cujus frequens erit ufüs 
in fequentibus. Nunc reftat; ut. ad Artis analytice illuftrationem .pro-- 
feram nonnulla Problematum fpecimiria... & praefertim eorum. qui-. 
Bus Curvarum natura magis in patulo poni poffit. Sed antea obfer-. 
vandum eft, quód, quidquid in iis arduum eft, revocari' poteft ad 
duo fequentia Problemata ,. que proponam de Spatio defcripto per: 
localem Motum, vel acceleratum, vel retardatum. 


lu f 
Boneitudime deferipti [patii femper , (id eff , quovis Temporis mos 
mento-, ) dat , imvenire Velecitatem. Motás "Tempore propofito: 


& a HU. 


TAB L 


$4 OPUSCULUM Il. 
7 IL 


Vebcitate Motás femper datd , imvenire Longitudimm dpatii deja 
eripti Tempore propofito. 

Si, ex gr. , in JEquatione xx — exponit 7 Longitudinem Spa- 
tii quodam momento Temporis percurfi, quod Tempus menfuratur 
& defcriptum exhibetur ab alio fpatio x crefcente juxta; uniformem 


Celeritatem x; exponet xx Celeritatem , quà Spatium y eodem 
Temporis momento progreditur ad ulteriorem fui defcriptionem , 
&.vice veríà.. Hinc fit, ut in fequentibus confiderem Quantitates 
tanquam genitas continuo Incremento, ut Spatium, quod Corpus 
mut quelibet res mota deKribit. 

Cüm autem hic Tempus tantüm confiderandum veniat, tanquam 
expofitum & menfgratum zquabili Motu locali, &, praterea, cüm 
Íple Quantitates ejufdem generis invicem comparari valeant, ut & 
Velocitates , quibus augentur aut minuuntur: ldcirco, iniis, qua 
fequuntur, Tempus formalit?r non confidero, fed fuppono, quód 
una ex propofitis Quantitatibus homogenea cum aliis crefcat zqua- 
"bili Fluxu, ad quam ceterz, tanquam ad Tempus, referantur, qu 
ideà per Anzlopiain mon incontinné-dici poteft Tewpws. — Quoties 
igitur vox Tempus in fequentibus i invenietur, ( eam autem fepiuf- 
culé ufurpàvi perfpicuitatls & diftindionis caufl, ) hoc verbum fu- 
mendum eft, non quafi Tempus intellexiffem in fuá forma/i fignifi- 
*atione, fed tanquam fignificans Quantitatem illam à Tempore di- 
Verfam , cujus equabili Incremento vel Fluxu "Tempus exponitur & 
ménfuratur. 

Nunc in pofterum F/septes vocabo Quantitates has, quas confi- 
dero tanquam gradatim & indefinité crefcentes, eáfque reprafenta- 
fbo per ultimas Alphabeti litteras w, y, x, & z;, ut difcerni poflint 
ab aliis Quantitatibus, quz in /Equationibus confiderantur tanquam 
Gagnitz & determinate; & quz idcirco per primas. Alphabeti litte- 
ras 4, b, é; &c. exponuntur. — At. Velocitates ,; quibus fingulz Flu- 
*ntes augentur per. Motum generantem , ( quas Velocitates appel- 
do Flxioms, aut fimplicitér elocitates vel Celeritates , ) exprimun- 

e. tur 


L4 


METHO.FLÜXIO, ET SERIER. INF1N, 5; 
tur üfdem litteris punto audis, ficw, x,j, & 2; id eft, pro Ce- 
leritaté Quantitatis 4 pono 5, & eodem patto pro Celeritatibus alià 


fum Quantiiatum x, »& z'fcribam x; ; s, refpedtivà. 

His przmiffis ,. ftatim argumentum: itceptum tractare pergam ; & 
primó quidem dabo Solutionem duorum nuper propofitorum. Pro-- 
blematum.. 


P: x 0 XE L. "Y 7 
"Dad Bean, quam. invicem habent Flaentes Quantitat: $ 
déterminare. Relationem , que. inier. earum Flxiones intercedis.. 


"SOLUTIO. 


JEquationem, qnà data Relatio exprimitur, difpone juxta Dimen- 
fiones alicujus. ex Fluentibus. Quantitatibus ; quas includit, ( puta, 
5.) & eus : Terminos multiplica per quancumque : arithmetica 


Progreff onem, & deinde per EX Hanc Operationem feorfüm per-. 


fice pro quávis Fluenti Quantitate ;- Tàm fic Aggregatum ex his om«- 
nibus Fadis equae. nihilo, & habebis petitam quationem.. 


ExzxrrL L 


Si-Rehtio: inter: fluentes Quantitat; x,&y expouitur- JEqua:- 
tione x! —axx-- 4x jy — y! —0... Primim difpone. Terminos: 
fecundàm: LS deindà. &candum. j; & eos multipliga,.u ut hic. "e 





Ud? conficitur: LUI *o 


S56 "OPUSCULUM Il. 
Aggregatum ex Produdis eft gxxx — aakx- Lag — ema) 
z—0; Que JEquatio monftrat quemam Relatio fit inter Fluxiones 
x, &); nam, fi affumas x ad libitum, JEquatio, x' beg — ax, 
— y! —o, dabity, quo determinato habebis x : 31:139 —ax: 
gx — 1ax- e) 

ExzmrPr IL . 

Relatio Quantiatum x, y, & s, exprimatur Jquaione aj*. 


Hpxej — ade t aye s! o0 
Ta 4i 





em 
—1 
Mult. aj! ace! gen ad —gee—dm í 
Timo | cum idi 
u^ . 
Pe 2-, 0; —7 io 35,25, po 


Habebis apr E ik |—i a — ag * 
Quapropter Relstio, quz eft inter Fluentium Celeritates aut Fluxio- 


mes x, J, & £ exponitur per EE drape3ses-- ejuz 


—2 Lo. 

7 Cio. aite autem im hoc fecündo Exemplo tres fiit flentes Quantita- 
íe$ x, y, & £, habeatur, oportet, altera FEquatio, quá: prorfus 
determinari poffit Relatio inter Fluentes x , 3, & £, earámque Flui 
xiones, Suppone, €x. gr., quód x ]- y — £ —o , hinc invenietur, 


per hanc 1c Regulaur, altera Relatio. inter. Fluxiones x 4-9 —£-—0: 
Jankifam Cum fuperiore 7Equatione compara, exierminando ali- 
quam ex tribus jllis Quantitatibus & Fluxionibus; & indé exíurget 
Bquio plehé determinans Relationem ceterarum. * 
T quando propofità /Equatio contiret Fractiones complens, aut 
Quartitates fürdis, pro ib litas aliquas aflamó, eáfque- reprefentaré 
Quan- 


METHO. FLUXIO. ET $ERIER. INFIN. y; 


Quantitates fluentes fuppono, & prockdo modo fupra tradito: Dein- 
üé litteras affumtas fupprimo & extermino, ut continuó fadum vi- 
debis. 


ExszmuMPr IIl 
Relatio inter Quantitates x, & y, fit yy —«4 — xVaa——xx, 


Pro xVaa — xx Íctibo £, & hinc duas habeo /Equationes jj — 
44 — z£—0, &44xx —x* — 5z-—-0, quarum prima dat 


27 — 5 ——0 ut füpra, pro Relatione Celeritatum » & 2 ; altera 





vVerÜ 244XX — 4X'X — 2x5 —0, au tees ats —£, pro 


aaxx 


Relatione Celeritatum x, &2; nunc expulà z, erit 2) — 


2x'x 


TORT —o, & réütuendo 2a um pro x habebis 25$ 


— ex prem o pro Relatione inter), &x, qu£ quarebatur. 


Yaa——xx 
Exznmr»PrL IV 


" b. 
Si JEquatio x' —9mt;t 

js 
Relationem, quz eft inter x, & y. Facio ET Ls, & xxv axx 
——&, & obtineo tres JEquationes x! — 4yy -£ — «—0; «£z 
4-32 — by! — 0; & ax* y -- x5 — us — 0: Prima dat 


— XxXxYa--xx-—0 exponat 


3XXX— 24) -- £—— &—— o ; fecunda 45 d- 354-2) — 3533] 
——0; ac tertia 44]x! x -- ax* y -- 6xx — 2x4 — 0 , pro Rela- 
tionibus Velocitatum x, x, » &z; fed valores ipfarumx, & , in- 
ventos per fecundam ac tertiam JEquationem (net ammo 

* Nevtoni Opsfesla , Tom. I. . ? pro 


TAP.L. 


5$ OPUSCULUM 1E 
—05 Max'sx-l-ax*) 6x . . . ] 
ba 4; a, Sete been pro 8, ) fubílitue. in JEquatione: 
primà, & fiet. 3xxx: —áey 3 HL Á ago 6x5x. 
zo Jam, pro. 2, & s. repone; earum valores. -u., S& 


err. &. habebis, petitam FEquationem axxx — "aai 


3abyy: FA 2b*y LL Ax x — 6i x — x Lxx 
"aug y. uic ag s. 


quz exprimet-Relationem: inter: Velocitates. x& p 

Hinc, puto, manifeftum, eft quomodo peragi: poffit. Operatio in. 
aliis cafibus, ut, càm JEquatio propofita. implicatur furdis. Deno-. 
minatoribus ,. cubicis.Radicalibus, Radicalibus intra Radicales. ut 
€ P Vaa — ax , Aut. quibufvis aliis compleris Terminis. ejufdem. 


EP oinim,. etiamfi: propofita. JEquatio ibvolvat: Quantitates , que 
determinari, & exprimi: geometric? nequeunt , quales funt Arez cur- 
vilinez., aut-Curvarum Longitudines , inveniri. tamen poteft. Rela- 
*tio, quz eft inter: earum Fluxiones,. ut fequens Exemplum demont-. 


trabit.. 
PRAEPARATIO LN 


ExzmxmrPrLtvMx V. 
H A 
Sit: (Fig.3.) BD Ordinata ad retos Angulos ipfi A B;: & ADH 
fit Curva, cujus natura definitur: Relatione, qua.eft inter AB, &. 
BD; & JEquatiohe-exprimitur..Vocentur-A B. quidem x, .& Area 
Curve- ABD. ad Unitatem applicata: z ;. Jam ,. ad. reos. Angulos 
educ A C zqualem Unitati; & per. C, age CE parallelam ad AB, & fe- . 
centem.BD in E. Nunc: intellige ambas hafce. fuperficies. AD B., . 
&ACEB, generari motu Rede BED, patet quód earum Fluxiones, , 


CElaxiones nempe Quantitatum 1, &.1xx, aut Quantitatum . 


£,6. 


METHO. FLUXIO. ET $ERIER. INFIN. 59- 
£, &x,)lunt inter fe ut Re& generantes BD; & BE; quo- 
dircaz: x :: BD: BE, aut 1; & idcircó z— xxBD. 

Hinc apparet, quód x inveniri poteft in /Equatione exprimente 
Relationem inter x & aliam fluentem Quantitatem. y , & tamen Re- 


luio Fluxionum x & j poteft quomodocunque innotefcere. 
ExxExnm»PrL V. 


Proponatur, ex.gr., JEquatio £c-]- exz — y* —2 0, qux ex« 
primat Relationem inter x, & y; ac fit Vax —xx — BD, undé 
Curva determinetur, quz idcirco erit Circulus; JEquatio £z-F exc. 
— J* —o, dabit ex füpra traditis atz-- axz dr azx — 4)! y—0 
pro Relatione Celeritatum x, y, & z: Igitur, quia &—x*BD 
auff — xVax— ux, pro z pone hunc valorem, & inde conficie- 
tur hzc Equitio acX - xx MEM m0. 





SOLUTIONIS 
DEMONSTRATIO 
Fluentium Quantitatum Momeénta, ( videlicet earum partesinde- - 
finité parva, quarum accelfione in indefinité exiguis partibus Tem- ' 
poris Quantitates ipfe. jugitér. augentur , ) funt ut Velocitates , qui- 
bus fluunt aut-crefcunt. 
Quapropter , fi Momentum alicujus, ( pata, x) repre&ntatut- 


Fado ex ejus Celeritate xin Quantitatem indefinit? parvam , Cet, 

xo) Momentum siarum 9, J, x reprafentandum erit perse, y^. 
£o, quia. ue, xe, y». &zo, invicem habent eandem Rationem , 
quam ux jJ &z. 


Jam , quia Momenta , ex. gr., - & ye, funt incrementa in- 
H iefinité 





P DPUSCULUM IL 


definité parvà, quibus fluentes Quantitates x, & y, augentur per 
ihdefinité parfa " Temporis intervalla, ex eo fequitur has Quantiti- 


tes x, & y, poft indefinit parva Temporis fpatia evafiffe x 4- x o. 


& y J^ JEquatio veró,, que quibufcumque Temporibus indifcrimi.. 
natim exprimit Relationem fluentium Quantitatum , eque bene ex-. 


primet Relationem, qua intercedit inter x--xeo, & |o. aceam, 
quz eft inter x, &y, ita ut in cádem /Equatione ponere. liceat x -- 


xo, &54- J^ pro x, & y. 
; Quamobrem, fit /Equatio x* —— 4xx J- 4xy — 7! —o, in. e&. 


fubftitue x 4-.xo, &-- yo, ipfis.x; & j,. obtinebis. 
x^4- gxxxe -F- axxoxo-A- x'o? | 

— dix — Aaxxo — AXoXo 

. 4axy d- 43Xo- 4x0j0. 

oe 

—)» —y —aoe — to? 
Sed, per hypothefim, eft x* ex Ae axy yo LO, ex- 
gunge igitur hos Terminos, ceterófque divide per o & reftabit 
3XKX — 2uxx ay * axy —. yy 3xxxo — axxo. Xaxjo 


Pe 





—— 8)3Jo-d- Xo» — 306 —50: Cüm.autem fnxerimus «. Quan-. 
titetem infinité parvam,, ut exponere poffet Quantitatum. Momen- 
ta, Termini in eam dui pro. nihilo poffant, haberi cum : aliis co. 


deti; eos igitur negligo, & füpereft 3xXX — 2uxx A4- aj d- an 


— 3 ———0, ut antea inveneramus iii Exemplo I: 
Hic obfervandum. venit, quód femper evanefcunt,. cüm Termi-. 
- ni qui per o multiplicati non funt, tüm ii qui multiplicati funt per- 
y duarum aut: plurium Dimenfionum ;: & quód reliqui Termini di- 
vifi per o, femper acquirunt formam, quam habere debebant fecun. 
dum. Regulam fuperiorem; — Quód erat. oftendendum.. " 
Ut is : 


METHO: FLUXIO. ET SERIER. INFIN. er 


His autem demonftratis, facilé fequentur reliqua, quz complec- 
titur Regula, ut, quód /Equatio- eadem: complecti poteft plures ffu- 
entes Quantitates, &. quód Termini duci poffunt non folüm in Indi- 
"ces fluentium Qnantitatum,. fed etiam in quamcunque aliam Progreflio- 
nem arithmeticam , ita ut in Operatione eadem fit differentia Ter- 
minorum juxta fingulas fluentes Quantitates, & Progreffio difpona- 
tur fecundüm: ordinem. Dimenfionum uniufcujufque Fluentis. His. 


conceflis, qux przterea docentur in. Exemplis IIL, EV., & V., — 


fatis per femet ipfa. patebunt.. 
PResrü IL 


DotA! /Equatione | que contineat Quantitatum Fluxiones, imvez 
mire. quam elationem. babeant inter fe ba. Quantitates. Eluentes, 


"SOLUTIO PECULIARIS 
: Cüm hoc Problema.flt fuperioris converfüm , refolvi debet per: 
Operationes contrarias; fcilicet , Termini dudi in x difponi debent: 
jaxta Dimenfomes. x,. & dividi per Es & deindé per Numeros Di-- 


menfionum eorunmr, aut: fortaffe per aliquam aliam. Progreífionem: 
arithmeticam : Tüm, eàdem operá repetità pro Terminis muiltipli- - 


catis peru, y. veda , Aggregatum fic emergens poni debet. equale- 
nihilo, reje&is Terminis fupervacuis. . 


ExrnmrPruvsm. / 


Proponatur /Equatio: 3x X — 24xx-]- 43x — 23. T oexy 
z— 0.,, Operatio fiet ,. ut. hic vides.. 


Hos Dividé 


ru OPUSCULUM II 


Divide cum 2axx - «yx Divide — amp Ke 





Per 7 — Per Z2. 
Quotiens ui 3x! — 2axx -- 4jx,| Quotiens eft — 35* *-raxy, 
quem divide " quem divide 
er 3; 2; per 3: à; 





Quotiens eft x* —— xx -- axy | Quotiens eft — y? »k Te 
Igitur Aggregatum x* — 4xx -1- axy — y! —0 , exprimet petitam 
Relationem Quantitatum x, & y. 

Hic animadvertendum eft, quód etiamfi Terminus «xy bis occür- 
Tat, illum tamen bis non adfctibo Summz x* — axx 4- 4xy — 7* 
——:0, fed alterum rejicio ut Terminum redundantem. Eodem pado, 
fi quando Terminus aliquis bis recurrit, ( aut pluriés, fi quando idem 
Terminus compleditur diverfas Quantitates fluentes, ) femel fcribi 
debet in Terminorum fummà, 

Alia, que fuiffent obfervanda, permittam folertie Artificis ; nam 
fupervacaneum effet nimis diu in hoc argumento hzrere: fiquidem. 
hoc pacto Problema non femper folvi poteft. Unum tamen addam, 
videlicet, quód fi, poftquam Fluentium Relatianem inveneris hác 
Methodo, regredi potes per Probl I ad propofitam JEquationem - 
Fluentes involventem , certó nofcis Opus effe re&um, alis non. 
SSic in Exemplo propofito, fi ex inventà JEquatione x! —— 4xx 
^L axy — 3! — 0 quzro, per primum Problema, Relationem Flu- 


' xionum x, &) ZZ pervenio ad propofitam JEquationem 3XXX — 24xx 
dex ey— 31) — 0; unde conftat JEquationem x* —exx 
p «xy — y! — 0 eam efle quam petebamus. Sed, propofità JEqua- 
tione xx —— jx 4-4j—5 0., Methodus prafcripta prebet T xx 
—3x-4-4y—0, JEquationem, qux exponere deberet. Relationem 
inter x, & y; fed qua ad hoc inepta eft, quia hinc, per Probl. 
L, excuditur xx — yx — xy --4j —0, que JEquatio differt à 
propofità. 


His autem perfundtorié premiffis aggredior generalem folutionem. 
. PAZ 


METHO. FLÜXIO. ET $ERIER. INFIN.. 6j 
PRAEPARATIO IN 
SOLUTIONEM. 


. Principio animadvertendum eft, quód in propofità /Equatione 
fgmbola Fluxionum , ( funt enim Quantitates diverfi generis ab iis, 
quarum Fluxiones fünt,.) in fingulis Terminis afcendere debent ad 
qué altas. Dimenfiones.:. fi quando. autem. res aliter fe habet, affu- 
menda pro Unitate eft aliqua Fluxio cujufvis fluentis Quantitatis , 
& per eam. Termini minüs alti funt miultiplicandi totiés quotiés opus 
eft, ut fymbola Fluxionum perveniant. ad. eundem Dimenfionum nu- 
merum in. omnibus. Terminis.. 

Sit, ex. gr., JEquatio x -]- xxj — axx —o, pro Unitate acci- 
pienda eft Fluxio. z. tertiz cujuflibet. Qnantitatis fluentis e, & per 
eam primus Terrninus.x femil, ultimus autem 4xx bis multiplicati. 
concipiendi funt ; ut Fluxiones in iis ad.tot.Dimenfiones afcendant, 
ad quot in fecundo. Tetmino x x7 ; non.fecus ,. ac fi: propofita. 
JEquatio. deduda fuiffet. ab hdc. xz -- xx) — «xxx, fin-- 
gendo z—1.. Haud alitir in Jiquatione.xy —7, concipi debet. 
X eife Unitatem , per. quam . Terminus. 5j. multiplicandus eft. . 

Jam. JEquationes., . quz. folüm . duas . fluentes . Quantitates . com- - 
plectuntur , . & ez. pari Dimenfionum numero ubique gaudent, fem. - 
per ita difponi. poffunt ,. ut ad unam partem fit Ratio. Fluxionum,. 


Cputa,. imi jud, ,&c.; ), & ad.aliam valor hujus atio--- 


nis euet Tesio.apinta a a kae 
x. 
Et, cim. peculiaris fupra , tradita . Solutio adhiberi nequit , . femper - 
JEquationes hác formá .dónandz funt. . 
Quapropter, fi quando in. Rationis hujus. valore aliquis Terminus; 
im-- 


E OPUSCULUM 1l 
implicatus eft Denominatore complexo aut radicali Signo , aut & 
quando Ratio ipfa eft Radix affecz JEquationis , antequam Opus 
aggrediare, debes Reductionem facere, five per Divifionem five per 
Radicis extractionem five per /Equationis affedx Refolutionem , ut 
fupra docuimus. 

Proponatur , x. gr.  JEquatio 4) —— xj — «x 4-xx — 3x —o, 
x a——x 


4—x-]- y 





primüm per Redu&ionem ea fit 2 — 1 -- — 2, aut A — 
* J 


in prima hypothéfi, redigo Terminum Il , cujus Denominator 
eft compofita Quantitas 4—— x, ad infinitam fimplicium Termino- 
rum Seiem 2. 52 -. S3 -p 72; &c., (que Redudio it di- 
videndo Numeratorem y per Denominatorem «— 4x, ) unde excu- 
do L—eBI T2. Tm T x &c., cujus ope de- 
terminanda eft Relatio inter x & y. 


Eodem pado, fi daretur EEquatio yj —— x3 4- xx xx, mt 22 
xx 





e Z--p xx, aut, per ulteriorem Redudionem, LIBER 
* * 

«extraherem quadratam Radicem Terminorum t "pxx, & obtine- 

rem Seriem infinitam Iitre—d- Tr ax* — $x! 4 14x**; &c, 


quam fi fubftituerem pro EP, haberem. 2 — 1 px 
x 


3- ax* — $x' -- 14x! ; &c., aut -J-— — xx J- x* — ax* 
x 


Hr $x* — 14x'*; &c., prout VES Xx additur ipli 7, vel ab eo 
fubtrahitur, ] : - Haud 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. e; 
Haud fecus, propofità Equations y dexxp Maxx y m x* 


— a«!x! —o, auto Ee an i-e 


extraho Radicem cubicz JEquationis affede , und &-- ———É—— 1 


qoEEa net " .foox* 
64a $1244 163844 163844? 
Hic autem obíervandum eft, quód in compofitorum cen- 
fum refero folàm Terminos illos, qui compofiti funt refpec- 
tu fluentium Quantitatum. — Simplices. enim reputo Quantitates , 
que compolite funt tantàm quoad Quantitates datas; quia re- 
duci poffunt ad Quantitates fimplices, ponendo eas zquales alicui 


uan . ax-j-bx, x. bec, 
date Quantitati — Quapropter Quantitates EP ai 


&c., ut jam inveneramus. 


€ 
^ 
E Vax 4- bx ; &c., mihi fimplices funt , quia omnes redu- 
^ 
cere poffum ad Quantitates fimplices 2 FL E A Vex ; 
C vel é xt) fupponendo 4 4- b — e. 

Praeterea, quó facilius una ex fluentibus Quantitatibus ab alià 
diftingui poffit, Fluxionem eam , qux in Rationis Numeratore eft, 
non improprié vocari poteft Rer Quantites; ea veró, quz eft 
in Denominatore & cui prior comparatur, Cerrelet4: Quin etiam 
Quantitates ipfe fluentes iifdem refpedivé Nominibus infigniri pof- 
funt. Et, ut fequentia meliüs intelligantur, concipere licet. Corre- 
datam. Quantitatem effe Tempus, aut quamlibet aliam Quantitatem 
squabiliter fluentem , per quam Tempus exponitur & menfuratur : 
Aliam veró, Reletam ícilicet Quantitatem , effe fpatium Tempore 
illo defcriptum à re, vel Pundo gaudente Motu five accelerato five 
retardato; ac Problematis fenfum effe, quód Velocitate Motüs da- 
tà ad quodcumque Temporis momentum, ípatium defriptum pet 
totum Tempus eít determinandum. 

JEquationes autem, qua ad hoc Problema pertinent, adtres Or- 
dines revocari poffunt. 

Jf. Newtoni Opufeula , Tom. L 1 Primus 


e6 OPUSCULUM 1l. 


' Primus continet eas, in quibus inveniuntur duz Quantitatum 
Fluxiones, & altera folüm ex earum Fluentibus. 

Secundus illas qux duas involvunt fluentes Quantitates , fimül 
cum earum Fluxionibus. 

Tertius denique eas in quibus funt Fluxiones plurium quàm dua- 
rum Quantitatum. 

Quibus pramiffis , tranfeo ad folutionem trium horum Problema- 
tis cafaum, 


SOLUTIO CASUS I 


Statue fluentem Quantitatem , quz unica eft in /Equatione , effe 
Correlatam , & IEquatione huic hypothefi aptatà , ( ponendo fcilicet 
hinc folam Rationem, quam habet Fluxio alterius Quantitatis ad hu- 
jus Fluxionem , & inde valorem hujus Rationis in fimplicibus Termi- 
nis, ) multiplica valorem Rationis, quz inter Fluxiones intercedit , 
per. Correlatam. Quantitatem; deindé divide fingulos hujus valoris. 
Terminos per numerum Dimenfionum , ad quas elevata eft Quan- 


titas ipfa Correlate, &. id, quod fic affequeris , auivalet alteri flu- 
enti Quantitati. 


: Sic, propofità /Equatione »—59 Jr xxxx, fuüppono quid e fit 
Correlata Quantitas, &, fad4 JEquationis Reductione accomodatá. . 


huic hypothei, reperio - — 1 4p xx — x*-I- 2x5; &c. Jam mul- 
. s : 


tiplico valorem -Z- per x, undé affequor 4- x * — x*-4- 2x^ ; &c.; 
x 

quos Terminos fingulos divido per numerum Dimenfionum, qui- 

bus afficiuntur , & inde conficitur x -1- I- x! — E x* -F S x7j&c, 


quam Quantitatem pono ——- y, & hác JEquatione definietur Rela- 
tio inter x, & y Qyod petebatur. 





Raritàr à Eguio Zona Ea e ms &c., hinc: 


Tabebis: 


METHO. DEUX. ÉT SERIER. YNFIN. e; 


habebis 4 ——4x — $* E ties ; 


quz determinat Reltionem ipfarum x, & y. 





&c., JEquationem ,' 


FEE Lo z 2 

Jtem , JEquatio :—uti —x*-4-x*[ 

. Li 3 s. M 
di y—— oL aec T s;mm, duc 


2 I 0I i i H 
valoem £ inx, fiet -]-- — — — -- 4x* — x* -4- x*, aut x7. 
x xx x 
— £o LI . . 
—2x7'-ax* — xi--x'; quibus Terminis divifis per nume- 
rum Dimenfionum, osietur valor j, ille idem, quem fupra inve- 
nimus. 


Haud fecis, ex Exitione 3 e Z4 37 E. VE o. a 





Vot tO 
4e 2 2 VgÜES; 
Íequor x — — Vay Tt pre hal y! - o! ; quia valor 
1 1i sou 205 . 
ipfius ; multiplicatus per 5, giguit "M yt Vy E, 


aut abkca 5 4 1 4. L3 ES y» TTIIXIS undé conficitur va- 
lor x, dividendo per numerum Dimenfionum cujufque Termini. 


Eodem pito J- — edu day 2 d; & d s pra- 
J * cx? 

Lo gabzt, atio om —4. E 
bet y Sed IEqiatio 7 — — dat y 7; nam, fi 
rhultiplicetur per x conficitur «, & fi 4 dividatur per numerum Di- 
menfionum x, videlicet per e, habetur —-, qua Quantitas infinita 


debet effe valor 5. 
: Quapropter, fi quando Terminus huic fimilis occurrit in valore 


a . ipfius 





e$ c OPUSCULUM Il. 

ipfius -L-, id eft, Fratio, cujus Denominator involvit CorreZetane 
x 

Quantitatem. unius Dimenfionis, ipfi Correlete Quantitati fübftitue 

aggregatum ex ed & quàcumque datá ad. libitum affumend , vel ea- 

rum differentiam : Hoc. enim pacto fervabitur in Equatione fic effic- 

tà Relatio, quz erat in /Equatione primó propofità , & infinita Re- 


data Quantitas minuetur infinità fuimet parte, & finita fiet, expreí- 
,fa tamen Terminis numero infinitis. -. 


Quocirca, propofità JEquatione L— L— Il ; fi pro. x fcribis &-I-x, 
x 


Quantitate & ad libitum affumptà; meis Jos Li, & per 


Divifionem -?- L—P—uty -— &c. Nuncautem Re- 


gula nuper tradita dat 4— 7 ^ 4-75 5—2 &c, ad 
sxponendam Relatlonem, qux eft inter », & y. 
Xtidem,, fi habeas Equinem - — 3 pe, fi, (quiz 


adeft Terminus — 2. , ) féribus. 1 «pin pro, oritur 2- —R* 


— xxx. Jm. reducendo. in infinitam Seriem 2 — 2x 


p Axx — ax*--2x*; &c, eonsqperis T axxo 


—2x'-4-2x*; &c; &, juxa Regulhm, jy — 4x — aw 


x" ie t ies &c., pro. Relatione x,. & . 


- Mdem rstiqne, propofità ZEquatione -Z. 5s x 73-7 ' —x - 
^. 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 69 
quia in cà video Terminum x 7* , (vel — I ,) tranfmuto x ponendo 


— i- vL. lil yp 
1 —x pro eo, undé fit —WA— cQ —z Vi—x 


Jam veró Terminus Los I-4-x-Exx--x'; &c, ac 


, Terminus V1 — x aquivalet D[—4— pe—usi8e 





8 16 
1 1 
& idcirco V mdi. Tusc loa; Bc , idem 
$ j 


eft ac peRIeBptety 5 &c.: His ergo valoribus fübf- 


fitutis, obtinebis Iiikaeei xx TI x*; 
x 


&Cc, ac, per 
Regulam, ges ee x ur x*; &c; aque ita porró. 

Quin etiam in aliis cafibus , aliquando concinniori formá donantur 
FEquationes , fimili fluentis Quantitatis tranfmutatione ; ut, fi propo-- 


, ccu 


meretur JEquatio LÁ iow—a ; pro x fcribo 


y £q— * 
€ — x, & dffequor —US apt , & hinc, per 
x 


LJ 
Reguam , j—— 2 -F Íii fed harum tranmutationum wfor 
magis patebit ex fequentibus. : 
SOLUTIO CASUS IL 
PREPARATIO 


Hacenus de JEquationibus, quz unam involrunt Fluentem z 
Sed quando ambz apparent in JEquatione , Jquatio illa primàm re-- 
ducenda eít ad prafcriptam formam , Fonendo hinc Fluxionum Ra- 

là tionem 





7o OPUSCULUM 1l 
tionem , inde Aggregatum ex fimplicibus Terminis, cui Fluxionunr 
Ratio qualis eft. j| ] 

Et, preterea, ft quis /Equationis ita reducte Terminus eft Frac- 
tio denominata à Quantitate fluente, hic liberari debet à tali Deno- 
minatore per fupra memoratam fluentis Quantitatis tranfmutatio- 
mem, 


Hoc pado, propofità /Equatione 4xy -— xx — 44x —30, vel 
L—:.-2, ob Terminum affumo £ ad libitum , & pro x 
x 
fcribo 8 -- x five & — x, aut x — £ : fi fcriberem &-F- x, fieret 
DoLny$a 4. : : 4 on Conm IDA 
o t FEE Tunc autem Termino 51 in Seriem infinitam . 
per Divifionem diduáb, affequerer 2 -— z T4 — E ue 


4 


' Haud aliter, JEquatione - L—3-—42xH $ —-z propofità, 


fi propter Terminos ; & 22 firiberem 1 —y pro, & 1 —x pre 





; ; . 1I—x 27—23 
X , oriretur - m(-3Gbaxbt — t x At- 
qui Terminus LL per Divifionem in infinitum, dat 1 — x 
297—2 
1—2x4-xw 
per fimilem Divifionem, prabet 2j — 2 -- 4xy — 4X d- 6xxy — 


Tj—3 Ty —35y My —239 &c., ac Terminus 


6xx -- 8x? y — 8x! --10x*y — 10x* ; &c.: Igitur JoL—3x 
. x 


ixyyry—xyyty — x^; &c, 6x xy — 6x dc 8x) 


— Bx? b 10x*y — 10x* ; &c. 2 
REGU- 





METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 7 
REGULA 


JEquatione fic preparatà, (quatenus opus eft, ) difpone Termi- 
nos juxta Dimenfiones fluentium Quantitatum , primó ponens eos, 
qui Relar Quantitate non funt affedi, deindé eos, qui minimá ejus. 
Dimenfione funt implicati, & fic deinceps. Eodem pacto in fingu- 
los ordines diftribue Terminos juxta Dimenfiones Correlate Quan- 
titatis, eófque , qui primum ordinem: conftituunt, ( qui nempe funt 
immunes à Re/ar4 Quantitate, ) fcribe, ita ut faciant lateralem Se- 
riem à finiftrá dextram versüs, & reliquos, ita ut componant Se- 
riem defcendentem in finiftrá Columna, ut indicant fubjedz Tabellz. 
Quibus ita praeparatis , multiplica primum aut infimum Terminum 
prioris ordinis per. Corre/atam. Quantitatem , & divide Productum 
per numerum fuarum Dimenfionum , & quod hinc fit pone in Quo- 
tiente ; erit enim primus Terminus valoris Re/ete Quantitatis : Tunc 
illum fubftitue in Terminis Equationis, qua jam pofita fuerat in 

 finiftrá Columná pro Re/at4 Quantitate, & ex Termino, qui tunc. - 
infimus erit, obtinebis fecundum Quotientis Terminnm eàdem ra- 
tione, qui priorem affecutus fueras. Et hàc Operatione repetità 
Quotientem produces quóufque volueris Sed hoc magis perfpicuum. 
fet uno aut altero Exemplo. 


ExrzMrr. L 


Sit JEquatio Z-—1— 3x -- 3 H- xx d xy , cujus Terminos 
x 


1— 3x-I-xx non affectos Re/ard Quantitate difpofitos vides in la- 
teralem Seriem primo loco, & reliquos » & x j in finiftrá Columná. 


Tg1-—3x-xx 








[E I-—Óxbxx 00000 LLL 
t] kcbrmáaprr stet 4e &c. 


1 I 
cxyQpok x4xx— x a4 Eni ni - 


Agree. Hei— S484 dlke2.5.: 
BBreg. I— 2x-4xx 3* Tf 3o* ; &c. 


7 — OPUSCULUM IL 

Nunc pris multiplico primum Terminum 1 in Cerreletem Quan- 
tititem x, undé conficitur x, quam Quantitatem divifam per Di- 
menfionum numerum 1 colloco in Quotiente inferiüs fcripto. Dein- 
dé, fubftituendo hunc Terminum pro y in Terminis margini appofi- 
tis y, &-b- x), reperio -- x, & 4- xx, quos fcibo é conf- 
pedu ipforum 4- 7, &-1- xy, dextram verfüs. Jam é reliquis fegre- 
go Terminos infimos — 3x, & -t- x quorum fumma — 2x duc- 
ta in x evadit — 2xx, & divifa per Dimenfionnm numerum 2 
fit — xx, & hic Terminus fecundus eft valoris y. Quotienti adí- 
cribendus. Poítea fumo pariter hunc Terminum ad perficiendum 
valorem marginalium Terminorum --j, & -1- xy, undé affequor 
——x*x, & — x , Terminos addendos ipfis -I- x , & - xx jam 
adícriptis — Quo fa&o, rurfus excerpo Terminos, qui nunc funt in- 
fimi 4- xx, — xx, & -I- xx, quos in unum 4 xx colligo, & in- 


: dé educo 4- rEub ( agendo ut antea, ) tertium Terminum ad- 
-dendum valori ipfius ). lteràm, pofito hoc Termino 4- $ x! in 
Terminorum marginalium valore , ex Terminis jam infimis - 7 s 
& — x? fimül additis obtineo — t x* pro quarto Termino valoris 
JE fic in infinitum. 

Exrnmrr. IL 

Eodem pacto, fi determinanda foret Relatio x, & y, ex JEqua- 
tione i- 14- lE THU. &c., quz Series fupponi- 
tur progredi in infinitum , pono 1 in altiffimo loco, & Terminos 


reliquos in finiftrá Columnà, & perfequor Opus ut videtur in ap- 
pofito Diagrammate. 


Ti 


METHO. FLUXIO. ET SKRIER. INFIN. 7; 


x5 
* ee 


* ETE 


rites &c. 


E 
aj 





Propofitum, puta. mihi fuerat extrahere. valorem ipfius y tantüm 
ufque ad fextam Dimenfionem x; e de caufà inter operandum omit- 
to omnes eos Terminos, quos ^d rem non fa&uros prevideo, ut 
indicatur figno &c., quod fubjunxi Seriebus intercifis. 


ExEzMmMPr IIL 


Haud aliter , fi proponeretur JEquatio T—— 3x d- 95p H- 9 


—3x334- 5! — xy! q-4* — x3* ; &c. exx) — ena 8x! 
— 8x! J- 10x*y — 10x*; &c., &, fi producenda effet. extrac- 
tio valoris ipüus J; donec x ad feptimam Dimenfionem aícende- 
ret, Terminos ordine difponerem, ut fa&um eft in fubje&à Tabel- 
Jà, & Opus inftituerem more folito, nifi quod, quia in finiftrà Co- 
lumná 5 invenitur non folüm unius fed duarum Dimenfionum vel 
trium ( vel etiam plufquàm trium, fi quis producere vellet váloreme 
1 ültra feptimam Dimenfionem ipfius x, ) fubdo fecundam & ter- 

Jf. Newteni Opuféula , Tom. I. |K tiam 


y» oc OPUSCULUM IL. 
tiam Poteftatem. y gradatim. protradas , quóufque opus eft, nt ez; 
poftquam pofitz fuerint gradatim dexteram verfüs pro marginalium 
valore, faltem dent Terminos tot Dimenfionum, quot ad Opera- 
tionem fequentem. requiri perfpicio. 
—3x——6xx — 8x! —10x* — 12x! — 14x ; &c. 
Tos *—2. eet Te E, ; &c 
T 6xxp| ox *^—9x* — 1axí » 5; &c| 
sto: * X — 123! — 16x* 


Qr rox*y, : * * * — 1$x* ; &c| 


* TE 4 o6xt E; &c| 


* * —$4— 6x* ; & 


* x 
^e 


— 3 3 " —2 
———— 3. xx LL ax! os 25 s 5I 
a 8 o* 16" 


p—áS epar; 5. M 





y——Ue ; &c. 


Xt hàc Metliodo reperio. démum. y. 3 e Re, que eft: 
Jiquatio petifa: Sed ,. quia. valor hic negativus eft, apparet, quód". 
upas 


a 


METHO: FLUXIO. ET $SERIER. INFIN. 35s- 


wna-ex Quantitatibus x, & y, decrefcit càm altera crefcit. — idem 
dicendum eft, quando una ex Fluxionibus affirmativa eft, alter& 
veró negativa. 


|ExEgEnMu»Pr IV. 


Eádem ratione poteft /Equatio refolvi, etiamfi Relata Qrantitae 
affeda fit Dimenfionibus fradis: Ut, fi proponeretur indagandus 


valor x ex Bquiione 5 — 7 Xy ay ay —t s 


Dr 2)',in aa ef Terminus kal (aut ys )affedtus frac- 
ü Dimenfione — 


TA!* 34) Ty! 
Gkoe Ro ok uy Te —3y & 
OX* 0k ko ko à 
OLJK—— Ey RU ck e — Es 8c 
aT A x is-ií5ie 
$a Ly qaa —y 5 8e 





xx — Ru &c. 


"Ex valore ipfius x gradatim deduco valorem x*; ( quod fit etrahen- 

do Radicem quadratam, ) ut videre potes in inferiore Diagrammatis 

parte, qui valor gradatim transferri & inferi poteft in valore marginalis 
LI 

D ons 2yx*. Et hoc Pato mndem habebo JEquationem x -— 

42— vua iL ETE &c., quà x relativé ad j 


itdefinità exprimitur. E fic reni peragere potes in ceteris cafibus qui- 
buflibet. K Suprà 


?$5 OPUSCULUM 1l 
Suprà afferii, quód hz Solutiones perfici poffunt infinitis mo- 
dis. Hoc facies affumendo ad libitum non folüm primam Quan- 
titatem' prioris Seriei, íed quamcumque aliam Quantitatem pro 
prinio Quotientis Termino, & deindé procedendo ut antea. Sic, 
'i in priori ex precedentibus Exemplis, accipis 1 tanquam pri- 
mum Terminum valoris y, & fübftituis 1 pro y in marginalibus 
Terminis 4- 7 , & 4- x, ac profequeris Operationem ut priüs , 
(cujus rei tentamen hic attuli, ) orietur alter valor y, nem- 
4-1—3x4-xx : 






41IT2x * Rr RIS, &c. 
RO HR axxo ok € ox*; Rc 










Mà kaxk qat -U &c. 


Jag kp oL65t4ee; &c 





pe r4d-ax 4r *lU &c. Itemalter & alter orietur ex hypo- 
thefi, quód 2; vel 5, aut quivis alius Numerus fit primus Quotientis 
Terminus: Vel, fi aliquod fymbolum , (puta, 4,) adhibes ad re- 
praífentandum indeterminat? primum Terminum , eàdem Operatio- 
ne, ( quam híc appofui, ) invenies jy — a d- x -- ex — xx --axx 
LAG pe Rein quà pro « pone 1, 2,0, rd aut 
quemcumque Numerum ,' affecaturus infinitis modis Relationem in- 
krx,&y. C 


JdIR-ai 


*c 


METHO. FLUXIO: ET SERIER: INFIN. 77 















Tp— 3x 4-xx 



















-J 44 or—srx 5 &c. ) 
] voe pax or 3 ax! s &c 
REX) [| ke oe &c. 
Ipaxx Je ax! &o. 
Aggieg. 


42x xx — I5 &c. ] 
E 4- nas acce ax i Rc, 






yk pIS —* &c. 


| x axe at 4Lhet Ee 
——————————————0 ———— 


Obfervandum eft, quód, quando Quantitas extrahenda afficitur 
fradá Dimenfione, (ut in quarto ex fuperioribus Exemplis, ) be- 
né füumetur Unitas, vel quivis alius commodus Numerus pro primo 
Termino; Et hoc quidem neceffarió faciendum eft, quando ad ob- 
tinéüdum valorem hujus fra&z Dimenfionis, Radix aliter extrahi 
nequit ob negativum fignum; & etiam, quando nulli funt Termi- 
ni, qui difponi poffint in primá vel capitali Serie , unde primus hic 
Terminus deducitur. 

Sic demum ad finem perduxi hoc valde intricatum & omnium 
aliorum difficillimum Problema, quando duz folàm funt fluentes 
Quantitates unà cum Fluxionibus fuis in propofità JEquatione.. Sed, 
prater generalem hanc Methodum, quz fe extendit ad omnes diffi 
Cultates, alie funt plerumque breviores, quibus Opus facilius fgp& 
reddi poteft, & Ledori rem non injucundam faciam , fiquod ea- 
Tum fpecimen.blc ex abundanti reféram. 


38  ,; "OPUSCULUM Il 
L1 

Càm Quantitas réfolvenda habet alicubi negativas Dimenfiones ; 

omninó neceífarium non eft pris JEquationem alià formáà donare. 

Proponatur , ex.gr., y — T—* JEquatio in quà y habet 

negativam Dimenfionem ; eam quidem convertere poffum in aliam 


formam , ex.gr., fcribendo 1 1-y pro 7; Sed citiüs expedietur Re- 
Áolutio Methodo, quam in fuppofltà Tabellà habes. 


| * k—xx 
- D——ocbicxiEe 


Aggregat. 1 xL; Ee 








Hic alfumpfi Unitatem pro primo Termino valoris 7 , reliquos 
"Terminos excudi ut antea; & interim hinc eduxi pér partes ( di- 
videndo) valorem ipfius FE quem pofuüi in valore Termini mar- 

zinali 

IL 

! "Neceflarió. paritér non requiritur , ut Dimenfiones alterius flat 
fis Quantitatis femper affirmative fint. Nam, ex Kquatione  —— 
ac aH, fine praícriptà Termini?? Redu&ione obtineri po- 
teft jy—a—À xx ax! Ec. Et ex EEquatione J — — J. 


tTI—z haberi poteft  — pro valore ipfius 7 , fi Opera- 
Mo dirigatur juxta. fequens fpecimen. 


METHO, FLUXIO. ET SERIER. INFIN. ' 797 





Hic obiter animadvertendum eít, quód inter infinitas Solationes,. 
quibus JEquatio poteft enodari, fepe fepius aliqua- eft ,. quz pet-- 
ducit ad finitum Quantitatis quzfite valorem , ut in fuperiori Exem-- 
plo. He autem Solutiones non difficulter: reperiüntur , fumpto ali-- 
quo fymbolo- pro primo Termino; nam, Solütione peradá dari: 
poteft huic-fymbolo valor aliquis, qui totam Seriem finitam reddat. 

LIII 


Rurfüs ,. fi valor ipfius y dedücendüs foret ab. KÉqustióne z Tr 
— ax xx —À J, illum affeqni. potes, & quidem: fatis concin:- 


ni, Termino z non redudo; modó fuppones;.( ut- Amlyftz fa-- 
ciunt, ) datum id quod petitur. Sic, primum Terminum valoris j- 
fingo 2ex,. & pono 2e effe numeralem  Coefficiéntem , qui adhuc ^ 
ignotus eft; &, fcribende: 2ex pro.y.in marginali Termino, obti- 
neo e, quam Quantitatem pono dextram verfüs, & Aggregatum. 
1." e. dabit x -k ex pro.illo ipfo primo-Termine , quem antea rec 
prefentaveram fymbolo 2ex. Quapropter facio 2ex — x J- ex , & 
hinc deduoo e—— 1.; eít igitur 2x primus. valoris 7. Terminus 2ex.- 
Xodem pe, f&itun Termimim 2fkx ufürpo ad reprafentandum 

fecuna- 


$$. 0 ns OQRUSCULUM Al. 

fecundum. Terms viloris j, uride corificitur — — *. pro valore 
ipfius, & propterea fecundus Terminus a xx: Haud aliter 
fi&itius Coefficiens e i& Termino tertio dabit i & 5 in quarto 
prebebit o. Quocirca, càm nullus alius Terminus fuperfit , perfpi- 
cio peractum effe Opus , & valorem ipfius j effe accuraté 2x —— e 
T T x'. Diagramma fuppofitum totam Operationem tibi fiftit. 


pax de Loex 


z£É | oedfxcgnxnbx 
I ——————— — n ——ili 
Aggregatum Ti—32ax *i xx 
Te fx "m aL 
Per hypodei hypotielum 
jg rk bufes bags! b abt 
e confequens E 


jg— occtx— xx x! iet 
de t fen $e. 


Re ipf y -- ax — suuin x) 


Eodem pado, fi haberes j,—— 27, pone y — 2x", ubie denotat 
Coefficientenm. incogniram. & s numerum Dimenfionum itidemi in- 


x7! 


: cognitum, - Subfituendo ex pro pfe — *5, & hinc rurfus y 


m— c3 Confer: hos duos valores ipfius y, & invenies 2 Le 


quocirca 





METHO. FLUXIO: ET $ERIER INFIN. ki. 
: quocirca í— & c eít indefinita ; gr, affumpáà e ad l-- 
bitum , bois; — 
IV. 

Potes aliquando etiam Operationem incipere ab altiore Quantita- 
tis equabilis Dimenfione, & gradatim defcendere ad. Poteftates in- 
&rore. Ut,'n daretur Jquitio 5 — 2- -E —-- 3 ax — 
t£ velles antem incipere ab altiffmo Termino 2x, difponeris Se« 
riem capitalem ordine contrario illi, quem hacirens fervavirnus ; 
hinc demum excuderes 7 eben 1 -— 5 & justa modom 
procedendi hic sppolitum: 


NEIN zx 


—£2ctis 





grmxm de ax EFNCTER &d 


Obiter obferva, quód in Operationis progreffu, poteram md 
fe quamcumque datam Quantitatem inter Terminos 4x, & —i 
x 
pro intermedio "Termino qui deeft ; & ita valor ipfius y. potuiffet 
exhiberi modis infinitis. plus po 


Jf. Nevioni Opufenla , Tom. LC v. 


9 o OPUSCULUM Ik 

Si praterea Quantitas Relsta habet aliquem. Dimenfionum fuarumr 
&adum Indicem, revocari poteft ad Integros, ponendo, quód 
Quantitas Indice fracto affecta. eqnalis eft. alicui tertie Fluenti , & 


fubítituendo pro Re/«r4 Quantitate & ejus Fluxionibus Quantitatem. 
educam ex /Equatione fiditih, ejüfque Fluxiones. ] 


Própofita fit, ex; gr., JEquatio.j — 3n Hp, in quá fracto 
Indice. 2- afficitur- Quantitas Reese; fumpt ad. libitum. Fluente 
aliquà 2, fapponey 3 — s, wely— z^; Relitio Fluxionum, per- 
Probl E, erit ge jene: . Quapropter- fczibe- 31es pro 7, & z^ 
pro. 7 &. ze pro? hinc habiturus 35e. —5 3x22 -- z! aut 
£-—s4- EZ ubi s füngitur officio ReZate- Quantus Jam.. 


^ extracto vire ipflus.e, puta, & —— -- ICE et E n i 


&c; , reftitue Di prot, & obtineh pedum Rehtionem inter x, &. 


'» videlicet: pj—iek Mu $ &c;, vely. amnia. 


: eleyando- ad eim Foi, Lir di ta" tat 
nP&c dc p 

j Item, 8 daret Rueioj — Vaga Vi, Ed 
: 5. facio x——É, five 2 —, &- hinc, per ProbL I, duco az&. 
L5 quapropter 25 — 22 T zo ant $—I T £& ergo, 
per priorem liujns Problematis Cafüm, eft peu! xt, five*- 


zx4- 1 LB, & quadrando, aux T ; TM Sed,, 
f vis. valorem J expre(fum .ipfipitis modis. diverfis, pone see 


I 
LU » 


METHO. FLUXIO. ET $ERTER. INFIN.. $y 
4 i "3 affümendo quemvis primum Terminum c, & habebis 
£t (idety) ec pac 4- Do a E Es $^ Sed 


orf hac perfsquens , que raró ufu-veniett , nins minuta: &ru« 
tatus videbor. 


SOLUTIO CASUS IIL 


Statim nos extricabimus à Problemate folvendo, quando JEqua: 
tio continet tres vel etiam plures Quantitatàm Fluxiones. Nam, 
ad id fufficit quamlibet Relationem inter binas fuppomere, cüm hzc 
Relatio à ftatu quzftionis non determinatur, & hinc deduci poteft 
Relatio, quz eft intet earum Fluxiones, ita ut éxterminari poffit al- 
terutra cum Fluxione fu& Quamobrem , íi trium. Quantítatum 
Fluxijones adfunt, una JEquatio affumenda eft; dux JEquationes , 
fi quatuor infunt Fluxiones; atque ita porro; ita ut JEquatio propo- 
fita tandem in aliam transformetur, in quà fint duz Fluxiones tan- 
tummodo. Tunc autem /Equatio hzc refolvenda eft ut fupra, & 
fic detegentur Relationes aliarum Quantitatum. 


Sit propofita Equatio ax — £d xy—o0: Ut obtineam Re- 
lationem Quantitatum x, y, & e, quarum Fluxiones *, 7 , & c funt 
in JEquatione hác, fingo Relationem quamlibet inter duas ex ipfis, 
puta, inter x, & 7, fupponendo quód x — 7, aut 25 — 4 3- t, 
five x — 53; &c: Sumamus x — jy, &, ( quod hinc confici —- 
tur, ) 25. lgitur ZEquatio propofita, ponendo 2jJ pro x, 
& yy pro x, mutatur in hanc 4y —« yo & hinc edu- 
citur Relatio mer 7, &z, id eft, ape? z—0: Ref. 


titue x proyy, &x* pro j* , & invenies 2x -- LI -—z. Ergo, 
ex infiniis modis, quibus x, y, & x, altera ad alteram, poffunt 
referri , unus itventus fuit, qui exponitur par has /Equationes x ——7y; 
25 - qx Rar ox : : 

L a DE. 


a 


yw o OPUSCULUM IL 


DEMONSTRATIO 


Xioc pacto folutum eft Problema , fed latet Demonftratio. Cm 
entem tot & tam varia contineat hoc Problema, ut Demonfítratio. 
Íyntheticà fine maximis ambagibus deduci nequeat ex genuinis cjus. 
fundamentis, füfficiet eam. breviter indicare analyticé. — Propofità 
igitur JEquatione, & Opere peracto, tenta num ex JEquatione re- 
;pertà regredi liceat ad. propofitam, per Probl lI. Quod ubi accidit, 
€onftat Relationem , quz eft inter Quantitates in JEquatione epe 
€, requirete Reitionein qué eft dnter. Fluxiones in propofitá; & 
vice verf. Q. E. . 


. e JEquatione mE jx, ex eà deduceretur Equitio 
ri xx ,'& ex hlc , vice verf, per Probl. L, y xx,aut y—,. 


quia x famitur pro Unitate; Eodem pado , «rey 


Tx - xy conficitur y —x ——xx Je Lt T x Ex 
— Apri Eos Rorarfos hinc, per Prob L, jy x —— ax 
MTxx— F x*-- T'—G6 x5; &c., qui duo valores con-. 


. veniunt, wt patet. fübftituendo.s — xx - x! ——— x* t 


À'; &c., pro J it primo valore. 
Sed in JEquationum Reductione adliibeo Operationem, cujus ra-. 


' tionem afferendam cenfeo ; ea confiftit in alicujus fluentis Quantita-. 


TAE 


tis tranfinutatione pet ejus connexionem cum datà Quantitate. Sint 
(Fig. 4.) AE , atque 4e, due Rede utrimque in infinitum proten-. 
Íe; per quas ferantur due res mobiles, aut duo Pun&a, quz eo-. 
dem Tempore perveniffe concipiantur inloca A, & 4; B &5; C 
& c; D &4; &c, & Mobilis, quod fertur per AE, diftantia à 
pun&to B illius Motum ita metiatur, nt —— BA, -- BC, 4- BD;. 
--- BE fucceffivé , & quando Mobile eft in locis A, C, D, E, fint 
fluentes Quantitates. — Pariter, fit. & fimile Punctum in alterá Lineàz: 

. . Tunc: 


ee 


METHO, FLUXIO. ET SERIER. INFIN. $; 


Tuncigitur — B À, &— 44, erunt duz contemporanee Fluentes, 
üt etiam 4- BC, & 4-éc; 4- BD, & --é4; -- BE, &-4- be; 
&c. Jam, fi Pun&is B, &b, fubftituantur Punda A, & c, ad quz, 
velut quiefcentia , referantur Motus; tanc e, & — cw; J- AB, & 
— ebyd- AC, &o, 4- AD, & - cd; -- AE, & -F ee, erunt 
contemporanez fluentes Quantitates. — Quocirca, mutate quidem 
funt fluentes Quantitates Additione & Subdudione datarum Quan- 
titatum AB, & «c; fed in iis mutate non fuerunt neque Motuum 
Celeritates, neque mutua,Fluxionum Relatio. Partes enim eodem 
Tempore genite AB, &' 46; BC, & $e; CD, &cd; DE, & 
de, funt ejufdem longitudinis in utráque hypothefi. — Eodem pado 
in JEquationibus has Quantitate$ exponentibus contemporanet Quan- 
titatüm partes non idéo mutantur, quia abfoluta earum magnitudo 
aliquà datà Quantitate augetur vel minuitur. . Hinc patet propofi- 
tum; etenim eó tantüm tendit Problema , ut determinentur contem- 
poranez partes aut differentiz abfolutarum Quantitatum s, x, j, aut 
- £, defcripte datà Fluendi Ratione. — Nihil autem intereft cujufnam 
abfolute magnitudinis fint hz Quantitates, dummodó earum con- 
temporanez vel correfpondentes. differentiz conveniant cum propo- 
fità Fluxionum Relatione. 

Hujus rei ratio tradi etiam fic algebraicé poteft. Propofita fit 
Equtio jx; & fuppone x—r-4£; igitur, per Probl L,, 
x; Quapropter pro gems fcribere licet y — jx 4- yzx. 
Nunc, quia x — s, liquet, quód tametfi Quantitates x, & e, nor 
fiit ejufdem longitudinis, attamen equaliter fluunt, refpedivé ad y, 
& habent zquales unà genitas partes. — Quidni igitur reprafentemx 
eodem fymbolo Quantitates, quarum Ratio fluendi? eadem eft, & 
ad determinandas earum. contemporaneas. differentias quidni fcribam 
g—)x4)x5, pro geJdSx 
' Demum manifeftó apparet , quemodo inveniri poffint partes: 
«ontemporanez ex /Equatione Flüentes involvente. 

Sic. adfit JEquatio 17 Ts, &, càm x— 2, fit j—2 

L a 


I 
"t 
i 


$6 ^ | |1OPUSCULUM 1L 
st, cm x25, tunc y —3—7- Igitur, dum x fluit ex 4 in 37 


j fluit exarina-, quapropter partes codem Tempore defcri- 
pte funt 3— 2-4, &3L— aL 

His, tanquam dicendorom undameatis fübítrts, ad magis pe- 
suliaria Problemata defcendam. 


PaosL IIL 
Quantitetum. Maxima Minima. derermimare. 


"Chim Quantitas eft omnium poffibilium Mixime, vcl Misbne, 
'a, hoc ipfo Temporis momento , nec retroverfum fluit, nec an- 
trorfum : Nam, fi antrorfum fluere , id eft, crefcere pollet , ante 
Fluxionem certé minor erat, quàm póft; & póft major quàm an- 
Rea. — Et, vice versà, fi retroverfum flueret vel decrefceret. — Igitur 
quare ejus Fluxionem , per Prob. I, & eam nihilo equalem pone. 


Ex&nM?r 


"Quxrendus fit maximus Valor ipfius x in JEquatione x* — xx 
-paxy — y! — 05 quare Relationem Fluxionum x , & 7, & in- 
venies 3xxx — a4xx -- 4yx --4x y—— 353 — 0: Fac x—0, 
reftabit ex y — 355 y —0 vel 3yy—4x. Hujus ope exterminabis 
alterutram ex Fluentibus x, & y à primarià /Equatione , & aliam 
determinabis ex /Equatione hinc proveniente ; & deinde ambas per 
—7) dx — o0. 

Hoc facere non aliud eft, quàm multiplicare Terminos /Equa- 
tionis propofite per Dimenfiones alterius fluentis Quantitatis y. Hinc 
deduci poteft notiffima Regula Hu np EN1t, quá jubetur, ut ad 
inveniendam maximam vel minimam Quantitatem Re/atam ; JEquatio 
difponatur juxta Dimenfiones Quantitatis Cerrelere , & Termini 
inultiplicentur per aliquam arithmeticam Progreffionem. - Sed quia 
neque hzc Regula, nec ulla alia cx iis, quas vulgatas fcio, fe ex- 

. tendit 


METHO, FLUXIO. ET $ERIER. INFIN. $7 


tendit ad /Equationes affedas fürdis: Quantitatibus , abfque pravi: 
Redu&tione idcirco fequens dabo Exemplum ad hunc Cafüm fpectans. 


ExzmPr. IL 


Deecnianda fit maxima Quantitas y in. /Equatíone x* —4y5 

EI reu -xx-——o. Qüzre Fluxiones x, & y, quod dabit: 
aeg imrbab's — qaeecbes eren, 
JEquationem gxxx LAE Core 
to m0, ám, quia, perhypothefim, y— o, omitte Terminos dudog. 
in » (quos. ad laborem minuendum omififfe potuiffes inter operan: 
duni, ) & quos faperftites iivenies divide per ix; derimm habiturus 
a3x— 7 i Eo: Hinc, Redudione facà, affequeris 
"n 

44)--3xx — 0 , cnjus ope poteris exterminare alterutram ex: 
Quantitatibus x, & y, ex propofità Equatione ; & illa, qux hinc: 
exfürget; (erit autem cubica) dabit alterius valorem. 

Ex hoc Problemate deduci poteft. Solutio: fequentium. 





r . 
Dzte Trienguló » 4t Ságmento emjufvi dta Cirvs, snferibera- 
ssaximum. Recfangulume..—. 
Lr Lr 


Ducere ssaxitam aot mitimam reilam Lineam, qua jacere poffs- 
inter datum. Puntiam dp. Curvam pofitione- datam. a. ex dato? 
Punclo dacerc. Reiflam., qua.ad vélos. dngaies occurrat Cove, 


LII. 


JDueere:vettm Lintam maximam aut minimam etrum, qua TrAs: 


Junt. per: datum. Puniium , dr. jacem. inter. dne aliat Lomone fre 
lice , o Corvas, . "es 


3$ ^ÓPUSCULUM IL 
. I V. " 
Ex Puncio dato in. Parabold. Reclam. excitere , que. Parabolem 
Jfecet fub. Ldngulo omnium maxim) obliquo, — ldémque facere im aliit 
Cwvg, — 


v.c 


Determisare Curverun Verticer , earum. maximae Aut. minimae 
datitudines , Puncla , in quibue pertes gyrantes [cfe mutu) fécant 5 Gg. 


020 0VE 

Jovenire Punta: Curvarum , in. quibve ca. maxim? vel minim? 

eme fum. D 
VIL 


lo ded. Eljpfi reperire minimum /drgulorum , quo Ordintta ea" 
vum. Diameirum fecent. 


"VIII: 


Ex omnibus Elipfibwe , que manfre poffumt per deta quamor. 
Puncla , determinare maximam , vel cam qua ad Cireylum quàm» 
groximà. accedis. 07 54 . 

IX — — 

pag ned partem jberice Saperficiel inremotiori Hemifhario ; 
quem. ilurhinere poto. Lux. progrediens 2 magno intervalo, C re- 
frati ab. Hemifhario presimur, 2. 


Plura alia Problemata bujufcemodi facilius proponi polfunt, quàm 
tefolvi ob Calculi labore. P T 


PRosL 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. $89 
Puost d08V o7. 
Ducere Tangentes ad. Curvas, 
PRIMUS MODUS. 


"Tangentes modis fané variis duci poffunt pto variis Relationibus ; 
quz inter redas Lineas & Curvas intercedunt. Et primó quidem 
fit ( Fig. 5.) BD reda Linea, vel Ordinata, faciens Angulum quem- 
vis datum cum alià Recà AB, (qux Bafis eft vel Abíciffa , ) & ter- 
minata ad Curvam ED. Moveatur Ordinata per fpatium indefinità 
parvum ufque ad locum £4, ita ut ea augeatut Momento c d, càm 
AB augetur Momento Bé, cui Dc qualis eft & parallela. — Pro. 
ducatur D 4 donec ipfi AB occurrat in T; & hzc Linea Curvam 
tanget in D vel 4, & fimilia erunt Triangula 4c D, DBT, qua- 
propter TB: BD:: Dc (vel Bé): ed. 

Cüm autem Relatio BD ad AB exprimatur JÉquatione, quà de- 
finitur Curve natura; hinc erue Fluxionum Relationem , per Probl. 
L Deinde cape TB ad BD in eádem Ratione, in quà Fluxio ipfius 
AB eft ad Fluxionem BD; & ada TD Curvam tanget in Pundo D. 


ExrmrL 


Si dicant! AB—x, & BD —» earimque Relatio exporia- 
tur per x — axx tax) —XJZ2— z— 0; erit Fluxionum Relatio 
gx x x — 24x 4- axy-I-4ji —. uy 6j igitür j: x: 1axx— 24x 

—— d: 
7k y: 3j — 4x :: BD(3): BT. Quapropter BT — ado. 
Datur autem Punctum D; quare etiam DB, & BA, vel y, & x; 
ergo BT magnitudine datur, & hinc Tangens TD determinatur. 

Hoc autem pado concinnior reddi poteft operandi Methodus. 
Propofitz /Equationis Terminos pone equales nihilo; eos multipli- 
Ca per numerum Dimenfionum Ordinatz; &, quod hinc confici- 
tur, pone in Numeratore ; deinde multiplica Terminos ejufdem 
JEquationisper numerum Dimenfionum Abfciffe, & Produdum di- 

If. Newtoni Opsfeula , Tom. 1. - M vifum 


by 


TAX. E 


9o OPUSCULUM Il 
divifüm, per Abfciffam pone in Denominatore valoris BT ; tunc: 
accipe BT versüs A, fi ejus valor eft affirmativus, & ad contrarias. 
partes, fi negpiivas 
o 3 
Sic JEquatio » — axxaxj — j*'-—o0., multiplicata per 
3. 2 1 o D. 

fuperiores. Nameros dat, «xy — 35" pro Numeratore, & multi-- 
plicata per inferiores Numeros ac divifa per x prebet 3xx — 24x: 
*F 4) pro Denominatore valoris B T. 

Pariter, JEquatio jJ" —&y y —c4y d- £ed 4- dx y — 0, (quz: 
exprimit naturam Parabole fecundi generis, cujus ope CAR TEs1Us. 
conftruxit /Equationes fex Dimenfionum ; Vide ejus. Geometriam: 

Du 
p 41s ZEmficl. Ed. 4n. 1659,) ipfo intuitu da Utm cire, 
py 25 —BT. 
five Pu —M—4brBT. 


Eidem quoque ratione 44 — T xx — 3j 7 0, (que pertinet: 
ad Ellipfim,, cujus centrum eft, 4) prabet —m, auc 2 —BTz 
— Lx n 
4 


& fic de ceteris. — - 

Notare potes,. quód' nil intereft quinam fit Angulus, quem Or« 
dinatz faciunt cum. Abfciffà. 

Sed Regula hzc.fe non extendit, neque ad JEquationes affedtas; 
Quantitatibus furdis ,, neque ad Curvas mechanicas ; tunc autem: 
confugiendum. eft. ad Methodum, quà hac, tanquam. fundamento ,, 
innititur. 


ExzmPr IL 


Sit JEquatio x* —A44- PES EL AUT rur "dr xx 0, exponens, 
Relationem, que eftinter AB, & BD, erítque, per Ptobll, Relatio: 


bpabyiy eps Get i oen 
Elnxionum 3xx* — 24) - iran RS rr eos. 


quam- 





METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. px 


. ^ Q0 e—6 vs. LI 34byy — abo 
quamobrem erit 3xx avgdss! 24) 22-243 39 
axx 


*iypmeggie) BD:DT. 
Exzmrzr IL 


Sit (Fjg.6.) E D Conchols Nicemedaa , cujus Polus G, Afymptotus « Ap. y; 
AT, Intervàlum LD; & fit AG —^é, LD—c, AB—x,& 
BD — )j. Similia Triangula DBL, & DMG dantLB: BD:: DM: 
MG, id et, Vcc— 5: j:x: 6- y, &iddirco b4p 5x Ve—3 
— xy: Hác JEquatione repertá, fuppono Vc—— ——, unde 
xconfequor duas JEquationes &z.-1- yt — xy , & cc — yy —— zs, qua- 
Tum ope invenio Fluxiones Quantitatum x,y,&s, per Probl. l 
Prima dat &z4- 3 z - & y —3x H- xy; & Secunda — 2y y — 225, 


atr --jg——o. Ex his antem amove z, inventurus — S2 





—MI ug 33455; hzc autem JEquatio refoluta dat y: & 
—2— Hox E G :x2)BD: BT; atqui BD eft ipfa, 
ergoBT — e — x —u fcilicet — B'T — AL4- nom 
Wbi fignum — praefixum ipfi BT denotat, quód Pundum T fu- 
mendum eft ad.partes contrarias Pundo A... 
"SCHOLIUM 


Hinc patet quomodo reperiri valeat in. Conchoide Punctüm, quod 
Teparat partem convexam à concavá. Illud enim erit, càm AT eft 
omnium minima. Dicigitur AT —»«; &, quia BT — «—£ --* 


T EA erit y — — z-- ax zT, Opus brevius red- 


diturus pro. x pone "E 5 qui valor manat é füpra-didtis, & 
. ! M 2 habcbis 


31 , OPUSCULUM 11 
habebis Se £-- ESL, Unde erui poffunt, per Probl ; 


Flxionezs , » & 2; ac, fapponendo y — o, per Probl. HI, 
invenies 2^5. rs m " Hinr. EE 


zm — 0. Denique, fubftituendo in. hàc JEquatione — A 


pros, &ec — yypro £2, (quos valores jam inveneramus); ac 
fa&à Redu&ione legitimà, obtinebis * 4- 36 y — 25ec —0 ,, 
cujus JEquationis Conítru&io determinabit » vel A M; & MD pa- 
mida AB acta per pundum M. cadet. in Punctum D Flexüs con- 


nod fi Curve, ad quas Tangentes ducendz funt , forent me- 
-chanice ; Quantitatum Fluxiones inveniri deberent, ut in Exempl. V. 
Probl L & cetera fieri ut fupra. 


Exrnmrr. IV. 


TAB,  Sint(Fig. 7.) AC, & AD duz Curve, que fecant ín Pundtis 

C & D Redam BC D applicatam Abfciffs AB in dato Angulo. Sint. 

.AB—s,BD—y.& g An AC eritque ( per Probl I. 
Prepar. ad Exemp. V.) £— xx BC. 

.Jam., fit AC Circulus vel aliqua ex notis Curvis, & ad deter- 
münandam Curvam AD data fit Equatio involvens z, puta, &&. 
ME«ex—y*. Ergo, per Probll, aux ax t - ax ay 
&, ftribendo xx BC pro z, erit 22x X BC -- axx XBC -- azx 
— 4553; quapropter az x BC 4- ax X BC -- ez: LE iQ xiu) 
BD:BT. Igitur, datá naturá Curve AC, Ordinatà BC, & Are. 
ACB vd 5»; dabitur etim, Punctum T, per quod tranfit, Tangens. 
DT. 

u Eodem pacto, fiae — ap et quito pertinen ad Curvam AD, 
erit (32) 3xXBC— 27, & ideo 3BC : 2 :: (: X: :) BD: BT; 
& fic. de cxteris. ExmMPL. 





METHO. FLUXIO. ET;SERIER. INFIN. s 
ExznmPr V. 


Si AB — x, BD —75, ut priis, & longitudo Curve AC 
zz; & adà Tangente quávis, ut Cz, erit Br: Cr uxi£, ant 
i EXCt 

Bro 

Nunc altera Curya AD, ad quam Tangens eft ducenda, definia- 

tur aliquà datà /Equatione involvente £ ; ex. gr. , £ —2), quocirca 


£c, ergo Cz: ;B:: (0s x: :) DB: BT. Invento autem Punc- 
to T, duci poteft Tangens D 


Pariter, fupponendo xe — p. fe X& pex ay, unde ,, 
bendo EXCI pro s, conficietur EXC ax 25 . D binc 





€— : BD: DT. . 
EximPL "XL 


Sit (Fig. 8.) AC Circulus, aut quecumque alia Curva cogni- TAE, Y 
ta, cujus Tangens e& Cz; & fit AD alia Curva, cujus Tangens 
agi debet, & qua definitur affumendo AB equalem Arcui AC ; 
Síntque € E, BE Ordinate ad AB fub quovis dato Angulo ; & 
Relatio, qua eft inter'BD., & CE vel EA, exprimatur JEqua- 
tione aliquá. 
Nunc dic ABvc AC— x, BD—j, AE—£, & CE— v. 
Liquet, quód v, x, & z, Fluxiones ipfarum CE, AC, & AE; eandem inter 
fe Rationem habent'ac CE, Cz, &E1;. quapropter SKCEL. 
& EXEtL 


? . 
Jam, detur JEquatio quvis definiens Curvam A D, puta, y— s. 
Ygitur 7 —52 ergo Ez: 1C ::(4:5:) DB: BT. 
Msg Aut 


TAE GLO 


»« OPUSCULUM IL 

Aut data JEquatio fit y — £.--« — x, unde affequemur 7 - 
(a) XE ELÁSC & idcirco CE --E? — 
£C: Cri (ixi) DB: BT. 

Aut denique detur /Equatio 4yy — s* , qux progignet 24y —— 
(30 s ) sanc x CE; Hinc antem conficitur 34&X CE: 24jX C$ 
:: DB: BT. 


Exrmrr VIL 


Sit ( Fig. 9.) FC Circulus, quem CS tangit in C, & fit FD 
Curva, qua definitur affumpta aliquá Relatione inter Ordinatam 
DB & Arcum F C terminatum ab AD ducà per Centrum. Tunc, 
demiffà CE ordinatim ad Circulum, dic AC vel AF— 1, AB 
mx, BD—7, AE—z, EC», & Cp hinc habebis 


&i—(UXEG 5. & mx ES cs LJ); ubi pono 
Z Quantitatem negativam, quia AE decrefcit, crefcente KC. Pre: 
terea, AE: EC:: AB: BD, ergo zy — wx, quocirca, per Pro- 
bl, 2) yeux exa unde exterminatis £, 5, & sw, pro- 
venit xy — yt— xxt X 

Definiatur nunc Curva D F aliqu. JEquatione , unde excudi pof- 
fit valor ipfius Pin JÉquatione nuper inventá ponendus. Suppone, 
ex. gr., 1 — (JEquatio ad. primam Quadratricem ); ergo, pet 
Probl Ll, £57, &xy— jy xxj 3x5 quamobrem y: — x 
yx: (i —à::) BD (9): BT: Ef igitur BTz-x& 
T)y—»*, & AT 22xx-4yy— -—i 


Haud aliter , fi foret ;/——5y, haberemus atizb, & propte- 
ra AT — EA d atque ita porro. 
ExEXMPr. 


| METHO, FLUXIO, ET SERIER. INFIK. ss 


ExznMPrL HL 


Sit CF. 10. ) nunc &D Recta equalis Arcui FC, & Curva TAB. R. 

'ADH Spiralis zfrcbimedaa , ftantibus nominibus, quz fupra Lineis. 
impofuimus. Ob rectum Angulum ABD, et xx 4- yj —:11; & 
'jdcirco- (per ProbLI.)xx--jj — 5. Atqui AD: AC:: DBz 
€E, ergo 74 —y, & eà de caufà ( per Probl. I ) zu d-«;—J.. 
Denique, Fluxio Arcüs F C eft ad Fluxionem re&z Linee CE, ut 
CA ad AE, vel ut AD ad AB, videlicet: & ::: x; & propte-- 
1€a x1 —t : Confer JEquationes. nuper: inventas, & perfpicies effe 
ui - xi — y y quocitca etiam erit xx --7y — ( (f —) Pri Er- 
go, fi, completo Parallelogranimo ABDQ. facias DQ: QP: 


CDB: BT: Js —*i js: 1— za) ides abfnda AP: 
En e eit PD. Perpendiculáris Spirali- 


Hinc, opinor, fatis patet qu& vià duci poffint Tangentes ad om-- . 
migenas Curvas. Attamen. extra rem. non. puto oftendere quomodo: 
Problema folvi poffit , quando Curvz referuntur ad Rectas quocum-- 
que alio modo : Eo enim pacto, pre manibus habens plures. me-- 
thodos. diverfas ,. femper ufürpare. poteris faciliorem. fimul.,. ac. fim-- 
pliciorem. ] 





SECUNDUS MODUS. 


Sit ( Fig. v1.) D Pün&üm in. Curvé,. ex quo ad' dátum Püntfum T4; gj. 

G duda fit fübtenaà DG, & fit DB ordinatim applicata ad' Abf- 
€iffam AB fub dato Angulo quocumque. Jam fluat Pun&um D- 
per infinité parvum. Curve. fpatium. DZ,. & ex. GD, abfcindatur 
G & equalis ipi G, ac compleatur Parallelogrammum 4cB/£. Tunc: 
D£, & Dc erunt eodem tempore genita Momenta ipfarum GD ,. 
X»B,. quibus nempe utraque muldatur, dum D transfertur in 4j 

. jams. 


96 OPUSCULUM Il 


Jam, reca Linea D 4 producatur, donec fecet ipfam AB in T; 
& ex Pundo T ad fübtenfam G D demittatur ad re&os Angulós 
"TF; unde formabuntur fimilia Trapezia Ded£, & DBTF; & 
ideo BD: DF :: cD: DE 

Cüm igitur JEquatio Curvam determinans exhibeat Relationem ; 
quz eft inter BD & DG, quere Fluxionum Relationem; & abf- 
€inde DF quartam poft DB, Fluxionem GD, & Fluxionem BD. 
Dehinc ex F. excita Perpendiculaem F T, & funda D T Curvam 
tanget in D. — Erit DF capienda verfüs G, fi ca eft affirmativa; & 
ad contrarias partes, fl negativa. 


ExzsznmerL 


Dic GD — x &DB —y; ác Relatio earum. exponatur per 
x! — ax xd- 4xy—). — o: Relatio-Fluxionum erit axxx 
—a24x584- 44x 4- 4xjy—— 377] 0: Quádecaufà 3xx — 24x - 


Sri ax (9: x) DBO?: DE; Ergo DF — 22 — 429. 


3xx—2ax-]-ay* 
Jam, càm detur in Curvà Punáum D, & idcirco BD, & DG, vel 
jJ, & x, dabitur etiam Pun&dum F; ex quo fi educatur Perpendicu- 
larisF T, hec Abfcifie A B occurtensin T. aperiet viam ad ducendam 
"Tangentem T D. 

Hinc, ut pátet, minat ipfa eadem Regula, quam pro primo cafu 
inveneramus. Nàm, difpone omnes date JEquationis Terminos in 
unà eàdémque parte , eos multiplica per Ordinate 5 Dimen- 
fiones, &, quod hinc provenit, pone in Fractionis Numeratorem: 
Deinde fingulos hos Terminos duc in Subtenfe x Dimenfiones , 
Factum divide per Subtenfam x, & Quotientem adfcribe Denomi- 
natori valoris DF: Illam veró Lineam DF fumes verfüs G, fi af- 
firmativus eft ejus valor; fin minüs, ad contrarias partes. — Hic ani- 
mnadvertere potes, quód in toto hoc negotio nulla habetur ratio 
diftantie Pun&i G ab Abfciffui AB, (licét nulla effet hzc diftan- 
tia, ) nec Anguli ABD , quem Ordinata BD facit cum Abfci- 
fà BA. : 


Sit 


METHO) FLUXJO: PE SERTER INFIN. $f 
Sic Equitio fupezior-x* ae- a xk do x yag! o flatim dat. 
«xy — 3)! pro Numeratore & gx 24x didi pro puel 


amatore valoris D F. 
Sic paier Ly e ne eti T dua 


Seticus) preik 21.) pro Nubetiés &b plo Detómihtore 


valoris DF, ideo future cc 2. 


* Haud aliter ( Fir. 6.)'ià Conchoide (in quà Problema folvi [TARE 
poteft expeditià$ quàm füpta, ) ponendo GÁ —4, LD —c, DG' 
e-x,& BD — y; eit BD (3)! DL(c) : AG(5): GL 
(x —2 6); quate xy — £y —— be aütx j.— ey — bez 0. Hac 
EEquatio, juxta Regulam, dat £2 73, videlicet x c —DF.. 
Produc igitur GD in F, ita ut fit DF — LG; ad F erige Perpen- 
dicularem F T ,. quz occurrat Afymptoto AB in T ; acta TD Con- 
choidem 

Si quando autem compofite aut fürdz Qtiantitates funt in Eque 
tione, confugiendum elt ad. generalera, Methodum, nifi malis JEqua» 
tionem Feducere : 








Exrkbi IL 


Si CER. 11.) /Equatio b-EyxVz—3.3-— xg daretur ad ex» TAB. 
brimendam Relationem, qua inter GD, & ID B intercedit ; quere 
Xiónurn Relationes, per Probl. L; ex. gr. , fuppone 56—3J 
z—z, unde conficientur /Equationes Perse x), &cc 3. 
— c5: Hinc invenientür Fluxionum Relstiones. bx 4- gie] 


e—x3H)x, & — 2yy—25& Nunc, exterminatis z, & * 
habebis J V&—35 tui LL xj— j igitur: (a 
o bm.I.ys (: M DE 
UU Yx— 


, AC Nei piu ol 777 Pes 


moon) OPUSC IVO EE. 
Ure rx TPUS 70D: mE 


TAB. IL Quinimo ( Fig. 12. ) & Cara referretur ad duas fübtenfas A Dr 


pB, ductz à duobus s Ai . & B, convenirent 
M icum. C Concipe Pündtum D ctu Cari! per infinité par- 
wm fpatium D 2, & ex. AD..ac DB. abfcinde A4 quidem equa 
lem Ad, & Be parem B4; tunc £D &.D e, erunt fimul genita 
Momenta Linearun AD, DB. Quapropter fume FD, que adDBr 
babeat eandem, Rationem ac Momentum £D ad. Momentum Dc, 
ideft Fluxio Rec A D ad Fluxiorem ipfius DB); & age BT, 
'F Perpendiculares ipfis DB, AD, & fibi mutuó occurrentes in 
T: fimilia erunt Trapezia DF TB. ac D£éd«e, quamobrem Diago- 
nalis DT Curvam tanget, 
Igitur ex JEquatione definiente Relationem, que eft inter AD 
& DB excude, per Probl. L, Relationem, quz inter Fluxiones in« 
Voeedit, & abícinde DF habentem ad D) B candem Rationem, . 


4 D : 07 Exzrxkrn oL 
: Supposams AD ze x, & DB «7, & earum Relatio üt 4« 
fj—g-—. Hac autem Equatio fpediat ad Ellipfes fecundi Or- 


dinis, quarum Proprietates pertinentes ad Lucis. Refradionem de- 
monfuate fuerunt à Can tes10 in.cundo fuz Geowerrie Libro. 


Jom Fiuxionum Reltio erit 5 —]— o, quapropter e: d :: 
Q:::) BD: DF. 
Eldem ratione , fi foret e — ^ d 1. haberemus e: — d 
: BD- DF. 1a prid hyporhet fumi deberet DF veris A, & 
peti partes in fecundá, 
CoxortL L 


Ergo fü dame, (tunc autem Qurra eridert dio conie, ) 





METHO.FLUXIO.:ET SERIER,INFIN. oy 


effet FD —DB; & propterea Triaugula DFT, &DBT, equa 
lia effent, & Angulus FDE bifedus à Tangente. 


Cosàórvr« iL 


Hinc etiam fponte fluunt ea, quz fatls operofé demonitravit Cà à» 
TEsIUS de Lucis per has Curvas Refradione. Nam, fi DT fu» 
matur pro Radio, fnnt DF, & DB, ( qni funt in datà Ratione 
4 ad e, ) finus Angulorum DTF, & DTB, quos nempe faciunt 
Radius A D Incidens in fapeificiem Curve , & ejus Reflexus aut Re- 
fradus D B. Et fimiliter eft ratiocinandum de Refractione Sedionum. 
conicarum, cüm alterutrum ex Pundis A vel B concipitur ad infi» 
nitum intervallum. — 


Facilé modificui poet hà: Regula, (ut de foperlófe fecinws, Bonn 


plura harunj modificatiorum la affero Quinimo! /fb quivis 
ali& ratione Curte referantur ad ; fec faciló ad. füperiorus 
Relazonum rnodos evocari polit, facile erit , pro. re ngtk, novis 
Methodos inveniré in allatarum mapcd 

f). 


