Qjoyo c/i■ •/ X ■ ' I i f y / \ •.4t \ i; 4 X 4 • *7«t i A \ - X f { d } < • i / i r r 'f \ i. i « / > / / r i r f { u • 1 r r I V 7-^ 3 ‘T- I i >• i / # } # PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA. A U G T O RE ISAACO NEWTONO. Eo. Aur. Editio tertia au^ta 3c emendata. L 0 N D I N I: Apud Guil. & JoH. Innys, Regi» Societatis typographos> M DGC XXVI. r » t rr j - f ♦ * / * A II '-TT \ Oi r ^ • . «- T r. J.' ,".J i Jt ■ .\ 'h i c '< i i V ILLUSTRISSIMA SOCIETATI REGALI A SERENISSIMO REGE C A R O L O II AD PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM FUNDATA, I E T AUSPICIIS SERENISSIMI REGIS G E o R G I I FLORENTI I Tractatum hunc D.D.D. IS, NEWTON. X X 5- < -r » ' I JL i -4. ' > '*w . . I V ^ M»*, ii V» I,*-’*;. ■ V.UVi T' " . » ft 'I ..i i fi ' • IN VIRI PR^STANTISSIMI ISAACI NEWTONI OPUS HOCCE MATHEMATICO-PHYSICUM » feculi gentifque noftrae decus egregium. En tibi norma poli, & divae libramina molis, Computus en Jovis ^ & quas, dum primordia rerum Pangeret, omniparens leges violare creator Noluit, atque operum quae fundamenta locarit. Intima panduntur viculi penetralia caeli. Nec latet extremos quae vis circumrotat orbes. Sol folio refidens ad fe jubet omnia prono Tendere defcenfu, nec re(5to tramite currus Siderios patitur vaftum per inane moveri j Sed rapit immotis, fe centro, fingula gyris. Jam patet horrificis quae fit via flexa cometis,- Jam non miramur barbati phaenomena aftri. Difcimus hinc tandem qua caufa argentea Phoebe Paffibus haud aequis graditur; cur fubdita nulli Hactenus aftronomo numerorum fraena recufet: Cur remeant nodi, curque auges progrediuntur. Difcimus 8c quantis refluum vaga Cynthia pontum Viribus impellit, feflls dum fludtibus ulvam Deferit, ac nautis fufpc£tas nudat arenas; Alternis vicibus fiiprema ad littora pullans. Quae Quae toties animos veterum torfere fophorum. Quaeque fcholas fruftra rauco certamine vexant. Obvia confpicimus, nubem pellente mathefi. y Jam dubios nulla caligine praegravat error, Queis luperum penetrare domos atque ardua caeli Scandere lublimis genii concelfit acumen. Surgite mortales, terrenas mittite curas ; Atque hinc caeligenae vires dignofcite mentis, A pecudum vita longe lateque remota. Qui fcriptis juffit tabulis compefcere cxdes, Furta & adulteria, & perjurae crimina fraudis ; Quive vagis populis circundare moenibus urbes Audior erat; Cererifve beavit munere gentes; Vel qui curarum lenimen preflit abuva,- Vel qui Niliaca monftravit arundine pidlos Conlociare lonos, oculilque exponere voces ; Humanam Ibrtem minus extulit: utpote pauca Refpiciens miferae tantum folamina vitae. Jam vero luperis convivx admittimur, alti Jura poli tradare licet, jamque abdita cxcx Clauftra patent terrte, rerumque immobilis ordo. Et qute praeteriti latuerunt fecula mundi. Talia monftrantem mecum celebrate camaenis, Vos 6 ctelicolum gaudentes nedlare vefci, N £w TONUM claufi relerantem fcriniaveri, Newtonum Mufis charum, cui pedlore puro Phoebus adeft, totoque inceffit numine mentem: Nec fas eft propius mortali attingere divos. RDM. HALLET A U C T O R I S A D LECTOREM. CVM veteres mechanicam {titi auBor eft Pappus) in rerum naturalium invejiigatione maximi fecermt ; ® recentiores^ mijjis formis Jiibjlant i alibus (j^ualitatibus occultis-^ ph^nomena natura ad leges mathematicas revocare aggrejji Jint : Vifim eji in hoc traBatu mathefm excolere^ quatenus ea ad philofophiam J^eBat. Mechani- cam rationalem, qu^ fer demon- Jiratiofies accurate frocedit^ & prafticam. ^d fraBicam fpeBant artes omnes manuales^ a quibus utique mechanica nomen mutuata eJl- Cum autem artificesjfarum accurate oferari foleant^ fit ut mechanica omnis a geometria ita difinguatur^ ut quicquid accuratum ft ad ge- ometriam referatur^ quicquid minus accuratum ad mcciianicam. At- tamen errores non funt artis ^ fed artificum, ^li minus accurate ofe- ratur^ imperfeBior eft mechanicus^ & fi quis ac cur at ijfi, me operari poJfeU hic foret mechanicus omnium perfeBiJfimus. Nam & Uncarum reBarum & circulorum deferiptiones.^ in quibus geometria fundatur^ ad mechanicam pertinent. Has Irneas deferibere geometria non docet^ fed poftulat. ^oftulat enim ut tyro eafdem accurate deferibere prius didiceret^ quam limen attingat geometrise ; dein^ quomodo per has ope- rationes problemata folvantur^ docet \ reBas & circulos deferibere problemata funt^ fed non geometrica. Ex mechanica poftulattir hortm folutio^ in geometria docetur folutorum ufus. Ac gloriatur geome- tria quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa prafiet. Fundatur igitur geometria in praxi mechanica^ & nihil aliud eft quam mechanicae univerfalis pars illa^ qu£ artem menfurandi accurate pro- ponit ac demonftrat. Cum autem artes manuales m corporibus moven- dis pracipue verfentur^ fit ut geometria ad magnitudinem-^ mechani- a ca AUCTORIS ca ad motum vulgo referatur, fenfu mechanica rationalis erh fcientia motuum^ qui ex Viribus quibufcunque refultant , @ virium qu/e ad motus quofcunque requiruntur , accurate profojita ac demon^ Jtrata, Tars hac mechanicae a veteribus in potentiis quinque ar- tes manuales fpe^iantibus exculta fuit^ qui gravitatem (cum potentia manualis non Jit) vix aliter quam in ponderibus per potentias illas movendis conjiderarunt , Nos autem non artibus fed philofiphi^e con- filentesy deque potentiis non manualibus fed naturalibus fcribentes^ ea maxime traEiamus^ qua ad gravitatem^ levitatem^ vim elaficam^ re- fjientiam fluidorum & ejufmodi vires feu attra6iivas feu impulflvas Jpeclant : Et ea propter^ hac noflra tanquam philofophia principia mathematica proponimus . Omnis enim philofophia Jtjflcultas in eo verfari videtur^ ut a phanomenis motuum invefligemus vires natura^ deinde ab his viribus demonflremus phanomena reliqua. Et huc fpec- tant propofltiones generales^ quas libro primo & fecundo pertractavi- mus. In libro autem tertio exemplum hujus rei propo fuimus per ex- plicationem Jyflematis mundani. Ibi enim^ ex phanomenis cceleflibus^ per propofltiones in libris prioribus mathematice demonflratas^ deri- vanttir vires gravitatis^ quibus corpora ad folem & planetas fingulos tendunt. Heinde ex hi s viribus per propofltiones etiam mathematicas^ deducuntur motus planetarum ^ cometarum^ luna & maris. Utinam catera natura phanomena ex p7lncipiis mechanicis eodem argumentan- di genere derivare liceret. Nam multa me movent^ , ut nonnihil fufpi- cer ea omnia ex viribus quibufdam pendere pofe^ quibus corporum particula per caufas nondum cognitas vel in fe mutuo impelluntur ^ fecundum flguras regulares coharent^ vel ab mvic em fugantur & rece- dunt: quibus viribus ignotis^ philofophi haclenus naturam fruflra ten- tarunt. Spero autem quod vel huic pbilofophandi modo^ vel veriori alicui -i principia hic poflta lucem aliquam prabebunt . In his edendiS'^ vir acutijflmus ^ /V/ omni Iit erarum genere eru- ditijjimus Ed mundus Halleius opera^n navavit^ nec folum typot beta- rum Jphalmata correxit fche^nata incidi curavit^ fed etiam aultor fuit, ut horum editionem aggrederer, ^lippe cum demonflratam a me jigurain orbium coeleflium impetraverat, rogare nondeflitit, ut ean- dem cum Societate Regali co7nmunicarem, qua deinde hortatibus ^ be- nignzs Juis aufpiciis effecit, ut de eadem in lucem einittenda cogitare inciperem. At poflquam motuum lunarium ina qualitates aggreffus P Ri£ F A T I O . efem, deinde etiam alia tenture ccepijfemi qua ad leges GJ menfuras gra- vitatis & aliarum virium^ & figuras a corporibus fecundum datas quafcunque leges attrahis defcribendasy ad motus corporum plurium inter fe^ ad motus corporum in mediis refift entibus, ad vires^ denfi- tates ® motus mediorum^ ad orbes cometarum ® fimilia fpediant^ edi- tionem in aliud tempus differendam ejfe putavi, ut c at er a rimarer & una in publicum darem, ^a ad motus lunares fpeEtant (imperfecta cum fint) in corollariis propofitionis LXVI fimul complexus fum^ ne flngula methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, & fi- gi liat im demonftrare tenerer y & fieriem reliquarum propofit tonum in- terrumpere. Nonnulla fero inventa locis minus idoneis infer er e ma-- lui, quam numerum propofitionum & citationes mutare. Vt omnia candide legantur, ® defeCtus in materia tam difficili non tam repre- hendantur, quam novis ledorum conatibus invefiigentur, & benigne fuppleantur, enixe rogo. Dabam Canfahrigite^ e Collegio S. Trinitatis, Maii 8. 168^. IS. NEWTON. a ^ AUCTORIS r AiU R I S P R^ F A T I.O I N EDITIONEM SECUNDAM, t t • IN hac fecunda Trincif iorum editione multa ffarjim emendantu^r^ & nofinulla adjicmntur. In libri primi fe Bione II inventio vi- riumy quibus corpora in orbibus datis revolvi pojfnt-i facilior redditur ^ & amplior. In libri fecundi fe Bione \1I theoria refiftentia fluido- rum accuratius invefligatur^ (S novis experimentis confirmatur. In li- bro tertio theoria luna & pracejflo aquinoBiorum ex principiis fuis plenius deducuntur^ ® theoria cometarum pluribus & accuratius com- putatis orbium exemplis confirmatur. Dabam Londini^ Mar. z8. 1713. IS. NEWTON. EDI- EDITORIS PR^FATIO I N EDITIONEM SECUNDAM. NEwtonian^ philofophiae novam tibi, leflor benevole, diuque defideratam editionem, plurimum nunc emenda- tam atque auftiorem exhibemus. Quae potiffimum conti- neantur in hoc opere celeberrimo, intelligere potes ex indicibus adjeftis: quse vel addantur vel immutentur, ipfa te fere docebit auftoris praefatio. Reliquum efl, ut adjiciantur nonnulla de me- thodo hujus philofophiae. Qui phyficam tradandam fufceperunt, ad tres fere claffes revo- cari poffunt. Extitetunt enim, qui fingulis rerum fpeciebus quali, tates fpecificas & occultas tribuerint ; ex quibus deinde corporum fingulorum operationes, ignota quadatn ratione, pendere voluerunt. In hoc pofita efl; fumma dodrin^ fcholaflicas, ab Artftotele & Peri- pateticis derivatae : Affirmant utique Angulos efFedus ex corporum Angularibus naturis oriri; at unde Ant illae naturae non docent; nihil itaque docent. Cumque toti Ant in rerum nominibus, non in ip- As rebus; fermonem quendam philofophicum cenfendi funt adinve- nifle, philofophiam tradidiffe non funt cenfendi. Alii ergo melioris diligentiae laudem confequi fperarunt rejeda vocabulorum inutili farragine. Statuerunt itaque materiam univer- fam homogeneam efle, omnem vero formarum varietatem, quae in corporibus cernitur, ex particularum componentium AmpliciAimis quibufdam & intelledu facillimis affedionibus oriri. Et rede qui- dem progreflio inflituitur a Amplicioribus ad magis corapoAta, A par- ticularum primariis illis affedionibus non alios tribuunt modos, quam quos editoris quos ipfa tribuit natura. Verum ubi licentiam fibi alTumunt, ponen* di quafcunque libet ignotas partium figuras & magnitudines, incer- tofque fitus & motus; quirn & fingendi fluida quaedam occulta, quae corporum poros liberrime permeent, omnipotente praedita fubtilitate, motibufque occultis agitata; jam ad fomnia delabuntur, neglefta re- rum conllitutione vera: quae fane fruflra petenda eft ex fallacibus conjefturis, cum vix etiam per certiflimas oblervationes invefligari poflit. Qui fpeculationum fuarum fundamentum defumunt ab hy- pothefibus; etiamfi deinde fecundum leges mechanicas accuratiflime procedant; fabulam quidem elegantem forte & venuftam, fabulam tamen concinnare dicendi funt. Relinquitur adeo tertium genus, qui philofophiam fcilicet expe- rimentalem profitentur. Hi quidem ex fimpliciflimis quibus pofiTunt principiis rerum omnium caufas derivandas efle volunt: nihil autem principii loco affumunt, quod nondum ex phaanomenis comproba- tum fuerit. Hypothefes non comminifcuntur, neque in phylicam recipiunt, nifi ut quaeftiones de quarum veritate difputetur. Duplici itaque methodo incedunt, analytica & fynthetica. Naturae vires le- gefque virium fimpliciores ex feleftis quibufdam phaenomenis per ana- lyfin deducunt, ex quibus deinde per fynthefin reliquorum conftitu- tionem tradunt. Haec illa eft philofophandi ratio longe optima, quam prae caeteris merito ampleftendum cenfuit celeberrimus auftor nofter. Hanc folam utique dignam judicavit, in qua excolenda atque ador- nanda operam fuam collocaret. Hujus igitur illuftriflimum dedit exemplum, mundani nempe fyftematis explicationem e theoria gra- vitatis feliciflime deduftam. Gravitatis virtutem univerfis corporibus inefle, fufpicati funt vel finxerunt alii : primus ille & folus ex appa- rentiis demonftrare potuit, & fpeculationibus egregiis firmiflimum ponere fundamentum. Scio equidem nonnullos magni etiam nominis viros, praejudiciis quibufdam plus aequo occupatos, huic novo principio aegre alTen- tiri potuille, & certis incerta identidem praetulifle. Horum famam vellicare non eft animus: tibi potius, benevole leftor, illa paucis ex' ponere lubet, ex quibus tute ipfe judicium non iniquum feras. Igitur ut argumenti fumatur exordium a fimpliciflimis & proximis; difpiciamus paulifper qualis fit in terreftribus natura gravitatis, ut deinde tutius progrediamur ubi ad corpora ceeleflia, longiflime a fe- ' . s r aibus P R yE F A T I O. ,, , . ' “-f! Itadni . dibus noftris remota, perventum fuerit. Convenit jam, inter omnes philofophos, corpora uniyerfa circumterrettria^gt^t^i,tare,jn terram, Nuila''dari corpora vere feyia, jamdudum fCOinfiEmavit, experientia multiplex. Quse dicitur levitas relativa, non efl vera levitas, fed ap- parens folummodo ; & oritur a praepollente gravitate corporum con- tiguorum. . r: Porro, ut corpora univerfa grayitent in terram, itai terra viciffim in corpora aequaliter gravitat ; gravitatis enim aftionem effe mutuam 8c utrinque aequalem, fic oRenditur. Dillinguatur terrae totius mo- les in binas quafcunque partes, vel aequales vel utcunque inaequales: jam fi pondera partium non eflent in fe mutuo aequalia; cederet pondus minus majori, & partes conjunftae pergerent reda moveri ad infinitum, verfus plagam in quam tendit pondus majus: omnino con- tra experientiam. Itaque dicendum erit, pondera partium in aequi- librio eflTe conftituta: hoc e It, gravitatis adionem efle mutuam & u- trinque aequalem. t Pondera corporum, $qualiter a centro terrae diflantium, funt ut quantitates materiae in corporibus. Hoc utique colligitur ex aequali acceleratione corporum omnium, e quiete per ponderum vires ca- dentium: nam vires quibus inaequalia corpora aequaliter acceleran- . tur, debent efle proportionales quantitatibus materiae movendae. Jam vero corpora univerfa cadentia aequaliter accelerari, ex eo patet, quod in vacuo Boyliano temporibus aequalibus aequalia fpatia caden- do defcribunt, fublata fcilicet aeris refiftentia: accuratius autem comprobatur per experimenta pendulorum. Vires attraftivae corporum, in aequalibus diftantiis, funt ut quan- titates materiae in corporibus. Nam cum corpora in terram & terra viciflim in corpora momentis aequalibus gravitent ; terrae pondus in unumquodque corpus, feu vis qua corpus terram attrahit, aequabi- tur ponderi corporis ejufdem in terram. Hoc autem pondus erat ut quantitas materiae in corpore: itaque vis qua corpus unumquod-' que terram attrahit, five corporis vis abfoluta, erit ut eadem quan- titas materis. Oritur ergo & componitur vis attradiva corporum integrorum ex viribus attradivis partium: fiquidem auda vel diminuta mole materiae, oftenfum efl, proportionaliter augeri vel diminui ejus vir- tutem. Adio itaque telluris ex conjundis partium adionilpus con- flari editoris flari cenfenda erit ; atque adeo corpora omnia terreftria fe mutuo trahere oportet viribus abfolutis, qu^ fint in ratione materiae tra- hentis. Haec eit natura gravitatis apud terram : videamus jam qualis fit in caelis. Corpus omne perfeverare in ftatu fuo vel quiefcendi vel movendi uniformiter in direftum, nifi quatenus a viribus impreflis cogitur Itatum illum mutare ; naturae lex ett ab omnibus recepta philofo- phis. Inde vero fequitur, corpora quae in curvis moventur, atque adeo de lineis redtis orbitas fuas tangentibus jugiter abeunt, vi ali- qua perpetuo agente retineri in itinere curvilineo. Planetis igitur in orbibus curvis revolventibus neceflario aderit vis aliqua , per cu- jus aftiones repetitas indefinenter a tangentibus defledtantur. Jam illud concedi aequum efi, quod mathematicis rationibus col- ligitur & certiflime demonilratur ; corpora nempe omnia, qUae mo- ventur in linea aliqua curva in plano defcripta, quaeque radio dudlo ad pundium vel quiefcens vel utcunque motum defcribunt areas circa pundtum illud temporibus proportionales, urgeri a viribus quae ad idem pundfum tendunt. Cum igitur in confeflb fit apud altrono- mos, planetas primarios circum folem, fecundarios vero circum fuos primarios, areas defcribere temporibus proportionales ; confequens efi ut vis illa, qua perpetuo detorquentur a tangentibus rediilineis & in orbitis curvilineis revolvi coguntur, verfus corpora dirigatur quas fita funt in orbitarum centris. Haec itaque vis non inepte vo- cari potefi, refpedtu quidem corporis revolventis, centripeta; ref- pedlu autem corporis centralis, attradiiva; a quacunque demum cau- fa oriri fingatur. Quin & hsec quoque concedenda funt, & mathematice demon- firantur: Si corpora plura motu aequabili revolvantur in circulis con- centricis, Sc quadrata temporum periodicorum fint ut cubi difian> tiarum a centro communi; vires centripetas revolventium fore reci- proce ut quadrata difiantiarum. Vel, fi corpora revolvantur in or- bitis quas funt circulis finitimae, & quiefcant orbitarum aplides; vi- res centripetas revolventium fore reciproce ut quadrata difiantiarum. Obtinere cafum alterutrum in planetis univerfis conlentiunt afirono- mi. Itaque vires centripetas planetarum omnium iunt reciproce ut quadrata dilfantiarum ab orbium centris. Si quis objiciat planetarum, &: lunas praefertim, aphdes non penitus quiefcere; fed motu quodam 3 ■ lento P R ^ F A T I O. lento ferri in confequentia: refponderi poteft, etiamfi concedamus hunc motum tardiffimum exinde profedtum eflfe quod vis centripetae proportio aberret aliquantum a duplicata, aberrationem illam per com- putum mathematicum inveniri poffe & plane infenfibilem efle. Ipfa enim ratio vis centripetae lunaris, quae omnium maxime turbari de- bet, paululum quidem duplicatam fuperabit ; ad hanc vero fexaginta fere vicibus propius accedet quam ad triplicatam. Sed verior erit refponfio, fi dicamus hanc apfidum progreffionem, non ex aberrati- one a duplicata proportione, fed ex alia prorfus diverfa caufa oriri, quemadmodum egregie commonftratur in hac philofophia. Reflat ergo ut vires centripetae, quibus planetae primarii tendunt verfus fo- lem & fecundarii verfus primarios fuos, fint accurate ut quadrata di- flantiarum reciproce. Ex iis quae haftenus dida funt, conflat planetas in orbitis fuis re- tineri per vim aliquam in ipfos perpetuo agentem : conflat vim illam dirigi femper verfus orbitarum centra : conflat hujus efficaciam au- geri in acceflu ad centrum, diminui in receflu ab eodem: & augeri quidem in eadem proportione qua diminuitur quadratum dittantiae, diminui in eadem proportione qua dittantiae quadratum augetur. Videamus jam,. comparatione inflituta inter planetarum vires centri- petas & vim gravitatis, annon ejufdem forte fint generis. Ejufdem vero generis erunt, fi deprehendantur hinc & inde leges eaedem, eae- demque affeftiones. Primo itaque lunse, quae nobis proxima eft, vim centripetam expendamus. Spatia reftilinea, quae a corporibus e quiete demifliis dato tempo- re fub ipfo motus initio defcribuntur, ubi a viribus quibufcunque urgentur, proportionalia funt ipfis viribus: hoc utique confequitur ex ratiociniis mathematicis. Erit igitur vis centripeta lunae in orbita fua revolventis, ad vim gravitatis in fuperficie terrae, ut fpatium quod tempore quam minimo defcriberet luna defcendendo per vim centripetam verfus terram, fi circulari omni 'motu privari fingeretur, ad fpatium quod eodem tempore quam minimo defcribit grave cor- pus in vicinia terrae, per vim gravitatis fuae cadendo. Horum fpa- tiorum prius aequale eft arcus a luna per idem tempus defcripti finui verfo, quippe qui lunae tranflationem de tangente, faftam a vi cen- tripeta, metitur; atque adeo computari potelt ex datis tum lunae b tempore EDITORIS tempore periodico, tum diflantia ejus a centro terrae. Spatium poie^ rius invenitur per experimenta pendulorum, quemadmodum docuic^ Htigentus. Inito itaque calculo, fpatium prius ad fpatium pofterius, leu vis centripeta lunae in orbita fua revolventis ad vim gravitatis in luperficie terrae, erit ut quadratum femidiametri terrae ad orbita ^ femidiametri quadratum. Eandem habet rationem, per ea quae fu- perius oilenduntur, vis centripeta lunae in orbita fua revolventis ad: vim lunae centripetam prope terrae fuperficiem. Vis itaque centri-, peta prope terrae fuperficiem sequalis eit vi gravitatis. Non ergo di- verfae funt vires, fed una atque eadem: li enim diverfae efiTent, cor- pora viribus conjunflis duplo celerius in terram caderent quam ex- vi fola gravitatis. Confiat igitur vim illam centripetam, qua luna . perpetuo de tangente vel trahitur vel impellitur & in orbita .retine- tur, ipfam eflTe vim gravitatis terrefiris ad lunam ufque pertingentem. , Et rationi quidem confentaneum eft ut ad ingentes difiantias illa fefe ' virtus extendat, cum nullam ejus fenfibilem imminutionem, vel in altifiimis montium cacuminibus, obfervare licet. Gravitat itaque, luna in terram : quin & aftione mutua, terra viciflim in lunam- aequa- liter gravitat:. id quod abunde quidem confirmatur in hac philofo^- phia, ubi agitur de maris aefiu & aequinoftiorum praeceffione, ab ac- tione tum lunae tum folis in terram oriundus. Hinc & illud tandem . edocemur, qua nimirum lege vis gravitatis decrefcat in majoribus a tellure difiantiis. Nam cum gravitas non diverfa fit' a vi centripe- ta lunari, haec vero fit reciproce proportionalis quadrato difiijntise ; . diminuetur & gravitas in eadem ratione. Progrediamur jam ad planetas reliquos. . Quoniam revolutiones primariorum circa folem & fecundariorum circa jovem & faturnum . funt phaenomena generis ejufdem ac revolutio lunae circa terram, quoniam porro demonftratum efi vires centripetas primariorum di- rigi verfus centrum folis, fecundariorum verfus centra jovis & fa- turni, quemadmodum lunae vis centripeta verfus terrae centrum di- rigitur ; adhaec, quoniam omnes illae vires funt reciproce ut quadrata diftantiarum a centris, quemadmodum vis lunae eft ut quadratum diftantiae a terra:, concludendum erit eandem eflTe naturam univerfis. Itaque ut luna gravitat in terram, & terra viciflim in lunam ; fic etiam gravitabunt omnes fecundaidi in primarios fuos, & primarii vicilTim P R ^ F A T I O in fecundarios; fic & omnes primarii in folem, & fol vicifTmi in primarios. Igitur fol in planetas univerfos gravitat & tiniverfi in folem. Nam. fecundarii dum primarios fuos comitantur, revolvuntur interea cir- cum folem una cum primariis. Eodem itaque argumento, utriufque generis planetas gravitant in folem, & fol in ipfos. Secundarios vero planetas in folem gravitare abunde infuper conflat ex inaequalitatibus lunaribus; quarum accuratiflimam theoriam, admiranda fagacitate patefadtamy in tertio hujus operis libro expofitam habemus. Solis virtutem attraftivam quoquoverfum propagari ad ingentes ufque diflantias, & fefe diffundere ad fingulas circumjefti fpatii partes, apertilTime colligi potefl ex motu cometarum ; qui ab immenfis in- tervallis profefti feruntur in viciniam folis, & noniiutiquam adeo ad ipfum proxime accedunt ut globum ejus, inperiheliis fuis verfantes, tantum non contingere videantur. Horum theoriam ab aflrohomis antehac fruflra qusefitam, noflro tandem fasculo feliciter inventam & per obfervationes certiflime demonflratam, praeflantiflimo noflro auftori debemus. Patet igitur cometas in feftionibus conicis umbi- licos in centro folis habentibus moveri, & radiis -ad folem duftis areas temporibus proportionales defcribere. Ex hifce vero phaenomenis manifeflum eft & mathematice comprobatur, vires illas, quibus co- metae retinentur in orbitis fuis, refpicere folem & effe reciproce ut quadrata diflantiarum ab ipfius centro. Gravitant itaque cometae in folem: atque adeo folis vis attraftiva non tantum ad corpora plane* tarum in datis diftantiis & in eodem fere plano collocata, fed etiam ad cometas in diverfiflimis caelorum regionibus & in diverfiflimis di- flantiis pofitos pertingit. Haec igitur eft natura corporum gravitan- tium, ut vires fuas edant ad omnes diftantias in omnia corpora gra- vitantia. Inde vero fequitur, planetas & cometas univerfos fe mutuo trahere, & in fe mutuo graves effe : quod etiam confirmatur ex per- turbatione jovis & faturni, aftronomis non incognita, & ab aftionibus horum planetarum in fe invicem oriunda; quin & ex motu illo lem tilTimo apfidumy qui fupra memoratus eft, quique a catifa confimili ^groficifeitur. Eo demum pervenimus ut dicendum fit, & terram & folem & cor ] pora omnia caeleftia, quae folem comitantur^ fe mutuo attrahere. Sin- b X gulorum editoris gulorum ergo particuIaB quasque minimae vires fuas attxaftivas habe- bunt, pro quantitate materiae pollentes; quemadmodum fupra de terreitribus oltenfum elt. In diverfis autem diftantiis, eiunt & ha- rum vires in duplicata ratione diilantiarum reciproce: nam ex par- ticulis hac lege trahentibus componi debere globos eadem lege tra- hentes, mathematice deinonftratur. Concluiiones praecedentes huic innituntur Axiomati, quod a nullis non recipitur philofophis; efFeftuum fcilicet ejufdem genei is, quorum nempe quae cognofcuntur proprietates eaedem funt, eafdem effe cau- fas & eafdem effe proprietates quae nondum cognofcumur. Quis enim dubitat, fi gravitas fit caufa defcenius lapidis in Etiropa^ quin eadem fit caufa defcenfus in America? Si gravitas mutua fuerit inter lapidem & terram in Europa\ quis negabit mutuam elTe in America? Si vis attraftiva lapidis & terrae componatur, in Europa^ ex viribus attraftivis partium ; quis negabit fimilem efle compolitionem in Ame* rica? Si attraftio terrae ad omnia corporum genera & ad omnes di- ftantias propagetur in 5 quidni pariter propagari dicamus in America? In hac regula fundatur omnis philofophia quippe qua fublataiiihil affirmare poffimus de univerfis. Conilitutio rerum fiu- gularum innotefcit per oblervationes & experimenta: inde vero non nifi per hanc regulam de rerum univerfarum natura judicamus. Jam cum gravia fint omnia corpora, quae apud terram vel in caelis reperiuntur, de quibus experimenta vel obfervationes inffituere licet ; omnino dicendum erit, gravitatem corporibus univerfis competere. Et quemadmodum nulla concipi debent corpora, quae non fint ex- tenfa, mobilia & impenetrabilia ; ita nulla concipi debere, quae non fint gravia. Corporum extenfio, mobilitas, & impenetrabilitas non nifi per experimenta innotefcunt: eodem plane modo gravitas in- notefcit. Corpora omnia de quibus obfervationes habemus, extenfa funt & mobilia & impenetrabilia : & inde concludimus corpora uni- verfa, etiam illa de quibus obfervationes non habemus, extenfa efie & mobilia & impenetrabilia. Ita corpora omnia funt gravia, de quibus obfervationes habemus : & inde concludimus corpora univerfa, etiam illa de quibus obfervationes non habemus, gravia eflTe. Si quis dicat corpora ftellarum inerrantium non efie gravia , quandoquidem eorum gravitas nondum ell obfervata ; eodem argumento dicere li> cebit P R ^ F A T I O. cebit neque extenfa efTe, nec mobilia, nec impenetrabilia, cum hae fixarum afFeftiones nondum fint obfervatae. Quid opus ell verbis? inter primarias qualitates corporum univerforum vel gravitas habe- bit locum ; vel extenfio, mobilitas, & impenetrabilitas non habebunt. Et natura rerum vel.refte explicabitur per corporum gravitatem, vel non refte explicabitur per corporum extenfionem, mobilitatem, & impenetrabilitatem. Audio nonnullos hanc improbare conclufionem, & de occultis qualitatibus nefcio quid muflitare. Gravitatem fcilicet occultum efTe quid, perpetuo argutari folent; occultas vero caufas procul efle ab- legandas a philofophia. His autem facile refpondetur ; occultas elTe caufas, non illas quidem quarum exiftentia per obfervationes clarif- fime demonftratur, fed has folum quarum occulta eft & fifta exiften- tia nondum vero comprobata. Gravitas ergo non erit occulta caufa motuum caeleftium ; fiquidem ex phaenomenis oftenfum eft, hanc virtutem revera exiftere. Hi potius ad occultas confugiunt caufas ; qui nefcio quos vortices, materiae cujufdam prorfus fiftitiae & fen- fibus omnino ignotae, motibus iifdem regendis praeficiunt. Ideone autem gravitas occulta caufa dicetur, eoque nomine reji- cietur e philofophia, quod caufa ipfius gravitatis occulta eft & non- dum inventa? Qui fic ftatuunt, videant nequid ftatuant abfurdi, unde totius tandem philofophiae fundamenta convellantur. Etenim caufe continuo nexu procedere folent a compofitis ad fimpliciora: ubi ad caufam fimpliciffimam perveneris, jam non licebit ulterius progredi. Caufae igitur fimpliciflimae nulla dari poteft mechanica explicatio: fi daretur enim, caufa nondum eflet fimplicillima. Has tu proinde caufas fimpliciftimas appellabis occultas, & exulare jubebis? Simul vero exulabunt & ab his proxime pendentes & quae ab illis porro pendent, ufque dum a caulis omnibus vacua fuerit & probe purgata philofophia. Sunt qui gravitatem praeter naturam efte dicunt, & miraculum perpetuum vocant. Itaque rejiciendam efte volunt, cum in phylica praeternaturales caufae locum non habeant. Huic ineptae prorfus objeftioni diluendae, quae & ipfa philofophiam fubruit univerfam, vix operae pretium eft immorari. Vel enim gravitatem corporibus om- nibus inditam efte negabunt, quod tamen dici non poteft : vel eo nomine E D,I T O R I S ■T^omijie prajter naturam efle affirmabunt, quod ex aliis corporum af- feftionibus atque adeo ex caufis mechanicis originem non habeat. Dantur certe primariae corporum affeftiones;, quae, quoniam funt primariae, non pendent ab aliis. Viderint igitur annon & hse omnes fint pariter praeter naturam, eoque pariter rejiciendae : viderint vero qualis Iit deinde futura philofophia. Nonnulli funt quibus haec tota phyfica caeleftis vel ideo minus placet, quod cum Cartejii dogmatibus pugnare & vix conciliari poffe videatur. His fua licebit opinione frui ; ex aequo autem agant 'Oportet: non ergo denegabunt aliis eandem libertatem quam libi concedi pollulant. Newtonianam itaque philofophiam, quae nobis 'Verior habetur, retinere & amplecti licebit, & caufas fequi per phae- nomena comprobatas, potius quam fidas & nondum comprobatas. Ad veram philofophiam pertinet, rerum naturas ex caufis vere exif- tentibus derivare: eas vero leges quaerere, quibus voluit fummus opifex hunc mundi pulcherrimum ordinem ftabilire ; non eas quibus potuit, li ita vifum fuiflet. Rationi enim confonum ett, ut a plu- ribus caufis, ab invicem nonnihil diverfis,- idem polfit effedus pro- .ficifci : haec autem vera erit caufa, ex qua vere atque adu proficif- ■citur; reliquae locum non habent in philofophia vera. In horo- logiis automatis idem indicis horarii motus vel ab appenfo pon- ' dere vel ab intus conclufo elatere oriri poteft. Quod fi oblatum horologium revera fit inffrudum pondere ; ridebitur qui finget e- laterem, & ex hypothefi fic praepropere confida motum indicis ex- plicare fufcipietr oportuit enim internam machinae fabricam pe- nitius perfcrutari, ut ita motus propofiti principium verum explo- ratum habere poflet. Idem vel non abfimile feretur judicium de philofophis illis, qui materia quadam fubtilillima caelos elfe repletos, hanc autem in vortices indefinenter agi voluerunt. Nam fi phaeno- menis vel accuratillime fatisfacere poflent ex hypotbefibus fuis; ve- ram tamen philofophiam tradidilTe, & veras caufas motuum caelefti- um invenifle nondum dicendi funt; nifi vel has revera exiffere, vel faltem alias non exiffere demonffraverint. Igitur fi oftenfum fuerit, univerforum corporum attradionem habere verum locum in rerum natura ; quinetiam oftenfum fuerit , qua ratione motus omnes cae- leftes abinde folutionem recipiant ; vana fuerit & merito deridenda objedio, 1 P R ^ F A T r O objeftibi fi quis dixerit eofdem motus per vortices explicari debere^ ’ etiamfi id fieri pofle vel maxime concellerimus. Non autem conce- dimus: nequeunt enim ullo pafto phaenomena per vortices explicari ; - quod ab auftore noftro abunde quidem & clariffimis rationibus evin- citur; ut fomnis plus ^quo indulgeant oporteat, qui ineptiffimo fig- mento refarciendo, novifque porro commentis ornando infelicem^ operam addicunt. Si corpora planetarum & cometarum circa folem deferantur a vor»' ticibus; oportet corpora delata ;& vorticum- partes proxime ambi- entes eadem velocitate eademque curfus determinatione moveri, & eandem habere denfitatem vel eandem vim inertias pro mole ma- terias. Confiat vero planetas & cometas, dum verfantur in iifdem regionibus caslorum, velocitatibus variis variaque curfus determina-^ tione moveri. NeceflTario itaque fequitur,-ut fluidi caslefiis partes-^ illas, quas funt ad eafdem difiantias a fole, revolvantur eodem tem- pore in plagas diverfas cum diverfis velocitatibus: etenim alia opu^’^ erit direflione & velocitate , ut tranfire pollint planetas ; alia , uv tranfire pollint cometas. Quod cum explicari nequeat ; vel faten- dum erit, univerfa corpora caslefiia non deferri a materia vorticis ; vel dicendum erit, eorundem motus repetendos efle non ab uno • eodemque vortice, fed a pluribus qui ab invicem diverfi fint, idem- que fpatium foli circumjeflum pervadant. Si plures vortices in eodem fpatio contineri, & fefe mutuo pe- netrare motibufque diverfis revolvi ponantur ; quoniam hi motus ^ debent efle conformes delatorum corporum motibus, qui funt fum- me regulares, & peraguntur in feftionibus conicis nunc valde eccen- ~ tricis, nunc ad circulorum proxime formam accedentibus; jure quaerendum erit, qui fieri poffit, ut iidem integri conferventur nec ‘ ab adiionibus materias occurfantis per tot faecula quicquam pertur- - bentur. Sane fi motus hi fiftitii funt magis compofiti & difficilius - ‘explicantur, quam’ veri illi motus planetarum & cometarum? frufira ^ mihi videntur in philofophiam recipi: omnis enim caufa debet efle ' effeftufuo fimplicior. Concefla fabularum licentia, affirmaverit ali- quis planetas omnes & cometas circumcingi atmofphasris, adinflat " telluris noflras; quas quidem hypothefis rationi magis confentanea - videbitur quam hypothefis- vorticum.^ Affirmaverit deinde has' at-- mofphae*'- editoris mofphaeras, ex natura fua, circa folem moveri & fediones conicas defcribere; qui fane motus multo facilius concipi poteft, quam con- fimilis motus vorticum fe invicem permeantium. Denique planetas ipfos & cometas circa folem deferri ab atmofphseris fuis credendum efle flatuat, & ob repertas motuum caeleflium caufas triumphum agat.' Quifquis autem hanc fabulam rejiciendam efle putet, idem & alteram fabulam rejiciet : nam ovum non elt ovo fimilius, quam hypothefis atmofphaBrarum hypothefi vorticum. Docuit GalUaus^ lapidis projefti & in parabola moti deflexionem a curfu reftilineo oriri a gravitate lapidis in terram, ab occulta fci- licet qualitate. Fieri tamen potefl: ut alius aliquis, nafi acutioris, philofophus caufam aliam comminifcatur. Finget igitur ille materi- am quandam fubtilem, quse nec vifu, nec tadu, neque ullo fenfu percipitur, verfari in regionibus quae proxime contingunt telluris fu- perficiem. Hanc autem materiam, in diverfas plagas, variis & ple- rumque contrariis motibus ferri, & lineas parabolicas defcribere con- tendet. Deinde vero lapidis deflexionem pulchre fic expediet, & vulgi plaufum merebitur. Lapis, inquiet, in fluido illo fubtili natat & curfui ejus oblequendo, non potefl non eandem una femitam de- fcribere. Fluidum vero movetur in lineis parabolicis ; ergo lapidem in parabola moveri neceflTe efl. Quis nunc non mirabitur acutif- fimum hujufce philofophi ingenium, ex caufis mechanicis, materia fcilicet & motu, phaenomena naturae ad vulgi etiam captum praeclare deducentis? Quis vero non fubfannabit bonum illum GaliUum^ qui magno molimine mathematico qualitates occultas, e philofophia fe- liciter exclufas, denuo revocare fuflinuerit ? Sed pudet nugis diutius immorari. tandem redit: cometarum ingens efl: numerus; motus eorum funt fumme regulares, & eafdem leges cum planetarum motibus obfervant. Moventur in orbibus conicis, hi orbes funt valde admodum eccentrici. Feruntur undique in omnes caelorum partes, & planetarum regiones liberrime pertranfeunt, & faepe contra Agno- rum ordinem incedunt. H^c phaenomena certiflime confirmantur ex obfervationibus aflronomicis: & per vortices nequeunt explicari. Imo, ne quidem cum vorticibus planetarum conflftere poflTunt. Co- metarum 3 P R iE F A T I O metarum motibus omnino locus non erit; nifi materia illa fiditia pe- nitus e cgbUs amoveatur. Si enim planetae circum folem a vorticibus devehuntur ; vorticum partes, qua^ proxime ambiunt unumquemque planetam, ejufdem den- litatis erunt ac planeta ; uti fupra didum elL Itaqite materia illa om- nis quae contigua elt orbis magni perimetro, parem habebit ac tellus denlitatem : quae vero jacet intra orbem magnum atque orbem faturni, vel parem vel majorem habebit. Nam ut conllitutio vorticis per- manere poflit, debent partes minus denfae centrum occupare, magis denfae longius a centro abire. Cum enim planetarum tempora pe- riodica fint in ratione fefquiplicatadiltantiarum a fole, oportet partium vorticis periodos eandem rationem fervare. Inde vero fequitur, vi- res centrifugas harum partium fore reciproce ut quadrata dillantiarum. Quae igitur majore intervallo diilant a centro, nituntur ab eodem re- cedere minore vi: unde fi minus denfae fuerint, necefTe ell ut ce- dant vi majori, qua partes centro propiores afcendere conantur. Afcendent ergo denfiores, defcendent minus denfae, & locorum fiet invicem permutatio; donec ita fuerit difpofita atque ordinata mate- ria fluida totius vorticis, ut conquiefcere jam poflit in aequilibrio conftituta. Si bina fluida, quorum diverfa eft denfitas, in eodem vafe continentur; utique futurum eft ut fluidum, cujus major eft denfitas, majore vi gravitatis infimum petat locum: & ratione non abfimili omnino dicendum eft, denfiores vorticis partes majore vi centrifuga petere fupremum locum. Tota igitur illa & multo maxima pars vorticis, quae jacet extra telluris orbem, denCtatem habebit atque adeo vim inertia pro mole materise, quae non minor erit quam denfitas & vis inertiae telluris: inde vero cometis tra- 'jedis orietur ingens refiftentia, & valde admodum fenfibilis; ne dicam, quae motum eorundem penitus fiftere atque abforbere polTe merito videatur. Confiat autem ex motu cometarum prorfus re- gulari, nullam ipfos refiftentiam pati quae vel minimum fentiri poteft; atque adeo neutiquam in materiam ullam incurfare, cujus aliqua fit vis refiftendi, vel proinde cujus aliqua fit denfitas feu vis inertiae. Nam refiftentia mediorum oritur vel ab inertia materiae fluidae, vel a defeftu lubricitatis. Quae oritur a defeftu lubricitatis, admodum ex- iguaeft; & fane vix obfervari poteft in fluidis vulgo notis, nifi vaWe c tenacia editoris tenacia fuerint adinftar olei & mellis. Refidentia qu® fentitur in aere, aqua,hydrar2yro, & hujufmodi fluidis non tenacibus fere tota elt prioris generis; & minui non potett per ulteriorem quemcunque gradum fub- tilitatis, manente fluidi denfitate vel vi inertiae, cui femper pro- portionalis elt haec refiflentia; quemadmodum claiiflime demonflra- tum elt ab audtore noftro in peregregia refillentiarum theoria, quae paulo nunc accuratius exponitur, hac fecunda vice, & per experi- menta corporum cadentium plenius confirmatur. ^ Corpora progrediendo motum fuum fluido ambienti paulatim com- municant, & communicando amittunt, amittendo autem letardan- tur. Elt itaque retardatio motui communicato proportionalis ; mo- tus vero communicatus, ubi datur corporis progredientis velocitas, elt ut fluidi denfitas; ergo retardatio feu refiflentia erit ut eadem fluidi denfitas ; neque ullo pafto tolli potefl, nifi a fluido ad partes corporis pollicas recurrente rellituatur motus amiflus. Hoc autem dici non poterit, nifi imprelTio fluidi in corpus ad partes pollicas m- qualis fuerit- impreflioni corporis in fluidum ad partes anticas, hoc elt, nifi velocitas relativa qua fluidum irruit in corpus a tergo, m- qualis fuerit velocitati qua corpus irruit in fluidum, id elt, nifi velo- citas abfoluta fluidi recurrentis duplo major fuerit quam velocitas ab- foluta fluidi propulfi; quod fieri nequit. Nullo igitur modo tolli potefl fluidorum refiflentia , qute oritur ab eorundem denfitate & vi inertiaj. Itaque concludendum erit; fluidi cseleflis nullam elTe vim inertiae, cum nulla fit vis refiltendi: nullam elfe vim qua mo- tus communicetur, cum nulla fit vis inertiae : nullam efle vim qua mutatio quaelibet vel corporibus fingulis vel pluribus inducatur, cum nulla fit vis qua motus communicetur ; nullam efle omnino ef- ficaciam, cum nulla fit facultas mutationem quamlibet inducendi. Quidni ergo hanc hypothefin, quae fundamento plane deflituitur, quaeque naturae rerum explicandae ne minimum quidem infeivit, in- eptilfimam vocare liceat & philofopho prorfus indignam. Qui caelos materia fluida repletos elTe volunt, hanc vero non inertem efle fta- tuunt ; hi verbis tollunt vacuum, re ponunt. Nam cum hujufmodi materia fluida ratione nulla fecerni polEt ab inani fpatio ; difputatio tota fit de rerum nominibus, non de naturis. Quod fi aliqui lint adeo ufque dediti materiae, ut fpatium a corporibus vacuum nullo pafto admit- 3 P R ^ F A T I O. admittendum credere velint ; videamus quo tandem oporteat illo pervenire. Vei enim dicent hanc, quam confingunt, mundi per omnia pleni conftitutionem ex voluntate dei profeftam efle, propter eum finem, ut operationibus naturae fubfidium praefens haberi polTet ab aethere fubtiliffimo cunfla permeante & implente ; quod tamen dici non po- teft, fiquidem jam oftenfum eft ex cometarum phaenomenis, nullam efle hujus aetheris efficaciam: vel dicent ex voluntate dei profeftam elTe, propter finem aliquem ignotum ; quod neque dici debet, fiqui- dem diverfa mundi conftitutio eodem argumento pariter ftabiliri pofTet: vel denique non dicent ex voluntate dei profeftam efle, fed ex neceflitate quadam naturae. Tandem igitur delabi 'opor- tet in faeces fordidas gregis impuriffimi. Hi funt qui fomniant fato univerfa regi, non providentia; materiam ex neceflitate fua femper & ubique extitifle , infinitam efle & aeternam. Quibus pofitis, erit etiam undiquaque uniformis : nam varietas formarum cum neceffitate omnino pugnat. Erit etiam immota : nam fi neceflTario moveatur in plagam aliquam determinatam , cum determinata aliqua velocitate ; pari neceffitate movebitur in plagam diverfam cum diverfa velocitate ; in plagas autem diverfas, cum diverfis velocitatibus, moveri non po- tefi; oportet igitur immotam efTe. Neutiquam profefto potuit oriri mundus, pulcherrima formarum & motuum varietate diflindus, nifi ex liberrima voluntate eunda providentis & gubernantis dei. Ex hoc igitur fonte promanarunt illte omnes quse dicuntur naturae leges: in quibus multa fane fapientiffimi confilii, nulla neceflitatis apparent vefiigia. Has proinde non ab incertis conjefturis petere, fed obfervando atque experiendo addifeere debemus. Qui vere phy- ficae principia legefque rerum , fola mentis vi & interno rationis lu- mine fretum , invenire fe polTe confidit ; hunc oportet vel ftatuere mundum ex neceffitate fuifie, legefque propofitas ex eadem neceffitate fequi; vel fi per voluntatem dei conftitutus fit ordo naturae, fe tamen, homuncionem mifellum, quid optimum faflu fit perfpedum habere. Sana omnis & vera philofophia fundatur in phaenomenis rerum: quae fi nos vel invitos & reludantes ad hujufmodi principia deducunt, in quibus clariffime cernuntur confilium optimum & dominium fummum fa- pientiffimi & potentiffimi entis; non erunt haec ideo non admitten- da principia, quod quibufdam forfan hominibus minus grata fint fu- c X tura. edit o r i s tura. His vel miracula vel qualitates occulta dicantur, quae difpK, cenr: verum nomina trialitiofe indita non funt ipCs rebus vitio ver- tenda; nifi illud faterAandem velint utique in athdfmoTCitiaaW? ' hominum gratia hp^^erit labefaftanda philofophiaf liquidem rerCfm ordo non vult immutari. Obtinebit igitur apud probos & mquos judices pfaeflantiflima phi- lofophandi ratio quae fundatur in experimentis &: obfervationibus. Huic vero, dici vix poterit, quanta lux accedat, quanta dignitas, ab hoc opere prseclaro llluftriflimi noilri audloris; cujus eximiam in- genii felicitatem, difficillima quaeque problemata enodantis, & ad ea porro pertingentis ad quae nec fpes erat humanam mentem afTurge- re potuiiTe , merito admirantur & fufpiciunt quicunque paulo pro- fundius in hifce rebus verfati funt. Claullris ergo referatis, aditum nobis aperuit ad pulcherrima rerum myfteria. Syllematis mundani compagem elegantiffimam ita tandem patefecit & penitius perfpec- tandam dedit; ut hec ipfe,, fi nunc revivifceret, xtn Alphonfus vel fimplicitatem vel harmoniae gratiam in ea defideraret. Itaque naturae majeftatem propius jam licet intueri, & dulciffima contemplatione frui, conditorem vero ac dominum univerforum impenfius colere & venerari, qui fruftus ell philofophiae multo uberrimus. Caecum effe oportet, qui ex optimis & fapientiffimis rerum ftrufturis non fia- tim videat fabricatoris omnipotentis infinitam fapientiam & bonita- tem : infanum, qui profiteri nolit. Extabit igitur eximium Newtoni opus adverfus atheorum impetus munitiflimum pr^fidium: neque enim alicunde felicius, quam ex hac pharetra, contra impiam catei*vam tela deprompferis. Hoc fenlit pridem, & rn pereruditis concionibus anglice latineque editis, primus egregie demonltravit vir in omni iiterarum genere praeclarus idem- que bonarum artium fautor eximius Rich ardus Bentleius, feculi fui & academiae noflrae magnum ornamentum, collegii noltri S, TrU nitatis magHler digniflimus & integerrimus. Huic ego me pluribus nominibus obflriftum fateri debeo; huic & tuas quae debentur gra- tias, leftor benevole, non denegabis. Is enim, cum a longo tempore celeberrimi auftoris amieitia intima frueretur, (qua etiam apud po- fteros cenferi non minoris aeflimat, quam propriis fcriptis quae li- brato, orbi-m delicus funt inclarefcere) amici fimul fam^ & fden^ 3- ' tiaium r P F 'ATIO tiarum incremento cotifuluit. It^e^um^emplaria prioris editi deniqufe^-t^iram 'praBftbfitifflmuthV^ne^c modeftia minws quam eruditi, one fumma infignemfut novam hanc operis editionem, per omnia «limatam denuo & egregiis infuper acceilipnilius ditatam, fuis fump- tibus &iaufpiciis prodire pateretut : mihi vero,f pjrp jurpfuo, penfum noni ingfatum demandavit, - ttt qukih'poiret emendate id .fieri cura- reminBJtnixa iULiJo ;^^o: ub rui'*, in- .. *3bB cznnshon-; ---t!- - .3§'iijns rfr3inero n- - -o^cT oIufiQ Is ; 0:1 ■ c i i i i 1 4»^' 2' ' » “ ' - \ r \ I > V 1L?V 3noiiE.'qfn-;jn'> 'SS-i % ■ a 6U. ] - -> i .;r; ■ '■ ir» a bni "l; -H r : . " i ' 1 - i Si fi' 4 ? . 'i . .-4 ■ «41; ' :*^* i,- '•,■ I ■' ' i ‘ ■ Rogerus Cotes collegii S, Trinitatis focius^ aftronomiae & philofophiae experimentalis prcxfeffor ■ ^ ^ ^ I )'• . _ C •toi^Ga: ^ i . ■ i, i-04lG': ■q >.'U 0 -l ' ■ j.r ■ •■. i ' ; . ■ : y. ^ ' j j. P' .* ^ ' > * , y t ( ''i , „ , , 1 f-» - y ^ ; * - ’ r .-fi ■ . -f Ai •,.* r - - . . - r- ' n i . -• ^ . . iq.a!A G; i>V 4 ^ • - i. • • * k ii j . rt ' •- o 'l- ■ \ 5 r • >, s’ ' S '> flJi Ji .'A AUCTORIS auctoris P R iE F AT I O IN EDITIONEM TERTIAM. \ IN editione hacce tertia , quam Henricus Pemberton M. D. vir harum rerum peritijjimus curavit , nonnulla in libro fecundo de rejijientia mediorum paulo fufius explicantur quam antea^ & addun^ tur experimenta nova de r efflentia gravium qua cadunt in aere. In libro tertio argumentum quo lunam in orbe fuo per gravitatem retineri probatur^ paulo fufus exponitur: & nova - adduntur obferv at tones de proportione diametrorum Jovis ad invicem a 2)! VowwdXo f ali a. Ad* duntur etiam ohfervationes aliquot cometa illius qui anno i6%o appa- ruit^ a 2). Kirk menfe Novembri in Germania habita^ qua nuper ad manus noflras venerunt^ & quarum ope confiet quam prope orbes para* bolici motibus cometarum refpondent. Et orbita cometa illius^ com- putante ¥{2i\\tiOj paulo accuratius determinatur quam antea idque in ellipfi. Et ofienditur cometam in hac orbita elliptica-^ per novem ca- lorum fgna^ non minus accurate curfum peregijfe^ quam filent plane- ta in orbitis efipticis per afironomiam definitis moveri. Orbis etiam cometa qui anno 172.3 apparuit^ a 2). Bradleio afironomia apud Ox- onienfes profejfore computatus adjicitur. Dabam Londini Jan. II. IS. NEIVTON INDEX CAPITUM TOTIUS OPERIS. \ Definitiones. Axiomata;, sive Leges Motus. Pag» I 13 DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS. Sect. I. I 'X.E tnethodo rationum primarum ultimarum. Sect. II. T)e inventione virium centri;petarum, 38 Sect. III. *iDe motu corporum in conicis fe itionibus eccentrkis. ^4 Sect. IV. Tie inventione orbium ellipticorum par aboUcorum ^ hy* perbolicorum ex umbilico dato. Sect. V. T>e inventione orbium ubi umbilicus neuter datur. ' 73 Sect. VI. T)e inventione motuum in orbibus datis. 104 Sect. VII. T>e corporum afcenjii ^ defcen/u reBilineo. 112. Sect. VIII. T)e inventione orbium in quibus corpora viribus quibuj^ cunque centripetis agitata revolvuntur. 123 Sect. IX. e motu corporum in orbibus mobilibus^ de que motu ap* fidum. i2p Sect. X. T^e motu corporum in Juperficiebus datis^ deque funepen- dulorum motu reciproco. 142 Sect. XI. 2)^ motu corporum viribus fentripetis fe mutuo peten- tium. 160 Sect. XII. e corporum fph aric orum viribus attraBivis. 189 Sect. XIII. T)e corporum non fpharicorum viribus attraBivis. 210 Sect. XIV. T^e motu corporum minimorum^ quce viribus centripetis ad fin gulas magni alicujus corporis partes tendentibus agi- tantur. 222 D E DE MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS. Sect. i motu corporum quibus rejlftitur in ratione vekcu tatis, ^30 Sect. II. motu corporum quibus rejijlitur in duplicata ratione ^ corporum circulari motu in mediis rejijlent ibus, X74 Sect. V. denfitate & comprejfione jluidorumy de que hjdrojiati^ ca. Bt^ct. VI. Demotu^ rejijlentia corporum fiinependulorum, 294 Sect. VII. 2)^ motu jiuidorum & rejijlentia projediilium. 318 Sect. VIII. Tie motu per jluida propagato. 35*7 Sect. IX. 29(? motu circulari jiuidorum. ^ 374 DE MUNDI SYSTEMATE LIBER TERTIUS TJ EGULiE Philosophandi 387 Jx Ph.zEnomena 390 Propositiones 395’ ScHOLiuM Generale. jz(5 CORRIGENDA. IN carmine Halleii verf. 9. leg. Sidereos. PA G. 1 15. A 21. Ug. xxxiv. P. 114. i. antepenult. leg, Vf" P. 144. /. 5. 4 fine leg. def- cendendo currant. P. 145. /. 15, 16. leg. eundum. P. r 51. /. 16. leg. fingulis. P. 181. /. 9. ^ p P. M9. 19- ioferms P. 168 1. ^dfu oA 3- m progreffione. P. 301. 1 1. fc?. Ca. P. 371. Z, /o-te. fofi 9 fo»e f«r,a„m. P.4Z7.I 8. Z«. lumina- num. 16, d. l.ii. Ug. fit. P. 445. l. ,8. Ug. 3!^ p. 448. t. ,3, 7,. g. 0817646 p 160 Z iz Ug. fenHdiaraetris. P. 487. Z. 7. Z^^. divifas. P. 488. in figura fecundi iingantlr S, B «77a %. 498! l. 5. Ug. Ifine ummate. Ibid. \.^. a fine Ug.f^BF. P.500. Z. zj. Z^j. 840ZI. P.50Z. i» celumna KeUmlflll %ert' S ^'7 ‘‘t- comatas. P. jzo. Z. fenult. in eelumnal 10 /{. ^ 7' ^ 5^3- '»/««».^4 «Z»m»ya4»Z. Z.4. Zf^^ 53. ii..hjuaria cvmmna t. 19. 5. 15, ^3. colmna l, 19. 5. 16. 50, PHILO- Philofophi£e Naturalis PRINCIPIA MATHEMATICA. DEFINITIONES. DEFINITIO I. ^lantuas matena efi menfura ejufdem orta ex tllms den^ jitate et ma^itudme conjunBtm. A E R denfitate duplicata, in fpatio etiam duplicato, fit qua- druplus ; in triplicato fextuplus. Idem intellige de nive & pulveribus per compreffionem vel liquefaftionem conden- fatis. Et par elt ratio corporum omnium, quae per caufas quafcun- que diverlimode condenfantur. Medii interea, fi quod fuerit, in- terflitia partium libere pervadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem quantitatem fub nomine corporis vel mafiie in fe- quentibus palfim intelligo. Innotefcit ea per corporis cujufque pondus : Nam ponderi proportionalem efie reperi per experimen- ta pendulorum accuratiflime infiituta, uti pofthac docebitur. DEFINITIO II. ^tanUtas motus efi menfura ejufdem orta ex velocitate et quantitate materii:s conjuntTim. \ Motus totius efi: fumma motuum in partibus fingulis ; ideoque in corpore duplo majore, squali cum velocitate, duplus elt, & dupla cum velocitate quadruplus.. B DEFI- I t PHILOSOPHIA NATURALIS ✓ Definiti- e N £ £. DEFINITIO III. Matena vk 'mfita eB potentia refiBendi, qtta corpus unum- quodque ^ quantum tn fe eB, perfeverat in Batu fuo vel quiefcendi vel movendi uniformiter in dtreBum. > * Hasc femper proportionalis eft fuo corpori, neque differt quic- ' quam ab inertia maffae, nifi in modo concipiendi. Per inertiam materiae fit, ut corpus omne de flatu fuo vel quiefcendi vel moven- di difficulter deturbetur. Unde etiam vis infita nomine fignifican- tillimo vis inertiae dici poffit. Exercet vero corpus hanc vim fo- lummodo in mutatione flatus fui per vim aliam in fe impreffam fadla ! eflque exercitium illud fub diverfo refpeftu & refiflentia & impetus : Refiflentia, quatenus corpus ad confervandum flatum fu- um reluftatur vi imprelTae ; impetus, quatenus corpus idem, vi refi- ftentis obflaculi difficulter cedendo , conatur flatum obflaculi illius mutare. Vulgus refiflentiam quiefcentibus & impetum moventibus tribuit: fed motus & quies, uti vulgo concipiuntur, refpedlu folo diflinguuntur ab invicem ; neque femper vere quiefcunt, quae vulgo tanquam quiefcentia fpeftantur. DEFINITIO IV. Vk imprejfa eB aBio in corpus exercita^ ad mutandam ejus Batum vel quiefcendi vel movendi uniformiter tn dtreBum, * ' Confiflit h$c vis in adlione fola, neque poft aftionem permanet in corpore. Perfeverat enim corpus in flatu omni novo per folam vim inertiae. Eft autem vis imprelfa diverfarum originum, ut ex iftu, ex preffione, ex vi centripeta. Vk PRINCIPIA MATHEMATICA. 5 D F Ft M I Tt- DEFINITIO V. » Vh centrtpeta efij qua corpora verfm punclum aliquod^ tan-- quam ad centrum^ undique trahuntur ^ impelluntur^ vel ut^ cunque tendunt, Hujust generis efl gravitas, qu$: corpora tendunt ad centrum ter^ ; vis magneiica, qua ferrum petit magnetem ; & vis illa, quae^* cunque Iit, qua planetae perpetuo retrahuntur a motibus rectili- neis, & in lineis curvis revolvi coguntur. Lapis, in funda circum- aftus, a circumagente manu abire conatur; & conatu fuo fundam diftendit, eoque fortius quo celerius revolvitur; &, quamprimum dimittitur, avolat. Vim conatui illi contrariam, qua funda lapidem in manum perpetuo retrahit & in orbe retinet, quoniam in manum ceu orbis centrum dirigitur, centripetam appello. Et par eft ratio corporum omnium, quae in gyrum aguntur. Conantur ea omnia a centris orbium recedere ; & nili adiit vis aliqua conatui ifti contra- ria, qua cohibeantur & in orbibus retineantur, quamque ideo cen- tripetam appello^ abibunt in redis lineis uniformi cum motu. Pro- jedile, fi vi gravitatis defiitueretur, non deflefteretur in terram, fed in linea reda abiret in coelos ; idque uniformi cuixi motu, fi modo acris refifientia tolleretur. Per gravitatem fuam retrahitur a curfu redilineo & in terram perpetuo fleditur, idque magis vel minus pro gravitate fua & velocitate motus. Quo minor fuerit ejus gravitas pro quantitate materiae, vel major velocitas quacum projicitur, eo mi- nus deviabit a curfu redilineo & longius perget. Si globus plum- beus, data cum velocitate fecundum lineam horizontalem a montis alicujus vertice vi pulveris tormentarii projedus, pergeret in linea curva ad diftantiam duorum milliarium, priufquam in terram deci- deret : hic dupla cum velocitate quafi duplo longius pergeret, & decupla cum velocitate quafi decuplo longius ; fi modo aeris refi- flentia tolleretur. Et augendo velocitatem augeri polTet pro lubitu diflantia in quam projiceretur, & minui curvatura linese quam de- feriberet, ita ut tandem caderet ad diflantiam graduum decem vel triginta vel nonaginta ; vel etiam ut terram totam circuiret vel de- B 2. nique 4 PHILOSOPHIiE NATURALIS Ds FINITI- piqyg Jq coelos abiret, & motu abeundi pergeret in infinitum. Et eadem ratione, qua proje(i]:ile vi gravitatis in orbem flefti pofiet & terram totam circuire.potelt & luna vel vi gravitatis, fi modo gravis fit, vel alia quacunque vi, qua in terram urgeatur, retrahi femper a cur. fu reftilineo terram verfus, & in orbem fuum fledti ; & fine tali vi luna in orbe fuo retineri non poteit. Haec vis, fi jufio mi- nor eflet, non fatis fledleret lunam de curfu rediilineo : fi jullo major, plus fatis fledleret, ac de orbe terram verfus deduceret. Re- quiritur quippe, ut fit juftae magnitudinis : & Mathematicorum eft invenire vim, qua corpus in dato quovis orbe data cum velocitate accurate retineri poflit ; & viciflim invenire viam curvilineam, in quam corpus e dato quovis loco data cum velocitate egrelTum a data vi fledlatur. Efl autem vis hujus centripetas quantitas trium generum» abfoluta, acceleratrix, & motrix. DEFINITIO VI. centripeta quantitas abfoluta ePl menfura ejufdem major vel minor pro efficacia caufe^ eam propagantis a eentro per renones in circuitu. Ut vis magnetica pro mole magnetis vel intenfione virtutis major in uno magnete, minor in alio. DEFINITIO VII. Vis centripeta quantitas acceleratrix e fi ipfius menfura velo- citati proportionalis^ quam dato tempore generat. Uti virtus magnetis ejufdem major in minori diftantia minor in majori : vel vis gravitans major in vallibus, minor in cacumini- bus altorum montium, atque adhuc minor ( ut pofthac patebit ) in majoribus diflantiis a globo terrae ; in aequalibus autem diftan- tiis eadem undique, propterea quod corpora omnia cadentia (gravia an levia, magna an parva) fublata aeris refiilentia, aequaliter ac- celerat. DEFINI- PRINCIPIA MATHEMATICA. 5 DEFINITIO VIII. Definiti* o N E5. Vh centrtpet^e quanutas motrlx eji Ipfms menfura propor-- tjonalis motm^ quem dato tempore generat. Uti pondus majus in majore corpore, minus in minore; & in corpore eodem majus prope terram, minus in coelis. Haec quantitas cft corporis totius centripetentia feu propenfio in centrum, & (ut ita dicam) pondus ; & innotefcit femper per vim ipfi contrariam & ae- qualem, qua defcenfus corporis impediri poteit. Hafce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires motrices, acceleratrices, & abfolutas ; & diftinftionis gratia referre ad corpora centrum petentia, ad corporum loca, & ad centrum virium : nimirum vim motricem ad corpus, tanquam conatum totius in centrum ex conatibus omnium partium compofitum ; & vim acceleratricem ad locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de centro per loca fingula in circuitu difFufam, ad movenda cor- pora quae in ipfis funt \ vim autem abfolutam ad centrum , tan- quam caufa aliqua praeditum, fine qua vires motrices non propa- gantur per regiones in circuitu ; five caufa illa fit corpus aliquod centrale (quale eft magnes in centro vis magneticae, vel terra in centro vis gravitantis.) five alia aljqua quae non apparet. Mathe- maticus duntaxat efl: hic conceptus : Nam virium caufas & fedes phyficas jam non expendo. Eft igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum. Oritur enim quantitas motus ex- celeritate & ex quantitate mate- riae, & vis motrix ex vi acceleratrice & ex quantitate ejufdem materiae conjunftim. Nam fumma aftionum vis acceleratricis in fin- gulas corporis particulas eft vis motrix totius. Unde juxta fuper* ficiem terrae, ubi gravitas acceleratrix feu vis gravitans in cor- poribus univerfis eadem eft, gravitas motrix feu pondus eft ut corpus: at fi in regiones afcendatur ubi gravitas acceleratrix fit minor, pondus pariter minuetur, eritque femper ut corpus & gravitas acceleratrix conjunflim. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo minor eft, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel fextuplo minus. Porro 6 PHILOSOPHT/E NATURALIS Definiti- PoiTO attraftiones & impulfus eodem fenfu acceleratrices & mo- trices nomino. Voces autem attraftionis, impulfus, vel propen- fionis cujufcunque in centrum, indifferenter & pto fe mutuo pro- mifcue ufurpo ; has vires non phylice fed mathematice tantum con- fiderando. Unde caveat ledor, ne per hujufmodi voces cogitet me fpeciem vel modum aftionis caulamve aut rationem phyiicam ali- cubi definire, vel centris (quae lunt punfta mathematica) vires vere & phyfice tribuere ; li forte aut centra trahere, aut vires centro- rum efTe dixero. SchoTium. Haftenus voces minus notas, quo fenfu in fequentibus accipi- enda fint, explicare vifum eft. Tempus, fpatium , Jocus & motus, funt omnibus notiflima. Notandum tamen, quod vulgus' quantitates hafce non aliter quam ex relaiionead feniibilia concipiat. Et inde oriuntur praejudicia quaedam, quibus tollendis convenit eafdem in abfolutas & relativas, veras & apparentes, mathematicas & vulgares dillingui. I. Tempus abfolutum, verum, & mathematicum, in fe & natura fua fine relatione ad externum quodvis, aequabiliter fluit, alioque nomine dicitur duratio : Relativum , apparens, &: vulgare ell fen- fibilis & externa quaevis durationis per morum menfura ( feu accu- rata feu inaequabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur ; ut hora, dies, menfis, annus. II. Spatium abfolutum, natura fua fine relatione ad externum quodvis, femper manet fimilare & immobile; Relativum efl; fpatii hujus menfura feu dimenfio quaelibet mobilis, quae a fenfibus nollris per fitum fuum ad corpora definitur, & a vulgo pro fpatio im- mobili ufurpatur : uti dimenfio Ipatii fubterranei , aerii vel coele- flis definita per fitum fuum ad terram. Idem lunt fpatium abfo- lutum & relativum, fpecie & magnitudine; fed non permanent idem femper numero. Nam fi terra, verbi gratia, moveatur, fpatium aeris noftri, quod relative & refpedu terrae femper manet idem, nunc erit una pars fpatii abfoluti in quam aer tranfit, nunc alia pars ejus ; & fic abfolute mutabitur perpetuo. III. Locus PRINCIPIA MATHEMATICA. 7 III. Locus efl pars fpatii quam corpus occupat, eitquc pro ratione definiti- fpatiivel abfolutus vel relativus. Pars, inquam, fpatii; non fitus cor- ^ *^ ^ "** poris, vel fuperficies ambiens. Nam folidorum aequalium aequales femper funt loci ; Superficies autem ob diiRmilitudinem figurarum ut plurimum inaequales funt ; Situs vero proprie loquendo quan- titatem non habent, neque tam funt loca quam aftediones loco- rum. Motus totius idem eit cum fumma motuum partium ; hoc eft, tranflatio totius de fuo loco eadem ett cum fumma tranflatio- num partium de locis fuis ; ideoque locus totius idem ett cum fum- ina locorum partium, & propterea internus & in corpore toto. IV. Motus abfolutus ett tranflatio corporis de loco abfoluto in locum abfolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in navi quae velis pallis fertur, relativus corporis locus ett navigii regio illa in qua corpus verfatur , feu cavitatis totius pars illa quam cor- pus implet, quaeque adeo movetur una cum navi : & quies relativa ett permanfio corporis in eadem illa navis regione vel parte cavita- tis. At quies vera ett permanfio corporis in eadem parte fpatii illius immoti, in qua navis ipfa una cum cavitate fua & contentis univerfis movetur. Unde fi terra vere quiefcat, corpus, quod re- lative quiefcit in navi, movebitur vere & abfolure ea cum veloci- tate, qua navis movetur in terra. Sin terra etiam moveatur ; orie- tur verus & abfolutus corporis motus, partim ex terrae motu vero in fpatio immoto, partim ex navis motu relativo in terra. Et fi corpus etiam moveatur relative in navi ; orietur verus ejus mo- tus, partim ex vero motu terrae in fpatio immoto, partim ex rela- tivis motibus tum navis in terra tum corporis in navi : & ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in terra. Ut Ct terrae pars illa,, ubi navis veifatur, moveatur vere in orientem cum velocitate partium looio ; & velis ventoque feratur navis in occi- dentem cum velocitate^ partium decem ; nauta autem ambulet in navi orientem verfus cum velocitatis parte una : movebitur nauta vere & abfolute in fpatio immoto cum velocitatis partibus loooi in orientem, & relative in terra occidentem verfus cum velocitatis partibus novem. Tempus abfolutum a relativo dittinguitur in Attronoinia per ae- quationem temporis vulgi. Inaequales enim funt dies naturales, qui vulgo tanquam aequales pro menfura temporis habentur. Hanc ^ inaequa- 8 PHILOSOPHIA NATURALIS Dif INI TJ- inaequalitatem corrigunt Ailronotni, ut ex veriore tempore tnen- furent motus coelelies. Poflibile ell, ut nullus fit motus aquabilis, quo tempus accurate meni uretur. Accelerari & retardati polTunt motus omnes, fed fluxus temporis abfoluti mutari nequit. Eadem eft duratio feu perfeverantia exiltentiae rerum, five motus fint cele- res, five tardi, five nulli : proinde haec a menfuris fuis fenfibilibus merito diilinguitur, & ex iifdem colligitur per aequationem aftro- nomicam. Hujus autem aequationis in determinandis phaenomenis neceffitas, tum per experimentum horologii ofcillatorii, tum etiam per 'eclipfes fatellitum Jovis evincitur. Ut ordo partium temporis elt immutabilis, fic etiam ordo partium fpatii. Moveantur hae de locis fuis, & movebuntur (ut ita dicam) de feipfis. Nam tempora & fpatia funt fui ipforum & rerum omnium quafi loca. In tempore quoad ordinem fucceflionis , in fpatio quoad ordinem fitus, locantur univerfa. De illorum elTentia eft ut fint loca : & loca primaria moveri abfurdum ell. Haec funt igitur abfoluta loca ; & folae tranllationes de his locis funt abfoluti motus. Verum quoniam hae fpatii partes videri nequeunt, & ab invi- cem per fenfus noflros diftingui ; earum vice adhibemus menfuras fenfibiles. Ex pofitionibus enim & diltantiis rerum a corpore ali- quo, quod fpe^lamus ut immobile, definimus loca univerfa : deinde etiam & omnes motus aeflimamus cum refpedtu ad praediola loca, quatenus corpora ab iifdem transferri concipimus. Sic vice loco- rum & motuum abfolutorum relativis utimur ; nec incommode in rebus humanis ; in philofophicis autem abflrahendum elt a fenfibus. Fieri etenim potelt, ut nullum revera quiefcat corpus, ad quod loca motufque referantur. Dillinguuntur autem quies & motus abfoluti & relativi ab invi- cem per proprietates fuas & caufas & effeftus. Quietis proprietas eft, quod corpora vere quiefeentia quiefeunt inter fe. Ideoque cum poflibile fit, ut corpus aliquod in regionibus fixarum, aut longe ultra, quiefcat abfolute; fciri autem non poflit ex litu cor- porum ad invicem in regionibus noftris, horumne aliquod ad lon- ginquum illud datam pofitionem fervet necne ; quies vera ex ho- rum fitu inter fe definiri nequit. _ Mofus PRINCIPIA MATHEMATICA. 9 Motus proprietas efl, quod partes, quae datas fervant pofitiones Definiti- ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium partes omnes conantur recedere ab axe motus, & progredientium impetus oritur ex conjunfto impetu partium fingularum. Motis igitur corporibus ambientibus, moventur qu$ in ambientibus rela- tive quiefcunt. Et propterea motus verus & abfolutus definiri ne- quit per tranflationem e vicinia corporum, quae tanquam quiefcen- tia fpcftantur. Debent enim corpora externa non folum tanquam quiefcentia fpedari, fed etiam vere quiefccre. Alioquin inclufa omnia, praeter tranflationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium motus veros ; & fublata illa tranflaiione non vere quiefcent, fed tanquam quiefcentia folummodo fpedabuntur. Sunt enim ambientia ad inclufa, ut totius pars exterior ad par- tem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice, nucleus etiam, fine tranflatione de vicinia corticis, ceu pars to- tius, movetur. Prascedenti proprietati affinis eil, quod moto loco movetur una locatum : ideoque corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci fui motum. Motus igitur omnes, qui de locis motis fiunt, funt partes folummodo motuum integrorum & abfolutorum : & motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco fuo primo, & motu loci hujus de loco fuo, & lic deinceps ; ufque dum perveniatur ad locum immotum , ut in exemplo nauts fupra me- morato. Unde motus integri & abfoluti non nifi per loca immota definiri poflTunt : & propterea hos ad loca immota, relativos ad mo- bilia fupra retuli. Loca autem immota non funt, nifi quae omnia ab infinito in infinitum datas fervant' pofitiones ad invicem ; atque adeo femper manent immota, fpatiumque conflituunt quod immo- bile appello. Caufae, quibus motij^s veri & relativi diflinguuntur ab invicem, funt vires in corpora impreflae ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutatur, nifi per vires in ipfum corpus mo- tum impreflas : at motus relativus generari & mutari potefl: fine viribus impreffis in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimantur in alia folum corpora ad qum fit relatio, ut iis cedentibus mutetur relatio illa, in qua hujus quies vel motus relativus confidit. Rur- fum motus verus a viribus in corpus motum impreffis feinper muta- C . tur; IO PHILOSOPHIA NATURALIS Definiti- tur ; at iDotus relativus ab his viribus non mutatur neceflario. Nain fi etedem vires in alia etiam corpora, ad quae fit relatio, lic impri. mantur, ut fitus relativus confervetur, confervabitur relatio in qua motus relativus confiftit. Mutari igitur potell motus omnis relati, vus, ubi verus confervatur, & confervari ubi verus mutatur ; & prop. terea motus verus in ejufmodi relationibus minime confiftit. EfFeftus, quibus motus abfoluti & relativi diftinguuntur ab invi- cem, funt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativo hae vires nullae funt, in vero autem & abfo. luto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat fitula a filo praelongo, agaturque perpetuo in orbem, donec filum a con- torfione admodum rigefcat, dein impleatur aqua, & una cum aqua quiefcat ; tum vi aliqua fubitanea agatur motu contrario in orbetn & filo fe relaxante, diutius perfeveret in hoc motu ; fuperficies a- quae fub initio plana erit, quemadmodum ante motum vafis : At poftquam vas, vi in aquam paulatim imprelFa, effecit ut haec quo- que fenfibiliter revolvi incipiat ; recedet ipfa paulatim a medio, af- cendetque ad latera vafis, figuram concavam induens, (ut ipfe ex- pertus fum) & incitatiore femper motu afcendet magis & magis, do- nec revolutiones in aequalibus cum vafe temporibus peragendo, quiefcat in eodem relative. Indicat hic afcenfus conatum rece- dendi ab axe motus, & per talem conatum innotefcit & menfura- tur motus aquae circularis verus & abfolutus, motuique relativo hic omnino contrarius. Initio, ubi maximus erat aquae motus rela- tivus in vafe, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe : aqua non petebat circumferentiam afcendendo ad latera va- fis, fed plana manebat, & propterea illius verus motus circularis nondum inceperat. Poftea vero, ubi aquae motus relativus decre- vit, afcenfus ejus ad latera vafis indicabat conatum recedendi ab axe ; atque hic conatus monftrabat motum illius circularem verum perpetuo crefcentem, ac tandem maximum fadum ubi aqua’quie- fcebat in vafe relative. Quare conatus ifte non pendet a tranfla- tione aquae refpeftu corporum ambientium, & propterea motus cir- cularis verus per tales tranflationes definiri nequit. Unicus eft cor- poris cujufque revolventis motus vere circularis, conatui unico tan- quam proprio & adaquato effefiui refpondens : motus autem rela- tivi pro variis relationibus ad externa innumeri funt ; & relationum inftar, PRINCIPIA MATHEMATICA. n inftar, efFeftibus veris omnino dellituuntur, nifi quatenus verum illum & unicum motum participant. Unde & in fydemate eorum, ° qui coelos noftros infra coelos fixarum in orbem revolvi volunt, & planetas fecum deferre ; fingulae coelorum partes, & planetae' qui relative quidem in coelis fuis proximis quiefcunt, moventur vere. Mutant enim pofitiones fuas ad invicem (fecus quam fit in vere quiefcentibus ) unaque cum coelis delati participant eorum motus, & ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus rece- dere conantur. Quantitates relativae non funt igitur eae ipfae quantitates, quarum nomina prae fe ferunt, fed funt earum menfurae illae fenfibiles (verae an errantes) quibus vulgus loco quantitatum menfuratarum utitur. At fi ex ufu definiendae funt verborum fignificationes ; per nomina illa temporis, fpatii, loci & motus proprie intelligendae erunt hae menfurae fenfibiles ; & fermo erit infolens & pure mathematicus, fi quantitates menfurarae hic intelligantur. Proinde vim inferunt facris literis, qui voces hafce de quantitatibus menfuratis ibi interpre- tantur. Neque minus contaminant mathefin & philofophiam, qui quantitates veras cum ipfarum relationibus & vulgaribus menfuris confundunt. Motus quidem veros corporum fingulorum cognofcere, & ab apparentibus aftu difcriminare, difficillimum eft ; propterea quod partes fpatii illius immobilis, in quo corpora vere moventur, non incurrunt in fenfus. Caufa tamen non eft prorfus defperata. Nam argumenta defumi pofiunt, partim ex motibus apparentibus qui funt motuum verorum differentiae, partim ex viribus quae funt motu- um verorum caufae & effeftus. Ut fi globi duo, ad datam ab in- vicem diflantiam filo intercedente connexi , revolverentur circa commune gravitatis centrum ; innotefeeret ex tenfione fili cona- tus globorum recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circularis computari pofiet. Deinde fi vires quaelibet aequales in alternas globorum facies ad motum circularem augendum vel mi- nuendum fimul imprimerentur, innotefeeret ex auda vel diminuta fili tenfione augmentum vel decrementum motus ; & inde tandem inveniri poffent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus maxime augeretur ; id eft, facies poflicae, five quae in mo- tu circulari feqiiuntur. Cognitis autem faciebus quae fequuntur, C z & PHILOSOPHIA NATURALIS Definiti: facicbus oppolitis qusB praBcedutit, cognofceretur detei minatio ©NES. motus. In hunc modum inveniri poilet & quantitas & determi- natio motus hujus circularis in vacuo quovis immenfo, ubi nihil extaret externum & lenfibile quocum globi conferri polTent. Si jam conftituerentur in fpatio illo corpora aliqua longinqua datam inter fe politionem fervantia, qualia funt ftellae fixae in regionibus coelorum i fciri quidem non pollet ex relativa globorum tranflatione inter corpora, utrum his an illis tribuendus elTet motus. At fi attenderetur ad filum, & deprehenderetur tenfionem ejus illam ipfam efle quam motus globorum requireret ; concludere liceret mo- tum efie globorum , & corpora quiefcere ^ & tum demum ex tranflatione globorum inter corpora, determinationem hujus mo- tus colligere. Motus autem veros ex eorum caufis, effeftibus, & apparentibus differentiis colligere , & contra ex motibus feu veris feu apparentibus eorum caufas & effeftus, docebitur fufius in fe- quentibus. Hunc enim in finem traftatum fequentem compofui* A XI O- A X I O M A T A. A X IO M AT A,. SIVE LEGES MOTUS. LEX I. Corpus omne perfeverare tn Hatu fuo qutefcendt vel movendi uniformiter m direBum^ nifi quatenus illud a viribus im- prejfis cogitur flatum fuum * mutare. PRojeftilia perfeverant in motibus fuis, nifi quatenus a refi- fientia aeris retardantur, & vi gravitatis impelluntur deorfum. Trochus, cujus partes cohaerendo perpetuo retrahunt fefe a mo- tibus redilineis, non cefiat rotari, nifi quatenus ab aere retardatur. Majora autem planetarum & cometarum corpora motus fuos & progreffivos & circulares in fpatiis minus refiilentibus fados coii- lervant diutius. LEX II. Mutationem motus proportionalem effe vi motrici imprejfre^ Si vis aliqua motum quemvis generet ; dupla duplum, tripla tri- plum generabit, five fimul & femel, five gradatim & fuccelTive im- prelFa fuerit. Et hic motus (quoniam in eandem femper plagam cum vi generatrice determinatur) fi corpus antea movebatur, mo- tui ejus vel confpiranti additur, vel contrario fubducitur, vel obli- quo oblique adjicitur, & cum eo fecundum utrimque determina- tionem componitur. LE'X 14 PHILOSOPHIiE NATURALIS I E G E S M O T u s. LEX III. ABtom coritrarmm femper &' aqualem ejfe reaBionem : fwe corporum duorum aBiones m je mutuo femper eJfe aqualer ^ 'm paries contrarias dirigt. Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur. Si quis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus lapidem funi alligatum trahit, retrahe- tur etiam & equus (ut ita dicam) tequaliter in lapidem : nam funis utrinque diitentus eodem relaxandi fe conatu urgebit equum ver- fus lapidem, ac lapidem verfus equum ; tantumque impediet pro- grelTum unius quantum promovet progrefTum alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingenS, motum ejus vi fua quomodo- cunque mutaverit, idem quoque vicillim in motu proprio eandem mutationem in partem contrariam vi alterius (ob aequalitatem pref- fionis mutuae) fubibit. His adionibus aequales fiunt mutationes non velocitatum, fed motuum ; fcilicet in corporibus non aliunde impeditis. Mutationes enim velocitatum, in contrarias itidem par- tes fad$, quia motus aequaliter mutantur, funt corporibus reci- proce proportionales. Obtinet etiam haec lex in attradionibus, ut in fcholio proximo probabitur. COROLLARIUM I. Corpus virthus conjunBis diagonalem parallelogrammt eodem tempore defcribere^ quo latera feparatis. Si corpus dato tempore, vi fola M in loco A imprefia, ferretur uniformi cum motu do A zA. B \ & vi fola N in eodem loco imprefia, ferretur ab^ ad C,- compleatur parallelogrammum ABT>Q & vi utraque feretur corpus illud eodem tempore in diagonali ab A ad B). Nam quoniam vis N agit fecun- dum lineam AQ ipfi BB) parallelam, haec vis per legem ii nihil mutabit \ D ^PRINCIPIA MATHEMATICA. 15 mutabit velocitatem accedendi ad lineam illam A® a vi altera se- • • • * ^ i. V H nitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam five vis N imprimatur, five non ; atque ideo in fine illius temporis reperietur alicubi in linea illa BT). Eodem argumento in fine temporis ejufdem reperietur alicubi in linea C2), & idcirco in utri- ufque lineae concurlu T> reperiri necelTe efl. Perget autem motu reftilineo ab ad ® per legem i. COROLLARIUM II. AD ex viribus quihufvis obliquis AB BD, & >vicijjim refolutio vis cujufvis direBde h\y tn obliquas quafcunque AB & BD. qui- dem compofitio Sf refolutio abunde confirmatur ex me- chanica. Ut fi de rotae alicujus centro O exeuntes radii inaequales O ON filis 2MA ISIT fuflineant pondera A &c quaerantur vires ponderum ad movendam rotam : Per centrum O agatur refta KOL filis perpendiculariter occurrens in A & Z/, centroque O & inter- vallorum OK^OL majore O L de- fcribatur circulus occurrens filo M A : & aftae reftae O T> pa- rallella fit ACy perpendicularis 2)C. Quoniam nihil refert, utrum filorum punfta A, Z, B affixa fint an non affixa ad planum rotae ; pon- dera idem valebunt, ac fi fufpende- rentur a punftis A & Z vel B & Z. Ponderis autem A exponatur vis to- ta per lineam ^B, & haec refolvetur in vires AC^ CB, quarum y/C tra- hendo radium O B direft e a centro nihil valet ad movendam ro- tam ; vis autem altera B C, trahendo radium B O perpendiculariter, idem A X I o s I M AT V E Ili PHlLOSOPHIiE NATURALIS '' idem valet, -nc fi perpendiculariter trah^et radium 0 L ipfi 0® «qualem , hoc eli, idem atque pondus T, C jmndus illud C, ad pondus A ut vis BCad vim id elKob f.mdiyr.augul, AT)C ©OAT ) ut O K && OT) fett O L. Pondeia igitur Aoe , quse funt reciproce ut radii in direaum pofiti O K &c O L, idem polle- bunt, lic confident in tequilibrio : qus eit proprietas notiflima librae, veais, & axis in peritroebio. Sin pondus alterutrum lit ma- jus quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto “ Quod fi pondus p ponderi ‘P sequale partim fufpendatur filo Np, partim incumbat plano obliquo/ G •• agantur/ prior ho- rizonti, poderior plano / G perpendicularis ; & d vis ponderis / deorfum tendens, exponatur per lineam / H, refolvi poted haec m vires / iVj H N. Si filo / N per- pendiculare eflet planum aliquod / ^ fecans planum alterum / G in linea ad horizontem parallela ; & pondus / his planis / / G folummodo incumberet ; urgeret illud hcCC plana viribus p N, H lY, perpendiculariter nimirum planum / ^ vi / iV, & planum pG \\ H N. Ideoque fi tollatur planum / ut pondus tendat filum ; quoniam fi- Ium fudinendo pondus jam vicem praedat plani fublati, tendetur illud" eadem vl p N, qua planum antea urgebatur. Unde tenfio fili hujus obliqui erit ad tenfio- nem fili alterius perpendicularis T N, ut / iY ad f H, Ideoque fi pondus / fit ad pondus A in ratione, quae componitur ex rati- one reciproca minimarum difiantiarum filorum fuorum / iV, A M a centro rotae, & ratione direfta / // ad / iV; pondera idem vale- bunt ad rotam movendam, atque ideo fe mutuo fuflinebunt, ut quilibet experiri poteft. _ Pondus autem /, planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet cunei inter corporis fifli facies internas : & inde vires cunei & mallei innotelcunt ; utpote cum vis qua pondus/ urget planum / ^ fit ad vim, qua idem vel gravitate fua vel iiflu mallei impellitur fecundum 17 PRINCIPIA MATHEMATICA, fecundum lineam p H m plana, ut / AT ad / // ; atque ad vim, qua urget planum alterum pG, ut/ AT ad NH, Sed & vis cochlese per limilem yirium divifionem colligitur ; quippe quae cuneus eft a ve- fte impulfus. Ufus igitur corollarii hujus latiflime patet, & late patendo veritatem ejus evincit; cum pendeat ex jam diftis' mecha-. nica tota ab auftoribus diverfimode demonllrata. Ex hifce enim facile derivantur vires machinarum, quae ex rotis, tympanis, tro- chleis, veftibus, nervis tenfis & ponderibus direfte vel oblique af- cendentibus, caeterifque potentiis mechanicis componi folent, ut ^ vires tendinum ad animalium offa movenda. C OR OLLARIUM III. motus qu^ colhpttur capiendo 'fummam motuum faBorum ad eandem p artem differentiam faBorum ad contrarias^ non mutatur ah aBione corporum inter fe. Etenim aftio eique contraria reaftio aequales funt per legem iir, ideoque per legem ii aequales in motibus efficiunt mutationes ver- fus contrarias partes. Ergo fi motus fiunt ad eandem partem ; quic- quid additur motui corporis fugientis, fubducetuf motui corporis infequentis fic, ut fumma maneat eadem quae prius. Sin corpora obviam eant ; aequalis erit fubduftio de motu utriufque, ideoque differentia motuum fadorum in contrarias partes manebit eadem. Ut fi corpus fphaericum A fit triplo majus corpore fphaerico ha- beatque duas velocitatis partes ; & B fequatur in eadem refla cum velocitatis partibus decem, ideoque motus ipfius A fit ad motum ip- fius ut fex ad decem ; ponantur motus illis effe partium fex & partium decem, & fumma erit partium fexdecim. In corporum igi- tur concurfu, fi corpus A lucretur motus partes tres vel quatuor vel quinque, corpus B amittet partes totidem, ideoque perget corpus A poft reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim, & B cum partibus feptem vel fex vel quinque, exiltente femper fum- ma partium fexdecim ut prius. Si corpus A lucretur partes novem vel decem vel undecim vel duodecim, ideoque progrediatur poft concurfum cum partibus quindecim vel fexdecim vel feptendecim vel oflodecim ; corpus amittendo tot partes quot A lucratur, D vel i8 PHILOSOPHIAE NATURALIS Axiomata, vel ciiiTi utia parte progredictur amiffis partibus novem, vel qu^, . efcet amiflb motu fuo progrefTivo partium decem, vclcum unapar- te regredietur amifTo motu fuo & (ut ita dicam) una parte amplius, vel regredietur cum partibus duabus ob detraftum motum progref. fivum partium duodecim. Atque ita fummae motuum confpirantiuin 15-fi vel i6q-o, & differentiae contrariorum 17— i & 18— x femper erunt partium fexdecim, ut ante concurfum & reflexionem. Cognb tis autem motibus quibufcum corpora poft reflexionem pergent, in- ' venietur cujufque velocitas, ponendo eam effe ad velocitatem ante reflexionem, ut motus poft eft ad motum ante. Ut in cafu ultimo, ubi corporis A motus erat partium fex ante reflexionem & partium ofto- decim poftea, & velocitas partium duarum ante reflexionem ; in- venietur ejus velocitas partium fex poft reflexionem, dicendo, ut motus partes fex ante reflexionem ad motus partes odlodecim po- ftea, ita velocitatis partes duae ante reflexionem ad velocitatis partes fex poftea. Quod fi corpora vel non fphserica vel diverfis in redis moventia incidant in fe mutuo oblique, & requirantur eorum motus polt re- flexionem ; cognofcendus eft fitus plani a quo corpora concurrentia tanguntur in pundo concurfus ; dein corporis utriufque motus (per Corol. II.) diftinguendus* ft in duos, unum huic plano perpendicu- larem, alterum eidem parallelum : motus autem paralleli, propte- rea quod corpora agant in fe invicem fecundum lineam huic plano perpendicularem, retinendi funt iidem poft reflexionem atque an- tea ; & motibus perpendicularibus mutationes tequales in partes con- ^ trarias tribuendae funt fic, ut fumma confpirantiuin & differentia contfariorum maneat eadem quae prius. Ex hujufmodi reflexioni- bus oriri etiam folent motus circulares corporum circa centra pro- pria. Sed hos cafus in fequentibus non confidero, & nimis longum elTet omnia huc fpedantia demonftrare. COROL- PRINCIPIA MATHEMATICA. ^9. COROLLARIUM IV. Commune gravitatis centrum corporum duorum vel plurium^ ab adlionibus corporum inter fe^ non mutat Jiatum fuum vel motus vel i^uietis j propterea corporum omnium in fe mutuo agentium {exclufts aBionibus Sf impedimentis ex~ ternis) commune centrum gravitatis vel quiefcit vel movetur uniformiter in direBum. Nam fipunfta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis redis, & dillantia eorum dividatur in ratione data, punftum dividens vel quiefcit vel progreditur uniformiter in linea reda. Hoc poftea in lem- mate XXI II ejufque corollario demonftratur, fi pundorum motus fiant in eodem plano ; & eadem ratione demonftrari poteft, fi motus illi non fiant in eodem plano. Ergo fi corpora quotcunque moventur uni- formiter in lineis redis, commune centrum gravitatis duorum quo- rumvis vel quiefcit vel progreditur uniformiter in linea reda ; propterea quod linea, horum corporum centra in redis uniformiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro communi in ratione data. Similiter & commune centrum horum duorum & tertii cujuf- vis vel quiefcit vel progreditur uniformiter in linea reda ; propte- rea quod ab eo dividitur diftantia centri communis corporum duo- rum & centri corporis tertii in data ratione. Eodem modo & commune centrum horum trium & quarti cujufvis vel quiefcit vel progreditur uniformiter in linea reda ; propterea quod ab eo divi- ditur diftantia inter centrum commune trium & centrum quarti in data ratione, & fic in infinitum. Igitur in fyftemate corporum, quse adionibus in fe invicem aliifque omnibus in fe extrinfecus impref- lis omnino vacant, ideoque moventur fingula uniformiter in redis fingulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiefcit vel mo- vetur uniformiter in diredum. Porro in fyftemate duorum corporum in fe invicem agentium, cum diftantia; centrorum utriufque a communi gravitatis centro fint reciproce ut corpora ; erunt motus relativi corporum eorundem, vel accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, aequales inter D % fe. Lfi GE S Motus. 20 PHIL0S0PHIi£ NATURALIS Axiomata, fe. Proindc centruni illud a motuum aequalibus mutationibus in partes contrarias fallis, atque ideo ab aftionibus horum corporum inter fe, nec promovetur nec retardatur nec mutationem patitur in ftatu fuo quoad motum vel quietem. In fyftemate 'autem cor- porum plurium, quoniam duorum quorumvis in fe mutuo agentium commune gravitatis centrum ob aftionem illam nullatenus mutat flatum fuum ; & reliquorum, quibufcum aftio illa non intercedit, com- mune gravitatis centrum nihil inde patitur ; diflantia autem horum duorum centrorum dividitur a communi corporum omnium centro in partes fummis totalibus corporum quorum funt centra reciproce proportionales ; ideoque centris illis duobus flatum fuum moven- di vel quiefcendi fervantibus, commune omnium centrum fervat etiam flatum fuum : manifeflum efl quod commune illud omnium centrum ob aftiones binorum corporum inter fe nunquam mutat flatum fuum quoad motum & quietem. In tali autem fyflemate aftiones omnes corporum inter fe, vel inter bina funt corpora, vd ab aflionibus inter bina compofitse ; & propterea communi om- nium centro mutationem in flatu motus ejus vel quietis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in fe invicem, vel quiefcit, vel in reda aliqua progreditur uniformiter ; perget idem, non obflantibus corporum adionibus inter fe, vel femper quiefcere, vel femper progredi uniformiter in diredum ; nifi a viribus in fyflema extrinfecus impreflis deturbetur de hoc flatu. Eli igitur fyftematis corporum plurium lex eadem, quae corporis fo- litarii, quoad perfeverantiam in llatu motus vel quietis. Motus e- nim progrellivus fcu corporis folitarii feu fyflematis corporum ex motu centri gravitatis sellimari femper debet. COROLLARIUM V. Corporum dato fpaito mdufarum tidem funt motus Inter fe^ five fpattum tUuu (^uiefcat^ ftve moveatur tdem uniformiter m direclum fme motu circulari. Nam differentiae motuum tendentium ad eandem partem, & fum- mffi tendentium ad contrarias, eaedem funt fub initio in utroque cafu (ex hypothefi) & ex his fummis vel difterentiis oriuntur con- greflus PRINCIPIA mathematica, h grefTus & impetus quibus corpora fe mutuo feriunt. Ergo per le- l gem II aequales erunt congrelTuum effeftus in utroque cafu ; & “ propterea manebunt motus inter fe in uno cafu aequales motibus ' inter fe in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Mo- tus 'omnes eodem modo fe habent in navi, five ea quiefcat, five moveatur uniformiter in diredum. COROLLARIUM VI. Si corpora moveantur quomodocunque inter fe,&‘ a viribus ac- celeratricibus aqualibus fecundum lineas parallelas urgean- tur j pergent omnia eodem modo moveri inter fe^ ac Ji viri- bus illis non effent incitata. Nam vires illae aequaliter (pro quantitatibus movendorum corpo- rum) & fecundum lineas parallelas agendo, corpora omnia aequaliter (quoad velocitatem) movebunt per legem ii. ideoque nunquam mutabunt pofitiones & motus eorum inter fe. Scholium. Haftenus principia tradidi a mathematicis recepta & experientia multiplici confirmata. Per leges duas primas & corollaria duo- pri- ma Galtlaus invenit defcenfum gravium efle in duplicata ratione temporis, & motum projeftilium fieri in parabola ; confpirante ex- perientia, nifi quatenus motus illi per aeris refilientiam aliquantulum retardantur. Corpore cadente gravitas uniformis, fingulis temporis particulis aequalibus aequaliter agendo imprimit vires aequales in cor- pus illud, & velocitates aequales generat : & tempore toto vim to- tam imprimit & velocitatem totam generat tempori proportionalem. Et fpatia temporibus proportionalibus defcripta, funt ut velocitates & tempora conjunflim ; id eft in duplicata ratione temporum. Et corpore furfum projeflo gravitas uniformis vires imprimit & velo- citates aufert temporibus proportionales ; ac tempora afcendendi ad altitudines fummas funt ut velocitates auferendae, & altitudines illae funt ut velocitates ac tempora conjundim, feu in duplicata ratione velocitatum. Axi s OM ATA I V E E B 2t PHILOSOPHIA NATURALIS , velocitatum. Et corporis fecundum redam quamvis projedi mo. tus a projedione oriundus cum motu a gravitate oriundo componi, tur. Ut fi corpus A motu folo projedionis dato tempore defcribere poflet redam A B & motu folo cadendi eodem tempore defcribere poflet a ' altitudinem AC: compleatur parallelogrammum ABT>C, & corpus illud motu compofito repe- detur in fine temporis in loco D ; & curva linea AEDf quam corpus illud defcribet, erit parabola quam reda A B tangit in A, & cujus ordinata .fi® eft ut ABq. Ab iifdem legibus & corollariis pendent demonftrata de temporibus ofcillantium pendulorum, fuf. fragante horologiorum experientia quotidiana. Ex his iifdem & lege tertia ' Chrijiophorus Wrennus eques auratus, Johannes JVallifius S. 71 ® . & Cbripanus Htigenius-, aetatis fuperioris geometrarum facile principes, regulas congreflTuum & reflexionum durorum corporum feorfim invenerunt, & eodem fere tempore cum Societate Regia, communicarunt, inter fe (quoad has leges) omnino confpirantes : & primus quidem Wallifius, deinde Wremm & Hugenius inventum prodiderunt. Sed & veritas comprobata eft a fF renno coram Re- gia Societate per experimentum pendulorum : quod etiam Clarif- fmus Mariottus libro integro exponere mox dignatus eft. Verum, ut hoc experimentum cum theoriis ad amulfim congruat,, habenda eft ratio, cum refillentis aeris, tum etiam vis elafticae concurren- tium corporum. Pendeant corpora fphterica A, B filis parallelis & aequalibus ^ C, fi ®, a centris C, T>. His centris & intervallis de- fcribantur femicirculi E A F, GBH radiis CA, T> B bifedi. Trahatur corpus A ad arcus EAF pundum quodvis R, & (fubdudo corpore fi) demittatur inde, redeatque poft unam ofcil- lationem ad pundum V. Eft R V retardatio ex refillentia aeris. Hujus RV fiat ST pars quarta lita in medio, ita fcilicet ut 7”/^ aequentur, fitque RS ad ST ut I ad Et ifta ST exhibebit retardationem in defcenfu ab S ad A quam PRINCIPIA mathematica: 23 A quam proxime. Reftituatur corpus B in locum fuum. Cadat lege* corpus A de punfto J, & velocitas ejus in loco reflexionis A fine er- rore fenfibili tanta erit, ac fi in vacuo cecidiflet de loco T. Expo- natur igitur haec velocitas per chordam arcus T A. Nam veloci- tatem penduli in punfto infimo eflfe ut chordam arcus, quem caden- do delhripfic, propofitio eft geometris notiflima.' Poit reflexionem perveniat corpus A ad locum j, & corpus B ad locum k. Tollatur corpus B & inveniatur locus v ; a quo fi corpus A demittatur & poit unam ofcillationem redeat ad locum r, fit s t pars quarta ipfius r V fita in medio, ita videlicet ut r s tv aequentur ; & per chor- dam arcus t A exponatur velocitas, quam corpus A proxime poft re 5 flexionem habuit in loco A. Nam t erit locus ille verus & corre*^ ftus, ad quem corpus A^ fublata aeris refiftentia, afcendere debuif- fet. Simili methodo corrigendus erit locus ad quem corpus B afcendit, & inveniendus locus /, ad quem corpus illud afcendere debuilTet in vacuo. Hoc pafto experiri licet omnia, perinde ac fi in vacuo conftituti eflemus. Tandem ducendum erit corpus A (ut ita dicam) in chordam arcus T A^ quae velocitatem ejus exhibet, ut habe- atur motus ejus in loco A proxime ante reflexionem ; deinde in chor- dam arcus t A^ ut habeatur motus ejus in loco .^proxime poit reflexio- nem. Et fic corpus Educendum erit in chordam arcus B /, ut habeatur motus ejus proxime poft reflexionem. Et fimili methodo, ubi corpora duo fimul demittuntur de locis diverfis, inveniendi funt motus utri- ufque tam ante, quam poft reflexionem ; & tum demum conferen- di funt motus inter fe & colligendi effeftus reflexionis. Hoc modo in pendulis pedum decem rem tentando, idque in corporibus tam inaequalibus quam aequalibus, & faciendo ut corpora de intervallis ampliffimis, puta pedum ofto vel duodecim vel fexdecim, concurre- rent ; reperi femper fine errore trium digitorum in menfuris, ubi corpora fibi mutuo direfte occurrebant, aequales effe mutationes motuum corporibus in partes contrarias illatae, atque ideo adionem & reaftionem femper eflTe aequales. Ut fi corpus yf incidebat in corpus B quiefcens cum novem partibus motus, &amiflis feptem partibus perge- bat poft reflexionem cum duabus ; corpus ^refiliebat cum partibus iftis feptem. Si corpora obviam ibant, A cum duodecim partibus & B cum fex, & redibat y^cum duabus ; redibat B cum ofto,faftadetraftione par- tium quatuordecim utrinque. De motu ipfius A fubducantur partes duo- • decim 51 V£ 24 PHILOSOPHIifi NATURALIS Axiomata, dccim & reflabit nihil : fubducantur aliae partes duae, & fiet motus dua- rum partium in plagam contrariam: & fic de motu corporis .5 partium fex fubducendo partes quatuordecim, fient partes ofto in plagam contrariam. Quod fi corpora ibant ad eandem plagam» ^ velocius cum partibus quatuordecim, & B tardius cum partibus quinque, & poft reflexionem pergebat A cum quinque partibus ; pergebat B cum quatuordecim, fafla tranfla- tione partium novem de A in B. Et fic in reliquis. A congreflii & collifione, corporum nunquam mutabatur quantitas motus, quae ex fumma motuum confpirantium & differentia contrariorum col- ligebatur. Nam errorem digiti unius & alterius in menfuris tribu- erim difficultati peragendi fingula fatis accurate. Difficile erat, tum pendula fimul demittere fic» ut corpora in fe mutuo impingerent in loco infimo A B ; tum loca s, k notare, ad quae corpora afcendebant poft concurfum. Sed & in ipfis corporibus pendulis inaequalis par- tium denCtas, & textura aliis de caufis irregularis, errores ihduce.- bant. Porro nequis objiciat regulam, ad quam probandam inventum eft hoc experimentum, praefupponere corpora vel abfolute dura efle, vel faltem perfeiSe elaftica, cujufmodi nulla reperiuntur in com- pofitionibus naturalibus ; addo quod experimenta jam defcripta fuccedunt in corporibus mollibus aeque ac in duris, nimirum a con- ditione duritiei neutiquam pendentia. Nam fi regula illa in cor- poribus non perfefte duris tentanda eft, debebit folummodo re- flexio minui in certa proportione pro quantitate vis elafticae. In .theoria Wrenni & Hugenti corpora abfolute dura redeunt ab invi- cem cum velocitate congrefTus. Certius id affirmabitur de pcrfefte elafticis. In imperfede elafticis velocitas reditus minuenda eft fi. mul cum vi elaftica ; propterea quod vis illa, (nifi ubi partes cor- porum ex congreffu laeduntur, vel extenfionem aliqualem quafi fub malleo patiuntur,) certa ac determinata fit (quantum fentio) faciat- que ut corpora redeant ab invicem cum velocitate relativa quae fit ad relativam velocitatem concurfus’ in data ratione. Id in pilis ex lana PRINCIPIA MATHEMATICA. 2; lana arfte conglomerata & fortiter conftrifta fic tentavi. Primum demittendo pendula & menfurando reflexionem, inveni quantitatem vis elaflica; ; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis cafibus concurfuum, & refpondebant experimenta. Redibant fem- per pilae ab invicem cum velocitate 'relativa, quae eflet ad velocita- tem relativam concurfus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velo- citate redibant pilae ex chalybe : aliae ex fubere cum paulo minore : in vitreis autem proportio erat ly ad' i6 circiter. Atque hoc pafto lex tertia quoad iftus & reflexiones per theoriam comprobata efl, quae cum experientia plane congruit. In attradionibus rem fic breviter oflendo. Corporibus duobus quibufvis B fe mutuo trahentibus, concipe obfiaculum quodvis interponi, quo congreflus eorum impediatur. Si corpus alterutrum A magis trahitur verfus corpus alterum B, quam illud alterum B in prius A, obftaculum magis urgebitur preffione corporis A quam preflione corporis B \ proindeque non manebit in aequilibrio. Prae- valebit preflio fortior, facietque ut fyflema corporum duorum & obltaculi moveatur in direftum in partes verfus B, motuque in fpatiis liberis femper accelerato abeat in infinitum. Quod efl: abfurdum & legi primae contrarium. Nam per legem primam debebit fyflema perfeverare in flatu fuo quiefcendi vel movendi uniformiter in di- reftum, proindeque corpora aequaliter urgebunt obflaculum, & id- circo aequaliter trahentur in invicem. Tentavi hoc in magnete & ferro. Si haec in vafculis propriis fefe contingentibus feorfim pofita, in aqua flagnante juxta fluitent; neutrum propellet alterum, fed eequalitate attraftionis utrinque fullinebunt conatus in fe mutuos, ac tandem in aequilibrio conflituta quiefcent. Sic etiam gravitas inter terram & ejus partes mutua efl. ’ Sece- tur terra F I plano quovis A C in partes duas EG F EGI: & aequalia erunt ha- rum pojidera in fe mutuo. Nam fi plano alio H K quod priori E G parallelum fit, pars major EGI fecetur in partes duas EG KH & HKI, quarum HKI aequalis fit parti pri- us abfcilTffi EFG: manifeflum efl quod pars media EGKH pondere proprio in neutram partium extremarum propendebit, fed inter utramque in E aequi- L E G F. S M 0 T ® S. 26 PHILOSOPHIyE NATURALIS Axiomata, aequilibrio, Ut ita dicam, fufpendetur, & quiefcet. Pars autem ex- trema H K 1 toto fuo pondere incumbet in pai'tem mediam, & urgebit illam in partem alteram extremam EGF-, ideoque vis qua partium HKI Se EGKH fumma EGI tendit verfus partem tertiam EGE, squalis eft ponderi partis j, HKI, id eft ponderi partis tertis EGE. Et propterea pondera partium duarum EGI, EGE m. fe mutuo funt squalia, uti volui oftendere.- Et nifi pondera illa squalia eftent, terra tota in libero stliere fluitans ponderi majori cederet, & ab eo fugiendo abiret in infinitum. Ut corpora in concurfu & reflexione idem pollent, quorum ve- locitates funt reciproce ut vires infits : fic in movendis inftrumen- tis mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis fe mu- tuo fuftinent, quorum velocitates fecundum determinationem viri- um sftimats; funt reciproce ut vires. Sic pondera squipollent ad movenda brachia librs, qus ofcillante libra funt reciproce ut eorum velocitates furfum & deorfum : hoc eft, pondera, fi refta afeendunt & defeendunt, squipollent, qus funt reciproce ut pun- «ftorum a quibus fufpenduntur diliantis ab axe librs ; fin planis obliquis aliifve admotis obftaculis impedita afeendunt vel defeen- dunt oblique, squipollent,' qus funt reciproce ut afcenfus & defeen- fus, quatenus fadi fecundum perpendiculum : idque ob determi- nationem gravitatis deorfum. Similiter in trochlea feu polyfpafto vis manus funem direfle trahentis, qus fit ad pondus vel direfte vel oblique afeendens ut velocitas afcenfus perpendicularis ad ve- locitatem manus funem trahentis, fullinebit pondus. In horolo- giis & fimilibus inftrumentis, qus ex rotulis commiffis conftrufta funt, vires contraris ad motum rotularum promovendum & impe- diendum, fi funt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur, fullinebunt fe mutuo. Vis cochles ad premendum corpus eft ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progreflivam cochles verfus corpus prefium. Vires quibus Cu- neus urget partes duas ligni fifli funt ad vim mallei in cuneum, ut progrelTus cunei fecundum determinationem vis a malleo in ipfum' imprefis, PRINCIPIA MATHEMATICA, 27 impreffe, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, fecundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par elt ratio machinarum omnium. Harum efficacia & ufus in eo folo confiltit, ut diminuendo velo- citatem augeamus vim, & contra; Unde folvitur in omni aptorum Itillrumentorum geneie pioblema, pondus dutu ui thovoii di^ aliamve datam refiftentiam vi data fuperandi. Nam fi machinse' ita formentur, ut velocitates agentis & refiUentis fint reciproce ut vires ; agens refiftentiam fullinebit : & majori cum velocitatum difparitate eandem vincet. Certe fi tanta fit velocitatum difpa- ritas, ut vincatur etiam refiiientia omnis, qu$ tam ex contigu- orum & inter fe labentium corporum attritione, quam ex conti- nuorum & ab invicem feparandorum cohsefione & elevandorum ponderibus oriri folet ; fuperata omni ea refiiientia, vis redundans accelerationem motus fibi proportionalem, partim in partibus ma- chinte , partim in corpore refiilente producet. Caeterum mecha- nicam traftare non eit hujus inftituti. Hifce volui tantum oiten- dere, quam late pateat quamque certa fit lex tertia motus. Nam fi aefiimetur agentis aftio ex ejus vi & velocitate conjunftim ; & fimiliter refillentis readio tellimetur conjundim ex ejus partium lingularum velocitatibus & viribus reliilendi ab earum attritione, cohaefione, pondere, & acceleratione oriundis ; erunt adio & re- adio, in omni inftrumentorum ufu, fibi invicem femper tequales. Et quatenus adio propagatur per initrumentum & ultimo impri- mitur in corpus omne refiitens, ejus ultima determinatio determi- nationi readionis ' fetnper erit contraria. Leges Motus PHILOSOPHIi£ NATURALIS 2S De Motu CORPOKUM D E MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS. SECTIO I. De methodo rationum primarum Qf ultimarum^ cujus ope fe- quentia demonfirantur, LEMMA I. ^antitates, ut &’ quantitatum rationes^ qu b . ^ tiones te qualitatis. p r i m u s Nam figur® infcriptae & circumfcriptse differentia eft fumma pa- rallelogrammorum Kl,Lm, M u, T>o, hoc elt (ob aquales omnium bafes) redangulura fub unius bafi Kb ^ altitudinum fumma Aa^ id eftj le^Iangulum AB Ia, Sed hoc retifangulumj eo quod latitu* do ejus AB in infinitum minuitur, fit minus quovis dato. Ergo (per lemma i) figura infcripta & circumfcripta & multo magis fi- gura curvilinea intermedia fiunt ultimo aquales. §). E. 2). LEMMA III. Etedem rationes ulttm. Corol. I. Hinc fumma ultima parallelogrammorum evanefcentium coincidit omni ex parte cum figura curvilinea. Corol. X. Et multo magis figura reftilinea, qua chordis evanef- centium arcuum ab, bc, c d, &c. comprehenditur, coincidit ultimo cum figura curvilinea. Corol. 3. Ut & figura reflilinea circumfcripta qua tangentibus eo- rundem arcuum comprehenditur. Corol. 4. Et propterea ha figura ultima (quoad perimetros acF^^ non funt reftilinea, fed reftilinearum limites curvilinei. LEMMA IV. Si in duabus figuris A a c E, P p r T, infcrihantur ( ut fupra } dua parallelogrammorum feries, fit que idem amborum nu^ merus, ^ ubi latitudines m infinitum diminuuntur, rationes ultima parallelogrammorum in una figfru, ad parallelo- gramma 30 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu gramma in altera , fmgulorum ad fmgula , fmt eadem ; dico quod figura dua AacEj PprT, funt ad mvicem m eadem tlla ratione. a Etenim ut funt parallelogramma fmgula ad lingula, ita (compo- nendo) fit fumma omnium ad fummam omnium, & ita figura ad figu- ram ; exillente nimirum figura priore (per lemma 1 1 1) ad fummam priorem, & figura polleriore ad fummam polteriorem in ratione aequalitatis. ^ E. Corol. Hinc fi duae cujufcunque generis quantitates in eundem partium numerum utcunque dividantur ; & partes ill$, ubi nume- rus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem, prima ad primam, fecunda ad fe- cundam, cstersque fuo ordine ad cseteras : erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam fi in lemmatis hujus figuris fuman- tur parallelogramma inter fe ut partes, fummse partium femper e- runt ut fummae parallelogrammorum ; atque ideo, ubi partium & parallelogrammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum id elt (per hypothelin) in ultima ratione partis ad partem. ’ lemma V. S milium figurarum latera omnia, qua fithl mutuo refipondent, funt proporttonaTia, tam curvllinea quam reBilinea ^ area funt m duplicata ratione laterum. L E M M A PRINCIPIA MATHEMATICA. 31 LEMMA VI. Si arcus qmhhet poftttone datus ACB fuhtendatur chorda AB, ^ tn pimBo ah quo A, 'm medio curvatura con- tinua ^ tangatur a reBa iitrmque produBa A D • detnpunBa ad invi- cem accedant ^ coeant ; dico^ quod augidus B A D, fub chorda ^ tangente contentus^ mmuetur in infinitum ultimo evanefcet. Nam fi angulus ille non evanefcit, continebit arcus AQB cum tangente ATD angulum reftilineo aequalem, & propterea curvatura ad pundum A non erit continua, contra hypothefin. LEMMA VII. Ttfdem pofittis ,* dico quod ultima ratio arcus, chorda. tan* gentis ad invicem eji ratio a qualitatis. Nam dum punftum B ad punfium A accedit, intelligantur fem- iptx AB &: A T> ad punfta longinqua ^ ac ^ produci, & fecanti B D parallela agatur b d, Sitque arcus A cb femper fimilis arcui ACB- Et punflis A^ B coeuntibus, angulus d A b^ per lemma fuperius, evanefcet ; ideoque reftae femper finitae Ab^ Ad-i & arcus interme- dius Ac b coincident, & propterea aequales erunt. Unde & hifce femper proportionales reftae AT)^ & arcus intermedius « evanefcent, & rationem ultimam habebunt aequalitatis. ^ E. T>. CoroL I. Unde fi per B ducatur tangenti parallela B reftam quamvis A F per A tranfeuntem per- petuo fecans in F, haec B F ultimo ad arcum evancfcentem ACB ratio- nem habebit aequalitatis, eo quod completo parallelogrammo AF BT> rationem femper habet aequalitatis ad AF). CoroL 3Z philosophia naturalis d.e M 0 T » Corol. X. Et fi B&cJ ducantur plures redae' BE, B T>, AF, cca.o.«M tangentem AT> & ipfius parallelam ^ A"; ratio ultima abfckrum omnium AT>, A E. BF,BG, chordaeque & arcus AB omnes line*, io omni de ra.ionibns nl. timis argumentatione, pro fe invicem ufurpari poflTunt. LEMMA VIII. Si reBadat^ AR, BR arcu ACB, chorda AB &f tau^ gente AD, triangula tria R AB, R ACB, RAD conjlitu- unty dein punBa A, B accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evanefcentium ejl fimiUtudims^ ultima ratio te qualitatis. Nam dum punftum B ad punftum A accedit, intelligantur fem- per AB^ AT>, A R 2ii punfta ^ x> ri longinqua d &c r produci, ipfique RT) parallela agi rhd^ & arcui AC B fimilis femper fit arcus Acb. Et coeuntibus punftis Ay By angulus bAd evanefcet, & propterea trian- gula tria femper finita r A by r Ac by r Ad coincident, funt-^ que eo nomine fimilia & aequa- lia. Unde & hifce femper fimilia & proportionalia R A By R A C By R AT> fient ultimo libi invicem fimilia & aequalia. E, Corol. Et hinc triangula illa, in omni de rationibus ultimis argu- mentatione, pro fe invicem ufurpari polTunt. L E M M A IX. St reBa curva ABC poftiione clat£ fe mutuo fecem m angulo dato A, ad reBam 'diam in alto dato angulo ordt- nattm PRINCIPIA mathematica. 33 naUm applicentur BD, CE, curvie occurrentes in B, C, dem libf.r punBa B, Q^ftmul accedant ad punBum A: ctico quod area triangulorum ABD, ACE erunt ultimo ad invicem in dupli-- cata ratione laterum. Etenim dum punda B, C accedunt ad pundum A, intelligatur femper AT> produci ad punfta longinqua d &c e, wx. fint A d, A e ipfis AT>, AE proportionales, & erigantur ordinatae db^ e c ordi- natis T> E C parallelae quae occur- e rant ipfis A B^ AC produftis in ^ f . Duci intelligatur, tum curva Abc ipfi ^^Cfimilis, tum refta Agy quae tan* d gat curvam utramque in Ay & fecet ordinatim applicatas T> By ECy d by ec in Fy G, fy g. Tum manente lon- gitudine A e coeant punfta By Ceum punfto A ; & angulo c A g evanef- cente, coincident areae curvilineae Ab dy Ac e cum reftilineis Af dy Ag e ; ^ ideoque (per lemma v.) erunt in duplicata ratione laterum A4^ Ae : Sed his areis proportionales femper funt areae ABT>y AllEy 81 his lateribus latera AT>y A E. Ergo & areae ABT>y ACE funt ultimo in duplicata ratione laterum A E. ^£.2). LEMMA X. Spatia qu By EC \ & fpatia his velocitatibus deferipta, erunt ut areaeyf£2), ACE his ordinatis deferiptae, hoc ett, ipfo motus initio (per lemma ix) in duplicata ratione temporum AT>y A E. F Corol De Motu Corporum 34 PHILbSOPHIiE NATURALIS Corol. I. Et hinc facile colligitur, quod corporum fimiles fimilium figurarum partes temporibus proportionalibus defcnbentium erro, res, qui viribus quibufvis aqualibus ad corpora limil.ter applicatis generantur, & menfurantur per difiantias corporum a figurarum fi. milium locis illis, ad quae corpora eadem temporibus iifdem pro- portionalibus fine viribus illis pervenirent, funt ut quadrata tem- porum in quibus generantur quam proxime. . CoroL X. Errores autem qui viribus proportionalibus ad fimiles figurarum fimilium partes fimiliter applicatis generantur, funt ut vi- res & quadrata temporum conjunctim. Carol. 3. Idem intelligendum efi de fpatiis quibufvis quae corpora urgentibus diverfis viribus defcribunt. HaBC funt, ipfo motus initio, ut vires & quadrata temporum conjunftim. Corol. 4. Ideoque vires funt ut fpatia, ipfo motus initio, defcripta direfte & quadrata temporum inverfe. Corol. Et quadrata temporum funt ut defcripta fpatia direfte & vires inverfe. SchoTtum. Si quantitates indeterminatae diverforum generum conferantur inter fe, & earum aliqua dicatur elfe ut eit alia quaevis direfte vel inverfe : fenfus efi, quod prior augetur vel diminuitur in eadem ratione cum pofteriore, vel cum ejus reciproca. Et fi earum aliqua dicatur efle ut funt aliae duae vel plures direcfie vel inverfe : fenfus efi, quod prima augetur vel diminuitur in ratione quae componitur ex rationibus in quibus aliae vel aliarum reciprocae augentur vel di- minuuntur. Ut fi A dicatur efle ut B direfte & C direde & D in- verfe: fenfus efi, quod A augetur vel diminuitur in eadem ratione cum B X C X efi, quod A ftint ad invicem in ratione data. LEMMA XI. Suhtenfa evanefcens anguh contaBus.^ tn curvis omnibus cur^ vaturam finitam ad punBum contaBus hahentibm^ efi id~ timo m ratione duplicata fuhtenfa arcus contermini, Caf. PRINCIPIA MATHEMATICA. Caf. I. Sit arcus ille A tangens ejus fubtenfa anguli con- taftus ad tangentem perpendicularis* ^ "D, fubtenfa arcus AB, Huic fubtenfae A B tangenti AT) perpendiculares erigantur AGy BGy concurrentes in G ; dein accedant punfta G, ad pun6ta litque J interfeftio linearum BGy A G ultimo fafta ubi punda B accedunt ufque ad A. IVIanifeltum eft quod di- flantia G J minor elTe potellquam aflignata quae- vis. Eft autem (ex natura circulorum per pun- fta ABGy Abg tranfeuntium) AB quad. aequale AG X BT>y & A b quad. aequale Ag y. bd % ideoque ratio AB quad. Ab quad. componitur ex rationibus AG Ag BT> ad b d. Sed quoniam GJ affiimi potell minor longitudine quavis affignata, fieri poteft ut ratio ^G ad Ag minus differat a ratione aequalitatis quam pro ^ differentia quavis aflignata, ideoque ut ratio AB :=j quad. ad Ab quad. minus differat a ratione B T> ^ bd quam pro differentia quavis aflignata. Eft ergo, per lemma i, ratio ultima AB quad. ad Ab quad. eadem cum ratione ultima BT> zdi b d. ^ E. T). Caf. x. Inclinetur jam 5® ad AT> in angulo quovis dato, & ea- dem femper erit ratio ultima BT> b d quae prius, ideoque eadem TiZ A B quad. Ab quad. ^ E. T). Caf. 3. Et quamvis angulus T> non detur, fed reda 5® ad da- tum pundum convergat, vel alia quacunque lege confli tuatur ; ta- men anguli ®, d communi lege conflituti ad aequalitatem femper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis aflignata, ideoque ultimo aequales erunt, per lem. i, & propterea lineae BT)y bd funt in eadem ratione ad invicem ac prius. ^E.T>. Corol. I. Unde cum tangentes AT>y A dy arcus A Bj Aby & eo- rum finus BCy bc fiant ultimo chordis ABy Ab aequales ; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut fubtenfae 5 ®, b d. Corol. i. Eorundem quadrata funt etiam ultimo ut funt arcuum fagittae, quae chordas bifecant & ad datum pundum convergunt. Nam fagittae illae funt ut fubtenfae BT>y bd. Corol. 