(20 <^/:^ NEWTONS PRINCIPIA. MDCCCLXXI. Published by JAMES MACLEHOSE, GLASGOW, PUBLISHER TO THE UNIVERSITY. LONDON, CAMBRIDGE AND NEW YORK: MACMILLAN AND CO. SIR ISAAC NEWTON'S PRINCIPIA REPRINTED FOR SIR WILLIAM THOMSON LL.D. LATE PBIXOW OF ST. PETER's COLLEGB, CAMBRIOGB AND HUGH BLACKBURN M.A. LATE FELLOW OF TRINITY COLLEGB, CAMBRIUGB PROFESSORS OP NATURAL PHILOSOPHY AND MATHEMATICS IN THE UNIVERSITY OF GLASGOW GLASGOW JAMES MACLEHOSE, PUBLISHER TO THE UNIVERSITY PRINTED BY ROBERT MACLEHOSE MDCCCLXXI f NOTICE, Finding that all the Editions of the PRINCIPIA are now out of print, we have been induced to reprint Newton's last Editioii without note or comment, ofily introducing the " Corrigenda' of the old copy afid correcting typographical errors. W. T. i H. B. University of Glasgow, 1871. m PHILOSOPHIt^ NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA. A U C T O R E ISAACO NEWTONO.Eq, AuR. Editio tertia audta & emendata. LO N D I N I: Apud GuiL. & JoH. In-nys, Regiae Societatis typographos MDCCXXVI. iSyi — Rcprinted hy Robert MacLehose. Published hy Jaines MncLehose, C/as^imi, Publisher to the University, ILLUSTRISSIM^ SOCIETATI REGALI A SERENISSIMO REGE C A RO L O II AD PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM FUNDAT.E ET AUSPICIIS SERENISSIMI REGIS G E O RG I I FLORENTI TRACTATUM HUNC D.D.D. /5. NEIVTON. I N VIRI PR^STANTISSIMI ISAACI NEWTONI OPUS HOCCE MATHEMATICO-PHYSICUM SECULI GENTISQUE NOSTR^ DECUS EGREGIUM, T7 N tibi norma poli, & divae libramina molis, ^^ Computus en Jovis; & quas, dum primordia rerum Pangeret, omniparens leges violare creator Noluit, atque operum quse fundamenta locarit. Intima panduntur victi penetralia cseli, Nec latet extremos quse vis circumrotat orbes. Sol solio residens ad se jubet omnia prono Tendere descensu, nec recto tramite currus Sidereos patitur vastum per inane moveri ; Sed rapit immotis, se centro, singula gyris. Jam patet horrificis quae sit via flexa cometis ; Jam non miramur barbati phaenomena astri. Discimus hinc tandem qua causa argentea Phcebe Passibus haud aequis graditur ; cur subdita nulli Hactenus astronomo numerorum fraena recuset : Cur remeant nodi, curque auges progrediuntur. Discimus & quantis refluum vaga-Cynthia pontum Viribus impelHt, fessis dum fluctlbus ulvam Deserit, ac nautis suspectas nudat arenas ; Alternis vicibus suprema ad littora pulsans. Quae toties animos veterum torsere sophorum, Xll IN VIRI PR^STANTISSIMI Quseque scholas frustra rauco certamine vexant, Obvia conspicimus, nubem pellente mathesi. Jam dubios nulla cahgine praegravat error, Queis superum penetrare domos atque ardua caeli Scandere subHmis genii concessit acumen. Surgite mortales, terrenas mittite curas ; Atque hinc caeligenae vires dignoscite mentis, A pecudum vita longe lateque remotae. Qui scriptis jussit tabuHs compescere caedes, Furta & adulteria, & perjurae crimina fraudis ; Quive vagis populis circundare moenibus urbes Auctor erat ; Cererisve beavit munere gentes ; Vel qui curarum lenimen pressit ab uva ; Vel qui NiHaca monstravit arundine pictos Consociare sonos, ocuHsque exppnere voces ; Humanam sortem minus extuHt : utpote pauca Respiciens miserae tantum solamina vitae. Jam vero superis convivae admittimur, alti Jura poH tractare Hcet, jamque abdita caecae Claustra patent terrae, rerumque immobiHs ordo, Et quae praeteriti latuerunt secula mundi. - TaHa monstrantem mecum celebrate camaenis, Vos 6 caeHcolum gaudentes nectare vesci, Newtonum clausi reserantem scrinia veri, Newtonum Musis charum, cui pectore puro Phoebus adest, totoque incessit numine mentem : Nec fas est propius mortaH attingere divos. EDM, HALLEY. A UCTORI S PRJEFA TIO AD LECTOREM. r^UM vetei^es mechanicam {tcti aicctor est Pappus) in rerum natur- alitim i7ivestigatio7ie 7naximi feceri^it; & recentiores, ntissis formis stibstantialibus & qualitatibus occtiltis, phcenomena naticrce ad leges mathematicas revocare aggressi sint : Visum est in hoc tractatu mathesin excolere, quatenus ea ad philosophiam spectat. Mechanicam vero duplicem veteres constituerunt : rationalem, quce per denion- stratio7ies accuraie procedit, & practicam. Ad practicam spectant artes om7ies ma^iuales^ a quibtcs utique mechanica nomen 77tutuata est. Cu7n autem artifces parum accurate operari soleant^ fit ut mechanica om7iis a geometria ita disti^iguatur, ut quicquid acctcratum sit ad geometriam referatur, qtiicquid mi^ius accuratu7n ad mechanicam. Attanu7t errores no7t sunt artis, sed artifictmt. Qui minus accurate operattcr, imperfectior est mecharticus, & si quis accuratissime operari posset, hic foret mecha^tictcs omnitim perfectissimtcs. Nam & lineartcm rectartC77i & circtclorum descriptiones, in quibus geometria fundattcr, ad mechanicam pertine7tt. Has li^ieas describere geometria rton docet, sed posttclat. Posttclat e7tim tct tyro easde77t accurate describere prius didiceret, qua77t limen atti^igat geometriae ; dein, qtcomodo per has operationes problemata solva^tttcr, docet ; rectas & circulos describere problemata su7tt, sed 7ton geometrica. Ex mechanica posttclattcr hortmt soltctioy itt geometria docettcr soltctoru7n ustcs. Ac gloriattcr geometria qtcod tam patccis pri^tcipiis alitcnde petitis ta77t multa prcestet. Ftm- datur igittcr geometria itt praxi mechanica, & nihil aliud est qtcam mechanicai universaHs pars illa, qucB artem menstirandi accurate pro- p07tit ac demottstt^at. Cti77t atitem artes manuales i7t corporibtcs movett- dis prceciptce vet^se^tttcr, fit tct geometria ad magttittcdi^tem, mechanica ad mottctn vtclgo referattir. Qtco se7tsu mechanica rationahs ertt scie7itia motutim, qtii ex vi^nbus qtcibtiscu7tqtce i^estcltant, & vtrtum xl V A UCTORIS PR^FA TIO. qucB ad motus quoscunque requirufitur , acmrate proposita ac demon- strata. Pars hcec mechanicae a veteribus in potentils quinque ad artes manuales spectantibus exculta fuit, qui gravitatem (ctcm potentia manualis non sit) vix aliter qttam in ponderibus per pote^itias illas movendis considerarunt. Nos autem non artibus sed philosophice con- sulentesy deque potentiis non manualibus sed naturalibus scribentes, ea maxime tractamtis, qtcce ad gravitatem, levitate^n, vim elasticam, resistentiam fluidorum & ejusmodi vires seu attractivas seu irnpulsivas spectant : Et ea propter, hcec nostra tanquam philosophice principia mathematica proponimus. Omnis enim philosophice difficiUtas in eo versari videttcr, ut a phcenomenis mottmm investigemus vires naturcey dei^ide ab his viribus de^nonstremus phcenomena reliqua. Et huc spectant propositiones generaleSy quas libro primo & secimdo pertrac- tavimtis. In libro autem tertio exemplum hujus rei proposuimus per explicatio7ie7n systematis mundani. Ibi enim, ex phcBnomenis coelestibtcSy per propositiones iri libris prioribus mathematice demonstratas, deri- vantur vires gravitatis, quibus corpora ad solem & planetas singulos tendunt. Deinde ex his viribus per propositiones etiam mathematicas, deducuntiir motus planetarum^ cometarum, hmcE & maris. Utinam ccetera naturce phcenomena ex principiis mechanicis eodem argtmientandi genere derivare liceret. Najn multa me movent, ut fionnihil suspicer ea omnia ex viribus quibusdam pendere posse, quibus corportcm partictclcB per catcsas nondum cognitas vel in se mutuo impelltmttcr & secicndtcm figuras regulares cohcerent, vel ab invicem fugantur & rece- dunt : quibus viribus ignotis, philosophi hactenus naturam frustra tefitarunt. Spero autem quod vel huic philosophandi modo^ vel veriori alicui, principia hic posita hccem ahquam prcebebunt. In his edendis, vir acutissimus & in omni hterarum ge^iere eru- ditissimus Edmundus Halleius operam navavity nec solum typothetartcm sphalmata correxit & schemata incidi curavit, sed etiam auctor fuit, ut hortcm editionem aggrederer. Quippe cum demonstratam a me figuram orbium ccelestium impetraverat, rogare non destitit, ut eandem cum Societate Regali communicarem, quce deinde hortatibus & be- nignis suis atcspiciis efiicit, ut de eadem in hccem emittenda cogitare inciperem. At postqtcam motutcm hcnaritcm iucequalitates aggressus essem, deinde etiam alia tentare ccepissem, quce ad leges & menstcras gravitatis & aliarzcm virium, & figuras a corporibus secundum AUCTORIS FRyEFATIO. XV datas qitasctmque leges atiractis describendas, ad motus co7'portim phiriicm iriter se, ad motus corporu^n in mediis resistentibus^ ad vires, densitates & motus fnediortcm, ad orbes cojnetariim & similia spectant^ editionem i^i aliud te^npus differe^idarn esse putavi^ ut ccetera rimarer & una in publicum darem. Qucb ad motus lunares spectant (imperfecta cum sint) ifi corollariis propositio7iis LXVI simul complex^cs sum, ne singula methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, & sigillatim demoftstrare tejierer, & seriem reliquartim propositionum interrumpere. Nonnulla sero inventa locis mimcs idoneis inserere malici, quam 7iumerum propositiontcm & citationes mutare. Ut omnia candide leganticry & defectus in materia tam difficili non tam repre- hendanttcr, qtcam novis lectorum conatibus investigentur, & benigne suppleajitur, enixe rogo. \ Dabam Ca?itabrigice^ e Collegio S. Trinitatis, Maii 8, 1686. IS. NEWTON. A UCTORIS PRyEFA TIO IN EDITIONEM SECUNDAM. TN hac secmida Principiorum editione multa sparsim e^ftendantur, & nonnulla adjiciuntur. In libri primi sectione 1 1 inventio virium, qiubus corpora in orbibus datis revolvi possint, /acilior reddittir & amplior. In libri secundi sectione VII theoria resistenticB fluidorum accicratitis investigatur, & novis experimentis confirmatur. In libro tertio theoria luncB & prcEcessio csquinoctiorum ex principiis suis plenius deducuntur, & theoria cometai^um pluribus & accuratius computatis orbitim exemplis confirmatur. Dabam Londini^ Mar. 28, 17 13. IS. NEWTON. EDITORIS PR^FA TIO IN EDITIONEM SECUNDAM, XTEWTONIANi^ philosophiae novam tibi, lector benevole, ^ ^ diuque desideratam editionem, plurimum nunc emendatam atque auctiorem exhibemus. Quae potissimum contineantur in hoc opere celeberrimo, intelHgere potes ex indicibus adjectis : quae vel addantur vel immutentur, ipsa te fere docebit auctoris prsefatio. Rehquum est, ut adjiciantur nonnulla de methodo hujus philosophiae. Oui physicam tractandam susceperunt, ad tres fere classes revo- cari possunt. Extiterunt enim, qui singuHs rerum speciebus quaH- tates specificas & occultas tribuerint ; ex quibus deinde corporum singulorum operationes, ignota quadam ratione, pendere voluerunt. In hoc posita est summa doctrinae scholasticae, ab Aristotele & Peri- pateticis derivatae : Affirmant utique singulos effectus ex corporum singularibus naturis oriri ; at unde sint illae naturae non docent ; nihil itaque docent. Cumque toti sint in rerum nominibus, non in ipsis rebus ; sermonem quendam philosophicum censendi sunt adinvenisse, philosophiam tradidisse non sunt censendi. Alii ergo meHoris diHgentiae laudem consequi sperarunt rejecta vocabulorum inutiH farragine. Statuerunt itaque materiam univer- sam homogeneam esse, omnem vero formarum varietatem, quae in corporibus cernitur, ex particularum componentium simpHcissimis quibusdam & inteHectu faciHimis affectionibus oriri. Et recte quidem progressio instituitur a simpHcioribus ad magis composita, si particularum primariis iHis affectionibus non aHos tribuunt modos. xvili EDITORIS PRJEFATIO. quam quos ipsa trlbuit natura. Verum ubi licentiam sibi assumunt, ponendi quascunque llbet ignotas partium figuras & magnitudines, incertosque situs & motus ; quin & fingendi fluida qusedam occulta, quae corporum poros liberrime permeent, omnlpotente praedlta sub- tllitate, motlbusque occultis agitata; jam ad somnla delabuntur, neglecta rerum constitutlone vera : quae sane frustra petenda est ex fallacibus conjecturis, cum vix etlam per certlssimas observationes investlgari possit. Qui speculationum suarum fundamentum desu- munt ab hypothesibus ; etiamsi deinde secundum leges mechanicas accuratisslme procedant ; fabulam quidem elegantem forte & venus- tam, fabulam tamen concinnare dicendi sunt. ReHnquItur adeo tertium genus, qui philosophiam scIHcet expe- rimentalem profitentur. Hi quidem ex simpHcIssimis qulbus possunt prlnciplls rerum omnlum causas derivandas esse volunt : nlhil autem princlpii loco assumunt, quod nondum ex phaenomenis comproba- tum fuerit. Hypotheses non commlnlscuntur, neque in physicam recipiunt, nisi ut quaestiones de quarum veritate disputetur. DupHci itaque methodo incedunt, analytica & synthetlca. Naturae vires legesque virium slmpHciores ex selectls quibusdam phaenomenls per analysln deducunt, ex quibus deinde per synthesln reHquorum constitutlonem tradunt. Haec IHa est philosophandi ratio longe optlma, quam prae caeteris merito amplectendum censult celeberrlmus auctor noster. Hanc solam utique dignam judlcavit, in qua excolenda atque adornanda operam suam collocaret. Hujus igitur illustrissi- mum dedlt exemplum, mundani nempe systematls expllcationem e theorla gravitatls fellcisslme deductam. Gravitatls vlrtutem universis corporibus inesse suspicati sunt vel finxerunt alii : primus ille & solus ex apparentiis demonstrare potuit, & speculatlonlbus egregiis firmissimum ponere fundamentum. Scio equidem nonnullos magni etiam nominis viros, praejudiciis qulbusdam plus aequo occupatos, huic novo princlpio aegre assentlri potulsse, & certis incerta identidem praetullsse. Horum famam velllcare non est anlmus : tibi potius, benevole lector, illa paucis exponere lubet, ex qulbus tute ipse judlcium non iniquum feras. Igltur ut argumenti sumatur exordlum a slmpllclsslmis & proxlmis ; displclamus paullsper qualis slt in terrestribus natura gravltatls, ut deinde tutius progrediamur ubi ad corpora caelestia, longissime a se- EDITORIS FR.EFATIO. xix dibus nostris remota, perventum fuerit. Convenit jam inter omnes philosophos corpora universa circumterrestria gravitare in terram. Nulla dari corpora vere levia jamdudum confirmavit experientia multiplex. Qu^ dicitur levitas relativa, non est vera Hevitas, sed apparens solummodo ; & oritur a pr3epollente[]^gravitate corporum contiguorum. Porro, ut corpora universa gravitent in terram, ita terra vicissim in corpora eequaliter gravitat ; gravitatis enim actionem esse mutuam & utrinque sequalem sic ostenditur. Distinguatur terrae totius moles in binas quascunque partes, vel sequales vel utcunque insequales : jam si pondera partium non essent in se mutuo sequalia; cederet pondus minus majori, & partes conjunctae pergerent recta moveri ad infinitum, versus plagam in quam tendit pondus majus: omnino contra experientiam. Itaque dicendum erit pondera partium in sequilibrio esse constituta : hoc est, gravitatis actionem esse mutuam & utrinque aequalem. Pondera corporum, sequaliter a centro terrse distantium, sunt ut quantitates materiae in corporibus. Hoc utique colligitur ex aequali acceleratione corporum omnium, e quiete per ponderum vires cadentium : nam vires quibus inaequalia corpora aequaliter acceleran- tur, debent esse proportionales quantitatibus materiae movendae. Jam vero corpora universa cadentia aequaliter accelerari ex eo patet, quod in vacuo Boyliano temporibus aequalibus aequalia spatia cadendo describunt, sublata scilicet aeris resistentia : accuratius autem comprobatur per experimenta pendulorum. Vires attractivae corporum, in aequalibus distantiis, sunt ut quan- titates materiae in corporibus. Nam cum corpora in terram & terra vicissim in corpora momentis aequalibus gravitent; terrae pondus in unumquodque corpus, seu vis qua corpus terram attrahit, aequabitur ponderi corporis ejusdem in terram. Hoc autem pondus erat ut quantitas materiae in corpore : itaque vis qua corpus unumquodque terram attrahit, sive corporis vis absoluta, erit ut eadem quantitas materiae. Oritur ergo & componitur vis attractiva corporum integrorum ex viribus attractivis partium : siquidem aucta vel diminuta mole materise ostensum est proportionaliter augeri vel diminui ejus virtutem. Actio itaque telluris ex conjunctis partium actionibus 1 XX EDirORIS PR.EFATIO. ^ conflarl censenda erit ; atque adeo corpora omnia terrestria se mutuo trahere oportet viribus absolutis, quae sint in ratione materise trahentis. Haec est riatura gravitatis apud terram : videamus jam qualis sit in ceelis. Corpus omne perseverare in statu suo vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare ; naturae lex est ab omnibus recepta philosophis. Inde vero sequitur corpora, quae in curvis moventur, atque adeo de lineis rectis orbitas suas tangentibus jugiter abeunt, vi aliqua perpetuo agente retineri in itinere curvilineo. Planetis igitur in orbibus curvis revolventibus necessario aderit vis aliqua, per cujus actiones repetitas indesinenter a tangentibus deflectantur. Jam illud concedi aequum est, quod mathematicis rationibus colHgitur & certissime demonstratur ; corpora nempe omnia, quae moventur in linea aliqua curva in plano descripta, quaeque radio ducto ad punctum vel quiescens vel utcunque motum describunt areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgeri a viribus quse ad idem punctum tendunt. Cum igitur in confesso sit apud astronomos planetas primarios circum solem, secandarios vero circum suos primarios, areas describere temporibus proportionales ; consequens est ut vis illa, qua perpetuo detorquentur a tangentibus rectilineis & in orbitis curvilineis revolvi coguntur, versus corpora dirigatur quae sita sunt in orbitarum centris. Haec itaque vis non inepte vocari potest, respectu quidem corporis revolventis, centripeta ; respectu autem corporis centralis, attractiva ; a quacunque demum causa oriri fingatur. Ouin & haec quoque concedenda sunt, & mathematice demon- strantur : Si corpora plura motu aequabili revolvantur in circulis concentricis, & quadrata temporum periodicorum sint ut cubi distantiarum a centro communi ; vires centripetas revolventium fore reciproce ut quadrata distantiarum. Vel, si corpora revolvantur in orbitis quae sunt circulis finitimae, & quiescant orbitarum apsides ; vires centripetas revolventium fore reciproce ut quadrata distantiarum. Obtinere casum alterutrum in planetis universis consentiunt astronomi. Itaque vires centripetae planetarum omnium sunt reciproce ut quadrata distantiarum ab orbium centris. Si quis objiciat planetarum, & lunae praesertim, apsides non penitus quiescere ; sed motu quodam EDITORIS PR^FATIO. XXI lento ferri m consequentia : responderi potest, etiamsi concedamus hunc motum tardissimum exinde profectum esse quod vis centripet^ proportio aberret aliquantum a duplicata, aberrationem illam per computum mathematicum inveniri posse & plane insensibilem esse. Ipsa enim ratio vis centripetse lunaris, quae omnium maxime turbari debet, paululum quidem dupHcatam superabit; ad hanc vero sexaginta fere vicibus propius accedet quam ad tripHcatam. Sed verior erit responsio, si dicamus hanc apsidum progressionem, non ex aberrati- one a dupHcata proportione, sed ex aHa prorsus diversa causa oriri, quemadmodum egregie commonstratur in hac philosophia. Restat ergo ut vires centripetae, quibus planetae primarii tendunt versus solem & secundarii Versus primarios suos, sint accurate ut quadrata distantiarum reciproce. Ex iis quae hactenus dicta sunt constat planetas in orbitis suis retineri per vim aHquam in ipsos perpetuo agentem : constat vim illam dirigi semper versus orbitarum centra : constat hujus efficaciam augeri in accessu ad centrum, diminui in recessu ab eodem : & augeri quidem in eadem proportione qua diminuitur quadratum distanti^, diminui in eadem proportione qua distantiae quadratum augetur. Videamus jam, comparatione instituta inter planetarum vires centri- petas & vim gravitatis, annon ejusdem forte sint generis. Ejusdem vero generis erunt, si deprehendantur hinc & inde leges eaedem, eaedemque affectiones. Primo itaque lunae, quae nobis proxima est, vim centripetam expendamus. Spatia rectilinea, quae a corporibus e quiete demissis dato tempore sub ipso motus initio describuntur, ubi a viribus quibuscunque urgentur, proportionalia sunt ipsis viribus : hoc utique consequitur ex ratiociniis mathematicis. Erit igitur vis centripeta lunae, in orbita sua revolventis, ad vim gravitatis in superficie terrae, ut spatium quod tempore quam minimo describeret luna descendendo per vim centripetam versus terram, si circulari omni motu privari fingeretur, ad spatium quod eodem tempore quam minimo describit grave corpus in vicinia terrae, per vim gravitatis suae cadendo. Horum spatiorum prius aequale est arcus a luna per idem tempus descripti sinui verso, quippe qui lunae translationem de tangente, factam a vi centripeta, metitur ; atque adeo computari potest ex datis tum lunae b xxu EDITORIS FR.EFATIO. tempore periodico, tum distantia ejus a centro terrae. Spatium poste- rius invenitur per experimenta pendulorum, quemadmodum docuit Hugenius. ' Inito itaque calculo, spatium prius ad spatium posterius, seu vis centripeta lunae in orbita sua revolventis ad vim gravitatis in superficie terrae, erit ut quadratum semidiametri terrae ad orbit^ semidiametri quadratum. Eandem habet rationem, per ea qu^ superius ostenduntur, vis centripeta lunse in orbita sua revolventis ad vim lun^ centripetam prope terrae superficiem. Vis itaque centripeta prope terrae superficiem aequalis est vi gravitatis. Non ergo diversae sunt vires, sed una atque eadem : si enim diversae essent, corpora viribus conjunctis duplo celerius in terram caderent quam ex vi sola gravitatis. Constat igitur vim illam centripetam, qua luna perpetuo de tangente vel trahitur vel impellitur & in orbita retine- tur, ipsam esse vim gravitatis terrestris ad lunam usque pertingentem. Et rationi quidem consentaneum est ut ad ingentes distantias illa sese virtus extendat, cum nullam ejus sensibilem imminutionem, vel in altissimis montium cacuminibus, observare licet. Gravitat itaque luna in terram : quin & actione mutua terra vicissim in lunam aequaliter gravitat : id quod abunde quidem confirmatur in hac philosophia, ubi agitur de maris aestu & aequinoctiorum praecessione, ab actione tum lunae tum solis in terram oriundus. . Hinc & illud tandem edocemur, qua nimirum lege vis gravitatis decrescat in majoribus a tellure distantiis. Nam cum gravitas non diversa sit a vi centripeta lunari, haec vero sit reciproce proportionalis quadrato distantiae ; diminuetur & gravitas in eadem ratione. Progrediamur jam ad planetas reliquos. Quoniam revolutiones primariorum circa solem & secundariorum circa jovem & saturnum sunt phaenomena generis ejusdem ac revolutio lunae circa terram, quoniam porro demonstratum est vires centripetas primariorum dirigi versus centrum solis, secundariorum versus centra jovis & saturni, quemadmodum lunae vis centripeta versus terrae centrum dirigitur ; adhaec, quoniam omnes illae vires sunt reciproce ut quadrata distantiarum a centris, quemadmodum vis lunae est ut quadratum distantiae a terra : concludendum erit eandem esse naturam universis. Itaque ut luna gravitat in terram, & terra vicissim in lunam ; sic etiam gravitabunt omnes secundarii in primarios suos, & primarii vicissim EDITORIS PR^FATIO. xxiii in secundarios; sic & omnes primarii in solem, & sol vicissim in primarios. Igitur sol in planetas universos gravitat & universi in solem. Nam secundarii dum primarios suos comitantur, revolvuntur interea circum solem una cum primariis. Eodem itaque argumento, utriusque generis planetae gravitant in solem, & sol in ipsos. Secundarios vero planetas in solem gravitare abunde insuper constat ex inaequalitatibus lunaribus ; quarum accuratissimara theoriam, admiranda sagacitate patefactam, in tertio hujus operis Hbro expositam habemus. SoHs virtutem attractivam quoquoversum propagari ad ingentes usque distantias, & sese diffundere ad singulas circumjecti spatii partes, apertissime coHigi potest ex motu cometarum; qui ab immensis intervaHis profecti feruntur in viciniam soHs, & nonnunquam adeo ad ipsum proxime accedunt ut globum ejus, in periheHis suis versant€s, tantum non contingere videantur. Horum theoriam, ab astronomis antehac frustra quaesitam, nostro tandem sseculo feHciter inventam & per observationes certissime demonstratam praestantissimo nostro auctori debemus. Patet igitur cometas in sectionibus conicis umbi- Hcos in centro soHs habentibus moveri, & radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere. Ex hisce vero phaenomenis manifestum est & mathematice comprobatur vires iHas, quibus cometse retinentur in orbitis suis, respicere solem & esse reciproce ut quadrata distantiarum ab ipsius centro. Gravitant itaque cometae in solem : atque adeo soh*s vis attractiva non tantum ad corpora planetarum in datis distantiis & in eodem fere plano coHocata, sed etiam ad cometas in diversissimis caelorum regionibus & in diversissi- mis distantiis positos pertingit. Haec igitur est natura corporum gravitantium, ut vires suas edant ad omnes distantias in omnia corpora gravitantia. Inde vero sequitur planetas & cometas universos se mutuo trahere, & in se mutuo graves esse : quod etiam confirmatur ex perturbatione jovis & saturni, astronomis non • incognita, & ab actionibus horum planetarum in se invicem oriunda ; quin & ex motu iHo lentissimo apsidum, qui supra memoratus est, quique a causa consimiH proficiscitur. Eo demum pervenimus ut dicendum sit & terram & solem & cor- pora omnia caelestia, quae solem comitantur, se mutuo attrahere. xxiv EDITORIS PR^FATIO. Singulorum ergo particulae quseque minimae vires suas attractivas habebunt, pro quantitate materiae pollentes ; quemadmodum supra de terrestribus ' ostensum est. In diversis autem distantiis erunt & harum vires in duplicata ratione distantiarum reciproce : nam ex