ORvARTUS Arépvs 





EN fih 
. Gyret, CF. 1) Py ref Linsa BCD diré datum Pync- TABIE 


tum B, & unum ex Punáis ejus D defcribit Curvam quamdam, 
dem ahcmes £ femper eft in. communi Sedione Rem BCD & 
alterius Redx AC pofitione datz. Exprimátur infupet JEquatione 
aliquá Relatio, quz eft inter CB; & BD:. Age BF Parallelam ip» 
fi AC, eámque produc, donec in F occurtat ipfi F D Perpondicui- 
ri ad B: Rurfus erige F T ad rectos Angulos ipfi DF; & inveni 
FT, que ad BC eandem habeat Rationem ac Fluxio DB ad Flu. 
Xionem BC. Tanget enim Curvam ada DT. E 


QUINTUS Mobvs : 


Sed fi, dáto Puncto A, JEquatio expriniret Relation inter. AC, 

& BD, agere deberes CG Patillélaín 'ipi DF, &' düzrere PT 
ita ut ea foret ad BG, ut Fluxio B D elt ad Fluxionem AC EX 
a Cd 





30 ». 20 P EACULUM "T 
sitorigi "sPXTUS Mobvus 


Rurfus, fi JEquatio exponeret Relitionem: inter AC, & CD, 
eonyeniant Rede A C & F T ini Hi, & fume HT, que ad BG ean- 
dem, habeat. Rationem à ac. Furio. DCa. Fluxionem CA. Es fic. 







ierrrwws M0 DS. 


eri 





notar " 
Neque aliter. prdicitur Problems ,. cin Curve reeriitur, nom 
ad rectas Lineas, fed ad; alias Curvas;: quod ufu-venit. in. mechani- 
TAB. Hj. cis Cueyix: Sit Fir. 154) BG Pripheria Ciranli, aajus. fémidia-. 
tbetop dft AKnioqyi: dumeityrati citca- Centresie A, concipiatur Pans 
tomi Di seokeri; quevis:.pactoi dummodo: Spiralem-.aljquam. A D E 
deloribat;:Suppone D 4 effe; infinità exiguam. partem, Curve; pet 
quam. fluat, D,,. ac fume, c Ac —A d: erinique v D. &. Gg, eodem 
tempore-nata Momenta Rede AD & Peripherie BG: Quapropter: 
age Az. Parallelanp ev; cidbe(k, adiyetlos Angulos ipfi. A.D, eám-. 
. que fecet in T. Tangens TD ; tum erit De::c4:: DA: AT. Rur- 
soam Fans fit GE Parallela. Tangenti; D T a& habebis cdi. Gg: CA! 
- xl AD. AG: SRATSARC 
E: Quódiras;. Bropofità.JEquatione exprimente:- Relitipnems;. p a 
tercedit intevripfas BiGrátr ACD ,. quxre: Relationem, qua:eft: inter 
erum: Fluxiünes; peb Prot. 1. &'faciin: càder Ratione 7A 3d AG;; 
: Jost Gs érit Tinjeni palla. 


Egagernok. 








Diis BG s; '& AD-y; üt earum Relatio x? ana 
Raxjy—J- ——o: Erit,. per Brobl L, 33 — 24x E 45:33: 
—2ax::(:X:) DA: Ar: Punto autem.£ fic. invento, age, t G: 
'& ipfi paral km DT, qua Curygi imi . 


4a n toda cH 


5 SEXE. 





 METHO. PLUXIO. ET SERIER:; INFIN. Yor 
'Exrwarr H^ 


Si haberetur 57 q— ——J, (quz eít JEquatio ad Spiralem ZfreZime: 


deam, ) eli 5 — 5, &;idcirco 4: bii(qux:)DA: Af. Un-- 


de ,. obiter, fi producatur AT in P, ita ut fit PA: AB::. 4:4 
janda PD erit. Perpendicularis ad Curvam.. 


EXRMPIL. HI. 


&* ete —h. foret ax — B, &ax: ks DA: Ar. Et 
Noc. pun Tangentes. facilé duci poffunt. ad quafcumque Spirales. — 


BU DOC TAS V. U S. MO D US. uw 
. Pro: Quadiatricbus. 


Si' verà Curva effet ejufmodi nature. ut quevis Reda AGD' TAE 
(Fig.16.) ada per Cehtrum A. fecaret Arcum. Circuli. in G. & T4 IU 
Curvam in D, ac. Relatio ,. que eft inter Arcum BG, & rectam Li-— - 
néam- D H. orditatim applicatam Baft aut-Abfcife AH. fub dato An- 
gulo, definiretur JEquatiome quálibet :. Concipe. Pun&üm D move- 
ri in Curvá per infinité parvum. fpatiolm. D 4;. & comple Paralle- 
logrammum 4H £; déhinc produc A Z.ad c; ut eA —4AD ; eránt- 
que Gg ac. D 4; fimul generata. Momenta. Arcüs BG. & Otdinate 
DH. Jam,. produc. DZ- re&à in T;. ubi. occurret ipfi AB.,. & 
hinc.educ T E. perpendicularem ad DE :. Erunt igitur. fimilia. Tra- 
pezia D&dc &DHTE; quocirca £D ;De:: DH: DE , Quód 
fi praterea ducatur G f ad. rectos Angvfos ipli A.G & fécans AF in 
f» erit, ( ob Paralleas DF & Gf, ) De: Gg :: DF: Gf ergo;. 
ex aquo; DE: Ge :: DH: Gf, idieft; ut Momenta. Fluxionum: 
Linearum DH, & BG. 

' Quiere. igitur ex JEquatióne exponente Relitiómm. BG ad DH: 
Reitionem Flintioimmi Cper Probl. I); &'in eádem: Ratione fdc: 

NS RO eucz^ bos 





165 OPUSCULUM 1l 


Gf, Tangentem fcilicet Circuli BG, ad DH ; age-DF Parallelam 
Gf, quz fecet Af. produdam in F, ad F erige Perpendicularem 
FT occurrentem ipfi AB in T, & junda D T tanget Qyadratzi- 
cem, 


Exeix?Lh L 


Faciendo BG—x, & DH —J üt eb, etgo ( per Pro-. 


bl. L)axx —53; quapropter 2x : 6::(9:x :2 DH: Gf & 
Pundo f determinato, cetera perficientur ut fupra. 

Sed hzc Regula poteft aliquando fic fortaffe elegantior fieri: Fac 
x:)::BA: AL: Deinde, AL: AD :: AD: AT; ac juna DT 
Curvam tange. Nam, zqualia Triangula AFD, ATD dant AD 
XDF —ATX DH, &, propterea, AT: AD: (DF vain 


XGf: DH aut Gf: : ) AD: (-- AG five) AL. 
* x . 


Exzrzrnx2?r IL 


Sk cy (que FEquiio ad Neterum.Qyadniticem pertinet ) 
eris quoque x 5: Qpocirca AB: AD:: AD: AT. 


ExzmMPr —IL 


Sit 4xx —)* , ergo 24xx — y: Fac itaque 3yy: 24x : (x13 

::) AB: AL; deinde AL: AD:: AD: AT, & fic expedité deter» 
minare licet Tangeütes ad quicumque alias Qyadratices quantumli- 
bet €ompofitas. | 


NONUS MODUS 


Denique fit ABF data quzvis Curva, quam tangit Reda B; 
X BD pars Retz BC, ( quz ordinatim applicata eft fub dato quo- 
libe Angulo Abíciie AC, )intercepta iuter hanc datam & aliam 

Curvam. 





METHO. FLUXIQ. ET $ERTER. JNFIN. 103 
Curvam DE, ad partem Curvz A B habeat Relationem aliquam ex- 
preffum JEquatione quácumque; ad fecundam hanc Curvam duces 
Tangentem D T , fumendo ( in prioris Curve Tangente) TB, qux 
*d:-BD habeat eandem. Rationem ac Fluxio Curve AB ad Fluxio- 
ám Rédto 'BD. 

"ExznmnrPrL 


Vocatis AB — x, & B D, fit 4x— jy, & ideo ax ay: 
Erit 4:25 :: ix: :2 BD: BT. 


Qin Ir 


Sit pre CJEquatio ad Trochoidem fi A BF eft Circulus, ) 
ergo 7- xzmy,& ail :: BD: BT. 

Nec difficilis ducentur Tamgentes, càm Relstio, quz eft inter 
BD &-AC ant CB, expreffa eft per, JEquationem aliquam, vel 
quando Curve referuntur ad rectas Lineas, five ad alias quia Cur- 
xas, quomodocumque demum id fiat.. , 


Aliorum quoque Problematum Solutio deduci pote( ex. iifdem: 
Principis. Hujus generis funt fequentia. 


L 


lovenire in Curod. Punifam, in. quo "Tangeus parelcla fe. A- 
eife , vel cuivis alteri Linea recie pofitionc date, aux ad eam epe 
dieularis , «cl obliqua fub Angulo dato, . 


. ILC 


devenire Puncium, ubi Tangens ef omuium maximh, vel mini- 
am? inclineta «d Alfcifjam, vel ad aliam rectam Lineam pofitionc dae 
14m. Videlicet. 
Invenire. confinie Flexuum contrariorum. Xlujus Problemaus fpe- 
. €iuen jam dedimus in Conchoide. 


IL Ex 


4 ""UPÜSCULUMIL |. 
EN V . "" ep 
Ex PunHe dato extra Curve. Perimetrum ducere Reihen , qui 
cwm Perimeiro faciat dngulum Contartás, vel reium uel quemcumque 
darum. Scilicet, Ex dem Pym/lo ducere «d Üurvas Tangemem, 
vel. Perpendicularem , el. Reifam. quomedocumque inclinatam. 
6 tt n eU V. 


ExtPanlo dato intra. Paralolam. ducere Linedm vedlam , facien. 
tem cum Perimetro omnium maximum vel minimum /dngulum.. Ex 
ddem fecere in Curvis quibufübet, 

' v. 


Refam ducere , qua tangat duas Uervas pofrione datas, aut snam 
Aundénque in duobus Punti ; ubi id feri poteff. EE 


V1 


Corvam fab Legibus datis. defribere , qua. liem. Curvam pofi- 
"Rene datam tangat in dato Puniio. 


VIL 


- Determinare Refraclionem Lucis Radii , qui cadit in. quameum- 
que Curvam Superficiem. 

Refolutio horum & fimilium Problematum adeó difficilis non elt 
(prater Computationis moleftiam ), üt hic in iis morentur, & be- 
ne me Geometris confuluifle puto eorum mentionem folàm fa. 
ciendo. 


Prose v. 


Determinere: Quanitatem Curvatura , quam babet. data quava 
- Qwrv in dato Puniro, : ! 


METHO. FLUXIÓ. ET SERIER. INFIN. voy 


Pauca funt Problemata Curvas fpectantia hoc elegantiora , & qua 
penitiüs earum naturam detegant, Ad hujus Refolutionem pramite 
to fequentia generalia. 


L1 


Jdem Circulus ubique eandem habet Curvaturam, & in diverfis 
"Circulis ea eft in reciprocá Diametrorum Ratione. Si Diametet 
unius Circuli fübdupla eft Diametri Circuli aliüs, Curvatura primi 
erit dupla Curvature fecundi. Si primi Diameter eft fübtripla Dia» 
Ametri fecumdi, Curvatura primi erit tripla Curvature fecundi, &c. 


1l 


Si Circulus tatgat Curvam in ejus parte concavà ad datum Pune: 
tum, & ejufmodi magnitudinis fit, ut nullus alius Circulus tan- 
"gens, poffit defcribi intra Angulum hujus Contadüs , Circulus ille 
*andem habebit Curvaturam ac Curva in Contadüs Pundo. Nam, 
Circulus, qui defcriptus effet inter Curvam & alium Circulum pet 
Pun&um Conta&üs, minis differret 4 Curvà quàm alter Circulus, 
& magis quàm ille, accederet ad Curva illius Curvaturam. Ergo 
ejus Curvature proximus omnium eft Circulus ille, inter quem & 
Curvam nullus alius Circulus defcribi poteft. 

IIl 

Quapropter Centrum Curvature, quam habet Curva in quolibet 

Pun&de, eft Centrum Circuli zqué curvi; & ideo Radius vel fe. 


midiameter Curvaturz, et Rede perpendicularis ad Curvam pars ine 
tercepta inter Curvam. & Centrum hoc. 


Iv 


Et Ratio Curvaturz in divetfis Pun&is nofcetut ex Ratione Cur. 
vature Circulorum zqué curvorum ac Curva in Pundis illis , aut 
*x reciprocá Ratione Radii Curvatura. 

Jf. Newtoni Qpufeula , Tom, I, o. Igitue 


vot 7 G.PUSCULUM IE 


Jgitur Problema verfatur in hoc, ut reperiatur. Radius aut Cin». 
trum Curvaturz. 

TAA m, , Quamobrem concipe, quód ( Fig. 18.) ad tria Curve Punda: 
. à, D, & d a&x funt Perpendiculares, quarum quz fünt ad 2, & 
D, conveniunt in H,. que veró ad D,. & 4, in ^; ac Punctum: 
D fit inter Panda ' & 4: Si Curvatura major eft. verfüs D 2 quàm 
verfüs D 4, erit D H minor quàm /£. Sed, quo.magis Perpendi-. 
culares ZH; & 4 ,. accedunt. mediz Perpendiculari D H, eo mi- 
nüsdiftant Punda H, & ^;:& denique, càm hz Perpendiculares 
coeunt, coincidunt etiam hzc Puncta:. Coincidant igitur in C; erit 
illud Curvaturz Centrum ad Curve Punctum D,.in quo Perpendi-- 
culares confiftunt. Quod per fe patet. 

Sed Pun&um illud C plura habet Symptomata vel Proprietates ,. 
qua non-inutiles erunt;ad illud determinandum... 


E. 


Ibi'conveniant Perpendiculáres , quz hinc inde funt-ab ipli DC,, 
& ab illà infnité parum diftant. 


Lr. 


Tilud' feparat-ac diftinguit Ihterfe&iones Perpendiculárionr, quz-. 
utrimque funt ad finitum & exiguum Intervallum , ita ut ee, qu: 
funt ad partem magis curvam D , conveniant fupra illud in H ,. 
& quz ad minüs.cyrvam D4, infra illud in 7.. 


EII. 
Si DC moveri intelligatur, & femper tamen fit. Perpendicularis : 
ad Curvam, ejus Punctum C, ( excepto motu, quo accedit. vel: 


recedit à Pundo Infiftentie C, ) omnium . minime. movetur , quin. 
e&t quafi Centrum Motüs, , . 


IN..Si 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN, 107 
I V. 


Si Centro C & Radio CD Circulus defcribatur, nullus alius Cir- 
ulus agi poteft per Pundum Contadüs inter hunc & Curvam. 


v. 


Denique, fi Centrum H aut À alterius Circuli tangentis , gradatim 
accedat ad illius Centrum C, donec tandem cum eo coeat, tunc 
quodcumque Pun&dum , in quo hic Circulus Curvam fecat, coinci- 
det cum D Pundo Contadctüs. . 
Hz Proprietates fingule aperire poffunt viam ad Problema plu- 
ribus modis folvendum.: Nos .autem ex his primam eligemus, ve- 
lut fimpliciorem. , 
Ad quodcumque (Fig. 19.) Curve Pun&um D agatur DT TA5.IE. 
Tangens, & D C Perpendicularis; & Sit C Centrum Curvature, ut 
antea Praterea, fit AB Abfciffa, cui BD applicatur ad re&os An- 
, &ulos, & quam DC fecat in P. Age DG parallelam AB, & GC ei 
perpendicularem, ex quá abícinde Cg cujufvis datz magnitudinis , 
& ad eam age perpendicularem £4, quz fecet ipfam CD in 4 
"Tunc erit Cg: g2:: (BT: BD ::) Fluxio Abfciffz ad Fluxionem 
Ordinate. Pariter, intellige Punctum D infinité parum progredi in 
Curvà ufque ad 4; & actà de ad re&tos Angulos ipfi DG, acC4 
perpendiculari ad Curvam, C4 fecet DG in F, & g4' in f. Erunt 
De Momentum Abfciffe , e Momentum Ordinatz, & f^ codem 
tempore fubortum Momentum Redz £4. Quapropter DF — De 
T Eia 2 Cüm igitur habeas Rationes horum Momentorufm , aut, 
(quod idem eft, ) Fluxionum Momiernita hzc generantium, habe- 
bis Rationem ipfius CG ad datam Lineam Cg, ( que eadem eft ac 
Ratio ipfius D F ad 2 f, ), & hinc determitiabitur Pun&um C. 
Sit igitur AB— x, BD—j, Cg —1, &g4 —s; etit: 





wird. auno LL. Jum 4f Momentum ipfius « fit ex £, ( id 
m x . 
O 5 eit 


fol OPUSCULUM IL 
eft Factum ex Velocitate in infinité exiguam Quantitatem 6, ) erunt 
ijeo Momenta De—e xx, de — ex. , &iddrco DE—ox* 


4 RUM Qu de cuf eft Cg(1): CGz: (Jf: DEz)os: o * 


"I id eft, Co ERAI. 


Et quia licet ex atbitio tribuere quamcumque Velocitatem Flu- 
xioni Abíciffz 2. (ad quam; tanquam ad zquahilem Fluxionem ,. 
Geterz poffunt. referri ) fac x — 1, & idcircó J —£,&CG 

m UE ago GD ET, & Dc Eben cp Viu. 

Propofít igitur /Equatione, e contineat Relationem à inter DE. 
& BA, ad: Curvam. definiendam,, primó quare Relationem , que 
eft inter x, & » per Probl L, & eodem tempore pone r pro x. 
& s. pro Deinde ex JEquatione hinc proveniente, .per idem: 
ProbL I.; excnde Relstionem inter x, y, &£, & fimnl fubftitue t 
pro 5, &s pro Jj, ut antea. Hbc pado prima Operatio dabit va-. 
iprem ipfius x, & fecunda: £; quibus inventis, produc BD inH,. 
concavam, Curve partem. verfüs, itaut DH — £535; & age 


L4 
HC parallelam.A B;, quz fécet Perpendicularem C D in C; erit C Cen-- 
trum. Curvaturz,. quá. Curva. gaudet in D. Vel, quia eft 1 -]- x 











d 
a ppsfüune DH PT Qa Do DE 
. aXbT 2XDB* 


Exznmrr. L. 


Sic JEquatipne 4x -- &x x — y y — o propofit, (me eft ad 
Hyperbolam, cujus Latus redum efta;,, tranfverfum autem —7- POS 
Tabebi- 


METTHO: FLUXIO. ET $ERIER. INFIN. 1e9 
Babebimus (per ProbLI) atabx 2£5—0, ( ponendo fci- 
licet 1 pro x, Ez pro J in Equatione proveniente , qua cete- 
soquin effét «x -- 2áxx — 2j j-— 0), & hinc iterum exfur- 
ge ab — 255 — 2y £— o, ( rurfus r & x friptispro x&Jp): 
Ex prim reperitss; — E 2^5, 
Quapropter, aliquo Pundo D in Curvá dato, & prope. d datis 
x &y, hinc dabuntur £ & 2, quibus cognitis, abfcinde CG vel DE 
— IRI & age HC. 

Si in Numeris ponas 4——3 , & &—1 itaut 3x4 -xx—— 7, exprimat - 
naturam Hyperbola.. Et li affumas x — 1 , erit y——2, x — " t 


z—— i, & DH-—s E Jam... reperto Punto H , educ 
Perpendicularem. HC , quz fecet Perpendicularem CD, antea du&tam ,. 
aut ( quod idemeft) &c. DH :: HC (12s::) 17 "E erítque: 
jaunda CD Radius Curvaturz-. | 

Cüm arbitraris Computationenrmon nimis perplexam füturam, fubt-- 
tituere potes indefinitos valores ipfirum e ,. & x... io LE, quz ex-. 
ponit: valorem ipílus. C G.. Hoc: pacto. in: prafenti: Exemplo habebis. 

Di REI 
per debitam: Redudionem: DH. — j 4- $2557. Tamen va- 
lor ipfius DH.à computatione prebetur negativus,. ut videre: potes: 
in Exemplo Numerali Quod negotium. folüm indicat: ipaam DH 
capiendam. effe B. verfüs; Si enimvalor ipfe foret: affirmativus , Recta. 
illa fumenda effet contrarias partes verfüs;. 
Coxnorr IL 

Hinc, Si fignum: przfixunr fymbolo -- £ mutetur, ut fit «x 

—bxx — yy —o, ( Equatioad Ellipfim, ) hinc affequeremur- 


H-425—4a5* . 
bu 4.6: E Coa o0Lr. 


110 OPUSCULUM 11 
Cozorr IL 


"Sed fi | — 0, quo pado JEquatio evaderet 4 x — $y—250, (que 
LI 
dpedat ad Parabolam, ) tunc DH efet —j -- S7, & hinc DG 


-— lrcax 
Conorr IIL 


x his expreffionibus facilé confici poteft, quód Radius Curva- 
3 
ture pro quilibet Sedione conicá femper e dDE, 


Exsnm?4 IL 


Si daretur x? ——y — xyy, (que JEquatio pertinet ad. Cilfot- 
dem D10cr1s;) per Probl I, effet primó 3xx — 242) — 2x2 
— y). & deine 6x — 24yx :- acc — azj—— xj — axs& 
L— ag, ergo ss 252727. , E ELLA TIR b sss bis EM E 
Quocirca, dato aliquo Pun&o in Ciffoide, & propterea datis x & 
jJ, dabuntur quoque z & 2 ; quibus cognitis, abfcinde CG — 
aba 

* H 

ExrHM»rr III 


Si 1-p5* Vi — y, — xy, ( quam JEquationem. fpedare ad 
Conchoidem jam invenimus , pag.91. hujus, ) fac Vc; — 55 —-*» 
nnde orietur /g-j- y —xy. Nunc harum JEquationum prima, ( vi 


delicet cc — 53 —— «v, ) dat ( per Prob. 1.) —— 2))— 24&— 
— aye, (faribendo z pro 7, ), altera veró praebet dw -- 34 -- x 


z—J-xs. Hm Equationes red? difpofitz. determinabunt  &: 
Ut 





 METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. d 
Ut autem inveniatur etiam guermim ex ultimd JEquatione Flu- 
'xionem s, fübftituendo -—-, unde fiet. — mo m 4 £g 


m—J-- x5, IEquatio, qux folas compleditur Quantitates fluentes: 
abíque Fluxionibus, ut: requirit Solutio primi Problematis. Qua- 


propter hinc, per Probl. I. , habebis — m EE LM bru aue 


uu u. 
By 29 opa "zu a6-d- xc. Hac autem JEquatio re- 
ducta & in ordinem difpofita dabit «: Datis autem x & 2 ; fume 
1-2 
GCc— LL 
Si hanc TEquationem ultimam divifies folüm per 5, tunc, pet 
Probl L, habufe — A2 Mt 25. 22€ o. —z 
. u uu "u uu 
—5. quz JEquatio définiens limplicior fuiffet illà quam in- 
mE 
Hoc Exemplüm tradidi, ut videre poffe quomodo perficienda: 
eft Operatio , càm dantur JEquationes implicate Quantitatibus fur- 


dis : Alioquin Curvatura Conchoidis inveniri poffet breviori ratione ,.. 
fic: Partes JEquationis j-- y X Vo; — y, — xj quadrate & divi-- 





fe per yy, up — by — yy etx ;tgo, 
per Probl. L, — e — — — abr ays — ax, vdi 
uH gis & hinc , rurfum per Probl L;- 
Mes pam Qr FR, i i.- 
y Tt y £ i m Pér quam primam determi 


natur $;.& & per fecundam... 


TAB.IV. 


11$ OPUSCULUM 1f. 
ExznmrPr IV. 


Sit (Fig. 20.) ADF Trochois, ( vel Cyclois , ) pertinens ad 
Circulum ALE, cujus Diameter eft AE; & pofito quód Ordina- 
ta BD Circulo occurrat in L, dic AE—4, AB—x, BL—», 
BD —)j, & Arcum AL —e*, ac Fluxionem ejufdem Arcüs — 


x. Et primó, ( du&4 femidiametro PL,) erit Fluxio Bafeos aut 
Abfciffe'AB ad Fluxionem Arcüis AL, ut BL ad LP, id eft, x vel 
aiin& T igitur T n Jam , ex Circuli naturá , eft 
«x — xx — uu, & idcirco, per Probl L, 4 — ax — as, 
v f sa 
Prater , ob Trochoidis naturam, eft LD zqualis Arcui LA, 

dd eft, s -1- t — 7: Unde ( per Probl. 1.) s4qi—z: Denique, 
pro Fluxionibus ? & s fcribe earum valores, & obtinebis Lm 


Kt hinc ( per Probl.) erues — pmo Lo Quibus 


inventis abfcinde -— DH — ii » "& age Perpendicularens 
Bc. . 
Cozorrl 
Hinc fequitur, quód DH — 2B8L, & HC —-2BE , aut, quód 
EF bifecat CD Radium Curvature in N. Qnod patebit fubftitu- 
endo. valores ipfarum x, & £, nuper inventos in JEquatione Las 
—DH, & apté reducendo quod hinc conficitur. 


Cozsgorr IL 


Quamobrem, Curva FCK indefinite defcripta à Centro Curva- 
ture 


METHO: FLUXYO: E ENRTIEB) INFIN. :& 


tare ipfis AD F-eft altera Trochols huic equalis, cujus Vertícis 
ad I & F tangunt hujus Cufpides. Sit enim Citcolus FA equalis 
Circulo ALE & milite pofitus; & C parallela ipfi EF ducatur 
occurrens Circulo im A, erit "htl EA" qualis ( Arcui EL , qui 
.gRuat Redam FN, que eft, egimlis ) e. so o.nol 


fra 





IO ERR Be. 


my CD, die. ad qon fit nd 


Ti] tangit A cdm IKEÀ in d GL. 
1;€.9 R0, tr. Im 


. ,Hine, fij inyerfi recheidib Quas 

cliidis apreadatue pond 5 Pup ad [erury AREA ds 
Jum [op om femet , (dum pogdus ofcillat, ) piros ,partibi 
Trochoidis FK, & KT, que hinc inde. prohibent, ne , p iten- 
.datur in I8 Ling Linph id Mlud compellunt , , ( Perpgi- 
"diculari difceffit, )ad [* gradatim j sdendun pnm -für m Au- 
nandam cn fm dug. ejus iplerior. pars tn pou 
.timum Pundum femper manet. in Lineà redá, pondus 
.hoc movebitur in. -Perimetro Trochofdis inferioris; " enim Dii 
Li i femper ad, redtos Apgules.. onn 





SUA £L 








Ergo tota ongindo fili K A zqualis | et Pétimetro Irodildis 
xcE Pie: CD ali iph CF pati hnjus Fe i . 





' Quia. filum. ofclian oret. circa: Pundum mobile:C, tahquato 
Circa Centrum; fuperficies, quam totà Lira CiD jn&cfineriter pep- 
urit? tfbad Yupeificiem y. quar-pary. CiNolüpr Reda E. piesdirrat 
T ideam Lbinpur; wo [C Bd: OON Sla ug ada. diee 

"d. Newieni. Opsfenla, Tom. l^ 


AM VOS OG PBUUCRSRCULHEMVE S c 
Arta CFN fübquadrupla Ara CFD. & Ara. KCNE fobquadru- 
gh Arez AKCD. i 





'ftem, quia Sobtent EL "éeqiiitis dit pdrallez ipt cx & con- 
vertitur circa immobile Centrum E, ad amuffim, ut CN convertitur 
Circa mobile nid 'C! SuBerficies, quas eodem Tempore ambe 





Sup t, id eft, Area CF N aquabit. Circuli; feg- 
ris EE. Ef EN NFD. amquábit'ter fegniéntum: ihid, 
& tota Arca EÀDF vi temi ] 
Cb xoruu VIIL 
loy 35 D'geyen ad Pünélüm F, totuin flum circum. 


"dotütabà rep petes Berirétrd K CF; & Radius Curvaturz ih 
m aur Quapropter, Trochots IAF ad' Cufpidem F ma- 
cur et, qnn Cireylus quilibet, & cum Tengente F2pro- - 
Fora Aigüdum psc infinità májorpim Àilo: quem Circulus 
potlft' cani 
Lp fi Cofiaetf: - fant ibfinità: majores, quàm 
jailibit 'éx- iib, quds facit Trochom, '& alit rurfüg his infinità ma. 
inh '& fic ir initi; attamen eorum maximus: infinite minor '. 
eft Angulis Reüilineis, Sic xx —— y, x*em yy, x*z—6 jy, 
x! —dy*, &c, Mg ae Seriem by iet quarum fingule 
fucceffivé faciunt cum Abfciffà Angülos ntacüs infinité majores. 
pex lis ,.quos Curva precedentes facere. poffunt. cum pe 
Abíciffà - Anguli autem. Gontatis, Evi pria Curya 
Equitionem x5 — 4 facit, fünt eji les zeelis ab Circ ras 


& quos fecunda x^ — f 7 funt eiue generis ac Ttochoidiles. 
Ac, tametfi Anguli Curvarum  pofteriorum femper. infinité excedant: 





METHOVFLVXIO! BTOSERTER INFIN. y 


£lün£ ad vertices com Ábfcifis "Angulos infunità minpkeil lis quos 
füciunt precedentes. — EÉ Quidem poffunt inter Angulos Contacts, 
quos faciunt duo ex his Curvárum generibps ,, fieri alii Anguli Con- 
tadüüs ad infinitum , quorum alii aliis jnfinit? majores fint, . 

Dam patet, quàd Aíguli Contactàs- nies generis fünt ' inhinieh 
majores, quàm Anguli cujufvis alterius generis; quoniam Chrva u- 
nius generis, quantümvis magna ea fit, tránfire nequit. per Punc: 
tum Contacts inter Tangentem & Curvam alterius generis quantum- 
vis exigua ea fit. 'Aut Angulus Contaftüs unius generis neceffarid 
nequit continere Angulum Conta&s alterius generis: ut totum par- 
tem contine. Sic, Angulus Conta&üs Curve x * — €" , aut /Àn- 
gulus, quem ,ea facit cum Abfciffà, neceffarió. includit Angulum 
Contadüs Curve x!—3 £y y, & nunquam in illo contineri poteft: 
Nam Anguli, qui fefe mutuó poffunt excedere , funt ejüfdem geno 

, ris; ut accidit fupra didis Angulis Trachoidis , & Cue, m 
tura exponitur per. /Equationem xxx yy. ^4 

Et hinc apparet, quód Curve poffunt. in aliqnibus Pundis eis 
infini magis redz, vel infinité magis cirvz , quàm. Circulus quia 
libet, ame aon dci emitnt focum; Corre. $ed heo tàn- 
clin obiter ap n xd m3 Her dap 5o4l1t3 ud. D 

Exs&uPL V | t! 

Sit ( Fig. 1n) ED Quadratrix Cireuli defcripii. Centro À; k. TAB. UL 
demiffà DB perpendiculari, ad AE; pone AB—* BD-—jy,& 
AE — x. Tunc erit 5j—3)] —5*5] —*, ut ania 
jam Kcibe, x pro x, & x pro y, & Jquatio evadet kx — yy, 
— bebimi/ e hino, peri "Prob. Is. hübebis zx ? p» 8. 

: Rüc autem ,' reducendo 
[aac baue 
E» . 
Ex, .chm jum invengis e & x; OMNE &age HC. 
üt fupra DEDDZEI REDE MEINEM Low* 





—ady—— xxu anXEY 
& ruríüs ponendo 1 pro .x,. Ss fro, erue 6 c 








One umet GN IDRLASR ICM Tex 


TAB. 1V. 


- Si quaeris, Problematis Conftruionem, eam valdà mE in- 
venies. Age DP. ad reos .Angulos ipi DT, & quz íecet in P. 





pr 25D 
ems PÁperom qixgr n — AP om E 
BDa DT) 


PT 
Praterea, ba d MR yy? 


& ^ ptopteiea: 2125 U LEM LÀ ux -—DH. Denique ei BT: 


BD:: DH: HC es P Ubi negativus valor tantüm of-. 
tendit; quód. C H fumi debet ex DH ad eafdem partes ac A B. 

- "Eádem ratione determinari poteft breviflimá Compntatione, Cur- 
vatura Spiralium , & aliarum Curvarum. quarumcumque. 

:é Quinimà hec Methodus, ( ut jam fapra fecimus pro Tangenti- 
bus ducendis, )'accomodari poteft ad determinandam fine przviá 
Redu&ione: Cárwaturam:jJqmando..Curv. refenintur ad. Redas quo- 
vis alio pado. Sed, quia omnes Curve, tàm geometrice tüm 
etiam mechanice, ( pracipué cüm leges definientes expreflz funt 
per JEquationes infinitas ; ut.infra monftrabimus, ) referri poffunt 


, ,, &d, Ordinatas perpendiculares , ideà me fatis de hác re dixiffe puto. 


| "Que praterea 'defiderari pollent, facilé quifque proprio ingenio 
füppleie poteit; praefertim, poftquam ad meliàs hoc argumentum 
iluftrandum, addideró Methodum pro. fpiralibus. 

Sit CFig.: 22.) BK Circulus, A ejus Centrum, & B Pun&um 
datuni in Periplierià, Sit AD 4^Spiralis quxEbet , D C- ei ad rectos 
Angulos, & C-Centzam Coryatntesin Punto D :; Acá Red ADK, 
&. CG ei paralldam & aqualem, & infuper Perpendicularem 

qe fécet ipai CD. im F. Dic AB vel AK —15— CG, 
BK —»x, AD-j, & GF xx. jam concipe Pundum D 
progredi it. Spiral per infinité exiguum Spatium D 4; deinde per 
4 age Semidiametrhm A £, ac per € Redtiimi/ Cg Semidiametro A 
garallelam & zqualemg, sc gf'ipfi £C ad rectos. Angulos... uncia 


METHO. FLUXIO. ET SERIER.-INFIN. x; 
antem. Cd fecet gf'in f & GF in P; produc GF in Q, ita ut fit 
Go —gf. & age de perpendicularem ad AK, quam produces 
donec fecet CD in I Jam eodem tempore genita Momenta ip- 
firum BK, AD, & GO erunt KA, De, &Fo; que idcirco vO- 


canda funt ex, 2j, & oz. 

| Nunc et AK : Ae (AD) :: KA: de us y. ubi affümo: 
x—1, utantà. Paritr CG: GF :: de: eD —eyz, & id- 
circo yz — j. Praterea, CG: CF:: dé: 4D——ojxCF:: Dé: 
red pil) Infuper, quia Angulus PC 9, ( equalis Angulo 
GCe, ) zquat Angulum DAd; & Angulus CP, ( par Angulo 
CDI, zquali Angulis eZD & Rec fimul, ) aequat Angulum: 
ADd4; Triangula CP? & ADd4 fimilia funt, ergo AD: Dd: 
CP. (CF): Po ex CF4: Hinc aufer Fe, & reftabit. PA 
exXCF4— xz. Denique, emi CH perpendiculari ad &D^- 


eft FP: dI: CG: eH vd HD— EST, mr, fübftituendo 


1 d- z£ pro CF 4, invenies DH — "Ubi obfervan- 
dum eft, quód, in hoc Computationis genere, pro equilibus fld 
mo Quantitates, quarum., (velut hic ipfarum AD & Ac, ) Ratio 
infinité parum differt ab /Equalitatis Ratione. 

Hihc autem manat fequens Regula. Cüm habes /Equatione E» 
pofitam Relationem ipfarum x .& y, quere. Relgtionem Fluxionum 
x & j ( per Probl. E), & pone 1 pro x & j2-pro 7: Deindezex 
JEquatione fic inventà rurfus ( per Probl. I.) erue Relationem inter 
x,J. &s, atque iterum fcribe $prox: Quod primó conficitur , 
pet debitam" Reductiónek! dabit j & 55 &., quod fecundó fit, da- 
bit z; quibus cognitis; fume DH— Lih; & educ Per 


pendicubrem HC, qu&. occurrit in C üpfi D C Perpendiculati ad 
Spiralem antea dude, eritque C Centrum Curvaturz. va, (dnod 
eàdem recidit ,.) fac :CHuHD :;5:,1, &age CD... . 

P 3 "Exzar 


n$ 7 OPUSCULUM- It SACAR 

: ! ExsMPLL ] | : 

' Sit ZÉquatio.x —J, ( que pertinet ad Spiralem Mrchimedeam ), 
erit (per ProbL I) 4X — jy, aut, (fcriptis 1 pro x, & ys pro, ) 


«-—yu. Et hinc rurfus:( per Prob. L) o —z3--32: Quaprop- 
ter dato in Spirali quovis Punto D, & ideó Re&à AD vel y datà 


bond dabuntur cam 5 —, & 26 aut ) 

**. Qyibus cognitis, fac I4- £62: p4-&t: -ADQ): 
DH/& 1: £:: DH: HC. 

Hinc fponte fluit Conftrudio hzc. Produc AB in Q, ita ut fit 


AB ad Arum BK, ut Arcs BK a3BQ, & fc AB - AQ: 
AQ::AD:DHs4 HC | ^ 


ExznxPr m 
, Siexx aq)! eiat JEquatio. determinans Relationem, quz eft 
inter. BK & AD, haberes ( per Probl. L) 2xx — 35y, tut 24x, 
A & hinc rurfus 24x — 3j'5 d- 999; eít igitur £. — 
NT Lu. His autem cognitis , fac r Tes 


Lbs zes AD: DH. Sive; opere ad optimam formant 
xedadio, fac ox 10: 9xx «- 4:: AD: DH. 


Extagpr III. 
; Roi pet, ftRelstib ipamm BK, AD defnirear Espations 


— 5 
enia) , eum inm 


/—OUnde DH, & deinde Pundum C. determinabuntur, ut 
m à Es 
US Merlo (lé dagrmindbus Civ urunlibe sin 


E 


METHO, FLUXIO. ET.SERFER. INFIN. .1)9 


; fum Spiralium ; aut invenientur Regulz pro quibufcumque aliis Cur* 
. Varum generibus, ad imitationem Regularum quas ha&enes tradidimgs- 
:, jamque perfecimus Problema hoc; fed, cüm ufi fimus Methodo. 
.,fétis diverfà à vulgaribus Methodis, & cüm Problema ipfum fit ex 
dis, qua rariufculé apud Geometras occurrunt, me rem füpervag- 
neam fadurum non exiftimo, íi ad illuftrandam & confirmandam 
Solutionem allatam , tradam. Specimen alterius; quz magis obvia 
eft, & minüs differt à vulgari Tangentium ducendarum Methodo. 
CDoncipiatur etgo Circulus defériptus: quovis Centro ; & quov& Ra- 
dio; ita ut ille. Curvam. fecet in pluribus Punctis ; , Cisculus ille , 
fi Contrahi aut dilatari intelligatut , donec duo ex his 'interfectionis 
"Pundis coincidant, ibi tanget Curvàm. Et pratereà, fi- ejus Cen- 
'trüm fupponatur accedere àd Pun&um Contacts. aut ab €o re- 
""tedere ^ut tertium. interfe&tio&is Priithum coeat-cum primo in ipfo 
Conta&üs Pun&o; Circulus ille erit zequé curvus ac Curva im eb- 
dem Contactüs Pundo, ut innui in ultimá ex quinque Centri Cur- 
vature Proprietatibus fupra allatis , & quarum quamlibet afferui 
viam aperire ad diverfimede Problema folvendum. 

Quapropter ( Fig. 23.) Centro €, Radio CD, defcribetur Cir- TAB. IV. 
culus fecans Curvam in Pundis Z, D, & 2; & demiffis Perpendi- 
cularibus 46, DB, 4, ac CF ad Abfillam AB. Dic AB—»x, 
BD-—j,AF us, FC, & CD. Tuncerunt BF —i» 
—x, &BD-4- FC — yr f. Summa Quadratorum ex his equat 
Quadratum ex DC, id eft, NN — 28X-l xx E ygd- 213-11 

"zms); quam expreffionerh breviorem 'fi. reddere: velis ," pohe!ies 
iR 5544 (Íymbolo ad arbitrium fampto ), & JEquatio 
fuperior fiet x x— 2sx-F- yj 3-213 3-44 ——0. Nunc, poft- 
qum determinaveris ^; w;, & 44, habebis « Vin 

: Jam-proponatur JEquatio quatumque ad .definienrlum : Curvani , 

-er Curvatura petirur;: Hiájus JEquationrs opb /potes :ad. axbitrium 

exterminare alterutram. ex Quantitatibus x & j ,.-& hino prodibit 

- "JEquitio , cujus Radices , (x DB, 48, fi exterminesx; & AP, 

ABs A 3. fi extermines y; ) nt. ad interíoctionis, Panda. d s i 

4, &c Harum tres càm equales evadunt, Circulus Curvam tan- 

i » & preterea eundem habet Curvature gradum ac m in 

QRe- 


fio 7 OPUSCULUM II 

*Contais Pun&o. Ties autem Radices squales fient, fi confefas 

" hanc fEquitionem cum alterÀ fi&titik eundem Dimenfionum nume- 

"rum & ttes Radices zquales habente, ut jan Can TEsius monf. 
travit — Aut expéditiüs, fi bis multiplices ejus Terminos per: 'adi- 

E "quam arithmeticam Progreffionem. . 


ExrMrPLUM. 


: Sit JEquatio 4x — y, (quz et ad Parabolam ). -Exterminato 
' * Cideft, pofito in fuperiore ZEquatione pro x ejus valore 2? ) , 
.confequeris aliam hlc infra pofitam, cujus Radices tres j reftant 


' equales reddendz. — Ad quod perficiendum multiplico bis ejus Ter- 
. minos, pu: s Progralicnen. aliquam arithmeticam, ut hic fadtum vi- 


Zo. — S e bag b po 


4a 


(ct 
^ 2 1 o 
3 ok . or ^" 0 —1 


:Hiné uliquor *2- — £y 293 —0 


— a i^ "unde facilé infertur , qii BRes s ax 


aL 4; vit ahtez. 


Dato: "igitur Pundo aliquo D in Parabolà, age DP perpendicu- 
larem: ad-Curvanr, & fume in Axe PF —— 2A B, erige FC ad rec- 
tos -khgulos ipfi AF , qua occurrat DP inC; erit c petitpm Owe- 
'viiturz Ceatrum. 

-* "Idém:perfici- poteft in Ellipüi & Hyperbolà, fed computatio. erit 
atis 'perplexa ,"iGc,"in:genere, proaliis Curvis valde. molefta, .. 





METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. i:t 
p Queffionibus que. babent affnitetem quamdam cum Superióre 
. Prob 


Jemate, 


Ex Refolutione fuperioris Problematis nonnulla alia poffunt eno- 
dari, talia funt. J 


I 


dbrvenire puncium , in quo. Curva detum babet: Curvature grae 
dum. 


Quaratur , ex. gr., in Parabolà 4x — jj pun&tum, in quo Ra« 
dius Curvaturz fit date longitudinis f: Invento, ut fupra, Centro 


Curvature , determinabis Radium , quem invenies — ILE | 
X Vaa-- 44x; debet autem effe ——//^, ergo per Redudionem erit 
X—— P T4 m 4ff- . . 
IL 
DIrvenire punitum Reditudinis. 


Pundtum. ReZfzsdinis voco illud , in quo Radius Curvatur eft 
infinitus, aut ejus Centrum ad infinitum intervallum. — Hoc accidit 
ad Verticem Parabole 4'x ——y*. lllud idem pun&um plerumque 
eft Limes Flexüs contrarii, cujus determinationem fupra tradidi- 
mus; fed alia determinatio nec inelegans deduci poteft ex hoc 
Problemate; fcilicet: Quo major fit Radius Curvature, eo minor TAB IE 
CFig. 19.) evadit Angulus DC4, & fimul Momentum 25 ita ut , 
Fluxio Quantitatis z minuatur cum illo, &, cüm Radius eft infi- 


nitus, omnino evanefcat. Quapropter quere Fluxionem e, & eam 
pone equalem nihilo. 
Ut, fi velles determinare Limitem Flexüs contrarii in Parabolà 
fecundi generis, cujus ope Can rEstvs conftruit /Equationes fex 
Jf. Newteni Opuféula , Tom. L Q. Dimen- 


TAX.1V. 


"w- OPUSCULUM Ik 
Dimenfionum. —JEquatio autem ad hanc Curvam eft x* — fir 
duck bed-eduy— o. — Hinc (per Probl I.) oritur gxxx 
abi — edu ok dye 4 dg —o, que JEquatio , fcriben-. 
do 1 pro x,&x prog; ) evadit. 330r — adx — ed - dy -- dx 
z—0 ; unde rurfus ( per Probl. I) 6x3 — abx 4- 4j cdzxd. 
dz — o ; hlc iterum pone I pro x&z proj &e pro £, & ha- 
bebis. 6: — 25 -I- 24e —0 :: Scribe in. /JEquatione 3x x — 26x 
-— € d-- dy - dx z —o pro d« ejus Peu 3x —, reperies. 
— bx —— ed dj — 0, aut y — e! 7 qui valor,. pofitus pro- 
y. in JEquatione ad Curvam ,. prehebit. x* ied —o, unde Limes 
Flexts contrarii: definietur.. 

Eodem pado determinari poffünt pund& Reditudinis , quando 
mon fünt inter partes contrarie flexas, Exprimat JEquatio x*'— 
44x* 7 Gauss — yo naturam Curve. Hinc habebis ( per. 
Probl 1) 4x*— a24*x:-4- 1244x —— b! z —0; & hinc rurfus. 
X2XX —— 244X-)- 1244, — bx —0.. Jam fuppono £—o,& 
per Redudionem affequor.x —— «. — Abfcindo igitur (| Fig. 24.) 
AB —4, & erigo Perpendicularem BD, qua Curva. occurret án; 
D, Pun&o Reditudigis, ut. petebatur, 


ELI. 
Iwenire. Pancfum. Curvatura: infnite.. 


Quzse Radium Curvaturz ,. emque pone qualem nihilo. Sic;. 
in Parabolà fecundi generis, cujus JEquatio eft x! —25 4j, Radius 
et CD ME. fiev 35x, qui in. nihilum evanefcit, quan. 
do; x... 





D IN. . De. 


METHO. FLUXIO. ET $ERIER, INFIN. 11 
IV. ' 
Determinere Puntium maxima , vl minima Curvaiara, 


In hifce Pun&is Radius evadit omnium maxinius, vel minimus; 
quapropter Centrum Curvaturz in illo temporis momento, neque ad 
pundum Contactüs accedit, neque ab eo recedit: fed plané ftat 
ámmobile. Igitur, ( Fig. 2 5., ) inventà Fluxione Radi CD, fi- TABIV. 
ve, breviüs, alterutrius BH vel AK, tam pone aequalem nihilo. 

'— Si Quaftio, ex. gr., proponeretur de Parabolà fecundi generis 
x! —a44: Priüs determina Centrum. Curvature. Invenies autem 
DH 553352, &iddrco BH e 5501197 ; pone BH 


e s, ergo iylÍ itaque ( per ProbLY )— tk, i 


y——*. Nunc fuppone s vel Fluxionem ipfiusB H Ene 
& preterea , (quia per hypothefim x* —:447; ideft, ips 


yxxx —— 44j—3xx, ponendo x— 1, ) ipli fübftitae 2 


& reperies 4 $x* — 4*. Itaque abfcinde AB ——4 $ NEA 
& ex B edudta Perpendicularis BD occurret Curve in Pundo ma- 
xime Curvature. Sive, quod idem eft, fac AB: BD:: 35: f. 
Eadem ratione ( Fig.26.) Hyperbola fecundi generis, reprafenta- T AB. I. 

ta JEquatione xj y ——4' , maxime inflexa erit ad Puncta D &4, 
que determinabis capiendo Abfciffam A Q. —5 r, erigendo hinc 
Perpendicularem QP — V 5, & inde Q, ei aequalem, & demum 
jungendo AP, Ap, que Redz fecabunt. Curvam in quafitisPuno 
üGD&d " 

v» 


Determrinare. loeum. Üentri. Curvature ,. ant. deferibere Curudin y 
io. qud femper eff. boc Centrum. 


Supra demonfruvimii, quéd Centrum Curvature Trochoklis 
Q. fmpet 





r1; OPUSCULUM IL 
femper invenitur in alterà Trochoide. Haud aliter. Centrum Cur- 
vature Parabole eít in alterá Parabolà, fed fecundi generis, quae 
exprimitur /Equatione 4x x ——*, ut facilé computatio tibi monf- 
trabit. N 

VI 


Si Lus incidet in. Curvam. quamcumque , reperire Curve. Focos 
. «ut concur[um. Radiorum , qui ab. omnibus ejus Pundlis 
Refringuntur. 


Quzre Curvaturam, quam habet Curva in hoc Pun&o, ac Cen- 
tro & Radio Curvaturz defcribe Circulum: Deinde quare concur- 
fum Radiorum refra&dorum à Circulo circa hoc Punctum. Idem enim 
erit concurfus Radiorum refra&orum à propofità Curvá. 

Hic locus eft addendi peculiarem Methodum determinandz Cur- 
vature ad Curvarum Vertices, quando ez fecant Abíciffas ad rec- 
tos Angulos. Nam, Pun&um, in quo Perpendicularis ad Curvam 
Íecans Abfciffam, eam poftremo fecat eft Centrum ipfum hujus 
Curvature. Quare, cüm detur Relatio inter Abíciffam x , & y Or- 
dinatam, ad redos Angulos connexas, atque ideo etiam ( per 


Probll) Relatio inter Fluxiones x & »n valor ipfius » poftquam 
in eo pofueris 1 pro x, & o pro j dabit Radium Curvaturz. 
Sic in Ellipi 4x — i 
qui valor. j 7, (fi fupponas y——0, & el de caufi x —/, ) fari- 
bendo 1 pro x, dat z* aequalem Radio Curvaturz. Eodem pacto 


ad Hyperbole & Parabole Vertices femper invenies Radium Curva- 
ture zqualem femiffi Lateris recti. 
bbcc 


Eádem ratione in Concboide definità pér Equationem — 
d Tam um ys valorjj ( imventus per 
Probl 


Xxx ——)y, et T xk 35 


METHO. FLUXIO. ET SERIER, INFIN. 115^ 
Probl L) ert — P$ 56.5. e: Nunc, fupponen- 
do j—2o, & idcirco x z— 4- c vel — c , habebis — 3 p aj e 
aut Moab -r« pro Radio Curvaturz. Fac (Fig. 6.) igitur TAE 
AE: EG: EG: EC, & Ae: eG :: eG: ee, ac Punda C&e, 
erunt Centra Curvature ad Vertices E & e Conchoidum con- 
jugatarum. . 

220 PRosr VLk- 

Determinare. Qualitate Curvature ad. datum. Puntfum. eujuf- 
libet. Curva. 


^ per Qualiaem Curvature intelligo ejus formam, ejus, fcilicet; 
majorem vel minorem inzqualitatem , aut majorem vel minorem di- . 
Verfitatem in Curve partibus diverfis. — Sic, fi queras: Quanam eft 
Qualitas Curvaturz in Circulo? Refpondeo quód ea eft uniformis vel 
invariabilis. — Pariter, fi quzeratur quanam eft Qualitas Curvaturz in 
Spirali, quz ( Fig. 23.) defcribitur motu Pun&i D progredientis 
in AD ex A Motu accelerato, dum. Reda AK fertur uniformi TAB.II. 
rotatione circa Centrum À, & cujus Pun&i D Velocitas ita accele- 
retur, ut Recta AD habeat ad Arcum BK defcriptum ex dato punc- 
to B eandem Rationem ac Numerus ad fuum Logarithmum ; fi, 
inquam, peteretur quznam eft Qualitas Curvature hujus Spiralis , 
refpondendum effet eam efle un&ormiter variam vel zquabiliter inz- 
qualem. Et fic aliz Curve in diverfis Pundis dici poffunt inzqua- 
biliter inequales 'juxta diverfitatem earum. Curvaturz. 

Quaritur ergo Inzquabilitas aut Varijetas Curvature in. fingulis. 
Curva Pundis: Ad quod obíarvo. 


TEE 


Quàd Cuive, ubi Emiles fünt, habent in Pundis fimiliter poft. 
tis fimilem Cürvaturzt Inzquabilitatem aut Diverfitatem. 
Qa 1L 


126 OPUSCULUM If 
IL 


Quód Momenta Radiorum Curvaturz in his Pun&is, funt pro- - 
portionalia eodem tempore natis Momentis Curvarum , & Fluxio- 
nes Fluxionibus. 


TII 


"Quéd idcirco, ubi he Flmáones nom funt proportionales, fi. 

:milis non. eft Inzquabilitas Curvaturz. 
Major emim eft Inzquabilitas, quando major eft Ratio quam 
Fluxio Radii Curvature habet ad Curve Fluxionem ; Quapropter 
hzc Fluxionum Ratio non inepté dici potet Iedex Inzquabilitatis 

ant Varietatis Curvaturz. 

TAXIL — Ad Punta (Fig. 19. ) D & d infinit? proxima in Curvà ADd, 
agantur Radii Curvature DC & de, &, fi Dd fit Momentum 
Curvz, erit C« eodera tempore genitum , Momentum Radii Cur- 


vau, & Ej Index Inzquabilitatis Curvature: Nam, eo majot 
dá poteft hzc Íuequabilitas, quo major eft Quantitas Rationis 
gs vel eo diffimilior ab uniformi Curvaturà Circuli dici poteft 


Curvatura. hec. t 

Jam, demiffs DB & 4 ordinatim ad rectos Angulos Applicatis 
alicci Re&e AB fecanti D-C in P, pone AB—»x; BD—y 
DP—:;; DC, & ideo Bé —ex, eritque Ceo &BD: 
DP: Bi D4-- 95; m 
Cüm autem Relatio inter x & 7 exhibeatur per JEquationem ali- 
quam, & hinc ( juxta Probl. I V. & V. ) inveniri poffit Perpendi- 
enlaris DP velz, & Radius Curvature P ipfiifque Radii Fluxio 


" C per Probl. L; ) dun epo tim PE, : ludex. Inzquabilitatig — 
Curvaturz. 


— E LS H, posendo ees —-n 


ExzmPL 








AfETHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 1:15 


ExrnrxrrL L 
Sit.JEquatio ad' Parabolam 24x —— 5. Tunc ( per Probl. IV. ). 
BP—a, ego DP —— Vas--y5-—t. ltem ( per Probl. V. ) 
BK —a-pax;& BPSPD: BK:DC— eeu pag, 
at -- 2tx . 
z dant: 





JEquationes 24x — y; 4€-1- yy 11; & 
ax yg ay ai; &is um. Has reduc , & 
pro x fcribe x, atque invenies y — $ £e z) ——E 
asi EM, sic autem determina j,. 2, & à, habebis 
1* Indicem. Inzquabilitatis Curvaturz.. 


"si, in: Nomerh, determiüares quód 4—— 1 , amt ax —5y, &: 
quàd x— i nap p—0— I; f 
(uE—Vaism(—) i "E Ta 
—J3Va. n d eft-Index. minm 

Si veró ftatuiffes. quód x—— 2, tunc y— 2; y — L, Lime 
ÉL. & a—3À Quamobrem (14) edit Index: 
Inzquabilitatis. 

Igitur Inzqualitas Curvature, quà pradita eft Parabola in Pundto^ 
illo, ex quo demiífa ad reos Angulos fuper Axem Ordinata, zqua-. 
lis eft recto Lateri,.illius eft duplex Inzqualitatis,. quam habet. ea-- 
dem Curva ad Pundum, undé ada, ut fupra ,. Ordinata equalis eft* 


fümiffi Lateris redi, id eft, Curvatura ad primum Pun&um duplo. 
magis differt à Circuli Curyatura, quàm. Curvatura ad fecundum; 
Rundtun,. 


Exzmr. 


Lin dic 


Ce 


128 OPUSCULUM Il 
ExrznMPr IL 

Sit JEquatio 24x — £xx — yy, & ( per Probl IV. ) eft «— x 
—— BP; ergo t —cz44 — 2abx 4-bbxx -- y——4—5)3 35 
Pariter (per Probl. V.) et DH —y TIE, ; ubi, fi proyj 
—àyy ponas it — a«, habebis DH — 2 Sed et BD:DP:: 
DH: DC— — Ac ( pet Probl. 1.) JEquationes 2x —— 
dxx y; ta — byy Hie gy mtt LA Pon; dint 4— bx — 
gyn&py —ó— fi;ac 35 s, Datur igitur «; etgo etiam . 


2 Index Inzquabilitatis Curvatura. 
* Sic in Ellipü 2x — 3xx —37; in quà et «—1; &i—3i 
dpnsro— sri etiam y —— i: iid tms 


PBaYiE TIRE m nm —3.. quz Fraüio ex« 


ponit Curvature Inzquabilitatem. Hinc patet, quód Inzquabilitas 
Curvature, quam habet Ellipfis ad Punctum ID nic affignatum, eft 
bis minüs inzquabilis, ( vel bis fimilior Curvature Circuli, quàm 
Curvatura Parabolx ad cjus. Pun&um, ex quo demiífa Ordinata ad 
Axem zquat femiffem Lateris redi. 

Si animus fett comparare Conclufiones, quas invenimus in his 
Exemplis, perfpicies , quód in Parabolà 24x — yy eít Index Inz- 


quabilitatis QR), fed in Ellipi 24x — £x x ——y habes 
QE )—3h x BP; unde in Hyperboh 24x -- à x x 
cJ), fervat Andlogià, etit Index (E e) r3 nq, Un- 


de liquet, quód ad diverfa Punda fingularum Sectionum «onica- 
. . rum 


* Digized » Google 


METHO, FLUXIO. ET. SERIER. INFIN. rx 


rum feorfüum confideratarum , Inequabilitas Curvaturz eft ut redan- 
gulum BD x BP, & quód ad varia Parabole Pudta eft ut Ordi- 
nata BD. 

Cüm autem Parabola Hit limplicilfima Figürarum,. que inzquali- 
ter fle&untur, & citm Inzqualitas Curvature in illà facile determi- 

Ordinatam 
netur, eft enim ejus Index 6$; each 2o den Curvátura 
aliarum Curvarum non incóncinné comparabitut cum hujus Cur. 
vatur. , : 

Sic, fi queratur quenam eft Curvatura Ellipfeos 2x — 3xx 
z2 Jj àd'illud Reriietri Pun&um ; quod determinatur affuniptà x—4 
A: Quia hujus Cürvature ladex eft 5-, wt am invetirus; ref. 
ponderi. potelt "Curvaturam hanc fimilem effe eb,-quádr abet Para- 
bola gxeneyy ad Punctum ilfad ,. intct: qnod &áxem, Qránata 


id te8os" Ángulos par ett 2 À., ' à 


- Haud fecos, ( Fig. 15. om eiiis ADR fit ad. fia TARIR 
xionem Subtenfie À D inaliquà datà Ratione , puta, ut d eft ad e; 
c -— - 
ejus oncavitatem verfüs age ÁP vgmgCDtm - 
gradicdprem ip AD; wq edP Cenmim Curvature, & 45 
ut z— Indx Jnequabilitais ^ Quapropter" "hec Spiralté 
habet ubique Curvaturam fimiliter ibhzquabilem , ut Parabola 6x 
zm, 'cam habet jn Pundo,. ex quo duda ad rectos Angulos. Or 


: dine al Axem zqualis eft Quantiuti ; 23 
Eàdem ratibne (Fig. 20.) Ind Mbit Tisch ra m. 


Pun&um D invenietur 4 Igitur ejus Curnatura ad idem Panc- 
tum D eodem pado inzquabilis et, aut eodem fado differt iC. 
culo ac, Curyatura cujufuis. Periele 4 4x] dd Puntnt, ibl os 
A TN 
dinata efti Te abe gn n. HEREIN S.ataq 


AF. Nentoni Opsfenla , Tom. rc ' E UOZBW 





^ ua Ld 3T c at ot o a ^X gGMMYG GM 
S 7 "CÓóPPSgCÓLUM ÉS V ^ 
' 'His, opinor, fenfüs Problematis fatis explanatus eft; eo autem: 
en? peifpedto , quilibet , qui. obfervet Series. rerum. fupra. tradita- 
rum ,. poterit fibimet ipfe plura. füppeditare Exempla, & invenire 
"plures. operandi. Méthodos. ab. hifce- diverfas., prout occafio. poftula- 
bit. ' Ita. ut ei: ton. admodum difficilis ,. five potis omnino facilis. 
fit futura, ( dummodo faftidium illi non. faciant: oomputationis tz. 
ium & ambages, ) Solutio. Problematum, ejufdem, nature, puta. 


are eff aet, nulla, «nt. infinita y. «ut omniam naxina, vel, minima. 
1.:Sic Iniequabilitas sulla eft ad. Schionim,conicemm. Vertices.; in- 
fni. ad. Tpochoidis Cofpides ,. , máxima: adea; Ellipíeos. Punda ,: ad 
que Rectangulum BD * BP.eft omnium: maximum , id cft, ad que: 
Bllipfis fecatur à Diagonalibus Parillelógrimníni. ita Cirenmícripti, .ut- 
dee tangunt: piecipuin Qirre: Vertice: " UM 


: li K. ano 
q Deerwinen Qirvam. crie dlicejas Specie , pua émem- 


tjnicam, cujus Curvatwra.ad dtum. Punilum fo. equali. dr fni; 
Gyevuiure, «lieri; enjsfois Csrva. 4d datum Pundlum, . 





i D Xe PR nir. à $3 





OL 





— Duerminet 6 conlcém. Sriianem., ad^ eujus quedomque Pasifim 
Qurvatura cx pofitio. Tangemtis., (. refpeeiruo ad, Aem, ) fimiles: 
o ont. Gervatura c Tesgenis. ofitieni alieriur eujnfgue. Cerva. 4d: 
duinm. Panifum-. 


Wülicas hujos Problematis i in-eo- o-verftur,. quod n. pro Elliptbus. 
fecundi. generis, quarum proprietates ad Lucis Refractionem ; perti: 
mentes explicate fuerunt: à C ag TE s10 In Geometri4. fa, uforpari 
poffunt Sedtiones.cenice , quz idem, fere, prorfus elficient::. Qnod; 


' igselligendum eft;de ceteris Curie. 
"C PAORR. 








we 75 C ÓPEPÓU LUC EV 
' ' His, opinor, fenfus Problematis fatls explanatus eft; eo autem. 
'bené petífpedto, quilibet, quí obfervet Series: rerum. fupra. tradita- 
rum, poterit. fibimet ipfe plura füppeditare Exempla, & invenire 
"plures operandi. Méthodos. ab. hifce: diverfas.,. prout occafio. poftula- 
bit. ' Ita. ut ei: ton. admodum difficilis ,. five potis omnino facilis. 
fit futura, ( dummodo faftidium: illi. non. faciant oomputationis tze. 
dium & ambages, ) Solutio. Problematum, ejufdem. naturz, puta. 
z venire in qudvis. Cyród. Punfum, ub. Ineguahibtas: Curva. 
sure eff avt, nulla, aut infnita, aut omnium maxima, vel, minima. 
-::&ic Iniquabilitas aulla;eft ad Sectionim. conicemm  Vertices., ine 
finita.ad; Trochoidis Cufpides.,. máxima: ad ea; Ellipfeos Puncta ,: ad* 
qux Rectangulum BD x B P-eft omnium. maximum , id eft, ad quz: 
Bliplis fecatur à Diagonalibus Parallelógramíni ita circuinícripti; ut: 
DIOC. atr tengant.precipuos Curve; Veiis: - 50.07 70e 
. : f, - 1 tons he i . 


» jy, : à 
nvyiPsGLx.. n » Bk. üpe cuit goes n. 
« Determinare  Ünrvam- certe. alicujus Speciei, putas Seifionem. 
nicam , cujus Curvatura ad datum. Punifum fe. aqualir. Gr fimilit. 
Giycudtuta alterius .cujmfvis Curva ad. datum Funifum... 
v eU po. E E E... . mE 
! "Ditermisart. coslcám Se/lionem., ad cujas quodcumque Pini, 
Qurvatura. cy. pofitio Tangentis., (.refpesiroo ad. LAxem, ) fimiles: 
4 aoo dtt, Carvatwra, cy Tuszemis. pafitiopi: aleriug cejufque. Curva. ad: 
— dium Pundlum. EE aZ 
: Vlitas hujus. Problematis in -eo- verfatur, quod fit pro Ellipfibus- 
fecundi. generis,, quarum proprietates ad Lucis Refra&tionemi ; perti-. 
nentes explicate füerunt:à C ag Tesr0 dn Geomorid fuh, uforpari: 
poffunt Setiones.cenice , que idem, feré. prorfus, client; Qnod: 
' ipselligendum eft;de, ceteris Curvi...— 





23 onm 





NE 


BENE;TUSM 





. osi Google 


METEO. Peur. ET $ERIERSINFIN. 3 


DG oaa WVUÜLC E 
Ragerire guesiden Corus, por Area Hte. exhiberi pid 


'Sit (Fa. -" ) AB Abfcifl Curve, N cuj. Vertioe n demitta- TAY. 


tur Perpendicularis AC — x, : deinde agatur "CE Parallela A B. 
Praterea, fit BD ordinatim Applicata ad redoe Angulos, que oc- 
currat Rede C Ein E /& Curve AD in D. Intellige Areas ACEB 
" & ADB generari totu Redarum EB & BD decurrentium Rec- 
tam A B: Tunc Inrurn Aresrum Incrementa vel. Fluxiones, erunt fem. 
per ut Linez defcribentes EB & BD. | Fac igitur Parallelogram- 
mum ACEB, aut ABx 1 — x, & Aréa Curve ADB dicatut 


zs, 8t Fhmdones* ac z etunt ut:BE & BD; Ha. wt, fi; ponas 
x-—1-—EB,ftz-— BD. 
Affumptà :nunc JEquatione arbitrarià , qi determinetur Relatie 


ipfsrum x & x, ex eà ( per Probl. L.) erüetur 2; igitur habebune 
ur due JEquaiones, quarum usa determimabit Curam, sere 
weró Areami; C 


SExrhrra 


Sume. sx ——&, BEEN hu qx mE, ui, Cot 


Xr, ) eem : M 
, Pone ^ 6. hinc oritur 255 —sz, JEquatio à Pila: 


1 So 
^st à? Eu, mt 4t xt zt, , unde cónficietur 2- 247 xi 


Saa E ecu, avt ater wd Fabi. . 
E m E aeta at 





URC PE ELEC 


4T 


ji; C n pUstV VM YLOOYY! 
s tantüm indicat quód. IBID fumi debes ad. artes contrarias, rela-. 
tivà ad BE, . 
Lém, f copa 44€ EN ex; ms affequeris ars ads, 
B ex 
unde, liminato fy fymbolo 5. be TER. L & mE 
Ld pus eee Lisa afe e sg 









—— atque Miete tmt 13d eui iMtqui 
Eaintio perii tiaedé i 25r cujus. ope f extermines: 
$. invenjes $5 & L— Ps 44 d- xx. 

* Si demum affümas 8 — auam nime lai —3&. 
L—ised- T4 mam, quapropter, ex. afnrpet Fquatione- . 
primb quarends ejt Area & deitie Qrdipata.z. ex JEquatione: 


qua. füboritur, 
Et fic ex Areis ad: libitum. spa. femper. determinare liget. Oidinas. 


tg5, ad quas pertinent. 
PaosxL VILL 


Byvesa 4 tkbet Curvas qiarum Idea. ad oem. crjaftimue du 
ja Curve. Babeant Belariomm expeftam finitd. JKgnariene., - . 


: Curva data ( Fig. 28: 19. 30. 31, 32.33. 215.)  EDH. & 


PARS. GEI, Cyrva petiti, Concipe, earum. Ordidats BD, & EC mp-- 


veriad re&os Angulos per carni: Abfciffas VelBales AB; & AC. 
"Tunc, Incrementa vel, Fluxiones. Arearum. hac. mado defcriptarum , 
erunt ut- hz Ordinatz duckz in Velocitates. quibus feruntur, vide- 
licet inrefpedivarum. Abfciffgrus Slyxignes-- Pone- igitur A Brite. 
QAC, atque CE—; Arcam. verà MR 
i Horumque Arcarem Fluxioges fint 7, & 

15 a. 






METRO! FLPrjo: PPERIER INFIN. tj 


£5 atque erit wx: gii D * "uamobrem, & ponas ; mas x ai& 


ZIELENMES 





s— rut antea, reftabit. 3 —, &- 


Clhacico aifatmalitar dim SEqdatiónes ddrini du exprünat "Re-- 
lationem -Arearum 5,-& £, & altera Relationem. Abfciffarum .ad: 
eas pertinentium x "&: s hs Ep serus per Probl lj 


UO oaainsiotm L. 





Fuxbnes i & ox, dehde fo T ; 
du smcAees n 
oí Ex arra. Eo ; 
, Data FD ET Cicculis expreiltis Jajstlahe 4 PE x 
xax, iw DR Hc Cei cipes En iderpia 
Circuli. ER ego, pé, hypothein:,- si 7, : Gr propterea $- * 
emp Supereft x. que drerinode th 
quà Reltione inter Abfciffas x, n 
Suppone, ex. gr. , quód. ss-—5 s £, hac "T 
44 55; Igitur, ipi übftitarndo 7. »Aaemi ufu 


gus. 7S rt (a Ex m—À a gx 
eran eft: Ego ad mn pps quat: 


L DERE 
iia so flw: idum .——— — 


een. wem gre Bye: od, Ax, lo: 
pem Jar icpnde,, extermbnatis * & ns qeudes 3 . 

















WIL BEEN . 
"azY o —— xy 140 00077 7x4 —— 41 w co» fn cbusng. 
———ÓXE.. 

aat m3 

5 d 
L^ut, R3 





"ue vn QT UCROG IGVM VEU 


FE erm n E lE bindr in -— 





EMMM 





Pru jebrpses aed bhó: Qncrn y zm Le —- 


ILLE LAO ih sa 


;&, Va ES SEA aad ! 
Z 2dughoe M z 


Ine T Mes AD 2^. ML 
7Std; A" afsmetés a — — ES Cali gui yop m haberes 


















DzP £a Leuhi "Qi dud ies 


adii Btés ia "UL "— 
RIQUbUE "edo j 2 zuumhs "unde? iliraifes dius 
tituendo: earum valores Cua £, fiet Aa TX 


| Vax—is -R 
mi t 48 Quéd 


METHO: jupxjo ET'SERIER. INFIX., 55 
Quid " "Gepiffes ip; » & x is invenifics as; md, & 
a—— axe, & propterea j——— — 4555; &, fclibendo pro * 


& x, en xx acix5,. sonus 3 cr qnx Vg ax Bquaio. 
ad Curvam. mechanicam. , |. 


Exr&rr HE 


E 


Eden ratione poffünt inveniri: Figure,. quz Hiabeant affumptam: 
Relstiones.ad! aliuam; aliam.-datam.. Figuranx : Detür. .Hrperbole 
€x 1- xx cun; fiaffnmas $ —2,:& uimnindd labens ia. F. , 


: -onl n 
& TR MITT eMe eos 









- PRU 
sinis. iid ;Qu- 


; UMS 


powers u Agni Fia nnd | die 











N—&u (per: :Ptobl L ar igitur y.— * " qüe Equatio,. po- 


mendo. Va -kax pro ", &e &* pro. * y. uL WEITE: 
UM * 


Baer. IV. 
^^ Quinimo 2 Cis 2 a dit din Pisis tom 
paranda Figura peteretur; & f, 1d: Hoc 'péficiendum affomeres: 
7 ^c AAT tüppone A ax gab &hu- 


&. Sed. JEqua-- 
tis 





PON pone à; eit igitur da 2. ioni 


TAB.1V. 





Án SER SCULEM, 1I... tia 
MP. quiet o —a, & propera, Ce 
— E má — Preterea, quia. e$. 


m n ] . 2 731 
vil Cup e i - ti memX , Nunc determinat 








TUS & & z affüme 44 — ax —z; unde (per Probl 1) Li 


245, aut z — — f Quploftét etj — G-— zz 


. Ver 











una Up Qu liinsfni. 


APELM pros Came; amm fas i s Cim tem quati he 


fad Cic hic habes Relitionem intez Areas; Cirggli, ;& Cif 
foidis. 


* "asd ind e yx & sid 


'dimanáffet y — VER iQ rppfus ad solis. A. 
Edem satione i da Eo diros urva mechanjca, rim ini npe 
NT Aue touferendg^ , 5.000 


-iuSFd ad inseajendge Chrvae- gedntetricss,-optimban, ceit- ex Redis, 


Tli. vcl Abfciffà 3- dn. Asiam; qup) bomplét -Paraliclogranmmgus 
inveftigare, ponendo ejus Fluxionem zquivalere Abfciffe dude in 
Kluxionem. Qtdinata.- Lolmccg ie à ià lDoYes 


"E " aL E XO. L a. N.. itta tbe 


'Sic (Fi. 20.) propofità Trochoide ADF, eam refero ad Abf- 
Ciffam AB; & , completo Parallelogtammo ABDG, inveftigo Su- 
perficiem complentem ADG, eam fupponendo deícriptam motu 
Medo GD., & iddrog:ejws- -Fluxionem «equissleatem Lina GD 
du&z.in. Velocitutem Mots fni ,* ídeft xx» Nunc, qnia AL, 
parallela eft Tangenti DT, eft AB ad BL, at Fluxio ejuldem AB 
d Fluxionem. Ordinaiz BD, videlicet. ut rd a^ Qnocirca E^ 
vere. d$ A mua dqoxocub do QA 95s] insono sul ize 





c 








- METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 137 
-H, & ideo xw — BL. Ergo Area AD G defcribitur Fluxio« 


ne BL; &, quia eàdem Fluxione defcribitur Area circiílaris ALB, 
hzc illi equalis eft. 

* Eodem pado, fi concipias ADF effe Figuram. Arcuum, aut Si- 
nuum verforum, ea fcilicet, cujus Ordinata BD equalis eft Arcui 
AL; Cüm Fluüxio Arcüs AL fit ad Fluxionem Abfciffe AB, ut PL. 


ad LB; id eft, càm fit : 1 :: Ie Vax — xx, & propterea 
E " vl i LLLA S. 
4— Wem Uie Fur An A6 t 
Quocirca Reda zqualis Quantitati z T fi concipiatur appli- 


cata, tanquam Ordinata perpendicularis ad Punctum aliquod B Rec- 
te AB, terminabitur certá Curvà geometricà, cujus Area contigua 
Abíciffe AB zqualis et Aree ADG. 

Et fic inveniri poffunt Figure geometrice, equales aliis Figuris 
effidtis Applicatione ( füb quovis Angulo) Arcuum Circuli, Hyper- 
bol , aut alterius cujufcumque Curve , ad Sinus rectos, aut verfos 
horum Arcuum , aut ad aliam quamlibet Re&am, qua poffit geo» 
metricé determinari. 

In Spiralibus breviffimum eft negotium. — Nam ( Fig. 36.) hi 
Rotationis Centro A defcribe quolibet Radio Arcum D G , qui fe- 








TAB. VI. 


cet Redtam AF in G, & Spiralem in D ; quia hic Arcus , tanquam * 


Linea, quz fertur per Abfcifflam AG, defcribit Spiralis Aream 
ÁHDG, ita ut Fluxio hujus Arez fit ad. Fluxionem  Rectanguli 
1XAÀG, ut Arcus GD eft ad 1, ideo Reda perpendicularis GL, 
qualis huic Arcui, eodem pa&o peragrans eandem Lineam AG 
defcribet Aream A/LG qualem Aree AHDG ; & Curva A/L 
erit geometrica, Preterea, fi ducatur fübtenfa A L, erit Triangu- 
lum ALG — — AGXGL —  AGxGD — Settori AGD. 
Igitur Segmenta complentia AL/ & ADH erunt etiam zqualia. 
Et hzc non folum conveniunt Spiral /frcbimedee, ( in quà Hypo- 


thefi AZL. eft. Parabola /dpolloniana ) fed cuicumque alteri ; ita ut 
Jf. Nevioui Opsfeula , Tom. 1 E quavis 


AB. V. 


u$ OPUSCULUM IL 


quzvis earum converti eldem facilitate poflit in zquales Geoínetzi-- 
cas Curvas. 
. Poteram attuliffe plura fpecimina Conftructionum hujus Proble- 
matis, fed hzc fufficient; funt enim adeo generalia, ut, quacun- 
que hadenus inventa funt, aut ( opinor) inveniri poffunt de Cur- 
varam ÁAreis, aliquo pa&o in his contineantur, & per hzc deter- 
zainari poffint, plerumque finefolitis ambagibus, & perplexitatibus. 

Precipua veró utilitas hujus, & praecedentis Problematis in eo 
fita eft , quód affumptis conicis Sedtionibus , aut quibufvis aliis Cur- 
yis cognitz magnitudinis, invenire licet alias Curvas, quz cum iis 
€omparari poffunt, & earum JEquationes ordine difponi in Catalo- 
Eo. feu Tabulà, .Conftructà autem: hac Tabul ,. qdando invenien- 
da eft Area Curvz alicujus, perfpiciendum eft utrüm JEquatio de- 
definiens ejus naturam , vel immediaté fit in hac Tabulà, vel fal- 
tem transformari poflit in aliam , quz ibi fit; quod fi accidit, da. 
tur hzc Area. Infuper Catalogus, aut Tabula "hac applicari poteft ad 
determinandas Curvarum Longitudines; ad invenienda. earum Cen- 
tra Gravitatis ; Solida genita earum rotatione; Superficies horum. 
Solidorum, & quafvisalias Fluentes Quantitates generatas Fluxio- 
tibus huic analogis.. 

PaRosr IX 
Daterminare Zdrears. cujufeumque. Curva. propofites 
Hujus Problematis Refolutio. binc pendet, quód ex datà Fluxio- 


num Relstione, poteft inveniri Fluentium Ratio, ( ut in. Probl. II. ).. 
Et primó, quidem, fi ( Fjg.27.) recta Linea B D, cujus Motu def-. 


' €tibitur Área quxfita AF DB, fertur ad retos. Angulos fuper Abf- 


Ciffam A B pofitione. datam ; intellige, (ut antea, ) Parallelogram- 
mum ABEC eodem. tempore defcribi ultra AB à Lineà, que 
Unitatem equet. Et, pofito, quód BE fit Fluxio hujus Paralle- 
logramuni; erit B D. Fluxio Arez quzfitz. 

Fac igitur AB — x ; & pariter ABEC —5 1 xx— x; acBE— x; 


liem, voca Aream &F DB. —2; eritqueBD — 25 quinetiam — 


ES 
Ac 





-o-———— 


€^ 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 139 
E. qua x-— i. [gimr Jquatio expriméns BD, ai erprimié 
x 
Rationem Fluxionum 5 — & hinc (e Problematis L et E) 
poteit excudi Relatio Fluentium x, & £z. er 


. Exrzn»rPr l 
Quesdo BD, ant equat aliquam. fémplicem. Quantitatem. 
Detur 55. — z, aut —— C- (JEquatio ad Parabolam ), hinc 
x 


C per Probl II.) conficietur z L-z£. Quapropter 5. , aut 3 
ABXBD sequat. Aream Parabolz AF D B. 
x* 
Proponatur —5 (JEquatio ad. Parabolam fecundi geheris ); 
hinc habebimus z^ videlicct du ABx BD eft Ara 


AFDB. 
» -——— 
Sit FED — i (Equatio ad Hyperbolam 


-— A 
fecundi generis), ex ed eruetur—4'x ^ —, ant— 4 


Redangulum nempe (Fyg.37.) ABX BD zquat Aream HDBH TAX. VI, 
in infinitum extenfam , & jacentem ultra Ordinatam BD, ut infi- 
muat negativus ejus valor. 


Eodem pado, fi daretur, -—t , affequeremur — 





axx 


Quinimo propofita Equiio 4x — Z5, ( qux rurfus pertinet 


S 35 ad 


349 OPUSCULUM rm 
ad Parabolam ), (dd e at d ai, fappedita pm E. 
ilice. -3- AB.X BD—Aree AFDB, 


"E — €2j dido adixi— &. oat 2ABX BD 
£AFDB. 


" 
Sed áA— Z5; gignit — i— 5, five 2AR X BD — 
- xt 
HDBH. ; 
Fr 
Denique xx. —— z*; praebet 2 4* 97 sm om videlicet E 
APABD-mAFDA. , 
ExsmrPr IL 
Quando, equat. Aggregaum. ex: fomplicibur. Quantitarilun, 
. » 
ddr Aj erit? Te 
Detur 4-7 —. 2: habebimus 4 — ta 


Troponatur 3x I —h-5 hinc. exfurget: 2x 
X «x 


Exrnurr III 
Ubi. Redu&tio per. Divifionem. premittenga: eff. 
Detur ^. ——  ( Equatio-ad Hyperbolam. ApolUsiesam.) 7 
& Dailons in. iniaitum, ped, fi, zt tr UM 


A 








, 





Digitized by Google 





METHO. FLUXIO. ET'SERIER; INFIN. 4 


Lo sax? 
x— 


£2; &c. Ex hinc ( per Probl. IL), ut in fecundà Erenplo- 





. : :nehi Laám ^ asxx aax* — aax* .aax* H 
ams mie SR AU Q* AP 
&c. . 7 ! ! 

Proponaturz prz —— z, ent, per Divifionemr,. £-—t1-— 


3xa--x* — x*; &c, utem P9 VI ei Ll; 


Quapropter ( per Ptobl. IL) &£—* — P tr Dr—IÉS 
— ; ——— ER... — 
E zt m I &c.— HDBH- 
gi 2 — E 2:5 Divifio. füppeditabitz -— asi — ax 
pEXÜÉ— x i 
E ee erts 8s &c. B hinc ai Ptobl. IL) erit e 
E-dee—8 e d xs e E S i. 


Exrmxmrr IV. 
Ub previa: Reductio per Extrattionem Radicis regyiritwr:. 


Detur £ —as eux (,. JEquatio ad Hyperbolam, ) enjus. RA 
dix exc d infinitam. rc d multitudinem ,. dat £.—— 


xx. xt 
EN ; ^44 2A — ; &c.,. unde, ut. fupra,. gI—&X 
ua xt NL . . 
dl 6a.. 494 oua od E72 iS 


Todess pudo. .fi proponeretur Jiquatio (ad Croium ) "T 
Manum, ea füppeditaret. & —— 4x — ad 


— E Ee. 


A x "aaa 


Ss Re 


xq$. 707 AO7PUSCULUM IL'. E 
XEt fi haberemns | £— Vx—ux —s»( JEquatio erum ad | Cirenium) 
per Radicis Extrdtionem exfargeret x — xt— T xt —3$ xt 


L4 x*; &c. Ee "idcirco i AIME. IL E 
16 3 $ 28 . 


Hi . 
— d ihe 


G3BicE a Pn & JEquatio: paritee ad Circulum ) fup. 

LEX bbxx. 

peditat , per Radicis Éxtradionem , xoa E a — ES ; 
x! bbx 

&p. H Hinc autem. conficitar f—e E —"uej &c. 


Siceiam / E488 — £, datper debitai Redudtionem 





—— &c. 
ru UR 4b ; &c 


. —* 44 ; &c 
unde fit 
Cemmk4d-IRbx4 ÀLgbx , 
7 ——4 ia ; Ac 


i —5 44 5; &c 
Sic demush & —. ex? perExtradionem cubice Radicis, dat. 
Emma - 4 ie j c, quaroper (per Bro IL) 
dca i248 Tus T ius &c, zz AFDBR. 


Aut? 





METHO. FLUXIO. ET $ERIER. INFIN. tu 


Aut upRE- E T dena unde — x 
La " 
x 5 4q- ja — uS &c. — HDBH. 