3. Ideoque fagitta efl in dupficata ratione temporis quo cor- pus data velocitate deferibit arcum. F 2. Corol* O T u UM ^6 philosophiae naturalis OrV, 4 Triangula reflilinea JT) B, Adb funt ultimo in tripli, cata ratione laterum Ap, Ad, inque fefquiplicata laterum ® B, d b ; utpote in compolita ratione laterum A''D ,i 8c 'D B, Ad8c exiftentia. Sic & triangula '' ' ABC, Abc funt ultimo in triplicata ratione la- terum B C, b c. Rationem vero fefquiplicatam VOCO triplicata fubduplicatam, qucU nempe ex fimplici & fubduplicata componitur. Corol. Et quoniam T> d h funt ultimo parallelae & in duplicata ratione ipfarum AT>y Ad: erunt arc^ ultimae curvilineae AT)B, Adh (ex natura parabolae) duae tertiae partes tri- angulorum rec^tilineorum AT)B,^ Adb \ & Teg- menta A B^ Ab partes tertiae eorundem trian- gulorum. Et inde hae areae & haec fegmenta erunt in triplicata ra- tione tum tangentium AT>, Ad\ tum chordarum & arcuum Ab, Scholmm, Caeterum in his omnibus fupponimus angulum contaflus nec in- finite majorem elTe angulis contadluum, quos circuli continent cum tangentibus fuis, nec iifdem infinite minorem ; hoc eft, curvaturam ad punftum nec infinite parvam efle nec infinite magnam, feu intervallum A J finitae efle magnitudinis. Capi enim potell 2) B ut AT:)\; quo in cafu circulus nullus per punftum A inter tanc^en. tem & curvam AB duci potelf, proindeque angulus contadus 6rit infinite minor circularibus. Et fimili argumento fi fiat ® R fucceffive ut A^^, ^2)^ &c. habebitur feries an- gulorum contaaus pergens in infinitum, quorum quilibet pofierior efi mfinite minor priore. Et fi fiat T)B fucceffive ut A^^ AT)' A ■Di, &c. h,bebi,u, alia ferSs Mdtf®'.’ gulorum contadius, quorum primus efl ejufdem generis cum cir teltre Sed ^ major, & quilibet poterior infinite mai litriLue in ^ fi * ®^gulis poteft feries Vomm quilibet”po7eriSTt“ inSe mdo « mtet tetntinos AD- & AD> inletatut feties AT} PRINCIPIA MATHEMATICA. 37 ylTi ^ , -AT}'.? ^ ^2)V» &c. E/t rurfus inter ^ binos quolvis angulos hujus leriei inferi potefl feries nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis differentium. Neque novit natura limitem. Quae de curvis lineis deque fuperficiebus comprehenfis demon- flrata funt, facile applicantur ad folidorum luperficies curvas & contenta. Praemifi vero haec lemmata, ut effugerem taedium dedu- cendi longas demonllrationes, more veterum geometrarum, ad ab- furdum. Contraftiores 'enim redduntur demonftrationes per me- thodum indivifibilium. Sed quoniam durior eft indivifibilium hy- pothelis, & proprerea methodus illa minus geometrica cenfetur ; malui demonllrationes rerum fequentium ad ultimas quantitatum evanefeentium fummas & rationes, primafque nafeentium, id eft, ad limites fummarum & rationum deducere ; & propterea limitum illorum demonftrationes qua potui brevitate praemittere. His enim idem praeftatur quod per methodum indivifibilium ; & principiis de- monftratis jam tutius utemur. Proinde in fequentibus, fiquando quantitates tanquam ex particulis conftantes confideravero, vel fi > pro redlis ufurpavero lineolas curvas ; nolim indivifibilia, fed eva- nefeentia divifibilia, non fummas & rationes partiuni determinata- rum, fed fummarum & rationum limites femper intelligi ; vimque talium demonftrationum ad methodum praecedentium lemmatum femper revocari. ' Objeftio eft, quod quantitatum evanefeentium nulla fit ultima proportio ; quippe*quae, antequam evanuerunt, non eft ultima, ubi evanuerunt, nulla eft. Sed & eodem argumento aeque contendi pof- fet nullam efle corporis ad certum locum, ubi motus finiatur, per- venientis velocitatem ultimam : hanc enim, antequam corpus at- tingit locum, non effe ultimam, ubi attingit, nullam effe. Et re- fponfio facilis eft : Per velocitatem ultimam intelligi eam, qua cor- pus movetur, neque antequam attingit locum ultimum & motus ceflat, neque poftea, fed tunc cum attingit ; id eft, illam ipfam ve- locitatem quacum corpus attingit locum ultimum & quacum motus ceflat. Et fimiliter per ultimam rationem quantitatum evanefeen- tium, intelligendam effe rationem quantitatum, non antequam eva- nefeunt, non poftea, fed quacum evanefeunt. Pariter & ratio prima nafeentium eft ratio quacum nafeuntur. Et fumma prima & ultima eft .T B E R R 1 M U S. 38 PHILOSOPHI-^ NATURALIS Tueft quacum efle (vel augeri aut minui) incipiunt & cefTant. Ex- tat limes quem velocitas in fine motus attingere poteft, non autem tranfgredi. Htec efi: velocitas ultima. Et par eft ratio limitis quan- titatum & proportionum omnium incipientium & cellantium. Cum- que hic limes fit certus & definitus, problema eft vere geometricum eundem determinare. Geometrica vero omhia in aliis geometricis determinandis ac demonitrandis legitime ufuipaniur. Contendi etiam potefi, quod li dentur ultimas quantitatum eva- nefcentium rationes, dabuntur & ultimae magnitudines: & fic quan- titas omnis conliabit ex indivifibilibus, contra quam Euclides de incommenfurabilibus, in libro decimo elementorum, demonitravit. Verum haec objedio falfae innititur hypothefi. Ultimae rationes illffi quibufeum quantitates evanefeunt, revera non funt rationes quantitatum ultimarum, fed limites ad quos quantitatum fine limi- te decrefeentium rationes femper appropinquant ; & quas propius aflequi pofllint quam pro data quavis differentia, nunquam vero tranfgredi, neque prius attingere quam quantitates diminuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantita- tes duae quarum data efl differentia augeantur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio aequalitatis, nec tamen ideo da- buntur quantitates ultimae feu maximae quarum ifia efl ratio. In fequentibus, igitur fiquando facili rerum conceptui confulens dix- ero quantitates quam minimas, vel evanefeentes, vel ultimas ; cave intelligas quantitates magnitudine determinatas, fed cogita femper diminuendas fine limite. SECTIO II. De inventione virium centripetarum, PROPOSITIO I. THEOREMA I. Areus, quas corpora tn ppjr os aEla radiis ad immobile centrum vinum dubiis defer ihunt , ^ tn. planis immobilibus confi- ftere, ejfe temporibus proportionales. Dividatur tempus in partes aequales, & prima temporis parte de- feribat corpus vi infita redam AB, Idem fecunda temporis parte, fi nil PRINCIPIA MATHEMATICA. 39- nil impediret, refta pergeret ad (per leg..i.) defcribens lineam Bc aequalem ipfi ; adeo ut radiis BSycS ad centrum aftis, confeftae forent aequales S Bj B S c. Verum ubi corpus venit ad B^ agat vis centripeta im- pulfu unico fed magno , efficiat- que ut corpus de refta B c declinet & pergat in re<5l:a B C. Ipfi B S pa- rallela agatur c C, occurrens £ C in C; & completa fecunda temporis parte, corpus (per legum corol. i.) reperietur in C, in eodem plano cum triangulo A S B, Junge SC\ tri- g angulum SBC^ ob parallelas S B^ C c, aequale erit triangulo S Bc, atque ideo etiam triangulo S AB, Simili argumento fi vis centripeta fucceffive agat in C, 2), E, &c. faciens ut corpus fingulis temporis particulis fin- gulas defcribat reflas C2>, T> E, E F, &c. jacebunt hae omnes in eodem plano; & triangulum SCT> triangulo SBC, & ST>E ipfi SCT>, & S E F\^{\ ST>E aequale erit. iEqualibus igitur tempori- bus aequales areae in plano immoto defcribuntur : & componendo, funt arearum fummae quaevis SA F) S, SA F S inter fe, ut iunt tem- pora defcriptionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum ; & eorum ultima perimeter /1F)F, (per corollarium quartum lemmatis tertii) erit linea curva : ideoque vis centripeta, qua corpus a tangente hujus curvae perpetuo retrahitur, aget indefinenter ; areae vero quaevis defcriptae S AF) S, SAFS temporibus defcriptionum femper proportionales, erunt iiidem tem- poribus in hoc cafu proportionales. ^ E, 25, Corol. 40 PHILOSOPHIJi NATURALIS Ds Moto Qorol I. Vclocitas corporis in centrum immobile attrafti eft in COKPOKOM refiflentibus reciproce ut perpendiculum a centro illo in orbis tangentem reflilineam demiflum. Eft enim velocitas in locis Ut funt bafes ae- qualium triangu- lorum A B Cy CT>y T>Ey EF; & hae bafes funt reciproce ut per- pendicula in ipfas demilTa. Corel, z. Si ar- cuum duorum ae- qualibus tempori- bus in fpatiis non refiflentibus ab eo- dem corpore fuc- ceflive deferipto- rum chordae ABy BC compleantur g in parallelogram- mum & hujus diagonalis*-S^ in ea pofitione quam ultimo habet ubi arcus illi in infinitum diminuuntur, producatur utrinque ; tranfibit eadem per centrum virium. Corel. 3. Si arcuum aequalibus temporibus in fpatiis non refiflen- tibus deferiptorum chordte A C ac T)E, A A compleantur in parallelogramma ABCV, T>EFZ-, vires in A & A funt ad invi. cem in ultima ratione diagonalium BV, EZ, ubi arcus illi in infi- nitum diminuuntur. Nam corporis motus BC & E F componun- tur (per legum corol. 1.) ex motibus A c, BV & E f. EZ • aroni BV & EZ ipfis Cc& Ff aquales, in demonftratione propofitionis hujus generabantur ab impulfibus vis centripeta in B &: E ideoaue funt his impulfibus proportionales. • ’ 4 bus^rLt'-, in fpatiis non refillenti- vos funr inr retrahuntur ac detorquentur in orbes cur- eittaioL onl^^ aqualibus temporibus deferiptorum fa- gitta Illa qua convergunt ad centrum virium, & chordas bifecant ubi PRINCIPIA MATHEMATICA. 41 ubi arcus illi in infinitum diminuuntur. Nam hae fagittae funt femif- f€s diagonalium, de quibus egimus in corollario tertio. Corel, f . Ideoque vires eaedem funt ad vim gravitatis, ut hae fa- gittae ad fagittas horizonti perpendiculares arcuum parabolicorum, quos projeftilia eodem tempore deferibunt. CoroL 6. Eadem omnia obtinent per legum corol. v. ubi plana, in quibus corpora moventur, una cum centris virium, quae in ipfis fita funt, non quiefeunt, fed moventur uniformiter in diredum. PROPOSITIO II. THEOREMA II. Corpus omne^ quod movetur in hnea aUqua curva in plano de-^ feripta^ radto duBo ad punBum vel immobile^ vel motu reBUineo uniformiter progrediens^ defer thit areas circa pun-- Bum dlud temporibus proportionales^ urgetur a vi centrd peta tendente ad idem punBum, Caf. I. Nam corpus omne, quod movetur in linea curva, detor- quetur de curfu reftilineo per vim aliquam in ipfum agentem (per leg. I.) Et vis illa, qua corpus de curfu redilineo detorquetur, & cogitur triangula quam minima S A SBC-, J C ®, &c. circa punftum immobile S temporibus aequalibus aequalia deferibere, agit in loco B fecundum lineam parallelam ipfi c C (per prop. xl. lib. r. elem. & leg. ii.) hoc ell, fecundum lineam B S ; & in loco C fe- cundum lineam ipfi ^ T> parallelam, hoc eft, fecundum lineam S C, &c. Agit ergo femper fecundum lineas tendentes ad pundum illud immobile S. ^E. 7). Caf, X. Et, per legum corollarium quintum, perinde eft, five qui- efcat fuperficies, in qua corpus deferibit figuram curvilineam, five moveatur eadem una cum corpore, figura deferipta, & pundo fuo S uniformiter in diredum. CoroL I. In fpatiis vel mediis non refiftentibus, fi areae non funt temporibus proportionales, vires non tendunt ad concurfurn radio- rum ; fed inde declinant in confequentia, feu verfus plagam in quam fit motus, fi modo arearum deferiptio acceleratur: fin retardatui, declinant in antecedentia. Q Corol, Lr^B E R Primus. 41 philosophiae naturalis De Motu Coni. r. In mediis etiam refittentibus, fi arearum defcnptio acce. Corporum virium direftioncs declinant a concurfu radiorum verfus plagam, in quam fit motus. Scholmm. Urgeri poteft corpus a vi centripeta eompofita ex pluribus viri- bus. In hoc cafu fenfus propofitionis eft, quod vis illa quae ex om- nibus componitur, tendit ad punftum S, Porro fi vis aliqua agat perpetuo fecundum lineam fuperficiei defcriptae perpendicularem ; haec faciet ut corpus defleftatur a plano fui motus : fed quantitatem fuperficiei defcriptae nec augebit nec minuet, & propteiea in com- politione virium negligenda eft. PROPOSITIO III. THEOREMA IIE Corpus omne, quod radto ad centrum corporis alterius utcmi' que moti duBo defcribit areas circa centrum illud tempori- bus proportionales, urgetur vi eompofita ex vi centripeta tendente ad corpus illud alterum, & ex vi omni accelera- trice qua corpus illud alterum urgetur. Sit corpus primum L, & corpus alterum T : & (per legum corol. vi.) fi vi nova, quae aequalis & contraria fit illi, qua corpus alterum T urgetur, urgeatur corpus utrumque fecundum lineas parallelas ; perget corpus primum L deferibere circa corpus alterum T areas eafdem ac prius : vis autem, qua corpus alterum T urgebatur, jam deftruetur per vim libi aequalem & contrariam ; & propterea (per leg. I.) corpus illud alterum T fibimet ipfi jam relidlum vel quief- cet, vel movebitur uniformiter in diredlum : & corpus primum L urgente differentia virium, id ell, urgente vi reliqua perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum T deferibere. Ten- dit igitur (per theor. ii.) differentia virium ad corpus illud alterum T ut centrum. ^ E. T>. Corol. 1. Hinc fi corpus unum L radio ad alterum Tdudo de- fcribit areas temporibus proportionales ; atque de vi tota (five fim- plici, five ex viribus pluribus juxta legum corollarium fecundum eompofita,) PRINCIPIA MATHEMATICA. 43 compofita) qua corpus prius L urgetur, fubducatur (per idem le- Ljber gum corollarium) vis tota acceleratrix, qua corpus alterum urgetur : vis omnis reliqua, qua corpus prius urgetur, tendet ad corpus alce* rum T ut centrum. Corol. 2. Er, fi areae illae funt temporibus quamproxime propor* tionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum T quamproxime. Corol. 3. Et vice verfa, fi vis reliqua tendit quamproxime ad cor- pus alterum T, erunt areae illae temporibus quamproxime propor- tionales. CoroL 4. Si corpus L radio ad alterum corpus T dufto defcribit areas, quae cum temporibus collatae funt valde inaequales ; & cor- pus illud alterum T vel quiefcit, vel movetur uniformiter in dire- ftum: aftio vis centripetae ad corpus illud alterum T tendentis vel nulla efl, vel mifcetur & componitur cum aftionibus admodum potentibus aliarum virium : vifque tota ex omnibus, fi plures funt vires, compofita ad aliud (five immobile five mobile) centrum di- rigitur. Idem obtinet, ubi corpus alterum motu quocunque mo- vetur; fi modo vis centripeta fumatur, quae reflat pofl fubduftio* nem vis totius in corpus illud alterum T agentis. SchoUum. Quoniam aequabilis arearum defcriptio index efl centri, quod vis illa refpicit, qua corpus maxime afficitur, quaque retrahitur a motu redilineo, & in orbita fua retinetur ; quidni ufurpemus in fequentibus aequabilem arearum defcriptionem ut indicem centri, circum quod motus omnis circularis in fpatiis liberis peragitur ? PROPOSITIO IV. THEOREMA IV. CovpOYumy dwtvfos ctvculos (jequubtli tyioUi defcvthuHty Tts ceyitripetus ad centva corundetyi ctTCulovuYyi tendere •y ejfe Inter fe^ ut funt arcuum fimul defcrtptorum quadrata applicata ad circulorum radios. Tendunt hae vires ad centfa circulorum per prop. li. & corol. 2. prop. I. & funt inter fe ut arcuum aequalibus temporibus quam mi- Q ^ nimis 44 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu nimis defcriptorum finus verfi per corol. 4. prop. i. hoc eft, ut qua- CoKPOEUM eorundem ad diametros circulorum applicata per lem vii & propterea, cum hi arcus lint ut arcus temporibus qui. bufvis aequalibus defcripti, & diametri fint ut eorum radii ; vires erunt ut arcuum quorumvis limul defcriptorum quadrata applicata ad radios circulorum. Corol. I. Cum arcus illi fint ut velocitates corpoium, vires cen- tripetae erunt in ratione compofita ex duplicata ratione velocitatum direfte, & ratione fimplici radiorum inverfe. . Corol. 1. Et, cum tempora periodica fint in ratione compofita ex ratione radiorum direfle, & ratione velocitatum inverfe ; vires cen- tripetaB funt in ratione compofita ex ratione radiorum diiefte, & ra- tione duplicata temporum periodicorum inverfe. CoroL 3. Unde fi tempora periodica sequentur, & propterea velo- citates fint ut radii ; erunt etiam vires centripetae ut radii : & con- tra. Corol, 4. Si & tempora periodica, & velocitates fint in ratione fubduplicata radiorum ; aequales erunt vires centripetae inter fe : & contra. Corol. 5*. Si tempora periodica fint ut radii, & propterea velocitates aequales ; vires centripetae erunt reciprocent radii : & contra. Corol. 6. Si tempora periodica fint in ratione fefquiplicata radio- rum, & propterea velocitates reciproce in radiorum ratione fubdu- plicata ; vires centripetae erunt reciproce ut quadrata radiorum : & contra. , Corol. 7. Et univerfaliter, fi tempus periodicum fit ut radii i? po- teftas quaelibet & propterea velocitas reciproce ut radii poteflas i?""*; erit vis centripeta reciproce ut radii poteflas : & contra. Corol. 8. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus, & viribus, quibus corpora fimiles figurarum quarumcunque fimilium, centra- que in figuris illis fimiliter pofita habentium, partes defcribunt, con- fequuntur ex demonflratione praecedentium ad hofce cafus applica- ta. Applicatur autem fubflituendo aequabilem arearum defcriptio- nem pro aequabili motu, & diflantias corporum a centris pro radiis ufurpando. Corol. 9. Ex eadem demonflratione confequitur etiam ; quod ar- cus, quem corpus in circulo data vi centripeta uniformiter revol- vendo PRINCIPIA MATHEMATICA. 4; vendo tempore quovis defcribit, medius eft proportionalis inter dia- metrum circuli, & defcenfum corporis eadem data vi eodemque tempore cadendo confedum. Scholmm. Cafus corollarii fexti obtinet in corporibus coeleflibus, (ut feorfum collegerunt etiam noilrates IVrcjtnus, Hookius & HalUus) & prop- terea quae fpedant ad vim centripetam decrefeentem in duplicata ratione diilantiarum a centris, decrevi fufius in fequentibus expo- nere. Porro praecedentis propofitionis & corollariorum ejus beneficio, colligitur etiam proportio vis centripetae ad vim quamlibet notam, qualis eft ea gravitatis. Nam fi corpus in circulo terrae concentrico vi gravitatis fuae revolvatur, ha^c gravitas eft ipiius vis centripeta. Datur autem ex defcenfu gravium & tempus revolutionis unius, & arcus dato quovis tempore deferiptus, per hujus corol. ix. Et hujufmodi propofitionibus Hugentus in eximio fuo tradatu de Ho- rologio Ofcillatorio vim gravitatis cum revolventium viribus centri- fugis contulit. Demonftrari etiam pofTunt praecedentia in hunc modum. In cir- culo quovis deferibi intelligatur polygonum laterum quotcunque. Et fi corpus in polygoni lateribus data cum velocitate movendo ad ejus angulos fingulos a circulo refleftatur ; vis, qua fingulis re- flexionibus impingit in circulum, erit ut ejus velocitas: ideoque fumma virium in dato tempore erit ut velocitas illa, & numerus re- flexionum conjundfim : hoc efl (fi polygonum detur fpecie) ut lon- gitudo dato illo tempore deferipta, & aufta vel diminuta in ratione longitudinis ejufdera ad circuli praedidli radium ; id eft, ut quadra- tum longitudinis illius applicatum ad radium : ideoque, fi polygo- num lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut quadra- tum arcus dato tempore deferipti applicatum ad radium. Haec eft vis centrifuga, qua corpus urget circulum ; & huic squalis eft vis contraria, qua circulus continuo repellit corpus centrum verfus. PROPOSITIO 46 PHILOSOPHIAE NATURALIS n E Mo T u Corporum PROPOSITIO V. PROBLEMA I. Da/a 'qutbufamque m lods velocitate, qua corpus figuram da- tam viribus ad commune aliquod centrum tendentibus de- fcribit, centrum illud invenire. Figuram defcriptam tangant reftae tres VR va pun- ftis totidem !P, Ry concurrentes in T & F. Ad tangentes eri- gamur perpendicula RC velocitatibus corporis in pun- ftis illis Ry Ry a quibus eriguntur, reciproce proportionalia ; id eft, ita ut fit TA2iA. m velocitas in ad velocitatem in Ry & ad RC ut velocitjs in R ad velocitatem in ^ Per per- pendiculorum terminos A, By C ad angulos reftos ducantur AT>y T)BEy EC concurrentes in T> &: E : Et a6iae 7“ 2), FE concur- rent in centro quaifito S. Nam perpendicula a centro S in tangentes RTj demiflTa (per corol. I. prop. i.) funt reciproce ut velocitates corporis in pundlis ^ ideoque per conftru- ftionem ut perpendicula. A By ^^direfte, id eft ut perpendi- cula a punfto 2) in tangentes demifla. Unde facile colligitur quod punfta 2), T funt in una refta. Et fimili argumento pun- (fta Sy Ey F funt etiam in una re61a ; concurfu redarum T 2), FE verfatur. & propterea centrum S in ^E, 2). PROPOSITIO VI. THEOREMA V. Si corpus in fpdtio non refifiente circa centrum Immobile h orbe quocunque revolvatur, & arcum quemvis jamjarn naj- centem tempore quam mimmo defirihat, ^ fafitta arcti: uci intelhgatur, qua chordam blfecet, produ&a tranfea: pei PRINCIPIA mathematica. v'l ■4n 47 per centrum vtrtum : ertt vis centripeta m medio arcus ^ ut p*;” ® fagitta dtreBe ^\tempus hts^nverfe. Natn fagitta ^ato^ tempore ett ut vis (per corol. 4..prop. i.") & augendo tempus in ratione quavis, ob auctum arcum^iil eadem ra- tione fagitta augetur in ratione illa duplicata (per corol. x & 3, lem. XI. ) ideoque ell ut vis femel & tempus bis. Subducatur du- plicata ratio temporis utrinque, & fiet vis ut fagitta direfte & tem- pus bis inverfe.* ^E. ®. vv \ Ideih facile demonftratur etiam per corol. 4. lem. x. Coro/. I. Si corpus !P revolvendo circa centrum S defcribat lineam curvam AT tangat vero refta ZT R "curvam illam in punfto quovis 5P, & ad tangentem ab alio quovis curvee punfto ^ agatur diftanti^e ST parallela , ac demittatur ^ T perpendicularis ad dillantiam illam ST : vis centripeta erit reciproce ut folidum quad. ^ folidi illius ea femper fumatur quan- ' titas, quae ultimo fit, ubi coeunt punfta T &c ^ Nam ^R aequalis efl fagitrae dupli arcus ^T^ in cujus medio ell Ty & duplum trian- guli S^ five ST X tempori, quo arcus ille duplus defcribi- tur, proportionale ell ; ideoque pro temporis exponente fcribi poteft. Corol, X. Eodem argumento vis centripeta ell reciproce ut folidum ^ fi modo ST perpendiculum fit a centro virium in or- bis tangentem TR demilTum. Nam reftangula ST x ^ & ST x ^ aequantur. Corol. 3. Si orbis vel circulus ell, vel circulum concentrice tangit, aut concentrice fecat, id efl, angulum contaftus aut feftionis cum circulo quam minimum 'continet, eandem habens curvaturam eun- demque radium curvatura ad pundum T \ &:^iTV chorda lic cir- culi hujus a corpore per centrum virium afta ': erit vis centripeta re- ciproce ut folidum STq x TV, Nam TV I \ Corol ^ ? f ■ 1 V » ■- * K.-. ' .i** In: rjli 48 Db Motu COJIPORUM. P H 1 L O S O P H T iE NATURALIS V Corol, 4. lifdem pofitis,. e(l vis ccntripeta ut velocitas bis dire<3e, & chorda illa inverle. Nam velo- citas eil reciproce ut perpendiculum ST per corol. i. prop. i. Corol. s. Hinc fi detur figura quae- vis curvilinea AT & in ea detur etiam punftum ad quod vis cen- tripeta perpetuo dirigitur, inveniri potefl lex vis centiipetae, qua* corpus quodvis T a curfu re6tilineo peipetuo letia^tum in figuiae illius perimetro detinebitur, eamque revolvendo delcribet. Nimi- rum computandum ell vel folidum-- ^ ~ folidum S T q' ' huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla> in problematis fequentibus. PROPOSITIO VIL PROBLEMA II. Gyretur corpus m circumferentia circuli^ requiritur lex vts- centripette tendentis ad punBum quodcunque datum.. Efto circuli circumferentia; V^fP A ; punftum datum, ad' quod vis ceu ad centrum fu- um tendit, S ; corpus in cir- cumferentia latum !P; locus proximus, in quem movebitur & circuli tangens ad lo- cum priorem T RZ. Per punftum .y, ducatur chorda & acfta circuli diametro tdA, jungatur AT & ad^ ST demittatur perpendiculum . quod produftum occur- rat tangenti TR in ac de- raSum'’r!’r?T-^r®"‘” 9"® ipfi P paraUella fit, &oc. anS Et ob fimilk tri- angula ZT x TF, nec non (pnnais fp & ^ coeuntibus) xTC^xo vG, & duftis extremis & mediis in fe mutuo fiet ggquale £11: ergo (per corol. $. prop. vi.) vis centripeta reciproce ut X CAg _ C7 id eft (ob datum BCqy^CAq) reciproce ut ; hoc efl, direfte ut diftantia PC ^ Idem aliter. In reda P G ab altera parte pundi T fumatur pundum ut 7*« fit aequalis ipfi Tv ; deinde cape uV^ quae fit ad vG ut efl T>C quad. ad !P C quad. Et quoniam ex conicis eft quad. ad !P G ut ®C quad: ad P C quad. erit quad. aequale Tv x u V. Adde redan- gulum uT V utrinque, & prodibit quadratum chordae arcus P ^ aequale redangulo VT v\ ideoque circulus, qui tangit fedionem co- nicam in P & tranfit per pundum tranfibit etiam per pundum V. Coeant punda jP&^, & ratio ad '^G, quae eadem eft cum ratione T>Cq ad TCq^ fiet ratio ^P/^ad TG feu TV^d. ideoque T.V aequalis erit ■ ^ ■ ■ Proinde vis, qua corpus T in ellipfi revolvitur, 2 T) Ccf erit reciproce ut ■ ^ ■ in T Fq (per corol. 3. prop. vi.) hoc eft (ob datum ^T)Cq in T Fq) direde ut TC. 1- Corol. I. Eft igitur vis ut diftantia corporis a centro ellipfeos : & viciflim, fi vis fit ut diftantia, movebitur corpus in ellipfi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem utique el- lipfis migrare poteft. Corol. X. Et aequalia erunt revolutionum in ellipfibus univerfis cir- cum centrum idem fadarum periodica tempora. Nam tempora illa in ellipfibus fimilibus aequalia funt (per corol. 3« & pi^op. iv.)in ellipfibus autem communem habentibus axem majorem funt ad in. vicem ut ellipfeon areae totae direde, & arearum particulcc fimul deferiptae inverfe ; id eft, ut axes minores direde, & corporum ve- locitates in verticibus principalibus inverfe ; hoc eft, ut axes illi minores / ;.i pHlLOSOPHIiE NATURALIS Db motu minores direae, & ordinatim applicat® ad idem punaum axis com- Corporum inverfe ; & propterea (ob squalitatem rationum direaarum & inverfarum) in ratione squalitatis. Schohitm. Si ellipfis centro in infinitum abeunte vertatur in parabolam, corpus movebitur in hac parabola ; & vis ad centrum infinite di- flans jam tendens evadet squabilis. Hoc eft theorema Galilai. Et fi coni feaio parabolica (inclinatione plani ad conum feftum mutata) vertatur in hyperbolam, movebitur corpus in hujus perime- tro vi centripeta in centrifugam verfa. Et quemadmodum in circulo vel ellipfi fi vires tendunt ad centrum figurs in abfcifia pofitum ; hs vires augendo vel diminuendo ordinatas in ratione quacunque data, vel etiam mutando angulum inclinationis ordina- tarum ad abfcilTam, femper augentur vel diminuuntur in ratione diftantiarum a .centro, fi modo tempora periodica maneant squa- lia ; fic etiam in figuris univerfis fi ordinats augeantur vel diminu- antur in ratione quacunque data, vel angulus ordinationis utcunque mutetur, manente tempore periodico ; vires ad centrum quodcun- que in abfcififa pofitum tendentes in fingulis ordinatis augentur vel diminuuntur in ratione diftantiarum a centro. SECTIO Ili. De motu corporum 'm conich feBionthm excentrlch. PROPOSITIO XI. PROBLEMA VI. Revolvatur corpus m elltpft : requiritur lex vis centripeta ten^ dentis ad umbilicum eUipfeos. Efto ellipfeos umbilicus d*. Agatur ST. fecans ellipfeos tum diametrum T>K 'm E, tum ordinatim applicatam in x, Sc com- pleatur p.arallelogrammum Patet A y squalem efti femiaxi majon AC, eo quod, afla ab altero ellipfeos umbilico H linea HI ipfi EC parallela, ob squales C S, C H squentur ES, EI, adeo PRINCIPIA MATHEMATICA. ffdeo ut ET femifum- ma fit ipfarum T Tly id eft (ob paral- lelas ///, T Ry & an- gulos aequales ITRy HTZ) ipfarum T Sy THy quae conjunftim axem totum x A C adaequant. Ad S T demittatur perpendi- cularis & ellip- feos latere refto prin- . X BC quad.. cipali (feu — ) Liber Primus. dido Ly erit L x ad Z, x Pv ut ad T v, id eft, ut ‘PE feu yfCad PC-, & LxPv^^A GvP ut Z,ad Gv, & GvP ad ^ quad. ut PC quad.zA CT) quad. & (per corol. x. lem. vii.) ^ quad. ad ^ quad. punftis ^8c P coeuntibus ell ratio aequalitatis ; & quad. feu quad. eft ad quad. vx E P quad. ad PF quad. id eft, ut CAquad. ad PF quad. live (per lem. xii.) ut CB quad. &A C B quad. Et conjunftis his omnibus rationibus, Lx ^R fit ad quad. xxACxLxPCqxCTtqy feu ■i.CBqxPCqxCT>q%A PCxGv X CB qxCBq, five ut x PC ad G v. Sed punftis ^8cP coeunti- bus aequantur ^P C&Gv. Ergo & his proportionalia L x ^R & ^ T quad. aequantur. Ducantur haec aequalia in SPq ^R , & fiet LxSPq aequale Ergo (per corol. i. & s- prop- vi.)- vis centripeta reciproce eft ut LxSTq^ id eft, reciproce in ratione duplicata diftantiae ST. ^E.I. Idem aliter. Cum vis ad centrum ellipfeos tendens, qua corpus T in ellipfi illa revolvi poteft, fit (per corol. i. prop. x.) ut CT diftantia corpo- ris ab ellipfeos centro C; ducatur CE parallela ellipfeos tangenti TR ^6 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu cpj^ ^ q^^ corpus idcin P circutti aliud quodvis ellipfeos pun- CORPORUM . ^ TEnJ. ftum iS” revolvi poteft, fi C E&^P S concurrant in E, erit ut (per corol. 3. prop. vii.) hoc efl:, fi punftum S fit umbilicus ellip- feos, ideoque TE detur, Mt ST q reciproce. ^ E. I. Eadem brevitate, qua traduximus problema quintum ad parabo- lam, & hyperbolam, liceret idem hic facere : verum ob dignitatem problematis, & ufum ejus in fequentibus non pigebit cafus caeteros demonfiratiorie confirmare. PROPOSITIO XII. PROBLEMA VII. Moveatur corpus 'm hjperhola: requiritur lex vis centripeta tendentis ad umhilicum figurts. Sunto C A, CB femiaxes hyperbolae; T G, KT> diametri alias conjugatae; perpendiculum ad diametrum AID; & ordi- natim applicata ad diametrum G T. Agatur S T fecans cum diame- trum T> K in E, tum ordinatim applicatam in x, & complea- tur parallelogrammum ^RT x. Patet ET aequalem eiTe femiaxi tranfverfo yfC, eo quod, afta ab altero hyperbolae umbilico Pf linea HI ipfi E C parallela, ob aequales CS, C H aequentur ES, EI\ adeo ut ET femidifferentia fit ipfarum T S, T I, id elt (ob paral- lelas IH, T R Se angulos aequales / iP i?, HT Z) ipfarum TS, T H, quarum differentia axem totum -l AC adaequat. Ad JIP demittatur perpendicularis ^T. Et hyperbolae latere refto principali (feu 1 B Cq .dido L, erit Ax^i?ad Ly.Tv ut.^R ad Tv, feu Px ad Tv, -ideft (ob fimilia triangula T xv, TEC) ut !PAad TC, feu ACzS TC. Erit etiam Ly.Tvzdt Gvx Tv ut A ad G i; ; & (ex natura conicorum) reftangulum GvT nd. ^v qtiad. utTCqzA LT>q-, & (pei corol. X. lem. vii.) quad. ad ^x quad. pundiis T coe- untibus fit ratio squalitatis ; & ^x quad. feu §v quad. ell ad QTa ut ET, ad TF,, id ell. ut CA,!i TF,. ifve fper lent. l CT)q ad CBq: & conjunflis his omnibus rationibus 'L x P fit ad ^TqutACxLxTCqxCTiq, feu %CBqx TCq^Ttq ad AC xGvxCVqxCB q, five utzACad Gv. Sed pun(iis T&^ coeuntibus Idem aliter. Inveniatur vis, quae tendit ab hyperbolae centro C. Prodibit haec dillanti® CT proportionalis. Inde vero (per corol. 3. prop. vii.) vis ad umbilicum S tendens erit ut ^ > hoc eft, ob datam VE reciproce vx ST q. 1- PRINCIPIA MATHEMATICA. coeuntibus aequantur xTC dzGv. Ergo & his proportionalia ^ rcp Primws. X,X^« & aequantur. Ducantur haec aequalia in fiet LxSTq aequale — Ei^go (per corol. i. & y, prop.vi.) . vis centripeta reciproce eft ut LxSTq, id eft, "reciproce in ratione duplicata dillantiae ST. ^ E. I. I Eodem yg philosophiae NATURALIS De Motu - Kodein Hiodo demonftraturj quod corpus hac vi ccntripeta in Corporum vcrfa movcbitur in hypcrbola oppofita. LEMMA XIII. Latus reBum paraholds ad verticem quemvis pertinens efl quadruplum dijiantia verticis illius ah ttmhilico figurae. Patet, cx conicis. LEMMA XIV. Perpendiculum y quod ah umhtlico parahol^ ad tangentem ejus demittitur y medtum efi proportionale inter dijlantias umbi- lici a punBo contaBus & a vertice principali figurae. Sit enim A T parabola, S umbilicus ejus, A vertex principalis, fP punftum contaftus, T O ordinatim applicata ad diametrum prin- cipalem, T M tangens diametro principali occurrens mM^&cSK linea perpendicularis ab umbili- co in tangentem. Jungatur A N & ob aequales MS & STy MNy & NTy M A &c A O parallelae erunt reflae AN& OT; &: inde triangulum S A N reftangulum erit ad Ay & fimile triangulis aequa- libus SNM, SNT: ergo ? eft ad d^Vut J^Vad SA. CoroL I. T S q eft ad S Nq xxt T S zdi S A. Corol. 2. Et ob datam SA eft S Nq ut T S. Corol. 3. Et concurfus tangentis cujufvis ‘PA/cum refta SNy quae ab umbilico in ipfam perpendicularis eit, incidit in redam A Ny quae parabolam tangit in vertice principali. PROPOSITIO xni. PROBLExMA VllL Moveatur corpus tn perimetro paraholde : requiritur lex vis centripet£ tendentis ad umbilicum hujus figitrce^ Maneat conftrudio lemmatis, fitque T corpus in perimetro para- . bolae, & a loco in quem corpus proxime movetur, age ipfi ST parallelam PRINCIPIA MATHEMATICA. yp parallelam & perpendicularem necnon tangenti pa- rallelam, & occurrentem tum diametro TG in v, tum diftantiee ST in a;. Jam ob fimilia triangula Txv, STM, & aequalia unius latera SM, STy aequalia funt alterius latera T x feu &c Tv. Sed ex conicis quadratum ordinatae ^ aequale ell reftangulo fub latere refto & fegmento diametri Tvy id eil (per lem. xiii.) re- dangulo Sy.Tvy feu 4 d’ x ^R ; & punftis 7* & ^coeunti- bus, ratio ad ^x (per corol. x. lem. vii.) fit ratio aequalitatis. Ergo ^x quad. eo in cafu aequale elt reftangulo ^TS X Elt autem (ob li- milia triangula ^x T y ST N) ^xq ad ^Tq ut TSq ad SN qyhoc ell (per corol. I. lem. XIV.) ut TS ad SJy id ell, ut 4 TS x ^R ad ^S ^ X ^Ry & inde (per prop. ix. lib. v. elem.) ^Tq 8c ^S A X ^R aequantur. Ducantur haec aequalia in Liber P Riu y s & fiet aequale J -P^ x 4 : & propterea (per corol. i. & prop. VI.) vis centripeta elt reciproce ut ST qx ^SAy id ell) ob datam ^SA reciproce in duplicata ratione dillantiae ST, ' ^E,L Corol, I. Ex tribus noviffimis propofitionibus confequens ell, quod fi corpus quod vis T fecundum lineam quamvis reflam T R quacun- que cum velocitate exeat de loco Ty & vi centripeta, quae fit reci- proce proportionalis quadrato dillantiae locorum a centro, fimul agitetur ; movebitur hoc corpus in aliqua feftionum conicarum umbilicum habente in centro virium ; & contra. Nam datis um- bilico, & punflo contaftus, & pofitione tangentis, defcribi potell fe- ftio conica, quae curvaturam datam ad punftum illud habebit. Da- tur autem curvatura ex data vi centripeta, & velocitate corporis: & . orbes duo fe mutuo tangentes eadem vi centripeta eademque ve- locitate defcribi non polTunt. Corol Si velocitas, quacum corpus exit de loco fuo Ty ea fit, qua lineola T R \n minima aliqua temporis particula defcribi pof- I 2, 6o PHILOSOPHIiE NATURALIS ni MoTuflt; & vis centripeta potis fit eodem tempore corpus idem movere CoupoROM pgj. . movebitur hoc corpus in conica aliqua fettione, cujus latus reflum principale efi quantitas illa qu® ultimo fit, ubi lineolffi T R, ^R in infinitum diminuuntur. Circulum m his corollariis refero ad ellipfin ; & cafum excipio, ubi corpus re a e fcendic ad centrum. PROPOSITIO XIV. THEOREMA VI. Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, vis centripeta Jit reciproce in duplicata ratione diji antice loco- rum a centro j dico quod orbium latera redia principalia funt in duplicata ratione arearum, quas corpora radiis ad centrum dudlts eodem tempore defcnbunt.- Nam (per corol 1. prop. xtii.) latus redium L aequale efi; quantitati ; quae ultimo fit, ubi coeunt punfta IP & ^ Sed linea minima ^^R dato tempore efi: ut vis centripeta generans, hoc ett (per hypothefin) reciproce ut SR q. Ergo ell ut STq, hoc eft, latus redum L in duplicata ratione areae ST. T>. CoroL Hinc ellipfeos area tota , eique proportionale rediangulum fub axibus eft in ratione compofita ex fubdu plicata ratione lateris redi, & ratione temporis periodici. Namque area tota eft ut area ^TxSTj quae dato tempore defcribitur, dudain tempus periodi- cum. PROPOSITIO XV. THEOREMA VII. • Ttfdem pofitts.^ dico quod tempora periodica in ellipfibus funt in ratione fefquiplicata majorum axium. Namque axis minor eft medius proportionalis inter axem majo- rem & latus redum, atque ideo redangulum fub axibus ett in ra- tione PRINCIPIA MATHEMATICA. 6i tione compofita ex fubduplicata ratione lateris refti & fefquiplicata ratione axis majoris. Sed hoc redtangulum (per corol. prop. xiv.) ell in ratione compofita ex fubduplicata ratione lateris refti & ra- tione periodici temporis. Dematur utrobique fubduplicata ratio lateris redi, & manebit fefquiplicata ratio majoris axis eadem cum ratione periodici temporis. ^ B, T>. Corol. Sunt igitur tempora periodica in ellipfibus eadem ac in • circulis, quorum diametri sequantur majoribus axibus ellipfeon, PROPOSITIO XVI. THEOREMA VIII. hfdem pofith., aBh ad corpora lineis reBis^ qucje ibidem tangant orbitas.^ demijfifque ab umbilico communi ad has tangentes perpendicularibus : dico quod velocitates corporum funt in ratione compofita ex ratione perpendiculorum in^- verfe.^ &f fubduplicata ratione laterum reBorum principa'- lium direBe, Ab umbilico S ad tangentem TR demitte perpendiculum velocitas corporis T erit reciproce in fubdupli- . . S T q - ^ cata ratione quantitatis -j- ■ . Nam velocitas illa efl ut arcus quam mini- mus data temporis particula de- fcriptus, hoc eil (per lem. vii.) ut tan- gens T i?, id eit, ob proportionales TR ad & ST ad ST, ut five ut J T reciproce & STx direde ; eftque STx ut area dato tempore defcripta, id ell (per prop. xiv.) in fubduplicata ratio* ne lateris redi. ^ E. T>. Corol, I. Latera reda principalia funt in ratione compofita ex duplicata ratione perpendiculorum, & duplicata ratione velocita- tum. CoroL 6% PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu Corporum Corel Velocitates corporum, in maximis & minimis ab umbi^ lico communi dillantiis, funt in ratione compofita ex ratione diilan- tiarum inverfe, & fubduplicata ratione laterum reftorum principa- lium direfte. Nam perpendicula jam funt ipfe diftantise. Coro/ 3. Ideoque velocitas in conica fedione, in maxima vel minima ab umbilico didantia, eft ad velocitatem in circulo in ea- dem a centro diftantia in fubduplicata ratione latetis redii princi- palis ad duplam illam diilantiam. Corol 4. Corporum in ellipfibus gyrantium velocitates in medio- cribus diftantiis ab umbilico communi funt eaedern, quae corporum gyrantium in circulis ad eafdem diftantias ; hoc ell _(per prop. IV.) reciproce in fubduplicata ratione diflantiarum. Nam perpendicula jam funt femi-axes minores , & hi funt ut mediae proportionales inter dillantias & latera redta. Componatui haec ratio inverfe cum fubduplicata ratione laterum redtorum diredfe, & fiet ratio fubduplicata dillantiarum inverfe. Corol s- In eadem figura , vel etiam in figuris diverfis, quarum latera refta principalia funt aequalia, velocitas corporis eft reciproce ut perpendiculum demiftum ab umbilico ad tangentem. Corel 6. In parabola velocitas eft reciproce in fubduplicata ra- tione diflantiae corporis ab umbilico figurae ; in ellipll magis varia- tur, in hyperbola minus quam in hac ratione. Nam (per corol. 2. lem. XIV.) perpendiculum demiftum ab umbilico ad tangentem pa- rabolae eft in fubduplicata ratione diftantise. In hyperbola perpen- diculum minus variatur, in ellipfi magis. Corol 7. In parabola velocitas corporis ad quamvis ab umbilico diftantiam eft ad velocitatem corporis revolventis in circulo ad eandem a centro diftantiam in fubduplicata ratione numeri binarii ad unitatem ; in ellipfi minor eft, in hyperbola major quam in hac ratione. Nam per hujus corollarium fecundum velocitas in ver- tice parabola eft in hac ratione, & per corollaria fexta hujus & propofitionis quartae fervatur eadem proportio in omnibus diftan- tiis. Hinc etiam in parabola velocitas ubique aequalis eft velocitati corporis revolventis in circulo ad dimidiam diftantiam, in ellipfi minor eft, in hyperbola major. Corol 8. Velocitas gyrantis in fesftione quavis conica eft ad ve- locitatem gyrantis in circulo in diftantia dimidii lateris redti prin- cipalis PRINCIPIA MATHEMATICA. ^3 cipalls feftionis, ut diftantia illa ad perpendiculum ab umbilico in l*»*» tangentem feftionis demilTum. Patet per corollarium quintum. Corel. 9. Unde cum (per corol 6. prop. iv.) velocitas gyrantis in hoc circulo fit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio re- ciproce in fubduplicata ratione dillantiarum ; fiet ex tequo velocitas gyrantis in conica feftione ad velocitatem gyrantis in circulo in ea- dem diftantia , ut media proportionalis inter diftantiam illam com. munem & femilTem principalis lateris redi feftionis, ad perpendi- culum ab umbilico communi in tangentem feftionis demiflum. PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IX. Pofito quod VIS centripeta fit reciproce proportionalis quadraio dijlantice locorum a centro^ quod vis illius quantitas ahfo- luta fit comita 5 requiritur linea^ quam corpus deferihit de loco dato Cum data velocitate fecundum datam reUam egrediens. Vis centripeta tendens ad punftum S ea fit, qua corpus p in or-. bita quavis data p q gyretur, & cognofeatur hujus velocitas in loco p. De loco T fecundum lineam T R exeat corpus 7* cum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta , defleftat illud in coni fecftionem T Hanc igitur refta T R tanget in 2*. Tan- gat itidem refla aliqua pr orbitam pqinp, & fi ab S ad eas tangen- tes demitti intelligantur perpendicula, erit (per corol. I. prop. xvi. ) latus reflum principale coni feflionis ad latus reflum principale orbi- tae in ratione compo- fita ex duplicata ratio- ne perpendiculorum & duplicata ratione velo- citatum, atque ideo datur. Sit L coni feflionis latus reflum. Datur praeterea ejufdem coni feflionis umbilicus S. Anguli RP S comple- mentum 64 PHILOSOPHIi£ NATURALIS De Motu mentum ad duos reftos fiat angulus & dabitur pofitione linea Corporum ^ umbilicus alter H locatur. Demiflb T H per- pendiculo SK, erigi intelligatur femiaxis conjugatus B Se erit STa zKTH4- T H q^SH q = ^CHq^ABHq — IS^ 4 BH: quad. — L% S'B 4 B H = S B q 4 ^ B H 4 ^ H q Z/X ST4"F H. Addantur utrobique zKTH — ST q — THq '4 LxST4^FTI, & Het Lx ST4BH^zSTH 4 ^KTH, feu ST4TH^d TH ut z ST 4 zKT L. Unde datur THum longitudine quam pofitione. Nimirum fi ea fit corporis in T ve- locitas, ut latus reftum L minus fuerit quam zST 4zKT, jacebit TH ^d eandem partem tangentis TR cum linea TS\ ideoque figura erit ellipfis, & ex dat^s umbilicis Sj & axe principali ST4AHyd2i\Atux. Sin tanta fit corporis velo- citas, ut latus reflum L fequale^ierit z S T 4 z K Ty longitudo T H infinita erit; & prop- terea figura erit para- bola axem habens SH parallelum lineae T Ky & inde dabitur. Quod fi corpus majori adhuc cum velocitate de loco fuo T exeat, capienda erit longitudo T H ^d alteram partem tan- gentis; ideoque tangente inter umbilicos pergente, figura erit hy- perbola axem habens principalem aequalem differentiae linearum ST & THy & inde dabitur. Nam fi corpus in his cafibus revolvatur in conica feftione fic inventa, demonftratum eft in prop. xi, xii, & XIII, quod vis centri peta erit ut quadratum dillantiae corporis a centio virium S reciproce ; ideoque linea ^P^refte exhibetur, quam corpus tali vi deferibet, de loco dato Ty cum data velocitate, fe- cundum reftam pofitione datam TR egrediens. ^ E. F, Corol. I. Hinc in omni coni feftione ex dato vertice principali T)^ latere refto Z, & umbilico Sy datur umbilicus alter H capiendo ®// ad T)S ut efflatus reftum ad differentiam inter latus reftum &4OJ. Nam proportio ST 4T H ^dT H ut zST 4zKT ad Z / in PRINCIPIA MATHEMATICA. ;in cafu hujus corollarii, fit ‘DS + adB//ut 4‘Dj'ad L, & di-p^”" vifim ‘DS ad ‘Df/ ut 4 ‘DS—L ad L. ' ” ' Core/, z. Unde fi datur corporis velocitas in vertice principali 2), invenietur orbita expedite, capiendo fcilicet latus reftum ejus ad duplam diftantiam ‘DS, in duplicata ratione velocitatis hujus datae ad velocitatem corporis in circulo ad diftantiam 2)5* gyrantis (per corol. 3. prop. xvi. ;) dein ad 2)S ut latus reftum ad differen- tiam inter latus reftum & 4 DS. Corol. 3. Hinc etiam fi corpus moveatur in feftione quacunque conica, & ex orbe fuo impullu quocunque exturbetur ; cognofci poteft orbis, in quo poftea curfum fuum peraget. Nam componen- do proprium corporis motum cum motu illo, quem impulfus folus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulfus loco, fecundum reftam pofitione datam, exibit. Corol. 4. Et fi corpus illud vi aliqua extrinfecus imprefla conti- nuo perturbetur, innotefcet curfus quam proxime, colligendo mu- tationes quas vis illa in punftis quibufdam inducit, & ex feriei ana- logia mutationes continuas in locis intermediis ^ftimando, Scholium. Si corpus 5P vi centripeta ad pun- 'iSum quodcunque datum R ten- dente moveatur in perimetro datse cujufcunque feftionis conicae, cujus centrum fit C; & requiratur lex vis centripetae : ducatur CG radio RT parallela, & orbis tangenti TG oc- currens in G ; & vis illa (per co- rol. I. & fchol. prop. X. & corol. 3, prop. Yii. ) erit ut ^ RT quad. 66 ■ O' PHI Db Motu CORPOBUM, •f • / 3 14 T ' NATURALIS A- m - ■■ .- ' ■ - s E e T i oe^ivf ^ De mvefft me prhum elUpucorum^ paraboltcortm hypet^ boli eorum ex umbilico dato, ,, L E M M A XV. ' A^<- j St ah elUpfeos vel hyperbole cujufvis umbilicis duobus ad punBum quodvis tertium V infleBantur reBa dua SV > H V, quarum uyia H V aqualis ftt axi pr in- cipali figura^ id efiy axi in quo um- . hdtet jacent^ altera S V a perpendi- culo in fe demiffo bifecetur in T ^ ' perpendiculum illud TR feBionem co- ^ nicam alicubi tanget : ^ contra^ ft tangit^ erit HV aqua-* lis axi principali figura, i 'Secet enim perpendiculum TR reftam HF produflam, fi opus fuerit, in ^; & jungatur SR. Ob squales 7 S, TV, squales e- runt & redis SR, V R 8c anguli TRS, TRV. Unde pundtum R ■ erit ad 'fedionem conicam, & perpendiculum TR tanget eandem: & contra. ^ E. 2). PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA X. Vcitis ufnhiltco cixthus pvinctpultbus d6Pcyth6t'6 tfctjcbioyius ellipticas & hypeybohcas, qua tyanfibunt pey ptmbla data^ Qf yeclas pofitione datas contingent. Sit S communis umbilicus figurarum ; AB longitudo axis prin- cipalis trajeftoris cujufvis; ypunftum per quod trajedloria debet tranfire ; a ^ T R redta quam debet tangere, d. Centro R intervallo AB— ST, fi orbi- ta fit ellipfis, vel AB -{- ST, fi ea fit hyperbola, deferibatur circulus HG. Ad tangentem TR demittatur perpendicu- lum ST, & producatur idem ad ut fit TT aequalis JT; centro- que s (! w Gp PRINCIPIA MATHEMATICA. 67 que y 8c intervallo 5 defcribatur circulus F H. Hac methodo five dentur duo punfta P, /, five du® tangentes TR, tr, fivepun- dum F & tangens T R, defcribendi funt circuli duo. Sit H eorum interfedio communis, & umbilicis S, H, axe illo dato defcribatur trajedoria. Dico fadum. Nam trajeftoria defcripta (eo quod TH 4-d’?' in ellipfi, & R H — SR in hyperbola aequatur axi) tranfibit per punftum R, & (per lemma fuperius) tanget redam TR. Et eo- dem argumento vel tranfibit eadem per punda duo R, />, vel tan- get redas duas T R, tr. ^E. F. PROPOSITIO XIX. PROBLEMA XI. Circa datum umhtltcum trajeBoriam paraboltcam defcrthere., qux tranfibit per punBa data., reBat pofitione datas ■'continget. , Sit S umbilicus, R pundum & T R tangens trajedoriae defcri- bend®. Centro R, intervallo R S defcribe circulum FG. Ab um* bilico ad tangentem demitte perpendicularem ST, &: produc eam ad ut fit Ty aqualis S T. Eodem modo defcribendus eft alter circulus fg, fi datur alterum pundum /> ; vel inveniendum alterum pundum v, fi d atur altera tangens t r ; dein d ucen- da reda 7 Fqua tangat duos circulos FG, fg fi dantur duo punda R,p, vel tranfeat per duo punda y, V, fi dantur dua tangentes T R, tr, vel tangat circulum FG & tranfeat per pundum y, fi datur pundum R & tangens T R. Ad FI demitte per- pendicularem .y I, eamque bifeca in /f ; & axe t S K, vertice principali K defcribatur parabola. Dico fadum. Nam parabola, ob aquales S K Sc IK, SR & FR, tranfibit per pundum R ; & (per lem. xiv. corol. 3.) ob aquales ST 8c T F ic angulum redum STR, tanget redam TR. %E.F. R i PROPOSITIO PHILOSOPHIAE NATURALIS <^8 De Motu Corporum u 7^ K -/n / 1 'i __ — ■ t A S H cv PROPOSITIO XX. PROBLEMA XII. Circa datum umhilicum traj0oriam qudmvts fpecte datam defcribere, qua per data punBa tranfibit reBas tanget poftuone datas, Caf. I. Dato umbilico J’, defcribenda fit trajeftoria ^ A C per punfta duo B, C. Quoniam trajeftoria datur fpecie, dabitur ratio axis principalis ad 'diilantiam umbi- licorum. In ea ratione cape K B ad BS, & LC ad CS. Centris B, C, intervallis BK, CL^ defcribe cir- culos duos, & ad reftam K Z/, quae tangat eofdem in K & L, demitte perpendiculum JG, idemque feca in ^ Sc a, ita ut fit* G^ ad & Ga ^id a S ut K B zd BS & axe ^ a, verticibus a, defcribatur trajeftoria. Dico fa- ftum. Sit enim /Z umbilicus alrer figurae defcriptae, & cum fit ad jiS nx. Ga2id a Sy erit divifim G a — G^Zfeu 2id a S — AS feu ^yZ/in eadem ratione, ideoque in ratione quam habet axis prin- cipalis figurae defcribendse ad diftantiam umbilicorum ejus ; & prop- terea figura defcripta elt ejufdem fpeciei cum defcribenda. Cum- que fint K B ad B S LCadCd^in eadem ratione, tranfibit haec figura per pun6ta B^ C, ut ex conicis manifefium eft. Caf. z. Dato umbilico S, defcribenda fit trajeftoria quae reflas duas TR^ tr alicubi contingar. Ab umbilico in tangentes demitte perpendicula S f S t Sc produc ea- 7 i PHILOSOPHIA NATURALIS PB Motu produc idem ad T, ut fit rr aequalis Jr, & erit T fi ®quafe axi coKPOK«. principali. Junge ST, HT, & erit difFerentia inter i/ y & axem principalem. Hoc modo fi dentur plures tangentes T R, vel plura punAa^ T, devenietur femper ad lineas totidem T H, vel TH, a diais pundtis r vel T ad umbilicum H Y,,,„ dudtas, quae vel aequantur axibus, vel datis longitudinibus S T differunt ab iif- dem, atque ideo quae vel aequantur fibi invicem, vel datas habent differentias ; & inde, per lemma fuperius, datur um- s ^ H bilicus ille alter H. Habitis autem umbilicis una cum axis longi- tudine (quae vel vel, fi trajedoria ellipfis eft, fin hyperbola, TH—ST) habetur trajedoria. SchoUum. Ubi trajedoria eft hyperbola, fub nomine hujus trajeftoriae oppo- fitam hyperbolam non comprehendo. Corpus enim pergendo in motu fuo in oppofitam hyperbolam tranfire non poteft. Cafus ubi dantur tria punda fic folvitur expeditius. Dentur punda B, C, ®. Jundas BCy CT> produc ad £, ut fit EB ad .E C ut SB ad JC, & FC ad E® ut iJC ad ST>. Ad EF dudam & produdam demitte normales SG^B H, inque G S infinite produda cape GA ad jiS &: G a 2id a S Mi H B zd. B S ; & erit A vertex, A a axis principalis trajedoriae : quae, perinde ut major, aequalis, vel minor fuerit quam A erit ellipfis, parabola vel ^ hyperbola ; pundo a \n ^ primo cafu cadente ad eandem partem lineae h G F cum pundo ; in ^ fecundo cafu abeunte in infinitum ; in tertio ca- dente ad contrariam partem lineae G F, Nam fi demittantur ad G E ^ perpendicula CI,T>K- erit / C ad /7 A ut A C ad A A, hoc efi, ut JC ad SB ; & viciffim IC ad SC ut HB ad SB five ut GJ ad SJ. Et PRINCIPIA MATHEMATICA. 73 Et fimili argumento probabitur effe A ® ad in eadem ratione. Liber Jacent ergo punfta B, C, 2) in coni feftione circa umbilicum J ita defcripta, ut reftte omnes, ab umbilico S ad fingula fedionis punfta duftsB, fint ad perpendicula a pundis iifdem ad redam G F demif- fa in data illa ratione. Methodo haud multum diffimili hujus problematis folutionem tradit clarilGmus geometra de la Hire^ conicorum fuorum lib. viii- prop. XXV. SECTIO V. Invenito orhmm uhi umhiltcus neuter datur. LEMMA XVII. St a data conica feBtonh punBo quovh P ad trapezii ali- cuius A B D C, in conica illa feBione infcripti, latera qua- tuor infinite produBa AB, C D, AC, D B totidem reBa PCI, PR, PS, PT tn datis angulis ducantur ^ fmgul^^ ad fingula : reB angulum duBarum ad oppofita duo latera P^xPR, erit ad reBanpulum duBarum ad alta duo la- tera oppofita P S X P T in data ratione. Caf. I. Ponamus primo lineas ad oppofita latera dudas parallelas efle alterutri reliquorum laterum, puta T FR lateri C, & F S zc yr lateri A. Sintque infuper latera duo ex oppofitis, puta AC 8c BF), fibi invicem parallela. Et reda, quae bifecat pa- rallela illa latera, erit una ex diametris conicae fedionis, & bifecabit etiam R^ Sit O pundum in quo i? ^ bifecatur, & erit FO ordina- rim applicata ad diametrum illam. Produc y O ad K, ut fit O K aequa- lis fO, & erit OK ordinatim appli- cata ad contrarias partes diametri. Cum igitur punda A, B, F K fint ad conicam fedionem, &cF K fecet A B 'in dato angulo, erit (per prqp. 17, 19, ii & 23. lib. iii. coni- Li I eorum 74 PHILOSOPHIAE NATURALIS D. Mox« eorum Apllonii) redangulum T ad redangulum ^£5 in data Corporum Sed (s) K8c TR aequales funt, utpote aequalium UKyO^^ To l Oi? dilrenti., & inde etiam reflangula T^K & aequalk funt; atque ideo redangulum ‘P ad redtangu- ium A hoc eft ad redlangulum T S y.T T in data ratione. ^CaB 2- Ponamus jam trapezii latera oppofita AC &c BT> non effe parallela. Age Bd parallelam AC 8c occurrentem tum redae ST in t, tum conicae fedioni in d. Junge C d fecantem T in r, & ipfi T ^ parallelam age D M fecan- c tem C d 'vci M 8^ A B m N. Jam ob fimilia triangula BTt,T) B N-, ei\ Bt feu y^^ad r# ut tDAfad NB. Sic & i? r eft ad ^ £ feu ut Z) Af ad AN. Ergo, ducendo anteceden- tes in antecedentes & confequentes in confequentes, ut redangulum T ^ in Rr eft ad redangulum in T t, ^ , q n ita redangulum NT> Af eft ad redangulum A N B,8c (per caf. i.) ita redangulum ‘P ^in P r eft ad redangulum tP A in Pt, ac divi- fim ita redangulum P P R eft ad redangulum P S x P T. E. P>. Caf. 3. Ponamus denique lineas quatuor P PR, PS, PT non effe parallelas lateribus AC, AB, fed ad ea utcunque inclinatas. Earum vice age P q, P r parallelas ipfi AC-, Se P s, P t parallelas ipfi AB ; & prop- ter datos angulos triangulorum P §q, P R r, P S s, P Tt, dabuntur ratio- nes P.^adZ^, ad Zr, PA ad P s, & ZZad P t‘, atque ideo rationes compofitas P^xPR ad P qxP r, dcPSxPT P s xP t. Sed, per fuperius demon- ftrata, ratio P qxP r zdP sxP t data eft : ergo & ratio P^ x PR ^dPSxPT. ^E.Pf. ^ LEMMA PRINCIPIA MATHEMATICA. LEMMA XVIII. L I B E K Primus. Ttfdem pofttis^ fi reBan^dum duBarum ad oppofita duo latera trapezn PQjX fit ad reB angulum duBarum ad reliqua duo latera P S x P T in data ratione • punBum P, a quo linere ducuntur^ tanget conicam feBionem circa trapezium defcriptam. Per pund:a B^C^T> & aliquod' infinitorum pundorum !P, pu- ta /, concipe conicam ledionem defcribi : dico pundum T hanc femper tangere. Si negas, junge AT fecantem hanc conicam fe- dionem alibi quam in T^ fi fieri poteft, puta in b. Ergo fi ab his pundis p Sz b ducantur in datis angulis ad latera trapezii redae . p Vy p S, p t &c b ky b fty b fy b d\ erit ut b k%bn ad ^/x ^ ^ ita (per lem. xvii,)/^x/ r ad JX/ & ita (per hypoth.) T^ji^TR ad T S %TT. Eft & propter fimilitudinem trapeziorum b kAfy T §IA Sy vx b k ad bf ita ^ ad T S. Quare, applicando ter- minos prioris proportionis ad terminos correfpondentes hujus, erit ^ ad ^ ^ ut TR ad T T. Ergo trapezia aequiangula T)n bdyDRTT fimilia funt, & eorum diagonales by T> T propterea coincidunt. Incidit itaque b in interfeftionem redarum ATy ideoque coin- cidit cum pundo T, Quare pun- dum Ty ubicunque fumatur, inci- dit in affignatam conicam fedio- nem. ^ E. T>. CoroL Hinc fi redae tres T T Ry T S pundo communi T U t<. ad alias totidem pofitione datas redas AB, CT), AC, fingulse ad fingulas, in datis angulis ducantur, fitque redangulum fub duabus dudis T§f%TR ad quadratum tertiae P in data ratione: pun- dum Ty a quibus redae ducuntur, locabitur in fedtione conica quae tangit lineas AB, CT> m A &cC\ & contra. Nam coeat linea ^ L X BT> cum 76 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Uo iv bT> cum linea AC, manente pofitione trium AB, CT>, AC 5 dein CoiipoRUM linea BT cum linea BS : & redtangulum B S y^B T evadet B S quad. redtaeque AB, CT>, quae curvam in punctis A&cB^ C 8c B> fecabanr, jam curvam in pundis illis coeuntibus non am. piius fecare poilunt, fed tantum tangent. Schohum^ Nomen conicae feftionis in hoc lemmate late fumitur, ita ut feftio tam refiilinea per verticem coni tranfiens, quam circularis bafi pa- rallela includatur. Nam fi punftum / incidit in redam, qua pun- da A &cT> vAC &c B junguntur, conica feftio vertetur in gemi, nas redas, quarum una efl; reda illa in quam pundum / incidit, & altera ell reda qua alia duo ex pundis quatuor junguntur. Si tra- pezii anguli duo oppofiti fimul fumpti aequentur duobus redis, & lineae 'quatuor B BR, BS, BT ducantur ad latera ejus vel perpendi- cuJariter vel in angulis quibufvis aequalibus, fitque redangulum fub duabus dudis B BR aequale redangulo fub duabus aliis B S yBT, fedio conica evadet cir- culus. Idem fiet, fi lineae quatuor ducantur in angulis quibufvis, & redangulum fub duabus dudis B^y BR fit ad redangulum fub aliis duabus BSyBT ut redan- gulum fub finubus angulorum S, T, in quibus duae ultimae B S, BT A, ^ ducuntur, ad redangulum fub finubus angulorum R, in quibus duae primae B B R ducuntur. Caeteris in cafibus locus pundi B erit aliqua trium figurarum, quae vulgo nominantur fediones co- nica. Vice autem trapezii AB CT> fubfiitui poteft quadrilaterum, cujus latera duo oppofita fe mutuo infiar diagonalium decufTant» Sed & e pundis quatuor A^ B, C, 2) poflimt unum vel duo abire ad infinitum, eoque pado latera figura, quae ad punda illa convergunt, evadeie parallela: quo in cafu fedio conica tranfibit per caetera punda, & in plagas parallelarum abibit in infinitum. LEM'MA PRINCIPIA MATHEMATICA. 77 LEMMA XIX. 1. 1 B E ti Primus Invenire punBum P, a quo ft reBce quatuor P Q. , P R > P S, P T ad altas totidem pofitlone datas reBas AB, C D, A C, B D, fin^ilde ad fingulas y tn datts angulis ducantur y reBangtdum fub duahus duBtSy PQ.XPR, fit ad reBangulum fub aliis duabus^ P S x P T, in data ra tione'. Lineae AB, CT>, ad quas redae duae 7*^, TR unum redangu- lorum continentes ducuntur, conveniant curn aliis duabus pofitione datis lineis in pundis A, B, C, ‘D. Ab eorum aliquo A age redam quamlibet A H, in qua velis pundum T reperiri. Secet ea lineas oppofitas B‘D, CB, nimirum A B in H & CT> in I, & ob datos omnes angulos figurae, dabuntur rationes 7* ^ ad RA &c R A 2,^. RS, ideoque ratio P^ad RS. Auferendo hanc a data ratione R^ xRR ad RSxRT, dabitur ratio RR ad RT, & addendo datas rationes RI ad RR, & RT zdRH dabitur ratio R1 ad RH, atque ideo pundum R. ^ E. I. Corel. I. Hinc etiam ad loci pundorum infinitorum R pundum ■ quodvis B tangens duci poteft. Nam chorda R B, ubi punda R ac B conveniunt, hoc eit, ubi AH ducitur per pundum B, tan- gens evadit. Quo in cafu, ultima ratio evanefeentium I R & RH invenietur ut fupra. Ipfi igitur AT) duc parallelam CF, occurren- tem BT> '\a F, & in ea ultima ratione fedam in A, 8c T) E tangens erit, propterea quod CF & evanefeens / //parallelae funt, & in A & R fimiliter fedae. Corol. z. Hinc etiam locus pundorum omnium R definiri poteft. Per quodvis pundorum A, B, C, B, puta A, duc loci tangentem ' A E, 8c per aliud ^uodvis pundum B duc tangenti parallelam B F occurren-i- D £ M o T u COKFORUM 78 PHILOSOPHIAE NATURALIS occurrentem loco in F. Invenietur autem pundtum F per lem. xix. Bifeca BFinG, & aaa indefinita AG erit pofitio diametri ad quam BG 8c FG ordinatim applicantur. Hsec AG occurrat loco in H, & erit A H diameter five latus tranf- verfum, ad quod latus redum erit ^ ut BG q ad AG xG H. Si A G nuf- quam occurrit loco, linea AHex- iftente infinita, locus erit parabola, _ . . JD G ^ & latus reftutn ejus ad diametrum AG pertinens erit . oin ea alicubi occurrit, locus hyperbola erit, ubi punfta A &c H. fita funt ad eafdem partes ipfius G : & ellipfis, ubi G intermedium eft, nifi forte angulus AG B reftus fit, & infuper BG quad, aequale reftangulo AG quo in cafu circulus habebitur. Atque ita problematis veterum de quatuor lineis ab Euclide in- coepti & ab Afollonio continuati non calculus, fed compofitio geo- metrica, qualem veteres quaerebant, in hoc corollario exhibetur. LEMMA XX. Si parallelogrammam quodvts A S P CL cinguTts duohus oppofith A P tangit feBionem quamvis conicam in punBis A fef P j lateribus unius angulorum illorum infinite produBis Aa, AS occurrit eidem feti toni conica tn^ ^ C - a punBls autem occurfuum ad qutntum quodvis fecllonls conica punBum D agantur reBa dua BD, CD occurrentes alteris duobus tnfintte produBis parallelogramml lateribus P S, P (X tn T ef R: erunt femper abfctjfa laterum partes P R Vr ad tnvlcem In data ratione. Et contra^ fi partes Illa abfclffa funt ad mvicem tn data ratione punBum D tanget feB tonem conicam per punBa quatuor h, B, C, P tr an f eun- tem, Caf I PRINCIPIA MATHEMATICA. Caf. I. Jungantur CT & a punfto 25 agantur redae duae 2) G, T> quarum prior E>G ipfi AB parallela fit & occurrat T CA in H, E G \ altera T> E parallela fit ipfi AC occurrat yC, T Sj A B m AT, E: & erit (per lem. xvii.) redangulum ^ExE>F ad redangulum T>GxT)H in ratione data. Sed eft ^"^ad T> E (feu /^) ut TB ^1%: ad H ideoque ut TT 2)//; & viciffim 2^^^ad BT ut^^ad^H ad ® ut i? C ad ® C, ideo- que ut {IG vel) BS ad B)Gy & viciffim BR ad BS ut 2)F ad 2) G ; & conjundis rationi- bus fit reftangulum B^x BR ad redangulum BSy.BT ut reftangulum 2)£x2)Fad eb reftangulum 2) G x 2) /7, atque ideo in data ratione. Sed dantur B ^ & B S, & propterea ratio BR BT datur. ^ E, 2). Caf, z. Quod fi BR &: BT ponantur in data ratione ad invicem^- tum fimili ratiocinio regrediendo, fequetur efle reftangulum 2) E X 2)F ad redangulum 2)G x T>H in ratione data, ideoque punftum 2) (per lem. xviii.) contingere conicam fedionem tranfeuntem per punfta A, By C, B, ^ E, T). Corol. I. Hinc li agatur BC fecans B r, & in 22 capiatur 2 ^ in ratione ad 2 r quam habet BT ad 2 2 .• erit B t tangens conicae fedionis ad pundum B. Nam concipe pundum 2) coire cum pundo 2, ita ut, chorda B T> evanefcente> B T tangens eva- dat; & C2) ac 22 coincident cum CB & Bt, Corol. Et vice verfa fi 2 ^ fit tangens, & ad quodvis conicae fedionis pundum 2) conveniant 22), C2); erit 22 ad 2 2 ut 2 r ad 2 t. Et contra, fi fit 22 ad 2 2 ut Br ad 2^ ; convenient, 2 2), C2) ad conicae fedionis pundum aliquod 2). Corol. 3. Conica fedio non fecat conicam fedionem in pundis pluribus quam quatudr. Nam, fi fieri potefi, tranfeant dua: conicae fediones per quinque punda ^,2, C, 2,0; eafque fecet reda 2 2) in pundis 2), dy & ipfam 2^ fecet reda C d in q. Ergo 22 efl ad Li P RI BER M y s. 8o PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu Corporum TTxA Tq ad iPT; unde TR & Rq fibi invicem aequantur, contra hypothefin. LEMMA XXI. Si reBa dua mohtles mfintta B M, C M per data pmBa B, C ceu polos duBiC, concurfu fm M defcrthant tertiam pofitione datam reBam M N j 6? aliie dua infinitie reBis B D, C D cum prioribus duabus ad punBa illa data B, C datos angulos M B D, M C D efficientes ducantur : dico quod hte duae B D, C D concurfu Juo D defcribent feBionem co- micam per punBa B, C tranfeuntem. Et vice verfaffi reBa B D, CD concurfu fuo D defcribant feBionem conicam per data punBa B, C, A tranfeuntem, &' fit angulus D B M . fiemper aquahs angulo dato ABC, angulufique D C M fem- per aqualis angulo dato ACB : punBum M continget re- Bam pofitione datam. Nam in refta M N detur punftum N, & ubi punflum mobile M incidit in immotum N, incidat punftum mobile 2) in immotum T. Junge Q N, BJST, Cp, BT, & a punfto P age reftas i*T, PR occuirentes ipfis A 2), CB) in T Sc R, & facientes angulum BPT aequalem PRINCIPIA mathematica. Si aequalem angulo dato BNM, Sc angulum CT R aqualem angu- l.»** Jo dato C N M. Cum ergo (ex hypothefi) aquales fint anguli *’“*””*• MBD, NBT,vX&c anguli M CT>, NCB-, aufer communes aIo & NC‘Dy & reflabunt aquales NB M & ‘P BT, NCM & PCR,- ideoque triangula NBM, PBT fimilia funt, ut & triangula NCM, PCR. Quare PT efl ad iVilf ut P B 2,d. N B, & P R idN Mut 5P C ad NC. Sunt autem punda B, C, N, P immobilia. Ergo PT & PR datam habent rationem ad NM, proindeque datam rationem inter fe ; atque ideo (per lem. xx.) punftum T>, perpetuus reda- rum mobilium BT Si. C R concurfus, contingit fedionem conicam, per punda B, C, P tranfeuntem. ^ E. T>. Et contra, fi pundum mobile © contingat fedionem conicam tranfeuntem per data punda B, C, A, 8c fit angulus T) B M femper aequalis angulo dato A BC, Sc angulus T>C M femper tequalis an- gulo dato AC B, Sc ubi pundum T) incidit fucceflive in duo quae- vis fedionis punda immobilia p, P, pundum mobile M incidat fuc- cellive in punda duo immobilia », N : per eadem n, N agatur reda n N, Sc haec erit locus perpetuus pundi illius mobilis ii/. Nam, fi fieri potefl, verfetur pundum M in linea aliqua curva. ergo pundum © fedionem conicam per punda quinque B, C, A, /, P tranfeuntem, ubi pundum M perpetuo tangit hneam curvam. Sed Sc ex jam demonftratis tanget etiam pundum © e lonem c^ nicam per eadem quinque punda A, C, A, /, '"^^'^^^'^^pmdum §1 PHILOSOPHIiE NATURALIS De Motu punftum il/ pcrpctuo tangit lineam reftam. Ergo duas feftiones eoRPOEUM tranfibunt per eadem quinque punaa, contra corol 3. lem- mat. XX. Igitur pundum M verfari in linea curva abfurdum eft. ©. E. 2?. PROPOSITIO XXII. PROBLEMA XIV. TrajeBoriam per data quinque punEia defcrihere. Dentur punda quinque A B, C,T, D. Ab eorum aliquod ad alia duo quaevis B, C, quae poli nominentur, age redas ^ B, ^ c, hifque parallelas TPS, TR pundum quartum T. Deinde a polis duobus B, C age per pundum quintum D infinitas duas 52)7", CRT>, noviffime dudis TRS, (priorem priori & polleri, orem polleriori ) occurrentes in r & 5. Denique de redis T T, PR, ada reda t r ipfi TR parallela, abfcinde quafvis Tt,Tr ipfis TT, P R proportionales ; & fi per earum terminos t, r & polos B, C adae 5/, C r concurrant in d, locabitur pundum illud d in trajedoria quae. c fita. Nam pundum illud d (per lem. xx ) verfatur in conica fedione per punda quatuor B, C, T tranfeunte ; & lineis Rr, Tt evanef- centibus, coit pundum d cum pundo 2). Tranfit ergo fedio co- nica per punda quinque B, C, T, 2). ^ E. D. Idem aliter. E pundis datis junge tria quaevis A, 5, C; & circum duo eorum B, C, ceu polos, rotando angulos magnitudine datos ABC., AC B, applicentur crura B A, C A primo ad pundum 2), deinde ad pun- dumi PRINCIPIA MATHEMATICA. 83 ftum & notentur punda il/, iVin quibus altera crura BLyCL cafu utroque fe deculfant. Agatur refta infinita ii/iV, & rotentur ^ anguli illi mobiles circum polos fuos By Q ea lege ut crurum B L, C L we\ B My C Af interfeiSio, quae jam fit niy incidat femper in re- dam illam infinitam A/ iNT; & crurum B Ay C Ay vel BT>y CT> in- terfedio, quae jam fit dy trajedoriam quaefitam TAT>dB delinea- bit. Nam pundum d (per lem. xxi.) continget fedionem conicam per punda By C tranfeuntem ; & ubi pundum m accedit ad punfta Ly My N, pundum d (per conftruftionem) accedet ad punfta AT>To Defcribetur itaque fedio conica tranfiens per punfta quinque A, ByCyT,T>. ^E.F. Corol. I. Hinc reda expedite duci poteft, quae trajeftoriam quae^ fitam in punfto quovis dato B continget. Accedat punftum d ad punftum By & refta B d evadet tangens quaefita. CoroL X. Unde etiam trajeftoriarum centra, diametri & latera re^ fta inveniri polTunt, ut in corollario fecundo lemmatis xix. Scholmm. Conftruftio prior evadet paulo fimplicior jungendo BIPy & in ea^ fi opus eft, produfta capiendo .5/ ad -SP ut eft P i? ad & per / agendo reftam infinitam p e ipfi STT parallelam, & in ea 2, capiendo 84 PHILOSOPHIA NATURALIS D B Motu capicndo fciuper f e aequalem "P r •, agendo redias B e, €! r con- CoRPORUM jjj ^ Nam cum fint P r aA. P P R P p B zA PB^ f e zdPt ia eadem ratione ; erunt p e Ac Pr femper aequales. Hac methodo pundta trajedoriae inveniuntur expeditiffime, nifi mavis curvam, ut in conllrudione fecunda, defcribere mechanice. PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA XV. Praje^iortatn defcnhere, quis per data quatuor punSa tranfi-~ bh, &’ reBam continget pofittone datam. Caf.i. Dentur tangens H B, pundtum contaflus B, Sc alia tria pun fecantem P ^ in R. Deni- que, agendo quamvis t r ipfi T R parallelam, de IP P S ab- fcinde P r, P t ipfis P R, P T proportionales refpedive ; & ada- rum Cr, B t concurfus d (per lem. xx.) incidet femper in trajedo- riam deferibendam. Idem aliter. Revolvatur tum angulus magnitudine datus C B H efrea polum By tum radius quilibet redilineus & utrinque produdus 2) C circa polum C. Notentur punda M, N, in quibus anguli crus B C fecat radium illum, ubi crus alterum B H concurrit cum eodem radio in pundis P & 2). Deinde ad adam infinitam MN concurrant per- petuo 8j PRINCIPIA MATHEMATICA, petuo radius ille CT vel CT> & anguli crus B C, cruris alterius B H con- curfus cum radio delineabit trajedo- riam quaefitam. Nam fi in confiruftionibus proble- matis fuperioris accedat punflum A ad punctum B^ lineae C A C B coinci- dent, & linea A B in ultimo fuo fitu fiet tangens B H ; atque ideo confiru* diones ibi pofitae evadent eaedem cum conftruflionibus hic defcriptis. De- lineabit igitur cruris B H concurfus cum radio feftionem conicam per pun- fta C, T tranfeuntem, & reftam tangentem in punfto B, ^ E. F. Caf. z. Dentur pundla quatuor B, C, D, T extra tangentem HI fita. Junge bina lineis BD, CT concurrentibus in G, tangen- tique occurrentibus in ^ Secetur tangens in yi, ita ut Iit H tA I Ay ut eft reftangulum fub media proportionali inter CG &C GB media proportionali inter B H A: HT)y ad reftan- gulum fub media proportionali inter 2) G & G B & media pro- portionali inter T I 8c I C-, Sc erit A punftum contaftus. Nam fi redtae P/ parallela HX trajec- toriam fecet in punftis quibufvis X & T:. erit (ex conicis) pun- flum A ita locandum, ut fuerit HAquad. zA AI quad. in ratio- ne compofita ex ratione reftan- guli XHTzA reftangulum BHDy feu reftanguli C G ad redtan- gulum D G B, 8c ex ratione rec- tanguli B HTI ad redangulum P/C. Invento autem contadtus pundlo Ay defcribetur trajeftoria ut in cafu primo. ^E.F. Capi autem poteft pun<5um A vel inter punda H 8c I, vel ex- tra ; & perinde trajedoria dupliciter defcribi. Liber Primus. PROPO- PHILOSOPHIA NATURALIS 8(^ De Motu COKPORUM PROPOSITIO XXIV PROBLEMA XVL TrajeBormm defcnbere, qiue tranfibtt per data ma punBa^ ^ reBas duas poftuone datas contmget. Dentur tangentes KL &c pundta By C> Per pun6toruni duo quaevis By T> age re^am infinitam B T> tangentibus occurren- tem in pundtis Hy K. Deinde etiam per alia duo quavis Cy ® age infinitam CT> tangentibus occurrentem in puneStib /, L. Adas ita feca mR&cSy ut H R 2.d.KR ut elt media proportionalis inter BH &L HT> ad mediam proportionalem inter B K &: KT> ; 8c I S ad LS ut eft media proportionalis inter C / & / ® ad mediam proportionalem inter CL 8z LB>. Seca autem pro lubitu vel inter punda K &L Hy / & A vel extra eadem ; dein age R S fecantem tangentes iu A ScTy & erunt A&cB punda contaduum. Nam fi A SzB fupponantur elTe punda contaduum alicubi in tangentibus fita ; & per pundorum Hy /, /v, L quodvis /, in tangente alterutra HI litum, agatur reda l T tan- genti alteri KL parallela, quae occurrat curvae m X &: Ty & in ea fumatur IZ media propor- tionalis inter 7X& IT: erit, ex conicis, redangulum XI 2" feu I Z quad. ad LB quud. ut redangulum C/2) ad redangu- lum CLT>y id eft (per conftruc- tionem) ut SI quad. ad SL quad. atque ideo I Z ad L T ut SI ad S L, Jacent ergo punda SyBy Z \u una reda. Porro tangentibus concurrentibus in G, erit (ex conicis) redrangulum X/r feu IZ quad. ad IA quad. ut G 'P quad. ad G X quad. ideoque I ZzdL I A Mt GP ad G A. Jacent ergo pundia V, Z Sc A 'm una redia, ideoque pundia S, ‘P &: A funt in una redta. Et eodem argumento proba- bitur quod pundia R, P Sc A funt in una redta. Jacent igitur pun- dta contadtuum X & Pin redla RS. Hifce autem inventis, trajec- toria deferibetur ut in cafti primo problematis fuperioris. ^ E. F. In PRINCIPIA MATHEMATICA. 87 In hac propofitione, & cafu fecundo propofitionis fuperioris con- Liber ftrud:iones eaedem funt, five redta X T trajedtoriam fecet in JT & 7; five non fecet ; eaeque non pendent ab hac fcdtione. Sed demon- flratis conftrudiionibus ubi reda illa trajedoriam fecat, innotefcunt conftrudiones, ubi non fecat ; iifque ultra demonftrandis brevitatis gratia non immoror. LEMMA XXII. Figuras in alias ejufdem generis figuras mutare. Tranfmutanda fit figura quaevis H G I. Ducantur pro lubitu redae du« parallelae AO^ B L tertiam quamvis pofitione datam A B fecantes in ^ & a figurae pundo quovis G, ad redam AB ducatur quaevis G 2), ipfi O A parallela. Deinde a pundo ali- quo O, in linea O A dato, ad pundum T> ducatur reda O 2), ipfi. B L occurrens in ^, & a pun- do occurfus erigatur reda dg datum quemvis angulum cum reda BL continens, atque eam habens rationem ad O ^ quam habet 2) G ad O 2> ; & erit g pundum in figura nova h gi pundo G refpondens. Eadem ratione punda fingula figurae^ primae dabunt punda totidem figurae novae. Concipe igitur pundum G motu continuo percurrere punda omnia figurae primae, & pundum g motu itidem continuo percurret punda omnia figurae novae & eandem defcribet. Diflindionis gratia nominemus 2-) G ordinatam primam, d g ordinatam novam ; A T> abfcifTam primam, ad abfciflTam novam ; O polum, O T> radium abfcindentem, OAx^- dium ordinatum primum, & Oa (quo parallelogrammum O AB a completur) radium ordinatum novum. Dico jam quod, fi pundum G tangit redam lineam pofitione da- tam, pundum g tanget etiam lineam redam pofitione datam. Si pundum G tangit conicam fedionem, pundum g tanget etiam co- nicam fedionem. Conicis fedionibus hic circulum annumero. Por- ro 88' PHILOSOPHIAE NATURALIS De M O o T U 1*0 fi pundlum G tangit lineam tertii ordinis analytici, pundlum g Corporum (ertii itidem ordinis ; & fic de curvis lineis fuperiorum ordinum. Lineae duae erunt ejufdem femper ordinis analytici quas pundla G, g tangunt. Etenim ut ell adzA OA ita funt ad OZ), ^ 1- /I OAv. AB dg^ADG, & AB ad ^Z); ideoque AT) aequalis elt — , 8c T>G aequalis eft punftum G tangit redam li- neam, atque ideo in aequatione quavis, qua relatio inter abfcillam AT 8c ordinatam Z) G -habetur, indeterminatae iWai AT &Z) G ad unicam tantum dimenfionem afcendunt, fcribendo in hac aequatione OAxAB at, ^ 2) G, producetur aequatio a d ^ « « nova, in qua abfcilTa nova a d & ordinata nova d g zA uni- cam tantum dimenfionem af- cendent, atque ideo quae de- lignat lineam redam. Sin AT BlT G, vel earum alterutra, afcendebant ad duas dimenfi- ones in aequatione prima, af- cendent itidem ad ^ dg^A duas in aequatione fecunda. Et fic de tribus vel pluribus A jj d t dimenfionibus. Indeterminatae ad, d g \x\ aequatione fecunda, & AT, TGm prima afcendent femper ad eundem dimenfionum numerum, & propterea lineae, quas punda G, g tangunt, funt ejufdem ordinis analytici. Dico praeterea, quod fi reda aliqua tangat lineam curvam in fi- gura prima ; haec reda eodem modo cum curva in figuram novam tranflata tanget lineam illam curvam in figura nova ; & contra. Nam fi curvae punda quaevis duo accedunt ad invicem & coeunt in fi- gura prima, punda eadem tranflata accedent ad invicem & coibunt in figura nova ; atque ideo redce, quibus haec punda junguntur, fimul evadent curvarum tangentes in figura utraque. Componi poflent harum aflTertionum demonllrationes more ma- gis geometrico. Sed brevitati confulo. Igitur PRINCIPIA MATHEMATICA. 89 Igitur fi figura reftilinea in aliam tranfmutanda eit, fufficit retta- Liber rum, a quibus conflatur, interfediones transferre, & per eafdem in figura nova lineas reftas ducere. Sin curvilineam tranfmutare opor- tet, transferenda funt punfta, tangentes, & aliae reftae, quarum ope curva linea definitur. Infervit autem hoc lemma folutioni difficilio- rum problematum, tranfmutando figuras propofitas in fimplicio* res. Nam redae quaevis convergentes tranfmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo lineam quamvis redam, quae per concurfum convergentium tranfit ; idque quia concurfus ille hoc pado abit in infinitum ; lineae autem parallelae funt, quae nuf- quam concurrunt. Poftquam autem problema folvitur in figura nova ; fi per inverfas operationes tranfmutetur haec figura in figuram primam, habebitur folutio quaefita. Utile efl; etiam hoc lemma in folutione folidorum problematum* Nam quoties duae fediones conicae obvenerint, quarum interfedione problema folvi poteft, tranfmutare licet earum alterutram, fi hyper- bola fit vel parabola, in ellipfin : deinde ellipfis facile mutatur in circulum. Reda item & fedio conica, in conflrudione planorum problematum, vertuntur in redam & circulum. PROPOSITIO XXV. PROBLEMA XVII. 'TrajeBormm defcrihere^ qude per data duo punBa tranfihity ^ reBas tres continet pofittone datas^ Per concurfum tangentium qua- i\ j rumvis duarum cum fe invicem, & concurfum tangentis tertiae cum re- da illa, quae per punda duo data tranfit, age redam infinitam ; eaque adhibita pro radio ordinato primo, tranfmutetur figura, per lemma fu- perius, in figuram novam. In hac figura tangentes illae duae evadent fibi invicem parallelae, & tangens tertia fiet parallela redae per punda duo data tranfeunti. Sunto h 4 kl tangentes illae duae parallelae, / /^ tangens tertia, h i reda huic N parallela po PHlLOSOPHIi£ NATURALIS n E Motu parallela tranfiens per puncSa illa a, h, per quae conica fediio in hac Corpoeom ^ tranfire debet, & parallelogrammum hi kl complens. Secentur redte bi,ik,kl in c, d, e, ita ut fit h c ad latus quadratum redianguli ahb, i c id, ^ ke kd ett fumma redarum h i & / ad fummaiii trium linearum, quarum prima eli reaa t ky ^ altera dua funt latera quadrata redangulorum a h b Sz a l b : & erunt c, d, e punda contaduum. Etenim, ex conicis, funt hc qua- dratum ad redangulum ahb, dii c quadratum ad i d quadratum, & k e quadratum k d quadratum, Sc e l quadratum ad redtangulum a Ib 'm eadem ratione ; & propte- £\__ ^ rea /&c ad latus quadratum ipfius a h b, i c tid. id, k e k d, &c e l ad latus quadratum ipfius a Ib funt in fubduplicata illa ratione, & com- pofite, in data ratione omnium ante- cedentium hi 8c kl ad omnes con- fequentes, quae funt latus quadratum redanguli ah b,8c redia i k, & latus quadratum redianguli a l b. Haben- tur igitur ex data illa ratione punda contadfuum c, d, e, in figura nova. Per inverfas operationes lemmatis noviflimi transferantur haec pundfa in figuram primam, & ibi (per prob. xiv.) defcribetur traje- doria ^ E. F. Caeterum perinde ut punda a, b jacent vel inter pundfa h, t, vel extra, debent punda c, d, e vel inter pundda h, i, k, l capi, vel extra. Si pundtorum a, b alterutrum cadit inter punda h, l, & alterum extra, problema impoffibile ell. PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA XVIII. TrajeBoriam defcrlhere, qu femper aequalis datae £G ; & erit ex confirudione E C ad G 2), hoc elt, ad £ ut AC ad BT>^ ideoque in ratio- ne data, & propterea dabitur fpecie triangulum EFC. Se- cetur C in Z/ ut fit C L ad CFin ratione CK ad CT> ; & ob datam illam rationem, da- bitur etiam fpecie triangulum ,r ^ \x g i\ v E F L\ proindeque pundum L locabitur in reda EL pofitione data. Junge LK^&c fimilia erunt triangula CLK^ C FTJ ; & ol> datam FF) & datam rationem A ZT ad FF)^ dabitur L K. Huic N ^ a^qualis 1 PHILOSOPHIiE NATURALIS dbMotu aequalis capiatur E Hy 8c erit Corporum E L K H parallclo- grammum. Locatur igitur pundium K in parallelogram- mi illius latere pofitione dato HK. ^E.T>. Coro/. Ob datam fpecie fi- guram E F L Cy rediae tres EFyELSc ECyidGttyG 2), HK &c E Cy datas habent rationes ad invicem. LEMMA XXIV. Si reB^ tres tangant quamcunque coni feBtonemy quarum dudc parallela ftnt ac dentur pofit tone ; dico quod feBionis femi-- diameter htfce duahus parallela y fit medta proportionalis inter harum fegmentay punBis contaBuum tangenti ter-- ti^e interjeBa. Sunto AFy G 5 pai^allelae duae coni fedlionem AT>B tangentes in A (k B-y E F redia tertia coni fedtionem tangens in /, & occurrens prioribus tangentibus in F & G ; fitque C2) femidiameter figurae tangentibus parallela : dico quod A Fy CT>y BG funt continue proportionales. Nam fi diametri conjuga- tae 2) Af tangenti FG occurrant m E &l Hy feque mutuo fecent in C, & com- pleatur parallelogrammum I KCL-y erit ex natura fedtio- num conicarum ut £ C ad CA ita CA ad C Ly & ita divifim EC C A C A — CLy feu E A 2id A Ly & compofite ^d EA-\-AL k\x EL \xt EC ad EC\-CA feu EB \ ideoque, ob limilitudinem triangulorum EAFyELlyEQH. EBGy AEnA Llxit PRINCIPIA MATHEMATICA. 93 X>/ut CH ad BG. Eft itidem, ex natura feftionum conicarum, Liee*. L I feu C itT ad C ® ut C 2) ad C ; atque ideo ex aequo pertur- ^ ^ * bate jiF ad CT> ut CT> ad BG. E.D. Corol. I. Hinc fi tangentes duae FG, T tangentibus parallelis F, BG occurrant 'm F &: G, 2 & ^ feque mutuo fecent in O; erit ex aequo perturbate A F ut ^!P ad AG, & divifim ut FT ad G atque ideo ut FO ad OG. Corol. X. Unde etiam redae duae F G, F^, per punda F & G, F& ^^dudae, concurrent ad redam ACB per centrum figurae & punda contaduum A, B tranfeuntem. LEMMA XXV. Si parallelogrammi latera quatuor infinite prodnBa tangant feBionem quamcunque conicam., ahfcindantur ad tangen- tem quamvis quintam-, fumantur autem laterum quorurmis duorurn conterminorum abfcijfa terminatce ad angulos op- pojitos parallelogrammi : dtco quod abfciffa alterutra fit ad latus illud a quo eji abfciffa, ut pars lateris alterius conter- mini inter punBum contaBus latus tertium eJi ad abfcif- farum alteram. Tangant parallelogrammi MLIK latera quatuor M L,IK, KL, MI fedionem conicam in A, B, C, 2), & fecet tangens quinta F^ M A JL hcEC latera in F, HScE', fumantur autem laterum MI, KI ^ abfciff» 94 PHILOSOPHIifi NATURALIS De MoToabfcilTae ME, K9-, vel laterum KL, ML abfcifls K H, M F: Corporum ^ Ut BK ad K &,,A// ad A Z, ut M 2iA M F. Nam per corollarium primum lemmatis fuperioris eft ME ad EI vx A M {t\x B K ad 8c componendo M E nd MI ut BK ad E. T>. Item K H ad H L ni B K feu A M ad A F, & dividendo KH ad KL ni A M ad M F. ^E.D. Corel. 1. Hinc fi datur parallelogrammum IKLM, circa datam feftionem conicam defcriptum, dabitur reftangulum K^xME, ut & huic tequale redtangulum KHxMF. Atquantur enim redan- gula illa ob limilitudinem triangulorum K ^H, M F E. Corol. 1. Et fi fexta ducatur tangens e q tangentibus K I, M 1 occurrens in ^ & e ; reftangulum K M E requabitur reftangulo Kqy.Me-, eritqueA^ad Me ni K q ad. ME, Sz divilim ut ^q ad E e. Corol. 3. Unde etiam d E q, e ^jungantur & bifecentur, & reda per punda bifedionum agatur, tranfibit haec per centrum fedionis conicae. Nam cum fit ^ q ad A ut A^ad M e, tranfibit eadem reda per medium omnium E q, e M K (per lem. xxiii.) & medium redae MK elt centrum fedionis. PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA XIX. Traje^onam defcrtbere, qua reBas quinque pofitlone datas continget. Dentur pofitione tangentes 5 C, BCF, GCT>, FTlE, EA. Figurae quadrilaterae fub quatuor quibufvis contentae ^ A A A dia- gonales PRINCIPIA MATHEMATICA. pj gonales AF, B E bifeca in Af & iV, & (per corol; 3. lem. xxv.) re- Li da MN per pu"da bifedionum ada tranfibit per centrum trajedo- riae. Rurfus figurae quadrilaterae BGT>F, fub aliis quibufvis qua- tuor tangentibus contentae, diagonales ( ut ita dicam ) B^D, G F bifeca in IP & & reda T ^ per punda bifet^tionum ada tran- fibit per centrum trajedoriae. Dabitur ergo centrum in concurfu bifecantium. Sit illud O. Tangenti cuivis PC parallelam age KL, ad eam diftantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur. & afta K L tanget trajedtoriam defcribendam. Secet haec tangentes alias quafvis duas GCF), FT>E in L dcK. Per harum tan,;i,entium non parallelarum CL, FK cum parallelis CF, KL concurfus C & /f» F & L age C K, FL concurrentes in R, & refta O R dudia & pro- duda fecabit tangentes parallelas CF, K L in pundis contaduum. Patet hoc per corol. lem. xxiv. Eadem methodo invenire licet alia contaduum punda, & tum demum per conltrud. prob. xiv. trajedoriam defcribere. ^ E. F. SchoTium. Problemata, ubi dantur trajedoriarum vel centra vel afymptotii includuntur in praecedentibus. Nam datis pundis & tangentibus una cum centro, dantur alia totidem punda aliaeque tangentes a centro ex altera ejus parte aequaliter diftantes. Afymptdtos autem pro tangente habenda eft, & ejus terminus infinite diftans (fi ita Io- Pe Motu Corporum PHILOSOPHIiE NATURALIS qui fas fit) pro punfto contaitus. Concipe tangentis cujufvis pun- (Stuna contadlus abire in infinitum, & tangens vertetur in Afytnpto- ton, atque confiruE Fitz locare, ut angulus ejus T> line^ A B^ angu- lus E lineam AC^ angulus F lineam B C tangat. Super E) E^ E) F E F defcribe tria circulorum fegmenta E) R E^ E)G EMF^ quae capiant angulos angulis BAC^ ABC, AC B aequales refpeflive. Defcribantur autem haec fegmenta ad eas partes linea- rum E) E, E) F, E F, ut literae E) R E ED eodem ordine cum literis B AC B, literae E>G F E) eodem cum literis ABCA^ &: literae EMFE eodem cum literis ACBA in orbem re- deant ; deinde compleantur haec fegmenta in circulos integros. Se- cent circuli duo priores fe mutuo in G, fintque centra eorum T & ^ Junflis GF, cape Ga^d AB ut efl G T ad F & centro G, intervallo G a defcribe circulum, qui fecet circulum pri- mum E)GE in a. Jungatur tum a E) fecans circulum fecundum E) F G in b, tum a E fecans circulum tertium EMF 'm c. Et jam licet figuram conllituere fimilem & squalem figurs abe E) E F. Quo faflo perficitur problema. O Agatur pg PHILOSOPHIAE NATURALIS D B Motu Agatuf enim F c ipfi n 2? occurrens in w> & jungantur ttGy & G, Corporum ‘p D. Ex couftruftione eft augulus E a‘p aequalis an- gulo A, & angulus acFseqmlis angulo j^CB, ideoque trian- gulum ane triangulo yiBC aequiangulum. Ergo angulus anc ku FnT> angulo A B Cy ideoque angulo FbT> aequalis eft ; & prop. terea punftum « incidit in punftum b. Porro angulus G jP^» qui dimidius eft anguli ad centrum G F D, aequalis eft angulo ad cir- cumferentiam G aF) •, 8c angulus G ^JP, qui dimidius eft anguli ad centrum C ^JD, aequalis eft complemento ad duos reftos anguli ad circumferentiam G bF), ideoque aequalis angulo G b a-, funtque ideo PRINCIPIA MATHEMATICA. 99 ideo triangula GT ^ G a b fimilia ; & G efl: ad ^ ^ ut G ‘P ad Lteer id eft (ex conltrudione) ut G ^ ad AB. Aquantur itaque ab A B \ & propterea triangula ab ABC, quae modo fimilia effe probavimus, iunt etiam aequalia. Unde, cum tangant infuper trianguli T> P’ anguli T>, E, F trianguli abc latera ab, ac, bc refpedtive/ compleri poteit figura ABCdef abcT)EF fimilis &'aequalis, atque eam complendo folvetur problema. ^ E. F. Corol. Hinc reda duci poteft cujus partes longitudine data? reftis tribus pofitione datis interjacebunt. Concipe triangulum T> E F, punflJo T> ad latus E F accedente, & lateribus T> E, T> F 'm dire- d:um pofitis, mutari in lineam reftam, cujus pars data T) E red:is pofitione datis A B, AC, & pars data E> F redis pofitione datis A B, B C interponi debet ; & applicando conilrudionem praece- dentem ad hunc cafum folvetur problema. PROPOSITIO XXVIIL PROBLEMA XX. TrajeBormm fpecte magmtudme datam defcrihere^ cujus partes dat ce reBts trtbus pofiUone datis interjacebunt. Defcribenda fit trajeftoria, quae fit fimilis & aequalis lineae curvae ^ E Fi quaeque a redis tribus AB, AC, BC pofitione datis, in partes datis hujus partibus ^ E E F fimiles & aequales fecabi- tur. . Age redas T) E, E F, E) F, & trianguli hujus E F pone an- gulos T>, E, F ad redas illas pofitione datas (per lem. xxvi) dein circa triangulum defcribe trajedoriam curvae 2) £ fimilem & sequalem. E. F. ^ ^ Q ^ LEMMA I lOO PHILOSOPHIAE NATURALIS De Moto CoEPORUM lemma XXVII. Trapezmm fpecie datum defcnbere, cujus anguli ad reBas qua- tuor pofitione datas, qu^e neque omnes parallela funt, neque ad commune punBum convergunt, fmguli ad fmgulas confi- flent. Dentur pofitione reftae quatuor ABC, A^D, B 2), CE ; quarum prima fecet fecundam in A, tertiam in B, & quartam in C: & dg. fcribendum fit trapezium fgh i, quod fit trapezio FG HI fimile-, & cujus angulus A angulo dato F aequalis, tangat redam ABC-, cseterique anguli g, h, i, caeteris angulis datis G, H, I aequales, tan- gant caeteras lineas AFt, BT>, CE refpedive. Jungatur FH h fuper FG, F H, FI defcribantur totidem circulorum fegmenta FSG, FTH, FVI-, quorum primum FSG capiat angulum ae- qualem angulo B AD, fecundum FT H capiat angulum aequalem angulo CBD, ac tertium FVI capiat angulum aequalem angulo ACE, Defcribi autem debent fegmenta ad eas partes linearum FG, F H, FI, ut literarum Fidem fit ordo circularis qui literarum B AD B, utque literae F T H F eodem ordine cum literis C B D C, & literae FVIF eodem cum literis AC EA in Mbem redeant. Compleantur fegmenta in circulos integros, fitque y cen- PRINCIPIA MATHEMATICA. loi T centrum circuli primi F S G, & & centrum fecundi F T H. Jungatur utnnque producatur T & in ea capiatur ^ i? in ea ratione ad !P^quam habet ad Jb. Capiatur autem ad eas partes pundti ^ ut literarum !P, ^ 7? idem fit ordo atque li- terarum B, C : centroque R & intervallo R F defcribatur circu- lus quartus FNc fecans circulum tertium FVIin c. Jungatur fecans circulum primum in a, & fecundum in b. Agantur a G, b c & figurae a b c F G H I fimilis conftitui potell figura ABC fg h /. Quo fad:o erit trapezium fght illud ipfum, quod confii- tuere oportebat. Secent enim circuli duo primi F SG, FTFl mutuo in K, Jungantur R Ky RKy a Ky b Ky c Ky producatur ad L. Anguli ad circumferentias F a Ky F b Ky FcK funt femilfes angu- lorum FR Ky F ^Ky FRK ad centra, ideoque angulorum illorum dimidiis LRKy L^Ky LRK aequales. Efi ergo figura R^RK figurae abc K aequiangula & fimilis, & propterea ^ eft ad bc ut y ^ad §lRy id efi, ut ad Angulis infuper FaGy FbH Fcl aequantur /.S 7^, /Ci per confiruftionem. Ergo figurae abc FG HI figura fimilis A B C f g h i compleri poteft. Quo facfia trapezium / confiituetur fimile trapezio FGHIy & angulis fuis • g, hy i tanget reftas C, AR>y BR>y CE. ^.E.F. Corol. Hinc retfia duci potefi cujus partes, redis quatuor pofitione datis dato ordine interjedae, datam habebunt proportionem ad invi- cem. Augeantur anguli FG Hy G HI ufque eo, ut redae F Gr G Hy H I in diredum jaceant, & in hoc cafu confiruendo proble- ma ducetur reda f gh iy cujus partes fg.ghy hi, redis quatuor po- fitione datis A B AR>y AR) & BR>y BR> & CE interjedae, erunt ad invicem ut lineae FGy G Hy HI, eundemque fervabunt ordinem inter fe. Idem vero fic fit expeditius. Producantur A B zd Ky & BT> ad Ly ut fit B K A E ut*/// ad G//; & 2) L ad i5 2) ut G / ad F G ; & jungatur K L occur- rens redae CE ini. Producatur i L ad My ut fit LA/ad iLut G//ad H Iy & agatur tum Af^ipfi LB parallela, redaeque AR> occurrens in-^, tum^/ fecans A By BRinfyh. Dico fadum. Secet enim Mg redam A B in & A T> redam KL in Sy St agatur A R quae fit ipii B 2) parallela & occurrat i L in Ry & erunt g M 2Ldi L h {g i ad h iy Mi ad L z, G/ ad ///, AK ad BK) Sc A R ad 101 philosophia naturalis De Moto ad BL in eadem ratione. Secetur O Z. in i? ut fit B £, CoRPOEOM ^ jjj eadem illa ratione, & ob proportionales ^ j’ ad AT, & 2>i’ad ; erit, ex aequo, ut^d' ad Lh ita AS ad B l, Bc T) S R L & mixtim, B L — R Z ad Lh — A Z ut AS — «D g ad gS—AS. Id eft Ai? ad ut ad Ag, ideoque ut A® ad ^ ^ Et viciflim AA ad AZ> ut Ai> ad ^ feu fh ad f g. Sed ex confiruftione linea A Z eadem ratione feda fuit in 2) & A atque linea FI in G & ii.' ideoque eft A A ad AZ) ut A H ad FG, Ergo f h eft ad ut Aii ad F G. Cum igitur fit etiam gi ad h i wt Mi ad Z i, id eft, ut G / ad HI, patet lineas F I, fi 'm g & h, G & H fimiliter fedas efle. ^ E. A. In conftruftione corollarii hujus poftquam ducitur L K fecans CE in i, producere licet iE ad V, ut fit EFudi Ei ut Aiiad HI, & agere V /'parallelam ipfi AZ). Eodem recidit fi centro i, inter- vallo IH, defcribatur circulus fecans AZ) in X, & producatur iX ad A, ut fit i r aequalis i A, & agatur Tf ipfi A Z) parallela. Problematis hiijus folutiones alias IF vetitius & fVallifius olim ex- cogitarunt. PROPO- PRINCIPIA MATHEMATICA. 103 Liber. PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA XXI. TrajeBortam fpecie datam defcrthere^ quie a reBh quatuor poftUone datis in partes fecabitur^ ordine, fpecie 6f propor- tione datas, \ Defcribenda fit trajeftoria, quae fimilis fit lineae curvae FG HI, & cujus partes, illius partibus FG, G H, HI fimiles & proportio- nales, redtis AB AT), AT) Sc BT>, BT> 8c CE politione datis, prima primis, fecunda fecundis, tertia tertiis interjaceant. Adis redis FG, G H, HI, FI, defcribatur (per lem. xxvii.) Trape- zium fghi quod fit trapezio FGHI fimile, & cujus anguli/,^, h, i tangant redas illas politione datas AB, AT), BT), CE, fin- guli fingulas dido ordine. Dein circa hoc trapezium defcribatur trajedoria curvae lineae FGHI confimilis. SchoUum. Conftrui etiam potefl: hoc problema ut fequifur. Jundis FG, GH, Hi, FI produc GF ad F, jungeque FH, IG, & angulis FGH, VFH fac angulos CAK, T)AL aequales. Concurrant AK, AL cum reda BT) va. K L, & inde agantur KM, EN, quarum AAf conftituat angulum AK M aequalem angulo G HI, fitque ad AK ut elt /// ad G //■ ; di LN conllituat angulum ALN aequalem angulo FHI, fitque ad AL ut HI ad FH. Ducantur autem A K, 104 PHILOSOPHIA NATURALIS De Moto kM, AL, LN^i cas partcs linearum AT}, AK, AL, ut literte Coreorom ALKA, T)ALNT> eodem ordine cum literis FGHlp in orbem redeant ; & a61a FI ^ occurrat redtae CE in i. Fac an- gulum / ET aequalem angulo IGF, fitque PA ad Ei ut AGad G I ■, & per A agatur T quae cum refla AT E contineat an- gulum aequalem angulo FIG, reflaeque AB occurrat in/, & jungatur//. Agantur autem T E Ik. T partes linearum CE, TE, ut literarum TEiT & T E^T idem fit ordo circularis qui literarum FGHIF, & fi fuper linea /i eodem quoque litera- rum ordine conftituatur trapezium f gh i trapezio FG HI fimile, & circumfcribatur trajefloria fpecie data, folvetur problema. Haflenus de orbibus inveniendis. Superelt ut motus corporum in orbibus inventis determinemus. SECTIO VI. De 'mventione motuum tn orhthus datis. PROPOSITIO XXX. PROBLEMA XXII. Corporis in data trajeBoria parabolica moti 'invenire locum ad tempus ajjlgnatum. Sit S umbilicus & A vertex principalis parabolae, fitque j^AS%M aequale areae parabolicae abfcindcndae ATS, quae radio ST, vel poit exceflum corporis de vertice defcripta fuit, vel ante appulfum ejus ad ' loy PRINCIPIA MATHEMATICA. ad verticem defcribenda eft. Innotefcit quantitas areae illius abfcindendae ex tem- pore ipfi proportionali. Bifeca AS in G, erigeque perpendiculum GH aequale 3 M, & circulus centro //, intervallo H S de- fcriptus fecabit parabolam in loco quaefito 2^. Nam, demiiTa ad axem perpendiculari ¥0 & duda TH, ^i\AGq-\-GHq {—HTq =AO — AG: quad, -f T O^G H : quad) = AOq^TOq — xGAO—^GHy.TOj^AGq^^GHq. Unde xGHxTO{:=:AOq^TOq—xG'AO) —AOqWTOq, Pro "TOq AO q {cribe AOx > & applicatis terminis omnibus ad 3??0 dudifque in z^S, det^GHxJS {::= i JO xTO-\-iJ S xT O — y^tpo^z areae — STO) Li P R I B ER M U S. = aYe^ ATS. Sed G//erat 3 M, & inde | GHx AS eft 4 ^5’xM. Ergo area abfcifla ATS aequalis eft abfcindendae ^ A S'x M. E. T>. Corol. I. Hinc G//eft ad ut tempus quo corpus defcripfit\ arcum AT ad tempus quo corpus defcripfit arcum inter verticem A & perpendiculum ad axem ab umbilico S eredum. CoroL Et circulo A ST per corpus motum T perpetuo tranfe- unte, velocitas punfti//eft ad velocitatem quam corpus habuit in vertice y/ ut 3 ad 8 ; ideoque in ea etiam ratione eft linea G /7 ad lineam redam quam corpus tempore motus fui ab A ad Tj ea cum velocitate quam habuit in vertice A, defcribere poflet. Corol. 3. Hinc etiam vice verfa inveniri poteft tempus quo cor- pus defcripfit arcum quemvis affignatum AT. Junge AT medium ejus pundum erige perpendiculum redae GH occurrens inH. P LEMMA io6 PHILOSOPHIiE NATURALIS D B Motu COKPORUM lemma XXVIII. Nulla extat figura ovalis cujus area^ reBis pro luhitu cihfcijfa^ poffit per aequationes numero terminorum ac dimenftonum finitas generaliter inveniri. Intra ovalem detur punftum quodvis, circa quod ceu polum re- volvatur perpetuo linea refta, uniformi cum motu, & interea in refta illa exeat punflum mobile de polo, pergatque femper ea cum velocitate, quse Iit ut reflae illius intra ovalem quadratum. Hoc motu punftum illud deferibet fpiralem gyris infinitis. Jam li areae ovalis a reda illa abfeifiae portio per finitam aequationem inveniri poteft, invenietur etiam per eandem aequationem diflantia punfti a polo, quae huic areae proportionalis eft, ideoque omnia fpiralis pun- da per aequationem finitam inveniri poflunt : & propterea redae cu- jufvis pofitione datae interfedio cum fpirali inveniri etiam potell per aequationem finitam. Atqui reda omnis infinite produda fpiralem fecat in pundis numero infinitis, & aequatio, qua interfedio aliqua duarum linearum invenitur, exhibet earum interfediones omnes radicibus totidem, ideoque afeendit ad tot dimenfiones quot funt interfediones. Quoniam circuli duo fe mutuo fecant in pundis duobus, interfedio una non invenietur nifi per aequationem duarum dimenfionum, qua interfedio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum fedionum conicarum quatuor efTe poliunt interfediones, non poteft aliqua earum generaliter inveniri nifi per aequationem quatuor dimenfionum, qua omnes fimul inveniantur. Nam fi inter- fediones illae feorfim quaerantur, quoniam eadem eft omnium lex & conditio, idem erit calculus in cafu unoquoque, & propterea ea- dem femper conclufio, quae igitur debet omnes interfediones fimul compledi & indifferenter exhibere. Unde etiam interfediones fedionum conicarum & curvarum tertiae poteftatis, eo quod fex efle poffunt, fimul prodeunt per aequationes fex dimenfionum, & interfediones duarum curvarum tertiae poteftatis, quia novem effe poflunt, fimul prodeunt per aequationes dimenfionum novem. Id nifi neceffario fieret, reducere liceret problemata omnia folida ad plana, & plulquam folida ad folida. Loquor hic de curvis poteftate irre- PRINCIPIA MATHEMATICA. 107 irreducibilibus. Nam fi aequatio, per quam curva definitur, ad in- l.ber feriorem poteftatem reduci pollit: curva non erit unica, fed ex duabus vel pluribus compofita, quarum interfedliones per calculos diverfos feorfim inveniri poflunt. Ad eundem modum interfedio- nes bin£ le^larum (& fedlionum conicarum prodeunt femper per aquationes duarum dimenfionum , ternae reidarum & curvarum irreducibilium tertis poteftatis per aquationes trium, quaterna re- ' ftarum & curvarum irreducibilium quarta potefiatis per aquationes dimenfionum quatuor, & fic in infinitum. Ergo refla & fpiralis in- terfefliones numero infinita, cum curva hac fit fimplex & in curvas plures irreducibilis, requirunt aquationes numero dimenfionum & radicum infinitas, quibus interfefliones omnes poflTunt fimul exhi- beri. Eft enim eadem omnium lex & idem calculus. ' Nam fi a polo in reftam illam fecantem demittatur perpendiculum, & perpendicu- lum illud una cum fecante revolvatur circa polum, interfefliones fpiralis tranfibunt in fe mutuo, quaque prima erat feu proxima, pott unam revolutionem fecunda erit, poft duas tertia, & fic deinceps : nec interea mutabitur aquatio nili pro mutata magnitudine quanti- tatum per quas politio fecantis determinatur. Unde cum quanti- tates illa polt fingulas revolutiones redeunt ad magnitudines pri- mas, aquatio redibit ad formam primam, ideoque una eademque exhibebit interfefliones omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi polTunt. Nequit ergo interfeflio refla & fpiralis per aquationem finitam generaliter inveniri, & id- circo nulla extat ovalis cujus area, reflis imperatis abfcifla, pollit per talem aquationem generaliter exhiberi. Eodem argumento, li intervallum poli & punfli, quo fpiralis de- fcribitur, capiatur Ovalis perimetro abfcifla proportionale, probari potell quod longitudo perimetri nequit per linitam aquationem ge- neraliter exhiberi. De ovalibus autem hic loquor qua non tangun- tur a liguris conjugatis in infinitum pergentibus. Corollarium. Hinc area ellipfeos, qua radio ab umbilico ad corpus mobile du- flo delcribitur, non prodit ex dato tempore, per aquationem fini- tam ; & propterea per defcriptionem curvarum geometrice rationa- lium determinari nequit. Curvas geometrice rationales appello qua- P z rum io8 . PHILOSOPHIA NATURALIS De Motu mni punila omnia per longitudines aequationibus definitas, id eff CoKPOROM longitudinum rationes complicatas, determinari pofTunt ; caete- rafque (ut fpirales, quadratrices, trochoides) geometrice irrationa- les. Nam longitudines quae funt vel non funt ut numerus ad nu- merum (quemadmodum in decimo elementorum) funt arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur ellipfeos tempori propor- tionalem abfcindo per curvam geometrice irrationalem ut fequitur. PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XXIII, tempus ajjignatum. Ellipfeos ATB Iit A vertex principalis, S umbilicus, & O cen- trum, fitque T corporis locus inveniendus. Produc O ad G, ut Iit O G ad ut ad OS. Erige perpendiculum G H, cen- troque O & intervallo O G defcribe circulum G E F, fuper regula G H, ceu fundo, progrediatur rota G E F revolvendo circa axem fuum, & interea punfto fuo A defcribendo trochoidem ALI. Quo fadto, cape G A” in ratione ad rotae perimetrum GAAG, ut cft tempus, quo corpus progrediendo ab A defcripfit arcum AT, ad tempus revolutionis unius in ellipli. Erigatur perpendiculum KL occurrens trochoidi in L, & adla LT ipfi KG parallela occurret ellipli in corporis loco quaelito P. Nam PRINCIPIA MATHEMATICA. 109 Nam centro O, intervallo O A defcribatur femicirculus A§)B, & arcui occurrat LT opus eit produfta in junganturque’ Arcui E FG occurrat 0^ 'm F, & in eandem O @ de- mittatur perpendiculum SR. Area yf jPJ eft ut area A&S, id eft, ut differentia inter fedtorem O^A & triangulum O five ut dif- ferentia reaangulorum40^Xy^^&40^xd’/?, hoc eft, ob da- tam i O^, ut differentia inter arcum A^&c redam SR, ideoque (cum eaedem fint datae rationes Ji? ad finum arcus A 9, OSzd O A OA ad OG, A ^ ad GF, & divifim A^ — SR ad G F fmu arcus A^) ut G A differentia inter arcum GF 8c finum arcus A& ^E.T>. ^ Liber Primus. Scholmm. > Caeterum, cum difficilis fit hujus curvae defcriptio, praeftat folu- tionem vero proximam adhibere. Inveniatur tum angulus quidam B, qui fit ad angulum graduum quem arcus radio aequalis fubtendit, ut eft umbilicorum diftantia J// ad ellipfeos diametrum A B ; tum etiam longitudo quaedam L, quae fit ad radium in eadem ratione inverfe. Quibus femel inventis, problema deinceps confit per fequentem analyfin. Per conftrudionem quamvis, vel utcunque conjeduram faciendo, cognofcatur corporis locus T proximus vero ejus loco /. Demiffaque ad axem ellipfeos ordinatim applicata TR^ ex proportione diametrorum ellipfeos, dabitur circuli circumfcripti A ordinatim applicata R quae finus eft anguli AO ^ ex- iftente AO radio, quaeque ellipfin fecat in F. Sufficit angulum illuni rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognofcatur etiam an- gulus tempori proportionalis, id eft, qui fit ad quatuor reftos, ut eft tempusj Iio PHILOSOPHIiE NATURALIS De Motu tempus, quo corpus defcripfiC arcum Af, ad tempus revolutionis Corporum ellipfi. Sit augulus iftc N. Tum capiatur & angulus D ad angulum B, ut efl: finus ille anguli O ^ ad radium, & angulus E ad angulum N —AO ^ + D,ut eft longitudo L ad longitudinem ean- dem L cofinu anguli ^diminutam, ubi angulus ille redlo minor eft, auflam ubi major. Poftea capiatur tum angulus F ad angulum B, ut eft finus anguli A O E ad radium, tum angulus G ad an- gulum N — AO E F ut eft longitudo L ad longitudinem ean- dem cofinu anguli A O E diminutam ubi angulus ifte refto minor eft, auftam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad angulum B, ut eft finus anguli AO^-\- E-f G ad radium ; & angu- lus I ad angulum N — AO^j—E — G-i-H, ut eft longitudo L ad ean- dem longitudinem cofinu anguli AO ^^E-^G diminutam, ubi an- gulus ifte refto minor eft, audiam ubi major. Et fic pergere licet in infinitum. Denique capiatur angulus aequalis angulo + E-t-G-^- 1 4- &c. Et ex cofinu ejus Or & ordinata / r, quae eft ad finum ejus qr ut ellipfeos axis minor ad axem majorem, habebitur corporis locus corredlus p. Si quando angulus N — AO^^E> nega- tivus eft, debet fignum 4- ipfius E ubique mutari in — , & fignum — in 4-. Idem intelligendum eft de fignis ipforum G & I, ubi anguli N — AO^ — E4-F> &N — AO^—E — G -b H negativi prodeunt. Convergit autem feries infinita ^0^-l-E-i-G4-l4- &c. quam celer- rime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad ter- minum fecundum E. Et fundatur calculus in hoc theoremate, quod area ATS fit ut differentia inter arcum A redlam ab umbilico S in radium O^ perpendiculariter demiffam. Non PRINCIPIA MATHEMATICA. m Non diffimili calculo conficitur problema in hyperbola. Sit ejus centrum O, vertex umbilicus S & afymptotos OK. Cognofca- tur quantitas areae abfcindendae tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat conjedura de politione recf^ ST, quae aream ATS abfcindat verae proximam. Jungatur OT, & ab ad afymptoton agan- tur A 1, T K afymptoto alteri parallelae, & per tabulam loga- rithmorum dabitur area AIKT, eique aequalis area OTA, quae fubdufta de triangulo O TS re- linquet aream abfcifTam ATS. Applicando areae abfcindendae A & abfcilTae ATS differen- tiam duplam 'lATS — 2 A vel 2 A — 2 AT S ad lineam S quae ab umbilico S in tangen- tem TT perpendicularis eft, orietur longitudo chordae T^, In* fcribatur autem chorda illa inter A & T, fi area abfciffa ATS major fit area abfcindenda A, fecus ad punfti T contrarias partes : & puntSum ^erit locus corporis accuratior. Et computatione repe- tita invenietur idem accuratior in perpetuum. Atque his calculis problema generaliter confit analytice. Verum ufibus aftronomicis accommodatior elt calculus particularis qui fe- quitur. Exiffentibus AO, O B, 0 2) femiaxibus ellipfeos, & L ip- fius latere redto, ac D differentia inter femiaxem minorem 02)& lateris redii femiffem 4 L ; quaere tum angulum Y, cujus finus fit ad radium ut eft redtan- gulum fub differentia illa D, & femi- fumma axium AO + OT> ad quadratum axis majoris AB ; tum angulum Z, cu- jus finus fit ad radium ut eft duplum redlangulum fub umbilicorum diftantia S H differentia illa D ad triplum quadratum femiaxis majoris AO. His angulis femel inventis ; locus corporis fic deinceps determinabi- tur. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus BT de- fcriptus eft, feu motui medio (ut loquuntur) aequalem ; & angulum V,. primane Liber Primus, JIl PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu primam medii motus aequationem, ad angulum Y, aequationem maxi- CoiipoKUM primam, ut elt finus dupli anguli T ad radium ; atque angulum X, aequationem fecundam, ad angulum Z, aequationem maximam fecundam, ut eft cubus finus anguli T ad cubum radii. Angulorum T, V, X vel fummae T -i-X-^V, fi angulus T refto minor eft, vel differentiae T-^-X — V, fi is redo major eft redifque duobus minor, aequalem cape angulum B HP, motum medium aequatum ; & fi HP occurrat ellipfi in P^ ada SP abfcindet aream BSP ^ tempori proportionalem quamproxime. Haec praxis fatis expedita videtur, prop* terea quod angulorum perexiguorum V & X, in minutis fecundis, fi placet, pofitorum, figoiras duas trefve primas invenire fufticit. Sed & fatis accurata eft ad theoriam planetarum. Nam in orbe vel Martis ipfius, cujus aequatio centri maxima eft graduum decem, error vix fuperabit minutum unum fecundum. Invento autem angulo motus medii ae- quati BHP, angulus veri motus BSP & diftantia in promptu funt per methodum notiflimam. Hadenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem poteft ut mobile reda defcendat vel reda afcendat, & quae ad iftiufmodi motus fpedant, pergo jam exponere. SECTIO VII. De corporum afcenfu ^ defcenfu reBilmeo, PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA XXIV. P ofito quod vts centrtpeta ftt reciproce proporttonahs quadrato dtjianU^ locorum a centro^ fpatta definire quce corpus reBa cadendo datis temporibus defcribit, CaP I. Si corpus non cadit perpendiculariter, defcribet id (per corol. I. prop. xni.) fedionem aliquam conicam cujus umbilicus congruit cum centro virium. Sit fedio illa conica & um- bilicus PRINCIPIA MATHEMATICA. 113 bilicus ejus S. Et primo fi figura ellipfis eft ; fuper hujus axe majore defcribatur femicirculus AT)B, & per corpus decidens tranfeat refla T)TC perpendicularis ad axem ; a6tifque T S erit area A ST) areae ASB^ atque ideo etiam tempori a proportionalis. Manente axe AB minuatur per- petuo latitudo ellipfeos, & femper manebit area AST) tempori proportionalis. Minuatur latitu- do illa in infinitum : & orbe ATB jam coinci- dente cum axe AB umbilico S cum axis ter- mino 5, defcendet corpus in refla AC, &: area ABT> evadet tempori proportionalis. Dabitur itaque fpatium AC^ quod corpus de loco A per- pendiculariter cadendo tempore dato defcribit, fi modo tempori proportionalis capiatur area A B & a punflo ‘D ad reflam A B demit- tatur perpendicularis T) C. ^ E. L Caf.x. Si figura illa RTB hyperbola eft, defcribatur ad eandem diametrum principalem AB hyperbola reflan- gula BET) : & quoniam areae CST^ CBfT, SBfB funt ad areas CST>, CBET)^ SB)EB, fingulae ad fingulas, in data ratione altitudi- num C'?, CT> ; & area SBfB proportionalis eft tempori quo corpus B movebitur per ar- cum BfB; erit etiam area SB)EB eidem tempori proportionalis. Minuatur latus re- flum hyperbolae R BB in infinitum manente latere tranfverfo, & coibit arcus B B cum re- fla CB & umbilicus S cum vertice B & refla ST> cum refla BT>, Proinde area BT>EB proportionalis erit tempori quo corpus C reflo ftefcenfu defcribit lineam C B. ^E. 1. Caf. 3. Et limili argumento fi figura RBB parabola eft, & eodem vertice principali B defcribatur alia parabola B EB)^ quae femper maneat data, interea dum parabola prior, in cujus perimetro corpus B movetur, diminuto & in nihilum redaflo.ejus latere reflo, con- veniat cum linea C B ; fiet fegmentum para- belicum BB) E B proportionale tempori quo corpus illud B vel C defcendet ad centrum vel B, ^E.I. Q A PROPO Liber. R l M U s. PHILOSOPHIA NATURALIS 114 De Motu Corporum PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA IX. Pojitk jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis C efi ad velocitatem corporis centro B intervallo BC circulum defcribentis, in fubduplicata ratione quam AC, difiantia corporis a circuli vel hyperboU reSlangula vertice ulteriore A, habet ad figura femidiametrum principalem ^AB. Bifecetur AB, communis utriufque, figurae RT B, Tt E B dia- meter, in O ; & agatur refta T T, quae tangat figuram R TB in P, atque etiam fecet communem illam diametrum AB (G. opus eft pro- duSam) in T ; fitque JT' ad hanc reflam, & A ^ ad hanc diame- trum perpendicularis, atque figurae R TB latus re ad TS ut C® ad ST, erit ex aequo rc ad TS ut C® x Cc ad STy. T)d. Sed Cper corol i. prop. xxxii i.) efl TC ad TS ut AC ad AO, puta fi in coitu pundorum ®, d capiantur linearum rationes ultimae. Ergo AC efl ad /fO feu iS* A" ut C®xCc ad STyT) d. Porro corporis defeendentis velocitas in C efl ad velocitatem corporis cir- culum intervallo S C circa centrum S defcribentis in fubduplicata ra- tione AC AO vel SK (per prop. xxxiii.) Et haec velocitas ad velocitatem corporis defcribentis circulum OK kin fubduplicata ra- tione JAT ad SC (per corol. vi. prop. iv.) & ex aequo velocitas pri- ma ad ultimam, hoc efl lineola C c ad arcum K k in fubduplicata ratione PRINCIPIA MATHEMATICA. 117 ratione AC ad S C, id elt in ratione ad C2>. Quare eft CT> xCc l i b e a sequale & propterea ad ^Cx ad ® indeque iJjSTx -ST ^ aequale STxT)d, & \SKxKk aequale ^ T>dj id eft area aequalis areae ST>d. Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particula KS k, & J ® d, qua, fi magnitudo earum minuatur & numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent aqualitatis, & propterea (per corollarium lemma- tis IV.) area tota fimul genita funt femper aquales. ^£.2). Caf. 2.. Quod fi figura DES parabola fit, invenietur efle ut fupra CDy. Cc ad S2'xDd\3X ad TS, hoc eft ut a ad i, ideoque -i CD x Cc aquale efle i STy.Dd. Sed corporis ca- dentis velocitas in C aqualis eft velocitati qua circulus inter- vallo i SC uniformiter defcri- bi poflit (per prop. xxxiv.) Et hac velocitas ad velocitatem qua circulus radio S K defcribi poflit, hoc eft, lineola Ce ad. arcum K k { per coroL vi. ij8 PHILOSOPHIiE NATURALIS De Moto prop. IV.) cft in fubdupHcata ratione JAad 4 jC, id eft, in ratione Corporum ^ ^sKxKk aequale ^C^DxCc, ideoque aequale •iSTx‘D//, hoc eft, area KSk aequalis areae S^ priore cafu circulus, pofteriore hyperbola redangula fuper diametro Jy^defcribi debet. Patet per prop. xxxiii. Tum centro S, inter- vallo aequante dimidium lateris redi , defcribatur circulus Hk K, & ad corporis defcendentis vel afcendentis locum G, & locum alium quemvis C, erigantur perpendicula G ly CT> occurrentia conicae fedioni vel circulo in I ac Dein jundis SI, ST>y fiant fegmem iis SEI Sy S ET) S fedores HS Ky HS k aequales, & per prop. xxxv. corpus G defcribet fpatium GC eodem tempore quo corpus K de- fcribere poteft arcum Kk. ^.E.F. PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XII. Poftto quod vis centripeta proportionalis fit altitudini feu di^ flantia locorum a centro^ dico quod cadentium tempora^ ve- locitates fpatia defcripta funt arcubus^ arcuumque flnt- hus reBis finihus verfis refpeBive proportionalia. Cadat corpus de loco quovis A fecundum A redam AS-y & centro virium J, intervallo ASy defcribatur circuli quadrans litque ^ CT> finus redus arcus cujufvis AT) ; & cor- pus Ay tempore AT>y cadendo defcribit fpa- tium ACy inque loco C acquiret velocitatem CT), s Demonftratur eodem modo ex propofitione x, quo propofitio XXXII, ex propofitione xi demonftrata fuit. Corol. I. Hinc aequalia funt tempora, quibus corpus unum de loco A cadendo pervenit ad centrum j, & corpus aliud revolvendo de- fcribit arcum quadrantalem AT) E, Corol. X. Proinde aequalia funt tempora omnia quibus corpora de locis quibufvis ad ufque centrum cadunt. Nam revolventium ten>- pora omnia periodica (per corol. iii. prop. iv.) aequantur. PROPO^ 1 10 PHILOSOPHIiE NATURALIS De Motu tORPOEUM PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XXVII. Pofita cujuf cunque genens vt centripeta, & concejjis figura^ rum cuvviltnecivum quadvcituvis^ requintur covpons' reBa ufcendentts vel defcendentis tuvn velocttus tn locts Jinguhs^ tutn tevnpus quo coTpus cid loc74n^ quevnvts peweniet : A/ contra. De loco quovis ^ in refta cadat corpiis deque loco ejus E erigatur femper perpendicularis E G, vi centripetae in loco illo ad centrum C tendenti proportio- nalis : Sitque B FG linea curva quam punftum G perpetuo tangit. Coin- cidat autem E G ipfo motus initio cum perpendiculari A B, &: erit cor- poris velocitas in loco quovis E ut refta, quas potett aream curvilineam ABGE, ^E.L InEG capiatur reftae, quas po- teit ^reTLvnABGE^ reciproce propor- tionalis, & fit VLMX\x\^2i curva, quam puhdtum M perpetuo tangit, & cu- jus afymptotos elt red:a AB produc- ta ; & erit tempus, quo corpus ca- dendo defcribit lineam AE, ut area curvilinea A B TVM E. ^ E. I, Etenim in reda A E capiatur linea quam minima 2) E datae longitudi- nis, fitque 2) Z/ F locus lineae £il/G, ^ ubi corpus verfabatur in 2) ; & fi ea fit vis centripeta, ut reda, qu^e potefl: aream ABGE^ fit ut defcendentis velocitas : erit area ipfa in duplicata ratione velocitatis, id eft, fi pro velocitatibus in 2) & fcribantur V & Vq- I, erit area ABFT> ut VV, & area ABGEui XDFGE ^'bTe ut VV+xVI-pII, & divifim area BDFGEwt x Vl+II, ideoque 1 PRINCIPIA MATHEMATICA. xVI + II 121 Ut ^ — > id eft, fi primsB quantitatum nafccntium rationes fu- p mantur, longitudo 2)/^ ut quantitas ideoque etiam ut quantita- 1 X V tis hujus dimidium Efi autem tempus, quo corpus cadendo deferibit lineolam T>E, ut lineola illa direde & velocitas V inverfe, efique vis ut velocitatis incrementum I direde & tempus inverfe, ideoque fi primae nafcentium rationes fumantur, ut hoc efi, ut longitudo E>F. Ergo vis ipfi vel EG proportionalis facit ut corpus ea cum velocitate defeendat, quae fit ut reda quae potelt a- ream ABG E. E. T>. Porro cum tempus, quo quaelibet longitudinis datae lineola T^E deferibatur, fit ut velocitas inverfe, ideoque inverfe ut linea reda quae potefl: aream ABFT>\ fitque T) L, atque ideo area nafcens F) L M Ey ut eadem linea reda inverfe :• erit tempus ut area E)L M Ey & fumma omnium temporum ut fumma omnium arearum, hoc efi (per corol. lem. iv.) tempus totum quo linea AE deferibitur ut area tota AT V M E. ^ E. T). Corol. I. Si T fit locus, de quo corpus cadere debet, ut urgente aliqua uniformi vi centripeta nota (qualis vulgo fupponitur gravitas) velocitatem acquirat in loco T) aequalem velocitati, quam corpus aliud vi quacunque cadens acquifivit eodem loco T>y & in perpen- diculari capiatur ®i?, quae fit ad T>F vx vis illa uniformis ad vim alteram in loco & compleatur redangulum TT)R^ eique aequalis abfeindatur area ABFT> ; erit Aloeus de quo corpus alte- rum cecidit. Namque completo redangulo T)RS Ey cum fit area ABFT> ad aream T>FGE ut VV ad i V I, ideoque ut 4 V ad I, id efi, ut femiilis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corpo- ris vi inaequabili cadentis ; & fimiliter area B ^RT> ad aream T)RSE ut femifiis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis ; fintque incrementa illa (ob aequali- tatem temporum nafcentium) ut vires generatrices, id efi, ut ordi- natim applicatae T>Fy T> Ry ideoque ut areae nafcentes T>FGEy T>RSE-y erunt ex aequo* areae totae A B FT>y B^RT> ad invi- cem ut femiflTes totarum velocitatum, & propterea, ob aequalitatem velocitatum, aequantur. R Corol. - I f F R R I M U S. / I2Z PHILOSOPHIA NATURALIS DbMotu Corol. 