particulis hac lege trahentibus componi debere globos eadem lege trahentes mathematice demonstratur. Conclusiones praecedentes huic innituntur Axiomati, quod a nulHs non recipitur philosophis ; effectuum sciHcet ejusdem generis, quorum nempe quae cognoscuntur proprietates eaedem sunt, easdem esse causas & easdem esse proprietates quae nondum cognoscuntur. Quis enim dubitat, si gravitas sit causa descensus lapidis in Etiropa, quin eadem sit causa descensus in America ? Si gravitas mutua fuerit inter lapidem & terram in Etcropa ; quis negabit mutuam esse in America ? Si-^vis attractiva lapidis & terrae componatur in Europa ex viribus attractivis partium ; quis negabit similem esse compositionem in America ? Si attractio terrae ad omnium corporum genera & ad omnes distantias propagetur in Europa ; quidni pariter propagari dicamus in America ? In hac regula fundatur omnis philosophia : quippe qua sublata nihil affirmare possimus de universis. Constitutio rerum singularum innotescit per observationes & experimenta : inde vero non nisi per hanc regulam de rerum universarum natura judicamus. Jam cum gravia sint omnia corpora, quae apud terram vel in caelis reperiuntur, de quibus experimenta vel observationes instituere licet ; omnino dicendum erit gravitatem corporibus universis competere. Et quemadmodum nulla concipi debent corpora, quae non sint ex- tensa, mobilia & impenetrabilia ; ita nulla concipi debere, quae non sint gravia. Corporum extensio, mobilitas & impenetrabilitas non nisi per experimenta innotescunt : eodem plane modo gravitas innotescit. Corpora omnia de quibus observationes habemus, ex- tensa sunt & mobilia & impenetrabilia : & inde concludimus corpora universa, etiam illa de quibus observationes non habemus, extensa esse & mobilia & impenetrabilia. Ita corpora omnia sunt gravia, de quibus observationes habemus : & inde concludimus corpora universa, etiam illa de quibus observationes non habemus, gravia esse. Si quis dicat corpora stellarum inerrantium non esse gravia, quandoquidem eorum gravitas nondum est observata ; eodem argumento dicere li- EDITORISPR^FATIO. xxv cebit neque extensa esse, nec mobllia, nec impenetrabilia, cum h^ fixarum affectiones nondum ^int observatae. Quid opus est verbis ? inter primarias qualitates corporum universorum vel gravitas habebit locum ; vel extensio, mobilitas & impenetrabiHtas non habebunt. Et natura rerum vel recte expHcabitur per corporum gravitatem, vel non recte expHcabitur per corporum extensionem, mobiHtatem & impenetrabiHtatem. Audio nonnuHos hanc improbare conclusionem, & de occultis quaHtatibus nescio quid mussitare. Gravitatem sciHcet occultum esse quid, perpetuo argutari solent; occultas vero causas procul esse ablegandas a philosophia. His autem facile respondetur; occultas esse causas, non iHas quidem quarum existentia per observationes clarissime demonstratur, sed has solum quarum occulta est & ficta existentia nondum vero comprobata. Gravitas ergo non erit occulta causamotuum cselestium; siquidem ex phsenomenis ostensum est, h?inc virtutem revera existere. H i potius ad occultas confugiunt causas ; qui nescio quos vortices, materiae cujusdam prorsus fictitiae & sensibus omnino ignotae, motibus iisdem regendis praeficiunt. Ideone autem gravitas occulta causa dicetur, eoque nomine rejicietur e philosophia, quod causa ipsius gravitatis occulta est & nondum inventa ? Qui sic statuunt, videant nequid statuant absurdi, unde totius tandem philosophiae fundamenta conveHantur. Etenim causae continuo nexu procedere solent a compositis ad simpHciora : ubi ad causam simpHcissimam perveneris, jam non Hcebit ulterius progredi. Causse igitur simpHcissimae nuHa dari potest mechanica expHcatio : si daretur enim, causa nondum esset simpHcissima. Has tu proinde causas simpHcissimas appeHabis occultas, & exulare jubebis ? Simul vero exulabunt & ab his proxime pendentes & quae ab iHis porro pendent, usque dum a causis omnibus vacua fuerit & probe purgata philosophia. Sunt qui gravitatem praeter naturam esse dicunt, & miraculum perpetuum vocant. Itaque rejiciendam esse volunt, cum in physica praeternaturales causae locum non habeant. Huic ineptae prorsus objectioni diluendae, quae & ipsa philosophiam subruit universam, vix operae pretium est immorari. Vel enim gravitatem corporibus omnibus inditam esse negabunt, quod tamen dici non potest : vel xxvi EDITORIS PR^FATIO. eo nomine praeter naturam esse affirmabunt, quod ex aliis corporum affectionibus atque adeo ex causis mechanicis origineni non habeat. Dantur certe primariae corporum affectiones ; quae, quoniam sunt primarise, non pendent ab ahis. Viderint igitur annon & hse omnes sint pariter prseter naturam, eoque pariter rejiciendae : viderint vero quahs sit deinde futura philosophia. Nonnulh sunt quibus haec tota physica caelestis vel ideo minus placet, quod cum Cartesii dogmatibus pugnare & vix concihari posse videatur. His sua hcebit opinione frui ; ex aequo autem agant oportet : non ergo denegabunt ahis eandem hbertatem quam sibi concedi postulant. Newtonianam itaque philosophiam, quae nobis verior habetur, retinere & amplecti hcebit, & causas sequi per phaenomena comprobatas, potius quam fictas & nondum comprobatas. Ad veram philosophiam pertinet, rerum naturas ex causis vere existentibus derivare : eas vero leges quaerere, quibus voluit summus opifex hunc mundi pulcherrimum ordinem stabihre ; non eas quibus potuit, si ita visum fuisset. Rationi enim consonum est, ut a pluribus causis, ab invicem nonnihil diversis, idem possit effectus proficisci : haec autem vera erit causa, ex qua vere atque actu proficiscitur ; rehquae locum non habent in philosophia vera. In horologiis automatis idem indicis horarii motus vel ab appenso pondere vel ab intus concluso elatere oriri potest. Quod si oblatum horologium revera sit instructum pondere ; ridebitur qui finget elaterem, & ex hypothesi sic praepropere conficta motum indicis exphcare suscipiet : oportuit enim internam machinae fabricam penitius perscrutari, ut ita motus propositi principium verum explo- ratum habere posset. Idem vel non absimile feretur judicium de philosophis iUis, qui materia quadam subtihssima caelos esse repletos, hanc autem in vortices indesinentur agi voluerunt. Nam si phaeno- menis vel accuratissime satisfacere possent ex hypothesibus suis ; veram tamen philosophiam tradidisse, & veras causas motuum c^elestium invenisse nondum dicendi sunt; nisi vel has revera existere, vel saltem ahas non existere demonstraverint. Igitur si ostensum fuerit, universorum corporum attractionem habere verum locum in rerum natura ; quinetiam ostensum fuerit, qua ratione motus omnes caelestes abinde solutionem recipiant ; vana fuerit & merito deridenda I EDITORIS PR^FATIO. xxvii objectio, si quls dixerit eosdem motus per vortices explicarl debere, etiamsl Id fieri posse vel maxime concesserimus. Non autem conce- dimus : nequeunt enim ullo pacto phaenomena per vortices explicarl ; quod ab auctore nostro abunde quidem & clarissimis rationlbus evln- cltur ; ut somnls plus aequo indulgeant oporteat, qui Ineptlsslmo fig- mento resarclendo, novlsque porro commentis ornando Infellcem operam addicunt. SI corpora planetarum & cometarum clrca solem deferantur a vorticibus ; oportet corpora delata & vorticum partes proxlme ambi- entes eadem velocitate eademque cursus determlnatlone moverl, & eandem habere densltatem vel eandem vlm inertlse pro mole materlse. Constat vero planetas & cometas, dum versantur in Ilsdem reglonlbus caelorum, velocitatibus varlls variaque cursus determlnatlone moverl. Necessarlo itaque sequltur, ut fluldl caelestls partes Illae, quae sunt ad easdem distantlas a sole, revolvantur eodem tempore In plagas diversas cum dlversis velocltatlbus : etenlm alla opus erlt dlrectione & velocitate, ut translre posslnt planetae ; aHa, ut transire posslnt cometae. Ouod cum expHcarl nequeat ; vel fatendum erlt, universa corpora caelestla non deferri a materia vortlcls ; vel dlcendum erit, eorundem motus repetendos esse non ab uno eodemque vortice, sed a pluribus qul ab invlcem diversi slnt, idemque spatlum soH clrcum- jectum pervadant. SI plures vortices In eodem spatlo contlnerl, & sese mutuo pene- trare motlbusque dlversis revolvi ponantur ; quonlam hl motus debent esse conformes delatorum corporum motlbus, qui sunt summe regu- lares, & peraguntur In sectlonibus conicls nunc valde eccentrlcis, nunc ad circulorum proxlme formam accedentibus ; jure quaerendum erlt, qui fierl possit, ut iidem Integri conserventur nec ab actlonibus materlae occursantls per tot saecula quicquam perturbentur. Sane si motus hi fictitii sunt magls composltl & dlfficIHus expHcantur, quam verl IHi motus planetarum & cometarum ; frustra mihl videntur in phllosophiam recipl : omnls enim causa debet esse effectu suo slm- pHcIoT. Concessa fabularum Hcentla, affirmaverlt aHquIs planetas omnes & cometas clrcumcingl atmosphaeris, adlnstar teHuris nostrae ; quae quldem hypothesls rationi magls consentanea videbitur quam hypothesls vortlcum. Affirmaverlt deinde has atmosphaeras, ex na- xxviii EDITORIS FRyEFATIO. tura sua, circa solem moveri & sectiones conicas describere ; qui sane motus multo facilius concipi potest, quam consimilis motus vorticum se invicem permeantium. Denique planetas ipsos & cometas circa solem deferri ab atmosphaeris suis credendum esse statuat, & ob repertas motuum cselestium causas triumphum agat. Quisquis autem hanc fabulam rejiciendam esse putet, idem & alteram fabulam rejiciet: nam ovum non est ovo simiHus, quam hypothesis atmosphaerarum hypothesi vorticum. Docuit Galilmis lapidis projecti & in parabola moti deflexionem a cursu rectiHneo oriri a gravitate lapidis in terram, ab occulta sci- licet quahtate. Fieri tamen potest ut ahus ahquis, nasi acutioris, philosophus causam aliam comminiscatur. Finget igitur ille mate- riam quandam subtilem, quae nec visu nec tactu neque uUo sensu percipitur, versari in regionibus quae proxime contingunt telluris superficiem. Hanc autem materiam, in diversas plagas, variis & plerumque contrariis motibus ferri, & Hneas paraboHcas describere contendet. Deinde vero lapidis deflexionem pulchre sic expediet, & vulgi plausum merebitur. Lapis, inquiet, in fluido iHo subtiH natat & cursui ejus obsequendo, non potest non eandem una semitam de- scribere. Fluidum vero movetur in Hneis paraboHcis ; ergo lapidem in parabola moveri necesse est. Quis nunc non mirabitur acutis- simum hujusce philosophi ingenium, ex causis mechanicis, materia sciHcet & motu, phaenomena naturae ad vulgi etiam captum praeclare deducentis ? Quis vero non subsannabit bonum iHum Galilcsumy qui magno moHmine mathematico quaHtates occultas, e philosophia feli- citer exclusas, denuo revocare sustinuerit ? Sed pudet nugis diutius immorari. Summa rei huc tandem redit : cometarum ingens est numerus ; motus eorum sunt summe regulares, & easdem leges cum planetarum motibus observant. Moventur in orbibus conicis, hi orbes sunt valde admodum eccentrici. Feruntur undique in omnes caelorum partes, & planetarum regiones liberrime pertranseunt, & saepe contra signo- rum ordinem incedunt. Haec phaenomena certissime confirmantur ex observationibus astronomicis : & per vortices nequeunt explicari. Imo, ne quidem cum vorticibus planetarum consistere possunt. Co- EDITORIS PRyEFATIO. xxlx metarum motlbus omnlno locus non erit; nlsl materla illa fictitia penitus e caells amoveatur. Si enim planetae circum solem a vorticibus devehuntur ; vorticum partes, quae proxime ambiunt unumquemque planetam, ejusdem densitatis erunt ac planeta ; uti supra dictum est. Itaque materia illa omnis, quae contigua est orbis magni perimetro, parem habebit ac tellus densltatem : quae vero jacet intra orbem magnum atque orbem saturni, vel parem vel majorem habeblt. Nam ut constitutio vorticis permanere possit, debent partes mlnus densae centrum occupare, magis densae longlus a centro ablre. Cum enlm planetarum tempora periodica sint In ratlone sesquiplicata distantlarum a sole, oportet partlum vorticls periodos eandem rationem servare. Inde vero sequitur vlres centrifugas harum partium fore reciproce ut quadrata distantlarum. Quae Igltur majore intervallo distant a centro, nltuntur ab eodem recedere minore vi : unde si minus densae fuerlnt, necesse est ut cedant vi majori, qua partes centro propiores ascendere con- antur. Ascendent ergo denslores, descendent mlnus densae, & locorum fiet Invlcem permutatlo ; donec ita fuerit disposita atque ordinata materia flulda totlus vortlcis, ut conquiescere jam posslt in aequIHbrlo constituta. SI bina flulda, quorum dlversa est densltas, in eodem vase contlnentur; utique futurum est ut fluidum, cujus major est densitas, majore vi gravitatls infimum petat locum : & ratione non abslmili omnino dlcendum est, densiores vortlcis partes majore vi centrlfuga petere supremum locum. Tota igltur Illa & multo maxlma pars vortlcis, quae jacet extra tellurls orbem, densltatem habebit atque adeo vlm inertlae pro mole materiae, quae non minor erit quam densltas & vis inertlae telluris : Inde vero cometis trajectls orietur ingens reslstentia, & valde admodum sensibilis ; ne dlcam, quae motum eorundem penitus slstere atque absorbere posse merito videatur. Constat autem ex motu cometarum prorsus regulari, nullam ipsos resistentlam pati quae vel mlnimum sentlri potest ; atque adeo neutiquam in materiam ullam incursare, cujus aHqua sit vis resistendi, vel prolnde cujus aHqua sit densltas seu vis inertiae. Nam resistentia mediorum oritur vel ab inertla riiateriae fluidae, vel a defectu lubricitatls. Quae orltur a defectu lubricitatls, admodum ex- igua est ; & sane vix observari potest in fluidis vulgo notis, nisi valde XXX EDITORIS PR^FATIO. tenacia fuerint adinstar olei & mellis. Resistentia quae sentitur in aere, aqua, hydrargyro, & hujusmodi fluidis non tenacibus fere tota est prioris generis ; & minui non potest per ulteriorem quemcunque gradum subtilitatis, manente fluidi densitate vel vi inertise, cui semper proportionaHs est haec resistentia ; quemadmodum clarissime demon- stratum est ab auctore nostro in peregregia resistentiarum theoria, quae paulo nunc accuratius exponitur, hac secunda vice, & per experi- menta corporum cadentium plenius confirmatur. Corpora progrediendo motum suum fluido ambienti paulatim communicant, & communicando amittunt, amittendo autem retardan- tur. Est itaque retardatio motui communicato proportionaHs ; motus vero communicatus, ubi datur corporis progredientis velocitas» est ut fluidi densitas ; ergo retardatio seu resistentia erit ut eadem fluidi densitas ; neque ullo pacto tolli potest, nisi a fluido ad partes corporis posticas recurrente restituatur motus amissus. Hoc autem dici non poterit, nisi impressio fluidi in corpus ad partes posticas sequalis fuerit impressioni corporis in fluidum ad partes anticas, hoc est, nisi velocitas relativa qua fluidum irruit in corpus a tergo, sequalis fuerit velocitati qua corpus irruit in fluidum, id est, nisi velocitas absoluta fluidi recurrentis duplo major fuerit quam velocitas absoluta fluidi propulsi ; quod fieri nequit. NuIIo igitur modo toIH potest fluidorum resistentia, quae oritur ab eorundem densitate & vi inertise. Itaque concludendum erit ; fluidi caelestis nullam esse vim inertiae, cum nulla sit vis resistendi : nullam esse vim qua mo- tus communicetur, cum nulla sit vis inertiae : nullam esse vim qua mutatio quaelibet vel corporibus singulis vel pluribus inducatur, cum nulla sit vis qua motus communicetur ; nullam esse omnino efficaciam, cum nulla sit facultas mutationem quamlibet inducendi. Quidni ergo hanc hypothesin, quae fundamento plane destituitur, quaeque naturae rerum explicandae ne minimum quidem inservit, in- eptissimam vocare liceat & philosopho prorsus indignam. Qui caelos materia fluida repletos esse volunt, hanc vero non inertem esse sta- tuunt ; hi verbis tollunt vacuum, re ponunt. Nam cum hujusmodi materia fluida ratione nulla secerni possit ab inani spatio ; disputatio tota fit de rerum nominibus, non de naturis. Quod si aliqui sint adeo usque dediti materiae, ut spatium a corporibus vacuum nullo pacto EDITORIS PR^FATIO. xxxi admittendum credere velint ; videamus quo tandem oporteat illos pervenire. Vel enim dicent hanc, quam confingunt, mundi per omnia pleni constitutionem ex voluntate dei profectam esse, propter eum finem, ut operationibus naturae subsidium praesens haberi posset ab aethere subtilissimo cuncta permeante & implente ; quod tamen dici non potest, siquidem jam ostensum est ex cometarum phaenomenis, nullam esse hujus aetheris efficaciam : vel dicent ex voluntate dei profectam esse, propter finem aHquem ignotum; quod neque dici debet, siquidem diversa mundi constitutio eodem argumento pariter stabiHri posset : vel denique non dicent ex voluntate dei profectam esse, sed ex necessitate quadam naturae. Tandem igitur delabi oportet in faeces sordidas gregis impurissimi. Hi sunt qui somniant fato universa regi, non providentia ; materiam ex necessitate sua semper & ubique extitisse, infinitam esse & aeternam. Quibus positis, erit etiam undiquaque uniformis : nam varietas formarum cum necessitate omnino pugnat. Erit etiam immota : nam si necessario moveatur in plagam ahquam determinatam, cum determinata aHqua velocitate ; pari necessitate movebitur in plagam diversam cum diversa velocitate ; in plagas autem diversas, cum diversis velocitatibus, moveri non potest; oportet igitur immotam esse. Neutiquam profecto potuit oriri mundus, pulcherrima formarum & motuum varietate distinctus, nisi ex Hberrima voluntate cuncta providentis & gubernantis dei. Ex hoc igitur fonte promanarunt ihae omnes quse dicuntur naturae leges : in quibus multa sane sapientissimi consiHi, nuHa necessitatis apparent vestigia. Has proinde non ab incertis conjecturis petere, sed observando atque experiendo addiscere debemus. Qui vere physicae principia legesque rerum, sola mentis vi & interno rationis lumine fretum, invenire se posse confidit ; hunc oportet vel statuere mundum ex necessitate fuisse, legesque propositas ex eadem necessitate sequi; vel si per voluntatem dei constitutus sit ordo naturae, se tamen, homuncionem miseHum, quid optimum factu sit perspectum habere. Sana omnis & vera philosophia fundatur in phaenomenis rerum : quae si nos vel invitos & reluctantes ad hujusmodi principia deducunt, in qui- bus clarissime cernuntur consiHum optimum & dominium summum sapientissimi & potentissimi entis ; non erunt haec ideo non admittenda xxxii EDITORIS PR^FATIO, principia, quod quibusdam forsan hominibus minus grata sint futura. His vel rniracula vel qualitates occultae dicantur, quae displicent : verum nomina malitiose indita non sunt ipsis rebus vitio vertenda ; nisi illud fateri tandem velint, utique debere philosophiam in atheismo fundari. Horum hominum gratia non erit labefactanda philosophia, siquidem rerum ordo non vult immutari. Obtinebit igitur apud probos & aequos judices praestantissima philosophandi ratio, quae fundatur in experimentis & observationibus. Huic vero, dici vix poterit, quanta lux accedat, quanta dignitas, ab hoc opere praeclaro illustrissimi nostri auctoris ; cujus eximiam ingenii feHcitatem, difficillima quaeque problemata enodantis, & ad ea porro pertingentis ad quae nec spes erat humanam mentem assurgere potuisse, merito admirantur & suspiciunt quicunque paulo profundius in hisce rebus versati sunt. Claustris ergo reseratis, aditum nobis aperuit ad pulcherrima rerum mysteria. Systematis mundani compagem elegantissimam ita tandem patefecit & penitius perspec- tandam dedit; ut nec ipse, si nunc revivisceret, rex Alphonsiis vel simpHcitatem vel harmoniae gratiam in ea desideraret. Itaque naturae majestatem propius jam Hcet intueri, & dulcissima contemplatione frui, conditorum vero ac dominum universorum impensius colere & venerari, qui fructus est philosophiae multo uberrimus. Caecum esse oportet, qui ex optimis & sapientissimis rerum structuris non statim videat fabricatoris omnipotentis infinitam sapientiam & bonitatem : insanum, qui profiteri noHt. Extabit igitur eximium Newtoni opus adversus atheorum impetus munitissimum praesidium : neque enim aHcunde feHcius, quam ex hac pharetra, contra impiam catervam tela deprompseris. Hoc sensit pridem, & in pereruditis concionibus angHce latineque editis, primus egregie demonstravit vir in omni H*terarum genere praeclarus idemque bonarum artium fautor eximius Richardus Bentleius, secuH sui & academiae nostrse magnum ornamentum, coHegii nostri S. Tri^iitatis magister dignissimus & integerrfmus. Huic ego me pluribus nominibus obstrictum fateri debeo : huic & tuas quae debentur gratias, lector benevole, non denegabis. Is enim, cum a longo tempore celeberrimi auctoris amicitia intima frueretur, (qua etiam apud posteros censeri non minoris aestimat, quam propriis scriptis quae ED2T0RIS PRyEFATlO. xxxiii literato orbi in deliciis sunt inclarescere) amici simul famae & scien- tiarum incremento consuluit. Itaque cum exemplaria prioris editionis rarissima admodum & immani pretio coemenda superessent ; suasit ille crebris efflagitationibus, & tantum non objurgando perpulit denique virum prsestantissimum, nec modestia minus quam eruditione summa insignem, ut novam hanc operis editionem, per omnia elimatam denuo & egregiis insuper accessionibus ditatam, suis sumptibus & auspiciis prodire pateretur : mihi vero, pro jure suo, pensum non ingratum demandavit, ut quam posset emendate id fieri curarem. CantabrigicB, Maii 12, 17 13. RoGERUS CoTES collegii .S. Trinitatis socius, astronomise & philosophise experimentalis professor Phmtiatms. 4 AUCTORIS PRy^FATIO IN EDITIONEM TERTIAM. T N Editione kacce tertia, quam Henricus Pemberton M.D. vir harum rerum peritissimus ctcravit, nonnulla in libro secundo de resistentia mediorum paulo fusius explica^itur quam antea, & adduntur experimenta nova de resistentia gravium qucB cadunt in aere. In libro tertio argumentum qua hmam i7i orbe suo per gravitatem retineri probattir, paulo ficsitcs exponitur : & Hovcb adduntur observationes de proportione diametrorum Jovis ad hivicem a D. Poundio factcE. Addufitur etiam observationes aliquot cometcB illitcs qui anno 1680 apparuit, a D. Kirk mense Novembri in Germania habit(^, qucB nuper ad manus nostras venerunt^ & quartc^n ope constet quam prope orbes parabolici motibics cometarum respondent. Et orbita cornetcs illius, computaiite Hslleio, pazclo accuratizcs determinatur qicam antea, idque in ellipsi. Et ostenditur cometam in hac orbita elliptica, per novem ccElortcm signa, non mimis accurate cursum peregisse, qtca^n solent planetcB in orbitis ellipticis per astronomiam definitis moveri. Orbis etiam cometcB qtci anno 1723 apparuit, a D. Bradleio astronomice apud Oxonienses professore comptctatuSy adjicitur. IS. NEWTON. Dabam Londini, Jan. 12, 1725-6. INDEX CAPITUM TOTIUS OPERIS. Pag. Definitiones, I AXIOMATA, SIVE LeGES MoTUS, I3 DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS. Sect. I. De methodo ratiomim primarum & ultimarum, . 28 II. De inve7itione virium centripetarum, . . • 3^ III. De motu corporum in conicis sectio7iibus eccentricis, 54 IV. De inventione orbium ellipticorumy parabolicorum & hyperbolicorum ex umbilico dato, . . -65 V. De inventione orbium tibi umbilicics rieuter datur^ . 73 VI. De inventione motuum in orbibtcs datis, . .104 VII. De corporum ascensu & descensu rectilineo, . .112 VIII. De inventione orbium in quibus corpora viribus quibuscimque centripetis agitata revolvuntur, . 123 IX. De motu corportim in orbibus mobilibus, deque motu apsidum, 129 X. De motu corporum in superficiebus datis, deque /unependulorum motu reciproco, . . .142 XI. De motu corporum viribus centripetis se mutuo petentitim, . . . . . . .160 XII. De corporum sphcBricorum viribus attractivis, . 189 XIII. De corporum non sphcsricorum viribus attractivis, 210 XIV. De motu corporum mi^iimorum, qucs viribus centri- petis ad singulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur, . . . . .222 xxxvi INDEX CAPITUM. DE MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS. Pag. Sect. r. De ntotiL corporum quibiis resistitur in ratione velocitatis, . . . . . • .230 II. De inotu corporum quibtis resistiticr in duplicata ratione velocitatis, . . . . . «239 III. De mottc corporum quibus resistitur partim in ratio7ie velocitatis, partim in ejusdem ratio7ie dtcplicata, . . . . . • .265 IV. De corporum circulari motu in mediis resistentibus, 274 V. De densitate & compressione fluidoricm, deque hydro- statica, 282 VI. De motu & resistentia corporum ftmepejid^clorum, . 294 VII. De motufluidorum & resistentia projectilium, . 318 VIII. De 7notu perfluida propagato^ . . . -357 I X. De motu circulari flicidorum^ . . . . • 3 74 DE MUNDI SYSTEMATE LIBER TERTIUS. Regul^ Philosophandi, '. ' 2>^7 PHiENOMENA, 390 Propositiones, 395 SCHOLIUM GeNERALE, ... . . . . .526 PHILOSOPHI^ NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA. DEFINITIONES, DEFINITIO I. Quantitas materice est mensura ejusdem orta ex illius densiiate et magnitudine conjuncti^n, AER densitate duplicata, in spatio etiam duplicato, fit quadruplus ; in triplicato sextuplus. Idem intellige de nive & pulveribus per compressionem vel liquefactionem condensatis. Et par est ratio corporum omnium, quse per causas quascunque diversimode conden- santur. Medii interea, si quod fuerit, interstitia partium libere per- vadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem quantitatem sub nomine corporis vel massse in sequentibus passim intelligo. Innotescit ea per corporis cujusque pondus : Nam ponderi proportionalem esse reperi per experimenta pendulorum accuratissime instituta, uti posthac docebitur. DEFINITIO II. Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex velocitate et quantitate matericB conjunctim, Motus totius est summa motuum in partibus singuh*s ; ideoque in corpore duplo majore, aequah cum velocitate, duplus est, & dupla cum velocitate quadruplus. A DEFINITIONES. DEFINITIO III. MatericB vis insita est potentia resistendi, qtia corpus unumqModque, quanticm in se est, perseverat in statu suo vel quiescendi vel movefidi tmiformiter in directum. H^ec semper proportionalis est suo corpori, neque differt quic- quam ab inertia massae, nisi in modo concipiendi. Per inertiam materia^ fit, ut corpus omne de statu suo vel quiescendi vel movendi difficulter deturbetur. Unde etiam vis insita nomine significantissimo vis inertiae dici possit. Exercet vero corpus hanc vim solummodo in mutatione status sui per vim aliam in se impressam facta ; estque exercitium illud sub diverso respectu & resistentia & impetus : Resistentia, quatenus corpus ad conservandum statum suum reluctatur vi impressse ; impetus, quatenus corpus idem, vi resistentis obstaculi difficulter cedendo, conatur statum obstaculi illius mutare. Vulgus resistentiam quiescentibus & impetum moventibus tribuit : sed motus & quies, uti vulgo concipiuntur, respectu solo distinguuntur ab invicem; neque semper vere quiescunt, quae vulgo tanquam quiescentia spectantur. DEFINITIO IV. J^isjmpressa est actio in corpus exercita, ad mutandum ejus statum vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum, Consistit haec vis in actione sola, neque post actionem permanet in corpore. Perseverat enim corpus in statu omni novo per solam vim inertiae. Est autem vis impressa diversarum originum, ut ex ictu, ex pressione, ex vi centripeta. DEFINITJONES. DEFINITIO V. Vis centripeta est, qita corpora verstis punctum aliqicod, ta^iqtcam ad centrum, undique trahu^itur, impelluntur, vel utcunqice tendzcnt. Hujus generis est gravitas, qua corpora tendunt ad centrum terrae ; vis magnetica, qua ferrum petit magnetem ; & vis illa, quae- cunque sit, qua planetae perpetuo retrahuntur a motibus rectilineis, & in lineis curvis revolvi coguntur. Lapis, in funda circumactus, a circumagente manu abire conatur ; & conatu suo fundam distendit, eoque fortius quo celerius revolvitur ; &, quamprimum dimittitur, avolat. Vim conatui illi contrariam, qua funda lapidem in manum perpetuo retrahit & in orbe retinet, quoniam in manum ceu orbis centrum dirigitur, centripetam appello. Et par est ratio corporum omnium, quse in gyrum aguntur. Conantur ea omnia a centris orbium recedere ; & nisi adsit vis aliqua conatui isti contraria, qua cohibeantur & in orbibus retineantur, quamque ideo centripetam appello, abibunt in rectis lineis uniformi cum motu. Projectile» si vi gravitatis destitueretur, non deflecteretur in terram, sed in linea recta abiret in coelos ; idque uniformi cum motu, si modo aeris resistentia tolleretur. Per gravitatem suam retrahitur a cursu rectilineo & in terram perpetuo flectitur, idque magis vel minus pro gravitate sua & velocitate motus. Quo minor fuerit ejus gravitas pro quantitate materiae, vel major velocitas quacum projicitur, eo minus deviabit a cursu rectiHneo & longius perget. Si globus plum- beus, data cum velocitate secundum lineam horizontalem a montis alicujus vertice vi pulveris tormentarii projectus, pergeret in Hnea curva ad distantiam duorum milliarium, priusquam in terram deci- deret : hic dupla cum velocitate quasi duplo longius pergeret, & decupla cum velocitate quasi decuplo longius : si modo aeris resi- stentia tolleretur. Et augendo velocitatem augeri posset pro lubitu distantia in quam projiceretur, & minui curvatura lineae quam de- scriberet, ita ut tandem caderet ad distantiam graduum decem vel triginta vel nonaginta; vel etiam ut terram totam circuiret vel denique ut in cceIos abiret, & motu abeundi pergeret in infinitum. Et eadem ratione, qua projectile vi gravitatis in orbem flecti posset & . DEFINITIONES. terram totam circuire, potest & luna vel vi gravitatis, si modo gravis sit, vel alia quacunque vi, qua in terram urgeatur, retrahi semper a cursu rectilineo terram versus, & in orbem suum flecti : & sine tali vi luna in orbe suo retineri non potest. Hsec vis, si justo minor esset, non satis flecteret lunam de cursu rectilineo : si justo major, plus satis flecteret, ac de orbe terram versus deduceret. Requiritur quippe, ut sit justse magnitudinis : & Mathematicorum est invenire vim, qua corpus in dato quovis orbe data cum velocitate accurate retineri possit; & vicissim invenire viam curviHneam, in quam corpus e dato quovis loco data cum velocitate egressum a data vi flectatur. Est autem vis hujus centripet^ quantitas trium generum, absoluta, acceleratrix, & motrix. DEFINITIO VI. Vis centripetcB quantitas absohita est mefistira ejusdem major vel minor pro efficacia causce eam propagantis a centro per regiones in circuitu. Ut vis magnetica pro mole magnetis vel intensione virtutis major in uno magnete, minor in aho. DEFINITIO VII. Vis centripetcE quantitas acceleratrix est ipsius menstira velocitati proportionalis, quam dato tempore generat, Uti virtus magnetis ejusdem major in minori distantia, minor in majori : vel vis gravitans major in valHbus, minor in cacumini- bus altorum montium, atque adhuc minor (ut posthac patebit) in majoribus distantiis a globo terrae ; in sequaHbus autem distantiis eadem undique, propterea quod corpora omnia cadentia (gravia an levia, magna an parva) sublata aeris resistentia, sequaHter accelerat. DEFINITIONES. DEFINITIO VIII. Vis ce7itripetcB quantitas motrix est ipsius mensura proportionalis motui, quem dato tempore generat, Utl pondus majus in majore corpore, minus in minore ; & in corpore eodem majus prope terram, minus in coelis. Haec quantitas est corporis totius centripetentia seu propensio in centrum, & (ut ita dicam) pondus ; & innotescit semper per vim ipsi contrariam & sequalem, qua descensus corporis impediri potest. Hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires motrices, acceleratrices, & absolutas ; & dlstinctionis gratla referre ad corpora centrum petentia, ad corporum loca, & ad centrum virium : nimirum vim motricem ad corpus, tanquam conatum totius in centrum ex conatibus omnium partium compositum ; & vim acceleratricem ad locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de centro per loca singula in circultu diffiisam, ad movenda corpora quae in ipsis sunt; vlm autem absolutam ad centrum, tanquam causa aliqua prseditum, slne qua vires motrices non propagantur per regiones in circuitu ; sive causa illa sit corpus allquod centrale (quale est magnes in centro vls magnetlcae, vel terra in centro vis gravitantis) slve alia aliqua quae non apparet. Mathematicus duntaxat est hic conceptus : Nam virlum causas & sedes physicas jam non expendo. Est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum. Oritur enlm quantltas motus ex celeritate & ex quantltate materiae, & vis motrix ex vi acceleratrice & ex quantitate ejusdem materiae conjunctlm. Nam summa actionum vis acceleratrlcis in slngulas corporls particulas est vls motrix totlus. Unde juxta superficiem terrae, ubi gravltas acceleratrix seu vis gravitans in corporlbus universis eadem est, gravitas motrix seu pondus est ut corpus : at si in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix fit minor, pondus pariter mlnuetur, eritque semper ut corpus & gravitas acceleratrix conjunctlm. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo minor est, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel sextuplo minus. DEFINITIONES. Porro attractiones & impulsus eodem sensu acceleratrices & motrices nomino. Voces autem attractionis, impulsus, vel propen- sionis cujuscunque in centrum, indifferenter & pro se mutuo promiscue usurpo ; has vires non physice sed mathematice tantum considerando. Unde caveat lector, ne per hujusmodi voces cogitet me speciem vel modum actionis causamve aut rationem physicam aHcubi definire, vel centris (quae sunt puncta mathematica) vires vere & physice tribuere ; si forte aut centra trahere, aut vires centrorum esse dixero. Scholium, Hactenus voces minus notas, quo sensu in sequentibus accipiendae sint, expHcare visum est. Tempus, spatium, locus & motus, sunt omnibus notissima. Notandum tamen, quod vulgus quantitates hasce non aHter quam ex relatione ad sensibiHa concipiat. Et inde oriuntur prsejudicia quaedam, quibus toHendis convenit easdem in absolutas & relativas, veras & apparentes, mathematicas & vulgares distingui. I. Tempus absolutum, verum, & mathematicum, in se & natura sua sine relatione ad externum quodvis, aequabiHter fluit, aHoque nomine dicitur duratio : Relativum, apparens, & vulgare est sensibiHs & externa quaevis durationis per motum mensura (seu accurata seu inaequabiHs) qua vulgus vice veri temporis utitur ; ut hora, dies, mensis, annus. II. Spatium absolutum, natura sua sine relatione ad externum quodvis, semper manet similare & immobile : Relativum est spatii hujus mensura seu dimensio quaeHbet mobiHs, quae a sensibus nostris per situm suum ad corpora definitur, & a vulgo pro spatio immobiH usurpatur : uti dimensio spatii subterranei, aerii vel ccelestis definita per situm suum ad terram. Idem sunt spatium absokitum & relativum, specie & magnitudine; sed non permanent idem semper numero. Nam si terra, verbi gratia, moveatur, spatium aeris nostri, quod relative & respectu terrae semper manet idem, nunc erit una pars spatii absoluti in quam aer transit, nunc aHa pars ejus ; & sic absohite mutabitur perpetuo. DEFINITIONES. . ^, III. Locus est pars spatii quam corpus occupat, estque pro ratione spatii vel absolutus vel relativus. Pars, inquam, spatii ; non situs cor- poris, vel superficies ambiens. Nam solidorum aequalium ^quales semper sunt loci ; Superficies autem ob dissimilitudinem figurarum ut plurimum inaequales sunt; Situs vero proprie loquendo quantitatem non habent, neque tam sunt loca quam affectiones locorum. Motus totius idem est cum summa motuum partium ; hoc est, translatio totius de suo loco eadem est cum summa translationum partium de locis suis ; ideoque locus totius idem est cum summa locorum partium, & propterea internus & in corpore toto. IV. Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in locum absolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in navi quse veHs passis fertur, relativus corporis locus est navigii regio illa in qua corpus versatur, seu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, quaeque adeo movetur una cum navi : & quies relativa est permansio corporis in eadem illa navis regione vel parte cavitatis. At quies vera est permansio corporis in eadem parte spatii ilHus immoti, in qua navis ipsa una cum cavitate sua & contentis universis movetur. Unde si terra vere quiescat, corpus, quod relative quiescit in navi, movebitur vere & absolute ea cum velocitate, qua navis movetur in terra. Sin terra etiam moveatur ; orietur verus & absolutus corporis motus, partim ex terrse motu vero in spatio immoto, partim ex navis motu relativo in terra. Et si corpus etiam mbveatur relative in navi ; orietur verus ejus motus, partim ex vero motu terrae in spatio immoto, partim ex relativis motibus tum navis in terra tum corporis in navi : & ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in terra. Ut si terrae pars illa, ubi navis versatur, moveatur vere in orientem cum velocitate partium looio; & velis ventoque feratur navis in occidentem cum velocitate partium decem ; nauta autem ambulet in navi orientem versus cum velocitatis parte una : movebitur nauta vere & absolute in spatio immoto cum velo- citatis partibus loooi in orientem, & relative in terra occidentem versus cum velocitatis partibus novem. Tempus absolutum a relativo distinguitur in Astronomia per aequationem temporis vulgi. Inaequales enim sunt dies naturales^ qui vulgo tanquam aequales pro mensura temporis habentur. Hanc inaequaHtatem corrigunt Astronomi, ut ex veriore tempore mensurent 8 DEFINITIONES. motus coelestes. Possibile est, ut nullus sit motus aequabilis, quo tempus accurate mensuretur. Accelerari & retardari possunt motus omnes, sed, fluxus temporis absoluti mutari nequit. Eadem est duratio seu perseverantia existentiae rerum, sive motus sint celeres, sive tardi, sive nulli : proinde haec a mensuris suis sensibilibus merito distinguitur, & ex iisdem colligitur per aequationem astronomicam. Hujus autem aequationis in determinandis phaenomenis necessitas, tum per experimentum horologii oscillatorii, tum etiam per eclipses satellitum Jovis evincitur. Ut ordo partium temporis est immutabilis, sic etiam ordo partium spatii. Moveantur hae de locis suis, & movebuntur (ut ita dicam) de seipsis. Nam tempora & spatia sunt sui ipsorum & rerum omnium quasi loca. In tempore quoad ordinem successionis, in spatio quoad ordinem situs, locantur universa. De illorum essentia est ut sint loca : & loca primaria moveri absurdum est. Haec sunt igitur absoluta loca; & solae translationes de his locis sunt absoluti motus. Verum quoniam h^ spatii partes videri nequeunt, & ab invicem per sensus nostros distingui ; earum vice adhibemus mensuras sensibiles. Ex positionibus enim & distantiis rerum a corpore ali- quo, quod spectamus ut immobile, definimus loca universa : deinde etiam & omnes motus aestimamus cum respectu ad praedicta loca, quatenus corpora ab iisdem transferri concipimus. Sic vice locorum & motuum absolutorum relativis utimur; nec incommode in rebus humanis : in philosophicis autem abstrahendum est a sensibus. Fieri etenim potest, ut nullum revera quiescat corpus, ad quod loca motusque referantur. Distinguuntur autem quies & motus absoluti & relativi ab invicem per proprietates suas & causas & effectus. Quietis proprietas est, quod corpora vere quiescentia quiescunt inter se. Ideoque cum possibile sit, ut corpus aliquod in regionibus fixarum, aut longe ultra, quiescat absolute ; sciri autem non possit ex situ corporum ad invicem in regionibus nostris, horumne aliquod ad longinquum illud datam positionem servet necne; quies vera ex horum situ inter se definiri nequit. Motus proprietas est, quod partes, quae datas servant positiones ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium DEFINITIONES. g partes omnes conantur recedere ab axe motus, & progredientium impetus oritur ex conjuncto impetu partium singulanim. Motis igitur corporibus ambientibus, moventur quae in ambientibus rela- tive quiescunt. Et propterea motus verus & absolutus definiri nequit per translationem e vicinia corporum, quae tanquam quies- centia spectantur. Debent enim corpora externa non solum tanquam quiescentia spectari, sed etiam vere quiescere. Alioquin inclusa omnia, praeter translationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium motus veros ; & sublata illa translatione non vere quiescent, sed tanquam quiescentia solummodo spectabuntur. Sunt enim ambientia ad inclusa, ut totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice, nu- cleus etiam, sine translatione de vicinia corticis, ceu pars totius, movetur. Prsecedenti proprietati affinis est, quod moto loco movetur una locatum : ideoque corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci sui motum. Motus igitur omnes, qui de locis motis fiunt, sunt partes solummodo motuum integrorum & absolutorum : & motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco suo primo, & motu loci hujus de loco suo, & sic deinceps ; usque dum perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo nautse supra me- morato. Unde motus integri & absoluti non nisi per loca immota definiri possunt : & propterea hos ad loca immota, relativos ad mobiha supra retuH. Loca autem immota non sunt, nisi quse omnia ab infinito in infinitum datas servant positiones ad invicem ; atque adeo semper manent immota, spatiumque constituunt quod immobile appello. Causae, quibus motus veri & relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires in corpora impressae ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutatur, nisi per vires in ipsum corpus motum impressas : at motus relativus generari & mutari potest sine viribus impressis in hoc corpus. Sufticit enim ut imprimantur in aHa solum corpora ad quae fit relatio, ut iis cedentibus mutetur relatio illa, in qua hujus quies vel motus relativus consistit. Rursum motus verus a viribus in corpus motum impressis semper mutatur ; at motus relativus ab his viribus non mutatur necessario. Nam si eaedem vires in aHa etiam corpora, ad quae fit relatio, sic imprimantur, ut lO DEFINITIONES, situs relativus conservetur, conservabitur relatio in qua motus rela- tivus consistit. Mutari igitur potest motus omnis relativus, ubi verus conservatur, & conservari ubi verus mutatur; & propterea motus verus in ejusmodi relationibus minime consistit. Effectus, quibus motus absoluti & relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativo hse vires nullae sunt, in vero autem & absoluto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat situla a filo praelongo, agaturque perpetuo in orbem, donec filum a contorsione admodum rigescat, dein impleatur aqua, & una cum aqua quiescat ; tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in orbem, & filo se relaxante, diutius perseveret in hoc motu ; super- ficies aquae sub initio plana erit, quemadmodum ante motum vasis : At postquam vas, vi in aquam paulatim impressa, effecit ut haec quoque sensibiHter revolvi incipiat ; recedet ipsa paulatim a medio, ascendetque ad latera vasis, figuram concavam induens (ut ipse expertus sum), & incitatiore semper motu ascendet magis & magis, donec revolutiones in aequaHbus cum vase temporibus peragendo, quiescat in eodem relative. Indicat hic ascensus conatum rece- dendi ab axe motus, & per talem conatum innotescit & mensura- tur motus aquae circularis verus & absolutus, motuique relativo hic omnino contrarius. Initio, ubi maximus erat aquae motus relativus in vase, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe : aqua non petebat circumferentiam ascendendo ad latera vasis, sed plana manebat, & propterea illius verus motus circularis nondum inceperat. Postea vero, ubi aquae motus relativus decrevit, ascensus ejus ad latera vasis indicabat conatum recedendi ab axe ; atque hic conatus monstrabat motum illius circularem verum per- petuo crescentem, ac tandem maximum factum ubi aqua quiescebat in vase relative. Quare conatus iste non pendet a translatione aquae respectu corporum ambientium, & propterea motus circularis verus per tales translationes definiri nequit. Unicus est corporis cujusque revolventis motus vere circularis, conatui unico tanquam proprio & adaequato effectui respondens : motus autem relativi pro variis relationibus ad externa innumeri sunt ; & relationum instar, effectibus veris omnino destituuntur, nisi quatenus verum illum & unicum motum participant. Unde & in systemate eorum. DEFINITIONES. I j qui ccelos nostros infra coelos fixarum in orbem revolvi volunt, & planetas secum deferre; singulae ccelorum partes, & planetae qui relative quidem in coelis suis proximis quiescunt, moventur vere. Mutant enim positiones suas ad invicem (secus quam fit in vere quiescentibus) unaque cum coelis delati participant eorum motus, & ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus recedere conantur. Quantitates relativse non sunt igitur eae ipsae quantitates, quarum nomina prae se ferunt, sed sunt earum mensurae illae sensibiles (verae an errantes) quibus vulgus loco quantitatum mensuratarum utitur. At si ex usu definiendae sunt verborum significationes ; per nomina illa temporis, spatii, loci & motus proprie intelligendae erunt hae mensurae sensibiles ; & sermo erit insolens & pure mathematicus, si quantitates mensuratae hic intelHgantur. Proinde vim inferunt sacris Hteris, qui voces hasce de quantitatibus mensuratis ibi interpre- tantur. Neque minus contaminant mathesin & philosophiam, qui quantitates veras cum ipsarum relationibus & vulgaribus mensuris confundunt. Motus quidem veros corporum singulorum cognoscere, & ab apparentibus actu discriminare, difficillimum est; propterea quod partes spatii iUius immobilis, in quo corpora vere moventur, non incurrunt in sensus. Causa tamen non est prorsus desperata. Nam argumenta desumi possunt, partim ex motibus apparentibus qui sunt motuum verorum differentiae, partim ex viribus quae sunt motuum verorum causae & effectus. Ut si globi duo, ad datam ab invicem distantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa commune gravitatis centrum ; innotesceret ex tensione fili conatus globorum recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circularis computari posset. Deinde si vires quaelibet aequales in alternas globorum facies ad motum circularem augendum vel minuendum simul im- primerentur, innotesceret ex aucta vel diminuta fiH tensione augmentum vet decrementum motus ; & inde tandem inveniri possent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus maxime augeretur ; id est, facies postic^, sive quae in motu circulari sequuntur. Cognitis autem faciebus' quae sequuntur, & faciebus oppositis quae praecedunt, cognosceretur determinatio motus. In hunc modum inveniri posset & quantitas & determinatio motus I^ DEFINITIONES. hujus circularis in vacuo quovis immenso, ubi nihil extaret externum & sensibile quocum globi conferri possent. Si jam constituerentur in spatio illo corpora aHqua longinqua datam inter se positionem servantia, quaHa sunt steHae fixae in regionibus ccelorum : sciri quidem non posset ex relativa globorum translatione inter corpora, utrum his an iHis tribuendus esset motus. At si attenderetur ad filum, & deprehenderetur tensionem ejus iham ipsam esse quam motus globorum requireret; conckidere Hceret motum esse globorum, & corpora quiescere; & tum demum ex translatione globorum inter corpora, determinationem hujus motus colligere. Motus autem veros ex eorum causis, effectibus, & apparentibus differentiis colligere, & contra ex motibus seu veris seu apparentibus eorum causas & effectus, docebitur fusius in sequentibus. Hunc enim in finem tractatum sequentem composui. A X lOMA TA, SIVE LEGES MOTUS. LE X I Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uni- formiter in directum, nisi quatenus illud, a viribus impressis cogitur statum suum mutare, PROJECTILIA perseverant in motibus suis, nisi quatenus a resistentia aeris retardantur, & vi gravitatis impelluntur deor- sum. Trochus, cujus partes cohserendo perpetuo retrahunt sese a motibus rectiHneis, non cessat rotari, nisi quatenus ab aere retardatur. Majora autem planetarum & cometarum corpora motus suos & progressivos & circulares in spatiis minus resistentibus factos con- servant diutius. LE X II. Mutationem motus proportionalein esse vi ^notrici impresscs, & fieri sectmdum lineam rectam qua vis illa imprimitur, Si vis aliqua motum quemvis generet ; dupla duplum, tripla triplum generabit, sive simul & semel, sive gradatim & successive impressa fuerit. Et hic motus (quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice determinatur) si corpus antea movebatur, motui ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obliquo obHque adjicitur, & cum eo secuhdum utriusque determinationem componitur. 14 AXIOMATA, SIVE L E X III Adioni contrariam semper & cEqualem esse reactiofie^n : sive corportwt dtiorum actiones iit se miituo se^nper esse csquales & in partes contrarias dirigi, Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur. Si quis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus lapidem funi alligatum trahit, retrahe- tur etiam & equus (ut ita dicam) aequaliter in lapidem : nam funis utrinque distentus eodem relaxandi se conatu urgebit equum versus lapidem, ac lapidem versus equum ; tantumque impediet progressum unius quantum promovet progressum alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingens, motum ejus vi sua quomodocunque mutaverit, idem quoque vicissim in motu proprio eandem mutationem in partem contrariam vi alterius (ob sequalitatem pressionis mutuae) subibit. His actionibus sequales fiunt mutationes, non veloci- tatum, sed motuum ; scilicet in corporibus non aliunde impeditis. Mutationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes factae, quia motus aequaliter mutantur, sunt corporibus reciproce propor- tionales. Obtinet etiam haec lex in attractionibus, ut in scholio proximo probabitur. COROLLARIUM I. Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogrammi eodem te77tpore describere, quo latera separatis. Si corpus datcr tempore, vi sola M ^ in loco A impressa, ferretur uniformi cum motu ab ^ ad -5 ; & vi sola N in eodem loco impressa, ferretur ab ^ ad C ; compleatur parallelogrammum ABDC, & vi utraque feretur corpus illud eodem tempore in diagonali ab A ad D. Nam quoniam vis N agit secun- dum lineam A C ipsi BD parallelam, haec vis per legem 1 1 nihil LEGES MOTUS. 