Ex£EMPL v. 


"Quando Equitis per Solutionem affdtz JEquationis prepe- 








randa. eff. 
^ Si Curva definiretur /Equatione z* dais e ax pee — s 
— 0; Extrahe Radicem , & invenies £ ——f à — — 
qns ; &c., unde obtinebis , Methodo. jm fapis ui e 
$1222) fürpatà ,. 
ee xus o 3e 


Quod fi £! — cz z — axxe — ccz-- ax* re —o ee 
JEquatio ad Curvam, Refolutio proferret tres varias Radices; vi- 


delicet aut Rcx ; &c., aut Es 6— * 





duc ] 


VE m; &c., aut t deiqe some ER LR 


T rr &c. Unde prodirent valores trium Aranim correfponden. 





£I XL X — Ed 3 C., aut £ 
tium; nempe "cg x uus HE &c à 
P 1$xf . wr 
—(x—-— —— lenique £ —t — ex 
xx4- X mr Pg aut deniqt : 
x xt x . 
LT 7 8e * a &c 


Nihil hic fübjungo de Curvis Mechanicis, quia Methodus eas 
revocandi ad geometricarum formam poftea tradetur. 

Cim autem valores s hic inventi pertineant ad Areas, quz ja- 
cent.aliquando juxta finitam Abíciffe partem AB, aliquando juxta: 
tjus partem BH infinité produdam verfüs H , aliquando tandem: 

. juxta 


x44 ^ — ^COPUSCULUM IL 
juxta partes ambas pro variis earam Terrhinis ; ut affignari poffit le- 
Bitimus Arez valor adjacens alicui parti Abfcifle, hzc Area femper 


* fieri debet zqualis differentie valorum s, pertinentium ad partes 


TAB. VI. 


Abíciffarum , quz terminantur initio & fine Aree. 
Ex. gr. Curva ( Fig. 37.) expreffa per. JEquationem Ha 
habet Áream, (ut jam invenimus, ) z—x — —- x! -E L x5, 


&c. Nunc, determinaturus Quantitatem Aree & 4DB adjacentis 
pani Abc 5B; ex valore ipfius z, qui oritur ponendo AB — 
X, aufaro milorem s. qui exfurgit dicendo A 4, — x, & reftat 


x— LX. X'; &. —xpIS—Ls, » &c., pro 
valore Arez $ d DB. Unde conftat , quód, fi A5. aut x fuppone- 
retur equalis nihilo, valor totius Arez AF DB foret x—ZXx' 


TT. 
Ia ldem Cur reper iam e — — i ds —3 
&c. Hinc rurfus, juxta jam dida, Area ia — L—A 


Tue —* 4 33 — 1x6 &c. Quapropter, fi AB, 
aut X poneretur infinita, adjacens Área &dH protenía verfüs Hg. 
qua etiam in infinitum extenditur, minit Lo T zu 
&c. Nam, ultima Series — - -- 49— qx Resa 
ceret. ob Denominatorem infinitam. 
LI . 

In Curvà expofità per JEquationem 4-4 E. sinvenimus, quód 
LL 2^ . a! at 
& ——a4x— Quod oftendit, quód 4X — uXoc0 


exponit Áream £D B, quz fit infinita, quando x ponitur equa- 
lis nihilo, aut X infinita; & idcirco utraque Area AFDB, & 44H 
in infinitum protenditur; & alique tantummodo partes intermedia, 

ut 


METHO. FLUXIO, ET SERIER, INFIN. 145 


ut &4 DB, exhiberi poffunt. Hoc autem femper accidit, quando 
Abfciffa x eft fimul in aliquorum ex Terminis valoris z Denomina- 
tore, & in aliorum Numeratore. Sed quando x eít folàm in eo- 
rum Numeratore, ut in primo Exemplo , valor € pertinet ad Aream 
adjacentem ipfi AB, hinc ab hác Ordinatà. — Et quando x eft tan- 
tüm in Denominatore , ut in fecundo Exemplo, hic valor, poft» 
quam omnia Terminorum figna mutaveris, fpedat ad totam Aream 
infinité productam inde ab Ordinat4, 


Si Curva ( Fig. 38.) fecat Abíciffam alicubi inter Pundta 5, & TAB.W. 


B, puta, in E, pro Areà habebis differentiam (£24E— BDE) 
Arearum fitarum ad diverfas Abfciffe partes; cui differentie adde 
Rectangulum B D Gé & obtinebis Aream ZEDG. 


Sed hoc przcipué obfervandum eft, càm in valore & nonnul, 
"Termini divifi funt per x non afcendentis fupra primam Dimenfio- 
nem: Nam Árez refpondentes hifce "Terminis pertinent ad conicas 
Hyperbolas; & ideo feorfum exhiberi debent per Series infinitas , 
quomodo fa&um videbis in fequentibus. 


Sit 2 — ** — L Équaio ad Curam: Hac, per Divo: - 








ax4-xx 


: nem, füppeditat x — t aa d ax 2x. 25. Sc Hine 
&— e —tmeebx — PEE &c. Et Ara é2DB 








—z, &c., Ms Jp2ax — xx 


IPPEI 


mn &c. Ubi figna .**.] 








js & F-| indicant exigum 
Areas fpecantes ad. Terminos ^ zz p" 
Nunc inveftigaturus E «is EI de. 











finitam & £B indefinitam, aut N:- quam idcirco voco — y; 
Jf. Newioni. Qpsfénla , Tom. 1 T ita 


TAB. v * 


365 c OPÜSCULUM 1L 


itautfit| ^ ^| Quantitas equalis Aree Hyperbolice , que nn 











ip 5B, ass De] m -E Atqui, per Divifionem, inve- 
» 
nio Pu iiy &c & deo 
. 449 4 4 - 
ES «[EI-E|- 2mm 
/&c.; ergo tota Area petita 4D B—  — em t MCN 
2X*. 
LI 





. t A 
Eodem n pado, fi fümpfiffém AB, aut x LL Lineà definitá, ha- 


buiffem [x]— t^ L2 TAX LX m a ; 

"Quisimo, fi (F.57. ) Bé bikaretur in C, & AC affume- 
retur definite Longitudinis, & C ac CB indefinite; fac AC. 
e—e5; & &C, aut CB—7, erit À4— — ini LL 


e eec 


au. 4: i *- er ; &c. quapropter Area Hyperbolica ad- 











poe Mti pride, ek 2. T 2 pis T 








3e! 
s 44 — PP" Em 
nr ; &c. Sed etiam BD — eM P P T " 


-— p T e ;&c, & idcirco. pour ipRD 


Bc — e — : prd 4 s EA 44" - &c. Ergo fum- 


ma harum Áreeum — x FELPRET 222). &c. aqiiva- 


» 2ck $ed E 
jaa] aa 
MEE: 22 —UE 





' METHO. FLUXIO. ET $ERIER. INFIN. x37 


Sic JEquationisz* T5 d- & — x —o, denotantis naturam Cur- 
ve, Ralixeft & — x — 2— 3 4L tTL-e &c. 


8ixx 81x 
i —Iiu-£.l|s].lo 
Unde confidtur & — 2 3 sz iix 


i 
mirideBAmiDR- Dxx— £x— E EN 
z [2] 2 
en — igi 8e — pe Pid d E 
4 —-— iiL ; &c, id eft, —iEX—1X— qus 
Loki arpii&s Lf — E —He . 
Sed hi Termini Hyperbolici plerumque , & fummo Lm Coni 


miodo, poffunt evitari immutato. Abfcillz initio, id'eft, ipfhmet Abf-. 
Gifà auctà, vel diminutà Quantitate aliquà dat&, . Ut, in primo 
"ud cr n OEUU 
Exemplo, in quo Tx. ME etat. Ziquatio [ad Curvant, & 
ponerem initium m ad Pun&um P, & affumptà Ab alicujus. 


datz Longitudinis , H 4, fcriberem x pro rdiqà Abfciffà Bé; *i- 
delicet, fi minuerem antis Quantitate 5 2^ Kxibenx4- P 





poo x, uitio evaderet doe & ( per Divi- 

200 xx 2 
fionem) £ — 3 A — de LE ; &c, unde ite — 2. 
ax—15 xx T zm; &c. — Aree bd DB. 


Et fic, modó initium Abfciffe ponatur nunc ad hoc, nunc ad . 
illud Pundum, Area. Curve: poteft exprimi. odis infinitis, ] 


Etiam JEquatio aix —— & poterat refolvi in duas infinitas. 
- Ta /— - Seis 





MS 7 MEM Ik 
. » 

Seres eom LÀ 5 iR a — eer; 
&c. ubi nullos | invenitur Terminus divifus per primam Poteftatem 
ipfius x. Sed genus hoc Serierum, in quarum unà x in infinitum 
afcendit in Numeratoribus, & in alterá in Denominatoribus, apte 
non funt ad obtinendum ex iis valorem £, per Calculum arithme- 
fücum, quando Species convertuntur in Numeros. 

Si-quis, poftquam confecutus fuerit Aree valorem in Speciebus , 
eggrediatur Calculum numericum, is non facilé in difficultates inci- 
Get." Attamem, ut major lux fuperioribus affündatur , addam wmum 
aut alterum Exemplum. 

TAM, VL . Proponatur ( Fig. 39.) Hypetbola AD, cujus JEquatio quidem. 
eft Vx xx 2. Vertex autem, A, & uterque Axis equalis Uni 
" . . L3 » 
tal. Juxta ea, que füpra attulimus , Area AD B — - x* 4p L xt 

;pozf 202 " . 3 5 
—dcbune— AU ud ME im 


etle—kejehke— ; &c, que Se- 
ries. im infinitum. produci poteft, MPEG vla Tacna, 


per fuceefivos Terminos hujus Progeilonis 1:2. y; — 4. "D x; 


DI xi TG — y: dd eft, primus Termie 


ms 2 Ax x dat inde Temimm-, x; Hic-antem 





sultiplicatus per — I : E- $ « conficit tertigm.— a FA Qui ruríi 

" smeltiplicatus pr - $1 
Jem, tribuatur ip. AB data quavis Longitudo, puta, o & pro 

3 fcribatur hic. Numerus » ejüfque Radix i pro xt: tunc primus. 
"Terminus T xt; mt ix reductus. ad. Era&iones decimales. 
evadit: 


dT eit i quartum ;. & fic in infinitum. 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 149 
evadit 0,083333333; &c. MMOL ductus conficit o,0062 


fecundum Terminum; Qui du&tus in xa probet — 0,0002790178; 


&c., tertium Terminum. Atque ita porró. At in duas Tabulas 
diftribuo Terminos, quos ita gradatim invenio; ponens Affirmati- 
vos in earum uná, negativos autem in alterá, & Altos addo, ut hic 


fadum vides. 


41-0,08333332333333333 770, 0002790178571429 
: 62500000000000 : 34679066051 
27126736111F $34465027 
$135169396 26285354 
144628917 961296. 
4954583 38676 
190948 1663. 

7963 7$ - 
352 4 
16 —-0,0002825719389575. 


Áo ———— 
4F0,0896105885646518 


1- o, 0896109885646518 . 
0, 0893284166257043 


Deinde ex Affirmativorum fummá detraho fummam negativorum ;- 
fupereft 0,0893284166257043, quz eft Quantias Aree hyper- 
bolice ADB. | Quod erat ihveniendum. 

Nunc, proponatur ( Fig. 39. ) Circulus A2F qui exprimitur TAB. VI. 
JEquatione /&—— x — £, cujus nempe Diameter Unitas eft, ac 
(juxta jam dida) ejus Area A4B ek Lat b Lk 
— z: x &c. .Cüm autem in. hác Serie, Termini nullo pacto: 
differant à Terminis Seriei, quà fuperius expofita fuit Area hyper-- 
bolica, nifi fignis -I- & —; tantüm connectendi, fuperfunt iidem: 
"Termini cum diverfis fignis; Subtrahendum eft, fcilicet, Aggregatum: 
ex ambabus fuperiorum Tabularum Summis 0,089893 5 605036193, 
" T & ex. 


150 OPUSCULUM IL 


ex duplo primi Termini o, 16666666666666666; &c., & quod 
reftat, nempe, 0, 0767731061630473 erit pars AB Arez cir- 
cularis, fuppofità Red AB quadrante Diametri. Hic obfervare po- 
tes, quód, licàt Area circularis cum hyperbolic conferri nequeat, 
geometricà rem confiderando, tamen ambas déteximus eodem Cal- 
culo arithmetico. N 

Circuli parte A 2D fic inventà , hinc erui poteft tota Are, Ete- 


nim age Radium 2C, & multiplica B, aut -L- 4 nBOvd 7, 


& Produdi femiffis , id eft, a aut MMMMB^ 


erit valor Trüanguli C4B; hocadde Aree AdB, & affequeris Sec- 
torem AC4 — 0,1308996938995747, qui fextuplicatus, id 
eít, 0,78$3981633974482 dabit totam Aream. ' 
Hinc, obiter, detegetur Longitudo Peripherie , ( quz erit 
3, 1415926535897928, ) dividendo fcilicet Aream per Diame- 
tri quadrantem. 
His addere libet Calculum Aree comprehenfe inter Hyperbolam 
TAB. VL dFD( Fig.40.) & ejus Afymptotum CA. SitC Hyperbole Centrum, 
& faciendo Cae, AF—, &AB-—AP —Á erit P, 





ax 

—BDA : b. 6d; igitur Area AFD B mo Kj 
od. dn am Ae PES 
" &c., earáómque Summa 46 BD — a£ 4- 2—— ut d Ln 


€ 
&c. Jam fuppone AC— AF — 1 & AB ant A& — z exif- 
tentibus Có —— 0,9, & CB—— 1, r , ac fuübítituendo hos Nume- 
ros pro 4, 6, & x, primus Seriei Terminus evadit o, 2, fecundus 


0, 00066666666 '&c., tertius o 990004, & fic deinceps , ut vi- 
des in appofità Tabella. 





METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 151 


0, 2000000000000000 
' 6666666666666 
^ 4000000c000 
285714286 

2222222 

18182 

154 

I 


Summa 0,2006706974621311 — Arez b4DR. 

" Si feorfum habere velles Arez partes A d & AD, fübduc mino- 
rem AB ex majore A, & füpereffe perfpicies 55 -4. E T A 
s &c., ubi fcriptis 1 pro « & P, ac pro x & Termini 
ad Fractiones decimales. revocatis, habebis. 

, 9,0100000000000000 


$00000000009 
3333333333. 
25000000 
200000 

1667 


IK 
Summa 0,01005023358535014 — Ad — ATX 


jam, fi hec Arearum Differentia addatur earum Summs janv 
xeperte , aut ab eá fübtrahatur, dimidium Aggregatum 0,105360 
$1$6578263 erit Área major. Ad, & demidium. reliquum 0,095. 
3101798043248 erit minor Area AD. 

Quin, tametfi fupponas AB & A — zs , wl CB— ror 


& Có — 0,99, excudere potes ex iifdem Tabulis Areas iftas AD: 
& Ad dummodó Numeros legitimé transíeras in inferiora. loca; ut: 
Nic fadum vides. 


S, 


E] ^ OPUSCULUM Il 


0,02000000000000002 0,000100000000060 
66666666664 $0000000 
V * 4000008 3333 
28 Summa 0,0001000050003333 2Ad- AD 
umma 0,0200006667066694 —: bD 
Dimidium Aggregatum .Dimidium Refiduum 


0,010050338531014.— Ad 0,0099503308$21681 —5 AD 


Eodem pado, fi ponas AB & Ab — m autC B — r,oor, 


& CÀ — 0,999; habebis Aream Ad — 0,001000500333183$ : 
& AD —0,000999$003330831. 

Tta pariter, (fi AC & AF — 1, ), Rciendo AB &Ab oa, 
aut o2; aut 0,002 exfurgent Arez. 


' &d— 0, 2231435 513142097. 
vel A d — 0, 0202027073175194. 
vel A d — 0, 002002. 
& AD —0,1823215167939546. 
& AD —0,0198026272961797. 
& AD — 0o, oor. 
Ex his Areis ita repertis facilà deduci poffunt alie per folas Ad. 


ditiones & Subftradtjones. — Ut enim a in bri —2, Summa 


0,693147180: 599453 Arearum pertinentium ad Rationes eu 
5. (id eft, infftentium fuper Ab(ciffz partes 1,2— 0,8, & 1,2 
S ap). erit Arca AF 2, pofità C G— 2, ut notum eft. 
Rurías quia in 2—-3, Summa 1,0986122886681097 
AArearum pertinentium ad E: & 2 erit AF 40 fi CÓ eft 3. 
Atem! quia Sd any, &ax5—t10, pet legitimam Arearum 
Addi. 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. . sys. 


Additionem reperies 1, 6093379124341004 — AF28 , quando 
CB — 5; &2,30258509299404,7 — AF 48, cün CB — 10; 
Sic pariter, quia 10x 10 —2 100, & rox 1094— 1000; ac vf 
- : IOOXL,001 — |... 
X10X0, 98 —7, ac IOXI, 1 — II, ac —3"u 7. 
. ac 99998. ——499 , palam eft quód Area AF 4f reperiri po- 
teft per compofitionem Arearum fupra inventarum , quando C 9 — 
100; 1000; 7 , aut cuivis alteri fupra didorum Numerorum , ftan- 
te femper AB—BF— I. 

Hac ad id fpedant, ut palam fiat, quód hinc deduci poteft Me« 
thodus valde concinna, quà conftrui poteft Canon Logarithmo- 
rum, qui determinant Áreas hyperbolicas, ( & quibus Areis erui faci- 
lé poffunt Logarithmi ) & qui refpondent Numeris primitivis quot- 
quot funt, & id folàm.per duas Opesationes non nimis perplexza. 

Sed, càm bic Cagon ex hoc fonte meliüs quàm ex alio quoli- 
bet derivari videatur, quid fiet , fi eorum Conftruionem hic indi- 
Co, quó magis perfectum fit opus? 

Primüm igitur, affumptis o pro Logafithmo Numeri t, & r 
pro Logarithmo Numeri 10, ut vulgó fit , Logarithmi Nürnerorum 
primitivorum. 2, 3, $, 7, 11, 13, 17, 37 , inveftigandi funt, dividen, 
do Areas Hyperbolicas nuper inventas per 2,30258$0929940457a 
quz eft Area refpondens Numero ro: vel, (quod idem eft, ) mul- 
tiplicando eas per hujus reciprocam 0,4342944819032518, . 

. "Sic, ex. gr., à 0,69314718, &c., eft Area refpondens Numero 
2; ca multiplicata per 0,43429 &c., facit o,30102999$6639818 
Logarithmum Numei $ c E 

Deinde Logarithmi aliorum Numerorum , qui funt ià. Canne, 
& qui componuntur horum Multiplicatione , inveniendi; fünt pet 
Additionem Logarithmorum ad eps pertinentium, ut; fieri. falet, Ae 
loca inania poftea funt interpolanda ope fequentis Theorematis : 


Turon. 1l 


Sit » Numerus, cui Logarithmus aptari debet, & x differentia 
inter hunc & duos proximos Numeros equaliter ütri&que diffitos, 
A. Newteni Opsféula , Tor l v & 





34 . OPUSCULUM Il ' 
& quorum Logarithmi jam.ipventi fint, & fit 4 dimjdiata Logarith- 
morum differentia. . Tunc ophitus. Nome. 3 Logeasihmus obtine- 
bitur addendo Quantitatem. E 3 i &c.  Logrithmo mi- 
noris Numeri. 

Nam, fi Numeri exponantur per Cp, C8 & CP; & fit Rec- 
tàngulum CRD aut Cd — 1 , ut antek; & agantur Ordinatz p4 
& PQ ; fcribatur » proC4, & x pro 6j aut 9P, Area p; QP- 


aut z t 2n E Eu Rcs ert ad Aram p 448 aut T 4-2 


I e 


-- 55; &c. ut differentia qua eft inter extremorum. Numerorum. 
Liduihmos, xel 24, ad differentiam quz eft inter Logarithmos mi-- 
& 


d 
. EE — TL-;&c. 
ami & medi, que idcirco erit 4 27 327— , id eft (fic. 
L1 


à Divifionc) d -x de dt &c. 


zt ; 
: «Hujus Seriei, duo primi Termini 4-p T erunt, puto, fatlsaccurati 


ad conftruendum Canonem Logarithmorum , quanquam Logarithmi 
ad quatuordecim: vel quindecim Figuras ufque: producendi: forent; 
dammodó tamen Numeri, quorum Logarithmi funt inveniendi, nom 
fint infra 16000. Quod vix moleftiam faceffere: poffet. ei: qui compu- 
fat, quia x psflim- unitsis eff aut binarium.. Sed tamen non neceffarió 
loca ómnia interpelinda fünt per hanc Regulani. Nam, Logarith:- 
mi Numerorum, qui conflantur per Multiplicationem: aut. Divifios. 
mein Numerorum jám.ihvéntorum, excudi poffunt ex Numeris ,. 
quorum: Logarithmi reperti jam funt, adüendo-fcilicet, aut fübdu« 
tendo Logirithmos iftos. Quihimo etiam per Logarithmorum dif 
ferentias-primas, fecundas, tertiss, &c., fi res poftulat, impleri 
poffunt loca inania, & qpidem. expedité, Superior agtem Regula: 
íplàm adhibenda eft, quando plura loca plena. deinceps defunt ,. 
p&.fic inveniantur eorum. differentiz.. 
; Méem. Methodo. poffjat, i uno à Regue pro Logarithmorum 
4 ) int€Kca-- 


METHOY FLÜXIO-ET EERIBROINFIN. 155 


tinéntes ad medium & minimum , aut ad medium & maximum , : 
quamquam Numeri non conftituant arithmeticam Progreffionem. 
. Quinetiam, facilé, hujus Methodi veftigia premendo detegi ' 
poffunt Regulz utiles ad conftruendas Tabulas Sinuum & Tangentium . 
artificialium fine naturalium auxilio: Sed hzc obiter. . 

. Hatenus locuti fumus de Quadraturà Curvarum, "que expri- 
mwintur /Equationibus "conftantibüs ex Terminis complicatis, & id | 
per harum JEquationum Reductiobem, ad alias qux conflantur infi 
nito fimplicium Terminorum nümeto. Cüm autem he Curve: 
poflint aliquando quadrari etiam per /Equationes finitas, aut quo- 
modocumque comparari cum aliis Curvis, quarum Aree quodam 


módo haberi poffunt pro datis; cujus generis funt. Seciones conica. . 


" íntercalatióne, quando ex tribus Numeri dantur Logarithmi, pér- ^7 


Jdeo non. extra rem putavi hic afferre duos fequentes Catalogos, aut ^ 
Tabulas 'Theorematum, quas pollicitus eram, quáfque conftruxi ' 
VII. 


ope fuperiorum Propofitionum VII. & 
Harum Tabularum prima exhibet Areas Curvarum qux quadrari pof- 
funt. Secunda veró continet Curvas , quarum Aree conferripoffunt cum. 


Se&ionum conicarum Areis. In utráque littere 4; e; f; 2; 5, deno- : 


tant datas Quantitates quafcumque, x & e Curvarum Abíciffas, &&y : 


Ordinatas parallelas , » & t Areas, ut priüs.. Sed litterz »& 0 adnexe : 


£, indicant Numerum Dimenfionum ipfius 2, five is fit integer, 


— — 1 
züi—zgizglzi ag '—x ZI 


& 47 —xs. ! 

Preterea in Areztum valoribus fcripi, brevitatis eauf, R pro 
Radicalibus V a -- f" aut Ve-- 234-247 ,, & p pro 
Vb -- iz! , quibus afficitur valor Ordinatz y. . 


fivcfradus, five affirmativus five negativus: Ut fi 4—2 3, tunc | 
Tt: —z£ 


DAOPBÜRCELUM IL: 


Do red og Tb uua f29€ —7 in Joo8y 4- 56 — 


! * 2—MWr - EN 


Jod € «4 
TA Tqoxd jd epnijuoo *sum2jg "ugrpoi pe sejpor seougruun;) svojy senbre suaupuoo  tjuqej 





- ddp B . . "n . " 


iA 
rep 
g^ 
——— — 


ERE 24 


cm Qzj --2^ 12 us? 


imme car 


—f] Mu asa 


——— 


st: —ymAA. ap 


wf ímrTe 


Ku M ———— 





157 


METHO. FLUXIO,ET'SERIER. INFIN. 


4 


Ug 


NT 


fàxk—go 
Lagi XIERRGH- 


:2xk gc 3 
nce ESPERE, Lg xe pe 


PXPIPEPTEPPETLIESIESET TE 


aep i PASE, V p fx REL 


[ed 


Y— 


Ie p EUER, C, p pIXCERY 


OY tÁf A. nf ot eoo 





1—g$^ 
ytf -? Ao x tf eo 





jJ 
H 
wtf 2c m 


í— 1—À 4$ x*-ge 4r LG I 


e | ^ 3h59 -- JE -4- 


. £—u|I LAM 


13d Pe Ta —(ea gt T 1H t 


à t * jfu£-]- 
VET " Mrs t 





JdARNL 


Ta VL — Eodem pa&o habes Sediones conicas reprafentatas ( Fig. 42. 


' 


, 


x$(4)y 77 OPUSCULUM IY 


Addere potuiffem alia plura.ejufdem generis: fed jeme tranfire lis -— 


bet'ad aliud Curvarum genus, quz cum Sedionibus conicis com- 
.parári poffunt. Curve omnes, de quibus agit fequens Catalogus 


aut Tabula , reprafentantur (.Fig.41.) Lineis QExR. Harum - 
Abíciffe incipiunt ab A, & funt AC, Ordinate CE, initium Arez ^ 


€x, & Áreg defcripta «x EC. At initium. Arez, vel primus Ter- 


minus (qui plerumque aut initium:ducit ab Abfcife initio A, aut ; ; 


*ab eo diftat per infinitum intervallum, ) invenitur repertá Longitu- 


dine Kin A«,cüm Arez valor evaneícit & ere& Perpeidieu- 
lari ax. : 


Nt 1.2.5.4. ) Lineis PDG quarum Centrumeft A, Vertex 4, Se- 
imidiametri re&angulares A 4 & ÁP, initium Abftiffe A at 
4 aut «, Abícifa AB vel «B vel &B, Ordinata BD, Tangens 
DT, quz occurrit ip AB in T, fübtenfa «D, & Redangulum 
infcriptum aut circumfcriptum ABD O. 


Servatis igitur fymbolis fupra conftitutis, erit AC——£; CE—j 
«x EC—:; AB vel 4B — x; BD — s; & ABDP aut 4GDB— 5. 
Et preterea , fi quando dux Sedtiones conice neceffariz erunt ad 
Aream aliquam determinandam ; Area fecunda dicemr e, ejus Abf- 
riffa Z, &Ordinata y. Ponitur autem p pro V ff — e - 


, 











METHO..FLUXIO.. ET.SERIER. INFIN. 159: 

Antequam ad Exemplis illuftranda Theoremata in hifce Curvarum. 

claffibus tradita pertranfeam, obfervandum puto, quód. 

o E LO 
Cüm im J/Equationibus Curvas exprimentibus : femper pofueriny 

omnia Quantitatum : d; e; f; £g; 5; & i, figna affirmativa, fi 

quando ea negativa occurrunt , mutanda funt in fübfequentibys và-- 


loribus Abfciffe & Ordinatz ad conicam Sedionem pertinentium » 
atque ctiam. Arez quefite: 


iL De 0M 


Quinetiam càm figna fiymbolorum Numeralinm » &d negativa 
fünt, mutari debent in Árearum. valoribus. His autem fignis mu- 
tatis, Theoremata ipfa novam formam induunt. 

. Sic, Bi fignuni ipfius s mutetur in quartá form Tabula II, tertium 


"Theonema evadit. - DURENWIDA m7 475 

447 — 
Vost yg f it 
II jr — t. Quod in ceteris quoque obfervandum eft. 


&c., id et, L3;5! —x v fxdexxc— i 


CPII 


! Series fingulorum ordinum, preter fécutdum Tabule T, contíi 
muari ih infinitum utrimque poffunt. Etenim in Seriebus tertii & 
"quarti ordinis. Tabul E. Numerales primorum Terminorum Coeffi- 
cientes (25 — 4; 165; ——96; 768; &c.;) conflantur continuá 
Maltiplicatione Numerprhm —-2.; — 41 — 6; $;— 16; &c., 
& Cóefficientes Tequentium Terminorum' deducuntur ex priorum 
Cocfficientibus, in tertio quidem ordine, .edé gradatim multipli-- 
wap cmi — Ti— p — ni^ 
eaQ &c.. 


160 OPUSCULUM IL 


3h; — Ie) &c; At Denominatorum Coefficientes 1; 2 in 

105; &c., conficiuntur invicem gradatim multiplicando Numeros 

n $; 2; 9; &c. 

q; eamus ad Tabula, IL See Ordinum. primi, fecundi, tet« 
tii, quar, noni, & decimi, Li 


fione. Habes, ex. gr. in primo ordine 454 - L9; unde, 


et fz! 
Divifionem protrahas ad convenientem Deciodum , affequeris 
dé sq-— 
Cs ng . ot ^T^ 
4 Uam HN gta dee a—:i f —«u 
2o cg tpBR' o—uw 7 


Tres primi. Termigi. Ipedant ad primum Ordinem Tabulz I. & quar- 
tüs ad primam Speciem hujus Ordinis. ' Hinc patet quód Are "eft 


4 de... 

$7 —dAMU x a. Iu g— See ponendo ^ pio 
Ard Sinis, cj Bia n & Oríimta s 
— dE 


Seria auténi, Ordinum quinti & fexti contiagari politi inf 
hitum ope duorum Theorematum conftituentium quintum Ordinent 
- "Tabulz I. per legitimam Additiongm & Subftra&ionem. Series au- 
tem feptimi & octavi ope Theorematum fexti Ordinis Tabule Ll. & 
& Series undecimi, auxilio Theorematis decimi Ordinis ejufdem 
Tabula L . 
; Contimuanda fit; ex gr., Series tertii Ordinis Tabule IT. fuppo- 

fie dM & priam Tieoeega quini Ori Tabul I. fiet 


— iie M T gf 7 má ee to to 
$e jun :quartum "Dheoremà hojts Seriei producendz, facibendp 
E po d, ep o Bj uae fate; 4 
. . ? vfu 





Digitized » Google 





METHO. FLUXIO. ET JERIER.INFIN. s6x 
Mfeq ex — n; & eub —f, ergo fübtrahendo primos 
valoresy & £, fupereft 4aez 5 — FEFVXLE EU 
— E His multiplicatis per E &(fi lie) pro - 
fip ax, "^x, prodibit quintum fieorene] Seriei producendz, nempe 

CRAS Io veas a & 18498 14D 


4893e6€ 
— um x 
49* 


4. 
I V. 


Plures ex his Ordinibus poffunt etiam aliter ex aliis excudi. Sic, 
in Tabulà IL quintus, fextus, feptimus, & undecimus ex octavo, 
& nonus ex decimo: lta ut eos omififfe potuiffem , nifi poffent effe 
alicujus utilitatis, quamquam non omninó neceffarii fint. Omifi ta« 
men plures Ordines quos educere potuiffem ex primo & fecundo , 
ut & ex nono & decimo ob Denominatores complicatos nimis, qui» 
bus afficiuntur, quà de caufá non facile utiles effe poffunt, 


Vv. 


Si JEquatio Curvam definiens compofita eft ex pluribus JEqua- 
tionibus diverforum Ordinum aut diverfarum Specierum ejufdem or- 
dinis, ejus Área pariter compofita erit ex correfpondentibus Areis. 
Semper autem curandum eft ut e redé connecantur aptis fignis. 
Nam, non femper unà addendz , aut fubducendz funt Ordinatz ex 
Ordinatis, & correfpondentes Arez ex Areis; fed aliquando harum 
fumma, & illarum Differentia fumi debet ad conftituendam novam 
Ordinatam aut Aream correfpondentem. — Et hoc fieri debet , quan- 
do Arez pofite funt ad contrarias Ordinate partes. — Sed ut cautus 
Geometra faciliüs vitare poffit hos fcopulos, prafixi apta figna variis 
Arearum valoribus, licét aliquando ex forent negative , ut feci in 
quinto -& feptimo Ordine Tabule IL 

Ay. Newtoni Opuféula , Tom. I. X yk 


Ma oc OPUSCULUM IL 
VI 


Praterea, circa Árearum Signa animadvertendum eft, quód 4-» 
swqué denotat, aut quàd Area Secionis conice pertinens ad Abf- 
Ciffam, de quá agitur, addi debet alteri Quantitati in valore ipfius 
25; ( vide primum ex Exemplis fequentibus ) ; aut quód fubtrahi de- 
bet Area pofita ad alteram ab Ordinatá partem. — Et vice verfà — s 
ambigué denotat tum, quód Area adjacens Abfciffe fubtrahenda eft, 
tum, quód Area ad alteram Ordinatz partem pofita, addenda eít, 
ut conveniens videtur. Pariter valor ipfius ?, fi prodit affirmativus, 
indicat Aream Curva adjacere Abícifle; Et é contra, fi negativus 
eít, cam jacere ad alteram ab Ordinat partem. 


VIL 


H L1 

Sed , ut hxc Area certilis definiatur, quarendi tibi funt ejus Li- 
mnites. Hi autem Limites, ( quod fpecat ad Abfciffum, Ordina- 
tam, & Curve Perimetrum, ) incerti, aut ambigui nequeunt effe; 
Sed Limes initialis , aut. initium uade Curva incipit defcribi, habe- 
re potefh plures fitus. — In. Exemplis fequentibus, Limes hic eít aut 
ad initium Abfíciffe, aut ab eo diítat intervallo infinito , aut ad 
Pun&dum, in quo Curva concurrit cum Abíciffa. — At effe poteft 
ubicunque ; & , ubicunque tamen ille fit, inveniri poteft quzrendo. 
Longitudinem , quá gaudet Abfciffa quando valor ipfius £ nihilo. 
zqualis eft, & inde agendo Ordinatam. Nam, Ordinata fic duce 
ta erit. Limes quafitus. 

VIIL 


Si aliqua pars Arez jacet infra Abfciffim, 4 indicat differentiam. 
bujus partis, ab JiÀ, quz eft füpra Abfciffam. — 


IX 
Si quando in valoribus ipfarum x; «; & 15 Terminorum Dimen- 


ones aut nimium afendunt, aut nimium defcendunt , revocari 
pot- 


. METHO. FLUXIO. ET.SERIER. INFIN. 165. 
poffunt ad juftum gradum, Terminos aliquá datà Quantitate, que 
Concipi poteft fungi munere Unitatis, toties dividendo, aut multi. 
plicando, quoties opus eft ad Exponentes aquandos. 


x s 


] / 

Prater füperiores Catalogos aut Tabulas, conftrui poffunt Tabu- 
le Curvarum relatarum ad alias Curvas, in fuo genere, fimplicio- 
res ; puta ad 4-]- fx! ——*& ; aut ad xye 4- fx? —— s; aut ad 
Ve4-fx* —&; &c. Ita ut fimul derivare liceat Aream Curve pro» 
pofite ex modulo fimpliciori, & nofcere ad quas Curvas ea refera- 
tur. Sed jam, qua fupra tradidimus, Exemplis illuftremus. 








ExrmPrL 


Sit (Fig. 43.) QER Curva Conchoidalis ejus nature, ut def- rim vr, 
cripto Semicirculo QH A, & a&dà AC Perpendiculari ad Diame- 
trum AQ, fi compleatur Parallelogrammum QACI, & ducatur 
ejus Diagonalis AI, que Semicirculum fecat in H, ac demittatur 
ex H fuper IC ad rectos Angulos HE, PundumE tangat hanc Cur- 
vam, cujus quzritur Área ACEQ. 
Mdcirco fac AQ —4; AC —£; CE—)j; &, ob continue Pro- 


: portionales IA; AQ; HA; EC, erit EC, aut y— dax 
Nunc, ut hec JEquatio induat formam illarum, quz funt in 
Tabulis, pone g——2; & pro z* fcribein Denominatore £^; at» 
que in Numeratore «'z* ^ pro 4*, anta'z! ^, unde oric. 
] i3—! ; 
try 37 —, JEquatio primz Speciei fecundi Ordinis Ta- 
aa --z . 
bule lI, &, per Comparationem Terminorum, habebis  —: 4^; 
€—— 44; & f — 1; quapropter V pu Va uni 
& «x — 2; —f.. Jam, ut inventi válores x, & «, redigantur 


ud juftum Dimenfionum numerum, elige aliquam datam Quantita- 
2 tem, 


M54 '" OPUSCULUM IL 


tem , mt 4, per quam, tanquam per Unitatem in valore 
ipfius x, femel 4' multiplicetur, in valore autem 4, dividantur 


4! quidem femel, fed ex x bis. Unde obtinebis V 





—x 
4 
Maa —— xx —— nu; & wx — 25 —4: En autem Conítrudionem. 
: Centro A, Radio A Q: defcribe Circuli Quadrantem QDP'; ex 
AC abícinde AB — AH, educ Perpendicularem BD Arcui occur- 
xentem in D, & junge AD. Dico , quód duplex Sedor ADP 


 zquát Arcam. quzfitam A CE Q.. Nam, quia /—,— —(VAQXxEC 





m x 
aa-l-22 
G—HÁA—)AB-—x;& Vas — xx — (V ADq — hug) 
BD aut s; atque «x — 2s — bis. Triang. ADB — 2ABDQ; 
aut — bis "Trang. ADB 4-2BDP ; hzc Area eft equalis five — 


2QAD, five 4- 2DAP; Quorum valorum affirmativus 2 DAP, |. 


pertinet ad Aream ACEQ hinc ab EC; & negativus — 2QAD: 
ad Aream R CER, quz in infinitum protenditur ultra E C. 

, At hz Problematum Solutiones ita repertz aliquando | majori ele- 
"gantià donari poffunt. Ut nunc, ducáà HR Semidiametro Circuli 
'QHA, erit, ob equales Arcus QH, & DP, Setor QHR femif- 
fis Sedoris. D AP , & ideo. Quadrans. Superficiei AC EQ. 


ExznMrPr. IL 


Sit (Fig. 44. ) AGE Curva defcripta à Pundo E, quod eft 
ad Verticem. Anguli rei AEF, cujus alterum latus A E indefini- 
tum femper tranfit per datum Pundum A, alterum veró FE date 
Longitudinis labitur fuper indefinitam Redam AF pofitione datam. ; 
Demitte E H ad rectos. Angulos fuper AF , & comple Parallelogram- 
mum AHEC; Jam didis AC —2z; CE — y; & EF — ^; 
Quia FH; HE; 'HA funt in. proportione continuá, erit H A aut 


22. 


Nunc, ut engpofiamus ream, AGEC, | pone 5 z EM ; aut 


A—3M 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 16; 

iy—2a 

2 — 5 ; quapropter erit — i —: 3. Cm autem hi z 
. Vaa— aj 


habeat in Numeratore fradam Dimenfionem , deprime valorem J» 





—I 


, 
eum dividendo per £1'. & obtinebis Cam Ly, E 





44g  ——I 
quationem fecundz Speciei feptimi Ordinis Tabul IL Terminis au-- 
tem comparatis, invenimus Z— 1; e— — 1; & f —— 44. 
Eft igitur £e —( vu Va2a— xs ——u£; & 


s —- «x — t. Quapropter, cüm x, & c fimul equentur, & cüm 
Máa—xx — u fit JEquatio ad Circulum, cujus Semidiameter eft 
4, Centro A, Radio EF, aut «, defcribe Circulum PD Q, quem 
CE fecet in D, & compleatur Parallelogrammum ACDI; Tunc 
erit AC — 2; CD — »; & Area quzíia AGEC — s— «x 
z-ACDP—ACDI— IDP. ] 


Exzm»rr III 


Sit(Fig. 45.) AGE Ciffois pertinens ad Circulum AD Q def- TAB. VII 
criptum. Diametro AQ. — Agatur D CE ad. redos Angulos fuper 
Diametrum, & que fecet has Curvas in D, & E. Jamque, vo- 
-€atisA C— 5; CE— y; & AQ.— 4; Càm fint CD; AC;CE. 


continué proportionales, erit CE, five y — — ; &(di- 









Ya 


videndó per x) y — lgiur z —* , ut 





*———1;&ideo y —.7. . -., que JEquatio eff ter- 
Vaz'—r 
tiz fpeciei , quarti Ordinis Tabule IL. Quapropter, per Terminorum.. 
Comparationem, eft 4 — r1; e — — 1; &f—4; Ergo.z. 
LI —L—s Vax—ax —— wi 35—— aux ——. Qui de: 
0 0RÀC . 
X & auf 


166 OPUSCULUM Il i 
caufd et AC — x; CD — »; & ideo ACDH — 5; itaque 
3ACDH — 4ADC Triag. — 3: —2«x — t — Aree 
Ciffoidali A C E G A. Aut, ( quod idem eft, ) ter. Segmentum 
ADHA equat Aream ADE GA, five quater Segmentum À DH A 
equat Aream AHDEGA. 


ExrzMPrL IV. 


TAR VIL — Sit ( Fig.46. ) PE prima Veterum Conchois defcripta Centro 
G; Afymptoto AL; & Intervallo LE. Age ejus Axem GAP, & 
demitte Ordinatam CE. — Nunc appella AC —2; CE — 5; GA 
zb; &AP-—: Proportionles AC: CE—AL :: GC: CE 
dabunt CE , &ve y — Ex Vc — uu. 

Jam, ut hinc excudi poffit ejus Area P EC, feorfum confiderari 
debent partes Ordinate C E. Et, fi Ordinata CE ita dividatur in 
D,wft CD—vV7:—z3, & ED —  Vec——az, eit 
CD Ortdinata ad Circulum defcriptum Centro A, & Radio A P. 
Quapropter Arez pats CDDP cognita eft, & tantüm invenienda 
fuperet pars DPED. — Quia igitur Ordinatz pars DE, quà defcri- 
bitur, equivdet-- Vcc—ras . füppone a ——4, & ca fit 
iyz— x —— DE, Eutio prime Speciei teni Ordink 

Tabulz IL Terminos igitur compara, & reperies 4—4; e—e; 

&f-—1i; quapropter - — V se; T Fee 

& 








£5. &abees — E Lt. 

His autem inventis, revocandi funt ad juftum Dimenfionum Nu- 
merum Termini, multiplicando fcilicet nimium depreffos, & divi- 
videndo nimium altos peraliquam datam Quantitatem. — Hoc fi fiat 

. per 


METHO. FLUXIO. ET $ERIER. INFIN. 167 


per es afiequemur * € —; M — ad xx—Fà gn s 
z—;o Que Jquatio fic poteft conftrui. 

Centro A, przcipuo Vertice P, & Latere redo 2 A P defcribe 
Hyperbolam PK. Tunc ex Puno C age rectam CK, qua tangat 
Hyperbolam in K: Erítque ut P A ad bis AG, ita Area CKPC 
ad Aream quefitam DPED. ^ 


Exrnmrr V. 


Gyret ( Fig. 47. ). Nerma GFE circa Polum G, ita ut angu. TAB. 
lrePundum F labatur fuper Redà AP pofitione dati, & quod. ^A VIR 
visaliud Punctum E fümptum in altero Latere EF, concipiatur def. 

cribere Curvam P E. 
^ — Inveftigaturus Aream hujus Curve demitte GA, &EH ad redos 
Angulos fuper Redam AF, & completo Parallelogrammo AHEC , 
dic GA— é; AC — s; CE—); & EF—c. Ac, propter 
Propottionales FH: HE:: GA: ÁF, habebis AF — 

; b —— am 
Igitur CE, am qM iR Sed , quia c —Àà2 
eft Ordinata ad Circulum defcriptum. Semidiametro « ; Centro A 
defcribatur Circulus ifte PD Q , quem CE produda fecet in D ; 
Tunc erit DE— c z Ope cujus JEquationis reliqua Area. 
PDEP, aut DER Quocirca fuppone s— 2, 


& 0 —b, & erit DE—^ 


— 
—— 


66 — 22 








—1t 

—— ——— , JÉquatio primz Specici 
Wee —a. 

qaarti Ordinis Tabule 1; Nunc, per Comparationem Terminorum,. 
invenies $4; £c —e; & —1 —5 ita ut —é Vcc— ax 
E— Rr: 

Sed , quia negativus eft valor ipfius 7 , & idcirco Area reprafen- . 
tata per 7, jacet ultra Lineam DE; ut inveniatur Limes initialis ;; 
quare cujufnam Longitudinis fit £; cum 7 evanefcit, eámque repe-- 
ris c,  Produc igitur A C ad Q. donec fit AQ —2; & erige Or 


188. .. OPUSCULUM IL 


dinátam QR; & vsu erit Area illa, cujus valor nuper in- 
ventus exprimitur per — & V cc — zz. 

Si vis nofcere Quantitatem Aree PDE pofitz ad Abfciffam AC, 
& cum cà coextenf ; ignoto Limite QR, eam potes hoc pado 
determinare, 

Ex valore, quem habet £, càm Abfciffa eft ipa AC, fubduc 
valorem, quem 7 habet ad Abíciffe initium, id eft ex —éyc;—3z, 
fubtrahe — £c , & fic reperies optatam Quantitatem &e — bv cc——az. 
Quare, comple Parallelogrammum PA GK, & fuper AP demitte 
ad rectos Angulos Redam D M, occurrentem ipfi GK in M , erit 


-Parallelogrammum PK ML zquale Ares PDE. 


Si quando /Equatio definiens Curve naturam , in Tabulis nequit 
inveniri, nec ad fimpliciores Terminos reduci per Divifionem , aut" 
per alias artes; ea transformanda eft in alias /Equationes ad Curvas, 
qua ad eam referantur, ut oftendimus in Probl VIIL donec tan- 
dem aliqua proveniat, cujus Area nofci poffit ex Tabulis ^ Quód 


- fi, licét omnibus Laboribus exhauítis, tamen id inveniri non pot- 


"TAB. Vl. 


fit, pro certo habendum eft, quód Curva propofita comparari ne- 
quit, neque cum Figuris Redilineis, neque cum Sectionibus co- 
nicis. 

Eodem paco, quando res eft de Curvis mechanicis, ez priüs 
transformande funt in zquales Figuras geometricas, ut oftenfum 
eft in eodem Probl VIII, & deinde harum geometricarum Cur- 
varum Arez funt per Tabulas inveniendz. — Accipe hujus negotii 
Exemplum. 


ExznmM»Pr VL 


Determinanda proponatur Area Figure Arcuum cujufcunque 
Se&ionis conice , quando ii Arcus ordinatim applicantur ad reos 
earum Sinus. Ex. .£r. Sit ( Fig. 48.) A Centrum Sedionis conice, 
ejus Semiaxes fint QA , & AR; CD Ordinata ad Axem AR, & 
PD Curvz ad Angulos re&os occurrat in Pundo D. 

Praterea fit AE dida mechanica Curva, qux fecet CD in E; 
& ex ejus naturá jam defit, erit CE «qualis Arcui QD. Igi- 

. A: 


METHO: FLUXIO. ET-SERIER. INFIN. té» 


tur determinari debet, aut Area A EC, aut, completo Parallelo- 
grammo ACEF, exceffas AEF. Ad quod obtinendum, fit « La- 
tus rectum Sedionis conice , & £, aut 2AQ. Latus tranfverfum, 


TÍnfaper. fit AC—2s; & CD——y; & edit 4L LU iy, 


Jquatio ad Setlionem Conicam, ut omnes norunt. peo; i 
euo PD—- IgQqie,, UU 
Jam, quia Fluxio Arcüs QD eft ad Fluxionem Abfciffie A.C , E" 
PD et ad DC; fi Fluxio Abíciffe ponatur zqualis Unitati ; erit 
E, 
vL 
Füuxio Arcs QD, aut Ordinate CE— —4— 


VI "E : 


BRENNEN 
wL IBEL 
Hanc duc in FE, aut 5, &üvmins A Lt I effs 








v bb Tem 
Fluxionem Arex AEF. Quapropter , fex Ordinat CD abfcindis 
VERE, 
CG—.—É V, Area: ACG defcripta ab ipsá 
Mrs b4- £5 . 


CG 1atà per AC aquabit Aream AEF, & Curva AG erit geome- 
trica. . 
Igitur invenienda reftat m AGC. Ut voti Compos fias, fübs 


ftue z^ pro z* in ultimà JEquatione , que hoc pado ehadet * I 


446 qibES 


PL VUWIEGC 00 Emzbtente fecil. 


y bip 


Jf. Newtoni. Opufeula , 'Tom. 1 Y Ordinis 


» 


Y70 7 ." OPUSCULUM IL 

Ordinis undecimi Tabule IL. Compara Teminos, eritque 4— 1; 

e——— $5 f-— E SR; itque TM as 

—]q|—zuP- 

xi Y—u T Uu L—w-;€& dr Videlicet CD. 

—x;DP-^, &- rmm. Cujus Conítrudio fic fieri poteft. 
Ad Q erige QK perpendicularem, & equalem ipü QA, &per 

Pun&um D. age HI ei quidem parallelam, fed eqnalem ipfi DP- 

Linea KI, ad quam HI terminatur , erit Sectio conica , & Area 


Comprehen£, HIKQ erit ad Aream quzfitam AEF ut & ad a, au&. ^ 


ut PC ad CA. 

Hüc animadverte, quód , mutatofigno ipfius &, Sectio conica ,. 
€ujus Arcus equat Rectam. CE, evadit Ellipfis, & fi praterea facias 
b — — ^ , Ellipis abit in Circulum; & tunc Linea KI ft Reda 
parallela ipft AQ. 

Poftquam Area Curve alicujus ita reperta eft. & conftruca, in- 
daganda eft Demonftratio. Conítru&tionis, ut. amiffo ,. quatenus fieri 
poteft , Calculo algebraico ,, Theorema fiat concinnum , & elegans, 
ac publicum lumen íuftinere valeat, Eít autem generalis demone. 


. fandi Methodus, quam illuftrare conabor fequentibus Exemplis. 


TAS YD 


CONSTRUCTIOGNIS EXEMPLI V. 
DEMONSTREATIQ 


In (Fig. 47.) Arem P Q., fume Pundum 4 indefinité propin- 
quum. Pundo D, & age 4e, ac d» parallelas ipfis DE, ac D.M, 
& fecantes DM, & AP inp, ac £ EritDE ed: Momentum Arez: 
PDEP, & LM» Momentum Arez LMKP. — Age Semidiame- 
trum AD, & concipe Arcnm ipdefinité exiguum: D 2 effe Lineam. 
redam, ac Triangula D», & ALD fimilia erunt, & ideo.Dz 
$4: AL: LD. Sedet FH: HE:: GÀ: AF; id et AL-LD: 

KE. P4: ML:DE Quapropter ?Dx DE. 
——p4dxML ; id eft Momentum D:EeZ equale. eft. Momento, 
LM» Cüm autem. hoc demonftratum. indetesminat? fit. de e 

MS. 








METHO. FLUXIO. ET $ERIER. INFIN. 17: 


nibus fimul genitis Momentis quibufcunque, patet quód omnia. 
Momenta Aree PDEP qualia funt omnibus unà fuüblurgentibus 
Momentis Aree PLMK, & idcirco, quód Aree. ipfe compofitz 
ex hi; Momentis equales funt. Q. E. D. 


CONSTRUCTIONIS EXEMPLI 1Il. 
DEMONSTRATIO 


Sic (Fig. 45.) DEe2 Momentum fuperfidei AHDE, & A2 Ag. vit 

D A eodem tempore genitum Momentum Segmenti ADH. Age 
Semidiametrum DK, & De fecet AK in e; eritque Cc ad D2 
utCDad DK. Praterea, et DC: QA (2DK):: AC: DE; 
ergo Ce: 2D4:: CD: 2DK:: AC: DE, & Cex DE —2D4 
XAC. Nunc ad D4 Momentum Peripherie, produ&um, id eft 
ad Tangentem Circuli, demitte ad rectos Angulos AI; & IA zqua- 
bit AC. Itaque 2 D4x AC —2D4x AI — quater. Triang. 
A4D. Quocirca quater Triang, AZD — Cex DE — Momen- 
to DEe4. Igitur quodlibet Momentum Spatii A HDE quadruplex 
eft eodem tempore geniti Momenti Segmenti ADH, quamobrem 
totum illud Spatium quadruplex eft totius Segment. Q. E. D. 


CONSTRUCTIONIS EXEMPLI IF. 
DEMONSTRATIO 


Age ( Fig. 46.) ee parallehm ipfi CE, & indefinit parum ab TA B.vr 
eà diffitam ; duc pariter c£ Tangentem Hyperbole; & demitte 
KM perpendicularem ad AP. Jam, ex Hyperbole naturà et CA: 
AP :: PA: AM, & idcirco AG4: GL2:: CAg: LEq (aut 
AP4) :: AP4: AM4, & divifm AG4: ALg(DE4):: APa. 
,AM4 — APg (MK4). Et imer? GA: AP:: DE: MK: 
Sed Areola DEe4 eft ad Triangulum CKe, ut Altitudo DE ad 
ad dimidiam Altitudinem KM; id eft, ut AG ad £ AP. Ergo 
omnja Momenta Spatii PDE funt ad omnia fimul orta Momenta 
Y a Span 


Nol . OFUFCULUM IL 


Spit PKC, ut AG ad — AP, , Quapropter tota Spatia | erunt in 
eidem ratione. Q. E D. 


CONSTRUCTRONIS EXEMPLI VL 
DEMQNSTRATIO. 


Ta&vur — Duc 4c Parallelam, & infinité proximam ipfi DC( Fig.48., ) 
n & Curve AE occurentem in e; atque age 5; & f'e, que fecent 
DC inp, atque 4. Erit per. Hypothefim, ZD —E4; & quia 
fnillia (unt Triangula DZp, & DCP, habebis »D: (D) E: 
€P: (PD) HE; isque De xHI—E 4 XxCP; & propterea DP 
XH1( Momentum fcilicet ipfius HIz2): Eg AC ( Momentum 
ipüus EFfe) :: Eg x CP:E4x ACz: PC: CA. Et, quia PC, 
& CA funt in dat ratione, in cà nempé quam Latus traníverfum. 
babet ad rectum conice Sedionis DQ , ideó Momenta HI;5, 
& EF fe Arearum HIKQ. & AEF funt in eádem ratione, ergo, 
in hác. quoque funt Arex ipfe. Q. E. D. 


" In hoc Demonfiratipnum genete, animadvertendum eft, quód. 
pró iequalibus habeo: Quantitates , quarum ratio eft zqualitatis. Ta au- 
tem exiftimanda eft ratio equalitatis , quz ab equalitate differt ratione 
inzquali minori, quàm quelibet affignabilis. Sic, in ultimá Demonf- 
ratione fuppofui rectangulum E42X AC, aut FE4/f zquale Spatio 
FEzf quia ( càm differentia Eze fit iis infinité minor , aut nihilo equa- 
lis relata ad illa Spatia) nulla eft inter illa inzqualitatis ratio. Eà- 
dem ratione affumpfi DP HI —HLI;; & fic de ceteris. 

Methodum demonftrandi, quód Curvarum Arez funt equales, 
aut in, datá ratione , ex eo quód earum: Momenta funt. zquolia , aut. 
in datáratiope, ufurpavi, quia affinitatem quandam habet cum. Me- 
thodis, qua paífim in his negotiis adhibentur: 

Magis tamen genuina, & rerum, naturz confona videtur ea, que 
profluit ex Superficierum genefi per motum, aut. Fluxiones. Ex 
quo fonte fic, Ex. gr. deduci poffet Demonfítratio Conftrudionis 

TAB. VIL Pongl IL. Ex natur4;Circuli Fjg.44. ) Fluxio Redz DI eft ad. 
Fluxio-- 


METHO. FLUXIO, ET SERIER. INFIN. 173 
Fluxionem Rede IP, ut AI ad ID, & eft AT: ID.:: DI: CE 


eux Curve AGE naturà; ergo cExID — DIxIP. Sed CE 


xID zquat Fluxionem Aree ACEG, & DIxIP zquat Fluxio- 
nem Aree PDI; Ergo Arez ifte genie Fluxionibus aqualibus 
debent effe equale. Q. E. D. 

Ut major lux his affundatur, addam Demonftrationem Conftruc- 
tionis, quà determinavimus Aream Ciffoidis in Exemplo III. Dele- 


tz concipiantur in Schemate (Fiz.45.) Linee folis Punctis indi- TAp, vir. 


cate. Age Chordam DQ., & Redam QR, quz eít Ciffoidis 
Afymptotus Nunc, ex Circuli naturá, et DQ4 — AQ x QC 


Ergo (per Probl. L) :DQxQD—AQx QC. Quapropter 
AQ: QD :: 2DQ: QC. Rurfum, ex Ciffoidis natur, eR ED: 
DA::AQ: QD; ego ED: DA: : 2DQ; QC, acEDXQC 


—ADx 2DQ— 4X£ADx DQ. Jam, quia D Q per- 
pendicularis eft ad extremitatem ipfius D'A gyrantis circa A ; & 


LADXx QD squat Fluxionem, quz gignit Aram AD OQ, at- 


que ejus Quadruplex ED» co zqualis eft Fluxioni generanti 
Aream ciffoidalem QREDO; Igitur hec Area QREDO in in- 
finitum protenfa gignitur Quadruplex alterius ADOQ. Q. E. D. 


SCHOLIUM 


Ope Superiorum Tabularum, non folüm Curvarum Arez, fed 
etiam Quantitates alterius. generis ,. que gignuntur analogá fluendi 
ratione, deduci poffunt ex earum. Fluxionibus, & id per hoc Theo-- 
rema; nempe, Quantitas cujufcunque generis, eft ad Unitatem. 
ejufdem. generis, ut Área cujuívis Curvz eft ad Unitatem fuperficia-. 
lem ,. dummodo Fluxio generans-hanc Quentitatem fit ad Unitatem. 
fui generis, ut Fluxio generans Aream eft ad Unitatem pariter fui: 
generis ; ; id. eft, ut Reda perpendiculariter lata per Abícifam , ( five: 

Y a Qrdinaua,, 


174 OPUSCULUM II 


Ordinata, ) quà Area defcribitur eft ad Unitatem linearem. — Qua- 
propter, fi quelibet Fluxio exponatur per hanc mobilem Ordina- 
tam, Quantitas genita hac Fluxione exponetur per Aream ab hac 
Ordinatá defcriptam, aut, fi Fluxio exponatur per eofdem alge- 
fraicos Terminos, qui exponunt Ordinatam , genita Quantitas. 
per eos exponetur, qui exponunt Aream defcriptam. Igitur que- 
renda eít in primà Tabularum Columná /Equatio, quz exhibet 
Fluxionem cujufvis generis, & valor ipfius £, qui eft in ultimá 
Columná exprimet Quantitatem genitam. 





Exhibeat, Ex. gr. V 1--25 Fluxionem alicujus generis, eam 
fac equalem y, & ut revocetur ad Formam /Equationum, quz funt 


in Tabulis , fcribe 2" pro x, & prodibit e" ^ V 14- 2- e! — 5, 
JEquatio primze Speciei terti. Ordinis Tabule I Comparar veró 
Terminis , conficitur 2:1; e—r; fi & propterea 
ibn. (op M Ru Ego Qui EET x 
mw 5 eacít, que generatur Fluxione srE "S 

olea pto E exprimit Flaxionem US le- 


gitims redueendo hanc Bsainen, Caut mE £? extra fig- 
num, & fcribendo & proe. 3. ) habebitur —L— IEEE A 
a 
JEquatio fecunda Speciei quinti Ordinis ns IL 
Collaio Terminorum dat 4—5 1; e— J 2; &f— 1. EK 


" 
—234 
4 





. . ——— 

p" Y 

igitur &? — Len y1ÍEEL.. &i,— 
L. 


z—f. Quibus inventis , cognita erit Quantitas genita p 
Dr 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. vy 





14- —, eam facien Unitatem fui ut Area 
/ 163) faciendo ad generis , 

NS 
J-, eft ad Unitatem fuperficialem , aut, (quod in idem recidit, ) 
fupponendo * non amplius indicare Superfiiem , fed Quantitatem 
alterius generis , quz eft ad Unifatem fui genetis, ut hec Superfi- 
Gies ad Unitatem Superficierum. 





Sic, fi fupponas, quod «/ 1 4- -15— ie exponit Fluxionem linea» 


rem, intellige ? non amplius exprimere Superficiem , fed Lineam, 
quz ex. gr. fit ad Unitatem linearem, ut Area, qua (fecundüm 
"Tabulas) exponitur per , eft ad fuperficialem Unitatem, ant que 

. invenitur applicando hanc Aream Unitati lineari — Tunc, fi hec 
Unitss linearis ponatur ——e ; Longitudo genita à precedente Flu- 
xione erit — i. Atque his Fundamentis poffunt he Tabul uti- 
les effe ad determinandam Curvarum Longitudinem , Soliditatem Soli 
dorum ab iis genitorum , & quafcunque alias Quantitates , equé bene 
ac Areas Curvarum. 


De. Queflionibus , que ad bas referuntur. 
! L 
. Mechanich invenire. per. approximatinem. Areas. Curverum; 

Tota Methodüs in eo verfatur, ut valores duarum , aut plurium: 
Figurarum rectilinearum jungantur, ite ut quamproximé conftituant 
quafitum Arez curvilinez valorem. 

. Sic C Fig. 49. ) in Circulo A FB, qui exprimitur JEqnationt rag y, 
* — x x — xz, invento valore Aree A FDB, videlicet - x» 


— t aru 5S—1 Y acinvenendi font lorem 
. Redan- 


176 OPUSCULUM IL 
Recdangulorum , qualia funt * Vx — x « , aut A— 
— 36k &c., valor iplius DBXBA; & x Vx aut 
é 


. valor ipfius D Ax A B. Deinde hi valores multiplicandi füng 
pe aliquas diverfas litteras, quz gerunt vicem Numerorum inde- 
finità, & (imul addendi, hujáfque fumma Termini comparandi funt 
correfpondentibus Terminis valoris Aree A FDB, ut ad «qualita. 
tem accedant, quantüm fieri poteft. — Multiplicentur Ex, er. hzc 


Paralldogramma per e &f^; erit eorum fumma t 7 x* — Legi 
— 3 &c, qui Termini comparati cum his ; FEL E 
— Le. fuppeditant e-f— &— i —1 
—-— .&f— ied Quapropter 7-DB«BA 
-E | DAXAB Aer PDA quin eaxinà Nam 7- DB 
xBA4 DAXAB— 2. 2 ar ufo B TRE 


&s quo rore fübduco ex Areà A FDB reat folàm error 
Ey Lo Tl xt &c. 
TAL.VITL. — Pariter (, Fig. 49.), Si ABB bifariam feda effet in E, valor Rec- 


tngudi AB: DE dites — ome aut Ada 





— 19.4.27 i. 
uj " 1024 * , &c., quod collatum cum Retungulo 


D A X AB przbet 
z ; ; 

etior eft folüm E xt i n X*:; &c., qui femper minor eft, 

qum —— ——— pars totius Aree, etiam quando AFDB eft Circuli 


Quis. Sed hoc Theórema poteft ita proponi. Ut 3 efl ad 2, 
ita 


METHO.'PLUXIO.-ET SERIERPINFIN. :5)* 
ita Redangülum ex A B in D E unà cum quintà parte Differentiz , 
quz eft inter AD, & DE ad Aream AFDB quàmproximé. 

Et fic in unum conjiciendo duo Re&dangula ABxED, & AB 
XBD, aut tria Rectangula , aut fümendo femper Plura Redistgula , 
confici poffunt alie Regule, qua e accuratiores erunt, quó plu-- 
ra Rectangula adhibebuntur, idem intelligéndum eft de Areá Hy- 
perbole , & quarumlibet aliarum Curvarum. Quinimo fepé uno 
Rectangulo poteft Area commodeé exhiberi, ut in Circulo, de quo 
fupra, fumendo EB ad BA , ut V'1oad 5, erit Redangulum AH 
XED ad Aream AFDB, ut 3ad2, & error folàm erit 7- xt I 


M o. . 


II . 
red. datd determinare Alféifam , d Ordinatam. 


- Nulla eft difficultas , quando Area exprimitur JEquatione fnità: ' 
Sed quando ea exponitur per infinitam Seriem ,. extrahi debet Ra», 
dix affeda, que dent Abfciffam. Sic pro Hyperbolà, quam 


definit Fquatio -* 





x 775. poftquam inveneris sb 
"n &c., fi ex datà Are vis invenire Abfciffam * ex 
trahe Radicem afedam, & habebis xm 
| tup * 96a 
z, divide 4b per 4-- x, id eft per eL 4 


abi * 6a EU 
pm. 5 &c., & praterea fi nofcere cupis Oriinatuns 


ab * zu 


—— —$— n LR ud e. 
t* mpi &c., unde fiet x — & 4 242b 6 bb 
7T mat ; &e . - 

, Eodem paco inEllipfi, que detérminatur Xquatione ax— x 


JHgÉ Newroni Opsfiula , Tom. L Z "m 


XAB.VIIL 


t.t Li 
xxc-—z£, poftquam inventa fuerit Area' z —3 145 





i xt atat atat 

»: Zi 

v ES a &c, fcribe «* à peg 
* $. ? 
H f»—poo35 0 3 0 P. 

pro x*, ea fit w t 1o seic ago 2 S0 Bs exe 


Ins 17147 : 
tra&á Radice , (BEL 4 Mess T apio &c., cujus. 





Quadrstum wa. - dut qpOEMUL. c, aquae et x; & 


17$6 — 7876 
hoc valore pofito pro x, in /Equatione ex — Tax Er, & 


: t 
extradà Radice, conficitur zai. Batuh a8 ut 
46 1766. 
;'&c.,lta ut ex datà Areà e, & ideo w, aut 3* di. 
2a* 
tur Abíciffa x, & Ordinata z. Hzc omnia poffunt aptari. Hyperbo-- 


1e, mutatis tantàm fignis Quantitatis c in eis. Terminis, in quibus. 
eá aícendit ad impares Dimenfiones. 





a* 
2250! 


PaRosp X 
Jewesire quatlier Curuas , quarum. Longirade, fevitd /Eguatione 
. E24 primi. 


"Sequentes pofitiones | viam aperiunt ad hujus Problematis Solu-. 
tionem, 


2 


Si ( Fig; 5o. ) re&a Linea DC concipiatur ita moveri, ut fem-. 
per Perpendicularis fit Curve AD, omnia ejus Puncta G; r; 25: 
&c., defcribent alias Curvas, ut GK; r5; g4; &c., qua aquidi(- 
tentes erunt & Perpendiculares illi Rediz. 


X Sii 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 179 
IL 


Si hzc Reda utrinque in infinitum producatur , ejus extrema ad 
eontrarias partes movebüntur; idcirco erit aliquod Pun&tum interme- 
dium, omnis motüs expers, quod propterea vocari poterit Cen- 
trum motüs. Hoc Punctum erit Centrum ipfum Curvature, quà 
Curva AD gaudet ad Pundum D, & de:quo fupra locuti fumus. 
$it illud C. ] 


III 


Si fupponis, quód Linea A D non eft Circularis, fed inzquabili- 
fercutvata, fit ea magis curvata d' verfüs, quàm verfüs A. Centrum 
illud affidué locum mutabit, & propiüs accedet ad partes magis cur- 
vas, ut inK; acrecedet à partibus minüs Curvis, ut in £, & hoc 
pato defcribet aliquam Lineam ut K C£. 


1 v. 


Reda Linea D C femper tanget Lineam à Curvature Centro def- 
eriptam. Moveatur enim verfüs 4 Pundum D in hac Redá fump- 
tum, alterum ejus Pundum G pofitum inter C, & D Punda, eo. 
dem tempore accedit ad Punctum K, & movetur ad eafdem partes, 
ac Pundum D per Pofit. II Rurfus, idem Pundum D moveatur 
verfüs ^; tunc Pundum e, quod eodem tempore fertur verfüs K , 
& fitum eft ultra Pun&um C, movetur ad contrarias partes , ac 
Pundum D, id eft, ad eafdem, ad quas ferebatur Pun&tum G in * 
priori fuppofitione, dum accedebat ad K. Igitur Puncta K, & £ ja- 
cent ad eafdem partes Linee D C; fed Punda K & £ indefinite ex- 
primunt omnia Puncta; ergo patet, quód tota Curva jacet ad ean- 
dem partem Linee rede DC, & ideo ab eà non fecatur, fed fó- 
làm tangitur. 

- Hic fuppofuimus Lineam 4 D a effe femper magis curvatam ver- 
füs J, & minüs verfüs ^; Nam, fi ejus major, aut miror Cus« 
vatura effet in D, tunc reda Linea D C fecaret Curvam CK, füb 

Z s Angule 


* 


TAP.VIIL. i 


1o OPUSCULUM Il. 


Angulo tamen, qui minor effet quocunque Angulo rectilineo, quod 
idem eft ac fi diceres, eam tangeret. Quinimo tunc Punctum C eft 
Limes, aut Cufpis, in quo duz partes hujus Curve, quàm maximé 
poteft, obliqué concurrentes , mutuó fe fe tangunt ; & ideo meliüs 
üici poteft hanc Curvam tangi, quàm fecari à Rectà D C, quz divi- 
dit angulum Contactüs. 


v. 
Reda Linea CG equat Curvam CK. — Nam, intellige om- 


nia Rede Punda r; 2r; 37; 47; &c. defcribere Arcus. Curva- 
rum r5; 2725, 3735; 4745; &c; dum accedunt ad Curvam 


"CK motu Rede; & quia Arcus ifti ( per Pofitionem I.) Perpen- 
-diculares funt Rectis, qua tangunt Curvam CK (per Pofit. IV.) 


ideo Perpendiculares funt etiam ad hanc Curvam. — Quapropter ee 
partes Linee C K. quz intercepte funt his Arcubus, & que, ob 
infinitam earum exiguitatem , haberi poffunt tanquam Recte, «qua- 
les funt intervallis eorumdem  Arcuum; videlicet ( per. Pofit. I. ) 
fingulis partibus Rede CG; Et, qualibus qualia addendo, tota 
Linea CK equalis eft toti Linee CG. 

. ldem conficies confiderando, quód quavis pas Line» CG, dum 
movetur, femet fucceffivé applicat cuilibet parti Curve CK, & 
ideo eam metitur, ad amuffim ut Peripheria rote, dum gyrando 
movetur fuper Planum, fnetitur intervallum , quod jugiter defcri- 
bitur à Pundo Conta&ts. 

Hinc liquet quód Problema folvi poteft, affümendo ad. libitum 
aliquam Curvam À 2 DA, & hincdeterminando aliam Curvam KC4, 
inquá femper fit Centrum Curvature Curva affumptz. Igitur ( Fig.51.) 
demitte Perpendiculares DB, & CL, fuper Rectà ABB pofitione da- 
tà, & in AB fume aliquod Pundtum A, & dic AB —»x; EcBD 
z—3 ; & aífume relationem quamcunque inter x, & y ad deter- 
minandam Curvam AD; deinde, per Probl V, inveni Pundum 
C, per quod determinare poteris Curvam K C, & ejus Longitu- 
dinem C G. 


Ex nx- 


METHO. FLUXIO. ET $ERIER: INFIN, x8: 
ExrEMPLUIM. . 


.— Sit ( Fig. 512) ex—) IEquatio ad Curvam, quz ideo erit Parabola 
"Apolloniana, Et, per Probl. V. reperies A L——4 3x; CL 





L— e. &DC— CES aa J- 4x. Quibus inventis 


aa 
Curva KC determinatur per AL, & LC; ac Longitudo ejus per 
DC. Nam, quia, pro arbitrio fumpfimus "Punta K, & C ubi li- 
buit in Curvà KC, fupponamus K effe Centrum Curvature Para- 
bole ad ejus Verticem ; quocirca, ponendo AB, & BD, ideft, 


x, & y, evanefcere , affequemur D C — I4 Et hzc eft Longi- 
tudo ipfius AK, vel DG ; quá fubductá ex indefinito valore DC, 





| fuperet GC , aut CK exy. 44 - 4x— a. 


Nunc, fi cognofcere vis quznam Curva fit hzc, & quantà ejus 
Longitudo abíque relatione ad Parabolam; dic KL—£, & LC—s; 
& erit £—AL— —2— 3x, vel E £x; ac ax y. 

, 
Quapropter wi L— P I CcL—, aunt E —T—; que 
JEquatio oftendit T urvam KC effe Parabolam fecundi generis. — Ejus 








Longitudo autem reperitur ite x Vt 4«-- ;^—i 4, 


fctibendo fcilicet -- x pro x in dore ipfius CG. 


Problema reíolvi etiam poteft fumendo JEquationem , quz expri- 
mat relationem que eft inter AP, & PD, fuppofito P Pundo, 
quo Abíciffa, & Perpendicularis fe interfecant. Nam, vocatis AP 
Lx, & PD —)j; concbpe CDP moveri per Spatium infinité 
parvum, & venire, puta, in Cp4. Abfcinde ex CD, &Cd, par- 
tes C A, & C d, ambas ejufdem datz Longitudinis, Ex. gr. — 1; 
& ad CL demitte Perpendiculares Ag; & Zy, quarum altera Ag, 
(quam dico — £, ) fecat Cd in f. Jam, completo Parallelo- 

Z3 granmo 


TAB. VIII. 


1:82 "OPUSCULUM IL. 

grammo gy 4e, & ponendo effe x; » & £ Fluxiones Quantita- 

tum x; y; & z, ut priüs, eriteA: Af: eal: Ag : gC[: Cal 
c4. . 

Uu ef ac Et Af :Pp:: AC: CP. Ergo, ex equo, ^e: Pp 


EH cd : CP. Sed Pp eft Momentum Abíciffe , quo accedente ea 
fit Ap; & Ae eft eodem tempore genitum Momentum Perpendicu- 
laris Ag, quo recedente ea fit y: Quocirca Ae; & Pp funt ut 
Fluxiones Linearum Ag (2), & AP (x), id eft, utz & x. Qua. 


mobrem £ : x:: ci : CP... Sed, quia eft Cg — Cal —As8. 


m—(:— ££, & CA-—I, etit Cp£—. Praeterea , 


| quia licet affumere aliquam ex tribus Fluxionibus x; j; &z, pre 


uniformi illà, ad quam aliz referuntur; fit x Fluxio hzc, quz Uni- 
tati zquivalet ; erit igitur CP — 1E, 

'Infuper eft CA (1) : Ag (2) :: CP: PL; & &C (1): Ce 
(V 1—zz):: PC: CL; quapropter PL — —— , & CL 





-— IL x Vyi—u. Denique, dudá p4 parallda Arcui 


z . 
: infinité exiguo D 4, aut perpendiculari ad DC, erit P2. Momen- 


tum ipfius DP , quo fcilicet accedente ea fit Z5 codem tempo- 
re, quo ÁP evadit Ap. Quocirca pP , & P4 funt ut. Fluxiones 
ipfarum AP (x), & PD (y), id eft, ut 1ad y. Igitur quia ob 
fimilia Triangula Pp4, & CAg, funt CA, & Ag, vel 1, & s, in 
edem ratione, erit j—— x, Unde habes Problematis folutionem 
faric. : 

Ex propofità /Equatione, quz exprimit relationem inter x ; &y; 
Anveftiga relationem Fluxionum, x,&y (per Probl L), & po- 
. ! nendo 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 185 
nendo x —- 1 obtinebis valorem 7, cui zqualiseft e, Deinde fcri- 
bendo 2 pro y, ope ultima JEquationis require relationem Fluxio- 
num *;J; & z ( per Probl. 1.), & rurfus fübftitue x pro x, hinc 


affequeris valorem Z. Quibus inventis fac LM CP; sx 


CP—PL; & CPxV 1— 5, —CL; &C erit Punttum im 
Curvá, cujus pars quecunque CK equalis eft rez Linee C G, que 
eft differentia Tangentium ad Angulos rectos imfiftentium. Curva 
D4, & actarum ex Pundis C', & K. 


ExzgMrLUM. 
Sit 4x —— yy IEquatio exponens. relationem ipfarum AP, &PD;: 
erítque (per Probl L.) primó 4 x— 237. aut 4—— 235. Dein. 


—22 





de2724- 22)—0, aut — £ Unde conficitur C P — 
py S Ipp—axCPRe La4— 322, & CL 
2 4a 2 LÀ 
m 267 47x V 45) — aa. Et, fübtrahendo ex CP & PL 7 & x , rema-- 
2424 








netCD— £2, &AL-— i*— zn. fübtraho autem 5, 


& x, quia, quado. CP' & PL habent valores affirmativos, cadunt, 
ulra Pundum P werfüs D & A, & minui debent füblitis Quanti 
tatibus affirmativis D P', & PA; Quando veró: valores habent nega-- 
tivos, cadunt ad contrarias partes Puncti P, & augeri debent, quodi 

pariter fit ablatis affirmativis Quantitatibus DP & P A: 
* Nunc excudenda eft Longitudo Curve, in quá eft. Pundum C, 
comprehenfa inter duo ejus Puncta K & C; ad quod obtinendum 
.quarenda eft Longitudo Tangentis ad Punctum K, & fübducenda- 
ex CD. Ex. gr., fi K effet Pundum , ubi Tangensterminatur, cüm: 
€a& Ag, aut 1 & & invicem equantur, quod ideo erit in ipfà. 
Abfdíli AP; £zibe 1. pro x in JEquatione 4 — 2) x, unde repe- 
. ries: 


1$4 OPUSCULUM Il. 
ries 4—2y, vel i 4——:y. Quapropter pro y fcribe gj 4inm- 
lore ipfius CD, id eft, in — e£", & provenit — i 4. Et hzc 


eít Longitudo Tangentis ad Pundum n aut ipfius DG; Quanti- 
tas autem , quà fuperior indefinitus valor C D ab hac differt, eft: 


i 4, nempe GC, cui equalis eft Curve pars K C. 


Ad 
Jam, hoc pacto deteges quznam Curva ea fit; Ex AL, ( muta- 


to priüs ejus figno, quó fiat affirmativa ; ) aufer A K, qux eit ^ 4; 
& refabit KL — 322 — $6 banc dic — 7, & in valore Li- 


nee CL , quam appello w, fcribe 47*- pro 4) — 44; hinc orie- 
3 
tr? P») ya 4f —— w, aut a «4, quz JEquatio pertinet 
ad Paabolum fecundi generis, ut jam inveneramus. 

Siquando relatio ipfarum 7, & s concinné JEquatione concludi ne- 
quit, fufficiet inveniffe Longitudines C P, & PL. Ut, fiad exponen-. 
dam relationem inter A P, & P D affumeretur /Equatio 34x J- 344j 
—y —o Hinc (per ProbLl) habetur primà 24 442—335. 


70; Deinde 44z— 2 23)— 1525 & pepe. LN 


&iiuL Unde dantur PC — LP &PL—s&xPC, 


4a 


[4 
quibus determinatur Punctum C, quod Curvam tangit; & Longi- 
tudo Curve duobus Pundis intercepta innotefcit ex differentià dua- 
rum correfpondentium Tangentium DC, aut CP — 7. 

Ex. &£r.Íi ponas 4 —c 1 , & fumas (ad determinandum aliquod 
Pundum C in Curvà) y—2; P, aut x endi 2 229 — $ 
&o— T g——' PC—-— 2; j&PL——. jan, 
fi aliud Punctum determinaturus , facias y—23; erit. AP —26; & 


-— 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 185 


— ;E ——ii PC-—C— 84, &PL—-— 102. Qu ce 
bus datis, aufer y. ex PC, & füpererit — 4 in primá Hypotiefi, 
. & — 87 in fecundá, quz erunt duz Longitudines duarum D C; 

harum veró differentia 83 eft Longitudo Curvz inter duo- Punda 
reperta C, & c. 

Hzc intelligenda funt de Curvis, quz inter duo Punda C, & c, 
aut C, & K nullum habent ex illis Terminis, aut Limitibus, quos 
vocavimus Cufpides Nam , quando unus aut plures ex Terminis 
ifis, funt inter hzc Punda, (qui Termini reperiuntur determinatis 
maximis aut minimis PC, vel CD, ) feorfum quzrend& (unt Lon- 
Bitudines fíngularum partium Curve, quz funt inter Terminos iftos, 
& Punda C, vel K, & deinde he Longitudines invicem addendz, 


Pros XL ' 


Invenire quotlibet Curvae , querum Longitudines comparari polfins 
ewm aligud. Curvd prepofed s «ut cum fuis Adreis applicati data Li- 
mea , Cr id per finitam /Eguationem, 


Problema folvitur involvendo Longitudinem , aut Aream Curva 
propofite in JEquatione, quam affumpfimus in Problemate füperio- 
re, ad definiendam relationem, quz eft inter AP, & PD. Sed, ut 
£, &z hinc Cper Probl I.) eruere liceat; priàs detegenda eft Flu- 
xio Longitudinis, aut Arez. 

Fluxio autem Longitudinis invenitur eam ponendo zqualem Ra: 
dici quadrate, extradieex Aggregato Quadratorum ex Fluxlonibus 
Abícifle, & Ordinatz. Nam, fit (Fig. 52.) RN Ordinata ad re. TABIX. 
&os Angulos fuper Abfciffam MN, & ea moveatur fuper MN; fit 
autem QR Curva propofita, ad quam terminatur RN. Jam, dic 
MN—;; NR—:;; & RQ—wv; ac Fluxiones earum s; £, & & 
refpedivé. Intellige Retam NR venire in locum »» priori ingnité 
propinquum , & demitte R.* ad re&os Angulos fuper »r ; Tunc 
erunt Rs; sr; & rR fimul exorientia Momenta Linearum MN;  , 
NR;.& RQ, quibus accedentibus ille evadunt M»; sr; & ia 

Jf. Newsoni Qpufeula , Tom. r Aa 


hé | | OPUSCULUM 11 
Hzc autem Momenta eandem inter fe rationem habent,.ac earum- 
dem Linearum Fluxiones; & quia redus eft Angulus R»r , erit 
VR 77] —Rr; aut V7; 3-7 —2. 
^. Sed duabus JEquationibus opus eft ad determinandas Fhixiones 
5, & f, quarum unà definire debet Relstionem , quz eft inter MN, 
& NR, aut inter 5, ac £, & ex. quá deducenda eft Relatio Fluxio- 
num 5, &; altera veró determinare debet Relationem , exiftentem. 
inter MN, aut NR in datà Figur&, ac PA, aut in quzfità; unde 
geducere liceat, Relationem , quam Flaxio £, aut £ habet ad Fluxio- 
nem x, aut r. 
* Detedà veró w, Fluxiones j, & x excudi debent ex tertiá affum- 
ptà Jquatione, quá definiri. poteft Longitudo. ipfius. PD , aut 
Deinde fümere debes PC—— *—2 - pz, — 3« PC; acDC— 
LJ 
CP — 5, ut in Problemate, fuperiore. 
ExzEmwrPr L . 

Sit 4s— 55— t£ Jquatib ad datam Curvam QR, quz erit 
Circulus; exprimat x x——45 Relationem ipfaram AP & MN, ac 
T 4 y Relationem Longitudinis Curvz date QR, & Re&z PD. 


2: 


Per primam erit 4s——-251 ——2££, aut rt 5 Quaprop- 


Ia —K5- 8-5 Perfcundam eft 2x——4;, & ideo. 
E— 4; é& pet tertiam X —ÁA ideft, 2t & idcirco: 
E —E- z; Quibus inventis., accipere debes: Pon 
PL-yXxPC; & DC— CP), aut PC—— QR — Unde 


éonftat, quód: Longitudo date Curve QR nequit inveniri, nifi 
priüs detur Longitudo Re&e D C, & hinc Longitudo Curve, ad 
quam perünet Pundum. C, &. vice versá.. . 
N tc EXEMPL. 