1. Unde fi corpus quodlibet de loco quocunque 2) data Cokporum velocitate vel furfum vel deorfum projiciatur, & detur lex vis centripette, invenietur velocitas ejus in alio quovis loco e, erigendo ordinatam eg, & capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco 2) ut eft redla, quae potefl; redan- A gulum "P ^ R i> area curvilinea T>Fge vel audlum, fi locus e efi loco D inferior, vel diminutum, fi is fuperior efi, ad reftam quae po- tefi redtangulum folum T ^RT), Corol, 3. Tempus quoque innote- fcet erigendo ordinatam e m reci- proce proportionalem lateri quadra- to ex vel — F g & capiendo tempus quo corpus de- fcripfit lineam 2) ad tempus quo corpus alterum vi uniformi cecidit a & cadendo pervenit ad 2), ut area curvilinea T) Lm e ad reftan- gulum X 2* 2) X 2)Z/. Namque tem- pus quo corpus vi uniformi defcen- dens defcripfit lineam 2 2) efi ad tempus quo corpus idem defcripfit lineam "RE in fubduplicata ratione 22) ad RE^ id eft (lineola 2)£ jamjam nafcente) in ratione 2 2) ad 22) 4 2) 2^ feu x 2 2) ad X 22) + 2)2^, & divifim, ad tempus quo corpus idem defcripfit lineolam 2)2 ut 2 2 2) ad 2)2, ideoque ut reftangulum 2 22)x 2) 2 ad aream T>LME \ eftque tempus quo corpus utrumque defcripfit lineolam 2) 2 ad tempus quo corpus alterum inaequabili motu defcripfit lineam 2)^, ut area R)LME ad aream R>Lme^ & ex aequo tempus primum ad tempus ultimum ut reftangulum 2 2 2) X 2) 2 ad aream R) L me. SECTI O PRINCIPIA MATHEMATICA. 1^3 Liber P R 1 M Si. • SECTIO VIII. De inventione orbium- m quibus corpora viribus qmbufcunque centripetis agitata revolvuntur, PROPOSITIO XL. THEOREMA. XIIL Si corpus^ cogente vi quacunque centripeta^ moveatur utcunque y corpus aliud reBa afcendat vel defcendaty fintque eorum velocitates in aliquo aqualium altitudinum cafu aqualesy velocitates eorum in omnibus aqualibus altitudinibus erunt aquales. Defcendat corpus aliquod ab A per 2), ad centrum C, & moveatur corpus aliud a F in linea curva VIKk, Centro C inter- vallis quibufvis defcribantur circuli concentrici 2) /, AC in O & curvaeque V IK 'm I K occurren- tes. Jungatur 1 C occurrens ipfi K E 'm & in I K demittatur perpendiculum NT ; fitque circum- ferentiarum circulorum intervallum T>E vel IN quam minimum, & habeant corpora in 2) & / velocitates aequales. Quoniam diftantiae C2), C I aequantur, erunt vires centripetae in 2) & / aequales. Exponantur hae vires per aequales lineolas E^ 1 N \ & fi vis una IN (per legum corol. refolvatur in duas NT &: IT, vis NT, agendo fecundum lineam NT corporis curfui 7 Z" A’ perpendicularem, nil mutabit velocitatem corporis in curfu illo, fed retrahet folummodo cor- pus a curfu redilineo, facietque ipfum de orbis tan- gente perpetuo defledere, inque via curvilinea ITKk progredi. In hoc effedu producendo vis illa tota confumetur : vis autem altera IT, fecundum corporis curfum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam mini- mo accelerationem generabit fibi ipfi proportionalem. Proinde corporum in 2) & / accelerationes aequalibus temporibus fadse (fi R 1 fumantur EK red® 124 ■ PHILOSOPHIiE NATURALIS De Moto fuiyjatitur lincarum nafcentium T) E, IN, 1 K, IT, CoKPOROM pritnaB) funt ut lineae T)E, IT; tem- poribus autem inaequalibus ut lineae illae & tempora conjun & E. Age tum reftam CNI X fecantem circulos KEy VR in N & X, tum reftam CKT occurrentem circulo VR in T. Sint autem punfta I &: K fibi invicem vicinilTima, & pergat corpus ab Fper I 8c K ad k ; fitque punftum A locus ille de quo corpus aliud cadere de- bet, ut in loco 2) velocitatem acquirat sequalem velocitati corporis - prioris in I, Et flantibus quae in propolitione xxxix, lineola /iT, dato tempore quam minimo defcripta, erit ut velocitas, atque ideo ut reda quae potefl aream A B Fi)y & triangulum ICK tempori proportionale dabitur, ideoque KN erit reciproce ut altitudo /C, id ri6 PHILOSOPHIA NATURALIS De MoTuid eft, fi detur quantitas aliqua Q, & altitudo IC nominetur A, ut Corporum ^ ' Q rw o X Hanc quantitatem ^ nominemus Z, & ponamus eam effe mag. nitudinem ipfius Q ut fit in aliquo cafu v' ABFT^ ad Z ut ell ad KN, & erit in omni cafu AB FT> ad Tj\A I K &A K N, & ABFT) ad ZZ ut IKq ad KNq, & divifim ABFT> — ZZ ad TIL Mt I N quad. zdi K N qmd. ideoque VABFD — ZZ ad Z feu ? ut IN ad A i\r, & propterea AxKN aequale - - ^ ^ ^ VAB FT>—LL- Unde cum TXxXC Iit ad Ax ATiVut CXq ad AA, erit reftangu- „ QxIN xCX quad. ^ . Ium ZrxZC aequale Xa '^aBFT>-^ • diculo T) F capiantur femper T>b, ID c ipfis — - ^ , ^^ABFD—ZZ Q X C X quad. X ^ jI B z. z refpeftivc, & dcfcribtintur curvs^ lineoB ab-f ac^ quas punfta c perpetuo tangunt ; deque punflo V ad lineam AC erigatur perpendiculum V a abfcindens areas curvili- VT>ca, & erigantur etiam ordinatae Ez, Ex : quo- niam redangulum T>bxl N k\xT> bzE aequale eft dimidio redan- guli PRINCIPIA MATHEMATICA. ny guli Ay.KN feu triangulo ICK-, & redtangulum DcxIN feu Liber ‘DcxE aequale elt dimidio reftanguli TXxXC feu triangulo XCT-, hoc ell, quoniam arearum VTDba, VIC aequales femper funt nafcentes particulae ‘Db zE^ ICK, arearum VT>ca^ VCX aequales femper funt nafcentes particulae T>cx Ei XCTi erit area genita aequalis areae genitae F/C, ideoque tempori propor- tionalis, & area genita VT>ca aequalis fedori genito VCX, Dato igitur tempore quovis ex quo corpus difcelTit de loco dabitur area ipfi proportionalis VT>bai & inde dabitur corporis altitudo CE> vel-C/; & area VT>cai eique aequalis feflor FCX una cum ejus angulo VCI. Datis autem angulo VCl altitudine C/ datur locus /, in quo corpus completo illo tempore reperietur. E. I. CoroL I. Hinc maximae minimaeque corporum altitudines, id eft, apfides trajeftoriarum expedite inveniri pofTunt. Sunt enim apfides punfta illa in quibus redta I C per centrum dufta incidit perpendi- culariter in trajeftoriam VIK : id quod fit ubi reftae IK &c NK aequantur, ideoque ubi area ABFT> aequalis eft ZZ. CoroL X. Sed & angulus K I in quo trajeftoria alicubi fecat li- neam illam I C, ex data corporis altitudine I C expedite invenitur ; nimirum capiendo finum ejus ad radium ut /C iNT ad I Ky id eft, ut Z ad latus quadratum areae A B FT>. CoroL 3. Si centro C& VQrtice principali defcribatur feftio quaelibet conica V RS^ & a quovis ejus punfto R agatur tangen^ RT occurrens axi infinitae produfto CV in punfto T ; dein jundla CR ducatur refta C?^, quae aequalis fit abfciflae CT", angulumque VCT fe- dori VCR proportionalem confli- ^ tuat; tendat autem ad centrum C ^ vis centripeta cubo diftantiae loco- rum a centro reciproce proportio- nalis, & exeat corpus de loco V q jufta cum velocitate fecundum line- am redae CV perpendicularem : pro- gredietur corpus illud in trajedoria VT ^ quam pundum R per- petuo tangit ; ideoque fi conica fedio VR S hyperbola fit, defcen- det idem ad centrum : Sin ea ellipfis fit, afcendet illud perpetuo & abibit De Motu COKPORUM 128 PHILOSOPHIA NATURALIS abibit in infinitum. Et contra, fi corpus quacunque cum velocitate exeat de loco K, & perinde ut incoeperit vel oblique defcendere ad centrum, vel ab eo oblique af- cendere, figura V R S vel hyper- bola fit vel ellipfis, inveniri potell trajeftoria augendo vel minuendo angulum VCT in data aliqua ra- tione. Sed &, vi centripeta in cen- trifugam verfe, afcendet corpus o- blique in trajeftoria quae in- venitur capiendo angulum VCT fe- ftori elliptico V RC proportiona- lem, & longitudinem CR longitu- dini CT aequalem ut fupra. Confequuntur haec omnia ex propo- fitione praecedente, per curvae cujufdam quadraturam, cujus inven- tionem, ut fatis facilem, brevitatis gratia miflam facio. PROPOSITIO XLIL PROBLEMA XXIX. Data lege vis centripeta^ requiritur motus corporis de loco dato^ data cum velocitate^ fecundum datam reBam egreffi. Stantibus quae in tribus propofitionibus praecedentibus : exeat corpus de loco /fecundum lineolam //T, ea cum velocitate quam corpus PRINCIPIA MATHEMATICA. J19 corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco cadendo ac- quirere polTet in 2).- fitque h$c vis uniformis , ad vim, qua corpus primum urgetur in 7, ut 2)^ ad Z) F. Pergat autem corpus ver- ■ fus k ; centroque C& intervallo defcribatur circulus ke occur- rens redae 2*2) in c, & erigantur curvarum BFg, abv, acw ordi- natim applicatae eg, ev,€w. Ex dato redangulo 22)7? dataque lege vis centripetae qua corpus primum agitatur, datur curva linea BFg, per confiruciionem problematis xxvii, & ejus corol. i. Deinde ex dato angulo QIK datur proportio nafcentium IK, KN, &inde, per conftrudionem prob. xxvm. datur quantitas Q, una cum curvis lineis abv, acw: ideoque, completo tempore quovis Dbve, datur tum corporis altitudo Ce vel Ck, tum area Dcwe, eique aequalis fedor XCy, angulufque ICk, & locus k in quo cor- pus tunc verfabitur. ^ E. I. Supponimus autem in his propofitionibus vim centripetam in re- celTu quidem a centro variari fecundum legem quamcunque, quam quis imaginari poteft, in aequalibus autem a centro difiantiis efle undique eandem. Atque haftenus motum corporum in orbibus immobilibus confideravimus. Supereft ut de motu eorum in orbi- bus, qui circa centrum virium revolvuntur, adjiciamus pauca. SECTIO IX. De motu corporum tn orhthm mobdtbusy deque motu apfidum. PROPOSITIO XLIIL PROBLEMA XXX. Rffictendum ejl ut corpus In trajeBorm quacunque circa cen-^ trum vtrtum revolvente perinde moveri pojfity atque corpus aliud in eadem trajeBoria quiefcente. In orbe VTK politione dato revolvatur corpus T pergendo a V verfus K. A centro C agatur femper C/, quae fit ipfi CT aequa- lis, angulumque VCp angulo VCT proportionalem conftituat ; & area, quam linea .C/-defcribit, erit ad aream VCT^ quam linea C‘P fimul defcrihit,^ :Ut velocitas lineae defcribentis C/> ad velocitatem lineae defcribenijis QT \ hoc eft, ut angulus VCp angulum FCP, S ideoque 130 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Moto ideoquc iti data ratione, & propterea tempori proportionalis. Cum CoRPOKUM tempori proportionalis fit quam linea C/ in plano immobili ’ defcribit, manifellum eft quod corpus, cogente jullae quantitatis vi centripeta, revolvi pollit una cum pun- fto / in curva illa linea iquam punftum idem / ratione jam expofita defcribit in plano immobili. Fiat angulus VCu , angulo y C/, & linea C u lineae CV, / atque figura uCp figurae VCT aequa- 1 lis, & corpus in /> femper exiftens \ movebitur in perimetro figurae revol- ventis » C/, eodemque tempore de- fcribet arcum ejus » / quo corpus aliud y arcum ipfi fimilem & aequalem FT in figura quiefcente VT K defcribere poteft. Quaeratur igitur, per corollarium quintum prbpofitionis vr, vis centripeta qua cor- pus revolvi poflit in curva illa linea quam punctum / defcribit in plano immobili, & folvetur problema. ^ E. F. PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XIV. Differentia virium^ quibus corpus in orbe quiefcente^ ^ cor- pus aliud in eodem orbe revolvente aqualiter moveri poffunty eji in triplicata ratione communis altitudinis inverfe. Partibus orbis quiefcentis VT, TK funto fimiles & aequales orbis revolventis partes up, f k-, & punftorum y, K dillantia intelligatur efle quam minima. A punfto k in reftam f C demitte perpendicu- lum kvy idemque produc ad m, ut fit mr zi. kr ut angulus VCp ad angulum VCT. Quoniam corporum altitudines yC& pC, KC, kC femper aequantur, manifeftum eft quod linearum FC ScpC incrementa vel decrementa femper fint aequalia, ideoque fi corpo- rum in locis T &c p exiftentium diftinguantur motus finguli (per legum corol. i.) ip binos, quorum hi verfus centrum, five fecun- dum lineas y C,/ C determinentur, & alteri prioribus tranfverfi fint, & fecundum lineas ipfis y C, p C perpendiculares direftionem ha- beant ; motus verfus centrum erunt aequales, & motus tranfverfus corporis PRINCIPIA MATHEMATICA. 131 corporis p erit ad motum tranfverfum corporis P, ut motus angu- libe* laris lineae / C ad motum angularem lineae C, id ett, ut angulus V^Cp ^ ‘ ad angulum VCT. Igitur eodem tempore quo corpus T motu fuo utroque pervenit ad pundum K, corpus p aquali in centrum motu aequaliter movebitur a p verfus C, ideoque completo illo tempore reperietur alicubi in linea mkr, qua per punftum k in lineam p C perpendicularis elt ; & motu tranfverfo acquiret diftantiam a linea p C, quae fit ad diftantiam quam corpus alterum T acquirit a linea 5PC, ut eft motus tranfverfus corporis p ad motum tranfverfum cor- poris alterius 5P. Quare cum kr aqualis fit diftantia quam corpus ?• acquirit a linea ? C, fitque mr &dikr angulus VCp ad angulum VC^, hoc eft, ut motus tranfverfus corporis / ad motum tranfver» fum corporis ?*, manifeftum eft quod corpus p completo illo tem- pore reperietur in loco m. Haec ita fe habebunt ubi corpora/ & 5* aqualiter fecundum lineas pC Sc TC moventur, ideoque aqua- libus viribus fecundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angu- lus pCn ad angulum p C knt eft angulus VCp angulum VC‘Pi fitque n C aqualis kC, Ac corpus / completo illo tempore revera re- S ^ perietur 131 PHILOSOPHIAE NATURALIS dbMotu perietur in «; ideoque vi majore urgetur quam corpus tP, fi modo Corporum angulo kCf major eft, id eft fi orbis upk vel move- tur in confequentia, vel movetur in antecedentia majore celeritate quam fit dupla ejus qua linea CT in confequentia fertur ; & vi mi. nore fi orbis''tardius movetur in antecedentia. Ellque virium dif. ferentia ut locorum intervallum m «, per quod corpus illud / ipfius aftione, dato illo temporis fpatio, transferri debet. Centro C inter- vallo C» vel defcribi intelligatur circulus fecans lineas «tr, produflas in t, 8c erit reftangulum mny.mt aequale rediangulb» mkyitnsy ideoque mn aequale mky.tns m t Cum autem triangula fCk, fCn dato tempore dentur magnitudine,- funt kr &cmr, earumque, differentia mk8c fumma ms reciproce ut altitudo / C, ideoque ree- tangulum mky.ms eft reciproce ut quadratum altitudinis / C. Eft & mt direde ut 4 mt-, id eft, ut altitudo / C Hae funt primae rationes linearum nafcentium ; & hinc fit , id eft lineola nafcens miu. m t eique pro^portionalis vkium differentia reciproce ut cubus altitudi- nis / C. ^ E. ©. Carol PRINCIPIA MATHEMATICA. 133 Corel, I. Hinc differentia virium in locis ^ vcl K Sc k, ell ad vim qua corpus motu circulari revolvi poffit ab R ad K eodem tempore quo corpus R in orbe immobili deferibit arcum 'P/C, ut lineola nafcens ad finum verfum arcus nafcentis RK^ id ed uc Tfi k X s r k — — ■" — ad vel ut X ad quadratum;, hoc eft, fi ca- %kC Liber P R rMr u s» piantur datae quantitates F, G in ea ratione ad invicem quam habet angulus V GT angulum VCp, ut GG— FF ad FF. Et prop*- terea, fi centro C intervallo quovis Cf vel C/ deferibatur feftor cir- cularis aequalis areae toti VTC, quam corpus T tempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad centrum dufto defcripfit;. diflferentia virium, quibus corpus T in orbe immobili & corpus / in orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centri petam, qua corpus ali- quod, radio ad centrum dufto, fedtorem illum eodem tempore, quo deferipta fit area VT C, uniformiter deferibere potuiflet, ut G G — FF ad FF. Namque fedtor ille & area fCk funt ad invicem ut; tempora quibus deferibuntur. Corol.%. Si orbis VTK ellipfis fit umbilicum habens C & apfidem^ fummam eique fimilis & aequalis ponatur ellipfis up k, ita ut fit femper / C aequalis yC, & angulus VCp fit ad angulum VC‘P im data ratione G ad F ; pro altitudine autem IPCvel /Cfcribatur A,. & pro ellipfeos latere refto ponatur x R : erit vis, qua corpus in el- lipfi mobili revolvi poteft, ut FF RGG— RFF„ natur enim vis qua corpus revolvatur in immota ellipri per quanti- F F . FF tatem-^^, & vis in V erit Vis autem qya corpus in = circulo ad diftantiam' ea cum velocitate revolvi poffet quam cor- pus in ellipfi revolvens habet in Vj eit ad vim qua corpus in el- lipfi revolvens urgetur in apfide ut dimidium lateris redi ellip. RFF feos ad circuli femidiametrum ideoque valet visij rGG RFF quae fit ad hanc ut GG^FF ad FF,. valet ^ vis (per hujus coroL i.) differentia virium in F' quibus corpus R in^ ellipfi immota VR K^. 8c corpus / in ellipfi mobili revolvuntur ^ Unde cum (per hanc prop,) differentia illa in alia qtiavis altitudine Ai / 134 PHILOSOPHIAE NATURALIS DeMotu Corporum fit ad feipfam in altitudine ut ad cub' eadem dif- R G G R F F ferentia in omni altitudine A valebit ‘ '^im F F ^ qua corpus revolvi poteft in ellipfi immobili VT K, addatur ^ RGG— RFF „ ^ . FF , RGG— RFF exceflus — ; & componetur vis tota qua corpus in ellipfi mobili ufk iifdem temporibus revolvi poffit. Corel. 3. Ad eundem modum colligetur quod, fi orbis immobilis K ellipfis fit centrum habens in virium centro C ; eique fimilis, aequalis & concentrica ponatur ellipfis mobilis u f k\ fitque x R ellipfeos hujus latus reftum principale, & x T latus tranfverfum five axis major, atque angulus VC f femper fit ad angulum VCV ut G ad F ; vires, quibus corpora in ellipfi immobili & mobili temporibus aequalibus revolvi polTunt, erunt ut ^ & /ycub RGG— RFF . „ —tTcur^ refpeaive-. PRINCIPIA MATHEMATICA. ijy Corol. 4. Et univerfaliter, fi corporis altitudo maxima CV nomi- netur T, & radius curvaturae quam orbis W K habet in F, id ett radius circuli aequaliter curvi, nominetur R, & vis centripeta, qua corpus in trajedroria quacunque immobili VTK revolvi poteft in VFF loco dicatur atque aliis in locis !P indefinite dicatur X, al- titudine CT nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli VCf ,2.di angulum V CT ; erit vis centripeta, qua corpus idem eof- dem motus in eadem trajedoria u;^k circulariter mota temporibus nfdem peragere poteft, ut fumma vinum X -1 — 7 . Corol, 5*. Dato igitur motu corporis in orbe quocunque immobili, augeri vel minui poteft ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur. Corol. 6. Igitur fi ad redlam C^pofiti- one datam erigatur perpendiculum longitudinis indeterminatae , jungaturque CTj & ipfi aequalis agatur C/, conftituens angulum ^C/, qui fit ad angulum VCT in data ratione ; vis qua corpus gyrari po- teft in curva illa Vp k quam pundum p perpetuo tangit, erit reciproce ut cubus kj altitudinis C p. Nam corpus per vim inertiae, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi poteft in refta VT, Addatur vis in centrum C, cubo altitudinis CT vel Cp re- ciproce proportionalis, & (per jam demonftrata) detorquebitur mo- tus ille redilineus in lineam curvam Vp k, Eft autem haec curva Vpk eadem cum curva illa ^?*^in corol. 3. prop. xli. inventa» in qua ibi diximus corpora hujufmodi viribus attrada oblique af- cendere. propo- li BE R R I M U S. P fi Motu Corporum 13^ PHlLOSOPHIyE NATURALIS I PROPOSITIO XLV. PROBLEMA XXXI. Orbium qui funt ^cirmlis maxime finitimi requiruntur motui apfidum. Problema folvitur arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in ellipfi mobili (ut in propofitionis fuperioris corol. x. vel 3.) revol- volvens defcrrbk in plano immobili, accedat ad formam orbis cu- jus apfides requiruntur, & quaerendo apfides orbis quem corpus illud in plano immobili defcribit. Orbes autem eandem acquirent formam, fi vires centripetae quibus defcribuntur, inter fe collatae, in aequalibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punftum V apfis fumma, & fcribantur T pro altitudine maxima CV, A pro al- titudine quavis alia C vel C/, & X pro altitudinum differentia CV—CT ; & vis, qua corpus in ellipfi circa umbilicum fuum C (ut FF in corol. x.) revolvente mavetur, quaeque in corol. x. erat ut j^-r] RGG— RFF A cuh. ’ id eft ut FFA+RGG— RFF A fubffituendo T — X ^ . RGG— RFF+TFF— FFX ^ ^ r r a pro A, erit ut A^b * fimiliter eft Vis alia quaevis centripeta ad fraffionem cujus denominator fit A cuk & numeratores, fafta homologorum terminorum collatione, flatu- endi funt analogi. Res exemplis patebit. Exempl. I. Ponamus vim centripetam uniformem effe, ideo- qw ut r , five (Ccribendo T — X pro A in numeratore) ut bTTX^-bTXX— ^ t & collatis numeratorum terminis A cub, correfpondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fiet RGG— RFF + TFF ad T cub. ut — FFX ad — 3TTX + 3TXX . — Xr^^. fiveut — FFad — 3TT+'3TX — XX. Jam cum orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum circulo ; & ob fadias R, T aequales, atque X rn infinitum diminutam, ratio- nes ultima erunt RGG ad T cub. ut — FF ad — ■ 3 TT, feu GG ad TTut FF ad 3 TT, & vicifTim GG ad FF ut TT ad 3 TT, id eft, ut PRINCIPIA MATHEMATICA. 137 ot i ad 3; ideoque G ad F, hoc efl angulus V Cp ad angulum VCT, ut r ad 3- Ergo cum corpus in ellipfi immobili, ab apfide fum- ma ad apfidem imam defcendendo conficiat angulum VC‘P (ut ita dicam) graduum 180; corpus aliud in ellipfi mobili, atque ideo in orbe immobili de quo agimus, ab apfide fumma ad apfidem imam defcendendo conficiet angulum F Cp graduum -7— : id ideo ob fi- V 3 militudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centri- peta defcribit, & orbis illius quem corpus in ellipfi revolvente gy- ros peragens defcribit in plano quiefcente. Per fuperiorem termi- norum collationem fimiles redduntur hi orbes, non univerfaliter fed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in orbe propemodum circulari revolvens, inter apfidem fummam & apfidem imam con- ficiet femper angulum graduum, feu 103 yy m. 23 fec. ad centrum ; perveniens ab apfide fumma ad apfidem imam ubi femel confecit hunc angulum, & inde ad apfidem fummam rediens ubi iterum confecit eundem angulum ; & fic deinceps in infinitum. Eixempl. X. Ponamus vim centripetam efle ut altitudinis A digni- A” tas quaelibet A feu ubi n — 3 & n fignificant dignitatum indi- ces quofcunque integros vel fraftos, rationales vel irrationales, af- firmativos vel negativos. Numerator ille A” feu T — Xf in feriem indeterminatam per methodum noltram ferierum convergentium L I Pri BF. R M U S. redufta, evadit T" — n XT““’-1- nn — n XXT”-"&c. Et collatis hu- jus terminis cum terminis numeratoris alterius RGG — RFF-pTFF fl fl — FFX, fit RGG— RFF4-TFF ad T” ut — FF ad— + — ^ XT'"”* &c. Et fumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam cir- cularem accedunt, fit RGG ad T'* ut — FF ad — feu GG ad ut FF ad n & viciffim GG ad FF ut ad » id efl ut I ad ^ ; ideoque G ad F, id efl: angulus VCf ad angulum VCTy ut I ad v' Quare cum angulus VCT^ in defcenfu cor- poris ab apfide fumma ad apfidem imam in ellipfi confedus, fit graduum i8o; conficietur angulus in defcenfu corporis ab T apfide De Motu Corporum 138 PHILOSOPHIi£ NATURALIS apfide fumma ad apfidem imam, in orbe propemodum circulari quem corpus quodvis vi centripeta dignitati A”~’ proportionali de- fcribit, tequalis angulo graduum ; & hoc angulo repetito, cor- pus redibit ab apfide ima ad apfidem fummam, & fic deinceps in infinitum. Ut fi vis centripeta fit ut difiantia corporis a centro, id eft, ut A feu erit n aequalis 4 & « aequalis i.;, ideoque angu- iSo Ius inter aplidem fummam & apfidem imam aequalis — - gr. feu 90 gr. Completa igitur quarta parte revolutionis unius corpus per- veniet ad apfidem imam, & completa alia quarta parte ad apfidem fummam, & fic deinceps -per vices in infinitum. Id quod etiam ex propofitione x. manifeftum eft. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in ellipfl immobili, cujus centrum eft in cem tro virium. Quod fi vis centripeta fit reciproce ut diftantia, id eft I diredle ut 7 feu erit » aequalis ideoque inter apfidem funv I 80 mam&imam angulus erit graduum feu 12.7 gr. i<5 m. 45 fec, Sc propterea corpus tali vi, revolvens, , perpetua anguli' hujus repetiti- one, vicibus alternis ab apfide fumma ad imam & ab ima ad fum- mam perveniet in aeternum. Porro fi vis centripeta fit reciproe® ut latus quadrato-quadratum undecimae dignitatis altitudinis, id eft reciproce ut ideoque diredle ut — ^ ~ ^ •j, & aequalis 360 gr. & propterea corpus de apfide fumma difcedens & fubinde perpetuo defcendens, perveniet ad apfidem imam ubi complevit revolutionem integram, dein perpetuo afcenfu complendo aliam revolutionem integram, redibit ad aplidem fum- mam : & fic per vices ih aeternum. Exempl, 3. AfTumentes m & n pro quibufvis indicibus dignitatum altitudinis, c pro numeris quibufvis datis, ponamus vim cen- . , ^ ^ ^inT — Xr + ^inT — Xr tnpetam efle ut — — 1 ■»■■■ * A cub. ’ A cub. fue ; PRINCIPIA MATHEMATICA. 139 feu (per eandem methodum noftram ferierum convergentium) ut + rT"- 1>XT-' -nc XT" + l> XXT^^ + cXXT- &c. Liber Primus. A cu^. & collatis numeratorum terminis, fiet RGG — RFF + TFF ad -i- rT", ut— FF ad— |W — I A — ^ ^ X T &c. Et fumendo rationes ultimas quae prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit GG ad ut FF ad^^ &viciffim GG ad FF ut ad ^ -t n c T''~\ Quae proportio, exponendo altitudinem maximam CV feu T arithmetice per unitatem, fit GG ad FF ut ^+^*ad mb-^ncy ideoque ut i ad —j—-- Unde eft G ad F, id elt angulus VCf ^idi angulum VCT^ ut i ad Et propterea cum angulus VCT inter apfidem fummam & apfidem imam in el- lipfi immobili fit i8o gr. erit angulus VC^ inter eafdem apfides, in ^ A ”* -4- r A” orbe quem corpus vi centripeta quantitati • — — proportionali h c ^ defcribit, aequalis angulo graduum i8o V — . Et eodem argu- b ^ ** mento fi vis centripeta fit ut — — > angulus inter apfides invenietur b c * graduum 180 v'— Nec fecus refolvetur problema in cafibus n—~z ncT'‘~' ■ mm-m hXT m — i difficilioribus. Quantitas, cui vis centripeta proportionalis eft, re- folvi femper debet in feries convergentes denominatorem habentes A cub, Dein pars data numeratoris qui ex illa operatione provenit ad ipfius partem alteram non datam, & pars data numeratoris hujus RGG — RFFq-TFF — FFX ad ipfius partem alteram non datam in eadem ratione ponendae funt : Et quantitates fuperfluas delendo, fcribendoque unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F. Corol, I. Hinc fi vis centripeta fit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri potett dignitas illa ex motu apfidum ; & contra. Nimirum fi motus totus angularis, quo corpus redit ad apfidem eandem, fit T i ad r De Motu Cokpokum 140 PHILOSOPHIA NATURALIS ad motum angularem revolutionis unius, feu graduum 360, ut nu- merus aliquis m ad numerum alium w, & altitudo nominetur A t « » — J n n m m — 3. erit vis ut altitudinis dignitas illa A “ ” , cujus index eft Id quod per exempla fecunda manifeftum eft. Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione, in receifu a cen- tro, decrefcere non pofle : Corpus tali vi revolvens deque apfide difcedens, fi coeperit defcendere nunquam perveniet ad apfidem imam feu altitudinem minimam, fed defcendet ufque ad centrum, defcribens curvam illam lineam de qua egimus in corol. 3. prop. xli. Sin coeperit illud, de apfide difcedens, vel minimum afcendere ; afcendet in infinitum, neque unquam perveniet ad- apfidem fum- mam. Defcribet enim curvam illam lineam de qua aftum eft in eodem corol. & in corol. vi. prop. xliv. Sic & ubi vis, in recelTu a centro, decrefcit in majore quam triplicata ratione altitudinis, corpus de apfide difcedens, perinde ut coeperit defcendere vel afi- cendere, vel defcendet ad centrum ufque vel afcendet in infinitum. At fi vis, in receflu a centro, vel decrefcat in minore quam tripli- cata ratione altitudinis, vel crefcat in altitudinis ratione quacunque ; corpus nunquam defcendet ad centrum ufque, fed ad apfidem imam aliquando perveniet : & contra, fi corpus de apfide ad apfidem al- ternis vicibus defcendens & afcendens nunquam appellat ad cen- trum ; vis in receflu a centro aut augebitur, aut in minore quam triplicata altitudinis ratione decrefcet : & quo citius corpus de ap- fide ad apfidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut fi corpus revolutionibus 8 vel 4 vel x vel 1 4 de apfide fumma ad apfidem fummam alterno defcenfu & afcenfu redi- erit ; hoc eft, fi fuerit ad » ut 8 vel 4 vel x vel i 4 ad i, ideoque - 3 valeat ^ — 3 vel -V — 3 vel 4 — 3 vel 4 — 3 : eiut vis ut m m A — 3 vel A' T -. Scholium. His affines funt afcenfus ac defcenfus corporum in fuperficiebus curvis. Concipe lineas curvas in plano defcribi, dein circum axes quofvis datos per centrum virium tranfeuntes revolvi, & ea revolu- tione fuperficies curvas defcribere ; tum corpora ita moveri ut eo- rum centra in his fuperficiebus perpetuo reperiantur. Si corpora illa oblique afcendendo & defcendend ocurrant ultro citroque ; per- agentur eorum motus in planis per axem tranfeuntibus, atque ideo in lineis curvis, quarum revolutione curvae illae fuperficies genitae funt. Iflis igitur in cafibus fufficit motum in his lineis curvis con- fiderare. PROPO- PRINCIPIA MATHEMATICA. i PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XVI. Liber P R I M U Si Vi rota gloho extrmfecm ad angulos reBos mftfiat, more ro- tarum revolvendo progrediatur 'm circulo maximo j longi- tudo 'itineris curviTinei^ quod punBum quodvis in rota peri- metro datum, ex quo glohum tetigit, confecit, ( quodque cy- cloidem vel epicycloidem nominare licet) erit ad duplicatum finum verfum arcus dimidii qui ^ohum ex eo tempore 'inter eundum tetigit, ut fumma diametrorum globi rota ad femidiametrum globi. PROPOSITIO XLIX. THEOREMA XVII. Vi rota globo concavo ad reBos angulos 'mtrmfecus 'mftflat revolvendo progrediatur in circulo maximo j longitudo itine- ris curvilinei quod punBum quodvis in rot^e perimetro datum^ ex quo glohum tetigit^ confecit^ erit ad duplicatum finum verfum arcus dimidii qui globum toto hoc tempore inter euu'- dem tetigit^ ut differentia diametrorum globi & rotie ad fe^ midiametrum globi. Sit AB L globus, C centrum ejus, BTV rota ei infiftens, E cen. trum rotae, B punftum contaftus, & B pundum datum in peri- metro rotae. Concipe hanc rotam pergere in circulo maximo ab A per B verfus Z/, & inter eundum ita revolvi ut arcus AB^ BB fibi invicem femper aequentur, atque punftum illud B in perime- tro rotae datum interea defcribere viam curvilineam AB, Sit au- tem AB via tota curvilinea defcripta ex quo rota globum tetigit in A, & erit viae hujus longitudo AB 2idi duplum finum verfum ar- cus \ BB, ut 2 CE ad CB, Nam reda CE (fi opus eft produfta) occurrat rotae in junganturque CB^ BB^ EB^ VB^ CB produdam demittatur normalis VF. Tangant B VH circulutii in ^ concurrentes iri Z/, fecetque B H ipfam V Z’ in G, & U ad PHILOSOPHICI NATURALIS Db MoTogjj FP demittantur normales G I, H K. Centro item C & inter- CeKPOROM qQovis defcribatur circulus n o m fecans reftam C7* in », rotae perimetrum BT in o, & viam curvilineam AT in m ; cen- troque intervallo Fd defcribatur circulus fecans VT produdam Quoniam rota eundo femper revolvitur circa punftum contaftus B, manifeftum eft quod redla BT perpendicularis efl ad lineam il- lam curvam AT quam rotae punftum T defcribit, atque ideo quod re redos) angulo ' CET aequalis ett, fimilia erunt triangula VHG, CET & fnde fiet ut ad CE ita //G ad FIV feu HT & ita KI ad KF, & compofite vel divifim ut C P ad CE ita F I zAT K, & duplicatis confequentibus ut CPad x CE ita FI ad FF, atque ita Fq ad Fm. Eft igitur decrementum lines FF,^A eft, incrementum lines BF — FF ad incrementum lines curvs AF in data ratione CB ad ■lCE, & propterea (per corol. lem. iv.) longitudines BF—FF & AF, incrementis illis genits, funt in eadem ratione. Sed, exiften- te BF radio, eilFF co-linus anguli BFF feu iBEF, ideoque BF—FF finus verfus eft ejufdem anguli ; & propterea in hac rota, cujus radius eft 4 BF, erit BF—FF duplus finus verfus arcus 4 BF. Ergo AF eft ad duplum finum verfum arcus 4 PP ut ^ CE ad CB. ^E.T>. Lineam autem AF in propofitione priore cycloidem extra glo- bum, alteram in pofteriore cycloideqi intra globum diftindionis gratia nominabimus. Corol. I. Hinc fi defcribatur cyclois integra ASL bifecetur ea in S, erit longitudo partis FS zA. longitudinem FF (qus duplus eft finus anguli FBF, exiftente EB radio) ut^C.£ ad C^B, atque ideo in ratione data. Corol. 2. Et longitudo femiperimetri cycloidis A S squabitur lines refts, qus eft ad rots diametrum BF \x\. i C E ad C B. PROPOSITIO L. PROBLEMA XXXIII. ' Facere ut corpus pendulum ofcilletur in c^clotde data. Intra globum §J^S, centro C defcriptum, detur cyclois ^RS bifefta in i? & punftis fuis extremis S fuperficiei globi hinc inde occurrens. Agatur C R bifecans arcum in O, & produ- catur ea ad A, ut fit C A nd CO ut CO ad CR. Centro C inter- U 2 vallo D E M.o T ] CcKPOKUM 148 PHILOSOPHIAE NATUPvALIS vallo C A defcribatur globus exterior T)A & intra hunc globum a rota, cujus diameter fit AO^ defcribantur duae femicycloides A^^ AS, quas globum interiorem tangant in S &: globo exteriori occurrant in A. A pundo illo A, filo ATT longitudinem A R aequante, pendeat corpus T, & ita intra femicycloides A AS of- cilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo AR, filum parte fui fuperiore AT applicetur ad femicycloidem illam ATS verfus quam peragitur motus, & circum eam ceu obflaculum fleda- tur, parteque reliqua TT cui femicyclois nondum objicitur, pro- tendatur in lineam redam ; & pondus T ofcillabitur in cycloide data Occurrat enim filum TT tum cycloidi ^RS in T, tum circulo ^OJin agaturque C/^; & ad fili partem redam TT, q pua- dis extremis T ac T, erigantur perpendicula B T, T W, occur- rentia redae CV in B JV, Patet, ex conflrudione & genefi fimi- lium figurarum AS, SR, perpendicula illa TB, 2“/^ abfeindere de longitudines B, rotarum diametris O A, 0 2? aequales. Efl igitur ad VT (duplum finum anguli VBT exiflente ^BV radio) ut BW ad BV, feu A Oq-O i? ad AO, id efl: (cum lint CA ad u PRINCIPIA MATHEMATICA. 149- ad CO, CO ad Ci? & divifiin ^Ozd OR proportionales) ut CA-^CO ad CA, vel, fi bifecetur A ^ in A, ut ^ C A ad CB. Proinde (per corol I. prop. xlix.) longitudo partis redae fili TT aequatur femper cycloidis arcui T S, &: filum totum ATT aequatur femper cycloidis arcui dimidio ATS, hoc eft (per corol. i. prop. xlix.) longitudini A R. Et propterea viciflim fi filum manet femper aequale longitu- dini AR movebitur pundum T in cycloide data S. A. T>. Corol. Filum AR aequatur femicycloidi AS, idcoque ad globi exterioris femidiametrum A C eandem habet rationem quam fimilis illi femicyclois S R habet ad globi interioris femidiametrum CO. PROPOSITIO LI. THEOREMA XVIIE iT/ v/s centripeta tendens undiqtie ad globi centrum G fit in locis fingulis ut difiantta loci cujufque a centro, hac fola Vi agente corpus T ofcdletur ( modo jarn defcripto) in peri- metro cycloidis (^R S : dico quod ofcillatiomim utcunque in- tequalium requalia erunt tempora. Nam in cycloidis tangentem T W infinite produftam cadat per- A pendiculum CX & jungatur Ct. Quoniam vis centripeta qua cor- pus De Motu COfiPORUM 150 PHILOSOPHIAE NATURALIS pus 2“ impellitur verfus C eft ut dillantia CT*, atque haec (per le- gum corol. z.) refolvitur in partes CX, TX, quarum CX impellen- do corpus direcfte a diftendit filum TT per ejus refiflentiatn tota cefTat, nullum alium edens efFeftum ; pars autem altera 2"Z, urgendo corpus tranfverfim feu verfus X, direfte accelerat motum ejus in cycloide ; manifeftum eft quod corporis acceleratio, huic vi acceleratrici proportionalis, fit fingulis momentis ut longitudo TX, id eft, ob datas CV, ^/^iifque proportionales TXy 2“^, ut lon- gitudo T Wi hoc eft (per corol. 1. prop. xlix.) ut longitudo arcus A eycloidis TR. Pendulis igitur duobus ATT, Apt dit perpendiculo A R inaaqualiter dedudfis & fimul dimifBs, accelerationes eorum femper erunt ut arcus defcribendi TR, t R. Sunt autem partes fub ' initio defcriptae ut accelerationes, hoc eft, ut totae fub initio de- fcribendffi, & propterea partes quae manent defcribendae & accele- rationes fubfequentes, his partibus proportionales, funt etiam ut totffi ; & fic deinceps. Sunt igitur accelerationes, atque ideo velo- citates genitae & partes his velocitatibus defcriptae partefque defcri- bendae, femper ut totae ; & propterea partes defcribendae datam fervantes PRINCIPIA MATHEMATICA. iji fervantes rationem ad invicem fimul evanefcent, id eft, corpora Iif.hh duo ofcillantia fimul pervenient ad perpendiculum AR. Cumque viciffim afcenfus perpendiculorum de loco infimo R, per eofciem arcus cycloidales motu retrogrado fad:i, retardentur in locis fingu. lis a viribus iifdem a quibus defcenfus accelerabantur, patet velo- citates afcenfuum ac defcenfuum per eofdem arcus fadorum aequa- les efie, atque ideo temporibus aequalibus fieri ; & propterea, cum cycloidis partes duae R S &: i^^ad utrumque perpendiculi latus ja- centes fint fimiles & aequales, pendula duo ofcillationes fuas tam to- tas quam dimidias iifdem temporibus femper peragent. E. Corol. Vis qua corpus Tin loco quovis T acceleratur vel retardan- tur in cycloide, eft ad totum corporis ejufdem pondus in loco altif- fimo S vel ut cycloidis arcus T i? ad ejufdem arcum S R vel PROPOSITIO LIL PROBLEMA XXXIV. Definire &f velocitates pendulorum in locis ftugulis^ tem- pora quihus tum ofcillationes tota^ tum fmgulde ofcillationum partes peraguntur. Centro quovis G, intervallo G H cycloidis arcum R S aequante,. A defcribe femicirculum H K M femidiametro G K bifeftum. Et fi yis centripeta, diftantiis locorum a centro proportionalis, tendat ad . centrum lyi PHILOSOPHIiE NATURALIS De Motu centrum G, fitque ea in perimetro HIK aequalis vi centripe. Corporum perimetro globi S "ad iplius centrum tendenti ; & eo- dem tempore quo pendulum T dimittitur e loco fupremo S cadat corpus aliquod Z/ ab // ad G ; quoniam vires quibus corpora urgentur funt aequales fub initio & Ipatiis delcribendis T Lq femper proportionales, atque ideo, fi aequantur TR &: LGy aequales in locis T 8c L ; patet corpora illa defcribere fpatia STj HL aequa- lia fub initio, ideoque fubinde pergere aequaliter urgeri, & aequalia fpatia defcribere. Quare (per prop. xxxviii.) tempus quo corpus defcribit arcum ST eft ad tempus ofcillationis unius, ut arcus iZ/, .tempus quo corpus H perveniet ad Z/, ad femiperipheriam HKMy A tempus quo corpus H perveniet ad M. Et velocitas corporis penduli in loco T efi ad velocitatem ipfius in loco infimo R, (hoc efi, velocitas corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco G, feu incrementum momentaneum lineas H L incrementum mo- mentaneum line$ // G, arcubus /7/, HK ^quabili fluxu crefcenri- bus) ut ordinatim applicata L/ad radium GK, fi ve ut \/SRq. — f^q. ad SR, Unde cum, in ofcillationibus inaequalibus, defcribantur .aequalibus temporibus arcus totis ofcillationum arcubus proportio- nales ; habentur, ex datis temporibus, & velocitates & arcus de- icripti in ofcillatiQnibus :univ.erfis. Qus erant primo invenienda. OfciI- PRINCIPIA MATHEMATICA. 153 Ofcillentur jam funipendula corpora in cycloidibus diverfis intra globos diverfos, quorum diverfae funt etiam vires abfolutse, defcrip- tis : &, fi vis abloluta globi cujufvis S dicatur V, vis accelera- trix qua pendulum urgetur in circumferentia hujus globi, ubi inci- pit direde verfus centrum ejus moveri, erit ut difiantia corporis penduli a centro illo & vis abfoluta globi conjunftim, hoc efi, ut COxV. Itaque lineola HT, quae fit ut haec vis acceleratrix COxV, defcribetur dato tempore; &, fi erigatur normalis TZ circumferentia occurrens in Z, arcus nafcens HZ denotabit datum illud tempus. Eit autem arcus hic nafcens HZ in fubduplicata ra- tione reftanguli GHT, ideoque ut VGHx CO x V. Unde tem- pus ofcillaiionis incegraj in cycloide ^ R S (cum fit ut femiperiphe- ria //A Af, qu$ ofcillacionem illam integram denotat, direfte ; utque arcus H Z, qui datum tempus fimiliter denotat, inverfe) fiet ut GH direfte & ^ GHx C O x V inverfe, hoc efi, ob aequales GH 8c SR, ut ^y, five (per corol. prop. l.) ut ^ Itaque ofcil- Liber P R I M u s« lationes in globis & cycloidibus omnibus, quibufcunque cum viri- bus abfolutis fadae, funt in ratione quae componitur, ex fubduplicata ratione longitudinis fili direfte, & lubduplicata ratione diilantiae in- ter punitum fufpenlionis & centrum globi inverfe, & fubduplicata ratione vis abfolutae globi etiam inverfe. ^ E. I. Corol. I. Hinc etiam ofcillantium, cadentium & revolventium' corporum tempora pofTunt inter fe conferri. Nam fi rotae, quacy- clois intra globum defcribitur, diameter conftituatur aequalis femi- diametro globi cyclois evadet linea refla per centrum globi tran* fiens, & ofcillatio jam erit defcenfus & fubfequens afcenfus in hac refla. Unde datur tum tempus defcenfus de loco quovis ad cen- trum, tum tempus huic aequale quo corpus uniformiter circa cen- trum globi ad diftantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem defcribit. Efi enim hoc tempus (per cafum fecundum) ad tempus femiofcillationis in cycloide quavis ^RS vX i ad AR AC' Corol. X. Hinc etiam confeftantur quae Wrennus & Hugenius de cycloide vulgari adinvenerunt. Nam fi globi diameter augeatur in infinitum : mutabitur ejus fuperfieies fphaerica in planum, vilque centripeta aget uniformiter fecundum lineas huic plano perpendi- X culares, I> H Motu Corporum 154 PHILOSOPHIi£ NATURALIS culares, & cyclois noftra abibit in cycloidem vulgi. Hio autem in cafu longitudo arcus cycloidis, inter planum illud & punftum de^ fcribens, aequalis evadet quadruplicato finui verfo dimidii arcus rotae inter idem planum & punflum defcribens ; ut invenit Wren. tttts : Et pendulum inter duas ejufmodi cycloides in limili & aequali cycloide temporibus aequalibus ofcillabitur, ut demonllravit Htige. nius. Sed & defcenfus gravium, tempore ofcillationis unius, is erit quem Hugenius indicavit. Aptantur autem propolltiones a nobis demonftratae' ad veram com fiitutionem terrae, quatenus rotffi eundo in ejus circulis maximis defcribunt motu clavorum, perimetris fuis infixorum, cycloides extra globum ; & pendula inferius in fodinis & cavernis terrae fui. fpenfa, in cycloidibus intra globos ofcillari debent, ut ofcillationes omnes evadant ifochronae. Nam gravitas (ut in libro tertio doce- bitur). decrefcit in progrelTu a fuperficie terrae, furfum quidem ia duplicata ratione diftantiarum a centro ejus, deorfum vero in rati- one fimplicL. PROPOSITIO LIII. PROBLEMA XXXV. ConceJJis Jigurarum curvilmearum quadraturis, invenire vires quibus corpora in datis curvis lineis ofcillationes femper ifo-r chronas. peragent,. Ofcilletur corpus T in curva quavis linea ST R cujus axis fit 'AR tranfiens per virium centrum C. Agatur TX quae curvam il- lam; in. corporis loco quovis T contingat, inque hac tangente TX capiatur TT aequalis arcui TR. Nam longitudo arcus illius ex fi- gurarum quadraturis, per methodos vulgares, innotefcit. De pun- do 2" educatur redta TZ tangenti perpendicularis. Agatur GT perpendiculari illi occurrens in Z,. & erit vis centripeta proportio- nalis reftae TZ. ^ E. I. Nam fi vis, qua corpus trahitur dfe T verfus C, exponatur per ledlam captam ipfi. proportionalem, refolvetur haec in viresci", TZi. quarum TZ trahendo corpus fecundum longitudinem fili TT, motum, ejus nil. mutat,, vis . autem altera T'!' motum ejus in curva direde accelerat vel direde retardat. Proinde cum It®c PRINCIPIA MATHEMATICA. ijj fit ut via defcribenda TR, accelerationes corporis vel retardationes Libek in ofcillationum duarum (majoris & minoris) partibus proportio- nalibus defcribendis, erunt femper ut partes illae, & propterea fa- cient ut partes illae fimul defcribantur.' Corpora autem quae par« tes totis femper proportionales fimul defcribunt, fimul defcribent totas. ^ E, O. Corol, I. Hinc fi corpus T, filo reftilineo AT 2^ centro A pendens, defcribat arcum circularem JTT? & interea urgeatur fe- ^ eundum lineas parallelas deorfum a vi ali- qua, quae fit ad vim uniformem gravitatis, ut arcus TiZ ad ejus finum TK: aequalia erunt ofcillationum fingularum tempora. Et- enim ob parallelas T AR^ fimilia erunt triangula AT ZT T\ & propterea T Z erit ad AT ut TT ad TiNT; hoc eft, fi gra- vitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam AT% vis X 2 TZ, qua He Motu Corporum 1^6 PHILOSOPHIAE NATURALIS T Z, qua ofcillationes evadent ifochronae, erit ad vim gravitatis ZTi ut arcus TR ipli TT aequalis ad arcus illius finum T N. CoroL Et propterea in horologiis, fi vi- res a machina in pendulum ad motum con- fervandum impreffae ita cum vi gravitatis componi poffint, ut vis tota deorfum fem- per iit ut linea quae oritur applicando rec- tangulum fub arcu T R &c radio -/^/2 ad fi- num T N, ofcillationes omnes erunt ifo- chronae. PROPOSITIO LIV. PROBLEMA XXXVI. ConceJJls ji^rciTuvn curvthneciYum qucidratuviSy tnvemre tem* pora^ quibus corpora vi qualibet centripeta 'm lineis qui* hufcunque curvis^ in plano per centrum virium tranfeunte defcriptisy defcendent 0f afcendent, Defcendat corpus de loco quovis J, per lineam quamvis curvam STtR in plano per virium centrum C tranfeunte datam. Jun- gatur CS & dividatur eadem in par- ^ tes innumeras aequales, fitque T>d p partium illarum . aliqua. Centro C intervallis C^t \€d defcribantur cir- culi OTi dtj lineae curvae STt R occurrentes in T & Et ex data tum lege vis centripetae, tum altitu- dine Cdy,T>Ny hoc efl area T> Nnd^ eidem tempori proportionale. Ergo fi T Nn (it cur- va illa linea quam punflum N perpetuo tangit, ejufque afymptotos lit refta ^ red^ CS perpendiculariter infiitens: erit area S NT> proportionalis tempori quo corpus defcendendo defcripfic lineam ST\ proindeque ex inventa illa area dabitur tempus. ^E.L PROPOSITIO LV. THEOREMA XIX. Si corpus movetur in fuperficie quacunque curva^ cujus axis per centrum virtum tranfit^ a corpore in axem demit- tatur perpendicularis^^ eique parallela te qualis ab axis punSo quovis dato ducatur : dico quod parallela illa aream tempori proportionalem defcrihet. ^\\.BKL fuperficies curva, T corpus in ea revolvens, STR tra- jeftoria, quam corpus in eadem defcribit, S initium trajedorias^ OMK axis fuperficiei curvae, T N refta a corpore in axem perpendicularis, OR huic pa- rallela & aequalis a punfto ^ O, quod in axe datur, edu- dla ; veftigium trajedlo- riae a punfto P in lineae vo- lubilis OP plano AOP 'de- fcriptum ; A velligii initium punfto S refpondens ; TCxq- fta a corpore ad centrum dufta ; T G pars ejus vi cen- tripetae, qua corpus urgetur in centrum C, proportiona- lis; T M refta ad fuperfici- em curvam perpendicularis ; TI pars ejus vi prelTionis, qua corpus urget fuperficiem vi- ciffimque urgetur verfus M a fuperficie, proportionalis ; P T F refta axi parallela per corpus tranliens, &cGFy //? reftae a puncHs G & / De M 0 TU Corporum PHILOSOPHIAE NATURALIS G & / in parallelam illam perpendiculariter demiflae. Dico jam, quod area AOT^ radio O P ab initio motus defcripta, fit .tempori proportionalis. Nam vis TG (per legum corol. x.) refolvi- tur in vires TF^ FG\ & vis TI in vires TH^ HI: Vires autem TFy TH agendo fecundum lineam TF plano AO T perpendicula- rem mutant folummodo mo- tum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideo- que motus ejus quatenus fe- B eundum pofitionem plani fa- ftus ; hoc eft, motus puneSti y, quo trajecStoriae velligium AT m hoc plano deferibitur, idem eft ac fi vires TF^ TH tollerentur, & corpus folis vi- ribus FGi H I agitaretur ; hoc eft, idem ac fi corpus in plano A OTy vi centri pe ta ad centrum O tendente & fummam virium FG & HI ^quante, deferiberet curvam AT. Sed vi tali deferibitur area AOT (per prop. i.) tempori proportionalis. E. 25. Corol. Eodem argumento fi corpus, a viribus agitatum ad centra duo vel plura in eadem quavis reda CO data tendentibus, deferi- iberet in fpatio libero lineam quanicunque curvam ST ; foret area AOT tempori femper proportionalis. PROPO^ PRINCIPIA MATHEMATICA. iS9 L I S E R PROPOSITIO LVI. PROBLEMA XXXVII. Concejfts figurarum eurvUinearum quadraturis,, dat if que tum lege vis centripeta ad centrum datum tendentis, tum fuper- ficie curva cujus axis per centrum illud 'tranfit ,• invenienda- ejl traje&oria quam corpus in eadem fuperficie defcrihet,.. de loco dato, data cum velocitate, verfus plagam- in fuper- fiicie illa datam egrejjum. Stantibus qu® in fuperibre propofitione conffruft^ funt* exeat corpus T de Iocq dato J fecundum reftam pofitione datam in traje- doriam inveniendam JTi?, cujus veftigium in plano ALO fit AT. Et ex data corporis velocitate in altitudine. S C,. dabitur ejus velo, citas in alia quavis, altitudine- T C. Ea cum velocitate da. to tempore quam minimo defcribat corpus trajedori® fu® particulam T t,. fitque T p veftigium ejus in plano' ./fOA defcriptum. Jungatur op, & circelli centro T ’m^ tervallo Tt in fuperficie cur- va defcripti veftigium in pla- no O fit ellipfis / ^ Et ob datum magnitudine cir- eellum T t, datamque ejus ab axe CO diftantiam TN vel yO, dabitur ellipfis illa fpecie & magnitudine, ut & pofitione ad redlam TO. Cum* que area yO/ fit tem.pori proportionalis, atque ideo ex dato tem- pore detur, dabitur angulus y Of. Et inde dabitur ellipfeos & reftae G/ interfedio communis /, una cum angulo OT p in qua trajeftoriae veftigium AT p fecat lineam O y.* Inde vero (confe* renda-^ D E M O T u Corporum 1^0 PHlLQSOPHIiE NATURALIS rendo prop. xli. cum corol. fuo ^.) ratio determinandi curvam A‘P p facile apparet. Tum ex lingulis veltigii punftis V, erigen- do ad planum AO‘P perpendicula PT luperficiei curvae occur- rentia in T, dabuntur fingula trajedoriae pundta T. ^ E. I. S E C T I O XI. De motu corporum virthus centripetis fe mutuo petentium. Haftenus expofui motus corporum attradorum ad centrum im- mobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attraftiones enim fieri folent ad corpora ; & corporum trahentium & attraftorum attiones femper mutu^ funt & aequales, per legem tertiam : adeo ut neque attrahens poffit quiefcere neque attraftum, fi duo fint corpora, fed ambo (per legum corollarium quartum) quafi attrac- tione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur; & li plura fint corpora, quae vel ab unico attrahantur, & idem at- trahant, vel omnia fe mutuo attrahant ; haec ita inter fe moveri de- beant, ut gravitatis centrum commune vel quiefcat, vel uniformiter moveatur in diredum. Qua de caufa jam pergo motum exponere corporum fe mutuo trahentium, confiderando vires centripetas tan- quam attraftiones, quamvis fortafle, fi phyfice loquamur, verius di- cantur impulfus. In mathematicis enim jam verfamur ; & propte- rea, miffis difputationibus phyficis, familiari utimur fermone, quo pollimus a ledoribus mathematicis facilius intelligi. PROPOSITIO LVII. THEOREMA XX. Corpora duo fe mvtcem trahentia defer ihunt^ circum com- mune centrum gravitatis^ ^ circum fe mutuo ^ figuras fi- miles. • Sunt enim difiantiae corporum a communi gravitatis centro reci- proce proportionales corporibus ; aique ideo in data ratione ad in- vicem, & componendo in data ratione ad diitantiam totam inter corpora. Feruntur autem hce diltantiie circum terminum fuum communem PRINCIPIA MATHEMATICA. i6i communem aequali motu angulari, propterea quod in direftum fem- Lib^r per jacentes non mutant inclinationem ad fe mutuo. Lineae au- tem recSbae, quae funt in data ratione ad invicem, & aequali motu angulari circum terminos fuos feruntur, figuras circum eofdem ter- minos in planis, quae una cum his terminis vel quiefcunt, vel motu quovis non angulari moventur, defcribunt omnino fimiles. Proinde fimiles funt figurae, quae his diftantiis circumadlis defcribuntur. PROPOSITIO LVIII. THEOREMA XXI. Si corpora duo viribus quibufvis fe mutuo trahunty interea revolvuntur circa gravitatis centrum commune : dico quod figuris^ quas corpora fic mota defcribunt circum fe mutuo^ potefi figura fimtlis aequaliSy circum corpus alterutrum immotum y viribus ii f dem defer ibi. Revolvantur corpora T circa commune gravitatis centrum C, pergendo de S ad 7", deque y ad ^ A dato pundo s ipfis aequales & parallelae ducantur femper sp^ sq \ & curva quam pundum p revolvendo circum pundum immotum s deferibit, erit fimilis & aequalis curvis, quas corpora S. T defcribunt circum fe mutuo : proindeque (per theor. xx.) fimilis curvis ST & T ^9 quas eadem corpora defcribunt circum commune trum C : idque quia proportiones linearum SCy CTy cc S vt sp ad invicem dantur. , , Caf I. Commune illud gravitatis centrum C, per legum corol- larium quartum, vel quiefeit, vel movetur uniformiter in ire um. Ponamus primo> quod id quiefeit, inque s &. locentur PHILOSOPHIA NATURALIS Db Motu duo, immobile in s, mobile in corporibus S & !P fimilia & aequa^ Corporum tangant rcdtae T R & f r curvas in !P & producantur C^& ad i? & n Et ob limilitudinem figura- rum CR R^^, sprq erit /?^ad rqwiCR ad j/, ideoque in data ratione. Proinde fi vis, qua corpus T verfus corpus S, atque ideo verfus centrum intermedium C attrahitur, eflet ad vim, qua corpus p verfus centrum s attrahitur, in eadem illa ratione data- ; hae vires aequalibus temporibus attraherent femper corpora de tangentibus TRj pr ad arcus p q per intervalla ipfis proportionalia ideoque vis poflerior efficeret, ut corpus p gyraretur in curva pqv, quae fimilis efiet curvae R in qua vis prior efficit,, ut cor- pus R gyretur ; & revolutiones iifdem temporibus complerentur* At quoniam vires illae non funt ad invicem in ratione C ad spy fed (ob fimilitudinem & aequalitatem corporum J & Sy R St /», & aequalitatem diftantiarum SR, sp) fibi mutuo aequales ; corpora aequa- libus temporibus aequaliter trahentur de tangentibus : & propterea, ut corpus pofteriiis p trahatur per intervallum majus r q, requiritur tempus majus, idque in fubduplicata ratione intervallorum ; prop* terea quod' (per lemma decimum) fpatia ipfo motus initio defcrip- ta funt in duplicata ratione temporum. Ponatur Tgrtur velocitas- corporis p effe ad velocitatem corporis R in ‘fubduplicata. ratione diftantiae ad dillantiam CRy eo ut temporibus, quae fint in ea- dem fubduplicata ratione, defcribantur arcus pq^ R^ qui funt in ratione integra : Et corpora R, p viribus aequalibus femper attra6k defcribent circum centra quiefcentia C & j* figuras fimiles R p q Vy quarum pofierior p qv fimilis efi: & aequalis figurae, quam corpus R circum corpus mobile S defcribit. ^ E, 2). Caf, T. Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una cum fpatio in quo corpora moventur inter fe, progreditur unifor- miter PRINCIPIA MATHEMATICA. j6' initer in dired:um ; & (per legum corollarium fextum) motus om- Liber nes in hoc fpatio peragentur ut prius, ideoque corpora defcribent circum fe mutuo figuras eafdem ac prius, & propterea figurae f v fimiles & aequales. ^ E. T). CoroL I. Hinc corpora duo viribus diftantiae fuae proportionalibus fe mutuo trahentia, defcribunt (per prop. x.) & circum commune gra- vitatis centrum, & circum fe mutuo, ellipfes concentricas ; & vice verfa, fi tales figurae defcribuntur, funt vires diftantiae proportiona- les. CoroL Et corpora duo, viribus quadrato diftantiae fuae recipro- ce proportionalibus, defcribunt (per prop. xi. xii. xiii.) & cir- cum commune gravitatis centrum, & circum fe mutuo, fediones conicas umbilicum habentes in centro, circum quod figura defcri- buntur. Et vice verfa, fi tales figurae defcribuntur, vires centri- petae funt quadrato diftantiae reciproce proportionales. CoroL 3. Corpora duo quaevis circum gravitatis centrum com- mune gyrantia, radiis & ad centrum illud & ad fe mutuo du(fti% defcribunt areas temporibus proportionales. PROPOSITIO LIX. THEOREMA XXIL Corporum duorum S 0f P, circa commune gravitatis centrum C revolventium^ tempus periodicum ejfe ad tempus periodi’^ . cum corporis alterutrius P, circa alterum Immotum S g^ran^ tlsy figurlsy qu^e corpora circum fe mutuo defcrlbunty fi- guram ftmllem aqualem defcrlbentlsy In fubdupllcata ratione corporis alterius S, ad fummam corporum S+P. Namque, ex demonftratione fuperioris propofitionis, tempora, quibus arcus quivis fimiles p q defcribuntur, funt in fubdu- plicata ratione diftantiarum CE & iy vel j/, hoc eft, in fubdu- plicata ratione corporis S ad fummam corporum S Et com- ponendo, fummae temporum quibus arcus omnes fimiles E pq defcribuntur, hoc eft, tempora tota, quibus figurae totae fimiles de- fcribuntur, funt in eadem fubduplicata ratione. ^ E. 2). Y ^ PROPO- i64 PHILOSOPHIiE NATURALIS De Motu Ccrpokum PROPOSITIO LX. THEOREMA XXIII. iT/ corpora duo S P, viribus quadrato difiantia fu,T>Ti & vis J”!, in vires S‘D,‘DL. Libhh Vires autem ‘DT, T>L, qus funt ut ipfarum fumma T L, atque ideo ut vires accelerairices quibus corpora T8c L ie mutuo trahunt, additae his viribus corporum T Sc L, prior priori & pofterior pofle- riori, componunt vires diftantiis ©7" ac T> L proportionales, ut ^ prius, led viribus prioribus ma> jores ; ideoque ( per corol. i. | prop.x. & corol. i. & S.prop.iv.) I efficiunt ut corpora illa defbri^ bant ellipfes ut prius, fed motu celeriore. Vires reliquae ac- celeratrices & JB, adionibus motricibus ST>xT ST>y. quae funt ut corpora, trahendo corpora illa aequaliter & fecundum lineas TI^ LK^ ipfi B J parallellas, nil mutant fitus eorum ad invi- cem, fed faciunt ut ipfa aequaliter accedant ad lineam IK\ quam duftam concipe per medium corporis J, & line® BJ^ perpendicu- larem. Impedietur autem ifte ad lineam IK acceffiis faciendo ut fyflema corporum Z* & Z# ex una^ parte, & corpus S ex altera, juftis cum velocitatibus, gyrentur circa commune gravitatis centrum C. Tali motu corpus eo quod fumma virium motricium JBxT* & JB X Z/, diftanti® CS proportionalium, tendit verfus centrum C, defcribit ellipfin circa idem C ; & punftum B, ob proportionales CB, defcribet ellipfin confimilem e regione. Corpora autem T ScL viribus motricibus ST> xT &: ST> x Z/, prius priore, pofterius pofteriore, «qualiter & fecundum lineas parallelas TI Sc LKy ut di- ftum eft, attra^la, pergent, (per legum corollarium quintum & Tex- tum) circa> centrum mobile B ellipfes* fuas defcribere, ut prius. ^ Z Addatur jam corpus quartum & fimili argumento concludetur hoc & pundum C ellipfes circa omnium commune centrum gra- vitatis B defcribere ; manentibus motibus priorum corporum L & S circa- centra B & C, fed acceleratis. Et eadem methodo # corpora • plura adjungere licebit. ^ E. I. H®c ita fe habent, etfi corpora T &c L trahunt fe mutuo viribus ac- celeratricibus majoribus vel minoribus quam quibus trahunt corpora reliqua pro ratione diftantiarum. Sunto mutuae omnium attraftio- nes I la PHILOSOPHIA NATURALIS cLporum acceleratrices ad invicem ut diftantiae duftae in corpora trahen- tia, & ex praecedentibus facile deducetur quod corpora omnia se, qualibus temporibus periodicis ellipfes varias, circa omnium com- mune gravitatis centrum in plano immobili defcribunt. ^ PROPOSITIO LXV. THEOREMA XXV. Corpora plura^ quorum vires decrefcunt m duplicata ratione dijiantiarum ab eorundem centris ^ moveri pojfe inter fe in ellipfihus^l & radiis ad umbilicos duBis areas defcribere temporibus proportionales quam proxime. In propofitione fuperiore demonftratus eft cafus ubi motus plures peraguntur in ellipfibus accurate. Quo magis recedit lex virium a lege ibi pofita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus ; ne- que fieri poteff, ut corpora, fecundum legem hic pofitam fe mutuo itrahentia, moveantur in ellipfibus accurate, nifi fervando certam proportionem diftantiarum ab invicem. In fequentibus autem cafi- bus non multum ab ellipfibus errabitur. Caf. I. Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo dillantias revolvi, tendantque ad fingula vires abfolutae proportionales iifdem corporibus. Et quoniam omnium commune gravitatis centrum (per legum corol. quartum) vel quiefcit vel mo- vetur uniformiter in diretffum, fingamus corpora minora tam parva cfTe, ut corpus maximum nunquam diflet fenfibiliter ab hoc centro : & maximum illud vel quiefcet, vel movebitur uniformiter in dire- <3um, fine errore fenfibili ; minora autem revolventur circa hoc ma- ximum in ellipfibus, atque radiis ad idem du. CoroL I. Ex his facile colligitur, quod, fi corpora plura minora Tf Sj R, &c. revolvantur circa maximum Z, motus corporis intimi Z minime perturbabitur attraftionibus exteriorum, ubi corpus max- .imum T pariter a caeteri«, pro ratione virium acceleratricum, attra- hitur & agitatur, atque caetera a fe mutuo. Corol. i. In fyftemate vero trium corporum Z, Z, Sy fi attraftio- nes acceleratrices binorum quorumcunque in tertium fmt ad invicem reciproce ut quadrata diftantiarum ; corpus Z, radio Z Z, aream circa corpus Z velocius defcribet prope conjunflionem A & oppofi- tionem Z, quam prope quadraturas C, T). Namque vis omnis qua corpus Z urgetur & corpus Z non urgetur, quaeque non agit fe- cundum lineam Z Z accelerat vel retardat defcriptionem areae, pe- rinde ut ipfa in confequentia vel in antecedentia dirigitur. Talis eft vis NM, Haec in tranfitu corporis Z a C ad tendit in con- fequentia, motumque accelerat ; dein ufque ad Z) in antecedentia, & motum retardat ; tum in confequentia ufque ad Z, & ultimo in antecedentia tranfeundo a Z ad C Corol. De Motu Corporum 174 PHILOSOPHIAE NATURALIS CoroL Et eodem argumento patet quod corpus caeteris pa- ribus, velocius movetur in conjuncftione & oppofitione quam in quadraturis. CoroL 4. Orbita corporis caeteris paribus, curvior eft in qua- draturis quam in conjuncStione & oppofitione. Nam corpora velo- ciora minus defleftunt a redo tramite. Et praeterea vis K Z/, vel NMj in conjundione & oppofitione contraria eft vi, qua corpus T trahit corpus T ; ideoque vim illam ^minuit ; corpus autem T mi- nus defleftet a redo tramite, ubi minus urgetur in corpus T, Corol. 5-. Unde corpus caeteris paribus, longius recedet a cor- pore T in quadraturis, quam in conjundione & oppofitione. Haec ita fe habent exclufo motu excentricitatis. Nam fi orbita corporis excentrica fit, excentricitas ejus (ut mox in hujus corol. 9. often- detur) evadet maxima ubi apfides funt in fyzygiis ; indeque fieri poteft ut corpus ad apfidem fummam appellans, abfit longius a .corpore 7* in fyzygiis quam in quadraturis. Corol, 6, Quoniam vis centripeta corporis centralis T, qua cor- pus T retinetur in orbe fuo, augetur in quadraturis per additionem vis LM, ac diminuitur in fyzygiis per ablationem vis KL^ & ob magnitudinem vis KLy magis diminuitur quam augetur ; eft autem vis illa centripeta (per corol. 2. prop. iv.) in ratione compofita ex ratione fimplici radii TT direde & ratione duplicata temporis pe- riodici inverfe : patet hanc rationem compofitam diminui per adio- nem vis K L \ ideoque tempus periodicum, fi maneat orbis radius TT^ augeri, idque in fubduplicata ratione, qua vis illa centripeta diminuitur : audoque ideo vel diminuto hoc radio, tempus perio- dicum augeri magis, vel diminui minus quam in radii hujus ratione fefqui=’ P R IN C I P I A M AT H E M AT I C A. i y y fefquiplicata, (per corol. vi. prop. iv.) Si vis illa corporis centralis ^ ibf.r- paulatim languefceret, corpus T minus femper & minus attra(^tuni ^ perpetuo recederet longius a centro T ; & contra, fi vis illa augere- • tur, accederet propius. Ergo fi adtio corporis longinqui cV, qua vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices augebitur fimul ac diminuetur radius TT per vices ; & tempus periodicum auge- bitur ac diminuetur in ratione compofita ex ratione fefquiplicata ra- dii, & ratione fubduplicata, qua vis illa centripeta corporis centra- lis r, per incrementum vel decrementum adionis corporis longin- qui 4?, diminuitur vel augetur. Corol. 7. Ex praemiflis confequitur etiam, quod ellipfeos a corpo- re T deferiptae axis, feu apfidum linea, quoad motum anguiarem? progreditur & regreditur per vices, fed magis tamen progreditur, & per excelTum progreflionis- fertur in confluentia. Nam vis qua corpus urgetur in corpus 7^ in quadraturis, ubi- vis AfA^evanuitr componitur ex vi LM &c vi centripeta, qua corpus T trahit corpus Vis prior LM, fi augeatur diilantia augetur in eadem fere ' ratione cum hac diilantia, & vis pofterior decrefeit in duplicata- illa ratione, ideoque fumma harum virium decrefeit in minore quam duplicata ratione dillantiae ^Pr,& propterea (per corol. i. prop.xLV.) . efficit ut aux, feu apfis fumma, regrediatur. In conjunftione vero & oppofitione vis, qua corpus T urgetur in corpus differentia ell^ inter vim, qua corpus T trahit corpus 7^, & vim KL\ & differen- tia illa, propterea quod vis KL augetur quamproxime in ratione dillantiae 2? T, decrefeit in majore quam duplicata ratione dillantiae TT^ ideoque (per corol i. prop. xlv.) efficit ut aux progrediatur. In locis inter fyzygias & quadraturas pendet motus augis ex caufa^^ utraque conjunftim, adeo ut pro hujus vel alterius excellii progre- diatur ipfa vel regrediatur. Unde cum vis ALin ffyzygiis fit quafi - duplo major quam vis LM in- quadraturis, exceffus erit penes vim KL, transferetque augem in confequentia. Veritas autem hujus &- praecedentis corollarii facilius intelligetur concipiendo fyllema cor- porum duorum T, T corporibus pluribus S, S\ S, &c. in orbe ESE^ confillentibus, undique cingi. Namque horum adionibus adio ip- fius T minuetur undique, decrefcetque in ratione plufquam dupli-- cata dillantiae. \ Coro E / 176 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Moto Corol. 8. Cutii autem pendeat apfidum progreflus vel regreflus Corporum -• • • ^ x* .a. * * • i • • i a decremento vis centripetae taCto m majori vel minori quam du- plicata ratione diflantiae T in tranfitu corporis ab apfide ima ad apfidem fummam ; ut & a fimili incremento in reditu ad apfidem imam ; atque ideo maximus fit ubi proportio vis in apfide fumma ad vim in apfide ima maxime recedit a duplicata ratione diftantia- rum inverfa : manifeftum eft quod apfides in fyzygiis fuis, per vim ablatitiam KL feu NM — LMy progredientur velocius, inque qua- draturis fuis tardius recedent per vim addititiam LM, Ob diutur- nitatem vero temporis, quo velocitas progreflus vel tarditas regref- fus continuatur, fit hsec inaequalitas longe maxima. Corol. 9. Si corpus aliquod, vi reciproce proportionali quadrato diflantiae fuae a centro, revolveretur circa hoc centrum in ellipfi ; & mox, in defcenfu ab apfide fumma feu auge ad apfidem imam, vis illa per acceflum perpetuum vis novae augeretur in ratione pluf^ perpetuo acceflu vis illius novae impulfum femper in centrum, ma- gis vergeret in hoc centrum, quam fi urgeretur vi fola crefeente in duplicata ratione diflantise ■ diminutae ; ideoque orbem deferiberet orbe elliptico interiorem, & in apfide ima propius accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, acceflu hujus vis novae, fiet ma- gis excentricus. Si jam vis, in rcceflu corporis ab apfide ima ad apfidem fummam, decrefeeret iiidem gradibus quibus ante creve- rat, rediret corpus ad diflantiam priorem, ideoque fi vis decrefeat in majori ratione, corpus jam minus attradium afeendet ad diflan- tiam majorem & fic orbis excentricitas adhuc magis augebitur. Quare fi ratio incrementi & decrementi vis centripetae fingulis re- volutionibus augeatur, augebitur femper excentricitas ; & contra, f dimi- # ' PRINCIPIA MATHEMATICA. 177 diminuetur eadem, fi ratio illa decrefcat. Jam vero in fyftemate corporum T, Sy ubi apfides orbis funt in quadraturis, ra- tio illa incrementi ac decrementi minima efi, & maxima fit ubi ap- lides funt in fyzygiis. Si apfides conllituantur in quadraturis, ratio ‘ prope apfides minor efi & prope fyzygias major quam duplicata di- llantiarum, & ex ratione illa majori oritur augis motus diredus, uti jam dicfium efi. At fi confideretur ratio incrementi vel decre- menti totius in progreiTu inter apfides, haec minor efi quam du- plicata difiantiarum. Vis in apfide ima efi ad vim in apfide fumma in minore quam duplicata ratione difiantiae apfidis fumm^ ab um- bilico ellipfeos ad difiantiam apfidis imae ab eodem umbilico : & contra, ubi apfides confiituuntur in fyzygiis, vis in apfide ima efi ad vim in apfide fumma in majore quam duplicata ratione difiantia- rum. Nam vires LM in quadraturis additae viribus corporis T componunt vires in ratione minore, & vires K L in fyzygiis fubdu- ftae a viribus corporis T relinquunt vires in ratione majore. Efi igi- tur ratio decrementi & incrementi totius, in tranfitu inter apfides, minima in quadraturis, maxima in fyzygiis : & propterea in tranfitu apfidum a quadraturis ad fyzygias perpetuo augetur, augetque ex- centricitatem ellipfeos ; inque tranfitu a fyzygiis ad quadraturas per- petuo diminuitur, & excentricitatem diminuit. Coro/. IO. Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fingamus planum orbis immobile manere ; & ex errorum expofita caufa manifefium efi, quod ex viribus NMy MLy quae funt cauf^ illa tota, vis ML agendo femper fecundum planum orbis TABy nunquam perturbat motus in latitudinem ; quodque vis N My ubi nodi funt in fyzygiis, agendo etiam fecundum idem orbis planum, non per- turbat hos motus ; ubi vero funt in quadraturis, eos maxime pertur- bat, corpufque B de plano orbis fui perpetuo trahendo, minuit in- clinationem plani in tranfitu corporis a quadraturis ad fyzygias, au- getque viciflim eandem in tranfitu a fyzygiis ad quadraturas. Un- de fit ut corpore in fyzygiis exifiente inclinatio evadat omnium mi- nima, redeatque ad priorem magnitudinem circiter, ubi corpus ad nodum proximum accedit. At fi nodi conllituantur in oflantibus pofi quadraturas, id efi, inter C & ^, © & i?, intelligetur ex modo expolitis, quod, in tranfitu corporis T a nodo alterutro ad gradum inde nonagefimum, inclinatio plani perpetuo- minuitur ; deinde in A a tranfitu L T B F K P K I M U S. De Motu Corporum 178 PHILOSOPHIA NATURALIS tranfitu per proximos 45* gradus, ufque ad quadraturam proximam^,, inclinatio augetur, & poitea denuo in tranfitu per alios 45* gradus, ufque ad nodum proximum, diminuitur. Magis itaque diminuitur inclinatio quam augetur, & propterea minor eft femper in nodo fubfequente quam in praecedente. Et fimili ratiocinio, inclinatio magis augetur, quam diminuitur, ubi nodi funt in odantibus alteris inter ^ & 2), B &c C. Inclinatio igitur ubi nodi funt in fyzygiis ell omnium maxima. In tranfitu eorum a fyzygiis ad quadraturas, in fingulis corporis ad nodos appulfibus, diminuitur ; fitque omnium minima, ubi nodi funt in quadraturis,. & corpus in fyzygiis : dein crefcit iifdem gradibus, quibus antea decreverat ; nodifque ad fy- zygias proximas appulfis, ad magnitudinem primam revertitur. CoroL II. Quoniam corpus T, ubi nodi funt in quadraturis, per- petuo trahitur de plano orbis fui, idque in partem verfus S in tran- fitu fuo a nodo C per conjundionem A ad nodum 2) ; & in con- trariam partem in tranfitu a nodo 2) per oppofitionem B ad nodum C; manifefium eft, quod in motu fuo a nodo C corpus perpetuo re- cedit ab orbis fui plano primo C2), ufque dum perventum eft ad nodum proximum ; ideoque in hoc nodo, longillime diftans a plano illo primo C2), tranfit per planum orbis EST non in plani illius nodo altero 2), fed in pundto quod inde vergit ad partes corporis 4?, quodque proinde novus eft nodi locus in anteriora vergens. Et fimili argumento pergent nodi recedere in tranfitu corporis de hoc nodo in nodum proximum. Nodi igitur in quadraturis conftituti per- petuo recedunt ; in fyzygiis, ubi motus in latitudinem nil pertur- batur, quiefcunt ; in locis intermediis, conditionis utriufque parti- cipes,.. PRINCIPIA MATHEMATICA. 179 cipes, recedunt tardius : ideoque, femper vel retrogradi, vel llatio- narii fingulis revolutionibus feruntur in antecedentia. Corol. 12. Omnes illi in his corollariis defcripti errores funt paulo majores in conjunftione corporum T, S, quam in eorum cppofi- tione ; idque ob majores vires generantes NM &: ML. Corol, 13. Cumque rrationes horum corollariorum non pendeant a magnitudine corporis obtinent praecedentia omnia, ubi corporis 5 tanta ftatuitur magnitudo, ut circa ipfum revolvatur corporum duorum T &c T fyftema. Et ex aufto corpore S, audaque ideo ipfius vi centripeta, a qua errores corporis T oriuntur, evadent er- rores illi omnes, paribus diflantiis, majores in hoc cafu quam in al- tero, ubi corpus S circum fyftema corporum T &cT revolvitur. Corol. 14. Cum autem vires N M, M ubi corpus S longinquum €ft, fint quamproxime ut vis SK & ratio ad J T conjuncftim, hoc eft, fi detur tum diftantia T T, tum corporis S vis abfoluta, ut ST cub, reciproce ; fint autem vires illae NM,, ML caufae errorum 6 effeftuum omnium, de quibus a De Motu Corporum 184 PHILOSOPHIAE NATURALIS que, in eadem illa fuperficiei parte, qua prius, impulfu quocunque novo ; & cum citior vel ferior impulfus effeftum nil mutet, mani- feitum ell, quod hi duo impulfus fucceffive imprefli eundem pro- ducent motum, ac fi limul imprefli fuiffent, hoc efl, eundem, ac fi globus vi fimplici ex utroque (per legum corol. 2.) compofita im- pulfus fuiflet, atque ideo fimplicem, circa axem inclinatione datum. Et par efl ratio impulfus fecundi fafti in locum alium quemvis in aequatore motus primi ; ut & impulfus primi fafti in locum quemvis in aequatore motus, quem impulfus fecundus fine primo generaret ; _ atque ideo impulfuum amborum faftorum in loca quaecunque: ge- nerabunt hi eundem motum circularem ac fi fimul & femel in lo- cum interfeftionis aequatorum motuum illorum, ^quos feorfim ge- nerarent, fuiflent imprefli. Globus igitur homogeneus & perfeftus non retinet motus plures diflindos, fed impreflos omnes componit & ad unum reducit, & quatenus in fe efl, gyratur femper motu fimplici & uniformi circa axem unicum, inclinatione femper inva- riabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rota- tionis velocitatem mutare potefl. Si globus plano quocunque, per • centrum fuum & centrum in quod vis dirigitur tranfeunte, dividi intelligatur in duo hemifphaeria ; urgebit femper vis illa utrumque hemifphaerium aequaliter, & propterea globum, quoad motum ro- tationis, nullam in partem inclinabit. Addatur vero alicubi inter polum & aequatorem materia nova in formam .montis cumulata, & haec, perpetuo conatu recedendi a centro fui motus, turbabit mo- tum globi, facietque ut poli ejus errent per ipfius fuperficiem, & circulos circum fe punftumque fibi oppofitum perpetuo deferibant. Neque corrigetur ifla vagationis enormitas, nifi locando montem il- lum vel in polo alterutro, quo in cafu (per corol. xxi.) nodi eequa- toris progredientur ; vel in aequatore, qua ratione (per corol. xx.) nodi regredientur ; vel denique ex altera axis parte addendo mate- riam novam, qua mons inter movendum libretur, & hocpafto nodi vel progredientur, vel recedent, perinde ut mons & haecce nova materia funt vel polo vel ^Equatori propiores. t PROPO- PRINCIPIA MATHEMATICA. i8y PROPOSITIO LXVII. THEOREMA XXVII. ^"'*^*"* Pojitis iifdem attraBtonurn legthus^ dtco (^uod corpm exterius Sy circa 'interiorum P, T commune gravitatis centrum O, radiis ad centrum illud duBisy defcribit areas temporibus magis proportionales & orbem ad formam ellipfeos umbili’- cum tn centro eodem habentis magis accedentem^ quam circa corpus 'intimum maximum T, radiis ad ipfum duBiSy defcribere potefl. Nam corporis S attraftiones verfus T Se T componunt ipfius attraftionem abfolutam, quae magis dirigitur in cor- ^ J porum T Se T commune gravitatis ’ centrum O, quam in corpus maximum Ty quaeque quadrato diftantiae SO ma- gis eft proportionalis reciproce, quam quadrato diftantiae STz ut rem perpendenti facile conftabit. PROPOSITIO LXVIII. THEOREMA XXVIII. Pofitis 'iifdem attraBionum legibusy dico quod corpus exterius S, circa 'interiorum P • T commune gravitatis centrum O, radiis ad centrum 'illud duBisy defcribit areas tempo^ ribus magis proportionales y orbem ad formam ellipfeos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentemy fi corpus 'intimum Qf maximum his attraBionibus perinde at^ que ceetera agitetur y quam ft id vel non attraBum quiefcaty vel multo magis aut multo minus attraBum aut multo gis aut multo minus afitetur. Demonftratur eodem fere modo cum prop. lxvi. fed argumen- to prolixiore, quod ideo praetereo. Sufficeret rem fic aeftimare- Ex demonltradone propofitionis noviffimae liquet centrum^ in quod B b <^orpus iS6 PHILOSOPHIiE .NATURALIS n K M 0 T U Corporum corpus S conjunftis viribus urgetur, proximum efle communi cetv- tro gravitatis duorum illorum. Si coincideret hoc centrum cum' centro illo communi, & quiefceret commune centrum gravitatis corporum trium; defcriberent corpus S ex una parte,, & commune centrum aliorum duorum ex altera par- te, circa commune omnium centrum quiefcens, ellipfes accuratas. Liquet ^ hoc per corollarium fecundum propo- fitionis Lvni. collatum cum demon- ftratis in prop. txiv. & lxv. Pertur- batur ifte motus ellipticus aliquantulum per diftantiam centri duo- rum a centro, in quod tertium S attrahitur. Detur praeterea mo- tus communi trium centro, & augebitur perturbatio. Proinde mi- nima eft perturbatio, ubi commune trium centrum quiefcit ; hoc eft, ubi corpus intimum & maximum T lege caeterorum attrahitur : fitque major femper, ubi trium commune illud centrum, minuen- do motum corporis T,. moveri incipit, & magis deinceps magifque agitatur. Cert?/: Et hinc, fi corpora plora minora revolvantur circa maxi- mum, colligere licet quod orbitae defcriptae propius" accedent ad ellipticas, & arearum defcriptiones fient magis aequabiles, fi corpora- omnia viribus acceleratricibus, quae funt ut eorum vires abfolutae direfte & quadrata diftantiarum inverfe, fe mutuo trahant agitent- que,. & orbitae cujufque umbilicus collocetur in communi centro, gravitatis corporum omnium interiorum (nimirum umbilicus orbi- tae primae & intimae in centro gravitatis corporis maximi & inti- mi ; ille orbitae fecundae, in communi centro gravitatis corporum, duorum intimorum ; ifte tertiae, in communi centro gravitatis tri- um interiorum & fic deinceps) quam fi corpus intimum quiefcat & ftatuatur communis umbilicus orbitarum, omnium. PROPOSITIO- LXIX. THEOREMA XXIX. jf// JyJlemate corporum plurium A, B, C, D, ^c. fi corpus aliquod A trahit CiCtera omnia B, C, D, viribus- ac- celeratricibus qu£ fiint reciproce ut quadrata diPantiarum. a trai- PRINCIPIA MATHEMATICA. 187 a trahente-^ &’ corpus aliud B trahit etiam c ater a A C D vtribus qu(e funt reciproce ut quadrata difianttarum a trahente : erunt ahfolutde corporum trahentium A, B vi- res ad Invicem^ ut funt Ipfa corpora A, B, quorum funt vires. Nam attraftiones acceleratrices corporum omnium £, C, 2) ver- fus paribus dittantiis, fibi invicem aequantur ex hypothefi ; & fimiliter attradiones acceleratrices corporum omnium verfus By paribus diftantiis, fibi invicem aequantur. Efl autem abfoluta vis attradiva corporis ^ ad vim abfolutam attradivam corporis By ut attradio acceleratrix corporum omnium verfus ad attradionem acceleratricem corporum omnium verfus B, paribus diftantiis; & ita ett attradio acceleratrix corporis B verfus ^y ad attradionem acceleratricem corporis ^ verfus B. Sed attradio acceleratrix cor- poris B verfus ^ ett ad attradionem acceleratricem corporis ^ ver- fus By ut mafla corporis ^ ad mattam corporis^^S ; propterea quod vires motrices, quae (per definitionem fecundam, feptimam & oda- vam) funt ut vires acceleratrices & corpora attrada conjundim, hic funt (per motus legem tertiam) fibi invicem aequales. Ergo abfo- luta vis attradiva corporis ett ad abfolutam vim attradivam cor- poris By Ut malTa corporis ad maflTam corporis B. ^ E. 2). Coro/, r. Hinc fi fingula fyftematis corpora jiy By C, 2), &c. fe- orfim fpedata trahant caetera omnia viribus acceleratricibus, quae funt reciproce ut quadrata dittantiarum a trahente ; erunt corporum illorum omnium vires abfolutae ad invicem ut funt ipfa corpora. Coro/, 2. Eodem argumento, fi fingula fyftematis corpora B^ Cy 2), &c. feorfim fpedata trahant caetera omnia viribus accelera- tficibus,. quae funt vel reciproce, vel direde in ratione dignitatis cujufcuhque diftantiarum a trahente, quaeve fecundum legem quam- cunque communem ex diftantiis ab unoquoque trahente definiuntur ; conftat quod corporum illorum. vires abfolutae funt ut corpora. Coro/, 3. In fyftemate corporum, quorum vires decrefcunt in ra- tione duplicata diftantiarum, fi minora circa maximum in ellipfibus, umbilicum communem in maximi illius centro habentibus, quam fieri poteft accuratiffimis revolvantur ; & radiis ad maximum illud B b X dudis Db Mo T u Corporum i88 PHILOSOPHIAE NATURALIS duftis defcribant areas temporibus quam maxime proportionales t erunt corporum illorum vires abfolutae ad invicem, aut accurate aut quamproxime, in ratione corporum ; & contra. Patet per coroL prop. Lxviii. collatum cum hujus coroL SchoVmm. His propofitionibus manuducimur ad analbgfam inter vires ceU'* tripetas,- & corpora centralia, ad quae vires illae dirigi folent. Ra- tioni enim confentaneum eft, ut vires, quae ad corpora diriguntur,, pendeant ab eorundem natura & quantitate, ut fit in magneticis. Et quoties hujufmodi cafus ihcHunt, aeftimandae erunt corporum attraftiones,. affignando fingulis eorum particulis vires proprias, & colligendo fummas virium. Vocem attraftionis hic generaliter ufur- po pro corporum conatu quocunque accedendi ad invicem : five conatus ifte fiat ab aftione corporum, vel fe mutuo petentium, vel per fpiritus emiflbs fe invicem agitantium ; five is ab aftione aetheris, aut aeris, mediive cujufcunque feu corporei feu incorpo* rei oriatur corpora innatantia in fe invicem utcunque impellentis. Eodem fenfu generali ufurpo v;ocem impulfus, non fpecies virium & qualitates phyficas, fed q;uantitates & proportiones mathematicas, in hoc traflatu expendens, ut in definitionibus explicui. In mathcfi . inveftigandae funt virium quantitates & rationes illae, quae ex con- ditionibus quibufcunque pofitis Gonfeq-uentur : deinde, ubi in phy^ ficam> defcenditur, conferendae funt hse rationes cum^^ phaenome- nis; ut innotefcat quaenam virium conditiones fingulis corporum? attraftivorum generibus competant. Et tum demum de virium fpeciebus, caufis & rationibus phyfiGis tutius difputare licebit. Vi- deamus igitur quibus viribus corpora fphaerica, ex particulis modo jam expofito attradivis conflantia, debeant in fe, mutuo agere;. &. quales, motus inde confequantur, . SECTlOi PRINCIPIA mathematica. Liber P R l M U s. SECTIO XII. \ Z)e corporum fpharicorum vtrtbus attraBtvh, • • PROPOSITIO LXX. THEOREMA XXX. St cid fphartca fuperfiem pmBa fm^la tendant vires aqua-^- les centripet^e decrefcentes in duplicata ratione dtjlantiarum a pur£lis : itco qmd eorpufcutum intra fuperficiem confli^ tutum his viribus nullam in partem attrahitur. Sit HI KL fuperficies illa fphasrica, & T corpufculum intus con- ftitutum. Per T agantur ad hanc fuperficiem lineae duae HKy ILy , arcus quam minimos HlyKL intercipientes ; *&> ob triangula > LTK (per coroL 3. lem. vii.) fimilia, ar- cus illi erunt diftantiis HTy L T propor- tionales ; & fuperficiei fphaericae particu- lae quaevis ad HI &C'KLy reftis per pun- ftum T traufeuntibus undique terminatae, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires harum particularum in corpus T exercitae funt inter fe aequales. Sunt enim ut par- ticulae. direde, & quadrata diftantiarum in^ verfe. Et hae duae rationes componunt rationem” aequalitatis. tradiones igitur, in contrarias partes aequaliter fadae, fe mutuo dd-" ftruunt. Et fimili argumento, attradiones omnes per totam fphaeri- ^ eam fuperficiem a contrariis attradionibus deftruuntur. Proinde^* corpus ® nullam- in partem- his attradionibus impellitur. ^ E, PROPOSITIO LXXI. THEOREMA XXXi:. Jifdem pofitiSy dko quod corpufculum extra fphdericam fuper^ jiciem conflitutum attrahitur ad 'centrum fphdcr^ey vi reci-- proce iFy df pro aequalibus habe- antur; quippe quarum racio ultima, angulis illis 23 yiS, dpe fimul cvanefcentibus, eft aequalitatis. His itaque conftitutis, erit TI ad fPF ut R1 ad 23 /s & p f ad/ i ut df vel T>F ad ri; & ex aequo TFxpi MX. RI ad r/, hoc eft (per corol. 3. lem. vii.) ut arcus / // ad arcum i h. Rurfus FI ad y J ut 7 ^ ad J £, & ps zdipi ut se vel SE ad /j'; & ex aequo TI%ps ad TSxpi ut J^ad iq. Et conjunftis rationibus FI quad. x //x pszdi p i quad. y^FFxFSy ut 77/x/^ad ihy.iq\ hoc eft, ut fuperficies circu- laris, quam arcus /Tf convolutione femicirculi AKB circa diame- trum AB defcribet, ad fuperficiem circularem, quam arcus ih con- volutione femicirculi akb circa diametrum ab defcribet. Et vires, quibus hae fuperficies fecundum lineas ad fe tendentes attrahunt corpufcula 2" & /, funt (per hypothefin) ut ipfae fuperficies direde, & quadrata diftantiarum fuperficierum a corporibus inverfe, hoc eft, ut pfxps ad FFxFS, Suntque hae vires ad ipfarum partes obli- quas, PRINCIPIA MATHEMATICA. 191 quas, quae (fafta per legum corol z, refolutiane virium) fecundum lineas p s ad centra tendunt, ut T 1 T &c p i 2idi pq id ^ eft (ob fimilia triangula T S Fypiq & psf) ut TS ad TF ' & ps zdi pf. Unde, ex aequo, fit attraftio corpufculi hujus ^ verfus *y ad attraftionem corpufculi p verfus s, ut FFxpfxp s ad L I B ra R 1 M u- S*. ^ quad, ad T S qmd. Et fimili argu^ mento vires, quibus fuperficies convolutione arcuum KL^ kl de- fcriptae trahunt corpufcula, erunt ut p s quad. ad T S quad. inque eadem ratione erunt vires fuperficierum omnium circularium in quas utraque fuperficies fphaerica, capiendo femper sd aequalem 8t se aequalem SEy diftingui potelt. Et, per compofitionem, vires to- tarum fuperficierum fphaericarum in corpufcula exercitae erunt in eadem ratione. PRaPOSITIO Lxxn. theorema xxxii. Si' ad fphar^e cujufvis punBa ftnpula tendant vires de quales^ centripetde decrefcentes in duplicata ratione dijiantiarum a punllis-y ac detur tum fphderdc denfitasy tum ratio diametrh fphdcrdc ad d'tjiantiam_ corpufculi a centro ejus : dico quod vis, qua corpufculum attrahitur, proportionalis erit femidiame^ tro fphdcrde. Nam concipe corpufcula duo feorfim^ a'^^ fphaeris duabus attrahii unum ab una & alterum ab altera, & diftantias eorum a fphaerarum centris proportionales efie diametris fphaerarum refpeftive, fph^- ras autem refolvi in particulas- fimiles & fimiliter pofitas ad corpuf- cula. Et attraftiones corpufculi unius,- faflae verfus fingulas par- ticulas, fphaerae unius, erunt ad attraftiones alterius verfus analogas ^ totidem particulas fphaerae alterius, in ratione compofita ex ratione particularum direcle & ratione duplicata difiantiarum inverfe. Sed^' particulae funt ut fphaercE, hoc eil:, in ratione triplicata diametro- rum, & diitantiae funt ut diametri ; & ratio prior direde una' cum ’ ratione pofteriore bis inverfe eit ratio diametri ad diametrum. ^ E. T>. CoroL 19% PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu CoTol. I. Hinc fi corpufcuk iti circulis, circa fphaeras ex materia .aequaliter attraaiva conitantes, revolvantur ; fintque diftantiae a cen- tris fphffirarum proportionales earundem diametris : Tempora pe- riodica erunt aequalia. Corol. X. Et vice verfa, fi tempora periodica funt aequalia ; diftan- tiae erunt proportionales diametris. Conftant haec duo per corol. 3. prop. IV. Corol. 3. Si ad folidorum duorum quorumvis, fimilium & aequali- ter denforum, punfta fingula tendant vires aequales centripetae, de- crefcentes in duplicata ratione diftantiarum a punftis ; vires, qui- bus corpufcula, ad folida illa duo fimiliter fica, attrahentur ab iif- •dem, erunt ad invicem ut diametri folidorum. PROPOSITIO LXXIII. THEOREMA XXXIII. Si ad fphcera alicujm data punBa fmgula tendant aquales vires centripeta decrefcentes in duplicata ratione difiantia^ rum a punBis: dico quod corpufculum intra fpharam con^ fiitutum attrahitur vi proportionali difiantia fua ab ipftus centro^ In fphaera ABCT>^ centro Jdefcripta, locetur corpufculum T ; & centro eodem 5*, intervallo concipe fphaeram interi- orem defcribi. Manifeftum eft, (per prop. lxx.) quod fphaericae fuperficies concentrica, ex quibus fphaerarum diffe- rentia componitur, attraftionibus fuis per attraftiones contrarias deftruftis, nil agunt in corpus P. Reflat fola attra- ilio fphaerae interioris T E ^F. Et (per prop. lxxii.) hasc eft ut difiantia T S. ^ E. SchoUum^ Superficies, ex quibus folida componuntur, hic non funt pure mathematicae, fed orbes adeo tenues, ut eorum craffitudo inflar nihili PRINCIPIA mathematica. 193 nihili fit ; nimirum orbes evanefcentes, ex quibus fphaera ultimo conflat, ubi orbium illorum numerus augetur & craffitudo minui- tur in infinitum. Similiter per punfla, ex quibus linece, fuperficies, & folida componi dicuntur, intelligendae funt particulae aequales magnitudinis contemnendae. PROPOSITIO LXXIV. THEOREMA XXXIV. Ttfdem pofttis^ dico quod corpufculum extra fpharam conflitu- tum attrahitur vi reciproce proportionali quadrato dijlantite fu^ ab ipfms centro. Nam diflinguatur fphaera in fuperficies fphaericas innumeras con- centricas, & attraftiones corpufculi a fingulis .fuperficiebus oriun- dae erunt reciproce proportionales quadrato diflantiae corpufculi a centro (per prop. lxxi.) Et componendo fiet fumma attraflionum, hoc eft attraftio corpufculi in fphaeram totam, in eadem ratione. Corol. r. Hinc in aequalibus diflantiis a centris homogenearum fphaerarum attraftiones funt ut fphaerae. Nam (per prop. lxxii.) fi diflantiae funt proportionales diametris fphaerarum, vires erunt ut diametri. Minuatur diflantia major in illa ratione ; &, diflan- tiis jam faftis aequalibus, augebitur attraftio in duplicata illa ratio- ne ; ideoque erit ad attraftionem alteram in triplicata illa ratione, hoc efl, in ratione fphaerarum. Corol, X. In diflantiis quibufvis attraftiones funt ut fph^3erae appli- catae ad quadrata diflantiarum. Corol. 3. Si corpufculum, extra fphaeram homogeneam pofitum, trahitur vi reciproce proportionali quadrato diflantiee fiiae ab ipfius centro, conflet autem fphaera ex particulis attraftivis ; decrefcet vis particula cujufque in duplicata ratione diflantiae a particula. PROPOSITIO LXXV. THEOREMA XXXV. 4S"/ ad fphdcrre dat ce ptmBa fmgula tenda?it vtres ecquales cen'- tripetcc^ decrefeentes in dupheata ratione diflantiarum a C c punctis j De Motu Cokporum ^ PHILOSOPHIiE NATURALIS punElls • dko quod fph^ra qudevh alta Jimilarh ah eadem attrahitur vi reciproce proportionali quadrato dijlantit^ centrorum. Nam particulae cnjufvis atrraftio eft reciproce ut quadratum di- ftantiae fuae a centro fphaerae trahentis, (per prop. lxxiv.) & prop- terea eadem eft, ac fi vis tota attrahens manaret de corpufculo unico fito in centro hujus fphaerae. Haec autem attradio tanta eft, quan- ta foret viciflim attradio corpufculi ejufdem, fi modo illud a fin- gulis fphaerae attradae particulis eadem vi traheretur, qua ipfas at- trahit. Foret autem illa corpufculi attradio (per prop. lxxiv.) re- ciproce proportionalis quadrato diftantiae fuae a centro fphaerae 5 ideoque huic aequalis attradio fphaerae eft in eadem ratione. ^E.T>, CoroL I. Attradiones fphaerarum, verfus alias fphaeras homoge- neas, funt ut fphaerae trahentes applicatae ad quadrata diftantiarum centrorum fuorum a centris earum, quas attrahunt. CoroL X. Idem valet, ubi fphaera attrada etiam attrahit. Nam- que hujus punda fingula trahent fingula alterius eadem vi, qua ab^ ipfis viciflim trahuntur ; ideoque cum in omni attradione urgeatur (per legem 3.) tam pundum attrahens, quam pundum- attradum,,. geminabitur vis attradionis mutuae, confervatis proportionibus, CoroL 3. Eadem omnia, quae fuperius de motu corporum circa umbilicum conicarum fedionum demonftrata funt,. obtinent, ubi fphaera attrahens Tocatur in umbilico, & corpora moventur extra fphaeram. CoroL 4. Ea vero, quae de motu corporum circa centrum coni- carum^ fedionum demonftrantur, obtinent ubi motus peraguntur in> tra fphaeram. PROPOSITIO LXXVI. THEOREMA XXXVL Si fph^er de in progrejfu a centro ad' circumferentiam (quoad^ matertce denfitatem Sf vim attraBivam) utcunque diffimi- lares ^ .in progrejfu vero per circmtum ad datam omnem centro diBanUam funt undtque fmdaresi vis attraBiva' punBi cujufque decrefcit in duplicata ratione diBantide cor- PRINCIPIA MATHEMATICA. 195 porh attraBt : dtco quod vis tota^ qua hujufmodi fphara una attrahit ahamy fit reciproce proportionalis quadrato diBanttre centrorum. Sunto fphaerae quotcunque concentricae fimilares AB^ CT>, EFy &c. quarum interiores additae exterioribus componant materiam denfiorem verfus centrum, vel fubdudae relinquant tenuiorem ; & hae (per prop. lxxv.) trahent fphaeras alias quotcunque concentricas fimilares G //, I L M, &c. fingulae fingulas, viribus reciproce proportionalibus quadrato diftantiae ST, Et componendo vel divi, dendo, fumma virium illarum omnium, vel exceffus aliquarum fu- pra alias ; hoc eit, vis, qua fphaera tota, ex concentricis quibufcun^ que vel concentricarum dif- ferentiis compofita A tra- hit totam ex concentricis quibufcunque vel concen- tricarum differentiis com- pofitam GH ; erit in eadem ratione. Augeatur nume- rus fphaerarum concentrica- rum in infinitum fic, ut ma- ^ teriae denfitas una cum vi attraftiva, in progreifu a circumferentia ad centrum, fecundum legem quamcunque crefcat vel decrefcat ; &, addita materia non attradiva, compleatur ubivis denfitas defi- ciens, eo ut fphaerae acquirant formam quamvis optatam ; & vis, qua harum una attrahet alteram, erit etiamnum, per argumentum fuperius, in eadem illa diftantise quadratae ratione inverfa. ^ E, 2), CoroL I. Hinc fi ejufmodi fphaerae complures, fibi invicem per omnia fimiles, fe mutuo trahant ; attraftiones acceleratrices lingula- rum in fingulas erunt, in aequalibus quibufvis centrorum diftantiis, ut fphaerae attrahentes. CoroL z. Inque diftantiis quibufvis inaequalibus, ut fphaerae attra* hentes applicatae ad quadrata diftantiarum inter centra. CoroL 3. Attraftiones vero motrices, feu pondera fphaerarum in fphaeras erunt, in aequalibus centrorum diftantiis, ut fphaerae attra- C c X hentes jpd PHILOSOPHIAE NATURALIS Df. ■'“foTu lientes & attraftas conjundlim, id eft, ut contenta fub fphaeris- per CoHP.RUM produdla. Coro/. 4. Inque. diltantiis inaequalibus, ut contenta illa diredle & quadrata dillantiarum inter centra inverfe. Coro/. 5. Eadem valent, ubi attraftio oritur a fphaerae utriufque virtute attrafliva mutuo exercita in fphaeram alteram. Nam viri- bus ambabus geminatur attraftio, proportione fervata. Coro/. 6. Si hujufmodi fphaerae aliquae circa alias quiefcentcs re^ volvantur, fingulae circa fmgulas; fmtque dillantiae inter cemra re- volventium & quiefcentium proportionales quiefcentium diametris ; aequalia erunt tempora periodica. Coro/. 7. Et viciffim, fi tempora periodica funt aequalia ; diftantias erunt proportionales diametris. Coro/. 8. Eadem omnia, quae fuperius de motu corporum circa umbilicos conicarum fedlionum demonftrata funt, obtinent ; ubi fphaera attrahens, formae & conditionis cujufvis jam defcriptae, lo- catur in umbilico. Coro/. 9. Ut & ubi gyrantia funt etiam fphaerae attrahentes, con- ditionis cujufvis jam defcriptae. PROPOSITIO LXXVII. THEOREMA XXXVII. S/ ad ftngula fphcerarttm punBa tendant vires centrlpetce pro- portionales dljlantlls punBorum a corporibus attradlls : dico quod vis compoftta, qua fphoera dua fe mutuo trahent ^ eil ut dlBantia Inter centra fph cerarum. Caf. I. Sit JEBF fph$ra ; S centrum ejus ; T corpufculum at- tradlum, TASB axis fphaerae per centrum corpufculi tranfiens;, EF, «■/ plana duo, quibus fphaera fe- catur, huic axi perpendicularia, & hinc inde aequaliter dillantia a cen- tro fphaerae ; G, g interfedliones planorum & axis ; & Fi pundlum quodvis in plano EF. Pundii // vis centripeta in corpufculum F, fecundum lineam IP i/ exercita, eft PRINCIPIA MATHEMATICA. 19^ efl ut diftantia TH ; & (per legum corol. x.) fecundum lineam TG, ^ feu verfus centrum Sy ut longitudo Igitur punftorum omni- ^ um in plano E Fy hoc eft plani totius vis, qua corpufculum F tra* hitur verfus centrum S, eil ut diftantia- !PG multiplicata per nume- rum punftorum, id eil, ut folidum quod continetur fub plano ipfo EF Sc diilantia illa FG. Et iimiliten vis plani e fi qua corpufcu- lum F trahitur verfus centrum S, eil ut planum illud duttum in di- llantiam fuam F gy five ut huic aequale planum £'Fdudum in di- flantiam illam Fg ; & fumma virium plani utriufque ut planum EF dudtum in fummam diilantiarum FG-\-Fgy id eil, ut planum illud, duftum in duplam centri .& corpufculi diilantiam FSy hoc eil, ut duplum planum EF duftum in diilantiam F Sy vel ut fumma ae- qualium planorum EF+ef dufta in diilantiam eandem. Et fimili argumento, vires omnium planorum in fphaera tota, hinc inde qualiter a centro fphsers diilantium, funt ut fumma planorum du- fta in diilantiam FSy hoc eil, ut fphaera tota & ut diilantia conjunflim. ^ E.F>. Caf. 2. Trahat jam corpufculum F fphaeratn AEBF, Et eodem argumento probabitur quod vis, qua fphaera illa trahitur, erit ut diilantia F S. §^E.T>. Caf. 3. Componatur jam fphaera altera ex corpufculis inuumeris F ; & quoniam vis, qua corpufculum unumquodque trahitur, eil ut diilantia corpufculi a centro fphaerae primae & ut fphaera eadem conjunftim, atque ideo eadem eil, ac fi prodiret tota de corpufculo unico in centro fphaerae ; vis tota, qua corpufcula omnia in fphaera fecunda trahuntur, hoc eil, qua fphaera illa tota trahitur, eadem erit^,^ ac fi fphaera illa traheretur vi prodeunte de corpufculo unico in centro fphaerae primae, & propterea proportionalis eil diilantiae iii> ter centraTphaerarum. ^. E.T>: ' Caf 4. Trahant fphaerae fe mutuo, & vis geminata proportionem priorem fervabit. ^ E. 2). Caf s» Locetur jam corpufculum / intra fphaeram AEBF-y quoniam vis plani e f in corpufculum efl ut folidum contentum fub plano illo & diilantia fg;, & vis contraria plani EF ut folidum contentum fub plano illo & diilantia / G ; erit vis ex utraque Gompofita ut differentia folidorum, hoc efl, ut fumma aequa- lium planorum dufta in femiirem differentiae diflantiarum, id eft. 198 PHILOSOPHIA NATURALIS fumma illa dufta in / dittantiam corpufculi a centro fphaerse. Et fimili argumento, attraftio planorum .omnium E e fm fphaera tota; hoc eil, attraftio fphaerse totius, eft conjunftim ut fumma planorum omnium, feu Tphaera to- ta, & ut / J dillantia corpufculi a centro ^ fphaerae. ^ E, 2). Caf. 6. Et fi ex corpufculis innumeris / componatur fphaera nova, intra Iphaeram priorem AE BF{\12l\ probabitur ut prius quod attraftio, five fim-» plex fphaerae unius in alteram, five mutua utriufque in fe invicem, erit ut diftantia centrorum / ^ E. T>. PROPOSITIO LXXVIII. THEOREMA XXXVIII. Si fphierte in progrejfu a centro ad circumferentiam fint utcun-- que difjimilares inaequabiles in progrejfu vero per cir-^ cuitum ad datam omnem a centro difiantiam fmt undique ftmilares ^ Sf vis attraBiva punBi cujufque fit ut diflau'- tia corporis attraBi : dico quod vis tota qua hujufmodt fpharce du^e fe mutuo trahunt fit proportionalis difi antiae inter centra fphoerarum. Demonftratur ex propofitione praecedente eodem modo, quo propofitio Lxxvi. ex propofitione lxxv. demonftrata fuit. Corol. Qux fuperius in propofitionibus x. & lxiv. de motu cor- porum circa centra conicarum feftionum demonftrata funt, valent ubi attraftiones omnes fiunt vi corporum fphaericorum conditionis jam defcriptae, & attrafta corpora funt fphaerae conditionis ejufdem. Scholium. Attraftionum cafus duos infigniores jam dedi expoficos ; nimi- rum ubi vires centripetae decrefcunt in duplicata diftantiarum ra- tione, vel crefcunt in diftantiarum ratione fimplici ; efficientes in utroque cafu ut corpora gyrentur in conicis fettionibus, & com- ponentes corporum fphaericorum vires centripetas eadem lege,, in receflU PRINCIPIA mathematica. 199 receffu a centro, decrefcentes vel crefcentes cum feipfis: Quod ell Liber notatu dignum. Cafus caeteros, qui conelufiones minus elegantes exhibent, figillatim percurrere longum efTet. Malim cunftos me- ( thodo generali limul comprehendere ac determinare, ut fequitur.. \ LEMMA XXIX. SI de fcnhantur centra S circulus qutlihet AEB, ^ centro P' circuli duo 'i. V y fecantes priorem in E, e, lineamque PS^ in F, f ; ad V S demittantur perpendicula E D, e d : dico ’ quody ft difiantia arcuum E F, e f m infinitum minui inteh ligatur^ ratio ultima hneae evanefc entis D d ad lineam eva^ nefcentem Ff ea ft^ qude line^ FF ad lineam P 5»^ Nam fi linea e fecet arcum EF m q\ & refta quae cum^ arcu evanefcente E e coincidit, produfta occurrat reftae TS ixxT ; , & ab 4^ demittatur vs\F E normalis SG : ob fimilia triangula T>TE,, dTey T>ESi erit T>d ad Ecy ut Z)r ad TE, feu DE ad ES^. &ob triangula ESG (per lem. viii. & coror s. I^m. vir.) ) fimilia, erit Ee^d^eq feu F/ ut ad ; & ex aequo, Ff\xx. DE SG; hoc eft (ob fimilia triangula !P2>jE:,’!PGJ)} vitTE^dTS. ^E.D. PROPO-^ 200 PHILOSOPHli£ NATURALIS D B Motu Corporum PROPOSITIO LXXIX. THEOREMA XXXIX. 6/ fuperfictes oh latitudinem infinite diminutam jamjam eva- nefcens E F f e , convolutione fiui circa axem P defcribai fohdum fphd^ricum concavo-convexum^ ad cujus particulai fiin^das ecquales tendant ecquales vires centripetec: dico quod visj qua fohdum illud trahit corpufculum fitum m P, eji in ratione compofita ex ratione fohdi D E ^ x F f, ^ ratione vis qua particula data in loco F f traheret idem corpufculum. Nam fi primo confideremus vim fuperficiei fphaBricae FEy quae convolutione arcus F E generatur, & a linea d e ubivis fecatur in r ; erit fuperficiei pars annularis, convolutione arcus r E genita, ut lineola 2)^, manente fphaerae radio (uti demonftravit medes in lib. de Sphara & Cylindro.) Et hujus vis, fecundum line- as vel Tr undique in fuper- ficie conica fitas -exercita, ut haec ipfa fuperficiei pars annularis ; hoc eft, ut lineola ® vel, quod pe- rinde^eft, ut reftangulum fub dato fphaerae radio T E &c lineola illa jo d : at fecundum lineam TS centrum S tendentem minor in ratione ad F E, ideoque ut FT>xF)d. Dividi jam intelliga- tur linea in particulas innumeras aequales, quae fingulae nomi- nentur "Ed ; & fuperficies FE dividetur in totidem aequales annu- los, quorum vires erunt ut fumma omnium FExE dy hoc cll, ut r F Fq — ^FE qy ideoque ut E E quad. Ducatur jam fuperficies F E in altitudinem Ff\ & fiet folidi E Ffe vis exercita in corpuf- culum P ut EEqxFf: puta li detur vis quam particula aliqua data Ff\x{ diflantia FF exercet in corpufculum F. At fi vis illa non detur, fiet vis folidi EFfe ut folidum EEqxFf vis illa iion data conjundim. E, E. PROPO- PRINCIPIA MATHEMATICA. iOI PROPOSITIO LXXX. THEOREMA XL, Si ad fphara altcujus AB E, centro S defcript^, particulae Jingulas aquales tendant aquales vires centripeta, ad fph ane axem AB, in quo corpufculum aliquod P locatur^ erigantur de punBk ftngulis D perpendicula DE, fphara occurrentia in E, 6f in ipfts capiantur lortgttudines DN, DE^xPS ^ . , ut quantitas — — er m, quam jphara par-' ticula (Ita in axe ad dijiantiatn P E exercet in corpufculum P, conjunBim : dico quod vis tota, qua corpufculum P tra- hitur verfm fpharam, eji ut area A N B comprehenfa fub axe fphara AB, fmea curva ANB, quam pun- Bum N perpetuo tangite Etenim flantibus quae in lemmate & theoremate noviiRmo con- ftruita funt, concipe axem fphaerae A B dividi in particulas innu- B meras aequales T) d, ?>c fphaeram totam dividi in totidem laminas fphaericas concavo-convexas EFfe-, & erigatur perpendiculum dn. Per theorema fuperius vis, qua lamina E Ff e trahit corpufculum ‘P , efl ut Z) A ^ X F/ & vis particulae unius ad diflantiam PE vel PF D d exercita PHILOSO^HIylL .NATURALIS Dh Motu COKPOEUM exercita conjunftim. Eit autem (per lemma noviflimum) T> d ad FfutTE adPJ, &inde F/ aequalis ; &:T>EqxFf cjy E c! xF S aquale T)d 'vc\ — — , & propterea vis lamina A Ffe eft ut T)d\n ‘DEqy.TS TE & vis particula ad diftantiam TF exercita con- junftim, hoc eft (ex hypothefi) ut T) NxT) d,' feu area evanefcens ‘DNtid. Sunt igitur laminarum omnium vires, in corpus P exer- cita, ut area omnes ‘DNndy hoc eft, fphara vis tota ut area tota jlNB. ^E.D. ' * • 4 Corol. I. Hinc fi vis centripeta, ad particulas fingulas tendens, eadem femper maneat in omnibus diflantiis , & fiat 2) iV ut F) E cf X F S ' — F^ * corpufculum a fphaera attrahitur, ut area ANB. Corol. 2. Si particularum vis centripeta fit reciproce ut diftantia corpufculi a fe attrafti,^ & fiat ©iVut 5 vis, qua eorpufculum F a fphsera tota attrahitur, ut area AN B. Corol. 3. Si particularum vis centrjpeta fit reciproce ut cubus di- fiantise corpufculi a fe attrafli, & fiat F> N vx vis, qua corpufculum a tota fphaera attrahitur, ut area AN B. PRINCIPIA mathematica. i03 Corel. 4. Et univerfaliter fi vis centripeta ad finguks fphaeree par- ticulas tendens pdnatuf elTe leciproce ut quantitas V, fiat autem * • sA ^ X tS* ■* ©iNT ut — corpufculum a fphaera tota at^ trahitur, ut, area - Ll B F- R 1 P R I M U S-. • PROPOSITIO LXXXI. - PROBLEMA XLI-. • Stantibus jam pofitis^ menfuranda ejl area ANB.” A punf^ T ducatur refta T H fphaeram tangens in Hy & ad axemvtP-^^ ^emifla normali 'AT/, bifecetur-P / in Z^r&erit (per prop. xfi. lib. velem.) aequale T S,q Eq ST>. Eft autem Stlq (ob fimilitudineru triangulorupi aequale reftangulo T SI. Ergo TEq aequale ell contento fub TS & 9 hoc eft, fub TS & xLS + xST>, id eft, fub 1PS8c xLT^. Porro ^Equad, aequale eft SEq — S'7)qyk\xSEq-^ i,Sq-^.SEq feu LSq ^ SAq (per prop. vi.. lib. elem.) aequatur reftangulo AEB. Scribatur itaque 2. «y I ALB pro iZ)Af t & quantitas fecundum corol- latium quartum propofitionis prsecedentis eft ut =tim applicatae 2) AT, refolvet fefe in tres partes g^£xV I LT), defcribet aream V id efl:, aream itidem per motum localem norma# liter in eandem longitudinem, defcribet are- t\ am hyperbolicam ; quae fubdufta de area SL X AB relinquet aream quaefitam AN B, Unde talis emergit problematis, conftruftio. Ad punfta Z/, A^ B erige perpendicula Ll^ Am, Bb, quorum ^^^ ipfi LB, &.Bb ipfi. aequetur. Afymptotis Z/, LB, per pum sj a ^ a b defcribatur hyperbola a b. Et afta chorda b a claudet are- am d h a areae quaefit^ ANB aequalem. Exemflt z. Si vis .centripeta ad fingulas fphaerae particulas tendens fit reciproce ut cubus diftantiae, vel (quod perinde eft) ut cubus ille applicatus ad -planum quodvis datum-; fcribe pro>V zASq ^ ’ dE-in x^J-xA® pro TEq-, & fiet ®iVut TSxLT) 1.TS —AEB PRINCIPIA mathematica. loy Continue proportionales 5» J, 4Sy S 1) LiSI t p r jiLBxSI c" j » u • ut — iSI — . St ducantur hujus partes tres UD LBq LSI in longitudinem A B, prima generabit, aream hyperboli- cam ; fecunda v SJ aream tertia xLT>q aream jiB B S L L B y. S I ^ * 4 d ^ vr r\ • rii — 2^L~^ z^ZTB — * ^ /%ByS L De prima fubdu* eatur fumma fecundae & tertiae, & manebit area quaefita ANB. Unde talis emer- git problematis conftruftio. Ad punfta^ Ly Ay Sy B erige perpendicula Lly A Uy Ssy B by quorum S s ipfi S 1 aequetur, perque punftum s afymptotis L ly L B defcribatur hyperbola 4 J ^ occurrens perpendiculis - a i 5 B jB ^ in ^ & reftartgulum %ASI fubduftum de area hyperbo^ lica Aas b B relinquet aream quaefitam A NB. ExemfL 3. Si vis centripeta, ad fingulas fphaerae particulas ten- dens, decrefcit in quadruplicata ratione diflantiae a partkulfe 5 fcribe pro V, dein VTpTjTZ© pro & fiet DN ut Libes.' P 8. 1 M U s. SIq%SL r — STq i - SIqv.ALB ^ ^ >JzSr ”“x“7il7^VL!D ~ x^/^SI ^>JL‘Dqc- Cujus Db Motu Corporum PHILOSOPHIiE NATURALIS Cujus tres partes duftas in longitudigem AB, producunt areas to. * . ‘tSIqy.SL . I I ' Slq .V ■ ■■-y.. ' — — . tidem, TTb' ;?r37 ^ ^ ^ ^ f - Slqy^ALB . i I' ‘t7 ■, 'r, ■, ' & -ITTj— TJLJTlib- TlbM: j j • * ■ ** duaionem fiunt^^l^— , .& Hte ver®, fubdudis pofteriofibus^de priorC) -evadunt ^ j*"- Proinde vis tota, qua corpuiculum 5P in fphaerae centrum trahitur, id eft, reciproce ut cub, x 2^/. I- Eadem methodo determinari poteft attraftio corpufculi fiti in- tra fphaeram, fed expeditius per theorema fequens. PROPOSITIO LXXXIL THEOREMA XLL In fph^era centro S intervallo S A def cripta^ fi capiantur S I, SA, SP continue proportionales : dico quod corpufculi intra' fphderam^ lyi loco quovis I, attraBio eji ad attraBionem ipfius extra fphderam,^ in loco P, m ratione cornpofita ex fuh- duplicata ratione diflantiarum a centro I S, P S, fubdu-- jpMcma- ^ratT^ centripetarum^ in locis iiJis^ P ^ I, centrum tendentium. • Ut, PRINCIPIA,.MATHEMATXCA. 207 Ufr fi vires centripetae particularum fphserae fint rccjptQc? ftantias corpufculi a fe attrafll; vis/ qua corpiifcolum fjtvna in / trahitur a fphaera tota, erit ad virn, qi^ trahitur^in in ratione compofita ex fubduplicata ratione dirtanticB J / ad difiantiam & ratione fubduplicata vis centripetae in loco /, a partieula aliqua in centro oriundae, ad vim cen tripe tam .in loco" ^ ah jeadem in cen- tro particula oriundam, id eft, ratione fubdgplicaU diflantiarum S h 2^ ad 'invicem reciproce. duae rationes fuhduplicatae compontirit ratiorfem aequalitatis, & propterea dttraftiones in / & 2^ a fphaera tota faftae aequantur. Simili computo, li vires particula- rum fphaerae funt reciproce in duplicata ratione diilantiarum, col- ligetur quod attraftio in I fit ad attraftionem in P, ut difiantia SV ad fphaerae femidiametrum S : Si vires illae funt reciproce in tripH^ L ^ M W Ut ST quad. ad quad. : Si in quadruplicata, ut ^2^ cub, ad S A ctib. Unde" cum attraftio in P, in hoc ultimo cafu, inventa fuit reciproce ut T S cub.xT attraftio in 1 erit reciproce ut SAcub, xTI^ id eft (ob datum SAcub,) reciproce ut TI. Et fimilis eft progreflus in infinitum. Theorema vero fic demonftratur. Stantibus jam ante conftruftis, & exiftente corpufculo in loco quovis T, ordinarim applicata 2) i\r inventa fuit ut ■ Ergo fi agatur I ordinata illa pro alio quovis corpufculi loco /, mutatis mutandis, evadet ut . Pone vires centripetas, e IE%\ fphaerae io8 PHILOSOPHIiE NATURALIS De Mo T u . Corporum fphaeree punfto quovis E manantes, cfle ad invicem in diftantiis lEy TE, ut SPfi'* ad (ubi numerus n defignet indicem poteftatum TE 6c lE) & ordinatae illae fient ut & ^ TE y. TE’* quarum ratio ad invicem eft ut JP Jx/£x/£Vad ISkTExTE"*. Quoniam ob continue proportionales SI, SE, ST, fimilia funt triangula STE, SEI, 8c inde fit lE ad TE ut ifiT ad SE vel S^; pro ratione lE ad TE fcribe rationem /Jad Syf; & ordinatarum ratio evadet TSxIE*" ad SAy.TE'", Sed j TS S A fubduplicata eft ratio diftantiarum TS, SI; & I E*" ad (ob proportionales /^ad TE ut /Jad SA) fubduplicata eft ratio virium in diftantiis T S, IS. Ergo ordinatae, & propterea areae quas ordinatae defcribunt, bifque proportionales attradiones, funt in ratione compofita ex fubduplicatis illis rationibus. ^E. T>, P RO P O S I T I O LXXXIIL PROBLEMA XLIL Invenire vim qua corpufculum in centro fphder^e locatum ad ejus fegmentum quodcunque attrahitur. Sit T corpus in centro fphaerae, R B S T> fegmentum ejus plano RT) S &: fuperficie fphaerica R B S contentum. Superficie fphaerica EFG centro T defcripta fecetur T>B in F, ac diftin- guatur PRINCIPIA MATHEMATI guatur fegrnentum in partes B R E FG Sj F E F) G. Sit autem fuperficies illa non pure mathematica, fed phyfica, profundi- tatem habens quam minimam. Nominetur iita profunditas O, & erit haec fuperficies (per demonftrata Archimedis) ut TFy^^F xO. Ponamus praeterea vires attraftivas particularum fphaerae efle reciproce ut di- ftantiarum dignitas illa, cujus index eft n ; & vis, qua fuperficies EFG trahit corpus T, erit (per prop. lxxix.) ut — , id efty xT)FxO ^Fqy.0 ut — — cppn--x cp pn Huic propor- tionale fit perpendiculum FN duftum in O ; & area curvilinea B T> I, quam ordinatim applicata FN in longitudinem ® B per motum continuum dufta defcribit, erit ut vis tota qua fegrnentum totum RB ST> trahit corpus T, ^ E. /. PROPOSITIO LXXXIV. PROBLEMA XLllI. Invenire vim^ qua corpufculum^ extra centrum fpharde in axe fegmenti cujufvis locatum^ attrahitur ah eodem fegmento. A fegmento EBK trahatur cor- pus T in ejus axe AT) B loca- tum. Centro 5P intervallo F E defcribatur fuperficies fphaerica E F Kj qua diitinguatur fegmen- tumin partes duas EBKFE & EFKT>E. Quaeratur vis partis prioris per prop. lxxxi. & vis par- tis pofterioris per prop. lxxxi ii ; & fumma virium erit vis fegmen- ti totius EBKDE. ^ E, L E e t Scholitm lio n B Motu CorpuRum PHILOSOPIII^£ NATURALIS Scholmm. Explicatis attraftionibus corporum fphaericorum, jam pergere liceret ad leges attraftionum aliorum quorundam ex particulis at- traftivis fimiliter conltantium corporum ; fed iila particulatim tra- ctare minus ad inlUtutum fpeCtat. Suffecerit propofitiones quaf- dam generaliores de viribus hujufmodi corporum, deque motibus inde oriundis, ob earum in rebus philofophicis aliqualem ufum, fub- jungere. SECTIO XIII. De corporum non fph id elt, ut corporum latera illa cu- A quacL, B quad, * bica A Sc B, Si vires particularum decrefcant in ratione triplicata diilantiarum a corpufculis attradis; attradiones acceleratrices in A cub. o B cub, . . rL 1 • j corpora tota erunt ut ^ ^ , id elt, aequales, oi vires de- crefcant in ratione quadruplicata ; attradiones in corpora erunt ut , id eft, reciproce ut latera cubica A & B. Et fic Aqq. Bqq. ^ in caeteris. Corol. Unde viciffim, ex viribus, quibus corpora fimilia trahunt corpufcula ad fe fimiliter pofita, colligi poteft ratio decrementi vi- rium particularum attradivarum in recelTu corpufculi attradi ; li modo decrementum illud fit direde vel inverfe in ratione aliqua diltantiarum. PROPOSITIO LXXXVIIL THEOREMA XLT, yi parttcularum dcqualtum corporh cujufcunque vires attraBi- v^e Jmt ut dtjiantice locorum a particulis : vis corporis totius tendet ad ipfius centrum pavitatis ; Sf eadem erit cum vi globi ex materia confimiU ce quali conflantis ^ centrum habentis in ejus centro gravitatis. Corporis RSTV particulae A\ B trahanT corpufculum aliquod ^ viribus, quae, fi particulae aequantur inter fe, fint ut dillantia^ A Zy BZ\ fin particulae ilatuantur inaequales, fint ut hae particulae & ip- farum dillantiae AZ.^ conjundim, five (fi ita loquar) ut hae par- ticulae in dillantias fuas ^^Trefpedive dudae. Et exponantur hae P'R I N C I P I A M AT H E M AT I CA. n 3 hae vires per contenta illa Ay.AZ 8c BxBZ. Jungatur AB, & Liber fecetur ea in G ut {\t AG zd BG ut particula B acf^rticulam & erit G commune centrum gravitatis particularum A &: B. Vis Ax AZ (per legum corol. 2.) refolvitur in vires Ay>. GZ & AyAG & vis^x^^in vires BxGZ&c B%BG, Vires autem AyAQ & ByBGy ob proportionales A 2id B 8c BG ?id A G, aequantur ; ideoque cum dirigantur in partes ^ contrarias, fe mutuo deftruunt. Reliant vires A x GZ & ByGZ, Tendunt hae ab Z verfus centrum G, & vim A ByG Z compo- nunt ; hoc eft, vim eandem ac fi particulae attraftivae A Sc B confiderent in eorum communi gravitatis centro G, globum ibi componentes. Eodem argumento, fi adjungatur particula tertia C, & compona- tur hujus vis cum vi ’A-}-B x GZ tendente ad centrum G ; vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi illius in G & particulae C ; hoc eft, ad commune centrum gravitatis trium par- ticularum Ay By C; &: eadem erit, ac fi globus & particula C con- iifterent in centro illo comihuni, globum- majorem ibi componen- tes. Et fic pergitur in infinitum. Eadem eft igitur vis tota parti- cularum omnium corporis cujufcunque RSTVy ac fi- corpus illude fervato gravitatis centro, figuram globi indueret. ^ Corol, Hinc motus corporis attrafli Z idem erit, ac fi corpus at- trahens RSTV ellet fphaericum & propterea fi corpus illud attra- hens vel quiefcat, vel progrediatur uniformiter in direftum ; cor- pus attraftum movebitur in ellipfi centrum habente in attrahentis centro gravitatis. PROPOSITIO LXXXIX. THEOREMA XLVL ^ Si corpora fint plura ex parttcuhs ^quahhus conjlantia^ quarum^ vires funt ut dtjl antice locorum a fmguhs : vts ex omnlum- vtrihus compofita^ qua corpufculum quodcunque trahitur^ tendet ad trahentium commune centrum gravitatis ^ ea- dem 214 PHILOSOPHIA NATURALIS ^ dem erity ac ft trahentta illa^ fervato gravitatis centro com^ mtini^ coirent in glohum formarentur. Demonftratur eodem modo, atque propofitio fuperior. Corol. Ergo motus corporis attrafti idem erit, ac fi corpora tra- hentia, fervato communi gravitatis centro, coirent & in globum formarentur. Ideoque fi corporum trahentium commune gravitatis centrum vel quiefcit, vel progreditur uniformiter in linea reda ; corpus attraftum movebitur in ellipfi, centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis. PROPOSITIO XC. PROBLEMA XLIV. Si ad fmgula circuli cujufcunque punEla tendant vires aquales centripeta^ crefcentes vel decrefcentes in quacunque diflan-- tiarum ratione : inveriire vim^ qua corpufculum attrahitur ubivis pofitum m reBa^ qua plano circuli ad centrum ejus perpendiculariter injijlit. ’ Centro A intervallo quovis A^, in plano, cui reda AT per- pendicularis eft, defcribi intelligatur circulus ; & invenienda fit vis, qua corpufculum quodvis T in eundem attrahitur. A circuli pun- do quovis E ad corpufculum attradum T agatur reda T E, In reda TA ca- piatur TF ipfi TE aequalis, & erigatur normalis FK^ quae fit ut vis qua pun- dum E trahit corpufculum T, Sitque IKL curva linea quam pundum K per- petuo tangit. Occurrat eadem circu- li plano in L. In TA capiatur T H aequalis TT)^ & erigatur perpendicu- lum HI curvae praedidae occurrens in I ; & erit corpufculi T attradio in cir- culum ut area AHIL duda in altitudinem AT. ^ E.I. Etenim in A E capiatur linea quam minima E e. Jungatur T & in TA capiantur PC, y/ipfi Te aequales. Et quoniam vis, E C/ cTF n P ^ : : ^ 1 i L PRINCIPIA mathematica. nj vis, qua annuli centro A intervallo A E in plano pradifto defcripti punftnm quodvis E trahit ad fe corpus E, ponitur elTe ut F K, & inde vis, qua punftum illud trahit corpus ‘P verfus A, elt ut % F K ■ & vis, qua annulus totus trahit corpus T verfus ut X FK annulus & — — conjunftim ; annulus autem ifte eft ut reftan- gulum fub radio A E & latitudine Ee^ &c hoc reftangulum (ob pro- portionales FE & AE^ E e C E) aequatur reftangulo FExCE feu TE X Ff-^ erit vis, qua annulus ifte trahit corpus T verfus A^ AT V FK ut TE X Ff & — conjunftim, id eft, ut contentum Ffx FK %AT^ five ut area FKkf dufta in AT. Et propterea fumma virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro A & interval- lo defcribitur, trahunt corpus T verfus A^ eft ut area tota AHIKL dudla in AT, ^E,T>. CoroL I. Hinc fi vires punftorum decrefcunt in duplicata diftan- % tiarum ratione, hoc eft, fi fit F K yxt y p ^qmd ’ AHIKL ut ^^5 erit attraftio corpufculi T in circulum TA . , ^ AH ut I ““ T H^ ^ elt, ut