15 mutabit velocltatem accedendi ad llneam illam BD a vi altera genitam. Accedet igltur corpus eodem tempore ad lineam BD, slve vls N imprimatur, slve non ; atque ideo in fine Illlus temporis reperletur allcubi in Ilnea Illa BD. Eodem argumento in fine temporls ejusdem reperletur alicubi in llnea CD, & idcirco in utri- usque llnese concursu D reperlri necesse est. Perget autem motu rectlllneo ab ^ ad Z^ per legem i. COROLLARIUM II El hinc patet compositio vis directce AD ex viribus qtcibusvis obliquis AB df BD, & vicissim resolutio vis cujusvis directcB AD in obliquas quascunque A^ & BD. Quce quidem compositio & resolutio abtmde confirmatur ex mechanica, Ut sl de rotae alicujus centro O exeuntes radii inaequales O M, O N filis M A, N P sustineant pondera A & P, & quserantur vires ponderum ad movendam rotam : Per centrum O agatur recta K O L filis perpendiculariter occurrens in K and Z, c^ntroque O & inter- vallorum O K, OL majore OL describatur circulus occurrens filo M A in D: &: actse rectae OD parallela sit A Cy 8c perpendicu- laris DC Quonlam nlhil refert, utrum filorum puncta K, L, D affixa sint an non affixa ad planum rotae ; pondera idem valebunt, ac si suspenderentur a punctis K & L vd D 8i L. Ponderis autem A exponatur vis tota per llneam A D, 81 haec resolvetur in vires A C, CD, quarum A C trahendo radlum OD directe a centro nihil valet ad movendam rotam ; vis autem altera D C, trahendo radium D O perpendiculariter, idem i6 AXIOMATA, SIVE valet, ac si perpendiculariter traheret radium O L ipsi O D aequalem ; hoc est, idem atque pondus P, si modo pondus illud sit ad pondus A ut v\s D C ad vim DA, id est (ob similia triangula A D C, DOKJ ut OK 2id OD seu O L. Pondera igitur A & P, quae sunt reciproce ut radii in directum positi O K & O L, idem pollebunt, & sic consistent in sequilibrio : quae est proprietas notissima Hbrae, vectis, & axis in peritrochio. Sin pondus alterutrum sit majus quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto major. Quod si pondus/ ponderi P sequale partim suspendatur filo iV/, partim incumbat plano obhquo / G: agantur p H, N H, prior horizonti, posterior plano / G perpendicularis ; & si vis ponderis / deorsum tendens, exponatur per Hneam p H, resolvi potest hsec in vires / N, HN, Si filo / iV^ per- pendiculare esset planum aHquod p Q, secans planum alterum p G in Hnea ad horizontem paraHela ; & pondus / his planis p Q, p G solummodo incumberet ; urgeret iHud haic plana viribus / Ny HN, perpendiculariter nimirum planum / Q w\ p Ny 8i planum p G v\ HN. Ideoque si tollatur planum p Qy ut pondus tendat filum ; quoniam filum sustinendo pondus jam vicem praestat plani sublati, tendetur illud eadem vi p N, qua planum antea urgebatur. Unde tensio fili hujus obliqui erit ad tensionem fili alterius perpendicularis PNy ut p N 2id p H. Ideoque si pondus p sit ad pondus A in ratione, quse componitur ex ratione reciproca minimarum distantiarum filorum suorum p N, A M 3, centro rotae, & ratione directa p H 2A p N ; pondera idem valebunt ad rotam movendam, atque ideo se mutuo sustinebunt, ut quilibet experiri potest. Pondus autem /, planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet cunei inter corporis fissi facies internas : & inde vires cunei & mallei innotescunt : utpote cum vis qua pondus p urget planum p Q sit ad vim, qua idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur LEGES MOTUS. ^y secundum lineam p H m plana, ut/ iV ad/ H ; atque ad vim, qua urget planum alterum/ G , wt p N -d^di N H. Sed & vis cochle^ per similem virium divisionem colligitur ; quippe quae cuneus est a vecte impulsus. Usus igitur corollarii hujus latissime patet, & late patendo veritatem ejus evincit ; cum pendeat ex jam dictis me- chanica tota ab auctoribus diversimode demonstrata. Ex hisce enim facile derivantur vires machinarum, quae ex rotis, tympanis, trochleis, vectibus, nervis tensis & ponderibus directe vel obHque ascendentibus, cseterisque potentiis mechanicis componi solent, ut & vires tendinum ad animaHum ossa movenda. COROLLARIUM III. Quantitas mottis quce colligitur capiendo summam motuum fac- torum ad eandem partem, & differentiam factorum ad contrarias, non mutatur ab actione corporum inter se. Etenim actio eique contraria reactio aequales sunt per legem iii, ideoque per legem 1 1 sequales in motibus efficiunt mutationes versus contrarias partes. Ergo si motus fiunt ad eandem partem ; quicquid additur motui corporis fugientis, subducetur motui corporis insequentis sic, ut summa maneat eadem quae prius. Sin corpora obviam eant ; sequalis erit subductio de motu utriusque, ideoque differentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem. Ut si corpus sphaericum A sit triplo majus corpore sphaerico B^ habeatque duas velocitatis partes ; & B sequatur in eadem recta cum velocitatis partibus decem, ideoque motus ipsius A sit ad motum ipsius B, ut sex ad decem : ponantur motus ilHs esse partium sex & partium decem, & summa erit partium sexdecim. In corporum igitur concursu, si corpus A lucretur motus partes tres vel quatuor vel quinque, corpus B amittet partes totidem, ideoque perget corpus A post reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim, & B cum partibus septem vel sex vel quinque, existente semper summa partium sexdecim ut prius. Si corpus A lucretur partes novem vel decem vel undecim vel duodecim, ideoque progrediatur post concursum cum partibus quindecim vel sexdecim vel septendecim vel octodecim ; corpus B, amittendo tot partes quot A lucratur, B i3 AXIOMATA, SIVE vel cum una parte progredietur amissis partibus novem, vel quiescet amisso motu suo progressivo partium decem, vel cum una parte regredietur amisso motu suo & (ut ita dicam) una parte amplius, vel regredietur cum partibus duabus ob detractum motum progres- sivum partium duodecim. Atque ita summse motuum conspirantium 15+ I vel 1 6-1-0, & differentiae contrariorum 17— i & 18 — 2 semper erunt partium sexdecim, ut ante concursum & reflexionem. Cog- nitis autem motibus quibuscum corpora post reflexionem pergent, invenietur cujusque velocitas, ponendo eam esse ad velocitatem ante reflexionem, ut motus post est ad motum ante. Ut in casu ultimo, ubi corporis A motus erat partium sex ante reflexionem & partium octodecim postea, & velocitas partium duarum ante reflexionem ; invenietur ejus velocitas partium sex post reflexionem, dicendo, ut motus partes sex ante reflexionem ad motus partes octodecim postea, ita velocitatis partes duae ante reflexionem ad velocitatis partes sex postea. Quod si corpora vel non sphserica vel diversis in rectis moventia incidant in se mutuo oblique, & requirantur eorum motus post reflexionem ; cognoscendus est situs plani a quo corpora concur- rentia tanguntur in puncto concursus : dein corporis utriusque motus (per Corol. 11.) distinguendus est in duos, unum huic plano per- pendicularem, alterum eidem parallelum : motus autem paralleli, propterea quod corpora agant in se invicem secundum lineam huic plano perpendicularem, retinendi sunt iidem post reflexionem atque antea ; & motibus perpendicularibus mutationes aequales in partes contrarias tribuendae sunt sic, ut summa conspirantium & diflerentia contrariorum maneat eadem quse prius. Ex hujusmodi reflexionibus oriri etiam solent motus circulares corporum circa centra propria. Sed hos casus in sequentibus non considero, & nimis longum esset omnia huc spectantia demonstrare. LEGES MOTUS. jq COROLLARIUM IV. Com^nune gravitatis centrum corporum duo7^u77t vel plurium, ab ac- tionibtis corporum inter se, non mutat stattcm suum vel motus vel quietis; & propterea corporum omnium i^i se mutuo agentium (exclusis actionibtcs & impedimentis externis) commune centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum. Nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis rectis, & distantia eorum dividatur in ratione data, punctum dividens vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta. Hoc postea in lemmate xxiii ejusque corollario demonstratur, si punctorum motus fiant in eodem plano; & eadem ratione demonstrari potest, si motus illi non fiant in eodem plano. Ergo si corpora quotcunque moventur uniformiter in lineis rectis, commune centrum gravitatis duorum quorumvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta; propterea quod linea, horum corporum centra in rectis uni- formiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro communi in ratione data. Similiter & commune centrum horum duorum & tertii cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta ; propterea quod ab eo dividitur distantia centri communis corporum duorum & centri corporis tertii in data ratione. Eodem modo & commune centrum horum trium & quarti cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta ; propterea quod ab eo divi- ditur distantia inter centrum commune trium & centrum quarti in data ratione, & sic in infinitum. Igitur in systemate corporum, quae actionibus in se invicem aliisque omnibus in se extrinsecus impressis omnino vacant, ideoque moventur singula uniformiter in rectis singulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum. Porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium, cum distantise centrorum utriusque a communi gravitatis centro sint reciproce ut corpora ; erunt motus relativi corporum eorundem, vel accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, aequales inter se. Proinde centrum illud a motuum aequalibus mutationibus in 20 AXIOMATA, SIVE partes contrarlas factis, atqiie ideo ab actionlbus horum corporum inter se, nec promovetur nec retardatur nec mutationem patitur in statu suo quoad motum vel quletem. In systemate autem cor- porum plurium, quoniam duorum quorumvls in se mutuo agentium commune gravitatis centrum ob actlonem illam nullatenus mutat statum suum ; & reliquorum, quibuscum actlo illa non intercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur ; distantia autem horum duorum centrorum dividltur a communi corporum omnium centro in partes summls totaHbus corporum quorum sunt centra reciproce proportlonales ; ideoque centris ilHs duobus statum suum movendi vel quiescendi servantibus, commune omnium centrum servat etiam statum suum : manifestum est quod commune illud omnium centrum ob actiones blnorum corporum inter se nunquam mutat statum suum quoad motum & quietem. In tali autem syste- mate actiones omnes corporum inter se, vel inter bina sunt corpora, vel ab actionibus inter bina compositse ; & propterea communi om- nium centro mutationem in statu motus ejus vel quietis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in se invicem, vel qulescit, vel in recta aHqua progreditur uniformiter ; perget idem, non obstantlbus corporum actlonibus inter se, vel semper quiescere, vel semper progredi unlformiter in directum ; nisi a viribus in systema extrinsecus impressls deturbetur de hoc statu. Est igitur systematis corporum plurium lex eadem, quae corporis soHtaril, quoad perseverantiam in statu motus vel quietis. Motus enim progressivus seu corporis soHtarli seu systematis corporum ex motu centri gravitatis sestimari semper debet. COROLLARIUM V. Corporum dato spatio inclusorum iidem sunt motus inter se, sive spatium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directuml^ sine motu circulari, Nam differentiae motuum tendentium ad eandem partem, & summae tendentium ad contrarias, eaedem sunt sub initio in utroque casu (ex hypothesi) & ex hls summls vel dlfferentiis oriuntur con- LEGES MOTUS. 2 i gressus & impetus quibus corpora se mutuo feriunt. Ergo per legem 1 1 sequales erunt congressuum effectus in utroque casu ; & propterea manebunt motus inter se in uno casu aequales motibus inter se in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Motus omnes eodem modo se habent in navi, sive ea quiescat, sive moveatur uniformiter in directum. COROLLARIUM VI. Si corpora movea^itur quomodocunque inter se, & a viribus accelera- tricibus cequalibus secundum lineas parallelas urgeantur; pergem omnia eodem modo moveri inter se, ac si viribus illis 7ion essent incitata. Nam vires illae sequaliter (pro quantitatibus movendorum cor- porum) & secundum lineas parallelas agendo, corpora omnia aequaliter (quoad velocitatem) movebunt per legem ii. ideoque nunquam mutabunt positiones & motus eorum inter se. • Scholium. Hactenus principia tradidi a mathematicis recepta & experientia multiplici confirmata. Per leges duas primas & corollaria duo prima GalilcBus invenit descensum gravium esse in duplicata ratione tem- poris, & motum projectilium fieri in parabola; conspirante ex- perientia, nisi quatenus motus ilH per aeris resistentiam aliquantulum retardantur. Corpore cadente gravitas uniformis, singulis temporis particulis sequaHbus sequaliter agendo imprimit vires aequales in corpus illud, & velocitates aequales generat : & tempore toto vim totam imprimit & velocitatem totam generat tempori proportionalem. Et spatia temporibus proportionaHbus descripta, sunt ut velocitates & tempora conjunctim ; id est in dupHcata ratione temporum. Et corpore sursum projecto gravitas uniformis vires imprimit & velo- citates aufert temporibus proportionales ; ac tempora ascendendi ad altitudines summas sunt ut velocitates auferendae, & altitudines iHae sunt ut velocitates ac tempora conjunctim, seu in dupHcata ratione 22 AXIOMATA. SIVE velocltatum. Et corporis secundum rectam quamvis projecti motus a projectione oriundus cum motu a gravitate oriundo componi- tur. Ut si corpus A motu solo projectionis dato tempore describere posset rectam A B & motu " solo cadendi eodem tempore describere posset altitudinem A C: compleatur parallelogrammum A B D C, & corpus illud motu composito repe- rietur in fine temporis in loco D ; & curva linea AED, quam corpus illud describet, erit parabola quam recta A B tangit in A, & cujus ordinata BD est ut AB^. Ab iisdem legibus & corollariis pendent demonstrata de temporibus oscillantium pendulorum, suffragante horologiorum experientia quotidiana. Ex his iisdem & lege tertia Christophorus Wrennus eques auratus, Joha^mes Wallisms S. T.D. & Christianus Hugenius, aetatis superioris geome- trarum facile principes, regulas congressuum & reflexionum durorum corporum seorsim invenerunt, & eodem fere tempore cum Societate Regia communicarunt, inter se (quoad has leges) omnino conspirantes : & primus quidem Wallisius, deinde Wre^mus & Hugenius inventum prodiderunt. Sed & veritas comprobata est a Wrenno coram Regia Societate per experimentum pendulorum : quod etiam Clarissimtis Mariottus Hbro integro exponere mox dignatus est. Verum, ut hoc experimentum cum theoriis ad amussim congruat, habenda est ratio, cum resistentiae aeris, tum etiam vis elasticae concurrentium corporum. Pendeant corpora sphaerica A, B fihs paralleHs & aequaHbus A C, B D, a centris C, D. His centris & intervaHis de- scribantur semicircuH E A F, GBH vdidns CA, DB bisecti. Trahatur corpus A ad arcus EAE punctum quodvis R^ & (subducto corpore B) demitta- tur inde, redeatque post unam osciHationem ad punctum V. Est 7? F retardatio ex resisten- tia aeris. Hujus i? F fiat S T pars quarta sita in medio, ita sciHcet ut ^ 6^ & TF aequentur, sitque R S 2id S Tut ^ 2id 2. Et ista S T exhibebit retardationem in descensu ab vS' ad ^ quam proxime. LEGES MOTUS. 23 Restituatur corpus B in locum suum. Cadat corpus A de puncto Sy & velocitas ejus in loco reflexionis A sine errore sensibili tanta erit, ac si in vacuo cecidisset de loco T. Exponatur igitur haec velocitas per chordam arcus TA. Nam velocitatem penduli in puncto infimo esse ut chordam arcus, quem cadendo descripsit, propositio est geometris notissima. Post reflexionem perveniat corpus A ad locum s, & corpus B ad locum k. Tollatur corpus B & inveniatur locus v ; 2. quo si corpus A demittatur & post unam oscillationem redeat ad locum r, sit s t pars quarta ipsius r v sita in medio, ita videlicet vXr s %l t v sequentur ; & per chordam arcus / A exponatur velocitas, quam corpus A proxime post reflexionem habuit in loco A. Nam t erit locus ille verus & correctus, ad quem corpus Ay sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili methodo corrigendus erit locus k, ad quem corpus B ascendit, & inveniendus locus /, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo. Hoc pacto experiri Hcet omnia, perinde ac si in vacuo constituti essemus. Tandem ducendum erit corpus A (ut ita dicam) in chordam arcus T A, quse velocitatem ejus exhibet, ut habeatur motus ejus in loco A proxime ante reflexionem ; deinde in chordam arcus t A, ut habeatur motus ejus in loco A proxime post reflexionem. Et sic corpus B ducendum erit in chordam arcus B /, ut habeatur motus ejus proxime post reflexionem. Et simiH methodo, ubi corpora duo simul demittuntur de locis diversis, inveniendi sunt motus utriusque tam ante, quam post reflexionem ; & tum demum conferendi sunt motus inter se & coHigendi eflectus reflexionis. Hoc modo in penduHs pedum decem rem tentando, idque in corporibus tam insequaHbus quam aequaH- bus, & faciendo ut corpora de intervaflis ampHssimis, puta pedum octo vel duodecim vel sexdecim, concurrerent ; reperi semper sine errore trium digitorum in mensuris, ubi corpora sibi mutuo directe occurre- bant, sequales esse mutationes motuum corporibus in partes contrarias iUatae, atque ideo actionem & reactionem semper esse sequales. Ut si corpus A incidebat in corpus B quiescens cum novem partibus motus, & amissis septem partibus pergebat post reflexionem cum duabus ; corpus B resiHebat cum partibus istis septem. Si corpora obviam ibant, A cum duodecim partibus & B cum sex, & redibat A cum duabus ; redibat B cum octo, facta detractione partium quatuorde- cim utrinque. De motu ipsius A subducantur partes duodecim & resta- 24 AXIOMATA, SIVE K G c ' D P H 1 \ /> r\ \ s\ \ / /* t\ \ tJ / v\ \ ^^ ^ bit nihil : subducantur aliae partes duae, & fiet motus duarum par- tium in plagam contrariam: & sic de motu corporis B partium sex subducendo partes quatuordecim, fient partes octo in plagam contrariam. Quod si corpora ibant ad eandem plagam, A velocius cum partibus quatuordecim, & B tardius cum partibus quinque, & post reflexionem pergebat A cum quinque partibus ; perge- bat B cum quatuordecim, facta translatione partium novem de A in B. Et sic in reliquis. A congressu & collisione cor- porum nunquam mutabatur quantitas motus, quse ex summa motuum conspirantium & differentia contrariorum colligebatur. Nam errorem digiti unius & alterius in mensuris tribuerim difficultati peragendi singula satis accurate. Difficile erat, tum pendula simul demittere sic, ut corpora in se mutuo impingerent in loco infimo A B ; tum loca s, k notare, ad quae corpora ascendebant post concursum. Sed & in ipsis corporibus pendulis inaequalis partium densitas, & textura aliis de causis ir- regularis, errores inducebant. Porro nequis objiciat regulam, ad quam probandam inventum est hoc experimentum, praesupponere corpora vel absolute dura esse, vel saltem perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in com- positionibus naturalibus ; addo quod experimenta jam descripta succedunt in corporibus mollibus aeque ac in duris, nimirum a con- ditione duritiei neutiquam pendentia. Nam si regula illa in cor- poribus non perfecte duris tentanda est, debebit solummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis elasticae. In theoria Wrenni & Htigenii corpora absolute dura redeunt ab invicem cum velocitate congressus. Certius id affirmabitur de perfecte elasticis. In imperfecte elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum vi elastica ; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes corporum ex congressu laeduntur, vel extensionem aliqualem quasi sub malleo patiuntur,) certa ac determinata sit (quantum sentio) faciatque ut corpora redeant ab invicem cum velocitate relativa, quae sit ad relativam velocitatem concursus in data ratione, Id in pilis ex LEGES MOTUS. 25 lana arcte conglomerata & fortlter constricta slc tentavl. Primum demittendo pendula & mensurando reflexionem, invenl quantltatem vls elastlcae ; deinde per hanc vlm determinavi reflexlones in alils caslbus concursuum, & respondebant experimenta. Redlbant semper pllae ab invicem cum velocitate relativa, quae esset ad velocitatem relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pllae ex chalybe : ahae ex subere cum paulo mlnore : in vitreis autem proportio erat 15 ad 16 clrclter. Atque hoc pacto lex tertla qudad ictus & reflexiones per theoriam comprobata est, quae cum experientia plane congruit. In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus qulbusvis A, B s^ mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis interponl, quo congressus eorum Impediatur. Si corpus alterutrum A magis trahitur versus corpus alterum i?, quam illud alterum B in prius A, obstaculum magls urgebltur presslone corporis A quam presslone corporls B ; proindeque non manebit in aequIHbrio. Prae- valeblt presslo fortior, facletque ut systema corporum duorum & obstacull moveatur in dlrectum in partes versus B, motuque in spatiis liberis semper accelerato abeat in infinitum. Quod est absurdum & legi primae contrarium. Nam per legem primam debebit systema perseverare in statu suo qulescendi vel movendi uniformlter in directum, proindeque corpora aequahter urgebunt obstaculum, & idcirco aequaHter trahentur in invicem. Tentavi hoc in magnete & ferro. Si haec in vascuHs propriis sese contingentibus seorsim posita, in aqua stagnante juxta fluitent ; neutrum propellet alterum, sed aequahtate attractionis utrlnque sustinebunt conatus in se mutuos, ac tandem in aequIHbrlo constituta quiescent. Sic etiam gravitas inter terram & ejus partes mutua est. Sece- tur terra FI plano quovis E G in partes duas EGF 8c EGI: & aequaHa erunt harum pondera in se mutuo. Nam si plano aHo HK quod priori EG paraHelum sit, pars major EGI secetur in partes duas EGKH ^\ & HKI, quarum HKI aequaHs sit partl prlus abscissae EFG : manlfestum est quod pars media EGKH pondere proprio in neutram partium extremarum propendebit. 26 AXIOMATA, SIVE sed inter utramque in sequilibrio, ut ita dicam, suspendetur, & quiescet. Pars autem extrema HKI toto suo pondere incumbet in partem mediam, & urgebit illam in partem alteram extremam E G F ; ideoque vis qua partium H K I 8i E G K H summdi E G I tendit versus partem tertiam EGF, sequalis est ponderi partis HKI, id est ponderi partis tertise EGF. Et propterea pondera partium duarum EGI, EGF m se mutuo sunt sequalia, uti volui ostendere. Et nisi pondera illa aequalia essent, terra tota in libero sethere fluitans ponderi majori cederet, & ab eo fugiendo abiret in infinitum. Ut corpora in concursu & reflexione idem pollent, quorum velocitates sunt reciproce ut vires insitse : sic in movendis instrumentis mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis se mutuo sustinent, quorum velocitates secundum determinationem virium sestimatae, sunt reciproce ut vires. Sic pondera sequipollent ad movenda brachia Hbrse, quse oscillante Hbra sunt reciproce ut eorum velocitates sursum & deorsum : hoc est, pondera, si recta ascendunt & descendunt, sequipollent, quse sunt reciproce ut punc- torum a quibus suspenduntur distantise ab axe librae ; sin planis obHquis aHisve admotis obstacuHs impedita ascendunt vel descendunt obHque, sequipoHent, quse sunt reciproce ut ascensus & descensus, quatenus facti secundum perpendiculum : idque ob determinationem gravitatis deorsum. SimiHter in trochlea seu polyspasto vis manus funem directe trahentis, quse sit ad pondus vel directe vel obHque ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis & simiHbus instrumentis, quse ex rotuHs commissis constructa sunt, vires contrarise ad motum rotularum promovendum & impe- diendum, si sunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur, sustinebunt se mutuo. Vis cochlese ad premendum corpus est ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progressivam cochlese versus corpus pressum. Vires quibus Cu- neus urget partes duas Hgni fissi sunt ad vim maHei in cuneum, ut LEGES MOTUS. 27 progressus cunei secundum determinationem vis a malleo in ipsum impressae, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par est ratio machinarum omnium. Harum efficacia & usus in eo solo consistit, ut diminuendo velo- citatem augeamus vim, & contra : Unde solvitur in omni aptorum instrumentorum genere problema, Datum pondus data vi movendi, aliamve datam resistentiam vi data superandi. Nam si machinae ita formentur, ut velocitates agentis & resistentis sint reciproce ut vires ; agens resistentiam sustinebit : & majori cum velocitatum dis- paritate eandem vincet. Certe si tanta sit velocitatum disparitas, ut vincatur etiam resistentia omnis, quse tam ex contiguorum & inter se labentium corporum attritione, quam ex continuorum & ab invicem separandorum cohaesione & elevandorum ponderibus oriri solet ; superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem motus sibi proportionalem, partim in partibus machinae, partim in corpore resistente producet. Caeterum mechanicam tractare non est hujus instituti. Hisce volui tantum ostendere, quam late pateat quamque certa sit lex tertia motus. Nam si aestimetur agentis actio ex ejus vi & velocitate conjunctim ; & simiHter resistentis reactio aestimetur conjunctim ex ejus partium singularum velocitatibus & viribus resistendi ab earum attritione, cohaesione, pondere, & accel- eratione oriundis ; erunt actio & reactio, in omni instrumentorum usu, sibi invicem semper aequales. Et quatenus actio propagatur per instrumentum & ultimo imprimitur in corpus omne resistens, ejus ultima determinatio determinationi reactionis semper erit contraria. DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS, SECTIO I. De methodo rationum primarum & ultimarum^ cujus ope sequentia demonstrantur. LEMMA I. Quantitates, ut & quantitatum rationes, qucB ad cequalitatem tempore quovis finito constanter tendunt, & ante finem temporis illius propius ad invicem acceduni quam pro data quavis differentia, fiunt ultimo cBqtiales, SI negas ; fiant ultimo inaequales, & sit earum ultima differentia D. Ergo nequeunt propius ad sequalitatem accedere quam pro data differentia D : contra hypothesin. LEMMA II. Si in figura quavis A a c E, rectis A a, A E & curva a c E com- prekensa, inscribantur parallelogramma quotcunque A b, B c, C d, &c. stcb basi- bus A B, B C, C D, &c. csqtcalibtis, & lateribus B b, C c, D d, &c. figurcB lateri A a parallelis contenta; & compleantur parallebgramma aKbl, bLcm, cMdn, &c. Dein horum parallelogrammorum, latitudo minuatur, & numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimce rationes quas kabent ad se invicem figura inscripta a bf DE MOTU CORFORUM, ^^c. 29 A K b L c M d D, circumscripta AalbmcndoE, & curvilinea AabcdE, sunt rationes ceqtialitatis. Nam figurae inscrlptse & clrcumscriptse dififerentia est summa parallelogrammorum K l, Lm, Mn, Do, hoc est (ob aequales omnium bases) rectangulum sub unlus basl K d 8>l altitudinum summa A a, id est, rectangulum A B la, Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus A B in infinltum minuitur, fit mlnus quovis dato. Ergo (per lemma i) figura inscrlpta & circumscrlpta & multo magis figura curvillnea intermedla fiunt ultimo aequales. Q, E. D, LEMMA III. Ecsdem rationes ultimce sunt etiam rationes csqualitatis, ubi parallelo- grammorum latitudines A B, B C, C D, &c. sunt incequaleSy & omnes minuwitur in infinitum. Sit enim A F sequalis latitudini maximse, & compleatur parallelo- grammum FA af. Hoc erit majus quam differentia figurse inscriptse & figurse circumscriptse ; at latitudine sua A Fin infinitum dimlnuta, minus fiet dato quovis rectangulo. Q. E. D. Corol. I. Hlnc summa ultlma parallelogrammorum evanescentium coincldit omni ex parte cum figura curvillnea. Corol. 