Google This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scanncd by Googlc as part of a projcct to make the world's books discoverablc onlinc. It has survived long enough for the copyright to cxpirc and thc book to cntcr thc public domain. A public domain book is one that was never subjcct to copyright or whose legal copyright term has expircd. Whcthcr a book is in thc public domain may vary country to country. Public domain books are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discovcr. Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from thc publishcr to a library and fmally to you. Usage guidelines Googlc is proud to partncr with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to thc public and wc arc mcrcly thcir custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing tliis resource, we liave taken stcps to prcvcnt abusc by commcrcial partics, including placing lcchnical rcstrictions on automatcd qucrying. Wc also ask that you: + Make non-commercial use ofthefiles Wc dcsigncd Googlc Book Scarch for usc by individuals, and wc rcqucst that you usc thcsc filcs for personal, non-commercial purposes. + Refrainfivm automated querying Do nol send aulomatcd qucrics of any sort to Googlc's systcm: If you arc conducting rcscarch on machinc translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of tcxt is hclpful, plcasc contact us. Wc cncouragc thc use of public domain materials for these purposes and may be able to help. + Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout thisprojcct and hclping thcm lind additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. + Keep it legal Whatcvcr your usc, rcmember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just bccausc wc bclicvc a book is in thc public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countrics. Whcthcr a book is still in copyright varies from country to country, and wc can'l offer guidance on whether any speciflc usc of any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearancc in Googlc Book Scarch mcans it can bc uscd in any manncr anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe. About Google Book Search Googlc's mission is to organizc thc world's information and to makc it univcrsally acccssiblc and uscful. Googlc Book Scarch hclps rcadcrs discovcr thc world's books whilc hclping authors and publishcrs rcach ncw audicnccs. You can scarch through thc full icxi of ihis book on thc wcb at|http://books.qooqle.com/| \d 0 Ji. G< ■XJ •[< \ V- • T r ' rf ■>! ■' T'V ■ « •.■'\ ■» V'>7^*' ' •• jur -^ /. P H I L O S O P H I iE N ArU R A LIS ' P R I N C I P I A MATHEMATICA. A UCTO R E I S A A C O N E W T O N O, EQJJITE eAVRATO. EDITIOULTIMA AuCTiOR ET £mihoatior> AMSTMLODAMI SUMPTIBUS SOCIETATIS, I ^DCCXIV, / * -^ ILLUSTRISSIMiE^ SOCIETATI REGALL SERENISSIMO REGE CAROLO II AD PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM F U N D A T A^ E T A U S P I C I I S AUGUSTISSIMA REGIN& A N N M FLORENTI> Tkactatdm runc D.D.D. JS. NE^ONVS, i^ ^ I N « VIRI Pk ASTANTISSIMI I S A AC I N E W TONI OPUSHOCCE MATHEMATICO-PHYSICUM j - SecuVt Genttfqm noftra Decus €^regium, . N tibi norma Poli , ic dh» libramioa Molis , Compatus cn Jovis ; 8c auas , dum primordia reram Conderet , omnipotens ubi Leges ip(e Creator Dixerit, atque operum quae lundamenta locarit. Intima panduntur vi^i penetratia Coeli, Nec latet , extremos cjuac Vis circaiArotet Orbe^, ' Sol (blio refidens ad (e jubet omnia prone Tendere deicenfu , nec tc6to tramite cnfrus Sidereos patitur vadum per tnane moverij Sed rapit immotis, k centrOj fingota gyris. Hinc patct,' horrificis qua (it • tia flexa Comttis : « Difcimus liinc tandem , qua cauia iafgentea^^ PbcDbe Paflibus haud a?quis eat , Sc cur fobdita nulli Hadienus Aftronomo numerorum fraena recufet: Cur remeent Nodi , corque Auges progrediantur. Difcimus, & quantis refluum vaga Cynthia Pontum Viribus irapellat ,• fefHs dum flu<^ibus ulvam Deferit , ac nautis fufpeiStas nudat arenas j Alceraifve ruens fpumantia littora pulfat, Qaas Qpx toties aDimos vetertun torfere Sophorum , Quxqae Schotas hodie rauco cectamine vexaot, Obvia confpicimus' ; nubem petlente Mathefi : Qu^ (tiperas penetrare domos , atque ardua Coeh* j^ N £w T o N I aufpiciis , jam dat contingere Templa. - Svrgite Mortales , terrenas mittite. curas ; Atque hinc cceligenx vires cognofcite Mentis^^. A pecudum vita ionge longeque remotx. Qui fcriptis primns Tabuiis compefcere Caedes , Furta & Adulteria, & perjurx crimina Fraudis^ Qnive vagis populis circumdari moenibus Urbes AuAor erati Cererifve beavit munere gentesi. Vel qui curarum tenimen preffit ab Uva; Vel qui Niliaca monftravit arundine pidos Confociare fboos, eculifqne exponere Voces;. Hmnanam fortem minus extulit ^ utpote pauca . In comnume ferens miferae fblatia vitae.. Jam vero Sopetis convivx admittimur , alti ura poli tradare licet , jamque abdita^ dias Clauiira pateBt Naturs , & rerum immobihs ordo ;, £t quas prxteritis iatuere incognita fasclis. Talia monflcantem joflis celebrate Camxnis, Vos qui coelefli gaudetis neAare vefci , Newtonum claufi referantem^ fcrinia Veri, Newtonum Mufis carum , qui pedor^ puro Phoebus adeft, totoque incesfit Numine mentem r Nec fas efl propius Mortali atdogere Divos. ED, HALLET. AUC •^ iX,./^-/:^ A U- C T O R I s P R^ F A TI O A D L E C T O R E M. CUm Veteres Mechanicam ( uu auBor efi Pappus ) in re^ rum Naturalium inveftigatione maximi fe^erint; ^ Re- centiores^ mijjis formis fuhfiantidltbus @* qualitatibus occultis^ Phanomena Natur^ a'd leges MatToematicas revocare aggref- fijint: Vifum efl in hoc TraBatu Mathenn excolere ^ quate-^ nus ea ad Philofbpliiam [peBat. Mechaaicam vero dupTtcem Veteres conftituerunt: Kation^tm^qua per Demonfirationes nccurate frocedit j^ 8? Prafticam. jld PraBicam J^eBant Aries omnes Manuates , a quibus utique Mechaoica nomen mutuata efi, Cum autem Arttfices parum accurate operari fileantyfit «/Mechanica omnis aQtomtttxii ita dtfiinguatury ut quicquid aocuratum Jit ^^Geometriam referatur^ quic" quid minus accuratum ad Mechanicam. Attamen errores nonfunt Artisfed Artificum. J^«/ minus accurate operatur^ tmperfeBior efi Mechanicus y ^fi quis accuratiffime opera" ri poffety hic foret Mechanicus omnium perfeBiffimus, Nam & Linearum reBarum S^ Circulorum defcriptiones in qui* hus Geometria fundatur , ad Mechanicam pertinent. Tffas Jineas defctibere Geometria non docet fed poftulat. Pofiulat entm ut Tyro in eafdem accurate defcribere prius didicerit quam Ytmen attingat Geometriae^ dein^ quomodo per has o* perationes Problemata folvantur , docet. ReBas & Circulos defcribere Problemata funt , fed non Qeometrica. Ex Mc- chanica pofiulatur horum folutio , in Geometria docetur fo^ lutorum ufiis^ Ac gloriaturCeomctrh quod tam paucis prin" cipiis aliunde petitis tam muha prafiet^ Fundatur igttur Geo- ^ir V- AUCTORIS -PRiEPATIO. IN hac Secimda Prtmipmum Edttione , muha /parfim emendantur ^ mnnulia adjtciunfur» In Librfprimi Se^ Bione II ^ InvenM virium quibus corpora in Orbibus datis re^ volvi pojpnt , facilior redditur & arnplior. In Libri fecundi SeBione VII^ Theoria refiftentia Fluidorum accuratius if^ veftigatur ^ novis Experimentis confirmatur, In Libro ter^ tio Theoria Lun mis quibufdam & intelle^u facillimis affedionibus oriri. ^t refte quidem progreifio inilituitur a fimplicioribus ad magis compofita^ fi particularum primariis illis afFedionibus non alios tribuunt mo<- 6ps , quam quos ipfa tribuit Natura. Verum ubi licentiam fibi aiTumunt , ponendi quafcunque libet ignotas partium figuras & magnitudines , incertofque fitus & motus ; quin & fingendi Fluidt qua^dam occulta , quae corporum poros liberrime permeent , omnir potente pra^dita Tubtilitate , motibufque occultis agitata ; jam ad fomnit delabuntur , negle^k rerum conftitutione vera: quas fane fruftra petenda eft ex fallacibus conjeduris , cnm vix etiam per certiffiooas Obibrvationes inveiligari poilit. Qui fpeculationum b X fuarum v- ' 0 ■""", ^A E D I T O R I S iiiaruin fandamentum defamuBt ab Hypothefibus , etiamfi deinde fecundum leges Mechanicas accuratiffime procedant ; Fabulam qui- dem elegantem forte & venuflam , Fabulam tamen concinnare di- cendi funt. Relinquitur adeo tertium genus , qui Philofophiam fcilicet Ex- perimentalem profitentur. Hi,quidem/ex fimpliciflimis/quibuj pofrun4 principiis, rerum omnium caufas derivandas efie voiunt : nihil autem Principii loco aflumunt , quod nondum ex Phsnome* nis comprobatum tuerit. Hypothefes non comminifcuntur , nequc in Phyficam recipiunt , nifi ut Quaeftiones de quarum veritate dif- putetur. Dupiici itaque Methodo incedunt , Analytica & Syn- thetica. Natur® vires legefque virium fimpliciores ex feleftis qui- bufdam Phasnomenis per Analyfin deducunt , ex quibus deinde per Synthefin reliquorum conflitutionem tradunt. Haec illa eft Philo- fophandi ratio ionge optima , quam pras ceteris merito ample6len- dam cenfuit Celeberrimus Aunor nofter- Hanc folam utique di- gnam judicavit , in quz excolenda atque adornanda operam fuam coilocaret. Hujus igitur illuftrifiiimum dedit Exemplum , Munda- si nempe Syftematis explicationem e Theoria Gravitatis feliciflime dedu6lam. Gravitatis virtutem univerfis corporibus inefle , fufpi- cati funt vel finxerunt alii : primus Ille & folus ex Apparentiis de* monftrare potuit , & fpeculationibus egregiis firmifiimum ponere fundamentum. Scio equidem nonnultos magni etiam nominis Viros , praejudiciis quibufdam plus aequo occupatos , huic novo Principio aegre afiTen* , tiri potuifiTe , & certis incerra identidem praBtuIifiTe. Horum famam vellicare non eft animus: Tibi potius,BenevoIeLe6lor, illa paucis exponere lubet , ex quibus Tute ipfe judicium non iniquum feras. Igitur ut Argumenti fumatur exordium a fimpliciftimis & proxr* mis ; delpiciamus pauiifper qualis fit in Terreftribus natura Gravi- tatis , ut deinde tutius progrediamur ubi ad corpora Cceleftia , lon- piflime a fedibus noftris remota , perventumfuerit. Convenit jam inter omnes Philofophos , corpora univerfa circumterreftria gravi- tare in Terram. Nulla dari corpora vere tevia , jamdudttm confir-* mavit Experientia muitiplex. Quas dicitur Levitas relativa , non eft vera Levitas , fed apparens folummodo: & oritur a praBpoIlente Gravitate corporum conttguorum. Porro, ut corpora univerfa gravitant in Terram , ita Terra vicif- fim in corpora aequaliter gravitat ; Gravitatis enim adionem efife mutuam & utrinque aequalem , fic oftenditur. Diftinguatuv Terra» totius P R iE F A T I O. totias moles in bints quafcunqne par tes , vel aequales vel utcunque in* ffgaales : jam fi pondera partium non effent in fe mutuo SBqualia ] cederet pondus minus majori , & partes conjunAdB pergerent refta moveri ad infinitum , verfus pUgam in quam tendit pondus majus : omnino contra Experientiam. Itaque dicendum erit» pondera par- tium in asquilibrio efie conflituta : hoc efi: » Gravitatis a^lionem eife mutuam & utrinque a^ualem. ^ Pondera corporum, squaliter a ceiKro Terrae diflantium, fiintuc quantitates materias in corportbus. Hoc utique colligitur exsqua- li acceleratione corporum omnium , e quiete per ponderum vires cadentium : nam vires quibus insqualia corpora aequaliter accele^ rantur , debent efie prop>ortionales quantitatibus materiae moven^ ds. Jam vero corpora univer& cadentia a^ualiter accelerari , et eo patet , quod in Vacuo Boyliano temporibus squalibus aequalit fpatia cadendo defcribunt , fublata fcilicet Aeris refiftentiar: accu* ratius autem comprobatur per Experimenta Pendulorum. Vires attraftivjc corporum.in^aequalibus dillantiisy funt ut quan*^ titates materi» in co^oribus- Nam cum corpora in Terram & Terra vicifltm in corpora momemis asqualibus gravitent ; Terrae pondus in- unumquodque corpus, feu vis qua corpus Terram attra*- hit , squabitur ponderi corporis ejufdera in Terram. Hoc autem ponduserat ut quantitas materiaB in corpore: itaque vis qua corpus imumquodque Terram attrahit , five corporis vis abfoluta , erit ut eadem quantitas materiag. Oritur ergo & compomtur vis attraftiva corporum integrorum ex viribus attra6^ivis partium : fiquidem auda^ vel diminuta mole materias » oftenfum eft , proportionaliter augeri vel diminui ejus virtoteni;. A6^io itaque Telluris ex conjunAis partium AAionibus eonilari cenfenda erit; atque adeocorpora omniaTerreftriafemu- tuo trahere oportet viribus abfolutis , qusB fint in ratione materiae trahentisv HaBc eft natur» Gravitatis apud Terraov: videamus jam qualis fit in Coclis. Corpus omne perfeverare in ftatu fua vel quiefcendi vel movendi uniformiter in diredum , nifi quatenus a viribus imprefiis cogitur ftatuffl illum mutare ; Niiturae lex eft ab omnibus recepta Philofo"- pbis. inde vero fequitur , corpora quae inCurvis moventur , atque adeo de lineis redis Orb^tas fuas tangentibus jugiter abeunt , Vi aliqtia. perpetuo agente retineri in itinere curvilineo: Planetis igi^ tur in Orbibus curvis revolventibus^ necefikrio' aderit Vis aliqua ,. per cujns a^ones repetitas indefinenter aTangentibusdefledantur. b 3 Jam E P I T O R I S . ;[^m iHudcoBcedi dequum.eft, quod Mathematids rationibuscol- '^igitur'& certiiTime demonftratur t Corpora peinpeomQia, quae moventur in linea aliqua curva in plano deicripta» qua^que radio 4u6lo ad pundum vei quiefcens yel utcunque motum defcribunt areas circa puni^um iltud temporibus proportionales , urgeri a Vi* f ibj:i9 quae ad idem pundum t^ndunt. Cum igitur in confefTo Gt apud Aflronomos , Planetas primarios circum bolem » fecundarios ^i^ro. circum fuos primarios « areas defcribere temporibus propor- tioaales ; confequens e(l ut Vis illa , qua perpetuo detorquentur a TaDgentibus reailineis , & in Orbitis curvilineis revolvi coguntur, :i^^rfus corpora dirigatur qua^ fita funt in Orbitarum centris. Ha^ itaque Vij non inepte vpcari poteft., refp^iftu qqidem corporis re- 5r^lveDti$ , Gentripeta ; refpeftu avtem cQrporis centralis, Attrar /^va; a quacunque demum caufa oriri fingatur. . : Quih & hoBc quoque concedenda funt , & Mathematice demon- ftrantur : Si corpora plura motu asquabili revolvantur in Circulis xmacentricis , & quadrata temporum periodicorum fmt ut cubi di- ^Qtiarum a centro communi ; Vires centripetas revolventium fo- fe r^fiproce ut quadrata diftantiarqm. Vel , fi corpora revolvan- tur iii;Orbitis quae funt Circulis finitime , & quiefeant Orbitarum Apfides ; Vires centripetas revolventium fore reciproce ut quadra- ta diftantiarum. Obtinere cafum alterutrum in Planetis univerfis confentiunt Aftronomi. Itaque Vires centripet® Planetarum om- nium funt reciproce ut quadrata diftantiarum ab Orbium centris. Si quis objiciat Planetarum & Lune^ prsfertim , Apfides non peni- tus quiefcere ; fed motu quodam lento ferri in confequentia : re- fponderi poteft , etiamfi concedamus hunc motum tardiftimum ex- inde profeftum efl!e quod Vis centripetaB proportio aberret ali- quantum a duplicata , aberrationem iilam per computum Mathe- inaticum inveniri pofTe & plane infenfibilem efiTe. Ipfa enim ra- tio Vis centripets Lunaris • quas omnium maxime turbari debet * pauluium quidem duplicatam fuperabit ; ad iianc vero fexaginta fe- re vicibus propius accedet quam ad triplicatam. Sed verior erit refponfio , fi dicamus hanc Apfidum progrefiiionem • non ex aber» ratione a duplicata proportione , fed ex alia prorfus diverfa caufa oriri , quemadmodum egregie commonftratur in hac Philofophit. Reftat ergo ut Vires centripetae , quibus Planetae primarii tendunc verfus Solem & fecundarii verfus primarios fuos , fint accurate ut quadrata diftantiarum reciproce* Ex y \ PKJRFATrO. £jc iis qns hadeniis.dx6la iant ^ cbnftat Planetas in Orbitis iiiis> letineri per Vim aiiquam in ipfos perpetuo agentem: confUtVim' ilJam dingi femper verfas Orbitarum centra: coniht liujus effica'* ciam ao^Fi in accefm ad centrum , diminui in receiTu ab eodem : & augeri quidem in eadem proportione qua diminuitur quadratum diilantiaB • diminui in eadem proportione qua diftantias quadratuta augetur. Videamus jam » compararione inilituta inte^ Planetarum^ Vires centripetas & Vim Gravitatis j annon ejufdem forte fint ge^ neris. Ejufdem vero generis erunt, fi deprehendanturhinc &inde leges esedem eaedemque affiidiones. PrimoitaqueLunse^quaBiKH bis proxima eft, vim centripetam expendamus. Spatia re^linejr , quae a corporibus e quiete demidis dnto tem^ pore fub ipfo motus initio defcribuntur > ubi a viribus quibufcun*- que urgentur y proportionalia funt ipfis viribus : Hoc utique con-^ fequitur ex ratiociniis Mathematicis. Erit igitur Vis centripet» LunaB in Orbita fua revolventis» atd Vim Gravitatis in fuperticie TerraB , ut fpatiom guod tempore quam minimo defcriberet Lu« iia defcendendo per Vim centripetam verfus Terram , fi circulart omni moto privari fingeretur » ad fpatium quod eodem cempore quam minimadefcribit grave corpus in vicinia Terrs ^ per Vimsra'* vitatis foas cadendo. Horum fpatiorum prius aequale eft arcus aLu^ na per idem templis defcripti finui verfo , quippe qui Luns tranflar tionem de Tangente» faC^am a Vi centripeta) metitur ; atqueadeo compotari poteft ex datis tum Lunas tempore periodico tum di- ftantia e}os a centro TerrsB. Spatium poflerius invenitur per Ex'^ perimenta Pendulorum • quemadmodum docuit Hugenius. Ihito» itaque caiculo > fpatium prius ad fpatium poflerius , feu vis cen^ tripeta Luna? in Orbita fua revolventis ad vim Gravitatis in fu-^ perficie Terrae, erit ui quadratum femidiametri Terrar ad Orbita femidiametri quadratum. Eandem habet rationem , per ea qu» fuperius oflenduntur ,. vis centripeta Lun« in Orbita fua revol* Tentis ad vim LunaB centripetam prope Terrae fuperficiem; Vis> itaque centripeta prop« Tcrr» fuperficiem aequalis efl vi Gravi- utis. Non ergo diverfae funt vires,. fed una atque eadem: fi enim? diverfas effcnt , corpora viribus conjunftis. duplo celerius in Ter* ram caderenc quam ex vi fola Gravitatis. Conflat igitur Vim iUam centripetam, qua Luna perpetuo de Tangente vel trahitur vcl impellitur & in Orbita retinetur, ipfam eile vim Gravitatis> terreftris ad Lunam ufque pertingentemi Et rationi quidem con* fentaneam efl ut ad. iiitgentes diluatias illa. fefe Virtuseztendat». cumi I -E D I T O H I S dfli nnHam ejus fcnfibilem immiimtionefn , vel in altiffimis mon- tium cacuminibus , obfervare licet. Gravitat itaque Luna in Ter- ram : quin & adione mutua , Terra viciiltm in Lunam squaliter gravitat : id quod abunde quidem confirmatur in hac Philoiophia\ ttbi agitur de Maris aeftu & iEquinodiorum praBceflione , ab aAio- ne tum Lunas tum Soiis in Terram oriundis. Hinc & illud tandem edocemur , qua nimirum lege vis Gravitatis decrefcat in majoribus a Teliure diliantiis. Nam cum Gravitas non diverfa fit a Vi cen- tripeta Lunari ^ ha^c vero fit reciproce proportionalis quadrato di- ftantiae; diminuetur &Gravitas in eadem ratione. Progrediamur jam ad Planetas reliquos. Quoniam revolutio- fies primariorum circa Solem & fecundariorum circa JoYcm & Saturnum funt Phasnomena generis ejufdem ac revolutio Lunas circa Terram , quoniam porro demonftratum efl vires centripetas primariorum dirigi verfus centrum Solis , fecundariorum verfus centra Jovis & Saturni , quemadmodum Lunae vis centripeta verfus Terrae centrum dirigitur ; adhaec , quoniam omnes illa^ vires funt reciproce ut quadrata diftantiarum a centris , quemadmodum vis Lunx eil ut quadratum diflantiae a Terra: concludendum erit ean* dem efTe naturam univerfls. Itaque ut Luna gravitat in Terram, & Terra viciflim in Lunam ; fic etiam gravitabunt omnes fecun- darii in primarios fuos , & primarii vicifmn in fecundarios ; fic & omnes primarii in Solem , & Sol viciflim in primarios. I^tur Sol in Planetas univerfbs gravitat & univerfi in Solem. Nam iecundarii dum primarios fuos comitantur » revolvuntur in«- terea circum Solem una cum primariis. Eodem itaque argumento . utriufque generis Planetss gravitant in Solem , & Sol in ipfos. Se- cundarios vero Planetas in Solem gravitare abunde infuper con* fiat ex in^squalitatibus Lunaribus ; quarum accuratifGmam Theo* riam , admiranda fagacitate patefaclam ^ in tertio hujus Operis libro expofitam habemus. Solis virtutem attradivam quoquoverfum propagari ad ingen- tes ufque diAantias . & fefe dimmdere ad fingulas circumjei^i fpa- tii partes , «pertifltme colligi poteft ex motu Cometarum ; qui ab immenfis intervallis prQfedi feruntur in viciniam Solis , & non- nunquam adeo ad ipfum proxime accedunt ut Globum ejus , in Periheliis fuis verfantes , tantum non contingere videantur. Ho- rum Theoriam ab Aflronomis antehac fruflra quaefitamj noflro tandem fasculo feliciter inventam & per Obfervationes certifli- me demonfhratam , Praeflantifnmo noflro Audori debemus. Patet igitur .ij P R ^ F A T I O. i^'tar Coftietas ki Seflionibus GoQicis umbilicos in centro Solis Aabentibus moveri » & radiis ad Solem dudis areas temporibus proportionales dcfcribcre. ' Ex hifoe vero Ph^nomenis manife- flum eft & Mathematice comprobatnr , virqs\)l«s, quibus Come- taB retinennir inorbitis fuis ,, refpicere Soleni & efle reciproce ut quadrata diilantiarun^ ab ipfms centfo. G^ayitant itaque Comcta^ inSolem: atque adeo Solis yis attradiva hon tantup ad corpora Planecarum tn datis diila&tiis & in eodem fere planocollocata, fed etiam ad Cometas in diverfiffimis Coelorum regionibus & in diver' filfimis diflantiis pofitos perungit. HjKC igitur eil naturacorporum, gravitantium ^ ut viresfuas.^jdant ad omn(^s diftantias in omniacor* pora gravitantial Inde vero fequitur ^ : Planetas & Cometas iini^ verfosfe mutuotrah^rc, & infe mutno graves efle: quod etiam coDfirmatur ex perturbatione Jovis S^Saturni, Aftronomis non in- cognita, & abiaftionibus horum Planetarum in fe inviccm oriiin- da; quin & ex motu illo lentiiTimo Apfidpm , qui fupra memora-» tus eft , quiqae a caufa confimili proficifcitur* Eo demum perveniraus^ut dicendum fit, & Terram & SoIem& corpora omnla coeleflia , qttae Solem comitantur , j(e mutuo attra^* here, Singulorum ergo particulae quaeque minimae vires fuas attra- tiivas habebunt, pro quantitate materioB pollentes; qucmadmodum fupra de Tcrre^ribus oflenfum eft. In diverfis autein diftantiis , erunt & harum vires in duplicata ratione diftantiarum reciproce: nam ex particulis hap lege trahentibus componi dcbere Globos ea- dcm lege trahentes, Mathemaiice demonftratun CoDclufiones praBcedentes huic innituntur Axiomati , quod a nullis non recipitur Philofophis; Effeftuum fcilicet ejufdcm ge- ncris, quorum nempe qua cpgnofcuntur proprietates eaedem funt, eafdem effe caufas & eafdem effe proprietates quae riondum cog- nofcuntur. Quis enim dubitat , fi Grav^tas fit caufa dcfcenfusi Lapidis in Eurofa , quin eadem fit caufa defcenfus in Amerka^ Si Gravitas mutua fuerit inter Lapidem & Tcrram in Enro^ai quis negabit mutuam effe in America ? Si vis attraftiva Lapidis & Terrae componatur., in Europa^ ex viribus attraftivis partiuin ; quis negabit fimilem effe compofitionem in America^i Si attraftio Terrae ad omnia corporum gcjiera & ad omnes diftantias propa- getur in Eurofa\ quidni pariter propagari dicamus m Amerlca\ In hac Regula fundatur omnis Philofophia' : quippe qua fublata nihil affirmare poflimus de Univerfis. Conftitutio rerum fingula- rum innotefcit per Obfervationes & Experimenta : inde vcro non c nifi t E D ITO R I S niii per hanc Regulam de rerum univerfaruih natura judica* mus. Jam cum Gravia iint omnia corpora » quae apud Terram vel in Coelis reperiuntur , de quibus Experimenta vel Obfervationes in- fiituere licet ; omnino dicendum erit j Gravitatem corporibus unir verfis conipetere. £t quemadmodum nulla concipi debent corpo* ra , qus non (int Extenfa, Mobilia , & Impenetrabiiia ; ita nuUa concipi debere , qusB non fint Gravia. Corporum Exteniio » Mo- bilitas , & impenetrabilitas non nifi per Experimenta innotefcunt c eodem plane modo Gravitas innotefcit. Corpora omnia de quibu^ Obfervationes habemus , Extenfa funt & Mobilia & Impenetrabi- lia: & inde concludimus corpora univerfa , etiamilladequibusObf* fervationes non habemus 9 Extenfa ^ffe & Mobilia & Impenetrabip lia. Ita corpora omnia funt Gravia , de quibus Obfervationes ha^ bemus : & inde concludimus corpora univerfa , etiam illa de qui* bus Obfervationes non habemus 9 Gravia elTe. Si quis dlcat cor- poraStellarum inerrantium non eflTeGravia, quandoquidem eoruni Gravitas nondum eft obfervata ; eodem argumento dicere licebic lieque Extenfa efTe , nec Mobilia , nec Impenetrabilia 9 cum \\9 Fixarum affefliones nondum fmt obfervat». Quid opus efl verbis? Inter primarias qualitates corporum univerforum vel Gravitas habe* bit locum; vel r^xtenfio^ Mobilitas, & Impenetrabilitas non habe* bunt. £t natura rerum vel rede explicabitur per corpbrum Gra^ vitatem 9 vel non rede explicabitur per corporum Extenfionem» Mobilitateni 9 & Impenetrabilitatem. Audio nonnullos hanc improbare conclufionem 9 & de occultis qualitatibus nefcio quid muflitare/ Gravitatem fcilicet Occultum cfTe quid , perpetuo argutari folent ; occultas vero caufas procul efTe ablesandas a Philofophia. His autem facile refpondetur; oc« cultas efie caufas 9 npn illas quidem quarum exiftentia per Obfer- vationes clariflime demonftratur , fed has folum quarum occultaefl & ^6iz. exiflentia nondum vero comprobata. Gravitas ergo non erit occulta caufa motuum coeleflium ; fiquidem ex Phsenomenis oftenfum efl t hanc virtutem revera exiflere. Hi potius ad occul* tas confugiunt caufas ; qui nefcio quos Vortices 9 materis cujufdam prorfus fictitias & fenfibus omnino ignots 9 motibus iifdem regen* dis prsficiunt. Ideone autem Gravitas occulta caufa dicetur 9 eoque nomine rejicietur c Philofophia 9 quod caufa ipfius Gravitatis occulta efl & nondum inrenta i Qui fic ilatuunt 9 videant nequid flatuant ab» furdi » .s P R jE F A T I O. fiirdi , nnde tottas tandem Philofophid& fundamenta contdlafi* rar. Ecenim caufae cominuo nexu procedere folent a compofi^ tis ad (impliciora : ubi ad caufam fimpliciflimam perveneris i jam non licebit ulterius progredi. Caufae igitur fimpliciflimas nuUa dari potefl mechanica explicatio : fi daretur enim , caufa non* dum eflet fimpliciflima. Has tu proinde caufas fimpliciflimas ap* peilabis occulcas , & exulare jubetHs ? fimul vero exulabum & ab his {^oxime pendentes & qus ab illis porro pendent , uf* que dum a caufis omnibus vacua fuerit & probe purgata Piiilo^ fof^ia. Sunc qui Grfivitatem pr^ter naturam efTe dicunt , & Miraculum perpetiium yocant. ^ Itaque rejiciend^m e(][e volunt , cum in Phy-i lica praeternaturales caufaa locum non habeant. Huic Ineptaa prorfas objedioni diluends , quse & ipfa Philofophiafn fubruit univerfam » vix operae pretium efl immorari. Vel enim Gravita- tem corporibus omnibus inditam efTe negabunt > quod tamen dici non poteft: vql eo nomine pr^ter naturam efTe affirmabunt . quod ex aliis atrporttm affedionibus atque adeo ex caufis Mechanicis ori-> giiiem non babeat. Dantur certe pritnariEe cQrporum affe^iones 9 qu9B p quoniam funt primariae , non pendent ab aliis. Viderinc igitur annon & hx omnes fint pariter pra^ter naturam , eoque pa<* riter reficieoite : viderint vero qualis fit deinde futura Philo* phia* ) r ^kmniilli func quibus .haec tota Phyfica coeleftis vel ideo minus placet , quod cum Cartefii dogmatibus pusnare & vix coocitiari poiTe videatur. His fua licebit opinione trui ; esc squo autem a^mt oportet : non ergo. denegabunt aliis eandem libertatem qoam fibi concedi poflulant. N e w t onianam itaque Philofophiam ^ quae nobis veripr habetur 9 retinere & ample^i licebit , & caufas fequi per Phamomenacomin^obatas, potius quam fidas & nondum comprobatas. Ad veram Philofophiam perlinet , rerum natura^ ex caufis vere exiflentibus derivare : eas vero leges quasrere , qui« ^s voloit Summus Opifex hiinc Mundi pulcherrimum ordinem flablMre} non eas quibus potuit , fi ita vifum fuiffet. Rationi enim confoiiiim efl: , ut a pluribus caufis y ab invicem nonnihil diverfiss idem poffit EfTediis proficifci : h^c autem vera erit caufa , ex qua vere atque adu proncifcitur ; reliqus locum non habent in PhUo* fopfaiA vera. In Hdrologiis adtomatis* idem Indicis horarii mo- tos vei ab appenfo Pondere.vel ab intus conclufo Elatere oriri po- teii. Quod fi obiatQm Hprologium tevera fit inflrudum Pondere ; c % ridebitur f E D I t O R I S ridebitur qui finget Elaterem , & ex Hypothefi fic pracpropere con- fifta motum Indicis explicare fufcipiet : oportuit enim internam Machinae fabricam penitius perfcrutari , ut ita motus propofiti prin- cipium verum exploratum haberfe poffet* Idem vel non abfimile feretur judicium de Philofophis illis , qui materia quadam fubti- liflSma Coelos eflfe repletos , hanc autem iri Vortices indefinenter agi voluerunt. Nam fi Phaenomeiiis vel accuratifllme fatisfacere poflTent ex Hypothefibus fuis ; veram tamen Philofophiam tradi- diflfe , & veras caufas motuum coeleftium inveniflTe nondum di- cendi funt ; nifi vel has revera exiftere , vel faltem alias non ex- jftere demonftraverint. Igitur fi bftenfum fuerit , univerforum corporum Attraftionem habere verura locum in rertim natura; Guinetiam oftenfum fuerit , qua ratione motus omnes coeleftes aoinde folutionem recipiant ; vana fuerit & merito deridenda obje- ftio , fi quis dixerit eofdem motus per Vortices explicari debere , etiamfi id fieri poflTe vel maxime conceflTcrimus. Non autem con- cedimus: Nequeunt enim ullo pafto PhaBnomena per Vortices ex- plicari ; quod ab Auftore noftro abunde quidem 6i ctarifl[imis ra- tionibus evincitur; ut fomniis plus asquo indulgeant oporteat , qui Ineptiflimo figmento refarciendo , novifque porro tommentis or- nando infelicem operam addicunt • Si corpora Planetarum & Cometarum circa Solem deferantur a Vorticibus ; oportet corpora delata & Vorticum partes proxime ambientes eadem velocitatc eademque curfus determinatione mo- veri, & eandem habere denfitatem vel eandem Vim inertid^ pro mole materisB. Conftat vero Planetas & Cometas, dum verfan- tur in iifdem reglonibus Coelorum , velocitatibus variis variaque curfus determinatione moveri. NeceflTario itaque fequitur , ut Fluidi coeleftis partes iWx , qusB funt ad eafdem difiantias d Sole revolvantur eodem tempore in plagas diverfas cum diverfis ve- locitatibus: etenim alia opus erit direAiOne & velocitate, uttran- fire poffint Planetas ; alia , ut tranfire pofllnt Cometa?. Quod cum cxplicari nequeat ; vel fatendum erit , univerfa corporti coele- flia non deferri a materia Vorticis ; vel dicendum erit, eorundem motus repetendos eflTe non ab uno eodemque Vortice , fed a plu- fibus qui ab invicem diverfi fint , idemque fpatium Soli circumje- Aum pervadant. Si plures Vortices in eodem fpatio coniineri , & fefe mutuo pe- netrare , motibufque diverfis revolvi ponantur ; quoniam hi mo- tus debent eflTe confcxines deiatorum corporum motibus , qui funt P R iE I? A T r O. fcut famtne regolares , & peraguntur in Se6lionibus Conicis , nunc raide eccentricis , nunc ad Circulorum proxime formam acceden- tibus ; jure qua^endum erit , qui fieri pofTit , ut iidem integri con- ferventur , nec ab aAionibus materiae occurfantis per toc faBcuIia quicquam perturbentur. Sane fi motus hi fiAitii funt magis com- pofiti & diiticilius explicantur , quam veri illi motus Planetarum & Cometarum ; fruftra mihi videntur in Philofophiam recipi: omnis enim caufa debet efTe EfFeAu fuo fimplicior. ConcefTa Fabularum licentia > affirmaverit aliquis Planetas omnes & Cometas circumcin- gi AtmofphaBris , adinftar Telluris noflrae ; qus quidem Hypothefis rationi magis confentanea videbitur quam Hypothefis Vorticum. Affirmaverit deinde has Atmofphseras , ex natura fua » circa So- Jem moveri & Se^liones Conicas defcribere ; qui fane motus mul- to facilius concipi potefl , quam confimilis motus Vorticum fe in- vicem permeantium. Denique Planetas ipfos & Cometas circaSo- Jem deferri ab AtmofphaBris fuis credendum eflTe flatuat , & ob re- pertas motuum coeleflium caufas tr iumphum agat. Quifquis autem hanc FabuUm rejiciendam eflTe putet , idem & alteram Fabulam re- jiciet: nam ovum non efl ov& fimilius , quam Hypothefis Atmo- fphserarum Hypothefi Vorticum. Docuit GaliUusy lapidis proje^li & in parabola moti deflexia- nem a curfu reftilineo oriri a Gravitate lapidis in Terram , ab oc- culia fcilicet qualitate. Fieri tamen potefl ut alius aliquis , nafi acutioris , Philofophus caufam aliqtiam comminifcatur. Finget igi- tur ille materiam quandam fubtilem , qus nec vifu , nec ta^u » neque ullo fenfu percipitur , verfari in regionibus quae proxime contingunt Telluris fuperficiem. Hanc autem materiam , in di- verfas plagas , variis & plerumque contrariis motibus ferri , & li* neas Parabolicas defcribere contendet. Deinde vero lapidis defle- xionem pulchre fic expeditft, •& vulgi plaufum merebitur. Lapis, inquiet , in Fluido illo fubtili natat ; & curfui ejus obfequendo , non potefl non eandem una femitam defcribere. Fluidum vero movetur in lineis Parabolicis ; crgo lapidem in Parabola move- ri necefle efl. Quis nunc non mirabitur acutifllmumhujufcePhi- lofophi iftgenium, ex caufis Mechanicis , materia fcilicet & mofu , phdBnomena Natur» ad vulgi etiaro captum prscclare deducentis? Qais vero non fubfannabit bonum illum GaliUum , qui ma^no molimine Mathematico qualitates occultas ," e Philofophia fehci- ter exclufas , denuo rcvocare fuflinuerit ? fed pudet nugis diuf- tius immorari. C 3 SUQl- • • E D I T O R I S Summa rei huc tandem redit : Cometarum ingens^ftnumerus; motus eorum funt fumme regulares » & eafdem leges cum Plane- tarum motibus obfervant. Moventur in Orbibus Conicis » hi or- bes funt valde admodum eccentrici. Feruntur undique in omnes Coelorum partes , & Planetarum regiones liberrime pertranfeunr, & faspe contra Signorum ordinem incedunt. HaBC Pha&nomen^ certiifime confirmantur ex Obfervationibus Aflronomicis : & per Vortices nequeunt explicari : Imo • ne quidem cum Vorticibus Planetarum confiftere pofiunt. Cometarum motibus omnino lo* cus non erit ; nifi materia illa fi^itia penitu; e Ccelis amo- yeatur. Si enim Planetae circum Solem a Vorticibus devehuntur ; Vor- ticum partes, qu£ proxime ambiunt unumquemque Pianetam, e- jufdem denfitatis eruQt ac Planeta; uti fupra didum efi. Itaque materia illa omnis qus contigua eft Orbis magni perimetro , pa- rem habebit ac Tellus denfitatem : quae vero jacet intra Orbem magnum atque Orbem Saturni , vel parem vel majorem habebic. Nam ut confiitutio Vorticis permanere pofilt , debent partes mi- Aus denf» centrum occupare , m^is denfas longius a centro abire. Cum enim Planetarum tempora periodica fint in ratione fefqui* plicata difiantiarum a Sole , oportet partium Vorticis pericxios eandem rationem femre. Inde vero fequitur , vires centrifugas harum partium fore reciproce ut quadrata difiantiarum. Quas igitur majore intervallo difiant a centro i nituntur ab eodem re« cedere minore vi : unde fi minus denfae fnerint , necefle efi: ut ce* dant vi majori, qua partes centro propiores afcendere conantun Afcendenc ergo denfiores , defcendent minus denfs , & locorum fiet invicem permutatio ; donec ita fuerit difpofita atque ordina- ta materia fluida totias Vorticis 9 ut conquiefcere jam poffit in ae- ^uilibrio conftituta. Si bina Fluida , quorum diverfa efi: denfitas» |n eodem vafe cootinentur ; utique futurum eft ut Fluidum » cu* jus major eft denfitas. majore vi Gravitatis infimum petat locum: & ratione non abfimili omnino dicendum efi » denfiores Vorticis partes majore vi centrifuga petere fupremum locum. Tota igi- ^ur illa & multo maxima pars Vorticis , (iua& jacec extra Telluris orbem » denfitatem habebit atque adeo vim inertias pro mole ma^ terias, quas non minor erit quam denfitas & vis inertias Telluris: inde vero Cometis trajeftis orietur ingens refifientia, & valde ad- modum fenfibilis; ne dicam, quae motum eorundem penitus fiftere atque abforbere pofie merito videatur. Conftat autem ex motu Co« metarum t P R kE F A T IC naettram prorfas regukri , nallara ipfos refiflieQtiam pati qnx vel mmimam fentiri poteft i atque adeo neatiquam in materiam ul« bm incurfare , cujus aliqua fit vis refiilendi , vel proinde cujus aliqua fit denfitas feu vis Inertis. Nam refiftentia Mediorum ori- tur vel ab inertia materi» fluidap , vel a defeAu lubricitatis. Quaft (Hitur a defeAu lubricitatis , admodum exigua eft-; & fane vix obfervari pQteft in Fiuidis vulgo notis , nifi Valde tenacia fuerint adinflar Olei & Mellis. Refiflentia quas feotitur inAere, Aqua, Hydrargyro , & hujufmodi Fluidis non tenacibus fere tota eft prioris generis ; & minui non poteft per ulteriorem quemcunque gradfim fubtilitatis , manente Fluidi denfitate vel vi inertis , cul femper proportionalis eft hsc refiftentia : quemadmodum clarif* fime demonffaratum ed: ab AuAore noftro in peregregia Refifteo* tiarum Theoria , quae paulo nunc accuratius exponitur , hac fe« conda vice , & per Experimenta corporum cadentium plenius confirmatur. Corpora progrediendo motum fuum Fluido ambienti paolatim communicant, & communicando amittunt, amittendo autem re- tarduntur. £11 itaque retardatio motui communicato proportio-* nalis; fflotus vero communicatus , ubi datur corporisprogredientis velocitas , eft ut Fluidi denfitas ; ergo retardatio feu reiiftentia erit ut eadem Fluidi denfitas ; neque uUo paAo toUi poteft , nifi a Fluido ad partes corporis pofticas recurrente reftituatur motus amifTus. Hoc autem dici non poterit » nifi imprefEo Fluidi in cor* pus ad partes pofticas dBqualis fuerit impreflioni corporis in Flui* dam ad partes anticas, hoc eft, nifi velocitas relativa qua Flui- dum irruit in corpus a tergo , squalis fuerit velocitati qua cor- pus irruit in Fluidum , id eft , nifi velocitas abfoluta Fluidi re- currentis duplo major fuent quam velocitas abfoluta Fluidi pro- pu//i ; quod fieri nequit. >Jullo igitur modo tolli poteft Flui- dorum refiftentia , quas pritur ab eorundem denfitate & vi iur crtisB. Itaque concludendum erit ; Fluidi coeleftis nuUam efle vim inertisB , cum nulla fit vis refiftendi : nullam efle vim qua motus communicetur , cum nulla fit vis inertis : nullam efife vim qua mutatio quaelibet vel corporibus fingulis vel pluribus indu- catur , curt nulla fit vis qua motus communicetur : nuUam efle omnino cfficaciam , cum nulla fit facultas mutationem quamlibet inducendi. Quidni ergo hanc Hypothefin , quaB fundamento pla* ne deftituitur , quaeque naturae rerum explicandae ne minimum quidem infervit , ineptiflimam vocare liceat & Philofopho pror- fus /E D I T O R I S fus indignam. Qui coelos materia flulda repletds efle volunt , hanc vero non inertem efleflatuunt; Hi verbis toUunt Vacuum , re ponunt. Nam cum hujufmodi materia fluida raiione nulla fecerni poflit ab inani Spatio; difputatio tota fit de rerum nor minibus , npn de naturis. Quod fi aliqui fint adeo ufquc de- diti Materiae , ut Spatium a corporibus vacuum nullo pafto ad- mittendum credere velint ; videamus quo tandem oporteat illos pervenire. Vel enim dicent hanc , quam confingunt , Mundi per omnia pleni confl;itutionem ex voluntate Dei profeftam eflTe , propter eum. finem , ut operationibus Natpr® fubfidium praefens haberi poflet ab iEthere fubtilifllmo cunfta permeante & implente ; quod tam.en dici non poteft , fiquidem jam oftenfum eft ex Co- metarum^phaenomenis , nullam eflTe hujus iEtheris efficaciam: vcl dicent ejc voluntate Dei profeftapi eflfe , proptec fioem aliquem ignotum ; quod neque dici debet^ fiqiiidem diverfa Mundi con- ftrtutio eodem argumento pariter ftabiliri poflTet : vel denique non dicent ex voluntate Dei profeftam efle , fed ex neccflltate quadam Naturs. Tandem igitur delabi oportet in fdBces fordi* das Gregis impuriflimi. Hi funt qui fomniant Fato univerfa re< gi , non Providentia ; Materiam ex neceflltate fua femper & ubi- que extitifle , infinitam efl!e & aBternam. Quibus pofitis , eric etiam undiquaque uniformis: nam varietas formarum cum necef* fitate omnino pugnat. £rit etiam immota : nam fi neceflario moveatur in plagam aliquam determinatam , cum determinata ali-> qua velocitate ; pari neceflltate movebitur in plagam diverfam cum diverfa velocitate; in plagas autem diverfas, cum diverfis ve- locitatibus, moveri non poteft ; oportet igiturimmotam eflTe. Neu- tiquam profefto potuit oriri Mundus , pulchcrrima formarum & motuum yarietate diftindus., nifi ex liberrima voluntate cunda providentis & gubernantis Dei. Ex hoc igitur fonte promanarunt illcs omnes qus dicuntur NatursB leges : in quibus multa fane fapientilFimi cpnfilii , nulla aeceffitatis apparent veftigia. Has proinde non ab incertis con- jefturis petere , fed Obfervando atque Experiendo addifcere de« iemus. Qui ver« Phyficae principia Legelque rerum, fola men- tis vi & interno rationis lumine fretum , invenire fe pofle confi- dit; hunc oportet, vel ftatuere Mundum ex neceflltate fuifle, Le« gefque propofitas ex eadem neceffitatc fequi ; vel fi per volun- tatem Dei conftitutqs fit ordo Natura? , fe tamen , homunciooem mifellum P R iE P A T I O. nii/eiJum , guid optimum faAu fit perfpedum habere. Satia omnxs & vera Philofophia fundatur in PhaBnomenis rerum : qu« fi nos vel invitos & reluAantes ad hnjufmodi principia deducunt , in quibus ciarifiime cernuntur Confilium optimum & Dominiumfum* mum fapientifiHmi & potentifiTimi Entis ; non erunt hasc ideo non admittenda principia , quod quibufdam forfan hominibus mjnus grata fint futura. His vel Miracula vei Qualitates occultas di- cantur , qus difplicent : verum nomina malitiofe indita non funt ipfis rebus vitio vertenda; nifi illud fateri tandem velint , utique debere Philofophiam in Atheifmo fundari. Horum hominum gratia non erit labefaftanda Philofophia , fiquidem rerum ordo non vult immutari. Obtinebit igitur apud probos & asquos Judices prsflantidima Philofophandi ratio , quae fundatur in Experimentis. & Obfervtr tionibus. Huic vero » dici vix poterit , quanta lux accedat , quan- ta dignitas , ab hoc Opere prasclaro IIIuflrifi[imi noflri Au(Aoris ; cujus eximiam ingenii felicitatem , difiicillima quasque Problemata enodantis , & ad ea porro pertiimentis ad quae nec ipes erat hu- manam mentem aflfurgere potuifle, merito admirantur & fufpi- ciunt quicunque paulo profundius in hifce rebus verfati funt. Clauflris ergo referatis , aditum Nobis aperuit ad pulcherrima re- rum myfieria. Syfiematis Mundani compagem elegantifiimam ita tandem patefecit & penitius perfpe6landam dedit ; ut nec ipfe, fi nunc revivifceret , Rex xyilphonfus vel fimplicitatem vel harmo- nias gratiam in ea defideraret. Itaque Natura^ majeflatem propius jam licet intueri , & dulcifiima contemplatione frui , Conditorem vero ac Dominum Univerforum impenfius colere & venerari , qui fruftus eft Philofophiae multo uberrimus. Caecum efle oportet,qui ex optimis & fapientiflimis rerum ftrufturis non ftatim videat Fa- bricatoris Omnipotentis infinitam fapientiam & bonitatem : infa* num , qui profiteri nolit. Extaoit igitur Eximium Newtoni Opus adverfus Atheorum impetus munitiflimum prxfidium : neque enim alicunde felicius,^ quam ex hac pharetra, contra impiam Catervam tela deprompferis/ Hoc fenfit pridem,& in pereruditisConcionibns AngliceLatineque editis, primus egregie demonftravit Vir in omni Literarum genere praBcIarus idemque oonarum Artium fautor eximius Richardus Bentleius, SjbcuH fui & Academiae noftrae magnum Orna- mentum, CoUecii noftri S.TrinitaUs Magifter digniflimus & in- cegerrimus. Huic ego mt pluribus nominibus obftridlum fateri d debeo: • T- V» EDITORIS. PH^FATIO. debeo: Huic &Tuas qu£debenturgratias> Le(^or benevole, non denegabis. Is enim , cum a longo tempore Celeberrimi Au^oris amicitia intima frueretur , ( qua eciam apud Pofleros cenferi non minoris sftimat j quam-propriis Scriptis quae literato orbi in deli* ciis funt inclarefcere ) Amici fimul famae & fcientiarum incremen- to confuluit. Itaque cum Exemplaria prioris Editionis rariilima admodum & immani pretio coemenda fuperefTent ; (iiafit Illecrebris efHagitationibus & tantum non (^jurgando perpulit denique Vi- rum PraBflantifRmum , nec modeflia minus quam eruditione fum* ma Infignem , ut novam hanc Operis Editionem , per omnia eli* matam denuo & egregiis ihfuper acceflionibus ditatam, fuis fumpti^ bus & aufpiciis prodire pateretur: Mihivero, projurefuo, pen- fum nbn ingratum demandavit , ut quam pofTet emendate id fieri Cantahrigia 9 Maii 12. 1713. RoGERUS CoTES Collcgii S.TriuitatisSocim^ AflronomidB & Philofophiae Experimentalis ProfefTor Tlumianus. K INDEX: I I N D E X G A P I T U M; T O T lU S OP E RI S. Pag. Definitiones. ' I AXIOMATA, SIVE LeGES MoTUS. l^ DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS. S E c T. I. T~^ E Methodo rattonum prtmarum 6f ultima* j^_y rum. 24; S E c T . 11, De in^oentsone f^trium centrtpetarum, 3 4 Sect. III. De motu Qorporum inContcis feBionihus eccen^ tricis. 48 S E c T, IV. De inventione Orbium Ellipticorum , Parabo^ licorum ^ Hyperboltcorum ex Umbilico dato, jj^ S E c T. y . De inventione Orbium ubi Umbilicus neuter da- tur. 66 Sec T. VK De inventione Mbtuum in Orbibus datis. 97^ S E c T. VI I . De corporum /Ifcenfu &f Defcenfu reSilineo, 10 f Sect. VIII. De inventione Orbium in ^uibtts corpora Vi» ribus qutbufcunque , centripetis agttata revolvuntur, S e c T. IX. De Motu corporum in Orbibus mobi/ibus , deque Mvtu Apfidum. 121. S e c T, X. De Moiu corporum in Superfictebus datis , deque Funependulorum M(na rectproca. ^ \yi. Sect, XI. De Motu corporum Firtbas.centripetis fe mutuo petentium. 147 Sect, XII. De corportm Sphoericorum Firibus attraBivis, Sect;. S E c T. Xin. De corpnfum m nSpharmrum Vtrihui attroBi- vis, 192. Sbct. XIV. De Motu corporum Mtmmorum , qua Virtbui centripetis ad fmgulas Magni alicujus corparis partes tendentihus agttantur, 103 DE MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS. S E c T. I. T^ £ Motu corporum qutbus rejijlitur in ratfone f J Velocitatis. zii Sect. n. De Motu corporum quibus re/iflitur in dupYtcata ra* tione Velocttatis. 210 $ B c T. III. 'De OHotu corporum quihus rejifiitur partim in ra- tione Velocttatis , partim in ejufdem ratione duplicata. Sect. IV. Te corporum Circulari motu in Mediis reftfienti- bus. 1 j 3 S E c T. V. 'De denfttate ^ comprefjione Fluidorum , deque Hy^ drofiatica. 2r rpHpnrfn j nnnariir ftafnm ejng miifflrp Vul. gus refiftentiam quie^ei^ibu9^j49^t«iji;moventib^ fed motus & quies, uti Vulgo^concipiuntfir 3 refpe6lu folo diftinguun- uxTvab hivicem 4..nequ,eietnper vere qyiefcun^ qus/vnlgp taiXjCLVUKn quiefcenha Ipeaantur. »••. • »,»»*«>. ) ».j» «.«^ » • DEFINITrp IV. yH0mprt£0 vfia^i^ M corpns etUrcUa «, in^ffffttqnatfm ijuiji^' • • . . • • • • , • .... . Ccdififlit kuBc fi; .ifl.adk)oe/ola , . aeqvs ppft a^ism^ .pertnanet tn corpore. Perfettorftt enitn corpus ioifliat^i cfemji Qo^p^r iolajb «tm inertiie. £ft «MenDvts iflippedd diverCarjuiB origifiJM^ , ut lAu * eiLlteffiQoe , . ex vtCeintnpiet«.' • '• ♦ DfiFINriTIO V« ' ^« Centripeta efi^qua cor^ora verfus punBum ahquod tan^ quam ad Centrim uniique tr^ksmiur , impelluntur , vel Mtwttfiifi tifs$duut. . « l t . * Hujus generts efft Gravitas i^^iisi ^ci^port tendum adcentrum ter- rs: VisM^etica« quafeirum.petit ipagnetem.;.& Vis iUa y^Quae- cunque tam circnire , ^tefl: & Lunatvelvi gravitatis j u mod&grayis fit , vel alia quacuoque vi , qua in tesratri Uf^atu^ i retralM femper a curfa re^tilineo terram v^ruis , & i|i. orbem. fuum Jle^i « & aibfque tali vi Luna in orbe ftio retiRCci non potefl. Haec vtsj fi juflo minor eflelL, npn fatis fk^ieret Lnnam de cwfu re^ilineo : fi juftomajori plns &ti$, £efleret , ac de orbe. t^rram verAis deduc^et; Reauiri- tnr (^oSdo^, ut iit juftae magnitudinii : & Mathematicorum eu in« venirevimar qua corpus indaco quovis orbe data cum velocitate accnr^Ue f^in^ri po;^t.) & vic^fi^iB inveaire Vim . curvilineam , in quain corpus' s dato quovis loco data cum veldcitate egreffura a da- ta ^ fleif^atur. £fl: autem vis hu}os centripetae Quarititas triumge* fcnuB, /^)bfi^4)ta.,...Aco^leratriK,;&'Motrix. k • : . . ' ' A X - DEFI- 1 4 P.HILOSOFHI^ :HATD|IAL1S DEfiHi. DEFINITIO VI. TIONES. Vt5 cetUnpeta ^oKMas Ahfohta efi menfwra ^ufdemmqjor vel rnimr pro Effieacta eaufa eampropa^OHttsacetttroper regtofies m circuiut, . . Uc vis Magneticii pro Biole magnetis vel iiKenfioae virtutis majbr in uno magnete » minor in alio. DEFINITIO VU. Fis centripeta ^antiias Acceleratrix efiipfiusmenfuraVelo» citatt proportiomlis , qitam dato tempore generat^ Uii Virtns magnetis ejufdem major in minori diftanti», minor jn majori: vel yis Gravitans major in vallibus, minor in cacumini- bus praealtorum roontium , atque adhuc minor ( ut pofthac patebit } in majoribus diftantiis a globo terrae ; in «qualibus autem diftan- tiis eadem undique, propterea quod corpora omnj^ cadentia (^ra* via an levia , magna ao parva } fubkta Aeris r.efiflentia,. squahter acceferat. DEFINITIO VIIL yis centrtpet/f §uantitas Motrix eli ipfius menfura propor* tionalis Mottti y qttem dato tempore generat, Uti Pondus majus in majore corpore , roinus in minore ; inque eorpore eodem majus prope terram , minus in ccelis. Hsec Quan- Htas eft corporis totius centripetentia feu propenfio in centrum , & (ut ita dicam) Pondus; & innotefcit iemper pervimipficontrariam & cequafem- , qua defcenfus corports impediri poteft. Hafce virium quanticafes brevitatis gratia nominare Ircet vires motrices , acceleratrices, & abfolutas ; & ^ftin Aionis gratia referre ad Corpora, centrum petentia-,adcorporum Loca,& ad Centrum virium^ nimirum vim motricem ad Corpus , tanquam conatum & propenfio- nem totius in centrum ex propenfioniDusomniumpartiumcompofi- tam \ & vim aeceleratricem ad Locum cor[>oris , tanquam efficaciam quandam,decentroperlocafingulaln circttitudifTttfam, admovl^nda corpora que \a ipfis funt ; vim autem abfolutam ad Centr um , taii« quam caufa ali<)ua praeditum , fine qua vires motrice» non prop»> gantur per resiones i» circuitu ; five caufa illa fit corpus aiiquoci- cejDtrale ( quale eft Magnes io centro vis magneticaet , vel Terra iiv Cenuo» r^RmCtPfA: MATHEMATteA. f centio vis gravitantis ) ihrie alia aliqaa qace non apparet. Mathe- DriM>ti- HMticns dontaxat eft hic conceptus. Nain virium caufa; 8i fedes tiom&s. Phj^cas jam non expeado. - . C^ imtur vis acceleratrix.ad vim motricem ut celeritas ad mtv tam- Oritur enim quantitas motus ex celeritate duda in quantitao tem materis , & vh motrix ex vi acceleratrice du Aa in quantitatem ejurdem materi». Nam fumma aSionum vis acceleratricis in iin- gulas corporis particulas eft vis motriz.totius. Unde juxta fuperB- ciem Terrs , ubi gravitas acceleratrix feu vis gravitans in corport- bos univeriis eadem eft , gravitas motrix feu pondu^ eft ut corpus : at (i in regiones afcendatur ubi gravttas acceleratrix fit minor , ponr dus pariter minuetur , eritque lemper ut corpus in gravitatem ac- ^eleratricem duAum. Sic m regionibus ubi gravitas acceleratrix daplo minor eft , pondus corporis duplo vel tripTo minoris erit qua<- druplo vel fextuplo minus. Porrd attraftiones & imp^Ifus eodera fenfu acceleratrices & mo- trices nomina Voces autem Attraftionis , Impulfus , vel Propen- fionis cujufcunque in centrum , indiflEerenter & pro fe mutuo pro» mifcQe ufurpo ; bas vires non Phyfice fed Math^maticetantum con* fiderando. Unde caveat IcAor,. ne per hujufmodi vocescogitetme fpeciem vel modum aftionis caufamve aut rationem Phyficam alir cubi definire, vel centris ( qu« funt punaa Mathematica) viresve- re & Phyfice.tribuere j fi forte ajat centra trahcre , aut vires ceut trorum effe dixero. Scholium>. Ha^enns voces minus notas, qno fenfu in fequentibus accrpicnr- dafint, explicare vifum eft. Nam Tempus , Spatium , Locum^ & Motum , ut omnibus notiftima , non definio. Notandum tamen *, 2uod vulgus quaniJtates hafce non aliter quam ex relatione ad fen- bilia concipiat. Et inde oriuntur praejudicia quaedam , quibus toTr lendis convenit eafdem in abfolutas ^ relativas ,. veras & apparen»- les, mathematicas & vulgares diftingui. y» «. I. Tempus Abfolutum , verum, . & mathematicum , in fe « na». % tura fud abfque relatione ad extertuim quodvis , aBquabiDter fluit „ alioque noimne dicitur Oaratio: Relativum, apparens^ &vulgare eftfenfibilis & externa quaevis Durationis per motum menfura (feu: accuiata feu inaequabilis ) qua vulgus vicc veri tcmporis uiitur ; ut Hora., Dies, Menfis, Annus. . : _ ; AL' 5; • ' ' ■ ffi Sir**- PHILOSOPHIv» naturalib ■vtffi VI »- i(. ' ^atf Btt Abfblatum , Mtnn flia dbi^ue rtfhdoosad isKteniiioi "♦»»■»• quodvk , fempet liiafiet fimila^fe & knfflobite: RebdVQafc sft-^ii l hujus menfura feu dimenfio quslibet mobitiff, quse s feiiiibBsiidftf is er fittiitl fuum act torpdra defihitiir , & a Tt>%o:piro fpmo iHittio- ili ufui^tur : uti difiaenfio fpdtii fubtemtf^ , aerei vd cceteftis defiAita p^t fituth /uaM ad 1>fram. Idenrfant fpatium abfdutum i& rdativtim. fpeci6 & m^itadinie j fed iioar'perinannt idemfemy- peir httinero. . Nara fi Ttt^ra , verb! graftia. movetur; fpatiumAerts lioftti , qtiod relatiVe & 'fefpeftu Ttftt feoaper manet idem , nunc efit utia piTS fpatii^biblmi in quatn- Aer tr-anfit, Bonc aliaparsejus; & flc i^ortite mutabitM' perpettiO. III'. Locus ^i^ oar^ f^snn qtiam coirptrs occupar, eftque pro rado- ihefpatii vel Abfolwus f el Relativtfs. Virst ipquato, fpatii ; non Si» tusi corporis , vel Supei^des ambiefi^. N4Tn folidorum asqualium squales femper fiint loci ; Superficies tftftem ob' diiiimilitadinem fi^urarum ut plurimum insquales funt ; Situs vero proprie loooen- Vio qukhtitateifi noh habem , ne^tie t&m fant loci quam alSefliones l0(!;6rum. Motu^ totius idem ell'«rtN9- folute in fpatio immoto cum velocitatis .partibus lOQoiioorieBtem» ^ ****"* fdattv^ Tempus AfatoUitQmja Miatiro difliQgiiit)«r. io Aftfonomia imtf 6mt :afafiiiluti Mdtos, Veram: i^uimiam h» Spatii ;]%artes videri aeqtteuiit • i & .ab ji cem per fenfus noflxos diftingiii ; earum vice adhibemus mieofwfif fettfibiks. 'Ex pofitianibus enim & didafntiis; rertlm a oorpore alii- 3no, qnod ^dumas ut iimnobile , deinimus loca univem : djett)" e etiam ■& omnes motus «iliinamus xrom id{>Q6hftad pn$di<6)a k>cti * qaatenus corpora ab iifdem transferri concipimus. Sic yjce i^CQr tnrn <& tbdtmim ahfoiiitobuiini rebaivis otimnar , . nec incommbd$ in ielms!hooDaois: in Philoibphicis autem abftrdMaKkim efl afeuftbus. Fieri ctenim fxitefl , ut noUum revera quiefeat corpus ^ ad <|uo(il ioca motBiqoe aafiBrantuc. DiflugpniKtnraHtdD Qoies & MotusafafbIuti:& eeiatlvi ath invi* oemiparrapidetatesliuas & Gmibs & EflTedhis. Qoietis.pr<^rieta9 «ft., qnbd^oomomveoeqoiefeentia qtuefcutitiitterle. . Ideotqiie ciuapoffibtie ut , iit.t36npns«Uquod in re^otiibus Fixarum , I • ■*.' "~ ^■Mfy r- ■ iMiiiu^w ^T» 1 - ^m- - 1» ,« *;- 8 PHILOSOPHliE NATURALIS Dtrtni* qwim illud daum pofitionem fervet necne ; qiiies Tera €Z borom '''•^'**^ fitu inter fe definiri nequit. Motus proprietas efl » quod partes , qus datas fervaot pofitiones ad tota I participant motus eorundem totorum. Nam Gyrantrom parces omnes conantiir recedere ab axe inotus , & Progredientium inlipems oritur ex conjundlo impetii partium iingularum. :Motis igitur corponbtis aimbientibus , moventur quas in ambientibus rela* tive quiefcunt. Et propterea motus verus & abfolutus definiri ne^ quit per tranflationem e vicintacorporum, qum tanauam quiefcen- tia fpeflantur. Debent enim corpora externa non folum tanquam quiefcentia {pedari , fed etiam vere quiefcere. Alioquin inciufa omnia; pr^ter tranflationem e vicinia ambientium, participabiint «tiim ambientium motus veros; & fublata illa tranflatione non ve* re quidcent , fed tanquam quiefcentia folummodo fpedabuntur. ^unt enim ambientia ad inciufa , ut totius pars exterior ad partem interiorem, vel utcortex ad nucleum. Moto autem cortice , nu- xleus etiam, abfque tranilatione^de vicinia corticis, ceu pars totias mbvetur. Praecedenti proprietati affinis eft» quod moto Loco moveturuna Locatum: adeoque corpus, quod de loco motomovetnr^participat etiam loci fui motum. Motus igitur omnes , qui de locis motis fiunt, funt partes folummodo motuum integrorum & abfolutonim: & motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco fuo primo , & motu loci nujus de loco fuo , & fic deinceps ; ufquedum perveniatur ad locum immotum , ut in exemplo Nautas fupra me- morato. Unde motus integri & abfoluti non nifi per loca immoia definiri pofiTunt : & propterea hos ad loca immota, relativosadmo- bilia fupra retuli. Loca autem immota non funt, nifi quae omnia ab infmito in infinitumdatas fervant pofitiones ad invicem; atque adeo femper manent immota , fpatiumque confUtuunt quod louno- bile appelio. Caufs, c]uibuff motus veri & relativi diilinguuntur ab invicem » fimt Vires in corpora imprefifae ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutaturt nifi per viresinipfumcorpusmo- tum impreifas : at motus relativus generari & mutaTi poteft abfqiie viribus imprefiis in hoc corpus. SuflBcit enim ut imprimahtnr in ^lia folum corpora ad quae fit relatio , ut iis cedentibus mutettir relatio illa in qua hujus quies vel motus rdativus confiilit. Rur* fum motus verus a viribus in corpus rootum impreins fempermuta- tur; at motus relativus ab his viribus non mutaturneceflario. Nam ii esedem vires in alia etiam corpora* ad qua^ fit relatio » fic impri* mantur lPR'lNCIPiA MATHEMATICA. 9 fMiitiir Qt fitas relativus confervetur, confervabitur relatio in qua DKPiNf^ XDOtus relativus confidit. Mutari igitur poteft motus omnis relati- tiones, vns ubi verus confemtur, & confervari ubi verus mutatur; &pro- ptcrea motus verus in ejufmodi relationibus minime confiftit. ' Effeftus quibus motus abfoluti i& relativi diftinguuntur ab invi- ccm , funt vires fecedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativq hae vires nulla? (unt, in vero autem &'abfo- lato majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat fitula a filo pra^longo , agaturque perpetuo in orbcm , donec filum a con^ torfioneadmodum rigefcat, dein impleatur.aqua, & una cum aqua qtiiefcati tum vi aliqua fubitanea agatur motii contrario in orbem^ « filb fe relaxante , diutius perfeveret in hoc motu ; fiiperficies a- qua^ fub initio plana erit , quemadmodum ante motum vafis : at poftquam, vi in aquam paulatim imprefla, effecit vas, ut haecquo»- que (enfibiliter revolvi iqcipiat ; recedet ipfa paulatim a medio ; afcendetque ad latera vafis,figuram concavam induens,(ut ipfeex- pertos fum )& incitatiore femper motu afcendet magis & magis , do* nec revolutiones in aBqualibus cum vafe temporibus peragendo ; quiefcat in eodem relative.^ Indicat*hic afcenfus conatum rece*- detidi ab axe motus , & per talem conatum innotefcit & menfura- tur motus aqusB circularis verus & abfolutus , motuique relativo hic omnino contrarius. Initio, ubi maximus erat aquas motusrela* tivus in vafe , motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe : aqua non petebat circumferentiam afcendehdo ad latera va^ Gs t fed plana manebat , & propterea motus illius circularis verus nondum mceperat. Poftea vero, ubi aquae motus relativus decre- vit , afcehfus ejus ad latera vafis indicabat conatum recedendi ab axe; atque hic conatus monftrabat motum illius circularem verum perpetuo crefcentem , ac tandem maximum faftum ubi aqua quie- icebat in vafe relative. Igitur conatus ifte non.pendet a tranfla- tione aqua refpeftu corporum ambietitium, &propterea motuscir- cnlaris verus per tales tranflationes definiri nequit. Unicus eft cor- poris cujufque revolventis motus vere circulans , conatur unicotan- qaam proprio & adsequato effeftui refpondens: motus autern rela- tivi pro variis felationibus ad externa innumeri funt ; & relationum indar, eflfeftibus veris omnino deflituuntur. nifi quatenus verum illiim & uhlcum mptum particijJant. Unde & in Syftemate eorum 3m C PHILOSOPHIil NATEiaALIS pi Fi K i^ utr v«re. M«UDt enim pofitiooes firas ad inmceta ( fecub quam fit T ioK£s« ui v^ere qmefcencibus ) unaque cum cedis delati participaot eorura motus , oc ut partes revolventium totorum , ab eorum axibus rece* dere conantur. Igitur quantitates relativae non funt ex ipfs qqantitates , quarum nomina pras fe ferunt , fed earum menfurse illa^ feniabiles ( verae an errantes^quibus vulgus loco quamitatum menfuratarum utirur. At fi ex ufu definiendfB funt verborum fignificatiooes -, per nomina illa Temporis , Spatii , Loci & Motus proprie intelligenda^ erunt bae menfuraa ;. & fermo erit iniblens & pure Mathematicus , fi quan^ (itates menfurats hic intelligantur. Proinde vim inferant Sacris Literis , qui voces hafce de quantitatibus menfuratis ibi interpre^ tantur. Neque minus contaminant Mathefin & Philofophiam , qui i)uantitates veras cum ipfarum relationibus & vulgaribus menfuris confundunt. Motus quidem veros corporum fingulorum cognofcere , & ab apparentibus adu difcriminare 9 difKcillimum efl: propterea qjDod partes fpatii illius immobilis, in quo corpora vere moventur , noa ' mcurrunt in fenfus. Caufa ramen non efl prorfus defperata. Nam fuppetunt argumenta , partim ex motibus apparentibus qui funt .mocuum verorum difFerentiae , partim ex viribus qua^ funt mo- tuum verorum caufae & effeAus. Ut fi globi duo, ad datam ab in"- vicem diilantiam filo intercedente connexi > revolverentur circa commune gravicatis centrum ; innotefceret ex tenfione fili cona* tus globorum recedendi ab axe motus 3 & inde iquantitas mptos circularis computari pofTet. Deinde (i vires qua^Iibet aequales in akernas globorum facies ad motum circulareni augendum vel mi"- nuendum fimul imprimerentur, innotefceret ex auda veldiminuta Jili tenfaone augmentum vel decrementum^motus , & m/ifi tandem ioveniri pofTent facies gjoborum io quas yires imprim; deberenr, ut motus maxime augeretur ; id efl , facies poflicae , five quae in mo-^ .tu circulari fequuntur. Cognitis autem faciebus quae lequuntor» & faciebusoppofitisquaeprsBceduot , cogpofceretur decerminacio motus. In hunc modum inveniri pofTet & quantitas & determt- natio motu^ huju^ circularis in vacuo quovis immenfo j ubi nihil extaxet externum ^ fenfibile quocum globi conferri pd&oc. Si jam conflitu,erentpr in fpatip iUo corpora atiqua^ longmqua dataqi inter fe pqf^tiooem fervantia 9 qiialia fnnt Stellas Fix« in* regioni- bus ncftri^: fciri quidem ooa poflet ex.relativa globorum traoflatio- ne iocer corpora 1 utrum his ao ilUs tribvendus e0et motus; M fi atten* PRINCIPIA MATHEMATICA. ti attenderetur ad filnm, & deprenderetur tenfionem ejus illam ipfam &ErTN{< e^ qilQm rhi3iC\xs glclborum requirorec ; concludere liceret mo- Tit>M-e-9. tam fc^s glohprum^ ^ c^rpora qmidcere^ &-omi decnam ex tranflatione globorum inter corpora > determinationem hujUs mo- tas colligere. Motus autem trrqs e|x eorum caufis , effedibus i & apparentibus differentiis colligere ; & contra ez motibus feu veris feu apparentibus &orum cauias & e^dus , 4ocebitur fu« fius in feqnentibus. Huiic fnim in finem Tradaeum fequentem compoftti. X B 2 AXIO- 1% SIVE A X I O M A T A, S I V E LE GE S M O TU S. LEX I. Corpus omne ferfeverare m fiatufm quiefeendt vetmovendt umformtter tn dtreBum , ntfi quatenus a virtbits tmprejfis cogttur ftatum tllum mutare^ PRojec^ilia perfeverant in motibus fuis > niii quatenus z refi- flentia aeris retardantur , & vi gravitatis impelluntur deorfunk Trochus , cujus partes cohsrendo perpetuo retrahunt fefe a motibus reAilineis , non ceflat rotari , nifi quatenus ab aere retar- datur. Majora autem Pianetarum & Cometarum corpor^ motus fuos & progreflivos & circulares in i^atiis minus refiilentibus fados confervant diutius. LEX IL Mutationem motus proportionatem ejfe vi motrici imprejpe , ^ fieri fecundum Vtneam rectam qua vis illa imprimitur^ Si vis aliqua motum quemvis generet ; dupla duplum-» tripla tri- plum generabit» five fimul & femehfive ^radatim & fucceflive im* prefTa fuerit. Et hic motus ( quoniam m eandem femper plagam cum vi generatrice determinatur) fi corpus antea movebatur, mo- tui ejus vel confpiranti additur » vel contrario fiibducitur » vel ob- liquo oblique adjicitur , & cum eo fecundum utriufque determina- tionem componitur. iPRlMCIPI A MATHEMATlQAt 13 L EX IIL . LEGia MOTUS. j^tMni contrariam /emper &f aqualem ejfe reactionem: fioe^ cprporum duorum actiones in fe mutuo femper ejfe aquales .8f in partes contrarias dirigi. Quicqaid pretnit ve^ trahit alterum, tantundem ab eq premitur vel trahitur. Si quis lapidem digito premit, premitur & hujus di- .gitus a ikpide. Si equus lapidem funi alligatum trahit , retrahetur etiam &c equus ( ut ita dicam ) aequaliter in iapidem : nam funis utrinqoe diftentus eodem relaxandi fe conatu utgebit equum ver- .fus lapidem , aQ bpidem. verfus equum ; tantumque impediet pro- grefliim unius quantum ^jogpovet progrcffum atterius. Si corpus aliquod in corpus ali^tfi^mpingens , motum ejiis vi fua quomodo- cunque mutavcrit ,' idem quoque vicifTim in moiu proprio eandem mutationem Tn paf tgfiT contrariam vi alterius ( ob aequalitatem pref- fionis mutuaB) fubibit.-ljia^aftionibus aequales fiunt mutationes> non v.elocitatum , fed moryum ; fcilicet in corporibus non aliunde impe funt corporibus re- ciproc^ propoifpbnales. ^OI^rinet etiam haec Lex in Attradionibus> ut in Schdio proximo jftobabitur. COfeOLLARIUM I. » " Corpm vinhm conjuncth Jiagonalem parallelogrammi eoaem tempore defcribere y quo latera feparatis, Si corpus datd tempore , vi fola M in loco A imprefla, fefretur uniformi cum motn ab y^ad fii & vi fok iSTineodem loco impteffa » ferretur ab y^ad C-.com- pleaiur paralklogrammum JB^DCy & vi utraque fereturcid eodem tempore in diaeofiali ab A ad 'D. Nam quoniam vis . ' , iyragit fecundum lineam AC ipfi fitD paraHelam, haec vis per Le- gem 11 nihil mutabit vclocitatem accedendi ad lineam illam B 2>* % vi altera geniiam. Accedet igitur cbrpus eodem tempore ad h- oeMD BT> , five vis iSZ^ imprimatur, five non ; atque adeo m fine illlcis temporis reperietiir alicubi in linea ill* B *D. Eodera argu- netito ifi fine tetnporis ejufdem reperietur alicubi in linca C©, & iddrco in uiriufque Itneae concurfu "D reperiri neceffe eft. Perget aiuciBmotureailmeoab^ad®perLegemi. wnor.T 14 COROLLARIUM II. Ef hmcfaiff tampofHn vis direSiie AD ex virikm qftibttfius obliquis AB ^ BD , ^ viciffim refoiutio vis cufufbh .quarum ^Ctrahendo radium 02>direfte acea- tro nihil valet ad movendam rotam; vis autem altera ©C, traheh- do radium *D O perpcndiculariter , idem valet ^c fi perpendiculari- ter traheret radium O L ipfi O 2) aequalem ; hoc eft . idem atqne pondus y, fi modo pondus illud fit ad pondus A\xt vis 2)Cadviin ^A, ideft CobfimiIiatriangula^2)C, 'DOK,),\xtOKti^O'D feu O L. Pondera igitur AScT , quae funt reciproce ut radii in direftum pofiti OK&OL , idem pollebunt , & fic confiftent in aequilibfio: quae eft proprietas notiflima Libne, Ve partim incumbat planoobliquo/G: ^miurpH,Nff, priotho- rizonti , pofterior plano / G perpendiciilaris ; & fi vis ponderis p deorfum tendens, exponacur per lineam ^^, refolvi poteft'h«c in vires fN, H N. Si filo p N perpendicultre eflet planum aliqood fSl, fecans planom alterum pG ivL linea «d horizontem paralle- la; & pondus f his planis /^,/Cr iblainiiiQdo ucufflbereti oe- geret geiet illad h«&iiltna viribus/ ^» /f^perpendtculari&er ^nimiruni Leok » pfewwn / i^ vi / iVr, & plaaum./ G vi uN. Ideoq^e fi tollat ur pla- M o x u i. oom-/^» utpondus tendat filum ; quoniam filum fuilinendo pon- das janv^ viceQ praeilat plani fublati , tendetur illud eadem vi f N^ qoa pljmunv antea w^baturv Unde tenfio fili bujus obliqui eric ad cenfioaem fili alterius^ perpendicujaris TN^ ixtfNzdjpM. Id- eo€jp€ fi pondus / fit ad pondus ^ in ratione quae componitur ex ratione reciproca minimarum diftantiarum filorum fuorum / N^ JLMz cmiro rot« , & ratione direfta p Hz^pNi pondera idem ¥alebunt ad rotam nK>vendapi , atque adeo fe mutuo fuftinebunt » ut quilibec eiq^eriri potefi;. Pondusautem/>pIants illis duobus obliquisincumbens^rationem habet cunei inter corporis fifii facies internas : & inde vires cunei & mallei innotefcunt: utpote cum vis qua pondus/ ur^et planum /^fit ad vimt qua idem vel gravitate fua vel iAumallei impelUtur fecundum lineam/ i7in plana y ^m p N zd p H ; arque ad vim » qna urga planum alterum pGjUtpN^dNH. Sed & vis Cochlea^ per fimilem virium divifionem colligitur ; quippe qus cuneus efi: a ve£le impulfus. Ufus igitur Corollarii hujus latifilme patet , & late. patcndo veritatem fuam evincit ; cum pendeat ex jam didis Mecha- nica tota ab Audoribus diverfimode demonfirata. Ex hifce enim facile derivantur vires Machinarupi:^ qua^ ex Roti^, TyiBpanis ^ Trochleis 9 Vedjibus.9 nervis t^fis & ponderibus dire^le vel obli-. que afoend^ntibus , csterifque potemiis Mechanicis componi fo^ lent r ut & vires Tei^dinum ad anim^ium ofia mov^nda. COROLLARIUM IIL ^jumMas matus qute colit^fur captendo fummmn rmtuwn JgtBorum ad eandem partem , cf differentiam faBoruw: adcQntrarMs ^ mu mutatur ab aBlone corporurn tnter fe.^ Etenim aftio eique contraria reaftio aequales ftjnt perLegemra, adeoque perLegem 11 aequales in motibus efficiunrmutationesver- fus contrarias partes^ Ergo fi motus fiunt ad eandem partem ; quic- quid additur motui corporis fugientis , fubducetur motui corporis iDfcqiientis fic , qt fumma maneat eadem quas prius. Sin corpora^ obvi^ eant; squalis erit fubdudio de motu utriufijue, adeoque diffetentia motuum faftprum jn contrarias partes manebit eadem. Ut fi corpus fyhsricum ^flrtriplomajuscorporefphaerico ^,ha- beatque dUas velocit^is p^rtes. \ & ^fequatur in eadem rei^a cunY ve- ' locitatis i6 PHlLOSdPHIiE I^tArtJRALlS ^ Ax motus partes odlodecim poftea » ita velocitatis partes duae ante re* flexionem ad velocitatis partes fex poftea, Quod fi corpora vel noh Sphsrica vel diverfis in redis mbventU incidant in fe mutuo oblique, Sc requirantur eorum mptus poft re- flexionem ; cognofcendus eft fitus plani a quo corpora cbncurren- tia tanguntur in punc^o concurfus ; dein corporis utriufque motus (per Coro). u. ) diftinguendus eft in duos , unum huic plano per- pendicularem 3 alterum eidem parallelum: motus autem paralleli ,. propterea quod corpora agant in fe invicem fecundum lineam huic plano perpendicularem , retinendi funt iidem poft reflexionem at- que antea;& motibus perperidicularibus mutationes «quale"^ inpar* tes contrarias tribuendae funt fic , ut fumma confpij-antiun) & dif. ferentia conirariorum maneat eadem quae prius. Ex hujufmodi re- flexionibus oriri etiam folent motus circulares corporum circa cen- tra propria. Sedhos cafus in fequentibus non confidero, 8f nimisr longum efifet omnia huc ipecft^ntia d6monftrare. COROL- T^UmCIPrA MATHEMATICA. ij COROLLARIUM IV. l.oe. Cmmune gravitath Centrum , corporum auorum velplurium > ab aBionihus corforum interfe non mutat fiatum faum vei motm vel quietts j ^ propterea corporum omnium infe mutuo ' agentium ( exclufis aBionibus 6f impedimentis ex^ ternis ) comwmne Centrum gravitatis vel quiefcit vel mo* vetur uniformiter in direBunh Nam fi punda duo progrediantur uniformi cum motu in luieis re* ^s , & diilantia eorum dividatur in ratione data , pun Aum oividens vel quiefcit vel progreditur uniformiter in linea reda. Hoc poftea in Lemmate xxiii demondratur.fi pundorum motus fiant in eodem plano; & eadem ratione demonflrari poteft, ii motus illi non fianc in eodem plano. Ergo (i corpora quotcunque moventur uniformi:- ter in lineis reflis, commune centrum gravitatis duorum quorum- vis vel quiefcit vel progreditur uniformiter in linea refta ; propterea quod tinea , horum corporum centra in re(flis uniformiter progre- diencia juflgens, dividitur ab hoc cehtro communi in ratione data. Similicer & commune centrum horum duorum & tertii cujufvis vel quiefcit vel progrcdiiur uniformiter in linea refta ; propterea quod ab eo dividitur diflantia centri communis corporum duorum&ceo> tri corporis tertii in data ratiohe. Eodem modo & commune cen- trum horum trium & quarti cujufvis vei quiefcit vel progreditur uniformiter in linea redta 5 propterea quod ab eo dividitur diftan- tia inter centrum commune trjum & centrum quarti in data ratio- ne, & fic in infinitum. Igitur in fjrflemate corporum quae a^oni- bus in fe invicem aliifque omnibus in fe extrinfecus impreffis omni* no vacant , adeoque moventur fmgula uniformiter in reftis fingu- \is, commune omnium centrum gravitatis vel quiefcit velmovetur uniformiter in direflum. . - . . . Porro in fyflemate duorum corporum m fe mvicem agentmm ■, cum diflantiae centrorum utriufque a communi gravitatis centro flnt reciproce ut corpora ; erunt motus relativi corporum eorundem, vel accedendi ad centrum illud vbl ab eodem recedendi , aequales inter fe Proiqde centrum illud ^ motuum «qualibus mutatiombus in partes contrarias faais , atque; adeo ab aftionibus horum corpo. rnm inter fe , nec promovetur nec retardatur hec mutationem pa- titur in ftatu fuo quoad motum vel quietem. In fyflemate autem cofporam plurium , quoniam duorum quorumvis in fe mutuo agen- tium commune gravitatis centrum.Db.aaioncmillam nullatenus C mutat ^8 PHILQSOPHI^: NATURALI5 AiioifATA^niutat flatum fuum ; & reliquorum » roffl ) & '&aiiidflm Uneas parallelas age^do , cbipora omnia asqua- L e g e d ficer (qnoad velocitatem ) movebuQt per Legem ti. adeoque nun- ^^^^^^ quam mutabuht pafitiooes & motus eorum inter fe. Stbolium. HaAenus principia tradidi a Mathematicis recepta & experien- tia multiplici confirmata. Per Leges duas primas & Corollaria duo prima GalU^us invenit defcenfum Gravium ^^^ in duplicata ratione temporis» & motum Projedilium fieri in Parabola; confpirante ex« perientia , niH quatenus motus illi per aeris refiilentiam aliquantu- lum retardantur. Ab iifdem Le^lbus & Corollariis pendeot de- .monftrata de temi>oribus ofcillantium Fendulorum ,fufFraganteHo* rol<^orum ezperientia quotidiana. Ex his iifdem & Lege tertia Cbr^opborus fVrennus Eques Auratus, Johannes fVallifius S.T.7). & Cbrijiianus Hugenius ^ hujus statis Geometrarum facile princi- pes , regulas congrefluum & reflexionum duorum corporum feor- iim invenerunt , & eodem fere tempore cum Socutate Regia com- mumcarunt, inter fe ( quoad has leges ) omnino confpirantes : & primus quidem fValliJius y deinde Wrennus &. Hugenius inventum prodiderunt. Sed & veritas comprobata efc a H^renno coram Re^ Societate per experimentum Pendulorum : quod etiam Cla-- rijffimus Mariottus libro integro exponere mox dignatus efL Ve^ rum 9 ut hoc experimentum cum Theoriis ad amuflim congruat » habenda efl ratio cum refiftentias aeris, tum etiam visEIaflicaecon* currentium corporum. Pendeant corpora A^ B filis parallelis & squalibus AC^ B^^ ^ centris C Z). His centris & intervallis de- fcribanturiemicircuIiiEyfF, G^^radiisC^, ©^ff bifedi. Tra* hatur corpus i^ad arcus E ji F i^xux^xxm quodvis /?, & ( fubdodo corpore a ) demittatur inde , redeatque pofl unam ofcillationem ad punaumr. Eft /J.rre-: ' tardatio ex refiflentia aeris^ Hujus R V fiat ad quem corpus illud afcendere debuifiet in va- cuo. Hoc pafto experiri ficet omnia perinde ac fi in vacuo con- fiituti efiemus. Tandexn ducendum erit corpus A in chordam ar* cus TAiqu^ velocitatem ejus exhibet ) ut habeatur motus ejus ia loco A proxime ante reflexionem ; deinde in chordam arcus / A^ ut habeatur motus ejus in loco A proxime poft reflexionem. Et fic . corpus B ducendum erit in chordam arcus B Ij ut habeatur motus ejus proxime poft refiexionem. Et fimili methodo>ubi corporadua fimul demittuntur de bcis diverfis , inveniendi funt motus utriuf- que tam ame 9 quam poft reflexionem ; & tum demum conferendi uint motus inter fe o^ colligendi efleftus reflexionis. Hoc moda in PenduUs pedum decem rem tentando , idque in corporibus tam ina^qualibus quam squalibus , & faciendo ut corpora de intervallis ampliffimis , puta pedum ofto vel duodecim vel fexdecim » concur«- rerent; reperi femper fine errore triimi digitorum in menfuris, ubi corpora fibi mutuo direfte occurrebant , quod a&quales erant muta* tiones motuum corporibus in partes contrarias illatae » atque adeo. quod aftio & reaoio femper ^ ^ erant aequales. Ut fi corpus A incidebat in corpus B cum novem partibus nK>tus, & a-^ fliiffis (eptem partibas perge- bat poft reflexionem cumdua- bus ; corpus B refiliebat cqm partibus illis feptem. Si cor- pora obviam ibant A cum duodecim.partibus & B cum fex, & redibat A cum duabus; redi* bat B cum ofto , fa6h detra6tione partium quatuordecim utrin* que: De motn ipfias A fubducaotur partes duodecitn , & reftabit mhil: PRINCIPU- MATHEMATICA. %i iiihji: fobdiictfOtQi^ alicfe partes diiSB » & fiet mbttts doarum partiiim iDpfagam contrariam : & fic de motu corporis i9 partium fex fub- docendo partes quatuordecim , lient parties odo ibplagam contra* riam^ Quod fi corpora ibant ad eandem pta^am » j4 velocius cum partibos quatuordecim, &\fitardius cum partibus quinque, &poil reflexiooem pergebat ^cum qoinque partibus;^pergebat B cam qaatuordecim , fa(^a tranflatione partium novem de jf in B. Et lic in reliquis. A congrefTu & collifione corporum nu*nquam muta"* bator quamitas raotus^ qu(e eyt funitna motuum confpirantium & di£&rentia contrariorum colligebatur. Nam errorem digiti unius & alterios in nienfuris tribuerim difticultati pera^endi (ingula fatis accorate. Difticile erat , tum pendula fimul demittere fic f ut cor- pora in fe mutuo impingerenc in loco infimo A B ; tum loca s , k sotare » ad quas corpora afcendebant pofl concurfum. Sed & in ipfis pilis insqualis partium denfkas » & textura aliis de caufis ir- regularis> errores inducebanti. Porrd nequisobjiciatReguram^ad quam probandam inventum eft hoc experimemum $ pragfupponere corpora vel abfolute dura efTe, .vel faltein perfede elaflica , cujufmodi nulla reperiuntur in compo^ fitionfbo^Aauiralibus; addo quod Experimenta jam defcriptafucce- dofa^tih corpoxrburmoUibus asque ac in duris, nimirum a conditio* neciuritiei neutiquam pendentia. Nam fi Regula itla in corporibus non perfe6le dur^ tentanda efl , debebit folummodo refie»o minui in ctrta proportione.pro quantitate vis Elaflicsc, In Th^onzWrenni & Hugenii corpova abfolute dura redeunt ab invicem cum velocita- te congrefTus^ Certius id affirmabitur de perfefte Elaflicis. In im- perfede Elaflicis velocitas reditus minoenda efl fimul cum vi Elafli* ca ; propterea auod vis illa » ( nifi ubi partes corporum ex congref- £u Isduntur , vel extenfionem aliqualem quafi fub malleo patiuntur») certa ac determinata fit (quantum fentio) faciatque corpora redire ab invicem^ cum velocitate relativa 9 quaB fit ad relativam velocttatem <:oncorfus in data ratione. Id in pilis ex lana arde conglomerata & fortiter conflriSa fic tentavi. Primum demittendoPendula & men*- furando reflexionem , inveni quantitatem vis Elafticae ; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis cafibus concurfuum , & re* ^ndebant Experimenta, Redtbant femper [MldB abinvicemcum ve- locitate relativa, quaB efTet ad velocitatem relativam concurfus utf ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pilie ex chalybe : alis ex fubere cum paulo minore: invitreis autem proportio erat JS ad 16 circiter. Atque hoc paftoLex tertia quoad iftus & refle- xiones per Theoriam comprobata efl » qus com tcxperientia plane coDgruit.. C a> ^ 9Lt PHILOSOFHIiE WATPItAUS iknoiiAtA, In AttradkMiibos rem fip breviter ofteiid^. ; Gorporibds dodbtis Mt quibofvis j^j B fe nnicuo trahentibos , conqjpe obuacaioniqoodvis interponi quo congreiTus eorum impediator. Si corpos alterucrom ^magis trahituv verfus corpus alterum ^ ^ quain illodalteraffiL B in prius ^«obftaculuqi magis urgebitur pofTi^ilione corporis uf qoam prelTione corporis.^; proindeque non manebit in ^uiJibrio. Ptac* yalebit preilio fortior ^ facietque ut fyftema corporum duonim & obftaculi moveatur in diredum inpartesverfusi9,motuqueinfpatiis liberis femper accelerato abeat in infinitum. Quod eftabfurdum & Legi prima^ contrarium. Nam per Legem primam debebit fyflema peneverare in flatu fuo quiefcendi vel movendi uniformiter in di* redum , proindeque corpora a&quaiiter urgebunt obftaculum > & id- circo aequaliter trahentur in invicem. Tentavi hoc in Magnete & Ferro. Si haec in vafculis propriis fefe contingentibus feorfim po- fita, in aqua ftagnante juxta fluitent ; neutrum propellet alterum, fed ^quahtate attraftionis utrinque fuftinebant conatos in fe nra.- tuos, ac tandem in squilibrio conftituta quiefcent. Sic etiam gravitas inter Terram & ejus partes, mutua eft. Se- cetur Terra FI plano quovis EGln partes duas E(xF & EGI\ & aequalia erunt harum pondera in fe mu- tuo. Nam fi plano alio H K quod priori EG parallelum fit y pars major EGI fe- cetur in partes duas kG K a &c H KI , ouarum H KI squalis fit parti prius ab- ji| Kifiae E FG i manifcftum eft quod pars media EGKH pondere proprio mneutram partium extremarum propendebit , fedinter utramque in aequilibrio , ut ita dicam , fu* fpendeturi & quiefcet. Pars autem extrema HKI toto iuo ponde* re incumbet in partem mediam » & urgebit illam in partem al- teram eztremam EGF; ideoque vis qua partium HKI & EGKH fumma EGI tendit verfus partem tertiam EGFj a&qualis eft pon« deri partis HKI^ id eft ponderi partis tertiae EGF. £t propterea pondera partium duarum EGI^ EGF in fe motuo funt flBomiliat uti volui oftendere. Et nifi pondera illa aequalia effent » Terra tota in libero aethere iluitaos ponderi majori cederet, & ab eofa- giendo abiret in infinitum. Ut corpora in concurfu & reflexione idem poUent , quorom ve- locitates funt reciproce ut vires inficae : fic in movendis Inftni- Aientis Mecbanicis ageoria idem poUent & conaribos contrariis fe motuo fuftinent, qoorum velocitates fecuodum determinaiionem virium ^nmK aeftitiKitae^ (unc red^rbce ur^reSi'^ ^ pdHderap^iq&ipbln ^^^^^i leot ad iBOveiid& brachJa Libr» ; qti® o((iilftfflte- Ub«i fiAic ffeci- W^^"«- proce Qt eonsm velocitates furfiim & deorfum: hoti *^ p&ndbi^ , n reifla afcetidunt & defcendunt, agquipollent » quae funt recipro^ ceut pun6lorum a quibus fufpenduntur diftantis ab axeLibras ; fm phnis obiiquis aliitve admotis obftaculis impedita afcendunt vel deicendont^ oblique , SBquipollent quae funt reciproce ut afcenfus & defcenfus , quatenus fadi fecundum perpendiculum 2 id adeo ob detenninationem gravitatis deorfum. Similiter in Trochlea fea Polyfpaflo vis manus funem diredlc trahentis , qus fit ad pondtis vel direde vel oblique afcendens ut velocitas afcenfus perpendt^ cularis ad velocitatem manus f\inem trahentis 9 fudinebit pondus. In Horologiis & fimilibus inftrumentis, qua ex rotulis commif- & coDftrucfea YioitV Vires contfaiiaer^adi motiim totiilaVitfii^rom^* FeQduca & imptdiendam^ .H fint rkci^roce ut yelodiatB&^arciiiii' rotularum in quas imprimuntur, fuftinebunt fe mutuo. Vis Co- chleaB ad premendum cprp^s eft ad vim jnanu&.matuibrium cir* cumagentis» ut^irciilaris^veiocitas mafMibrii eain parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progreflivam cochle» verfus corpus pref- fum. Vire^ -quibus Guneus urget partes^ duas ligni fiflt funt ad vim maUei in cuneum , ut progrefllis cunei fecundum determina* tionem vis a malleo in ipfiHH^ Impre^ f ad velocitatem qua partes^ ligni cedunt cuneo, fecundum lineas faciebus cuQei perpendicula- tes. Etrpa^eft ratio M^chinirunl-dtiintufflv ^ . . Harnm eflicacia .& uCvSkin^firo.ibJor.coA^^itii ut diminuendo ve- locitatem augeamus vim,& cbntra: unde folvitur in omni aptorumi inftrumentorum genere Pr^b\tvi^^\^^funf J^ondus data vi moven^ di , aliamve datam refiftentiam vi^data fuperandi. Nam fi Machi- na ita formentur , ut y^locitat^s Agentis .& Refiftentis fint reci- proce ut^vircs i Agens refiftemiim fuiinebir : '& majori cpm vel^- citatutt iktfpiritate eanderti ^iicet. CJefte fi tahta (it vdlocitaturh difpamas « »t viBMiatiir ettanrrefiftfenttAtxnjms v q»l^ tAiftjM conti- guoram & inter fe labentium corpprum attritioite » quam ex coj^- tinuorum & ab ihvibem fejiararKiorum cohaefione & elevikndorumi poodeiribus orhri fokt ; fuperaca omni ea refifteDtU > vis reduii- daQ$ accekratiooem motus fibi proportionaleo)^ partim .in parti* bus machina^ , partim in corpori^ rpfiftepte prodqcpt, Ceterutnt Mechanicam traftare non eft hujus inftituti. Hifce volui tan« tum oftendere , quam late pateat quamque certa fit Lex tertia; Aloiqs. Nam fi sftimetur Agentis adio ex ejus vi &. veloci- tatC! X4 PHILOSOPHIiE NATURALIS AxioMATA,t!<^tc coBJaadiin ; & fimiliter Refiftentis rea^o sffimetar ooDicm* : «iTc ^m ex ejus (Mrtinm fingularam velodtatibus & viribiis refifiendi ab earum attritione , cohsfione, pondere , & acceleratione ori- undis ; erunt adio & readio . in omni infirumentorum ufu » fibi invicem femper aequales. £t quatenus a^o propagatur per inftrumentum & ultimo imprimitur in corpus omne refifiens • ejus ultima detefminatio determinationi readionis femper eric contrariat DE MOTU CORPORUM « L IB E R P RIM U S. SECTIO I. De Meihodo Rationum prsmarum &f uUimarum , cujus ope fequenita demonfirantur^ L E M M A I. QUantitates , ut 8f quantitatum rationes , qua ad^equa- Ittatem tempore quovis finito confianter teudunt , €s^ *4inte finem temporis illius propius adinvicem accedun* fuam pro data quavts dtfferentia , jiunt ultimo aqudles, Si negas ; fiant ultimo insqnales , & fit eamm ultima diflerentia 9. Ergo nequeunt propius ad eaualitatem accedere quam pro da- ta differentia *D\ contra hypotheun. LEMMA PRrNCIPIA MAtHEMATICA L EM M A H. J/ m Figura quatjs A a c E , re6ih Aa , A E Sf curva a c E comprehenfa , infcribantur paraUelogramma quotcunque A b , B c, C d, &c. fub bafiius A B, B C, C D, &c. aquali' husy &? lateriius B b, C c, D d, &c. Hgura lateri A a pa- raUelis contenta ; ^ campleaHUir pa^ rallelogramma afebl , bLcm, cMdn , « &c. Dein horum paraHelogrammO' k rum latitudo minuatur , 8f numerus augeatur in infinitum : dico quod uU 4ima rationes y quas habent ad fe in' vicem f/gura infcripta AKhLclAdO , lircumfcripta AalbmcodoE, ^ curvi- linea AabcdE , /unt rationes ^quali' tatis» •• % NamFigurs infcriptae & circumrcripts differefitiaeftHimma pa- rallelogrammorum AT/, L Mi Mn, ^D «, hoc e(t ( ob squale^ omnium bafes ) re^Ungulug^ fub unius bafi Kb & akitudinum f|imma Aa, id eft, reAan^lum^^^/tf. Sbd hoc re6Ungulum, eo ^uod latitn- do ejus AB ia infinitum' miniiitur > /it.minus quovis dito. Ergo ( per Lemma i ) Figura infcripta & cirqumfcripta & multo magis Figura curvilinea intermedia fiunt ultimo aequales. ^ E. SD. L E M M A ffl. Ededem rattonei uhtm^ funt ettam rattones aquaHtath ^ ubt parallehgf^ammorum latitudines AB,BC, CD^ &C9 fitnt maquaks^ & omnes mmuunttir in infinitum. Sit enim ^Faequalis latitudini maximas, & compleatur paralle-* logrammum FAaf. Hoc erit majus quam difTerentia Figurae infcri- pt£ & Figurae circunifcriptas ; at latitudine fua AFm infinitum di* minuta, minus fiet quam datum quodvis redangulum. ^E.^. r • Orol 1. Hjnc fumma ultima parallelogrammorum evaneli;entium coinddit omni ex parte cum Figura curvilinea. Orol %. £t multo magis Figura rediilinea , quas cbordis evanef- D cen;iuift LlSEJI- P&IMUS» iii PHILOSOPHI^ NATURALIS Dk Motv centinm arcaum abibc,cdt^e. cOTaprehenditur , cdncidit ultima CoRPOAUMcnnj pigura curvilinea. 0>roT. 3. Ut & Figura re) non funt redilines , fed reflilinearum limites curvilineL L E M M A IV. Si m duahm Ftguris AacE, PprT, inferibafiittr {^utjM» frn ) du£ parallelogrammorum feries , fitque idem amho'^ rum numerus , & ubi latiiudines in infinitum diminuuntur ^ '' rationes uUima parallelogrammorum in una Ftgura ad pa^ ' rallelogramma tn abera , finguhrum ad fingula , fini e^e- dem i dico quod Ftgura dwe AacE,PpfT, fintt ad in* vicem in eadem illa ratio/te. JL Mt C S B Etenim ut font parallelogramma (ingula ad finguk , ita Ccompo>^ nendo ) fit fumma omnium ad fummam omnium , & ita Figura ad Figuram ; exifiente nimirum Figura priore ( per Lemma 111} ad fummam priorem , & Figur a poiteriore ad fummam pofleriorem in ratione equalitatis. ^E.ID. Corok Hinc fi duae cujufcun^ue generis quantitates in cuodem partiom numerum utcunque dividantur;& partesiils,ubinumertts earum augetur & ma^nitudo diminuitur in infinitum , datam obti- neant rationem ad invicem, prima ad primam, fecunda ad fecundam, caetersque fno ordine ad caeteras : eruot tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam ii in Lemmatis hujus Figuris fumantur pa« rallelo- PRiNciPiA mathematica; »r TallelogramtBt iater £e m ^ttds , funuBa pKrduin femper erane Lits» , nt Amma& parallelogrammQrum ; acque adeo, ubi partium & paral> P^*^v id (pdr^hyp^^iiiefin) x k» ' L E M M A V. Stmilium Figurarum latera omma , quafibi mufao re/poH* detu , funt proporuonalia , tam eurwlinea quam reBili^ nea ; ^ area /imf irt dupUcata ratione laterum^ L E M M A VI. Si arcus quilihet pofitione datus A B fiih^ tendatur chorda A B , ^ i» punBo^ aVtquo A , in medio curvatura conti- nua , tangatur a reBa utrinque pro-- duBa A D j dein punBa A, B ddtnvi' r 4:em accedant Sf coeant j dtco quod an^ gului BAD, /uh chorda & tangente contentus , minuetar in infinitum fif nltimo evane/cet» ^ Niin fi «guhisitte ntm evanefcit, continebit arcus AB cumtanj genie X© smgnlum reaiUneo aequalem , & propterea curvatura ad puttdnm^^^non erit coiiinua , contra hypothefin. ■ ^ L. E M M A Vn. /i/^em pofttis "• dtco quod uUima ratio arcits , chbrda , 8^ tangentis ad tnpice^ efi ratio aqualitatis. Nam dum punaum^f d punftum c/fftccedit , in^lif^fto' g^ per ># & ^© ad punaa ToBginqna * ac/ prodqcM :^ fecan i B ^ Srallela agatur 6f ^ "U PHILOSOPHIiE NATURALIS pf MoTo evanefcent, & pationera ultimam luibebaBt aeqnalitatis. ^i?:2). - «CoRFokvM Orol. I. Unde fi per ^ ducatur tangenti paralielft iS /', redam quamvis ^F per ^ tranfeun- tem perpetuo fecans 'mF , A haec B F uitimo ad arcum eva- nefcentemyf^rationemhabe- ^ bit aequalitatis , eo quod com- ^ '^* • pleto parallelogrammo -<#F.fi2) rationem femper habet (equaiitatis ad ji^j). Coroi X. Et fi ^ & ^ducantur plures reft« BE, B*Dy AF, jiGy fecahtes tangefitem AT> & ipfius paralielam BF% ratio ulti- ma abfcifiafum omnium AD, AE ,-BF, B'G; chordsque & ar- cus AB ad invicem eric ratio aequalitatis. Coroi. 3. £t propterea hs omnes line£e,in omni de rationibus ul- Hmis arguogyentatione , pro fe invicem ufurpaci poffuiit. L E M M A Vlir. S/ reBf data A R , B R cum atcu A B , chorda^ A B ^ tangehte A D , triangula tria ARB,ARB,ARD con^ fiituunt , dein punBa A , B accedunt ad invicem : dico quod uhima forma triangulorum evanefcemium eft Jtmi^ litud/nis , & ^ltima ratio aquatitatb^ Nam dum pundium "B ad pun^m A aacedit ,.intelligantur femper AB^tATXy j^ AR ad pun.AaIonginqua^, ci , ipfique R 7), parallela zgvrid , & arctti AB fimilis femper fit arcus Ab. Et coeuntibuspunAis^,.fi,anguius bAd cvanefoet , & propterea trianguJa tria ftmperfinita rAbyrAb, r^. ' Corot. Et hinc triangula illa, in omni de ratiooibas tiltifflis armi- ipentatjone , pra fe invicem ufuvpari poflunt. • i « • LEMMA ' FRrNCIPIA mathematica; 2, L E M M A IX. Si reBa A E ^ curva A B C pofittone datafe mutuo feeent m anguh datoK, & ad reBam iHam m alio dato angu. h ordmattm apfttcentur B D , C E , curva occurrentes in B , C 'y detn punBa B , C fimul accedant ad punBum A ; dtco quod area trtanguhrum A B D , A C E erum ubimo ad invicem in dupftcata ratione laterum. Eceaim daro punda By C acce- dant ad; pun^um c/^, intelligatur femper ji^D produci ad punda lon- gioqua d&ce, ut fint Ady Ae ipHs AD, AE proportionales , & eri- Sntur prdinat» db r ec ordinatis By £CparaUeI(E quae occurrant ipfis AB, AC produdis in ^ & r. Daci intelligatur , tum curva. Abc ipfi A BC umilis ^ tum refta Ag , qus tangat curvam utramque in A., & fecet ordinatim appiicatas jD B , ECy db, ec in F,G,fyg. Tum manente longitudine ^^ coeant pun^a B, C cum pun^o tx/. & aogulo cAg evanefcente, coincident arece curvilinea; Abd, Act cum redilineis Afd, Age\ adeoque (per Lemma v) erunt in du- plicata ratione laterum Ad, KAei Sed his areis'proportionales fenv per funt areae ABT), A:CE, & his lateribus latera ^2>, A:E, Er- go & areae AB^D, ACE funt ultimo in duplicata rarione laterum. ^DjJiE. ^E.D. L E M M A X Spatta qua corpus urgente quacunque yifinita defcribtt ^five- yit Ula dettrminata ^ immutabilis fit , pve eadem cons- tinuo augeatur vel conttnuo diminuatur j^ funt ipfo motus tnitio in dupVtcata iratione Xemporunu . Ezponantur tempora per lineas AT) jABySc velocitates genft»' per ordinatas, 1) i? , jSC;.& fpatia his velocitatibus defcripta , erunc nc areae ABfD » .dCE his-ordfnatis defcriptae , hoc efl, ipft> mo-- cus imt)o rperLemmaix.) in duplicata ratione temponim AD,: AE. ^£.2). ' D 3 Corok LiirtK Primus. 3(3 PHILOSOPHl^ NATURALIS DtMoTD CGTot. t. Et hinc facUe coUigitar, quod corporam (imilesfimi* Co&poRuu||m]) Figurarum partes temporibus proportionalibus defcribentiun Errores , qui viribus quibufvis aqualibus ad corpora fimiliter ag- plicatis generantur, & meofurantur per diftantias corporum a Fi- gurarum fimilium locis illis ad qus corpora. eadem temporibus iifdem propOFtionalibus abfque viribus iftis pervenirent » funt uc quadrata temporum in quibus generantur quam proxime. CcroL 2. Errores autem qui viribus proportionalibus ad fimiles Figurarum fimilium partes {imiliter applicatis generantur > funt ut vires &, quadrata temporum conjunaim. tiCcriT/. ji-idem intelKgcndum eft de fpatiis quibufvis qu» cor- pora urgd&tibus diverfis viribus defcribunt. Haec funt , ipfo mocus initio 9 ut vires & quadrata temporum conjun6tim. Corol. j^ Ideoque vires funt ut fpatia , ipfo motus initio» de^ fcripta direde & quadrata temporum inverie. Corol. 5. Et quadrata temporum fimt ut defcripta fpatia direde & vires inverfe. X . \StbolMm. Si quanticates indetennii^atae diverforum generum conferantnr inter fe , & earum aliqua dicatur eiie ut elt alia qusvis dire^e vei inverfe : fenfus eft , -quod prior augetur vel diminuitur ia eadem ratione cum pofleriore , vel cum ejus reciproca. Et fi earum aliqua dicatur ede ut funt aliae du£ vel plures direAe vel inverfe ; fenfus efl , quod prima aujgetur vel minuitiir in ratione qus componitur ex rationibus in quibus alis vel aliarum reclprocae aueentur vel diminuuntur. Ut u A dicatur eSe ut B direAe & C dire£te & D inverfe : fenfus eft , quod A augetur vel diminuittir I BC in eadem ratione cum B XCX D, hoc efl.quod A 8c TTTunt ad iavicem in ratione data. L E M M A Xr. Suhtenfa evanefcens anguls contaBus , in curvis omnibus cur^ vaturam finitam ad funBum fontaBus bahentihus , eft ul^ timo in ratione dupltcata fuhtehfa arcus contermini, Caf z. Si arcus ille yi£, taneens ejus ^2),fubtenfa anguli con- ta«os., accedunt ufque ad A. Manifeftum eft quod diftantia G j minor efle poteft quam affignata quavis. Eft autem (exnaturacirculorum per punAa ABG^ Ahg tranfeuntium}^^ quad. squale AG'y,B'D & ^zdbd. ^E.T}^ Ca/. x. laclinetur jam B^ ad ^ ^ in angulo ^ qno^ dato, & eadem femper erit ratioultima BDzdbd qasprrus»< adeoqoe eadem ac AB- quad. nd Ab quad. ^. E. 'D. Caj.l^ Et quamvis angulus 2> non detur, fed re^a BT) ad da, d communi le^ conftituti ad aejqualitatem femper vergent. & proptus accedent ad mvicem quam pro difterentia qua- vis aifiniata, adeoque ultimo squales erunt, per Lem. i.&pro* pterea uneae BDy bd func in eadem racione ad invicem ac prius. ^£.©. Corol. I. Unde cum tangentes A*Dy Ad^ arcus AB^ Ab,.^ eo- sum finns BCr bc fiant ukimo chordis A Bt Ab, «qiaales; erunt^ etiam itiorum quadrata ultimo ut fubtenfx B*D, b.d. Cctvl. X. Eorundem quadrata funt etiam ultimo ur funt arcuum> £igittae qnae chordas biiiecant & ad datum pundum convergunt. Nam fagitts illx funt ut fubtenfs BD^ bd. Corot.. 3. Ideoque Cagitta eft in duplicata ratione temporis quo' corpos (Uta velocitate defcribit arcum. OroA 4. Triangttla re6Hlinea ./^'Z) B , Adb funt ultimo in triplica'>- taradoDe kternm AD, Ad, inque fefquiplicata laterum 'DB,db\. ntpote in compc^ta ratione laterum^'i) y^T>By.Ad^db exi* ftentia. Sic & triangula(^^C,.. ae laterum BC, bc. Rationem vero (efquipUcatam • voco triplicatte fiiixfoplicatam-, qus nempe ex fifnplici & fubduplicatacomponitury, quamque alias fefquialteram dicunt. Corol, 1% PHILOSOPHIiE NATURALIS D& MoTu Ccrol.'^. Et Guoniam T)B^ db funt uhimo paraliels & in dupli* CoRPoituMcata ratione ipfarum AT> ^ Adi erunt areae ultimaB curvilineae AT>B^ Adb ( ex natura Parabol») du» tertiae partes triangulo* rum reftilineorum ADB^ Adb\ & fegmenta AB^ Ab partes ter* tis eorundem trian^ulorum. Et inde has ares & h£c fegmenta e^ riHit in triplicata ratione tum tangentium AT^i Ad\ tum chorda* rum& arcuum AB^ Ab^ « Schortum. CdBterom in his omnibus fupponimus angulum contac^us nec in- iinite majdrem elTe an^lis contaduum , quos Circuli continent cum tangentibusVuist nec iifdem infinite minorem; hoc efl curvaturam ad pun Aum A t nec infinite parvam efle nec infinite magnam , fea intervallum AJ finits efTe magnitudinis. Capi enim potefl ^^ ut A^D^i quo in cafu Circulus nullus per pundum A inter tangentem AT> &c curvam AB duci poteft • proindeque angulus contadus erit infinite minor Circularibus. Etfimili argumento fi fiatT) B faccef- five wi Al>j -//©s,^2)s ^©S &c. habebitur feries anguloram conta^lus per^ens in infinitum , quorum quilibet poflerior efl infi* nit^ minor priore. Et fi fiat T) B fuccefRve ut ^Di, AT)^^ A7)\j AT>^^ A^D^ A^Diy &c. habebitur aliaferies infinita an* gulorum contaAus , quorum primus efl ejufdem generis cum Cir* cularibus» fecundus intinite major , & quilibet poflerior infinite ma- jor priore. Sed & inter duos quofvis ex his angulis potefl feries utrinque in infinitum pergens angulorum intermediorum inferi, quo- rum quilibet poflerior erit infinite major minorve priore. Ot fi inter terminos ^©» & AT>' inferatur feries A7)'i^ AT^j ^ ^©5, ^©2 , AT>iyAT>i , BT>'i, AD^^y A^D^i, &c. Et rurfus inter binos quofvis angulos hujus feriei inferi potefl feries nova an- gulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis difierentium« Neque novit natura limitem. QuGB de curvis lineis deque fuperficiebus comprehenfis demon* flrata funt , facile applicantur ad folidorum fuperficies curvas & eontenta. Praemifi vero hasc Lemmata, ut efTugerem taediumde- ducendi perplexas demonflrationes , more veterum Geometrarum » ad abfurduro. ContraAiores enim redduntur demonftrationes per methodum Indivifibilium. Sed quoniam durior efl Indivifibilium hy^ pothefisy & propterea methodus illa minus Geometrica cenfetur; malui demonurationes rerum fequentium ad ultimas qaantitatum eva- PRINCIPIA MATHEMATICA. 