aio corpufculi P in circulum ut p//-— Corel. 3. Et fi diameter circuli augeatur in infinitum, & numerus » fit unitate major ; attradio corpufculi P in planum totum in- finitum erit reciproce ut PA'~^, propterea quod terminus alter PA PH n — I evanefcet. PROPO- PHILOSOPHIiC NATURALIS ii6 De Motu CokPORUM PROPOSITIO XCI. PROBLEMA XLV» Jyivemre attraB tonem corpufcult fttt tn axe foltdt rotundi ^ ad cujus punBa fingula tendunt vtres iiequales centripet^ m quacunque dtfiantiarum raUone decrefcentes.. K E X» B I In folidum T>ECG trahatur corpufculum fitum in ejus axe AB, Circulo quolibet RFS ad hunc axem perpendiculari fecetur hoc foli- dum, & in ejusfemidiametro FJjin pla- no aliquo TALKB per axem tranfeun- te, capiatur (per prop. xc.) longitudo i FK vi, qua corpufculum jP in circulum ^ illum attrahitur, proportionalis. Tan- gat autem pundtum K curvam lineam LKIj planis extimorum circulorum AL &: B 1 occurrentem in L & I; & erit attraftio corpufculi F in folidum ut area LABI. ^ E. I, Corol. I. Unde fi folidum cylin- drus fit, parallelogrammo AT>EB circa axem AB revoluto defcriptus, & vires centripetae in fingula ejus F 5 D E punfta tendentes fint reciproce ut ^ quadrata diftantiarum a punftis : erit attraftio corpufculi F in hunc cy- lyndrum ut AB — FE-\-TT>. Nam crdinatim applicata FK (per corol. i- T F prop. xc.) erit ut i — . Hujus pars A G F- K dufta in longitudinem TF AB^ defcribit aream i y.AB: & pars altera dufta in longitu- dinem F B^ defcribit aream i in FE — AT>, id quod ex curv^ LKI quadratura facile ofiendi potefi ; ) & fimiliter pars eadem du- -fta in longitudinem FA defcribit aream i in — -^2), duftaque in ipfarum "FP, FA differentiam AB defcribit arearum differen- tiam I in FE — yZ). De contento primo iy.AB auferatur con- tentum PRINCIPIA MATHEMATICA. 217 tentum poftremum i in TE — ‘P®, & reflabit area LABI aequalis I in AB -- TE -\-TT>, Ergo vis, huic areae proportionalis, eft m AB^TE-\-TT>, CoroL X. Hinc etiam vis innotefcit, qua fphaerois AGBC at- trahit corpus quodvis T^ exterius in axe fuo AB fitum. Sit NKRM feftio conica cujus ordinatim applicata E R, ipfi TE perpendicula- ris, aequetur femper longitudini TT>, quae ducitur ad punftum illud in quo applicata ifta fphaeroidem fecat. A fphaeroidis verticibus uly B ad ejus axem A B erigantur perpendicula AKy BM ipfis AT^ BT aequalia refpeftive, & propterea feftioni conicae occurrentia in A' & A/; & jungatur KM auferens ab ead^m fegmentum KMRK^ Ii M Sit autem fphaeroidis centrum S & femidiameter maxima SC: & vis, qua fphaerois trahit corpus jP, erit ad vim, qua fphaera diametro AB defcnpta trahit idem corpus, ut ^Sq\-C^q-A6'q- jf Ct i ad-^,— — , . Et eodem computandi fundamento invenire licet iTo quaa. vires fegmentorum fphaeroidis. Corol. 3. Quod fi corpufculum intra fphaeroidem in axe colloce- tur ; attraftio erit ut ipfius diftantia a centro. Id quod facilius hoc argumento colligitur, five particula in axe fit, five in alia quavis dia- metro data. Sit AGOF fphaerois attrahens, S centrum ejus, &:T corpus attraftum. Per corpus illud T agantur tum femidiameter 'S TAi tuni reftae duae quaevis FG fphaeroidi hinc inde occur- F f rentes ziS PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu rentcs in O & -F& G ; fintqne TCM, /i^LiV fuperficies fphag. CoRPCRUM duarum interiorum, exteriori fimilium & concentricarum, quarum prior tranleat per corpus P, & lecec reftas E &c FG in £ 8c C, poilerior 1'ecet ealdem redas in //, i & Ky L. Habeant autem fphaeroides omnes axem communem, & erunt redarum partes hinc inde interceptae DE & BE, FE & u r CG, lEy FK &: LG hbi rnutuo aequales ; propterea quod redcE^ D Ey E B & HI bifecantur in eodem pundo, ut & redae FGy EC &: KL. .Concipe jam DEFy E EG defigriajre cc.onos .op- pofitos, angulis verticalibus DEF, EEG infinite parvis deferiptos, & lineas etiam 2) infinite parvas efie ; & conorum particulae fphaeroidum fuperficiebus ablcifTae DHKFy GLlEy ob aequalitatem linearum DHy Ely erunt ad invicem ut quadrata d Hiantiarum fuarum a cor- pufculo Ey & propterea corpufculum illud aequaliter trahent. Et pari ratione, fi fuperficiebus fph^roidum innumerarum fimilium concentricarum & axem communem habentium dividantur fpatia DEFy EGC B\x\ particulas, hae omnes utrinque aequaliter trahent corpus E in partes contrarias. iEquales igitur funt vires coni DEF & fegmenti conici E G C B, & per contrarietatem fe mutuo de- ftruunt. Et par eil ratio virium materiae; omnis extra fphaeroidem intimam ECB M. Trahitur igitur corpus E a fola fphaeroide inti- ma ECBMy & propterea (per corbl.' 3. prop. lxxii.) attradio ejus eft ad vim, qua corpus jI trahitur a fphaeroide tota AGODy ut di- fiantia ES ad difiantiam AS. ^ E. D. PROPOSITIO XCIL PROBLEMA XLVI. Dato corpore attraBivOy mvenire rationem decrementi vinum centripetarum tn ejus punBa Jingula tendentium. E corpore dato formanda eft fphaera veh cylindrus aliave figura regularis, cujus lex attradionis, cuivis decrementi rationi congruens (per prop. lxxx. lxxxi. & xci.) inveniri poteft. Dein fadis expe- rimentis invenienda eft vis attradionis in diverfis. diftantiis, & lex attradionis PRINCIPIA MATHEMATICA. 219 attradionis in totum inde patefada dabit rationem decrementi vi- rium partium fingularum, quam invenire oportuit. ^ ^ PROPOSITIO XCIII. THEOREMA XLVII. Si foUdum ex una parte 'planum^ ex reliquis autem partibus infinitum^ conflet ex particulis dequalthus (equahter attra- Bivis^ quarum vires in recejfu a fohdo decrefcunt in ratio^ ne poteMatis cujujvis difiantiarum plufquam quad^raticre^ vi folidi totius corpufculum ad utramvis plani partem con- jiitutum trahatur : cfico quod fohdi vis dia attrafliva^ in recejfu ah ejus fuperjicie plana ^ decrefcet in ratione potejia-^ tis, cujus latus eji dijiantia corpufculi a plano ^ index ter-- nano minor quam index pote jiatis difiantiarum^ Caf, I. Sit Z.G/ planum quo folidum terminatur. Jaceat folidum autem exparte plani hujus verfus /, inque plana innumera mHM^ nlN^ oKOy &c. ipfi Gi^ pa- rallela refolvatur. Et primo ^ collocetur corpus attraftum C extra folidum. Agatur autem CGHI planis illis innumeris perpendicularis, & decrefcant c G vires attraftivae punftorum fo- lidi in ratione poteftatis diftan- tiarum, cujus index fit nume- rus//ternario non minor. Ergo (percorol.3. prop.xc.) vis, qua planum quodvis mH M trahit punftum C, efl reciproce ut In plano capiatur longitudo ipfi reciproce pro- portionalis, & erit vis illa ut H M. Similiter in planis fingijlis /GL, nl Nj 0 KO^ &CC. capiantur longitudines G Z/, / A, KO^ &c. ipfis CG^“% &c. reciproce proportionales ; & vires planorum eorundem erunt ut longitudines captae, ideoque fumma virium ut fumma longitudinum, hoc efi, vis folidi totius ut area F { z GLOK - N 0 - 4 ■! H 1 < D E M 0 T u Coa,ro,RUM G l N O I Tv^ 210 PHILOSOPHIA NATURALIS GLOKvci infinitum verfus OK produfta* Sed area illa (per notas* quadraturarum methodos) eft reciproce ut & propterea vis folidi totius elf reciproce ut CG”‘“^ E. 2). Caf.z. Collocetur jam corpufculum Cex parte plani IG L intra folidum, & capiatur dillantia CK aequalis diffantiae CG. Et folidi pars LG l o KQ^ planis parallelis IG L, o K O terminata, cor- pufculum C in medio litum nullam in partem trahet, contrariis oppofitorum punftorum aftionibus fe mutuo per aequalitatem tollentibus. Proinde cor- pufculum C fola vi folidi ultra planum O K fiti trahitur. Haec au- tem vis (per cafum primum) elt reciproce ut hoc elt (ob aequales CG, CK) reciproce ut ^ EJD. Corol. I. Hinc fi folidum LGIN planis duobus- infinitis parallelis XG, /iNTutrinque terminetur; innotefcit ejus vis attraftiva, fubdu- cendo de vi attraftiva folidi totius infiniti LGKO vim attraftivam. partis ulterioris NIKOy in infinitum verfus KO produftae. Corol. %. Si folidi hujus infiniti pars ulterior, quando attraftio ejus collata cum attraftione partis citerioris nullius pene efl momenti, rejiciatur : attraftio partis illius citerioris augendo diftantiam decref- cet quam proxime in ratione potefiatis Corol. 3. Et hinc fi corpus quodvis finitum & ex una parte planum trahat corpufculum e regione medii illius plani, & diftantia inter Gorpufculum & planum collata cum dimenfionibus corporis attra- hentis perexigua fit, confiet autem corpus attrahens ex particulis homogeneis, quarum vires attraftivae decrefcunt in ratione potefia- tis cujufvis plufquam quadruplicata difiantiarura ; vis attraftiva corporis totius decrefcet quamproxime in ratione potefiatis^^ cujus latus fit diftantia illa perexigua, & index ternario minor quam in- dex potefiatis prioris. De corpore ex particulis confiante, quarum vires attraftiva decrefcunt in ratione potefiatis triplicata difiantia- rum, alfertio non valet ; propterea quod, in hoc cafu, attraftio par- tis illius ulterioris corporis infiniti in corollario fecundo, femper efi infinite major quam attraftio partis- citerioris.. Scholium. PRINCIPIA MATHEMATICA. Scholium, L I B E H P R l.M u a. Si corpus aliquod perpendiculariter verfus planum datum traha- tur, & ex data lege attraftionis quaeratur motus corporis : folvetur problema quaerendo (per prop. xxxix) motum corporis refta de- fcendentis ad hoc planum, & (per legum corol. x ) componendo motum idum cum uniformi motu, fecundum lineas eidem plano parallelas fado. Et contra, fi quaeratur lex attradionis in planum fecundum lineas perpendiculares faftae, ea conditione ut corpus at- tradlum in data quacunque curva linea moveatur, folvetur proble- ma operando ad exemplum problematis tertii. Operationes autem contrahi folent refolvendo ordinatim applica- tas in feries convergentes. Ut fi ad bafem A in angulo quovis^ dato ordinatim applicetur longitudo B, quae fic ut bafis dignitas m quaelibet A & quaeratur vis qua corpus, fecundum pofitionem^ ordinatim applicatae, vel in bafem attradlum vel a bafi fugatumr moveri poflit in curva linea, quam ordinatim applicata termi- no fuo fuperiore femper attingit: Suppono bafem augeri parte m quam minima O, & ordinatim applicatam a -J- O 1 ” refolvo im w m — m — m — mm — mn feriem- infinitam A” -f- — OA ^ OOA ” &c. at- que hujus termino in quo O duarum eil dimenfionum, id eft, ter- m — 2» mm — mn mino — OOA ^ vim proportionalem effe fuppono. Eft m — ift mm — m7t , _ . , n igitur vis quaefita ut — — A ^ , vel quod perinde elr, ut m — m mm — mn ^ • — — B . Ut fi ordinatim applicata parabolam attingat,. exiftente 771 — & n—\ \ fiet vis ut data xB®, ideoque dabitur; Data igitur vi corpus movebitur in parabola, quemadmodum Gall- laus demonftravit. Quod fi ordinatim applicata hyperbolam attin- gat, e^dftente m—o — i, & n — i; fiet vis ut xA“^ feu xB^ : ideo- que vi, quae fit ut cubus ordinatim applicatae, corpus movebitur in hyper- n^Mo T u Co*. PORUM 2Z2 PHILOSOPHIiC NATURALIS hyperbola. Sed miffis hujufmodi propofitionibus, pergo ad alias quafdain de motu, quas nondum attigi. SECTIO XIV. De motu corporum mmimorum^ qute viribus centripetis ad fin~^ gulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur. PROPOSITIO XCIV. THEOREMA XLVIIL St medta duo ftmilaria^ fpatio planis parallelis utrinque ter-- minato y dijlmguantur ab invicem^ corpus in tranfitu per hoc fpatium attrahatur vel impellatur perpendiculariter ver- fus medium alterutrum^ neque ulla alia vi agitetur vel im- pediatur ; fit autem attraBio^ in ecqualibus ab utroque pla- m diflantiis ad eandem ipfms partem captis^ ubique eadem: dico quod fmus incidentiec in planum alterutrum erit ad fi- num emergentia ex plano altero in ratione data. Caf, 1. Sunto ^ Bb plana duo parallela. Incidat corpus in planum prius A a fecundum lineam G/7, ac toto fuo per fpatium intermedium tranfitu attrahatur vel impellatur verfus medium incidentiag, eaque aftione de- feribat lineam curvam ///, & emergat fecundum lineam IK. Ad planum emergenti® B b erigatur perpendiculum / occurrens tum line® inciden- ti® GH produft® in //, tum plano incidenti® Aa in i? ; & linea emergenti® KI produfta 0., ^ occurrat H M m L. Centro N]Nf‘ L intervallo LI deferibatur circulus, fecans tam H M in T & quam MI produdam in -AT; & primo fi attradio* vel impulfus ponatur PRINCIPIA MATHEMATICA. 123 ponatur uniformis, eril (ex demonftratis Galtlal) curva HI parabola, Liber cujus lia?c eil proprietas, ut re^langulum fub dato- latere redo & linea /-A/ aequale Iit HM quadrato; fed linea //M bifecabitur m L. Unde fi ad. / demittatur perpendiculum. L O, aequales erunt A/0, O R \ Sc additis aequalibus OiV, O/, fient totae aequales M N, 1 R. Proinde cum IR detur, datur etiam AfiV; eflque re- dangulum N M 1 ad redangulum fub latere redo & /A/, hoc ell, ad H Mq^ in data ratione. Sed redangulum N MI aequale elt re- dangulo T M id ed, differentiae quadratorum M Lq, &cR Lq feu L Iq ; & HMq datam rationem habet ad fui iphus quartam partem MLq : ergo datur ratio M Lq-^ LI q ad MLq^ & conver- tendo ratio LIq MLq^ & ratio dimidiata L1 M L. Sed in omni triangulo LMl, finus angulorum funt proportionales lateribus oppofitis. Ergo datur ratio finus anguli incidentise LMR ad.Tinum anguli emergentiae LIR. 2).- Caf.^. Tranfeat jam' corpus fucceflive per fpatia plura parallelis planis terminata, AabB\^ BbcCy &c. & agitetur vi quae fit in fia- gulis feparatim uniformis, at in diver- fis diverfa ; & per jam demonftrata, finus incidentiae in planum pnmuni A Aa erit ad finum emergentiae ex pia- B no fecundo B in data ratione ; c hic finus, qui eft finus incidentiae in. ® planum fecundum B b^ erit ad finum emergentia ex plano terrio Cr, . in data ratione ; & hic finus ad finum^ emergentiae ex plano quarto in data ratione ; & fic in infinitum : & ex aequo, finus incidentiae in planum primum ad finum emergentiae ex plano ultimo in data ratione. Minuantur jam planorum intervalla & augeatur numerus in infinitum, eo ut attraftionis vel impulfus aftio, fecundum legem quamcunque affignatam^ continua reddatur; & ratio finus incidentiae in planum primum ad finum emergentiae ex plano ultimo, femper data exiflens, etiamnum dabitur. ^ E. Z>o Vf .• -A' • > mopo PHILOSOPHIA NATURALIS 214 De Motu Corporum PROPOSITIO XCV. theorema xlix. Ttfdem pofitis ; dico quod velocitas corporis ante 'incidentiam efl ad ejus velocitatem pofi emergentiamy ut finus emergens tite ad fmum incidentide. Capiantur AH, Id aequales, & erigantur perpendicula AG, dK occurrentia lineis incidendae & emergentiae Gi/, IK^ in G&:K. In G// capiatur aequalis IK, & ad planum A a demittatur nor- maliter T V. Et (per legum, corol. diftinguatur motus corporis in duos, unum planis A a, Bb, Gc, &c. perpendicularem, alterum iif- dem parallelum. Vis attradlionis vel impulfus, agendo fecundum li- neas perpendiculares, nil mutat mo- tum fecundum parallelas, & prop- terea corpus hoc motu conficiet ae- « .qualibus temporibus aequalia illa fe- cundum parallelas intervalla, quae funt inter lineam AG^ punflum H, interque punftum 1 & lineam .dK% hoc eft, aequalibus temporibus defcribet lineas GH, IK. Pro- inde velocitas ante incidentiam eft ad velocitatem poft emergendam, ut GHzA IK vel TH, id eft, ut AH vq\ Id ad vH, hoc eft (re- fpeftu radii THyd I K) ut finus emergentiae ad fmum incidentis. A. 2). propositio xcvi. theorema l. lifdem pofitis, Qf quod motus ante incidentiam velocior fit quam pojlea : dico quod corpus, inclinando lineam inciden- tia;, refleEletur tandem, angulus reflexionis fiet aqualis anzulo incidentia. Nam concipe corpus inter parallela plana A a, B b, Cc, &c. de- ■fcribere arcus parabolicos, ut fupra ; fintque arcus illi HT, T & &c. Et fit ea lines incidentis GH obliquitas ad planum pri- mum PRINCIPIA mathematica.* iiy, mum Aa^ ut finus incidentiae fit ad radium circuli, cujus eft finus, Liber in ea ratione quam habet idem finus incidentiae ad linum emergen- tiae ex plano ® in fpatium DdeE : & ob linum emergentia^ jam faftum iequalem radio, angulus emergentix erit redus, ideoque linea emergentiae coincidec cum plano T> d. Perveniat corpus ad hoc planum in pund-o i? ; & ^ v ^ quoniam linea emergendas coincidit cum eodem plano, f perfpicuum eft quod corpus g- — non poteft ultra pergere ver- = — ~ — — ^ fus planum E e. Sed nec poteft idem pergere in linea emergentias Rd^ propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur verfus me- dium incidentise. Revertetur itaque inter plana Cc, T> d^ defcri- bendo arcum parabolas cujus vertex principalis (juxta demon- ftrata GaliWt) eft in R ; fecabit planum.„Cf in eodem angulo in ac prius in dein pergendo in arcubus parabolicis ph, &:c. arcubus prioribus E H fimilibus'"& sequalibus, fecabit reliqua plana in iifdem angulis in /, 3zc. ac prius in H, &c. emerget- que tandem eadem obliquitate in h, qua incidit in H, Concipe jam planorum B b, Cc^ T> d, Ee^ &c. intervalla in infinitum minui & numerum augeri, eo ‘ut aftio attraftionis vel impulfus fe- cundum legem quamcunque allignatam continua reddatur ; & angu- lus emergentias femper angulo incidentias aequalis exiftens, eidem etiamnum manebit aequalis. ^£.2). Scholmm. Harum attraflionum haud multum diffimiles funt lucis reflexiones & refraftiones, faftas fecundum datam fecantium rationem, ut inve- nit SneUius^ & per confequens fecundum datam finuum rationem, ut expofuit Cartefius, Namque lucem fucceflive propagari & fpatio quafi feptem vel ofto minutorum primorum a fole ad terram veni- re, jam conflat per phaenomena fatellitum Jovis^ obfervationibus diverforum aftronomorum confirmata. Radii autem ih aere ex- iftentes (uti dudum Grmaldus, luce per foramen in tenebrofum cubiculum admifia, invenit, & ipfe quoque expertus fum) in tran- fitu fuo prope corporum vel opacorum vel perfpicuorum angiilos' (quales funt nummorum ex auro, argento & mre culorum termini G g redanguli De M o t t; CoilPORUM d e .. <0 "Z. / SJ ‘ PHILOSOPHIAE NATURALIS reftanguli circulares, & cultrorum, lapidum aut fraftorum vitmi rum acies) incurvantur circum corpora, quafi attracSi in eadem;. & ex his radiis, qui in tranfitu illo propius accedunt ad corpora in- curvantur magis, quafi magis attradi, ut ipfe etiam diligenter ob- fervavi. Et qui tranfeunt ad majores diftantias minus incurvantur ; & ad difiantias adhuc majores incurvantur aliquantulum ad partes contrarias, & tres colorum fafcias efFormant. In figura defignat s aciem cultri vel cunei cujufvis A s ^ gow ogy emt m ey dis Id funt radii, arcubus owoy 7iunym tm^ Isl verfus cultrum incurvati; idque f magis vel minus pro diftantia eo- rum a cultro. Cum autem talis in- - curvatio radiorum fiat in aere extra cultrum, debebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in aere quam cultrum attin- gunt. Et par efl ratio incidentium in vitrum. Fit igitur refradio, non in pundo incidentiae, fed paulatim per continuam incurva- tionem radiorum, fadam partim in aere antequam attingunt vitrum, partim (ni fallor) in vitro, poftquam illud ingref- fi funt : uti in radiis c k z> Cy b iy by ah X a incidentibus ad ry qy /, -& inter k z>y i &L yy h &C X incurvatis, delinea- tum efl. Igitur ob analogiam quae efl in- ter propagationem radiorum lucis & pro- "greffum corporum, vifum ett propofitio- 'nes fequentes in ufus opticos fubjungere; interea de natura radiorum (utrum fint corpora necne) nihil omni- no difputans, fed trajeftorias corporum trajedoriis radiorum per- fimiles folummodo determinans. c h C l, CL PROPO- PRINCIPIA MATHEMATICA. ^^7 i Liber P R I M u s, PROPOSITIO XCVII. PROBLEMA XLVII. P oftto quod Jtnus tncidenttie tn fuperfictem aliquam ftt ad finum emergentia in data ratione ; quodque incurvatio via corpo- rum juxta fuperficiem illam fiat in /patio hrevifilmo, quod tft punBum conftderari pofifit : determinare fuperficiem, qua corpufcula omnia de loco dato fuccejjive manantia convem- gere faciat ad alium locum datum. Sit A locus a quo corpufcula divergunt ; B locus in quem con- vergere debent ; CtD E curva linea quae circa axem A B revoluta defcribat fuperficiem quaefitam ^ ‘D, E curvae illius punfta duo quae- vis; 8cEF, EG perpendicula in corporis vias v:/ IDAdemifla. Accedat punftum 2) ad punftum E ; & lineae qua ^2) au- getur, ad lineam 2>G, qua 2) A diminuitur, ratio ultima erit ea- dem, quae finus incidentiae ad — finum emergentiae. Datur ergo ratio incrementi lineae AT) ad decrementum lineae \ 2) 5 ; & propterea fi in axe c n m e AB fumatur ubivis punftum C, per quod curva GT)E tranfire de- bet, & capiatur ipfius AC incrementum Cii/ ad ipfius BC decre- mentum CN in data illa ratione, centrifque A, B, & intervallis AM, BN defcribantur circuli duo fe mutuo fecantes in 2); pun- dum illud D tanget curvam quaefitam C‘DE, eandemque ubivis tangendo determinabit. ^ E. I. Corol. 1. Faciendo autem ut punftum A vel B nunc abeat in in- finitum, nunc migret ad alteras partes punfti C, habebuntur figurae illae omnes, quas Cartefius in optica & geometria ad refraftiones expofuir. Quarum inventionem cum Cartefius celaverit, vifum fuit hac propofitione exponere. Corol. 2. Si corpus in fuperficiem quamvis CT>, fecundum line- am reftam A/), lege quavis duflam incidens, emergat fecundum aliam quamvis redam 2)A, &a pundo C duci intelligantur lineae Ggx curvae tz8 PHILOSOPHIAE NATURALIS De MoTucurvee CT, C© ipfis ^T), ‘DK COKPOKUM ^ \ lemper perpendiculares: erunt in- crementa linearum at- que ideo lineae ipfae !P2), incrementis illis genitae, ut*linus incidentiae & emergendae ad in- vicem ; & contra. PROPOSITIO xcvm. PROBLEMA XLVIIL hfdem pofiUs^ ^ circa axem A B defer ipta fuperfic^e quacun- que attraBiva C D, re^laft vel irregulari^ per quam cor- pora de loco dato A exeuntia tranfire dehent : invenire fu- perficiem fecundam attraBivam EF, qudS corpora illa ad locum datum B convergere faciat, Junfta jiB fecet fuperficiem primam in C& fecundam in Ey pun- {ko 2) utcunque alTumpto. Et polito finu incidentiae in fuperfi- ciem primam ad finum emergentiae ex eadem, &. finu emergentiae e fuperficie fecunda ad finum incidentiae in. eandem, ut quantitas aliqua data M ad aliam datam N: produc tum -^.6 ad G, ut {it< BG 2id CE ut M — N ad N; tum ad ut fit /7 aequalis ^G; tum etiam T>F ad TT, ut fit T>K ad ^EHnt N ad M. Junge K B, & centro 2) intervallo 2) /7 deferibe circulum occurrentem KB produftae in L, ipfique T) L parallelam age BF: & punftum F tanget lineam E Fy quic circa axem AB revoluta deferibet fuper* ficiem quaefitam. ^ E. F. Nam PRINCIPIA mathematica. ijp Nam concipe lineas C P, C^ipfis refpedive, & lineas EP, ES ipfjs F B, FT> ubique perpendiculares cffe, ideoque ^<5* ipfi CE femper «qualem; & erit (per corol. x. prop. xcvii.) !P‘Z) ad ^7) ut M ad N, ideoque ut ad Z)/C vel FB ad FAT; & divilim ut T>L-^FB feu TH^PT>^FB ad FT> feu ; & compofite ut FB ad F^, id eil (ob «quales P H &c Cg\ ^S & CE) CE BG — FR zd CE — F S, V erum (ob propor- tionales BG ^d CE & M — N ad N) ed etiam C.E ^BQ ad CE ut M ad N ; ideoque divifim Fi? ad FS ut M ad N ; propterea (per corol. x. prop. xcvii.) fuperficies FF cogit corpus, in ipfam fecundum lineam ®F incidens, pergere in linea FR ad locum B. ' ^E,T>, Schohum, » • Eadem methodo pergere liceret ad fuperficies tres vel plures. Ad ufus autem opticos maxime accommodatae funt figurae fph«ri- cae. Si perfpicillorum vitra objecdiva ex vitris duobus fphaerice fi- guratis & aquam inter fe claudentibus conflentur ; fieri potefi ut a refraedionibus aquae errores refraftionum, qu« fiunt in vitrorum fu- perficiebus extremis, fatis accurate corrigantur. Talia autem vitra objeitiva vitris ellipticis & hyperbolicis praeferenda funt, non folum ’ quod facilius & accuratius formari poflint, fed etiam quod penicil- los radiorum extra axem vitri fitos accuratius refringant. Verun- tamen diverfa diverforum radiorum refrangibilitas impedimento efl, quo minus optica per figuras vel fphaericas vel alias quafcunque perfici poifit. Nifi corrigi poflint errores illinc oriundi, labor omnis in caeteris corrigendis imperite collocabitur. »> D E BE W. M U &, 130 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu Corporum D E MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS. SECTIO I. De motu corporum quibus refifiitur in ratione velocitatis^ PROPOSITIO I. THEOREMA 1. Corporis, cui reftflitur in ratione velocitatis, motus ex reft- fientia amijfus eji ut fpatmm movendo confeBum. NA M cum motus fingulis temporis particulis aequalibus amif- fus fit ut velocitas, hoc eft, ut itineris confedi particula : erit, componendo, motus toto tempore amiflTus ut iter to- tum. ^ E. 2). Corol. Quare fi corpus, gravitate omni deftitutum, in fpatiis libe- ris fola vi infita moveatur ; ac detur tum motus totus iub initio, tum etiam motus refiquus poft fpatium aliquod confeiStum : dabitur fpatium totum quod corpus infinito tempore defcribere potelt. Erit enim fpatium illud ad fpatium jam defcriptum, ut motus totus fub initio ad motus illius partem amillam. LEMMA I. ^mntitates differentiis fuis proportionales funt continue pro- portionales. Sit A ad A — B ut B ad B — C & C ad C — D, &c. & conver- tendo fiet A ad B ut B ad C & C ad D, &c. E. ‘D. PROPO- PRINCIPIA MATHEMATICA. 231 PROPOSITIO II. THEOREMA II. Si corpori refiflitur in ratione velocitatis^ iderrt fola vi in- fita per medium fimtlare moveatur^ fumantur aute^n tem- pora cequaha : velocitates in principiis fmgulorum temporum funt in progrejfione geometrica^ ^ fpatia fingulis tempori- bus defcripta funt ut velocitates. Caf T. Dividatur tempus in particulas sequales; & fi ipfis particu- larum initiis agat vis reliitentiae impulfu unico, quae fit ut velocitas ; erit decrementum velocitatis fingulis temporis particulis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis fuis proportionales, & propterea (per lem. i. lib. ii.) continue proportionales. Proinde >fi ex aequali particularum numero componantur tempora quaelibet aequalia, erunt velocitates ipfis temporum initiis, ut termini in pro- greflione continua, qui per faltum capiuntur, omifib pafTim aequali terminorum intermediorum numero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex rationibus inter fe iifdem terminorum in- termediorum aequaliter repetitis, & propterea eae quoque rationes compofitae inter fe eaedem funt. 'Igitur velocitates, his terminis proportionales, funt in progreffione geometrica. Minuantur jam aequales illae temporum particulae, & augeatur earum numerus ia infinitum, eo ut relifientiae impulfus reddatur continuus ; & velo- citates in principiis aequalium temporum, femper continue propor- tionales, erunt in hoc etiam cafu continue proportionales. ^ E. 2): C^y? a. 'Et divifim velocitatum differentiae, hoc efl, earum partes fingulis temporibus amilTae , funt ut totae : fpatia autem ' fingulis temporibus defcripta funt ut velocitatum partes amilfae (per prop. i. lib. & propterea etiam ut totae. ^ E.T>, C^ol. Hinc fi afymptotis redangulis ^C, C H defcribatur hyperbola BGy fintque ABy 2)G ad’ afymptoton A C perpendiculares, & exponatur tum corporis velocitas tum refiitentia medii, ipfo motus initio, per lineam quamvis datam ^C, elapfo autem tempore aliquo per lineam indefi- nitam 23 C; exponi pot&fi tempus per aream ABGE>y & fpatium eo L 1 B K R S L C U N D U S> Db M< UM 23Z PHILOSOPHIA NATURALIS ^ eo tempore defcriptum per lineam AT), Nam fi area illa per mo- tum pundti 2) augeatur uniformiter ad modum temporis, decrefcet refta 2) C in ratione geometrica ad modum velocitatis, & partes reftse AC aequalibus temporibus defcriptae decrefcent in eadem ra- tione. PROPOSITIO III. PROBLEMA I. Corporisy cui^ dum m medto fimilart reBa afcendit vel defcen- dtt,^ refiflttur In ratione velocitatis^ quodque ah uniformi pavitate urgetur^ definire motum. Corpore afcendente, exponatur gravitas per datum quodvis rec- tangulum BACH, & refiftentia medii initio afcenfus per reftan- gulum B AT) E fumptum ad contrarias partes reftae AB. A- fymptotis reftangulis AC^^ C Hy per pundum B defcribatur hy- perbola fecans perpendicula T)Ey de mGy g\ & corpus afcenden- do tempore T)Ggd deferibet fpatium E GgCy tempore T)GBA g fpatium afcenfus totius EGB; tempore ABKI fpatium defcen- ^ fus BFK, atque tempore IKki fpatium defcenfus KFfk\ & ve- locitates corporis (refifientix medii proportionales) in horum tem- porum periodis erunt AB ET>, ABedy nulla, ABFIy AB fi refpe- (3:ive ; atque maxima velocitas, quam corpus defcendendo poteft ac- quirere, erit BACfl. Refolvatur enim reftangulum BACHm reftangula innumera Aky K ly L m, M fty &c. quae fint ut in- crementa velocitatum aequalibus to- tidem temporibus fafta ; & erunt nihil, Ak, Ah Am,, A fty &c. ut velocitates totae, atque ideo ( per hypothefin) ut refillentiiie medii prin- cipio Ungulorum temporum aequali- um. E ^ B ) s A Ji ii M N PRINCIPIA MATHEMATICA. 133 um. Fiat .«^Cad AK vel ABHC ad ABkK ut vis gravitatis ad„ Libe» refiltentiam in principio temporis fecundi^ deque vi gravitatis lub- ducantur refiitentiae, & manebunt ABHCy KkHQ^ LlHCy MmHC^ &c. ut vires abfolutae quibus corpus in principio fingulo- rum temporum urgetur, atque- ideo (per motus legem ii.) ut in- crementa velocitatum, id eft, ut reftangula Ak, Kly Lm^ Mn^ &c. & propterea (per lem. i. lib. ii.) in progreflione geometrica. Qua- re fi reftae Kk^ Ll^ Mm^ Nn^ &c. produftae occurrant hyperbolae in &c. erunt areae ABqK^ KqrU^ LrsM^ MstN^ &c. aequales, ideoque tum temporibus tum viribus gravitatis femper aequalibus analogae. Eft autem area AB qK (per corol 3. lem. vii. & lem. VIII. lib. i.) ad aream Bkqvx Kq zdi^kq feu AC iAK^ hoc eft, ut vis gravitatis ad refiftentiam in medio temporis primi. Et fimili- argumento areae qKLr^ rLMs^ sMNty &:c. funt ad areas qk/r^ rlms^ smnty &c. ut vires gravitatis ad refiflentias in medio temporis fecundi, tertii, quarti, &c. Proinde cum arese aequales BAKq^ qKLvy rLMsy sMNty &c. fint viribus gravi- tatis analogae, erunt areae Bkqy qklvy rlmsy smnty&cz, refiftentiis in mediis Angulorum temporum, hoc eft (per hypothefm) velocita- tibus, atque ideo defcriptis fpatiis analogae. Sumantur analogarum fummae, & erunt areae Bkqy Blvy Bmsy Bnty &c. fpatiis totis defcriptis analogae ; necnon areae A BqKy A Br Ly A Bs My ABtNy &c. temporibus. Corpus igitur inter defcendendum, tem- pore quovis ABrLy defcribit fpatium Blvy & tempore LrtN foatium r In t. E. T>, Et fimilis eft demonftratio motus ex- pofiti in afcenfu. \ E. T>. Corol. I. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo poteft acquirere, eft ad velocitatem dato quovis tempore acquifitam, ut vis data gravitatis, qua corpus illud perpetuo urgetur, ad vim refi- ftentiae, qua in fine temporis illius impeditur. Corol. z. Tempore autem audo in progreflione arithmetica, fum- ma velocitatis illius maximae ac velocitatis in afcenfu, atque etiam earundem differentia in defcenfu decrefeit in progreflione geo- metrica. Corol. 3. Sed & differentiae fpatiorum, quae in aequalibus tempo- rum differentiis deferibuntur, decrefeunt in eadem progrelRone geometrica. H h Corol. i34 PHILOSOPHIy£ NATURALIS De Motu CoTol. 4. SpatiuiTi vero a corpore defcriptum differentia eft duo- Corporum fpatiorum, quorum alterum ell ut tempus fumptum ab initio defcenfus, & alterum ut velocitas, quae etiam ipfo defcenfus initio aequantur inter fe. % PROPOSITIO IV. PROBLEMA II. Pofito quod vis gravitatis in medio aliquo fimilari umformh Jit^ ac tendat 'perpendicularher ad planum horizontis • defi- nire motum projeBilis in eodem^, refiijientiam velocitati pro- portionalem patientis, E loco quovis 2) egrediatur projeftile fecundum lineam quam- vis redam 2)?*, & per longitu- dinem T exponatur ejufdem velocitas fub initio motus. A pundo T ad lineam horizonta- lem 2) C demittatur perpendicu- lum !P C, & fecetur 2) C in Ay ut fit 2)^ ad AC ut refiilentia medii , ex motu in altitudinem fub initio orta, ad vim gravita- tis j vel (quod perinde eft) ut fit redangulum fub T>A & 2)!P ad redangulum fub AC &c CT ut refiftentia tota fub initio motus ad vim gravitatis. Afymptotis 2)C, C‘P defcribatur hyperbola quaevis GT B S fecans perpendi- -g cula T> A B in G & B ; & compleatur paralleliogrammum G ^GKC, cujus latus GK fecet AB in. ^ Capiatur linea N in ® ratione ad qua 2) C fit ad ; & ad redae 2) C pundum quodvis i? eredo perpendiculo RTy quod hyperbolae in 2, & re- dis E Hy G Ky^ 2)2 in /, t & occurrat ; in eo cape Vr aequalem tGT. Exponatur jam tempus per aream PRINCIPIA MATHEMATICA. 23 j vel quod perinde elt, cape Rr aequalem - ; & projec- Sec tile tempore T> RTG perveniet ad pun6lum r, defcribens curvam lineam ^raF^ quam pundum r femper tangit, perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo AB, &l podea femper appropinquans ad afymptoton TC. Edque velocitas ejus in punfto quovis r ut curvae tangens r L. ^E. 1. Eft enim N ad ut 2) C ad CR feu !D ad RV^ ideoque R V E)R X &B f, n -nrr 77- r R) R X § B — t G E aequalis & Rr (id eft RV—V r feu — ) T>RxAB--RT>GT aequalis ■ ~ • RT>GT, & (per legum corol. x.) diftinguatur motus corporis in duos, unum afcenfus, alterum ad latus. Et cum refiftentia fit ut motus, dillinguetur etiam haec in partes duas partibus motus pro- portionales & contrarias : ideoque longitudo, a motu ad latus de- fcripta, erit (per prop. ii. hujus) ut linea ® R, altitudo vero (per prop. III. hujus) ut area ^Ry.AB — RT>GT, hoc elt, ut linea R r. Ipfo autem motus initio ar#a RT>GT aequalis elt reftan- gulo 2) i? X ideoque linea illa R r (feu ^) tunc eft ad 2) i? ut ^ B ^5 ad N, id eft, ut CR ad atque ideo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem fub ini- tio. Cum igitur R r femper fit ut altitudo, ac 2> i? femper ut longitudo, atque r ad DR fub initio ut altitudo ad longitudinem : necefle eft ut femper fit ad R)R ut altitudo ad longitudinem, & propterea ut corpus moveatur in linea ‘DraF, quam punftum r perpetuo tangit. ^ E. 27* T)RxAB RDGT Corol. I. Eft igitur Rr aequalis xi — = ideoque I B E R U N DU S. N fi producatur RT ad .«Y ut fit R X aequalis N T>RxAB N id eft, fi compleatur parallelogrammum A CT 7\ jungatur 27 T fecans CR 'mZ, & producatur RT donec occmrat 27 7’ in X; erit Xr ae- qualis ^ ^ propterea tempori proportionalis. Corol. X. Unde fi capiantur innumerae CR, vel, quod peiinde eft, innumerae Z X 'in progrellione geometrica ; erunt totidem Xr in H h X progref- D F- Motu Corporum 1^6 PHILOSOPHIA NATURALIS progreffione arithmetica. Et hinc curva T>raF per tabulam loga- rithmorum facile delineatur. Corol. 3. Si vertice diametro ®C deorfum produfta, & la. tere recSto quod fit ad x 2) 2^ ut refiftentia tota ipfo motus ini- tio ad vim gravitatis, parabola conftfuatur : velocitas quacum corpus exire debet de loco 2> fecundum redam ut in me- dio uniformi refiftente defcribat curvam T>raF^ ea ipfa erit qua- cum exire debet de eodem loco B, fecundum eandem redam defcribat parabolam. Nam latus redum parabolae hujus, ipfo mo« . .. guad. „ ^ tGT T>R^Tt tus imtio, eft ; ScVr efk. fen _ _ ■ . Reda au- Fr ’ " N zN ' tem quae, fi duceretur, hyperbolam GTS tangeret in G, parallela eft ipfi T>Ky ideoque Tt eft & N erat Et ©C c-y propterea eft Cy proportionales DR & ©C, ©F& ©P) & latus redum prodit ~ id eft (ob proportionales & CKt T)A & AC) > ideoque ad z © P, ut © P x ©^ ad CP x hoc eft, ut refiftentia ad gravitatem. ^ E, B. Corol. 4. Unde fi corpus de loco quovis B, data cum velocitate, fecundum redam quamvis pofitione datam B!P projiciatur; & re- fiftentia medii ipfo motus initio detur : inveniri poteft curva E>raF^ quarn corpus idem deferibet. Nam ex data velocitate datur latus redum parabolae, ut notum eft. Et fumendo xB^P ad latus illud redum, ut eft vis gravitatis ad ^vim refiftentiae, datur B5P. Dein fecando ! PRINCIPIA MATHEMATICA, 137 fecando T)C in ut fit CTx^C ad 2)Px2)^in eadem illa ra- tione gravitatis ad refillentiam, dabitur punftum yf. Et inde datur ^ curva T>raF, Corol, 5*. Et contra, fi datur curva H^raF^ dabitur & velo- citas corporis & refifientia me- dii in locis fingulis r. Nam ex data ratione CPx-^Cad2)!P datur tum refifientia medii fub initio motus, tum la- tus reftum parabolae : & inde datur etiam velocitas fub initio motus. Deinde ex longitudine tangentis rZ/, datur & huic pro- portionalis velocitas, & veloci- tati proportionalis refifientia in loco quovis r, Corol. 6. Cum autem longitu- do x Z) ^ fit ad latus reftum pa- rabolae ut gravitas ad refifientiam in 2) ; & ex aufta velocitate au- E geatur refifientia in eadem ra- tione, at latus reflum parabolae ^ augeatur in ratione illa duplica- ta: patet longitudinem aOP augeri in ratione illa fimplici, ideoque velocitati femper proportio- nalem eflTe, neque ex angulo C2)P mutato augeri vel minui, nifi mutetur quoque velocitas. Coro/. 7. Unde liquet methodus determinandi curvam T^raF ex phaenomenis quamproxime, & inde colligendi refifientiam & velo- citatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo fimilia & aequalia eadem cum velocitate, de loco 2), fecundum angulos diver- fosC2)!P, C2)/ & cognofcantur loca /s ubi incidunt in horizon- tale planum 2) C. Tum, aflumrpta quacunque longitudine pro 2) V vel fingatur quod refifientia in 2) fit ad gravitatem in ratione qualibet, & exponatur ratio illa per longitudinem quamvis SM. Deinde Liber £ c V M D u$. 238 PHILOSOPHIA NATURALIS De Motu Dcindc Dcr computationem, ex longitudine illa alTumpta 2)?, in- Corporum p . veniantur longitudines 2) is ac de ratione per calculuni inventa, auferatur ratio eadem per experimentum inventa, & expo- natur differentia per perpendiculum iV/iV. Idem fac iterum ac ter- tio, affumendo femper novam refiftentiaj ad gravitatem rationem S My 8c colligendo novam differentiam MN. Ducantur autem differentiae affirmativae ad unam partem VQdsd SM, & negativae ad alteram ; & per punfta Ny Ny N agatur curva regularis NNN fe- cans reftam S M MM in X, & erit SX vera ratio refiflentiae ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda ett longitudo T>F per calculum ; & longitudo, quae fit ad affumptam longitudinem 2) P, ut longitudo 2)Fper experimentum cognita ad longitudinem 2) modo inventam, erit vera longitudo 2)2*. Qua inventa, habetur tum curva linea i)raF quam corpus defcribit, tum corporis velocitas & refiftentia in locis fingulis. Scholiufn. PRINCIPIA mathematica. Scholmm. L I B E K S E C U N DU S CaBterum, refidentiam corporum effe in ratione velocitatis, hy- pothefis eft magis mathematica quam naturalis. In mediis, quse rigore omni vacant, reriftentiae corporum funt in duplicata ratio- ne velocitatum. Etenim adlione corporis velocioris communicatur eidem medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione majoris velocitatis ; ideoque tempore aequali, ob majorem medii quantitatem perturbatam, communicatur motus in duplicata ratione major ; eftque refiltentia (per motus leg. ii. & iii.) ut motus com- municatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege re- fiftentiae. SECTIO IL Be moiu corporum qmhus refijittur tn duplicata ratione ve- locitatum. PROPOSITIO V. THEOREMA III. St corpori refifiitur in velocitatis ratione duplicata^ idem • fola vi infita per medium ftmilare movetur \ tempora vero fumantur in progrejjione geometrica a mimrihus terminis ad majores pergente : dico quod velocitates initio fmgulo- mm temporum funt in eadem progrejfione geometrica in- verfe • ^ quod fpatia funt ^qualiay qua fmgulis tempori- bus defcrihuniur. Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis eft refiftentia medii, & refiftentiae proportionale eft decrementum velocitatis ; fi tempus in particulas innumeras aequales dividatur, ‘quadrata velo- citatum lingulis temporum initiis erunt velocitatum earundem dif- ferentiis proportionalia. Sunto temporis particulae illae AK^ KL^ L My &c. in reda C® fumpttie, &: erigantur perpendicula A 5, 240 PHILOSOPHIi£ NATURALIS De Motu COKPORUM Kky Ll^ Mniy &c. hyperbolae BklmGy centro C afymptotis re- ftangulis C2), CH defcriptae, occurrentia in By ky /, &c. & erit j^B ad Kk ut CK ad & divifim AB^Kk ad Kk ut AK ad CAy & viciflim AB — Kk ad AK\ii Kk ad C Ay ideoque ut AB xKkzA ABxCA. Unde, cum A K & AB xC A Atnimy txitAB — Kk ut AB%Kk ; & ultimo, ubi coeunt AB & K ky ut ABq. Et fimili argumento erunt Kk — LlyLl — Mmy &c. ut Kkquad,Llquad. &:c. Linearum igitur ABy Kky Lly Mm quadrata funt ut earun- dem differentiae ; & idcirco cum quadrata velocitatum fuerint eti- am ut ipfarum differentiae, fimilis erit ambarum progreflio. Quo demonflrato, confequens elt etiam ut h areae his lineis defcriptae fint in pro- greffione confimili cum fpatiis quae velocitatibus defcribuntur. Ergo fi velocitas initio primi temporis AK ex- ponatur per lineam A By &: velocitas initio fecundi K L per lineam Kk, & longitudo primo tempore defcripta per aream AKkB; velocitates omnes fub- - D K T. M T fequentes exponentur per lineas fubfequentes Z/, &c. & lon- gitudines defcriptae per areas Kly Lm^ &c. Et compofite, fi tempus totum exponatur per fummam partium fuarum AMy longitudo tota defcripta exponetur per fummam partium fuarum AMmB, Con- cipe jam tempus ^ Af ita dividi in partes AKy KLy L My &c. ut lint CAy CKy CLy CMy &c. in progreffione geometrica; & erunt partes illae in eadem progreffione, & velocitates ABy Kky Lly Mnty &c. in progreffione eadem inverfa, atque fpatia defcripta Aky Kly Lniy &c. aequalia. ^ E, T>. Corol. I. Patet ergo quod, fi tempus exponatur per afymptoti partem quamvis AT>y velocitas in principio temporis per ordi- natim applicatam AB ; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam 2) G, & fpatium totum defcriptum per aream hyperbo- licam adjacentem G 2) ; necnon fpatium, quod corpus aliquod eodem tempore AD^ velocitate prima ABy in medio non refiften- te defcribere polfet, per redlangulum ABy. AD. Corol. %. Unde datur fpatium in medio refiflente defcriptum, ca- piendo illud ad fpatium quod velocitate uniformi AB m medio non PRINCIPIA MATHEMATICA. 241 non refiftente fimul defcribi poflTet, ut efl: area hyperbolica ABGT> Libhb ad reftangulum - Secundus Corol. 3. Datur etiam refiflentia medii, flatuendo eam ipfo mo- tus initio aequalem elle vi uniformi centripetae, quae in cadente corpore, tempore A C, in medio non refiliente, generare poflbt ve- locitatem A B. Nam li ducatur B T quae tangat hyperbolam in B^ & occurrat afymptoto in T ; recSta AT aequalis erit ipfi AC, & tem- pus exponet, quo refillentia prima uniformiter continuata tollere poflet velocitatem totam AB, Corol. 4. Et inde datur etiam proportio hujus refiftentiae ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centr.ipetam. Corol. y. Et vice verfa, li datur proportio refillentiae ad datam quamvis vim centripetam ; datur tempus AC^ quo vis centripeta refillentiae aequalis generare poffit velocitatem quamvis AB: & inde datur punftum B per quod hyperbola, afymptotis Ci7, C®, defcribi debet ; ut & fpatium A BGT)^ quod corpus incipiendo motum fuum cum velocitate illa A By tempore quovis A ®, in medio fimilari refillente defcribere poteft. PROPOSITIO VI. THEOREMA IV. Corpora fpharka homogenea aqualtay reftTlenuis m du^ plicata ratione velocitatum impedita^ folis viribus infitis. incitata^ temporibus^ qude funt reciproce ut velocitates fub initioy deferibunt femper aqualia [patia^ amittunt par- tes velocitatum proportionales totis. Afymptotis reftangulis C®, C H ^ deferipta hyperbola quavis BbEeit- cante perpendicula A By aby T> Ey dcy in By by Ey Cy exponautur velocitates initiales per perpendicula ABy ® & tempora per lineas AayT>d, Efl: ergo ut A a ad ® ^ ita (per hypothefin) T)E zA A By & ita (ex natura hyperbolae) CAzA C® ; & componendo, ita Ca ^ ad Cd, Ergo areae ABbuy E e dy hoc efl:, fpatia deferipta aequan- I i tur i4t PHILOSOPHIAE NATURALIS Dr Motu ititcr fe, & velocitates primae AB^ T>E funt ultimis ah^ okporum dividendo partibus etiam fuis amiflis AB-^ab, T)E-^de proportionales. ^ E, O. PROPOSITIO VII. THEOREMA V. Corpora fphartca qtuhus rejijlttur in duplicata ratione veloci~‘ ■ tatum^ temporibus^ qU(£ funt ut motus primi direBe re- ftjlentide prim^ inverfe^ amittent partes motuum proportio- nales totis^ Qf fpatia defcribent temporibus iflis ^ veloci- tatibus primis conjunBim proportionalia. Namque motuum partes, amiffae funt ut refiflentiae & tempora conjundim. Igitur ut partes illae fint totis proportionales, debebit refillentia & tempus conjundim effe ut motus. Proinde tempus erit ut motus direfle & refiilentia inverfe. Quare temporum par- ticulis in ea ratione fumptis, corpora amittent femper particulas motuum proportionales totis, ideoque retinebunt velocitates velo- citatibus fuis primis femper proportionales. Et ob datam velocita- tum rationem, defcribent femper fpatia, qu^ funt ut velocitates primae & tempora conjunftim. ^ E, T>. CoroL T. Igitur fi aequivelocibus corporibus refiftitur in duplicata ratione diametrorum : globi homogenei quibufcunque cum veloci- tatibus moti, defcribendo fpatia diametris fuis proportionalia, amit- tent partes motuum proportionales totis. Motus enim globi cujuf- que erit ut ejus velocitas & malTa conjunftim, id ell, ut velocitas & cubus diametri refillentia (per hypothefin) erit ut quadratum dia- metri & quadratum velocitatis conjunftim ; & tempus (per hanc pro- pofitionem) ell in ratione priore direfte & ratione pofteriore inver- fe, id eft, ut diameter direfte & velocitas inverfe ; ideoque fpatium^. tempori & velocitati proportionale, efl ut diameter. CoroL 1. Si aequivelocibus corporibus refiftitur in ratione fefqui- plicafa diametrorum : globi homogenei quibufcunque cum velocita- tibus moti, defcribendo fpatia in fefquiplicata ratione diametrorum, amittent partes motuum proportionales totis. CoroL 3. Et univerfaliter, fi aequivelocibus corporibus refiftitur im , ratione dignitatis cujufcunque diametrorum : fpatia quibus globi homogenei, quibufcunque cum velocitatibus moti, amittent partes motuum PRINCIPIA MATHEMATICA. 243 motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad digni- ^ tatem illam applicati, bunto diametri D & E; & fi refiftentiae, ubi velocitates aequales ponuniur, lint ut D' & E” : fpatia quibus globi, quibnlcunque cum velocitatibus moti, amittent partes motuum pro- portionales totis, erunt ut Et propterea globi homo- genei defcribendo fpatia iplis D*~” & E*“” proportionalia, reti- nebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac fub initio. Corol. 4. Quod Ii globi non fint homogenei, fpatium a globo den- fiore defcriptum augeri debet in ratione denfitatis. Motus enim, liib pari velocitate, major elt in ratione denfitatis, & tempus (per hanc propofitionem ) augetur in ratione motus direfte, ac fpatium defcriptum in ratione temporis. Corol. s- Et fi globi moveantur in mediis diverfis ; fpatium in medio, quod caeteris paribus magis refidit, diminuendum erit in ratione majoris refiltentiae. Tempus enim (per hanc propofitionem) diminuetur in ratione refiftentiae auftae, & fpatium in ratione tem- poris. LEMMA II. Momentum gentice aquatur momentis laterum fmgulorum ge^ neranttum m eorundem laterum indices dignitatum co- efficientia continue duBis. Genitam voco quantitatem omnem, quae ex lateribus vel termi- nis quibufcunque in arithmetica per multiplicationem, divifionem, & extradionem radicum ; in geometria per inventionem vel con- tentorum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionali- um, fine additione & fubduttione generatur. Ejufmodi quantitates funt fadi, quoti, radices, redangula, quadrata, cubi, latera quadrata , latera cubica, & fimiles. Has quantitates, ut indeterminatas ^ in- flabiles, & quafi motu fluxuve perpetuo crefcentes vel decrefcen- tes, hic confidero; & earum incrementa vel decrementa momen- tanea fub nomine momentorum intelligo : ita ut incrementa pro momentis addititiis feu affirmativis, ac decrementa pro fubduftitiis feu negativis habeantur. Cave tamen intellexeris particulas finitas. Particulae finitae non funt momenta, fed quantitates ipfe ex mo- mentis genitae. Intelligenda funt principia jamjam nafcentia finita- I i i rum D R Motu CCKP-l-RUM 144 PHILOSOPHIA NATURALIS rum magnitudinum. Neque enim fpeflatur in hoc lemmate mag- nitudo momentorum, fed prima nafcentium proportio. Eodem re- cidit fi loco momentorum ufurpentur vel velocitates incremento- rum ac decrementorum (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nominare licet) vel finitae quaevis quantitates velocita- tibus hifce proportionales. Lateris autem cujufque generantis co- efficiens ett quantitas, quae oritur applicando genitam ad hoc latus. Igitur fenfus lemmatis efi,uc, fi quantitatum quarumcunque perpetuo motu crefcentium vel decrefcentium A, B, C, &c. momenta, vel his proportionales mutationum velocitates dicantur &c. momentum vel mutatio geniti redanguli AB fuerit a^-\-b k, & geniti contenti ABC momentum fuerit /?BC-j-^ AC -f-^AB : & genitarum dig- nitatum AS A% AS A ^ A"^, A"^, AL A“', K~\ & momenta a A 2, d A, 3 d A^, 4 ^ A*, d k. ,4^ A , f d k ^ d k ^-s, & — 4 A""^ refpedive. Et generaliter, ut dignitatis Yi ^ n — m cujufcunque A * momentum fuerit — a k . Item ut ffenitae A* B momentum fuerit x^zAB-L^A*; & genitae A’ B‘^ C“ momen- A’ tum 3 A" B"^ C^ -f- 4^ A’ B* C* -f i e A’ B"^ C ; & genitae ^ five A’ B“^ momentum 3 A^ B~* — % b k? B“’ : & fic in caeteris. De- monflratur vero lemma in hunc modum. Cdf. i. Redangulum quodvis motu perpetuo auflum AB, ubi d:’e lateribus A & B deerant momentorum dimidia- 4 & 4^, fuit A — 4. Caf PRINCIPIA MATHEMATICA. 14 j €af 3. Ponantur latera A, B, C fibi mutuo feraper aequalia; & Ltbbk ipfius A% id efl reftanguli AB, momentum ^^B d-^A erk x ^ iptius autem AS id eii: contenti ABC, momentum ^BC + ^AG c A B erit 3 a A^ Et eodem, argumento momentum dignitatis ' cujurcunque A" cft A”"'. ^ E. T>, Caf. Unde cum x momentum ipfius ■— dudtum ire A, una cum — dudo in a erit momentum ipfius i, id eft, nihil. — a Proinde momentum ipfius feu ipfius A~' efl Et generaliter I . I eum in A” fit i, momentum ipfius — dudtum in A” una cum ~ in ^ ^ A”“' erit nihil. Et propterca momentum ipfius ■— feu A A A"-” erit n a A ^ 1 E. ®. 1-1 , _L * Caf, 5*. Et cum A^ in A " lit A, momentum ipfius A'^ dudtum m 1 I z erit per caf. 3 : ideoque momentum ipfius A"^' erit 2A« m t _ five 4- a A Et generaliter fi ponatur A® iequale B, erit A”* ae- quale B”, ideoque m a A”"' aequale n b B"“', &c m a A~' sequale -- m ”1=1 »^B~' feu »^A ”, ideoque <»A » aequale b, id eft, aequale m momento ipfius A^. ^ -S*. Caf 6. Igitur genitae cujufcunque A"” B"* momentum eft momen- tum ipfius A”* duftum in B", una cum momento ipfius B” dudto in A”*, id eft m a A'”""' B” A”*; idque five dignitatum in- dices m &L n fint integri numeri vel frafti, five affirmativi vel nega- tivi. Et par eft ratio contenti fub pluribus dignitatibus. ^ E. T). Corol. I. Hinc in continue proportionalibus, fi terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multipli- cati 1^6 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu cati per numerum intervallorum inter ipfos & terminum datum. Corporum C, D, E, F coiitinue proportionalcs ; & fi detur termi- nus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter fe ut x A — B,D,xE, 3F. Coro/, z. Et fi in quatuor proportionalibus duae mediae dentur> momenta extremarum erunt ut eaedem extremae. Idem intelligem dum eil de lateribus reftanguli cujufcunque dati. Coro/. 3. Et fi fumma vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera. SchoUum. In epiftola quadam ad D. J. Collinium noftratem 10 Decem. 1571 data, cum defcripfiflem methodum tangentium quam fufpicabar eandem effe cum methodo Slufit tum nondum communicata; fub- junxi : Hoc efl unum particulare vel corolLarium potius methodi ge^ neralis^ qu£ extendit fe citra moleftum ullum calculum.^ non modo ad ducendum tangentes ad quafuis curvas five geometricas five me^^ chanicas vel quomodo cunque re Ei as lineas alia fu e curvas refpicien- tes., verum etiam ad refolvendum alia abflrufiora problematum gene^ ra de curvitatibus^ areisy longitudinibus^ centris gravitatis curvarum ^c, neque ( quemadmodum Huddenii methodus de maximis ® mini^ mis ) ad folas refringitur aquationes illas qua quantitatibus fur dis funt immunes. Hanc methodum intertexui alteri ifi qua aquatio^ num exegefn inflituo reducendo eas ad feries infinitas, Haftenus epiffola. Et haec ultima verba fpeftant ad traftatum quem anno 1671 de his rebus fcripferam. Methodi vero hujus generalis fundamen- tum continetur in lemmate praecedente. PROPOSITIO vm. THEOREMA VE St corpus m rnedio untformt^ gravitate uniformiter agentCj reBd afcendat vel deficendat^ fpatium totum defcriptum dijlinguatur in partes aquales,, inque principiis fingularum partium {addendo reftflenUam m.edii ad vim gravitatis,, quando corpus, afcendit, vel fuhducendo ipfam quando cor- PRINCIPIA MATHEMATICA. pus de fcendit^ mvejligentur vires ahfolut^e ; dico tllce abfoluta funt tn progrejjione geometrica. Exponatur enim vis gravitatis per datam Uncam AC\ refiflentia per lineam indefinitam AK\ vis abfoluta in defcenfu corporis per differentiam KC % velocitas corporis per lineam AT,, quae fit media proportionalis inter AK 8>c AC, ideoque in fubduplicata ratione reliilentiae ; incrementum refiftentiae data temporis particula faftum per lineolam KL, & contemporaneum velocitatis incrementum per lineolam T & centro C afymptotis redangulis CA, CH defcri- batur hyperbola quaevis BNS, eredis perpendiculis AB, KN, LO occurrens in B, N, O. Quoniam A K \xt AT q, erit hujus mo^ mentum K L ut illius momen- h tum -lAT^: id eft, wx. AT m KC*, nam velocitatis incremen- tum ^^(per motus leg. ii.) proportionale eft vi generanti KC. Componatur ratio ipfius ATL cum ratione iplius KN, & fiet redangulum KLxKN ut AT ^ xKCxKN ; hoc eft, ob datum reftangulum KCxKN, ut AT,^ Atqui arcae hyperbolicae KNOLoii. redangulum KLxKN r^iXXo ultima, ubi coeunt punfta K & L, eft aequalitatis. Ergo area illa hyperbolica evanefcens eft ut AT. Componitur igitur area tota hy- perbolica ABOL ex particulis KNOL velocitati AT femper proportionalibus, & propterea fpatio velocitate ifta defcripto pro- portionalis eft. Dividatur jam area illa in partes aequales ABMI^ IMNK, KNOL, &c. & vires abfolutae AC, IC, KC, LC, &Co erunt in progrellione geometrica. ^ E. T>. Et fimili argumento, in afcenfu corporis, fumendo, ad contrariam partem pundi A, ae- quales areas AB mi, imnk, knol, &c. conflabit quod vires abfo- lutae AC, tC, kC, IC, &c. funt continue proportionales. Ideoque fi fpatia omnia in afcenfu &' defcenfu capiantur sequalia ; omnes vires abfolutse /C, kC, iC, AC, IC, KC, LC, &c. erunt continue propor- tionales. E, T>. Corol. I. Hinc fi fpatium defcriptum exponatur per aream hyper- bolicam AB NK ; exponi poffunt vis gravitatis, velocitas corporis & re- 247 quod vires ^ ^ ^ ® ® * S t: r' TT Ki ri 'De Motu Corporum 248 PHILOSOPHIAE NATURALIS & refiftentia medii per lineas AC^ AT &c A K refpedlive ; & vice verfa. CoroL Ec velocitatis maximse, quam corpus in infinitum de- fcendendo porelt unquam acquirere, exponens ell linea AC. Corel. 3. Igitur fi in data aliqua velocitate cognofeatur refifientia medii, invenietur velocitas maxima, fumendo ipfam ad velocitatem illam datam in fubduplicata ratione, quam habet vis gravitatis ad medii refiftentiam illam cognitam. PROPOSITIO IX. THEOREMA VIL Pofitis jam demonfiratis^ dko quod., ft tangentes angulorum fe- Boris circularis feP feBoris h^perbolici fumantur velocitati- hus proportionales, exiflente radw jufi^ magnitudinis: erit tempus omne afeendendi ad locum fummum ut feBor cir-^ culi, tempus omne defcendendt a loco fummo ut feBor hyperbole. Re61:ae AC, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & aequa- lis ducatur A^. Centro T> femidiametro AT> deferibatur tum circuli quadrans AtE\ tum hyperbola redangula axem ha- bens AX^ verticem principalem A, & aiymptoton 2) C. Ducan- tur 2)/, 2) & erit feftor circularis Atf>vx tempus omne af- eendendi ad locum fummum ; & feftor hyperbolicus ATT) vx tem- pus omne defeendendi a loco fummo ; Si modo fedorum tangentes Ap, AT fint ut velocitates. Caf. I. Agatur enim 2) abfeindens feftoris AT) t &: trianguli AT>p momenta, feu particulas quam minimas fimul deferiptas tT)v ^ qT)p. Cum particulas illae, ob angulum communem T), funt in . , . • 1 .rrr aT> P X tT> quad. duplicata ratione laterum, erit particula tT)v vx - ^ qT) p pT) qtiad. id eft, ob datam tT), ® + Ap quad. id ed, AT) quad. AT>x A k, feu AT>yp ell ^AT>%pq. Ergo feftoris particula tT) v ut PRINCIPIA MATHEMATICA. 249 ut velocitatis decrementum quam minimum fq direfte, & vis illa Qk Liber quae velocitatem diminuit inverfe ; atque ideo ut particula temporis decremento .velocitatis refpondens. Et componendo fit fumma par- ticularum omnium tT>v m fedore AT>t, ut fumma particularum temporis fingulis velocitatis decrefeentis y// particulis amiffis pq refpondentium, ufque dum velocita-s illa in nihilum diminuta eva-. nuerit ; hoc eft, feftor totus AT>t efl ut tempus totum afeendendi ad locum fummum. ^ E. T>, Caf. 2. Agatur T> abfeindens tum feftoris T>AV^ tum trian-» guli T>A^ particulas quam minimas TDV TT> Sc erunt hie particulae ad invicem ut T)Tq iid T>Tqy id efl {{\TX & AT pa- rallelae fint) ut T>Xq ad T>Aqst\ TXq ad AT\qy & divifim ut T>Xq’--^TX q 2^d T>A q — AT q. Sed ex iiatura hyperbolae T>Xq ^^TXq efl: AT> q^ &c per hypothefm AT q AT>% AK. Ergo particulae funt ad invicem ut AT>q ad AT>q^AT)v.AK\ id efl, ut AT) ad AT) — AK feu AQ^^d C K : ideoque feftoris particula . TT)V'q?c ^ atque ideO ob datas AQ AT)y ut T§ id efl, ut incrementum velocitatis direfle, utque vis generans incrementum inverfe ; atque ideo ut particula temporis incremen- K k to Zjo PHILOSOPHIAE NATURALIS D® MoTuto refpondens. Et componendo fit fumma particularum temporis. Corporum g^j^us omues velocitatis AT particulae 5P ^ generantur, ut fumma . particularum feftoris ATT>, \di eft, tempus totum ut fedor totus. E, 2). CoroL I. Hinc AB aequetur quartae parti ipfius ACj fpatium quod corpus tempore quovis cadendo defcribit, erit ad fpatium, quod corpus velocitate maxima ACy eodem tempore uniformiter progrediendo defcribere poteft, ut area A B N Ky qua fpatium ca- dendo defcriptum exponitur, ad aream ATTDy qua tempus expo- nitur. Nam cum fit -^Cad AT ut AT ad AK^ erit (per coroL i. iem. II. hujus) ZiT ad P^ut %AK ad AT^ hoc eft, ut %AT ad AC, & inde LK^d ^T^ut AT ad iACwelAB; eft & KN ad AC vel AT>x\t AB ad CK; itaque exaequo LK NO 2LdT>T^ ut AT Sid CK. Sed erat T>T^^d T>TK ut CK ad AC. Ergo rurfus exaequo LKNOeR^id T>TV ut AT zd AC \ hoc eft, ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo poteft acquirere. Cum igitur arearum ABNK & ATT) momenta LKNO & T>TV {uut ut velocitates, erunt arearum illa- rum partes omnes fimul genitae ut fpatia fimul defcripta, ideoque ai*eae PRINCIPIA MATHEMATICA. zji areae totae ab initio genitae AB NK & ATT) ut fpatia tota ab ini-^ Ltsh* tio defcenfus defcripta. ^. E.T>. Secono^s Corol. z. Idem confequitur etiam de fpatio quod in afcenfu de- fcribitur. Nimirum quod fpatium illud omne Iit ad fpatium, uni- formi cum velocitate AC eodem tempore defcriptum, ut elt area ABnk ad feftorem AT) t. Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATT) cadentis eft ad ve- locitatem, quam eodem tempore in fpatio non refillente acquire- ret, ut triangulum ATT) ad feftorem hyperbolicum ATT). Nam velocitas in medio non refiltente foret ut tempus ATT)y & in medio refiftente elt ut AT^ id eit, ut triangulum ATT), Et ve- locitates illae initio defcenfus aequantur inter fe, perinde ut areae iW^ ATT), ATT). Corol. 4. Eodem argumento velocitas in afcenfu eft ad velocita- tem, qua corpus eodem tempore in fpatio non refiftente omnem fuum afcendendi motum amittere polfet, ut triangulum ApT) ad feftorem circularem AtT) ; five ut reda Ap ad arcum At. Corol. 5*. Eft igitur tempus, quo corpus in medio refiftente ca- dendo velocitatem AT acquirit, ad tempus, quo velocitatem ma- ximam AC\x\ fpatio non refiftente cadendo acquirere pofiet, ut feftor AT)T 2idi triangulum 2) C: & tempus, quo velocitatem Ap in medio refiftente afcendendo poffit amittere, ad tempus quo velocitatem eandem in fpatio non refiftente afcendendo poflet amit- tere, ut arcus ad ejus tangentem^/. Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur fpatium afcenfu vel de- fcenfu defcriptum. Nam corporis in infinitum defcendentis datur velocitas maxima (per corol. & 3. theor. vi. lib. ii.) indeque datur tempus quo corpus velocitatem illam in fpatio non refiftente cadendo polfet acquirere. Et fumendo feftorem AT)T vel AT)t ad triangulum AT) C in ratione temporis dati ad tempus modo inventum ; dabitur tum velocitas AT vel Ap, tum area ABNK vel ABnk, quae eft ad feftorem AT)T vel AT)tvx fpatium qua^- fitum ad fpatium, quod tempore dato, cum velocitate illa maxima jam ante inventa, uniformiter defcribi poteft. Corol. 7. Et regrediendo, ex dato afcenfus vel defcenfus fpatio ABnkstX ABNK, dabitur tempus AT) t AT)T. K k X PROPO^ PHILOSOPHIAE NATURALIS D E M 0 T u PROPOSITIO X. PROBLEMA III. Tendat uniformis vis gravitatis direBe ad planum horizontisy ftique refifientia ut medii denfitas quadratum velocitatis conjunBim : requiritur tum medii denfitas in locis ftnguUsy qu£ faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur ; tmn corporis velocitas medii ref flentia in locis fingulis. Sit "P ^planum illud plano fchematis perpendiculare; T FH^ linea curva plano huic occurrens in punftis F Gy H, 1, K loca quatuor corporis in hac curva ab -P ad ^ pergentis % G By HCy lT>y KE ordinatae quatuor parallelae ab his pundis ad hori- zontem demiffe, & lineae horizontali ad punda By C, Dy E infiflentes ; & fint BC, CE>yT>E diftantiae ordinatarum inter fe aequales. A pundis G &c H du- ^ cantur redae GL, //-A curvam tangentes in G & i/, & ordina- tis CHyE>I furfum produdis occurrentes in L & A, & com- pleatur parallelogrammum HC ® M, Et tempora, quibus cor- P a B c e a' pus defcribit arcus G A, Hly erunt in fubduplicata ratione altitu- dinum LHy Nly quas corpus temporibus illis defcribere poiTet, a tangentibus cadendo; & velocitates erunt ut longitudines defcriptae GHy HI direde & tempora inverfe. Exponantur tempora per T &: ty & velocitates per -tjt & ^ decTementum 'velocitatis G H H T tempore t fadum exponetur per — - — . X t 'Hoc decreinentum oritur a refillentia corpus retardante, & gravitate corpus acceleran- te. Gravitas, in corpore cadente & fpatium NI cadendo defcri- bente, generat velocitatem, qua duplum illud fpatium eodem tem- pore defcribi potuiflet, ut Galilatis demonltravit ; id eft, velocita- 2 NI tem -y * at m corpore arcum H I defcribente, auget aicum illum fola PRINCIPIA MATHEMATICA. 253 fo!a longitudine HI-HNku ideoque genem tau- tum velocitatem ^MIxNI Addatur haec velocitas ad decremem rxHI ■ tum praedi(Sum, & habebitur decrementum velocitatis ex rcfiitentia fola oriundum nemop HI x -AT./ . luid onuiiaum, nempe ^ 1 Yx HL — * ^^’^^^dcque CUm gravitas eodem tempore in corpore cadente generet velocitatem refifientia erit ad gravitatem ut 4. 2 Af /x iV l .r, , , T r ^ txHl ad five ut i— HI Jr ad z NJ. Jam pro abfeiffis C 5, CT>^ CE feribantur — o, zo. Pro oidinata C H feribatur Pj & pro MI feribatur feries quaelibet Qo-^Koo + Sa^ q- &c. Et feriei termini omnes poft primum, nempe R(? (5+ So' &c. erunt NI, & ordinatae 7)1, EK, & BG erunt P — Q — — &c. refpedive. Et quadrando diffe- rentias ordinatarum B G ^ C H ^ C H -^70>I, &ad quadrata pro- deuntia addendo quadrata ipfarum B C, C7), habebuntur arcuum G.H, /// quadrata d? Ny id eft, lineolam MNy quae abfcinditur complen- do parallelogrammum HCT>M^ atque ideo pofitionem tangentis HN femper determinat; ut in hoc cafu capiendo ilfiV ad HM ut eft ~ ad Of feu a ad e, Terminus tertius, qui hic eft ^ xe^ de- fignabit lineolam I quae jacet inter tangentem & curvam, ideo- que determinat angulum contaftus I H N feu curvaturam quam curva linea habet in H, Si lineola* illa IN finitae eft magnitudinis, defignabitur per terminum tertium una cum fequentibus in infini- tum. At fi lineola illa minuatur in infinitum, termini fubfequen- tes evadent infinite minores tertio, ideoque negligi pofTunt. Ter- minus quartus determinat variationem curvaturae, quintus variatio- nem variationis, & fic deinceps. Unde obiter patet ufus non con- temnendus harum ferierum in folutione problematum, quae pem dent a tangentibus & curvatura curvarum. ao nnoo annor &c. cum ferie Conferatur jam feries e — P — — &c. & perinde pro P, Q, R & S fcribatur ^ X X a nn ^ ann /~ n ^ ■r» Tj & — r,- & pro V i + Q Q fcribatur V ^ ~ ^ ^ xe^ xe ^ X. ee e prodibit medii denfitas ut a ne a hoc eft (ob datam;/) ut — , feu e 2j6 philosophias naturalis Corporum id eft, ut tangentis longitudo illa HT, qu« ad femidiame- trum ipfi y ^normaliter infiftentem terminatur: & refiflentia erit ad gravitatem ut 3 ^ ^d 2,^5 id eftj ut 3-^^ circuli diame- trum velocitas autem erit ut VCH Quare fi corpus jufta cum velocitate fecundum lineam ipfi ^P^parallelam exeat de loco F, & medii denfitas in fingulis locis H fit ut longitudo tangen- tis HTy & refiltentia etiam in loco aliquo H fit ad vim gravi- tatis ut 3^Cad corpus il- lud defcribet circuli quadrantem FH^, ^E.I, At fi* corpus idem do loco fecundum lineam ipfi perpen- dicularem egrederetur, & in arcu femicirculi F F^moveri incipe- ret, fumenda eflet -^Cfeu a ad contrarias partes centri A, & prop- terea fignum ejus mutandum eflet & fcribendum — ^ pro 4- a. Quo pi^fto prodiret medii denfitas ut — . Negativam autem deo=- € fi-tatem, hoc eft, quae motus corporum accelerat, natura non au init- tit : & propterea naturaliter fieri non poteft, ut corpus afcendendo a F defcribat circuli quadrantem F F, Ad hunc efledum deberet .corpus a medio impellente accelerari, non a refiftente impediri., Exempl. z. Sit linea FF^ parabola, axem habens ^F horizonti perpendicularem, & requiratUT medii denfitas, quae faciat ut projedtle in ipfa moveatur. Ex natura parabolae, reflangulum FT)^ aequale eft redangulo fub ordinata ©/ & reda aliqua data : hoc eft, fi dicantur re- da illa F^c; CII, e; & C2), 0 ; redangulum a-{-omc — a — 0 feu ac — a a — zao-^co — 00 aequale eft redangulo h in 2)/, ideoque F>I aequale a c — a a c — z a 1 — b — Jam feri- bendus effet hujus feriei fecundus terminus pro Qo, tertius item PRINCIPIA MATHEMATICA. 2 J7 0 0 Liber item terminus pro Roo. Cum vero plures non fint termini, Secundus. debebit quarti coefficiens S evanefcere, & propterea quantitas b R VTf 0^’ medii denfitas proportionalis eft, nihil erit. Nul- la igitur medii denfitate movebitur projeftile in parabola, uti olim demonftravit Galilaus. ^E. I, Exempl. 3 . Sit linea AGK hyperbola, afymptoton habens NX plano horizontali AK per- pendicularem ; & quaeratur me- dii denfitas, quae faciat ut pro- jeftile moveatur in hac linea. Sit MX afymptotos altera, ordinarim applicatae T> G pro- duflae occurrens in V\ & ex natura hyperbolae, reftangulum XV 'm VG dabitur. Datur au- tem ratio jD iNTad VXy & prop- terea datur etiam reftanguluin T>N\xiVG, Sit illud bb: & ^ completo parallelogrammo T>K XZ ; dicatur BNy a; BT>yO-^ NXy c ; & ratio data VZ ad ZX vel ©iNT ponatur eflfe Et erit aequalis^ — Oy VG aequalis b b fti — , rz aequalis -a — o,8cGT> feu NX— VZ—VG ae- m m qualis c a A — o ^ n n - bb a — 0 Refcivatur terminus bb a- in feriem ,. m lis c a n b b bb b b b b — + — 0 -\ — - 00 ^ — 0^ a acL bb + m bb bb a — 0 — — i 1 — — o"‘ — n aa bb o" &c. Hujus feriei terminus fecundus — o o ufurpandus efi: pro Qoy tertius cum fig- i>b bb no mutato — o pro & quartus cum figno etiam mutato — o L 1 pro 2j8 philosophia naturalis m bb bb bb proSo', eorumque coefhcientes -- 7, ^ ^ in regula fuperiore pro Q, R & S. Quo fadlo prodit medii denfitas fcribendte funt b b ut a bb ^ mni 'tm b b b^ • — - \/ 1 -V" i — ^ nn naa ■ ^4 feu mm sj d U ^ ^ nn % m b b b^ _j n aa id yr\ eft, fi in VZ fumatur VT aequalis V G, ut Namque aa &c ^ aa — lUtA — funt ipfarum XZ 8c ZT quadrata. Refi- nn n da flentia autem invenitur in ra- tione ad gravitatem quam ha- bet 3 XT ad 2 7'G ; & velocitas ea efl, quacum corpus in parabola pergeret verticem G, diametrum 2)G, & latus reftum — habente. Ponatur itaque quod medii denfitates in locis Angulis G jfint reciproce ut diftantiae XTy quodque refiflentia in loco aliquo G fit ad gravitatem ut ^XT ad 'lTG ‘y & corpus de loco jufla cum velocitate emifliim, defcribet hyperbolam M illam AGK, ^ E. I. Exempl. 4. Ponatur indefinite, quod linea AG K hyperbola fit, centro X, afymptotis M X, N X es. lege defcripta, ut conftrufto reftangulo X Z^D N cujus latus ZE) fecet hyperbolam in G & afympcoton ejus in V, fuerit VG reciproce ut ipfius ZX vel 2) N dignitas aliqua D N", cujus index eft numerus n : & quaeratur me- dii denfitas, qua projedtile progrediatur in hac curva. Pro BN, BTy, NX fcribantur A, O, C refpeftive, fitque VZ ad XZ vel T>N ut ad & VG aqualis bb DN'‘ & erit IDiV aqua- lis PRINCIPIA MATHEMATICA, lis A — 0,^G= bb d — &G® feuiVZ— FZSbc b b VG aequalis C — -A-E- O — ^ ^ ^ A_or . Refolvatur terminus ille bb A—or n n -\-'Ln 6 n b b in feriem infinitam — + o 4- b b \ ^ ^ &c. ac fiet G 2) aequalis C — - A — — 4- ^ e k: ^ A"4- &c. Hu- X A”+^ 6 A”4-3 jus feriei terminus fecundus ~ O — O ufurpandus eft pro Q &: latus reflum feu habente. ^ E, 7. K 7in-\-nvixVG Scholmm. SxJC Eadem ratione qua prodiit denfitas medii ut corol- lario primo, fi refiftentia ponatur ut velocitatis V dignitas quaeli» L 1 ^ bet n B E K U N D U S‘, PHILOSOPHIJi NATURALIS i6o pB Motu CoHPORUM bet V", prodibit denfitas medii s zcr- ut X R !_:■ HT . Etpropterea fi curva inveniri poteft ea lege, S ut data fuerit ratio ad 4— « R~ UT AC n — I S" , ve! ad H-QQI” — I corpus movebitur in hac curva in uniformi medio cum refiftentia quae fit ut velocitatis dignitas V”. Sed redeamus ad curvas fimpliciores. Quoniam motus non fit in parabola nifi in medio non refifiente, in hyperbolis vero hic deferiptis fit per refiftentiam perpetuam ; perfpicuum eft quod linea, quam projeftile in medio uniformiter refifiente deferibit, propius accedit ad hyperbolas hafce quam ad parabolam. Eft utique linea illa hyperbolici generis, fed quae circa verticem magis diftat ab afymptotis ; in partibus a vertice remotiori- bus propius ad ipfas accedit quam pro ratione hyperbolarum quas hic defcripfi. Tanta vero non eft inter has & illam differentia, quin illius loco poffint hae in rebus pradbcis non incommode adhiberi. Et utiliores forfan futurae funt hae, quam hyperbola magis accurata & fimul magis compofita. Ipfae vero in ufum fic deducentur. Compleatur parallelogrammum XTGTy & reda GT tanget hy- perbolam in G, ideoque denfi- tas medii in G efl reciproce ut tangens GT^ & velocitas ibidem utV^^, refiftentia 'autem ad . . , iLnnA-%71 vim gravitatis ut GT ad — • »-1-2 \\\GV.. Y Z / V // G‘ \ * 1 A JNi A X BD Proinde PRINCIPIA MATHEMATICA. i6i Proinde fi corpus de loco ^ fecundum regiam projedum de- Libtu fcribat hyperbolam AGK^ & produfta occurrat afymptoto ^ iVZ in //, adaque AI eidem parallela occurrat alteri afymptoto MXvci I : erit medii denfitas in A reciproce vx A & corporis velocitas ut V refiftentia ibidem ad gravitatem vx AH zdi in AI. Unde prodeunt fequentes regulas. Reg. I. Si fervetur tum medii denfitas in A^ tum velocitas qua- cum corpus projicitur, & mutetur angulus /i/; manebunt lon- gitudines A Hy A ly HX. Ideoque li longitudines illas in aliquo cafu inveniantur, hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari poteft. Reg. X. Si fervetur tum angulus NA Hy tum medii denfitas in Ay & mutetur velocitas quacum corpus projicitur ; fervabitur lon- gitudo AHy & mutabitur AI m duplicata ratione velocitatis reci- proce. Reg. 3. Si tam angulus NAHy quam corporis velocitas in gravitafque acceleratrix fervetur, & proportio refiftentiae in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque ; augebitur proportio A H AI in eadem ratione, manente parabolas prae- didas latere redo, eique proportionali longitudine • & ptop- terea De Motu Corporum 261 PHILOSOPHIJi NATURALIS terea minuetur JH in eadem ratione, & ^7 minuetur in ratione illa duplicata. Augetur vero proportio refilknti^ ad pondus, ubi vel gravitas fpecifica fub aequali magnitudine fit minor, vel medii denfitas major, vel refiftentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus. Jleg. 4. Quoniam denfitas medii prope verticem hyperbolae ma- jor elt quam in loco ^ ; ut habeatur denfitas mediocris, debet ra- tio minimae tangentium GT* ad tangentem ^7 7/ inveniri, & denfitas in augeri in ratione paulo majore quam femifummae harum tan- gentium ad minimam tangentium GT. Reg, 5*. Sidantur longitudines ^7//, & defcribenda fit figura AGK : produc T/iNTad X, ut fit HX ad AL ut ^ + i ad i, cen- troque X & afymptotis MX^ NX per punftum A defcribatur hy- perbola, ea lege, ut fit 7 ad quamvis VG vx ad X P . Reg. 6. Quo major eft numerus n, eo magis accuratas funt hse hyperbolas in afcenfu corporis ab A, & minus accuratae in ejus de- fcenfu ad TT ; & contra. Hyperbola conica mediocrem rationem tenet, eftque casteris fimplicior. Igitur fi hyperbola fit hujus generis, & pundum TT, ubi corpus projeflum incidet in redfam quamvis AN per punftum A tranfeuntem, quaeratur: occurrat produfta AN afymptotis MX^ NX in A/ & A/, & fumatur NK ipfi AM sequalis. Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita 'determinandi hanc hy^er. PRINCIPIA MATHEMATICA. Iiyperbolam ex phaenomenis. Projiciantur corpora duo fimilia aequalia, eadem velocitate, in angulis diverfis hAk^ inci-^ dantque in planum horizontis m K & ^ ; & notetur proportio AK ad A k. Sit ea d ad e. Tum erefto cujufvis longitudinis perpen- diculo AI^ afTume utcunque longitudinem v/ // vel A hy & inde collige graphice longitudines AKy A ky per reg. 6. Si ratio AK ad Ak fit eadem cum ratione d ad longitudo A/dre&e alTumpta fuit. Sin minus cape in refta infinita SM longitudinem SM aequa- lem affumptae A//, & erige perpendiculum MK aequale rationum differentiae AK d duflae in reftam quamvis datam. Simili me- S N M M M \ Ak e thodo ex affumptis pluribus longitu- dinibus AH invenienda funt plura pun- fta Ny & per omnia agenda curva li- nea regularis NNXNy fecans rectam S M M M m X. Affumatur demum AH aequalis abfeiffae SXy &inde denuo inveniatur longitudo AK-y & longitudines, quae fint ad affumptam longitudinem AI &: hanc ultimam A Hy ut longitudo A K per experimentum cognita ad ultimo inventam longitudinem AKy erunt ver« illae longitudines AI & AHy quas invenire oportuit. Hifce vero datis dabitur & refiftentia medii in loco Ay quippe quae fit ad vim gravitatis vx AH 2, A. %AI, Augenda efl: autem denfitas medii per reg. 4. & refifientia modo inventa, fi in eadem ratione augeam tur, fiet accuratior. Liber E C U N D US. Reg. 8. Inventis longitudinibus A Hy HX ; fi jam defideretur pofitio reflx AHy fecundum quam projeflile, data illa cum velo- citate emiffum, incidit in pundtum quodvis K : ad punfta A &c K erigantur reftae ACy KF horizonti perpendiculares, quarum AQ deorfum tendat, & aequetur ipfi AI feu hHX. Afymptotis AKy KF deferibatur hyperbola, cujus conjugata tranfeat per punftum C, centroque A & intervallo A H deferibatur circulus fecans hy- perbolam illam in punfto /?; & projeftile fecundum redam AH emiffum incidet in punflum K. E. I, Nam pundum Hy ob datam longitudinem AHy locatur alicubi in circulo deferipto. Af- gatur CH occurrens ipfis A K & K Fy illi in Ey huic in & ob parallelas C Hy MX & aequales ACy A ly erit A E aequalis AM.^ & prop^ De Motu Corporum 164 PHILOSOPHIyfi NATURALIS & propterea etiam aequalis Sed efl: A E ut /^/7 ad KN^ & propterea & F/7 aquantur. Incidit ergo pundum Hm hyperbolara afymptotis AK^ K F defcriptarn, cujus conjugata tranlit per pundum C, atque ideo reperitur in communi interfe- ftione hyperbolae hujus & circuli defcripti. ^ E, ‘D. Notandum elt autem quod haec operatio perinde le habet, live refta A K FI horizonti parallela fit, five ad horizontem in angulo quovis inclina- ta: quodque ex duabus interfedionibus Hy //duo prodeunt anguli NAH, NAH\ & quod in praxi mechanica furticic circulum femel defcribere, deinde regulam interminatam CH ita applicare ad pun- dum C, ut ejus pars FHy circulo & redae F K interjedia, aequalis fit ejus parti CE inter pundum C & redam AK fitae. Qu£e de hyperbolis dida funt facile applicantur ad parabolas. Nam fi XAGK parabolam defignet quam reda XV tangat in ver- tice Xy fintque ordinatim applicatae lAy VG ut quaelibet abfcilTarum X/, X/^ dignitates XFy XV ; agantur XTy GTy AHy quarum XT parallela fit VGy & GTy AH parabo- lam tangant in G & A: & corpus de loco quovis Ay fecundum redam AH produdam, jufia cum velocitate projedum, defcribet hanc parabolam, fi modo denfitas medii, in locis fingulis G, fit reciproce ut tangens GT, Velocitas autem in G ea erit quacum pro- jedile pergeret, in fpatio non refillente, in parabola conica verticem G, diametrum VG deorfum produdam, & latus redum .GTq nn — n xVG ; habente. Et refiftentia in G erit ad vim gravitatis tit GT ad VG. Unde fi NJK lineam horizon- talem defignet, & manente tum denfitate medii in ^ tum veloci- tate quacum corpus projicitur, mutetur utcunque angulus NJH-, manebunt longitudines AH, AL HX, & inde datur parabols ver- ^ Ti, & fumendo VG ad lA ut XV" ad ■aI", dantur omnia parabolse punda G, per qux projedile tranlibit. SECTIO PRINCIPIA MATHEMATICA. L I B ER.‘ S E C U N D US SECTIO III. De motu corporum qmbus refijittur pqrtim tn ratione veloci-- tatis^ pdrtim 'tn ejufdem ratione duplicata. PROPOSITIO XI. THEOREMA VIII. St corpori refijiitur partim 'in ratione velocitatis ^parlimin veloci- tatis ratione duplicata^ 'idem fola v'i 'infita 'in medio ftmilari movetur : fumantur autem tempora 'in progrejfione arith^ metka -y quantitates velocitatibus reciproce proportionales^ data quadam quantitate auBre^ erunt m progrejfione geo- metrica. Centro C, afymptotis reftangulis CAT>d & C/7, defcribatur hy-‘ perbola BEe^ & afymptoto CH parallelae fint ABy ©-£, de. In afymptoto CT> dentur punfta Ay G : Et fi tempus exponatur per aream* hyperbo- licam ABET> uniformiter crefcentem; dico quod velocitas exponi poteft per longitudinem T> Fy cujus reciproca G® una cum data CG componat longitudi- nem C® in progreflSone geometrica cre* fcentem. > Sit enim areola T>Eed datum temporis ^ incrementum quam minimum, & erit ® d reciproce ut ®£, ideo- que direfte ut C ®. Ipfius autem decrementum, quod (per T • 1 n . C® . CG+G® ..-n I hujus lem. II.) eft erit ut ^ feu . id eft, ut ^ + \l B • e i c G A I> d GT>q GT>q GT>q Igitur tempore ABED per additionem datarum particu- larum ET>de uniformiter crefcerite, decrefcit ^g^in‘eadem ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis ett ut refiftentia, hoc M m PHILOSOPHIA NATURALIS Hb MoTueft (per hypothefin) ut fumma duarum quantitatum, quarum una effi Corporum ^ j ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis ; & ipfius decre- I p . mentum eft ut fumma quantitatum quarum prior eil. CCt r I ipfa & pollerior ^ efl ut : proinde ob analogum decrementum, eft ut velocitas. Et fi quantitas G Z), ipfi reci^ proce proportionalis, quantitate data CG augeatur; fumma CZ), tempore uniformiter crefcente, crefcet in progref- fione geometrica. ^ £. Z). Coro/. I. Igitur li, datis punSis G, exponatur tempus per aream hyperboli- cam Z), exponi poteft velocitas per ipfius GZ) reciprocam . Coro/. X. Sumendo autem ad G Z) ut velocitatis reciproca. fub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujufvis ABET^y invenietur punftum G. Eo autem invento, ^ velocitas ex dato quo- vis alio tempore inveniri. poteft. 1.1.' PROPOSITIO XIL THEOREMA IX. lifdem pojtus, dtco quod -Ji fpatta defcripta fumantur tn pro— grejjione arithmetica, velocitates data quadam quantitate- auBa erunt in progrefjione- geometrica.. In afyraptoto. C2), detur punftum. R, 8c ereflo perpendiculo R S, quod occurrat hyperbolae in S, exponatur defcriptum fpatium per aream hyper- bolicam RSEB)-, & velocitas erit ut longitudo GD, quse cum data CG componit longitudinem CZ) in progreflione geometrica decrefcentem, interea dum fpatium RSED augetur in arithmetica. , Etenim. Hd PRINCIPIA MATHEMATICA. 16^ Etenim ob datum fpatii incrementum ET>de-, lineola 7)^, quae , decrementum efi; ipfius GT), erit reciproce ut A‘Z), ideoque direde ut C7), hoc efl, ut fumma ejuldem G7) & longitudinis datae CG. Sed velocitatis decrementum, tempore fibi reciproce proportionali, quo data fpatii particula T) d e E defcribitur, eit ut refiiteniia & tempus conjundim, id eil, ^itede ut fumma duarum quantitatum, quarum una efl ut velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & in- verfe ut velocitas ; ideoque direde ut fumma duarum quantita- tum, quarum una datur, altera efl ut velocitas. Decrementum igi- tur tam velocitatis quam lineae G7), eit ut quantitas data & quan- titas decrefcens conjundim, & propter analoga decrementa, ana- logae femper erunt quantitates decrefcentes ; nimirum velocitas & linea GT>. ^ E. 7). Corol. I. Si velocitas exponatur per longitudinem G7), fpatium defcriptum erit ut area hyperbolica T>ESR. Corol. 2. Et fi utcunque alFumatur pundum invenietur pun- ftum G capiendo GR ad G7), ut efl velocitas fub initio ad velo- citatem pofl fpatium quodvis AT) defcriptum. Invento autem pundo G, datur fpatium ex data velocitate, & contra. Corol. 3. Unde cum (per prop. xi.) detur velocitas ex dato tem- pore, & per hanc propofitionem detur fpatium ex data velocitate ; dabitur fpatium ex dato tempore : & contra. PROPOSITIO XIII. THEOREMA X. Pojito quod corpus ah uniformi pavitate deorfum attraBum rcBa afcendit vel defcendtt • ^ quod eidem refijiitur par^ tim in ratione velocitatis., partim in ejufdem ratione dupli- cata : dtco quod^ fi circuh & hyperbolae diametris parallelae reB(e per conjugatarum diametrorum terminos ducantur.^ velocitates fint ut fegmenta quaedam parallelarum a dato punBo duBa ,• tempora erunt ut arearum feBores, reBis a centro ad fegmentorum terminos duflis abfciffi : & contra. Caf. I. Ponamus primo quod corpus afcendit, centroque T> & femidiametro quovis T>B defcribatur circuli quadrans BETFy & M m X pci-' L I B EU C U N DU i6S PHILOSOPHI/E NATURALIS D De Motu per femidiametri 7)B terminum-^ agatur infinita BAT^ femidia- CottPORUM parallela. In ea detur pundum Ay & capiatur fegmen- tum AB velocitati proportionale. Et eum refiilentiaj pars altera fit ut velocitas & pars altera ut velocitatis quadratum ; fit refillentia tora ut^P^W. Jungantur T>Ay circulum fecantes in P ac & exponatur gravitas per B>A quad. iia ut fit gravitas ad refiilentiam in B ut B)Aq ad ABq-\-zBAB: & tempus afcenfus totius erit lU circuli fedor ET>T. Agatur enim abfcindens & velocita- tis AB momentum & fedoris T> ET momentum T>TV dato temporis momen- to refpondens ; & velocitatis decrementum illud B ^ erit ut fumma virium gravitatis 2)^^ & refiftentiae ABq-\-zBABy id efl (per prop. ii. lib. 2. elem.) ut T>B quad. Proinde area ipfi proportionalis, elt ut Z)P quad. & area T)TVy quae eft ad aream 2)P^ut B:>Tq ad B)Bq^ eft ut datum BDTq. Decrefeit igitur area EB)T uniformiter ad mo- dum temporis futuri, per fubdudionem datarum particularum DTV^ & propterea tempori afcenfus totius proportionalis ett. ^E.T>. Caf.%. Si velocitas in afcenfu corporis exponatur per longitudir nem AB ut prius, & refillentia ponatur efle ut ABq^zBABy & fi vis gravitatis minor fit quam quae per T>Aq exponi poflit ; capk atur BT> ejus longitudinis, ut fit ABq — BB)q gravitati proportio- nale, fitque "2)Pipfi perpen- dicularis & aqualis, & per verticem /" defcribatur hyperbola FTVEy cujus femidiametri conjugatm fint B>B & T>Fy quaeque fecet T>A in Ey & T>By 2)^in T 8c V:, &: erit tempus afcenfus totius ut hy- perbolae feftor T^^DE. Nam velocitatis decrementum B ^ in data temporis particula fadum, eft ut fumma refiftentiae ABq\^BAB^ & gravitatis id eft, \xt BBq BT>q^ Eft autem area B 7"^ ad aream ® ut T>Tqnd.^Tq’, ideoque, . h ad, BE demittatur perpendiculum GT, ut GTq feu GT>q — ^Ff ad q BTq^ & divifim ut ^FqzA BTq — BF)q. Libbk Quare cum area fit ut id ett, ut BTq-^BF)q-, erit area T>TV ut datum T) Fq. Decrefcit igitur area ET)T uniformi- ter fingulis temporis particulis aequalibus, per fubduftionem parti- cularum totidem datarum 2)7"^, & propterea tempori proportio- nalis efh ^ E. 2). Caf. 3. AT velocitas in defcenfu corporis, & ATq -Y^BAT refiflentia, BT> q A B q vis gravitatis, exiitente angulo T> BA redo. Et fi centro 2), vertice principali B^ defcribatur hyperbola reftangula BETV fecans produdas T)Ay E>T & E>’^in Ey T &V i. erit hyperbolae hujus fedor 7) ET ut tempus totum defcenfus. Nam velocitatis incrementum 2^, eique- proportionalis area 7)T^ efl: ut excelTus gra- vitatis fupra refiltentiam, id eft, ut BT)q — ABq — ^BAT — ATq{t\xB’Dq — BTq. Et area 7)TV eft ad aream 7)T^\xx. 7)Tq ad 7)Tqy ideoque ut GT^feu GT>q — BT>q ad BTq^ uc- que GT)q ad BDq^ & divifim ut BT>q ad BT)q — BTq. Quare cum area 2) 2 ^ fit ut BT)q — BTqy erit area 7)TV ut datum BT>q Cre- fcit igitur area ET>T uniformiter fingulis tem- poris particulis aequalibus, per additionem totidem datarum particula*; rum l^ TVy&L propterea tempori defcenfus proportionalis eft. ^E!D, Corol. Si centro 2) femidiametro TjA per verticem A ducatur arcus At fimilis arcui ETy & fimiliter fubtendens angulum A7)T : velocitas AT erit ad velocitatem, quam corpus tempore EE>Ty in^ fpatio non refiftente, afcendendo amittere vel defcendendo acqui- rere pofTet, ut area trianguli T>AT ad aream feftoris '‘'DAt ; ideo- que ex dato tempore datur. Nam velocitas, in medio non refiften- te, tempori, atque ideo fedori huic proportionalis eft ; in medio > refiftente eft ut triangulum; & in medio utroque, ubi quam minima : eft, accedit ad rationem aequalitatis, pro more feftoris & trianguli.. Scholmm, Demonftrari etiam pofTet cafus in afcenfu corporis, ubi vis gra- vitatis mitior eft quam quae exponi poffit per. DAq feu ABqY^^^^f & Z70 PHILOSOPHIA NATURALIS d,e Motu & major quam quae exponi poffit per ABq—BT)q, & exponi debet QRPORUM Sed propero ad alia. PROPOSITIO XIV. THEOREMA XI. lifdem poftth, dico quod fpatmm afcenfu vel defcenfu defcrip- tum, ejl ut differentia ,area per quam tempus exponitur^ area cujujdam alterius qua augetur vel diminuitur in pro- grejftone arithmetica ; ft vires ex refijientia &' gravitate compoftta fumantur in progrejfione geometrica. Capiatur AC (in fig. tribus ultimis) gravitati, & AK refiftentis proportionalis. Capiantur autem ad eafdem partes pundi A li cor- pus PRINCIPIA MATHEMATICA. tn pus defcendit, aliter ad contrarias. Erigatur quae- fit ad Ii B ut T)B^ ad ^BAC: & defcripta ad afymptotos redangulas C//hyperboIa eredaque KN ad CA' perpendiculari, area AbNK augebitur vel diminuetur in progreflione arithmetica, dum vires C/C in progreflione geometrica fumuntur. Dico igitur quod diftantia corporis ab ejus altitudine maxima flt ut exceflus areae AbNK{w^X2i aream T>ET. Nam cum AK fit ut refifientia , id efl, ut AT q 'lE AT afllimatur data quaevis quantitas Z, & ponatur A K aequalis AT q^r-^BAT o , , , , y ; ^ (per hujus lemma ii.) erit ipfius AK mo- mentum K L aequale ~ ^ xT^ ~ & E i_j areae A b NK momentum K LO N aequale ^ ^ ^ feu t BT^ X BT> cub. iZ X C K xAB' Caf, 1. Jam fi corpus afcendit, fitque gravitas ut exifiente B E T circulo ( in figura prima ) linea A C, quae gra- vitati proportionalis efl, erit &cT>Tq kxxATq' Jr^^BAT-^-ABq-YBT^q erit x Z-j-^Cx Z feu CATxZ; ideo- que area T>TV erit ad aream T>T^\xt T)Tq vel T>Bq ad CKxTj. Caf,z, Sin corpus afcendit, . & gravitas fit ut ABq — BT>q^ linea (in figura fecunda) erit , & T^Tq erit ad T>Tq ut T> Fq feu T>Bq ad BTq — BT)q feu ATq\-^BAT ^ABq — BT>q^ id efl, ad AK x T^^-AC x Z feu CK x Z. Ideoque area T>TV erit ad aream BZ^ut T>Bq ad CKxTj> Caf. Et eodem argumento, fi corpus defcendit, & propte- rea gravitas fit ut BT>q — A B q^ delinea AC (in figura tertia) sequetur erit area DTV ad aream B5P^ut T>Bq ad CK X Z : ut fupra. Cum igitur areae illae femper fint in hac ratione ; fi pro are^t T>TVy qua momentum temporis fibimet ipfi femper aequale expo- nitur, feribatur determinatum quodvis reftangulum, puta BT>xni, erit 271 PHILOSOPHIifi NATURALIS D E M 0 T U erit area id eft, x ut CK x Z ad BT>q, Corporum Afg„g jj,^g fjt y 0 x A 2? f aequalc iBT) Y.my.CKy.Tj, & areae ^ . BBxBDym iNTii: momentum AZOi2 fuperius inventum fit . Auferatur areae ‘DET momentum DTF ku BD%m, & reflabit AV X BD X m igitur differentia momentorum, id efl, mo- AB A.^P X BT^ X ^ mentum differentiae arearum, aequalis — r- » “ prppterea ob datum — ut velocitas -^iP, id eft; ut momentum fpatii quod corpus afcendendo vel defcendendo defcribit. Ideoque diffe- rentia arearum & fpatium illud, proportionalibus momentis crefcen- tia PRINCIPIA MATHEMATICA. 273 tia vel decrefcentia & fimul incipientia vel fimul evanefcentia, funt proportionalia. ^ E. T>, Secundos. Corol. Si longitudo, quae oritur applicando aream T>ET ad lineam B^D, dicatur Af; & longitudo alia E fumatur in ea ratione ad lon- gitudinem M, quam habet linea D A ad lineam D E : fpatium, quod corpus afcenfu vel defcenfu tofo in medio refillente de- fcribit, erit a-d fpatium, quod corpus in medio non refillente e quiete cadendo eodem tempore defcribere poteft, ut arearum prae- difiarum differentia ad — * ideoque ex dato tempore datur. Nam fpatium in medio non refiflente ell in duplicata ratione tem- poris, five ut ; & ob datas BT> & AB ut — Haec area aequalis ell areae — '^EEq^^TAB — ’ ^ ipfius M momentum eft m % & propterea hujus areae momentum eft — ^ ^2?. pjoc E)Eq X AB autem momentum eft ad momentum differentiae arearum praedida- rum T>ET8z AhNK, viz. ad -? ^ f ut BDxM E>Aq . AB ‘DEq ad iBT)y.AT, five ut in 2)£r ad T)AB ; ideoque, ubi arete ‘DET 8c DA T quam minimas funt, in ratione aequalitatis. Area BD X V"- igitur ■ , & differentia arearum DET & Ab NK, quando omnes hae areae quam minimae funt, aequalia habent momenta ; ideo- que funt aequales. Unde cum velocitates, & propterea etiam fpatia in medio utroque in principio defcenfus vel fine afcenfus fimul de- fcripta accedant ad aequalitatem ; ideoque tunc fint ad invicem BE) X «t area — ^ — , & arearum DET 8c AbNK differentia ; & prte- terea cum fpatium in medio non refiflente fit perpetuo ut AB & fpatium in medio refiflente fit perpetuo ut arearum DET & AbNK differentia : necelfe efl, ut fpatia in medio utroque, in tequa- libus quibufcunque temporibus defcripta, fint ad invicem ut area 1 N n illa Pb Motu Corporum 274 PHILOSOPHIA NATURALIS illa & arearum 2)Ar & AbEK differentia. ^ E. AB Scholmm. Refiftentia corpoi*um fphaericorum in fluidis oritur partim ex te- nacitate, partim ex friftione, & partim ex denfitate medii. Et re- fiflentise partem illam, quae oritur ex denfitate fluidi diximus efle in duplicata ratione velocitatis ; pars altera, quae oritur ex tenaci- tate fluidi, eft uniformis, five ut momentum temporis : ideoque jam^ pergere liceret ad motum corporum, quibus refittitur partim vi uni- formi feu in ratione momentorum temporis, & partim in ratione duplicata velocitatis. Sed fufScit aditum patefeciffe ad hanc fpe- culationem in propofitionibus viii. & ix. quae praecedunt, & eo- rum corollariis. In iifdem utique pro corporis afcendentis refiflen- tia uniformi, quae ex ejus gravitate oritur, fubffitui poteft refiften- tia uniformis, quae oritur ex tenacitate medii, quando corpus fola. vi infita movetur ; & corpore refta afcendente addere licet hanc uniformem refiflentiam vi gravitatis ; eandemque fubducere, quando corpus reSa defcendit. Pergere etiam liceret ad motum corporum,, quibus reMitur partim uniformiter, partim in ratione velocitatis,. & partim in ratione duplicata velocitatis. Et viam aperui in pro- pofitionibus praecedentibus xiii. & xtv. in quibus etiam refiftentia uniformis, quae oritur ex tenacitate medii pro vi gravitatis fubftitui p.otefi, Tci cum eadem, ut piius, componi. Sed propero ad alia, SECTIO IV. De corpjornm circulari motu in mediis r e fiji entibus. LEMMA IIL SdVQK fp tralts quce fecet radios omnes S P, SQ^, SKy .&Ci in re qualibus angulis. Agatur reBa P T qure tangat ean^ dem in punBo quovis fecetque^ radium SQ^ in T 5 ad - fptralem ercBis . perpendiculis V Oy Q^O concurrentibus in O, jun- PRINCIPIA MATHEMATICA. 275 O, jungatur SO. Dico quod ft punB a P Sf Q^<^ccedant ad invicem ^ coeant^ angulus P S O evadet reBus^ & ulti^- ma ratio reB anguli T CLx 2 P S ad V quad. erit ratio c coincidunt, & an- gulus fit reflus ; &.ob fimilia triangula , TSOy fit P^ .. .. ad, PRINCIPIA MATHEMATICA. OS 177 ad' 4 OT ad 4 OS. Eft igitu.r ■Q.j.y^sPq ‘'efi^entia, id eft, s in ratione denfitatis medii in P & ratione duplicata velocitatis con- Junftim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio & u Jr Liber. E. c u N D u«s. OS manebit medii denfitas in^ ut Detur fpiralis, &ob da- tam rationem OS ad OP, denfitas medii in T erit ut ST * In me« dio igitur cujus denfitas eft reciproce ut diftantia a centro cor- pus gyrari poteft in hac fpirali. ^E.T). Corol. I. Velocitas in loco quovis T ea femper eft, quacumcor^ pus in medio non refiftente eadem vi centripeta gyrari poteft in circulo, ad eandem a centro diftantiam ST. Corol.'!*. Medii denfitas, fi datur diftantia ST\ eft' ut fin’ di- OT OS ftantia illa non datur, fpiralis ad- quamlibet medii denfitatem aptari poteft. Corol. 3. Vis refiftentiaB in loco quovis T^ eft ad vim centripetam^ in eodem loco ut \OS ad OT. Nam vires illae funt ad invicem ut five ut hoc eft, ut 4F^& feu ~OS &: OT. Data igitur fpirali datur proportio refiftentiae ad vim centripetam, & vice verfa ex data illa proportione datur fpiralis. Corol 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac fpirali, nifi ubi vis re- fiftentiae minor eft quam dimidium vis centripetae. Fiat refiftentia sequalis dimidio vis centripetae, & fpiralis conveniet cum linea re- fla TS^ inque hac refla corpus defcendet ad centrum ea cum velo- citate, quae fit ad velocitatem, qua probavimus in fuperioribus in cafu parabolae (theor. x. lib. i.) defcenfum in medio non refiftente fieri, in fubduplicata ratione unitatis ad numerum binarium. Et tempora defcenfus hic erunt reciproce ut velocitates, atque ideo dantur. Corol. y. Et quoniam in aequalibus a centro diftantiis velocitas eadem eft in fpirali T^R atque in refla STy & longitudo fpiralis ad longitudinem reflae TS eft in data ratione, nempe in ratione OT ad * OS % De Motu 'Corporum 278 PHILOSOPHIA NATURALIS OS; tempus defcenfus in fpirali erit ad tempus defcenfus in refla SP in eadem illa data ratione, proindeque datur. Corel. 6. Si centro S intervallis duobus quibufeunque datis deferi- bantur duo circuli ; & manentibus hifce circulis, mutetur utcunque angulus quem fpiralis continet cum radio TS : numerus revolutio- num quas corpus intra circulorum circumferentias, pergendo in fpi- rali a circumferentia ad circumferentiam, complere poteft, eft ut TT-p, live ut tangens anguli illius quem fpiralis continet cum radio 'C/ 1) OT 5PJ; tempus vero revolutionum earundem ut id eft, ut fecans anguli ejufdem, vel etiam reciproce ut medii denfitas. CoroL 7. Si corpus in medio, cujus denfitas eft reciproce ut diftan- tia locorum a centro, revolutionem in curva quacunque AEB circa centrum illud fecerit, & radium primum AS in eodem angulo fecu- erit in B quo prius in A^ idque cum velocitate quae fuerit ad velo- citatem fuam primam in A reciproce in fubduplicata ratione diftan- tiarum a centro (id eft, ut ^«yad mediam proportionalem inter AS & BS) corpus illud perget innumeras confimiles revolutiones BBC, CG^Dy &c. facere, & interfeftionibus diftinguet radium in par- tes ASy BS, CSy DSy &c. continue proportionales. Revolutionum vero PRINCIPIA MATHEMATICA. 279 vero tempora erunt ut perimetri orbitarum AEB, BFC, CC2), &c. , *■ ^ SECUN.DUS, direfte, & velocitates in principiis Q inverfe ; id efl, ut 5 > . £S^, CS^. Atque tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tempus revolutionis primae, ut fumma omnium continue pro- i ? portionalium CS^, pergentium in infinitum, ad terminum? ? 5 primum ; id efl, ut terminus ille primus AS'^ ad differentiam duorum primorum AS' — BS^^^ five ut ^AS ad -//5 quam proxime. Unde tempus illud totum expedite invenitur. Corel. 8. Ex his etiam praeter propter colligere licet motus cor- porum in mediis, quorum denfitas aut uniformis efl, aut aliam quam^* cunque legem aflignatam obfervat. Centro S, intervallis continue proportionalibus SA, SBy SC, &c. deferibe circulos quotcunquej & llatue tempus revolutionum inter perimetros duorum quorumvis ex his circulis, in medio de quo egimus, effe ad* tempus revolutio- num inter eofdem in medio propofito, ut medii propofiti denfitas > mediocris inter hos circulos ad medii, de quo egimus, denfitatem- mediocrem inter eofdem quam proxime': Sed & in eadem quoque ratione efle fecantem anguli quo fpiralis praefinita, in medio de quo egimus, fecat radium AS, ad fecantem anguli quo fpiralis nova fe-- cat radium eundem in medio propofito: Atque etiam ut funt eo^^ rundem angulorum tangentes ita effe numeros revolutionum omni^ um Inter circulos eofdem duos quam proxime. Si haec fiant pafiim ■ inter circulos binos, continuabitur motus per circulos omnes. At- que hoc pafto haud difficulter imaginari poffimus quibus modis ac temporibus corpora in medio quocunque regulari gyrari debebunt. Corel. 9. Et quamvis motus excentrici in fpiralibus ad formam-^ ovalium accedentibus peragantur ; tamen concipiendo fpiralium illa- rum fingulas revolutiones iifdem ab invicem intervallis diftare, iif- demque gradibus ad centrum accedere cum fpirali fuperius deferip-- ta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujufmodi fpi^ ralibus peragantur. z8o PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu ' coftpoKUM propositio XVI. THEOREMA XIII. & fYicdtt dcvifitas tvi locts Jivi^uhs fit vcctpvocd ut dijiuuttu loco’” rum a centro immobilf fitque vis centripeta reciproce tit dignitas quaelibet ejufdem diflanti^e : dico quod corpus gyra-- ri poteji in fpirali qua radios omnes a centro illo duBos in- ter fec at in angulo dato. Demonftratur eadem methodo cum propofitione fuperiore. Nam fi vis centripeta in T fit recipro- ce ut diftantiae ST^ dignitas qua- libet cujus index efl: n-\-i : colligetur ut fupra, quod tempus, quo corpus defcribit arcum quem- vis T erit ut T S & refiftentia in ut ~~n X five ut ideoque ut I — 4^ X OS hoc eft, ob datum I — 4»xO*y o¥ reciproce ut Et propterea, cum velocitas fit reciproce ut ST^\ denfitas in Perit reciproce ut ST, Corol. I. Refifientia efl: ad vim centripetam ut i — ^nxOS ad OT. Corol.-L. Si vis centripeta fit reciproce ut ST cub. Qxix. i — 4«=o; ideoque refifientia & denfitas medii nulla erit, ut in propofitione nona libri primi. Corol. 3. Si vis centripeta fit reciproce ut dignitas aliqua radii ST cujus index efi major numero 3, refifientia affirmativa in negativam mutabitur. Sdooltum, Cauterum hxc propofitio & fuperiores, quae ad media inaequaliter dcnfa fpeftant, incelligendae funt de motu corporum adeo parvorum, ut PRINCIPIA MATHEMATICA. z8i ^ut medii ex uno corporis latere major denfitas quam ex altero non confideranda veniat. Refiflentiam quoque caeteris paribus denfitati^ proportionalem effe fuppono. Unde in mediis, quorum vis refiflen- di non eft ut denfitas, debet denfitas eo ufque augeri vel diminui, ut refiilentiaB vel tollatur excefiTus vel defedtus fuppleatur. Liber E c u N DU s. PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IV. Invenire vim centripetam ^ medii reftjlentiamy qua cor-- pus in data [piraU^ data velocitatis lege^ revolvi poteji. Sit fpiralisilla Ex velocitate, qua corpus percurrit arcum quam minimum dabitur tempus, & ex altitudine 7*^, quae eft ut vis centripeta & quadratum temporis, dabitur vis. Deinde ex venietur refiftentia ac denfitas medii. PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA V. ^ Data lege vis centripeta ^ invenire medii denfitatem in locis fmgulis^ qua corpus datam fpiralem defcribet. , Ex vi centripeta invenienda eft velocitas in locis fingulis, deinde O o i De Motu CqhpoK-um z8z PHILOSOPHI-^ NATURALIS. ex velocitatis retardatione quatCjenda medii denfitasj.ut in piopo- fitione fiiperioi'e. , . , . Methodum vero traflandi h$c problemata aperui in hujus pro- pofitipnu decitnaj & lemp^ate fpeundo .; & leftoiem in hujulmodi * perplexis dirquifitionibus diutius dotinere nolo. A,ddenda jam fune aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque denfitate & reliilentia mediorum,, in quibus motus haftenus expoliti & his affi- nes peraguntur. S E G T I O V. De denfitaie- Qomprejfione flutddrumy deque h^drojiatioa. Definitio Fluidi. Fluidum eft corpus omne ^ cujus partes cedunt cuicunque illata^ W cedendo facile moventur inter fe. PROPOSITIO XIX. THEOREMA XIV. Flutdt homogenet & inimou^ quod tn vufe quocunque tmmoto clauditur ^ undique comprimitur ^ partes omnes (^fepofita condenfationiSy gravitatis^ vinum ornnium centripetarum confideratione ) re qualiter premuntur undique^ fine omnt:i motu a prejfone illa orto permanent in locis fuis. Caf. I. In vafe fphaerico ABC claudatur & uniformiter comprimatur fluidum undi- que : dico quod ejufdem pars nulla ex illa preflipne rnovebitun Nam fi pars aliqua moveatur, necefle eft ut omnes hujufmodi partes, . ad eandem a centro diftantiam undi- que confiftentes, fimili motu fimul moveam tur ; atque hoc ideo quia fimilis & aequalis elt omnium preffio, & motus omnis exclu- fus fupponitur, nifi qui a prefTione illa oriatur. Atqui non pofTunt omnes ad.centrum propius accedere, nifi fluidum ad centrum con- denfetur 9. A PRINCIPIA MATHEMATICA. 283 denfetur ; contra hypothefin. Non polTunt longius ab eo recedere, i^iber nifi fluidum ad circumferentiam condenfetur ; etiam contra hypo- thefin. Non poffunt fervata fua a centro diftantia moveri in pla- gam quamcunque, quia pari ratione movebuntur in plagam contra- riam ; in plagas autem contrarias non poteil pars eadem, eodem tempore, moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco fuo movebitur ^ Ciif X. Dico jam, quod fluidi hujus partes omnes fphaeric^ aequa- liter premuntur undique. Sit enim. EF pars fphaerica fluidi, & fl haec undique non premitur aequaliter, augeatur prefTio minor, ufque dum ipfa undique prematur aequaliter ; & partes ejus, per cafum primum, permanebunt in locis fuis. Sed ante audarh prefTionem permanebunt in locis fui s, per cafum eundem primum, & additione preflionis novae movebuntur de locis fuis, per definitionem fluidL 'Quae duo repugnant. Ergo falfo dicebatur quod fphaera EF noxi undique premebatur aequaliter. ^E,T). Cafi, Dico praeterea quod diverfarum partium fphaericarum ae- qualis fit preflio. Nam partes fphaericae contiguae fe mutuo pre- munt aequaliter in punfto contaftus, per motus legem iii. Sed&, per cafum fecundum, undique premuntur eadem vi. Partes igitur duae quaevis fphaericae non contiguae, quia pars fphaerica intermedia tangere potefl utramque, prementur eadem vi. ^ E. 7). Caf 4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubique premuntur ae- qualiter, Nam partes duae quaevis tangi pofTunt a partibus fphaeri- cis in punftis quibufeunque, & ibi partes illas fphaericas aequaliter premunt, per cafum 3. & viciflim ab illis aequaliter premuntur, per motus legem tertiam. ^ E. 2). Caf. 5*. Cum igitur fluidi pars quxlibet GHl in fluido reliquo tan- quam in vafe claudatur, & undique prematur aequaliter, partes au- tem ejus fe mutuo aequaliter premant & quiefeant inter fe ; manife- ilum eft quod fluidi cujufcunque GHI^ quod undique premitur ae- qualiter, partes omnes fe mutuo premunt aequaliter, & quiefeunt inter fe. ^ E, 2). • Caf. 6. Igitur fi fluidum illud in vafe non rigido claudatur, & un- dique non prematur aequaliter ; cedet idem preflioni fortiori, per definitionem fluiditatis. Caf 7. Ideoque in vafe rigido fluidum non fuflinebit preflionem O 0 i forti- 284 PHILOSOPHIi£ NATURALIS i>E M o T u fortiorem ex quam ex alio, fed eidem cedet, idque in Corporum tcmporis, quia latus vafis rigidum non perfequitur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppolitum, & lic preflio undique ad sequalitatem verget. Et quoniam fluidum, quam pri- mum a parte magis prefft recedere conatur, inhibetur per refiften- tiam vafis ad latus oppofitum ; reducetur preflio undique ad aequa- litatem, in momento temporis, fine motu locali : & fubinde partes fluidi, per cafum quintum, fe mutuo prement aequaliter, & quief- cent inter fe. E, Corol, Unde nec motus partium fluidi inter fe, per prefTionem fluido ubivis in externa fuperficie illatam, mutari polTunt, nifi qua- tenus aut figura fuperficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes intenfius vel remiflius fefe premendo difflcilius vel facilius labuntur inter fe. PROPOSITIO XX. THEOREMA XV. Si fluidi fpharicij & in aqualibus a eentro diftantm homoge- neiy fundo flphartco concentrico incumbentis partes fingula verfus centrum totius gravitent • fuflinet fundum pondus cy- lindri j cujus bafis aqualis ejl fuperficiei fundi ^ & altitudo eadem qua fluidt incumbentis.. Sit ®/7il/fuperficies fundi, &iAEI fuperficies fuperior fluidi. Superficie- bus fphaericis innumeris BFKy CG L diflinguatur fluidum in orbes concen- tricos aequaliter cralTos ; & concipe vim gravitatis agere folummodo in fu. perficiem fuperiorem orbis cujufque, & aequales efle aftiones in aequales partes fuperficierum omnium. Premitur ergo, fuperficies fuprema AE vi fimplici gra- vitatis propriae, qua & omnes orbis fu*- premi partes & fuperficies fecunda BFK (per prop. xix.) pro menfura fua aequaliter premuntur. Pre- mitur praeterea fuperficies fecunda BFK vi propriae gravitatis.,, qua? addita:; / PRINCIPIA MATHEMATICA. 2§y addita vi priori facit preflionem duplam. Hac preflione, pro men- ^ fura fua, & infuper vi propriae gravitatis, id elt, prefTione tripla,^^*^ urgetur fuperficies tertia CGL. Et (imiliter prellione quadrupla ur« getur fuperficies quarta, quintupla quinta, & fic deinceps. Preflia igitur qua fuperficies unaquaeque urgetur, non efl ut quantitas foli» da fluidi incumbentis, fed ut numerus orbium ad ufque fummita- tem fluidi ; & aequatur gravitati orbis infimi multiplicatae per nu* merum orbium: hoc efl, gravitati folidi cujus ultima ratio ad cy- lindrum praefinitum (fi modo orbium augeatur numerus & minuatur craflitudo in infinitum, lic ut aftio gravitatis a fuperficie infima ad fupremam continua reddatur) fiet ratio aequalitatis. Suttinet ergo fuperficies infima pondus cylindri pr^finiti. ^ E. 7), Et fimili ar- gumentatione patet propofitio, ubi gravitas decrefcit in ratigne qua- vis affignata diftantiae a centro, ut & ubi fluidum furfum rarius efl, deorfum denfius. ^ E. Corol, I. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis pondere, fed eam folummodo ponderis partem fuflinet quae in pro- pofitione defcribitur ; pondere reliquo a fluidi figura fornicata fu^ Ifentato. Corol. 2. In aequalibus autem a centro diflantiis eadem femper efl prellionis quantitas, five fuperficies prelTa fit horizonti parallela vel perpendicularis vel obliqua ;~iive fluidum, a fuperficie prelTa furfum continuatum, furgat perpendiculariter fecundum lineam reftam, vel ferpit oblique per tortas cavitates & canales,, eafque regulares vel ' maxime irregulares, amplas vel angufliflimas. Hilce circumfiantiis prefTionem nil mutari colligitur, applicando demonttrationem theo- rematis hujus ad cafus fingulos fluidorum. Corol. 3. Eadem demonflratione colligitur etiam (per prop. xix.) quod fluidi gravis partes nullum, ex prefTione ponderis incumbentisr acquirunt motum inter fe ; fi modo excludatur motus qui ex con- denfatione oriatur. Corol. 4. Etpropterea fi aliud ejufdem gravitatis fpecificae corpus, quod fit condenfationis expers, fubmergatur in hoc fluido, rd ex- preflione ponderis incumbentis nullum acquiret mptum : non de- icendet, non afcendct, non cogetur figuram fuam mutare. Si Tph^e- ricum efl manebit fphsericum, non obflante preflione ; fi quadratum^ elt manebit quadratum: idque five molle fit, five fluidiflimum 2^6 PHILOSOPHIAE NATURALIS De m o t u fluido libero inniitetj five fundo incumbae, H^bet enim fluidi Corporum ou^libcc lutema racionem coi poris fubmerfij & psr ell rsitio , omnium ejufdem magnitudinis, figurae & gravitatis fpecificae fubmer. > forum corporum. Si corpus fubmerfum fervato pondere liquefce- ret & indueret formam fluidi; hoc, fi prius afeenderet vel defeende- ret v^el ex preffione figuram novam indueret, etiam nunc afeenderet vel defeenderet vel figuram novam induere cogeretui . id adeo quia gravitas ejus caeteraeque motuum caufae permanent. Atqui (per caf. j. prop. XIX.) jam quiefeeret & figuram retineret. Ergo & prius. Corol. s- Proinde corpus quod fpecifice gravius eft quam fluidum fibi contiguum fubfidebit, & quod fpecifice levius ell afeendet, mo- & figuras mutationem conlequetur, quantum excellus ille vel defeftus gravitatis efficere polTit. Namque excefliis flle vel de- feflus rationem habet impulfus, quo corpus, alias in aequilibrio cum fluidi partibus conflitutum, urgetur ; & comparari potefl cum ex- .cefTu vel defeftu ponderis in lance alterutra librae. Corol. 