2. Et multo magis figura rectlHnea, quse chordis evanes- centium arcuum ab, bc, cd, &c. comprehendltur, coincidit ultlmo cum figura curvIHnea. Corol. 3. Ut & figura rectilinea circumscripta quse tangentibus eorundem arcuum comprehenditur. Corol. 4. Et propterea hse figurse ultimse (quoad perimetros acE) non sunt rectlHnese, sed rectlHnearum Hmites curviHnei. LEMMA IV. Si in duabus figuris A a c E, P p r T, inscribantur (ut supra) ducB parallelogrammorum serieSy sitque idem amborum numerus, & ubi kititudines in i^ifinitum diminuuntur, rationes ultimce parallelo- grammorum in tina figura ad parallelogramma in altera, singulorum ) DE MOTU CORPORUM ad singula, sint ecedeni; dico quod figurcB ducs A a c E, P p r T, simt ad invicem in eadem illa ratione. P Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (compo- nendo) fit summa omnium ad summam omnium, & ita figura ad figuram ; existente nimirum figura priore (per lemma 1 1 1) ad summam priorem, & figura posteriore ad summam posteriorem in ratione sequalitatis. Q. E. D. Corol. Hinc si duae cujuscunque generis quantitates in eundem partium numerum utcunque dividantur ; & partes illae, ubi numerus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obti- neant rationem ad invicem, prima ad primam, secunda ad secundam, cseterseque suo ordine ad cseteras : erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam si in lemmatis hujus figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes, summae partium semper erunt ut summse parallelogrammorum ; atque ideo, ubi partium & parallelo- grammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id est (per hypothesin) in ultima ratione partis ad partem. LEMMA V. Similium figurarum latera omnia, qucs sibi mutuo respondent, sunt proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea ; & arecs sunt in duplicata ratione laterum. LIBER PRIMUS. 31 LEMMA VI. Si arais quilibet positione dattcs A C B subtendatMr chorda A B & in puncto aliquo A, in medio curvaturcs continuce, ^ i\-=^^-^ - ^d tangatur a recta utrinque prodtuta AD; dein ptmcta A, B ad htvicem accedant & coeant ; dico quod aug- ulus BAD, sub chorda & tangente contenttis, min- uetur i7t i^ijinitum & ultimo evanescet, Nam sl angulus ille non evanescit, continebit arcus A CB cum tangente AD angulum rectlllneo aequalem, & propterea curvatura ad punctum A non erlt contlnua, contra hypothesln. LEMMA VIL lisdem positis; dico quod ultima ratio arcus, chordcB, & tangentis ad invicem est ratio csqualitatis. Nam dum punctum B ad punctum A accedlt, intelllgantur sem- per AB 81 AD ad puncta longlnqua b ac ^producl, & secantl BD parallela agatur b d. Sltque arcus A cb semper slmllls arcui A CB. Et punctls A, B coeuntlbus, angulus dA b, per lemma superlus, evanescet ; ideoque rectse semper finitae A b, A d, Sl arcus interme- dius A cb colncldent, & propterea aequales erunt. U nde & hlsce semper proportlonales rectae A B,A D, 81 arcus intermedlus ACB evanescent, & ratlonem ultlmam habebunt aequalltatls. Q. E. D. Corol. I. Unde sl per ^ ducatur tangenti parallela^i^ rectam quamvis A F per A transeuntem perpetuo secans in F, haec B F a ultlmo ad arcum evanescentem A CB ratlonem habeblt aequallta- tls, eo quod completo parallelo- grammo A F B D rationem semper habet aequahtatls ad A D. 32 PK MOTU CORPORUM Corol. 2. Et si ptr B & A ducantur plures rcctae BB, BD, AP, AG, secantes tangentem AD & ipsius parallelam BF; ratio ultima abscissarum omnium AD, AE, BF, BG, chordseque & arcus AB ad invicem erit ratio sequalitatis. CoroL 3. Et propterea hae omncs linca:, in onini dc rationibus ultimis argumentatione, pro se invicem usurpari possunt. LEMMA VIII. Si recta data AR, BR cum arcu ACB, chorda AB cSr' tangente AD, triangula tria RAB, RACB, RAD constitumit, dcin puncta A, B accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudifiisy & ultima ratio crgualitatis, Nam dum punctum B ad punctum A accedit, intelligantur semper AB, AD, AR ad puncta longinqua b, d & r produci, y^ ipsique R D parallela agi rbd, & arcui ACB similis semper sit arcus Ac6. Et coeuntibus punctis A^ B, angulus 6 A d evanescet, & propterea triangula tria sem- per finita r-^ ^, rAcb, rA^d coincident, suntque eo nom- ine similia & sequalia. Unde & hisce semper similia & proportionalia RAB^RA CB, RAD fient ultimo sibi invicem similia & sequalia. (2. E. D. CoroL Et hinc triangula illa, in omni de rationibus ultimis argu- mentatione, pro se invicem usurpari possunt. LEMMA IX. Si recta hJL & curva A B C positione datcc se mutuo secent in angulo dato A, & ad rectam i/iam in alio dato angulo ordinatim JJJiJ.K J'RJMUS. 33 appliccniur B D, CE, cnrvcc occtirrentes in B, C, dein puncta B, C simul accedant ad punctum A : dico quod arece triang^dorum ABD, ACE crunt ultimo ad ifivicem in duplicata ratione laterum, Etenim dum puncta By C accedunt ad punctum A, intelligatur semper A D produci ad puncta longinqua d &. e, ut sint A d, A e ipsis AD, AE proportionales, & erigantur ordinatae db, ec ordi- natis D B, E C parallela: quae occurrant ipsis ABy ^Cproductis in ^ & r. Duci intelligatur, tum curva Abc ipsi ^i?Csimilis, tum recta Ag, quae tangat curvam utramque in A, & secet ordinatim applicatas DB, EC, db, ec in F, ^y/f^' Tum manente longitu- dine A e coeant puncta B, C cum puncto A ; & angulo cAg evanes- cente, coincident areee curvilineae Abd, Ace cum rectilineis Afd, Age ; ideoque (per lemma v.) erunt in duplicata ratione laterum A d, Ae: Sed his areis proportionales semper sunt areae ABD, ACE, & his lateribus latera A D, A E. Ergo & areai ABD, ACE sunt ultimo in dupHcata ratione laterum A D, AE. Q.E.D. LEMMA X. Spatia quce corpus urgente quacunque vi finita describity sive vis illa determinata & immutabilis sit, sive eadem continuo augeatur vel contimw diminuatury sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum. Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genitae per ordinatas DB, EC; & spatia his velocitatibus descripta, erunt ut area^ ABD, ACE his ordinatis descriptce, hoc est, ipso motus initio (per lemma ix.) in duplicata ratione temporum AD, AE. Q^E.D. 34 . DE MOTU CORPORUM Corol. I. Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui viribus quibusvis aequalibus ad corpora similiter applicatis generantur, 8: mensurantur per distantias corporum a figurarum similium locis illis, ad quae corpora eadem temporibus iisdem pro- portionalibus sine viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime. CoroL 2. Errores autem qui viribus proportionalibus ad similes figurarum similium partes similiter applicatis generantur, sunt ut vires & quadrata temporum conjunctim. Corol. 3. Idem intelligendum est de spatiis quibusvis quae corpora urgentibus diversis viribus describunt. Haec sunt, ipso motus initio, ut vires & quadrata temporum conjunctim. Corol. 4. Ideoque vires sunt ut spatia, ipso motus initio, descripta directe & quadrata temporum inverse. CoroL 5. Et quadrata temporum sunt ut descripta spatia directe & vires inverse. Scholium. Si quantitates indeterminatae diversorum generum conferantur inter se, & earum aliqua dicatur esse ut est alia quaevis directe vel inverse : sensus est, quod prior augetur vel diminuitur in eadem ratione cum posteriore, vel cum ejus reciproca. Et si earum aliqua dicatur esse ut sunt aliae duae vel plures directe vel inverse : sensus est, quod prima augetur vel diminuitur in ratione quae componitur ex rationibus in quibus aliae vel aliarum reciprocae augentur vel diminuuntur. Ut si A dicatur esse ut B directe & C directe & D inverse : sensus est, quod A augetur vel diminuitur in eadem ratione T R C* cum B X C X -^ hoc est, quod A & — sunt ad invicem in ratione data. LEMM A XI. Subtensa evanescens anguli contactus, in curvis omnibus curvaturam finitam ad punctum contactus habentibus, est ultimo in rationel dtLplicata subtenscs arcus contermini. LIBER PRTMUS. 35 Cas. I. Slt arcus ille A B, tangens ejus A D, subtensa anguli contactus ad tangentem perpendicularis B D, subtensa arcus A B. Huic subtensae A B 8i tangenti A D perpendiculares erigantur A G, B G, concurrentes in G ; dein accedant puncta D, B, G, ad puncta d, d, g, sitque / intersectio linearum B G, A G ultimo facta ubi puncta D,B accedunt usque ad A. Manifestum est quod distantia GI minor esse potest quam assignata quaevis. Est autem (ex natura circu- lorum per puncta A B G, A bg transeuntium) A B qtmd. sequale A Gx B D, & A d quad. sequale Agxbd; ideoque ratio AB quad. ad Ab quad. componitur ex rationibus A G 2A A g 8i B D 2id bd. Sed quoniam G I assumi potest minor longitudine quavis assignata, fieri potest ut ratio A G ad Ag minus differat a ratione aequalitatis quam pro differentia quavis assignata, ideoque ut ratio A B quad. 3.6. Ab quad. minus differat a ratione BD ad bd quam pro differentia quavis assignata. Est ergo, per lemma i, ratio ultima AB quad, 2id A b quad. eadem cum ratione ultima B D zA b d. Q. E. D. Cas. 2. Inclinetur jam B D 2id A D m angulo quovis dato, & eadem semper erit ratio ultima B D ad bd quae prius, ideoque eadem Z.Z A B quad. zA A b quad. Q. E. D. Cas. 3. Et quamvis angulus D non detur, sed recta B D zA datum punctum convergat, vel alia quacunque lege constituatur ; tamen anguli D, d communi lege constituti ad aequalitatem semper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis assignata, ideoque ultimo aequales erunt, per lem. i, & propterea lineae BD, bd^wxsX. in eadem ratione ad invicem ac prius. Q.E.D. Corol. I. Unde cum tangentes A D^ A d, arcus A B, A b, & eorum sinus B C, bc fiant ultimo chordis A B, Ab aequales ; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut subtensae B D, bd. Corol. 2. Eorundem quadrata sunt etiam ultimo ut sunt arcuum sagittae, quae chordas bisecant & ad datum punctum convergunt. Nam sagittae illae sunt ut subtensae B D, bd. Corol. 3. Ideoque sagitta est in duplicata ratione temporis quo corpus data velocitate describit arcum. 36 DE MOTU CORPORUM Corol. 4. Triangula rectilinea ADB, Adb sunt ultimo in tripli- cata ratione laterum A D, A d, inque sesquiplicata laterum D B, db; utpote in composita ratione laterum AD & DB, A d & db existentia. Sic & triangula A B C, A bc sunt ultimo in triplicata ratione laterum B C, bc. Rationem vero sesquiplicatam voco triplicatae subduplicatam, quse nempe ex simplici & subduplicata componitur. Corol. 5. Et quoniam D B, db sunt ultimo parallelse & in duplicata ratione ipsarum A D, Ad: erunt areae ultimae curvilinese A D B, Adb (ex natura parabolae) duae tertiae partes triangulorum rectilineorum A D B, Adb; & segmenta A B, Ab partes tertiae eorundem triangulorum. Et inde hae areae & haec segmenta erunt in triplicata ratione tum tangentium A D, A d ; tum chordarum & arcuum AB, Ab. Sckolmm. Caeterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem ; hoc est, curvaturam ad punctum A, nec infinite parvam esse nec infinite magnam, seu intervallum AI finitae esse magnitudinis. Capi enim potest DB ut A D^ : quo in casu circulus nullus per punctum A inter tangen- tem A D &L curvam A B duci potest, proindeque angulus contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argumento si fiat DB successive ut A D\ A D\ A D\ A D\ &c. habebitur series angulorum contactus pergens in infinitum, quorum quiHbet posterior est infinite minor priore. Et si fiat DB successive ut A D^, A Diy A Di, A Diy A Di, A Dl, &c. habebitur aHa series infinita an- gulorum contactus, quorum primus est ejusdem generis cum circu- laribus, secundus infinite major, & quihbet posterior infinite major priore. Sed & inter duos quosvis ex his angulis potest series utrinque in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri, quorum quiHbet posterior erit infinite major minorve priore. Ut si inter terminos A D"" &. A D^ inseratur series A Z^V, A D\\ ADh LIBER PRIMUS. ^^ ADh ADl AD%, AD\\ A D\\ A D\\ &c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri potest series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis differentium. Neque novit natura limitem. Quae de curvis lineis deque superficiebus comprehensis demon- strata sunt, facile appHcantur ad soHdorum superficies curvas & contenta. Praemisi vero haec lemmata, ut effugerem taedium de- ducendi longas demonstrationes, more veterum geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium hypothesis, & propterea methodus illa minus geometrica censetur ; malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum evanescentium summas & rationes, primasque nascentium, id est, ad limites summarum & rationum deducere ; & propterea Hmitum iHorum demonstrationes qua potui brevitate praemittere. His enim idem praestatur quod per methodum indivisibiHum ; & principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequentibus, siquando quantitates tanquam ex particuHs constantes consideravero, vel si pro rectis usurpavero Hneolas curvas ; noHm indivisibiHa, sed evanescentia divisibiHa, non summas & rationes partium determinatarum, sed sum- marum & rationum Hmites semper inteHigi; vimquetaHum demonstra- tionum ad methodum praecedentium lemmatum semper revocari. Objectio est, quod quantitatum evanescentium nuHa sit ultima proportio ; quippe quae, antequam evanuerunt, non est ultima, ubi evanuerunt, nuHa est. Sed & eodem argumento aeque contendi posset nuUam esse corporis ad certum locum, ubi motus finiatur, pervenientis velocitatem ultimam : hanc enim, antequam corpus attingit locum, non esse ultimam, ubi attingit, nuHam esse. Et responsio faciHs est : Per velocitatem ultimam inteHigi eam, qua corpus movetur, neque antequam attingit locum ultimum & motus cessat, neque postea, sed tunc cum attingit ; id est, iHam ipsam ve- locitatem quacum corpus attingit locum ultimum & quacum motus cessat. Et simiHter per ultimam rationem quantitatum evanescen- tium, inteHigendam esse rationem quantitatum, non antequam eva- nescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter & ratio prima nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima & ultima est quacum esse (vel augeri aut minui) incipiunt & cessant. Extat 38 DE MOTU COEPORUM limes quem velocltas in fine motus attingere potest, non autem transgredi. Haec est velocitas ultima. Et par est ratio limitis quan- titatum & proportionum omnium incipientium & cessantium. Cum- que hic limes sit certus & definitus, problema est vere geometricum eundem determinare. Geometrica vero omnia in aliis geometricis determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur. Contendi etiam potest, quod si dentur ultimae quantitatum eva- nescentium rationes, dabuntur & ultimae magnitudines : & sic quan- titas omnis constabit ex indivisibilibus, contra quam Euclides d< incommensurabilibus, in libro decimo elementorum, demonstravil Verum hsec objectio falsae innititur hypothesi. Uhimae rationes^ illae quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt ration< quantitatum ultimarum, sed Hmites ad quos quantitatum sine Hmitej decrescentium rationes semper appropinquant ; & quas propiuj assequi possunt quam pro data quavis differentia, nunquam veroj transgredi, neque prius attingere quam quantitates diminuuntur inj infinitum. Res clarius intelHgetur in infinite magnis. Si quantitatesl duae quarum data est differentia augeantur in infinitum, dabitur harum ukima ratio, nimirum ratio aequaHtatis, nec tamen ideo da- buntur quantitates ukimae seu maximae quarum ista est ratio. In sequentibus igitur, siquando faciH rerum conceptui consulens dixero quantitates quam minimas, vel evanescentes, vel ultimas ; cav< intehigas quantitates magnitudine determinatas, sed cogita semperj diminuendas sine Hmite. S E CT I O II. De inventione virium centripetarum, PROPOSITIO I. THEOREMA I. Areas, quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis descridunt, & in planis imm^bilibus consistere, & esse temporibus proportionales, Dividatur tempus in partes sequales, & prima temporis parte de- scribat corpus vi insita rectam AB, Idem secunda temporis parte, si nil impediret, recta pergeret ad c, (per leg. i.) describens Hneam B c LIBER PRIMUS, 39 sequalem Ipsl A B ; adeo ut radiis A S, B S, cS ad centrum actls, confectae forent sequales arese A S B, B S c. Verum ubi corpus venit ad B, agat vis centripeta impulsu unico sed magno, effi- clatque ut cor- pus de recta Bc decllnet & per- gat in recta B C. Ipsi B S paral- lela agatur c C, occurrens B C in C ; & com- pleta secunda temporls parte, corpus (per le- gum corol. i.) reperietur In C, in eodem plano cum trlangulo s ASB. Junge SC ; & trlangulum S B C, ob parallelas S B, Cr, aequale erit trlan- gulo SBc, atque Ideo etlam trlangulo S A B. Slmlli argumento si vis centripeta successlve agat In C, D, E, &c. faciens ut corpus singulis temporis particulis singulas descrlbat rectas C D, D E, E F, &c. jacebunt hae omnes In eodem plano ; & triangulum SCD triangulo SBC,8>iSDE ipsi SCD,&lSEF ipsi SDE ^quale erlt. ^qua- llbus Igitur temporibus sequales arese In plano Immoto descrlbuntur : & componendo, sunt arearum summse qusevis S A D S, S A FS Inter se, ut sunt tempora descrlptionum. Augeatur jam numerus & mlnu- atur latitudo triangulorum in infinltum ; & eorum ultima perimeter A D Fy (per corollarlum quartum lemmatis tertli) erit linea curva : ideoque vls centripeta, qua corpus a tangente hujus curvae perpetuo retrahitur, aget Indesinenter ; arese vero quaevis descriptae S A D S, SAFS temporibus descriptlonum semper proportlonales, erunt iisdem temporibus in hoc casu proportlonales. Q. E. D. 40 DE MOTU CORPORUM CoroL I. Velocitas corporis in centrum immobile attracti est in spatiis non resistentibus reciproce ut perpendiculum a centro illo in orbis tang^ntem rectilineam demissum. Est enim velocitas in locis illis^, ^, C, A / F/' // '"■f-. ■- w/ \ \ ir^. -^A // / / 7^\ // / „<;//\ // ''''-^' 1 \ / 1 ■) Yl^ / ,/^' .--7-B £, ut sunt bases. aequalium trian- gulorum A B, BQ CD.DE, EF; & hce bases sunt reci- proce ut perpen- dicula in ipsas demissa. Corol. 2. Si arcuum duorum aequalibus tem- poribus in spa- tiis non resisten- tibus ab eodem corpore succes- sive descriptor- um chordae AB, B C complean- tur in parallelogrammum A B C V, & hujus diagonalis ^ F in ea positione quam ultimo habet ubi arcus illi in infinitum diminuuntur, producatur utrinque ; transibit eadem per centrum virium. Corol. 3. Si arcuum sequalibus temporibus in spatiis non resisten- tibus descriptorum chordae AB, B C, ^c D E, EF compleantur in parallelogramma A B C V, DEFZ ; vires in B & E sunt ad invi- cem in ultima ratione diagonahum B J^, E Z, ubi arcus isti in infini- tum diminuuntur. Nam corporis motus B C 81 E F componuntur (per legum corol. i.) ex motibus B c, B V 8l Ef, E Z : atqui B V 81 EZy ipsis Cc & i^y aequales, in demonstratione propositionis hujus generabantur ab impulsibus vis centripetae in ^ & ^, ideoque sunt his impulsibus proportionales. CoroL 4. Vires quibus corpora quaelibet in spatiis non resistenti- bus a motibus rectilineis retrahuntur ac detorquentur in orbes curvos I LIBER PRIMUS. ^j sunt inter se ut arcuum sequalibus temporibus descriptorum sagittae illse quse convergunt ad centrum virium, & chordas bisecant ubi arcus illi in infinitum diminuuntur. Nam hae sagittae sunt semisses diagonahum, de quibus egimus in corollario tertio. Corol. 5. Ideoque vires esedem sunt ad vim gravitatis, ut hse sagittse ad sagittas horizonti perpendiculares arcuum paraboHcorum, quos projectiHa eodem tempore describunt. Corol. 6. Eadem omnia obtinent per legum corol. v. ubi plana, in quibus corpora moventur, una cum centris virium, quse in ipsis sita sunt, non quiescunt, sed moventur uniformiter in directum. PROPOSITIO II. THEOREMA II. Corpus omne, quod movetur in linea aliqua curva in plano descripta, & radio ducto ad punctum vel immodile, vel motiL rectilifieo uniformiter progredie7iSy describit areas circa punctum illud tempor- ibus proportionales, urgettcr a vi centripeta tendente ad idem punctum. Cas. I. Nam corpus omne, quod movetur in linea curva, detor- quetur de cursu rectiHneo per vim aHquam in ipsum agentem (per leg. I.). Et vis iHa, qua corpus de cursu rectiHneo detorquetur, & cogitur triangula quam minima S A B, S B C, SCD, &c. circa punctum immobile 6^ temporibus aequaHbus aequaHa describere, agit in loco B secundum Hneam paraHelam ipsi c C (per prop. xl. Hb. i. elem. & leg. 11.) hoc est, secundum Hneam BS ; & in loco C se- cundum Hneam ipsi d D paraHelam, hoc est, secundum Hneam 6" C, &c. Agit ergo semper secundum Hneas tendentes ad punctum iHud immobile 6". Q.E.D. Cas.'2. Et, per legum coroHarium quintum, perinde est, sive qui- escat superficies, in qua corpus describit figuram curviHneam, sive moveatur eadem una cum corpore, figura descripta, & puncto suo 6^ uniformiter in directum. Corol. I. In spatiis vel mediis non resistentibus, si areae non sunt temporibus proportionales, vires non tendunt ad concursum radio- rum ; sed inde decHnant in consequentia, seu versus plagam in quam fit motus, si modo areanim descriptio acceleratur : sin retardatur, decHnant in antecedentia. 42 ^^ MOTU CORPORUM Corol. 2. In mediis etiam resistentibus, si arearum descriptio acce- leratur, virium directiones declinant a concursu radiorum versus plagam, in quam fit motus. Sckolium. Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viri- bus. In hoc casu sensus propositionis est, quod vis illa quae ex omnibus componitur, tendit ad punctum 6". Porro si vis aliqua agat perpetuo secundum lineam superficiei descriptae perpendicularem ; haec faciet ut corpus deflectatur a plano sui motus : sed quantitatem superficiei descriptae nec augebit nec minuet, & propterea in com- positione virium negligenda est. PROPOSITIO III. THEOREMA III. Corpus omne, quod radio ad centrum corporis alterius utcunqUre moti ducto describit areas circa centrum illud temporibus propor- tionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus illud alterum, & ex vi omni acceleratrice qua corpus illud alterum urgetur, Sit corpus primum Z, & corpus alterum T: & (per legum corol. vi.) si vi nova, quae aequaHs & contraria sit illi, qua corpus alterum T urgetur, urgeatur corpus utrumque secundum Hneas paraHelas ; perget corpus primum L describere circa corpus alterum T areas easdem ac prius : vis autem, qua corpus alterum T urgebatur, jam destruetur per vim sibi aequalem & contrariam ; & propterea (per leg. I.) corpus iHud alterum T sibimet ipsi jam reHctum vel quies- cet, vel movebitur uniformiter in directum : & corpus primum L urgente differentia virium, id est, urgente vi reHqua perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum T describere. Ten- dit igitur (per theor. ii.) differentia virium ad corpus iHud alterum T ut centrum. Q. E. D. CoroL I. Hinc si corpus unum L radio ad alterum T ducto describit areas temporibus proportionales ; atque de vi tota (sive sim- pHci, sive ex viribus pkiribus juxta legum coroHarium secundum LIBER PRIMVS. ^^ composita) qua corpus prlus L urgetur, subducatur (per idem legum corollarium) vis tota acceleratrix, qua corpus alterum urgetur : vis omnis reliqua, qua corpus prius urgetur, tendet ad corpus alterum T ut centrum. Corol. 2. Et, si area^ illae sunt temporibus quamproxime propor- tionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum T quamproxime. Corol. 3. Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus alterum T, erunt areae illae temporibus quamproxime propor- tionales. Corol. 4. Si corpus L radio ad alterum corpus T ducto describit areas, quae cum temporibus collatae sunt valde inaequales ; & corpus illud alterum T vel quiescit, vel movetur uniformiter in directum : actio vis centripetae ad corpus illud alterum T tendentis vel nulla est, vel miscetur & componitur cum actionibus admodum potentibus aliarum virium : visque tota ex omnibus, si plures sunt vires, composita ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum dirigitur. Idem obtinet, ubi corpus alterum motu quocunque movetur ; si modo vis centripeta sumatur, quae restat post subductionem vis totius in corpus illud alterum T agentis. Scholium. Quoniam aequabilus arearum descriptio index est centri, quod vis illa respicit, qua corpus maxime afficitur, quaque retrahitur a motu rectilineo, & in orbita sua retinetur; quidni usurpemus in sequentibus aequabilem arearum descriptionem ut indicem centri, circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis peragitur ? PROPOSITIO IV. THEOREMA IV. Corporum, qucB diversos circulos cequabili motu describunt^ vires centripetas ad centra eorundem circulorum tendere ; & esse inter se, ut sunt arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circu- lorum radios. Tendunt hae vires ad centra circulorum per prop. 11. & corol. 