METHO. FLUXIO, ETSERIER. INFIN. 87 
Exs£nx»r IL BEN 

Stante JÉquatione as—ss—t , pone x — s , & ss— 44x —44 
Ex primà erus 4- 27 — 5, utfüpr. Atéfecundà 1——5, & 


ádeo —- Ex tertià veró Fu d aut ( eliminan- 


ExznMr»rt IIL 
Proponantur h£ tres JEquationes «4:— si; 4-À- 35x; &x-s 
——). Prima, qua pertinet ad Hyperbolam, dat otii aut 
—Hi igitur dyieEnVun A fecunda pra 
bet 35/— 1, & ideo V sri Tertia denique 1 4- —3 
aut : *y uns quapropter » s, ponendo fcilicet 
*» pro mE Radicalis FECE TA quam fi facias —w, aut 


Lo 257m invenies — jani — EH ay; Et primm fub- 


9 .9:5 9:5 L4 
ftituendo — 4 pro 5 deinde ES pro * & dividendo perum, 
LL 


orietur ape co Nunc, inventis y, & 6, cetera perf- 
Gientur ut in primo Exemplo. : 

Jam, fi ex quocunque Curve Pun&o Q demittatur füper MN 
perpendicularis QV, & poftuletur Curva, cujus Longitudo nofci 
poflit ex Areá QRN V applicatà ad datam Lineam, hac data Liriea 


dicatur E, & Longitudo : QENY ; qua prodit ex hac applicatio« 
ne, vocetur &, ac Fluxio ejus "s Quia Fluxio Aree QRNV eft 


ad Fluxionem Aree. Parallelogrammi rectahguli conftituti fuper "- 
Aa a 





evs8 Vic OPUSCULUM II. 
& cujus altitudo eft E, ut Ordinata, aut mobilis Linea NR —*, 
quá defcribitur Área Curvilinea, eft ad mobilem Lineam E, quí 


eodem tempore defcribitur Redangulum ; & Fluxiones 2; &s Li 
nearum &, & MN, ( aut s, ) aut Longitudines, quz exfurgunt ap- 
plicando has Areas ad datam Lineam E, funt in eádem ratione, erit 


s Quocirca quxrendus eft per hanc Regulam valor ipfius 
sw, & cetera conficienda, ut in precedentibus Exemplis. 
ExznM»r IV. 


Sit Q.R Hyperbola, que deii Bauióne e A D 


Binc prodit (per ProbLL EM vei 1; fi jam affumas 
duas alias Equine xr, &jy—xs; ex primà affequeris 
1, unde a — P —' ultima veró przbebit  — aut 


—t HN! asm 
£— p» quapropter — i & fübltituendo z aut?" prof, repe- 


ties i Nunc inventis 7, &&, &c L— 2. — CP, &j x 
z 

€P — PL, ut priüs,. & fic determinabitur Pundum C, & Cur- 

va, in quà eft Pun&um illud. — Hujus autem Curve Longitudo in-- 

notefcet ex Longitudine DC, qux zquivalet ipfi CP — s, ut jam: 

fatis demonítravimus. 

Sed, & alia Methodus adeft hujus Problematis refolvendi , & 
Bac in eo tota verfatur, ut inveniantur Curve, quarum Fluxiones 
fint aut equales Fluxionibus Curve propofite, aut compofite ex 
hujus, & alterius Linee Fluxionibus. Hc Methodus aliquando 
utilis eft, càm Curve mechanice transformande funt in zquales 
geometricas Curvas, cujus rei praeclarum — Exemplum habemus in. 


Sit: 


. METHO. FLUXIO. ET $ERIER. INFIN. 189 


Sit enim( Fg .53.) AB Recta pofitione data; DB Arcus, qui TAB.IX. 
moveatur fuper A B, tanquam Ábfciffa, & cujus Centrum femper 
fit A; AD Spiralis, quà Arcus ifti femper terminantur ; 44 Ar- 
cus infinité priori proximus, aut Locus, in quem venit hic Arcus 
exiguo motu; DC perpendiculariter infiftat Arcui 44; & 4G fi 
illorum Arcuum differentia; A H alia Curva zqualisSpirali AD; BH 
Recta, quz ad rectos Angulos movetur fuper. AB, & quz. finitur 
Curvà AH; /£ Locus quamproximus, in quem Linea pervenit 
motu fuo, &HK perpendicularis ad &. Jam, in infinité exiguis 
Triangulis DC4, HK ^, quia DC, & HK equales funt eidenr 
tertiz Linee Bé, & idcirco mutuó equales, & D4 ac H/ ( per 
Hypothefim ) funt correfpondentes zqualium Curvarum partes, & 
ideo zquales, ac redi funt Anguli ad C & K; aequalia pariter 
erunt reliqua latera C4, &K/; Praterea, quia AB: BD :: Aó: 

, 5C: £A — AB (BÀ) : &e— BD (€G), idcirco DD 99 


AB 
DBxBP.. 





z— CG; Hoc dempto ex 4G remanet 4G — 
-ÀK. Dic igitur AB-—zcz;BD-x»;&BH-—y, earímque: 
Fluxiones z;; 2; &j refpetiivé; Cüm Bé, d G, & AK fint unà 
genita "earundem. Momenta, quibus accedentibus ex Linez evadunt 
Ab; £D; & bb, ca Momenta funt inter fe, ut Fluxiones. Igitur 
in ultimá JEquatione pro Momentis ponantur Fluxiones, &fym- 
bola pro lineis, ac habebitur & — —2—- —— 7. Nunc fi & po- 
matur equabilis , aut Unitas, ad quam cetere Fluxiones referuntur ,. 

JEquatio erit 4 — T-—3 J 
Quapropter, fi Relatio fjuz exiftit inter AB, & BD, (aut inter 
£, & w, ) exponatur JEquatione aliquá Spiralem determinante, da-- 
bitur Flaxiow ( per Probl L) & ideo etiam Fluxio j, eam po- 
nendo &qualem w — I Et Cper Probl. IL) dabitur Linea 7 ,. 

aut BH, cujus illa eft Fluxio. 
Ka X Ex&nm.EL. 


190 OPUSCULUM Il 
ExzmrLtL 
'Si detur JEquatio iiw, quz eft ad Spiralem Ax c H1 MEDIIS, 
erit (per Probl. L) i 9; hinc aufer - aut If reftabir s 


m) igitur ( per Probl. II. ) ii— Qua JEquatio monftrat 


Curvam AH, cui equalis eft Spiralis AD, effe Parabolam /fpo/ls- 
^nienam , cm Lan rectum eli a5, & Ordinzta BH. qualis fe. 
mifti Árcts BD. 


ExrznM»PrL. IL 


/ 


Si proponeretur Spiralis definita per. JEquationem z' —5 «ss; 


aut s — 5. hinc affequeremur ( per Probl Làm Hs. 
at 2 4*5 


de fübtrahe 7, aut -5 reítat -—« t); hinc autem conficiemus 


4t adt . 
1 . 
C per Probl, IL)-5 — y. 1d eft, ; BD — BH, & AB erit 
34* 
Parabola fecundi generis. 


Ext£tnurPr IIL 


Si JEquatio ad Spiralem effet z "I s haberemus per Probl) 


2441-3 
VEG L£; undefi denis "a vits, füperftitem inve- 





E] 
nies aea "n Jam , quia Quantitas genita Fluxione y jJ nequit 
reperiri per Probl IL, nifi ea refolvatur in Seriem infinitam, jux- 
ta Scholium Problematis IX, eam reduco ad Formam JEquatio« 

num, 





METHO. FLUXIO. ET SERIER. UN P? so, 


mum, que funt im primà Tabularum Column, fübflituendo z* 
ag—i . 
pro 2; quo facto JEquatio fuperior evadit z LJ, que 
H 2V ac-4-cz! 
eft fecundz Speciei, quarti Ordinis Tabule I, Et comparatis Ter. 


minis, eft d ;€—— 4c; & f—/; itque Ex ex Vases 


Lf; que "Bquitio pettinet ad Curvam geometricam AH 
Longitudine zqualem Spirali & D. 


PaRosr XI]lELE 





Determinare Curutrum. Longitudinem. 


In precedenti Problemate demonftravimus Fluxionem. curve Li- 
nez, «qualem. efe Radici quadratz extracdte ex Aggregato Quadrato-- 
rum Fluxionum Abfciffe, & Ordinatz perpendicularis. Accipe igi- 
tur Fluxionem Abíciffe pro uniformi & determinatà menfurà, aut 
pro- Unitate , ad quam. relique Fluxiones referuntur ;, deinde , ex. 
JEquatione Curvam definiente ,, erue Fluxionem Ordinate, & ha- 
bebis Fluxionem Curve , ex quà ( per Probl II.) deducere pote- 
tis ejus Longitudinem.. 


ExznrPr I 


Proponatur ( Ejg. 54.) Curva FDH , quz definitur JEquatione T AE.JXX- 
E pity dictis fcilicet Abfciff A B — x, & Ordinat mo- . 


bii BD —5. Jam; ex JEquatione iftà deduces (per Probl L1) 


5 — uz — ? (ponendo Unitatem pro Fluxione ipfius c ,. & 


J pro Flüxione D. Harum mE Quidrsta in unum conji. 
ac, inventurus 2*- scu rtg 7 E extracta Radice;,. 


ans. 
Lr 


105 OPUSCULUM II. 


322 44 " z m É — 
E imi Et hinc (per Probl IL) ; 74. Ubi 
" reprafentat Curve Fluxionem , & £ ejus Loutudinen. 
Quamobrem ,. fi petitur Longitudo alicujus partis 4D hujus Cur- 
.v&, ex Punüis 4, & D demitte perpendiculares 4ó & DB , fuper 
AB, & pone in valore ipfius ? Quantitates AP & AB feorfum , pro 
x* ;'erítque differentia Quantitatum hinc prodenntium Longitudo 
quzita 4D. Ex. gr. fit Ad ——a, & AB — «, fcribe 1^ 





pro x, & invenies ? — — P Deinde rurfüs fcribe « pro s, & 


obtinebis pmME, ex hoc valore primum deme, reftabit E , 


que erit Longitudo ipfius 4D. Si veró tantàm A& determinata 
effet , & fieret — 4, & haberetur AB pro indefinità, reftaret 
Él 22 -- -*. pro valore 4D. 

24 


44 12a 

Si nofcere cupis partem Curvz reprzfentatam per 7, füppone va- 

t 
Jorem ipfius £ nihilo zqualem ; unde obtinebis e* — ,mqtz 
4 ]" 

—9s Igitur, fume ELS & erige perpendicularem 
4d, Longitudo Arcás 4D erit * aut t5. 2*.. |dem didum vo- 
lo de aliis Curvis. 


Nec diverfa vía ineunda effet, fi NN Curva, cujus JE- 


4 » 
uatio foret 5 - Tz hinc enim deduceretur 55 - 


aw ^ 4* ^ 3aa& 
s, 


z—/; neque fi daretur JEquatio 5-14 gi —)J; ex quà 
.d t 


. 2 gFs . 
feret 5.4. T d o. Neque denmm fi proponeretur JEqua- 
. m 


tio 


METHO.:FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 193 


pue! 
sio generalis «! ti Tg 77. dm qui 8 adhibetur ad indica. 
Sem quat rry tr qua, five fadum. — Haec autem 
uso pst ci — Wk—i D 


Exrxrw IL 





EE LR 
— La Baa! Aat 

z—; Erit (per Probl L) y»—— 365 a (exter. 
"minato Dj— PRLI Hojus Quadratum adde Unitati, & : 
'obtinebis Ed EN et & erit ja Radix ga, Hine 
autem (pe Pob ILy emer. 





pam ed d i 


Exrrt i 


T 
Pp Prid geni ni Bind ug 
anto — 35 bat (ier. Probl b). da Tgitur ; Vez 





M TH Th $ed qub Linghud Curia genità Fluxiorie 5, 
nequit inveniri per Probl II abfque Redudtione ad infinitam Seriem. 
EE fimplidium , "confilio Té Probl IX, & juxta 


fn e 
I REC: 
Stollen ed d peinets, invenio eR UCET 
*— Et eldem ratione poteris inv ire Longitudiiem F Parabolarum ez 
prenom JEquationibus 4 — dim md &o. 


C Noni Openia, Tom "Tm ' Exsxbü 


x4 ^... OPUSCULUM IL 
ExruPrL IV 

Proponatur Pátibola, cojus FEquitio ef i Qj ; mt E. 
C .1. 0: n 
. 90s PILLS 
m j. hinc (per Prob. 1.) orietur 45 jg ie 168 
84? 943 
—vVid p n His inventis , ' confulo Tabulas, fecundüm fu- 
.pradídüm Scholium, & hos Terminos: comparando eum Terminis 
fecundi Theorematis quinti ordinis Tabule II, habeo a5 xj 
yr. ext — "s & ir— f. Ubi x quidem denotat 


Hypetola À Abtcfan, y Ordin, 4 verb hri, &r Longitud 
"mem, qua prodit Aram 2. s applicando Unitati lineari | 
Eodem Pado Longitudines Pambolarum xf— 45! ; 
4); 5? — 4 y^ ; &c. revocari. poffunt ad Aram Hypedols 
Aii 39 no 
ExrznmPr V. 


TABDL .Propohatur ( Fig. 55.) Cifois Veterum, cujus JEquatio eft 
rr irgui- Li i e ji nhinedt. ( pir Probl. L) —— 4—2*x. 
44——A23 UT mii 


Vi—— j; & idein 7 quidtm ipei 











quz, fcribendo. 4 ! pio aues . evadit sa V2 im 
Fquiio prima. Specie te Ovi Sale; ^em, per Termi- 
norum comparationem, inv io ed; 3 ——e& fs ite- 
qu. £m. Ads y ebat &6:— Eus -5 

ah P 
mpm Hes suem quio, accipiendo 4 pro Uni. 
2A 2 : NE tte, 





METHO. FLUXIO. ET $ERIER. INFIN. my 
tae, per quam multiplicatz aut divifa he Quantites revocari pof- 
funt ad juftum Dimenfonim m evadít.« c£ — xx; 
Vaa-cbaxs —€;& $t. 2 quz fic conftrui poteft, 

Sit DV Ciffois; VÀ Diameter Circuli , ad quem illa pertinet ; 
AF Ciffoidis Afymptotus ; & DB perpendicularis ad AV, &Cur- 
we occurrens in D. Semiaxe FA — AV, & Semiparametzo GA 
-— y oA V deliribe Hyperbolam F FK; deinde fume A C mediam 

portionalem inter BA, & AV; per C, & V age C£, & VK 
perpendiculares ipfi AV, & occurrentes Hypetbole in £ & K, 
quam in his Pundis tangant Rede £t, & KT occurrentes VA 


in & T; & AV applicetur Rectangulum A V N M zquale fpatio 
TK£. Longitudinem Ciffoidis dico fextuplam Altitudinis V N. 


Exzmxrr.VI 


Sit ( Fig. 39. ) Ad Ellipfis, cujos Equitio Va—dm —J.& TAE. Y» 
proponatur Curva mechanica AD ejus nature, ut fi producatur 
B4; aut y donec ea Curve occurrat in D, fit BD equalis Arcul 
Àd Ellipfeos.. Nunc, ut hujus Lonigitdo determinetur; /Equatio 


Vax— aux jy dabit 75 8 —), cujus Quadrato ad- 
dens Unitutem, confequeris ^^ —4e5- E885 , Qnyadratum Fluxio- 


pis Arcüs A 4. Huic rurfus adde Unitatem , unde fiet 





«a 
cujos Radix quadrta 7 eft Fluxio Curve AD. Ubi, 
f x ermibatur extr gnam radicale, & pros — fribatur x, ea 


fit — E, Fluxio primz Speciei quarti Ordinis Tabule 
| sey at —a 


IL Hinc, Terminis collatis, deteges d—-—aem—áaiR 





Bb s f—4 








mé 00PUFSCULUM IL 

f—s quapropter e — L—5 Vas — ain —a2,& & 
z : 

— EE. Ex — I ax — iet 

^ En "hujus "Confiruttonem; ; Age 4C (pofito C Ellipfeos Centro) 


fuper A C conftitue Paralielogrammum quale Seori ACd; hujus 
dupla Altitudo &quabit Longitudinem Curve AD. 


Exzrzmr».: VIL 


B 


TABIX ^ Sint (Fig.56.) &8— 0 (N*. 1.), & «4 Hyperbob , cujas. 
JEquatio V ——5 4-50 9,— 94. & Tangens T2: Jam propona- 
tur Curva V4D, cujus Abfciffa. AB Pc & cujus Ordinata per- 


pendicularis BD, Loritudo , quz oritur ex applicatione Arez ad" 
T«, ad Unitatem Lincarem. Nunc determinaturus Longitudinem. 
bujus Curve V D, quero: Fluxionem. Arez «4T « pofitá uniformi 


Fluxione ipfius A B, eámque reperio 75. /F— ai» (vocando 
licet AB —— 2, & ejus Fluxionam: — r, ) 'ER enim AT — 
fg7p 3 eos Eluxioet 75. Hujus. antem. femiffis ductus. 


in Alitodinem 82, aut V — 4-- i eft Flüxio Aree aT def- 
ériptz à Tangente 4T. Quapropter hac Fluxio eft 4- V J— a, 
quz applicata Unitati fit Fluxio Ordinate BD. —Hujns Quadratum 
RD adde Unitzti Quadrato Fluxionis ipfius BD, & exfur-- 


— a£ " " y - 
get SA cujus Radix p 4ab.— a! 4- 169 ba 3. 


ef Fluxio Curve VD. Sed hzc eft Fluxio primz Speciei feptimi: 
Qrdinis Tabule II: Confer Terminos, & inyenies p ——d;aab 





Digitized by Google 





METHO. FLUXIO. ET SERIER; INFIN. Tgy 
-—e; — a! m f; 165b e g & iddto x —— x; & 


Vaab— ax 16b xx —— u, ( JEquatio ad Seionem conicam, 
puta HG. ( N*.2.), cujus AresEFGH eft ; & ubi EF — x; ac 


FG—s;) pariter T. ——£; & V16bb — 4 E-RablL —y 
( JEquatio ad aliam Settionemr eonicam , puta ML (N*. Aem 2 
jus Area IKL M. eff c, & ubi IK —£; & KL — y) Dem 


24abb E y. — a*b y. — atu — be — gaabbs, 
fg 641* —. 


— Quapropter, ut innote£at aliqua Curve V D pars D4, demitte 
db perpendicularem. ad AB , & fac Ab — 2; deinde per nuper 
inventa quare valorem ipfius £&. Jam fac AB—s, & hinc rurfus 
erue A — Tunc Longitudo quzfita D d' exponetur per differeutiar 
horum duorum. valorum. ipfius 2.. 


ExrEnmxrr VIII 
Proponatur Hyperbola, cujus JEquatio fit. V7; p zz —— y; 
Boc (per Poil L) bs) — m go. Cu. 


jus Quadretum adde Unitati; hujus autem Summz Radix erit 
(V t5? bbs — I ^ Nanc, quia Fluxio hzc abeft 8 Te- 


44-d-bzz 
bulis, eam.redigo in Seriem infinitam ,. & primó, per Divifionem,, 
i6 Een rt ns ;&c. deinde, 


3 4d b* » 
8a* * 


4 EET ; &c. Unde (per Probl IL) iei A. 


cya bb 541 4P S, 1 8)4- 
ex rpeteicn, mt qe vx ku 13124 
a; &c. 


pet Extraüionem Radicis , i—À 3 ££&— 


Bb à Sii 





TYARIX. 


"s sc OPUSCULUM: IL 


St proponeretux. Ellipfis- V 24— 13 5, ubique ntutanda fo. 
eil ita j va cun D e E 


REUCILAUSEE vien, pr Longius jn Ard Simi- 


liter, ponendo Unitatem pro 6, edt e4- E. LAS FREE 


&c. Longitudo Arcás Circularis. MEM Cocfficientes 
bujus Serici poffunt. inveniri in infinitum , continuá Multiplicatio- 
IXI.3X3, $5, 7X7 


ne Teiminorum hujus Prgrtionis 11: axi? ax$! xp! xs 


Errart IX 


Dei props (Fg 37. )Quántrix VDE, cujus Vertex 

, ; & AV Semidiameter Circuli interioris, cui ea 
aptatur, & rectus fit Angulus VAE. Jam, per A ducatur quevis 
Recta AKD occurrens Circulo in K, & Quadratrici in D, & fu- 
pe AE demitantur KG, DB ad redos Angulos; dic KV —»x; 
VA —a4; AG—z, & BD —: & erit, ut in fuperiore Exem- 


$ 
Bo, m uer T Ee E Extrahe Rain s, 
x! 


unde prodibit £ — x —— 75 -- r3 — xu Ee cju 

Quim bine ce Es, aut 44;. & reliqui Radix a — 
P 

*ous —ui &c eit GK. Nunc, quia ob Quadratricis 

mturam cft AB— VR —x, &eft AG: GK :: AB: BD(J), 





-divide AB x'GK per AG, quo pado habebis j — 4 — 57 


Digitized by Google 


METHO. FLUXIO. ET SERIER. INFIN. 199 
— oam. 3——— 22 4x 
"IEEE &c. Ergo ( per Prob. 1) Jg aj! 
— DIE &c., cujus Quadrato adjice Unitatem , & qure Sum- 


" 2xx | l4x* j| 60&3* Se 
me Radicem, futuram 14-577 T 4op* T doa Rer 


Unde ( per Probl IL) poteft obtineri Arcus Quadratricis, videlicet 


Xx. m5 a1 coq. 
VD—x-b Lk aus U gon 4e 8e Be 





eX OPUSCU. 


oQPUSCU. 


23.4. 








Digitized » Google 


OPUSCULUM IIl 
0 ISAACI- | 
^ NEWTONI 
TRACTATUS 
DE 
QUADRATURA CURVARUM. 
Editus LONDINI 1706. 


Jf. Neotoni Opuscula , Tom, 1 Ce 





* Y 
D 




















ISAAC!I 
NEW TONI 
TRACTATUS 
DE. 
QUADRATURA CURVARUM.' 


À 





INTRODUCTIO 


UaxrrTATEs Mathembticas, ho 
ut ex partibus quàm mínimis conftan« 
tes, fed ut motu continuo defcriptas 
hic confidero. Linee defcribuntur ae 
defcribendo generantur non per àppo- 
fitionem partium ; fed per inotuim con- 
timum Pun&orüm; Superficies pef 
motüm Linearum ; Solida per motum 
Superficierim ; Anguli pef rotationem 

| Láterum; Tempora per. fluxum cona 
linuum , &.fic in:ceteris. Hie Genefes in rerum naturá locum veré 
.€ € 2$ babent, 


204. OPUSCULUM IIL 
Babent, & in Motu Corporum. quotidie cermuntur. Et ad hunc . 
zrodum Veteres ducendo. Rectas. mobiles in longitudinem. Redarum. 


: immobilium Genefim docuerunt Redangulorum. 


Confiderando: igitur , quàd: Quantitates aequalibus. Temperibus 
crefcentes & crefcendo. genit ,. pro. Velocitate. majori vel minori, 


' quá crefcunt: ac: generantur ,. evadunt. majores. vel: minores, Metho- 


dum quarebam, determinandi. Qnantitates ex: Velocitatibus- Motuum. 


! vel Incrementorum , quibus.genorantur ;. &. has Motuunr vel In- : 
: erementorum. Velocitates nominando E/exisaes:, & Quantitates geni-. . 
' tas nominando F/semzer., incidi. paulatim- ewmi? 1665, & 1666 


TAA E 


in Methodum Eluxionum.,, quá hic. ufus. fum. in. Quadraturà. Cur-. 
warunr, , 

Fluxiones fünt quim: proximé ut Flüemtiumm Augmenta zquali-. 
bus Temporis particulis quàm minimis genita. & , ut accuraté lo-. 
quar, fünt in primà Ratione Augmentorum. nafcentiüm ;. exponi au-- 
tem poffunt per Lineas quafcunque, quz-fünt ipfis proportionales. . 

Ut fi( Fig. 1. y Aree ABC, ABDG. Ordinis BC, B-D: 
fuper Bafi:7f B uniformi cum Motu. progredientibus defcribantur ,, 
harum Arearum Fluxiones erunt inter fe ut Ordinate defcribentes: 
BC. &. BD,. &. per Qrdinatas. illas exponi. poffunt ;. propterea: 
quód Ordinat illz funt ut Arearum. Augmenta nafcentia.. 

Progrediatur. Ordinata- B C de loce; fuo B C' in. locum- quemvis; 
novum. ác. 

7 Compleatur Parallelogrammum: B C E? , ac ducatur Redta TH;. 
qua Curvam tangat in C'; ipfifque &«: & B4 productis occurrat 


in T& E: & Abfciffz 74.B, Ordinatz BC, & Limez curve: 


44 Cc Augmenta-modó: genita erunt B2, Ec & Cc; & in horum- 
Augmentorum nafcentium Ratione primá funt. Latera Trianguli CET; 
jdeóque Fluxiones ipfarum, 4B, BC, & 4C funt. ut; Erianguli 
ilius CET Latera CE,. ET, & TC, & per eadem Latera. ex- 
oni. poffunt, vel. quod. perinde. et, per. Latera. Triangyli. confi- 
mii BC - ] 

Eodem. recidit, fi fümantur Fluxiones it: ultim4: Ratione partium: 
eyapeícentium., Agatur Recta Cc, & producatur eadem ad. &;. Re-. 
"deat. Ordipata, &«. in. locum. fuum. priorem. BG, &;,. e 


INTROD. 4D QUADR: CURFAR. $o$ 


Pun&is € & e, Retta C K coincidet cum Tangente C H, & Trian- 
gulum evanefcens C Ec in ultimá fuà forma evadet fimile Triangu-- 
lo CET, & ejus Latera evanefcentia CE, Ec, & C« erunt ulti. . 
mó inter fé, ut funt Trianguli alterius CET' Latera CE, ET ,. 
& TC; & propterea ir hac Ratione funt Fluxiones Linearum 4B, 
BC& C.£ Si Punta €'& c parvo quovis intervallo à fe invicem 
diftant, Reda C K parvo. intervalloà Tangente € H diftabi. — Ut 
Recta C K cum Tangente € H. coincidat, & Rationes ultimz Linea- 
rum CE, Ec, & «C inveniantur, debent Puncta € & c coire & 
omnino ceincidere. Errores. quàm minimi. im rebus mathematicis 
non funt. contemnendi: 

Simili argumento, ff Circulüs Centro B', Radio BC; defcrip-- 
tus in longitudinem. Abíciffr 44B ad Angulos re&os uniformi: 
cum motu ducatur, Fluxio Solidi. geniti: /4 B € erit ut Circules 
ille generans; & Fluxio Superficiei ejus erit ut Perimeter Circuli: 
illius; & Flaxio Linee curve ^fC'conjandim. Nam, quo Tem-. 
pore Solidunr 44 B€' géneratur. ducendo Circulum illum ir lon-. 
gitudinem Abfciffe /1 B: eodem Superficies ejus generatur. ducendo: 
Perimetrum Circuli ilius in Longitudinem Curve 44 G. Hujus Me- 
thodi. accipe etiam. Exempla ; quz fequuntur. 


T. 


Resa CE. 2.) PB circa Polum datum V revolvens fecet alim TAE u. 
| Bofitione datam. Reclam] AB :. queritur Proportio Flnxiosum Redia. 
rum. illernm. AB ce PB. 

Progrediatur Recta P B'de loco füo P Bin lócum novum P &.. 

In Pé capiatur PC ipfiPBzqualis, & ad /4B ducatur PD fic, ut. 
Angulus £P.D zqualis fit. Angulo & BC; & , ob. fimilitudinem: 
Triangulorum & BC, &F D, .erit Augmentum Bé ad Augmentum 
G5 , ut Pó ad £D. Redeat.jam P £ in. locum fuum priorem PB 
ut Augmenta illa-evanefcant, &: evaneftentrum Ratio ultima, id 
eft, Ratio ultima P ad DJ, ea erit que et P B ad DB, cxif- 

tente Angulo PDB redo; & propera iü.hac-Rtióne eft Fluxio 
ipfius. 2 B. ad Eluxionem iplius P 


P m Dl Ren: 


206 OPUSCULUM IIf. 
IL 


TABRIL — Refa(Fig.3.) PB circa dature. Polum V revolvens fecet. alias 
duas Pofitione datas Reias AB c- AE, in B c E: quaritwr Pro- 
portio Flaxionum. Recterum illerum AB c AE. 

Progrediatur Reda revolvens P B de loco fuo P B in locum no. 
vum P é Rectas 44B, 4 E in Punctis 6 & e fecantem, & Rec- 
tz /A E, Parallela B C ducatur ipfi P& occurrens in C, &erit Bé ad 
BC, ut 4b ad e; & BC ad Ee, ut PB ad PE; &, con- 
jundis Rationibus, Bé ad Ee, ut fé x P Bad 44e x PE. Re- 
deat jam Linea P/ in locum füum priorem PB, & Augmentum 
evanefcens B? erit ad Augmentum evanefcens Ee, ut 4B x PB 
ad.4Ex PE, ideóquein hac Ratione cR Fluxio Rede 44 B ad 
Fluxionem Re&e 4 E. 

Hinc fi Reda revolvens P B. Lineas quafvis curvas Pofitione :da- 
tas fecet in. Pundis B, & E, & Re&z jam mobiles 4B, 4E, 
Curvas illas tangant in fe&ionum Pun&is B, & E; erit Fluxio Cur- 
wz, quan Reda 44B tangit, ad Fluxionem Curve, quam Reda 
AE tangit, ut 44Bx PB ad 4Ex PE. 1d quod etiam eve- 
niet, fi Recta P B Curvam aliquam Pofitione datam perpetuó tan- 
gat in Pundo mobili P. 


OIIL 
Fhnat emiten x enfirmum C irrvenienda "n Flexio Quen- 
| ditatis x^. 

Qyo Tempore Quartitas x fluendo evadit x 4- ». Quantitzs P 
evadet x--o , id eft, per. Methodum Serieram infinitarum , 

"€ aex! 77 FUIL ee T; de 
Et Augmenta » &nox o ERLST 2ex" ^ As de. 
füntad fc invicem, utt & nx! .. £3 4 427? 1; de; 


EL] 
Evas 


INTROD. 4D QUADR. CURVAR.. ToT 
Evanefcent jam Augmenta illa, & eorum Ratio ultima. éri& 1 ad. 
pu ideógne Fluxio Quantitatis x eft ad. Flaxionem. Qnanti-- 
tatis x", ut r ad nx? 7. 

* — Similibus argumentis ,. per Methodum Rationum primarum & ul 

timarum, colligi poffunt Fluxiones Linearums feu redarum feu cur- 
varum , in cafibus quibufcunque ; ut & Fluxiones Superficierum, Angu-. 
lorum, & aliarum Quantitatum. In finitis autem Quantitatibus Analyfin. 
fic inftituere, & finitarum nafcentium vel evanefcentium Rationes pri 
mas vel ultimas inveftigare, confonum eft Geometriz Veterum ; & 
volui oftendere quód in Methodo Fluxionum non opus fit Figuras in- - 
finit? parvas in Geometriam introducere. — Peragi tamen poteft Ana-- 
lyfis in. Figuris quibufcunque, feu finitis feu infinité parvis, qua 
Figuris evanefcentibus finguntur fimiles, ut & in Figuris , que per 
Methodos pro infnit? parvis haberi folent, modó cau- 
e procedas. 

Ex Fluxionibus invenire Fluentes Problema difficilius eft, & So-. 
lationis primus gradus zquipollet Qyadrature Curvarum ; de. quá. 
fíequentia olim faipfi. 


e 


4 


TRACTA. 





TRACTATUS 


DE 
QUADRATURA CURVARU M. 


UaNTITATES indeterminatas ut Motu. perpétuo crefcen- 

tes vel decrefcentes, id eft, ut fluentes vel defluentes in 
fequentibus confideroó, defignóque litteris z, y, x, w, & varum . 
Fluxiones; feu Celeritates crefcendi, noto iüfdem litteris punctatis 
£, » x,*. Sunt & harum Fluxionum Fluxiones, feu mutationes 
mupisaut minüs celeres, quas ipfarum z, y, x, w, Fluxiones £e 
cundas nominare licet, & ficdefignare £ , j; x , w,&harum 
Fluxiones primas, feu ipfarum c, D x, «, Fluxiones tertias, fic 


£, » HE s.d quia fi 5, "EP E quemadmo- 
dum £,, , x, *, funt Fluxiones Quantitatum £, » *,"; 
& hz fiint Fuxiones Quantitatum 2 , » x, 4; & he funt Fluxiones 
"Quantitatum primarum z, y, x, w: fic hz Quantitates confidera- 


zi poffunt ut Fluxiones aliarum , quu fiodeiguabo, £, y. x, x ; 
& hz ut Fluxiones aliarum £, J £, 5 Shen Fhaxiones liarum 


*.]. x, ri Defignant igiter £, £, £,2, PS ze; dv. 
Seriem. Quantitatum, quarum qualibet pofterior eft Fluxio prace- 
dentis; & qualibet prior eft Fluens Quantitas Fluxionem habens 


fubícquentem, Similis cft Series Vae — ES, V4x— 5E, » 
2 . ] "yas 


DEQUADRATURA CURVARUM. — 109 
Was—xu, V4&— &X, V AE — EE, AE — EE Ut & 
azd-2x ansam  ax4-nx o  amd-zz  antdiz 


Serie; — —5 (Oy cM, ———., c0; 


PELLE 2—z 4—5 — a—a& *—5 
Aziz 

— ..—: & notanduiz eft, quód Quantitas quzlibet prior in his 
a2—z 


Seriebus eft, ut Area Figure curvilinee , cujus ordinatim Applica- 
1a rectangula eft Quantitas pofterior & Abfciffa eft: uti Vaz—- zs, 


Area Curve, cujus Ordinata eft / «x — zc, & Abfffa z. Quà 
autem fpedant hxc omnia patebit in Propofitionibus, qua íe- 


quuntur. 
PROPOSITIO I 


PrRosLizmxa ll 


Da. JEguatione. quotcunque. Fluentes Quanitates imvelvente , 


invenire Fluxiones. 
SOLUTIO 


"Multiplicetur omnis JÉquationis Terminus per Indicem Digni- 
tatis Qufintitatis cujufque fluentis quam involvit, & in fingulis Mul- 
tiplicationibus mutetur Dignitatis Latus in Fluxionem fuam; & 
Aggregatum Fadorum omnium füb proprüs Signis erit JEquatie 
nova. 

ExPrt:caT!:o 


Sunto 4, 2, c, d, (c. Quantitates determinate. & immutabiles, 
& proponatur JEquatio quavis Quantitates fluentes £, y, x, &c. 
involvens, uti x! — xy -- 44s — P — v Maltiplicentur 
Termini primó per Indices Dignitatum x, & in fingulis Multi- 
plicationibus pro Dignitatis Latere , feu x unius Dimen- 


fonis, fcribatur *; & Summa Fadorum erit 3x x x — x). 
Af. Newieni Qpuféula , Tom. 1 D4 idem 


210 OPUSCULUM III. 

Jdem. ft in, & prodibit — 2x57. Idemfat in «, & prodiit: 

44x. Ponatur Summa Factorum: zqualis nihilo, & habebitur JEqua« 

tio 3XXxx — x37— 2x3) -rF«4z —0. Dico, quód hac. 

Equatione definitur Relatio Fluxionum. 
DEMONSTRATIO 


^ Nam, fit » Quantitas admodum parva, & fünto ez, ey, ox, 
Quantitatum £, y, x: Momenta, id eft, Incrementa momentanea 
Íynchrona, Et, fi Quantitates fluentes jam funt z, y, & x, hz, poft 


momentum temporis , Incrementis fuis ez, " 5x, aude , eva- 
dent £--et, qu. x4rex, que itr JEquatione primá pro 5 
& x Íícripte, dant JEquationem x'--- exox-- axooxX x --ooox*; 
— xyy — exyj — axeyj — axooyj — xeoyy — xoocy) -- aaz-T-aaoss. 
—* L0. Sabducstur. IEquatio prior, & Refiduum divifum per « 
erit. Dd c 3xxex dX ee 333—233) — &803] — 
oy — xo03j-- 44, — o, Minuatur Quantitase i in infiiitum,. 
& negledtis Terminis evanefcentibus, reftabit ax xx — x1 x 
— 2x3J H- 445—0.. Q, E. D. . 


- EXPLICATIO RLENIOR; 
&d' eundem modum (i JEquatio effet x* — x5 y H- «ax ax — 33. 
— b! — 0o,  produceretur 3Xx X— x3) — 2xjJ 4- «4x. 
4 4X —3 —0. Ubi, fi Flüxionem y x — 77! tollere velis, po-. 
ne Vaxc—yJ ——&, &. erit x — yy, — xs, &(perlanc 
opoliiouem 45, — 23 — 2E» REL i, hoc: 
eft 


DE DUADRATURA CURVARUM. ain 


"EE — ax —3* Et inde 3Xxx —3]— 2393 
AVax——5 
d'x— 244 22 — 
* 2aVax —33 ? 
-Et, per Operationem repetitam pergitur ad Fluxiones fecundas, 
Xertias, & fequentes. 
Sit Equitio zy! —£*-pa*—0, & fiet, per Operationeni 


primam, €j'4- 3*33y— 456 o; pet fecundam zy T 





$27 t3 23r 62133 — 4z&! — Ibexkm Lj pet 
tertüm x j* 95117-9333] 19233) 139-1823 


4 6233] — 422 -— 536 E5£k— Az ££ K—— 0. 

Ubi veró fic pergitut ad Fluxiones fecundas, tertias, & fequete - 
tes, convenit Quantitatem aliquam ut uniformiter fluentem confi« 
derare, & pto ejus Fluxione primá Unitatem. icxibere, pro fecun- 
dá veró & fequentibus nihil. Sit JEquatio zj* —£*--4*— o, 
vt fupra; & fluat e uniformiter, fitque ejus Fluxio Unitas, & fiet, 


pet: Operitionem. primam j' egy ——0; pet fecun. 
dam 511 231] 6:33)— 12 £5——0; per tertiam 959 


o8) 155)- 182 JJ) -- 62" —à46—0 C 
In hujus autem generis Jquationitjus concipiendum eft; qnód 
Fluxiones in fingulis Terminis fint ejufdem ordinis , id e velom« 


mes primi ordinis , x, vel omms lecundi, d N J5. z£, vd 


omnes tertiiy, »» y », s. 3&2, £', &c Et, ubi res 
alter fe habet, complendus eft ordo per fubiptelledas Fluxiones 
Quantitatis uniformiter fluentis. Sic Eduatio noviflima , Complene 


do ordinem tertium, fit 9237) - 135733 2-35)3J - 18233) 
T eg — a4 £2! —— 9. 


"^ PRÓ. 


TÀÁRI 


$0 OPUSCULUM 1IIL 
- PROPOSITIO IL. 
Prostrxsa DL 

lovtnire Curvat , que. quadrari po(funt. 


Sit ( Fig. 1.) .4BC Figura invenienda, B € ordinatim Appli- 
cata recangula, & J4B Abíciffla Producatur CB ad D' ut fit 
ÉD —:, & compleatur Parallelogrammum 4B DG: '& Area- 
rum 44 BC, ABDG Fluxiones erunt ut BC & B.D: — Affuma- 
tur igitur /Equatio quavis, quà Relatio. Arearum definiatur , & in-. 
de dabitur Relatio Ordinatarum BC'& B D' per Prop. I. QE. E 

Hujus rei Exempla habentur in Propofitionibus duabus fequene. 

s. 


FROPOSITIO IIL 
Turomx L 

St pro Abfciff 4B & Arch 4D, fu AB x, pni 
fribatur e, & fi pro C Ef? Eget p m T. 6e. 
Ee R R: fit autem- Area Curve L) 5 g^ erit. ordinatim rli 
NE: e T6 ' 
ec fe ge [E dr in: e! dM RNTS 
Hao 024222. -4-3An. 

: DEMONSTRATIO. 


Nam , fi fit a Ru, erit, per. Prop. I, rra 6— p*pyut 
ÉR^ 7 — 4. Pro R^, in primo JEquationis Termino, &: 
&Ó in fecundo, fcribe R R^ & x35, &fiet ER c ac 


in R^—' Lc, Ent autem t ef HL gem 
E dn. 


DE QUADRATURA CURVARUM.  a1:5$ 
-- bz -p, dec Et inde, per Prop. L, ft R —nfzz^ 77 
4-angzz" ' 4-3nbzs! '-p dre, quibus fubftitutis & fcrip- 
€ BD fcu 1 pro z, fiet 


T T6 T -F &c. 
"T p e bal in i$—! R^^ 
"M "E225 T3 NL I3 
-—e.-— BC. Q.E.D. 
M PROPOSITIO IV. 
Tuszomn IL 


Si Curvz Abíciffa 4B fit x, & fi pro e 4- f^ -I- ex^ Ee. 
£xibatur R , & pro & -- /&^ -- s^" -4- dv. Scribatur $: fitau- 
tem. Area Curve «A R^ SH : erit ordinatim Applicata B C —. 


[3 fk E SPEI 
Ta |. 
l 
-FÓ 
el "LE 
"un me | iuf 7 77 ge 
LPS AER 
T TÓ 





-ranfm — d-22n ms 
dian "aun 


Demonftratur ad modum Propofitionis fuperioris.. 


Bd x PRO- 


aM OPUS$CULUM IIl 
! PROPOSITIO V. 


Tuzoms IIL 
'Si Curve Abfciffa 44B fite, & pro e--f/z" tem 4 pu 
4- Gre. fcribatur R : fit autem ordinatim. Applicata z $—:g—3 
in «4- bz ex 4 dz" 4 eee. & ponatur L—rur4A 
LfifqTAae:rngrfqac-uwedó. 
etit Area 5Á R^ in-- La . 


7e 
IPB—3gA 
——— É& 
fd-1Xe 
xrcÍnEP HR à 
r4-axe 
F4 [eif C — [e ixg B—2)À " 
r4-3X€ 
TEIXÓÉD— Db C— preda 
ed axe . 





-r&c. ] 
, Ubi A, B, C, D, &c dt tum Codice dtu Tio: 
rum fingulorum in Serie cum fignis fuis --, & —, nempe 
A primi Termiüi Coclicientem . T 
re ' 


B fecundi Termini Cocfiientem T 6— fA 








UY: 1Xe 
C tertii Termini Coefficientem Le E EPXÉB— Rh 
- o 

rdaxe 


. Et fic deine D E. 


DE QUADRATURA CURVARUM... nis 
DEMONSTRATIO. 
' Sunto, juxta Propofitionem tertiam — 


CunvanRUM OnRDINATSE. 


T4 T LE T Re 
».. fe f4s2 4 22 b sn 
Tec Tox EE To& 
zRÓ T6 T6 T &:e. [. 
2. eBa l5 Eb £B37 -F- &c. . 
Tan TA 4 2n T&.|. (X, pe 
'j TÓ *I- &c. ar 
3. . * Ca up 2n f C3? H- &c. 
Tnm c T. &c. 
LI & 
*4 - eD5n bs 


Rmo Ae 
CunvaRuM ÁRER. 


1. Ax RX 
2.. B.6 tg 


* ELE S 


4. Dib t 90 gà 
Er fiSumma Ordinatarum ponatur zqli Ordiate alc 4o 
4 dz! "rds. inzÁ— "* R^— ' , Summa Arearum z/ ^ R^ in 
T Bz 4C D^ 4 €^. equalis erit Arez. Curve, cujus. 
det Ordinata. JEquentur. igitur Ordinatarum Termini correfpon-- 
& fiet 4—($ e. 
b—iEo xf A Fw B, 
€ — fdaan Xg r7 6n an Xf B-- éd 3nxeC.;. 
&c.. &. 


216 OPUSCULUM I1lí. 
& inde 4 — 7 


$c 
. po-i—mE€ A 
Ó-4-n xe 
c— c —BXxaanxs 4— Un E anx/8 


8d anXe 


Et fic deinceps in infinitum. 

Pone jam £n pA m:$:4-A-—: v. & in Ar 
zÜR^in 4-- Bz^ -- Cz^-E D" -E d. fcribe ipforum 
A4, B, C, cc. valores inventos, & prodibit Series propofita. 

. E. D. . 

Et notandum eft, quód Ordinata omnis duobus modis in Se- 
riem refolvitur. Nam Index n vel affirmativus eífe poteft, velne- 
gutivus. 

" 3b — Izz , 

Proponatur Ordinata — las uu Hzc vel fic fcribi 


—£ LLL——M—————Q— 
potet £^. ^ xsk—haxk——izz4d-m| — ^ , velfcex 





BEES 
— Idea 3Xm—4— RACE o 

In Caíu priore eft «— 34; b—o; el e bif 
g-——l5—mi A—— Ti n—1; (—1:——; 


3 


($—— ——Óni:————1j8——— T 4—-o0. 
In pofteriore eft 4—5 — /; 6— 0; 34 e—mif— 
—lidjgoloi;b-ii Am—— i no——1;6—1-—ii 
$—2;r—-—2;:—1-if— 1i a—— j 
Tentandus eft cafus uterque. — Et, fi Serierum altefutra ob Termi- 
nos tandem deficientes abrumpitur ac terminatur, habebitur Área 
Curve in Terminis finitis. Sic, in Exempli hujus priore Cafü , 
fcribendo in Serie valores ipforum 4,4,6,6,/ 54555258 7.0 5e 
. Termini 


DE QUADRATURA CURPV ARUM. i1 
"Termini omnes poft primum evanefcunt in infinitum , & Arca Cur. 
we prodit —- EIE TN Et hzc Área ob fignum nega- 
tivum adjacet Abfeiffe ultra Ordinatam produ&dz. Nam, Area 
: omnis affirmativa adjacet tam Abíciffe quàm Ordinate ; negativa 
verü cadit ad' contrarias partes Ordinatz, & adjacet Abfciffe pro- 
du&z , manente fcilicet figno Ordinatz. Hoc modo Series alteru- 


tra, & nonnumquam utraque, femper terminatur & finita evadit , 

fi Curva geometricé quadrari poteft. — At, (i Curva talem Quadra-, 
turam nón admittit, Series utraque continuabitur in infinitum , & . 
esrum altera converget & Aream dabit approximando, praterquim 

ubir, (propter Áream infinitam ,) vel nihil eft, vel numerus in- 

teger & negativus; vel ubi - aquilis eft Unitati. Si 3- minor eft 

Unitate, converget Series, in quà Index m affirmativus eft : fia 

IÍ Unitate major eft, converget Series altera. In uno Cafu Area adja- 

cet Abíciffe ad ufque Ordinatam ducte, ín altero adjacet Abfciff 

ultra Ordinatam produce. 

Nota infuper, quód fi Ordinata contentum eft füb Fadore ra- 
tional  , & Fattore furdo irreducibili &^ , & Fa&ris fürdi La- 
tus R non dividit FaGorem rationalem | ; erit A— 1 ——3; & 
^7 ' — n", SinFaüoris furdi Latus. A dividit Fadorem 
rationalem femel, erit A — 1 ——-- 1, &Rp 7! ats 
B dividat bis, erit A — 1 ——x-4-2, &i&M gr ^.6 
Lm ——Lia.RREk tat & fic deine. 


cS Ordinata eft Fratio rationalis irreducibilis cum Deéhomitatote ex 
duobus vel pluribus Tetminis compofito; refolvendus eft Denominator 
in Divifores fuos omnes primos. Et fi Divifor fit aliquis, cui nullus. 
alius eft aequalis, Curva quadtari nequit; fin duo vel plures fint Divi 
fores equales, rejiciendus eft corum unus; & fi adhuc alii duo vel plures 
lint fibi mutuó equales & prioribus inzquales, rejiciendus eft etiam eo- 

Jf. Newteni Opsféula , Tom. L Ec rum 


218 OPUSCULUM III. 


mum. unus, & fic in aliisomnibus zqualibus, fi adbuc plures fint: dein 
de Divifor, qui relinquitur, vel contentum fub Diviforibus omni- 
bus, qui relinquuntur, fi plures fünt; ponendum eft pro R, & 


ejus Quadrati reciprocum R^ ^ pro R^ ^ ' , preterquàm ubi 
contentum illud'eft Quadratum,, vel Cubus, vel Quadrato-Quadratum,, 
&c. quo cafü ejus. Latus ponendum eft pro R, & Poteftatis Index: 
2, vel 3, vel 4, negativé fumptus pro... Et Ordinata ad Deno-- 
thinatorem, R*, vel. R*, vel R*, vel R* cc. reducenda.. 
1 GC ai4- 2* — 82" , 

Ut ,, fi Oxdinata. fit- FTQS—áu RC quoniam: 
liec Fractio. irreducibilis eft, & Denominatoris, Divifores. funt  pa-- 
re$, nempe $£—— k, £—- P, &— Fr, & ze z, £--2, rrjicio. 
Magnitudinis utriufque Diyiforem. unum, & reliquorum. 2— 1, 
£ —, 54-2, contentum z" — 364-2 pono pro R, & ejus. 


Quadrati, reciprocum EU feu, R^, pro R^. Dein Or- 


dinatam ad Denominatorem R*íféeu R'U ^ redüco, & ft 

—;*. I — 

GÉEEDEE, qa, sxE— REP XG— SERI 7 - 
Et inde et 4—8; 5-5; e— 9i ^ 
f——3:g—0; 5—1 
n—1;06—1—23; fan £— 2; f 
lis in Serie ftripis prodit Area 2» 
totà Serie poft primum evanefcentibus. 

Si denique. Ordinata: eft Fradio irreducibilis ,, & ejus. Denomina- 
tor. contentum. eft. fub Fadore rationali Q & Fare: furdo: irre; 
ducibili ^, inveniendi funt Lateris. R: Divifores. omnes. primi;, 
& rejiciendus. eft: Divifor unus Magnitudinis cujufque;, & per Divi-. 
fores qui reftant, fi qui fint, multiplicandus eft Fador rationalis. 
Q: & fi fatum zquale eft Lateri R., vel Lateris. illius. Poteftati ali» 
cui ,. cujus Index. eft numerus integer, efto Index. ille- », & erit: 








—* o— m 


A—1——x—m; & R^ RE 


( 


Ws 


DE DUADRATURA CURV ARUM. 319 
Ut, 8i Ordinata i 22 M 94 »s— qqa' — 6a - 


qq— nx jq aan—ass— ^ 
quoniam Fadoris furdi Latus R, feu 4' 4- 44x — 4xx —5*' , 
Divifores habet 4-I-x , q-F- x, 4 — x, qui duarum funt Magni- 
tudinum, rejicio Diviforem unum Magnitudinis utriufque, & per 
Diviforem 4 -4-x, qui relinquitur, multiplico Fadtorem rationalem 
44 —- xx. Ft quoniam Fadum 4! 44x — 4xx — x! equale 


eft Lateri t, pono» —1., &, inde, cüm s fit Ty fita—i——f- 


Ordinztam igitur reduco ad. Denominatorem R5, & ft 

xtxag pags EE BEQY — 7144€ — 6px X 
q Epp quy —r| 77. Unde eta m 345; bah 
de 3 f 34056. J— 1—0;$—1:-——n;A— 


— LjeeA —i— X; wo. 'Et his in Serie 
3 


3, 
uM" ; 394x-- 32* inl , 
fcriptis, prodit Area WEIL: Demi omnibus 
áp Serie totà poft tertium evanefcentibüs. " 
PROPOSITIO VI 


J Tuzomr IV. 

Si Corvz. Abfifa 4B fitz, & fcibantur R proe 4- f/z* 
q. gz"4- bz 4- dre. & S pro & o- Ix? ms ae pz dee. 
Sit autem. ordinatim Applicata JdOCURCxS*T5 dna 
EUzh 4- cx? -4- diP -p de, &, fi Terminorume, f, £g. 5 
de, & E, Lom, p, Oe Re&angula fint. : Dot 


ek fh gh bk; dw 

el f o gl s; ó 

sos em fm gm bm; de 
^ ep fp gp bbs 
Ee a 


"M - GePUSCULUM 11 

Ecü Redangulorum illorum Coefficientes numerales fint re& 
pedivés c 
2$ —rfrf4am[ftAmerf-qAe—ó. 


: erf Fea; PH Éà6 ; £H- wi dre. 
| fou EH ms doa Hoa; ds 


nod p 


P--p — i 8e Wi WATER; KH a]: d'e. 
Area Curve exit hzc : 
Toc 
F -^ 
sÉ R^ $^ in E ri 
Y 
bf . 
—jfeln 
— M £ 
tdixek 
— nha 
Lo—TEXfAB Ifi 
4- —Édixed —i"um E 
fd-aXek 
—vbkA4 
-— FEIXAB—wV el 
Td rfEaxfkc— PIEixflo Vfm 
FRA —/j-raxel —JP-1ixam—wv^m QU 
t43xek 





"T &c. 
. : L5 ! 

Ubi 4 denotat Termini primi Coefficientem datum "^- cnm figno 
fuo -- vel —; B:Co:fficientem datum fecundi; €" Coefficientem: 
datum tertii ; & fic deinceps. Terminorum verà, 4, 5, «y "re 
e f. g. d. £, l, m, crc. unus vel plures deeffe poffunt. De- 
woonítratur Propofitio ad modum praecedentis, & quz ibi notantur 

bic: 


DE QUADRATURA CURVARUM. aix 


Mcobtinent. Pergit autem Series talium Propofiionum i in infinitum, 
& Progrefüio Serici manifefta eft. 


PROPOSITIO VIL 


Tuszox V 


Si pro e -f/z". -- g x" -- dre. ftribatur E ut fapra, &imCur- 
ve alicujus Ordina «Ó-E?* R^" — maneant Qpantitatra date 
4$, n, 2, e, f. g, v. & pro e ac c fribantur fücceíivà mwamerk 
quicunque integri: & fi detur Area unius ex Curvis, quee per Ordi- 
natas innumeras fic prodeuntes defignantur , fi Ordinatz funt duorum 
nominum in Vinculo Radicis, vel, fi dentur Arex duarum ex Cur-. 
vis, fi Ordinatz funt trium nominum in Vinculo. Radicis, vel Arez 
trium ex Curvis, fi Ordinatz funt quatuor nominum in Vinculo Ra- 
dicis, & fic deinceps in infinitum: dico, quód dabuntur Arex Cur- 
varum omnium. Pro nominibus hic habeo Terminos omnes in Vin-- 
culo Radicis tam. deficientes qnàm plenos, quorum Indices Dignita- 
tum funt in Progreffione arithmetic. Sic Ordinata /4* — ax? 4-x* 
ob Terminos duos inter «* & ——-«x* deficientes pro Quinquinomio 
labe debet At z*-a* Binomiam eft, & Vat -- x*— 5 Tdi. 
momium , cüm Progreffio jam per majores differentias procedat. 
Propofitio. veró fic. demonftratur. 


€A&SUS L 


Santo Curvasum duarum Ordinate c! R^— " , & 4:597 y. 
R^; & rez pf, & 4B, cxiftente R. Quantitate trium no- 
minum e4- f£" --gz^ 

. Et, cüm per Prop. Ime fice! g^ Area Curve , eujus Ordinata. 
ei 9, t5 £s?" in 4I! RU, fübduc Ordi- 


"os fe Tue 
. Ee E] natas. 


253 — OPUSCULUM Ill. 
mus & ies priores de Areà & Ordinatà pofteriori, & manebit 
eM n4-6 Q7 ig^—i " 
— oaa /[* us ft h » Oni 
—42 

mut nova Curve ; & «R^ — ) 4 — 4B ejufdem Area. Pone 
fep; & 0f 4- Anf—4, & Ordinat evadet n £c" ia 

a6 R7, & ana sí R^ 024 — (£B — anf B. 
Divide utramque per £g -4- 2Ang , & Aream prodeuntem dic C, 
& affümptà utcunque r , erit r C Area Curve, cujus Ordinata eft 

gÓ b gATT og qui ratione ex Areis p.d & 4B 
Area r C Ordinate r3 29 — 3 1 congruentem inveni- 
mus, licebit ex Areis g B & r C Aream quartam, puta /D, Ordi- 
mat fe fici —1 gat congruentem invenire, & fic deinceps 
ih infinitum. Et par eft ratio Progreffionis ab Areis B & 7d in par- 
tem contrariam pergentis — Si Terminorum 6, Ó-- An, &$ 4- 2n 
aliquis deficit & Seriem abrumpit, affumatur Área p /f in principio 
Progreffionis unius, & Area 4B in principio alterius, & ex his dua- 
Bus Areis dabuntur Aree omnes in Progreffione utráque.. Et contra, 
ex alüs duabus Areis affnumptis fit regreffus per Analyfin ad Areas 
v1 & B, adeó ut ex duabus datis cetere omnes dentur. Q. E. O. 

Hic eft cafus Curvarum, ubi ipfius Index 0 augetur vel dimi- 
nuitur perpetuá Additione vel Subdu&tione Quantitatis n. — Cafus al- 
ter eft Curvarum ubi Index A augetur vel diminuitur Unitati 

CASUS IL 
"Ordinàte pU RP QT R^, quibus Arez pd 

&4 B jam tefpondeart, fi i& R, fewe 4-J/e" 4- g^" , ducantüt, 
ac deinde ad. R ticiffim applicentur., enduntpe- 4t e z* get 

Pan RU V & Sr Tof 4 2gz in $—3 gi. 
Et, per Prop. IL, eta E Area Curve, oujis: Ordimata. eft 


[P7] 


DE QUADRATURA CURVARUM., £i 
fac o afe? HT. in 4 g—!, & pun c 
Área Curve. cujus Ordinata eft HC , Tp H7 
. . TAS TÓm 
in x6—* gÀ—* Et harunr quatuor Arearum Summa eft pof. 


T 2Brah R^ 6s n R^, & Summa refpondentium Or- 
dinatarum , 


TÓ TÓ BEL ] 
[P7] 4f 4| Fn £g 
(ockAn [po RA 2n ; 
. : . K 
MEL - 
T : | ; 
Je " be [e ia en. 4£ in Puy 
n : - . 





Tomis 
-osglL....- 


Si Terminus primus , tertius, & quartus ponantur feorflm zquales: 
nihilo, per primunr fiet (ae 4- pe— c , feu; — Üa— p, per 
quartum — (& — né— a2An$——4, & per tertium ( eliminaps- 
do p & 4) S —k Unde fecundus fig 204 f — qAnage, aded. 


que Summa. quatuor Ordinatarum eft d firn UB 


R^", & Summa totidem: refpondentium: Arearum eft «x R^ 
guten E — faut — petas 4B,  Dividan-- 
tur he Summz per Ans[f aai, & fi Quotum pofteríus. 
dicatur D,.erit D. Area Curve ,. cujus Qrdinatà eft. Qnotum prius. 
gÓ ^ X RA— 1. p, (idem rione, ponendo omnes 
i Terminos, prater primüm, equales nihilo; poft Arer 





34 7 OPUSCULUM III 


Cnrvz inveniri, cujus Ordinata et &Ó —  R^77*.. Dicitur Area 
ifta C; & quà ratione ex Arcis /4. & B. invente funt Arex C ac 
D, ex his Areis C ac D inveniri poffunt alix dux E & F Ordins- 
tis c — R^ tai gas congruentes , & fic 
Seinceps in infinitum. us per Aualyfn contrariám , regredi licet 
ab Areis E& F ad Áreas G ac D, & inde ad Areas f & B, aliáf- 
que, que in Progreffione fequuntur. gitur fi Index A perpetui 
Unitatum ,Additione vel Subduftione augeatur vel minuatur, & ex 
Areis, quz Ordinatis fic prodeuntibus refpondent, duz fimplicifi- 
mz habeantur , dantur ali omnes in infinitum. Q. E. OQ. 


CASUS IIL 


Kt: per Cafus hofce duos oonjundos, fi tum Index $ perpetaá 
Additione vel Subdudione ipfius n , quàm Index A perpettá Addi- 
tione vel Subductione Unitatis , utcunque augeatur vel minuatur , da- 
buntur Aree fingulis prodeuntibus Ordinatis refpondentes. Q2: E. O. 

CASUS IV. 

Et fimili argumento, fi Ordinata conftat ex quatuor nominibus 
in Vinculo Radicali, & dantur tres Arearum; vel íi conftat ex 
quinque nominibus, & dantur quatuor Árearum, & fic deinceps: 
dabuntur Aree omnes, quz addendo vel fübducendo numerum n 
Indici $,; vel Unitatem Indici A generari poffunt. — Et par cítratio 
Curvarum , ubi Ordinatz ex Binomiis conflantur, & Arca una ta- 
rum, que non funt geometric? quadrabiles, datur. Q. E. O. 


PROPOSITIO VII& 
Tuzox VL 
Si pro efe X gata des, & EE? -p- x? -- dre. 


Jixibantut R, & 5 üt fügra, &in Cara alicujus Ordina 45-20 x 
g^ 


DEQUADRATURA CURVARUM. "; 


RES gU quneant Quantitates date £, n, A, pot figu 
4, m, ce. Et pro c, 7, & v, ícribantur fücceffivé numeri qui- 
cunque integri: & fi dentur Aree duarum ex Curvis, quz per Or- 
dinatzs fic prodeuntes defignantur, fi Quantitates . R. & .$ funt Bi, 
nomia; velfi dentur Aree trium ex Curvis, fi R & .$' conjundim 
ex quinque nominibus conítant; vel Árez quatuor ex Curvis, fi R 
& 5 conjun&im ex fex nominibus conítant; & fic deinceps in in« 
finitum : dico quód dabuntur Aree Curvarum omnium. 
Demonfítratur ad modum Propofitionis fuperioris, 


PROPOSITIO IX 
Tuzox VIL 


JEquantur Curvarüm Arez inter fe, quarum Ordipatz funt rect- 
procé ut Fluxiones Abfciffarum. 

Nam, contenta füb Ordinatis & Fluxionibus Abfciffarum eruat 
&qualia, & Fluxiones Arearum funt ut hzc contenta 


CosgorrlL 


Si affumatur Relatio quavis inter Abfciffas duarum Curvarum , 
& inde, per Prop. L, queratur Relatio Fluxionum Abfciffarum , 
& ponantur Ordinate reciprocé proportionales Fluxionibus, inve- 
niri poffunt ianumere Curve, quarum Arez fibi mutuó «quales 
erunt. 

Conzorr IL 


Sic enim: Curva omnis, cujus hzc eft Ordinata x^"! ia. 
erBfEG ge" ow affumendo Quantitatem quamvis pro v, 


& ponendo -—. & s! —x, migrat in aliam fibi equalem , 
* ine 4 JY pag és 





) — 
Cujus Ordinata eft t x 


Jy. Nevioni Opseula Tom. L FE Co&or. 


226 OPUSCULUM Ill. 
Conaorr IIL 


. Et Curm omnis, cujus Ordinata eft £^ ine-- £x" 4- ec" 
gv. x e4- f£ e édl affumendo Quantítatem quam- 
yis pro.», & ponendo -"- —Jf,& z'—x, migrat in aliam fibi 


y$—1 
qualem, cujus Ordinata eft 7 x TO iné--éx rex?! A- deo 
e-f* d g x 4 éd 
Congorr IV 
Et Curva. omnis , cujus Ordinata eft. «/— ! in 4. js? 4. c c2 
V énxefz gn LFU X4 I2" 4e m" dol E 
Affümendo. Quantitatem. quamvis pro y, & ponendo, —- Lf, 





& z'—cx*, migrat in: aliam fibi equalem, cujus. Ordinata eft — 
yd —n 
&77m in e4- lx -- cxt ép pu " pec 
KA. Ix! mx a- ecl^ 
C€oxorr V. 


EtCurva omnis, cujüs Ordinata ets Tine Jed gi aul 
Bonendo E — x, migrat. in aliam fibi, equalem ,. cujus. Otdinata: 
1I RENE r^ 
eft xD Tyce-p f pg m nm ideft, FE En 
fc ex ^, 0 dno fünt nomin in Vinculo Radicis vel "prc 





&kf* dex un &| i. funt. nomira j & fic. deinceps.. 
Gox0Lr. 


DE QUADRATUR.4 CURV ARUM. a2; 
Conorr VL 


Et Curva omnis, cujus Ordinata eft c $- "nef eh genie] 


x H2 dom x 4- de. |", ponendo 7-—, migratin aliam 
fibi zqualem, cojus Ordinata wd pue Mf pde 


xb mx 724 ecl, id eft, AYUPRAYTA 
x F4 ex P x1 4- £x |^, ü bina funt nomina ia Vincalis Radi- 
NEED MEE an 

em, vl Ruiquu MEA ben Pal 
fi tria funt nomina in Viriculo Radicis prioris, ac duo in Vincula 
polterioris; & fic in aliis. 

Et nota, quód Arez duz zquales in moviffimis hifce duobus Co- 
rollariis jacent ad contrarizs partes Ordinatarum. Si Area in alteru- 


trá Carvá adjacet Abfcifle, Area hnic equalis in alterá Curvà adja- 
cet Abfcifle product. 


Comsorr VIL 
Si Relatio inter Curve alicujus Ordinatam 5. & Abíciffam e defi. 
nitur P JEquationem quamvis affedam hujus forme, j* in j 
TLF: ^re an EL by" ELEM uiii d P 
^j^ 2L d., hzc Figura; affumendo /'— * —— 
Is QR A — II migrat in aliam fibi eque, cujus 
Abfcif x, mE Ordinat s, determinatur per JEquationem mon 

afídam —7- .^^ x e 4- fu^ Tecta 4- e^ x 

EI 4n? dcl Ux 7 

Ff à Cozorr. 





?X*-— 








1B "OPUSCULUM Il ! 
Conorr VIIL 

- Si Relatio inter Curve alicujus Oidinatam y & Abíciffam. c, de- 

fnitur per JEquationem quamvis affedam hujus forma 5^ in 

(fpi Tg "vc. — «P. in k4-4^ eA Trny"s ) : 


Jr és. H- 2T inp4- 25" 2 Ty" EL 4- d. hac Figura , affü. 
parc Mb p ip. 
migrat in aliam fibi equalem., cujus Abfciffa x ex datà Ordinata 
determinatur per /Equationem minils affectam 4*in e -- fa^ 4- gx" 
Vd — f" xP in 4- la" 4- ma^ J- de. H-/* x inp4-qu 
xr" 4- dne. 


&,y— 








Cozgorsr IX 


* Curva orinis, cujus Ordinstazet 22 * in pe lt 
ge Tod x erf Tae" éd x 

] ———áÁ8  —Ln—— 

a-b bx es! - fo" pei mue de fifi £—»x,& 
allümantur x —ez' - fe t? n Té. LL " 
& $ — 357 mig. in aliam fibi zqualem, cujus Ordinata eft 
$9 LÀ 

*X o xedtàxt. 


* Et nota, quód Ordinata prior in fioc Corollario: evadit fimplicior 
ponendo A— 1, vel ponendo z—— 1, & efficiendo, ut Radix Di-- 
gnitatis extrahi poffit cujus Index eft», vel etiam. ponendo « —: 
—— A, E A-Lmr—g cg, ut alios Cas praeteream. 








Conor 


DE QUADRATURA CURVARUM. a9 
Coxorr X 


- " -,.! 

Pro esl RII pe 4 écerezP 77 "a frt 
n 
L 
2n 1 . "n 
-Fasmz"7- 4d. Kcibantr R,r, $ & f^ refpedivé, & 
Curva omnis, cujus Ordinata et » $s--e Rf/in R^ g^—1 
xaT 4-BRT fife rh Post, rou AE 
. A 


gr 4r €. E-- E" 4- o e" ee, Rn Le 


mg, À5—À 


T * * ^ 
L9, &K$* — x, migrat in aliam. fibi equalem, cujus Or- 
———9 
dinata et x x 4- 6x7 M . 

Et nota, quód Ordinata prior evadit fimplicior, ponendo Uni- 
Wates pro v, v, & A, vel &, & faciendo ut. Radix Dignitatis ex- 
trahi poffit cujus Index eft », vel ponendo & — — 1, vel uz 0. 

PROPOSITIO X 
. Paosr IIL 

Invenire. Figuras fimpliciffimas , cum quibus Curva quzvis geo-- 
metricé comparari: poteft , cujus ordinatim Applicata per JEquatio- 
Hem non.affectam ex 'datà Abíciffà z determinatur. 

CAESUS 
: " F—r . sl [A ux 

Sit Ordinata «z /—o.& Area: erit -,— 42',utex Propof. V.,. 

ponendo & 2 ae —4——f-—g—b, &eur,fadlé 


Ef x - €ogoLr. 


239 OPUSCULUM IIL 
CASUS IL 


sk Ordinata . ax5— Ixe4- fz" T gs ^ ds ^7 ! Ey f 
CCurva cum Figuris redilineis geometric comparari poteft, quadra- 
"bitur per Prop. V. ponendo $ —0—2:«——4. Sin-minüs con- 
wertetur in aliam Curvam fbi equalem , cujus Ordimata ef 

$—n . : 

xcn xe)fe tien d ? La Corol. IL Prop. IX. 
Deinde, 
VIL , rejiciantur Unitates , donec Diguiates ille fant q quàm-mini- 
me, devenietur ad Figuras fimpliciffmas, quz hac ratione colligi 
poffunt Dein harum unaqueque, per Corol V. Prop. IX. dat 
aliam, que nonnunquam fimplicior eft. — Et ex his per Prop. IL 
& Coroll IX. & X. Prop. I X. inter fe collatis, Figure adhuc 
fimpliciores quandoque prodeunt. Denique ex Figuris fimplici: 
1nis affumptis facto regreffu computabitur Arta quzfita. 








CASUS IIL 
e€— 





Sit Ordinata € tx ad bz" Hon? 4- dre. X 
(EKZ gn de . Re hac Figura, fi quadrari po« 
teft , quadrabitur per Prop. V. Sin minus, diftinguenda eft Ordinata 
in partes x ax eMfESÓ4- PE m 
PP eT fI ac" es P 7, Qv. &, per Caf. IT. inve- 
niendz funt Figure fimpliciffimz , cum quibus Figura partibus illis 
refpondentes comparari poffunt. "Nam, Aree Figurarum partibus 
ülis tefpondentium fub fignis fuis -]- & — conjundz component 
Aream totam quzfitam, 


*x 





CASUS 


DE QUADRATURA CURVARUM. agi 
CASUS IV. 





. Sit Ordinata z6773 x «4- Éx^ cn?" 4- Pe x 


e fz^ gs OP x E4-/z* 4- mz^4- dee? 
&, fi Curva quadrari poteft, quadrabitur per Prop. V L Sin minus, 
convertetur in fimpliciorem , per Corol IV. Prop. IX. ac deinde 
eomparabitur cum Figuris fimpliciffimis , per Prop. VIIL & Corol. 
VLIX, & X Prop IX., ut fit in Cafa II, & IE 


CEKSUS V. 


Si Ordinata ex variis partibus conífat, partes fingule pro Or- 
dinatis Curvarum totidem habende funt, & Curve ille, quotquot 
quadrari: poffunt ,, figillatim. quadrandz funt, earámque Ordinate de 
"Ordinatá totà demende.. Dein Curva, quam Ordinatz pars refi-- 
dua defignat feorfim ,, ( ut in Cafu IE, III, & IV., ) cum Fi- - 
gnuris fimplicifimis comparanda eft, cum quibus comparari poteft. 
Et Summa Arearum omnium pro Areà Curve propofite haben-- 
dà eft 

€oxorz I 


Hinc etiam Curvaomnis, cujus Ordinata eft Radix quadratica affe-- 
&a JEquationis fuz , cum Figuris fimpliciffimis, feu rectilineis, feu. 
curvilineis, comparari poteft. Nam ,. Radix illa ex. duabus partibus. 
femper conftat, quz, feorfim fpectatz , non.fuünt JEquationum Ra-- 
dices affedz. — Proponatur JEquatio 44 y 4-6 £ y ——24'y4- az'j. 
—«*, & extnca Radix erit y—— 4 5 4 4* T 22 — 1 

d 44 d- 2. 

; sun 4f -d-a* V. eanean, 4A Eau RT 
cujus pars rationalis apu & pars irrationalis Gaio 
fünt Ordinate Curvarum , qux per hanc. Propofitionem vel quadrari: 
poffunt, vel cum Figuris flmpliciffimis comparari., cum quibus col-- 
lationem geometricam. admittunt.. 





Conorn. 


233 OPUSCULUM IIL 
Congorr IL 


Et Curva omnis, cujus Ordinata per /Equationem quamvis affe- 
*fam definitur, que, per Corol VIL Prop. IX., in JEquationem 
non affedam migrat, vel quadratur per hanc Propofitionem , fi qua- 
drari poteft, vel comparatur cum Figuris fimpliciflimis, cum quibus 
. comparari poteft. — Et hac ratione Curva omnis quadratur, cujus JE- 
quatio eft trium Terminorum. Nam JEquatio illa, fi affecta fit, tranf. 
mutatur in non affe&dam,, per Corol. VII. Prop. IX. , ac deinde per, 
Corol IL, & V. Prop. IX. , in fimpliciffimam migrando , dat vel 
Quadraturam Figure , fi quadrari poteft , vel Curvam fimpliciffi- 
mam, quà cum comparatur. 


Cosorr IIL 


Et Curva omnis, cujus Ordinata per JEquationem quamvis affec- - 
tam definitur, qux per Corol. VIII. Prop. IX. in JEquationem qua- 
draticam affe&am migrat, vel quadratur per hanc Propofitionem , 
& hujus Corol. L, fi quadrari poteft, vel comparatur cum Figuris 
fimpliciflimis, cum quibus collationem geometricam admittit. 


SCHOLIUM. 


Ubi quadrandz funt Figure , ad Regulas hafce generales femper ^ 
recurrere nimis moleftum effet: preítat Figuras, quz fimpliciores 
funt & magis ufui effe poffunt, femel quadrare, & Quadraturas in 
Tabulam referre; deinde Tabulam confülere, quoties ejufmodi Cur- 
vam aliquam quadrare oportet. Hujus autem generis funt Tabule 
duz fequentes, in quibus x denotat Abíciffam, y Ordinatam redan» 
gulam, & £ Aream Curve quadrande, & 4, e, f, g, &, n, lunt 
Quantitates datz cum fignis fuis - & ——. 


TABULA 





DE QUMDKAÁATURAS CURVAMRUM. .::.— as 
T A RBULDIk 


Curvarum  fimplicierum ,. que. quadrari. poffunt, 





ee H- 2e f p ffoi 
* Forma tertia. 


— 96! 4 48eef e" — 36ef fe! -- 3of^ 2" JR .— 
1o$nf* 


i4 oO PUSCULUM HL 
TARBRULA 


— rvarem. fosplicierum qua cum. Elipf. de. Hperiela. comparari 


Sit jam (Fig. 4.5. 6.7.) «GD, vd PGD, ve GD5$, Sec- 
^^t conica, cujus Area ad Quadraturam Curve propofitz requiritur, 
fitque ejus Centrum 74; Axis K«; Vertex 4; Semiaxis conjugatus 
: 4P; datum. AbftifEe principium A, vd s, 3 Abfciffa 4 B, 
vel 4B, vel a B— x ; Ordinata redangula BD — »; & Arca 
ABDP, vel eB DG, vel « BD G —/ exiftente a G Ordina- 
& ad Pün&um 4. Jungantur KD, 44D, «D. Ducatur Tangens 
JD T occurrens Abíciffe /4 B'in T', & compleatur Parallelogram-- 
mum 4B DO. Et, fi quando ad Quadraturam. Curve propofitz 
requiruntur Arez-duarum Sedionum conicarum., dicatur pofterioris. 

7^ - Ébíciffz Z, Ordinata r, & Area v. Sit autem. —- differentia duarum. - 
Quantitatum , ubi incertum. eft utrum pofterior de priori, «n prior 


— ; d gofteior fübduci ndn 








CURVA... 





335. 


E uoc wc 1 
20V y —!— ax 


DE QUADRATURA. CURV ARUM. 





AL 


336 . . 


QPUSCULJM.HL | 





^Usóar m fa enim i ir Arx x— 


»9cÓp Ur 'qoq mi: — 1; ui * axxo cjA xx 


.rt* - 
FG9rWpa'qrdg "T ma—reesxhom 
r* 1 - 
. X4G£ V^ 202? —x 5- —— go xxPdxfA 
net Yu . 
1a95 i i T Ret —s5 ud 


voor fim tar fran te 
cb xm, t Jul : 
f xe fu 


u 
]— —£——f£—— — up xx) 
Lid "a ; 


337 


DE. QUADRATURA, CURVARUM, 





wu b d 


itp - 
1—uHÓP 


-— est 
H axi r—xx sg 


— —————— MÀ ———— E JUPE ON 
7 Wkxapt — i[pSr — nxfpot aeri pXÉA x T de 


QU 


gGrv i »ogyt 33 Lam axis wp I| auxi Rx[A| x— Y] 


L - 


VerbSCULUM LII: 


p—— 





Pen— 
Sfpot 





xfspt —nx eia) — f 


4— 


p 3x2 xf-4- aAÍx— E l- 


Lxx x(-*^|x 


7" B NM 7 H T —-]: i 
irs uam xxd-4pxf iA jx— d (uv 4 aj 2À ae E 


A mm PIT (—— 234 A M^ 


ut 


X22: 2/[--3A 


jo (— 3. 
gx xf--2 —* 


ut u 


vuttd?f ruaoq 





339 


DE QUADRATURA CURV ARUM. 





q4J ut 








DP 0 d—xx. — EA 
hee rre 








DL opsxis —s«[ | [2 7 


npo 


oar Tm [x HE 




















IL un INNNFZE E 
f—gy We ER— Us es "2 





* tem 





sies ri * gir 





TARL 


ue 7 OPUSCULUM IIL:: 


1n, Tabulis hifce, Series Curvarum cujufque Formz utrinque in 


infinitum continuari poteft, Scilicet in Tabulà 'primá, in Numera- 
toribus Arearum Formz tertie & quarte, Numeri coefficjentes ini- 
tialium Termiriorum (2, — 4, 16, — 96, 768, &c.): gene- 
rantur multiplicando Numeros — 2, — 4,'— 6, — 8, e. 


infe continuó , & fubfequentiam Terminorum Coefficientes ex in 


tialibus derivantur tuultiplicando ipfos gradatim , in Form quidem 


1 II 
tertiá , p, —t —2r, — 3e m 
'in quartà verd per — i —A—l-—i-—i e. 


Et Denominatorum Qoefficientes 3, 15, 10$, óc. prodeunt 
multiplicando Numeros 1, 3, $, 7. 9, Cc. in fe continuó. 

In fecundá veró Tabulà, Series Curvarum Formz prim, fecun- 
dae, quinte, fexte, none, & decimz ope folius Divifionis, & 
Formz reliquz ope Propofitionis tertie, & quartz, utrinque pro- 
ducuntur in infinitum. ] - 


Quin-etiam hz Series mutando fignum numeri » variari folent. 


$ic enim ex; gr. Cua À V e4- fe^ —j, edit — Ere ' 
y. . Dog! c. 


PROPOÓSITIO XL 
Taa OR. Vin IMEEM 
Sit ( Fig. 8.) 4 D IC Carva quavis Abfciffam habens A4 B —z, 


& Ordinatam BD —); & fit 4 EKC Curva alia, cujus Ordi- 
nata B E qnalis eft prioris Aree /4 DB ad. Upitátem applicate j. 


& AFLC Curvi tértia,; cujas. Ordinata PFeals eft fecunde 
' Arez /4 E B ad Unitatem applicate; & 44 G 


C-Gurva quarta, 


cujus Ordinata B G qualis eít tertiz; Aree 74 F B ad Unitatem ap- 
plicate ; & 44 HN C Curva quinta,, cujus Ordinata. B H equalis 
eft quarte Arez 44 GB ad Unitatem: applicate; & fic deingeps in: i. 
infinitum. Et fünto A4, B,.C, D, E, dc. Atezi Cuiarum| Ordi-- ——.— . 

lÓ G5 po 1577 5270 nii; 


sod 











DE QUADRATURA CURVARUM. sat 


wstzs habentium y, £y, £'y, zy, z*y, & Abfciflan commu. " 


nem £. . 
Detur Abfcila quevis 4 C—£ , fitque BC —:— &—»x. 


& (unto P, Q, R, $, T Aree Curvarum Ordinatas habehtium 


x, xy, x"y, x'y, xy, & Abfciffam communem x. 

'Terminentur autem hx Arez omnes ad Abfciffam totam datam 
4C, nec non ad Ordinatam pofitione datam & infinité produdam 
CI: Et erit Arearum fub initio pofitarum prima 44 D1C —.4 
—PP; fecunda 4 EK C—«4 — B —Q; terti 4 FLC — 
££4—2:R--C — 1 p. L0 4— 3ttB4-3IC—D 
—1 R; quita 4GMC — r1 


— L$ qi t 4— it B SUC Dg 
—— 5 quinta 4 HNC— n 


H 


Cosorramrtux 


Unde, fi Curve, quarum Ordinat funt y, £y, £*y, x*y, Pe. 
vel 5, xy, x*y, x!y, ec. quadrari poffunt , quadrabuntur etiarà 
Curve 4DIC, AEKC, AFLC, AGMC, crc. Et habebun- 
Kd Ordinaz BE, BF, BG, BH Arcis Curvarum proportio- 
Anaies. 


SCHOLIUM. 


Quantitatum fuentium Fluxiones effe primas, fecundas, tertias, 
quartas, alió(que diximus füpra. Ha Fluxiones funt ut Termini 
Serierum infinitarum convergentium.. Ut fi e ft Quantitas fluens, 
nu 
Gfluendo evadat z--»  , deinde refolvátur in Seriem convergentem 
x^-L ne" ^! 4 m us 4r n*— Punt an 
z^" 7 7? 4- óc , Terminus primus hujus Serie 2" érit Quantitas 
1 





ila fluens; fecundus nez" ^ ' erit ejus Incrementum primum , 
feu Differentia prima , cui nafcenti proportiomalis eft cjus Fluxib 
df. Nesoni. Opufeula , Tom, L Hh prima 


a OPUSCULUM IIL 

prima; tertinsP— 7? 4,577 "* , erit ejus Incremettum fecuti- 
dum, feu Differentia fecunda, cui nafcenti proportiomalis eft ejus 
Fluxio fecunda; quartus r—ádáue ov 9, erit ejus. 


Incrementum tertium, feu Differentia tertia, cui nafcenti Fluxio- 
tértia proportionalis eft, & fic deinceps in infinitum. 

'Exponi autem poffunt, hz Fluxiones per Curvarum Ordinatas B D; 
BE, BF, BG, BH, d. vt, fi Orima. BE, (— 4? 
Quantitas fluens, erit ejus Fluxio prima ut Ordinata B D. Si BF 


C— E ) fit Quantitas fluens, erit ejus Fluxio prima ut Ordinata 


BE,& - fecunda ut Ordimta BD: Si BH (— 1S7) 


Hit Quantitis flnens, erunt ejus Fluxiones, prima, fecunda , 
tertia , & quarta, ut Ordinate BG, BF, BE, BD, refpedive.. 
. Et hinc in JEquationibus, que Quantitates tantüm duas incogni-. 
tas involvunt, quarum una eft Quantitas uniformiter fluens, & al- 
tera eft Fluxio quelibet: Quantitatis alterius fluentis, inveniri poteft 
fluens illa: altera per Quadraturam Curvarum. Exponatur enim. Flu- 
xio ejus per Ordinatam B.D., & fi hec fit Fluxio prima, qnxratur 
Area 4 D.B — BE x 1; fi Fluxio fecunda, queratur Area 4 EB. 
— BFx1;fi Fluxio tertia, queratur Arca 4 F'B— BGx1, dr 
Et Area inventa erit Exponens Fluéntis quafitz. 