3^ evaoefce&tiam fummas & rationes » primafque nafcentium , ideft, Lmk ad Jimites fummarum & rationum deducere; & propterea limitum ^^'**^V illoram demonftrationes qua potui brevitate praemittere. His enim idem prsftatur quod per methodum. Indivifibilium ; & principiis de- monffiratis jam tutius utemur. Proinde in fequeniibus , fi quando quantitates tanquam ex particulis conftantes confideravero , vel fi pro reftis ufurpavero lineolas curvas ; nolim indivifibilia , fed eva- nefcentia divifibilia , non fummas & rationes partium determinata^ rum , fed fummarum & rationum limites femper intelligi ; vim- que talium demonftrationum ad methodum praecedentium Lemma- tum femper revocari. Objeflio eft , quod quantitatum evanefcentium nulla fit ultima proportio; quippe quae, antequam evanuerunt, non eft ultima,ubi evanuerunt , nulla eft. Sed & eodem argumento aeque contendi poffet nuUam efle corporis ad certum locum pervenientis velocita- tem ultimam : hanc enim, antequam corpus attingit locum, non efie ultimam , ubi attingit , nullam efTe. Et refponfio facilis eft : Per veiocitatem ultimam inteiligi eam , qua corpus movetur neque an- tequam attingit locum ultimum & motus cefiTat « neque poftea , fed tunc cum attingit; id eft » illam ipfam velocitatem quacum corpus attingic locum ultimum & quacum motus cefiat. Et fimiliter perul- timam rationem quantitatum evanefcentium , intelligendam.efTe ra- tionem quantitatum non antequam evanefcunt , non poftea , fed quacum evanefcunt. Pariter o: ratio prima nafcentium eft ratio . quacum nafcuntur. Et fumma prima & ultima eft quacum eile (vel augeri & minui ) incipiunt & ceftant. Extat limes quem ve* locitas in fine motus attingere poteft , non autem tranfgredi. Haec eftvelocitas ultima. Et par eft ratio limitis quantitatum & propor- tionum omnium incipientium & ceftantium. Cumque hic limes fit certus & definitus » Problema eft vereGeometricum eundem de- terminare. Geometrica yero omnia in aliis Geometricis determir nandis ac demonftrandis legitime ufiirpantur. Coatendi etiam poteft , quod fi deiftur ultimaB quantitatum eva*-^ nefcentium rationes , dabuntur & ultimse magnitudines : & fic quan* titas omnis conftabit ex Indivifibilibus , contra quam Euclides de Incommenfurabilibus , in libro decimo EIementorum,demonftravit. Verom hasc Objedio falfas innititur hypothefi. Ultimas rationes ills quibufcum quantitates evanefcunt , revera non funt rationes quantitatum ultimarum , fed limites ad quos quantitatum fine limi- re decrefcentium rationes femper appropinquant ; & quas propius aftequi poirunt quam pro data quavis difterentia , nunquam vero £ tranf- L^. ._ ^4 PHlLOSOPHi:*: NATURALIS ^MoTutranfjgredi» neque prius attingere ^iiamquantitatesdiminuunturin ^^"^^^infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantita- tes du8B quarum data eft difierentia augeantur in infinitum , dabitur faarum ultima ratio, nimirum ratio aBqualitatis , nec tamenideo da- buntur quantitates ultimaB feu maxims quarum ifta eft ratio. Igi- tur in fequentibus , fiquando facili rerum conceptui confulens di- zero quantitates quam minimas , vel evanefcentes , vel ultimas ; cave incelli^as quantitates magnitudine determinatas , fed cogita femper dimmuendas fine limite. S E C T I O 11. De Inventione Vtrtum Centripetarum, PROPOSITIO I. THEOREMA I. jSreas , quas corpora in ^fos aBa radiis ad immohile cen" trum virium duBis de/cribunt , ^ in planis immobilibus conjlfiere y &f ejje temporibus proportionales, Dividatur tetnpus in partes aequales , & prima temporis parte de- fcribat corpus vi infita re6lam A B. Idem fecunda temporis parte > (i nil impediret , reda toergeretadf, (per a? L.eg.T.) defcribens ^-«^ lineaffl Bc squalem Spil AB ; adeo ut ra- diis AS, BS^cS ad 'centrum aftis , con- feftae forent aequa- les areae ASB,BSc. Verum ubi corpus yenit ad B , agat vis .centripeta impulfu tinico fed magno ^ efticiatque ut cor- pus de refta B c de- clinet & pergat in « le^a BC. Ipfi BS paralteh agatur c C, occurrens B C in C ; & compteta fecnnda tempons parte» corpus (per Legum Corol. i. J reperietur in C,iik eodetni m;^- — PRINCIPIA MATHEMATICA. ^ eodem plano cam triangulo ASB. Jange SC\ & triangulum SBC^ Ltitit : obparallelas SB.Cc^ &qvaAe crit triaoguk) SBc, atque adeo etiam ^****^*^ rriangulo SAB. Simili argumento fi yis centripeta fucceffive aaat ia Cf ^y Ef &c. faciens ut corpus fiogulis temporis particulis un^ gulas defcribat reftas C©, T>Ej EF^ &c. jacebunt hae omnes ia eodem pbno ; & triangulum SCD triangulo SBC^ & SDElpCi SCT)^ & SEFipCi Su^E «quale erit. iEqualibus igitur tempo- ribus squales are£ io ptaoo immotodefcribuncur: & componendo». funt arearum funjma quavis S AT> S yS j1 FS\nt^v fe,ut funttem- pora defcriptionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum; & eorumultimaperimeter AT>Fj (pei; Corollarium quartum Lemmatis tertii^ erit linea curva: adeoque vis centripeta , qua corpus a tangente nujus curv» perpetuo retra- hitar , aget indefinenter ; areae veroqusvis defcriptge S ADS. S AFS temporibus defcriptionum femper proportionales , erunt ilfdem tennporibus in hoc cafu proportionales. ^E.^. Corol. I. Velocitas corporis in centrum immobile attrafti efl in fpatiis non refifientibus reciproce ut perpendiculum a centroilloin Orbis tangentem rediliheam demifium. Eft enim velocitas in locis illis Aj ByC,7)yEy ut funt bafes aBqualium triangulorum AB, BCi CDyT^EfEFi & has bafes funt reciproce ut perpendicula in ipfas demifla. Corol. %. Si arcuum duorum squalibus temporibus in fpatiis oon refiftentibus ab eodem corpore fucceflive defcriptorum chordae AB , B C compleantur in parallelogrammum ABCV^ & hujus diagona* lis B V in ea pofitiooe quam ultimo habet ubi arcus illi io iofioi^ tum dimiouuotur , producatur utrinque ; traofibit eadem per cen* trum virium. Corol. 3 Si arcuum aBqualibus temporibus io fpatiis ooo refiften* tibus defcriptorum chordaB AB. BCzc fDE, ^i^compleaotur in parallelogramma ABCV , 2) E FZ ; vires \vi B Sc E funt adinvi- cem in ultima ratione diagonalium BV^ EZ^ ubi arcus ifti ininfi^- oitum diminuuotur. Nam corporis motus BC & E F compoouo* turCper LegumCoroI. i.) ex motibus BcjBV & Ef^EZ: atqui BV& EZ ipfis Cc & Ffxquzles , io Demooftratiooe Propofitio- nis hujus generabantur ab impulfibus vis centripetas in B&-£,ideo* que funt his impulfibus proportionales. Coro/. 4. Vires quibus corpora quaelibet in fpatiis non refiftenti- bus a motibus reftilineis retrahuntur ac detorquentur in orbes cur- yos font inter fe ut arcuum xqualibus temporibus defcriptorum fagittaD illas quas convergunt ad centrum virium , & cbordas bifecanc E X ubi "I^ PHlLOSOPHIiE NATURALIS Dt MoTo Qbi arcus ilii in infinitam diminuuntur. Nani hsB fagittz funt fe* goRPOAUMjjjj^j diagonalium de quibus egimus in Corollario teriio. CoroL S' Ideoque vires esedem funt ad vim gravitatis , ut hx fa- gitt£e ad fagittas horizonti perpendiculares arcuum Parabolicorum quos proje^lia eodem tempore defcribunt. Corol. 6. Eadem omnia obtinent per Legum Corol. i v , ubt plana in quibus corpora moventur , una cum centris virium qus in ipfis iita funt , non quiefcunt > fed moventur uniformiter in diredum. PROPOSITIOII. THEOREMA n. Girpus omne , quod movefur iu linea aftqua curva in plano aefcripta , §f radio duBo ad punBum vel immobile , vel motu reBiiinea uniformiter progrediens , defcrihit areas circa punBum illud temporibus proportionales , urgetur a vi centripeta tendente ad idem. purmum. V Cas. I. Nam corpiis omne qaod movetur ia linea curva, detor- Suetur de curiii redilineo per vim aliquam in ipfum agentem ( per .eg. I.) £t vis illa qua corpus de curfu redilineo detorquetur > & cogitur triangula quam minima «f^^, «f^C, SCD^ &c. circa pun- ^um immobile S temporibus sBqualibus aequalia defcribere , agit in loco B fecundum lineam parallelam ipil cC (^ per Prop. xl. Lib. \ Elem. & Leg. ii. ) hoc ell, fecundum lineam ^«f ;& in locoCfe- cundum lineam ipil dT^ parallelam , hoc efi.fecundum lineam SC^ &c. Agit ergo iemper fecundum lineas tendentes ad punAum illud immobile^y. ^E.^D. Cms. X. Et^ per Legum CoroIIarium quintum , perinde eft iive quiefcat fuperficies in qua Corpus deicribit figuram redilineam , fl- ve moveatur eadem una cum corpore , figura defcripta , & pun6lo fuo S uniformiter in diredum. Corol. I. In Spatiis vel Mediis non reilflentibus , fi areae non funt temporibus proportionales > vires non tendunt ad concurfum radio- rum; fed inde declinant in confequentia ieu verfus plagam inquam fit motus , ii modo arearum defcnptio acceleratur : iin retardatur » declinant in antecedentia. CoroL %. In Mediis etiam reiiilentibus, fi arearum defcriptio ac* celeratur , virium dirediones declinant a concurfu radiorum verfus plagam in quam fit motus. Scholium. PRINCIPIA MATHEMATICA. 37 Scholium. PrimuS) Urgeri potefl corpus a vi centripeta compofita ex pluribus viri- bus. In hoc cafu fenfus Propofitionis efl , quod vis illa qu£ ex omnibus componitur » tendic ad pun6^um S. Porro fi vis aliqua a^ gat perpetuo (ecundum tineam fuperficiei defcripts perpendicula- rem ; hzc faciet ut corpus defieAatur a plano fui motus ; fed quait* titatem fuperficiei defcripts nec augebit nec minuet , & propterea in compofitione virium negligenda eft. PROPOSITIO III. THEOREMA m. Corpus omne , quod radio ad centrum corporh alterius utcun^ que moti duBo defcribit areas circa centrum illud tempo^ rtbus proportionales , urgetur vi compojita ex vi centripeta tendente adcorpus tllud alterum^ ^ ex vi omni accelera^ trice qua corpus illud akerum urgetur. Sif corpus primum L & corpus alterum Ti & ( per LegumCo^ rol. VI. ) fi vi nova , quae aequalis & contraria fit illi qua corpus al- ^ terum T^urgetur, urgeatur corpus utrumquefecundumlineasparal* lelas ; perget corpus primum L defcribere circa corpus alterum 7" a* reas eafdem ac prius: vis autem, qua corpus alterum Turgebatur, jam deftruetur per vim fibi aequalem & contrariam ; & propterea (per Leg. i. ) corpus illud alterum TTibimet ipfi jam reliftum vel quiefcet vel movebitur uniformiter in direftum : & corpus primum L urgente differentia virium , id efl , urgente vi reliqua perget a- reas temporibus proportionales circa corpus alterum 7* defcribcre, Tendit igitur ( per Theor. ir. ) difFerentia virium ad corpus ilhxd alterum 2^ut centrum. ^E.T>. Corol. I. Hinc i\ corpus unum L radio ad atterum T^dufto de- fcribit areas temporibus proportionales ; atque de vi tota {^vq fim- plici , five ex viribus pluribus, juxtaLegum Corollarium fecundum^ compofita,) cj,ua corpus prius Z/urgetur,fubducatur Tper idem Le- gum Corollarium ) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur: vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alte- rum T ut centrum. Corol. 2. Et , fi areae illae funt temporibus quamproxime pr opor- tionales > vis reliqua tendet ad corpus alterum T quamproxime. Corol. 3. Et vice verfa » fi vis rcliqua. tendit quamproxime ad E 3 corpu& it PHILOSOPHliE NATURALIS- DIMofa corpusalterumT', eruntareae ilis temporibus quamproxime pro- CoafORUMportionales. . Corol. 4. Si corpus L radio ad alterum corpus T dudo defcri- bit areas qu»t cum temporibus collat», funt valde insg^uales; & corpus illud alterum T vel quiefcit vel movetur uniformiter in di« re^lum : adio vis centripets ad corpus illud alterum T tendentis t •vei nuUa eil, vel mifcetur & componitur cum adionibus admodum potentibus aliarum virium : Vifque tota ex omnibus , fi plures funt viresy compoiita , ad aliud ( five immobile fivemobile) centrum dirigitur. Idem obtinet , ubi corpus alterum motu quocunquemo^ vetur ; fi 'modo vis centripeta fumatur , quae reilat poH fubdudio- nem vis totius in corpus illud alterum jTagentis. % Scbolium. * Qudniam squabilis arearum defcriptio Index efl Centri , quod sf]& illa refpicit aua corpus maxime afficitur , quaque retrahitur 4 motu reftilineo oc in orbita fua retinetur : quidni ufurpemus in fe- quentibus d^quabilem arearum defcriptionem , ut Indicem Centri circum qubd motus omnis circularis in fpatiis liberis peragitur? PROPOSITIO IV. THEOREMA IV. Corporum , qua diverfos ctrculos aquaVtlt motu defcrthunt ^ vires centripetas ad centra eorundem circulorum tendere ; ^ ^JT^ i*tf^^ fi 9 tit funt arcuum ftmul defcriptorum qua^^ drata appltcata ad circulorum radios. Tendunt hae vires ad centra circulorum per Prop, 11. & Corol. II. Prop. I ; & funt inter fe ut arcuum aequalibus temporibus auam minimis defcriptorum finus verfi per Corol. iv. Prop. i; hoceli,ut quadrata arcuum eorundem ad diametros circulorum applicata per Lem. VII: & propterea , cum hiarcus fint ut arcus temporibus quibufvis squalibus defcripti , & diametri fint ut eorum radii ; vi- res erunc ut arcuum quorumvis fimul defcriptorum quadrata appli- cata ad radios circulorum. ^ E. D. Corol. I. Igitur , cum arcus illi fint ut velocitates corporum» vi- res centripets funt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum : hoc efl , ut cum Geometris loquar , vires funt in ra* tione compofita ex duplicata ratione velocitatum direde & ratiooae fimplici radiorum inverfe. Coroi. PRINCIPIA MATHEMATICA. y^ Cor^. %. Et, cnm temporaperiodicafint inrationecompofitaex. LiBVit ^ tadone radiorum direde & ratione velocitatum inverfe , vires ^kiumZb centripets funt reciprooe ut quadrata temporum periodicorum applicata ad circulorum radios ; hoc eft , in ratione compofita ex ratione radiorum direde & ratione duplicata temporum periodi-^ corura inverfe, Corol. 3. Unde , fi tempora periodica aequentur & propterea velocitates fint ut radii ; erunc etiam vires centripetaB ut radii : ^ & contra. CaroL 4. Si & tempora periodica & velocitates fint in ratione fubduplicata radiorum ; squales erunt vires centripetae inter fe: & contra. Orol. 5. Si tempora periodica funt ut radii & propterea veloci^* tfltes a^quales ; vires centripets erant reciproce ut radii : & contra. CoroL 6. Si tempora periodica fint in ratione feiquiplicata radior rum & propterea velocitaces reciproce in radiorum ratione fubdu-» plicata ; vires centripets& erunt reciproce ut quadrata radiorum; & contra. Corol. 7. Et univerfaliter , fi tempus periodicum fit ut Radii R poteAas qua^ibet Rr , &, propterea velocitats reciproce ut Radii poteftas i?*^' ; erit vis centripeta reciproce ut Radii potefbs iZ""' ; & contra. Corol. 8. ELadem omnia de temporibus^ velocitatibus^ & viribns^ quibus corpora fimiles figurarum quarumcunque fimilium , centra- que in figuris illis fimiliter pofita habentium » parteis defcribunt,. confequuntur ex Demonftratione praecedentium ad hofce cafus ap^, plicata. Applicatur autem fubftituendo aequabilem arearum defcri-» ptionetfi pro aequabili motu y & diftantias corporum a centris pro* radiis uftirpando. CoroL 9. Ex eadem demonftratione confequitur etiam ; quod ar- cus, quem corpus in circulo data vi centfipeta uniformiter revol- vendo tempore quovis defcribit , medius eft proportionalis inter diametrum circuli, & defcenfum corporis eadem datavieodemqu» tempore cadendo confedum. Schodium. Cafas Corollarii fexti obtinet in cprporibus coeleftibus (ot fe* orSim collegerunt etiatn noilrates JVrennus y Hookius & Hallaus^ & propterea qus fpedant ad vim centripetam decrefcentem in du' plicata racione diHanciaium a centris » decrevi fuiius in. fequentibus; ezponerc;. ' 4P PHILOSOPHIiE NATURALIS De Motv Porro prscedentis propofitionis & coroUariorum ejus betieficio l CowoRUM^^jjjgjf^j. etiam proportio vis centripetas ad viin quamlibet notam , qualis eft ea Gravitatis. Nam fi corpus in circulo Terras concen- , trico vi gravitatis fuas revolvatur ^ haec gravitas eft ipfius vis centri- ' peta. Datur autem , ex defcenfu gravium , & tempus revolutionis unius , & arcus dato quovis tempore defcriptus , per hujus Corol. rx. Et hujufmodi propofitionibus Hugenius^ in eximio fuo Trafta- tu de Harologio Ofiillatorio , vim gravitatis cum revolventium viri- bus centrifugis contulit. Demonftrari etiam pofTunt praDcedentia in hunc modum. In cir- culo quovis defcribi intelligatur Polygonum laterum quotcunque. £t fi corpus , in polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos (mgulos a circulo refledatur ; vis qua finguJis re- flexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas : adeoque fnmma virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus reflexionum conjun6lim : hoc eft ( fi polygonum detur fpecie) uc longitudo dato illo tempore defcripta & longitudo eadem applicata ad Radium circuli ; id eft , ut quadratum longitudinis illius appli- catum ad Radium : adeoque , fi polygonutii lateribus infinice dimi* nutis coincidat cum circulo , ut quadratum arcus dato tempore de- fcripti applicatum ad radium. Hasc eft vis centrifuga , qua corpus urget circulum : & huic squalis eft vis contraria , qua circulus continuo repellit corpus centrum verfus, PROPOSITIO V. PROBLEMA I. Data quthufcunque m locts velocitate , qua corpus figuram ^ datam virthus ad commune aliquod centrum tendentibus defcrthit , centrum illud invenire, Figuram defcriptam tangant redae' tres TT, T QV, VR , in punttis totidem 'P,^, R, concurrentes in T&f^. Ad tangcntes crigantur perpendicula P^. ^B, RC, velocitati bus corporis in punftis illis tP, ^, ^, a quibus eriguntur reciproce proportionalia ; id eft, ita ut fitlf*^ad ^B , ut velocitas in ^ad velocitatem in y , & g ^ ad ^ C ut veiocitas in R ad velocitatem in ^. Per perpendiculorum terminos ABtCzd angulos redos ducantur ^2) . 7)BE, E C concurrenies inD&EiEt afta; T2>, FE concur- rent in centro qusfito «5*. Nam 1 t>ftmCIt»IA MATHEMATICA. 41 l^im perpendicQla a ceintro S in ttngentes T T, gT demifla (per Corol. 1 Prop. i.) fant reci- proce ut Telocitates corporis in punctis T& ^i adeoque per conftru^lionem ut perpendicula i^^, ^^direae, id eft utper- pendicala a pundo^ in tangen- ■tesdemifla. Unde facile colligi- tar quod punda S, 1), T» funt in una reda. Et fimili argamento ponda S, Eyyfunt etiam in una reAa; & propterea centrum Sih concurfu reaarum T'^) , /^^ verfatur. ^E.^. PROPOSITIO VI. THEOREMA V. Si corpus m fpatto non rejifiente circa centrum immobile in Orbe quocunque revolvatur , ©* arcum quenwis jamjam nafcerttem tempore quam minimo defcrtbat , ^ fagttta ar^us dttci inteUigatur qua chordam bifecet , ^ produ- Ba tranfeat per centrum virium : ^rit vis centripeta in medio arcus , ut fagttta direBe &f tempus bis imerfe. Nam fagitta dato tempore eft ut vis (per Corol. 4. Prop.i , ) & augen- do tempus in ratione cjuavis , ob audum arcum in eademrationefa- gitta augetur in ratione illa duplicata C per Corol. i & 3. Lem. xi. ) ad- eoque eft ut vis femel & tempus bis. Sabducatur duplicata ratio tempo- ris utrinode, & fiet vis ut fagitta direfte & tempus bis inverfe. ^E.T). Idem racile demonftratur etiam per Corol. 4. Lem.x. Corol. 1. Si corpus T revolvendo , circa cencrum S defcribat lineam curvam Ji^P^* tangat vero refta Z T -R cOrvam illam in pundo quovis T f & 4d tangentem unao ^ a]g;atur \r diftariti«..j!PparalleIa ,. ac demittatur ^T perpendicularis^ad _ doftantiam iHam ST : vis cenfri- .y peta crit Tccipfoce ut folidum ^ ST^^uad.y^quad. ^^^^^^ folidilllius ea femper fumatur quan- titas, qua uliimo fit ubi coeunt pun£la tP & g; Nam ^R aequalis F eft LiBaa. Primvs. s 4» PHILOSOPHI/E NATURAJvlS^: Di MoTu eft fagitta dupli arcus ^? , in cujas mediocft 7, & daplavi tt^n- ConpoRUMg^j y^cp five JPxgf ,tempori quo arcus ifteduplusdefcribitufr proporcionale efl , ideoque pro temporis exponente fcribi poteil. CorpL X. Eodem argomentovisc^jatripetaeftreciproceut folidum — (J^"^ f fi modo iJT^perpendiculum fita cchtrovirium inOr- bistangentemyj^demiffum. NamreftanguJa JTX ^T&STy.^T (equantur. Coroi: 3. Si Orbis vel circulus efl, vel angulumconta^uscumcir- culo quAin minimum continet, eandem haben$ curvaturam eundem* ue radium curvaturae ad punftum coota^s y , &: fi ^ ^cliorda circuli hujus a corpore per centrum virium a^rerit vis centri* peta reciproce ut folidum Jr^ X? rcft. Nam TFeH ^^S4' Corol. 4. lifdem pofitis, eft vis centripeta ut velocitas bisdirefte, & chorda illa inverfe. Nam velocitas eft reciproce ut perpendicu* lum ATT^per Corol i Prop. i. CoroL f. Hinc fi detur figura qusvis curvilinea k^T^^^ & iQ ea detur etiam punclum S ad cjuod vis centripeta perpetuo dirigitur, inveniri potcft lex vis centripetaB , qua corpus quodvis T a curfu reftilineo perpetuo retraftum in figuras illius pcrimetro detinebitur can^que revolvendo dcCcribet. Nimirum computaadum eft vel fo- lidum cjif ^ vetfolidum STqyc^TV hiiic vi reciproce pro- portionale. Ejus rei dabimus exempla in Problematis fequentibus. PROPOSITIO VII. PROBLEMA II. Gyretur corpus tn ctrcumfereftUa CtrcuTt , requtntur Lex vh centrtpeta tendentts ad punBum quodcunque dattan. Efto Circuli circumferentia V §UP c/tf, punftum datum ad quod vis ceu ad centrura fuum tendit^^F.corpus in circumferen- tialatum?! locus proximtis in quem movebitur ^, & ctrculi tangens ad locum priorem Pi? i2r. Pef pun^um S ducatur chorda, y F, & afta circuli diametro VA jungaiuryfy ,& ad jydemitta- tur perpendiculum ^r, quod produftum occurrat tangenti ^R in ac PRINCIPIA MATHEMATICA. 43 «c daBi.qne per ppn^m ^iganirXi^.qa^ ipii «$*? parallela Libek Ct & iiccix™ tiite drculo ih i tui» tangenti y Zin i?. Et P »«>*»«. ob fimilia triangula Z ^R, ZTT, VT ^; erit -R ? f«W. hoc cft ^i? // ad ^Tquai. ut -R.uMid eft , ut ^y 5P X i? P j^, ad ^fYTub * ^*^^ Cmiiiz triP angula ytyC, riPif^) adJGrw^. C^^/f 3. Vis, qua corpus ? in Orbe quocunque circnm virium^ c.entruin 4$* revol vitur , . eft ad vim qua corpus idem 2^in eodem or- be eodemque tempore periodico circum aliud quodvis virium centrum R revolvi poteft, ut STXRT^ contentum utiquefub diftantia corporis a primo virium centro S & quadrato diftantis ejus a iecundo virium cencro Ji ad cobum reA« SG qus a pri- mo virium centro S ad orbis tangentem 7G ducitur, & corpo- rjis a fecundo virium centro diftantiaB R P parallela e(L Nam vi* res in hoc orbe, ad ejus pun6ium quodvis^P, esidem funt acia Circulo ejufdem curvatura^. PROPOSITIO Vnt PRO&LEMA IHv Moveatur corpus in circulo P Q. A .* ad hunc effeEium requi^ r0ur Lex^ vis ce»fripef^e iendentis ad punBum adeo lon- ginquumS , ut linea omnes p S,, R,.S ad i^tduHa.^ pro pa-* rallelis haberi poj/int, A Circnli centro C agatur fetnidiametiBr C ^ parallelas iftas per- pendiculariter fecans in Ol/ ^ iSTj & jungatuF GT. Ob nrailia trian- gulaCPA/, TZT ScRZ^tHi CTq ad TMq^ ut "P Rq ad §Tq & e3C natura Circuli SPa^ squale eft rcftan^ulo ^Ry.RNX^N{i' ve coeuntibus punftis *P , ^reftan- gulo ^R Xx*PM. Ergo ell CTj, SidTM quad. ut ^J? X i ^ t^WT ad QTquad. adeoqpe J^S-- Eft orgo (per Corol x & 5. Propt v.i. ) vis centripeta reciproce at —V^^^-^^^ ^^ °^«^^^* '■*^*°°* determinata ^^]) r«ciproce ut y ^ cuk- §^ E. I. Idem facile colligitur euam ex Propclitione praecedente- Scbo' PRINCIPIA MiSkTHEMATICAv +5. - Sektfnm, . Pnmos^ £t fimili argumento corpus movebitur in EUipfi vel etiam in Hyperbola vel Parabola^ vi centripeta quae Ct reciproce ut cu- bus ordinatim appiicatse ad centrum virium maxime longinquum tendentis. PROPOSITIO IX. PROBLEMA IV. Gyretur corpus in Sptrali P Ct S fecante radios omnes S P , SQi ^c. in anguh dato: w- qtmitur Lex^ vis centripeta , Undentis ad centrum Spiralis. Detur anguhas indefinite parvus ^ S &j & eb datos omnes angUr los dabitur fpeciq. figura ST^RT. Ergo datur ratio^^^eftque '^ (^ nt ^7; hoc eft !ut SP. Mlttetur jam utcunque angulus PS^r, & refta ^jk angulum cjontaflus ^TR fubtendens mutabitur (per Lemma xi. y HMiupIicata ratiooe ipfius P R vel ^T. Ergo manebit '^ f.^ ' eadem quae prius , hoc eft ut S T. Quare q o cflut ST cub. adeoque (per Corol i & 5. Prop. v l ) vis centriper la eft. reciproce ut cubus diftantiaeL S T. ^E. I. Idem aliter. PerpeodicuIum.^fT^in tangentem demifTum., & circuli Spiralem tangentis chorda.?^funt ad altitudinem •fP in datis rationibus.f ideoque S'? cub. eft Mi Srqy.TV, hoc eft (per Corol. 3^5 Prop. Ti.) rjedproce ut.vis centripeta.. LEMMA Xn. Paratteldgramma ,onmia , ctrca data Elltpfeos vel Hyperbo- ke diametros qua/vis coftju^atas defcrtpta , ejfe inter Jt' dqualia» €onftat*ez Conicis. F 3 PR-Q^ BcMoTU COEPORUM 4< PHILOSOPHI^ NATURALIS PROPOSITIO X. PROBLEMA V. Qyrttur corpus m Ettipp: rtquirtUtr lex vis centripeta tett' dentis ad centrum ElVtpfeos^ Sunto CAj C^femiaxes Ellipfeos; GT^^DK diamctri conju- gat£ ; T Fy §1$ perpendicula ad diametros ; ^v ordinatim appli- cata ad diametrum G ?} & fi compleatur parallelogrammum ^vy-R,eritrexCo- mcis) y vGad Tv qttad. \xtTC quad. ad C!D^<«^.&(Qbrimilia triatigula ^ f , TCF) §>v quad. eft ad ^t quad. ut ? C quad. ad y F quad. & conjun- 6lis rationibus ,TvG ad ^t quad, ut y C quad tiOi CD quad, &TCquad zd T F quad. id eft , vG ^d ^i^ ufPC luaJ. Tv ' «d — ^;— — 2: Scribe §J? pro ? v & ( per Lemma xn. ) 5 CX CJ pro CD XTF, nec non , punftis ? & ^ coeuntibus , i y C pro %;G,& duftis extremis & mediis infemutuo,fiet^^^^t^^^^ quale isr — ^E^ ergo(perCorol.5.Prop.vi.) viscentri- ce yc pcta reciproce ut ^ ^^ — ^ljd eft(ob datum t5Cj'XC-/f^) reciproce ut -^^ ; hoc eft, direfte ut diftantia TC. §^E.I> Idem aliter. In PG ab altera parte pun^i t pofita intelligatur tu xqualis ipfi / V ; deinde cape u V qus fit ad v C ut eft D Cquad. ad P C quai. £t quoniam ex Conicis eft §lv quid. ad ?vG, ut 2X7 quad. ad TCquad: erit ^v ^ W. squale jP v X » i^. Unde quadratumchor- dx daarcusyg^erit aBqualereftangulo ^y^j adeoqueCirculusqui LiBiJt taDgit SeAionem Conicam in y & tranfit per punftum^,tranfibit P*^*** ^*- eriam per punftum /^. Coeant punfta y & ^, & hic circulus ejuf- dem erit curvaturae^ cum ieftione conica in tP, &y^aBqualis erit ' tp/> ' Proinde vis qua corpus T in Ellipfi revolvitur erit reci- proce ut \cpQ^^ in TFq (per Corol. 3. Prop. vr.) hoc cft (ob da- ^ tum 2 © C j' in fFq ) direae ut P C. ^ E. I. Corot. 1. Eft igitur vis ut diftantia corporis a centro Ellipfeos: & viciffim , fi vis fit ut diftantia , moyehitur corpus in Ellipfi cen- trum habente in ceniro virium , aut forte in circulo,. in quem utique Ellipfis migrare poteft. Corol. X. Et aequalia erunt revolutionum in Ellipfibus univerfis circum centrum idem fadarum periodica tempora, Nam tera- pora illa in EHipfibus fimilibus «qualia funt per Corol. 3. & 8, Prop. IV: in EUipfibus autem communem habentibus axem ma- jorem» funt ad invicem ut Ellipfeon areae totae direfte & area- rum particulas fimul defcriptae inverfe ; id eft ; ut axes minores dire- fte &corporum velocitates in verticibus principalibus inverfe ; hoc eft , ut ases illi minores dired^e & ordinatim applicataB ad axesalteros. inyerfe; & propierea (ob «qualiiatem rationum direftarum &in- verfarum^ in ratiohe SBqualitatis. r Scholium. SiEIlipfis centro in infinitum abeunte vertatur inParabolam> corpus movebitur in hac Parabola , & vis ad centrum infinite di- ftans jam tendtns evadet aequabilis. Hoc eftTheorema Gtf///if/, £t fi bqAi/l^(^io Parabolica ., incIina(ione plani ad conum fedum mutata, v^tatur in Hyperbolam^ movebitur corpus in hujus pe- rimetro, vi ceo^beta: in c^nwlfu verfa. Et quemadmodum in Circulo vel Elnpfi,* fi^ vires tendunt ad centrum figuras inAb- fcififa pofitum , hae vires augendo vel diminuendo Ordinatas in ratione quacunque data , vel etiam mutando angulum inclinationis Ordinatarum 4d AbfcinTam, femper augentur vel diminuuntur in ratione diftant^arum a centro , fi modo tempora periodica ma- neant aaqualia: fic ettam in figuris univerfis , fi Ordinats augean- tur vel dimifiuantur in ratione quacunque data, vel angulus ordi- naiioiiis utcunque mutetur , manente tempore periodico ; vires ad centriim quodcunque in AbfcifiTa pofitum tendentes a bini^quibuf- vis figutarum locis, ad quae terminantur Ordinatae correfpondenti- bus Abfciflarmn punftis infiftentes , augeniur vel diminuuntur in ratiooe dift^iiuiarum a ceniro^ SECTIO 4« t»HILOSOPHIiE NATURALIS •COAPORUU S E C T I O III. De motu Corporum m ComcU SeBionihus exceniricis. PROPOSITIO XI. PROBLEMA VL Revohatur corpus in Ellipfi: requiritur Lex vis 'centripet^ tendentis ad umbilicum EUipfeos» Efto Ellipfeos umbilicus .$•. Agatur S 'P fecans Ellipfeos tum diametrum 'D Kva E , tum ordinatim applicatam ^v in X , & compleatur parallelogrammum ^xT R. Patet E P aequa- lem efrefemiaxi ma- jori JC , eo quod adla ab altero Ellip- feos umbifico H li- nea HI ipfi E C pa- raliela , ( ob asquales CS y CH) aequentuT ESyEIyZ^tOMXET femifumma fit ipfarum TS.TIMt^ (ob parallelasi7/,y^& angulos xquales ITR^ Hy^)ipfarum TS, 'PHy quae conjunftim azem totum x -^Cad- ae^uant. M S T de- mittatur perpendicu- laris §7*, & Ellipfeos latere refto principali (feu ^^ 'Odifto L, eriiLx^RidLXTvm&R^dTv, id eft ut y iS fea y/CadtPC; &Lxy vadi.pun6lis,^&!Pcoeunitibus,eftratio«quaIita> liT; & ^xquad. feu ^v quad. eft ad ^Tquad. nt ET quad.ndT J*' quadti^eR ut CAquad. ad T FquadJave ( per Lem.xii.) ut C*Z> quad. ad CB quad. Et conjunAis hisomnibus rationibus, Lyi^J^ iit ad ^T quad. ut ACy. LxTCq. X CD q. (eu x C B ^ y.TCq. XC©f ad PCxGvXC2)^.XC5y.fiveut iTC^dGx/ Se<,^R&^Tqtuui. seqaantur. Docantar haec «qua- PKiMoiu Bain^&fieti^xJy^.aqaale^^^^-Ergo (perCo- rol.i & 5 Prop. VI. ) vis centripeta reciproce efivLtLxSTf. Id eft , reciproce in ratione 'dapticata diftantiae S^. ^^-^- Idem alHer, Cam vis ad centram Ellipfeos tendens qua corpas ^ in Eliipfi illa revoWi poteft , fie < per Corol. 1 Pcop. x)m\CT diftantia cor- poris ab Ellipfeos centro C; dacatar CE parallela EUipfeos tangen- ti^PRi & vis qaa corpas idem T , circam aliud qaodvis EUipfeos pnnAam S revolvi foteft, HCE ScTS concarrant in E , erit at jy • ( per Coroi K.Prop- vn,) hoc eft , fi punftum S fit umbili- cus Ellipfeos , adeociae ^E detur , at 5" y ^ reciproce. ^ E. I. Eladem brevitate i]ua tii^uximas Problema quintum ad Para- bolam , & Hyperbobm , lic^t idem hic facere : verum ob digni- tatem Problematis & ufum ej^ in fequentibus, non pigebit ca- ftts ceteros demonftratione confirmare. « PRCHPoilTIO XII. NpROBLEMA VH. Moveatur colym ik ffyperhola : r^uiritmr Lex vis centri' peta tendetHts dd ur^ilicum jpguht, Sunto CjI, (;5 femi-a3?es ^yperbola; 'PC, i^T^D^ametri con- ji:^ts ; TF, ^t perpendioUla a4 diametros ; '& ^;efordinatim ap- phcata ad diametrain C T. X^gator S jP fecatiPcum diametrum ^JCinE, tumordifadm apptlcatan^ ^x' in .;r , & compleatur pa- rallelogrammam ^RTj^, Patet £ T sqiuiem efi^iicmigxi tranf- verfo jfC, eo quod-> z&m -ab altero Hyperbols umbilico H linea HI ipG. £CpanuIela, obaequales CS, CH, squentur ES, EIi adeo VLi ET femidifferei^tia fit ipfarum 7* S, TJ, id eft ( ob pa- rallelas IH, TR & an|uIos aequales ITR, HTZ) ipfarumPJ*, T H, qaarum difTei^tia axem totum iAC\6ai^^. Ad ST de- nuttatar perpendicularis ^T. Et Hyperbola^ Jatere redo princi- pali (fen^^^jdiao Zr,erit Lx.^R ad LxTv ut^R ad Tv, id cft , ut y £ feu «^Cad ?C; EtLxTv ad Gv9 mL ad G ' Gvi So PHiL0SOi?Hf^ J?ATl>R^liE5i DeMotw GVfSi GvT ad ^t/f«»(f », .« (iserCorol «i. ^°*"^Leiii. vn. ) ^yqudd. ad-^* y»ji. punais ^& ^. cdeuntibus fit ratio aqualitatis ; & ^* ^«i^/. feu ^v ^«f, td CBqi. &. conjuoflis hts-oninibtt» rationrbus- Z/X^J^fitad '^Tq. ut y/CxXxyCyXC©^fet^zC5^XSPC^XC2)^ a4 'C X Cv X CT>qY.CB quad. five ut 2 ? C ad , -hoc eft , ob datam 2*£,.reciproceut.J*Py» ^^-^' . . •>: , " Eodem modo .demondratur quod corpus , bac vi centripeta in centrifugam verfa, movebitur in Hyperbola conjagata. LEMMA m t * Jjatus re^t/m ParaboLe. ad vertkem quermiis pertiruHS , efi quddrupium difiantia verticis illius ab umbilico figura^Vgi* tet cz CoDicis. - "LEMMA XIV. PerpendKulum quod ab ■umbilico Parabo/a adtangentem efug Jemiftitur ,• mediurh eft proporitonale inter dtfiantias um^ Sthci^a pun&o cioita^im^ a.vertice .principali figura, Sit enim ^^ Parabolap S umbilicus ejus , ji veftez principt- lis T pun^um contaftus , T O ordinatim ap- plicata ad dia- meirum prin- cipalem ■, TM taagens diame- tro principali occurren^iriA/, & SN, Hnea ^-^ —- ^ ^ perpendicularis ab umbfiico in tangentem. Jdngatur j4N, & ob squales xMS & J5P, C^AT & N^f ^^ & ^O, parallelae erunt reft® j4 N Sc OT\ & incfe triang^ulum Sjf^JSt reftangulum erit ad :if & fimile trr- «ngtilis «qoalibus SNOit, ^MtF. ttff> ? C©a?o«wM qu« ab umbilicoinipfampefpendicularis eft , incidit io reftam^^, qus Parabnolam tangit in'vertice principalji. • « PROPQSITia Xni PROBLEMA VIII. Moveatur carpus, in pertmetro Pardhola :.' rejuiritur Lex vis centripeta tendentis ad umbiltcum hujusfigura, Maneat conftruftio Lemmaiis , fitque ycorpusinperimetroPa- rabolaB, &.a loco^.m quem corpus proximemovetur,age ipfii'2> parallelam ^R & perpendiculartm .®r, nec non ^ v tangentipa- rallelam & occurremetn tum diametro riP G in v , tum diftantia ST m f • >m ob firoilia triangula Txv, STM& sequalia unius latera S M, jy , «qualia funt alterius latera Tx feu ^j? & Tv Sed, ex Conicis , quadratum ordinatae^ ©^t^aBqualeeftrefengulofub latere reao&fegmentodiametri P v , id eft ( per Lem XlII f reftan- j.ulo4y^><^P^.feu4yj;x^/e; & punais y&^c^^^^^^ tio ^v ad ^x (pcr Corol. x Lcm. vn,) fit tatio squaUtatis. Ergo ^xfuaa,eom ■ ' * cafu , aequale cift reftangulo- " 4 y «y X ^R: * Eftautem.(ob. ^ fimilia- trian- 3^/^ '*' /^v'" gttia ^*r,, /r^ ^ ^ ad &Tq. ut y.y5: adi^isr^. hoc cft ( per ^ i?ad s o Corol I. Lem. xi V. ) ut 7* iT ad .? A\ id eft ut 4 7» .T x 4 J -*# X g,^ , &, inde ( per Prop. ix. Lib. v. Elem. ) ^ 4«SI^X^i? asquaotux. Dncaatur hsc aequalia in-£^, &fiet — y^^-^. aequalc STqXiS^:. & propterea ( per Cbrol. i& ^ Prop;vi. ) vis centripeta eftredproce ut «T y^.x^ SA, ideft, ob 4atam 4>Sui^ reciproce iq duplicata ratiooe diftaotiaB ST, ^.E,Z Corol. PRINCIPrA MATHBMATICA. f^ Cw/. n. Ex tribas BoviffioEiis Propofitionfbiis confequefts eft , Liber quod H corpus qoodyis .?.fecundum lineam quamvis redam TR^ Primus. qoacQnque cum velocitate exeat de loco P , & vi centripeta quaB fit feciproce proportionalis quadrato di.ftantis locorum a centro>fi* mul agitetur^ movebitur hoc corpus in aliqua fedionum Conica- rum umbilicum babente in centro virium ; & contra. Nam datis umbilico & punAo contaAus & pofitione tangentis , defcribi poteft feftio Conica qus curvaturam datam. ad pun^ium ilUid habebit. Datur autem curvatura ex data yi centripefa : & Orbes duo fe mu** tuo tangentes > eadem vi centripeta defcribi non pofTunt. Caroi. %. Si velocitas» quacum corpus exit de loco fuo T ^ ea fit 9 qua lineola 9^i? in minima afiqua temporis particula defcfibi poifit 9 & vis centripeta potis fit eodem tempore corpus idem mo^ vere per fpatium ^Ri movebitur hoc corpus in Conica aliqua fe«- ftione, cujuslaius reftum* principale eft quantitas illa "^^ qu^B ultimo fit ubi lioeorx TRy ^R in infinitum diminuuntur. Circu- lumin his Corollariis refero ad Eilipfin, & cafum excipio ubicor"* pus re^ defcendit ad..cei;itrum« PROPOSmO XIV. THEOREMA VI. • ■ - — ' Si- corpora flttra revolvaniur circa ctntram commune , Qf vn centrtpeta fit rectproce in duplscata ratione diRantia locorum a centro ^ dtco quod Orhium Latera reBa prin- eipalia Junt in duplicata ratione arearum quas corpora.y tadiis ad centrum duBisy eodem tempore defcribunK Nam, per Corol. x. Frop.xiii, Latus redutn L sequale edqaam titad "^* ?• qu£ultimofic ubi coeunt punda P&^ Sedlii minima^J?. dato tempore , eft' ut vis centripeta generans', hoc eft Cpcr Hypothefin ) ireciproce ut ST q. Ergo^^jJ eft ut Tq.V^S^q. hoc eft, latus redum L in duplicata ratione areae. CAroli ".'S'' f4 PHHLOSOPHIiE' T^ATORALIS CorpqIvki ^^^^' ^'**° Ellipfeos arca tota , eique proportiohale reaangntom fub axibus , eft in ratione compofita ex fubdupHcata ratione late- ris recH & ratione temporis perlodici. Namque area tota eft ut are« ^Ty,S P <\\x^ dato tempore deforibiturdudaintempusperiodicum. PROPOSITIO XV. THEOREMA Vri. Tt/dem pojitts ydko quodTempora pertodica m EUipJibus /uft$ in rattone /e/quiplicata majorum axium* Namque axis/tninor eft medius prbportionalis inter axem inajo- rem & latus redum ^ . atque adeo redangulum fub axibus efl in ra- tione compofita ex fubduplicata ratione kteris r^di & fefquiplicatn ratione axis majoris. Sed hoc re^langulum, per Gorollarium Prop. XIV. efl in ratione compofita ex fubduplicata ratione lateris reifti & ratione periodici temporis. Dematur utrobique fubduplicata rati^ Uteris redi ^ & manebit. fefquiplicata ratio majoris axis aequalis rationi periodici temporis. ^ E. tD. Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipfibus eadem ac in Circulis > quorum diametri ^equantur majoribus axibus EUipfeon* PROPOSITIO XVI. THEOREMA VIIL Tffdem poptis j ^ aBis ad corpora lineis reBis ^ qua ihidem tangant Orbitas , demiffifque ab umbilico communi ad has tangentes perpendicularihus : dico quod Velocitates corpo^ rum funt 'm ratione vompoftta exratione perpendicuUtum inverfe ^ fubduplicata ratione laterum reaorum prihd^ palium dire&e. Ab umbilico iJad tangentemP^ demitte perpendicUlum Sr :& veiocitas corporis SPerit reciprocein fubduplicata ratione quan- ^iutis ■'-i^ Nam velocitas illa eftut arcus. quam minimusP.^ ,in data temporis particula defcriptus , hoc efl ( per Lera. vii.) ut ■tangens TR» id eft ("ob proportionales 7R ad^r& 4$",? ad ST) 4it ^^-^* iive ut Jrreciproce & J^iPx^rdireae; eftque WtNCim- NfATttlSMATlcrA: STyC^JXt area m /obduplicati ^ tempore defcriptrr id eft,- pcr Prop. ver, LisEit lateris redi. ^E.^ P w m u s*. C»^ol. i: ■ Latera refta principalia lua ih ration.e compofitaex ^pHcata ratione perpehdictiloram & dnpiicata ratione yeloci- tatuai. Coroi.i^ Velocitates corporam in maximis & minimrs ab umbi- Kco communi . diilantiis , funt in ratione compofita ex ratiope dir ftantiarum inverfe & fubduplicata ratione laterum reftorunr prin- dpalium dlrefte. Nam perpendicula jam funt ipfae diftantiae: Ofv/. 3* Fdeoque velociras in Conica feftione, in maxitna' vel minima ab umbilico diflantia , efl ad velocitatem in Circulo in ^dem ^ centro diflantia^ in fubduplicata ratione lateris re<^i prin- cipalis ad duplam illam diflantiam; Carol. 4. Corporum in Ellipfibus gyrantium veldcitates in mcr diocri(>us diflantiis ab timbilica ^ommuni funt eaedem quas cor- poruiii gyrahtium in Circulis ad. eafdem diftantias;.hoc eft (.per Corol;6. Prop. iv.) reciproce in fubdupUcata ratione diftantiarura. Nam perpeBdicuIa jan> funt femi--axes minores; & biTuntut me- dnae proportionates inter diftantias & latera red?i* \ jCQmpon*tur haBc ratio inverfe cum fubdupiicata ratione laterum.reftorum,di- refte, & fiet ratio fubduplicata diftantiarum inverfe. Coroi. f. In eadem figura, vel etiam in figuris divcrfis, quarum latera 5« . PHILOSOPHIiE: NATURAUS Db Motxj latera Te6a principalia funt eqtiaKa 9 velocitas corporis efi re-^ CoiLyoRUM(^ip]-oee ut perpendiculum demifTum ab umbilico ad tanffentem. Corol 6. In Parabola , velocitas eft reciproce in fuoduplicata ratione diftantiae corporis ab umbilico figurs; in Ellipfi magis variatur, in Hyperbola minus, quam in hac ratione. .NamCpet Cprol. X. Lem. xiv.} perpendiculum demifliim ab umbilico ad tan- ;entem Parabolx efl in fubduplicata ratione diftantia^. In Hyper- »oIa perpendiculmn minus variatur, in EUipfi magis. Corol. 7. In Parabola velocitas corporis ad quamvis ab umbili- co difiantianli , efl ad velocitatem corporis revolventis in Circulo ad eandem a centro difiamiam ,. infubduplicata rafione numeri binarii ad unitatem ; in ElHpfi tpinor eft, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium ^undum , ve- locitas in vertice Parabols eft in hac ration& 9 & per CoroUaria fexta hujus & Propofitionis quarts , Tervatur eadetp proportio in omnibus diftaivtiis. Hitji/tf etiani in Par^ola velocitas ubique z* oualis efi: velociteti corporis revo^entis in Circulo ad dimidiamdi- Jtantiam, in Ellipfi minor eA , injHyperboIa major. CoroL 8. Velocitas^jnrantis in $e4ione qulvis Conica eft ad ve« locitatem gyrantis in CircUto in difttntia dimidii lateris re^li prin- cipaHs Seoionis , ut diftantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sedionis demifiuTn. Patet per CoroUariuni ^uintum. ^ &roJ. 9. Unde cum ( per Corol. 6. Prop. iv. ) veloatas gyran- tls in hoc Circulo fit ad velocitatem gyrantis in Oirculo quovis alio, reciproce in fubduplicata ratione diftantiarum ; fiet ez squo velodtas gyrantis in Conica fedione ad velocitatem gyrantis in Circulo in eadem diftantia^ ut media proportionalis inter diftan- tiani illam communem & femiflem principalis lateris re6li fedio« ras , ad perpendiculum ab umbiiico cotnmuni in tangentem fe« (tiottis demifium. PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IX. Pofito quod vis centripeta fit reciproce profortionaHs qua^ drato diflantia locorum a centro y & quoa vis illius quatt^ titas ahfolutafit cognita ; requiritur Linea quam corpus defcrihit , de loco dato ^ cum data velocitate ^ fecundum datam reBam e^ediens. Vis centripeta tendens ad pundum S ea fit qua corpns/ in or* bita quavis daxzpq gyretur » & cognofcatur hujus velocitasinlocQ^l PRINCIPIA MATHEMATICA. 57 Deloco y,fecttndmii Imeam y^,cxeat corpus T,cum daU velo- Libe» citate, & mox inde, cogente vi centripeta, defleetat illud inConi- *'»«>«o«. feftionem ^&. Hanc igitur refta TR taneet in T. Tangat itidem re plementum ad duos reftos fiat angulus RTH^ &. dabitur pofitione linea TH^ in qua umbilicus al- ter H locatur. De- miffoadyiyperpen- * diculo S K , erigi intelligatur iemiaxis conjugatus BC , & erit ST^.^2KTH-^TH^.zzSHq.iZ.4CH^.zZi.BHq-^4.BCq.zz ST-^'FHi qtuui.-Ly.ST-^THziSTq. -^xSTH-^THq. —Ly.ST-^TH. Addantur utrobique iKTH^STq—THq -*-L>iST-*-THy&Ret LxST-^THzZi.STH-^zKTH^ feu ST-^-TH, ad TH, ut xST-^-iKT ad L. Unde dztmTH tam longttudine quam pofitione. Nimirum fi ea fit corporis in T velocitas , ut latus reAum L minus fuerit quam i ST -*- 2 KT , jacebit TH^d eandem partem tangentis T R cum linea T S , adeo- que figura erit Ellipfis , & ex datis nmbilicis S, H, & axe princi- pali ST -^TH ^ dabitur: Sin tanta fit corporis velocitas ut latus redum L squale fuerit x ST-^xKT, longitudo P /f infinita erit, & propterea figtura erit Parabola axem habens «T/f parallelum lines 7a , & inde dabitur. Quod fi corpus majori adhuc cum veloci- tate de loco fuo T exeat , capienda erit longitudo SP/f ad alte- ram partem tangentis, adeoque tangente inter umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem squalem di£feren- ti« linearum ST&TH, & inde dabitur. ^E. J. Corol. I. Hinc in omni ConifeAione ex dato vertice principali 7), latere reAo Z>, & umbilico S, datur umbilicus alter /fcapiendo ^ H, ad !D «S* ut efi: latus redlum ad difTerentiam incer latus reAum & 4 ^S. Nam proportio ST -^TH^idiTHxitx ST -^xKTzdL, H in y8 PHILOSOPHIiE NATURALFS DeMotu in cafu bujus Corollarii , fit ©*y-+-2>i^ad 2)^ut ^dTad jL & CoAioiiUM divifim ^ ^ ad 2) ^ uc 4 2) J**~- Zr ad Zr. CaroL %. Unde fi datur corporis velocitas in vertitie principali 2>t invenietur Orbita expedite , capiendo fcilicet iatus re^um ejus, ad duplam diflantiam ^S.^ in duplicata ratione velocitacis hujus datae ^d velocitatem corporis in Circulo, ad diftantiam 1>S^ gyrantis (per Corol. 3. Prop.xvi.) dein ^Hzd^DS ut latus re^lum ad dif- ferentiam inter Ittus re^ium & ^T>S. CoroL 3. Hinc etiam il corpus moveatur in SeAione quacunque Conica, & e^ OrbeijLlo impulfuHjuocunque exturbetur; cognofci. potefl Ojbts in quo pdflea curfum fuum peraget. Nam compo- nendo propriuai corporis nxotumcum motu illo quem impulfus folus generaret , habebicur motus quocum corpus de dato impuU fusloco, fecundum redam pofltione datam, exibit. CoroL 4. Et fi corpus illud vi aliqua extrinfecus imprefTa conti* nao perturbetur^ innotefcet curfus quam proxime , colligendo mti« tationes quas vis illa in pundis quibufdam inducit , & ex feriei ana*^ ipgia mutationes .contiouas in locis intermediis sftimando. S^bolium^ . Si corpus T vi centripeta ad pundum quodcunque datum R («ndente moveatur in perimetro* datsB cujufcunque Se6lionis co-- nicae cujus centrum fitC,&re- duiratur Lex vis centripetae : ducatur CG radio i?? paralle- la ,. & Orbis tangenti T G oc- currens in G; & vis illa CP^^ CoroL I & Scbol. Prop. x,>, & CG cub. GoroL 3. Prop* v 1 1, ) erit ut SBCTIQ ' PRINCIPIA MATHEMATICA: 59 S E C T I O IV. pV"uV De Inventione Orbium Ellipticorum , Parabolicorum &f ffy- perbolicorum ex umbilico dato, L E M M A XV. iTif ab EUipfeot vel HyperboU cujttfvis umbilicis duobus S, tt, adpunBum quodvis tertium V infle&antur reBte dua S V, H V , quarum una H V aqualisjit axi prtncipali figura^ abera SY a perpendtculo T R in fe demiffo bifecetur in T ; perpendicukm illud T R fe^io- nem Conieam alicubi tanget : ^ contra , fi tangit , erit H V aquaTts axi principali figurte. Secet enim perpendiculum TR re- ^am ^^produftam , fi opus fuerit, in i?; & jungatur SR. Ob aqaales T S^ TV^ aequales eruni & reAae S R^ VR&l anguli TRS, TRV. Unde punftum R erit ad Seaionem Conicam, & perpendiculum TR tangct eandem: & contra. ^ E. 2). PROPOSITIO XVra. PROBLEMA X. Datis umbiVtco & axibus prtncipalibus defcribere TrajeSlO'- rias EUipticas &f Hyperbolicas , qtta tranfibunt per pun* Sa data , & re&as pofttione datas contingent,' Sit S communis umbilicus figurarum ; AB longitudo alxis princi* palis Traje^oriae cujufvis ; P pun & (pec Lemmatis xiv.Corol. 3.) ob «quaies ST^TVql aogulnm; re Aum STRt taoget rectamTi?; SLBF. PRINCflPlA MATHEMAtiCA.' 6t ' PROPOSITIO XX. PROBLEiRilA XIF. Libek Ctrcadatum nmiiKcum Trajectonam quamvh Jhecte datam defcnhere^ quaper data puncta tranftbtt & rectas tanget. pofttione datas^ Caf. I. Dato innbflico S, defcribenda fit Trajectoria AB Cpev puncta dao B , C Quoniatn Trajectoria datur fpecie > dabitur ra.- tio axis principalis ad diilantiam umbilicoriHn. la ea ratione cape r* -"^y?-, — ~^ ^^ad^i", &Z,CadCJ'. Cen- |^ X/ ^\ tris i5,C,intervallis5 ^,CZ., de- ' "/b. / \ fcribe circulos duos > & ad rectam I / \/ • \ KLy qua? langat eofdiem in Ar& ^ — ^^ — j g — ^, L y demitte perpendiculum SG , klemque feca in A &La^ ita ut fit GAzd AS & Ga ad aS ut efE KB ^d BS^ & axe Aa^ verticibus A^a^ defcribatur Trajectoria. IXco factum. Sit enim H umbilicus alter Figurae defcript^ , & cum fk GA zd AS ut Ga 2id aS y erit divifim Ga — G^feu Aa ad aS^-^AS feu SHin eadem ratione , adeoque in ratione quam habet ascis principalis Figurse defcribends ad diflantiam umbilicorum ejus ; & propterea Figura defcripta eft ejufdem ipeciei cum defcribenda. Cumque fint KB zd BS & LC^id CS^ m eadem ratione , tranfibit hasc Figura per puncta B^ C, ut qx: Conicis manifefium eft. Caj^ %. Dato umbilico 4y,defcribenda fit Trajectoria quae rectas duas TR^ tr alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte perpendicula iyr,. St &: produc eai- g^ dem zd V, v^ ut fint TJ^j f i; ae- p;?--^ \ "^. ^ quales TSy tS. Bifeca VvmO.Si \ \ y^ erige perpendiculum infinitumO//,. >* -.^.^^ rectamqpe VS infinite productam J 7-/ \ ?-^ .::>., feca in A^& i^ita, ut fit VK zdKS ""xT' ^^"" ^•-^ & Vk zd kS ut eft Trajectoriae \ ^y^i:^ defcribendaB axis principalis ad um- .•••**!!v — "' bilicorum diftantiam. Super dia- yi--'- — 1 metra K k defcribatur circulus fe- cans O H \vk H\ & umbilicis S^ H , axe principali ipfam VR aquante, defcribatur Trajectoria. Dico factum. Nam bifeca AT*: in X, &junge HX, HS, HV.Hv. Quoniam eft VKzd K S Mt Vk ad k Sy & compofite ut VK^ Vk ad KS-^k S\. divifimqMe: il 3 *ut PHILOSOPHI/E NATUHAI^IS. De Motu ut Vkr^VK ad kS^K^ . i s q aequalcs conftituat. Deniquc umbilicis Sy H^ & axc prmcipali A B diftantiam V H aequantc , defcribatur fc6lio Conica« Dico fadum. Nam fi agatur sv quse fit ad sj> iit cft sb ad H K S K PRmcJlPlA MATHEMATrCA. % prcn» vA erit ad /y ut cft /A ad j^, id elf (ob fimilia triangSk S^\:.. K *» / zri — 1 \ ^ •••.. ••" •• • / V' "*L •• /• /V .- — • <. / /^ VS^ , bsqy MteiiVS ad J*5P feu i« ^ ad / q: iEquantur etgo> vb PRiN vel datis longitu- dimbus jj y diflferw»t abjifd6to , ati que adeo qus vel squantur fibi in- vicem, vel datas habent dift^entias ;* & inde, per Lemma fupe^iUS, datiir umbilicus ille alter //. Habitisautem umbilicis una . A4 ^fduftam & produftam demrrtie nbrmaies SG, -^BH^, 'inque G «Jinfittlte produ6U cape C^ ad ^i" & Ga ad « J" ut eft HB ad 5 J"; &erit ./f vertez , & jia axis priopipalis Tra|eftoTise : qusB , perinde ut G j4 major , squalis ,^yei minor.fueric quam .^«f , erit Ellipfis, Paj-abola vcl Hyper»'' ' ' ' • • . ■ K X '**'■■■ ^■•••••«•W(y««ii« . * ' t * r r •••••f f •••^••« •• • %»J« B md cafujcMrate ad eaddep[)^artem lines G#i5um pubfto /i; in fecundo caftfabeunte in i^finitum; in tertio cadente adcontrari- anf partem liaes tidS*D in eadem ratione. Jaceht ergp punfta B,Q^in Coni feftione dirca uinbilicum «yita defcripta, ut re-^ ft» pmoBsabumbilicA «^ad fingnla Seflionispuhftadufta&i fintad^r** pendicula a puiit^S iifdem ad reftamCFdeniifraindataillaratione.' Metbodo haud mnltum diilimili hujus problematis folutiohbm tradit Clarifiimus. Geometra- f ^ftu PS m^M ad JN. Ergo,' dacendo antecedentes in ante^d^itei & nfeao^tes in ^ con^qaentes , nt rectangiHam ' 7^ib Iire& id reaangulam y SixrTr ', it? "reaanguTu m . N7)Me& ad rea'angalum ANB , & rperCaf. i.) ita reaangulum ?»^n SPr eft ad reaangulam?^ in P< , ac divkhB ita reaangulum ? ^X"? i? eft ad rectanguhrai Caf. 3> Pooamus denlqu^ lineas qoatnor ^^, TR^ TS, yrnon «Qe parallelas lateribus AC, AB , fed ad ea utcunque inclinatas. £a- ram vice age ^ f . ? r 'paratlela^ ipfi AC% 8iTs, y^parallelas ipfi ABi & propter dtttos ahgUlos tri- angiriorum 7 ^f , 'PRr, TSs, T Tt, dabuntur rationes T^zd Pf, yiJadPr, ^ SzdTs, & PradP/^atqne adet> rationes compofitffl T^TRtiATqXTr, & ^SxTT zdTsXTt. Sed, per fuperius demonftrata. ratio TaxTr^d TsxTt data eft : Ergo & raiio ? ^X ? « ad PJXlPT*. '^ £; ©. LEMMA XVm. • • • l//dem pofttis re&angulum iuBarum ad oppoftta duo latera Trapezii V Q^y.? K ftt ad re0angulum duBarum adre- hqua iuo lafera P S X P 't in data ratione j punBum P, a quoTtne^ ducuntury tanget Conicam fe&ionem circa Tra^ ' pezmm^dtjmpu^fiki t ' . «• Ix Vei <8 PHILOSOFHI-aE MAnruRMauis De Moto Per pubda J^ Bt €, ^ ft^afiquoQ infinitorttm piindocs6iii ^ , '|»n- CoRPORxJM (2 ^ ^. coBcipe Conicam ie^tionen^ defcribi j dico (lunftam 5P hanc femper tangere. Si negas , junge yf tP fecantem hanc CoQicam,.. fediopem alibi .. quam-in T , fi fteri poteftT puta. in ^. ' Ergo ii- ab his pund^is />! & .^ ducahtur in datis angulis ad latera Tra- pezii, reaae /q , fr ,/ J, / / , ^hkybr^bU ^«^; eritut bky(.br *d ^/X^//itaCper Lemi xvii ) p q^Xpr ad fsyc^fty & iia (per HypothO y^xy i? ad y SkTT. Efl & propter {imilitudt- nem Trapeziorum ^^^/, ? ^^^, ut bi ad ^/it« P ^zd^S. Quare , applicando terminos prioris proportionis.ad terminos cbr- refpondemes hujus , erit brsid bJ iit T R ^6 TT. Erfeo Trape- zia squiangula 'Drbdy'J>R P rfimilia funt, & eorum diagonales fDb, ^ P propterea coincidunt. . Incidit itaque b in interffcraonem reiflarum A T , 2> ?* adeoque coincidic cum pun. dionem. ^E.^D. .. Corol. Hinc fi reaae tres ^^"PR^ TSz pnnao communi 5» ad alias totidem pofitione ditasredas ji JS, C.D, ACy fingula^ ad fingulas , in datis angulii dacantur , fitque re^tangulum fub duabus dudis tP^lxntad quadratum tcrtiae TS quad.ind^i^ vatione : pundium r* , a quibiis reds ducuntus,' loqabitur.io fedio- se Conicft quse tangit Uneas AByCD in A 4e C;.& contra. Nam coeat linea B^ curo.linea^Cmanente pofitione trium AByCDx AC\ dein coeat etiam linea TT cum linea.lP^': & recjbnguium , TSkTT evadet T Squad. reftaeque AB , C2) quaB curvam in pun- dlis ^&.ff ,C&2) fecSbanr.jam Ci)rvam in punclisilUs coeuntibus non ampli.us fecare poiTunt fed tantum tangent. • . '• Scholhm. * * % » m ^ \ ■ . Momen Coni.cae feftionis in hoc Lemmate late fumitur , ita ut fe- ftio tam Reftilfnea per verticem Coni tranfiehs , quam Circularis bafi parallela inclttdatur. Nam fi puh^tim / Incidit in re^am. qua quaevis ex pun^s quatuor A^ B^ C, tD juogimtiir , Comca feciio wrtc- p K^imn^TH. :u -m h e MAmcji 69. vett^in Mminas Re^as , qparum mpa fs^ f^ ^la io ^^i^pan* Anm ;? iiitidn-., & altera efi refla qua, ^lia duo ex puo^is quatqor juDgantur. .6i Trai>ezii jinguli duo oppofiti iimul furopti zquentur duobus reais, & line» quatuor f^iTRi^PS.TT ducantur ad latera ejusvei perpendicularicer jir^PTp angulis quibufvis-aequalibus » fitque reftaBfuIum fub jiu^us dttfti^.^^xy^ «qnalc rc<5l:angur lo fub duabus alii^ 'P.S^y.TT, SaliO(<:oniGa evadet ,Cir<;uIus. tdem fiet fi UnesQ quatuor ducantur ii/ angulis quibufvis & re cafu S^6df> Conie^ .irAniibit jpei; .c^tera pun(^a ,. & in plagas pa- ralleterura abibit-io infinitum.. : LJ,JAM A XIX. Invenire pun^^fk^^ quo . fi rectt/^tf^uorVQ,,^%.t 1J?S,' PT iod alias tQtidhn ' pojitione datas rectas A p, c C p^ A C, ^DrJinguU hd fingulas in datts^angmk- ducantur-irectanguiintfyi dualnts ductis, VCiX?K, fit ad rectangulum fiihaltts d^abus VSy,?Tiin daia ratiotw, ~ : Uae»;A$*C7)', id quas reftjE duae T ^T Ry unnm reftaiv gutonim qontinent^s 4acuntur , conveniant cum aliis diiabas pofi- tione datis lineis in punftis -^, B,C, ©. Ab eorum aliquo ^ age re^am quamllbefiffir, in qua velis punftum SP reperin. Secet ea lineas opppfltas B1>, CD, nimirum fl*D in /f, & CD in /, &'ol> datds oHmttingiitds iigurat, dabuntur rationes T ^ad y ^&^^ ■' -i I j ad iBeit LIMUt. 70 PHILOSOPHLffi. NATUltAUS De MeTO zeiTSi aileotjue ^rio T0 o4 CoRPORUMpj. Aufereftdo hanc a data ra- tione fP^TRstdTSXTT, dabitur raiio P^ ad ^r, & «ddendo datas rationes^T^/ad ¥R\ &yrad y/Tdabifur fatio 5P/ad T ff atque adeo punftum 2=*. ^E.I. Cerol. I. Hinc etiam ad Loci punAorum infinitorum T pun- ^m qtiodvis ^ tangens duci poteft. Nam chorda T 2) ubi pun6ia y ac ID conveniunt ', hoceft, ubi^i/duciturper punAum tZ>, raneensevadit. Qttoin cafu ultima ratio evanefcentium IT & P/r invenietur ut fupra. !pfi igitur ji^ duc parallelam CF, occurremem 52) in /*,& inea ultima ratione fe^m in E, & !Di? tangens erir, proptei^ea qttod C/' & evanefcens ///parallete fuiit, & ip i^ & y fimiliter fectae. Corol z. Hinc etiam Locus pun^orum otnnium Pdefiniripoteft. Per quodvis punAorum yf,ByC,7), puta ^, duc Loci taDgentem jf E Scpcr aliud quodvis pundum B duc tangenti parallelam BF occurrentem Loco in F. Invenie- tur- ^tem pun Aum F per Lem. xix. Bifeca JSFinG, & a^a indefinita ./i G erit pofitio diametri ad quam £0& FG ordinatim appiicatitur. Hsc ^(? occm-rat Loco in H^ ^ erit yf H diameter five Jatus tranf- verfum, ad quod4arus reAum eirit v ut ^C?f. ad jt(jH. Si ^GnuUibi \ occiirrit Loco., linea jiH exifteiite infinita , Locus erit^arabola & la- tus redum ejus ad -diametrum yiG pertibens erit ^ ^' Sin ea^alipubi occurrit, 'Locu^Hyperbola erit ubi pun^a ui & HfitA funt ad ea(deoi,partes ipfius..G: & Ellipfis, ubi G intermedium eft, nifi for^e angulus^Gi^redusfit&infnper SGquMd. zqualeret^an^uloy^G/Z^yquo in cafuCirculus habebitur. Atque ita Problematis Veterum de quatuor Jineis nh.Euclideiw caepti & ab ./^^/^«i^conunuati non calculus , fed compofitio Geome- trica , qualem Veteres qusiebant , in hoc Corollario iei^ibetur. .\ PRINCIFf A MATWEMATIC^. LEMM A XX. 7*- ^$ .P^ratlelcgrammum fuodvis KSV (^ angutts duohus oppo- fitis A Sf P tangit feBionem quanwis Comeam in pun6tis^ A ©• P-j ^,- lateribus unius anfftlorum iUorum infinite produBis A Q , A S, occurrit eidem/eBhni Cohica in B^ C i « pun&is dutem occur/uum' B cJ* C ad quintum quod'^, iJis feBionis Coniea pun&um D agantur reBa dua B D ^ C D eccurrentes aheris duohm infinite produBis paraUelo- grammi tateri^us PS, PQ /* T ^ R • erunt femper ah-. fcilpa: laterum paftes PR W,^T ad invicem in data ra^. tione, Et contra, fi partes iUa ahfcifa fum ad imicemi m data ralfpne ypjUttSMm-D tanget SeBionem Conicdmper fm^a quatuor A, B, C , P tran/euntem. * • ■ ^ » Caf. il Jungantur ^P, QT & a punfto 2> agantur reiJVaB dutr' ®G,®£, quarum prior c 2)G ipfi jiB parailela fit & occurrat 'PByT^ CA in H^ /, G\ altera 2) E paral- lela fit ipfi AC & occurrat & erit ( p^ Lemma xvii.^) re" 6UugQlum iDJ^ X 2) /*ad re- ^gQliim 2) C X 7) /nn ra- tioa» dflta. ^d eft ^^ ad 2>£/7. feft& PJ^ ad 'DFut^Cad 2) C, a^eoque ut (/C? vel ) P J ad ^X? , & vicifliui Tk ad TSxiX 'DF^ ®.G; & conjutoais rationibus fit reftangulum T^TR ad redaBgfllum TSxTT^t reftanguhim 'DExVFs^^ re?langu- lum 0Gy,1DHy atque adeo in data ratiooe. Sed dantur T^Sc yS& propte^ea i-atio TR^dT r.datur. ^E.^D. Ciir-i-" Qttod iii>y iJ&y 7"ponatur in data ratione ad invi- cemi tum fimili ' ritiodnio regrediendo, fe^uetur effe re^angulunk ©^X©^ ad reaangulum ©Gx©/r, jn ratione dlata, adeoque- panftum 2) ( perLemma zviii. ) contingere Conicam fedlion^mi fraofeuntem per ptm^a Ay ByCyT: ^E.D^ Corok P«i.ii»jk 7* IPHILOS.OPHI^ ^ATURALIS Dk Motu Corol. I. Hinc fi agatur B C fecans Pg^iij r, & in y rcapiatur T t CdRfoauM jn ratione«d yr,quam Ha"bej 77! a4 Tk.cmBt tangeajs Conic» feftionis ad pun6luth B. Nam concipe piini^tim ^ coire cuih puh- (%o B itaut, chorda ^ ^ evanefcente, i^T^tangens evadat« & C2) ac ^ 7" coincident cum CB & Bt. Corol. %. Et vic.e verfa fi c Bt fit tangens , 8i ad quod - vis Coriicae fe\ erityi2ad TTwt TrzdTt. Et contra , fi fit TR zdTTufPrAdTt: convcnient JB © , C *2) ad. Conics Se^ionis pun^um aliquod *D. Corol. 3 . Conica feftio non fecat Conicam fe^ionem in pun^is pluribus quam quatuor. Nam » fi fieiripotcft, tra&feant duae ConicaB feftiones per quinque purifta ^^ B , C, T*, O j ea(que fecet rcfta B^Din pun ^ CTHnT&R, &fa- cienres angulum J55PT aequalem angulo dato B N M^ & angulum CT R €equalem angulo dato CNM. Cum er- go ( ex Hypo the fi) »- quales nnt anguli MBT>^ N BT, ut& anguli MCT>, NC^; aufer communes NB ZJ" & NCD j &reftabunt sqvLzltsNBM &TBT^ NCM&TCR: adeoque friangula NBM, J^^T fimilia funt,ut & triangula NCM, TCR. Quare ? r eft ad NM utTBzd NB, & y /2 ad NM ut TC ^d NC. Sunt autem puncta ByCjN.T im- mobiKa* Ergo 'PT& Tit datam habent rationem ad NlM^ pro- indeque datam rationem inter fe ; atque aded ) per Lemma xx, punctum ^ (pe^petuus rectarum naobilium BfT& Ci? concurfus) contingit fectioiiem Conicam . per puncta P, C, P tranfeuntem. ^ b:. '£>. Et contra» fi punctum mobile ^contingat fectionem Conicam tranfeuntem per data puncta B^C.ji, & fit angulus ©^-A/femper a?qualis angulo dslto ABCy & angulus !DCi^ femper a^qualis an- gulo dato jfCB^ & ubi pUnctum ® incidit fucceffive in duo qu«- vis fectionis puncta immobilia /^, T^, punctum mobile M incrdat fuc- ceflive in puncta duo immobilia n,Ni per eadem ^ , iyr agatur recta n Nj & hsc erit Locus perpetuus puncti illius mobiiis M. Nam, fifieri poteft, verfetur punctum Min Irnea aliqua Curva. Tanget^rgo pnnctum ® fectionem Conicam per puncta quinque B, C Ayf^ y , tranfeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam Curvam. Sed & ex jam ^emonftratis tanget etiam punctum !D fectionem Coni- xam per eadem quinque puncta B, C^A^f^ T tranfeuntem, ubi pun- K Aum f4 NATDRALIiS dnffi j?if ' perpettib tftb^t \mxkm Re^m. Ei^ duie fe^ones Co- nictt tranfil^iint per eadem qainque (^iida, contra Gorol. 3. Lem. . I^tur plmdum M verfari in linea Curv^ abfurdum eft. ^ E. 2>. » » • • • FRaPOSlTIO XXII. PROBLEMA XIV. ..-• .• .1 ' • -.. '•' '■ ^ .: Triiji^riam fef data quinque punBa de/crihere, Dentufpundia quinque ^,-fi^C, !?*, !Z?. Ab eorum aliquo L//ad alia,iu6 qa«evis B^C^ qa« poli nomisehtur , age xeAas AB, AC^ '* % Urqae ptraUefats T^PS, 5P .ft^per pun^m qnartum F. Deinde « pcrfis duobus B% C age per punmim quincum 2> infinitas duas S^TiCR^D, noviflimeduaisryj', ? i? ^ (>riorem priori & pcdleriorem pofteriori ) oecurrentes in 7'& i?^ Denique de re^s .yj* . P-R, aAa refta tr ipfi TR parallela , abfcinde quafvis tP /, ?r ipfis ?7', J*R proportionales t & fi per earum terminos /, r & polos jSiCads Bti Cr concurrant in. #.£.2). Idem PRINCIPIA IMATHCMATICAI Ideffi rf E pnnftis datis junge tria quaevis A.B^C^ &,circam daocaniflk. ^,Cceu polos, rotando angulos magnitudine datos ABC^ACB^ applicentur crura BA^ CA primb ad'pun(?lura ® , deinde ad pundum y, & notentur pun- ^a M, N in quibus al- tera crura BL^C Lcz- (b urroque fedecuiFainr. Agatur reifta infinita MN y Sc rotemur an- guli illi mobiles circum ^ polos fuos B, Cy ea lege ut crurum BLjCLvcl BM, C il/ interfeAio qusB jam fit m incidat femper in re(?lamillam infiniram MN-Sc cm'"- rum B A y C A j vd BT> ^ CT> interfe(5!io , qu® jam fit d , Tralecftoriam quaefitam TA^dB delineabir. Nam pi/n(ftum ^ , pei! L^m. xxi, continget feftionem Conicamperpun^Jla^^Ctranfeuntenj; & ubrpun(5lum m accedit ad pun(5la L^ M^ i\r, cfun(a:urn-i/..f pei .conftru(ftionem ) ac- cedet ad punfta A^T) , T. Defcribetur ifaqiic fe(ftio Conica tran- fiens per pun^fta quinque A; B;C,9^fQ)r ^^E:iF. Caroi. 1. Hinc refta expeiiiie duci poteft quae Traje(ftoriam quae- fitam, in pundo quovis dato B ^ continget. Accedat punAum ^ad puD(ftum ^, & recta 6^/ evadtft tangens quaBfita, Cor9l. X. Unde etiam Traje^^ori^rUm Centira.DiameCri & L^tert reAa iBveniri poiTunc, ut in CoroUariafecuado Lemmatis zix. -Li»iE«- < Scholium. Conftru^io prior evadet paulo fimplicior jungendo BTiBiintii, C opas eft , produfta capiendo Bp ad ^ P ut eft P /2 ad ? 7*; & per^agendo re^am infinitam/ pun^um contaAus B^ & alia tria puncta C.1Z), T.. Xungeiff C, ^ jagendo ? .J parallelam BHy & yg,pataileli$n'jB C,~ciOimpte. paf^ilelogrammum B ST ^ Age B*D fecantem ST in r, & C® fecantem 7^in R. Deni- ^ue, agendo quamvis tr ipfi T R parallelam , de ?^, P S ab- fcinde 'FryTt ipfis TR, y T proportionales refpeftive} & afta- rnm Cr, ^^ concm-fus 4 (per Lem. xx} incidet femper in Tra- je^oriam defcriben(hm. Idem PRINCIPIA MATHEMATICA. n Idem MlHer, Primui. RevolYatur tum angulus magnitudine datus CiBi?circa polum B, tam radius quilibet reftilineus & utrinque produftus © C cir- capolum C Notentur pwi(fta M.Nxn quibus anguli crus BC^ii^ cat radium illum ubi crusalterum ^/Tconcurrit cum eodem ra- di().m punAis T &.©. Deinde ad aftam infinitam il/iNT concur- nnt peri>6tuo radius ille CP vel C® & angulf crus E C, & cru- ris alterios hH concurfus cum radlo delineabit Traj.eifloriam quS' fitam. / Nam fi io conftruAionibus Problematis ruperioris accedat punc- tam A ad pun6him B , lines CA & CB coincident , & Tmea AS io ultimo fuo iitu liet tangens B ff, atque adeo conilrudiones ibi pofitae evadent esbdem cum conilruc^ionibus hic defcriptis. Deli- oeabit igitur cruris B H concurfus cum radio fe^ionem Conicanv per pun^aCj^D/SR.tranfe&ntem, & redam J? /^tangentem in punc«: toir. ^E.F. Caf. X. Deantur punAa quatuor ^, C,.2), T extfa tangentetnr HI uta. Juogebina lineis B 2) , CT concurrentibus in G , tangen^ K' 3 tique 7« PHILOSOPHT^ KATORALIS X Y Ds MoTu tiqoe occurrentibus in H8cl. Secetur tangens in jt, ita nt ^ CoKPo&uM // ^ ad y/ / , ut eft reaan- gulum fub me(Uaj)roportio- nali inter CG & GT & me- dia proportionaliinter^/r& i^*D , ad rcftangulum fub piedia proportionali inter 7)G &GB& media propor- tionali inter TI & IC; & erit ji pundum contaftui?. Nam fi reftaB ?* i paralleFa /f X Trajeaoriam fecet in;. punftis quibufvis X & T: ^ erit (ex Conicis) punftum /^ita locandum, -uifuerit HAquad, ad yf / ^«ii^. in ratione compofita 6x ratione redanguli XHT ad rec- tangulum BH^DieM re«fta[hguli CGI" ad re. ad mediam proportionalem inter 5 K& KT> ; & l S tA LS \xi eii media pro- portionalis ititer CI&ID adme- dlam propbftionalem' inter C L & ••••• PHINCrPlIA MATOTAf ATXCA. 7^ 8t i^S). .Seqa tntem pro itibic« vel iater putu^ KdtJiyl^Li hmvt- vd cxtfa eadem: agatut re6ia / T tan^nti alteri K L parallek . quae oc-t currat cnnras in X & /*, & in ea fumatur / Z media proportio? nalis inter 1 X& 1 Ti erit exConicis , redlaogulom XIT (cal Z aitad. ad LT fuad. ut redaagulom CI7) zd redangulum CL D , id eft C per ccntftrudionem^ ut *$'/ quMd. ad S Ljspud. atque adeo 1 Zxd L^P uc Sl 2ASL. Jacent er^ |Hinda S,T^Z in una redaa Porro tangentibas concurrentibus lo G , erit jT ex Cooicis ) rec- tangulum XI T^ IZ-^msd^ lA quad. utGT qmtd. ad G Aquadt adeoque IZ&.IAxxxG'^ ad .#fiiiecante$i&wf&^, ^ il» & a fi|^e pnnSn quo- vis , G ad reftam A B ducatur quavis G!D, ipli O^parallela. De- inde a panOo aliquo O , io linea Oy/dato , ad pun<6hsm fD ducatur re- fta O^D , ipfi 5 X oc- curreos-in G ordinatam primam , ^^ ordinatam novam ; ^2) ab* fciiTam primam, ad abfcifTam noyam; O polum, 07) radium ab- fcindentem , O^ radium ordinatum primum , & Oa (quo paralle- logrammum OABa coropletur ) radium ordrnatum novum. Dico jam quod , fi pundum G tangit re6lam Lineam pofitione datam* pundum^ tanget etiamLineam re(^am pofitione datam. Si punftum G tangit Conicam feftionem , pun^um g tanget etiam Conicam feftionem. Conicis feftionibus hic Circulum annumera Porro fi punftum G tan- git Lineam tertii ordinis Analytici , pundum g tanget lineam tertii iti- dem ordinis s & fic de curvis lineis [fuperiorum or()inum . iLineae duas e* runt ejufdem femper or- dinis Analyrici quas punc- ta G^g tangunt. Etenim Ia ut eft ad ziX OA ita ^ funt 0.4 ad OZ)^ dg ad 2> ae- qualis dl ^-—j^ . &^ZX? SBqualis efl-^^^^^' Jam fi punc tum G tangit rectam Lineam , atque adeo in {equatione .quavist qua relatio inter abfcifram o fuflicit rec* tarum a quibus conflatur interfectiones transferre f & per eafdem in flgura nova lineas rectas xlucere. . Sin curyilineam tranfmutar^ oportet 1 transferenda funt poncca^ tangentes & aliae rectae quarom ope curva linea definitur. Infervit autem hoc Lemma folotioni difficiMorom Problematum , tranfmutando figuras propofitas in fim- pliciores. Nam rect« qosvis convergentes tranfmutantur in pa- ralldas , ^hibendo pro radio ordinato primo , lineam quamvis rectam quas per concurfum convergentium tranfic: id adeo quia concorfus ille hoc pacto afoit in innnitum, lines autem parallete funt qum ad punctum infinite diflans tendunt. Poflquam autem Problema folvitur in figura nova , fi per inverfas operationes tranf- motetur hsc figura in figuram primam , habebitur folutio qusfita. Utile eft etiam hoc Lemma in folutione Solidorum Problema- tom. Nam quoties dus fectiones Conicae obvenerint , quaruio interfectione ProUema folvi poteft , tranfmutare licet earum al: terotram , fi Hyperbola fit vel Parabola , in Ellipfin : deinde £1- lipfis facile mutatur in Circulum. Recta item & fectio Conica , in conftroctione Planorom Problematom , vertontor in Rectam & Circolum. PROPOSITIO XXV. PROBLEMA XVn. TrajeEhriam defcribere qiut per Jata duo punBa tranfibit & reBas tres continget pofitione datas^ Per concurfam taDgendum quarumvis dqarum cumreinTicem,& concurfum tangentis tertiae cum recta illa ,qu£per puncta duo data tranfit, age rettam iniinitam; eaque adhibitaproradioordinatopri- mcnrcmmutettir %ura)perLemmafaperiu$,iniiguram novam. In L hac n PHILOSOPmiE NATURAI-I^ Dz Mm6 HaCtptnt tittgffttel ilt» da« eVadcnc ^\A ibTiofmpftnlMsf Ariio- CoKPORVH g^f |^|i({a ^et pwaMoJ* feefaB per puncta diK) datft rranfeunti. Sonto «>/)i/tangentes ills dae paf aUels > i k tattgens tertta iSi bi fecta huic parallela (rafTfiens pef puncta illa a , b, pef quse Conlca fectio in hac figura nova tradfire debet •, & pa* ch • ** -pii^-.^^». rallelogrammum h i kl complens; | /"' ^ X ""t [*iar f im ut ittt Se<:entur rectae bi, ikiki\nct4i,e, Ita ot (k /& <> ad latus quadratum mtiltigUti ablt , irad id, dike 4d k d ttt eft fumma rectarum b i ic ki Ad fummam trium linearum quirum prima eft recta ik, & altere du« funt Uteri quadrita tet- titaguldfum dbb&albi & erant c,d, e puncta contiCtuum. £n eiiiiti , ex Conicis , funt bc quadratum ad redtangulum abi^ Sc i c qtiadfatum ad i «^quadratum , &ke quadratum ad ^ ^ quadra* tum , & ^/ quadtacUm ad rectangutura aih in eadettl rationet & l^ropfef^ft hc^A latUs quadratum ipfius dhb, ic^A id , kezdkd ^ & e/ ad litUs quadratuffl ipfius al6 funt in fubduplicita iila ritid» He i & Cotapolke , in data ratione omnium antecedentlum bidc i / id otnnes eonfequentes , qus funt lattas qdadratun» redidguli dbb 6i TeB^ ik & litus quadratum reAdnguIi alb, Hab^fltur igi* fur et data itla fitione \fiiVk&A t^onta^uo c » i^/» ^ , in figufa no- Vat P^ inverflis bperatidnes Lemmatis novifTnhl (raii^rantlir btec puhdii iti figuram pHmam & ibi » per Probl. XIV. , deftri^ betuf Tfa)e(^Ofiii. ^ E. F. Cetertm perinde ut punAa a, ^ jacent vel inter punda h, l, vet extra , debent punda Cid^e vel inter pun^a h , /', k, / capi , vet extra. Si pundorum a^^b alterutrum cadit inter punda b,l,. & atterum extra , Problema impoffibilc eft. . . PROPOSITIO %XVl PROBLEM^XVni. TrajeBonam defcYtheri qtta trutifthit p& pUHBum iuium ^ keBas quatHor poftttone datas €ontm^et* Ab interfedieae communi duarnm qiuiniiBlibet tanfentiiiiD «d iilterfe^oaflB «dmtQanfcm retiq«af ubi diurttfli afitvr r«Mft infinto ta » & ndem pro ndio prdipatq pruno ^dhib|ta , tranfmutetur figu* L raK r ra (per Lem. zzii.)in-figuram novam > & tangentes blMe, quae ad Pa'^"*. radiam ordinatum primutn concurrebant, jam evadent parallel^- Supv toills h^SiAl^jik& A/ eontioentes parallelogrammum ^ /' /( /. Sit- qOQ / 'piUMStmoL ih .hac nova figura , pvocto in fi^ura prima dato refpoo4en$.' Pcr figur» ce^^rum O •gimff, & eaciilcfttc O^ .a- auali O/, erif f punctum altcrum. per quod fectio Conica in bac ngura nova tranure debet. Per Lemmatis yxii bperationem jfn- verfam transferatur hoc punctum in figuram primam , & ibi habe- buntur punda duo per qus Trajeifloria defcribenda eft. Per ea- dem vero 4^cribi poteft Trajeftoria illa per Prob. xvh. ^^. K SireBa du^ pojitmt d^ta A Q ^ B D <7^ data punBa A, B , Urminentur-y datamMie habeant rattonem ad invicem, ^ re&a Ct),qua punaa indeierminata C,X> jungimtur ^ fe^ cetur in rktione data in K : dico quod punSmn K iocahs-' tur sH.reBa pojitione data, ^ • • • Concurrant enim redae j/ C, ^iD 'yB^E,Sc\nB ^capiacof BG ad JE pc eft ^ 2> ed ^C, fjc- le /^2). fesiper ^qualis dats G\ &erit ez conftru^one Cad (?2), hgceil, ad EF^t. AC^^ BT>^ ^eoque inrajtione data, & prGAtere^ dabiturfpecie tria9gulum.£^C. , Secetiw C^ u) Z Qt fit CL ad CFvfi ratiooe'^ C A^ ad C 2J j & , ob datam il- lam ration^ » dabitur etiam fpecie triao^lum E FL \ proinde- 2ue pun^m L, loobitor in re^a EL poaaooe data. JungeX. K% c fii^ijia erupt triangula CLK, CFViSc^ obdatam FtD&datam i-ationem LK^ FV . dabitur LK. Huic «quaUs capiatur EH» & erit femper £/> A^-^paratlclogrammufD. Locatnr ioitur pnac- tqm Koi jKtMfi&maA iUius Utere pofidodM datoZf A. ^ E.TL ... , .•• .... .... i LEM- 84 PHILpSOmi^ NATUBLALIS ^ S£5!l' LEMMA xxiy. St reBa tres tangant quamcmque Coni/eB/enfm , qnarum^ dua paralleU Jint ae dentur pofitione i dko quod Sec" tionis /emidiameter hifce duahus parallela , fit me&» proporttonalts inter harum fegmenta^ punBis cotttaBuum ^ tangenti tertia interjeBa* SuBto jiF, GSW" rallels duas Conilec- tionem ytT> B tan- gentes mASiB\EF refta tertia Conifec- tio&em tangens in t, & occurcens prioribus. tangentibus in F & Cr ; fitque €*D fcmidiame- ter Figurae- tangenti- bus parallela : Dica quod AF, C©, BG fiint continue propor- ^ tionales.' Nara fi diametri conjugat» ^5.©^f ttngenti FG occurrant itt E & H, ieque mutuo tecent in C, & compleatur parallelo^am» mum IK,CL\ erit ,. ex natura SeS;ionum Conicarum , ut EQ ad QA ita CA ad CL , & ita divifim ^£C— CA ad C^— CL , fcu EA9A ALx & compofite EAzAEA m- AL feu EL ut JSCad EC-^CA feu E B \ adeoque ( ob fimilitudinem triangulorunv EAF, ELly. EGH, EBG) AFz^LImi CH ad BG. ' Eft itidem , ex natura Seflionum Conicarum r LI ( feu GK) ad CT> ut CZ> ad CH^ atque. ^deo ex siquo perturbate , AF ad CD ut CDzABG. ^E.T>. Oarot I. Hinc (i tangent^s dus FG^ f ^ tangentibus paraHe- lis y#F, BQ occurrant \iiF&.G, SP &^, feque mutuo feccnt in O;^ erit fex squo permbate) ^if .^ad Z^^ut AT tA BGy & divifim ttt FT ad G ^, atque adeo ut FO aSOG, Corol: X. Undc etiam rcftfle dus ? G, ^♦'^pcr pun^ T ^G^ F& ^duAtB, concnrrent ad reftam ACB per ce&trum.Figiirs & sun^ coataiftuum ^, ^ tranfeuntem. ^ LEM- FB.INCIP.IA MATKEMATICA. LEMMA XXV. H J/ paraltelogratnmi tatera quafmr infinite produBa tangant SeBionem quamcunque Conicam , &f ab/cindantur ad tangentem quamvis quhttam ; fumantur autem laterum quorumvis duorum conterminorum abfcijff}e terminata ad anguhs oppefitos paraltelogrammi : dico quod ahfciffa al- terutrajit ad latus illud a quo eft abfiijfa^ ut pars Idte-' ris aberius contermini inter punBum contaBus & latus tertium^ e^ ad abfeiffarum aiteram. Tangant parallelogratnmi MLTK hierz quatnor ML^IK^KLi 3/7 fectionem Conicam in jl^BJd^ySc fecet tangens quinta P'^ hac latera in Fy^, H - & J^; fumanturautem ^ K A 1U laterum MI^ KI ab- fcilfe ME^ K^ vel taterum KL^ mL ab- fcifli^^, MFi di- co qgod fit ^J? ad MI nt BK^dK&x &lKHzAKLmiAM ^dMF. Nam per Co- rollarinm ' fecundum _ Lemmatis fuperioris > eft^^ad Elut ( j4M (eu) BKzd B LlBKR PAIMVa» & componendo ME ad MI ut BKzd K&. ^.E.T), Item K ad HL ut ( BK feu) j4M ad J F, & divlaendo KH ad KL ut jfMtdMF. ^5.?>/ Ccrol. I. Hfnc, fi Vlatur parallelogramm^m /iTLA/.circadatara Sectionem •Gonicam defcriptum, dabitur.rectangulum K^y^ME^, ut & huic squale rectangulum KH^MF. Corol X. Et fi fexta ducatur tangens e q tangentibus KI y M I occoireDS in f & ^; rectangulum K^XME aequabitur.rectan lo KqyfsMe; eritque /T^ad Me ut /C^ ad ME^Si. divifim^it Corol.j. tJnde etiam fi ^f ,tf^jungaiitur & bifecentur", & tefta pcr punaa bifeftibnum agatur , tranfibit haec per centrum Seftio- nis Conics. Nam cum fit g,f ad EeutK^ ad Mf, iranfibit ea^ L j .'-.'- djtnjl z^ PHILOSOPHI^ NATURALIS G9AP0RVM fl^ dem reAa per medium omnuim E al e^^MK; (per Lem. zzm) & medium re^ae MK eft centrum SeAionis. . PROPOSItlO XXVII. PROBLEMA XIX. YrajeBoriam defcrtb^re qiue reSias quinque pofitione datas coHtin^et, Dentiir pofitione tangentes jiBG, BCFtGCV, F^E^ EA. Figurs quadrilaters fub quatuor t^uibufvis contentae AB FE dia- gonales./^^,i?^bifeca , & CperCoroL j.Lem.x35v) refta il/AT per punfta bifedionum afta tranfibit per centrumTrajcftori». Rur- fus Figurse quadrilater» BG*D F , fub aliis quibufvis quatnor tangentibus contents , diagonales (ut ita dicam ) B7>jGF bif^- ca in P & ^: & reda SP ^ perpun^ta bifectionum acta tranfibit per centrnm Trajectoris. Dabitur ergo centrum in concurfu bifecantium. Sit illud O. Tangenti cuivis BC parallelam Me KL^ ad eam diflantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur 9 9c acta K L tanget Trajectoriam defcribendam. Secet haec tan- gentes PRINCIPIA MATHEMATrCA tf gtatel ilUs qoaiViffdats^ C 2), P7>E InL^ K. Per hannit Ltakii tangentiQnx tiOh parillelaruni CZ», F KaitR paralleHs CF, KL Pt^tnut' coDcorfas C& K, Fdc L^ CK, FL concurrentei in i?» &rec* mO R da^ & prodada fecabit tangentes paraUelas C F,KL in punAis contadQnm. Patet hoc per Coroi. %. Lem. XxiV' Eadem methodo inrenire licet alia contaduUm pan^a , & tum demam per Probl. x i ▼. Trajc^riam defcribere< ^E. F, Scbolium. Problemata , ubi dantur TVajeAot^arum vel centra vet Afympto- ti , inclbduntur in prscedentibus. Nam datis punflis & tatigentibus una cum centro , dantur alia totidem punda alisque tangenites t centro ez altera ejus parte a^ualiter diftantes. Afymptotos autem pro taiigente habenda eft , & ejus terminus in^nite diftans ( fi ita loqui ns fit ) pro pUndo conta^us. Concipe taitgentis cujufvis pundum contadus abire in infinitum r & tangens vertetur in Ar ^mptoton , atque conflrudiones Probtematis avt. & Cafus primA Problematis xv. vertentur in conftrutftiones Problematum ubi A- fymptoti dantor. r Poftquam Trajeftoria defcripta efl , invenire licftt iXei ft ttmbi«- licos ejus hac methodo. In Gouftru^ione & figiiri LemiliatiS x«i^ fac ut 'angtilorum"mdbl* UxuR V B N i T C N ictMr ' \ r ^ — TE — ^T ff TxBTi Cy, quorum cdocttrfa Trajectofia de- ftnbebatdr , uot ubi mvL' cem pai^allela , eutaque fervantia fitum revolvan- tur circa polos fuos B , C in fi^uf a ilta. lattif ea ve- ^ tb defeflbiint alteni ah- ^-^ gulotutn illorufii orwa CN, BNy cWKUrfu fao jK* vel i , Circulum fJSKQC. Sit CitGUll bnjas citterQfii O, Ab> hoc centro ad Regulam M N, ad q,uam aitera illa crura CN, B N interea concurrebant dum 8t PHILOSOPHIiE NATURALIS StMoTu ^™n Trajectoria dercribebatiirj demitte nohnalem O^i^ Gircato CoRFORUM occurrentem in K&L. £t ubi crura illa altera CK^ BKcait* currunt ad punctum illud K quod Regulae propius eft > crura pri- mz CP.y BT parallela erunt axi majori ; & perpendicularia mi- nori ; & contrarium eveniet fi crura eadem concurrunt ad puno* tum remotius L. Unde fidetur Trajectoriae centrum, dabuntur axes. Hifce autem datis > umbiiici funt in promptu. Axium vero quadrata funt ad invicem ut KHzd LH^ & inde facile eft Trajeaoriam fpecie 4atam per data quatuor punAa defcri* bere. Nam fi duo ex punAis datis conftitu- anturpoli C,jB,tertium dabit angulos mobiles IPCK^TBK; hisau- tem datis defcribi poteft ^ Circulus I B KGC. ^ Tum ob datam fpecie Traje6toriam >. dabitur ratio OHzA OKi ad- ebque ipfa OH Cen- tro O & intervallo OH defcribe alium circulum^ & recta qus tangit hunc circulum ^ & tranfit per concnrfum cm* rum CK^ BK^ ubi crura prima CP, BT concurrunt ad quar* tnm datum punctum erit Regula illa MN axysLS ope Trajectoria defcribetur. Unde etiam viciflim Trapeziiim fpecie datum ( fi cafus quidam impoflibiles excipiantur ) in data quavis Sectione Conica infcribi poteft. Sunc & alia Lemmata quorum ope Trajectoris fpecie dats» datis punctis & tangentibus defcribi poflunt. £jtts generis eft quody fi recta linea per punctum. quodvis pofitione datum duct* tur , qus datam Conifectionem in punctts duobus interfecet , & interfectionum intervallum bifecetur , punctum bifectionis tanget aliam Conifectionem ejufdem fpeciei cum priore , atque axes ba- bentem prioris axihus paralielos. Sed propero «d magis utilia. LEMMA PRINCIPIA MATHEMATICA. L EMM A XXVI. h LlBKS. Paimvs. ,..-—•" Trfaf/fftft /peeie & magnhu^sne dati tres angulos ad reBat totidem pojitione datas , qua non funt omnes paralleU ^ fingulos adjingulasponere, Dantur pofitione tres re^ infinita AB, ACt BCt & oportet triangulam DEF ita locareK ut angulus ejus ® lineam JBt aa-. galus £ lineam jiC', & angulus F lineam B C tangat. Super 7) E i 'DF & EF defcribe tria circnlorum feg- menu 7) RE^^DGF, E M Ft qus capiant angulos angulis^y^C, ABC', ACB «quales refpeftive. Defcriban- tur autem hsc fegmen- ta ad eas partes linea. rum2)^,0/s^Fut liters *DRE'D eodem ordine cum literis JB^fi.UteraeTCro eodem cnm literis ABCA^ & litenc EMFE eodem cum literis^Cff^in orbem redeant ; deinde com- pleaorar hscft^menta m circulos integros. Secent circaliduoprio' res fe mutuo in G, fint- qne centra eorum 7 & ^JunaisGy,Pg.,* cape Ga ad AB nt eil G y ad y g^ & cen- troG, intervillo GE in tf. Jangatar tom «2) fecans circulum fecundum 2>F \ PBlLC^O?Hra ' N ATORALIS .*—•*'•■' Dkl^fitv, -culum tertium EMEin/rEtiCanpi^eitw Figura ABCdef iimi- CokVbKajsi *lis & aqualis Figurae ahc^ET. TDicb faftiim, ..4gJtfM.eaiini^f ipfi.^^pccurt^^ &juxigairtur4G»^G. ^C;, :^\ 5P 2>. Ex conftruaibne eft apgulus r^ 2> ffiQOalis an- gfflb^J?/&atJgaIus-v' ^- •? , 7-.^ / ^ tf r /" squalis angulo -^C-S^ acieoque trian- guhitn a nc rtianculo ^ j4 BC aBquianguram: Ergo angulus anc feu ^ /'«©angulo ABCy adeoque angulo F60 aequaljs efl ; & propter- ea pundlum n incidit in punftum ^. Porro an- gulus GT^y qui di- mi^ius e(l anguli a() centrum GTD aqua- Ks eft an^ulo ad cir- cumferentiam Ga7>i & angulus G^y,qui dimidius efl anguli ad centrum G §ljn , s- quali^ eft complemen- to «d duos re^los an- guli ad circumferenti- am GbT^y adeoquea&^ 2ualis angulo G b a\ mtque ideo triangula Cktv/. Hmc te&a rV^iii,>cajaspaK,d;iltt l^e^^teo >f j9 ,<£ C intefpdni debiet}4^ applicanaGu:QnilrudionemjvaEceaen- teinaa hanecdafn a lolmur Froblema. ^ ^ PROPOSITia XX Vilt PROBLEMA XX. Tn^Bonam./pecie ^ mtgiiiM^H^ datameUfcriberei'^^^ fartes da^a rectis tribus pofitione datis iriterjacebunt, Defcribenda fit Tra)e(^oria (|os fit fimilis & sQaalis Lineae cur- vxDEF, (|U^qae a ire^ tribus yiBy yf C» .fiCpofitione datis. < t \ \ **' in partes datis hajus partibas 7)E 8c ^Ffimiles & «qaales feca- bitnr. Age re^sJDE, EFy 7)F, & trianguli hujus ©-EFpone an- gulos 2J. ^,/' ad reftas illas pofitione datas (per Lem.xxvi.ODeia arca triangulum defcribe Trajeaoriam Curvs 7) E F fimilcm & «qualcrt. . Q.E,F. 1 n PHILOSOPHIiE- NATURAi;iS : DsMoTu CO&POKUIA ^ '. * >/ r LEMAfA xi^Vii. ' '^T ' J]f') ' '■'• f ' ^ »1-1 \' •' .i €>f,r. 'Jf Trapeztum /pecje daium defmhere cujus af^tfli ad reBas fuatuor pofmone 4atas^ quie rn^ue omnes paraUeld funt ^ neque dd commune punBum cqnvergunt , ^ngttli adfm- gulas confiftent^ ..■:... Dentnr pofitione rcaae qoatuor jiBC, A*D^ BT)^ CE qn». S^5"°u f?^^ fecundam in ^, tertiam in 5 . & quartam in C: « d^cnbcndjim fit Tra^wum fg b i quod fit Traixio TGHl • • finrile, & cttjus anguru&/, angulo dato.Taequalis, tannt redtin ABC, caeterique anguli^,i&,f , cateri* angulis datis ent fegmenta ad eas partes li- oeamm FG, FHt FI , ut literarum FSgf idem fit ordo circu- larisqui literarumfi>^^^, utgue litere F/HF eodem ordine cura literis CBT>C, & literae Ff^IF eodem curo literis ^ C -E ^ iti orbem redeanti Compleantur fegmenta in circuios tntegros , (It- que T centrum circuU primi FS^ , & ^ centrum fecundi FTH, Jungajtnr & utrinque producatur SP ^, & in ea capiatur ^R in ea ratione ad T ^<]uam habet ^ C ad i^B. Capiatur autem ^R ad eas partes puncti ^ut literarum ? , ^, i? idem fit ordo atque lite- rarum yftBt C: centroque R & intervallo i?jf^defcribatur circulus quartus FNc fecans circulum tertium Ff^I in c. Jungatur Fc fe- cans circulum primum in a & fecundum in 6. Agantur aG , hH, cl, &FiguraB4^r/'G/^/fimilisconftituatur Figura ABCfgbii Eritque Trapeuum /]^ i^ < iilud ipfum quod conllituere oportebat. Secent enim circuli duo primi FSG, FTH (e mutuo in K. Jungantur y K, ^A", RK,aKybKrcK,&i producatur §? ad X, Anguli ad circumferentias FaK, FbK, FcK funt femifles angu« lorum FTK, F^K, FRK zd centra , adeoque angulorum illo* rum dimidiis L TK, L §^K, L R K xc^ilc^ Eft ergo Figura P^i? A^ Fiffurs abcK sauiangula & fimili», & propterea aJtii zdJc ut y§,ad ^R,id eft ,ut JB ad BC. Angnlis infuper F4G, Fb H, Fcl zquantur f^g , fBb, fCi per conftru6Honem. Er- go Figura abcFGHl Figura fimilis ABCfgbi compHert poteft. Quo rafto Trapezium fgoi conftituetur fnnfle Trapezio FGHl & angulis fuis/,^, b, i tanget reftas ABC AT), B^D , QE. %E.F. Corol. Hinc re^a duci poted cujus partes r re^ quatuor po& tione datis dato ordine interje^ , datam habebunt proportionem • ad invicem. Augeantur anguii FGH, GHl ufque eo , ut reAs FG,. GHt HI m diredum jaceant, & in hoceafu conftruendo Problema, duceturrefta/^Ai cujusparces/jf,^A>i&i, reAisqua* tuor pofitione datis-^^ & A^D, t^© ScBD^yBD&CE inter- je^, erimtad invicem ut lineae FG,GH, HI, eundemque ier- vabunt or^ein inter fe. Idem vero fic fic espeditius. f4 PHILOSOPHI^ NATURALIS n.M«^ ProdacMitur ^ J? nd K, & B^ adZ, vxSxBKtd ABy». SrpoJJm HI »dGHt &T>LzdB*D ut GI ad FG; & )anBitur iTii oc; anrresks red« C£ in // Producatur iLoA M, ut Gt LMndi L m GH idHI , & agatur tum -A/g,ipfi X ^ parallela reasaue /f © Qccarrens io g , tUto ^i fccans ^St 5 2) io /> *. ttco fac- Secet emm i»/^ reIr in i? ^/..v* Ot fit 2) L ad i? JL in cadem illa ratione , & ob proportionales gS ad g M, AS ad ^?', & *DS ad 2)Zr ; erit, ex squo, uc gS zd Lb lizAS^dBL&^DSiARLiScmxdm, BL—RL 9d Lif —BL ut AS-^DS ttdgS — AS. Id cd BR zd Bb m AT> ad Ag adeoque m BT) ^dg^ Et viciffim BRzdB^D vA Bb Ad g^, feu fb ad fg. Sed ex conftrudione linea B L eadem ratione fe, 52) & C£ po- fitione datis , prioia primis » fecoadi feciiadfB y tertia cer- tiis iBteriac«Ant. . AAis re^« ;JkL— -. FG,GH, HI^FI, dekvi- «T banr (pcr Lem. jixvit ) Trapeiiiim /^ i& i quod fit Trapeiio F^ HI fimile & cujus angufi^^.^&ii tangant reAas illas pofitioife d»- tas K^B, A^D, Bl>, CE , finguli finguTas difto ordine. Deire drca hoc TrapeuM» defcribaittr Trajeooria curv» Lines FGHi coDfimilis.. SchoISum S6 PHILOSOPHI^ NATURALIS DiMoTU CORPORVM Scbolium, . Conftrui etiam poteft hoc Problema nt fequitur. Jundis FG, GH, HI, FI produc GF ad V, jungeque FH, IG, & angu- lis FGH, f^FHhc angulos C^A, *D J L aequales. Concur- rant ji K , AL cum reda B^D va K ^ L , & inde agantur KM, L N, quarum K M conftituat angulum ^i^ Af aequalem angulo GHI, fitque ad AK ut cf!t HI zd GH, Sc LN cooSd- tuat angulum AL N squalem angulo F H I , fitque ad y^ Z« ut HI ad FH. Ducantur autem AK, KM, AL, LN^d eas par- teslinearumt>tf2), AK, AL, ut litera CAKMC, ALKA, 5D AL NH eodem ordine cum literis FGHIF in orbem redeant; & acla MN occurrat redae C E in /. Fac angulum i ET «qua- lem angulo IGF , fitque TEzd Eiut FG ad !riP per coipus mocnm P perp^tuo tranf- eunte , velocitas pun^li H eft ad velocitatem quam corpus liabuit N ia p^Upxf in vertice ji^ ut 3 ad Sj adeoque in ea ^tijkm^ratioae cfi linea Gff .Cq^?9^uM,^^ lineam reftam quapl C^rpus^ftilm^ore ipotusfui gb ,^^ad P, ea cum velocitate quam habuit in vertice j4^ defcribere pofTet. Corol. 3. Hinc etUli^ Vvic ver(a'iAv^(n pot^ tcmpus quo corpus defcripfit arcum quemvis affignatum ^T. Junge j4T & ad mediiun ejv)s^up6|iHQ eti^ p^rpepdiqt^Ipip reifia^ circa quod ceii poluni* revolyatur perpetuo linea refta, :ttnif9rmi cum motu; & interea in rcAa illa exeat pundum mobile de poIo> pergatque femper ea cum velocitate , quae fit ut t^^^ illius intra Oralem quadraium. Hoc motu pundum.illud defcribet Spiralem gyris infinitis. Jamftarea^ Ovalis a reda illa abfcilTs incrementum. pef finitam acqQaticmem inveniri potefl , invenietur etian» per.eaoiicm sauationem difbinita pundi a polo > qus huic arex {Kf^pfortioniEdis eit > adeoqiie omnia Spiralis punda per sequationemi finitam inveniri p^ofTunii: & prop- V«re^ rf ft«. cojusvis pofition^ dai» . iRteffe^iQ eam' Sjjifali tnve* Uiri ctiam potefl; pec acquatiqnenjf finitanj. Atqui r^ «^a omnis: ipfinite produi^a Spii^em fecat in puoi^is numeifo in^nhis» & ^uatio,qua interfe^lio aliqua duaruna JinearuminvQnitur,e3(hibet teum interfe<^ones omncs riidicibus cotidem , adeoque afcenditad \Qt dimeniiones q^uoc fUrUt imerie(%ioqes. Qtiooiam Cir^^Qji duo fe mutuo fecant in pun^is duobus » interfedio una noo mvefiictur Hifiper aEsquatioa.em dwuna- di^BeiifiefHimL, qua interfe^o alter^ etiam inveniatur. Qupniam duarumfeftionum Copicarum q^aatuor effe pofluBt interfedliones , non potefl aliqua earum generaiiter in- veniri niiiper ^quafrioRefn quatuor dimenfionum , qua omnes fi- liiul iivveniaftrui^ Naet ODMi^s Ihterf^Aiddes fkniil comple^ d^ iiidifierenter exhibere. r » PRINCIPIA MATHEMATJCA- 99 Unde etiam interfediones. SeAionum Conicarum & Curvarum Libih terria poteftatis, eo quod fex efle poflunt, fimul prodeunt per Pr^mus. «quatioiies fex din^&ikmum , & interfe^^iones duarum Curva- luin tertia? poteftatis, quia novem cfle poflunt , fimul prodeunc per au]iiationes dtmeniionuffl novem* Id nid neceflario fieret 5 reducere liceret Problemata omraa Solida ad Piana 3 & plufquatt Solida ad Solida. Loqtior hic de Curvjs poceflate irreducibili^ bus. Nam fi asquatio per quam Curva definitur 5 ad inferiorem poteilatem reduci poflit : Curva non erit umca , fed ex duabus vel ploribus compofita , quarum ittterfeAiones per calcuios diver^- fos feoriim inveniri pofliim. Ad eundem modum interfe6^iones bio^ redarum & fetiioiium Conicarum prodeunt femper per tt- quationes duarum dimenfionum ; cems re<^rum & Curvarum ir* reducibilium tertiae poteibtis per cquationes trium , quat^rn^ reftarum & Curvarum irreducibilium quarts poteilatis per dsqua- tiones dimenfionnm quatuor, & fic in infinitum. Ergo re6lae & Spiralis interfe^iones numero infinita^ , cum Curva hec ' fic fim* plex & in Curvas plures irreducibilis , requirunt squationes nu« mero dimenfionum & radicum infinitas 3 quibus omnes pofllmt fimul exhiberi. £il enim eadem omnium lex & idem calcutus. Nam fi a pola in redam iliam fecantem demittatur perpendicu^ lum , & perpendicttlum illud una cum fecante revolvatur circa po« lam j loterfeAiones Spiialis tranfibunt in fe mutuo^ quxque prima erat feu proxima , poit unam revolutionem fecunda erit » poil duas tertia, & fic deinceps: nec interea mutabitur aBquatio nifi pro mu- tata magnitudine quantitatum per quas pofitio iecantis determina- tur. Unde cum quantitates iilae poit fin^ulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas , aequatio redil^rr aid formam primam , a- deoqne una eademque exhibebit interfediones omnes , & prc^ter- ea radices habebit numero infiirttas^qjiibus omnes exhiberi poiTunt. Nequit ergo interfedio re^ae 8i\ Spiralis per aequationem finitam generaliter inveniri , & idcirco AuIIa? extat Ovalis cujus area i rec- tis imperatis abfciila , pQfilt per talem a^quationem generaliter Eodem^Vgumento , fi intervaIIum;poli & punfti, t^uo Splralis defcribittttx capiatnr Ovalis perimetro abicifl^-proportionale , pro- bari poteil quod longitudo perimetri nequit per iinitam aBquatio- nem generaliter exhiberi. De Ovalibus autem bic.Ioquor qua? non tanguntur a figuris ^conjugatis in infioitum pergentibus. N 2 Coro^ lOO COKTORUM PHILOSOPHI^ NATUJ^ALIS Corollarium. area Ellipfeos, quas radio ab umbilico ad eorpus imobife du^lo defcribitur , non prodit ex dato tempore , per sequatio* nem finitam ; & propterea per defcriptionem Curvarum Geome- trice ratiohalium determinari nequit. Curvas Geometrice ratio- nales appello quarum pun(^a omnia per longitudines squationi- bus dennitas , id eil , per longitudinum rationes complicatas , de- terminari pofTunt ; ceeterafque ( ut Spirales 3 Quadratrices , Tro- choides ) Geometrice irrationales. Nam longitudines quas funt vel non funt ut numerus ad numerum (quemadmodum in deci- mo Elementorum ) funt Arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur Ellipfeos tempori proportionalem abfcindo pef Cur- vam Geometrice irrationaiem ut fequitur. PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XXIII. Corporis in data TrajeBoria Elliptica moti invenire loeum ad tempus ajjignatum. troque 0 & intervallo OG defcribecirculum^/^C?, & fuper regu- la (?//,ceufundo»progrediaturRota G^T^revoIvendo circa axem fuum , & intcrea punfto fuo A dcfcribendo Trochoidem AL I. Quo PRINCIPIA MATHEMATICA. lof Qjioftfto, cape GKin radcme ad Rotae penmtttumG E FG , ut L«fc»t eft tempus quo corpus progrediendo ab y^defcripfit arcum uiT, P*»*»"' ad tempus revoluiionis unius in Ellipfi. Erigatur perpendiculum aL occurrens Trochoidi in Z,, & afta £,7» ipfi KG parallela oc- curret Ellipfi in corporis loco quaefito T. ' Nam centro O , intervallo Oj4 defcribatur femicirculus A§>Bi & arcui y/^occurrat L P produfta in ^, junganturque S0^&. Arcui -fi/^Goccurrac O^in F» & in eandem O © demittatur per^ pendiculum SR. Area ^TScHt ut area ^^S,id eft, ut diffe- rentia inter feftorem O^jiSc triangulum O^S , fiveut differeU- tia reaangulorum \ O^xA^ 8c ^ 0£x SR, hoc eft, ob datam i O^, ut differentia inter arcum ji^Sc reftam SR, adeoquerob'' squalitatem datarum rationum SR ad finum arcus y/i) , O J adO^, 0/#adOG.^^ad /^) ut G A: differentia inter arcum G F & finum arcus A &, Scborium. « Caeterum, cum difficilis fit hujus Curvae defcriptio, praeftat fo- lutionem vero proximam adhibere. Inveniatur tum angulus quidam B,qai fit ad angulum graduum s7» ipf78,quem arcus radio «qualis fubtendit , ut eft umbilicorura diftantia S H zd Ellipfeos diame- trum AB\ tum etiam longitudo quacdam L, quae fit ad radium in eadem raiione inverfe, Quibus femel invemis, Problema deinceps confit per fequentem Analyfin. Per conftrudiionem quamvis (vel ntcunque conjec- O^ turim faciendo ) ^^^^^\t """^^^^w cognofcatur cor- ^"""^1' v ^T^^v poris locus T pro- /^^.y^n^^' ^***'"**'*^^ " ximus vero ejuslo- /O^ /l/* 11 ^*\\. " co^. Demiffaquead //^ 1 A «1 ^v\! axem Eilipfeos or- f/ 1 /\ \| VV dinatim applicata j/ // \ ^'-i \i 9 Ry ex propor- jf j/ j [U >J tione diametrorum r j/ I t i 1'' ElUpfeos , dabitur X. ^ \ l\ ' Jr " ' 4 ■ Circuli circumfcri> ffl 3«. ^ o fi B pti A§lB ordinatim applicata .^^,guaB finuseft anguli.^0^exi. llente AO radio. Sufficic angulum illum rndi calcuio in numeris proximis iAvemre. Cogaofcatur etiam aDguhis lempori pi'opor*-' N 3 tionalis» \ t,oi PHILOSOPHIiE NATURALIS ©E Ms R f* o ^ _ ^ r ut Ellipfeos axis minor ad axem majorem , habebitur corporis locus corre^us /. Si quando angulus N — ^O^ -♦- D negativus cft, debet figflum-4-ipfius E ubique mutari in— j&^fignum-in-^. Idem intellimmtum eft de fignis ipforum G & I , ubi anguH ^TL^i^t-^-^ F , & N - ^^_E—G -hH negativi prodetint. Con vergit autem feties infinita ^O ^-4- E -t- G -f- 1 &c quamcelernme , adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum fecundum E, Et fundatur calculus in hoc TJjeoremate , quod area c^ ;tP Sfit difterentia inter arcom A €> Sffi!^'^™ . umbilico *$• . in Radiom O ^ perpendiculariter dc^ ^ Non diinmili calculo conficitur Problema in Hyperbolt. Sit em$ Cemtum O, Vettex J, Umbilwus J & Afymptotps OK. C^! nofcatur TfRlNCIFIA MATHEMATICAl W noicatnr quaadtas aree abfcittdeiida& tempori protrortknialta; 6iit oi J^"^ 7 A,& fiat coDJedura de pofitionc Tt^ixS^PfqKkBdzrotmATSMax^ Pamw»; dat ?er£ proKixDam. Jttngatur OTMHfy 4&L tP ad Afympto- toa agantiir AI^TK Afy npf o- to alteri pafaHela?, & per Tabu* lam Logpu-ithmorttm dabitur A* rea AlKTj eique SBqualis area OT Ay qu« fubdufta de trian- gulo O y^rdiwjpaetaream ab- fciffan> j^^rS; ApplUSmdp a^reae abfciDdeodaB A ^!^ abfciflaB X'P^ ^ differentiam duplami y^Pcy-^r- x A vel X A— x-^P«$*ad lineam ^yiNT, quaeab umbil!co*yin tangei»^ tem y^T^perpendicularis eft,orietur longitudo chordaey^ InfcrK batur autem chorda illa T^ inter AikT^ fi areaf abfciffa t^T S major Gi area abfcindenda A, fecus ad pun6^i T contrarias partes: & pun^um ^erit locus corporis accuraiior. Et computatione xt^; peiita invenietur idem accuratior in perpetuum. Atque his calculis Problema generaliter confit Analytice. Veruta ufibus Aftronomicis accommodatior eft calculus particularis qui fe-. quiiur. Extftentibus AO^ OB yOT> femiaxibus Ellipfeos , & L ipiius latere refto , ac D differeniia inter Xemiaxem minorem 02)^ & lateris reAi femiffem i L; quatre tum angulum Y, cujus finus. fit ad Radium ut eft reftangulum fub differentia iila D , & femi- fumma axium AO -^ 0T> ad quadratum axis majoris AB ; tum angulum ^,cujus finus fitadRa- dium ut eft duplum redangulum fub umbilicorum diftantia ^H & differentia illa D ad triplum quadratum femiaxis majoris A O. His angulis femel inventis ? locus corporis fic deinceps determinabitur.. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus B T defcriptus eft , feu mo- tui medio ( ut loquuntur ) aequalem ; & angulum V ( pri- mam medii motus cequationem ) ad angulum Y ( aBquationenv imyiaaifi; primam ^ ut eft finus dupli anguli T ad Radium;; atque: io*^ PHILOSOPHIiE NATCRALIS CrMoTo atqiie «ngalam X (squationetn fecandam) adangulam Z (aeqaa* GftapoRUM tkmem maximam fecundam ) ut eft cubus finus anguli T ad cu- bum Radii. Angulorum T, V, X vel fumms T -h X-4-V , fi an- gulus T refto minor eft , vel difFercntiae T -t- X — V , fi is refto major eft reAifque duobusminor, squalem cape angulamj^//? (motum medium squatum;) &tf» H^P occurrat Ellipfi in y, ac- ta 4^ SP abfcindet aream i? «$' P tempori proportionalem quampro- xime. Hsc Praxis latis expedita videtur , propterea qaod angu- lorum perexiguorum V & X ( in minutis fccundis , fi placet , po- iltorum) figuras duas trefve pri* mas invenire fuificit. Sed & fa- tis accurata eft ad Theoriam Pla- netarum. Nam in Orbe vel Mar- tis ipfms , cujus iEquatio centri maxima eft graduum decem , er- ror vix luperabit minutum unum fecundum. Invento autem an- Sulo motus medii «quati B HT\ angulus veri motus BST i diftaniia ST in promptu funt per ff^ardi methodum noiiffi- mam. HaAenus de motu corporum in lineis Curvis. Fieri aatem po- tcft ut mobile re^Sa defcendat vel refta afcendat, & qus ad if- dufmodi Motus fpe^ant, pergo jam exponere. SECTIO J PRINCIRIA/ MATHEMATICA. lof I . M P&IMUt. S E C T I O VII. I « J)e Coyfcrum aAjcenJu €5* Defcenfu RetShlfneoi •T PROPQSITIO XXXII. PROBLEMA XXIV. Pfifito quod sth centripeta fit rectproce proportiortetfis qua* drato diftantta locorum a centro , Spatta defintre qtta cor* pus reBa cadendo' datis temporibus defcribit. Caf. I . Si corpus non cadit perpendicula- riter defcribet id i per Corol. i. rrop. xm, Sedionem aliquam Conicam^ cujus umbili- cus congruit cum centro virium. Sit Sec- tioilla Conica ARTB & umbilicus ejus «$*. £t primo fi Figura Ellipfis eft » fuper hu- JQS axe majore A B defcribitQr Semicircu- lus A^D B , & per corpus decidens tranfeat reda 'DT C pei-pendicularis ad axem ; ac- tifquc 'DSjTS erit area ASD are« tAS T atque adeo etiam tempori proportionalis. Manente axe AB minuatur perpetuo la- titudo Ellipfeos ; & femper manebit area /iS^ teinpori proportionaUs. • Minuatur - laiitudo illa in infinitum , & , Orbe ATB jam coincidente cum axe A B & iimbili- co S cnm axis termino B , defcendet cor- pos in «da AC) & area A B7) eva^et tempori popotti<^alis. . Datntur itaqiie Spatium AC, \ ouod corpus de k)co A perpehdiculariter caden- dotemporfrdato aefcribit, (i modo tempori proportionalis capiatur area AB7), & a pundo 2> ad.reftam AB demittatar perpendicu» Ims^C.^E.l ar. nrt P.mE08; ScareaSTfB proportiQnalis eft temporL qno corpiK 7* movebitur per arcum , ¥/B; erit etiam atOL ST) E B eidcm leropori proportionalis. Minnatur latus reAum Hyper- bois BTB iii iniiaitum maoen- te latere tranfverfo , & ctsbit ar- cns y B cum refla C B& umbi- • Kcus S cum vertice B & refta S 2) cum reaa B 7). Proinde »- Ki BTl E B proportionalis erit tempori quo corpus C reflo i defcenfu defcribic lincam C B, Caf. 3. Et fiitiil! argumento fi Figura R T B, P^rabol» eft , & eodem vertice principali idefcri- batur alia.-^rabpla B E 1), quje femper ,iiianeit data inleretk dvnt Parabola prtot iii cnjus perimetro ciHpiK ¥ moTetnr, dimiOBto & in nifailum redafio ejus huere reflo, coaveniM cum lioei CBt fiet fegmentum Parabolicum BD.BB propotiomle tempon <^o cor- pus aiud T vel C defcendet td oeouum S Yel B. ^ £. /. \PR0P0SIT10 XXXIII. THEOREMAIX Pcjitis jam imeiitis , Jict qutd ccrfiirit cadetttis yehcitas in loca qumis C tfi ad veUettatem cerptrii centre B 'tmer~ voU» BC Circulum defcribentis , in fuhdufUcata ralitMe quam ACj difantia corforis a Circuli vtl HyperbeLe rtSanfule vertice uiteriore A , iaiet ad Figur^i femi- tbmietrum frineipaJem 4 A B. Bifecetur.rf5,commnnisutriufqueFigurs./J75,23£'Bdiaine- •cr.in Oi& agatur.refta yyqus (angatFiguram .fiffi in i>,atque .etiam. FILINCIPJA MATHEMATICA. t6f etiam fecet communemillamdiametrum AB(^C\ opas efiprodaAam) ^««•Kir inr, fitque Jrad hanc reftam, &^fi^ad t^ '?«-««,. faaac diametrum perpendicularis , atque Figu- tasRTB latus redum ponatur L. Co&fiat per Cor. 9. Prop. xvi , quod corpOris in li-. negJiPB cir^a centrum *$" movends veloci- tas HL loco qnovis P -fit «d v^loclta^m cotp poris iatervallo ST circa idem centramCif- culum defcrit^entisiniubdupltcata rationerec- tanguli i L X^y y ad ^ r quadratum. feft au- tem ex Conicify^CJ? adCPf ut 2:^0 adL, adeoque JCB' ®,BC ^^*^*^^ tado CT , fic ut punftum T coeat cum pundo C, pundiumque S cum pundo B, & linea ST cum linea 5C,Iineaque ST cxim Unea B^i^ corporis )am reAa defcendentis in linea C5 velocitas fiet ad velocitatem corporis ceatro B intervallo B C Circulam defqii- bentis, in fubduplicata ratione ipfius -^^^^^^ ad S Tq; boc eft ( negleflis flequalitatis ratiombus ST zd BC & STq) in fubduplicata ratioae ^C ad .^0 five ^ AB. ^ El Corol. I. Punais B ^ S coeuntibus, fit TC ad TS ut -^fCad AO. Oml. i. Corpus ad datam a centro diftantiam in Circulo qoo- visrevoivens, motu fuo furfum verfo afcendet ad duplam fuam a ceotio diftantiam. 0% PROPO- io« PHILOSOPHIjE naturalis S,«'7S. PROPOSITIO XXXIV. THEOR.EMA X. SiFiffirahBDParaMaefi, dico quodc^rforh caieuus [ , /^ Jt^ Velocitas in loco quovisC^«y Circulus eft vel Hyperbola , bifccc- L'» « tur ejus tranfverfa diameter AS in O , & erit SO dimidium laceris redi. Et quoniam eft TC ad r© ut Cc ad ©d t (]uae,fi magnitudo ea- rotn minuatur & numerus augeatur in infinitum , ratiohem obti- nent squalitatis , & propterea( per Corollarium Lemmatis i v) «reae totae fimul genitae funt femper aequales. ^E.7)>. .* j Ca/. X. Quod fi Figura.SJSJ* Parabola fit, invemetur efl!e utfu-^ pra CDXCc ad STY.Dd ut TC^^TS^ hoe eft ut z ad i . adeo- que \ CDxCc aequale eflei STxDd. Sed corpotis cadentisve- focitas in Caequalis eft velocitati qua Circulus inteFvaIIo<7 iS^Cuni- formiter defcribi poffit (per Prop.xxxiv) Et haec velocitas ad ve- locitatem qua Circulus radia SK deferibt. poftit , hoc eft ,lineoj3> Cc ad arcum Kk ( per Corol. d. Prop. iv ) eft in fubdUpIicata rati,one SKtdi SC\d eftjin ratiohe SK ad \ CD. Quare eft \ SKycKk sqnale 7 CDy.Cc , adeoque aequale \ STxDd, hoc eft , afe» KSk ae^ualis aceae SDd, ut fupra; ^E.D. O j. FRO P O^ fxo JPHILOSOPHim NATURALIS DiMoti; PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMAXXV. CorporU de loco dato A cademtt dettrmmare Tempora defcenfm, Soper diametro AS (diftantia corporis a ccn- tro fub initio ) defcribe Semicirculum Al^ S , ui & ^huic squalem Semicirculum OKH circa ccn- trum S. De corporis loco quovis C erige ordina- lunge' i"©, & areaB ASD laorcm OS K., Patet per Prop. xxxT, , quod corpus cadendo defcribet 4pa-. ^ tium A C eodem Teroporc quo corpus aliud u- nifdrmiter circa centrum S g yrando • defcribcre pot^ arcum OK. ^E. E HU PROPOSITIO XXXVa PROBLEMA XXVI. CorporU de hco dato fitrfum vel deorfam projeffi defmire Tempora afcenfm vel defcenjm^ Elzeat corpus de loco dato Q fecundum lineam A S G cum velocitate quacunqne. In duplicata ratione hujus velocitatis ad Qoifbrmem in Girculo velocitatem, qua cor- pos ad intervailumdatumtfGcircacentrum S revolvi poiTet , cat>e G A ad ^ A S. Si rttio ilia eft nomeri binarii ad tmita- tem , pundum A infinite diftat , qno ca- Ai parabola vertice J*, n.eS C, latere quo* vis reSo defcribenda eft. Patet hoc per Prop. XXXIV. Sin ratio illa miiK>r vel ma- )or eft quam x ad i , priore cafu Circulos , pofteriore Hyperbola re^angula fnper di- tmetro S xjl defcribi debet. Patet per Prop. xxxm. Tum centro S , intervallo •^iiante dimidium lateris redi , defcribatur Circulus H Kk, & ad corporis afcenden* tis vel defcendentls loca duo quaevis G, C, erigantur perpendicula GI,CjD occurren- tfa Conks SeAioni vel Circulo in/ac 2). Dein ffRmCIflA MATWEMATICA. nn Deia )im^s Sl, SD, fiant fegmeotis SEIS, SE^DS, feftores Ltici HSiC, HSk aequales, & per Prop. xxxv. corpus G defcribet fpa-^*'»*^^ tiam GC eodem Tempore quo corpos K defcribere potefi arcnia Ki. "s^ S, F. PROPOSITIO XXXm THEOREMA XII. Pojito qttod Fts ctntripeta proporUonaUs fit abitiu^i fetr diftantide locorMm a cetttro y aico quod cadentium Tempo^ ra , Felocitates & Spatia defcrtpta funt arcubus ^ arcuum* que Jinibus rcBis & finibus verfis re/peBive proporti^ naUa. Cadac corpus de loco qaovis A fecufw dum re^am ASi & centro virium *$*, in- tervallo AS^ defcribatur Gircnli quadrans JE 3 fitque C2> fmus redus arcQ9 cqjus- vis yf®5 &corpmAp T^mppre j12>r cadendo defcribet Spatium AC ^ ifiqu& loco C acquiret Velocitatem^ C ^. Demonfiratur eodem modo ex Pi^opoii- tione a:, quo Propofitio xxxu» exPropo* iltione XI demoaftrata fuit. Corol. 