2. prop. I. & sunt inter se ut arcuum aequalibus temporibus quam 44 DE MOTU CORPORUM minimis descriptorum sinus versi per corol. 4. prop. i. hoc est, ut quadrata arcuum eorundem ad diametros circulorum applicata per lem. vii. & propterea, cum hi arcus sint ut arcus temporibus quibusvis sequahbus descripti, & diametri sint ut eorum radii ; vires erunt ut arcuum quorumvis simul descriptorum quadrata applicata ad radios circulorum. Q.E.D, Corol. I. Cum arcus illi sint ut velocitates corporum, vires cen- tripetse erunt in ratione composita ex dupHcata ratione velocitatum directe, & ratione simpHci radiorum inverse. Corol. 2. Et, cum tempora periodica sint in ratione composita ex ratione radiorum directe, & ratione velocitatum inverse ; vires centripetae sunt in ratione composita ex ratione radiorum directe, & ratione duplicata temporum periodicorum inverse. Corol. 3. Unde si tempora periodica sequentur, & propterea velocitates sint ut radii ; erunt etiam vires centripetae ut radii : & coritra. Corol. 4. Si & tempora periodica, & velocitates sint in ratione subduplicata radiorum ; sequales erunt vires centripetae inter se : & contra. Corol. 5. Si tempora periodica sint ut radii, & propterea velocitates sequales ; vires centripetae erunt reciproce ut radii : & contra. CoroL 6. Si tempora periodica sint in ratione sesquipHcata radio- rum, & propterea velocitates reciproce in radiorum ratione subdu- pHcata; vires centripetae erunt reciproce ut quadrata radiorum : & contra. Corol. 7. Et universaHter, si tempus periodicum sit ut radii R potestas quaeHbet R^, & propterea velocitas reciproce ut radii potestas 7?'*" ; erit vis centripeta reciproce ut radii potestas R"""'^ : & contra. Corol. 8. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus, & viribus, quibus corpora similes figurarum quarumcunque simiHum, centraque in figuris iHis simiHter posita habentium, partes describunt, con- sequuntur ex demonstratione praecedentium ad hosce casus appHcata. AppHcatur autem substituendo aequabilem arearum descriptionem pro aequabiH motu, & distantias corporum a centris pro radiis usurpando. Corol. 9. Ex eadem demonstratione consequitur etiam; quod arcus, quem corpus in circulo data vi centripeta uniformiter revol- LIBER PRIMUS. ^r vendo tempore quovis descrlbit, medius est proportionalis inter dia- metrum circuli, & descensum corporis eadem data vi eodemque tempore cadendo confectum. Scholmm. Casus corollarii sexti obtinet in corporibus coelestibus, (ut seorsum collegerunt etiam nostrates WrennuSy Hookms & Hallceus) & prop- terea quse spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris, decrevi fusius in sequentibus expo- nere. Porro praecedentis propositionis & corollariorum ejus beneficio, colligitur etiam proportio vis centripetae ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam si corpus in circulo terrae concentrico vi gravitatis suae revolvatur, haec gravitas est ipsius vis centripeta. Datur autem ex descensu gravium & tempus revolutionis unius, & arcus dato quovis tempore descriptus, per hujus corol. ix. Et hujusmodi propositionibus Hugenius in eximio suo tractatu de Horolo- gio Oscillatorio vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit. Demonstrari etiam possunt praecedentia in hunc modum. In cir- culo quovis describi intelligatur polygonum laterum quotcunque. Et si corpus in polygoni lateribus data cum velocitate movendo ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur ; vis, qua singulis re- flexionibus impingit in circulum, erit ut ejus velocitas : ideoque summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa, & numerus re- flexionum conjunctim : hoc est (si polygonum detur specie) ut lon- gitudo dato illo tempore descripta, & aucta vel diminuta in ratione longitudinis ejusdem ad circuli praedicti radium ; id est, ut quadratum longitudinis illius applicatum ad radium : ideoque, si polygonum lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. Haec est vis centrifuga, qua corpus urget circulum ; & huic aequalis est vis contraria, qua circulus continuo repellit corpus centrum versus. 46 DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO V. PROBLEMA I. Data quibuscunque in locis velocitate, qua corpus figuram datam viribus ad commune aliquod centriim tendentibus describity centrum illud invenire, Figuram descriptam tangant rectse tres P T, TQ V, VRm punc- tis totidem P, Q, R, concurrentes m T & V. Ad tangentes eri- gantur perpendicula PA, QB, R C velocitatibus corporis in punctis illis Py Qy R, a quibus eriguntur, reciproce proportionalia ; id est, ita ut sit PA 2id Q B ut velocitas in Q ad velocitatem in Py & Q B 2id R Cut velocitas in R ad velocitatem in Q, Per perpendiculorum terminos A, B, C ad angulos rectos ducantur A D, D B E, E C concurrentes in Z^ & ^; Et actae T D, V E concurrent in centro qusesito S, Nam perpendicula a centro ^'in tangentes P T, Q 7"demissa (per corol. I. prop. i.) sunt reciproce ^R- ut velocitates corporis in punctis P & Q ; ideoque per construc- tionem ut perpendicula A P, B Q directe, id est ut perpendi- cula a puncto D in tangentes demissa. Unde facile colligi- tur quod puncta S, D, T sunt in una recta. Et simili argumento puncta S, E, V sunt etiam in una recta ; & propterea centrum 6* in concursu rectarum TD, V E versatur. Q,E,D, PROPOSITIO VI. THEOREMA V. Si corpus in spatio non resistente circa centrum immobile in orbe quocunque revolvatur, & arcum quemvis jamjam nascentem tempore quam minimo describat, & sagitta arcus duci intelli- gatur, quce chordam bisecet, & producta transeat per centrum LIBER PRIMUS. 47 virium: erit vis centripeta in medio arcus, ut sagitta directe & tempus bis inverse, Nam sagltta dato tempore est ut vis (per corol. 4. prop. i.) & augendo tempus in ratione quavis, ob auctum arcum in eadem ratione sagitta augetur in ratione illa duplicata (per corol. 2 & 3, lem. XI.) ideoque est ut vis semel & tempus bis. Subducatur du- plicata ratio temporis utrinque, & fiet vis ut sagitta directe & tempus bis inverse. Q. E. D. Idem facile demonstratur etiam per corol. 4. lem. x. Corol. I. Si corpus P revol- vendo circa centrum .S describat lineam curvam APQ; tangat vero recta ZPR curvam illam in puncto quovis P, & ad tangentem ab alio quovis curvse puncto Q agatur QR distantiae SP parallela, ac demittatur Q T perpendicularis ad distantiam illam SP : vis centripeta erit reciproce ut solidum SP quad. y. Q T quad. . , ,. .. .„. -Ty-B J si modo solidi illius ea semper sumatur quantitas, quae ultimo fit, ubi coeunt puncta P 81 Q. Nam QR sequalis est sagittse dupli arcus Q P, in cujus medio est P, & duplum trianguli SQP, sive SP xQT, tempori, quo arcus iste duplus describi- tur, proportionale est ; ideoque pro temporis exponente scribi potest. Corol. 2. Eodem argumento vis centripeta est reciproce ut solidum SY qxQP q , . ^^ ... . .. . hyp ^, si modo or perpendiculum sit a centro vinum m or- bis tangentem PR demissum. Nam rectangula SYy. QP & SP x QT sequantur. Coro/. 3. Si orbis vel circulus est, vel circulum concentrice tangit, aut concentrice secat, id est, angulum contactus aut sectionis cum circulo quam minimum continet, eandem habens curvaturam eun- demque radium curvaturse ad punctum P ; 81 s\ P V chorda sit circuli hujus a corpore per centrum virium acta : erit vis centripeta reciproce ut solidum SYqxPV. Nam P V est q ^- ^g DE MOTU CORPORUM Corol. 4. Ilsdem positis, est vis centripeta ut velocitas bis directe, & chorda illa inverse. Nam velo- citas est reciproce ut perpendiculum kSF per corol. i. prop. i. CoroL 5. Hinc si-detur figura qusevis curvilinea y^P^, & in ea / — —^ detur etiam punctum S, ad quod vis ^ centripeta perpetuo dirigltur, inveniri potest lex vis centripetse, qua corpus quodvls P a cursu rectllineo perpetuo retractum in figurse illius perimetro detinebitur, eamque revolvendo descrlbet. Nimi- rum computandum est vel solidum ^-^ vel solidum 6" Yq X P F huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus. PROPOSITIO VII. PROBLEMA II. Gyretur corpus in circumferentia circtdi, requiritur lex vis centripetce tendentis ad punctum quodcunque datum, Esto circuli circumferentia VQPA; punctum datum, ad quod vis ceu ad centrum su- um tendit, S ; corpus in cir- cumferentia latum P ; locus proximus, in quem movebltur Q ; 8i circuH tangens ad lo- cum priorem PRZ. Per punctum kS ducatur chorda PV ; & acta circuli diametro VA, jungatur AP ; Sz: ad SP demittatur perpendiculum QT, quod productum occur- rat tangenti P R in Z ; ac denique per punctum Q agatur LR, quse ipsi SP parallela sit, S: occurrat tum circulo in Z, tum tangenti P Z in R. Et ob similia triangula ZQR, ZTP, VPA ; erit RP quad. hoc est QRL ad LIBER PRIMUS. 49 Q T quad, Mt AV quad, ad P V quad, Ideoque Q^^^^^ ^'^^^- A V quad. sequatur Q T quad. Ducantur haec aequalia in ^^^^ ', & punctis Q R P&.Q coeuntibus scribatur P Fpro RL. Sic fiet ^^ 9^"^^'^^^ '^^- A V quad. sequale S P quad. x^ Q T quad. Ergo (per corol. i. & 5. prop. vi.) SPqxPV cub. .^ , ^ ^ Vtt -7 ; id est (ob datum A V quad. ^ A V quad.) rQciproce ut quadratum distantiae seu altitudinis SP & cubus chordae P V conjunctim. Q.E.I. QR vis centripeta est reciproce ut Idem aliter. Ad tangentem PR productam demittatur perpendiculum SY: & ob simiHa triangula SVP, VPA ; erit ^ F ad P Fut ^P ad ^'F; SPxP V , ^^^ ^ SP quad. x P V ctib. aequale o r , & ^ ideoque aequale VI.) vis centripeta est reciproce ut -, hoc est, ob datam A V A V "^ ' " AVquad S Y quad. x P F. Et propterea (per corol. 3. & 5. prop SPqy. P V cub. AVq reciproce ut SPq y, P V cub. Q.E.I. Corol. I. Hinc si punctum datum S, ad quod vis centripeta semper tendit, locetur in circumferentia hujus circuli, puta ad V ; erit vis centripeta reciproce ut quadrato-cubus altitudinis SP, Corol. 2. Vis, qua corpus P in circulo A P T V circum virium centrum kS revolvitur, est ad vim, qua corpus idem P in eodem circulo & eodem tempore periodico circum aliud quodvis virium centrum R revolvi po- test, ut RP quad. x SP ad cubum rec- tae SG, quae a primo virium centro 6^ ad orbis tangentem PG ducitur, & di- stantiae corporis a secundo virium cen- tro parallela est. Nam per construc- tionem hujus propositionis vis prior RPqxPT cub. ad SPqxPV cub. D est . id ad vim posteriorem ut est, ut SPxRPq ad 50 DE MOTU CORPORUM SP cub.xPV cub.^ ^.^^ ^.^.j.^ triangula P S G, TPV) ad P T cub, SG cub. Corol. 3. Vis, qua corpus P in orbe quocunque circum virium centrum kS revolvitur, est ad vim, qua corpus idem P in eodem orbe eodem- que tempore periodico circum aliud quodvis virium centrum R revolvi po- test, ut SPxRPq, contentum utique sub distantia corporis a primo virium centro .S & quadrato distantise ejus a secundo virium centro Ry ad cubum rectse SG, quse a primo virium centro kS' ad orbis tangentem PG ducitur, & corporis a secundo virium centro distantiae RP parallela est. Nam vires in hoc orbe ad ejus punctum quodvis P eaedem sunt ac in circulo ejusdem curvaturse. PROPOSITIO VIII. PROBLEMA III. Moveatur corpus in semicirculo PQA : ad hmic effectum requiritur lex vis centripetcs tendentis ad punctum adeo longinquum S, ut linecg omnes PS, RS ad id ductce^ pro parallelis haberi possint. A semicirculi centro C agatur semidiameter C A parallelas istas perpendiculariter secans mM Ba N, & jungatur CP. Ob similia triangula CPM, PZT 81 RZQ est CPq ad PMq ut PRq ad Q Tq, & ex na- tura circuli PRq sequale est rectan- gulo QRx RN-\- QN, sive coeun- tibus punctis P & Q rectangulo QR X 2PM. Ergo est CPq ad PMquad. ut QR x iPMsid Q T , . . QT quad. , 2PM cub. ^ QT quad. x SP quad. quad. :deoque —^ ^quale -^p^^^ & '—qr sequale 2PM cub. X SP qtiad. CP quad. Est ergo (per corol. i. & 5. prop. LIBER PRIMUS. ^I ... . 2 PAIcub. X SP quad. . VI.) vis centripeta reciproce ut — — — ^ , hoc est (neglecta ratlone determinata ^^ — i) reclproce ut P M cub. Q. E. L CP quad. Idem facile colligltur etiam ex propositione praecedente. Scholium, Et argumento haud multum dissimili corpus invenietur moveri in ellipsi, vel etiam in hyperbola vel parabola, vi centripeta, quse slt reciproce ut cubus ordinatim applicatae ad centrum virium maxime longinquum tendentis. PROPOSITIO IX. PROBLEMA IV. Gyretur corpus in spirali P Q S secante radios omnes S P, S Q, &c. in an- gulo dato: requi^ritur lex vis centripetcB tendentis adcentrum spiralis. Detur angulus indefinite parvus PSQ, & ob datos omnes an- Q T gulos dabitur specie figura SPRQ T. Ergo datur ratio -^^, estque — Y^ — - ut Q Ty hoc est (ob datam specie figuram illam) ut SP. Mutetur jam utcunque angulus P SQ, & recta QP angulum contac- tus QPR subtendens mutabltur (per lemma xi.) in duplicata ratione ipsius PR vel Q T. Ergo manebit — j^ — '- eadem quae prius, hoc /^ T* C "D est ut SP. Quare rT^ ^^^ vX S P cub. ideoqiie (per corol. I. & 5. prop. VI.) vis centripeta est reciproce ut cubus distantise S P. Q,E.I. 52 DE MOTU CORPORUM Idern aliter. Perpendiculum SY va tangentem demissum, & circuli spiralem concentrice secantis chorda P V sunt ad altitudinem ^'P in datis rationibus; ideoque SP cub. est ut SYqY.P F, hoc est (per corol. 3. & 5. prop. VI.) reciproce ut vis centripeta. LEMMA XII. Parallelogramma omnia circa datcs ellipseos vel hyperbolce diametros quasvis conjugatas descripta esse inter se cequalia. Constat ex conicis. PROPOSITIO X. PROBLEMA V. Gyretur corpus in ellipsi: requiritur lex vis centripetcB tendentis ad centrum ellipseos. Sunto CA, CB semiaxes ellipseos; GP, DK diametri alise conjugat^ \PFyQ T perpendicula ad diametros ; gz/ ordinatim appH- cata ad diametrum GP ; & si comple- atur parallelogram- mum QvPPy erit (ex conicis) rectan- gulum Pv G did Qv quad. ut P C quad. ad C D quad. & (ob similia triangula QvT, PCF) Qv quad. est ad ^ 7" quad. ut PCquad. ad P F quad. & con- junctis rationibus, rectangulum P v G 2A QT quad. vX PC quad. ad CD quad. & PC quad. 2A P F quad. id est, vG ad^ LIBER FRIMUS. -^ Q T quad, CDqxPFq ^ ., -p^ \xt PC quad. ad p^ ^. Scribe QR pro Pz/, & (per lemma xii.) ^Cx C^ pro CDxPF, nec non (punctis P 8i Q coeuntibus) 2 P C pro z/ C, & ductis extremis & mediis in ^ ^QT quad.xPCq ^ ^BCqxCAq ^ se mutuo het ^^ ^ aequale -^ ^. Est ergo (per corol 5. prop. vi.) vis centripeta reciproce ut p7^~ — - ; id est (ob datum 2 BCqx CA q) reciproce ut -p-?^\ hoc est, directe ut distantia P C Q. E, I. Idem aliter, In recta P C ab altera parte puncti T^sumatur punctum ^^ ut T u sit sequalis ipsi Tv ; deinde cape u V, quae sit 2AvG wt est DC quad, ad PC quad. Et quoniam ex conicis est Qv quad, ad PvG ut D C quad. 2A P C quad. erit Q v quad, sequale Pvxu K Adde fectangulum tiPv utrinque, & prodibit quadratum chordae arcus P Q sequale rectangulo VPv; ideoque circulus, qui tangit sectionem conicam in P & transit per punctum Q, transibit etiam per punctum V, Coeant puncta P 8l Q, and ratio u V did v C, quae eadem est cum ratione D Cq didi P Cq, fiet ratio -P F ad P C seu PF ad 2 P C; ideoque P V aequalis erit ^ , Proinde vis, qua corpus P in eUipsi revolvitur, erit reciproce ut — ^ ^ m P Fq (per corol. 3. prop. vi.) hoc est (ob datum 2 D Cq m P Fq) directe ut P C Q. E. I. Corol. I. Est igitur vis ut distantia corporis a centro ellipseos : & vicissim, si vis sit ut distantia, movebitur corpus in ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem utique ellipsis migrare potest. Corol. 2, Et aequalia erunt revolutionum in ellipsibus universis circum centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa iii ellipsibus similibus aequalia sunt (per corol. 2>^ 81 ^. prop. iv.) in ellipsibus autem communem habentibus axem majorem sunt ad invicem ut ellipseon areae totae directe, & arearum particulae simul descriptae inverse ; id est, ut axes minores directe, & corporum 54 DE MOTU CORPORUM velocitates in verticibus principalibus inverse ; hoc est, ut axes illi minores directe, & ordinatim applicatae ad idem punctum axis com- munis inverse ; & propterea (ob sequalitatem rationum directarum & inversarum) in ratione sequalitatis. Scholium. Si ellipsis centro in infinitum abeunte vertatur in parabolam, corpus movebitur in hac parabola ; & vis ad centrum infinite distans jam tendens evadet aequabilis. Hoc est theorema Galilm. Et si coni sectio paraboHca (inclinatione plani ad conum sectum mutata) vertatur in hyperbolam, movebitur corpus in hujus perime- tro vi centripeta in centrifugam versa. Et quemadmodum in circulo vel elHpsi si vires tendunt ad centrum figurse in abscissa positum; hae vires augendo vel diminuendo ordinatas in ratione quacunque data, vel etiam mutando angulum incHnationis ordina- tarum ad abscissam, semper augentur vel diminuuntur in ratione distantiarum a centro, si modo tempora periodica maneant sequaHa ; sic etiam in figuris universis si ordinatse augeantur vel diminu- antur in ratione quacunque data, vel angulus ordinationis utcunque mutetur, manente tempore periodico ; vires ad centrum quodcunque in abscissa positum tendentes in singuHs ordinatis augentur vel diminuuntur in ratione distantiarum a centro. SECTIO II I. De motu corporum in conicis sectionibus excentricis, PROPOSITIO XI. PROBLEMA VI: Revolvatur corpus in ellipsi ; requiritur kx vis centripetcs tendentis ad umbilicum ellipseos, Esto eHipseos umbiHcus S. Agatur SP secans eHipseos tum diametrum D K m E, tum ordinatim appHcatam Qv m x, 8l com- pleatur paraHelogrammum QxPR. Patet EP aequalem esse semiaxi majori A C, eo quod, acta ab altero ellipseos umbilico H linea H I ' ipsi EC parallela, ob aequales C S, CH sequentur E S, E I, LIBER FRIMUS. 55 adeo vX E P semi- summa sit ipsarum PS.PI, id est (ob parallelas ZT/, P R, & angulos sequales /P7?,//PZ)ipsarum PS,P H, quae con- junctim axem totum 2 A C adaequant. AA SP demittatur perpendicularis Q T, & ellipseos latere recto principali (seu 2 B C quad.. AC ^ ^'^^° Z, erit LxQ R ad Ly.PvvxQR2.di Pv, id est, ut PE seu ^ C ad PC; &LLyPv2A GvP wt L ad Gv; & GvP 2id Qv quad, ut PC quad. ad CD quad. & (percorol. 2. lem. vii.) Qv quad. ad Qx quad. punctis Q Si P coeuntibus est ratio sequalitatis ] Sl Qx quad. seu Q v quad. est ad Q T quad. ut EP quad. ad PFquad. id est, ut CA quad. ad PFquad. sive (per lem. XII.) ut CD quad, ad CB quad. Et conjunctis his omnibus rationibus, L X QR fit ad Q Tquad. utACxLx PCq x CDq, seu 2 C^^ x PCq xCDq ad P CxGvxC D qxC B q, sive ut 2 P C ad Cz/. Sed punctis Q 8c P coeuntibus sequantur 2PC & Gv. Ergo & his proportionalia LxQ R & g 7" ^2^^^. sequantur. Ducantur hsec ,. . SPq o r r o r. 1 'SPqy^Q Tq _ , sequaha m ^ ^ , & fiet Z x ^SP^ sequale ^y^ -. Ergo (per corol. I. & 5. prop. vi.) vis centripeta reciproce est ut LxSPq, id est, reciproce in ratione duphcata distantise S P. Q, E. L Idem aliter. Cum vis ad centrum elHpseos tendens, qua corpus P in elHpsi iUa revolvi potest, sit (per corol. i. prop. x.) ut CP distantia corporis ab ellipseos centro C ; ducatur C E parallela ellipseos tangenti P R; & vis, qua corpus idem P circum aliud quodvis elHpseos punctum 56 DE MOTU CORPORUM P E cub. , 5 revolvi potest, si CE & PS concurrant in E, erit ut — ^-p (per corol. 3. prop. vii.) hoc est, si punctum 6^ sit umbilicus ellipseos, ideoque P E detur, mX, S P q reciproce. Q. E. I. Eadem brevitate, qua traduximus problema quintum ad parabolam, 6 hyperbolam, liceret idem hic facere : verum ob dignitatem problematis, & usum ejus in sequentibus non pigebit casus caeteros demonstratione confirmare. PROPOSITIO XII. PROBLEMA VII. Moveatur corpus ifi hyberbola : requiritur lex vis centripetce tendentis ad umbilicum figurcs, Sunto CA, CB semiaxes hyperbolse; P G, KD diametri aHae conjugatse ; P F perpendiculum ad diametrum K D; 81 Qv ordina- tim applicata ad diametrum G P, Agatur ^'P secans cum diame- trum D Km E, tum ordinatim applicatam Qv in x, & compleatur parallelogrammum QRPx, Patet EP sequalem esse semiaxi transverso A C, eo quod, acta ab altero hyperbolse umbiHco H Hnea H I ipsi EC paraHela, ob aequales CkS, CH aequentur ES, E I ; adeo ut E P semidififerentia sit ipsarum P Sy P /, id est (ob paraHelas IH, PP & angulos aequales / P P, H P Z) ipsarum P S, P H, M quarum differentia axem totum 2 A Cadaequat. Ad SP demittatur perpendicularis Q T. Et hyperbolae latere recto principaH (seu ) dicto Z, erit LxQ P 2A LxPv ut QR ad P Vy seu P x 2A Pv, id est (ob simiHa triangula P xv, P E C) mX. P E 2A P C, seu ^ C ad P C. Erit etiam Z x P z/ ad Gv x jP^ ut Z ad C r/ ; & (ex natura conicorum) rectangulum GvP ad Qv quad. ut P Cq ad CDq ; & (per corol. 2. lem. vii.) Qv quad. 2id Qx quad. punctis Q & P coe- untibus fit ratio aequaHtatis ; & Qx quad. seu Q v quad. est ad Q Tq ut E P q ad P Fq, id est, ut C A q ad P Fq, sive (per lem. xii.) ut C D q dA C B q : & conjunctis his omnibus rationibus L x Q R dt ad Q Tq ut A CxLxPCqxCDq, seu 2 CBqxP CqxCDq ad P Cx GvxCDqx C B q, sive ut 2 P C 2id G v. SedpunctisP& Q coeuntibus aequantur 2PC & Gv. Ergo & his proportionaHa LIBER PRIMVS. 57 L X QR & QTq sequantur. Ducantur hsec aequalia in -p~, & QR fiet L X SPq sequale yr— — ^. Ergo (per corol. i. & 5. prop. vi.) vis centripeta reciproce est ut Z x SPq, id est, reciproce in ratione duplicata distantiae SP. Q, E. I. Idem aliter. Inveniatur vis, quse tendit ab hyperbolae centro C. Prodibit haec distantiae CP proportionalis. Inde vero (per corol. 3. prop. vii.) PE cub vis ad umbilicum 6^ tendens erit ut — ttt^ — -y hoc est, ob datam PE, reciproce ut SPq. Q.E.I. SPq 58 DE MOTU CORPORUM Eodem modo demonstratur, quod corpus hac vi centripeta in centrifugam versa movebitur in hyperbola opposita. LEMMA XIII. Latus rectum parabolcB ad verticem quemvis pertinens est quadruplum distantice verticis illius ab timbilico figurce, Patet ex conicis. LEMMA XIV. PerpendicultLm, quod ab timbilico parabolcs ad tangentem ejus demittitur, medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus & a vertice principali figurce, Sit enim AP parabola, vS umbiHcus ejus, A vertex principaHs, P punctum contactus, PO ordinatim applicata ad diametrum princi- palem, PJ/tangens diametro principah occurrens in M, & SN Hnea perpendicularis ab umbiHco in tangentem. Jun- gatur AN &io\i aequales MS & SP, MN, & NP, MA & A O paraHelae erunt rectae A N & OP ; & inde triangulum SAN rectangulum erit ad ^, & simile trianguHs aequaHbus SNj SNP: ergo P S Gst 2id SN ut SN 2id SA. Q,E.D. CoroL I. P S q ^t^d S N q Mt P S zA S A. Corol. 2. Et ob datam SA est SNq ut P S. Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta SN, qu; ab umbiHco in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam A N\ quse parabolam tangit in vertice principaH. PROPOSITIO XIII. PROBLEMA VIII. Moveatur corpus in perimetro parabolcs: requiritur lex vis centripetc tendentis ad umbilicum hujus figurce. Maneat constructio lemmatis, sitque P corpus in perimetro para-J bolae, & a loco Q, in quem corpus proxime movetur, age ipsi ^S. LIBER PRIMUS. ^q parallelam Q R Sz. perpendicularem Q T, necnon Q v tangenti pa- rallelam, & occurrentem tum diametro P G m v, tum distantiae SP in X, Jam ob similia triangula Pxv, SPM, & «qualia unius latera S M, SP, aequalia sunt alterius latera Px squ QP & Pv. Sed ex conicis quadratum ordinatae Qv aequale est rectangulo sub latere recto & segmento diametri Pv, id est (per lem. xiii.) rec- tangulo^P^^xPz^, seu ^PSxQR; & punctis P&g coeuntibus, ratio Qv 2id Qx (per corol. 2. lem. vii.) fit ratio sequalitatis. Ergo Qx qiiad. eo in casu sequale est rectangulo /^PSxQR. Est au- tem (ob similia triangu- \2LQxT,SPN)Qxq2.d QTq\xtPSq2.A SNq, hoc est (per corol. i. lem. XIV.) ut PkS" ad SA, id est, wt ^PS xQR^id 4SAX QR, & inde (per prop. ix. lib. V. elem.) Q Tq & ^SA x QR sequantur. Ducantur haec aequalia in -^-^, & fiet ^^-^^ — - aequale SPqx^SA : & propterea (per corol. i. & 5. prop. vi.) vis centripeta est reciproce ut SPqx4.SAj id est, ob datam ^SAy reciproce in duplicata ratione distantiae SP. Q.E.L Corol, i. Ex tribus novissimis propositionibus consequens est, quod si corpus quodvis P secundum lineam quamvis rectam PR quacunque cum velocitate exeat de loco P, & vi centripeta, quae sit reciproce proportionalis quadrato distantiae locorum a centro, simul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum conicarum umbiHcum ha- bente in centro virium ; & contra. Nam datis umbiHco, & puncto contactus, & positione tangentis, describi potest sectio conica, quae curvaturam datam ad punctum illud habebit Datur autem curvatura ex data vi centripeta, & velocitate corporis : & orbes duo se mutuo tangentes eadem vi centripeta eademque velocitate describi non possunt. Corol. 2. Si velocitas, quacum corpus exit de loco suo P, ea sit, qua Hneola P R in minima aHqua temporis particula describi possit ; 6o DE MOTU CORPORUM & vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere per spatium Q jR : movebitur hoc corpus in conica aliqua sectione, cujus latus rectum principale est quantitas illa 7^~d~> ^^se ultimo fit, ubi lineolae P J^, QR in infinitum diminuuntur. Circulum in his corollariis refero ad ellipsin ; & casum excipio, ubi corpus recta descendit ad centrum. PROPOSITIO XIV. THEOREMA VI. Si corpora plura revolvantur circa centrum communey & vis centripeta sit reciproce in duplicata ratione distantice locorum a centro ; dico quod orbium latera recta principalia sunt in duplicata ratione areartcmy quas corpora radiis ad centrum ductis eodem tempore describunt, Nam (per corol 2. prop. xiii.) latus rectum L aequale est quantitati .QTq QR quae ultimo fit, ubi coeunt puncta P & Q, Sed linea minima QR dato tempore est ut vis centripeta generans, hoc est (per hypothesin) reciproce ut S P q. Ergo ^-^ est Mt QTqx SPq, hoc est, latus rectum L in duplicata ratione areae Q Tx SP, Q. E, D, Corol, Hinc ellipseos area tota, eique proportionale rectangulum sub axibus est in ratione composita ex subduplicata ratione lateris recti, 81 ratione temporis periodici. Namque area tota est ut area QTxSP, quae dato tempore describitur, ducta in tempus periodi- cum. PROPOSITIO XV. THEOREMA VII. /isdem positis, dico quod tempora periodica in ellipsibus sunt in ratione sesquiplicata majorum axium, Namque axis minor est medius proportionalis inter axem majo- rem & latus rectum, atque ideo rectangulum sub axibus est in ra- LIBER PRIMUS. 