6. Corporum igitur in fluidis conllitutorum duplex eft gra- vitas: altera vera & abfoluta, altera apparens, vulgaris & compara- tiva. Gravitas abfoluta eft vis tota qua corpus deorfum tendit : re- lativa & vulgaris eft exceflus gravitatis quo corpus magis tendit de- orfum quam fluidum ambiens. Prioris generis gravitate partes flui- dorum & corporum omnium gravitant in locis fuis : ideoque con- junftis ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne grave eft, ut in vafis liquorum plenis experiri licet ; & pondus toti- us tequale eft ponderibus omnium partium, ideoque ex iifdem com- ponitur. Alterius generis gravitate corpora non gravitant in locis fuis, id eft; inter fe collata non prsgravant, fed mutuos ad defeen- dendum conatus impedientia permanent in locis fuis, perinde ac fi gravia non eflent. Quae in acre funt & non praegravant, vulgus gra- via non judicat. Quae praegravant vulgus gravia judicat, quatenus ab aeris pondere non fuftinentur. Pondera vulgi nihil aliud funt quam exceflus verorum ponderum fupra pondus aeris. Unde & vulgo dicuntur levia, quae funt minus gravia, aerique praegravanti cedendo fuperiora petunt. Comparative levia funt, non vere, quia defeendunt in vacuo. Sic & in aqua corpora, quae ob majorem vel minorem gravitatem defeendunt vel afeendunt, funt comparative & appa- PRINCIPIA MATHEMATICA. 187 iipparenter gravia vel levia, & eorum gravitas vel levitas compara- tiva &: apparens eil excefllis vel defeftus quo vera eorum gravitas lUperat gravitatem aquai vel ab ea fuperatur. Quae vero nec prae- gravando defcendunt, nec prasgravanti cedendo afcendunt, etiamfi^. veris fuis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen & in fenfu vulgi non gravitant in aqua. Nam limilis efl horum ca- fuum demondratio. Coro/. 7. Quae de gravitate demoadrantur, obtinent in aliis qui- bufcunque viribus centripetis. Coro/. 8. Proinde fi medium, in quo corpus aliquod movetur, ^ urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacunque vi centripeta, & corpus ab eadem vi urgeatur fortius ; differentia virium eft vis illa motrix, quam in praecedentibus propofitionibus ut vim centri- petam confideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, diffc-' rentia virium pro vi centrifuga haberi debet. Coro/. 9. Cum autem fluida premendo corpora inclufa non mu- tent eorum figuras externas, patet infuper (per corollarium prop.xix.) quod non mutabunt fitum partium internarum inter fe : proindeque, fi animalia immergantur, & fenfatio omnis a motu partium oriatur ; nec laedant corpora immerfa, nec fenfationem ullam excitabunt, nifi < quatenus haec corpora a compreflione condenfari poffunt. Et par eft ratio cujufcunque corporum fyftematis fluido comprimente cir- cundati. Syllematis partes omnes iifdem agitabuntur motibus, ac fi ^ in vacuo conftituerentur, ac folam retinerent gravitatem fuam com- parativam, nifi quatenus fluidum vel motibus earum nonnihil refi- - ftat, vel ad eafdem compreflione conglutinandas requiratur. PROPOSITIO XXL THEOREMA XVI. Sit fluidi cujufdam denfitas comprejjionl proportionalis 8f ^ partes ejus a vl centripeta diflanttis fuis a centro reciproce proportionali deorfum trahantur : dico quod.^ ft dlflantl^e lll^ fumantur continue proportionales.^ denfitates fluidi in iifdem difl antiis erunt etiam continue proportionales, Defignet fundum fphaericum cui fluidum incumbit, mS" cen-^ trum, SA SB, SC, ST>, SE, SF, &c. diftantias continue propor- tionales.. a88 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu tionalcs. Erigantur perpendicula Afl, Bly CK^ ‘DLt EM, EMf Scc, CoEPOEUM m (Jenfjtates naedii in locis A, B, C> 2), E, F •, & fpecificae AH BI CK „ , , ^ \ gravitates in iifdem locis erunt ut (j y quod perinde efl, ut &c. Finge primum has gravitates uni- formiter continuari ab ad ^5 a i5 ad C, a C ad 2), &c. faftis per gradus decrementis in punflis 46, C, 2), &c. Et hae gravitates duftae in altitudines BC^ C2), &c. conficient preffiones AH, BI,CK, &c. quibus fundum AT V (juxta theorema xv.) urgetur. Su- ftinet ergo particula preffiones omnes AH^ BI, CK, T> L, pergendo in infinitum ; & particula B preffiones omnes prseter primam AH\ & parti- cula C omnes praeter duas primas AH, BI\ & fic deinceps : ideoque particulae primae A denfitas AH ad particulae fecundae B denfitatem BI ut fumma omnium AH-\-BI -yT>L, in in- finitum, ad fummam omnium BI-\-CK-\-T>L,&:c, Et BI denfitas fecundae B eft ad CK denfitatem tertiae C, ut fum- ma omnium Bl^CK ^T>L, Scc. ad fummam omnium CK^DL^ ’ &c. Sunt igitur fummae illae differentiis fuis AH, BI, CK, &c. pro- portionales, atque ideo continue proportionales (per hujus lem. i.) proindeque differentiae AH, BI, CK, &c. fummis proportionales, funt etiam continue proportionales. Quare cum denfitates in locis A, B, C, &c. fint ut AH, BI, CK, &c. erunt etiam hae continue pro- portionales. Pergatur per faltum, & ex aequo in diilantiis SA, SC, SE continue proportionalibus, erunt denfitates AH, CK, EM con- tinue proportionales. Et eodem argumento, in difiantiis quibufvis continue proportionalibus SA, SE), SG, denfitates AH, T)L, GO erunt continue proportionales. Coeant jam punfta A, B, C, T), E, &c. eo ut progi effio gravitatum fpecificarum a fundo A ad lummi- tatem fluidi contiiiua reddatur, & in difiantiis quibufvis continue pi opoi tionalibus SA, SE), SG, denfitates AH, EE,GO, femper ex- ifientes continue proportionales, manebunt etiamnum continue pro- portionales. ^ E. E>. Corol. Hinc fi detur denfitas fluidi in duobus locis, puta A & E, coi- PRINCIPIA MATHEMATICA. 289 E, colligi potell ejus denfitas in alio quovis loco ^ Centro <5*, a- fymptoris reftangulis SX defcribatur hyperbola fecans perpen- ^ ^ ^ ^ dicula AHy EM, ^rin a, e, q, ut & perpendicula HX, MT, TZ, ad afymptoton SX demilTa, m h, m t. Fiat area TmtZ^id aream datam XmhXxxK. area data A’r^^ad aream datam EeaA\ & linea Zt produi^ta abfcindet lineam ^T* denfitati proportionalem. Namque fi li- neae SAj SE, S^ funt continue propor- tionales, erunt areae Eeq^ aequa- les, & inde areae his proportionales TmtZ, XhmT etiam aequales, & lineae SX, ST, SZ, id eft, AH, EM, continue pro- portionales, ut oportet. Et fi lineae SA, SE, obtinent alium quemvis ordinem in ferie continue proportionalium, lineae AH, EM, ob proportio- nales areas hyperbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia ferie quantitatum continue proportionalium. PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVII. Sit jlmdi cujufdam denfitas comprejjioni proportionalis, 0f par^ tes ejus a gravitate quadratis diflantiarum fuarum a centro reciproce proportionali deorfum trahantur : dico quod, ft di-> Jianti^ fumantur in progrefjione muftca, denfitates fluidi in his diflantiis erunt in pro^effone geometrica^ Defignet S centrum, & SA, SB, SC, ST>, SE diftantias in pro- greffione geometrica. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, &c. quae fint ut fluidi denfitates in locis A, B, C, 2), E, &c. & ipfius gravitates fpecificae in iifdem locis erunt AH BI CK SAf SBq SCf &c. Finge has gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad B, fecundam a ^ ad C, tertiam a Cad T>, &c. Et hae duftae in altitudines AB, BC, CT>, T)E, &c. vel, quod perinde eft, in diftantias SA, SB, SC, &c. altitudinibus illis proportionales, conficient exponentes preffio- num De M 0 tu -Corporum ipo PHILOSOPHIA NATURALIS num &c. Quare cum denfitates fint ut harum prefl oA oB *3 C fionum fummae, difFerentise denfitatum JH—Bl, BI—CK,.8cc. BI CK Q r' p r erunt ut fummarum differentiae 3^’ 3^» '-^entro u, afym- ptotis SJ, Sx defcribatur hyperbola quaevis, quae fecet perpendi- cula jiH, BI, CK, &c. in a, b, c, &c. ut & perpendicula ad afympto- ton Sx demiflTa Ht, Iu, Kwin h, i, k-, & denlitatum differentiae M. Ji Jd Jl tUy uwy&Lc. erunt reftangula &c. feu^/, uqi &c. ut — id eft, ut Aa^ Bby &c. Eft enim, ex natura hyperbolae, ad AH vd St^ ut th zdi Aa^ ideoque — aequale A a. Etfimili argumento eft aequale &c. Sunt autem Aa^ Bb^ Ccy&iC. continue proportionales^^ & propterea differentiis fuis Aa-^-Bb^ Bb^Cc^ &c. proportionales; . ideoque differentiis hifce proportionalia funt reftangula //, uq^ &c. ut & fummis differentiarum Aa — Cc vel Aa — ® fummae reftan- gulorum tf-\-uq \t\tf -\-uq-\-wr. Sunto ejufmodi termini quam > plurimi, &fumma omnium differentiarum, pura Aa-^Ff, erit fum- mae omnium reftangulorum, puta zthn^ proportionalis. Augeatur numerus terminorum minuantur diftantiae punftorum A^ C, &c. PRINCIPIA MATHEMATICA. 291 &c. in infinitum, & reflangula illa evadent sequalia areae hyperboli- Liber cae zthn, ideoque huic areae proportionalis eit diflTerentia Sumantur jam difiantiae qutelibet, puta Sjl, ST), d’/^progrefIione mufica, ScdifiPerentiae ©7?', erunt aequales; & prop- terea diflerentiis hifce proportionales areae thlx, xIhz aequales erunt inter fe, & denfitates St, S x, Sz, id ell, AH, DL/FN continue proportionales. ^ E. D. ’ Coro/. Hinc fi dentur fluidi denfitates du® quaevis, puta AH & BI, dabitur area thiu, harum differentiae tti refpondens ; & inde invenietur denfitas /'A in altitudine quacunque S F, fumendo are- am 2: ad aream illam datam thiuvx eft differentia Aa—Ff^d. differentiam Aa — Bb. Scholmm. Simili argumentatione probari poteft, quod fi gravitas particula- rum fluidi diminuatur in triplicata' ratione diftantiarum a centro, & quadratorum diftantiarum SA, SB, SC, &c. reciproca (nempe SA cub. SA cub. SA cub. . ^ ~SAq~’ ~~SB^' ~sm~ ^ “ progreflione arithmetica ; denfitates AH, BI, CK, &c. erunt in progreflione geometrtta. Et fi gravitas diminuatur in quadruplicata ratione diftantiarum,, cuborum diftantiarum reciproca (puta \ ^ SA cubi SB cubi SC cubi ' fumantur in progreflione arithmetica ; denfitates AH, BI, CK, &c. erunt in progreflione geometrica. Et fic in infinitum. Rurfus fi gravitas particularum fluidi in omnibus difiantiis eadem fit, & di- ftantiae fint in progreflione arithmetica, denfitates erunt in progref- fione geometrica, uti Vir Cl. Edmtindus Halleius invenit. Si gra- vitas fit ut diftantia, & quadrata diftantiarum fint in progreflione arithmetica, denfitates erunt in progreflione geometrica. Et fic in infinitum. Haec ita fe habent ubi fluidi compreflione condenfati denfitas eft ut vis compreffionis, vel, quod perinde eft, Ipatium a fluido occupatum reciproce ut haec vis. Fingi poffunt aliae conden- fationis leges, ut quod cubus vis comprimentis fit ut quadrato-qua- dratum denfitatis, feu triplicata ratio vis eadem cum quadruplicata ra- tione denfitatis. Quo in cafu, fi gravitas eft reciproce ut quadratum diftanfiae a centro, denfitas erit reciproce ut cubus diftantia. Fin- P p X - gatur 1^1 PHILOSOPHIiE NATURALIS D5 MoTugatur quod cubus vis coiuprimentis fit ut quadrato-cubus denfita- Corporum ^ ^ gravitas cit rcciproce ut quadratum difiantias, denfitas erit reciproce in fefquiplicata ratione dillantiae. Fingatur quod vis com- primens fit in duplicata ratione denfitatis> & gravitas reciproce in ratione duplicata dillanti^, & denfitas erit reciproce ut difiantia. Cafus omnes percurrere longum eflTet. Caeterum per experimenta confiat quod denfitas aeris fit ut vis comprimens vel accurate vel faltem quam proxime : & propterea denfitas aeris in atmofphaera terrae efi ut pondus aeris totius incumbentis, id ett, ut altitudo mer- curii in barometro. PROPOSITIO XXIIL THEOREMA XVIII. Si fluidi ex particulis fe mutuo fugtentihus compofiti denfitas fit ut. compr effio ^ vires centrifugae particularum fiunt reciproce pxoportionales difiantiis centrorum fiuorum. Et vice verfia^ particula viribus qua funt reciproce proportionales difiantiis centrorum fuorum fie mutuo fugientes componunt fluidum eia- fticumy cujus denfitas efi cjompreffioni. proportionalis. I j_ Includi intelligatur fluidum in fpatio cubico ACE^ dein com* preflione redigi in fpatium cubicum minus ace\ & particularum,^ fimilem fitum inter fe in utroque fpatio obtinentium, difiantiae erunt ut cuborum latera AB^ab\ & mediorum denfitates reciproce ut fpa- tia continentia AB cub. & ab cub\ In. cubi majoris latere plano ^^C*Z) capiatur quadratum aequale lateri plano cubi minoris . db', & ex hypothefi, prelTio, qua quadratum urget fluidum in* a clufum, erit ad prelTionem, qua il- / lud quadratum db urget fluidum in- clufum, ut medii denfitates ad invi- ^ cem, hoc efi, ut ab cub. ad AB cub. Sed preflio, qua quadratum 2) 5 urget fluidum inclufum, eft ad, pe lonem, qua quadratum DT urget idem fluidum, ut qpadratum 2)5 ad quadratum.®?.; hoc eft, ut JB. qmd. ad ab quj. Ergo,. 1 ■ M 1 P\ E H D C ex. PRINCIPIA MATHEMATICA. ex aequo, preflio qua quadratum T)B urget fluidum, eft ad preffio- nem qua quadratum ^ turget fluidum, ut aif ad Planis Fecundos fgh^ per media cuborum duftis, diflinguatur fluidum in duas partes, &ha;fe mutuo prement iifdem viribus, quibus premuntur a' planis -^C, ac, hoc efl, in proportione ai^ ad AB \ ideoque vires centrifugae, quibus hae prefliones fuflinentur, funt in eadem ratione. Ob eun- dem particularum numerum fimilemque fitum in utroque cubo, vi- res quas particulae omnes fecundum plana FGH,fgh exercent' in omnes, funt ut vires quas fingulae exercent in fingulas. Ergo vires, quas fingulae exercent, in fingulas fecundum planum FGH'm cubo majore, funt ad vires, quas fingulae exercent in fingulas fecun- dum planum fgh in cubo minore, ut ad AB, hoc ett, reciproce ut diftantiae particularum ad invicem. ^ E, T>, Et vice verfa^ fi vires particularum lingularum- funt reciproce ut^ diftantiae, id eft, reciproce ut cuborum latera AB, ah \ fummae vi- rium erunt in eadem ratione, & prefliones laterum T>B, db ut fum- mae virium ; & preflio quadrati F ad preffionem lateris B \xt ab quad, ad AB quad. Et, ex aequo, preflio quadrati ad, pref^ fionem lateris db uc ab cub. ad AB cub. id eft, vis compreflionis ad vim compreflionis ut denfitas ad denfitatem. ^ E, Z). Scholmm: Simili argumento, fi particularum vires centrifugae fint reciproce in duplicata ratione diftantiarum inter centra, cubi virium comprimen- tium erunt ut quadrato-quadrata denlitatum; Si vires centrifugae^^ fint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione diftantiarum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-cubi vel cubo-cubi ‘ denfitatum. Et univerfaliter, fi D ponatur pro diftantia, & E pro- denfitate fluidi comprefli, &• vires centrifugae fint reciproce ut di- ftantiae dignitas quaelibet D", cujus index eft numerus ; vires^ com-' primentes erunt ut latera cubica dignitatis E”"^% cujus index eft nu- merus n\-z : & contra. Intelligenda vero funt haec omnia de par- ticularum viribus centrifugis quae terminantur in particulis proximis, aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in corpori- bus magneticis. Elorum virtus attraftiva terminatur fere in fui ge- neris corporibus fibi proximis. Magnetis virtus per interpofitam 4 laminam - 294 PHILOSOPHIiE NATURALIS Db Motu laminam ferri contrahitur, & in lamina fere terminatur. Nam cor- Corporum ultcriora non tam a magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum fi particulae fugant alias fui generis particulas fibi proximas, in particulas autem remotiores virtutem nullam exerceant, ex hujufmodi particulis componentur .fluida de quibus aftum efl in hac propofitione. Quod fi particulas cujufque virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad aequalem condenfationem majoris . quantitatis fluidi. An vero fluida elaftica ex particulis fe mutuo fu- gantibus conflent, quaeflio phyfica efl. Nos proprietatem fluidorum ex ejufmodi particulis conflantium mathematice demonflravimus, " ut philofophis anfarn praebeamus quaeflionem illam traftandi. SECTIO VI. De motu reftflenUa corporum funependulorum. PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX. ^lantitates matena^ m corporibus funependulls^ quorum centra ojcillationum a centro^fufpenfioms a qualiter diflant^ funt tn ratione compofita ex ratione ponderum ratione duplicata temporum ofcillationum m vacuo. Nam, velocitas, quam data vis in data materia, dato tempore ge- nerare potefl, efl ut vis & tempus direfte, & materia inverfe. Quo inajor efl vis vel majus tempus vel minor materia, eo major gene- ^'.^hituri velocitas. Id quod' pen motus legem fecundam- manifeflum efl. Jam vero fi pendula ejufdem fint longitudinis, vires motrices in. locis a. perpendiculo aequaliter diflantibus funt ut pondera: ideo- que fi. corpora, duo ofcillando defcribant arcus aequales, & arcus illi dividantur in partes aequales ; cum tempora quibus corpora defcri- bapt fingulas arcuum partes correfpondentes fint ut tempora ofcih lationum j totarum,^ erunt velocitates ad invicem in correfpondenti- bus ofcillationum partibus, ut vires motrices & tota ofcillationum tempora diredle & quantitates materia reciproce: ideoque quanti- tates materiae ut vires & ofcillationum tempora direfle & velocita- tes reciproce. Sed- velocitates reciproce, funt ut tempora, atque ideo P R I N C I PIAM AT H E M AT I C A. ^ ideo tempora direfte & velocitates reciproce funt lit quadrata tem- Lib^r. porum, & propterea quantitates matetiae futit ut vires motrices & quadrata temporum, id elt, ut pondera & quadrata temporum» ^ E. T>. CoroL I. Ideoque fi tempora funt aequalia, quantitates tliateri^ in fingulis corporibus erunt ut pondera. Corol. %. Si pondera funt aequalia, quantitates materiae erunt ut quadrata temporum. Corol. 3. Si quantitates materiae aequantur, pondera erunt reci- proce ut quadrata temporum. Corol. 4. Unde cum quadrata temporum, caeteris paribus, fint ut longitudines pendulorum ; fi & tempora & quantitates materia ae- qualia funt, pondera erunt ut longitudines pendulorum. Corol. 5. Et univerfaliter, quantitas materiae pendulae elt ut pon» dus & quadratum temporis direfte, & longitudo penduli inverfe. Corol. 6. Sed & in medio non refifiente quantitas matei iae pendu- lae eft ut pondus comparativum & quadratum temporis direde & longitudo penduli inverfe. ^ Nam pondus comparativum elt vis mo- trix corporis in medio quovis gravi, ut fupra explicui ; ideoque idem praeftat in tali medio non refifiente atque pondus abfolutum in vacuo. Corol. 7. Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter fe, quoad quantitatem materiae in fingulis; tum comparandi pondera ejufdem corporis in diverfis locis, ad cognofcendam variationem gravitatis. Faftis autem experimentis quam accuratiflimis inveni femper quantitatem materiae in corporibus fingulis eorum ponderi proportionalem efTe. PROPOSITIO XXV. THEOREMA XX. Corpora Funependula quihus.^ m medto quovis, reftflhur in^ra-* uone momentorum^ temporis.^ corpora funependula quh m ejufdem gravitatis fpecificde medto non refifiente moventur^ , ofcillattones tn cycloide eodem tempore peragimt.^ arcuum partes proportionales ftmul defcribunt. Sit cycloidis arcus, quem corpus 2) tempore quovis in medio non refifiente ofeillando defcribit. Bifecetur idem in C, ita ut C fit infimum- D E M o T u Corporum PHILOSOPHIA NATURALIS infimum ejus punftum ; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis T> vel d vel A ut longitudo arcus C® vel Cd vel CE. Exponatur vis illa per eundem arcum ; & cum refiftentia fit ut momentum temporis, ideoque detur, exponatur eadem per da- tam arcus cycloidis partem CO, & fumatur arcus Od in ratione ad arcum C® quam habet arcus OB ad arcum CB : & vis qua corpus in d urgetur in medio refiflente, cura fit excelTus vis C d lupra re- fiftentiam CO, exponetur per arcum Od, ideoque erit ad vim, qua corpus ® urgetur in medio non refiftente in loco ®, ut arcus Od ad arcum C® ; & propterea etiam in loco B ut arcus OB ad ar- cum CB. Proinde fi corpora duo, ®, d exeant de loco B, & his viribus urgeantur: cum vires fub initio fint ut arcus CB & OB, erunt velocitates primae & arcus primo defcripti in eadem ratione. Sunto arcus illi A® & Bd, & arcus reliqui C®, Od erunt in ea- .dem ratione. Proinde vires, ipfis C®, 0«/ proportionales manebunt in eadem ratione ac fub initio, & propterea corpora pergent arcus in eadem ratione fimul defcribere. Igitur vires & velocitates & arcus reliqui C®, Od femper erunt ut arcus toti CB, OB, & prop- terea arcus illi reliqui fimul defcribentur. Quare corpora duo ®, d fimul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in medio non refiftente ad locum C, & alterum in medio refiftente ad locum O. Cum autem velocitates in C & O fint ut arcus C B, OB ; erunt ar- cus, quos corpora ulterius pergendo fimul defcribunt, in eadem ra- tione. Sunto illi CE & Oe. Vis qua corpus ® in medio non re- fiftente retardatur in E eft ut CE, & vis qua corpus d in medio re- ^ fiftente PRINCIPIA MATHEMATICA. 297 fiftente retardatur in e eft ut fumma vis Ce & refiilenti^ CO, id efl ut Oe\ ideoque vires, quibus corpora retardantur, funt ut cubus CE^ Oe proportionales arcus CB^ OB ; proindeque velocita- tes, in data illa ratione retardatae, manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & arcus iifdem defcripti femper funt ad invicem in data illa ratione arcuum CB & OB ; & propterea fi fumantur ar- cus toti AB^ aB m eadem ratione, corpora d fimul defcribent hos arcus, & in locis A ^ a motum omnem fimul amittent. Ifo- chronae funt igitur ofcillationes totae, & arcubus totis B A^ Ba proportionales funt arcuum partes quaelibet BT)j Bd B Ey B e quae fimul defcribuntur. ^ E. E). Corel. Igitur motus velocifiimus in medio refiftente non incidit in punftum infimum C, fed reperitur in punfto illo O, quo arcus to- tus defcriptus a B bifecatur. Et corpus fubinde pergendo ad iif- dem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in defcenfu fuo a .5 ad O. PROPOSITIO XXVI. THEOREMA XXL Corporum funependulorum^ quibus refijlitur in ratione veloci'^ tatum^ ofcillationes in cycloide funt Ifochronae^ Nam fi corpora duo, a centris fufpenfionum aequaliter diftantia, ofcillando defcribant arcus inaequales, & velocitates in arcuum par- tibus correfpondentibus fint ad invicem ut arcus toti ; refifientiae velocitatibus proportionales, erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde fi viribus motricibus a gravitate oriundis, quae fint ut iidem arcus, auferantur vel addantur hae refifientiae, erunt differentiae vel fummae ad invicem in eadem arcuum ratione : cumque velocitatum incrementa vel decrementa fint ut hae differentiae vel fummae, ve- locitates femper erunt ut arcus toti : Igitur velocitates, fi fint in aliquo cafu ut arcus toti, manebunt femper in eadem ratione. Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt defcendere & arcus illos defcribere, vires, cum fint arcubus proportionales, generabunt velo- citates arcubus proportionales. Ergo velocitates femper erunt ut arcus toti defcribendi, & propterea arcus illi fimul defcribentur. E, Q q PROPO- 2p8 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu C0K.PORUM _ _ PPvOPOSITIO XXVII. THEOREMA XXII. Si corporibus fune pendulis refijlitur in duplicata ratione veloci^ tatum^ differentia inter tempora ofcillationum in medio re- fiftente ac tempora ofcillationum tn ejufdem gravitatis fpeci- fica medio non refijlente^ erunt arcubus ofcillando defcriptis proportionales quam proxime. Nam pendulis aequalibus in medio refiftente defcribantur arcus inaequales A, B ; & refdtentia corporis in arcu A, erit ad refiiten- tiam corporis in parte correfpondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum, id eft, ut A A ad BB, quam proxime. Si refiftentia in arcu B eflet ad refiftentiam in arcu A ut AB ad A A; tem- pora in arcubus A & B forent aequalia, per propofitionem fuperi- orem. Ideoque refillentia AA in arcu A, vel AB in arcu B, efficit excefliim temporis in arcu A fupra tempus in medio non refiften- te ; & refiftentia BB efficit exceftum temporis in arcu B fupra tem- pus in medio non refiftente. Sunt autem exceflus illi ut vires effi- cientes AB & BB quam proxime, id eft, ut arcus A& B. ^E.T>. CoroL I. Hinc ex ofcillationum temporibus, in medio refiftente, m arcubus inaequalibus faftarum, cognofci poftimt tempora ofcil- ktmnum in ejufdem gravitatis fpecificae medio non refiftente. Nam differentia temporum erit ad exceflTum temporis in arcu minore fu- pra tempus in medio non refiftente, ut differentia arcuum ad arcum minorem. Corel X. Ofcillationes breviores funt magis ifochrons, & brevif- limae iifdem temporibus peraguntur ac in medio non refiliente, quam proxime. Larum vero quae in majoribus arcubus fiunt, tem- poi a lunt paulo majora, propterea quod refiftentia in defcenfu cor- poris qua tempus pioducitur, major fit pro ratione longitudinis in defcenfu defcripta?, quam refiftentia in afcenfu fubfequente qua tem- pus contrahitur. Sed & tempus ofcillationum tam brevium quam ongarum nonniinl produci videtur per motum medii. Nam cor- ponbus tardefcentibus paulo minus refiftitur, pro ratione veloci- mirfr n,- ^ acceleratis paulo magis quam iis quae unifor- miter piogrediunturt idque quia medium, eo quem a corporibus accepk PRINCIPIA MATHEMATICA. 299 3cccpit motUj in csndcm p6rgcndoj in priore cafu magis Liber agitatur, in pofteriore minus ; ac proinde magis vel minus cum corporibus motis confpirat. Pendulis igitur in defcenru magis re- fillit, in afcenfu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque caufa tempus producitur. PROPOSITIO XXVIII. THEOREMA XXIIL Si corpori funependulo in c^cloide ofcillanti refijlitur in ratione^ mon'ientortim temporis^ erit ejus refiflentia ad vim gravitatis ut excejffus arcus defcenfid^ toto deferipti fupra arcum afcen- fu fubfequente deferiptum^ ad penduli longitudinem duplica- tam. • Defignet BC arcum defcenfu deferiptum, Ca arcum afcenfu de- feriptum, A a differentiam arcuum: & itantibus quae in propoli- tione XXV. conflruda & demonitrata funt, erit vis, qua corpus of- cillans urgetur in loco quovis ad vim refiilentiae ut arcus CT> ad arcum CO, qui femiflis eft differentiae illius A a. Ideoque vis, qua corpus ofcillans urgetur in cycloidis principio feu puncto altif- fimo, id eft, vis gravitatis, erit ad refiftentiam ut arcus cycloidis inter punftum illud fupremum & punftum infimum C ad arcum CO ; id eft (fi arcus duplicentur) ut cycloidis totius arcus, feu du- pla penduli longitudo, ad arcum A a. ^ 2). Qq X PROPO- 300 PHILOSOPHIAE NATURALIS De 0 T U CorpoKum PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA VL Pofito quod corpori in c^cloide ofciUanii refijiittir tn duplicata ratione velocitatis : invenire refijlentiam in locis fingulis. Sit Ba arcus ofcillatione integra defcriptus, fitque C infimum cycloidis punftum, & CZ femiflis arcus cycloidis totius, longitu- dini penduli aequalis ; & quaeratur refiUentia corporis in loco quo- vis 2^. Secetur refla infinita O^in punflis O, ea lege, ut (fi erigantur perpendicula OK^ ST^ ‘P/, centroque O & a- fymptotis OK, O^defcribatut hyperbola TIG E fecans perpendicu- la JP, !P7, in T, i & & per punflum / agatur TTF parallela afymptoto O^occurrens afymptoto OKm K, & perpendiculis ST & ^E in Z/ & F) fuerit area hyperbolica tP/Z^^ad aream hyper- boJicam TITS ut arcus BC defcenfu corporis defcriptus ad arcum Ca afcenfu defcriptum, & area lEF ad aream ILT ut ad OS\ Dein perpendiculo MN abfcindatur area hyperbolica BINM quae fit ad aream hyperbolicam TIE^m arcus CZ ad arcum BC de- fcenfu defcriptum. Et fi perpendiculo R G abfcindatur area hy- perbolica FIGRy quae fit ad aream TIE^Vii arcus quilibet CZ) ad arcum BC defcenfu toto defcriptum ; erit refillentia in loco B O R ad vim gravitatis, ut area — IGH ad aream TINM. Nam cum vires a gravitate oriundte quibus corpus in locis Z, BZD, a uigetur, fiat ut arcus QZ, CB, CT), Ca, & arcus illi fint ut arete TINM,. PRINCIPIA mathematica. 7 INM, TI E ^jTIGR, TITS; exponantur tum arcus tum vires , Liee* per has areas relpeftive. Sit infuper 2)^ fpatium quam minimum a corpore defcendente defcriptum, & exponatur idem per aream quam minimam RGgr parallelis RG, rg comprehenfam ; & pro- ducatur rg ad hy ut fint GHhg^ ^ RGgr contemporanea arearum O R IGH. TIGR decrementa. Et areaa /G// incremen- , tumG///j?-~ /AF, k\xRr^HG-~^IEF, erit ad areae 1 E F RIGR decrementum RGgr, feu RrxRG, ut HG ad OR ot I E F ORxGR feu OT x RG ; ideoque ut OR x HG • FI, hoc eft (ob sequalia OR x HG, OR x HR—OR x GR, OR H K ^OFIK, TIHR & FlGRArlGH) ut FIGR^ 1GH~ lEF zd OFIK, Igitur fi area lEF — IGH dicatur Y, atque areae TIG R decrementum RGgr detur, erit incrementum'; areae Y ut FIGR — Y. Quod fi V defignet vim a gravitate oriundam, arcui defcribendo CT> proportionalem, qua corpus urgetur in T>, & R pro refiftem tia ponatur; erit V — R vis tota qua corpus urgetur in®. Eft itaque incrementum velocitatis ut V — R & particula illa temporis in qua faftum eft conjunftim : Sed & velocitas ipfa efl; ut incrementum contemporaneum fpatii defcripti direfte & particula eadem tem- poris inverfe. Unde, cum refifientia per hypothefin fit ut qua- dratum velocitatis, incrementum refiftentiae (per lem. ir.) erit ut^ velocitas & incrementum velocitatis conjunftim, id eft, ut momen- tum fpatii & V — R conjunftim; atque ideo, fi momentum fpatii, detur, ut V— R ; id eft,. fi pro vi V fcribatur ejus exponens FIGR, & refiftentia R exponatur per aliam aliquam aream Z, ut TIGR Igitur area TIGR per datorum momentorum fubduftionem uni- formiter decrefcente, crefcunt area Y in ratione TIGR~-^Y, Sc area Z in ratione TIGR— 7^. Et propterea fi arese Y & Z fimul* incipiant & fub initio aequales fint, hae per additionem aequalium; mornentorum pergent efle aequales, & aequalibus itidem momentiS' fubinde: / 301 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu fubindc dccTcfccntcs fiiDul cvAticfccnt. Et viciffini) fi fimul incipi» Corporum ^ cvanefcunt, SEqualia habebunt momenta & femper e- ; id adeo quia ii reiiiientia Zt au^eatutj velocitas una cum arcu illo Ca, qui in alcenfu corporis defcribitur, diminuetur; & punAo in quo motus omnis una cum refillentia ceiTat propius accedente ad punftum C, refillentia citius evanefcet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi refillentia diminuitur. Jam vero area Z incipit definitque ubi refillentia nulla elt, hoc ell, in principio motus ubi arcus C‘D arcui CB aequatur & refla RG incidit in reflam & in fine motus ubi arcus C® arcui O R CA aequatur ^ RG incidit in reftam ST. Et area Y feu O R — /G /7 incipit definitque ubi nulla eft, ideoque ubi lEF & IGH aequalia funt : hoc eft (per conftruftionem ) ubi refta RG incidit fuccefllve in reftas ^lE & ST, Proindeque areaa illae fimul incipiunt & fimul evanefcunt, & propterea femper funt O R aequales. Igitur area lEF --IGH aequalis eft areae Z, per quam refillentia exponitur, & propterea eft ad aream TINM^tx: quam gravitas exponitur, ut refiftentia ad gravitatem^ ^ E. T>. Corol, T. Eft igitur refiftentia in loco infimo C ad vim gravitatis? OT 7T^ iS/^ad aream FINM. Corol. 1. Fit autem maxima, ubi area FIHR eft ad aream lEF ut OR ad Eo enim in cafu momentum ejus (nimirum FIGR — Y evadit nullum. Corol. PRINCIPIA MATHEMATICA. 303 Corol 3. Hinc etiam innotefcit velocitas in locis fingulis: quip- Liber pe quae elt in fubduplicata ratione refillentiae, & ipfo motus initio aequatur velocitati corporis in eadem cycloide fine omni refifien^ tia ofcillantis. Cauterum ob difficilem calculum quo refifientia & velocitas per hanc propofitionem inveniendae funt,, vifum eft propofitionem fe- quentem fubjungere. PROPOSITIO XXX. THEOREMA XXIV. Si reBa aB aqualis fit cycloidis arem quem corpus ofictllando deficribit^ ad fimgula ejus punBa D erigantur perpendicula DK, qua Jint ad longitudinem penduU ut refiiflentla cor por- ris In arcus punBis correfipondentlhus ad vim gravitatis : dico quod differentia Inter arcum deficenfiu toto deficrlptum arcum aficenfiu toto fiuhfiequente deficrlptum duBa m ar- cuum eorundem femlfiummam^ aqualis erit area B K a a perpendiculis omnibus DK occupata» Exponatur enim tum cycloidis arcus, ofcillatione integra deferip- tus, per regiam illam fibi aequalem aB^ tum arcus qui deferibere- tur in vacuo per longitudinem AB. Bifecetur ABm C^ & pun- ftum C repraefentabit infimum cycloidis punftum, & erit ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in B) fecundum tangentem^ cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem pen- duli quam habet vis in T> ad vim gravitatis. Exponatur igitur vis illa. De Motu Corporum 304 PHILOSOPHIAE NATURALIS illa per longitudinem C2), & vis gravitatis per longitudinem pen. duli, & fi in capiatur ‘DK in ea ratione ad longitudinem pen- duli quam habet refillentia ad gravitatem, erit 2) K exponens re- fillentise. Centro C & intervallo CA vel CB conftruatur femicir- culus BEeA. Defcribat autem corpus tempore quam minimo fpatium T>dy & eredis perpendiculis ‘DE, de circumferentiae occur- rentibus in E e, erunt haec ut velocitates quas corpus in vacuo, defcendendo a pundo B, acquireret in locis D 8c d. Patet hoc (per prop. lii. lib. i.) Exponantur itaque hae velocitates per per- pendicula illa DE, de-, fitque 2)^^ velocitas quam acquirit in 2) cadendo de B in medio refiftente. Et fi centro C & intervallo CF defcribatur circulus F/AToccurrens redis de Sc AB in/& Af, erit M locus ad quem deinceps fine ulteriore refillentia afcen- deret, & df velocitas quam acquireret in d. Unde etiam fi Fg defignet velocitatis momentum quod corpus D, defcribendo fpa- tium quam minimum D d, ex refillentia medii amittit ; & fuma- tur C N aequalis Cg : erit N locus ad quem corpus deinceps fine ulteriore refillentia afcenderet, & MN erit decrementum afcenfus ex velocitatis illius amillione oriundum. Ad df demittatur perpen- diculum Fm, & velocitatis DF decrementum Fg a refillentia DK genitum, erit ad velocitatis ejufdem incrementum fm a vi CD ge- nitum, ut vis generans DK ad vim generantem CD. Sed & ob fi- milia triangula Fmf, Fhg, FDC, ti\fm ad Fm feu Dd ut CD ad DF-, & ex ^quo ad 2) ut 2) AT ad ‘DF. Item Fh ad Fg ut 2)Fad CF-, & ex aequo perturbate, Fh feu A/iVad Dd\xx. DK ad CA feu CM-, ideoque fumma omnium MNxCM aequalis erit fummae omnium, Dd x DK. Ad pundum mobile M erigi femper intelligatur ordinata redangula aequalis indeterminatae CM, quae motu PRINCIPIA MATHEMATICA. joy motu continuo ducatur in totam longitudinem & trapezium libek ex illo motu defcriptum five huic aequale redangulum A aequabitur fummae omnium MNxCM, ideoque fummae omnium id ell, B KVTa. ^E.T>. Corol. Hinc ex lege refiflentiae & arcuum Ca, C B differentia A a colligi poteff proportio refiftentias ad gravitatem quam proxime. Nam fi uniformis fit refiftentia figura BKTa reftangulum erit fub Ba & T>K\ & inde redangulum fub ^Ba & Aa erit aequa- le reftangulo (uh B a &: T>K^ & T>K «qualis erit -\Aa. Quare cum T>K fit exponens refiffentiae, & longitudo penduli exponens gravi- tatis, erit refiffentia ad gravitatem ut \ Aa ad longitudinem pendu- li; omnino ut in prop. xxviii. demonftratum eff. Si refiftentia fit ut velocitas, figura BKTa ellipfis erit quam pro- xime. Nam fi corpus, in medio non refiftente, ofcillatione integra defcriberet longitudinem BA^ velocitas in loco quovis T) foret ut circuli diametro AB defcripti ordinatim applicata E, Proinde cum Ba in medio refiftente, & BAm medio non refiftente, aequa- libus circiter temporibus deferibantur ; ideoque velocitates in fingulis ipfius B a pundis, fint quam proxime ad velocitates in punftis cor- refpondentibus longitudinis BA^ ut eft Ba ad BA^^ erit velocitas in punfto T> in medio refiftente ut circuli vel ellipfeos fuper dia- metro Ba defcripti ordinatim applicata ; ideoque figura BKVTa ellipfis erit quam proxime. Cum refiftentia velocitati proportio- nalis fupponatur, fit OV exponens refiftentiae in punfto medio O ; & ellipfis BRVSa^ centro O, femiaxibus OB^ O^defcripta, figu- ram BKVTay eique aequale reftangulum Aay^BO^ «quabit quam- proxime. Eft igitur Aay.BO ad OVxBO ut area ellipfeos hujus ad OVxBO: id eft, ad O^ut area femicirculi ad quadratum radii, five ut ii ad 7 circiter : Et propterea tt A a ad longitudinem penduli ut corporis ofcillantis refiftentia in O ad ejufdem gravita- tem. Quod fi refiftentia T>K fit in duplicata ratione velocitatis, figura BKVT a fere parabola erit verticem habens V & axem OF, ideo- que aequalis erit redangulo fub 4 Ba & OF quam proxime. Eft igitur reftangulum fub ^Ba & Aa aequale reftangulo fub 15^ & OF, ideoque OF aequalis •* & propterea corporis ofcillantis re- fiftentia in O ad ipfius gravitatem ut ^^Aa ad longitudinem penduli. R r . ^ Atque 'i 30($ PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu Atquc has conclufiones in rebus pra ^ refpcftive. Dividantur eae differen- tia per numerum ofcillationum in cafu unoquoque, & in ofcillatio- ne una mediocri, qua arcus digitorum si, 74, i5> 3o, 60, iio de- feriptus fuit, differentia arcuum defcenfu & fubfequente afcenfu deferiptorum, erit ^ partes digiti refpedive. Ha> autem in majoribus ofcillationibus funt in duplicata ratione arcuum deferiptorum quam proxime, in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione; & propterea (per corol. x. prop. xxxi. libri hujus), refiftentia globi, ubi celerius movetur, eft in duplicata ratione velo- citatis quam proxime ; ubi tardius, paulo major quam in ea ratione. Defignet jam V velocitatem maximam in ofcillatione quavis, fint- que A,B, C quantitates datae, & fingamus quod differentia arcuum fit AV-l-BV^-l-CV . Cum velocitates maximae fint in cycloide ut femilTes arcuum ofcillando deferiptorum, in circulo vero ut femif- fium arcuum illorum chordae ; ideoque paribus arcubus majores fint ih cycloide quam in circulo, in ratione femillium arcuum ad eorun- dem chordas; tempora autem in circulo fint majora quam in cyr cloide in velocitatis ratione reciproca; patet arcuum differentias, (quae funt ut refiftentia & quadratum temporis conjunftim) eafdem fiire, quamproxime, in utraque curva: deberent enim differentiae, illte in cycloide augeri, , una. cum refiftentia, in duplicata circiter ra- tione arcus ad' chordam, ob velocitatem in ratione illa fimplici au- ffam ; & diminui, una cum quadrato temporis, in eadem duplicata ratione. Itaque ut reduftio fiat ad' cycloidem, eaedem fumendm, funt arcuum differentiae quae fuerunt in circulo obfervatae, velocita- tes vero maximae, ponendae funt arcubus vel dimidiatis vel integris hoc eft, numeris -1-, i, i, 4, 8, 16 analogs. Scribamus ergo ih cafu fecundo, quarto & fexto numeros 1, 4 &' 16 pro V ; & prodibit ar- I cuum differentia,- ^=AJrB-l~C in cafu fecundo ;.-L- — 4 A.+ SB • * 8 -j- 16C in cafu quarto ; & -.=.i6A--j-64B -f ifS C in cafu fexto,- Et ex his aequationibus, per debitam collationem &reduftionem analy- ticam.fit A = o,oooo9i6,B =0,0010847, &C = 0,0019^58. Eftigi- tur differentia arcuum ut o,oooo9i6.V-j-o,ooio847 V^-f-o,ooi9y58V’ : & prop- PRINCIPIA MATHEMATICA. 309 & propterea cum (per corollarium propofitionis xxx, applicatum Liber. ad hunc cafum) refillentia globi in medio arcus ofcillando defcripti,^^^''^^''^' ubi velocitas eft V,. fit ad ipfius pondus ut AV+ttBV^ -|-fC V* ad longitudinem penduli ; fi pro A, B & C fcribantur numeri inventi, fiet relidentia globi ad ejus pondus, ut 0,0000583 ¥4-0,0007593 V*^ 4- 0,0011169 V" ad longitudinem penduli inter centrum fufpenfi- onis & regulam, id efi, ad iii digitos. Unde cum V in cafu fe- eundo delignet i, in quarto 4, in fexto 16 : erit refillentia ad pon- dus globi in cafu fecundo ut 0,0030345 ad izi, in quarto ut 0,041748 ad I^Iy in fexto ut 0,61705 ad iii. Arcus quem punftum in filo notatum in cafu fexto defcripfit, erat iio — feu 119^^ digitorum. Et propterea cum radius efiet iii digitorum, & longitudo penduli inter punftum fufpenfionis & cen- trum globi elTet 116 digitorum, arcus quem centrum globi defcrip- fit erat ii4TT digitorum. Quoniam corporis ofcillantis velocitas maxima, ob refifientiam aeris, non incidit in pundum infimum ar- cus deferipti, fed in medio fere loco arcus totius verfatur: haec ea- dem erit circiter ac fi globus defcenfu fuo toto in medio non re- fiftente deferiberet arcus illius partem dimidiam digitorum 61A, idque in cycloide, ad quam motum penduli fupra reduximus: & propterea velocitas illa aequalis erit velocitati quam globus, perpen- diculariter cadendo & cafu fuo deferibendo altitudinem arcus illius finui verfo aequalem, acquirere poflTet. Eli autem finus ille verfus in cycloide ad arcum illum 62,4 ut arcus idem ad penduli longitu- dinem duplam 25X5 & propterea aequalis digitis 15,278. Quare ve- locitas ea ipfa cll quam corpus cadendo & cafu fuo fpatium 15,278 digitorum deferibendo acquirere poflTet. Tali igitur cum velocitate globus refillentiam patitur, quae fit ad ejus pondus ut 0,61705 ad 121, vel (fi refillentiae pars illa fola fpeftetur quae ell in velocitatis ratione duplicata) ut 0,56752 ad ixr. Experimento autem hydrollatico inveni quod pondus globi hujus lignei eflet ad pondus globi aquei magnitudinis ejufdem ut 55 ad 97: & propterea cum 121 fit ad 213,4 eadem ratione^ erit re- fillentia globi aquei praefata cum velocitate progredientis ^ad ipfius pandus ut 0,56752 ad 213,4, i^-^ell, ut i ad 37^t4 Unde cum pon- dus 310 PHILOSOPHIiE NATURALIS DEMoTudus globi aquei, quo tempore globus cum velocitate uniformiter Corporum continuata defcribat longitudinem digitorum velocitatem illam omnem in globo cadente generare poflet ; manifeftum eft quod vis refittentias eodem tempore uniformiter continuata tollere poflet velocitatem minorem in ratione i ad hoc eft, velocitatis to- tius partem Et propterea quo tempore globus, ea cum ve- locitate uniformiter continuata, longitudinem femidiametri fuae, feu digitorum 3tV> defcribere poflfet, eodem amitteret motus fui par- tem — . 334^ Numerabam etiam ofcillationes quibus pendulum quartam motus fui partem amifit. In fequente tabula numeri fupremi denotant lon- . gitudinem arcus defcenfu primo defcripti, in digitis & partibus di- giti exprelTam : numeri medii fignificant longitudinem arcus afcen- fu ultimo defcripti ; & loco infimo flant numeri ofcillationum. Ex- perimentum defcripfi tanquam magis accuratum quam cum motus pars tantum oftava amitteretur. Calculum tentet qui volet. T)efienfus frimus 2 4 8 16 31 64 Afcenfus ultimus 14 3 6 IZ 24 48 Numerus Ofcillat, 374 i6i4 834 417 -4 Poflea globum plumbeum diametro digitorum 2, & pondere un- ciarum Romanarum fufpendi filo eodei^ fic ut inter centrum globi & punftum, fufpenfionis intervallum elTet pedum io4, & nu- merabam ofcillationes quibus data motus pars amitteretur. Tabu- larum fubfequentium prior exhibet numerum ofcillationum quibus pars oftaya motus totius ceflavit ; fecunda numerum ofcillationum quibus ejufdem pars quarta amilTa fuit. ‘Defcen/us frimus i ^ 4 8163x^4 /ifcenfus ultimus 4 4 34 7 14 Numerus Ofcillat. ix8 193 140 904 «■3 30 T>efienfus.frimus x z 4 8163x64 ^fce.nfus. ultimus 4 i4 3 6 iz 24 48, Numerus OJctllut. fio 5^8 ^20 3^8 204 izi ■ 70 Ia tabula priore feligendo ex obfervationibus tertiam, quintam S: feptimam, PRINCIPIA MATHEMATICA. jii feptimam, & exponendo velocitates maximas in his obfervationibus t ist* particulatim per numeros i, 4, 16 refpeflive, & generaliter per > I quantitatem V ut fupra : emerget in obfervatione tertia 193 ‘ X ' 8 + C, in quinta — = 4 A4-8B -f i(5 C, in feptima — 16 A -|-. 646+1560. Hae vero aequationes reduftae dant A — 0,001414, B = 0,000297, C = 0,000879. Et inde prodit refillentia globi cum velocitate V moti in ea ratione ad pondus fuum unciarum 16+ quam habet 0,0009 V + 0,000108 + 0,000659 ad penduli' longitudinem iii digitorum. Et fi fpeftemus eam folummodo re- fifientiae partem quae elt in duplicata ratione velocitatis, haec erit ad pondus globi ut 0,000659 ad iii digitos. Erat autem haec pars refiftentiae in experimento primo ad pondus globi lignei uncia- rum sy-A ut 0,001117 ad III : & inde fit refifientia globi ligner ad refiftentiam globi plumbei (paribus eorum velocitatibus) ut 57t-£ ia 0,001117 ad 16^^ in 0,000659, 7t i. Diametri glo- borum duorum erant 6i & z digitorum, & harum quadrata funt ad invicem ut 47*? & 4, feu ii-fl & i quamproxime. Ergo refillentiae globorum aequivelocium erant in minore ratione quam duplicata diametrorum. At nondum confideravimus refiftentiam fili, quae certe permagna erat, ac de pendulorum inventa refiftentia fubduci debet. Hanc accurate definire non potui, fed majorem tamen in- veni quam partem tertiam refiftentiae totius minoris penduli ; & inde didici quod refiftentiae globorum, dempta fili refiftentia, funt quam proxime in duplicata ratione diametrorum. Nam ratio 77— f ad I — 7, feu io4 ad i non longe abeft a diametrorum ratione du- ^ plicata iit4 ad i. Cum refiftentia fili in globis majoribus minoris fit momenti, tem tavi etiam experimentum in globo cujus diameter erat digito^ rum. Longitudo penduli inter pundum fufpenfionis & centrum ofcillationis erat digitorum iii4, inter punftum fufpenfionis & no- dum in filo 1094 dig. Arcus primo penduli defcenfu a nodo de- fcriptus 31 dig. Arcus afcenfu ultimo poft ofcillationes quinque ab eodem nodo defcriptus 28 dig. Summa arcuum feu arcus totus ofcillatione mediocri defcriptus 60 dig. Differentia arcuum 4 dig. Ejus pars decima feu differentia inter defcenfum & afcenfum in- 311 PHILOSOPHIA NATURALIS De Motu ofcillationc mcdiocri r dig. Ut radius 109^ ad radium izij: ita ar- Corporum ofcillatioiie mcdiocri a nodo defcriptus ad arcum totum 6y^ dig. ofcillationc mediocri a centro globi defcriptum ; & ita differentia 4 ad differentiam novam 0,4475. Si longitudo pen- duli, manente longitudine arcus defcripti, augeretur in ratione ia6 ad 1124 ; tempus ofcillationis augeretur & v-elocitas penduli di- minueretur in ratione illa fubduplicata, maneret vero arcuum de- fcenfu & fubfequente afcenfu defcriptorum differentia 0,4475. De- inde fi arcus defcriptus augeretur in ratione 1x47^ ad 674, diffe- rentia ifia 0,4475 augeretur in duplicata illa ratione, ideoque evade- ret 1,5195. Haec ita fe haberent, ex hypothefi quod refiffentia pen- duli elTet in duplicata ratione velocitatis. Ergo fi pendulum defcri- beret arcum totum 1147T digitorum, & longitudo ejus inter pun- dum fufpenfionis & centrum ofcillationis effet 126 digitorum, diffe- rentia arcuum defcenfu & fubfequente afcenfu defcriptorum foret 1,52.95 digitorum. Et haec differentia duda in pondus globi pen- duli, quod erat unciarum 208, producit 318,136. Rurfus ubi pen- dulum fuperius ex globo ligneo confiruflum centro ofcillationis» quod a pundo fufpenfionis digitos 126 diffabat, defcribebat arcum totum i24j4 digitorum, differentia arcuum defcenfu & afcenfu de- fcriptum fuit ^in — , quse dufta in pondus globi, quod erat un- 121 9y ciarum 57'-zt, producit 49,396. Duxi autem differentias hafce in pondera globorum, ut invenirem eorum refiftentias. Nam differen- tiae oriuntur ex refifientiis, funtque ut refiAentiae direde & pon- dera inverfe. Sunt igitur refiftentiae ut numeri 3.18,136 & 49,396. Pars autem refiftentiae globi minoris, quae eft in duplicata ratione velocitatis, erat ad refiftentiam totam ut 0,56752 ad 0,61675, id eft, 45'545'3 ad 49,39«^; & pars refiftentiae globi majoris propemodum' aequatur ipfius refiftentiae toti ; ideoque partes illae funt ut 318,136 & 4f,453 quamproxime, id eft, ut 7 & i. Sunt autem globorum diametri 184 & 64; & harum quadrata 351^^, & 47- f^nt ut 7,438 & I, id eft, ut globorum refiftentiae 7 & i quamproxime. Diffe- rentia rationum haud major eft, quam quae ex fili refiftentia oriri potuit Igitur refiftentiarum partes illae quae funt, paribus globis, ut quadrata velocitatum ; funt etiam, paribus velocitatibus, ut qua- drata diametrorum globorum. Caeterum PRINCIPIA MATHEMATICA. 313 Caeterum globorum, quibus ufus fum in his experimentis, maxi- Lieer mus non erat perfefte fphaericus, & propterea in calculo hic allato ^ ^ minutias quafdam brevitatis gratia neglexi ; de calculo accurato ia experimento non fatis accurato minime follicitus. Optarim itaque^ cum demonftratio vacui ex his dependeat, ut experimenta cum globis & pluribus & majoribus & magis accuratis tentarentur. Si globi fumantur in proportione geometrica, puta quorum diametri lint digitorum 4, 8, 16, 32 ; ex progreflione experimentorum colli- getur quid in globis adhuc majoribus evenire debeat. Jam vero conferendo refiftentias diverforum fluidorum inter fe tentavi fequentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum qua- tuor, latitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculo nudatam implevi aqua fontana, fecique ut immerfa pendula in medio aquae ofcillando moverentur. Globus autem plumbeus pondere t66^ un- ciarum, diametro 34 digitorum movebatur nt in tabula fequente de- fcripfimus, exiflente videlicet longitudine penduli a punc^to fufpen- flonis ad punftum quoddam in filo notatum ii6 digitorum, ad o* fcillationis autem centrum 1344 digitorum. Arcus defcenfu frimo a fundi 0 in filo notato defcriftus^ digitorum Arcus afcenfu ultimo defcriftus^ digitorum Arcuum differentia motui amiffo frofortionalis^ digitorum Numerus Ofcillationum in aqua Numerus Ofcillationum in aere 64 3i i5 8 48 24 12 6 16 8 4 2 1 9 o* ■^5 854 287 SIS 4 3 I 3 » 9 . — j 7 Ili 13V In experimento columnae quartae, motus aequales ofcillationibus 5-35- in aere, & i-j- in aqua amiffi funt. Erant quidem ofcillationes in aere paulo celeriores quam in aqua. At fi ofcillationes in aqua in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in medio utroque fierent $quiveloces, maneret numerus idem ofcillationum i4 in aqua, quibus motus idem ac prius amitteretur ^ ob refiitentiam audiam & fimul quadratum temporis diminutum in eadem ratione illa dupli- cata. Paribus igitur pendulorum velocitatibus motus sequales in ^ aere ofcillationibus & in aqua ofcillationibus ir amilli funt ; ideoque refilkntia penduli in aqua elt ad ejus refiftentiam in aere ^ S f ■' 314 PHILOSOPMIiE NATURALIS De MoTi’ut 5-35 ad i;. H$c ell proportio refiftentiarum totarum in cafa Corporum 1 columnae quartae. Defittnet jam AV-fCV“ differentiam arcuum in defcenfu & fub- feQuente afccnTu defcriptorum a globo in aere cum velocitate ma* xima moto ; & cum velocitas maxima in cafu columncB c^uartae fit ad velocitatem maximam in cafu columnae primae, ut i ad 8; & differentia illa arcuum in cafu columnae quartae ad differentiam in cafu columnae primae ut — ad Tpr» 4180: feri- bamus in his cafibus i & 8 pro velocitatibus, atque & 4x80 pro differentiis arcuum, & fiet A-|-C = 85’r & 8A-|-64C = 4x80 feu A-|- 80 = 535*; indeque per redudionem aequationum proveniet 70 = 4494 & 0 = 64tV & a = xi4 : atque ideo refiftentia, cum. fit ut T^T AV-f 4 OVS^ erit ut i3t^ V + 4^1^ V". Quare in cafu co- lumnae quartae, ubi velocitas erat i, refillentia tota eil ad partem^ fuam quadrato velocitatis proportionalem, ut i3tt 48 5-^ feu 6itt ad 48t^; & idcirco refillentia penduli in aqua ell ad refiffentiae partem illam in aere, quae quadrato velocitatis proportionalis ell, quaeque fola in motibus velocioribus confideranda venit, ut 6i44 ad 48-5^ & 535 ad i4 conjunftim, id ell, ut 571 ad i. Si penduli in aqua ofcil- lantis filum totum fuiffet immerfum, refillentia ejus fuiffet adhuc major; adeo ut penduli in aqua ofcillantis refillentia illa, qu^e velo- citatis quadrato proportionalis ell, quaeque fola in corporibus velo- cioribus confideranda venit, fit ad refillentiam ejufdem penduli toti- us, eadem cum velocitate in aere ofcillantis, ut 850 ad i circiter,, hoc eff, ut denfitas aquae ad denfitatem aeris quamproxime. In hoc calculo fumi quoque deberet pars illa refillentiae penduli^ in aqua, quae effet ut quadratum velocitatis, fed (quod mirum for- te videatur) refillentia in aqua augebatur in ratione velocitatis pluf- quam duplicata. Ejus rei caufam invelligando, in hanc incidi, quod" arca nimis angulla effet pro magnitudine globi penduli, & motum, aquae cedentis prae angullia fua nimis impediebat. Nam fi globus, pendulus, cujus diameter erk digiti unius, immergeretur ; refillen- tia augebatur in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Id tentabam conllruendo pendulum ex globis duobus, quorum inferior & minor ofcillaretur in aqua, fuperior & major proxime fupra a- quam filo affixus effet, & in aere ofcillando, adjuvaret motum pen- duli PRINCIPIA MATHEMATICA. 315 duli eumque diuturniorem redderet. Experimenta autem hoc mo* Libek do inflituta fe habebant ut in tabula fequente defcribitur. Secundus Arcus de fc en fu frimo defer tus 16 8 4 X I 1 t •t-. Arcus afcenfu ultimo deferiptus IX 6 3 I4 3 3 T ? Arcuum diff'. motui amijfo froport. 4 X I I 1 4 I •r T 'TS Numerus Ofcillationum 34 64 IX-T xi4 34 53 614 Conferendo refifientias mediorum inter re, effeci etiam ut pen- dula ferrea ofcillarentur in argento vivo. Longitudo fili ferrei erat pedum^^quafi trium, & diameter globi penduli quafi tertia pars di- giti. Ad filum autem proxime fupra mercurium affixus erat globus alius plumbeus fatis magnus ad motum penduli diutius continuan- dum. Tum vafculum, quod capiebat quafi libras tres argenti vivi, implebam vicibus alternis argento vivo & aqua communi, ut pen- dulo in fluido utroque fucceffive ofcillante, invenirem proportio- nem refiflentiarum : & prodiit refifientia argenti vivi ad refiflentiam aquas ut 13 vel 14 ad i circiter: id eft, ut denfitas argenti vivi ad denfitatem aquae. Ubi globum pendulum paulo majorem adhibe- bam, puta cujus diameter eflet quafi 4 vel 4 partes digiti, prodibat refifientia argenti vivi in ea ratione ad refifientiam aquae, quam ha- bet numerus ix vel 10 ad i circiter. Sed experimento priori magis fidendum efi, propterea quod in his ultimis vas nimis angufium fuit pro magnitudine globi immerfi. Ampliato globo, deberet etiam vas ampliari. Confiitueram quidem hujufmodi experimenta in vafis ma- joribus & in liquoribus tum metallorum fuforum, tum aliis quibuf- dam tam calidis quam frigidis repetere : fed omnia experiri non va- cat, & ex jam defcriptis fatis liquet refifientiam corporum celeriter motorum denfitati fluidorum in quibus moventur proportionalem elTe quam proxime. Non dico accurate. Nam fluida tenaciora, pari denfitate, proculdubio magis refifiunt quam liquidiora, ut ole- um frigidum quam calidum, calidum quam aqua pluvialis, aqua quam fpiritus vini. Verum in liquoribus, qui ad fenfum fatis fluidi funt, ut in aere, in aqua feu dulci feu falfa, in fpiritibus vini, terebinthi & falium, in oleo a faecibus per defiillationem liberato & calefafto, oleoque vitrioli & mercurio, ac metallis liquefaftis, & fiqui fint alii, qui tam fluidi funt ut in vafis agitati motum imprefliim diutius con- fervent, effufique liberrime in guttas decurrendo refolvantur, nullus S f X _ dubito 31^ PHILOSOPHIJl NATURALIS De Motu dubito quiii Tcgula allata fatis accurate obtineat :• praefertim fi expci CoREOEUM jj^ corporibus pendulis & majoribus & velocius motis infii- tuantur. Denique cum nonnullorum opinio fit, medium quoddam $th'eream & longe fubtiliflimum extare, quod omnes omnium corporum poros & meatus liberrime permeet ; a tali autem medio per corporum poros fluente refiilentia oriri debeat : ut tentarem an refifientia, quam ifi mo- tis corporibus experimur, tota fit in eorum externa fuperficie, an vero partes etiam internae in fuperficiebus propriis refiftentiam notabilem fentiant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim l^ngitu-^ dinis ab unco chalybeo fatis firmo, mediante annulo chalybeo, fuf- pendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad conttituendum pendulum longitudinis praedifts. Uncus furfum praeacutus erat acie concava, ut annulus arcu fuo fuperibre aciei innixus liberrime moveretur. Arcui autem inferiori anneftebatur filum. Pendulum ita confiitu- tum deducebam a perpendiculo ad diftantiam quali pedum fex, idr que fecundum planum aciei unci perpendiculare, ne annulus, . of- cillante pendulo, fupra, aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punftum fufpenfionis, in quo annulus uncum tangit, immotum ma, nere debet. Locum igitur, accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, dein pendulo demilTo notabam alia tria loca ad qute re- dibat in fine ofcillationis primae, fecundae ac tertiae. Hoc repete- bam fepius, ut loca illa quam potui accuratiflime invenirem. Tum pyxidem plumbo & gravioribus, quae ad manus erant, metallis im- plebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili quae circum, pyxidem volvebatur ac dimidio partis reliquae quae inter uncum & pyxidem pendulam tendebatur. Nam filum tenfum dimidio ponderis fui pendulum a perpendiculo digrelTum femper urget. Huic ponderF addebam pondus aeris quem pyxis capiebat. Et pondus totum erat quafi. pars feptuagefima oftava pyxidis me- tallorum plenae.^ Tum quoniam pyxis metallorum plena, . pondere fuo tendendo filum, augebat longitudinem penduli, contrahebam filum ut penduli jam, ofcillantis eadem efiet longitudo ac prius. Dein pendulo ad locum primo notatum retrafto ac dimifib, nume- rabam ofcillationes quafi feptuaginta & feptem, donec pyxis ad lo- cum fecundo notatum.. rediret, ,,totidemque fubinde. donec pyxis ad locum. \ PRINCIPIA MATHEMATICA. 317 locum tertio notatum rediret, atque rurfus totidem donec pyxis reditu fuo attingeret locum quartum. Unde, concludo quod refi-^ flentia tota pyxidis plenae non majorem habebat proportionem ad refiftentiam pyxidis vacuae quam 78 ad 77 Nam fi aequales eflent ambarum refiftentiae, pyxis plena ob vim fuam infitam feptuagies & ofties majorem vi infita pyxidis vacuae, motum fuum ofcillatorium tanto diutius confervare deberet, atque ideo completis femper of- cillationibus 78 ad loca illa notata redire. Rediit autem ad eadem completis ofcillationibus 77. Defignet igitur A refiflentiam pyxidis in ipfius fuperficie exteraa, & B refiftentiam pyxidis vacuae in partibus internis; & fi refiftentiae corporum aequivelocium in partibus internis fint ut materia, feu numerus particularum quibus refiftitur: erit 78 refiftentia pyxi- dis plenae in ipfius partibus internis: ideoqu^ pyxidis vacuae ^refi- ftentia tota A+B erit ad pyxidis plenae refiftentiam totam A-I-78 B ut 77 ad 78, & divifim A-j-B ad 77 B, ut 77 ad i, indeque A-\-B ad B ut 77x77 ad i, & divifim A ad B ut 592.8 ad i. Eft igitur refiftentia pyxidis vacuae in partibus internis quinquies millies minor quam ejufdem refiftentia in externa fuperficie, & amplius. Sic vero difputamus ex hypothefi quod major illa refiftentia pyxidis plenaej non ab alia aliqua, caufa latente oriatur, fed ab aftione fola fluidi alicujus fubtilis in metallum inclufum. Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua il- lud aliquando defcripferam, intercidit. Unde fraftas quafdam nu- merorum partes, quae memoria' exciderunt, omittere compulfus fum. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum unco infirmo ufus efiem,^ pyxis plena citius retardabatur. Caufam quae- rendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, & ejus ofcillationibus obfequendo in partes omnes fleftebatur. Parabam igitur uncum firmum, ut punftum fufpenfionis immotum maneret, 8c tunc omnia ita evenerunt uti fupra defcripfimus. L I S E R- E C U N D US. SE'CTrO;> I^HILOSOPHIifi NATURALIS / SECTIO Vir. De motu fluidorum reficientia projeBilium. PROPOSITIO XXXII. THEOREMA XXVI. Si corporum fiyflemata duo fiimilia ex aequali particularum nu-* mero conflent^ particula correfipondentes fiimiles fimt proportionales^ fiin^la in uno flyflemate fimguUs in altero y ^ fiimiliter Jit a inter fie^ ac datam habeant rationem denfii-- tatis ad invicem-^ inter fie temporibus proportionalibus fit-- militer moveri incipiant {ea inter fe qua in uno funt fyfle- mate & ea inter fe qua funt in altero ) fi non tangant fe mutuo qua in eodem funt fyflematey nift in momentis reflex- ionum, neque attrahant^ vel fugent fe mutuo^ nift viribus acceleratricibus qua fint ut particularum correfpondentium diametri inverfe Sf quadrata velocitatum direBe ; dico quod fyflematum particula illa pergent inter fe temporibus pro- portionalibus ftmiliter moveri. Corpora fimilia & fimiliter fita temporibus proportionalibus inter fe fimiliter moveri dico, quorum fitus ad invicem in fine temporum illorum femper funt fimiles : puta fi particute unius fyftematis cum alterius particulis correfpondentibus conferantur. Unde tempora erunt proportionalia, in quibus fimiles & proportionales figurarum fimilium partes a particulis correfpondentibus defcribuntur. Igitur fi duo fint ejufmodi fyfiemata, particulae correfpondentes, ob fimi- iitudinem incoeptorum motuum, pergent fimiliter moveri, ufque do- nec fibi mutuo occurrant. Nam fi nullis agitantur viribus, progre- dientur uniformiter in lineis reftis per motus leg. i. Si viribus ali- quibus fe mutuo agitant, & vires illae fint ut particularum correfpon- dentium diametri inverfe & quadrata velocitatum direfte ; quoniam paiticularum fitus funt fimiles & vires proportionales, vires totae qui- bus particulae correfpondentes agitantur, ex viribus fingulis agitan- tibus 318 De Motu Corporum PRINCIPIA MATHEMATICA. ' 319 tiBus (per legum corollarium fecundum) compofitae, fimiles habe- bunt determinationes, perinde ac fi centra inter particulas fimiliter^^^' fita refpicerent ; & erunt vires illae totae ad invicem ut vires fingu- Jae componentes, hoc elt, ut correfpondentium particularum diame- tri inverfe, & quadrata velocitatum direfte : & propterea efficient ut correfpondentes particulae figuras fimiles defcribere pergant. Haec ita fe habebunt (per corol. i. & 8 prop. iv. lib. i.) fi modo cen- tra illa quiefcant. Sin moveantur, quoniam ob tranflationum fimili- tudinem, fimiles manent eorum fitus inter fyllematum particulas fimiles inducentur mutationes in figuris quas particulae defcribunt. Similes igitur erunt correfpondentium & fimilium particularum mo- tus ufque ad occurfus fuos primos, & propterea fimiles occurfus, & fimiles reflexiones, & fubinde (per jam oitenfa) fimiles motus ini- ter fe donec iterum in fe mutuo inciderint, & fic deinceps in infi- nitum. E, T>. Corol. I. Hinc fi corpora duo quaevis, quae fimilia fint & ad fyfte= matum particulas correfpondentes fimiliter fita, inter ipfas tempori- bus proportionalibus fimiliter moveri incipiant, fintque eorum mag- nitudines ac denfitates ad invicem ut magnitudines ac denfitates correfpondentium particularum: haec pergent temporibus propor- tionalibus fimiliter moveri. Eft enim eadem ratio partium majorum fyflematis utriufque atque particularum. Corol. z. Et fi fimiles & fimiliter pofitae fyftematum partes omnes quiefcant inter fe : & earum duae, quae caeteris majores fint, & fibi mutuo in utroque fyftemate correfpondeant, fecundum lineas fimi- liter fitas fimili cum motu utcunque moveri incipiant : hae fimiles in reliquis fyftematum partibus excitabunt motus, & pergent inter ipfas temporibus proportionalibus fimiliter moveri ; atque ideo fpa- tia diametris fuis proportionalia defcribere. PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA XXVII. Ii/dem pfitis, dico quod fjjlematum partes majores refifiuntur m ratione compofita ex duplicata ratione velocitatum fua- rum duplicata ratione diametrorum ^ ratione denfitatis parttum fyjlematum. Nam refiflentia oritur partim ex viribus centripetis vel centrifu- gis B E R INDUS D B M 0 T u Corporum po PHILOSOPHIAE NATURALIS ^is quibus particulae fyllematuni fe mutuo agitant, partim ex occur- fibus & reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris autem generis refiftentiae funt ad invicem ut vires totae motrices a quibus oriuntur, id eft, ut vires totse acceleratrices & quantitates materiae in partibus correfpondentibus ; hoc eft (per hypothefin) ut quadrata velocitatum direfte & diftantiae particularum correfpon- dentium inverfe & quantitates materiae in partibus correfpondenti- bus direfte : ideoque cum diftantiae particularum fyftematis unius iint ad diftantias correfpondentes particularum alterius, ut diameter particulae vel partis in fyftemate priore ad diametrum particute vel partis correfpondentis in altero, & quantitates materiae fint ut den- fitates partium & cubi diametrorum ; refiftentiae funt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & denfitates parti- um fyftematum. ^ E. 2). Pofterioris generis refiftentiae funt ut reflexionum correfpondentium numeri & vires conjunftim. Nume- ri autem reflexionum funt ad invicem ut velocitates partium corre- fpondentium direfte, & fpatia inter earum reflexiones inverfe. Et vires reflexionum funt ut velocitates & magnitudines & denfitates partium correfpondentium conjunftim ; id eft, ut velocitates & dia- metrorum cubi & denfitates partium. Et conjunftis his omnibus rationibus, refiftentiae partium correfpondentium funt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & denfitates partium conjunftim. ^ E, T>. Corol. I. Igitur fi fyftemata illa fint fluida duo elaftica ad modum aeris, & partes eorum quiefeant inter fe : corpora autem duo fimilia & partibus fluidorum quoad magnitudinem & denfitatem propor- tionalia, & inter partes illas fimiliter pofita, fecundum lineas fimili- ter pofitas utcunque projiciantur ; vires autem acceleratrices, qui- bus particulae fluidorum fe mutuo agitant, fint ut corporum proje- ftorum diametri inverfe, & quadrata velocitatum diredie : corpora illa temporibus proportionalibus fimiles excitabunt motus in fluidis, & fpatia fimilia ac diametris fuis proportionalia deferibent. Corol. X. Proinde in eodem fluido projeftile velox refiftentiam patitur, quae eft in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam fi vires, quibus particulae diftantes fe mutuo agitant, augerentur in duplicata ratione velocitatis, refiftentia foret in eadem ratione du- plicata accurate 5 ideoque in medio, cujus partes ab invicem diftan- tes PRINCIPIA MATHEMATICA. 311 tes fefe viribus nullis agitant, refiflentia elt in duplicata ratione ve- Liber locitatis accurate. Sunto igitur media tria C ex partibus milibus & aequalibus & fecundum diftaniias aequales regulariter dif- pofitis conllantia. Partes mediorum A ^ B fugiant fe mutuo viri- bus quae fint ad invicem ut Z* & Fi illae medii C ejufmodi viribus omnino dellituantur. Et fi corpora quatuor aequalia Z), F, F, G in his mediis moveantur, priora duo ® & F in prioribus duobus A ^ B^ altera duo F & G in tertio C; fitque velocitas corporis ad velocitatem corporis F, & velocitas corporis F ad velocita- tem corporis G in fubduplicata ratione virium T ad vires V: refi- ilentia corporis T> erit ad refillentiam corporis F, & refiftentia cor- poris Fad refiilentiam corporis G, in velocitatum ratione duplicata; & propterea refillentia corporis T> erit ad refiilentiam corporis F ut refillentia corporis F ad refiilentiam corporis G. Sunto corpora F) & F ^quivelocia ut & corpora F & G ; & augendo velocitates corporum & Fin ratione quacunque, ac diminuendo vires par- ticularum medii B in eadem ratione duplicata, accedet medium B ad formam & conditionem medii Cpro libitu, & idcirco refiilentias: corporum aequalium & aequivelocium F & G in his mediis, perpe- tuo accedent ad aequalitatem, ita ut earum differentia evadat tan- dem minor quam data qusevis. Proinde cum refiilentiae corporum SD & F fint ad invicem ut refiilentiae corporum F & G, accedent etiam hae fimiliter ad rationem aequalitatis. Corporum igitur F) & F, ubi velociiTime moventur, refiilentise funt xquales quam proxi- me : & propterea cum refillentia corporis F fit in duplicata ratione velocitatis, erit refillentia corporis T> in eadem ratione quam pro- xime. Corol. 3. Corporis in fluido quovis elailico velociiTime moti eadem fere eil refillentia ac fi partes fluidi viribus fuis centrifugis deilitue- rentur, feque mutuo non fugerent : fi modo fluidi vis elailica ex particularum viribus centrifugis oriatur, & velocitas adeo magna fit ut vires non habeant fatis temporis ad agendum. Corol. 4. Proinde cum refiilentiae fimilium & aequivelocium cor- porum, in medio cujus partes diilantes fe mutuo non fugiunt, fint ut quadrata diametrorum ; funt etiam aequivelocium & celerrime motorum corporum refiilentiae in fluido elailico ut quadrata dia- metrorum quam proxime. T t CoroL • 311 PHILOSOPHIAE NATURALrS D « M 0 T u Corol. 5'. Et cum corpora fimilia, aequalia &: aequivelocia, in me. Gokporum ejufdem denfitatis, quorum particulae fe mutuo non fugiunt, five particulae illae fint plures & minores, five pauciores & majores, in aequalem materiae quantitatem temporibus aequalibus impingant, ei- que aequalem motus quantitatem imprimant, & viciflim (per motus legem tertiam) aequalem ab eadem reaftionem patiantur, hoc eilv aequaliter relidantur : manifeftum ell etiam quod in ejufdem denfi- tatis fluidis elalticis, ubi velociflime moventur, aequales fint eorum refiflentiae quam proxime ; five fluida illa ex particulis craflioribus ■ conflent, five ex omnium fubtiliflimis conflituantur. Ex medii fub- tilitate refiftentiaprojeftilium, celerrime motorum non multum dimi- nuitur. Corol. 6. Haec omnia ita fe habent in fluidis, quorum vis elaUic» ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod fi vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expanfione ad inftar lanae vel ramorum arborum, aut ex alia quavis caufa, qua motus particu- larum inter fe redduntur minus liberi ; refiflentia, ob minorem me- dii fluiditatem, erit major quam in fuperioribus corollariis. PROPOSITIO XXXIV) THEOREMA XXVm. Si.glohus 0f cylindrus aqualibus diametris defcripti, in medio raro ex particulis aqualibus ad aquales ab invicem di- jiantias libere difpojitis conflante^ fecundum plagam axis cy- lindri, aquali cum velocitate- moveantur : erit refiflentia glo- bi duplo minor quam refiflentia cylindri. Nam quoniam adito medii in corpus eadem eft (per legum co- rol. s) five corpus in medio quiefcente moveatur, five medii parti- cula eadem cum velocitate impingant in corpus quiefcens' confi- deremus corpus tanquam quiefcens, & videamus quo impetu urge- bitur a medio movente. Defignet igitur ABKI corpus fpharicL centro C femidiametro CA defcriptum, & incidant particula medii data cum velocitate in corpus illud fpharicum, fecundum redlas ipfi AC parallelas: fitque FB ejufmodi redla. In ea capiatur ASTemi- ££ aequalis, & ducatur BT> qua fphferam tangat in E. in liC ik.BT) demittantur perpendiculares BE, LT), & vis qua par- ticula G K N F PRINCIPIA MATHEMATICA. 313 ticula medii, fecundum reftam FB oblique incidendo, globum ferit in By erit ad vim qua particula eadem cylindrum ONG^ axe circa globum defcriptum perpendiculariter feriret in by ut UD ad LB vel BE ad BC. Rurfus efficacia hujus vis ad movendum glo^ bum fecundum incidentiae fuae plagam FB vel ACy eft ad ejufdem efficaciam ad movendum globum fecundum plagam determinationis fuae, id ell, fecundum plagam re- dae BC qua globum direde urget ut BE ad BC. Et conjundis ra- tionibus, efficacia particulae in globum fecundum redam FB o- blique incidentis, ad movendum eundem fecundum plagam inci- dentiae fuae, eft ad efficaciam par- ticulae ejufdem fecundum eandem redam in cylindrum perpendi- culariter incidentis, ad ipfum movendum in plagam eandem, ut BE quadratum ad BC quadratum. Quare fi in b Ey quae perpendicu- laris eft ad cylindri bafem circularem NAO & aequalis radio ACy fu- matur ^ inaequalis ^//^d bE ut effedus particulae Liber'' E C U N D US, Q \ in globum ad effedum particulae in cylindrum. Et propterea foli- dum quod a redis omnibus bH occupatur erit ad folidum quod a redis omnibus bE occupatur, ut effedus particularum omnium in globum ad efi^edum particularum omnium in cylindrum. Sed fo- lidum prius eft parabolois vertice C, axe CA & latere redo CA de- fcriptum, & folidum pofterius eft cylindrus paraboloidi circum- fcriptus : & notum eft quod parabolois fit femiffis cylindri circum- fcripti. Ergo vis tota medii in globum eft duplo minor quam ejuf- dem vis tota in cylindrum. Et propterea fi particulae medii quie- fcerent, & cylindrus ac globus aequali cum velocitate moverentur, foret refiftentia globi duplo minor quam refiftentia cylindri. ^E.T>, Scholium^ Eadem methodo figurae aliae inter fe quoad refiftentiam com- parari poliunt, eaeque inveniri quae ad motus fuos in mediis refiften- tibus continuandos aptiores funt. Ut fi bafe circulari CEBHy quae T c i centro De Motu Corporum 324 PHILOSOPHIAE NATURALIS centro 0, radio OC defcribitur, & alti- tudine 02), conftruendum fit frufium co- ni CBGF, quod omnium eadem bafi & altitudine conftruftorum & fecundum pla- gam axis fui verfus 2) progredientium ^ fruftorum minime refiftatur : bifeca alti- tudinem 0T> in produc O^ad ut fit aequalis ^C, & erit S vertex coni cujus fruftum quaeritur. Unde obiter, cum angulus CSB femper fit acutus, confequens eft, quod fi folidum AT) B E convolutione figurae ellipticae vel ovalis AT)B E circa axem AB fafta generetur, & tangatur figura generans a reflis tribus FG, GH, HI in pundis F, B I, ea lege ut GH fit perpendicularis ad axem in pundo contadus B^ & FGy HI cum eadem GH contineant angulos FGB, BHI graduum 135-, folidum, quod' convolutione figurae AT>FG HI E circa axem eun- dem AB generatur, minus refiftitur quam folidum prius ; fi modo utrumque fecundum plagam axis fui AB progrediatur, & utriuf- que terminus B praecedat. Quarri quidem propofitionem in con- iiruendis navibus non inutilem futuram efle cenfeo.. ejufmodi fic curva, m, fi ab eius punfto quovis iV ad axem AB demittatur perpendiculum NM, & a pun- eto dato G ducatur refta GR qus parallela fit refttE figuram tan- genti in A, & axem produftum fecet in R, fuerit MN ad'GF ut GRcub.^A 4A/?xGA^ ; folidum quod figura hujus revolutione circa axem AB faaa defcribitur, in medio raro prtedifto ab ver- fuS' PRINCIPIA MATHEMATICA. 325. fus E movendo, minus refiftetur quam aliud quodtis eadem Ion- Liber gitudine & latitudine defcriptum folidum circulare. Secundus PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA VII. Si medium rarum ex particulis quam minimis quiefcentihus- icquahhiis ad aquales ah invicem dijlantias libere dtf- pofitis conjlet : invenire refijientiam glohi in hoc medio uni'- formiter progredientis. Caf. I. Cylindrus eadem diametro & altitudine defcriptus pro- gredi intelligatur eadem velocitate fecundum longitudinem axis- fui in eodem medio. Et ponamus quod paniculae medii, in quas globus vel cylindrus incidit, vi reflexionis quam maxima refiliant. Et cum refiflentia globi (per propofitionem noviflimam) fit duplo minor quam refiflentia cylindri, & globus fit ad cylindrum ut duo ad tria, & cylindrus incidendo perpendiculariter in particulas, ipfaf- que quam maxime refleftendo, duplam fui ipfius velocitatem ipfis communicet : cylindrus, quo tempore dimidiam longitudinem axis fui uniformiter progrediendo deferibit, communicabit motum parti- culis, qui fit ad totum cylindri motum ut denfitas medii ad denfi- tatem cylindri ; & globus, quo tempore totam longitudinem diame- tri fu$ uniformiter progrediendo deferibit, communicabit motum eundem particulis; & quo^empore duas tertias partes diametri fuae deferibit, communicabit motum particulis, qui fit ad totum globi motum ut denfitas medii ad denfitatem globi. Et propterea globus refiflentiam patitur, quae fit ad vim qua totus ejus motus vel auferri poflit vel generari quo tempore duas tertias partes diametri fuae uniformiter progrediendo deferibit, ut denfitas medii ad denfitatem globi. Caf. X. Ponamus quod particulae medii in globum vel cylindrum' incidentes non rcfleftantur ; & cylindrus incidendo perpendicula- riter in particulas fimplicem fuam velocitatem ipfis communicabit, ideoque refiflentiam patitur duplo minorem quam in priore cafu, & refiflentia globi erit etiam duplo minor quam prius. Caf 3. Ponamus quod particulae medii vi reflexionis neque ma- xima neque nulla, fed mediocri aliqua refiliant a globo ; & fefi- flentia PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu Hentia slobi erit in eadem ratione mediocri inter refiftentiam in CoupoRUM refillentiam in fecundo. ^ £. 1. Corol. I. Hinc li globus & particula fint infinite dura, & vi om- ni elaftica & propterea etiam vi, omni reflexionis deflituta: refi- flentia globi erit ad vim qua totus ejus motus vel auferri poffit vel generari, quo tempore globus quatuor tertias partes diametri fuae defcribit, ut denfitas medii ad denfitatem globi. Corol. 2. Refillentia globi, caeteris paribus, efl in duplicata ratione velocitatis. Corol. 3. Refillentia globi, emeteris paribus, efl in duplicata ratione diametri. Corol. 4. Refiftentia globi, casteris paribus, efl: ut denfitas medii. Corol. 5. Refillentia globi ell in ratione quae componitur ex du- plicata ratione velocitatis & duplicata ratione diametri & ratione denlitatis medii. Corol. 6. Et motus globi cum ejus refillentia fic exponi potell. Sit AB tempus quo globus per refillentiam fuam uniformiter con- tinuatam totum fuum motum amittere potell. Ad AB erigantur perpendicula AT>^ BC. Sitque BC motus ille totus, & per pun- ftum C afymptotis AT)^ AB deferibatur hyperbola CF, Produca- tur AB ad punftum quodvis E. Erigatur perpendiculum ^Fhyperbolae occurrens in F. Compleatur parallelogrammum CBEG.^ & agatur A F ipfi B C occurrens in H. ^Et fi globus tempore quovis B Ey motu fuo primo BC uniformiter continuato, in medio non refillente deferibat fpatium CBEG per aream parallelogrammi expofitum, idem in medio refillente deferibet fpatium CBEF per aream hyperbolae expofitum, & motus ejus in fine temporis illius exponetur per hyperbolae ordi- natam EF, amifla motus ejus parte FG. Et refillentia ejus in fine temporis ejufdem exponetur per longitudinem BH^ amifla refiflen- tiae parte CH. Patent haec omnia per corol. i. & 3. prop. v. lib. II. Corol. 7. Hinc fi globus tempore T per refillentiam R uniformi- ter continuatam amittat motum fuum totum M : idem globus tem- pore t in medio refillente, per refillentiam R in duplicata velocita- tU tis ratione decrefeentem, amittet motus fui M partem ; ma- nente PRINCIPIA MATHEMATICA. ,17 TM nente parte & defcribet fpatium quod fit ad fpatium motu 5 eVuIVu s uniformi M eodem tempore t defcriptum, ut logarithmus numeri T-)-/ --7JT— niultiplicatus per numerum eft ad numerum t 7p, propterea quod area hyperbolica B CF E eft ad reftangulum JBCGE in hac proportione. Scholmm. Ih hac propofitione expofui refiftentiam & retardationem' proje»^ ftilium fphsericorum in mediis non continuis, & oftendi quod h^c refiilentia fit ad vim qua totus globi motus vel tolli poflit vel gene- rari quo tempore globus duas tertias diametri fuae partes velocitate uniformiter continuata defcribat, ut denfitas medii ad denfitatem globi, fi modo globus & particulse medii fint fumme elaflica & vi maxima refledendi polleant: quodque haec vis fit duplO minor ubi globus & particulae medii funt infinite dura & vi refledendi pror- fus defiituta. In mediis autem continuis qualia funt aqua, oleum calidum, ^ argentum vivum, in quibus globus non incidit immedi- ate in omnes fluidi particulas refiftentiam generantes, fed premit tantum proximas particulas & hae premunt alias & hae alias, refiftem tia eft adhuc duplo minor. Globus utique in hujufmodi mediis fluidiftimis refiftentiam patitur qu^ eft ad vim qua totus ejus motus Vel tolli poftit vel generari quo tempore, motu illo uniformiter con- tinuato, partes odo tertias diametri fuae defcribat, ut denfitas me- dii ad denfitatem globi. Id quod in fequentibus conabimur often’* dere. PROPOSITIO XXXVI PROBLEMA VIII. Aqua- de vafe' c^Undrtco per foramen m fundo fa&um efflueu'^ tis definire motum. Sit ACE B y2LS cylindricum, AB ejus orificium fuperius, CO fundum horizonti parallelum, £7^ foramen circulare in medio fun- di, G centrum foraminis, & axis cylindri horizonti perpendicu- laris. Et finge cylindrum ghcki AF^B ejufdem efte latitudinis cum 3i8 philosophiae NATURALIS Pb Motu cum cavitatc vafis, & axem eundem haberci & uniformi cum motu Corporum perpetuo defeendere, Sc partes ejus (juam primuin attingunt fuper- ficiem JB liquefeere, & in aquam converfas gravitate fua defluere in vas, & cataraftam vel columnam aquae ABNFEM cadendo for- mare/& per foramen EF tranfire, idemque adaequate implere. Ea vero fit uniformis velocitas glaciei defeen- dentis ut & aquae contiguae in circulo ABy quam aqua cadendo & calu fuo deferibendo ^ altitudinem IH acquirere poteil ; & jaceant IH Se HG in diredum, & per pundiim / ducatur re6ta horizonti parallela & late- ribus glaciei occurrens in K 8c L. Et ve- locitas aquae effluentis per foramen E F erit quam aqua cadendo ab / & cafu fuo deferibendo altitudinem IG acquirere po- tefl:. Ideoque per theoremata Galil^i erit IG ad IH 'm duplicata ratione velocitatis aquae per foramen effluentis ad velocitatem aquae in circulo ABy hoc eil, in duplicata ratione circuli AB ad circulum EF \ nam hi circuli funt reciproce ut velocitates aquarum quae per ipfos, eodem tempore & aequali quantitate, adaequate tran- feunt. De velocitate aquae horizontem verfus hic agitur. Et mo- tus horizonti parallelus quo partes aquae cadentis ad invicem acce- dunt, cum non oriatur a gravitate, nec motum horizonti perpendi, cularem a gravitate oriundum mutet, hic non confideratur. Suppo- nimus quidem quod partes aquae aliquantulum cohaerent, & per co- haefionem fuam inter cadendum accedant ad invicem per motus horizonti parallelos, ut unicam tantum efforment cataraftam & non in plures cataraftas dividantur : fed motum horizonti parallelum, a cohaefione illa oriundum, hic non confideramus. Caf. I. Concipe jam cavitatem totam in vafe, in circuitu aquse cadentis ABNFEMy glacie plenam effe, ut aqua per glaciem tan- quam per infundibulum tranfeat. Et fi aqua glaciem tantum non tangat, vel, quod perinde efl, fi tangat & per glaciem propter fum- matn ejus polituram quam liberrime & fine omni refiflentia labatur ; hasc defluet per foramen EF eadem velocitate ac prius, & pondus totum columnas aquae A B N F E M in defluxum ejus gene- f PRINCIPIA mathematica* 319 generandum uti prius, & fundum vafis fuftinebit pondus glaciei Liber columnam ambientis. Secundus Liquefcat jam glacies in vafe ; & eflBuxus aquae, quoad velocita- tem, idem manebit ac prius. Non minor erit, quia glacies in a- quam refoluta conabitur defcendere : non major, quia glacies in a- quam refoluta non potell defcendere nifi impediendo defcenfum aquae alterius defcenlui fuo aequalem. Eadem vis eandem aqu^ effluentis velocitatem generare debet. Sed foramen in fundo vafis, propter obliquos motus particula- rum aquae effluentis, pijulo majus effle debet quam prius. Nam par- ticulae aquae jam non tranfeunt omnes per foramen perpendicula- riter ; fed a lateribus vafis undique confluentes & in foramen con- vergentes, obliquis tranfeunt motibus ; & curfum fuum deorfum fleftentes in venani aquae exilientis confpiranr, quae exilior efl paulo infra foramen quam in ipfo foramine, exifiente ejus diametro ad diametrum foraminis ut 5* ad 6, vel 54 ad 64 quam proxime, fi modo diametros rede dimenfus fum. Parabam utique laminam planam pertenuem in medio, perforatam, exifiente circularis foraminis dia- metro partium quinque odavarum digiti. Et ne vena aquse exili- entis cadendo acceleraretur & acceleratione redderetur angufiior, hanc laminam non fundo fed lateri vafis affixi fic, ut vena illa egre- deretur fecundum lineam horizonti parallelam. Dein ubi vas aqua plenum efflet, aperui foramen ut aqua efflueret ; & venas diameter, ad difiantiam quafi dimidii digiti a foramine quam accuratifiime menfurata, prodiit partium viginti & unius quadragefimarum digiti. Erat igitur diameter foraminis hujus circularis ad diametrum venas ut 21 quamproxime. Aqua igitur tranfeundo per foramen, convergit undique, & poftqiialh effluxit ex vffle, tenuior redditur convergendo, & per attenuationem acceleratur donec ad difiantiam femifflis digiti a foramine pervenerit, & ad difiantiam illam tenuior &: celerior fit quam in ipfo foramine ih ratione ad 21 X2i feu 17 ad 12 quamproxime, id eft in fiibduplicata ratione binarii ad unitatem circiter. Per experimenta vero confiat quod quantitas aquas, quse per foramen circulare in fundo vafis faflum, dato tem. pore effluit, ea fit qua^ cum velocitate praedifla, non per foramen illud, fed per foramen circulare, cujus diameter eft ad diametrum foraminis illius ut 2 1 ad 25, eodem tempore effluere debet. Ideo- U u que 33^ PHILOSOPHIA NATURALIS De MoTuq^g jiqViti illti cfHucns velocitatem liabet deorfum in ipfo foiaminer CoapoKUM cadendo & cafu fuo delcribendo dimidiam altitudinem* aejuae in vafe {lagnantis acquirere potell quampioxime. Sed poit- quam exivit ex vale, acceleratur convergendo donec ad diflantiam. a foramine diametro foraminis prope aequalem pervenerit, & ve- locitatem acquifiverit majorem in ratione fubduplicata binarii ad unitatem circiter ^ quam utique grave cadendo, & cafu luo deferi^ bendo totam altitudinem aquae in vafe ttagnantis, acquirere potelt quamproxime. In fequentibus igitur diameter venae defignetur per foramen illud minus quod vocavimus EP. Et plano foraminis PF paraliellim duci intelligatur planum aliud fuperius VW ad dittantiam diametro foraminis aequalem circiter & foramine majore ST pertufum ; per quod utique vena cadat, quae adaequate impleat foramen infe- rius EF^ atque ideo cujus diameter fit ad diametrum foraminis infe- rioris ut 25- ad 21 circiter. Sic enim vena per foramen inferius perpendiculariter tranfibit ; & quantitas aquae effluentis, pro mag- nitudine foraminis hujus, ea erit quam folutio problematis poltulat quamproxime. Spatium vero, quod’ plianis duobus & vena cadente clauditur, pro fundo vafis haberi potell. Sed ut folutio problematis • fimplicior fit & magis mathematica, praellat adhibere planum folum inferius pro fundo vafis, & fingere quod aqua quae per glaciem ceu per infundibu- K i; jl Tum defluebat, & e vafe per foramen EF in plano inferiore faflum egrediebatur, mo- tum fuum perpetuo fervet, & glacies quie- tem fuam. In fequentibus igitur fit JT" diameter foraminis circularis centro .Zde- feripti per quod catarafta effluit ex vafe ubi aqua tota in vafe fluida eft. Et fit EF diameter foraminis per quod catarafta ca- dendo adaequate tranfit, five aqua exeat ex. vafe per foramen illud fuperius STy five cadat per medium glaciei in vafe tanquam per in- fundibulum. Et fit diameter foraminis fuperioris ST ad diametrum inferioris ut 25* ad 21 circiter, & diftantia perpendicularis in- ter plana foraminum aequalis fit diametro foraminis minoris E F, Et velocitas aquae e vafe per foramen JT exeuntis ea erit in ipfo foramine PRINCIPIA MATHEMATICA. 351 foramine deorfum quam corpus cadendo a dimidio altitudinis /Z Liber acquirere potell; velocitas autem catara^lae utriufque cadentis ^ erit in foramine EF^ quam corpus cadendo ab altitudine tota IQ acquiret. Caf. 2. Si foramen EF non fit in medio fundi vafis, fed fundum alibi perforetur : aqua effluet eadem cum velocitate ac prius, li mo^ do eadem fit foraminis magnitudo. Nam grave majori quidem tempore defcendit ad eandem profunditatem per lineam obliquam quam per lineam perpendicularem, fed defcendendo eandem velo- citatem acquirit in utroque cafu, ut GalUaiis demonlfravic. Caf. Eadem elt aquae velocitas effluentis per foramen in late- re vafis. Nam fi foramen parvum fit, ut intervallum inter fuperfi- cies AB & KL quoad fenfum evanefcat, & vena aquae horizontali- ter exilientis figuram parabolicam efformet : ex latere redlo hujus parabolae colligetur, quod velocitas aquae effluentis ea fit quam cor- pus ab aquae in vale llagnantis altitudine HG vel IG cadendo ac- quirere potuifTet. Fafto utique experimento inveni quod, fi alti- tudo aquae llagnantis fupra foramen eflet viginti digitorum & alti- tudo foraminis fupra planum horizonti parallelum efTet quoque vi* giqti digitorum, vena aquae profilientis incideret in planum illud ad \iiflantiam digitorum 37 circiter a perpendiculo quod in planum illud a foramine demittebatur captam. Nam fine refiflentia, vena incidere debuifiet in planum illud ad diflantiam digitorum 40, ex- iflente venae parabolicae latere redo digitorum 80. Caf 4. Quinetiam aqua effluens, fi furfum feratur, eadem egredi- tur cum velocitate. Afcendit enim aquae exilientis vena parva mo- tu perpendiculari ad aquae in vafe llagnantis altitudinem GH vel G/, nifi quatenus afcenfus ejus ab aeris refiflentia aliquantulum impediatur ; ac proinde ea effluit cum velocitate quam ab altitu- dine illa cadendo acquirere potuifTet. Aquae llagnantis particula unaquaeque undique premitur aequaliter (per prop. xix. lib. 2.) & prelTioni cedendo aequali impetu in omnes partes fertur, five de- fcendat per foramen in fundo vafis, five horizontaliter effluat per foramen in ejus latere, live egrediatur in canalem & inde afeendat per foramen parvum in fuperiore canalis parte fadum. Et veloci- tatem qua aqua effluit eam efTe, quam in hac propofidone alTignavi- U u 2 . mus, De Motu Corporum 351 PHILOSOPHIiE NATURALIS mus, non folum ratione colligitur, fed etiam per experimenta no* tiflima jam deferipta manifeflum eft. Caf. 5. Eadem eil aquae effluentis velocitas five figura foraminis fit circularis five quadrata vel triangularis aut alia qu^Ecunque cir- culari aequalis. Nam velocitas aquae effluentis non pendet a figura foraminis fed oritur ab ejus altitudine infra planum KL. Caf. 6. Si vafis y^^2)Cpars inferior in aquam ftagnantem immer- gatur, & altitudo aquae flagnantis fupra fundum vafis fit GR : ve- locitas quacum aqua quae in vafe efi:, effluet per foramen EFm aquam ftagnantem, ea erit quam aqua cadendo & cafu fuo deferi- bendo altitudinem IR acquirere potefl. Nam pondus aquae omnis in vafe quae inferior eft fuperficie aquae flagnantis,: fuftinebitur in aequilibrio per pondus aquae flagnantis, ideoque motum aqu^ de- fcendentis in vafe minime accelerabit. Patebit etiam & hic cafus^ per experimenta, «menfurando fcilicet tempora quibus aqua effluit. Corol. I. Hinc fi aquae altitudo CA producatur ad K, ut fit AK ad CK in duplicata ratione areae foraminis in quavis fundi parte fafli, ad aream circuli AB : velocitas aquae effluentis aequalis erit velocitati quam aqua cadendo & cafu fuo deferibendo altitudineiUs acquirere potefl. Corel. 1. Et vis, qua totus aquae exilientis motus generari potefl, aequalis eft ponderi cylindricae columnae aquae, cujus bafis efl fora- men & altitudo x GI vel zCK. Nam aqua exiliens, quo tem** pore hanc columnam aequat, pondere fuo ab altitudine GI caden- do velocitatem fuam, qua. exilit, acquirere potefl. Corel. 3. Pondus aquae totius in vafe ABT>C eft ad" ponderis^' partem, quae in defluxum aquae impenditur, ut fumma circuloruni: AB & £'i^-ad: duplum circulum E F. Sit enim 10 media proportionalis inter K i; l IH &clG\ aqua per foramen EF egre- R diens, quo tempore gutta cadendo ab l deferibere polTet altitudinem /G, aequalis erit cylindro cujus bafis eft circulus EF & altitudo eft i/G, id eft, cylindro cujus bafis eft circulus AB & altitudo eft z70, nam circulus EF eft ad 'circulum AB in ^ fuMuplicata ratione altitudinis LH ad ab - • — titudinem PRINCIPIA MATHEMATICA. 333 titudinem iG, hoc eft, in fimplici ratione medias proportionalis 10 ^ ad altitudinem /G .* & quo tempore gutta cadendo ab i defcribere potefl altitudinem IH^ aqua egrediens aequalis erit cylindro cujus bafis efl circulus AB ^ altitudo efl -lIH : & quo tempore gutta cadendo ab / per H zdi G defcribit altitudinum differentiam //G,- aqua egrediens, id eft, aqua tota in folido ABNFEM aequalis erit differentias cylindrorum, id eft, cylindro cujus bafis efl AB ^ alti- tudo xHO. Et propterea aqua tota in vafe AB^DC efl ad aquam • totam cadentem in folido ABNFEM ut HG ad zHO, id efl, ut' HO-\-OG ad x//0, feu IH-\-10 ad zlH. Sed pondus aquas totius in folido ABNFE Mih aquas defluxum impenditur : ac proinde ' pondus aq'u^ totius in vafe efl ad ponderis partem quae in defluxum-^ aquas impenditur, ut ad zIHy atque Ideo ut fumma cir-' culorum EF &c AB ad duplum circulum EF, Corol. Et hinc pondus aquas totius in vafe ABT>,C eft acf' ponderis partem alteram quam fundum vafis fuflinet, ut funima- circulorum AB N. EF ad difierentiam eorundem circulorum. ' Corol. y. Et ponderis pars, quam fundum vafis fuflinet, eft adpon^ deris partem alteram, quae in defluxum aquaeompenditur, ut diffe- rentia circulorum AB &: E F duplum circulum minorem EFr five ut area fundi ad duplum foramen. Corol. 6. Ponderis autem pars, qua fola fundum urgetur, efl ad ■ pondus aquae totius, quae fundo perpendiculariter incumbit, ut cir- culus AB ad fummam circulorum AB & EF, five ut circulus AB' ad exceffum dupli circuli fupra fundum. Nam ponderis pars, qua fola fundum urgetur, efl ad pondus aquae totius in vafe, ut differentia circulorum AB 8c,EF ad fummam eorundem circulo-- rum, per cor. 4. : & pondus aquae totius in vafe efl ad pondus aqu^ totius quae fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus AB ad differentiam circulorum AB &c EF. Itaque ex* aequo perturbate,- ponderis pars, qua fola fundum urgetur, efl ad pondus aquae to-^ tius, quae fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus AB aff^ fummam circulorum AB ^ EF vel exceffum' dupli circuli fupra fundum. Corol. 7. Si in medio foraminis EF locetur circellbs centro G defcriptus & horizonti parallelus: pondus aquae quam circeliusr iile fuflinet, majus eft pondere tertiae partis cylindri aquae cujus ba- Db Motu 'Corporum T, 334 PHILOSOPHIA NATURALIS fis eft circellus ille & altitudo eft GH. Sit enim ABNFEM cata- rafia vel columna atjuae cadentis axem habens GH ut fupra> & con» gelari intelligarur aqua omnis in vafe, tam in circuitu cataradae quam fupra circel- K, I l kim, cujus fluiditas ad promptiflimum & celerrimum aquae defcenfum non requiri- tur. Et fit columna aquae fupra circellum congelata, verticem habens H & altitudinem GH, Et finge cataradam hancce pondere fuo toto cadere, & non incumbere in eandem preme- re, fed libere & fine fridione praeterlabi, nifi forte in ipfo glaciei vertice quo cata- i rada ipfo cadendi initio incipiat elTe cava. Et quemadmodum aqua in circuitu cataradae congelata AMECy BNFT> convexa eft in fuperficie interna AME^ BNF verfus cata- m /N E JF D radam cadentem, fic etiam haec columna FH^ convexa erit verfus cataradam, & propterea major cono cujus bafis eli circellus ille altitudo GH, id eft, major tertia parte cylindri eadem bafe & altitudine defcripti. Suftinet autem circellus ille pondus hujus columnae, id eft, pondus quod pondere coni feu tertiae partis cylin- dri illius majus eft. Coro/. 8. Pondus aquae quam circellus valde pai^vus !P^fuftinet, minor efte videtur pondere duarum tertiarum partium cylindri a- quae cujus bafis eft circellus ille & altitudo eft HG, Nam liantibus jam pofitis, defcribi intelligatur dimidium fphaeroidis cujus bafis eft circellus ille & femiaxis five altitudo ell HG. Et h^c figura aequa- lis erit duabus tertiis partibus cylindri illius & comprehendet co- lumnam aquae congelatae FH^ cujus pondus circellus ille fuftinet. Nam ut motus aquae fit maxime diredus, columnse illius fuperfi- cies externa concurret cum bafi F ^ in angulo nonnihil acuto, propterea quod aqua cadendo perpetuo acceleratur & propter ac- celeiationem fit tenuior ; & cum angulus ille fit redo minor, haec columna ad inferiores ejus partes jacebit intra dimidium fph^roidis. Eadem vero furfum acuta erit feu cufpidaia, ne horizontalis mo- tus aquai ad verticem fphaeroidis fit infinite velocior quam ejus motus horizontem verfus. Et quo minor eft circellus F ^ co acutior PRINCIPIA MATHEMATICA. 35^ acutior erit vertex columnae; & circello in infinitum diminu- Libe-:» to, angulus infinitum diminuetur, & propterea colum- na jacebit intra dimidium fphaeroidis. Eft igitur columna illa minor dimidio fphaeroidis, feu duabus tertiis partibus cylindri cu- jus bafis elt circellus ^ ille & altitudo GH. Suilinet autem circel- lus vim aquaj ponderi hujus columna aequalem, cum pondus aquae ambientis in defluxum ejus impendatur. CoroL 9. Pondus aquae quam circellus valde parvus y^fuftinet, aequale ell ponderi cylindri aquae cujus bafis eft circellus ille & alti- tudo eft ^GH quamproxime. Nam pondus hocce eft medium arith- meticum inter pondera coni & hemifphaeroidis praediftae. At fi circellus ille non fit valde parvus, fed augeatur donec aequet fora- men EF-^ hic fuftinebit pondus aquae totius fibi perpendiculariter imminentis, id eft, pondus cylindri aquae cujus bafis eft circellus^ ille & altitudo eft GH, Corol, IO. Et (quantum fentio) pondus quod circellus fuftinet,. eft femper ad pondus cylindri aquae, cujus bafis eft circellus ille & altitudo eft kGH^ ut EFq ad EFq — ^F^q, five ut circulus £Fad. exceflUm circuli hujus fupra femifiem circelli P^quamproxime. LEMMA IV. Cylindri y qui fecundum longitudinem fuam uniformiter progre- ditur y refifientia ex auBa vel diminuta- ejus longitudine non- mutatur 5 ideoque eadem eji cum reffientia circuli eadem diametro defcripti eadem velocitate fecundum lineam re^ Bam plano ipfius perpendicularem progredientis^ Nam latera cylindri motui ejus minime opponuntur : & cylini- drus,. longitudine ejus in. infinitum diminuta^ in circulum verti- tur. \ PROPO. D E M 6 T U Corporum 33<$ PHILOSOPHIAE NATURALIS PROPOSITIO XXXVII. THEOREMA XXIX. Cylindri, qui in Jluido comprejfo infinito non elajlico fecun- dum longitudinem fuam uniformiter progreditur, refifientia, qua oritur a magnitudine feBionis tranverfa, efi ad vim qua totus ejus motus, interea dum quadruplum longitudinis fua defcrihit, vel tolli pojjit vel generari, ut denfitas medii ad- denfitatem cylindri quamproxime. K A Jtt G: B D p a Nam fi vas ABTDC fundo fuo CT> fuper- ficiem aquas ftagnantis tangat, & aqua ex hoc vafe per canalem cylindricum EFTS horizonti perpendicularem in aquam ftag- nantem effluat, locetur autem circellus horizonti parallelus ubivis in medio cana> fis, & producatur CA ad K, ilt fit AK ad CK in duplicata ratione quam habet ex- ceflus orificii canalis EF fupra circellum iP^ad circulum AB : manifefium efi (per caf. 5*. caf. 6. & cor. i. prop xxxvi.) quod velocitas aquas tranfeuntis per Ipatium annulare inter circellum & latera vafis, ea erit quam aqua cadendo & cafu fuo defcribendo al- titudinem KC vel IG acquirere potefi. Et (per corol. x. prop. xxxvi.) fi vafis latitudo fit infinita, ut line- ola HI evanefcat & altitudines IG, HG «quentur : vis aquas deflu- entis in circellum erit ad pondus cylindri cujus bafis efi circellus ille & altitudo efi ilG, ut EFq ad EFq — quam proxime. Nam vis aquae, uniformi motu defluentis per totum canalem, eadem erit, in circellum 2^^ in quacunque canalis parte locatum. Claudantur jam canalis orificia E F, ST, &: afcendat circellus in fluido undique comprefTo & afcenfu fuo cogat aquam fuperiorem defcendere per fpatium annulare inter circellum & latera canalis : .& velocitas circelli afcendentis erit ad velocitatem aquae defcen- dentis ut differentia circulorum aEjF & ad circulum & velocitas circelli afcendentis ad fummam velocitatum, hoc elt, ad veloci- PRINCIPIA MATHEMATICA. 337 velocitatem relativam aquae defcendentis qua praeterfluit circel- Libsr' Ium afcendentem, ut diflerentia circulorum EF & ad circu-^^‘^”“°''® Ium EF, live ut EFq — ad EFq. Sit illa velocitas relativa aequalis velocitati, qua fupra ollenfum ell aquam tranfire per •idem fpatium annulare dum circellus interea immotus manet, id elf, velocitati quam aqua cadendo & cafu fuo defcribendo al- titudinem i G acquirere potell : & vis aquae in circellum afcen- dentem eadem erit ac prius (per legum corol. v.) id elf, refilten- tia circelli afcendentis erit ad pondus cylindri aquae cujus bafis ell circellus ille & altitudo eft 4 / G, ut A P ^ ad EFq 4 P §q quamproxime. Velocitas autem circelli erit ad velocitatem, quam aqua cadendo & cafu fuo defcribendo altitudinem IG acquirit, ut EFq — ad EFq. Augeatur amplitudo canalis in infinitum : & rationes illte inter EFq—'F^q & EFq, interque EFq & EFq — ^T^q accedent ul- timo ad rationes aequalitatis. Et propterea velocitas circelli ea nunc erit quam aqua cadendo & cafu fuo defcribendo altitudinem IG ac- quirere potell, refilfentia vero ejus aequalis evadet ponderi cylindri cujus bafis ell circellus ille & altitudo dimidium efl altitudinis IG, a qua cylindrus cadere debet ut velocitatem circelli afcendentis ac- quirat ; & hac velocitate cylindrus, tempore cadendi, quadruplum longitudinis fuae defcribet. Refilfentia autem cylindri, hac veloci- tate fecundum longitudinem fuam progredientis, eadem elf cum re- fiffentia circelli (per lemma iv.) ideoque aequalis eff vi qua motus ejus, interea dum quadruplum longitudinis fuae defcribir, generari potelf quamproxime. Si longitudo cylindri augeatur vel minuatur : motus ejus ut & tempus, quo quadruplum longitudinis fuae defcribit, augebitur vel minuetur in eadem ratione ; ideoque vigilia, qua motus au6ius vel diminutus, tempore pariter aufto vel diminuto, generari vel tolli poflit, non mutabitur; ac proinde etiamnum aequalis efl refiften- tiae cylindri, nam & haec quoque immutata manet per lemma iv. Si denfitas cylindri augeatur vel minuatur : motus ejus ut & vis qua motus eodem tempore generari vel tolli potell, in eadem ra- tione augebitur vel minuetur. Refilfentia itaque cylindri cujufcun- que erit ad vim qua totus ejus motus, interea dum quadruplum X X longitu- X n B Motu COK PORUM 338 PHILOSOPHIAE NATURALIS longitudinis fuae defcribit, vel generari poflit vel tolli,, ut denlltas medii ad denfitateni cylindri quamproxime. ^ A O. Fluidum autem comprimi debet ut fit continuum, continuum vero efle debet & non elalticum ut preflio omnis, qux ab ejus com- preffione oritur, propagetur in inflanti, & in omnes moti corporis partes sequaliter agendo refiflentiam non mutet. PrefTio utique, quae a motu corporis oritur, impenditur in motum partium fluidi gene- randum & refiflentiam creat. PrefTio autem quae, oritur a-compref- fione fluidi, utcunque fortis fit, fi propagetur in inflanti, nullum ^ generat motum in partibus fluidi' continui^ nullam omnino inducit motus mutationem ; ideoque refiflentiam nec auget nec minuit. Certe adio fluidi, quae ab ejus compreflione oritur, fortior efle non v potefl in partes poflicas corporis moti quam in ejus partes anticas, , ideoque refiflentiam in hac propofitione deferiptam minuere non potefl : fortior non erit in partes anticas quam in poflicas, fi modo propagatio ejus infinite velocior fit quam motus corporis pieflL . Infinite autem velocior erit & propagabitur in inflanti, fi^ modo fluidum fit continuum & non elaflicum. Coro/. I. Cylindrorum, qui fecundum- longitudines fuas in mediis . continuis infinitis uniformiter progrediuntur^ refiflentiae funt in ra-; tione quae componitur ex duplicata ratione velocitatum & duplk cata ratione diametrorum &. ratione denfitatis mediorum... Coro/. X. Si amplitudo canalis non au- geatur in infinitum, fed cylindrus in me- dio quiefeente inclufo fecundum longitu- dinem fuam progrediatur, & interea axis ejus cum axe canalis coincidat : refiflen- tia ejus erit ad vim qua totus ejus motus, quo tempore quadruplumTongitudinis fuae defcribit, vel generari poflit vel tolli, in ra- tione quae componitur ex ratione EFq ad EFq — femel, & ratione EFq ad EFq-^T^q bis, & ratione denfitatis me- dii ad denfitatem cylindri. Coro/. 3. lifdem pofitis, & quod longitudo L fit ad quadruplum longitudinis cylindri in ratipne quae componitur ex ratione EFq-- K A M % G P Q. PRINCIPIA MATHEMATICA. 339 ad E Fq femel, & ratione E Fq--^ "P^q ad EFq bis : refi- ftentia cylindri erit ad vim qua totus ejus motus, interea dum lon-^ gitudinem L delcribir, vel tolli poilit vel generari, ut denfitas me- dii ad deniitatem cylindri. Scholium. In hac propofitione refiftentiam invefligavimus quae oritur a fola magnitudine tranfverfae feftionis cylindri, neglefta refiftentiae parte quae ab obliquitate motuum oriri poffit. Nam quemadmodum in cafu primo propofitionis xxxvi. obliquitas motuum, quibus partes a- quae in vale, undique convergebant in foramen EF^ impedivit ef» fluxum aquae illius per foramen : fic in hac propofitione, obliquitas motuum, quibus partes aquae ab anteriore cylindri termino preflfe, cedunt preflioni & undique divergunt, retardat eorum tranfitum per loca in circuitu termini illius antecedentis verfus polleriores partes cylindri, efficitque ut fluidum ad majorem diflantiam com- moveatur & refiflentiam auget, idque in ea fere ratione qua efflux- um aquae e vafe diminuit, id ell, in ratione duplicata 25* ad 21 cir- citer. Et quemadmodum, in propofitionis illius cafu primo, effe- cimus ut partes aqu^e perpendiculariter & maxima copia tranfirent per foramen EF^ ponendo quod aqua omnis in vafe quae in cir- cuitu cataraftae congelata fuerat, cujus motus obliquus erat & inutilis, maneret fine motu : fic in hac propofitione, ut obliquitas motuum tollatur, & partes aquae motu maxime direflo & brevif- fimo cedentes facillimum praebeant tranfitum cylindro, & fola ma- neat refiflentia, quae oritur a magnitudine feftionis tranfverfae, quae- que diminui non poteft nifi diminuendo diametrum cylindri, con- cipiendum eft quod partes fluidi, quarum motus funt obliqui & in- utiles & refiflentiam creant, quiefcant inter fe ad utrumque cylin- dri terminum, & cohaereant & cy- lindro jungantur.' Sit ABC^ reflangulum, & fint A E &: B E arcus duo parabolici axe AB de- fcripti, latere autem recflo quod fit ad fpatium //C, defcribendum a cylindro cadente dum velocitatem fuam acquirit, ut HG ad iAB, Sint etiam CF DF arcus alii duo parabolici, axe C2) & latere X x 2 refto Hh Ci: A 'E J> B Hf Gc 340 PHILOSOPHIAE NATURALIS D E M 0 T n reflo quod fit prioris lateris refli- quadruplum defcripti ; & con- Corporum figurs circum axem EF generetur folidum cujus media- pars ABT)C fit cylindrus de quo agimus, & partes extremae ABE & CE)F contineant partes fluidi inter fe quiefcentes & in. corpora duo rigida concretas, quae cylindro utrinque tanquam: caput & cauda adhaereant. Et fo- lidi EACFT)B, fecundum longi- tudinem axis fui FE in partes ver- c, fus E progredientis, refiftentia ea erit quamproxime quam in hac "n b propofitione defcripfimus, id eft, quffi rationem illam habet ad vim qua totus cylindri motus, ih- terea dum longitudo 4AC motu illo uniformiter continuato defcri- ■ batur, vel tolli pollit vel generari, quam denfitas fluidi habet ad denfitatem cylindri quamproxime. Et hac vi refiftentia minor efle non poteft quam in ratione, a. ad 3, per corol. 7. prop. xxxvi. £■ LEMMA V: Si cf^lindfus, fph^era ^ fphi^rotSj quorum lattiudtnes funt a* quales, m medto canalis cylindrici ita locentur fucceffive ut eorum axes , cum axe canalis coincidant: hac corpora fluxum aqua per. canalem aqualiter. impedient. Nam fpatia inter canalem & cylindrum, fphaeram, & fphteroidem . per- quae aqua tranfit, funt aequalia: & aqua per «qualia fpatia ®- quahter tranfit. ^ Haec ita. fe habent ex hypothefi, quod aqua omnis fupra cyliti- drum fphaeram vel fphaeroidem congelatur, cujus fluiditas ad celer^ nmum aquffi tranfitum non requiritur, ut in corol. vii. prop. xxxvxa €XpllCUl«.. LEMMA\ PRINCIPIA MATHEMATICA. LEMMA VI. 3'4i Liber Se c u N DU s. pvfithy^ corpora pradt^ia aequaliter urgentur ah aqua per canalem fluente. Patet per lemma v. & motus legem tertiam. Aqua utique & corpora in .fe mutuo aequaliter agunt. LEMMA VIL Si aqua quiefcat in canali^ &f hac corpora in partes contrarias aquali velocitate' per canalem ferantur : aquales erunt eo^ rmn refif entia inter fe, Gonftat ^x lemmate fup.eriore, nam motus relativi iidem inter fe manent. Scholium, - Eadem eft‘ ratio corporum omnium convexorum rotundorum^ quorum axes cum axe canalis coincidunt. Differentia aliqua ex ma- jore vel minore friftione oriri potell; fed in his lemmatis corj^ora die politiflima fupponimus, & medii tenacitatem & friflionem efle nullam, & quod partes fluidi, quae motibus fuis obliquis & fuper- fluis fluxum aquae per canalem perturbare, impedire, & retardare poffunt, quiefcant inter fe tanquam gelu conftriflae; & corporibus ad ipforum partes anticas & pofticas adhaereant, perinde ut in fcho- lio propofitionis praecedentis expofuL Agitur enim in fequentibus de refiftentia omnium minima quam corpora rotunda, datis maxi- mis fedionibus- tranfverfis defcripta, habere polTunt. Corpora fluidis innatantia, ubi moventur in diredum, efficiunt ut fluidum ad partem anticam afcendat, ad pofticam fubfidat, prae- fertim fi figura fint obtufa ; & inde refiftentiam paulo majorem fen- tiunt quam fi capite & cauda fint acutis. Et corpora in fluidis * elafticis mota, fi ante & poft obtufa fint, fluidum paulo magis con- denfant ad anticam partem & paulo magis relaxant ad pofticam 5 & inde refiftentiam paulo majorem fentiunt quam fi capite & cau- da fint acutis. Sed oos in his lemmatis & propofitionibus non agi- mus 34^ PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu rus fluidis ekflicis, fed de non elafticis ; non de infidentibus CoKPOKUM immerfis. Et ubi refillentia corporum in fluidis non elailicis innotefcit, augenda erit haec .refiflentia aliquantulum tam in fluidis elailicis, qualis ell aer, quam in fuperficiebus fluido- rum llagnantium, qualia funt maria & paludes, n PROPOSITIO XXXVIIL THEOREMA XXX. Glohty in fltitdo comprejjo infinito non elastico uniformiter progredientis., refiifientia eji ad vim qua totus ejus motus, quo tempore oBo tertias partes diametri fu^e defcribit, vel tolli pojfiit vel generari, ut denfittas fluidi ad denfiitatem gloht quamproxtme. Nam globus ell ad cylindrum circumfcriptum ut duo ad tria ; & propterea vis illa, qu^ tollere pollit motum omnem cylindri in- terea dum cylindrus defcribat longitudinem quatuor diametrorum, globi motum omnem tollet interea dum globus defcribat duas ter- tias partes hujus longitudinis, id ell, odo tertias partes diametri propriae. Refillentia autem cylindri ell ad hanc vim quamproxime ut denfitas fluidi ad denfitatem cylindri vel globi per prop. xxxvii. refillentia globi aequalis ell refillentiae cylindri per lem. v, vi, vii. ^ Corol. I. Globorum, in mediis comprellis infinitis, refillentiae funt in ratione quae componitur ex duplicata ratione velocitatis, & du- plicata ratione diametri, & ratione denfitatis mediorum. Corol, 2. Velocitas maxima quacum globus, vi ponderis fui com- parativi, in fluido refillente potell delcendere, ea ell quam acqui- rere potell globus idem, eodem pondere, fine refillentia cadendo & cafu fuo defcribendo fpatium quod fit ad quatuor tertias par- tes diametri fuae ut denfitas globi ad denfitatem fluidi. Nam glo- bus tempore cafus fui, cum velocitate cadendo acquifita, defcribet fpatium quod erit ad o(?lo tertias diametri fuae, ut denfitas globi ad denfitatem fluidi ; & vis ponderis motum hunc generans, erit ad vim quae motum eundem generare pollit, quo tempore globus ofto tertias diametri fuae eadem velocitate delcribit, ut denfitas fluidi PRINCIPIA MATHEMATICA. 343 fluidi ad denfitatem globi: ideoque per hanc propofitionem, vis Li» ponderis aequalis erit vi refiftentiae, & propterea globum accelera- re non poteit. Corol 3. Data & denfitate globi & velocitate ejus fub initio mo- tus, ut & denfitate fluidi comprefli ^quiefcentis in qua globus mo- vetur ; datur ad omne tempus & velocitas globi & ejus refiftentia & fpatium ab eo defcriptum, per corol. vii. prop. xxxv. Corol. 4. Globus in fluido comprefTo quiefcente ejufdem fecum denfitatis movendo, dimidiam motus fui partem prius amittet quam longitudinem - duarum ipfius diametrorum ' defcripferit, per idem> corol. viir PROPOSITIO XXXIX. THEOREMA XXXI. Gloht.^ p€r fluidum in canalr cylindrico claufum compreffum uniformiter progredientis y rejiflentia efl ad vim qua totus ejus . motus., interea dum oBo tertias partes diametri fua defcri^ bit^ vel generari pojjit vel tollf in ratione qua componitur ex ratione orificii ^ canalir ad excejfum hujus orificii fupr a dimidium circuli maximi globi, &^ ratime duplicata orificii canalis ad excejfum hujus orificii fupr a circulum maximum globi, ^ ratione denfitatis fluidi ad denfitatem fiobi quam^ • ^ - proxime, . Patet per corol. prop. xxxvii. procedit vero demonftratio quemadmodum in propofitione praecedente. Scholmm. In propofitionibus duabus noviflimis (perinde ut in lem. v.) fup- '' pono quod aqua omnis congelatur quae globum praecedit, & cujus fluiditas auget refiftentiam globi. Si aqua illa omnis liquefcat, au- gebitur refillentia aliquantulum. Sed augmentum illud in his pro- pofitionibus parvum erit & negligi potell, propterea quod convexa fuperficies globi totum fere officium glaciei faciat. ER N D US. PROPO- 344 PHILOSOPHIA NATURALIS De Motu Corporum PROPOSITIO XL. PROBLEMA IX. Globi y in medio fluidtjjimo comprejfo progredientis y invenire re- fijlentiarn per phammena. Sit A pondus globi in vacuo, B pondus ejus in medio refiflente, D diameter globi, F fpatium quod fit ad D ut denfitas globi ad denficatem medii, id elt, ut A ad A — B, G tempus quo globus pondere B fine refiftentia cadendo defcribit fpatium E, & H velocitas quam globus hocce cafu fuo acquirit. Et erit H velocitas maxima qua- cum globus, pondere fuo B, in medio refiftente potefl defcendere per coroL 2. prop. xxxviii. &refifientia, quam globus ea cum velo- citate defccndens patitur, agqualis erit ejus ponderi B : refiftentia vero, quam patitur in alia quacunque velocitate, erit ad pondus B in duplicata ratione velocitatis hujus ad velocitatem illam maximam H, per corol. i. prop. xxxviii. Haec eft refiftentia quse oritur ab inertia materiae fluidi. Ea vero quae oritur ab elafticitate, tenacitate, & friftione partium ejus, fic inveftigabitur. Demittatur globus ut pondere fuo B in fluido defcendat ; & fit P tempus cadendi, idque in minutis fecundis fi tempus G ’in mi- nutis fecundis habeatur. Inveniatur 'numerus abfolutus N qui con^ giuit logarithmo 0,4342944819-—, fitque L logarithmus numeri & : & velocitas cadendo acquifita erit H, altitudo autem 2PF ‘ defclipta eiit 1,38(52943(511 F 4,605-170186 LF. Si flui- V ' dum fatis profundum fit, negligi potefl: terminus 4,605-170186 LF* & ent -g; 1,3861943611 F altitudo defcripta quamproxime. Pa- tent haec per libri fedundi propofitionem nonam & ejus corollaria, ex hypothefi quod globus nullam aliam patiatur refiftentiam nifi quae oritur ab inertia materiae. Si vero aliam infuper refiflentiam patia- hujus rtriflentir' ^ innotefcet quantitas Ut PRINCIPIA mathematica. 