1. Hinc ^Kfiialia fimtTempora quibus corpos mitim ds co A cadendo pervenit ad centrom S , & corpus aliud reYolvendo* defaibit arcQm quadrantalem^ A^DE. 9 Cml, 2. Proinde aqnafia furit Tempora omiua qtubuscorporadfe- locis quibufvis ad ufque ceotrum cadont. Nam revolventiwn tem^ poraomnia periodica (per Cbrol.a>Pcop.iv.) sequantur. •>u* iPl MOTV Coijipokum' :ii£ PHILOSOPHIiE NATURALIS PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XXVH. Pofita cujufcunqu€ genem Vt centripeta , Sf concejjis figura- rum curviUnearum quadraturis , requiritur corporis reBa afcendentis vel defcendentis tum Velocitas in locis Jingulis , tumTempus quo corpus ad locum quemvis perveniet : Et contfa» •; pelbco quovis-^in re E datse longitudinis , mque ® L F\oz\x% lineae E MG ubi corpus verfabatur in £>; & fi ea fit vis centripeta'9 ut zresd.ABGE latus quadratum fit ut defcendentis velocitas » erit area ipfa in du* plicata ratione velocitatis , id ell » fi pro velocitatibus in7) 8c E fcribantur V & V^-Ierit area ABFT> ut VV,& area^f JSG£ ut VV^z VI-^II, & divifim area2)Fff £ut x Vl-+^ lU adeoque 1}FGE , 2.VI+II .. a r • ... c .• ' ^,^ M ut ij^ ^. , id eft > fi prima& quantitatum nafcentium "DE VI rationes fumantur , longitudo 2) F ut quantitas ^^ , adeoque eti- ixv am ut quantitatis hujus dimidium iTS-r; • £A autem tempus quo corpus PRINCIPIA MATHEMATICA. lo corpns Cfldendo defcribit lineolam 2)^ , nt lineoia illa direde & Libkr. Telocitfls V inverfe , eilque vis ut velocitatis iocrementum I direde Pkim«s. & temptts inverfe , adeoque ii prims nafcentium rationes fuman- IxV tor , ut -^^ >^c efi, ut.longitudo 'DF. £rgo vis ipii 2)i^vel EG proportionalis facit ut corpnsei^.camVelocitatedefcendfltque fit ut arefie AB G E latus quadratum. ^E.^D. Porro cum tempns , ^uo cinelibet longitudinis dat® Itneola ^E defcribfltur, fit ut velocitfls inverfe fldeoque nt flreae ABFT> latns quadrflKam invafe-,fitqae tj^ Z> , fltque; fldeo flrea.nafcens 'DLME^ ut ideni: latus qwidrfl.tum in^erfe : erit tempus ut. area DLMEtdc famfflfl. omninm tempoFOmnt fumma ompinm arearum , 'hocefi: (per Corol. Lem.iv.) Tempus totum qoo linefl AE defcribit.iv ut area tota AME. ^E.T). Corol. I. Si ? fit locus de quo corpus cadere debet, ut, nrgenr te aliqufl uniformi vi centripeta nota ( qualis vulgo (upponitur Gra- vitas ) velocitatem acquirat in loco x) sequalem 'velocitati quam corpus aliud vi quflcanqne cadensacqaifivit eodem loco 7), & in perpendiculari !Z)Fcapiatar 'DR , qus fit ad 7>F ut vis illa uni- formis ad vim alteram in loco T) , & compleatur redangulnm T^DR §1^, eique ffiqaalis flbfcindfltur arefl ABF^D ; erit .^Iocus de quo corpus alterum cecidit. Namque completo redangulo *D RS E, cum fit area ABF^D ad arcam © FG-E ut V V ad 2 VI, fldeoque ut ^V fld I, id eft, ut femiilis velocitatis totius fld iacrementum velocitatis corporis vi insquabili cadentis ; & fimio litcr area Tl^R^ ad aream T> R. S E ,\xt ievoAffxs vclocitfltis totias ad incrementum velocitatis corporis^ uniformi vi cadentis ; (int^ue incrementa illa ( ob xqaalitatem temporum nafcentium } ot Vires generfl^rices, id eft, ut ordinatim applicats 2) F, 'DR, adeoque ut areas nafcentes 'DFGE, ^RSE; erunt ( ex squo ) ares totae ABFT), T^R 2) ad invicem ut femifles totarum velocitatnm, & propterea ( ob aequalitatem velocitatum ) zquantur. Corol. X. Unde fi corpus quodlibet de loco quocunque 2) data cum velocitate vel furfum vel deorfum projiciatur , & detur lex vis centf ipetse , invenietur velocitas ejus in alio quovis loco e , erigen- do ordioatam eg , &: capiendo velocitatem illam ad veiocitatem ia loco © ut eft latus quadratum reftanguU T^R^D area curvilinea 'DFge vel aa6li , u locus « eft loco fZ) inferior , vel diminuti, ft is fuperior eft , ad latus quadratum reftanguli folius 2* ^RT> , id . eft,m V T ^R^D^whl—^Fge ad V P^RT>. . P Orol^ 114 PHILOSOPHIiE NATURALIS Di Moro OrU. 3. Tei&|Mis qttoque ifinocefcet erkeodo onHDattm tmrt- GonpoiiVM ciproce proportionalem lateri quadrato ex T ^R 2> -^ vel — ^Fg t» & capiendo tempas ()uo corpus defcripfit lineam ^D^ ad tempiis quo corpus.alterum vi uniformi cecidit a P & cadendQ pervenit ad i) ,ut area curvilinea *DLmetid reftangulumxl^!DX'Z)Z'. Nam- que tempus quo corpus vi uniformi defcendens defcripiit lineam T^^^D eft ad tempus quo corpus idem defcripfit lineam TE\n fub* duplicata ratione Px) ad TE, id eft (lineola 2) £ jamjam nafcen- te) in ratione tP SD ad y© ^i2)£ feuxy 2) adx ?©-<- !D-E, & divifim, ad tempus quo corpus idem defcripfit lineolam ^Eut z^^Dzdi^DE , adeoque ut redangulum iT*Dy.'DL ad aream 5D L ME % eftque tempus quo cOrpus utrumque 'defcri pfit Hneolam 2) £ ad tempus quo corpus alterum inarquabili motu def & / velocita- tes JP-R.INCIPIA' ^«ATHEMATICA. nt tes sqotlesb iQuoninm dtftaatfe CIDi CI squaotur , crunt vl- Libb T«s centripetse in 2) & /sequales. Exponancur hs vires per ae- P^jmu qaales Uneolas DEi IN% & fi vis una /iV^(perLegnmCorol.s.) refolvftcur in duas NT& ITt vis ^7*, agendo fecundum lineam iNTrcorporiscurfui /T^iTperpendicuIarem > nil mutabic velocica* tm corporis ia curfu illo t icd retrahet folwnmodo corpus a cur- fu re^ilineoifaciet^ue ipfum de Orbis tangente perpetuo deflede^ re, inque via curvihnca ITKk progredi. ui hoc eitedu producen- do vis illa tota confumetur : vis aucem altera /7*, fecundum cor- poris cnrfum agendo » tota accelerabit illud , ac dato tempore qoam mittimo acceleratiooem generabic fibi ipfi proportionalem. Proinde corporum in 2) & / accelerationes squalibus tonpQri- bas h&st (fi fumantmr linearum nafcentium 7i>E, IN, IK,ITt iVrrationes prims) funt ut lines 'D^Et IT: temporibus au- tem insqualibus ut lines illi^^firtei^pra conjunt^m. Tempora mtem quibus 'DE & IK deffribui^urrob xqualicatem velocita- ••; tum font ut vis defcriptae *D E & IK, adeoque acceleratioQes^ in curfa corporum per lineas 'DE8c IKJntit ut 'DE& IT, ©jB & IK conjunaim , id eft ut *D £ /fuad. & ITXIK re£iangulm. Sed reSiangulum /T^X/A^squale eft INquadrato, hoc efl.squale *DE ^adrato *, & propterea accelerationes in tranfitu corporum a 'D<AE&K squales generantur. ^quales igitur funt cor- p » porum I I M PHILOSOPHIiS: NATURALIS iJe MoTu ^brotn velocitatcs \n E Sz K &eddetn argomento fempei^ repetie»- Co&FoRUM tur squaies in fubfequentibtts squalibus diftantiis. ^ E. 7>. ' Sed o: eodem argumeino c6rpora squivelocia & squatiter a cen- tro difiantia , in afcenlu ad a^quales diluntias aequaliter retardabun- t^ir. ^E.^. : ; ' Corol. I. Hii>e fi cot^pus^vel liinipendulutn orcilletur , vel impe- dimento qudvis politiffimo & pe^fe^k lubrko cogatur in linea cih*- va moveri , & corpus a>liud re^a aicendat< veldefcendjat, imtqHe velocitates eorum in eadem quacunque altitudine aequales : erunt Veiocitates eorum in aliis quibufcunque asqualibus ahhudinibus ae- quales. Namque impedimento vafis abfolute lubrici idem pra^fta- tur quod vi tranfverfa NT. Corpus eo non retardatur , non ac- celeratur^ fed tantum cogitur de tttrfu tediilaeo difcedere. » . I Corol. r. Hinc etiam fi quaniitas P /5t m^xima a centro diflannV «d quam corpu^ velofcillans vel ijo Trajeftoria quacunque revol- '^fj^*'^^?'^^ q»»?ls TrajeftoriaB punfto , ea quam ibi habet velo- citat^;furfum.proj.ejaura afeeaderepoflitf fitque quantitasAdifttn^ Via corporis a centro in «lio quovis Orbitae putjao, & vis ceBtrloe. U fcfnper fit ut ipfiu. A dignltas qu^Jibet iw,.cajus ^« Lf\ ,ei\ numerus quilibet n timtate diminutus ; velocius corporis in omni a^titudine A erit uti/P' — A-", atque adeo datur. Ntm- -SKn^''^''"^ "^?^ «fcendcf"^^ «c delbendcntis. (per Ftap, «»?) titifi hac ipfa ratione. ^ *^ ^ ***** j PROPO. \ PRINCIPIA MATHEMATICA. jtt? •; ' «. •' . LlB-EK PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXVIil. Paimus, Poftta cujufcunque genens Vi cenfripeta^ conceffis figura^ rwn curvtlinearurn quadraturn , requiruntur tum Tra" jeBoria. in quibus .eor&ora .mfivehuntur ^ tum Tempora mo" ittum ih T^afeBpriis tt^en^s* Tendat vis quaelibet ad centrum C & invenienda fit Trajeftoria yiTK /t. Detur Circulus A^^r centro C rntervallo jiuovis CV, defcriptus , centrocj^ue eodem defcribantur alii quivis circuli /2), K E TraJe<5lOriain fecantes in / & /f reftamque C K in 2) & E. Age tumredam CiSr/Jr fecantem circulos Ar.£, VTin N& X, tum redam Ci^ r occurrentem circulo V X T in T. Sint antem punverocitatem acquirat aequalem velocitati corporis prioris in /; & (lantibus qus in Prbpoutione xxxix , li- nQoU IK, dato tempore quam minimo defcripta, erit ut velo- citas atque adeo ut latus quadratum ares A B FT>, 8c triaDgo- lum ICK tempori proportionale dabitur, adeoque KN ent reci»- proce ut aTtitudo / 0*, id eft, ii'detur quantitas aIiquaQ,& alti' tudo /C nomittetur A, ut^.Hancquantitatem^ nominemusZ» & ponamus eam efle magnitudinem ipdu^ Q ut fit in aliquo cc- fii VABF^D ad Z ut efl JKndKN,& erit inomnicafu vABFD ad .Zut IK ad KN, & ABF^D ad ZZxxt IK q. ad K N q. & divifim ABF^D— ZZ^d ZZ ut IN quad. ad KN quad. ,-. adeo- Q que yABFDr-ZZ^d (^feu) J- ut IN ad KN, & propterea A X A: iST aquafe _ Q^^J^- . Unde eum T Zx XC fit ad ^ VABFT>—ZZ' A^KKNutCXf ad AA, erit re6laogulum TXXXC aequale — ^ — ^-i.^-,r-^^~^ . Igitur fi in. perpendieulo 2).F capiantitt AAVABFD^—ZZ ^ • femper 'Di>r*De ipfis ^ „ w^ -^-y^, & -- — "V- ..^^jSH^ Ut^ *^ *^ xv ABFD—ZZ 'i.KkvABFD—ZZ djaales refpedive , & defcribantur cur^rse lineae ab ^ cd quas P ^ punfl» JM« . PHILOSOPHIiE NATURALIS Dfe MoTo pnnda b, c perpetuo tangunc ; deque punAo ^ad lineam A C, eri- CoRpoRVM eatur perpendiculum Vad abfdndens areas curvilineas VT> b 4, y^Dcd, & erigantur etiam ordinats E»i Ex: quoniam redan- gulum *D hy.1 N feu 'D h nE «quale eft dimidio redanguli AXKN, feu triangulo ICK; & redaneulura ® f X / -AT feu V^ c X E squale eft dimidio re^anguli TxxXC, feu triangulo XCTi hoG eft) quoi^amareanim J^DAtf, VIC «quales femper funt nafcentes particql» 1>ifpE,ICK, & arearum VD c d^ VC X aequales femper fiint nafcentes particuls 1> c x E, XCT, erit area genita VD b a squalis arese genits VI C , adeoque tem- pori proportionalis , & area genita VDcd squalis SeAori genito VCX Dato igitur tempore quovis ex quo corpus difceffit de lo- 00 V, dabttur area ipfi proportionalis VD b a , & iAde dabitur corporis akitudo C® vcl C/; & area VDcd , eique sequalis Sec- t ut Z ad latus quadratum arese ABFD. Corol. 3. Si centro C & vertice principali V defcribatur Se^o quslibet Conica VR «5*. &: a quovis ejus pun^lo R agatur Tan- gens R T occurrens axi infinite produ^lo CV in puncto T; dein jun^a C R ducatur re&z CT, quae squalis fit abfcifrsCT', an- gulumque V CT Sedori VCR proportionalem conftituat ; ten- dat autem ad centrum C Vis centripeta Cubo diftantis locorum a centro reciproce proportionalis , & exeat corpus de loco V jufla cum Velocitate fecundum lineam reds C V perpendicula- 1 m: progredietur corpus illud in TrajeAoria quam punAum 9^ erpecuo tangit ; adeoque fi Conica fe(5lio CvRS Hyperbo- pe uc , defcendet idem ad centrum : Sin ea Ellipfis fit , afcen- la illud perpetuo & abibit in infinituro. £c contra , fi cor> det quacunque cum Velocitate exeat de loco V ^ & perinde pusincoeperit vel oblique defcendere ad centrum, vel ab eo ob- lique pRiNCfpiA matheihatk:a. tt^ Hqne •fcetidci^e , Rgura CKJ«;^wI Hyi^erbolafitVdEHli^^i-iim iam* venifl potcft Trajeaoria augcndo rtl mhiuendo angulmni^Cy*"*'»*^ in data «fiqua rationc. Scd &, Vi ccntripcta in centrifogamvcrf«i afccndct lonrituSnemnCP longitufi CT^aqUalem to fupra. Collfeqnuti- tur h«c omnia ex Propontionc proccdente , per Curvas cujufdam quadraturara , cujus invcntionem i ut fatis facikm , brcvitatis gr»^ tia miffam faclp» I ♦ r • » PROPOSITIO XLII. PROBLEMA XXIX. « Data lege Fts centripeta , requirmr motus eorporis de h€9 dato cum Velocttate. fecundum datdrn reBam egtejp, ■ Stantibus quae in tribus Propofitionibus pt«ccdentibus r cxca« corpus dc loco / fccundum lincolam /7* , ca cum y elocitatc quaoi corpus aliud, vi atiqua uniformi ccntripcta, dc loco T cadendoac- quirtrc poffet in © : fitquc h«c vis uniformis ad vim qua corpu» ^ ^ primum f«> PHILOSOPHI-ffi: NATURALIS c/Mord pnin)Qn^ Qrgocur in /,ttc2?J?ad2)/'. Pergat autem corpnsve^i; eMtreiLUtf oentroqoe.C & intervallo Ck defcribatur drculus ifoccurrensrec- t^l P 2/ in r« & erigantur curvarum AL Mm , B F^g^ ai»Vydcxw oidinatim tfppUcatffi ew , «^ , f v , «w. £z dato re^bngulo ? S J? ^ dataqne tege vis centripet» qoa corpus primum8gi(atur,danturcur- ▼c Unes SFGgt ^Z.ilfw, perconftrudlionemProblematisxzvn, & ejus Corol. i. Deinde ez dato angulo C/T^datur proportio naf- centium IK, KN , & inde , per conflrudionem Prob. xxvm , da- tur quantitas Q , nna cum curvis lineis a6:6v, dcxw: adeoque completo tempore quovis^ix/^ .daturtomcorporisaltitudo C^ vel Ci, tum area^f t&«>eique squalis Sedor ^Cy , angulufque lCk i(. locns k in qoo corpus tunc verfabatur. ^. JS. I. . Supponimus aucem in his Propofitionibos Vim centrtpetam in recedu quidem a centro variari fecundum legem quamcunque quam quis imaginari poted , in aequatibus autem a centro diftantits efle nndeque eandem. Atque hadenus Moturo corporum in Orbibus immobilibus confideravimus. Supereft ut de Motu eorum in Otbi- btts qut circa centrum virium revolvontur adjiciamus pauca. SECTIO / PRINCIPIA' ATATHEMATICA. -M ^ r t t ■• t / ' • S E C T I O iX. pKiMUS» DeMm corporaminOrhihtts mobilthtis , deqite mtu jl^fiiitui»: « * PROPpSJTIO XLIII. PROBLEMA XXX. V ♦ . t » V < 1 1 > ' ^ « Eficiendum.efi^ m corpus i» Tti^fBona fuacf^ftMie^rcs centrum Vtrmm revolvente perinde moveri pojjit , ii^w corpus aliud in eadem TrajeBoria quiefcente, ' ^ ^ InOrbe VT K po- fitione dato revolvattir, corpus T pergendo, a f^verfus K, A centfo C agator femper C/ , qus fit ipfi C? asquatis , . angtdnmqoe VCf an^ gulo VCT proportio- . nalem conftitoat} & a> rea qoam linea Cft de- fcribit erit ad aream VCT qoam linea CiP /imol defcribit , ot velo- citas lineae defcribentis C/ ad velocitatem 11- ne» defcribentis C T j hoc eft ^ ut angolos V Cp ad angolom VCT ^ adeoquQ in dati ratione , & propterea tempori proportionalis. Cum area tempori proportionalis' fit qoam linea C/ in plano immobili defcribiC} ma-. nife.(lum 'efl qiipd cort)Us ,'cbg^nre'joftaB qoantitaiis Vi ceniripe- .ta , rc volvi jp;6dir iina cum pjinftd / ihOutva illa llnea quam pon^flom idem/ raljbne jam expofita clefcribit in plano immobili. Piat ango- lus VCU angulo yCP,. & linea C« linea; C^, atqoe Figora uCp TiguraB VCT^cpaXvsT,'^ edrpos in/ femper exiftens movebitorm Q peri- 01 Uibih perimetro Figar» revolventis « Cp , eodemqae tempore defcribet G6it¥Moii arcum ejas u p qao corpas aliad ? arcam ipii fimilem & asqualem FP in Figara qui^T^entd^'?'^ defcrl&ftre poteit Qoxratar igi- tor, per CoroUarium quintum propofitionis vi. Vis centripeta qua corpus revolvi poffit in Curva illa linea quam pundlom / defcribit ia pktm iouDohiii » Sc folvetnr Problema. .S^.F^ PROPOSITIO XUV. THEOREMA XIV. DijferenUa Virium , quihus cdrpus in Orbe quiefcente , & corpus aliudin eodem Orhe revohente aquakter moveri ■ 'poffiim f efi miripifcsfdrahomf tmMnii atfititd^nis ith ' iftrff, ■••;'••■« ••• Partibns Obis qnie- fimiles & squales-Or-^ bis revolventis partes" up» pJ^i & pundorUm ? , K diftantia intettr- gatur effe quam mihi- ma. A punao i in rftc- tam / C demitte ptr- pendiculum k r , id^m- que produc ad «», u0 fit mr ad i r ut angillas VCf ad anguluro VCT. Quoniam corporurtl ftt- titudinesyC&/C,J«C & kC (emper aeqqin- tur , manifeilum efl-qirod linearum T C'^ pC incrementa vel ^CKmenu femper iint squalia , ideoque fi corporum in tocis y « / exiftentium diftinguantur motus finguU ( per Legum CofoL »0 m bmos, quorum hi vcrfus cenfrum . fivc fecundam llneas 5PC,/Cdetef»inentar ,. & alteri prioribus tranfirerfi fiat, & fecunduto hncas ipfis TC,p C , perpendiculares dire^onem habeant \. motus veritts centrura erunt equale^ , & motus tfamf- verfus corporis / erit ad motum tranfverfum corporis T\ nt mo- lus angularis lineae f C» ad motum apguUrem linc« TC^ id eft, •ut miNCIPrAIM&TMt-MATllCA, m* nt angokis ^C/ ad angijluni ^Cy. Jgim eodem tempwe qqo Lf««x corpus ? motu fuo litroque pervenit adpun^um K , corpna/ ae. PaiMvi. qQ«K 10 centrum mot\i «qtl^liter movebittir tf verfus C» adeoque compjeto iHo tempore reperietur altcubi in Unea mkr , quffi per. pnaehim i^ in Uaeam / C perpeDdicutaris efl ; & mocu ^ranC^rorfo acqwet diihiatiam a liQea/C, qiMe Gt ad difttatiam qnaiii ^corpns. atterum ? acquirit a Unea 'PC, ut eft motus tranfterftts corpo-^ ris ^ ad inotam nranfverfum eorporis alceriiis ?. Quareiciim A r geqaalis fit diftaAtift oaam ooirp«$ ^•aoqoiifit a itntta ^PC^icqiie mrnd irft^ angaliH f^C/> ad an^lum f^CT , hoc eft , ut mt^cas traafV^rfos^ciMporis/ a, mxoii^ ftnm tSk ^uotf corp&s ^i^compkifO llto teiiipore reperielttr in Iqco m, Hsec ita fe habebunt ubi c<:tfpora'/» & *P stqa^XL^ fitQnndcrai lineas^C& ^'Cmovetitur, adeoque &quaHbus Vi^loiis fectmdnm Itneas illac «rgentor. ■ Ga^natur autem angaium/ C« ad angnlutak /Ckmtlk angulus ^C/ ad angulum ^Cy , fitquc « C «quaMs k C, & corpus P compteco illo tempdra rewra' reperietuc lii; n. ; adeo** qne Vi mlQorc 6rgetur quam corpui T , Xi mod^ icigiilm m Cp angBb * Cf major eft , id eft fi Orbis. »/^ vel moveiur in con- fequentia , vel movetnr m antecedentia majore ceierita,te quam fic dapla ejns qna linea CiP in confequeada fertur ; & Vi Knino* re G Orhis tardius movetur in antecedentia. Eftque Virium dif- ferentia ut locorom intervaUuin m» ,per quodcorpus iliud/ ipfius ajtimie. dato'ilk> ceODporis ^itk) * cransferri debet. ;Centrovin« cerviUo Qn «el C^ 4e^r>b!i t^IUgatqr Circulns fecai^s Uneaf «if r». mn prodofias In / & / , & eric rec^angulum mnY,m.t aqu/jde rec-» . tangulo mky.ms, adeoque m n aeqiiale ~ — . Cumautemtri- zv\g\AtfCk,fCn dentur magnitudine, funt ^r & »r, eammqae di&rentia m k& fumma ms reciproce ut aicitudo/ C, adeoque rediaDgutam mkyims eft recrproce ut quadratum altitudinis/ C. ISJXScmf dirf^ nc |- mt » id eft , ut altitudo/ C. Hs ftmt pri- maprationes linearum nafcentium ; &hincfit — — — ,ideftUneo-' la nafceos/»», eique proportionaUs Virium difterentia reciproce uc cnbttsaltitudinis^C. ^5.2). « QtroL I. Hinc diffcrentia virium in locis ? &/ vel A^ & ^ , eft %d vim qua corpus motu Circulari revolvi poffit ab i? aid i^ eodem cenmore quo corpus V in Ocbe immobili defcribit arcum TK^ vt Imcola nafcens » xr ad finum verfum arcus nafcei^is RK, id eft Q i ttc ti4 PHfLOSOPHIiE NATURALISi DiMord ut^^i^^ad-^, vdiitmkXms ad ri quadratum 5 hoc eff, fi capiantur datas quantitates.F, G in ea ratione ad invicem quam habet anguius VCT ad angulunj VCp , ut G G-FF ad FF. Et propterea , fi centro C intervallo quovis CT yoXCp defcribatur Seaor circularis asqualis areaB totiVTC, quan^ corpus IP tempore quoviS' in .Orbe immobili revolvehs radio ad c^ntrum du6^o de- lcfipfit: differentta yijium , quibus corpu^ T in Orbe immobili & corpus/ in Orbe mobili revolvuntur, erk ad vim ceiitripetam qua corpus aliquod radio ad centrum dudlp Sedorem illum , eodem tempore quo defcripta' fit area A^IPC unifprn^iter defcribere potuif-^ fet, ut GG.-FF ad FF. Najnque Seftor ille& area/ Cifefuntad invicem uc tempora.quibus defcribuniiur. : : K Corol. il Si OrbisFP i^: Ellipfis fk umbilicum habens C& Ap- iidem fDmmam V;. eique fimilis & ^qualis ppnatur Ellipfis u/f k , ixa ut fitfemper/Caequdlis PC, & an^ulus ^C/ fit ad angulunv VCT in data ratione Q adjF; pro altitudine autem T C vel/ C fcribatur. A, & pro.EUip^eos kteceire^o ponatur a R: eric vis qua^ corpus m Ellipfi itiobiu revprvi poteft. nt J-th -r- — 7 & cOtltra. : ExponMur enim vis qua corpus revoKatQr in inamota £1> FF FF lipfi, per . quantttatem j^ ,.& vis la, FkiMr:^ — j- • Vis autem. qiia cOrpus in •CirciilG ad diftantiaM (T^ea cum velocitate revol- Ti poflet quam corpus in Ellipfi revolvens habet in K, eft ad ▼iin <^a cerpus in Ellfpli revolveBs urgetur 'm Apfide ^, ut djmidium lat«ris re^ £lli[^eos ad Circuli femidiametrum C V^ RFF adeoque valet ^,^^ , ; & vis qu» fit ad hanc ut QG ^ FF ad R G G — R F*P FF, valet — Qycub — * ^^^**^ ^*^ ^" j^sBer Uujus Corol. i. ). difFcrentia virium in Fquibus corpus ^ in Ellipfi immota VP K, & cerpus/ in Ellipfi mobili w/ ttqiie aBgfilus V Cf femper fit ad angtil\i{t» VCT ut G adFi vires quibus cprpora in Ellipfi immobili & mobili temporibus «qualibus revolvi poflunt , erunt ut £^ & y*^*^ _RGG-RFF ,;o. -4- — j — relpective, Af««v Corol. 4, Et uiiiverMter , fi corporis aliitudo maxima CV no- minetur T,^& radius curvaturae quam Orbis VPK habet in V^ id eft radins Circuli aequaliter curvi j nominetur R, & vis centripeta. qua corpus in Trajeftoria quacunque immobiK VT K revolvi pd- teft', in loco J^dicatuir 'rp,p atque aliis'in locis y indefinite dicia-. • • J tar X , altitudtne CP npminata A, & capiatur G ad F ia data, ratioQe anguli VCp ad angulum V CT: crit vis centripeta .qu% corpus idpm .eofdem motu& in eadem Trajedoria «*/ k circula- riter mota temporibus iifdem peragere poteft , utfumma Viriun» ^ VRGG-VRFF - • Acubi Corol. s. Dato igftur motu corporis ia Orbe qjaoconque immobi^ ]j , angeri vel iminui poteft ejus motus angularis circa centrum vi- rium in ratione data , & inde invenjri novi Ocbes iinmobiles in quir^ bus corpora novis viribus centripetis gxrentur. Cbrot: 6/ Igitur il aid reaam^ C^po^ iitione datam eri^atur perpendiculum /^!P longitudihis indeterminatae ,• jun-^ gaturqne ,CT:^ & ipfi'a^q' quairi punSfum/ perpetup- Mngit i erit'' reeiproce ut cubus altitu- dfnis Cf>. ' Nam corpus ^^, P^r yim inerti^; ; nulla alia vi tlrgepfCV, uniformiter progredi poteft ih re(3a VT. Addatur vis ih ceptrurar C, cubo aUitudinis CP vel Cp reciproce proportibnalis , & {ip^ jafH demonftrata ) detorquebitur motus ille redilineus in lineam^ Q 3 curvam) ix6 ^HFLOSOPHIiE NATURALIS • • SttMoTo cnrram f^pi. Eft autem haec Curva F^ if eadem ciim Cttrva flla Coapo&uM ^T^^io Corol. i. Pi^op* xi'i mventa , in qua Ibi di^mus corpora hojufmodi, vjribus attraaa oblique afceodere. PROPQ3ITIO XLV. PROBLEMA XXXI. Qrhitm qui funt QrcuVn mauimf fimtimi reqftinmtur motut j^pftdurh. Problema folvitur Arithmetice facieodo ut Orbis , ^uem corpus in Ellipfi mobili (ut io Propofitioois fuperioris Corol. '3. vel 2. 3 re- volveos defcribit io plaoo immobili , accedat ad formam Orbis cu« fOS ApHdes requiruottu' , & qusrendo Apfides Qf bis qncm corpos lllud io plaoo immobili defcribit. Orbes autem eaodem acqui- reot formam , ft . vires ceotripets quibus defcribuotnr , int6r fe collatae , io «quaiifous altitudioibus reddaotur proportionales. Sit poo^ijim y Apfis fumma , & fcribantur T pro altitodioe mazima Cy, A pro altiiudioe quavis alia CT vel C^, &X pro altitu- disum diffiwentia C^' — CPi & vi$ qua corpus io Ellipfi cir- ttL ombiUcaoi fiium C (ut io CoroIIario x. ) revolvente move» • r. 11 • . . FF_^RGG— RFF .^ „ t,Wt qusqoe »o Corollario *. crat ut j^-^ j-^-t — -, ideft ^^FFA:^RGG-RFF^ fabftitueodo T— X pro A. erit ot RGG-RFFhItFF-FFX. n . , r 1. a • .• -■ ' k j i' " ' ' '"" -'""" tvsouccfidA unuiiccr eit tb atit qusvts ceotripeta ad fradiooem cujus deoomioator fit A cub. , & numeratores, fa6la homologorum termioorumcoliatiooe^ftatoen- di f^tanaloj^. • Rcs Exemplis patebit. EieimPl. 1. Pooamus vlm ceotripetam uoiformem efle , adeoqne ot ^f^ • , £ve ( rcribendo T i.. X prp A in Nomeratore ) ot ter- miois c.on«(pondeotibn^ , oimirum datis com datis & non datis cuitf 000 datis , fietRGG— RFF-4-TFFadTrt«*. otFFXad — 3TTX-H3TXX-Xf»^.fiveot-FFad— .jTTh-3TX •pi*-XX. Jam com Orbis ponator Circok) quam mazime fioitimass coeat (Prbis com Circolo t & ob fa^s R.T eqoales, at(}ue X in iafinitum PRINCIPIA MATHBMATICA. ii; nittim dimmutam . ratioaes ultims erunt RQG ad T r«^.ut-.FF Lt»E% ad-^iTT reu GG ad TT trt FF «d 3TT & viciffimGC ad rxrulit FFflt TT ad i TT id tHt, ut.i ad 3 ; adeoque G ad F, hoc efl anguhis VCp^/^ an|mlum VC*P ^ ut i ad ^'^. Ergo cmn corptR io El!!{Vfr iffitflobiii , ab Apfide fumma ad Apridem imam defcendendo coniiciar angulum VC*P ( uc ita dicam } gr adum 180; covpus aliod in Eilipfi mobili , atqtie adeo in OfDC inmo- bili de qoo agimus , ab Apiide fumma ad Apfidem imam defcen> dendo cimficiet angolam VCf gradum -t^— > : id edeo ob fimili-; todineiB Orbis ha)as , quem corpos agente uaiformi Ti cAMri-^ peta defcribit , & Orbis illius quem corpus in Ellipfi revolvente gyrps peragens defcribit in plano quiefcente. Per fuperiorem terthifiorum collationem fimiles reddantur fai Orbes, non nnivM' fatiter , fed tanc cum ad fbrmam drcularem quam maxime ap- prophiqaatit. Corpus i^cnr imiformi cum vi centripeta in OrD& propemodam circulari revolvens , inter Apfidem fummacft dr Ap-, Y O ^ iidem imam conficiet femper «ngulam rrr— 'gradunm} fen 103^.' 55 m. xyfi^. ad centrum; pervenien» ab Apfide fomma ad Afkfident imam ubi iemel confecit bunc angulum » & inde ad Apfiden» fammaRi redien^ ubt iterum confeclc eundem «ngulQm ; & Bc deinceps in iofinitum^ Exemfl, X. Ponamos vim Geotripetam efie uc altitudinis A dig« A jp flitis qusSbec A«_3 ^ t- •' abi « — j '& « fignificant dignica' tTim indiccs qoofcunque iotegros vel fraAos , rationales vcl irratio- nalcs , affirmatjvos vel negativos. Numerator ille A^feuT— X* in feriem ifldeterminatam per Methodum noftram Serierum con* rergpntiam reda Aa , evadit T»-'»XT'— »+ ^i^xXT-^i&c. Et colttcis faojtB cerminis cum cerminis Numeracoris alterias HGG -RFFM-TFF-FFX,fitRGG~RFF^TFFadT»i ut-FFad— «T"»-»-^^-^I^XT»-*&c Et fomendo ratio- X aes ultimas ubi Orbes ad formam circularem accedu nt , fir R G G adT-uc-FFad-wT»-». feuGGad T»-iucFFad»T»-:«, & viciflim GG ad F F utT»— » ad n T—* id^ oc 1 ad • f adeoqiae G ad F,. id eft aagalus VC^ ad angnlum VCT , vlc «8 PHILOSOPHIiE NATURALIS Di MoTo ut I ad V n. Quare cum angulus FCTj in.defcenfu corporis CoRFoRUM 4^ Apfide fumma ad Apfidem imam , in Ellipfi confcftus , fit graduum i^o; conficietur angulus Vtf\ in defcenfu corporis ab Apfide fumma ad Apfidem imam , in Orbe propemodnm Cir- culari quem corpus quodvis vi ceritripeta dignitati A»--3 pro- 180 portionali defcribit, aequali^. anguio igraduum v» ; & hoc angulo repetito corpus redibit ab Apfide ima ad Apfidem fummam , & ^ic deinceps in infinttum. Ut fi vis cemripeta fit ut difiantia cor- A"* porisa centro, id efi , ut A fen ~r^^^ « aequalis 4& v^ « squalist; ^\adeoque aDguIus inter Apfidem fummam & Apfidem imam a^- /qualis ^ ^r. U;u 90.gr. Completa igitur quarta parte revolutio- .iiis unius qorpus perveniet ad ApIIdem imam , & completa alia . qiiart^; parte ad Apfidem fummam , & fic deinceps per vices in . infini.tum. Id quod etiam ex Propofitione x. manifeflum efl. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellipfi immobili , .'cujos cehtrum efl in centro virium. Quod fi vis centripeca fit re- I A* ciproce ut diflantia , id eft direde ut -j feu jr^ , erit n SBqualis 2 , ad eoque inter Aplidem fummam & imam angulus erit graduum ^ feu i2ygr. i6m.^$ fec. & propterea corpus tall vi revolvens , perpe- tua anguli hujus repetitione , vicibus alternis ab Apfide fumma ad imam & abima ad fummam perveniet ia aeternum» Porro fi vis centripeta fit reciproce ut latus quadrato quadratum tmdecimas dignitatis altitudinis , id efl reciproce ut A ; , adeoque direde ut i T A-i T K n ■-nT-Jeu ut s^ erit » aBqualis ^ , &- ^r. aequalis 360 gr. & prop- terea corpus de Apfide fumma difcedens & fubiiule perpetuo de* fcendens , perveniet ad Apfidem imam ubi complevit revolutionem integram, dein perpetuo afcenfu complendaaliam revblutionem in- cegram , redibit ad Apfidem fummam : & fic per viceis in «Bteroam. Exempl. 3. Afiumentes m &« proquibufvis indicibus, dignitatum Altitudinis , & ^ , r pro fnumeris quibufvis datis , ponamus vim cen- tnpetam telic ut j- — r-» id eit , ut • — ■ : — , • A cuo. ; n, Cuo. -feu ( per eandem Methodum noftram Serierum convergentium } ut iT«'-*-fT"-w^XT«-i.»fXT«i+^^^XXT'»-»+— rXXT-i^f. -L 2 ^ A cub. & PRINCIPIA MATHEMATICA. 129 & coUitis aumeratormn terininisj fiet RGG — RFF^-TFF Libe» ad ^T«-4-f T» , ut— FF ad — i»^T«-i — «^ T»— » ^«'«w»- -*- ^' ^XT*—* H — j^ fXT»--i&c. Etfumendorationesnl- timas qu» prodcunt ubi Orbes ad formam circularem accedunt fit GG ad^T»-» H-fT»-», ut FF ad w^T»»-i-i- «fT»-^ & viciffimGGad FFut^T*-'-t-fT»— 'ad w^T»»— »-♦-»<• T»-'. Quae proporiio , exponendo altitudinem maximam C^feuTArith- metice pcr Unitatem, fit GG ad FF «r ^ -h <• ad w ^ -h » r , adeoque ut I ad * ^r' Unde efl G ad F , id efl anguluu F Cp ad angulum rCP, ut I adi^' «H-/ ' Et propterea cumAngulus ^C!P inter Apfidem fiimniam & Apfidem imam in Ellipfi immobilifit 180^. erit angulus ^C/Jnter eafdem Apfides , in Orbe quem coi-pus vi h A*'*"*"^ A* centripeta quantitati — - — --^ proportionali defcribit , squa- lis angulo graduum 1 80 y ^f^r^' Et eodem argumento fi vis cen- tripeta fit ut — j- — T — - angulus inter Apfides invenietur gra- i — c duum 180 ^' mb—nt ' Nec fccus refolvetur Problema in cafibos diificilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis efl, re- folvi femper debet in Series convergentes denominatorem haben- tes A c»^. Dein pars data numeratoris qui ex illa operatione prove- nit ad ipfius partem alteram non datam , & pars data numeratoris hujus RGG — RFF-f-TFF — FFXad ipfius partem alte- ram non datam in eadem ratione ponendae funt : Et quantitates faperflnas delendo , fcribendoque tJnitatem pro T , obtinebitur proportio G ad F. Corol. I. Hinc fi vis centripeta fit ut aliqua altitudinis dignitas; ioveniri poteft dignitas illa ex motu Apfidum ; & contra. Ni- mirum fi motus totus angularis , quo corpus redit ad Apfidem eandem, fit ad motum angularem revolutionis unius, feu graduum 360, ut numerus aliquis m ad numerum alium » , & altitudo noo n» ffiinecur A : erit vis ut altitudinis dignius illa A 'H^'— 3 , cujus In- R dex 130 PHILOSOPHIiE NATURALIS nn DiMoTudex eft ^^— j. Id qaod pet Exempla fecirnda mantfeftam efl. CoapoKUM Unde Hquet vim illam in majorequam trxpKcata altitudinis Fatrone, in receuu a centro , decrefcere non poffe : Corpus tali vi revolvens deque Apfide difccdens , fi caepcrit defcendere nunquam perveniet ad Apfidem imam feo altitudinem roinimam i fed defceiidec ufque ad centrumji defcribeps Cqrvam illam Uneam dequaegitiHisinCor. 9..Prop.XLi. Sin caeperit illud , de ApTide difcedens ^ vel QusaiDum afcendere f afcenidet in iofinitum > neqae ttnquam perveniec ad Ap- iidem fummam. Defcribet enim Curvam illam.lipeam de oua ac- tum eft in eodem Corol. & in Corol. 6.Prop.XLiv. Sic & ubi vis^ m recefftt a centro , decrefcit in majore quam tripKcata ratione al- titudinis, corpus de Apfide difcedens^ perinde ut csperit ^eicen- dere vel afcendere , vel defcendet ad cenrrum ufque vef afcendet in infinitom. At (i vis, io recefiTu ia ceiicrp, vel decrefcat in mino- re qu4m triplicata ratione altltiidinis , veKcrefcat in aJtitudiais i»- tione quacunque; corpus nunquam defcendet ad centrum ufque, Jied ad Apfidem imam aliquando perveniet : "& contra , fi corpus de Apfide ad Apfidem alternis vicibus defcendens & afcendens nun- quam appeUat ad centrum ; vis- ih receiTp a cej&tro aQtaugebitur^ aut in minore quam triplicata altitudinis ratione decrefcet: & quo ciiius corpus de Apfide ad Apfideni redieriueo longius ratio virium recedet a ratione iHa triplicata. Ut fi cor[tU9 revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel ii de Apfide fumma ad Apfid^ fuisHAam alcerno de- icenib & afcenfu redierit ; hbc eft , fi fuerit w ad it ut 8 vel^ vel i^m % Vel I i ad r > adeoque i^ — 3 valeat ^,— 3 veF h - 3 vel 7 — 3 vel^-^a: erit vij ut Aii— } velAi-» vcl A-;—3 vdA-|— 3, id eft, i«eciproce ut A»— s, vel A» — ,3 vel A'-*^ vd A''^^ Si icorpus HnguUs revolmionibn& rcdieric ad Apn ut io prscedentibus demonftratttm eft. Si corpus partibos revolu- tioms unius vel tribus quartis ,. vel duabus tertiis , vel nna ter- tia» vel una quarta, ad Apfidem eaodem redierit; erit ff»ad n ut ^ vcl 7 vei-, vel ^ ad i , adeoque A«»"— aqaafis A~ — J vd Af "^J vel A»-'' vclA«<5— «; & propterca: vis auc redproceut PRINCIPIA MATHEMATICA. 131 A^' ?d AJ , aut dire a^coxxuc AW^=-3eritaEquaIc A ***"• j & propterea vis centripeta reciproce nt A •**'♦• ica re« ciproceut A* r^r P"*®^^"*®- Decrefcit igitur vis centripeta in ratio- ne paulo majore quam duplicata , fed qus vicibus 5-9} propius ad daplicatam quam adrtriplic^tam accedic. Corol. X. Hinc ctiam fi corpus , vi centripeta quae fit reciproce ut qaadntum altitudinis ; reyoly^tur in Ellipfi umbilicum haben- teincentro vtrium, &'hiBc'vi.centripetaB addatur vd anfcratiir vis alia qusvis cxtraoea ; cogno£ci poteft ( per Exempla tertia ) mottis Apfidum qui ex vi illa extranea orietur : & contra. Ut fi vis qua corpus revplvitur in Ellipfi fit tit-x^ > & vis cxtranea ab- lata ut r A , adeoque vis reliqua ut ^7^*; e"t ( in Exemplis tcr* tiis) 6 asqualts i , m^^qualis t,n squalis 4,adeoque angulus revo* Imioois inter Apfides squalis angulo graduum 180 vJLrSS, . Po. Bitor Vim illam GUnwm ^ 357»^^ partibus minorcm quaQi vis aitera qua corpus revolvitur. in Elfipfi, id eft c effe -^, exiftente A vel T aquali i ; & 180 ^ '"^^ cvadet 180 V ^^ feu 180, ?«»», i^eft, i8o^r.4j.w. 44,/ Igitur corpus de Apfide fummadifce- dens, motu angulari i8o gr. 45. m. 44. yT perveimet ad Apfidem imam 9 & hoc motu duplicato ad Apfidem fummam redibit : adeo* que Apfis fumma (ingulis revolutionibus progrediendo conficiet i^r. 31 w.x8y?r. Haftenus de Motu corporum in Orbibus quorum plana per. ceQtrum. Virium tranfeunt. Superefl: ut Motus etiam ' determifte- mus in pUnis excentricis. Nam Scriptores qui Motumgravium tnftant » cdnfiderare folent afcenfus .& dcfcenfus ponderum , tam obUqoos in plani^ quibufcunque datis ^ quam perpendicu- lares: ^ pari jure Motus dorporum Viribus quibuicunque cen- : ••• ~ I^ X tr^ ijfc PHILOSOPHIiE NATURALIS Dc MoTu tra petentiam, & planis excentricis innitentittm htc confideran- CoRPORUM ^ug venit. Plana autem fupponimus effe politiflima & abfolute lubrica nc corpora retardent. Quinimo, in his dcmonftrationi- bus , vice planorum quibus corpora incumbunt quaeque tangunt incumbendo ^ ufurpamus plana his parallela , in quibus centra corporum moventur & Orbitas movendo defcribunt Et eadem lege Motus corporum in fuperficiebus Gurvis perados fubinde determinamus. S E C T I O X. De Motu Corporum m Superficiebus daus , deque Fumpetk-^ dulorum Motu recipfoca* PROPOSITIO XLVr. PROBLEMA XXXIL I*oJita cujufcunque generh Vt centripeta , datoque tum Vt- rium centro tum Plano quocunque /n quo corpus revohf- tur , ^ concejfis Ftgurarum curvirinearum quadraturis r requiritur Motus corporis de kco dato , data cum Veloci'- ' tate , fecundum reBam in Plano illo datam egrejp. Sit S centrum ViFiumjiTCdiflantia minima centri hujus aPIa^ ^ziOyT corpus de loco y fecundum reftam T Z egrediens , ^ corpus. idem in Trajeftoria fua revoIvens,& 5P^i?Trajeftoria il- \Zi in Plano dato defcripta , quam inyenire oporcet. Jungantur Cj^j^S^ & fi in ^i* capiatur iTA^proportionalis vi centripets qua corpus trahitur verlus centrum S^ & agatur ^T* qu« fit paraHela C^ & occurrat *yCin T: Vis J* F refolvetur (perLegumCoroLx.) iA vires Jy, TP^\ quarum ST trahendo corpus fecundum lineam plano perpeadicularem t nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera!r/^,agendafecundnm pofitionem planij^trahitcorpns dfirede verfus pun^lum Cin. praho datum » adeoque f^cit ilhid in hoc plano perinde raoveri ac fi vis 4yTtoner^tur^&<:orpusvi fola T^Tevorveretui: circa centrum C ia fpatio libero; Data aucem ¥1 PRINCFPIA MATHEMATICA. 133 vi ceatripeta TyquA corpus ^in fpatio libero circa centrum da- Libek tuiB C revolvitur , datur per Prop. xlii , tum Trajeftoria T^H Primus. quam corpus defcribit , tum locus ^in quo corpus ad datum quod- yis tempus verfabitur , tum denique velocitas corporis in loco illo ^; & contra. ^E.I. PROPOSITIO XLVII. THEOREMA XV. Pofito quod Fis centriptta proporttonaiis fit difiantia corfo^ ris a centro j eorpora omnia in planis quibufcunque re^ volventia dejfcribent Ettipfes , @* revolutiones Temporibus aqualibus peragent i quaqiie moventur in lineis reBis^,.ul^ tro citroque di/currendo , Jingulas eundt Sf redeundi periO" dos iifdem Temporibtts abfolvent. Nam, fiantibusquae in fuperiori Propofitio- ne, vis «yf^qua corpus ^in plano quovisy^^ revoivens tfahitur ver- fus centrum «y eft utdi- liantia «f^; atqueadeo ob proportionales S V &^^, TV^C^, vis TV qua corpus tra- hitnr verfus.punftum C in Orbts plano datumr eft ut diftantia C^ Vi- res igitur , quibus cor- pus ,BTV Rota ei infiflens , £ L i be r . . .ceatrum Rot«,i9puDAttm coaiaaus, & T punftum datum rn peri- *^*^ ''*'*'• metro Rotse. Concipe banc Rotam pergere in circulo maximo JBL ab ji per B verius L , & inter eundum ita revolvr ut ar- fx&ABrT^B fibi iifvicem feinper aequentur, atque pnnftum illud ? in perimetro Rotse datum interea defcribere Viam curvifincam AT. Sit autem ^ T Via tota curvilinea defcripta ex quo Rota Globum tetigit in Ay&, erit Viae huj.us longitudo ^ ? ad duplum» finum verfuna arcus t P-5. ur 2 C£ ad CB. Nam refta CE f fi' opus cft produijla ) occurrat Rotae in V, junganturaue C?* , iJ 3P', ET, Ky, & in CP produftam demiitaiur normalls A'/^ Tair- ttnt y/y, ^ff Circulum in P & ^ concurrentes in M, fecetque TH ipfam. VF in G , & ad VT demittantur normales G /, HK. Centro m^m 136 PHILOSOPHI^ NATURALIS rpt"»Mortf Centro item C& intervtllo quovis defcribatur circnlus nem fecans coapoRUM j,^^^^ c y in « , Rot« perimctrum BTiao, & Viam curvili- neam ^T in «; centroque ^& intervallo f^o defcribaturcirculus fecans yT produ^am in f . , • Quoniam Rota eundo femper revolvitur circa pun^um contac- kus £ , manifeftum eft quod refta B T perpendicularis eft ad line- ath iilam curvam A T quam Rots puni^um T defcribic , atque ftdeo quod reAa y T tanget hanc curvam in pundo P. Circuli nom radius fenfim aii^lus vel diminutus squetur tandem diftantis ^?; &, ob nmilitudinem Figurae evanefcentis Tnomq &Figurs TFGf^If ratio ultima lineolarum evaoefcentium Tm,*P nfPCfTq, id PRINCIPIA MATHEMATICA. ijr id eft ntio mautionum momentaneiEinim cnrvc AT, tt^mCT, J''*'* arcus circularis BT 9 acreds VP, eadem erit que lineflrum *^*"'"*' Pr, TF^ TG , TI, refpeaive. Cum autem ^Fad CR8c VH zdi C^ perpendiculares funt , anguiique /f ^G , VCF pro^- terea aequales; & angulus VHG{o\> an^uios quadrilateri HVET iA.V&f* reAos ) angulo C ET squalis eil « fimilia erunt trian- gula VHG, CETi & inde fiet m ET zdCE ita HG ad HV feii HT & ita A*/ ad A ? , & compofite vel divifim ut C B ad C£ita P/ ad TK, &'duplicatis confequentibus ut CB ad x CE ita TI AdTV, atque ita adeo TqadTm. Eft igitur decremen- tom lineaErVy l id eft, incrementom lineae BV — VT «d incre- mentum Hnes curvs ^ P in data ratione CB ad x CE , & prop- terea (per Corol. Lem. iv.) long^tudines BV-^VT & jt¥, in- crementis illis ffenits.funt in eadem ratione. Sed , exiftente ^ A^ radio , efiVT co - finus angnli BVTfeu -■ B E 'P , adeoque BV—VP finus verfttsejufSem ^n^li ; & propterea in hac Rota, cujus radius efti B V,cnt BV^VT duplus finus verfus arcus r jBP. Ergo ^? eft ad duplqm finum: verfum arcus r ^^ ut xCE ad CB. ^E.^D. Lineam autem .^? in Propofitione priore Cycloidem extra Globom, alteram in pofteriore Cycloidem intra Globum diftinc- tionis gratia nominabimnSi Corol. I. Hinc fi delcribatur Cviclois integra jfSL & bifecetnr ea in if , erit longitndo partis PSkd londtudinem VT ( quae da* pios eft finas anguU VBT, exiftente EB radio) ut x CE ad CB, atqae adeo in ratione data. Corot. %. Et lonfltudo femiperimetri Cyctoidis utS aequabitar U* nes redas que eft ad Rots diametram BV, at xCE ad CB. , PROPOSITIO L. PROBLEMA XXXni. Facere ut Corpus pen^ulum ojcittetur in Cyciouie dafa» . Intra Globnm ^S, centro Cdefcriptam, detur Cyclois ^RS bife^ inR ic panAis fois extremis ^&S iuperficiei Globi ninc inde occorrens. Agatur CR bifecans jircum ^ «^ in O , & prodaca- tut ea ad .^, ot. fit C AzdCO vn C O ad C Ri Centro C in- . ^ ' V ; . s,. ::.. tervaUo 15« PHlLOSOPHIit NATURALtS l^M»»" nmHo C A defcritMtur Globm «terior Jt Bt), Bl intr» hunc ^*'* Glabam a^Rota, oujos diaraetcr fit AO, defcribaBtur dna Semi- cycloides A^, ^J^.qoe dobani interiorem tangant in ^ & J & , Globo exteriori occumuit in v^ A ponfto t(lo A , Fito AVT fongitadinem AR aeqoante, pendea corpo» T, & ita intra Semi- cycloides A ^. A S oioiiletnt > nt quoiies peodulom di|retiitur a ^ /^ I peip««£cttIo„rje, Filumparte fut flipnian <^ -? applidtnr atf Semicycloidem illam A^S verfus quam peragitur motus , & cir- cum ent c«u obftaculnif fletatqr, partetjut reliqua yT pui Se- micyclois nondum objicitur , protendatur in lineam re^m ; & pondus.TofciJlabiturin (>cloide d«t« ®flj. ^E.F. Ofccorral: tnin» FilUm ^T nnh 'CycToiarg^if SlK T, tmii'clriSilo ^O Jin f^.agaiurque C^;& adFili partem reiftam yr^epunftis tKticmis ? ac r,<»igaMnip£i;peUriitnl«>7 AiT^.aaeol-renti* le- aae C^ in £ & /r. Patet, «x «BSraaiDile & gmefi fiimSuoi Fi- gnrarwB AS.SR, peipendtcda-tUarT' B^.TiVaVanimiBCyiaar- gi(udine« yS . V-lf' Hotanat tiiMtxsiijOA. Q R aqudles. £ft igN Wf ry «d yP { duplum fmum aitgiUi VBV exiftente ^iBVn- dio) PR1NCK»IA MATBEMATICA. «9 ^)9tJBWtd BVy fea uiQ^OR ad AO, id eftCcam fint Cjf Li»Efc •dCO, CO id CR &diviBm .i^ O ad O « propowiondes , ) ut '****" CJ-^CO td C^7el . fi bifececur .fi^in £ , Bt 1 Cj? «d C^. Proiode» per CoroL x. Prop. xuxy lonjntado parti^ rtftae Fili TT sqoatnr femperCycloidis arcai ?*•£,& Filom totom vfP^«qnatar femper Cycloidis arcai dimidio ATS^ hoc eft/per Qorol. x.Pr(^. mx) loflgitadini ulR.' Et propterea yidffim u Filam manet fem- per sqaaie longitudini AR movebitar punftam jTia Cycloide da- Qro/. Fifaim .<^jR aqoatar SemicyckMdi AS , adeoque ad bxBLV diametram ji C eandem lial>et rationem qaam fimilis iili Semicy- clois S R habet ad femidiametram CO. PROPOSITIO LI. THEOREMA XVHI. Si ijis centrijfeta tendem mie&fue ad Glebi .ceMtrum C /it in lacisjingulis ut iiifiantia loci cujufque a centro , ^ bacfo^ la Vi agente corpus T ofcilletur ( modo jam defcripto ) in perimetro Cf^chidis Q. R S : dico quod ofcillationum ut* cuhque inaquaHum aqualia erunt Tempora» Nam in Cycloidis tangentem TfV infinite prodaAam cadat per- pendicolam CX & jungatar CT. Qponiam vis centripeta qua cor- pus T^impellitur verius Ceftutdifiantia CT^.atque tiaec (per Legum Corol. X. ) refolvitur in partes CX^ TX; quarum CX impellendo corpas direSe a T diftendit filum P 7" & per ejus refiftentiam tott cefiat , nullum alium edens eftedlum ; p^rs autem altera TX, ur- gendo corpus tranfverfim feu verfus X, direde acceierat motum ejas ia Cycloide!; maoifeftum cft quod corporis acceleratio , tmic vi acceleratriclproportionalis, fit iinguiis momentis ut longitudo TX, id eft,(ob datas CVytVVuique proportionales TX,TfV, ) at loD|^tudo TfVt hoc eft ( per Corol. i Prop. xlix , ) ut longitudo arcas Cycloidis XR. Peodulis igitur duobus ATT^ Apt de per- pendicato A R insqaaliter dedu^s & fimul dimifits > acceleratio- oes eoram feroper erunt ut arcus defcribendi TR,tR» Suntau- tea partes fub inttio defcfipt£ ut accelerationes , hoc eft , uc totae fttb iaitio 4pfcrJ^Q<^ > & propterea partes. qua^ manent defcriben- S 2 ds \ iiP PHILOSOPHIiE NATURALIS De Motu ^^ ^ acceleratibhes fubfequemes y his partibus pro|)orciona[es , CoAPOKUM fant etiam uK tot«;& fic deinceps. Suntigitttraccelerationes atqoe adeo velocitates genitas & partes his velocitatibus defcriptas parief- 3ue defcribends > femper ut totae ; & propterea partes defcriben- as datam fervances rationem ad invicem fimul evanefcent » id eft , corpora duo ofcillaaitia fimul pervenient ad perpendiculuiii ji R. Cumque viciilim afcenfiis perpendiculorum de loco iofimo R^ per -eofdem arcus Cycloidales motu retrogrado fadi » retardentur in locis fingulis a viribus iifclem a quibus defcenfiis accelerabantUF» patet velocitates afcenfuum ac defcenfuum per eofdem arcus fa^io- rum xquales efle , ■ atque adeo temporibus £qualibusfieri;.&prop» terea , cum Cycloidis partes duas RSScR ^ad -utrumque perpendi- culi ktus jacentes fint (imiles & a&quales • pendula dua ofcillationes fuas tam totas quam dimidias ii£dem temporibus femper peragent. ' * » . . Corol. Vfs qua corpus T in foco quovis yacceferatur vcf retar- datur in Cyclotde » ef^ ad toruin corporis ejufdetU Pondus iii loco .altvflimo Sve\ §s ut Cycloidis zxcvisTR a4 eiurdem z.tc}imS R yci^/?. PROPOSITIO LII. PROBLEMA XXXIV. Defimre ^ f^etocUates Pendutorum in locis Jingults , ^ Tempora'qmhus tum t/ciUatioties' nao! \ tumJinguU ofcil" lationumj^artes peragufttur,- * Centro quovis G, intervallo Gi7Cycloidis arcum /?iy aqaante, defcribe femicirculum HKMG femidiametro GA^bifeftum. Et fi vis centripeta ^ diftantiis focorum a cenrro proportionalis , ten^ dat ad centrum G , fitque ea in perimetro /f/jff aBqualis vi eentri- jpetain perimetro GTobi ^O J {Vidt Fig. Trop.L.) ad ipfioscen- trum tendenti ; & eodem tempore quo pendulum* T dimittitur e loco fupremo 4$* , cadat corpus aliquod X ab /f ad C? : quoniam vires quibus corpora urgentur funt squales fub initio & fpatiis defcribendls T^, Z/Gfemper proportionales , acque adeo ^ fi a- 3uantur TR Sc LG^ ssquafes in locis T& L i patet corpora illii efcxibere Ipatia^ ST.HL squalia fub initio, adeoque fubindeper* gere squaliter urgeri,& aequalia fpatiadefcribere. Quare,perF^op. zxxvm ^ tempus quo oorpus defcribit arcum ST efk ad' tempiis oicii- PRINCIPIA MATHEMATICA. »41 ofciHationis amns • nt arcus HI ( cempus quo corpus ifiT perveniet Libb ad Z ) ad femiperipheriam HKm ( teropus quo corpus /f perve-^ **** niet ad M. ) Et velocitas corporis penduli in loco T efl ad veloci- tatem ipiius in loco infimo ^>(hoc efl , velocitas corporis ^in lb« co L ad velocitatem ejus in loco G , feu incrementum momenta; neum lineae HL ad incrementura momentaneum lines HGr^tcvtT bus HIj HK squabili flnxu crefcentibns ) ut ordinatim applicatft X/ ad radium GK^ five ut V SRtt.-^THq. ad SR. Unde cum-, in ofcillationibns imequalibus > defcribantur asqualibus temporibus arcus totis ofcillationiiim arcubus proporcional^s ; habeiKuf , ez da tis temporibus , & velecitates & arcus defcripti in ^" -" - -•^- univerfis. Qus eraat pFimo inventenda.. Ofcillentur Jam Funipendtjla cor- pora in Cycloidibus diverfis intra Globos diverfos , quorum diverfc funt etiam Vires abfolutae»defcrip- tis: &, fi Vis abfoluta Globi cujuf- vis ^Oif dicatur V, Vis accelera- trix qua Pendulum urgetur in cir- ^ oimferentia hujus GlcK>r> ubi in- M cipit direcle verfus cenrrum ejus moveri, erit ut diftantiaCorporis penduli a centro illo & Vis abfoluta Grobi conjunftim , hoc eftV nt COyc^V. Itaque nneora H T^ quae fit ut haec Vis acceleratrix COXV9 defcribetur dato tempore; &, fi erigatur normali^Z^ circumferentis occurrens in ^^arcus nafcens /j^ denotabit datuga illud tempus. Eft autem arciis hic nalcens /T^in fubduplicatar»- lione reaanguli GHT, adeoque ut "^G/yxCOXV. UndeTem- pus ofcillationis integras in Cycloide ^RS (cum fit ut femiperiphe- rra//Jf il/,quxofcillationem ilIaminteffram:denorat, direfte, ut* qjiezvcnsHZ, qui datum tenopus fimiTiter denotat , inverfeifiet ut G^direfte & yGHxCOxY inv€rfe,.hoc eft ,.obaBqualcsG-ff S R' jiR &SR, ut t/^^ y.five (per Cord.ProplL) ut Vj^s^y: If^- que Ofcillationes in Globiis &, Cycloidibus omnibus » %»ibufcunh qoe cum Viribus abfolutis fa6ias > funt in ratione qua^ componl^ tur ex fubduplicata ratione longitudinis Fili direde » & fubdi^ plicata ratione diflantias inter pundlum fufpenfionis & centrum; S ^ Globii 14* PHILOSOPHIiE NATURALIS Di M«Ttj Olobi iaverfe» & fubduplicata ratione Vis abfofaita Globi etiam eoMoauM inverfe. ^E. L Corol. X. Hinc etiam Ofciilantium . Cadentium & Revolventium corporum tempora poflunt inter fe conferri. Nam fi Rotae , qua Cyclois iiitra giobum defcribitur , diameter confHtnatur aBqualis femidiametro globi , Cyclois evadet Linea refta per centrum globi traniiens , & Ofcillatio jam erit defcenfus & fubfequens af- fcenfus in hac reda. Unde datnr tura tempus defcenfus de lo- co quovis ad centrum , tum tempus huic s^uale quo corpus u- niformiter circa centrum globi ad diftantiam quamvis revolven- do arcum quadrantalem ddRrribit. Efi enim hoc tempus (per Cafum fecundum ) ad tempus femiofcillationis in Cycloide quavis ^i^Jutiadt'^. Cdrol. 1. Hinc etiam copfedantur aus fVrennus & Hugenius de Cycloide volgari adiDvenerunt. Nam fi Globi diameter au- geatur in infinitum : mutabitur ejus fuperficies fphserica in pla- Qum t Vifque centripeta aget uniformiter fecundum lineas huic plano perpendiculares > & Cyclois noftra abibit in C^rcloidem vnl- ^i. mo autem in cafu longitudo arcus Cvcloidis , inter planum illud & pundum defcribens » scjuaris evadet quadruplicato fmui Ntdo dimidii arcus Rot£ inter idem planum ^ punclun\ . / edaoRut. «««• T Z tanpnu W«»|^ * ' tu PHILOSOPHJ^ NATURALIS p» MoTif Nam n vis , qaa corpus trahitur de T verfus C , exponatur per Coa»o»oMrciftam TZ captam ipfi proportionalem , refolvetur hacin vires TT, TZ , quarum TZ trahendo corpus fecundum longitudinem Fili TTs motum ejus nil mutat. vis autem altera 7'7' motum ejus in curva STR^^it^&Q accelerat , vel direfte retardat. Proinde cum hsc (it ut via defcribenda TR , accelerationes corporis vel tt* tardationes in Ofcillationum duarum (majoris & minoris} partibus proportionalibus defcribendis , erunt femper ut partes ills , & prop- terea facient ut piartes illae fimul defcribantur. Corpora autem quas jpartes totis femper proportionalbs fimul defcribunt , fimul delcri* oeiit totas. . j^E.T). Cor§l. i. Hinc fi corpusX^^ reftilineo AT z centro A pen- dens. defcribat arcum circularem S TR^,'& interea urgeatur fe* cundum lineai parallelas deorfum a vi aliqua , qus (k ad vim uni- formem Gravitatis, ut arcus XR ad ejus unum TN: aequalia erunt Qfcillationum fingularum tempora. Etenim ob parallelas TZfAR, fimilia erunt triangula ATN, ZTT^ & propterea TZ erit ad AT ut TTtA TNi hoc eft, .(fi Gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam AT) vis TZ , qua Ofcillationes evadent Ifo- chronx , erit ad vim Gravitatis AT , ut arcus TR ipfi TT zqnalis ad arctts illius finum TN. Qtrok %. Igitur in Horologiis , fi vires a Machina in Pendolnm ad mottmi confervandum impreflae ita cum ' vi Gravitatis componi pofiint , ut vis tota deorfum feinper fit ut linea qaac oritnr appli- cando redangulum fub arcu TR & radio AR ad unum TN^ Of- ciUationes omnes erunt Ifochrone. PROPOSITIO LIV. PROBLEMA XXXVl Concejffis Ftgurarum curvtlinearum auadraturis , invenire Tempora qutbus corpora vi qualioet centripeta in Ufteis quiBufcunque curvis , ihplano per centrum Virium tran/'- iunte defcriptis , defcendent & a/cendent. Defcendat corpus de loco quovis S per lineam qttamvis cnrrtm ^7*/ R , in plano per virium centrum C tranfeunte datam. Jqdm- vuCSSc dividatur eadem in partes innumeras eqnales , fitqoe tD d partinm — '^»m^ A» • PkiNciPiA mai:h:emat.iga. 14^ paniam illajtnm aliqm.— €«iitt.o C, intervtttis C® , Ciddbribati- tnr dfctlfi'© Tt dti linea cuf^JT^jR occarrentes in 2^&7. £t ez data tum lege vis centripet«^i > n , . toffl altitudine CS de qua corpasce- •' cidit ; dabitur velocitas corporis in/ y\ x- alia qaavis altitadine CT*, per Fro{^l XXXIX. Tempusaotem, quCcor^as defcribit . Itoeolam T^ , eft ut lipeo- 1« hujuslopgittido (id-eftut fecans anguli t ?'C>.direfte » -"^yelocitas inverfe. Tempori Jluic prt>pbrtiona- lisiit ordinatim applicatalpix adrec- tam CS per punautn^ ben^ndicu- laris , & ob datam z>w eritlredan- ilum 'Ddy^'D n:^ yhoc«% area ' Nn d , eidem tenmdri proportio- nale. Ergo fi SN»M. curva illa li- nea quam pundlam 4^ perpetuo tan* ^t , erit area S N*D9 proportiona- Us tempori qoo corpus defcendendo - -. defcripfit lineam STi proindeque ex inventa illa area dabitur Tempos. ^E.I. PROPOSITIO LV. THEOREMA XIX. Si corpus movetur m fuperficie quacunque curva , cujm axit per centrum ririum tranfu , fe* a corfore in axem demft" tatur perpendicularis , eique paralleta ^ aqualis ab axis punBt quovis dato ducatur : dico quod parallela illa are»^ am tempori proportionalem defcribet, * Sit B SKL fuperficies curva , 7^ corpus in ea revolvens , STtR Trajeftdria quam corpus in eadem delcribit , S initium Trajefto- riae, OMNK^yixs fuperficiei curva, riSTrefta a corpore in axem perpendicularis , O SP huic parallela & aequalis a punao O quod in axe datur edufta , A T veftigium TrajcAoriaB a 'punfto T in linea volttbitis OT' platno ^O SP d^fcriptum , .^ veftigii initium pundo«f rcfpoticiens , • / C reft.a a corpore ad centrum duda; T^G pars ejus vi cenrripetae qua corpus urgetur in centrum C proportionalis ; ril/ reda ad fuperficiem curvam perpendicularis , 7*/ pars ejus vi preifionis , qua corpu&urget fuper^clem viciifimque urgetur verlus M M6 EHILOSOBHI* NATURALIS Di M«ny»Cundlis G & / in paralle- am illam THTF perpen- diculariter demi^a. DiCQ |am quod area ^ OfP » radio O ? ab initio aotus defcripta, fit tempt^ri pro- portionaGs. Nam Vis TG ( per Le^m Corolla. ) re- iolvitur in virei TF.FGi & vis r / in VB-e (5 r/f, ffl: Vires aUtM TF, TH ^gendo fecun^umK' neam T F plano \'fi O tP perpendicularem ^utant folummodo motum cor- poris quatenus huic plano perpeDdicolarcm. Ideoque motns ejos quatenus fecundum poiicionem plani fados , hoc eft , motus (>unc- ti 7* quo Trajedoriae vefligium AT in hoc plano defcribttar ,idem eft ac fi vires TF, T H tollerentttr , ,& corpusi folis viribos FG, ^/ agitaretor ; hoc eft, idem ac fi corpiis m plano -<^oy,vi cen- icipeta ad centrum O tendente & fufflmam virium FG & H2, &- quante , delcriberet cttrvam ^ ?. Sed vi Vali defcribitor area ^05P ("per Prop. i .) tempori proportionalis. ^ E. 2>. Chr*/. £odem argumento fi corpus a vtrft)us agitatum «d centra doo vcl plura in eiNdem qtti^is reoa CO daca tendentibut , defcri- beret in ^atio libero lineam quamcuaque curvam ST^iQttx «rea J[0 T tempori femper proporticmalis. PROPOSITIO LVI.*PROBLEMA XXXVfl. CtMcejffis Tiyurarum cmvtlinearum qMadratmh , daufque^ tum kf^ Vh cet^ripeta ad ceniram dattun tendemk , tum fitperfieie cnrva cttjm 4x'ts per centrttm ittttd troH/it j m* ventenda eft TrajeBoria qttam corptts in eademfuperfi^ cie defcrihet , de loco dat qufls func in data ratione ad invicem , & squali motu angnlari circum ter- ninos fuos feruntur, Fi^uras circum ; eofdem terminos (in planis qud^ una cum his terminis vel quiefcunt vel motu qupvis aon an- gulari moventur^ defcribunt omnino fimiles; Proinde fimiies func rigurs qus his difbntiis circumadis defcribuntun ^ E. jD. PROPOSITIO LVUI. THEOREMA XXL Si corpora duo Firibus quibu/vis fe mutuo trahunt , Sf inter^ ea vohuntur circa gravitatis centrum commune :dico qu^d Ftguris , quas corporajlc mota defcrihunt circum fe mu- Jtuo , poteji Ftgura Jimilis Sf aqualis , circum corpus aU terutrum immotum , Viribus iifdem defcribi. Revolvantur corpora S , P circa commune gravitatis centriHB C, pergendo de J ad T deque ? ad ^ A dato punfto s ipfis Omi •••••• ••••*•••• . • • •• •^''•••••t ••■ »•••••• •••••■■ ••• >* STf T^aquales & parallela dacantur femper sp, sf^ & Curva fqv quam punflum / , revolvcndo circnm pundum l * deibrlbic > PRINCIPIA M ATHEMATICA: ?49 defcribit, erit fimilis & iaefquiTis Carvis quas corpora Sf ^ defcri^ Libie-^ buDt circum fe mutuo: proindeque (per Theor. xx.) fimdlis Cur- P&mos^ yisST& T^y^ quas endem corpora defcribuntcircum commune gravitaiis centrum C: id adeo quia proportiones linearum S^t CP & ST vel j/ ad invicem dantur. '* Caj: I. Commune illud Gravitatis centrum C , per Legum Go^ rollarium quartuni , vel quiefcit vel movetur uniformiter m direc* tam. Pbnamus primo quod id quiefcit » inque s Scp locentur cor^ pora duo , immobile in s , mobile io p% corporibus S Si.T fimiiia & ^equalia. Dein tangant reft» TR&ipr fcurvas ?^ &. pqiri ? &/ , & producantur C^& /^ ad iZ & r, £t , ob iimilitudi-- nem Figuranim CT R^y sprq, erit i?^ad rq ut CT ad i/, adeoque in data ratione. Proinde fi vis qua corpus T verfus cor* pus J, atque adeo verfus centrum intermedium Cattrahitur, efiet ad vim qua corpus p verfus centrum s attrahitur in eadem illa ra« tione data ; hae vires aBqualibus temporibus attraberent femper cor- pora de tangentibus T Ry fr ad arcus ^ ^*/f>per intervalla ipfis proportionalia /?^> rq\ adeoque vis pofterior efficeret ut corpus / gyraretur in Curva/^v, quae fimilis effet Curvae T^y ^Ivl qua vis prior efficit ut corpus 7 gyretor , & revolutrones iifdcm tem- poribus complerentur. At quoniam vires illas non funt ad invicem in ratione C tP ad j/ , {ed ( ob .fimilitndinem & aBqualitatem cor- porum *$*& j>.!P&/, & aequalitatem diftantiarum JP, j/) fi- bi mutuo squales ; corpora a?qualibus temporibus aequaliter tra- hentur de tangentibns : & propterea , ut corpus pofterius/ traha* tur per intervallum majus r ^, requiritur tempus majus , idque in fobdapUcata ratione intervallorum ; propterea quod ( per LenHua decimum^ fpatia, ipfo motus initio defcripta, funt indnplicata ra- lione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis/ effe ad wlo- citatem corporis ? in fubduplicata ratione diftanti» s p ad diftan* tiam CP , eo ut temporibus quas fint in eadem fubduplicata ratio- ne defcribantur arcus ^^, ? ^> qui funt in ratione integra : £t corpora ^%P viribus squalibus femper attrafta defcribent circun^ centra quiefcentia C &:^ Figuras fimiles T^^ypqv^ quarumpo- . fterior f q v fimilts eft & aBqualis Figurae quam corpus T circum; corpus mobile S defcribit. ^ £. 2). .. QaJ. %. Ponamus )am quod commune gravitatis centrum, u^% cum fpatio in quo corpora moventur inter fe , prc^reditur unifor^ niter in direAum ; & , per Legum Corollarium lextum , motus omnes in hoc fpatio peragentur ut prius , adeoque corpora defcri- T j bear •M. m^. i^ PHILOSOPHIiE NATURALIS Of Monr beot circum fe mutuo Figuras ealdem ac prius » & propterea Flgn- Goft#ofcVM izfqv fimiles & aquales. ^ £. ©. Grtf/. I. Hinc corpora duo Viribus diftantiz fus proportiooali- bus fe mutuo trahentia, defcribunt (per Prop. x* } & circumcom- mune gravitatis centrum , & circum fe mutuo , Ellipfes concentri- cas: & vice verfa , fi tales Figurae defcribuntur, funt Vires diftan- tis propprtionales. Oml. z. Et corpora duo Viribus quadrato diftantiae fuae recipro- ce proportionalibus defcribunt ( per Prop. xi , zu , xni. ) & drcum commune ^avitatis centmm , & circum fe mutuo , Sediones co- ^lwhis umbilicum habentes in centro circum quod Figorc defcri- buntur. Et vice verfa , fi tales Pigurs deicribuntUr , Vires centri- pets font qnadrato difianti» reciproce proportionales. Coroi. j. Corpora duo qusvis circum gravitatis centrum commu- ne gyrantia , radiis & ad centrum illud & ad fe mutuo dudis , de- (cribunt areas temporibus proportionales. PROPOSITIO LIX. THEOREMA XXIL CQrporum dmrum S ^ P ctrca commune gravitatis centrum C revohentium Tempus periodicum ejje ad Tempus perio" dicum corporii aUerutrius P , circa aUerum immotum S ^rantis & figuris qute corpora circum fe mutuo defcri' bunt Hguram Jimilem & aqualem defcribentis , in fub^ dupUcata ratione corporis aUerius S , adfummam corpo* rumS -^ P. « Namque , ex demonftratione fuperioris Propofitionis , tempora quibus arcus quivis rimiles T^&}q defcribuntur , funt in fubdu- plicata ratione diflantiarum C^& J? vel x/, hoc efi, in fubdu- plicata ratione corporis S ad fummam corporum S-*-T. Et com- ponendo , fumms temporum quibus arcus omnes fimiles 'P^&.pq defcribuntur, hoc eft,tempora tota quibus Figurae totae fimues.de- fcribuntur > fimt in eadem fubduplicata ratione. ^ £. !D. PRO- PRINCIPIA MATHEMATICil. 151 PROPOSITIO LX. THEOREMA XXUL • Liw» . Si c^pera ^/«m S ^ P , Viribm qfiadraio diftatttia fti£ re*k ciproce profortiotialihHsfe rtitnuo trahetttia , revohutttttr ctrca gravttatis centrnm commtine : dico quod EUipfeos^ quam corpus alterutrum P boc mottt circa aUeritm S de» fcrthit , Aets principalis erit ad ^xem principalem EU lip/eos , quam corpus idem P circa alterum quiefcens S e9* dem tempore periodico defcrihere pojfet^ utfumma. corpo» rum duorum S -^V ad primam dttarum medte propertipf ntdium inter banc fummam & corpus iUud akerum S. » Nam fi deicripts Ellif^s tSknt fibi invicem aeqaales, tetitpott periodka ^per Theorema fuperios ) forenc in fabdupltcac* rattone corporis S ad fummam corporum S-^t-T. Minufttor in hac ratione tempas poriodicnm to Eilipfi pofteriore^ & tempora periodica vru dent squalia ; Eilipfeos autem axis (yrincipalis ( per Prop. xv. ) mlr naetur in ratione cujus hsc eft fefquiplicata , id eft in ratione , cit- jus ratio S ad S-^ T eft triplicata -, adeoque erit ad axem principa- lem EUipfeos alterius , ot prima duarum medie proportionalium in- ter S-^V &, S ad J-f- 7. Et tBverfe » axis principaHs EUipf^os cirv ct corpus tnobile defcriptae erit ad axem principalem defcripts cir- ca immobile» ut S-^T ad primam duarum me^e proportionalium PROPOSITIO LXI. THEOREMA XXIV. Si corpara du9 virihus quihujvis fe tifutm trabefHta , ne^ qui aUas agitata vel impedtta , quomodoeunque movean" tur j motus eorum pertnde fe hdhehunt ac ft non trahe" rent fe mutuo , fed utrumque a corpore tertio in commu^ ni gravitatis centro conftituto f^irihm itfdem traberetur : Et yirium trahentium- eadem erit Lex refpeBu dtftantitt sorporum a cetUro^ Hto eommuni atque refpe&u difiatituf totius ituer corpora» Nam vires il1a& » quibus corpbra fe mutub tratiunt , tendendb» ad corpora , tendunt ad commune gravitatis centrom interme<- diuatr ts% . PHILOSOPHIiE NATURALIS Db Motu diumt adeoqae eaedem funt ac fi a corpore intermedio manarent. CoAfOKVU ^E.T). • Et quoniam data eft ratio diftantias corporis utriufvis a centro illo cotnmuni ad difUntiam corporis ejufdem a corpore altero » dabitur ratio cujufvis poteftatis diftantis unius ad eandem poteffai- tem diftantiae alterius ; ut & ratio quantitatis cujufvis » qux ez tina diftantia & quantitatibus datis utcunque derivatur » ad cjuao- titatem aliam , qu« ex altera diftantia & quantitatibus totidem jdatis datam(|ue illam diftantiarum rationem ad priores habentibus iimiliter derivatur. Proinde fi vis * qua corpus unum ab altero trahituf , fit.direde vel inverfe ut diftantia corporum ab invicem; ^el ut quaelibet hujus diftantise poteft^s; vel denique ut quantitas Susivis ex hac diftantia & quantitatibus datis quomodocimq^ue erivata : erit eadem vis , qua corpus idem ad commune gravita- tis centrum trahitur , diredle itidem vel inverfe ut corporis at* tra^i ;diftantia a centro illo communi , vel ut eadem diftamiae hu- $Qs poteftas 9 vei denique ut quantitas ex hac diftantia & analogis quantitatibus datis fimiliter derivata. Hoc eft 9 Vis trahentis ea* dem erit Lex refpe6iu diftantis utriufque. ^ E. T>. PROPOSITIO LXIL PROBLEMA XXXVffl. Corporum duorum quds Vtrtbui quadrato diftantia Jus reci- proce proportionaHhus fe mutuo trahunt^ ac de locii datis demittuntur, determinare Motus, Corpora ( per Theoretna noviflimum ) perindje movebuntur ac fi a corpore certio , in communi gravitatis centro conftituto , trahe- rentur ; & centrum illud ipfo motus initio quiefcet per Hypothe- iin ; & propterea ( per Legum Corol. 4. } femper quiefcet. Oeter* minandi funt igitur motus corporum ( per ProD.j xxv , } perinde ac fi a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur , & habebun- cur motus corporum fe mutuo trahentium. ^ E. I. PROPOSITIO LXIII. PROBLEMA XXXIX. Corporum duorum qua Virihus quadrato difianti^e fuie reci" proce proportionalibus fe mutuo trahunt , deque locis datis , fecundum datas re&as , datis cum Velocitatibus exeunf , . determinare Motus, Ex •1 PRINCIPIA THEMATICA. i?3 Ex datis corporum motibus fub initio, datur uniformts motus LiBEit centri comtounis gravitatis, ut & motus fpatii quod una cum^*'**"*- hoc centro movetur uniformiter in direftum , nec non corporum motus initiales refpe^flu hujus fpatii. Motus autem fubfequentes (per Legum CoroHarium qiiintum » & Theorema noviiEmum ) perinde fiunt in hoc fpatio , ac fi fpatium ipfiim una cum com- mQni iHo gravitatis centro quiefceret, & corpora non traherent fe mutuo 5 fed a corpore tertio fito in centro illo traherentur. Corporis igitur alterutrius in hoc fpatio mobili y de loco dato fe^ cundum datam redam , data cum velocitate exeuntis , & vi cen- tripeta ad centrum illud tendente correpti » determinandus eft morus per Problema nonum & vicefimum fextum .* & habebitur fimul motus corporis alterius e regione. Cum hoc motu com- ponendus eft uniformis ille Syftematis fpatii & corporum in eo gy* rantium motus progreffivus fupra inventus . & habebitur motus abfolutus corporum in fpatio immobili. ^ K I. PROPOSITIO LXIV. PROBLEMA XL. Virtbus quibus Corpora fe mutuo trahunt crefcenttbus mjim" plki ratione difiantiarum n centris : re^uiruntur Motus plurium Corporum interfe, Ponantur primo corpora duo T& L commune habentia gravi- taiis centrum *D. Defcribent haec (per Coroliarium primura Theo- rematis xxi ) Ellipfes centra habentes in 7} , quarum magnitudo ex Problemate v , innotefcit. I S T 3L l AM uaaaaM Ttahat jam corpus tertium S priora duo T & L viribus acceleratricibus ST^ SL^ &: ab ipfis viciffim trahatur, Vis ST (pcT Legum Cor.x.) re- folvitur in vires S1)^7)T;8c vis ^ Z. in vires S'D, T> L. Vires autem "DT.T^L , qu« funt ur ipfarum fumma jTL, atque adeo ut vires accelera- tricerquibus corpora T& L fe mutuo trahunt , addita his viri- bus corporum T &c L , prior priori & pollerior poftcriori, com- ponunt vires diftantiis 2) T ac ©L proportionales » ut prius, fed V viribus <\ «54 I. PHILOSOPHI^ NATURALIS Dt Moto Yiribas prioribus majores ; adeoque ( per Corol. i. Proj). x. & Corol. CoMORUM j[ &8.Prop. IV ) efficiuntut corpora illa defcribant Ellipfes utprius, fed raotu celeriore. Vires reliquae acceleratrices S7> & S7>,skSio- nibus motricibus S'DxT& S^XL, qux funt ut corpora, tra- hendo corpora illa squaliter & fecundum Iineas77,£A', ip£ ^S parallelas , nil mutant fitus eorum ad invicem , fed faciunt ut ipfa «qualiter accedant ad lineam IKi quam dudamjconcipe per me- dium corporis S , & lineae 7) S perpendicularem. Impedietur au- tem ifte ad lineam /i^accefTus faciendo ut Syftema corporum ?*& L ez una parte , & corpus S ez. altera , jultis cum vefocitatibus » gyrentur circa commtme gravitatis centrum C. Tali mota corpas 2r (eo quod fumma virium motricium S'D'XT& S7)XL, diftan- tiae C S proportionaliura , tendit verfus centrum C ) defcribit £1- lipiin circa idem C; & pundum 2), ob proportionales CS, CD^ defcribet Ellipfin confimilem e regione. Cwpora autera T& Lvi- ribus motricibus S7)XT& S7>X L , ( prius priore , |>oilerius poileriore ) aequa* liter & fecundum lineas pa- rallelas TI&L K (ut dic- tum eft} attra^la , |>ergent (per Leeum Coroliarium quintum & fextum) circa centrum mobile 7) Ellipfes fuas defcribere > ut prius. §.E.L f Addatur jam corpus quartum P^, & flmilt arguraento cooclode- tur hoc & pundum C Ellipfes circa omnium commune centrunt gravitatis B defcribere ; manentibus motibus priorum corporum jT, L& S circa cemra 2) & C, fed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjongere licebit. ^ E. I. Hsc ita fe habent ubi corpora T & L trahunt fe mutoo viriba» tcceleratricibus majoribus vel minoribus quam quibos tradunt cor- pora reliqua pro ratione diflantiarutn. Sunto mutuae omninm at- tradtiones acceleratrices ad invicem ut diftantiae dudas ii^ corpo- ra traheatia , & ez prscedentibus facile deducetur quod corpo^ ra omnia squalibus temporibus periodicis EUiipfes varias , circa omnium commune gravitatis centrum B xva plano immobili de- fcribunt. §^E L • •••»•••••••■ ■«••••••«»««« PRa PKINCIPIA MATHEMATICA. iff PROPOSITIO LXV. THEOR.EMA XXV. P*i»«««, % Cfrpora plura , quorum vires decre/cunt in duplicaia ratione difiantiarum ah eorundem centrisy moveri pojfe interfe in Eir$pjibus ; ^ radiis ad umbiGcos duBis areas defcribere temporibus proportionales quam proxime. In Propoficione fuperiore demonflratus efl: cafus ubi motus plures peragnmur in kllipfibus accurate. Quo magis recedit Lex virium a Lege ibi pofita » eo magis corpora perturbabunt mutuos motus; neque fieri poteft ut corpora» fecundum Legem hic po- fitam fe mutuo tranentia, moveantur in EUipfibus accuratC) nifi fervando certam proportionem difiantiarum ab invicem. In fe« quentibus auteffl cafibus non nmUum ab Eliipfibus errabitun Caf I . Pone corpora piura minora circa maximum aiiquod ad va« rias ab eo diflantias revolvi , tendantque ad fingiila vires abfolutas proportionales iifdem corporibus. . Et quoniam omnium commune gravitatis centrum (per Legum Corol. quartum) vel quiefcit vel movetur uniformiter in dire6him , fingamus corpora minora tam parva efife ^ ut corpus maximum nunquam diftet fenfibiliter ab hoc centro : & maximum illud vet quiefcet vel movebitur uniformitier in (firedhim » abfque errore fenfibili ; minora autem revolventur circa hoc maximum in Ellipfibus ^ atque radiis ad idem du6lis de<* fcribent areas temporibus proportionales ; nifi quatenus errores in« ducuntur 9 vel per errorem maximi a communi illo gravitatis cen^ tro 9 vel per adiones minorum corporum in fe mutuo. Diminni autem pofiunt corpora minora ufque donec error ifte & a quibus corpora fecundum lineas parallelas ur* gentur , non mutant fitus corporum ad invicem 9 fed ut Syfiiema totum, fervatis partium motibus inter fe, fimul transferatur effici- oht: manifeflum efl quod» ex attradionibus in corpus maximum^ V X nuUa 15« PHILOSdPHl^ NATURALIS Q Di MoTo nulla prorfas oriexur mutatio motus attraftorum inter fe , nifi vet CoMoRuv ^^ attradtonum acceleratricum inaBqualitate , vel ex inclinttione linearum ad invicem , fecundum quas attradtones fiunt. Pone er- go attra^liones omnes acceleratrices in corpus maximum efle inten fe reciproce ut quadrata diflantiarum ; &3 augendo corporis maxi- mi diflantiam >. donec re^^arum ab hoc ad reliqua duAarum difie- rentis refpei^u earum longitudinis & inclinadones ad invicem ml- nores fint quam datae qua&vis., perfeverabunt motus par^ium Syfle- matis inter fe abfque erroribus qui non fint quibufvis datis mino- res. Et quoniam , ob exiguam partium illarum ab invicem diflan- tiam, Syftema totum ad modum corporis unius attrahitur; move- bituridem hac attra ma- jorem reddet perturbationem totam. Corol. ^. Unde fi Syflematis hujus partes in Ellipfibus vel Cir culis iioe perturbatione infigni movetntur ; manifeflam eft^ quod eaedem FRINCIPIA MATHEMATICA. if; e«dem a viribns acceleratricibos ad alia corpora tendentibus , ant I^i^ie» i non urgentur nifi leviflime, aut urgentar sequaliter fecundwn li. ^^'^^s^ neas parallelas quamproxime. PROPOSITIO LXVr. THEOREMA XXVr. Si corpora trta , qmrum Vurei decrefaunt m duplicata ratii&^r ne diftantiarum , ft mutuo trahanty 6f attra&iones acce- leratrices btnorum quorumcunque in tertiumjint inter ft . reciproce ut quadrata diftantiarum ; minora aatem circd. maximum revolvantur : Dico quod interius ctrca intimum ^ maximum , radiis ad ipfum duBis , . deftrihet areas ttmporibus magts proporitonales , ^ Ftguram adformam. Ellipftos umbtlicum in concurfu radiorum habenits magis accedentem , fi corpus maxtmum his attraBiontbus agtte- tur , quam fi maximum illud vel a minoribus non attrac-^ tum quiefcat , vel multo- minus vel multo magis attra&um, aut multo minus aut multo magis agitetur. Liquet fere ex demonftratione Corollarii fecundi Propofitionis» pr£cedentis; fed argumento magis diftinv;::;r.!rJ!! / X \ X terioremP^^» &^ exteriorem S E, Sit \^ y -^^ -l j& .^ SK mediocris diflantia corporum SP & i" ; & corporis ? verfus S at- traftio acceleratrix in mediocri illa diflantia exponator per eandem; In duplicata ratione SKzAST capiatur S LzAS K, & erit SL. attrattio acceleratrix corporis T verfus S, in ^iftantia quavis ST. Jonge T T, eique parallelam age L M occurrentem S T \n M ,. & aitraflio SL refolvetur ( per Legum Coroi 2.) in attraaiones. S M.LM. Et fic urgebitur corpus 5P vi acceleratrice triplici ; V 3 ttn* 158 PHILOSOPHI^ NATURALIS Dc MoTuuna tendeDte ad ?*& orianda a mutua attra^one corporam 7*&7. U>aroavMpjj^^ vi fola corpus T circum corpus 7*, five immotum five hac at- tradione agitatum , defcribere deberet & areas, radio TT, tem- poribus proportionales , & Ellipfin cui umbilicus eft in centro cor- poris T. Patet hoc per Prop. xi. & Goroilaria x & 3 Theor. xxi. Vis altera eHl attradionis L M, quae quoniam tendit a Pad 7*, fuper- addita vi priori coincidet cum ipfa , & iic faciet ut areae etiamnum temporibus proportionalesdefcribanturperCorol.3.Theor.xzi. At quoniam non eft quadrato diftantiae ? T reciproce proportionalis , componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem , idque eo magis quo major eft proportio nujus vis ad vim priorem , csteris paribus. Proinde cum ( per Prop. zi. & per Corol. x. Theor. xxi.) vis qua Ellipfis circa umbilicumT^.defcriDitur tendere debeat ad umbilicum illum,& ^c quadrato diiiantix 1*T recipro- ce proportionalis ; vis il- la compoiita , aberrando ab hac proportione , fa- cictutOrbis5P^5ab- , erret a forma Ellipfeos - umbilicum habentis in S •» idque eo magis quo major ell aberratio ab ' ^^ ^^ hacproportione; at<}ue ^ adeo etiam quo major eft proportio vis fecunds LMsLd vim pri- mam,cseteris paribus. Jam vero vis tertia SM^ trzhendo corpus^ fecundum lineam ipfi ifT^parallelam, componet cum viribus priori- bus vim quae non amplius dirigitur a 5P in T^.quaeque ab hacdeter- roinatione tanto ma^is aberrat , quanto major eft proportio hujus tertis vis ad vires priores , czteris paribus ; atque adeo qus faciet ut corpus P,radio TT^ areas non amplius temporibusproportiona- les defcribat , atque aberratio ab hac proportionalitate uttantoma- JQC fit , quan.to major eft proportio vis hujus tertix ad vires cste- ras. Orbis vero TJiB aberrationem a forma EUiptica pricfata haec vis tertia duplici de caufa adaugebit , tum quod non dirigatur a *P ad T, tum etiam quod non iic proportionalis quadrato didantts VT. Quibus intelle(5lis , manifellum eit quod arez temporibus tum m9»me fiunt proportionales , ubi vis tertia , manentibus viribus caeteris , iit minima ; & quod Orbis T AB tum maxime accedit ad praefatam formam EUipticam , ubi vis tam fecunda quam tertia » fed prscipue vis tertia , fit minima , vi prima manente. Expo- ...j PRINCIPIA MATHEMATIGA. ^S9 ut^ Exponatut corporis 7* attraftio acceleratrix verfus Sptr lineatn p^'*** SN; & fi attradiones acceleratrices SMy SN xqu^ks effent^haB, *^****^* trahendo corpora T&T aBqualiter & feciindum lineas parallelas , nil mutarent fitum eorum ad invicem. lidem jam forent corporum illorum motus inter fe (per Legurt Corol.6. ) ac fi hae attraftio- nes toUerentur. Et pari ratione fi attraftio Jj^Tminor effetattrac- tione S M j tolleret ipfa attraftionis 4$* il/partem S N\& maneret pars fola MN, qua temporum & arearum proportionalitas & Orbi- t£ forma illa EUiprica perturbaretur. Et fimiliter fi attradio SN major effet attraftione SM y oriretur ex differentia fola MNper- turbatio proportionalitatis & Orbita^. Sic per attraftionem SNrc- dncitur femper attraftio tertia fuperior SM ad attraftionem MN^ attraftione prima & (ecunda manentibus prorfus mmutatis : & prop- terea ares ac tempora ad proportionalitatem , & Orbita T AB ad formam prsfatam Eilipticam tum maxime accedunt j ubi attradio MN vel nulla eft » vel quam fieri poffit minimff; hoc eft, ubi cor- porum y & 7" attra^iones acceleratrices » faftaB verfus corpus *$* , accedunt quantum fieri poteft ad squali tatem^ ; ideft , ubi attrac- tio SN non eft nulla, neque minor minima attradionum omnium S M y fed inter attra^lionutn omnium' S M maximam & mini* mam quafi mediocris , hoc eft y non multo major neq.ue multo m^ nor attraftione S K. ^E. 7J. Caf zv Revolvantur jam^ corpora minora ^r S circa maximura Tin planis diverfis ; & vis LMj agendo fecundum lineam T T in plano Orbit£ T^jfB fitam, eundem habebit effedum ac prius» ne- que corpus y de plano Orbitae fiiae deturbabit. At \h ^tera NM, agendo fecundum lineam qu« ipfi 4$* T parallela- eft, Catcjue adeo, quando corpus S verfatur extra lineam Nodorum , mclmatur ad p\anum Orbitae P >^ J? ; ) praeter perturbationem motus in Longitu- dinem }am ante expofitam , inducet perturbationem' motus in £ati* tudinem , trahendo corpus y de plano fuae Orbitae. Et haec |5er- turbatio 9 in dato quovis corporum !P & T^ad invicem fitu , erit ut vis iilagenerans MN^ adeoque minima evadet ubi MNefi mini* ma , hoc eft (uti jam expofui ) ubi attratftio S N non eft multa ma^ jor , neque multo minor attraftione SK. ^ E. 2). Coro/. 1. Ex his facile colligitur quod , fi corpora pfura minora^ TjSjRf &c. revolvantur circa maximum T^ motus corporis in- timi y minime perturbabitur attraftionibus exteriorum» ubi cor» pus maximum T^pariter a caeteris , pro ratione virium acceleracri'- €um> actrahitur & agitatur atque caetera a fe mutua CcroL ^6o PHlLOSOPHliE NATDRALIS De TAotv Corol. X. In Syftemate vero trium corporum 7*, y, «r,fi attraftio- cloRPORUM nes acceleratrices binorum (]uorumcunque in tertium fint ad invi- ,cem reciproce ut quadrata diflantiarum ; corpus P, radio SP T^ a- ream circa corpus T velocius defcribet prope conjundionem A & Oppoficionem B^ quam prope Quadraturas C, i>. Namque vis cmnisqua corpus y iirgetur & corpus ynonurgetur^ quaeque non agit fecundum lineam jPT^accelerat vel retardat defcnptidnem a- tex 9 perinde ut ipfa in confequentia vei in antecedentia dirigitur. Talis eft vis NM. Haec in tranfitu corporis y a C ad ^ tendit in confequentia y motumque acQejerat 5 dein ufque ad ^ in antece- dentia, & motum xetardat;; t4;im in confequentia ufque zdJS, & nltimo in antecedentia tranfeundo a ^ ad C. Corol. 3. Et .eodem argumento patet quod corpus T . casterts paribus, velocius movetur in Conjundione & Oppofitione quam in Quadraturis. CoroL 4. Orbita corporis 5P, cxteris paribus, curvior eft in Qua- draturis quam in Conjun&ione & Oppofitione. Nam corpora ve- lociora minus deflec- ^ tunt a refto tramite. / C Et praeterea vis K L vel NM-9 in Conjunc- tione & Oppofitione , ^ contraria eft vi qua corpu« T trahit corpus T , adeoque vim illam minuit ; corpus autem "^'^-^^ T minus defleftet a refto tramite . ubi minus urgetur in corpus T. JCorol. 5. Unde corpus T , cxteris paribu* , longins recedet a corpore 2^in Quadraturis , quam in Conjundione & Oppofitione. HaBC ita fe habent exclufo motu Excentricitatis. Nam fi Orbita corporis T excentrica fit: Excetitricitas ejus (ut mox in hujus Co- rol. 9.'oftendetuf ) evadet maxima ubi Apfides funt in Syzyaiis ; indeoue fieri poteft ut corpus Ty zd Apfidem fummam appellans^ abfit fongius a corpore Tin Syzygiis quam in Quadraturis. Corol. 6. Quoniam vis centripeta corporis centralis T , qut cor-* pus T retinetur in Orbe fuo , augetur in Quadraturis per additio* nem vis LM9 ac diminuitur in Syzygiis per ablationem yisKLySc ob magnitudinem vis KL^ magis diminuitur quam au^etur;eft au« tem vis illa centripeta (per Corol. i. Prop. iv,) in ratione compo^ fita ez ratione fimpUci radii TTdirede & ratione duplicata tempo- ris PRINCIPIA MATHEMATICA. i6i ris periodici inverfe : patet hanc rationem compofitam diminui per Libek adiooem vis KL , adeoque tempus periodicum, ii maneat Orbis Paintts. radias T? , augeri , idque in fubduplicata ratione qua vis illa cen< tripeta diminuitur: audoque adeo vel diminuto hoc Radio, tem- pus periodicum au^eri magis , vel diminui minus quam in Radii hu- jus ratione fefquiphcata , per Corol. 6. Prop. iv. Sivis illacorporis centralis pauktim languefceret , corpus P minus femper & iminus attraAum perpetuo recederet longius a centro T\ & contra , ft vis Hla augeretur, accederet prq>ius. Ergo fi a6iio corporis longinqui S, qua vis illa diminuitur , augeatur ac diminuatur per vices ; au- gebitur fimulac diminuetur RadiusTPper vices, &tempuspe- riodicnm augebitur ac diminuetur in ratione compofita ex ratione fefquiplicata Radii & ratione fubduplicata qua vis illa centripeta cor- pons centralis T, per incrementum ve! decrementum a(5iionis cor- poris longinqui S, diminuitur vel augetur. Ccrof. 7. Ex prsmiflis confequitur etiam quod Ellipfeos a corpo- re P defcripte Axis , feu Apfidum linea , quoad motum angula- rem progreditur & regreditur per vices , fed magis tamen progre- ditur, & in fingulis corporis revolutionibus per excefium progref- iionis fertur in confequenfia. Nam vis qua corpus SP urgetur in corpasT in Quadraturis, ubi vis MN evtnmt, componitur ex vi LM &yi centripeta qua corpus T^trahit corpus T. Vis prlorLM, fi augeator drftantia ^T , augetur in eadem fere rattone cum hac diftantia , & vis poflerior decrefcic in duplicata illa ratione , adeo- qae fumma harum virium decrefcit in minore quam duplicata ra- tione diftantis yr, & propterea (per Corol. i.Prop.XLv.) eificlt ut Auz , feu Apfis fumma , regrediatur. In ConjunAione vero & Oppofitione , vis qua-corpus T urgetur incorpus 7* difFerentia eft inier vim qua corpus T trahit corpus T & vim KL; & difieren- tia illa , propterea quod vis KL augetur quamproxime in ratione diftantis ? T» decrefcit in majore quam duplicata ratione diftan* lis i*T, adeoque (per Corol. i.Prop.XLV.) efficit ut Aux progre- - diatur. In locis inter Syzygias & Quadraturas pendet motus Au- gis ex cau& utraque conjun(Aim , adeo ut pro hujus vel alterius exceflu progrediatur ipfa vel regrediatur. Unde cum vis KL in Syzygiis fit quafi duplo major quam vis LMin Quadraturis , ex- ceiTus in tota revolutione erit penes vim K L , transferetque Au- gem fingulis revolutionibus in confequentia. Veritas autem hujus & prscedentis CoroIIarii facilius inteiligetur concipiendo S^ftema corporum duorum T, ? corporibus pluribus S,S,S, &c. in Or- he ES£ confiftentibus , undique cingi. Namque horum aftioni- X bus %S2 PHILOSOPHI^ NATURALIS Db Moto bns aftio ipfius T minuetar uadique , decrefcetque in ratione pluf^ Co&roRUM quam duplicata diftaatiae. Corol 8. Cum autem pendeat Apfidum progreiTus vel regreflfus a decremento vis centripets fado in majori vel mincMri quam du- plicata ratione diflantiae TT , in tranfitu corporis ab Apfide ima ad Apfidem fumms^m ; ut & a fimilt incremento in reditu ad Ap~ fidem imam ; atque adeo raaximus fit ubi pMroportio vis in Apfidp fumma ad vim in Apfide ima maxime recedit a duplicata ratione difiantiarum inverfa : manifeftum eft quod Apfides in Syzy^s fuis , per vim ablatitiam KL feu NM — JuMf prqgredientur velocius> inque Quadraturis fuis tardios recedent per vim addititiam L M. Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas prc^refiTusveltarditas regreiTus continuatnr , fit haeo insqualitas longe maxima. Corol. 9. ^ corpus aliquod vi recifvoce proportionali quadrato diftantiae fuae a centro , revolveretur circa hoc centrum in £1- lipfi , & mox , in defcenfu ab Apfide fumma feu Auge ad Apfi- dem imam i vis ilU per acceflum perpetaum vis nove augeretur in fatione plufquam dupri* Cata difiantiae diminu- ts: manifeflum eft quod corpus , perpetuo ac- ceffu vis illius novae im- pulfum femper in cen- trum » magis vergeret in boc centrum, quam fi i4rgeretur vi fotacrefcen- te in duplicata ratione ^ diftantiae diminutae , adeoque Orbem defcriberet Orbe Elliptico interiorem , & in Apfidc ima propius accederet ad centrum quam prias. Orbis igitur , acceifu hujus vis novae . fiet magis ezcentricus. Si jam vi s , in receiTu corporis ab Apfide ima ad Apfidem fummam, decrefceret iifdem gradibus quibus ante cre- verat., rediret corpus ad diftantiam priorem, adeoque fi vis de^ crefcat in majori rationc, corpus jam minus attra^lum afcendet ad diftantiam majorem & fic Orbis Excentricitas adhuc magis augebitur. Igitur fi ratio incremenii & decrementi vis centripe- t» fingulis revolutionibus augeatur . augebitur feroper Excentri- citas ; & e contra, diminuetur eadem (i ratio illa decrefcat. Jam vero in Syftemate corporum T*, P, S, ubi Apfides Orbis T AB funt in Quadraturis»rasio illa. incrementi ac decrementi minimaefl. & PRINCTPIA MATHEMATICA. ^ « & nazhna fit ubi Apfides funt in Syzygiis. Si Apiides conflituaii- LrBen tur in QuadraturiS) ratio prope Apfides minor eft & prope Syzy- Pitiiittt< gias major quam duplicata diftantiarum , & ex ratione illa majori oritar Augis motus velociflimus , uti jam didum eft. At fi confi- deretur ratio incrementi vei decrementi totius in progreflii inter Apfides 9 lijsc minor eft quam dupHcata diftanciarum, Vis in Ap« fide ima eft ad vim in Apfide fumma in minore quam duplicata ra^ tione diftantis Apfidis fummae ab umbilico Etlij^eos ad diftantiam i^fidis ima^ ab eodem umbilico : & e coatra , ubi Apfides confti- tuuntur in Sy zygiis ^ vis in Apfide ima eft ad vim in Apfide fummi in ma)ore quam duplicara ratione diftantiarum. Nam Tires Z^^^iA Qaadratnris additas viribus corporis T^componunt vires in ratione minore» & vires KLva Syzygiis fubduds viribus corporis T re- linquunt vires in ratione majore. Eft igitur ratio decrementi & incrementi totius , in tranfitu inter Apfides , minima in Quadratu- risy maxima in Syzygiis: & propterea in tranfitu Apfidum a Qua* draturis ad Syzygias perpetuo augetur , augetque Excentricitatem Ellipfeos ; inque tranfitu a Syzy^iis ad Quadraturas perpetuo dimi- nuitur > & Excentricitatem dimmuit. Cwol. io. Ut rationem ineamus errorum in Latitudinem) finga^- mus planum Orbis E ST immobile manere ; & ex errorum emo- fita caufa manifeftum eft, quod » ex viribus NMy ML , qute iunt eaufa iila tota ) vis ML agendo femper fecundum planum Orbis ? AB y nunquam perturbat motus in Latitudinem ; quodque v\t NM^ ubi Nodi funt in Syzygiis , agendo etiam fecundum idem Or^^ bis planum , non perturbat hos motus > ubi vero funt in puadrata- i^s eos maxime perrarbat > corpufque T depIanoOrbis fuiperpetiio trahendo 3 minuit inclinationem plani in tranfitu corporis aQuadra- turis ad Syzygias 9 augetque vicifiim eandem in tranfitu a Syzygiis ad Quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis exiftente incli^ natio evadat omnium minima , redeatque ad priorem magnitudi* nem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At fi^Nodl conftituantur in Oflantibus poft Quadraturas, id eft, inter C&cA^ ^ & By intelligetur ex modo expofitis quod, in tranfitu corppris T a Nodo alterutro ad gradum inde nonagefimum , inclinatio pla* ni perpetuo minuitur; deinde in tranfitu per proximos 45 gradus* ufque ad Quadraturam proximam , inclinatio augetur , & poftea de^ nuo in tranfitu per alios 45* gradus , ufque ad Nodum proximum % diminuitUT. Magis itaque drminuitur inclihatio quam au^etur, Hc propterea minor eft iemper in Nodo fubfequente quam m prsdce^ X % dcnte. i€4 PHILOSOPHI^ NATURALIS Dk MoTodente. Et fimili ratiocinio, inclinatio magjs augetar qoam dinunui- Coaro&uM tor 4ibi Nodi funt in Odantibus alteris inter ^ & 2), ^ & C In- clinatio igitur ubi Nodi funt in Syzy^is eft omnium mazima. la tranfitu eorum a Syzygiis ad Quadratnras , in fingulis corporis ad Nodos appulfibus , diminuitur , fitque omnium minima ubi Nodi funt in Qnadraturis & corpiis in Syzygiis : dein crefcit iifdem gra- , tranut per planum Orbis EST non in plani illius Nodo altero 2) , fed in punao auod inde vergic 9d partes corporis S, quodque proinde novus efi Nodi locus in an- teriora vergens. Et iimili argumento pergent Nodi recedere in tranfitu corporis de hoc Nodo in Nodum proximum. Nodi igitur in Quadraturis confiituti perpetuo recedunt ; in SyzygiisCubi mo- tus m Latitudinem nil perturbatur ) quiefeunt ; in locis interme- diis, conditionis utriufque participes , recedunt tardius; adeoque, femper vel retrogradi vel uationarii , fingulis revolutionibus ferun- tur m antecedentia. . Corcl. I z. Omnes illi in his CoroIIariis defcripti Errores funt pan- lo majores in Conjun^one corporum T, S quam in eorumOppo»* iitione, idque ob majores vires generantes NM & ML. CeroL 13. Cumque rationes horum Corollariorum non pendeant a magnitudine corporis «fjobtinent prscedentia omnia , ubi cor|x>ris S tanta flatuitur magnitudo ut circa ipfum revolvatur corporum duo- rom T&T Syftema. £t ex auAo corpore S audaque adeo ipfius ▼i centripeta , a qoa errores corporis T oriuntur, evadent errores illi omnes (paribus diflantiis) majores in hoc cafu quam in altero» nbi corpus S circum Syfiema corporum P ScT revolvitur. Corol. 14. Cum autem vires NAf, ML» ubi corpus «T lon^n- qoom eil , fint quamproxime ot vis SK & ratio P 7* ad «fT^con- jundim, hoc eit, fi detur tum diilantia T Tt tum corporis S vis abfoluta, ut ST cub. reciproce ; fint autem vires illae NM^ M Z. caufs errorum & efTeduum omnium de qoibus aifium eil in praece- dentibas PRINCIPIA MATHEMATICA. i6s dentibns Corollariis: manifeftonleft quod effe^lus illi omnes, flan- L**'*' te corporum T&T Syftemate, & mutatis tantum diftantia «yr & *^ *•»**•• vi abfolnta corporis S , fint quamproxime in ratione compoHta ex ntione diredla vis abfolutffi corporis S & ratione triplicata inverfa diftantiae S T. Unde fi Syftema corporum T&^P revolvatur cir- ca corpus lon^inquum S^ vires illae NM, ML & earum eflFcftus erunt, (per Corol. x. &* 6. Prop. iv. ) reciproce in duplicata ratio- ne cemporis periodici. Ec inde etiam , fi magnitudo corporis S pro- ponionalis fit ipfius vi abfoluc» . erunt vires illae NM, ML & ea- rum eftedus direAe ut cubus diametri apparentis longinqui corpo- ris «5*e corpore T^fpe^ti , & vice verfa. Namque hae rationes eae- dem funt atque ratio fuperior compofita. Corol. 15. Etquoniamfi, manentibus Orbium jEJ-E & ^AB forma , proportionibus & incMnatione ad invicem , mutetur eorum magnitudo , & fi corporum «f & r vel maneant vel mutentor vires in data quavis ratio- ne, hae vires ( hoc /^ eft, yis co#poris T"i / v ^ ^9<^tr- >. qua corpus y de.refc- ■ •/ ; ^...^Er^^^y^ >t to cramite in Orbi- ^ j^ . — '^i^ \ x tam 2» -r^ 5 defleae- re , & vift corporis S ^ motuque eodem pe-* riodico circa axem fuum uniformiter revolvi. Hic lic^uor per vices acceleracus & retardatus ( ut in fuperiore CoroUario ) in Syxy- giis veiocior erit » in Quadraturis tardior quam fuperficies Globi t & fic fluet in alveo refluetque ad modum Maris. Aqua revol- vendo circa Globi centrum quiefcens , (1 tollatur attraftio corpo^ ris S nullum acquiret motum fluxus & refluxus. Par eOi ratio GIo^ bi uniformiter progredientis in dire^ium & interea revolventis circa centrum fuum ( per Legum Corol. 5-. ; ut & Globi de cur- fu redilmeo uniformiter trafti » pcr Legum CoroL 6. Accedat amem corpus^iS*» & ab ipfius insquabili attra^tione mox turbabi- tur Aqua. Etenim major erit attrac^io aqus propioris , minor ear remotiaris. Vis autem L M trahet aquam aeorfum in Quadra- turis, facietque ipfam defcendere ufque ad Syzygias; & vis ATZp trahet candem furfum in Syzygiis, fiftetque defcenCum ejus & fa^ ciet ipfam afcendere ufque ad Quadraturas. CoroL zo. Si Annulus jam rigeat & minuatur Globus , cefTabit motus fluendi & refluendi ; fed Ofcillatorius ille inclinarionis mo^ • tus & praeceflio Nodorummanebunt. HabeatGIobuseundemaxem curaAnnulo, ^yrofque compleat iifdem temporibus, & fuperficie ftia contingat ipfum interius, tique inhaereat; & pariicipando mo- tum ejus , compages utriufque ofcillabitur & Nodi regredientur^ NamGIobus, ut mox dicetur , ad fufcipiendas impreffiones orn» nes indififerens efl;. Annuli Globo orbati maximus inclinationi* angulus efl ubi Nodi funt in Syzygiis. Inde in progreflTu Nodoruixi' ad Quadraturas conatur is inclinationem fuam minuere , & ifto«» eonata motum imprimit Globo toti. Retinet Globus motum \x^ preiTam ufque dum Annulus conatu contrario motum hunc tol-^ hx^, inaprimatque mocum novum in contrariam partem: Atque hac mionv i68 PHILOSOPHI^ NATURALIS « Dt MoTO ratione maximus decrefcentis inclinationis motus fit in Quadraturis CoRPORVM NodoTum , & minimus inclinationis angulus in OAantibus poft Quadraturas ; dein maximus reclinationis motus in Svzysiis , & mazimus angulus in Odtantibus proximis. Et eadem eft ratio Glo- bi Annulo nudati , qui in regionibus s^uatoris vel altior eft paulo quam juxta polos > vel conftat ex materia paulo denfiore. Supplec enim vicem Annuli ifle materiae in squatoris regionibus excemis. Et quanquam', auda utcunque Globi hujus vi centripeta , tendere fupponantuF omnes ejus partes deorfulq , ad modum gravitantium {>artium telluris , tamen Phaenomena hujus & prscedentis Coroi- arii vix inde mutabuntur. Corol. XI. Eadem ratione qua materia Globi juxta aeouatorem redundans eificit ut Nodi regrediantur , atque adeo per hujus in- crementum augetur ifte regrefTus , per diminutionem verodiminui' tur & per ablationem tollitnr ; fi materia plufquam redundans tol* latur . hoc eft , fi Globus juxta squatorem vel depreifior reddacur ▼el rarior quam juxta polos , orietur motus Nodorum in confe- quentia. Corol %x. Et inde viciflim , ex motu Nodorum innotefcit con- ifitutio Globi. Nimirum fi Globus polos eofdem conftanter fervat, & motus fit in antecedentia , materia juxta squatorem redundat ; fi in coidequentia , deficit. Pone Globum uniformem & perfed)e circinatum in (patiis liberis primo quiefcere ; dein impetn quocoii- que oblique in fuperficiem fuam fzdo propelli » & motum inde concipere partim circularem , partim in direaum. Quoniam GIo> bus ifte ad axes omnes per centrum fuum tranfcuntes indifierencer £e habet , neque propenfior eil in unum axem , unumve axis fituai , . quam in alium quemvis ; perfpicuum eft quod is axem fuum axif- 2ue inclinationem vi propria nunquam mutabit. Impellatur jam rlobus oblique , in eadem illa fuperficiei parte qua prius, impulfu quocunque novo ; & cum citior vel ferior impulfus dffe^um nil mutet , manifeilum eil quod hi duo impulfus iucceifive impreill eundem producent motum ac fi fimul impreifi fuiifent , hoc eft . eundem ac fi Globus vi fimplici ex urroque ^perLegumCorol. x.) compofita impulfus faiifet , atque adeo fimplicem , circa axem in- clinatione datum. £t par eit ratio impulfus fecundi fa^i in lo- cum alium quemvis in aequatore motus primi ; ut & impulfus pri. mi fafti in locum quemvis in iequatore motus , quem impulfus fe- cundus abfque primo generaret ; atque adeo impulfuum amborum fa^orum in loca quscunque : Generabunt hi eundem motum cir- cularem 1 PRINCIPIA MATHEMATICA. 169 cularem ac fi fimul & femel in locum interfe^lonis squatorum mo- Libek tuumillorum, quos feorfim generarent , fuiflent inipreflS. Globus^* '***»*• igitur homogepeus & perfedus non retinet motus plures diRindos, fed imprefibs omnes componit & ad unum reducit, & quatenus in fe eft , gyratur femper motu fimplici & uniformi circa axem uni- cum.» inclinatione femper invariabiJi datum. Sed nep vis centripeta inclinationem axis » aut rotationis velocicatem mutare potefl. Si Globus plano quocunque , per centrum fuum & centrum ih quod vis dirigitur tranfeunte, dividi fhtelligatur in duo hemifphasria; ur* gebit femper vis illa utrumque hemifphasrium aequaliter^ & propter- eaGlobum^ quoad motum rotationis , nullam in partem inclina- bit. Addatur vero alicubi inter polum & sequatorem materia nova in formam montis cumulata , & haBc , perpetuo conatu recedendi a centro fui motus , turbabit motum Globi , facietque polos ejus errare per ipfius fuperficiem , & circulos circum fe punftumque fibi oppofitum perpetuo defcribere. Neque corrigetur illa vagationis eDormitas , nifi locando montem illum vel in polo alterutro, quo in Cafu ( per Corol. xi. ) Nodi «quatoris progredientur ; velin squatore^ qua ratione (per Corol. lo. ) Nodi regredientur ; vel deoique ex altera axis parte addendo materiam novam , qua mons inter movendum libretur , & hoc pafto Nodi vel progredientur , vel recedent > perinde ut mons & haecce nova materia funt vel polo vel asquatori propiores. PROPOSITIO LXVIl THEOREMA XXVII. Pofitk iifdem aitra&iomm legtbus , dict quod corpus exte^ rius S, circa interiorem PyTcommune gravitatis centrum C , radiis ad centrum illud duBis , defcribit areas tem^ poribus magts proportionales &f Orbem ad formamElltp- feos umbilicum in centro eodem habentis magts acceden^^ tem , quam circfi, corpus intimum &f maximum T , radiis ad ipfum duBis , defcribere poteft. Nam corporis S attraaiones verfus T&.T componunt ipfius at- traftionem abfolutam , quae magis dirigitur in corporum 7'& ? commune gravitatis centrum C,quam in corpus maximum r,quaB- qae quadrato diftantiae iJCmagis eft proportioBaIisreciDroce,quam quadrato diftantiae ST\ ut rem perpendenti facile conftabit. Y PRQ* I70 PHILOSOPHI^ NATURALIS Di MoTo _ ^ _ CowonuM PROPOSITIO LXVIIL THEOREMA XXVIII. Po/ith tijdem attraBtonum kgtbus , dico quod corpus exte^ rtus S , circa intertorum P Sf T commune gravitatis cen- trum C , radiis ad centrum illud duBis , defcrihit areas temforihus magis proportionales , gf Orhem ad formam Ellipjeos umhilicum in centr^ eodem hahentis magis acce- dentem , 7? corpus intimum gf maximum his attraBioni- hus perinde atque c^tera agttetur , quamft idvel non at^ traBum quiefcat , vel multe magis aut mtilto minus attrae^ tum aut mtdto magis aut muho minus agitetur. Demonilratur eodem fere modo cum Prop- Lxvi , ied argumento prolixiore » quod ideo pratereo. Suflecerit rem Ec aBidimare. Ex de- monflratione Propofi- tionis novifTim» liquet centrum in auod cor- pus S conjunctis viribus urgetur , proximum efle communi centro gravitatis duorum illo- ruD». Si coincideret hoc centrum cum centro illo communi , & quiefceret commune centrum gravitaiis corporum trium j dcfcri- berent corpus S ex uija parte , & commune cenirum aliorum duo- rum ex altera parte, circa commune omnium centrum quiefcens, Ellipfes accuratas. Liquet hoc per Corollarium fecundum Propoii- tionis Lviii collatum cum demonAratis in Propofit. lxiv & lxv. Perturbatur ifle motus Ellipticus aliquantulum per diftantiam cen- tri duorum a centro in quod tertium 4? attrahitur. Detur prxter- ea motus communi trium centro, & augebitur perturbatio. Proin- de minima eft perturbatio ubi commune trium centrum quiefcit » hoc eft, ubi corpus intimum & maximum T^Iege caeterorum attra- hitur : fitque major femper ubi trium commune illud centrum , mi- nuendo motum corporis T , moveri incipit & magis deinceps ma- gifqne agitatur. CoroA X PRINCIPIA MATHEMATICA. 171 X^orol. Et hinc, fi corpora plura minora revolvantur circa ma- ljjj. icimum, colligere licec quod Orbitae defcripts propius accedenr pkimus» ad Ellipticas, & arearum defcriptiones fient magis a&quabiles, fi corpora omnia viribus acceleratricibus , qus funt ut eorum vires abfolutas dire(^e & quadrata diftantiai-um inverfe, fe mutuotrahant agitentque , & Orbitd& cujufque umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium interiorum Q nimirum umbi- licus Orbit« primaB & intimae in centro gravicatis corporis maxi- mi & intimi ; ille Orbits fecundas y in communi centro gravicar tis corporum duorum intimorum > ifte tertiae, in communi cen- tro gravitatis trium interiorum ; 8c iic deinceps ) q(uam fi corpus intimum quiefcat & {latuatur communis umbilicus Prbitarum. omniuDa. PROPOSITIO LXIX. THEOREMA XXIX. /» Syftemate carporum plurtum A, B, C, D , ^c, fi corput altquod A trahtt cattra omma B, C, D, ^c. vtrtbut acce-^ leratrtcihui qua Junt reciproce ut quadrata difiantiarum a trahente j ^ corpus altud B trahit etiam catera A , C, D , 6f c. virtbus qua funt reciproce ut qtHidrata diftantiarum a trahente: erunt Ahfoluta corporum tra- hentium A , B vires ad invicem , ut funt ipfa corpora A , B , quorum funt vires. Nam attra<5tiones acceleratrices corporura omnium 5, C, © ver- fus y/. paribus diflantiis , fibi invicem aquantur ex Hypoihefi ; & /imiliter «ttraftiones acceleratrices corporum omnium verfus B, paribus diflantiis , fibi irivicem aquantur. Eft auiem abioluta vis attraftiva corporis -^ad vim abfolutam attraftivam corporis B, ut attraftio accderatrix corporum omnium verfus ^ ad attra<^ioneni acceleratricem corporum omnium verfus By paribus diftaotiis } & ita eft atira^io acceleratrix corporis B verfus ^ , ad attraftionem {TCceleratricem corporis A verfus B, Sed aitradio aceeleratrix cor* poris B verfus ji .cft ad attraftionem acceleratricem corporis A verfus B , ut mafla corporis ^ ad maflam corporis Bt propterea quod vires motrices , quae ( per Definitiotiem fecundam , fepti- mam & oftayam) ex viribus acceleratricibus in corpora attradi dadis oriuntur,funtrper motus Legem tertiam)fibiinvicemaBqua- Y X l€S. I L tji PHILOSOPHIiE NATURALIS D£ MoTu '^^' ^^S^ abfolata vis attraftiva corporis A eft ad abfollitattt vim CoapQtuM attra^ivam corporis Bj ut mafTa corporis A ad mafTam corporis B. ^E. Z>. Corol. 