Sed & in JEquationibus, quz Fluentem & ejus Fluxionem: pri- 
mam fine alterà Fluente, vel duas ejufdem Fluentis Fluxiones ,. 
primam. & fecundam ,. vel fecundam & tertiam ,. vel tertiam & quar- 
tam, (c. fine alterutrà Fluente: involvunt, inveniri poffunt Fluen-. 





tes per Quadraturam Curvamrum; Sit JEquatio 2 4u— an Tus, 
exiftente « — BE, 4— BD, z— AB, &z— I1, & E 
quo illa, Somplendo Dimenfiones Fluxionum , evadit 4 44— pr 


X " " fü —————— — E Jam fluat. s uniformiter ,. 
AH. d oun 








DE QUADRATURA CURPARUM. *4jg. 
& fit ejus fuxio s — 1, & erit 


aa 
au -- un 


& Abfciffa w, habebitur Fluens 


— t; &, quadrando 


^^ 





Curvam cujus Ordinata eft LA 
z. Adhuc fit JEquatio «as — en na, exiftentes — BF, P 
—BE, 4— BD, & « — 4 B; &, per Relationem inter 4 & 
2, feu BD, & BE, invenietur Relatio inter 4 B, & BE ut in 
Exemplo fuperiore. Deinde, per hanc Relitionem, invenietur Re- 
Lio inter 4B, & BF, quadrando Survam. 4E B. 

JEquationes, quz tres incognitas Quantitates involvunt, aliquan- 
do reduci poffunt ad JEquationes, quz duas tantüm involvunt, 
& in his Cafibus Fluentes invenientur ex Fluxionibus , ut 
fuprà. 

Sit JEquatio e—6 x — £xJJ 445. Ponstur y" jy 
8, & erit 4— 4x" — exu -- dau: hace JEquatio , quadrando 
Curvam cujus Abícifa eft x & Ordinata s, dat Aream w, & JE- 
quatio altera y y —a, regrediendo ad Fluentes, dat s4 ; Tt 
z—x. Unde habetur Fluens y. 

Quin etiam in JEquationibus, quz tres incognitas involvunt ; 
& ad JEquationes , quz duas tantüm involvunt, reduci non 
poffunt , Fluentes quandoque prodeunt per Quadraturam Cur. 
varum. 

Sit Equatio « x^ 4- p-— rex! 7T y*pse xà» — 
—— fj j', exiftente x — 1, Et pars pofterior rex 7! yes 
Jy — fy y , regrediendo ad Fluentes, fitex" y — du 
;y. que proinde eft ut Area Curve, cujus Abfciffa eft x & 


— 
Qrdinata « x" 4- syl » & ide datur Fluens y. 


Hh 3 Sit 


xq 00 OPUSCULUM IHE 


Se uio ix 2 edel m Et Fluens, cu- 


Ye £5? 
jus Fluxio eft xx ax Pel erit ut Area Curvze, cujus Abíciffz. 





(—MÁt 
eft x & Ordinata eft ex" -Eéx" Ji Jtem, Fluens, cujus Fluxio; 








aa 
et 2. ei ut Area Córve; cujis Abfcila eft y & Ordinata 
Ve tf e 
ku 


£r, id eft, (per Cafüm primum Forme quartz Tabule I). 


Me f 
wt Area 25 y erf" . Pene ego? Ve fy Ff" equalem Arez. 











Curve. cujus. Abciflà eft x &. Oránata 4x ENPIC A & habebi.. 
tur Fluens j.. 

' Et nota, quód Flüéns omnii, qux ex Fluxione prind colligitur;. 
augeri poteft .vel. minui. Quantitate- quávis non: Fluente; Que ex 
Flüxione fecundà colligitur ,. augeri. poteft, vel. minui. Quantitate- 
quivis, cujus Fluxio fecunda. nulla eft. Quz ex Fluxione terti. 
colligitur , augeri poteft vel minui. Quantitate quávis ,. cnjus Fluxio. 
tertia nulla eft ;- & fic deinceps. in infinitum.. 

Poftquàm veró Flüentes ex Fluxionibus colle& fünt, fi dé veri-. 
tate conclufionis dubitatur, Fluxiones. Fluentium inventarum vicif- 
fim colligendz funt. & cum: Fluxionibus fub initio propofitis cotn«- 
parande.. Nam, fi prodeunt aequales , conclufio recté. fe habet :. fin 
sninus ,. corrigendz funt Flüentes fic, ut earum Fluxiones Fluxioni-. 
bus fub initio propofitis equentur.. Nam, & Fluens pro lubitu af- 
Ífumi pote, & affümptio corrigi, ponendo Fluxionem Fluentis af, 
inmpte zqualem. Fluxioni propofite, & Terminos homologos in-- 
tere comparando. 
^ Eg his: principiis via ad majora fternitur. 


QPUS;. 











OPUSCULUM IF. 
ISAACI NEWTONI 

| ENUMERATIO — 

LINEARUM 
TERTII ORDINIS 


Edita LoNDINI 1706.. 


Hg ISAACLD 


Digitized by Google 
c 





lS AA CLE 


NEW TONI 


ENUMERATIO 


LINEARUM 


TERTII ORDINIS. 





L 
Lincarum. Ordines. 


Iw£ Geometrice fecundüm nume- 
rum Dimenfionum JEquationis , quá 
Relatio inter Ordinatas & Abfciffas 
definitur ,. vel ( quod perinde eft ) fe- 
cundàm numerum Pünctorum, in qui- 
bus à Lineà recta fecari poffunt, op- 
timé diltinguntur in ordines — Quà 

. ratione Linea primi: Ordinis erit Recta. 
fola; ez fecundi five quadratici Ordi-- 
mis erunt Sediones conice & Circu- 
Jus; & ez tertii five cubici. Ordinis Parabola cubica., Pribols N- 
"e 


248 OPUSCULUM IV. 


diana, Cifois Veterum, & relique, quas hic enumerare fufcepi- 
mus. Curva autem primi Generis, ( fiquidem Reda inter Curvas 
4on eft numeranda, ) eadem eft cum Lineà fecundi Ordinis; & 
Curva fecundi Generis eadem cum  Lineà Ordinis terti. — Et Linea 
"Ordinis infinitefimi ea eft, quam Reda in Pundis infinitis fecare 


poteít, qualis eft Spiralis, Cyclois, Quadratrix , & Linea omnis, 


«quz per Radii vel Rotz revolutiones infinitas generatur. 


IL 


Proprietates. ScHionum conicerum competunt Curvis figerierum 
Generum. 


Se&ionum conicarum proprietates precipue à Geometris paffim 


traduntur. Et coníimiles funt proprietates Curvarum. fecundi Ge- | 


neris, & reliquarum , ut ex fequenti proprietatum pracipuarum 
enumeratione conftabit. 


1. De. Corvarum fecundi Generis Ordinatis , Diametrir , 
Verticibus , Centris ,. Axibus. 


Si Recte plures parallele, & ad conicam Sedionem utrinque - 


terminate ducantur, Reda duas earum bifecans bifecabit alias om- 
nes, ideóque dicitur Diameter Figure; & Rete bifeda dicuntur 
Ordinatim applicate ad Diametrum ; & concurfus omnium Diame- 


trorum eít Centrum Figure ; &interfedio Curve & Diametri Ver- - 


fex nominatur; & Diameter illa /£xis eft, cui Ordinatim applica- 
tz infiftunt ad Angulos rectos. Et ad eundem modum in Curvis 
fecundi Generis, fi Ree duz quavis parallele ducantur occurren- 
tes Curve in tribus Punctis: Recta, quz ita fecat has parallelas , ut 
fumma duarum partium ex uno fecantis Latere ad Curvam termi- 
natarum zquetur parti tertie ex altero. Latere ad Curvam termina- 
te, eodem modo fecabit omnes alias his parallelas, Curvxque in 
tribus Pundis occurrentes Rectas, hoc eft, ita ut fumma partium 
duarum ex uno ipfius Latere femper equetur parti tertie ex altero 
Latere, Has itaque tres partes , quz binc inde aquantur , Ordizatizs 

. applicatas i 


D 


ENUM. LINEAR. TERTII ORDIN. 349 


Mpplic«tas ; & Rectam fecantem, cui Ordinatim applicantur , Di«- 
metrum; & interfectionem Diametri, & Curve, Verticem; & con- 
curfum duarum Diametrorum Cemrwm nominare licet.  Diíametet 
sutem ad Ordinatas rectangula, fi modó aliqua fit, etiam xi; didi 
poteit; & ubi omnes Diametri in eodem Puncto concurrunt , iftud 
erit Comum generale. 


2. De Afjmptotis , de earum proprictatilus. 


Hyperbola primi generis duas. 4/jsptetos , ea fecundi tres, ea 
tertii quatuor, & non plures habere poteft, & fic in reliquis. — Ft 
quemadmodum partes Linez cujufvis rece inter Hyperbolam coni- 
cam & duas ejus Afyinptotos funt hinc inde equales: fic, in Hy- 
perbolis fecundi Generis , fi ducatur Reda quzvis fecans tàm Cur- 
vam, quàm tres ejus Afymptotos in tribus Punis, fumma duarum 
partium iftius Re&, quz à duobus quibufvis Afymptotis in eandem 
plagam ad duo Punáda Curve extenduntur, zqualis erit parti ter. 
tie, que à tertià Afymptoto in plagam contrariam ad tertium Cur- 
va Pundum extenditur. 


3« De Lateribus redlis de tranfverfis. 


Et, quemadmodum in conicis Sedtionibus non Parabolicis Quadta« 
tum Ordinatim applicate, hoc eft, Redangulum Ordinatarum , 
qua ad contrarias partes Diametri ducuntur, eft ad Redangulum 
partium Diametri, que ad Vertices Ellipfeos, vel Hyperbole ter- 
"minantur, ut data quedam Linea, quz dicitur Lene reum, ad 
partem Diametri, qua inter Vertices jacet & dicitur Latws tramf- 
verfum : fic in Curvis non Parabolicis fecundi Generis Parallelepi- 
pedum fub tribus Ordinatim applicatis eft ad Parallelepipedum fub 
partibus Diametri ad Ordinatas & tres Vertices Figure abfciffis, in 
Ratione quadam detà: in quà Ratione fi fümantur tres. Rectz ad 
tres partes Diametri inter Vertices Figure fitas, fingule ad fingulas , 
tunc ille tres Recte dici poffunt. Larera recta Figure; & ille par^ 
tes Diametri inter Vertices Lerere tranfverfa. Et, ficut in Parabolà 
Conicá, que ad unam & eandem Diametrum unicum tantüim 

Jf. Nevieni Opsfeula , Tom. 1, li habet 


eo ., " OPUSCULUM IV, 

: habet Vertice, Redangulum fub Ordinatis equatur, Rectangulo 
fub pérte Diametri, quz ad Ordinatas, & Verticem, abfcinditur & 
Red quadam datà, que Lars reum dicitur: fic in Curvis. fecup- 
fli Generis, quz non-nifi duos habent Vertices ad eandem Diame- 
trum, Parallelepipedum füb Ordinatis tribus aequatur Parallelepi- 
pedo fub duabus partibus Diametri ad Ordinatas & Vertices illos. 
duos abfciflis , & Redà quádam datà, que proinde Lus reum 
dici poteft. 


|o 4 De Ratione contentorum fub. Paralielarum. fegmentir, 


- Denique, ficut in conicis Sedionibus ,, ubi dux. parallele, ad: 
Curvam utrinque terminatz , fecantur à :duabus parallelis ad Curvam 
utrinque terminatis, prima à tertià, & fecunda à quartà, Redan- 
gulum partium primz eft ad Rectangulum partium tertie, ut Rec- 
tangulum partium fecundze ad Rectangulum partium quartz: fic, 
wubi quatuor tales Recte occurrunt Curve fecundi Generis, fingule- 
in tribus Punctis, Parallelepipedum partium prime Redz erit ad. 
Parallelepipedum partium tertie, ut Parallelepipedum partium fe-. 
cunda ad Parallelepipedum partinm quartz. 


5. De Cruribus. Hiyperbelicis , c- Parabolicis , d» eorum plagis. 


* Curvarum fécundi, & füperiorum Generum , zqué atque primi, 
&rura omnia in infinitum progredientia, vel Hyperbeiici iunt gene-. 
ris, vel Parabelici; Crus Elperbolicum voco, quod ad Afympto-- 
ton aliquam in infinitum appropinquat; Parabelicem quod Afymp- 
toto deftituitur. Hac crura ex Tangentibus optimé dignofcuntur.. 
Nam ,. fi Pun&um contactüs in infinitum abeat , Tangens cruris Hy- 
perbólici cum. Afymptoto. coincidet,. & Tangehs cruris Parabolici 
fn infinitum. recedet, evanefcet ,. & nullibi reperietur. Invenitur 
igitur Afymptotos cruris cujufvis querendo. Tangentem cruris illius 
ad Punctum infinité diftans. Plaga autem cruris infiniti invenitur 
querendo pofitionem Red cujufvis, qua Tangenti parallela eít 
übi Punctum conta?tüs in infinitum abit. Nam hzc Reda in ean-. 

:dem plagam cum crure infinito dirigitur, 
LIL Re. 


ENUM. LIXEAR. TERTII ORDIN. i51 
IIIL 


L . 
Reducfie Curvarum: omnium Generis fecundi ad JEquationum 
cafus quatuor. 


Linez omnes Ordinis prími, tertii, quinti, feptimi, & imparis 
cufuíque, duo habent, ad minimum, crura in infinitum verfüs 
plagas oppofitas progredientia. — Et Linez omnes tertii Ordinis duo. 
habent ejufmodi crura in plagas oppofitas progredientia, in, quas nulla 
alia earum crura infinita ( praeterquam in Parabolà Curzefiasd ) ten- 


dunt. 
CAS L 
Si crura illa fint Hyperbolici Generis, fit ( Eig. 1.) GAS eo-. 


rum Afymptotos , & huic parallela agatur Reda quxvis C Bc ad 
Curvam utrinque; (íi fieri poteft, ) terminata, eadémque bifece- 


tur in Pundo X, & locus Pundi illius X erit Hyperbola conica, 
(puta X $,) cujus una Afymptotos eft AG. — Sit ejus altera A-' 


Íymptotos AB, & JEquatio, quà Relatio inter Ordinatam BC, & 
Abfciffam A B definitur, fi AB dicatur x, & BC y, femper induet 
hanc formam x5y 4- ey — 4x! Jr éxxA- cx 4-4. Ubi Temi 
ni, e, 4, 6, c, d, defignant Quantitates datas fignis fuis --, & 
—— affectas, quarum quzlibet deeffe poffunt, modó ex earum de- 
fedu Figura in Sedionem conicam non vertatur. Poteft autem 
Hyperbola illa conica cum Afymptotis fuis coincidere , id eft Punc- 
tum X in Redà AB locari: & tunc Terminus 4- ej deeft. 


CAS IL . 


At fi ( Fig. 2.) Recta illa CBc non poteft utrinque ad Curvam 
terminari , fed Curve in unico tantàm Pundo occurrit: age quam- 


'"TARE 


TARL 


vis Pofitione datam Redam A B Afymptoto A $ occurrentem in A, - 


ut & aliam quamvis BC Afymptoto illi parallelam, Curveque oc- 


currentem in Pundo C, & /Equatio , quà Relatio inter Ordina- 


tam BC & Abíciffam A B definitur , femper induet hanc formam, 
xy zzzux! dr dx* -- ex 4- d. 
li à CAS. 


TAREA 


a3 c OPUSCULUM IF. 
CAS IIL 


Quód fi crura illa oppofita Parabolici fint Generis, Recta ( Fzg.3.) 
CBc ad Curvam utrinque, fi fieri poteft , terminata in plagam 
crurum ducatur, & bifecetur in B, & locus Pundi B erit Linea 
reda. Sit ifta AB, terminata ad datum quodvis Pundum A, & 
JEquatio, quà Relatio inter Ordinatam B C & Abfciflam AB defi- 
mitur, femper induet hanc formam , 


qp ex! d-éx* de ex d- 4. 
CAS, IV. 


At. veró fi ( Fig. 4.) Reda illa CBc in unico. tantám Pundo 
occurrat Curve, ideóque ad Curvam utrinque terminari non poffit; 
fit Pun&um illud C, & incidat Reda illa ad Pundum B in Rectam 
quamvis aliam, Pofitione datam, & ad datum quodvis Punctum A. 
terminatam, AB: & JEquatio , quá Relatio inter Ordinatam BC &. 
Abíciffam AC definitur, femper induet hanc formam, 

gm ax* e dx* Ae ex 4c d. 


Noniina formarum. 


Enumerando Curvas horum: Cafüum , Hyperbolam vocabimus ,. 
Joferipiam, qux tota jacet in Afymptotón Angulo ad-inftar Hy- 
perbole conice; Cirewmfiriptem , que Afymptotos, fécat, & par-. 
tes Abfciffas in finu. fuo amplectitur; 4£»bigemam , que uno crure 
infinito infcribitur & altero circumfcribitur; Cesvergemzem , cujus. 
€rura concavitate füà fe invicem refpiciunt, & in plagam eandem: 
diriguntur; Divergemtem , cujus crura convexitate fuà fe invicem 
refpiciunt & in plagas contrarias diriguntur ;; Crwribus. Contrariir 
preditam , cujus crura in partes contrarias convexa funt, & in pla-. 
gas contrarias infinita; Concleidelem , quz Vertice concavo & cru- 
xibus divergentibus ad Afymptoton. applicatur; »egmiscam, qua 
Klexibus contrariis Afymptoton fecat, & utrinque in crura contra-. 
xi producitur ; Crwciformem ,, qu conjugatam decuffat ; Nodarem,,. 

: qpe 


ENUM. LINEAR. TERTII ORDIN.  »5; 


qua feipfam decuffat in orbem redeundo; Cwfpidate» , cujus par- 
tes duz in Angulo contadtüs concurrunt & ibi terminantur; Puwe- 
144m, quz conjugatam habet Ovalem infinité parvam, id eft, 
Pundum ; & Prem, quz, per impoflibilitatem duarum. Radicum, 
Ovali, Nodo, Cufpide & Puncto conjugato privatur. Eodem fen- 
Íu Parabolam quoque cemvergentem , divergemtem , cruribus. eon- 
freriis praditam , eruciformem » nedatam , cufpidetam , punciatam 
€ puram nominabimus. 

In Cafuü primo fi Terminus «x? affirmativus eft, Figura erit 
C Fig. 5.) Hyperbola triplex cum fex cruribus Hyperbolicis, quz 
juxta tres Afymptotos, quarum nulle funt parallele, im infinitum 
progrediuntur , hinz juxta unamquamque im plagas contrarias. Etha 
Afymptoti, fi Terminus & x* non deeft, fe mutuó fecabunt in tri- 
bus Pun&is Triangulum ( Dd) inter fe continentes, fin termi- 
nus íx* deeít, convergent omnes ad idem Pundum. In priori 
Cia cipe AD — & Ad Ad ;ac junge Dd, 
D4, & eruat Ad, Dd, D4 tres Afymptoti. In pofteriori 
(Fig. 6.) duc Ordinatam quamvis BC, Ordinate principali AG 
parallelam , & in eà utrinque producà cape hinc inde BF, & Bf 
fibi mutuó zquales, & in eà Ratione-ad A B, quam habet V/ « ad: 
1, jungéque AF, Af; & erunt AG, AF, Af tres Afymptoti, 
Hanc Hyperbolam vocamus Redwsdemtem , quia numero crurum: 
Hyperbolicorum Se&iones Conicas fuperat: 

In Hyperbolà omni redundante, fi neque Terminus ey defit ,. 
neque fit & — 4«c equale 4- «ev «, Curva nullam habebit Dia-- 
metrum; fin eorum alterutrum accidit, Curva habebit unicam Dia- 
metrum, & tres fi utrumque. — Diameter autem femper tranfit per 
interfectionem duarum Afymptotón, & bifecat Redas omnes, que 
ad Afymptotos illas utrinque terminantur & parallele funt Afymp-- 
toto tertie. Eftdue Abíciffa A B. Diameter Figure quoties Terminus 
«5 deeft. Diemeirum veró abfoluté dictam hic & in fequentibus in- 
vulgari fignificatu ufurpo, nempe pro Abfciffi, quz paffim habet. 
Qrdinatas binas equales ad idem Pundum hinc inde infiftentes.. 


li à IX 








TAB. T 


TAB. IL 


$4 OPUSCULUM IV. 
I V. 
Enunieratio Curvarum. 


1. De Hiperbolis novem redundantibus , que Diametro deffimuntur, 
(tres babent. Afymptotos "Triawgulum capientes, 


Si Hyperbola redundans nullam habet Diametrum, quzrantur 
JEquationis hujus «x*4- b x* 4- ex^ I 4x -- 5 ee —0 Radices 


. quatuor feu valores ipfius x. Ee funto (Fig. s.c.) AP, As, 


Ac, Àp. Erigantur Ordinate PT, a, 4], pt, & hz tangent. 
Curvam in Pundis totidem T, 7, 7, t, & tangendo dabunt Li- 
mites Curvz, per quos Species ejus innotefcet. 

Nam, fi Radices omnes AP, Aw, Ap, (Fig. 5. 7.) funt rea- 
les, ejufdem figni, & inzquales, Curva conftat ex tribus Hyperbo- 
lis, (infcriptà, circumfcriptà, & ambigenài) cum Ov«/. — Hyper- 
bolarum una jacet verfüs D, altera verfus d, tertia verfüs 7, & 
Onalis femper jacet intra Triangulum D d 2, atque etiam inter me- 
dios Limites] & v, in quibus utique tangitur ab Ordinatis s] & a, 
Et hzc eft Species prima. 

Si & Radicibus dux maximz A, Ap, (Fig. 8.) vel duz mini- 
mzAP,A«(Fig.9.) zquantur inter fe, & ejufdem funt figni 
cum alteris duobus, Ovalis & Hyperbola circumícripta fibi invicem 
junguntur, cocuntibus carum Punctis contadüs], & t, vel T, & 
r» & crura Hyperbolz fefe decuffando in Ovalem continuantur, Fi- 
guram Nodatam efficientia. — Quae Species eft fewnda. 

Si & Radicibus tres maxime Ap, Az, Ae, (Fig. 10.,) vel 
tres minime Az, Aw, AP (Fig. 11.) zquentur. inter fe, No- 
dus in Cuefpidem acutiffimum convertetur. Nam, crura duo Hyper- 
bole circumícriptes ibi in Angulo contactüs concurrent, & nom 
ultra producentur. Et hzc eít Species zertia. 

Si é Radicibus dux mediz A« & A» ( Fig. 12., ) zquentur in- 
ter fe, Punda contadüs -, & 7 coincidunt, & propterea Ovalis 
interjeda in Pundum evanuit, & conftat Figura ex tribus Hyper- 

bolis 





Digitized by Google 


ENUM. LINEAR. TERTILORDIN. «55 

Polis, infcriptà, circumfcriptà, & ambigenà cum Pwdfe cohjuga- 
to. Qua eft Species quarta. 
. Siduz ex Radicibus funt impoffibiles & relique duz inzquales, 
:& ejufdem figni ( nam figna contraria habere nequeunt, ) Psre 
dhabebuntur Hyperbolz tres fine Ovali, vel Nodo, vel Cufpide, vel 
Punádo conjugato, & hz Hyperbole, vel ad latera Trianguli ab 
Aíymptotis comprehenfi, vel ad Angulos ejus jacebunt; & perin- 
ge Speciem, vel quiam ( Fig. 12. 13. ), vel fextam (Fig. 14er. -) TAR.IL 
conitituent. 

Si é Radicibus dux fünt equales, & alterz dux, vel impoflibi- 
les funt (Fig. 16.18.), vel reales (Fig. 17. 19.) cum fignis, quz TAB.II. 
4 fignis zqualium. Radicunr diverfa funt, Figura. Crweiformis ha- TAB. IV. 
bebitur, nempe duz ex Hyperbolis fe invicem decuffabunt , ídque;,. 
vel ad Verticem Trianguli ab Afymptotis comprehenfi ( Fig. 18.19.), 
vel ad ejus Bafem (Fig. 16.17.) Quz duz Species funt feptima: 
& ocfeva; 

Si denique Radices omnes fünt impoffibiles ( Fig. 20. ), vel ff 
emnes funt reales, & inzquales ( Fig. 21.), & earum due funt 
affirmativz, & alterz duz negativz, tunc dux habebuntur Hyper- 
bolz ad Angulos oppofitos duarum. Afymptotón cum Hyperbold: 
«dnguined circa Afymptoton tertiam. Quz Species eft wona. 

Et hi fant omnes Radicum cafus poffibile. Nam, fi due Radi- 
ees funt zquales inter fe, &aliz dux funt etiam inter fe quales, 
-Figura evadet Se&io conica cum Lineà red. 


2.. De. Hyperbolis. duodecim redundantibus unicam tantàm 
Diametrum babentibus, 


Si Hyperbola redundans habet unicam tantàm Diametrum , fit: 
ejus Diameter Abfciffa AB , & JEquationis hujus ax*"-4- éx* -4- ex 
*F d —o quaere tres Radices feu valores. x. 

Si Radices ille funt omnes reales, & ejufdem figni , Figura conf- 
tabit ex Ov«/i intra Triangulum D d2 ( Fig. 22. ) jacente ,. & tri- 
bus Hyperbolis ad Angulosejus, nempe Circumfcriptà ad Angie. 


TAE. 


TAB. VI. 


TAB. V. 


TAD. VI. 


asé c OPUSCULUM IV. : 
D, & Inícriptis duabus ad Angulos d, & d. — Et hzc eft Speeier 


decima. 

Si Radices dux majores funt equales, & tertia ejufdem figni , 
crura Hyperbolz jacentis verfüs D (| Fig. 23. ) fefe decuffabunt. in 
formá Nodi propter contactum Ovalis. — Quz. Species eft smdecima. 

Si tres Radices fant zquales, Hyperbola iíta fit. Ca/pidat« fine 
Ovali ( Fig. 24.) Qua Species eft duodecima. 

Si Radices duz minores funt equales, & tertia ejufdem figni ; 
Ovalis in. Puscfum. evanuit, ( Fig. 25. ) Quz Species eft. decima 
sertia. 

In Speciebus quatuor noviflimis Hyperbola, quz jacet verfüs D, 
Afymptotos in finu fuo ampleditur, relique duz in &ünu Afypto- 
tón jacent. - 

Si duz ex Radicibus funt impoffibiles, habebuntur tres Hyperbo- 
le Pura, fine Ovali, Decuffatione, vel Cufpide. Et hujus Cafüs Spe« 
«ies funt quatuor : nempe decima quarta , fi Hyperbola Cireumfcrip- 
ta jacet verfüs D , ( Fig. 25.) & decima quinta, fi Hyperbola Inf- 
cripta jacet verfüs D , ( Fig. 36. ) & decima fexta , fi Hyperbola 
Circumfcripta jacet füb Bafi d2' Trianguli Dd 2, (Fig. 27.) & 4e- 
cima feptima, (Fig.28.), fi Hyperbola Infcripta jacet fub eàdem 
Bafi. . 


Si dux Radices funt zquales, & tertia figni diverfi, Figura erit 
Cruciformi. Nempe, dux ex tribus Hyperbolis fe invicem de- 
cuffabunt; ídque, vel ad Verticem Trianguli ab Afymptotis com- 
prehenfi, (Fig. 29. ), velad ejus Bafem , ( Fig. 30.) Quz duz 
Species funt decima ocava , & decima nona, 

Si dux Radices funt inequales, & ejufdem figni , & tertia eft 
figni diverfi, dua habebuntur Hyperbolz in oppofitis Angulis dua- 
rum Afymptotón cum ComcPoidali intermedià. | Conchoidalis autem , 
vel jacebit ad eafdem partes Afymptoti fuz cum Triangulo ab Afymp- 
totis conítituto, ( Fig. 31. ) vel ad partes contrarias; ( Fig. 32.) 
Et hi duo Cafus conftituunt $peciem. vwigeffmam , & vigefimam pri- 


mam. 
3 De 


Digitized by Google 


ENUM.LINEA4R. TERTII ORDIN. 'ayy 
^3 De Hyperlolir duabus vedundantibus cum ribus Diemtris. 


Hypetbola redundans , qux habet tres Diametros, couftat extri- 
bus Hyperbolis in finubus Afjmptotón jacentibus; ídque, vel ad 
Angulos Trianguli ab Afymptotrs comprehenfi, ( F7; 133 P velad TAB, Yi; 
ejus Latera , ( Fig. 34.). Cafus prior dat Speciem vige| éco. 
m , & pofterior fpeciem vigefimam tertiam. 


4-. De Boperlolis novem vedundantibus cum Apta tribus 
«d commune Puntium comvergentibus. 


'Si tres Afymptoti in Pundo comnrmni fe nmituó decuffant, vete 
tuntur Species quinta, & fexta in vigefimam quartam ; ( Fig. 6.) TAA. 
feptima, & oGava in vigefmam quintam, (Fig. 35.) & nona. in TAB. VE 
"vigefimam fextam, ( Fig. 36.) ubi Anguinea non tranfit per comi 
curfum Afymptotón; & in vigeffmam feprimam , abi tranfit per cov 
curfum illum , ( Fig. 37. ), quo Cafu Termini £ , ac 4 defunt, & qAg, v 
concurfus Afymptotón eft Centrum Figura ab omnibus ejus parti- 
bus oppofitis equaliter diftans, Et he quatuor Species Dimezum 
noh habent. 
' Vertuntur etiam Species decima quatta , ac decima ioa in vigà 
fimam. ocievam ; ( Fig. 38. ) decima quisa , ac decina feptima i 
vigefima senem (Fig 39.) decima oclava ,' & decima nona in 
trictfimam ; ( Fig. 40.) & vigefima cum vigefimá prim in. rice. 
sam primam , CF 41-) Et he Species unicatn habent Diame. 
trum. E 

Ac denique Species vigefima fecunda, & vigefima tertià verturis 
tur in Speciem tricefimám fecundam , cujus tres funt. Diametri pe£ 
concurfum Afymptotón tranfeuntes-( Fig. 42.) 

Quz omnes converfiones facillimé intelliguntur faciende ; ut 
Triangulum ab Afymptotis comprehenfum diminuatur donec in 
Punctum evaneícat. 


- AC. Nestoni Opsfenla , Tom. L Ek s. De 


59 0 ; OPU£CULU M IF. 
3. De. Hiperlolis fex defetlivis Diemarum mon. habentibus, 


'. Siin primo JEquationum Cafu Terminus «x^ negativus eft, Fi- 
' gura erit Hyperbola defeciva unicam habens Af;mptoton, & duo 
tantüm ctura Hyperbolica juxta Afymptoton illam in plagas contra- 
3 7 7 gis infnith progredientia. — Et Afymptotos illa eft Ordinata prima, 
& principalis AG. — Si- Terminus ey non' deeft, Figura nullam ha- 
bebit Diametrum , fi deeft habebit unicam, — In priori Cafu Species 

, fic enumerantur. 


Si JEquationis hujus «x* — éx* -- ex* uL ee Radices 


omnes Az, AP, Ap, Av, (Fig. 43.) funt reales, & inzqua- 
les, Figura erit Hyperbola Anguinea Afymptoton Flexu contrario 
amplexa , cum Ov«/ conjugatà. Que ópecies eft ericefima tertia. 

' Si Radices duz medie AP, & Ap, (Fig. 44.) «quentur inter 
fe, Ovalis, & Anguinea junguntur íefe decuffantes in forma Nedi. 
Quz eft Species tricefima quarta. 

Si tres Rádices funt equales , Nodus vertetur in Cafpidem acutif- 
fimum in vertice Anguinee; (Fig. 45. ) Et hac eft Species fricefi- 
toc ome quinia. 

Si é tribus Radicibus ejufdem figni, due maxime , Ap & Ac 
( Fig.47.) fibi mutuó zquantur, Ovalis in Pewéiuss evanuit. Que 
Bpecies eft tricefima fexta. 

Si Radices due quavis imaginariz funt , fola manebit Anguinea 
Pura fine Ovali, Decuffatione, Cufpide, vel Pun&o conjugato. Si 
Anguinea illa non tranfit per. Pundum A, ( Fig. 46. ) Species eft 
aricefima feptima, fin tranfit per Pun&um illud A ( id quod con- 
tingit, ubi Termini 5, ac 4 defunt, ) Pundum illud A erit 

"Centrum Figure Redas omnes per ipfum dudas, & ad Curvam 
ntrinque terminatas, bifecans ( Fjg. 47. ) Et hac eft Species trice- 


fima ociava, 
6. De Hyperbolis feptem defattivis. Diametrum habentibus, 


TAS. VIII. 


In altero Cafu , ubi Terminus ej decft, & propterea Figura 


MEN 





Digitized by Google 








Digitized by Google 


| 











ENUM. LINEAR. TERTII ORDIN. 359 


'Diametrum habet, fi /Equationis hujus «x? ——&x* -- ex 4- d Ra- 
dices omnes AT, At, Ac, ( Fig. 48. ) funt reales , inzquales , 
'& ejufdem figni, Figura erit Hypetbola Conchoidalis cum Ov 
ad cenvexitatem. — Que eft. jpecies rricefima nona. — 

Si duz Radices funt inequales, & ejufdem figni, & tertia eft figni 


TAB YI. 


contrarii , Ovalis jacebit ad concavitatem Conchoidalis; ( Fig. 49.) 


Eftque Species quadrat fima; 

Si Radices duz. minores AT, At, (Fig. 5o.) funt equales ; 
& tertia A v, eft ejufdem figni; Ovalis, & Conchoidalis jungen- 
tur fefe decuffando in modum Nod. Qua Species eft. quadragcfi. 
ma prima. 

Si tres Radices funt aequales, Nodus mutabitur in Cugidem, & 
Figura erit Ciffois Veterum, (Fig. $1.) Et haec eft Species quadra- 
* gefima fecunda. 

Si Radices dux majores funt equales , & tertia eft ejufdem figni ; 
Conchoidalis habebit Pus» conjugatum ad convexitatem fuam , 
( Fig. 52.) Eftque Species quadragefima tertia. 

Si Radices duz funt equales, & tertia eft figni contrarii, Con- 
Choidalis habebit Pwwdwm conjugatum ad concavitatem fuam, 
C Fig. 53. ) Eftque Species quadragefima querta. 

Si Radices duz funt impoffibiles habebitur Conchoidalis Pure fi- 
ne Ovali, Nodo, Cufpide, vel Puno conjugato ( Fig. 53. & 53.). 
Que Species elt. quadragefima quinta. 


4. De Hiperbolis feptem Parabolicis Diametrum nom babentibus, 


Si quando in primo JEquationum Cafu Terminus «x* deeft, & 
"lerminus éxx non deeft, Figura erit Hyperbola Parabolica duo 
habens crura -Hypetrbolica ad unam Afymptoton SAG & duo Pa- 
rabolica in plagam unam & eandem convergentia. Si Terminus ey 
non deeft, Figura nullam habebit Diametrum; fin deeft, habebit 
unicam. In Priori Cafu Species funt hz. 

Si tres Radices AP, Ac, Aw ( Fig. $4.) JEquationis hujus 


bx* --exx dx 4- $009 funt inzquales & ejufdem figni, 
Kk 2, Figura 


TAB. IX, 


ao (O0 PUSCUREUM IF. 

Figura eonftsbit ex Ove, & aliis duabus Curvis, quz partim 

Myperbolice funt,.& partim Parabolice. — Nempe: qrura Paraboli-. 

ta continuo dn&u. jumguntur cruribus Hlyperbolicis flbi. proximis. 

Et hzc eft Species quadregcóma fexta. 

' Si Radices duz minores fupt equales, & tertia eft ejufdem figni ;. 

Ovalis; & una Curvarum illarum Hyperbolo-Parabolicarum j jungun-. 
TARIX. tur & fe decuffant in formam Nodi ( Fig. 55.) Qua dpecies eft: 

quadratefma féptima... 

Si tzes. Radices. funt- equales, Nodus ille in. Cufpidem vertitur- 
X Fig. 56.) Eftque Species quadragefma octava. 

Si Radices. due majores funt aquales, & tertia eft: ejufdem fi-. 
gni; Ovalis in Pysc/u» conjugatum evannit ( Eig. 55.) Qua Species 
veft quadragefima. nona; 

Si duz Radices funt impoffibiles, manebunt Psre ille duz Cur-. 
we Hyperbolo-Parabolice fine Ovali, Decuífatione, Cufpide ,. 
vel Pun&o. conjugato ;, & dpeciom quinquagefimam conitituent.. 
(Fie57. & $8.) - 

* Si Radices duz funt. zqualts , & tertia eft figni. contrarii ;. Cur-. 
«we ille Hyperbolo-Parabolicz junguntur fefe decuffando in. morem; 
crucis ( Fig. 59.) Eftque Species quinquegcfime: prima. 

Si Radices dux funt inzquales, & ejufdem figni, & tertia eft 
figni contrarii; Figura evadet Hyperbola. Anguinea circa. Afympto-. 
ton AG, (Fig. 60.) cum Parabolá. conjugatà.. Et. hzc. eft. Species: 
quinquagcfma fecunda, 


8. De, Hiperbrlis quatuer Paralolieis Düametram Babentibuss. 


:In altero Cafu, ubi: Terminus ey decít,, & Figura Diametrtnh 
Habet, fi duz Radices /Equationis hujus &x x H- cx 4- d — o funt: 
impoffibiles; dux habentur-Figure Hyperbolo-Parabolice. à Diame-. 
tro AB. (Eig. 61.) hinc inde. aequaliter. diftantes.. Qpz. Species: eft: 
quinquage) M. tertia; 

Si, JEquationis illius. Radices dàz fünt- impoffibes;. Figure Hy-- 
perbolo-Parabolice- junguntur. fefe:decuffantes in morem. crucis; &. 

TAR X. Apeciem quinquagefimam quartam. contütunnt. (Eig, 62. ). 


di 


——— 


Digitized by Google 





ENUM. LINEAR. TERTII ORDIN. 6r 
Si Radices illz funt inzquales & ejufdem figni; habetur Hyper- 
tala Conchoidalis cum Parabolá ex eodem latere Afymptoti. (Fig.63.) t AB. X: 
Eftque Species. quimquagefima quinta. 
Si Radices ille fünt figni contrarii; habetur Conchoidalis cum 
Parabolà ad. alteras partes Afymptoti ( Eig. 64.) Quae Species. ett, 
quinquagefoma. [Gxta. 


9. De Quse Fgperieifiis Hiperiae 


Si quando, in primo JEquationum cafu, Terminus uterque 4x*;. 
& bx x decít; Figura erit Hyperbolifmus Sectionis alicujus conica. 
Klyperbelifmum Figura voco ,. cujus Ordinata prodit applicando con- 
tentum. fub. Ordinatk Figura illius & Red datà- ad Abíciffam com-. 
munem. Hac ratione Linea reda.vertitur in Hyperbolam conicam, 
& Sectio omnis conica vertitur in aliquam Figurarum , quas hic. 
Hyperbolifmos. Se&ionum:conicarum voco.  Nam,.JEquatio ad Fi-. 
guras ,. de quibus agimus,. nempe xyy d-ey—cex-r- d, dat y — 


fkeeRaPBpaeee, quz generatur applicando contentum. 
fub Ordina Seftini cone th «E 4f E 49s, Rene 


2m. 
dat. »»,. ad Curvarum. Abíciffam. communem: x.. Unde liquet ,. 
quód Figura:genita Hyperbolifmus erit. Hyperbolz ,. Ellipfeos,. vel: 
Parabolz , perinde ut: Terminus. cx affirmativus eft,. vel negativus ,. 
vel nullüs. 

Hyperbolifraus: Hyperbolie tres liabet: Afjmptotos, quarum una: 
eft Ordinata. prima.& principalis A, alterz duz funt parallelz Ab- - 
fciffz A'B,.ab.eádem linc inde zequaliter diftant. In. Ordinatà prin-- 
Gipali AZ, cape A4; Ad, hinc inde zquales Quantitati. Vc ;. & pet: 
Punda. 2, ac 4 age dg ,. dy Afymptotos Abfciffe A B. parallelas.. 

Ubi. Terminus ey non.deeft, Figura nullam habet Diametrum.. 
In hoc Cafu;. fi /Equationis hujus: e x x -F- dx -l- 4 ee— o Radices. 
duz AP; Ap ( Fig. 65.) funt reales & ina-quales, ( nam: equales: 
eife nequeunt nifi Figura fit conica Sectio, Figura conftabit ex tri-- 

. Kk. » bus: 


162 OPUSCULUM VL 
bus Hyperbolis fibi oppofitis, quarum una jacet inter Afymptotos 
parallelas, & altere duz jacent extra. — Et hac eft Species quinqua 
&efima feptima. ' 
Si Radices ille dux funt. impoffibiles, habentur Hyperbole due 
oppofita extra Afymptotos parallelas & Anguinea Hyperbolica intra 
eaídem. Hzc Figura duarum eft fpecierum. Nam, Centrum non 
TAB. X. habet, ubi Terminus 4 non deeft: ( Fig. 66.) fed fi Terminus ille 
deeft, Pun&um ^A eft ejus centrum. ( Fig. 67.) Prior Species eft 
quinquagefima ocfava , polterior quinqumegefima. nona. 


Quód fi Terminus ey deeft, Figura conftabit ex tribus Hyperbo- 
lis oppofitis, quarum una jacet inter Afymptotos paralelas, & al- 
terz dua jacent extra, ut in Specie quinquagefimá quartà, & prz- 
terea Diametrum habet, qua eft Abfciffa AB (Fig. 68.) Et hac 
elt. Species fexagefetma. 

I 10. De tribus Hyperbolifmis: Ellipféos, 


Hyperbolifmus Ellipfeos per hanc JEquationem definitur xy -- 
Cey ex d- d, & unicam habet Afymptoton, quz eft Ordinata 
TABXL principis Ad (Fig. 69.) Si Terminus ej non decet , Figura eft 
Hyperbola Anguinea fine Diametro ; atque etiam fine Centro , fi 

Terminus d non deeft. — Quae Species eft fexagefima prima. 
. At fi Terminus d deeft, Figura habet Centrum fine Diametro, 
& Centrum ejus eft Punctum A ( Fig. 70. ) Species verà eft fexage- 

fma fecunda, : 


Et, fi Terminus ey deeft & Terminus 4 non deeft, Figura eft 
Conchoidalis. ad Afymptoton AG ( Fig. 71., ) habétque Diame- 
trum fne Centro, & Diameter ejus eft Abfciffa AB. — Qua ópecicz 
eft /exagefima tertia. 


11, De duobus Hyperbolifmis Parabola, . 
Hyperbolifmus Parabole per hanc JEquationem definitur xj -l- 


ey —d; & duas habet Afymptotos, Abfciffam AB, & Ordinatam 
. pti- 


ENUM LINEAR. TERTII ORDIN. 363 


primam & principalem A G. — Hyperbole veró in hac Figurà funt 
duz, non in A prota Angulis oppofitis, fed in Angulis qui funt. 
deinceps jacentes, ídque ad utrumque Latus Abíciffa AB, &, vel 
fine Diametro, fi Terminus ey habetur, ( Fig. 72.) vel cum Dia- 
metro , fi Terminus ille deeft, (Fig. 73.) Quz duz Syecies, funt 
fexagefima quarta , & fexagefima quinta. 


12. De Trident. 


In fecundo JEquationum Cafu habebatur JEquatio xj —— 4x" 
W-bxx -cx-- d. Et Figura in hoc Cafu habet quatuor crura 
infinita , quorum duo funt Hyperbolica circa Afymptoton AG 
C Fig. 76. ) in contrarias partes tendentia, & duo Parabolica con- 
vergentia, & cum prioribus fpeciem Tridentis fer& efformantia. 
Eftque hzc Figura Parabola illa, per quam Can TEs1Us JEqua- 
tiones fex Dimenfionum conftruxit. Hac eft igitur Species fexage- 
fime fexta. 


13. De Perabolis quinque divergentibus. 


In Tertio Cafu JEquatio erat yy — 4x' 4-bxx -- ex - 4, & 
Parabolam defignat, cujus crura divergunt ab invicem, & in con- 
trarías partes infinit& progrediuntur. —Abíciffa-A B eft ejus Diame- 
ter, & Species ejus funt quinque fequentes. 


. Si JEquationis ex! j- &xx 4- ex 4- d — o, Radices omnes À 7, 
AT, At funt reales & inzquales, Figura eft Parabola divergens 
Campaniformis cum Ova ad verticem ( Fig. 74. 75. ). Et Species 
eít fexagefima feptima. 


Si Radices duz funt zquales, Parabola prodit, vel Nedata con- 
tingendo Ovalem (Fig. 77.), vel Psmifeta, ob Ovalem infinité 
parvam (Fig. 78.). Qua dux Apecies funt /éxagefima oceva, & 
fexagefima mona. 

Si tres Radices funt zquales, Parabola erit Cwfpidate in "Vertice 
- CFig. 8o. 


TABRXI. 


TAB.XIL 


TABR.XI. 


iig |^ OPUSCULUM IV. 
(Fig.8o.) Et hzc eft Paraboli, Meilase , qux vulgo Sowiculica 
dicitur. — Et eft. Species fZptwagefima. 


Si Radices duz funt impoffibiles, habetur Parabola Psr« campa- 
niformis ( Fig. 78. 79.) dpeciem Fpiaseefimenm primam conftitutns. 


14. De Parabold Culic4. 


in quarto Cafü /Equatió erat y —— x* bxx Texd4, & 
àxc JEquatio Parabolam defignat, quz crura habet contraria, & 
Cubica dici folet ( Fig. 81.) Et fic Species omnino funt fcptsagism- 
44 due. 


v. 


Genefis Curvarum. per. Umbras. 


Si in Planum infinitum à Pundo lucido illuminatum Umbrz Fi- 

gurarum projiciantur, Umbra Se&ionum. conicerum femper erunt 
Se&iones conicz ; ez Curvarum fecundi Generis femper erunt Cur- 
va fecundi Generis; ea" Curvarum tertii Generis femper erunt Cur- 
va tertii Generis, & fic deinceps in infinitum. 
. .Et , quemadmodum Circulus, Umbram projiciendo, generat 
Sedtiones omnes conicas, fic Parabole quinque divergentes Umbris 
fuis .generant & exhibent alias omnes fecundi Generis Curvas ; & 
fic Curve quzdam fimpliciores aliorum Generum inveniri poffunt , 
quz aliss omnes eorundem Generum: Curvas Umbris fuis à Pundo 
lucido in Planum projedtis formabunt. 


De Curverum Punifis duplicibus, 
Diximus Curvas fecundi Generis à Lineà redà in Pundis tribus 
fecari poffe. . Horum duo nonnunquam coincidunt. Ut, cüm Rec- 
ta per Ovalem infinité parvam tranfit; vel per concurfum duarum 


parium Curva íc mutuó fecantium, "ve in Cufpidem coeuntium , 


duci- 


Digitized » Google 


ENUM. LINEAR. TERTII ORDIN. so; 


ducitur Et, fiquando Re&z omnes in plagam cruris alicujus in- 
finiti tendentes Curvam in unico tantüm Puno fecant, ( ut fit in. 
"Ordinatis Parabole Carzefame, & Parabole cubicz , nec nom in 
Reüis Abfciffz Hyperbolifrorum Hyperbole , & Parabolee paralle. 
lis), concipiendum eft, quód Reda Ale per dia duo Curvz Puncta 
"ad infinitam diftantiam fita ( ut ita dicam ) tranfeunt. — Hujufmodi 
interfe&iones duas coincidentes, five ad finitam fint diftantiam five 
ad infinitam , vocsbümus Pew» Dwpikx. Curve autem, que 
habent Pundum Duplex deícribi poffunt. per fequentia Theorematas 


m VI 
De Curvarum. Defcriptione. Organicá.. 
"Ts30* I 


Si (Fi. 82. ) Anguli duo magnitudine dati PAD, PBD, circa 44g, xy 

Polos pofitione datos A, B, rofentur, & eorum crura AP, BP, 
concurfa fuo P percarrant Lineam rectam; crura duo reliqua AD, 
BD concurfü fuo: D defcribent Se&ioném conicam per Polos A, 
B, tranfeuntem :. preterquàm ubi Linea illa reda tranfit per Polorum 
alterutrum A vel B, vel Anguli BAD, ABD fimul evanefcunt , 
quibus in cafibus Pundum D defcibet Lineam redam. 


Tuzox Il 


Si ( Fig. 85. ) crura AP, BP concurfa fuo P percurrant Sectio- 
nem conicam per Polum alterutrum À tranfeuhtem , crura duo re- 
liqua AD, BD concurfü füo D defcribent Curvam fecundi Generis 
per Polum alterum B tranfeuntem, & Punctum duplex habentem in 

"Polo primo A, per quem Sedio conica tranfit : praterquàm ubi 
. Anguli BAD, ABD fimul evanefcunt, quo cafu Pundum D def. 
Gibet aliam Sedionem conicam per Polum A tranfeuntem. 


JF. Nevtoni Qpsenla , "Tom. L L1 Turo 


366 OPUSCULUM IY. 
Turo II 


At, fi Se&io Conica, : quam Pond P percurrit tranfeat pei nas 

TAR XIL trum. Polorum A, B, ( Fig 84-) Punctum D defcribet Curvam fecundi , 
vel tertii generis Pundum duplex habentem. Et Punctum illud du. 

plex in concurfu crurum. defcribentium, AD, BD invenietur, ubi 

BAP, ABP fimul evanefcunt. — Curva' autem defcripta fe- 

«undi erit Generis , fi Anguli BAD, ABD (imul évanefcunt, alis 

erit tertii Generis , & alia duo habebit Puna duplicia in Polís A &RB. 


eina. Conicarum. deferiptio per data quinque Punta. 


Jam Sedio conica determinatur ex datis ejus Pundtis quinque, & 
per eadem fic deícribi poteft Dentur (Fig. 85.) ejus Punda 
quinque A, B, €, D, E. Jungantur eorum tria quaevis A, B, 
€, & Trianguli ABC rotentur Anguli duo quivis CAB, CBA 
&irca Vertices fuos. 4, & B; &, ubi crurum AC, BC interfedio 
€ fucceffivé applicatur ad Punda duo reliqua D, E, incidat inter- 
fedio crurum reliquorum AB & B.A in. Puncta P. & Q. Agatur & 
infiité producatur Recta PQ, & Anguli mobiles ita rotentur, ut 
ánterfedio crurum A B, BA percurrat Redam PQ, & crurum re- 
Miquorum interfedio C defcribet propofitum Sectionem. conican» 
yer Theorema primum. 


Cro om Jécundi Generis: Puntium. duplex: Babentium. Defiripti 
pex data fepiem. Puncza. 


Curvz omnes fecundi Generis Punctum. Duplex liabentes deter 
sninantur ex datis earum Punctis. feptem, quorum unüm eít Pundum 
Eüud duplex, & per eadem Punda fic defcribi poffunt. Dentur- 
€ Fig. 86.) Curve défcribende Punda qualibet feptem A, B ,. 
€, D, E, F, G, quorum A eft Pundum Duplex. —Jungantur 
Xunctum. A, & alii duo quzvis à Pundis, puta B, & C; & Tiiàn-- 





« 





ENUM. LINEAR. TERTII ORDIX. — 16; 


guli ABC rotetur tum. Angulus CAB circa Verticem fuum A, 
tum Angulorum reliquorum alteruter À BC circa Verticem fuum 
B. Et, ubi crurum A C, BC. concurfus C fucceffivé applicatur 
ad Puncta quatuor reliqua D, E, F, G, incidat concurfus crurum 
reliquorum AB, & BA in Puncta quatuor P, Q, R, S. Per Punc- 
ta illa quatuor & quintum À defcribatur Sedio conica; & Angu- 
li prefati CAB, CBA ita rotentur, ut crurum AB, BA concur- 
füspercurrat Sectionem illam conicam, & concur(us reliquorum cru. 
fum A C, B C defcibet Curvam propofitam per Theoremm fa« 
cundum. 


Si, vice Pundi C datur pofitione Reda BC, qux Curvam def. 
cribendam tangit in B. Linee AD, AP coincident, & vice 
Anguli D A P habebitur Linea recta circa Polum A rotanda. 


Si Pun&um duplex A infinità diftat debebit Reda ad plagam 
Punái illius perpetuó dirigi, & motu parallelo ferri interea dum 
Angulus A BC circa Polum B rotatur. 

Defcribi etiam poffunt hz» Curvx pauló aliter per Theorema 
tertium, fed Defcriptionem fimpliciorem pofuiffe fufficit. 

E4dem Methodo Curvas tertii, quarti, & fuperiorum Generum 
defcribere licet, non omnes quidem, fed quotquot ratione aliquá 
commodà per motum localem deícribi poffunt. Nam, Curvam 
aliquam fecundi, vel fuperioris, generis Punctum duplex non ha- 
bentem comumnodé defcribere Problema eft inter difficiliora numce- 
tandum. 


VIL 
Cnfratti "Epuatiomm | pe Deferiptionem 


Currarum vfus in Grometrià "s w pe eatum interfectiones 
Pro. 


2ó& OPUSCULUM IV. 


Problemata folvantur. Proponatur /Equatio conftrnenda Dimenfio- 
mum novem. 


x? * Hz ÍxT 4 ex -«- dx -- ex* H- fx" o gas4- bx A- E—0. 
. T» 


Ubi 2, e, 4; &c. fignificant Quantitates quasvis datas fignis fis 
4 & — * affects. Affümatur JEquatio ad Parabolam cubicam. x* 
m— y. & IEqnatio prior, fcribendo y pro. x* , evadet. 


Uo dc qd dexg ex Hc m] e fe^ eges bxd- E—0. 


JEquetio ad. Curvam. aliam. fecnndi Generi&. — Ubi »», vel f^ deeffe: 
poteft, vel pro lubitu. affumi, Et per harum Curvarum defcrip-. 
tiones, & interfediones dabuntur Radices /Equationis conftruendz.. 
Parabolam. cubicam. femel deícribere fafficit.. 


Si JEquatio conftruendà per defectum duorum TTerminorum: ul. 
timorum: J x, & £ reducatur ad. feptenr Dimenfiones,. Curva altera, 
delendo »», habebit Punctum Duplex in. principio. Abfciffe,. & in-. 
de facilé defcribi. poteft, ut. fupra.. 


Si. JEquatio- conftruenda. per. defecnm. Terminorum: triom ul. 
timorum $ xx-1- £ x. -J- £ reducatur ad fex Dimenfiones, Curva al-- 
tera ,. delendo f^, evadet. Sectio. conica. 


Et,.fi per defedum fex: ultimorum Tétminorum, Equatio conf-. 
truenda reducatur ad: tres. Dimenfiones, incidetur in confítrudio-- 
nem Lfllifiemem: per Parabolam. cubicam & Lineam: rectam. 


Conftrui-etiam: polfunt. JEquationes. per Hyperbolifmum Parabo«. 


lgcum Diametro. Ut, fi conítruenda fit hzc JEquatio Dimenfio-- 
"num. novem. Termino penultimo: carens;,, 


de 


ENUM. LINEAR. TERTII ORDIN. seg 
& ]- exx - dx? -- ex* -- fx -- gu -- bx! -- &x* 4- i? ——0; 
. 2m 


, 
Áffümatur /Equatio ad Hyperbolifmum illum xx3— 1, & fai- - 
Mendo j pro —, JÉquatio conftruenda vertetur in hanc 


6^ gr doy qe fap a mg A ls Exx Az it oo; 


«ux Curvam fecundi Generis defignat, cujus defcriptione Proble- 
ma folvetur. Et Quantitatum s, ac alterutra hic deeífe poteft, 
wel pro lubitu affumi. — 

Per Parabolam cubicam & Curvas tertii. Generis conftruuntur 
etiam JEquationes omnes Dimenfionum non. plufquam diodecim , 
& per eandem Parabolam & Gurvas quarti Generis conítruuntur 
emnes Dimenfionum non plufquam quindecim ;. Et fic deinceps in. 
infinitum. Et Curve ille tertii. quarti, & fuperiorum Generum. 
deícribi femper poffunt inveniendo eorum, Pun&d: per. Geometriam: 
planam. Ut fi copftruenda: fit. JEquatio» 


xt 4 4x14 bxt 4 ext 4r dx! 4- ex* 4- fx* 
4 gxtc xh ue xx Ex 4-/—o0, 
& defcripta: habeatur Parabola ubica; fit JEquatio ad Parabolane 


illam cubicam x*——y, & fcribendo 7 pro x*',. /Equatio conftruen- 
. da vertetur in. hanc 


3" H- axy" - oxxyy x fexy Ae iex — 0. 
. b 43 qnx -bEx 
*e6 BÓ BE 


Li 5 qua: 


270 OPUSCULUM IV. 


qua eft /Equatio ad Curvam tertii Generis, cujus defcriptione Pro- 
blema folvetur. Deícribi autem poteft hzc Curva inveniendo ejus 
Punda per Geometriam planam , propterea quod indeterminata 
Quantitas « non nifi ad duas Dimenfiones afcendit. 


OPUS 





OPUSCULUM VF. 
ISAACI 


NEW.TONI 
METHODUS 
DIFFERENTIALIS 


Edita LONDINI r7rr. 








S. 





PROPRPRIL 


I Figure cwrvilinee Ab[ciffa. componatur 
ex. Quantitate quávis detá À, cr Quan- 
titate. indeterminatá x ,| d. Ordinata 
conffet ex datis quotcunque Quantitati- 
bus b, c, d, e, (re. intotidem Ter- - 
minos. bujus Progre[fonis geamerricax; - 
x', x!, x*, (Coe. refpedfivà dudfis , 
€& ad ZAbfciffe Puntia. totidem. data 
. erigantur. Ordinatim | applicate :. dico 
. . quód Ordinatarum Differentte prima di- 
vidi poffirt per earum Iutervalla ,' d. Differentiarum fic. duifarum 
-- Differentio dividi poffit per Ordinatarum binerum bntervalla , c 
^o Jf. Nevtoni. Opufcula, 'Yom. I. Mm barum 





274 OPUSCULUM VF... 

barum. Differentierum. fic. divifarum: Differentia. dividi po[fnt per- 

Qrdinaterum ternerum. Interualloy, c fic. deinceps in infnitum. 

: Etenim, fi pro Abfciffe parte indeterminatà x ponantur. Quanti-. 

' dates quavis date p, 4, £, 5, f, &c. füccellivé,. & ad: Abfciffa- 
rum fic datarum Terminos erigantur Ordinate «» B, y,.d; «, &c. 
Hz Abíciffe, & Ordinatz, & Ordinatarum Differentiz, divife per 

. Abfciffarum Differentias , ( quz utique- funt Ordinatarum Interval... 
la, ) & Quotorum Differentiz divife pert Ordinatarum alternerum 
Differentias ,, &: fic. deinceps,. exhibentur per Tabulam fequentém.. 


Ordihate lU 
ATUS Té b — . 
oc 6g ege do! egt B 
|n ir dat de dr pert y, 
d bn 65h He do? He et — dU 
A Bc at de at — L 





ESTER ES —— 
Mer E 


rrr br -Fecrhapr s-pri p — 
/ eS c Hed eut dra r6! e p p 
Las. v reearie bim ——A 
43) 1— P eda eere appa err-baebr s —. [| 
gx 1 cms cetus EM | : 





PBORSO PS LL. 
lifdem p, C. qud numeris "Terminorum b, c, d; e, di. 
Fi finitus ,. dico - quód Quotorum ultimus «qualis erit. limo Termi-. 
 Buremb, c, d, e, rec, 7. quid per. Quotes reliquos dabumur - 
Tyemini reliqui b, . c, d, z d c Pis. datis; dabitur Line ear-- 
2t Vel 


METHODUS.DIFFERENTIALIS spy 


wa gentris Paralolici , que per "Ordinatarum .emnium. Terminos 
iranfibit. 

Etenim in Tabulá fuperiore 'Quetus "ultimus « zqualis erat. etat Te 
mino.ultimo e. Et bic Terminus dudus in Summam datam rebos 
& ablatus de Quoto Ed relinquit Terminum' pemulimum 4. Et 
Quantitates jam datz.-4»4-pg-r 7? »9p-- pa 3- 22 T 97 9 4-7 
. fi auferantur de Quoto A» relinquunt Terminorum ani ultimum 

*. Bt Quantiates jam dite « x pEq-F 4X p-E e qq t 

*g!-- pg-d-pga-I- 4*, fi auferantur de Quoto C, relinquunt Termi. 

ium £. .Etíimili computo 1i plures effent Termini, colligereritue 

omnes per Quotorum Ordiries totidem. — Deinde Quarttitztes datae 

bp A- epp A- do^ -I-cp*, fi fübducantür de Ordinatà prim « , relin. 
. quunt Abíciffe Terminum primum 44. Et Quantitas 74--£x-- cx*- 

Fdx*-Fex*H- &c. eft Ordinata Curve generis Parabolici, 

per Ordinatarum omnium datarum Terminos tranfibit, exillente 

Abfciff) 7d -- x. 

Ex his Propofitionibus , qua fequuntur facilà colligi fus. 


Pxor IIL 


s (Fig. t.) Reda aliqua AÀs in «quales «qietcum e pertey 
AÀ2, A2A3, A34, A4ÀS, Cre. dividatwr, cj ad Pusila Di- 
vvifiomumm. erigantur parallele AB, A2B2, A3B3, Ce. Inveni 
| Curvam geemetricam generis. Parabolii , qua ud vemium ercifae 
rum Terminos B, Ba, Ba, &re. tr. tranfibir. 


Erectarum AB, À2B2, A3B3, &c. quere Differentia primas ; 
&, £2, 55, &c.; fecundas c, 62,03, &c.; tertias d, 42, d3, &c; 
& fic deinceps ufquedum veneris ad ultimam Differentiam , qux 
bic fit 4 
* "Tunc, incipiendo ab ultimà Differentià, excerpe medias Diffe. 
rentias in alternis Columnis, vel Ordinibus Differentiarum, & arith. 
metica Media inter duas medias reliquarum , Ordine pergendo uf- 
que ad Seriem primorum Terminorum AB, À2B2, A3Bs, &c, 
fint hzc £, 4, 8, A, 9, P, g» r, 5, &c. quorum ultimus fi 

Mm a . gni. 


a;i6 OPUSCULUM". 

gmificet. ultimam Differentiar ;; penultimus . Medium. arithmeticumr 

inter duas penultimas differentias ; antepenultimus mediam trium 

antepenultintárum: Differentiarum ,. & fic deinceps. ufqie ad primum ,. 

quad «erit vel medius Terminorum À, Az, A3, &c. vel arithmos. 
, Wcus :medius inter. duos medios. -Prius accidit , 'ubi mumerurà 

Terminorum. A, Ld ? À3. &s eft impar j pofterius ubi par. 


E . e CAS I. 


-.]a Cafü p priori ,. fit. AjBy ifte medius Termitus,, f fióc- eft, A;Bs: 
amd; urn ——4)da—m; ;E e3 — 0, ffs 


E 49 45 EB $e: Et, età Orlinin ap. 
pied PQ, dic AP; & düc Terminos dujüs Progrefionis 


Xxx —— I. xx — 4. xx—9. xx—I16 
xExXHIT MX REIS x ET 
I 3 "7 4 $x 6 .7x ' 8 9x 
Cerca 


xi x XT X XIX 36 ac. in fé continuó ; & orientur- 

- GIx 2 13* ; ; h 
. xx xü—3x cxt vfioxx x5e-ix'-pax  x'—gxt-paxx 
Temi LAC 6 7 3. 4€ M — . —mno s 
- t] Moos 

Een .&c..,. per-quos íi Termini: Seriei £j 4;, 

wy 5v 0) P. &c refpedtivà- multiplicentur;. Aggregatum Facto-- 

mm £-xi4-* s 4L E, RE ate ep bts. . 

p. &c. etit longitudo. Ordinat. applicata. P : 














on 4S. IE 


In.Cafu pofteriori; fint A4B4.,. AsBy dào medii Termibi, lioc: 
et, fit: MMCE ATE LS bmi, SES dj m ni: 


ad oi fip CEP qs P—r Et enda Ore. 
dinatim applicat PQ.,. bifeca- A4A5, in.O,,, &. dido. OP — x, 


METHODUS: DIFRERENTIALIS. s 





& X*x— 
düc Terminos hujus Progreffionis ix EXE XX dH 
DE» xx — 25 * xx : 
X — Xx —ÁÀ—tXx-—x* , &c. ii fe continuó; & orientur 
(045. .0u6€ 5 *- 8x 





(el 
4x! — s. 16x 16x**— 4oxx 4-9 .Re, per 


^ 884 

quos (i Termini Sedi E. L ». d S repedivà mul. 
tiplicenturi Airegatim Fadtorám FEES Dy 4t —s eu x 

p Ist —aoss s E EE &z:. dit agli Ordinatim applica-. 
€ePQ 

*'Sed hic notandum eft, quód Jiteévall. KKE2, Kahn; 5344. 
&c. lic fapponantur "effe Ünitates, '&. qnàd Difiérentis colligi. des 
bent auferéndo infetiores Quáhtitates: de fuperioribus, A2B2: de AB; 
43B3 de A2B2 ;- &z:de&, &t. , & faciendo , ut fint AB.-— AaBa 
Lb; AaBa- A3B3-— ld; b— la; &c., adeóque ,. 
quando Differehti ile o: tnodo grodemnt negative; ipa 6. 








U Fro. que 


Si (Yig.2.) Reda. aliqua in. paries/quotcungue. inequalés Nha, 
A243 ,. A3À4.: A4AS... Crc- dividatur.,. c ad Punta Divifonum 
erigantur. parallela. AB ,. A2Bz,. A3B3, ede. Invenire Curvam geo-. 
metricam. generis Parabolici ; gue pm omnium ercéterum Terminos: 
B, B2,.B3,. dec. tranfibis.. . ; es 


'Sunto Pun&à data. B, B2, B5. Ba.. Bs, B6, Bn dc '& ad 
Abfciflám quamvis A A7. demitte. Ordinatas. perpendiculaiter BA, 
B2A2,. &c. ,: :3—MM 

AB — A2B2- A2B2 — A383. , M3B3— A4] 

Bc— o 775. 0M 07755 Aga 

Mm, 3: EITI 





578 | OPUSCULUM: r. 
,; AfBr —AóBe6 —À AcB6—A787 
CAS 770553 T ASÁT. 


—.e; b2— 3 L0; Bou ze-63; Bu. 
. Tee, "HE pur dne a; 3E du &c. 
d — da. 1,1741 43. 14; TA 44 ou. 
EnKApO CO AaAE CO 739 dug 00026 

"ic pergendum vft ad ultimam Dilferentiam. - 

Differentüs fic collectis ,: & divifis per Intervalla Ocdinztim ap- 
flicatarum; in alternis earum Columnis,, five Seriebus, vel Ordi- 
Bibus, excerpe medias, incipiendo ab ultimà,, & in reliquis Co- 
lumnis excerpe Media arithmetica inter.dnas medim, pergendo uf- 
que. ad Seriem primorum. Terminorum, AB, AaB2, &c. Sunto 
hzcb, 4, m, 5, 9, P, qQ, r, &c., quorum ultimus Terminus 
* fignificet ultimam Differentiam ; penultimus Medium zrithmeticum 
iüter duas penultimas ; antepenultimus mediam trium. antepenultima- 
marum, &c. Et primus £ erit media. Ordinatim. applicata, fi nu- 
merus datorum. Pundorum eít impar; vel medium axithmeticum 
inter duas medias, fi numerus eorum.eít par. 


CAS 1 

$a Cin priori , fit À4B4 iffa niedia Orünaim hoc 
eit ft A4B4 —4; Bh. PLE m se 
— PB y, gogo Er eret Ordinatim spplicid |PQ.; 


& in B4fi. A As fümpto quóvis Pando O , dic QP—x. & duc 

án fe gradatim Terinirios hujus Progreffionis 

. —  OMEON.,x—-0A3 Xx —OÀ 

X x-—i — x MX 

1X x —ÜÁ4 X x — x—1015 4 OR 

X — ; OM E ONE x &c & ortam Progreffionem. afferva; vel, 
quod 














NBfETHODUS. DIFFERENTIALIS — i79 
quod: perinde eft, duc Terminos hujus Progreffionis 
1X &—ORÀ4Xs — OM Xx — OAS Xx — O AaX x — OMS X 
CR—— OKXx— O K;X &c. im fe gradatim, & Terminos exinde: 
ertos. duc. refpetivé in Terminos liujus Progreffionis . 
"nx d Oti OAy. c. ton -OM xoMpo, 
- &c.,. & orientur Termini intermedii, , totà Progreflione exiftente 
rx— QA: xx. — TOM 20 MOM, | 0 A3 --OA$ 
. : n wo * . 2 
X O A4, &c. EM 
Vél.dic: O &. —— a5; O A2 L6; 0&85—y;0A4-—d24; 
QA$.— «5. O As —( Oa; M EEONT 4, OM EONS: 
ovroMr Et.ex Progréffonie: ' 


mE. 





DEARIUGXE— Xx aM AXE XE ORE Rt. 
collige. Terminos ,. quibus multiplicatis per 1.» — 0, x — x, 
3—— À, &c. collige alios. Terminos intermedios, totà Serie prodéunte. 
1:4 ne — Hebe d x Jae bidon yh, &c., 
* per: cujus Terntühos multiplica Series £,:/; gw, s», o, &c. EtÁggrega- 
tum Predüdorum 4 4x 1— 2x Lx x — Jq- 6x E dU X m-p &c. 
exit longitudo. Ordinatim applicate P.Q;. 


0C AK SIL 
à Cifi pofterióri;. fnt A4B4,. AYBt düz: medi Ordinating 
applicate, .hoc eft, MB-EMB X. bam dit ba. 


a. 5 
«43 — n a3, fà p.c. Etalemorm £, wj 


5s 4;. &c. Coefliciéntes: orientur:ex: Multiplicatione Terminorum 








liujus Progreffionis in fe 1x — O A4. x — OA $X 
D ————— 
S— OÀ3Xx— QA6GX x—O0A2.Xx—04A7,. X 


a$o 70 OE. tU .$ CU LU MY OA X 5. 


T— OAXxZ—POAP. &c Etieiquorum Coeffijientes Ek Mul — 

tiplicatione horum per Terminos hujus Progréflionig . 

TOReror A$ x O43 -- OA6 - 4OMAOAT 
—UEBEREETM PR x UEM 


— tot£om, &c. Hoc e ca EOEEURE EORGORD. 


»*— 





LL UL ALLLLU 
IT xx—0O8£4J-OAp* T OMXOA xa &c. Otdinatim ap. 
plicata PQ, vd PQ : 

——kLxxiaE x xdi Deb Eus d 


— 20M —0A-0s —r 8A. — Os HUT 
— 0A; MEME (: — LOA 
Sivedic « — t OM DM o, *—OAaXx—OAs —, 





———MÀ9——á 
ga EUR -EDA; LE OM sn pest RI EIU " 


TXX—- LDEDREON 2 30k xa0A7 —9, 


—FEottoh K 
exa EO $a ex^ Ok ORg— p, 


Etenté iind 7B-- T6-- vp - O4 - xr i — PQ. 








PRO. V 


Datis aliquot. Terminis Serie cujufcunque ad data LIotervalla jf. 
paftis .- imvenire Terminum. quemois. intermedium due 
. proxima. 


Ad Re&am pofitione : datam erigantur Termisi. dati in dato Angu-. . 
: lo , interpofitis datis Interfallis, & per eorum Punda extima, per 
Propofitiones .precedérites , ducatur Linea curva generis Parabo- 
lii Hzc enim continget. Terminos ,omnes, intermedios per Se- 
mem totámi 





METHODUS DIFFERENTIALIS — ssi 
PROP VI 


Figurem quamcunque curvilineam. quadrare. quamproxim? , cujus 
Ordinate aliquot inveniri. po[funt. 


Per Terminos Ordinatarum ducatur Linea curva generis Parabo- 
lici ope Propofitionum precedentium. Hec enim Figuram terrni- 
mabit, que femper quadrarí poteft, & cujus Area equabitur Aree 
Figure propofite quamproximé, 


SCHOLIUM. 


^ Utiles funt hz Propofitiones ad Tabulas cnftruendas per Intet- 
polationem Serierum, ut & ad folutiones Problematum, que à 
Quadraturis Curvarum dependent, praefertim fi Ordinatarum Inter- 
valla, & parva fint, & zqualia inter fe, & Regule computentur, 
& in ufum referventur pro dato quocunque. numero Ordinatarum, 
Ut, fi quatuor fint Ordinatz ad zqualia Intervalla fite, fit À fum- 
ma primz, & quarte; B furnma fecunde, & tertie; & R Inter- 
valum inter primam, & quartam; & Ordinata nova in medio 


omnium erit 2. P— A & Arca tota inter primam & quartam erit 


16 
AB 
8 
Et nota, quód ubi Ordinatz flant ad zquales ab invicem diftan- 


tias, fumendo Summas Ordinatarum, qua ab Ordinatà mediá hinc 
inde equaliter diftant, & duplum Ordinate mediz, componitur 
Curva nova, cujus Area per pauciores Ordinatas determinatur, & 
zxqualis eft Arez Curva prioris, quam invenire oportuit —Quine- 
tiam, fi pro Ordinatis novis fumantur Summa Ordinate prime, & 
fecundz ; & fumma tertie , & quarte; & fumma quinte, & fex- 
tz; & fic deinceps; vel fi fumantur Summa trium primarum Or- 
dinatarum, & Summa trium proximarum , & Summa trium, que 
funt deinceps; vel fi. fumantur Summz quaternarum Ordinatarum, 
vel Summz quinarum: Area Curve nove zqualis erit Arez Curve 

Af. Newteni Qpaféula , Tom. L Nn primà 





282. OPUSCULUM V. 

primó propofitz. Et fic, -habitis Curve quadrande Ordinatis quot-- 
cunque, Quadratura ejus ad Quadraturam Curva alterius per pau-. 
Giores Ordinatàs reducetur, 

Per data veró Punda quotcunque non folüm. curvv Linez ge- 
neris Parabolici, fed etiam Curva alie innumerz diverforum gene-. 
rum duci poffunt. 

Sunto (Fig. 3.) CDE, FGH Curve di. Abíciffam- Habentes 
communem. A B, & Ordinatas in cádem Redá jacentes BD; BG ;. 
& Relatio inter has Ordinatas definiatur per JEquationem quamcun-- 
que. Dentur Pünca quotcunque, per que Curva CDE tranüire- 
- debet, & per. JEquationem. illam. dabuntur Punda totidem nova,. 

pet que Curva F'G H. tranfibit." Per Propofltiones füperiores def-. 
tribaur Curva. F GH generis. Parabolici, quz? per. Pundaa illa om-. 
nia nova tranfeat, .& per JEquationem eandem. dàbitur Curva. CDE,. 
que per Punca.omnia prim data tranfibit.. 


e 


CPUSCU. 





: OPUSCULA YI. d VII. 


ISAACI NEWTONI . 
SOLUTIONES. 


PROBLEMATUM QUORUNDAM, 

E EDITE . 

IN TRANSAC. PHILOSOPH, 
Menf. Jan. &c., Ann. 1697. 


Num. 224. pag. 384. 
Num. 225. pag. 424. 
& Ann 1716. 

Num. 347. 399. 


Digitized » Google 








ART. L 
ISAACI NEWTONI 
EPISTOLA 
MISSA AD 
PRAENOBILEM VIRUM 


D. CA&ROLUM MONTAGUE 
Mrmigerum:,| Scacarii. Regii apud. fdnglos. Cancellarii , e 
Societatis Regia. Prafide , ubi folvuntur. duo Problemata. 

. . Mathematica: 
A 
JOHANNE BERNOULLIG 
Maib. Cliber. propofita. 

Áccepi , Vir Ampliffime , hefterno die duo Problematum X Jo-- 
KANNE BznNouLrro Mathematicorum acutiffimo exemplaria ,. 
Groninga. edita. in. hec. verba . 

Awiiffmis qui toto. Qrbe fürem: Mathematicis S. P. D. 
JOHANNES BERNOULLEI- 
MaTxk. P. P- 
fU compertum: liabeamus ,. vix quicquam effe, quod' magis: 
. excitet generofa ingenia ad moliendum quod conducit augen-- 
dis Scientiis, quàm difficilium pariter &. utilium Qpaftionum pro-- 
Nn à pofitio-- 


*86 OPUSCULUM VI 


"pofitionem ; quarum enodatione, tanquam fingulari , fi qua alia 
via, ad nominis claritatem perveniant, fibíque apud Pofteritatem 
"xterna eXtruant monumenta : Sic me nihil gratius Orbi Mathemati- 
co facturum fperavi, quàm fi, imitando exemplum tantorum Virorum 
MznsENNI, Pascarir, FEnMATIUIL, prefertim recentis illius 
Anonymi JEnigmatifte F/eremtimi, * aliorámque , qui idem ante 
me fecerunt, preftantiffimis hujus evi Analyftis proponerem aliquod 
Problema, quo, quafi lapide Lydio, fuas Methodos examinare , 
ires intendere, &, íi quid invenirent, nobifcum communicare 
pollent; ut quifque fuas exinde promeritas laudes à nobis, publica 
* id profitentibus, confequeretur. 

Factum autem illud eft ante femeftre in 444i; Lipf. m. Ju». pag. 
269, ubi tale Problema propofui, cujus utilitatem cum jucundi- 
tate conjunctam videbunt omnes, qui cum fucceffü ei fe applica- 
bunt. Sex menfium fpatium à primá publicationis die Geometris 
conceífum eft, intra quod, fi nulla Solutio prodiret in lucem , me 
meam exhibiturum promifi. Sed ecce elapfus eft terminus, & nihil 
Solutionis comparuit; nifi quod Celeb. LgisNiTIUs, de pro- 
fundiore Geometrià preclaré meritus , me per litteras certiorem 
fecerit, fe jam feliciter diffolviffe nodum pulcherrimi hujus, uti 
vocabat, & inauditi antea Problematis; infimülque humaniter ro- 
gavit, ut praítitutum limitem ad proximum Pafcha extendi pate- 

: rer; quo interea apud Gallos, Italófque, idem illud publicari pof- 
fet, nullüfque adeó füpereffet locus nlli de anguítià termini quere- 
lr. Quam honeítam petitionem non folàm indulfi, fed ipfe hanc 
prorogationem promulgare decrevi; vifurus num qui fint, qui no- 
bilem hanc & arduam: Quaftionem aggreffuri, poít longum tem- 
poris intervallum, tandem Enodationis compotes fierent, Illorum 
interim in gratiam , ad quorum manus 2ddf« Lipfenfa non per- 
veniunt , propofitionem hic repeto. 


PRO. 
* Vincentius Viv AN: Ann. 1692. Enigma Geometricum ptopofuit, de miro 
opificio. Teftudinis quadrabilis Herifphetice; Videantur /fdía Ersdirorum hujus an» 


ni, menfe Junio, peg. a4. vel Vita Vav1ANI in Mif. Acad. Reg. Solent, Paril, 
Aiín, 1703. 


EPISTOLA 4D CAROL. MONTAGUE. $7 


PROBLEMA 


MECHANICO-GEOMETRICUM 





Dc Lincá celerrimi: defcenfüs.. 


Dietermintare Lineam curvam data duo: Puntfa, in diverfis ab Hé-- 
vizonte. diflantiis d» non in. eddem. Recid verticali pofita , connec-- 
tentem , füper. qud. mobile, proprid. gravitate. decurrens. c à: 
Jiperiori. Punéfo. moveri. ineipiens ,. citiffmà. defcondat. ad. Pune-- 
Ium. inferius... 


CYExsus Problematis hic eft: Ex infinitis Lineis, qua duo illà: 
data Puncta conjungunt,. velab uno ad alterum duci poffunt ,; 
eligatur illa. juxta quam ,.fi incurvetur. lamina- tubi- canalifve. for- 
mam habens, ut.ipfi impofitus globulus. & liberé dimiffus*, iter: 
füum ab uno Pundo ad' alierum emetíatur- tempore breviffimo. . 

Ut: veró. omnem 'ambiguitatis anfam : precaveamus ;^ fcire B. E.. 
volumus ,. nos hic admittere Gaz 1L x1 hypothefin ,. de. cujus ve-- 
ritate, fepofità: refiftentih , jam. nemo eft: faniorum . Geometrarum" 
qui ambigat , Velecitates , fcilicet, acquifitas, Graviam cademtium effe" 
in fubduplicatd Ratione AAltitudinum. emepfarum 5; quamquam aliàs 
noftra folvendi:Methodus-univerfaliter ad. quamvis: aliam hypothefin: : 
féfe extendat;. 20. 

Cüm itaque nihil obfcuritatis- füperfit; obnixé rogamus: omnes: & : 
fingulos-hujus evi Geometras,.accingant fe promté, tentent, dif. 
Cutiant quicquid im extremo fuarum : Methodorum receffir abícondi- - 
tum tenent. Rapiat qui poteft- premium ; . quod Solütori paravimus; : 
mon quidem: auri-, non argenti-fümmam ;.quo abjeda:tantüum &' 
maercenaria conducuntur: ingenia; à quibus ut' nihil laudabile , fic 
nihil ,. quod Scientiis-fru&tuofum , expectamus ;: fed cüm Virtus fibi: 
ipfi fit: merces pulcherrima , atque: Gloria immenfünr habeat: calcar , . 
Offerimus premium, quale convenit ingenui. fanguinis Vio. con-- 

ertum. 


338 — | OPUSCULUM VL 


fertum ex honore, laude, & plaufuü; quibus magni noftri Apolli- 
nis perfpicacitatem , publicà & privatim, fcriptis & dicis corona- 
bimus, condecorabimus , & celebrabimus.. 

Quód fi verà feftum . Pafchatis praterierit, nemine : deprehenío , 
qui Quafitum noftrum folverit ; nos quz ipfi invenimus publico 
non invidebimus: Incomparabilis enim Lgis»wiTIvs Solutiones 
tum fuam, tum noftram, ipfi jam pridem commiffam, protinus , 
ut fpero, in lucem emittet ; quas fi Geometrz , «ex penitiori quo- 
dam fonte petitas perfpexerint, nulli dubitamus, quin anguftos vul- 
garis Geometriz limites agnofcant , noftráque proin inventa tanto 
pluris faciant, quanto pauciores eximiam noftram Quazftionem fo- 
luturi extiterint, etiam inter illos ipfos, qui per fingulares, quas 
tantoperé commendant , Methodos, interioris Geometriz. latibula 
non folim intimé penetraffe, fed etiam ejus pomoeria , Theoremati- 
bus fuis aureis, nemini, ut putabant, cognitis, ab aliis tamen jam. 
longé priüs editis, mirum in modum extendiffe gloriantur. 





"PROBLEMA ALTERUM 
PURE GEOMETRICUM 
Quud priori fübmelimus ,. CF. Strena loco Eruditis proponimus. 