345 Ut corporis in fluido cadentis velocitas & defcenfus facilius in- notefcant, compofui tabulam fequentem, cujus columna prima notat tempora defcenfus, fecunda exhibet velocitates cadendo ac- quifitas exiflente velocitate maxima loooooooo, tertia exhibet fpa- tia temporibus illis cadendo defcripta, exiflente z F fpatio quod corpus tempore G cum velocitate maxima defcribit, & quarta ex- hibet fpatia iifdem temporibus cum velocitate maxima defcripta, Numeri in quarta columna funt & fubducendo numerum i,38()1944— 4,(J05'I70X L, inveniuntur numeri in tertia columna, & multiplicandi funt hi numeri per fpatium F ut habeantur fpatia ca- dendo defcripta. Quinta his infuper adjefta eft columna, qute continet fpatia defcripta iifdem temporibus a corpore, vi ponderis fui comparativi B, in vacuo cadente. Tempora P 1 Velocitates cadentis in 1 fluido. Spatia caden- do defcripta in flttido . Spatia motu maximo de- fcripta. spatia cadenA do defcripta in vac$w. 0,001 G 99999i^ 0,000001 F 0,002 F 0,000001 F OjOi G • 999967 0,0001 F 0,02 F 0,0001 F 0,1 G 9966799 0,0099 83 4 F 0,2 F 0,01 F OjX G 19737532- o>039736i f 0,4 F 0,04 F 0,3 G 19131261 0,08868 15 F 0,6 F 0,09 F 0,4 G 37994896 o,i5'5907o F 0,8 F 0,16 F G 46211716 0,2402290 F 1,0 F 0,25 F 0^6 G 5*3704957 0,3401706 F 1,2 F 0,36 F 0,7 G 1 60436778 0,4545405 F 1,4 F Oj49 f 0,8 G 66403677 0,5815071 F 1,6 F 0,64 F 0,9 G 71629787 0,7196609 F 1,8 F o,8i F iG 76159416 0,8675617 F zY I F 2 G 96402758 2,6500055 F 4F 4F 3G 99505475 4,6186570 F 6 F 9F 4G 99932930 6,6143765 F 8F 16 F fG 99990920 8,6137964 F 10 F 25 F 6G 99998771 10,6137179 F 12 F 36 F /G 99999834 12,6137073 F 14 V 49 F 8G 99999980 14,6137059 F 16 F 64 F PG 99999997 16,6137057 F 18 F 81 F 10 G 1 99999999’ 18,6137056 F 20 F 100 F' Yy Scholium. 34<) PHILOSOPHIAE NATURALIS P E M o T u Corporum SchollUm . Ut refiftentias fluidorum invefligarcm per experimenta, paravi vas ligneum quadratum, longitudine & latitudine interna digito- rum novem pedis LondtnenfiSy profunditate pedum novem cuiB' femifle, idemque implevi aqua pluviali ; & globis ex cera & plum- bo inclufo formatis, notavi tempora defcenfus globorum, exillente defcenfus altitudine iix digitorum pedis. Pes folidus cubicus Londinen/is continet y6 libras Romanas aquae pluvialis, & pedis hujus digitus folidus continet jl- uncias librae hujus feu grana 1537; & globus aqueus diametro digiti unius deferiptus continet grana 131,645' in medio aeris, vel grana 131,8 in vacuo; & globus quili- bet alius eft ut exceffus ponderis ejus in vacuo fupra pondus ejus in aqua. Exper, I. Globus, cujus pondus erat 1^6^ granorum in aere & 77 granorum in aqua, altitudinem totam digitorum iii tempore minutorum quatuor fecundorum defcripfit. Et experimento re- petito, globus iterum cecidit eodem tempore minutorum quatuor fecundorum. Pondus globi in vacuo ett i5'6y4 gran. 8c exceflus hujus ponde- ris fupra pondus globi in aqua elt 7944 gran. Unde prodit globi diameter 0,84114 partium digiti. Efl autem ut excefliis ille ad pondus globi in vacuo, ita denfitas aquae ad denfitatem globi, & ita partes ofto tertia diametri globi (vzz. i,i45'97 dtg.) ad fpatium iF, quod proinde erit 4,415*6 dig. Globus tempore minuti unius fecundi, toto fuo pondere granorum 156 jT) cadendo in vacuo de- feribet digitos 1937; & pondere granorum 77, eodem tempore, fine refifientia cadendo in aqua deferibet digitos 95',ii9 ; & tempore G, quod fit ad minutum unum fecundum in fubduplica- ta ratione fpatii F feu dig. ad 95■,^I9 deferibet z, 1128 dig. & velocitatem maximam H acquiret quacum potefi; in aqua de- fcendere. Ett igitur tempus G o", 15244. Et hoc tempore G„ cum velocitate illa maxima H, globus deferibet fpatium 2 F digi- torum 4,4256 ; ideoque tempore minutorum quatuor fecundorum de- feribet fpatium digitorum 116,1245. Subducatur fpatium 1,3862944 F feu 3,0676 & manebit fpatium 113,0569 digitorum quod glo- bus cadendo in aqua, in vafe amplillimo, tempore minutorum qua- tuor PRINCIPIA MATHEMATICA. 347 tuor fecundorum defcribet. Hoc fpatium, ob anguttiam vafis^J lio-nei praedidi, minui debet in ratione quae componitur ex fub- duplicata ratione orificii vafis ad exceffum orificii hujus fupra femicirculum maximum globi & ex fimplici ratione orificii ejufdem ad exceffum ejus fupra circulum maximum globi, id efi, in ratione I ad 0,9914. Quo faflo, habebitur fpatium II^,o8 digitorum, quod globus cadendo in aqua in hoc vafe ligneo tempore minutorum quatuor fecundorum per theoriam defcribere debuit quamproxime. Defcripfit vero digitos iii per experimentum. Ex^er. Tres globi aequales, quorum pondera feorfim erant 761 granorum in aere & 5tt granorum in aqua, fucceffive demitte- bantur ; & unufquifque cecidit in aqua tempore minutorum fecun- dorum quindecim, cafu fuo defcribens altitudinem digitorum 112. Computum ineundo prodeunt pondus globi in vacuo 76-^ gran. exceffus hujus ponderis fupra pondus in aqua gran, diameter globi 0,81196 dig, ofto tertiae partes hujus diametri 1,16789 dig. fpatium 1 F 1,3117 dlg. fpatium quod globus pondere s-ir gran, tempore 1'' fine refifientia cadendo defcribat 11,808 dig: & tempus G 0^^301056. Globus igitur, velocitate maxima quacum potefl: inaqua vi ponderis ^tV defcendere, tempore o", 3010^6 defcribet fpatium 1,32^17 dig. & tempore 15^' fpatium ii5'5678 dig. Subducatur fpatium 1,3861944 F feu 1,609 dig. & manebit fpatium 114,069 dig. quod proinde globus eodem tempore in vafe latiffi- mo cadendo defcribere debet. Propter anguftiam vafis noftri de- trahi debet fpatium 0,895' dig. circiter. Et fic manebit fpatium IIS, 17^ dig. quod globus cadendo in hoc vafe, tempore is" de- fcribere debuit per theoriam quamproxime. Defcripfit vero digi- tos III per experimentum. Differentia eft infenfibilis. Exper. 3. Globi tres aequales, quorum pondera feorfim erant III gran. in aere & i gran. in aqua, fucceffive demittebantui ; & cadebant in aqua temporibus 46^'', 47'''', & defcribentes altitu- dinem digitorum iii. Per theoriam hi globi cadere debuerunt tempore 40 ciicitei. Quod tardius ceciderunt, utrum minori proportioni refifientiae, quae a vi inertiae in tardis motibus oritur, ad refifientiam qu^ oiitur ab aliis caufis tribuendum fit; an potius bullulis nonnullis globo adhaerentibus, vel rarefadioni cerae ad calorem vel tempellatis vel Y y i manus 34:8 PHILOSOPHIi£ NATURALIS manus globum demittentis, vel etiam erroribus infenfibilibus in '' ponderandis globis in aqua, incertum effe puto. Ideoque pondus globi in aqua debet efle plurium granorum, ut experimentum cer- tum & fide dignum reddatur. JE:x/’cr. 4. Experimenta haftenus defcripta coepi, ut invefligarem refjflentias fluidorum, antequam theoria in propofitionibus pro- xime praecedentibus expofita mihi innotefceret. Poflea, ut theo- riam inventam examinarem, paravi vas ligneum latitudine interna digitorum 87, profunditate pedum quindecim cum triente. De- inde ex cera & plumbo inclufo globos quatuor formavi, fingulos pondere 13 9-? granorum in aere & 74 granorum in aqua. Et hos demifi ut tempora cadendi in aqua per pendulum, ad' femi-minuta fecunda ofcillans, menfurarem. Globi, ubi ponderabantur & po- ilea cadebant, frigidi erant & aliquamdiu frigidi manferant ; quia calor ceram rarefacit, & per rarefaftionem diminuit pondus globi in aqua, &.cera rarefafta non flatim ad denfitatem priftinam per frigus reducitur. Antequam caderent, immergebantur penitus in aquam ; ne pondere partis alicujus ex aqua extantis defcenfus eo- rum fub initio acceleraretur. Et ubi penitus immerfi quiefcebant, demittebantur quam cautiffime, ne impulfum aliquem a manu de- mittente acciperent. Ceciderunt autem fucceffive temporibus of- cillationum 47-^, 484, 50 & 5*1, defcribentes altitudinem pedum quindecim & digitorum duorum. Sed tempeflas jam paulo frigidi- or erat quam cum globi ponderabantur , ideoque iteravi experi- mentum alio die, & globi ceciderunt temporibus ofcillationum 49, 494,. 50 & 5*3, ac tertio temporibus ofcillationum 494, 50, 51 & 5-5. Et r experimento faepius capto, globi ceciderunt maxima ex parte temporibus ofcillationum 494 & 5'o. Ubi tardius ceciderej fufpi- cor eofdem retardatos fuifle impingendo in latera vafis.' Jam computum per theoriam ineundo, prodeunt pondus globi in vacuo 139T granorum. ExcefTus hujus, ponderis fupra pondus globi in aqua 132.4^ Diameter globi 0,99868 Odo tertiae, partes diametri 2,66315’ Spatium x F 2,8066 Spa- tium quod globus^ pondere 74 granorum, tempore minuti unius fe- cundi, fine refidentia cadendo defcribit 9,88164 Et tempus G o^V37<^843. Globus, igitur, velocitate maxima, quacum potefl in aqua .. vi ponderis 74 granorum defcendere, tempore 76843 de- fcribk-,. PRINGIPIA MATHEMATICA; 349 fcribit fpatium 2,806*6 digitorum, & tempore 1" fpatium 7,44766^ digitorum, '& tempore 25^"^ feu ofcillationum 50 fpatium 186,1915^/^. Subducatur fpatium 1,386294 F, feu i,945'4 & manebit fpatium 184,2461 dig. quod globus eodem tempore in vafe latiffimo’ de- fcribet. Ob angufliam vafts noftri, minuatur hoc fpatium in ra.- tione quae componitur ex fubduplicata ratione orificii vafis ad excefium hujus orificii fupra femicirculum maximum globi, & fim- plici ratione ejufdem orificii ad exceflTum ejus fupra circulum ma- ximum globi ; & habebitur fpatium 181,86 digitorum, quod glo- bus in hoc vafe tempore ofcillationum $0 defcribere debuit per theoriam quamproxime. Defcripfit vero fpatium 182 digitorum tempore ofcillationum 49-;: vel 50 per experimentum. Exper, 5'. Globi quatuor pondere 1 5*44 in aere & 214 gran. in aqua feepe d^miffi, cadebant tempore ofcillationum 284, 29, 29:^ & 30, & nonnunqqam 3i)-32. & 33» defcribentes altitudinem pe- diim quindecim- & digitorum duorum. Per theoriam cadere debuerunt tempore ofcillationum 29 quam- proxime. Exper. 6. Globi quinque pondere 2124 gran. in aere & 794 in aqua faepe demiffi, cadebant tempore ofcillationum 15, 154, 16, 17 & 18, defcribentes altitudinem pedum- quindecim & digitorum duorum. Per theoriam cadere debuerunt tempore -ofcillationum 15* qiiam- proxime. Exper. 7. Globi quatuor pondere 2934 gran. in aere & gran. in aqua faepe demiffi, cadebant tempore ofcillationum 294, 30, 304, 31, .32 &,.33, defcribentes altitudinem pedum quindecim & digiti unius cum femifie. Per theoriam cadere debuerunt tempore ofcillationum 28 quam‘- proxime. Caufam invefligando cur globorum, eju^iJem ponderis & magni- tudinis, aliqui citius alii tardius caderent, in hanc incidi; quod glo- bi, ubi primum demittebantur & cadere incipiebant, ofcillarent cir'- cum” centra, latere illo quod forte gravius elTet primum defcen- dente, &' motum ofcillatorium generante. Nam per ofcillationes fuas globus miajorem motum communicat aquae, quam fi fine ofcil- lationibus defcenderet ; .&- communicando-^ amittit partem motus proprii E E ^ N D US, 350 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu proprii quo defcendere deberet: & pro majore vel minore ofcil- CoRPORUM retardatur. Quinetiam globus recedit femper a latere fuo quod per ofcillationem defcendit, & receden- do appropinquat lateribus vafis & in latera nonnunquam impingi- tur. Et haec ofcillatio in globis gravioribus fortior eft, & in ma- joribus aquam magis agitat. Quapropter, ut ofcillatio globorum minor redderetur, globos novos ex cera & plumbo condruxi, infi- gendo plumbum in latus aliquod globi prope fuperficiem ejus ; & globum ita demifi, ut latus gravius, quoad fieri potuit, efTet infi- mum ab initio defcenfus. Sic ofcillationes fadae funt multo mino- res quam prius, & globi temporibus minus inaequalibus ceciderunt, ut in experimentis fequentibus. Exper, 8. Globi quatuor, pondere granorum 139 in aere & in aqua, faepe demifli, ceciderunt temporibus ofcillationum non plu- rium quam fi, non pauciorum quam 50, & maxima ex parte tem- pore ofcillationum circiter, defcribentes altitudinem digitorum iSx. Per theoriam cadere debuerunt tempore ofcillationum 51 circi- ter. Exper. 9. Globi quatuor, pondere granorum 273^ in aere & 240^: in aqua, faepius demifli, ceciderunt temporibus ofcillationum non pauciorum quam ix, non plurium quam 13, defcribentes al- titudinem digitorum 182. Per theoriam vero hi globi cadere debuerunt tempore ofcillatio- num 117 quamproxime. Ex^er. 10. Globi quatuor, pondere granorum 384 in aere & 1194 in aqua, faepe demifTi, cadebant temporibus ofcillationum 174, 18, 184 & 19, defcribentes altitudinem digitorum 1814. Et ubi ceciderunt tempore ofcillationum 19, nonnunquam audivi impulfum eorum in latera vafis antequam ad fundum pervenerunt. Per theoriam vero cadere debuerunt tempore ofcillationum 15'^ quamproxime. Exj^^er, II. Globi tres aequales, pondere granorum 48 in aere & 314 in aqua, fepe demifli, ceciderunt temporibus ofcillationum 434, 44) 44^5 45 & 4^) & maxima ex parte 44 & 45*, defcribentes altitu- dinem digitorum 1824 quamproxime. Per PRINCIPIA MATHEMATICA. 35^ Per theoriam cadere debuerunt tempore ofcillationum 46-1 Exper, IX. Globi tres aequales, pondere granorum 141 in aere 44 in aqua, aliquoties demifli, ceciderunt temporibus ofcillationum 61, 6x, 63, 64 & defcribentes altitudinem digitorum i8x. Et per theoriam- cadere debuerunt tempore ofcillationum 644 quamproxime. Per hxc experimenta manifeftum efl; quod, ubi globi tarde cecide- runt, ut in experimentis fecundis, quartis, quintis, oftavis, undeci- mis ac duodecimis, tempora cadendi refte exhibentur per theori- am : at ubi globi velocius ceciderunt, ut in experimentis fextis, no- nis ac decimis, refillentia paulo major extitit quam in duplicata^ ratione velocitatis. Nam globi inter cadendum ofcillant aliquantu- lum ; & haec ofcillatio in globis levioribus & tardius cadentibus, ob motus languorem cito ceflat; in gravioribus autem & majoribus, ob motus fortitudinem diutius durat, & non nifi poft plures ofcil- lationes ab aqua ambiente cohiberi poteft. Quinetiam globi, quo velociores funt, eo minus premuntur a fluido ad poflicas fuas par- tes ; & fi velocitas perpetuo augeatur, fpatiiim vacuum tandem a. tergo relinquent, nifi comprellio fluidi fimul augeatur. Debet au- tem comprefTio fluidi (per prop. xxxii. & xxxiii.) augeri in du- plicata ratione velocitatis, ut refiflentia fit in eadem duplicata ra- tione. Quoniam hoc non fit, globi velociores paulo minus pre- muntur a tergo, & defeftu prefTionis hujus, refiflentia eorum fit. paulo major quam in duplicata ratione velocitatis. Congruit igitur theoria cum phaenomenis corporum cadentium^ in aqua, reliquum efl ut examinemus phaenomena cadentium in aere. Exper, 13. A culmine ecclefiae Sandi Taulh in urbe Londinii menfe Junio 1710. globi duo vitrei fimul demittebantur, unus ai genti, vivi plenus, alter aeris ; & cadendo defcribebant altitudinem peduni" Londinenfium xxo. Tabula lignea ad unum ejus terminum polis ferreis fufpendebatur, ad alterum pelFulo ligneo incumbebat ; & globi duo huic tabulae impofiti fimul demittebantur, fubtrahendo peflulum ope fili ferrei ad terram ufque demifli ut tabula polis fer- reis folummodo innixa fuper iifdem devolveretur, & eodem tem- ^ poris momento pendulum ad minuta fecunda ofcillans, per filum * « 1 1 « *i TfL D TJ S, 351 PHILOSOPHIA NATURALIS Df. Motu jijud fcrrcum traftum demitteretur & ofcillare inciperet. Diametri CoaPOKUM ^ poji^jej-a globorum ac tempora cadendi exhibentur in tabula fe- quente. Globorum Tondera i mercurio ^ ^Diametri Plenorum Tempora cadendi. <)o% gran. 0,8 dtgit. 4" 983 0,8 4 — 866 0,8 4 747 OyJS 4-4“ 808 0,75 4 ,'’84 0,75 4-1- Globorum aere plenorum. Tondera T)iametri Tempor cadendi <^10 gran. 5,1 di git. 8 "4 64X 5,^ 8 ^99 5,1 8 5^5 5,0 87 483 5,0 84 641 ■5,^ 8 Caeterum tempora obfervata corrigi debent. Nam globi mercu- riales (per theoriam Galilai) minutis quatuor fecundis defcribent pedes Londinenfes & pedes xio minutis tantum 3" 41'^^ Ta- bula lignea utique, detrado pelTulo, tardius devolvebatur quam par erat, & tarda fua devolutione impediebat defcenfum globorum fub initio. Nam globi incumbebant tabulae prope medium ejus, & paulo quidem propiores erant axi ejus quam pelTulo. Et hinc tem- pora cadendi prorogata fuerunt minutis tertiis oftodecim circiter, & 'jam corrigi debent detrahendo illa minuta, praefertim in globis majoribus qui tabulae devolventi paulo diutius incumbebant propter magnitudinem diametrorum. Quo fafto tempora, quibus globi fex majores cecidere, evadent 8'^ -Globorum igkur aere plenorum quintus, diametro digitorum quinque pondere granorum 483 conllruftus, cecidit tempore S"'' IX , defcribendo altitudinem pedum 210. Pondus aquae huic globo aequalis elt 16600 granorum ; & pondus aeris eidem aequalis elt '414° gran. feu I9tV gran. ideoque pondus globi in vacuo eft 50x^1- gran, & hoc pondus eft ad pondus aeris globo aequalis, ut foiT^ ad i9tV, & ita funt x F ad ofto tertias partes diametri globi, .id eft, ad 134 digitos. Unde xF prodeunt x8 ped, 11 dig. Globus cadendo in vacuo, toto fuo pondere ^ox-l- granorum, tempore mi- nuti unius fecundi defcribit digitos 1934 ut fupra, & pondere 483 gran, defcjibit digitos 18 5, 905*, & eodem pondere 483 gran, etiam PRINCIPIA MATHEMATICA. 3^3 rn vacuo defcribit fpatium F feu 14 fed. 54 dig. tempore sY" l & velocitatem maximam acquirit quacum poffit in aere defccnde*^^"^ re. Hac velocitate globus, tempore %" defcribet fpatium pe- dum 245* & digitorum 54. Aufer 1,3863 F feu 20 ped, 04 dig. & manebunt 225: ped. 5- dig. Hoc fpatium igitur globus, tempore 8'' 12 , cadendo defcribere debuit per theoriam. Defcripfit vero fpatium 220 pedum per experimentum. DifFerentia infenfibilis ett. Similibus computis ad reliquos etiam globos aere plenos applica- tis, confeci tabulam fequentem. Globorum pondera. T>iame- tri. Tempora ca- dendi ab al- titudine pe- dum 220. Spatia defer iben* da per theoriam. Excejfus. SIO gr an. 642 599 515 483 641 5,1 dig. 5>^ 5>i 5 5 5>2^ 8"" 12"^ 7 4^ 7 42 ■ 7 57 8 12 7 4^ 'LiGped. 11 dig. 230 9 227 IO 224 s 225* 5' 230 7 6 ped. II dig. IO 9 7 IO 4 5 5 5 10 7 Exper. 14. Anno 1719. menfe Julio, D. Defaguliers hujufmodi ex- perimenta iterum cepit, formando veficas porcorum in orbem fphae- ricum ope fphasrae ligneae concavae, ambientis quam madefadae im- plere cogebantur inflando aerem ; & hafce arefadas & exemptas de- mittendo ab altiore loco in templi ejufdem turri rotunda fornicata, nempe ab altitudine pedum 272 ; & eodem temporis momento demittendo etiam globum plumbeum cujus pondus erat duarum li- brarum Romanarum circiter. Et interea aliqui flantes in fuprema parte templi, ubi globi demittebantur, notabant tempora tota caden- di, & alii flantes in terra notabant differentiam temporum inter ca- fum globi plumbei & cafum veficse. Tempora autem menfuraban- tur pendulis ad dimidia minuta fecunda ofcillantibus. Et eorum qui in terra flabant unus habebat horologium cum elatere ad fingula minuta fecunda quater vibrante ; alius habebat machinam aliam affabre conflruftam cum pendulo etiam ad fingula minuta fecunda quater vibrante. Et fimilem machinam habebat unus eorum qui ^ flabant in fummitate templi. Et haec inflrumenta ita formabantur, Z z 3J4 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Motu ut iTiotus cofuni pi'o lubitu vcl incipcretit vcl fillcrentur. Globus CoRFoiiuM plumbeus cadebat tempore minutorum fecundorum quatuor cum quadrante circiter. Et addendo hoc tempus ad praediftam remporis differentiam, colligebatur tempus totum quo velica ceci- dit. Tempora, quibus vefieae quinque polt cafum globi plumbei prima vice ceciderunt, erant i4y', ii-i'', 144'', & 164", & fecunda vice 14-'-", 144''» 14". 19", & 164". Addantur 44", tempus utique quo globus plumbeus cecidit, & tempora tota, quibus velicte quinque ceciderunt, erant prima vice 19", xj'' iV" 'T // & fecunda vice, 184'', Tempora au- i8r, %// 5 •*■/'? 5 tem in fummitate templi notata, erant prima vice 19 22T^,&: 214^'; & fecunda vice 19'"', 184''', 184'^ 24""', & 214'^. Cae. terum vefieae non femper refta cadebant, fed nonnunquam volita- bant, & hinc inde ofcillabantur inter cadendum. Et his motibus tempora cadendi prorogata funt & auda nonnunquam dimidio mi- nuti unius fecundi, nonnunquam minuto fecundo toto. Cadebant autem redius velica fecunda & quarta prima vice ; & prima ac ter- tia fecunda vice. Vefica quinta rugofa erat & per rugas luas non- nihil retardabatur. Diametros veficarum deducebam ex earum cir- cumferentiis filo tenuifiimo bis circundato menfuratis. Et theoriam contuli cum experimentis in tabula fequente, aflTumendo denfitatem aeris eflTe ad denfitatem aquae pluvialis ut i ad 860, & computando fpatia quae globi per theoriam deferibere debuerunt cadendo. ?Jicarum [fondera. T)iame- tri. Tempora caden di ab altitudine pedtim 272. Spatia iijdem tem- poribus defer ib e fi- da per theoriam. "Differentia inter theor. & exper. 128 gran, ^ S,x.^dig. 19^^ ped, II dig. •^oped. i'dig. 17- 272 04 — - 0 o4 137^ 5,3 184 17X 7 po 7 >974 S,z6 22 5-77 4 — V5 4 "994 e. 2« 14 . 282 0 — -IO 0 Globorum igitur tam in aefe quam in aqua motorum refiftentia^. prope omnis per theoriam noftram refte exhibetur, ac denfitati flui- dorum, paribus globorum velocitatibus, ac magnitudinibus, propor. Uonalis efi. Ini. PRINCIPIA MATHEMATICA. 35 j In fcholio, quod feftioni fextae fubjunftum eil, odendimus per ex- ^ pcrimcnta pendulorum quod globorum sequalium & sequivelocium aere, aqua, & argento vivo motorum reddentiae funt ut fluidorum denfitates. Idem hic odendimus magis accurate per experimenta corporum cadentium in aere & aqua. Nam pendula fingulis ofcil- lationibus motum cient in fluido motui penduli redeuntis ftmper contrarium, & refiflentia ab hoc motu oriunda, ut & refifleniia flli quo pendulum fufpendebatur, totam penduli refidentiam majorem reddiderunt quam refiflentia quae per experimenta corporum caden- tium prodiit. Etenim per experimenta pendulorum in fcholio illo expofita, globus ejufdem denfitatis cum aqua, deferibendo longitu- dinem femidiametri fuae in aere, amittere deberet motus fui partem At per theoriam in hac feptima feftione expofitam & expe- Timentis cadentium confirmatam, globus idem deferibendo longitu- dinem eandem, amittere deberet motus fui partem tantum po- fito quod denfitas aquae fit ad denfitatem aeris ut S60 ad i. Refi- ftentiae igitur per experimenta pendulorum majores prodiere (ob caufas jam deferiptas) quam per experimenta globorum cadentium* idque in ratione 4 ad 3 circiter. Attamen cum pendulorum in aere, aqua deargento vivo ofcillantium refiflentiae acaufis fimilibus fimili- ter augeantur, proportio reriflentiarum in his mediis, tam per ex- perimenta pendulorum, quam per experimenta corporum caden- tium, fatis refte exhibebitur. Et inde concludi potett quod corpo- rum in fluidis quibuicunque fluidiflimis motorum refiflentiaB, emete- ris paribus, funt ut denlitates fluidorum. His ita flabilitis, dicere jam licet quamnam motus fui partem glo- bus quilibet, in fluido quocunque projeftus, dato tempore amittet quamproxime. Sit D diameter globi, & V velocitas ejus fub initio motus, & T tempus, quo globus velocitate V in vacuo deferibet fpatium, quod fit ad fpatium 7 D ut denfitas globi ad denfitatem fluidi: & globus in fluido illo projeftus, tempore quovis alio ty amittet . tV TV . , ^ velocitatis fuae partem , manente parte , & delcribet fpatium, quod fit ad fpatium uniformi velocitate V eodem tempore deferiptum in vacuo, ut logarithmus numeri -tjt- multiplicatus per Z I B E H U K UU Si. numerum 3j(^ PHILOSOPHIAE NATURALIS co^mrJm" numerum z, 30x585-093 e(t ad numerum jp, per corol. vrr. prop. XXXV. In motibus tardis refiftentia potell elTe paulo minor, prop- terea quod figura globi paulo aptior lit ad motum quam figura cy- lindri eadem diametro defcripti. In motibus velocibus refiflentia poteft effe paulo major, propterea quod elaflicitas & comprefiio fluidi non augeantur in duplicata ratione velocitatis. Sed hujufmo- di minutias hic non expendo. Et quamvis aer, aqua, argentum vivum & fimilia fluida, per di*- vifionem partium in infinitum, fubtiliarentur & fierent media infi- nite fluida ; tamen globis proje6lis haud minus refifterent. Nam refifientia, de qua agitur in propofitionibus praecedentibus, oritur ab inertia materise ; & inertia materiae corporibus efTentialis efl & quantitati materiae femper proportionalis. Per divifionem partium fluidi, refifientia quae oritur a tenacitate & frifiione. partium diminui quidem potefi : fed quantitas materiae per divifionem partium ejus non diminuitur ; & manente quantitate materiae, manet ejus vis inertiae,. cui refifientia, de qua hic agitur, femper proportionalis elt. Ut haec refifientia diminuatur, diminui debet quantitas materiae ia fpatiis per quae corpora moventur. Et propterea fpatia coeleftia> per quae globi planetarum & cometarum, in omnes partes liberrime & fine omni motus diminutione fenfibili perpetuo moventur, fluido omni corporeo deftituuntur, fi' forte vapores longe tenuiffimos & trajeftos lucis radios excipias. Projedilia utique motum cient in fluidis progrediendo,- & hic motus oritur ab exceflTu preflionis fluidi ad projeftilis partes anticas fupra prefTionem ad ejus partes pofiicas, & non minor efle poteft in mediis infinite fluidis quam in aere, aqua.& argento vivo pro ' denfitate materiae ,in fingulis. Hic autem preflionis exceflus, pro quantitate fua,, non tantum motum ciet in fluido, fed etiam agit in projeftile ad motum ejus retardandum : & propterea refiitentia in omni fluido eft. ut motus in fluido a projeftili excitatus, nec minor efle poteft in aethere fubtilifTimo pro denfitate :^theris, quam . in aere, aqua & argento , vivo pro denfitatibus horum fluidorum. . > SECTIO. PRINCIPIA MATHEMATICA. 357 Liber*' SsS'C U N D 'JS* SECTIO viir. T>e motu per fluida propagato, PROPOSITIO XLI. THEOREMA XXXIE Frejfio non propagatur per fluidum fecundum Irneas reBas^^ nifl ubi pcirttcul^ flmdi in' direBum jacent. Si jaceant particulae b, d, e in linea refta, poteft quidem pref- fio direfte propagari ab ^ ad ^ ; at particula e urgebit particulas oblique- pofitas f ^ g oblique, & particulae illae / & g non fuftinebunt pref- fionem illatam, nifi fulciantur a particulis ulterioribus h 8c k qua- tenus autem fulciuntur, premunt particulas fulcientes ; & hae non^ fuiUnebunt preffionem nifi fulciantur ab ulte- rioribus t & m eafque premant, & fic deinceps in infinitum. PrefTio igitur, quam primum pro- pagatur ad particulas quae non in direftum ja- cent, divaricare incipiet & oblique propagabitur in infinitum ; & poftquam incipit oblique propa- gari, fi inciderit in particulas ulteriores, quae non in direftum jaceirt, iterum divaricabit ; idque toties, quoties in parti- culas non accurate in direftum jacentes inciderit. ^ E. D. Corel. Si preffionis, a dato punfto per fluidum propagatae, pars- aliqua obftaculo intercipiatur ; pars reliqua, qu® non intercipitur, divaricabit, in fpatia.pone obftaculum. Id quod fic etiam demon- ftrari poteft. A punfto A propagetur preflio quaquaverfum, idque fi fieri poteft fecundum lineas reftas, & obftaculo iVACAT perfora- to in BC, intercipiatur ea omnis, praeter partem, coniformem quae per foramen circulare BC. tranfit. Planis tranfverfis de, fg\ hi diftinguatur conus AT^in frufta ; & interea dum. conus ABC^. preffionem propagando, urget fruftum conicuiii - ulterius dVgf in fuperficie de, & hoc fruftum urget fruftum proximum fgih in fu- perficie/^, & fruftum illud urget fruftum tertium, & fic deinceps - iu infinitum; manifeftum eft (per motus legem tertiam) quod fru- ftum. 358 PHILOSOPHIA NATURALIS De MoToftum primum defg, reaflione frutti kcmAxfghi, tantum urgebitur Coreorum ^ premetur in fuperbcie fg, quantum urget & premit frullum il- lud fecundum. Frultum igitur inter conum Ade & frullum fhig comprimitur utrinque, &propterea (per corol. vi. prop. xtx.) figuram fuam fervare nequit, nifi vi eadem comprimatur undique. .Eodem igitur impetu quo premitur in fuperficiebus d e, fg, cona- hitur cedere ad latera eg% ibique (cum rigidum non fit, fed omnimodo fluidum) excurret ac dilatabitur, nifi fluidum ambiens adfir, quo conatus ille cohibeatur. Proinde conatu excurrendi, pre- met tam fluidum ambiens ad latera df, eg quam frullum fghi eo- dem impetu ; & propterea preflio non minus propagabitur a late- ribus df, eg in fpatia NO, KL hinc inde, quam propagatur a luper- ficie /g verfus ^ E. ©. PROPO PRINCIPIA MATHEMATICA. 3J9 PROPOSITIO XLII. THEOREMA XXXIII. Motus omyns- per fluidum propagatus divergtt a redlo tramite in fpatia immota. Liber' S* C U N DU s* Caf.i. Propagetur motus a punfto per foramen .SC, pergat- que, fi fieri poteft, in fpatio eonico BC^y fecundum lineas redas divergentes a pundo ji. Et ponamus primo quod motus ifte fit undarum in fuperficie fiagnantis aqu^. Sintque de^ fg,, hi, ^ &c. undarum fingularum partes altilfimae, vallibus totidem inter-- mediis ab invicem diftindae. Igitur quoniam aqua in undarum ju-^ gis alrior elt quam in fluidi partibus immotis LK^ A^O, defluet ea- dem de jugorum terminis i, /, &c. A, &c. hinc inde verfus KL & A^O ; & quoniam in undarum vallibus depreffior eft ' quam in fluidi partibus immotis KL^ NO ; defluet eadem de parti- bus illis immotis in undarum valles. Defluxu priore undarum jiigaj poiteriore valles hinc inde dilatantur & propagantur verfus KL ^ NO. 3^0 PHILOSOPHIiE NATURALIS db Motu Et quoniam motus undarum ab ^ verfus fit per conti- CoKPOBUM defluxum jugorum in valles proximos, ideoque celerior non eft quam pro celeritate defcenfus ; & defcenfus aquae hinc inde verfus KL & NO eadem velocitate peragi debet; propagabitur dilatatio undarum hinc inde verfus KL & NO eadem velocitate qua undae ipfae ab ^ verfus refla progrediuntur. Proindeque fpatium totum hinc inde verfus KL & NO ab undis dilatatis rfgr sh isy^klty vmnv^ &c. occupabitur. ^ E. 2). Haec ita fe ha, bere quilibet in aqua ftagnante experiri poteft. Caf.%. Ponamus jam quod de^fg^ hij kly mn defignent pulfus a punfto A per medium elafticum fucceflive propagatos. Pulfus propagari concipe per fucceflivas condenfationes & rarefafliones medii, fic ut pulfus cujufque pars denfiflima fphaericam occupet fu- perficiem circa centrum A defcriptam, & inter pulfus fucceffivos sequalia intercedant intervalla. Defignent autem lineae de, fg^ hi n &c. denfiffimas pulfuum partes, per foramen BC propagatas’ tt quoniam medium ibi denfius eft quam in fpatiis hinc inde verfus KL & iVO, dilatabit fefe tam verfus fpatia illa KLy NO utrinque fita, PRINCIPIA MATHEMATICA. ^6i fita, quam verfus pulfuum rariora intervalla ; eoque pafto rarius ^ 'femper evadens e regione intervallorum ac denfius e regione fuum, participabit eorundem motum. Et quoniam pulfuum pro- greflivus motus oritur a perpetua relaxatione partium denfiorum verfus antecedentia intervalla rariora ; & pulfus eadem fere celerita- te fefe in medii partes quiefcentes KL, NO hinc inde relaxate de- bent ; pulfus illi eadem fere celeritate fefe dilatabunt undique in fpa- tia immota KL, NO, qua propagantur direfte a centro N ; ideoque fpatium totum KLON occupabunt. ^ E. ®. Hoc experimur in fonis, qui vel monte interpofito audiuntur, vel in cubiculum per feneftram admiffi fefe in omnes cubiculi partes dilatant, inque angu- lis omnibus audiuntur, npn tam reflexi a parietibus oppofitis, quam a feneftra direfte propagati, quantum ex fenfu judicare licet. Caf. 3. Ponamus denique quod motus cujufcunque generis pro- pagetur ab N per foramen £C: & quoniam propagatio ifla non fit, nifi quatenus partes medii centro N propiores urgent commovent- que partes ulteriores ; & partes quae urgentur fluidae funt, ideoque recedunt quaquaverfum in regiones ubi minus premuntur: rece- dent eaedem verfus medii partes omnes quiefcentes, tam laterales KL & NO, quam anteriores eoque pafto motus omnis, quam primum per foramen BC tranfiit, dilatari incipiet & inde tanquam a principio & centro, in partes omnes direfte propagari. ^ E. E). PROPOSITIO XLIII. THEOREMA XXXIV. Corpus omne tremulum m medio elafltco propagabit motum pulfuum undique in direBum 3 in medio vero non elajTico motum circularem excitabit. Caf I. Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo & re- deundo, itu fuo urgebunt & propellent partes medii fibi proximas, & urgendo compriment eafdem & condenfabunt ; dein reditu fuo finent partes comprelTas recedere & fefe expandere. Igitur par- tes medii corpori tremulo proximae ibunt & redibunt per vices, ad inltar partium corporis illius tremuli : & qua ratione partes corporis hujus agitabant hafce medii partes, hae limilibus tremoribus agitatae agitabunt partes fibi proximas, exque fimiliter agitatae agi- tabunt ulteriores, & fic deinceps in infinitum. Et quemadmodum A a a medii PHILOSOPHIAE NATURALIS Pe Motu ui0(3ii partcs prim82 eundo condenTiantur & redeundo rel^x^ntur, fic; coKPoi^uM reli4ua3 quoties eunt condenfabuntur , & quoties redeunt lefe^ expandent. Et propterea non omnes ibunt & iimul redibunt (fic enim determinatas ab invicem difiantias fervando, non rarefierent- & condenfarentur per vices) fed accedendo ad invicem ubi conden- fantur, & recedendo ubi rarefiunt, aliquse earum ibunt dum aliee re- deunt ; idqiie vicibus alternis in infinitum. Partes autem euntes & eundo condenfatae, ob motum fuum progreffivum, quo feriunt ob- fiacula, funt pulfus; & propterea pulfus fuccellivi a corpore omni; tremulo in direftum propagabuntur ; idque aequalibus circiter ab in- vicem difiantiis, ob aequalia temporis intervalla,, quibus corpus tre*- moribus fuis fingulis fingulos pulfus excitat. Et quanquam corporis, tremuli partes eant & redeant fecunduni plagam aliquam certam & determinatam, tamen pulfus inde per medium propagati fefe dilata- bunt ad latera, per propofitionem praecedentem; & a corpore illo tremulo tanquam centro communi, fecundum fuperficies propemo- dum fphaericas & concentricas,, undique propagabuntur.. Cujus rei^ exemplum aliquod habemus in undis, quae fi digito tremulo exci- tentur, non folum pergent hinc inde fecundum plagam motus digE tii fed, in modum circulorum concentricorum, digitum ftatim cin- gent & undique propagabuntur. Nam gravitas undarum fupplet lo- cum vis elaflicae. C^y: 2., Quod fi medium non fit elaflicum : quoniam ejus partes a. corporis tremuli partibus vibratis prefiTae condenfari nequeunt, pro- pagabitur motus in inflanti ad partes ubi medium facillime cedit; hoc efl, ad partes quas corpus tremulum alioqui vacuas a tergo re- linqueret. Idem efl cafus cum cafu corporis in medio quocunque projefti. Medium cedendo projeftilibus, non recedit in infinitum;, fed.. in circulum eundo, pergit ad fpatia quae corpus relinquit a ter- go. Igitur quoties corpus tremulum pergit in partem quamcunque, . medium cedendo perget per circulum ad partes quas corpus relin- quit; & quoties corpus regreditur ad locum priorem, medium in* de repelletur & ad locum fuum priorem redibit. Et quamvis cor- pus tremulum non fit firmum, , fed modis omnibus flexile, 'fi tamen magnitudine datum maneat, quoniam tremoribus fuis nequit medi- um ubivis urgere, quin. alibi eidem fimul cedat ; efficiet ut medi- um, % PRINCIPIA MATHEMATICA. um, recedendo a partibus ubi premitur, pergat femper in orbem ad^ partes quae eidem cedunt. E. 2). Corel. Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium flammae ad preflionem, per medium ambiens, fecundum lineas re- flas propagandum conducere. Debebit ejufmodi preffio non ab agitatione fola partium flammae, fed a totius dilatatione derivari. PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XXXV. Si aqua in canalis cruribus ereElis KL, MN vicibus alternis ^cendat defcendat } conflruatur autem pendulum cujus longitudo inter punBum fufpenftonis &' centrum ofcillationis aquetur femijjt longitudinis aquce in canali : dico quod a~ qua afcendet & defcendet iifdem temporibus quibus pendu- lum ofcillatur. Longitudinem aquae menfuro fecundum axes canalis & crurum, eandem fummae horum axium aequando refittentiam aquae, quae oritur ab attritu canalis, hic non confidero. Defignent igitur ABy C2) mediocrem altitudinem aquae in crure utroque ; & ubi aqua in crure KL afcendit ad altitudinem EF, defcenderit aqua in crure MK ad altitudinem GH. Sit autem T corpus pendulum, VF filum, V punftum fufpenfionis, cyclois quam pendulum defcribat, P ejus punftum infimum, P^arcus altitudini AE aequa- A a a a 3 EF fuperficiem aquae flagnantis, undis fucceffivis afcendentem ac de- fcendentem ; fintque C, Ey &lq., undarum culmina, & By 2), F, &c. valles intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aquae fucceflivum afcenfum & defcenfum, fic ut ejus partes A, C, F, &c. B qtiae nunc altifGmae funt, mox fiant infimae ; & vis motrix, qu^ par- tes altiffimae defcendunt & infimae afcendunt, efi pondus aquae ele-^ vatae ; alternus ille afcenfus & defcenfus analogus erit motui reci- proco aquse in canali, eafdemque temporis leges obfervabit : & prop- terea (per prop. xliv.) fi diilantiae inter undarunt loca altiffima^ Ay Cy E infima F, T>y F aequentur duplae penduli longitudini ; partes altiffimae Ay C, F, tempore ofcillationis unius evadent infimae^ & tempore ofcillationis alterius denuo afcendent. Igitur inter tran- fitum undarum lingularum tempus erit ofcillationum duarum; hoc efi, unda defcribet latitudinem fuam, quo tempore pendulum illud bis ofcillatur ; fed eodem tempore pendulum, cujus longitudo qua- drupla efi, ideoque aequat undarum latitudinem, ofcillabitur femeL ^ CoroL De Motu Coa PORUM S L_ /"l 0 I ft ... . ily VI /. Jl \ ^ yt. L Defignent B C, CT>, &c. pulfuum fucceffivorum aequales di- flantias ; ABC plagam motus pulfu- um ab A verfus B propagati ; E-, Fy G punfta tria phylica medii quie- fcentis in refta ad aequales, ab invicem diftantias fita ; Ee, Ff,Gg fpatia aequalia perbrevia per quae punfta illa motu reciproco fingulis vibrationibus eunt & redeunt ; loca quaevis intermedia eorun- dem punftorum; & EF, FG lineolas phyficas feu medii partes lineares punftis illis interjeftas, & fuc- celUve tranflatas in loca £ /; & propterea expanfio partis illius ih itu elt ad ejus expanfionem mediocrem, ut EG—LN\^ EG ; in reditu- autem ut EG ’\-hi feu EG-\-LR ad EG. Quare cum fit LN ad KH ut /A/ad radium OPy &c KH ad EG ut circumferentia PHShP ad BCy id efi, fi ponatur V pro radio circuli circumferentiam haben- tis aequalem intervallo pulfuum BC y ut 0?*,ad V ; & ex aequo LK ad EG ut IM ad V : erit expanfio partis EG pundive phyfici F in' loco . € y ad expanfionem mediocrem, quam pars illa habet in loco fuo primo EGy ut V — IM ad V in itu, utque V— ad V in reditu.;^ Unde vis elalUca pundti F in loco ty efi: ad vim ejus elafiicam me- Liber E C U N DU S^r diocrem in loco EGy ut I I y — V reditu vero ur mr ad y . Et eodem argumento vires elafticae pundoru phylico- De Motu Cokporum PHILOSOPHIAE NATURALIS phyficorum £ & G in itu, funt ut & ^TTL ^ V^KN i ; & virium differentia ad medii vim elafticam mediocrem, ut ^ — Tj-T WlTr V V — V X Ls — V x£i\r-f//£xAiV V ad five ut HL-^KN V, fi modo (ob anguflos limites vibrationum) fupponamus HL & KN indefinite minores effe quantitate V. Quare cum quantitas V detur, differentia virium efl ut HL — KNy hoc efl (ob proportionales HL — KN ad //£, & OM ad 01 vel datafque HK & OT) ut OM ; id efl, fi Ff bifecetur in 12, ut 12 (p. Et eodem argumento differentia virium elafticarum punftorum phyficorum g & y, in reditu lineolae phyficae e y efl: ut 12 (p. Sed differentia illa (id efl, excelfus vis elaflicae punfti g fupra vim elafticam punfti y ) efl vis qua interjefta medii lineola phyfica ty acceleratur in itu & retardatur in reditu ; & propterea vis acce- leratrix lineolae phyficae g y^ efl ut ipfius diftantia a medio vibrationis loco 12. Proinde tempus (per prop. xxxviii. lib. i.) refte expo- nitur per arcum 5P/; & medii pars linearis iy lege praefcripta mo- vetur, id efl, lege ofcillantis penduli : eftque par ratio partium om- nium linearium ex quibus medium totum componitur. ^ E. ®. Corol, Hinc patet quod numerus pulfuum propagatorum idem fit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplicatur in eorum progreflu. Nam lineola phyfica gy, quamprimum ad locum fuum primum redierit, quiefcet ; neque deinceps movebitur, nifi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulfuum qui a cor- pore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiefcet igitur quamprimum pulfus a corpore tremulo propagari definunt. PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XXXVIIL P ulfuuyyi tn flutdo elujiico pvopu^citovum velocitcites funt tn vci^ ttone compoftta ex fuhdupUcata ratione vis elaflic^ direSe^ fuhduphcata ratione denfitatis inverfe • fi modo fluidi vis eia- flica ejufldem condenfationi proportionalis effle flupponatur. Cafl.i, Si media fint homogenea, & pulfuum diftantiae in his me- diis aequentur inter fe, fed motus in uno medio intenfior fit : con- traftiones PRINCIPIA mathematica. traftiones & dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. Liber Accurata quidem non elt haec proportio. Veruntamen nifi traftiones & dilatationes fint valde intenfae, non errabit fenfibiliter, ideoque pro phyfice accurata haberi poteft. Sunt autem vires eia. flicae motrices ut contrafliones & dilatationes ; & velocitates par- tium aqualium fimul genitae funt ut vires. Ideoque aequales & correfpondentes pulfuum correfpondentium partes itus & reditus Aios per fpatia contraftionibus & dilatationibus proportionalia, cum velocitatibus quae Aint ut fpatia, fimul peragent : & propterea pul- fus, qui tempore itus & reditus unius latitudinem fuam progredien- do conficiunt, & in loca pulfuum proxime praecedentium femper fuccedunt, ob aequalitatem diftantiarum, aquali cum velocitate in medio utroque progredientur. Caf X. Sin pulfuum diftantiae feu longitudines fint majores in uno medio quam in altero ; ponamus quod partes correfpondentes fpatia latitudinibus pulfuum proportionalia fingulis vicibus eundo & redeundo defcribant : & aequales erunt earum contradiones & di- latationes. Ideoque fi media fint homogenea, aequales erunt etiam vires illae elafticae motrices quibus reciproco motu agitantur. Ma- teria autem his viribus movenda eft ut pulfuum latitudo ; & in ea- dem ratione efi fpatium per quod fingulis vicibus eundo & rede- undo moveri debent. Efique tempus itus & reditus unius in ratio- ne compofita ex ratione fubduplicata materiae & ratione fubdupli- cata fpatii, atque ideo ut fpatium. Pulfus autem temporibus itus & reditus unius eundo latitudines fuas conficiunt, hoc eft, fpatia temporibus proportionalia percurrunt ; & propterea funt aequive- loces. Caf. 3. In mediis igitur denfitate & vi elaftica paribus, pulfus omnes funt aequiveloces. Quod fi medii vel denfitas vel vis elaftica intendatur, quoniam vis motrix in ratione vis elafticae, & materia movenda in ratione denfitatis augetur ; tempus, quo motus iidem peragantur ac prius, augebitur in fubduplicata ratione denfitatis, ac diminuetur in fubduplicata ratione vis elafticae. Et propterea velo- citas pulfuum erit in ratione compofita ex ratione fubduplicata den- fitatis medii inverfe & ratione fubduplicata vis elafticae direde-, £ jHasc propofitio ulterius patebit ex conftruflione fequentis. Bbb PROPO- 370 De Motu CARPORUM PHILOSOPHIA NATURALIS PROPOSITIO XLIX. PROBLEMA XI. Dath medii denfitaie vl elafilca^ Invenire velocitatem fuum. Fingamus medium ab incumbente pondere pro more aeris nollri comprimi ; fitque A altitudo me- dii homogenei, cujus pondus adaequet pondus incum- bens, & cujus denfitas eadem fit cum denfitate medii Gomprefli, in quo pulfus propagantur. Conllitui au- tem intelligatur pendulum, cujus longitudo inter pun- ftum fufpenfionis & centrum ofcillationis fic A & quo tempore pendulum illud ofcillationem. integram ex itu & reditu compofitam peragit, eodem pullus eundo conficiet fpatium circumferentiae circuli radio A defcripti aequale. Nam flantibus quae in propofitione XLVir. conflru- 6ta funt, fi linea quaevis phyfica EF^ fingulis vibratio- nibus defcribendo fpatium V ur- geatur in extremis itus & reditus cujufque locis T S, a vi elaflica quae ipfius ponderi aequetur ; pera- get haec vibrationes fingulas quo tem- pore eadem in cycloide, cujus peri- meter tota longitudini PS aequalis efl, ofcillari pofiet : id adeo quia vi- res aequales aequalia corpufcula per aequalia fpatia fi- mul impellent. Quare cum ofcillationum tempora fint in fubduplicata ratione longitudinis pendulorum, ■& longitudo penduli aequetur dimidio arcui cycloidis totius; foret tempus vibrationis unius ad tempus of- cillationis penduli, cujus longitudo efl A, in fubdupli- cata ratione longitudinis 4 feu PO ad longitudi- nem A. Sed vis elaflica, qua lineola phyfica EG, in locis fuis extremis P, S exiflens, urgetur, erat (in de- jTionflratione propofitionis xlvii.) ad ejus vim totam daiiicani ut V, hoc efl (cum punftum E jam F / PRINCIPIA MATHEMATICA. 371 A j. CoroL I. Velocitas pulfuum ea ed, quam acquirunt gravia aequa- liter accelerato motu cadendo, & cafu fuo defcribendo dimidium altitudinis A. Nam tempore cafus hujus, cum velocitate cadendo acquifita, pulfus percurret fpatium quod erit aequale toti altitudini A ; ideoque tempore ofcillationis unius ex itu & reditu compofitae percurret fpatium aequale circumferentiae circuli radio A defcripti : ed enim tempus cafus ad tempus ofcillationis ut radius circuli ad ejufdem circumferentiam. CoroL X. Unde cum altitudo illa A fit ut fluidi vis eladica direfte & denfitas ejufdem inverfe ; velocitas pulfuum erit in ratione com- pofita ex fubduplicata ratione denfitatis inverfe & fubduplicata ra- tione vis eladicae direfte. B b b X BROPO. '37» B Motu Corporum PHILOSOPHIAE NATURALIS PROPOSITIO L. PROBLEMA XIL Invenire pulfuum dijiantias. Corporis, cujus tremore pulfus excitantur, inveniatur numerus vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur fpatium quod pulfus eodem tempore percurrere poflit, & pars inventa erit pulfus unius latitudo. E, L ■ SchoUum. Speftant propofitiones noviflimas ad motum lucis & fonorum. Lux enim cum propagetur fecundum lineas reflas, in aflione fola (per prop. xli. & xlii.) confiftere nequit. Soni vero propterea quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud funt quam aeris pulfus propagati, per prop. xliii. Confirmatur id ex tremoribus quos excitant in corporibus objeflis, fi modo vehementes fint & graves, quales funt foni tympanorum. Nam tremores celeriores & breviores difficilius excitantur. Sed & fonos quofvis, in- chordas corporibus fonoris unifonas impaflos, excitare tremores notiffimum elt. Confirmatur etiam ex velocitate fonorum. Nam cum ponde- ra fpecifica aquas pluvialis & argenti vivi fint ad invicem ut i ad 137 circiter, & ubi mercurius in Barometro altitudinem attingit di- gitorum AngUcorttm 30, pondus fpecificum aeris & aquae pluvialis fint ad invicem ut i ad' 870 circiter: erunt pondera fpecifica acris & argenti vivi ut i ad 11890. Proinde cum altitudo argenti vivi fit 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem noftrum fubjeflum comprimere pofTet, erit 356700 digitorum, feu* pedum Anglicorum 29715. Eflque haec altitudo illa ipfa quam in conftru- flione fuperioris problematis nominavimus A. Circuli radio 19715 pedum defcripti circumferentia eft pedum 186768. Et cum pendu- lum digitos 39t longum ofcillationem ex itu & reditu compofitam tempore minutorum duorum fecundorum, uti notum efl, abfolvat ; pendulum pedes 29715 feu digitos 356700 longum ofcillationem confimilem tempore minutorum fecundorum 190I: abfolvere debebit. Eo igitur tempore fonus progrediendo conficiet pedes 1867683. ideoque tempore, minuti unius fecundi pedes 979, Caeterum. PRINCIPIA MATHEMATICA. Cffiterum in hoc computo nulla habetur ratio craffitudinis folida- l rum particularum aeris, per quam fonus utique propagatur in in-®^'^ flanti. Cum pondus aeris fit ad pondus aquae ut i ad 870, & fales fint fere duplo denfiores quam aqua ; fi particulae aeris ponantur efle ejufdem circiter denfitatis cum particulis vel ^quae vel falium, & raritas aeris oriatur ab intervallis particularum : diameter parti- culae aeris erit ad intervallum inter centra particularum, ut I ad 9 vel IO circiter, & ad intervallum inter particulas ut i ad 8 vel 9. Proinde ad pedes 979, quos fonus tempore minuti unius fecundi juxta calculum fuperiorem conficiet, addere licet pedes feu 109 cir- citer, ob craffitudinem particularum aeris : & fic fonus tempore mi- nuti unius fecundi conficiet " s 1088 circiter. His^ adde quod vapores iff^re latentes, cum fint alterius elate- ris & alterius toni, vix aut ne vix quidem participant motum aeris veri quo foni propagantur. His autem quiefcentibus, motus ille celerius propagabitur per folum aerem verum, idque in fubdupli- cata ratione minoris materiae. Ut fi atmofphaera conflet ex decem partibus aeris veri'& una parte vaporum, motus fonorum celerior erit in fubduplicata ratione ii ad 10, vel in integra circiter ratione 21 ad 20, quam fi propagaretur per undecim partes aeris veri: ideoque motus fonorum^fupra inventus, augendus erit in hac ratio- ne. Quo pafto fonus, tempore minuti unius fecundi, conficiet pe- des 1^42. Haec ita fe habere debent tempore verno ' & autumnali, ubr aer per calorem temperatum rarefcit & ejus vis elaflica nonnihil intendi- tur. At hyberno tempore, ubi aer per frigus condenfatur, & ejus vis elaflica remittitur, motus fonorum tardior efTe debet in fubdupli- cata ratione denfitatis ; & viciffim aeflivo tempore debet efle velocior. Conflat autem per experimenta. quod foni tempore minuti unius- fecundi eundo conficiunt pedes Londinenfes plus minus 1142., Tari-- Jienfes vero 1070. Cognita fonorum velocitate innotefcunt etiam intervalla pulfuumJ Invenit utique 2). Sauveur^ fallis a fe experimentis, quod fiflula a»- perta, cujus longitudo efl pedum T arifien/ium plus minus quinque, fonum edit ejufdem toni cum fono chordae quae tempore minuti' unius fecundi centies recurrit. Sunt igitur pulfus plus minus cen- tum in Vari^enjium 1070,. quos -fonus tempore mir 374 PHILOSOPHI/E NATURALIS Db Motu unius fccundi percurrit; ideoque pulfus unus occupat fpatium Corporum T arifienjium quafi iotV, id ell, duplam circiter longitudinem Mulae. Unde verfimile efl quod latitudines pulfuum, in omnium apertarum Mularum fonis, aequentur duplis longitudinibus Mula- rum. Porro cur foni celTante motu corporis fonori flatim cefTant, neque diutius audiuntur ubi longiflime diflamus a corporibus fonoris, quam cum proxime abfumus, patet ex corollario propofitionis xlvii. libri hujus. Sed & cur foni in tubis llentorophonicis valde augentur ex allatis principiis manifeltum eft. Motus enim omnis reciprocus fin- gulis recurfibus a caufa generante augeri folet. Motus autem in tubis dilatationem fonorum impedientibus, tardius amittitur & for- tius recurrit, & propterea a motu novo fingulis recurfibus imprelTo magis augetur. Et haec funt praecipua phaenomena fonorum. SECTIO IX. De motu circulari fluidorum. H Y P O T H E S I S. \ Efiflentiam^ qu^ oritur ex defeBu luhricitatis partium fluidi y c at eris paribus^ proportionalem ejfe velocitati qua partes fluidi fep arantur ab invicem. PROPOSITIO LI. THEOREMA XXXIX. St cflindrus folidus infinite longus in fluido uniformi Sf infini- to circa axem pofiitione datum uniformi cum motu revolvatur^ C ab hujus impulfu folo agatur fluidum in orbem^ perfeve- ret autem fluidi pars unaquaque uniformiter in motu fluo ; dico quod tempora periodica partium fluidi funt ut ipfarum diBantia ab axe cylindri. ^ Sit AFL cylindrus uniformiter circa axem S in orbem adus, & circulis concentricis BGM, CHN, T>IO, E KTy &c. diftinguatur fluidum PRINCIPIA mathematica. 3^^ fluidum in orbes cylindricos innumeros concentricos folidos ejuf. Liber dem craffitudinis. Et quoniam homogeneum cil fluidum, impreffi- ^ ones contiguorum orbium in fe mutuo erunt (per hypothe- fm) ut eorum tranflationes ab invicem, & fuperficies contiguae in quibus impreffiones fiunt. Si impreffio in orbem aliquem major e(l vel minor ex parte concava quam ex parte convexa ; praevalebit impreffio fortior, & motum orbis vel accelerabit vel retardabit, prout in eandem regionem cum ipfius motu vel in contrariam di- rigitur. Proinde ut orbis unufquifque in motu fuo uniformiter per- feveret, debent impreffiones ex parte utraque fibi invicem aequari & fieri in regiones contrarias. Unde cum impreffiones funt ut con- tiguae fuperficies & harum tranflationes ab invicem, erunt tranfla- tiones inverfe ut fuperficies, hoc efl, inverfe ut fuperficierum dillan- tiae ab axe. Sunt autem differentiae motuum angularium circa ax- em ut hae tranflationes applicatae ad diflantias, five ut tranflationes direfte & diflantiae inverfe ; hoc efl, conjundlis rationibus, ut quadrata diflantiarum inverfe. Quare fi ad in- finita redae d'^^C2)£’^partes fin- gulas erigantur perpendicula Bb, Cc, 2)^, Ee^ &c. ipfarum SA^ SB^ SC, ST>, SE, &c. quadratis reciproce proportionalia, & per terminos per- pendicularium duci intelligatur linea curva hyperbolica ; erunt fummae differentiarum, hoc eff, motus toti angulares, ut refpondentes fummae li- nearum Aa, Bb, C c,T> d, E e, id efl, fi ad conftituendum medium uniformiter fluidum, orbium numerus augeatur & latitudo minuatur in infinitum, ut areae hyperbolicae his fummis analogae Aa^, Bb^, ^ E e &c. Et tem* pora motibus angularibus reciproce proportionalia, erunt etiam his areis reciproce proportionalia. Efl igitur tempus periodicum parti* culae cujufvis 2) reciproce ut area T>d^i hoc efl (per notas cur- varum quadraturas) direde ut diftantia ST>, E. T>. Corol. I. Hinc motus angulares particularum fluidi funt recipro- ce ut ipfarum dillantise ab axe cylindri, & velocitates abfolutas funt aquales.. Qorol. 37^ PHILOSOPHIA NATURALIS u CoroL X. Si fluidum in vafe cylindrico longitudinis infinitae con- tineatur, & cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem, fintque revolutionum tempora ut ipforum femidiametri,& perfeveret fluidi pars unaquaeque in motu fuo: erunt partium fingularum tempora periodica ut ipfa- rum diflantiae ab axe cylindrorum. CoroL 3. Si cylindro & fluido ad hunc modum motis addatur vel auferatur communis quilibet motus angularis ; quoniam hoc novo motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mutabuntur motus partium inter fe. Nam tranflationes partium ab invicem pen- dent ab attritu. Pars quaelibet in eo perfeverabit motu, qui, attri- tu utrinque in contrarias partes fafto, non magis acceleratur quam retardatur. CoroL 4. Unde fi toti cylindrorum & fluidi fyftemati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi in cylindro quiefeente. CoroL 5. Igitur fi fluido & cylindro exteriore quiefeentibus, re- volvatur cylindrus interior uniformiter ; communicabitur motus cir- cularis fluido, & paulatim per totum fluidum propagabitur; nec prius definet augeri quam fluidi partes fingulae motum corollario .quarto definitum acquirant. CoroL 6. Et quoniam fluidum conatur motum fuum adhuc latius propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior nili violenter detentus ; & accelerabitur ejus molus quoad ufque tem- pora periodica cylindri utriufque aequentur inter fe. Quod fi cylin- drus exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retar- dare ; & nili cylindrus interior vi aliqua extrinfecus imprefla ^:um illum confervet, efliciet ut idem paulatim ceffet. Quae omnia in aqua profunda flagnante experiri licet. PROPO- PRINCIPIA mathematica. 377 Liber S E c u N D ys* PROPOSITIO LII. THEOREMA XL. »5/ fph^sra foltda^ m fluido uniformi Qf infinito^ circa axem po- fitione datum uniformi cum motu revolvatur ^ ah hujus tmpulfu folo agatur fluidum in orhem ; perfeveret autem fluidi pars unaquaque uniformiter in motu fluo : dico quod tempora periodica partium fluidi erunt ut quadrata diftan-' tiarum a centro flphara. Cafl. I. Sit ^FL fphaera uniformiter circa axem Sin orbem afta, & circulis concentricis BGM, CHNy EKF^ &c. diflingua- tur fluidum in orbes innumeros concentricos ejufdem craflitudinis. Finge autem orbes illos efle folidos ; & quoniam hom.ogeneum eit fluidum, imprelTiones contiguorum orbium in fe mutuo faflae, erunt (per hypothefin) ut eorum tranflatio- nes ab invicem & fuperficies contiguce in quibus imprcfliones fiunt. Si im- preffio in orbem aliquem major eil vel minor ex parte concava quam ex parte convexa ; praevalebit impreflio fortior, & velocitatem orbis vel acce- lerabit vel retardabit, prout in ean- dem regionem cum ipfius motu vel in contrariam dirigitur. Proinde ut orbis unufquifque in motu fuo perfe- veret uniformiter, debebunt impref- fiones ex parte utraque fibi invicem aequari, & fieri in regiones contrarias. Unde cum imprefliones fint ut contiguae fuperficies & harum tranflationes ab invicem ; erunt tranflationes inverfe ut fuperficies, hoc efl, inverfe ut quadrata di- flandarum fuperficierum a centro. Sunt autem differentiae motuum angularium circa axem ut hae tranflationes applicatae ad dillantias, five ut tranflationes direfle & diflantiae inverfb ; hoc efl, conjunftis rationibus ut cubi diftantiarum inverfe. Quare fi ad refl^ infinitas S ABQF) E fingulas erigantur perpendicula Aa^ Eb, Cc, C c c K/ VG/ a \ V ****■•»#, : \ \ ! ’* • 1 *• ! d •*. 'i V 1 '0 E. (l M"' d-- 378 PHILOSOPHIi£ NATURALIS Pe Motu ^ £ e, &c. ipfarum S By SCy ST>y SEy &c. cubis reciproce CoHPORuM erunt fumin® differentiarum, hoc elt, motus toti angulares, ut refpondentes lummae linearum A ay B by C Cy ^ d, E e : id ell (fi ad condituendum medium u- niformiter fluidum, numerus orbium augeatur & latitudo minuatur in in- flnitum ) ut areae hyperbolicae his 1'ummis analogae Aa^y Bb^y T) d§^y Ee^y &c. Et tempora pe- riodica motibus angularibus reciproce proportionalia erunt etiam his areis reciproce proportionalia. Elt igitur tempus periodicum orbis cujufvis ^1)10 reciproce ut area d hoc efl, per notas curvarum quadraturas, diredle ut quadratum diftam tiae ST>. Id quod volui primo demonflrare. Cafi, A centro fphaerae ducantur infinitae reflae quam plurimae, quae cum axe datos contineant angulos, aequalibus differentiis fe mu- tuo fuperantes ; & his reftis circa axem revolutis concipe orbes in* annulos innumeros fecari ; & annulus unufquifque habebit annulos quatuor fibi contiguos, unum interiorem, alterum exteriorem & duos laterales. Attritu interioris & exterioris non poteft annulus unufquifque, nifi in motu juxta legem cafus primi fadto, aequaliter & in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex demoniiratione cafus primi. Et propterea annulorum feries quaelibet a globo in infini- tum refla pergens, movebitur pro lege cafus primi, nifi quatenus impeditur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege faflo attritus annulorum ad latera nullus eft ; neque ideo motum, quo minus hac lege fiat, impediet. Si annuli, qui a centro aequaliter diftant, vel citius revolverentur vel tardius juxta polos quam juxta: eclipticam ; tardiores accelerarentur, & velociores retardarentur ab attritu mutuo, & fic vergerent femper tempora periodica ad aequa- litatem, pro lege cafus primi. Non impedit igitur hic attritus quo > minus motus fiat fecundum legem cafus primi, & propterea lex illa obtinebit . hoc eft, annulorum fingulorum tempora periodica erunt ut quadrata diftantiarum ipforum a centro globi. Quod, volui fe- cundo demonftrare. Q^n PRINCIPIA MATHEMATICA. 379 Caf.^. Dividatur jam annulus unufquifque feftionibus tranfveriis ^ in particulas innumeras conftituentes fubftantiam abfolute & miter fluidam ; & quoniam hse feftiones non fpeftant ad legem mo- tus circularis, fed ad conflitutionem fluidi folummodo conducunt, perfeverabic motus circularis ut prius. His feftionibus annuli omnes quam minimi afperitatem & vim attritus mutui aut non mutabunt, aut mutabunt aequaliter. Et manente caufarum proportione manebit effe« duum proportio, hoc efl, proportio motuum & periodicorum tem- porum. ^ E. T>. Caeterum cum motus circularis, & inde orta vis centrifuga, major fit ad eclipticam quam ad polos ; debebit cau- fa aliqua adefle qua particulae fingulae in circulis fuis retineantur ; ne materia, quae ad eclipticam efl, recedat femper a centro & per ex- teriora vorticis migret ad polos, indeque per axem ad eclipticam cir- culatione perpetua revertatur. CoroL I. Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi, funt reciproce ut quadrata diftantiariim a centro globi, & velocita- tes abfolutas reciproce ut eadem quadrata applicata ad diftantias ab axe. Corol. 2. Si globus in fluido quiefcente fimilari & infinito circa axem pofitione datum uniformi cum motu revolvatur, communica- bitur motus fluido in morem vorticis, & motus ifte paulatim pro- pagabitur in infinitum ; neque prius ceflTabit in fingulis fluidi parti- bus accelerari, quam tempora periodica fingularum partium fint ut quadrata diflantiarum a centro globi. CoroL 3. Quoniam vorticis partes interiores ob majorem fuam velocitatem atterunt .& urgent exteriores, motumque ipfis ea aftio- ne perpetuo communicant, & exteriores illi eandem motus quanti- tatem in alios adhuc exteriores fimul transferunt, eaque aftione fer- vant quantitatem motus fui plane invariatam ; patet quod motus per- petuo transfertur a centro ad circumferentiam vorticis, & per infi- nitatem circumferentiae' abforbetur. Materia inter fphaericas duas quafvis fuperficies vortici concentricas nunquam accelerabitur, eo quod motum omnem a materia interiore acceptum transfert femper in exteriorem. CoroL 4. Proinde ad confervationem vorticis conflanter in eodem movendi flatu, requiritur principium aliquod aftivum, a quo globus eandem femper quantitatem motus accipiat, quam imprimit in ma- C c c 2 teriam 380 PHILOSOPHUM NATURALIS Df. Motu feriam vorticis. Sine tali principio neceffe elt ut globus & vor- CcKPcRUM . . . . ‘ ^ r ' ticrs partes interiores, propagantes lemper motum luum in exterio- res, neque novum aliquem motum recipientes, tardefeant paulatim & in orbem agi delinant. Coro/. 5. Si globus alter huic vortici ad certam ab ipfius centro diliantiam innataret, & interea circa axem inclinatione datum vi aliqua conllanter revolveretur ; hujus motu raperetur fluidum in vorticem : & primo revolveretur hic vortex novus & exiguus una cum globo circa centrum alterius, & interea latius ferperet ipfius motus, & paulatim propagaretur in infinitum, ad modum vorticis primi. Et eadem ratione, qua hujus globus raperetur» motu vorticis ' alterius, raperetur etiam globus alterius motu hujus, fic ut globi duo circa intermedium aliquod pundlum revolverentur,, feque mutuo ob motum illum circularem fugerent, nifi per vim aliquam - cohibiti. Pbltea fi vires confianter impreATae, quibus globi in motibus fuis per- feverant, celTarent, & omnia legibus mechanicis permitterentur, lan^ guefceret paulatim motus globorum (ob rationem in coroh 3. & 4. aflignatam) & vortices tandem conquiefeerent. Coro/. 6. Si globi plures datis in locis circum axes pofitione datos certis cum velocitatibus conftanter revolverentur, fierent vortices totidem in infinitum pergentes. Nam globi finguli eadem ratione, qua unus aliquis motum fuum propagat in infinitum, propagabunt etiam motus fuos in infinitum, adeo ut fluidi infin-iti pars unaquae- que eo agitetur motu qui ex omnium globorum aflionibus refultat. Unde vortices non definientur certis limitibus, fed in fe mutuo pau- latim excurrent ; globique per adliones vorticum in fe mutuo per- petuo movebuntur de locis fuis, uti in corollario fuperiore expoli- tum eft; neque certam quamvis inter fe politionem fervabunt, nifi per vim aliquam retenti. CefTantibus autem viribus illis quae in globos confianter imprefiae confervant hofce motus, materia ob ra- tionem in corollario tertio & quarto aflignatam, paulatim requiefeet & in vortices agi definet. Coro/. 7. Si fluidum fimilare claudatur in vafe fphaerico, ac globi in centro confiftentis uniformi rotatione agatur in vorticem, globus autem & vas in eandem partem circa axem eundem revolvantur, fintque eorum tempora periodica ut quadrata femidiametrorum.; partes fluidi, non- prius perfeverabunt in motibus fuis fine accelera- tione P R IN C I PI A M AT H E M AT I C A. none & retardatione, quam fint eorum tempora periodica ut qua- drata dillantiarum a centro vorticis. Alia nulla vorticis confUtmio potelt effe permanens. C roL 8. Si vas, fluidum inclufum, & globus fervent hunc motum., & motu praeterea communi angulari circa axem quemvis datum revolvantur ; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium fluidi in fe invicem, non mutabuntur motus partium inter fe. Nam tranflationes partium inter fe pendent ab attritu. Pars quselibet in eo perfeverabit motu, quo fit ut attritu ex uno latere non magis tar- detur quam acceleretur attritu ex altero. CoroL 9. Unde fi vas quiefeat ac detur motus globi, dabitur mo- tus fluidi. Nam concipe planum tranfire per axem globi & motu contrario revolvi ; & pone fummam temporis revolutionis hujus & revolutionis globi efle ad tempus revolutionis globi, ut quadratum femidiametri vafis ad quadratum femidiametri globi : & tempora periodica partium fluidi, refpedu- plani hujus erunt ut quadrata df- llantiarum fuarum a centro globi. L I E E R. E C U N D Li i Coro/. 10. Proinde fi vas vel circa axem eundem cum globo, vel circa diverfum aliquem data cum velocitate quacunque moveatur, dabitur motus fluidi. Nam fi fyftemati toti auferatur vafis motus angularis, manebunt motus omnes iidem inter fe qui prius, per eo- rol. VI ir. Et motus ifti per corol. ix. dabuntur. Coro/. IT. Si. vas & fluidum quiefeant & globus uniformi cum motu revolvatur, propagabitur motus paulatim per fluidum totum in vas, & circumagetur vas nili violenter detentum, neque prius de- finent fluidum & vas accelerari, quam fint eorum tempora periodi- ca aequalia temporibus periodicis globi. Quod fi vas vi aliqua de- tineatur vel revolvatur motu quovis conflanti & uniformi, deveniet medium paulatim ad flatum motus in corollariis viii. ix. & x. de- finiti, nec in alio unquam flatu quocunque perfeverabit. Deindb vero fi, viribus illis cefiantibus quibus vas & globus certis motibus revolvebantur, permittatur fyltema totum legibus mechanicis vas & globus in fe invicem agent mediante fluido, neque motus fuos in fe mutuo per fluidum propagare prius ceflabunt, quam eorum tempora periodica sequentur inter fe, & fyflema totum ad inite corporis unius folidi fimul revolvatur. ScBofium.^ \ 38z , THILOSOPHI/E NATURALIS De Motu Scholhm. In his omnibus fuppono fluidum ex materia quoad denfitatem & fluiditatem uniformi conflare. Tale efl in quo globus idem eodem cum motu, in eodem temporis intervallo, motus fimiles & aequales, ad aequales femper a fe diflantias, ubivis in fluido conflitutus, pro- pagare poffit. Conatur quidem materia per motum fuum circularem recedere ab axe vorticis, & propterea premit materiam omnem ul- .teriorem. Ex hac prellione fit attritus partium fortior & feparatio ab invicem difficilior ; & per confequens diminuitur materiae flui- .ditas. Rurfus fi partes fluidi funt alicubi craffiores feu majores, flui- ditas ibi minor erit, ob pauciores fuperficies in quibus partes fepa- rentur ab invicem. In hujufmodi cafibus deficientem fluiditatem vel lubricitate partium vel lentore aliave aliqua conditione reflitui fup- pono. Hoc nifi fiat, materia ubi minus fluida efl magis cohaerebit & fegnior erit, ideoque motum tardius recipiet & longius propaga- bit quam pro ratione fuperius affignata. Si figura vafis non fit fphae- rica, movebuntur particulae in lineis non circularibus fed conformi- bus eidem vafis figurae, & tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium diflantiarum a centro quamproxime. In partibus inter centrum & circumferentiam, ubi latiora funt fpatia, tardiores erunt motus, ubi angufliora velociores, neque tamen particulae velociores petent circumferentiam. Arcus enim defcribent minus curvos, & conatus recedendi a centro non minus diminuetur per decrementum hujus curvaturae, quam augebitur per incrementum velocitatis. Per- gendo afpatiis anguflioribus in latiora recedent paulo longius a cen- tro, fed iflo recelTu tardefcent ; & accedendo poflea de latioribus ad angufliora accelerabuntur, & fic per vices tardefcent & accele- rabuntur particulae fingulae in perpetuum. Haec ita fe habebunt in vafe rigido, r^m in fluido infinito conflitutio vorticum innotefcit per propofitionis hujus corollarium fextum. Proprietates autem vorticum hac propofitione invefligare conatus fum, ut pertentarem fiqua ratione phaenomena coeleflia per vorti- ces explicari poflint. Nam phaenomenon efl, quod planetarum cir- ca jovem revolventium tempora periodica funt in ratione fefquiplica- ta diflantiarum a centro jovis ; & eadem regula obtinet in planetis qui circa folem revolvuntur. Obtinent autem hae regulae in plane- tis PRINCIPIA MATHEMATICA. 383- tis utrifque quam accuratiffime, quatenus obfervationes allronomicj® Libek haflenus prodidere. Ideoque fi planet^illi a vorticibus circa jovem & folem revolventibus deferantur, debebunt etiam hi vortices eadem lege revolvi. Verum tempora periodica partium vorticis prodie- runt in ratione duplicata diltantiarum a centro motus : neque poteil ratio illa diminui & ad rationem fefquiplicatam reduci, nifi vel ma- teria vorticis eo fluidior fit quo longius diflat a centro, vel refi- llentia, quas oritur ex defedu lubricitatis partium fluidi, ex auda velocitate qua partes fluidi feparantur ab invicem, augeatur in ma- jori ratione quam ea efl in qua velocitas augetur. Quorum tamen neutrum rationi confentaneum videtur. Partes crafliores & minus ^ fluidag, nifi graves fint in centrum, circumferentiam petent ; & ve- rifimile efl quod, etiamfi demonflrationum gratia hypothefin talem initio feftionis hujus propofuerim, ut refiflentia velocitati proportio- nalis eflet, tamen refiflentia in minori fit ratione quam ea velocitatis efl. Quo concefTo, tempora periodica partium vorticis erunt in majoris quam duplicata ratione diflantiarum ab ipfius centro. Quod fi vor- tices (uti aliquorum efl opinio) celerius moveantur prope centrum,, dein tardius ufque ad certum limitem, tum denuo celerius juxta cir- cumferentiam ; certe nec ratio fefquiplicata neque alia qusevis certa^ ac determinata obtinere potefl. Viderint itaque philofophi quo pa- fto phaenomenon illud rationis fefqui plicatae per vortices explicarii poflit. ' ^ PPvO POSITIO LIII. THEOREMA XLL Corpora^ tn vortice delata m orhem redeunt^ ejufdem funt '^ denfitatis cum vortice^ eadem lege cum 'ipjtus partibus ^ quoad velocitatem ^ curfus determinationem moventur. - Nam fi vorticis pars aliqua exigua, cujus particulae feu punfta^ phyfica datum fervant fitum inter fe, congelari fupponatur : haec, quoniam neque quoad denfitatem fuam, neque quoad vim infitam aut figuram fuam mutatur, movebitur eadem lege ac prius : & con- tra, fi vorticis pars congelata & folida ejufdem fit denfitatis cum re- liquo vortice, & refolvatur in fluidum ; movebitur haec eadem lege ' ac prius, nifi quatenus ipfius particulae jam fluidae fad^e moveantur inter 3^4 PFiILOSOPHIy£ NATURALIS De Motu jnter fc. Ncgligatuf igitur motus particularum inter fe, tanquam Corporum fotjug motum progrelfivum nil fpedans, & motus totius idem ei-it ac prius. Motus autem idem erit cum motu aliarum vorticis partium a centro aequaliter diliantium, propterea quod folidum in fluidum refolutum fit pars vorticis caeteris partibus confimilis. Ergo folidum, fi fit ejufdem denfitatis cum materia vorticis, eodem mo- tu cum ipfius partibus movebitur, in materia proxime ambiente re- lative quiefcens. Sin denfius fit, jam magis conabitur recedere a centro vorticis quam prius ; ideoque vorticis vim illam, qua prius in orbita fua tanquam in aequilibrio conflitutum retinebatur, jam fu- perans, recedet a centro & revolvendo defcribet fpiralem, non am- plius in eundem orbem rediens. Et eodem argumento fi rarius fit, ^ accedet ad centrum. Igitur non redibit in eundem orbem nifi fit ejufdem denfitatis cum fluido. Eo autem in cafu oltenfum efl, quod revolveretur eadem lege cum partibus fluidi a centro vorticis aequa- liter diilantibus. ^ E. ‘D. ■Corol. I. Ergo folidum quod in vortice revolvitur & in eundem orbem femper redit, relative quielcit in fluido cui innatat. Corol. 2. Et fi vortex fit quoad denfitatem uniformis, corpus idem ad quamlibet a centro vorticis diftantiam revolvi potefl. Schohum. Hinc liquet planetas a vorticibus corporeis non deferri. Nam planetae fecundum hypothefin Co-' fernicaam circa folem delati re- volvuntur in ellipfibus umbilicum habentibus in fole, & radiis ad fo- lem dudis areas defcribunt tem- poribus proportionales. At partes vorticis tali motu revolvi neque- ^ unt. Defignent AT>,BE, CE, orbes tres circa folem S defcrip- tos, quorum extimus C A” circulus fit foli concentricus, & interiorum duorum aphelia fint A, B &: peri- helia “D, E. Ergo corpus quod revolvitur in orbe CF, radio ad folem dudo areas temporibus pro- portionales PRINCIPIA MATHEMATICA. 385 portionales defcribendo, movebitur uniformi cum motu. Corpus autem, quod revolvitur in orbe BE, tardius movebitur in aphelio^ B & velocius in perihelio E, fecundum leges altronomicas ; cum tamen fecundum leges mechanicas materia vorticis in fpatio angulli- ore inter A ^ C velocius moveri debeat quam in fpatio latiore in- ter 2) & F-, id ell, in aphelio velocius quam in perihelio. Qua; duo repugnant inter fe. Sic in principio figni virginis, ubi aphelium martis jam verfatur, diilantia inter orbes martis & veneris elt ad di- ftantiam eorundem orbium in principio figni pifcium ut ternarius ad binarium circiter, & propterea materia vorticis inter orbes illos in principio pifcium debet efie velocior quam in principio virginis in ratio- ne ternarii ad binarium. Nam quo anguibus eftfpatium per quod eadem materi* quantitas eodem revolutionis unius tempore tranfit, eo ma- jori cum velocitate tranfire debet. Igitur fi terra in hac materia coelelti relative quiefcens ab ea deferretui, una ciica folem revol- veretur, foret hujus velocitas in principio pifcium ad ejufdem ve- locitatem in principio virginis in ratione fefquialtera. Unde folis motus diurnus apparens in principio virginis major efiTet quam mi- nutorum primorum feptuaginta, & in principio pifcium minor quam minutorum quadraginta & 06I0 : cum tamen (experientia tefie) ap- parens ille folis motus major fit in principio pifcium quam in prin- cipio virginis, & propterea terra velocior in principio virginis quam in principio pifcium. Itaque hypothefis vorticum cum phaenomenis aftronomicis omnino pugnat, & non tam ad explicandos quam ad perturbandos motus coeleftes conducit. Quomodo vero motus ilU in fpatiis liberis fine vorticibus peraguntur intelligi poteft ex li- bro primo, & in mundi fyltemate jam plenius docebitur. Li £ C t Ddd DE B £ K N DU S. jSd PHILOSOPHIJi NATURALIS D E MUNDI LIBER TERTIUS. IN libris procedentibus principia philofophiae tradidi, non tamen philofophica fed mathematica tantum, ex quibus videlicet in rebus philofophicis dilputari poffit. Hoc funt motuum & viri- um leges & conditiones, quo ad philofophiam maxime fpe^lant. Eadem tamen, ne fterilia videantur, illudravi fcholiis quibufdam. philofophicis, ea traftans quo generalia funt, & in quibus philofo- phia maxime fundari videtur, uti corporum denfitatem & refiflenti- ara, fpatia corporibus vacua, motumque lucis & fonorum. Super- ell ut ex iifdem principiis doceamus conlUtutionem fyilematis mun- dani. De hoc argumento compofueram librum tertium methodo, populari, ut a pluribus legeretur. Sed quibus principia pofita fatis intellefta non fuerint, ii vim confequentiarum minime percipient,, neque projudicia deponent, quibus a multis retro annis infueverunt; & propterea ne res in difputationes trahatur, fummam libri illius trauiluli in propofitiones, more mathematico, ut ab iis folis legantur qui piincipia piius evolverint. Veruntamen quoniam propofitiones, ibi quam plui imo occurrant,, quo leftoribus etiam mathematice do- fiis moiam nimiam injicere poflint, au6for elle nolo ut quifquam^ eas omnes evolvat ; fuffecerit liquis definitiones, leges motuum & fefliones tres priores libri primi fedulo legat, dein tranfcat ad hunc libium de mundi fyfiemate, & reliquas librorum priorum propofi- tiones hic citatas pro lubitu confulat. REGULE PRINCIPIA mathematica. 587 R E G LI L yE PHILOSOPHANDI. REGULA L Cuufas rerum natur altum non plures admitti dehere^ quam qu^e verte fint earum phtenomenis explicandis fufficiant. Dicunt utique philofophi : Natura nihil agit fruftra, & fruftra fit per plura quod fieri potefl per pauciora. Natura enim fim- "plex eft & rerum caufis fuperfluis non luxuriat. regula II. Ideo que effeSuum natur altum ejufdem ^enerts etedem ajjft^an’'^ dte funt cauf^e^ quatenus jiert poteji. Uti refpirationis in homine & in beftia ; defcenfus lapidum in Europa & in America*^ lucis in igne culinari & in fole ; reflexionis lucis in terra & in planetis. REGULA III. Qualitates corporum qute mtendt remtUt nequeunt^ quteque corporibus omnibus competunt in quibus experimenta injlitu- ere licet^ pro qualitatibus corporum univerforum habendte funt. Nam qualitates corporum non nifi per experimenta innotefcunt, ideoque generales ftatuendae funt quotquot cum experimentis ge- D d d X neraliter Pe NIundi Svi inM.M E 388 PHILOSOPHliE NATURALIS neraliter (quadrant ; & c|uae minui non poflTunt, non poflunt aufers ri. Certe contra experimentorum tenorem fomnia temere confin- genda non funtj.nec a naturas analogia- recedendum efi, cum ea iimplex elle foleaf& fibi femper confona. Extenfio corporum non nifi per fenlus innotelcit, nec in omnibus fentitur ; fed quia renfi- bilibus omnibus competit, de univerfis affirmatur. Corpora plura dura elle experimur. Oritur autem durities totius a duritie par- tium, & inde non horum tantum corporum quae fentiuntur, fed ali- orum, etiam omnium particulas indivifas elle duras merito conclu- dimus. Corpora omnia impenetrabilia clle non ratione fed fenfu colligimus. Quae tradiamus, impenetrabilia inveniuntur, & inde concludimus impenetrabilitatem elTe proprietatem corporum uni- verforum., Corpora omnia mobilia elTe, & viribus quibufdam (quas vires inertiae vocamus) perfeverare in motu vel quiete, ex hifce cor- porum viforum proprietatibus colligimus. Extenfio, durities, impe- netrabilitas, mobilitas & vis inertiae, totius oritur ab extenfione, du- ritie, impenetrabilitate,, mobilitate & viribus inertiae partium : & inde concludimus omnes omnium corporum partes minimas .extendi & duras elfe & impenetrabiles & mobiles &' viribus inertiae praedi- tas. Et hoc eit fundamentum philofophiae totius. Porro corporum partes divifas & fibi mutuo contiguas ab invicem feparari polle, ex phmnomenis novimus, & partes indivifas in partes minores ratione diliingui pofie: ex . mathematica, certum elt. Utrum vero partes illa^ diilindlae & nondum divifae per vires naturae dividi & ab invi- cem .feparari 'poflint, incertum eft. At li vel unico’ conltaref expe- rimento, quod particula aliqua indivifa,’ frangendo corpus durum & folidum, divifionem pateretur ; concluderemus, vi hujus regulae, quod non folum partes divifae feparabiles effient, fed etiam quod in- divifae in infinitum dividi poffient,. Denique fi corpora omnia in circuitu terrae gravia effie in terram, idque pro quantitate materiae in fingulis, & lunam gravem effie in terram pro quantitate materia, fuae, & viciffiim mare nollrum grave effie in lunam,, & planetas omnes graves .effie in. fe mutuo, & come- tarum fimdlem elTe gravitatem in folem, per experimenta & obfer- vationes altronomicas univerfaliter condet : dicendum erit per hanc regulam quod corpora omnia in fe mutuo .gravitant. Nam & forti- us erit argumentum ex phaenomenis de gravitate univerfali, quam de PRINCrPTA MATHEMATICA. 389 <*"de corporum impenetrabilitate : de qua utique in corporibus coe- Liber. leffibus nullum experimentum, nullam prorfus obfervationem habe- mus. Attamen gravitatem corporibus eflentialem efle minime af- firmo. Per vim infitam intelligo folam vim inertiae. Haec immu- tabilis eft. Gravitas recedendo a terra, diminuitur. R E G U L A IV. In philofophta experlmentali^ propoftUones ex phanomenh per uiduBtonemxolleBce^ non obfi antibus contrariis hypotheftbus^ pro veris aut accurate aut quamproxime haberi debent^ do- nec alia occurrerint phaenomena ^ per qua aut accuratiores reddantur aut exceptionibus obnoxia. Hoc fieri’ debet ne argumentum indudionis tollatur per hypa- thefes. PHiENO-^ PHILOSOPHIAE NATURALIS De Mundi Systemate H A N O M E NA. PH.ENOMENON I. Planetas circumjovmles^ radiis ad centrum j ovis duBis^ areas defcrihere temporibus proportionales^ eorumque tempora pe- riodica^ fielUs frxh quiefcentibusj ejfe in ratione fefquipli- cata dtfl antiarum ah ipfms centro. COnfiat ex obfervationibus aflronomicis. Orbes horum planeta- rum non differunt fenfibiliter a circulis jovi concentricis, & motus eorum in his circulis uniformes deprehenduntur. Tempora vero periodica effe in fefquiplicata ratione femidiametrorum orbium confentiunt aftronomi ; & idem ex tabula fequente manifeflum eft. Satellitum jovialium tempora periodica. i8^ 27'- 34'"- 3^. 13^ 13'. 42'"^* f- 3^42'. 3^"^ i6\ 16K 9"^ Diflanti^ j Ex obfervationibus Borelli Towniei per microm, Caflini fer telefcop, Caffini per eclipf fatelL Ex temporibus periodicis. a centro jovis. I z 3 4 5-t 8^ . 14 24^ 8,78 13,47 i4>7^ 5 8 13 ^3 9 1 9>oi7 I4>3 84 ^S,^99 Semidiam. Jovis Elongationes fatellitum jovis & diametrum ejus D. Tomd micro- metris optimis determinavit ut fequitur. Elongatio maxima helio- centrica fatellitis quarti a centro jovis micrometro in tubo quinde- cim pedes longo capta fuit, & prodiit in mediocri jovis a terra di- Eantia 8 . x6 circiter.' Ea fatellitis tertii micrometro in telefcopio pedes \ PRINCIPIA MATHEMATICA. 391 pedes 12.3 longo capta fuit, & prodiit in eadem jovis a terra diflan- Liber tia 4^ 4^^^* Elongationes maximae reliquorum fatellitum in eadem jovis a terra diilantia ex temporibus periodicis prodeunt z'. s6'\ a-/". Diameter jovis micrometro in telefcopio pedes 1x3 longo fepiiis capta fuit, & ad mediocrem jovis a fole vel terra diilantiam reducia, femper minor prodiit quam 40^^ nunquam minor quam 38'^ fa:pi- us 3/^- In telefcopiis brevioribus heec diameter eft 40^^ vel 41^^ Nam lux jovis per inaequalem refrangibilitatem nonnihil dilatatur, & haec dilatatio minorem habet rationem ad diametrum jovis in longiori- bus & perfefloribus telefcopiis quam in brevioribus & minus per- feftis. Tempora quibus fatellites duo, primus ac tertius, tranfibant per corpus jovis, ab initio ingreffus ad initium exitus, & ab ingreffu completo ad exitum completum, obfervata funt ope telefcopii e- jufdem longioris. Et diameter jovis in mediocri ejus a terra di- ilantia prodiit per tranfitum primi fatellitis 371-''', & per tranfitum tertii 37^^ Tempus etiam quo umbra primi fatellitis tranfiit per' corpus jovis obfervatum fuit, & inde diameter jovis in mediocri e- jus a terra diftantia prodiit 37'^ circiter. Aflumamus diametruni' ejus efle 37^'^ quamproxime ; & elongationes maximae fatellitis pri- mi, fecundi, tertii, & quarti aequales erunt femidiametris jpvis> 5,965', 9,494, 15,141, & 2,6,63 refpedive. PHyENOMENON II. Planetas clrcumfaturmos^ radiis ad faturnum duclts^ areas de- fcrthere temporibus proportionales^ eorum tempora peri- odicay ftellis fixis quiefcentihuSy ejfie in ratione fefqiiiplicata: dijiantiarum ab ipfiius centro, CaJJinus utique ex obfervationibus fuis diflantias eorum a centro*^ faturni & periodica tempora hujufmodi elTe llatuit. Satellitum faturmonim tempora periodica, 1<^: xih. 18'. zf'. z^. 17^.41^ zd^'^ izK Z‘y' . jz^i 15^. 79^1. 48^. 00'^. ro FHILOSOPHli£ "NATURALIS SPi Mundi Difianiice fatellitum-a centro falurm tn femtdmmetris annuit. 'Ex obfervationtbus i4v. 2.4. 3t. 8. 24. Ex temporibus periodicis. 1,93. . 2,47. 3,45'. 8. 23,35*. <^uarti fatellitis elongatio maxima a centro fatiirni ex obfervationi- bus colligi folet elFe iemidiametrorum ofto quamproxime. At elon- 'gatio maxima fatellitis hujus a centro faturni, micrometro optimo in telefcopio Hugeniano pedes 123 longo capta, prodiit femidiame- trorum o^to cum feptem decimis partibus femidiametri. Et ex hac obfervatione & temporibus periodicis, dilbntim fatellitum a centro faturni in femidiametris annuli funt 2,1. 2,69, 3,75*. 8,7. & 25,35*. Saturni diameter in eodem telefcopio erat ad diametrum annuli ut 3 ad 7, & diameter annuli diebus Maii 28 & 29 anni 1719. prodiit 43'^ Et inde diameter annuli in mediocri faturni a terra diliantia ell 42^^ & diameter faturni 18^'. Haec ita lunt in tele- fcopiis longiflimis & optimis, propterea quod magnitudines apparen- tes corporum coeleilium in longioribus telefcopiis majorem habeant proportionem ad dilatationem lucis in terminis illorum corporum quam in brevioribus. Si rejiciatur lux omnis erratica, manebit dia- meter faturni haud major quam 16'''. PHiENO MENON III. Planetas quinque primarios mercurium venerem martem^ jovem faturnum orbibus fuis folem cingere. Mercurium & venerem circa folem revolvi ex eorum phafibus lunaribus demonllratur. Plena facie lucentes ultra folem fiti funt ; dimidiata e regione folis ; falcata cis folem, per difeum ejus ad mo- dum m.acularum nonnunquam tranfeuntes. Ex martis quoque plena facie prope folis conjundionem, & gibbofa in quadraturis, certum eit, quod is folem ambit. De jove etiam & faturno idem ex eorum phafibus femper plenis demonllratur : hos enim luce a fole mutuata fplendere ex umbris fatellitum in ipfos projedis manifeftum eft. PHiE- PRINCIPIA MATHEMATICA. 393 PHAENOMENON IV. Planetarum quinque primariorum^ 0f vel folis circa terram vel terrie circa folem tempora periodica, ftellis fixis quie- fcentibus, ejfie m ratione fefquiphcata mediocrium dijlantia- rttm a fole. Liber Tertius Haec a Keplero inventa ratio in confeflb efl apud omnes. Eadem utique funt tempora periodica, easdemque orbium dimenfiones, five fol circa terram, five terra circa folem revolvatur. Ac de menfura quidem temporum periodicorum convenit inter afironomos univer- fos. Magnitudines autem orbium Keplerus & BuUialdus omnium diligentiffime ex obfervationibus determinaverunt : & difiantiae me- diocres, quae temporibus periodicis refpondent, non differunt fenfi- biliter a difiantiis quas illi invenerunt, funtque inter ipfas ut pluri- mum intermediae ; uti in tabula fequente videre licet. Planetarum ac telluris tempora periodica circa folem refpeBu fixarum^ ’in diehus partihus decimalibus diei, Tj % $ 5 ' $ 5 107^9, 27f. 4332’iJ’i4- 686,9787. 367,1767. 114,6176. Planetarum ac telluris diflantide mediocres a fole. h % <3 5 S 5' Secundum Kepkrum 95-1000. 5‘i965'o. i5'235'o. looooo. 72400. 38806. S^c\xx\E Mundi bySTEMATE 3P(^ PHILOSOPHIiE NATURALIS PROPOSITIO III. THEOREMA III. qua luna retinetur in orhe fuo, refpicere terram^ ejfe reciproce ut quadratum diflanttcc locorum ab ipftm centro. Patet alTertionis pars prior per phaenomenon fextum, & propo- fitionem fecundam vel tertiam libri primi : & pars pollerior per motum tardiflimum lunaris apogaei,. Nam motus ille, qui fingulis revolutionibus elt graduum tantum trium & minutorum trium in confequentia, contemni poteft. Patet enim (per corol. i. prop. xlv. lib. I.) quod fi diftantia lunae a centro terrae fit ad femidiametrum terrae ut D ad i ; vis a qua motus talis oriatur fit reciproce ut - 4 D id eft, reciproce ut ea ipfius D dignitas cujus index elt hoc efi,. in ratione difiantiae paulo majore quam duplicata in- verfe, fed quae partibus 5'94 propius ad duplicatam quam ad tripli- catam accedit. Oritur vero ab afiione folis (uti pofthac dicetur) &: propterea hic negligendus eft. Aftio folis quatenus lunam di- ftrahit a terra, eft ut diftantia lunae a terra quamproxime ; ideoque (per ea quae dicuntur in corol. 2. prop. xlv. lib. i.) eft ad lunae vim centripetam ut 2 ad 357)45' circiter, feu i ad Et neglefta folis vi tantilla, vis reliqua qua luna retinetur in orbe erit recipro- ce ut D^ Id quod etiam plenius conftabit conferendo hanc vim cum vi gravitatis, ut fit in propofitione fequente. Coro/. Si vis centripeta mediocris qua luna retinetur in orbe au- geatur primo in ratione 177-44 ad 17844, deinde etiam in ratione duplicata femidiametri terrae ad mediocrem diftantiam centri lunae- a centro terrae : habebitur vis centripeta lunaris ad luperficiem ter- rae, pofito quod vis illa defcendendo ad fuperficiem terrae perpe- tuo augeatur in reciproca altitudinis ratione duplicata. PROPOSITIO IV. THEOREMA IV. Luiinam gravttare m terram.^ ^ vi gravitatis retrahi femper a' motu reS limeo j m orbe fuo retineri. Lun$ diftantia mediocris a terra in fyzygiis eft femidiametrorum terreftrium, fecundum T^tolermeum & plerofque aftronoinorum 59, fecundum T PRINCIPIA MATHEMATICA. 357 fecundum Vendelmum & Hugeniim 60, fecundum Copernicum 6c|, fecundum Streetum 60 & fecundum Tychonem 564. Aii Tycbo, & quotquot ejus tabulas refradionum fequuntur, conlliiuendo re- fradiones folis & lunae (omnino contra naturam lucis) majores quam fixarum, idque fcrupulis quafi quatuor vel quinque, auxerunt pa- rallaxin lunae fcrupulis totidem, hoc eil, quafi duodecima vel deci- ma quinta parte totius parallaxeos. Corrigatur ifle error, & diilan- tia evadet quafi 604 femidiametrorum terrefirium, fere ut ab aliis affignatum eit. Alfumamus diilantiam mediocrem fexaginta femi- diametrorum in fyzygiis ; & lunarem periodum refpedu fixarum compleri diebus 27, horis 7, minutis primis 43, ut ab ailronomis llatuitur ; atque ambitum terrae efle pedum Parifienfium 113149600^ uti ^Gallis menfurantibus definitum eft: & fi luna motu omni pri- vari fingatur ac dimitti, ut urgente vi illa omni, qua (per corol prop, III.) in orbe fuo retinetur, defcendat in terram ; h^c fpatio mi- nuti unius primi cadendo defcribet pedes Parifienfes lyT-?. Colli- gitur hoc ex calculo vel per propofitionem xxxvi. libri primi, vel (quod eodem recidit) per corollarium nonum propofitionis quartiB ejufdem libri, confedo. Nam arcus illius quem luna tempore mi- nuti unius primi, medio fuo motu, ad diflantiam fexaginta lemidia- metrorum terrefirium defcribat, finus verfus eft pedum Parifienfium circiter, vel magis accurate pedum ly. dig. i. & lin. i4. Unde cum vis illa accedendo ad terram augeatur in duplicata diflanti^ ra- tione inverfa, ideoque ad fuperficiem terrae major fit partibus 60x 60 quam ad lunam; corpus vi illa in regionibus noftris cadendo, de- fcribere deberet fpatio minuti unius primi pedes Parifienfes 60 x doxiy^T, & fpatio minuti unius fecundi pedes i^tV, vel magis accu- rate pedes ly. dig. i. & lin. i-j. Et eadem vi giavia reveia de- fcendunt in terram. Nam penduli, in latitudine LuteticC Parifioi um ad fingula minuta fecunda ofcillantis, longitudo eft pedum trium Parifienfium & linearum 84, ut obfervavit Hugenius. Et altitudo,- quam grave tempore minuti unius fecundi cadendo defcribit, eil ad dimidiam longitudinem penduli hujus in duplicata ratione circum- ferentise circuli ad diametrum ejus (ut indicavit etiam Hugemusy ideoque efl pedum Parifienfium 15- dig. i. lin. i4. ^ Et propterea vis qua luna in orbe fuo retinetur, fi defcendatui in iupv.ificiem terrx, aequalis evadit vi gravitatis apud nos, ideoque (per reg, ^ L i B E K 'X E K IU S, 39’8 PHILOSOPHIi£ NATURALIS Dr Mundi n.) efl illa ipfa vis quam nos gravitatem dicere folemus. Nam Syviemate ab ea diverfa eflet, corpora viribus utrifque conjunttis terram petendo duplo velocius deicenderent, & fpatio minuti unius fecundi cadendo defcriberent pedes ^Pariiienfes 30^ : omnino contra experientiam. , Calculus hic fundatur in hypothefi quod terra quiefeit. Nam fi terra & duna moveantur circum folem, & interea quoque circum commune gravitatis centrum revolvantur : manente lege gravitatis diliantia centrorum lunae ac terrae ab invicem erit 60-,- lemidiame- trorum terreilrium circiter ; uti computationem ineunti patebit. Computatio autem iniri poteft per prop. lx. lib.T. Scholium. Demonftratio propofitionis fic fufius explicari poteit. Si lunse plures circum terram revolverentur, perinde ut fit in fyflemate faturni vel jovis ; harum tempora periodica (per argumenium indu- ftionis) obfervarent legem planetarum a Ke^kro deteflam, & prop- terea harum vires centripetae forent reciproce ut quadrata diffan- tiarum a centro terrae, per prop. i. hujus. Et fi earum infima eflet parva, & vertices altifTimorum montium prope tangeret : hujus vis centripeta qua retineretur in orbe, gravitates corpo- rum in verticibus illorum montium (per computationem praeceden- tem) aequaret quamproxime, efficeretque ut eadem lunula, fi motu omni quo pergit in orbe fuo privaretur, defeftu vis centrifugae qua in orbe permanferat, defeenderet in terram, idque eadem cum velocitate qua gravia cadunt in illorum montium verticibus, prop- ter aequalitatem virium quibus defeendunt. Et fi vis illa qua lunula illa infima defeendit, diverfa eflet a gravitate, & lunula illa etiam gravis eflet in terram more corporum in verticibus montium : ea- dem lunula vi utiaque eonjun^fa duplo velocius defeenderet. Quare cum vires utraeque, & hae corporum gravium, & illae luna- rum, centium terrae refpiciant, & fint inter fe fimiles & aequales, e$dem (per reg. i. & ii.) eandem habebunt caufam. Et propterea vis illa, qua luna retinetur in orbe fuo, ea ipfa erit quam nos gravi- tatem diceie folemus : idque maxime ne lunula in vertice montis vel giavitate careat, vel duplo velocius cadat quam corpora gravia lolent cadere. PROPO- P^RINCIPIA MATHEMATICA;. 399 PROPOSITIO V. THEOREM-A V. Pla?ietas circumjoviales gravitare m jovem^ circumfaturnios tn faturmim^ ch'cumJolares tn folem^ vt gravitatis face retrahi femp^er a motibus reBilmeis^ in orbibus curvili- neis retineri. Nam revolutiones planetarum circumjovialium circa jovem, dr- cumfaturniorum circa faturnum, & mercurii ac veneris reliquorum- que circumfolarium circa folem funt phaenomena ejufdem generis cum revolutione lunae circa terram ; & propterea (per reg. ii.)a cau- fis ejufdem generis dependent : praefertim cum demonilraium fit quod vires, a quibus revolutiones illae dependent, refpiciant centra jovis, faturni ac folis, & recedendo a jove, faturno & fole decre-^ fcant eadem ratione- ac lege, qua vis gravitatis decrefcit in receffu a. terra. CoroL I. Gravitas igitur datur in planetas univerfos. Nam vene- rem, mercurium, casterofque elTe corpora ejufdem generis cun> jove & faturno, nemo dubitat. Et cum attradio omnis per motus legem tertiam mutua fit, jupiter in fatellites fuos omnes, faturnus in fuos,- terraque in lunam, & fol in planetas omnes primarios gra- vitabit. CoroL X. Gravitatem, quag planetam unumquemque refpicit, efTe reciproce ut quadratum difiantiae locorum ab ipfius centro. CoroL 3. Graves funt planetas omnes in fe mutuo per corol. r. & X. Et hinc jupiter & faturnus prope conjundionem fe invicem attrahendo, fenfibiliter perturbant motus mutuos, fol perturbat mo- tus lunares, fol & luna perturbant mare noftrum,^ ut in fequenti- bus explicabitur.- SchoTium.- Hadenus vim illam/qua corpora coeleftia in orbibus fuis retinens tur centripetam appellavimus. Eandem jam gravitatem elle confiat, & propterea gravitatem in pofierum vocabimus. Nam caufa vis illius centripetae, qua luna retinetur in orbe, extendi-debet ad om- nes planetas per reg., i, .11. & iv. PROPO- 400 De Mundi Systemate PHILOSOPHIiE NATURALIS PROPOSITIO VI. THEOREMA VI. Corpora omnia in planetas fmgulos gravhare, pondera eo- rum in eundem quemvis planetam, parihus dijlantiis a cen- tro planetie, proportionalia ejfe quantitati materiie in fm- Defcenfus gravium omnium in terram (dempta faltem 'inaequali retardatione quae ex aeris perexigua refiltentia oritur) aequalibus temporibus fieri, jamdudum obfervarunt alii ; & accuratiflime qui- dem notare licet aequalitatem temporum in pendulis. Rem ten- tavi in auro, argento, plumbo, vitro, arena. Tale communi, ligno, aqua, tritico. Comparabam pyxides duas ligneas rotundas & aequa- les. Unam implebam ligno, & idem auri pondus fufpendebam (quam potui exafte) in alterius centro ofcillationis. Pyxides ab aequalibus pedum undecim filis pendentes, conflituebant pendula, quoad pondus, figuram, & aeris refiflentiam omnino paria : & pari- bus ofcillationibus, juxta pofita, ibant una & redibant diutiffime. Proinde copia materiae in auro (per corol. i. & 6. prop. xxiv. lib. IL) erat ad copiam materiae in ligno, ut vis motricis aftio in to- tum aurum ad ejufdem aftionem in totum lignum ; hoc efl, ut pon- dus ad pondus. Et fic in caeteris. In corporibus ejufdem ponderis differentia materiae, quae vel minor effet quam pars millefima mate- riae totius, his experimentis manifefto deprehendi potuit. Jam vercT naturam gravitatis in planetas eandem effe atque in terram, non eft dubium. Elevari enim fingantur corpora haec terreflria ad ufque orbem lun^e, & una cum luna motu omni privata demitti, ut in terram fimul cadant ; & per jam ante oflenfa certum elt quod tem- poribus aequalibus defcribent aequalia fpatia cum luna, ideoque quod funt ad quantitatem materiae in luna, ut pondera lua ad ipfius pondus. Porro quoniam fatellites jovis temporibus revolvuntur quae funt in ratione fcfquiplicata diftantiarum a centro jovis-, erunt eorum gravi- tates acceleratrices in jovem reciproce ut quadrata diflantiarum a cen- tro jovib; & propterea in aqualibus a jovediflantiis, eorum gravitates acceleratrices evaderent aquales. Proinde temporibus aqualibus ab aqualibus altitudinibus cadendo, defcriberent aqualia fpatia ; perinde ut PRINCIPIA mathematica. 401 'Ut fit in gravibus in hac terra noflra. Et eodem argumento plane- Libek tae circumfolares, ab aequalibus a fole diflantiis demiffi, defcenfu ' in folem aequalibus temporibus aequalia fpatia defcriberent. Vires autem, quibus corpora inaequalia aequaliter accelerantur, funt ut corpora ; hoc eft, pondera ut quantitates materiae in planetis. Por- ro jovis & ejus fatellitum pondera in folem proportionalia cfle quan^ titatibus materiae eorum patet ex motu fatellitum quam maxime regulari ; per corol 3. prop. lxv. lib. i. Nam fi horum aliqui ma- gis traherentur in folem, pro quantitate materiae fuae, quam caete- ri : motus fatellitum (per corol. x. prop. lxv. lib. i.) ex inaequali tate attraftionis perturbarentur. Si, paribus a fole diilantiis, fatelles aliquis gravior eflet in folem pro quantitate materiae fuae, quam ju- piter pro quantitate materiae fuae, in ratione quacunque data, pu- ta ^ ad e? ; diflantia inter centrum folis & centrum orbis fatellitis, major femper foret quam diflantia inter centrum folis & centrum Jovis in ratione fubduplicata quam proxime ; uti calculo quodam inito inveni. Et fi fatelles minus gravis eflTet in folem in ratione illa d ad diflantia centri orbis fatellitis a fole minor foret quam diflantia centri Jovis a fole in ratione illa fubduplicata. Ideoque fi in aequalibus a fole diflantiis, gravitas acceleratrix fatellitis cujuf- vis in folem major eflTet vel minor quam gravitas acceleratrix jovis •in folem, parte tantum millefima gravitatis totius; foret diflantia centri orbis fatellitis a fole major vel minor quam diflantia jovis a fole parte diflantise totius, id eft, parte quinta diflantiae fatel- litis extimi a centro jovis : quae quidem orbis eccentricitas foret valde fenfibilis. Sed orbes fatellitum funt jovi concentrici, & prop- terea gravitates acceleratrices jovis & fatellitum in folem aequantur inter fe. Et eodem argumento pondera faturni & comitum ejus in folem, in aequalibus a fole diflantiis, funt ut quantitates materiae in ipfis: & pondera lunae ac terrae in folem vel nulla funt, vel ea- rum maflTis accurate proportionalia. Aliqua autem funt per corol. i. & 3. prop. V. Quinetiam pondera partium fingularum planetae cujufque in ali- um quemcunque funt inter fe ut materia in partibus fingulis. Nam fi partes aliquae plus gravitarent, aliae minus, quam pro quantitate materiae : planeta totus, pro genere partium quibus maxima abun- det, gravitaret magis vel minus quam pro quantitate materiae totius. F f f Sed 40 r rH-ILOSOPHIv£ NATURALIS. Sed nec refert utrum’ psirtes ill«30 externa fint vel intcins?. Nsm (1 verbi gratia, corpora- terreilria, quae apud nos funt, in orbem lunse elevari fingantur, & conferantur cum corpore lunae : fi horum pon- dera eflenc ad pondera, partium externarum luna^ ut quantitates ma.< teri^ in iifdem,.ad pondera vero partium internarum in majori vel minori ratione, forent eadem ad pondus lunae totius in majori vel minori ratione : contra quam fupra. oltenfum eft^ " Corol. I. Hinc pondera corporum non pendent ab eorum formis & texturis. Nam, fi cum formis variari pofTent ; forent majora vel minora, ^pro varietate formarum, in aequali. materia:. omnino contra, experientiam. Corol. 2., Corpora univerfa, quae, circa terram fuut, .gravia funt in. terram ; & pondera omnium, quae aequaliter a centro terrae di-, liant, funt ut quantitates materiae in iifdem. Haec elt qualitas om- nium in quibus experimenta inflituere licet, & propterea per reg. III, de univerfis affirmanda ell. Si aether aut corpus aliud quod- cunque vel gravitate omnino deflitueretur, . veLpro quantitate ma- teriae fuae minus gravitaret : quoniam id (ex mente ^rijiotelu^ Car- tefii &L aliorum) non differt ab aliis corporibus, nili in forma mate- riae, poffet idem- per mutationem formae gradatim tranfmutari in corpus ejufdem . conditionis, cum iis, , quae pro quantitate materiae quam maxime gravitant, & viciffim corpora maxime gravia, for^ mam illius gradatim j induendo, pofiTent gravitatem fuam gradatim amittere. Ac proinde pondera penderent a formis corporum, pof- fentque cum formis variari, contra quam probatum eft . in corollario fuperiore. Corol. 3,.. Spatia omnia non . funt aequaliter plena. Nam li fpatia omnia aequaliter plena effent, gravitas fpecifica fluidi quo regio aeris impleretur, ob fummam denfitatem materiae, nil cederet gra>- vitali fpecificae argenti vivi, vel auri, vel corporis. alterius cujufcun^ que denfiffimi; &. propterea nec aurum neque aliud quodcunque corpus in aere defeendere poffet. Nam corpora in fluidis, nifi fpe. cifice graviora, fint, minime, defeendunt. Quod fi quantitas materiae in fpatio dato per rarefaftionem quamcunque diminui poffit, quid- ni diminui poiGEt in infinitum ? : Corol. 4. Si omnes omnium corporum particulae folidae.fint ejuf- dem denfitatis, neque fine poris rarefieri poffint, vacuum datur. Ejufdem. PRINCIPIA MATHEMATICA, 403 Ejufdetn denfitatis efle dico, quarum vires inertiae funt ut magni- tudines. CoroL 5*. Vis gravitatis diverfi efl: generis a vi magnetica. Nam attraftio magnetica non efl ut materia attrada. Corpora aliqua magis trahuntur, alia minus, plurima non trahuntur. Et vis mag- netica in uno & eodem corpore intendi poteft & remitti, ellque nonnunquam longe major pro quantitate materiae quam vis gravi- tatis, & in receflii a magnete defcrefcit in ratione diftantiae non duplicata, fed fere triplicata, quantum ex craflis quibufdam obfer-' vationibus animadvertere potui. Liber Tertius. PROPOSITIO VII. THEOREMA VIL Gravitatem tn corpora univerfa fiert^ eamque proportionalem ejfe quantitati matena tn fmguhs. Planetas omnes in fe mutuo graves efle jam ante probavimus, ut & gravitatem in unumquemque feorfim fpeftatum eflfe reciproce ut quadratum diftantiae locorum a centro planetae. Et inde confe- quens efl (per prop. lxix. lib. i. & ejus corollaria) gravitatem in omnes proportionalem efle materiae in iifdem. Porro cum planetae cujufvis A partes omnes graves fint in plane- tam quemvis & gravitas partis cujufque fit ad gravitatem toti- us, ut materia partis ad materiam totius, & aftioni omni reaftio (per motus legem tertiam) aequalis fit ; planeta B in partes omnes planetae A viciflim gravitabit, & erit gravitas fua in partem unam- quamque ad gravitatem fuam in totum, ut materia partis ad mace- riam totius. ^ E.T>, CoroL I. Oritur igitur & componitur gravitas in planetam totum ex gravitate in partes finguias. Cujus rei exempla habemus in at- tradionibus magneticis & eleftricis. Oritur enim attraftio omnis in totum ex attraftionibus in partes finguias. Res intelligetur in gra- vitate, concipiendo planetas plures minores in unum globum coii e & planetam majorem componere. Nam vis totius ex viribus parti- um componentium oriri debebit. Siquis objiciat quod corpora om- nia, quae apud nos funt, hac lege gravitare deberent in fe mutuo, cum tamen ejufmodi gravitas neutiquam fentiatur : refpondeo quod F ffz gravitas De Mukdi System 404 PHILOSOPHIAE NATURALIS gravitas in litEC corpora, cum fit ad gravitatem in terram totam ut fimt h$c corpora ad terram totam, longe minor ell quam qute len- tiri poflit. Corol. Gravitatio in fingulas corporis particulas aequales ell re- ciproce ut quadratum didantite locorum a particulis. Patet per corol 3. prop. Lxxtv. lib. i. PROPOSITIO VIII. THEOREMA VIII. St gluborntn duorum m fe mutuo gravttantium materia >undlque" rn regionibus, qiiie a centris aequaliter difiant, homogenea fit : erit pondus globi alterutrius In alterum reciproce ut qua- dratum difianti^ Inter centra. Pollquam inveniffem gravitatem in planetam totum oriri & com- poni ex gravitatibus in partes ; & elle in partes fingulas reciproce proportionalem quadratis dillantiarum a partibus: dubitabam an. reciproca illa proportio duplicata obtineret accurate in vi tota ex viribus pluribus compofita, an vero quam proxime. Nam fieri pof- fet ut proportio, quiE in majoribus dillantiis fatis accurate obtine- ret, prope fuperficiem planeta ob inaequales particularum dillantias - & frtus dilTimiles, notabiliter erraret. Tandem vero, per prop. lxxv. ' & Lxxvi. libri primi & ipfarum corollaria, intellexi veritatem propo- fitionis de qua hic agitur. Corol. I. Hinc inveniri & inter fe comparari 'polTunt pondera cor- porum in diverfos planetas. Nam pondera corporum aequalium cir- cum planetas in circulis revolventium funt (per corol. -l. prop. iv. lib. I.) ut diametri circulorum direfte & quadrata temporum perio-- dicorum inverfe ; & pondera ad fuperficies planetarum, aliafve quafvis acentio dillantias, majora funt vel minora (per hanc propolitionem) m duplicata ratione dillantiarum inverfa. Sic ex temporibus perio- dicis veneris circum folem dierum 114 •& horarum i6i, fatellitis- extimi circumjovialis circum jovem dierum 16 & horarum i6r-f, fa- tellitis Hugeniani circum faturnum dierum 15 & horarum 12]-’ & lun$ circum terram dierum 27. hor. 7. min. 43, collatis cum dilbntia rnecUocri veneris a fole & cum elongationibus maximis heliocentri- cis latellitis extimi circumjovialis a centro jovis 8'. fatellitis Huge? L 1 1 Tek ■; PRINCIPIA MATHEMATICA. 405 Hugeniani a centro faturni 3^. 4''. & lunae a centro terrse lo^ 33^^ computum ineundo inveni quod corporum aequalium & a centro folis, jovis, faturni ac terrae aequaliter dillantium pondera fint in folem, jovem, faturnum ac terram ut W- , & refpeftive, & auftis vel diminutis diltantiis, pondera diminuuntur vel augentur in duplicata ratione : pondera aequalium corporum in folem, jovem, faturnum ac terram in diltantiis loooo, 997, 791, & 109 ab eorum centris, atque ideo in eorum fuperficiebus, erunt ut loooo, 943, 729, & 437 refpettive. Quanta' fint pondera corporum in fuperficie lun^ dicetur in fequentibus. CoroL 2. Innotefcit etiam quantitas materiae in planetis fingulis. Nam quantitates materiae in planetis funt ut eorum vires in aequali- bus diltantiis ab eorum centris, id elt, in fole, jove, faturno ac ter- ra funt ut & -ttVi'- refpeftive. Si parallaxis folis iiatiia- tur major vel minor quam 30'^^ debebit quantitas materiae in terra augeri vel diminui in triplicata ratione. CoroL 3. Innotefcunt etiam denfitates planetarum. Nam pondera corporum aqualium & homogeneorum in fphaeras homogeneas funt^ in fuperficiebus fphaerarum ut fphaerarum diametri, per prop. lxxi r. lib. I. ideoque fphaerarum heterogenearum denfitates funt ut pon- dera illa applicata ad fphaerarum diametros. Erant autem verte fol- lis, jovis, faturni ac terrae diametri ad invicem ut loooo, 997, 791, & 109, & pondera in eofdem ut looco, 943, 729 & 437 refpedive, & propterea denfitates funt ut 100, 944, 67 & 400. Denlitas terrae quae prodit ex hoc computo non pendet a parallaxi folis, fed determina- tur per parallaxin lunae, & propterea hic refte definitur. Eli igitur fol paulo deniior quam jupiter, & jupiter quam faturnus, & terra quadruplo denfior quam fol. Nam per ingentem fuum calorem fol rarefcit. Luna vero denfior ell quam terra, ut in fequentibus pate- bit CoroL 4. Denfiores igitur funt planetae qui funt minores, ceteris paribus. Sic enim vis gravitatis in eorum fuperficiebus ad aequali- tatem magis accedit. Sed & denfiores funt planet^, ceteris pari- bus, qui funt foli propiores ; ut jupiter faturno, & terra jove. In di- verfis utique diltantiis a fole collocandi erant planetae ut quilibet pio gradu denlitatis calore folis majore vel minore frueretur. Aqua aollra, fi terra locaretur in orbe faturni, uigeiceret, fi in orbe mer- curii-> E R L' I U S 4o6 PHILOSOPHIiE NATURALIS De Mundi curii iii‘Vapores ftatim abiret. Nam lux folis, cui calor proportiona- SvsTEMATE fcptuplo deiifior elt in orbe mercurii quam apud nos : & thermometro expertus fum quod feptuplo folis aellivi calore aqua ebullit. Dubium vero non eft quin materia mercurii ad calorem accommodetur, & propterea denfior fit hac nollra; cum materia omnis denfior ad operationes naturales obeundas majorem calorem 'requirat. PROPOSITIO IX. THEOREMA IX. Gravitatem 'pergendo a fuperficiebus planetarum deorfum de- crefeere m ratione difl antiarum a centro quam proxime^ Si materia planetae quoad denfitatem uniformis eflet, obtineret haec propofitio accurate: per prop. lxxiii. lib. t. Error igitur tan- tus eft, quantus ab inaequabili denfitate oriri poffit. PRPOSITIO X. THEOREMA X. Motus planetarum m coelis diutijfime confervarl pojfe. In fcholio propofitionis xl. lib. ii. oftenfum eft quod globus a- quae congelatae, in aere noftro libere movendo & longitudinem fe- midiametri fuae deferibendo, ex Tefiflentia aeris amitteret motus fui partem Obtinet autem eadem proportio quam proxime in globis utcunque magnis & velocibus. Jam vero globum terrae no- lirae denfiorem effe, quam fi totus ex aqua conflaret, fic colligo. Si globus hicce totus eflet aqueus, quaecunque rariora effent quam a- qua, ob minorem fpecificam gravitatem emergerent & fupernata- rent. Eaque,de caufa globus terreus aquis undique coopertus, fi ra- rior effet quarh aqua, emefrgeret alicubi, & aqua omnis inde deflu- ens congregaretur in regione oppofita. Et par eft ratio terrae no- flrae maribus magna ex parte circumdatae. Haec fi denfior non ef- fet, emergeret ex maribus, & parte fui pro gradu levitatis extaret ex aqua, maribus omnibus in regionem oppofitam confluentibus. Eodem argumento maculae folares leviores funt quam materia luci- da folaris cui fupernatant. Et in formatione qualicunque planeta- rum, ex aqua materia omnis gravior, quo tempore mada fluida erat, centrum PRINCIPIA mathematica. 407 k centrum petebat. Unde cum terra communis fuprema quafi dupL, gravior fit quam aqua, & paulo inferius in fodinis quafi triplo vel quadruplo aut etiam quintuplo gravior reperiatur : verifimile ell quod copia materiae totius in terra quafi quintuplo vel fextuplo ma- jor fit quam fi tota ex aqua conflaret ; prtefertim cum terram quafi quadruplo denfrorem elfe quam jovem jam ante oflenfuni fit. (^ua- re fi jupiter paulo denfior fit quam aqua, hic fpatio dierum trigin- ta, quibus longitudinem 459 femidiametrorum fuarum defcribit,-a- mitteret in medio ejufdem denfitatis cum aere noflro motus fui par- tem fere decimam. Verum cum refillentia mediorum minuatur in ratione ponderis ac denfitatis, fic ut aqua, quae partibus 134 levior eft quam argentum vivum, minus refiflat in eadem ratione ; & aer, qui partibus 860 levior eft quam aqual, minus refiflat in eadem ra- tione : fi afcendatur in coelos ubi pondus medii, in quo planetas mo- ventur, diminuitur in immenfum, refiflentia prope ceffabit. Oflen'* dimus utique in fcholio ad prop. xxii. lib. ii. quod fi afcenderetur ad altitudinem milliarium ducentorum fupra terram, aer ibi rarior foret quam ad fuperficiem terrae in ratione 30 ad 0,0000000000,003998, feu 75*000000000000 ad i circiter. Et hinc ftella jovis in medio e- jufdem denfitatis cum aere illo fuperiore revolvendo, tempore an- norum loooooo, ex refiflentia medii non amitteret motus fui partem decimam centefimam millefimam. In fpatiis utique terrae proximis, nihil invenitur quod refiflentiam creet praeter aerem exhalationes & vapores. His ex vitro cavo cylindrico diligentiflime exhauflis gra- via intra vitrum liberrime & fine omni refiflentia fenfibili cadunt; ipfum aurum. & pluma tenuiflima fimul demiflTa^ aeqi^ali cum veloci- tate cadunt, & cafu fuo defcribendo altitudinem pedum quatuor fex vel otio fimul incidunt in fundum, ut experientia compertum eft. Et propterea fi in coelos afcendatur aere & exhalationibus vacuos, planetae & cometae fine omni refiflentia fenfibili per fpatia illa diu- tiffime movebuntur. I., I B E U T t K T 1 U HVPO- De Mundi Systemate 408 PHILOSOPHI/E NATURALIS H Y P O T H E S I S I. Centrum fyjlemaits mundam qmefcere. Hoc ab omnibus concefTum eft, dum aliqui terram, alii folem ?n centro fyllematis quielcere contendant. Videamus quid inue fe* quatur. PROPOSITIO XI. THEOREMA XI. Commune centrum gravitatis terree, folts planetarum omni- um qmefcere. Nam centrum illud (per legum corol. iv.) vel quiefcet vel pro- gredietur uniformiter in direftum. Sed centro illo femper progre- diente, centrum mundi quoque movebitur contra hypothefin. PROPOSITIO XII. THEOREMA XII. Solem motu perpetuo agitari, fed nunquam longe recedere a communi gravitatis centro planetarum omnium. Nam cum (per corol. i. prop. viri.) materia in fole fit ad mate- riam in jove ut 1067 ad i, & diftantia jovis a fole fit ad femidia- metrum folis in ratione paulo majore ; incidet commune centrum gravitatis jovis & folis in punftum paulo fupra fuperficiem folis. Eodem argumento cum materia in fole fit ad materiam in faturno ut 3011 ad I, & dillantia faturni a fole fit ad femidiametrum folis in ratione paulo minore : incidet commune centrum gravitatis fa- turni & folis in punftum paulo infra fuperficiem folis. Et ejufdem calculi veftigiis infiftendo fi terra & planetre omnes ex una folis par- te confillerent, commune omnium centrum gravitatis vix integra folis diametro a centro folis dillaret. Aliis in cafibus dillantia cen- trorum femper minor ell. Et propterea cum centrum illud gravi- tatis perpetuo quiefcit, fol pro vario planetarum fitu in omnes partes movebitur, fed a centro illo nunquam longe recedet. Corol. Hinc commune gravitatis centrum terrae, folis & planeta- rum omnium pro centro mundi habendum ell. Nam cum terra, fol PRINCIPIA MATHEMATICA. 