1. Hinc (i fingula Syftematis corpora A, B^C^l^y &c. feorfim fpedata trahant cstera omnia viribus acceleratricibus quas- funt reciproce ut quadrata diftanriarum a trabente ; erunt cor- porum illorum omnium vires abfoluta^ ad invicem \xi funt ipfa corpora. Corol. %. Eodem argumento • fi fingula Syftematis corpora AjByC^^^ &c. feorfim fpeftata trahant c«tera omnra viribus ac- celeratricibus quac funt vel reciproce vel direfte in ratione dig- nitatis cujufcunque diftantiarum a trahente, qoa^ve fecundum Le* ;em quamcunque communem ex diftantiis ab unoquoque tra^ lente definiuntur ; conftat quod corporum illorum vires abfolu- tas funt ut corpora. CoroL 3. In Syftemate corporum , quorum vires decrefcunt in ratione duplicaca diftantiarum , fi minora circa raaximum in Ellip^ fibus umbilicum communem in maximi illius centro habentibus auaro fieri poteft accuratif&mis. revolvantur » & radiis ad maximum lud dudis defcribant areas temporibus quam maxime proportiona- fes: erunt corporum illorum vires abfolutx ad invicem,aut accura- te aut quamproxime in ratione corporum ; & contra« PateL pet GoroL Prop. i^xviii. collatum cum hujus Corol. i. Scholsunt. His Propofitionibus manuducimur ad analbgiam inter vires cen^ tripetas & corpora centralia , ad quas vires ills dirigi folent. Ra- tioni enim confentaneum efl ». ut vires qus ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem natura & quantitate » ut fit in Magneticis^ £t quoties hujufmodi cafus incidunt y seflimandas erunt corporum. attrai^iones , affignando fingulis eorum particulis vires proprias >. & colligendo fummas virium. Vocera Attrac^ionis hic generaliter afurpo pro corporum conatu quocunque accedendi ad invicem ; five conatus ifte fiat ab a^ione corporum, vet fe nuituapetentium» vel per Spiritus emilTos fe invicem agitantium , five is ab adione ^theris y aut Aeris , Mediive cujufcunque feu corpor^i feu incor- porei oriatur corpora innatantia ia fe invicemutcunqueimpellentis. Eodem fenfu generali ufurpo vocem Impulfus > non fpecies virium & PRINCIPIA MATREMATICA. 173 ft qnaKtates Phyficas, fed quantitates & proportiones MatHema- LiBcr ticas in hoc Traiftatu ejroendens, ut in Dennitionibus explicui. f^'**^** Ih Mathed inveftiganddD funt virium quantitates & rationesilte, qusex conditionibus quibufeunque poiitis confeouentur : deinde» Bbi in Phyficam defcendstur» conferenda? funt nse rationes cum Fbsnomems , ut innotefcat quaBnam virium conditiones iingulis corporum attradivorum seneribus competant. £t tum demum dc virium fpeciebus ^ caufis o^ rationibus Phyficis tutius difputare lice- bit. Videamus igitur quibus viribus corpora Sphsrlca , ex particu- lis modo }am expofito attradivis conftantia , debeant in fe motua tgere, & quales motus inde confequantur. SE C T I O XII. ; i Dt Corporum' Spharicorum- f^iribus aUraBivisi PKOPOSITIO LXX. THEORERfA XXX, Si ad Sph. PROPOSITIO LXXI. THEOREMA XXXI. lifdem poftth , d\co quod corp^fculum extra Spharicam /k- ptrjictem conjittutum attrahttur ad centrum Sphara ^ vi reciproce proportionaU quadrato difiantia fua zib eodem centro. Sint AHKB y /i A ^ ^ aequales duae fuperiicies Sphaericae , centris J, J, diametris y^B , ab defcriptx, & 5P,/> corpufcula fita extrin- fecus in diametris illis produdis. Agantur a corpufcuUs iines 1PHK j TILj phkj pil , auferentes a circulis maximis AH B^ Ahb , squales arcus hK^ hk &l IL^ il i £t ad eas demittantur perpendicula ^2), sd\ SEy se\ I R^ ir-, quorumiy©, sd fe- cent T Ly jpl in F & f: Demittantur etiam ad diametros perpen- dicula I^-i iq- Evanefcant anguli © P -E, dpei & (ob squa* les T>S, Scds, ES &es, ) lineae ? £, T F 8c fe,ff& li- neolae©F, ^/'pro aequalibus habeantur ; quippe quarum ratio uitima, angulis illis T>TE^ F,& //, ad//, uti/,vel©/^adri; & ex aBquo^/X//adPfy/i iit itl , ad rij hoc eft ( per Corol. 3 . Lem- vii , } ut arcus /// ad ar- cumiA: Ruriiisy/, ad Piyut /^ad ^y^, &/j ad/>im /^ vel ^y^: ad iy ; & ex «quo T IXf>s zd T S X pi m I ^zd i t^. Et con)onAis rationibus. TI quad. XpfXps ad piquaii, XTFX^PS^ ttt IHXl^zd ihxiq% hoceft> ut fuperiicies circnlaris » quam . «rcus PRrNCIPrA MATHEMATICA. I75 aTCQS JH conToIatione femicirciili AKB circt diametram AB de- Libe a fcribet , ad Tuperficiem circularem , quam arcus i h convplutiope ^****^** femicirculi i? i ^ circa diametrum ab defcribet. Et vires^ quibus ha^ fuperficies fecundum lineas ad fe tendentes attrahunt corpufcu- la jP & / , funt ( per Hypothefin ) ut ipfe fuRerficies applicatae ad quadrata difi^ntiarum fuarum a corporibus^ hoc efl, utpfXjf^j zdTFxTS. Suntque hs vires ad ipfarum partes obliquas quae ( fafta per Legum Corol. x. refolutione virium ) fepundum Ji- neas TS^ p s ad centra tendunt , m Tl zd !P ^, & ^/ ad pa; id eft (ob fimilia triangula TI^&TSF, fiq 6cfsf) ut TSzA TF&jfs ad//I Unde, ex «quo, fit attraftio corpufculi hu}us T verfus 5" ad attra^onem corpufculi/ verfiis j,ut ^ ^ ^ ad ^— — y— y hoc efl, vxpsquad. ad TS quad. Et fimili argu- mento vires, quibus fuperficies convolutione arcuum KL^ klde* fcriptee trahunt corpufcula, erunt mfs quad. ad TS quad.; inque* eadem ratione erunt vires fuperficierum omnium circulanum in* quas utraque fuperficies Sphserica , capiendo femper sd xqualemi Sl} & se ddquzlcm SE, diflingui poteft. Et, per compofitiQnemi vires totarum fuperficiefum Sphaericarum in corpufcula exercit£B e- runt in eadem ratione. ^^ E. 'D. PROPOSITIO LXXIL THEOREMA XXXIL »f/ ad Sphiera cujufuh punBa fmgula tendant vires itqua/es' centrtpetie decrefcentes in duplicata ratione dijiantiaruma' punBis y ac detur tum Sphara denjitas , tum ratio diame'- tri Sphara ad difiantiam corpufculi a centro ejusy dico ^od vis qua corpufculum attrabitur proportionalis erit femidiametro Sphara. Nam concipe corpufcula duo feorfim a SphaBris duabus attrahi 9 ununfi ab una & alterum ab altera , & dillans eorum a Sphaera*- rum centris proportionales efle diametris Sphaerarum refpcftive, SphaBras autem refolvi in particulas fimiles & fimiliter pofitas ad corpufcula. Et attradiones corpufculi unius,>faddB verfus fingulas {)articulas SphaBra^ unius y erunt ad attrai^iones alterius yerfus ana- ogas totidem particulas Spha^rx akerius , in ratione compofita ei^ ratione particularnm diretfle & ratione duplicata 4iflantiarum in* verfe ■>■*-- tjS PHILOSOPHIiE NATURALIS De Motu Terfe. Sed particule funt ut SphsraC) hoc eft., in ratione triplica- CoRPORUM ta diametrdrum , & diftantis funt ut diametri » & ratio prior direc* te una cum ratione poileriore bis inverfe eA ratio 4iametri ad dia* metrum ^ E. ®. Corol. I. Hinc fi corpufcula in Circulis , circa Sphsras ex mate- fia aequaliter attraAivaconftantes, revolvantur; fintque dillantiae a centris Sphsrarum proportionales earundem diametris : Tempora periodica erunt (Equalia. Corol X. Et vice verfa , ii Tempora periodica funt asqualia j di- (lantiae erunt proportionales diametris. Conilant hsx duo perCo- rol. 3. Prop. IV. CoroL 3. Si ad Solidorum duorum quorumvis fimilium & aBqua- liter ^denforum pun^la fingula tendant vires asquales centripetasde- crefcentes induplicata ratione diilantiarum a puniflis: vires quibus corpufcula, ad Solida illa duo fimiliter fita> attrahentur abiiidemi erunt ad invicem ut diametri Solidorum. O LXXIIL THEOREMA XXXHL Si ad Sphara alicujus data punBa Jinguta tendant igquales . vires centripeta decrefcentes in dupiicata ratione diflan^ tiarum a pun&is : dicd quod corpufculum intra Spharam conftitutum attrahitur vi proportionali diftantia fua ah ipfius centro^ In SpTiaera AB CT) , centro S defcrlpta , locetur corpufculum ?;& centro eodem J*, intervallo .. Corol I . AttraAiones Sphsrarum , verfus alias Sphasras homoge- neas^ funt ut Sphaerae trahentes applicatae ad quadratadiflantiarum centrorum fuorum a centris earum quas attrahunt. Orol X. Idem valet ubi Sphaera attra(^a etiam attrahit. NaoK Gue hujus punda fingula trahent (inguta alterius , eadem vi qua ao ipfis viciflim trabuntur , adeoque cum in omni attradione ur* geatur ( per Legem iit. ) tam punaum attrahens » quam punAum attradnm ^ gemmabitur vis attradionis mutuae , confervatis propor» tionibus. Corol. 3. Eadem omnia , quae fuperius de motu corporum circa^ nmbilicum Conicarum Se^ionum demonflrata (unt , obtinent ubt Sphaera attrahens locatur in umbilico & corpcHra moventur extra SphaBram. Corol. 4 Ea vero quac de motu corporum circa centrum Coni- carum Sedionum demonflrantur > obtinent ubi motus peraguntur intra Sphasram. PROPOSITIO LXXVI. THEOREMA XXXVI. S/ Sphara in progre(fu a cetttro ad ctreumferenttam (fuo- aa materta denfttatem ^ vtm attraBivam ) utcunque ' dijpmilares , /» progreffu vero per circuitum ad datam omnem a centro diftantiam funt undiquefimilares , ^ vts attraBiva punBi cujufque decrefcit in dupUcata ratione difiantia corporh attraiH : dico quod vis tote. qua hujuf^ modi Sphara una attrahit aliam fit reciproce proportio^ nalts quadrato difiantia centrorum, Sunto Sphaerae quotcunque concentrics fimilares AB, C2)» E F^ &c« quarum interiores additx exterioribus componant materiam denfiorem ^ PRINCIPIA MATHEMATICA. »:9 deniiorem verfus centrara , vel fubdoA» relinquant tenuiorem $ & Lttt% hs (per Prop. lxxv.) crahent Sphsras alias quotcunque concentrt* P *«**«»• cas limilares GH^ IKy LM^ &c. iinguld& fiogulas» viribus reci- proce proportionalibus quadrato diftanti» ST. Ktcomponendo vei dividendo » fumma virium illarum omnium » vel exceflus aliquarum fupra alias > hoc eft ^ vis quas Sphosra tota ex concentricis quibuf- conque vel concentricarum difTerentiis compofita AB ^ 'trahit to- tam^ ex concentricis quibufcunque vef concentricarum difierentiis compofitam Gi/,erit in eadem ratione. Augeatur numerus Spha* larum concentricaruni in infinitum fic , ut materias denfitas una cum vi attradiva y in progreiTu a circumferentia adcentrum ,fecun« dam Legem quamcunque crefcat vel decrefcac: &> addita materia non attra<%?a ,. compleatur ubivis denfitas deHciens , eo ut Spha- rsB acquirant formam quamvis optatam ; & vis qua harum una at; trahet alteram erit etiamnum(per argumentum fuperius) in eadem iila diftantias quadratse racione inveffa. ^. E.T>. OroL I. Hmc £1 ejufmodi Sphasrae complures > fibi invicem per omnia fimiles, (e mutuo trahant; attra^iones acceleratrices finguf larum in fingulas erunt , in aequalibus quibufvis centrorum di- fiantiis, ut Sphsrs attrahentes. Corol' %. Inque diflantiis quibufvis insqualibus » ut Sphxrae attra* hentes applicats ad quadrata diflantiarum intra centra. Corol. 3. Attradiones vero motrices> feu oondera Sphaerarum in Sphaeras erunt , in asqualibus centrorum diftantiis » ut Sphaeras at« tr^entes & attradas con juncfbim , id eft 9 ut contenta fub Sphaeris per multiplicationem produda. Corol. 4. Inque diftantiis inaequalibus > nt contenta illa applicata ad quadrata diuantiarum inter centra« ^ Z a Corol. fSo PHILOSOPHIiE NATURALIS Di Mota C^oL ^i Eadem valent ubi attra6lio oritur a Sphsr^ utriufque CoMORUM yirt^te attraftiva , mutuo exercita in Sphxram alteram. Nam vi- libus ambabus geminatur attraAio, proportione fervata. Corol. 6. Si hujufmodi Sphxrs^ aliqus circa alias quiefcentes re^ Yolvantur , finguls cif ca fingulas , iintque diftantia^ ioter centra revolventium & quiefcentium proportionales quiefcentium dia^ xnetris; squalia erunt Tempora periodica. Cordl. 7. £t viciffim 9 fi Tempora periodica funt a^qualia ; di'* erunt proportionales diametris. Corol. 8. Eadem omnia,- Quar fuperius de motu corporum cir- ca umbilicos Conicarum Seaionum demonftrata funt , obtincnt ubi Sphsra attrahens > forms & conditionis cujufvis jam defcripta». locatur in umbilico. Corol. 9. Ut & ubi gyrantia funt etiam. Sphaers attrahentes > conditioni^ cu}ufvis jam defcripi PROPOSITIQ LXXVIL THEOREMA XXXVIL Si ad fin^la Sphderarum punBa Undant vtres centrtpetdt ^ proportionales diflantiis punBorum a corporibus attraBisr dico quod vis compofita ^ qua Sphara dua fe mutuo tror bent y^ ejl ut difiantia inter centra Sphararunh Caf. ^.SxtJEBF Sphaera , S: centrum ejus , T corpufculum at- txz^wm^TJSB axis Sphaeraper ceotrum corpufculi tratifiens, £-F, ef plana duo quibus Sphsra fe- carur,huic axi peTpendiculari»& . hinc inde aequaliter diftantia a cencto Sphxrae ; G, g interfeftio- nes planorum & axis^. & /f punc- tum quodvis in plano E F. Punc- tiHvis centripeta in corpufculum ^ , fecundum lineam THtx^r^ cita-, eft ut diftantia THi& (per LegumCbrol.i. ) fecundum li- fieam TG, feu verfus centrmn S, ut longitudt) *PG. Igitur punc- torum. omnium ra plano E F, hoc eft plani totius vis , qua corpuf- culum T trahitur verfus centrum S , eft ut numerus punAorun dudus.in diftantiam» y G: id eft, ut contcntum fub plano ipfofi/J* 4: diilantia ilk T G, Et fimilitcr vis plani ef qua corpufculum f* tiahitUF PRINCIPIA MATHEMATICA. lU tralfittur verfos centrutn «y, eft utplanuni illud duftum indiftan- p^'"*" tiam fuam Tg , five ut huic aequale pJanum EF du&,Mm in diftan- ^****^^^ tiam illam Tg ; & fumma virium plani utriufque ut planum E F dudum in fummam diftantiarum TG-^Tgy id eft, ut planumil- lud dudum in duplam centri & corpufculi diftantiam TS^Yioc eft, ut duplum planum E F dudum in diftantiam TS^ vel ut fum- ma xqualium pranorura EF-^ e/duft»in diftaniiam eandem. Et fimili argumento r vires omnium planorum in Sphxra cota , hinc inde aequaliter a centro Sphxrse diftantium > funt uc fumma pla* norum du<^a in diftantiam P S > hoc eft , ut Sphxra tota duAa^ in diftantiam centri fui S a corpufculo T. ^ E. 7): Ca/.sZ. Trahat jam corpufculum T ^phxram AEBF, Et co^ dem argumemo probabitur quod vis y qua Sphaexa. illa trahitur y crit ut diftantia 'P S. ^ E. 2). Qaf. 3» Componatur jam Sphxra altera ex corpufculis innume-^ risT^; & quoniam vis^ qua ccMrpufculum upumquodque trahitur^) efl ut diftantia corpufculi a centro Sphxras primas dufta in Sphc*- ram eaadem > atque adeo eadem eft ac fi prodiret tota de corpuf- culo unico in centro Sphasras ; yis tota qua corpufcula omnia^ ia Sphan^a fecunda trahuntur » hoc eft , qua Sphxra illa tota trahi** tur, eadem erit ac fi Sphsra illa traheretur vi prodeunte de cor- pufculo unico' in centro Sphaeras prima^r & propterea proportio"» nalis eft diftantias inter centra Sphaerarum^ ^ E. T>. Caf.j^ Trahant Sphaerac fe mutuo y & vis geminata proportio-** nem priorem fervabir. ^ £. 2). Caf. 5, Locetur jam corpufculum'^ intra Sphaeram AEBF\ &: quoniam vis plani e/ in corpufculum eft ut contentum fub plano' iilo & diftantia/^;& vis contraria plani EFut contentumfubpla* no illo & dift;antia aG ; erit vis ex utraque compofita ut difFeren* tia' contentorum 9 noc eft, ut fumma zqualium planorum duda iw femifTem difterentias diftantiarum,id eft^ut fumma illa*du6ia in/«f diftantiam corpufculi a centro Sphasras. Et fimili argumento^ attrac« lio planorum omnium EFy ef in Sphacra tota, hoc eft , attraftio^ SphasrdB totius^feft ut fumma planorum omi^ium , feu Sphasra tqtay, du<5la infS diftantiam corpufcuR a centro* Sphaeras. ^ £. ®. Ca/r6. Et fi. ex corpufculis innumeris^/ componatur Sphaera^no- ita., inrra Sphasram priorem AEBF&isn probabiturut prius quodi attra^lia» uve fimplex Sphasrs unius in alteram*, five mutua utriuf-- qjae in fe. ihviccm., erit ut diftantia centrprum/ S. g. E. ©.. t8i PHILOSOPHIiE NATURALIS OfMota PROPOSITIO LXXVIH. THEOREMA XXXm Si Sphara inprogreffu a centro ttd circumferentiam fint «r- cunque dtjflmilares @* inaquabiles , in progrejfu vero per circuitum ad datam omnem a centro drflantiam fint undt- que fimilares j ^ vis attra&iva punBi cujufquefit ut di* ftantia corporis attraEii : dico quod vis tota qua hujufmo' di Sphara dua fe mutuo trahunt fit proporitonalts dtflan' tite inter centra Sphderarum^ Demoiiftratur ex Propofitione praecedente , eodem modo quo Propofitio Lxxvi ex Propofitione lxxv demonllrata fuit, Corol. QuaB fuperius in Propofiiionibus x & lxiv de motu cor- porum circa centra Conicarum Sedionum demonftrata funt , valent ubi attra^iones omnes fiunt vi Corporum Sphaericorum conditionis jam defcriptaB , funtque corpora attrafta Sphaera conditionis ejuf- dem. Scbolium, Attraflionum Cafus duos infigniores jam dedi expofitos; nimi- rum ubi Vires centripetae decrefcunt in duplicata diftantiarum ra- tione, vel crefcunt in diftantiarum ratione fimplici; efficientes in utroque Cafu ut corpora gyrentur in Conicis SeAionibus . & com- ponentes corporum Sphaericorum Vires centripetas eadem Lcgc in receflTu a centro , decrefcentes vel crefcentes cum feipfis : Qpod cft notatu dignum. Cafus caeteros . qui.conclufiones minus elegan- les exhibent , figiilatim percurrere longum eflTet. Malim cundos methodo gcnerali fimul comprehendere ac determinare, ut fequitur. L EMM A XXIX. Si defcribantur centro S circulus qtiilibet A E B , @* centro P circuli duo EVyc(, fecan/es priorem /» E , e , lineam^ que ?S inVf£}& adVS demittantur perpendicula E D, c d ; dico quod^ fi diflantia arcuum EVyCf in infinitum tninui intelligatur y ratio ultima linea evanefcentis Dd aJ iineam evanefcentem^ieaftt. qua line^e P E adlineam PS. Ktm PRINCIPIA MATHEMATICA. itt Nam fi linea T e feciet arcum EFlnq f & re^a Eer qtis cum I^ivvk arcu evanefcente Ee coincidit, produ^ occurrat reftae TS in 7"; ^****"* & ab ES f crit "Dd ad £r, ut ©r ad rjE, feu ® jE: ad £«$•> ft ob^ trTanj^Ia ^*f , .fi SGJj^xJLtm. vin,& Corol. 3. Lem.vnJ fimilia, erit Ee ad ff feu Ffy ut £*$" ad lyG; & ex aequo, © . PROPOSITIO LXXIX. THEOREMA XXXIX. Sr fitperficUs oh lattiucCtmn* infntte dttnimitMn jamjam eve^ nefcem E F f c , cenvolutione ftti circa axem P S , defcrtbat folidum Spharicum concavo-coHvexUm , ad cujus particu^. • las fingulai a^aks tendant aquales vires centrifeta : di^ eo quod f^is , qua fortdum illuei trahit corpufculum fitum #» P, efi in ratione oompofita ex ratione foltdi DEy X F F ^ ratione vis pia parttcula data m loco ^ ( traheret identi corptifculunp. Nam fi primo confidieremus vim fuperficiei Sphxricae FE , quae* convolutione arcus FE generatur,& a linea de ubivis fecaturinr; eric fuperficiei pars annularis, convolutione arcus r E genita, uc lineola 2) d, manente Sphsrc radio T E, (nti demonitravit ^r- cbimdes in Lifo. de Sphtera & Cylindro. ) £t hujus vis fecuadum- lineas T E vel ? r undique in fuperficie conica fitas exercita ,ur bsc ipfa fuperficiei pars annularis ; hoc eft , ut lineola 2> d vel ,- quod perinde cftrut redtangulam fub dato Spfaaer» radio ?£& lineok rt4 PHILOSOPHI^ NATURALIS Dk MoTt; lineola illa 'Dd: at fecundain Mneam Ptfad centram if tendentem oQonroiLVM minor* in ratione P ^ ad 'P E^ adeoque ut ?2)X2)4/. Dividi jam intelligatur' linea ^ F in particulas innumeras squales , que iingulz nominentur 2) ^ 4 & fuperficies FE dividetur in totiden squales annulos , quorum vires erunt ut fumma omnium TTy>(fDd, hoG dk* ut 4 "PFq^ f T^Dq . adeoque MtD E quad. Ducatuc jam fuperficies FE in altitudinem Ff & fiet folidi EFfe vis ex- ercita in corpufculum T ut l>Eqy(.Ff: puta fi detur vis quam particula aliqua data Ffin diftantia ?jPezercet in corpufculum 7*. At fi vis illa non detur,fiet vis Iblidi EFfe ut foIidum2)£y X// & vis illa non data conjunAim. ^E.*D. PROPOSITIO LXXX. THEOREMA XL. Si ad Sph/era alicujas A B E , centro S defcripu , fMrticu^ lasjtngulas aquales tendattt ^quales vires centripet^ , & ad Sphara axem Ah , in quo corpufculum aliquod P /0- €atttry erigantur de punBis/mgulis D perpendicuia D E ^ Sphara occurrentia /« E , ^ in ipfis capiantur Ungttudi- D N , quafint ut quantttas ^j-r^ — cr vts quam nes PH Sfhar^e particula fita in axe addifiantiam PE exercet in £$rpufcuhm P conjunBim : dico quod Fis tota , qtta cor- pujculum P trahitur verfus Spharam , efi ut area com^ prehenja fub axe Sphara AB&f linea curva A N B , quam ptm&um N perpetuo tangit. Eteniai PRINCIPIA MATHEMATICA. i8r ajs» Etenim ftantibas ^u« in Lemmate & Theoremate novifOmo p^\*" conftruAa funt, concipe axem Sphsrs k^B dividi in particulas innameras squales "Ddy Sc Sphaeram totam dividi in totidem la- ZDiaas Sphsricas concavo • convezas E F fe, & erigatur perpen- diculum dn. Per Theorema fuperiusj vis qua lamina EFfe tra- hit corpofculnm 7 eft ot !D£^XF/ & vis particulae unius ad di- ftantiam TE vel PjPexercita coniun6Hm. £ft autem per Lem- ma novifOmum , 2)i/ ad F/' ut 2* A ad ? 5 , & inde Ff aequaiis — y-p-; &^Eq>iFfxq\i9Xe^din ^-g , & prop- terea vis laminse EFfe eft ut 2)i/in 1^^ — & vis particul» ad diftantiam Pi^ezercita conjundim , hoc eft (ex Hypothefi)at ^Nx.^Ddy fea areaevanefcens 2) iyr«^. Sunt igitur laminarum omninm vires, in corpus T exercits, ut ares omnes ^^«^,hoc eft, Sphsrs vis tota ut area tota ABKA. ^.^ E. D. Corcl I. Hinc fi vis centripeta , ad particulas fingulas tendens,' eadem femper maneat in omnibus diftantiis , & fiat 2) ^ ut ^-t; — : erit vis.tota qua corpufculum a Sphsra attrahitor» atarea ABRA. corpufculi a fe attraai , & fiat ©iVut ^ ^^1 ^ ^' Corol. X. Si particularum vis centripeta^fit^reciproce ut .* erit visqua corpufcnlum 7 a Sphaera tota attrahitur ut area JiB NA. Corel. 3. Si particularum vis centripeta fit reciproce ut cubas di- ftanti« corpufculi a fe attraAi, & fiat © iST ut^y^ ;critvis qua corpufculum a tota Spheera attrahitur at area AB NA, Corol. 4. Et univerfaliter fi Vis centripeta ad fingulas Sphsrs pariiculas tfendens ponatur effe reciproce ut quantiias; V , fiat au- tem ®i\r ut ^«p^Sy— J «"t ^" qua corpufculum a Sphaera to^ ta attrahitor ut area ABNA, Aa PROPO- De Motu CoapoRU^i iZ6 PHILOSOPHIiE NATURALIS PROPOSITIO LXXXI. PROBLEMA XLL StaHtibus jam poJitK y mef^uranda efi Are» h% NA, A puiK^o T ducatur refta T H SpKaeram tangens in H, & ad axem P A B demifla normali HI , bifccetur y / in Z» ; & erit ( per Prop. 12. Lib. x. Elem. ) 'P E q squale P S f -\- S E q -^ 2*P SD. Eft autem SEq.^vi SHq ( ob fimilitudinem triangu- lorum STHy SHI) aequale reaangulo TS^I: Ergo "PEq «qua- le eft contento ftib T^SScTS-*- SJ-^ iS^D, boc eft,fub T S Sc X LS^zSDy id eft, fub y.y & 1 £2), ^TTO^DEquad. aequalfr €&SEq — ST>q, feuSEq-LSq^ tSLD-LTtq, ideft,. ^SLDTtL^Dq-^ALB. HzmLSq-SEq ieuLSq-^SJqr Cper Prop. 6. Lib. 2. Elem. ) squatur reftangolo A LB. Scriba- tur itaque 2 SL1> — Z. 2) q, — A L B pro ^ Eq-, & quantitas *-rtjJ y— , quae fecundum CbroUarium quartum Pi-opofitionis prXT S L^DqXTS ALBxTS TEXV fefe iii tres partes TEXV TExy TEXV ubi fi pro V fcribatur ratio inverfa vis centripette , flr pro T E me- 4ium prop.ortionale inter ?«$'& x iL1D;tres ille partes evadent or> dinatim iapplicacs linearum totideoa curvarum > quamm. areae per Methodos vulgatas- ianotefcunt. §KE,F, PRINCIPIA MATHEMATICA. 187 LllER, Exemfi. i. Si vis centripeta ad flngulas Sphsrse particulas ten- P&tMtt&. dens iit reciproce nt diilantia ; pro V fcribe diftantiam T jE ; dein xTSXLT^pro T E a, & fiet ©iV^ut J^Z-i- Z © -^^^^ jf L B Pone © N aqualem duplo ejus x SL^L^ j-^ : & ordi- nats pars data % S L dw^a in ton^itudinem ji B defcribet aream reftangulam % SLy^jfB; & pars indefinita Z® dufta normaliter in eandem longitudinem per motum continuum , ea lege ut inter movendum crefcendo vel decrefcendo aequetur femper longitudini Zf2>3defcribetaream — -^^ ^,ideft, aream SLx^B; quas fubduda de area priore x S Lx. A B relinquit aream SLy.AB\ ALB Pars autem tertia --ros- dufta iiidem per motum localem normaf » liter in eandem longitudinem, defcribet ^i aream Hyperbolicam > quae fubduda de area SLY. AB relinquet aream quasfitam ABNA. Unde talis emergit Problema- tis conftru^io. Ad punfta L, Ay B eri- ge perpendicula Ll^ Aa^ Bb^ quorum jiiaipii LB^ & ^ ^ ipfi L A squetur. Afymptotis L/j LB, per punfta ^,^ de- fcribatur Hyperbola a b. Et afta chorda b a claudet aream a b a areae quaBfuse ABNA aequalem. Exempl. X. Si vis centripeta ad fingulas Sphaera; particula? ten- dens fit reciproce ut cubus diftantia, vel (quod pcrinde eft)wcu-. busille applicatus ad planum quodvis datum ; fcribe ^j^' pro V, deinxyJxZ^Dpro TEqi & fiet ©jVut cp^j^c^ Ty|, —^SxLTf* '^ eft(obcontinue proportionales ^ 5', yfS, SI) LA nt LSI _i J"/- jiLBxSl ,~^_j „^ r^TS— . Si ducantur hujus partes tres in L S I longitudinem ^ 5 , prima -y ^ generabit aream Hyperboli- Aa 2 cam; V li V ' • ' I i88 PHILOSOPHI^ NATURALIS D« MoTO ^ r » w o r CoMORUM cam ; fecunda i SI arearo ^jIBxSI'^ tcrtia - /^ afe- *™ tLA ^LB — ^ * AByaSI. De pnma fiib- ducatur fumma fecunddB & tertia?, & manebit area cjuaefita ABNA. Un- l\ \a de talis emergit Problematis conflruc- tia Ad punda L ^ Ay S^ B erige perpendicula L /, Aa ^ Ss^ Bb^ quo- rum Ss ipfi if /aequetur^perque punc- tum s Afymptotis Ll ^ LB defcriba- tur Hyperbola asb occurrens perpen- diculis Aa, B b in a Sc b i & redangu- lum * ASI fubduftum de area Hyper- , , ^ , bolica Aa sbB relinquet aream qusfi- 1« A i £ UmABNA. Exempl ^. Si Vis centrrpeta , ad fingulas Sphsras particulas tendens » decrefcit in quadrupticata ratione diflantiae a particulis ; ^^^^TAS^ proV, dein ViTSxLT) ^oTE.ik fiet "DNut SlfXSL I Slq ^ i_ SlqXALB ^ t VxSI ^y^^Dc ' ~xy%SI VLD' xViSI ^VJTDfr Cujus tres partes du6l^ in longitudinem AB • producunt areas tot- tionem fiont r^^j>^^^ , j/^. & J/j+^^.HsTerofub- duAis poiterioribus de priore> eradunt —rr-- Igitar vis tota ,. ^a corpu&alum T' in Sphsrs centram trahitur ,. eft ot —mj-' ^^ eft , reciproce ntTS cuk X.TI. ^E.I. Eadem Methodo determinari poteft Attraftio corpufculi fiti in^ tra Sphcram ^ fed expeditius per Theorema fequeos. PRCX PRINCIPIA MATHEMATICA. PROPOSITIO LXXXII. THEOREMA XLI. 189 LlBEX Primus. Itt Sph^ra centro S intervallo S A Jefcripta , /i capiantur SI, SA, S? eontinue proportiofiaks : dico quod corpuf" culi intra Spharam in toco quovis I attra&io eft ad attrac-- tionem ipjtus extra Sph^eram /«j loco P , in ratione com^ pofita ex fubduplicata ratione diftantiarum a centro I S, PS* & fubduplicata ratione virium centripetarum ^ in locis iU lis ^ & i, ad centrum tendentium» Ut fi vires centripets particukmm Sphaer» fint reciproce at di- fiantis corpufcitli z fe attraAi ; vis , qtia corpvfcuium fitum m I trahitor a Spfaaer^ tota , erit ad yim qua traliitur in P » in ratione compoiita: eji fubduplicata ratione diftantiae «S* / ad diftantiam S^ & ratiotie fubduplicata vrs centripetae in Ibco / > a particula aliquaf in centro oriunda; , ad vim centripetam in loco ? ab eadem iB & exiAente corpore in loco quovis SP, ordinatim applicata ©iST Inventa fuit ut — (pi^\/ — . Ergo G. agatuf / E , ordinata illa ad alium quemvis locum /, mu- tatis mutandis , evadet ut tr^cV ^^^^ ^^^^^ centripetas , e SphsrflB pundo quovis E manantes, effe ad invicem in diftantiis lEi y £*, .ut SPjB» ad / ;E»r { ubi numerus n defignet indicem poteftatum TE&l IE^ & ordinatae illae fient ut ^p e^^TE»'^ teSte»* ^^^^^^ ''*'^° ^^ invicem eft ut TSkIExIE» ad ISXTEXTE". Quoniamobfimiliatriangula J'?^, *yi?/, fit lEzdTE ut IS ad SE vel SA « pro ratione lE ad TE fcribe rationem IS ad SA; & ordinatarum fatio evadet TSx.I E» ad SAXT E»^. . ^d 'PS ad S ji fubdupUcata eft ratio diftafitiarum yj", J*?; & /iB* ^d y^^fubduplicata eft ratio virium irf'diftan- tiis 'PSjlS. Ergo prdir^tae » & propterea ar eae quas ordinats de- fcribqnt, hifque prdporudnales attraAioiies , funt in ratione com- pofita ex fubduplicatis illis radonibu!^. ^.E.T). ..-'" PROPOSITIO IXXXIIL PROBLEMA XLH. « Ifwemre viin qua corpufculum m centro Sphara locatum ad ejus Segmentum quodcunque aftrahitur, Sit *P corpus in centro Sphara, Sc R BS^ Segmentum cjus plano R7)S & fuperficie Spharica RB S contentum. Superficie SphaBrica EFG centro tP defcripia fecetur 'D B in F , ac diftin- guatur Segmentum in partes BREFGS,FE7)G. Sit autem fuperficies illa non pure Mathematica , fed Phyfica, pro- funditatem habens quam minimam. ^ Nominetur ifta profundi- tas O , PRINCIPIA MATHEMATFCA. m tas 0 , & erit hsec fuperficies ( per de- Luik Pommus praBterea vires attraftivas par- liciilaruiii Sphxne efle reciproce ut di • itmtiarum dignitas illa cujus Index ell »; & vis qua fuperficies FE trahit cor- pos P erit ut ^^"^*^. Huic propor- tionale Cit perpendiculum /^^ductura in O j & area curvilinea Bi)L-IS ^ quam ordinatim applicata FN in longl- tudinem 2) B per motum coBtinuum "yyis * dufta defcribit , erit ut vis tota qua. 5/ Segmentum totum R B ST) trahit cor- posP. ^E.I. PROPOSITIO LXXXIV. PROBLEMA XLni.' hwenire vim qua corpufiulum , extra centrum Spbitrte in axe Segmemi cujnfaii lccatam , ottrahitur ah eodem Seg- me»t0. A Segmento ^.fi^trahaturcorpus ¥ (Vlde tig.Prop.i.xxix," Lxsx, LXxxi. ) in ejus zxg^I^B locatumi Centro 5P interval^ lo ¥ E defcribatur fuperficies Sphsrica E F K, qua difiinguatur SegmeDtum in partes duas EBKF-& EFKi>. Quaeratur viV partis prioris per Pro'p. lxxxi, & vis partis pofterioris per Prop. Lxxxui } & fumma virium. erit vls Segmenti toiius E RK^* Scbolitm. Explicatis attradionibus corporum Sphsricorura , jam pergere licerec ad Leges attraAionum aliorura quorundam ex particulis attra^ivis fimiTiter conftantium corporum ; fed illa' particulatim' traftare minus ad inftitutum fpeAat. Suffecerit PropoCtione» (^uafdaio generaliores de viribus hujufmodi corporum , de^ue mo> tibus inde oriundis , ob earum in rebus Philofophicis ahqnalem ufum, fubjungece. i SECTIO 192 - PHILOSOPHIiE NATURALIS Dt MoTU Co&fo&uic S E C T I O XIIL De Corporum non Spharkorum virthus attraBms, PROPOSITIO LXXXV. THEOREMA XLH. «SV torporis attra&i , ubi attrahenti contiguum efi , attraBio longe fortior ftt , quam cum vel minimo intervaUo fepa" rantur ab invicem : vires particularum trahentis , in re» ceffu corporis attraBi , decrefcunt in ratitne plufquam duplicata diftantiarum apartictdis* m Nam fi Tires decrefcunt in ratione duplicata dif^antiarum a par- ticulis ; attradio verfus corpus Sphaericum > propterea quod ( per Prop. Lxxiv. ) fit reciproce ut quadratum diftantias attra6ti cor- poris a centro Sphsras i haud feniibiliter augebitur ex conta6hi; atque adhuc minus augebitur ex conta6lu > fi attraAio in receiTu corporis attra6ti decrefcat in ratione minore. Patet i^tur Pro- poutio de Sphaeris attra^livis. £t par eft ratio Orbium Sphseri- corum concavorum corpbra externa trahentium. Et multo magis res cottftat in Orbibus corpora interius conftituta trahentibus» cum attradliones paflim per Orbium cavitates ab attradionibus contrariis ( per Prop. lxx. ) tollantur > ideoque vel in ipfo contac* tu nullaB funt. Quod fi Sphsris iiifce Orbibufque Spnaericis par- tes qua^libet a loco contadus remotas auferantur » & partes novae abiyis addantur : mutari pofTunt figuras horum corporum attraeti* vorum pro lubitu , nec tamen partes additae vel fubduAae , cum fint a loco conta6his remotae > augebunt notabiliter attradionis ex* cefTum qui ex contaAu oritur. Conflat igitur propofitio de corpo- ribus Figurarum omnium. ^ £. 2>. PRO- PRINCiriA MATHEMATICA. 191 PROPOSITIO LXXXVI. THEOREMA XLIIL pV"u«. 4$V partkularum , ex quthm corpm attradifvum componl^ iur , vtrcs in receffu corporis attraBi decrefcunt in tripti^ cata vel plufquam triplicata ratione difiantiarum a par^ ticulis : attraBio longe fortior erit in contaSiu , quam cum attrahens ^ attraBum intervallo vel minimo feparantur cb invicem. Nam attra<5lionem in acceflu attra^H;! corpufculi ad hujufmodi Sphsram trahentem augeri in infinitum , conilat per folutionem Problematis xli, in Exemplo fecundo ac tertio exhibitam. Idem, per Exempla iila & Theorema xli inter fe collata > facile colligi* tur de attraftionibus corporum verfus Orbes concavo - convexos » five corpora attrafla collocentur extra Orbes, five intra in eorum cavitatibus. Sed & addendo vei auferendo his Sphaeris & Orbibus ubivis extra locum contadus materiam quamlibet attraAivam y eo ut corpora attradiva induant figuram quamvis afTignatam^ confla- bii Propofitio de corporibus univerfis. ^ E.7). ^ PROPOSITIO LXXXVII. THEOREMA XLIV. Si corpora duo fihi invicem fimilia , Sf ex materia aquali^ ter attraSiiva confiantia , feorfim attrahant corpufcula Ji'- bi ipfii proportionalia y ^ adfe fimiliterpofita : attrac-^ tiones acceleratrices corpufculorum in corpora tota erunt ut attraBiones acceleratrices corpufculorum in eorum par^ ticulas totis proportionales ^ in totis ftmiliter pofitas. Nam fi corpora diflinguantur in particulas , quae fint totis pro- portionales & in totis fimiliter fitas; erit^ ut attradio in particulam quamlibet unius corporis ad attraiflionem in particulam correfpon- dentem in corpore altero » ita attradliones in particulas fingulas primi corporis ad attraAiones in alterius particulas fingulas corref* pondentes; & comppnendo, ita attradio in totum primum corpus ad attraftionem in tbtum fecundum. ^E. 7). Corol. I. Ergo fi vires attraftivae' particularum , augendo diftali- ms corpufbulorupi attradorum , decrefcant in ratione dignitatis Bb cujufvis 194 PHILOSOPHIiE NATURALllS DsMoTu cujufvis diftaotiarum : attra^iones acceleratric^s in corpora tota e* CoaFoauii fmit nf corpora direfte & diftantiarum dignitates illae inverfe.. Ut Q vires particularum decrefcant in ratione duplicata diilantiarum a corpufculis attra^lis , corpora autem fmt ut ji cub. &: B cub. ad* eoque tum corporum latera cubica tum corpufculorum attra6torum diftantiae a corporibus, ut y^ & J?;attraftiones acceleratricesin cor* ^ ^ Acub. p B cub. ., /1 ^ , .,1 pora erunt ut -^ — ^ & „ —j ^^ ^"* ^^ corporum latera illa cubica A &L B. Si vires jparticularum decrefcant in ratione tripli- cata diftantiarum a corpufculis attraAis ; attradiones acceleratrices ^ ^ ^ A cub. p Bcub... ^n , o. . m corpora tota erunt ut -^ — t- & -g — v- id eft , aequales. Si vi- res decrefcant in ratione quadruplicata ; attradliones in corpora erunt ut -^ — - & -^ — - id eft , reciproce ut latera cubica A^ B. £t fic in csteris. Corol. 1. Unde vicifnm,ex viribus quibus corpora (imilia trahunt (orpufcula ad fe iimiliter pofita . colligi poteft ratio decrementi vi- rium particularum attra^ivarum in recefTu corpufculi attra^i : it modo decrementum iilud fit direi^e vel inverfe in ratione aliqua diftantiarum. PROPOSITIO LXXXVIII. THEOREMA XLV. St particularum aquahum Corporh cujufcunque vires aitrac- twa fint ut dtfianiia locorum a parttculh : vis corporis totius tendet ad ipftus centrum gravitatis j ^ eadem erit cum vi Globi ex materia conftmili ^ aquali confantts ©* centriim habentis in ejus centro gravitatis. Corporis J^iyrA^particuIae A^ B trahant corpufculum aliquod I Z viribus qu« , fi particulaB a- o^:-- - j ^A quantur inter fe , fmt ut diftan- ^^^^-^^^Z 1 ti» AZ, BZ i {in particula fta- ''"^x"-f ^'O -^-o tuantur inaequales, iint ut hae par- \/^ \^ C ticulae in diftantias fuas AZ^ B Z F ^'tL refpeftive duft«. Et exponantur ^ hae vires per contenta illa AX AZ & jB X i? Z. Jungatur AB, & fecetur ea in 6 ut Ixt AG zdBG ut particula B ad particulam A^ & PRINCIPIA MATHEMATICA. ijf & erif G conimotie centram grtvitatis ptrticularam ASc B. Vis p^'*** jlXyfZ(per Legum Corol. x. ) refofvitur in vires ^X G Z&*^^*'** •• JXAG& vis BxBZin vires BxGZ&BxBG. Vires tu- tem AkAG & BxBGj ob proportionales ^ ad jB & iSG.ad JGf xquantiir; adeoque cum dirigantur in partes contrarias , fe mutuo deftrunnt. Reftant vires A X GZ & BxGZ. Tendunt hx ab Z verfus centrum G , & vim A-^BX G Z componnnt ; hoc eft, vim eandem ac fi pariiculae attraftivae A 8c B coniifterent in eorum communi gravitatis centro (?,Globum ibi componentes. £bdem argumento , fi adjungatur particula teriia C , & compo- patur hujus vis cum yi j4 -^BxGZ tendente ad centrum G; vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis trium particu* Jarum^, 5, C; & eadem erit ac fi Globus & particula C confifte- rent in centro ft!6 communi , Globum majorem ibi componentes. £t (ic pergitur ininfinitum. Eadem eftigitur vis tota particuiarum omnium corporis cujufcunque RSTV ac fi corpus illud t fervato^ gravitatis centro, figuram Globi indueret, ^£.!D. CoroL Hinc motus cprporis attrafti Z idem erit ac fi corpus at-» trahens RSTFtf[ei S^f)ll»ricum ; & pwopterea fi corpus illud attra* hens vel quiefcat ^ vel progrcdiatur uniformiter in direftum; cor- pus attra^um movebitur in EUipfi centrum habente in attraiientis centro gravitaiis. PROPOSITIO LXXXIX. THEOREMA XLVI. « St Corp9rafint plura ex parttcuUs aquartbus confiantia , ^ua- rum vtres funt ut dt^anita locorum a finguUs : vis ex ornntum vtrtbus 'comptfita , ,& hoc redangulum ( ob pro- portionales TE&AE^Ee 8i.CE ) aquatur reftangulo y£XC£: fett 5P iS X Ffi erit vis qua annulus ifte trahit corpus tP verfus A, ut TE>iFf&. ■ «fi^ - conjunaim, id eft , ut contentum FfX FKXATy five ut area FKkfdu6ti in AT. Et propterea famtna • virium , quibus annuli omnes in Circulo , qui centro A& in- tervallo PRINCIPIA MA:THEMATICA. 197 temllo jiT) defcribitur , trahunt corpus 2* verfus A» eft ut arca Libek. tota AHIK L duaa in AT. ^KTD, Primu». Qirol. 1. I^nc fi vires punaorum- decrefcunt in duplicata diilan- tiaram rationej hoc eft, fifit FKvx-^p-i — ^ , atque adeo areat AHIKL ut -m-j-'-cpfj » wit attraftio corpufcu|j P in Circui % ^ r .A .. -^ A H him ut 1 — y^, id cft , ut yT^. Corol.t. Et univerfeliter , fi vires punaorum ad diftantias D* fint leciproce ut diftantiacum dignitas quslibet jD* , hoc eft ,■ fi fit FK Ht -^, adeoque area AHIKL ut^^,_,-— cp]jn-i'* c"t attra* aio corpufculi 2» itt Circulum ut ^p An-x— cpnn-i- Coroi. 3-- Et fi diameter Circuli augeatur in infinitum , & nume*' rus n fit unitate major ; attradio corpufculi ? in planum totunii iflfinitttm erit reciproce ut y- E B circa axem AB revo- luto defcriptus, & vires centri- petae in fingula ejus pun6la ten- dentes fint reciproce ut quadra- ta diftantiarum a puniftis : erit attraftio corpufculi P in hunc Cylindrum ut AB-^P E-^TTi. >jam ordinatim applicata F K f per CoroL i. Prop. xc.) erit ut^i ^ F -Tp^. Hujus pars i dufta in

( id quod ex curvae L IK quadratura facile oftendi poteftT) & fimilitcr pars . Corol. X. Hinc etiam vis innotcfcit qua Spha- rois AGBCT> attrahit corpus quodvis 5P,exte* rius in axe fuo A B {\- tum. Sit NKRM Se- ftio Conica cujus ordi- natim applicata£i?, ipfi y iE perpendicularis , ae- quetur femper longitu- dini T ©, quas ducitur ad punflum illud 2>, in quo applicata ifta S^haeroidem fecat. A Sphaeroidis verticibus ^,5 ad ejus axem AB erigantur perpendicula AKyBMv^Qi^ AT^BT^ «qualia refpeAive, & propterea Seftioni Conicae occurrentia in AT & M\ & jungatur KM auferens ab eadem fegmemum K M R K. oic autem Sphaeroidis centrum S & (emidiamecer maximaif C;&vis qua 1 PRINCIPIA MATHEMATICA. 199» qua Sphaerois trahit corpus?erit ad vim qua Sphaera , diametro AB Ltbck defcripta. trahi.idemcorpu,. ut H&IE, FK & LG fibi mutuo a^quales ; prop- terea quod reftx T>EyTB&HI bife- cantur in eodem pun^o, ut & redae FG^ TC & KL. Concipe jam "DT F. ET G dfefignare Conos oppofitos , an- gulis verticalibus T> T F , ETG infi- nite parvis defcriptos , & lineas etiam G b ^H^ EI infinite parvas efle ; & Conorum particulae Sphaeroidum^ fuperficiebus abfcillae DHKFjGLIE^ ob a^qualitatem linearum» 2) H^ E /, erunt ad invicem ut quadrata difiantiarum fuarum a* corpufculo y , & propterea (corpufculum illud aequaliter trahenr. Et pari ratione , fi fuperficiebus Sphaeroidum innumerarum fimi? lium concentricarum & axem communem habentium dividantur fpatia 2)PjP, EGCB in particulas, has omnes utrinqueaequaliter trahent corpus T in partes contrarias, iEquales igitur funt vires^ Coni DT F & fe^menti Conici EGCBj& per contrarietatem fe routua deftruunt. Lt par efl: ratiovirium materiae omnis extra Sphae- roidem intimam TCBM. Trahitur igitur corpus T a fola Sph«- roide intima TCB M^ & propterea (perCoroJ.j.Prop lxxii.} ^t- tradio ejus efl: ad vim , qua corpus A trahitur a Sphaeroide tota ^GO© , ut diftaniia P J* ad diftantiam JS. ^ E. T>. PRO- aoo PHILOSOPHIiE NATURALIS De Mot(j CO&PORUM PROPGSITIO XCII. PROBLEMA XLVI. Dato Corpore attraBivo , mvenire rationem decrementi vl^ rium cenirtpetarum in eju$ pmBaftngula tendenitum. E Corpore dato formanda eft Sphaera vel Cylindrus aliave fign- ra regularis, cujus lex attradionis, cuivis decrementi rationi con- .gruens (per Prop.Lxxx, lxxxi,&xci.} inveniri poteft. Dein fac- tis expericnentis invenienda eil vis attra<^ionis in diverfis diflantiis, & lex attra(5lionis in totum inde patefada dabit rationem decre* 4nenti virium partium fingularum > quam invenire oportuit. PROPOSITIO XCIIL THEOREMA XLVIL » Si Solidum ex una parte planum , ex reliquis autem parti^ bus infinttum , conjiet ex parttculis aqualibus Mtutliter attraBivts , quarum vtres in recejfu a Soltdo decrefcunt in ratione potefiatis cuju/vts difiantiarum phfquam qua- drattca y & vi Soltdi totius corpufculum ad utramvis pla^ w partem conftitutum trahatur : dico quod Soltdi vts illa attraBiva , in recefilu ab ejus fuperficie plana , decrefcet in rattone potejiatts , cujus latus eft diftantia corpufculi a piano y &" Index ternario minor quam Index poteftatis dtftanttarum^ Ct/? I. Sit LG/planum J[uo Solidum terminatur. aceat Solidum autem ex ?arte plani hujus verfus , inque plana innumera «»/7Ar,»/iNr,&c.ipfi GL parallela refblvatur. Etpri- mo collocetur corpus at- traflium C extra Solidum. Agatur autem CGHI pU- nis illis innumeris perpendicularis , & decrefcant vires attra(5livs punftorum Solidi in ratione poteftatis diftantiarum, cujus indexfic numerus n lernario non minor. Ergo ( pcr CoroL 3. Piop, xc. ) vis JLU ^««MMV •*.• PRINCIPIA MATHEMATICA. ^oi ▼is qua pUnum quodvis mHM trahit punftutn Ceft reciproce ut^^'**^ Ci/ — ». In plano m i/ J»/ capiatur longitudo H M ipfi Ci7— » rc*^* '"'^•^ ciproce proportionalis , & erit vis illa xxtHM. Similiter in planisfin^ gulis IGLynlN^oKO^&c. capiantur longitudines GL XN^RO^ &c. ipfis CG"'^''^ CI'''^^^ CK''^^^ &c. reciproce proportionales ; & vires planorum eorundem erunt ut longitudines capts , adeo* que fumma virium ut fumma longitudinum , hoc eft» vis Solidi to- tius ut areaG L OKin infinitum verfus O K produ6):a. Sed area ilh (per notas quadraturarum methodos) eft reciproce ut CG"'^^^ & propterea vis Solidi totiuseft reciproce ut CG''''^ §^E.7). Caf%. Collocetur jam corpufculum Cex parte plani IG L intrt Solidum , & capiatur diftantia CK squalis diftantis CG. Et Solidi pars LGloKOy planis parallelis /gZ, oKO terminata, corpufcu- culum C in medio fitum nullam in partem trahet , contrariis oppo^ litorum pun^lorum adionibus fe mutuo per SBquaUtatem tollentibus. Proinde corpufculum C fola viSoIidi ultra planum OJ^fiti trahitun H«c autem vis (per Cafum primum) eft rcciproce ut CAr*""Shoc eft (ob «quales CG, CA^) reciproce ut CG-^K ^ E. "D. CoroL I. Hinc fi Solidum L G /iVrpIanis duobus infinitis parat- lelisLG, 7i\^utrinque terminetur ; innotefcic ejus vis attradiva t fubducendo de vi attra^liva Solidi totius infiniti L G K O vim attradivam partis ulterioris NlCOy in infinitum verfus KO pro- duft«. Corol. 2. Si Solidi hujus infiniti pars ulterior , quando attra6lio ejus coUata cum attradione partis citerioris nuUius pene eft mo* menti , rejiciatur : attradio partis illius citerioris auftendo diftan* tiam decrefcet quam proxime in ratione poteftatis CG^^K Corol. 3. Et hinc fi corpus quodvis finitum & ex una parte pla« pum trahat corpulculum e regione medii iiiius plani^ & diftantia inter corpufculum & planum coUata cum dimenfionibus corpo- ris attrahentis perexigua fit , conftet autem corpus attrahens ez particulis homogeneis , quarum vires attraflivas decrefcunt in rarione poteftati^ cujufvis plufquam quadrupIicataB diftantiarum; vis attraftiva corporis totius decrefcet quamproxime in ratione poteftatis, cujus latus fit diftantia illa perexigua, & Index terna- rio minor quam Index poteftatis prioris. De corpore ex parti- culis conftante , quarum vires attraftivae decrefcunt in ratione poteftatis triplicata diftantiarum , aflertio non valet ; propterea quod , in hoc cafu , attraftio partis illius ulterioris corporis infi- niti in CoroIIario /ecundo , lemper eft infinite major quam at- tradio partis citerioris, C c Scbolium. u>x PHILOSOPHIiE' NATURALIS. DbMotu C(»FQkuic Scbolium. Si corpus aliquod perpendiculariter verfus planum datum traha* tur , & ex data lege attraftionis quaeratur motus corporis : Solve* tur Problema quaerendo ( per Prop. xxxix. ) motum corporis reda defcendentis ad hoc planum , & (^per Legum Corol.i.) compo- nendo motum iftum cum uniformi motu , lecundum lineas eidem plano parallelas fado. Et contra , fi quxiatur Lex attraflionis in pla- num fecundum lineas perpendiculares faAas , ea conditione ut cor- ?us attradlum in data quacunque curva linea moveatur j folvetur Voblema operando ad exemplum Froblematis tertii- Operationes autem contrahi folent refolvendo ordinatim appii- catas in Series convergentes. Ut fi ad bafem A in angulo quovis dato ordinatim applicetur longitudo B > quae fit ut bafis dignitas quaelibet A > ; & quaeratur vis qua corpos , fecundum pofitionem ordinatim applicata^ > vel in bafem attra(^um vel a bafi fugatnm^ inoveri pofut in curva linea quam ordinatim applicata termi- no fuo fuperiore femper attingit : Suppono bafem augeri parte m quam minima O , & ordinatim applicatam A -+- O ~ refolvo io Seriem infinitam A, h — OA » -\ OOA ~ &c. at- qne hujus termino in quo O duarum efl dimenfionum,idefl>rer- -imno O O A ^.vim proportionalem efle fuppono. Eft igitnr vis quaefita ut — — — hr~» , vel quod perinde eft, ut ftffff fffft t^'^2,n B •* • Ut fi ordinatim applicata Parabotam attingat, exiflenre i0=x , & iy=i : fiet vis ut data iB''*, adeoque dabi* tur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola , quemad- modum GaliUus demonflravit- Quod fi ordinatim applicata Hy- perbolam attingat , exiftente «r=o-- i,&» = i ; fiet vis iit 2 A— • feu iB': adeoque yi , qudB fit ut cubus ordinatim applicatae, cor- pus movebitur in Hyperbola. Sed miffis hujulinodi Propofitiom- bus» pergo ad alias quafdam de Motu> quas nondum attigi. SECTIO PMNCIPIA MATHEMATICA. S E C T I O XIV. to^ LrBER P&IMttf« De Motu corporum mtnimorum^ qua Firibm cetttripctis ad ftngulas magni iflicujus corporis farUs tendtnmus ugt^ tantur. • * PROPOSITIO XCIV. THEOREMA XLVIll. Si Medta dm fimtlana , fpatio planis paratterts utrinatte terminatOy dtflinguantur ab invicem , ®* corpm intrau^ fttu per hoc fpatium attrahatur vel impellatttr perpendt-* culariter verfus Medium alterutrum , neqae mUa ■ alia vi agftetur vel impediatur : Sit antem attraBio , in aquah^ ms ab utroque plano difiantiis ad eandem ipfim partem captis , ^ibique eadem : dtco quod finus incidentia m pUt^ Tium alterutrum erit adftnum emergentia ex plano aker4 in rattone data. Caf I. Sunto Aa, Bb \^ plana dno paralleU. loci- V dat caq>us in planum pri- m Aa fecundum lineam a G^,ac toto fuo per fpati- um intermedium tranGtu attrabatur vel impellatur verfus Medium incidentiae, eaque aftione defcribat li- neam curvam ^/, fire- mergat fecundum lincam IK. Ad planum emergen- \izB b crigatur perpe.ndi- culum /Af,occurreftstum lineae incidentis G H prl>- duftae in M , tum tHano . r, r ^ « inddentias Aa m R\ & Koea emergenti» ^ / produfta ocov- rat H M va L. Centro Z» intervallo Ll defcribatur Circulus ,.• Cc X fecms* ' -204 PHlLOSOPHtiE" NATURALIS Px MoT V [^OAPo&uMfecans tam HM in T & ^s quam Jl// ptodu6lam in iV, & prim» fi attraflio vel impulfus ponatur unifbrmis > erit- ( ex demonftratis CaliUi ) curva /// Parabola, cujus hsc efl prbprietas, ut reflan* ^lum fub dato latere reAo & linea IM aequale flt HM quadrato; led & linea HAf bifecabiturin L. Unde G. ad MI dejaittatur per* pendiculum L O , sequa- ^^ les erunt MO , O ^ ; & ad- >» ditis aequalibus O N, OI^ fient totae sequales M N, j^ IR. Proinde cum / R de- ^e.^ IL cur , datur etiam MN\ efb- que re^angulum NMI id redl^anguTum fub latere refto & iM, hoc eft, ad JH M q t in data ratione. Sed redangulum NMI s- quale cft reaan^ulo TM^ ' B id eft , difTerentiae quadra- torum ilf / fngulis feparatim uniformis, ac in diverfis diverfa^; & per jam p^'*^* demonftrata , finus incidentia in planum primum Aa erit ad *'**'*^ • fmam emergentisB ex plano fecundo Bb^va data ratione ; & hic fioust qui eit finus incidentias in planum fecundum Bb^ erft ad fmum emergentia^ ex plano tertio Cr, in data ratione; & hic fiDus ad fibum emergentiae ex plano quarto l^d ^ in data ratio- ne; & fie in infinitum ^ & ex ^uo , finus incidentix in planum^ primum ad finum emergentia? ex plano ultimo in data ratione. Minuantur jam planorum intervalla & auseatur numerus in infi^ nkum , ea uc attradionis vel impulfus aoio ,. fecundum legem^ quamcunque afiSgnatam , continua reddatur ; & ratiq finus indi-* dentiae in planum primum ad finum emergentiasL ex plano ultima^ fempesdata exidens^ etiamnum dabitun ^ET^.. PROPOSrTIO XCV. THEOREMA XLIX. hfdem pofitisy dko quod veUcttai corporis ante tncidentiar» efl ad^ ejtis velocttatem pofi emergenttamy utfinui emer^ gentta adfinum inctdentia\. Capiamur -^^H", li/ aequales , & erigantur perpendiculk -«^Gi^jKT •ccurrentialineis incidentis & emergentiaB G//, /A", in G & K,. In Gfl'capiatur7"//aequalis IK, & ad planura ^a demittatur nor«' maliter Tv. Et (per Legum Corol.a. ) diftinguatur motus cor-^ poris io duos , unum planis Aa» B6, Cc , &c. perpendicularcm , al- t€TQtn iifdem paralielum. Vis attra^ionis vel impulfus, agendo fe- cundum lineas perpendiculares , niK mtKat motum fecundum paral" lclas , & propterea corpus hoc raotu conficiet aequalibus tempori- bus squaliailla fecundum parallelas intervalla, quse funt inter 11* fieam AG & pjun^um Hy interque pun^lum / & lineam ^)in fpatium ^ ^^ i? : & ob finum emergentias jam fa(^um aequalem radio 5 angulus emergenti» erit re Aus > adeoqoe linea emergentiae coincidet cum plano 5D d. Ferveniat corpus ad hoc planum in pundo Ri & quomam liiiea emergentie coincidit cum eodem plano, perfpi- cuum eft quod* corpu^ non \jS- Sj poteft ultra pergere verfus planum E e. Sed nec poteft idem pergere in 1 inea emer- ^ ^ gentiaei?J,proptereaquod qI perpetuo attrahitur vel im- b - pellitur verfus Medium in- ^ " cidentiaB. Revertetur itaque inter plana Cc^ 7)d, defcribendo ar- cum Parabols ^Rq^ cujus vertex principalis ( juxta demonffarata GaliUi ) eft in^ $ fecabit planum Ccin eodem angulo in f ^ ac prius in ^; dein pergendo in arcubus parabolicis qp%fb^ &c. ar- cubus prioribus ^SP» jP/ffimilibus & squalibus fecabit reiiqaa plana in iildem angulis in;^,6,&c. ac prius in P^i^.&c. emerget- que tandem eadem obliquitate in h ^ qua incidit in H. Concipe juci planorum Aa^ Bb^Cc\T)d^ Ee^Scc. intervaJla in infinttum minui & numerum augeri 9 eo ut a6lio attraAionis vel impulfus fecundum legem quamcunque afiignatam continua reddatur; & angulus emergentiae femper angulo incideniis aequalis exifteDs^ cidem etiamnum manebit aequalis. ^ E. D. Scbolinm. PRINCIPIA MATHEMATICA. aoy LiBEir Scholitm. Primu». Harum attraftionum haud multum diflimiles funt Lucis reflexip- nes & refraAiones , fadae fecundum datam Secantium rationem , uc invenit Snellius » & per confequens fecundum datam Sinuum ra* tionem , ut expofuit Cartefius. Namque Lucem fuccellive oropa- gari & fpatio quafi feptem vel ofto minutorum primorum a aole ad Terram venire , jam conftat per Phsenomena Satellitum Joyis ^ Obieryationibus diverforum Aftronoroorum confirmata. Radii au- lem in aere exiftentes ( uti dudum GrimaUus , luce per foramen in tenebrofum cubiculum admifla , invenit , & ipfe quoque expcrtus fum ) in tranfitu fuo prope corporum vel opacorum vel perfpicuo- mm angulos f quales funt nummorum ex auro . argento oc «re cu- forum termim reftanguli circulares , & cultrorum, lapidum aut frac- torum vitrorum acies ; incurvantur circum corpora , quafi attrafti m eadcm : & ex his radiis , qui in tranfitu illo propius accedunt ad corpora incurvantur magis , qua* nufty mfmy Isl verfus cultrum ia- ^'"'^-C--..";^^^^^ curvati; idque magis vel-minuS pra "'"\^^^ diftantia eorum a c4trttro. Cum au- y-o.^^..*-^' tem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra cultrum/debebunt etiam radii,qni incjdunt in cultrunr^ prius incurvari in aere quam cultrum attingunt. Et par eft ratio in- cidentium in viirum. Fitigitur refraftio, nonin pun^loincidentia?,. itd paulatim per continuam incurvationem radiorum^fadam partim» in aere antequam attingunt vitrum , partim { ni fallor) in vitro> poftquam illud ingrefli (unt: uti in radiis ckzkcjbiyib^ ahxba incidentibos ad r^q^p^ & inter kSc z^i Say^h &. x incurvatis , de-- lineatum eft. Igitur ob analogiam quas eft inter propag&tionem ra^ diorum hitis & progreflum corporum , vifum eft Propofitiones fe- quentes in ufus Opticos fubjungere ; interea de natura radiorun» (utrum fint corpora nccne} nihil omnino difputans, fed Trajefto* rias corporum Trajedoriis radiorum perfimiles folummodo deter* minaiis» PROPO* soS PHILOSOPHIfi NATURALIS De Mora 60RPO B!U M PROPOSITIO XCVn. PROBLEMA XLVR Pofiio quod finm tnadentta in /nperficiem dlifuamjit adfi^ num emergentia in data ratione , quodque rncurvatio vi^ corporum juxta fuperficiem iUam fat infpatio hrevijftmo , quod ut punBum couftderart pojpt^ determinare fuperfi- ciem qua corpufcula omnia de loco dato fuccefjive manaft" fia conver^re faciai ad alium locum datttm, . Sit ji locus a quo corpufcula divergunt ) B Ibcus in quem con- vergere debent ; t^ E curva linea quae circa axem t^ £ revolota defcribat fuperficlem qusfitam ; 2), £ curvae illius punda duo qua> vis; & £/^,-^G perpendiculain corporis vias A\DtT>B demiHa. Accedat pun6lum 'D ad punAum E\ & line» !D/^^ua Al> auge- * tur , ad lineam 1)0 qua T>B diminuitur, ratio uitima erit eadem ^uasiinus incideatix ad finum emergentia?. Datur ergoratio io« crementi lineae ^SD ad decrementum line« SD£; & proptereaii in axe A B fumatur ubivis pundum C , per quod curva C*p E tranHre debet,& capiatur ipiius t>^Cincrementum CA/, ad ipfius J? Cdecrementum CRva data illa ratione; cemrifque A^B^ol in> tervaliis AM^ B N delcribantur circuli duo fe mutuo fecantes in !D: pun<5lum illud 7) tanget curvam qusfitam C 2) £)eandemque ubivis tangendo determinabit. ^ E. I. Corol. I . Faciendo autem ut punflum 'A vel B nunc abeac «n infinitum , nunc migret ad alteras partes pundi C. habebuntur Figurs \\\st omnes quas Cartefius in Optica & Geometria ad Refra6liones expofuit. Quarum inventionem cum Ctartefius ma- ximi fecerit & Itudlofe celaverlt , vifum fuit hac propofitione exponere,. Corol, \ \ PRINCIPIA MATHEMATICA. %o^ LtBlR CfToi X. Si cerpus in faperficiem quamvis CZ)j fecundnm line- pkimv am reAam ^O iege qua?is ^idtm '^ " "- aliam quamvis redam 2)Jt, & apundoCdu- ci intelligantUr Linec curvae Cy, C^ipfis ATi HK fen^^er pecpendi- culares : erunt incremen- taUnearam?®,^27, atque adeo lines ipfse TSDt^T), incrementis iflis genitc , ut fioDS in- cidentis & emergentiae ad invicem : & contrt. ''*!» PROPOSITIO XCVffl. PROBLEMA XLVffl. lifdem pofith , ^ c/rca axem A B defcripta fuperficie qtui'» cunque attra&iva C D , regulari vel irregulari, per quam cerpora de loco dato A exeuntia tranfire debent: inventre fuperfkiem fecundam attraBivam E F , qud cor* pora illa ad locum datum B convergere faciat, Jun6bi AB fecet fuperficiem primam in C & fecundam fn E^ punfto tD utcunque aflumpto. £t pofito finu incidentis in fuper< ficlem primam ad finum emergentis ex eadem , & finu emergen- ti« e fuperficie fecunda ad finum incidentis in eandem , ut quan- titas aliqua data M ad aliam datam N ; produc tum AB ad ut MadN , adcoque ut ©L ad 7)K vel FB ad FKi ^ Dd & »19 PHILOSOPHI/E J^ATORALIS COAPOIIUIC ?JLi!?:?2 & coropofite ut T^- f£ |id i^^* J4 cil ( ob «quaks THSl CG, &S & C E) CE -H^(ft- FJR^dCE-' FS. VeruTn(ob propor- tionales BG zd CE & M— N ad N ) eft cdam CE^BGzdCEutM ad N: adeoque divifini FRti^ FSnt MadN, & propterea per Corol. ». rrop. xcvii, fuperfi- cies EF cogit corpus , in ipfam fecundum lineam 2) F iocidens * pergcre in linea FR ad locami^. ^E.^D. Scbolium, Etdeaiipethodo pergere Hceret ad Tttperficies tres velplnres. Ad ufas autem Opticos maxime accomjncxlai^ funt figuras Sphsrics. Si Perfpicillorum vitra ObjeAif a ex vitris duobns Spbasrice figora- tis & Aquam inter fe claudentibus conflentur ; fieri potefl ut a refira^onibus Aqu« errores refradionum , qu£ fiunt in vitrorum fuperficiebus extremis, fatis accurate corrrgantur. TalU autem Yitra ObjeAiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis prsferenda funt » HQD (olum quod facilius & accuratius formari (rolliDt , fed etiam quod Penicillos radiorum extra axem vitri fitos accuratius refHn*- |ant. Verum tamen diverfa diverforum radiorum Refrangibiiitas mpedimento efl , quo minus Optica per Figuras vel Sphiencas vet ilias quafcunque perfici poilit. Nifi corrigi poffint errores iliinc oriundi , labor omnis in cstcris corrigendis imperite coUocabitar. t DE PRINCIPIA MATHEMATICA. vr r • DXt LfBElti *^ SECtJMDUt» MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS. S E C T I O I. I De Mjoiu Corforum quihm reJtJHtur in ratiohe Velocitatis, PROPOSITIO I. THEOREMA I. Cor^orh , cut re/iflitur in ratiofie velocitatis , motas ex refi*^ pentia amifflus eji ut /patium movendo coftfe^um^ > NAm cum motus finguHs temporis parnculis sequalibus aariffus G.t ut veiocitas > faioc dk, ut itineris confedi particula.* erit^ componendo , motus toto tempore amifTus ut iter totum. ^E.^ CoroL Igitur (i corpus , gravitate omni defiitutnm , in fpatiis li- beris fola vi inAta moveatur ; ac detur tum motus totus fub initioy tum etiam motus reliquus pofl fpatium aliquod confedum : dabitut fj^tinm totum quod corpus infinito tempore defcribere poteft £rit enim fpatium iUnd ad fpatium jam defcriptam , ut mottts totus fab initio ad motus illius partem amifiam. LEMMA I. ^antitates differentiis fuis proportionaks , futtt conttHtte proportionales. SkAadA-ButBad B-C & C ad C-D, &c. & dividefido fietAadButBadC&CadiD.&c ^.£..2). Dd z PRO- DcMqtu CoRFo&aic PHILOSOPHIiE NAtURALIS I PROPOSITIO II. THEOREMA II. S/ Corpori refi^Uur m rattone vehcttaiis , 6? tdem fola vi infita per Medium ftmilare moveatur , fumantur autem tempora aqualia : velocitates in principiis fingulorutii temporum fitnt in pro^ejfione Geemetrtca , & fpatia fingulis temporibus defcripta funt ut velocitates^ Caf. I. Dividatur tempus in particulas squales ; & fi ipfis parti- cnlarum initiis agat vis reriftentix impulfo unico^ qus fit ut velo- citas: erit decrementum velocitatis fingulis temporis particulis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis fuis proportio- sales, & propterea (per Lem. i.Lib. ii.)continue proportionale& Froinde n ex '«equali particularum numero componantur tempora quslibet squalia, erunt velocitates ipfis temporum initiis^ ut ter- mini in pro^reilione continua , qui per faltum capiuntur , omifTo fKiflim «quali terminorum intermediQrum numerp. Componuntur autem horum terminorum rationes ex aequalibus rationibus termi* poruoL intermediorum ^qualicer repetitisj& propterea funt squa^ les. Igitur velocjtates > nis terminis proportionales , funt in pro« l^efilone Geometrica. Minuantur jam xquales ills temporom par- ticulas s & augeatur earum numerus in infinitum > eo ut refifleo- tia^ impulfus reddatur continuus ; & velocitates in principiis squa* liom temporum , femper continue proportionales , erunt in hoc etiam cafu continue proporcionales. ^E.T). Caf.r. Et divifim velocitatumdifierentia^s hoc eft,earum p^rlt% fingulis temporibus amifik, funt ut tots: Spatia autem fingulis temporibus defcripta funt ut velocitatum partes amifiTae.^^perProp» I. Lib. 11.^ & propterea etiam ut tot«. ^ E. ©. Corot. Hinc 11 Afymptotis reftangulis AT^C^ C /f defcribatur Hyperbola B G , fintque JlB, ©G ad Afymptoton -^C perpendi- culares y & exponatur tum corporis velocitas tum refifientia Me- dii» ipfo motus initiO) per lineamquan^- vis datam AC , elapfo autem tempore ali- qua per Hneam indefinitam !Z> C : exponi poteft tempus per aream A BG7>f & fpa- lium eo tempore defcriptum per Ihieam jf^. Nam fi area illa per motum punAi 2) augeatur unifornuter ad modoni teffipo^ fis PRINCIPIA MATHEMATICA. iij ris> decKfcet reAa 2)C in ratione Geometrica ad modum veloci- Liicx utis, & partes r.dz ^ C xquaUbos temporibDsdefcriptsdeccqr-^*''"""'^ cent in eadem rationc. PROPOSITio m. PROBLEMA I. Corporii , eai Jum iu Medio fimilari reBa afie»Jit veldefieti- dit , refifiitur in ratiotu veUcitatis , quodqite ab umjormi iraoitate urgetur, definire mttum. Corpore afcendcnte , expo- natur gravitas per datum quod- vis reaangulum £C, & refi- ftentia Medii initioafcenfusper tcAangulum £!Dfumptumad contrarias partes. Afymptotis j, reftangulis .<*C.C/?,per punc- J^_L^^^' tnm B defcribatur Hyperbola •'T ?^ fecans perpendicula 2)£, ^f in L L 1 1 ' G,gi Si corpus afcendendo , ° ^ A »B ^ tempore "DGgJ, defcribet fpatium EGge , tempore "DGBA fpatium afcenfus toiius EGB; tempere i^BiGxD fpaiium de- fcenfos B Fi G, atque tempore xBx GigiJ fpatium defcenfus zGFzfig: & vclbciiatescorporis (renHentix Medii proportioo«- les) in horum lemporum periodis erunt uiBET), ABett, nul!a, jlBFi.Ti, ABieztt remeAive s atque maxima velocilas , quam corpus defcendendo potelt acquirere, etit £C. Refolvaiur enim reftan- - gulum y^H in reAanguta mnumeri Ai, Kt, Lm,Mn , &c. qux fmt utincremenia velocitatum cqualibus lot- idem lemporibus faAa ; & ernnt taH\, jit,Jl,Am,j1ii, &c. nt velocitates totx, at- que adeo ( per Hypothefin > nt refiftentiz Medii princi- pio iingulorum temporum xqnalium. Fiat AC ad AK vel ABHdi ABkK, nt vis gr»-.. Tituis ad lefiflentiam in principio ^pmporis ftcundi , deque vi gravi. Od i (atis M4 PHILOSOPHI^ NATURALIS (Smo"J«*»''« ftMacantur refiftentte . & tnanebnnt ABHC, KkHC, LIIIC, NtiHC, &c. ut vires abfoluta qoibus corpus ia principio fingulo- rum temporum urgetur, atque adeo (per motus Legeffixi ) nt in- crementa velocitatum., id eit, ut re^angula At, Kl,Lm,Mn, &c; & propterea ( per Lem. I . Lib. n. ) in progreflione (reometrica. Qua- re firefts Kk,Ll,Mm,Nn, &c. produftffi occurrant Hyperbolc in ^,r,s,t,Scc. erunt ares ABqK, KqrL,LrtM, MitN,&c «quales , adeoque tom temporibus tum viribus gravitatis lcmper «qualibus analog». Eft auteai tre» ji£fK(petCatoi. j. Lem.vii & Lem.viii. Libi.^ad areamfiif ut Ay ad ^ kf feu ^Cad i-^K, hpc cIIa ut vis gravitatis ad refillentiam ia medio temporis primi. ^t iimUi argumento arese gKLr.rLMi, sM,Vt,Sic. - i^ntaditeas fitr,rims, sm»t,Scc. ut vires gravi- t:)tis ad refiltentias in rae- dio temporis fecundi , ter- tii, quarti, &c. Proinde cpm are«e squales BAKq, aKLr, rLMs.sMNt, &c. fint viribus gravitalts analogs , erunt area Biq, filr, rlms,smxt,Sic. refifientiis in mediis fingulorum tempo- rnm, hoc eft (per Hypothefin) velocitatibus , atque adeo defcriptis fpatiis analogs. Sumanturanalogarum fummce,&erunt arese Bkq, Blr,Bms,Bnt, &c. fpatiis totis defcriptis analogs; necnon areae jtBqK, ABrL, ABsM, ABtN,Scc. temporibus. Corpus igitur inter defcendendUm , tempore quovis ABr L, defcribit ipa- tium ^/r, & tempore i.r;A^ fpatium r/»;. ^£.2). Et fimi- lis efl demonftratio motus expofiti in afcenfu. ^ E. 7). Corot. I. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo poteft acquirere , eft ad velocitatem dato quovis tempore acquifitam , ut vis data gravitatis qua perpetuo urgetur , ad vim refiftentix (^ua in fine temporis illius impeditur. Cortl. X. Tempore autem aufto in progreflione Arithmetica, fam- ffla velocifatis ilhus maximz ac velocitatis in afcenfu ( atque etiam earundem difierentia in defcenfu 3 decrelbit ia progreiHoBC Geo- inetrica. CoroLx. Sed & difierentia fpatiorum > qus in zqualibus' tempo- nim diflerenriis defcribuntur , decrefcant ia eadem piogrelEane Geoffletrica- Cortl. PRINGIPIA MATHEMATICA. *Hci,"^?L T OECUmDUS» CoroL 4. Spathim vero a corpore defcriptum difFerentia eft duo-. '^ nrm (patiOTvm , qubriim alterum eft ut tempus fumptum ab init jo defcenfus , & alterum ut^ yelocitas , (^aae etiam ipfo defcenfus initia sqaantor inter fe. PROPOSITIO IV. PROBLEMA 11. Pojitp quod vis gravttath in Medio aliquo firmlart unifor^^ tmijit , ac tendat perpendiculariter ad planum fforizon^ tis; definire motum ProjeBilis ineodem, rejtfietaiam ve» kcitati proportionalem patientis* E loco quovis 2> egrediatur Proje^ile fecundum lineam: quamvis reftam 2)?, & per lon^ gitudinem 2) P ezponatur ejuf- dem velocitas fub initio motus. A punAo T ad lineam HorizoU' t^em jD C demittatur perpendi- colum 2*C.& fecetur TfCmyf ut fit ®^ad AC ut refiftenti» Medii , ex motu in altitudinem* fub initio orta , ad vim gravita- tis; vel ( quod perinde eft)ut fit rcaangulum fub 'DJ & *DiP ad reaangulum fub ^C& CT" ut refiftentia tota fnb initio mo- tus ad vim gravitatis. Afympto- tis 2) C, C y , defcribatur Hy- perbola quavis GT^^i" fecans^ perpendicula T^G, /iBinGSs Bi& complcatur parallelogram- munQ 'DGKCr cujus latus GK fecet ^B in gj Capiatur linea E N in ratione ad ^ ouatDC fit -^ ad CT i & ad reft» *D C punc- tum quodvis R erefto perpeih diculo R T , quod Hyperbol» in r, & reais£i/, GK, 2>P inlftSc roccnrrats in eo cape Tr aqualem ^,vcl quod per^ ind^ %i6 PHILOSOPHI/E NATURALIS GTIE Db Motv V* * * *-. Coftro&ttM jnde eft , oipe R r squftlem — 1|— ; & Proje^Ie tempore l^RtG perveniet ad pundum r, defcribens curvam lineam *Dr4tFt quam punAum r femper tangit , perveniens autem ad mazimam altitudi- nem tf in perpendiculo A Bi & poftea femper appropinquans td Afymptoton 'PLC. Eftque velocitas ejus inpundo quovisrutCur- ▼« Tangens r L. ^ E. I. ■ ££l enim N ad ^ ut ^Cad CP fen 2>i? ad i?f^, adeoqae RV «qualis ^^^^^ ,& Jgrcideftje^--;^rfeu^j^^^^^) cqaalis «g . Ezponatur jam tempus pcr mream RDGT, & ( per Legum Co- rol X,) dillinguatur motus cor- poris in duos , unum afcenfus, alterum ad latus. £t cum reft- ftentia fit ut mdtus . diftingue- tur etiamliscin partes duaspar- tibus motus proportionales Sc contrarias: ideoque longitudo, a motu ad latus defcripta , erit Cper Prop. ii.hujus) ut linea zDR, akitudo vero ( per Prop. zii. hujuO ut area 1)Ry,AB — /?©G Tjhoc eft, ut Jinea Rr, Ipfo autem motus initio area R7)GT sequalis eft reAangulo ^Ry, ^^,ideoque linea iila Rr (fcu ^-^X^-g-^i^X^^j tunc eft ad *DR ut AB—A^ feu ^adN. id eft, ut CP ad SD^ ; atque adeo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem fub initio. Cum igitur Rr femper fit utaltitudo, ac 2>j^ femper ut longitudo , at- qne Rr z^ DR fub initio ut altitudo ad longitudinem : necefte eft ut J?rfemper fit ad 2)i? ot altitudo ad longttudinem , & propterea ut corpus moveatur in linea 2)^«/*, quam pun^iam r perpetuo tangit. ^ £. 2>. Cer»i. PRraCIPlA MATHEMATICA. »17 Corol. I. Eft igitur i?r fflquahs - — ^ ^j^ — . i^^O" Secumdus. qw fi producatur RT zd X vit Ht R X «qualis jj , ( id eft^ ficompleatur parallelogrammum ^Cyr.jungatur ©rfecawCP in Z . & producatur R rdonec occurrat ^DTin X; ) entXr ae- quaUs "y?.^ , & propterea tempori |>roportionalis. Cw^ol. 2. Unde fi capiantur innurnerae CR vel , quod perinde eft, innamera ZX, in progreffione Geometrica ; erunt totidem Xr m progreffione Arithmedca. Et hinc Curva 2) r « /^ per tabuUm Lo- fiariihmorum facile delineatur. ^^, - jxi-«rT* Corol. 1. Si vertice SD , diametro !Z) ^ dgorfum produaa , & La- t«re refto quod fit ad 2 *D P ut refiftentia tota , ipfo motus^ initio , ad vim «ravitatis , Parabola conftruatur : velocitas quacum corpus exire debet de loco 2) fecundum reftam © T . ut m Medio uni- formi refiftente defcribat Curvam ^raF , ea ipfa ent quacum exire debet de eodem loco © , fecundum eandem reftam n /'• ut in fpatio non refiftente defcribat Parabolam. Nam Latus rcc- tnm Parabolae hujus , ipfo motus ifiitio , eft — ^ — & A^ r eii l^r feu ^:?^^. Refta autem quae , fi duceretur , Hyper- bdam CrJfangeret in G, parallela eft ipfi^iir, ideoque ,: neft^^.^g^&Nerat^^^g- Et propterea Vr eft 2)i?jrXCi^^Cy^ jj ^^^ ^Qb proportionales T^R^^DC.^DV^ S.DT^?^^^n^^ & Latus reaum ^^ prodit v^Tqy^B .^ ^^ ^ ^^ propbrtionales ^B&CK^^DA&i AC) i^DTqyTtA, ^ j^d ^P ;td latus illud re^um , ut eft vis gravitatis ad vim refHlentis , da- tva^DT. Dein fecando*DCin ^,utfit Cyx^Cad^PX^Dyf in eadcm illa ratione gravitatis ad refiftentiam , dabitur punc* tum J. Et inde datur Curva T>raF. Corol. 5*. Et contra , fi datur Curva ® r^F, dabitur & velo- citas corporis & renftentia Me« dii in locis fingulis r. Nam tx data ratione CTX.AC9d *DTX 2> ji , datur tum refiftentia Me- dii fub initio motus , tum latus re^um Parabols : & inde datur etiam veiocitas fub initio mo- tus. Deinde ez loneitudine tan- gentis r L , datur & nuic propor- tionalis velocitas , & velocitati proportionalis refiflentia in loco quovis r. Corol. 6. Cum autem longitu» do X © y fit ad latus reAum Pa- rabolae ut gravitas ad refiftentiam in ©; & ez au(R!a vetocttate augeatur refiftentia in eadem ratione , at latus redum Parabols augeatur in ratione illa duplicata : patet longitudinem x © ? aa- geri in ratione illa fimplici , adeoque velocitati femper proportio* nalem efTe , neque ex angulo CD ^P mutato augeri vel mtnui ,oifi mutetur quoque velocitas. Corol. 7. Unde liquet methodus determinandi Curvain ©r a F ez Phxnomenis quamproxime , & inde colligendi refiflentiam & velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo fimilia & aequalia eadem cum velocitate , de loco "D , fecundum angulos diverfos CDT^ c Dp Q minufcularum literarum locis fub< intelle^lis ) & cognofcantur loca F,f , ubi incidunt in horizontale planum D C. Tum , afitimpta quacunque longitudine pro DT vel 7)f , fingatur quod refiHentia in 2> fit ad gravitatem in ra* tiooe PRINCIPIA MATHEMATICA. aij tione qnalibet , & exponatur ratio illa per longitudinem quamvis L'"» SM. Deinde per compucatiotfem , ex longitudine illa affumpta ^^^^"^*^ 2) Ty inveniamur longitudines 7) FjT>f^ ac de ratione-^^^per calculum inventa , . auferatur ratio eadem per experimentum inventa » & exponatur diSerentia per perpendiculum MN. Idem fac iterum ac tertio , affumendo femper novam refiflentise ad gravitatem rationem SM, &- coUigendo novam dii&rentiam M M. Ducantur autem differentias affirmativsc ad unam partem • reft« SMy & negativae ad akeram; & per pun6^a xY, iST, iNT agatur curva regularis NNN fecans reftam SMMMln Xy & erit S X vera ratio refiftentiaB ad gravitatem , quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda efl longitudo UF p6r calculum ; &Iongi- todo qusc fit ad affumptam longitudinem ® SP, ut longitudo 2) F per expcfimentum cognita ad longitudinem jDF modo inv6ntam> erit vera longitudo 7) T. Qua inventa , faabetur tum Curva linea ^r^jpquam corpus defcribitf tum corporis velocitas &reriftentia in locis iingulis. Scboiium. Cxterum refiftentiam corporum effe in ratione velocitatis , Hy* pNOthefis eft magis Mathematica quam Naturalis. Obtinet hzc ra- tio quamproxime ubi corpora in Mediis rigore aliquo prsditis tarditfime moventur. In Mediis autem qus rigore omni vacant refiilentias corporum funt in duplicata ratione velocitatum. Ete* nim adione corporis velocioris communicatur eidem Medii quan- titati 9 tempore minore > motus major in ratione n^joris yeloci- tatis ; adeoque tempore zquali ( ob majorem Medii quantitatem perturbatam ) communicatur motus in duplicata ratione major; eftque refiftentia ('per motus Legem ii & iii.) ut nlotus com« municatus. Videamus igitur quaies oriantur motus ex hac lege ReMenti». Ee X SECTIO *10 PHILOSOPHIiE NATURALIS De MoTa CoAFOKUIi S E C T I O IL D€ tnotu Corforum quibus refifiitur in duflicata ratione Vclocitatum^ PROPOSIxrO V. THEOR Ilt S* Corport refifirtur in velocitatis ratione dttplieata , ^ ieiem fola vi infita per Medtitm fimilare nKrvetur ; temfora ve^ ro fumantur in progrefiione Geometrica a minorihus ter^ minis ad majores pergente \ dico quod vehcitates initio fin" . guiorum temporumjunt in eadem progrejfione Geometrsea inverfe , ^ quodfpatia funt aqualia quafingulis tempo^ ribus dejcrihuntur » ' Nam quoniam quadrato velocita- tis proportionalis efl refiftentia- Me- dii , & refiftentiae proportionale eft decrementum velocitatis ; (i tempus in particulas innumeras aequales di- vidatur, quadrata velocitatum iin- gulis temporum initiis eriuic velo- citatum earundem differentiis pro- portionalia. Sunto temporis particu* te ills AK.KL, LMScc. in rcfta C^ fumptae , & erigantur perpen- dicula AB^KkyLl, Mm, &c. Hy- perbolae ^i/»»G,centro CAfymptotis rcftangulis CZ),OT defcrip- t«,.occurentia in JBAt»m^&c. & erit A£ ad Kk m CKad Cjf,& divifim AB- Kk ad Kk ut AK ad CA, & vicifljm AB — K k ftd AK ut Kk ad CA, adeoquc ut ABxKk ad ABkCA. Undc cum ^A:& ^fixC./^dentur,erit AB^Kk ut ABxKki & }ilt\mo\ ubi coeunt AB & Kk ut AB^. Et fimili argumento erunt Kk-JL/, U-Mm,&c. u\.Kkq,Ltq,&c, Linearum igitur AB^Kk.LlyMm qua« KtMT PRINCIPIA MATHEMATTCA^ »« qaadrata fuitt ut eaFundem dijQTerentis;. &/ idcirca cum ^aadrata s^^^Sdu^^ ▼eiocicatum fuerint etiam ut ipfarum dififerentis , fimilis erit am- barum progreiliOi Quo demonilraco , confequens eft etiam ut areas his lineis defcriptae fint in progreflione confimili cum fpatiis qus velocitatibus defcribuntur. Ergo fi velocitas initio primi temporis AK ekponatur per lineam A By Si velocitas initio fe- cundi KL per lineam Kk^ & longitudo primo tempore defcripta per aream jfKkB i velocitates omnes fubfequentes exponentur per lineas fubfequentesZAwA/^>&c. & longitudines defcript£e per zrezs KlfLmy&c. £t compofite, fi tempus totum exponatur per fummam partium fuarum jfM, longitudo tota defcripra expone- tur per ftimmam partium fbarum AMm B. Concipe jam tempus -^ilf ita dividi in partes AKy KL^ LM^ &c. ut fint CA^ GK^^ CLf CM^ &c, in progreflione Geometrica; & erunt partes illae m eadem progreffione , & vdocitates t^ByKk, Ll^ Mm^ &c. in progrefnone eadem inverfa , atque fpatia defcripta Ak^ KP^ Lm^ «c. «qualia. ^E.T). Carol. I. Patet ergo quod, fi tempus exponatur per Afymptoti partem quamvis ^x), & velocitas in principio temporis per ordi^ natim applicatam >/^ i velocitas in fine temporis exponetur per or- dinatani 7)G ^ &, fpatium totum defcriptum per aream vHy perboli^ cam adjacentem ABGT) ; necnon fpatium quod corpt^^aliquod codem tempere A7>y velociiate prima A By in Medio ndn refi» flente defcribere pofTet, per reftangulum AB^XATJ. Corol. X. Unde datur fpatium in Medio refiflente defcriptum ^ capiendo illud ad fpatium quod velocitate uniformi AB in medio^ non refiflente fimul defcribi pofTet , ut efl area Hyperbolica. JBG^Dzd reaangulum AB X AT). Corol 3. Datur etiam refiflentia^Medii , flatuendo eam ipfo mo* tus initio squalem efiTe vi uniformi centripets , quae in cadente corpore, tempore AC^ in Medio non refiflente, generare pofTet velocitatem AB. Nam fi ducatur B Tqupt tangat Hyperbolam in B, & occurrat Afymptoto in 7; refta Jf 7* aequalis erit ipfi AG^ & tempus exponet quo refiflentia prima uniformiter continuata tol- lere poflet velocitatem totam AB. Corol. 4. Et inde datur etiam proportio bu)us refiilenti» ad vim gravitatis aliamve quamvis datam vim qentripetam. Corol. f. Ct viceverfa , fi datur proportio refiflentiai addatam quamvis vim centripetam , datur tempus AC j quo vis centripeta refiflemias aeq^alis generare poffit velocitatemquamvis^J^: & in* Ee 3 ' de ilf PHILOSOPHIiE NATURALIS: Vt MoTo de datur pun^lam B per quod Hyperbola, Afymptotis Cff, C7), CoAPOROM defcribi debet j ut & fpatium yi B G *D , quod corpus incipiendo ihotum fuum cum velocitate illa AB , tempore quovis jI^, ia Medio fimilari refiftente defcribere poteft. PROPOSITIO VI THEOREMA VI. Cerpora Spharica homogenea & aqualia , refifienUts m d&v- plicata ratione velocitatuin impedita , ^ folis vtrihm sn* fitis incitata , temporibus qua funt reciproce ut veUcitch tesfub initio , defcribunt Jemper aqualia fpatia , ^ ^ mittunt partes velocitatum proportiouales totts^ Afympiotis redanguiis C2), CH defcripta Hyperbola qua- vis Bb Ee fccante perpendicu- la AB^aby^DE^de, 'mB,b,E, ^t exponantur velocitates initia- ]es per perpendicula AByl^E, & tempora per lineas Aa, 1>d. Eil ergo Mt Aaz^ ID^ia (per Hypothefin ) "DEzdAB, & ita ( ex natura Hyperbolc } CA ad C'D ; & componendo , ita Ca ad C debebit L^ber refiftentia & tempus conjundim efle ut motus. Proinde tempu* ^^^**^^*^ erit ttt niotas dire^e & refiflentia inverfe. Quare temporum particulis in ea ratione fumptis, corpora amittent femper particu* las motuum proportionales totis , adeoque retinebunt velocitates in ratione prima. £t ob datam velocitatum rationem 3 defcribent femper fpatia qux funt ut velocitates prims & tempora conjundiuK Corol. I. Igitur fi sequivelocibus corporibus refiffitur in duplicat* Mione diametrorum : Globi homogenei quibulcunque cum ve« locitatibas moti , defcribendo fpatia diametris fuis proportionalia. amittent partes motuum proportionales totis. Motus enim Globi cujuft^ue erit ut ejus velocitas & Mafla conjundim> id eft> uc velocitas & cubus diametri ; refiftentia ( per Hypothefin ) erit ut quadratum diametri & quadratum velocitatisconjundim;&tempus ( per banc Propofitionem ) eft in ratione priore direc^e & ratione pofteriore inverfe» id eft, ut diameter direAe & velocitas inverfe^ adeoque fpatium ( tempori & velocitati proportionale ) eft ut diameter. Carol. X. Sr «quivelocibus corporibus refiftitur in ratione fefqur^ altera diametrorum : Globi homogenei quibufcunque cum veloci- tatibus moti) defcribendo fpatia in fefquialtera ratione diametro* rum 9 amittent partes motuum proportionales totis. Corol. i. Et univerfoliter , fi aquivelocibus corporibus refiftitur in ratione dignitatis cujufcunque diametrorum:fpatia qiiibus Globi homogenei , quibufcunque cum velocitatibus moti^amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad digni- tatem illaro applicati. Sunto diametri D & E: & fi refiftentiaB,ubi velocitates xqu^Ies ponuntur , fint ut D" & E" : fpatia quibus Globi , quibufcunque cum velocitatibus moti , amittent partes motuum proportionales totis; erunt ut D^-^* & E*— . Igitur defcribendo fpatia ipfis D'"^' & E^— proportionalia r retinebunt velocitates in« eadem ratione ad invicem ac fub initio* Corol 4. Quod fi Globi nop fint homogenei , fpatium a Globo denfiore defcriptum augeri debet in ratione denfitatis, Motus enim , fub pari velocitate , major eft in ratione denfitatis > & tempQsCper hanc propofitionem } augetur in ratione motus direfte, ac fpatium defcriptum in ratione temporis. Ccrol^' 114 PHILOSOPHliE NATURALIS Ok Motu Co^ol, 5. Et fi Globi mov€atitur in Mediis diverfis ; fpatimnla >Coa?oiiUM Medio , quod csceris paribus magis rdiftit , diminuendum erit ia ratione majoris renftentiag. Tempus tenim ( per tianc Propo(itio« nem) diminuetur in ratione refiftentis auds, & ^patiom in xatio- fie temporis. L E M M A n. Momentum Genita aquatar Momentis laferum /ingulorum generantium in eorundem laterum indicei diguitatum & 4:oefficientia contintte duBiu Genitam voco quantitatem omtiem qus ex lateribus vel terRii- nis quibufcunque , in Arithmetica per muItiplicatioDem , divifionemt & extra6lionem radicum ; in Geometria per inventionem vel con- «entorum & laterum , vel extremarum & mediarum proportiont- fium , abfque additione & fubdudione generatur. Ejufmodi aoan- titates funt Fa^li 3 Quoti, Radices, Redangula»Quadrat4 9 Cabit Latera quadrata ^ Latera cubica > & fimiles. Has quantitates ut in- determinatas & ixiilabiles^& quaii motu fluxuve perpetuo crefcen* tes vel decrefcentes, hic confidero; & earum incrementa veldecre- menta momentanea fub nomine Momentorum intelligo : ita ut in- crementa pro momentis addititiis feu afiirmativis , ac decrementa prp fubduiR:itiis feu negativis habeantun Cave tamen intellexeris particulas finitas. Particulds finitdB non funt momenta, fedquanti* tates ipfse ex momentis genitz. Intelligenda funt principia )amjam nafcentia finitarum magnitudinum. Neque enim fpe6latur in hoc Lemmate magnitudo momentorum , fed prima nafcentium propor- tio- Eodem recidit fi loco momentorum ufurpentur vel velocita- tes incrementorum ac decrementorum^(quas etiam motus^ muta- tiones & fluxiones quantitatum nominare licet ) vel finita? quxvis quamitates velocitatibus bifce proportionales. Lateris autem cu)uf* que generantis CoefSciens efl quantius , qux oritur appHcando Ge* nitam ad hoc lacus* Igitur fenfus Lemmatis eft ^ ut , H quantitattmi quammciinqoe perpetuo motu crefcentium vel decrefcentium A , B , C, &c. mo- mentajvel mutationum velocitates dicantur a.A^c^&c. momcntum Vjel mutatio geniti re^^anguli AB fuerit ^B-^^ A, & geniti coo- centi ABCmomentumfuerit 4iBC-«-^AC-f-rAB: &genitarum digni- I FaiNCIPli^ MATH^MATICA. %i^ L X J • _«t .« — i. LlBEft ^goitatam A*, A*, A<*j A', AS A' t AS A , A » & A 'momenta SeciM}0«; a4A.34A*,4B^C* momen* tsm 3 4 A*B*C-H4 M»B»C' ^. i r A« B*Ct ^ Genit» ^' fi«« A^B"-* momentum j'4 A*Br^'— 2^A»B-^ : & fic in caeteHs. Dt- moBftiatmr vero Lemma in hnnc modfiHK. Ca/i. ReSangulum quodvis motu perpetuo au(5lum A B , ubi de lateribus A & B deerant momeatorum dimidia .} 4 ^ -J i, fuit A— f4inB-i*, feuAB— ^4B— ii^A-*-^4^; &qnampri. mum latera A & B alteris momentorum iTimidiis au. Caf.%. Pooaotur latera A,B, C fibi mutoo femper aBqualia; & ipfius A*, id eft reftaoguli AB, momeotum 4B-4-^Aerit^4A,ip- fms autem A « , id eft contenti A B C , momentum 4 B C -+- ^ A C -♦-fAB crit34A*. Et eodem ar|;nmento momentum dignitatis cujufcunque A' eft « 4 A— ^». g. £; 2>. Caf 4. Unde com ~ in A fit i , momentum ipfkis -j^ dadttoi in A, una cum --r- dufU> in 4 erit momentum ipfius i , id eft, ni- iiii. Proinde mpmencum ipfios -^feu ipfius A~' ^^tt- E^ V^ neralrer cum -r-in A" fit i > momentum ipfius ^ dudom in A* A" •** Ff nna U6 PHILOSOPHIiE NATORALIS Cowoiii^ ana cam -^ in »4 A*~* erlt nihiL Et propterea momentom ip» fios-jjl-feuA— erit-^,. ^E.D. A' » Ctf/D f. £t cnm A' in A' ilt A, momentam ipfios A' dadnm ia % A * erit a, per Csis. 3 : ideoque momentum ipuus A'* erit -77- ^ I m fire f <> A *. Et geoeraHter fi ponator ATaeqoafe B , eric A" ss» quale B", ideoque «r<»A"~* aequale »AB"~" » & «r < A-» «qoal^ s ^B~' feu H^A *" " , adeoque— « A .» cquale ^» ideft,. cqoale momento ipfius At- ^ £. !Z>. ' Cf/T 6. Igitur Genits cojufcnnqoe A** B* momentom efl mo>^ mefitum ipuus A" dudum in B* , nna cum momento ipfius B* do- fto in A", id eft «^rA"-'^' -*-n h B"~* A"; idque nve dignita* tum indices m & « iint inte|ri nomeri ▼et fra^ , iiTe affinnati?i Vef negativi. £t par eft ratio contenri fuh plnribus (Ugnitatibus. ' Corol. I. Hinc in continue proportionalibus , fi rerminos onos datuF, momenta terminorura reliquorom erunt ot iidem termiu multiplicatt per nomeram intervaUorum ioteir ipfo» & terminum datum. Sunto A,^B,C>D,E,F, continne proportionales ; & fi detur terminus C ,. momenta reliquorum terminorum erunt inter fcut — xA, -B,D,.xE,3F. ■ CoroL %. Et fi in quatuor proportionallbus duse medis dentur » imomenta extremarum erunt ut esdem extrems. Idem intelligen- dum efl de lateribus reftangpli cujoTcunqtte datL Corol. 3. £t n fumma vel difierentia duorum quadratorum de- tor } momenca faterum ernnt reciproce ot latera*. Scbolhtm^ In Iiteri« qus mihi eum Geometra peritiflimo G. G. Leihittio an- lirs abhinc decem intercediebant ,. cnm figniflcarem me compotem efTe methodi determinandi Maximas & Minimas , ducendi Tangen- tes , & fimitia peragendi , ^us in terminis fiirdis sque ac in ratio* fialibusprocederet, & literis traofpQfitis hanc fententiam involven- ttbos PRINCIPIA MATHEMATIGA.' . •if tibas l^Data t/£qtiafioMe fuotcimque. Eueutes quantitates iuvolveU''l*tww, te, FUixioues iuveuire , &viceverja2 candem celatem : refccipfit***'"'*^ Vir Clariffimas fe qnoque in ejofmodi methodum incidifle ^ & me- thodum (iiam communicavit a mea vix abludeatem prsterquam ia ▼erbornm & notarum formuUs > & Idea generationis quantitatuini. Utriufque fundamentam continetur in hoc Lemmate. PROPOSITIO Vffl. THEOREMA VI. Si corput inMedto uttiformi, Gravttate umformiter agente, re&a afcendat vel defcendat , Sf fpatium totum dQcrip-^ tum diftinguatur in partes aquales, inque principiisftH' . gularum partium ( addendo refiflentiam Medii ad vim gravitatis , quando corpus a/cendit , vel fubducendo ipfam quando corpus defcemiit) coUigantur vires abfoluta-^ dtco quod vires iUa abfolut£ fmt in^ progrejfione Geme" frica, Ezponatur enim vis gravitatis per datam lineam Jl C ; refifteii- tia per lineam indefinitam A K \ vis abfoluta in defcenfu corporis per dififerentiam KC\ velocitas corporis per lineam JT Tqua fit media proportionalis inter J K & JC, ideoque in fubduplicata ratione reuftentiae ; ) incrementum refiftentiae data temporis parti- cula faftum per lineolam K L, Sc contemporaneum velocitatis in- crementum per lineolam tP ^; & centro C Afymptotis reftangulis C^,C/f defcribaturHyperboIa quaevis 5 iST J", ereftis perpendicuhs jiByKN,LO,TR,^S occurrens in B, N,0,R,S. Quoniam u^K eft ut jiT q , erit hujus momentum K L \xx. illius momen- tum lAT^i id eft,ut JT in KC. Nam velocitatis incrementum. tP Q, (per motus Leg. ii. ) proportionale eft vi generanti KC. Componaiur ratio ipfius KL, cum ratione ipfius KN, & fiet rec- tangulum K LXK N ut jfTXKCXKN,hoceii, oh datum ric- tangulum KCxKN, ut t^T. Atqui aresc Hyperbolicx KNOL ad reftangulum KLxKNntlo uliima, ubi coeunt punfta KSi L, efl «qualitaiis. Ergo arca illa Hyperbolica evanefcens eft ut ji^F, Componitur igitur area tota Hyperbolica ABO L ex parliculis KNO L velocitati A^P femper proportionalibus , & propterca foatio velocitate ifta dcfcripto proportionalis eft. Dividatur jain area iUa in partes «quales ABMI, IMNKy KNOL,&c:&vi' '^ F f 2 rcs iif PH!L08Ol?HlA ITATOKALIS ^gJl^itS «ibfofutft ^C, /C, KC, LC^ ftc. craat mpmae&ttae Geo- flietticil. i^ £. ^. Et fitBili «rgameiito^ ia «feeaia omporis, fo* tttendo, tA contittmm potem pao6H uf^ mqpuAes «reas ABmi^ iwni^in^i^ &c. oonftabit qvod vires abfohite itfC, r C, kCt i€, &c. fenc «QHtiiitie proiraertioiiiles. Idoeqiie £ ^nda omiia sa dce». fu & defcenfa «capiMtur ftquaUftt omm Tins afa£>hitr lCtiC,iC^ ACt ICiKCjLC» &c. erunt continue proportionales. ^ £. 2X ww. 1 . Hinc « iptftiMn ^crrptun! exponatiir par «ceam Hy- fterboSioim A£NK\ estponi -pc^uflt vis gravitati«', vdocicas -ccv. POris<& refi^ftenti» Medii rp«r itiMas tdC » ^? & JX cefpeaive^ «•ticcvetft. ^^ '<^r»/. X. £t viejocitatis maattina, qoam coepus .in iaJSmtnm ^le^ oeodeikdo p<«eft unquam acquirere, eKpoaens eft line* AC , Cot^l. i. Igitur lG in data aliqua velodiate •cqgBofcator refiften> U t AMdli,j lifiireDktttr velocitas inaxBiM., toeado jpfam ad veloci- tatem PRINCIPU MATHEMATICA. *i9 , • t L I Jf F V utK ^ Medii re^ilcotinii ^lain /etT/> A 2) defcribatur tutn Circnli quadrans AtE, tum Hyperjbola re^langula AV Z axon habens A Xy verticem piii^fiipdem A & Af^ptotpn 2> C. Jungantur j^d^2JiiP , ^critreftor ^vcc\Aim%Atiy ut teinpus afcenfus omnis futuri^ j&feStor Hypef]3c^;cus AT^mi t^pus defcenftrs omdiis pi aterlji. ^ flapdp ^eSioru» Ttmgeittcs ^/> ^^ fint ut velocitvti^. Caf I. Agator ejtnm 'D v ^ aWcindeiis feftoris Ali t & trian<- guli A T)if momenti , feu par|;icu]as qjaam minimas fimul defcrip- tas / 1Z> V & f'Oq.\ Cum pa^iculs iuiae , ob angulum commu* nem ^>, funt in dupKbata ratione lac^rum., erit parcicula t'!) v ut -f^^ j' Sed p 7) qtfaJ.\ eft AV^ad. ^Ap quad. ideft, At) quad. •^ADX.Ak foj AV XC4 ^ & ^©/ eft i A^DY.pf, Ergo feftoris parficula t1>.v cft ^ rf"> i^eft, ut velocicatis de- ctiementum quam mlnimum fiq direde & vis illa Ct qus velo- citatem diminirit inverfe , atque adeo ut particula temporis de* ^eineiiti»^ .rdpdfi ffit fufntoa tpfurtlc^iervQ» omnium ti) v m is^ve t^SD t ,, ju ftvmma parjticularuni teot' fM>ris -fingrits *ve1ocijtaivs decrefceiitts Af particttKs amilffis f f re^ondentium , uiique dunr velocitas illd in nihilum diminuta eva;> tmtfrit; lioe^eft , 4c^or>&svu6 A^ r^eft ^ot aitceiiSuc lotiw fittnl Ffs: CaJC tjo PHILOSOPHIjE natoralis Di MoTo Cdf. ». Agitnr © gf abfcindens tum feftoris 2) ^ V, tnm trian. CoiiFo«uiiguii2)^®particnlasquam minimas TDV U P2>§,s & erunt haparticufe «d invicem ut "DTq. ad 2)2»?. id eft (fi TX & ^y parallela fmt) ut BXy. ad 2)^?. vel T JT». ad ^y j. & divifim ut 'DX q—TXa ad 'DAq—A'Pq. Sed ex nstnn Hyperbols DXq- T Xq eft .^2)? , & per Hypothefin ATq eU /f T}X.AK. Ergo paniculc futit id invicem nt .i#2)f aa A'Dq—A'Dy.AKi\ie{t, nt .^2) ad JD-AKtta ACiA CK: ideoque feftoris particula T^DyeA §C — -, atqne «deo ob T i) datis AC & A^D, ut ^^, id eft, m incrementum velocitatis di- Tcfte utqne vis generans incrementnm inverfe , itque adeo ut particula temporis incremento refpondens. Etcomponendoiitram- ma particularum t^mporis, quibus omnes velocitatis AT particnls 5P^ PRINCIFIA MA^THEMATICA. 131 !P^ generaDtur , uc fttmma panicularum fedoris AT^^ id efl:> Libebi ^ tempus totum ut feftor totus. Q.E.7>. Secundu*; G^ol. i. Hinc fi y^B aequetur quarts partr ipfius c^C, foatium quod corpus rempore quovis cadendo defcribit , erit ad fpatium quod corpus velocitate maxima ^ C , eodem tempore uniformiter progredienda defcribwe-^potell » ut area ABNK % qua fpatium cadendo defcriptum exponitur , ad aream ATT^ qua tempus ex^* ponitur. Nam cum fit -^C ad -/f y ut AT ad AK^ erk { per CoroL r.Lem^. 11. hujtts)Z.i^ ad P^ut x AK ad t^fP, hoc efl:, ut z ^P ad ^C, & inde L K adT^^ut ^ F ad (^ ^Cvef) ABi eft& ^i\radr^Cvel) ^©w^jB adC/^; itaque ex «quo LKN zA^DT ^ut A^P ^ CK. Sed erat 2)P ^ad ©r^ ut CK ad A C Ergo rurfus c» asquo L KN eft ad ©T^ ut AT ad AC\ hoc eil 3 ue veiocitas corporis cadentis ad veloci«> tatem maximam quam corpus cadendo potefi; acquirere. Cum igitur arearum ABNK & ATT> momenta LKN & ©r^fuflt ut velocitates , erunt arearum illarum partes orones fimul genits ut fpatia fimul defcripia > ideoque areas totae ab initio genitas A B N K & AT^ ut fparia tota ab initio defcenfus deteripr^. Carol. z. Idem- confequicur etiam de fpatio quod in afcenfu de* fcribicur Nimirum quod fpatium illud omne fit ad fpatium> uni« formi cum velocitate ^Ceodem tempore defcriptum ^ ut eft area ABtik ^ k&orcmAD t. Corot. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis eft ad ve- locitatem , quam eodem tempore in fpatio non refiftente acquire* ret , ut triangulurt ^ iP 2) ad feftorem Hyperbolicum ATD. Nam velocitas in Medio non refiftente foret ut tempus ATD^ & m Medio refiftente eft lit AT^ id eft, ut triangulum ATT>. Et vejocitates iliaB initio defcenfus squaniur intei fe , perinde ut area^ iWdsATVyATDv Corol. 4. Eodem argumento vdocitas in afcenfu eft ad velocita*- tem» qua corpius eodem tempore in fpatio non [refiftente omnem fuum afcendendi motum amittere poftet , ut triangulum A f 2) ad fedlorem* Gircularem A^t D \ five uc . refta Af ad arcum' At. Corol. f. Eft igitue tempus quo corpus in Medio reCftente cadeir- do velocitatem -^y acquirit»,ad tertpus quo velocitttem maximam^ AC in fpatio no» refiftente cadendo acquirere poflet , ut feftor ^^^T^ad triaDgulum^2)C: & tempus^ quo velocitatem A/^ w Medic>> IJt NAT^R SuakS^^^^^ refiftente afccndendo potBt tmittere, td tempas dmi i«Io. citttem eandem in fpatio non refiflente afcendendo pmkt amit- tere, nt trcus At ad e)as tti^entem ji/, Cardl. 6. Hinc ex dato tempore datwr fpttium tfcenfa yel de- fcenfo defcriptom. Nam corporis ia infiBitvm defcendentis datnr velocitas maxima , per Corol. 2»&: 3« Hieor. vi,Lib. n; iodeqiie datnr tempns qao corput velocitatem illam in fyttio non refiftentc cadendo po^Tet acquirere. £t fomeado Sedorem ^Z) T vd AT> t fld triangulum A^DC io rttione temporis dtti td teapos modo in- vetitum ; dabitur tum velocitas AT vel Af , timi aret A B RK vel ABnki qo£B eft td fedorem ^^7* vel A*T>t ot ^tiomqcNe- (itom ad foacium quod tempore dato , com velocitace illa ma^tt^M jam ante mvetita , uniformiter defcribi poteft. C tesj & fint ffCj CD, 'DE diftantis Ordinttarum inter ie «qot- les. A punAis G & H ductmnr redae G L, H N corvta taa- gentes inG&H, & Ordinttis CHt7)I fiirfum prodo6ti$ occor- rentes in L & N, & compleatur parallelogrammum HCD M. I i PHINCIPIA MATHEMATICA. zst Ec temporft ^uibus corpas defcribir arcus GH, HI^ erunt &)^i^j|J!^. fiibdiiphciti rationc alutudiiioiii LH, NT quas cormis tempori- 1)&s iltis ddcribere poflet , a tanaentibus cadendo : & velocitates erunt ut longitadines defcriptc G H, HI direde Sc tempora ini- ferfe. Cxponantur tempora per T & / , & velocitates per M- &-rr • & dcciwiicumm velodCftit tempore f faftum ex- GH HI pooetur per -ysr — •y-* Hoc geoerat ye»> locitatem qua duplum iliud fpatium eodem tempofe defcribi po- VBaffet (^ntGaUlieus^moaOinvit) id eft> velodtatem — j- : at ia corpore areum HI defcribente« aoget arcum illum (bla longitur HI — HNfevL — jjj — , ideoque geoerat tantum velod- tatem * >^Jt^r — ' Addatnr hxc velocitas ad decrementum prs- didum> & habebitnr decremratum yelocitatis ex reiiftentia fola . ^ GH HI xMIxNl ^., ormndum > nempe -tk— -♦-—-» — tyii.HI ' ™*o<*^"c cum mvitas eodem tempore in corpore cadente generet velocitatiem ^NI „ .^ . . ^r> :. \G^ HI.iMlHNI -j- jRefiftentw ent ad Gravitatem ut t^ - — y t>kHI ' ad— -— , five ut — »j! — ~ HI-\ — Hl — • Jam pro abfdffis C B , C2) , C E fcribantur ^o,o,x9,, - Pro Ordinata C H fcribatur P , & pro itf / fcribatur feries quxlibet Q0>»- Il00-4-S0*-H&c. Et feriei termiai omnes pbft primum , nempe R0«-i- S«*-4-&c. erunt i\r/,& Ordinate 2>/,£a, SlBQ erunt P-Qtf-R*«— S«»— &c, P— iQtf-^Rtftf-SSc»— &c, &p^Q«— {l0«^.So**-&c. rdbeAive. £t ouadrando di£feren« tias Ordioatarum BG — CH&CH-^T^I, & ad quadraupro- deontia addendo qnadrata ipfarum BC» CD, habebuntur arcuum G^,///qnadrata«©-+-QQ<»<»— *QR«* -*-&cj &«o-^QQo# -*- X O R fl* -^ &c. Quorum radices « ^i-+-QQ.— " ^^ -. & Gg •Vi'^. »34 PHILOSO«P«I^ NATURALIS Co»»iiw o^ i XQ.Q-H "7^^== fant arcns GHSlHL Pr«terea fi ab Ordinata C// fubducatur femifumraa Ordinatarum -BG ac 2)7, & ab Ordinata ®/ fubducatur femifumma Ordinaiarum CH & EKy manebunt arcuum G / &:HK fagitta Koo ^ Koo -4- 3 S«». Ec hae font lineoUs LHikNl proporiionales , adeojue in dupli- cata ratione temporum infinite parvorum T & ^ , °^.i°5*^ "^P t K^zSor K-^iSo o txGH tjr . tMIXNI, |. eftT^!5^^^feu — ^: &__— /^/^ ^^^, iubftitaendo ipforum ^r, G^. HI»MI8i NI valoresjam in- ventos", evadit -^^v^i-+-QQ. Etcum » xY/ fit xR«« , Re- ^entia jam erit ad Gravitatem «t l^^^ '-^^ ad x R . ., id eft , ut 5 S V r^QQjid RR. - rr r Velocitas autem ea eft quacum corpus de loco quovis « , fe- cundum tangentem HN egrediens , in Parabola diametrum HC & latus reaum^^ feu - ^^^ habente , deinceps in vacuo mo- ^^Et*?lfiftentia eft iit Medil denfitas & quadratum velocitatis coniunaim, 8c propterea Medii denfitas eft ut refiftentia direfte * /T =? S V I Q Q & quadratum velocitatis inverfe, id-eft, ut -j^-^ " - O & ii^inverfe , lioc eft, ut ^-^=r^. ^ E. L K^T^qXl Cwol. I. Si tangens //iV* producktu? utrinque donec occurrat Ordinatse cuilibet AFinT: erit -^ aequalis i^ i -^ Q Q , adco- que in fnperioribus pro ^ i^^^iWfcri W poteft. Qua ralione Re- fetia e?itadGravitatemnt3SX//rad4RRX^C. Veloci- tas erit ut -^^ > & Medu denfuas erit ut g^^y. . Corol X. Ethinc, ficurva linea P/'//^definiatur perrela- tiooem inter bafem feu abfciffam ^ C & ordmatim applicatam PRINCIPIA MATHEMATICA. ! «35 * • a • CH^ (ut moris cft ) & valor ordinatim applicatae refolvatur in Te- Libi». riem convergentem: Problema per primos ieriei terminbs expedi*S£cuMsus. te f&Ivctur) ut in exemplis fequentibus;' ' ' Exefu^iii Sit Linea y/*//^ Semicirculus fuper diametroP §• defcriptus .' & requiratur Medii clenfitas qu£ faciat ut Pfojedile iA^ bac lioea moveatur. Bifecetur diameter T^m A, dic A^tACa.CHey^ CDoi &eritT)/f feu v/^f — ><2>f =»» — «» — 2<«c — otf, feu . ee^-i-Ao—oo^ & ramce per methodum noflram extrada > fiet _-• \'ao' lineolam MN qus abfcinditur cooi*. plendo barallelogrammum HC^ M , atque adeo pofitionem tan- gentis mN femper detenninat ; ut in hoc cafn capiendo M N wi HM ut efl — » ad ^, feu 4 ad ^ Terminus tertius qui hic eft defigQabit lineolam INqast jacet inter tangentem & curr vam 9 adeoque detertninat attj^ulnm contadus IHN feu curvatu- ram quam curva linea habet in H. Si lineola illa / N finits eft magnitudinis , defignabitur per terminum tertium una cum fer quentibus io infinitum. At fi lineola illa minuatur in infinitum , . Gg X . t^rroM *3)S: PHILO^OPHIJE NA.TURAL1S re MoTv tennii^i fubfequentes evadent iafimte mioores terdo » ideoqiie CoKPORun g}j^ poflUot. TermtiuK qotftus determinat vwiatioBemcurvatur» , qmntns Tariationem variationjs» & fic deinceps. Unde obiter patet iifos noi^ contemaendus harum Seriernm in SpIutione.Pxoblema- tiim qus peadent a tat^&tibiis & corvatura curvanini. Conferatur. jam feries e — ,. — ^ • — &c,ctimferie P>-Q0— Ra^—SV --&c. &:pectDde pro P, Q,R & S fcribttor ■ ■ ■, . ■» . prodibit Medii denfitas ut -^hoc eft, (ob datam »0 nt ~ , fea jt c -m » id fcft» ut fangenlis loHgttudo iUa ^Tqos^dlenidtametrsm yf/*ipfi T^ normalker iofiftentem termbatar; & re*fiftentia eric ad gravitatem ut ^ 4 ad i «, id eft .' ut j AC ad Circuli diainetratn ' T ^: velocitas autem crit ntVCH. Ouare fi corpus joftst cum velocitate fecundum hneam ipfi 7 ^panilielam exeat de lOco F, & Medii denfitas in fingnlis locis H fit ut longitudo tan^entis ffTf & refiftentia etiam in loco aliquo H fit ad vim gravitatis ot $ AC ad ?^, corpus illud delcribet CircuH q^adramem FH^ At fi corpus idem. de loco T , iecnndum lineam ipfi T ^ per* pendicnlarem egrederetur , & in arcu femicbrcun 'P F ^ moveri inciperet , fumenda eftet ^.Cieii.iiad cpntrarias partes centri A^ & propterea fignum ejus mutandum eftet &'fcribendQm — a pro :^'m: Qoo pa6k> prodiret Medii denfitas lit -^-^. Negativam itttem denfitatem, boc eft, qu» niotos «oi^Kiram accelerat, I^- tura npn admittit : & propterea naturaliter fieri non poteft , ut corpos aicendendo a T defcribat Circoli qoadraatem 7 R Ad hunc efteftum deberet corpus a Medlo impellente accelerari , uoq < % refifteKe impediri Exemfl. %. Sit hnea T^F^^Parabola, ^era habeos ^Fbort<« tcmti 7 ^perpendicolarem , & reqoiratur Medii den&as q«ae fft" ciat ut Projedile in ipfa moveatur. • Ex natura Parabolae , redangulum 7 2)^ a^ale eft redao- goio fub ordinata 2? / & re^ attqoa data i hoc eft , fi dicantur reaa PRIJ^CfPIA MATHEMATICA." »j^ refta Uh b , ^iC*, T ^r, C^* & C® «; reasmgulum 4+« msKWMwi. f~^tf-i~0feu4«^— -tf4~^240-^r0'; — « 9 aequale eft redangolo hn^If adeoque 7>I sqoale — 7-r- -^ -»4- • — j-. Jam * fcribendus eflet hojiis feriei fecundus teniiii^iis . , ■ ^pro Qd ^ • » '. ' *^ . . " *. ^ . tertius item terminus y pro Kop. Com yero plor«s Mn fiot tcr« mini, debebit quarti coeffidens S evanefcerc,& propterea quamt'< tas — • cui Medii denfitas proportionalis eft , nihil erir. Ri^i-t-OQ, NoHa igitur Medii denfitate nMvefaltur Prqje^le in PtraboU , utt olim demonibravit GaliUus. l^E. I. Exem^l$. Sit lioea AGK Hyperbola, Afympcoton habens NX plaoo hori2ontaIi AK perpen^culareBi ; & qusratur Mectii denfi< tas (|u« faciat ut Projedile moveatur in hac anea* Sit MX Afymptotos akera , ordinatim apfrficats 2) G produ^ occorrens in ^, & ex oatora Hvperbol», redhmgulam Xy\nVG dabitur. Datur autem ratio^ivad VX,Sk propterea datur etiam reftaognlum 2) iV in VG. Sc i^ud kb% 6c con^^leto parallelogram- mo 2) NXZ, dicatur BNa,B^o, NXcy 8c ratio data VZ ad ZX vel *DN ponatur e(ie — . £t erit.2)i^aequalis «—0, VG «qualls bb „„ .. » ,^2r«quaHs-4~^, &G'Ditxt N X^V Z-^VG ;b- qualis r ~ — tf h o . Refolvatur terminus-T-— iftferiem hh hh hh hh convergentem 1 — o^ —oo-^ (^ &c. & fiet G 2> squa- n a n am a^ ^ a^ ^ » hh termmv» fecBDdis -r-a^ — r « tiAifpftiidiis ell pro Qf ^ terCius cno^ n usi ■ hh ^ • hh ' fignomucico — p«^ (tfo R0^> & qiMurtiis cam itgno ettammiitftto -—; »! ^ pro SV» , eommqoe coefficientes ^^ , — -& — fcribcndaBfont in Regnla fuperiore pro Q^ R & S. Quo fa^o pi^t mediideBfitac» Ggj tit ij< Pc MOTO O>&P0RUM PHILOSOPHI^ NATURAUS bb ^ I ut feu J~~mm xmbb , t^ - ^ mm tm id iZ« cft, fi in FZ fumatur /^JT «qualis -EG, ut Yf Namque tf « & AA 1 — - funt ip&ruto JPZ &*ZJrquadrata. Refiiften' da autem invenitur in ratione ad. gravitateiQ quam' Iiabet. jiTT^ad % TG & velocitas ea eft quacum corpus in Parabola pergeret verti- cem G, diametrum^G, & latus redum — 7^-^ iiabente. Po-v Batur itaque quod Medii denfitates in locis fingulis G fint reciproce ut difiantis XTf quodque refiftentia in loco aliquo G fit ad gravi- tatem ut 3 ^T ad i T-G , & corpus de loco ^, jufta com veloci- tate emtiTum, defcribet Hyperbolam illam yiGK. ^E.I. ExmPl. 