B Eucriprs tempore vel Tyronibus notum eft, dudam 
utcunque à Pundo dato re&am Lineam , à Circuli Peripherià 
ita fecari, ut Rectangulum duorum Segmentorum, inter Punctum 
datum & utramque Peripheriz partem interceptorum, fit eidem conf- 
tanti perpetuó zquale. Primus ego oftendi, in eodem J4&ferum 


Jun. pag. 265 , hanc proprietatem infinitis aliis Curvis-convenire, 


illámque adeó Circulo non effe effentialem : Arreptá hinc occafio- 
ne, propofui Geometris determinandam Curvam , vel Curvas, in qui- 
bus non Recangulum , fed Solidum fub uno & Quadrato alterius 
Segmentorum aquetur femper.eidem : fed à nemine hactenus fol- 


, vendi nrodus prodiit; exhibebimus eum, quandocumque defidera- 


bitur Quoniam autem non nifi per Curvas tranfcendentes Quafito 
. fatisfacimus ; 


EPISTOLA AD CAROL. MONTAGUE. i89 
fatisfacimus ; en aliud, cujus Solutio per mer& algebraicas in nof- 
trà eft poteftate. 

Queritur. Curva ejus proprietatis , ut. duo ille Segmenta , 4d 
quamcunque. Potemtiam datam clevata c. fémul [umta , faciant ubi- 
que unam candénque Summam. 

Cafum fimpliciffimum , exiftente fcilicet numero Potentiz r, 
ibidem in /4cZis, pag. 266. jam folutum dedimus ; generalem veró 
.Solutionem , quam etiamnum premimus , Analyftis eruendam re- 
inquimus. 

Dabam Groningz, ipfi Cal fan 1697. 

Haüenus Be&NoyLL10s; Prohlematum veró Solutiones funt 
"hujus modi. 

À dato Pun&do A ( Fig. 1. ) ducatur Reda infinita APCZ 
"Horizonti.parallela & fuper eàdem Rectà deícribatur, tum Cyclois 
quacunque A QP Redz A B C dudz, & fi opus fit, ( produdz ) oc- 
currens in Puncto Q , tum.Cyclois alia ABC, cujus Bafis, .& Al 

.titudo fit ad prioris Bafem & Altitudinem refpedivé , ut AB ad 
AQ. Et hac Cyclois -noviffima .tranfibit per Pundtum B, *&. erit 
curva illz Linea, in quà Grave à Pundo A ad Punfum B XGne- 
vitatisfuz citiffime perveniet. Q.. EL 


Paosiama Eon 

Problemaalterum , fi recté intellexi , (nam, que in Afer Lo. 

ab Audore citantur ad id fpectantia nondum vidi, ) fic proponi po- 
feft — Quaritur ( Fig.2. ) Curva KIL eà lege, ut fi Recta PKL 
À dato quodam Punto P, ceu Polo, utcunque ducatur, & eidem 
Curr in Pundis duobus K, & L occurrat , Poteftates duorum ejus 

. Segmentomm PK, & PL À dato illo Pundo P ad occurfus illos 
du&orum, fi fint zqué alte, [id eft, vel Quadrata, vel Cubi, vel 
Quadrato-quadrata, &c: ] datam Summam PK4 -- PL4 vel PK 
eub. Mobi &c: (in omni Red. ilius pofitione ). conficiant. 


SOLUTIO 


Per datum. quodvis Pun&um A ducatur Re& quavis infinita po- 
JE Nentoni On wa, Tom. L Oo 7'' fitione 


290 OPUSCULUM F: 


fitione data AD B Recte mobili PKL occurrens in D, & nomi- 
nentur AD, x; & PK, vel PL, y; fintque Q, & R Quantitates 
ex Quantitatibus quibufcunque datis, & Quantitate x quomodocun- 
que conftantes, & Relatio inter x, & y, definiatur per hanc /Equa- 
tionem jy - Qy -- R — 0. Et fi R fit. Quantitas data, Rec- 
tangulum füb Segmentis PK & PL dabitur. Si Q fit Quantitas. 
data , Summa .Segmentorum illorum ( füb fignis propriis conjunc- 
torum ) dabitur. Si QQ. — 2R. dàtur , Summa Quadratorum , 
( PK 2 2- PL 4, ) dabitur. Si Q* — 3 QR data fit Quantitas , Sum- 
ma Cuborum (PK exé. - PL cw.) dabitur: Si Q* — 4QQR 
-- 2RR data fit Quantitas; Summa Quadrato-quadratorum ( PK 4 2: 
4-PL44) dabitur; Ef fic deinceps.in infinitum. Efficiatur itaque 
ut R, Q, QQ—2R, Q3—3QR,. &c. datx fint. Quanti. 
tates ,, &.Problema.folvetur., Q.. E.. F.. 


Ad:eundény medum; Curve ihveniti poffünt, qua triá , vel plura: 
abfcindent. Segmenta ,. fimilés proprietates. habentia. Sit JEquatio. 
jJ Qj R44. Seo, ubi Q,R, & S, Quantitates fignifi-. 
cant ex Quantitatibus quibufcunque: datis ,.& Quantitate x utcun- 

' que conftantes , & Curva abícindet. Segmerita. tria... Et fi S data fit 
Quantitas contentum Solidorum illorum trium. dabitur. Si Q fit. 
Quantitas data Summa trium illorum dabitur. Si QQ — 2R fit data. 
Quantitas, Summa Quadratorum ex. tribus illis dabitur. . 


OPU:; 


Digitized by Google 





DE RATIONE TEMPORIS óc — i9: 
192209:9280:0309:0260/20: 1: :0280/0306/:0320:022€ 
OPUSCULUM VI. 
.ART. IL 


De Ratione Te emporis quo Grave labitur per Reclam 
data duo Puntta conjungentem ad T empus breviffi- 
mum, quo; vi Gravitatis, tranfit. ab borum une 
«d alterum per. drcum Cycloidis. 


"THEOREM A. 


I(CFzg.5. hujus Opufculi) i» Cycloide A VD, vwj«s Bafis AD "TrantPhi- 
€f. Horizonti parallela, "Vertice XN. deorfum. fgettamte , ex A JC ent 
ducatur. utcunque -Reifa A B Cycloidi occurrens. io B, ex quo dW- Anniógn. 
catur. Recfa B C Curve Cycloidis BD i» B»ormalis , 4d quam.ex A BEA 
demittatur perpendicularis Reda AC. Dico Tempus , quo Greve )PE 
quiete cadens ex A, vi fue Gravitatis, decurrit Reclam AB, eff 
jd Tempus , quo percurrit Curuam AN B, fieut Recta. AB ad; Re- 
«m AC. 
Per B ducatur BL parallla Cyeleidis Axi V E; & BK, Bai, 
:À D parallella occurrens Axi in G,. &,. Circulo fuper Diametrum 
EV defcripto, in F & H; 'Cyeleidi denique in K. Ducatur Reda 
EF, que, ex Cyeloiis naturá, parallela eft Rete BC. Unde BM 
,eft equalis EF, & EM equalis BF; que, propter Cye/eidem , 
wquatur Àrcui VF; & proinde A M eft equalis Arcui EH V F. 
Per Prop XXV. .Part.IL Horobgii Ofcillererii Huozntt, 
"Tempus, quo Grave é quiete cadens percurrit A V, eft ad Tem- 
pus Cafüs per E V, ut Semicircumferentia ad Diametrum ; & , per 
di&x Partis Propofitionem ultimam, Tempus, quo Grave percur- 
-rit V B, poft decurfam A V, ( nempe zquale Tempori, quo Gra- 
ve percurrit K V, poft decurfam AK, ) eft ad Tempus Lapfüs 
per AV, ficut Arcus V F ad femicircumferentiam; adeóque ad 
J Oo a2 Tempus 


292 OPUSCULUM VI 


Tempus Cafüs per EV, ficut FV ad Diametrum, Quare Tem. 
pus, quo Grave percurrit Curvam. A VB, eft ad Tempus Cafüs 
per EV, ficut Arcus EHV F, ad Diametrum EV. Sed, Tempus 
Cafüs per E V,eít ad Tempus Cafus per L B, (five EG, ) ficut 
E V ad EF. Igitur, ex zquo, Tempus, quo Grave percurrit 
AVB, eít ad Tempus Cafüs per L B, ficut Arcus EH V F ad Sub- 
tenfam EF; hoc eft ut Recta A M,ad Rectam MB. Rurfus , Tempus 
Cafüs per LB eít ad Tempus Lapfüs per AB, ut L B ad AB. Er- 
go. Ratio Temporis, quo Grave percurrit AVB, ad Tem- 
pus, quo percurrit AB, — componitur ex Ratione AM ad MB, 
& Ratione LB ad BA ; adeóque zqualis eft Rationi A Mx L B. ad 
MBxBA. Sed AMX LB eft equale MB.x AC; quia utrum-. 
que: zquatur. duplo. Trianguli A BM... Et. igitur, Tempus, quo 
Grave é quiete cadens percurrit Curvam. Cyc/eidjs A VB, eft ad 
Tempus, quo. percurrit Redam: AB, fict MBXx. AC, ad MB. 
XBA; id eft, fict ACad AB. Q. E. D. 

Similitérque. procedet. Demonftratio, fi Pundum. E;, fit inter 
A & V. 


Z2 





OQ.PUS. 


[ 295 ] 


"OPUSCULUM VII. 


PROBLEMATIS 


Oli ia. Adis Eruditorum Lipfiz propofiti- 
SOLUTIO GENEKALIS 


N 2drlis Eruditorum pro- menfe Ocfobri Anni 1698 pag. 47T: Trag 
D. Jobannes Bak mov rrtvs-hzc.fcripfit. Methodum , quam Phi/f. 
optaveram generalem fecandi- Curvas ordinatim pofitione datas, five Xo Fen 
algebraicas, five: tranfcendentales, in- Angulo tedo,. five obliquo-, & Mart. 
invariabili, five:datà lege variabili. tandem: ex. voto erui:. cui , bis 5» 

LzinNiTIO approbatore,. ne 0 addi poteft ad ulteriorem per- 
fectionem, & vel ideo tantàm quód perpetuó ad JEquationem dedu- 
cat: in quá fi interdum indeterminatz funt. infeparabiles,. Methodus 
non ideo ímperfecior eft, non enim hujus:íed alius e& Methodi 
indeterminatas. féparare: Rogamus igitar Fratrem ut velit faas quo- ^ 
que. vires exercere in re tanti momenti. Sufcepti laboris non poeni- 
tebit, fi. felix. fucceffus fru&ü jucundo compenfaverit. Scio relidu- 
rum fuum; quem nunc fovet, modum; qui in pauciffimis tantüm 
exemplis adhiberi poteft. 

Hi tres Viri. Celeberrimi fefe, jàm ab annis quatuor vel quin-. 
que, circiter,. in: folvendis hujufmodi Problematibus exercuerant.. 
Abíque fpiritu divinandi eandem Solutionem cum Bersowlliand tra-- 
dere difficile fuerit: Sufficit quód Solutio fequens fit generalis, &- 
ad. JEquationem femper deducat. . 


294 OPUSCUL*UM VIL 
| PROBLEMA 


Quaritur. Methodus. generalis. inveniendi Seriem. Curvarum, qua 
Curvas in Serie alid quácumque datá. conffitutas , ad. Adngu- 
Jum , vel datum, vel datd lege variabilem fecabunt. 


Sorvrro. 


Natura Curvarum fecandarum dat Tangentes earundem ad inter- 
fe&ionum Punda.quecunque: & Anguli interfedionum dant Per- 
pendicula Curvarum fecantium ; & Perpendicula duo coeuntia, per 
concurfum füum-ultimum, dant. Centrum Curvaminis Curve fecan- 
tis ad Punctum interfedionis.cujufcunque. Ducatur Abfciffa in fitu 
quocumque commodo , & fit .ejus Fluxio Unitas; & pofitio Per- 
pendiculi dabit Fluxionem primam -Ordinate ad .Curvam -quefitam 
pertinentis; & Curvamen hujus Curva dabit Fluxionem. fecundam 
ejufdem Ordinatz. Et fic Problema femper deduceturad JEquatio- 
;nes. Quod erat faciendum. ! 


SCHOLIUM 


Non hujus,:fed alius eft Methodi JEquationes :reducere, & 
indeterminatas feparare , abfolutà, fi fieri poffit, fin minus, 
per Series infinitas, Problema hocce, cum nullius fere fit. ufüs , 
An 24i Erwditorum. annos plures neglectum & infolutum man- 
(fit Et eàdem de caufà Solutionem ejus non ulteriüs profequor. 


. ::QPUSCDU- 


OPUSCULA VIII. IX. 
E X CERPTA 


EX EPISTOLIS 


4 OU Y 


ISAACI NEWTONI 
Cm 
AD EUM. SPECTANTIBUS 
Editis in 
GOMMERCIO EPLSTOLARI. 
CoLLINsII &c. 


oOPUSCU- 


Digitted by Google 





[ 257 ] 


8656555528/8030365658 


OPUSCULUM VIII. 
EXCERPTUM EX EPISTOLA 


ISAACI NEWTONI 
AD 
COLLINSIUM 

AA. D. 190. Decemb. Ann. 1672. 


X animo gaudeo D. Banovi amici noftri Reverendi ;Lec- Com, 

tiones Mathematicis exteris adeó -placuiffe, ineque. pamm qme. ipit fe. 
juxat intelligere cos (. Srvsiy M &.GagooxtzuM ] in eandem: px 
mecum incidiffe ducendi Tangentes TMethodum. Quilem eam effe & [M 
conjiciam ex hoc exemplo pereipies. Pone (,Vide;Figurem büjss XX 
Opsfeuli) CB. Applicatam ad AB in quovis Angulo dato terminari 
ad quamvis Curvam ÀC; & dicatur AB, & BC; habitu- 
dóque inter.x & y exprimatur qualibet /Equatione, puta, x! —2xxy 
TÓxx —bbx 4-633 — y! — o, quà ipfà determinatur Curva. 
Regula ducendi Tangentem -hec eft; multiplica JEquationis Termj- 
nos per quamlibet Progreffionem arithmeticam juxta Dimenfiones 
PH pua x — aep bna —bbx *ip—r » ut'& juxta Di 


 menfiones. x, pata, "m ani bes lbs *uy — . 


Prius Produ&um erit "Numerator & polterius , divifum p per.x, De 
nominator Fradionis, quz exprimet Longitudinem BD, ad cujus 
extremitatem D ducenda eft Tangens CD :, eft ergo Longino BD 
—— Lxx) d 2by — 3»* 

3xx — Ax -1- 2bx — Lb . 

Jf. Newtei Opuféula Tom. 1. Tp Hoc 


298 OPUSCULUM VIII. 


Hoc eft unum particulare, vel Corollarium potiüs: Methodi ge- 
neralis, quz extendit fe, citra moleftum ullum Calculum, non mo- 
dó ad ducendum Tangentes ad quafvis Curvas, five Geometricas , 
five Mechanicas, vel quomodocunque rectas Lineas, aliáfve Curvas 
refpicientes ; veràm etiam ad refolvendum alia abítrufiora Proble- 
matum genera de Curvitatibus , Areis, Longitudinibus, Centris Gra- 
vitatis Curvarum, &c. Neque, ( quemadmodum Huppzwi1: Me- 
thodus de Maximis, & Mininns , ) ad folas rcfuringitur JEquatio- 
nes illas, que Quantitatibus furdis funt immunes. 


Hanc Methodum intertexui alteri ifti, quà JEquatiomum Exege- 
fin inftituo, reducendo eas ad Series infinitas. Memini me ex oo. 
cafione aliquando. narráffe D. BAR Rovio, edendis Ledionibus 
Íuis occupato , inftru&um me effe hujufmodi Methodo Tangentes 
ducendi: Sed neício qua diverticulo ab eà ipfi defcribendà fuerim 
&YOCatUs. 


Srvsi1 Methodum Tangentes ducendi brevi publicé proditu- 


ram confido: quamprimüm advenerit, exemplar ejus ad me tranfmit- 
tere ne grave ducas. 


OPUS 


( 299 ) 


e. 
OPUSCULUM IX. 
ART. L 
EXCERPTUM 
Ex Epiftolà OrpzwsuRcir ad Srusium. 
1n quà continetur 
PARS EPISTOL.£ 
A35 
ISAACO NEWTONO 
A D 


Eundem OrprzMBURGIUM datz. 
A. D. 10. Julii 1673. 


N tibi, Vir illuftriffime, ámpreffum modum tuum demonf. ibidem 
trandi Methodum tuam ducendi Tangentes ad quafübot.Cur- Nos — 
vas, quemadmodum poftremis tuis litteris eum mihi communica- XXix 
veras: fübticui viri nomen, offenfionis evitandi caufà. fcripfit mi- 
hi D. NzwroNvus in hanc fententiam. 

Ex priori tuà Epiftolà fubdubitabam, exiftimarétne celeberrimus 
Srvsius per ea, quz ipfi de me fcripferas, me mihi tribuere 
Methodum ipfius ducendi Tangentes ; donec intelligerem à D. 

Pp a Cor 


lbidem 
pag 117. 


um. 
XxXXY. 


e OPUSCULUM IX 


Corrixsi0, te ipfi fignificaffe , eam, ex opinione tul, feris blc 
inventam fuife. Tibi quippe videtur, eam D. Sr vsso perfpectam 
fuiffe aliquot annis priufquàm ederet Mefolabum fuum, proindéque 
antequàm ego cam intelligerem: At, fi res fecus fe haberet, cüm 
tamen eam primus communicaverit Amicis fuis & litterato Orbi , 
jure merito ipfi debetur. Quoad Methodos illas, ezdem funt, 
quanquam, crediderim, ex principiis diverfis derivate. —Nefcio ta- 
men num ipfius principia eam largiantur adeó generalem ac mea; 
que ad. /Equationes Terminis furdis affectas fe extendunt, abfque 
eorum ad aliam formam Redudione. 
Hzc ille. quz in. bonam partem à te acceptum iti confido. 





& R T. II. 
EXCERPTUM 
Ex Epiftolà Lziswiri: ad OrpzwsURGrIUM 


A D. 30. Martit An. 1675 


Cribis. clàriffgm Nx wrowvm vefttum habere Methodum 

exhibendi Quadraturas omnes ,. omniüimque curyarum Super- 
ficierum & Solidorum ex. revolütione genitorum, Diinenfiones, & 
Centrorum Gravitatis inventiones,. per appropinquationes. fcilicet ,. 
ita enim interpretor. Quz Methodus fi eft univerfalis & commoda, 
meretur. zítimari ; nec. dubito fore ingeniofiffino Audore. dignam. 
Addis tale quid Ga x6 onro innotuiffe.. 


ART. 


Caso je , 
328800280/02000:02100/02800/0250€/02 000" 
! ART. III 


EXCERPTUM 


Ex Epiftoh Orpzmsuncir: ad LriswiriuM, qui fuperiori 
refpondetur.. 


A. Di. 15. Aprilis An. 1675. 


- Corrriwsius, premiffà falute, quae fequuntur remittit.. 
|, Primo Clariffnum Gazconriux in poftremà fuá ad Tl. Yoidem- 
lutem Hverx1vatrefponfione ,. Seriem. fuppeditáffe ad. Semicir- "1 Mom. 
cumferentiam Circuli inveniendam , . quz talis. - XXXVE: 
Pone Radium —cr; dimidium Latus Quadrati"infcripti Circulo 
zd, & Differentiam- inter. Radium. &. Latus Quadrati.—s e.,; 
Semicircumferentia . equalis eft. 


ad— £— £5— — Ln LOU &c.- 

3 god  qi6di 1134004  — 74844ood'! 
ià infinitum;:quz Series adeó  produci- poteft; ut à . Semicircumfe- 
rentià minüs differat, quam ulla Quantitas affignabilis. 

Editum hoc fuità D/ Ga £6on10. poftquam D. Mz x'caron1s 
Logarithmotechnia jam extabat , que; quàm-primüm viderat lucem, - 
ad.D. BanRovium.à me fuit tranfmifa ; qui.obfervato in eà 
infinite Seriei.ufuü.ad Logarithmos conítruendos; refcribebat Me- 
thodum illim jam.aliquandiü:excogitatam füiffe à' Succeffore fuo. 
Nzwrosxo, omnibüíque.Curvis, earámque portionibus geome- 
tricis, quà ac-meclianicis ,  univerfim . applicatam, .cujüs rei fpé- 
cimina quedam fübjécit, videlicet. 

' Pofità pro Radio Uriitate; datóque x'pro Siriu, ad inveniendum x. 
i — Aq 3 xy. Üí3ay.p3 
Arcum Series luec efte, — x 4- e tat ni* ti x 
x? &c.ininfnitum. Et, extradà Radice hujus /Equationis , Me: 
' Pp. 3. tho-- 


lum. XL. 


3e2 .OPUSCULUM IX 
thodo fymbolicá, fi mE £ pro Arcu, ad inveniendum x Sinum 
—lL Mog og 

Series hzc eft x — z ridi tus" $o4o * T senio 
z? — &c.. Atque hzc feris facilé continuatur in infinitum. Prioris 
beneficio ex Sinu triginta Graduum Ceur Nit: numeri facilé ftru- 
untur. &c. 

- Confimilter, fi ponas Radium R, & B Sinum Arcis: Zona (vi- 
de Figuram bujur Opuféuii ), inter Diametrum & Chordam illi pa- 


m B: .BBOoOo00aB UU 
rallelam eft — aRB — —a20R* 6x! S7 R! — i4o08k? 
——, &c. Atque eadem ius. mutatis fignis Termini fecundi , 


quar, & fexti, &c., infervit affignandae Ane zon zquilaterisI Hy- 
perbole, videlicet AFGB — 2RB 4- A Pu T LT 


SB zB" 
77 $6RI * iL Mos — & 





ART. IV 
.EXCERPTUM 


Ex Epiftoà OripzwsUnci: ad LrismiTiUM 
] . A. D. 24. Junii 1675. 


Yoidem . 
", OninssNawTORUS, beneficio Logarithmorum gradua- 
torum in Scalis grage^A4Au locandis ad diftantias zquales , 
vel Circulorum concentricorum eo modo graduatorum adminiculo, 
invenit Radices JEquationnm. — Tres Regule rem conficiunt pro 
Cubicis, quatuor pro Biquadraticis — In harum difpofitione refpec- 
. tivi Coeffigientes omnes jacent in eádem Lineà re&á ;j-à cujus Punc- 
to tam remotoà primá Regulá ac Scale graduate íupt ab invicem, 
Linea reda iis fuperextenditur » mgà cum prafcriptis conformibus 
genio JEquationis , quà in Regularum unà datur Poteftas pura Rae 

"icis quaft, 

ART. V. 





EXGERPTUM 


Ex Epiftolà Lr15N1T11ad OrpzMBURGIUM 


Parifüs. A. D. 12. Maii 1676. - 


Un Georgie; Moux Dass, in Geometrik & Analyfi ver« 
fatiffmus , nobis attulerit communicatam fibi à Do&iffimo 
UorriNsro veftro expreífionem Relationis inter Arcum & Sinugy 
per infinitas Series fequentes : 
Pofito Sinu —x, Arcu — x, Radio — r. 


a—eBr EGRE x E s^, Ec 


— dow.g*gnoLg.s x? 
Pini etu Eo * geni (8e 


Hxc, * inquam, cim nobis attulerit ifle, qua mihi valde in- 
ieniofa videntur, &.pofterior inprimis Series elegantiam quandam 
fingularem habeat, ideo rem gratam mihi feceris, Vir Clariffime , 





& Demonftrationem tranfmiferis, . Oro, ut Clarifimo Cor. 
LixsiO mulam i me fülutem dica: is facilà tibi materiam fup. — 


* He Series Na worow i: fünt. Vide Articulum faperiorem » & Oi Fi 
Rojos ks & ratio inveniendorum Cocfficientium., qua infra traditur tm Nevio- 
miena cít. Opufc. L pag. a3. hujus. 


OPUS. 


304 OPUSCULUM IX. 





OPUSCULUM IX - 
ART VI 
EXCERPTUM 
Ex Epiftolà Corzvixsi: ad Or pExsuRGIUM, qui füperiodi 
refpondetur. 
A. D. 14. Jariii 1676 


EsronpzAs, fi placet, ad ea que querit D. Leiswi1TIUS 
in Litteris ejus 12 Maii datis, Seriei prime numeros Coefü. 


Ibidem 

pPpiiÓ. gente -L. 2.0 $2. 3$. IXI 

e cientes — 6€'3o' int nugz .hoc .modo .compofitos effe , 2x3 
—-L I4X3..3 &gOk«£X$...$  &g $427X7 

mM DU CC am &aa $xp 
— 43$ 9X9 


iia UT CUM Atque ita deinceps. in infini- 
tum : unde intelligi poffit Seriem , elegantià minimé 'eedere 
sonverfe ejufdem , quz tamen illi magis arridet. Meditata ejus de 
eodem Argumento, cüm fundamentis .plané diverfis inpitantur , 
non poffunt nobis non effe acceptiflima ; atque exoptanaus « .ea fidem 
noftram exfuperare poffe. Hujus autem. Methodi. ea,eft praítantia, 
Jut, cüm tam latà pateat, ad nullam hzreat difficultatem. — Ga E- 
GonRIUM autem aliófque in cà fuiffe opinione arbitror, ut quic» 
quid ufpiam antea de hac re innotuit , quafi dubia diluculi lux füit, 
;fi cum meridianá claritate conferatur. 


OPUS 


OPUSCULUM X. 


ISAACI NEWTONI 
EPISTOLA PRIOR 


A D 
OLDEMBURGIUN 


Edita in Cowwgn cro ErisTOL1co. &c. 


. Tr Neowsi Opufinla, Tom. 1 Qd 


Digitized » Google 





C 307 ) 


tdorkz tho da co a d o o cao do kc to a, So o oda tz oos ha Glosa 
ZHIHIHIHUIEREHIE EUCH OE EE HCE GU IHUE TEE E GEDETEEDEHIRUNUE 
TCR AUS ORIS CPC WEGE AUC VS URS "ISQISUETUNSUR. UXSUIS CY UMEN UND 


.GPUSCULUM X. 


Epiflola prior Ysxac1 Nzwrowt AMatbeftos Pro. 
fefforis im. Celeberrimá. dcademiá. Cam v ABR1- 
GIENS1; 4d HENRICUM OLDEMBURGIUM, 
Rqalis SocigrA TIS Lowpiwrt ÓBteretartum 5 
13. unii 1676. cum Ilufiriffmó Viro Gonoruz- 
no GuirizLMOo LriswiTi10 (00 mediante ) 
ommunicauda. Literis O vp was o11, (26. fu- 
Bii) ad Lzisxi1TIUM mia. : 


Uanquam D. LreiswiTi1 modeftia, in Excerptis, que ex 

Epiftolà ejus ad me nuper mifiti, Noftratibus multüm tri- 
buat circa fpeculationem quandam l»wfmiterwm Serierum , de quà 
jam cepit effe rumor; nullus dubito tamen, quin ílle, non tan- 
tàm, (quod afferit, ) Methodum reducendi Quantitates quafcun- 
que in ejufmodi Series, fed & varia Cempendia, fort? noftris fimi- 
lia, fi non & meliora , adinvenerit. 

Quoniam tamen ea fcire pervelit, qux ab Ánglis hac in re in- 
venta funt, & ipfe ante annos aliquot in hanc Speculstionem inci- 
derim ; ut votis ejus aliquà faltem ex parte fatisfacerem , nonnulla 
eorum, qua mihi occurrerunt , ad te tranfmifi. 

Fractiones in infinitas Series reducuntur per Divifionem; & Quan- 
titates Radicales per Extractionem Radicum: perinde inftituendo O- 
perationes iftas in Speciebus, acinftitui folent in Decimalibus Nu- 
meris. Hzc funt Fundamenta harum. Reductionum. 

Sed Extradiones Radicum multüm abbreviantur per hoc T/srema. 


Qq 2 P 


Comm. 

Epift Sc- 
cun. Edit. 
pag. 131. 


um. 
XLVIH. 





308 OPUSCULUM X. 





. RH]T —-REeÓ AGE tho rta —cQ 


2u 
T UM DQ 4 &c. 


Ubi P-4-P'Q. fignificat Quantitatem, cujus Radix, vel etiam 
Dimenfio quavis, vel Radix Dimenfionis, invefüganda eft P, 
primum Terminum Quantitatis ejus ; Q reliquos 'ferminos diviíos 


per primum. Et -*. numeralem. Indicem Dimenfionis ipfius P 4- 


PQ; five Dimenfio- ila ft integra ; five, (ut ita loquar, ) fraia ; 
five affirmativa, five negativa, Nam, ficut Analyftx, pro 44, 
444, &c. Ícribere folent hi " ^ » &c.fic ego, Je Va.va, 


vCS. Kc fuibo €, 4^, 4 & po, -L, , fuibo 


44! aaa? 


—z1 7a 773 
4 4 .« . De Ph erp fcribo. 


ab 
3X bi ;& I ü 
4AXaubbx| — pro e TEWOG T fcribo 


4abxa € bbxV ; lh quo ultimo cafü, fi 45 E727 

* concipiatur efe EEPQ|s » in Regulà: erit P—4^, Q.— 

3)———2,& » — 3. Denique, Bo Terminis inter operandum 

inventis im Quoto, ufurpo A, B, C, D, &c. Nempe A pra 

primo Termino P7; B pro fecundo ^ AQ; & üc deinceps. 
Ceterüm pfus Regule patebit Exemplis. 


ExrzMPLUM L 


"A 





- 


x* 


Et Viens, (i Ru). eI. . 3&7 
— T —&e Nam, in hoc cafu, eft P —ec; 


Q—T ur; ;5—a; A(—Pr mesgB 


cc? 
m 


n 


EPIST. NEWTONI 4D OLDENBURGIUM. 305 


7" AQ) — S5; C (— "LI B9) m LU E ficdeis- 
ceps. 





ExszMPLUM IL 


Et (TTL. ( ideft, c GC) L——ec(4 
ee —Ereba o cm —áds &c.. Ut patebit fubfti- 
tuendo im allatam Regulam, r pro », $ pro », c pro P, & 
EIE pro Q. Poteft etiam — x fubítitui pro P, & 7 eh rd 


c tege 





: pro Q;; & tunc evadet f & 4p c*x — x* — — x d- 
pietate po reU ps 
Prior modus eligendus eft, fi x valde parvum &; pofíterior , fi 
.valde magnum. 
! ExEMPLUM IIL 





(ER EE z^ (hoc et, NISI D—Nx 
t5 "ri TÉc Nam, Py; Qo —77*; 

3x —3 —l - 
3———1i;n—23; A(—Px m) Te , hoc 
eB AQ — Xx x—D—3 ; &c. 


ExzMrPrum IV. 
Radix cubica ex Quadrato - Quadrato ipfius d-Fe , (oc eft; 
P$ ead E 2:6. 42 Lic. Nan, P4; 
9d 8rd? 
^ n 
Q—74 m——4;5—5;À (Pu) &c: 
Qq 3 Exszmw 


ire OPUSCULUM X. 
. Exrm? " um V 

Eodem modo fimplices etiam Poteftates eliciantur. Ut, fi Qua- 
drato-cubus ipfius -1-e, ( hoc eft, d-pz|! , feu 24-4!) defide- 
retur: erit, juxta Regulam , P —4; Qm &8s— 
Adeóque A(C—P) —duB(— z AQ) — $4*e; & fic 
C — 102! ee; D— 10dde' ; E— $de*; F2—6; & G(— 
UaSCEQ)-—o, Hoc eft, dd —44 $4*e -- 10d) ec 
4T 10dde! 4- sde* 4- e*. 

ExgMPer1tvM VL 

Quinetiam Divifio, (five fimplex fii 5 t, five repetita, ) per eam- 
dem Regulam perfidtur. Ut, fi dps 0e et,4p4d 5 
five p4 3) in Seriem iplum Terminorum refolvendum 


fit: Erit, juxta Regulam, P—4; Q— fi mc — 1j 


m —4À —. 
n—i; & A(P» —d4 7)—d 


"us 
——— (xx fm i p-—5 
AQ— IXCRMXq— ;;9*4606—5 ;D— $c 
X4. 4t. f. ! 
&e. Hoc et, 1 27 iit "dui » 
ExzuPrLvx VIL : 


Sic& 3x4 ^, (hoc eft, Unitas ter divifa per. --e, vd | 


femel per Cubum ejus, ) evadit ^, — P t e— D dr &c. 


EPIST. NEWTONI 4D OLDEMBURGIUM. — 31x 


Ex RMPLUM VIII. 


Et Nx d-xpd-— * , ( hoc eft, N divifum per Radicem cubicam 
iplius d-- e) evadit Nx I, — 5. 4 268 14 
Pob s gud 


A ExznmPrrivuxm IX 


Et Nx 443- T5. hoc eft, N divifum per Radicem Quadrato- 
, - N 
Cubicam ex Cubo ipfius d -- e, five TTTGUDPGuUT 


. LI 
evadit Nx L, — 35 -p Ht* 36. pc 
d? $4? 25d* 1254 

Per eandem Regulam Genefes Poteftatum, Divifiones per Poteí- 
tates, aut per Quantitates radicales, & Extradiones Radicum al- 
tiorum im Numeris etiam. commodé inftituuntur. 

Extradiones Radicum JEquationum affedtarumr in.Speciebus imi- 
tantur earum Extradionem in Numeris; Sed Methodus VigT zx, 
& OvenTzEDi noftri huic negotio minüs idonea eft: Quaprop- 
ter aliam excogitare adactus.fum , cujus fpecimen exhibent fequentia 
Diagrammata. "Ubi dextra Columna prodit fübftituendo in medik 
Columnà Valores 7; p; 4; r; &c. in finiftrà Columná expreffos. 

Piius Diagramma exhibet Refolutionem hujus numeralis /Equa- 
tionis j^— 2y— $ ——0.. Et hic in füpremis Numeris Pars ne- 
gativa Radicis, fübducta de Parte affirmativà, relinquit abfolutam. 
Radicem 2, 09445 148. . 

Et pofterius Diagramma exhibet Refolutionem hujus litterari 
JEquationis y! -4- 4x  -- 44 y —— x* — 24^ —o. 

M 





312 OPUSCULUM X 





y—2:)7—3 Ld 2, 16000000 &c. 









9,001 4-6, 


034-6, 3427 4^ 
T 6H, o54- 1, 2 


2-6, 









—0, 9054 r ——24 









$342 H- 0, 0001837 — 0, o6$ - 
Harni$4—o, 060642 -- 11, 23 
H- 0, o61 0, o61 








9, 00905416 4- 11, 162r 






- 0,00004852-Hr— 


TE 


EPIST. NEWTONI AD OLDEMBURGIUM. .315 


, ox! aai — Geo xx QI3Ix! y $o9x* 
J' raxyd-aey —n n —o 4— eas  qr242 C163 84a 1638445? 8. 





4^ d 349 - 314p P" 
T 44x H-axp . d 








T 2 avr — lent 3444 
—0beng 


— 44x J- 4444 
T- «ax 


—-L ax: 3100 
Tae 2 4x) 128" 40964 ^" $124a 163844" 





15x* qQ- Rn $o9x* 





^ Newoni Opuféula , Tom. 1 Rr In 





3. OPUSCULUM X 


In priori Diagrammate , primus Terminus Valoris ipforum? ; p^ 
in prim Columná, invenitur dividendo primum Terminum Sum- 
mz proximé fuperioris, per Coefficientem fecundi Termini ejufdem 
Summe, (ut — 1 per 10, aut 9, o&1 per 11, 23,) & mutando 


: : fignum Qnoti. 


Et idem Terminus eodem feré modo invenitur in fecundo Dia- 
grammate, Sed hlc precipua difficultas eft in inventione primi Ter- 
miniRadicis Id quod Methodo generali perficitur: fed hoc , bre- 
vitatis gratià, jam praetereo; ut & alia quedam, quz ad concin- 
nandam Operstionem fpectant: neque enim hic compendia tradere 
vacat. Sed dicam tantüm in genere , Quód Radix cujufvis /Equa- 
tionis femel extracta, pro Regulà refolvendi confimiles /Equationes 
affervari poffit: quódque ex pluribus ejufmodi Regulis, Regulam 
generaliorem. plerumque efformare liceat; & quód Radices omnes, 
five fimplices fint, five affe&z , modis infinitis extrahi poffint; de 
quorum fimplicioribus itaque femper confulendum eft. 

Quomodo ex /Equationibus , fic ad infinitas Series redudiis , 
Arez, & Longitudines Curvarum, Contenta, & Superficies Solido- 
rum, vel quorumlibet Segmentorum Figurarum quarumvis , eorüm- 
que Centra Gravitatis determinantur; & quomodo etiam Curve om- 
nes mechanice ad ejufmodi JEquationes infinitarum Serierum re- 
duci poffint , indéque Problemata circa illas refolvi, perinde ac fi 
geometricz effent ; nimis longum foret defcribere ; fufficia fpecimina 
quzdam talium Problematum recenfuiffe: Inque iis, brevitatis gra- 
tià, litteras A; B; C; D, &c. pro Terminis Seriei , ficut fub ini- 
tio, nonnunquam wfürpabo. 


ExsmrrtuxL 
Si ex dato Sinu redo, vel Sinu. verfo, Arcus defideretur : Sic 
Radius — r, & Sinus rectus zx. Erítque Arcus —-iI 
ED Pg &c,hocet, omae DEUS A L2XIen 


Aor 1a 2X3Xrr ^ 4X5rT 
AXtvx "x íX7** - 
tS Ot aae Di&. 


Ne, 


.EPIST. NEWTONI 4D OLDEMPBURGIUM sig 
Vel, fit 4 Diameter, ac x Sinus verfus; 6k erit Arcus equalis 
Li , H 


Li 
dixt.-S35q— SE p; &co; hoo et, — Via im 
6d* 


40od*  riadt 
* 3xx $x 
Ux taa 11243? &c. 
Si viciflim , ex dato Zreu defideretur Simus : Sit Radius — r & 
2 n 
" Arcus — 2; eritque Sinus redus ——£ — —— ip 


6rr * 120r* 
? ,» 
— T gengo* 7) Rei hoceft, — s — iO it x 











$o4or mom em 
LE] . " —22 X Li 
B— em C —; &c.. Et Sinus verfus — as as T jaor. 
A . . AA 00055 AR 
353297 Ti Ec j hoceft — 3X4m $Xérr 


ExzMrPrLvxM IL 


Si rens capiendus fi im. vatione datd. ad alium. Arcum: Eito 
"Diameter -—— d, Chorda Arcüs dati —— x, & Arcus quafitus ad 
Arcum illum datum, ut » ad 1; Erítque Arcüs quafiti Chorda 


— l-—nn 9—nn 2$ —nn 
habia rrr heir rrr ai i xri xxC4- 


49—*» $r—»5» . 
8Xx9dd xxD-r lox1144 " * E-; &c 


Ubi anota, quód, cüm s eft Numerus impar, Series definet effe 


infinita, & eyadet eadem qux prodit per vulgarem Algebram, ad 
smultiplicandum datum Angulum per iftum Numerum ». 





ExzxrPLüUM IIL 


: Sin Axealterutro ( Fjg.1.) ABEllipfeos ABD, ( cujus Centrum C, TAR.T. 
& Axisalter D H, ) detur Punctum aliquod E, circa quod Recta EG 
occurrens Éllipfi in G, motu apgulari feratur ; &. ex datà Ared 
Sectoris elliptici BEG, queratur Reda GF, que à Pundo G ad 

Rr Axem 


316 OPUSCULUM X. 
'' Axemnormaliter demittitur: Etto BC—4; DC—r; EB—:; 
ac duplum Aree BEG— 2; & erit GF —-- 2— sis 2! 


LI 9L us 289)" E goagi — n2ggit cs 4p; &c Sic 


120r*; reo 


$ 
iraque aftronomicum illud K x PL z &1 Problema refolvi poteft. 
In eádem Ellipfi, fi ftatuantuyn CD.— r; cil L— €; &CF 


: Cn 
z—x; erit Arcus ellipticus DG 

do r 5 r 2 & . oorr. : 

ta * Tori * Hr d * no E tee 


r I Kk 
T^C4o4 C7 ad; ^ oam 7 aas 
I |I 3 
* nac t 48r * * 
5 5. 
Iljzc*- 3sarc? 


Hic. mamerales. Caefficientes füpremorum Terminorum G FL 
m ; &c ) fünt in mufici Progreffione. Et numerales Coefficien- 
tes omnium. inferiorum in unaquáque Columná prodeunt multipli- 
«ando. continuó. numeralem. Coefficientem fupremi Termini per Ter- 

. . Qia— r1. 15—3 Ím—5$5.l15- 7. 
minos hujus Progreflionis z Qm rd m uid 
e 5, &c. Ubi » fignificat Numerum Dimenfionum ipíius c in 


Denominatore iftius fupremi Termini. Ex.gr.ut Terminorum ia- 





T : 1 " 
fa zr'vc Numenles Coefficientes inveniantur, pono »— 6, 
; Lj i 1 Hi "EZ mE 
ue: — , (numeralem. Coefficientem ipfius —— , )in -——.; 
sducóque 7 4 ( aseÀ 0 


D re Ec x Coeffns - 
Aoc eft, in r5 f prodit 77, numeralis, Cocfficiens Termini pro- 
: xim 


EPIST. NEW TONI 4D OLDEMBURGIUM. 5:7 
xímé inferioris: Dein duco. hunc a in p five in Ln ; 
hoc eft, in 3-; & prodit 3 aumeralis Coeffidiens tertii Termini 
imn ifà Columná Atque ita ixPt aat , mumeralem 
£*— 7 git —— 

3 facit agre? ume 
ralem: Coefficientem infimi Termini. — Idem: in aliis ad infinitum uf- 
que Columnis praftari poteft. Adeóque valor ipfius. D G per hanc. 


Regulam pro lubitu produci. 
| Ad hac, fi BF. dicatur —— x, fitque r latus redum Ellipícos ; 


& e — 7.5 Erit Arcus ellipticus BG —5 wr xin. 


Coefficientem quarti Termini; & i2 











AB 
T2 —Z T4 — ro. 
H 
3 x 
—AM] qiue üxx 9€ x* -4-30€ 
&r —$e | tÓ€3e| —3e x*g 
[TI Sd —Le : 5 et 
* Aw 
2r — i 


. , o 9r* 

Quare, fi ambitus totius Ellipfeos defideretur ; bifeca CB in F, 
& quere Arcum. DG, per prius Theorema , & Arcum BG per 
pofterius.. 

Si, vice verf, ex dato /frcu. Elliptico DG, quaratur Sinus ejus: 





CF; tum dido CD.—r, EE —e, & Arcu illo DG —; Erit 
MÀ Aog Ll. £i.» 2. | 
CP écc" ^ Yon aane ;&c. 
2B pL, 
*u«* T azonh 
493 
—toea* 


t - $e4x* 
Que: autem de: Ellipi. dida fünt, omnia fácil accommodantur 
Rraà c adi 


31$ OPUSCULUM X. 


ad Hyperbolam, mutatis tantàm fignis iplorum c, & e, ubí funt 
imparium Dimenfionum. 


ExrxrtUM IV 


TARL Preterea, ( Fig. 2.) iit CE Hyperbola, cujus Afymptoti AD, 
AF, redum Angulum FAD conftituant:; & ad AD crigantur ut 
cunque Perpendicula BC, DE, occurrentia Hyperbole in C, & 

E; &AB dir a. 6B ac—5; ám BCED —2; Erit 
ES . y 
BD — LR*LItapt E *onoti&e Ub 
Codfcientes Denominatorum prodeunt multiplicando Terminos hu- 
jus arithmetíce Progreffonis , 1; 2; 3; 4; $; &c. in fe &ón- 
tinuo. 
Et hinc ex Logarithmo dato poteft Nunrerus ci competens in- 
veniri. : 


ExsMPLUAM V. 


TAB. IL — Efto (Fg.3-) VDE Quadrarrix , cujus Vertex eft V, exiften- 
te A Centro, & AE Semi-dizmetro Circuli, ad quem aptatur, & 
Angulo VAE redo: Demiffóque ad A E Perpendiculo quovis DB, 
& a&à Quadratricis Tangente D T. occurtente. Axi ejus AV in T: 
Dic AV —4; & AB —x. 
Ertque BD Dm 5s 
e BD 4 A t pe 3 
EVIIT * ous is 2 LE &e. ; 
L— lE. — Sr — ax ——T—7i 
Bd AVDRerus i» E és ; &c. 
aT 14x foe. 
Er Arcus VD te aoaga* * 8930254* Tits 
Unde viciffim, ex "a PD, vel VT, aut Areà AVDB, Ar- 
cive VD , per Refolutiogeg affedarum Bxuitionum erui poteft x 
fu AB. 
Exzm- 








Digitized » Google 


EPIST. NEWTONI .4D OLDEMBURGIUM. 319 
ExznbPLüvMxM VL 


Efto denique ( Fig.4.) AEB Spharoides revolutione Ellipfeos AEB T ^B. 
circa Axem AB genita, & fecta Planisquatuor, A B per Axem tranfe- - 
unte, DG parallelo AB, CD E perpendiculariter bifecante Axem , 

& FG parallelo CE: fitque Reda CB— 4; CE—v«; CF—»s; 
&FG-—). 1 

Et fphzroideos fegmentum CD GF, didis quatuor Planis com. 
prehenfum , erit 
aey— m7 —au — $a y— Tio? —; &c. 

et xt X00 $88* : Kc. 
773a — igo doch a 336644  ? 
BI MBA" DAN 
77206  4«e  16xM* ? 

cx? sx" NT 
— — ——5 


$64*  — 336ca 
6x 0. 
$76a* * 


Ubi numerales Coefficientes fapremorum Terminorum (2; —5 
bi 
—a5)— 4 EE ; &c) in infinitum producuntur mul- 
tiplicanda primum. Coefficientert 2. continuó per Terminos hujus. 
IXI. ng. axs. PS. 

Progreffionis. axi xp exp ss a, &c. Et numera- 
les Coefficientes Terminorum in nnaquique Columná defcenden- 
tium in infinitum producuntur, multiplicando. continuó Coefficien- 
tem füpremi Termini in primá Columná per eandem Progreífio- 
IXI, 3X3, $X3. 

mem; im fecundà autem per Terminos tuit xs taxi axi! 6x7? 
3x! $X3.7X5. 2x7. 

E &c., in tertiá per Terminos hujus 2 i xe x1)» 


$xt, 7X3. 9X 
&c; j in quar&à per Terminos hujus 5 ixg EXE ;&c.; aM 


320 . OPUSCULUM X 


TX, 9X3. Img. 

tà per Terminos hujus 2g) 9r? 6x7! &c. Et fic. in infinitum. 

.Et eodem modo Segmenta aliorum Solidorum defiguari, & va- 

lores eorum aliquando commod per.Series quafdam numerales in 
"anfinitum produci poffunt. 

Ex his videre eft, quantüm fines Analyfeos "per hujufmodi inf. 
Titae /Equationes ampliantur: Quippe, quz, earum beneficio, ad 
omnia, pené dixerim, Problemata, ( fi numeralia Drornawri, 
3* fimilia excipias, ) fefe extendit. 

Non tamen omninó univerfalis evadit, nifi per ulteriores quaf- 
dam Methodos ciciendi Series infinitas; — Sunt enim quedam  Pro- 
blemata, in quibus non liceat ad Series infinitas per Divifionem , 
vel Extradionem Radicum fimplicium , affedarümve , pervenire. 
Sed quomodo in iftis cafibus procedendum fit , jam non vacat di- 
cere; ut neque alia quedam tradere, quz circa Redudtionem infi- 
fitarum Serierum in finitas, ubi rei Natura tulerit , excogitavi. 
Nam, parciüs fcribe, quàd hz fpeculationes diu mihi faftidio effe 
Czperint, adeo ut ab iifdem jam per quinque feré annos abftinuerim. 

Unum tamen addam: quód poftquàm Problema aliquod ad infi- 
nitam JEquatignem deducitur, poffint inde variz approximationes in 
ufum Mechanicz , nullo feré negotio, formari; quz, per alias Metho- . 
dos quafite, multo labore, temporífque difpendio, conftare folent. 

Cujus rei exemplo effe poffunt Tractatus Huc N11, alioním- 
que de Quadraturá Circuli. Nam, ut ex datà Arcüs Chordá A, 
& dimidii Arcüs Chordà B, Arcum illum proxime affequaris; fin- 
ge Arcum illum effe — c, & Circuli Radium —r; juxtáque, fü- 


periora , erit A( nempé duplum Sinüs dimidii £) — £— im 
T Rukn— ;&c. | 
mL&lLlGE sq L9 e 
ErB— 2 . 2xi6xérr * axiéxiéXizor — &c. 


. Duc jm B i& Numerum fiditium », & à Produdo aufer A, 
na, 

& refidui fecundum Terminum, ( nempà — aec ous 

€o ut evanefcat, pone z-—0; indéque emerget s —5 8 , & erit 

sB 





EPIST. NEWTONI AD OLDEMBURGIUM. | 32x 
* —-— 8B—A. ,. 
8B—A-—3£X*— EE &c., hoc et, 85 s; 
'ermore tantüm exiltente 77, L—; &c., in exceli: Quod eft 
"Theorema -Hyzesianum. . 

Infuper, fi (Fig. 5.) in Arcüs BA Sagità AD indefinit 'pro- T8. qr. 
:du&á , quaratur Pun&üum G, à quo a&z Rede GB, G^, abf- 
*cindant Tangentem Ee quamproximé zqualem Arcui ifti: Eíto Cir- 
culi Centrum C., Diameter. AK —4; & Sagità AD m terit 


1 * . 
DB(—VA——m)Td 4AL E ox, 


z 

Et AE (— AB) oat t p S a - ELM $8 qp. &e. 
6d*  4od* dt 

Et AE— DB: AD:: AE: AG; Quac AG — i4—i 


2xx 
*— imi vel 4-5 &o. 


Finge ergo AG — 3 4— X»; & vicifim eic DG ( 3 
40e DB:: DA: AE— DB. Quare AE— D B 2 


zat an prise Adde DB; & prodit AE— d* xt 


HE a ome m &c. Hoc aufer de valore ipfius AE 
6d* — 4ol* 1200dt 
16xt 


fupra habito, & reftabit eor UC vd —; &c. Qgare, it 
AG, cape AH quinta partim, DÀ, & KG — HC, & adz 
GBE, Gée, abícindent Tangentem pd quamproximé zqualem 
Arcui BA; errore tantüm exittente 77 rn Vdx-4-, vd —; &c. 


multó minore fcilicet, quàm in "Theorematé Huexwik Quod 
fi fiat 7AK: 3AH::DH:»; & capitur K G— CH — », erit 
ertor adhuc multó minor. 


Jf. Neveoni Opuféuia , Tom. Y. $1 Atque 


TAB: IT 


32x OPUSCULUM X 
Atque ita, fi Circuli Segmentum aliquod BA pet Meclianiam. 
defignandum effet: primó reducerem. Aream iftam in Infinitam Se. 
sz E 5 
riem , puta, hanc, B&A— - t 45 yt —z Ex 
. 3 $4t 14d* 36d: 
—; &c. Dein quzrerem Conftruiones mechanicas , quibus hanc: 
Seriem proximé affequerer: cujufiodi funt he: Age Redam AB, 


& erit Segmentum BbA— AB BD xt AD; proximi ; 
exiftente fllicet errore tantüm 7 VZz--; &c. in defedu: Và 
proximiüs , erit Seznentum illud ,. ( bifedo AD in F, & acá Ret 
— 4BF BA, A Diedft i 2L 
BF, )— ie X 4À D; exiftente errore folammodà — 7x 
42x --; &c, qui femper minor erit qim 5 totius. Segmenti, 
etiamfi Segmentum.illud ad' ufqne femicirculim: augeatur: 
Sic , (Fig. 5-) &in Ellipfi BAZ ,, cujus Vertex A,, Axis alteruter AK & 
Ion. PAK--2rAP.—— 
Las reftum. AP; ape PG,— Z AP 4- EC AEX ID: 
n Hyperbolà verb, cape PG— 7 A p, 23 EarAP I, 


. IOAK 
Etadá Redà G BE abícindet Tàngentem. A E quamproximé zqua- 
lem Arcui elliptico,. vel. hyperbolico. A B ;; dummodó. Arcus ille 
non fit nimis magnus. . 

Et pro. Areá Segmenti hyperbolici ( Fi. 6.) BEA ; in D Pape 

T 

MD-— Ux , & ad D,,& M erige Pérpendicula D.8; MN;, 
occurrentia. Semicirculo fuper: Diametro AP defcripto::: erítque 
eA aD B.AK. proximé.:: Vél',. proximiüs ,. erit: 





ar AN-E4A8, — BÁA;, (i modó capütur. D M.— JA UL: 
7 4 AD — 5,im pratur. / 7ÀK. 


Gantabrigie : Juni.13;. 1676.. 
Tüus &c: 
IsAACUS Nie 


PUS- 


OPUSCULA XI à XII. 
IS AA CI 


NEW TONI 
EPISTOLA POSTERIOR . 


A D 
OLDEMBURGIUM 
Edita in 


COMMERCIO EPISTOLICO. 
ET 
EJUSDEM EPISTOLA AD COLLINSIUM 
Edia Lowpi1xi Anno 17:1. 


Digitized » Google | 





C m5 » " - 


KRT. L 
EXCERPTUM 


Ex: x Epiftoli LziswiTir ad OrpsMsUxGi1UM 
CVM 
NEW TONO 
COMMUNICAN:2D A. 
A.D: ar. Augufti 1676; 
CLARISSIMO: VIRO 
Hinrióo: O v ng: wsv.& o vo. Gedofredus. Guilielmsri- 
LErBNITLIUS. 


Titerar twr díe 26: Joli: dàtze,. plüra: ac: miemorabilióra: circa EA Ede. 

rem analyticam continent ,. quàm multa Volumina - fpiffa de his fécund. 
rebus edita.. Quare tibi: pariter: ac.Clariffimis Viris Ng wToNxo NIC 
ac CorLiNs10 gratias. ago, .qui- nos participes. tot meditationum '* 
egregiarum effe voluiftis. 

Inventa: NewTox1: ejus. ingenio digna: funt,. quod: ex Opticis. 
Experimentis & Tubo Cata-dioptrico abunde eluxit. 

Ejüfque Methodus. inveniendi: Radices: JEquationum & Areas Fi-- 
gurarum, . per Series infinitas ;. prorfus: differt à. meá ; ut^ mirari li-- 
beat:diverfitatem itinerum, .per. que eódem pertingere licet. 

Se» Mrnx- 


326 OPUSCULUM XI 


MrncaTon Figuras rationales, feu, in quibus Ordinatarum 
valor ex datis Abfciffis rationaliter exprimi poteft, ( ut fcilicet in- 
determinata Quantitas in Vinculum non ingrediatur, ) quadravit & 
ad infinitas Series reducere docuit per Divifiones; NEgwTomNvus 
autem per Radicum Extraciones Mea Methodus Corollarium 
eft tantüm Dodrinz generalis de Transformationibus; &c.* 

Sed defideraverim, ut Clariffimus N e w v ox vs nonnulla quoque 
ampliüs explicet; ut, originem Theorematis, quod initio ponit ; 
item , modum , quo Quantitates P, 4, r, in fuis Operationibus 
invenit; ac denique, quomodo in Methodo Regreffuum fe gerat ; 
ut, cüm ex Logarithmo quarit Numerum. Neque enim explicat 
quomodo id ex Methodo fu& derivetur. 

Nondum mihi licuit ejus litteras, quà merentur, diligentià lege- 
re; quoniam tibi & veftigio refpondere volui. Unde non fatis nunc 
quidem affirmare aufim, an nonnulla eorum, quz fupprefft, ex 
Íolà earum ledione confequi poffum. Sed optandum tamen foret , 
ipfum ea potiüs fupplere Ng w ToNUM; quia credibile eft non pof- 
fe eura fcribere, quin aliquid femper praeclari nos doceat, Vir ( ut 
apparet, ) egregiarum meditationum plenus. &c. 

Quod dicere videmini, plerafque difficultates, ( exceptis Pro- 
blematibus Diepbasteis, ) ad Series Infinitas reduci; id mihi non 
videtur. Sunt enim multa ufque adeó mira & implexa, ut neque 
ab JEquationibus pendeant, neque ex Quadraturis. Qualia funt; 
C ex multis aliis, ) Problemata Methodi Tangentium inverfe; qux 
etiam Can TEs1Us in poteftate non effe faffus eft. 

In Tomo I1I Epiftolarum , una habetur ad BEAvuNIUM; in 
quà ad propofitas à BzAux10, Curvas quafdam invenire conatur; 
quarum una eft f Ludus Nature, ut intervallum inter Tangentem 
ad ( Axem ) Diredricem ufque productam & Ordinatim applicatam 
ex Curvà ad Directricem, fit femper idem ; Reda fcilicet conftans, 

Hanc 

* Hic Lzisw T1032 explicat Methodom fuam , quam explicationem , quia lon- 

giufcula eft & minimé aria , omil 


* Hic (teftante Lu 15 N 10, vide infra Opufc: XVI. Art. I.) dum eft bujus. 
mature, non , Ludus Nature ; fed, cüm hic error locum dederit Nw TONO ref- 

ndendi , imer Ludos Nature oix mwmeraoerim &c. vide infra hoc ipfo Opufculo 
[vs lil. ) illum. reliquimus, 


.KPIST. LEIBNITII AD OLDEMBURGIUM. . sz 


Hanc Curvam nec Can TEs1US, nec BEAUNIUS, nec quifquam 
alius, (quod fciam, ) invenit Ego veró quà primàüm die, imo: 
horà , cepi quaerere , ftatim certà Analyfi folvi. Fateor tamen. 
nondum me, quicquid in hoc genere defiderari poteft, confecu-- 
tum. :: quanquam. maximi. momenti. effe fciam.. Ac de his quidem. 
nunc fatis. &c. 





ART. LI. 
EXCERPTUM 
Ex Epiftolà. Tscunügn NRaUSIFr 
ad OLDEMBURGIUM 
Parifüis.. A. D. 1. Septembris 1679: 


Dmodüm obledatus füi, hifce confpedis, que ad Lerswi- Com i: 

TIUM exaráfti;.maximéque me tibi. devinxifti; quod me par. E Bi ! 

ticipem. volueris- facere tam. ingeniofarum inventionum ,. & promo. ps& 14r. . 

tionis. Geometrie ,. tam pulchre ,. quàm utilis. * * um, LIV. 
Verüm ,. ut ad fpecimina perquàm ingeniofa NE w T ONr zever- 
tar, hec: non: potuére mihi non placere, tam ob utilitatem, quá. 
fe. tam. laté. ad. quarumvis: Qpantitatum: Dimenfiones,. ac alia dif-- 
ficilia enodanda in Mathematicis extendunt. quàm ob. dedu&ionem: 
liarum-à fundamentis non:minüs generalibus, . quàm ingeniofis ,. de-- 
rivatam :: non obftante quód exiftimem, ad Quantitatem quamvis 
ad infinitam Seriem equipollentem.reducendam , fundamenta adhuc. 
dari & fimpliciora & univerfaliora ,. quàm funt Fractionum & Irra-- 
tionalium redudio ad tales Series, ope Divifionis aut Exttactionis , 
qua. mihi tale quid, ron nifi per accidens ,. praftare videntur ; cüm: 
lizc fucceffum quoque habeant, licét non adfint' Fractiones aut irra- - 
tionales Quantitates. Similia porró , que in hac re praftitit: exi-- 

mius. ille. Geometra. Gk £ 6.0. 1U.5,. memoranda. certé.funt, &c.. 

AA T. 





ART. IIL 


ISAACI NEWTONI 
EPISTOLA POSTERIOR 


A D 
OLDEMBURGIUM 


Cum LEzIBNITIO communicanda 


4. D. 24. O&ob. 1675. 


"Vi DIGNISSIME 


Uantà cum voluptate legi Epiftolas Clariffimorum vitorum 
LeziswiTIDL & TscnünNnHaAusir vix dixerim. 

erelegans fané eft Le 15 N1T11 Methodus perveniendi ad Series 
Convergentes : & fatis oftendiffet ingenium Audoris, etfi nihil 
aliud fcripfiffet. Sed quz alibi per Epiftolam fparfit fuo nomine di- 
Eniffima, efficiunt etiam ut ab eo fperemus maxima. — Diverfitas 
modorum, quibus eódem tenditur, eo magis placuit , quód mihi 
tres Methodi perveniendi ad ejufmodi Series innotuerant; adeó ut 
novam nobifcum communicandam vix expectarem. 

Unam $ neis priüs defcripfi: jam addo aliam ; illam, fcilicet ; 
quá primüm incidi in has Series. Nam, incidi in eas, antequam 
fcirem Divifiunes, & Extractiones Radicum, quibus jam utor. Et 
hujus explicatione pandendum eft fundamentum Theorematis fub. 
initio Epiftole prioris pofiti, quod LziswiTius À me defi 
derat. 

Sub initio ftudiorum meorum Mathetaticorum , ubi incideram 

in 





POSTERIOR EPIST.. NEWT. 4D OLDEMB. 3:9 


in Opera Celeberrimi N/ ALL 1511 noftri, confiderando Series , qua- 
rum intercalatione ipfe exhibet Aream Circuli, & Hyperbolz ; ut- 
pote, quód in Serie Curvarum, quarum Bafis, feu Axis commu- - 


—s3 1 I—u ; 


P— I ; i—É 1—xx|*; re &c. fi Arez 





nis fit De & ordinatim Applicatz —iI: 
, 


alternarum, que fünt x; 4—— x'x— $? - x'ix 


— B x4 $e — TIU &c., interpolari poffent, habere- 
Li 
mus Areas intermediarum,, quarum prima y —xxl^ eft. Circulus : 
' ad has interpolandas notabam, quód in omnibus, primus Termi- 
nus effet x , quódque fecundi Termini $* ; T x* 2st; T x. 
x* ; &c. effent in arithmeticà Progreffione; & proinde, quód duo. 


ix! 


primi Termini Serierum intercalandarum deberent effe « — 3" 


Ad reliquas intercalandas confiderabam, quód Denominatores 
1; 3; $5 7; &c. erant in arithmeticà. Progreffione ; adeóque foli 
Numeratorum Coefficientes numerales effent inveftigandz. — Ha au- 
tem in alternis datis Areis erant Figure Poteftatum Numeri undena- 
rii; nempe 11* ; 11'; 11*; 115; 11*; Hoc eft primó 1; dein- 
de 1, 1; tertió, 1, 2, 1; quartó 1, 3, 3, 1; quintó 1, 4, 
6, 4, 1; &c. 

Quarebam itaque, quomodo, in his Seriebus, ex datis duabus 
primis Figuris relique derivari poífent. Et inveni, quód pofità 
fecundà Figurá »» relique producerentur per continuam multiplica- 
m—o9mo—lqm—2 


cationem Terminorum hujus Seriei , P 3 


xr—Áders $35; &e 
Exempli gratia; fi ü, (Terminus fecundus), »» —34, & erit 4 
PI, hoc eft 6, terius Terminus; & 6 X L—2. hoc eft, 
Jf. Newtoni Opuféula , Tom. L Tt Co 





x 





330 OPUSCULUM XI 
(4) quartus; & 4 x, hoc eft, r, quintus; & px 34 
hoc eft, o, fextus; quo Series in hoc cafu terminatur. ! 
Hanc Regulam itaque applicui ad Series interferendas. Et, cüm, 
, LI 
pro Circulo, fecundus Terminus effet x pofüim — —- ;& 


B3 
z 


] — 
$—1 geo LL; Lxi—72 fw 
2 3 





8"? $ 
*ut "is à five "P & fic in tum. U 


prodierunt Termini i* 





H Le 
cognovi defideratam Aream Segmenti cireularis effe x — Ht 
1x* , x7 s 
PEE A 
Et eàdem ratione prodierunt etiam interferendze Arez reliquarum Cu 
varum: ut & Area Hyperbolz, &ceterarum alternarum in hac Serie 
o 4 A zx 
Yqxx[: f-xx[|5 fcxx|; rdxabi &c 

Et eadem eít ratio intercalandi alias Series; ídque per Interwl 
la duorum, pluriámve, Terminorum fimul deficientium. 

Hic fuit primus, meus ingreffus in has meditationes, qui é memo- 
xià fané exciderat, nifi oculos in adverfaria quedam, ante paucasfep- 
timanas retuliffem. Ubi veró hzc didiceram, mox confiderabam 

2 2 EJ [4 
Terminos x——xx|. 1i—— x3. r—xa«l. r—xx| , &c; 
hoc eft, 1, 1— xx, 1-——2xx4- x*, 1— 3xx-- 3x*—*x, 
&c.; eodem modo interpolari poffe ac Areas ab ipfis generatss: & 
ad hoc nihil aliud requiri, quàm omifRonem Denominatorum, !; 
3, 5, 7,.&6, in Terminis exprimentibus Areas; hoc eft, Cot 


ficientes Terminorum Quantitat intercilande 17431, vd 
1— xxi*, vel generaliter y — x5] , prodire per continuam Mu- 








tiplicatiopem Terminorum hujus Seriei s& x —— — x 
4 
m— 3 ec 
S—À &. . 
4 


Adeó- 


POSTERIOR EPIST. NEWTONI AD OLDEMB. 511 
Adeóque (exempli gratià) 1 —Zf. valeret 1 —t xx 


EN 
— LE DELE Etr— xat valeret 1 —Lekix 


$ 
x x5, &c., Et i—áz valeret 1 — lt — $* 
— a xf, &c.; Sicitaque innotuit mihi generalis Redudtio Ra- 


dicalium, in infinitas Series, per Regulam, quam pofui initio 
Epiftolz prioris, antequam fcirem Extradiones Radicum. 
Sed, haccognitá, non potuit altera me diu latere. Nam, ut pro- 


barem has Operationes, multiplicavi ; — Las— Y" — 


z x5, &c., in fe; & fadum eft 1 — xx, Terminjs reliquis in 


infinitum evanefcentibus per continuationem. Seriei, Atque ita 1— 


Enid — r x* — Lu &c., bis in fe ductum produxit etiam 


X— xx. Quod, ut certa fuerit harum conclufionum Demonftra- 
tio, fic me manuduxit ad tentandum & converfo , num hz Series, 
quas fic conftitit effe Radices Quantitatis x — x x , non polfent inde 
extrahi more arithmetico. Et res bené fücceffit. Operatiopis forma 
jn quadraticis Radicibus hac erat. : 


1 Li Yo 
1— xx (1 — Lye Xa Lx &c 
G-— a** 8 16 


1 
o—xx 


i 





His 


33a OPUSCULUM XI 

His perfpectis neglexi penitus interpolationem Serierum, &' has 
Operationes tanquam fundamenta magis genuina, folummodo adhi- 
bui. Nec latuit Reductio per Divifionem, res utique facilior. 

Sed & Refolutionem affectarum. /Equationum mox aggreffus fum , 
eámque obtinui Unde fimul ordinatim Applicate , Segmenta 
Axium, alieque qualibet Re&x , ex Areis Curvarum, vel Arcu- 
bus datis innotuére, Nam, regreffio ad hzc nihil indigebat pra- 
ter Refolutionem JEquationum , quibus Arez , vel Árcus, ex datis 
Reüis dabantur. ! 

Eo tempore petis ingruens , ( quie contigit annis 1665 , 1666, ) 
coégit me hinc fugere, & alia cogitare. Addidi tamen fubinde con- 
dituram. quandam Logaritbhmorum ex Areà Hyperbole, quam 
hic fübjungo. 

Sit ( Fig. r.) 4FD Hyperbola , cujus Centrum C, Vertex F, 
& Quadratum interjedum CAFE —— 1. In AC cape AB, A£, 


binc inde —L feu, o, 1: Et, erectis Perpendiculis BD, 44, 
ad Hyperbolam terminatis , erit femi-Summa fpatiorum AD ,' & AZ 
— o1 SEES 9, o0t LÀ &c.; & femi- dif- 








U 
rentia — 9:9E .j 9,000;  9,00000: , o,00000001 4. 
——— — t 6 E D 
Qua reduce fic fe babent 
0, 1000000000000. 6,00506000000600 
3333333333 250000000 
20000000 1666666 
142857 . 1250 
RIIE . 100 
* 1 
6, 1003353477310. |: 0,00$0251679267 


Horum Sumnm 0;1053605156577 'eft Ad; & Differentia 
.0,09531017980423 eft AD. Et edem ratione, pofitis AB, AP, 
hinc inde — 0,2; obtinebitur A 2——5 0, 2231435513142; & 

! AD 


POSTERIOR ESPIST. NEWTONI-AD OLDEMB. 3533 


AD — 0, 1823215567939. Habitis fic Logarithmis hyperbolicis 
Numerorum quatuor decimalium o, 8;0, 9; 1, 1; & 1,2; cüm fit 


2x o5 —22;& 0,8 & 0o, 9 fünt minores Unitate ; adde Loga- 


rithmos eorum ad duplum Logarithmi 1, 2; & habebis 0,69314 
71805597, Logarithmum hyperbolicum Numeri. 2; Cujus triplo 


AOI c ro, ) & habebis 


2,302$850929933,, Logarithmum Numeri 10: Indéque per Ad- 
ditionem fimul, prodeunt Logarithmi Numerorum 9, & 11; 
Adeóque omnium primorum horum 2, 3, $, 11, Lofarithmi in 
promptu funt. Infuper, ex folà depreífione Numerorum fuperioris 
computi per loca decimalia, & Additione, ebtinentur Logarithmi 
Decimalium 0,98;0, 99; 1, 10; 1, 02; ut , & horum o, 998;0, 
999;1,001; 1,002. Et inde, per Additionem & Subductionem ,. 
prodeunt Logarithm primorum 7, 13, 17, 37, &c: Qui unà cum 
fuperioribus, per Logarithmum Numeri. ro. divifi . evadunt veri: 
Logarithmi in Tabulam. inferendi. Sed hos. poftea. propiüs ob-- 
tinui. 

Pudet dicere ad quot Figurarum loca fas computationes otiofus: 
eo tempore produxi Nam, tunc fané nimis delectabar inventis: 
hifce. Sed ubi prodiit ingeniofa illa Nico/a? Men cATORIS Lo-. 
garithmotechnia, ( quem fuppono fua primüm inveniffe, ) cxpi ea: 
minus curare; fufpicatus, vel eum moffe Extradionem Radicum 
zqué ac Divifionem Fractionum; vel alios faltem ,. Divifione pate- 
factà, inventuros reliqua, priufquàm ego. aatis effem. mature ad. 
fcribendum. 

Eo ipfo tamen tempore, quo Liber ifte prodiit, communicatum- 
eft per Amicum BAn ao w(tunc Mathefeos Profefforem Cantabri- 
gienfem ) cum Corrixsio Compendium * quoddam Metho- 
di harum Serierum ; in quo fignificaveram Areas, & Longitudines 
Curvarum omnium, & Solidorum Superficies, & Contenta, ex 
datis Reis ;. & vice verfa, ex his datis Rectas. determinari. poffe ,. 
& Methodum ibi indicatam illuftraveram diverfis Seriebus. 

Tt à Subo- 

* Hoc compendium eft Analyfis pet. JEquationes umero Terminorum infinitas fopra- 


adde Logarithmum o, 8, ( fiquidem fit 


impreff, 





334 OPUSCULUM XI 


Subortá deinde inter nos Epiftolari confuetudine; Cor r1Nsivus, 
Vir in rem. Mathematicam promovendam natus, non deftitit fug- 
gerere, ut hac publici juris facerem. Et ante annos quinque 
(1671) cüm fuadentibus Amicis confilium ceperam edendi Tractatum 
de Refradione Lucis, & Coloribus, quem tunc in promptu ha- 
bebam, capi de hís Seriebus iterum cogitare, & Tradatum de iis 
etiam confcripR, ut utrumque fimul ederem, 

' Sed, ex occafione Telefcopii Catadioptrici, Epiftola ad te miffa, 
quà breviter explicui conceptus meos de naturá Lucis, inopinatum 
. Dp effecit ut mei intereffe fentirem ad. te feftinanter fcribere 

lé impreffione iftius Epiftola, Ft fuborte fta&m. per diverforuma 
Epiftolas ( objectionibus aliifque refertas) crebrz interpellationes me 
prorfüs à confilio deterruerunt, & effecerunt ut me arguerem im 
prudente, quód, umbram captando, gatenus perdideram quietem 
meam, rem prorfüs fubítantialem. 

"Sub eo .teinpore Jacobus G& EGORIUS, ex urici quádam Serie 
? meis, quam (Corr 1NsivUs ad eum tranfmiferat, poft multam 
confiderationem, (;ut ad.CozriNsIUM refcripfit , ) pervenit ad 
eandem Methodum , & Tractatum de cà reliquit, quem fperamus 
ab Amicis ejus editum isi. Siquidem , pro ingenio, quo pollebat., 
^on potuit non adjicere de fuo pová multa, quz rei Mathemoticee 
intereft ut non pereant, 

lpfe autem Tractatum. meum.non penítus abfolveram, ubi deftiti 
à propofito ; neque in hunc diem mens rediit ad reliqua adjicien- 
da. Deerat quippe pars ea, quà decreveram explicare modum fol- 
vendi Problemata , qui ad Quadraturas reduci nequeunt, licit ali- 
quid de fundamentis ejus pofüiffem. — Ceterüm , in Tradaatu ifto, 
Series infinite non magnam partem obtinebant. 
^ Alia haud pauca congeffi , [inter quz. erat Methodus ducendi Tan- 
gentes, quam folertiffimus Srvsius ante annos duos, trefve, te- 
€um communicavit ; de quà tu ( fuggerente Corirwsi 0) refcrip- 
fifti eandem mihi etiam innotuiffz.  Diverfà ratione in eam incidi- 
inus. ' Nam, rés non eget Demonftratione, prout ego, operor Ha- 
bito meo fundamento , nemo potuit Tangentes aliter ducere , nifi 
xolens de redà vià deviaret, 

Quis 





' . . 
POSTERIOR EPIST. NEWTONI AD OLDEMB. 335 


Quinetiam non hic haretur ad JEquationes Radicalibus unam , 
vel utramque indefinitam Quantitatem. involventibus utcunque af- 
fectas; fed abfque aliquá talium JEquationum Redudione, ( quz 
opus plerumque redderet immenfum, ) Tangens confeítim ducitur. 
Et eodem modo í& res habet in quzftionibus de maxjz»is & mini- 
mir; aliffjne quibufdam , de quibus jam non loquor. 

Fundamentum harum Operationum , fátis obvium quidem, (quo- 
niam jam non poffum: explicationem ejus proféqui ) , fic potius ce- 
lavi 64ccda 13eff 7i39nqoag rra f/oriavx. * 

Hoc fundamento conatus fum etiam reddere fpeculationes de Qua- 
ératurá Curvarum fimpliciores ;; perveníque ad Theoremata quedam 
generaliora. Et, ut candidé agam, ecce primum Theorema. 





; A 

Ad Curvam aliquam (it if x e4- f. sl Ordinatim Applicata , 
Termino Abíciffe feu Bafis z normaliter infiftens: ubi littere Z,e 
f» denotant quaslibet Quantitates datas; &, &, y, A, Indices Potefta-- 
tum five Dignitatum Quantitatum , qnibus affixz funt. 

fes —» 4x 
Fa or. A-paoÀcuXebfrz| 7 —Q. &rm 
T 

— y; Et Ara Cuv erit Q in - — 7— x I 

r—2., eB. f—3.,e€6C 

——x-—— ——2x—— LI 
TI—i a ;——.* at 5$— 4. pul ! i 
xis A, B, C, D, &c., denotantibus Terminos proximé anteceden-- 
tes; nempe. 


zT 
A Terminum ru 


f—I 





T ie &c. Hic Series, ubi r: Fiac 
—UR 

to eft vel Numerus. negativus , continuatur in infinitum; ubi veró- 
y integer eft. & affirmativus, contihuatur ad tot Terminos tantàm, 


quot 


B Terminum — 


* Hoc eft; Datà /Equatioxe quotcunque Fiuentes Quautitater involoesie , Fluxion et: 
itotnire ; & vice verfà. ul ü m 


336 OPUSCULUM XI 
quot funt Unitates in eodem r, & fic exhibet geometricam Quadra- 
turam Curve. Rem exemplis illuftro. 


ExrmrPr. L 
Proponatur Parabola, cujus ordinatim Applicata fit 22, Hac, 
in formam Regulz reducta, fit z* xo a2'|/.-. Quare, d— 1, 


$—0,£:—0, f—4,4—1], A — T Adeóque r— 1, :! 





. 3; . 1 
—É. Q-——-x 4£*,m—c0. Et erit Area quafita —- x 
s, 
I 


Az?*in iP hoc et, zVza Etfl in genere, fic! 


" : " n" € 
ponatur ordinatim Applicata, prodibit Area m qut, 


Exzmertvx Ii 


a*2 


—auudi Hac, per Redudio- 


———— 23 — — 2. 
nem, fit. 4*e xcc — au] ; vel etiam 4*z 3 Ldecen * 
In priori cafu. e£ 4——4*, (— 1, e—ce, f—— 1, 4—12, 


Sit ordinatim Applicata z 


* - 
A ————2. Adeóque r—— 1, ,——— 1, Q—— qe , 


e 


boc eft, — L— 70. Et Area Curve Q in— 5, 


4 
id eft, —ZLT—dAn In fecundo autem cafu, eft 4—4*, 
(——— 3, e——1, f 266, ,—5— 2,4 25— 2, r—t 


at -ar- ; 
sm—— 1, Q m —X—id4-ei 1 id et, — 


e 
T 7 o. Et Area —Q jn — 5, hoc eft, 


a*2z 


B — xu Area fis cafibus diverfimode exhibetur, quatem 
com- 





POSTERIOR EPIST. NFI.TONI 4D OLDEMB. | 39 
computatur à diverfis finibus, quorum: afügnatio per hos ' inventos 
valores Arearum facilis eft. 


ExxzmwmrPLüuM III 
Sit ordinatim applicata 4; V'ad-22; hoc ef, per Redudio- 


$ 109 —4 
nem ad debitam formam, vela £z  * xb-pz|*, ve4'£ x 


Y4- 'PREG Erit in priori cafu d —45, (— — L-.— 

b, ft, q—I1.À— I Adeóque r — — is. Qua. 

re, cüm r non fit Numerus affirmativus, procedo ad alterum ca- 

fum. Hic eft 4—45,0-— — 4, e— 1, f —b, 4—— 1,4 

: ; ; 

d T Adeóque r — 3, f Q—— xe le 

qa — 

feu, —E XVàadba, vy — 2. Et Área Qintz 

— 4 1 x —3obb-k-aabs - 1622, 

2i um Tp iu i xri hocet, e EE 

Tus 
int v reETR 

Exz£narPrvuM IV 

m - 





Sit denique ordinatim — Applicata ——— 
: ye— cca Td 3aactd— a! xa 

LU a]. — 
Hec, ad formam Regule redudia, fit & zx c— 3a 7. Indé- 


que et d—45, $— Di (m, fe——a, Op T A-- 


n. 
— Lioreaf— Tp —ipe— as? Pra. 
. . 
3. 
Et Area Qx£* — ix—1, ideft, — Eris PT 





a 


e — ax. . . 
If. Newtoni Opufeula 'Tom. I. Vt Qyo6d, 


39$ 0t OPUSCULUM Xl 


Quód, fi res non fuocefifft in hoc cafu, exiftente r vel Frac- 
tione, vel Numero negativo, tunc tentáffemalterum cafum, pur- 
a 


gando Terminum —- 47 in. ordinatim Applicat à Coefficiente- 
"n hoc eft, reducendo ordinatim. Applicatam ad hanc formam ,. 


; . 
4e —— xac —$—; Et, fi * in neütro. cafu: fuiffet: 
Numerus integer & affirmativus, conclufiffem Curvam ex earum nu- 

. mero-effe, qua non poffunt geometricé quadrari. Nam, quantüm. 
animadverto, hzc Regula exhibet in- infinitis. /Equationibus Arcas. 
omnium geortetricam Quadraturam admittentium Curvarum, quarum. 
erdinatim Applicate conftant ex Poteftatibus, Radicibus, vel qui. 
buslibet Diznitatibus. Binomii cujufcunque; licét non dirzedté , ubi 
Index. Dignitatis. eft. Numerus. integer. 

At quando hujufmodi Curva aliqua. non. poteft: geometricé qua- 
*lrari ;. funt; ad. manus. alia Theoremata pro comparatione ejus.cum. 
conicis. SeCtionibus ,, vel faltem. cum aliis. Figutis fimpliciffimis , qui- 
"bufcum poteft comparati :: ;ad quod fufficit etiam. hoc. ipfum unicum. 
jam. defcriptum. Theorema ,. fi debíté, concinnetur.. 

Pro. Trinomiis etiam.,, & alis quibufdam. Regulas. quafdam. con- 
Ginnavi., 

Sed in. fimplicioribus vulgóque celebratis. Figuris vix aliquid re- 
latu. dignum reperi,. quod evafit aliorum conatus, nifi forté Lon- 
gitudo. Ciffoidis. eju(modi cenfeatur, Ea fic conftruitur.. 

Sit ( Fig. 1.) V D. Ciffois,, AV Diameter Circuli ,. ad' quem ap- 
tatur, V. vertex,. AF^ Afymptotos ejus ,. ac D B: perpendiculare- 
quodvis; ad; A V. demiffüm, — Cum. femi- axe AF — A V ,. & fe-- 
fni: parametro; AG, — Y K V, defcribatur. Hyperhola. F £K ;, & 
inter- AB.&- & V. fümptáà: A C mediá proportionali ,. erigantur. ad C 
&. V. Perpendiculà C £,, VK, Hyperbole occurrentia in.£ & K ;; Et 
"agantur Rede KT, kt, , tangentes Hyperbolam. in. eifdem: K., & £, 
& occurrentes A V in, T. & z,. & ad A V. conftituatur. Rectangulum. 
AVNM &quale;Spatio TK £z. Et Ciffoidis V.D Longitudo erit-fex-- 
tupla Altitudinis, VN... Demonftratio- gis eft. Sed ad infini-. 
tas Series redeo. . 2. Ll 


BENDUM ML UT 


POSTERIOR EPIST. NEW'TONI AD OLDEMB. .535- 


Quamvis multa reítent inveftiganda cigca modos. approximandi , 
& circa diverfa Serierum genera quz poffunt ad id conducere: ta- 
men vix cum TscnünNHaAvsro fperaverim dari polle, aut fim- 
pliciora, aut magis generalia fundamenta reducendi Quantitates ad 
boc genus Serierum, de quo agimüs, quàm funt Divifiones & Ex- 
tra&iones Radicum , quibus LE1sNiTius & ego utimur; faltem 
non generaliora: quia pro Quadraturà & ev9uree Curvarum , ac fi- 
milibus, nulle polfunt dari Series ex hifce fimplicibus Terminis 
algebraicis, ( unicam tantüm indefinitam Quantitatem involventibus, ) 
conítantes, quas non licet hac Methodo colligere. — » 

Nam, non poffunt effe plures convergentes Series ad idem de- 
terminandum , quàm funt indefinite Quantitates , ex quarum Po- 
teftatibus Series conflentur: & ego quidem ex adhibitá quacunque 
indefinità Quantitate Seriem novi colligere; & idem credo Leis- 
A1TIO in poteftate effe. 

Nam, quamvis meá Methodo liberum fit eligere, pro conflan- 
dà Serie, Quantitatem quamlibet indefinitam , à quà Quafitum de- 
pendeat; & Methodus, quam ipfe nobifcum communicavit, de- 
terminata videatur ad electionem talium indefinitarum Quantitatum , 
quibus opus commode deduci. poteft ad Fradiones ; quz per folam 
Divifionem evadant Series infinite: tamen alie quecunque indefi- 
nite Quantitates pro: Seriebus canflandis adhiberi poffunt ,. per Me- 
thodum iftam, quà affect /Equationes refolvuntur ; dummodo re- 
Íolvantur in propriis Terminis; hoc eít, conficiendo Sériem ex 
folis Terminis, quos /Equatio involvit. 