409 fol & planetas omnes gravitent in fe mutuo, & propterea, pro vi f-^tsER gravitatis fuae, fecundum leges motus perpetuo agitentur: cuum eil quod horum centra mobilia pro mundi centro quiefcente haberi nequeunt. Si corpus illud in centro locandum effet in quod corpora omnia maxime gravitant (uti vulgi eft opinio) privilegium iftud concedendum effet foli. Cum autem fol moveatur, eligendum erit pundum quiefcens, a quo centrum folis quam minime difcedit, & a qho idem adhuc minus difcederet, fi modo fol denfior effet & major, ut minus moveretur. PROPOSITIO XIII. THEOREMA XIII. Planet^ moventur m elllpfthm umhtTicum habenttbm m centro folts^ radus ad centrum tllud duBls areas defcnbunt tem* portbus proportionales. Difputavimus fupra de his motibus ex phasnomenis. Jam cogni- tis motuum principiis, ex his colligimus motus coelefles a priori. Quoniam pondera planetarum in folem funt reciproce ut quadrata diftantiarum a centro folis ; fi fol quiefceret & planetae reliqui non agerent in fe mutuo, forent orbes eorum elliptici, folem in umbili- co communi habentes, & are^ defcriberentur temporibus propor- tionales (per prop I. & XI. & corol. i. prop. xiii. lib. i.) adiones autem planetarum in fe mutuo perexiguae funt (ut poffint con- temni) & motus planetarum inellipfibus circa folem mobilem minus perturbant (per prop. lxvi. lib. i.) quam fi motus ifii circa folem quiefcentem peragerentur. Adio quidem jovis in faturnum non eft omnino contemnenda. Nam gravitas in jovem eft ad gravitatem in folem (paribus diftantiis) ut I ad 1067 ; ideoque in conjundione jovis & faturni, quoniam di- ftantia faturni a jove eft ad diftantiam faturni a fole fere ut 4 ad 9, erit gravitas faturni in jovem ad gravitatem faturni in lolem ut 8 r ad 16x1067 feu I ad 2II circiter. Et hinc oritur perturbatio orbis faturni in fingulis planetae hujus cum jove conjundionibus adeo fen- fibilis ut ad eandem aftronomi haereant. Pro vario fitu planetae in his conjundionibus, eccentricitas ejus nunc augetur nunc diminui- tur, aphelium nunc promovetur nunc forte retrahitur, & medius G g g motus De Mundi S.YSTEMATE 410 P HILOS OPHIi£ NATURALIS motus per vices acceleratur & retardatur. Error tamen omnis in motu ejus circum Iblem a tanta vi oriundus (praeterquam in motu medio) evitari fere poted condituendo umbilicum inferiorem orbis ejus in communi centro gravitatis jovis & folis (per prop. lxvii. lib. I.) &propterea ubi maximus eil, vix fuperat minuta duo prima. Et error maximus in motu medio vix fuperat minuta duo prima annuatim. In conjundione autem jovis & faturni gravitates accele- ratrices folis in faturnum, jovis in faturnum & jovis in folem funt fere ut 16, 81 & feu 15*6609, ideoque differentia gravitatum folis in faturnum & jovis in faturnum eil ad gravitatem jovis in folem ut 65* ad 156609 feu i ad 2409. Huic autem dif- ferentiae proportionalis eft maxima faturni efficacia ad perturbandum motum jovis, & propterea perturbatio orbis jovialis longe minor eft quam ea faturnii. Reliquorum orbium perturbationes funt adhuc longe minores, praeterquam quod orbis terrae fenfibiliter perturba- tur a luna. Commune centrum gravitatis terrae & lunae, ellipfin circum : folem in umbilico pofitum percurrit, & radio ad folem dufto areas- in eadem temporibus proportionales defcribit, terra vero circum, hoc centrum commune motu menfbmo revolvitur. PROPOSITIO XIV. THEOREMA XIVL Orhtum apbeha nodt qmefcunt, Aphelia quiefcunt, per prop, xr. lib. i. ut & orbium plana, per. ejufdem libri prop.- i. & quiefcentibus planis quiefcunt nodi. At- tamen a planetarum revolventium & cometarum aftionibus in fe in- vicem orientur inaequalitates aliquae, fed quae ob parvitatem hic contemni poffunt. CoroL r. Quiefcunt etiam ftellae fixae, propterea quod datas ad a- phelia nodofque pofitiones fervant, Qorol. 2. Ideoque cum nulla fit earum parallaxis fenfibilis ex ter- lae motu annuo oriunda, vires earum ob immenfam corporum diftan- tkrn nullos edent fenfibiles effeflus in regione fyfiematis nofiri. Quinimo fixae in omnes coeli partes aequaliter difpeiTae contrariis at- tradionibus vires mutuas defiruunt, per prop. lxx. lib. i. Sebo Ilum, PRINCIPIA MATHEMATICA. 411 L I E E u SchoUum. T E R T I u Cum planetae foli propiores (nempe mercurius, venus, terra, & mars) ob corporum parvitatem parum agant in fe invicem : horum aphelia & nodi quiefeent, nifi quatenus a viribus jovis, faturni & corporum fuperiorum turbentur. Et inde colligi potefl per theo- riam gravitatis, quod horum aphelia moventur aliquantulum in con- fequentia refpeftu fixarum, idque in proportione fefqui plicata diftan- tiarum horum planetarum a fole. Ut fi aphelium martis in annis centum conficiat 33'. 20''^ in confequentia refpeftu fixarum ; aphelia terrae, veneris, & mercurii in annis centum conficient 17'. 40"'% 10'. 53'^, & 4'. 16'' refpeftive. Et hi motus, ob parvitatem, negli- guntur in hac propofitione. PROPOSITIO XV. PROBLEMA I. Invenire orhlum 'principales diametros. Capiendae funt has in ratione fubfefquiplicata temporum periodi-^ eorum, per prop. xv. lib. i. deinde figillatim augendae in ratione fummae maflTarum folis & planetae cujufque revolventis ad primam duarum medie proportionalium inter fummam illam & folem, per prop. LX. lib. I. PROPOSITIO XVI. PROBLEMA II. Invenire orhlum eccentrlcltates aphelia. Problema confit per prop. xviii. lib. i. PROPOSITIO XVII. THEOREMA XV. P lanetnrum^ motus diurnos uniformes ejf e y librationem' lun^ ex ipftus motu diUr no ortrl. Patet per motus legem i. & corol. 22. prop. lxvi. lib. i. Jupiter utique refpeftu fixarum revolvitur horis 9* 5^^? mars horis 24. 39 . venus horis 23 circiter, terra horis 23 . fol diebus 25-2 & luna diebus 27. 7 hor. 43'. Haec ita fe habere ex phaenomenis manife- Ilum eft. Maculae in corpore folis ad eundem fitum in difco folis redeunt diebus 27-!- circiter, refpeftu terrae ; ideoque lefpeftu fixa- rum fol revolvitur' diebus 254 circiter. Quoniam vero lunae circa G g g 2. axem 411 PHILOSOPHIiE NATURALIS De Mundi axcm fuiuii uniforiTiiter revolventis dies menllruus eil i hujus facies^ Sx^TEMAiE ulteriorem umbilicum orbis ejus femper refpiciet quam- proxime, & propterea pro fitu umbilici illius deviabit hinc inde ai terra. Hsec elt libratio lunae in longitudinem: Nam libratio in la- titudinem orta elt ex latitudine lunae & inclinatione axis ejus ad planum eclipticae. Hanc librationis lunaris theoriam D. N. Mercator in allronomia fua initio anni 1676 edita, ex literis meis plenius ex^ pofuit. Simili motu extimus faturni fatelJes circa axem fuiim re- volvi videtur, eadem fui facie faturnum perpetuo refpiciens. Nam- circum faturnum revolvendo, quoties ad orbis fui partem orienta- lem accedit, aegerrime videtur, & plerumque videri cefTat : id quod evenire poted per maculas quafdam in ea corporis parte quae terrae, tunc obvertitur, ut CaJJinus notavit. Simili etiam motu latelles ex- timus jovialis circa axem fuum revolvi videtur, propterea quod in' parte corporis jovi averfa maculam habeat quae tanquam in corpo- re jbvis cernitur ubicunque fatelles inter jpvem & oculos noftros. tranfit. PROPOSITIO XVIIL THEOREMA XVI. Axes planetarum diametris cj^Ude ad eofdem axes normaliter' ducuntur minores ejffe.. Planetae fublato omni motu circulari diurno figuram fphaBricami- ob aequalem undique partium gravitatem, alFedare deberent. Pen motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta aequa*- torem afeendere conentur. Ideoque materia fi fluida fit afcenfu fuo ad aequatorem diametros adaugebit, axem vero defcenfu fuo ad polos diminuet. Sic jovis diameter (confentientibus aftronomorum obfervationibus) brevior deprehenditur inter polos quam ab oriente, in occidentem. Eodem argumento, nifi terra noftra paulo altior efiet fub aequatore quam ad polos, maria ad polos fubfiderent, & juxta* aquatorem afeendendo, ibi omnia inundarent. PROPOSITIO XIX. PROBLEMA III. Invenire proportionem axis planeta ad diametros eidem per ^ pendiculares. Norwoodus nofler circa, annum i63j'menfurandodiftantiam pedum Londi- PRINCIPIA MATHEMATICA. 41 j Londinenfium 905'75rx \nitv Londinum & Eboracum, & obfervando Liber differentiam latitudinum z gr. collegit menfuram gradus uniusT^'"'^'"''' cffe pedum Londinenfium id eft, hexapedarum Parifienfium* 5.7300. Eicartns menfurando arcum gradus unius & 55'' in merL diano inter Ambtanum & Malvoifinamy invenit arcum gradus unius- effe hexapedarum Parifienfium 57060. CaJJinus fenior menfuravic dillantiam in meridiano a villa Collkure in RouJJilion ad obfervato- rium Parifienfe ; & filius ejus addidit diftantiam ab obfervatorio ad turrem urbis E>unkirk. Diftantia tota erat hexapedarum 4861564, & differentia latitudinum villae Collioure & urbis 'Dunktrk erat gra- duum odo & 31'. Unde arcus gradus unius prodit hexape» darum Parifienfium 57061. Et ex his menfuris colligitur ambitus terrae pedum Parifienfium IZ3Z49600, & femidiameter ejus pedum 19615800, ex hypothefi quod terra fit fphaerica. In latitudine Lutetiae Eartfiortim corpus grave tempore minuti’ unius fecundi cadendo defcribit pedes Parifienfes 15 dig. i lin. ut fupra, id eft, lineas Z1734. Pondus corporis diminuitur per pon- dus ams ambientis. Ponamus pondus amifliim eflTe partem unde- cimam millefimam ponderis totius, & corpus illud grave cadendo* in vacuo defcribet altitudinem linearum 2174 tempore minuti unius- fecundi. Corpus in circulo ad diftantiam pedum 19615800 a centro, fingu- lis diebus fidereis horarum Z3. 56'. 4'" uniformiter revolvens tempo- re minuti unius fecundi defcribet arcum pedum 1433:4^5 cujus fi- nus verfus eft pedum- 0,0513656^ feu- linearum 7,54064. Ideoque vis, qua gravia defcendunt in latitudine Lutetl^ey eft ad vim centri- fugam corporum in aequatore a terrae motu diurno oriundam, ut ZI74 ad 7,54064. Vis centrifuga corporum in- aequatore terrae ^ ad vim centri- fugam, qua corpora direfie tendunt a terra in latitudine Lutetia^ graduum 48. 50^. in duplicata ratione radii ad finum comple- menti latitudinis illius, id- eft, ut 7^54064 ad 3,z67, Addatur haec* vis ad vim qua gravia defcendunt in latitudine illa Lutetia^ & coi- pus in latitudine illa vi tota, gravitatis cadendo, tempore minuti: unius fecundi defcribet lineas Ru Paties Parifienfes 15 dig.* I & lin. 5,167. Et vis. tota gravitatis in latitudine illa erit ad vim. centri- 414 PHILOSOPHIi£ NATURALIS centrifugam corporum in aequatore terrae ut 1177,267 ad ^,^'406^ feu 289 ad I. Unde fi figuram terrae defignet jam non amplius fphaeri- cam fed revolutione ellipfeos circum axem minorem genitam, {\i(4\xQ AC ^qc a canalis aquae plena, a polo ^q ad centrum Cc, & inde ad> aequatorem A a pergens : debebit pondus aquae in canalis, crure ACca, efTead pondus aquae in crure altero ^cq ut 289 ad 288, eo quod vis centrifuga ex circulari motu orta partem unam e ponderis partibus 289 fuftinebit ac detrahet, & pondus 288 in alte- ro crure fufiinebit reliquas. Porro (ex pro- pofitionis xcr. corol. 2. lib. i.) computatio- nem ineundo, invenio quod fi terra conflaret ,ex uniformi materia, motuque omni privare- tur , & elTet ejus axis ?^^ad diametrum AB ut 100 ad loi ; gravitas in loco ^ in ter- ram foret ad gravitatem in eodem loco ^ in fphaeram centro C radio TC vel ,^defcrip- tam, ut 126 ad 125*. Et eodem argumento gravitas in loco A in fphaeroidem, convolutione ellipfeos ATB^ circa axem deferiptam, efl ad gravitatem in eodem loco ^ in fphaeram centro C radio AC deferiptam, ut 125 ad 126, Efl autem gravitas in loco A in terram media proportionalis inter gravitates in diftam fphaeroidem & fphaeram : propterea quod fphxra, dimi- nuendo diametrum in ratione loi. ad 100, vertitur in figuram teirae ; & haec figura diminuendo in eadem ratione diametrum ter- tiam, quae diametris duabus AB, perpendicularis efl, vertitur in diftam fphaeroidem ; & gravitas in> A^ in cafu utroque, diminui- tur in eadem ratione quam proxime. Efl: igitur gravitas in A in. fphaeram centro C radio AC deferiptam, ad gravitatem in A in^ teiram ut 126 ad-ri^-y, & gravitas in loco ^ in fphaeram centro C radio deferiptam, efl* ad gravitatem in loco A \n fphaeram cen- tio C radio AC defciiptam, in ratione diametrorum (per prop, lxxii. lib. I.) id efl, ut 100 ad lor. Conjungantur jam hae tres rationes, 126 ad iiy, 126 ad i25'4, & 100 ad loi : & fiet gravitas in loco in terram ad gravitatem in loco ^ in terram, ut 126x126x100 ad 12.5” X X loi, feu ut 501 ad 500. J^a- Jam F li i N C I P I A k AT H E M ATI C A. 4 1 y ' ■ Jam cum (per corol. 3. prop. xci. lib. r.) gravitas in canalis crure iitrovis vel iit ut diilantia locorum a centro terrae;^ li crura illa fuperficiebus tranfverfis & asquidillantibus diflinguantur in partes totis proportionales, erunt pondera partium' fingularum in crure ad pondera partium totidem in crure altero, ut mag" nitudines & gravitates acceleratrices conjundim ; id elt, ut toi ad 100 & 500 ad yoi, hoc elt, ut yoy ad yoi. Ac proinde li vis cen- trifuga partis cujufque in crure ACca motu diurno oriunda, fu- iffet ad pondus partis ejufdem ut 4 ad yof, eo ut de pondere par- tis cujufque, in' partes yoy divifo, partes quatuor detraheret ; mane- rent pondera in utroque crure aequalia, & propterea fluidum con- fifteret in aequilibrio. Verum vis ceirtrifuga partis cujufque efl ad pondus ejufdem ut i ad x89, hoc eil, vis centrifuga quae deberet elTe ponderis pars -Ar efl tantum pars Et propterea dico, fe- cundum regulam auream, quod fi vis centrifuga -,4-- faciat ut alti- tudo aquae in crure A Cea fuperet altitudinem aquae in crure ^Ccq parte centefima totius altitudinis ; vis centrifuga faciet ut excef- lus altitudinis in crure ACca fit altitudinis in crure altero §lCcq pars tantum Efl igitur diameter terrae fecundum aequatorem ad ipfius diametrum per polos ut x3o ad X19. Ideoque cum terrae' femidiameter mediocris, juxta menfuram Ticarti, fit pedum Parifi- enfium 19613800, feu milliarium 39x3,16 (pofito quod milliare fit menfura pedum 3000) terra altior erit ad ajquatorem quam ad polos excefiu pedum 83471, feu milliarum i7t'-3- 'Et altitudo ejus ad $- quatorem erit 19638600 pedum circiter, & ad polos 19373000 pe- r.,T B E R E R T 1 U S. dum. Si planeta major fit vel minor quam terra manente ejus denfitate ac tempore periodico revolutionis diurnae, manebit proportio vis- centrifugae ad gravitatem, & .propterea manebit etiam proportio diametri inter polos ad diametrum fecundum aequatorem. At (i ^ motus diurnus in ratione quacunque acceleretur vel retardetur, auge-' bitur vel minuetur vis centrifuga in duplicata illa ratione, & prop- terea differentia diametrorum augebitur vel minuetur in eadem du- plicata ratione quamproxime. Et fi denfitas planetae augeatur vel minuatur in ratione quavis, gravitas etiam in ipfum tendens auge- bitur vel minuetur in eadem ratione, & differentia diametrorum viciffim minuetur in ratione gravitatis auflae vel augebitur in ratione gravitatis w-> 41^ PHILOSOPHIAE NATURALIS Mundi gravitatis diminutae. Unde cum terra refpeflu fixarum revolvatur Systemate 56', jupiter autem horis 9. y6', fintque temporum quadrata ut iQ ad f, Sc revolventium deniitates ut 400 ad 944 : differentia diametrorum jovis erit ad ipfius diametrum minorem ut ^ x ^ \ S 94'r V — ad I, feu I ad 94 quamproxime. Eft igitur diameter jovis ab 119 oriente in occidentem dufta, ad ejus diametrum inter polos ut 104 ad 94 quamproxime. Unde cum ejus diameter major Iit 37", ejus diameter minor quie. polis interjacet, erit 3}'^- Pro luce er- ratica addantur 3" circiter, & hujus planetae diametri apparentes evadent 40'' & 36". : quae funt ad invicem ut ii4 ad ro4 quam- proxime. Hoc ita fe habet ex hypothefi quod corpus jovis fit uni- formiter denfum. At fi corpus ejus fit denfius verfus planum aequa- toris quam verfus polos, diametri ejus polTunt effe ad invicem ut \-L ad II, vel 13 ad 11, vel forte 14 ad 13. Et Caffinus quidem anno 1691 obfervavit, quod jovis diameter ab oriente in occidentem porrefta diametrum alteram fuperaret parte fui circiter decima quin- ta. Toundus autem noller telefcopio pedum 113 longitudinis & op- timo micrometro, diametros jovis anno 1719, menfuravit ut fequi- tur. Temfora. ^tam^ max. Diam. min. Diametri ad invicem. dies hor. Jan. 28 6 Mar. 6 7 Mar. 9 7 Apr. 9 9 fart, 13,40 13,12 13,12 12,32 fart. 12,28 12,20 12,08 11,48 ut 12, ad n 134 ii4 liT 114 144 134 Congruit igitur theoria cum phaenomenis. Nam planetae magis incalefcunt ad lucem folis verfus aequatores fuos,' & propterea paulo magis ibi decoquuntur quam verfus polos. Quinetiam gravitatem per rotationem diurnam terrae noflrae ^inui fub aequatore, atque ideo terram ibi altius furgere quam ad polos (fi materia ejus uniformiter denfa fit) patebit per experimenta pen- dulorum quae recenfentur in propofitione fequente. PROPO- PRINCIPIA MATHEMATICA. 417 PROPOSITIO XX. PROBLEMA IV. i Invevitye tnter fe comparare pondera corporutn tn terrae hujus regiombus dwerfis. Quoniam pondera insqualium crurum canalis aqiie^ AC^jca ^qualia funt ; & pondera partium, cruribus totis proportionalium 6s_ (imiliter in totis fitai um, Tunt ad invicem ut pondera totorum, ideoque etiam aequantur inter le ; erunt pondera ocqualium & in cruribus fimiliter fitarum partium reciproce ut crura, id e(l, recipro- ce ut 230 ad '229. Et par eft ratio homogeneorum & aequalium quorumvis & in canalis cruribus fimiliter fitorum corporum. Ho- rum pondera funt reciproce ut crura, id eft, reciproce ut diflantise coiporum a centro terrae. Proinde fi corpora in fupremis canalium partibus, five in fuperficie terrae confiftant ; erunt pondera eorum ad invicem reciproce ut diflantiae eorum a centro. Et eodem argu- mento pondera, in aliis quibufcunque per totam terrae fuperficiem regionibus, funt reciproce ut diflantiae locorum a centro ; & prop- terea, ex hypothefi quod terra fphaerois fit, dantur proportione. Unde tale confit theorema, quod incrementum ponderis pergendo ab aequatore ad polos, fit quam proxime ut finus verfus latitudinis duplicatas, vel quod perinde eft, ut quadratum finus refti latitudi- nis. Et in eadem circiter ratione augentur arcus graduum latitudi- nis in meridiano. Ideoque cum latitudo Lutetia Tarijiorum fit •48b^ 5*0^ ea locorum fub aequatore 00 8^ 00', & ea locorum ad po- los 908^. & duplorum finus verfi fint 11334, 00000 &^2oooo, exi- llente radio loooo, & gravitas ad polum fit ad gravitatem fub £Equa- tore ut 230 ad 229, & excefTus gravitatis ad polum ad gravitatem fub aequatore ut i ad 229 : erit excefTus gravitatis in latitudine Lute- tia ad gravitatem fub aequatore, ut ix~4-4 ad 229, feu 5-667 ad 2290000. Et propterea gravitates totae in his locis erunt ad invicem ut 2295*667 ad 2290000. Quare cum longitudines pendulorum s- qualibus temporibus ofcillantium fint ut gravitates, & in latitudine Lutetia Vari/iorum longitudo penduli fingulis minutis fecundis of- cillantis fit pedum trium Parifienfium & linearum 84, vel potius ob pondus aeris 84 : longitudo penduli fub aequatore fuperabitur a longi- tudine fynchroni penduli Parifienfis, exceflu lineae unius & 87 par- tium millefimarum lineae. Et fimili computo confit tabula fequens. H h h Latitudo PHILOSOPHIAE NATURALIS De Mundi Systemate 418 Latitudo loci. Longitudo penduli. Menfura gradus uni- us in meridiano. orad. ped. Un. hexapeda. 0 3 7,468 ^66i7 S 3 7.481 IO 3 76679 3 7.593^9 77360 3 9.371 77377 90 3 9.387 77381 Conflat autem per hanc tabulam quod graduum inaequalitas tam parva fit, ut in rebus geographicis figura terrae pro fphaerica haberi poffit : praefertim fi terra paulo denfior fit verfus planum aequatoris quam verfus polos. Jam vero aflronomi aliqui in longinquas regiones ad obfervationes aflronomicas faciendas miffi, obfervarunt quod horologia ofcillatoria tardius moverentur prope aequatorem quam in regionibus noflris. Et primo quidem D. Richer hoc obfervavit'aflnO'id7z in infula Cay- enna. Nam dum obfervaret tranfitum fixarum per meridianum menfe PRINCIPIA MATHEMATICA. 419 menfe Augufto^ reperit horologium fuum tardius moveri quam pro medio motu folis, exiltence differentia x'. fingulis diebus. De- inde faciendo ut pendulum fimplex ad minuta fingula fecunda per horologium optimum menfurata ofcillaret, notavit longitudinem pen- duli fimplicis, & hoc fecit faepius fingulis feptimanis per menfes de- cem. Tum in Galliam redux contulit longitudinem hujus penduli cum longitudine penduli Parifienfis (quse erat trium pedum Parifi- enfium, & ofto linearum cum tribus quintis! partibus lineae) & re- perit breviorem effe, exiftente differentia lineae unius cum qua- drante. Poftea Halkius nofter circa annum 1677 infulam SanB£ Hek len£ navigans, reperit horologium fuum ofcillatorium ibi tardius moveri quam Londinii fed differentiam non notavit. Pendulum ve- ro brevius reddidit plufquam oftava parte digiti, feu linea una cum femiffe. Et ad hoc efficiendum, cum longitudo cochleae in ima parte penduli non fufficeret, annulum ligneum thecae cochleae & ponderi pendulo interpofuit. Deinde anno i68i D. Varin & T>.T)es Hayes invenerunt longitu- dinem penduli fingulis minutis fecundis ofcillantis in obfervatorio regio Parifienfi effe ped. 3. lin. 8:^. Et in infula Gorea eadem methodo longitudinem penduli fynchroni invenerunt effe ped. 3. lin. 64 exiftente longitudinum differentia lin. ^. Et eodem anno ad infulas Guadalou^am & Martinicam navigantes, invenerunt longi- tudinem penduli fynchroni in his infulis effe ped. 3. lin. 64. Poilhac D. Conflet filius anno 1697 menfe "Julio^ horologium fuum ofcillatorium ad motum folis medium in obfervatorio regio Parifienfi fic aptavit, ut tempore fatis longo horologium cum motu folis congrueret. Deinde VlyJJiffonem navigans invenit quod menfe Novembri proximo horologium tardius iret quam prius, exifiente differentia 2'. 13'^ in horis 24. Et menfe Martio fequente TaraU bam navigans invenit ibi horologium fuum tardius ire quam T^ark fiis, exifiente differentia 4'. 12"" in horis 24. Et affirmat pendulum ad minuta fecunda ofcillans brevius fuiffe ^ lyjjiffoni lineis 2^ & Taraiba lineis 37 quam Tarifiis, Reftius pofuiflet diflerentias effe 17 & 24. Nam hae differentisB differentiis temporum 2'. 13'^, &4'. refpondent. Craflioribus hujus obfervationibus .minus fiden- dum efi. Hhhx Annis 410 PHILOSOPHIAE NATURALIS Pe Mt^xDL Annis proximis (1699 & 1700) D. T)es Hayes ad ylmericam denuo ” ' navigans, determinavit quod in infulis Caycnvie & Granada longi- tudo penduli ad minuta fecunda ofcillantis, elTet paulo minor quam ped. 3. lin. (4, quodque in infula S. Chrijicjihor} longitudo illa ellec- ped. 3. lin. 6-J, & quod in. infula J. ‘Dorahtici eadem ellet ped. 3, lin. 7. Annoque 1704. Feiiclleus invenit in ‘Forlo-belo in America. longitudinem penduli ad minuta fecunda ofcillantis, efTe pedum trium Parifienfium & linearum tantum Jtt, id eft, tribus fere lineis breviorem quam Lutetice TariJlorjtm, fed errante obfervatione. Nam deinde ad infulam Martintcam navigans, invenit longitudinem pen- duli ifochroni elTe pedum tantum trium Parifienfium & lineaT r.um 744. Latitudo autem Taraiba efi dgr 38' ad aufirum, & ea Torto bell 9g''. 33' ad boream, & latitudines infularum Cayenna, Gorea, Guada' loupa, Martinica, Grmiada. San£ii Cbriftophori, & SanSii Ttominici. funt refpediive 4?. s5'-> M®''- 4°'» M®''- oo'> H®''- 44^ 6', i/tr, 19', & 19 gf. 48' ad boream. Et exceflus longitudinis penduli Pari- fienfis fupra longitudines pendulorum ifochronorum in his latitudini- bus obfervatas funt paulo majores quam pro tabula longitudinum penduli fuperius computata. Et propterea terra aliquanto altior ell fub aequatote quam pro fuperiore calculo,, & denfior ad centrum quam in fodinis prope fuperficiem, nili forte calores in zona torrida, longitudinem pendulorum aliquantulum auxerint. Obfervavit utique D. Ticartus quod virga ferrea, quae tempore hyberno ubi gelabant frigora erat pedis unius longitudine, ad ignem' calefafla evafit pedis unius cum quarta parte lineae. Deinde D.. de la Htre obfervavit quod virga ferrea quae tempore confimili hy- berno fex erat pedum longitudinis, ubi foli aellivo exponebatur eva- fit fex pedum longitudinis cum duabus tertiis partibus lineae. In priore «afu calor major fuit quam in pofteriore, in hoc vero major fuit quam calor externarum partium corporis humani. Nam metalla ad folem a;ftivum valde incalefcunt. At virga penduli in horologio ofcillatorio nunquam exponi folet calori folis «Itivi, nunquam ca- 01 em concipit calori extern® fuperficiei corporis humani ®qtialein. Et propterea^ virga penduli in horologio tres pedes, longa, paulo quidem longior erit tempore aellivo quam hyberno, fed exceflii quartam. PRINCIPIA MATHEMATICA. 411 quartam partem lineae unius vix fuperante. Proinde differentia tota Liber longitudinis pendulorum quas in diverfis regionibus ifocKrona funt, ^ ^ ’ diverlb calori attribui non poteit. Sed neque erroribus aftronomo- rum e Gallia mifforum tribuenda eft haec differentia. Nam quam- vis eorum obfervationes non perfefte congruant inter fe, tamen er- rores funt adeo parvi ut contemni poffint. Et in hoc concordant omnes, quod ifochrona pendula funt breviora fub aequatore quam in obfervatorio regio Parifienfi, exiftente differentia non minore quam lineae unius cum quadrante, non majore quam linearum 2.4. Per obfervationes D. Richeri in Cayenna faftas differentia fuit lines unius cum quadrante. Per eas D. ^es Hayes differentia illa cbr- refta prodiit lineae unius cum femifle vel unius cum tribus quartis partibus lineae. Per eas aliorum minus accuratas prodiit eadem quafi duarum linearum'. Et haec difcrepantia partim ab erroribus obfervationum, partim a diffimilitudine partium internarum terrae & altitudine montium, & partim a diverfis aeris caloribus, oriri po- tuit: Virga ferrea pedes tres longa, tempore hybernoin Anglla^ brevior eft quam tempore aeftivo, fexta parte lineae unius, quantum fentio. Ob calores fub aequatore auferatur haec quantitas de differentia li- neae unius cum quadrante a obfervata, & manebit linea lA: quse cum linea it-U-o per theoriam jam ante collefta probe congru-. it. Richerus autem obfervationes in Cayenna faftas, fingulis fepti- manis per menfes decem iteravit, & longitudines penduli in virga ferrea ibi notatas cum longitudinibus ejus in Gallia fimiliter notatis contulit. Quae diligentia & cautela in aliis obfervatoribus defuiffe videtur. Si hujus obfervationibus fidendum eft, terra altior erit ad aequatorem quam ad polos exceffu milliarium feptendecim circiter, ut fupra per theoriam prodiit. PROPO- PHILOSOPHIA NATURALIS 421 Df Mundi sv^EMATE PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVII. PtmBa (eqmnoBtalta regredi, axem terra fmgulis revolu- tionibus annuis nutando bis inclinari in eclipticam & bis re- dire ad pofitionem priorem. Patet per corol. ^o. prop. lxvi. lib. i. Motus tamen ifte nutan- di perexiguus elFet debet, & vix aut ne vix quidem fenfibilis. PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVIII. Motus omnes lunares, omnefque motuum inaqualitates ex alla- tis principiis confequi. Planetas majores, interea dum circa folem feruntur, pofle alios minores circum fe revolventes planetas deferre, & minores illos in ellipfibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi debere patet per prop. lxv. lib. i. Adlione autem folis perturbabuntur eo- rum motus multimode, iifque adficientur inaequalitatibus qute in luna noftra notantur. Haec utique (per corol. 2, 3, 4, & 5'. prop. Lxvi.) velocius movetur, ac radio ad terram dudo defcribit aream pro tempore majorem, orbemque habet minus curvum, atque ideo propius accedit ad terram, in fyzygiis quam in quadraturis, nifi qua- tenus impedit motus eccentricitatis. Eccentricitas enim maxima eft (per corol. 9. pop. lxvi.) ubi apogaeum lunae in fyzygiis verfa- tur, & minima ubi idem in quadraturis confiflit ; & inde luna in perigaeo velocior eft & nobis propior, in apogaeo autem tardior & remotior in fyzygiis quam in quadraturis. Progreditur infuper apo- gaeum, & regrediuntur nodi, fed motu inaequabili. Et apog^um quidem (per corol. "j. & 8. prop. lxvi.) velocius progreditur in fyzygiis fuis, tardius regreditur in quadraturis, & exceftii progrefliis fupra regreftum annuatim fertur in confequentia. Nodi autem (per corol. 2. prop. LXVI.) quiefcunt in fyzygiis fuis & velociflime regre- diuntur in quadraturis. Sed & major eft lunae latitudo maxima in ipfius quadraturis (per corol. 10. prop. lxvi.) quam in fyzygiis ; & motus medius tardior in perihdio terrae (per corol. 6. prop. lxvi.) quam in ipfius aphelio. Atque hae funt inxqualitates infigniores ab aftronomis notatte. Sunt PRINCIPIA MATHEMATICA. 4x3 Sunt etiam aliae quaedam a prioribus aftronomis non obfervatae inaequalitates, quibus motus lunares adeo perturbantur, ut nulla ha- ^ ' denus lege ad regulam aliquam certam reduci potuerint. Veloci- tates enim feu motus horarii apogaei & nodorum lunae, & eorun- dem aequationes, ut & differentia inter eccentricitatem maximam in fyzygiis & minimam in quadraturis, & inaequalitas quae variatio dici- tur, augentur ac diminuuntur annuatim (per corol. 14. prop. lxvi.) in triplicata ratione diametri apparentis folaris. Et variatio pr$te- rea augetur vel diminuitur in duplicata ratione temporis inter qua- draturas quam proxime (per corol. i, & z. lem. x. & corol. 16. prop. LXVI. lib. I.) fed haec inaequalitas in calculo aflronomico ad proffhaphaerefin lunae referri folet, & cum ea confundi. PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA V. Motus tna quales fatelUtum j ovis &f faturnl a motlhus lunaribus derivare. Ex motibus lunae noftrae motus analogi lunarum feu fatellitum Jovis fic derivantur. Motus medius nodorum fatellitis extimi jovia- lis, eft ad motum medium nodorum lunae noftrae, in ratione com- pofita ex ratione duplicata temporis periodici terrae circa folem ad tempus periodicum jovis circa folem, & ratione fimplici temporis periodici fatellitis circa jovem ad tempus periodicum lunae circa ter- ram (per corol. 16. prop. lxvi. lib. i.) ideoque annis centum conficit nodus ifte 8 g’’. 24'. in antecedentia. Motus medii nodorum fatelli- tum interiorum funt ad motum hujus, ut illorum tempora periodica ad tempus periodicum hujus (per idem corollarium) & inde dantur. Motus autem augis fatellitis cujufque in confequentia eft ad motum nodorum ipfius in antecedentia, ut motus apogaei lunae noftrae ad hujus motum nodorum, (per idem corol.) & inde datur. Diminui tamen debet motus augis fic inventus in ratione 5' ad 9 vel i ad x circiter, obcaufam quam hic exponere non vacat. Jiquationes ma- ximae nodorum & augis fatellitis cujufque fere funt ad aequationes maximas nodorum & augis lunae refpeftive, ut motus nodorum & augis fatellitum tempore unius revolutionis aequationum priorum, ad motus nodorum & apogsi lunae tempore unius revolutionis aqua- tionum 424 PHILOSOPHIAE NATURALIS Pf. Mundi tionutxi pofleiiorum. Variatio fatellitis e jove fpedati, eii: ad varia- tionem lunae, ut funt ad invicem toti motus nodorum temporibus quibus fatelles & luna ad folem revolvuntur, per idem corollarium,- ideoque .in latellite extimo non fuperat 5". \i."' . PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX. Fluxum refluxum maris ab aBtombus folts ac luna oriri. Mare fingulis diebus tam lunaribus quam folaribus bis intumefce- re debere ac bis defluere, patet per corol. 19. & 10. prop. lxvi, lib. I. ut & aquae maximam altitudinem, in maribus profundis & li- beris, appulfum luminalium ad meridianum loci minori quam fex horarum ipatio fequi, uti fit in maris Jtlantki & Mthiofici traflu toto orientali inter Galliam & promontorium Bona Spei ut & in maris Bacifici littore Chilenji & Beruviano : in quibus omnibus litto- ribus aeftus in horam circiter fecundam, tertiam vel quartam, inci- dit, nili ubi motus ab oceano profundo per loca vadofa propagatus ufque ad horam quintam fextam feptimam aut ultra retardatur. Ho- ras numero ab appulfu luminaris utriufque ad meridianum loci, tam infra horizontem quam fupra, & per horas diei lunaris intelligo vi- gefimas quartas partes temporis quo luna motu apparente diurno ad meridianum loci revertitur. Vis folis vel lunae ad mare elevandum maxima eft in ipfo appulfu luminaris ad meridianum loci. Sed vis eo tempore in mare imprelTa manet aliquamdiu & per vim novam fub- inde impreflam augetur, donec mare ad altitudinem maximam afcende- rit, id quod fiet fpatio horae unius duarumve fed faepius ad littora fpatio horarum trium circiter, vel etiam plurium fi mare fit vadofum. Motus autem bini, quos luminaria duo excitant, non cernentur diflinifle, fed motum quendam mixtum efficient. Jn luminarium conjunftione vel oppofitione conjungentur eorum effeftus, & com- ponetur fluxus & refluxus maximus. In quadraturis fol attollet a- quam ubi luna deprimit, deprimetque ubi luna attollit ; & ex effedu- um differentia aeltus omnium minimus orietur. Lt quoniam, expe- lientia telle, major eft effecftus lunae quam folis, incidet aquae maxi- ma altitudo in horam tertiam lunarem circiter. Extra fyzygias & quadratuias, aeltus maximus qui fola vi lunari incidere femper debe- ret in horam tertiam lunarem, & fola folari in tertiam folarem, com- PRINCIPIA MATHEMATICA. compdfitis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod ter- tiae lunari propinquius efl ; ideoque in tranfitu limae a fyzygiis ad ^ quadraturas, ubi hora tertia foiaris praecedit tertiam lunarem, maxima aqua? altitudo procedet etiam tertiam lunarem, idque maximo in- tervallo paulo poit oftantes lunae ; & paribus intervallis aelius ma- ximus fequerur horam tertiam lunarem in tranfitu lunm a quadratu- ris ad lyzygias. Haec ita funt in mari aperto. Nam in oitiis fluvio- rum fluxus majores caeieris paribus tardius ad clKfA.Lu venient. Pendent autem eftet^tus luminarium ex eorum diflantiis a terra. In minoribus enim diflantiis majores funt eorum effeftus, in majori- bus minores, idque in triplicata ratione diametrorum apparentium. Igitur fol tempore hyberno, in perigaeo exiflens, majores edit effe- ftus, efficitque ut seflus in fyzygiis paulo majores fint, & in qua- draturis paulo minores (caeteris paribus) quam tempore asflivo ; & luna in perigaeo fingulis menfibus majores ciet aeflus quam ante vel pofl dies quindecim, ubi in apogaeo verfatur. Unde fit ut aeflus duo omnino maximi in fyzygiis continuis fe mutuo non fequantur. Pendet etiam efteftus utriufque luminaris ex ipfius declinatione feu diflantia ab aequatore. Nam fi luminare in polo conflitueretur, traheret illud fingulas aquae partes conflanter, fine aflionis intenfione & remiflione, ideoque nullam motus reciprocationem cieret. Igitur luminaria recedendo ab aequatore polum verfus, effedus fuos grada- tim amittent, & propterea minores ciebunt aeflus in fyzygiis folfliti- alibus quam in aequinoctialibus. In quadraturis autem folflitialibus majores ciebunt aeflus quam in quadraturis aequinoftialibus ; eo quod lunae jam in aequatore conftitutae eflfeftus maxime fuperat effeftum folis. Incidunt igitur aeflus maximi in fyzygias & minimi in qua- draturas luminarium, circa tempora aequinoftii utriufque. Et aeflum maximum in fyzygiis comitatur femper minimus in quadraturis, ut experientia compertum efl. Per minorem autem diflantiam folis a terra, tempore hyberno quam tempore aeflivo, fit ut aeflus maximi & minimi faepius praecedant aequinoftium vernum quam fequantur, & faepius fequantur autumnale quam praecedant. Pendent etiam effeftus luminarium ex locorum latitudine. Defig- ' net AfET tellurem aquis profundis undique coopertam ; C centrum ejus; y, /polos; aequatorem ; F locum quemvis extra aequa- torem ; y/ parallelum loci ; 23^ parallelum ei refpondentem ex al- ^ I i i tera L. I B E R E K. T I U S De \fuMDi Systemate ^i6 PHILOSOPHIAE NATURALIS tcrvi piivtc 30(^Utitoris 5 L locum cjuctii lun^ tribus sntc horis occupa- bat ; //locum telluris ei perpendicularitcr fubjedum ; h locum huic oppolitum ; K, k loca inde gradibus 90 dillantia, C//, C h maris alti- tudines maximas menfuratas a centro telluris ; & CA, C,k altitudi- nes minimas: & fi axibus Eh, Kk defcribatur ellipfis, deinde ellip- feos hujus revolutione circa axem majorem Hh defcribatur Iphaerois. HTKhfk\ defignabit hsec fi- guram maris quam proxime, & erunt CF, Cf^ Cd altitu- dines maris in locis F, /, d, Quinetiam fi in praefata ellipfe- .. ^ os revolutione punftum quodvis N defcribat circulum NMy fe^ cantem parallelos Ffi T>d in lo- cis quibufvis F, Ti & aequato- rem AE in S ; erit C/NT altitu- do maris in locis omnibus F, 2", fitis in hoc circulo. Hinc in re^ volutione diurna locr cujufvis F, affluxus erit maximus in F, hora tertia poft appulfum lunae ad meridianum fupra horizontem ; poftea defluxus maximus in ^hora tertia poft occafum lunae ; dein afflux- us maximus in / hora tertia poft appulfum lunae ad meridianum in- fra horizontem ; ultimo defluxus maximus in ^hora tertia poft or- tum lunae ; & affluxus pofterior in f erit minor quam affluxus prior in F. Diftinguitur enim mare totum in duos omnino fiudus hemi- fphaericos, unum in hemifphaerio KHk ad boream vergentem, alte- rum in hemifphaerio oppofito Khk\ quos igitur fluftum borealem- & fluftum auftralem nominare licet. Hi fluftus femper fibi mutuo oppofiti veniunt per vices ad meridianos locorum Angulorum, inter- pofito intervallo horarum lunarium duodecim. Cumque regiones^ boreales magis participant fluftum borealem, & auftrales magis au- ftralem, inde oriuntur ^ftus alternis vicibus majores & minores, in locis fingulis extra aequatorem, in quibus luminaria oriuntur & oc- cidunt. iEftus autem major, luna in verticem loci declinante, inci- det in horam circiter tertiam poft appulfum lunae ad meridianum fupra horizontem, & luna declinationem mutante vertetur in mino- rem. Et fluxuum differentia maxima incidet in tempora folftitio- rum ; praefertim fi lunae nodus afcendens verfatur in principio arietis- Sic PRINCIPIA MATHEMATICA. 427 Sic experientia compertum eft, quod aeftus matutini tempore hyber- no fuperent vefpertinos & verfpertini tempore ffiiiivo matutinos, Tlymutbum quidem altitudine quafi pedis unius, ad Brijioliam vero altitudine quindecim digitorum : obiervantibus QokpreJJio & !^tur~ mio. Motus autem haflenus defcripti mutantur aliquantulum per vim illam reciprocationis aquarum, qua maris aeftus, etiam ceflantibus u minarium aftionibus, poflet aliquamdiu perfeverare. Confervatio haecce motus impreffi minuit difterentiam aeftuum alternorum ; & aeftus proxime poft fyzygias majores reddit, eofque proxime poft quadraturas minuit. Unde fit ut aeftus alterni ad Tlymuthum & Bri- Jioliam non multo magis differant ab invicem quam altitudine pedis unius vel digitorum quindecim ; utque seftus omnium maximi in iifdem portubus, non fint primi a fyzygiis, fed tertii. Retardantur etiam motus omnes in tranfitu per vada, adeo ut aeftus omnium maximi, in fretis quibufdam & fluviorum oftiis, fint quarti vel eti- am quinti a fyzygiis. Porro fieri poteft ut aeftus propagetur ab oceano per freta diver- fa ad eundem portum, & citius tranfeat per aliqua freta quam per alia : quo in cafu aeftus idem, in duos vel plures fucceflive adveni- entes divifus, componere poflit motus novos diverforum generum. Fingamus aeftus duos aequales a diverfis locis in eundem portum ve- nire, quorum prior praecedat alterum fpatio horarum fex, incidat- que in horam tertiam ab appulfu lunae ad meridianum portus. Si lu- na in hocce fuo ad meridianum appulfu verfabatur in aequatote, ve- nient fingulis horis fenis aequales affluxus, qui in mutuos refluxus in- cidendo eofdem afffuxibus aequabunt, & fic fpatio diei illius effici- ent ut aqua tranquille ftagnet. Si luna tunc declinabat ab aequato- re, fient aeftus in oceano vicibus alternis majores &: minores, uti di- flum ett ; & inde propagabuntur in hunc portum affluxus bini ma- jores & bini minores, vicibus alternis. Affluxus autem bini majores component aquam altiflimam in medio inter utrumque, affluxus ma- jor & minor faciet ut aqua afcendat ad mediocrem altitudinem in medio ipforum, & inter affluxus binos minores aqua afcendet ad al- titudinem minimam. Sic fpatio viginti quatuor horarum, aqua non bis ut fieri folet, fed femel tantum perveniet ad maximam altitudi- nem & femel ad minimam ; & altitudo maxima, fi luna declinat in liii polum De Mundi Systi-mate 418 PHILOSOPHIi£ NATURALIS polum fupra horizontem loci, incidet in horam vel lextam vel tri- celimam ab appullu lunae ad meridianum, atque luna declinationem, mutante mutabitur in defluxum. Quorum omnium exemplum ia portu regni Tnnquini ad Batfloam lub latitudine boreali logr. 50^ Halleius ex nautarum obfervationibus patefecit. Ibi aqua die tranfi- tum lunae per aequatorem fequente Ifagnat, dein luna ad boream de- clinante incipit fluere & refluere, non bis, ut in aliis portubus, fed' femel fingulis diebus ; & aeflus incidit in occafum lunae, defluxus- maximus in ortum. Cum lunae declinatione augetur hic aeflus, uf- que ad diem feptimum vel oftavum, dein per alios feptem dies iif^ dem gradibus decrefcit, quibus antea creverat ; & luna declinatio- nem mutante ceffat, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim fub- inde defluxus in occafum lunae & affluxus in ortum, donec luna iterum mutet declinationem. Aditus ad hunc portum fretaque vi- cina duplex patet, alter ab oceano Sluenji inter continentem & infu- lam Luconiam^ alter a- mari Indico inter continentem & infulam Por- neo. An aeflus fpatio horarum duodecim a mari Indico^ & fpatia horarum fex a mari Sinenji per freta ilk' venientes, & fic in horam tertiam & nonam lunarem incidentes, componant hujufmodi motus- fitne alia marium illorum conditio, obfervationibus vicinorum litto- rum determinandum relinquo* Haftenus caufas motuum lunae & marium reddidi. De quantitas te motuum jam convenit aliqua fubjungere. PROPOSITIO XXV. PROBLEMA VI. Invenire vires folis ad perturbandos motus lun^e, Defigne.t. J folem, T terram, T lunam, CAT>B orbem Imiae. Ih- S'B capiatur SK aequalis J7"; fitque SL ad JAT in duplicata ratione SK PRINCIPIA mathematica. 429 SK ad d”?, & ipfi VT agatur parallela LM ; & fi gravitas accelera- trix terra; in folern exponatur per diihntiam iT vel SK, erit SL-'^ gravitas acceleiatrix lunte in lolein. Ea componitur ex partibus SMy LM, (juaiuin LAI 6e iplius JVl/ pars TAI perturbat motum lunse» ut in libi 1 piimi piop. lxvi. & ejus corollariis expolitum elh (Quate- nus teli a ^ luna ciicu-m commune gravitatis centrum revolvuntur^ perturbabitur etiam motus terrs circa centrum illud a viribus conlimilibus ; led fummas tam virium quam motuum referre licet ad lunam, & iummas virium per lineas ipfis analogas TAI & AlL defignaie. \ is AIL in mediocii fua quantitate eli ad vim centri— petam, qua luna in orbe luo circa terram quiefcentem ad dillanriam. TT revolvi pollet, in duplicata ratione temporum periodicorum lu- nae circa terram & terra; circa folem (per corol. 17. prop. lxvi. lib. I.) hoc ell, in duplicata ratione dierum 27. hor. 7. min. 43. ad dies 365-. hor. 6. min. 9. id elt, ut 1000 ad 178715, feu i ad 178-il-. Invenimus autem in propofitione quarta quod, fi terra & luna circa commune gravitatis centrum revolvantur, earum difiantia mediocris ab invicem erit 6c4 femidiametrorum mediocrium terrae quampro- ' xime. Et vis qua luna in orbe circa terram quiefcentem, ad dillan- tiam ’TT femidiametrorum terrellrium 6ov revolvi polTet, ell ad vim,> qua eodem tempore ad diltantiam femidiametrorum 60 revolvi pof- fer, ut 6o4 ad 60; & haec vis ad vim gravitatis apud nos ut i ad» 60 X 60 quamproxime. Ideoque vis mediocris AIL eft ad vim gra- vitatis in fuperficie terrffi, ut ix6o4 ad 60x60x60x17844, leu r ad 638091,6. Inde vero & ex proportione linearum TM, ML, da- tur etiam vis TM : Sc hae funt vires folis quibus lunae motus pertur- bantur. ^ £. /. Liber E R T IV a PROPOSITIO XXVL PROBLEMA VIL Invenire incrementum horarium are de quam Uma^ radio aci terram duBo^ 'in orhe circulari defer ibit. Diximus aream, quam luna radio ad terram dufto deferibit, elle'^ tempori proportionalem, niti quatenus motus lunaris ab acHone iolis- turbatur. Ina-qualitatem momenti, vel’ incrementi horarii hic inve- frigandam proponimus. Ut computatio facilior reddatur, nngarpus> orbem lunae circularem elTe, & inaequalitates omnes negligamus, ea^ lola'* 430. PHILOSOPHIAE NATURALIS De Mundi excepta, de qua hic agitur. Ob ingentf m vero folis diltantiam, Systemate etiam lineas SPy ST fibi invicem parallelas efTe. Hoc pa- fto vis LM reducetur femper ad mediocrem fuam quantitatem TTy Ut & vis TM ad mediocrem fuam quantitatem 3TK. Hae vi- res (per legum corol. componunt vim TL ; & haec vis, fi in ra- dium TP demittatur perpendiculum LEy relolvitur in vires TE; EL, quarum TE, agendo femper fecundum radium TP, nec acce- lerat nec retardat defcriptionem areae TPC radio illo TP faftam ; & EL agendo fecundum perpendiculum, accelerat vel retardat ip- fam, quantum accelerat vel retardat lunam. Acceleratio illa lunae, in tranfitu ipfius a quadratura C ad conjunftionem fingulis tem- vis accelerans EL, hoc eft, ut j-tp . Exponatur "tempus per motum medium lunarem, vel vel etiam per arcum ^ j erigatur normalis CG ipfi CT aequalis. Et divifo arcu quadrantali in particulas innumeras aequales T /, &c. per quas aequales totidem particulx temporis exponi pollint, duflaque pk perpendiculari ad CT, jungatur TG ipfis KT, k p produttis occur- rens in F f-, 8c erit FK aequalis Z7C & Kk erit ad FK mi Tp iarp, noc eft in data ratione, ideoquei^isTxAT/tfeu area erit Ut PRINCIPIA MATHEMATICA. ut eft, ut iSL ; &: compofite, area tota GCKF ut fum- t ma omnium virium EL tempore toto €T impreffarum in lunam, atque ideo etiam ut velocitas hac fumma genita, id eit, ut accelera- tio delcriptionis areaj CTT^ feu incrementum momenti. Vis qua luna circa terram quiefcentem ad diltantiam TT, tempore fuo peri* odico CAT>B dierum xj. hor. 7. min. 43. revolvi pf>ffet, efficeret ut corpus, tempore CT cadendo, defcriberet longitudinem 4CT; & velocitatem fimul acquireret aequalem velocitati, qua luna in orbe fuo movetur. Patet hoc per corol. 9. prop. iv. lib. i. Cum autem perpendiculum Kd in TT demiffium Iit iplius EL pars tertia, & ip- lius TT feu ML in oftantibus pars dimidia, vis EL in oftantibusr ubi maxima eit, fuperabit vim ML in ratione 3 ad 2, ideoque erit ad vim illam, qua luna tempore fuo periodico circa terram quiefcen- tem revolvi poliet, ut 100 ad 4x178724 feu 11915*, & tempore CT velocitatem generare deberet qu^e elfet pars t44tt velocitatis lunaris, tempore autem velocitatem majorem generaret in ratione CA^ ad CT feu TT. Exponatur vis maxima EL in odantibus per are- am FKxKk reftangulo 42“? xP/ aequalem. Et velocitas, quam vis maxima tempore quovis C? generare polTet, erit ad velocitatem quam vis omnis minor -EL eodem tempore generat, ut redangulum ’4L?xC? ad aream ECGE; tempore autem toto CTA^ velocita- tes genitae erunt ad invicem ut reftangulum ^TTy^CA & triangu- lum TCGi five ut arcus quadrantalis CA & radius TF, Ideoque’ (per prop. IX. lib. v. elem.) velocitas pollerior, toto tempore genica,^ erit pars velocitatis lunae. Huic lunae velocitati, quae area&' momento mediocri analoga eft, addatur & auferatur dimidium ve- locitatis alterius ; & fi momentum mediocre exponatur per nume- rum 11915*, fumma 11915* -j-5-o feu 11^6$ exhibebit momentum ma* ximum areae in fyzygia ac differentia 119.15— 5'o feu 11865* ejuf- dem momentum minimum in quadraturis. Igitur areae temporibus- aequalibus in fyzygiis & quadraturis deferiptae,^ funt ad invicem ut 11965* ad 11865*. Ad momentum minimum 11865* addatur momen- tum, quod fit ad momentorum differentiam 100 ut trapezium FKLG ad triangulum TCG (vel quod perinde elt, ut quadratum finus FK ad quadratum radii TFy id elt, ut ad TF) & fumma exhibebit momentum areae, ubi luna elt in loco quovis intermedio F, Li E R B E K T 1 U S, Hsec De Mundi Systemate 431 PHILOSOPHIAE NATURALIS Haec omnia ita fe habent, ex hypothefi quod fol & terra quie- fcunt, & luna tempore fynodico dierum 27. hor. 7. min. 43. revol- vitur. ^ Cum autem periodus fynodica lunaris vere fit dierum 29. hor. IX. & min. 44, augeri debent momentorum incrementa in ratio- ne temporis, id elt, in ratione ^d loooooo. Idoc pai^lo in- crementum totum, quod erat pars t4ttt momenti mediocris, jam fiet ejufdem pars Ideoque momentum areas in quadratura lunae erit ad ejus momentum infyzygia ut 110x3— yc ad iicxj-j-yo, feu 10973 ad 11073; ad ejus momentum, ubi luna in alio quovis loco intermedio T verfatur, ut 10973 ad 10973-!-?'^, exillenie vide- licet TP aequali 100. Area igitur, quam luna radio ad terram dufto fingulis temporis particulis aequalibus deferibit, ell quam proxime ut fumma numeri 219,46 & finus verfi duplicatae diilantiae lunae a quadratura proxima, in circulo cujus radius eft unitas. Haec ita fe habent ubi variatio in odantibus eft magnitudinis mediocris. Sin variatio ibi major fit vel minor, augeri debet vel minui finus ille verfus in eadem ratione. PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA VIII. Ex motu horario luna invenire ipfius dlflantiam a terra. Area, quam luna radio ad terram dufto fingulis temporis mo- mentis deferibit, eft ut motus horarius lunae & quadratum diftantiae lunae a terra conjunftim ; & propterea diftantia lunae a terra eft in ratione compofita ex fubduplicata ratione areae direfte & fubdupli- cata ratione motus horarii inverfe. ^ E, I. Corol, I. Hinc datur lunae diameter apparens : quippe quae fit reciproce ut ipfius diftantia a terra. Tentent aftronomi quam probe haec regula cum phaenomenis congruat. Corol. X. Hinc etiam orbis lunaris accuratius ex phaenomenis quam antehac definiri poteft. PROPO- PRINCIPIA MATHEMATICA. 433 PROPOSITIO XXVIII. PROBLEMA IX. Invenire diametros orhis in quo luna^ fme eccentricitatc mo- I> I !? F. R Tt R T l U S. Z’ eri deberet. Curvatura trajeftoritp, quam mobile, fi fecundum trajeftoriae il- lius perpendiculum trahatur, defcribit, elt ut attradlio direde & quadratum velocitatis inverfe. Curvaturas linearum pono efie inter fe in ultima proportione fmuum vel tangentium angulorum conta- duum ad radios aquales pertinentium, ubi radii illi in infinitum di- minuuntur. Attradio autem luna in terram in fyzygiis ell exceflus gravitatis ipfius in terram fupra vim folarem (vide fig. qua gravitas acceleratrix luna in folem fuperat gravitatem accelera- tricem terra in folem vel ab ea fuperatur. In quadraturis autem at- tradio illa elt fumma gravitatis luna in terram & vis Tolaris KT^ qua luna in terram trahitur. Et hae attraftiones, fi dica- tur N, funt ut 178715' 2.000 ^ I7872.f 1000 ATq CTxN^'' CTq me; feu ut 178715 NxCr^ —1000 ATqxCT^Sl ^178715 4- 1000 CTq X AT. Nam (i gravitas acceleratrix lunae in terram’ ex- ponatur per numerum 1787^5'? vis mediocris ML^ quae 'in quadra- turis eft 2^7* vel TK lunam trahit in terram, erit 1000, & vis mediocris TM in fyzygiis erit 3000; de qua, fi vis 'mediocris ML fubducatur, manebit vis 1000 qua luna in fyzygiis diltrahitur a ter- ra, quamque jam ante nominavi K. Velocitas autem lunae in fyzygiis A ^ B ad ipfius velocitatem in quadraturis C & 2), ut CT ad AT & momentum areae quam luna radio ad terram duflo defcribit in fyzygiis ad momentum ejufdem areae in quadraturis com jundim, i. e. ut 11073 CT ad 10973 AT. Sumatur haec ratio bis in- verfe & ratio prior femel direde, & fiet curvatura orbis lunaris in fyzy- giis ad ejufdem curvaturam in quadraturis ut 110406719 x 178715^7'^ xCT q X N — 110406719 X 2000 AT q q xC T ad 121611329 X 178725 ATqxCTqx^ -|- 121611319 X 1000 CTqqxATy i. e. ut 2151969 AT X CT xN — 24081 AT ciib. ad 2191371 AT x CT xN ii.-L^iCT cub. Quoniam figura orbis lunaris ignoratur, hujus vice affumamus el- lipfin T)BCA^ in cujus centro T terra collocetur, & cujus axis ma- K k k jor Db Mundi SXSTEMA TE D C 434 PHILOSOPHIA NATURALIS jor ‘DC quadraturis, minor fyzygiis interjaceat. Cum autenr pliiniirn cllipfcos hujus rnotu «Hi^ulciri circBCA circa terram in cen- tro ellipfeos quiefcentem moveretur, & radio TT ad terram dufto defcriberet aream CTT tempori proportionalem ; eflet autem ellip- feos femidiameter maxima CT ad femidiametrum minimam TA ut 70 ad 69 : foret tangens anguli CTT ad tangentem anguli motus me- dii a quadratura C computati, ut ellipfeos femidiameter TA ad ejuf- dem femidiametrum TC feu 69 ad 70. Debet autem deferiptio aiem CTT, in progrelTu lunae a quadratura ad fyzygiam, ea ratione acce- lerari, ut ejus momentum in fy zygia lunae fit ad ejus momentum in quadratura ut 11073 ad 10973, utque excellus momenti in loco quovis intermedio P lupra momentum in quadratura Iit ut quadi a- K k k 2 L, I B E K T E K. T lU S. 4^6 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Mukdi tum finus anguli CTP. Id quod fatis accurate fiet, fi tangens an-^^ Systemate Qj-.p diminuatui* in fubduplicata ratione numeri 10973 ad nu. merum 11073, id efi, in ratione numeri 68,6877 ad numerum 69. Quo pa(qo tangens anguli CTP jam erit ad tangentem motus medii- ut 68,6877 ad 70, & angulus CTT in odantibus, ubi motus medius, efi 455*'. invenietur 448^ 17'. 28^^. qui fubduflus de angulo motus medii 458^. . relinquit variationem maximam 31'. Haec ita fe haberent fi luna,, pergendo a quadratura ad fj^zygiam, deferiberet angulum CT/^ graduum, tantum nonaginta. Verum ob motum terrae, quo fol in confequentia motu apparente transfertur, luna,priufquam .. folem afiequitur, deferibit angulum CTa angulo redo majorem in ratio- ne temporis revolutionis lunaris fyno- dica3 ad tempus revolutionis periodi- cae, id' efi, in ratione 29^. 12*'. 44',^ ad 27^. 7h. 43^; Et hoc pado anguli omnes circa centrum T dilatantur in eadem ratione, & variatio maxima quae fecus efTet 32'. 32^^ jam au-^ da in eadem ratione fit 35^..^io'^ Haec efi ejus magnitudo in mediocri difiantia folis a terra, negle- dis differentiis quae a curvatura orbis magni. majorique folis adione in lunam falcatam & novam quam in gibbofam & plenam, oririi poflint. In aiiis difiantiis folis a terra, variatio maxima efi in ratione quae componitur ex duplicata ratione temporis revolutionis fynodi- c$ lunaris (dato - anni ' tempore) direde, & triplicata ratione difian- tiae folis a tena inverfe. Ideoque in apogaeo folis, variatio maxima « efi 33 . 14 , & in ejus perigaeo 37'. fi modo eccentricitas folis . fit ad orbis magni femidiametrum tranfverfam ut i644 ad 1000. Hadenus variationem invefiigavimus in orbe non eccentrico, in^ quo utique luna in odantibus fuis femper efi in mediocri fua di- fiantia a terra. Si luna propter eccentricitatem fuam, magis vel mi- nus diftat a terra quam fi locaretur in hoc orbe, variatio paulo ma- jor effe potefi vel paulo minor quam pro regula hic allata : fed ex- ceflTum . PRINCIPIA MATHEMATICA'.. 437 ceflum vel defeftum ab allronamis per phaenomena determinandum relinquo. Liber Tertius. PROPOSITIO XXX, PROBLEMA XI. J_yi'V6Hii G hoyciTiTiyyi yio^ovuyyi luyi^ zh oi‘h€ czyczzlziyz, Defignet lyfolenii 2^ terram, lunam, NTn orbem lunas, Npzz %-elligium orbis in plano eclipticae.; iV, « nodos, «riVw lineam no- dorum infinite produdam ; TI, TK perpendicula demifla in lineas ST, Tp perpendiculum demilTum in planum eclipticse; A, B fyzygias lunae in plano eclipticae ; AZ perpendiculum in lineam no- 5 dorutn Nn\ ^ quadraturas lunae in plano eclipticae, &c pKyQi- pendiculum in lineam quadraturis interjacentem. Vis folis ad perturbandum motum lunae (per. prop. xxv.) duplex eft, altera lineae LM 'm fchemate propofitionis illius, altera lineae A/T proportionalis. Et luna vi priore in terram, pofteriore in folem fecundum lintam redae 438 PHILOSOPHIiE NATURALIS De Mundi ST & terra ad folemduas parallelam trahitur. Vis prior LM Svsiemate g -j. fecundum planum orbis lunaris, & propterea fitum plani nil mutat. Hsc igitur negligenda eft. Vis polterior MT qua planum orbis lunaris perturbatur eadem eft cum vi vel i IT. Et hsc vis (per prop. xxv.) eft ad vim qua luna in circulo circa terram qui- efcentem tempore fuo periodico uniformiter revolvi poflet, ut a/T" ad radium circuli multiplicatum per numerum lyS.yaj, five ut 77* ad radium multiplicatum per 5'p,5'7f. Caeterum in hoc calculo, & eo m l omni qui fequitur, confidero lineas omnes a luna ad folem duftas tanquam parallelas lineae quas a terra ad folem ducitur, propterea quod inclinatio tantum fere minuit effeftus omnes in aliquibus cali- bus, quantum auget in aliis; & nodorum motus mediocres quaeri- mus, negleftis ilHufmodi minutiis, quae calculum nimis impeditum redderent. Defignet jam arcum, quem luna dato tempore quam minimo deferibit, & ML lineolam cujus dimidium luna, impellente vi prae- fata 3/7*, eodem tempore deferibere poflet. Jungantur 77, A/7, & pro- / PRINCIPIA MATHEMATICA. 43^ & producantur eae ad & /, ubi fecent planum eclipticae ; inque T m demittatur perpendiculum TH, Et quoniam redia ML parallela elt plano eclipticae, ideoque cum refta m L quae in plano illo jacet concurrere non potell, & tamen jacent hae reftae in plano communr LMPful ; parallelae erunt hai redae, & propterea limilia erunt tri- angula LMT^ ImT. Jam cum MTm fit in plano orbis, in quo luna in loco movebatur, incidet pundum m in lineam Nn per orbis illius nodos iV, ;;dudam. Et quoniam vis qua dimidium lineolae LM generatur, fi tota fimul & femel in loco T impreffa effet, generaret lineam illam totam ; & efficeret ut luna moveretur in arcu, cujus chorda elfet Z/P, atque ideo transferret lunam de MT mT in planum motus angularis nodorum a vi illa genitus, aequalis erit angulo niTl. Elt autem ml nrP ut ML ad ideoque cum MP ob datum tempus data fit, elt ml ut redangulum A/L x id eft, ut redangulum IT xmP, Et angulus mTly fi modo angulus Tml vcRws fit, elt ut & propterea ut (ob pro- portionales Tm & nTP^ TT & PH) ut ^ ideoque ob dataim L Te T B E R K X i U S, TP^ Mi IT X PH. Quod fi angulus Tml^ feu STN obliquus fit, erit angulus mTl adhuc minor, in ratione finus anguli STISL ad radium, {twAZ^idiAT. Elt igitur velocitas nodorum ut ITxPH x AZ^ five ut contentum fub finubus trium angulorum TPI, PTN & STN. Si anguli illi, nodis in quadraturis & luna in fyzygia exiltentibus, redi fint, lineola m / abibit in infinitum, & angulus mTl evadet an- gulo mPl aequalis. Hoc autem in cafu, angulus mP l elt ad angu- lum PTM^ quem luna eodem tempore motu fuo apparente circa terram defcribit, ut 1 ad 59,575*. Nam angulus mP l aequalis elt an- gulo LPM, id elt, angulo deflexionis luna^ a redo tramite, quem fola vis praefata folaris 3 /2", fi tum ceflaret lunae gravitas, dato illo tempore generare polTet ; & angulus PTM aqualis elt angulo defle- xionis lunae a redo tramite, quem vis illa, qua luna in orbe fuo reti^ netur, litum celTaret vis folaris 3 /7", eodem tempore generaret. Et hae vires, ut fupra diximus, funt ad invicem ut i ad 595575- Ergo cum motus medius horarius lunae refpedu fixarum fit 32^. 56''''. 27'^'. 12*^4, motus horarius nodi in hoc calu erit 33'^'. . 33^^ Aliis autemt 440 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Mondi autem in cafibus motus ifle horarius erit ad 33'''. 10''''''. 33!''. ri\ ut Svsiem»te fub fmubus angulorum trium TTI, TTN, & STN (feu diftantiarum lunae a quadratura, lunae a nodo, & nodi a fole) ad cu- bum radii. Et quoties fignum anguli alicujus de affirmativo in ne- gativum, deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus re- greffivus in progreffivum & progreffivus in regreffivum mutari. Unde fit ut nodi progrediantur quoties luna inter quadraturam alte- rutram & nodum quadraturae proximum verfatur. Aliis in cafibus regrediuntur, & per exceffum regrelTus fupra prbgrelTum lingulis menfibus feruntur in antecedentia. Corel. I. Hinc fi a dati arcus quam minimi PAf terminis T &: M ad lineam quadraturas jungentem demittantur perpendicula TK, Mk, eademque producantur donec fecent lineam nodorum Nn in D d-, erit motus horarius nodorum ut area M-TT>d & quadratum lineae AZ conjunftim. Sunto enim TK, TH & AZ praedidi tres finus. Nempe TK finus diftantiae lunae a quadratura, TH finus di- ftantiae lunae a nodo, Sc A Z finus diftantiae nodi a fole : & erit ve- Kk X AZ qu. id eft, ut area TTidM & AZ X ut qu. conjunftim. CoroL PRINCIPIA MATHEMATICA. 441 Corol. i. In data quavis nodorum pofitione, motus horarius me- diocris ell femillis motus horarii in fyzygiis lunae, ideoque ell ad ^ 16". 15'" - ut quadratum finus dillantiae nodorum a fy- zygiis ad quadratum radii, five \xt A Z qu, ad AT qu. Nam fi luna uniformi cum motu perambulet femicirculum ^Aq^ fumma omnium arearum 'PT>dM^ quo tempore luna pergit a ^ad iV/, erit area ^IdE quae ad circuli tangentem §IE terminatur ; & quo tem- pore luna attingit punftum n, fumma illa erit area tota E^jln quam linea TT> defcribit, dein luna pergente ab n ad linea PT> cadet extra circulum, & aream ?/^£?ad circuli tangentem ^6* terminatam defcribet ; quse, quoniam nodi prius regrediebantur, jam vero pro- grediuntur, fubduci debet de area priore, & cum aequalis fit arcae §ENy relinquet femicirculum N^An. Igitur fumma omnium area- rum PT>dMy quo tempore luna lemicirculum defcribit, ell area fe- micirculi ; & fumma omnium quo tempore luna circulum defcribit eft area circuli totius. At area TT) dMy ubi luna verfatur in fyzy- giis, eft redangulum fub arcu !PA/ & radio PT\ fumma omni- um huic aequalium arearum, quo tempore luna circulum defcribit, eft reftangulum fub circumferentia tota & radio circuli ; & hoc re- ftangulum, cum fit aequale duobus circulis, duplo majus eft quam reftangulum prius. Proinde nodi, ea cum velocitate uniformiter continuata quam habent in fyzygiis lunaribus, fpatium duplo majus defcriber-ent quam revera defcribunt ; &propterea motus mediocris quocum, fi uniformiter continuaretur, fpatium a fe inaequabili cum motu revera confedum defcribere pofiTent, eft femiflis motus quem habent in fyzygiis lunae. Unde cum motus horarius maximus, fi nodi in quadraturis verfantur, fit 33^'. 33^^. motus medio* eris horarius in hoc cafu erit 16'^. 35^^"". 16^'^. 36'^. Et cum motus horarius nodorum femper fit ut AZ qu. & area TT>dM conjunftim, & propterea motus horarius nodorum in fyzygiis lunae ut AZ qu. & area conjunftim, id eft (ob datam aream TT)dM\w fy- zygiis deferiptam) ut AZ qu. erit etiam motus mediocris ut AZ qu. atque ideo hic motus, ubi nodi extra quadraturas verfantur, erit 16';. 3^^ ut AZ qu. ad AT qu. ^ E. I.y 1 B E R E R 1’ I t) S . L 1 1 PROPO- 44Z PHILOSOPHIA NATURALIS Vl Mundi SVS^M.IE propositio XXXI. PROBLEMA Xlf, Invenire motum hor artum nodorum luna tn orbe elliptico. Defignet »2^^ ellipfin, axe majore minore ab defcrip- tam, ^Aq B circulum circumfcriptum, T terram in utriufque cen- tro communi, S folem, / lunam in ellipfi motam., ^ f m arcum quem data temporis particula quam minima defcribit, linea Nn junftos, pK &. mk perpendicula in axem ^q demifla &: hinc inde produda, donec occurrant circulo in ? & A/, & lineae' nodorum \x\T> d. Et fi luna, radio ad terram dufto, aream de- fcribat tempori proportionalem, erit motus horarius nodi in ellipfi ut conjundimo . Nam^: PRINCIPIA MATHEMATICA. 443 Nam fi PF tangat circulum in T, 8c produfta occurrat TNva F, , L' &^/ tangat ellipfin in /> & produda occurrat eidem TNia /, con- veniant autem has tangentes in axe 7"^ ad T; & fi ML deiignec fpaiium quod luna in circulo revolvens, interea dum deicribit ar- cum 'TM, urgente & impellente vi praedida i IT, feu iTK motu tranfverfo dcfcribere poflet, Sc m l delignet fpatium quod luna in ellipfi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3 i?" feu 3‘P/f, defcribere poffet ; & producantur L‘P & // donec occurrant plano eclipticae in G ^ & jungantur FG & fg, quarum FG produda fecet //, pg & T^m c, e tk R refpedive, & fg produda fecet in r. Quoniam vis iJT leu fFK in circulo ell ad vim 377" feu ipK in ellipfi. ut PA' ad p K, feu ad aT ; erit fpatium ML vi pri- ore genitum, ad ipatium m l vi polleriore genitum, ut P/sf ad /AT, id eit, ob limiles figuras FTKp & FT Rc, ut FR ad c R. Eft au- tem ML ad FG (ob fimilia triangula FLM, TGF) ut TL ad PGj hoc eft (ob parallelas Lk, 'FK, GR) ut/>7ad pe, id eft (ob fimilia triangula plm, cpe) ut Im ad re; & inverfe ut LM eft ad Im, feu FR ad cR, ita eft IG ad ce. Et propterea I\ fg eflet ad ce w. jT - ad cT, id eft, ut /r ad cR (hoc eft, ut fr ad FR & FR ad cR con- jundim, id eft, ut /"7 ad FT & FG ad ce conjundim) quoniam ra- tio FG ad ce utrinque ablata relinquit rationes fg ad FG Scf T ad FT, foret ad IG ut /Pad FT ; atque ideo anguli, quos FG Hc fg fubtenderent ad terram T, tequarentur inter le. Sed anguli ilii (per ea quae in procedente propolitione expofuimus) funt morus no- dorum, quo tempore luna in circulo arcum FM, in ellipfi arcum pm percurrit; & propterea motus nodorum in circulo & ellipfi ae- quarentur inter fe. Haec ita fe haberent, fi modo/^ eftet ad ce ut C€ X f Y' r fTzd c7', id eft, Iifg aequalis eflet — -jr- . Verum ob fimilia triangula fgp, cep, eft ad cevxff ad cp-, ideoque/^ squalis eft ifJSll ; & propterea angulus, quem fg revera fubtendit, eft ad angulum priorem, quem FG fubtendit, hoc eft, motus nodorum in C € y, f p ellipfi ad motum nodorum in circulo, ut hsc fg feu fg feu id eft, vx ff%cT ad fT x cp, feu// ad fT & ^ ■ LIU B E R T 1 U S, orem 444 PHILOSOPHIi£ NATURALIS n cT&d ef, hoc eft, fi fh ipfi TAT parallela occurrat FT iu A ut Flr Systemate ad FT ^ FT ad FT ■, hoc eft, ut Fh ad A’?’ feu Tip zd !DlP; ideoque ut area T)fmdzd aream ‘DTMd. Etpropterea, cum (per corol. I. prop. xxx ) area pollerior & JZq conjunftim proportiona- lia fint motui horario' nodorum in circulo, erunt area prior & AZq< coniundim proportionalia motui horario nodorum in ellipfi. Corol. Quare cumi in data nodorum pofitione, fumma omnium’ arearum quo tempore luna pergit a quadratura ad locum quemvis m, fit zveu mp d, quae ad ellipfeos tangentem ^E ter- minatur ; & fumma omnium arearum illarum, in revolutione inte- gra, fit area ellipfeos totius : motus mediocris, nodorum in ellipfi erit ad motum mediocrem nodorum in circulo, ut ellipfis ad circu- Ium ; PRINCIPIA MATHEMATICA, luiTi ; id eft, ui T a ad feu 69 ad 70. Et propterea, cum (per corol. 2. prop. xxx.) motus mediocris horarius nodorum in circulo ^ fit ad 16" , ut AZ qu. ad qu. fi capiatur angulus 16". xi'". 3'^^. 30"^ ad angulum i6'\ i6'^y, 36^ ut 69 ad 70, erit motus mediocris horarius nodorum in ellipfi ad 31^ 30^ ut AZq ad ATq\ hoc eft, ut quadratum linus diitantiai nodi a fole ad quadratum radii. Cauterum luna, radio ad terram dufto, aream velocius deferibit in fyzygiis quam in quadraturis, & eo nomine tempus in fyzygiis contrahitur, in quadraturis producitur ; & una cum tempore motus nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum areae iii' quadraturis lunae ad ejus momentum in fyzygiis ut 10973 ad 11073, & propterea momentum mediocre in oftantibus elt ad exceffum in fyzygiis, defeftumque in quadraturis, ut numerorum femifumma 11013 ad eorundem femidifterentiam 5*0. Unde cum tempus lunae in fingulis orbis particulis aequalibus fit reciproce ut ipfius velocitas, erit tempus mediocre in oftantibus ad exceflTum temporis in quadra- turis, ac defeftum in fyzygiis, ab hac caufa oriundum, ut 11013 ad 50 quam proxime. Pergendo autem a quadraturis ad fyzygias, in- venio quod excefius momentorum areae in locis fingulis, fupra mo*^ mentum minimum in quadraturis, fit ut quadratum finus difiantiae lunae a quadraturis quam proxime ; & propterea differentia intet momentum in loco quocunque & momentum mediocre in odanti^ bus, eff ut differentia inter quadratum finus difiantiae lunae a qua- draturis & quadratum finus graduum 47, feu femiflem quadrati ra- dii ; & incrementum temporis in locis fingulis inter odantes & qua- draturas, & decrementum ejus inter odantes & fyzygias, efi in ea- dem ratione. Motus autem nodorum, quo tempore luna percurrit fingulas orbis particulas aequales, acceleratur vel retardatur in du- plicata ratione temporis. Elt enim motus ille, dum luna percurrit TM (caeteris paribus) ut A/L, & ML efi in duplicata ratione tem- poris. Quare motus nodorum in fyzygiis, eo tempore confedus quo’ luna datas orbis particulas percurrit, diminuitur in duplicata ratione' numeri 11073 ad numerum 11013 ; efique decrementum ad motum^ reliquum ut 100 ad 10973, ad motum vero totum ut 100 ad 11073 quam proxime. Decrementum autem in locis inter odantes & fy- zygias, & incrementum in locis inter odantes & quadraturas, elb qiiani' Liberi E R T 1 u s 'De Mundi SVSTEMAIB 44(J PHILOSOPHIA NATURALIS cjUfiiTi proxime 3d hoc dccrementumj ut motus totus in jocis illis ad momm totum in fyzygiis & differentia inter quadratum finus diitantifE lunte a quadratura & femiflem quadrati radii ad femiflem quadrati radii conjundim. Unde fi nodi in quadraturis verfentur, & capiantur loca duo aequaliter ab oflante hinc inde dillantia, & alia duo a fyzygia & quadratura iifdem intervallis diitantia, deque decrementis motuum in locis duobus inter fyzygiam & oftantem, fubducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, quae funt inter odantem & quadraturam; decrementum reliquum aequale erit decremento in fyzygia: uti rationem ineunti facile conflabit, Pro- indeque decrementum mediocre, quod de nodorum motu mediocri fubduci debet, eft pars quarta decrementi in fyzygia. Motus totus horarius nodorum in fyzygiis, ubi luna radio ad terram dufto aream tempori proportionalem deferibere fupponebatur, erat yiy. Et decrementum motus nodorum, quo tempore luna jam velocior deferibit idem fpatium, diximus elle ad hunc motum ut loo ad 11073 ; ideoque decrementum illud ell 17^''. 43^^. ii^, cujus pars quarta 4^^'. ^5’^ 48''. motui horario mediocri fupeiius invento 16". 3^ . 30^ fubdufta, relinquit 16''. \ 41^ motum mediocrem horarium correftum. Si nodi verfantur extra quadraturas, & fpeftentur loca bina a fyzygiis hinc inde aequaliter difiantia ; fumma motuum nodorum, ubi luna verfatur in his locis, erit ad fummam motuum, ubi luna in iifdem locis & nodi in quadraturis verfantur, ut JiZ ofu. ad AI qu. Et decrementa motuum, a cauOs jam expofiiis oriunda, erunt ad invicem ut ipfi motus, ideoque motus reliqui erunt ad invicem ut AZ qu, ad AT qu, & motus mediocres ut motus reliqui. Eft ita- que motus mediocris horarius corredus, in dato quocunqUe nodo- rum fitu, ad 4x^ ut AZ qu, ad AT qu, ; id eft, ut quadratum finus diftantise nodorum a fyzygiis ad quadratum radii. PROPO- PRINCIPIA MATHEMATICA. PROPOSITIO XXXJI. PROBLEMA XIII. Invenire motum medtum nodorum lun(e. Motus tnedius annuus eft fumma motuum omnium horariorum^ mediocrium iu anno. Concipe nodum verfari in N, & fingulis ho- ris completis retrahi in locum fuum priorem, ut non obllante motm fuo proprio, datum femper fervet fitum ad ttellas fixas. Interea ve- ro folem S, per motum terrae, progredi a nodo, & curfum annuum? apparentem uniformiter complere. Sit autem A a arcus datus quam- minimus, quem refta ad folem femper dufta, interfeftione fui & circuli MAh, dato tempore quam minimo defcribit; & motus- horarius mediocris (per jam oftenfa) erit ut AZq, id ett (ob pro- portionales AZi ZT) ut reftangulum fub AZ ZT, hoc eft, ue area' AZTa. Et fumma omnium horariorum motuum mediocriuni» ab initio, ut fumma omnium arearum aTZA., id eft, ut area NAZ- Eft autem maxima AZTa aequalis reftangulo fub arcu A a & radio ' circuli ; & propterea fumma omnium reftangulorum in circulo toto ? ad fummam totidem maximorum, ut area circuli totius ad gulum fub circumferentia tota & radio, id eft, ut i autem horarius, reftangulo maximo refpondens, erat i6 . 37''. Et hic motus, anno toto fidereo dierum 36;. hor. «t 3ogr. 38'. 7". Ideoque hujus dimidium 196'^; 49 ... 3-55 • 33flOtUS^* De Mundi System AT B 448 PHILOSOPHIAE NATURALIS motus medius nodorum circulo toti refpondens. Et motus nodo- rum, quo tempore fol pergit ab N ad eft ad 1^$^. 49'. 3''. 55'^''. ut area N^Z ad circulum totum. Haec ita fe habent ex hypothefi, quod nodus horis fingulis in lo- cum priorem retrahitur, fic ut fol anno toto completo ad nodum eundem redeat a quo fub initio digreflus fuerat. Verum per motum nodi fit ut fol citius ad nodum revertatur, & computanda jam ett abbreviatio temporis. Cum fol anno toto conficiat 360 gradus, & nodus motu maximo eodem tempore conficeret 39"^ 38'. 7''. 50^^^, feu 39, 635*5 gradus ; & motus mediocris nodi in loco quovis N fit ad iplius motum mediocrem in quadraturis fuis, ut ZZ^ ad AT q: erit motus folis ad motum nodi in iV, ut 360 ad 39)6355 AZq ; id efi, ut 9,0827667 AT q ad AZq, Unde fi circuli totius circum- N ferentia NAn dividatur in particulas aequales Aa^ tempus quo fol percurrat particulam A fi circulus quiefceret, erit ad tempus quo percurrit eandem particulam, fi circulus una cum nodis circa cen- trum T revolvatur, reciproce ut 9,0827667 ATq ad 9,0827667 ATq -\-AZq. Nam tempus efl reciproce ut velocitas qua particula per- curritur, & haec velocitas eft fumma velocitatum folis & nodi. Igi- tur fi tempus, quo fol fine motu nodi percurreret arcum NA^ ex- ponatur per feftorem NTA, & particula temporis quo percurreret arcum quam minimum Aa^ exponatur per feftoris particulam ATa ; & (perpendiculo in Nn demiflb) fi in ./f 2^ capiatur dZy ejus lon- gitudinis PRINCIPIA MATHEMATICA. 449 gitudinis ut fit reftangulum dZ in ZT ad fefloris particulam ZTa ut AZ q ad 9,08x7646 AT q AZq, id efi, ut fit dZ ad '^AZ ut ATq ad ATq -\-AZq\ redangulum dZxn .2^2" defigna- bit decrementum temporis ex motu nodi oriundum, tempore toto quo arcus A a percurritur. Et fi punftum d tangit curvam NdGn, area curvilinea NdZ erit decnementum totum, quo tempore arcus totus NA percurritur ; & propterea exceflus feftoris NAT fupra a- ream NdZ erit tempus illud totum. Et quoniam motus nodi tempo- re minore minor ell in ratione temporis, debebit etiam zrt^AaTZ diminui in eadem ratione. Id quod fiet fi capiatur in AZ longitudo eZ, qute fit ad longitudinem AZ ut AZq ad 9,08x7646 ATq-\- AZq Sic enim reftangulum tZvs\ ZT erit ad aream AZTa ut decremenl Liber T E R T 1 tum temporis, quo arcus Aa percurritur, ad tempus totum quo per- curreretur, fi nodus quiefceret : & propterea redangulum illud re- fpondebit decremento motus nodi. Et fi punftum e tangat curvam Ne F area tota Ne qua? fumma eft omnium decrementorum, refpondebit decremento toti, quo tempore arcus percurritur ; & area reliqua NAe refpondebit motui reliquo, qui verus eft nodi motus, quo tempore arcus totus NA per folis & nodi conjunftos motus percurritur. Jam vero area femicirculi eft ad aream figura? NeFn, per methodum ferierum infinitarum quaefitam, ut 793 ad 60 quamproxime. Motus autem qui refpondet circulo toti erat i9gr. 49'. 3''. 5*5'^^^. & propterea motus, qui figurae NeFn duplicatae refpondet, eft isl x9^. Qui de motu priore fubduftus re- linquit i8gL 19'. 5*''. $1'" , motum totum nodi refpedu fixarum inter fui ipfius conjunftiones cum fole ; & hic motus de folis motu annuo graduum 360 fubduftus, relinquit 341 bl 40^ 54'^. Y" • motum folis inter eafdem conjunftiones. Ifte autem motus eft ad motum annu- um 36ogL ut nodi motus jam inventus iSsl 19'. 5''. si"' ^ ipfius motum annuum, qui propterea erit 198^ 18^. i". X3'^^. Hic eft mo- tus medius nodorum in anno fidereo. Idem per tabulas aftronomi- cas eft i9gL 50'"^^ Differentia minor eft parte trecentefima motus totius, & ab orbis lunaris eccentricitate & inclinatione ad planum eclipticae oriri videtur. Per eccentricitatem orbis motus nodorum nimis acceleratur, & per ejus inclinationem viciffim retar- datur aliquantulum, & ad juftam velocitatem reducitur. M m m PRO- Db Mundi Ststematb 4J0 PHILOSOPHIi£ PROPOSITIO XXXIII. NATURALIS PROBLEMA XIV. Invenire motum verum nodorum luna. In tempore quod ell ut area NTA—NdZ, (in fig. fraced.) mo. tus ifte efl ut area NA e, & inde 'datur. Verum ob nimiam calculi difficultatem, praedat fequentem problematis conllruftionem adhi- bere. Centro C, intervallo quovis C2), defcribatur circulus BEFT). Producatdr ® Cad A, ut fit AB ad AC ut motus medius ad fe- milTem motus veri mediocris, ubi nodi funt in quadraturis, id eft, ut 19?. 18'. 1". xi'" . ad 195^. 49'. atque ideo AC ad .^Cut motuum differentia og!". 31'. 31"'', ad motum potteriorem i9gr, 49'- i"- hoc eft, ut I ad 3 8 Vv ; dein per punftum 2) ducatur infinita Gg, quae tangat circulum in 2) ; & fi capiatur angulus BCE vel BCF aequalis duplae diftantiae folis a loco nodi, per motum me- dium invento; & agatur A E vel AF fecans perpendiculum 2>G in G ; & capiatur angulus qui fit ad motum totum nodi inter ipfius fy- zygias (id eft, ad 9S^ ii'. 3''^ ) ut tangens 2)G ad circuli BET) cir- cumferentiam totam ; atque angulus ifte (pro quo angulus AG ufurpari poteft) ad motum medium nodorum addatur ubi nodi tran>- feunt a quadraturis ad fyzygias, & ab eodem motu medio fubduca- tur ubi tranfeunt a 1'yzygiis ad quadraturas ; habebitur eorum motus verus. Nam motus verus fic inventus congruet quam proxime cum: motu vero qui prodit exponendo tempus per aream NTA-^NdZ,. & motum nodi per aream N Ae\ ut rem perpendenti & compu- tationes inftituenti conftabit. Haec eft aequatio femeftris motus nodorum. PRINCIPIA MATHEMATICA. 451 nodorum. Eft & aequatio menftrua, fed quae ad inventionem latitu- Liber dinis lunae minime neceffaria efl. Nam cum variatio inclinationis orbis lunaris ad planum eclipticae duplici inaequalitati obnoxia fit, al- teri femeftri, alteri autem menftruae ; hujus menitrua inaequalitas & aequatio menitrua nodorum ita fe mutuo contemperant & corrigunt, ut ambae in determinanda latitudine lunae negligi poffint. CoroL Ex hac & praecedente propofitione liquet quod nodi in fy- 7jygiis fuis quiefcunt, in quadraturis autem regrediuntur motu ho- rario 16'^. 19'^^. Et quod aequatio motus nodorum in oftanti- bus fit IS’*. 30'. Quae omnia cum phaenomenis coeleilibus probe qua- drant. SchoUum. Alia ratione motum nodorum J, Machin Aftron. Trof. Grejham. & He7t. Temberton .M. D. feorfum invenerunt. Hujus methodi mentio quaedam alibi fafta eft. Et utriufque chartae, quas vidi, duas propofitiones continebant, & inter fe in utrifque congruebant. Char- tam veroD. Machin^ cum prior in manus meas venerit, hic adjungam- De Motu Nodorum Lun^e. PROPOSITIO I. Motus fohs medius a mdoj definitur per medium pro- portionale geometricum^ Inter motum ipfus fohs me dium ^ cc 0^9 YyiQfiiYyi lUum mcdiocrem quo fol celerrime recedit a nodo In quadraturis. « Sit T locus ubi terra, Kn linea nodorum lunae ad tempus quod- vis datum, KTM huic ad reftos angulos dufta, TA refta circum centrum revolvens ea cum velocitate angulari qua fol & nodus a fe invicem recedunt, ita ut angulus inter re^ftam quiefcentem Nn & revolventem TAj femper fiat aequalis diftantiae locorum folis & nodi. Jam fi refta quaevis T/iT dividatur in partes TS SK quae fint ut motus folis horarius medius ad motum horarium medio- erem nodi in quadraturis, & ponatur refta TH media proportio- nalis inter partem T S & totam TK^ haec refta inter reliquas pro- portionalis erit motui medio folis a nodo, M m m 2, De- Liber T E R T I u PHILOSOPHIAE NATURALIS “ Defcribatur enim circulus NK n M centro r& radio TK, eo- demcjue centro & femiaxibus T* H & 7^ A" defcribatur ellipfis “ n L, in tempore quo fol a nodo recedit per arcum Na, fi du- ‘‘ catur refla T b a, area fefloris NT a exponet fummam motuum “ nodi & folis in eodem tempore. Sit igitur arcus a A quam mini. « mus quem refla Tba praefata lege revolvens in dat^ temporis par- « ticula uniformiter defcribit, & feflor quam minimus TA a erit ut “ fumma velocitatum qua fol & nodus tum temporis feorfim fe- “ runtur. Solis autem velocitas fere uniformis ett, utpote cujvis parva N « inaequalitas vix ullam inducit in medio nodorum motu varreta'- “ tem. Altera pars hujus fummae nempe velocitas nodi in medio- « cri fua quantitate, augetur in receffu a fyzygiis in duplicata rati- “ one finus diftantiae ejus a fole; per Coroll. Prop. 31. Lib. 3'“ Prin- “ cip. & cum maxima eft in quadraturis ad folem in K, eandem ra- “ tionem obtinet ad folis velocitatem ac ea quam habet SK ad yj “ hoc eft ut (differentia quadratorum ex TK & TH vel) reflangu- “ Ium ATT/il/ ad quadratum. Sed ellipfis ATAAf dividit feflo- “ xtraATa fummse harum duarum velocitatum exponentem, in “ duas partes AB ba 8c BTb ipfis velocitatibus proportionales. « Producatur enim i? T- ad circulum dn /3, & a-punfto A demitta- “ tmr c ti - rium folis a nodo in quadraturis verfante; erit idem angulus ‘‘ diftantia fohs a loco nodi vero. Nam jungatur FT & ex-demom ftratione 454 PHILOSOPHIAE NATURALIS P,. Mundi firationc propofitionis fuperioris erit angulus FTN diftantia folis SvsTiMATE „ ^ medio, angulus autem ATN dillantia a loco vero, & ‘‘ tangentes horum angulorum funt inter fe ut TK ad TH. “ Coroll. Hinc angulus elt aequatio nodorum lunae, fmufque “ hujus anguli ubi maximus eft in oftantibus, elt ad radium ut KH “ ad TK-\-TH. Sinus autem hujus aequationis in loco quovis alio ‘‘ y/ell ad finum maximum, ut finus fummae angulorum FTN-\-ATN' ad radium : hoc elt fere ut finus duplae dittantiae folis a loco nodi medio (nempe i FTN) ad radium. Scholmm. “ Si motus nodorum mediocris horarius in quadraturis fit i6'^. “ i6"'. 37". 41''. hoc eft in anno toto fidereo 39°. 38'. 50'". « erit TH ad TK in fubduplicata ratione numeri 9,081764(5 ad nu- ‘‘ merum 10,0817646, hoc eft ut 18,6514761 ad 19,6514761. Et pro- pterea TH HK ut 18,6514761 ad i. hoc eft ut motus folis in « anno fidereo ad motum nodi medium 19°. 18', i". “ At fi motus medius nodorum Lunae in 10 annis Julianis fit “ 386“. 50'. 15'^. ficut ex obfervationibus in theoria lunae adhi- « bitis deducitur : motus medius nodorum in anno fidereo erit 19°. « lo'. 31". 58'". Et TH erit ad HK ut 3606'. ad 19°. lo'. 3X'''. 58'". “ hoc eft ut 18,61114 ad i. unde motus mediocris horarius nodorum “ in quadraturis evadet 16". 18''''. 48" Et aequatio nodorum maxi- “ ma in oftantibus 1°. 19'. 57". PROPOSITIO XXXIV. PROBLEMA XV. Invemre variationem horartam inclinationis orhis lunaris ad planum ecUpticce. Defignent A a fyzygias \ q quadraturas \ N Se n nodos ; T locum lunae in orbe fuo ; p veftigium loci illius in plano ecliptic®, &c mTl motum momentaneum nodorum ut fupra. Et fi ad lineani Tm demittatur perpendiculum TG, jungatur /G, & producatur ea donec occurrat Tlm g, & jungatur etiam Tg: erit angulus TGp inclinatio orbis lunaris ad planum ecliptica?, ubi luna verfatur in !P; & angulus Tgp inclinatio ejufdem poft momentum temporis com- pletum ; PRINCIPIA mathematica. 4jj pletum; ideoque angulus GTg variatio momentanea inclinationis Liber Eft autem hic angulus GTg ad angulum ut TGad PG ad ‘PG conjundtim. Et propterea fi pro momento temporis fubfti- tuatur hora ; cum angulus GTg (per prop. xxx.) fit ad angulum w l io"'. 33^’'. ut IT X PG X AZiA AT cub. erit angulus GPg (feu in^- clinationis horaria variatio) ad angulum 33". 10'". sy'" ut ITxAZ iiTG^^^iid ATcub. ^E.I. Haec ita fe habent ex hypothefi quod luna in orbe circulari uni- formiter gyratur. Quod fi orbis ille ellipticus fit, motus mediocris- nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majorem ; uti. fupra expolitum eft. Et in eadem ratione minuetur etiam inclina^, tionis variatio. Coro^i Pe Mundi SvS.fEMATE PHILOSOPHIA NATURALIS Corol T Si ad Nn erigatur perpendiculum TF, fitque /- -W motus horarius lun^ in plano ecliptica; & perpendicula^ iT, Mk in ^ demifla & utrinque produfta occurrant TF\n H &h: ent /T" ad ^rut Kk ad MF, & TG ad ///> ut TZ ad AT, ideoque ITxTG jgqygje ^ ^ hoc eft, aequale areae Hp M h duftae in ra- TZ tionem — • & propterea inclinationis variatio horaria ad 33 . lo Mp ^ TZ Tp 33*'. ut Hf Mh dufta in AZ x rrrr X /// AT cuh. Mp '' TG Corol. 1. Ideoque fi terra' & nodi fingulis horis completis retrahe- rentur a locis fuis novisj & in loca prioia in inflanti femper i educe- rentur, ut fitus eorum, per menfem integrum periodicum, datus maneret ; tota inclinationis variatio tempore menfis illius foret ad 33''. 10'". 33*’, ut aggregatum omnium arearum Hp Mh, in revo- lutione pundi p genitarum, & fub fignis propriis -1- &— conjun- Fp ftarum, dudlurn in AZ y.TZy. Mp y.AT cub. id eft, ut cir- F p culus totus ^qa duflus in AZ% TZy.^ ad Mp x AT cub. hoc -eft, ut circumferentia du6ta in AZ ad x M p x AT quad. Corol. 3. Proinde in dato nodorum fitu, variatio mediocris hora- ria, ex qua per menfem uniformiter continuata variatio illa menftrua Fp generari poflet, eft ad 33"- lo'"- 33‘''- ut AZxTZx^ ad zATq, five vx Fpy. ad FGy. ^AT, id eft (cum F p fit ad FG ut AZy^TZ linus inclinationis praedidiae ad radium, & — Iit ad ^AT ut finus duplicati anguli ATn ad radium quadruplicatum) ut inclinatio- nis ejufdem finus duftus in finum duplicatae difiantiae nodorum a fole, ad quadruplum quadratum radii. Corol, 4. Quoniam inclinationis horaria variatio, ubi nodi in qua- draturis verfantur, eft (per hanc propofitionem) ad angulum IO PRINCIPIA MATHEMATICA. n io'''. 33’'' Ut ITy.AZ^KTG^^^^i AT cub. id ett, ut -i 4jr IT XTG Liber Tertius. X p~Q ^ ^T-, hoc eft, ut finus duplicatae diftantiae lunae k qua- T p draturis dudus in ^ ad radium duplicatum : fumma omnium vari- ationum horariarum, quo tempore luna in hoc fitu nodorum tranfit a quadratura ad fyzygiam (id eii, fpatio horarum 1774,) erit ad fum- mam totidem angulorum 33". 10'". 35^ feu 5878", ut fumma omnium linuum duplicatae diflantite lunae a quadraturis dufta in T P ad fummam totidem diametrorum ; hoc eft, ut diameter dufia Tp in ad circumferentiam ; id eft, fi inclinatio fit 58'- 1', ut 7 x ad feu 178 ad loooo, Proindeque variatio tota, ex fumma omnium horariarum variationum tempore praedifto conflata, eft 163" feu x'. 43". PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA XVI. Dato tempore 'tnventre mclmattonem orbis lunaris ad planum ecliptica. Sit' A T> finus inclinationis maximae, Sc AB finus inclinationis mi- nimae. Bifecetur B‘^D in C, & centro C, intervallo BC defcribatur circulus BGT>. \r\ AC capiatur CE in ea ratione aA E B quam E B habet ad x BA: et fi dato tempore conftituatur aiigulus aequalis duplicatae diftantiae nodorum ^ quadraturis, S>c AT) de- mittatur perpendiculum GH: erit AH finus inclinatiohis qusfitae. N n n Nam Db Mundi Systemate 458 PHILOSOPHIi£ NATURALIS Nam GEq aequale eft G Eq—BHT>-\-H E HEq —BHq=HBT> B Eq --z B H x BE ^ BEq -\-z E C = zE Cy.AB Ar zE C x BH=l z E CxA H. Ideoque cum z EC detur, eft ut AH, Defignet jam A Eg duplicatam diftantiam nodorum 'i quadraturis poft datum ali- quod momentum temporis completum, & arcus G g ob datum angulum GEg erit u-t diftantia GE. Eft autem Hh ad Gg ut G//ad GCy & propterea Hh eft ut contentum GHxG g, feu GHxGE; id eft, ut^^xGEq feu ut A H & finus anguli AEG conjunftim. Igitur G AH in cafu aliquo fit finus inclinationis, augebitur ea iifdem incrementis cum finu incli- nationis, per Corol. 3. Propofitionis fuperioris, & propterea finui illi aequalis femper manebit. Sed AHy ubi punftum G incidit in punftum alterutrum B vel 2), huic finui aequalis eft, & propterea eidem femper aequalis manet. E. T>. In hac demonftratione fuppofui angulum B EGy qui eft duplicata diftantia nodorum a quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes, inaequalitatum minutias expendere non vacat. Concipe jam angulum, BEG reftum efle, & in hoc cafu Gg eflfe augmentum horarium duplae diftantiae nodorum & folis ab invicem ; & inclinationis vari- atio horaria, in eodem cafu (per Corol. 3. Prop. novillimae ) erit ad; 33^^. 33‘^. ut contentum fub inclinationis finu, AH &: finu anguli refti BEG^ qui eft duplicata diftantia nodorum a fole, ad: quadruplum quadratum radii ; id eft, ut mediocris inclinationis finus AH ad radium quadruplicatum; hoc eft (cum inclinatio illa medi- ocris fit quafi. 5Srr 8^4) ut ejus finus 896 ad radium quadruplicaturh 40000, five ut 114. ad loooo,. Eft autem/variatio tota, finuum dif- ferentiae PRINCIPIA MATHEMATICA. 459 ferentiae B D refpondens, ad variationem illam horariam ut diameter l 1 ® ^ * arcum G g \ lA eil, ut diameter BT> femicircumferenti- BGT> & tempus horarum io79t^, quo nodus pergit ^ quadra- turis ad fyzygias, ad horam unam conjunftim ; hoc elt, ut 7 ad 1 1 & ad I. Quare fi rationes omnes conjungantur, fiet vari- atio tota BT) ad 33''. ut 2X4X7Xi079T^ ad iioooo, id eft, ut 29(345' ad 1000, & inde variatio illa BT> prodibit i6\ Hasc eft inclinationis variatio maxima quatenus locus lunae in orbe fuo non confideratur. Nam inclinatio, fi nodi in fyzygiis verfantur, nil mutatur ex vario fitu lunae» At fi nodi in quadraturis confiftunt, inclinatio minor eft ubi luna verfatur in fyzygiis, quam ubi ea ver- fatur in quadraturis, exceflu 43" ; uti in propofitionis fuperio- ris Corollario quarto indicavimus. Et hujus exceflus dimidio \\ 21^4 variatio tota mediocris BT) m quadraturis lunaribus dimi- nuta fit 15'. in ipfius autem fyzygiis aucla fit if. 45^^. Si luna igitur in fyzygiis conftituatur, variatio tota in tranfitu nodorum a quadraturis ad fyzygias erit 17^ 45'^ : ideoque fi inclinatio, ubi nodi in fyzygiis verfantur, fit 5'S''* if. 2.0^' ; eadem, ubi nodi fune in quadraturis, & luna in fyzygiis, erit 4«’^* 59'. 35""^. Atque haec ita fe habere confirmatur ex obfervationibus. Si jam defideretur orbis inclinatio illa, ubi luna in fyzygiis & nodi ubivis verfantur; fiat AB ^A AT) ut finus graduum 4. 5'9''. 35^^ ad finum graduum 5. 17^. xo^', & capiatur angulus AEG aequalis duplicatae dillantiae nodorum a quadraturis ; & erit A H finus incli- nationis quaefitae. Huic orbis inclinationi aequalis eft ejufdem incli- natio, ubi luna diftat a nodis. In aliis lunae locis inaequalitas menftrua, quam inclinationis variatio admittit, in calculo latitudinis lunae compenfatur, & quodammodo tollitur per inaequalitatem men- ftruam motus nodorum (ut fupra diximus) ideoque in calculo lati- tudinis illius negligi poteft. Schohum, Hifce motuum lunarium computationibus oftendere volui, quod motus lunares per theoriam gravitatis a caufis fuis computari pof- fint, Per eandem theoriam inveni praeterea quod aequatio annua N n n X medii 4^0 PHILOSOPHIAE NATURALIS Liber mcdu niotus lunse oriatur a varia dilatatione orbis lunae per vimfolis,. Tertius j^^^^ Corol. 6. Prop. lxvi. Lib. I. Haec vis in perigaeo folis major eft, & orbem lunae dilatat ; in apogaeo ejus minor ell, & orbem il- lum contrahi permittit. In orbe dilatato luna tardius revolvitur, in contraflo citius ; & aequatio annua, per quam haec inaequalitas com- penfatur, in apogaeo & perigaeo folis nulla eft, in mediocri, folis a^ terra diftantia ad ii'. 5*0^^ circiter afcendit, in aliis locis aequationi centri folis proportionalis eft; & additur medio motui lunae ubi terra pergit ab aphelio fuo ad perihelium, & in oppofita orbis parte fub- ducitur. Affumendo radium orbis magni 1000 & eccentricitatem terrai haec aequatio, ubi maxima eft, per theoriam gravitatis > prodiit ii'. 49". Sed eccentricitas terrae paulo major elfe videtur, & aufta eccentricitate haec aequatio augeri debet in eadem ratione. . Sit eccentricitas i644, & aequatio maxima erit ii'. fi". Inveni etiam quod in perihelio terrae, propter majorem vim folis, . apogaeum & nodi lunae velocius moventur quam in aphelio ejus, id- que in triplicata ratione diftanriae terrae a fole inverfe. Et inde ori- untur aequationes annuae horum motuum aequationi centri folis pro- portionales. Motus autem folis eft in duplicata ratione diftantiae terrae a fole inverfe, & maxima centri aequatio, quam haec inaequali-^ tas generat, eft 20" praediftae folis eccentricitati i644 con- gruens. Quod fi motus folis eftet in triplicata ratione diftantiae in- verfe, haec inaequalitas generaret aequationem maximam 2§‘^* 54' 30"^,' Et propterea aquationes maximae, quas inaequalitates motuum apo-^ g«i & nodorum lunae generant, funt ad ig^- 54'. 30" ut motus mer dius diurnus apogaei, & motus medius diurnus nodorum lunae funt a.d motum medium diurnum folis. Unde prodit aequatio maxima medii motus ^apogaei 19'. 43^', & aequatio maxima medii motus no- dorum^ 9 ' ^4 • Additur vero aequatio prior & fubducitur pofteri-: or, ubi terra pergit a perihelio fuo ad aphelium : & contrarium fit - in oppofita orbis parte. Per theoriam gravitatis conftitit etiam quod aftio folis in lunam paulo major fit, ubi tranfverfa diameter orbis lunaris tranfit per fo- lem, quam ubi eadem ad reftos eft angulos cum linea terram & fo- lem jungente: & propterea orbis lunaris paulo major eft in priore cafu quam in pofteriore. Et hinc oritur alia aquatio motus medii lunaris^ PRINCIPIA MATHEMATrcA. lirnaris, pendens a fini apogaei lunas ad folem, quaa quidem maxima DeMuvdi efl cum apogasum lunae verfatur in oftante cum fole ; & nulla cum illud ad quadraturas vel fy^^ygias pervenit : & motui medio additur in tranfitu apogaei lunae a folis quadratura ad fyzygiam, & fubduci^- tur in tranfitu apogaei a fyzygia ad quadraturam. Haec aequatio, quam femeftrem vocabo, in odtantibus apogaei, quando maxima efi, aiben- dit ad 3^- 45'^ circiter, quantum ex phanomenis colligere potuiv Haec eft ejus quantitas in mediocri folis dillantia a terra. Augetur vero ac diminuitur in triplicata ratione diftantiae folis inverfe, ideo- que in maxima folis dillantia efl: 3'. 34^\ & in minima 3'. 56'' quam- proxime : ubi vero apogaeum lunae fitum efl extra oftantes, evadit minor; eflque ad aequationem maximam, ut finus duplae diflanti^e apogaei lunae a proxima fyzygia vel quadratura ad radium. Per eandem gravitatis theoriam aftio folis in lunam paulo major efl ubi linea reda per nodos lunae duda tranfit per folem, quam ubi linea illa ad rebtos efl angulos cum reda folem ac terram jungente. Et inde oritur alia medii motus lunaris aequatio, quam femeflrem ^ fecundam vocabo, quaeque maxima efl ubi nodi in folis odantibus verfantur, & evanefeit ubi funt in fyzygiis vel quadraturis, & in aliis nodorum pofitionibus proportionalis efl finui duplae diflantiae nodi alterutrius a proxima fyzygia aut quadratura: additur vero medio • motui lunae, fi fol diflat a nodo fibi proximo in antecedentia, fub- ducitur fi in confequentia, & in odantibus, ubi maxima eft, afeen- dit ad 47^^ in mediocri folis dillantia a terra, uti ex theoria gravita- tis colligo. In' aliis folis diftantiis haec aequatio maxima in odanti- - bus nodorum efl reciproce ut cubus diflantiae folis a terra, ideo- que in perigaeo folis ad 4//^ in apogaeo ejus ad 4/^ circiter afeen- - dit. Per eandem gravitatis theoriam apogaeum lunae progreditur quam ' maxime ubi vel cum fole conjungitur vel eidem opponitur, & re- greditur ubi cum fole quadraturam facit. Et eccentricitas fit maxi- ma in priore cafu & minima in polleriore, perCorol. 7, 8 & 9. Prop. Lxvi. Lib. I. Et hae inaequalitates per eadem Corollaria permagnae funt, & aequationem principalem apogaei generant, quam femeflrem ^ vocabo. Et aequatio maxima femellris efl 18' circiter, quan- - tum ex obfervationibus colligere potui. - Horroxius nofler lunam in = ellipfi I De Mundi Systemate 461 PHILOSOPHIiE NATURALIS cllipfi circum tcrriim, in cjus umbilico infciiorc conflitut^m) revolvi primus llatuir. Hallems centrum ellipfeos in epicyclo locavit, cujus centrum uniformiter revolvitur circum terram. Et ex motu in epi- cyclo oriuntur insequalitates jam diftas in progreffu & regreflii apo- ,gsei & quantitate eccentricitatis. Dividi intelligatur dillantia medi- ocris lun20 a terra in partes looooo, referat T terram (& TC ec* centricitatem mediocrem lunae partium Producatur TC ad ut fit CB finus aequationis maximae femefiris 18' ad radium TCy & circulus centro C, intervallo C B deferiptus erit epi: cyclus ille in quo centrum orbis lunaris locatur & fecundum ordi- nem literarum revolvitur. Capiatur angulus BCT> aequalis duplo argumento annuo, feu duplae difiantiae veri loci folis ab apo- gaeo lunae femel aequato, & erit CZ'® aequatio femefiris apogaei lu- nse & Z® eccentricitas orbis ejus in apogaeum fecundo aquatum tendens. Habitis autem lun^ motu medio & apog^o & eccentrici- tate, ut & orbis axe majore partium 200000 ; ex his eruetur verus lunae locus in orbe & difiantia ejus a terra, idque per methodos notillimas. In perihelio terrae, propter majorem vim folis, centrum orbis lu- nae velocius movetur circum centrum C quam in aphelio, idque in triplicata ratione difiantiae terrae a ible inverfe. Ob aequationem centri folis in argumento annuo comprehenfam, centrum orbis lun^ velocius movetur in epicyclo BT)A 'm duplicata ratione difiantia terrae a fole inverfe. Ut idem adhuc velocius moveatur in ratione fimplici difiantia inverfe ; ab orbis centro ® agatur refta ®® ver- fus apogaeum lun^, feu reftae ZC parallela, & capiatur angulus ET>F aequalis exceflTui argumenti annui praedidti fupra difiantiam apog^i lun^ a perig^o folis in confequentia; vel quod perinde efi, capiatur ^ angulus PRINCIPIA MATHEMATICA. 4(^3; anguTus CT>F aqualis complemento anomalia vera^ folis ad gradus Li 360. Et fit T>F ad F>C ut dupla eccervtricitas orbis magni ad didam liam mediocrem folis a terra, & motus medius diurnus folis ab apo- g^o lun^ ad motum medium diurnum folis ab apogaeo proprio con- junftim, id eft, ut 33^ ad 1000 & 27^^ 16'^/ ad 59'. 8'^ 10''^ conjunftim, five ut 3 ad 100. Et concipe centrum orbis lunae lo- cari in punfto F, & in epicyclo, cujus centrum ed T>, & radius T>Ft>' interea revolvi dum punftum T> progreditur in circumferentia cir- culi T)ABT>. Hac enim ratione velocitas, qua centrum orbis lunae in linea quadam curva circum centrum C deferipta movebitur, erit, reciproce ut cubus diilantiae folis a terra quamproxime, ut oportet. Computatio motus hujus difficilis eft, fed facilior reddetur per ap- proximationem fequentem. Si diftantia mediocris lunae a terra fit partium looooo, & eccentricitas T C fit partium 5505' ut fupra :: refta CB vel CT> invenietur partium 1171^) & refla Z)F partium- 35*4. Et haec refla ad didantiam T C fubtendit angulum ad terram quem tranflatio centri orbis a loco ad locum F generat in motu centri hujus : & eadem refla duplicata in fitu parallelo ad didantiam fuperioris umbilici orbis lun^ a terra, fubtendit eundem angulum^ quem utique tranflatio illa generat in motu umbilici, &: ad didantiam' lunae a terra fubtendit angulum quem eadem tranflatio generat in motu lunae, quique propterea aequatio centri fecunda dici poted. Et hxc aequatio, in mediocri lunse didantia a terra, ed ut fmus anguli, quem refla illa 7^F cum refla a punflo F ad lunam dufla continet quamproxime, & ubi maxima ed evadit Angulus autem quem" refla T)F & refla a punflo ad lunam dufla comprehendunt, in- venitur vel fubducendo angulum ET^F ab anomalia media lunae, vef addendo didantiam lunae a fole ad didantiam apogaei lunae ab apo- gaeo folis. Et ut radius ed ad finum anguli fic inventi, ita 25'^!- funt ad aequationem centri fecundam, addendam, fi fumma illa fit minor femicirculo, fubducendam fi major. Sic habebitur ejus longis tudo in ipfis luminarium fyzygiis. Cum atmofphaera terrae ad ufque altitudinem milliarium 35^ vel 40' refringat lucem folis, & refringendo fpargat eandem in umbram> teri ae, & fpargendo lucem in confinio umbrae dilatet umbram : ad: diametrum umbrae, quae per parallaxim prodit, addo minutum unurri^ primum in eelipfibus lunae, vel minutum unum cum triente. ^ Theoi 4^4 PliILOSOPHIi£ NATURALIS Munbi Theoria vero Iunx primo in fyzygiis, deinde in quadraturis, & temate jjj oftantibus per phxnomena examinari & llabiliri debet. Et opus hocce aggreflurus motus medios folis & Iunx ad tempus meridianum in obfervatorio regio Grenovicenji, die ultimo menfis Decembris anni 1 700. 11. vet. non incommode fequentes adhibebit : nempe motum medium folis vy lot'- 43'. 40", & apogxi ejus $ ■jv- 44'. 3o'^ & motum medium Iunx a: ijs'-- xi'. oo'\ & apogxi ejus ,x 88'- ^o'. 00", & nodi afcendentis SI i7§'' 14'. ao'' ; & differenti- am meridianorum obfervatorii hujus & oblervatorii regii ‘Pariji- enjis o’’"' 9"''"' motus autem medii Iunx & apogxi ejus non- ,dum fatis accurate habentur.' PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA XVIL Inventre vim folis ad mare movendum. Solis vis ML feu TT, in quadraturis lunaribus, ad perturbandos motus lunares erat (per Prop. xxv. hujus) ad vim gravitatis apud nos, ut I ad 6}2o^^,6. Et vis TM — LM feu r PK in fyzygiis lunaribus eft duplo major. Hx autem vires, fi defcendatur ad fu- perficiem terrx, diminuuntur in ratione diftantiarum a centro terrx, id eff, in ratione 6o4 ad i ; ideoque vis prior in fuperficie terrx eft ad vim gravitatis ut i ad 38604600. Hac vi mare deprimitur in locis, qux 90 gradibus diftant a fole. Vi altera, qux duplo major eft, mare elevatur & fub fole & in regione foli oppofita. Summa I, virium eft ad vim gravitatis ut i ad 11868200. Et quoniam vis ea- dem eundem ciet motum, five ea deprimat aquam in regionibus qux 90 PRINCIPIA MATHEMATICA. 46^ 90 gradibus diftant a fole, five elevet eandem in regionibus fub fole Liber & foli oppofitis, h^c fumma erit tota folis vis ad mare agitandum & eundem habebit efFeflum, ac fi tota in regionibus fub fole & foli oppofitis mare elevaret, in regionibus autem quae 90 gradibus diftant a fole nil ageret. Haec eft vis folis ad -mare ciendum in loco quovis dato, ubi fol tam in vertice loci verfatur quam in mediocri fua diftantia a terra. In aliis folis pofitionibus vis ad mare attollendum eft ut finus verfus duplae altitudinis folis fupra horizontem loci direfte & cubus diftan- tise folis a terra inverfe. C^ro/, Cum vis centrifuga partium terr^ a diurno terrae motu o- riunda, quse eft ad vim gravitatis ut i ad efficiat ut altitudo aquae fub aequatore fuperet ejus altitudinem fub polis menfura pedum Tarifien/ium 85'47x, ut fupra in prop. xix; vis folaris de qua egimus, cum fit ad vim gravitatis ut i ad 11868100, atque ideo ad vim illam centrifugam ut 189 ad 11868100 feu i ad 445*^7, efficiet ut altitudo aquae in regionibus fub fole & foli oppofitis fuperet altitudinem ejus in locis, qua; 90 gradibus diftant a fole, menfura tantum pedis unius Tarifienfis & digitorum undecim cum tricefima parte digiti. Eft enim haec menfura ad menfuram pedum 85'47i ut i ad 4451 7. -PROPOSITIO XXXVII. PROBLEMA XVIIL Invenire vim luna ad mare movendum. Vis lunae ad mare movendum colligenda eft ex ejus proportione ad* vim folis, & haec proportio colligenda eft ex proportione motuum ma- ris, qui ab his viribus oriuntur. Ante oftium fluvii Avona ad lapidem tertium infra Briftolmm^ tempore verno & autumnali totus aquae afcenfus in conjunftione & oppofitione luminarium, obfervante Sa^ miiele Sturmio^ eft pedum plus minus 45’, in quadraturis autem eft pedum tantum 25'. Altitudo prior ex fumma virium, pofterior ex earundem differentia oritur. Solis igitur & lunae in aequatore ver- fantium & mediocriter a terra diftantium funto vires S & L, & erit L-j-S ad L — S ut 45 ad 25, feu 9 ad y. O o o In He MoKCil SvrrEMAT^ 4^(5 PHILOSOPHIA I^ATURALIS In portu ^‘lymuthi' aettus mm is ex obfervatiotte Sdmuelis ColefteJJi ad pedes plus minus fexdecim altitudine mediocri attollituf , ac tem- pore verno & autumnali altitudo- aedus- in fyzygiis fuperare poted al- titudinem ejus in quadraturis pedibus plus feptem vel o6t>o. Si ma^ xima harum altitudinum differentia fit pedum novem, erit iL-f-S ad L— S ut -Lo^r ad ii4 feu 41 ad 23. Quas proportio fatis congruit cum' priore. Ob magnitudinem aeffus in portu obfcrva- tionibus Sturmil magis fidendum effe videtur,^ ideoque donec aliquid certius condixerit, proportionem 9 ad 5 ufurpabimus. Ceterum ob aquarum reciprocos motusy aedus maximi non in- cidunt in’ ipfas luminarium fyzygias, fed funt tertii a* fyzygiis ut diftum fuit, feu proxime fequuntur tertium lunae- pod fyzygias ap. pulfiim ad meridianum loci, vel potius (ut a Sturmio notatur) funt tertii pod diem novilunii vel plenilunii, feu pod horam a novilunio vel plenilunio' plus minus duodecimam, ideoque. incidunt in horaiii a novilunio vel plenilunio plus mirius quadragefimam tertiam. In- cidunt vero in hoc portu in horam feptimam circiter ab appulfu lu- nae ad meridianum loci ; ideoque proxime fequuntur appulfum lunae ad meridianum, ubi luna didat a fole vel ab oppofitione folis gradi- bus plus minus ' e6lodecim vel novemdecim in confequeritia. iEdas & hyems maxime vigent, non in ipfis folditiis, fed ubi fol didat a folditiis decima circiter parte totius circuitus, feu gradibus plus mi- nus 36 vel 37. Et fimiliter maximus aedus maris oritur ab appulfu lunae ad meridianum loci, ubi luna didat a fole decima circiter parte motus totius ab aeffu ad aedum. Sit didantia illa graduum plus mi- nus 184. Et vis folis in hac didantia lunae a fyzygiis & quadraturis, minor erit ad augendum & ad minuendum motum maris a vi lunae oriundum, quam in ipfis fyzygiis & quadraturis, in ratione radif ad linum complementi didantiae hujus duplicatae feu anguli graduum 3^7, hoc ed, in ratione looooooo ad 79863 5- 5*. Ideoque in' analogia fuperiore* pro S fcribi debet 0,79863^5* S. Sed & vis lunae in quadraturis, ob declinationem lunae ab aequa- tbre, diminui debet. Nam luna in quadraturis, vel potius in gradu i8t pod quadraturas, in declinatione graduum plus minus 22. 13' verfatur. Et luminaris ab aequatore declinantis vis ad mare mo- vendum jPRINCIPIA MATHEMATICA. ^67 vendum diminuitur in duplicata ratione finus complementi declina- tionis quamproxime. Et propterea vis lunae in his quadraturis ett tantum 0,8570317 L. Ett igitur L-l-o,7986355S .ad 0,8570317 L— 0,79863558 ut 9 ad 5. Praeterea diametri orbis, in quo luna fine eccentricitjite moveri deberet, funt ad invicem ut 69 ad 70 ; ideoque dittantia lunae a -terra in fiyzygiis ett ad dittantifim ejus in quadraturis ut 69 ad 70, caeteris paribus. Et dittantiae ejus in gradu 184 a fy zygiis, ubi aettus maximus generatur, & in gradu 184 3 quadraturis, ubi gettus mini- DeMundi Systemate mus generatur, funt ad mediocrem ejus diftantiam ut 69,098747 & 69,897345* ad 694. Vires autem lunae ad mare moyendurn fwnt in triplicata ratione diftantiarum inverfe, ideoque vires in maxitna & minima harum diftantiarum funt ad vim in mediocri diftantia ut c,98304^7 & 1,017^x1 ad i. Unde fit i,oi75X2L,rj- 0,79863^5 8 ad 0,98304x7 X 0,85703x7 L— 0,79.86355 S ut 9 ad 5. Et 8 ad L qt I ad 4,4815. itaque pum vis folis fit ad vim gravitatis ut i ad 1x868x00, vis lunae erit ad vim gravitatis ut i ad X871400. Coro/. I. Cum aqua vi folis agitata afcendat ad altitudinem pedis unius & undecim digitorum cum tricefima parte digiti, j eadem .yi lunae afcendet ad aldt.udinem pQo pedum & digitorum 74:*,. & vi utraque ad altitudinem pedum decem cum femiffe, &^ubi'luna eft in perigaeo ad altitudinem pedum duodecim cum femifle & ultr|a, praefertim ubi aeftus ventis fpirantibus adjuvatpr. T^nta autem jvjs ad omnes maris motus excitandos abunde fufficit, & novem, duodecim vel quindecim. In ^mpri autem'5P^a4fr788. Corol. 7. Et mediocris diftantia centri lunae a centro terrae in oc- tantibus lunae erit femidiametrorum maximarum terrae 604 quam- proxime. Nam terrae femidiameter maxima fuit pedum Tarijienfi tm 1965-8(500, & mediocris dillantia centrorum terrae & lun^, ex hujufmodi diametris 604 conflans, aequalis ell pedibus 1 187379440. Et ha?c dillantia (per corollarium fuperius) ell ad dillantiam centri lunae a communi gravitatis centro terrae & lunae, ut 40,788 ad 39,788 : ideoque dillantia pollerior ell pedum 11581685-34. Et cum luna re- volvatur, refpeftu fixarum, diebus 17, horis 7, & minutis primis 434; finus verfus anguli, quem luna tempore minuti unius primi defcri- bit, ell 11751341, exillente radio 1000,000000,000000. Et ut radius ell ad hunc finum verfum, ita funt pedes 1158168534 ad pedes 14,7706353. Luna igitur vi illa, qua retinetur in orbe, cadendo in terram, tempore minuti unius primi defcribet pedes 14,7706353. Et augendo hanc vim in ratione 17841- ad 1774I5 habebitur vis tota gra- vitatis in orbe lunae per Corol. Prop. III. Et hac vi luna cadendo tempore minuti unius primi defcribet pedes 14,8538067. Et ad fexagefimam partem dillantiae lunas a centro terrae, id eft ad dif- tantiam pedum 197896573 a centro terrae, corpus grave tempore mi- nuti unius fecundi cadendo defcribet etiam pedes 14,8538067. Ideo- que ad dillantiam pedum 19615800, quae funt terr^ femidiameter mediocris, grave cadendo defcribet pedes 15,11175, feu pedes 15, dig. I, & lin. 4t’t. Hic erit defcenfus corporum in latitudine gra- duum 45. Et per tabulam praecedentem in prop. xx. defcriptam,- defcenfus erit paulo major in latitudine Lutetia ‘Parijiorum exillente excelTu quafi ^ partium lineae. Gravia igitur per hoc computum in latitudine Lutetia cadendo in vacuo defcribent tempore unius fe- cundi pedes Parijienfes ij, dig. i, & lin. 477 circiter. Et fi gravi- L I r t R. 1 i v» a. 471 PHILOSOPHIiE NATURALIS Libe» tas fflinuatui' auferendo vim centrifugam, qu^ oritur a motu diurno TERTioS tei-r^ in illa latitudine; gravia ibi cadendo defcribent tempore mi- nuti unius fecundi pedes 15, dig. i, & lin. iv Lt hac velocitate gravia cadere in latitudine Lutetia fupra oilenfum elt ad prop. iv, & xix. Corel. 8. Diftantia mediocris centrorum terrffi & lun^ in fyzy- giis lunae eft fexaginta femidiametrorum maximarum terra:, dempta tricefima parte femidiametri circiter. Et in quadraturis lunae dif- tantia mediocris eorundem centrorum elt 60J femidiametrorum terrae. Nam ha: duae dillantix funt ad diftantiam mediocrem lu- nae in oftantibus ut 69 & 70 ad 694 per prop. xxviii. Corel. 9. Diltantia mediocris centrorum terrae & lunae in fyzygiis lun^ elt fexaginta femidiametrorum mediocrium terrae cum decima parte femidiametri. Et in quadraturis lunae dillantia mediocris eo- rundem centrorum elt fexaginta & unius femidiametrorum medio- crium terrae, dempta tricefima parte femidiametri. Corel. IO. In fyzygiis lunae parallaxis ejus horizontalis mediocris in latitudinibus graduum o, 30, 38, 47, yi, 60, 90, elt sY- y/'. •i6'\ yy'. .14'', yy'. yy'. 10", yy'. 8", yy'. 4" refpeftive. In his computationibus attraflionem magneticam terrae non conlide- ravi, cujus utique quantitas perparva elt & ignoratur. Siquando vero haec attradlio inveltigari poterit, & menfur^ graduum in meri- -diano, ac longitudines pendulorum ifochronorum in diverfis paral- lelis, legefque motuum maris, & parallaxis lunae cum diametris ap- iparentibus folis & lunae ex phaenomenis accuratius determinatae fue- -rint : licebit calculum hunc omnem accuratius repetere. PROPOSITIO XXX VIM. PROBLEMA XIX. Inv.emre 'fi^iram corporis luna. Si corpus lunare fluidum elTet ad inftar maris noltri, vis terra: ad fluidum illud in partibus & citimis & ultimis elevandum elTet ad vim lunae, qua mare aoftrum in; partibus & fub luna & luns oppolitis ■attollitur, «t gravitas acceleratrix lunae in terram ad gravitatem ac- celeratricem terra in lunam, & diameter luna ad diametrum tcr.-a conjunCtim ; PRINCrPIA MATHEMATICA, 470 conjuriffim ; id eft,. ut 3^,7'U ad i- & too ad 365-. can.junaim, feu t- 1(38 1 ad 100. Unde cum mare nottrum vi lutis’ atfdlatur ad pedes 84, fluidum lunare vi rerrse attolli, deberer ad pedes ^3, Eaque de eaufa figura- lun«. fpb^rois elJet, cujus maxima diameter produfta tranfiret per centrum cerr^,- & fuperaret diametros perpendiculares exceflu pedum i86. Talem igitur figuram luna afeflat, eamque fub initio induere debuit. ^ E. I. Corel. Inde vero fit ut eadem femper luna facies: in terram ob- vertatur. In alio enim fitu corpus lunare quiefeere non poteft, fed ad hunc fitum ofcillando femper redibit. Attamen ofcillationes, ob parvitatem virium agitantium, eflent longe tardiflimte : adeo ut fa- cies illa, quK terram femper refpicere deberet, poflit alterum orbis lunaris umbilicum (ob rationem in prop. xvii allatam) refpicere, ne- que ftatim abinde retrahi & in terram converti. LEMMA I. SI APEp terram defignet uniformiter denfam., centroque C ^ polis P, p aquatore A E deline atam ; ^ Jt centro C radio C P defer iht intelhgatur fphara Papej fit autem Q.R planum.y cui refla a centro folis ad centrum terra dufla nor- maliter infifiit ; terra totius exterioris PapAPepE, qua fphara modo deferipta altior ejl, particula ftngala' cenentur recedere hinc inde a plano QR, fit que conatus particula cu- jufque ut ejufdem difiantia a plano : Dico primo , quod tota particularum omnium in aquatoris circulo A E, extra globum uniformiter per totum circuitum in morem annuB difpofitarum, vis efficacia ad terram circum centrum ejus rotandam., fit ad totam particularum totidem in aquatoris punflo A, quod a plano Q.R maxime difiat, conftflentium vim Sf efficaciam, ad terram conftmili motu circulari circum cen* irum ejus movendam, ut unum ad duo. Et motus ijl'e circu- laris circum axem, in communi feBione aquatoris plani Q.R jacentem, peragetur. Nam I B E R U T I U S. 471 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Mundi Nam cciitro K diamctro IL defcribatur femicirculus INLK. srsiEMATE intelligatur femicircumferentia INL in partes innumeras se. fluales, & a partibus fingulis N ad diametrum IL demittantur finus NM. Et fumma quadratorum ex finibus omnibus NM aequalis erit fumm^ quadratorum ex finibus K M, & fumma utraque aequa- iis erit fummx quadratorum ex totidem femidiametris KN-, ideoque fumma quadratorum ex omnibus NM erit duplo minor quam fumma quadratorum ex totidem femidiametris KN. Jam dividatur perimeter circuli AE in particulas totidem aequales, & ab earum unaquaque F ad planum demittatur perpendiculum FGy ut & a punfto A perpendiculum AH. Et vis, qua particula F recedit a plano erit ut perpendiculum illud F G per hypothe- fin, & hxc vis dufta in diftantiam C G erit efficacia particulse F ad terram circum- centrum ejus convertendam. Ideoque efficacia par- ticulse in loco F, erit ad efficaciam particulae in loco A, ut FG x G C ad AH xHCy hoc eft, ut FCq zi. A Cq \ & propterea effica- cia tota particularum omnium in locis fuis F erit ad efficaciam parti- cularum totidem in loco Ay ut fumma omnium FCq ad fummam totidem ACq^ hoc eft (per jam demonftrata) ut unum ad duo. T>. Et quoniam particulae agunt recedendo perpendiculariter a plano idque ^qualiter ab utraque parte hujus plani : e^dem conver- tent PRINCIPIA MATHEMATICA. 