4. Ponatur indefinite, qood linea jiGKHyperboltL fit, centro X Afymptotis MX, N X eaMege defcripta , ut conftra^ re^angulo XZ^DMcujns Jatus 27) iecet Hyperbolam io G & Afymp- PKINCPmA, MATHaMATtCil. *35 Afymptoton «jus in F, fuerit VG rccij^roce ut ipfius ZX vt\ 7) N secondu». dignitas aliqua ^N' , cujus index efl numerus h: & quasratur Me- dii denfitas , qua Proje^ile progrediatur in hac curva. Pro BN,B7), NX fcribantur A, O , C refpeftive , fitque V Z ad XZ Tcl 2) AT ut i/ ad f , & ^ ae qualis ^-^, , & erit 2) i^Tffiqujt. Ii8A-0,rG=-Ai_,,^Z=:~ A^, & G^feuiVJr-rZ quin iltius. loco pofiint has in rebus pra^cis non incom- node adhiberi. £t utiliores-forfan futurae funt h«^ quam Hjmer- bolt magis aecurata Be fimul magis compqfita. Ipfs vero m luom fic deducentur. Compleatur parallelosrammnm XTGT, & reda G T tanget Hyperoolam in G , ideoque denfitas Medii in G eft reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem uty -^-^j refifientit tutem ad » yim grtvitatis w <;r ad ^^**"^** Gr. Rroinde fi corpus de loco ji fecundam reflam .^/f projeAum defcribat Hinperbdlam AGK^ & AHpmdn&a, occurrat Afympt to MX in //, aAaque j1 1 eidem parallela occurrat tlteri Afyinp- toto -Af JTin /; erit Medii denfitas in^reciproce u ut jtH, & cor- poris velocitas ut V —^ , tc refiftentia ibidem td grtvittfiem i|t AH z^ — - — -— - in u^/. Undc prodeunt lequentes Regulc PRINCIPIA MATHEMATICA. 141 Reg.i. Sifervetiir tom Medii denfitas in ji^ tum velocitas Liajsm qoam cum corpus projicitur» & mutetur angulusi\ro^/f; mane- ^*^"**^"*^ bunt longitudines JfHy Aly HX. Ideoque fi longitudines illas in aliquo cafu inveniantur , Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo ^y^/fexpedite determinari poteft- Reg. X. Si fervetur tum angnlus NAH ^ tum Medii denfitas in A^ & mutetur velocitas quacum corpus projicitur ; fervabitur lon^itudo AH j & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce. Rfg. 3. Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A^ gravitafque acceleratrix fervetur , & proportio refiftentiae in A ad ct X A gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque : augebitur proportio AH adJJ in eadem ratione , manente Parabolae late- re reftot eique proportionali longitudine --ffi & proptereami- nuetar yfH in cadiem ratione , & AI minuetur in raiione illa du- plicata. Augetur vero proportio refiftentiae ad pondus , ubi vel gravitas fpecifica fub «quali magnitudine fit minor , vel Medii denfitas roajor, vel refiftentia, ex magnitudinediminuta, diminui- tur in minore ratione quam pondus. . H h J^^i' »4« PHlLb^Pmm NA-TORilLIS Di MtHTv H^. 4. Qtibniatn deofflras MedU prdpe ▼orHcem Hyperbohe flDs- €«»»foito« joj ^ qyji^ j^ iQg^ ^ ^ ,jj hftbcatur deniitts mediocris , debct rt» tid mittimffi ttrtgefltitim G 7* ad taogctttem >f /f inveniri , & denfi* fas ia j1 augeri ia ratioAe paulo majore qaam iemifumm« harum tangentium ad minimam tangdntium GT. Keg. 5. Si daiitui* loiigitudines AH^ AIt& defcribenda fitFigo- ti jiGK: produc HN ad Xf ut fit HX aequalis fa^o fub »->- 1 & ii^/$ eentf oqtie A' & Afymptotis MXyNX per punAum ^defcriba' tur Hyperbola,ea lege,iu fitAl ad quamvis f^G ut Xf^' ad XI\ Reg. 6. Quo ma)or eft flameros • , eo magis accuratae funt hs Hyperbol» ib afeenfu corpofis ab^,& mtnus acctiratae in ejos de» fcenfli ad i^ ; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, eftque cst;;ris fimplicior. Igittir fi HyperbOla fit hujus generis, & punAum /T, ubi corpus projedum incidet in redam quamvis k^N per pundum A tranfeuntem . quasratur : occurrat produAa yfN Afymptotis MX, NX in M&N,& fumatur NK ipfi jfM aequalis. lieg. 7. Et hinc liquet.methodiis expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phsnomtois. Projiciantur corpora duo-fimilia & squalia, eadem velocitate, in angulis diverfis HAK,bAk, inci- dantque in planum Horizontis 'mK& k, & notetur proportio AK ad Ak, Sit ea Iuribus longitudinibtis AH ibvenieadft funt plura punda N , & per omnia agen- da Curva linea regularis NNXN, fecans re^m S M M Mm X. Aflumatur de- ^ num Atl aeqttalis abfcilTae SX & iode de- nuo inveniatur longicudo o^ K\ & h)0- g^tlifUi^ k q^« fint ad «namptam Io0g f is dabitur & reHIbentia Medii io k>co ^,quippe qoe fit ad vito grs-^ vitatis ut AfJttii 1 Ai. Augenda eft autem denfitas Medii per kq^ 4. & refiftentia modo inventa » H va tadem ratiooe aDgettiur , fiet atcuratior. i^<^. PRINGIPIA MATHEMATICA. %i^ JUjg. t. tnventis longitQdinibiis yf ff , HX% ^ JMi 4^iBKtar Li»»- pofitio re^ ^if.iecundumauam Proje^le, data illa cum velod- i»Mmn> nte emifllim.' incidit in punnum quodvis AT: «d pan<%a A 81 K erigantur reAae ACtKF horizonti perpendiculares ,quarum AC deorfufn tendat , & squetur \^\ Al feu \ 'HX. Afymptotis A K, KF delcribatur Hyperbo|a , cujus conju^ta tranfeat per pafl^m C } centroque A & intertallo AH defcnbatur Circolus fecans Hy-» perbolam illam in pun^o H^ h Pr^eJRile fecundum re^am A H emiiTum incidet in pundum K. ^E.I. Nam p»n^m H^ ob datam longitudineiQ. AH, locatttr alicubi in Circulo defcripto. A- gatur CHoccuh-QQs ipfis AKSt KF, iHHn E, tiuic ta F{ Scoh ^ITK parallelas CH, MX& aeqUales AC,EI, erit -^£aequalis^<^. & propterea etiam aequalis K N. Sed CE e&zd AE ut FH ad KNy & propterea CjB & /* /f aequantur. Incidit ergo punftum Hin Hyperbolam Afymptotis AK, /^Fdefcriptam , cujus conju- gata tranfit per punftum C atque adeo reperitur in comrouni in- terfeaione HyperboIaB hujus & Circuli defcripii. $.E. 'D. No- tandum eft autem quod haec operatio perinde fc habet , five reftt AK N horizonti parallela fit , five ad horizontem in anculo quo- vis inctinata : quodque ex duabus interfeftionibus H, HduobTO- ' tpsQli NAH, NAHi & quod in Praxi mechanica fuflicit • Hh X . Cir- •:•;»!* U4 PHILOSOPHIiE NAlTURAHIS De Mdt u ^ii^u^ ^<^B^I defcribere, dcinde regulam interminatani C^iu CoAroMui applicare ad pundum C. ut ejus pars FH, Circulo & tc&sh FK interje^a , squalis flt ejus parti C E imer pundum C & redam ji K iits. , Qus de Hyperbolis diAa funt fa- cile applicantur ad Parabolas. Nam &. XAG K Parabolam defignet quam refta JTA^tangat in vertice JT, fint- . ^ qae ordinatim applicats 1 A^ VG m quslibec abfciifarum XI , XV dignitates Xl% XV' ; agantur XTy GTy AH<, quarum XT parailela fit VG y & GTyAH Parabolam tan- ganc in G & ^ : & corpus de Ibco 3uovis .<^ , fecundum redam AH^xo- uAam j jufta cum v gravitatis ut GTzi^ ~ » — 2/f - «~x YH^ ^ E i^^ ""?"*' ho"^o?f a?em defignet , & mancnie tum denfitate.Medii in A , tum velocitate quacum corpus projicitur ^ mutetur utcunque angjilus NA^ ymsrrebMm longitudines AH^ rabole pttnfia G r per qju» Ptojieaile tranfibit. sEcno PRINGIPFA MATHEMATICA. *4; S E C T I O III. S""'^"' « De 3iotu Corpdrum tfuibtis rejlflttur partim in ratione 'velocitatis , partim in ejufdem ratione duplicata^ pROPOsrTio xr, theorema viii. Si Corport reftfittur parttt» in ratione velocttatis , partim in^ vebcitatis rattone duplicata , ^ idem fola vi infita in Medio fimilari movetur , fumantur autem tempora in progrejpone Arithmettca : quantttates velocitatiius reci" proce proporttonates , dat& quadam quantitate auBa ^ erunt in progres/ione Geometrica, • Centro C r Afymptotis re<5hiii'- guHs €Al>d & CHy defcribatur Hyperbola BEeS, & AfymptO' to CH parallelae fint J£-, T>Er ie. In Afymptoto CD dentur punfta A\ G.' Et fi tempus ex- ponatur per aream Hyperbolicam ABE^D uniformiter crefcentem ; dico quod yelocitas exponi poteft per tongitudinem 2> i^, cujus reci- proca G'2>una cum data CGcom- I ponat longitudihem C SD in progreffione Geometrica crefcenterai Sir enim areola 2) EeA-dax\xxa. temporis incrememum quam' minimum;, & erit 2>i reciproce ut ^E , adeoque direfte ur C2). Ipfiiis aut^m -^' - decrementum,qpod<;per hujus Lem 1 1).' - 'Dd' CD r CGWGD . . «, , I CG fgiiur: tcmpore ABED^pcr additionemdatarumparticularum E^Da^ «niformiter crefcente, decrefcit^^ in eademf atione cum veloci- tate. Nam decrementuiii 'velocitatis eft' ut refiftentia , hoc eft ( per Hypothcfin.) ut.fumraa duarum quantitatum, quarum wna elt ur OeMota %i,S PHILdSOPHI^ KATURALIS €i»*ro*u»< velocitas , altera ut quadratum vclocitads: & ipfius ^^decrefflen- I CG tum cft ut fumma quantitatum ^^:^ & ^2)7 * 1"*'^"°* P"**'* ^ ipfa g^, & poftcrior -^^«ft ut g^. Proindc-^ ob a- aalogum dccremcntum, cft ut velocicas. Et fiquantitas G^ipft p^T) rcciprocc proportionatis , quantitate data CG augcatur ; fum- fna C2),tempore ABEI') uniformiter crefccnte, crefcct ia pro- greifione Geometrica. ^ E. 2). * Corol. I. Igitur fi, datisBundis A , G , exponatur tempusper «ream HyperboUcam ABE7) ; exponi poceft velocitas per ipuus G 2) reciprocam g^ Corot.x. Sumendo autcm GAzd G^Dnt velocitatis rectproca fub initio , ad vclocitatis rcciprocam in fine tcmporis cujufvis jlBETJf invcnietur punflum G. £o autem invento, velocttas ex dato quovis alio tempore inveiuri poteft. PROPOSITIO XII. THEOREMA IX. li/Hem ptfith , /ftco quod fi ffatta defcripta ftmumtur m progrejfione /irtthmettca , vehcitates data quadam fuath titate auBa erunt in progrejpone Geometrica» In Afymptoto C*Z)detur punc- tum Rt & ercAo perpendiculo R S, quod occurrat Hyperbols in S, cx- ponatur defcriptum fpatium pcr a- ream Hyperbolicam RS E1> ; & velocitas erit ut longitudo augeturinArith- mctica. Etenim ob datum fpatii increineatum E 'Dde, fioeola 2?/, qax decre- PRINCIPIA MATHEMATICA. %iT decremeotum eft ipfius G ®, erit reciproce ut E^D, adcoque di- Ltnn refte ut C D, hoc eft , ut fumma ejufdem GT> & longitudinis da- SecuNou*. tz CG. Sed velocitatis decrementum , tempore fibi reciproce pro- portionali, quo data fpatii particula 'DdeE defcribitur , eft ut re- fiftentia & tempus conjunftim , id eft , direfte ut ^umma duarum quantitatum,quarum una eft ut velocitas , altera ut velocitatis qua- dratum , & inverfe ut velocitas ; adeoque direfte ut fumma duarumi quantitatum , quarum una datur , altera eft ut velocitas. I^itur de- crementum tam velocitatis quam lines G^D-, eft ut quantitas dat» & quantitas decrefcens conjunftim , & propter analoga decre- menta , analogae femper erunt quantitates decrefcentes : nimirumi velocitas & linea G©. §. £, 2). Coroi. 1. Igitur fi vetocitas exponatur per longitudinem CrtD.fpt'' thim defcrtptum eric ut area Hyperbolica 7) ES R. Corel. X. £t fi ntcunque afiumatur punftum R , invenietur pun» ftam G^ captendo GR ad G^D.y ut eft velocitas fub initio ad ve* jocitatem poft fpatium quodvis i?i*£2)defcriptum. Invento au^ tem ponfto (r , datur fpatium ex data velocitate , & contra. Corol, 3. Unde cum , per Prop. xi,.detur veiocitas ex dato tem* pore , & per faanc Propoutionem detur fpatium ex data velocitate f dabitur fpotium ex dato tempore^ & coDtra- PROPOSITIQ Xra. THEOREMA X. I^ofito quod Corptn a^ uniformi grtvoitaie dtorfuf» aPtra^ttim reBa afienda vel defeendit , ^ (fuod eidetn refifiitur par- tim tn ratione vetocitatis , partim in ejufdem raticne dw plicatat dico quodft Circuti ^ HyperboLe diametrk pa^ rallela reEf^ per conjugatarum diametrorum termmof ducantur^ 8f vetocitates fint utfegmenta fuadam paral* hlarum a dato punBo duBaj Tempora erunt ut arearumi Se&ores , reBts a eentro ad fegmentorum terminos du^ ahfcijp: & contra» Caf. I . Ponamus primo quod corpus afcendir , centroque *D 8t femidiametro quovis ^ if defcribatur Circuli quadrans BETFySt per (emidiametri *DB terminum B agatur infinita^^P, femidia- metro ©T^parallcla, In ea detur punftum ^, & oapiatur fegmen- tum^^ velocitati pTopoi^nale. £t cum refiftentia& pars aliqpa fic uct ■ / 1 24S PHlLOSOPHliE NATURALIS rj MoTu ut velocitas & pars altera «t ^*^*'^** velocitatis quadratum, iit re- fiftentia tota in 'B \x\AT qnad. -f- X BAT. Jungantur ^D A^ 1D T Circulum fecantes in E ac T^ & exponatur gravitasper iD -// j^/W. iia ut fit gravitas ad reGftentiam in T ut "DAq ad q A^P q^ 1 B AT\^ tempus arcenius omnis futuri erit ut * Circulifeftor ^©7£. Agatur enim T>V^^ abfcin- dens & velocitatis /^T^momen- tumy^, & Seftoris *D£r momentum © TF dato tempo- ris momento refpondens; & velocitatis decrementum illud y^erit m fumma virium gravitatis©.^^ & rcfiftentiaB ATq -*: xB AV ^ id eft (per Prop. ii. Lib.x. Elem.) mxT>T quai. Proinde aret 2)5P^. ipfi y ^ proportionalis , eft ut ©y quad\ & area T^TV^ jrquae eft ad aream ©P ^ui^r^ ad^lP^jeft ut datum l>Tq. Decrefcit igitur area J5® T uniformiter ad modum temporis futtt- ti per fubdudionem datarum particularum DTV ^ & propterea tempori afcenfus futuri proportionalis eft. ^iS.2>« Ca/. %. Si velocitas in afcenfu corporls exponatur per longi- tudinem -^ !P ut pri- tts 9 & refiftentia po* natur effe mi A T q ^xBAT, & fivis gravitatis minor fit quam quas per 7) Aq exponi poflit s capia* tur B 'D ejus longitu- dinis ut fit A B q — B 7)q gravitati pro- jy porttonale, fitque*Djp ipfi © B perpendicula- ris & «qualis, & per verticem F defcribatur Hyperbola FTVE cujus femidiametri conjugat« fint ®/? & 2)F, quaeqoe fecet "DAin £, & 2)P , ©^in T &: Vi & erit lempus afcenfus futuri ut Hyperbolae feftor J 2) E. Nam PRINCFPIA MATHEMATICA. M9 ^' ^Bq-B^Df, ide&y vA BT^f-^BTiq, Eft amem area 2>r^ ad aream 2)P^ut 'DTq zd^DTq adeoque, fi ad ©/T demitta- tur perpendiculum <»7', ut GTq ian G'IJq-^*DFf ^ BT>q ut- queG^Df^dBTq & dWiCimui^DFqad BTq^B*Dq. Qua- rc c«m atca "/)?' §,fit ut T^, Id eft , iit Bf*q-^'Bfbqi erit aret 2>2T at 4aniB) ^Ff. Decrefcit igitur area ET)T umformiter fiDgnlis temporis particuli^ xqnalibus , per fubdu/?' refiftentia, & B^q^-AB^ vis gravitatis, exiftente angulbZ)^.^ redo. Et fi centro © , vertice principali B , defcribatur Hy- perbola re^angula BETf^le- cansprodttAafr!Dy^, *DTi ^ 2>§^in £, r& ^i erit Hy- perbolae hujns fe^r f>£T^t tempus defcenfus. Nam velocitatis incremen- tum T 0J, eique proportionalis area ©y g^, «« at «xceiTus SECUKDUSt gravitatis fupra rcffiftentiam^id eft,ut B^Dq—A^q-rBAP - AT q{e\iBT>q- BTq. Et area *Bir^eft ad aream ©P^ ut © r^ ad 'DTq, adeoque nt GTq feu G 7)q^B'Dq ad 5?^ utque GVJ^ ad B7)q & divifim ut B7)q ad ^©jf -BTq. Quare cum area 25 y ^ fit ut ^ © 4r — B Ta , erit are« © Tf^ ut datum ^ © ^ . Crefcit igitur area E7)T uniformiter fin- gulis temporis particulis ffiqualibus , per additionem totidem data- rum particuiarum 2) TV , & propterea tempori defcenfus propor- tionaK^ eft. ^E.*D. Corol. Igitur.velocitas AT p&.z,d velocitatem quam corpus teih- pore E^DTt in fpatio noh fefiftehte, afcendendo atnittere vel de- icendendo acquirere poffet , ut area trianguli 2) A^ ad aream fe* ftoris centro 2) , radio 2)-<^, angulo -«^©rdefcripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas > in Medio non refiftente , tem- li pori if« PHILOSOPHI^ NATURALIS De Mbro pon atqoe adeo fedori hoic proportioiiafis eft ; in Medio lefiften- CosfOAVM ce eft ot tmneQlam ; & io Medio atroqoe » obi qoam minima e(t, accedtt ad ratiooem sqoalitatis , pro more fedkoris & triangali. PROPO&ITIO XIV. THEOREMA XI. Ttfdem pefith , ibco ^uod fpatium afcenju vtl dtfcenfu de^ fcriftum , efi ut differentia area fer quam tempus expo- nitur , ^ area cujuftam akerim qua augetur vet dimi- naitur in progrejpone Aritbmetica ; fi vires ex refifientia ^ gyavitaie compofit£ fmuaniwr iit progrejfftone Geome- frica. Capiator A C {'m Fig. tribos oltimis, ") gravitati, & /iK re- fiflentiie proportionalis. Capiantor aotem ad eafdem partes pon^ ji n corpus defcendit , aliter ad contnarias. Erigator A6 qos fic ad'i) J? ut 2>^f ad ^B jt G: & area AbHK aogebitor Yel diminuetur in progrefltone Arithmeuca « dum vires CK in progreflione Geometrica fumuntur. Dico igitur quod difUntia corporis ab ejus altitudine maxima fk ot exceflbs ares AkNK fopra aream 'DET. Nam cum A K Qx utrefiftentia, ideft, ot AT^f-^-rBAT % aflumator data qwevis quanticas Z , & ponamc A K sqoalis 2^^! ; & (per hujus Lemma 1 1. ) erit ipfios AK mo- „- ^ % AT ^-^% B AXT §^f t-BT^ „ mcntum KL aquate =- — -^ =^£ea; — ^_=i^,& areae AbNK momentum /(LZ,OiSr,»quaIe -^ -d^ feu zZy.CKy.AB Caf.i. Jam fi corpus afcendit, fitque gravftas ut ABa-^B*Dq ezrHente ^ErCircuro, ( in Fig. Caf. i. Prop. xiii. ) linea yf C, qoae gravitati proportionalis eft , erit ^i ^ , &^Tq feo AT f,-h ZiB AT-^ AB q -'-.B^Bq erit AKyZ-^-ACyLicvL CKxZi ideoque area ©r^^erit ad aream.2) T0 ut *DTa vel N PRINCIWA MATHEMATICA. M» CMp, X. Sin corpus afcendit , & gravitas ^ivx.ABq^B^Dq llnea SEciJput. A^ ir\%. Caf. 1. Prop. xiiO erit ^^f-^^f , & © r^ erit $dT>Tq ufDFq feu ©£« ad BTq^BT>q feu ATq-*-%BAT ^ABqS^Dq yidc&, iidAKYZ-^ACxZieu C KXZ. Ideoque area © r A^ erit ad aream.©yg.ut 7)BqzdCKXZ. Ca/. p Et eodem argumehto , fi corpus defcendit , 8i proptcrea gravitas fitut -52)jr-^J?y. & linea^CCFig.Caf 3 . Prop. praced.3 aBquctur- — ^ — -? crit area ©yA^ad arcam ©iP^ut DBq adC^XZ:«t fupra. Cum igitur ares iK£ ^empej fint ih hac ratione ; fi pro areia T^TJ^y qua momentum temporis fibimet ipfi femper aequale eX' ponitur , fcribatiir determinatum quodvis reflangulum , puta B7)yim, erit arca 2)^^, id eft, i 5©XP^;ad.fiDX» ut CKXZ ad B^Dq. . Atqwc Me fit T.^y^BDcub. aequalc zBTfXmXCKxZ, ^ Ar l TOOPa L H4 Df MoTV CoRPORUJi PHILOSOPHI^ NATURALIS PROPOSITIO XV. THEOREMA Xn. Sj Medti denfitas in locis fingurts pt reciproce ut difiantia locorum a centro immobtli , ptqtlie vis centripeta in duprt- cata ratione denfitatis : dico quod corpus gyrari potep in Spirali , qua radios omnes a centro tUo duBos interfeoat in angulo dato, Ponantur quse in fuperiore Lemmate > & producatur «f ^ad ^, qt fit «y^aequalis ST. Tempore quovis , in medio refiftent^, de- fcribat corpus arcum quam minimum P ^, & tempore duplo ar- cumquam minimum TR% &. decrementa horum arcuuni ex refi- fientia orinnda, five defec- tus ab arcubus qui in Me- dio non refiftente iifdem temporibus defcriberentur, erunt ad invicem ut (jua- drata temporum in quibus generantur : £ft itaque de- crementum arcus 7* . ^ pars quarta decrementi ar- cus ^P R. IJnde etiam, fi areae T S^ squalis capia- tur area ^«y^, erit decre- meatum arcus T^ aequale dimidio lineols R r ; adeoque vis refiftentis & vis centripeta funt ad invicem ut lineolae \ Rr & T ^ quas fimul generant. ?uoniam vis centripeta , qua corpus urgerur in P ,efi reciproce uc Tq, &Cper Lem.xLib. i,) lineola 7*^, quae vi illa generatur , eft in ratione compofita ex ratione hujus vis & ratione dupucata tem- poris quo arcus ? ^defcribitur , ( Nam refiftentiam in hoc cafu^ ut infinite minorem quam vis centripeta, negligo ) eritT^X^P^ id eit (per Lemma noviffimum ) 4 P ^f X Q y(!vS*P *^ ^ /. & manebit Mediidenfi* V OS (as iB 5P ut Q ^p^cSF ^""^ Spiralis , & ob datam rationem 0*9 ad O 5P, denfitas Medii in "P eric ut -j^. In Medio igitur cu- jus denfiras eft reciproce ut diftantia a centro *$* P, corpus gyrari potefl in hac Spirali; ^E.1>. GoroL I Velocitas in loco quovis fP ea fenlper eft quacum cor-^ pus in Medio non refiftente gyrari poteft in Girculo , ad eandem a centro diftantiam S jP. Corol.^ X.. Mcdii deniltas, fi datur diftantia S^P^ eft- at q-s- .• ^tt 0*$" diftantia ifla non datur , ut -^^ x J P" ^"^**^ Spiralis ad yqpam^ fibet Medii denfitatem aptari poteft. Qml. 3. Vis refifteritiaB in loco quovis 2* > eft ad viin •centriper i^S PHtLOSOPHliK NATURALIS qJkSJ JJm t*ni iil eodem loco utiOS^dO T. Nata vires ilte fant id invi- cemutii?r&r^fiveut^^^^&^^^ hoceft,ut ¥ ^^& P^, feu ^ O J & OP. Data igitur Spirali datur propor- tio refiftentiK ad vim centripetam , & viceverfa ex data ula pro- portione datur Spiralis. ^^ Corol. 4^ Corpus itaque gyrari nequit in hac Spirali, nifi ubi vis refiftentia minor eft quam dimicAum vis centripctae. Fiat refiften- tia squalis dimidio vis centripetie & Spiralis conveniet cum linet tefta 5P*y, inque hac refta corpus defcendet ad centrum , ea cum velocitate quie fit ad velocitatem qua probavimus in fuperioribasia cafu Parabolae fTheor. x, Lib. i, ) defcenfum in Medio non refi- ftente fieri, in fubduplicata ratione unitatis ad numerum binarium. £t tempora defcenfus hic erunt reciproce ut velocitates , atque a- deo dantur. Corol. 5. Et quoniam in SBqualibus a centro diftantiis velocitas eadem eft in Spirali T^R atque in reda SP, & longitudo S(n- ralis ad longitudinem re^^ T S eA in data ratione , nempe in ratione OT zdOS; tempus defcenfus in Spirali erit ad tempus defcenfus in re^la J* P in eadem illa data ratione , proindeque datur. Corol. 6. Si centro S intervallis duobus quibufcunque datis de* fcribantur duo Circuli ; & manentibus hifce Circulis , mutetur ut- cunque angulus quem Spiralis continet cum radio P J : numerus re- volutionum quas corpus intra Circulorum circumferentias , pergendo in Spirali a circumferentiaadcircumferentiam,complere poteft,eft ut^-7r> ^^^ u^ Tangens anguliillius quem Spiralis continet cum radio TS-, tempus vero revolutionum earundem ut -^, id eft ^ ut Secans anguli ejufdem , vel etiam reciproce ut Medii denfitas* Cdroi. 7. Si corpus , in Medio cujus denfitas eft reciproce ut di- ftantia locorum a centro , revolutionem in curva quacunque AEB circa centrum illud fecerit , & Radium primum yfS in eodem an* gulo fecuerit in B quo prius in ^ , idque cum velocitate quse fue- rit ad velocitatem luam primam in j4 reciproce in fubduplicata ra- rione diftantiarum a centro (\d eft , ut t^ S ad mediam pro^ portionalem inter i^S &BS) corpus illud perget ianume- ras confimiles revolutiones BFC^ CCD &c. facere, & interfec- tit>mbus PRINCIPIA mathematica: %yt ftiofiibus diftingaet Radium ASKn partes AS^ JBS.CS^T^S^ &c. «^"«* oontinue proportionales. Revolutionum vero tempora erunt ut "^^** perimetri Orbitarum AEB^£FC,CG7)^&c. direfte, &veIoci- tates in principiis A^ B^ C, inverfe ; id eft , ut AS\y BSi^ C$*f. At- que tempus totum , 'quo corpus perveniet ad centrum , erit ad tem« pus revolutionis prims , ut fumma omnium continue proportiona- lium AS^9 BS^yCSi pergentium in infinitum » ad terminum pri« mum ASi ; id eft , ut terminus ille primus ASi ad differentiam duorum primorum AS^—BSi^ five ut ^ -^^if ad AB quam prbxi- me. Unde tempus illud totum expedite mvenitur. Corol. 8. Ex his etiam praater propter coUigere licet motus cor* poram in Mediis, quorum denfitas aut uniformis eft > aut aliam quamcunque legem aftignatam obfervat. Centro J^yintervallis con« tinue proportionalibus oAySB^SC^&c. defcribe Circulos quot- cunque , & ftatue tempus revolutionum inter perimetros duorum quorumvis ex his Circu]is,in Medio de quo egimus^efTe adtempus revolutionum inter eofdem in Medio propofito , ut Medii propofiti denfitas mediocris inter hos Circulos ad Medii » de quo egimus ^ denHtatem mediocrem inter eofdem quam pro^ime : Sed & ia eadem quoque ratione efTe Secantem anguli quo Spiralis praBfinita^ in Medio de quo egimus, fecat radium A S , zd oecantem anguli Kk quo if«- PHrLOSOPHIJE'NATURA:USr Ds M ^^ 3(>irtU9 nova fecat radium ennclem io Medio propofica: Atqne CosLfoivM cti^® u( Xunt eorundeio angulorum Tangentes ita efie numeros re- voltttionum omnium inter Circulos eofdem duos quam proxime. Si 'hsc fiant paflim inter Circulos binos , continuabitur motos perCir- culos omnes. Atque boc pa di Spiralibus peragantur. PROPOSITIO XVI. THEOREMA XIH. Sf Medii denptas in locis JinguUsJtt reciprcee ut diftantia locorum a centr» immobiH , fitcfue vis centripeta reciprocg- ut dignitas qualibet ^u/dem diftantidt : dico quod corpus^ gyrari poteft in Spirali qua raMos omnes a centro itlo duC'-^ tos interfecat in angulo dato, Demonftratur eadem methodo cnm Ptopofitione fuperiore. Nam fi vis centripeta in tP fit reciproce m difiantiae ST dignitas qu»Iibet ST—*-' cujus index eft »-f-T; colligeto-r ut fupra». quod tempus quo corpus delcribit arcum quemvis y ^^ erir ut tdeoquc at Q^^^^p^^r, , hoc eft , ob datum ^ — » recipro' ce ut S*J^-^K Et proptevea» cnm veh>citas fit reciproce at S^i\ denfitas in *P erit rcciproce ut ST. . Coroi. 1. Refiftencia eft ad vim centripetam ,ut i — inXOSz^ 07*. . . Cbroi. X. Sr ws ccntripeta fit reciproce ut i$"?*r«A,eriti-— iffssr^^, «deoque ref^entia & denOtas Medii nulla erit , ut in Propofitione nonaXibri primi.. Corol. 3. Si vis centripeta fit reciproce nt dignitas aliqoa radii; )ST cujus indez eft major numero- 3 y refiftentia dffinnativa in ne> KatiTam muubitur. PR.INCIPIA MATHEMATICA. ^if Sfbcfim. Secuxj»0i. Cstenim haec Propofitio & fuperiores > qnc ad Medift itiflB- qualicer denfa fpedant , intelligendae funt de mota corporum adeo parvorum, ut Medii ez uno corporis latere major denfitas quam ex altero non confideranda veniat. ReHilentiam quoqoe caeteris paribus denfitati proportionalem efTe fuppono. Unde in Mediis quorum vis refiftendi non eft ut denfitas, debet denfitas eo ufque augeri vel diminui , ut refiflentiae vel toilatur ezceflus jcl defedus fuppleatur. PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IV. Invemre ^ vim centripetam 8f Medii refifientiam qua cof' pus in data Spirxili , data velocitatis Lege , revolvi fotefi, ^it Spiralis illa SP ^i?.' Ex velocifate qua corpus percurrit ar- cum quam minimum tP^dabitur tempus, & ex altitudine 7*^, quae eit ut vis centripeta & qoadratum temporis , dabitur vis. pe* iode ex arearum , squalibus temporum particulis confedarum 'P»S'^& ^SR, difFerentia RSr, dabitur corporis retardatio,& ex retardatione invenietur refiflentia ac denfitas Medii. PROPOSITIO XVm. PROBLEMA V. Data Lege vis centripeta , invenire Medti denfitatem /« kcisfinguUsy qua corpus datam Spiralem de/cribet, Ex vi centripeta invenienda efl velocitas in locis fingulis, de- inde ex velocitatis retardatione qnsrenda Medii denfitast ut ia Propofitione fuperiore. Methodum vero tradandi haec Problemata aperui in bujus Propofitione decima, & Lemmate fecundo; & Ledorem in hujuf- modi perplexis difquifitionibus diutius detinere nolo. Addenda jam funt aliqua de viribns corporum ad progrediendum , deque denfitate & refiflentia Mediorum , in qoibos motus haflenQS ez- pofiti & his affines peraguntur. Kk & SECTIO r '%6b De MoTo Go&ro&uM PHILOSOPHI^ NATURALIS S E C T I O V. JDe 'Denjirate ^ Comfrejfione Fltddorum^ deque Hjdrojiatica, Definicio FIuidL Flutdum efi corpus emne cujus partes cedunt vi cuicunque illat^y 6? cedendo factle moventur tnterfe, PROPOSITIO XIX. THEOREMA XIV, Flutdi homo^nei & immoti , quod in va/e quecunque wf moto clauditur 6f uttd^ue comprtmitur , partes omnes ( fepojita condenfatiottis , gravitatis ^ virium emnium centripetarum conjideratione ) aput^er premuntur undi^ que y &f ahfque emni motu d^rejpone illa erto perma-^ nent in locts fuis, Caf. f. In vafe Sphsrico yiBC claudacur & unifortnicer con>> primatuf fluidum undique r dico quod ejufdem pars nulla ex illa preflione movebitur. Nam H pars aliqua *Z) moveatur , necefTe.eft uc omnes hujofmodi partes j ad eandem a centro diflantiam un- dique confiflentes, fimili motu fimul move- ttitur ; atque hoc adeo quia fimilts & «- qualis eft omnium preflio , & motus omnis exclufus fupponitur, nifi qui a preflione il- la oriatur. Atqut non poffunt omnes ad cencrum propitts accedere > nifi fluidura ad ^ centrttt» condenfetur ; contra Hypothefin. Non poiTunc longius ab eo recedere y mfk Auidum ad circumferentiam condenfecur ; eciam contra Hypothcfin. Non poiTunt fervata fua a centro dlfFam tia moveri in plagam quamcunque , quia: pari ratione movebuntiir in pi^gam contrariam; i. ia plagaa autem coiur^as noa poceft PHrNCIPIA MATHEMATICA. %6t j parseadem» eodem tetnpore, moverr. Ergo fluidi pars BQlla de Libsr loco fuo movebicur. ^ E. 7). Secuhdxj$. Caf 2. Dico jam quod fluidi hujus partes omties fphsricx squa* Ifter premufitur undique : fit epim E F pars fphsrica fluidi , & fi hsc imdique uon premitur asqualiter» augeatur preifio minor>ufi- 2ue dum ipfa undique prematur aequaliter; & partes ejus , per lafum ptimum, permao^unt in locis (iirs. Sed ante au6):am pref- iionem permanebHint in locis fuis, per Cafum eundem primum ,& additione preffionis novs movebuntur delocis fuis, per definitio- nem Fluidi. Qus duo repugnanc. Ergo falfo dicebatur quod Sphaera jB Fnon undique premebatur aBqualiter. ^ E. ®. Caf. 5. Dico prxterea quod diverfarum partiutn iphaericarum ae^ qiialis iit preffio. Nam partes fphaericae comiguae femutuopremunt SBqualiter in pun(^ contadus , per motus Legem iix^ Sed & ^ per ^ Cafum fecundum » undique premuntur eadem vi. Partes igitur duas quxvis fphdsricaB non contiguae , quta pars fphxrica intermedia^ tangere poteff uiramque y prementur eadem vi. ^E.T^. Caf 4. Dico jam quod fluidr partes omnes ubique premunrur SBqualiter. Nam partes duae quaevis tangi pofTunc a partibus Sphasw ricis in pun^tis quibufcunque^ & ibi partes illas Sphasricas sBqjialitef premunt , per Cafum i. & vicifTim ab illis sq^ualiter premuotur y per Motus Liegem tertiam, ^ E. T). Caf 5. ■ Cum igitur fluidi parsi ^uaelibet GHl in ffuido reliqucM tanquam in valt ciaudatur^ &: undique premaxur aB^qualicer» partes autem ejus fe mutuo aBqualiter premant & quiefcant inrer fe ; ma* aifeflum efl qu«id Fluidi cujufcunque G//7,quod undique premii- tur a^ualiter , partes omnes le mutuo premunt a&qualiter ,> & qjal- cCcunt inter fe. §K E^ 2>. Caf 6. Igjtur fitluidum illqd in vafe non rigidb claudatur , & undique non prematur aequaliter , cedet idem. preffioni fbrtiari ^ per tiefinitianem Fluiditatis. Caf 7. Ideoque iiv vafe rigido Fluidum non fuflinebit prefliov nem foniorem ex uno latere quam ex alio , f%d eidem cedetr idque in momenta temporis ,. quialatus vafis rigidum- nou' perfe- quitur liq^orem cedentemv Cedendo autem' urgebit latus oppo«* £tum , & fic preffio undique ad aequalitatem. verget. Et quo-^ mam. Fluidurft > quam primum a parte magis prefTa recedere co^* Batur ^ inhibetur per refiflentiam vafis ad latus oppofitum ; rediir' ' cetur preffio undique ad aBquaritatem , in momento remporis,* abfque motu locali : & fubinde partes ffuidi « per Cafum^ quintum.> fe mutuo prement aeqiialiter >. & quiefcem inter fe. ^ E. Tf. * • b6i PHILOSOPHI^ NATURALW y Carok Unde nec motas paitiiini flui"di inter (ie , per preffioBem ^iiuido ubivis in externa fuperficie iUatam « mutari poflunt , nifi quatenus aut figura fuperficiei alicubi mutatur) aut omnes fluidi {)arfes intenfius vel remiflias fefe premendo diflicilius vel facilius abuntur inter fe. PROPOSITIO XX. THROREMA XV- Si Flufdi Sphartct , @* m aqualibas a centro dtfiantiis h(h mogenei , fundo Sphderico concentrico incumbentis tartes JinguU verfus centrum totius gravitent ; fufiinet fundum pondus Cylmdri , cujus bafis aqualis efi /uperficiei fundi , & altitudo eadem qua Fluidi incumbentis. Sit 2>/riVf fuperficies fundi, 8i AEI fuperficies fuperior fluidi. Superficiebus fphxricis innumeris B FK9 CGL diftin- guatur fluidum in Orbes concentricos Sb* i^ualiter crafTos; & concipe vim gravita'- tis agere folummodo in fuperficiem fupe- riorem Orbis cujufque , & dEsquales efle a- diones in aBqualespartesfuperficierum om- ninm. Premitur ergo fuperficies fuprema jfE VI fimplici gravitatis propriae^ qua & omnes Orbis fupremi partes & fuperficies fecunda B FK ( per Prop. xix. } pro menfura fua aequaliter pre- muntur. Premitur prsterea fuperficies fecunda B FK vi propris gravitatis , quds addita vi priori facit preflionem duplam. Vlzc preflione, pro menfura fua, & infuper vi propri» gravitatis , id eft prefi[ione tripla , urgetur fuperficies tertia CG L. Et fimiliter preP lione (]uadrupla urgetur fuperficies quarta , quintupla qninta , & flc deinceps. n-effio igitur qua fuperficies unaquseque urgeiur, non efl: ut quantitas folida fluidi incumbentis , fed ut numeras Orbium ad ufque fummitatem fluidi ; & squatur gravitati Orbis infimi multiplicats per numerum Orbium: hoc eft , eravitati iblidi cujus ultima ratio ad Cyltndrum'prsfinitum (fi mocfo Orbium au* geatur numerus & minuatur craflitudo in infinitum, fic ut a6lio gravitatis a fuperficie infima ad fupremam continua Teddatur ) flet ratio squalitatis. Suftinet ergo fuperficies infima pondus Cyltndri praefi- PRWCrWA KtATHEMATrCAr »6^ pnefinhL ^E.^i Ec* (imiir argumehtaticme patet Prbpbfitioi Lmmr Qbi gravitis decrefcit 5n ratiohe quavis aflighata diftanti» a centro» SficuNDaai^ ■t & ubi Flaiduni farfain raricu eft^ deorfum deDfms. ^ £. T>. Coroi. X. Igitur fuodum non urgetur a toto fluidi incumbentia pondere , fed eam folummodo ponderis partem fudinet quas ia pr opol^iiiooe deicjribitur ; poadf re leliquo a fluidi figura fornicata fiiftentata. Corol.%. Iticqualibus autem a centro diftaotiis eadem femper eft preffionis quantitas > five fuperficies preiTa fit Horizonti parallela^ ▼ei perpendicularis vel obliqjua > five iluidum r a fuperficie prefTa- furfum coQtinuatum: » furgat perpendiculariter fecundum lineam» redam ^ vei ferpit oblique per tortas cavitates & canales, eafque* regulares vel maxime irregulares^ amplas vel anguflifTimas* Hifce* circumilaoiiis preflionem nil mutari collisitur , applicando demon»* &ratioaem Ttieorematis bujus ad Cafus fuigulos r iuidorum. Corol. 3. Eadem Demonflratione colligitur etiam Cper Prop.xix.) ^uod fluidi gravis partes nuliua}^^ ex preflione ponderis incumben^ iis, acquiruot motum inter fe ^ fi inodo exciudatur motus qjai es condenkciane oriatur. CoroL j^ Etpropterea ftaliud ejufdem gravitatis fpecifica coi?^ pus 3 quod flt condenfationis expers > fubmergatur in hoc fluido, idi ex preflioae ponderis jncumbentis nullum acquiret motum : non^ defcendet 5 non afcendet , non cogetur figuram fuam^mutare. Sii fphsricumv efi. maoebit fphaaricum 9 non obilante preilione ; fi qtu^ dratom efl manebit quadratum : idque five molle fit » five fluidifii^- mum ; flve fluida libere innatet , five fundo incumbat. Habet e-^ nim fluidi pars quselibet internajationem corporisfubmerfi^ & par eft ratio omnium ejufdem magnitudinis, figuraB & gravitatis fpeci^ fic« fubmerforum corporum. Si corpus fubroei;fum fervaio ponde^ re liquefeerer & indueret forman^ fkiidi; boc » fi prius afcenderetr vel dcfcenderet vel ex preflione figuram novam indueret , etiamj BUQC afcenderet vel defccAderer vel figuram novam induere coge* retur : id adeo quia gravitas ejus casterasque mdtuum caufa^ per- maneot. Atqui y per Caf 5. Prbp. xix, jam qpiefceret & figuraav retineren Ergo & prius. Corok f.. Proinde corpus quod fpecifice gravius efl quam Fluf^ dom fibi contigu^um fubfidebit » & quod fpecifice levius efl afcen^ 4et, motamque ^ figurae mutationem confequetur» quantum ex^ cefliis ille vel defedus gravitaiis efficere poflit. Namque exceflus llle vel defeSus rationem habet impal£us, quocorpus» alias in aequili^ %64 PHILOSOPHI^ MATURALIS Th MoTu^qoiI^o cnm fluidi partibas ooiiftitutum 9 urgetilr^ & GonPORUM potell cum excefTu vel defedu ponderis in lance akerutra librae. Coroi. 6. Corporum igitur in fluidis conftitutorum duplex efi Gravitas: altera vera & abfoluta^ altera apparens, vulgaris &com* parativa. Gravitas abfoluta efl vis tota c^ua corpus deorfum tendit: relativa & vulgaris efl exceflus gravitatis quo corpus magis tendit deorfum quam fluidum ambiens. Prioris generis Gravitate partes fluidorum & corporum omnium gravitant in locis fuis : ideoque conjun^is ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne jgrave eft , ut in vafis liquorum plenis experiri licet ; & pondus to- tius a&quale efl ponderibus omnium partium , ideoque ex iifdem componitur. Alterius generis Gravitate corpora non gravitant in locis fuiS) id efl» inter fe collata non praegravant) fed mutuos ad defcendendum conatus impedientia permanent in locis fuis , per- inde ac fi gravia non eflent. Quae in Aere fuht & non pr£gra« vant , vulgus gravia non judicat. Qus prasgravant vulgus grt* via judicat » quatenus ab Aeris pondere non fuflinentur. Ponde^ ra vulgi nihil aliud funt quam exceflus verorum ponderum fu- pra pondus Aeris. Unde Sc vulgo dicuntur levia , qtxx funt mi* nus gravia , Aerique praegravanti cedendo fuperiora petunt. Com* parative levia funt , non vere , quia delcendunt in vacuo. Sic & in Aqua , corpora 9 quas ob majorem vel minorem gravitatem deicendunt vel afcendunt , funt comparative & apparenter gravia vel levia , & eorum gravitas ve! levitas comparativa & apparens efl: excefTus vel defeRus quo vera eorum gravitas vel fuperat gravitatem aquas vel ab ea fuperatur. Quae vero nec prasgravan- do defcendunty nec prasgravanti cedendo afcendunt , etiamfiveris fuis ponderibus adaugeant pondus totius 9 comparative tamen & in fenfu vulgi non gravitant in aqua. Nam flmilis eft horum Cafuum Demonftratio. Corol. 7. Qua? de gravitate demonftrantur , obtinent in alils quibufcunque viribus centripetis. Corol. 8. Proinde fi Medium , in quo corpus aliquod. moyetur, Urgeatur vel a gravitate propria , vel ab alia quacunque vi cea- tripeta» 61 corpus ab eadem vi urgeatur fortius: diflerentia virium eft vis illa motrix » quam in prascedentibus Propolitionibus ut vim centripetam conflderavimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius» differentia virium pro vi centrifuga haberi debet. Corol. 9. Cum autem fluida premendo corpora inclufa non mutent eorum Figuras externas, patet infuper, per Corollarium * . Prop. PRINCIPIA MATHEMATICA. %6^ Prop. za, quod fion mutabunt ficum partium interntirum interfe: Limr prbindeque , fi Animalia immergantur . & fenfatio omnis a mota ^^^"''^"**. partium oriatur ; nec laedent corpora immerfa , nec fenfationem ^ ullam excitabunt , niii quatenus haec corpora a comprefljone con- denfari ppfliint. £t par eft ratio cujufcunque corporum Syflema- tis fluido comprimente circundati. Syftematis partes omnes iifdem agitabuntur motibns , ac fi in vacuo conftituerentur , ac folam re- tinetent gravitatem fuam comparativam , nifi quatenus fiuidum vel nmtibus earum nonnihil reufiat , vel ad eafdem compreffione conglutinandas requiratur. PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVI. iV/ Fluiift ci^ufdain denjitas comprejffiom proportionaHs , ^ partes ejus a vi centripeta difiantiis /uis a centro recipro^ ce proportionali deorfitm trabantur : dico quod^ Ji difian" tia illa fumantur continue proportionales , denfttates Flui" j di in iifdem difiantiis erunt etiam continue proportionales, Defignet «iy^T^^ffindum Sphaericum cui fiuidum incumbit , S centrvLm tSt^tSBa SC,S*D,SEi &c. difiantias continue propor* tionales. Erigantur perpendicula ylHt Bl^CK, *DL, EMy ^c, quae fint ut denfitates Medii in locis ^, BjC,*D,E ^ & fpecificae jiH BI CK gravitates in iifdem locis erunt ut -jt"» "gT" » "r^ * ^^* ^^^'*1"^ * perinde eft, ut -j^, -^ ,-^-^,&c. Finge primum has gravitates uniformiter continuari ab ^ ad ^ , a ^ ad C, a Cad 2), &cr fadis per gradus decrementis in punfHs B, C, *Dy &c. Et hae gravitates dudlae in altitudines jiR, B C, CD, &c. conficient prefTiones AH,BI,CK, quibus fundum ATV ( juxta Theorema x v. ) urgetur. Suflinet ergo particula A preffiones omnes AH, Bl, CK, DL, pergendo in infinicum ; & particula B prefliones omnes praeter primam A H\ &. particula C omnes praeter duas primas A H, Bl % & fic deinceps : adeoqne parti- culae prim» A dcnGtzs,AH eft ad particuls fecunds B denfi- Ll tateHfi %66 PHILOSOPm^ NATURALIS IJtMoTp ^*^®"* ^^ "' famma omttiain AH^Bl-hCK^T^L». ia ipfim- ConroKUM tura > ad fummam omnium BJr^rCK^^D £., &c. Et Bl deofi- « tas fecttndae ^ , eft ad CiT denfitatem tertis C, ut fumma omniuiB BJ-^ CK-^ 2) L , &c. ad fummam omnium CK-^-^D L, &c. Sunt igitur fummae illaB difFerentiis fuis yiH, BJ, CK, &c. proporiio- nales , atque adeo continue proportionales > per hujus Lem- 1. proindcque differentiaB AH, BJ,CKt&c. fummis proportioaales, funt etiam continue proportionales. Quare cum denfitates in locis jt,B,Cy &c. fint ut AH^BJi CK,8cc. erunt etiam hae continue proportionales. Pergatur per filtum , & ( ex aequo ) in diftantiis SA,SC,SE continue proportionalibus, erunt denfitates^/f.C/f, EM continue proportionales, Et eodem argumento, in diftantiis quibufvis continue proportionalibus SAiSD^SG, denfitates ^if, fDL,GO erunt continue proportionales. Coeant jam pun^a A, B, C,2), ^, &c. eo ut progreffio graTitatom fpccificarum a fundo ^ad fummitatem Fluidi continua reddatur,& in diftantjis quibuf- vis continue proportionalibus SA,S7>9SG,denCitztes AH, 'DL, G O, femper exiftentes continue proportloiiales , manebunt eliam- num continue proportionafes. ^E.T). Corol. Hinc fi detur denfitas Fluidi in duobus locis , puta A & E , colligi poteft ejus denfitas in alio quovis loco ^ Centro ^i Afymptoiis reftanguris S&, SX, defcribatur Hyperbola' fc- cans perpendicula AH, EM, ^Tin aye,qy ut &perpendicu- la HX, MT, TZy ad Afympto- ton SX demifia , in A , « & f. -A,— Fiat area Z Tm tZzA aream da- tam Tm hX\xt area data Eeq^^ ad aream datam EeaAi & ti- neaZ/produfta abfcindetline- S am ^4 denfitaii proportiona- lem. Namque fi lineffi SA, SE,S^{\int continue proportionales, erunt areae Eeq^, EtaA^uzks, & inde areaB his proportiooa- \esTmtZ,XhmT etiam sequales , & lioeae SX, ST, SZ, id eft jiH, EM, ^r continue proportionales , ut oportct. Et fi liaese «y 3, S E ,S ®^oht\nent alium quemvis ordinem in ferie continoe propor- tioBalium , lineae AH.EM, ^ , ob proporiionales areas Hyper- .bolicas,obtinebuot eundem ordtncto ia alia /erie quantitatum coq. tinujS proportiooalium. *^ PROPO- PRINCIPIA MATHEMATIQA. PROPOSITIO XXir. TROREMA XVIl x6y Sit FhiA cujufdam den/ltas comprefftoni proportiotutlis ^ & . partes ejt^s a graiuitate quadratisy difiantiarum fuarum a centro recitroce proportionali Jeorfum trahantur : dico quod , Jt dtfiantia fumantur itt proftreJfioHe Mufica « den» Jitates Fluidi in his diftantiis erunt in progrejffione Geome* trica. SiCONlMlfc Defictict Jcentnnn, & SA^ SSy SC^ S 2?» «yi: diftafitiis In progreluone Geometrica. Erigantur perpendicula^iir, ^/j CK, &c. qus fint ut Fluidi denfitatesin \oQii jf,BtCf*D,E,8iC. & ipfius gra?ic«tes fpecific« in ii yilf BT CK ,&c: SA^* SBq ' SCf Fioge has gravitates unifonniter continuari , primam ab ^ ad ^, Te* cundam a i^ ad C, tertiama Cad lD,&c. Et h(e duAs in altitu- dines jfB,BC, CD, © E, &c. yel, quod perinde eft , in difttmtia* SA,SB,-SC, &c. altitudinibus illis proportionales , conficient «X" ponemes preftionam -Tr-y» —jg » -jn' » ^^- Qy^^ ^^^ denfitates fint ut harum presfionumfummaB,differentiaedenfitatum////— ^/> yfH BI CK BI^CKjScc. cruat ut fammarum diflFcrcntiaB "c-^i ~SB'*~SC*^^' Li X Centro %ei PHILOSO.PHIiE NATURALIS rCentro S, Afymptotis S^, Sx , dcfcribatur Hyperbola quavis, aax fccet perpendicula yiH, BI, CK, &c. in , «^» &c. ut & fummis dif- ferentiarum As—Cc vel ^*— 2>4, T> d - Ff erunt «auales ; & 5«^*»»»^ propterea difierentiis hifce proportionales arex tblx,xlnz squa* les erunt inter fe, & denfitates Sf,Sx,Sz,idc&, AH, 'DL^ FN, contiaue proportionales. §. ^. ©. Ccrol. Hinc fi dentur Fluidi denfitates duae quxvis , puta AH &Cr^. dabiturarea tbkv,- harum dif&rentis tw refpondens; & inde invenietur denfitas F.Arin ahitudine quacunque SF, fumen- do aream t bn a ad aream illam datam t b kw^ie{i differentia Aa-^Ff zd differentiam Aa—Cc: ScbeHum. Simili argumentatione probari poteft, quod fi. gravitas pariicu- larum Fluidi diminuatur in triplicata ratione diflantiarum a centro; & Quadratorum didantiarum SA^ SB,SC% &c. reciproca ( nem- ^ ^Acub. SAcub^ SAcub.. ^ . ^ a • l • pe ^,^ , ^SB'^ * SCa ^ *^*^^^'^^ ^^ progreffione Arithmeti* ca; deniitates AH, BlyCK^&c. erunt in progreflrone Geome* trica. £t ii gravitas diminuatur in quadruplicata ratione diilantia* rum 3 & cuborum diftairtiarum reciproca ( pura c^ l > ^ p ^f) jrfb * ^^- ^ fu^uantur in progrefEone Arithmetica ; deniitates AH, B I,CK.3 &c. erunt in progreflione Geometrica. Et fic in infi» nitum. Rurfus ii gravitas particularura f luidi in omnibus di- ftantiis eadem iir » & diftafrtias iint in progreiftone Arithmetica , denfitates erunt in rNrogreifione Geomctrica , uti Vir Cl. Edmundus Halleius invenit. Si gravitas fit ut diftantia j & quadrata diftantia* rum iint in progreilione Arithmetica, denfitates erunt in progref- iione Gepmetrica. Et fic in infinitum. Hasc ita fe habent uDiFluidi coroprefnone condenfati denfitas eft m vis comprefTioniS) vel , quod perinde eft , fpatium a Fluido occupatum reciproce m h%c vis. Fingi pofTunt alias condenfationis Leges > ut quod cubus vis com^ primentis fit ut quadrato-quadratum denfitatis , fed triplicata ratio Vis squafis quadruplicats rationi denfitatis. Quo in cafu ^ fi gra- vitas eit reciproce ut quadratum diftantias z centro> denfitas erit reciproce ut cubus diftaiKiae. Fingatur qiiod cubus vis compri* mentis fit ut quadrato-cubus denfitatis , & fi gravitas eft reciproos nt quadratum difianti£>.denfitas erit reciproce in feiquiplicata r^ Ll j. tiooe xyt VHlLO^OPHtM NATORALIB Sk MeTotiooe difiaoda. Fingatur qaod vis compnniens m m aopucita ra- ^^**^*"*tioiie dcnfititis,& graVitas reciproce in rattooe doplicatadiftaiitia?, & denfitas erit redproce «c diftaotia Cafas omnes percorrere longam eflet. PROPOSITIO XXin. THEOREMA XVIir. Si Hmtli ex tarticulis /e tMau$ fugtentibm comp^fai dmjaas ftt ut comprejpo , ifiret centrtfugde particutarum funt reci^ proce proportionales difiantiis Centrorum fuorum, Et vice verfUy particuU viribus quafunt reciproce proportionales dtfiantiis centrorum fuorum fe mutuo fugtentes componunt FMdum Elafiicum , cnjus denfttai eft comprejfiom propor^ tionaiis» Incladi inteliigatur Fluidum^in fpatio cubico jfCE , dein com- pre^ione redigi in fpatium c^bicum mious ace i & particolarum » fimilem fitum inter fe in urro- aue fpatio obtinentium , diitan> « s erunt nt cuborum lateTa ;f jtB, db\ &, Medii denfitates oeciproce ut fpatia continentia i. AB cub. & a b cub. In latere cubi majoris ABC*D capiatur ^uadratum "DT squale lateri cubi minoris d b\ ^ ex. HypO- thefitpresfio qua quadratum *D^ orget Fluidum inc]afum>erit ad presfionem qua latus illud quadratum d b urget Fluidum inclnfum at Medii denfitates ad invicem , hoc efl: , ut 4 ^ eub. tid jf B ciUf. Sed presfio qua quadratum 2> B urget Fluidum inctufum . eft ad presuonem qua quadratum 2) ? urget idem F)uidnm,atqaadratuiii *DB, •A quadratum^T^jhoc efi,ut AB^quad. ad abquad. Ergo» ex squo , presfio qoa latus *D B ui^et Fluidum , eft ad presfionem qua latus db urget Fluidum,ut «^ ad AB. Planis FG Htfgh fper media cuborum duAis , diftingaatur Fluidum in duas partes , & h« fe mutuo prement iifdem viribus, quibns premuntur a planis y#C, «r, hoc eft. in proportione abzd AB : adeoque vires centrifugs , qui* bus hffi presfiones fuftinentur, funt in eadem ratione. Ob eundem particularum numerum fimilemqua fitum in atroque cubo * vires quai particois omnes fecundam plana FGH,fgh exercent inom- nes« PRINCIPU MATHEIVIATICA. *7t: nesi funt ut vires quasfinguls ezercent in fingulas. Ergo vires» Libb&^ quas fingulae exercent in fingplas fecundum pt^anum FG H ih Secokou». cubo majore , funt ad vires quas fingulae excrcent in fingulas fecundum phnumfgb in cubo minore ut 4^ad ^B, hoc eu,re* ciprpce ut diAantise , Ex vice verfa > fi vires particutarum f!ngularura funt reciproce utdiftantis. idefl, reciproce.ut cuborum lateray^j?;^^; fummae virium «runt in eadem ratione , & preffiones laternm 2) B, 4lb ut . fumms virium; & prefiio quadrati 2)P ad prefiionem lateris^ B ut sb^ad. «d AB auad. Et, ex sequo , prefilo quadrati tD 9^ ad preifiQDem lateris dkyxiak fuk. ad jiB c«k, id eft» vi$ comprc^io- nis ad vim compresfionis ut denfitas ad dfniitatem- ^ ^. vP. Scheliuw. , Simili argumento , fi particularum vires centrifug^ fint reciproce in daplicata ratione diftantiarum inter centra, cubi virium cMipri* mentiuna erunt«ut quadrato^quadrata ^eafitatunk • Si vires oeatrir fugs fmt red proce in triplicata vel quaifampIicatA ratione dlftaatit** ram , cobi virium cofnprimcntfum erunt at quadrato-e\ibi vel eu* bo*cubi denficatum. £t univerfaliter , fi D poQatur .pro diilflti(ias & £ pro denfirate Fluidi compresfi ^ Sf, vires centrifo^ (i&t reci^ procc m diftantiae dignitas qualibet D* , cujusiBdex:eft Bttnerw n\ vircs ooi&primefites «rufit 9t iateracubica digBitatisE"*^*;caju$ index eil numerus y-^xs &*cdntra. Inteiligenda vero £uBt hsc omnia de {>articalarum Viribuscentrifugis qme temtttoantur in par-* ticulis proximis , aut noalonge ultra diminduiitor. £^«BpJum habemus in corporibus Magneticis. Hornm Virtus attra6liva ter? minatur fere in fui generis corporibus iobi proximis. MagBStts vir* cus per inrerpofitam laminam ferri contrahicttr., & in lAmina fero terminatur. Nam corpora ult^riora non tam aJV!agnete qtiam jt lamjna trahuntur. Ad«eundem modumfi particuiarfuganft alitsfut generis particulas fibi proximas^in particulas autem remotiores viff tutem nullam exerceant,ex huiufmodi particuiiscomponenturFluir da de quibus adum eft i^ hac rropontione. Quod fi particulas cu- ^ jufque virtusininfiBitumprcpagei;ur,opus ericviraajori adsqualenx condenfationem majoris quantitaiisFluidi. An vero Fluida Elafticft tt particutis fe mutuo fugantibus conftent , Quaeftio Piiyfica eft. Nos proprietatem Fluidorum ex ejufmodi particulis coimanriura Mathematice demonftravimus ^ iit Fhilofophis an£am praebeamus Oua^ionem illam tradtandi. ^ SECTIO %7% PHILOSOPHI^ NATURALIS Ctt MoTU Co&poRmf S E C T I O VL 'De Motu & Rejifientia Corporum Tunefenddmtm, PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX. ^uantitatei materla in ctrporibus fmependaUs , quorum centra ofciUationum a centro fufpenjiofiis aquatiter dfiant^ funt in ratione compojita ex ratione ponderum ^ ratione dupUcata temporum ofctHationum in vacuo, Nam relocitas , qtiam data vis in data materia dato tempore ge- . nerare poteil , eil ut vis & tempcis direde , & materia'inverfe. Qao major eft vis vel majns tempus vel minor mat«ria, eo ma- jor generabitur velocitas. Id quod per motuS Legem fecundam mamfefium eft. Jam vero fi Pendula ejufdem fint longitndinis, vires motrices in locis a perpendiculo squaUter diftantibns funt nt pondera : ideo<}ue ii corpora duo ofciJlando defcribant arcus aequdes , & arcus ilii dividantur in partes aequales ; cum tcmpora quibus corpora defcribant fingulas arcuum partes correfponden* tes fint ut terapora ofciUationum totarum , erunt velocitates ad invicem jn correfpondentibus ofcillationum partibus , uc vires mo- trices & tota ofciUationum tempora direde & quantitates materi» reciproce : adeoque quantitates materis ut vires & ofciUationum tempora direde & velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce funt ut tempora , atque adeo tempora direde & velocitates reci' proce funt ut quadrata temporum , & propterea quantitates ma- teriae fiint ut vires motrices & quadrata temporom , id efi, nc pondera & quadrata temporum. ^. E. 7). C«rot. I. Ideoque fi tempora funt aequalia, qnantitates materis in fingnUs corporibus erunt ut pondera. Corol. 2. Si pondera funt squalia, quantitates materiae ernnc nc quadrata temporum. ^»•01. 3. Si quantitates materiae aequantur, pondera enmt red- proce nt quadrata temporum. ' Coroi» ' PRINCIPIA MATHEMATICA. »7J tl&rol. 4. Unde cum quadrata temporuni , csteris paribus ♦ fmt ut Lime longitudines pendulorum ; ii & tempora & quantitates materis Secunihi«% .lequalia funt, pondera erunt vx longiiudines pendulorum. Ctrrol. 5. Et univerfaliter , quantitas materiaB penduls eft ut pon- dus & quadratum temporis direde > & k>ngitudo penduli inverfe. Corol. 6. Sed & in Medio non refiftente quantitas materisB pen- dulx eft ut pondus comparadvum & quadratum temporis diredc & longitudo penduli inverfe. Nam pondus comparativum eft vis motrix corporis in Medio quovis gravi , ut lupra explicui j adeo- que idem przftat in tali Medio non refiftente atque pondus abfoiu- tum in vacuo. Coroi. 7- Et binc Hquet ratio tum comparandi corpora inter fcp quoad quanticatem materiae in (itigulis ; tum comparandi pondera ejufdem corporis in diverfis locis , ad cognofcendam variationem gravitatis. Fadis autto experimentis quam accuratiflimis inveni femper quanticatem maceris in corporibus fingulis eorum ponderi pro|>ort4onalem e0e. : PRO^O$ITiO ,XXV,..THEOREMA XX. Corpota Funependula qmbus^ in Medto quovis reftfitturin ratione momentorum temporis , ^ corpora Funependula . qua in ejupdem gravitatts Jpecifica Medio non refijiente moventur , ofcillationes in Cycloide eodem tempore perm ^urtt , ^ arcuum partes proportionales fimul defcribunt. Sit AB Cycloidis arcas , quem corpus 1Z> teaipore quovis in Medio non refiftente ofcillando . defcribit. Bifecetur idem in C > ita ot C Ht infimum ejus pnniftttm ; & erit ▼is acceleratrix qua corpus urgetur in lo- co quovis !D vel ^ vel E ot longitudo arcus C2> vel Cd vel CE. Exponatur vis illa per eondem arcnm ; & cimi rcMentia £it ot momentum temporis > adeoqoedetor , expona- Mm tor »74 PHILOSOPHIiE NATURALIS l>e M6rv ^^^ eadem per datam arcus Cycloidis partem C0^& famatar arciM CoAMEUM O^in ratione i^d arcam CD quam habet arcus OjB ad arcum CBi & vis qua corpus in d urgetur in Medio refiftente > cum fit excef-, (m vis C^fupra reliftentiam COy exponetur per arcum OJ, adeo* que erit ad vim qua corpus 7) urgetur in Medio non refiftente» in K>co 7) ) ut arcus O^/ ad arcum C 2) ; & propterea etiam in loco £ ut arcus O^ ad arcum C £. Proinde & corpora duo, ©, 4 «xeant de loco B , & his viribus urgeantur : cum vires fub initio fint ut arcus CB & OB^ erunt velocitates prinue & arcus primo defcripti in eadcm ratione. Sunto arcus illi B7) & Bdy & arcus reliqui CT)^ O d erunt in eadem ratione. Proinde vireSf ipfis CTi^Od proportionales , manebunt in eadem ratione ac fub initio» & propterea corpora pergent arcus in eadem ratione fimul defcri* bere. Igitur vires & velocitates & arcusre* Jiqui C jD , Od feniper erunt ut arcus toti CB^ OBf & propterea ar- cus illi reliqui fimul defcribentur. Quare corpora duo 7)^d R- xnul pervenient ad lo- ca C & O , alterum quidem in Medio non refiftente ad locum C> & akerum in M^dio refidente ad locum 0. Cumautem velocitates in C & O fint ut arcus CJ?, OBi erunt arcus quos corpora ulte- rius pereendo fimul defcribunt , in eadem ratione. Sunto illi CE Sc O e. Vis qua corpus © in Medio non refifl:entc retardatur in E eft ut CE^ & vis qua corpus d in Medio refiftente retardatur in e eft ut fumma vis Ce & refiftentias CO^ id eft ut O^ ; ideoque vi- «cs^. quibu^^rpora retardantur » funt ut arcubus CE^ Oe propor* tioDales arcus CBy O B ; proindeque velocitates , in data illa ra^ tione retardata» , manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitqr & arcus iifdem defcripti femper funt ad invicem in data illa ratione arcuum CB & 0 ^ ^ & propterea fi fumantur arcus toti jiB^ a B \ix eadem ratione , corpora !D> d fimul defcribent hos arcus, & in loci^ ASc a motum omnem fimul amittent. Ifochrons funt igitur ofcillationes totas, & arcubus totis B Ay Ba propor- tiotiales funt arcuum par»es qusBlibet BD^Bd yelBE^Be qaae fimul 4efcribantar. &. E. "D. Coro/ N PRINCIPIA MATHEMATICA. x^f Corol. Igitur motus vclocifliraus in Medio refiftente non incidit 1^«»«* in panftum infimum C, fed rcperitur in punAo illo O, quo arcus**^^*^ totus dcfcriptus aB bifecatur. Et corpus fubinde pergendo ad a^ iifdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in defcenfu fuo z £ zd O. PROPOSITIO XXVI. THEOREMA XXI. Corporum Funependulomm quibus refifihur tn ratione velo» chatum, ofallattanes in Cjchtde funt Ifochrona^ '1 • • • Nam (i corpora duo , a centris fufpeniionttm squaliter diftan^ tia, ofctllando defcribant arcus inaequales, & veiocitates in arcuam partibus correfpondentibus fint ad invicem ut arcus toti : refiften** tiae velocitatibus proportionales , erunt etiam ad invicem. ut iidem arcus. Proinde fi viribus motricibus a gravitate oriundis » quar finf ut iidem arcus , auferantur vel addantur h« xcfiftentiae , erttnt 4^^ ferenti» vel fummae ad invicem in eadem arcuum ratione : cumqas velocitatum incrementa vel decrementa fint ut hx differentise vel famms , velocitates femper erant ut arcus toti : Igitur velocitateSt fi finc in aliquo cafu ut arcus toti » manebunt femper in eadem ratione. Sed in ^ principio motas , uIh corpora itcipiunt defcol* idere & arcus illos defcribere , vires , cum fint arcubus proportto* nales , generabunt velocitates arcubus proportionales. £rgo velo^ citates femper erunt ut arcus toti defqribendi , & propterea arcut illi fimul defcribentur. ^ £. ^. PROPOSITIO XXVn. THEOREMA XXIL Si Corporibus Funependults reftfiitur in duplicata ratione. ve» locitatum , dtfferentfa ittfer tempora, ofcillationum in Me" dio refifiente ac tempora ofciUationttm in ejufdem gravi' tatis fpecifica Medto non reftfiente , erunt arcubus ofciU lando defcriptts proporiionales , quam proxime, Nam peodulis squalibus in Medio refidente defcribantur arcus insquales A , B ; & refiftentia corporis in arcu A , eric ad refifien- tiam corporis in parte correfpoodente arcus B , in duplicata ratio- ne velocttatum , id efl^ ut A A ad B B , quara proxime. ^ refi* Mm % ftentit » ■> *7^ PHILOSOPHIiE NATUR ALIS Oi Mofv ftentia in arca B eflet ad refiftentiam in arca A ut A B ad A A » CoapoAUM tempora in arcubus A & Bforent zqoalia. per Propofitionem fu- periorem. Ideoqoe refiftentia A A in arcu A » vef A B in arcu B^ eflicit excefTum temporis in arcn A fupra tempns in Medio noo refiftente; & refidentia BB efficit excemim temporis in arca B fn.- pra tempus in Medio non refiftente. Sunt autem excefttis ilii ut vires emcientes AB & BB quam proxime, ideft, uc arcas A & B. g. E. ©. Orol I. Hinc ex dlcillationom temporibusy in Medio refiftente» in arcubus inxqoalibus fadarum , co^ofci pofliint tempora ofcil- lationum in ejufdem gravitatis fpecificx Medio non refiftente. >Iam dif&rentia temporum erit ad excefTum temporis in arca mi- nwe fnpra tempus in Medio non refiftente , ot dimrentia arcuum td arciim minorem. Corol X. Ofcillationes breviores funt majgis Ifochronz . & bre" v>f&me iifdem temporibus peraguntur ac in Medio aon refiften*^ te , quam proxime. Earum vero qvat in majoribus arcabos fiunc, tempora funt paulo majora , propterea quod refiftentia in defeeo- fu corporis qua tempus producitur , major fk pro ratione longito- dinis in defcenfn defcriptae, quam refiftentia in afcenfu fubfeqoen- te qtra tempus contrahitur. Sed & tempus ofciliati vium quam longarum nonnihil .produci videtur per motnm Medit. Nam corporibus tardefcentibus paulo mtous refiflitnr , pro ratione velocitatis , & corporibiis acceleratis paulo magis quam iis quie uni- formiter progrediuntor: id adeo quia Medium, ee quem a cerpo- libus accepit motu , in eandem plagam pergendo , in priore cafo magis agitatur ; in pofteriore minus ; ac proinde magis vel minos cum corporibus motis confpirat. Pendulis ijptur in defcenfo magis^ refiftit , in a^enfo OMnus quam pra ratione velocitacis » & ex otr*- que caufa tempos pcodttcitur. PROPOSITIO XXVm. THEOREMA XXItt S/ Corport funependuh tn Cyclotde ofittbnti refiftitur in ra^ lione momentorum remporis , eriit ejus refiftejotta aetvim gravitatis ut exceffu» arcus diefcenfii toto defcripti fitpr» arcum afienfu fitBfiquente defirifitum^ adpendtdi htegi'-^ tttdinem duplicatam» Defignet B C arcom defcenfo defcriptom , Ca arcom afcenfa de- icriptum^ & jia diiOferentiam arcuoin: & ftancibus qoc in Propo- ikiooe PRINCIPIA MATHEMATICA. *77 fitione xzv. conftroAa & demonftrata fiint -, eric vis i^ua corpi» I#mm ofcillans urgetur in loco quovis 2> , ad vim refiftentix ui arcus SicuHDua* C2> ad arcum CO , qui femiflis eft difterentis illius jfa. Ideoqoe vis qua corpus ofciltans urgetur in Cycloidi^principio feu punck> aftiffimo» id eft, vts ^ravitatis, erit ad refiftentram ut arcus Cy« cloidis inter punflum illud fupremum & punAum infimum CaA arcum CO ; id eft C fi arcus duplicentur) ut Cycloidis totius arcus^, feu dupU penduli tongitudo» ad arcum ^a. ^E.T). PROPOSiTio XXIX. proble;ma vl Pojffo qmd Corpori in Cyctoide ofctUanti reftftitur in dft' fJkata ratione velbcitatis : invenire reftftentiam in locis ftngulis, Sit Ba C Fig. Prop. xzv. ) arctis ofcillatione integra defcriptas » fitqae C innmum Cycloidis punctum , & C2f femiffi» arcus Cycloi- dis totius ^loog^tudini Penduli zqualis % & quzratur reiiftentia coc» \ i ( I poris in loco quoTis 2). Secetur reda infinita O^ in pundis 0, ^»^» ^' ea legeut (fi eriganrur perpendiculaO^, CTy y/, ^E\ cemroque O & AfyroptotisO J^,0^defcribatur Hyperbola T^/G i? fecans perpendicula CTy Tl, §E in 7*, / & jE, & per punftom / agatur A* F parallela AfymptotoO ^occurrens Afymptoto O j^ in K, & perpendiculis CT& ^E in L& i^ faerit area Hyperfeolica TIE^z^ aream HyperboHcam TITCut arcus ^Cdefcenfu cor^ poriis deferiptus ad arcumr C^ afcenfu defcripnim > & area^/^/^^d Mm- j aream tjt PHILOSOPHI^ NATURALIS Di MoTotretfn ILT at O ^ ad O C Dein perpendicalo MN abfcindatur Co&poROtf area Hyperbolica TINMqwa iit ad aream Hyperbolicam TIE^ ttt arcus CZ ad arcom B C defcenfu defcriptum. £t ii perpendi- cttlo RG abfcindatur area Hyperbolica 7/Gi?, quae iit ad aream SP / £ ^ ut arcus 'quiiibet C*D ad arcum B C defcenfu toto de- jbriptum : erit refiflentia in loco 'D ad vim gravitatis , ut area ^IEF-IGH zeLtiX^mTIENM. JNam cum vires a gravitateoriundsquibuscorpusinlocis^,^,^, 4 urgetur,fint ut arcus CZ, CB» CD, Caj&i arcusilU fmt ut ares TINM, TIE^, TIGR^TITCi exponantur tum arcus tum vifes per has areas refpe^ve. Sit iniijper SD ^ fpatium quam mioi- mum a corpore defcendente defcriptum, & exponatur idem per aream quam minimam RGgr paralielis RG, rg comprehenfam -, & pro* ducatur rg ad /&,ut fint GHbg,& RGgr contemporaneaarearum IGH,TIGR decremenia. Et are« ^/i&iJ'_/G/7incremcn. tum GHbg -^IEF. feu RrXHG -^ lEF, eritad are« TIGR decrementum RGgr feu RrXRG , ut /7G - ^^ td RGi adeoqne ut ORxHG -^IEFzd ORy.GR fen OPxy/,hoceftrobaBqua!iaO^X//G,0/2X//^— O^XGi?. ORHK'-OTIK, TIHR & VIGR^IGH) m 7>IGJi-h IGH-^IEFtiiOTIK. Igitttratrea^/£/:'-/Gi/ dicatnr FRINCIPIA MATHEMATICA; 179 dicatur Y, atque are« TIGR decrementum /2G^r detur, erit l«iji incremen tum are« Y \x cum refiftentia ( per Hypo* thefin^ fic ut quadratum velocitatis, incrementum refiftentide(per Lem. ii.^erit ut velocitas & incrementum velocitatis conjunoim» id eft 9 ut momentum fpatii & V — R conjunAim ; atque adeo 9 fi momentum (patiidetur , ut V~R ; id eft, fi pro vi V fcribatur ejus exponens TIGRj & refiftentia R exponatur per aliam ali^ quam aream Z, ut TIGR — Z. Igitur area T I G R per datorum momentorum fubduAronemf unitormiter decrefcentCf crefcunt area Y in ratione y/GiJ— Y, & area Z in ratione TIGR^Z. Et propterea fi are« Y& Z fi- mul incipiant & fub initio aeouales fint , hs per additionem a&qua* lium momentorum pergent &k aequales, & squalibus itidem mo« meatis fubinde decrefcentes fimul evanefcent. £t vicifidm ^ fi fimul incipiunt & fimul evanefcunt , aequalia habebunt momenta & fem* per erunt squales : id adeo quia fi refiftentia Z augeatur , veloci- tas una cum arcu illo Ca y qtii in afcenfu corporis defcribitur^ dr* minuetur ; & pun6io in quo motus omnis ima cum refiftentia cefiTat propius accedente ad punAum C , refiftentia ejus evanefcet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi refiftentia diminuitur, Jam vero area Z incipit definitque ubi refiftentia nulla eft, hoc eft , in principiQ & fine motus,ubi arcus CD, C7> arcubus CB & Ca «quantur , adeoque ubi refta R G incidit in reftas ^E & CT. Et area Y feu ^^ lEF^IGH incipit defmitque ubi nulla eft, adeoque ubi ^-g IEF& IGH aqualia funt: hoc eft ( per con- ilruaionem} ubi refta R G incidit in rceas ^E &:CT, Proindeqoe areae ills rimul incipiunt & fimul evanefcunt » & propterea fenv> per funt aequales. Igitlir area =-^ lEF—lGff «qualis cft areaj Z , per qoam refiftentia exponitur , & propterea eft ad aream T^INM per quam gravius exponitur , ui refiftentia ad gravita- xto PHILOSOPHIiE NATURALIS IlcMofa Cprol. t. Eft i^tui^ refiftentia in loco infiino C t^ catis , ut area ^IEFtd aream TINM. Corol.u Fit aucem maxima » ubi area T I H R eft ad aream 7 £ jp ut Oi? ad O^ £o enim io cafu raomentum ejus (of- mirum TIGR—Y) evadit nuilum. G?r^/. 3. Hinc etiam innotefcit velocitas in locis fingulis: quippe qus eft in fubduplicata ratione refiflentias > & ipfo motus inicio squatur velocitati corporis in eadem Cycloide abfque omni re- fiitencia ofcillantis. Caeterum ob dilficilem calculom quo refiftentia & velocitas per hanc Propofitionem inveniends funt , vifum eft Propofitionem fequentem fubjungere> quae & generalior fit & ad ufus Pliiloib- phicos abunde fatis accurata* PROPOSITIGXXX. THEOREMA XXIV. Sj re&a sl B aqaalis/it CyMdis arcut qtiem corpus ofciUau* do defcrihit , Sf adjingula ejus pun6ia D erigantur per" pendicula D K , quaftnt ad longttttdinent PenduU ut rC" Jiftentia corporis i» arcuspunSis correfpondentibus advim gravitatis,' dico quod differentut inter arcum dejcenfu to^ to defcriptum , & arcum afcenfu toto fuhfeqtunte defcrip* tum , auBa in arcuum eorundem femifummam , ^quaVts erit area BKaB ^ perpendiculis omnihusDK occupat^» Expooattnr enifn tam Cydoidls arcns , ofcinatione integra de- fcriptus, per redtam illam fioi squalem a B, tum arcus qui defcri- beretur in vacuoper lon^tudinem jtB. Bifecetur^fi in C» & pundum C reprsientabit infimum Cycloidis punAum . & erit CD vt vis a gravitate oriunda^ qua corpus in 7) fecundum tangentem Cycloidis urgetur , eamque habebit rattonen ad iongitadinem Pen- duli qnam habet vis in *D ad vim gravitatis. Exponatur igitar vis illa per longitudinem C2), & vis gravitatis per longitndinem pen- ^9 & fi iQ 2) £ capiatur tD ^ in ea ntione ad longitudinem penduli PKiHCmA MAT^HEMATICA. itfi pefiduli qoam habef refifteiftia ad gravitatem • critT) iC exponens LiVeit" reffiftemiaB. Centro C & intervallo CA vel CB conftruatur Semi- Secuhdw circulus B EeJ. Defcribat autem corpus temppre quam minimo fpatium ©^, & eredis perpendiculis T)E^ de circumferentiae oc- currentibus in E &: e^ erunt haBc ut velocitates quas corpus in va- cuo, defcendendo a punfto B , acquireret in locis © &l d. Patet hoc per Prop. lii. Lib. r. Exponantur itaque hae velocitates per perpendicula illa ©J?, de\ fitque "D F velociras quam acquirit in !Z) cadendo de B in Medio refiftente. Et fi centro C & interval- \o C/^defcribatur Circulus FfM occxxTrens reftis de & yfB in f8c My erit M locus ad quem deinceps abfque ulteriore refiftentia at cenderet , & df velocitas quam acquireret in d. Unde eiiam fi Fg defignet velock^tis-aiQmentum quod corpus ©, defcribendo fpatium quam minimum 2)\/^ ex refiftentia Medii amittit ; & fu« • matur €N ^qualis Cg : erit iV^lbcus ad quem corpus deinceps abf- que tflteriore refiftentia afcenderet^ & MN erit decrementum af- cenfus ex velocitatis illius amifliotie priundum. Ad ^/demittatur perpendtculum. Fm r & velocitatis.© F decremeirtum Fg a refi- ftentia ^DjfiTgenitum , erit ad velocitatis ejnfdem incrementum />0 a vi C7) genitum , ut vis generans Tf K ad vim generantem C2). Sed & ob.fimiJia trian- gula Fmf, Fhg , FT^C, eAfm^d Fmfeu 7)d, m^Dd, utC© zdDFi & ex aquo Fg zdDd vit T>K zd^DF. Item FbzdFgntDFzdCFi & ex aequo perturbate, Fb feu MNzd "Ddnt ^K ad CFfeu CCH; ideoque fumn» omnium MNy.CM «qualis erit fummae omnium IDdXDK, Ad punftum mobile M erigi femper intelligaturordi- nata redlangula aequalis indeterminatae CM , qus motu continuo ducatur in totam longitudinem /ia\ & trapezium ex illomotu de« fcriptum five huic aequale rciSaTigulum jfaX^aB asquabitur fum- mae omnium MNxCM^ adeoque fummas omniuip ^^X2)jr, id eft, areae BK kl^Ta. ^: E.D. Corol. Hinc cx lege refiftentiae & arcuumCi/, CB difFerentia Aa^ colligi poteft proportio refiftentias ad gravitateni quam pro- xime. • Nn Nam t %H FHlL0SOPHt4E: NATUKAUS Dc MoTo Nam ii uniforims fit refifleoti» VK» Fignra « ^ iCi Treaaogo- G9M9WU lum erit fub iB4 & ^^; & inde re^aogulum fub jBs&jis erit «iquale reiflangttlo fub i^o & Z^/T.&^^ATscqualis eritf ^tf. Qyare cum 7)K £^ exponeDS re(iftentia&, &.loogitudo penduH exponeos gravitatis > erit refiilentia ad gravitatem ut i Aa ad longitudinem Fenduli ; omnino ut in Prop. xxviii demonftratum efl. . Si refiftentia fit ut velocitas, Figura «-ff AT^rEUipfis erit quao» proxime. Nam fi corpus , in Medio non refifiente > ofcilUtione integra defcriberet longitudinem B Ay velocitas in loco quovis Z) foret ut Circuli diametro AB defcripti ordinatim applicata 2> E, Proinde cum ^4 in Medio refifiente , & i? ^ in Medio nonrefi- ilente, squalibus circiter temppribus defcribantor { adeoque velo- citates in ungulis ipfius ' j^tfpuo^is, fint ^uam proxime ad velocitates m pun^is correfpon- dentibus longitudinis ^^,ut eft B qua^ eft diJSTe- rentias illius pro loi^itudine arcus. CoroL 5. Ideoque fi y pend|^)o inaq^uafes arcus fncceffive deicri* bente^ inveniri poteft ratio incrementi ac decrementi difterenti^ hujus pro Fongitudine arciis dercripti ; habebitur etiam ratio incres meati ac decr;:menti refiftentiae pro velocitate majore vel minore. N n a Scbokum \ x&t: PHILOSOPHIiE NATURAM» De Moto o f f. ^ # C^poAUtf ScbQlmm QeneraU. Ez his Propontionibus , {>er ordltatioBes PendfiTorum iii M edii? quibufcunque , invenire licet refiftentiam Mediorum. Aeris vero refiftentiam invefligavi per Experimenta fequentia. Globum lig* neum pondere unciarum Romanarum s7h 9 diametro digitorum Londinenfium 6^ fabricatuny, fiio tenuii ab unco fatis firmo fufpen- di, ita ut inter uncum & centrum ofcillationis Globi diflantia efTet pedum 107. In filo punAum notavi pedibus decem & nn- cia una a centro fufpenfionis diftans } & e regione punAi iUius Col)o<;avi Regulam in digitos diftinAam • quorum ope ootarem longitudines arcuum a Fendulo defcriptas. Deinde numeravi of- cillationes quibus Globus oAavam motus fui partem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendiculo ad diftantiam duorum digitorum 3 & inde demittebatur ; ita ut toto fuo defcenfu defcri* beret arcum duorum digitorum y totaque ofciHatione prima 3 en *' defcenfu & alcenfu fublequente compofita, arcum digitorum. fe« re quatuor t idem ofcilktionibus i6i amifit odavam motus fui partem, (ic ut ultinK) fuo afcenfu defcriberet arcum digiti unius cum tribus partibus quariis digitt. Si primo defcenfu defcripfio ftrciini digitorum quatuor ; amific o<5lavam motus partem oicilla- cionibus iii, ita ut afcenfu ukima defcriberet areum digitorum 3J. Si primo defcenfu defcripfit arcunv digitorum oAo^ fexdecimv triginta duorum vel fexaginta quatuor ; amifit oAavam iBOtus partem ofcrHationibus 69, 35*^, igf, ^i, refpe6^ive. Igitur diffe- rentia inter arcus defcenfu primo & afcenfu ultimo defcriptos^ erat in cdfb primo^ fecundo, tertio, quarta, quinto, fexto, d^ fiitorum •; 3 4 1 I9 ^ 9 4» S refpeAive. Dividantur eas diflferentiaB per Bumerum ofcillationum m cafu unoquoque > & in ofciltatione tona mediocri,q»a arcus digitorum^}, /-J , if , jo, 60,1 xo defcrip- ti)s fuit^ differentia arcuum defcenfu & fubfequenre afcenfu de«- feriptorum , erit ^y^» ^» ^^ -^^^—^ ^ partes digiti refpeAive. Ha& iutem in majoribus ofcillationibus funt in duplicata ratione ar* cuum d:efcriptorum quam proxime , in minoribus vero pauto ma^ iores quam in ea ratione: & propterea (pfer Cwol. 2. Prop^xxxc X-ibri hujus) refifteniia Globr , ubi celerius movetur, eft in du* plicata ratione velocitatis quam proxime ; nbi tardius ^ paulo ma*^ )or quam in ea ratione. Deiignct PRINCIPIA MATHEMATICA. x»5 Defignet jam V velocitatem maximam in ofciHatione quavis, Libbr fintque A, B, C quantitates datffi , & fingamus quod difFerentia ^^*^"*"^"** arcuum fit A V-hB Vf-»-C V*. Cmn velocitates maxims fint in Cycloide ut femifles arcuum ofcillando defcriptorum , in Circu- b vero ut femiifium arcuum illorum chordac , adeoque paribus arcubus majores fint in Cycloide quam in Circulo , in ratione fe- mifiium arcuum ad eorundem chordas ; tempora autem in Cir- culo fint majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reci" proca ; patet arcuum differentias ( quae funt ut refifiientia & qua- dratum temporis conjunc^im ^ eafdem fore, quamproxime, in utra* que Curva : deberent enim difierentiae illse in Cycloide augeri , ana cum refiftentia , in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa fimplici au6^am ; & dtminui , una cum quadrato temporis . in eadem duplicata ratione. Itaque ut redu(^o nat ad Cycloidem , esedem fumendae funt arcuum differentis quae fherunc m Circulo obfervatz, velocitates vero maximae ponenda? fant arcubus dimidiatis vel integris , hoc eft, numeris i , i . %, 4f S , 1 6 analogae. Scribamus ereo in cafu fecundo , quarto & fex- to nunaeros i , 4 & 16 pro V , & prodibit arcuum difTerentia -I-=A-4-B-j-Cincafufecundo; —^— 4A-H8B-H16C inca- IX I 35r fu Iquarto; & — = i6A-»-64B-*-i56 C in cafu fexto. Et ex hfs squationibus , per debttam collationem & reduftionem Analyticam , fit A=o,oooo9i6 , 6=0,0010847, & C= 0,0019558. Efligitur dififerentia arcuum ut 0,0000916 ^-4-6,0010847^^-^-0,0029558^':? & propterea cum ( per CoroUarium Propofitionisxxx) refiflentia Globi in medto arcus «fcillando defcripti , ubr veloeiias cfl: V , fit ad ipfius pondusutf^AV-i-ifBV-i-t-i C V*ad longitudinemPen- duli ; fi pro A, B & C fcribantur numeri inventi , fiet refiftentia GIo- bi ad ejus pondus, ut 0,0000533 V-+-o,ooo7546Vi -1-0,0021169 V* ad longitudinem Penduli inter centrum fufpenfionis & Regulam , id efl, ad ixi digitos. Unde cum V ra cafu fecundo defi^nct i, in quarto 4, in fexto 16 r erit refiftentia ad pondus Globi in cafu fecundo ut o.oo^or^^ ad i»i , in quarto ut 0,041740» ad 1*1 , io fexto ut 0,61675 ad iti. , . r - c Arcus quem punftum in filo notatum m cafu fexto deicnpfat » erat lao — %■ feu 11 94 digitorum. Et propterea cum radius efTet lix digitorum, & longitudo Pendull inter punftum fufpcnfionw Nn 3 . « %t6 PHILOSOPHIiE NATURALIS Dc MoTtj^ centnim Globi eflet 126 digTtoramf arcus quemcentrum Globi Coaf o&uif defcripfic erat 1x4^ digitorum. Quoniam corporis ofcillantis veloci* tas maxima t ob reuftentiam Aeris » non incidit in pundum iniimum arcus defcripti , fed in medio fere loco arcus tocius verfatur : hxc eadem erit circiter ac fi Globus defcenfu fuo toto in Medio non refiftente defcriberet arcus illius partem diraidiam digitorum 62^ , idque in Cycloide , ad quam motum Penduli fupra reduximus : & propterea velocitas ilia BBquali s eric velocitati quam Globus 3 per* pendiculariter cadendo &caftt fuo deicribendo altitudinem arcus lilius finui verfo aequalem , ac^uirere poflec. £(l autem finus ille verfus in Cycloide ad arcum ifiom 6xii ot arcus idem ad penduli longitudinem duplam ^52 » & propterea «qualis difficis 15 ^ 278. Quare velocitas ea ipfa efi: quam corpus cadendo & calu fuo fpacium 159x78 digitorum defcribendo acquirere pofiTet. Taliigiturcum velocitate Globus refiftenciam patitur 3 raefata cum velocitate progredientis ad ip- fius pondus,ut 0956751 ad xij^^ id eft, uc i ad 376^^. Unde cum pondttS^Globi aquei » quo tempore Globus cum velocitace onifor* micer continuata defcribat longitudinem digitorum 30,556 veloci- > tatem iilam omnem in Giobo cadente generare poflet , manifeftum eft quod vis refiftentias eodem tempore uniformiter continuata collere poflec velocitatem minorem in ratione i ad 376^-^9 hoc eft» ▼elocitatis cotius partem — ^. Et propterea quotempore GIo* bus t ea cum velocitace uniformiter continuata, longitudinem Ce^ fnidiametri fuae, feu digitorum 3^» defcribere polTetjeodem amrc- terec motus fui partem w *^ 334* Numerabam etiam oCcillatioties quibus Pendulum quartam mo- tvs fui partem amiiit. In fequente Tabuh numeri fupiiemi deno* tant longitudinemarcus defcenf\i primo deCcriptij in di^s & par- tibus digitl expreflam : numeri medii figpificanc longitudioem ar- CQS afcenftt ultimo defcripti ; & loco iniimo fianc nnmeri ofcilla- fioBci». Expcrimentum iefcnpit lanquam magis acctn^atuai q«aa cum motiis pars tantom odaiYa aaittecetjar. CalculBm tentet qoi ^wlet. ^efcem- PRINCIPIA MATHEMATICA. xtr ^fitn/kt primu$ a 4 g i< jx ^4 j^,„g jlfeenfux uWmus I7 J 6 \% »4 48 SicvMDUt; Numerut OfiUUt. 374 47* i6i-5 83-2 41J xij Poftea Globum plambeam , diametro digitonim 2 , & pondere nnciarum Romuuarum 26- , fufpendi filo eodem , (ic ut inter cen- trum Giobi & pundum lufpenfionis intervallum eflet pedum lo^ , & numerabam ofcillationes quibus data motus pars amitteretur. Ta« bularum fubfequentium prior exhibet numerum ofcillationum qui- bus pars odaya motus totius ceiTavit ; fecunda numerum ofcifiatio* num quibus ejufdem pars quarta amifla fuit. IDeJcenJus primus i 3 4 8 j6 32 64 Ajcenfus ukmus | •; l\ 7 14 x8 55 Numerus OfiiUat. %xb ii8 193 140 90* 53 30 ^efienfiis primus i a 4 8 16 jx (^4 ^Afienfiis ulttmus \ liS ^ >>' H 48 JHumerus OfiiUut. 510 518 410 318 104 \x\ y & exponendo velocitates maximas in his dbfervatio» nibus particulatim per numeros i, 4, i6 refpeAive » & generali' ter per quatititatem V ut fupra : emerget in obfervatione tertia - ' X A-4- B-f-C , in quinta — r =4^^A^ 8 B -t- 16 C , in (eptima «93 90r _ ' z: i5 A -4- 64 B -H 156 C. Hs vero «qttationes reduftx dant A= 0,001414,6= 0,000297,^ = 0,000879. Et inde prodit reii- ftentia Globi cum velocitate V moti , in ea ratione ad pondus fuum nnciarum x6 '^, quam habet o, 0009 V •+■ 0,000107 V-i-+- 0, 000659 V* ad penduli longitudinem i^i digitorum. Et fifpedemus eam fa> himmodo refiftentis partem qux ell in duplicatarationevelocitatis, haec erit ad pondusGIobi ut o,ooo6f^ V'ad ixi digitos. Erat au* tem haec pars refiflentis in experimento primo ad pondus Globi lignei unciarum 57^» ut 0,001x17 V*ad ixi : & inde fit reiiftentia C^obi lignei ad reiiftentiam Globi i>lombei(paribus eorum velocita* tibu9}ut 5-7^ , itt 0,00x117 ad 26; in o, 0006^9, id eft, ut 7^ ad i. Diametri Globorum duorum erant 63 & x aigitomm , & narom tuadrata funt ad invicem ut 47^'&4,fea iif^ & i quamproxirae. Tgo reiiftentiz Globorum squivelocium erant in minore ratione qoaiD doplicau diametrorum. At noiidam confideravimos reft* ftentiam %n PHILOSOPHIiE NATURALI8 De m o tu ftentiam fili ^ quae certe permagna c{rar, ac de pendulonim mven- Go&pQRUM ca refiftentia fnbduci debet. Hanc accurate definire non potui 9 fed majorem tamen inveni quam partem tertiam refiftentis to- tius minoris penduli -, & inde didici ^uod refiftentis Gioborum $ dempta fili reriftentia> funt quam proxime in duplicata ratibne dia« pietrorum. Nam ratio 77—7 ad i — 7, feu loj ad i , non longe abeft a diametrorum ratione duplicata n-f^ ad i. Cum refiftentia fili in Globis majoribus minoris fit momenti^ tentavi etiam experimentum in Globo cujus diameter erat 18} di- gitorum. Longitudo penduli inter punflum fufpenfionis & cen- trUm ofcillationis erat digitorum i2.x^ inter punAum fufpenfionis & nodum in fiio 1097 dig. Arcus primo penduli defcenfu.a do- do defcriptus, 3 ^ dig. Arcus afcenfu uitimo poft ofcillationes quin- que ab eodem nodo defcriptus , x8. dig. . Summa arcuum feu ar* cus totus ofciilatione mediocri defcriptus , 60 dig. Differentia ar- cuum 4 dig. Ejus pars decima feu differentia inter defcenfum & ^ afcenfum in ofcillatione mediocri f dig. Ut radius 109-2 ad radium xxxri ita arcus totus 60 dig. ofcillatione mediocri a nodo defcrip- tus , ad arcum totum 6y-^ dig. ofcillatione mediocri a centro Glo- bi defcriptum .- & ita differentia f- ad difterentiam novam 034475*« Si lon^itudo penduli , manente longitudine arcus defcripti , auge- retur m ratione iz6 ad 12x7; tempus ofcillationisaugerftur & ve- locitas penduli diminueretur in ratione illa fubduplicata , maneret vero arcuum defcenfu & fubfequente afcenfu defcriptorum diffe- rentia 0, ^^/f. Deinde fi arcus defcriptus augeretur in ratione 1x4^^, ad 67^ , differentia ifta 0.4475 augeretur in duplicata illa ra- tione , adeoque evaderet 1,5x95. Hsc ita fe haberent , ex hy- f)Othefi quod refiftentia Penduli efiTet in duplicata illa ratione ve* Qcitatis. j^rgo fi pendulum defcriberet arcum totum 1x4^^, digito* rum , & longitudo ejus inter pundum fufpenfionis & centrum ofcillationis eflet ii6 disitorum . differentia arcuum defcenfu & fubfequente afcenfu deicriptorum foret 1)5295 digitorum. £t haBC differentia duda in pondus Globi penduli , quod erat un- ciarum 208, producit 318,136. Rurfus ubi pendulum fuperius ex Globo ligneo conftrudum, centro ofcillationis , quod a pun<^o fufpenfionis digttos ix6 diftabat , defcribebat arcum totum 1x4^« digitorum, differentia arcuum defcenfu & afcenfu defcriptum fuit 116 R — — in— , quae dufta in pondusGlobij quod eratunciarum 57^9 ^21 9^ producit 49, 396. Duxi autem differentias hafce iapondera Glo- borum ut invenirem eorum refifteniias. JNam differentis ori- untHr • »-■ PRINCIPIA MATHEMATICA. 2^9 unttur ez reMentiis , funtqoe nt refifteAtiaB direde & ^ondera in- 'Ltii% \ vcrfe, Sunt igiiur reriflenti^ ut numeri 318 , 136 & 49, 396. ParsSEcu ndus-. autem refiflentis Globi minoris 9 qus eft in duplicata ratione velo^ citatis» erat ad refiftentiam totam, ut 0,56752 ad o;6i675,ide£i:,uk 45» 453 ^^ ^9^ 39^^ & P^i^s refiftentis^ Globi majoris propemoduoL squatur ipiius refiftentiae toti; adeoque partes illse funt ut^i8, 13& & 45,45 3 quamproxime t id eft, ut 7 & i. Sunc autem Globorum diametri iH^ &6| ; & harum quadrata 351^ & 47^ funt ut 7 , 43S & I , id efl , ut Globorum refiltentis 7 & i quamproxime. Di^* rentia rationum haud major eft quam qu» ex fili refiilentia driri'. potuit. I^itur refiflentiarum partes ills qu^e funt , paribus Glo^' bis, ut quadrata velocitatum ; funt etiam , paribus velocitatibusi ut qaadfata- diametrorum Globorum. Qeterum Globorum , quibus ufus fum in bis experimentisi^ mi^ ximus non erat perfe^fte Spnasricus , & propterea in calculohicallatQ minutias quafdam brevitatis gratia neglexi ; de calcuio accurato in experimento non fatis accurato minime follicitus. Optarim itaque (cum demonflratio VaCui ex his dependeat ) ut experimenta cum Globis & pluribus & majoribus & magis accuratis tentarentur. St Globi fumantur in proportion? Geometrica , puta guorum diametri fmt digitorum 4,8, 16,32 ; ex progreflione experimentorum colli^ getur quid in Globis adhuc majoribus evenire debeat. Jam vero conferendo refiflentias diverforum Fluidorum inter fb tentavi fequehtia. Arcam ligneatn paravi lonffitudine pedum qua*- tuor> fatitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculg nuda<* tam implevi aqua fontana , fecique iit immerfa pendula in medio aqusB ofcillando moverentur. Globus autem plumbeuspondere x66i unciarum , diametro 3 fdigitorum , movebatur ut inTabula fequen« te defcripfimus , exiflente videlicet longitudine penduli a pundo fufpenfionis ad punAum quoddam in filo notatum 126 digitorum» ad ofcillationis autem centrum 134! digitorunL jircus defienfuprimo apunSJo in jUonotatodefiripus^digttorum f^64 3ri6 84xif \ JrcusafienfiiultimodefiripusA 48 14 ix 6 3 ^i i f h digitorum \ jircuumdiferentiamotuiamiJS^OV 16 Z ^ x t \ \ k h froportionalisi^di^itorum J Numert^s Ofiillattonum in aqua g H 3 7 ii"; ^^1 ^3i Numerus Ofiiltationum iu aere 85^ ^87535 Oo In HKfo PHIL OSOI^HIA N ATOR ALlSf Df Monr - In acperiinemo column» qaafrt», niotus aeqiirfes olHIIatlotifbui Cowpav¥ 535- in aere, & 1} in aqua amifR futit. Eraat qm<*efti ofcilhtio- nes in aere paulo celeriores qaara in aqua. At & ofcillationes ia tqua in ea ratione accelerarentur nt niotus pendulorum in Medio ntroque jSerent aquivdoces, maneret numerus idem ofcillatio^ num I7 in aqua , quibus motus idem^ ac prius amitteretur ; ob te- fiilentiam audam & rimulquadratumtdmporisdimtnutumitieaden» ratione illa duplicata. Paribus igitur pendulorum velocitatibus mo- tus aaquales in aere ofcillarionibus 535- & in aqua^ oictllationibus if amifli funt ; ideoque reiiflentia peRduIi in aqaa eft ad ejus refi(ten- tiam itk aere ut 535 ad 17. Haec eft proportio refsftentiarum rota- rum in cafu columne.quartffi. Defignet jam A V-^CV* dffierentram arctium inr defceofu 6c fub- firi|uente afcenfu defcriptorum a Globo 3 in Aere cui» yelodtate maifiinM. V moto ; & cum Telocitas ma^ma > in cafu columna^quar- ts f fic ad velocitatem maximam in caiti columns prims , ut i acf 8j & d^eremia itla arcuum , in eafa columpnar quartae 3 ad dif&* lehtiam in cafu columnae primaB w ad -g-v y &»' »* ^5^ ** 429o: fcribamus rn his cafibus i & 8 pro velocicatibus, atque 85^ & 42&0 pfo diflferentiis arcuuro » & net A-^Cilfl^z ^ ZA-^6^ C=: 4?8o feo A-^^8Cir5Jjr; indecpie per reduflionem a?quatio- iHim pTQTerrret 7 Crr^^^j &r Czz^4^& A zr x r f •. ataije adeore» fittanim, cum ffr ut f, A V-t-i CV". erk xa liiV ^]i^V\ Qua- r^iiit^u-colUmnae:qaartaEr, nbi velocfras erar i^ refillentia toiaeff •d^partenj fbam quadiato vetoctpaxis prOporrfonarem , ut 13,? -+-48^ I»' 6t^9d 48^5 & idcirco refiftenria peadafi in aqjia e^ ad refi- fismiKX pirtcnr tllam. in aere. qu« quadraro velociratis propor.tio- ' H^rfis-eft. qq^eqwe fola in motibus velocioribus^confidferanrfa-venit^ V» eili ad4&^^ & f3«? ad tj conjunftim » fd' eff ^ ur J71 adf j. Si penduli in aqua ofciilanris iPhmrcrtuiiTfTiifferrmmerfnw, refiflfen- tia ejus fuififet adhuc major ; adeo ut peaduli in aere ofciUantis re- fiftentia illa q^x velocitatis quadrato proportibnaljs ei2:'» qaa^qoe §biz in<:orporibui velocioribus confideranda venit 3 fir ad refillen** . tiam (fjfifdem.pendttli totius, eadera^cutn.velocitate» iH aq|iia,o{!dl* kmis y utt^Soo vel 900 ad i circiter > hoceft». ut denflras sqfia^ ad denfit^tem ^eris quamproxime. In hoc caleulo fumiquoque d^beret pars rlli refiftenris^ penduli iaaqua^. quae effet ut quadratum velbcitatis*. fed Cqpod^GBlrum fbr« tevideatur} lefiftentia ia aqua aug^batur ia ratioae.veiocitatta PRIN<:iPIA- MATHEMATIGA ^i plafauam ^upUcata. ^us rei caufam invelligando > in banc iocidif» LisB& > quqcf Arca pimis angufta eflet pro magnitudine Globi penduli ,, & Secukdus.. lootum aquap cedentis; pra^ anguflia fua nimis impediebat. Nam ii 6k)bus pendulus 9 cujusdiameter erat di^ti unius^ immergereturi refiftenda augel>atur in duplicata ratione velocitatis quamproxini^; 14 tentabam condrqendo pendulum ex Globis duobus „ quoruai inferior & minor ofcill«*etur in aqu^ , firoexior & major pro^ime fupra aquam filo ^ffixus eilet , & io Aere ofciUando , ad}uvax:e$ mo^ tum penduli eumoue diuturniorem redderet. Experimentaf stnh (em hoc modo inltuuta fe habebant ut in TabuU feq^QU de^^ fcribitur. 4 ^c^s deffenjk ir\im 4ifirifttks 16 & 4 % 1 k Jrcu^ afi^nfu, uUimo defiriptm i% 6 9 ^t -^ \ - h Arcwfmdiff\mtuimiJSo^r^fwt. 4214 7 f » Uumr^s 0J^iUati9mm 3^ 6^ 12,^, 2^1^ ^4 fydi^ Conf(?reff 4q reliftetttias MedioniDi sDter fe , effedi etiaffi ut pen« . ^^ ^S^oi <4 ^ ^ circiter : id eft , ut denfitas argeifti vivi af^ 4Wik/iLjt^ aqi^s* Ubi Globuim, pendulum pauio majorem adhit^b^m 9 pM(ft cujus: diamecer efiet q^aA 7 vd f^ partes di'^ ^ti ,, pjf Q<}^ip9l! cegftoatia argenti vivi in ea Fatk>ne ad refiflentiam' aqUtS qi|ai9 hajb^^. OJiiBecus jz. vel: 10 ad i circiter. Sed* experi^ memo; %fifig[y mgi» fideodiioi eft > propterea' quod in. his ultimis V^s lUff^ a9g}(Ai}m fttlt p];o magnitudjno Globi imm^rfi. Am- pliaip 9I(^» deheret; ei^^am Vas ampliari. Conftitu^ram quidem ^J^txi^P^. ^p^mencc ift vafis majoribus & in Nquoribus tum M?t^l{>0;mfi^umi> tiiB alii;; quibttiid^am tam Galidis.quam fri^^- djs TCgeter^:* ^ omtiiaL expeciii non vacat , &' ex }am defciiptis /^tl^licittgt ro^ftffnicittD eorpoiwn celerkei: motorum denfitati Ffui'- doro)^ .ifi QiiibH»: moNflQtiiii propor^ionalem efle quam proxime. J^Q 4i/Q9 '«(CHcatp- Nam Fluida teoaciora ^ par l deniltate \ procui- ... Oo X dubio 49^ PHILOSOPHIiE NATURALIS De Motu ^ubio magfs refiflunt quam liquidiora , ut Oleum frigidum quam CojiPOKUM calidum t calidum quam aqua pluvialis , aqua quam Spiritus Vi- ni. Verum in liquoribus qur ad fenfum fatis iluidi funt , ut in Aere, in Aquafeu dulci feu fatfa , in Spiritibus Vini , Terebin- tbi & Salium , in Oleo a fa&cibus per deftillatibnem Bbcrato & cale- fa^o, Oleoque Vitrioli & Mercurio, ac Metallis liquefaftis, & frqui (int alii » qui tam fluidi funt ut in vafis agitati motum impref- fum diutius confervent , efFuficjue liberrime in guttas decurrendp refolvantur , nullus dubito qum regula allata latis accurate obti- nfeat : pr^elertim fi experimenta in corporibus pendulis & majoribus & velocius motis inilituantur. Denique cum receptifiSma Philofophorum astatis hujus opinio fity Medium quoddam aethereum & longe fubtilifTimum extare, q[Uod omnes omnium corporum poros & meaius liberrime per- meet ; a tali autem Medto per corporum poros ftuente refiflentia oriri debeat: ut tentarem an refiflentia, quam in motis corporrbus experimur , tota fit in eorum externa fuperficie , an vero partes etiam internse in fuperficiebus propriis refiflentiam notabilem fen* liant , excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim longi- tudinis , ab unco chalybeo fatis firmo, mediante annulo chatybeo» fufpeniiebam pyxidem abiegnam rotundam , ad coiyflitueodum pen- dulum longitudinis praedicta&. Uncus furfum prasacutus erat acie coDcava > ut annulus arcu fuo fuperiore aciei innixus liberrime mo- veyeiur. Arcui autero inferiori anneftebatur filum. PendulQm ita coni!litutum deducebam a perpendiculo ad diflantiam quafi pedum fex, idque fecundum planum aciei unci perpendiculare , ne annu* lus, ofciUantependuIo» fupra aciem unci ultra citroque laberetur. Nam pun^um fufpenfionis , in quoant>uIus uncum tangit, immo* tiim manere debet. Locum igitur accurace *tiotaban»,*ad qaem de* duxeram pendulum, dein pemiula demilfo^ notabam alia tria Jocaad qus redibat in fine ofcillationis prima^, fecundae actertiie. Hocre- petebam faepius> ut loca illa quam potuL accuratiffime invenirem.. Tum pyxidem plumbo & gravioribus y qu» ad manuseranti me* tallis implebam. Sed prius ponderaba» pvxidem vacuam » una cum parte fili qqs circiim pyxtdem volvebatur ac dimidio par* tis reliquas quae inter uocura & pyxidem pendulam tendebatur. / Nam nlum tenfum dimidio ponderis fui pendnlum a perpeiKlicuIa di^reflum fen^er urget. ) Huic ponden addebam pondos Aeris ouem pyxis capiebat. £t pondus totum erat quafi pars feptiiage* iima oftav) pyxidis metallorum plenae, Tum quomum pyxis me^ ulloroitt PRINCIPIA MATHEMATICA. i^/ ' tallorum plena ^ pondere fuo tendendo filum , aagebat longitudinem z^ibbr penduli , contrahebam filum ut penduli jam ofcillantis eadem efTetSjEcuNDasf longitudo ac prius. Dein pendulo ad locum primo notatum retrac- to ac dimifTo 5 numerabam ofcillationes <]uafi feptuaginta & feptem, donec pyxis ad locutn fecundo notatum rediret, totidemque fubin* de donec pyxis ad locum tertio notttum rediret^ atque rurfus to- tidem donec pyxis reditu fuo attingeret locum quartum. Unde concludo quod refiftentiatotapyxidis plenae non majorem habebat proportionem ad refiftentiampyxidis vacuas^^uam 78 ad 77. Nam fi aequal^s eflent ambarum reiiftentia^ , pyxis plena ^b vim fuatnin- fiiam feptuagies & ofties majorem vi inuta pyxidiii vacuas^ xliotum fuura ofclllatorium tanto diutius confervare.deberet ^ atque adeo completis femper ofcillationibus 78 ad foca illa notata redire. Re- diit autem ad eadem completis ofciUationi^bus 77, . Defi^net igitur A refiftentiam pyxidis in ipfius fuperficie exter- na , & B refiilemiam pyxidis vacua^ in partibus internis; & fi refi- ftentiae corporum aequivelocium in partibus internis fint ut riiate- ria, feu numerus par«icularum quibus refiftitur: erit 78 B refiften- tia pyxidis plensein ipfius-partibus internis: adeoque pyxidis va- cuas refiftentia tota A -+- B erit ad pyxidis plenae refiftentiam to- tam A -4- 78 B ut 77 ad 78 , & divifim A n- B ad 77 B, ut 77 ad r» ihdeque A -^ B ad B ut 77 X 77 ad 1 , & divifim A ad B ut 5918 ad I. £il igi^ur refiftentia ^pyxidis. vacuae in partibus internis quinquies millies minor quam ejufdem refiftentiA in externa fuper- ficie, & amplius. Sic vero difputamus ex Hypothefi quod major illa refiftentia pyxidis plenas , iK)n ab alia aliqua caufa latente oria- tur , fed ab a^one fola Fiuidi alicujus fubtilis in metallum incfu-. fum- Hdc experimentum recitavi mempriter. Nam charta, in quaif* lud aliquando ddTcripferam . intercidit. Unde fraftas quafd^m nu-. merorum partes, quae memoria exciderunt , omittere compulfus fum. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice,^ cum un- co infirmo ufus enfem ,. pyxis plena citius retardabatur. Caufam quaerendot reperi quod uncus infirmus cedebat poiuieri pyxidis,& ejus ofciUationibus obfequeodo in partes omnes fie6leba;un Para*. bam igirur uncum firmum » ut punAum fufpenfionis immotum ma^ nereta & tunc omniaita evenernnt uti fupra deicripfimus. Oai - SECTIO Sn^rk s E c T t Q vn. PROPQSITIO XX3CII. THf:OREMA XXVI. » 4*/ ci^porum Syftemai^a duo Jtmilia ex aqualt parttqtilartim . mm.ero confient , ^ parttcuU corre/pmdentei fimiks fint • & proportionaks y fin^ula in um S*yflemate fimulis in al- ierp\ ^ fimiiiiier fit^e inter fe , ac data/n hafeajut ratio' . ttem denfitatis ad invicem , ^ inter fe temporikus pro- portionaUbus fimiliter moveri incipiant y {ea inter fe ' . qu,a in tim funt Syfiemate ^ ea inter fe qu^s funtin al- 'j tito) ^rfi ^^^ tan^nt fe mutuo qua in ^odem.funi Sy- . . fi^f^qtfi y nifi in t^ometftisi re^exiqnuff* , neqtie qttrakqftt ' velfug^nt fjB mutuo , ntfi virtbus accekratr.tctlms qtke fittt f ' p^rficularum correjfpond^nt,ium diametrt, inverfe ^ ' qtfoj^rata vekcitatttm^ dire^e i djcti qu,qd Syfieimqtum par^ . ikui^ ^tU^f^ p^rgefit \nffir fe temporibus propfirtionalfbukfi- militer moveri^ 4 * ' ^ocpora fimilia & fimilicer fita temporibus proportionalibus in- ter fe limiliter moveri dico , quorum fie us ad invicera in fine tcm- P9;*um illprum i(emper funtfimiles: puta fi particulae unius Syfle- matis cum alterius particulis correfpondeniibus conferantur. Un- de tempbra erunt proportionaHa i in quibus fimiles & proportiona* les Figurarum fimiliijim partes a particulis correfpondentibus de- feribumun Igitur fiduo fint ejufmodi Syftemata , particulap cor* re(poi\(i^ntes , ob fimilitudinem iocapptorara motuum, pergent fi- riiiliter mbveri ufbue donec fibi mutuo occurrant Nam fi nuHis agitantur viribus , progre<}ientur uniforrniter in Hjieis reftis per mo- t(ft Leg, I. S. viribus aliquibus fe mutua agitant ; * viresiHs fint ut particularum correfpoiulentiumdiametri inverfe & quadftta ve- locitatum direde : quoniam particularum fitus funt fimiles & vires proportionales , vires tot£ quibus particul» correfpondentes agi- t^Qijur i^ ez viribus fingulis agita9t||^i|} ( per Legum Corollarium fecun- PR"l^(!:iPiA MAtttEMAtlCA. i^t f(Wttrid\itti ) tbriibbnt^ , CltfilB habfebunt dfeterminatiohes , tyerin-J^»»>it de it ficfeiltra irit^i' ' i^Hicuks firifiliterma t-6I]Jic6i-6nt ; & fetuiii ^^^^*^^' yifW iJte totaB id irivicettt ut Vif6s fingulai ctinf?F^orit!rite§, hbc ^fi- ttt cbttie(]p»drid6ritiurii pirticvilai^irtri diariidtrl iri5^ferfe , 6t titiidtitl velbcitattihi dlredf e : & prof)terea eifici^nt ut cd^i-efpontJentei pii' tltuyg figtiras fimiles defcribdi^d jJef^fit. ti^c ita f6' hdbfebilnt b^i C6f6l t , & ^. Pfop. tV. Lib. i. fi nfddd eefitri illa ^uiefc4iit. Siii tfioVfearitar, ^ildriiarfi obttariflatibriiinilirtiiiitt/dtteftT. ftttilei iria- nenf ^fUni fitus iriter Syfteriiatmri panitula? ; firhiles iriduteli- tiir ritritationes fh figuris quas psifticlila defctiburit. Sitfitres igU tur ef unf cofre^fporideriiium & fiMiuri» paf ticularum riiO^Us ufr que itd ocdtitf^ flicis 6fitti6s , & propt^rea fimiles occU^fris, & fr mihi f^fknitmi^ , & Mlrid^ ( f»er jam oft^nft ) firiiil^s riibtiis iri- ifef fd 6 uXTO^pM $yftea)a(e cocre$oRdeallt,f«c«ii^uih l}Attars:fiti»<'; licer ^as fim(]| cura daotu utcwiqiwe moveiii incipiaiafe : hst finiier in reliqms ^yftematum p^rtifi^j» exGitabunr motu», & i^ergent' inteif ipfas temporibus pFoportiorialibus iiraititer naoveri f atque adea!(pa^ tia diametri^ fuis prc^rtiooalia defcfibej^. IIBICJ^^O^^fl^e^ XirXirf titBOREMA XXVrf. Hfdm- ptlfitii , (fiCd (^mef Smerfidlttm parfes tnajores rejt/' tuntur m rtiitotie^ cwtpofita e» d/tpltcata rattor^ tjeloeiter-' . Pumfitantti»^: dupikata^ rMitme dittmeirorim' ^ fMione NaHf ftifteritia' orituf p^mSA eit viHbWS* dentripftft vbl ceritriw fi]gU$ <|tfi|Mll5 pmum^ SyfteWat^ fb !ttutuc$'ag!tarit, pzttim ^i^ •eeorttDus & reflexionibus panicularum & partium majorump. FriMi» i^S PHILOSOPHIiB NATURALIS » . ... ps MoKj Prioris antem generis refiilentiae funt ad invicem ut vires tot« mo« CoMOKyM trices a quibus oriuntur , id eft » ut vires totae acceleratrices & quantitates materias in partibus correfpondentibus ; hoc eft ( per Hypotheiin ) ut quadrata velocitatum direde & diftantias particu- larum correfpondentium inverfe & quantitates materia& in par- tibus correfpondentibus dire(5le: ideoq[ue Ccum diftantias particu« larum Syftematis unius fintad diftantias correfpondentes particu* Urum alteriusj ut diameter particulaB vel partis in Syftemate prio- re ad diametrum particulas vel partis correfpondentis in altero, & quantitates materiaB ftnt ut denfitates partium & cubi diame« trorum ) refiftentia^ funt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & deniitates partium Syftematum. ^E.T). Pofterioris ^eneris refiftentiaB funt ut reflexionum correfponden- tium numeri & vires conjuniSim. Numeri autem reflexionum fonc ad . invicem ut velocitates partium correfpondentium direAe ^ & i^atia inter earum reflexiones inverfc; Et vires reilexionum funt ut velocitates & magnitiidines & denfitates partium correfpon- dentijim conjun^lim; id eft, ut velocitates & diametronim cubi & denfitates partium. £t conjundis bis omnibus rationibust re^ MentiaB partium correfpondentium funt ad invicem ut quadrata v.eIocitatum & quadrata diametrorum & denjGtates partium con- junaim. ^E.^D. Carok I. Igitur fi Syftemata illa fint Fluida duo Elaftica ad mo* dum A^ris , & partes eorum quiefcant inter fe : corpora autem duo firaiiia & partibus iluidorum quoad magnitudinem & denfi- tatem proportionalia » & inter partes illas fimiliter pofita » fecun- dum lineas fimiliter pofitas utcunque projiciantur ; vires autem acceleratrices , quibus particula? Fluidorum fe mutuo agitant , fint ut corporum projeAorum diametri inverfe, & quadrata velociti- Jtum direde : corpora illa temporibus proportionalibus fimiles ex* citabunt motus in Fiuidis, & fpatia fimilia ac diametris fiiispro« portionalia defcribent. Qorol. 1. Proinde in eodem Fluido projedile velox refiftentiam patitur quae eil in duplicata ratione velocitatis ^uamproxime, Nam fi-vires» quibus particulas diftantes fe mutuo a^tant , augerentur in duplicata ratione velocitatis , refiftentia foret m eadem ratione du- plicata accurate : ideoque in Medio » cujus partes ab invicem diffai|i« tes fefe viribus nullis agitant , refiftentia eft in duplicara ratione ve- locitatis accurate. Sunto tgitur Media tria A^ By C ex partibas fimilibus & aequalibus & fecundum diftantias aequales regularicec difpo- ?PRINCI & i^squivdocia ut & corpora E &Gi & augendo velopitates iwrporum.tD &Fln ratione quacunque , ac diminuendo vires particularum Medii B in eademratioaeduplicatat accedet Medium^ ad formam & conditionem Medii Cpro lubitu» & idcirco refiftenties corporum asqualium & asquivelocium E & G in his Mediis, perpetuo accedent ad squalitatem, ita ut earum difFerentia in eadem ratione quam proxime. Carol. 