Praeterea, non video cur dicatur his Diviflonibus & Extractioni- 
bus Problemata refolvi per accidens: fiquidem hz Operationes eo- 
dém modo fe habeant ad hoc genus Algebre, ac vulgares Opera- 
tiones Arithmetice ad Algebram vulgó notam. : 

Quod autem ad finiplicitatem Methodi attinet; nolim Fradto- 
nes , & Radicales abfque praevià Reductione femper refolvi in Series: 
AXnfinitas : Sed ubi perplexze Quantitates occurrunt; tentande funt 
omnimode Redu&iones; five fiat augendo , minuendo , multipli» 
cando, vel dividendo Quantitates indefinitas ; flve per Methodum 
tránfmutatoriam Lg18N1711, aut alio quocunque modo, qui oce 


Vv a currat." 


340 OPUSCULUM XI 


currat. Et tunc Refolutio in Series per Divifionem & Extradionem 
opportuné adhibebitur. 

Hic autem precipué nitendum eft, ut Denominatorer Fradio- 
nim, & Quantitates in. Vinculo Radicum , reducantur ad quim. 
pauciffimas , & minimé compofitas ; & ad tales etiam , quz in 
Seriem abeunt citiffimé convergentem , etfi Radices neque conver- 
tantur in Fractiones , neque deprimantur ^ Nam, per Reguhm 
initio alterius Epiftole, Extra&io altiflimarum Radicum zqué fim- 
plex, & facilis eft, ac-Extradio Radicis quadratice , vel Divifio: 
& Series, que per Divifionem eliciuntur, folent minimé- omnium 
convergere. 

Hactenus de Seriebus unicam indefinitam  Quantitatem involven-- 
tibuslocutus fum. Sed poffunt etiam, perfpectà Methodo, Series 
€x duabus , vel pluribus affignatis indefinitis Quantitatibus pro ar- 
bitrio confici. Quinetiam, beneficio ejufdem Methodi poffunt Se- 
ries ad omnes Figuras efformari , Gregeriams ad Circulum & Hy- 
perbolam editis affines; hoc eft, quarum ultimus Terminus exhibe 
bit quefitam Aream. Sed calculum hic onerofiorem nolim lubess 
fubire. 

Poffünt denique Series ex Terminis compofitis eádem Methodo 

——áÀá 

confitui Quemadmodum, f fit Vas — ax - — ordinatim Ap- 
plicata one alicujus ; pono 4« — 4x—&EE, » ex Binomio 
£54 * extra Radice, prodibit £ -.- I— ia &c C 
jus Seri omnes Termini quadrari poffunt per 'Theorema jam anté 
defcriptum. — Sed hac minoris facio, quód ubi Series fimplices non 
funt. fatis tractabiles, aliam nondum communicatam Methodum ha- 
beo, quá pro libitu acceditur ad quzffitum.. 

Ejus fundamentum eit commoda, expedita, generalis Solutio ho- 
ie Problematis. 

. Curvam geametricam deféribere, qua per data quatcunque Pum- 
14 tranfibit. 

. Docuit EucrtpEs defcriptionem Circuli per. tria data. Punda. 
Poteit ctiam. conica Sedio defcribi per quinque data Puncta: Et Cur- 
. Li 


E 


POSTERIOR EPIST. NEWTONI AD OLDEMB. 541 


va trium Dimenfionum per feptem data Punda: adeó ut ín potef- 
tate habeam defcriptonem omnium Curvarum iftus ordinis, que 
per feptem tantüm Pun&a determinantur. Hec ftatim geometricé 
fiunt, nullo calculo interpofito. Sed fuperius Problema eft alterius 
generis: & quamvis primá fronte intractabile videatur , tamen res 
aliter fe habet. Eft enim feré ex pulcherrimis qua folvere defiderem, 

Seriei à Le1B N1T10 pro quadraturá conicarum Sectionum pro- 
pofite , affini funt Theoremata quedam, quz pro comparatione 
Curvatum cum conicis Sectionibus in catalogum dudum retuli. 

Poffüm utique cum Sectionibus conicis geometricé comparare 
Curvas omnes, ( numero infinities infinitas, ) quarum ordinatim Ap- 
plicatz funt. 

ner ?n— f 


dz I dz 
n an Ye LY 2n 
tf ER ef dig 











; &c. 7 


ab ao amt 


CMS" — (Bfz Eg 








inj &c€ 


Aut Z4 p a vel dz x Ve 4- fi" "pg ; Re 
n—1 H 2n-—1r 

—d3 uo vel ; 
Ve 4E" ye Tf Tu 


2 
hu, d Xe f2 vel 25 7 i re po &c. 


Aut 

















x gba 
n-r a2n-r . 
Ant E: vd m ; An. 
£z xyeQ- fao £bx XV eM fih 
. ne 
du LYCk[S pd Ye ae, 
£s gba c 


Ys 5 Hic 


542 JDPUSCULUM Xr. Mu 
Hic 4, e, f, g-fignificant quaívis datas Quantitates cum fuis 
fignis 4- & —- affedas; £ Axem, vel Bafem Curve; & n, an, 


Ta3—3:,XLa—1, fà — I, 2n — r Indices Poteftatum vel 


Dignitatam z, five fint affirmativi vel negativi, five integri, vel 
fradi, & fngula hina Theoremata funt duo primi Termini Seriei. 
án infinitum progredientis. In tertio & quarto, 4g debet effe non 
3majus quàm f/f, nifi e & g fint contrarii figni. In ceteris nulla 
eft limitatio. Horum aliqua, ( nempe, fecundum, tertium, quar- 
tum, quintum & decimum tertium, ) ex ÁAreis duarum conica- 
fum Se&ionum conjunctis conítant. Alia quedam, ( ut nonum , 
decimum, & duodecimum, ) funt aliter fatis compofita. Et om- 
nia quidem in continuatione Progrefionum citó evadunt compofi- 
tiffima; adeó ut vix per Tranfmutationem Figurarum , quibus Jce- 
4w GnaEGORIUS, & ali ufi funt, abíque ulteriori fundamento 
inveniri poffe putem. 

Ego quidem hand quicquam generale in his obUnere potui , 
antequàm abftraherem à contemplatione Figurarum , & rem totam 
ad fimplicem confiderationem folarum ordinatim Applicatarum re- 
ducerem. Sed, cum hzc, & hifce generaliora, fim in pote(tate; 
non dubitabitur, credo de Binomialibus longé facilioribus, qua in 
'his continentur, & prodeunt ponendo Litteram aliquam e vel f" vel 
£—0,&n—1: vel 25 etfi Series , in. quas ifta refolvantur , 
non pofuerim in Epiftolà priori, nedum forté computaverim ; in- 
tentus, "non in omnia particularia enumeranda, fed in illuftrandam 
Methodum per unam & alteram in fingulis rerum generibus inftan- 
tiam, quz ad oftendendam ejus generalitatem fufficere videbatur. 

Ceteràm, hac Theoremata dant Series plufquàm uno modo. 





Nam, primüm, fi ponatur f——o , & n — t , evadit ; unde 


[4 
piodit Series nobis communicata, — Sed, fi ponatur 2eg — fff, & 


n —— 1; inde tandem obtinemus banc Seriem 1 4- Er — — 7 


* T z—5-— &c. pro Longitudine quadrantalis Ar- 
càs, 


POSTERIOR EPIST. NEWTONI 44D OLDEMB. 545 


«is, cujus chorda eft Unitas: vel, quod perinde eft, hanc I ith 
r I 


$5; V ug an &c. pro Longitudine dimidii ejus. » 
las fortà, quia xqué fimplices funt; ac alterz, & magis conver- 
gunt ,. non repudiabitis. 
' Sed ego renr aliter aftimo.  Tllud enim melius quod utilius eft ,. 
& Problema mineri labore folvit Sic, quamvis hec JEquatio xt 
RO 


— x— 1 appareat fimplicior hace yy— ay v 9t a Y? 


e— V 20; tamen in: confeffo. eft. pofteriorem: reverá fimpliciorem: 
effc, propterea quod Radicem ejus ;» Geometra faciliüs eruit. 

Et ob hanc rationem, Series pro obtinendis Arcubus Circuli vel ,. 
€ quod eodem recidit, ) pro obtinendis Sectoribus conicarum Sec-- 
tionum, pro optimis habeo,. quz componuntur ex Poteftatibus Si 
nuum.. . . 

Á— fiquis mE computum Bujus Setiei r4- TE 
— — zt — ,-&c.colligere Longitudinem Quadrantis 'ad vigin- 


a figurarum. loca decimalia, opus effet.. ooo ooo ooo. Ter. 
-minis Seriei, circiter; ad quorum calculum milleni: anni require- 
rentur. Et res tardis obtineretur per Tangentem 4$ Graduum. 
Sed, adhibito Sinu. redto- 45 Graduum;,. quinquaginta quinque veli 
fexaginta Termini. liujus Seriei: Vix rti rina rr «T me &c. 
fufficerent:: quorum: computatio. tribus ,. ut Opinor, vel quatuor 
diebus abfolvi poteft.. 

Et tamen hic non: eft optiinus mods, computandi totam Peri. 
pheriam. Nam , Series ex Sinu recto 3o Graduum,. vel. Sinu ver-- 
fo 60 Graduum conflata, multó citiüs dabit Arcum fuum; cujus. 
fextuplüm.,. vel. duodecuplüm. eft tota Peripheria. Neque majori: 
labore eruitur Area totius. Circuli: ex Segmento ,. cujus Sagitta eft 
Quadrans Diametri. Ejus computi Specimen, fiquidem ad manus: 
eít, vifum fuit apponere; & unà adjungere Aream Hypetbolz,. 
qux eodem calculo prodit.. 

Bofitg 


344 OPUSCULUM XI. 


Pofito Axe tranfverío —— r, *& Sinu verfo, feu Segmen- 
ti Sagittà. —— x; erit Semi - fegmentum 


, 
Hypebole oom Ex s tz , &c. 
Hac autem Series fic in infinitum producitur; fit 2x* —«4, 
T5, bx su, Esa, gs Le, S —h &c; ER 
erit Semi - fegmentum 
au^i-tei—iti—-ntóá 
Torinque mi Summ 3 3 —2— n &c. & femi-Differen- 


tia $i T £ 3; &c. His ita prepuntis füpono x — 


mE nempe dx; & prodit 4 ( — 1) oasKe 
E TP 
001953125; d(— 345 — 9991913115). o oo02 4r406af. 


Et fic procedo. ufquedum venero ad Terminum depreffifimum , 
qui poteft ingredi opus. Deinde hos Terminos per 3, 5, 7, 9, 1!; 
&c. refpedivé divifos difpono in duas Tabulas: ambiguos cum pri- 
mo in unam ; & negativos in aliam; & addo, ut hic vides; 


0,0833333333333333 - 0, 0002790178571429 
62500000000000 34679066051 
27126736111I 834465027 
$135169396 26285354 
144628917 961296 
4954581 38676 
190948 1663 
7963  . 7$ 

352 
16 9,00028257193895373 


I 
b,0896109885646618 . Tunc 


POSTERIOR EPIST. NEIWTONI 4D OLDEMB. 34; 


Tunc à priori Summá aufero pofteriorem, & reftat 00893284 
166257043, Áreafemi-Segmenti Hyperbolici. Addo etiam eas 
Summas, & Aggregatum aufero à primo Termino duplicato o, 166 
6666666666666, & reítat 0,0767731061630473, Area fe. 
mi-Segmenti circularis. Huic addo Triangulum iftud , quo com- 


pletur in Sedorem, hoc eft, a feuo,0541265877365274. 


& habeo Seorem fexaginta Graduum, 0, 1308595938991747» 
'cujus fextuplum. 0,7853981633974482 eft Area totius Circuli, 


Quz divifa per T füve Quadrantem Diametri, dat totam Peri« 


pheriam 3, 141.592.65 3.5 89.7928 ; fialias artes adhibuiffem , potuf 
per eundem Numerum Terminorum Seriei perveniffe ad multó plu- 
ra loca Figurarum , puta, viginti quinque aut ampliüs: fed animus 
fuit hlc oftendere, quid per fimplex Seriei computurn preftari pof- 
fet. Quod fané haud difficile eft, cüm in omni opere Multiplica- 
tores ac Divifores magnà ex parte non majores quàm 11, & nun- 
quam majores quàm 41 adhibere opus fit. 

Per Seriem Lg15NiTI: etiam, fi ultimo loco dimidium Ter. 
mini adjiciatur, & alia quedam fimilia artificia adhibeantur, po- 
teft computum produci ad multas Figuras. Ut, & ponendo Sum 


1 : 1 1 I Li 1 I 
mam Terminorum í ;*y5-—5* —t* 


7 17 25 
I I. i —XAgL.d 
TÉ 3! &c. effe ad totam Seriem x 3 T ; 7] 


-T—46 &c., ut P-- V2 ad 1. Sed optimus ejus ufus 


videtur effe q , vel conjungitur cum duabus aliis perfimilibus, 
& citiffim? convergemtjbus Seriebus, vel fola adhibetur ad compu- 


tandum Arcum 30 Graluum, pofità Tangente V T Tunc enim 


2 : * 1 Li I l 
Series illa evadit 1— 530 59 53; T $390 que 


cità convergit. Vel, fi conjunges cum aliis Seriebus , porie Circul 


Jy. Nevtoni Opsfepta Tom. L Xx ^0 Die 





346 OPUSCULUM XE 


Diametrum.—— 1, & 4—— i 5 & Area totius Circuli erit Summa 
; a E a5 a? "d a 
ium fe -T——ct—-———c4uLm——c. 
barum trium feri, I 3 T ; 7 T 3 u Tt 
&c. . 
4a. a5 a" att a'* a4 
uat. .g—o.t4.5t u$ 
a* a1? a'* Pus a 
40 .ptg o.pty 4 


Hüc confideravimus Series, quatenus adhibentur ad'computan- 
dum totum Circulum. Sed, quando computandz funt partes ejus. 
tunc quzlibet Series. habet proprium ufum, & in fuo genere optis. 
ma eít. Si:datur Tangens fatis parva, vel fatls.magna, non. recur-. 
rendum. erit ad. Sinum. aliquem.,. ut inde: computetur Arcus, neque: 
vice verfà.. Series. dato congruens. eft /Equatio pro. folvendo pro». 
prio Problemate.. 

Credo CL LEIBNITIUM, dum pofuit Sériem. pro determina. 
tione Co-(inàs ex Arcu dato, vix animadvertiffe Seriem meam pro: 
determinatione Sinüs verfi ex eodem Arcu ; fiquidem hzc idem funt.. 

Neque obferváffe. videtur. morem.' meum. generaliter: ufurpandi: 
Litteras pro Quantiaibus cum fignis ct & — affcdis düm divi-. 


dit hanc. Seriem. 5- «RÓRE MA E dt; d &c.. Nam ,, 


càm Area liyperbolica (Fig. 3.) BE, ilc fi fignéicata per s fit affir.. 
mativa vel negativa, prout jaceat ex unà vel alterá parte ordinatim. 
Applicatz BC; fi Area B in Numeris dua fit ^. &l EE in: 


i 
Serie. pro , orietur vel . - ip E 4 a 
"n 


. r I 
— 4 Toxic act agp &o. ,. prout 4. fit affirmativa; , 
vel: negativa ;, hoc. eft , pofito «— 1——45,, & / Logrittmo hy-. 


erbolico;, Numerus ei: cótrefpondens. erit. 1. I 4 - 


ue &c, veli 


A &c.,, f. fit affitmativus; & 1: —L La 4 —6 2 


&c,, fi/fit negativus. Hoc.modo fugio Multiplicationem Theo-- 
. rematum ,, 


POSTERIOR EPIST. NEIWTONI 4D OLDEMB- 347 


ematum, que alis in nimiam molem crefcerent. Nam, verbi» 
Bratià illud unicum "Theorema , quod fupra pofui pro Quadraturá 
Curvarum , refolvendum effet in. triginta duo Theoremata, fi pro 
fignorum varietate multiplicaretur. 

Preterea, quz habet Vir clariffimus de inventione Numeri Uni- 
tate imajoris per datum Logarithmum hyperbolicum , ope Serici 


1 4H P? 
H 1x2 QPES, , Peut &c., potiüs quàm ope. 


nid 

Seriei- E 1S ius * P *oxxpd mr » &c , nondum perd- 
pio. Nam, fi unus Terminus adjiciatur ampliüs ad Seriem pofte- 
riorem, quàm ad priorem, pofterior magis appropinquabit. Et 
terté minor eft labor computare unam vel duas primas Figuras ad- 
jedi hujus Termini, quàm dividere *Unitatem per Numerum pro- 
deuntem ex Logarithmo hyperbolico ad multa Figurarum loca ex- 
tenfum, ut inde habeatur. Numerus quafitus Unitate major. —Utra- 


Que igitur Series ; (fi duas dicere fas fit, ) officio fuo fungatur. 
5 d . 
Poteft tamen. — Lock ua * PXIXGIGx; "&c., Series , ex 
dimidià parte Tecninorum conftans, optimé adhiberi ; fiquidem 
"hec dabit femi- Differentiam duorum Numerorum , ex qd. & 


Recangulo dato uterque datur. Sic, & ex Serie x 4- la T 
I 


PEixiXi ; &c., datur femi-Summa Numerorum , indéque etiam 


Numeri Unde prodit Relatio Serierum inter fe, quiex un& datà 
dabitur altera. 
' "Theorema de inventione Árcüs ex dato Co-finu ponendo Ra- 


dium—-1, Cofinum— c, & Arcum — y6— yz 4-12; mie 
nis appropinquat quàm primá fronte videtur. —Pofito quidem Sinu 
Xx a verfo 


* Hac Epiftola habetur eom in WArLrtst: Operibus Mathematicis Ton. nm. 
qug. 634. Ibi autem legitur, quàm dividere Usritatern. per. prodeuntem Logaritbrtrh 
oyperbolicum ad multa Figurarsm loca extenfim , «ut inde babenier. Logoritbmur bv 
getolicus guafisu. 








9" OPUSCULUM XL 


verfo. — v, emor eit p DL - e Poteft fieri, ut x20: 


—27vad 120— 17*,'ita Chorda(v2v )ad Arcum; & error 


44800, 
Minuta fecunda, dum Arcus non fit major quàm 4$* Grad. Et: 
fingulis etiam bifedionibus diminuitur 128 vicibus. 
: a^ a^ a 

Seis 137 ixpgxpg UOPXaXGXAXQXOx]t 59 
applicari poffet ad computationem. Tabulz- Segnientorum , ut ob-- 
Tervat Vir Clariffimus;: fed. res. optimé abfolvitur per Canonem Si-. 
nuum. Utpote, cognità Quadrantis Areá, per continuam Additio-. 
nem nons partis ejus, habebis Sectores ad fingulos decem Gradus. 
in Semicirculo: deinde per continuam Additionem decimz partis 
hujus, habebis Sedores ad: gradus; & fic:ad decimas partes. Gra- 
duum,. & ultra procedi. poteft. Tunc, Radio exiftente —— 1, ab: 
unoquoque Sedore & ejus. Complemento. ad: 180 Gradus, aufer 
üimidium communis Sinüs redi, & relinquentur Segmenta in Ta-. 
bulam referenda,. Ceteràm ,. quamvis Series. hic non profint, in aliis; 
tamen locum obtinent: Et quoniam hoc. ad. earum. ufum ípectat,, 
hon: gravabor in aliquibus: attingere; 

Conftructionem Logarithmorum. non aliunde: peti debere-credetis: 
forté, ex: hoc. fimplici. proceffu, qui ab iftis pendet. Per Methodum: 
fiprà traditam quarantur- Logarithmi hyperbolici. numerorum 1o ;, 
0, 985:0, 99 5: 1, 015: 1, 02 :. id, quod fit fpatio unius & al-- 
terius. horz.. Dein, diyifis Logarithmis quatuor pofteriorum per: 
Logarittimum., Numeri, 10,. & addito Indice 2. prodibuntveri Lo-- 
garithmi: Namerorum 98; 99; 1005: 1015; 1025 iir Tabulam: 
referendi; Hi, per dena Intervalla interpolandi funt, & exibunt Lo-- 
garitlimi. omnium "Numerorum: inter. 980, & 1020: & omnibus: 
inter. 980;. &: 1000 iterum per: dena Intervalla: interpolatis, habe. 
bitur- Tabulà:eatenus conftruda;. Tunc ex his colligendi: erunt Lo-- 
Earitlimi:omnium primorum Numerorum,. & eorum multiplicium ,, 
Aninorum quàm. 100 :. ad. quod. nibil. requiritur. preter. Additionem: 

&: 


erit tantüm S17 V 39, cirdter;. qui. femper minor eft quàm 4 T 


POSTERIOR EPIST. NEWWTONI AD: OLDEMD. 349 


& Subtractionem. Siquidem , fit. [ETERE PEREIO 


984 
1o 78 .99- IO0T...4,.102. ,,. 
—35 gn /$Beqm—nimpenPtW—m 
988:...,5: 9936.4, 989 55, 992.5999. 
4x15. EULET-TT 23i 2uT 23; 32 25 27 95 





B si 2m 9915 L2 Qu. 3971. 
41; 43; 4n sa; 9 a3xig 


. 9882 . 984» — Ht 9928... 
e; TM$MSIxa9 57) 14771) $xi7 par 735 


S914 — 996... 9968... .9894 
2x18 797 12 —8$83; 2x16: 89; —— $x17 97:. Kt ha- 


bitis fic Logarithmis omnium Numerorum minorum quim roo ;. 
reftst. tantüm hos etiam femel. atque. iterum. per dena intervalla: 
interpolare:. 

Conftrudionis Tabulie Sinunr,. 5quà pendit tota res Trigonome-- 
trica;. fundamentum. optimum. eft. continua. Additio: dati. Anguli ad: 
feipfum.vel ad alium: datum.. Utpote,. in Angulo: ( Eig. 4. ) adden-- 
do BAE,. infcribantur HI, IK,. KE,. LN;. MN, NO;. OP ,. 
&c.,, equales: Radio AB. & ad oppofita Latera demittattur: per- 
pendicuares BE, HQ, IR;. KS, LT, MV,. NX,. OY, &c. 
Et: Angulórum H1Q; IKH, KLI,.L MK, &c.,. differentiz erunt: 
Angulus A, Sinus.HQ;,.IR ,.KS/ &c: ,.& Co-finus IQ. KR,LS,. 
&c.. Detur. jàm: aliquis eorum. L.MK,. & ceteri: fic eruentur. Ad' 
SV,. & MV.,. demitte Perpendicula Ta & K £5: & ,. ( propter fi-- 
milia Triangula: ABE,, TL 4; KM£,. ALT,. AM. &c; Y) 


eit AB. BEz TE Le (— Uy  &T( KM). 
zMé( o MY RES) gc AB.AES KT. Sa (i SEEUY 
SIL.Ta(Qm ÉSEMY), unie dintuSims & Codinus KS; 

Xx $ MY.. 


J . 
*$6 OPUSCULUM Xl 
MV,'SL, LV. Et fimul patet ratio. continuandi Pragreffiones. 
Nempe, AB. 2AE: LV. TM--MX : MX. VN 4- NY, &c 
zMV.TL-4-XN:XN. MV-rOY, &c.; vel AB. 2BE: LV. 
XN —TL:MV.TM—MX:MX. OY—MV:XN.VN 
, — NY, &c. Etretró AB. 2A4E: LS. K T--RK, &c. Pone 
ergo AB— 1, &fac BEXTL— La; AExKT —S4; S4 
— La—LV; 3SAExLV —TM— MX, &c. fed nodus eft. 
ánventio Siaüs & Co-finüs Anguli A. Et hlc fubveniunt Series noftra. 
Utpote, cognità ex fuperioribus quadrantalis Arcüs Longitudine 1, 
$7079, &c., & fimul Quadrato ejus 2, 4694, &c., divide Qua- 
dratum -hoc per Quadratum. Numeri exprimentis Rationem nona- 
ginta Graduum ad Angulum A; & Qsoto dido e, tres vel qua- 
coa ; 2! at 
tuor Termini hujus Seriei 1 —R 4 mE T 3532089 
dabunt Co-finum iftius Anguli A. "sic, , primà queri poteft Angu- 
lus quinque Graduum, & inde Tabula computari ad quinos Gra- 
dus; ac deinde interpolari ad Gradus vel dimidios Gradus per ean- 
dem Methodum. Nam, non convenit progredi per nimios faltus. 
Duz tertie partes Tabule, fic computate, dant reliquam tertiam 
partem, per Ádditionem vel fübtra&ionem , more noto. Siquidein , 
pofito K T Co-finu fexaginta Graduum, fit AE— SV, & BE 
—— M. Tunc ad decimas & centefimas partes Graduum pergen- 
dum eft per aliam Methodum: fubítitutis tamen. priüs Logarithmis 
Sinuum inventorum, fi ejus generis Tabula: defideretur 
Ad computum Tabularum aftronomicarum K eerrRr,' pofui 
fundamentum aliquod in alterá Epiftolá. Ejus Seriei tres primi Ter- 
mini, & aliquando duo fufficiurt. Sed ad diverías partes Ellipfeos 
diverfe ejufmodi Series aptari debent. —Vel potiüs tales Series com- 
putande funt, quz ex datà Areà Setoris elliptici B GE , immedia- 
té exhibeant Áream Sectoris Circuli, cujus Angulus eft BE G, Ra- 
dius CB. ' Et habitis hifce, computum earum ad duos , tres, aut 
fort& quatuor Terminos, beneficio Logarifhmorum , .haud gravius 
erit quàm folita Refolutio tot Triangulorum in aliis hypothefibus : 
'Imó fort? minus grave , ^fi Series priüs debite concinnentur ; fiqui. 
dem unus Logarithmus & Tabulà petitus determinet omnes iftos 
Ter- 





POSTERIOR EPIST. NEWTONI. 4D OLDEMB. 55x: 


"Ferminos.,. addendo. ipfum. & ejus multiplices.ad: Logarithmos. da-- 
tarum Coefficientium in promptu habitos.. 

Qua de hoc.genere Tabularum dicuntur ,-ad alias transferri pot. 
fünt, ubiratiocinia Geometrica, locum non obtinent. Sufficit au-. 
tem. per has Series. computare triginta, vel viginti, aut forté pau- 
veiores Terminos Tabul in debitis diftantiis : fiquidem. Termini in- 
termedii. facilé interferuntur per Methodum quandam, quam in ufum 
Calculatorum. feré hlc defcripfiffem.;. Sed pergo ad alia. 

Que Cl. Le1sxrTIUSsÀ me defiderat explicanda, ex parte fu- 
pra.defcripfi — Quod veró attinet ad inventionem: Terminorum p, 
4; rin Extradione Radicis affectz :: primüm P fic eruo.. Deftripto: 
Angulo reco BAC; Latera ejus BA, C A ,. divido in partes equa-- 
Xs; & inde Normales erigo diftribuentes Angulare fpatium | in 
qualia Parallelogramma , vel Quadrat ,. 

B. 











aS AE AERE 


S AEDIETAEUS 


xxy! | xxy* | x | x5* à xxy? 
Lor pure Exy ox» pxy 


xyle»|r 
ESI x 










que concipio denominata: effe à Dimenfionibus duarum: indefinita-- 
rumSpecierum, puta, x, &jy. regulariter aícendentium à Termino: 
A; prout vides in Figurá fuperiore ,. infcriptas. Ubi y denotat Ra-- 
dicem extrahendam ;; & x alteram. indefinitam . Qaantitatem ,. ex cu- 
*jus- Poteftatibus- Series conficienda eft. Deinde, cüm JEquatio ali-. 
*qua- proponitur , Parallelogrammafingulis ejus Terminis correfpon- - 
dentia infipnio notá aliquà; & Regulà.ad duo, vel forté plura, ex 
infignitis. Parallelogrammis applicatà ,.. ( quorum umm: fit Humilli- - 
mum in Columná finiftrà juxta- AB,. & alia.ad Regulam dextror-. 
Ífum fita ,. ceteráíque omnia non: contingentia. Regulam fupra eam 
jaceant;, ) feligo "Léfmings. JEquationis per Parallelogramma . con- - 
. tin. 


ETEI OPUSCULUM XL . 
'tingentia Regulam defignatos, & inde quaro Quantitatem Quotien- 
iti addendam. 

i 

"Sic, ad extrahendam Radicem y, ex j* — $xy! -- - y— 
q44xx33 d- 6e! x* -- box*— o ; Parallelogramma hujus Terminis 
azeípondentia figno notá aliquà *; ut vides in Fig. quintà —Deim 
applico Regulam D E ad inferiorem é locis fignatis im finiftrà 
SColumnà; eámque ab inferioribus ad fuüperiora dextrorfum gyrare 
facio, donec alium fimiliter , vel fort plura é reliquis fignatis lo- 
cis, coeperit attingere. — Videóque loca fic attadta effe x* , xxyj, 
& j*. Et Terminis itaque, )* — 744xxyj -1- 64^ x' , tanquam 
nihilo zqualibus, ( &infuper, fi placet, reduGis ad v'— 7vv-F 
6 —-0, ponendo j— vv 4x, ) quzro valorem y, & invenio 
quadmplicem , 4- «x, — Vx, -- V 24x, & —vV24x, quo- 
rum quemlibet pro primo Termino Quotientis accipere licet, prout 
$ Radicibus quampiam extrahere decretum eft. 

Sic, JEquatio y* -FaxjH- 44) — x' — 24! —0, quam re- 
jfolvebam in priori Epiftolà, dat — 24 Tan F3! —o, & inde 
j 74, proximé : Cüm itaque 4 fit primus Terminus valoris y, 
pono p pro cetetis omnibus in infinitum, & fubftituo erp) 
( Obvenient hic aliquando difficultates nonnulle; fed ex iis, cre- 
do, LzisNi:TIUSs fe proprio Marte extricabit. ) Subfequentes ve- 
1Ó Termini 4, r, *, &c., eodem modo ex JEquationibus fecun- 
dis, tertiis, ceterílque eruuntur, quo primus 2 é primá, fed curà 
leviori; quia ceteri valores ; folent prodire dividendo Terminum 
involventem ínfimam Poteffatem indefinite Quantitatis x per Coef- 
ficientem Radicis p, 4 , r, aut s. 

Inteliéxti , credo, ex fuperioribus, regreffionem ab Areis Cur- 
.varum ad Lineas rectas, fieri per hanc Extradionem Radicis affec- 
tz. Sed duo alii funk rhodi , quibus idem perficio. 

Eorum unus affinis eft computationibus, quibus colligebam ap- 
proximatiores füb finem alterius Epiftole, & intelligi poteft per 
hoc mE inn JEquatio ad Aream Hyperbole £ ——x* 


Tiütl s t1 x* 4- Tr. &c. Et, partibus ejus mul- 
tiplicatit 


POSTERIOR EPIST. NEÀWTONI AD OLDEMB. 5:5 
tiplicatis in fe, emerget zz — xx -- x* *Ln x*4- ie, &c.; 
peat Ts » &c. ; z*— x*-r- 2x5 , &c.; z5— x5, 

I LER IUE 
&c. Jam, de £ aufero — ez, &reflat e— -— nex s 

$ 13 5 —d 

£e —AT xb n z 45 
TREU—eBLSBe, &c. Aufero 7 — "Rd » & reftat 
£— leRie—ie—ecde » &c Addo 
not (E fu Tee nt —Z tnt —qum. 
proximé ; fre xz — "ez TU—É6L"t in" &c. 


Eodem modo, Series de unà indefinità Quantitate in aliam 
transferri poffunt. — fi pofito r Radio Circuli, x Si. 


nu redo Arcis z, & x * pu -F &c. Longitudine Arcüs 


iftius; atque hanc Seriem M Sinu redo ad Tangentem vellem tranf- 
ferre ; Quaro mou Tangentis - 


finitam Seriem x 4- S. 2*7 pz 

Colligo Poteftates ejus z' —x E &c;f —x!--&c Au. 
2m ? 

* fero autem. de c, & reftat £ — ; — — ;"—i x5 — 





I & reduco in in- 


T &c E hzc Quantitas — 7, 


&c. Addo 1" & fit e— £4- ;" —Le T-&c. Auféro 
P, & reflat c—2-- T s— T f — 0, quamproximé, 
Quare et &—;— —— P -p Lut &c Sel, quis im ufus 
Tj. Neviemi Opsféeula , Tom. L Yy trigong« 


354 OPUSCULUM XI 


trigonometricos me juffiffet exhibere expreffionem Arcüs per Tan- 
gentem; eam non hoc circuitu, fed diredtà Methodo quafiviffem. 

Per hoc genus computi colliguntur etiam Series ex duabus vel 
pluribus indefinitis Quantitatibus conftantes ; & Radices affedarum 
JEquationum magná ex parte extrahuntur. Sed ad hunc pofterio- 
rem ufum adhibeo potiüs Methodum in alterá Epiftolà defcriptam, 
tanquam generaliorem , & , ( Regulis pro Elifione fuperfluorum. 
Terminorum habitis, ) pauló magis expeditam. . 

Pro Regreffone veró ab Areis ad Lineas redas, & fimilibus. ,. 
polfunt hujufmodi Theoremata adhiberi. 


TuzomnrMa L 
Sit z — 2y d- yj d- ey" F4 y* prey, &c 


Et viciffim ey 
—4 zn 


" abb a z* 


4 
Ep z* 
L 3a abb beaba p apa 2! [- &c: 
Exempli gratià. Proponatur JEquatio ad Aream Hyperbole ;. 
&mj— Lqykpr—-uYckpry. 8e Es ffi. 
tutis in Regulà r. pro 4, —3t pro à, mee, — pro 
'4,& T pro e; vicifm exurgit, yo Tti &ed SUE 


uut &c. 
Tauro 


POSTERIOR EPIST. NEWTONI 4D OLDEMB. 35; 
Tuzomx IL 


Sit £ — 4y H- by! H- cy d- dy! p ey b Ec Et vicillim 


Sab c—aad — 12b* gd 


T ui 
4- $0 — qibbe p Torabd-P qa ace tn sx 


Exempli grati. Proponatur JEquatio ad Arcum Circuli & — , 
-E T zx. T m. &c., Et, fübflitutis in Regulà, 1 pro 





—i., prod; &c. Orietur jy —£— : 


5 eh; Lo Pro65 vau Térr 
tj 
ELO 

ub —uo ts 


Alterum modum regrediendi ab Areis ad Lineas recs celare 
fatui. 

Ubi did omnia pené Problemata folubilia exiftere, volui de 
iis przfertim intelligi, circa quae Mathemátici fe hactenus occupá- 
runt, vel, faltem , in quibus ratiocinia mathematica Jocum aliquem 
Obtinere poffunt. Nam, alia fané adeó perplexis conditionibus im- 
plicata excogitare liceat , ut non fatís comprehendere valeamus; & 
multó minüs tantarum computationum onus füftinere, quod ifta 
Tequirerent, 

Yy 2 Attamen, 


356 OPUSCULUM XL- 


Attamen, ne nimiüm dixiffe videar , invera de Tangentibus Pro- 

blemata funt in poteftate, aliáque illis difficiliora. Ad quz refol- 
venda ufus fum duplici Methodo; unà concinniori, alterá genera- 
liori Utramque vifum eft in prafentiá litteris tranfpofitis confi- 
gnare, ne propter alios idem obtinentes, inftitutum in aliquibus 
mutare cogerer * $accde xoeffb12i4413m10n604477 5115 
10»3x: 114b 3cdd 10e eg 10i114m7n603p3467 55114 
7ux, 34ce 4eghbGialamsngoqAra3s6t A , aadde 
£eeec id mm mnoo pmrr ss455 Lt ww. 
. lnverfum hoc Problema de Tangentibus, quando Tangens inter 
Pundum Contacts, & Axem Figurz eit datz Longitudinis, non 
indiget his Methodis. Eft tamen Curva illa mechanica, cujus de- 
terminatio pendet ab Areá Hyperbolz. 

Ejuídem generis eft etiam Problema, quando pars Axis inter 
"Tangentem, & Ordinatim applicatam datur Longitudine. 

Sed hos cafus vix numeraverim inter [ Ludos Nature. Nam , 
quando in Triangulo Re&angulo, quod ad illà Axis parte, & Tan- 
gente, ac Ordinatim applicatà conftituitur, relatio duorum quo- 
rumlibet Laterum per JEquationem quamlibet de&nitur, Problema 
folvi poteft abfque meà Methodo generali: Sed, ubi pars Áxis ad 
Punctum aliquod pofitione datum terminata ingreditur Vinculum , 
tunc res aliter fe habere folet. 

Communicatio Refolutionis affectarum /Equationum per Metho- 
dum LzisNiTII pergrata erit; juxta & explicatio quomodo fe 
gerat, ubi Indices Poteftatum funt Fractiones; ut in hac JEquatione, 

3, 


20 4- X — xg, f O, aut furde Quantitates, ut in 
hac 


* |d eft; Una Metbodsrconfftit in. ExtraBione fluentii: Quantilatir ex. Zquotioue 
fimul involvente | Fluxionem ejus. Altera. tantzan. in. a(faenptioue Serie pro. Quantitate 
quálibes imcogmitü , ex quà cetera. commod? derivari po[fist , € in collatione Termi- 
eorum bomologorum. JEquationis vefultantis ad exuendos Termissos affumpte Seriel. 


1 Vide fupra Opufculo hoc Art. x. pag. 326. 4 


$ In Wiallifi. Operibus mathematicis Tom. Ili, pag, 645 habetur pro hoc Ter- 
mino — x7 57. 2 


POSTERIOR EPIST. NEW'TONI 4D OLDEMB. 557 
hac "4 ^x 7 Vr ubi V2, & M 7, non defignant 
Coefficientes ipfius x, fed Indices Poteftatum, aut Dignitatum ejus; 
& LES Indicem Dignitatis Binomiü xV ?-p xV 7. — Res, credo, 
meh Methodo patet; aliter defcripfiffem. 


Sed meta tandem prolixe huic Epiftole ponenda eft. Litterz fa- 
nb excellntiffimi LeisNiTIi: valdé digna: erant, quibus fufiüs 
boc refponfum darem. Et volui hac vice copiofior effe, quia credi- 
diamoeniora tua negotia feveriori hoc fcribendi genere non debere 
à me arebró. interpellari. 


Tui Studiofiffimus 


ls NzwTON. 


Yy 3 O PU$CU. 


[58 1 
90206:0280/:0206/0260:020089/0206/0200 0006.5 
OPUSCULUM XII 


FRAGMENTUM EPISTOL.JE 


ISAACI NEWTONI 


; AD 
COLLINSIUM. 
A. D. 8. Novembr. 1676. 


?T Ulla extat.Curva, cujus /Equatio ex tribus conftat Terminis ; 
in quà, licét Quantitates incognitz fe mutuó afficiant, vel 


Indices Dignitatum (nt furdg Qantitates, (verbi gratiá, ax? 


T£ x" y7 4e c ^ — o, ub x defignat Bafim; y. Ordinatam ; 
2» | 05 7; Indices Dignitatum ipfius x, & y; & 4, 6, c Quan- 
titates cognitas unà cüm fignis fuis 4-, vel —., ) nulla, inquam, 
hujufmodi eft Curva, de quà, an quadrari poffit, nec-ne, vel 
quenam fint Figure fimpliciffimz, quibufcum comparari poffit , 
five fint conicz Sediones, five ali» magis complicate, intra horae 
oGantem refpondere non poffim. Deinde Methodo diredá, & bre- 
xi, imó Methodorum omnium generalium breviffimà, eas com- 
parare queo. Quinetiam, fiduz quevis Figure per hujufmodi JE- 
quationes expreffe proponantur, per eandem Regulam, eas, mo- 
dó comparari poffint; comparo. ' 

Affirmatio , quidem, videri poteft temeraria, propterea quod per- 
difficile fit didtu, an Figura quadrati, vel cum alià comparari pof- 
Jit, nec ne; mihi autem manifeftum et ex eo, unde deduxi, fon- 
te; quanquam id aliis demonftrare in me füfcipere nollem. Eadem 
"Methodus JEquationes quatuor Terminorum, aliáfque compledtitur, 
haud famen adco generaliter. 

BEEN OPU;s- 





OPUSCULUM XIIL 
EXCERPTUM, 
E X 
DUABUS EPISTOLIS 
ISAACI NEWTONIE 
A D 


JOHANNEM WALLISIUM. 





EXCERPTUM 


DUABUS EPISTOLIS 
AB 
ISAACO NEWTONO 

4 D )J 


JOHANNEM WVALLISIUM: 
Datis A. D. 27. Augu(ti & 17. Septembris 1692. 


Amque ] (NzwToNvs) in Litteris ad me datis Aug. 27 ; & WnBit. 
Sept. 17. 1692, fcribit Progreffiones effe horum Theorematum, 1e 
(de Curvis quadrandis) in infinitum pergentes; qua tamen Om- Ton If. 
nia in hujufmodi Theorematis generalioribus comprehendi poffunt. 94639". 
Si Curve Abfciffa fit —z & pro Terminis hnjus Seriei «4- óz' 
*]- c2! 4-4 x! - eec. hujüfque e4- 2" -4- £z! -- 5e" H- 6e. 
vel pro eorum quotlibet ; fcribantur Q & R refpedivé ; nempe, 
Q, pro primis, & R pro fecundis ;. Sit autem Ordinatim applicatà 
gf xQR^^', & ponat&t Drinks fqA—É£ 
£d A—u dr. erit Area Curve ' 0. 
f Harum Epiftolarum , quod. fcire potuerim , exemplar. vulgatum non eft; fed ' 


hoc excerptum. exhibuit WArLis1Us plerumque fuss (Na wrowi fcilicet) 
verbis, Vide Elenchum contentorum Tom. I]. peg.g. fub Num. XCV. — 


Jf. Nevtoni. Opsfeula , Tom, 1 "Z2 0 dRN 


36a OPUSCULUM XIII. 


—€ 
aÓ RO in — 
. re 
-XLb—Ssf& 
* r4-2Xc 5 
AQ (Big i 
* r4d-2Xec uli 
Xa fc gE—4k 
4 3» —32 ILI "1 
tdraXe 
-F &c. 


Ubi A, B, C. &c. denotant. Coefficientes datas. Terminorum; Se- 
Aiei cum fignis fuis , nempe 
Y 
—Z2.« 
&, primi Termini" Coefficientem. MT 





-Mhj— sfA 
B ficundi: Codfficientens TXBEÜC 


Qui Mttliodo- in Bujufinodi Series. incidit, mihi? explicuit-- 
Eandem: tamen: litteris quibufdam celavit, quz redo, ordine difpofi-- 
t: cohficinnt: hánc: fententiam ,, Dat: Zguatióne ,, Fluemtes quor- 
eunque Quantitates imvolvente , Fluxiones. imvenire: :- d vice: vtris. 
Rer: Eluemes: Quantitates: intelligit. indeterminatas ,. id eft, qux in: 
' generatione: Cnrvarums per: Motunr. localem: perpetuó: augentur vel: 
diminuuntur 5; & per. earum, E/wxioner»- intelligit Celeritatem Incre- 
menti vel Decrementi.  Nàm ,. quamvis Flgenzes Quantitates & ea- 

^ vim. Elexiones primi. fronte. conceptu. difficiles. videantur. ,. ( folent: 
enim. 


». & fic: deinceps. 


EPIST. NEWTONI AD WALLISIUM. 36» 


. thim nova difficiliàs concipi, ) earundem tamen notionem citó faci- 
liorem evafuram putat, quàm fit notio Moentorum aut partium 
minimarum. vel differentiarum infinità. parvarum ; propterea quód 
Figurarum & Quantitatum generatio per Motum continuum magis 
maturalis eft, & faciliüs concipitur, & Schemata in hac Methodo 
Íolent effe fimpliciora, quàm in illà partium. — Attamen, non ne: 
gligit Theoriam talium partium, fed eà etiam utitur, quoties ipfa, 
vel opus brevius reddit, & magis perfpicuum , vel ad rimandas 
Fluxionum proportiones conducit. Abfciffam Curve, aliámve ali- 
quam Quantitatem Fluentem , uniformiter augeri fupponit, & pro 
ejus Fluxione Unitatem ponit; pro reliquis autem Quahtitatibus 
Fluentibus ipfas ponit Quantitates Punctis notatas in hunc modum, 
Sint v, x, 7, 2 Fluentes Quantitates, & earum Fluxiones his Notis 
9,X, y, £, defignabuntur refpedtivé. — Et , quoniam hz Fluxiones 
funt etiam indetermimate Quantitates , & perpetuà mutatione red- 
untur majores, vel minores, confiderat velocitates, quibus augen- 
tur, vel diminuuntur, tanquam earum Fluxiones, & Puncis binis 


notat in hunc modum v, x jJ. z, & perpetuum Incrementum , vel 
Decrementum harum Floxionuin  confiderat ut ipfarum Fluxiones , 


& Pundcis ternis fic notat vx ^ *, & harum Fluxiones Pundis 
quaternis fic v, x J. £z Qui Ratione v eft Fluxio Quantitatis 7, 


& v Fluxio ipfius v, & v Fluxio ipfius v. Et fi Quantitates 
Fluentes, vel frac fünt vel furdz , Fluxiones earum fic notat, 


Quantitatum p. & aa — xx, Fluxiones funt mE & 


— Xx 
Vas — xx» & harum Fluxiones fi 


porró. His autem expofitis, Methodum fum in Propofitione hacce 
problematicà fundat. 








Za 4 Paonwo 


3644 || OPUSCULUM XIII 
Prkosnr L 


Dii JREguationes. Fuentes quotcanque Quantitates impolvente,, 
srvenire Fluxiones.. 


SOLUTIO 


Multiplicetut quilibet ZEquationis Terminus feparatim. per Indice. 
fingulos. Dignititum. Quantitatum. omnium. Fluentinm., quz in 
Termino illo continentur;: & in fingulis Multiplicationibus. mute- 
tur Latus unum Dignitatis in. ejus. Fluxionem; & Aggregatum. 
Produ&orum. omnium. fub. propriis fignis componet. JEquationtm. 
movam, que Relationem, Fluxionum. involyet.. 


EXPFPLICATIO. 


Sint 4s E, e, d; &c;.— Qgantitates détermitatz: & inmutibi- 
Jes; &. proponatur Jquatio. quevis Quantitates Fluentes.x; y; z, 
&c. involvens , puta, x"—- xyy-- 4a —b^ — o.  Multipl- 
centur Termini:primó. per Indices Dignitatum. ipfius x in ipfls.con- 
tentarum; refpecive; & in. quálibet: Multiplicatione pro. uno La- 
tere. Dignitatis,, ( hoc: eft, pro. x. unius. Dimenfionis ) fcribatur 


x & Summa. Prodndtorum: erit: 3Xxx:— x35. Idem fat inj, 


.'& producetur.— 2j. ldem fiat: itr z,. & prodücetur--- a 
Summa Productorum. omnium aquetur: nihilo; & habebitur. /Equ- 


tio 3X x X— XJy — 2x)J H- 442— o. Dico; quód hac erit: 
TEauatio, Relitionem. Fluxionum. involvens., 


DEMONSTRATIO. 


Sit, enit; e; Quantitas. ibfinité parva,, & fihtez, oy, ox fj 
clirona. Momenta ,, feu: Incrementa momentanea ,. Quantitatum fh- 
entium; £, y,. & x: &. ha Quantitates proximo Temporis.momen-- 
7 ^ : " 


EPIST. NEWTONI AD WALLISIU NM. S365. 
to per acceffüm Incrementorum. momentaneorum. evadent z -- "S » 
1T). x4 ox; quz in JEquatione primá pro z, j,&x, 
Írriptz,. dant hanc: /Equationem. x*-4- 3x xox-]- 3xeoX x -]- xt 
&! —x43—5x0]y— 2x4) — ax003J 4T xooy) d x o! 7, 
-Faas d- 440z— b ——0. Subduc JEquationem primam, & 
refiduum: divifum per o erit xxx T ax xox-4- x'o 009 — x) y 
—223y. — ax 2)J 4 xoyyd- xo o jt 44x — 0. Te. 
minos. multiplicatos pere; fanquam infinité parvo, dele, & ma-- 
nebit JEquatio. 3x X* — xyy— 2x 3-442 — o. QE D: 

Simili Methodo JEquatio x* — xyy d- 44 Vag— yy — P0. 


Evadit: pexx— x)3—22)) 4e ax — ) 4 — —o. Ubi; 


fl Flüxionem- 4x — y y eliminare velis ,. pone ax — yy 
Lt, & per confoquens 4x — yy tms & Propofitio da 


lit 4X — 257—252 id eft, £521 — rin ax ay 
' Man —3 


m—[Vaas—— jy. Et inde Equatio. primó. inventa fit. 3x xx- 
PE 


— 2a » 
— pipe PEE o 


Et. eádém. Methiodó pergere licet. ad' Fluxiónes fecundis ac ter-- 
tias.. Ponatur JEquatio 2: PL zf-- «*— o, & Propofitio inde da-- 
Bit £y "n. 363Jp—— x2 —2e. & hzc JEquatio, per. openitio-. 
mem repetita. evadet: z;? m 623344-327372- 623] J— 
Ap EP 1222 £5 — 0; & fic deinceps. 

Ut-applicetur hzc. Methodus ad. Quadraturam: Curvarum ,. N x w-- 
TOxus pro Fluxione AbícifIe, uniformi pofità , Unitatem affumit;: 


&. Qrdinatam ponit: pro Fluxione Are ;. bo Relationem inter: 
Zz.. Abícif.- 





366 OPUSCULUM XIIÍ 


Abíciffam & Aream per JEquationem quamvis affumptam definit; 

& inde colligendo earum Fluxiones obtinet JEquatignem novam , 
quà Relatio inter Abfciffam & Ordinatam definitur; & tum demum 
ad quadrandas Curwas efficit, ut hac /Equatio formam quamvis de- 
fideratam acquirat. Et hac Methodo dicit fe computo breviflimo & 
facillimo Theoremata fupra pofita inveniffe. Sed & eádem Metho- 
do comparat diverfas Curvas inter fe, ponendo, fcilicet, earum 
Ordinatas Fluxionibus Abfciffarum reciprocé proportionales. 

Sub finem Epjftolz anni 1676 fcribit etiam Problema determi- 
mandi Curvas per conditiones Tangentium in fuà poteftate effe, 
whà cum aliis difficilioribus ; ad que folvenda fe ufum effe dicit 
duplici Methodo, uná concinniore, alterá generaliore: & utram. 
que litteris tranfpofitis celat : quz , in ordinem redadte , hanc 
fententiam exhibent. Una Merodus confiffit im Extratfione uenis 
Quantitatis ex AKquatione fimul involvente. Fluxionem ejus. diera 
Tantim in affumptione Seriei pro Quantitate quélibes. incognitd , ex 
$4 cetera. commod? derivari poffunt 5. im. collatione "T'ermintrum 

mologorum. /Eguationis vefultantis ad eruendos Terminos affumpta 
Seriei. Harum. Methodorum fecunda ex verbis jam recitatis abfque 
ulteriore explicatione intelligi poteft; priorem ab Audore jam ac. 
Cepi, ut fequitur. 

Hec Methodus, ait, ejufdem eít generis cum eà pro extrahendo 
Radices ex /Equationibus affedtis fuperids defcriptà. Pone, quód 
Problema refolvendum reducatur ad /Equationem fluentes Quantita- 


tes y, & x, unà cum earum Fluxionibus J & x involventem ,& 
quód Fluxio ipfius € uniformis fit Ut hec Fluxio ex. JEquationc 
evanefcat, pro eà ponatur Unitas, & manebit JEquatio folas y, 2, 


& 5, involvens, quam Refolvendam vocat. — Proponitur inventio 
ipfius y in Serie infinità convergente, qua folam s involvet. Hoc 
in aliquibus JEquationibus impoffibile eft, in alils pr&parationem 
JEquationum requirit, ubi verà diredié confici poffit, Refolutio eft 
hujufmodi. 


M 


EPIST. NEWTONI AD W ALLISIU M. 362 
PRosrzremnm a Il 


Ex JEquatione ,. Fluxionem Radicis imvolvente , Radicem extraere.. 
KRESOLUTIG 


OrrznRaTrIO PaRrIAMXEK 
Termini. omnes, ex eodem JEquationis latere confitentes , zquem-- 


tur nihilo, & ipfarum.y ,. &), Dignitates ,. ( fi opus fit, ) exal- 
tentur vel deptimantur, fic ut earum Indices nec alicubi negativi 
fint, nec tamen altiores quim ad' hunc. effedtum requiritur; & fit 


4^ Terminus infimz Dighitatis eorum, qui neque per 7,. neque: 
per ejus Fluxionem y , neque per earum Dignitatem quamvis, mul- 
tiplicantur: Sit 4/^,* ;8 Terminus alius quilibet, & , omnes or-- 
dine Terminos percurrendo, collige ex fingulis feorfim numerum 


. d fic, ut tot: habeas ejufmodi. Numeros, quot fant: Ter-- 


mini Horum Numerorum maximus vocetur y, & z" erit Digni-- 
tas primi Termini Seriei. Pro ejus Uoefficiente ponatur e, & in: 
JEquatione ,. que re/o/venda. dicitur , fcribe «zx proy, & vex? —: 
pro. J 5; ac; Termini omnes refültantes,. in quibus z ejufdem eft Di-- 
gnitatis ac im Termino. £^, füb propriis fignis colle&i, ponantur: 
wquales nihilo. Nam, lizc.JEquatio,. debité reduda;. dabit Coef-- 
ficientem. e. Sic. habes ez" ,, Termiimm primum. Seriei:. 
OrznuxTLo SECUNDA. 

Pro. reliquis omnibus: hujus Serie Terminis: nondum inventis po—- 
ne p;. & habebis JEquationem: 5 —— 42" -- p, & inde etiam ( per 
Problema L) JEquationem y ——,4z' ^ ' -k- p. In Réfolvendá pro: 
p& J» fcribe lios: eorum valores; & liabebis refolvendam novam ,. 
ubi p officium praftat ipfius y: & ex hac: Refolvendá primum  ex-- 
trahes. Terminum. Seriei: / eodem: modo: atque. Terminurn. primum. 
Serici. totius y,—— «z' -- ; ex Refolvendà prim extraxifti.. 
Qrrzxa- 


398 . OPUSCULUM XIII. 
OrsrznRATIO TznTIA, zT SEQUENTES. 


Dein, tertiam Refolvendam eddem ratione invenies atque fecun- 
'dam invenifti , & ex eà Terminum tertium  Seriei totius extrahes. 
Et fimiliter Refolvendam quartam invenies, & ex eà quartum Seriei 
Terminum, & fic in infinitum. Series autem fic inventa erit Radix 
ZEquationis, quam extrahere oportuit. 


EXEMPLUM 
OsrzRaTio PnariMa 
Ex JEquatione y32x—£zzj — ddzz-- dz zr -—0, Xr. 
Whenda (it Radix y. Pone z,— 1, & JEquatio evadet yy — € £y 
— dd A- dz —c0, quz eít Refolvendà. — Jam veró Terminus in- 
fmus, in quo nec y neque J reperitur , eft dd, qui, ipfi kx 
equatus, dat A —0.  Terminis reliquis jy, — £j, pone 4^ 


y X? qualem fücceffivé, & inde in primo cafü habebis 4 —— 0, 
« — 2, À—:0; & in fecundo u —2, «——20, & 8 — 1. Et 


hinc AUi in e cafa o, in fecundo — 1. Undeyeft 


o,&az',&,as — ,funta, & 0; quarum ultime duz, 4, 


& o, in Refolvendá pro 7, & » fcripte, producunt 44 4- e££ 
— dd dz; & Termini 44, & — 44, in quibus Index Digni- 


tatis x; eft A feu o, pofiti equales nihilo dant 4 —4. . Unde pri- 

"mus. Seriei Terminus ac" evadit 4 
, OrrznhaAT:0 S$tcuxMpA 

Pro Terminis reliquis pone ;. & habebis JEquationem y—)p 

& inde ( per Problema I) y — p; -qui valores ià Refolvendá proy, 

& » fubfítituti dant Refolvendam novam 2dp- p — 55 P 4 4s 

——o, ubip,& P vices fübeunt ipfarum y & y. Terminus unicus, 

in quo nec p neque ? reperitur , eft Zz, qui cum Terinino 4 z^ coL 

latus, dat A —r. Terminis reliquis 24p, pp & — xp pone (z/^p* p? 

equa. 


EPIST. NEWTONI 4D WALLISIUM.. 56s 


2iqualem fuccéffivé; & inde in primo cafu habebis , —o , « —1 , 
& 8—0; infcondo a— o, 42 & 8—20; &in tertio ,—22, 


—o,&f-—i: EK hinc 4,18 evadit primo cafü r , in fe- 


cundo -L, in tertio o. Unde » M 1,& az", & paz" (unt 
4z, &4. Termini duo ultimi ez, & «, in Refolvendápro p, & 


P refpedivé fcripti , producunt 2dez J- 422e — atz-]-dz. Et 
"Termini 242, & dz, in quibus Index Dignitatis x eft A feu 1, po- 


fiti zquales nibilo, danta—— 7 —. Unde 4z', Terminus primys 
Seriei p, fit — it 


OrrzkRaTi0 TrzacTciA 


Pro Terminis reliquis nondum inventis pone 4; & habebis Equ- 


tionem p—— f & inde (per Problema Lp M 
4: Qui valores, pro p, & P , in Refolvendà novifimi bito, 
producunt Refolvendam novam ad — 24 4-40 ti 3: — zu 


—o. Ubi 4, &4, vices fupplent ipforum D &). Termine uni. 
cus, in quo neque q nec 4 reperitur , eft 2. ze, qui, cum £ z^ 
collatus dat, A—2. m reliquis , 44, — £43; 4-445 
— x54, pone 4 z/^ 4 ;? zqualem fücceffivà ; :& inde , in primo 


cafu habebis, 4. —0, a—1, & 8——0; in fecundo, u—r, 
€—1, 0—co; in tertio, i. —0, a—2, 8—0: in quarto 


&-—2, «4-0, $—1: & inde, AERE evadit in primo 
cafu, 25 in fecundo , tertio. & quarto, 1. Et hinc » eft 2, vd 
«zx, &yaz!  —  , funteze, & 244: qui valores in Refolvendà 
pro4. &2, fubftituti , dant adazz — ax! -- aane ££5—-24£5 
& Termini adazz 4- Las, in quibus Index Dignitatis z eft A feu 2, 

Jf. Newtani Opuféenla , Tom. I. Aaa . pofiti 


376 OPUSCULU M XIII. 


pofiti equales nihilo, dant «—— —— a Unde, 4£ ,, Terminus 
primus Seriei 4., evadit — $7 | 
OrrzRATrLIO QuaARmKmTA. 


Pro reliquis Seriei Teminis nondum inventis pone z; & habeb&. 


JEquationes 1—— 5 ir &4— — 8s E & inde. Refol- 
vendam novam 2dr fw A — zr4- Pd Yrs m eut 


z—0; & ex eà, per Methodum fuperiorem, habebis— m d Ter- 
minum primum Seriei r.. Et fic pergitur in infinitum. . 

Eft igitur Radix extrahenda y — d p — d — T z-- qd. 
— I £. —M t rd bao. 9 Sc Et. 
Operationem continuando, producere licet Radicem ad Terminos plures. 


Et eidem Methodo, dicit Nrwrowus, Radices JEquationum , 


Fluxiones fecundas, tertiss, quartas, ( p» x ») aliífque invol- 
ventium , extrahi poffe. 

Hisutitgr Radicum Extradtionibus ubi alie. Methodi nil profunt. 
Nam, in Epiftolà predidá anni 1676 docet, quód in Solutione 
Problematum .de Tangentibus inverforum , cafus aliqui: dantur; in 

quibus hac: Methodus generalis non requiritur: & particulariter , fi 
in Triangulo rectangulo, quod ab Ordinatà, Tangente, & interja- 
cente parte Abíciffe conftituitur, Relatio duorum quorumlibet à 
Lateribus tribus per ZEquationem quamvis definiatur, Problerta abí2 
que Methodo hacce generali folvi poterit: 

Methodi'autem hae omnes, tam particulares quàm generiles, 
colle&im fumptz,, Solutionem exhibent fecunda partis Problematis , 

' quod NzwToNvs fub initio iftius Epiftole his verbis propofuit: 
Daá JEguatione » quotcunque Fluentes Quantitates imvolvente , Fln- 
xieses. imvenire, C. vice ver/2. Nam, tota Fluxionum Metho- 
dus in hujus directá. & inverfà Solutipne con£iftit, 


OQ. P.U.$ CU. 


OPUSCULUM .KIV. 

IS A A C I 
NEW TONI 
EPISTOLA 
4A D 


XCHAMBERLAYNU.M 


Aaa 2 





Digitized » Google 





L.375 1 
- 496 G9: 85 60: 405 59:96 09r 306 50:305 56-308 Soc 0:5 $9205 96r 305 3036350: 205 56:295 69c9059r 


ART. IL 
EXCERPTUM 


EX 


EPISTOLA LEIBNOIIE 


AD 
CHAMBERLAYNUM 


Loxpiwi degentem, 
Vindobone A. D. 28. Aprilis An. 1714- 


RarT1As ago tum ..... càm deeo , quod tam benigné te offers 

ad refarciendam amicitiam inter me, & NgwToNun. Ego 
quidem eam non difcidi Sed KrirL1vs quidam, cüm aliqua 
mihi contraria inferuiffet Tra»fazionibus veftris PAilofophicis, obf- 
tupui, & ut hzc repararentur petivi per Epiftolant à SLo AN So- 
Cietatis à fecretis, qui mihi mifit fcriptum quoddam Keirri1r, in 
quo jus fuum ita tuebatur , ut fidem meam aggrederetur. Privatum 
hominis ftomachum id effeciffe fum arbitratus, nullo pato fufpicans 
Societatem aut NzwT o Nu x ipfum hujus negotii participes effe ; 
& litigare nolens cum homine rerum antéactarum i ignaro, & opi- 
mans, NzwroNum ipfum, res geftas meliüs cognofcentem , la- 
boraturum , ut jus meum mihi fervaretur , perfecutus fum fatisfactio- 
nem mihi debitam. 

Sed quidam, nefcio quá captiunculà & nimis callidá' juris in- 
terpretatione, perfecerunt, ut ego putarer caufam dicere,apud So- 
Cietatem , méque ejus jurifdidtioni fübmittere, quod nunquam mihi 
venerat in mentem. Infuper juftitia poftulat, ut certior fierem deco, 
quod Societas rem penitüs difcutere volebat , & ut mihi liceret. decla-- 

Aaa 3. rae.,; 


3M OPUSCULUM XIV. 


rare , an illi rationes meas exponere vellem, & an non aliquis ex Ju- 
dicibus mihi foret fufpectus. Itaque fententia dicta fuit unà tantüm 
parte audità , ita ut nullitas fit mianifefta. Ego tamen non credo, 
quod fententia hac haberi poffit tánquam Societati$ decretum. 
Nihilo-minus hanc ipfam fententiam Ng wroNus per totum 
"Terrarum orbem divulgandam curavit libro quodam * ad hoci| ip- 
fum edito, ut nomipi meo pota inuretur, & D tanquam à 
Societate , $n Germaniam , Gàlliam , J& llam Hoc, (ut voca- 
tur, ) Judicium ,' & injuria hzc , quà immeritó appetitus eft Vir, 
qui jamdudum in Societatem hanc receptus fuit, eámque non de- 
decoravit , multis cert? non approbabitur, & plures & Societate ipfa, 
ut fpero,«diffentidat. Do& nonnulli, Galli; Itafi, &aliarum gentium 
hac apertà improbant, & mirantur , acfutilia, (de quibus rebus 
Epiftole apud me funt, ) judicant, que contra me fuerunt allata. 
Ego quidem femper humanus, & comis , quàm mgxini poteft, 
m NEwTONURM: "Rieram,-& , duanduam nunc vehementer dubi- 
,tari poffit, utrüm habuerit Methodum , quam ego inveneram, an- 
' féquàm 'illam ex me didiciffet , attamen locutus fueram, tanquam fi 
proprio ingenio fibi paráffet aliquid mea -Methodo fimile. Ille ve- 
10 , inconfulis quibufdam Adultatoribus inàlé tredens, fe adduci 
eà fixk, ut'me acerbe, lacefferet, " Tu. nunc vide , fs, uter no[f- 
trüm pracipue facere debeat , quod neceffarium eft ad "item "hanc 
, erminandam: "tn ud 
.Cüm fim Vindobonz, id et, in ultimam Germaniam, nondum 
À vidi. librum contra me divulgatum ; huc enim quàm feró hujufce- 
modi libü afferuntur; nec dignatus fum eum per Tabellarios pu- 
blicos mihi ferendum curare; itaque nondum fücere potui Apolo- 
Siam negotio . convenienteni ; mon defunt tame, qui ine. fam 
jàm rationem habuerunt ^ ^ 
Eruditos homines acriter & duriter inter fe concertare :molefti- 
fim fero," & , né if'tutbas hujus genetisinciderem, femper dili- 
gentiffimé curavi: nunc autem ómnibus artibus ad certándum com- 
pulfus fum; fituá operá, quam adeó benigné polliceris & offers, ma- 
lum hoc fanari poffet, profedtó gauderem ; & jan nunc de hoc 
valde teamo, &c ^ 
ART. II. 
.* Tatelligit Commercium Frifelogm Corvini: & aliorum. 





E 375 1 
$9366:0260:6360:036060 9$ 9260:0360 026019266 
ART IL 


EPISTOLA 


NE WTONI 
AD 
CHAMBERLAYNUM 

A. D. 11..Maii 1714. V. S. 


0€ t8 09 

P IxcvaM Gallicam non adeó penitus novi4 ut fentire poffim: 

L.2-totam vim.verborum , quibus utitur LérsN1TIUS in Epi: - 
tolà fui ; tamen. intelligo, quód putat | injuriam: fibi allatam effe 
à Regià Societate , &à me. ! 

Que Farius: in eum fcripfit ,. ( (4) fcripta funt: me- prorfus: 
ignaro. 

Ante, circiter, novem annos LzinsxiTIVs famam meam Lxfit, 
(5) infinuans, me ab illo mutuáffe Methodum Fluxionum. Kzir.- 
LIUS (c) me defendit: & ego penitüs ignoravi, que LeimNrTIUS 
ediderat in Adis Lipfienfibus , donec huc pervenit primum ejus: 
refponfum ad K zzz 1 10M, in quo reipfà petebat LE 1s wi1TIUS, 
ut.earum rerum , .quz divulgaveram ,.( 7) palinodiam canerem. 

Si quid indicare potes, in quo illum injurià affecerim , curabo - 
ut ei fatisfaciam , fed palinodiam canere nolo rerum, quas veras - 
fcio... Opinor autem Conventum. Regiz Societatis. inique in illum. 
fe non-geffiffc. 


Ca) In geometricà. Inveftigatione- Linea breviffimi defcenfis. 

(b) Vide Acta Lipfienfia Menfis Januar. An. 1705. 

(c) Tü&nf. Philo. Menfium Septemb. & .O&ob. An. 1708. 

(4) In introductione ad Crvarum Quadraturam, Vide pag. 204. hujus.' 


! Q.RU.S CU. 


OPUSCU. 





OPUSCULUM Xr. 


DSAACI 
NEW TONI 
EPISTOLA 


4 D 


|» ABBATEM CONTI 


J News Opa, Tom lo Bbb —— ARTI 











PARS EPISTOTLAZFZE 


SCRIPTAE 4 


LEIBNITIO 


4D 
ABBATEM CONTI* 


N Epiftolam, quà uti poteris, fi vole. Nunc ad rem. Gau- 

deo te effe in Britanni, ubi proficere licet; fatendum enim 
eft quód ibi funt doctiffimi, & acutiffimi viri, qui tamen haberi 
vellent feré foli Inventores; at ut opinor, voti compotes non fient, 
Non conftat Nrwromun habuiffe ante me Charadeerifticam & 
Algorithmum infinitefimalem ,' ut optimé cenfuüit BER NOULLIUS; 
quanquam facilé Jabere potwiffet , fi animum advertiffet, ut facilé 
AeorLomiUs perveniflet ad Coerrefianem: Curvarum. Analyfim , 
fi animum advertiffe. li, qui contra me fcripferunt, cüm non 
veriti fint aggredi finceritatem meam interpretationibus longé remo- 
tis à verbis meis, & fundamento deftitutis, impetrare non pote- 
runt, ut refpondeam futilibus rationibus hominum tam maligné fe 
gerentium ,. & ceteroquin à fcopo aberrantium. Agitur enim de Cal- 
culo Differentiali, at illi ad Series fe. divertunt, in quibus New: 
TONUS mihi fine dubio privi. Tamen denique inveni Metho- 
dum generalem, quà Series eruo, & eh repertà, opus ampliüs nor 
habui Extractionibus, ad quas ille confugit. Meliüs feciffent, fiins 


Bbb a . tegrás 


dp Data fuit bec Fpiftola fub finem anni 1715. Comm. Fpift. cd Le&torem in prin» 
io. 2n : : 


38o OPUSCULUM Xr. 


tegras Epiftolas edidiffent, ut me confentiente VarLIsIUSs, qi 
mullam litem mecum habuit, ut homines illi credi vellent. Adver- 
farii noftri illam. Commercii Epiffolici Collinfiani partem luci dede 
rumt, quam non repugnare malis eorum interpretationibus exift. 
márunt Novi CorriNsiuM, cüm iterüm effem in Britan ; 
mam, cüm primó, ibi brevi moratus fum, quia Miniftrum publi. 
cum comitabar, & Georetriam abítrufiorem prorfus ignorabam, 
ac ne verbum quidem, audieram. de mutuis Corr rwsir, Gar 
€oni1, & NEewTONI litteris; ut fatis patebit ex meis Epiflo- 
lis ad OLrpgMsuRGIUM, &OrpreMBURGIIadme, quz fcrip- 
tz fuerunt circa tempus illud , & pauló poft. 

Sed,. cüm. fecundó veniffem in Britanniam , Corrrwsius mihi 
eftendit Commercii fui partem, ubi obfervavi Ne w T o N vu ipfum 
faffum, effe ignorantiam fuam. circa plura, &, inter cetera, eum 
dixiffe nihil fe inveniffe de Dimenfionibus Figurarum Curvilinearum. 
celebrium, przter Ciffoidis dimenfionem. Sed omnia hzc fuppref- 

, fa fuerunt. /Egré fero Ng&wrToNuM, tantum Virum, nimis affen- 
tiendo. confiliis nonnullorum. Adulatorum, qui eum mihi- inimicum. 
reddere voluerunt, incidiffe in. Doctorum: cenfuram.. 

Ejus Philofophia aliquantifper paradoxa. videtur, &  dübito an 
SeCatores. inventura: fit: Si. omne Corpus grave eft, Gravitas ne- 
Geffarió. ( licét multa dicant ejus Patroni, & multüm excandefcant ) 
eft aut. 4ualitas. occulta. fcbolaffica., aut. miraculi: effectus. Olim 

"Bavnro probavi.miraculofum effe quidquid ex. Creaturarum na- 
turá nequit explicari, Satis non:eft dixiffe,, Deus hanc Natura Le- 
gem inftituit, ergo res naturalis eft. Oportet, ut. Creaturarum vires 
legem. hanc exequí. valeant. Si. Deus, exempli gratià, Corpori li- 
bero hanc, legem impofuiffet, ut verteretur circa aliquod. Centrum. 
oporteret ut;. aut: adderet alia Corpora; quz illud impellendo ítm- 
per retinerent in orbe circulari ;. aut Angelum illi. alligaret; aut 
denique Deus. ipfe ratione. quádam extraordinariá ad hoc faciendum 
concurreret ;: nam.,. per. fuam. naturam. Corpus illad. ab Orbe pet 

. Tangentem. dilaberetur:. Deus. perpetuó agit in Creaturis earum na- 
tnras.fervans,. & ltzc fervatio eft. continua productio earum rerum, 
que Creaturarum perfectiones. funt; Deus elt. J»uelligenzia fupra 
sut id4tiA , non. eft enin: Anima Mundi,, & Sezforje non.eget:. 





EPIST. LEIBNITII.4D A4£BB. CONTL 38r 


Rationes à NgwTowo ejifque Sedatoribus allatz demonftrare: 
mihi non videntur P'«cwwm ; non inquam, magis quàm Gravitatem: 
illam , quai fibi univerfalem perfuadet , aut Atomos.. Tenuitate dum-- 
taxat ingenii impellimur in Vacuum, & Atomos. Cr Anx 1u di- 
putat contra Cowrefíemerums fententiam, affirmaninm Deum def- 
truere non poffe materiei partem , ut Vacuum efficiatur; fed mi- 
ror eum non videre, quód, fi fpatium: eft fubftantia à Deo diver 
fh, eadem: redit difficultas. — Afferere autem. Deum effe fpatium eft: 
Deo partes tribuere. Spatinm e(t quidem aliquid, fed ut Tem- 
pus; utrumque enim eft generalis rerum: ordo; nempe fpatium. 
Ordo rerum fimul exiftentium, & Tempus Ordo rerum fucceffivé: 
exiftentium ; vera quidem fünt hec, féd phantaftica, ut Numeri. 

Materies ipfà fubftantia non eft, fed tantüm /wb/fantiarum , Pha-- 
nomenum bené fundatum ,. & quod nunquam fallit eos, qui. pro-. 
grediuntur ratiocinando juxta Leges phantaíticas Arithmetice, Geo-. 
metrie, Dynamice, &c. Omnià, quz de his affero, demonftrata: 
videntur. Sedecce alia quzdam , qux mihi in mentem revocat.men-- 
tio, quz injeda eft de Dynamicá, aut- virium fcienti. Miror Ng w- 
TONUM.,. ejüfque Difcipulos fibi perfuafiffe, quód' Deus ita malé: 
machinam. fuam. conftituit, ut,. nifi extra ordinem ei. manus admo-. 
veat; automatum moveri quàmr primüm defiturum fit: Extraordi- 
nariam voco omnem Dei operationem, qug verfatur circa aliud: 
quàm. circa Creaturarum: naturas confervandas.. Igitur, quanquam: 
eorum methaphifica: fuppellex: curta ,. & mathematica: fatis parabilis: 
mihi videatur; attamen. plurimi facio. Phifico-Mathematicas NEw-- 
TON Meditationes ;; tique;. optimé dePublico merebis, fi magnum: 
hunc Virum exorabis, ut edat ipfas conjecturas fuas de Phyficá. Optimum: 
confilium puto educere , ut ille facit, é Plienomenis ,. omnia , que in-- 
de confici poffunt, nihil fupponendo , quanquam aliqua non liceret affe-- 
qui nifi per conjecturas. Tamen, quando Dar« non fufficiünt ,. fas eft ,. 
Cut aliquando fit cüm explicantur incognitz Epiftolarum nota, ) Hypo-- 
thefes fingere , quz, fi felices funt , interim retinentur; quoad nova ex-- 
perimenta fufficiant nobis »eva Data aut ea. que. BAcomus ap-- 
pellat. Experimenta. Crucis ,. quibus optima: Hypothefeón feligitur.. 
Güm mihi zelatum fuerit aliquos. 447g/os meam. Philofophiam | malé: 

Rbh a Iepre-- 


ES OPUSCULUM XY. 
reprefentáffe in eorum. Tran/aclionibus, non dubito, quin hisque 


nunc fcribo, defendi poffim. — Valde faveo Philofophiz experimen- , 


tali, fed ab.eà Newronvus longé aberrat, afferens omnem ma- 
teriem effe gravem, (aut quamcunque materiz partem aliam attra- 
here, ) quod experimenta nullo pado confirmant, ut optimé cen- 
fuit Hvcrxr1us. Materia gravifica habere non poteft hanc gra- 
vitatem , cujus caufa eft, & New roNvus nullum affert experimen- 
tum, mullam rationem fufficientem , unde probentur aut Vacuum, 
& Atomi, aut mutua generalis Attradio , fed non ideo , quia non 
hadenus perfedé, & figilatim novimus, quomodo effcitur gra- 
vitas, aut vis elaftica, vel magnetica &c., non ideo, inquam eas 
referre licet inter qualitates occultas fcholaftcas, aut inter miracu- 
la; '& multó minüs licet terminis ciecumfcribere Dei fapientiam , 
& potentiam, illíque tribuere Se»/ariw» aliquod, .& fimilia. Cete- 
rüm, miror Ngw Tox1 fedatores nihil edere, quod fidem faciat 
eos ab illo accepiffe bonam Methodum. Felicior quidem fui Dif- 
cipulis &c. 


ART. Ik 





E 385 T 
gestessesas ias assenssecuedes 
- ART IL 


EPISTOLA 


SCRIPTA 4 


NEWTONO 


Dn 
ABBATEM CONTI 
n. refondetir. faptriori Fpiflole Lx vssiTIY. 


Londini 26. Febr. 1716. V. S. 


"Av ignoras Commertium Epiffolicum continere Epiftolas ,. 

& alia fcripta jam antiqua ,. quz aliquo pacto pertinent ad ne— 
gotium., de quo difputant Lz 12517105, &KziLLIUS, &que- 
fervata: fuerunt ,. aut in Tabulariis Regie Societatis, aut in Cor- 
LINSLI Bibliothecà ;. neque ignoras hac fcripta colle, & edita 
fuiffe à frequenti: Vitorom illuftrium ex diverfis nationibus conven-- 
tu, quem ad hanc rem. convocaverat Regia Societas. Le18N1TIUS 
hactenus refponfum. huic. commercio negavit, optimé fciens res de 
fa&o nullà: refponfione poffe infirmari; Silentium fuum excufatu-- 
rus principio caufatus eft fe non vidiffe librum huno, nec fibi fatis: 
etii effe ad illum perlegendum :. dixítque fe curam: hujus rei com- 
müfiffe celebri cuidam Mathematico: Refponfum,, quod Mathema- 
ticus ille,. verus aut fidus, dederat die 7 Jusi 1713, infertum 
' fuit Libello famofo fcripto die undetricefimo. Menfis Julii ejufdem: 
anni, & edito in. Germani4, fine nomine nec Au&oris, nec Ty- 
pographi.,. nec. loci ,. quo. excufus- fuerat. Omnia hac deinde in. 
gallicam. linguam verfa fuerunt, & inferta Epiftole éjufdem ftili , 
&, ut videtur, ejuflem Audoris ; hifce refpondit. Ke1rr1vs 
menfe Julio 1714; neqge ha&enus huic quidquam refponfum fuit. 
Noyá: 


384 OPUSCULUM Xr. 


Novà nunc excuíatione utitur Le1sN1TIUs, ne refpondeat ; 
non vult fcilicet adeó /4sg/js morem gerere, ut refpondeat fatili- 
bus eorum rationibus. Nihilominus, .ut me in. diverticulum 
*conjiciat , conatur me difputationibus Philofophicis implicare, & 
mihi proponit Problemata folvenda, fed hz difputationes, & hac 
Problemata nihil ad rem. 

Si quis vellet ad examen revocare ejus Philofophiam , non diffi. 
culter oftendere poffet LE1sN1T1U M ab ufu commnni detorquere 
flignificationem verborum , dum exempli gratià , appellat Miracsda, 
ea, qua fiunt, naturá leges fuas, ut folet, fervante ; dum notat no- 

mine Qydlitaum. occultarum , ea , quarum caufe latent; ant dum 
vocat «simam , id quod non animat corpora humana, 

Oftendi poffet , quod ejus Harmonia preffabiita, cit verum mi- 
raculum , & adverfatur experientiz omnium hominum; cüm quif- 
que gaudeat facultate videndi fuifmet oculis, & movendi fuum cor- 
pus, ut libe. Meritó reprehendi poffit, quód poft-habeat Hypo- 
thefibus inductiones dudas ab experimentis; quód me criminetur , 
mili tribuens fententias, in quas nunquam fui, & quód proponat 
Hypothefes, quas recipi vult antequàm ponderentur ; cim propone- 
re deberet quefítiones experimentorum examini fubjiciendas, priüf- 
quàm in Phificá sedipiantur. Sed hzc nihil ad. Commercism. Epif- 
tolicuns. 

Quaeritur Confenfum Íe non zquum prodidiffe , dum omittit 
quxdam contra me facientia; fed quarimoniam fuam non-probat. 
Affert ille quidem verba defumpta ex unà mearum Epiftolarum, qui- 
bus fatebar ignorantiam meam , & qui omiífa fuiffe afferit; fed 
hzc verba funt in. Comumercio pag. 74. * verc, 10. 11, nec me 
hujus confeífionis pudet. Cüm tamen Cor L1Nsivs LeiswiTIO 
iterum Londinum vifenti menfe Odobri 1676. hzc verba ofteg« 
derit, patet L£isNiTIUM eundem vidiffe Epiftolam, in quá 
fcripta erant hzc verba, & quz data fuerat A. D. vicefimum quar- 
tum. Od&ob. 1646. Hzc autem Epiftola, quin-etiam ali prece 
dentes, continent defcriptionem mez Methodi Fluxionum.  Infu- 

: pe 


* Prima editionis , fcilicet; fed fecundz pag. 153 , verficulo penultimo & ultimo. . 
& Opufc. XI. pag. 338. hujus. 


EPIST. NEWTONI 4D 4BB. CONTL. $35 

per hác ipfà Epiftolà continetur defcriptio duarum Methodorum g«- 

.neralium pro $eriebsws obtinendis, in quarum alteram jus aliquod 
modó fibi vindicat LezsNrTIVS. ! 

Certé perfuafum habes; quód JEquitas poftulat ut Le 1s N1T1v8 
fibi conftet, & nunc fateatur, qux ante hos quindecim annos fo 
tebatur, "nec inficias eat quz tunc concedebát. 

In Epiftolà datà A. D. viceümum Maii r67;. fatebatur fe ab 
OipznmnauRnGrIO accepiffe litteras datas A. D. decimum quintum 
Aprilis, quz complectebaritur plures Series convergentes; idémque 
nunc eum. faffurum fpero. Plures Clari Viri ex Drei, Galfié, & 
Germanid, & tute inter alios , vidiftis litteras autographas , .& eas quae 
hinc defümpte fuerunt, & quz fimul repofite fuerunt in thecá pa- 
pyrorum Regiz Societatis; igitur diffiteri non poteft fe vidife Seriem 
Gregorianam , que etin ipfis OL pEMBunGrm1 litteris datis A. D. 
decimum quintum Aprilis 1675 , & in Gregorienis datis A. D. De- 
cimum quintum Februarii 1671. 

In Epiftolà datà A. D. duodecimum Maii 1676. quz led fuit 
ab üiídem Viris; fatebatur fe non compotem effe Methodi, quá ex- 
tunditur ea Seiies ». que exprimit Arcum ex Sinu, nec quz Sinum 

,ex Arcu; Hoc autem erat fateri, fe has Series ignoráffe, càüm da- 
ret Epiftolam A. D. vicefimum 'fextum O&obris 1674., idem nunc 
gum faffurum ípero. 

In refponfione ; ; quam dederat ad FA TIvM, & quam impreffam 
videmus in Adis Lipfiemfb«s Maii 1700; càm Faris dixiffet 
me effe primum Inventorem, & Lis NiTI0 pluribus annis przi- 
vife, LeisNiTIUS fatetur, fe neminem fcire, qui habuerit 
Methodum Fluxionum, aut Differentiarum ante me, & ipfum, & 
neminem editis libris probáffe, fibi: hanc Methodum innotuiffe; me 
hanc Methodum habuiffe, antequàm ille gam vulgáffet, quin-etiane 
antequàm in Germani4 nemini illam tradidiffet; Fatetur meum li- 
brum de Priwcipiis oftendere, me hàc Methodo ftui, eundémque 
£ontinere prima, qui edita effent, fpecimina applications Metho« 
di hujus ad difficiliora Problemata. Spero igitur Lg1aN1TIU:M fem- 
per idem faffurumi' Non negabat tunc, quz affeveraverat FA T1Us; 
fi nunc negat, dici poterit eum malà fide agere. . 