6i tlone composita ex subduplicata ratione lateris recti & sesquiplicata ratione axis majoris. Sed hoc rectangulum (per corol. prop. xiv.) est in ratione composita ex subduplicata ratione lateris recti & ratione periodici temporis. Dematur utrobique subduplicata ratio lateris recti, & manebit sesquiplicata ratio majoris axis eadem curn ratione periodici temporis. Q. E. D. Corol. Sunt igitur tempora periodica in ellipsibus eadem ac in circulis, quorum diametri aequantur majoribus axibus ellipseon. PROPOSITIO XVI. THEOREMA VIII. lisdem posiiis, & actis ad corpora lineis rectisj quce ibidem tangant orbitas, demissisqtie ab umbilico communi ad has tangentes perpen- dicularibus : dico quod velocitates corporicm sunt in ratione composita ex ratione perpendiculorum inverse, & subduplicata ratione laterum rectorum principalium directe, Ab umbilico ^9 ad tangentem P R demitte perpendiculum S Y, &l velo- citas corporis P erit reciproce in sub- j ,. . . . SYq duplicata ratione quantitatis — ^r-^. Nam velocltas Illa est ut arcus quam minlmus P Q in data temporls parti- cula descriptus, hoc est (per lem. vii.) ut tangens P R, id est, ob proportlon- ales PR 2id Q T & SP 2id SY, ut SP X O T -^-^ — , sive vX S Y reclproce & S P y. QT dlrecte; estque S P X Q T \xt area dato tempore descripta, id est (per prop. xiv.) in subduplicata ratione laterls rectl. Q. E. D. Corol. I. Latera recta principaHa sunt in ratione composita ex dupHcata ratione perpendlculorum, & dupHcata ratione veloclta- tum. Corol. 2. Velocitates corporum, in maximls & minimls ab umbi- Hco communi distantlis, sunt in ratione composlta ex ratione distan- 62 ^^ MOTU CORPORUM tiarum inverse, & subduplicata ratione laterum rectorum principalium directe. Nam perpendicula jam sunt ipsae distantiae. Corol. 3. Ideoque velocitas in conica sectione, in maxima vel minima ab umbilico distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a centro distantia in subduplicata ratione lateris recti principalis ad duplam illam distantiam. % Corol. 4. Corporum in ellipsibus gyrantium velocitates in medio- cribus distantiis ab umbilico communi sunt esedem, quae corporum gyrantium in circulis ad easdem distantias ; hoc est (per corol. 6. prop. IV.) reciproce in subduplicata ratione distantiarum. Nam perpendicula jam sunt semi-axes minores, & hi sunt ut mediae proportionales inter distantias & latera recta. Componatur haec ratio inverse cum subduplicata ratione laterum rectorum directe, & fiet ratio subduplicata distantiarum inverse. Corol. 5. In eadem figura, vel etiam in figuris diversis, quarum latera recta principalia sunt aequaha, velocitas corporis est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem. Corol. 6. In parabola velocitas est reciproce in subduplicata ratione distantiae corporis ab umbilico figurae ; in ellipsi magis variatur, in hyperbola minus quam in hac ratione. Nam (per corol. 2. lem. XIV.) perpendiculum demissum ab umbiHco ad tangentem parabolae est in subdupHcata ratione distantiae. In hyperbola perpendiculum minus variatur, in eHipsi magis. CoroL 7. In parabola velocitas corporis ad quamvis ab umbiHco distantiam est ad velocitatem corporis revolventis in circulo ad eandem a centro distantiam in subdupHcata ratione numeri binarii ad unitatem ; in eUipsi minor est, in hyperbola major quam in hac ratione. Nam per hujus coroHarium secundum velocitas in vertice parabolae est in hac ratione, & per coroHaria sexta hujus & propositionis quartae servatur eadem proportio in omnibus distantiis. Hinc etiam in parabola velocitas ubique aequaHs est velocitati corporis revolventis in circulo ad dimidiam distantiam, in ellipsi minor est, in hyperbola major. Corol. 8. Velocitas gyrantis in sectione quavis conica est ad velocitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti prin- cipalis sectionis, ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem sectionis demissum. Patet per corollarium quintum. LIBER PRIMUS. 63 Corol. 9. Unde cum (per corol. 6. prop. iv.) velocitas gyrantls in hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio reciproce in subdupllcata ratione distantiarum ; fiet ex sequo velocitas gyrantis in conica sectione ad velocitatem gyrantls in circulo In eadem dis- tantia, ut media proportionalis inter distantiam Illam communem & semissem prlncipalis lateris recti sectionis, ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem sectlonls demlssum. PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IX. Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato dis- tanticB locorum a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit cognita ; requiritur linea, quam corpus describit de loco dato cum data velocitate secundum datam rectam egrediens, VIs centripeta tendens ad punctum 6* ea slt, qua corpus p in orblta quavls data p q gyretur, & cognoscatur hujus velocltas in loco p, De loco P secundum hneam P R exeat corpus P cum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflectat illud In coni section- em PQ, Hanc Igltur recta P R tanget in P. Tangat Itldem recta aHqua / r orbi- tam pq in /, & si ab vS ad eas tangen- tes demittl intelligan- tur perpendicula, erit (per corol. i. prop. XVI.) latus rectum principale conl secti- onis ad latus rectum principale orbltae in ratione composita ex dupllcata ratione perpen- diculorum & duplicata ratlone velocltatum, atque Ideo datur. Slt L coni sectlonis latus rectum. Datur praeterea ejusdem conl sectlonls umbilicus .S. Anguli RP S complementum ad duos rectos fiat 64 DE MOTU CORPORUM angulus RP H ; & dabitur positione linea P //, in qua umbilicus alter I/ locatur. Demisso ad PH perpendiculo SKy erigi intelligatur semiaxis conjugatus B C, & erit SPq — 2 K P H-\-P Hq = S Hq = ^CHq = ^BHq^/\^BCg = SP-¥PH: quad,'- Lx S P^P H= SPq^2SPH + PHq-L xSP-hPH. Addantur utrobique ^KPH-SPq^PHq-^-LxSP^PH, & fiet LxSP + PH= 2SPH+2KPH,seM SP-\-PH ad PH ut 2 SP-\- 2 KP 2id L. Unde datur P H Xzm longitudine quam positione. Nimirum si ea sit corporis in P velocitas, ut latus rectum L minus fuerit quam 2 S P + 2 KP, jacebit P H 2id eandem partem tangentis P R cum linea PS; ideoque figura erit ellipsis, & ex datis umbilicis S, H, & axe principali SP-\-PHy dabitur. Sin tanta P. sit corporis velocitas, ut latus rectum L sequale fuerit 2SP -\-2KP, longitudo PH infinita erit ; & propterea figura erit parabolaaxem habens 61^ parallelum lineae PKySi indedabitur. Quod si corpus ma- jori adhuc cum vel- ocitate de loco suo P exeat, capienda erit longitudo P H ^d alteram partem tangentis ; ideoque tangente inter umbilicos pergente, figura erit hyperbola axem habens principalem sequalem diiferentiae linearum SP & PH, & inde dabitur. Nam si corpus in his casibus revolvatur in conica sectione sic inventa, demonstratum est in prop. xi, xii, &^ XIII, quod vis centripeta erit ut quadratum distantiae corporis a centrc virium S reciproce ; ideoque linea P Q recte exhibetur, quam corpusj tali vi describet, de loco dato P, cum data velocitate, secundui rectam positione datam P R egrediens. Q. E. F, CoroL I. Hinc in omni coni sectione ex dato vertice principali D^ latere recto Z, & umbilico S, datur umbilicus alter H capiendo DH 2A DS ut est latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 6,DS. Nam proportio SP^PH ad PH ut 2 SP^- 2 KP^.dL LIBER PRIMUS. 65 in casu hujus corollarli, fit D S-^-D H ad D H \xt 4 Z^ 6^ ad Z, & divisim D S ^id D H wt ^ D S-L 2id L. Corol. 2. Unde si datur corporis velocitas in vertice principali Z>, invenietur orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus ad duplam dlstantiam D S, in duplicata ratlone velocitatis hujus datae ad velocltatem corporis in clrculo ad distantiam DS gyrantls (per corol. 3. prop. xvi. ;) dein DH 2.6. D S mX. latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4 Z? 61 Corol. 3. Hinc etiam si corpus moveatur in sectione quacunque conica, & ex orbe suo impulsu quocunque exturbetur ; cognosci potest orbis, in quo postea cursum suum peraget. Nam componendo proprlum corporis motum cum motu illo, quem impulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit. Corol. 4. Et si corpus illud vi allqua extrlnsecus impressa continuo perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colllgendo mutationes quas vis illa in punctls qulbusdam inducit, & ex seriei analogia mutationes contlnuas in locis intermediis sestimando. Scholium. Si corpus P vi centripeta ad punctum quodcunque datum R tendente moveatur in perlmetro datse cujuscunque sectionis coni- cae, cujus centrum slt C ; Ba requl- ratur lex vis centripetae : ducatur CG radio RP parallela, & orbls tangenti P G occurrens in G ; &. vis illa (per corol. i . & schol. prop. X. & corol. 3. prop. vii.) erit ut -^p^ 56 DE MOTU CORPORUM SECTIO IV. De invenlione orbium ellipticorum, parabolicorum & kyperbolicorum ex umbilico dato. LEMMA XV. Si ab ellipseos vel hyperbolce cujusvis umbilicis duobus S, H, ^^ punctum quodvis 'tertium V injlectantur rectcs ducz S V, H V, quarum tcna H V cequalis sit axi prin- cipali figurcBy id est, axi i7i quo umbilici jacent, altera S V a perpendictdo T R in se demisso bisecetur in T ; perpendiculum illud T R sectionem conicam alicubi tan- get: & contra, si tangit, erii H V cequalis axi principali figurce, Secet enim perpendiculum T R rectam H V productam, si opus fuerit, in R ; & jungatur S R. Ob sequales T S, T V, sequales erunt & rectse S R, VR & anguli TRS, TR V. Unde punctum R erit ad sectionem conicam, & perpendiculum TR tanget eandem : & contra. Q. E. D. PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA X. Datis umbilico & axibus principalibus describere trajectorias ellijf. ticas & hyperbolicas, quce transibunt per puncta data, & rectas positione datas contingent, Sit kS communis umbilicus figurarum ; A B longitudo axis prin- cipalis trajectorise cujusvis; P punc- tum per quod trajectoria debet tran- sire; & TR recta quam debet tangere. ^y ^ Centro P intervallo AB — SP, si orbita sit ellipsis, vel A B-\-SP, si ea sit hyperbola, describatur circulus //G. Ad tangentem TR demittatur LIBER PRIMUS. 67 perpendiculum S T, 8c producatur idem ad F, ut sit T V sequalis S T ; centroque V 81 intervallo A B describatur circulus F H. Hac methodo sive dentur duo puncta P,p, sive duae tangentes T R, tr, sive punctum P & tangens T R, describendi sunt circuli duo. Sit H eorum intersectio communis, & umbilicis S, H, axe illo dato describatur trajectoria. Dico factum. Nam trajectoria descripta (eo quod PH-\-SP in ellipsi, & PH—SP in hyperbola sequatur axi) transibit per punctum P, & (per lemma superius) tanget rectam TR. Et eodem argumento vel transibit eadem per puncta duo P,/, vel tanget rectas duas T R, tr. Q.E.F. PROPOSITIO XIX. PROBLEMA XI. Circa datum umdilicum trajectoriam parabolicam descridere, qucB transibit per puncta data, & rectas positione datas continget. Sit 6^ umbiHcus, P punctum & TR tangens trajectorise descri- bendae. Centro P, intervallo P S describe circulum F G. Ab um- biHco ad tangentem demitte perpendicularem S T, 81 produc eam ad F, ut sit T V aequaHs 6^ T. Eodem modo describendus est alter circulus fg, si datur alterum punctum p ; vel inveniendum alterum punctum V, si datur altera tangens tr; dein du- cenda recta / F quse tangat duos circulos F G, fg si dantur duo puncta P, p, vel transeat per duo puncta V, v, si dantur duae tangentes TR, tr, vel tangat circulum FG 8l transeat per punctum F, si datur punctum P & tangens T R. Ad FI demitte perpendicularem S I, eamque biseca in A'; & axe S K, vertice prin- cipaH K describatur parabola. Dico factum. Nam parabola, ob aequales S K 81 1 K, SP & F P, transibit per punctum P; 8l (per lem. xiv. corol. 3.) ob aequales S T 81 T V 81 angulum rectum STRy tanget rectam TR. Q.F.F 68 DE MOTU COBFORUM PROPOSITIO XX. PROBLEMA XII. Circa dattcm tmidiliacm trajectoriam quamvis specie datam describere, qucBper dataptcncta transibit & rectas tanget positione datas, Cas. I. Dato umbllico S, describenda sit trajectoria A B C p&r puncta duo B, C. Quoniam trajectoria datur specie, dabitur ratio axis principalis ad distantiam um- bilicorum. In ea ratione cape KB 2id BS, & LC ad CS. Centris B, C, intervallis BK, CL, describe circulos duos, & ad rectam K L, quse tangat eosdem in K & Z, demitte perpendiculum 6" G, idemque seca m A & a, ita uj sit GA 2id AS & Ga 2id aS ut est KB 2id B S & axe A a,* verticibus A, a, describatur trajectoria. Dico factum. Sit enim Lf umbilicus alter figurae descriptae, & cum sit G A ad A S ut Ga ad aS, erit divisim Ga—GA seu Aa ad aS—AS seu S in eadem ratione, ideoque in ratione quam habet axis principali figurse describendae ad distantiam umbilicorum ejus ; & propten figura descripta est ejusdem speciei cum describenda. Cumqd sint KB 2id B S &, L C did C S m eadem ratione, transibit haec figui per puncta B, C, ut ex conicis manifestum est. Cas. 2. Dato umbilico S, describenda sit trajectoria quae rectas" duas TR, t r alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte perpendicula S T, S t & produc ea- dem ad V, v, ut sint TV,tv aequa- les TS, tS. Biseca Vv in (9, & erige perpendiculum infinitum O H, rectamque VS infinite productam seca in A' & y^, ita ut sit VK ad KS & Ky^ ad kS ut est trajectoriae descri- bendae axis principalis ad umbiHco- rum distantiam. Super diametro K/^ describatur circulus secans 0/f in //; & umbilicis S, H, axe prlncipair ipsam F/Z^aequante, descrlbatur trajectoria. Dlcofactum. Nam blseca Kk in X, & junge HX, HS, HV, Hv. Quoniam est VK ad KS ut K / LIBER PRIMUS. 69 H^ V k ad kS ; & composlte ut VK-^- Vk ad K S-\-kS ; divlsimque ut Vk-VK2.AkS-KS, Idest, ut 2 FJ^ ad 2KX%l2KX2.A 2 SX, ideoque ut VX ad H X & I/ X ad SX, similia erunt triangula VX//, HXS, & propterea VH erit ad SH ut VX ad X//; ideoque ut VK2id K S. Habet igltur trajectorise descriptse axis principalis V H eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam S H, quam habet trajectoriae describendse axis prlnclpalis ad ipsius umbillcorum distantiam, & propterea ejusdem est speciei. Insuper cum VH, vH sequentur axi principall, & V S, v S 3. rectis T R, t r perpen- diculariter bisecentur, liquet (ex lem. xv.) rectas Illas trajectoriam descriptam tangere. Q. E. F. Cas. 3. Dato umbllico vS* describenda sit trajectoria quae rectam TR tanget in puncto dato R. In rectam T R demitte perpendi- cularem S T, Bi, produc eandem ad V, ut sit T^^sequalls ST Junge V R 8>i rectam V S infinlte productam seca m K 81 k, ita ut slt VK ad SK 8c V k ad kS'^ ut elllpseos descrlbendse axis principalis ad distantlam umbilicorum; cir- culoque super diametro Kk de- scrlpto secetur producta recta VR in H, & umbilicls S, H, axe principali rectam V H ^ sequante, describatur trajectoria. ^/ Dico factum. Namque V H ^ ' esse ad S H \xt VK ad SK, atque ideo ut axis principalis trajectorise describendse ad distantiam umbllicorum ejus, patet ex demonstratis in casu secundo, & propterea trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda, rectam vero TR qua angulus VRS bisecatur, tangere trajectoriam in puncto R, patet ex conicis. Q. E, F. Cas. 4. Circa umblllcum 6^ describenda jam sit trajectoria A P B, quse tangat rectam T R, transeatque per punctum quodvis P extra tangentem datum, quseque similis sit figurse ap b, axe principall a b & umbilicis s, h descriptse. In tangentem T R demitte perpendicu- lum S T, 8i produc idem ad V, ut slt T V sequalls 6^ T. Angulis autem VSP, SVP fac angulos hsq, shq sequales ; . centroque ^ & intervallo quod sit ad ^<$ ut 6^/* ad V S describe circulum secan- tem figuram ap b in /. Junge sp & age S H quse sit 2A s hvX est s DE MOrU CORPORUM S P ad sp, quaeque angulum P S H angulo p s k 8>l angulum V S H angulo psq aequales constituat. Denique umbilicis S, //, & axe principali A B distantiam V H aequante, describatur sectio conica. Dico factum. Nam si agatur sv quae sit ad sp ut est sh ad sq, quaeque constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vsh an- gulo psq aequales, triangula svh^ spq erunt similia, & propte- rea vh erit ?Ld p q ut est ^^ ad ^^, id est (ob similia triangula V S P, hsq) ut est VS ad S P seu ab 2A pq. vEquantur ergo vh & ab. «v.V Porro ob similia triangula V S H, vsh, est V H 2A S H \xX.v h 2x s hj id est, axis conicae sectionis jam descriptae ad illius umbilico- rum intervallum, ut axis ad a.d umbilicorum intervallum sh; & propterea figura jam descripta similis est figurae ap d. Transit autem haec figura per punctum P, eo quod triangulum P SH simile sit triangulo psh; & quia VH aequatur ipsius axi & VS bisecatur perpendiculariter a recta T R, tangit eadem rectam T R. Q. E. F. LEM M A XVI. A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differentice vel dantur vel nullcB sunt. Cas. I. Sunto puncta illa data A, B, C & punctum quartum quod invenire oportet ; ob datam differentiam linearum A Z, B LIBER PRIMUS. ^I locabitur punctum Z in hyperbola cujus umbilici sunt A 8i B, Sl principalis axis differentia illa data. Sit axis ille M N. Cape P M ad MA ut est MN Sid A B, & erecta PB perpendiculari ad A B, demissaque Z R perpendiculari ad P R ; erit, ex natura hujus hyper- bolae, Z R 2id A Z vX est M N ad A B, Simili discursu punctum Z locabitur in aha hyperbola, cujus umbiHci sunt A, C & principalis axis differentia inter A Z & CZ, ducique potest Q S ipsi A C perpendicularis, ad quam si ab hyperbolae hujus puncto quovis Z demittatur normalis Z Sy haec fuerit ad ^ Z ut est differentia inter A Z 8c CZ ad A C Dantur ergo rationes ipsarum Z R & Z S ad A Z, & idcirco datur earundem ZR & Z S ratio ad invicem ; ideoque si rectse RP, SQ concurrant in T, 8z agantur TZ & TAy figura TRZS dabitur specie, & recta TZ in qua punctum Z alicubi locatur, dabitur positione. Dabitur etiam recta TAy ut & angulus ATZ ; & ob datas rationes ipsarum A Z 2Si T Z 2A Z S dabitur earundem ratio ad invicem ; & inde dabitur triangulum A T Z, cujus vertex est punctum Z. Q.E.I. Cas. 2. Si duse ex tribus Hneis, puta A Z 81 B Zy sequantur, ita age rectam TZ, ut bisecet rectam AB; dein qusere triangulum A T Z uX. supra. Cas. 3. Si omnes tres sequantur, locabitur punctum Z in centro circuH per puncta A, B, C transeuntis. Q. E. I. Solvitur etiam hoc lemma problematicum per Hbrum tactionum Apollonii a Vieta restitutum. PROPOSITIO XXI. PROBLEMA XIII. Trajectoriam circa ctatum timbilicum descridere, quce transibit per puncta ciata & rectas positione datas continget. Detur umbiHcus 6^, punctum P, & tangens TR, & inveniendus sit umbiHcus alter 77. Ad tangentem demitte perpendiculum S T, & produc idem ad V, ut sit T V aequaHs S T 81 erit VH sequaHs axi 72 DE MOTU CGRFORUM principali. Junge SP, HP, & erit SP differentia inter H P & axem principalem. Hoc modo si dentur plures tangentes TP, vel plura puncta P, devenietur semper ad lineas totidem VH, vel P H, a dictis punctis V vel P ad umbilicum H ductas, quae vel aequantur axibus, vel datis longitudinibus SP differuntab iis- dem, atque ideo qua^ vel aequantur sibi invicem, vel datas habent differentias ; & inde, per lemma superius, datur um- bilicus ille alter H. Habitis autem um- bilicis una cum axis longitudine (quae vel est VH ; vel, si trajectoria ellipsis est, PH-\-SP ; sin hyperbola, PH—SP) habetur trajectoria. Q.E./. Schohum. Ubi trajectoria est hyperbola, sub nomine hujus trajectoriae oppo- sitam hyperbolam non comprehendo. Corpus enim pergendo in motu suo in oppositam hyperbolam transire non potest. Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta B, C, D. Junctas B C, CD produc ad E, F, ut sit i^'^ ad ^C ut^-^ad SC,&i FC ad FD ut 6^Cad S D. Ad^/^ductam& productam demitte normales S G, B H, inque G S infinite producta cape GA ad ^ 6^ & C^ ad a 6^ ut est H B ad B S ; & erit A vertex, & A a axis principalis trajectoriae : quae, perinde ut G A major, aequalis, vel minor fuerit quam A S, ^^ erit ellipsis, para- bola vel hyperbola ; puncto a in primo casu cadente ad ean- dem partem lineae GF cum puncto A ; in secundo casu ab- eunte in infinitum ; in tertio cadente ad contrariam partem lineae GF. Nam si demittantur ad C T^ perpendicula C/, DK ; erit /Cad HB ut E LIBER PRIMUS. 73 ad EB, hoc est, ut SC ad SB ; & vicissim I C 2A SC ut HB ad SB sive ut G^^ ad S A. Et simili argumento probabitur esse K D 2.6. S D m. eadem ratione. Jacent ergo puncta B, C, D in coni sectione circa umbilicum vS* ita descripta, ut rectae omnes, ab umbilico S ad singula sectionis puncta ductae, sint ad perpendicula a punctis iisdem ad rectam G F demissa in data illa ratione. Methodo haud multum dissimiH hujus problematis solutionem tradit clarissimus geometra de la Hire, conicorum suorum lib. viii. prop. XXV. SECTIO V. Inventio orbium ubi umbilicus neuter datur. . LEMMA XVIL Si a datce coniccs sectionis puncto quovis P ad trapezii alicujus A B D C, in conica illa sectione inscripti^ latera quatuor infinite producta A B, C D, A C, D B totidem rectce P Q, P R, P S, P T in datis angulis ducantur, singulce ad singula : rectangulum ductarum ad opposita duo latera P Q x P R, erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera opposita P S x P T ^'/^ data ratione. Cas. I. Ponamus primo lineas ad opposita latera ductas parallelas esse alterutri reHquorum laterum, puta PQ 81 P R lateri A C, & P S 3.C P T lateri A B. Sintque insuper latera duo ex oppositis, puta A C &. B D, sibi invicem parallela. Et recta, quae bisecat pa- rallela illa latera, erit una ex diametris conicae sectionis, & bisecabit etiam RQ. Sit O punctum in quo P Q bisecatur, & erit P O ordinatim appHcata ad diametnim iHam. Produc PO ad A', ut sit OK aequaHs PO, & erit OK or- dinatim appHcata ad contrarias partes diametri. Cum igitur puncta A, B, P 81 K sint ad conicam sectionem, 8l P K secet A B in dato angulo, erit (per prop. 17, 19, 21 & 23 Hb. III. conicorum 74 DE MOTU CORPORUM Apollonii) rectangulum P Q K 2A rectangulum A Q Bm data ratione. Sed QK 81 P R sequales sunt, utpote a^qualium O K, O P,&l OQ, OR differentiae, & inde etiam rectangula PgiT & Pg x P7? aequa- lia sunt ; atque ideo rectangulum P QxP R est ad rectangulum A QB, hoc est ad rectangulum P Sy.P Tin data ratione. Q .E. D. Cas. 2. Ponamus jam trapezii latera opposita A C &B D non esse parallela. Age Bd parallelam A C & occurrentem tum rectae 6^ T\ in /, tum conicse sectioni in d. Junge Cd secantem P Q in r, & ipsi P Q parallelam age D M secantem C d \n M & A B \n N. .Jam ob similia triangula BTt, DBN; ^stBt seu PQ ad Tt utDNsidNB. Sic&Rrest adAQ seu PSutDMad A N. Ergo, ducendo antecedentes in antecedentes & consequentes in consequentes, ut rectangulum P Q \n Rr est ad rectangulum P S in Tt, ita rectangulum N D M est ad rectangulum A NB, & (per cas. i.) ita rectangulum PQ \n Pr est ad rectangulum P S \n P ty ac divisim ita rectangulum P Q x PR est ad rectangulum PSxPT Q. E, D. Cas. 3. Ponamus denique lineas quatuor P Q, P R, P S, P T non esse parallelas lateribus A Cy A B, sed ad ea utcunque inclinatas. Earum vice age P q, Pr parallelas ipsi AC ; & Ps, P t parallelas ipsi A B ; & propter datos angulos trian- gulorum PQq,PRr,PSs,P Tt, dabuntur rationes P Q ^d P q, P R 2LdPr,PS ad P s, & PTad Pt; atque ideo rationes compositse P Q xPR ad PqxPr, & PSxPTad PsxPt. Sed, per superius demonstrata, ratio PqxPr Sid PsxPt data est : ergo & ratio PQxPR ad PSxPT Q.E.D, LIBER PRIMUS. 75 LEMMA XVIII. lisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera trapezii PQ X PR sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera PS X P T in data ratione ; punctum P, a quo linecB ducuntur, tanget conicam sectionem circa trapezium descriptam. Per puncta A, B, C, D 8c allquod infinitorum punctorum P, puta /, concipe conicam sectionem describi : dico punctum P hanc semper tangere. Si negas, junge AP secantem hanc conicam sec- tionem alibi quam in P, si fieri potest, puta in d. Ergo si ab his punctis p 8c d ducantur in datis angulis ad latera trapezii rectse / ^, p r, p s, p t & d ^, b n, bf, b d ; erit ut b kx bn ad bfy. b d ita (per lem. xvii.) pqy.pr 2A psypt, & ita (per hypoth.) PQ x PR ad PSy.PT. Est & propter similitudinem trapeziorum b k Af P Q A S, \it bk did bf \X,2i P Q 2idi P S. Quare, applicando ter- minos prioris proportionis ad terminos correspondentes hujus, erit bn2id bdvX PR 3id PT. Er- go trapezia aequiangula Dnbd, D RP T similia sunt, & eorum diagonales D b, D P propterea coincidunt. Incidit itaque b in intersectionem rectarum AP, D P ideoque coincidit cum puncto P. Quare punctum P, ubicunque sumatur, incidit in assignatam conicam sectio- nem. Q.E.D. Corol. Hinc si rectae tres ^ PQ,PR,PS2i puncto com- ^ V AM muni P ad aHas totidem positione datas rectas AB, CD, A C, singulae ad singulas, in datis anguHs ducantur, sitque rectangulum sub duabus ductis PQyPR ad quadratum tertise PS in data ratione : punc- tum P, a quibus rectae ducuntur, locabitur in sectione conica quae tangit Hneas AB, CD \n A 8>l C; & contra. Nam coeat Hnea B D cum Hnea A C, manente positione trium A B, C D, A C ; dein 76 DE MOTU CORPORUM coeat etiam linea PT cum linea P S : 8c rectangulum PSxP T evadet P S quad. rectaeque A B, CD, quae curvam in punctis A &i B, C &L D secabant, jam curvam in punctis illis coeuntibus non amplius secare possunt, sed tantum tangent. Scholium. Nomen conicae sectionis in hoc lemmate late sumitur, ita ut sectio tam rectilinea per verticem coni transiens, quam circularis basi pa- rallela includatur. Nam si punctum / incidit in rectam, qua puncta A Si D vel C & B junguntur, conica sectio vertetur in geminas rectas, quarum una est recta illa in quam punctum / incidit, & altera est recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si tra- pezii anguli duo oppositi simul sumpti sequentur duobus rectis, & linese quatuor P Q^ P R, P S^ P T ducantur ad latera ejus vel perpendi- culariter vel in angulis quibusvis i sequalibus, sitque rectangulum sub duabus ductis PQ x PR sequale rectangulo sub duabus aliis P SxP T, sectio conica evadet circulus. Idem fiet, si linese quatuor ducantur in an- gulis quibusvis, & rectangulum sub duabus ductis PQxPR sit ad rectangulum sub aliis duabus P Sx P T ut rectan- gulum sub sinubus angulonim Sy Ty in quibus duse ultimse ^ ^ k PS, PT ducuntur, ad rectangulum sub sinubus angulorum Q, R, in quibus duse primse P Q, P R ducuntur. Cseteris in casibus locus puncti P erit aliqua trium figurarum, quse vulgo nominantur sectiones conicse. Vice autem trapezii ABCD substitui potest quadrilaterum, cujus latera duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed & e punctis quatuor A, B, C, D possunt unum vel duo abire ad infinitum, eoque pacto latera figurse, quse ad puncta illa convergunt, evadere parallela : quo in casu sectio conica transibit per cxitera puncta, & in plagas parallelarum abibit in infinitum. LIBER PRIMUS. n L E M M A XIX K •-— p \ .,..