3. Igitur corporis in Fluido quovis Elaftico velocifiiime moti eadem fere eft refiftentia ac fi partes Ftoidi viribus fuis centrifu^s deftituerentur , feque mutuo non fugerent : fi modo Fluidi vis ElafHca ex particularum viribus centrifugis oriatur , & velocitas adeo magna fit ut vires non habeant fatis temporis ad agendum. Cprol 4. Proinde cum refiftenti^ fimilium & «quivelocinm cor« porum in Medio cujus partes diftantes fe mutoo non fugiunt, fint ut quadrata diametrorum ; func etiam squivelocium & celer« rime motorum corporum refiftentias in Fluido £Iaftico ut quadra- ca diametrorum quam proxime. Coro/. f. Et cum corpora fimilh ^ aBqualia & sqaiveiocia , ia Mediis ejufdem denfitatis , quorum particuise^ fe mutuo non fu- giunt, five particuhe flls fint plures & minores, fiue paaciores& majores, in xqualem materias quantitatem .temporibus aBqualibu^ impiogaat , eique alqualem niotu^ Medti {a corpus eadem eft ( per i^gnm Gorol. f . ) fi w oorpiis io Medio i^uiefcente moveatur , fiv^e IVtedii pirticule etden cum velocittte impingattt in corpus quiefcefis: confideremus corpus tanqutm quiefcens » & .videamus quo impeta trgebitta> t Medio flBOveote. • • . Defignet i|;ttur ABKl cor- jS ^^^^^ "^^ .X'^ pns Sphericam centro C fe- fy^~^ -~Si^ J t _ z. miditmetro C^4ie Globumferit in JB^, efic SecuMBMai) 4idvi'm qHi particula eadem Cylindrum O-ATC^axe uiCI circ* ^lo4>tttAr..4efcriptum parpendiculariter feriret in ^, ut i^^ ad LB vt^ £ P ad -6 C Rurfust efHcacia huius vis ad moveiidiim Globuip tecundam. incidenua^ fnae plagam F B \t\ ^C> ' eff a4 i|}afdeni efHcaciKm^ ad, mavendum Globum fecundum plagapi d^- terminationis iuas , id eft , fecundum^piagam recls B C qua; GIo' bnm direde urget, wx. BE ^A BC. £t coniun^is rationibusy ef- icacia partrcnliB , ia GlQbum.fecuivdum^ redaqi FB oblIque'iftc& deocis, ad mpveiKiom eu9dei9 fecupdum pUg^ UKidejitjuse fus j eft ad efficaciam particul^ e)u0em (ecundum eandem V^dm !i Cylitidrum perpendiculanter in<^den\is , ad ipfummovenilbm.lt plagam eandem , Ut ^^^ .qiiadratum ad !fi C quadratum. Qoaf^ jf. ad Cylindri bafem circularem NAO erigatur pn;j^etidicuUim J^K^i & fit ^.^ aequalis radiOL^jfCt & */f «qi^aiis ' r^s^ ' * ^^ ^ ^ ad b E ut ^echfs particiilae in Gi^bum ; i4 ieff^<8^ ' particu^ iq Cylindrum.' ^t propterek folidum quod a re^is pmnibus^H!. oc- cupatiir erh ad U)Bdum.qtlQd a J£fiis oouiiibus ^£.occ^^tur, yif; ero^his particularum omnium in Globttih ad efifeflum particula.) rum omniam in Cvlindrum. Sed' folidum prius eft parabolois vertice C , axe CjC.& fatere rc6io C^ defciiptum , oc folidum^ pofterios eft Cylindrus Faraboloidi cireomfcriptMs:. & uotum fiit quod Parabolois fit femiflis Cylindri circumfcripti; £r^b vis tot^ Mtdii in Globum eft duplo mioor quam ejufdem vis .tota in Cylindrum. £t propterea u particolae Medii qoiefperent , & Cylinr dilis »c GIoiKis aeqnali com veiocitate laovereatur > foret refiileati^ Globi duplo minor quam refiftentia Cyliaidri. ^. £. 2>. ' ' ? 'V.' Sib(diittwl • • • • Eadem tnethbdb Figare ntiae inter fe qoo- td refiftefttiam cotnpar#i pofitmt, esqueiii* ▼eiiifi qo9 ad fn quod fi folidum J^DBE convolutione figurae- Elliptics veJ Ovalis A*D B E circa axem AB fa^a generetur , & tangatur figura' generans a teftis tribus FG, GH, Hl in punftis F, B & I y et ;ge ut G^ fit perpendicularis ad axem in pun^ contaflus B^ & FG, HI cum eadem G /f contineant aneulos FGB, Bffl gra- duum 1 35 : foUdum , quod convolutione ngurae AD FGHIE cir- ca axem eundem C B generatur , minus refiftitnr quam foKdumr pHus ; fi modo utrumque fecundum plagam axis fui AB progredis'^ tur, & utriufque terniinus ^ pracedat. Quam quidem propofitio^ nem in conftruendis Navrbus non inutilem futuram. efle cemeo. QuodfiFigura 2) iV^FG ejufmj:^ fit curva ut , fi ab ejus punfto quovis N ad axem A B demittatwr per- pendiculnm NM, & a puoc- to dato G ducatur reAa CR quse parallela fit red» figuram tangenti in iST , & axem produ^m iecet in Ri fuerft MNndGR ut G k cub, iA ^ B Ry.G B r- Solidum quod figurs hujus revolorioae circa. axem jIB h&z dbi- fcribitur, in Medio raro prsdiAo ab A verfus B movendo, minu9 refiftetur ouam aHud quodvis eadem-lon^tiidine &latitudine de^ fcriptum Solidum circolave. PROPOSITIO XXXV: PROBLEMA VIT. Si Medium rarum ex pariiculis quam minimis qute/cemHu» dqualibus ^ ad atjuaUy ah ifwicem^ {ttftantias iihere di/^ pofiih conftet : irtvenire refiftemiam' GlobiiH b$c Medi^ uniformiter progredientis» Caf, I. Cylindrus eadem^ diametro 6ir^itadhie defcriptus pro* Sedi intelligatur eadem Telocitate fecundum longitudinem axi» I in eedem Medio. £c poBamos quod' particttlae Medinn qaas P«fIN€fm :MAfrHEMATICA;r jcxt Glolnxs Vel Cylindra^ iQtidit , vi jeflexioois qaam maxlmiT rftfiliiant. Ltbek Et caro reliflenti» Gtobirpet PropofnioneiB Bovinifiiam ) fit dupIoStcOnDu»^ minor quam reiiftencia, Cylii|drU &tjk>btts itt ad Cylindrum ut duo ad cria, & Cylindrus ihcidendo perpendiculariter io particulas ipiafque quam maxime refk^endo- , duplam fui ipfius velocitatenk ipfis communicet: Cylind^us i^uo.temporedimidiacQ.Iongttudineiik axis fui defcribit commifnicat^it motum pariicuUf-qui fit ad totuta Cylindri motum ut denfitas Medii ad denfitatem Cyliitdri; &Glo> bus ^uorempore totam longiCudinem diametri fuaef defcribit , com*^ municabit inotttm euhdem particqlis ; & quo tempore duas tertia$ partesdiaopetri fus defcrlbic commuoicabit motum particulis qttl fit adTTof iiija'tjT6bl' mplum li.f denfitas Medii ad denfitatem Qlobi.: £c propterea;GlQbus refii^en.tiam patitur qiiffi fit ad vim quft totoi ejus motos vel auferri pofiic vel generari quo tempore duas terti^» parces diametri fu£ defcribic , ut denfitas Medii ad denfitaiieaii Globi. Caf.x. Fonamos qood' partieulvMedii in Globum vel Cylin- * drora iocidente» non re£le«aot4ir ; & Gylindrus incideodo perpea«r dicokiricer ift particulas fimplicem* fuam velocitatera ipfis oommu- Bicabit , ideoqoe refillentiam patitor doplo minorem qoam in pri- ore cafo > & refifientia Globi erit etiam dopio minor qo%m prios* Qaf, 3. Pooamos qood particols Medii vi reflexionis neqoe ma- ama- neque nolla ,. fed mediocri aliqoa refiliant a Globo; &.refi* ftentia Globi «rit in> eadem* ratione mediocri inter refiilentiam i(v primo cafo & Kfidentiam in fecohdo» ^E. L t Corol. I. Hinc fi Globos & particolae fint infimte dura , & vi omni elafiica & propterea etiamvi omni reflexionis deftitutas refiftentia Globlerit ad vim mia totus eius motus vel auferri poffic velgenerari, quo renrpore Globus quacoor tertias partes diametrf fusdeferibit, ut denfitas Medii ad-denfitatem Globi< • Corol. X. Refifientia Globi , cateris paribos , eft in^oplicata tatione velocitatis. . • ' Corol. 3. Refiffentia GIoBi , caterfs paribos , eft in duplicatii latione diametrT. " ^ Corol. 4. Refiftentia Globi , csteris paribos , eft- ot denfitas Medii. ^ CoroL 5. Refiftentia Globi eft ih ratione qo« componitpr ex dopficata ratione' relocitatis & diiplicata ratione diametri:& ratic^c deofitatis Medll ^ ^ Vf^ y Om^ nr Jii BQ. Sit^ .^«6 uti motuB ilk ttkds, & pef pufi » defcribet ^Mtittm quod fit adipuiam om»« :tu uni^ormi M eodeni tempore t detcriptum • ut Logarithmus nu-r * ^ . f ineri— ^n— n^ukipliciatus p6f titamefuin 2^30x5^50929^ efttdnn^ ffierum ^. Nam area Hyperbolica BCFE eft Id tedtngulum B CGE in bac proportione. ScAotium. T- In faac l^repofitione expoftti . tefiftentiam & fetardationem Pro» jefbilium SphaBricorum in Mediis non continuis , .& efieadi qiiod hma ^efiiHeDtia fit ad vim qua tpta$^Giobi motus ▼d tolli pofiit vel geaerari mfi^mA : -Mil^TJ^MATia*^ m fimnA \^«o «cnpofe Cylobiis tfots tfertits dUmeitri (w 'portes» a ^r*>^» vdociuite uniformiter eontiniMta deibrihat ( ut den^tas Miadii ad^^^^''' deofitetem Globi > fi npdo Giobus &* p«rtioiilffi Medii fint fumiM elftftica ^ vi maxiaia refle^endi poileBnt t qaod<|uc bcc vis fit duplo fllinor ubi GlobiK & p«rticul« Medii lant intfinite dun & vi refle6bendi prorfus deflitata. In l^ediis autem continuis- quajit funt Aqua, Olenm calidam, & Argentup vivom » in qiuiMisGlot bos non iacidit immediate in omncs flaidi partipulas refiftemiaqi< generaates , fed premit tantum proximas particulas 8(. hse premuiic alias & hse atias, reiiftentia eft adhuc duplo minor. Globus utiqns in hiijnfmodi Mediis iiuidiflimis refiAentiam patitur qu» eft 4d vim qoa totns ejus motiis vel tolli poffit Vel generari quo tcmfiove^^ mota illo nniformiter continuato ,partes o«o tertias diametri foa defcribat , ut deniitas Medii ad denfitacem Glpbii Id qviod in fi» quentibiis conainmor oikndere. PROPOSrXIO XXXVL PROBLEMA VP AqM ik Virfe Cylindrkt per foram» m fund^ fff^ efttis defintre mottm. Slt ACl^B vas cylindricoro , j4B ejtts orificiuro fuperias , C5) fttodom bori^onti piar glldsro 9 E F foramen circulare in medlo ^ fundi» eodem tempore & «quali quantitate» adasquate tranfeunt. De velocitate aqux horizoniem verfus hic a|;itur. £t motus horizonti parallelus quo partes aquas cadentis ad mvicem accedunt , cum non oriaiur a gravkate» nec motum horizonti perpeiidiculareni a gravitate oriundum mutet, hic non coniideratur. Supponimus quidem quod partes aqu^ aUquantulum coherent 9 & per cohsfionem fuam inter cadenduni ftccedaat ad invicem per motus horizooti parallelos , ut unicam tantum efforment catara(^am & non in plures cataradas dividantur: ied motum horizonti paralielum , a cohsfione illa oriundum » hic Aon confideramus. Caf g Concipe jam cavitatem totam in vafe 5 in circuitu aqus jcadentis ABNpEM ^ glacie plenam efle , ut aqua per.glaaem tanquam per infundibulum tranfeat. £t fi aqua glaciem tantum non tangat vel, quod perinde eft, fi tangat & per glaciem propter iummam ejus poUturam quam liberrime & fine omni refiftentia la* Jbaturs hasc defiuet per foramen E /^eadem velocitate ac prius, & ptondus totum columnx aqus jiBNFEM impendetur in deflu- xum ejus generandum uti prius , & fundum vafis fuftinebit pon- dus ^laciei columnam ambientis. Liquefcat jam glacies in vafe ; & efHuxus aquBB quoad velocita* tem f idera manebit ac prius. Non minor eriti quia glacies in aquam refoUita conabitur defcendere: non major^quia glaciec in aquam refoluta non poteft defcendere nifi impediendo defceji* fum aqu£ alterius defcenfui fiio asqualem. £adem vis eandem aqus effluentis velocitatem generare debet. Sedforamen in fundo vafiSf propter obliquos motus particula- rum aqu^ effluentis , paulo majus efife debet quam prius. Nam par- ciculae aquas jam non tranfeunt omi^s per foramen perpendicula* riter : fed a lateribus vafis undique cootiuentes & in foramen con- verjentest obliquis tranfeunt motibus; & curfum fuum deorfum fiedentes in venam aqus exilientis confpirant , quac exilior eft pau- Jo infra foramen quam in ipfo foramine, exiftente ejus diamecro ad diametruni faramiDis ut ; ad 6, vel ; ^ ad 6| quam prQxime, fi modo PRiNciprA mathematica; 30^ fflodo dianetros re&e dlffire&fos fdm. Pafrtbam otique taminam i/r»et planam pertenuem in medio perforatam , exiftente circularis fo.S«w«wiai raminls diamerro partium quinque o^avarum digiti. £t ne ?ena aqusB e>(ilieiitis cadendo accelerarefur & acceieratione redderetor angufliof , httic laminam tK)n fundo fed lateri vafis affixi (ic*, uc vena illa dgted#recur fecundufu lineam horizonti paralielam. Deiir ubi vas aqu8B plenufn eiTet , aperui foramen ut aqua effluefet^ & vena diameter^ ad diftanfiam quafi dimidii digiii a foramine quam accuratfflime menfurata > {Drodiit partim viginti & unius quadrage>* fimaniffl digiti. Erat igituf diameter foraminis hujus circutaris ad dtaffietfum veflafc ut 15 ad 21 quamproxime. Per expcrimenta ye<» rt> cotlilA quod quantitas aqus qus per foramen circulare ib iiindo vafis U(^\ith efiluit , ea eft quas, pro diametro vens, ctttn velocitate prtedicJta effluere debet. In fequentibus igitur^plano foraminis parallelum duci intelliga^ tur planum aliud fuperius ad diftantiam diametro foraminis fiequa^ lem vel paulo majorem & foramine majore pertufum 1 per quod utique vena cadat qu£ ad^quate impleat foramen inffer ius £ F, atque adeo cujus diameter fit ad diametrum foraminis in^ ferioris Ut 15 ad ii circiter Sic enim vena per foramen inferius perpendicula- riter tranfibit ; & quantitas aqusg efHu* entis, pro magnitudine -foraminis hujus, ea erit quam fofutio Problematis poftu- lat quamproxime. Spatium vero quod planis duobus & vena cadente clauditur , pro fundo vafis haberi poteft. Sed ut folutio Problematis limplicior fit & ma- gis Mathematica ^ praeftat adhibere pla< num folum inferius pro fundo vafis , & fingere quod aqua qux per glaciem ceu per infundibulum deflue'* bat , & e vafe per foramen E F egrediebatur , motum fuum per- petuo fervet & glacies quietem fuam etiamH in aquam fluidam refolvatiir. Caf.x. Si foramen E F non fit in medio fundi vafis, fed fun- dum alibi perforetur: aqua efHuet eadem cum velocitateac prius» fi mbdo eadem fit foraminis magtiitudo. Nam gravemajori qui- dem tempore defcendit ad eandem profunditatem per lineam ob- liqnam quam per iineam perpendicularem , fed deicendendo ean- |o6^ PHILOSOPHI^ NATURALIS D£ MoTu dem Veldcitatem acquirit in utroque cafn > ut GaliUus demon^ .Qmlporum ftravit. Caf. 3. Eadem efl aqus velocitas effluentis per foramen in larere vafis. Nam^^ii foramen parvum fit ^ ut intervallum inter fuperfi- cies %yiB &KL quoad lenfum evanefcati & vena aquae horizon- taliter exiiientis figuram Parabolicam efibrmet : ex latere vtAo hnjus Parabolx colligetur 5 quod velocitas aqus effluentis ea fit 2[uam corpus ab aqusB in vafe ftagnantis altitudine HG vel IG ca- endo acquirere potuiflet. Fado utique experimento inveni quod,. fi altitudo aqua; flagnantis fupra foramcn enet viginti didtorum & altitudo foraminis fupra planum horizonti parallelum eiiet quoque viginti digitorum, vena aquae profilientis incideret in planum ilTud ad diftantiam digitorum 37. circiter a^rpendiculo quod in pla- num illud a foramine demittebatur captam. Nam fine refiflentia vena incidere debuifTet in planum illud ad diflantiam digitorum 40 , exiflente ven» Parabolics latere reAo digitorum 80. Q/T^. Quinetiam aqua effluens» fi furfum feratur^ eadem egre* ditur cum velocitate. Afcendit enim aqus exilientis vena parva motu perpendiculari ad aqu» in vafe flagnantis altitudinem 6 H Kel Gi^mCi quatenus afcenfus e)us ab aeris refiflentia aliquamulum impediatur ; ac proinde ea effluit cum velocitate quam ab altitudine illa cadendo acquirere potuifTet. Aquae flagnantis particula unaquaBque undique Eemitur aequaliter , per Prop. xix. Lib. j& preflioni cedendo aBquali impetu in omnes partes fertur, five defcendat per fbramen in fundo vafis , iive horizontali- ter effluat per foramen in ejus latere , fi- Ar ye eerediatur in canalem& indeafcendat per roramen parvum in fuperiore canalis parte fa(^um. Et velocitatem qua aqua eifliiit'9 eam eiTe quam in hac Propofitio- ne aflignavimus , non folum ratione col- ligjtur , fed etiam per experimenta no- tillima jam defcripta manifcflum efl. Caf.^. Eadem efl aqu» effluentis velocitas five figura foraminis fit circularis five quadrata vel triangularis aut alia quscunque cir- culari aequalis. Nam velocitas aquae effluentis non pendet a figura foraminis fed ab ejus altitudine infra planum K L. Caf. 6. Si vafis jfB^C pars inferior in aquam flagnantem im« mergatur» V PRINCIPIA MATHEMATICA. 307 mer^ar, & altitudo aqus flagnantis fupra fundum vafis Gt Glt: Lt%K% yelocitas quacum aqua qua in yafe eft , efHuet per foramen E F Sbcuhdo»» in aquam fta|nantem , ea erit quam aqua cadendo & cafu fuo de- fcribendo altitudinem I R acquirere poteft. Nam pondus aquas omnis in vafe qusinferior eft fuperficie aqus ftagnantis, fuftine" bitur in squilibrio per pondus aquae ftagnantis , ideoque motum a^us defcendentis ,in vafeminime accelerabir. Patebit eti^m & hic Cafus per Experimenta , menfurando fcilicet tempora quibus aqua effluit. CoroL I. Hinc fi aquae altitudo CA producatur ad K^ ut fit AR tAC K m duplicata ratione areae foraminis in quavis . fundi parte fa^H , ad aream circuli AB: velocitas aquae effluentis squalis eric velocitati quam aqua cadendo & cafu fuo defcribendo altitudinem /l Cacquirere poteft. Corot. %. £t vls qua totns aqux exilientis motus generari poteft, acqualis eft ponderi Cylindrics column» aqus cujqs bafis eft fora- men E F , & aliitudo i 6/ vel x CK. Nam aqua exiliens quo tempore hanc columnam squat , pondere fuo ab altitudine* Gt cadendo , velocitatem fuam qua exilit , acquirere poteft. Corol. 3. Pondus aquae totius in vaf:; AB^DC y eft ad ponderis partem quae in defluxum aqusL impenditur , ut fumma circulorum ABJk EF, ad duplum circulum EF. Sit enim lO media pro- portionalis inter IH& IG ; & aqua per foramen ^Feerediens, quo tempor£ gutta cadendo ab / defcnbere pofiTet altitudinem /(?« aequalis erit Cylindro cujus bafis eft circulus EF, & altitudo eft 2 IG , id eft , Cylindro cujus bafis eft circulus AB & altitudo eft zIO, nam circulus' EFedid circulum AB in fubduplicata ratione altitudinis /// ad altitudinem IG, hoc eft, in fimplici ratione me- dis proportionalis /O ad altitudinem IG : & quo tempore gutta cadendo ab / deferibere poteft altitudinem / // , aoua egrediens aeqnalis erit Cylindro cujus bafis eft circulus AB ii altitudo eft 2 IH: & quo tempore gutta cadendo ab / per HzdG defcribtt altitodinum diflerentiam HO, aqua egrediens, ideft, aqua tota in Iblido ABNFEM «qualis erit diflerenti» Cylindrorum, id eft, Cylindro cujus bafis eft AB & altitudo % H O. £t propterea aqua tota in vafe A B7)C eft ad aquam totam cadentem in folido ABNFEM ut /7 G ad x ^O, id eft , xxt HO^OG ad X HOt feu IH-^IO adxIH. Sed pondus aqu« totius in fo- lido ABNFEMin aqux defluxum impenditur : ac proindeponr dus. Qq X V ^ PHILOSOfHl^ NATCRAWS; DBMoTudiisaqttS totius in vafe eft ad po&defis partefn qaae ia defl«ati« ^**^"^*' aqii« impenditar , ut IH-^IO zd x Ifi y atque adeo ut iiiiDffia circulorum EF& A3 ad dupium circuluin EF. "C^roL 4. Et hinc poiKius aqus tottus id irafe ABHC ^ eflad ponderis partem alteram quam fundum raiis fufttnet , ut fumma circulorum AB 8l EFj ad drfierentiam eoruiidem circulorum. Ci^ot. f. Et ponderis pars quam fuodum vafis fuftinet, eft ad pon* deris partem alteram qus in deflaxum aquae impenditur 9 ut diffe- rentia circulorum AB & EF^ ad duplum circulum minorem EF, iive ut area fundi ad duplum foramen. Corol. 6. Ponderis autefn pars qua fola fiitidum urgetur 5 eft ad pondus aquas totius quae fundo perpendiculariter incumbit, ut cir- cuhis AB ad (ummam circulorum jtB & EFyCwt ut ctrcuius AB ftd^excefium dupli circuli ji B fupra fumlum. Nam ponderis pars qua fola fundum urgetur , efl ad pondus aqus totius io vafe 3 ut mfierentia clrculorum AB & EF ^ ad fummam eorundem circu- lorum , per Cor. 4 ; & pondus aqus totius in vafe eft ad pondw jrquse totius quae fundo perpendiculariter incumbit 3 ut circulQS if fi^-ad-difFerentiam circulorum AB & EF. Itaque ex ^uo per- turbate 9 ponderis pars qua fola faodum urgetur » eft ad pondus tquas totius quse fundo perpeDdicuIariter incumbit 9 ut circBlus ABvlA fummam circulorum AB Si £ jF tiel exceflTum dupli ctrculi AB fupra foDdum. Coroi. 7. Si in medio foraroinis EF v 1 ^r. focetur Circellus y ^centrot^ defcri- I 1h j^ ptus & 'horizonti parallelus: poiulus Ar-:; •••^'••j ▼•• 7P aqu^ quam cireellus ille fuftiivet , ma- )us eft poiKiere tertrae partis 'Cylindri aquae cujusbafis eftcircellus ille &: al- titudo-eft GH. Sit enim ABNFEM catara6la vel cokimna aquae oadentis apcem habens GHxxt Jupra,& congela- ri iiitcllTgatur aqua omriis in ira(e, tam iti circnitucataTaftaB quam fupra circel- hm y cttjus fluiditas^dprompiifrimum & celerrimum squ» defcenfum non requiritur. Et fit jPiiS^^ co- hxTTmatrqmB fupra circelhwn congelata, verticera haben$iff^& alti^ tudinem G H. Et quemadmedum aqua in cirouitu cataraftx con* gelata AMEC, BNF^ conve«a eft 4fi fuperficic incernai^A/^, £.^«FTerfus catara^amca.tkeBtemj fic etitm 'baac colomiMiP^^ COQ* «• •• '* # ••• • • : • ' r : • .• M^ \\\ l^ m S • • • t • • • ■ 5 • • * • t • • • ;X PRINCIPIA -MliTHEWATlCA. m convexa erit verfus ciilafaftain r §^ pivopjtieref major Cono cujus ba- yiBEK fis eft cirdellus ille tP^& altitudo GH; id eft, nwjor tertia parte Secundus. Cylinjlrr eiidem bajfe & al^tijdine jjefcripti. Suftinet autem circel- Ivs rlle pondus hujus colurqnas, id eft » Dondus quod pondere Coni feu terciaB partis Cylindri iHius majus eu. CoFoi. i. JPondtts a^iu^ quam drceitus vaTdjeparvtts ^^fuftifiet, m{vi9f e^ poijdief 6 .duarum tertiarum paFttum Cylindri aqua qajus baiiseft cireelJtis ille & jiltitqdi^ ^ft HG. Nam ftantibus jam pofi- tis , defcribi intelligatuf dimidium Sphsroidis cujus bafis eft cir« ceilus ille & femiaxis five altitudo eft HG. £t haec figura ^q^ialis erjt duabus tertiis partibus Cylindri illius & comprehendet colum* nam aquac congelatx T H ^ cujus pondus circellus "iUe fuftinet. Nam ut metus aquae (k maxime dire^t^us , columnse illius fupen- ficies externa concurret cum bafi 5P^in angulo nonnihil acutov pro^erea quod aquja caidiep^o perpetuo aqceleratur & propter ac* celerationem fit tenuior; & cufn ahgulus ille fit refto minor, haec ^lnqaina .«d inferipi;^^ i^W*- pet*?^* )itce|>i,t ii)travdim^^^ iii?. Eddec? v^rxj Qirfvifli aciita .grit fe^u cjafpidata> ne hcrizQnta- Jisniojus aqu« ad verticem Sphaeroichs fit iniinite velocior qhana ejus motus horizontem verfus. Et quaftiinor eft circeHus jP^eo^ acucior «fvk verte^ coiumoee^ & ekceiio in infinirutn ^^minato ^ an** «plvisi \P M^ki |nfi|\itwn ditpiAUfetur , :Si prdptere? columna jace- bit intra 4ijflliiwro Spijsrpic^s. Eft igitur cplunjna illa minor di- roidib Sphiroidis ^feu dtuabus tcrtiispartibus Cylindri cu}us bafis jeft circellus ille gi altitjqdp <^ II^ ^ Suftinet aptem circellus yinn aqu2 ponderi hujus column^ sequialem ^ cum pondus jiqu^ ambiem^ lis iin defl.ujc*m ej.us jirppendatur- Q>rol. 9. PoBdus^qftge qi^ Girqellus yalde parvus5P^fV|ffinerr xquaje eft-ppnderi (^ylindri aquap cujus baiis 'eft circeRusijle & aliitddo eft ^ G/f qi^amprbs^tne. Rlafn pondus bocce .eft ^ediumi Arithmeticum inter jponder^a Coni ^ Hernifphasroidis prxdiftje: At fi circeHus xlle non Jfi}: va^de parvus, i^d augeatur donec ^«juet foramen E F: hic fuftinebitpondus z^wx tptius fibi perpen4icula'- riter tmmihent^s^ id eft r ppndiis C^liQdri ^^ Guji(s biifis eft cir/*' cellus ille 4^ altitudo eft (jH Carol-w. EtGfluantu^ fentio JpPP^^^ q^Qd\cii;c^nu*^^uftinet eft femper ad pondus Cjlindri aqu}B,cujus b^ eft circellus ille & altitu^ eft { GjEUjat.EFq ad EPq-^^P ^q,. five w circulus. E ^. ad eawjq^ftm jy^c^i ihpjus liipra^ifin[iijfc|B circclli jP £ fluanv- proxime,. ..^^ Qq;j LEMMA }id PHILOSOPHIJE NATURALIS « i>«MoTa L E M M A IV. CORPORttM CyfMdri , qui fecundum lougttudtnem fuam untformtter pr9* greditur , rejiftentta ex auBa vel diminuta ejus longtttuC' ne non mutatur j ideoque eadem efi cum rejifieniia Cir» culi eadem diametro defcripti & eadem velocitate fecun" dum lineam reBam plapo ipfius perpendscidarem progrc dientis, Nam latera Cylindrl motui ejus minime opponuntur : & Cy- lindrus , longitudine ejus in infinitum diminuta , ia Circulum vertitur. PROPOSITIO XXXVII. THEOREMA XXIX. Cylindri , qui in fluido compreffo infinito &f non elafiico y?- cundum longttudinem fuam uniformiter progreditur , rc" Jifientia qua oritur a magnitudine feSionu tranjverfa , efi ad vim qua totus ejus motus interea dum quadruplum lon* gitudinis fua defcribit , vel toUi pojpt vel generari ^ ta denjitas Medii ad denjitatem Cylindri quamproxime. Nam fi vas AB 7) C fnndo fuo C*D fuperficiem aqus (Ugnan- tis tangat , & aqua ex hoc vaie per ca* nalem Cyiindricum EFTS horizonti Kp" r - i, perpendicularem in aquam ftagnantem HG squemur: vis aquaSEcoK©vst defluentis in circelium erit ad pondus Cylindri cujus bafis eft circellus ille & altifudo eft r /G . ut EF^ zd EF(f—^T^q qoam proxime. Nam vis aquae » uniformi motu deiluentis per totum canalem j eadem erit in circelium ? ^in quacunque cana* lis parte locatum. Claudantur jam canalis orificia EF^ ST , & afcendat circellus in fluido undique compreflb & afcenfu fuo cogat aquam fuperio- rem defcendere per fpatium annulare inter circellum & lateracana- lis: & velocitas circelli afcendentis erit ad velocitatem aquae def- cendentis ut difFerentia circulorum EF^T^^d circulum 5P^, & velocitas circelli afcendentis ad fummam velocitatum , hoc elF, ad velocitatem relativam aquae defcendentis qua prasterfluit circel- lum afcendentem , ut differentia circulorum EF & IP^ad cir- culum E F^ five ut EFq—T^ ad EFq. Sit illa velocitte re* lativa squalis velocitati qua fupra oftehium ed aquam tranfire per idem fpatium annulare dum circellus interea immotus maner,. id efl , velocitati tione quae cothponitUr ex duplicata ratibne velocitatum & duplica» ta ratiorie diametrofuth & fatione denfilklis Mediofum. Corol. z. Si amplitudo canalis noh augeatur ih ihfinitum,-fed,Cy- liridrus ih Medio quiefcehte ihclufo iecundum lOhgitudihem fuara |>rogrediatur , & interea axis ejus cum ax6 «iahalis coincidac: Refi- llehtia ejus erit ad vim qua totus ejus motus , qUo tempore qua- druplum longitudinis fus defcribic , vel geheraH poflk ve! toili, in ratione qua; componitur ex ratione EFqzAEFq-^^ ^^f femei • • PRINCIPIA MATHEMATICA. 30 femel , & ratione EFj ad EFq—T^q bis, & radone denfitatis LiBsit Medii ad denfitatem Cylindri. . Sbcomdwi. Corot. 3. lifdem poutis , & quod jongitndo L fit ad quadru- plum longitttdinis Cylindri in ratione qu® componitur cx ratione £F^-T-i^^^ ad EF^ femel, & ratione EFq-T^qaA EFq bis: refiftentia Cylindri erit ad vim qua totus ejus motus, interea dum longitudinem L defcribit , vel tolli poffit vel generari , ut denfitas Medii ad denfitatem Cylindrt Seholium, In hac Propofiticme refiftentiam inveftigavimus qua» oritur t fola magnitudine tranfverraB feftionis Gylindri, negleaa refifteniiaB parte quae ab obliquitate motuum oriri poflit. Nam quemadmo- dum in cafu primo Propofitionis xxxvi. obliquitas motuum quibus partes aqu® in vafe , undique convergebant in foramen E Pj im- pedivit efHuxum aquas illius per foramen ; fic in hac Propofitione • obliqnitas motuum quibus partes aqus ab anteriore Cylindri ter-^ mino prefiTds 9 cedunt preffioni & undique divergunt ^ retardat eo- rum tranfitum per loca in circuitu termini illius antecedentis ver- fus pofleriores partes Cylindri , efficitque ut fluidum ad majorem diftantiam commoveatur & refiftentiam auget, idque in ea fere ra- tione qua efHuxum aquaa e vafe dimiduit> id efl.> m ratione dupli^» cata X5 ad xr circiter. £t quemadmodum^ in Propofitionis iUius cafa primo , effecimus ut partes aquaD perpendiculariter & maxima copia tranfirent per foramen EF^ ponendo quod aquaomnisin vafe quae in circuitu catara6lds congelata fuerat 5 & cujus motus obliquus erat & inutilis 9 maneret fine motu : fic in hac Propofi- tione , ut obliquitas motuum tollatur y & partes aquae motu maxime dire6lo & brevifiSmo cedentes facillimum praBbeant tranfitum Cy- lindro» & fola maneat refiflentia quae oritur a magnitudine feAio- nis tranf^erfdB 9 quasque diminui non potefl nifi diminuendo dia- metrum CyHndri , concipiendum efl quod partes fluidi quarum motus funt obliqui & inutiles & refiftentiam creant > quiefcant ia« ter.ffe ad utrumque Cylindri tcr- j£j »q. minum , & /^ohxreant & Cylindro jungantur^ Sit ^i5 C!D rettangu- C A- ]um » & ^t A E &i BE arcus 'E^^^^ I \*^^9. dao Parabolici axe jIB defcripti, . > ^ '^"""^ latere autem refto quodfit adlpa- *7 . •■^ R r tiom J14 PHTLOSOPHIiE NATURALIS D^JJjTctimn HG, defcribendum a Cylin- K»— — O- iri«rftH'f jj.Q cadente . dum velocitatem fuam acaairic . ut HG ad h AB. Siac ttiam CFSc T^Fucus atii duoPa- y<^^ 1 ! Pi>Jt raboHci , xiLeCID & latere redo ^^~*i bT quod fit prioris lateris le^ <|vadni- plum deicripti; & coavolotione fignrae czrcum azem J^i^ geaere^ tur folidum cujos media pars^^tDCficX^yliadrus de qaoagimus» & partes extrems ABE & CDF contineant partes fluidi inter fe quiefcentes & in corpora duo rigid» concretas>qu« Cylindro utrin- que tanquam caput & cauda adhsreant. £t folidi EACFlDBt Kcundum longitudinem axis fui FE ia partes verfus E proeredien- ris , refiflentia ea eric quamproxime qnam in hac Propofitioae de> jTcripfimus , id efi , quas rationem iilam habet ad vim qua tota» Cylindri motus , incerea dum lon^tudo \ AC moni illo Qirifer> ' miter continuato defcribatur , vel tolli poflic veT generari , qoara! denfitas Fluidi habet ad denfitatem Cylindri quamproxime. £t hac vi Refiftencia minor iSt non potefi quam u ratione r adj^per CoroL 7. Prop. xxxvz. LEMMA V- S» CyUndrmy Sphara ^ Sph^rais, quorim taikndines funt dqutdis y i» medio eanahs Cylindrici ita locentar iuccef- five u$ eorum ^txes cum axe cmolis coinctdam : bac cor^ jpora fluxum aqua per canalem aqualiter impedtent, Nam ^tia inter Canarem & Cyiindrum, Sphaeraro, &Sphs' roidem per qus' aqua traniic , iiinE aeqaalia :. & aqua per «qua- fift fpatia cqualiter traBfic. LEMMA VL Ttfdem pojttis y corpora pradtBa ^qua^ter ttrgetttur dB aqua: per canakm fluente, Patet per Lemma r & Mocus Legem tcrtiaBi Aqjita otique & ccrpora i» fe BMituO' «qtialitef agonc. LENfMA PRINCrPIA MATHEMATIGA jif LEMMA VII. SEcoioMn. 55 afoa qmefca$ in eanalf , €f cerpora m partes corttrariat squali 'oelKttate fer canalem feranktr : ^qttales erant tormM rtjifientia tttterfe. Conftat ex Lemmite fuperiore, aam fflocos relativi iidem in- ter fe manenc. Schaiium. Eadem eS ratio corporutp. omnium convexoram &: rotundo- rnm , quorum axes cum axe canalis coincidunt. Differentia ali- qaa ex majore vd minore fri^ione oriri poteil ; fed in his Lemmatis corpora eiTe politiflima fupponimus , & Medii tenaci- tatem & frt^ionem efTe nuHam , & quod partes fluidi , quae mo* tibus fuis obliquis &* fuperfluis fluxum aquas per canalem per- torbare» impedire» & retardare poiFimt » quiefcant iiiter fe tan- quam gelu conffarids » & corporibus ad ipforum partes amicas & poiUcas adh«reant> perinde ut in Scholio Propofitionis prsceden- tis expofiii. Agitur enim in fequentibus de refifleDtia onmium minima quam corpora rotunda » datis maximis fedionibus tranf- verfis deflcripta , habere pofTunt. Corpora nuidis innatantia » ubi moventur in; direftum , efficiuiit m flttidum ad partem anticam afcendat>ad poflicam fubfidat» prael* fertim fi figura fmt obtufa ; & inde refiflentiam paulo majorem ientiunt quam fl capite & cauda fint acutis. £t corpora in fluidis elafticis mota , fi aate & poft obtufa fint > fluidum piauJo ma^s condenfaat ad anticam partem & paulo magis relaxant ad poflicami & inde refiftentiam paulo majorem fentiunt quam fi caprte & cau- da fint acutis. Sed nos in his Lemmatis & Propofitionibus non agimus de fluidis daflicis»fed de non elaflicis; non de infidentibus fiuido > fed de alte immerfis. Elt ubi refiflentia corporum in flui* dis. non elaftidis innotefcit ^ augenda erit baec refiflentia aliquantu- lutn tam in fluidis elaflicis, cjualis efl Aer>quam in fupernciebus flaidqram. flagnaiHium > qualia funt maria & paludes. Rr X PRO- 3i6 PHILOSOPHI^ NATURALIS De MoTp CoiPORUM pROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XXX. Globiy tn Flutdo cdmprejfo infinsto 6f non elafitco unsformi^ ter progredsentis , refsftentsa eft ad vim qua tptus ejm motus y quo tempore o£io tertias partes diametri fua de^ fcribst.y vel tolli poffit , vel generari , ut denptai Fluidi ad denfitatem Globi quamproxime. Nam Globus efl ad Cylindrum cireumfcriptum ut duo ad tria; & propterea Vis illa , quse tollere poflic motum omnem Cylindri in- terea dum Cylindrus defcribat longitudinem quatuor diametrorum» Globi motum omnem tollet interea dum Gtobus defcribat duas tertias partes hujus longitudinis , ideft^odo tertias partes diametri propriaB. Refiflentia autem Cylindri eft ad hanc Vim quamproxi* me ut denfitas Fluidi ad denfitatem Cylindri vel Globi , per Prop. XXXVII. ; & Refiftentia Globi SBqualis ell Refiflentis Cylindri ^ per Lem. V, VI, vii. ^ £. 2). CoroU i.Globorum , in Mediis compreflis infinitis , rcfiflentiaefunt inratione qus componitur ex duplicata ratione velocitatis^ & du- ' pHcata ratione diametri, & duplicata ratione denfitatisMediorum. Corol. X. Velocitas maxima quacum Globus, vi ponderis fui com- parativi , in fluido refiflente potefl defcendere , ea efl quam acqui- rere potefl Globus idem, eodem pondere , abfque refiflentia caden* do & cafu fuo defcribendo fpatium quod fit ad quatuor tcrtias par* tes diametri fuae ut denfitas Globi ad denfitatem Fluidi. Nam Globus tempore cafus fiii , cum velocitate cadendo acquifita ^ dcfcrtbet fpatium quod crit ad ofto tertias diametri fu«i ut den- fitas Globi ad denfitatem Fluidi ; & vis ponderis morum hunc generans, crit ad vim quae motum eundem gcnerarc pofTit quo tempore Globus ofto tcrtias diametri fuae eadem vclocitate dcfcri- bit , ut dcnfitas Fluidi ad denfitatem Globi : rdeoque per hanc* Propofitionem , vis ponderis aequalis erit vi Rcfiflentix, &propter- ea Globum accelerare non poteft. Corol. 3. Data & dcnfitate GIoM & vclocitate cjus fub initio motus , ut & denfitate iluidi comprcffi quiefcentis in qua Globus movctur ; datur ad omne tenrpus &velocitas Globi & ejusre& ftentia & fpatiom ab eo defcriptum> per CoroL 7. Prop.xxxv. PRINGIPIA MATHEMATICA. 317 Corol.A.. Gtobus in fluido compreCo' qniefcente ejufdem fecum^I'"" denutati^ movendo * dimicliam motus fui partem prius amittet quam^ ^ longitudinem duarum ipfius diametrorum defcripferit , per idem^ Cbrol. 7. ' ) PROPOSITIO XXXIX. THEOREMA XXXL ' Globijper Flutdum in canaVt OjTtndnco claufum Sf compref- ftm untformher progredientis , refifierttia efi ad vtm qua totus ejus motus , interea dum oBo terttas partes diametri, fua defcribity vel generari pojfit vel tolliy in ratione qua componitur ex ratione oripcii canalis ad exceffum hujtd orincif fupra dimidium circuli maximi Globiy &f ratione dupUcata orificii canalis ad exceffum hujus orificii /upra circtdum maximum Globi , ^ ratione denfitatis Fluidt ad denfitatem Globi quamproxime. Patet per Corot. 2. Prop. xxxvn ; procedit vero demonflratio quemadmodum in Propofitione prxcedente. FROPOSITIO" XL. PROBLEMAIX. Globi in Medio fluidijfimo compreffo progredtentis y inveni' re refifieneiam per Phanomena, Sit A pondus Globi in vacuo, B pondus ejus in Mcdio refiffen- te> Ddiu^ter Globi, F fpatium quod fit zdj D ut denfitas Globl ad denfitflro Medii, id eft, ut A ad A — B,G tempus quo Globus pondere B abfque refiftentia cadendo defcribit fpatium F, & H velocitas quam Globus hocce cafu fuo acquirit. Et erit Hvelocitas maxima quacum Globus, pondere fuo B , in Medio reftftente po«^ teft defcendere , per Corol. x. Prop. xxxviii ; & refiftentia quam Globus ea cum velocitate defcendens patitur, aequalrs erit ejus pon- deri B : refiftcntia vero quam patitur in alia quacunxjue veiocitate p erit ad pondus B in duplicata ratione velocitatis hujus ad velockar tem illam maximam H, per CoroL i. Frop. xxxviUi. Rr^ Harc jil . PHILOSOPHIiE KATCJRALrS Si Mma fte' cft refifieiiiia qoc onrar ab iacrtU mtteiue Fliudk Ii ^*™™ me qw oritw ab ebfticitaie, (esadute, & ia^tae pafriMi qns, uc ioTefiigabitur. Deniinatiir Globos nt pondere ruo B in Fluido deTcendar ; & £c P leinpos cadendi , idque in minntis fecundis fi tempns G in niinatK fecnodis habeainr. fnvematar aiimeiut aUblacns N qui congmit Logiritlmio 043419448x9 -^ fitquc L Logatitbmas na- meri tj' : & Tdociias cadeodo a«qirifiu eritij~ H, ahitndo «Ken de&aipta erk -7^ iaS<>94)<ntinet (p»tia defcripta iifdem temporibnt a corpore , vi ^decia fui comparativi B . IB vacuo cadente. Temfora PRmCIFIA MATHEMATIGA fi^- Felochafes \ cadentis in fiuido m 99999^ 999967 9966799 '973753* 19x31261 J7994896 46x11716 J 3 70495 7 60436778 66403677 7x629787 75159416 96402758 995 05 47 J 99932930 99990920 99998771 99999834 999999*0 99999997 99999999-J Sfatiacaden" 1 Spatia m«t« aodefirifita maximo df iHJlutdo 1 firifta. I 0,00000 iF 0,000 iF 0,0099834^ 0,0397 3 6xF 0,08868 ifF 0,1559070^ 0,2402x90^ 0,3402706^ 0,45454055 0,5815071^ o, 7 196609F o,«6756i7F 2 6500055F 4,61 865 70F 6, 6 143 7 65 F 8,6137964^ 10,61 37 179F 12,6137073^ 14,6x37059^ l6,6i37057F I 18F 18,6x37056^ jioF oiOoiF 0,02F 0,2F o,4F o,6F 0,8 F i,oF *I,2F r,4F i,6F i,8F 2F 4F 6F 8F loF X2F- 14F 16F Sf4ltia cadeif ao defirifta in vacuo. OjoooooiF *o,oodi F 0,0 iF o,o4F' OjO^F 0.16F o,25F o,36F o,49F o,64F 0,8 iF iF 4F 9F 16F 25F 36F 49F 64F 81F looF -MMMtfMlk^ Stboiium: XJt tdSSffOiWi Ffoidonim invefitgareni per Experiinaeiicr, paravii Tas Kgneum quadratnm , longitudine & latitfidiae ioceriu digito- fum iiovem pedis Londiaenfit , profunditate pedum Dovem cum< feffiHfe , idemque implevi aqua pluviati ; & g^obis ex cetB' & plunr* bo inclufo formatis , notavi tempora defcenfus ^bbohmi', cxifientC' ^fcenfos altitudine iia digitorum pedis. res folidus cubicus^ Lomdinenfit continet 76 libras Romauas aqu« pluvialis y Sc pedrs hujas digitus fotidus continet ^ uncias libne liujus feu grana «53 f; & gtobos aqiteos diimetro digiti «uus dcfcriptos contjaet granai i'3*.64f B^o PHILOSOPHI-fi NATURALIS pc MoTQ 13X9^45 in Medio aeris« vel grana i3^>8 in vacuo; & globns qni- CoxrroKVM jibet alius eft ut exceiTus ponderis ejus in vacuo fupra pondus ejus in aqua. Exper. I. GlobuS) cujus pondus erat 15*6^ granorum in aere & yj granorum in aqua^ altitudinem totam digitorum iix tempore minutorum quatuor fecundorum defcripfit. Et experimento repe- tito^ globus iterum cecidit eodem tempore minutorum quatuor fe* cundorum. Pondiis globi in vacuo efl 156 ^Agran.^ & excefTus hujus ponde- ris fupra pondus globi in aqua eft /y '^gran. Unde prodit globi diameter 0,842^4 partium digiti. £ft autem ut exceflus ilte ad pondos globi in vacuo ^ ita denfitas aqus ad denfitatem globi , & ita partes ofto tertiae diametri globi ( viz. 2,245:97 dig. ) ad fpatium 2 F, quod proinde erit 49^256 dig. Globus tempore mi- nuti unius fecundi , toto fuo pondere granorum 1563I, cadendo in vactto dcfcribet digitos 193^ ; & pondere granorum 77, eodem tempore , abfque refiftentia cadendo in aqua defcribet digitos 9f,xi9; & tempore G , quod fit ad minutum unum fecundum in fubduplicata ratione fpatii F feu 2»iii8^/^. ad 95,1194//^. defcribet x,xi28 dig. & velocitatem maximam H acquiret quacum poteft in • . taqua defcendere, Eft igitur lempus G c^ i f 244. Et hoc tem- pore G, cum velocitate illa maxima H > globus defcribet fpatium % F digitorum 494256 ; ideoque tempore minutorum quatuor fe- cundorum defcribet fpatium digitorum ii6yi%^^. Subducatur fpa- tium 133861944 F feu 3^0676 dig. & manebit fpatium 113,0569 di- gttorum quod globus cadendo in aqua, in vafe amphflimo» tempo* re minutorum quatuor fecundorum defcribet. Hoc fpatiump ob tnguftiam vafis lignei prsdiAi « minui debet in ratiorie qu£ com- ponitur ex fubduplicata ratione orificii vafis ad exceflum ori/icii liujus fupra femicirculum maximum globi & ex fimplici ratione orificii ejufdem ad excefiiim ejus fupra circulum maximum g\o* bi, id eft, in ratione i ad 0,9914. Quo fado, habebitor fpatium 112,08 digitorum, quod Globus cadendo in aqua in hoc vafe lig* neo tempore minutorum quatuor fecundorum per Theoriam de^ fcribere debuit quamproxime. Deicripfit vero digitos 11 x per Experimentum. Exper. X. Tres Globi aequales ^ quorum pondera feorfim erant 767 granorum in aere & 5*,^ granorum in aqua 9 fucceflive demii* tebantur ; & unufquifque cecidit in aqua tempore minutorum fecun- 4oram quindecim 3 cafu fuo defcribens akitudinem digitorum 111. Com- PRINCIPl A MATHEMATICA. ixt Compvtum infeundo prOdeunt pondus glob» in vacuo J^^gran:^ hizn exceflus hujus ponderis fupra pondus id aqua jV^gran.^ diameterSEcuNj>us» globi Op 81x96 dig.^ odo tertias partes hujus diametri 2 ,16789^//^.^ ipatium X F Xt^xx 7 dig. ^ fpatium qaod globus pondere 5^ gran.^ tem- porc i'\ abfquerefittentia cadendo defcribat ix,%o% dig.^ & tem- pus 60^301056. Globus igitur^ velocitate maxima quacum poteft in aqua vi ponderis ^h$ran. defcendere, tempore o'', 301056 de- fcribet fpatium 2, 5x17 dig.&c temporei^^fpatium iij^^^S dig^ Sub- ducatur ipatium i> 1861(944 F feu i » 609 dig. & manebit ipatium 1 14,069 dig. quod proinde globus eodem tempore in vafe latifli-- mo cadendo defcribere debet. Froptec anguftiam vafis noflri de- trabi debet (patium 05 895 dig. circiter. Et fic manebic fpatium •113» 1.74 dig. quod globtts cad^ndo in hoc yafe* tempore 15'' de- fcribere debuit per Theoriam quamproxime. Defcripfit vero digi- tos I IX per Experimentum. DifTerentia efl infenfibilis. Exf^r. 3. Globi tres asquales» quorum pondera feorfim erant ixi gran. in aere & i gran. in aqua , fucceilive demitcebantur ; & ca- ^ebant in aqua temporibus 46 Wz' > & S^' y defcribentes altitudi- nem digttorunpi iii. Per Theoriam hi globi cadere; debuerunt tempore 40" circiter. *Quod tnrdius ceciderunt , vel bullulis nonnuUis globo adhasrenti- bus , vel rarefadioni cers ad calorem vel tempefi:atis vel manus globttm demittentis 9 vel erroribus infenfibilibus in ponderandis globis in a^ua , vel denique minori proportioni refiflentias quae a * vi iaerttas in tardis motibus oritur ad refiflentiam quas oritur ab aliis caufis» tribaen^m efife puto. Ideoque pondus globi in aqua debet cfTe plurium.granorujm ut experimentum certum & fide dig- num reddatur. Exftr. 4. Experimenta hadenus defcripta caepi ut invefligarem refifteittias fluidorum ant^quam Theoria , in propofitionibus pro- xune pnecedentibus ^xppfit^ > mihi innotefceret. roflea , ut Theo- riam inveniara exaouQarem , paravi vas ligneum latitudine interna digitoram S-f tprofunditate pedum quindecim cum triente. Deinde ex cera & plumbo' inclufo ftlobos quatuor formavi , fin^ulos pon- dere la^^granorum in aere & 7> granorum in aqua. Lt hos de- mifi ut tempora cadendi in aqiia per pendulum , ad femi-minuta lecwida ofciUans , menfurarem. Globi , ubi ponderabantur & poflea cadebant , frigidi erant & aliquamdiu frigidi manferant \ quia ca- lor ceram rarefacit, & per rarefadionem diminuit pondus globi in aqua> & cera rarefaAa non flatim ad denfitatem priflinam per Sf frigus i%% PHiLoaoPHiiE : naturalis: DbMoto frijgns reducittiT. Atitequam cadetetit^ imtnergebahtur peiiittis io CoRPonuifaquam r ne ponderd partis alicojus ezaqua extantis defcefifas eo« rutn fub initio acceleraretur. Etubi penitusimmerfiquiefcebant» demittebantur quam cautiflime , ne impolfum aliquem a manu de- mittente acciperent. Ceciderunt autem fucceffive temporibus ofcillationum 477 , 48^ y 50 & 51 ^ defcribente» iiltitudinem pedom quindecim & digitorum duorum. Sed tempeftas jam paulo frigi- dior erat quam cum globi ponderabantor , ideoque iteravi expe- rimentum alio die, & globi ce<^iderunt remporibus ofcillationum 49 > 49^ > 50 & 53» ^c tertio temporibus ofcillationom 497, 50,51 & 53. £t experimento fspius capto , Globi cecideroot maxima ex parte temporibus bfcillationum 497 & 50.. Ubi tardiils ceci* dere, fufpicor eofdem rirtardatos fuiife impitigendo in latera va- fis. ^ Jam computum per Theoriam ineundo« pfodeunt pondos glo- bi in vacuo 139 -f granorum. Exceflus hujus ponderis fupra pondus globi in aqua is^joi^^^- Diameter globi 0,99868 ^i^. Ofto tertias partes diametri 2, 66315 dig. Spatium x F 2^ 8066 iiig. Spatium quQd globus pondere 7^ granorum, tempore minQti uniusfecundi aofque refiflentia cadendo idefcribit 9> 8^i6f i%. Et rempus G o'' 3 376843. Globus igitur, velocitate maxima quacum poteft in aqua vi ponderis 7 s^ granorumdefcendere,- tempore 0^,376843 de- fcribtt fpatium z, 8066 digitorum , & temporo i^ fpatium 7^44766 di- ;ttorum> & tempore 25/^ feo ofeillatioliiltti ^o ipatiom )S6, 1915 Mg. jubducat^r i^atium i» 386x94 F , feu ii9454 4i^**^ manebit ipatium -184^2461 ilig. quod globus ebdeni ttito^oi% in vafe iMiffimo defcri- bet. Ob angufliam vafis noflri, minuatur hoc fpatium in ratione qux comppnitur ex fubduplicata ratione orificii vafis ad acceflom hujus orificii fupra femicircutum maximum ^lobi , & fin^Hci ratio- ne ejufdem orificii ad excefTum ejus fupra' GiMfuIum maxioHiB glo- 'bi ; & habebitur fpatium 181 ^^ 86 digitdrum' ; qubd ^lobm in noc yafe tempore ofcillationum 50 defcribere d^biiit pef^Theoriam * quamproxime. Defcripfit vero fpatiitm i1{x defcHbentes altitttdinem pe-^ dum quindecim & digitorum duorum. - - - Per Theoriam cadere debuerunt temporeofciUatioBoma^quam^^ proxime. « PRINCIPIA MATHEMATIGA. f ai V Exptr. 6, Globi qainque poAdert %i% ignm. in aere & 79^ in «r .LrBER-' qua, ifiepe demifli, cadebant tempore ofciUationum xf, iff ». t6»SEcvMp«St, 17 & i&, defcribentes altitadiiiem pedum quindecim & digitofum duorum. ':i Per Theoriam cadere debnernnt tempor^orcillationum.vfquam* proxime. .■ • 1 1 Eccfer. 7. Olobi quatuor pondere 19; |-^ra«. in*aere & iSiifi»* in aqua faepe demim , cadebant tempore ofcillationum 297. 3o>» 301 , 31» 52 & 33 1 defcribentes altitudinem pediim quindecim 8c digiti nnins cum. femiiFe. . : . . : . l Per Thecmam cadere debuerunt tempore ofcillationum iS.quaip* proximev' ^ '•■' Caufam inveftij^ando cur. gtdxiaram • ejufdem poilderis & magfii- tudinis , aliqui citius alii taidius caderenc , in hanc Jticidi -, qucd globi, ubi primum demittebantur &,cadere incipiebantfOfciilareiic circum centra, latere illo fpiod forte graivitts eifirtij.primum deTden* dente , & motum ofcillatorium generante. Nam per ofcillatiohes fuas,- giobusmajorefnmbtuiB comhiunicat aqiis, ^uamii findof* cillationibus deurenderet ; & communicando , amitDit partem mo- tus proprii qub defcendere deberet , & pro majore vel minore of- ' cillatione, nugis vel ipinas retardatUr. Quinetiam globus recedit femper a latere fuo quod per ofcillationem defcendit , & recedcn» do appropihquat latlribiis vafis & ih htera nohnunquam impingi- tur. EtbaBcofcillatioinglobis gravioribus fortior efl „ & in ma- joribus aquam ni^s agitat. - Qaapoopter, ut ofcillatio globdinim minor reddefetar, gloix>s novos ex cera.& plumbo conflruxi, in- figendo plmBbum in latas aUquod globi prope fuperficiem ejus^ & gfobum itademifi , ot ktus ^raviUs , ^uoad fieri potuit , eiTet infi- mum dd initia defdeirius: < Sic dfcilktiones. fa6ts funf muho. muio* res qu«m priiis , & globi tc^mporibus minus inaeqmdibus ceoidarniity ut in experithenti8iequentU>as. :■■■■•' •. .t '. Exf^^ 8. Globi quaitiior pondere granorum 139 in aere & 6H11 aqua » fspe demtifi > cecidenmt temporibus ofcillationtun. non p^- riuoi quam 51, nonpauciorum quam 5*0, & maxima exjparte cem- pore ofcillacionum $f circlcer , deforibentes altitudihem digito* rum i8i. ^: *.•":■'• •■■'A Per Theoriam ciadeM debuerunc tempore ofcillationam <;[«:«»- citer. .!:•;;- .!,••.. • •• . • . Exftr. 9« Globi quatuor pondere granorum 173^ in aere & • i4of inaqaaj fttpiusdeffiidS» ceddeninptetnporibui^t^^^llationum . . j Sf a non U4 PMILOSOPHI^ NATURALIS Vt MbTtj ^^^ i^ftticrorum qnam ix^ tion plarium quam 13 , defcribentes alti' CoRpoRUM tudinem di^itorum i8t. Per Theoriam tero bi globi cadere debuerunt tempore oicilla- tionum ii-j quamproxime. Exfcr. 10. Globi quatuor poadere granbrum' ^S^ in aere & 119^ in aqua, fdBpe demifli^cadebanttemporibus ofcillationum 17^; .18, 187 & 19, defcribentes altitudrnem digitorum 18 17. £c ubi ceciderunt tempore ofcillationum 19 > nonnunquam audiviimpuK fum eorum in latera vafis antequam ad fundum pervenerunt. Per Theoriam vero cadere debuerunt tempore oCcilktionum 15^ quamproxime^ ' » Exper. II. Globi tres aequales^ pondere granorum 48 in aere & 3^ in aqua y ' £fepe demiifi , • ceciderunt: temporibas Gfcillaticmum Ji.^ir 44» 447 » 4( & 46f & maxima ex parte 44 & 45* > defcribentes altitudinem digitorum 18x7 quamproxime. Per Theoriam cadere debuerunt tempore ofcillacionum 46 f ci^ citer. * Exper. XX. Globi tres a^quaies , pondere granorum 141 fn aere &4-I in aquafaliquoties demiffi, ceciderunMemporibus ofciilatio- num 6i9.6x,63,64 & 65 , defcribentes altitudinem digttorum i8x. £t per Theoriam cadere debuerunt tempore ofcillatienwn 64? quamproxime. Per hsc Experimenta manifeilum eil qued y ubiglobr tarde ce- •cidecunty. utin experimentisfecundi&^^ quatrtis,: quintis ,. oAaviSt 'midecimis ac duodecimis y tep^pora cadendi re^ exhibemur per • Tbeoriam : at ubi jglobi velocius cecideruaf t ut in experimcntis liextis , nonis ac decimis 9 reflfi^ntia paulo* major extitit quam in -iluplicata ratione velocitatis; . Nam^globi.interxadendum efciUant -aliquantulum ;. & ba^ efciltatio in gbbis lentmbus & tarditts oa* cdentibiis^v ob mQtus languorem dto peiTat ;c in:gravioriiMs autem & majoribus, ob motus fortitudin^.ditttaisduf!at^& hoo mfipoil i plureSi ofciilationes ab aqua amtrieiMe cofaib^i poteft. Qoinetiam * iglpbiy. quo Yelociores funt:, eamimis premuQtur a fluido ad pofti«- ' . cas fuas par bes ^ & rfi velocitas i t petpetub • aiigeatur % (patium va- -GiijDm tandJ3mja:tergo.relin^uent;,.tuli compreflio floidi fimul au- geatur. Debet autem comprefHo fluidi ( per Prop. xxxii & xzxui) avg^irin dupCcata raiiene. velocitatis ^ ut tefiftentia • flt in eadem duplicata ratione. Quoniam hoc non fit , globi velociores oaalo jninus premuntur atergo i. & defedu prewonis hujus •reiiftentia ' eorufli flt paulo. major quam ia dupiicatai satione velocitatis^ Conr PRINCIPI A M EMATICA. 3H Congruk igitor Theorta cutn: pbsnomeiiis corporum cad^Dtuim. Li^i^er. in A^a , reliquum eft uc examinemus phasnomena cadentium^^^^^^^ - inAere. • Exjter. 13. A culmine Ecclefia^ S'L Tauli, in urbe Zr^/r^V/ /globt duo idtrei' fimul desuttebantur % unus argenti vivi plenus» alter aeri» ; & cadendo defcribebant altitudinem pedum Londinenjjuiit xto. Tabula lignea ad unum ejus terminum polis ferreis fufpende- batur » ad aherum peflulo ligneo incumbebat ; & globi duo huic Tabul» impofiti iimul demittebantur » fubtrahendo pefTulum , ut Tabula polis ferreis folummodo innixa fuper iifdem devolveretur.f & eodem temporis moipento pendulum ad minuta fecuiida ofdl* lans^per filum ferreum a peiTuIo ad imam Eccleiias parten) ttia^ dens» demiiteretur & ofcillare inciperet.^ Diametri & poridera gTQ«; borum ac tempora cade&di exhibentur in Tabula fequente. Globorum mercurio plenorum. Toudera 'Diametri Globorum- aere flenorumi ^otgran. 983 866 747 . 808 784 o, 8 digit. 0,8 P.75 o»75 Temfpra. eaaendi. • Tvnder» > 4" 4— 4- . 4-H. 4 ^xograti. 641 599 483.; >64i Diametri 'i T^empora cadendi.^ Catterum tempora obfervata corrigi deben^. Nam g^obl mer- curiates ( per Theoriatn G^//7^i ) rpinuiis quaiuor fecundis defcnbent pedes Londinenresx^ifi & pedes 2x0 minutis rantum 3 4^- • TibUT la ligljea utitjfie , detrafto peffulQ , tardius devolvehatur quam par crat & tarda fua devolutione impediebat defcenfum globoruni fub initio. Nam globi incumbebant Tabulae prope medium. ejuyr & panicy.qurdem. ptpp^pws ejant aKi .ejus quam .pelTulo li,^^^^ lempor» cadendi.pros^gat*, f^««ru^t mmutis ffrtiis qaod|Ciin cit,- citcr . &.jam.C0^iagi.deW deirahendo iDa i»>P"r^ ♦ .f^W^^^i?; clobis majoribus qui Tabulx devolventi pauld diutius mcumbebanj proptcr magnitudinem diametrorum. Qup fafto,^ temporaHjtnbas. iobi fex majores cecidere , evadent 8 ix ,7 4* >1 4* »7 57 >» 1x6 PHILOSOPHI^ NATURALIS De MoTu Globorum igitur aere plenorom quiatns , diametro digitoram GoRpoRUMqujjiqQe pondere granoram 483 conftru^s cecidit^ tempore 8" iz"\ defcribendo altitudinem pedum 226. Pondus zqjix huicglo- bo sequalis^ eft 16600 granorum; & pondus aeri^ eidem aequalis eft i^^gran. ieti 19^ grani ideoque pondss globi in vacno eft 5P^iP S^^^- & h^P pondus eft ad pondus aeris globo sequalis, ut ;562,i| i^ t^^^j 6f ita funt x F ad ofto teitiaspartes diametri globi, w eft, 'id I3y digitos. Unde ^ F prodeunt 28 /^ii. 11 Jig. Olobus cadendo in vacuo , toto fao pondere 502.^^ grdnorum f tempore 'i^inuti unius fecundi defcribit digitos 193^ uc fupra, & pondere 4^3 ^^^^. defdribit digitos 185-, 905 , & eodemf pondere 483 graM. etiinl in vacuo defcribit fpatium F feu 14 /«.5^ ^i^. tempore '^7'^ 58'"', & velodtatem maximam acqnirit quacum pofOt in aerc defcendere* Hac velocitate globus, tempore 8" ix"' ,ciefcribet fpa- tium pedum 245 & digitorum 57. Aufer 1,3^63 Ffeu 20 /^ed. oj ^g. & manebunt 225 /^ed. f dig. Hoc fpatium igitur globns , . tempore 8"^ ix"\ cadendo defcriberie debuit per Theoriam. De- fcfripiit verq fpatium 226 pedum per experimentum. DifTerentia infenfibilis eft. Similibus computis ad reliquos etiam globos aere plenos appli- catis^ confeci Tabulam fequentem. Globorum fonderu 5 10 grMn. 641 1599 485 641 ( 'Dia- metri . • * 5 5»* Temfora ca- dendi ab aU tttudiiu fe- dum 1X0. 8 7 7 7 8 7 4* 57 4% IH SPatia defiriben- dafer Tbeoriam, xx6fed. II dig. 130 9 x'x7 10 "4 5 115' 5 ijo 7 ' Excejfus. 6fed, II dig, 10 9 7 10 4 5 5 5 1 10 7 ; Globorum i^tar tam in Aere quam ifi Aqua motoram refi- (lentia prope omnis per Theoriam noflram re amitte? re deberet motus fm partem --—j.. At per Theoriam in hac fcptl* ma Se^tione dxpofitam & experimentis.cadentium confirmatam » globus idem defcrrbendo longitudinem eandem > amittere deberet rootus foi partem tantum ;^, pofito quod denfitas Aquas /Itad denfitatem Aeris uti8($o ad l. Refifbenti» igitur per experlment^ pendalorum majores- prodiere(ob caufas jam defcriptas^quampec expeiimenta globbmm cadentium , idqiie in- ratione 4 ad 3 circiterw Attamen cum pendulomm in Aere , AqUa , & Argento vivo ofciU lantinm refiftentiae a canfis fimtlitms fimiliter augeantur , prop reflflentiarum in his Mediis , taii[i per experimenta penduiprAdi ^ qiiam per.es^erimen^oorpbrnmcadentiumtfati» rede exb^facipitur. £t inde conciudi - ppteft quod corpbrovi in fluidis quibuiCc^i^qm»^ fluidiffimis motonun refiftci^iae* csceiis ^rib^;,:.fant n^ den^ta^ les fhiidPrum. . '•''■: , ■ , His ita ftabilitis , ^dicere jam licet quamnam motus fYi'.parteni globns quilibet , in ilnido quoeunque pHrojej9;us , dHO tep9ppr« 9mU:T tet quamproxiroe, -Sit D ddamcter ^^obi i & V -vefocit^ejjj^ fu^ initio mot alio ^. amittet velocitatis fu» partem rjv— -, manente parte '^1^}^ & defcribet fpatium quod fit ad fpatium uniformi.velocitate V eo- dem tempore defcriptum in vacua » ut logarithmus numeri np- multiplicatus per numerum «,3om85°93 eff ad nnmerum «► , per Coroi 3*8 PHILOSOPHIiE NATURALIS Dt MoTo Corol. 7. Prop. ^xxv. 1n motlbus tar^s reiiftentia poteil efle paulo C0R.T0R UM minor , propterea quod fignra Globi panloaptiorfitadmotumquam figura Cylindri eadem diametro defcripti. In motibus- veioctous re- jOSentia poteft dTe paulo major. proi>terea quod 'elafticitas & com- preilio iraidi non augeantur in duplicata ratioae velocitads. Sed nujufmoidi minutias hic non expendo. - Et quatnvis Aer , Aqua , Argentum vivum & fimiUa fluida « per diviftonem partium in infinitum, fubtilfarentur & fierent Media io- finite ^ida'} tamen globis projedis haud minus refifterent. Nam refiflentia, de qua agitur in Propofitionibus prscedeotibus , oritnr abinertia materise ; & inertia materiae corporibns eflentialis |eil & tiuantitati materift/emper proportionatis. Fer divtiionem partiom fluidi. refidentia qiiae oritur a tenacitate & friAtone partium, di minui quidem poteil : fed quantitas materis per divifionem par tium ejus non dinHnuUut ; & manente quantitate mtteris , maoei dus vis inertise cui refiftentia , de qua nic^gitur, fieaiper propor tionalis eft. Ut hsc refiftentia diminiiiatar , dimiaoi debet quan titas materis in fpatiis per quse corpora moventur. . Et propterea fpatia Coeleftia , per qus giobi Planecaiimi & Cometarom in & propterea ( per Cofol. 6. Prop. xuc. ) iign- tam fuam fervare ne^uit » d\& vi eadem comprinutui undiq,u& Eodem igituT unpetn gno prefflitnr in fitpcrficiebas d», fg, bitur cedere ad latera df, tg ; ibique ( cnm rigidom non fit, fed omnimodo FlDidum ) excurret ac i£latabitnr , niii Fliridnm ambiem adfit, quo canatus ifte coliibeatnr. Proiode conatu ezcurrendiy premet tam Flnidum arabiens ad liter» ttf, tg qnam Iratam f^ bi eodem ifflpetu^ & propterea preflio non minus propagabknr a U- teribus4[/, tgm fpacia HO, K Lliiiiciode i ^ywiD fwyagapar i ftpetficie/jfTerfasP.®. &£.». P R O- fRINClPIA. MATHEMATICA. u? PROPOSITIO XLn. THEOREMA XXm «wu^iJ Motus omHts per Flmdum frofagtttus divergit a reBo traput te in Jfatta immota» r Cdf. I. Propagetnr motns t pnnAo A per foramen B C pttf «gatqne (fi fieri poteft) in fpatio contco BC^T fecundum lineas re^as divergentes a pun^o C. £t ponamus prirao quqd motut ifie fit nndarum in fuper6cte ftagnantis a^uae. Sintque r..iAij, tkltt vmnva &c. occuptbitiir. j^ E. -D, Hfc itn Te habere quilibet in aqua ^naat« expertri pot^. Cf/ r. . Pooami»! jam qnod 4e, fjff ki, ili mn, defignent pul- fus^ a pnn^ Ji t ^ Medium ^lafticum , fucceffive propagatos. Pnlfus propajuri coneipe per fuccefitvas condenfationes & rarefa- diones MediT, (k ut pulfus cnjnfque pars denfisfima fphasricam occupec fuperficiem cifc.a centrum A defcriptam , & inter pulfus fuccesfivos squalia intercedaot intervalla. Defignent autem linez de,fgf bi, kl, &c. denfisfimas pulfuum partes, per foramen MC propagatas. Et quoniam Medium ilH ien^w eft qutm in fpiitiis hinc inde veifo^ KL &N0, dilaubit M^ Km vfrfps fpatif ijjl^ KL, NO uttinqaefita» quam vfirfw pulfuiwi r«riQni interv^lim Tt * ffi^ 331 PHItOSCJPHI;^ NATURALIS Di MoTo eoqtie pafto rarius femper evadens e regione iQtervallornm ac CoRruijii (Jenfms e regione pulfuum , participabit eorundem motum- Et quoniam pulfuum progresiivus motus oritur a perpetua relaxatione partium denfiorum verfus antecedemia ititervalla rariorai & puf* (iis eadem fere celeritate fefe in Medii partes qyiefcentes KLy^O hinc inde relaxare debent ; pulfus ilH eadem fere celeritate fefe di- latabunt undique in fpatia immota KL, NO, (ma propagantur di- rede a centro^ } adeoque fpatiunr totum A^Z.OiS^ occupabunt. ^ E. ©. Hoc experimur in Sonis , quivel monte interpofito au» diuntur, vel in cubiculum per-leneAram admtslifefe in omnes cu- biculi partes dilatant , inque angulis omiiibus audiuntur, non tam reflexi a parietibus oppofitis , quam.a feneftradireae propagjti,, quantum ex fenlu judicare licec. Caf ). Fonamus denique qnod motus cujufcnnqne geseris pro- pagetur ab yi per foramen B C : & quoniam propagatio ifta non fit , nifi quatenus partes Medit cemro yt propiores urgent cotnino- ventque partes ulteriores; & partes qus urgentur fluid» funt , ideo- que recedunt quaquaveifum in regiones ubi minus ptemuntur .- re- cedent PRiNCrPlA MATHEMATICA; sjt cedent eaedemverfusMedii partes nmnes quiefcentes, tam laterales libe« KL & NOj quam anteriores P^t eoque pafto motus omnis j Secumdxj». qaam primum per foramen BC tranfiit, dilatari incipiet & abinde, tanquam a principio &: centro , in partes-omnes dire^e nropagari* PROPOSITrOXLIIi: THEOKEMA XXXIV. I €orptts otnne tremulum in Medh Rlafltco propagahit motutiP ptdfuum undique m dire^um \, in Medio- verc non Ela^ flico motum circularem. excitabit^. Cdf. I. Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo & redeundo , itu fuo urgebunt & propellent partes Medii fibi proxi^ mas , & urgendo comprimeht eafdera & condenfabunt , dein re- dftu fuo finent partes compreffas recedere & fefe expanderc. Igitur partes Medri corpori tremuto proximac ibunt & redibnnfper vices,* ad inftar partiam corporis iltius tremuli: & qua ratione partes cor*- poris hujus agitabant bafce Medri partes , has fimilibus tremoribus agitatas agitabunt partes fibi proximas, exque fimilicer agitats agb- tabunt ulteriores^' & fic deinceps in infinitum. £t quemadmodun» Medii partes primae eundo condenfantur &' redeunda relaxanturt fic partes reliquae quoties eunc condenfabuntur , & quoties redeunt fefe expandent. Er propterea non onines ibunt & fimul redibunt (fic enim determinatas abinvicem diftantias fervandoi non rarefie- rent & condenfarentur per vices ) fed accedendo ad invicem ubi oondenfantur , & recedendo ubi rarefiunt , aliquae earum ibunt dum aliaf redeunt , idque vicibus alternis in^ ihfimtum. Partes autem euntes & eundo condenfatas , ob motum fuum progrefilvum quo fcriunt obftacula-, funt pulfus ; & propterea pulftis fttccefiivi a corpore omni tremulo in direi^um propagabuntur ; idque sqqa* libus circiter ab invicem diftantiis,^ ob squalia temporis intervalla» quibus coFpus trenooribus fuis fingults fingulos pulfus excitat. £r quanquam corporis tremuli partes eant & redeant fecundnm pla- ^m aliquam certam -& determinatam , tamen pulius inde per Medium propagati fefe dilatabupt ad latera^ per Pfopofitionen^ prscedentem; oi a corpore illo tremulo tanquam centro communi > fecondam: fuperficies propemodum fphaericas & concentricts » undiqoe propagabuntun Cujus rei exemplum aUquod babemus Tt 3 ia 934 PHlLOSOPHliE NATURAWS • O&MoTu^^ Undis^ qtue £i digito tremtilo excitentor, non folam pei^gent CoAPoauM hinc inde fecundum plagam motus digid^ fed » in modum circo- lorum concentricorum , digitum ftatim cingent & undique propt- gabuntur. Nam gravitas l^darum fuppkt locum vis Elailicc Caf. %. Quod fiMedium nonfit Elaflicum^ quoniam ejos partec a corporis tremuli partibus vibratis preflk condenfari nequeunt ^ prqpagabitur motus in iniianti ad parces ubi Medium facillime ce- dit, hoc eH > ad partes quas 'Corpus tremulum alioqui vacuas a tergo relinquerec. Idem eft cafus cum cafu corporis in Medio quo- cunque projei^i. Medium cedendo projedilibus » non reoedit ia iniSuicum ; fed in ^rculum rando , «pergic ad fpatia quae corpus relinquit a tergo. ^itur quoties corpas cremuHim per^ m par- tem quamcunque^ Medium cedendo perget per circulum ad par- tes quas corpus rdinquit ; & quoties corpus regreditur ad kniuni priorem^ Medium inde repelietur & ad locum fuufflpriorem re* dibit. £t quamvis ^orpus tremulum noo fit ^rnramf fed modis oaiBibus flexile^ fi tamen magnitudine datum Bumeat t qaoDian tremoribus fuis nequit Medium ubivis urgere 9 quin adiM ddeoi £mul cedat ; efficiet ut Medium t recedendo a part&us ubi pre* mitur 9 j>ergac femper ia orJ^em ad partes que eidem 'cedoat Jgj iE, 2)- CoroL HallQcinantur igitur qui credunt a^tationan ptrdofli Flammas ad preftionem, per Medium ambiens, fecuadum llDeas redas propagandam conducere. Debebit ojufmodi preiEo noa ab agitatione fola partium Flammae ^ fed a totius dilatatiooe deii- vm. PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XXXV. S* SftM im CMmlis crurihms ere&is K L , M N vkihtis mher* nis ufcendat &f defctndat ; ccnfirtuftur antem PetuktUim cupts longitudo inter punBum /itfpenficnis ^ centrttm eJcUlationis aquetur /emijji iongitudinis aqua in Canali: ■ dico quod aqua afccfidet &f def£endet iijdem temporibm fuihus Pendftlum Bjcilla^* Longitttdmem aqwe iheRfuro fecQndam axes canafis & eranim , ctBden famms honnBaxhsm «^uuKlOi & refiflenttam ajspM q«c oritur FR.INCIPIA MATHEMATICA. nf oritur ab attrita c«i»ris» hic non cooiidero. Defignent igitar jfB, Lrvtit C2^ mediocrem altitudinem aqnv in crare utroque f & ubi aqua Sbcvmjw^ in crure K L afcendit ad altitudinem E F^ deicenderit aqoa ia crure MN^A aliitudinem G H. Sit autem P corpus pendulum , VP filum, ^puwftum fufpenfionis , ST^R Cyclois quam Pen- dulum defcribat , 5P ejus pundum infimum, 5Pg^arcus altitudini ^E. aequafi& Yis » qu» motus aq^« alterats vicibu»^ acceleratur ic retaidatur r e^ ezcefliis ponderis aqu« in aiterutro crure fiipm pondtts in altero , ideoque , ubi aqua in crure KL afcendtt ad E F^ & in crare altero defcendit ad G tl^ vis itU eft pondus dup^icatun]^ aqus EAB F^ & propterea eft ad pondus aquae totius ut AE feif y^td^y feu yj?. Vis etia», qiia pondus ?> in loco qnovis ^acceleratur & retardatur in Cycloide , ( per Corcd. Pi qus vel val- libus imis, vel fummis culmiriibus interjacet. Defignet ^SODEF fuperficiem aquae llagnantis, undis fuccesfivis afcendentem ac def- cendent^ih ; fintque -f^,C,£, &c. undarum culmina. & B.^D.F, &c. vajl/s intdrmedii. Ct quontam motus undarum fit peraqui fucces»VB,m a:fcenfuiri-& defcenfum, •fic ut ejus partes ^t/C^ £, .&c. oaae nunc altisfirnx funt , mox fiant infimx; & vis motrix, quafiarres aliisfimae -defcendunt & infimae afcendunt, eft pondus -aquae elevatx ; alternus ille-afcenfus & defcenfus analogus erit roo tui reciproco aqu£e in canali , eafdemque temporis legesobfcrvabit: & propterea ( per Prop. xliv ) fi diftaniije inier undarum Joca •altillima ^, C, E & infima iS,©, /'aquentur duplas pcnduU !on- giiudini:par Bo partis itlius tn itu , eft ad ejus expanfionem toediocrem, vx EG— L N ^6 EG \ in reditu au- tem Ut EG-^ l» feu EG-^LNz^ EG. Quare cum HtLN ad KH ut /Jl/adradiura 0*P. & KH nA EG ut circumferentia THSbT ad J? C , id eft C fi ponatur V pro radio circull circuTnrerentiam habentis aequalem intervallo puU foum BC) ut O 5P ad V { & ex aBquo L N t(A E G , ut / itf ad V : eric expanuo partis ^ G pundive Phyfici F in loco • x , ad expaofio- nem III iniiiiiiiifi PRINCIPIA MATHEMATICA. 135 panfionem mediocrem cjuam pars illa liabet in loco fuo primo cgJj/^JJ £G, at V—IM ad V in itu, utque V-t-/«r ad V in reditu. Uo- de vis elafUca pundi F in loco < ^^ , eft ad vim ejus elaflicam medio- crem in loco £ & i?ri\r indefinite minores efle quantitate V. Quare cum quantitas V detur , differehtia vi- rium «ft ut HL-^K^, hoc eft (ob proportionales HL-^KNzd HK^ & OMnd 0/veI Oy, datafaue i^A^ & OT ) ut OMi id eft, fi /ybifecetur in a, ut a<|>. Et eodem argumento difieren- tia virium elafticarum pundorum Phyficorum * & y , in reditu li- neoke Phyfics f> eft ut a> , ) eft vis qua in- terje^ Medii lineola Phyiica f y acceleratur ; & propterea vis ac- celeratrix lineote Phyfics ty j eft ut ipfius diftantia a medio vibra- tionis loco a. Proinde tempus ( per Prop. xxxviii. Lib. i . } re6te ex- ponitur per arcum ? / ; & Medii pars linearis * y lege prsfcripta movetur , id eft , le^e ofcillantis Penduli : eftque par ratio par- tium omnium linearium ex quibus Medium totum componitur. Corol. Hinc patet quod numerus pulfuum propagatorum idem fit cum numero vibrationun^ corporis tremuli , neque multiplica- tur in eorum progreffu. Nam lineola Fhyfica • y , quamprimuni ad locum fuum primum redierit , quiefcet ; neque deinceps mo* vebitar, nifi vel ab impetu corpons tremuli , vel ab impetu pnl« fuum qui a corpore tremulo propagantur , motu novo cieatur. Qniefcet igitur quamprimum pulfus a corpore tremulo propagaii defuiunt. Vv * PROPO CoMORUIf 340 PHILOSOPHIiE NATURALIS DeMotu PROPOSITIO XLVra. THEOREMA XXXVm. Puljuttm iu Fluido Elafiica propagatorum vekcitateSy funt in ratione comoofita ex JubdupTtcata ratione vis Elafticde di^ reBe 6f fubduplicata ratione denfitatis inverje i Jimodir Fluidi vis Elaftica ejufdem condenfationi proportionaUs ejfe fupponatur. CaJ. 1. Si Media fint homogenea, & pnlfcrani difiantis in his Me- diis sBquentur inter fe , fed motus in uno Medio intenfior (it : con« traftiones & dilatationes partium analogarum erunt.ut iidem roo- tus. Accurata quidem non efl haec proportio. Verum taroen nifi contraAiones & dilatationes (int valde intenfa^^non errabit fen- fibiliter> ideoque pro Phyfice accurata haberi poteft Sunt autem vires Elaflics tnotrices ut contra^iones & dilatationes ; & veloci- tates partium aequalium (imul genits funt ut vires. Ideoque squa- les & correfpondenies pulfuum correfpondentium partes^ itus & reditus Aios per fpatia. contrai^ionibus & dilatationibus propor- tionalia^ cum velocitatibus qu» funt ut fpatia , 6mn\ peragent^ & propterea pulfus^ qui tempore itus & reditus unius latitudinem fuam progrediendo conficiunt , & in loca pulfuum proxime prs- oedendum femper fuccedunt, obsequalitatem diftantiarum^aequa- li cum velocitate in Medio utroque progredientur. Cafi. Sin pulfuum diftantids feu longitudines fint majores in u*^ naMedio quam in altero;. ponamus qtiod partes correfpondentes fpatia latitudinibus pulfuum proportionalia ;ungulis vicibjus eundo& redeundo defcribant : & xquales erunt earum conrradliones &. di- latationes. Ideoque H Media fint homogenea t asquales erunt etiam vires iila Elafiicae motcices qjaibus reciproco* motu agitan- tur. Materia autem his viribus movenda > eft ut pulfuum latitu* do i & in eadem ratione efl fpatium per quod nngulis vicibua euiido & redeundo moveri debent. Eflque tempus icus & redi* tus unius in ratione compofita ex ratione fubduplicata materis & ratione fubduplicata fpatii , atque adeo ut fpatiun>. Pulfus aii^ tem temporibus itus & reditus unius eundo latitudines fuas con* ficiunt, hoc efl, fpatia temporibus proportionalia percurrunt; & propterea funr squiveloces. 00/3. In Mediisigitur denfitate & vi Elaflica paribus 9 pulfus otf nes funt asquiveloces. Quod fi Medii vel denfitas vel vis Ela^ flica intendatur , quoniam vis motrix in ratione vis Elafticas « & materta movenda in ratione den^fitatis augetur ; tempus quo mo* tus PltlNCIPIA MATHEMATICA. 541 riK iidem peraganturAc prhis , augebitar in (iibdQplicata ratione libeil. denfitatis, ac diminueuir in fubdaplicata ratione vis £laftic£. £t Secuhpcsi: propterea velociias- pulfuum erit m ratione compofita ex ratione (ubdttplicata denfitacis Medii iaverfe & ratione fubduplicaia vis ElafticaB direae. ^E.i>. timc Propoiitio ufterius patebit ex. conflru(^ione fequentis. PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA XL Datfs Medsi denfifate & v$ Elafika y invemre velocitatem pulfuum^ Fingamus Medmm ab incumbente pondere 3 pro more Aerfs noftri comprimi ; fitque A altitudo Medii homogenei , cujus pon- dus adaequet pondus mcumbens y & cujus denfitas eadem fit cum denfitate Medii compreili 3 in quo pulfus propaganfur. Cohftitui autem intelligatur Pendulum , cujus longitudo inter punAum fuf- penfibnis & centcum ofciliationis iit A : ^ quo tempore Pendulun) illud oicillationem integram ex ita& reditu compofitam peragitj eodem pulfus eundo conficfet fpatium circumfer^ntia^ circuli radii» A defcripti a^uale. Nam fljantibus qua fn Propofitione xtvn conftirufta funt^fTli- nea qusvis Phyfica -£-F,frngulis vibrationibus defcribeiido fpatium yj", urgeatur in extremis itus & reditus cujufqtie Ibcis 5F & <$", a vi Elaftica quas ipfius ponderi sequetur ; peraget haec vibrationes iingulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus perimeter tota rbn? gitudini T^iS* asqualis eft, ofcillari poffet: id adeo quia vires aequii- les squalia corpufcula per squalia fpatia fimut impellent. Quare cum ofcillationum tempora fmt in fubduplicata ratione Ibngitudi- nis Pendulbrumr, & longitudd Penduli sq^etur dimidio arcui Cy* cloidis totius ; foret tempus vibrationis uniu^ ad tempus ofcillatio- nis Penduli cujus longitudo eft A 3 in fubdUpKcata ratione longitu^ dinis 7 y niJiil aliud func quam aeris Secukj^m^ pulftts propagati , per Prop. xun- Confirmatur id ex tremoribn& quos excitant in^ corporibus objedis , fi modo vehementes finc & graves y quales funt foni TympMioFum. I^m- tremores celeriore» & brefiores difHciliu& excitantur. Sed & ibnos quofvis , in chor^ das corporibus ibnoris unifbnas inipadtos , excitare tremores notifw fimun^ eft. Confirmatur etiam ex velocitate fonorum; Nam cuny pondera fpnecifica Acuias pluviaiis & Argenti vivi fint ad invicem ut I ad r^^ circiter r & uoi Mercurius in Barometro altitudinem at-r lingic dtgitorum An%li€orum 30 ^ pondus fpecificum Aeris & aquasr piuvialis (int ad invicemut i adS/ocirciter: eruntpondera fpeci^- ITca aeris & argenti vivi uc ( ad 11 890. Proinde cum alticudo ar- genti vivi fic 30 digitorum 9 altitudo aeris uniformis cujus pondus* aerem^noftrom fub^eAun^ comprimere bofieCo erit j^^/oadigito- runi , feu pedum Angticorfm 197^5. Eftque hasc akicndo illa ipfa^ quam in conflrudione fuperioris Problemacis nominavimus A* Cit^ culi radio 197^5" pedum defcripti circunrfcrentia eftpedum 1^676%.^ cum Pendulum digitos 39} longam , ofdllationem ex ttu & re*^ compefitam y tempore minutorum duorum fecundtmsm 3 uti nocumelr, abfolvatf P^ndulum pedesx^^xf > feu «digkosjj^jop^ Ibngum ,. ofcillatibnem confimilem tempore minutorum fecundo^ rum 190} abfolvere debebit. £0 igitur tempore foniw progrcdienT db conficiet pedes 1 8(^/68 ^ adeoque tempore nunuci unios fecuad» pedes 979; ' • .0 Caeterum in hoc computo nollk habetm ratio^ craflitodfnis fbli«* dlaram particularum aeris, perquam ibnus mique propagatur in in^ fianti. Cum pondus aeris fit ad pondus aqua^ uc i ad 870» & £1«^*^ les linc fere duplo denfiores qnam aqua; fi^ particulas aeris ponan- tur e{!e ^ufdem circiter denfitatis cum particulis vel aqus vd £i«* lium j & raritas aeris oriatur ah incervaiiis particularum : diamecer- particurae aeris erit ad intervatlum inter centra particularutti'». ufi I ad 9 vel 10 circiter^ & ad intervallum inter particulas ut i acb 8 vel 9. Proinde ad pedes 979 quos fonus tempore minuti uniu» fecundi juxta calculum fuperiorem conficiet , addere licct pe- des ^ feu 109 circiter, ob cralGtudinem particularum aeris :: & fic fonus lempore minuti unius fecundi conficiej: pedes io8& cir*- citer. His adde quod vapores in aere latentes ,. cum fint alterius ela** teris & alterius toni , vix aut ne vix quidem participant motunp aeris verl. quo foni propagantur. His amem quiefcencibus » mo*- tu» ■^ 344 PHILOB^OPHliE ^ NATURALIS De lOioTo ^^ ^^^ celerius propa|;abitur per folam aerem verum j idque ia €6Rf^oRUM ^^bduplicata ratioue mmoris materis. Ut fl AtinofphaM^a conftet ex decem partibus aeris^eri & una parte vapor^m^ motus fonorum celerior erit in fubdupKcata ratione 1 1 ad i Os vel in integra circiter ratione 21 ad 20 , quam fi propagaretur per undecim partes aeris veri: ideoque motus fonorum fupra inventus > augendus erit in hac ratione. Quo pa6io fonus » 4:empQre ^minuti unius iecundi ^ confi- ciet pedes ii^x. Hasc ita fe habere debent tempore vemo & autunmali, ubi aer per calorem temperatum rarefcit & ejus vis eladica nonnihil inten- ditur, At hyberno tempore, ubi .aer per frigus condenfatort & ejus vis elaftica remittttur,motus (bhorum tardiorefTe debet infub- duplicata ratione denfitatis ; & viciffim a^ftivo tempore debet e/Ie velacior. Conflat ^utem per experimenta quod foni tempore Bunnti onius fecundi eundo i conficiunt pedes Londinenfes plus minus 1142 1 ^arijienfes vero 1070. Cognita fonorum velocitate innotefcunt etiam intervalla pui- fuum. Invenit utique ^. Sauveur ( fai^is a fe experimentis } quod fiihila aperta » cujus longitudo efl pedara Tarijipnfium plus minus quiiiqtie> fonum edit<-ejufdem toni cum fonachord^ quae tem« pore minuti unius fecundi centies recurrit. Sunt igitur pulfus plus minua centum in fpatfo pedum Tarifienjium 1070 , ouos fo- iMsstempore minuti unius fecundi percurrit j adeoque pulfusunus occupat fpatium pedum Tarlfienfium quafi lof^, id efl ^ 4upiam Git^citer Ibngitudinein fifhilasi Utide verifimile eft quod latitudines pulfuum, in pmnium apeftarumfiftularumfonis, (squentur duplis longitudinibus fiflularuni. ' Porro cur foni cefTante motu corporis fonori 'flatim cefTantj ne- que diutius audiuntur ubi longiflime diflamus a corporibus fonorisy quam cum praxime abfumus 9 patet ex CoroIIario Propofitionis xiivii Libri hujus. Sed &c cur foni in Tubis (lenterophonicfs valde au^entur , ex aliatis principiis manifefium efl. Motus enim omnis reciprocus fingulis recurfibus a caufa generante au^eri folet. Mo- tus autem inl ubis dilatationem fonorum impedientibus, tardius a- mittitur & fortius recurrit , & propterea a motu novo fingulis re- eurfibusimprefroj.magts augetur. clt hsc fimt prsci^ua Phsno- mena Sonorum. ^E C TIO PRINCIPIA MATHEMATICA. r4f S E C T I O IX. De Motu Circulari FUudorum. HYPOTHESIS. REJiJientiam , qute oritur ex defeBu iuiricitaiis partium Fluidi, cateris pariius ,froportionakm ejfe velocitali, qua partes fluiJi /eparantur ai imiicem. PROPOSITIO LI. THEOREMA XXXIX. Si Oyliridrus foUdus infitiite bngus in fluido uniformi & in- finito circa axem .po/itione datum uniformi cum motu re- •vohatur ,&fai hujus impulfu foh agatur Fluidum in or- iem , perfeveret autem fluidi pars unaquaque uniformi- ter in motu fito j dico quod tempora periodica partium Fluidi funt ut ipfarum difianim ai axe Cylindri, Sit AFL Cylindros nnifor- ' miter circi xaxm S in orbem aflus , & circulis concentricts BGM.CHN.-DIO.EKT, &c. diftinguiitur Fluidum in Orbes Cylindricos innumeros concentricos folidos ejufdem crafEtudinis. Et quoniam homogeneum 'eft Fluidum , . imprefliones contiguorum Or- bium in fe mutuofaf)x,erunc ( per Hypotheiin ) ut eorum tranflationes ab invicem & fuperficies contiguae in quibus imprefliones fiunt. Si imprelSo in Qrbem aliquem majbr eft vel minor ex parte concaTa qoam ex Xx parte •jj.« PBILOSOPHIjE NATURALtS DiMoioPwte convexa ; privalebit imprefljo fortior , & motBm Orbisrel CeMoiim accelerabit vel retardabit . pront ia eandem regionem cum ipfius motu vel in contrariam dirigitur. Proinde ut Orbis unufquifque in motu fuo nniformiter perfeveret , debent imprediones ex parte utraque fibi invicem «quari. & fieri in regiones contrarias. Unde cum impreffiones funt ut cootigns fuperficies & harum tranflatio- nes ab invicem , erunt tranflationes inverfe ut fuperficies , hoc eft, inverfe ut fupefficjeruiB diftaotis. »b ax«.- Sunt autem dif- ferentisB motuum angularium circa axem Ut hx tranflationes ap- plicata ad diftantias, five ut tranflationes direfte & diftantis i». Terfe; hoc eft (conjunftis rationibnsj ot.quadratj diftantiarnm iBverfe. <2u»re fi «d infinitse jtfteeS 4»C1>E^ fTKsSDgt las erigantur perpnuiicnla yfa, Bi. Cc, 'Dd. Ee, &c. i^inmSjt,SB,SC, Sl), SE, &c. quadratis re- ciproce proportionalia , & i>er terminos perpendicula- lium duci intelligatur line» "T cnrva Hyperboiica ; erunt -*> fumms djittremiaram ■ hoc eft , motus toci angulares > ut refpondentes fummx li- Bearum 4t, Bi,Cc, 'Dd, £«: id efl, fi ad conftituen- dum Medium uniformiter fluidum , Orbitmi nnmerDs aogeatnr & latitudo minnatur in infinitum , ut areie Hyperbolicae his fum- mis analoga!^*^, Bi^, Cc^, 'Dd^, Ee^, &c. Et tem- Eora motibus angularibus reciproce proportionatia , erunt etiam is areis reciproce proportionalia. £ft igitur tempus peiiodicum ^articula: cujuFvis 2) reciproce ut area ^ d S^, hoc eft, { per aotas Curvarum quadraturas) direiie utdiftantia S^D. ^E.^D. Coroi. I. .Hinc motus angulares particnlarum iiuidi fum reci- proce ut ipiarum difiantia ab axc cylindii, & velocitates abfolo- <£ funt squales. Corcl. 3. Si fluidum in vafe cylindrico longitudfms infinitae con- tineatnr , & cylindrum aKum interiorem contineat , revolvatar an- ■em. cylindTas ucerque circ» axem coimnunem , fintqae revolu- tioniuD PRINCIPIA MATHEMATICA. 547 tionnm tempora ut ipforum femidiametri , & perfeveret fiuidi {mts Limr unaqus(]ue in motu fuo ; erunt partiura (ingularura tempora perio- Secutu>iis« dicft ut ip&rum diftantide ab axe cylindrorum. CoreL 3. Si cylindro & fluido ad. hunc modum motis addator vel auferatar communis quilibet motus angularis ; quoniam4iocno* vo motu Bon rautatur attritus mutuus partium flmdi , non muta- buntar nckotus partium inter fe. Nam tranllationes partium ab inviGem pendent ab attritu. Pars quslibet in eo perfeverabit mo- tu, qui , attrita utrioqtte in contrarias partes facto , non ma^ acceKrntvr auam retardatur. Gr^. 4. Onde & coti cylindrornm & fluidi Syftemati auferatur raotas ookiiis angularis cylindri ezterioris « habebitur motus floidi in cylindro quiefcente. CtrU. $. I^tur & fiuido & cylindro exteriore quiefcentibus, re- volvatur cvhndrus interior aniformiter ; commuoicabitur motus circoUris nuido , & paulatim per totum fluidum propagabitur ; nec prius defioec augeri quto^ fluidi partes fingulae motum Corollario quarto definitum ac^iuiraat. OtroK 6. £t quoniam fluidttm conatur motum fuum adhac latius propagare , hujus impeta circumagetur etiam cyliodrns exterior oifi violenter deteotus ; & accelerabitur ejns motus quoad ulque tempora periodica cylindri utriufque squentur inter fe. Quod A cyliadrus exterior violencer detineatur , conabitur is raotum fluidt retardare ; & nifi cyltndrus interior vi aliqua extrinfecus imprefla motum iUum confervet , efliciet ut idem paulatim ceflet. Qtts omnia in Aqua profunda flagnante experiri lioet. PROPOSITIO LH. THEOREMA XL. Ss Spbara folida , m Flutdo umformi ^ injmito^ circa a* xem pofiiione datum uniformi cum motu revolvatur , ^ ab Bujus impulfu Jolo agatur Fluidum in orhem i perjfew ret autem Fluidi pars unaquaque uniformiter in mota jfuo :■ dico quod tempora periodica partium Fluidi erunt ut qnadrata difiantiarum a centro Sphane, Caf. I. Sit AFL Sphsra nniformiter circa axem S in orbem aAa, & circulis concentricis -5 G i»/, CHNy "DIO^ EK^Py&c. X X i diflin- . 4 •< hS PHILOSOPHIiE NATURALIS « Dr MoTu diffinguatur Fluidum in Orbes innumeros concentricos ejufdem CoRfoRUM crafficudinis. Finge autem Orbes Hlos eflfe folidos; & quoniam homogeneum eft Fluidum*> impreffiones contiguorum Oroium iir fe nrotuo h&x, erunt ( per Hypothefin ) ut eorum tranflationes ab mvicem & fuperficies contigus in quibus imprefitones fiunr: Si itDpreSiO in Orbem afiquem major eft vel minor.ex parte con- cava quam ex parte convexa ; praevalebit imprefOo fortior , & ve- locitatem Orbis vel accelerabit vei retardabit > prout in eandem regionem cum ipfius motu vei in contrariam dirigitur. Proinde ut Orbis unufquifque in motu fuo perfeveret uniformiter 5 debe* bunt imprefiione& ex parte utraque fibi invicem aequari » & fieri in regrones contrarias. Unde cum imprefiiones fint ut contigus fih perficies & harum tranflationes ab invicem ^ erunt tranflatione» inverfe ut fuperficies , hoc efl: y inverfe at quadrata diikntiaram fuperficierum a centro. Sunt autem differenti» motuumangularium circa axem ut hx tranfl^ationes applicat» ad diftantias j five ut f ranflatiqnes direAe & diftantiae inverfe r hoc eft ( eonjun^s va* tionibus ) ut cubi diftantiarum inverfe. Quare fi ad redaB infinits& S A BCD E^ partes fingulas erigantur perpendicula Aa^ Bb^ Ccj Dd, Ee, numerus Orbium aueeatur & ]acitudt> minuatur in infinltum) ut areae Hyperbolicae liis lummis analogaB Ait&^ Bb^, G^r ^, 1>d§lj Ee^^ 8cc. Et t^rapora periodica motious an^aribus re- ciproce proportionalia , erunt etiam his areis reciproce proportio- naiia. Eft igitur tempus periodicum Orbis cujusvis ® /O reciproce m area ©i/^, hoc eft, (per notas Curvarum cjuadraturas ) direc- te trt quadratum diftantiae; S^. Id quod volui primo demonflra- fe. Caf X. A centro Sphsra^ ducantur infinitae reAx quamprarimSt quae cum axe datos contineant angulos , a^qualibus dififerentiis fe muiuo fuperantes, & his rcftis circa axem revolutis concipe Orbes in annuios innumeros fecari ; & annutus unufquifque habebit annulos quatuor fibi contiguos, unum interiorera, alterum exterio- rem & duos laterales- Attritu interioris & exterioris non poteft annulus unufquifque , niff in motu juxta legem cafus primi fado, aequaliter & in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex demon- ttratione cafus primi. £t propterea^ annulorum feries quaelibet a Globo PRINCIPI A MATHEM ATICA. 34^ Globo in inffnitani rccla 'pergens ^ movebitur pro lege cafos pri- c£^"i5J mi^ nifi auatenu$ impeditur ab attritu anov^lorum ad latera. At ^ '* in motu nac lege fa^o » attritus annulorum adj^tera nullus efl; neque adeomoturay quo minus hdsc lege fiac, impediet. Si annu* li, qui a centro squalitcr diftant» vel citius revolverentur vel tardius ^xta pok>» quam jt^xta squatorem f tardiores accekrarentur , & velociores retardarentur ab aitritu tnutua» & fic vergerent femper tempora periodica ad sequalitatem 9 pro lege cafus pfi- mi. Non impedit igitnr hic attricus quo minus .motus fiat fe^ cundum' leg^m cafus primi » & propterea lex illa obtinebit : hpc efl , annutorum fingulorum tempora periodica erunc ut quadrata diftantianim ipibrum a centro Globi. Quod volui fecuodo demonr ftrare. Ca/ ^. Dividatur jam annufus unufquifque fe^iionibus tranfverfis in particulas innumeras conftituentes fubflantiam abfolute & iinir Tormiter fluidam^ & quoniam hs fedliones non fpedant ad legem motus circu^aris r fed ad conftitiuionem Fiuidi folummo^o condor cunt , perfeverabit motus circularis ut prius. . His fe<^ionibus an^ fiuli omne» quam minimi afperitat^m & vim .attritus mutui aut non mutabunt aut mutabunc aequaliter. £t manente caufarum propOFr tiohe manebit effeduum proportio^ boc eft, proportio motuumS^ periodicorum temporura. ^ E. T^. Csaterum cum motus circu- YdiXisy^ & abifide orta vis centrifuga r major fit adEclipticam quan) ad Polos ; debebit caufa aliqua adefTe qua particu]d& fingulas in cir- culis fuis retineantur ; ne materia quae ad £clipticam eft ^ recedat femper a centra & per exteriora Vorticis migret ad Polos » inde- que per axem* ad Eclipticam circulatione perpetua revertatur.. Cwol. I. Hine motus angulares partium fluidicirca axeip globir funt reciproce ut quadrata diftantiarum a centro globi i & veloci^ tates abiojut» reciproce ut eadem qjaadrata- applicata ad- diftantias ab axe. Ccrol. X. Si gfobus iu' ftuido quiefcente fimilari & infinito circ» axem pofitione datum uniformi cum mota revolvatur , communi- cabitUr motus fkido in roorem Vorticis ». & motus ifte paulatim^ propagabirur in infinitum^ ; neque prius ceiFabit in fingulis fluidi partibus accelerari , quam tempora periodica- fingularum partium: fint iit quadrata diftantiarum a^centro globi; CoroL 3. Quoniam Vorticis partes interiores ob majorem fuam* velocitatem att^unt & urgent exterioresj.motumqtie ipfis ea aAio- Xx. j. * na 3SO PHILOSOFKLE : NATURALIS 0e MoTu ne fyerpetao cotnmuhicant * & exteriores ilH eandemi motus OQaii- GoftpoRUM tit^tetfi in itios adhuc exteriores fimul traBsferunt , eaque aoioiie fervant quantitacem motus fuiplane invariatam } patet (|uod motas perpetuo transfertnr a centro ad circumferentiam Vorticis » & per infinitatem circumferentis ablbrbetur. Materia inter fph«ricas duas quafvis fuperficies Vortici concentricas nuiK)uam accelerabi- tur ) eo quod motum omnem a materia iateriore jacceptum trans> iert reniper in exteriorem. Cotol. 4. Proinde ad confervationem ' Vorticis coafianttt in eo- dem movendi fiatu, requiritur principium aUquod a^vUQi» aquo globus eandem femper qnantiutcm< motus aceipitc > qiwm iropri- mt in m^teriam Vortids. Abfque tali prinoipio necefie eft ot glo- bus & Vorticis partes interiores , propagantes fempeir motum fuum in iexteiridrtf s , neque noviim' abauetn motum reciplentesi tardef- tiam pattlatim & in orbem agi deunant. CoreH. 5*. Si gtobus aker fauic Vortici ad certam ab ipfias ceotro diftantiam innat&ret , & interea circa axem iBclinati^iae datom vi aliqua cpnfianter revolveretur ; hujus motus raperetur ^iudao^ ia Vorticem : & primO revolveretur hlc Vortex novus & exigoos una cum gfobd cirta centrum aicerius , & interea latius ferperet ipfios teottts , & paulatim propagaretur in in^nitum , ad modum Vortids |>rimi. £t eadem ratione qua hujus globus raperetur mota Vorti- ds altfeHui » raperetur etiam globus alterius motuhajas , fic oc globi idbb circa intermedium aliquod ptmflum revolvereatur t fe- que mbtuo ob motum illum circularem fiigerent » njfi per vim aliquam cohibiti. Pofiea fi vires confianter impreflffi , qnibas globi In motibus fais perfeverant , cefTarent , & omnia legibus Me* chanicis permitterentur , languefceret paulatim motus globorum ( ob rationem in Corol. 3, & 4. afiignatam ) & Vonlces taodem conquiefcerent: : ■ Coroi. 6. Sa globi plures datis in locis circum axes pofitione da- tos certis cum velpcitatibus conftanter r;:voIverentur , fierent Vor- fices totidem in infinitum pergehtes. Nam globi fibguli, eadem ratione qua unus aliquis motum fuum propagat in infinitum, pro- ^agabunt etiam motus fuos in infinitum, adeo ut fiuidi tnfiniti ptrs unaquseque eo agitetur motu qui ex omniuih globor um a^ioni- bus refultat. Unde Vortices non definientur ceitis Hmitibus » fed in fe mutuo paulatim excorrent ; globique per adiones Vor- ticum in fe mutuo , perpecuo movebuntur de locis fuis» uti in GoroUario fuperiore expofitum efij -oequie certam quam^isinter fe pofitionem PRINCIPIA MATHEMATICA. i^t pofitioneoi.ferTabunt ) nifi per Tim aliquam retenti. CeiTantibulS LiB^it aoton viribuJs IHis quae in globos conftanter imprefTaB confervant Secowou». hofce motus 3 materia ob rationem in CoroUario tertio & quarto aillgnttamf pavlatim requiefcet & in Vortices agi definet. Corol. 7. Si flaidum fimilare claudatur in vafe ^hsrlco , ac globi in centro cotififtentis uniformi rotatione agatur in Vorticem, glo- bus autem & vas in eandem partem circa axem eundem revolvan* tur > fintque eorum tempora periodica ut quadrata femidiametro* mm: partes flui^i non prius perfeverabi^nt in motibus fuis fine ac- . celeratione & retardatione , quam flnt eorum tempora periodica ut' ouadrata diftantiarum a centro Vorticis. Alia nulla Vorticis coo^ ftitutio poteiK efie permanens. Carol: 8. Si vas , flutduin incluiiim & |;lobus fervent bunc mo» tum 4 & motu pr^terea communi angulari circa axem quem vis da* tum revolvantur $ c]uoiiiam hoc motti novo non mutatur attritui partiiun fluidi in fe invieem , hon mut^untur motus partium ^inter fe. Nam tranflationes partiuiE inter fe peikient ab attritu. Pars quslibet in eo perfeverabit motu, quo ^t ut attritu ex uno latere non magis tar4etQr quam acceleretur attritu ex altero. Corol. 9. Unde fi vas quiefcat ac detur motus globi, dabitur mo* tus fluidi, Nam concipe planum tranfire per axem globi & nipttt contrario revolvi j & pone fommam temporis revdutionis hujus & revolutionis globi efie ad terapus revolutionis globi , ut quadratum^ .femidiametri vafis ad quadratum femidiametrr globi : & tetnporar periodica part^um fluidi refpedn j^rfani hujns r erunt ut quadrata di- ftantiarum f uarum a centro globi. Corol. 10. ^l^roinde fi vas vel circa axem eundem cum globo, vel circa diverftim aliquesfr.data ctrm vek)cicate quacunque moveatur^ dabitur motus fluidi. Nam fi Syftemati tdti auferatur vafis^motuS' aogularis > manebunt motus omnes lidem inter ie qurprius»: per Corol. 8. Er raotns ifti per Corol. ^: dabuntur. CorvL II. Si vas & fiuidura quiefcanc & globus uniformr cum motu cevolvatur , prDpagdbitur motus paulatim per fiuidum totum' Hi vas , j& circumagetur vas nifi violenter detentum , neque prius deiinent fluidum & vas accelerari, qu4m fint eorum tempora peri- €Kiica d»)iualia temporibus periodicis globi. Qudd fi vasvi aliqua' detineatur vel r^volvatur motu quovis conftanti & uniformi, de* veniet Medium paulatim ad ft^tum motus in Coroliariis 8. 9. & lOi iti 9 nec in alio unquam ftatu quocunque perfeverabit. De^ veroflr viribus illis cefiiantibus quibus vas. & globus certis^ motibus» I ^fi PHILOSO.PHI^ NATURALIS Df Mora notibus revolvebaBtur • penirittatar Syfiema totam Legibas Me» (JoRroAutf chamcis;vas & globus in le invicem agent mediaiite flaido, oeqae motus fuos in fe mutao per fluidum propagare prius ceflabunt» quam eorum tempora periodica squentur inter fe , & Syftema to* tum ad inftar corporis nnius folidi fimal revolvatur. • . In his omnibus iuppono fluidum ex materia qnoad denfitatem & fluiditatem uniformi conftare. Tale eft in qno globus idem eo* dem cum motu . in eodem temporis intervallo , motus fimiles & squalesy ad asquales femper a fe diftantias , ubivis in fluido con- .fiitutus , propagare pdflit. Conatur quidem materia per motum fuum circularem recedere ab axe Vorticis , & propterea premit materiam omnem ulteriorem. Ex hac preflione fit attritus partium fortior & feparatio ab invicem difficilior -, & per confequens di« minuitur materias fluiditas- Rurfiis fi partes fluidi funt alicubi craf- iHores feu majores , fluiditas ibi minor erit » ob pauciores fuperficies in quibtts partes feparentur ab invicem. In hujufmodi cafibus deficientem fluiditatem vel lubricitate parrium vel lentorealiaveali- 9ua conditione reftitui fuppono. Hoc nifi fiat , materia ubi minus uida eft magis coha^rebit & fegnior erit , adeoque motum tardius recipietf & longtus propagabit quam pro ratione fuperiusafllignata. Si figuf a vafis non fit Sphsrica , movebuntur particul» in Uneis. noii circularibus fed conformibus eidem vafis figurs , & tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium diftantiarum a centro quatnproxime. In partibus inter centrum & circumferentiam 3 ubi Jatiora funt fpatia , cardiores erunt motus , ubi anguftiora velocio- res > ne(|ue tamen partscula^ velociores petent circumferentiam. Arcus.enim defcribent minus curvos3& conatus recedendi acentro non minus diminuetur per decrementum hujus curvatur» , quam augebitur per incrementum velocitatis. Pergendo a fpatiis angu* ftioribus in latiora recedent paulo lonj^us acentro^ fed ifto recefiii (ardefcenti & accedendo poftea de latioribus ad anguftiora accele- rabuntur ; & fic per vices tardefcent & accelerabuntur particulie finguls in perp^ tuum. . Hsc ita fe habebunt in vafe rigido. Nam in fiuido infinito conftitutio Vorticum innotefcit per Propofitionis hujus Corollarium fextum. . Proprietates autem Vortipum hac Propofitione inveftigare co* natus fum 1 ut pertentarem fiqua ratione Phsnomena cceleftia per Vorti- PRINCIPIA MATHEMATICA. jn Vortices ezplicari poflint. Nam Pbsnomenon eil, quod Planpta- Liber rum circa Jovem revolventimn tempora periodica funt in ratione Skuhdus. fefquiplicata diftaotiarum a centro Jovis ; & eadem Regula obtinet in Plaoetis qui circa Solem revolvuntur. * Obtinent autem haB Re- gulas in Planetis utrifque quam accuratiilime , quatenus obfervatio* nes AHronomics badtenus prodidere. Ideoque C\ Planetas illi a. Vorticibus circa Jovem & Solem revolventibus dcferantur , dcbe- bunt ctiam hi Vortices eadem lege revolvi. Verum tcmpora perio- dica partium Vorticis prodierunt in ratione duplicata diflantiarum^ acentro motos : neque poteft ratio iUa diminui*& ad rationem' fefquiplicatam reduci t niii vel materia Vorticis eo fluidior fit quo longius diftat a centro , vel refiflentia , quas oritur ex defe Au lu- bricitatis partium fluidi s ex audla velocitate qua partes fluidi fe- parantur ab invicem» augeatur in majori ratione quam ea efl yi qua velocitas aiigetur. Quorum tamen neutrum rationi confentaneum videtur. Partes cramores & minus fluidae ( nifi graves fint in cen- trum ) circumferentiam petent ; & verifimile eft quod , etiamfi Dfi' monftrationum gratia Hypothefin talem initio Sedionis hujus pro- pofuerim ut Refiftentia velocitati proportionalis eflet , tamen Re- fiftentia in minori fit ratione quam ea velocitatis eft. Quo concef- fOf tempora periodica partium Vorticis erunt in majori quam du- plicata ratione diftantiarum ab ipfius centro. Quod fi Yortices^uti aliquorum eft opinio ) celerius moveantur prope centrum » dein , tardius uCque ad certum limitem , tum denuo celerius juxta cir- cumferentiam; certe nec ratio fefquiplicata neque alia quaevis cer- ta ac determinata obtinere poteft. Viderint itaque Philofophi quo paAo Phanomenon illud rationis refqujplicatx per Vortices expli^ cari pofllr. PROPOSITIO Lffl. THEOREMA XLI. Corpora qua in Foruce delata in orbem redeunt , ejufdem funt denfitatis cum Vortice , @* eadem lege cum ipftus pariibus ( quoad velocitatem & curfus determinationem ) moventun « Nam fi Voriicis pars aliqua exigua , cujus particulae feu punfta phyfica datum fervant fitum inter fe , congelari fupponatur: bac. quoniam neque quoad denfitatem fuam , neque quoad vim infitam aut fijraram fuam mutatur , movebitur eadem lege ac prius : & ^ ■ ■ Yy contra. 3^4 PHILOSOPHIiE NATURALrS CoitpoRaM contra , fi Vorticis pars congetata & folida ejufdcm (it denfitatis cum reliquo Vortice ,. & refolvatur in fluidum ; moveWtor h«c ea- dem lege ac prius , nifi qjiatenus ipfius particulae jam fluids fz6ix moveantur inter fe. Negligatur igitur moruS particularum inter fe^ tanquam ad totius motum progreflivum nil fpeAanr, & motus to- tius idem ertt ac prius. Motus autem idem erit cum motu aliarun^ Vorticis partium a centro aequaliter drftantium y propterea quod folidum in Fluidum refolutum fit pars Vorticis csteris partibas confimilis. Ergo folidum y fi fit ejufdem denfitatis cum materia Vorticis, eodem motu cum ipfius partihus movebitur , in materia proxime ambiente relative quiefcens. Sin denfius fit , jam magis conabitur recedere a centro Vorticis quam prhis ? adeoque Vorti- cis vim illam j qua prius in Orbita fua tanquam in squilibrio con* ftitutum retinebatur» jam fuperans , recextet a centro 8t revdven- do defcribet Spiralem, non amplius in eundem Orbem rediens. £t eodem argumento fi rarius fit^ accedet ad centrum. Igiturnon re- dibit in eundem Orbem nifi fit ejufdem denfitatis cum fluido. Ea autem rn cafu oftenfum efl: , quod revolveretur eadem lege cunr partibus fluidi a centra Vorticis sequaliter diflamibus. ^ E. 2>. Corol. I Ergo folidum quod in Vortice revofvitur & is eundem. Orbem femper redit > relative quiefcit iri fluido cui innarar. • . Corol. 2. Lt fi Vortex fit quoad denfitatem uniformis y corpus idem ad quamlibet acentro Vorticis diftantiam revolvi poteft. Scho/mm.. Hinc fiquet Planetas a Vorticibus corporeis non deferru PTan» Planeta^ fecundum Hypothefin Capernicaam circa Solem delati re- volvuntur in Ellipfibus umbilicum habentibus in Sole, & radiis ad 3olem duAis areas defcribunt temporibus proportionales. At par- tes Vorticis tali motu revolvi neqiieunt. Defignent ADyBEiCF^, Orbes tres circa Solem J* defcriptos , quorum extimus CFciPCulus fit Soli concentricus > & interiorum duorum Aphelia finc j4yB & Perihelia 7)yE. Ergo corpus quod revolvitur in Orbe CFj radio ad Sojem du6):o areas temporibus proportionales defcribendo , mo- iK;bitur uniformi cum motu. Corpus autem quod revolvitur ia Orbe B E^ lardius movebitur in Aphelio R& velbcius in Perifac- lio E > fecun^Ium leges Aftronomicas ; cum tamen fecundum le- ges Mechamcas materia.Vorticis in fpatio anguXliore inter jf& C vebcius PRINCIPIA mathematica; 3SS velocius moveri debeat quam in fpatio latiore inter 7) & Fiide&^ c ^'^** in Aphelio velocius quam in Perihelio. Quse duo repugnant inter ^^^^^^^ fe. Sic in principio Signi Vir- ginis 9 ubi Apheliuro Martis jam verfatur , diflantia inter orbes Martis & Veneris eft ad diflan- tiam eorundem orbium in prin- cipio Signi Pifcium ut tria ad duo circiter , & proptere^ ma* teria Vorticis inter Orbbs illos in pincipio Pifcium debet efle P velocior quam in principio Vir- S*nis in ratione trium ad duo. am quo anguftius eft fpatium per quod eadem Materias quan- titas eodem revolutionis unius tempbre tranfit , eo majori cum velocitate tranfir£ debet. Igitur fi Terra io hac Materia coelefti relative quiefcens ab ea deferretur» & una circa Solem revolvere- tuf 9 foret hujus velocitas in principio Pifcium ad ejufdem veloci- tatemin principio Virginis in ratione fefquialtera. Unde Solis motus diurnus apparens in principio Virginis major efTet quam mi« nutorum primorum feptuaj^inta , & in principio Pifcium minor quam minutorum quadragmta & odo : cum tamen ( experientia tefte ) apparens ifte Solis motus major fit in principio Pifcium quam in principio Virginis ^ & propterea Terra velocior in Principio Virginis qoam in Principio Pifcium. Itaque Hypothefis Vorticum cam Phaenomenis Aftronomicis omnino pugiiat , & non tam ad explicandos quam ad fterturbandos motus coeleftes conducit. Quo* modo vero motus ifti in fpatiis liberis abfque Vorticibus peragun* tur intelligi poteft ez Libro primo • & in Mundi Syftemate plenius docebitur. Yy 1 DE ^5S PHILOSOFHI^ NATURALIS \ • D £ M U N D I SYSTEMATE LIBER TERTIUS. IN Libris praecedentibiK prthcipia' PhilDfophi» tradidi , non t» men Philofophica fed Machematica tantum , ex quibus videlicet in rebtis Philofophicis difputari poific H^ fant motttum & vi- rium leges & conditiones ,. quffi ad Phiiof<^hiam maxime (pe^ant. Eadem tamen , ne fterilta ▼ideantur , illuftravi Scboliis quibi^m Philofophicis , ea traiflaBs qu» geoeralia funt , & in quibas Phifo- fophia maxime fundari videtur , utr corporum denfitatem & refif- tentiam, fpatia corporibus vactaa , motamque Lucis & Sonomm. Supereft ^ut «x iifYiem principiis dooeamas conflitationem Syftema- tis Mundani. Oe hoc arguinento compofueram Librum tenJQm Brcthodo populari , ut a pluribus legepetur. Sed quibus Principia poika fatis intelle^ nen fiierint , ii vim coniequeiKiaram nini» meperdpient »^.iiequc prejudicia deponent quibus a muhisretn^ annis infocverunt t & propterea ne res io difputationes trahator , fummam libri illius traniluli in Propofttiones , more Matbematico , at ab iis fofis legantur qui Principia prius evolverinr. Verantamen quoniam Propofitiones ibi quam plurims occurrant , qus Le6io> ribus etiam Mathematice doclis moram nimiam injicere poflint , audor effe nolo ut quifquam eas omnes evolvat $ fufiecerit .iiquis Definiciones , Leges motuum & fe^ftiones tres priores Libriprimi fedulo legat , dein tranfedt ad hunc Librum de Mundi Syftenaate , & reliquas Librorum prior^im Pcopontiones hic citatas pro iQbitu confulat. R E GU L JE I PRINCIPIA MATHEMAXrCA. jj/ » ■ R E G U L A P H r L O S O P H A N D L R £ G U L A I. Caufa} rtrum fMturaTtum nm plures admim deherey quam qua & verafint ^ earum PhammeHis explicdndis /uffim ciant^ Dlcunc ntiqne Phirofophi : Natura nihil ^t froftra , & frnfira fic per plura quod fieri poceft per pauciora. Nacura enim £m- plez efl & rerum caufis fuperfluis noiv luzuriac. R E G U L A n Ideoque EffeBmm nafuraTtum ejufdem generis eademfunt Caufa, m m Uti refpirationis in Homine & in Beftia ; defcenfns iapidum ia> Europa & in Amertca ; Lucts in Igne cutinari & in Sde ; reflezio*' nis Lucis in Terra & in Planetis. R E G u L A nr. ^uaVitates corporum qu£ imendt &f remitti nequeunt, qua^ que corportbus omntbus competum in quibus expentmentof infiiiuere licet , pro quafttatibus corporum untverforumt habeneU ftntt, Nam qualitates corponim non nifi per experimenta innoteicunc ,'. ideoque generales ilatuendse funt quotquoc cum experimentis ge« neraliteriquadrant; & qux minui non pofiunt,non pofiimt auferri.