473 tent circumferentiam circuli sequatoris, eique inh^rentem terram, circum axem tam in plano illo quam in plano aquatoris jacen- ^ tem. LEMMA II. Ttfdem pofttis : dico fecundo quod vis ^ efficacia tota par- ticularum omnium extra ffibum undique fitarum, ad terram circum axem eundem rotandam^ fit ad vim totam particula- rum totidem, in aquatoris circulo AR uniformiter per totum circuitum in morem annuli difpofitarum, ad terram confimdi motu circulari movendam, ut duo ad quinque. Sit enim IK circulus quilibet minor tequatori AE parallelus, fint- que L, l particulas duae quaevis aequales in hoc circulo extra globum ‘P ape fitae. Et fi in planum ^R, quod radio in folem dudo per- pendiculare elt, demittantur perpendicula L M, Im : vires totae, qui- bus particula illas fugiunt planum ^R, proportionales erunt perpen- diculis illis LM, Im. Sit autem reda L l plano P ap e parallela & Liber E R T I u 5, bifecetur eadem in X, & per pundum X agatur Xn, quae parallela fit plano ^R & perpendiculis LM, Im occurrat in A ac », & in planum ^R demittatur perpendiculum XY. Et particularum L 8>c l vires contrariae, ad terram in contrarias partes rotandam, funt Ut LM%MC & lmY.mC, hoc eft, ut LNy,MQ-\-NMxMC & /» P P p X ^ DbMundi SrSTEMATB 474 PHILOSOFHIiE NATURALIS C—~tt fny.tnCf fcu L N x M C-\-.MAf x MC 8c LNx w? C NM %mC : & harum differentia LNy^M m — NM x M C\m C eit vis. particularum ambarum fimul fumptarum ad terram rotandam. Hujus differentias pars affirmativa feu 2^ Zj^ yc elt ad par- ticularum duarum ejufdem. magnitudinis in ^ confidentium vim- X AH %HCy ut LXq ad ACq. Et pars negativa NMxMC-\-mC feu 2. ZrxCr ad particularum earundem in. confidentium vim. X AHy. HCy ut CXq ad ACq, Ac proinde partium differentia, id' ed, particularum duarum L&/ fimul fumptarum vis ad terram rotan- dam ed ad vim particularum duarum iifdem asqualium & in loco A confidentium ad terram itidem rotandam, ut LXq — CXq ACq, Sed d circuli IK circumferentia IK dividatur in particulas innume- ras asquales Z/, erunt omnes LXq ad totidem IX q ut i ad x (per lem. I.) atque ad totidem ACq^ ut IX q TidiTL ACq \ & totidem CXq ad totidem ACq ut x C X q % ACq, Quare vires con- junflse particularum omnium in circuitu circuli IK funt ad vires conjunftas particularum totidem in loco A^ ut IX q — x CXq ad 'hACq: & propterea (per lem. i.) ad vires conjunflas particularum totidem in circuitu circuli AE^ ut IX q — x CXq 2iA ACq. Jam vero d fphaerx diameter T f dividatur in partes innumeras asquales, quibus inddant circuli totidem //f; materia in perimetro circuli cujufque IK erit ut IX q : ideoque vis materia illius ad ter- ram PRINCIPIA MATHEMATICA. 475 ram rotandam, erit ut IXq in IXq—x CXq. Et vis materije ejuf- l >>■.*« dem, fi in circuli JE perimetro confifteret, eflet ut IXq in ACq. Et propterea vis particularum omnium materix totius, extra globum in perimetris circulorum omnium confidentis, ed ad vim particularum totidem in perimetro circuli maximi AE confidentis, ut omnia IXq in IXq—r CXq ad totidem IXq in A Cq, hoc ed, ut omnia ACq—CXq in ACq—3 CXqaA totidem ACq—CXq in ACq, id ed, ut omnia ACqq — ^ ACqY.CXq-^-i CXqq ad totidem ACqq—ACqy. CXq, hoc ed, ut tota quantitas fluens, cujus fluxio ed ACqq— 4^ AC qv.C X q ■\-iCX qq, ad totam quantitatem fluentem, cujus fluxio ed^C^^ — AC qxCX q-, ac proinde per methodum fluxi- onum, ut ACqqxCX'—^ ACqxCX cub W C X qc ad ACqqx CX — jACqxCX cub, id elt, fi pro CX fcribatur tota C/ vel A C, ut TT ACq c nd j ACq c. hoc ed, ut duo ad quinque. ^E.T>. LEMMA III. Tifdem pojitts : dico tertio quod motus terra; totius circum 'axem jam ante defcriptum^ ex motibus particularum omnium compojitus, erit ad motum annuTi pradiEli circum axem eun- dem in ratione^ qua componitur ex ratione materia m terra ad materiam tn annulo^ & ratione trium quadratorum ex ar- cu quadrantali circuli cujufcunque ad duo quadrata ex diame- tro ,• id efly in ratione materia ad materiam 8? numeri p i j 17 j ad numerum 1 000000. Eft enim motus cylindri circum axem fuum immotum revolventis ad motum fphajrse infcriptse & fimul revolventis, ut qualibet quatu- or aequalia quadrata ad tres ex circulis fibi infcriptis : & motus cy- lindri ad motum annuli tenuilTimi, fphaeram & cylindrum ad com- munem eorum contaftum ambientis, ut duplum materite in cylindro ad triplum materiae in annulo; & annuli motus ide circum axem cylindri uniformiter continuatus, ad ejufdem motum uniformem cir- cum diametrum propriam, eodem tempore periodico faftum, ut cir- cumferentia circuli ad duplum diametri. P p p 2. HYPO- 4T plures conjunftas quandoque fuperaret. " Idem denique colligitur ex luce capitum crefcente in recefiu co- metarum a terra folem verfus, ac decrefcente in eorum recefTu a? fole verfus terram. Sic enim cometa poflerior anni 166^ (obfer- vzxiit Uevelio) ex quo confpici coepit, remittebat femper demotu fuo apparente, ideoque pr^terierat perigaeum ; fplendor vero capitis* nihilominus indies crefcebat, ufque dum cometa radiis folaribus ob- teflus defiit apparere. Cometa anni 1683 (obfervante eodem He- veho) in fine menfis julii, ubi primum confpeftus efl, tardiflime movebatur, minuta prima 40 vel 45 circiter fingulis diebus in orbe fuo / PRINCIPIA MATHEMATICA. 483 fuo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo auge- ^ batur ufque ad Sep. 4. quando evafit graduum quafi quinque. I- gitur toto hoc tempore cometa ad terram appropinquabat. Id quod etiam ex diametro capitis micrometro menfurata colligitur : quippe qUam HeveLius reperit Aug, 6. effe tantum 6'. p inclufa coma, at Seft. efle Caput igitur initio longe minus apparuit quam in fine motus, at initio tamen in vicinia folis longe lucidius extitit quam circa finem, ut refert idem H^velius, Proinde toto hoc tem- pore, ob recelTum ipfius a fole, quoad lumen decrevit, non obftante acceffu ad terram. Cometa anni 1618 circa medium menfis T>e- cembrisy & ille anni 1680 circa finem ejufdem menfis, celerrime movebantur, ideoque tunc erant in perigasis. Verum fplendor maxi- mus capitum contigit ante duas fere feptimanas, ubi modo exierant de radiis folaribus ; & fplendor maximus caudarum paulo ante, in majore vicinitate folis. Caput cometae prioris, juxta obfervationes Cyfatiy T^ecemb, i. majus videbatur ilellis primae magnitudinis, & i>ecemb. 16, (jam in perigaeo exifiens) magnitudine parum, fplendore feu claritate luminis plurimum defecerat. Jan, 7. Keplerus de ca- pite incertus finem fecit obfervandi. Die ix menfis "Decemb, con- Ipeftum & a Flamjiedio obfervatum elt caput cometae poilerioris in diftantia novem graduum a fole ; id quod Itellse tertiae magnitudi- nis vix conceflTum fuiffet. T)ecemb. 15* & 17 apparuit idem ut ftella tertiae magnitudinis, diminutum utique fplendore nubium juxta fo- lem occidentem. "Decemb. x6. velocillime motus, inque perigaeo propemodum exiftens, cedebat ori pegafi, ftella tertia magnitudi- nis. Jan. 3. apparebat ut ftella quartae, Jan. 9. ut ftella quinta, Jan. 13. ob fplendorem lun^ crefcentis difparuit. Jan. xf. vix ^quabat ftellas magnitudinis feptimae. Si fumantur aqualia a perigaeo hinc inde tempora, capita quae temporibus illis in longinquis regionibus pofita, ob aequales a terra diftantias, ^qualiter lucere debuiffent, in plaga folis maxime fplenduere, ex altera perigaei parte evanuere. I- gitur ex magna lucis in utroque fitu differentia, concluditur magna folis & cometa vicinitas in fitu priore. Nam lux cometarum regu- laris eflTe folet, & maxima apparere ubi capita velociffime moventur, atque ideo funt in perigseis ; nifi quatenus ea major elt in vicinia folis. I B E R R T 1 U S. Q q q ^ 484 PHILOSOPHIiE NATURALIS Ftjtematb Corol I. Splendent igitur cometas luce folis a fe reflexa. Corol, z. Ex didis etiam intelligitur cur cometae tantopere fre- quentant regionem folis. Si cernerentur in regionibus longe ultra faturnum, deberent faepius apparere in partibus foli oppofitis. Fo- rent enim terrse viciniores, qui in his partibus verfarentur ; & fol interpofitus obfcuraret caeteros. Verum percurrendo hiflorias co- metarum, reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detefii funt in hemifphaerio folem verfus, quam in hemifphaerio oppofito, pras- ter alios proculdubio non paucos, quos lux folaris obtexit. Nimirum in defcenfu ad regiones noflras neque caudas emittunt, neque adeo illuflrantur a fole, ut nudis oculis fe' prius detegendos exhibeant,. quam_fint ipfo jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo circa folem defcripti pars longe major fita elt a latere terrae, quod folem refpicit ; inque parte illa majore cometae, foli ut plurimum Viciniores, magis illuminari folent. Corol. 3. Hinc etiam manifeftum eft, quod coeli refiftentia de- flituuntur. Nam cometas vias obliquas & nonnunquam curfui pla- netarum contrarias fecuti, moventur omnifariam liberrime, & mo- tus fuos, etiam contra curfum planetarum diutiffime confervant. Fallor ni genus planetarum fint, & motu perpetuo in. orbem rede- ant. Nam quod* fcriptores aliqui meteora elle volunt, argumentum a capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere vi- detur. Gapita cometarum atmofphaeris ingentibus cinguntur ; & atmofphaerae inferne denfiores efle debent. Unde, nubes funt, non ipfa cometarum corpora,, in quibus mutationes illae vifuntur. Sic terra fi e planetis fpedaretur, luce nubium fuarum proculdubio fplenderet, & corpus firmum fub nubibus prope delitefceret. Sic cingula jovis in nubibus planetae illius formata funt, quse fitum mu- tant inter fe, & firmum jovis corpus per nubes illas difficilius cer- nitur. Et multo magis corpora cometarum fub atmofphaeris & pro- fundioribus & craffioribus abfcondi, debent. PRO- PRINCIPIA MATHEMATICA. ^8j I B E R PROPOSITIO XL, THEOREMA XX. Cometas tn feBtontbus contcts timhilicos tn centro folts ha- bentibus moveri^ radtis ad folem duBts areas temporibus proportionales defcribere. Patet per corol. i. prop. xiii. libri primi, collatum cum prop. viii, XII, & XIII. libri tertii. Corol. I. Hinc fi cometae in orbem redeunt ; orbes erunt ellipfes, & tempora periodica erunt ad tempora periodica planetarum in axi- um principalium ratione fefquiplicata. Ideoque cometae^ maxima ex parte fupra planetas verfantes, & eo nomine orbes axibus majoribus defcribentes, tardius revolventur. Ut fi axis orbis cometae (it qua- druplo major axe orbis faturni, tempus revolutionis cometae erit ad tempus revolutionis faturni, id ett, ad annos 30, ut 4 v'4 (feu 8) ad I, ideoque erit annorum 240. Corol. 2. Orbes autem erunt parabolis adeo finitimi, ut eorum vice parabolae fine erroribus fenfibilibus adhiberi poflint. Corol. 3. Et propterea (per' corol. 7. prop. xvi, lib. i.) velocitas co- metae> omnis, erit femper ad velocitatem planetae cujulvis circa folem' in circulo revolventis, in fubduplicata ratione duplae diftantiae pla- netae a centro folis, ad diflantiam cometae a centro folis quamproxi- me. Ponamus radium orbis magni, feu ellipfeos in qua terra revol- vitur femidiametrum maximam efle partium loooooooo : & terra motu fuo diurno mediocri defcribet partes 1 720212, & motu hora- rio partes 716754. Ideoque cometa in eadem telluris a fole diftan- tra mediocri, ea cum velocitate quae fit ad velocitatem telluris ut Vi. ad I, defcribet motu fuo diurno partes 2432747, & motu horario partes 1013644. In majoribus autem vel minoribus difiantiis, motus tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum & hora- rium in fubduplicata ratione diftantiarum reciproce, ideoque datur. Corol. 4. Unde fi latus reftum parabolae quadruplo majus fit radio orbis magni, & quadratum radii illius ponatur effe partium loooooooo: area quam cometa radio ad folem dufto fingulis diebus defcribit, erit 48<^ PHILOSOPHIA NATURALIS De Mokdi erit partium 1x163734, & fingulis horis area illa erit partium yo68z-^. Svstemate reftum majus fit vel minus in ratione quavis, erit area di-- urna & horaria major vel minor in eadem ratione fubduplicata. LEMMA V. hvenlre limam curvam generis parahoUci^ qu^e per data quotcunque punBa tranfibit. Sunto punfla illa A, B, C, is &c. & ab iifdem ad reftam quamvis pofitione datam HN demitte perpendicula quotcunque AH, BI, CK, T>L, EM, F N. Caf, I. Si punftorum H, I, K, L, M, iV sequalia funt intervalla HI, I K, K L, &c. collige perpendiculorum AH, B I, C K, &c. differentias primas b, 'hb, ^b, ^b, $b, &c. fecundas c, zc, 3s 4S &c. tertias 2^, 3^, &c. id eft, ita CK-^T>L=: ib,T>L\EM=. b xb 3b 4b fb c 2C 3C '4C d 2 d 3 d e 2e f ut InAH^BI^b, BI-^CK—zb, 4^, — EM-\-FK—^b, &c. dein^ — zb=c, &c. & fic pergatur ad differentiam ultimam, quae hic eft/. Deinde erefta quacunque perpendiculari RS, quae fuerit ordinarim applicata ad curvam quaefitam: ut inveniatur hujus longitudo, pone intervalla HI, IK, K L, L M, &c. unitates effe, & dic AHz=:a, — HS=p, 4/ in — IS—q, in-J-JiST— r, 4 r in -j- JL— j*, i s in -\-SM = ; pergendo videlicet ad ufque penultimum perpendicu- Ium ME, & praeponendo figna negativa terminis HS, IS, &c. qui jacent PRINCIPIA MATHEMATrCA. 48^ jacent ad partes punfti S verfus & figna affirmativa terminis SK, SL, &c. qui jacent ad alteras partes punfti S. Et fignis probe oh! fervatis, erit RS = a^bfJ^cq-irdr-\-es-\-ft, &c.^ ^ Caf 1. Quod fi punftorum H, I, K, L, &c. inaequalia fint inter- valla HI, I K, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK, &e. differentias primas per intervalla perpendiculorum divifas b, % b, ib, ^b, sb-, fecundas per intervalla bina divifa c, ic, 3c, ^c, &c. ter- tias per intervalla terna divifas d, %d, 3 d, &c. quartas per intervalla quaterna divifas e, ze, &c. & fic deinceps; id eft, ita ut fit b= AH—BI HL z b zb=z BI—CK •,.3b CK— T> E KL ’ &c. dein r %C — 3b IL IK _____ 3 ^ 4 ^ Q II- J ^ t 3 ^ — KM ^ ^ ^ b — 'hb '^c — IC L I B E T E K T I U S &c. Inventis differentiis, dic AHz=za^ — f in —7^=: q\ q in+SK~r, r in + SL—Sy s m + SM:=it ; pergendo fcilicet ad ufque perpendiculum penultimum & erit ordinatim applicata 7? a^rb f-^c q-\-dr\‘es-\-f ty &c. Corol. Hinc areae curvarum omnium inveniri pofFunt quamproxi- me. Nam fi curvae cujufvis quadrandse inveniantur punfta aliquot, & parabola per eadem duci intelligatur : erit area parabolae hujus eadem quamproxime cum area curv^ illius quadrandi. Poteft autem parabola- per methodos notiffimas femper quadrari Geome- trice. LEMMA^. VL- Ex ohfervatts ahquot locis comet de invenire locum ejus ad' tempus quodvts intermedtum datum. / Defignent 777, IKy KLy Z/Tl/ tempora inter obfervationes {in' fg. q^raced.) HAy IBy KCy LT>y ME obfervatas quinque longi- tudines cometae, HS tempus datum inter obfervationem primam longitudinem quaefitam. Et fi per punfta Ay B, C, 2), E duci in- telligatur curva regularis A B C ^ E ; & per lemma fuperius inve^ niatur ejus ordinatim applicata RS, erit RS longitudo qu^fita.' Eadem methodo ex obfervatis quinque latitudinibus invenitur la- titudo ad tempus datum. > Si \ 488 PHILOSOPHIAE NATURALIS Df. Mundi Si longitudmum obfervatarum parv« fint differentia;, puta gradu- SvsiEMiTB tantum 4 vel 5 ; fuffecerint obfervationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores fint differentia;, puta graduum 10 vel lo, debebunt obfervationes quin- que adhiberi. LEMMA VII. Per datum punBum P ducere reBam Irneam B C, cujus partes PB, PC, reBts duabus pofittone datis AB, AG ab~ fcijfie, datam habeant rationem ad invicem. A punfto illo jP ad reftarum alteru- tram AB ducatur reftaqusevis P®, & producatur eadem verfus redtam alteram A C ufque ad E, ut fit IP A ad 2) in data illa ratione. Ipfi A E) parallela fit A C; & fi agatur CTB, erit ?* C ad TB ntTE AdLPTt. ^E.F. LEMMA VIII. V// ABC parabola umbilicum habens S. Chorda AC hi- /eBa m I abfcindatur fegmentum ABCI, cujus diameter fu Ia* PRINCIPIA mathematica'. 489 I (14 vertex p,, In\p produBa captatur p O aqualis ffiidio ipftus I^, Jungatur OS, ^producatur ea ad ut Jit S 5 aqualis 1 S O. hj Jl cometa B moveatur in arcu CBA, gf agatur | B fecans AC in E : dico quod punBum E ah~ fcindet de chorda A G fegmentum A E tempori proportionale quamproxtme. Jungatur enim A O fecans arcum parabolicum A BCinT, & aga- tur p X, quae tangat eundem arcum in vertice p, & aflx EO occur- rat in Z ; & erit area curvilinea A EX p A nd. aream curvilineam ACTpA ut AE zd. AC. Ideoque cum triangulum AS E fit ad triangulum ASC 'm eadem ratione, erit area tota ASEXpA ad aream totam ASCTpAwt A E ad AC. Cum autem |0 fit ad SO ut 3 -ad j, & EO zd XO in eadem ratione, erit SX ipfii EB parallela : & propterea fi jungatur BX, erit triangulum SEB tri- angulo XEB jequale. Unde fi ad aream ASEXpA addatur tri- angulum EXBy & de fumma auferatur triangulum SEB, manebit area A S BXpA arese ASEXpA t£.a^z\is, atque ideo ad aream ASC Tp A ut AE ad AC. Sed areae ASBXpA jequalis eft area ASBTpA quamproxlme, & haec area ASBTpA eft ad aream ASCT p A, ut tempus defcripti arcus A B zd tempus de- fcripti arcus totius A C. Ideoque A E eft ad C in ratione tem- porum quamproxime. ^ E. E>. Corol. Ubi punftum B incidit in parabolje verticem p, eid A E ad AC 'lU ratione temporum accurate. SchoUum. Si jungatur p^ fecans A C m h & in ea capiatur quae fit ad pB ut MI ad 16 M p: afta B n fecabic chordam AC in ratione temporum magis accurate quam prius. Jaceat autem punftum n ultra punftum £, fi punftum B magis diftat a vertice principali pa- rabolae quam punftum p ; & citra, fi minus diftat ab eodem vertice. Rrr LEMMA DeMundi Systemate 4po PHILOSOPHIA NATURALIS lemma IX. ReBte I It 85° M 8f longitudo — ^ aquantur inter fe. Nam 4*S’j^ eft latus reftum parabolae pertinens ad verticem ft.. LEMMA X. Si producatur S ^ N ^ P, ut fit pars tertia ip^ ftus fjbl, SP fit ad SN S N adS Cometa, quo tem-- pore defcribit arcum A fuC, f progrederetur ea femper cum velocitate quam hahet in altitudine ipft S P aquali, defcribe^ ret longitudinem aqualem chorda AC. Nam fi cometa velocitate, quam habet in eodem tempore pro- grederetur uniformiter in refta, quse parabolam tangit in ^ ; area quam radio ad punftum S dufto deferiberet, aequalis eflet are^e pa- rabolicae ASGu'. Ideoque contentum fub longitudine in tangente deferipta & longitudine S ^ eflet ad contentum fub longitudinibus AC h. ut area ASCf^ ad triangulum ASC^ id eft, ut SM ^dSM, Qmre AC eft ad longitudinem in tangente deferiptam^ ut ad SN. Cum autem velocitas cometae in altitudine ST fit (per corol. 6. prop. xvi, lib. i.) ad ejus velocitatem in altitudine in fubduplicata ratione ST ^id S fic inverfe, id eft, in ratione Jjw. ad S N 5 longitudo hac velocitate eodem tempore deferipta, erit ad lon- gitudinem PRINCIPIA mathematica. 491 gitudinem in tangente defcriptam, ut ad SN. Igitur ^C& lon Libb» gitudo hac nova velocitate defcripta, cum fmt ad longitudinem in tangente defcriptam in eadem ratione, aequantur inter fe. §.E‘D Corel. Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in dtitudine eodem tempore deferiberet chordam ^Cquamproxime. LEMMA XI. S/ cometa motu omm privatus de altitudine S N feti S j» d- demitteretur ut caderet tn folem, ea femper .vi uni- formiter continuata urgeretur in folem, qua urgetur fuh initio ; idem femtffe temporis, quo tn orbe fuo defcribat arcum AC, defcenfu fuo deferiberet fpatium^ longitudini I ft aquale. Nam cometa, quo tempore defcribat arcum parabolicum AC, eb- dem tempore ea cum velocitate, quam habet in altitudine ST (per lemma noviffimum) deferibet chordam AC, ideoque (per corol. 7. prop. XVI. lib. I.) eodem tempore in circulo, cujus femidiameter effet ST, vi gravitatis fute revolvendo, deferiberet arcum, cujus longitudo eflet ad arcus parabolici chordam A C, in fubduplicata ratione uni- tatis ad binarium. Et propterea eo cum pondere, quod habet in fo- lem in altitudine ST, cadendo de altitudine illa in folem, deferi- beret femifle temporis illius (per corol. 9. prop. iv. lib. i.) fpatium aequale quadrato femiffis chordae illius applicato ad quadruplum al- titudinis S T, id eft, fpatium Unde cum pondus cometa? in folem in altitudine S N fit ad ipfius pondus in folem in altitudine STj ut ST zdi S [A.: cometa pondere quod habet in altitudine SK eodem tempore, in folem cadendo, deferibet fpatium — id efi, 4 0 jW. fpatium longitudini Ii^ vel aequale. ^ E,T>, R r r 2 PRO- PHILOSOPHIAE NATURALIS 4Pt Db Mundi Systemate PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXI. Cometa 'm parabola moti trajeSioriam ex datis tribus obfer-- Dationibus determinare. Problema hocce longe difficillimum multimode aggreffiis, com- pofui problemata qusdam in libro primo, quae ad ejus folutionem fpedtant. Poftea folutionem fequentem paulo fimpliciorem excogi- tavi. Seligantur tres obfervationes aequalibus temporum intervallis ab invicem quamproxime diftantes. Sit autem temporis intervallum il- lud, ubi cometa tardius movetur-, paulo majus altero, ita videlicet ut temporum differentia fit ad fummam temporum, ut fumma temporum. ~ ad ffies plus minus fexcentos ; vel ut punftum E (in fig. lem. viu,). incidat in punftum ilf quamproxime, & inde aberret verfus / po- tius quam verfus A. Si tales obfervationes non praelio fint, inve- niendus eft novus cometae locus per lemma fextum. Defignent PRINCIPIA MATHEMATrCA. 49V Defignent S’(j--4-3iA. Et de- letis jam literis A, E, C, I, a punfto B verfus punftum | duc occuU tam novam BE, qu® fit ad priorem BE in duplicata ratione diltan- ti® B S &d quantitatem lyitt-j-jiA. Et per punflum E iterum duc reftam ^E C eadem lege ac prius, id eft, ita ut ejus partes & E C’ fint ad invicem, ut tempora inter obfer vationes V dc-W. Et erunt' A 8c C loca comet® magis accurate. Ad AC bifeftam in / erigantur perpendicula AM, CN, IO, quo^ rum AM & CN fint tangentes latitudinum in obfervatione prima ac- tertia ad radios TA & rC. Jungatur MN fecans /O in O. Con- ftituatur reftangulum ilxf^ ut prius. In IA produfta capiatur /2) aqualis Sfi-\-jiK Deinde in MN verfus N capiatur MT, qu® fit ad longitudinem fupra inventam X, in fubdu* plicata ratione mediocris dillanti® telluris a fole ( feu femidiame- tri orbis magni ) ad diftantiam O E). Si punftum T incidat in pun- 61um Ni erunt A, B, C tria loca comet®, per qu® orbis ejus in 494 PHILOSOPHIAE NATURALIS pb m«nd. plano eclipticae defcribi debet. Sin punSum T non incidat in Systemate punftum iV; in refta JC capiatur CG ipfi NT aequalis, ita ut pun(9:a G & T ad eafdem partes reftas NC jaceant. Eadem methodo, <]ua punfta £, C, G, ex afltimpto punfto B inventa funt, inveniantur ex afliimptis utcunque punftis aliis ^ & /3 punfta nova c, gy & g, ct, ;c, y. Deinde li per C, g, y ducatur circumferentia circuli G g y, fecans redam rC in 2 : erit Z locus eomet^ in plano ecliptica. Et fi in C, cl a capiantur afy ct(p .i^iis Gy X gy jcy refpedive aequales, & per pundta Fy jp ducatur circumferentia circuli F f (py fecans redam in Xi erit pundum X alius cometa locus in plano eclipticae. Ad punda X&Z erigantur tangentes latitudinum corneta ad radios TX & tZ; & habebuntur loca duo cometse in orbe proprio. Denique (per prop^ xix. lib. i.) umbilico Sy per loca illa duo defcribatur pa- rabola, & h^c erit trajedoria cometae. ^E.I. Conftrudionis hujus demonfiratio ex lemmatibus Confequitur ^ quippe cum reda ZC fecetur in E in ratione temporum, per lem- ma vii, ut oportet per lem. viii : & BE per lem. xi. fit pars redae BS vel Bl in plano eclipticae arcui & chordae AEC inter- jeda y MF { per corol. lem. x.) longitudo fit chordae arcus, quem cometa P R I N C I P IA M A T H E M A T I-C A. 49 cometa in orbe proprio inter obfervationem primam ac tertiam de- fcribere debet, ideoque ipfi AfiV squalis- fuerit, fi modo E fit ve-^^ rus comets; locus in plano ecliptics. ini l/! ot ijvm ^ ^ ri Casterum punfta B, l>, /3, non quslibet, fed vero proxima eligere- convenit. Si angulus in quo vettigium orbis in plano eclip- tics defcriptum fecat redtam f g, praeterpropter innotefcat; in an- gulo illo ducenda erit reda occulta JC, qus fit ad Tr in fub- duplicata ratione J^ad Jr. Et agendo redtam SEB, cujus pars - EB squetur longitudini Vt, determinabitur pundum B quod pris- ma vice ulurpare licet. Tum reda deleta & fecundum pro- cedentem confirudionem iterum duda, & inventa infuper longitu- dine MT ; m tB capiatur pundum ea lege, ut fi TA, t C io mutuo fecuerint in T, fit dillantia ad dillantiam TB, in ratio- ne compofita ex ratione MT ad MN & ratione fubduplicata S B ad d” b. Et eadem methodo inveniendum erit pundum tertium /3 ‘ fi modo operationem tertio repetere lubet. Sed hac methodo ope- rationes duo ut plurimum fuffecerint. Nam fi diftantia Bb perexi- gua obvenerit ; pofiquam inventa funt punda F, f Sc G, g; adas* redo F f Si G g fecabunt T A Sc r C in pundis qusfitis XSc Z> - Ejxemplum, Proponatur cometa anni 1680. Hujus motum a Flamfledio obi fervatum & ex obfervationibus computatum, atque ab Halkio ex iif- dera obfervationibus corredum, tabula fequens exhibet. PHILOSOPHIA NATURALIS D 1 Mundi Systemate» His adde obfervationes quafdam e noftris. Tem. a ppar. Cometae Longitudo. Cometae Lat. bor. 1681. Feb. ^5 8h . 30' « Z6° . 18'. 3/' 120 ^ 46'. 46" Mar, zy 8 . ly 27 . 4 • 30 12 . 36 . 12 I II . 0 27 . 5^ • 42 12 . 2^3 . 40 2 8 . 0 . 12 . 48 12 . 19 • 38 5 II . 30 29 . 18 . 0 12 . 3 • 16 7 9 • 30 n 0 . 4 • 0 II . 57 . 0 9 8 30 0 . 43 . 4 II . 45' • 52^ 496 ^ ‘ ^ 1 ' ' ' • * . ■ 1 Cometae Tem"! verum. C' Long. Solis. ‘ 1 Longitudo. Lar. bor. fl. / h. / // 0 y ✓/ 3 / // ° / // i6%o. ‘Dec. 12 4. 46 4.46. 0 yf I -S*! •2'3 yf 6,32.30 8.28. 0 2I 6 . 324 6 . 36 . 59 II. 6.44 5« 5-. 8.12 21.42.13 24 6 . 12 6. 17 . 52 14. 9.26 18.49.23 27. 2-3 • 7 26 5.14 5' .20 . 44 16, 9.22 28 .24.13 27. 0.5*2 I29 1-55 8.3.2 19.19.43 K 13 .10.41 28. 9.58 30 8 . 2 8 . 10 . 26 20.21. 9 17.38.20 28 .11 .5'3 1681. Jan: s 5. 51 6. 1.38 26.22 .18 r 8.48.73 26.15'. 7 9 6. 49 7. 0.5-3 0.29, 2 18144. 4 24.11 .56 10 5. 54 6 . 6 . 10 I .2«7‘43 20.40.5:0 23 .4? .75 13 6. 56 7. 8.5-7 4.33 -2-0 27.79 48 22 .17.28 7.44 7 . 78 . 42 16.45'. 36 « 9-35’- 0 17.76,30 '30 8. 7 8 .21-. 5*3 21.49. f ^ 13 .19-51 16.42.18 Feb, 2 6 . 20 6.34.71 24 . 4^ • 59 I5-I3.53 16. 4. I 5 6 , 5'o 7. 4-41 27.49 .51 16.79. <5 15.2.7. 3 Has obfervationes telefcopio feptupedali, & micrometro filifque in foco telefcopii locatis peraftae fune: quibus inllrumentis & pofitio- nes fixarum inter fe & pofitiones cometae ad fixas determinavimus. Defignet A ttellam quartae magnitudinis in finiltro calcaneo Peffei ( Bayero 0^ B Itellam fequentem terticB magnitudinis in finiflro pede ( Bajiero ^ &cC ftellam fextae magnitudinis ( Bayero n) in talo ejuf- dem pedis, ac ©, E, F, G, H, /, K, L, M, N, O, y, ^ ftel- las ahas minores in eodem pede. Sintque /, y, R, S, % Vy PRINCIPIA mathematica. 497 loca comet® in obfervationibus fupra defcriptis : & exiftente diftantia AB partium 8ct’t, erat AC partium BC y8i, AH Tes-tiu». y7TV, A2)'8ztV, CT> 23^, A E 294, CE y;!, HE 4944, AI BI y24, CI 36*, y3TT, AK^Z^, BK 43, CK 314, FK zp, F B x3, i^C 36^, AH \ 2) // 50t, BK 46tV, CiNT 317, 45'-!^, KL HO erat ad /2/ ut 7 ad 6 & produfta tranfibat inter ftellas F>&cEy fic ut diftantia ftellae 2) ab hac refta effet 4 C2>. LM erat"ad LK vx. 2 ad 9, & produfta tranfibat per ftellam H His determinabantur pofitiones fixarum inter fe. Tandem Toundius nofter iterum obfervavit pofitiones harum fixa- rum inter fe, & earum longitudines & latitudines in tabulam fequen* tem retulit. hixnum Longitudines. Lat. boreae. L O / /, » 29.33.34 ® y // 12. 7.48 M 29.18. 54 12. 7.20 N 28 .48,29 12.31. 9 Z 29.44. 48 ii.f7-i3 ct 29. yz. 3 11.yy.48 /3 n 0. 8,23 II . 48 . 56 y 0 M • 0 0 It . yy . 18 1 . 3.20 11.30.42 Fixarirn Long itudine i Lat. boreae. A 0 b 26 .41. " 1 yo' 0 12 . 8. 36 B 28 . 40 . 2^3 II . 17. S4 C ^7 . 58 . 30 12 . 40. E 26 .27. 17 12 . 7 F 28 . 28 . 37 II . 22 G 26 . 56 . 8 12 . 4' 58 H ^7 . II . 45- 12 . 2 . I I ^7 .25 . 2 II . 53 • II K 27 . 42 . 7 II . 5*3 . 26 Pofitiones vero cometae ad has fixas obfervabam ut fequitur. Die veneris Feb. 25. ft. vet. hor, 84- p. m. cometae in f exiftentis diftantia a ftella E erat minor quam -rV AE, major quam 4 ide- Sff oque 49^ PHILOSOPHIAE NATURALIS DeMondi oqyg £equalis-r^ JB proxime; & angulus ApE nonnihil obtufus Systemate reflus. Nempe fi demitteretur ad /A perpendiculum ab A, dillantia cometaj a perpendiculo illo erat 4 / A. Eadem nofte hora 94, cometae in T exiltentis dillantia a Itella A erat major quam \aE, minor quam A E, ideoque aequalis ~ AE^ {t\x-^AE quamproxime. A perpendiculo autem a Itella A ad reftam TE demiffo diftancia cometae erat 4 TE. Die folis Feb. 27. hor. 84 p. m. cometae in ^exiltentis. diftantia a ftella O aequabat dillantiam ilellarum O &c. refla produfla tranfibat inter ftellas K & B. Pofitionem hujus reflae ob nubes inter- venientes magis accurate definire non potui. Die martis Mart. i. hor. ii. p. m. cometa in R exiftens, Sellis K & C accurate interjacebat, & redx C RK pars CR paulo major erat quam 4 CK, & paulo minor quam | CR^ ideoque aequalis 4 CiT+rV CR feu 4t CK. Die mercurii Mart. z. hor. 8. p. m. cometae exiSentis in S diSantia a Sella Cerat 4 FC quamproxime. DiSantia Selte F a. refla CS produfla erat^rT FC; & diSantia Sellae B ab eadem refla, erat quin- tuplo major quam diSantia Sellae F. Item refla produfla tranf- ^ ibat inter Sellas /, quintuplo vel fextuplo propior exiSens Sellae M quam Sellae I. Die faturni Mart.j. hor. ii4 p. m. cometa exiSente in T, refla MT aequalis erat 4 M L, & refla LT produfla tranfibat inter B & t^uadruplo vel quintuplo’ propior F quam By auferens 2l B F quintam vel fextam ejus partem verfus F, Kt MT produfla tranf- ibat extra fpatium BF ad partes Sellae By quadruplo propior exifiens Sellse B quam Sellae^ F. Erat M Sella perexigua quae per telefco- pium videri vix potuit, &Z. Sella major quafi magnitudinis oflavae. Die lunae Mart. 7 hor. 94 p. m. cometa exiSente m Vy refla V at» produfla tranfibat inter B Fy auferens ^ B F verfus F t- BFy & erat ad reflam ^/3 ut 5* ad 4. Et diSantia cometae a refla ctjS erat 4/^/3. Die mercurii 9. hora 84. p. m. cometa exiSente in X, refla y X aequalis erat 4 yS, & perpendiculum demiSiim a Sella <5' ad reflam y X erat ^ y Eadem nofle hora ii, cometa exiSente in Ti refla yT aequalis erat PRINCIPIA MATHEMATICA. 499 erat -f y aut paulo minor, puta tV &: perpendiculum demiffum Liber a ftella S' ad reftam y T sequalis erat ^ ^ vel 4 y^ circiter. Sed co- ^ ^ ^ ^ ^ ^ meta ob viciniam horizontis cerni vix potuit, nec locus ejus tam dihinfte ac in praecedentibus definiri. Ex hujufmodi obfervationibus per conflrufliones figurarum & com- putationes derivabam longitudines & latitudines corneta, & "Poun- dius nofter ex corredis fixarum locis loca cometae correxit, & loca correfta habentur fupra. Micrometro parum affabre conftrufto ufus fum, fed longitudinum tamen & latitudinum errores (quatenus ex obfervationibus noftris oriantur) minutum unum primum vix fu- perant. Cometa autem (juxta obfervationes noflras) in fine motus fui notabiliter defledere coepit boream verfus, a parallelo quem in fine menfis Februarii tenuerat. Jam ad orbem cometae determinandum; felegi ex obfervationibus hadenus defcriptis tres, quas Flamjiedius habuit F)ec, xi, Jan, 5-, & ^an. if. Ex his inveni S t partium 9842,1 & Vt partium 45*5', qua- les locoo funt femidiameter orbis magnh Tum ad operationem primam alTumendo partium 5657, inveni SB 9747, BE prima vice 412, S fjL 9503, i A 413 : BE fecunda vice 421, OF> 10186, X 8528,4 MF 8450, M N 8475, NF 25. Unde ad operationem fe- cundam collegi diflantiam t b 5640. Et per hanc operationem in- veni tandem diflantias TX 4775 &c r Z 11322. Ex quibus orbem definiendo, inveni nodos ejus defcendentem in ^& afcendentem in yf I g". 53^; inclinationem plani ejus ad planum eclipticae 6rg^ 20'^; verticem ejus (feu perihelium cometae) diftare a nodo Sg'. 38^, & elfe in t 2.7^^ 43' cum latitudine aullrali 7^1. 34^; & ejus latus redum elTe 236,8, areamque radio ad folern dudo fingulis diebus defcriptam 93585, quadrato femidiametri orbis magni pofito loocooooo; co- metam vero in hoc orbe fecundum feriem lignorum proceffilTe, & "Decernb, 8^. o'\ 4'. p. m. in vertice orbis feu perihelio fuilfe. Haec omnia per fcalam partium aequalium & chordas angulorum ex tabula finuum naturalium colledas determinavi graphice ; conltruendo fchema fatis amplum, in quo videlicet femidiameter orbis magni (partium loooo) aequalis elfet digitis 167 pedis AngUcani, Tandem ut conflaret an cometa in orbe fic invento vere move- retur, collegi per operationes partim arithmeticas partim graphicas loca cometae in hoc orbe ad obfervationum quarundam tempora : uti in tabula fequente videre licet. Sffi T)ec.iz. PHILOSOPHIAE NATURALIS DeMvndi Systemate Poftea vero Halleim nofter orbitam per calculum arithmeticum accuratius determinavit, quam per defcriptiones linearum fieri licuit; & retinuit quidem locum nodorum in & w is'. 53', & itlclinati- onem plani orbits ad eclipticam 6is'. ut & tempus perihelii cometae Decemb. 8’. 4': dillantiam vero perihelii a nodo afcen- dente in orbita cometae menfuratam invenit eflfe 9«'. zo', & latus redum parabolae efle Z430 partium, exiftente mediocri folis a terra diftantia partium looooo. Et ex his datis, calculo itidem arithme- tico accurate infiituto, loca cometae ad obfervationum tempora com- putavit, ut fequitur. joo F)ec, IX X9 Feb. 5 Mar. 5 OilUnt.Co- net. a Sole Long.Colled. Lat.ColIedl Long. Obf. Lat. Ubi. Diftti L) itter. Lat. Z79Z 8403 i666() X1737 S'’- w 6.i^ X 13.134 « 17. 0 Z9 . 19^ 8 . 184 x8 . 0 i^.xp-f IX . 4 " g‘- . yf 6.3iy K 13.114 X9.X04 gr. 8 .z6 x8 . iott 34 + I + 2. ■f 0 — I — 74 — IOt't 4- 2.4 \ I 1 einpua verum. d. T>ec, jz. XI. X4. z6. xp. 30. ^an. 5. 9- IO. 13. ^5'- 30. .2^. 1 ! Mar. f.i ! Fe^, 4.46 6.37 6.18 f.xi 8. 3. 8.10 6. I n 7. O 6. 6 7- 9 7 ‘59 8. XX 6.35' 7- 4 ‘i 8.41 1-39 Diltaulia Cometae a (• 1 Long. comp. y Lat. comp. Lrrc Long. ircs in Lat. x8ox8 yf 6.X9.X5 A . 8.x6. 0 ^or. / // ~3. 5* ' // X. 0 61076 K f. 6.30 XI.43.XO / — r.4x + 1- 7 70008 l8.48.XO X5.XX.40. - 3 — O.X5 7SS7^ X8.XX.45 zj. 1.36^ - i.x8 "b 0.44 I4OXI ^ l3.IX.4O X 8. IO. 10 - 1.5-9 -H o.ii 86661 17.40* 5 x8.ii.xa - 1,45 —0.33 IOI44O T 8.49.49 x6.15.15 -0.56 -1-0, 8 I 1095*9 18.44.36 x4.1x.54 - 0.32 4- 0.58 II3I6X xo.4r, 0 x3.44.ro - O.IO 4* 0.18 IXOOOO x6. o.xi XX. 17.30 -0.33 + 0. X I45'370 » 9. 33-40 i7-57-5f “ I xo 4- ^55303 13.17 41 I6.4X. 7 - x.io ■ 01 1 16095'! 15. II. II 16. 4.15 - X.4X 4“ 0.14 4* 2.. 10 166686 16.58. Xf r5.X9.i3 - 0.41 XOX57O x6.15.46 IX.48. 0 -Z.49 1.14 XI6XO5 Z9.18 3f IX. 5.40 4- 0.3 f 4’- X.X4 Apparuit etiam hic cometa menfe FLovembri praecedente & Cb- burp, in Saxonia a D"°. Gottfried Kirch obfervatus eft diebus menfis hujus quarto, fexto & undecimo, ftylo veteri ; & ex pofitionibus ejus PRINCIPIA MATHEMATICA. joi ejus ad proximas ftdlas fixas ope telefcopii nunc bipedalis nunc Liber decempedalis fatis accurate obfervatis, ac differentia longitudinum Coburgi & Londini graduum undecim & locis fixarum a Toundio noflro obfervatis, Halkius nolfer loca cometae determinavit ut fe- quitur. Novem, 17’’. 1', tempore apparente Londini, cometa erat in 298". yi'cum lat.bor. iw. 17'. 45". Novem. 5'‘’. if’’. jS' cometa erat inn? 3?^. 23' cum lat. bor. is'. 6'. Novem. io<*. i6>>. 31' cometa ^qualiter diflabat a Itellis leonis a- ac T Bayero ; nondum vero attigit redfam eafdem jungentem, fed parum abfuit ab ea. In ftellarum catalogo Flamjiediano (r tunc habuit n? 14S'. 15' cum lat. bor. 41' fere, t vero m 178'. 34, cum lat. auftr. oS'. 34'. Et medium punftum inter has Hellas fuit m 39'4> cum lat. bor. 08'. 334. Sit diflantia comettE a reda illa 10' vel 12' cir- citer, & differentia longitudinum cometae & pundi illius medii erit Y, & differentia latitudinum 7'4, circiter. Et inde cometa erat in nj ij8'. 32' cum lat. bor. 26' circiter. Obfervatio prima ex fitu cometae ad patvas quafdam fixas abunde fatis accurata fuit. Secunda etiam fatis accurata fuit. In tertia, quae minus accurata fuit, error minutorum fex vel feptem fubeffe potuit, & vix major. Longitudo vero cometae in obfervatione prima, quae caeteris accuratior fuit, in orbe praedido parabolico computata erat -a 298'. 30'. 22". latitudo borealis 2/. 7". & diflantia ejus a fole ixyy4(>. Porro Halkius obfervando quod cometa infignis intervallo anno- rum 575' quater apparuiffet, fcilicet menfe Septembri poft ctedem Julii Cafaris, anno Chrifli yyi Lampadio & OrefteCofs. anno Chrijti 1106 menfe Februario, & fub finem anni 1680, idque cum cauda longa & infigni ( praeterquam quod fub mortem Cajaris, cauda ob incommodam telluris pofitionem minus apparuiffet:) quaefivit or- bem ellipticum cujus axis major effet partium 13819^7) exiflent? mediocri diflantia telluris a fole panium loooo : in quo orbe uti- que cometa annis 5-77 revolvi polfit. Et ponendo nodum afcen- dentem in so 2*'. 2' ; inclinationem plani orbis ad planum ecliptica 618'. 6'. 48''; perihelium cometae in hoc plano f 22^'. 44'. ^5^; tempus aequatum peribelii Decem. 7^*. X3'’. diflantiara perihelii a ‘ nodo PHILOSOPHIA NATURALIS De MoNut nodo afeendente in plano eclipticae 98''. 17''. 35^'’; & axem conjuga- ivsiEMAiE 18481,1: computavit motum cometae in hoc orbe elliptico. Loca autem ejus tam ex obfervationibus dedufta quam in hoc orbe computata exhibentur in tabula fequente. Vc [llpUt VCiUIll Long. 0!)]'. 1 L.at. bor- 1 obr. Long. comp, 1 Lat. comp. Lrrores Long. 1 n ^at. u. n. // gr. y // 1 gr- y gr. gr* y // Nov. 3 • 16 .47 a^9 •51 . 0 1 ^ 17 •45 a 29. 51 . 22 I . 17 32 L +0. 22 — — 0 ^3 5 • 15 •37 W 3 •23 , c 1 ^ 6 . 0 ne 3 • 24. 32 I . 6 9 + I 32 "i" 0 9 10 . 16. 16 17 . 1 8 . 0 •3i . c 0 2.7 . 0 15 • 8 . 33 . 2 45 0 0 . 25 • 53 7 ; 7 A -i- i 2 I '53 18. 21 •34 1 1 8 . 52 . 15 I . 26 54 20. 17 0 28 . 10 . 3<^ I ■•53 35 23. i7 S nt 13 • 22 . 42 2 • 29 0 Dec. 12 . 4 46 V? 6. 32 •3^ 8. 28 0 vy 6 . 31 . 20 8 . 29 6 B — r 10 I 6 21 . 6. 37 J • 8 r 1 2.1 . 4’-. .-n AM/ MW 5 • 6 . 14 21 . 44 42 — I .58 4" 2 29 24 . 26 . 6. 5 18 21 18. 28. 49 24 23 •13 2-5 . ^7 . 2-3. 0 5 52 i8 28 . 47 . 2 r . 30 42 25 27 • 23 . 2 35 I — I — 2 53 .31 + 0 1 30 9 29 . 8 • 3 K13 . 10 4» 28. 9 58 X n • r I . 14 28 . 10 38 —j— 0 .33 0 40 30- 8. 10 n . 38 1 c 28 . II 53 17 • 38. 27 28 . 37 4- 0 7 0 16 ""Jan 5. 6. r 8. 48 53 ’-6. 15 7 r 8 . 48 . 51 26 • 14 57 — 0 2 — 0 ro 9- 7- I 18. 44. 4 M. I [ 56 18 . 43- 51 24 . 12 17 — 0 ^3 0 21 10 . 6 . 6 20. 40. 50 2-3 • 43 32 20 . 40 . 23 23 • 43 25 — 0 27 0 7 13. 7 • 9 ^5. 59. 48, 22 . 17. 28 26 . 0 . 8 22 . 16 32 -}- 0 20 — 0 5^ 2-5 . 7 • 59 «9 . •3 5. 0 n . 5<5 30 9 • 34- 1 1 17 • 5<^ 6 — 0 49 0 24 Feb. 30- 8 • 22 13. 19. 5* 16 , 42 18 ^3 • 1 8 ■ 28 16 . 40 5 — I 23 2 I 3 2 . 6 . 3S 15. 13. 53 16 . 4- I 15 • 1 1 . 59 16 . 2 7 — I 54 I 54 5. 7 • 4i 16. 59. 6 '5 . 2-7 3 16 . 59 • 17 15 •27 0 rho • 1 1 0 3 Mar, ^5. 8 • 41 26. 18 . 35 t2 . 46. 46 261. 16 . 59 12 4S 22 — r . 3<5 I 24 1 .11 . 10 2.7. 52. 42 12 . ^3. 40 17 . 51 • 47 12 . 22 28 — 0 . 5 5 — r 12 5. 1 1 . 39 ^9. 18. 0 12 . 3. 16 29 . 20 . 1 1 12 . 2 50 2 • 1 1 — 0 . 26 9 « . 38 0. 43- 4 r I . 45 52 n 0 . 42 . 43 r r . 45 35 — 0 . 2 I 1 — 0 . Obfervationes cometae hujus a principio ad finem non minus con- gruunt cum motu cometae in orbe jam defcripto, quam motus pla- netarum congruere folent cum eorum theoriis, & congruendo pro- bant unum & eundem fuiiTe cometam, qui toto hoc tempore appa- ruit, ejufque orbem hic refte definitum fuifle. In tabula procedente omifimus obfervationes diebus Novembris 16, 18, 10 & 13 ut minus accuratas. Nam cometa his etiam tem- poribus obfervatus fuit. Tontham utique & focii. Novem. 17. ft. vet. hora fexta matutina Roma, id eft, hora 5-. 10' Londini, filis ad fixas applicatis, cometam obfervarunt in =0= 8^'. 30' cum latitudine auitrali o&. 40'. Extant eorum obfervationes in tradatu, quem Ton- thaus PRINCIPIA M AT H E M AT I C A. 503 ' thatis de hoc cometa in lucem edidit, Cellim, qui aderat & ob* Lieeii. fervationes fuas in epiftola ad T>. Cafimm mifit, cometam eadem hora vidit in 8^^. 30' cum latitudine audrali 30^ Eadem hora Galletius Avemoni (id eil, hora matutina 5. 41 Londini) co- metam vidit in ^ 8»*^ fine latitudine, Cometa autem per theoriam jam fuit in =0= 8s^ 16^. 45'^'' cum latitudine aullrali 53'. 7^^’. Nov. 18. hora matutina 6. 30^^ Roth^ (id ell, hora 5', 40“^ Loudini'^ Tofithaus cometam vidit in ^ 13^^ 30' cum latitudine aullrali Cellius in=o= 13^^ 30' cum latitudine aullrali 00'. Galletius au- tem hora matutina 5-,. 10' Ave nioni cometam vidit i3^\ oo\ cum latitudine aullrali oo\ Et R. R, Ango imacademia Flexienfi Gallos^ hora quinta matutina (id eft^ hora 5*, 9' Londini) cometam vidit in medio inter flellas duas parvas^ quarum una media ell trium in reda linea in virginis aullrali manu, Bayero ip., & altera ell ex. trema dae Bajyero 6. Unde cometa tunc fuit in =q= iis^. 46' cum lati* tudine aullrali Eodem die Bofiotna in Nova-Anglia in lati- tudine graduum, hora quinta matutina, (id ell Londini hora matutina 9. 44') cometa^ vifus ell prope =0= 14^^ cum- latitudine aullrali 30', uti a cl. Halleio accepi. Nov. 19. hora mat. Cantairigi^y cometa (obfervante juvene quodam) dillabat a fpica quafi boreazephyrum verfus. Erat autem fpica in 19^". 2.3'- cum lat. auftr. E. 59'^. Eodem die hor. 5*. mat Bojloni^ in Nova-Angliay cometa dillabat a fpica gradu uno, differentia latitudinum exillente 40'. Eodem die in in- fula Jamaicay cometa dillabat a fpica intervallo quafi gradus unius. ' Eodem die D. Arthurus Storer ad fluvium Tatuxenty prope Himt- ing-Creek in Marylandy in confinio Virginia in lat. 384 s", hora quinta matutina (id ell, hora 10" Londini) cometam vidit fupra fpicam & cum fpica propemodum conjundum, exillente dillantia inter eof- dem quafi 4^^ Et ex his obfervationibus inter fe collatis colligo quod hora 9. 44' Londini cometa erat in =g= i8s^ yo' cum latitudine aullrali circiter. Cometa autem per theoriam jam erat in =0- I8s^ 15'' cum latitudine aullrali ^6\ 54^^. Nov, ic. D. Montenarus allronomiae profelTor TaduenfiSy hora fexta matutina Venetiis (id ell, hora 5. 10^ Londini) cometam vidit in =0= Z3^\ cum latitudine aullrali 30'. Eodem die Bojtoni^y dillabat cometa J04 PHILOSOPHIi£ NATURALIS Pe Mukdi cometa a fpica 4"^ longitudinis in orientem, ideoque erat in =0, Systemate circitei*. Nov. zj. 7onth£us & focii hor« mat. 74 cometam obfervarunt in ^ zf-^, so' cum latitudine aultrali 16^, Cellhts in =0= 288^. Ango hora quinta matutina in =a= 27?^ 45^, Montenarus in 278’-. 51^. Eq- dem die in infula Jamaica cometa vifus eft prope principium fcor- pii, eandemque circiter latitudinem habuit cum fpica virginis, id eft, 28r. z' . Eodem die ad horam quintam matutinam Ballafora in /;/- dia Orientali, (id eft ad horam noftis praecedentis ii. 20' Londini) capta eft diftantia cometae a fpica ^ 78^. 35' in orientem. In linea refla erat inter fpicam & lancem, ideoque verfabatur in 268^ 58' cum lat. auftrali ii^ circiter; & poft horas 5* & 40' (ad horam fcilicet quintam matutinam Londini), erat in =0=28?^ 12^ cum lat. auftr. I'*'. 16'. Per theoriam vero cometa jam erat in =q= 288^ lo^ 36^^, cum latitudine auftrali 53'. 35'^ Nov. 22. Cometa vifus eft a Montenaro in tn.28^ 33', Bojlonia tem in Nova- Anglia apparuit in ta 3^^ circiter, eadem fere cum latitu- dine ac prius, id eft, 1^. 30' . Eodem die ad horam quintam matutinam BaUafora cometa obfervabatur in v\ 50'; ideoque ad horam quin- tam matutinam Londini cometa erat in rn. 38»'. circiter. Eodem die Londini hora mat. 6^Hookius nofter cometam vidit in m. 38^ 30"^ circi- ter, idque in linea refla qu£e tranfit per fpicam virginis & cor leonis, non exafle quidem, fed a linea illa paululum defleflentem ad boream. Montenarus itidem notavit quod linea a cometa per fpicam dufta, hoc die & fequentibus tranfibat per auftrale latus cordis leonis, interpo- fito perparvo intervallo inter cor leonis & hanc lineam. Linea refla per cor leonis & fpicam virginis tranfiens, eclipticam fecuit in nf 38^. 46'; in angulo 2gf. 5-1'. Et fi cometa locatus fuilTet in hac linea in m 3§‘' ejus latitudo fuiflet 28^. 26''. Sed cum cometa confentientibus Hookio & Montenaro, nonnihil diftaret ab hac linea boream verfus, latitudo ejus fuit paulo minor. Die 20. ex obfervatione Montenari-^ latitudo ejus propemodum aequabat latitudinem fpicae tb?, eratque 30^ circiter, & confentientibus Hookio, Montenaro & Angone per- petuo angebatur, ideoque jam fenfibiliter major erat quam is^. 30^ Inter limites autem jam conftitutos 2^^. 26' & ig^. 30^ magnitudine mediocri latitudo erit i8^ 58' circiter. Cauda cometae, confentien- tibus Hookio Sc Montenaro, dirigebatur ad fpicam declinans ali- quantulum PRINCIPIA MATHEMATICA. joy quantulum a ftella ifta, juxta Hookium in auilrum, Juxta Montenarum in boream ; ideoque declinatio illa vix fuit fenfibilis, & cauda scqua- ^ tori fere parallela exiftens, aliquantulum defleftebatur ab oppofitione folis boream verfus. Nov. ^3. 11. ver. hora 'quinta matutina Korihurgl (id eft hora 4; Londtni) D. Zimmerman cometam vidit in m 8g»-. 8', cum latitudine aultrali ig^ 31^ captis fcilicet ejus didantiis a ftellis fixis, Nov. 14. Ante ortum folis cometa vifus eit a Montenaro in m ixsr. ^2.', ad boreale latus redae quae per cor leonis & fpicam virgi- nis ducebatur, ideoque latitudinem habuit paulo minorem quam agr. 38^. Haec latitudo, uti diximus, ex obfervationibus gonis & Hookii, perpetuo augebatur ; ideoque jam paulo major erat quam ig'. 58''; & magnitudine mediocri, fine notabili errore, da- tui poted 18'. Latitudinem Tonthaus & Galletius jam decre- vifie volunt, & Celliiis & obfervator in Nova Anglia eandem fere magnitudinem retinuide, fcilicet gradus unius vel unius cum femifle. Cradiores funt obfervationes Tonthai & ese praefertim quse per azimuthos & altitudines capiebantur, ut & eae GalleUi : melio- res funt eae quae per politiones cometa ad fixas ^ Montenaro^Hookioy Angone & obfervator e in Nova- Anglia^ & nonn unquam a Tonthao & Cellio funt fadse. Eodem die ad horam quintam matutinam Bal- lafora cometa obfervabatur in m iig^ 45''; ideoque ad horam quin- tam matutinam Londtni erat in nt i3g^ circiter. Per theoriam vero cometa jam erat in ni i3gr. xx'. 4x'^. Nov. Ante ortum folis Montenarus cometam obfervavit in I74gr circiter. Et obfervavit eodem tempore quod cometa erat in linea reda inter dellam lucidam in dextro femore virginis & lancem audralem librae, & haec reda fecat viam cometae in ja 36^- Per theoriam vero cometa jam erat in m. iS-fg^ circiter. Congruunt igitur hae obfervationes cum theoria quatenus congru- unt inter fe, & congruendo probant unum & eundem fuilTe come- tam, qui toto tempore a quarto die Novembris ad ufquejnohum Martii apparuit. Trajedoria cometae hujus bis fecuit planurfi'* eclip- ticae, & propterea non fuit redilinea. Eclipticam fecuit non in op- pofitis coeli partibus, fed in fine virginis & principio caprkorni, in- tervallo graduum 98 circiter ; ideoque curfus cometa plufeum de- T 1 1 fiede- Liber £ R T I 0 s. \ .*-'A De Mundi SVSTEMATE ^o6 PHILOSOPHIA NATURALIS batur a circulo maximo. Nam & menfe Novembri curfus ejus tri^ bus faltem gradibus ab ecliptica in auilrum declinabat, & poltea menfe ^Decembri gradibus 29 vergebat ab ecliptica in feptentrionem par- tibus duabus orbitae, in quibus cometa tendebat in folem & redibat a fole, angulo apparente graduum plus triginta ab invicem declinan- tibus, ut obfervavit Montenarus. Pergebat hic cometa per figna no- vem, a leonis fcilicet ultimo gradu ad principium geminorum, prse- ter fignum leonis, per quod pergebat antequam videri coepit ; & nulla alia extat theoria, qua cometa tantam coeli partem motu regulari percurrat. Motus ejus fuit maxime inaequabilis. Nam circa diem vigefimum Novembris defcripfit gradus circiter quinque fingulis di- ebus ; dein motu retardato inter Novemb, 26 & T>ecemb. 12, fpatio? fcilicet dierum quindecim cum femifle, defcripfit gradus tantum 405 poftea vero motu iterum accelerato, defcripfit gradus fere quinque fingulis diebus, antequam motus iterum retardari coepit. Et the- oria, quae motui tam inaequabili per maximam coeli partem probe re- fpondet, quseque eafdem obfervat leges cum theoria planetarum, & cum accuratis obfervationibus aftronomicis accurate congruit, nom potefl: non effe vera. Ceterum trajeftoriam quam cometa defcripfit,, & caudam veram. quam fingulis in locis projecit, vifum eft annexo fchemate in plano> trajeftoriae delineatas exhibere : ubi ABC denotat trajeitoriam cometae, 2) folem, trajeftoriae axem, T)F lineam nodorum, GH V PRINCIPIA MATHEMATICA. 507 G interfedtionem fphasrse orbis magni cum plano trajeftorise, I locum cometcE Nov. 4. Ann. 1680, K locum ejufdem Nov. n, L locum Nov. 19, M locum Tiec. ii, N locum ‘Dec. ii, O locum ‘Dec. ^9, 'P locum Jan. 5 fequent. ^ locum Jan. xj, R locum Feb. s, s locum Feb. xy, T locum Alar. 5, & V locum Alar. 9. Obfervationes vero lequentes in cauda definienda adhibui. Nov. 4 & 6. Cauda nondum apparuit. Nov. ii. Cauda jam coepta non nifi femiflem gradus unius longa tubo decempedali vifa fuit. Nov. 17. Cauda gradus amplius quindecim longa Tonthao apparuit. Nov. 18. Cauda 308^ longa, folique direfte oppofita in Nova-An- glia cernebatur, & protendebatur ufque ad ilellam ecemk 8; ubi in perihelio verfabatur, efiet ad didantiam terrae a centro folis ut 6 ad 1000 circiter, calor folis apud cometam eo tempore erat ad ca- lorem folis aeltivi apud nos ut 1000000 ad 36, feu z8ooo ad i. Sed calor aquae ebullientis elt quali triplo major quam calor quem terra arida concipit ad aellivum folem, ut expertus fum ; & calor ferri candentis (fi refte conjeftor) quafi triplo vel quadruplo major quam calor aquae ebullientis ; ideoque calor, quem terra arida apud comes- tam in perihelio verfantem ex radiis folaribus concipere polTet, quafi aooo. vicibus major quam calor ferri candentis. , Tanto autem calore vapores- PRINCIPIA MATHEMATICA. 509 vapores & exhalationes, omnifque materia volatilis llatim confumi ac dillipari debuillent. Cometa igitur in perihelio fuo calorem immenfum ad folem com cepit, & calorem illum diutiffime confervare poteil. Nam globus ferri candentis digitum unum latus, calorem luum omnem fpatio horae unius in aere confidens vix amitteret. Globus autem major calorem diutius confervaret in ratione diametri, propterea quod fu- perficies (ad cujus menfuram per contaftnm aeris ambientis refrige- ratur) in illa ratione minor ell pro quantitate materis fus calidae induis. Ideoque globus ferri candentis huic terrs aequalis, id eit, pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem, & idcirco annis coooo, vix refrigefceret. Sufpicor tamen quod duratio caloris, ob caufas latentes, augeatur in minore ratione quam ea diametri : & optarim rationem veram per experimenta i nvelli gari. Porro notandum eft quod cometa menfe 'Decembri, ubi ad folem’ modo incaluerat, caudam emittebat longe majorem & fplendidiorem quam antea menfe Novembri, ubi perihelium nondum attigerat. Et univerfaliter caudte omnes maximse & fulgentiflims e cometis ori- untur ftatim. poli tranfitum eorum per regionem folis. Conducit igitur calefadio comets ad magnitudinem caudx. Et inde colligere videor quod cauda nihil aliud fit quam vapor longe tenuiffimus,- quem, caput feu nucleus comets per calorem fuum emittit. Cxterum de cometarum caudis triplex ell opinio ; eas vel jubar efle folis per tranflucida cometarum capita propagatum, vel oriri ex refraftione lucis in progrelTu ipfius a capite comets in terram,, vel denique nubem efle feu' vaporem a capite cometx jugiter furgen- tem & abeuntem in partes a fole averfas. Opinio prima eorum elt uui nondum imbuti funt fcientia rerum opticarum. Nam jubar lolis in cubiculo tenebrofo non cernitur, nifi quatenus lux refleditur e pulverum & fumorum particulis per aerem femper volitantibus : fdeoque in acre fumis craffioribus infedo fplendidius eft, & fenfum Ss ferit ; in aere clariore tenuius eft & sgrius fentitur i in eoe- lis autem fine materia refleaente nullum efle poteil. Lux non cei- i .rZenL” jubare eft, fed quatenus inde reOea tur ad ocul« noftros Nam vitio non fit nifi per radios qui in oculos impingun . Levirituri^tut materia aliqua retleaens in reS.one.eaud^^ - L Te I B E-a 'R T IU Sv / De Mundi S.VSlEMAfE JIO P HILOS OPHlyE NATURALIS coelum totum luce folis illudratum uniformiter fplendeat. Opinio fecundii multis premitur difficultJitibus. OitudsB nunc|uaiTi Vciriegan- tur coloribus : qui tamen refradionum folent elle comites infepara- :biies. Lux fixarum & planetarum dilUnfle ad nos tranfmifTa de- monllrat medium coelefte nulla vi refraftiva pollere. Nam quod di- citur fixas JigyPt iis comtus nonnunquam vifas fuifie, id, quoniam rariffime contingit, aferibendum eft nubium refradioni fortuitae. Fixarum quoque radiatio & fcintillatio ad refraftiones tum oculorum tum aeris tremuli referendae funt: quippe quae admotis oculo tele- fcopiis evanefeunt. Aeris & afeendentium vaporum tremore fit, ut radii facile de angufto pupillae fpatio per vices detorqueantur, de latiore autem vitri objeftivi apertura neutiquam. Inde e(l quod fcintillatio in priori cafu generetur, in polteriore autem cefTet : & cefTatio in polteriore cafu demonllrat regularem tranfmillionem lucis per coelos fine omni refraftione fenfibili. Nequis contendat quod caudae non foleant videri in comttis, cum eorum lux non ell fatis fortis, quia tunc radii fecundarii non habent fatis virium ad oculos movendos, & propterea caudas fixarum non cerni : fciendum elt quod lux fixarum plus centum vicibus augeri potell mediantibus te- lefcopiis, nec tamen caudae cernuntur. Planetarum quoque lux co- piofior elt, caudae vero nullae : cometse autem fepe caudatiffimi funt, ubi capitum lux tenuis ell & valde obtufa. Sic enim cometa anni 1680, menfe 'Decembri^ quo tempore caput luce fua vix aequa- bat Hellas fecundae magnitudinis, caudam emittebat fplendore nota- bili ufque ad gradus 40, 50, 60 vel 70 longitudinis & ultra : poltea Jan. x7 & x8 caput apparebat ut ftella feptimse tantum magnitudi- nis, cauda vero luce quidem pertenui fed fatis fenfibili longa erat 6 vel 7 gradus, & luce obfcuriffima, qu^ cerni vix poflet, porrige- batur ad gradum ufque duodecimum vel paulo ultra : ut fupra diftum ell. Sed & Feb. 9 & 10 ubi caput nudis oculis videri defierat, cau- dam gradus duos longam per telefcopium contemplatus fum. Porro fi cauda oriretur ex refradione materiae coelellis, & pro figura coe- lorum deflefteretur de folis oppolitione, deberet deflexio illa in iif- dem coeli regionibus in eandem femper partem fieri. Atqui cometa anni \6%oT)ecemb. 28. hora 84 p. m. Londinii verfabatur in k 8§^ 41', cum latitudine boreali 18^^ 6'', fole exillente in w 26^. Et co- meta PRINCIPIA MATHEMATICA. jn meta anni is77^ T^ec. 29 verfabatur in K Ss'. 41' cum latitudine bo- Loh,- reali 40', fole etiam exiftente in vf iS*'. 26' circiter. Utroque in cafu terra verfabatur in eodem loco, & cometa apparebat in ea- dem coeli parte : in priori tamen cafu cauda cometae (ex meis & aliorum^ obfervationibus) declinabat angulo graduum 4^ ab oppofiti- one folis aquilonem verfus; in pofteriore vero (ex obfervationibus Tychonis) declinatia erat graduum 21 in auftrum. Igitur repudiata- coelorum refraec, ii, ideoque afcenfu fuo toto dies plus 45* eonfumpferat. At cauda illa omnis quae T^ec. 10 apparuit, afcende- rat fpatio dierum illorum duorum, qui a tempore perihelii cometae elapfi fuerant. Vapor igitur fub initio in vicinia folis celerrime afcendebat, & poltea cum motu per gravitatem fuam femper retar- dato afcendere pergebat ; & afcendendo augebat longitudinem cau- dae: cauda autem, quamdiu apparuit, ex vapore fere omni conltabat, qui a tempore perihelii afcenderat ; & vapor, qui primus afcendit, & terminum caudae compofuit, non prius evanuit quam ob nimiam fuam tam a fole illuftrante quam ab oculis nottris diftantiam videri U u u deliit. P4 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Munn (jefijt. Unde etiam caudae cometarum aliorum, quae breves funt,. bvsiEMAiE afcendunt motu celeri & perpetuo a capitibus & mox evanefcunt, fed funt permanentes vaporum & exhalationum columnae, a capiti, bus lentiffimo multorum dierum mbtu propagatae, quae, participando motum illum capitum quem habuere fub initio, per coelos una cum capitibus moveri pergunt. Et hinc rurfus colligitur fpatia coeleiiia. vi refiltendi dcditui ; utpote in quibus non folum folida planetarum & cometarum corpora, fed etiam rariffimi caudarum vapores motus fuos velociflimos liberrime peragunt ac diutillime confervant. Afcenfum caudarum ex atmofphseris capitum & progreflTum in partes a fole averfas Keflerus afcribit adioni radiorum lucis materiam caudse fecum rapientium. Et auram longe tenuiffimam in fpatiis li- berrimis aftioni radiorum cedere, non eit a ratione prorfus alienum,, non obilante quod fubilantiae craffae impeditiffimis in regionibus noftris a radiis folis fenfibiliter propelli nequeant. Alius particulas, tam leves quam graves dari pofle exiilimat, & materiam caudarum levitare, perque levitatem fuam a fole afcendere. Cum autem grar vitas corporum terreftrium fit ut materia in corporibus, ideoque fer- vata quantitate materiae intendi & remitti nequeat, fufpicor afcen- fum illum ex rarefaftione materiae caudarum potius oriri. Afcendit fumus in camino impulfu aeris cui innatat. Aer ille per calorem rarefadus afcendit, ob diminutam fuam gravitatem fpecificam, & fumum implicatum rapit fecum. Quidni cauda cometae ad eundem modum afcenderit a fole ? Nam radii folares non agitant media, quae permeant, nifi in reflexione & refraftione. Particulae refleftentes. ea aftione calefaftae calefacient auram aetheream cui implicantur. Illa calore fibi communicato rarefiet, & ob diminutam ea raritate grar vitatem fuam fpecificam, qua prius tendebat in folem, afcendet & fecum rapiet particulas refleftentes ex quibus cauda componitur Ad afcenfum vaporum conducit etiam, quod hi gyrantur circa folem. & ea aftione conantur a fole recedere, at folis atmofphaera & ma- teria coelorum vel plane quiefcit, vel motu folo quem a folis rotati- one acceperit, tardius gyratur. Hae funt caufae afcenfus caudarum, in vicinia folis, ubi orbes curviores funt, & cometae intra denfiorem- & ea ratione graviorem folis atmofphaeram confiftunt, & caudas, quam longifiimas mox emittunt. Nam caudae, quae tunc nafcuntur, confervando motum fuum & interea verfus folem gravitando, mo- vebuntur PRINCIPIA MATHEMATICA. yiy vehuntur circa folem in ellipfibus pro more capitum, & per mo- l tum illum capita femper comitabuntur & iis liberrime adhaerebunt.^* Gravitas enim vaporum in folem non magis efficiet ut caudae poftea decidant a capitibus folem verfus, quam gravitas capitum efficere poffit, ut haec decidant a caudis. Communi gravitate vel fimul in folem cadent, vel fimul in afcenfu fuo retardabuntur ; ideoque gra- vitas illa non impedit, quo minus caudae & capita pofitionem quam- cunque ad invicem a caufis jam defcriptis, aut aliis quibufcunque facillime accipiant & poftea liberrime fervent. Caudae igitur, quae in cometarum periheliis nafcuntur, in regiones longinquas cum eorum capitibus abibunt, & vel inde poft longam annorum feriem cum iifdem ad nos redibunt, vel potius ibi rarefaftae paulatim evanefcent. Nam poftea in defcenfu capitum ad folem caudae novae breviufculx lento motu a capitibus propagari debebunt, & fubinde in periheliis cometarum illorum, qui ad ufque atmofphae- ram folis defcendunt, in immenfum augeri. Vapor enim in fpatiis illis liberrimis perpetuo rarefcit ac dilatatur. Qua ratione fit ut cau- da omnis ad extremitatem fuperiorem latior fit quam juxta caput cometae. Ea autem rarefaftione vaporem perpetuo dilatatum dif- fundi tandem & fpargi per coelos univerfos, deinde paulatim in pla- netas per gravitatem fuam attrahi, & cum eorum atmofphaeris mif- ceri rationi confentaneum videtur. Nam quemadmodum maria ad conftitutionem terrae hujus omnino requiruntur, idque ut ex iis per calorem folis vapores copiofe fatis excitentur, qui vel in nubes coafti decidant in pluviis, & terram omnem ad procreationem vegetabi- lium irrigent & nutriant ; vel in frigidis montium verticibus conden- fati (ut aliqui cum ratione philofophantur) decurrant in fontes & flumina : fic ad confervationem marium & humorum in planetis re- quiri videntur cometae, ex quorum exhalationibus & vaporibus con. denfatis, quicquid liquoris per vegetationem & putrefaftionem con- fumitur & in terram aridam convertitur, continuo fuppleri & refici poffit. Nam vegetabilia omnia ex liquoribus omnino crefcunt, dein magna ex parte in terram aridam per putrefadiionem abeunt, & li- mus ex liquoribus putrefaftis perpetuo decidit. Hinc moles terras aridae indies augetur, & liquores, nifi aliunde augmentum fumerent, perpetuo decrelere deberet, ac tandem deficere. Porro fufpicor foiritum illum, qui aeris noftri pars minima eft fed fubtihffima & ^ U u u X optima, jid PHILOSOPHIA NATURALIS DeMundi optima, & ad rerum omnium vitam requiritur, ex cometis prasci- Systematb pue venire. Atmofphserae cometarum in defcenfu eorum in folem excurrendo in caudas, diminuuntur, & (ea certe in parte quas folem refpicit) angulUores redduntur : & viciflirn in recelTu eorum a fole, ubi jam minus excurrunt in caudas, ampliantur ; fi modo phasnomena eorum HeveLius recfte notavit. Minioiae autem apparent, ubi capita jam modo ad folem calefafta in caudas maximas & fulgentiflimas abiere, & nuclei fumo forfan craffiore & nigriore in atmofphaBrarum par- tibus infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti calore exci- tatus crajfiior & nigrior efTe folet. Sic caput cometa, de quo egi- mus, in aequalibus a fole ac terra diftantiis obfcurius apparuit pott perihelium fuum quam antea. Menfe enim l^ecemhri cum fiellis tertia magnitudinis conferri folebat, at menfe Novembri cum fiellis primae & fecundae. Et qui iitrumque viderant, majorem defcribunt cometam priorem. Nam juveni cuidam Cantahrigmifi^ Novem. 19, cometa bicce luce fua quantumvis plumbea & obtufa, aequabat fpi- cam virginis, & clarius micabat quam pofiea. Et Montenaro Nov. 20. fi. vet. cometa apparebat major fiellis primae magnitudinis, ex- iftente cauda duorum graduum longitudinis. Et St orer literis, quae in manus nofiras incidere, fcripfit caput ejus menfe Decembri^ ubi caudam maximam & fulgentilTimam emittebat, parvum efle & magnitudine vifibili longe cedere cometae, qui menfe Novembri ante folis ortum apparuerat. Cujus rei rationem eflfe conjeftabatur, quod materia capitis fub initio copiofior eflet, & paulatim confu- meretur. Eodem fpeftare videtur, quod capita cometarum aliorum, qui cau- das maximas & fulgentiflimas emiferunt, apparuerint fubobfcura & exigua. Nam anno 1668 Mart. 5*. fi. nov. hora feptima vefpertina R. T.Valentinus EJiancius^ BrafiUa agens, cometam vidit horizonti proximum ad occafum folis brumalem, capite minimo & vix con- fpicuo, cauda vero fupra modum fulgente, ut fiantes in littore fpe- ciem ejus e mari reflexam facile cernerent. Speciem utique habe- bat trabis fplendentis longitudine 23 graduum, ab occidente in au- ftrum vergens, & horizonti fere parallela. Tantus autem fplendor tres folum dies durabat, fubinde notabiliter decrefcens ; & interea decrefcente fplendore aufta ett magnitudine cauda. Unde etiam in Ltijt- PPvINClPlA MATHEMATICA. ^17 Lnfitania quartam fere cc^li partem (id eft, gradus 4^) occnpaffe dicitur ab occidente in orientem fplendore cum infigni protenfa ; nec tamen tota apparuit, capite femper in his regionibus infra ho- rizontem delitefcente. Ex incremento caudae & decremento fplen- doris manifellum ed, quod caput a fole receffit, eique proximum fuit fub initio, pro more cometae anni 1680, Et in chronico Sax^ orneo fimilis legitur cometa anni 1106, cujus Jlella erat parva ® obfcura (ut ille anni 1680) fed fplendor qui ex ea exivit valde cla* rus & qtiaji ingens trabs ad orientem ® aquilonem tendebat^ ut ha- bet etiam Hevelius ex Simeone "Dunelmenji Monacho. Apparuit initio menfis Februarii^ ac deinceps circa vefperam, ad occafum folis brumalem. Inde vero & ex fitu caudae colligitur caput fuifTe foli vicinum. A Jole^ inquit Matthaus Farijienjis^ dijiabat quafi cubito uno^ ab hora tertia [redius fexta] ufque ad horam nonam radium ex fe longum emittens. Talis etiam erat ardentiffimus ille cometa ab Arijiotele deferiptus lib. i. Meteor. 6. cujus caput pri^ mo die non confpeBum ejt^ eo quod ante folem vel falte7n fub radiis fotaribus occidijfet^ fequente vero die quantum potuit vifum eft. Nam quam minima fieri poteft diftantia folem reliquit.^ & mox occubuit, Ob nimium ardorem [caudae fcilicet] nondum apparebat capitis fpar^ fus ignis y fed procedente te^npore (ait Ariftoteles) cum [cauda] minus flagraret^ reddita eft [ capiti ] cometa fua facies. Et fplen- dor em fuum ad tertiam ufque' ceeli partem [id eft, ad 60""] exten- dit, Apparuit autem tempore hyberno [an. 4. olymp. loi.] ® af cendens ufque ad cingulum orionis ibi evanuit. Cometa ille anni 1618, qui e radiis folaribus caudatiffimus emerfit, Itellas primae magnitudi- nis aequare vel paulo fuperare videbatur, fed majores apparuere co- metae non pauci, qui caudas breviores habuere. Horum aliqui Jovem, alii venerem vel etiam lunam aequafle traduntur. Diximus cometas efle genus planetarum in orbibus valde eccentri- cis circa folem revolventium. Et quemadmodum e planetis non caudatis minores eiTe folent, qui in orbibus minoribus & foli propio- ribus gyrantur, fic etiam cometas, qui in periheliis fuis ad folem propius accedunt, ut plurimum minores efle, ne folem attraftione fua nimis agitent, rationi confentaneum videtur. Orbium vero tranf- verfas diametros & revolutionum tempora periodica, ex collatione cometarum in iifdem orbibus poit longa temporum intervalla rede- uniiuui, Liber T E K. T I u s. 'Db Munui Systemate 518 PHILOSOPHIAE NATURALIS untium, determinanda relinquo. Interea huic negotio propofitio fe- quens lumen accendere potelt. PROPOSITIO XLII. PROBLEMA XXIL Inventam cometae trajeBorlam corrigere. Operatio i. Afllimatur pofitio plani trajeflori®, per propofui- onem fuperiorem inventa ; & feligantur tria loca cometa obfer- vationibus accuratiflimis definita, & ab invicem quam maxime dif- tantia; fitque A tempus inter primam & fecundam, ac B tempus inter fecundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo in perigseo verfari convenit, vel faltem non longe a perigaeo abefle. Ex his locis apparentibus inveniantur, per operationes trigonometricas, loca tria vera cometae in aflumpto illo plano trajeftoriae. Deinde per loca illa inventa, circa centrum folis ceu umbilicum, per operatio- nes arithmeticas, ope prop. xxi. lib. i. inftitutas, defcribatur feftio conica : & ejus areae, radiis a fole ad loca inventa duftis terminatse, funto D & E ; nempe D area inter obfervationem primam & fe- cundam, & E area inter fecundam ac tertiam. Sitque T tempus to- tum, quo area tota D-f-L velocitate cometas per prop. xvi. lib. i. inventa defcribi debet. Oper. X. Augeatur longitudo nodorum plani trajeftoriae, additis ad longitudinem illam lo' vel 30', qu^ dicantur P ; & fervetur plani illius inclinatio ad planum eclipticae. Deinde ex pr^diftis tribus co- metae locis obfervatis, inveniantur in hoc novo plano loca tria vera, ut fupra: deinde etiam orbis per loca illa tranfiens, & ejufdem areae duae inter obfervationes defcriptae, quae fint d &: nec non tempus totum quo area tota d-^e defcribi debeat. Oper. 3. Servetur longitudo nodorum in operatione prima, & au- geatur inclinatio plani trajeftoriae ad planum eclipticae, additis ad inclinationem illam 20' vel 30', quae dicantur Q. Deinde ex obfer- vatis praediftis tribus cometae locis apparentibus inveniantur in hoc novo plano loca tria vera, orbifque per loca illa tranfiens, ut & ejuf- dem areae duae inter obfervationes defcriptae, quae fint <5' & g, & tempus totum t, quo area tota defcribi debeat. Jam PRINCIPIA MATHEMATICA. yip Jam fit C ad I ut A ad B, & G ad I ut D ad E, & ^ ad i ut Liber- ad & y ad I ut ^ ad g; fitque S tempus verum inter obfervati- onem primam ac tertiam ; & fignis 4- & ~ probe obfervatis qiu:c- rantur numeri m & ea lege, ut fit x G — x C=;^G — ^g\ »G — ny^ &xT — xS aequale mV — m t nl^ — r. Et li in operatione prima I defignet inclinationem plani trajedoriae ad pla- num eclipticae, & K longitudinem nodi alterutrius, erit I-j-;/ Q vera^ inclinatio plani trajeftorix ad planum eclipticse, &K4-;«P vera' longitudo nodi. Ac denique fi in operatione prima, fecunda ac tertia, quantitates R, r & ^ defignent latera refla trajeflorise, & quantitates y? — ejufdem latera tranfverfa refpeflive: erit R -4— JLi / A m r — ;^R4-;!ir§—«R verum- latus reflum, I A' — n C. verum latus tranfverfum trajeftoriae quam cometa deferibit. Dato autem latere tranfverfo datur etiam tempus periodicum cometae: Caeterum cometarum revolventium tempora periodica, & orbium^> latera tranfverfa, haud fatis accurate determinabuntur, nifi per col- lationem cometarum inter fe, qui diverfis temporibus apparent, Sb plures cometae, poli aequalia temporum intervalla, eundem orbem defcripfiffe reperiantur, concludendum erit hos omnes effe unum & eundem cometam, in eodem orbe revolventem. Et tum demum- ex revolutionum temporibus dabuntur orbium latera tranfverfa, & ex his lateribus determinabuntur orbes elliptici. In hunc finem computandae funt igitur cometarum plurium tra- jeftoriae, ex hypothefi quod fint parabolicae. Nam hujufmodi tra-- jeftoriae cum phaenomenis femper congruent quamproxime. Id li- quet, non tantum ex trajefloria parabolica cometae anni 1680, quam^ cum obfervationibus fupra contuli, fed etiam ex ea cometae illius infignis, qui annis 1664 & 1665' apparuit, & ab Hevelio obfervatus^ fuit. Is ex obfervationibus fuis longitudines & latitudines hujus co- metae computavit, fed minus accurate. Ex iifdem obfervationibus^ Hallem nofter loca cometa hujus denuo computavit, & tum de- mum ex locis fic inventis trajeftoriam cometae determinavit. Inve- nit autem ejus nodum afeendentem in n xi^L I3^ 55'^ inclinatio- nem orbita ad planum eclipticae 18'. 40'^ diflantiam periHe- De Mundi SrsTEMATE JIO PHILOSOPHIA NATURALIS lii a nodo in orbita 49^^ 17^- 3o''. Perihelium in a 8g^ 40^ 30" cum latitudine auilrina heliocentrica i6-\ i'. 45^^ Cometam in perihe- \io Novem. 24^. ii'\ p. m. tempore aequato Londinii vel 13^ 8' Gedani^ Itylo veteri, & latus reflum parabolae 410286, exiiiente mediocri terrae a fole diftantia looooo. Quam probe loca cometae in hoc orbe computata congruunt cum oblervationibus, patebit ex tabula fequente ab HaUeio fupputata. Tcmp. Appar. Geda »/, ft. vet 1 Obfervatae Cometae diftantise.* Loca obiervata. Loca compu- tata in Orhe Decemb» 3**. i8h. 294 gi- y J, S*'- / > Corde Leonis 46 . 24 . 20 Long. A 7 . i . 0 1 Spica Virginis 22 . 52 . 10 Lat. auft. z i .39. 0 *— « 7 • I • 29 21 . 38 . 50 4 . 18 . Ii. a Corde Leonis 46 . i . 45 a Spica Virg-nis 23 . 52 . 40 Long. ;£is 16 . I 5 . 0 Lat. aultzi . 24 . 0 SSi 6.16. 5 22.24. 0 7 . 17 • 48 X Corde Leonis 44 . 48 . c i Spica Virginis 27 . s9 . 40 Long. Siit 3 . 0 . 0 Lat.auH 25 . 22 . ip -3- 7.33 45 • 2 7, 40 17 ♦ 14 • 43 a Coide Leonis 53 . 15 . 15 ab Hum. Orionis dext. 4^ . 43 . 30 Lon^,. ^ 2 . 56 . c Lat ault.49 . 25 . c £l 2.56. 0 49 . 2 5 . 0 ^9 • 9 . 25 ’ i t^rocyone 35 • ^3 • SojLong. JI . 40 . 30 a Lucid. Mandib. Ceti 52 . 56 . oLat. auit. 45 . 48 . c . 43 . 0 0 '10 . 9 . 5.32 a Frocyone 40 . 49 . 0 a Lucid. Mandib. Ceti 40 . 4 . 0 jLon^. n 13 • 3 • c- Lat. auit. 39.54. c n ' 3 • 5 • 0 39 • 53 • 0 . 9 • 9i ab Hum. dext. Orionis 26 . 21 .25 a Lucid. Mandib. Ceti 29 . 28 . 0 Long n 2.16. 0 Lat ault. 23.41. 0 n 2.18.30 33p_39 • 40 2.1 . 9 • 0 ab Hum. uext. Orionis 29 . 47 . 0 a Lucid. Mandi-. Ceti 20 . 29 . 30 Long. ^ 24 . 24 . 0 Lat. ault. 27.45. 0 y 24. 27 , 0 1’] . 46 . 0 . 7 . 58 a Lucida Arietis 23 , 20 . 0 Hong ^ 9 . 0.0 ab Aldebaran 26 . 44 . ojHat. auit.12 . 36 . 0 H y • 2.28 Ti . 34. 13 ^7 . 6 . 45 a Lucida Anetis 20 . 45 . 0 ab Aldebaran 28 . 10 . 0 7 • S • 40 Lat. ault. i 0 . 23 . 0 « 7. 8.45 10 13 . 13 18 . 7 . 39 a Lucicia Anens 18 . 29 . o'Cong. H 5 • 2.4. 45 a Palilicio 20 . 37 . o.Lat. aua. 8 . 22 . 50 b 5 . 27 . 52 8-2.3*37 31 • 6 . 45 a C-ing. Androm. 30 . 48 . lo.bong.y 2. 7,40 a Palilicio 32 . 53 . ^ojHat. ault. 4.13. 0 ^ 2 . 8.20 4.16.25 Jo». 1665. 7 • 7 . 37-^ a Cing. Androm. 25 . n . 0 a Palilicio 37 . 12 . Long. Y' . 24.47 Lat. bor. 0 . 54 . 0 Y'28.24. 0 0.53 . 0 ‘3 • 7 • 0 ^•4 • 7 • - 2,9 a capite Androm. 28 , 7.10 a Palilicio 3^ . 55 . 20 Long. V' 27 . 6 . 54 Lat. bor. 3 , 6 . 50 Y'27- 6 . 39 3 .* 7 .40 a Cing. Androm. 20 . 32 . i<; a Palilicio ~ 40 , ^ ^ 0 Long. Y' 26 . 29 . 15 l^at. bor. 5 . 25 . 5c y'26 .28.50 5.26. 0 Fei. 7 8 . ^7 Long. Y' ^7 • 4 • 46 Lat. bor. 7 . 3 . 20 r2‘7.i4- 55 7 . 3 . U 22 . 8 . 46 Long. Y' 2-8 . 29 . 46 Lar. bor. 8 . 12 . 36 Y'28 . 29 . 58 8 . IO . 2C Mar. I . 8 . 16 Long. Y' i9 . 18 . 15 Lat. bor. 8.36.26 Y'29 .18.20 8 . 36 . 12 y 0 . 2 . 42 8 . 56 . 56 7 ■ 8 . 37 Long. Y' 0. 2.48 Lat. bor. 8,. 56 . 30 Menfe PRINCIPIA mathematica. yii Menfe Februario anni ineuntis ftella prima arietis, quam in L fequentibus vocabo y, erat in T 30'. 15'' cum latitudine bo- reali 7«'. 8'. 58". Secunda arietis erat in r 17'. 18" cum la- titudine boreali 8e'. x8'. 16". Et ftella quaedam alia feptimm mag- nitudinis, quam vocabo A, erat in r i8*'. 14'. 45" cum latitudine boreali 8»'. ^8'. 33". Cometa vero Feb. 7'. 30" Tarifiis (id eft ' Feb. 7^. 8'. 3 Y' Gedani ) ft. vet. triangulum conftituebat cum ftellis illis y &c A reftangulum ad y. Et diftantia cometae a ftella y aequa- lis erat diftantiae ftellarum y 8c A, id eft is'. 19'. 46" in circulo magno, atque ideo ea erat i»'. %o'. ^6'" in parallelo latitudinis ftel- lae y. Quare fi de longitudine ftellae y detrahatur longitudo is'. ao'. ^6", manebit longitudo cometae r X7S'. 9'. 49'’'. Auzoutim ex hac fua obfervatione cometam pofuit in r 278'. o' circiter. Et ex fchemate, quo Hookim motum ejus delineavit, is jam erat in r 268'. j9'. 24". Ratione mediocri pofui eundem in r 278«'. 4'. 46". Ex eadem obfervatione Auzoutius latitudinem cometae jam pofuit j?f & 4' vel 5' boream verfus. Eandem reftius pofuiflet 78'. 3'. 19", exiftente fcilicet differentia latitudinum cometae & ftellae y aequali differentiae longitudinum ftellarum y Se A. Feb. 22'*. Y. 30' Londtni, id eft Feb. 22*'. 8’*. 46' Gedani, diftantia cometae a ftella A, juxta obfervationem Hookti a feipfo in fchemate delineatam, ut & juxta obfervationes Auzmtii a ‘Petito in fchemate delineatas, erat pars quinta diftantiae inter ftellam A & primam ari- etis, feu 15'. 57'''. Et diftantia cometae a linea jungente ftellam A & primam arietis erat pars quarta ejufdem partis quintae, id eft 4'. Ideoque cometa erat in r 28*', 29'. 46'', cum lat. bor. 8*'. 12'. 36". Mart. 1“^. Y- ‘t)' Londini, id eH-Mart. i^*. S*". 16' Gedani, cometa obfervatus fuit prope fecundam arietis, exiftente diftantia inter eof- dem ad diftantiam inter primam & fecundam arietis, hoc eft ad 16'. 33', ut 4 ad 45" fecundum Hookium, vel ut 2 ad 23 fecundum Gottignies. Unde diftantia cometae a fecunda arietis erat 8'. 16" fecundum Hookium, vel 8'. Y' fecundum Gottignies, vel ratione me- diocri 8'. 10''. Cometa vero fecundum Gottignies jam modo prae- tergreflus fuerat fecundam arietis quafi fpatio quarts vel quintae partis itineris uno die confedi, id eft 1'. iY' circiter (quocum fatis confentit Auzoutius) vel paulo minorem fecundum Hookium, puta i'. Quare fi ad longitudinem primae arietis addatur i', & ad X X X lati- « 522 PHILOSOPHIAE NATURALIS ^y^stemate ejus S''. io'\ habebitur longitudo cometae T & latitudo borealis 8^". s6\ 26". Mart. 7^. 30' Tarijiis (id tViMart. y^, 37' Gedani) ex ob- fervationibus Auzoutii diftantia cometae a fecunda arietis aequalis erat diftantiae fecundae arietis a ftella Ay id ell fx'. Et diffe- rentia longitudinum cometae & fecundae arietis erat 45' vel 46'^ vel ratione mediocri 45^ 30". Ideoque cometa erat in b 2'. 48'^ Ex fchemate obfervationum Auzoutiiy quod T et itus conftruxit^ HeveUtis deduxit latitudinem cometae 8®". 5'4'. Sed fculptor viam cometae fub finem motus ejus ir regulariter incurvavit, & Hevelius in fchemate obfervationum Auzoutii a fe conftrufto incurvationem irregularem correxit, & fic latitudinem cometae fecit effe Ss". Et irregularitatem paulo magis corrigendo, latitudo evadere poteft 8^". 5'6^ vel 8='. S7' • Vifus etiam fuit hic cometa Martii die 9, & tunc locari debuit in V os". 18', cum lat. bor. 9^'. 3^4 circiter. Apparuit hic cometa menfes tres, fignaque fere fex defcripfit, & uno die gradus fere viginti confecit. Curfus ejus a circulo maxima plurimum deflexit, in boream incurvatus ; & motus ejus fub finem ex retrogrado fadus eft direftus. Et non obftante curfu tam in- folito, theoria a principio ad finem cum obfervationibus non minus accurate congruit, quam theorise planetarum cum eorum obferva- tionibus congruere folent, ut infpicienti tabulam patebit. Subdu- cenda tamen funt minuta duo prima circiter, ubi cometa velocif- fimus fuit; id quod fiet auferendo duodecim minuta fecunda ab angulo inter nodum afcendentem & perihelium, feu conflituendo angulum illum 498". 27''. 18''. Cometae utriufque (& hujus & fupe- rioris) parallaxis annua infignis fuit, & inde demonftratur motus annuus terrae in orbe magno. Confirmatur etiam theoria per motum cometae, qui apparuit anno 1683. Hic fuit retrogradus in orbe, cujus planum cum plano eclipticae angulum fere reftum continebat. Hujus nodus afcendens (compu- tante Halleio) erat in rgi x38^ 23'; inclinatio orbitae ad eclipticam 838*. ii'; perihelium in n 258^. 30'^; diflantia perihelia a fole 56020, exiftente radio orbis magni looooo, & tempore perihelii Julii 2^. 3*1. 50'. Loca autem cometae in hoc orbe ab Halleio com- putata, & cum locis a Flamjtedio obfervatis collata, exhibentur in tabula fequente. Temp. PRINCIPIA mathematica. 5^3 1683 Temp. 1". Locus Solis Cometae Long. Comp. Lat, Bor. Comp. Cometae Long. Obf. Lat. Bor. Obferv. UifFer. Long. Differ. Lat d. h. ^ 5^«/. 13.12.55 15.11.15 17.10.20 13-I3-40 25.14. 5 3^* 9 42- 31-14.5? Atig, 2.14.56 4.10.49 6.10. 9 9.10.26 15.14. I 16.15. IO 18.15.44 22.14.44 23.15.52 26.16. 2 gr. , a ^-30 2.5 .12 4.4545 10.38 21 12.35.28 18. 9.22 18.2r.53 20.17.16 22. 2.50 23.56.45 26.50.52 ^ 2.47.13 3.48. 2 545.33 9.35.49 10.36.48 13.31. ro g^- . .. ® 13. 5.41 11.37.4s 10. 7. 6 5.10.27 3.^7. 53 n ^7.55. 3 27.41. 7 25.29.32 23.18.20 20.42.23 16. 7.57 3.30,48 0.43. 7 b i4.5i.53 11. 7.14 ' 7. 2.18 T i4.45.3f gt ° A 29.28.13 29.34. 0 29.33 30 28.5 1.42 24.24.47 26.22.52 26.16.57 25.1 6.19 24,10.49 22.47. 5 20. 6.37 11.37.33 9.34.16 5. II. I? Auftr. 5.1 6.58 8.17. 9 16.38. G g»-- , . S 13. 6.42 11-39 43 10. 8.40 5. 11.30 3.i7. 0 n 27.54.24 27.41. 8 25.28.46 i3. 16.55 20.40.32 16. 5.55 3.16.18 0.41.55 b i4.49. 5 11. 7.12 7. 1.17 Y' 14.44. 0 gr. , . 29.28.20 29.34.50 29.34. 0 28.50.28 28.23.40 26*22.25 26.14.50 25.17.28 24.12.19 22.49. 5 20. 6.10 11.32. I 9.34.13 5. 9.11 Auftr. 5.16.58 8.16.41 16.38.20 t // -- r. c -- 1.55 -- 1.34 + 3 — 0.53 — 0.39 0. I — 0.46 — 1.25 — 1.51 — 2. 2 — 4.30 — 1.12 —3.48 — 0. 2 -I. I 1— 1.31 -Vo. 7 Hro-so 4-0.30 — r.14 j — I. 7 j —0.27 1 — i. 7 + 1. 9 4-1.30 4-i. 0 — 0.27 — 5.31 — 0. 3 —•2. 4 — 0. 3 — 0.28 4-0.20 Liber T £ RT lUs,' Confirmatur etiam theoria per motum cometae retrogradi, qui apparuit anno i68x. Hujus nodus afcendens (computante Halleio) erat in V xisL i6'. 30'''. Inclinatio orbitae ad planum eclipticae 17^^. 5’6'. o". Perihelium in , Diftantia perihelia a fole 58318, exiftente radio orbis magni looooo. Et tempus aequatum perihelii Sep, 4^^. 7^. 3/. Loca vero ex obfervationibus Flamftedii computata, & cum locis per theoriam computatis collata, exhiben* tur in tabula fequente. 1682 T emp. Appar. Locus Solis Cometae Long. Comp, Lat. Bor. Comp. Cometae Long. Obf. Lat. Bor. Obferv. Differ. Long. Differ, Lat. d. h. ^ Aug. 19.16.38 20. r5.38 21. 8.21 22. 8. 8 29. 8.20 30. 7*45 Seft, I. 7.33 4. 7.22 5* 7.3i 8. 7.16 9. 7.26 gr- . .. 115 7. 0. 7 7.55.51 8.36.14 9'33.55 16.22.40 17. 19. 41 19.16. 9 22.1 1.28 23.10.29 26. 5.58 27. 5. 9 gr. , >/ ^ 18.14.28 24.46.23 29.37.15 ^ 6.29.53 12.37.54 15.36. I 20.30.53 25.42. 0 27. 0.46 29.58.44 0.44-10 25.50. 7 26.14.41 26.20. 3 26. 8.42 18.37.47 17.26.43 15.13. 0 12.23.48 II. 33« 8 9.26.46 8.49.10 gr- . . 18.14.40 24.46.12 19.38. 2 n? 6.30. 3 ^ 11.37.49 15.35-18 20.27. 4 25.40.58 26.59.24 19.58.45 ni 0.44. 4 gf* , 15-49.55 2-5.12.52 26.17.37 26. 7.12 18.34. 5 17.27.17 15. 9.49 ii.22. 0 11.33-51 9.26.43 8.48.25 / // — 0.12 -1^0. I —0.47 — O.IO + 0. 5 + 0.43 + 3-49 + 1.2 4* i.ii — 0. 1 + 0, 6 r ' -t* 0.12 4- 1.50 + 2.26 41.30 + 3.41 — 0.34 + 3-II 1+ — 0.43 + 0. 3 1+0.45 Confirmatur etiam theoria per motum retrogradum cometae, qui apparuit anno 1713. Hujus nodus afcendens (computante D. leOy altronomiae apud Oxonienfes profeffore SavHiano) erat in X x X ^ T I4S'. J24 PHILOSOPHIiE NATURALIS DeMundi r i6'. Inclinatio orbitae ad planum eclipticae 498'. 5-9'. PerL- Svsismate jn y jj^gr jj.'. 2.0". Diftantia perihelia a fole 998651, exif- tente radio orbis magni loooooo, & tempore aequato perihelii Sep- tem. i6‘*. 16'’, 10'. Loca vero cometae in hoc orbe a Bradko com- putata, & cum locis a feipfo & patruo fuo D. Toundio, & a D. Halleio obfervatis collata exhibentur in tabula fequente. 1713 Temp. ^quat. Comet. Long. Oofervat. Lat. Bor. Obfervat. Comet. Long. Comput. Lat. Bor. Comput. Differ. Long. Differ: Latitv d. h. , 0 / // 0 / // 0 / // 0 / y/ // 9.8. 5 7 . 22 . 15 5 . 2 . 0 SS; 7.21 .26 5 . 2 . 47 4. 49 47 10.6 .21 6.41. 12 7 . 44 • 1 3 6 . 41 . 42 7 .43 • 18 — 50 + 55 12.7 .21 S . 39 • 58 ri . 55 . 0 5 . 40 . 19 ir • 54 . 55 — 2 r + 5 14. 8 . 57 4 . 59 .49 14 . 43 . 50 5 • 0-37 14.44. I ^48 — ir 15: • • 35 4 • 47 • 41 1 5 . 40 . 5 r 4 . 47 • 45 15 . 40 . 55 — 4 ■— 4 21 . 6 . 21 4 . 2 . 32 19 . 41 . 49 4 . 2.21 rp .42 . 3 4 1 1 , — 14 22 . 6 . 24 3 • 59 • 2. 20 . 8.12 3 • 59 . IO 20 . 8.17 — 8 — 5 24 . 8 . 2 3 • 55 • 29 20 . 55 . 18 3 • 55 • II 20 . 55 . 9 •4 I ^ 4 9 29 . 8 . 56 3 • 5<5 • 17 22 . 20 . 27 3 . 56 . 42 22 , 20 . 10 — 2-5 + 17 30 . 6 . 20 3 • 58 . 9 22 . 32 . 28 3 • 58 . 17 22.32. 12 — 8 4 16 Nov, S • S • 53 4 . 16 . 30 23 . 38 . 33 4 . 16 . 23 ^3 .38 • 7 H- 7 4 8.7. 6 4 • 29 • 3^ 24 , 4.30 4 . 29 . 54 24 . 4 . 40 — 18 — 10 14 . 6 , 20 5 . 2.16 24 . 48 . 46 5 . 2.51 24 . 48 . 16 — 35 ' 4- 30 20 . 7 . 45 5 . 42 . 20 25 . 24 . 45 5 • 43 • 13 25 .25 . 17 — 53 ' — 32. Dec, y . 6 . 4^ 8 . 4.13 26 . 54 . 18 8. 3-55 26 . 53 ; 42 4 18 + 36 His exemplis abunde fatis manifeflum eft, quod motus cometa- rum per theoriam a nobis expolitam non minus accurate exhiben- tur, quam folent motus planetarum per eorum theorias. Et prop- terea orbes cometarum per hanc theoriam enumerari pofliinr, & tempus periodicum cometae in quolibet orbe revolventis tandem fciri, & tum demum orbium ellipticorum latera tranfverfa & aphe- liorum altitudines innotefcent. Cometa retrogradus, qui apparuit anno 1607, defcripfit orbem, cujus nodus afcendens (computante Halleio) erat in V ao?'. ai'; in- clinatio plani orbis ad planum eclipticae erat 178'. a'; perihelium erat in sx as'. 16'; & diflantia perihelia a fole erat 58680, exiiiente radio orbis magni looooo. Et cometa erat in perihelio OSlob. 16**. 3'’. 50'. Congruit hic orbis quamproxime cum orbe cometae, qui apparuit anno i68a. Si cometae hi duo fuerint unus & idem, re- volvetur hic cometa fpatio annorum 75, & axis major orbis ejus erit ad axem majorem orbis magni, ut Vc : 75x75" ad i, feu 1778 ad 100 circiter. Et diftantia aphelia cometae hujus a fole, erit ad diftan- tiam PRINCIPIA MATHEMATICA. tiam mediocrem terrae a fole, ut 3^ ad i circiter. Quibus cognitis, haud difficile fuerit orbem ellipticum cometae hujus determinare. Atque haec ita fe habebunt li cometa, fpatio annorum feptuaginta quinque, in hoc orbe polthac redierit. Cometae reliqui majori tem- pore revolvi videntur & altius afcendere. Caeterum cometae, ob magnum eorum numerum, & magnam apheliorum a fole dillantiam, & longam moram in apheiiis, per gra- vitates in fe mutuo nonnihil turbari debent, & eorum eccentrici- tates & revolutionum tempora nunc augeri aliquantulum, nunc di- minui. Proinde non eit expeftandum ut cometa idem in eodem orbe, & iifdem temporibus periodicis accurate redeat. Sufficit fi mutationes non majores obvenerint, quam quae a caufis praediftis oriantur. Et hinc ratio redditur,, cur cometae non comprehendantur zodi- Liber T E K T I O s. aco more planetarum, fed inde migrent & motibus variis in om* nes coelorum regiones ferantur. Scilicet eo fine, ut in apheiiis fuis, ubi tardiffime moventur, quam longiffime dillent ab invicem, & fe mutuo quam minime trahant. Qua de caufa cometae, qui altius de- fcendunt, ideoque tardiffime moventur in apheiiis, debent altius afcendere. Cometa, qui anno 1680 apparuit, minus diftabat a fole in perihe- lio fuo quam parte fexta diametri folis; & propter fummam velo- citatem in vicinia illa, & denfitatem aliquam atmofphajrae folis, re- fiftentiam nonnullam fentire debuit, & aliquantulum retardari, & propius ad folem accedere : & fingulis revolutionibus accedendo ad folem, incidet is tandem in corpus folis. Sed & in aphelio ubi tar- diffime movetur, aliquando per attrartionem aliorum cometarum retardari potell, & fubinde in folem incidere. Sic etiam Hellae fixae, quae paulatim expirant in lucem & vapores, cometis in ipfas inci- dentibus refici poflunt, & novo alimento accenfae pro ftellis novis haberi. Hujus generis funt Hellae fixae, quae fubito apparent, & fub initio quam maxime fplendent, & fubinde paulatim evanefcunt. Ta- lis fuit Hella in cathedra Caffiopei^ quam Cornelius Gemma oflavo^ Novembris i5'72., luHrando illam coeli partem nofie ferena minime vidit ; at nofte proxima {Novem, 9.) vidit fixis omnibus Iplendidio- rem, & luce fua vix cedentem veneri. Hanc Tycho Brahaus vidit undecimo ejufdem menfis ubi maxime fplenduit ; ex eo ternpore ji6 PHILOSOPHIAE NATURALIS De Mundi paulatim decrefccntem & fpatio menfium fexdecim evanefcentem obfervavit. M^nk Novembri, ubi primum apparuit, venerem luce fua aequabat. Menfe IDecembri nonnihil diminuta jovem aequare videbatur. Anno 1573» menfe Januario minor erat jove & major Sirio, cui in fine Februarii & Martii initio evafit aequalis. Menfe Aprili & Maio llellis fecundae magnitudinis, Junio^ Julio & Augufio ftellis tertiae magnitudinis, Septembri, O^lobri & Novembri fiellis quartae, T)ecembri & anni 1574, menfe Januario flellis quintse, & menfe Februario llellis fextae magnitudinis aequalis videbatur, & menfe Martio ex oculis evanuit. Color illi ab initio clarus, albicans ac fplendidus, pofiea flavus, & anni i5'73 Martio rutilans inltar martis aut Hellae aldebaran; Maio autem albitudinem fublividam induxit, qualem in faturno cernimus, quem colorem ufque in finem fervavit, femper tamen obfcurior fafta. Talis etiam fuit llella in dextro pede ferpentarii, quam Kepleri difcipuli anno 1604, die 30 Septembris ft. vet. apparere coepifiTe obfervarunt, & luce fua ftellam Jovis fu- perafle, cum nofte praecedente minime apparuilTet. Ab eo vero tempore paulatim decrevit, & fpatio menfium quindecim vel fex- decim ex oculis evanuit. Tali etiam llella nova fupra modum fplendente Hipparchus ad fixas obfervandas & in catalogum refe- rendas excitatus fuifie dicitur. Sed fixae, quae per vices apparent & evanefcunt, quaeque paulatim crefcunt, & luce fua fixas tertiae magnitudinis vix unquam fuperant, videntur elTe generis alterius, & revolvendo partem lucidam & partem oblcuram per vices oflen- dere. Vapores autem, qui ex fole & llellis fixis & caudis cometa- rum oriuntur, incidere poflTunt per gravitatem fuam in atmofphseras planetarum & ibi condenfari & converti in aquam & fpiritus hu- midos, & fubinde per lentum calorem in fales, & fulphura, & tin- ^luras, & limum, & lutum, & argillam, & arenam, & lapides, & coralia, & fubllantias alias terrellres paulatim migrare. SCHOLIUM GENERALE. Hypothefis vorticum multis premitur difficultatibus. Ut planeta tinufquifque radio ad folem dufto areas defcribat tempori propor- tionales, tempora periodica partium vorticis deberent efle in du- plicata ratione dillantiarum a fole. Ut periodica planetarum tem- pora fint in proportione fefquiplicata diftantiarum a fole, tempora peri- PRINCIPIA mathematica. periodica partium vorticis deberent effe in fefquiplicata diftantia rum proportione. Ut vortices minores circum iaturnum, jovem & alios planetas gyrati conferventur & tranquille natent in vortice fo- hs, tempora periodica partium vorticis folaris deberent elTe aqualia. Revolutiones folis & planetarum circum axes fuos, qua cum mo- tibus vorticum congruere deberent, ab omnibus hifce proportioni- bus difcrepant. Motus cometarum funt fumme regulares, & eafdem leges cum planetarum motibus obfervant, & per vortices exolicari nequeunt. Feruntur comet® motibus «ulde eeceu.ticis iromu” coelorum partes, quod fieri non potefi, nifi vortices tollantur. Projedilia, in aere noftro, folam aeris refifientiam fentiunt. Sub^- lato aere, ut fit in vacuo Boyliano, refifientia ceflat, fiquidem pluma tenuis & aurum folidum aquali cum velocitate in hoc vacuo ca- dunt. Et par eft ratio fpatiorum coeleftium, qua funt fupra atmo- fpharam terra. Corpora omnia in iftis fpatiis liberrime moveri de- bent ; & propterea planeta & cometa in orbibus fpecie & pofitione datis fecundum leges fupra expolitas perpetuo revolvi. Perfe» verabunt quidem in orbibus fuis per leges gravitatis, fed regula> rem orbium litum primitus acquirere per leges hafce minime po*. tuerunt. Liber Te Ri I u s. Planeta fex principales revolvuntur circum folem in circulis foli concentricis, eadem motus direftione, in eodem plano quamproxi- me. Luna decem revolvuntur circum terrapi, jovem & faturnum in circulis concentricis, eadem motus directione, in planis orbium planetarum quamproxime. Et hi omnes motus regulares originem non habent ex caulis mechanicis; fiquidem cometa in orbibus valde eccentricis, & in omnes ccelorum partes libere feruntur. Quo mo- tus genere cometa per orbes planetarum celerrime & facillime tran- feunt, & in apheliis fuis ubi tardiores funt & diutius morantur 5, quam longillime dillant ab invicem, ut fe mutuo quam minime tra- hant. Elegantiflima hacce folis, planetarum & cometarum com- pages non nili confilio & dominio entis intelligentis & potentis oriri potuit. Et li Itella fixa fint centra fimilium fyllematum, hac om- nia limili confilio conllrufta fuberunt ^nius dominio : prafertim cum lux fixarum fit ejufdem natura ac lux folis, & fyllemata omnia lucem in omnia invicem immittant. Et ne fixarum fyllemata per gravitatem fuam in fe mutuo cadant, hic eadem immenfam ab invi- cem diftantiam pofuerit. Hic De Mundi Systemate 528 PHlLOSOPHIi£ NATURALIS Hic omnia regit non ut anima mundi, fed ut univerforum do- minus. Et propter dominium fuum, dominus ve^Hs deus * UuvIoii^Tco^ dici folet. Nam deus ett vox relativa & ad fervos refertur: & deitas eft dominatio dei, non in corpus proprium, uti fentiunt quibus deus elt anima mundi, fed in lervos. Deus fummus ett ens aeter- num, infinitum, abfolute perfeftum : fed ens utcunque perfeflum fine dominio non eft dominus deus. Dicimus enim deus meus, deus vefter, dens I/^aelisy deus deorum, & dominus dominorum: fed non dicimus aeternus meus, aeternus vefter, aeternus Ifraelisy aeternus deorum ; non dicimus infinitus meus, vel perfedus meus. Hae appellationes relationem non habent ad fervos. Vox deus paf- fim ^ fignificat dominum : fed omnis dominus non eft deus. Dominatio entis fpiritualis de- um conftituit, vera verum, fumma fummum, fifta fidum. Et ex dominatione vera fequitur deum verum efle vivum, intelligentem & po* tentem ; ex reliquis perfedionibus fummum efle, vel fumme perfedum. ^Eternus eft & in- finitus, omnipotens & omnifciens, id eft, durat ab aeterno in aeternum, & adeft ab infinito in infinitum: omnia regit; & omnia cognofcit, quse fiunt aut fieri poliunt. Non eft aeterni- tas & infinitas, fed aeternus & infinitus ; non eft duratio & Ijpati- um, fed durat & adeft. Durat femper, & adeft ubique, & exif- tendo femper & ubique, durationem & fpatium conftituit. Cum unaquaeque fpatii particula fit femfevy & unumquodque durationis indivifibile momentum uhiquey certe rerum omnium fabricator ac dominus non erit nunquanty nufquam. Omnis anima fentiens di- verfis temporibus, & in diverfis fenfuum, & motuum organis eadem eft perfona indivifibilis. Partes dantur fucceflivae in duratione, co- exiftentes in fpatio, neutrse in perfona hominis feu principio ejus co- gitante ; & multo minus in fubftantia cogitante dei. Omnis homo, quatenus res fentiens, eft unus & idem homo durante vita fua in omnibus & fingulis fenfuum organis. Deus ett unus & idem deus femper & ubique. Omnipraefens eft non per virtutem folam, fed etiam per fubftmtiam : nam virtus fine fubftantia fubfiflere non pb- ■ tefh ♦ c Pococktis nofler vocem dei deducit a voce Arabica dtt, in cafu obliquo di,) quae dominum fignificat. Et hoc fenfu principes vocan- tur dii, Pfalm. Ixxxiv. 6. & ^oan. X. 45. Et Mofes dici- tur deus fratris Aaron, & de- us regis Pharaoh {Exod. iv. i6.&vii I.) Et eodem fenfu animae principum mortu- orum olim a gentibus voca- bantur dii, fed falfo prop- ter defedium dominii. Pythagoras apud Ciceronem^ T de Natura deorum, l\b. r. Thales f ^naxagoras, Virgiltus Georgic. Ub. iv. v. no, & j^^neid. lib. 6. v.-jii. phjlo Allegor, lib. i. fub initio. Aratus in Phsenom. fub i- nitio. Ita etiam fcriptores facri ut Paulus in AdH:. xvii, 27, 28. ^ohannes in Evang. xiv. 2. Mofes in Deut. iv, 39* & X. 14. Davtd Pfal. cxxxix. 7, 8, 9. Solomon I Reg. viii. 27. Job xxii. 12, ^3» 14- Jeremias xxiii, 23, 24. Fingebant autem ido- lolatrae folem, lunam, & af- tra, animas hominum & a- lias mundi partes efle par- tes dei fummi 8c ideo co- lendas fed falfo. PRINCIPIA mathematica: np teft. In ipfo continentur & moventur uni- ■ lu fentiebant veteres, ut verfa, fed fine mutua pafTione. Deus nihil patitur ex corporum motibus : illa nullam fen- tiunt refiftentiam ex omnipraefentia dei. De- um fummum neceffario exiltere in confeffb efi: Et eadem necelfitate femfer eft & ubique. Unde etiam totus eft fui fimilis, totus oculus, totus auris, totus cerebrum, totus brachium, totus vis fentiendi, intelligendi, & agendi, fed more minime humano, more minime corpo- reo, more nobis prorfus incognito. Ut c^cus non habet ideam colorum, fic nos ideam non habemus modorum, quibus deus fapientiflimus fentit & intelligit omnia. Corpore omni & figura corporea prorfus deftituitur, ideoque videri non poteft, nec audiri, nec tangi, nec fub fpecie rei alicu- jus corporei coli debet. Ideas habemus attributorum ejus, fed quid fit rei alicujus fubftantia minime cognofcimus. Videmus tan- tum corporum figuras & colores, audimus tantum fonos, tangimus tantum fuperficies externas, olfacimus odores folos, & guftamus fa. pores : intimas fubftantias nullo fenfu, nulla adione reflexa cog- nofcimus ; & multo minus ideam habemus fubftantiae dei. Hunc cognofcimus folummodo per proprietates ejus & attributa, & per fapientifiimas & optimas rerum ftrufturas & caufas finales, & admi- ramur ob perfediones ; veneramur autem & colimus ob dominium. Colimus enim ut fervi, & deus fine dominio, providentia, &: caufis finalibus nihil aliud eft quam fatum & natura. A caeca neceflitate metaphyfica, quae utique eadem eft femper & ubique, nulla oritur rerum variatio. Tota rerum conditarum pro locis ac temporibus diverfitas, ab ideis & voluntate entis neceflario exiftentis folum- modo oriri potuit. Dicitur autem deus per allegoriam videre, au- dire, loqui, ridere, amare, odio habere, cupere, dare, accipere, gaudere, irafci, pugnare, fabricare, condere, conftruere. Nam fer- mo. omnis de deo a rebus humanis per fimilitudinem aliquam defu- mitur, non perfeftam quidem, fed aliqualem tamen. Et h^c de deo, de quo utique ex phaenomenis differere, ac^philofophiam na- turalem pertinet. Y y y Hadtenus Liber E RTIUs,’ 530 PHILOSOPHIiE NATURALIS, &c. De Mundi Haftenus phsenomena caelorum & maris noilri per vim gravitatis; Systemate caufam gravitatis nondum allignavi. Oritur utique haec- vis a caufa aliqua, quae penetrat ad ulque centra folis & planetarum,, fine virtutis diminutione; quaeque agit non pro quantitate fuperfi^ ctertm particularum, in quas agit (ut folent caufae mechanicae) fed' pro quantitate materiae /olida -, & cujus aftio in immenfas diltantias - undique extenditur, decrefcendo femper in duplicata ratione dillan- tiarum. Gravitas in folem componitur ex gravitatibus in fingulas folis particulas, & recedendo a fole decrefcic accurate in duplicata- ratione diftantiarum ad ufque orbem faturni, ut ex quiete aphelio- rum planetarum manifellum eft, & ad' ufque ultima cometarum a- phelia, fi modo aphelia illa quiefcant. Rationem vero harum gra- vitatis proprietatum ex ph^nomenis nondum potui deducere, & hypothefes non fingo. Quicquid enim ex phaenomenis non dedu- citur,. vocanda efl; & hypothefes feu metaphyficae, feu. phyficae, feu qualitatum occultarum, feu mechanicae, in /hilofophia experimentali locum non habent. In hac philofophia propofitiones s deducuntur ex phaenomenis, & redduntur generales per inductio- nem. Sic impenetrabilitas, mobilitas, & impetus corporum & le- ges motuum & gravitatis innotuerunt. Et fatis efl quod gravitas revera exiftat, & agat fecundum leges a* nobis expofitas, &, ad cor^ porum caeleftium & maris noftri motus omnes fufficiat. Adjicere jam liceret nonnulla de fpiritu quodam fubtiliffimo cor- pora crafiTa pervadente, & in iifdem latente; cujus vi & aClionibus .particulae corporum ad minimas diftantias fe mutuo attrahunt, &. contiguae faftfe cohaerent; & corpora eleftrica agunt ad diftantias. majores, tam repellendo quam attrahendo corpufcula vicina; & lux emittitur, refleditur, refringitur, infleditur, & corpora calefacit ; , & fenfatio omnis excitatur, & membra animalium ad voluntatem . moventur, vibrationibus fcilicet hujus fpiritus per folida nervorum capillamenta ab externis fenfuum organis ad cerebrum & a cerebro « in mufculos propagatis. Sed haec paucis exponi non poflunt ; ner- que adeft fufficiens copia experimentorum, quibus leges aClionum ; hujus fpiritus accurate determinari & monftrari debent, FINIS. INDEX INDEX RERUM ALPHABETICUS. N. B. Citationes faSi(B funt ad noTmatn fequentls exentpU. III, lo: 484, 16: 514 S defignant libri tertii propofitionem decimam: pannee 484^*® lineam 16“”’: DaJina^ lineam 6^^. ^ ^ A. Quinoftiorum praeceffio caufae hujus motus indicantur III, xi. quantitas motus ex caulis computatur ili, 39* Aeris denfitas ad quamlibet altitudinem colligitur ex prop. 22,. lib. II. quanta fit ad altitudinem unius femidiametri terreftris oftenditur 512, 24. elaftica vi^ quali caufse tribui poffit II, 13. gravitas cum aquae gravitate collata 5:11, 17. refiftentia quanta fit, per experimenta pendulo- rum colligitur 310, 6, per experimenta cor- porum cadentium & theoriam accuratius in- venitur 355, 13. Anguli contadus non funt omnes ejufdem generis, fed alii aliis infinite minores 36, 23. Apfidura motus expenditur I, fed:. 9. p. 129. Arese, quas corpora in gyros adi, radiis ad centrum virium dudis, deferibunt, conferuntur cum tem- poribus deferiptionum I, i, 2, 3, 58, 65, Attradio corporum univerforum demonftratur III, 7; qualis fit hujus deraonftrationis certitudo o- ftenditur 388, 30, Attradionis caufam vel modum audor nufquam definit 6, 2: i6o, 18: 88,12: 530,2. C. Coeli refiftentia fenfibili deftituuntur III, ro: 484, 16: 514, 6; & propterea fluido fere omni corpo- reo 356, 19. tranfitum luci praebent fine ulla refradione 510, 2, Calore virga ferrea comperta eft augeri longitudine 420, 25.' Calor folis quantus fit in diverfis a fole diftantiis 508, 25. quantus apud mercurium 406, i. quantus apud cometam anni 1680 in perihelio * verfantem 508, 27. ^ ^ Centrum commune gravitatis corporum plurium, ab adionibus corporum inter fe, non mutat fla- tum fuum vel motus vel quietis p. 19.' Centrum commune gravitatis terras, folis pla- netarum omnium quiefeere III, ii; confirmatur ex cor. 2. prop. 14. lib. III. Centrum commune gravitatis terrs 8c lunse motu annuo percurrit orbem magnum 410, 16. quibus intervallis diftat aterra & luna 469, 6. Centrum virium, quibus corpora revolventia in or-’ bibus retinentur, quali arearum indicio invenitur 43, 21. qua ratione ex datis revolventium velocitatibus invenitur I, 5. Circuli circumferentia, qua lege vis centripetas ten- dentis ad pundum quodcunque datum deferibi poteft a corpore revolvente I, 4, 7, 8. Cometae genus funt planetarum, nonmeteororum 484, 20-S ' 508, 20. luna fuperiores funt, & in regione planetarum verfantur p. 478. diftantia eorum qua ratione per obfervationes colligi poteft quamproxime 478, penult. plures obfervati funt in hemifphaerio folem ver- fus, quam in hemifphaerio oppofito; & unde hoc fiat 484, 2. fplendent luce folis a fe reflexa 484, i ; lux il- la quanta efle folet 481, 4. cinguntur atmofphaeris ingentibus 48*2, 6: 484^ 2.3. qui ad folem propius accedunt ut plurimuiii^ minores effe exiftimantur 517, 33. quo fine non comprehenduntur zodiaco (more planetarum) fed in omnes coelorum regiones va- rie feruntur 525, 14. poflfunt aliquando in folem incidere & novum illi alimentum ignis praebere 525, ii. ufus eorum fuggeritur 5r5, 19: 526, 25. ^ moventur in fedionibus conicis umbilicos in cen- tro folis habentibus, & radiis ad folem dudis deferibunt areas temporibus proportionales. Et quidem in ellipfibus moventur, fi in orbem re- deunt, hae tamen parabolis erunt maxime fi- nitimae ill, 40* y y y 1 trajedoria 1 N*D E X R E R V M. trajeAoria pmbolicai ex datis tribus obrervatio- nibusinvcniiur 111,41; inventa corrigitur III, 42- locus in parabola invenitur ad tempus datum 4S5* ^9 • I> 3®’ e velocitas cum velocitate planetarum confertur 4^5» ®7‘ Cometarum caudae avertuntur a fole 5: rr, IO. maximae funt & fulgentiffimae ftatim poft trana- tum per viciniam folis 509, 15. infignis earum raritas 513, 8.- origo & natura earundem 481, 13 : J09, 19. quo temporis fpatio a capite al^cendunt 5*3» ^7* Cometa annorum 1664 & i66j hujus motus obfervatus expenditur, & cura the- oria confertur p. 519. Cometa annorum 1680 & 1681 hujus motus obfervatus p. 496. idem computatus in orbe parabolico p. 500. .& in orbe elliptico p. 501. trajedoria illius & cauda lingulis in locis deline- antur p. 506. Cometa anni 1682 hujus motus collatus cum theoria p. 523. comparuiffe vifus eft anno 1607, iterumque redi- turus videtur periodo 75 annorum 524, 10 a fine. Cometa anni 1683 hujus motus collatus cum theoria p. 521. Cometa anni 1723 hujus motus collatus cum theoria p. 523, 524* ^Curvae diftinguuntur in geometrice rationales & ge- ometrice irrationales 107, ult. Curvatura figurarum qua ratione seftimanda fit 2-55. 14: 433» <5. Cycloidis fcu epicycloidis .reflificatio I, 48, 49: 1J4, i. evoluta I, 50: 154,5. Cylindri attradlio ex particulis trahentibus compo- fiti, quarum vires funt reciproce ut quadrata di- ilantiarum 216, 17. F. Fluidi definitio p. 282. Fluidorum denfitas Bc compreffio quas leges habent; oftenditur II, fed. 5. ‘ Fluidorum per foramen in vafc fadum effluentium determinatur motus II, 3^* Fumi in camino afcenfus obiter explicatur 514, 20, G. Graduum in meridiano terreftri menfura exhibetur, & quam fit exigua inaequalitas oftenditur ex the- oria III, 20. Gravitas diverfi eft generis a vi magnetica 403, 3. mutua eft inter terram &: ejus partes 25, 28. ejus caufa non affignatur 530, 2. datur in planetas univerfos 399, 15; & pergen- do a fuperficiebus planetarum furfflm decrefeit in duplicata ratione diftantiarum a centro III, 8, deorfum decrefeit in fimplici ratione quam- proxime III, 9. datur in corpora omnia, & proportionalis eft quantitati materiae in fingulis III, 7. Gravitatem eflfe vim illam, qua luna retinetur in orbe III, 4; computo accuratiori comprobatur 469, 9. Gravitatem effe vim illam, qua planetae primarii & fatellites Jovis Sc Saturni retinentur in orbibus III, 5- H. Hydroftaticae principia traduntur II, fe 3- Q. Quadratura generalis ovalium dari non poteft per finitos terminos I, lem. z8. p, ic6. . Qualitates corporum qua ratione innotefcunt & ad- mittuntur 387, 16. Quies vera & relativa p. 7, 8, 9, 10. Refidentise quantitas in mediis non continuis II, 35, in mediis continuis II, 38. in mediis cujufcunque generis 327, 7, Refidentiarum theoria confirmatur per experimenta pendulorum IJ, 30, 31. fch. gen. p. 307. per experimenta corporum cadentium II, 4*^» fch. p. 346. Relidentia mediorum ed ut eorundem denfitas, casteris paribus 3 14, 19 ; 315. 2-6: II, 33, 3S» 38: 355. 2.3. ed in duplicata ratione velocitatis corporum qui- bus refiditur, cseteris paribus 239, 3: 308, 9 : 11. 33. 35. 38: ,35'. ?• . ed in duplicata ratione diametri corporum fphse- ricorum quibus refiditur caeteris paribus 311,22: 312 antepenult. II, 33» 35» 3^* P*34‘^* Reddentia fluidorum triplex ed; oriturque vel ab inertia materiae fluidae, vel a tenacitate partium ejus, vel a fridlione 274, 3. Refiden- tia quae fentitur in fluidis fere tota ed primi ge- neris 354, 32, & minui non poted per fubtilitatem partium fluidi, manente denfiiate 356, 8. Refidentiae globi ad refidentiam cylindri proportio, in mediis non continuis II, 34. Inraediiscom- preffis p. 341» lemm, 7. Relidentia globi in mediis nofi continuis II, 35. Ia mediis comprellis II, 38. Sed quomodo per ex- perimenta invenienda fit, prop. 40. Relidentia, quam patitur a fluido frudum coni- cum, qua ratione fiat minima 32.3» antepenult» Refidentiae minimae folidum 324, penult. S. . Satellitis Jovialis extimi elongatio maxima heliocentrica a centro Jovis 404, ult. Hugeniani elongatio maxima heliocentrica a cen- tro Saturni 405, i. Satellitum Jovialium tempora periodica & didantiae a cenaro Jovis 390, 12. Saturniorum tempora periodica & didantiae a cen- tro Saturni 391, ult. 392, i. Jovialium & Saturniorum inaequales motus a mo» . tibus lunae derivari polfe odenditur III, 23, Saturni tempus periodicum 393, i8. didantia a Sole 393, 21. diameter apparens 392, 19.: diameter vera 405, 22. vis attradiva quanta fit 407, 4. pondus corporum in ejus fuperficie 405, 8, denfitas 405, 24. quantitas materiae 405, 14. perturbatio a Jove quanta fit 409, zj. diameter apparens annuli, quo cingitur 392, 13.' Sediones conicae, qua lege vis centripetae tenden- tis ad pundum quodcunque datum, defcribuntur a corporibus revolventibus 65, 20. Sedionum conicarum defcriptio geometrica, ubi dantur umbilici I, fed. 4. ubi non di^ntur umbilici I, fed. 5. ubi dantur centra vel afymptoli 95, 18. Sefquiplicata ratio definitur 36, 6. Sol • circum planetarum omnium commune gravitatis centrum movetur III, 12. tempus ejus periodicum circa axem fuum 41 1, 5 a fine. diameter ejus mediocris apparens 468, 30 Sc 31,; diameter vera 405, 22. parallaxis ejus horizontalis 405, rj. parallaxin habet menftruam 410, 16. vis ejus attradiva quanta fit 405, 4. pondus corporum in ejus fuperficie 405, 8. denfitas ejus 407, 24. quantitas materiae 405:, 14. vis eius ad perturbandos motus lunse 390, 151 III, 25. vis ad mare movendum III, 36, Sonorum natura explicatur IT, 43, 47, 48, 49» 5°' propagatio divergit a redo tramite 361, 9: fie per agitationem aeris 37^? ic>, velocitas INDEX R E RV M. Tclocitas computo colligitur 371, 17; paululum major effe debet seftivo quam hybcrno tcm* porc per theoriam 373, 2.6. ccffatio fit ftatim, ubi ceffat motus corporis fo» nori 374, 6. augmentatio per tubos ftenterophonicos 374,9. Spatium abfolutum & relativum p. 6, 7, 8, non eft jequaliter plenum 401, 27. Sph«roidis attradio, cujus particularum vires funt reciproce ut quadrata diftantiarum 217, 4. Spiralis, quae fecat radios fuos omnes in angulo da- to, qua lege vis centripetse tendentis ad centrum fpiralis defcribi .poteft^a corpore revolvente, oftenditur Ii pj II, / • - Spiritum quendam cofpbia^^ferxadeutem & in cor- poribus latentenr,^ad plurima naturae phaenomena folvenda, requirffuggeritut’530, 23. Stellarum fixarunv^, . quies demonlJtatut 4 ‘O, 27. radiatio & ,fcintillatio quibus caufis referendae fint 510, 8. Stejlae novae unde oriri poffint 525, 28. ^bftantiae rerum omnium occultae funt 530, 21, : T. Tempus abfolutum & relativum p. 6. 7. Temporis aequatio aftronomica per horologium ofcillatoriura & eclipfes fatellitum Jovis compro- batur 8, 8. Tempora periodica corporum revolventium in el- lipfibus, ubi vires centripetse ad umbilicum ten- dunt I, 15. Terrae v dimenfio per Norwoodum 412, ult. per Picartum 413, 5; per Cajfmum 413, 7. figura invenitur, & proportio diametrorum, & menfura graduum in meridiano III, 19, 20. altitudinis ad aequatorem fupra altitudinem ad po- los quantus fit exceflus 415, 20: 421, antepe- nult. &c. femidiameter maxima, & minima 415, 25; me- diocris 415, 20. &c. globus denfior eft quam fi totus ex aqua confta- ret 406, 20. axis nutatio 111, 21. motus annuus in orbe magno demonftratur III, 12, 13 : 512, 28. ccccntricitas quanta, fit 460, 10. aphelii motus quantus fit 41 1, 10. V. ^Vacuum datur, vel fpatia omnia (fi dicantur effe ■ plena) non funt equaliter plena 356, 19: 402, penult. Velocitas maxima quam globus in medio refiftentc oadendo poteft acquirere II, 38, cor 2. Velocitates corporum in fecftionibus conicis moto- rum, ubi vires centripetse ad umbilicum tendunt I, 16. Veneris ' tempus periodicum 393, 18, diftantia a fole 393, 21. aphelii motus 411, 1 1. Virium compofitio & refolutio p. ij. Vires attra 3» Viribus centripetis datis quibus figura quaevis deferi- bilur a corpore revolvente; dantur vires quibus figura nova deferibi poteft, fi ordinatae augean- tur vel minuantur in ratione quacunque data, vel angulus ordinationis utcunque mutetur, manent# tempore periodico 54, 10. Viribus centripetis in duplicata ratione diftantiarum, decrefeentibus, quaenam figurae deferibi poffunt, oftenditur 59,23: 163,10. Vi centripeta, quae fit reciproce ut cubus ordinatim applicatae tendentis ad centrum virium maxime longin- quum, corpus movebitur in data quavis coni fedione 51, 6. quae fit ut cubus ordinatim applicatae tendentis ad centrum virium maxime longinquum, corpus movebitur in hyperbola 221, antepenult. Umbra terreftris in eclipfibus lunae augenda eft, propter atmofphaerae refradionem 463, 5 a fine. Undarum in aquae ftagnantis fuperficie propagata- rum velocitas invenitur 11,46. Vorticum natura & conftitutio ad examen revoca- tur II, fed, 9 : 48r, 21 : 526, 32. Ut, Hujus voculae fignificaiio mathematica defini- tur 34, 19. FINIS. 1 A ' V V CATA L O G U S Librorum proflantium ^ ~ I - «i apucl Guil. OC Joh. Innys. 'O PTICKS, or a Treatife of the RefleSions, Refradiiions, Infledions and Colours of Light The third Edition correded. By Sir Ifaac Newtoa, Kt. 8’^°. 1711, 2. Optice, five de Rcfledionibus, Refradionibus, Infledionibus & Coloribus Lucis. Libri tres. Authore liaaco Newton, Equite Aurato. Latine reddidit Samuel Clarkc, S. T, P. Editio fecunda, audior. 8vo. 1719. 3. Analyfis per Quantitatum Series, Fluxiones, ac Differentias cum Enumeratione Linearum tertii Ordinis. 4°. 171J. 4. Arithmetica Univerfalis, five de Compofitione & Refolutione Arithmetica Liber. Edit.' fecunda. 1711. 5. The fame in Engliih by Mr. Raphfon, 8^°, 6. The Philofophical Works of ihe Honourable Robert Boyht Efq; abridg’d, methodiz’d, and difposM under the general Heads of Phyfics, Statics, Pneumatics, Nataral Hiftory, Chy- mifiry and Medicine. The whole illuftrated with Notes, containing the Imnfovements made in the ieveral Parts of natural and experimental Knowledge fince his Time. In thtee Volumes. By Peter ShaWf M. D. 4°, 7. Geometria Ofganica, five Defcriptio Linearum curvarum univerfalis. Audore Co- lino Mac-Laurin Maihcfeos ia Collegio novo Abredonenfi Profeffore, 6c Reg. Soc. Socio. 4°. 172,0. 8. Philofophical Tranfadions, giving forne Account of the prefent Undertakings, Studies and Labours of the Ingenious in many confiderable Parts of the W^orld, from 1665 to 172.5» In 31 Volumes. Continued and publifhed by Dr. ^/ames Jurin, Secretary to the Royal Society.’ 2^. B. There are 389 Numbers, mofl of which may be had feparate. 9 The fame abridged by Mr. Lowthor p , and Mr. Mott, In 5 Vol. 4°» 10. Epiftola ad amicum de Cotcfii Inventis Curvarum ratione, quse cum Circulo &.Hyper- bola comparationem admittunt, cui additur appendix. 40. 172.2,. ir An Analyiick Treatife of Conic Sedions, and their Ufe, for refolving of Equations in determinate and indeterminate Problems, being the Pofthumous Work of the Marquifs r HofpitaU rionorary Fellow of the Academy Royal of Sciences. 4°. «7/1 11. Hiiloria Coeleftis Britannica, tribus Voluminibus contenta, obfervante Johanne FJamfte- dio A R. in Obfervatorio Regio Grenovicenfi, 172.5- r 1 t- • i 7, Mathematical Elements of Natural Philofophy, confirm d by Experiments, or an Intro- dudion to Sir ifaac Newton ^ Philofophy. Written in Latm hy Willtam James s Gravefand, Dodor of Laws and Philofophy. ProfelTor of Mathematicks and Allronomy at Leyden^ ^nd F R.S. of Londo», TmufliiQd into Eoghihby J.T. Defa^ulters, L.L. D, F. R. S. and Chap- loin hi« Grace the Duke of Chandos. In 2. Vol. 8°. « ... 14 An Effay on Pcrfpedive, written by William James s GravefandiDqd:ox of L^ws, &c, 'phtficb-Theology, or a Demonftration of the Being and Attributes of God, from his w U/o/ the Creltion, with large Notes and many curious Obfervations. ByWtlltam Derham, n ^ F-R-S- The Sixih Edition. 8vo. 17.3. Aaro^Theology, or aDemonftration of the Being and Attributes of God, from a Sutvey of the Hebens, llluflrated with Copper Plates. The hifth Edmon. By the fame Author. Methodus Incrementorum diteaa'&: inyetfa; Auaore Brqok Taylqr, L. L; D. 8c Regis Societatis Secretario, 4°, iin^ j8, The '^Catalogus Librorumy &c. iS. The^Religious Philoiopher* or the right Ufe of coniemplaiing tbe V/orks of the Creatot J in the wonderful Strucfiure of anirnal Bodies, and in particular, Marii !!• In the no leis vvoiv- derful and wife Formation of the Elemenls, and their various Effects iipon animal and vegeta- ible Bodics. And HI. in the moft amazing Strmfture of the Heavens, with ali their Furniture. ' Defivned 'for the Convi^ion of At hei fis and Infidels, In Two Volumes. 40.. Throiighouu vvhich all th« late Difcoveries in Anatomy, Philofophy, and Aftronomy, together with the va- rious Experiments made ufe of to illuftrate the fame, are moft copioufly handledby that Learned Mathematician Dr. Nieuzventyt. Tranflated from the Low Dutch. To which is prefix’daLet- ■ ter to the Tranflator, by the Re v. 'f-, T, Defagultcrs, L. L. D. F. R. S. The third Edition, adorn- ed with Cuts. 1714. . , , • , 19. Philofophical Experiments and Obfervations of thelate eminent Dr. Hoo^^jF.R.S. and Geom. Prof. Grelh. and other eminent Virtuofo’s in his Time. With Copper Plates. Pub- li (hed by F. R. S. 8^0. 172.^. 20. The P.ofthumous Works of Dr. Robert Hooke ; in which i. the prefent Deficiency in Na-’ >tural Philofophy is difcours’d of, with the Methods of rendring it more cafy and beneficial. 2, Of the Nature, Motions, and EfFeds of Light, particularly that of the Sun and Comets. 3. An Hypothetical Explication of Memory ; how the Organs made ufe of by the Mind in its Opera- •tion may be mechanically iinderftood. 4. An Hypothefis and Explication of the Caufe of Cravity or Gravitation., Magnetifm, 5. Difcourles of Earihquakes, their Caufes and Ef- fedls, and Hiftories of feveral : To which are annexed Phyftcal Explications of feveral of the Fables in Ovid'sMetamorphofts, very different from other Mythologick Interpreters. 6. Ledures forimproving Navigation and Aftronomy, with the Defcriptions of feveral new and ufeful In- ftruments, illuftrated with Sculptures. To thefe Difcourfes is prefix’d the Author’s Life. By ^Richard Wallert K.S, Ster. Folio. 21. ATreatife of ArchitezfQ.o John James oi Greenuoich^ Fol, ' " • ' - ^ T ,.•• tr ■* ■ '• 1 • • .'Ar , • •,»>