Jj. Newtoni Opufeula , Tom. L Ccc ED 


gé 77 (OPUSCULUM XV. 


In unà ex ejus Epiftolis datà. A. D. feptimum Maii 1693, que: 
punc eft in. Scriniis Regiz. Societatis, legi poffunt hzc verba, Mi- 
rifcà ampliaveras Geometriam tuis. Seriebus., féd' edito Principiorum. 

ere, offendifHi patere tibi-, que Zinalyfi recepte. nom, fubfunt.. Co- 
wutus. fum ego. quoque, notis. commodis. adbibitis, que: Differen- 
dias, CP Summas. exhibent , Geometriam.: illam, quam Tranfzen- 
dertem, appello, /dpalyfi. quodammado: ubjicere; nec. ves male pro- 
xefft, Debet nunc quoque mihi tribuere, quz tunc tribuebat. 

In Epifolà datà A. D. vicefimum. primum Junii 1677, quà 
refpondet ad meam datam A.D. vicefimum quartum.Odobris 1676, 
ait mecum fentire, quód Methodus, quà Sr usivs utebatur ad 
"Tangentes dncendas, perfecta, nondum. erat, quá occafione deícrip- 
fit Methodum, Differentialem , quà  Tàngentes, determinat, & que 
ipfiffima. eft; quam Bi:anovius diyulgaverat anno. 1670 ;. fed ,, 
quia hanc, Methodum. fibi tribuebat, eam aliquantisper. texit novàá: 
notatione ,. ac oftendit, quód. magis. extendi, & Mrthoda à me. 
defcripte aequari, poterat; Inde inferens Methodüm. füam; à; meá. 
non: adeó differre ;, càm: prefertim ea quoque Quadraturas facilio-. 
^ res redderet. Hujus; Elementa. tradidit in: Actis Lipffenfibus Qufobris- 
1684, addens eam.íe extendere ad Problemata difficiliora;,. quz fa-. 
cilé folvi non poffent fine bac, aut aliquà fimili Methodo... Tunc. 
igitur temporis fatebatur ,, me ,. cüm fcriberem Epiftolam. de quá (u.. 
pra,. datam, A. D; vicefimum. quartum. Odbobris 1676, compotem: 
effe Methodi; qué vaftx ac: fua ; quapropter: id, ut equum. eft,, 
munc. pariter. fateri: debet, praefertim, cüm. jam. explicatz fint tàm; 
fecrete notz, qua erant: in. hac, Epiftolá,. tum. quedanr: alia. quz: 
ad hanc Methodum: referuntur, & cim, Compendium, de. quo ibi. 
mentio: fit. editum. fit;. 

Dicebat in Epiftol: datà A D; viceflmum- féptimum Augufti 1676; 
fe non; credere: meas. Methodos tam: efle generales ,. quàm. ego affir- 
mabam. in: Epiftolà. à. me datá. 4. D: decimum tertium. Jinil. prace-- 
dentis, & dari: Problemata, aded, difficilia ut. neque: JEquationibus,. 
neque Quadraturis. fübjicerentur ,. quale ,. inter. cetera,, eft inyerfum 
Problema) de: Tangentibus; His. verbis. patet, Le rnx1iTTUM fateri: 
Í& nondum inyeniffe rationem:revocandornm. Problematum: ad JEqua-- 

! t tiones 


EPIST. NEWTONI AD ABB. CONTL 55 


tiones Differentiale. Quod tunc ipfe fatebatur, fatentur etiam Ác- 
ta Lipfenfia Aprilis 1691 paginà 198, & ipfe Qunc pariter, ut 
equum eft, fateri debet. 

NV arLisivs in Praefatione ad duo prima füotum Operum Vo- 
lumina edita anno 169$ indicat me meis Litteris fcriptis per an- 
num 1676 explanaville LE1sNiT10 Methodum, ut eam voco, 
Fluxionum , &, ut ille, Differentialem, méque inveniffe hanc Mé- 
thodum decem annos antea ( id eft, anno 1666, aut antea). Cüm 
autem LgiswiTivs ex illo tempore habuerit cum Warrisie 
Commercium Epiftolicam , nec iis, que N'Arrisius afferuerat, 
repugnaverit , imó nihil, quod reprehenderet, invenerit, fpero eum 
func quoque confenfürum. 

Sed, quia jam-dudum acculationem mihi intentavit, quà Pla. 
giatüs infimulor, fiin eà perfiftit, debet éàm, juxta leges confti- 
tutas, probare, aloquin calumnie reüs habebitur. Hactenus fatis 
duxit dare ad eos, "àd quos fcribit, litteras plenas affirmationum , 
querelarum, & cogitationum nihil probantium. Sed Adtot et, & 
probare debet id ; cujus reum me dicit. 

Ab his fngillatim tradandis abítineo, quia rem totam cognof- 
Xere potes ex Comercio Epiffolica; & ex ejus. Recenfiome, ad qua 
remitti non zgré feres, "Tuus &c. 


mU . Ccc a OPUS 


OPUSCU 


OPUSCULUM XVI 
ISAACI NEWTONI 
N O T £E£ 
IN EPISTOLAM 


LEIBNITII 
4D 


ABBATEM CONTI 


Ccc à 























[9] Nd - 
M I bs 

D. S d 

RI 2d " 
- z ed 
L. et 
t E iod 

i 
: . - M sl 
. : i (34 

. 

»" . 2 rcd 

U e 

. n f. 








ErTYISTOLMA 


LEIBNITIF 


4 D 


ABBATEM CONTI 


Quá refponditur (aperiri N sw roN1ANAS 
Ehnnoyere A. D. 9. Aprilis An. 176. 


Monr procut - dubio Veritatis provinciam füfcepifti milii: 
mittendi quendam , quafi libellum provocatorium à N'gw- 
TONO. Manum conferere nolut, cunr militibus: emiffariis ,, 
quos in me compulérat, nempe, neque cun eo, qui fe Accufato-. 
rem gellit. Commercio. Epjffolico innixus, neque cum eo, qui Pre-- 
fationem acerbitatis plenam pramifit recenti Editioni ejus Priscipio- 
74.5; nunc. autem,, cm. ipfe: in- Arenáà- defcenderit:,. illi fatisfacere: 

'eftio,, : 
? Hnjus; difputationis initio miratus füm: me dici! Aggrefforem ; nom: 
enim. memineram. me de N ew T o No, minüs-humaniter: & officio-- 
f& locutum. Sed; deinde vidi in. hunc. fenfum: detorquert quedam. 
verba, que funt in. 447i Lipffenfibus Januarii: 1705 ;; fcilicet : Pro 
Differentis: keibnitianis D; Nw rovs ediiber , fempérque adbi- 
-&wit, Eluxianes. Ubi Antor Obfervationum in: Commercium: Epi[-: 
tolicum: aiv ,. patg.. 108..*. Senfuo verborum ef , qud NY wTOwWUS: 
Flexiones. Differemtiis. Leibnitianis fad/fitust..: Sed hec: eft. maligna: 
interpretatio, hominis. rixandi. caufam. aucupmtis cui: obviam: ire: 
voluiffa: 


*^ Mditionit. priori 5, &. pag, 225; Editionis fecundi. 


393 OPUSCULUM XVI 


voluiffe videtur Audor verborum, qua in A&is Lipfienfibus funt; 
dicit enim, quafi ob id ipfum, adhibet, fómpérque adhibuit ; in 
nuens NzwTONUM, non poft vifas Differentias meas, fed. jam 
antea, Fluxiones ufuürpaviffe. Quis unquam tribuere poterit his 
verbis , fémspérque adhibuit , fenfum à meo diverfum , nec rationi 
averfantém ? fed verbum /&firwir adhibetur, cüm fermo eft de üs, 
que P. Fannius fecit poft CavarrEniux —Unde fequitur, 
quód, aut New ro Nus fe decipi paffus eft ab aliquo, qui acer 
biorem fignificationem fübfinxit his A&orum verbis, quz divulgata 
e conício putabantur, féque credidit Plagiatüs accufari ; aut li- 
bentur arripuit oblatam anfam fibi tribuendi , vel curandi, ut alii 
tubuerent ipfi, ceteri$ exclufis, inventionem novi hujus Calculi, 
( quem bené vertiffe, & totum Orbem impleviffe videbat, ) contra 
*a, quz ciebat, & faffus erat in fuis Principiis pagind 253 primz 
Editionis. Si quis fe fcrupulum ; aut querimonia: caufam in verbis 
"dorum. Lipfienfium inveniffe teftatus effet, perfuafüm habeo, eos 
qui ad hzc 4444 fcribenda conveniunt, fcrupulum omnem remo- 
turos fuiffe ; fed putares quarfitam effe caufam concertandi, 

.— De frequemi Virorum liluffrinm &. diverfis Nasionibus éomventu, 
quem. 4d banc vem. cemvocaverat Regia Societas, ne verbum qui- 
dem àudieram ; Nam, de eo certior factus non fueram , & hodie 
quoque ignoro nomina plurium ex iis, quibus conftat, & praer- 
tim eorum, qui ex Infulis Brítannicis non: funt. "Non credo is 
probari omnia, gna funt in libro in. me edito. : 

Facilé poteft intelligi , quàd Commereium Epi ifelicum ad me 
Visdobone morantem delatum fuerit aliquandiu , poftquam editum 
fuerat, licét de eo imihi renuntiatum fuiffet ; quod íciens Amicis 
quidam non minüs mei ftudiofus quum N w roNt ejnídem adju- 
ores, edidit fcriptum à Ne wrowo vocatum famofum ; cujus 
tamen merità queri non poteft Ng w ro Nus, cüm vehementius 
non fit iis, quz contra me divulgatafuerant. Si Scripti hujus Au 
Aor, & locus quo impreffum fuerat, filentio- teguntur , fatis not 
"funt nomen, & domicilium egregii illius Mathematici, qui fcip- 
fit Epiftolam ibi relatam , & qui, à me rogatus, fententiam de 
Commercio dixit; quod fufficit; Ng wrowus, (cujus fedato 

. : "EN un DD m 


EPIST. LEIBNITII 4D ABB. CONTL, 35 


res non latet hujus Mathematici nomen, ut ipfi oftenderunt, ) cum 
appellat Mathematicum verum aut fidum , & cüm totis. viribus ,- 
fed incaffum, ad fua caftra illum trahere conatus fuerit, eum fpernit, 
contra omnium, hunc inter primi ordinis Mathematicos referentium, 
fentetitiam & contra rerum evidentiam , quas ejus inventa confirmant; 
. Cüm tandem in manus venit Copoertium. Epiffolicurb , vidi nihit 
*ffe in illo, quod ad rem faceret, .litterálque, quas compleditur 
ne verbum quidem habere, unde dubitari poffit quin ego invene- 
rim Calculum Differentialem, de quo agitur. Eo negotio prater- 
miffo.,, obfervavi quód totus liber verfatur circa Series, quarum glo« 
ria N EwTONO permittitur, & quód obfervationes conítant inter» 
pretationibus infulis, aliquando ridiculis , aliquando etiam .contra 
confcientiam aliquorum ex iis., qui eas fngebant vel probabant, 
fidis, quibus querebatur, ut ego futilibus fufcipionibus lacerarer. 

Ut ergo de verbo ad verbum refponderem libro in. me edito , 
opus fuiffet alio libro magno, faltem, zqué ac ille erat ; "opus 
erat fingillatim retractare innumera$ pufillas res geftas. ante hos tri« 
* ginta, aut quadraginta annos, quarum fermé oblitus fueram ; opus 
erat requirere veteres Epiftolas, quarum plures, (ne dicam, quód 
plerumque mearum exemplaria non fervavi, ) amiff funt ;: reliquae 
autem fepultz jacent füb magno chartarum acervo, quem ut in or« 
dinem redigerem, opus habebam otio. & patientià — Otium autem. 
deficiebat me occupationibus alterius generis diftentum. 

Preterea, obfervavi, quód in Commercii - Epiffelici edit tione fup. 
preffa fuerant Loca, :que contra NEW TONU M facere poterant ,. 
cüm nihil pretermillum fuerit, quod in:me converti. poffe putare-: 
tur interpretationibus à verborum fenfu alienis — Cüm non-digna- 
tus fuerim attentiüs legere. Commeréiam.  Epi/folicam , mirum non 
eft me exemphim perpefam attuliffe, quia fciliet illud non wjde- - 
ram , aut me vidie oblitus fueram. Sed aliud afferam. Nw 
TONUS in quádam ex fuis Epiftolis ad Cozri1NsiuM datis:/fates 
batur fe conficere non poffe Problema .de fedtionibus: fecundis ,: ^. 
(aut fegmentis fecundis) fphzroidum aut folidorum fimilium.; fed» 
locus hic, vel hec Epiftola defideratur. in Commercio: Epiffelico. 
Candidiüs erga Difputantes, .& utiliys erga Publicum editom fuiffet. 
Commascium: Epiffolicum C QX.. .811 totum, Éitem, ubi contine- 

AK. Nowoni Opsféula, Tom. L. * pad bat 


394 OPUSCULUM XVI 
hat aliquod (itu dignum , Epiftolis prarfertim non mutilatis ; perpau- 
€& enim réftant inter mea fcripta, aut quarum Exemplaria habeam. 

Qnmoihus itaque confideratis, tot indiciis perfpiciens eos malignà 

fe pueftare , nodümque in fcirpo querere, rem me indignam factu- 
rum putavi, fi manum conferem cum hominibus tam fedé fe ge- 
ientihus. —Videbam, quód in iis refellendis difficile fuiffet abftine- 
wc ab objurgationibus, & verbis acerbitatis.plenis, qualia debeban- 
tur eorunt inftituto, neque hoc fpedaculum Populo dare volebam, 
ad.xoeliora deftinans Tempus , cujus fumma ratio mihi habenda eft , & 
fatis contemnens.judicinm eorum, qui hoc libro innixi, .contra me 
fententiam dicere non verebuntur ; praefertim cüm ipfa Regia Societas 
mihil ftatuere voluerit, ut didiciex Epitome ejus Tabularum, 
. Non puto me .dixifle, ( quód NzwTomvs mihi tribuit, ) 
quàd anél» Anglis ede) merem gerere ,. st. refpondeam futilibus. co- 
tum.r4fienibur; non enim, opinor, omnes /fwe£ fuam ducunt 
Nrzwroni caufam ; nam, non defunt, qui tam polleant ingenio 
& comitate, ut fe totos tradere nolint affectibus , quibus nonnulli 
ex ejus Fantoribus urgentur. 

NrwrToxus praterea me incufat , quód eum in diverticulum 
conjicere voluerim fuam Philofophiam impugnans, & Problemata 
proponens ; fed de Philofophià, meorum Principiorum partem edi- 
di, fua non aggreífus ; aliqua tantum verba de iis injedi nonnullis 
Epiftolis ; cum id occafio. poftularet , .& anfa mihi data fuerit. De 
Problematibus autem; longé abfum ab iis Nw TON O-proponen- 
dis; càüm egomet ea recufaturus fim , fi mibi proponantur : ab iis 
abílinere nobis per ztatem. licet; íed nobis funt emici, qui vicem 
Boftram implere poffunt. 

Hic fingillatim recenfere nolo; ea, qux acerbils in meam Phi- 
lofophiam, aut pro fu&loquitr Ns wrowus. Hujms Difputa- 
tiogis locus hic non eft,  Miraxsbo» appello. omne id, quod fie- 
xi nequit nifi Creatoris potentiá, ciim. Creaturarum natura ejus Ra- 
tionem non compledatur, &, quando. hoc nihilo-miuns tribuitur 
qualitatibus, aut viribus Creaturargm., tunc voco. hanc 
Qualitatem. occuburm Scholaflicam:, que: fcilicet. detegi: non poteft. 
Hujus generis effet Gravitas prünitiva; Nam, Qualitates occult», 
-qua- diti: non fnt, ex fuot, quarum. eiufam ignoramus gnidem, 

m PM 1 rol n EA : ed 





EPIST. LEIBNITII 4D A4BBR. CONTI. 395. 
fed non excludimu& — /fmimam bomimis appello fubftantiam: illut 
Üimplicem, qua percipit ea, qua fiunt in Corpore humano, '& 
cujus appetitus, aut voluntates fübfequuntur Corporei conatus. Hj- 
porbefibys non pofthabeo frgumenta du&a per inductionem ab. ex- 
perimentis ; fed nonnunquam obtruduntur peculares obfervationes 
tanquam indudiones generales, & inter Hypothefes rejiciuntur pro- 
pofitiones demonftrativz. 

Harmonia mea praftabilia, quam hic New T ONUS reprafert. 
tat, eadem non eft, ac'illa, quam norunt plures acuti Viri extra 
Britanniam; nonnulli etiam in. ipft .Britanmià: tique ipfe, opinor, 
eam hoc vultu non vidifti, neque. hodie vides, nii forté vehemen- 
ter mutatus fis ab illo, qui quondam. ) 

Nunquam inficiatus fum me," dum iterimr effem, in Britinnià, vi- 
diífe apud Cor rrxsivar aliquas NzwToNr Epiftolas; fed nullas 
vidi, nec dum video in Commercio Epiffelieo , übi Nzwrowus 
fuam Fluxionum Methodum explicuerit. 

Sed neque vidi ab eo explanatam Methodum ad Series fpedtantem, 
quam mihi vindico ; puto .eum intelligere de illà; que confiftit in 
affümptione .Seriei alicujus ad libitum; hanc Methodum ufürpave- 
ram antequàm iterum Britanniam. petiffem ; neque: tamen affirmo 
NzwrONUM eam. habere non potuille; quinimo non ita difficile 
erat illam inveniffe. 

Vult NewTONUSs ,.ut fütear, & concedam, qug faffus fum , 
vel qua concefferam ante hos quindecim. anhos; quod íi negem; 
confici, inquit, poterit me agere malá fide. idem: ab ipfo expectari; , 
poterit jam enim ;przterierum bis quindecim anni, ex quo in prin&à - 
fuorum.. Principiorum' Editione. peginir .253, 254, concedit me 
inveni(fs. Calculum Differentialem, .fine:4uz inventionis àuxilio.; fe 
poítea, nefcio quomodo , animum induxit, ut per.alios. huic cón- 
ceffioni adverfaretur.. 

Sciendum eít, quód., càm primó. effem^in. Britarmik anno. .1675, 
prorfus ignorabám Series infnitar, quales Men cA TOR naperedi- ^ 
derat, aque ac alia pertinentia ad Geornetrians.novis Metodi ain- 
pliatam; nequidem fats verfatus eam in Amlyfi Curvefrend.! Mà 
thematica tradtabam tanquam Parergos, & pauca nóram preter Cas * 
valierianam. indivifibilium Methodunv, & quendam libram Patris 

Ddd a Lzro- 


396 OPUSCULUM VEL 


EzoTALDI, in quo erant Quadraturz Lunularum, & fimiliiim 
Kigurarum, unde mihi quoddam ulteriora cognofcendi defiderium. 
Sed: maxime delectabar Numerorum Proprietatibus , quarum per- 
Mcrutandarum. occafio. fuerat Libellus, quem pené puer edideram 
Anno 1666 de Arte Combinationum. Et, cüm. jam tum. animad- 
»vertiffem quàm utiles effent Differentiz ad. inveniendas Summas , has 
Differentias ad Series Numerales traduxi. Prime ex mutuis litteris 
Or/demburgicir, & meis, fatls oftendunt me tunc vix ulteriüs progref- 
fm. Neque tum CorriNsiuM noveram, ut maligné fingitur. 
c Cm Lererie Parifiorum familiariter Huozx.10 n. inviferem, is 
me paulatim his myfteriis initiavit ; Hzc inftitutio , & M e &cA T.o &1s 
liber, quem ex Britannià mecum attuleram, quia mihi de eo P R1 r. 1us 
locutus fuerat, ) viam aperuerunt ad inveniendam fub finem anni 1 67 3 
meam arithmeticam Circuli Quadraturam, quam valdé H v 6.x N 1 o ap- 
probavi, & de quá fermonem feci, OL pe Ma ua 610 inlitteris anni 
1674.. Tunc áutem H u o x rus, aut Eo.ne verbum;quidem audive- 
ramus de Seriebus Newtonianis., vel. Gegorianis. Itaque me primum. 
credidi; ( credidit. etiam Huozwrvus), expofuiff& Aream Circuli 
Serie. Numerorum rationalium:, Hujus. fenfüs Epiftolas ad O1. p E w- 
'BURGIUM dedi, qui. refpondit jam. hujufmodi. Series notas efle 
:in Britanni; cujus rei, me; tunc ignarum effe facilé judicari: poteft ex 
Epiftolá. à me datà A, D. decimum quintum Julii An. 1674. & ex 
€à,. quam ad me reícripfit Ox, p s au. x Grus. À D. odavum. De- 
embris An. itidem. 1674.. Nam,. i Onngwsuncrvus, &Cor- 
LINSIUS;.anteade his Seriehus me manuiffent,. ille id ipfum mihi. 
án. mentem revocóffet;, Tunc igitur. tantàm. aliqua: de^ Serzebws. au- 
:diyi:;: fed: adhuc, ne(ciebam:tüm: rationem: extrahendi Radices /Equa-. 
3Xionum: per. Series,. tim Regreffiones,. aut. Extradionem JEquatio-. 
nis, infinite; Aliquantifper tunc. eram: harum rerum:rudis. Attamen, 
ftatim. inyeni meam: Methodum- generalem. per- feries arbitrarias ; 
&. demum: perveni ad. meum Calculum. Differentialem,. ad quem 
penitiüs. introfpiciendum. non 4nntilia fuerunt; ea,. quz , pené puer, 
-ahfervaveram, de. Differentiis. Seriernm. numerallum; .Nam ,. ad- hunc 
-&alculum.perveni, non: per-Linearnm, Eluxiones,. Sed: per. Nurne- 
rorum. Differentia ;. animadvertens. tandeur,. quàd: ig Differentiz 
«applicata; Qpantitatibus -perpetuó arefcentibus,, eyanefcnnt. mut 


*c2 


vowvoLlow MOS W vean Hook 


EPIST. LEIBNITII 4D ABB. CONTI. 397 


ad Quantitates differentes, quanquam füperlint in Seriebus nume- 
rorum. Et hanc. viam magis analyticam exiftimo, — Cüm . geome- 
trícus Differentiarum Calculus , qui idem eft ac Calculus Fluxionum,. 
fit cafus peculiaris Calculi analytici Differentiarum in genere, qui ca- 
fus peculiaris commodior fit ob Differentias evanefcentes. 

Deinde Ng w Tons affert loca, in quibus concedo eum novií- 
fe Calculum meo Differentiali fimilem ;; fed. meminerit, quafo, fe 
mihi tantundem. tribuiffe;. fi veró illi palinodiam canere licet, cur 
ego veter? Precipué poft verifimilitudines à Be&Nourrro obfer- 
vata. NgwTONUAM. adeÓ candidum putaveram, ut nudum ejus 
verbum fidem apud. me faceret; fed dubitare, (ut equum eft,.) 
€cpi, & ex quo illum conniventem. vidi in accufationibus » quas. 
ipfemet falfas. fciebat.. 

. Hodie.non.poffum neque fateri, neque diffiteri: me. fcripfiffe 
aut recepiffe Epiftolas datas ante hos quadraginta. annos, ejufdem 
tenoris, ae que edite funt. Cogor me referre ad ea, qus funt in 


"fcriptis.allatis,. fed nihih contra me invenio in Epiftolis datis A. D.. * 


decimum quintum Aprilis, & vicefimum Maii: An. 167 $., ac. vicefi-- 
mum quartum Odobris Án: 1676, quas N.gwroNvs- allegat .. 
prater Interpretis mendacia. Siquas Demonftrationes, aut Methodos. 
perveniendi ad aliqu£,. ad. que proprio Marte' pervenire facilé po« 
tuiffem:.ab. OL pe MBunRGIO petivi, ideo tantüm, puto, feci, quia- 
tunc rebus à; Mathefi. valde diverfis me totum. dabam,. vivens fcili- 
cet. Lutetie, Parifiorum ,. &: quia à Calculis, quorum longitudine: 


| terrebar, vehementer abhorrebam. Exempli gratià, credo me ante: 


diem: duodecimum Maii. An. 1676 adeptum fuiffe meam Methodum 
Seriei. atbitrariz ,. quà: manud&ci: potuiffem ad Series, quarum De-- 
monftrationem. poftulabam. Nam, Serie arbitrarià utor in veteri 
illo:libello de, Quadraturà. Arithmeticà, quem perfeceram. antequam 
& Gallià exiiffem. Tamen efto ; alteri debeam Series de quibus me-. 

minit hzc Epiftola, & quas me etiam ignoráffe credo Anno 1674. 
Càm non fatis intelligerem,. quz. New rows dicit de- 44e» 
upfirnlibue Maii Anm. 1700., librum illum confului ,. & perfpicio- 
.eum. non.bené, quz ibi.dida funt, percepife: Nam, illic ne- ven-. 
bum quidem. de inventione novi. Calculi Differentialis.; fed agitur de: 
an gun. peculiari. pro. maximis , C runmmir determinandis. B 
Ddd. à qua: 


298 OPUSCULUM XVL 


que ab eo non pendet, & mihi in mentem venerat multo ante- 
quam BrgNouLLIUSs proponeret Problema de breviori defcenfu, 
& quam exiftimavezam NE w TONO quoque in mentem veniffe, cim 
daret Figuram fuz navis in. Prizipiis fuis. Itaque volui dicere eum 
- fe palàm ante me oftendiffe hujus Artis compotem , quod affirmare 
nequibam de Calculo Differentiarum , & Fluxionum, quia ejus utili- 
tatem propalaveram ante libri illius editionem. — Haec ar$ peculiaris 
de Maximi, c Minimi , neceíTaria non eft, quando agitur de Quan- 
titate fimplici, tunc enim FER MA T1£ Methodus, perfectior reddita 
novis Calculis, fufficit; fed aliud quid requiritur, càm petitur totà 
Figura, quz omnium optimé efficere debet id, quod poftulabatur. - 
Hic NezwTOoNUs novam accufationem temeré intentat, qua im 
eum recidet. Affirmat quód , quz ipfi communicanda fcripferam 
- ad OrpzxsunciUM Ánno r677, omnino funt Methodus Ba- 
roviana perfonata, — Cüm autem NEw'ToNus fateator in primá 
Principiorum iorum Editione, pagimis 253, & 254 me spfi( tunc 
* Metbodum. commmnicffe 4. Methodo ipfius vix. abludemtem , pra- 
ter quàm. in. verborum , C notarum formulis ; fequitur quód ejus 
Methodus pariter nihil e(t nifi Beroviame perfonata. 

Exiftimo illum , & me facilé abfolutos iri ab "hac accufatione ; 
nam, vah! Quot legent librum Bareviazsm , nec in eo noftrum 
Calculum deprehendent! Verum quidem eít, quód TscmünNAvsIUS; 
qui pauló feriüs hujus Calculi commoda perfpexit, contendit omnia 
hzc adipifci poffe Methodis Bareviamis: Ut Abbàás CATELANUS 
Gallus dixit Analyfim Cerzeftenam ad. haec omnia fufficere ;; quod fa- 
cilius dici quàm oftendi poterat. : 

Si quis autem. noftrüm aliquid eftà BAR ov10 mutuatus, verifi- 
miliüs eft id fecifftf Ng wTOoNuM, qui eo praceptore ufus eft, 
quàm me, qui, ( ni malé recordor, ) libros BARov11 non vide- 
ram antéquàm iterüm effem in Britannià, & qui eos nunquam at- 
tenté legi, quia, cüm ih iis oculos injeciffem , perfpexi , quód con- 
fiderans Triangulunr Characterifticum ,. ( cujus Latera fant Elementa 
Abfciffe, Ordinate & Curve, ) fimile alicui Triangulo affignabilij 
perveneram quafi ludens ad Quadraturas , Superficies ,' & Solida, 
quz conficiunt unum ex majoribus Capitibus Ledionum Berevie- 
marum. — Preterquàm , quod ad meum Geometricum Differentiarum 

Calcu- 


EPI1ST. LEIBNITII AD ABB. CONTE 399 


Calculum noh veni, quàm poft cognitam earum utilitatem , (quem- 
libet minoris momenti, ) in Nunreris ; ut indicare poffunt prime 
mez Litterz, que funt in Commercio Epiffelico. Fieri potet , ut 
Banovivs, plura fciens, quàm qux Libro.mandárat, vias, quas 
ignoramus, New Tono aperuit. Et fi audaculis quibufdam fimi- 
Ms effem, puris, & levibus indiciis nixus, affirmare poffem, quód 
NzwroNvs à Bagovio, Calculum .Fluxionum , ( quicunque 
demum illi fit, ) didicerat. 

Quz Anno 1676 dixi de Problematibus , quz refolvi non po^ 

: rant neque per /Equationes, neque per Quadraturas, intelligenda 
- certé funt de /Equationibus tum. vulgatis, de iis videlicet, quas pre- 
bet Analyfis communis; cujus indicium eft, quód addo Quadratu- 
ras, velut quid majus his JEquationibus: at JEquationes differentialea 
etiam ultra Quadraturas extenduntur; & fatis conítat me loqui voluiffe 
de Problematibus ipfis, qui egent harum JEquationum, tum ignota- 
rum. Hzcobjecio jam.erat inter Adnotationes ad Commereium ; fed 

NzrwroNumM huc ufque defcendere poffe non credideram. 

: ER in Epiftolà à me datà ad Diem vicefimum feptimum Augufti 
An. 1676. peg. 65.* in Commereio Epiflolico , ) quo inducor ad 
€redendum me tunc effe compotem Calcuh Differentialis ; ibi enim: 
affero me ftatim cer ddnabf? refolviffe Problema ( «ert4. /mabfs 
É/vi), quod BEauN1vus CanTksrO propofüerat. Hzc autem 
Analyfis erat Calculus Differentialis ; fine quo tamen folvi poteft illud 
Problema ; & íolviffent, puto, HiuczN1us, & Bazovrus, 
f$ opus fuiffet, ut plura alia ; fed merus jocus eft meà Notatione. 
Exiguum mendum perfpicio. in hac pagini; legitur enim | Lupus 
satura, pro-Hujus nature; fed hoc vetus eft, & effe puto in me: 
Epiftole exemplo ad N&wTOoNuM miffo; NzwroNus enim, 
huic Epiftole refpondens litteris datis. A. D. vicefimum quartum Oc- 
tobris An. 1676. ( pagine 86. in Commercio.) ait Hos cafss vise 
sumeraueyim iuter. ludos. nature; — Non intellexeram , quz dicere 
voluerat, fed nunc perfpicio erroris fontem. 

- "Hodie nequeo dicere, utrüm animadverterim verba NV Arp rsrIIg 
in quibus afferit New TowuM jam anno 1666. cognoviffe Metho-- 
dum, Eluxionum 11. Sed, etiam animadvertiffem , nibil contra , 

puto, 
* Prime: editionis , fecundie veró LI 
* Vide pra gui, XL, Art, Wa gai H Be funt infi 


400 OPUSCULUM XVI 


puto, dixiffem. Tunc enim unum NEwroxr verbum fidem fa- 
Ciebat., fed ejus facta me de hoc cautiorem reddiderunt. 

NrwroNvs aitfe à me plagiatüs infimulari. Sed ubi hoc feci? 
imó ejus Fautores vifi funt hanc accufationem im'me intentare, & 
ipfe in hoc connivit. Nefcio an omnino confentiat ommibus iis, qua 
illi ediderunt ; fed affentior ei dicenti , quód malignitas accufantis 
de hoc, & non probantis, Accufatorem calumniz reum facit . 

ln extremo fuz Epiftole capite, me aggrefforem appellat; ego 
veró in hujus initio contrarium. oftemdi. — Hoc praludinm facilé 
terminari poterit. —.Malé aliquid intelledum fuit, fed non meus ef 
error. . 

Tuus" &c. 


POST- sckirTUAk 


Solvitii Problema, quod Nrwrow: Affecle folvere hattemus 
"mon potuerant; nam ,.refponfam à me extorfifti miffà Epiftolà ip- 
fiufnct NgzwToNr Quo fac, adbortationes omnes fupervaca- 
nez funt. . Si Quaftio fuiffet tantüm, uter NEWTONUS, an ego, 
prior inveniffet Calculum, de quo difputatur, plané nom laboráf- 
iem. Difficile eft enim definire, quid, & quandià uterque filen- 
tio texiffe poteft. . Sed quidam Nz wr ow1 Fautor contendit, me ' 
à Nrewrono Calculum hung didicife; attamen poftea verifimilius 
vifum eft nonnullis, & ipfi BERNOULLIO, rationem computan- 
di, quam NewTomNvs edidit in Warrrsii operibus fabrica- 
tam effe.ad mei Differentialis Calculi jam editi imitationem. . Nec 
vola nec veftigium Calculi Differentiarum, vel Fluxionum apparet 
in veteribus NE wTomr Epiítolis, quas vidi; nifi forté in eà ,: 
quam dederat A. D. vicefimum quártum Odobris An. 1676; ubi 
etiam per znigmata loquitur ; & horum zgnimatum folutio, ab eo 
data decem poft Annis, oftendit quidem aliquid , fed non qmne 
id, quod poftulari poffet — Nihilominus, in NgwTOoNuM pro- 
penfus, olim adeó facilis fui, ut loquerer tanquam fi omnia ab o& 
detegerentur, & me fecuti alii idem dixerunt. Sed humanitas-mea 
malé remunerata fuit, &c. 

' ART. 1I. 


B t 4o1 3 





ART. IL 
ANIMADVERSIONES 


NEW TONI 
In füperiorem LzisNITII Epiffolam 
AD 


ABBATEM CONTLI 
À. D. i7. Maii 1716: 


Efendit LzirswiTius in Epiftolà- datà. A. D. undetricefo 
mum Decembris An. 1711, locum, quieft in zz Lopfren- 
fibus Januarii v105.. paginis 34. C 35.5 & fic proprium fecit , 
f nunc autem. illum molliorem reddere fruftra conatur , contendens 
verba «dbibet , fempérque adhibuit maligne interpretari verbo /&5/fi- 
fuit fed ab explicatione; quam obtrudere vellet , arcet vim termi- 
norum jgiwr, & quemadmodum, à quorum primo verba, /empér- 
que A4dbibuit , fiunt przcedentium confectarium ; ab ultimo verüm . 
zequivalentia ip fbfituit 5. fi autem reponas hzc omiffa, videbis fuf- . 
tineri non poffe fenfum, quem his verbis nunc tribuere conatur, 
Meritó igitur dixi eum fe accufatorem in'me geffiffe, In duabus Lit- 
teris ab eo datis ad St oANE A. D. quartum Martii , & undetri- 
cefimum Decembris An. 1711, urgebat Regiam Societatem ad K x i- 
LiuM condemnandum, & me volebat cogere ad fententiam meam 
aperiendam , Jicét ab hoc negotio prorsüs abítinuiffem. 
: Ea 


Y In hac Epiftolà ait Lais ir rvs. Frwffra ad Exemplum Actorum Lipfien. * 
fium provocat (K a1 108,) ut fua dida excufet ; in illis enim circa Dane vem quie. 
quam cuiquam. detradfum ton veperio , fed. potita Men fam sáu bum, Uo, 
merc- Epiftol. N^. LXXXV. pag, 239. Edit, fecundac 


Jf. Neweeni Opsfcula Tom. L, Eee 


4092 OPUSCULUM XVI 


En verba fecundze Epiftole * : iraque veffra. equitati committo , 
m non coercende int vana, C injuffs Ku1tit vociferationes, quas 
«b ipfa N ww ouo, Viroinfigni, c gefforum uptim con[cio , impro- 
bari. arbitror ; ejfgue. fententia, fue. ljbenter. da,rum. indicia mibi 
perfuadeo. Honeftiffima verba; fed qua fibi volunt, oportere, ut 
aut damnem KE rz 1uM, aut cum LetsN1TIO contendam , quod 
accidit. Ille igitur Aggreffor eff. Hic enim omnes optimà norunt, 
me femper diligenter has lites vitaviffe, quoad Regia. Societas, & 
€go nos.iis immifcere coacti fuimus: 

In Epiftolà dat A. D. quartum Martii 1711. N.S. ài Regiá So-. 
Gietate enix& rogavit, ut partibus inauditis KE11.1u M condemna- 
ret; & cm K e ir 10s [ pro causá fuá dixiffet, LE18NiTIUs fe 
refponfürum neggvit;**,. & contendit iniquum effe inftare ut ref- 
ponderet 5. at, interea ipfe pervicaciter inftabat , ut K « i1 :Us dam- 
naretur. t; Ratio, hec,, quá Lg1aN1T1us fe gerebat, coegit So- 
Cietatem ad convocandum, Confeffüm, compofitum ex ejus Membris, 
expenfurum vetera Scripta-, quz ad rem facere poterant, & de hoc 
relaturum, — Quod fi eo.infcio factum; ef ,. ejus culpa eft. Nàm , 
que ratio habenda erat. hominis, qui. & Societate: vi rem extorquere. 
volebat, contendens. iniquum, effe petere, ut candarers füum Apolo-. 
gü defenderet., & apud eam.,. 4pquam pro- Tribunali litigaret ? f 
€i copia facta non, eft indicandi.eos, quos à Confeífü ; remotos vellet ;- 
id idea factum eft; quia fe defendere. recufabat; quia Confeffum co- 
gere, vel eo non affentiente, . licebat ;- quia. ipfi jus nullum erat cri- 
minandi quz.geíta funt , ut: ante- facta cognofcerentur.. In eum nihil 
hactenus. decretum eft, quia Confeffüs non-erat hominum füb jure-. 
.jurando fententiam dicentium conventus, neque Regia Socieras Col-. 
legium Judicum. Confeffus fatis. habuit examinare Epiftolas, & alia 

vetera, 


* En verba primz, Kits. in.Poc ipfovolemine ( Tranfs6t Philofoph. ) men-. 
t. Ott. 1708. pag. r8$. removere ineptifimam accufationem vifi ef , cim 

pro Fluxionum Arithmeticam à N-s wr o.N o inventam , mutato. nomine , & no. 
pod modo à.mc cditam fuiffe, . ... ld quidem quàm falfum fir nemo melius - 
ipfo N ww T o.N o sopif . zquum effe vos ipfi , credo , judicgbitis , ut K &15.1 Us: 
teftetur. publicé, non fuiffe fibi animum, Imputandi mihi , quod. verba ininuare, vie. 
dentur. Comm. Epiftol: N*, LXXX pag 234-. Edit, fecund.. 

t, Vide Comm. Epift. N*. LXXXL pag, 226. Edit. fee. 


NEWTONI ANIM AD. IN SUPER. EPIST. 455 


vetera Scripta, de iis folàüm judicavit, & LersNiTIO reliquit ple- 
nam libertatem fe defendendi fi poteft. — Satls eft. Regiam Societatem 
curaviffe edendam hujus confeífüs relationem unà cum Scriptis, qui- 
businnititur; & LxrsNiTIUM nihil probare potuiffe contra K z1- 
LIUM, licét jam ab horum editione fluxerint tres anni, & quatuor 
menfes. . 

Ait Le1B Nr TIUS, quód, cim ejus Epiftola, quam famofam 
"ominavi, acerbior mon fit iis, que in eum edita funt, de eà 
queri nullo modo poffum: fed acerba eft ea Epiftola, quia referta 
accufationibus, & confiderationibus injuriofis, omni probatione def- 
titutis; quz fcribendi ratio femper habita eft indignifima: & ufur- 
pata in malis caufis defendendis. —(Comosercium. xeró acetbum non 
eft, nifi quia continet fada, qua divulgari permittunt jus & 
zquum. Epiftola edita fuit chim, & quafi per infidias; ut paffim 
fit de libelis fawofis; compreffum fuit nomen Audoris, & Ma- 
abematici , cujus Epiftola illi adnexa fuerat; zqué ac Typographi & 
Urbis, ubi impreífa fuerat, & vix poft duos ab editione annos au- 
divimus Mathematicum , iHum, qui dederat Epiftolam jundam illi 
de quà agitur, effe Jobassem BERNOULLZIUM. Commercium 
autem palam editum fuit Losi»; juffu Regiz Societatis. 

LairsrIMIUS ponens me non ignorare, quód Epiftola data 
A. D. feptimum Junii 1713, & infera ei, de quà memini , erat 
À BeRNOULLIO, zgre fert me eum dixiffe Mathematicum » 
aut qui dicitur Maibematicur s quod certé non dixi ut BER NOUL- 
LiUM deprimerem. — Sed, cüm Ma£emarizus ille , cujus hzc 
Epiftola eft, BERNOULLIUM memorans , ( & quidem cum 
£logio, eum enim dixerat eximiem Matbematicum , ) fe ipfe à 
BzauoULLIO diverfum feciflet; & cim Lx1swITIUS nuper 

Eee 2 rurfus 


** Vide Comm. Ppiftol. N*. LXXXV. pag. 339. Edit. fec. 
edi t im Johannes Karrrus super ad se feri, candorem menm 
cuim abl ojpemty quem ab AR s aiios yu yl smi tna ela 
digi dion £9 cum bomine dodo, a nia ig, aqu 
pvc i "teme pru aguijgue probet. Cabin, rm XiV 
peg. 239. Edit, fcound, 


44 OPUSCULUM XVL 


rurfus. edens hanc Epiftolam fub nomine BER NOULL!1, & cita- 
tionem fupprimens , afferuiffet eamà B £ &k NO ULL 10 datam; quem 
crederem? An. Matbematioum , qui fe BERNOULL1UM non 
effe innuebat ?. An LEIBNITIUM ; qui Matbematicum. hunc. 
effe BER NoULLI1UM ipfum contendebat ? 

BsawoüóLLIUS LrisBNI 10 debet Methodum differentia- 
lem; eít princeps ejus Difcipulorum; pro eo pugnavit in 44 
Lipfienfibus , antequàm  vidifet! Comsmercium. Epiffolicnm : Tunc 
ergo erat bomo novus , Qv rerum ante-adfarum parum peritws , 
utLriBNiTIUS KEIL10 Objecerat. Ad fe ipfum defenden- 
dum fcripfit, qu ex illo tempore fcripfit; & tota ejus Mathefeum 
peritia non obílat, quin ad partes accefferit in. hac. contentione; 
igitur in hac caufá Judex integer federe non poteft. 

' Queritur, LziBNITIUS Confeffum À fcopo aberraffe, cüm fe ad 
Series infinitas convertit; fcd in mentem revocare debuerat duas 
Methodos, quibus utor,. effe velut duos ramos unius ejufdémque 
generalis, Methodi Analytice.. Eas junxeram in libello de Analyfi, 
quem Banovius miferat Cor rLiNsio- Ánno 1669; eas invi- 
. cem. mifcuergm in Opuícule, quod fcripferam Anno 1671, ut 
monueram in Litteris A. D. decimum Decembris An: 1672. & 
vicefimum quartum Octobris Àn. 1676. In Epiftolà à me datá AD. 
decimum tertium Junii An. 1676. dixeram meam Methodum $e- 
vierum fe extendere ad feré omnia Problemata ; fed eam generalem 
nón evadere fine auxilio aliarum Methodorum ; 'quibus intellige- 
bam, ut.declaratum eft in Epiftolá fequenti, * Methodos Fluxio- 
num, & Serierum ad arbitrium affumptarum. Nunc autem auferre 
mjhi has duas Methodos,. nihil aliud eft quàm. me rejicere ad Me-. 
thodum Serierum, id eft, ad. Methodum minüs generalem. In Epif- 
tolà meà datà A. D. vicefimum quartum Octobris An. 1676 omnes 
has "Methodos fimul fumptas appello meam Methodum generalem, 
ut videri poteft in Commercii-Epiftolici pagind 86, linc& 6. ** Cüm 
autem LzisNiTIO placuerit meam Methodum generalem in fruf- 
" difcerpere,. & milli pet nunc partem hanc, nunc ilam, & 

oc 
ls : 


* fh d. b "54. O&cbrid ht. »» vide upra 'pagin 346... 
** prime Edition, , & fecundz pag. 189. lin. 14. vide fupr. iti Y pie nhé 


NEWTONI ANIM AD. IN SÜPER. EPIST. 40$ 


hoc paco reliquum mutilare, legitimam occafioném prabuit Re- 
Sie Societati, ut Methodum hanc totam fimul perpenderet.. Ani- 
"madvertendum etiam eft , quód femper (ibi ipfi teftis eft; Sed 
Teftium fides ad trutiham revocari folet. 

Contendit Conventum à Regià Societate convocatath omit phu-- 
ra, quz faciebant contra me, & edidiffe onnia, que in eum con- 
verti poterant /nterpretationibus 2. verborum fenfu alienis, Hac pro- 
baturus affert in penultimis Litteris monumentum mez ignorantiz ; 
quod à Confelfa compreffum dicit; fed editum nunc fatetur, fé- 
que per errorem contra affirmaviffe, Habet autem aliud, quod 
afferat, me fcilicet faffum effe.in quádam Epiftolà ad Corriw- 
s1UM datà, quód invenire non poteram fecunda fpheroidum feg- 
menta; quem. locum pratermiffum afferit in Commercio: — Meliüs 
quidem, puto, pretermiífus fuiffet; nihil enim ad rem facit; fed 
res longé aliter fe habet; Siquidem Corrixsivs in Epiftolá datà 
ad Jacobum GagcontuM Á. D. vicefimum quartum. Decembris 
An. 1670, & in alterà ad Ben rETUM datà A. D. vicefimum 
primum Februarii Án. 1671., (quz ambe funt in Commercio pa- 
ginis 24; & 26 1,) ait Methodum meam ire ad fecunda fegmenta 
Solidorum Rotatione genitorum. Idem LerswiTrO fignificave- 
rat Oy pz MBUuRGIUS Epiftolà ad Leibnitium dat A. D. octavum 
Decembris Án. 1674 , ut videri poteft ex Co»mereio pagind 39 1t 
Igitur Lg1sN1TIUS accufavit Conventum à Regi Societate con- 
vocatum, licít certüs rion effet de fux accufationis veritate; qux 
eft fumma temeritas, ne quid acerbius dicam. — Adeó abfuit Con- 
feffus ad fé i iniquum LeisNiTi0 prafündum, ut tacuerit- eum 
tunc Geometriz ignarum, & omiferit plürá , qu contra eum fe- 
ciffent; qualia funt duz Epiftole que tum apàd me erant * necríón: 
pars Prefationis. 'addite à VarLisró r. Tomo füorum Operàm: ] 
Mathematicorum **. ' Infüper obfervare potérant , quód Exemplum- 
Ee ee 3 - , Epifto-: 


T Prime Edit. , fécunde veró paginis 96, , &. 100,. MEN 

.FtPrimz Edit, & fecunde pag. 116. — 2. gnus cultor t 

. He dug Epiftole datg, ad. NrwroNUx à LrrpaiT10 & NW ARLISEO- 
Annis 1693. & 1695. font in adnexà Appendice. ' Vide. infra. 

^ Hac.etiam efin Appendice, Vide infia. 


$6 OPUSCULUM XVL 


Epitole à Gn gcon10 date A. D. 5. Septembris Ápn. 1670. mit. 
íum fuitad Lg1BNITIUM menfe Junio Àn. 1676. cum colledio- 
ne Epiffolarum Gregerianarum. 

Confeffus affirmat in Relatione fu&, quód omnia, quie pertinebant 
gd negotium iis commiffgm, extradta fueragt ex Epiftolis, Scrinis, 
K& aliis veteribus Scriptis, qua habebat pro fidelibus , & authenticis. 
Liissirivs eym crimigatur , quód nom ediderit Epiftolas totas, 
itum quz fpedabant ad negotium de quo agitur , tum quz ab o pror- 
às £rant alienz ; tanquam fi non liceret afferre , aut extrabere locum 
aliquem é libro quopiam, ipfo toto libro non allato. Queritur er- 
go non fats amplum effe Comercium Epiffolare ; quod tamen ni- 
mis amplum ei videtur, càm refpondere debet, & ait illnd poftulare 
refponfum ejufdem voluminis. Oportet Agitur removere omnes au- 
thenticas tabulas , ut quzítio degeneret àn ftvolas conteftationes de 
Philofopbià, & alis rebus nihil ad rem facientibus — Oportet , ut 
'eximius Mathematicus ille, qui, ut meliàs videatur Judex integer, 
abfcondit nomen fuum in Epiftolà ad Lr1sx1Trus datà A.D, 
feptimum Junii An. 1713., nunc in apertum prodeat, fe certamini 
imimifceat, per Le1sN1TIUM omnes Britannia Mathematjcos pro- 
vocet ; tanquam fi prelium fingulare , aut forte pugna inter eos, quos 
ille yocat meos Milites emiffarios, & illum Difcipulornm exercitum, 
quem Lersx1iTIUs jactat , xmeliüs definire poffet utrius caufa melior 
eft in hac contentione, quàm vetera & authentica Scripta; & tan- 
quam fi in pofterum Mathefis referta effe deberet ampliffimis Equi- 
tum errantium geftis, & non ratíouibus, ac demonftrationibus. 

Fatetur LgrsNiTIUs, quód, càm iterum effet in Britannid , 
vidit apud Corrixsir nonnullas ex meis Epifolis, & inter 
alia, illas, in quibus agitur de $eri&hwe, & mominatim meminit 
de duabus , nempé de illà, quz data fuerat A. D. vicefimum quar- 
tum Odobris An. 1676. & de ill, in quà fateor, nt ipfe per 
ignorantiam meam circa fecynda Segmenta. — Unde fequitur, 
non poteft dubitari, quin precipué optaverit videre Tritolam, in 
quà erant precipue mez Series, ez praefertim, qux pertinebant 
ad rationem inveniendi zfrcés & Siu , & Sinks ex pn earüm- 
gue Serierim Demonftrationem ; quam quidem Epiffolam , (n 





' NEWTONI ANIMAD. IN SUPER.EPIST, 405 


infcribitur /draljfis per. /Ezuationes numero. Terminorum infinitas, ) 
ut fibià Cor riNsi0 impetraret, OLpgMsunG1UM obfecrave-- 
rat paucos ante menfes — Nihilominus. dicit. fe nefcire;. ubi appli- 
caverim Methodum Fluxionum,, nec. ejufdem veftigium: fe. videre iu 
Commercio Epiffolico; in «uo tamen funt tum. hec 4saljis ,. cum 
Epiftole: à me dàte. A. D. decimum Decembris. An.. 1672; deck. : 
mum tertium Jünii Án. L676; &.vicefimum quartum. Octobris. 
Anni pariter: 1676. Püto: eum ideo dicere,. quód hanc. Methodum: 
ibi non. videt, quià nulla ibi. eft. Littera pun&o auda. Eodem ra-. 
tiocinio. ipfe,, & BER Nourrrvs;. conficere poff. nt, quód. Me- 
thodus. Fluxionum. omninó. abeft. ab Introductione a. meum Libel.. 
lum 4e Quadraturis.. 

Affait quoque fe non videre, ubi explicuerin  Methodum ,. 
quam milti. tribuo ,. fümendi fcilicet Series: Arbitrarias; fed, fi perf- 
picere dignatur. Commercii' Epiftolici paginas. $6, & fequentes uf- 
que ad.86 ,, vidébit.me compotem fuiffe hujus Methodi Anno 1676. 
five potius quinque Aunis.ant&. Vidifle etiam poteft in fecundo. 
volumine. Operum. W. A LL1s11 p4giid 393..lineà 32.. quód hzc 
Methodás non eget explicatione ampliori ,. quàm illà , quz à me data, 
& ibi relata eft.. Fieri quidem. poteft. ( non. inficior;. ) ut: L12-- 
N1T:US lianc. Méthodum. proprio ingenio detexerit ;. fed certé poft. 
quam. ego. inveneram;,. &. omnes. norunt. fecundis. Inventoribus nul-- 
lum in.inventa jus effe-. 

Conrendit',. quód.in meo Pricipiórum Libro, pagims: 253. | 
254..conceffi eum habuiffe Calculum Differentialem fine.me., & ait,. 
quód mihi nunc.tribuens ejus inventionem, revoco ,. quz conceffe-- 
ram ; fed. in. Articulo ,. quem  citat.,. nec. verbum quidem. invenio ,, 
quod pro'eo.faciat. Quinimo. ibi. fignifico ,, me. de. meà Methodo. 
monuiffe Lr xrTrUM.antéquàm. ipfe me. de: fà. monuiffet ; &. 
ei neceílitatem impono probandi fe hanc Methodum inveniffe ante. 
díem,. ad quem dáta fuerat mea Ppiftóla, id'eft;. octo. menfes faltem: 
ante diem ,.ad quen ipfe füam:dederat. Infuper;. cüàm ibi rejiciam 
ad Epiftolas ,.que inter me, & LeisNrTIUMintercefferant. decem. 
ennuis.anté, Lectoribus relinquo curam confulendarum harum Epif- 
tolarum, quz explicare poffunt Articulum , de quo difpntatur. Ex. 


à 


498 ORUS$CULUM XVI. 


"his enim Epiftolis videre poterant , me quinque annis antequim 
fcriberentur, (id eft, anno 1671,) compofuiffe librum de hac, & 
Serierum Methodis fimul jun&is. taque Articulus ille, quem af- 
fert, fatsindicat, quid de hac re fentiendum fit; fed paucis ver- 
bis, quia libri illius fcopus non erat hujus negotii difcuffio. 
Ait, quód, cüm primó effet Londini menbus Janmario, & 
Februario Anni 1673, prorfus ignorabat Series infinitas , & Geo- 
. 'metriam füblimem , neque Corrrk s1u M noverat, ut mali gne e fn- 
gitur. Sed qui finxit, aut que fingendi neceffitas ? Prorfüs. nef- 
cio. Tunc temporis jam PeLLrus ei locutus fuerat de Serie , 
quam-MmcATOR invenerat pro quadrandà Hyperbo/; fecum 
Lutetiam Parifiorum attulit Min cATORIS Librum, quamquam 
Geometriam fublimiorem adhuc ignorabat , & ii, quibus Cor- 
LiNsIus communicaverat meas, & regeriemas Series, poterant 
aliquid de illis ei dixiffe , lic&t Cor rrNsru M ipfum non nofceret, 
:Dicit, quód, poftquam é Londino. Lutetiam fe contuliffet , 
priüs fcripfit Epiftolas de rebus à Geometriá alienis, donec hanc 
eum Huczxrus docuiffet ; quód invenit Circuli Quadraturam 
ritbmeticam ub finem Anni 1673 i quód de illà fcribere coepit 
ad OrprMmsuncrum Anno fequenti ; quód pauló poft invenit. 
Methodum generalem Seriei ad libitum affurnpta , & Calculum, 
Differerentialem Anno r676, quem deduxerat é Seriebus numera». 
libus, ubi Differentie confiderantur ; & quod verba Cei hnalyft , 
que funt in Litteris ab eo datis A. i» vicefimum tertium. Augufti 
Ann. 1676, intelligenda funt de Analyfi differential. Sed nonne, 
& ego zqué bené mihi teftis effe poffum , & affirmare , quód in- 
* veneram Methodum Serierum & Fluxionum Anno 1665 ; quód 
. eam protuli Anno 1666; quód etiam nunc apud me funt plura, 
fcripta mathematica, Annorum. 1664, 1665, K 1666; quorum 
nonnullis dies adícriptus eft, & inter que unum, datum A. D. 
decimum tertium Novembris 1665; continet Methodum diredam . 
Fluxionum his: verbis. ! 


NEWTONI ANIM AD. IN SUPER. EPIST. aos 
PROBLEMA 


Dua. JEquatione exprimente Relationem duarum, aut plurium , 
JVinearum x; y; dz &c.. fimul defiriptarum à duobus , aut pluribur 
Molilibus A; B; Cs &c. invenire elationem celeritatum piq;irs 
earumdem. 

$0LU TIO 


Pone omnes JEquationis Terminos ad unam eandémque partem, 
dta ut fint equales nihilo; multiplica quemque Terminum per toties 


2 ; quot Dimenfiones habet x in illo Termino; Deinde, multi- 
plica quemque Terrhinum per toties -L, quot Dimenfiones habet 
J in ilo Termino; Tertió multiplica quemque Terminum pet 
toties , quot Dimenfjones habet & in illo Termino &c. & Sum- 


ma horum Productorum erit zquàlis nihilo; quz JEquatio dat Re- 
lationem ipfarum p; 2; r; &c. 

Addere poffüm , quód hac Solutio ibi illuftratur pluribus Exette 
plis; demonftratur; applicatar ad Problemata , que pertinent ad 
Tangentes, & Curvaturas Curvarum; quod aliud fcriptum, datume 
à. D. decimum fextum Maii Ann. 1666, continet generalem Me- 
thodum refolvendi Problemata ad Motum fpectantia explicitam fep- 
tem Propofitionibus, quarum ultima eft ipfam Problema, de quo 
fupra, fcriptum A. D. decimum tertium Novembris Àn. 1665 ; 
quód in Libello , fcripto menfe Novembri 1666, exdem feptem - 
Propofitiones repetuntur, fed feptima ita extenditur, ut eam non 
morentut neque Fradiones, neque Quantitates furde , neque de- 
mmm ez, que nunc dicuntur Tranfcendentes; quód hic Libellus 
ihfuper continet oCtavam Propofitionem , quz complectitur inver- 
fam Fluxionum Methodum , qualem tunc temporis habebam; id 
tft, quatenus pendet à Figararum curvilinearum Quadraturis , à 
tribus Regulis, quibus innititur mea Analyfis per- AExgweriones sus 
wero Terminorum inftitas ,. & à fer omnibus aliis Thecrematis 
bus, que funt in $cAwje decime Propottionis mei Libri de Qua- 

AK Newieni Qyafeula , Tom, L F f£ rait 


410 ^ OPUSCULUM XYFt 

draturis ;; quód in. eo Libello Área proveniens ab aliquo. ex Or- 
dinate Terminis, quoties exprimi nequit Analyfi: vulgari, exponi-. 
tur fymbolo [| 7| ante hünc Terminum Kripto ; "Exempli gratià , fi 


Abíciffa eft x , & Oni an e EZ , Arca totalis et T. x. 


xx — bx A- [.—] zy quód ibi. aliquando ufurpavi. litteras. 


unico Pun&o notatas pro Quantitatibus Fluxiones primas involven-. 
tibus, aliquando. eafdem literas, fed duobus Punctis autas pro: 
Quantitatibus Fluxiones fecundas involventibus ; quód hyic Libello. 
innitebatur majus quoddam opus , quod fcripferam Anno 1671 &- 
de quo memineram.in.Epiftolà dat A.D. vicefimum quartum Oc-- 
tobris An. 1676, & quod initium ducebat à Redudione Quan-. 
titatum. finitarum in.Series. conyergentes,,.& à Solutione horum: 
duorum. Problematum.. 


Relatione. Quantitatum. Fluentium inter fc ditd,| Elaxionuw B2o- 
dationem. determinere,. 
ry. 


ExpofsA- JEguatione. Fluxianes Quantitatumy itvolbente ,. venis. 
ve elationem. Quantitatum. inter fe 5. & quód. hunc. Librum fcri-- 
bens adeó generalem, Methodis Serierum,. & Fluxionum fimul junc-. 
tis, Analyfim meam. effeceram.,. ut feré ad omnigena- Ptoblemata fe: 
extenderet ; quod. innueram in. Litteris datis A, D). decimum tertium. 
Junii An., 16765: & quód' hzc eft; Methodus.,. quam. defcripferami 
in, Epiftolà à; me:datà A, D.. decimum Decembris An..1672. 

Anno: 1684. Lg1sNiTAiUs vulgavit. tantàm. Elementa Calculi: 
Differentialis ,. quem .applicavit.ad aliquas Quaftiones de Tangenti-. 
bus, , & ad quaídam. alias, quae pertinent. ad. Methodum de Maxi. 
miss. dy Minimi, quod. FER MAT1u6,. & Ga EGORIUS fecc-. 
rent; ante eum ;, & oftendit: quomodo in. his Qnaftionum. generibus. 
procedi; poffit- non: füblatis Quantitatibus, irrationalibus ;: fed Pro.. 
hlemata füblimioris. Geometriz non attigit; Liber: de Princigiir Ma-- 

Alemeticie. contine: prima fprcimina,. Cque quidem edita fint, ), 
: hojos 





NEWTONI ANIMAD. IN SUPER. EPIST. 4i? 


"hujus Calculi applicati ad profundiora Problemata; & fic acceperam, 
quz LerswiTIus dixerat in Z4 Lipfiemfibes Menfis Maii An. 
1700 pagind 206. Sed LrgtswiTIUs animadvertit, quód ea , 
quz tunc dixerat, intelligenda funt de peculiari quàdam Arte circa 
Maxima , c Minima, quam mihi patuiffe fatetur, cüm indica- 
rem in meis Principiis Figura Navis, aut Solidi minimé omnium 
refiftentis. Sed, càm hac Ars Methodum Differentialem cognitam 
fupponat, quinimó cüm ultra ejus fines progrediatur; cüm alio- 
quin huic Arti Le1s51TrUs, ejifque Difcipuli debeant Solutio- 
nem Problematum , qux pluris ille facit, càm denique Leirswi- 
T1Us appellet hanc. Artem Methodum.- maximi momenti, & vaf- 
tiffima extenfionis, mihi fats eft eum faffum effe, quód ego pri- 
mus opere vulgato oftendi me hanc Artem noviffe. 

- Anno 1689. Le1sNrTIUS pro fuis edidit precipuas Propofitio- 
nes libri de Principis , ídque tribus fcriptis, quorum tituli Epiffola 
de Lineis Opticis: Scbediafima de Ref -— medii, C motu. Pro 
edilium gravium in. medio refiffente ; & Tentamen. de. Motuum: 
Caleffium. Caufis: has Propofitiones à fe inventas contendens ante 
editionem Libri de Principiis; &, ut meliüs fibi vindicaret praci- 
puam ex his Propofitionibus , cenfuüit addendam Demonftrationem, 
quam ipfe extruxerat; qua càm errónea eflet, ipfe fuam caüfam. : 
prodidit, & oftendit fe non. intellexiffe rationem procedendi ad fe- 
€undas Differentias. Hoc fuit fecundum Íípecimen palàm editum 
hujus Methodi applicate ad fublimiorem Geometriam. Hactenus 
parum: cognita füerat, fed uno, aut altero Anno pre omnium ma- 
nibus effe coepit. 

Vulgaverat Banovius Ánno r67o. differentialem. fuam Me- 
thodum pro Tangentibus; Ga zoo tus. hanc Methodüm fuz cons 
ferens fibi comparavit. Methodum generalem., qua Calculo non in- 
digebat, de quà CorrimNsiuM certiorem fecit Epiftolà : dat& 
&. D. quintam Septembris. An. 1670. Srusrus menfe Novembri 
An. 1672. cum OrpgMaURGIO communicavit Methodum &mi- 


lem. Ego ver ad CotrtrNsium mifi Methodum: iis proximant 


Litteris dátis A. D. decimum Decembris 1672, & addidi me de 
€à locatum fuiffe Bag ovro dum Leéüoses fuas. Geometrices e 
Fff^a cudenda- 


41x OPUSCULUM XFLI 
Cudendas curabat, & intellexiffe Methodos. GagG.on 11 & Srw- 
S1I cum, me convenire; hanc autem, nihil effe nifi; Ramum , aut- 
Corollarium. cujufdam. Methodi generalioris, qu: fine molefto com-- 
puto complectebatur non, folàm. Tangentes, fed:.alia Problemata 
abítrufiora, ut funt, quz fpecant ad. Curvarm, Curvaturas,, Areas,, 
Longitudines ,, Centra. Gravitatis &c. ;: & id quidem non. remotis ab, 
JEquatiune Qyantitatibus irrationalibus. Addidi etiam. me hanc Me- 
thodum conjunxiffe cum: Methodo Serierum.infinitarum , in- Libello, 
fcilicet. ,. quem fcripferam. An,, 1671. OL. DEMBURG1USs, menfe 
Junio, 1676. ad:Lg 15 N 1T 1. mifit; Exempla harum. duarum Epif- 
tolarum cum. Excerptis, ex Gagoon11 Litteris ;. pro: quibus nihil: 
non jam, fatum aut; hifce: ipfis. Litteris renuntiatum rependit: L E xa-. - 
NITIUS. Litteris. datis, A.D. vicefimum. primum. Junii 1677 ; cüm. 
Methodus, differentialis pro; Tangentibus,. quam. tunc. mifit. effet ip-. 
fiffima. Bareviana.,, quam; eelaveras: nová. notatione ,. & extenderatc 
ad. Methodos Gregorianam & Siyfianmam pro Tangentibus,, ad.JEqua- 
tiones. Quantitatibus irrationalibus implicatas,. &: ad: fimpliciorem. 
«fam. mearum; Quadraturarum; — Mibi; verà, idem: objici: nequit ;; 
nam; BARO v.1U5. viderat. libellum. meum de: Analyfi; Anno; 1669 ,, 
& fibi: placuiffe: teftatus. fuerat ;; &-& meà; Methodo. generali dedu-- 
xeram, Methodos, GRzeoa1r, & Srusir pro. Tangentibus. ,, 
antequam, Lefiones, Gtometrica. ederentur:. Tunc. Lz1ss1T19$ 

' ignorabat non folüm Geometriam. füblimiorem , fed: etiam. Algebram 
wilgarenu, : 

Ejus.Epiftola. data- &; D: vicefimum féptimum Auguftt:167 6::cons. 
tinet hzc verba ;- («od dicere vidémini: plérafque: diffembates ( ex-- 
eepris, Problematibus; Diophanteis ) ad: Serjer imfivitarredcis id milii 
sp videtere, Sum. emim.mulia m/que. ade) miras d impléxa , ut. ne-- 
quec 4h, JEguationibus: pendeamt:, neque: ek- Quadratmri.,— Qualia, 
Jitis. ex: vultis aliis-,, Problemata: Methodi; Tangentium  imverfa. 
(m: autem; refpondiffem hzc Prohlemata: effe in: meá. poteftate ,. re 

' pofuit; Epiftolà, datà: 4. Do. vicefimum: primum. Junii: 1&77.. quódi 
ego; forté; intelligebam: per: Series infinitas ,, fed! quód ipfe. locutus; 
erat: de: JEquationibpa, vulgaribus: quod'autem. refpon(um fuerit vi-- 
qeri. poteft. in, Cymmergio: Epiffolico. pagind: 92;. 


Dicit 


NEWTONI ANIM AD. IN. SUPER. EPIST. 415 

Dicit intelligi poffe, quód, cüm fcriberet Epiftolam A. D: vice- 
fimum feptimum Augufti 1676, aliquatenus progreffus erat in Cal- 
€ulo Differentiali, quia in hac Epiftolà ipfe indicas fe folviffe Pro-- 
blema Beawnianum certd Hnalyfi.. Sed quid? fi oftendero lioc Pro- 
blema folvi poffe cer 44»4/yfi non adhibità Methodo Differentiali.. 
Ad hoc enim nulla alia requiritur Analyfis, quàm lizc ;. quód fcili- 
Get oportet, ut Ordinata ad Curvam petitam crefcat., 'aut defcrefcat in: 
€ontinuá: geometric Proportione, dum Abfciffa crefcit in continuá: 
TProportione-arithmeticá ;. & idcirco ut Abíciffa, & Ordinata ean- 
dem inter fe Relationem habeant, ac Logarihmus, & Numerus ei 
refpondens.. Sed hinc inferre, quód Methodus Differentialis pe- 
mitus. LarsNrTIUM non latebat, idem plané effet ac afferere eam. 
ÁRCHIMEDI. notam fuiffe ,. quia fcivit: Tangentes ducere ad Spi-. 
ralem, quadrare Parabolam.,.& invenit Rationem Sphaera. ad Cy-. 
lJindrum ;. five: eam non fugiffe Cav x1rLERIUM , FERMATIU2M, 
&. NC. ALLISJXUM,, quia confecerunt plura ejufdem. generis.. 


APPENDIX. 


Cim Conféffüs à Rai Societate: convocatus edidit Cómmerciumr: 
Fiffelicum ,. non viderat Epiftolas, & alia fcripta, quz apud me^ 
erant. Habebam autem duas Epiftolàs, alteram à: Le18NiT10 da- 
tam. A.D.. ,7 Martii: 1693 ,. alteram. veró. a NV AL.11s10 datam. 
4. D.. 10.. Aprilis.1695, qua, re: poftulante; jam duo funt: Anni;. 
produ&z fuerunt. perpenfz, .& repofite-in Scriniis Regie Societatis. . 
Prima: palin facit.,. que EgisNiTIUS dé hac-re fentiebat;. cüm- 
mea:íymbola ignorabat ;: de. Methodo Fluxionum: nihil" fciebat ,. nifi 
qua. didicerat ex meis litteris. aliííque- fcriptis: Anno: 1676 , aut: 
antea ,. compofitis,, aut: exc meis Prizes: Mathematicis , id eit. 
Gm. nondum. in: mentem: mihi: veniffe poterat. voluntas. eum: deci- . 
piendi, Ex e aperté patet,. quód tunc. me- fibi:anteferebat: Secun-. 
da: veró ,, fi conferatur: cum; praefatione: Operum: Matltematicorum: 
NA LLISI,. oftendet*,. quid cenferenr: Mathematiéi tum. ne ,. 
tum; exteri ,. cüm audierunt hanc. Methodum differentialem percre-. 
lirefcere in Hollandià, & ejus inventionem tribui Le1sN1TI10; Hlc: 
addidimus: primam Epiftolam totam , & alterius. partem.. 

Eff. 3, EPIS. 


E 414 T1 
qubd $5R00O000060206000000C 


EPISTOLA 


LEIBNITII 


4D 


NEWTONUM 


ILLUSTRI VIRO 
ISAACO NEWVTONO 
GODEFRIDUS GUILLELMUS LEIBNITIUS S. P.IX 


Hannoverz 2; Martii 1693. 


Uantüm tibi Scientiam rerum Mathematicarum , totiüfque 
Naturz debere arbitrer occafione datá, etiam publicé fum pro- 
felus. Mirificé ampliaveras Geometriam tuis Seriebus; fed, edito 
Principiorum Opere, oftendifti patere Tibi etiam qux Analyfi recepta; 
non fübfunt. Conatus fum ego quoque, Notis commodis adhibitis, 
qua Differentias & Summas exhibent, Geometriam illam, quam Tranf- 
cendentem appello, Analyfi quodammodo fubjicere; nec res malé 
proceffit. Sed à te adhuc magni aliquod exped ad fummam ma- 
num imponendam ; tum ut Problemata, quz ex datà Tangentium 
proprietate quaerunt Lineas, reducantur optimé ad Quadraturas; 
tum ut Quadraturz ipf, ( quod valde vellem, ) reducantur ad Cur- 
varum Rectificationes ; ubique Superficierum , aut Corporum dimen- 
fionibus fimpliciores. 
. Sed fuper omnia optem, ut, Geometricis abfolutis, Naturam , 
ut coepiíti, mathematicé tractare pergas ; in quo genere certé tu 
unus cum pauciflimis ingens opere pretium fecifti Mirificum eft, 
quód invenifti Ellipfes Tapirianas prodire, fi tantummodo Attrac- 
tio, 


NENWTONI ANIMAD. IN. SUPER: EPIST. 41s 


tio, five Gravitatio & Trajedio in Planetà concipiantur. Tametfr 
enim eo indinem, ut credam hec omnia Fluidi ambientis motu: 
five effici,. five regi; analogia Gravitatis, & Majnetifmi' apud nos,. 
nihil tamen. ea res dignitati & veritati inventi tui detraxerit. 

Quz fummus & ipfe Mathematicus CAriffianw HuoEN1vSs in 
fuà notavit Appendice Libelli de caufá Luminis & Gravitatis, ex- 
. penía tibi non dubito; & fententiam tuam viciffim velim. Veftrà 
enim amicá collatione potifnüm , qui in hoc genere eminctis ,. 
erui Veritas poteft.. 


Càm veró maximum tu queque lümten ipfi Dioptrice inttleris ' 


explicatis Colorum Phanomenis inexpedatis, velim quid fentias de: 
Hygeniand explicatione Radiationis, utique ingeniofiffimá , càm fe-. 
liciter adeó prodeat Lex Sinuum. Significavit mihi HucExrus, 
nefcio quz nova Phenomena Colorum fibi à Te communicata. Ego: 
valde optem , ut ratio Colorum,. quos fixos vocant, ex apparenti-- 
bus deduci.poffit; feu , ut oftendatur ratio efficiendi per Refradio-- 
nes, ut tota aliqua Superficies certum Colorem oftendat.. 

In Librorum apud Anglos editorum indicibus, occurrére mihi: 


B aliquoties Libri mathematici: Au&ore. New row o ,. fed dubitavi ari 


à Te effent, quod vellem, an ab.alio liomonymo.. 

Hziwsivs nofter redux. teftis fuit benevolentie erga: me tuz.. 
De cultu' veró meo erga Te,. non ille tantüm teftari. poteft; fed: 
& STzPNEIUS,. tecum ejufdem: olim: Collegii habitator, nunc: 
Magne Britannie Regis negotia apud Cafíarem,. nuper apud Sere- 
niffimum Eledorem Brandeburgicum ,. curans.. 

Hac ícribo magis, ut ftudia erga Te mea intelligas, quz nihil: 
tot annorum filentio amifére, quàm ut Tua ego ftudia , quibus: 
anges humani Generis opes, interrumpere. velim. vacuis. Litteris. & 


füpervacnis, vale.. UN 


* 


EXCERP- 


f «6 ] 
EXCERPTUM EPISTOL.E 


Á4 
W A L L 1 SIO 
4 
NEWTONUM 


"Date Oxoniz A. D. 10. Aprilis An. 1695. 
^ Tinam typis ederes prolixas illas duas Epiftolas Junii & Au- 

J guíti (O&obrem dicere debuit) 1676. Ex Hollandiá certior 
factus fum amicos ibi tuos hoc poftulare ; quia notiones tua (de Fla- 
"xionibus) LgrswrTIO ibi afcribuntur, fub nomine Ce/wti Diffe- 
ventiali. Hoc ex Hollandia accepi cüm totus hic Tomus, prater par- 
'tem Prz'fationis , jam prarlo fübjectus effet , ita ut nihil aliud inferere 
Thic potuerim, dum teffarent opere, preter brevem illam, quam ibi 
"reperies, narrationem. — Non tam quus es vel tuo vel Gentis tug 
'honori , quàm oportebat; càm res quantivis pretii tamdiu in Scriniis 
celas , donec alii honorem tibi debitum: preripiant. Conatus fum is 
*o negotio. debitum tibi reddere, 

En Prafationis JV/al/fiane, edite menfe Aprili An. 1695, lo- 
cum de quo fupra mentio facta eft. 

Quz in fecundo Volumine habentur , in Pra-fatione eidem pre- 
fixh dicitur. Ubi (inter alia) habetur Ne wrox1 Methodus de 
Filexionióus , (ut ille loquitur , ) confimilis nature cum Lg1»x1- 
711, (ut hic loquitur, ) Calculo Differential , ( quod qui utram- 
que Methodum contulerit, fatis animadvertat, utut fub loquendi 
formulis diverfis, ) quam ego defcripfi ( Azcbre Cap. 91. &c. pra- 
fertim Cp. 95.) ex binis Ngw' roNr Litteris, ( aut earum alte- 
tis, ) Jui 13. & Octob. 24. 1676.ad OLDgMBURGIU M datis, 
cnm Le1sN1T:0 tum communicandis , ( iifdem feré verbis, faltem 
leviter mutatis, quz in illis Litteris habentur ; ) ubi Methodum hanc 
LziswriTIO0 exponit, tum ante decem annos, nedum plures, ab 
ipfo excogitatam. Quod moneo ne quis caufetur de hoc Ce/cs/o Dif- 
férentiali nihil à nobis didum effe. 
FRAGMEN. 










FRAGMENTU BREVIARII 
OPERUM WVALLISIANORUM 
DATI IN 
ACTIS ERUDITORUM 
Menf. Jun. An. 1696. Pag. 2575 258. 


ADCADCEÓ 





Eterüm iple NzwToNvus, non minüs candore quàm pre- 
Claris in rem mathematicam meritis infignis, publicé & priva- 
tim agnovit Le1BN1 TIUM tum, cüm ( interveniente celeberrimo 
Viro Henrico OrpgMBUuRG10 DBremenfi Societatis Regie dmgli- 
«454 tunc Secretario) inter ipfos, ( ejufdem jamtum Societatis fo- 
«ios, ) Commercium intercederet, id eft, jam feré annos viginti , 
& ampliàs, Calculum fuum differentialem , Seriéfque infinitas, & 
pro iis quoque Methodos generales habuiffe; quod Warrisrus 
in Praefatione Operum face inter eos communicatidnis mentionem 
faciens, praeteriit; quoniam de eo fortaffe non fatis ipfi conítabat. 
Ceterüm Differentiarum confideratio Leifsiziesa , cujus mentio- 
nem facit VarLisius, (nequis fcilicet, ut ipfe ait, caufaretur de 
Calculo Differentiali nihil ab ipfo didum fuiffe, ) meditationes ape- 
ruit, qux aliunde non equé nafcebantur. Eft enim Differentia Ana- 
lyticum quiddam , & Calculi capax, &, quod rei caput eft, Summe 
reciprocum. ' 


ANIMADVERSIONES NEWTONI 

lo fuperius. Acforum. Lipfienfium Fragmentum. 

Afferueram quidem in Epiftolis à me datis A, D. decimum tertium 
junii, & vicefimum quartum Odobris An. 1676. me adeptum fuif- 


íe Methodum Fluxionum aliquot Annos anté; fed nunquam faffus 
Jf. Newiopi Opufeula , Tom, L Ggg fum 


418 OPUSCULUM. XVI 


fum Lzrs N1T1U M-habuiffe Methodum differentialem ante Annum. 

1677. Nefciebam, quid fibi tunc tribueret , cüm patefacere animum 
fuum coepiffet folummodo Epiftolà datà A.D. vicefimum primum 
Junii eodem Anno. Nunquam conceffi fuam Tranfmutationum Me- 
thodum generalem effe pro Seriebus, neque tunc fciebam eum res 
cepiffe Anno fuperioreab Or pg MBUunoGIO Seriem à Lz1sN1TIO 
mihi mi(fam, nec illam inventam fuiffeà Ga EGoR10 Anno 1611. 
Methodus  Tranfmutationum non eft Methodus obtinendi Series , 
fed Theorema peculiare, quo una Figura in aliam tranfmutatur. 
Talia funt Theoremata GagGon1:, & Banmovitr  Scholium 
adnexum fecundo Lemmati fecundi libri meorum. Principiorm» Ma- 
1zhematicorum , quod toties malé allatum eft contra me, fcriptum 
non fuit, ut hujus Lemmatis gloria Le 18 N1T10 tribueretur, fedut 
mihi affereretur. Utràm Lr1BsNiTIUs illud poft meinvenerit, aut 
ex me mutuatus fuerit, quzftio eft nullius momenti, nam fecundis 
Inventoribus nullum jus in Inventa eft. 

N/arrisius Litteris datis Kalendis Decembribus An. 1696, & 
editis in tertio fuorum Operum Tomo LzisNiTIUM monuit de 
verbis, qua inferuerat Prafationi primi voluminis, & de quibus 
fupra meminimus; neque tunc LisxiTIUSs inficiatus eft, que 
NV AL LrstUS dixerat, nempe à me. illi explicatam fuiffe Anno 1676. 
Methodum Fluxionum, quam: inveneram decem, ant pluribus An- 
nis anté ; neque de W' ALLIsIO queftus eft. Ait in Epiftolà datá 
A. D. undetricefimum Marti 1697. De ze autem queri nunquam 
mibi im mentem venit, quem facil apparet moffra jm. AGhe Lipfien- 
ibus prodita mom [aths vidiff.  Fatebatur has Methodos.effe fimi- 
les t, ut JVallifius affirmaverat; quamobrem in Epiftolà dat A. D. 
duodetricefimum Maii 1697. ait fe 44gwe commwni nomine defi- 
gnare [alere /Analyfeos. Ifinitefimalis. Deinde addit, gwexadmo- 
dum , C" Vietea, & Cartefiana Mer£odus Analyfeos Speciofae »o- 
mine venit 5 diferimina tamen nonnulla. [uperfum: ita fortaffe c 

M" Newto- 

* En ejus verba. Metbodum Fluxionum profundiffhmi Ng w't oW cogratam effe 
AMetbodo mee. Differentiali mom zum amimadeerti, poflquam opus-ejus , € feum 
prodiit , fed etiam profeffus fum in. Actis Eruditorum , £d alias quoque monui. Epift. 
ad val. 2$. Maii 1697. Vide Comm. Epit. N*. LX XVI. pog. 216. Edit. fe. 


NEWTONI ANIMAD. IN SUPER. EPIST. 419 


Newtoniana, (- mea differsum in nonsullis, — Sic innuens ea differ 
re Additionibus , quibus hzc cumulaverat Quapropter excufat 
NaLLIsIUM, qüi de his Additionibus non meminerit, quia ea i» 
Adis Lipfenfibus prodita non fatis viderat, & teftatur fibi de NVA 1- 
LISIO queri muquam in mentem veniffé quácumque alià de cauf. 

Sed, fi Can TEsrUs nunquam fe afferuit Auctorem 7fzalyfcos ffe- 
eiofa Vietae , aliter fe geflit Le12N1T1vs circa Methodum Infini- 
tefimalem, quam femper appellavit fuam Methodum ; unde F 4 T1Us 
impulfus eft ad fequentia fcribenda. 





EXCER?PTUM 


E Libro Nicolai FAr:i1 DuirrERII: infcripto 


dLoveffigatio Geometrica Solidi rotundi , in quod minima fiat 
refiffentia. 


Et edito An. 1699. 


Usret forfan Cl. Le1aNrTIvs, unde mihi cognitus fit ifte 
Calculus, quo utor. Ejus equidem fundamenta, ac pleraque 
Reguias proprio Marte anno 1687. , circa Menfem Aprilemn , & 
fequentes, aliífque deinceps annis, inveni; quo tempore neminem 
€o Calculi genere, prater me ipfum, uti putabam. — Nec mihi mi- 
nüs cognitus foret, fi nondum natus effet Le1sNiT1ius. Aliis 
igitur glorietur Difcipulis, me certé non poteft. — Quod fatis pate- 
bit, fi olim Littere , que inter ClarifQum Hu ezN1uM méque 
intercefferunt , publici juris fiant. NEwTONuM tamen primum ac 
pluribus annis vetuftiffimum hujus Calculi Inventorem, ipsà rerum 
evidentià coactus agnofco ; à quo utrüm quicquam mutuatus fit 
LerswiTIvs, fecundus ejus Inventor, malo eorum, quàm meum 
fit Judicium, quibus vif fuerint Ng w Towr Littere, aliíque ejuf- 
dem Manufcripti Codices. Neque modeftioris N e w r o 1 filentium, 
aut prona LeiswiTII fedulitas , inventionem hujus Calculi fibi 
paffim tribuentis , ullis imponet, qui ea pertractárint, qua ipfe evol- 
vi, Inftrumenta. 
Ggg 2 ANI. 


Digitized by Google