- Cerce contra experimentorum tenorem fomnia temere confingen- da- non. func , nec a Naturae analogia recedendum efi: , cum<- Y y 3 ca: 35« PHILOSOPHIJE NATURALIS ^ MoMDi ea (implex efTe folcat. & fibi femper confona. Extcnfio corpornm MSTEMATE ^^^ j^jg ^^^ fcnfus innotefcic , nec in omnibus fentitur : fed quia fenfibilibus omnibus competit , de univerfis affirmatur , Corpora plura dura efie experimur. Oritur autem darities totius a duritie partium, &inde non horutn tantum corporum qu» fentiuntur,fed aliorum etiam omnium particulas indivifas efie duras merito con* tludimus. Corpora omnia impenetrabilia efie non ratione (ed fenfa colligimus. Quas tradamus , impenetrabilia inveniuntur , & iode concludimus impenetrabilitatem efTe proprietatem corporum nniver* forum. Corpora omnia iitt)bilia efie» & viribus quibufdam (qw vires inertlae vocamus ) perfeverare in motu vel quiete, ^ hifce corporum viforum proprietatibus colUgiiQus. Extenfio, duricies, impenetrabilitas , n^obilitas & vis inertis totius , oritur ab exteo- fione 9 duritie , impenetrabilitate , mobilitate & viribus inertis partium : & inde concludimus omnes omnium corpornffl partes minimas extendi & duras efTe & impenetrabiles & mobiles & viri- bus inertis prxditas. Et hoc eftfundamentum Philofophis totios. Porro corporum partes divifas & fibi mutuo contiguas ab invicem feparari i>ofre , ex Phsnomenis novimus , & partes indivifas in partes minores ratione diflingui pofTe ex Mathematica cercum efl. XJtrum vero partes illas diflindas & nondum divifas per vires Na- turs dividi & ab invicem feparari poffint , incertum eft. Ac fi vel unico conflaret experimento quod particula aliqua indivifa • fran- gendo corpus durum & folidum , divifionem pateretur : conclude- remus vi hujus Reguls , quod non folum partes divife feparabiles efifent , fed etiam quod indivife in infinitum dividi pofTent. * Denique fi corpora omnia in circuita Terrs gravia efTe^in Ter- ram , iuQue pro quantitate materias in fingulis , & Lunam gravem efTe in Terram pro quantitate materias fus , & viciffim roare noftrum erave efle in Lunam , & Planetas omnes graves elle in fe mutuo , & Cometarum fimilem efTe gravitatem , per experimenta & obfervationes Aflronomicas univeruliter conftet : dicendum erit Dcr hanc Regulam quod corpora omnia in fe mutuo eravitant* Nam & fortius erit argumentum ex Pha&nomenis de gravitate uni* verfali , quam de corporum impenetrabilitate : . de qua QtiqQe in corporibus Coelefiibus nuUum experimentum ^ nuUam proiiits ob* fervationem habemus. PHiENa PRINCIPIA, MATHEMATICA. »9 P H M N O M E N A. 1 PHiENOMENON I. Planetas Grcumjovfales , radiis ad centrum Jovis du&is^ areas defcribere temporibus proportionales , eorumque tempora periodica ejfe in ratione fefquipHcata difiantia" rum ab ipjius centro. COnflat ez obrervatiombus Afironomicis. OVbes horum P(a* netarum non difterunt fenfibiliter a circulis Jovi concentricis i & motus eorum in his circulis iiniformes deprehenduntur. Tempora vero periodica efTe in fefquiplicata ratione femidiame- trorum Orbium confentiunt Ailronotni i & idem ex Tabula fC'- quente manifeflum e(t SateUttum Joviartum tempora periodica. t »9 1*. i8\i7'.34"- 3'. 13'. 13'. 4^". f.t.^Tl.lf^", i6«.i6»*.3x>' Diftantia SateUitnm o centro Jvois, Ex ohfervatumihut Borelli Townlei per Microm. Caflrai per Telefcop, Caflini fer Ecl^fSatell ,^i ,1, 1,1 ^ t Ex, temporibus perioditis.^ f »667 P H iE N O M E N O N IL Planetas Circumfaturniits y radtis ad ^aturnum duBis , areat defcribere temporibus proportionales , @* eorum tempora teriodica ejfe in ratione Jefquiplicata diftantiarum ab ip- Jius centro>, Cafftnus Qtique ex obiervationibus fuis diflantias eorum a ceotro Sacoroi & periodica tempora hujufmodi efle flatuit. SateUj^ 360 PHILOSOPHI^ NATURALIS Dk Mtiifti Sateliftum Saturniorum tempora periodka, StStCMATB * * . i*.ii»'. 19'. 1^17^41' 4-». 13^47'. 15*. xi^4i'' 79*- "^ 4- Dffiantia Satellitum a centro Saturni in femidiametris Annuli, Ex obfirvattonibus i^. x-J. 3i- 8 14. • Ex tmforilms j^eriodkU 1,95. 1,5". 3,51, 8,09. 13.71. « PHiENOMENQH III. PJanetas ^quinque primarios Mercurium , Fenerem , Mar- tem , jovem & Saturnum Orhibus Juis Solem cingere. Mercurium & Vcnerem circa Solera revolvi ex corum pha/ibns lunaribus demonflratur. Plena facie lucentes ukra Solem uti funt , dimidiata e regione Solis , falcata cis Solem ; per difcum ejus ad modum maculafUm nonnunquam tranfeuntes. c^x Martis quoqae plena facie prope Solis conjunAionem , & gibbofa in quadraturis , certum eft quod is Solem ambit. De Jove etiam & Satumo idem ex eorum phafibus femper plenis demonftratur. P H iE N O M E N O N IV. I Planetarum qumque pnmariorum ^ &f [vel SoUs circa Ter- ram vel ) Terr^ circa Solem tempora periodica ejfe in ratione Jefquiplicata mediocrium dtfiantiarum a Sole. Haec a Keplero inventa ratio in confeffo eft apud omnes. Ea- dem utique funt tempora periodica , eoBderoque orbium dimenilo- nes, five Sol circa Terram , five Terra circa Solem revolvatur. Ac de menfura quidem temporum periodicorum convenit inter Aftro- nomos univerfos. Ma^nkudines autem Otbium Keflerus & BtUiaU dus omniom ditigentiiume ex Obfervationibus determinaverunt : & djftantis mediocres 3 quas temporibus periodicis refpondent» non difFerunt fenfibiliter a diftantiis quas illi invenerunt , funtque inter ipfas ut piurimum intermedias ; uti in Tabula fequente videre li* cet. PRINCIPIA MATHE14ATICA. ^^j JPlanetarmn 4C 7eUuns diftantU mediocret d Sole. . ^ , 5 u s s ? « "^cctinmm Kephnfm pfiooo. $19550. ifi^fo. looooo. 72400. ;U3o(?. Scaxndvitn B.HtlialdHm ' 954198. 522510. 15235^ looooo. 72^98. 38585. Secundttiateaiporaperiodica 95j8o6. ,520115. 152399. looooo. ^/i^^j.- 38710. De dUlanriis Mercurii & Veneris *a Sole difputandi non ed locus, cum hae per eoram Elongationes i Sole determinentur. *Dedi« &^!Miis etiam fuperiorum Flanetarum a Sole toUitur omnisdifpu^ tatio per Eclipfes Satellitum Jovis. Erenim per ficlipfes iilas de- terminatur pofitio umbrx quam Jupiter projicir, & eo nomine babetur Jovis longitudo Heliocentrica. Ex longitudinibus aurera, Heliocentrica & Geocentrica inter fe coUatis detecmiaacur didan- tia Jovift. PHiENOMENONV. PUnetas primariof , radiis ad Terram duBis , areas defcribere temforihus minime froportionales ; at radiis ad Solem duBis i areas temforibus fro^ortionales fercurrere^ Nam refpe£l4i Terrs ituiK progrediuirtnr , nunc ftationarii funt^ flunc etiam regrediuntur : At Solis refpe£):u femper progrediuntur, idqoe propemodum unijformi cum motu, fcd paulo celeriustamea in Periheliis ac tardius in Apheliis, (ic ut arearumfDequabilis (it de« fcriptio. Pfopofitio «ft Aftronomis notiflima , & in Jove apprimc demonftratur per Eclipfes Sarellitum, quibus EcUpfibus Helio- centricas Planetx hujus longitudines & diftantias k Sole determi* nari dixinws. PHiENOMENON VI. LHnam radio ad centrum Terra dudo^ aream tem^ri frtfor' lionalem deftribere. Fatec ex Lunae motu apparente aim ipHus diametro apparentc collato. Perturbatur autem motus Lunaris aliquantulum ^ vi So- iis, fed errorum inieiifibiles minutias in hifce Fhaenomenis negligo. Z« PROPO. LxBn l^t' Mmfi>t Systekiate, jd» PHILOSOPHI^ NATURALIS PROPOSITIONES PROPOSITIOL THEOREMA I. p^tres , qtiibm PUtieU Circutnjcnjtdes ^er^etnoretrahttntur a motihus reBilineis Qf* in Orhihmfuis retinentur , reffkere centrum Jovis ^ Q^ ejfe reciproce ut quadrata diftanttarum locorum ab eodem centro, PAtec pars prior Propontionis per Phznomenon prifflum , & Propofitioneoi fecundam vel terciam Libri primi: 6c pars poderior per Phxnomcnon primum, & CoroUarium fexcum Pco- politionis quanx ejufdem Ltbri. Idem intellfge de Planetis qui Saturnum comitantur« per Phz- nomenon fecundum. PROPOSITIO IL THEOREMA IL P^tres ^ quihus Platieta primarii perfetuo retrahmtur a motibMs redilineis , & in Orbibusfuis retinentur^ refpicere Solem, & ejp reciproce ut quadrata dtjlantiarum ah iffus centro. Patet pars prior Fropofltionis per Phxnomenon quintam, & Propoficionem fecundam Libri primi: & pars pofterior pcr Phs« nomenpn quartum , & Propofltionem quartam ejufdem LibrL Accuratiffime autem demonftratur hxc pars Propofitionis pcr quietem Apheliorum. Nam aberratio quam minima ii ratione duplicata (per Corol. i. Prop. XLV. Lib. I) motum Apfidum in fingulis revolutionibus notabilem » In pluribus enormevi efEcere dcberet. * P R O- PRINCIPIA MATHEMATICA, 363 PROPOSITIO in. THEOaEMA m. T«";s P^m qua Lma retinetur in Orbefuo refpcere Terram y & efje reciproce ut quadratum di/iantia locorum ah i^Jius centro. Patct aflcrtionis pars prior pcr PhsBnomenon fextum , Sc Pro* pofitioncm fecundam vel tertiam Libri primi: & pars pofteriot per motum tardiflimum Lunaris Apogasi. Nam motus ille^ q\\i fingulis revolutionibus cft graduum tantum trium S< minutorum trium in confequentia 3 contemni poteft. Patet enim CperCorol. i. Frop. XLV. Lib. 1} quod ii diftantia Lunss a cenrro Terrae (lc ad femidiametrum Tctrx ut D ^d i ; vis a qua motus talis oriatpr ftt feciproce ut D 2~> id eft, reciproce uc ca ipfius D dignitas cu^ jus index eft 2^, hoc eft, in ratione diftanttx paulo majore quam duplicata inverfe > fed qux partibus 59:|propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit. Oritur vero ab aStionc Solis (uti pofthac dicetur) &r propterea hic ncgligendus eft. A^io Solis quatenus Lunam diftrahit a Terra, cft ut diftantia Lunse a Terr) quamproxime^ ideoque (pcv ca quas dicuntur in Corol. 2. Prop* XLV. Lib. L) cft ad Lunae vim centripetam ut 2 ad 357>45 circi- ter^ fcu i ad 178- . Et negleda Solis vi tantilla 1 vis reliqua qu^ Luna retinetur in Orbe cric reciproc« ut D*. Id quod etiani plcnius conftabit confcrendo hanc vim cum vi gravitatis , uc fic in Propofttione fequcnte« Corol Si vis centripeta mediocris qua Luna retinetur in Orbe, augcatur primo in ratione 177^ ad 178*0- • deinde etiam in xatio- ne duplicata femidiametri Terrx ad mediocrem diftantiam centri Lun;E a centro Terras: habebitur vis centripeta Lunaris ad fuper- ficiem Terras , pofico quod vis illa defcendendo ad fuperficicm Tcrrae , perpetuo augeatur in reciproca altitudinis ratione du* plicata. PROPOSITIO IV. THEOREMA IV- Lmam gravitare in ^erram,& ti gravitatis^ retrahi femper a motu reBilineOy Qf in Orbe fuo retineri. luunx diftantia mediocris a Terra in Syzygiis eft femidiametro- rum tcrreftrium , fecundum plerofque Aftronomorum 59, fccun- dum rendeUnum 60 , fecundum Copernicum (>o\^ & fecundum Ty- Z 2 2 chonem 3^4 PHILOSOPHIiE NATURALIS iHiAmntcboiiem$6i. Aft Tyeboi & qaotquot ejus Ttbalas refraaionuni Ststsmati. fequuntur, conftituendo rcfraaiones Solis 8c Lunx romnino con- tra nacuramfcueis) majotcs qoam FilarU», i & fpatio minuti unius fccundi pedes 1,5 rV Atqui corpora in regionibus noftris vi gravitatis cadcndo» dcfcri- bunt temporc miDuti unius fecundi pedes Farifienfes i5r^> uti JJugeniut {^Siis . pcnduiorum cxperimcnus & computo inde Inito^ demonftravir: & proptereaCper Reg. 1. & 11.) visquaLunaia orbe fuo retinetur, illa ipfa eft quam nos Gravitatem dicerc fole- mus. Nam fi Gravicasab ea diverfa cft^ corpora viribus utrifque conjunftis Tcfram petcndo, duplo velocius defcendent, & fpatio rainuti unius fecundi cadendo defccibent pedcs Farifienfes . 30^ ; omnino contra Experientiam. CalciiKis hic fundacur in Kypotbefi quod Terra quiefcic. Nam fi Terra & Luna circum Solem moveantur, 8r interea quoque cir« cum commune gravitatis centrum revolvantur : diftantia ccntro« rum Lunx ac Terrx ab invicem erit 60^ femidiamecrorum rer* xeftrium i, uci computauoncm (per Prop* ix. Lib. L) ineuntL patebic. FRC- PRINCIPIA MATHEMATICA. 365 PROPOSITIO V. THEOREMAV. TBixicu Flanetar Circumjcrvialesgravitare inJomem^Circumfaturnios in Saturnum, Qf Circumfolares in Solemy ^vigravitatisjuie retrahi femper a motibus reBilineis , ©* in Orhihus curvili^ neis retineri. NaiD irevolutiones Planetarum Circumjoviatium circa Jovem, Cir- camfaturniorum circa Sacurnum, & Mercurii ac Veneris reliquo- rumque Circumfolarium circa Solem func Phxnomena ejufdem ge- neris cum revolutione Lunx circa Terram ^ & propterea per Reg. II. ^ caufis ejufdem generis dependent: prxfcrcim cum de« monftratum ftt quod vires» a quibus revolutiones illas dependent» refpiciant centra )ovis> Saturni acSoIis» Screcedendoajove, Sa* turno & Sole decrefcant eadem ratione ac lege^ qua vis gravitatis decrefcit in receflfu a Terra. Corol I. Gravitas igitiir datur 10 Flanetas untverfbs. Nam Ve- nerem , Mercurium > cceterofque efTe corpora ejufdem generis cum ]ove & Saturno , nemo dubitat. Etcum attra£kio omnis (per mo« tus Legem tertiam) mutua (it» Jupiter in Satellites fuos omnes, Saturnus in fuos , Terraque in Lunam , & Soi in Planetas omnes prJmarios gravita)>ic. Corol 2. Gravitatem» quas Flanetam unumquemque refpicit , efle reciproce ut quadratum diAantix locorum abipdus centro. Cord. ^ Gravesiiunt Flanetas omnes in^ fe mutuo per Corol. i. & 2. Et hinc Jupiter & Saturnus prope conjunftionem fe invicem attrahendo , fenfibiliter perturbant motus mutuos^ , Sol perturbat motus Lunares , Sol ic Luna pcrturbant Mare nodrum , ut in fequentibus explicabitur. PROPOSITIO VT- THEaREMA VI. Corfora omnia in Planeiasfingulosgraa)itare,^pondera eorum in eundem quenrvis Planetamy faribus diftantiis acentro Planeta, , prcfortionalia ejje quantitati materia injingulis. Defcenfus gravium omnium in Tcrram (dempta faltem inxquali leiardatione qux ex Aeris percxigua refiftcntia oritur} awjualibus Z z 3., tcmpo- 366 PHILOSOPHl/E NATURALIS Dt Mmioxtetnporibus fieri^ jamdudum obfenraruar alii; fc accbrtftiffiiHe qui- STfTBUATB.^jeni Qorare licet xqualiracem temporum ia Pendulis. Rem reotavi inAuro, Argento, Flumbo, Vicro, Arena, Salecommuni^ LignOf Aqua» Tntico. Comparabam pyxides duas ligneas rocundas 6c a^quales. Unam implebam Ligno^ & idem A^fi pondus fufpende- bam (^quam potui exafte) in alterius centro ofcillationis. Pyxides ab xqualibus pedum undecim filis pendentes» conflituebant Fen* dulaj quoad pondus, figuram, & aeris refillentiam omniao paria : £t paribus ofcillationibusj juxta pofitx, ibant una & redibant di- utifTime. Froinde copia materix in Auro (perCoroI. i. &6. Prop. XXIV. Lib II.) erat ad copiam materix in Ligoo, u t vis motricis aftio in totum Aurum ad ejufdem adionem in totum Lignum; hoc eft, uc pondus ad pondus. Ec fic in cn^ceris. In corporibus ejuf* dem ponderis differencia materix > qux vel minor eflTec quam pars millefima materix totiuss his experimentis manifefto deprehendi potuit. Jam vero naturam gravitacis in Planctas eandem effe atquc in Terram, non eft dublum. Elevari enim fingancur corpora hxc Terrefiria ad ufque Orbem Luna^, & unacum Luna moca omni privaca demicti» uc in Terram fimulcadant; Scperjamanteoftenfa certum eft quod cemporibus xqualibus defcribent requalia fpacia cum Luna, adeoque quod func ad quancicacem macerisc in Luna , uc pondera fua ad ipfius pondus. Porro quoniam Sarellires Jovis temporibus revolvuntur qua: funt in racione fefquiplicaca diftanti- arum a centro Jovis, erunt eorum gravitates acceleratrices in ]o- vem reciproce ut quadrata diftantiarum d centro Jovis^ 6c prop- terea in requalibusa JovedidantiiS) eorum gravitates acceleratrices evaderent xquales. Proinde temporibus xqualibus ab ncqualibus alcitudinibus cadendo , defcriberenc o^qualia fpacia^ perinde uc fic in gravibus, in hac Terra nofira. Ec eodem argumento Planetss . circumfolares ab a^qualibus k Sole diftantiis demifil, dcfcenfu fuo in Solem aequalibus cemporibus asqualiaipatia defcriberent Virts autem^ quibus corpora inxqualia :EquaIiter accelerantur, funt ut corpora j hoc eft , poodera ut. quantitaces mateTine in Planetis* Porro Jovis & ejus Satellitum pondera in Solem proporcionalia efle quancitacibus materixeorum^ pacec ex mocu Satellitum quam maxime rcgulari > per CoroL 3. Prop lxv. Lib I. Nam 6 ko» rum aliqui magis traherentur in Solem, pro quantitate materix . fuae, quam cxteri: motus Sateilicum (perCorol. x. Prop. lxv, Lib. I.) ex inxqualitate tittraAionis pcrturbarenrur. Si (paribus ^ Sole difianciis} Satelles aliquis gravior eilet in Solcm pro qtian* (icace , PRINCIPIA'Mj\THEMATICA. 367 titaCe materiap fu2j quam Jupiter proquaotitate materix fua^, in iiBfit ratione quacunque daca, puta d ^d e: diftantia inter centrum So-'^'^^^^^ lis & centrum Orbis Satellitis, major femper foret qaam diftantia ioter centrum* Solis 6c centrum Jovis in rarione fubduplicata quam proximes uti caiculis quibufdam inicis inveni. Etfi Satclles mi« nus gravis eflfet in Solem in ratione illa ^i ad ^ ^ diftantia centri Orbis Satellitis a Sole minor foret quam diftantia ccntri Jovis a Sole in ratione illa fubduplicata. Igitmr fi in xqualibus k Sole diftantiiSi gravitas acceleratrix Satellitis cujusvis in Solem major eflet vel minor quam gravitas accekratriK Jovis in Solem > parte tantum milleftma gravitatis totius ^ foret diftantia cehtri Orbis Sateliicis a Sole major vel minor quam diftantia Jo vis a Sole parte ^ diftantias totius» ideft, parte quinta diftantiae Satellitis extimi k centro Jovis': Qux quidem Orbis eccentricirasforet valde fenfibilis. Sed Orbes Satellitum funt Jovi concentrici, & propte- rea gravitates acceleratrices Joyis & Satellitum in Solem a?quantur inter fe. Et eodem argumento pondera Saturni & Comitura ejus in Solem, in squalibus a Sole diftantiis, funt ut quantitates mate* ri« in ipfis: Et pondera Lunx ac Terrre in Solem vel nuUa funt, vel earum mafiis accurate proportionalia. Aliqua autem funt pec Corol. I. & }. Prop. v. Quinetiam pondera partium fingularum Planetx cujufque in alium quemcunquej funt inter fe ut materia in partibus fingulis. Nam fi partes aliqu» plus gravitarent , alix minus, quamproquan- ticate matcrix : Planeta totus , pro genere partium quibus maxime abundet, gravitaret magis vel minds quam pro quantitate materiac totius. Sed nec refert utrum partes illre externx fint vel internac. Nam fi verbi gratia corpora Terreftria , quae apud nos funt, in Orbem Lunx elevari fingantur, & conferantur cum corpore Lunae : Si horum pondera eflent ad pondera partium externarum Lunx ut quantitates materix in iifdem , ad pondera vero partium internarum in majori vel minori ratione, forent eadem ad pondus Lunag to- tius fn majori vel minori ratione *. contra quam fupra oftcnfum eft. CoroL i. Hinc pondera corporum non pendent abeorumfor- inis & texturis. Nam fi cum formis variari poflent ; forent raa^ jora vel minora, pro varietate formarum^ in atquali materia : om* nino contra Experientiam. Corol 368 PHILOSOPHliE NATURALIS Dt MoNDi CcroL 2. Corpora univerfa qux circa Terram funt^ gravia fQOC systemati. jQ Tcrramj & pondera omnium» qux a^qualiter a cencro Tcrrac diflianCy func ut quanticates macerix in iifdem. Hxceftqualicas omnium in quibus experimenca inftituere licett 8c 'propterea per Reg. III. de univerfis affirmanda eft. Si ^ther aut corpusaliud quodcunque vel gravitate omnino deftitueretur i vel pro quantirate matericE fux minus gravitaret : quoniam id ^ex mente Afijlotelis^ Cartefii & aliorum ) non difFert ab aliis corporibus nifi in forma materix , pofiet idem per mutationem formx gradatim tranfmutari in corpus ejufdem conditioniscumiis qux, pro quantitate materiaT) quam maximegravitant, & viciifim corpora maxime graviai fbr- mamiliius gradatim induendoi poffent gravitatem fuam gradatim amittere. Ac proinde pondera penderent ^ formis corporum^ poflentque cum formis variarij contra quam probatum eft ia CoroUario fuperiore. » Corol. ;. Spatia omnia non funt xqualiter plena. Nam fi fpacia omnia xqualiter plena eflent» gravitas fpecifica fluidi quo regio aeris impleretur, obfummam denfitatem materix , nil cederet gra* vitati fpecificx argenti vivi , vel auri i vel corporis alterius cujuf- cunque denfi(fimi$ Sc propterea nec aurum neque atiud quod* cunque corpus in aere defcendere pofTet. Nam corpora in fiui« dis I nifi fpecifice graviora fint i minime defcendunt« Quod fi quantitas materix in fpatio dato per rarefadrionem quamcunque diminui poffiti quidni diminui pofiit in infinitum.^ Corol. 4. Si omnes omnium corporum particutx folidx fintejuf- dem denficatiSi neque abfque poris rarefieri poffint» Vacuum da- cur. Ejufdem denficatis efTc dicoi quarum vires inertix (unt uc magnitudines. Cord 5. Vis gravkatis diverfi eft generis i vi magnetica. Nam attra£kio magnetica non eft ut matcria attrafta. Corpora alxqua magts trafaunturi alia minus» plurima non traliuntur. £c vis mag- necica in uno 6c eodem corpore inrendi poteft & remitci • eftque nonnunquam longe major pro quantirate materix quam vis gra- vitatiSi 6c in receflu k Magnete decrcfcit in ratione diftantix non dupiicatai fed fere tripticata» quancumex craffis quibufdam obfcr« vationibus animadvertere potuL P R O- PRIjrCIVIAMATHEMATIC^ ^ FR6P0SIT10 Vn. THftOREMA VII. Grmimemm^or4ummfafofi\ '^ymqtte pr&pmiofialtfm FUnetas omnes in femutua graves^dlTe jam ititte {ir^aviahfs > ut 6c gravitatem in unumquemque feorfim fpedatum efle reci> pj«) an v«ro qurai proxtme. Nam fieripofiet ut proportiiOy.quae ia majoribus diftantiis £ttts tccu^ rate obtineret » prope fuperficiem Fknecae ob instquaks.particu^ hrum diftancia» & $tus diffimiles> notabiiirer errarec. Tandem vera » per Fropv lxxv. & i.xxvK Libri primi *& ipfaruoL Carol- ktria , incellexi veritatem Propoficionis de qua hic agitur. Cwd. I. Hinc inveniri & inter fe comparari pcmunt pondera corporum in diverfos Flanetas. Nam pondera corporum irqua- lium circum Flanetas in circulis revolventium funt Tper CoroL 2. Frbp» IV. Lib. 1.) uc djaraetri circulorum direfte & quadrata tcm- porum periodic6rum ihv^rfe), 8c pondera ad fuperficies Planeta- rum, aliafve quafvis k tentro diltantias, majora funt vel minora ^pcr hanc FropdfitionemJ in duplicata ratione diftantiaruin in- verfa. Sic ex tcmporibus periodicis Vencris circum Solem die-> rum 224 & hQrarism 16^» Sateltiti» cxtimi circumjovialis circum Jpyem diefum i^ & horarum i6,y,. Satellitis Hu^eniani circum Daturnxun dierum 15 Sc' horarum xi\^ W Luii^ circum Terram ^ierum 17, hor. 7. mjn. 43^ collatis cum diilantia.mediocri Vene* ris a Sole & ciup elongationibus maximte beliocentricis Satellitis eitirni cirCuinjoVialis a centro Jfovii aV 2 i^'S SatcUitis Hugeniani X cencro Saturru ^\ 2o'\ Sc Lunot aTerra'io\ coMputum ineundo inveni quod corposum xqualium & a Soie» Jove» Saturooac Terra aiq^ualicc8.diftaAcittmpo«dcra.ia Solem ^ Jfovcmv Saturnum acTer» ftiitt fbreftc ad iKvicem uc 1 ^ f^s t^iti & 'tsjfXi refpe&ive.. fift^cnim parallaxi» Solis ex obfervationibus bont^mis^ ^fio^^ LCk\ - 6c Jidth^ km nofter pcr emeriiones Jovis & Saccllitum e parte obficura , r : . A Lunx,. PRINCIPIA MATHEMATICA. 371 Luolb i deceroiteaTit qu hujus .elongationi^ parsquartf, oeqi^ .$Q"<«..eft)diam.eter >a90uUSaturoi eSole vifi |.6c diamecei; Sa* curai.eft.ad idiapMtrum annuU ut 4 ad^r, ideoque iemidiaraeter Satarni b Sole vifi tift 11". Subducatue lux erratica.qax haud mtoor eife.fedet qvam .%', S9JL 3" : Et mran^^t &n\idia«peter Saturni quafi 9V. ^x hi^ccatttcan 3c SoHs femidtaoKtro medioq^i ,16'. 6^ compioium taeUQiito^coikuoc,vera;SoUs, Jovisi Saturn}f ;ip .Terrs iiBmnliaaMitri ad liovicemr.ut loppo», IP77> ^%3 & ip4* Upde* cum pondera cqiuUum corporum & cfotris Soiis» Jovisj^^Saturoi ac Terrx xqualtfec difUntiom » Got io Solem» Jovem, Saournuoi acTeitam; u«i, i^. ijn» *f sfe refjpoftiyc, teaudis:.Ve];i qutis diftaotiis pondera dHMOoanainivcl. augeantiur to 'dkiplmact ratione: pondera xqualium corporum in Sotem, Jovem, Satur« oum ac rrekrani xb diftiintiis* U>oqj0lJio7^,^99; ,6c |flQk i|bi^rum centris, atque adeo in eorum fuperficiebus , erunt uc 10000 * 835 , f 25 , 8c 410 refpeBiive. Quanta fioc poadera corporum iii ftip^c- ficie|jwi?cdkemii6 iofeq^eflcibus. ,:■ Cor^Li, Inootefcic etiam quaotitas materiae in Planetis fioguUs. Nam quaotitates materiae lii Planetis funt ut eorum-vires in ie^ua- libus diftantiis abeorumcentris, ideft, in Sole, Jove,Saturnoac Terra funt ut 1 , j^, . ^Jfr, & s^^ refpeaive. Si parallaxis Solis ftatuatur majorvel miiiorquam 10", debebic.quantitas m^te^is io Terra aiigeri vel diminurin iripUcaCa iratiofie.' OroL'}, InnotcfcuftC etiam dcnfitatcs PUoetarqro.. JNattfpoo- dera corporum xqgalium & homogeneorum in Sphxras homoge- Oeas Junt in fuperficiebus Spharrarum ut Sphterarum diametci , . per Prop. xxxii. Lib. I. fdeoque Sphararum heterbgeoeacom deofi* tatcs fiinc uc pondcra illa apjiUcfta ad Sphacearum dtamettos. £cahtaqc' ^ propterea denfitiites fuoc uc ioo,'78,f9^ 6c 396. Denfitas Terrsc qvtx prodic.cx hoc compuco 000 peqdet a parallaxi SoUs , fj!d dececfflioacar per paiaUaxio tuoa&, .^ prpp-. : Aaa a ' «rfca "1 if% ?HIL680PHIi£N'AtURALIS % |Mnr>( ttm lilc rede deftnitar. Eft ' ig!titt $0i 'pAXk* ^eiifidr ^fBMi |ii|ii; itmukrt.^^ y & Jupiier qoant S«caniuf » ScTemiqtMdntpto d^A^^pMn So!. Nata per ingentem fiium calorem Sot rarefcic 'hvaok fera denfior eft quam Terra , m !a ibqiientibus pacebit. Cotol. 4. Denfiores igitor func Pbnetfe qui func minorctr cc* tccis i^aribur. Sic enim yls gravinacis in eonim fitpetfiddHtt td. aequalitaceai magis acce t * » • . FROPOSITia IX. rU£OR£MA VL > • « . §r4^ttutemfirgHido ^ f^firficithin PUmetarumdeor/mi. de^ tre^cere m ratione difiantianitm a tentro qiMm froxime; . Si. ix^a^crla^ Blaoet^. quoad denutatem uniformis euet» obtineret bsc Fropoficioaccurate:. per Frop. txxiii' Lib. I. Error igitut t^ntus.efl 3 quantus ab inosquabilLdenfitate oriri poific. ' tROPOSrlTIO X; THEOKEMA X. Mottk Fianetmum in delisUiatijime conferuari 'fojfe^ Ih^cholio IVopoiitionis xl. Libr ILoftenfumefi^quod globus^ Aqua& congelatx in Aere f>9ftro >. libere movendo & longicudincni lemidianEieirifuxdefbribendo» escrefiftencia^Acris aoucteret motusr fui pnrteni;^. Obtiner autem- eadem* propoitio qiuim proxime 2!i globis^ibtcunque^magniySt velocibus. . Jam verQ QlobttmXerrx» noftroc denftoremHTequam fitotus ex Aquacoilftarer» (ic colligoi Si Globcrs hiccc totus effet aqoeus^ quxcunque r^riqra eflent quara ^c^Miy, ob imifioremifiecifi^aiiigTavitQtcm :efsierger j PEINCIFIA. MATHEMATICA/: ^^ iMt. : ;1«9»4a Ohii% (H(pbiM «rreat a^nistiMi^iqiwcOb^ti», ixiut fl rwior eflttt qnam aquat «mei^erec alicubii & aquaommsiQde'^^^'^^^ dieflueiis coagregarecur in regione oppofita. Ec par eft ratio'^^ Terr« i)oftrae marib«}S iQagna ex par^ circumil^Fd^. ..Hsc 6 den* fior non efleCj emergerec esC maribuSi x parte fur pro gradu'ievi« fatis extaret ex Aqua» aiaribus omnibus in regionem oppofitam «oaflacBttkM^vt ^omat :argiimeiitid( .ma£tflte^8t)lgt«s^ ii»kfr6s ii^ quam materia liwWft 8Qj<^ds-fui,6^^ qualicumque Planetarum> maceria omnis graviort quo tempore fliafla tota flfiicia erat, ccnt;um petej>a€. . Un4e cuik Terra com- munis fuprema quaii dpplo gravior nc^qiULm^aqiia» Scpauloinfe- rius'in fodiois quafl cripio yel 4uactruj;jlo auc etiam quintuplo gra^ Vior reperi^cur: verifimiie ell quod copia macerice totius in Terra quafi quintu^o vel fextuplo major fi^ quam (T tbta ex^^ aqua con^ ftaret 5 prxlertim cwa Terram qpafi quintuplo denfiorem efie 'quaoii JQvem jam ante oltenfum fic. I|;itiir fi. ) upiter^paulo den4 fior fic quam aqua » hic ^ipatlo , dieruni triginta r quibus lon- S' *Ciidin^ni;;459 femidiamecrprunv/fuarum deC;ri];>it , amicterec in [fidip ejtifdeca denficatis cum Aere noft rp ,mt>Ws fui part^m fere deciedam. Veriim bum refifteotia Mediorum mihuatur in raciohe jponderis ac denfitacis s fic uc aqua, qux partibus i^^levior efl: qtiaoi argencun;! vivum^ minus^rcfidat in eadem rationCi^St aer^ qiii partibus $fo levior eft quam aqfia^ fninus refifiat in eadeni racione': fi iifcendatur in cosbs ubi pondus Mddii^ in quo Fianetx movencurj dim«nuitur in immenfum, refiftencia prope ceffabic. H Y P O T W E S^ I S P. ■ Centmm Sy/kmatir Mmdam qmefigffgi , Ho/; ab-omntbu»' conceflum: eft-°» dum. allqui.- Tor^ am a|ii:S<>km >n^je(|tr«:S^ft&matis quiefcBre co^cendanc. ' Videamus qjiidinde ibquafui:. ... ; PROPOSITEaxr. theokemaxi. fmirmffe' mtrmnffiitoittttis. TW^C) SpUs.& ^lanetarm m*- mum^me/cere. . * Naro centrom illud (per Legum (Dorol: 4.)' vcl qutefcec vel progredietur uniformitcr in dire^m- Sed centro illo femper .'. ) ;: : Am- j> pro- 374 PHILOSOPHIiE KATURALIS . progredtence , ctntrum Muodi quomii diovtlunir coofn Hf- D« MoHBi V^ P /; f * I STJTIMAM.POWClIn. I PR.OPOSITIO XIL THEOREMA XIL Sdem motapgifetm agkari,fed mm^uam.lon^ recedire^ Mm. mftmgrawtatis^eHtroPlanetarmtohitmm» Nam cum (per Cprol. t. Prop. viii) teateria ia Sole fic ad materiam in Jove ut 1033 ad 1 j & diftantia Jovis a Sole fic ad remidiametrum Solis in ratione paulo majore > incidet communp centrum gravitatis Joyls- & Solis in pun^um paulo fupra fuper- Hciem Solis. Eodem argumcnto cum materia in Sole (Ic ad ma- teriam in Saturno ut 2411 ad i, & diftantii Saturnia Sole fit ad femidiametruni Solis in ratione paulo minore^ incidec commqnc centrum gravitatis Saturni & Solis in pun&um paulo infra fuper« ficiem Solis. £t ejufdem calculi vedigiis infidendo fi' Terra & Planetas omnes ex una Solis parte conHflerenty commune omnium centrum gravitatis vix integra Solis diametro a centro Solis di- ftaret. Aliis in cadbus diftantia centroiiim femper minor cd. Et propterea cum centrum illud gravitatis perpetuo quiefcit» Sol pro vario Planetarum Iiru in omncs partes movebitur^ fed a cen* tro illo nunauam longe rccedet. Cw^ol Hinc commufiegravitatis centruqi Terrz, SoIis8rPIa« netarum omnium pro centro Nfundi habehdum cft. Nam cum Terra, Sol ^ PUaetac omnes 'graviteot iii ie muBuo» & prppte- reai pro vi gravitatis fua^, fecundum leges motus perpetuo agi« . ttentur : perfpicuum eft quod horum cenrra mobilia pro Mundi eentro quiefcente haberi neqoeunt. Si corpus illud in cemro locandum eflet in quod corpora omnia maxime graviranc (utl vulgi eft opinio) privilegium iftud concedendum eftec SolL Cum ^adtem Sol moveatur.) eligehdum eric punftum ^uicfcens» a quo centrum Solis quam minime ^ifcedit ^ & a quo idem ad- httc minus difcederec , ii modo Sol denfidr eflec^&^major ; ot minus moverecun PRO- PROPbSITlQ XIII. THEOREMA .XIII. :^"^"« PUnetf moroentur m EUipJihm mlilk»m habentibus in centro. Solif, &radiii^adi centrHm Hhd.dtt^s areas de[cribmt- te^^mhm fr(^ortionalesi . «1 Difj^utavimus fujpra de &is' motibu$ ex Fharnomdnis, Jam cog- iiicis motuum principiis, ex his coUigimus motus cceleftes a pri- ori. Quoniam pondera Flanetarum in Solem funt reciprocenr quadrata^ diftaqtiaruuv a c<)ntro Solts-^ ik Sol quie/^erec^ Plamtas rehqui nbn agerent in fe mucuo/ foreht bfbes eorum Etlfpcici^ Solem in umbihcp:t6mmi][Qi'Kab((n$es ^ ii v^ defcriberentur tem- poribus proportionales (per Frop. i. &xi, & Corol. i. Frx)p. Zii I. Lib. I.} Aftiones autem Flanetarum in fe mucuo perexigux func '^ut pofGnt contemni) & mocus Planecarum in Ellipfibus circa Solem mobilem miiius perturbaiit j^per Prop, lx v i. Lib. I.) quam ii itiocus ifl^ citck Solem quiefcentem peragerencur. A£kio quidem Jovis in Sacurnum non eft omnino concemnenda. Nam gravicas in Jovem eft ad graviiatem in Solem (paribus di- ftanciis } ut i ad 1033$ adeoque in conjun^one Jovis & Saturnii quooiam diftancia ^aturni a Joye eft ad diftanciam Sacurni a Sole fere ut 4» ad 9 9 erit gravicas Sacurni in Jovem ad gravicatem Sa- turni in Solem ut $1 ad liSx.iojj feu 1 ad 704 circiter. £c liinc oritur perturbacio orbi^ Sacuroi in fingulis Flanecx faujiiy cum Joye coojutt^honibus adeo fenfibilis uc ad eandem Aftronomi lixreant. Fro^ vario ficu Planeca^ ivi his conjunftionibus» Eccen- tricicas e|us Dunc augetur i>u^c..dimiouitur, Aplielium nunc pro« movecur nunc force retrahicur, 6c medius mocus pervices accele- racur & retardator. £rror camen omnis: in nsottt e)us circum So« lem a canca vi^oriuhdus ^ prxterquam in raocu medlo^^ evicari ftft poteft coofticuendo .umbiticum intehorem Orbis ej^us in communi ccQtro gravitatisjovis & Solis(per Prop^ Lxvir. Lib L} &: prop'» cerea^ obi maximus eft 9 vix fuperat mioata duo prknai. £t error jnaximus ia moco medio vix &perat ^ minuta duo fjrima amnuacinpi. ]n conjundioBe ancm: Jovis & Saturni gravitatea acceleratrices £olis lA Satornum, Jovis i» Sacornon» 8r Jovis in Solem font fere »c 16 jf 8t & '^"^^*^*^" fea «14986,. adeoqiie diflferentia gravr- aatuiD Solis io Saturnum fc Jovis io Satornum eft ad gravitatem ' Jovis ^fi I»HILOSOPHii£ NATURAUS tafcenfu Aio zd aequatqrem cUametrps adaugehit, axem yeio'de' fcenfu fuo -ad podos diflikuet. &c jovi§ diiBoitter {confentienti« bus Aftronomorum obfervatlonibus j[ brevior deprenenditur inter polos quam at|;^ariente in ocddentieffi. Eodem ai^itmiento, nifi Terra noflra paulo altior eflet fub aequatore quam ad polos , Ma- ria ad polos ftmderent , & juxta.^uatoireifi^^eadenad» ifaiom- nia intindarcnt. - ■■ > • - PROPOSITIO XIX. PROBLEMAHL Itrvemre proforticnem axis Planetd ad diathttros eidem jp^etuMmiarff^ Pkarm ffifiirfhraBda «rcriffl gradus maai & i->*: f5* inter Jimbiamtm & Mdvoijmam , ipNesix. arcum cradus unius efle heaEa- pedarum Parifienfium 5 7060. Unde ambitus Terrae eft pedtim ParifienftMn i%y%^^99^ xAixepr^* Sed.cum error quadjii^gente- iimae partis di^ti, tam in fabri<^a iuftrumentordm quam in ti^ ptic>&ae .eotortt aiil jDbficryiiiwif^' !tiGervaruiit Latltudifies loco^ rum refpondeat mmutis quatuor feciindis, & in' fingulis obfeiva- ^oiiilms tnddere poffit tqm ad cencnim Sedoiis qqam ^d ejns circuni&renitiam, & errores in mtfidribus ar- • vae Mftomm Aa- cubus &it majoris luomenti: * ideo Cdffams 22* ^ij^ ft«naan«. jyflUiUgio menfuram Terr« pcr maJQraloco- rum intervalla iapeffixs efl» Sc ful^de per difhatiam inter Obfervatorium R^um PMifien/e & vi]]amO&« oure in Rou0i9n 6c Latitudinum dlfierentiam 6'' 18', fuppo- nendo auod figuraTerrs fit Sphsrica, invenit gradum unumefle hexapeuarum 57292, prope ut Nonvoodtis nofler antea invenerat. Hic enim circa amnim 1^635 $ menfunmdo difhintiam pedpm Lon- dinenfliim 905751 iiiter Lmdmtim & Eieraeim, & obfervando dii^VfntkM» Latitttdifiiift a>" aS', coUegit mcnfuram gradvs inuus eflepedum Londinenfium'36;i96,* id ed^hexajpedarumParifien- fium 5 7 300. Ob magtiitudinem intervalli a Cajfiie mt*aCmiA > pro menfuxa gradus unius in medio intervaUi illius , id efl» mfeer La- titttdines 45 "^- & 46«*- tifhtpabo hexsjpedas if^^i. Und*, fi Terra fit ^h&rica, fifffindiflffleter ejos erit pedittD Pnrifieftfiufii • * «« Penduli raiNCim M ATMEW ATiq A. f 3 f^ «ii(»]]iu]tis loD^twib cft pe4«m triwn ParitoTium oc ]ineafiuh.dj. ^*^^** £t kMipkndo quod grave .t^^re minuti utuus. fecundi cadeodQ defcriiiit) e& ad dinudiiVB l^mg^tudlaem penduti te^us » in din>Ucata ratione drcufliferaltsft circuJi ad d^am^trum ej^s (ut indic^vit H^iffmis} sdeoqueioft.pecUiin Pariiiesifiam 15 >dij. i* lin. 7j|!» feu liiseairuili *X74^. Gonms in circulo, ad d^flantiaffl pedum 19^9^539 acentre, ' fingtilis diebus fidereis honoimi 23. f o . 4" umformiterreT^ven^ tempotr^ nunuti imius fecundi ddcribit arcum pedum t^i6t»-»;h cujus iinUs vferfiis eft pedum 0,0513*558, feu Snotfum 7,5-^«^. Ideoque vis qua grxviadeicendunt in LatitudBbie £^^^1^, ^ ad. vim cetrtnfugam corpofom in J£jqpaiostt a Tecrs tnotu diiun|i6 oriundam, ut 2174,-1 ad 7,;4<^4- ^ • » •• ■ - • • • "...•. Vis centrifiiga corpocom m jfwatare, ^ ^ fc^es Pari£enl!es i^, dig. I, 6c lin. f ,)z. EtinstDta graifiitatis «1 ;.Lae.eudi<^ iUa, #iit ftd'!(^centri&^aiD«6rpi>rma'i]i .^^uii^ofeTwrs, ut znjf^i*- ad 7,J4oH Sbu" al9 1. T - f Unde fi 'J-P^B §L! figuia» Teirm defigaet jam >non S||dnBriaun>ftd vtvabmttmc EBif/teos farcm ^xem mm^f}^;]^ P;^ Ba^ Hfc^ . f^«d aoMrum C^» i^ m^f .^ dERpAinrem Litf«^ pocgew; «tol)dM$ rftoAduf aqme in jcan#s )cmce ^iTrir , efleiid.^pGndus «{iieJnpQrOKiteixr ^Crf^.Kt. icpiod «viis.- centrifiig&t qk dsoalai^-rSyDti^ orcikpaifeai i|iilan e.'i>piiderii iHilttliHi' I1I9 fiifl8ielit4r4ttsiaie(i&9fBid«4 ««»rilii«^ tero idfsofe -iMiiiebit-xeiic^. Bttatp. C«x PftspQfitk)id5i(er£oroIiaiiojfeci3Bdebi con^wtatioBem ineimdD , imwoioifind £ ToyaMfioiiftaret fe^t wur fimitlJnsrii^ mot^ue imitt^gwm-QOW tfifet «iiis.«^: «PJL - 1 Etbb 2 ad Diil^fi ^d diimetrtmi ^5 otioo ad i©t : grftiitas in Ibco ^iaTcmtn, STiriMATa for^ jj gravitateni in eodem loco g^ia S(>ban»ii ceDtro Cradio FC ve! |t,C defcriptam , ut ij6 ad 115. Et eodem argamento gi^avitasinloco A in Sphasroidem ,convohi6one £l&p(eos APB^ drca axem AB defcriptam , eft ad gravitatem in eodem loco' A in Sphxram cehR-b Cradio /fCdeferiptam, ut laf adia^. Eftau» tem gravitas in loco A in Terram , media propcirdoiudk.''iitt^ gpayitates in di^^bup ^hsroidem & Sphsram : propterea qvod SphsiUt dimlnuendo diametrum P^in ratione 101 ad 100, ycrtitur in figuram Terrs; &h£c figiira diminuendo in eadem r^ticme diametnun teitiam, quae diametris duabus, ^fi, l^^per- pendlcuians ett , . veridtur jn (Uftara^haeroideinji & gravitas in 4x in cafu litrpque , .dinj^nuitur in eadera ratione quam projdme. Eft i^tur gravitas ih A in Sphaerahi centro C radip AC defcriptam, ad griavitatem m A in Terram ut 116 ad 125^, &gravitas in loco^ §i)A Sj^haeram cehero C radio §^ defcriptam , eft ad ' gravitatdm in loco > if in ^, ^hsram centrb C radio AC defcriptamy ih ratibne diamet^bram Cper Prop. lzxix. Lib.I.} id eft, nt- xoo ad xor. 'OmjuBgan^ turjamhs tres rationes, ^26'ad X2f, r36 _ ad X2^i, & 100 ad xot : & fiet gravitas . ! m loco ^in Terram, ad gravitatem in loco^ in Terram) ut X26Xx26xtoo adi25Xi25iXioi,.feuat foi ad^oa Jam cmn (per Corol. 3. Prop. xer. Lib. I.) gravitas in canalis crure*ntrovis ACca vel §^tq fit ut difbntia locoram a oentro Terrs ; fi crura illa iuperficiebus trflnfverfis &-squidiftaiitifaiis di- ftingnandir in partes totis proportionales , enmt pondera paitium fingularum in cnire AC€4 ddpondera partinm totidem in cnue altcxo, utinagnitudines&gravitatesacceteratricesc(mjan6tim; id dl, ut xoi ad xoo & foo ad ^or, hoc dft, nt 505 «d 501. Ac proinde fi vis centrifugft parti6 CDfnfi^ixe ia oiore ACcm exmotu diumo oriunda, &ifl*et ad jxmdtis partis ejufdem ut 4 ad 505 > eo ut de ponder^ partis cujii^ue, in paroes^^^Qf divifo, partts qua- tuor detraberet ; inanereiht^txmdera n^itromie cmreisqualia,- & propterea fluidum confifteret in cqmlibrio. Vdmn vi^ ctotrifiiga partis cujufqiie eft' ad poAdus ejuktem iifi ad 289, hoc eft, vis centrifiiga qtte^debertt-eife-pcynderisinzs;,-; efLtantum p«rs zt,- . ' ■ 1 :• Et Et propteyca 4ico, fecundmn Regulam aureaiQ^ quodfi vis cen- - tdM»- tri^ga fof faciat ut altitudo. aquae in crure ACca fuperet altitu- ***'^"*- dlhem aqnafe iii crure "^tS^cq parte centefima' totius altitudinis? vis centnfiiga ^^ faciet ut excefiiis altitudiois in crure AC^a fit altitudinis in crure altero §iS^cq pars tantum ^. Eft igitur dia- tneter Terrae fecimdum aequatorem ad ipfius diametrum per polos Utzjoad 429.' IdeoquecumTerrae femidiameter mediocris , juXta raisAuTsmCaffini , fit pedum Parifienfium 1^695539, feu milliarrum 5939 Cpofito quod milliare fit menfura pedum 5000) Terra altior erit ad ^quatorem quam ad Polos excefliipedum 85820, feu initliarium lil. '. " aPlaneta major fitvel minor quam Terra manente ejus den- fitate ac tempore periodico revoiutionis diumae , manebit pro- portio ^s centrifugsB ad gravitatem , & propterea manebit etiam proportio diametri inter polos ad diametrum fecundmn aequato- rera. At fi motus diumus in ratione quacunque -accelferetur yel retardetur , augebitur viel minuetur vis centrifuga in duplicata ilk ratione,' & propterea differentia ^ametrorum augebitur vel mi- nuetur in eadem duplicata ratione quamproxime. Et fi denfitas Planetae augeatur vel minuatur in ratione quavis , gra^^tas etiam in ipfum tendens augebitur vel minuetur m eadem ratione, & difKremia diametrorum viciflim minuetur in ratione gravitatis au6ke vel a\igebifar in ratione gravitatis diminutae. Unde cuni Ter«t rrfpeSu fixsurum revolvatur horis 13. 56', Jupiter autem . horis9.56', fmtque teUaporum quadrataut iQ ad5 , & denfitates ut 5 ad 1 : differentia diam^trorum Jovis erit ad ipfius diame-» trtun minorem ut y X-J Xjfjad i , feu i ad 8 quampro^dme, Eft i^tur:rtione. Unde cate confit Hieorema, feu<5667 -ad 2290000. £t pDopterea gEMofitta tot£ in his locis erunt ad invicem ot tt^i66^ sd 8290000. 'Qnae cum longitudines pendulorom asquaflMis itnimaribps ofiifindooi fmt ut gravitates, & in Latitudine L«tetU Tarijiontm long^tudo pendiiti fingUtis min^ flscun^s t)P^ltantis Ifit pe«kuft tilBfii^a- finenflum & tinearom t; : longkudo pcnMi felb .^^fwAore f^ pcn[t)itur a longitudine f^^nckpoiii pendiil Tsrifieitfk, exce(Ri M- ne(c unius & 87 partium milleiimirai liaett. £t tiifift CQaopaie confit Tabula fequens. Latituie TOXNCIPIA MATHEMATICA. 5»3 tMituio Lm Lo^gitudo TeaduU Muftird Grsdus WHMS in Miridi4m <■■ ■— Inu TttTI««. Hexaped. 56909 56931 56959 56996 5704* 57096 57*18 57»J« 57»44 57M7 .57*70 57*8} 57*96 57309 573»» 573H 57348 5741« 57470 575*4 57570 57607 5765* 57657 Ouifkt autem per hanc TabuUm > quod graduutn inaequatitas tam pi^A fit » ut in rebus Ge(^;raphicis Bgora Terrs pro SphA- xica naberi poffit, quod^ue iiu^qualitas diametrorum Terre &d- Hus & certius per experimenta pendulorum deprehendi poifit viel tos in. Mendiano. Hec DiiWt/NDi ^*^ ^^ ^^ haben|: e^. hypothefi quod Tenra ex uniformi ma- sy^biS^ teria conftat. Nahi fi tnateria ^d qentqim paulo, d^nfior fit (juam ad fuperficiem , difFerenti* peritiulonim & graduum Meridiani paulo majores erunt quahi prd Tabula praBcedtnte, propterea quod fi materia ad centrum reduftdan^ qwt c^nfitas ibi major redditur, fubducatur'&ieorfim:fptft6tur, gra^itas in Terram re- liquam uniformiter deitfam, lefif^ redproce ut, diftantia ponderis a centro ; in materiam Vero lieduir jantem recipjroce ut quadratum diftantiaB a materia illa ^uam^roxime: ;;Gravita^ igitur fub aequa- tore minor eft in materiam illam Tedundantem quam pro com- puto fuperiore : & proptereaTerfa ibi,; propt^rjdefedumgravita- tis, paulo altius afcendet, & exceflus lortgihidiriirtn Pendulorum& graduum ad polos paufo major& ipruik cjuaiA in prscedentibus definitumeft. • * • ' Jam vero Aftronomi aliqui in iongiflquas r^^ones ad obferva- tiones Aftronomicas faciendas milli ,invenerunt quod horologia ofcillatoria tardius^mbv^rentur propei$!q|iatoitm quam in reg^o- nibus noftris. Et* primb quidert p.- Uiehpr hoc obfervavit anno 1672 in infula Caytnhifi "' Nam dum oblerVarefjtranfitum Fixarum per meridianum irienfe /Ivgufio^ reperit horoloj^him fuum tardius moveri quam pro tnedio motu^Solis^ekiftentedifferentia 2'. 28" fingulis diebus. Deinde facipndo ut Penduluni fimplexadminuta fingula fecunda pfer .lidrolo|ium optimum menfurata ofciilaret , notavit longitudinem Pcnduli fiin^ljcis/ & hocTecit fspius fmgu- lis feptimanis per nienfes deceiri. Tuiri in GaUiam redux contulit longitudinem hujiis Pfenduli ciim Ipngitudine Penduli Fmjknfis (quae erat trium pediim Parifienfmm ^ & ofto firiearum cumtribus quintis partibus lintfiEr) <& reperit breviorcm efl^ , exiftente difFe- rentia HneaB unius cudi quadrarite.- At ex 'tarditate horblogii ofcillatorii in Ca)&ihHi%\^^ efle lineae unius cum femiiie.' * ' ^' ' ' . Poftea jHalltitis ^tioaeT circa anmim 1677 ^^* infulam S^ He^ len^e navigans, reperit .horol6riura fuum ofcillatorium ibitardius moveri quam Londini, fed diflerentiam nqn notavit. Pend\Qum vcro-bi^ius reddidit plufouam odaya pafte di^ti," !^u linea tma ■cutn femifte. Et ad'lJoc'*fficiendum, riun longitudb doclile® in -jmaparte penduli non fufficeret, annulum lignieum thecae cocUlex ^ pondcri pendulo interpofuit. - -Deinde anno 168^2 Dt Varin & *Z>. Des fiajes invenenmt lon- gitudinem Penduli fingulis minutis fecundis ofcillantis in Obfer* •^ • * vatorio ' PRtNClPlA MATHEMATIC A. 38^ vatorio Regio Parifmfi efle ped. ^ fin. 8». Et tn infula Gores uw» eadem methodo longitu<£nem PenduU fynchroni inyenerunt efle Tbati««. ped. 3. lin. 6J, exiftente longitudinum differentia lin. 2, Eteodem anno ad infulas GuaJaloupam & Martinicam navigantes, invenerunt longitudinem Penduli fynchroni in his infulis efle ped. 3, lin. 6^^. Poflhac D.CoufUt filius anno 1697 menfe JuUo, horologium fuum ofcillatorium ad motum SoKs medhim ki Obfervatorio Regio Tari/iefijt dc aptavit, ut tempore fatij longo horologium cummotu Solis congrueret. l^inde Uljjpppotttm navigans invenit quod menfc Novtmbri proximo horologium tardius iret quam prius, eidftente differentia »' 13" in horis 24. Et menfe Martio fe- ehdulomm qux in diverfis regionibus ifochrooa funt , diverfo cakni attribui non potefL Sed neque err«ibas Allrooomorum ^ CaUia miflbnim tribuenda eft harc differenda. hkm quamvis eorumobfervationesnon perfede cOTuzruant inter fe^ tamenerro- res funt adeo parvi ut contenmi pofnnt. £t in hoc concordant omnes, quod ifochrona pendulafuntbreviora fub.£quatore quam in Obfervatorio Remo Varifimfi^ exiflente difierentia duarum cir- eiter linearum feu ^xtx pards digiti. Per obfervationes D. Ri-^ cher in Cayenna fadas, differentia fuit linex unius cum femiile. Error femiflis linex facile committitur. "ExD.des Hayes poftea per obfervationes fuas in eadem infula fa6las errorem correxit , inventa difFerentia linearum a-^. Sed & per oUervationes in in* fulis Gorea, Guadaloupa^ Martimay Granada, S. Omflapharu, & S. Dminici faftas & ad iEquatorem reduftas , diflferentiaillftpra- diit haud minor quam i\t linex, haudmajor quam a^ Uneanim. Et mter h$is limites quantitas mediocris eft a^4 linearum. Pi op-» ter calores locorum in Zona torrida negligamus^ partes liaes» & manebit differentia dnarum linearum. Quare cum differentia illa per Tabulam praBcedentem , ex hy^ pothefi quocf Terraex materia umformiter denfe conftat, fk ta»* !^^ » ioo-o lincae: exceflRis altittidim^s Tefr« ad a?qi»toreni fupra ^atudiuem- ejus ad pok)s, qtu crat miBiarium ijl, jamanaus in ratione PRINGIPIA MATHEMATICA. J87 Tatione differentivum , fiet milliarium 31I. Nam tarcQtas Pen- duli fub ^quatore defeftum gravitatis arguit ; & quo kvior eft materia eo major efle debet altitudo ejus,.ut pondere fuo mate^ riam fub Pofis in aequilibrio fuftineat. Hinc figora umbrae Terrae per Eclipfes Ltfnae determinanda , non eritomnino circularis, feddiameter ejusab oriente in occidentem tiufta major erit quam diameter ejus ab auftro in boream dufta, excelfii 55" cirdter. Et parallaxis maxima Lunae in Longitudi- Tiem paute major erit quam ejus parallaxis maxima in Latitudi- nem. Ac Terrae femimameter maxima erit pedum Parifienfium 19767630, minimapedum 19609820 &mediocrispedum i9688>2'5 quanw>roKime." Cum gra^us unus menfiiTante Ptcarto fit hexapedarum 5 7060 , menfurante vero C-#w fit hexapedarum 57*9* • fufpicantur aU- qui gradum unumquemque , pergendo per GaUias aufoura verfus majorem elTe gradu praecedente hexapedis plus mmus 72 , feu parte oor«dK»m ferevolventesPlanetasdeferre, & minoresillos in F.]]icuihos, «ra[ilttUcos ih centris majorum habentibus, revdvi de^ Kn^ pi»tot pcr Prop. lxv. lib. I. Adione autem Solis pertnrba- Ktnvv <(\>i!%,.\\ nK>tu$ muitlmode, iifaue adficientur in»)uab'catF> >vv >;M^ v\ I vv,>*\K^lrti «otAntur. Hac utique rper Corol. 2, ^> «s >< * ^V"^ K\v»s> xtfedus movetur, ac radib ad Terram y^vv^ xV<^ ihk }»'Ofetft ^> iwr^pore ma|orem, Oibemque Iwbet ^iN^vjNvr^M^N ^^^ivC-iWvVTrAtpii^KaooeditadTerram, ihSyzyg^s ^ x.s^f :^ v^iio^-; ^n> Tvs 'ft.;!^astctftB isnpeditmotasEccentridtatis. 'TxwK vv > vnjtfc fWiv.s* 'Tft ^pcr Corol- 9. Pk^. txvi.) uln Vvv^sN-v; » 5'^s^ fr.^NTX^ivxnfrrjiKir, &nunima ut» ideminQua- V. •••> \.*»v \\v> , ii < ^ i^^ 1 wfw» "m Pa^go vdodor eft & nobis j|V\v»,ss. X ; ^ V<\^xv *;TCom «avilioj' & rexnodor iir Syzygus qnam vA x^-f^s ; , \% . ,N tNv^jTiW^rtrr rrfifw Apoggum , & r^rediuntur Nvvv. X •j;\^. ,^\\ A "iiV^Ct^ft^Oi. Ki .^^KirJRmi ^dem ( pcrCorol. 7. <^ ^x \Nv*^N ^ \\ •. > xv-VvS^TS jwc^^TMJTur xn bmg^ fds, tardius \\^\\\^u\,'j v.N v^^«\^ifl\v.iiss -^ osc«i!b fnY!$reiTiis fopra regreflum ' Cmol. x-i. ij^uu^K t>w,u!vAn;\ ^,N ^fK"^- Ol^tvtJ. to, Prop. ixvt.) qumin Syzy- ISu> : C^ lUv'; ;)> UKvixus (tnlior in Fcnbeiio Tcn» (per Corol. 6. Propw PRINCIPIA MATHETMATICA 3S9 Prop. txvi. ) quam in ipfius Aphelio. Atqu© h^fuitt ihaequali- Uu% tates infi^ores ab Aftronorais notatae. tertios. Sunt etiamaliae quaedam nondum oWervatae inasquafitates » qui- bus motus Lunares adeo perturbantur , ut nulla haftenus lege ad Regubun alic^uam certam reduci potuermt Velbcitates enim feu motus horarii Apogaei & Nodorum Lunae , & eorundem aBqiiat^ ones , ut & differentia inter Eccentricitatem maximam in Syzygiis & minimam in (^uadraturis , & inaequalitas quae Variatio dicitur , .augeritor ac diminuuntur annuatim (per Corol. 14. Prop. lxvi.) in tripficata ratiohe diametri apparentis Solaris. Et Variatio prae- terea augetur vel diminuitur in duplicata ratione temporis ur- ter quadraturas quam proxime (per Corol. i. & i. Lem. X. & Coroh 16. Prop. lxvi. Lib. I.) Sed haec inaequalitas in calculo Aftronomico, ad Proflhaphaerefm Lunae referri fdet, & cum ea confundi. PROPOSITWxXin. PROBLEMAV. Motm inaquales Satellitum Jovis ©* Saturm a mottbuj Lunaribus derivare. Ex motibus Luna& noftrae motus analogi Lunaraffl feu Satelli- tum Jovis fic derivantur. Motus medius Nodoram Satellitis ex- timi Jovialis , eft ad motimi medium Nodoram Lunae noftrae , in ra- tione compofita ex ratione duplicata temporis periodici Terraj circa Solem ad tempus periodicum Jovis circa Sotem , & ratione fimplici temporis periodici Satellitis circajovem ad tempusperio- dicum Lunae drca Terram: ([perCord. i6,Prop.LXvi.)adeoque annis centum conficit Nodus ifte 8 »'• 04^ in antecedentiav Motus medii Nodoram SateDitum interiorum fimt ad motum hujus , ut illoram tempora periodica ad tempus periodicum hujus , per idem Corollarium, & inde dantur. Motus autem Augis,SatelUtis cu- jufque in confequentia , eft ad motum Nodoram ipfius in antece- dentia , ut motus ApogaBi LimsB noftras ad hujus motmn Nodo- ram , ( per idem CoroL ) & inde datur. Diminui tamen debet motus Augis fic inventus in ratione 5 ad g vel i ad icirciter, ob caufam auara hic exponere non vacat. iEquadones maximae No- doram & Augis Satellitis cujufque fere funt ^d aequationes maxi- xnas Nodoram & Augis Lunas refpedive, ut motus Nodoram & ^ugj[s SateUituQi tempore unius revolutionis aequationum prio- Ccc 3 nun» 39» PHILOSOPHriE" KATURALIS DBMuRMmm^ «d moQis Nodprnm & Apoga» Lmia tempore tmius.re^o^ systimat» luQonis aequationum pofleriotum. Variatio SateUitis ^Jove Ibe- ^btfi , eft ad Variationem Lunae , ut fttfit ad invicem toti motus No-: dorum temporibus quibus Satelles & Luna ad Sotem revrfvuntur, per idem Corolkrium { adeoque in Satellite exSSmo noti fiiperat ^•".12"'. PROPOSITIO XXIV: THEOREMA XIX. Fiftxttm Qf reptxum Marif ab aBiombm SoUs ac Lfftkt oriri. Mare fingulis dicbus tam Lunaribus quam Solaribus bis intu- mefccre debere ac bis defluere, patet per Corol. 19. Prop. lxvj. Lib. T. ut & aqux maximam altitudinem , in maribus proflindis &• libcris, appulfum Luminarium ad . Meridianum loci, minori quam fex horarum fpatio fequi , uti fir in Maris Atlantici & c^tbiapid traftu toto t>rientali ii;iter GallUm & Promontanufn Bona Speij ut & in Maris Pacifci littofe ChiJenJi & Petuviano : in quibus omnibus littoribus seftus in horam circiter tertiam in- cidit , nifi ubi motus per loca vadofa propagatus tliquantulum re- tardatur. Horas numero ab appulfu L*uminari5 utriufquc ^ Me^ ridianum loci , tam infra Horizontem quam fupra^ & per horas diei Lunaris intelligo vigefimas quartas paftes temporis quoLana motu apparcnte diurao ad Meridianum loci revol^dtur. Motus autem bini, quos Luminaria duo excitant, noncemen- tur diftinfte,fed motumquendammixtum efficient. InLumina- rium Conjunftione vel Oppofitione conjungentur eorum eflfe^us, & componetur fluxus & refluxus maximus. in Quadraturis Sol attollet aquam ubi Luna deprimit , deprimetque ubi Sol attollit ; & ex effeduum difFerentia seftus ommum mmimus orietur. Et quoniam , experientia tefte , major eft efFedus Lunx quam Solis , incidet aqu« maxima altitudo in horam tertiam Lunarem. Ex- tra Syzygias & Quadraturas , rtftus maximus qui fola vi Lnnari inciderc femper deberet in horam tertiam Lunarcm , 8z fola Solari in tertiam Solarem , compofitis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod terti» Lunari propinquius eft ; adeoguc in tranfitu Lunae a Syzygiis ad Quadraturas , ubi hora terria Solaris pr«cedit tertiam Lunarera , maxima aqutc akitudo praifcedet etiani teriiam PRINGIPlAMATHEMATrCA. 39^ ^erti^Lunarem, idque nvudmo intervftU6 pank» poft Ofl^ntes li»ir t-imae ; & paribus intervaUis «ftus maximus fequetur horam ter- TsRxiui, tiamLunarem in tranfituLuna a Quadraturis ad Syxygias. H«c ita funt in Mari apcrto. Nam in oiliis Fluviorum . fluxus ffiajo- res cateris paribus tardius ad «mi»^ venient. Pendent autem efFe6his Luminarium ex eonim diflantiis aTerra. In minoribus enim diftantiis majores funt eorum effeftus , in ma- joribus minores, idque in trjplicata ratiohe diametrorum appa- rentium. Igitur Sol tempore hyberno , in PerigaEo exiftens , ma- jores edit effeftus , efficitque ut aeftus in Syzygis paulo majores ffiit , & in Quadraturis paulo minores (" caetcris paribus ) quam tempore aeftivo ; & Luna in Pcriga^o fingulis meiQfibus majores ciet aeftus quam ante vel poft dies quindccim , ubi in Appgaeo ver- fatur. Unde fit ut aeftus duo omriiHO maximi in Syzygiis con- tinuis fe mutuo non fequantur. . Pendet etiam effeftttt utriufquc Luminaris ex ipfius Decluia- tiane feu diftantia ab iEquatore. Natn fi Luminare in polo con? ititueretur , traheret illud fingulas aqua^ partes conftanter , abfquc aftionis intenfione & remiflSone, adeoque nulkm motus recipro- cationem cieret. Igitur Luminaria recedendo ab aequatore polum verfus., effedhis fuos gradatim amittent , & propterea minores cie* bunt aeftus in Syzygiis Solftitialibus cjuam in iEquinoftialibus. In Quadraturis autem Solftitialibus majores ciebunt aflus quam in Ouadraturis j£quinoAialibus ; eo opod Lunae jam in aequatore conftitutae effeftus maxime fuperat eneftum Solis. Incidunt igi- tur aeftus maximi in Syzygias & minimi in Ouadraturas Lumina- lium, circatempora ^quinoiftii utriufque. Et aeftum maximum in Syzygiis comitatur femper minimus in Quadraturis , ut e^eri- entia compertum eft. Per minorem autem diftantiam Solis a Terra , tempore hybemo quam tempdre aeftivo , fit ut aBftus ma- jdmi & minimi faepius praecedant ^quinoftium vernum quam iequantur , & faepius fequantur autumnale quam praBcedant^ . Pendent etiam efFedus Luminarium ex locorum htitudine. De- fignet jAfEP Tellurem aquis profundis uadique coopertam; C centrum ejus; P, p polos; AE iEquatorem; /Tlocum quemvis extra ^quatorem; Ff parallelum loci; Dd parallelum ei re- ipondentem ex altera parte aBq.uatoris ; L locum quem Luna tri- bus aue haris g^cupabat ; H loeum TcUuiiS ci pCTpendiaakriter fubjedum; 39* PHILOSOPHI^ NATUAALIS AlM ^ fubjefhitti; b locum huic oppofitum; K^ k fcca indegradibos^o s?«e1?« diflantia, CH.Ch Maris altitudines maximas menfuratas a cen- tro Telluris; & CK^ Ck altitudines minimas: & fi axibus Hh^ Kk defcribatur EHipfis, deinde Effipfeos hujus revolutione ch-ca axem majorem Hh defcribatur Sphawrois HTKhfk; defignahit ha^c figuram Maris quam proxime, & erunt CFy Cfy - ^'^ CD , Cd altitudines Maris in locis Fjfy £>, d. Quin- etiam fi in pr^fata EUipfeos revolutione pundhmi quod- vis N delcribat circulum N A/, fecantem parallelos Ffy Dd m locis quibufvis /iy Ty &: SBquatorem AE m S; erit C N altitudo Maris in locis omnibus R^ Sy Tj fitis in hoc circulo. Hinc in revolu-- tione diuma loci cujufvis F^ affluxus erit maximus in F, hora tertia pofi: appulfum Lunse ad Meridianum fupra Horizontem; poftea defluxus maximus in ^ hora tertia pofi: occafum Luna? ; dein affluxus maximus in / hora tertia pofi appulfum Lmue ad Meridianum inira Horizontem ; ultimo defiuxus maxunus in Q^ hora tertia poft ortum Lunai; & affluxus pofterior in/erit mi- nor quam affluxus prior in F. Difiinguitur enim Mare totum in duos omnino fiuous Hemifphsricos , unum in Hemifpha^io KHkCadi Boream vergentem, alterum in Hemifphawio oppo- fito KhkC; quos igitur flu^m Borealem & fludum Auflralem nominare Ucet. Hi fluftus femper fibimutuo oppofiti, veniunt per vices ad Mcridianos locorum fingulorum , interpofito inter- vallo horarum Lunarium duodecim. Cimique regiones Boreales magis participant flu6him Borealem , & Auftrales magis Auftra- lem , inde oriuntur «ftus altemis vicibus majores & minores , in locis fingulis extra aBquatorem, in quibus luminaria oriuntur & occidunt. JEibis autem major , Luna in verticem loci declinante, incidet in horam circiter tertiam poft appulfum Lunae ad Mcri- dianum fupra Horizontem , & Luna decUnationem mutante verte- tur in minorem. Et fluxuum differentia ma:nma incidet in tem- pora Solftitiorum ; praefertim fi Lunae Nodus afcendens verfatur in principio Arietis. Sic experientia compertum eft , quod «flus matutini tempore hybemo fuperent ve^ertinos & vefpcrtinitem- porc PRINCIPIA MATHEMATICA. 391 pore sftivo matutinos, ad Tlyfnathum (jmdem alticudine quafi pe- ^'"^^ dis unius, ad Brifioliamvero altitudine quindecim digitoriim: ob- **^^'"*« fervantibus Co.kfreffto & Sturmio. ... Motus autem hadenus deicripti mutantur aliquantulum per vim illam reciprocationis aquarum , qua Maris sflus . etiam ceuantibus Luminarium adionibus, poflet aliquamdiu perfeverafe. Confeir- , vatio b«cce. motus impieffi minuit difierentiam sf^uum alterno* rum ; & silus proxime poft Syzygias majores reddit', eofque pro- ^iipe poil Qqadraturas mihuit. Unde fit ut aeflus alterni ad *Ph' mMfbumSc Briftoliam non multo magis differant ab invicem quam akitudine pfxii5 Uttiusivel digitorum quindedm $ iitque «fttis om- nium maximi in iifdem portubus i non fint prinu a Syxygih y fed tertii. Retardantur etittb motus omnesJn tranfitu per vada / adeo ut sflusr omnium maximi,,in firetis qiiibufdam & Fluviomm ofliis» fint quarti vel etiam qnimi a Syzy^i Porro fieri poteft ut.aBftuS'|Mropageftur ab Oceano per f^ecadi- verfa ad eundem portum , & citius tran^eat per aliqua freoa i^oam per alia: quo in cafu aeftus idem, in duos vel.plures fucceffive ad- venientes divifus, componere poflit, mptus novos divej^forum ge- nerum. Fingamus sflus duos aeqtiates a diverlls locis in eundem portum venire > quorum prior prscedat alterum fpatio horarum fex« incidatque in horamitertiam ab appulfu Lunae adMeridianum por- tus. Si Luna in hocce fuo ad Meridianum appulfu verfabatur in squatore, venient fingulis horis fenls asquales a£QuxttSj qui inma- tuos refluxiis incidendo eofdem afHuxibus aequabunt . &. fic fpa- tio diei iUius efiicient ut aqua tranquiile flagner. Si Lima tunc declinabat ab \£quatore , fient sflus in Oceano vicibos al* ternis majores & minores , uti diAum efl ; & inde propagabnn- tur in hunc portum afHuxus bini majores & bini minores, vid- bus alternis. Affkixus. ^tem bini majoies compotvnt aquam al- tifiimam in medio tnter utrulnqiae , a6Quxus major & minor ft- ciet uc aqua afcendat ad mediocMcn altitudinem in Medio ipfo- rum , & inter/afRuxusJ)inos mittores aqua afcendet ad altitudi- nem minimam. .,Si & fpatio horarum fex a Mari SiMe/i/i per fireta iila venientes , & fic in honim tertiam & no- xism Lanarem incidentes, componant hujufmodi motus; fitne alia Marium illorum conditio, obfemtionibus vicinorum littorom de* tetminandum relinquo. *^ Hadenus caufas motuum "Lvmse & Marium reddidi. De qaan- titate motnum )am convenit aliqua fubjungere. PROPOSITIO XXV- PROBLEMA Vr. Itivenire vtres S^&s ad perturhandbs motm Luna, Defignet «f Solem, 7* Terram^ T Lunam , T AT) B orbem hutm. hi S^ capiatur S K aequalis ST\ fltque S L iA SK m dnplicata ratibne J* ^ ad «f SP , & i{>fl 7 7* agatur ptraHera L Mi & fi giravitas acceleratrix Terra3 in Solem expooatttr per diflaittiam ST \ei SK , erit S L\ gravitas acceleratrix Luns in Solem. PRINCIPIA MATHEMATICA. m Solem, Ea componiturc ex pambu$ SM. LM3 quarum £ il/ .4? hm% ipfius S M pars T Jlfperturbat mptum Lunae , ut in Libri priov^ TiKxm. Prop. Lxvi: & ejus Corollariis ^xpofitum effi. Quatenus. Terira & Luna circum commune gravitatis. centrum revolvuncur > perturba-- bitur etiam inotus Terrae circa cen^^um illud a viribus coi^fimili- bus; fed futnmas tam viritfm quam motuurh jceferre licetadL^r nam , & lummas virium per U^e^s.ipfts arialogas TM &Mi defignare. Vis M L { in mediocri fua qqantitate ) ,^£1 ad v\vbl cemripetara, qua Luna in Orbe ,fu6 circa Terratn quiefccntem ad diftantiam T T revolvi poflet » in duplicata ratione temporuni periodicotum Lunas circd Terram &"TerraB circa jBplem , CP^' Corol. 17, 9x0^ i^xvi^Lib. L') faoc efl , in dvplicata ratlooe dterum 17. hor. 7, min. 43. ad dies 3<55- ^V\ 6, min. 9,-i ,id eft. ji . ut ' iqoo, ad 178715, feu I ad 1784*. Invenimtis adterii in Propofitione q\iartii quod , ii Terra & Luna circa commune ^ravitatis centrum re- volvantur , earum diftantia mediocris ab invicem erit 60^ femidia- metrorum mediocrium Terras quamproxinie. £t vis qua Lunain Orbe circa Terram quiefcentem , ad diftantiam yTfemidiametro- rum tcrreftrium 607 revolvi poflet , eft ad vini , qua eodem tem- pore ad diftantiam femidiametrorum 60 revolvi pofTet, ut ^o^ad 60 ; & hsc vis ad vim gravitatis apud nos ut i ad 60 x 60 (juamproxime. Ideoque vis mediocris Af Zi eft ad vim gravita* tis in fuperficie Terra, ut i X 6oi,ad 60 X 60X60X17852, feu 1 ad 638o9x, 6. Unde ex proportione linearum TMj ML^ datur etiam vis TMi & h» funt vires Solis quibus Lunae motus per- turbantur. ^E.L PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA VU. Inventre incrementum horartum area quam Luna^ radio ad.Terram du^o^ m.Qrh cfrcgflari defcribi^ ,.-.,». j 11 ■ • . • • • Dudmus areatn. quam Luna radio *d Tertam ducto deicribit, efle t^mpori .propQrtionalem ^ . nifi .quatenus' ' motus Lunaris ab a, hoc ell m data ratione^ adeoqae FAT X A i feu zrtzFKkf, iit ^^f^, id efl, ut EJLv^S^ cbmpofite, »'^^'.°^* ^^ ^ -^ «t fomma omoium viHdm ^ Z tempore coto c Jf impreuatum m Lunam. , atquc adeo eiiam ut Telocitas hac fununa «■ PRINGIPIA MATHEMATICA. 597 lumma genita, id eft,utacceIcratio defcriptionis arex CTP, feu Lhjer , incfementum momenti. Vis qua Luna circa Terram quiefcentem Tertius; ad di(laniiam T^P , tempore fuo periodico C^2)^Cdierum xj. bor.j. min. 45. revolvi poflet , cmceret ut corpus , tempore C2* cadendo» defcriberet longitudinem ^CT, & velocitatem fimul ac, quirerct «qualem velocitati. qua Luna in Orbe fuo movetur.P*- tet hoc per Cprol. 9. Prop. iv. Lib. I. Cum autem perpendicui \\xmKd\vL rPdemiflum fit ipfws EL parstertia, & ipfiurT^?' feu CHL in Oftantibus pars dimidia , vis E L in Oftantibus ; ubi maxima eft , fuperabit vim ML in ratione 5 ad x , adeo- que erit ad vim illam , qua Luna tempore faxj periodico circar Terram quiefcentem revolvi poflet , ut 100 adfX 178711- feii 11915 , & tempore C 7* velocitatem generare deberet quae efleq pars ~77 velocitatis Lunaris, tempore auiem C^ .// velocitatem majorem generaret in ratione C.. qux arese momento mediocri a^aloga eft , addatur & auferatur dimidium velocitatis alierius } & fi momentum mediocre exponaf tur per numerum 1191;, fumma 119 15 -t- ^o , ,feu 11965 cxhil^e- ' bit momentum maximum arez in Syzygia (>f ,. ac diflerentia 1 1 915 — jo feu r 1 865 ejufdem momentum rrrinimum in Quadra- turis. Igitur areae temporibus squalibus in Syzygiis & Qaadra- turis defcriptz, funt ad invicem ut 11 965- ad 11&65:. Admomen" tum minimum 11865 ^ddatur momentum , quod fit ad mbmen* torum di0erentiam 100 ut Trapezium FKCG ad trian^ulum TCG ( vel quod pcrinde eft , ut quadpatunv ^nus 5Pa ad quadratum Radii T.T, id efl^, ut 7* ^ ad T/P ) & fumma exhir bebit momentum.ares , ubi Dnita eft in loco quovis incerme- dioy. H£ec omnia ita fe habent , ex Hypothefi quod Sol & Terra qiai* efcunt, & Luna tempore Synodicb dierum 27. Sor: 7. fHin. 43. re-. volvitur. Cum autcm periodus Synodica Lunaris vere fit die- Dddj- riini' 39* PHILOSOPHIiE NATURALIS pt MuNDirum '29. bor. ii. & «»/«.44.. augeri debent momentoram incretnenta SirsTEMATE in ratione temporis, id ell . in ratione 1080S53 ad loooooo. Hoc pafto incrementum totum , quod erat pars 77—- momenti me- diocris , jam fiet ejufdem pars .•—-- Ideoque momentum are» in Quadratura Lun^E erit ad ejus momentum in Syzygiaut 1 1023 — 50 ad 110x3 + 50, feu. 10973 ad 1 1073 , & ad ejus momentum • ubi Luna iii,alio auovis loeo interm^dio T ver&tur , ut 10973 ad 10973 -<-yi^, exiuente videlicet 7*5? sequali 100. Area igitur , quam Luna radio ad Terram dufto fingolis tempo- ds particuiis squalit^us defcribit , eft ^uam proxime ut fumma nu- meri 119,46 & (inus verfi duplicatae diftantiae Lunae a Quadratura proxima , in circulo cujus radius eft unitas. Hagc ita fe habent ubi Variatio in Odantibus efi: magnitudinis mediocris. Sin Variatio ibi major fit vel minor , augeri debet vel minui Sinus ille verfus in fi fecundum Trajedoriae illius perpendiculum trahatur, defcribit, eft ut attradio direde & qaadratum velocitatis inverfe. Curvaturaslinearumpono eflein- tcr PRINCIPIA ^ATHEMATICA i99 ter fe in uhima proportione Sinuum vel Tangendum «njgutorum J^^>** contatftuum ad radios squates pertinentium ubi radii illi in infini- ^^3*'"** tum diminuuntur. Attraaio autem Luns in Terram in Syzygiis eld exceflus gravitatis ipfius in Terram fupra vim Soiarem %TK {V\- de Figur, fdg-. 394. ) qua gravitas acceleratrix Lunae in Solem fu- pcrat gravitatem ^cceleratricem Terraein Solem. In Quadratu- ris autem attra^o illa eft fumma gravitatis Luns in Terram & vis Solaris KTt qua Luna in Terram trahitur. Et hae attra- fi AT-^cr 17S71V 1000 dicatur N • fune nt 178725 ATq 1000 t I XUUUUVWU4 > uiau^w^b quaXj^ iq Syzygiii hitjir a Tbcr^ y qutini^ 'CTq ^ Af>cA ^"^ proxime; feii ut i^Zjx^ SxCTf — xooo ATqy^CTfk 1787»? N X ATq-^- 1000 CTqXAT. Nam (i gravitas acceleratrix Lunae in Terram ezponatur per numerua» 178715, vis mediocris ML , qu» in Quadraturis eft tPrvel TK & Lunam trahit in Terram , erit 1000, & vis mediocris TM in Syzygiis etit 3000 ; de qua , Hi ^ts^medlocris^ M L fubduc€tfir> manebit vis %6oq iis diftrt- . . . ^ ,.qulinique jam' tn^ nominavi" \ 'PSC. Velo- dlka tnattm Lungg in-Syaygiia Af^ B eft ad ipfiils velociia- tem''an Quadraturis C & 2) , ut CT^ AT& inomentum.' areae qihKn Luni radio 4d Terram duao defcriblt in Sy- zygtis ad momentum ejufdem ares in Quadraturis conjunc- tim ; id eft, ut H073 CT^ad 10973 AT. Sumatur haec ra- tio eis inverfe & ratio prior £emel direfte , & fiet curvatura Orbis Lunaris in Syzygiis ad ejuif- dcra curvaturam in Quadraturis ut 110406719 X 178715 ATqX. C^Tq'i<,ii—ixo^o67i^^%ooo^Tqqy,CTi^ 111611319X17872^5? -/^TfXCyfXN-^-iii^i 1329X1000 CTqqXAT,i.e, ^11151969' ^rxCrxN — 24081 ATeuk 8^1191371 ATXCTXi^-^iiiU Quoniam» ?• PHILOSOPHIiE NATURALIS Pgort Orbis Lunaris ignontur , hujas vice aflhmft- liBCjf^ in cujos centro T^Tcrm coUocetar» & cu- mtjor 2> C Qoadraturis , imnor ^ £ Syiygiis incerja- Cam aatem planum E^pfeos hujos mocu ai^^Iari circa TaxKsi fcvohnitar 9 & Traje^loria cujus curvaturara comiderainus » j^TTni dAet in plano quod omoi motu angulari omnino deffitui- c=x: ccsmderanda erit Figura» quam Luna in EDipfi iUa revolven- d3 ddoribit in hoc plano , hoc efl Figura C/ a , cujus punAa fqgicja / imreniuntur capiendo punflum quodvis ? in EUipii , qaod locum Luns repranentet , & ducendo Tf si^ualem TT^ ea iege at angulus T Tp tequzMs fit motui apparenti Solis a tem- pore Qudraturae Cconfecto; vel ( quod eodon fere recidit) ut asgulus CTp fit ad anguluin Cy**Put tempus revolutib- nis S\iiodicx Lunaris ad tem* KBS feToluti<»is Periodics fe« io«^ix^44\ad ^l"^ ?'' j;}',^ Capntur igituraoguIusCi ^ Ib cndem ntione ad angu- luin i«ftum CTA^ & fit loogitudo Tm a^ualis lon* «todim 7*^; & erit m Apfis imt & C Apfis fumiDit Or- bis hujas C/4. Raii^ocs aatem ineondo invenio quod ' diflferentia inter cumturam Orbis C/ m in vertice m » & carvaturam Circttli centro T intervallo 7* A defcripti . fit ad difilerentiam inier cur* vaturam Ellipfeos in vertice A & cnrvaturam ejufdeor Circuli » in duplicata ratione anguli CTT ad angulom CTp\ & quod cnrvatura Elhpfeos in k^ fit ad curvaturam Circuli illius , in duplicata ratione TA ad TC ; & curvatura Circuli illius ad curvaturam Circuli centro T in- tervaUo TC defcripti ,^ ut TC ad TA \ hujus autem* curvatura ad curvaturam DUpfeos in C» in dnplicata ratione TA ad TC\ & difierentia inter curvaturam EIHpfeos in vertice C & curvaturaffl CircuU neviffimi , ad differentiam inter curvaturam Figarae Tf i kt vertice C & curvaturam ejafdem CircuU» in dupUcata ratione angati PRINGIPIA MATHEMATICA- ,401 an^li CTf ad angulum CTT. Qua quidem rationes ex finubus Liber' angulorum contadusac differentiarumangulorumfacilecolliguntur- T£rtiu«. His autem inter fe coUatis , prodit curvatura FiguraB Cpama ad ipfius curvaturam in C, ut ATcub ^ ^^\ CTqXAT zd CT ^«^ -^^HzzrATq XCT. ubi numerus i^.defignat diflFereniiam quadratorom angulorum CTT ,& CTf applicatam ad quadratum anguli nunoris CTT feu ( quod perinde efl: ) difFerentiam»quadra- toruDS temporum i;^';*'^^', & 29^ ix»>-44' applicatam ad quadra- tum temporis zy^j^ 43'. Igitur cum a 4efignet Syzygiam Luns , &, C ipfius Quadratu- ram > proportio jam inventa eadem efie debetr cum proportione curvaturas Orbis LunaB in Syzygiis ad ejufdem curvaturam in Qua*- draturis, quam fupra invenimus. Proinde ut inv«niatur propor- tio CT zd AT ^ duco extrema & media in fe invicem. Et ter- mini prodeuntes ad y^ 7* X C 2" applicati ,fiunt io6x, 79 CTq^q — 2151^)69 ,N YsCT cub^ 368676 NXu^rxCT'^ -4- 36341 AT^ XCr^ — 36x047 N Xv^5r^XC7:^-xx9i37i N X^JTcub.^ 405 r,4 ^T ,q f it o. Hic pro terminorum AT 8i CT femifiim* maN fcribo i , 5c pro eorundem , femidiflfercfttia ponendo x , fit CT::z i -+- Xy 8c ji T^zz i — x: quibus in «quatione fcriptis , & sgquattottc pi^odeunte refoluta j obtinetur;i; aequalis 0,00719, & inde femidiariieter ^CT* fit i, 00719 , & femidiameter A T o, 99181, qui oumeri funt ujl 70^; & 69,^ quam proxime. Eft: igitur dmantia LunaB a Terra in oy^ygiis ad ipnus diftantiam in Quadraturis ( fe* pofita (clKcet Eccentricitatis confideratione ) ut ;69^'ad 70^^ ,vel numeris rotundis ut 69 ad 70. PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA X. « Invemre Vaniiuinetn . Ltma» • "'■ Oritur h^c inaequafitas partim ex forma EIlipTica orbis Lunaris^ partim ex insqualitate momentorum arez , quam Luna radio ad Tcrram dufto delcribit Si Luna f in Ellipifi 'DBCA circa Terram in centro Ellipfeos quiefcentem; moveretur , & radio T 2* ad Terram dufto defcriberet ' aream ^TT^ tempbtr proportiona- lem j eflet autem Ellipfeos femidiameter maxima ' C T sfd feroi- «liametrum minimam T A mi 70 ad 6^ : foret tangens anguli CTT ad tangentem anguli mo.tus medii a Quadratura Ccompu- tati , ut Ellipfeos femidiameter ?^ ad eiufdemfemidiametrum Eee TQ 40» PHILOSOPHIiE NATURALIS \ I ! i' Pt MuHPi TCfen^^ ad 70. Debet Mtem dcfcriptio are« CTP^ in pro- &ysT£MAT£ greflu Lnn» a Qoadratura ad Syzygiam i ea ratione accelerari, nt ejus momeiitum in Syzygia llunae fit ad ejus momentun in Quadratura ut 1107^ ad 10973, mque exceflbs momenti inlooo quovis intermedio *P fupra momentum in Quadratura fit ut qua- dratum finus afnguli CTT. M quod fatis accurate fiet, fi tan- . gens angttti CT^ diminuatur in fubduplicata ratiotte nnmeri 10973 ^d numerum i<<3739 id eft> in ratione' njumeri 69»i$S77 ad numerum 69. Quo paao tangens anguli C7? jam e- rit ad tangentem motttsme^ dii ut 6$t6&77 ad 70 , & an- gultts CT^P in Odantibus , tibi mottts meditts eft 451*' invenietur 44.«*' %f. 28\ qui fobdaAus de angolo motns nedii 45.«'- reKn^oit Varia- tionem masimam 321 32^^. Haec ita fe haberent fi Luna , pergendo a Qttadratttra ad ' Syzygiam, defcriberet anga- Ittm C TA gradttttm tantttm Booagittta. Verum d^ mo" tum TTerr®, qno Sol in con- ieqtte&tia motu ' a^parente transfertttr , Lttna , prittfqttam S(^m afiequitur , defcribtt angttlum CTa afigulo tz&x> majorem m rarimie temj^ns rey»> luticmis Lunaris Synodicae ad tempus revoltttionis Periodics, id eft, in ratione 29^ \%K 441 «d 17^ .7^.43'. £t hoc pa^ angu- fi; omnes circa centrum T dilatantur in eadem ratione , & Varia- fiio maxima qus fecus efiet 32^ 52'', iam vo^ in eadem ratione H£c eft ejtts magnitudo in mediocri dilu&tia, SoUs a Terra, segTedis di0erentiis qus a curvaiura- Orbis magni majoriqoe So- fis aftione int Lunanv fiikatam & novam quam in gibbofitm & ptenam » oriri . pofBa^. in aliis diAantiis Sc4is a Terra » Variatio maxima eil in ratione qua componitur ex duplicata ratione tem- ris revolttitottis- Synomcee Lunaris (dato anni tempore) direfie, tupUcatja: latiooe di^Uatid& SoIi& a Terra invexfet Hdeoqtte in Apogso PRrNCIPlA MATHEMATICA. ^i ApogBio Sdis > Viriatio ntaiim.dft a*. i4'y &'.in ejac V^sw^ LfskR 57'. ix", fimDdo Eccentricitas ^lis fit «d Orbb mtgtu fe;mi$t-Ts&ct«i^ metram tniifveif«m iit lijl ad 1000. Hadenos Variatiooem invefiigavimns in Orbe non ecGentrico^ in quo oti(rae>Luna in 0£taittibnsfois.femper efl; in mediocci iua diftantia-a Tjerra. Si Luna propt^ ieccemricitatem fuam , vda^ vel minus dsflat a.Terra quam ii locaretur in hoc Orbe, Varia- tio paulo major efTe poteft vel panlo minor quam pro Regula hic aJlata^ -fed ezceiTum vel defe&im 2b Aftronomis per Phsnomena detenBinandum rcUnquo. V jp|<.OPOSITIO XXX. PROBLEMA XI. ■-■-■• •^•- . ... Ittvenire' ^oium, borarium Nodorum Luna in Orbe circulari, Defignet i^^^em,TTcrram,y Lunam, N^P n Orbem Lun«> 2sr/« veftigidi&OTt^in;ftoQ'1£clipticas; A^jsNodos, nTNm ■ff f , U \ \ \ l lineam Nodorum infinite produaam iVI,TK perpcndicnla de- miffk in lineas ST, §iq ; "Pp perpcndiculum demiffum in pwnjn^ Eec 1. Eclip- 40*- pmtosmmM NATURAiirs* De-MTODi Ecltptkae j \^, ar bQuadratupas 'Luna. in piano Ecliptlcse.) • & / ^ SxsTEMATE perpendiculum iwAixieam^q Quadraturis interjacentem.. Vi& Solis ad perturbandum motum Lunae (perProp. xxv.)dttplex-efl»^: akera Unes L M,. altera Knes ^/7' proportionalis. £t Luna vi priore in Terram r pofteviore in Solem fecundum:lineam reds S T a Terra ad Solem diidat parallelam trahitur. Vis prior 1« Af a^t fecundiun planum ofbis Lunaris, & propcecea fitum plani nilmu- tat. . Hsc igitur negligenda efh Vis pofterior MTi^a- planiun Qrbis Lunaris perturbatuc eadem efl cum vi iTK re\.3.JT £c. b$c vis C per Prop. xxv. ) eft ad vim qua. Lona in drculo circa » ■ 0 ^ *. i. / Tefram> q^iiefcentem t^^inpore, -fiio periodico unifbrmiter reToIvi poiTet y. ut 3 / 7* ad Radium circuli muItipEcatum per numemm 1 78^715 . five ut / 7* adi Radium muftiplicatum per 59,^75-. Cate- rum in ho6 calculo & eo omni quVfequitur, confidero lineas om- nes a Luna a(l>SoIem diiAas tanquam parallelas linex qus a Terra ad Solem ducitur , propterea qflod inclinatio tantum fere minuic effeAus omnes in aliquibus cafibus , quantum auget in aliis : & Nodorum motus mediocres quaerimus , negle6lis imufmodi minu- ^is, qucB caK^ulam nimis impeditum redderenc*. Dt- MATHEMATICA. 4^5^ Defigoet jflm ^^arcum; quem Luna dato remporq quamr i^ib^eii minimo defcribit , & ML lineolam quam Luna . impellente vi Tertius. prsfata 3 ITy eodem tempore defcribere poflet. Jungantur y Zi , MT , & producantur eas ad w & /, ubi fecent planum Eclipticae i inque Tm demittatur perpendiculum "PH. Er quoniam re^a ML parallela eft plano Eclipticas , ideoque cum reaa mi qux in plano illo )acet concurrere non poteft , & tamen jacent hae redas in pla- no communi LMTmi\ parallels erunt ha» redas, &propterea fi« milia erunt triangula LMT^ Lmp. Jam cum MTm fir in pla^' no Orbis, in quo Luna in loco P movebatur, incidet punfium m' in lineam Mn per Orbis iilius Nodos iST, n dudam. ' Et quoniam vis qua lineola JLilf generatur> fi tota fimul & femel in loco T im- prefTa efTet , efiiceret ut Luna moveretur in arcu , cujus chorda. efler L^ ^ atque adeo transferret Lunam de plano MTmTxxi pla- num L^IT\ motus angularis Nodorum a vi iila genitiis , aequalis erit angulo mTL Eft autem «»./ ad «y ut Af Z ^d MT 9 adeo* que cum MT ob datum. tempus data fit » eAml ut re(^angulum' MLXmT s id efl:\ ut reftangulum ITXm9^. Et angulus f»Tl, fi modo atigutus Tml reAus fit, efi ut ^* & propterea ut JTy.Ttn ^ jjj gft ^ ^ qIj pf oportionales Tm&mT^TT &TH)vit jL m "^ ^^^>o^* ade«que d? datam TT , ut ITx T H. Quod fi angulos T ml^ (euSTN dbUqiius fit , erit angulus m Tl adliuc minor , in ratione finus anguli J 7* iVT ad Radium. Eft igjtur velo- citas Nbdorujn ut IT>c.TIfy.AZi five ut contentum lub finubus triura angulorum r P /, TTN &,STN: Si anguli illi > Nodis in Qiiadrajpuris & Luna in Syzygia exifien- tibus , reAi fint , . lineola m t abibit in infi^nitum , & angulus mT l evadet angulo m7* l squalisi. Hoc autem in cafu, angulus mTl eft ad angulum T TM ,. quem Luna* eodem tempore motu fuo ap* parente circa Terram defcribit ut i ad 59, 575-. Nam angulus mTl aBqualis eft angulo LTM, id eft , angulo deftexionis Lunae a refto tramitc , quem fola vis prsefata Solaris 3 IT G tum cefla*- ret Luns gravitas dato illo tempore generare poflet ; & angulu9 5PTM eequalis eft angulo deflexionis Lunae a refto tramite, quem vis illa , qua Luna in Orbe fuo retinetur ., fi tum ceflaret vis Sola- sis 3 / r eodem tempore generaret. Et hse vires , ut fupra dixi- Eee 3- tDXis^ ¥^ PHfLOSOPHI^ NATURALIS DKMtfam j foK «d iavicciii «t I ad^Q.f 7^. Efgo 6»» motB$ aedioslio- nrnsLmic ( leipeda fixftnmi ) fit 3». ^^^^ *7'". u^f , JBotas bo- xwiiis Nodi in hoc crfn erit 3 3' • 10". 33„7- "'• Al»s autem in ca- fibnsiDotos ifte bomius critad 23 . lo .33"- 1*'- «t contentom ^^nabQS tngalonioi trimn TTU TTN, & SrNQfeajmtnr nanm Lmat a Qtttdracam , Lumb a^Nodo , & Nodi a Sole ) ad oabam Rtdil £t qaoties £^um angali aiicojas de affirmadvo In neeattram, deque negatiyo in affirmiativttm motatnc» debdbk mo- m leneflivos in pcogreflivam &.progreiIivas in cegreffivnm mu- t«rL Unde fit nt Nodi progrediantnr quoties Lnna inier Qoa- diaiuram aUerutram & Nodom Qaadratnrs prmdmom .veifatiir. Aliis in cafibus tegrediuntur , & pcr exceffum regrefliis fnpra pro- gceirntn, fingulis menfibus fieruntur in antecedentia. Corol. I Hinc fi a dati ascus quam miniim ¥ M terminis ? & il/ad lineam Quadraturas jnngeqtem ^f demittantnr perpendi- cula T K, Mky eademque producantur donec fecent Uneam Nodorum ^ » in S9 & 4/ ; erit motus horarius Nodorum nt area MTT) d &. quadratum lineae ^^.conjundtim. Snnto enim y>Ki VHScJZ praediai tres fiwis. Nempe TKGm$ diftaa- cie Lnnae a Qoadratura, SP H finus diftantiae LttHs a Nodo, & jfZ fiaus difiantiae Nodi a Sole: & erit velocitas Nodi ut con- tcntum 7*KX¥HXJZ. Eft autem ? rad TK ut TM ad Kk, adeoque ob datas TT & TM cA Kk ipdTK proportionatis. Eft & ^rad y 2) ut ^Z ad P/f , & proptcrca ¥H reaangolo ¥7)XJZ ipkikcipia; UArm.UAtiCA, ioy 5*2)X- 2) K JJ^, di y iRr K 5?» fl^X- -^Zufc ^»^««*' Kk>^¥'D^jiZquAd^& , ut aroi 1P7)JM & AZ qu.Gi^\ymr aim. §.\B.2). Cdro/. X. .In data quavis Nodorum pofitiop^ , motus hor«-ius mediocris eft femiifis motus fiofarii in Syzygiis^ Luhffi , ideoque eft «d 16*. ^5'*'. 16*'; 56'. Ut quWatum fiuus cuftantiaB Nodorum a Sy- zygjis ad quadratnm Radii \ five tt A.Z. qu. ad ATju. Nam fi Luna nhifohni chm motu peratnbulet femicirculum ^A q^, fum* na omninm a^arum T*DdM , quo tempore Luna pergit a ^ad Mi «rkarea §;3f '^eam, ? lidM ia Syzvgiis df^ptftm ) «t AZ quJ cbir stiikftk mch tus miediocris ut AZqu. atqua adeo hic motus, ubi Nbdi^ eiitm< QvMdratum verfantji^i: , crit^id. tC %f^ i&f^i^l, ot' AZqu. ad •Atqu^ §.E.^,, ' .. < . ■ ■ l ''\. ." ^'- " 4of FHILOSaPHI-E NATURALIS PaOPOSITIO TTYT PROBLEMAXn. hararmm Nidtrmm Ltoue m Orbe EUtptici. ct ^mxf Opai, mnnioceg^f, iiiinoK4^ de- r ^^x Clnrnlais ca.muilLi ipc lun » 7~Tcmni in ntriofqiie , J Sclan, / Limcm in Eifipfi aocania &/» ar- cTxni ^ucTH «sbs. sn^ocs paxticuia qicun nificaadelcribitj AT&f smlx d^ lanc iat£e ycoJuicU» daaccoccnznKCicc^inP&il/, ■ i fc ■ .>< Ww c» & lioeae Nodcmim in © & ^, Et fi Lont , ndio «d Terrtm dn- «o , tream «efonbat tempori proportionalem , crit motns Nodi in JLliipu ut txtkPlJdm, •. ^*"^ £?/ '•"«*t.S'*?"l"" *" ^ » &i>rodafta occnrrat TN mF, &//ttngitEmpfinin/ & produai occniTat.eidem TN m PM^anH MATHEOMATICA. 409,. dum . defcribit ^cum PJM^, urgente &; impellente yi pr^difta' j/T', motu tf anfvetf^ defcrJbere poflet, ;% «r/ defig^ot foatiiim quodLutta in Ellipfi revolvens eqdem tenipbrc, ufgeny raam Vi aj/T» defcribere polfet $ & produGantur LPStlp donec odoirrant piano Eclipticae in G & ^ j & jungantnr FG Scfg,' qtiarum FCr- pFodufta fecet ^/, pg Sc T§im Cy e &: R refpeftive, &/^ pro- dufta fecet 7^in r: Quonianr vis-^/rfeu 3 fAT in Circulo eft ad vim ?/Tfeu 5 />^ in Elfipfi,. ut i»/f adp/ir, feu y^Tad' tf Tj' erit l^^atium Af L vi rariore gemtutn, ad im.xi\mi\ml vi po* fteriore genitum, ut Pk AdpK, id eft, ol) fimile^ ftttira$, Pr/r* ScFTRc, ut F/^adVi?;- EttafUtefn-ArjL ad-/?(? (dB fimina triangula PL/t/, PGF) ut'FL atf.PG, hbc d! (oB parallelas Lk,TK,GR) tit//adpf, idjefl, (qb fimilia trians gula/i/«», f/>f) ut /w ad cey & inverfe ut £,Af eftad /«», . feii FR ad ri^, ita eft FG ad ce\ Et propterra fifg eflet ad rr ut fri&cY, id efi, ut /r ad r /? ' '. .• /:.. ■ ^ : ** : i-'.- .;'.'. :'.:! \ &/?!' aa/jF!P>*bocfv«A ;:4tt;4^l>4d .J^'#aB.2]fcfi Moitsifte^x' pardpoftiQnafis fit' motui Nodoruin ia Circulo» ^ atea' SYsnuATi pcioj. propcntionaiismotiiiNodorumiiiElfipfl . S.£.A Cer^J. Igitur cum, in dataNodonmipoiiuone) funmiaoinniuffl ^j^itun pDdm% quo tempsore Luna pergit aQuadratura ad io- cum quemvis «i, nt zitimf§lEdy quae ad Elllipfeos tangentem §tB terminatur ; & fumma omnium arearum illarum , in revblu- tione integra, fit area EJlipfeos totius : motusmediocrisNodorum in EUipfi erit ad motum mediocrem Nodorum in Circulo, utEl- lipfis ad Circulum; id eft, ut Ta ad jT^, feu 69 ad 70. Et propterea , cum motus mediocris horarius Nodorum in Circulo fit ad 16". 35". iO\ 36^ ut AZqu. ad ATqu. fi capiatur angu- lus i6^ 2t"\ 3»\ 30^ adangulum 16". 35'". 16^36^ ,ut 69^^70, erit motus mediocris horarius Nodorum in EUipfi ad 1 6" 2 »"'. i'\ 3o\ ut AZq ad ATq\ hoceftt ut quadratum fmus diftantiae Nodi a Sole adquadratumRadii. Caterum Luna., radio adTerramdufto, areamvelociusdefcri- bit in Syzygiis quamin Quadraturis, J&c eo nomine tempus inSy- zygiis contrahitur , in Quadraturis producitur ; & una cum tem- pore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem mo- mentum are« in Quadraturis Limaj ad ejus momentum in Syzygiis ut 10973 ad 11073, & propterea momentummediocreinOaan- tibuseft adexcefluminSyzygiis, dcfe6himqueinQuadraturis, ut numerorum femifumma 11023 adeorundemfemidifferentiam^o. Unde cum tempus Luns in fmguHs Orbis particulis aBquaUbus fit reciproce ut ipfius velocitas, erit tempus mediocre inOftantibus ad exceflum temporis in Quadraturis , acdefeftuminSyzygiis, ab hac caufa oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. ' Pergendo autem a Quadraturis ad Sy2.ygias , invcnio quod excefliis momen*^ torum arcffi in locis fingulis , fupra momentum minimnm in Qua- draturis^ fit ut quadratum finus diftantiaB Lunae a Quadraturis quam proxime ; & propterea differentia inter momentum in loco quocumque & momentum mediocre in O^antibus , eft ut dific* rentia inter quadratum finus diftantiae Lunae a Quadraturis & ^uadntum fmus gradumn 45 9 feu femiflem quadrati Radii ; & incrementum temporis in locis fingulis inter Odantes & Quadra- turas, ^decrementum ejus inter O^lantes & Syaygias, eft in ea«- dem ratione. Motus autem Nodorum, quo tempdre Ltma per-* currit fingjolas Orbis pardculAsaBouales» apceterator ^velretardatur m duplicata latione temponi. Eft^eaini iiotus iftir» 4iaii Luna PRINCIPIA MATHEMATICA. 411 percurrit PMj ( caeteris . paribus ) ut ML^ & ML eftin dupli- u%%^ cata ratione temporis.. Quare oiotus Nodprum in Syzygjis, eo ^*"!"?' tempore confeftus quo Luna datasOrbis particulas percurrit, di- imnuitur iii dtlplicau xatione/mimeri 1 KX73 ad humemm 1 1023 » eftque decrementum ad mottmi reliquumut 100 ad 10975, ad motum yero totum ut 100 ad 11073, quam prpxime. Decre- mentum autem in locis inter OSantes & Syzygias , & incremen- tum in locis inter Qftantes & Quadraturas , eft quam proxime ad* hoc decrementum , ut motus totus in locis illis ad motum totum in Syzygiis & differentia inter quadratum finui diftantiae Luna* a Quadratura & femiflem quadrati Radii ad femiffem quadrati Ra- dn, conjundim. Unde n Nodi in Quadraturis verfentur, & ca- piantur loca duo aequaliter ab Odante hinc inde diftantia , &alia duo a Syzygia & Quadratura iifdem intervallis diftantia » dequtf decrementis motuum in locis duobus inter Syzyg^am & Oftantemi lubducahtur incrementa motuum in lods reliquis duobus-, quae funt inter Oftantem & Quadraturam ; decrementum reliquum asquale erit decremento in Syzygia : uti rationem ineunti tacile conftabit. Proindeque decrementtim mediocre, quod de Nodo- rum motu mediocri fubdijci debet , eft pars quarta decrementi in Syzygia. Motus totus horarius Nodorum in Syzygiis(ubi Luna radio ad Terram dufto aream tempori proportionalem defcribere fupponebatur (erat 32". 41'". f\ Et decrementum motusNodo- rum, quo te;tipore Luna jam velocior defcribit idem fpatium, diximus efle^ad hunc motum ut 100 ad 11073 ; adeoque decre- mentum illud eft 17'". ^f^. ii% cujus pars quarta +'". 15^ 48^ motui horano mediocri fuperius invento 1 6*. 2 1'*'. 3*^ 30^ fub- dufta, relinauit i5*. 16*^. j;^ 42^. motum mediocrem horarium correftum. \ Si Nodi verfi^ntur extra Quadraturas , & fpeftentur loca bina a Syzygds hinc inde aequaliter difbntia 5 fumma motuum Nodo- rum , ubi Luna verTatur in his locis , erit ad fummam mptuum , ubi Lunain iifdemlocis& Nodi in Quadraturis verfantur, ut ^d^qu\ ^d jiTqu. fLt decrementa momum , a caufis jam expo- fitis oriunda, erijntad in^acemutipfi motus jt adeoque motus reH-; qui erum ad iovicem VLt /IZqtf.j^d ATfU.,&: motus mediocres. ut motus reliqui. ' Eft litaque ipotus.mediocris horarius cprreftus,» in datoquocunqueNodorumfitu, ad i6\x6'". 37^42^11^4^4«. ad Afq^i id ell, ut quadratum finus diftantis NQdprum a Sff- xwis-ad qwadijftnim Ra^ijiv^ '^' . _ - 4is PHILOSOTHliE NATURikUS 4 < * 1' ( *^ ss.Wt. . pROPOSITIO XXXn. PROBLEMA XID. ^ • Invmrt mtum medkm Nothtim Lmut, r • - •- • »•• • • , Motus m^dius ajmuus eft fumma mot\junj.otntuum horariorum ipediocrium iu anno. Concipe Nodum Veffari m Ny & .fingulis horis completis retrahi in locum fuum pripf em , ut non obf&rite motu fuo, proprio , datum femper fefvet fitilrti ad Stellas Fixas. Interea yero Solem 4$*, per motum Terrae*, progredi a Nodo, & curfum annuum apparentem uniformiter coipplere. Sit autem ./i i« arciis datus quam minimus., quem refta TS" ad Solem femper duj^a^ interfe^one fiii& circuli i(V^»,.dafo tempore quam mi- iiiiho defcribk: (&:-motus.horarius mediofris (per jam oftenfa) erit ut AZq^ id eft.(ob proportionales ^ AZ^ ZT) ut redan- gulUpifub AZ8c ZTy hoc eft ut area AZTa. Et fumma om- nhim horarioryfn motuum mediocrium ab initio, ut fumma om- zuum areanuB aTZA^ id eft, ut ziC2iNAZ. £ft autemmasima jfZTa «qualis reflangulofub arc« jia& radio circufi; &proi>- lerea iTjmma cmnium reaangulorum in circulo toto ad fumftKmi totidem masdmorum, ut area circuli totius ad redanculuitt Ibb circumfefentia wrius, reftangulo fnaximo refpondefts, erat i*^". t^"' 3f\ 4,1» Ex hic motufi, «ino toto fidereo dierum 365. hor. 4. i»m. •. fit diffli! ' " tus PRINDIPt A IVrATHEMATXCA. 413 tus- 9ie^Q$-N0dontift cii^cudio tpti 'Mpandens. £t motiB No^o- imk runj f quo tjempore Sol pccgit -ab AT nd ^ , eft^^ ad 1« «f 49' . 3". 5 5 • ". t«»*w«' Mtarea Ar^J?.ad.ckiciuiimtQtutt... ^ ..r^ti.' : Httc ita fe habent, )eK.HjpQt^efi:qim4>NddiB hcsis At^guffis iti l^cuin pribreiB retrafaitttr , .fie iit Boi an^ci toto eromideto 'ad':^!^' du)A leunLdem redeat < a qtio. fubiiiitib digrdfTusr d^rkr/ V^um f)€r motum Nodt fit ut Sol . dtins ad Nodiim zv^eswxsf, & :^m{Hy- taiida. jam eft abbreviatio temporls. Cum SE^aah& toto ««si^idt 360 grsidUs, &NQdus mocu iimimo .eodcni tem^ore cx^i&er^t 39 «'" 5*!. 7". 5«>"'> feu ■39.* culam,. ii.drculns una.cum Nodis.cirGa cfentrum ^ revolvatttf^ redpcoce ut 9,o«tr<54tf ATq ad 9,0*1 7^4« ATq-\- ZAq ^Nam tempus eft reciproce ut velodtas qua particula percurritur, & haec vdocitas ell ftunma velbcitatum SoJis &: Nodi. Igitur fi tem*- pus, quo Sol abfque motu Nodi percurreret arcum /(Tyf , tiqpo- natur perSeftorem NTA^ & particulatemporis quo percurreret arcum quam miniraum Aa, exponatur per Seftoris particulam ATa\ &:j(perpendiculo. qua U< ad Jori^tudmem AZutAZq ad ^yiO^yA^sATq+yfZq. Sjc cnim reftafigulum if Z^ in ZTent ad aream J4Zi « iit decren^en* tuffi temiKA-is quo arcus Ad percurritur, ad tenimis totmh quA percurrerettirfiNbdusquiefceret: JltproDterea r^cferigulain iua^ *e^ndfebit decr^ento iridtus N6di. Et fi punftum* teuigat Fff3 Curvam 414 PHILOSOPHIJE N ATUR ALIS DiMmozCufvam NtFti^, area tota NeZyCfm famiBa eftoomitimdecre' svTiMATk juentorum y rQ^ndebit ^ecrdoietito toti , i|uo temporewetB ^ N percurritur ; & area reliqua NAv refpoiidebitxhocuireliquo, qm verus eft Nodi mdtii^^^ tehipbre arcus totos N'A^ pte $olis& Nodi cofqtttt£h» motus, percurritnr. . Jani vero area iemidrcuK eft ad aream F^urs Ne Fn Ty per methodum Serierum infimta- rum quseiitam I ut 79; ad 60 quamproxime. . Motusiutem qm xefpondet CbtcuIo tbti erat 19*'- 49'. j". 55'"; &prdpterea.motus qui Figurae NeFnT du|^oats rc^dndet j eii iF^ 49'. 58'. %'". Qui de mbtu priore fubdu^his reluKniit 1%^' 19'. 5". ^i'". motum totum Nodi inter fui ipfius Conjunaiones cum Sole ; & hic mo- tus de-Solis motuannuo gradnum.j^ofubdufhi^, reUnquit }4i<'- 40'. 5 4". 7'". motum Solis iuter eafdem Conjuh^ones. Ifte au- tem motus eft ad motum annuum ^60 >^* ut Nodi motus jam in- ' ventu^ 1 8^' 1 9'. 5 ". 5 j"'. ad ipfms motum annuum , qui propterea Wt 19*^ *8'. I*'. jj*. Hic eft motus medius Nodorum in anno Sldereo. JdemperTabuIasAftronomicaseft 19«^- 21'. 21*. 50'. Diflbrentia minor eft parce trecenteiima motus totius, & ab Or- bis Lunaris Eccentricitate & Indinatione ad planum Ecliptics oriri videtur. Per Eccentricitatem Orbis motus Nodbrumnimis accekratur , & jper ejus Inclinatioiiem' viciftim retardatur atiquan- tulum, & ad juftam velocitatem reducitur • • PROPOSITIO XXXm. PROBLEMAXIV. Imeme motum 'verum Nodorum Lun^, * » In tempore qnod eft ut area NTA~ NdZ^ {in Bg. pr^ced.) motus ifte eii \it area NjHeN^ & inde datur . Verum ob nimiam calculi difticultatem', praeftat fequentem Problematis conftruoio- nem adhibere. Centro C, intervallo quovis C2>, deforibatur circulus BEFD. Producatur DC ^ /i^ Mt fk AB zd AC ut motus meditts ad femifTem motus veri mediocris, ubi Nodi funt in Quadraturis, (id eft, ut r^v- %%', r". »3*. ad 19«'- 49'. 5". 55",^ atque adeo BC tA AC \A motuum di^rentia x>»- 3»'. %'. j i* , ad mptumr poflmorem 19 «^ 49'. 3'. 55". ( hoc efi , ut z ad 3 8J^ dein per pun^um D ducatur inftnita Gg , qus tangat circulum in 2); & ft capiatur angulns BCE, vel BCF aequalis dupl» diflantis Solis a loco Nqdi| per.mocummedium invento; -•/•; * •• •:V; ■& PRINCIFIA MATHEMAtlCA. kif & agatur jtE vel AF fecans perpendiculum DGmG- & ca- piatur angufas -0111 f,t ad imotiflii totum .NtJdi inter ipfius Syzy- &3S (id eil, ad 9«-^ 11'. 3-.) ut tangens DG ad circuU BED orcB^ejipam totam ; atque anpaus ifte ^o^uo angnhis PAG tifurpan poteft) ad n^otum meaTum Nodoram addatSr ubi Nodi • ■ • • « tranfeunt 'a Ouadraturis ad Sy^ygias , & ab eodem motu medio fubducatur ubi tranfeunt a Syzygiis ad Quadraturas, habebitur eorum motus verus. Nam motus verus fic inventus congruet quam proxime cum motu vero qui prodit exponendo tempus per aream NTJ—NdZ, & motum Nodi per aream iV>f«iV; ut rem perpendenti & computationes ii^tuenti conftabit. Hgec eft aequatio femeftrls motus Nodortun. Eft & aequatio menftrua , fed quae ^d inventiohem Latitudinis Lun9 minime necefiaria eft. Nam cum Variatio IncUnationis Orbis L\marisadplanum^lipiic«4u- pKci inaequalitati obnoxia fit , irfteri femeftn, alteri autem men- ftruap ; hujus menftrua inaequalitas & aequatio menftruaNodorum ita fe mutuo contemperant & corrigont, ui ambae in determinan- da Latitudine Lunse negligi poflSnt. Coref. Ex bac & pracedente Propofitione Kquet quod Nodi in Syzy^ fnfe quiefcunt, in Quadraturis autem regrediuntur motu horario 16*. 19'". 26'*. Et quod aequatio motus Nodorum m Odantibu^ fit 1 v- jo*. Quae omnia cum Phaenomenis c»TpmKiK probe qoadiraiu:. • * . . • - 1 PRO- 41 6 PHILPSOPHI^ NATURALTff Df Mont Ststihatb r • T. « ^ PROPosiTio XXXIV. probi;ema xy: Inveme f^matumem borarUm Imlmadoiis Oi\ni imam ^adplahumEcU^tka\'' dos; F lobom Lun^ in Qrhe fuo; f vemgiiim lod illius in plano Ex:]iptics,i& ixrT/ mo^Mni momeoi^euni Nodorum ut fupra. £t u ad lineam 71»!^ demittatiup perpendTcDhim^G, juQgatur ^ G, & producatur ea donec occurrat Tl m^r& iungatuf ^am P^: erit angulus F <7/>. kiclinatio j>rbis l^imaris adplanum Eclipticas^ ubi Lnna verfatxir in P ; & angulus Pgp IncUnatiiircitifdcm poft momentum temporis completum ; adeoque angulus GPg Variauo momentanea laclinationis. Eft autem hic angulus G Pf ad an- gulum G Tgy ut TQ adPG & Pp ad PG conjunftim. Et prop- terea ii pro momento temporis fubftituatur hora; cum angulus eiT£.(\pet Propofit. XKS.3 (it ad angulum 33'. io*'\ ^x^*. ut horaria Variatio) ad angulum Jj' »o", ^3%Tit::(^4ZXZG'^^*"*»*" Haec ita fe habenf ex Hypothpfi quodJLuna in Ojrbe.rGirculwi imifonnitCT gyratur. Quod fi Orbis ille Ellipticus frt^ /motus roo- diocris Nodorum minuetur in ratione axis minorisad axemmajo- rem; uti fupr^ expofitum cft: JEt-.in .($adem rationft^minuetur etiam Inclinationis V ariatio. ^ Cwtf/..!. Si ad j^» erigatur perpendiculum JF, , fitq^e ^ ,A/ 'motiis liorariusLuiiffi in plano Elclipacce \ & perpendicula^ K , Af ^ in ^T demifla & utrinque ,produfta occurrant T i^ in M &4u' erit iT* ad AT ut /Tife ad Mp, & 7(5 ad H^ut. TiT.ad y^r, ideoque ITxTG aequale ^A>i^2i5[?, iiecjeft, jBqu^4i?e« H^Mh duftae in rationem r^: & propterealnclinationis Vafif- tiohorariaad 33", 10", 33'% \xt ffpMb da&zm AZX^X ^ ad-^^* «^. 0>r«/. 2. Ideoque fi Terra & Nodi fingulis horis completis re- traherentur i locis fuis novis, & in loca priora ininflanti femper reducerentur , ut fitus eorum , per menfem integrum periodicum , MoHsi eft (cum Pp fit ad PG vx finus IncIinaticMus prae;di^ ad n- dium, & f^^ fit ad 4 -<^T ut linus duplicati anguli -<^Z<,-a t, ^ REf+iECx BH= 1 1, Cy<:yiB :+2.ECx.BH^t E Oi/fH, Ideioqtie cnm i £C detur, eil G EqVit jJH. pefignet jam jiEg dtiplicitani diihAtiiam Nbdonim' i Qnadraturis.'poit datumaU- quod momentum tempoiis completum, & arcits Gg^ ob (Utum TiRTtcfS. • ^ l ' 'k Tl 'I ■! : j ^ . • r * r angvrfam GRg^ erit tit diflantia G£.' Eft autem M ad ^^/ ut G'£^ ad GC, & propterei i/A eft ut contetituni GHxGg {eiiGii:s gegHggoteit - •: ,s. » i \: •; . .'.' • • .: ..•; •-. rv ; ' ■... ■ ' ./. >-•: : r.' ^. molzaum Lunayium coir^^utatiQnibus ofteridere volui quod motus Lunares , per Theoriam Gravitatis > a caufis fuis cpm- . putari ' pofli|[|it-^ ^ P^ ^aadenji Thf onam inveni pr^terea Uo ejus, idqu^ in triplicata raticme diftantiaeTerraaaSdeinyerfe-^ Et inde oriuntur iEquationes Annua^ horum motuum iEquadonr centri Solis proportionales. Motusautem SoKs eftin duplicala rauone diftantia& Terras a Soleinverfe, &maximacentriiEquati(i quam haec ijnaequalitas generat, eft i»'* 56'. 26" praediftae Solis Eccentricitatj i6|J x:ongniens. Quod fi motus Sc^ eflet; in tri^ pficata ratione diftantiae inverfe^ haec inaBqualitasjgeneraret iEqua- uonem maximani i**- 54'. 9". lEt propterea iEquationes maxi-» mae. quas inaBquaKtates motuum! Apogaei & Nodorum Lunae genc- --ant, fun^ ad;2»'' 56'. 9^", ut motus medius diumusApogaBi & motus medius diurnus Nodorum Lunae funt ad^^motummedium diurnum Sofis. Uride prodit iEquatio. maxima medii motus Apogaei^ 19^. 52'/: &'i£qi^atio maxitm medii motus ' NodominT o^, . a 7 \ Additur yerp iEquatio parior & fubducitur ppfterior^ ubi Terra pergit , a,Periheiio fuaad AjAieliupa. : . 5Lconti:«iwB..fiti*' PBpQf^ay.Orbiff.p^ :}, ^,.^: : j . . .^ /• •: ;. ..: ^!,: . 0 . ^ ' Ggg 3 ^ Per • * V 4ii PHPt6SOPHIiB-^ATURALIS DtMoNBt. Per TTieQriam GravitatB conftitit ctiam qaod a6lio Solis sy«timat» Lunam paulo jnajor fit ubi trajifverfa diametec Orbis tranfit per Solem, auam ubi eadem acentro D agatur TcAa DE verfus Apogsum Luna^, feu redae TC paralfela, & capiatur angulus £0 /«* aequitijis excdOal Argu- tDend 434 /PHILOSQPHIiE NATORrALIfS .Solk 'm cdnK^ntia.i. vd, wio4 ipei^iide ^il, c«{vat»r ^v^ns •C2> Fxqnafis ote^deKtetito Afiom^ v6mb ^lis a4 gradus ^U. -ik fit Di^ ad DC ul dmi^ Ecceatacitas Orius iiiag^^ad diibn- tiamrnedaocrtwi SoUs ^ Tefra^ & motii^ d|e^^ dii^^ Solis ab Apogeeo.C«iJte-'«d «pnffla :»edH«|i. ^lJHiHWiip. S^ :ptapr\b conjundim^ id eft, uji 3*?-^ «<>f*?fef[i'h*7''-*6^ad 59'. 8'. io" conjundim^.^ve ut j.edipp» 'fiin«s>tt^i«."$iaMn|i|i Orbis Luns locaii in p^ndo F, & iQ.£picyclo'^:^H6c«iitnim^ D & radius Z>F int^rea revolvi dum puAdum P^progjftbditur in circumferentia circpli^D.y^fi/?. Hac. enim ratioBe ^ilpcitas qua Centrum Orbis Lunss- iq. Unea quad^pi curva carcum coiiErwn C defcripta movebiturj erit reciprope.ut cid>us dij^aatise Bohs a Terfaquanlproxiftiei.ut oportet. . • '■■ Computaiao inotus btijus difficiMs €&, £e4 facilior "neddeturper approjdmationdn ie^90Btem.. Si ;diAantia mediocrisLunx aTerra Tit partimn lodoob , & J£p^Qtrigi^a^ TC fit paitium 5505 ut fu- pra; Tcda CA.vel .CP. iiavfinifittir partiiinft 117%^, & refia DF partium 3ff. Et haec refta ad diftantiam TC fubtendit angulum ad Terram quem tranflatio centri Orbis a loco D.pd locum Fge- nerat in niotu centri.hujus :. Sc eadem refta dupik^talnfitupanl- umbiliif i Orbis LiHije aTRenra, fuoten- dit eundem angulum, quem utique tranflatio ifiageneracinmotu umbilici, & ad diflantiam Lunae g Terra fubtendit anguluroquem €adem tranflatio generatin motuLunae,, qmque pr(^erea i£qua- tio centri Secunda dici poteft. Et hfficiEquatioinmediocriLonaB diftantia aTerra, eft ut fmus ai^-quem fcaaiHaZ)fcwnreaa .a punao F ad Lunam dufb centiaet quampi^atxime » & nbi xm> xima eft cvadit 2'. »5*. Angulus «uftmqueift reaaPir&refbi a pundo i^ad Lunam du^a comprehend«nt.,.invenitw^ feb- docendoangulum £Z)FiibAnOffialia mediitiLuMe, yel «ddencto dijiiifitiaa Lunas a Sole .ad.difti«(^ Ap»i/& o ••'• 9 "?*»• 20 *^. . Hhb PRO- txtuC TtaLXteu 4 * 4^ ?mUWf>1^Hm HATXI9JLLVS FkioPQSITlO XXXVL TH£0&EMA XVlt * ' SoBs yis MLitxtn-r iifQaid^atiiris t)itttfii>iis,'4d pettor-^ baiidas motot Lvuaei, «mr Cpef I^ft)^: xxV. faii^} ad ^ grtvitatis apud nos, tit i a^ 638093,6. Ervis 7M— LMfea sFi^inSyzygJHsLwianbiis, eftduploiBa^. H« antem vires, fi defeendatur ad fapafideni TerraB, dinuninmdir m xatiQiie di- ftBOdaram a ce^o Terrae, id eft> in ratione tfe^ ad i ; adeo- qoe Yis prior in fnperficie Terr», eft ad viai gravitatis, nt r ad 9^S6o46oor HaeviMare deprimiturinlocisqiis ^ogradibasdi^ant .(«•l4»itK 1 6oIe. Vi altera cpat duplo !naj(M? etf , Mare de & Mi-reg^one Sdi oppofita;. Smmna virium^eft ^ ut 1 ad 1 2868200. £t qucMoiam vis eadem euadem cieTmotumr ffve ea ^ff^mA Aquam ia regiois^s cpet 90 gradibiis di&mt i Sole» five el6vet eandem ifi regpkMoibus (U> 8oIe & So&oppofitis, tittc fumma erit tota Sdis vis ad Mare a^tandmi; & eundem habebit^ eflfedum ac ' fi tota iti regioBibus fub Sole & Sdi oppo- Ms Mare eleiraret, m regioMbus autem qus 90 a Sole nil ageret. Ha^c eft vis Soiis ad Mare ciendun inIocpquovisdato> ubiS tam itt vertice loci' verfatur quam in mecfiocri fua diftanda Terra. In aSs *SoHs pofitioniww vfe ad Mare attdQevdum » i ut finus verfus dupfe altitudinis; S^ fopea^ ^oci^te rede & cubus diftantia Solis a Terra inverfe. CKok Cum vis centrifuga yaifliim Terrae 3l diumoTerra motu oriunda, qux cfl ad vim gravitatis ut i ad 289^ efficiat ut altf-* Cttdo ^r^ViM^g^af«itAd$^^'Y'Cldri3(8692CNiv^a0fiie adMrui «BnAa^ ffaittif^^nnF fit i^^ ad i VSbfiabo fen: ii ad^^i 7 ^ eifictBt vt.^ tkiido Aqticb in Kfj^bAibvxS fab Sole & Soli oppofios y fiifeifetedi» tiidinem &li^ iii loeis '«pjaif^o gt^i^i^s diftant a Soilb> imenfiari «(t^ituni ^diS^ttriiiSl^^Hlienfisife dicitoramuiukamncnni p«pi k. '• ) rj ';•- •. ii . FRO?O^1rii0t XiXXI^r pfROBLEMA XVm > opdi^ tione T^one _. „„.^ ltdta^'Aaji«'ifcfcfifliJ ip GdnjunpAlni.&Oppdfrtione t.unflnaftiim (olifCT^te J^Aw^fe' «y^ «r*»i») dVpe&nfft plus nii- lius 4^ , iit^Quadraturis autem eft pedum tahtum af . ' Altitudo imma ^^'jia^if, f$U9acf'<. In portu Phmithi \Mftus maris (tx obfervatiofie SamuelisCoh^ ih -ad t)edes: phis ihinus fecddcim altitudine mediocri attoUi- • aa't^$^of^ Terho & autdmnali altifudoiEftusinSyzygiisfu- idwe p6t6tt altittidineni ejus , iiiQuadraturis', pddibus plus feptem ve"! c^''Si maxima H^m altitudhium'dilfe!«hda fitpedumna. Vem; %i^t r+S ad^t;^S ut »6| id! tHTett^i ad ij. Qui LMijafiunJi'^^* tatur) funt tertii poft diem novilunii vd pl^tili:^* *ftrf J*« ft^- .^^^.- Hhh a ram 4Ji% PHILOSOPHIJB NATCRALIS db fttmnt ram * ndviliiiiio vd {deikihinip plvs miiras (h)odeciaiaiii> «(leoqne STsniuTt incidunt in horam a novihuiio yd pletuiQnio.pflus minus quadn. fefimam teitiaai. IncidQnt> vero in lioc portu in.horam fepd. mam drciter ab j^ppolfu Lunse ad jneiidianumlocif ideoqueno- xime fequimtur appulfuihLuns admendianum^ ubiLnoadimta fide Tef .ab oppoutione Solis g^radibus ^lus ii^\^ pdadecim vd aovendecim in confequentia. £0ias .&r H|rqps maxime vigent} •non, in ipfis Scriftitiis, fed ublSc^ diftat :a S:^fiiidi| dpcima circi- ter parte totius circuitus, feu gradibus plnsminus 56 vel 37. £t finuliter maximus Mfbis maris oritur ab appulfu Luns ad meri- diantun loci, ubi Luna diftdt aSole deciifui' dijtlter 7>tice motns totius ab M&a ad i£{him. Sit diftantia illa graduum plus mi- nns iSf. lEt vis^ Sflji^ in\l>aq dji^int^ ^ns&a;%zy^ & Qua- draturis , minor erit ad augendum & ad minuenduhi motum ma- ns a vt Luns oriunduia» quaminipfisSyzy^&Quadraturis, in latione radii ad finum complementi diAantise hujus dupli^its fea anguh gnuluum 37, hpc efts inp^one loboooqo ad .7986351. Ideoque in analpgia f^periore pro S. fcr^'^ebet «i,?»?^} u S. . Sed ^ vis LuBS ih Qua^raturis « ph f^olinat^onpm Ljins sb jEquatore, diminui debet. .•Nam.Lyihaiji(!}uadratur^, .velpotius ,in gradu iSi- poft Quadraturas, In, decUnatione gi^uum plus i^inus 21. 13' verfatur. £t )Um|inaris ab >^qua^c^ decCnantis vis ad N^ace niovendum diminuiti^r in .duplu:jjta<',racii^ ^us OHnpl^menti decliiiatiw8«iJt S ad o,»57on7L— o,798anbus. ; £t diKlantiaB ejus !ih gra^a ^ 1 ^pygiis ubi J^0us manmos g^nBeratur, & in gradii iH* Qoa- dratmis ubi ^ftus nunimus genaratur,. funt ad mQdioicrem ejns .difiantiam, ut ^69,098747 & 69^^897145 ad.i^^ Vires autem Lu- ^ ad..Mi^« nioyendiim funt m triplicatar^tion^ di^^fumiiimiiiw verfe, ideoque vires in ma^dma & minitnfl hahim diflfn|f^pinn j^^^ iA ym ittfiWJdipcji dif^n^^,. ,nM>^W»7.^*^*7 J**-^^ ,W« ft Jit 9 adw^. Et S ad L ut x ^diji^ij. I^ii^ rum vis SoBa fit 4d vip «ravitatis ut j^ ^. i^9^»Qf>y yinfltift ,tfiii,f4ym PRINCmA MATHEMATICA. +19 . Cml I. Gom Aqua vi Solis agitata aibendat ad altitiidinem U9t% pedis unius & imdeGim digitonmi cumofbva parte digiti, eadem i^i^tiu». vi Luns afcendet ad altitadinem oAo pedum & digitorum odo, & vi utrtK^ue ad altitudinem pedum decem cum femifie, & ubi Luna efi in Perigso ad altitudinem pedum duodecim cnm femifle ^ idtra,'pra^fertim ubi^fhisventis fpirantibusadjuvatur. ■ Tanta autem vis ad onmes Maiis motus ^dtandos abunde fuffidt^ & ouantitati motunm probe jrefpondet,' Nam in mairibus quae ab Qriente.in Ocddentem late patent, uti inMariSP^ej^ifff, &Maris AtUntiti & tyEtinopti partibus extra Tropicos , aqua attolli fo« let ad altitudinera pediun fex, novem, ducxiecimvel quindedm* In Mbri autem Pacifico., quod profundiu$€il&latiuspatet,..£ftus ^icujitvrr e0e majores quam in AtUmttco & j^^ttutp». Etenim ut ploras fit i£ilus, latitudo Maris abOrienteinOcddentemnoi» minor eflfe debet qu^ graduum nonaginta. InMzricyEtbu^Ot afcenfus aqus intra Tropicos nunQc.efl quam in Zonis tempera^ . tis, pr<^er anguitiam Maris.iDter Africam & Auilralem partem Mwuricd* , In n^eplio Mari aqua nequit afcendere , niii ad littu& utrumque & oriental^ &,0Qd4^^tefunuldefcendtt: cumtamen vidbusiakemis ad littora illa in Maribus noibis aaguitis defcenr dere debeat. Ea de caufa fluxvis & refluxus in Infulis, quie i Httoribuslpngiilimeabf^nt» perenguus.ede fblet. In Portubus luibufd^ » ^i aqua , ^nmi impetu magno.^^per loca vado£i , ad linus «dtenus vicibus implendos & evacuandos , 'influere& effiuersr o^turr .^uxuft & refluxns debent eiTe foUto majoves, ^ti ad Flyfimthum dcppntem Cbepfiavif^ in Angl(a\ ad montes ^..Mi-^ cbaihsBc urbem AbrincatuoruM (vulgp Avranches) m Nomamsg vxLQt^aiMt.Sc PigM.ia Jntlta orientaU. His in. k>ds mare.« magna cum velopitate accedendp & f ecedendo , littora. nunc. in^ Tmdat,nuJ[ic arida relinqnic ad, multa milUarla., Neque itt^^etns infl«eB4)i ^ r^neandi pius irangi poteA, quam aqua attoUiitnr v^ 4eprjnutur ^d pedes.go» 40, vel fo Sc amplius. £t par efl ratio^orum oblongonim & vadqfcmun» uti M^eilamci & tja^ ojpiAfigJfa drcundatur. Mtbj» in hujufmodi portubus & fi-eti^ p§k impetnm curfus & recurfus fupra modum augetur.. . Ad lictoarai verb :qus ' defcenfu prscipiti ^d marie psQfu^du^ .& , apegNJi^ foedant, ubi ,aqua une impetu effiuendi ;&. reipeand} attoUi & iubfidqre potefl, magnitudo ^£fhis refpQQ^^c .viribus SoIis'& 'Lin)e. ; , .'.-•'..•] .f'( • • I Hhh j Orol r, I V ♦ 'i jnaiiBttQA- Sdis, ut 4,481^ ad i^ dire^^e ^ cubus dkmetri ^ «d/cubom diamet» Solk i^vetfe : id eft ' (eum diametri me- rdppareiicbii Liteaf & Sk^.finf %t'. i^" & 3«'- i»*') ut ^l^iad loop. Deafitasautem 9E4is5eKit ad dctffitatem TerraE, ^ ioo;ad'^59^;'&'propterea denfitas Lunac eft addenfitatem XciTJe, ut 4691 ad 39^6 feu 21 adi^: Eft l^ttir c6r|ms Lun» deiiiifis:& HWg^ terr^e quamTerra noftna. • r: Cv^. .4. ' Efc cum vehi cKaimet^ Luhaf . ( ejf- OttfervatlOmbus^ Mrijrforaids) fit ad veram diam^tftutv^l^erftt» ut 100 ad 365 ; «ritimafl&Lun«i(dinaffamTefrt^i iit I ad J9?ir< -.•Cflf#/v f . Et giraykas accekratrix iinfupeirficie Lun», erit quaff triplb niinorouamjgrayitas acceleratrix in fup^rfieie Terrar. <.€atoL '6. 'Et «fiftantia centrf Luwtf ac^tro Terr±i erft ad di- ibntiaiwio^tri' i^uncE! aritit%c€iitto Terrc & Lunz ,' ilC4»yi>£a*^'^?):«/ . j • 1 .' ,.-.1 « Cjf t/. j. 'EtmecKocrisdiftanfiacefttriLtina?acentrdTen?e, erit' femidiim^tlldruni maximanir^ Teri'» 60+ ^uamprcHdme. Nam- fnnidiamet^ roaMma Tenfe fuit pedum Parifienfium 19767630,' *:>mediocri$ diilantk ccntrorUm Terr«'& Lunre ex^hujufinofi i«midl«m#tris 60* t6nRstks , BEqu^fereftpedibus i i 90999707^' Et* httC liifcaitia (per Corolkrfum fiiiierius^^iift ad 'diftaniriai» centri' Ltmas a cotnfiftira ^vitafis ce*^ Terr«; & Lijn*^ ut^ii^iad- 39il7S <}Uae prwiide eft pedum ti^r^t^Sj^o. . Et ctim Luhare- volvatur refpeftii FiionMn , diebus 4 /Jbidris 7 & prinutispiirms 4?l, finus verfBs afhgtffi quttn.Lunaj ttmj^e m!mitiuHthjHndn\6ta' ino medib, elrca commHriegfavItafiscentrtimTerrJtS^Eiafe^dc-' taibit , eft>2 /5f » ^ f , esHlentc radlb *ob ,- ti6bdci6 ,• Oo&ocfel^Ei ut rtidras cft ad.htihC Tiiiurii Vei4uift» ita ftiht pedtt ii6t'498t40 ad pedes . i4,Ei-jR| j- Lund igitur vi iUi qnk rctinetur itfOrbe, ca- dendo in Terram, tempore minuti unius primi defcribet pcd« 14,811833. Et fi haec vis aug^tur in ratione 177:^ ad 178.-:, ha- ' ' -' bcbitur TOIKCmA/MATHfiMATICil, ^ft tebitnr ^$ jota ^vicalis -ia Orh&Ijaiis» perjGorol. Rrop: nf. ^tJm; vi L,uiia'ai4^d09 len^ise.im^iitiumusjnum defodi3a« deber^t- pe^ 14,^9$ >7» ^ id fffrngrilmam -pMtcm jajayijii. ^daia id eft, «d diiMt«]n.fed$B[i 9^lt4<}99f > £ent?o Teme^ e^ t f , dig. I , liii» 5j5*. Et htc vi gravia ctdimtinli;^rficieTefr«, in Latitudiae urbis Lutffif VmftMm,. ut fiipau oftcnfum ^Sl £ft ttttem dijftamia pedum. h^tom^j^ puiio .'mmori({cuan femidkme^ ter g^obi httic Terr« seqi^, .& pnnlo majar quam tWr« lN»|tt feniidiametermediocris,iit<^partec. Sool d^ferentitrfQficitifetiO^ Ules. £t propterea vis qoa Lmaa retiiietar in. Oi^ foQ, od di> fbntiam maximarum Terrs femiditmetrorum 60^, ea eft quam visGravitatisinfuperfici^TiteTfirequirit. i Corol. 8. DiflantiamediocriscentrorumTerraB&LunaB, eftme^ diocijiim Terr» fenH^iiliii^buBdib^ ad fhjiHum illud in partibus & citimis & DiUimis #IT (^^ ad. vim Lun«, quae Mare noftrum in parfibus (& fub Luna & tAm« oppoficis^ atoolliliw^ ut' gcavkas acodmttitiE Liinao ut Tenan ad gl^vitt^QX attitfdmBriccok Tsstae m Lnaaiiii &LdiatAetec Lunai.adB. ... diame- 43» PHILOSOPHIiE NAmkALlS iHMmo)! diflmetram.Terr«r conJQn6tim} id eft/ut 39^)71 td l^'t6o.iA st>t>uat» j^^ conjundim, feu 1079 ad 100." Unde cnm Mare'noftttim'vl Lim« actollacar adpedes* 8f , iluidum Ltifnare WTt^attbUlde-i beret ad pedes 93^. £aqiie de cau£i Fi^a Lun» S^sreis efiet , cujus maxima diameter produda tranfiretjpericentnHnTerrs, & fuperai-et diametros perpendiculares eicce0ii pedum 1 ^7. Talem igticur Figuram Luns afle^c, eamquafub initio induere debuit; Cml Inde vero fit ut eadem femper Luns facies in Terram obvertatur. In alio enim,. fitu conms Lunare qitidfcere noti po^ teft, fed ad hunc fitttm ofcillando fempor redibic. Atc^en ofcili- Uciones , ob parvitatem virium i^candom , eilaitlohg^ eardiffimee: adeo ut jRicies illa, qus Terram femper refpiceveidebniec; ppffit alterum orbis Lunans umtilicum , obrationemiiaProp^xrii:'^^- tam refpicere, nequeflatiinabinderetrahi&inTerramconverti. LE MM A I. Si A P E p Terramdefipfet tmfomUerdenJdm i centroqtie C &* Polis P, p &* jEquatore A E delineatam ; &'kcentro C fadio CP defcrihi intelligatw Sfhara P a p c.Jitautem QKpla^ tmm ycm reBa a centro Solis ^ centrum Terr/edu&a ndrmiiter infifiit\ fir* Terr^ tottns exterioris P a p A P e p E , ^ Sfbm-a mododefcriftaakior eft,particulafingula conentur recedere tmc inde aflano QR , fitque conatus tarticuU CHJufijuemejusdem diftantia aflanoiDicofrimOyquddtotafarticutarum ommumjin jp^uatoris circulo A E , extradobumumfgrtmterfer totumcir^ cuitum in morem annuli difpofttarum, vis dg ifficaciaad ierram circumcentrum ejm rotandamJit ad totamfarticuUrumtotidem in Squat&ris funEio A , quodaplano QR maxime diftat , cotu fiftentiumvim&efficaciam, adTerramconptmHjnotudrcuLtri drcum centrum ejus m6vendam,ut unum addito. Et motus ifte mcutaris circumaicem\ in cothnmmfeBi^mC-nmXmC,{tuLJ^MC-hNMXMC&LN^mC PRINOIFIA WATHEMATICA i|^ — NMy. mC:&. harum difFerentia L Nx^Mm—N Af X MC+mQ i«»»« efl vis particularum ambarum iamuL fumptarum ad Terram^ rotandam. Hujus di^endas pars aJBSrmativa LNX Mm feu 3 L NX NXi eft ad particularum duarum ejufdem mafl;nitudi- m^ui;.^ .ropfi<|f»tHifiO mm \MjtfM£;»C*t : W^ f^^^^^Cf Et.pars n^atita iVAf X A/C4-»C fko tertu> qmd motusUma trmemcircum diametrum propriam, eodem tempore periodico fadum , ut circumferentia circuVi ad duplum diametri. . , H YPOTH ESIS II. Si armulus frttdiBus Terra omni reliqua fuHata^ fdms in OrbeTerra, motuammo circa Solem ferretur y & interea «r- c'a axem fuum , adfianum Ectiptica in angulo sjraduum 1 i\:iru dinatum , motu diumo revolveretur : idemfiret motus Pmt^ Borum ^quinoBialiumJive anmdus iftefluidus ejfet^fivcis ex msUeria rigida Qjt firma cor^aret. PRO- > • PKinClVVA MATHEMATIDA; 437 TtHTSVS. ■* « - ii ( j } . * m % PROPOSITIO :^XXIX. PROBLEMA XX. Itrvmrr PracfjHiofiif^ ^quinqBionm, » » ' Motus mediocris hofarius Nod6rum ' Limae in (kbe circtikrijr uWNodiftint iri Qimdrfftum,, erat 16^35'". 16'*, 36^ & hujus dimidium 8". 17*. 38;%' iyy^^Ob raticmes ftijpra explicatas)eftmo- tus medius hwarius Nddorum^in tali X)rbej fitqueanno totd fidereo lo^- 1 i\ 46'. Quoniam igltur Nodi Lun» in tali Oirbe conficereht ^miuatim 20*^- 1 1'. 46'. in antec^dentia ; & (i plurcs eflent LimsB . motus Nodorum cujufque, per Corollar. 16.. Pfq;>: 1.XV1. Libu i. forent.ut tempora periodica.; . fi Luna fpatio diei fiderei juxta fuperficiem Terrae revolveretur,, motus annuua Nodorum foret ad 20^^- 1 1'. 46^ litdies fidereus horarum 23.56!. ad tenipus periodicum Lunse dierum 27. 7 hor. 43'; id eft , ut 1436 ad 39343. Et jfareft ratio Nodorum annuli Lunarum Terram ambientis; five Lunae illaB fe mutuo non contingant , five liquefcant & in annulum continuum formentur» iive denique an- nulus ille rigefcat & inflexibilis reddatur. Fingamus igitur quod annulus ifte , quoad quantitatem materia^y aMualis fit TerraBonuii Pap APefE o^d^ globo P^^ fuperiot cff; (^ii. figpag 434.) & quoniani globus ifte ad TtrramiUam fuperiorem ut a Cqu. zdACq u.—a, Cq n.id eft (cum Terrae diameter minor PC vel aC fit ad diametrum majorem ^^Cut 229ad »30,) ut 52441 ad 459; fi annulus ifte Terram fecundum i^uatorem ciiigeret & utergue finml circa diametrunoi annuli revolveretur ; motus annuli eflet ad motiim globi interioris (per hujus Lem. HI.) ut 459 ad 52441 & loooooo ad 925275 conjunflim, hoc eft,- ut.4590 ad 485223 ; ideoque motus annulieflet ad fummammo- tuum ajmuli ac globi, ut 4590 ad 489813. Unde fi annulus g^ bo adhanreat , & motum fuum quo ipfius Nodi feu punfta iEqui- iio6tialia regrediuntur , cum globo communicet : motus qui refta-- bit in annulo erit ad ipfius motum priorem , ut 4590^^489813; & propterea motus punflorum i%iquino6tialium diminuetur in eadm ratiene. Erit igitur motus annuus pundorum iEqui- noAialiuin Corporis ex annulo & gjlobo compofiti , ad motum lii 3 20^- 41$ PHII:iaaOPH!i«.r^ATU»aUt o. Hbkdi 2o«'- ii'. 46", ut 1436 ad J934J & 4590 ad 4898^3 conjun- s*««""*»S*6tim , id eft, ut 100 ad 292369. Vires autem cnubus Nodi Lu- narumXvt ft^.tx|>liQlii.Mque adefi<|^]ifitt lia annuli regrediuntur ( id eft yires 3 IT, in Fig.pag.^i Sc^^o^.) fimt in fmgulis ' " ' ^''^—^ -' » ^ -' -- - & his viribiHf*' Lem. n.) fi niateria annuli per totam globi fuperficiem, in mo- remr figurs& P]0 p ji Pef E, tk^ fiiperiQfemilhm TerraD ftf^m coniHtuendam fpargeretur» ^ds &.efficacia topi partKuibiruiXEonk* oinmi ad Terram circa qua,Eavis :^Bxuiat¥^^ f^Hiop^i^» evadfiret imoor quara^rius- iAratiooe r ^<^y 'Ide^^qjii^ anntjus i^uiaoQiorum regrcflus jim eflet ad aaR- ii';^^^ j \Lt i^ ^j^io^»,^ ^^i»Rde fieret 9'',56"',5o''> 7 " ' ■ ', ^ ■ ' Caeterum hic nlotus , ob inclinatiotiefft |>Iani =^quatoris ad pta- ntim E!cfiptic8e , 'xninuendus eA, idque. in ratioiie finus-9 1/06 (qui fihus fift compJementi; •graduum' l^^J). ad Radiuih ibppop, Qoa ratione motus Ifte jpiin fietr 9". 7'*: 2(f-\ Hgec eft a^nua Prxceuio .ffiquinaAiorumaVi^olis'6riunda. •' ."*'.. Vis autem Lunat »d Man-e movendum erat ad vim SoBs , ut 4 , 48 1 5 ad I circiter. Et vlsLun» aid .^iquiTioftid moveHda , e/l ad vim Solis in eadem proportione. Indeque prodit annua iE- gpinodiorum Praeceflio avlLuhas briuttda4diKiijft qb altitudinem illam augeri , ,ob raritatem dimiBHi aebet.* DefcripfimusiamSyftema Solis, Terrae , Lunae » &Planctanim fttpereft ut tln^t.lKscm^Kiaie exinatu^lrerrs \^ varioip{H(s4t% perin^e ot iit in Planeifis, i^nii.pro ^{kjc^ Ten-.£ vel confpii^||te..vel coatrih rio» nunc TetrQcr^di fi^t^ nunc tardius prpgredi viiieot)^ y^^um^ vero celeri^s, '.-§ Xerra pergit ad eandem paftem.cum Coisketaf & motu vi^^i circa Solem tanto celerius i^tur-,> ut.rem per Terram & Cometam peipetuo dudta convergat ad paites ultra Cometam, CometaeTerra fpedatus, obmotumfuumtardiorem» apparet effe retrogradus ; fin Terra tardius fcrtur > motus Cometc» -, I Cdetrafto motu Terra) fa filtem tArdidr. At fi Tem pergit in contrarias partes, Comrta «dnde-yelpclofapparet. Ex accde^ rationft antem vel retirlatiotief v« motn.feijtf^add aiftantia Co- inetaB in hunc modtim <:5lligitui',V.Stohto:x'^i V ^B, r ^C obfemt» tres longltttdihfe Cdfnet* , ftib"mrao nrotus, fii^ Y^Flongitttdo ultimo obfervata, ubi Cometa videri definit. 4+0 PHfLOSOPiHt^T NATUHAXiS . o(i Hwti Agatur reda ji BCj cujus partes jlB^ BCre&is §iA & ^0, •STSTfcMAT» (j^g ^ ^ interjeftaB, iSnt.ad mvicen^ ufi tempora inter obfer- vationes tres primas- ' Pf oducatUr >< C ad C? , utfit AG fidAB ut t;en^us mt^r ol^fervaticmem, primam & ultimaiai^td ,tei^pu& inter oDfervationeStn primam & feeundam, & jungatut.^C?. Et (x Cometa moveretur uniformiter in linea reoa» at3que Terra vel quidcefet , vel etiam inlinea reda, uniformi cum motu, prone- deretur; fbret angulus v^C? loqgitudo CometaB tcmpore 06- fervationis ultimae. Aiug^us igitur F^G » tpu longitudinum dif- ferentia eft, oritur ab masquaUtace motuum Comets ac Terrx. Hic autem angulus, fi Terra &Come£a in c^mtrarias partesmo- ^entur , additur angulo y ^G , & fic inotuffi apparentem Co- mets velociorein reddit: din Cometa pergpit .in eafdem. partes cum Terra, eidem fubducitur , motumque^ Cometsveltardiorem reddit , vel forte retrogradum , uti modd exppfui. Qritiffi^tur hic angulus pr^cipueexmotuTerrae, & idcircoproparallaxiCo- metss merito habendus eft , negledoi^delicetejusuicrementovel decremetotb nonnuUo , quod a Cometaft motu in«quabili jp Orbe proprio oriri poflit. Diftantia vero Cometas ei hic parallaxi fic collig^tur. Defignet S Sokm, acT Orbem magnum, a locum TerraB in obfervatione prima, c locum Terrae in obfervatione tertia, T locum Terraein obfervatione ultima, & 7r li- neam reftam verfus principium Arietis duftam. Sumatur angulus r Tl^ aequar lis angulo v^/^, hoc eft, aequalis lon- gitudini Comet» ubi Terra verfatur in T. Jungatur ac^ &c producatur ea ad^, ut fit ag ad ac ut AG ad AC^ & erit g iocus quem Terra tempor^e obfer- vationis ultimae, motu in red^a ac uni-j formiter continuafo , attingeret. Ideo-I ue fi ducatur £ r ipfi T r paraliela , capiatur anmlus rgf^ angulo rQjS aeqiudis , erit mc angulus rgV aMualis longitudini Comet» e' loco g fpeoati j & angulus Tf^g parallaxis efit, qijaB oritur.a tranJDUtione Terrse de loco g in lopum T; ac jproindfe A^Iocus erit Come^ in plano Eclipticae. Hic autenj 1qcu$ ^Orlje Jow$ infer^r efle jTolet. 3." ♦ • f . 'V h Idem PHJNCIBIA MATHEMATICA. 44^. ' ]dem"t:oiligiti]r ex cwyafaia' ids Cometanim; Pei|;(mt hflEic LtaiiL Gorpora propemoduiik in drcufis maTriwnis quamdiu moveAtur cele- T»»pv», rius ; at in fine curilis, uU istotus apparentis pars illa qu» k pa^ raliaxi britur , m^jorem habet propbrtionem ad motum totinnap^r parentem, -defleaere folent ab his drculisk. "iesTerra'mo-. veb]r'in unam partem, abire in pibrtem contranajoa. Oiitur haBc> deftesdo huudme ex Parallaxi» prqpterea quod r^^hdet motui* Terne^&ihfignis ejusquahtitas, meo computo, collocavitdifpa- rentes Cometas fatis longe infra Jovem. Unde cOnfcquatis dH' quod in Perig^is & Perihelhs, ubi propius adfunt , defcendimt fspiiis infra orbes Martis & inferiorum Planeta^um. i Conhrmatur etiani propinquitasCometarum 6x Iuc6 capitum. Nanr corporis coelefhs a Sole illuibati & in r^ones longinquas^ abeuntis , dhninuitur fplendor in quadruplicata ratione diiland£>:; m duphcata ratione videticet ob au^bm corporis diilanciam a; SdJB, oc in alia duplicata ratione ob diminutam diam^trumappa-! ientem. Unde fi detur & lucis qsantitas & apparens diametw' Comets, dabitur diibntia, dicendo quod diflantia fa ad diihta-) aam.Planet», in ratione diametri ad mcdh,'&! diameter apparens globi iit quafi 21", adeoque hxst 0iM & ahnuli conjuncHm squaret lucem globi , cujus diameteff effet 30": erit diftantia Comet» ad diftantiam Saturni ut i ad V4 ihverfe, & 12" ad jo* direfte, id eft, ut 24 ad jo feu ^ad f . 5Lurfus Coroetaspni »665 m^nfe ApriUy,^t au^hor eAHevtHitSi claritate fuapene Fixas omncs luperabaC, qiiihetiafl* ipfum Saturr num , ratione coloris videUcet longe vividioris. Quippe lucidior erat hic Comefa akero iUo, qui in fine anni; prsecedentis appa#u- crat & cum fteUis primae m4p°itudims conferebatur. - Latitudo* captUitii erat.^uafi 6% at nucleus -cuiq Planetis ope Tubi opticii coUatus, plahejpwotem J<^ye, ^ iwwcjrpjwox.cprpore ismm^ Kkk ' dio dq len fieils centndis iit qatfftdechiu Md faae decima ^uinta pciS'jdiimecri 'oapiiiftii, patdc Stell^s .bafee i3t|)1iiiuiiiini<3vi£dem dte app^entis mfljgflkudfius dun Pkmetis; OMtercttin luenmi- cma hu£ Satuitii tien^ raro confefidi poffit, eamcfip saltqitan&o fu< peMt^ mani&jhsii ^ <|ood jC(Mnet«> i»iiiaes^ in fierifariiis^vdin- ^Sflleufnnm c^oeann^ ^iinti, '«ei .non ltm||& ^sptk. SBrmnti^tut tbeo coelo quiComecas in refigk>tt«ni^i83imm|wape4^Uegant: (^ oaae «atiolti&«on magis tUfiftnitri deb^ient i^^ Planets , qui Mc^lic^^' -ilfufttfliiitir ftStellt fixiS. • I 2 ^ i M •■ .vJ ., Hftc difpitbh^iims fKm-ccmfiderttido ob&uvitianmn-iCometa- ivn per fiimum;illuffi masdme-GOpiofum & cvafliun, qno capnt dycundatuF, quiiri per nvibem '0bl6fe femper 'lu6en& ISbunqnan- to tdbfcwiu^ fiedditur oOfpus^per htmcjfunnmi!, tanto-proittus ad StA&tR iiocedat necede eft , ut copk^uois a fereflexa ^anetas annn- Ittnr. fiade verifinule fitCdltietas long^ infira fplueram Satmrni ddbendere^ Uti ex Paa-afi^ probavinra^ Idem vero qutnn ma« sime confinnatur ex Caudi^l Hae ftA ex refieBione fomi fporfi per iEthera , vd ex lude capids oriuncor. Priore cafii nnonenda 4St diibntia 'Cometarum) me ^mul a capite femper oirtus {Hor; - Qutiietkun caaita ftlb S(^ 'dcl^efe^ria;, (& cenKks cum V^ris coHocari didbent. Nam Avx iUa amais ii-in^1^km<:o^gregari fupponatur, ipfem VeneraDTiecKcam Ve- |}(ut>e$t«)mmaasquandoqniefi^ti^t.' < . . . • * 'kkem dettiM '<%lHgi«ur '«k Iuin* aapitidn crd^ceme ' Aoit diftante -aei ceflii ad Terram. Cometa Anni 1618 cilra Tttafitim JVfaifh 2?fi- cemhris^ & iile Aniii I68d eii-ca.fih6niejufd€mMehiff4,rtlti^;'^!f)ptencft)f tttasSmitS liaijdartim pulo ante , m majore vicinitate Solis. Caput ComtJtsfe priorts-. nitudine parum, folendope feu dafttSre tctMifsjJltiriniuni def?- .cerat, .^^aa, 7. KepJ&us de capite ihfcferttis fiifiem ftdit cftffervandf. XHe 1% menCs VecemB. confpe6kim &,u ftamftedio obfbn^aram dk caput Cometae pofferioris , ih diftantl^ 'itovem gradttuni a Sble^ j^ quod flell« tertiae magnitudinis vix doneeflum fiiiitet. Decemk ji f & iV appjuriut idem ut flella f fertia magnitudinis , dinrinutum «oquc l|rfendore Nubiuin juxta Soleta pcddentem. Detemb. 26. velodfllme motus, inque Peri^ifeo ptop^tnodum exiflens , cedebat ori Pegafi, StdUe tertiae magnitudinis. .74*. 5: apparebattttStdhl quart», yan. .jj. ut Stelk quintae, jrr»l. X. Splendent igitur Comets Iiice Solis a fe reflexa. • Corol ». Ex didis etiam intelligitur cur Cometa tantopere fre- quentant re^onem Solis. Si cernercntur in remonibxis loiige ultra Satumum, deberent fxpius apparere in parribus SoU oppo- ■fitis. Forent enim Terr» viciniores qi4 in his oartibus verfa- rentur , Sc Sol interpofitus obfcuraret cxteros. y erum percur- rendoHftorias Cometarum» reperi quod quadruplo velquintuDlo plures 4ete^ funt in Hemifj^xrio Solem verfus,.quam in He- inifph«erio oppoi&to , prxter alios procul dubio non pauco^ auos lux Sokris obtexit. Niniirum in defcenfu ad rcgiones noiiras neque caudas emitrant , ifeque adeo illuflrantur a Sole , ut nudis ocuUs fe Jvnis detegenSos exhibeant , quam iint ipfo Jove pro- ■piores. S^tii autem taadllo intervallo circa Solcm delcripti nirs looge major fita edt a latqe Terrs quod Sdem refpLcit i inque parte illa nugore Comets, SoU ut plurimum Viciniores, m^s mummari fblent. Carcl^. Hinc etiam manifefhmi eft, quod Ccefi refifientia de- .itituuntur. Nam Cometae vias obliquas &.nomran(mam curfm Planetarum contrarias fecuti, moventur omnifariam liberrime, & motus fuos etiam centra curfum Planetarum, diutiflime con^- vant. Fallor ni genus Planetarum fmt,- & motu perpetuo in or- bem redeant. Nam quod Scriptores aUqui Meteora efle volunt , argumentum a capitum perpetuis mutationibus ducentes , funda» mento carere videtur. C^ta Cometarum Atmoffrfisris ingen- tibus cinguntur ; & Atmolphaerae infeme denfiores efle debent. Unde nubes funt , non ipfa Cometarum corpora , in quibus muta- tiones iilsB vifuntur. SicTerra fi ePIanetis fpeftaretur, luce nu- bium fuarum procuIduUo fplenderet , & corpus iirmum fub nu- bibus prope deUtefcerct. Sic cingula Jovis in nubibus I^anets fllius iormata eft, auae fitum mutant inter fe, & firmum Jovis fbrpus pef.. nubes illas ditHciUus cemitor. £j: inulto magps cof- pora Cometaram fub Atmo]fch«ris & profundioribus &craiIiori- bus ajsfcondi' debent. '• •••< . '.V . . ' i • •- • PRO- PEJNCIPIA MATHEMATICA.: ^45 PROPOSITIG ^L, T«E0REMA XX. ^;^«J^^ Co^as in SeBiombusComds umbiliws in centra SoUs habfn^ tibus mvueri , ^&^radHs ad Solem da&is dreas tenforibtis ^ro^ fcrtionales defiribere. ■ • . • . Patefc per'C6rxn i8c*u».ilJ3)ri tettil. • ' • ^ ' • • : Ccrti. I. Hinc fi Comet» inorbein redeunt: Orbes eruntEllip^ £e^» & temppra periodica erfxat ad^tpmporaperiodicaPljpetarvim in >'xiqm pnncipaUnm iratione {eCqpiwaitfL. ,|dpQ<|ae' Cpmetas nmima ex parte ixu^ Planetas vqrittfjes« J&.^nonun^^^ axibus majoribus deicribentcsil ^r^i^ reybly^i^^ ^yt fia^sOrr: "bisComet» fit quadriiplp major sutje drbis Satomi « tempus reyo* lutionis Comets orit ad tempus revolutionis Sativni, id eft, ad *^QS 2Q, ut4 V4. (Jea, 8 ) ad i , ideoque erit^^imonim 240* \.Or»..i Ori>es autem,erunt Parabdis adeo finitimi, ut^nnn vice P^raboljB V;abfque ^oribus fenfibilibus,. adhiberi poflintj " A^ml' 5. Et pirojpt^pi^, per Ccm-oI. 7. Prop. xvir . L^b. I. vplo- cltas Cometae pmnisf, erit femperad vdocitatem-Hanetix cujiifvis "circa Soleni in eirculo revolventis, in lubduplicata ratione diqplx .'dKUntiae Planetae a centro Solis, ad diibmtiam Ccmiets acentro 'Solis quan^roxime. Ponamus radiumOrbis nK^ni, feuEIIipfeos in qua Terfa revolvitur femidiimetrum maximam, «flfep^dbm ' i 60000 pob: ^Terra motu fuo diumo mediocri ddcribet partes 1 7 jo 1 1 2 , & mbtu horario partCs 7 1 6 7 5^. Ideoque Cometa in eadem Tellvms a Sble diflantia mediocri , ea cum velbcitate que jit ad velocitatemTelluris ut V 2 ad i , defcribet motu fuodiiumo partes 2431747, & motu horario partes 101364^. Li m^oribus autem vel mmoribus diAantiis, .motus tuni diurnus tum horariui erit ad hunc motum diumum & horarium in Jubduplicataratione diflantiarum reciproce, ideoque datur. Coro/. 4. Unde fi Latus re^tum Parabolse quadruplo majus ftt ra^o Orbis mi^i , & quadratum radii illius ponatur efie' partium 1 00000000: area quam Cometa radio adSolemdu6lofing^Us4ie- bus defcribit, erit partium 1 2 »6373?, & fmgulis horis are^illa erit paftitun 50682'. Sin latus reaum majus fit vel minusin rar 'rione quavis, erit area diuma & horajria major vel minor in ca« dem ratione fubduplicata. ^ Kkk 3 LEMMA 44^ SrsMiAn PHlLOSOBHnt mM^fOkJLm .> L.A*tli\V: u'\ iJil^UVAv^t x\j\vJ )i\i'mi)i}':rL \\ xh^^.w-i^Z) quotcunqtie pmaa tranm 1 ' %»•••' quamvis pofidoae ditam /^ iV «^mitxeTp^mnKcMk aiiatcunle ' / 'A Sl pvm^onmHyhlti hy W, W' jcwiaia ftiiririter. •.. -'/^® ^ *'l 'ofique'' \ti ;. 1 ; ' • . ' [i^S, qu* futtir <^rdina- jS^-^q^-M^^tfai appiicata.ad curvarfi ■J . r '^ qHaefitatn: ut' iiivettiiaitur ''': nujus' Idndtndo.* pone •^ ^:' ihrerv^ J/, 7i^,*iJL .p fc i^/, &d; n^itates eftb , i al> 3t 4»^ ^1»-i ^r$K^T, .'r in+JL=/, ,'rjin.+^.^f-r ,' |JetgefrctqvideBcet ^d ufqufi penultimumj^erpendictilurti A/fi, & ,rt*ffijf»tJfl(?ndp fignk hegativa fermims hSt IS , &c. . qifi jacent ad pfes piifl^i-ij* ver- fus ^, & figna affirmativa terminis J ^, SL ^ &c qui jacent ad alteras partes pundi S, Et fignis pjpobe ob^rvatis , erit HS^a-^^p+ci+dr^es+Jt, &c. • / .Caf!y Qu»d fi punAorum U,I,K,t&t. hxqaitiz fml. tateN Valla HfjKj Snc. coffig6 pm^endiculorum /^/^, 'tiJ,C/t, ^c. diffeentias primas per infervalla perpendicill,or.uni dmk$ ^, i$, ~J ^ > 4^ , ? * ; fecundas per intervalla bina divifa&^', a f , 3 ^ , 4 f , &c. tertias §es intervalla tema diviias W, iJ, 31^, src. qosms p^ inter- intervaUaqtiatema divifas 6,26, &c. & fic 4einceps; id eft> ita utfit*-^^^. ,^iJ^fS;,iJ;-*:f|+"^^^ , ,.. Cflro/. ijtnc a^ curvarum Oft\piutft'inyeijiri'^flunt'c^ xime. f^am-^fi cur^ cujufvis ^uadfanad InV^iflantar pwwSla 2|)if quot, ficParabola per^^a^F'^ duci mtclligatUr : ent area^Par^)^)!^ hujus ^didem quam pro^scOhe cum' ^^a' dvu^a^, iJJiilis 'AU(idr^nd«. Poteft autemParabola,per Methodos notilSAias ,' 15^per*quadran Geometrice. , . , LEMMA VI. • • X . # • 4 • irf ir Detignent HI, IK, KL, LM tempora inter obfervationes, (m pjg. fr.fced.} Hji, IB, KC, LD, ME obfervatas quinque longlmdmc^ CQmets , HS tempus datum inter obfervationem pri- ihanf*&.1ongiaj3Sle}iriiuaBfitam. Et fi p« pnnfl^a J, B, Q JD», JC - duci int^gal^ Gtnrva regularis J BCDEj,3i per.Lemmaf\ipe- ** rius inveniatur ejus ordina^ aj^ttcata -^ ^S*, erit RS longitudo qusefita. - , ; : ; '. . • .i Eadem methddo ex ' obferYatis quinque latitudinibus invenitur latitudoad teihpus datjj^v .•' ^. - Si long^tudinum obfer^^inm pjf^ Hnt differentis , puta gra- duum tantum 4 vel 5 ; fmfecerint obfervationes tries vei quatuor !S ^nsoeijdWbefi/. •■'"•• • '^^'^^ " ^ • ^— • .- V"^ --^ ' ^ ^ ^ ■ ' l4mma LEMMA VIL PtrdMHmfmillmi PJiKerertaiimiaf4tAQ,e^f«rta V^,VC,recHsdmaii>sfofiumcittis AB,AC «i/agle, <<«- UmbJieioa n^oiiemad imiitem. ■ A pBoao iSo P ad reaarum si- temtram .4B ducatUT re&i quzvis PXJ, & producatur eadem verfus redam alteram A C ufque ad £, ut fit PE ad PD in data Ula ratione. Ipfi jlT» paralleU fit £C,- & fi aptw CP B, eiit y C ad PB ut r£adm S,,E.F. L E M M A Vni. Sit ABC Parabclaumbitiam batens S. Cbordii A C bifella inl ^fcindatm f^fttetttim ABCI, aijmMameterfilii'&' vertexf. Iitliipradti9acifat0r.nO Mputiedimidio^^Ds lii. fuHgaturOS, &'fr()^caturiam'ii(tp%iaq^aia»s 1 S O. EtfiCometa B m&veaiur in arcuCZfi,.^ agatur i Bfecant AC m E : dico ^uodpunHum E abfcindet 4e amdt KC£tgmtntum AE tempori proportionale quaiifroximg. ■ " . Jungn- PRINCIPIA MATHEMATICA.. 44.9 Jungatur enim E O fecans arcuip Parabolicum yJ J5 C in T, & aga- Libe» tur H^qu* tangat eundemarcuminverticeft&adse EO occur-''^"^^"*' rat in. X; & erit area curvilinea AEX^kA, ad aream curvilineam ACTf$A ut AE ad AC. Ideoque cum triangulum ASE Gt ad triangulum ^«fCin eadem ratione, erit areatota ASEX^A ad aream totam ASCT^AvLt AE ti: AC, Cum autem£Q £t ad «fO at 3 ad I , & EOsA ^O in eadem ratione, erit SX ipfi EB parallela: & {vopferea fi juiigatur BX^ erit triaqgulunii . SE B triangulo XE.B xquale. t/nde fi ad aream ASEX ptA addatur triangulum E XBj ^ de fmnma auferatur triangtdum SEB, mandbit area ASBX^f^ ares ASEX^ A aequaUs» atque adeo ad aream ASCY^ A^xt AE ad AC, Sedareae ASBX^A ffiqualis eft area ASBY§$ Ay quamproxime, &hsc area ASBYt^A e& zd. aream ASCTftA, ut tempUs defcripti arcus AB^ ad tempus defcripti arcus totius AC. Ideoque AS eSt ad AC m ratione tenaporum quampro^me. ^ E,D. CoroL Ubi punifhini B incidit in Parabols verticem p, eft ^£ «d AC in ratione temponim accurate. SdMHim. Si jungatur («g fecans i< C in ^, & in ea capiatur $» quaei fit ad > B uc tjLMl ad 16 Aff»: aAa Bn fecabit chordam ^C in ratione temporum mag^s accurate quam prius. Jaceat autem punftum tt ultra punftum ^, fi pundiun B magis diftat a vertice principaliPar^olas quam pundmn fn & citra, fi minus difbt ab eodem vertice. L E M M A IX. Ri£ta I a c^ f4 M <^ hngitudo — rr- ^qumour mtarfi. Nam 4"u". LEMMA X. , SifroiucMur S i» i«rf N ©* P, «tf » iifitfarsterlia^lmsa I, ©• S P_/ft adSiiutSiiadS». Cometa, eodem tempore defciiberet chordam ji Cquamproxime. - LEMMA PRINCIPIA ^MATHEMATICA. 4^1 ■'••'■ LlBf R LEMMA XI. Twnus iS*^ Cometa motu omni frroatHs de altititdine S N/m Sf» +1I f* detmtteretur , «^ caderet in Solem,&* eafemper vi unifinmtet continuata urgeretut tn •Solemtqu^ ur^turjujj mtio ; idemfe~ mijje temporis quo inOrbe fuodefcribat arctm AC.i defcenf^ Juo defcriberetjfpatium lor^tudini I /* aeiuale, Nam Cometa quo tmpore defcribat arcum Parabolicum J C» eodem tempore ea cum ydodtate quam habet in ^titudiae St* . "'. ^^ \ PROPOSITIO XLI. PIlOBLEMAt^X}. • • " , • ' 'N Cmeta irftarahola moti Traje^ortam ex datis tribus Obfervationibus determinare, Probleraa hocce longe difficUUmum multimode aggreflus, com- pofui Problemata quaedam in Libro Primo quae ad ejus folutio- nem fppflant PoftBa f^% inde aberret verfus i potius quam /•* .•^^''^i^^Sonesnonpraeftofmt, inveniendus eft - , >'x^f^ Lemma fextum. • ' '<''^ f^^^r^* ^» r tria loca Terr« in Orbe magno, &^i{S^tzs tres longitudines Cometae , V tempus in- '^ip^rfj^ primam & fecundam , W *tempus inter fecun- /^^^JJTX longitudinem quam Cometa* toto illo tempore, ^ #f ^SataW quam habet in mediocri Telluris i Sole diftan- ^c^^ttc poflet, quaeque per Corol. 3. Prop. xl. Lib. III. n^^a eft , & ^ ^'lerpendiculum in chordiUD Jr* In longi- tndine media t B fumatur tttcnnque punfhim B pro loco Co' mets in plano Ecliptics , & inde verfus Sblem S ducatur linea BEf qu£ fit ad fagittam tf^, ut contentum fah SB& Sf qvad. ttd cubum hypotenufs. trianguIiredaQguli , cujus laterafunt S^ & Et PUINCIPIA MATHEMATICA. 453 Et per punftum E agatur ( per hujus Lem. vn. ) reda AEC, l»sx cujus-partes c/f £ , EC ad reoas TA & r C terminatse , fint ad ^«titf» invicem ut tempK>ra V & W : & erunt u/tf & C loca Comet^ in plano Eclipticse in obfervatione prima ac tertia quampro:idme, fi ffiodo B fit locus ejus rede aifiimptus in obfervatione fecunda. Ad AC hife^faun in / erige perpendiculum li. Perpundulniff age occultam Bi ipfi yl C parallelam. Junge occultam Si fecan- tem ^C inA, &con^le paralldogrammum tlh^. Capeio-squa- lem i Ihy & per Solem S age occultem t}^ sequalem 3 tf «-+ 3 ^A, £t deletis jam literis l//, EtCtly a punao B verfus pundiun ^ duc occultam novam BE^ quae fit «id priorem B£ in duplicata ratione difiantis BS ad quantitatem iS^+f/A. £t per pundum £ iterum duc redam o^£ C eadem lege ac prius , id eil , iu ut ejus partes AE & £C fint ad invicem,uttempora inter obfervationes V & W . Et erunt A8cC loca Cometae magts accurate. Ad A C bifedam in 2 erigantur perpendlcula A M, CN, 10 , qiurum AM 8c C iyT fmt tangentes latitudinum in obfervatione prima ac tertia ad radios TA & rC. Jungatur A/A^fecans /O in O. Confiituatur redangulum ilKf* ut prius. In /o/ pro- duf^a capiatur ID sequalis «fifr+^iA, & agatur occulta OD. Ddnde in MNxerias NczpiztaxdHPt qus fit adlongjtiidinem fui>ra inventam X , in fubdupUcat^a ratione mediocfis difiandae Tel- Iiuis a Sole Cfeu femidiametri Orbis magni) ad difiiantiam QtD. Si pun6himFincidatinpun6him N^ erunt-/*, /?, i^trja loca Co-^ metx , per quae Orbis ejus in plano Ecliptica^ dcftjfibi debct.. • Sin" pundum T non inddat in punftum N-, in xefta AC capiatur CG ipfi NP aequalis, ita ut punda G & P ad eafdem partes reftae A^Cjaceant. • E^dem methodo qua punfta E, %^iC,Gt ex aflumpto punfto B inventa funt, inveniantur ex afiumptis utcunque punois aliis ir&jSpunftanovaf, a, c,g, &«, «, «,y. Deinde fii>erG,^,y ducatur circumferentia circuli Ggy^ fecans reftam rC in^T; erit ^locus CometflB in plano Eelipticae. Et fi in AC, dc, an capi- jmtur AF, af,^^ ipfis CG, cg, *y refpeftije aequales, & pet punda F, f, ^ ducaturcircumferentia cu-culi rf4>> fecansreftam jff in Xi erit pundum JPaliusCometaB locus in plahbEclipticaB^ Ad punfta X&c Z erigantur tangentes latitudinum Cometae ad rsf- dios TXScrZ^ Sc habebvntur locaduoCometaeihOrbeproprio. Dcraque (per Prop. xmi Lib. I.) umbilico.y, per Ibca ilfe duo dek fcribaturParabob, Sihxc erit Trajeftoria Comet*. §liEiI LU 3 Con- 454 PHTLOSOPHIiE NATURALIS Di MoKDx Conflnidionis hujus demonfiratio ex Lemmatibus cQDfeqnitttr : STSTkMATf ^ppe cum reda A C .fecetur in £ in raticme temponim , per Lemma vit, ut q)ortet per Lem. viii: & f £p^LenLzr. fit pars red« BS vd fi^ in pkno Eclipticae arcd ABC Se chord» AEC inteije^; & MP (pec CoroL Lem.x.) lon^ tudo fit dicrdst arcus , quem Gometa in Qrbe proprio inter bb- -fervationem primam ac tertiam defcribere debet, ideoque ipfi MN aequali» fuetit» fi modo B Gt verus Canetae locns in pkno £c]iptic8s. Caetenim ^unda B, ^, |3 non qustibet, fed veroproxima eli- gere conyenit. S angulus 4^t, in quo veffigium Orbis in plano Eclipticae defcriptum fecat reftam t B, praeterpropter in- notefcat ; m angulo illo ducenda erit reda occulta ji C, quae ilt ad ^Tt in fubduplicata ratione J^^ad St. Et agendo r&^am ^^B cujus pars £fl 8ef Proponatur Cometa anni 1 68oV Hujus iiiotum a . i^mfleJi obfervatum Tabula fequens exhibeti • * i9 x<9o Det. 12 £1 »4 26 30 itfSi 3^4». 5. 5.51 Ftk. 9 10 >3 30 2, Tcm.appar. -c ^/~ 6.12 5 • »4 8. z 6.49 5-54 7-44 8. 7 6.XO 6.50 Temp. Yeni ifflil ' .. 4« 46. o (;.j<5.j9 5. 20. 44 8.10.26 7' o.$j 7. 8.55 7. $8.42 8.21» ^) 6.54.51 7. 4.41 Long. Soli< /1 II . tf .44 9. 26- 18 . Long. Comctg Ht 6. 14. 16. 9.22 i9.l9.4j 20.21 . 9 2tf.4»»l8 a$ 0.29. X i'»7-^ 4. JJ-»0 16.4; .]<$ 21 .49. f8 24.4«. 59 _*7i49- J*' 28. KiJ. 17. 18. 16. Jt.2I 7.J8 49. 10 24 tt 39 49. 4? 45 5 to 18 .261 II o 40^ w 59<34 JS.48 19. jnibus fupra defcriptis: & exiftente difiantia il fi partium 80^ erat .rfCpartium 514., BC fSUylDf;/,, BDZi*,, CD 23I. 4E *9U CE ,7i, DE 49^1, AJ 27/1.^/ 5»l. C/ 36/,, I)/i3,U -rfATjS?, B^43, C^jif, FATj^, Ffiai, FC36j|, jfH 18«, DH '- 10*^ ; verd- cem ejos (feu Perihetium Comets) diftare a Nodo 8>^ 38', & efie in t 27**- 43' cumlatitudine auffarafi 7''' 34'; & ejos latus re^hmi efle 136,8, areamque-radio ad Solem duao fingoUs diebus defcriptam 93585 , quaarato femidiametri Orbis magni pofito 1 00000000; Cometam vero in hocOrbefecundumferiemfigno- rum procefiifie, & Decemb. ^*'.©^ 4'. P.M. in vertice Orbis feu PeriheHo fiiifie. Hsec omnia per fcalam partium aequalium & dbordas angulorum ex Tabuk imuumnaturaliumcQneras, deter- minavi Graphice; confiruendo Schema fatisampium, inquovide- licet femidiameter Ortns magni ( partium 10000 ) aeqiulis eflet digitis i6j pedis Anglicani. Tandem ut cdnfiaret an Cometa in Orbe fic inventoveremo- veretur, coUegi per operationes partim Arithmeticas partimGra- phica», loca Cometx in hoc Orbe ad obfervationum quarundam tempora : uti in Tabula fequente videre licet. Ike, TAr. AUr. 12 5 5 Diftant. Co-^Ln^. Cplkd. meniaSole. 27j»2 840} 16609 »»7J7 6 3» Ut.CoUed. 8.1 8| z8 . o LoDg. Obf. 6 \¥ 6 .jii o ij .29$ |V 16 .59S Lat. ObT. HifSa. Loi^. 8 .x6 ^ I + »7f 28 o — I Lat. - 7i + n XI) |tf «7 • 29 . i^i f 2 . 4 I 29 .^of 112 . )^ Pofiea vero HdUeius nofisr Orbitam, per cakulum Arithmeti- cum , accurarius determinavit quam per defcriptiones lineaium fieri licuit; & retinuit quidemlocumNodorum ins&v i'*^^*» ut&teno. vero Peri- hclii aiwxA u\.uit; UL XClUlUll UUlUCLUlUUUmX^HUUUlUIU lU auL & focUnationem plani Orbits ad Ectipticam 61 >'* 20'}, pus Perihelii Comet» Dectmb. 8*. o\ 4' : diftantiam PRINCIPI A MATHEMATICA. 4^9 fitelii a Nodo afcendetite, in OrbicaCometse menfuratam, invenit efle 9«'- 20', & Latus redum ParabolaB efTe 24 j paitidm, ex- iilente mediocii So^ aTetartdiilantiapaitium toooo. £x exhil datis , calculo itidf m Aritfametico accutate inftituta,loca Gometie ad i^er vationutn teappora con^ta vit , ut feq>iitur . TdDpiis Ktuin DiOaiitia ConicaeaQj iSotS 7000S 75576 .S40&X t666l IOI440 XIO959 Xi)l6l iioooo «45570 «55)05 160951 J666H iots7J 116105 Loiig.oomp. aS. XiJ. 17. T«- ig. 10« M • M- 16 . »5 19 4S # »9. 4t- !&• 11-40 40- 5 49-49 44.5^ 41 • o O. II 3J»40 lactOOiBp, 8 .U, 11 .4) »7 11 5^ >5 i^8 4f II *5 4^ »7 18 18 atf M »5 11 17 t6 »5 II 11 11 X iIO IX M la 44 17 57 4* 4 »9 48 5 o to 40 1« 10 to »S 54 10 J» 55 7 «5 «I o 40 Qot. Apparuit etiam hic Cometa menfe i^mm^' prscedente, & die undecimo hujus menfis ftylo vetari, ad horam quintam ma- tutinam , Cantuari^e in AngUa , vifus fiiit in « i si cum latitudine boreali 2 P- circiter. CsaffiffimaftiithfiecObfervatio: melioresfunt quae fequuntur. Nav. 1 7 , ft. vet. Ponth£us & focii hora fexta matutina Ronug quanim nna media eft trium in refta Imea m Virg^* sxMkMAn nis auflrali mami > & altera eft extrema als. Unde Cometa tunc ftiit in A 12. 46% com latitudine aoftrali f 0', Eodem ^x Bo-^ jbflKtf in NmjihAH^ tn Lidtudkie .4ai.^dQumr hora qionta matitfma, (id eft Lmim hora matutina 9. 44') Cometa viCus eft prope « 14, cum latitudine auftrali i*^* jo% uti a Cl. HaL . k$o acce|a. Nw. 19. hora mat. 4,^ Csaita6r^£ , Cometa T obfervante ju> vene quoidam) diftabat a Spica ne quaft z^- Boreazaphymm vexfus. Ex)dem die hor. 5. mat. Sojlnd^e m Nova^Angbst Co- nketa diftabat a Spica- ic gradu uno , differentia latitudinnm ex- iftente 40'. Eodem die in hifula Jamatca . Cometa diftabat a Spica mtervailo quafi gradus unius. £t ex his ot^ervauombus. inter fe coOatis colligo, quod hora 9. 44*. Lmdim^ Cometa. erat in a 1 8 >'* 40', cum latitudme auftcali 1 v- 1 &'circiteF.. Eodem die D. JT' ibumt Stwref ad fluvium Pat«xentt prope Huntmg-Qreek in Marj' Land, m confinio t^trginue in Lat. ^%^**' hora quinta matutina (id eft, hora 10* LoHdmt') Cometam vidit fupra Spicam i|p, & cum Spica propemodum conjundum > exiftentediflantiaintereof- dem quafl ^*'- Obfervator idem, eadem hora diei fequentis» Cometam vidit quafl 2 v- mfieriorem Spica. Coiqimenc hc oiv fervatkmes cum obfervatien&us i» Nova- jingka6cyamaita&6tis, ii modo diftantis ( pra- niotu diuma Comet» ) nomuhil augiean- tur, ita uic Comecadie priore fujyeribr eflet Smca m, altimdine I V' cirdter , ac die pofleriore inferior eadem fleUa x aldtudine per'> pendictdari 3 ^- 40'.. Nov. 20. EX Montenojmt Aflronomie Vto&ffac Padnenfrf botx. fexta matutina yenetits (id eft. hora 5 10' L(mdm) Cometam vidit in 01 2^*'y cum latitudine auflrali ic- 30'. Eodem die Bofiomte. diflabat Cometa a Spica ivp, 4'- longitudinis ia orienr tem, adeoque erat in a >)•'* 24' circiten. Nov. 21. Pomh^ens & focii hor.mat. 7| Cometam obfcrv»- runt in e» 27 >'' 50', cum ktiitudine auflrali 1 f- 16'; jit^o hor» Suihta matutinar in « 27 v- 45'^ Momenatus in €» a^c- 51'. Eo> em die in Ixtfula 'Jamaiear Cometa vifus eft prope princiinum Scorpii, eandemque circitec latitudinem habuit cimiSpica Vi^* ais, id eft> z^ x. ' Nov. 22. Cometa vffus eft 2 Mmenaromntt. 93'. Bifiam^ antem in Novtt-An^ sqjparuit ui «» }■** circiter , eadem fere cum ktitudinfi ac prius> id eft, i ^- ^o'„ Eodem die Londm, PRINCIPIA MATHEMATICA. 461 hora mat. 6j Hioktus nofter Cometam vidit in m 3 »'• 30' cir- lw% citer, idque in Bnea refta quae tranfit per Spicam Virgaiis &T»»xMfc Cor Leoni^» non ezade qoidem, fed a hnea iUa paululum defle- ^enton ad boreamr Mmteiuariu iddem notavit quod Unea a Cometa per Spicam duAa, hoc ^e & fequentibus tranfibat per auftrale kcus Cordis Leonis, interpofito perparvo intervaUointer 'Cor Leonis & hailc< lineam. Linea reaa per Cor Leonis & Splcam Virg^s tranfiens, Eclipticam fecuit in «ir 3''* 46', in an- gulo » >'' 5 1 . Et fi Cometa locatus fiufi*et in hac Imea m m 3 •'> ejus latitudo fuiflet 2 «^ 26^ Sed cum Cometa codientientibus- H*'' }&''' Haeclatitudo r uti di:dmus» ex obfcrvationibus Mmtenari* Angomsf & Hookii, perpetuo augebatur; ideoque jam paulo-majw erat quam i >*' 58'; & magnicudine mediocri , abfqne notabyi errorey fbtui potd&^r- 18'. Latitudinem FontbaasSc Gdktiia }am decrevUTe volunt , & CMus & Obfervator in Novo' Ai^ha emdem fere magnitudinem retinuiile, fcilicet gradus unius- vel unius cum femifTe. Crafitores.funt obfervationes Pouth^ei & fjeUiit tx prxf^tim qus per Aximuthos & Altitudines capieban-, fur, ut & es GaUetti: mdiores funt es qux per pofitiones Co- mets ad fixas a Montenarb , Ho squalem efle di(UrRia& ejqs si ilella lucicla in dextra ah Corvi : • &: hinc locandus eft Cometa in interfe^tione hujus drcv^ quein Comeu motu apparente defcripfit» cum drcnlo maxLmo qui a &sas iUis duabus zquaUter difiat > atque adeo in a 7 >'* 54% cum latitttdine auftraU 4.J*. Pracerea Montenarus^ Monfemb. 20. hora fexta matutina ymtHs, Cometam yidit non totis qnatuqir gradibusdifbntiam aS^ica; dicitquehancdiflantiam, vix squafle dKbntiam fteUiumm duanim lueidarum in aUs Corvi, velduanun in juba Leonis, hote eft x «'• & 30' vel 32'. Sit iptur diftantia Comets a Spica ^V' 30', & Cometa locabiturimsi 22*'- 48', cum ktitudine aimraU i *** 30'. Adhsc Monteaarus, Novemb. 21,22, 24 & 25 ante ortum SoUs, Sextante seneo quintupedaU ad mi- Auta prima & femiminuta divifo & vitris Telefcopicis armato , diftantias menfuravit Comets a Spica 8 v- jg', 10 «*• 13', 23 v^ 30', & 28«'' 13': &hasdiftantias, per refradionem nondum cor- re6Us, addendo longitudini Spics, coUegitCometamhis tempo- ribus ftiifle ivLa 27»'' 5i'. n 2.»'' 33', «112»'- 52' & m ^v- 45'. Si diftantis iUae per refra^ones corrigantur, & exdiifkntiiscor- reftis difterentiae longitudinimi inter S[ncam & Cometam probe deriventur , locabitur Cometa his temporibus itt * 27*"' 52'. f^ iv- "^S' y m. liV' ^%' Sc m. 1 7 «'• 5 5' circiter. Latitudiiies au- tem ad has longitudines in viaCometae captas, prodeunt 1 ''-45', \V' 58', 2P' 22'& 2»'- 31'. Harum quatuor obfervationum ho- xas matutinas Montensrus non pofuit. ; Priores duai ante ho- ram fextam, pofteriores (ob viciniam SoUs) poft fextam fa^^ae •videntur. Die 22, ubi Cometa ex bbfervatione Montenari loca- tur in m t^- 36', Hookius nofter eundem locavit in m 3«^' 30' ut fupra. Montengrus in defedu, H) tranubat per medium diftantidBintercaudamferpentisOphiuchi& flellam ^ m Aquila^ auffarali ala, &dermebatpropefiellaSif , u^bmf Tabulis BayerL Terminus igitur erat in 1» r^l*'- cum latitudine boreali Jj^t^' circiter. Dec. 1 1 furgebat ad mque caput Sagitta^ (Sayero, <», jS, ) definens in >9p 26^'- 4.3% cum latitudine boreali 38 5'- 34'. Dec. 1 2 tranfibat per medium Sagittae , nec longe ukra protendebatur , definens in «i ^*"- , cum latitudine bpreali ^^a»*- circi- ter. Intelligendafimthoecdelongitudinecauda^clarioris. Namluce obfcuriore , in ccelo forfan mag^s fereno , cauda Dec. 1 2 , hora 5 , 40' R^i»if (obfervante Tomhdo^ fupraCygni Uropy^uni.ad gradus la fefe extulit; atque ab hac (tella ejus latus ad occafum & boream min. 45{deiHtit. Lata autem erat cauda iiisdiebus gradus 3 , juKta terminum fuperiorem» ideoque medium ejus difiabat a Stella illa 2*'- 15^ aufbum verfus, & terminus fuperior erat in x 22 «^* cum latitudine boreall 61^'- Dec. 21 furgebat fere ad cathedi-am Cajio^ fei£ , SBqualiter diflans a 0 & Schedir , & diflantiam ab utraque difbntis earum ab invicem squalem habens , adeoque definens in X 24^'- cum latitudine ^ljty'^ P^c, 29 tangebat.*y^AM/ fitam ad finiftram, & intervallum fteflarum duarum in pede boreali Afdro^ nuda accurate complebat, & longa erat 54^'' ad^oque definebat in V 198'. cum latitudine 35«'% Jan. 5 tetigit fleDam «r in peftore ylndrameda^ ad iatus fuum dextrum, & flcUam f* in ejus cingulp, ad latus finiftrum; •& ( juxta Obfervationes noftras) longa erat 40P* ; curva autem erat & convexp latere fpe^abat ad auftrum^ Cum circulo per Solem & caput Cometge. tranfeunte angulqnj confecit graduum 4 juxta caput Cometae ; at juxta terminum al- tenim inclinabatur ad circulum illuminangulo 10 vel 1 1 graduum & chorda cauds cum circulo illo continebat angulum graduum Nnn ofto. ^M 4^ PHlLOSdPHI^ KAtUitALt^ o6to. Jm, 1 j CiUlcU lilce ftti^ fetifibili teradiiibstttr mter /^ £mi^T> «M^^ ^ '^^<>^» & 1^^« tetiuiirnBa defid^t e te^one Aelfee ^ m latere Per/rf . Diftantia termini caudiB a circulo Sotettk & Come- tam jiffigente erat yf" 50% & iheliitatio ehordoe catdft ad circu- hitn ilbim 8^^- . JmH. 2^ ££ S6 Itite tehtii «niciibat ad knigita- dinem grdduum 6 :^6l 7 $ & tiln eoeltim valde ferenum erat, Itice tenuiflima & aegerrime feniibili attingebat longitQdiiiemgradtnim duddecim otodfitiGne Solis bbream Veriiis iti imguidgi^dtttim decem. Vc^ ^ue i^l^. id Gaudam oeuUs armatis a^ld ^^dtiS du6$ km' gftm. Nam Itiili: pi-ftdi^a tehtiior per l^itra fton ^ppaftnt. ton- ih£us autem Fifi. f flb dftodittn 4A Ipftgitudinem gfafdttom i» vidifle fcribiL Orbem jam defcripfuih f{^anti & f£lk(tiaCom^tarhnjasi%ap- ]k>mena in aiidmo f eVOlVeii^ti', hiiud difHcultef cpnftabit qudd cor- pora Cometafum fnnt fofi^ ', ednlpa^ia , fi jm tt dtirabmd ad in- fiaf corpPrumTkttietanini. "Htati tt nihil alind effcat quam vapo- res vel exhalilfidne& Teffi^; Sofis & PhUietartimj CcMieta hicce in tf anfitu fuo pet vicinkni S6Us ilAdfh diffipwi debdiner. Eft enim calor Solis ut radi6tlimdeitilit^^j hoe^^r6d{»roceut VUin Solem, ilt expertus fum: & calor ferri candentis (fi refte Gonjeftof) quafi triplovel quadruplo majorquamcaloraqaftefcrut- fientis ; adeoque calor quem terra arida apud Comettot in Peri* belio verfantem e3c radiis Solaribus concipere poffet, qnafi 2000 Vicibus major quam calor ferri candentis. Tanto autem calore Vi|>ores& exhalationes, omnifque materia voktilis ibtim ccmfumi te difTipari debulfrent. Cometa i^tur in Perihelio fuo calorem immenfum ad Sdein Concepit) & calorem illum diutiflime confervare poteft. Nam globusferricandentis di^tum unum latus, calorem fuum omnem Ipatio hore unius in aere confiilens vix amitteret. Globus autem tnajor calorem diutius confervaret in ratjone diameeri, {»t>pterea ^itoa ftiperficies ( ad cujns menfuram pet conta^him aeris ambi- cntis • 'MATHEMATICA, ^67 dxtis tefHgerator )- m ^rationfe loiaor eil pro qaandtftte mate* iiun rie fiis radidse indiils. Ideoque- gtobus ferri cand^tis h\uc '^<^y<<^ 'DeTr»' aeqnaiis , ideft, fndes ]rfits.minQS'44»09pooo iauis, diebus toftidem, &idcircoamiis ^oooarvixreirigeiberet. Sui^cor€*« men quod duratio Caloris i eb caufaslatentes, augeaturinminoro rationequam ea diametri:&opttfim tationem veram per txptd- menta invefiigari. Porro not^um eSt quod Ccmieta Menfe DeeemMt iibi «d Solem modo incaluerat, caudam emittebat longe major^ & fl^endidiorem quam aiMea Menfe Nwembri, vHbi Periheliwn noti" dum attigerat. £t univerialiter caudc onmes maximfle&fiilgeiH tifBms e Cometis oriuntur, ibtim poiltranfitfimeonmiperregii onem Sotis. Conducit igitur caleiadio Comets ad magnitudi- nem cauds. Et inde coiUgere vidfor quod cauda nibU «Uvd Gt quam vapor^ge teouiffimns, quen oupiat feu nuckusCometv per calorera fuum emitdt. ' * Caeterum de Convetarumcandistrifdexeil opinio; easveljubar eifeSoUs per tranilucida Cometarumcs^ita propagatum . veirem a capite Cometsjugi- ter furgentem & abeuntem in partes a Sole averias. Opinio pri* ma eonim eil qui nondum imbnti fnnt fcientia rerumOpticarunk Nam jabir SoHs incubiculotenebmibiion ceniitttrv nlii quatenui lux refle6titnr e puhrerum & Ibraorvm particuiis per aerem fem* per Yolitantibus: adeoque ih i^e fiuBis craiBoribus infedo iblen«> didius eil,&: fenfum fortius ferit^ in aere clariore tenuius eit, & sgriusientitur: in coelis autem abfque materia refle^ente nulhim poteft. Lux non cemitur quatenus injubare eil, fedquatenu$ inde refle^tnr ad oculos noifaros. Namvifionon fitniiiperradio9 qui in oculos impingtmt. Reqmricar igitur materia aliquacefiedens in re^one caudae , ne cadum cocnm lnce Sc^s illufkafnffl unifor-» nriter fplendeat. Opinio fdcnmda muttis premitur dif&mltatibus. Caudae nunquam variegantur coloribiis: qui tamen refra^tionum feHetS. etfe con^es inl^ar^es. Lnx Fixarum & Plapetanim di* ^&nft^ ad nos ttanfmifu, demoiifirarffiiediuffl co^fte nuilavire^ £«a^va potlere. '^m qtiod dicitttr Fixas ab z^gj^iis com«ta$ tioanunquafn ^s Mie', id epkoaiam rarifficne contmgpt, adfcrir bendum efl nubium refradioni fortuitae. Fixarum quoqueradiar i&ofc fcintiHaiio. ^ fefra^nes tum Oeuloitun tum Aeristrc* lii^ il^erendd ^t 'qdtppe ^ii# ^idmotis oeuio Tefeicopits , Nnn 1 evane- ^^^fni^ia^mr, ^ssrs. ^ a*=n=r==r==i -naBaxmi aBBate fit nt ndii ii(^l£<'.<: auime: nns: ,i i,j;iiMc ♦*w!t«itnir- Neqms con- %t:uiiir. vuiK va.wjst. icn j^/saac ■^■.■n-rT jLZaaBOss cam eoranilnx ttfn. *A jtr^ Tjr-.:. . .vx& -nnc: sdL »- "'"^" sBt inbait £ttis vi- :ivtt.ii^ u^iicr. -nr.t' tntai<: - L. n' ■■■m-w^ ■■■"■Sliiiiininmn i mj : 1c.ji:ii^im: *± Ttuvc u:£ •jjxiljul •pns -"*■«— ' «afans angeripoteft gfc-iia«uuait TsreaiaijHis^ ■Bg3mcmnnK>..iiJumtm. Pbaeta- rwK 'UiMMK iCK ^isDifuicr s^ cBnsec -«sn. mfis: Cometaeautem fmfit ksatixJaxttt. ^iae. iCL^cicaK Jnc T-nwseit &TiUeobtufa: ie- ^ri<^ & tiX£&: pusst JmL sr &: aS ogm afiparebat nt itella ifyiisam ttBf-* twyf"'i^'-r- . cactSs -teoiKcqBidem pertenui fe4 iaua, fa^xyui '/oog^tsat » t£ ' craiB, & Ikc obfcnriifima» «^-^ cerrjs tDCffjSet^ ftxrimmsr j^ f ■'mbjiim dnodfidmnm «d p«.>/ ^:ra: st fspa r-rT-m eK.~ Sed & /vA. 9 & 10 ubi cap'.^ rr^ ,. oa;^^ Tiisri deficoK, orda gridns dnos kmgam fK^ Tck^icofna coaiiemBbtBs fiM. Pano fi canda oriretnr ex rdhhtfAin mMtenat orieffis, & pio figcracijdunun dfeflcfterctur «fe brArt opfyrfitUyne, dcberet dcdcxio^iSa in iifdemcoefireg^oni- I^^M fn «mdir/i (cmper partem eeri. Atqni Cometa Amii x6So i^i^' ili' hora t^ P.M. Lmdam., Ycriabatnr in x 8>'- 41' tum Sole exiileDte tntix KnA 1^77* T)te. 29 verfiibatnr in x 8^^ 41' cnm latitu- duK borcalt lif^ 40^, Sole etiam exiflcnte in v i8>^ 26' drci- ier. Utroque in caiti Tena vcr&faatnr in eodem ioco, & Co> iTMrta fpparebat in eadem coeH partc : in priori tamen cafu cauda Comct» (cx meif & aliorom Obfervationibos} declinabat angulo ^raduum 4^^ ab oppofitionc Solis aqnOonem verfus ; in pofte- riore vero ( ex Obfervatiombus Tychtms) declinatio erat gra> tluum si in auftrum. Igltur reiradiaei cGelorum refiradioiie» fu|H*rcil ut Phanomena Caudarum ex. materia aEqua refle^eate dcfivcmtur. Caudw aui«n a capitibus oriri & in regiones a.Sole aveifas ifccndcrc coniirmatur ex legibus quas obfcrvant. Ut quod in plaEds PRINCIPIA MATHEMATICA. 469 .planis QrbiiimCometaramper Scdem tranfeundbus jacentes , de- lxbbh viantab oppofitione Solis ineaslemper partes, quas cajnta in^*"^"** Orbibus UUs progredientia rdin^unt. Quod fpe6iatori in his planis conitituto apparent in partibus a Sole direde averfis^ di^- . grediente autem fpedatore de his planis 1 deviatio paulatim fetv- titUTf & indies apparet major, Quod deviatio G«teris paribus minor eft ubi cauda obliquior eft ad Orbem CometaB, ut &4ibi -caputCometae ad Solem propius accedit ; prasfertim fi fpedetur .deviationis angulus juxta caput Comet». PraBterea quodcauds non deviantesapparent reAsB^devtantesautem incurvantur. Quod curiratura major eft ubi major eft deviatio , & magis fenfibilis ubi cauda caeteris paribus longior eil : nam in br^vioribus curvatura sgre animadvertitur. (^iod deviationis angulus minor eil juxta caput Comets, major juxta cmdad extrenutatem atteram, atque 4ideo quod cauda convexo fui latere partes ' refpicit a quibus fit deviatio, quaeque in refb funt linea a Sole per caput Comet» ia^ infinitum duda. £t quod caud^ qua^ prolixiore&funt&tatiores, & luce ve^etiore micant, fmtad ktera conv^ paulo fplendir diores & hmite minus indiilindo termihatft quam &d conorra. .Pendeiit igitur Pha»iomena caudaB a motu cai^tis» non atitem a regione coeli in qua capat conipicitur ; & proptereafton fiuntper refradionem coeiorum, fed a capite fuppeditante materiam ori- untur. Etenim nt in Aere noflro fiimus corporis cujusvis igniti petit fuperiora» idque vel perpendiculariter ft corpus quieKrat, ,vel ohlique fi ccMrpus moveatur in latus: ita In Coelis ubi corpora gravitantin Solem, funu & vapores afcendere debent JlSole (liti jam diftum efl) & fuperiora vel refta petere , fi corpus fumans quiefcit; vel obfique, fi corpus progrediendo loca femper defoit >a quibus fuperiores vaporis partes afcenderant. £t obliquitas iffai ^nnnor erit ubi afcenfus vap^ris vdocior cfk: nimirum in vicinia .Solis & juxta corpus fiumns* Ex dbliquitatis autem diverfitate . iQCurvabitur vaporis cc^mna : & quia vapor in columns ktere .prflK:edente paulo recentior eft> ideo etiam is ibidem aliquanto denfior erit» hicemque propterea copiofius refleAet, &lumtemi- nus incMfiindo terminabitur. De Caudaram agitationibus futdta» neis & incertis» deque earum figuris irregularibus, quas nonnulH :<)uandoque defcribunt^ hic nihil adjicio; propteirea quod vel a - mut^tionibus Aeris noflri » & motibus nubium caudas aliqua ex parte ohfcurantium oriantur ; vel forte a partibus Vis L €s: Cometaram .^troofpfaffns arui pattbi intrttptHr er raritace J^m nfi&d. Nam A^r juzi^ iHpeifideaBLTcan ^atnm occnpat «nafi B50 partibus majqs qium Aqua eiufikm pofidenst idcoifBe Aeris cciliimna cytindriea pedes Sf o aJta, cgmdem eft ^ndms cum Aoas cohunna pedali ladtudmis ejnfdem. Ccrfamiia antem Aeiis aa fummitatem Atmofphaer» affiirgens aequat pondere fiio coiumnam Aqus pedes ^3 aitam drdter ; & propterea ii colom- 0S totius Aeres pars uferior pedum 850 altitadinis dematur, |>ars rdiqoa fbpedor gqnafair pondere fiio oolomnam Aquae jdtam pedes 31. Inde vero (ex H^podiefi nmhis experimentis coufir- mata , quod coai|ve0to Aeris ik ut pandus Atmofphaere iAcura- /ifeeolt^, qiiodquescapvitas-&: xecipcoce ut quadratom diftaatis io* cpanm^ a centro Tecrs) compuDadoaeni per Corol. Pcop. zx««. ijdb. QL ioeundo, imneni qsod Aer, ii 'dcendatnr a fuperiioie Teme adakitudiQemii^midiaaietii unius terre{lris,rariorut<|aam i^iul xu>s in ratione looge m^ori, ouamfpatii omnis infraOiv ■bemSatonti ad ^ctoam dsameixo cUgiti imius defcriptmn. ideo- que g^otms Aeris noftd d^tum unum latus, ea cum rariiate atils Cioelefiibus inque Cometaram caudis non adeo rarefcat ; perexi^ gnitm tamen quantitattem Aeris & v^^orum, ad omnia iUa caudak rum Phcnomeiui abnnde isifiicere , ex htac computatione peripl- cimm eft Nam & caudarum infignis raritas cofiigitttr ex aradk fer eas tranihiceatibas. Atmolphicra terreftris luce Solis ^^ei^ deos, craffitudine fna paucorum milHarium, & aftra omnia&tp- &Ai Lanim obfcurac & «aDtioguit penitus : per immenfam vero icsaudamm craifitudinem^ hiai pariterSolariiUuftFatam, aftra ml- .lUEna afaf^e dariiOrtJi; detrimento tranftucere nofcuntur. Neq^ nsj/x efle foJbst caiadarum pJurknarum fplendor, quam Aeris no- ftritn fieoi^odocitbicuk) Ixtxtudioe di^tiimius ikioramve^ hioeip ^lis in jnbas» sefleifteptis. PRINCIPIA MATHEMATICA 471 j(^ tesnporis fpatior raqpcf a eapke ad tctnmmD^cmAsi aCcen- li^ dkf eognofei fere poteil dttcendo re^am a termihocaodaffadSa-J leiir> & notando locum vkA reda illa Trajedtorkm fecat« Nam «aporin tenmiiocaiidar, ii re£la afcendft a Sc^, afeendereeoeptf ^ caintci quD tempore caput cnt in kico inteffe6liotus« At vapotf non rie6bi afcendrt k Sole, fedmotnmCcMnetx» ^em ante ^ceftf iam fnam habebatr retinendo» &cmn moti» afeenfi» im eiindni GOfnpcXKndo» afcendst obliqne. Unde verkxr ent PrcUeniads folutio^ nt re^a jUa qns^ (>rbem fecat, pavdfiek fit loiigkttdim caud«, Tel potios (ob motumcnrvilinetnifCoiKt») nt cadarkA linea cafods diverg^t. Hoc pa6io inveiadi qnodvaiMM? qni erat ia termino cands Jan. 2^ , afcendere cceperat a capiteancei^ef.itt adeoqae afcenfix fuo toto dies pios 45 confusnpferac. At cattdt iUa omnis qnaB Dec. 10 apparoity afeaida»Bt ^pacio dieriimidk»- nim duoram, qui a tempore Perihelii Comets ejapfi lifte^anC. Vapor i^tur fub initio in vicinia Solis cderrime afcesuiebat $ & poftea cum motu per gravitatem fmin fempcr retardato ^tknt dete pergd>ar ^ & aicendendoangebat longitudinenvcMidtr r^ hfvm ftmt^ nonaicendunt motn cderi &.perpetao arxafstiibwi&iiri^ evanefciofity fed isnt permanentes vaporum & ^xLdatiiDiium cck kmms^ a capftibusIoitiflimomBkocunLdieruiftnuitap^^ qu»> partkipondomotuKiUumcapitmnqaemhabi^ per Cfldos una cam es^tibusmoveri pergtmt. £t hinc rurfuf cot- figicar ipiatia coeteilla vi reMendi deilitui ; utpote in quibus non folttm foiida. l^netaram & Ccmietarum corpora^ fed etiamranf' iimi caudarum vapores motusfuosvelociifimosliberrimeperaguttC ac diutiffime confervant. Mcenfum caudarum ex AtmofphsBris capittim&progreilimaiia partes a Sde averfas Kefkrus adfcribit adioQi radiomm lucis ma-* teriam cauds fecum rapientium, £t auramlonge tenuiilknamin ipatHsliberrimis adtioni radiorum cedere, nbn eit a ratione pror'' fus aHenum^ ncm obibmte quod fubibmtiae crailk^ impeditimmi» in regionibus noibis^ a radiis Solis feniibiliter propelli necpouit^ Alius pflOticuTas tam leves quam graves dari pofie exiilinsatt ^^ & ffiateriamcaaxdaruxn levitare^ perque levitatemfuam; iSc^ afcen* 47» PHILOSOPHI^ NATURALIS th MMmdere* Cani aoteiii gravitas corpQnim tenefixiiiin ik nt mateaa sr.r^HATB'^ corporibiiSy ideoqae ferva&i qnantitare matens inteDdi & re- mitti neqoeat, fa^picor afcenfnm iUnm ex rare&ftme materue candanun potinsT VModmun & fulgendfliiiMm emittdbatr parvuBi effe & im^mytii- dine vifibili longe cedere Comecae^ qvi MenSb Mwemln^$ ante Sdis ortom appanierat. Cujus rei ra&oaem efle coiyefUbaeiir, «lod materia capitis fub imtio copiofior dSets & paidatiiiL Gao- uimeretiir* Eodem fpedare videtur quod capita Cometarum alTomm , qnl caudas maximas & fulgentillimas emiferunt,^ a;^>arueriat fubob- icura & ex^;ua. Nam Aima i668< M^ofl 5. SL.nov: hocafeptima ▼dpertina K. P. f^slmtmms EfiMdus , Bra/Hi^ agens, Cometam vidit Horizonti proximum* ad occafum: dd£s hrumafem r ca^te minimo & vix ccMifpicuO', cauda vero fupra nMsdum fulg»tte,i ut ihntes in littore fpeciem ejus e mari reflezam fiunie ceraesm:. Speciem utk{uc faabeb^ trahiis fple]ident£& lon^tudiQe 23 gra- duum^ aboccidentein auflrum v^^gens» &H^«nitiiefe paral- leia. Tanttts autem iplcndor tres folum dies durabat,, f«i^de Aotabiliter decrefcens % & intierea decrefcente fpkndore aii^la eil, magnitudme cauda« Unde etuim in f^ortvgaUia ^uartam £eee eoelipartemCideil^gradus^f ^ eccupafle didmr , aboccideatein orientem fplendore cum iniigni protenfa ; nec taraett tetaappaiuit > capite femper iii h£s regionibus ihfira Horizontem dditefcente^ Ex incremento cauds & decremento fplendais manifeflum efk quod caput a Sole receflit,. ck^ proxinmm' fuit fiib iiiitro> pto . flKMre Coiftets anni 16S0-V £t (mulis legitue Cometa waoi 1 10 1- vel 1 ro6 , cujus SttUa er^ parws (g oh(f$ira (ut iJte ai»i l^iSo) jtdjfknisr fui ex ea exrvH vMe ikrus & fuafi mgens o^ ad Ormtm & Aqmlonms tmdikat^ ut habet Ilevefms ez Smume- Vunelmmfi Monacho. Apparuk initk) Mm&^MruarHr circa v^- ^eram >.ad occaium Solis brumaIem.lDdie verO'& ex fltcHiaadse col- l^tw caput fuiire Soli viicinumv d Sde , inqjoit MatdjuBus Pari- feniis, difiabat quafi cubiu um^ id> hmra tertia [re£tius fexta] uf- que ad horam nouam radtum ex fe Im^um eumtstns. Talis etiam: erat ardentiflimus iUe Comete ab ArtfinHk deicriptus Lib. L Meteor. 6^. cujus caput frima die mn eemf^&um^ efi^m qued ante -Sikm vel Jaliem fub radiis fobsrihuf ooatdiffet ^. fequme vet^ dse fuantum potuit viftm o/i. Nam tjjuam umima fieri mt^ diflmsUa Sokmre^mt^ & mox oocuhuit. Oh mmiumardmem f caudie idfi- cct] .mndum apfarebat cafitit fparfm iffiitrfid proudente teuu^ fore (ak AriftoteIes> cum [caudi^ j^ minus fiejgraret ^ reddita^ 00: [cafpiti} Comet^e fua fadesi. Bt fpkndortntjumm ad 1 «^^ aak partem Lii qSLj,. ad ^^\ eptttniit^ J^MT* ttmfjurt PRlKCIPirA MATHEMATIGA, 47$ tempare ifykrm 9 & mfemdm iffque sd ]3dnms Gometps efib^nus Planetarmn in Orbihus vahle 9c- centricis circa Solem revdkentium. Et quenHulmodum e iRlane- tis non caudatis, minoreseiTe folent quiin Orbibus minoribus:& Soli prcmoribus gyrantur, fic etiam Con^tas, quijin Periheliis {uis ad Scdem propius accedunt, ut plurimumminortt eife, .ne Solem attra^one fua :nimis agitent , rationi conientaneum^videtur. Orbium vero tranfverfas diametros & revolutionum tempora periodica, ex colladone Cometarum in iifdem Orbibus pdilloQga temporumintervalla redeundumy determinanda relinquo. Inu^ea huic negotio Propofitio fequens lumen accendereipoteih PROPOSITIO XLH. PROBLEMA XXH. ^rajeBoriam Cotneta Graphice irrventam corrigere. Oper. 1 . Affumatur pofitio plani TrajeftoriaB , per Propofitio- nera fuperiorem Graphice inventa; &feligannirtrialocaCometaB obfervadonibus accuratiflrimi& definita , &: ab invicem quam ma- xime dillantia ; fitque A tempus intet primara & fecundara , ac B tempus inter fecundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo in Perigxo verfari convenit , vel faltem non longe a Peri- gaeo abeffe. Ex his locis apparendbus inveniantur , per opera- tiones Trigonometricas » loca tria vera CometaB in aflumpto illo plano Trajeftoriae, Deinde per loca illa inventa , circa centrum Solis ceu umbilicum,.per operationes Arithmeticas , ope Prop. XX r. Lib. L inftitutas, defcribatnr Seflio Conica: & ejusarex, radiis a Sole ad loca inventa duftis terminatae, funto'D&E; nempe D area • inter obfcrvationem primam & fecundam , & E area ihter 'fecundam ac tertiam. Sitque. T tempus totum quo «rea tdta D4^E, vdddtate-Cometx per'Prop. x\^f.'Lib. 1. m- venta, ddbribi 'debet. ' , Opef. 2. AugeAtur lon^tudo^Nodorum Plani Trajeftori^, ad- ditis ad longltudinem fllam 10' v6l 30* , qw» dicantur; P ; .& fcr- vetur plani illius inclinado ad pl^um rlclipticor. Deinde ex Ooo 2 prae- 47^ PHILOSOPHIiE NATURALIS Di MoHm pnedidis tribus Cometae lodsobfervatis^ invemantiirinhociiovo ststkmati jdano loca tria vera (nt fupra: } ddnde etiam Orhis per loca illa tranfiensy & e^dem arefl^duaeinterobfervationesdefcriptast Qns iint d & e, nec non tempos totum t quo area tota d+e de^ Krribi debeat. Oper. 3. Servetur Lon^tudo Nodorum in operatione prima « & augeatur inclinado Plani Trajedoris ad planum Eclipticas , addi- ds ad inclinadonem iUam 20' vd 30% qus dicantur Q. Deinde- ex obfervatis prsdidis tribus Comets locis apparendbus t inve- niantur in hoc novo Plano loca tria verat Orbifipie per loca illa tranfiens , ut & ejufdem areae dus inter obfervadones de- fcriptae, qus fiat / & 1 , & tempus totum r quo area totai+s defcrihi debeat. Jam fit C ad I ut A ad B, & 6 ad i ut D ad £> &g ad 1 ut i2 ad f , & y ad i ut ^ ad i ; fitque S tempus verum iater ohferva- donem primam ac terdam; & fignis + & — prohe obfervads qusranturnumerii»^0, ealege, utfiti G—2Cz=mG—m^+ »G— 0y, &:2T— i S aequale mT-mt+nT—nr. Et fi, in operatione prima » I defi^et inclinationem plani Trajedoris ad Dbnum EcIipticdB , & K longitudinem Nodi altenitrius , erit l+»Qvera inclinatio Plani Trajeftoria ad Pknum EcUpticaB , & K+wP vera longitudo Nodi. Ac denique ii in operatione prima , fecunda ac tertia , quantitates R , r & ^ defignent Latera r I 1 reda Trajeftoria , & quantitates £,/15; ejufdemLateratranf- verfardpeftive: erit R+«rr— iwR+nf— nR verum Latus re- ^fa"^>&T ^^1 — ~T . ^^ — -TverumLatustranfverfuraTra- Li^^mi — m La+n^ — hj-j jeftoriaB quam Cometa defcribit. Dato autem Latere tranfverlb datur etiam tempus periodicum Cometae. Q^E. I. Cffiterum Cometarum revolv^ntium tempora periodica, &0r- bium lateca tranfverfa, haud fatis accurate determinabuntur, nifi per collationem Comet^m inter fe , qui diverfis temporibus ap- parent. Si plures Cometae , pofl squalia temporum intervaOa 9 eundcm Oroem defcriprifTe reperiantur, concludendum erit hos omncs efle unum & eund^mCometam» ineodem Orberevolven* tem. Et tum demumexrevolutionumtemporibus, dabunturOr- bium latera tranfver^i, & ex his lateribus determinabuntur Or- bes ElUptici. JSi PRINGIPIA MATHEMATICA. 477 ^kihiific finem compotands funt igitur Cometarum phirium Trajedons » ez bypotbefi qopd fiiic Parahgllcse. Nam hujuf- modi Trajedorie cum Phaenomenis femper congnieht cpsm- pnmme. Id liquet, non t«ntum.ex Trajeftoria Parabolica Co- mets-anni 1680, quam cum obfervationibus fupra contuli, Xed' etiamex^eaCometsilliusihrignis» quiannis 1664» & i^ app»r' ruit , & ab Hevelio obfervatus fbit. Is ex dbfervationibus fuis longitudines & latitudines hujus Comets computavit, fed npnus accurate. £x iifdem obfervationibus, HaUetus nofler loca Co- mets hujus denuo computavit , & tum demum ex locis fic inveh* tis Trajedoriam Cometae detenmnavit. Invenit autem ejuls No- dum afcendentem in k 21^- jj'. 55"» Inclinati«- l.I^. o Loif.ir Lai.a. • 91 .41 . 01 Long.^ H-H« ^ Lat.a^ 17 .45. o Loi^.V '9. Os o Lat.a. xt.\€* o Loca compa- ttfainOrtc. . j^. / // ^ 7-1 .19 «fi)i.'50 "■^" ^^^^'"^**"*' ^ tf . u • 11 . 14 . 15. IX .40 . o . o S .0 49 • M 3C 18.41 • o 45 .46 . o 19 $ o o X 1.1S.50 M-?9'40 V ?4-*7- ^ 17 . 46 . o Y^ 9« i.it Ii«f4.l|| Temp^ D&M0VK 45* PWLOSbPH!Jfe KAtUkALI^ I 45 *» • 7 - 17 — •-—f^ ' -^" ^^i ' '- -^ i3v aXuBXMSHK lo .45 . St.IO. f o o a 2PaIiliczo 1*1*1 *9 • J7 • o o ._ ^ »aCing- Andrcni, |i • #.41 iaPsihlrdo Lbo^tf 7. 5-40^ir 7- S. t4 Ltt«a. fo.r). o iovi^«t| Ioi^.V 5*M<4S Lat.a. S.XX..SO — ^— ■ ■ ■ r. r « Ck^. Aadrotn. )o 43 . 10 ' IxMJptS 'xt: 55 . jd: LM.a. •1 1. 7 4n V 5.17. i% 40 J7 II tr &• 8. «o 4. 16: 15 o I LdngY ^^ • <4-^^7 Y tt . 14. o ir. x^.Laat^hoi. 0.54. O *4 • 7.« »9 iA• $5 40. 5. o Locffi.V ^•^^•iVi T&6. iS.yo ao.ym.tf ; Lat.bor. S •*Jv^ . . j . »'«. o JlJr. . f . Ancds obterrabacOi^ J£*r. i»i. 76. 0^ • Loiig. v i9-i7-*o 1jri9- t».io Lomdimt cum , ta]t.bor» •«. 57.10. ». |6.ia 4 > * . fc A^>aruit hic Cometa per menfes tres, Cgnaqtie fere fex de- {cripfit, & imo die gradus fere viginti confecit. Curfnsejus acirculo inaximo plurimum deflejdt, in boream incurvatus; & motus ejus fub finem ex retrogrado fa6his eft direftus. £t non bbltante cuifu tam infolito , Theoria a principio ad finem cum obfervationibus non minus accurate congruit , quam Theoriae Planetarum cum eorum obfervatiombus congruere folent, ut in- ^icienti Tabulam patebit. Subducenda tamen funt minuta duo prima circiter, ubi Cometa velociilimus fvdt; id auod fiet au-* ferendio diiodecim minuta feciuida ab angulo inter Nodum afcen* dj^tem & Perihelium, feu conflituendb angulum illum 4.9^- 17'. 18". Cometae utriufque (& hujus & fuperioris) parallaSds iniiua ihfijgnis fuit, & inde demoitftratur motus annuusTerrae in Gonfirmatur etiam Theoriatper m6tum Cometffi q\li apparttit iftno f6&3. Hic ftdt rdtrogitidus in Orbe cujus planum cum pkhb EcIipticdB aii^um ft^re redum continebat. riujus Nodus ifcetadens (computante Balkio) erat in tKijs'- 23'; Indinacio drbitafc ad kclipticam 8 j «^- 2 1'; Perihelium in at 15 «'• 29'. 30" ; tMfhttitia perihelia a Sote 56020, exiflente radio Orbis "magni jbobbp, & tempbte-Perihdii 3^«rf« 2**. 3^ 50'. Loca autem Co- inctflB-jn hoc vrbc.ab ^tf/fei^epmputata, -& cum locis a /itfj»*- fiidk^ ohfervatis cc^ata^^ CKhibeo&ir in Tabuk lequmte* « * 1683 Temp. FRmCIFU MATHRMATICA. 4ry 15. 11.1) iy.14 5 1«- 9-4* .4 '^S'^' d 10. 9 I5>.i4. I i^ 15.10 l^S. 15*44 XI. 14.44: 15.15.51 »^i^. 1 1.55.11 44f-4S xo.59.1l M.J5«»* 1.8. 9.**. 18.11.55 10.17.1i; 11. 1.5P 1j.jtf.45 %6- 50.51 ne i*47*2) 3.48^. 1 f-45-*J 9. 5 5-49 10.56.48 15.51« 10 -Comct» Lac. Bor.i ^!^ 15. 5.41 . «t 37-4? jo. 7- 6 5.10.17 5-*7-5J 3I.^7-5$- J 17-4»- 7 X5.19.51 i;.l8.io 10.41.15* l^ 7.57 0.43. 7 y 14.51.55.. n. 7.14 7. 1.1« r &4-45-(< Coiop, 29.18.15 %9-54- o i8«5i.4i 14.14.47 1^.11.51 itf.rtf. 57 *Sv^<5-^9 14.10^9 11.47. 5 w. 637 i^-S7-*5 .5 54.1^ 5 Ji.a5< Auftc. 5 U.5J 8.17- 9 14 58. o Ung, Obf. g'- / /1 S15. i.41 »^ 5J>-4V 10. 8*40 5. XI. 50 * 3-*7- H %7' S4- >7-4i. i^.lS,4tf 15.16.5$ 10.40.)! 16. 5.55 0.41. sj V1449. 5 II. 7.11 7. X.17 V14.44- o UtiBov. ebfa. 19.18.10 *9 54-SPj i^.H- o 18.50.18 ^8.15.40 16,11.15 Itf.T^.^o' I5.^7«i8j U."^-«9 11.49. 5 .19. ( UQ 9 34M 6- 9 11 Auftr. 5.16 50 : 8.L4.4I l<.)8.io Di£r. / rf Di^r. Liv^* 1 Tertius» tj. 4- I. o -f^ o. 7 + »• 1 — OS* — 0.J9 + o. I -rO.46 — i-S» — 1. 1 — 4-Jo — 1 .11 — o. 1 — 1. J -^- f .14 — «• 7> -r 7 -V7 4" 1. 9L + x.JP + 1. o J— 0.17 — o. 5 -:• 1. 4 — o. 5 -r-O.lS»' — t.5J^+r*<>] ■•r" .l> '!-*■ Confinnatur etiam Theorla pef motam Ck>met« retrGgrftdi qui' appaniit atmq^ 1.68^.- Hujti^ NoMJ 8«48.i5 > w,i^.>>A-TT~J JJJ.JiJfUl i^ «seioplis s^^e fki$ xfm^Osm ^, qucKl potqs C refiAentiam nonmdliun fentire debuit , & aliquantulum retar- dari> IPRINCIPIA MATHEMATICA. 481 dari & propius ad Solem accedore : & (iiigQlis revcrfutiotiibus ac- imii oedendo ad Solem, iaddet is tandem in corpas Solis. Std &: in '^**^'*'^' Aplielio ubi tardiffime movetur > aliquando p^ attradionem^o- rum Cometarum retardaxi poteft & fubinde in Solem incidere,, 6ic etiam StellaB fixae aus paulatim expirant in lucem &VdporesB Cometis in ipfas incidentibus refici pofliint, & novo alimento accenfaB pro otellis Novis haberi. Vapores autem qui ex Sole Sc StelKs fixis & caudis Cometamm oriuntur , incidere poiiunt per rivitatem fuam in Atmofphsras Planetarum , & ibi condenfari converti in aquam & fpiritus humidos , & fubinde per lentutii CsdcM^ iniales> &fuiphura9 &tin6hiraS) &limum) &iutum9 & argillam, & arenam) & lapides» & coralla, & fubfkntias aliitt terreiires paulatim migrare. Decrefcente autem <:orpore Solii motus medii Planetarum circum Solem pauiadm tardefcent > & crefcenteTerra motus medius Luna circumTerram paulatimau- gebitur. £t collatis quidem obfervationibus Eclipfium Babyloni^ ,cis cum iis Jlbategnit & cum faodiemis, f/^/feiw nolter mocum medium Luna cum motudiumoTerraBcoUatum, paulatifti acce-i- lerari, primus omnium quod fciam deprehendit. SCHOLIUM GENERALE. Hypothefis Vorticum multis premitur difficultatibus. UtPIa- neta unufquifque radio ad Solem dufto areas defcribat tempori proportionales , tempora periodica partium Vorticis deberent efle m duplicata ratione diftantiarum a Sole. Ut periodica Plane- tahim tempora fint in proportione fefquiplicata diftantiarum a Sole, tempora periodica partium Vorticis deberent eflfe ineadem diftantiarum proportione. Ut Vortices minores circum Satur- num, Jovem & alios Planetas gyrati conferventur & tranquille natent in Vortice Solis, tempora periodica partium Vorticis.So- laris deberent eflfe «qualia. Revolutiones Solis & Planetarum cir- cum axes fuos ab omnibus hifceprdportionibuscjifcrepant. Mo- tus Cometarura funt fumme regularfes, & eafdem leges cum Pla- netamm motibus obfervant, & per Vortices explicari nequeunt. Feruntur Comet» motibus valde eccefitricis in omnes co&torum partes, auod fieri non poteft nifi Vortices tollantur. » Projettilia , in aere noftro , folam aeris refiftentiam fentiunt. Sublato aere, ut fit in Vacuo BayUanOj refiftentia ceflTat, fiqui- deip pluma^tenuis & auruia folidum aequali cum velotkateMhoc 1.. iji Ppp Vacuo -^ ^* PHILOSOFHIJE lNATURiILIS D1.U91IDI Vacup Qi4uoL £t ptr eft ralsio Ypatiomm cGfekfthnn qus fiont sysuMAicik ^q|ira atmofphsBtam Tfirrffi. CoqKaia oniiiia in iflas ^Mitiis iibea**^ xioiie fnoveri debettt ; & piToiiterQa fiiaBecs & Cometis sn lorbi- jjjos ;(pede &vporitioaie datis^iecundom j)^es imprEeaBpcifitaS) por^ petuo^ revolvi. Perfevecabunt quidem in orlmnis fnis per leges gravitatis , fed regularem orbium iitum primitus acquirere per lejges hafce minime potuerunt. Pknetas fex principales revolvuntur circum Solem in ctrcola Soli concentricis , eadem motnis direftiotte^iin eodemplmo qoam- proxime. Lun» decem xevolvunt ur circum TeEram , j cMrem.& Sa- €cir;iu{nincirculiscQncentrici&9 eademimotusdireSiane» in^plxnis p^wn' Fkmetarum quaaQprasime. ¥Jt hi omnes^notQs «e^nures PQ^nem non habent ex cauits Mechanicis ; fiqiridqir 'Oometsiii Orbibus valds t^ccentndbs , & in tnnnes tncraram |iartcs libae feruntur. Quo motus genere domete ^per OrbesPianetanmice» lerrime & faciUime tranfennt, & in i^hehis Ms nbi tardioreB ^^t Sc diutius morantur > quam longimme diftant ab invicem^ jk fe mutuo quam minime trahunt. Elegandffima hacoe Solis , Planetarum & Cometarum compages mm mifi 'caniilio(& doimmo Entis intelligentis & potentis oriri potuit. Et fi Stellae fixae fint centra fimilium fyfiematum ; hsec omnia fimiU confilio conflru Aa , fuberunt Vnius dominio: praefertim cum lux Fixarum fit ejufdem jucura^ ac hix So^s^ & fyitemata omnia hKemia Ofnnia invicem smmittant. Hic omnia regit , non ut Anima mundi , fedutuniverfommDo^ minus ; & propt^ dominiutsi fmmi Donunus Dens Jm^Jj^s: *^-^«€^V^dicifokt. Nam /)rtiJ eft voK rektiva & ad fervos refertur : & DHtas eft <}omtn«tio Dci jfion rn corpus proprium , fed in fervos. DfMS fimmus eft Ens ^emum^ infinitum, abfohite perfe^him; ied£ns'«ccini^ueper- fe6tum fine dominio , non eft Dominm Deus. Ditftinus tmiwiDem mus^ Dm vtfter» IDens IJrMUs: fed non ^icimus o^^miM mem^ jfyEternus vefter, c^ternus Ifrgdisi non ^icimus Jnjlmtas mens ^ InfSnim vsfiery Infinitus IfirdeUs; nondkknus Perf^m mm^ Per^ fiUus vefier^ Perfeifus Jjr^s. H^b ^ippellationes itdationaBi mm habent ad fervos. Vok Dtus pailkn fignificat Dmimtm % ied omiiis Dominus non eft Deus. Dominatio Entis ^l^tiiaUsDeaMi .conftituit, vera veram» fumma fummnai» fidafi6tum. EtcKdo- minatione vera fe^totur » Deum veriiQi-eire vivum:) jint^gentem& potantein; ez x^Uquispeii^^a^nibus ImDmmeftevellmnmeper* fe^tum. PRINCIPrA. MATHEMATrCA. 49 f eft., diwtf ab «tarfio, ia:«^emmn & adeft ab infiBito in Mnhi^^ omBBR r^ & on^ cogna&k qiue fiuno aut km pofl^t. ^ff e^ dpfiefoitasvel infisdtas , fbiacesnus & xnfiRitus } non eft dtwacS^ ¥el:%ali»ou fiid! dmat &adefi; Durac ftmper &: adisftmblque, ftf $]^to^fftlS9eB&&u]?k|iKidiB^tiaii)m&'^f^ attenrittitem' &'49fi|jit«t6mf QinflttBi^ -. iuainttRmiui^ fp4t» ii^ticuk' fi^' fi^nffi^a. &^fiMmv|uadipni dboatiaiiis indnvifibilf momenkim«^/i^M';' ^eftQCedaiA oiiioinni FatiricktOr ac Domk»is non eric nmipHmt imfqmm. Omniprseiens dk nan per virmtm folam , fed ecia»|) oer Jut00itim»i fsam tirtus fioe fubftantia uil^^ilese non pQtBflL. lo ipfo * continentur . *.H^T^ ''ff^* moventur univem » fed ablqiK^ mutua pt^ tio. PmAtHh xa-. 7.17. is^ £em JDeus nihit patirur ex corponun moti-' tf^^J^*'^''^'!^^^* bus : ula> tuulam fentrant refiuentiam ex om- »*« Reg. %l 17. y«»; t«: siprsefentia Dei. Demh fummum necefl^o "• 7"«*m'P«)f«»«««i. eaoilerfrin: confefia eft : £t eadeai>neceffic^e *' ' *^' fmp» eft &«^fpw. Unde edam tollus eft fui fimiIis,totBsiocalU5,- txatiis auns.^ totus cerebruHi, totus brachium , totus vis fentiendi; intelligendi & agendi ; £ed more minifne humano , mor&minkne corporeo ,: more nobis prorfus incogmto. Ut cscus ideEun hon habet coloium, fic nos ideam non habemus modorum quibus Deus fapsentii&nnsL fentit & inteiligir omnia. Corpore (Mnni ' & figui» corporca pnarlus defiatuitur , ideoque videri non poteil < nec audiri , necCtteigi^ necfub ipede rei alicujas corpores colidew bet. Ideas babeihus' attributorum ejus, fed quid iit rei afici^s SHbAantia miinme cognofcimus. Videmus tantum corporum figcu nfi & a>!ores, audimus.- lantum foAos , tangimus tantum fiiper- fieies extemas:, o^fiu±nus odores folbs , & guilamus fapores ; In- linws fiibfiaati»' nuUo lcnfii , nuHa af6tione r^lexa cognofcimtR r^ nmito minns ideam habemus fubibntis Dei. Hunc cognofeimtt^ iteimluaQdn per proprietaoes fiios^ & attributa , 8c per fapienti^ mas &optimas rerum ihu6iuras, & caufas finales ; v^^Famsra»* tem & colimus ob dominium. Deus enim iine dominio , provi- dentia, & cauiis finalibus, nihil aliud eil quam Fatum & Na- tura. £t hsec de Deo ; de quo.utique ex Phamomenis differere, ad PMofiphiom EtcperimeMakm p^tindt. Hadenus Phaenomena ccelorum & maris noifari per Vim gravi- tatis ezpofui , fed caufam Gravitatis nondum ailignavi. Oritur utique hxc Vis a caufa aliqua quae penetrat ad ufque centra Solis Ppp 2 & 4*4 PHILOSOPHIiE NATURAUS Dt MuMpi ^ Planetarum, fme virtutis diminutione ; qusque ag^t non prO SYSTSMAT9 guaiiti^ate fuperjidermm particularum in quas agit (ut ibient cauffle MechanicteO fed pro^quantitate materis foUds^ & cujus adioin immenfas diilantias^ undique extenditur , decre^oido femper in duplicata ratione diftantiarum, Gravitas in Solem componitur ex gravitatibus in fingulas Solis particulas, & reced^ido a Sole decrefcit accurate in duplicata ratione diilantiarum ad ufooe or« bem Saturni > ut ex quiete Apheliorum PlanetarummaififeitHmef^ & ad ufque ultima Cometarum Aphelia , (i modo Aphelia illa quiefcant. Rationem vero harum Gravitatis proprietatum ex PhaBnomenis nondura potui deducere, & Hypothcies non fingo. Quicquid enim ex PhaBnomenis non deducitur , Hyfoth$fa vo- canda efl ; & Hypothefes feu Metaphylicae , feu Phvfic» , feu Qua- litatum occultarum , ieu Mechanicae^, in Fbdofiomd Experimenuli, locum non habent. In hac Phiiofopfaia Propoiitiones deducun- tur ex Phaenomenis, & redduntur generales per InduAionem- Sic impenetrabilitas , mobilitas , & impetus'corporum & leges motuum & gravitatis intiotuerunt, £t fatis c& quod Gravitas revera ex- iitat, & agat fecundum leges a nobis expofitas, & ad corporum cceteftium & maris nolhi motus omnes fufficiat- Adjicere jam liceret nonnuUa de Spiritu quodam fubtilifilimo cor- pora craffapervadente, & in iifdem latente, cujus vi&a6iionibus particulflB corporum ad minimas difiantias fe mutuo attrahunt, & contigu« fadte cohaerent ; & corpora Eleftrica aguut ad di- fbntias majores, tam repellendo quam attrahendo corpufcula vi<- cina ; & Lux emittitur , refleAitiu: , refringitur . infleditur ,& cor- pcwa cakfacit; & Senfatio oiiinis excitatuj-, & men^isra Anima- Hum ad voluntatem moventur, vibrationibus fcilicet hujus Spiri- tus per folida nervorum capiUamenta ab extemis fei^uiun orga- ms ad cerebrum & a cerebro in nnifculos propagatis. Sed haec paucis exponi non poiTunt ; neque adeil fuificiens copia Experi*^ mentorum, quibus. leges aftionum hujus Spiritus accui^te deter* minari & monfbrari debenL F I N I S. l > INDEX RERUM A LP H A B E T IC U S. N.B« Chnximus U^^ fin^ ad f\9rmmm (eftemis Exe^nptL IU, lo: 444,' 20: 47 f , 2 8 dcfigndnt ,I^bri usfii Propppioncm dccimdm: Paffnd 444« liicam 20^: Pagind 471*" /m^ 28^.; A. /*4 ' canix' fai^ mocns iindicaonu UI> qiiantitas motus cx caufis coxnpatatiar III >) 9 Acris deofitas ad qnimlibet ahitodinem collieitur cx Pfeop. ia* lib. li. qaancs fic a4 amtu^ dinem nnim (emidiamctsi TcEreftris , oAqn- dimr 470, ii ^ -. ;. ; , :^ ■ . elathca vis qoali canGetribui poflit I),- a| o giftvitas enm Aqnss gravitaie coUata 470» % ^cfiftentia <]aaota fit » pcc Expecimenta Pen- dulomm oolligitiir 1869 18 > pcr Expeti- menta corpocam cadentium 8i Theoriam tccoratias inv^nitisr 517 > 1 5 Ajl^nii coBia^ws non fi&m omnM ejiiAlcn gcne- ns » ied alii aliis infinitc minorcs p. ) i Apfidnmaiomsciipeudimrl, Sc^.9 AreaB qoas coq>oia vi gyros ada , tadiis ad oen- tnim Yirium do^is» dcicribunt, conferuntar cnm lemposibQS ddcripcionum 1^ x > a« )• AtcradHo corporam anivcriorum dcmonftxatur III • 7) qoalisfithajiisdcmonfiracioniscerti- tudo oAeoditnr %\$ > ;l8;. 484, xi Attradionis caufam vcl modum nullibi de^pic Attdor $,17: 147, ^a: 171» 31:48), 54. C. Calore visga ftxfea compeita cft augeri loogi* tndinc )8< , 4 CaiorSoliscpiaimis fit.iAdivcrfis^ SokdiA|iipis 46i , iO qaaotas apnd Meccoriam )7^ 9 11 qaamos apud ^Cometam aaoi xtf 80 in Pfcrir hdio vecfiuMcm 466 1 xt ' Ccmtam commanc g^vitatis oorpornm pla* xiam, ab aftionibascprporamitiier (c, non motas fiamm fuom nt macas nl qoictia .9.19 Cmtram commune gravitati&Tbt^, Solis&: Planctarumbmnium quiefccrc III, 11 ^c0{>> ficmamr cx Cor. x. Prop. 1 4. Lib. tll. Ccntrum commune gravitaas Tcrtae & LOnae mocu annaoperconic Orbenf magnum )76, € quibusintccvallis diftataTcrra&Xuna 4)0,11 Centrum Virium qaibus corpoxa rcvolvcnda in Orbibus rctincntor quali Arcarumindicio inyenituc )8, r^ ' qtu latione ex (faris rcvblvcniium v<»)dtati- biisinvenirar I» 5 Cii^cuh c&rcumfcrcntia, qua Tcge vis ccntripetaB tendenti^ ad piindlum quodcunquc damm de- (ccibi pmft ^ corpore rtvoivcnte i, 4, 7, 8 Coeli "^ rcfiAentia deflimunmr' III, 10: 444. 10: 471 , i8 i & proptcrca Phiido omni corpo^ rco )i8 t 18 , tr^ofin^m Luci prxbem ah(que uRa xefxadi- ' onC4«7i.j3' C i s ^i > 7 9- -r U ^ ^aeaipoas^flSbaGi{«eanBdtfr47f»T _ qn lcge vii wttDfOi^ nfaiisad ia Seakmibos Conds imibifiaM %blx iHiiawt a oorpocc foolTcoBc oeoaoSoHslnbcadbas» &tadiisjd So» I» lo, «4 dodbJdaibttKJfcasicxipodbasfK»- 9» kg^WHceattyer amdmris ad aml^li' ^inidesii iii Elfepi3)us mo- cam %|bs JftfribirBr a corpote re w- Tcmr If in Ocbcm xedcoor , bof tameo ^«e^ii Fanbolis cnmc maximc finidmc JSkt 4f Tta^edoda Faiabolka CT dads KEibiis Obfcr- F. ▼aoooibas imemaB m^i i lofooa ooc- tigmKlUy^a^ Fnijdiddinidop.iA» tocQi in Facabola invcnioit Jd cempos da-^ Floidonim denfitas ftoaaBptcffio qoaslegcs ha< Qim44)9 )o: r, )o bem» oflendiinrll, SeA.5 Yclodua com Ycbdtace Flaoefanim confix- Fbddonim pcr ftcaan. ii» nfe &dtaBi cnKn< ^^ 445 » '7 - «»4«BniAw»motasII» |C - V^oictaaniionim x^^4 tC i6S^ Finniincaminoa(fmfiBobitttc»fiicamr*47t> '4 Hu^ mocus oUcrratns cxpcoditnr > tc oam Thcoria acmrate coDgpicrc dcprfhciidimr Ci. p.,47^, * • ' • Comcta annbtnm i6%o Sc t6%t Gtadimm ni Meiidiidb '!BfaHQftn merfbonxhi- ditnr^x Thcocia Illt xo Hujus fflocus ob(ervatiis cum Theoria acca- ' bemr, ft^<]iiam ^enigaa* junqailiaffoft . cattcoognKmnTeoitor p. 4^ 5 &'ftqq« Vidcbamr in Ellipfi tcTofvi (patio Anoorma ftu(quamauiifpiionim464, 37 ' diTcrficftKnais a ?iM>giedc«> ^t^ 19- Traieabria ijlius 8c Gmda ungtm id lods ' moma cttinKr^Teiraca atcjogpactB %%r ^t dcUncanair p»4^). qus^caiifi noDafllffaata» 4^^ r^f Comcu aimi itffs. «mirin f!amMis imi^ct^ f^, rf^f *P^~ Hujus motus accuratc reipondct . tlfboriac ^ndo a fej^ttfibdNirPJtecaffm' /Ir^tm iftcfclcs p«47^ dfodiic^iii dnplle^ T«d««»^ _ ., Comparuiflevi{ti8cftannoi^07»itertimqiictc- a< cetairy HI-» 8', dtol^iim dMt&ft icfftn- diturus Tidcmr pcriodo 7 5 annonmi 4^0 , 4 plid itdbne qaampwioitlt ConiffaawM iCKf ' datur in oolpofaroinMtos' le| Hujus mocus accurate rdpoDdet Theorias quandiadniateruein<(lngrasdliv7 j^ 47S &gv!mciu edb- Tim illam' qoa Loni^ Mncoir Curvae' diftlnguunmr inGeometrlcc rationaIcs& in Orbe III, 4 ,. computo accuratSDd dfi^* Gcometrice inauooales xoo> 5 probarer 4%o\ 15 Curvatuu figurarum qua radonc xOSmsitiiiSx Ghtvitsum efleTiiii iikm qoa Pfatiecrpriflnarii au, 18: H&>1), ^ lSaielJitesi|»vift'-ec SamAH itdooDais iu Cyubidis (cu EpicYckadis * OrbibusHI, ^ rc^ificado I, 48, 49 : 141 1 i9 ^ - ' ' Bvolutal, 50: 141, IX / H. Cylindti attra4tio ex pacdculistrahentibuscom- . pofid quarum vires fiim reciptocc ut qua- Hydro(hdc«prii)ci)naMdilDClirIl> SbAi f draudiUaotiarum 1981 t Hyped^ola qba leeevfs cenAtfiigaB teftdiifil'Bfisartftnia D. iro oe(cribitur aoorporcrcvolvcia»47> x4 qpa Icge vis tSiitHft^ ftiideteffaawfailko Dd N4uca p. 4{U & 43 ) ApapdefcHMcuracorpoJcMTolwm 5t,4 Dc(ccnrus uavium 10 vacuAquantus (Tt >. cx Iod- qua lege visceiitHpettiendMbaitaaUkom gimdipePcnduUcoIligitur 179 > t feprgdcftibiwra^ccgpeite^igipKiiaii i»ia gimnMiePcnduUcoliigitur 1791 t nrorgdcfgibiwr a^ cQipei^^ iWPl h lai 1 a»ia DercooAs. TeL ASrn^ tdXmn fpatia deftri- nrpotheles cttjuftttnqtie ^saens nffommmA pt»t M^ora dQfoi{Uoouai k TWCiu^t^^* bac PbilolbpUi 4^ 1 9w ;w D s 7 'je £ jc s/ ini L JOTIS t. iefniHiamffierfpmDS JTS * $ ^■■■cliilnMii^^iiisM^T' v^ atcra^ta vis quama fit ^yoy 51 ^«B^ftas tti » 57 quandtMtaaieiiK i';^*^ ^ pettnifaario a a—rapi^iinMiifff 9751 <)^ diainetromm i prBpooio 971^19 1- cingolx caufa (ubitidicatur 44^ ) i. Imwak&iKftcjdiAiisgaitar ai ahfahmwftfe 'XelaBitmi^f 'Sa» Loca tarpprum iki &&iontliiB «mucis «loio- mm itmniMcar .ad «tBipiis fiffipnmin ^I 9 propagatio non eft inftoBHbMa «079 '^^ non m fH;agitaiisBBmMi4>^ «ficuiiis Alfasrei J4*M^ Telocies.iudiTesfis44eiiiBdi«ct& 1 1 f^ reflexio^QSBdanvexpiteonrl 9 -^6 «leftiidsb ozpUoinir 1 , 944 non it inpwiA^ (bluminadentix 107* 19 Jmuivatio prope corpontm osbuxkm rimentisobCcxvata 107 » -i ^ . LuiUB corporis ^ura compoio coUigimr III 1 ) 8 ciemiiil!cBnB|«)b?cttR 4)1^9 9 &librationcs explicantur III * 17 diametermediocrisapparem4)0» 1% diametervcra 4)0, -19 pondus corporum in ejus fupeifide 430 9 lo MiGbsifjo, 1^5 4^^ »9 Lftantia mediocris a Tem •qoo» «ominet mazimas Terrae iemidiaoMSros 490 9 »«9 .panllaBistnaiBiBKa iiiilongiiifdiiNtai' pMil9 ma- for «ft ^^am .puttttnis^iiBMlimA in ktim- liinem )i879 8 yis ad Mare iiS]nrdldiini^c]BSiita fit{lll y 57 • mmTCudA jpiiteft in ExpeiimJ^KfS pemlu- Inam-i'^ in ^Sottids ^^didftatids quibafcunQue 430 9 % - ' ' * '^ * ' - ^ 9fnpnsf«ioainim 4)09 •)» tempus reToIosioius^ynodieB ffb 9 f , mocBs mcdius cum diurno moro Tenac coI« latos panlatim aceelMftAidir|fskMMBttd& ^ Htf^ 481, i< . .'^ «umB monis ac^mqqMip^ .iinsif|Bslinn u a cagfis fixis dcrivaBmr III t ai: p.4ia«fi9^. : tardius rerolwfrljiM wiiM>Q|Mdmntis Ap<%aei> conn:aAoOAe.4ftft<9« :iudnaxe«dItiiiK 9 alibito Qibfr» iin%M Ncffi «im icfe; {cimdnKdBBfcatMnd^ di, contrado Orbe 411 9 11 tardius movetur in Q|rtLdrarar is fiiis cum Sofe » cititts in S^ygiis*, & radio ad Tenam : Ariftp a^efcqbBag^m pso tol^iwetsninK rem in priore cafii > majoreminpQftesiore iUU ^ : "Tini|iiiHi 1 1 ftirtin Aiitei}tnm4 putamr III ,16. Orbem inruperhab«t'.ni^ gis curvum & loagiis^a .ir4U)a.iHsflitnn priore cafii , minps cBwmmiiibet Qcbfcm & propius ad Terram accedit in pqftcsioig III I 11. Orbis fanpssfigiHnttc (^BQpoitio diamnMfmntnii aBsnfnm^iolliapinK lil » 18, £c fiibinaeipoQansitiBC iBBmfidis:iii- 'itMiisHrti iHfftamiBni /Lume a jEegnicacaaiita 'BfUsABBOio lill) -3-7 Apogasum tardios movqcur an ApMio IF«riac t TcldliusiMietiiiriioriii »* ai: 4t;t 9 it iA|nnpniin :Bbi>cft \m^^di^f€ifxjpiL% imamam progcedinir ; in QindraniriTfWgpidiBirlll > Eccentricitas maxima efl in Apog^Sfzagiis •cBm^Sdie,' miiEima-iiiQnastaBmrisluVAiX Nodi tardiusmovcncurin Aphelio TenS)» ^ lodus in Pcrihelio iU ^ am t ' qfftj 4 lai Nodi quiclcunt in S^zygits fBasrsBm&iie 9 8c velociflime rcgrediunmr in QanSfaonii fll) aa. l#Bfaam mnBtt ctc insw|aaliriiry, miMiiam conipuBiiBiir tt .Tkfioda isiaTi» m|is4ll9 9«9'fi5<7fc9 H Indiiiatio Osbis ad fidiptraiB BnauBmcitin %miis liladofiim.dnm 5ok 9 minimaiin Qpadramris I » 44 Cor . to.lndimiiioBis va* osIII, j4, )5 LBnaruBn moiinim JBoBBtiaHRsd ufin 'A&tt>- mfl|nig>sy, ^ai ecsny], Moros mcdii Lunac ' • . . JEquatioanniia 411 9 4 jCqoiteiMiHbttMtBia^ffta» t < jfi^MRiBi%BMArislkuBda<4ta« at JEouatio ccmnprima 41) > 10: ip. inat A: JEqnsaiD^raniflnranda 4^4^ 75 9^iaaBmiBia4Il; ay ' . ItaiinnMnnndB^aiia* «a aAnma JN D E X MNisflitfiii Apogn iEqua.tio aumaa ^ii » ti .jfiqQaiiolbneAfb^ftiV 17 EGCcKriciatii '. - 1 : , ) ' jfiqaatio 4biicftrir 41x9 57 Moais meda Nodonun iEquado aanua 411, xi JEqoado lenieftns III, 5 1 incmiacioiiisOtbtiar ad Edipncim JBquauoicmcftrtS4io, it Laoariom nioamm TheoriA » qoa Methodo 'fta< bilkadaficpccObfavatiooes 415» }|« M. Bdsigcietka w i.t» 13: 171 > 15: 96^9 19: Mans aBftosacaafisfiiisdcnTaMrlll»^! 3^1)7 Manis difta&ciaaSolc ) I Aphciiiinocus376> 3} Maierix qaancicas dcfiiiimrp. i . tis infita fea vis ineaig defairor p» ^ Tis impreiEi dcfinicai p. & • cztenuo > diirities, impenetrabiliia9,mobilitas, Tis inettix, graritas, qoa lationeinnotcf' cunt 3)7, i«: 484, to diTifibilitasnon&moonftat 3(8 • it litateria fiibcilis Ogrfefimenm aaexamenqaod- damreTocatni 191., is Mamia tcI fubciliflima GraTSlttte saii deftimi- •car 3it, I Mechanicae • qaae dicantar > Potentiai explicaurar &demonihaiiair p« 14 ^ 1 5 : p> M Mercuiii diftantisaSolc 3^1 > i Aphdii mocBS 37^» 33 McriK>daff Rationom primainm ic alcimanim L Se&, 1 . Tranfinutandi ^uras in alias qme fimt qa(^ demOrdinisAnalyticil, Lem. a.a.«p^..79 r Fhirionumll» Lem.i.p.xi^ . Bifeeadalis III> Icmm. ) ft ^* pagg. 44^ • &447 InTeniendi CarTanun ommnm ^uadxaturas proximcTcras 4479 8 Seneram couTergenriam adhibetur ad fiihi* (ionem Problemamm difialiorump, 117 • 118 : 101.: 135: 4T4 Mocus quanntas dcfinitur pk t . Moms abfidhinislc rdaaTUS p>'< : 7 : 8 :. 9 ab inTicen fecerni poffiut > . cxcmplo dcmsnftra- - ii»p. %o . MomsLegesp. 11 &feqq. Motuuffl compofino 8l rciblado p> 14. . . Mocns oorporum congredicndum poft c^exio- ncm I quali ExpcrimcyQmflte^illy pvfliuit» JR £ JtXf «.1 oQendimr 19 > it Motoscorporam inCoiucisioftiooiboseittttcicif' f >&d.| inOrbtbosmobi]ibasI> Seft.9 in Soperfidcbos dads ac HDefoiUcniin moms reriprocDS I>Sed« 10 - Mocos corporom Tiriboa cencripcds & Mumm pcBoidom I,Sea.ii MomsoorpQrumMioiniQrom, qostiribosceii- tripeds ad fingulas Mj^ni alicii|ps cocpocis pancs tendendbussigicaimir I> S^ 14 . Mocos oorpoiom qoibos refiftimr inratiooeTclocicadsII>Se6L 1 in duplicaa ratione vdocicatis II>Sed*i parcim tn radoae Tefedcatis > parcim in c^f- dcm rationc duplicaca II, Scd. 3 Monis Gorpomm ibla Ti infica progrediendum in Mediis refiftendbus II> x, &, ), i, 7, n, XI : 301, I corporum reda afeendemium tcI dc&mdcn* uum in Mcdiis refiftendbus , a^nte tx Gra- . . vitatisaoiformi II, 3, 8, 9, 40, 13, 14 ^ :corporum projedorom in Mcdris Befiftemi. bus , agente vi Gcavicacis unifonni II, 4, 10 corporum circumgyrandum in Mediis rcfi<» fteodbasII,Scft..4 . . , corporum FoQcpendukcom aa Mcdiis rcfi- ftendbttsll, Sca.6 MomfiL rcfiflencia Floidocom II, Scd. 7 Mocos per Fluida pn^agacos II, Sc£t, 8 Moo» drcolaris ica ^rtioofiis Fiuidorom II . Mondus origincm oon habec cai caufif Mmt^^^ jucis p.481, !&.. N. NaTinm eonftniOiocu Feopofido non inudlia I^t4« < * O. Opdcarom ovalium invcndo quam C^ntfimcc- laTcrac I, 97. C^t^m» PfeobJCflBods «na- luxfolndo 1,98 Orbicaruro inTcncio quas cocpora ddcribom» de kam dam dam com TeloctOttc» feoottihuD datam mAtm ^iefla I obi vis ocmrifieca cA ledpiocc ot qoadranim diftandae &. vi^ aUus quaoiacas «moluia cognoioiiir I> xy qyas corpora delcrilHim iM Taia ccaoripecae fimr ^cdprQccoccttbi diftaadaniA45> 18: X18, 17: ii^> 15 • quas corpon vyibos quibo&onqueccnBBbciis agiiau dcfcribum I> Seft. 8. .P. Pata- J inD MX p. Vmbdhf qoa iege ik wiiiiftMi mitmds «d innbilicam %iuje « dtife&icor a corpore rc^d- vente I, i) reiuiulQniin aftciftiones czplicaBtur I, 50, 51, 51, 5) : II, Seffc. 6. BeiifiuioRifn iibchiononB» longinidifKs diverfar io divafis locorum Latimdiiiibus inter fe confanimur , tom pcr ObfcrTAtiQnes > tum per Tlicoriam Gravicaus III) to jiilofopiuuidi Kegular p. j 57 planet» BQH defenuiinr a VortidbBs corpoteis 35)« $7- M4> as- 481 > ax Primarii ProUcmati* ' -Uxuovrr-i ^' i^. KtpUriani folutio pcr Trochoidcm & pcr Approzimationcs 1, 3 x FrfCTtfiw dc quamor lincis, a Pam mcmorati, a Carufio parcalculum Aiialyticumtcntaii, compontio Gcomctrica 70, 1 9 Pro'|eailia , icpofita Mcdii refiftentia, movcri in ParabolacolIigimr47,.i3. loi, 15: ij^^, x^ Projcailium moms in Mcdiis refiftentibus II, 4» 10 Pulfuum Acris > quibus Soni propagantur, dctcr-» minanmr iBtenralla fcu latimdincs 1I> jo • H4> 18. H«c intcrvalla in apcrtarum Fiitulariim Sonls vquari duplis longimdinibus Jitlularutn vtrofimiic ^ 344, %6 / SolemcHigitnc )^q , 7 faioventur inEllipfibus umbiiiatllihabenti- Q. businoentroSoiis III, 13 f^diis ad Solemdtt^sdefcribumateastem- Quadramra generalis Ovalium dari non potcft poribus proportionales 361, 15: III, 13 pcr finitos tcrminos I, Lem. iS . p. 98 teraporibus pcriodicis rcvolvunmrqiuefunt Qualitatcs corporum qua ratione lunotefciiiit & \ in ftfquiplicata rationc diftantiarum 4 Solp 3^0, 17: III, 13 &I, 15 cetiocnmr in Orbibus luis a vi Gravitatis qua refpicit Solem , %L eft rcciproce ut quadratum diftantic ab ipfius cencro Iil> 1, 5 Secundarii movcnmr in Ellipfibusumbiiicttmhabenti- bus in centro Primariorum III, ii rgdiis ad Primarios ftios dudis defcribant atcas temporibu« proportiouales 559, ^ , %x : ^£1,17: III, 21 Mmporibus pcriodicis rcvolvtmrorquaffunt in fcfquiplicata rationc difbuiti^tnm a Primariis fuis 3 5 9 , 3 , 1 1 : III, 1 1 dc 1, 1 5 retincntur in Orbibus fuis a vi Gravitatis quiB refpicit Primarios, & cft rcciprocc ut quadramm diftantiae ab corum cencris 111,1,3,4, f Planetarum - di^iti« fl SqK; 3^1, t Orbium Aphciia & Nodi propc quicfcunt IU.I4 Orbes determinanmr III, 1 5> i^ loca in Orbibus invcniunmr I> 3 1 «Miias caferi qiiem a Sole rccipiunt, ac- commodamr 37»> 7 converfionis£trBc:fisntaeq«ifailesIII, 17 axes funt itiinores dlameiri^ qM ad cofHcm azesnormalitcrduammr III, 18 Pondcra corportmi in Tcrram vel, Solcm ycl Planetam qucmvis , . ' piiribu» difbintiis a1» e^m ccMm ffawnr • 'qiuttttifHB . R. RefiftcntijC quantitas in Mcdtisnon continuis IIi 3 5 in Mediis continuis 11« 3^ in Mediis cujufcunque gcncris 30I1 31 Refiftentiarum Thconajconfirtnatut per Experimcnu PcnduIorUm II, 30,-3^, Sch. Gcn. p. 184 pcr Expcrimcnia corpormn cadcntium II , 40, Sch. p. ) 19 Refiftcntia Mediorttm cft ut eorundcm dcnfitas, caetcrts paribus - ^90, 19: i^i) 35* II.3 5»5 5>58' 3i7»U cft in duplicata ratione vclocitatis corporum quibus rcfiftitur , cxtcris paribus 119, 14: 184,3^ ; II, 3 j, 3^,38: 3a4>.i3 cft in dupHcata rationc diamctrr corporum Sphxricorum quibns rcfiftitur, casicrispa- ribus 18S, 4: 189, II : II> 33, 35, 38: Sch.p. 3 19 noil minuitur ab a£Hone Phiidi in partes po- fbcas corporis moti 3 1 1> 1 3 Rcfiftentia Fluidonsm duplcz eft ; orimrouc vel ab Incrtia materiae fluidx , vcl ab Elafnciratc, Tctiacitate & Fridione panium cjus 318 , r. RefifkQntia qux fentitur in Fluidis fere tota eft prioris ^eiieris 31^, 31, &minuinonpo- iteft pcr fiibtihtatcm partium Fluidi » mancnfc lienmatc^iS, 7 Refiflcntir Globi ad refiftentiam Cyfindri pro- portto^,' in Mtdii^ non contiuuis II> 3 4 Q^q q RcHftbn- I»D EX MMMV iCToAtciBe, afcanaiiiirX, V^: |n, j^, ,f podbw Itm ?7«- nr fo&at 4*^ ^ U0g00f0^s ^Unffpuso nuxittu i»^;.w,-->n^ - ' - Jcmalwm feinpora psriorfka & «iiasMBkB a Mtiriisonim lempora pcckklica & diftaocis a crmro5aitiriii)^0y i Joviatium & Saoiritiorum iiuequales mociis a motiboi Lui» Jcrivari podc oftcndiiBr iMrfii * ^ifiamiaaSokj^i, r ftmulUmetet apparciti j 7 r , •. icmidiainetcrvcra)^!, #4 VII aicra^h va qMattu fit J70 , 1 1, «laamiui matct io: 1 7 r , 17 pcrwrbaeioajovcquantafit 175» t§ aCCtiOnei COiUC«» qua lcffc til cenrrifi^ f^,^ T^.^'' 1 '^ 'V- bumur .WiJ revoffi^r^ IS SS^l ^ "^««^ ad.u«bilic«» ScflionumConicarumdefaipaoGeojattrica Taw^ *' fcmidiainew,naxim,.miiiBtt*4io2k)iB Jo- ,!*■ «^ tttis ccnirum movetur III , 1 1 fcmidiametcrcjuimcdiocrisapparcni iw , lcmidiametcr vcra J71 ,14 parallaxiscjushoriiontalis 170, w, parallaxis mcnttrua )7< , 4 ▼is cju$ anraaivaquawa fit 170 , j^, pondus corporum in.qus (upcrfidei^i.. dcnfitascjus J71 ,17 quamitas materiac 571 ,17 iris cjus ad pemirbaodo». mocus Lunx. t^t, 15- "1» 15 . * tit ad Marc moYcndum III , 1«. Soo^rum nacuracxplicatar H . 43 M7 , 4^, 49. 50 propARauo divcrgii a reao tramiie)|a , ^, m pcragiutioiicmAcris )4}., 1 kIoqus compuro coUigitur 54)9,8 , paohh* lum maiorcllc dcbct\&ftivoquamHybcrv Vaamdttr. ^ Im «cliatio ht luum uU ccfiai bmmih amdi tai. v.t ibnoci )44 , t^ '^ ^ '• )S7* loi globusdenfior eff q«am (^ lotuscx AqBacoii- itarecjTx» j« ^ * fiS^^' f ^^ «mnimqvamaa fupo. n»Jmiindies\u^,v^^ eft 47, , ig- axis nucacialll , u« mowsawittus iuOrhcmagno deiii«illnw 111, 11, ij:47t,x^ EoQwnoias^UBcaik 4^1, 15. AebduaocBafiamBsfit j7#^ jj,. Y: (fi IftS» it. fifteoic rTTD E T qsam GUnf , in Medioce-^ 9 poBcft acqoixcR II t )8i . » Ofurn > Qbi wcs oesttipc» ad ombilinmi teiidanK I>x6 Vcnezis iii(hntiaa5ole)^f>i Kmpaspcriodicnni }70>xV Aphdii moms )76> ) ) Viriom oompofido & reiohnio p* 1 4^ '^iics amdiTx corponun ipluBnconim cx panicnlis qBacoBqiie lege' ffahcndbos oompofimrami erpcndnnnir t>Sea.itr Bon fplisnconim ex paniailis qdaamque lcgetcahci]tibosoompofiiorom> czpcadiin- mr l,Sed. I) '^ ccncrifaga oocpomm in JEqoamcc Tcccs quAoa fic 379« xr Vis oeniiipcca ^kfinicor p. a* qnandtas ejos abfi^faadefininit p. 4^ qoantittt aocckratcix dcfininir p. 4' ^anriias mnccix dcfinimc p. 4 pcopoctio c|os ad ▼im qnamlibcrmiam» qita> cadooeoolligeiidafic> oAetidintC40> I yiriam ceuu.ipccamm inYcncio> obi corpos in fpatio non rcfiftcMC > dcca ccntmm immo- bik > in Ocbc qooconqoe cevohiior I| ^i I, y n/ds ad qoodconqoe cjoiboa Figoca qoc cocpQCc xcvolTcme ddccibi poicft i danttt Ticcs cenipcp ad aliod <]q^ ponattm ifiiilnirs > qoibiis cadcm F^om yMirm tem* pttcpeciodioofMcribipotcft^^. ). Viribas oentripcds datis qaibos Fkom qojBris ddcribiRir acorpocc ccrolraitc ^ daamc Ticcs qoibos Figaca notadcTccibi poieft» E Ocdi* nacs atmanmrTd minnamor in radone qoa- oonqoe data> Tdaii|;0liisOrdinaiaonis otcon- qoc moBemr > mairwrtcmpqtc peciodioo 47. *« Vmbos oencripeds in doplifitt raiionr Hifrm;^^ mmdectdcentibos > qoaBoam Figiicae d#fiT*j^ pafliinc> oAcndirax 53, i: i50>i« Viocninpca qac ut redpfooe oc edbos ocdinatim appUca- tae icndcnds ad ««t™w* Ticinm maxime' longiiiqaiim> odcpos moTcbiiox ia data^ qaavis ooni ftdione 45^ i qoat fic nc cobos ocdinadm i^plkatirieDdciH tis ad centrom Tiriom maxime looginqonm» > corvasmotdNtorinHypeibola aoa>atf UmbraTcncftcisin EcHpfibos Lome ai^eiida cft> pcopiec Atmofpbxcatcefraftioncm^a^) xy Umbcit Tcrccftns dlamccri noo fimc cqoaleS) . qoantafitdiftccntiaoAenditoc )87>l* Unaacom in aqnit- ftagnands fiipofide pcopo* gacacom Tdocitas inTcnituctl> 4^ Vordcom namca & oonftitodo ad examcnc€« Tocator II> Scd. 9 : 4f t > ai Ui. Httjas Tocolat fignificario Maihcmatica de* finiMC)0>if/ JP n n: i si .l.rt^ * » i » f - r • » - • ' t 7. c\ " .; \ i »'^ '• '.o ; " -/. ■ '^ • ' « -• ^ f 1 --# I \