-'- H T / — *■ — ir-. ^ " 1 k • Invenire punctum P, a quo si rectcB quatuor P Q, P R, P S, P T ad alias totidem positione datas rectas A B, C D, A C, B D, singulce ad singulas, in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductisy P Q x P R, sit ad rectangulum stib aliis duabus, P S X PT, /« data ratione. Lineae A B, C D, ad quas rectae duae P Q, P R unum rectangu- lorum contlnentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus positione datis lineis in punctis A, B, C, D. Ab eorum aliquo A age rectam quamlibet A H, in qua velis punctum P reperiri. Secet ea lineas oppositas B D, C D, nimirum B D in H 8>l C D in /, & oh datos omnes angulos figurae, dabuntur rationes PQ Sid P A & PA ad P Sy ideoque ratio P Q ad P S. Auferendo hanc a data ratione P Q xPP ad PSxP T, dabitur ratio P P 2id P T, & addendo datas rationes P / sid P P, 8c P T Sid P H dabitur ratio P / ^d P H, atque ideo punctum P. Q.E./. Corol. I. Hinc etiam ad loci punctorum infinitorum P punctum quodvis D tangens duci potest Nam chorda PZ7, ubi puncta P ac D conveniunt, hoc est, ubi A H ducitur per punctum D, tan- gens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium / P 8l P H invenietur ut supra. Ipsi igitur A D duc parallelam C F, occurren- tem B D m F, 8l m ea ultima ratione sectam m E, 81 D E tangens erit, propterea quod C F 8l evanescens / H parallelae sunt, & in ^5* & P similiter sectae. Corol. 2. Hinc etiam locus punctorum omnium P definiri potest. Per quodvis punctorum A, B, C, D, puta A, duc loci tangentem A Ey 81 per aliud quodvis punctum B duc tangenti parallelam B F 78 DE MOTU CORPORVM occurrentem loco in F. Inven- ietur autem punctum F per lem. XIX. Biseca B Fm G, 8c acta indefinita A G erit positio diametri ad quam B G &l F G ordinatim applicantur. Haec A G occurrat loco in H, & erit A H diameter sive latus transversum, ad quod latus rec- tum erit vX B G q 2.di A Gx G H. S\ A G nusquam oc- currit loco, linea A H existente infinita, locus erit parabola, & BGq latus rectum ejus ad diametrum A G pertinens erit . ^ . Sin ea alicubi occurrit, locus hyperbola erit, ubi puncta A 8i H sita sunt ad easdem partes ipsius G: & ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte angulus A G B rectus sit, & insuper B G quad. aequale rectangulo A G H, quo in casu circulus habebitur. Atque ita problematis veterum de quatuor lineis ab Euclide inccepti & ab Apollonio continuati non calculus, sed compositio geometrica, qualem veteres quserebant, in hoc corollario exhibetur. LEMMA XX. Si parallelogrammum quodvis A S P Q angulis duobtis oppositis A & P tangit sectionem quamvis conicam in punctis K & V\ & lateribus unius angulorum illorum infi^iite productis A Q, A S occurrit eidem sectioni conicce in V> & Q\ a punctis autem occursuum B & C ad quintum quodvis sectionis coniccs punctum D agafitur rectcB ducB BD, C D occurrentes alteris duobus infinite productis parallelogrammi lateribus P S, P Q m T df R : erunt semper abscisscB laterum partes P R df P T ad invicem in data ratione. Et contra, si partes illcs abscissce sunt ad invicem in data ratione, punctum D tanget sectionem conicam per ptmcta quatuor A, B, C, P transeuntem. LIBER PRIMVS. 79 Cas. I. Jungantur B P, CP 8i a puncto D agantur rectae du^ DG, D E, quarum prior D G ipsi A B parallela sit & occurrat P B, PQ, C A in H, /, G ; altera D E parallela sit ipsi A C & occurrat P C, PS, A B in E, K, E: & erit (per lem. xvii.) rectangulum DExDE ad rectangulum DGxD// in ratione data. Sed est PQad DE (seu /Q) ut PB ad //B, ideoque ut jP 7^ ad D//; & vicissim P Q Sid PT ut DE ad D//. Est & PE 3idDEutEC3idDC, ideo- que ut {/G vel) PvS^ad D G, & vicissim PP ad PkS' ut Z?/^ ad D G; & conjunctis rationi- bus fit rectangulum PQ x PR ad rectangulum PS x PTut rectangulum DE x DE ad rectangulum D GxD //, at- que ideo in data ratione. Sed dantur PQ & PS, & propterea ratio PE ^d PT datur. Q.E.D. Cas. 2. Quod si P P & P T ponantur in data ratione ad invicem, tum simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum DE xD E 2id rectangulum D GxD // m ratione data, ideoque punctum D (per lem. xviii.) contingere conicam sectionem transeuntem per puncta A, B, C, P. Q.E.D. Corol. I. Hinc si agatur B C secans PQ in r, & in P 7"capiatur P t \u ratione 2A P r quam habet PT ad P R: erit Bt tangens conicse sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D coire cum puncto B, ita ut, chorda BD evanescente, BT tangens evadat; & C D diC B 7"coincident cum CB Si B t. Corol. 2. Et vice versa si B t sit tangens, & ad quodvis conicae sectionis punctum D conveniant B D, C D ; erit P R 2id P Tut P r ad P t. Et contra, si sit P R ad P T ut Pr ad P t: convenient, B D, CDdid conicse sectionis punctum aliquod D. Corol. 3. Conica sectio non secat conicam sectionem in punctis pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duae conicse sectiones per quinque puncta A, B, C, P, O ; easque secet recta B D in punctis D, d, & ipsam P Q secet recta C^ in ^. Ergo P R est ad 8o DE MOTU CORPORUM P T vX PqzA P T ; unde P R &. Pq sibi invicem sequantur, contraj hypothesin. LEMMA XXI. St rectce duce mobiles & infinitcs B M, C M per data puncta B, O ceu polos ductcB^ concursu suo M describant tertiam positione datam rectam M N ; df alicB ducs infinitce rectcs B D, C D cum prioribus duabus ad puncta illa data B, C datos angulos M B D, M C D efficientes ducanttir : dico quod hce ducs B D, C D concursu suo D describent sectionem conicam per puncta B, C transeuntem. Et vice versa, si rectcs B D, C D concursu suo D describant sectionem conicam per data puncta B, C, A transeuntem, & sit angulus D B M semper csqualis angulo dato A B C, angulusque D C M semper cequalis angulo dato A C B : punctum M continget rectam positione datam. Nam in recta MN detur punctum N^ & ubi punctum mobile M incidit in immotum N, incidat punctum mobile £> in immotum P. Junge CN, BN, CP, BP, & a puncto P age rectas P T, P R occurrentes ipsis B D, C D \n T 8z R, &, facientes angulum BP T LIBER PRIMUS. 8r aequalem angulo dato B N M, & angulum C P R a^qualem angu- lo dato C N M. Cum ergo (ex hypothesi) aequales sint anguH MBD, NBP, ut & anguH MCD, NCP; aufer communes NBD & NCD, & restabunt ^quales NBM&PB T, NCM & PCR: ideoque triangula N B M, P B 7"similia sunt, ut & triangula N C M, P CR. Quare P T est ad NM ut /^ ^ ad N B, & P R Sid N M ut PC ad NC Sunt autem puncta B, C, N, P immobilia. Ergo P T & P R datam habent rationem ad N M, proindeque datam rationem inter se ; atque ideo (per lem. xx.) punctum D, perpetuus rectarum mobilium B T & C R concursus, contingit sectionem conicam, per puncta B, C, P transeuntem. Q.E.D, Et contra, si punctum mobile D contingat sectionem conicam transeuntem per data puncta B, C, A, Sl sit angulus D B M semper aequalis angulo dato A B C, 8»l angulus D CM semper sequalis an- gulo dato A CB, 8i ubi punctum D incidit successive in duo quae- vis sectionis puncta immobilia />, P, punctum mobile M incidat suc- cessive in puncta duo immobilia n, N: per eadem n, N agatur recta n N, &. haec erit locus perpetuus puncti illius mobilis M. Nam, si fieri potest, versetur punctum M in Hnea ahqua curva. Tanget ergo punctum D sectionem conicam per puncta quinque B, C, A, p, P transeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam curvam. Sed & ex jam demonstratis tanget etiam punctum D sectionem co- 82 DE MOTU CORPOR UM m nicam per eadem quinque puncta B^ C, A, p, P, transeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam rectam. Ergo duae sectiones conicae transibunt per eadem quinque puncta, contra corol 3. lemmat. XX. Igitur punctum J/versari in linea curva absurdum est. Q,E.D. PROPOSITIO XXII. PROBLEMA XIV. Trajectoriam per data qidnque ptincta describere, Dentur puncta quinque Ay By C, Py D. Ab eorum aliquo A ad alia duo qusevis B, C, quse poli nominentur, age rectas A B, A C, hisque parallelas TP S^ P RQ per punctum quartum P. Deinde a polis duobus B, C age per punctum quintum D infinitas duas B D T, CRDy novissime ductis T P S, P R Q (priorem priori & posteri- orem posteriori) occurrentes in T &. R. Denique de rectis P T, PRy acta recta tr ipsi TR parallela, abscinde quasvis Pty Pr ipsis P T, PR proportionales ; & si per earum terminos /, r & polos B, C actse B t, Cr concurrant in dy locabitur punctum illud ^in trajectoria quae- sita. Nam punctum illud d (per lem. xx.) versatur in conica sectione per puncta quatuor A, By C, P transeunte ; & lineis Rr, Tt evanes- centibus, coit punctum d cum puncto D. Transit ergo sectio conica per puncta quinque A, B, C, P, D. Q.E,D. Idem aliter. E punctis datis junge tria qusevis A,B,C ; & circum duo eorum By Cy ceu polos, rotando angulos magnitudine datos A B C, A CB\ LIBER PRIMUS. appllcentur crura B A, CA, primo ad punctum Z>, deinde ad punc- tum Py & notentur puncta M, N in quibus altera crura B L, C L casu utroque se decussant. Agatur recta infinita M N, & rotentur anguli illi mobiles circum polos suos B, C, ea lege ut crurum B Z, CL vel B M, CM intersectio, quae jam sit m, incldat semper in rectam illam Infinltam M N ; & crurum B A, CA, vel B D, C D intersectio, quae jam slt d, trajectorlam qusesltam P A D dB delinea- bit. Nam punctum d (per lem. xxi.) contlnget sectlonem conicam per puncta B, C transeuntem ; & ubi punctum m accedit ad puncta Z, M, Ny punctum d (per constructionem) accedet ad puncta A D P. Descrlbetur itaque sectlo conlca transiens per puncta qulnque Ay B, C,P,D. Q.E.F. Corol. I. Hinc recta expedlte duci potest, quse trajectoriam quaesltam in puncto quovis dato B continget. Accedat punctum ^ad punctum B, & recta B d evadet tangens quaeslta. Corol. 2. Unde etlam trajectoriarum centra, dlametri & latera recta Invenirl possunt, ut in corollario secundo lemmatis xix. ScholiMm. Constructlo prlor evadet paulo slmpllclor jungendo BP, & In ea, si opus est, producta caplendo Bp 2A B P vX est P R ad P T ; & g^ DE MOTU CORFORUM per / agendo rectam infinitam p e ipsi S P T parallelam, & in ea capiendo semper pe ^qualem P r ; & agendo rectas B e, C r con- currentes in d. Nam cum sint Z' r ad P t, P R ad P T, p B 2.d P B.pediA P t in eadem ratione ; erunt p e & P r semper sequales. Hac methodo puncta trajectoriae inveniuntur expeditissime, nisi mavis curvam, ut in constructione secunda, describere mechanice. PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA XV. Trajectoriam describere, qtuB per data quatuor puncta transibit, & rectam contifiget positione datam, Cas. I. Dentur tangens HB, punctum contactus B^ & alia tria puncta C, Dy P, Junge B C, & agendo PS parallelam rectse B H, 8i P Q parallelam rectse B C, comple parallelogrammum B S P Q, Age B D secantem ^'P in T, &l C D secantem P Q m R, Denique, agendo quamvis / r ipsi TR parallelam, de P Q, P S abscinde P r, P t ipsis P R, P T proportionales respective ; & actarum C r, Bt concursus d (per lem. xx.) incidet semper in trajectoriam describendam. Idem aliter. Revolvatur tum angulus magnitudine datus C B H circa polum By tum radius quiHbet rectiHneus & utrinque productus D C circa polum C, Notentur puncta M, N, in quibus anguH crus B C secat radium iHum, ubi crus alterum B H concurrit cum eodem radio in punctis P &, D. Deinde ad actam infinitam MN concurrant per- LIBER PRIMUS. 8q petuo radlus ille CP vel CD & anguli crus BC, & cruris alterius B H con- cursus cum radio delineablt trajecto- riam quaesitam. Nam si in constructionlbus proble- matis superlorls accedat punctum A ad punctum B, llneae C A & C B colnci- dent, & linea A B m ultimo suo situ fiet tangens B//; atque ideo construc- tiones ibi positae evadent esedem cum constructionibus hic descriptis. De- lineablt igltur crurls B // concursus cum radio sectionem conicam per puncta C, D, P transeuntem, & rectam /j i5Zr tangentem in puncto B, Q.E.F. Cas. 2. Dentur puncta quatuor B, C, Dy P extra tangentem H I sita. Junge bina llneis B D, CP concurrentibus in G, tangen- tique occurrentibus in H 8l I, Secetur tangens in A, ita ut sit H A ad I Ay ut est rectangulum sub media proportionali inter C G & G P 8c media proportionali inter B H &, HD, ad rectangulum sub media proportionali inter D G Sc G B & medla proportionali inter P/ & /C; & erit A punctum contactus. Nam si rectae P/ parallela HX trajec- toriam secet in punctis quibus- vis X & V: erit (ex conicis) punctum A ita locandum, ut fuerit HA quad. 2A A / quad. in ratlone composlta ex ratione fectanguli XHY ad rectan- gulum BHD, seu rectanguli C G P 2id rectangulum D G B, & ex ratione rectanguli B HD ad rectangulum P / C Invento autem contactus puncto A, descri- betur trajectorla ut in casu primo. Q. E. F. Capi autem potest punctum A vel inter puncta H 81 /y vel extra ; & perinde trajectoria dupliciter describi. 86 DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO XXIV. PROBLEMA XVI. Trajectoriam describere, quce transibit per data tria puncta, & rectas duas positione datas continget, Dentur tangentes HI, K L & puncta B, C, D. Per punctorum duo qusevis B, D age rectam infinitam B D tangentibus occurren- tem in punctis H, K, Deinde etiam per alia duo quaevis C, D age infinitam C D tangentibus occurrentem in punctis /, Z. Actas ita seca m R &i S, ut sit H R 2A K R ut est media proportionalis inter B H 81 HD ad mediam proportionalem inter B K & KD ; & /S ad L S ut est media proportionalis inter C/ & /D Sid mediam proportionalem inter CL & L D, Seca autem pro lubitu vel inter puncta K & H, / & L, vel extra eadem ; dein age R S secantem tangentes m A & P, & erunt A & P puncta contactuum. Nam si A & P supponantur esse puncta contactuum alicubi in tangentibus sita ; & per punctorum H, /, K, L quodvis /, in tangente alterutra H/ situm, agatur recta / V tan- genti alteri KL parallela, quae occurrat curvae in ^ & K, & in ea sumatur /Z media propor- tionalis inter /X & /V: erit, ex conicis, rectangulum X / V seu / Z quad, ad Z P quad. ut rectangulum C / D ^.d rectangu- lum C LD, id est (per construc- tionem) ut S/ quad. ad SL quad. atque ideo / Z ad Z /* ut S / ^.d S L. Jacent ergo puncta S, P, Z in una recta. Porro tangentibus concurrentibus in G, erit (ex conicis) rectangulum X / Y s^u / Z quad. ad /A quad. ut GP quad. Sid G A quad. ideoque /Z ad /A ut GP did GA. Jacent ergo puncta P, Z 81 A m una recta, ideoque puncta S, P & A sunt in una recta. Et eodem argumento probabitur quod puncta R, P & A sunt in una recta. Jacent igitur puncta contactuum A & P in recta R S. Hisce autem inventis, trajectoria describetur ut in casu primo problematis superioris. Q,E,F. LIBER PRIMUS. 87 In hac proposltlone, & casu secundo proposltlonis superlorls con- structlones esedem sunt, slve recta X Y trajectorlam secet In ^ & K, slve non secet ; eaeque non pendent ab hac sectlone. Sed demon- stratls constructionlbus ubl recta illa trajectorlam secat, innotescunt constructlones, ubi non secat ; iisque ultra demonstrandis brevltatis gratla non Immoror. L E M M A XXI I. Figuras in alias ejtcsdem generis figuras mutare. Transmutanda slt figura quaevls HGI. Ducantur pro lubitu rectae duae parallelae A O, B L tertlam quamvls posltione datam A B secantes m A & j^, & a figurae puncto quovis G, ad rectam A B ducatur quaevls G D, ipsi O A parallela. Deinde a puncto ali- quo O, in linea O A dato, ad punctum D ducatur recta O D, ipsi BL occurrens in dy & sl punc- to occursus erigatur recta dg datum quemvis angulum cum recta BL continens, atque eam habens ratlonem Sid O d quam habet Z^ 6^ ad OD; & erlt g punctum in figura nova Agi puncto G respondens. Eadem ra- tione puncta slngula figurae prlmae dabunt puncta toti- dem figurae novae. . Concipe igitur punctum G motu continuo percurrere puncta omnia figurae primae, & punctum g motu itldem contlnuo percurret puncta omnia figurae novae & eandem descrlbet Distinctionis gratia nominemus D G ordinatam prlmam, dg ordinatam novam ; A D abscissam primam, a d abscissam novam ; O polum, O D radlum absclndentem, OA radium ordlnatum prlmum, & O a (quo parallelogrammum O A B a completur) radlum ordlnatum novum. Dico jam quod, si punctum G tanglt rectam lineam positione da- tam, punctum g tanget etlam Hneam rectam posltlone datam. Si punctum G tanglt conicam sectionem, punctum g tanget etlam conicam sectlonem. Conlcis sectionibus hic circulum annumero. Por- -^ D 88 DE MOTU CORPORUM ro si punctum G tanglt lineam tertii ordinis analytici, punctum g tanget lineam tertii itidem ordinis ; & sic de curvis lineis superiorum ordinum. Lineae duae erunt ejusdem semper ordinis analytici quas puncta G, g tangunt. Etenim ut est ^ ^ ad O A ita sunt Od ad OD, O A X AB dg did D G, & A B ad A D ; ideoque A D sequalis est -j , „ ^^ ,. OAxdg, _ . ^ . ,. & Z/ G- aequalis est , Jam si punctum G tangit rectam li- neam, atque ideo in sequatione quavis, qua relatio inter abscissam A D &L ordinatam D G habetur, indeterminatae illae A D 8i D G did unicam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac aequatione OAxAB ^ r^ a OAxdg ^ ^ -1 pro A D, & -1 — pro D Cr, producetur sequatio nova, in qua abscissa nova ad & ordinata nova dg ad unicam tantum dimensionem ascendent, atque ideo quae designat lineam rectam. Sin A D & D G, vel earum al- terutra, ascendebant ad duas dimensiones in aequatione prima, ascendent itidem ad & dg ad duas in aequatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus dimensionibus. Indeterminatae ad, dg in aequatione secunda, & A D, D G in prima ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea lineae, quas puncta G, g tangunt, sunt ejusdem ordinis analytici. Dico praeterea, quod si recta aliqua tangat Hneam curvam in figura prima ; haec recta eodem modo cum curva in figuram novam translata tanget lineam illam curvam in figura nova ; & contra. Nam si curvae puncta quaevis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima, puncta eadem translata accedent ad invicem & coibunt in figura nova; atque ideo rectae, quibus haec puncta junguntur, simul evadent curvarum tangentes in figura utraque. Componi possent harum assertionum demonstrationes more magis geometrico. Sed brevitati consulo. D 1 LIBER PRIMUS. 89 Igltur sl figura rectllinea in aliam transmutanda est, sufficit recta- rum, a quibus conflatur, intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare opor- tet, transferenda sunt puncta, tangentes, & aliae rectse, quarum ope curva linea definitur. Inservit autem hoc lemma solutioni difficiliorum problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam rectae qusevis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato prlmo Hneam quamvis rectam, quae per con- cursum convergentium transit; idque qula concursus ille hoc pacto abit in infinltum ; linese autem parallelae sunt, quae nusquam concurrunt. Postquam autem problema solvitur in figura nova; si per inversas operationes transmutetur haec figura in figuram primam, habebltur solutio quaesita. Utile est etlam hoc lemma in solutione solidorum problematum. Nam quoties duae sectiones conicae obvenerint, quarum intersectione problema solvl potest, transmutare Hcet earum alterutram, sl hyper- bola slt vel parabola, In eHipsIn : delnde eHIpsis facile mutatur in clrculum. Recta item & sectio conica, in constructione planorum problematum, vertuntur in rectam & circulum. PROPOSITIO XXV. PROBLEMA XVII. Trajectoriam describere, qicce per data duo puncta transibit, & rectas tres continget positione datas, Per concursum tangentium qua- rumvls duarum cum se invicem, & concursum tangentis tertiae cum recta IHa, quae per puncta duo data tran- slt, age rectam infinitam ; eaque adhibita pro radlo ordinato primo, transmutetur figura, per lemma su- perlus, in figuram novam. In hac figura tangentes iHae duae evadent sibi invicem parahelae, & tangens tertia fiet paraHela rectae per puncta duo data transeunti. Sunto hi, kl tangentes iHae duae parallelae, ik 96 DE MOTU CORPORUM tangens tertia, 8l hl recta huic parallela transiens per puncta illa a, b, per quse conica sectio in hac figura nova transire debet, & parallelo- grammum hikl complens. Secentur rectse hi, ik, kl in c, d, e, ita ut sit hc 2A latus quadratum rectanguli ah b, ic ad id, & ke ad kd ut est summa rectarum hi 81 k l did summam trium linearum, quarum prima est recta e^, & alterse duae sunt latera quadrata rectangulorum ahb Sl alb: & erunt c, d, e puncta contactuum. Etenim, ex conicis, sunt hc quadratum ad rectangulum ahb, & ic quadratum ad /^quadratum, & ke quadratum Sid kd quadratum, & e/ quadratum ad rectangulum a/b in eadem ratione ; & propterea v ^^ ^^ ad latus quadratum ipsius ahby ic ad id, ke ^d kd, & e/ ad latus quadratum ipsius a/b sunt in sub- duplicata illa ratione, & composite, in data ratione omnium antecedentium hi & k/ ad omnes consequentes, quae sunt latus quadratum rectanguli ahb, & recta ik, & latus quadratum rec- tanguli a/b. Habentur igitur ex data illa ratione puncta contactuum c, d, e, m figura nova. Per inversas operationes lemmatis novissimi trans- ferantur hsec puncta in figuram primam, & ibi (per prob. xiv.) describetur trajectoria. Q,E,F. Caeterum perinde ut puncta a, b jacent vel inter puncta h, /, vel extra, debent puncta r, d, e vel inter puncta h, i, k, /, capi, vel extra. Si punctorum a, b alterutrum cadit inter puncta h, /, & alterum extra, problema impossible est. PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA XVIII. Trajectoriam describere, quce transibit per punctum datum, & rectas quatuor positione datas continget. Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectionem communem reliquarum duarum agatur recta infinita, & eadem pro radio ordinato primo adhibita, transmutetur figura (per lem. xxii.) in figuram novam, & tangentes binse, qu^ ad radium ordinatum primum concurrebant, jam evadent parallel^. Sun- LIBER PRIMUS. 91 to illae kiSikl, ikSihl continen- tes parallelogrammum /^2^/. Sit- que/ punctum in hac nova figura puncto in figura prima dato respon- dens. Per figurae centrum O aga- tur/^, & existente Oq sequali O p, erit q punctum alterum per quod sectio conica in hac figura nova transire debet. Per lemmatis xxii. operationem inversam transferatur _ hoc punctum in figuram primam, ^ & ibi habebuntur puncta duo per quae trajectoria describenda est. Per eadem vero describi potest trajectoria illa per problema xvii. Q.E,F, LEMMA XXII I. Si rectce duce positione datce AC, BD addata puncta A, B, terminentur, datamque kabeant rationem ad invicem, & recta C D, qua puncta indeterminata C, 'Djunguntur, secetur in ratione data in K: dico quod punctum K locabitur in recta positione data, Concurrant enim rectse A C, B D m E, 81 m B E capiatur B G Sid A E ut est BI? ad A Q sitque ED semper sequalis datse E G ; & erit ex constructione E C ad G D, hoc est, ad E F vX ^' AC2A BD, ideoque in ratio- ne data, & propterea dabitur specie triangulum E F C Secetur CFm L ut sit C L ad C F m ratione C K 'aA C D ; & ob datam illam ra- tionem, dabitur etiam specie triangulum EFL; proin- deque punctum L locabitur in recta EL positione data. Junge L K, 81 simiHa erunt triangula CLK, CFD; & ob datam FD & datam rationem L K 2A FD, H G B 92 DE MOTU CORPORUM dabitur LK. Huic sequalis capiatur E H, & erit semper ELKH parallelogrammum. Locatur igitur punctum K in parallelogrammi illius la- tere positione dato H K, Q.E.D. CoroL Ob datam specie figuram E FL C, rectae tres EF, EL 8iEQ id est, GD, HK 8iE C, datas habent rationes ad invicem. LEMMA XXIV. Si rectcB tres tangant quamcmigtce coni sectionentj quarum duce paral- lelcB sint ac dentur positione ; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus parallelay sit media proportionalis inter harum segfnenta^ punctis contactuum & tangenti tertice interjecta, Sunto AF, GB parallelae duae coni sectionem ADB tangentes in A & B; E F recta tertia coni sectionem tangens in /, & occurrens prioribus tangentibus \n F Sl G ; sitque C D semidiameter figurse tangentibus parallela : dico quod A F, C Dy B G sunt continue proportionales. Nam si diametri con- jugatse A B, D M tangenti FG occurrant in E &. H, seque mutuo secent in C, & compleatur parallelo- grammum I K C L ; erit ex natura sectionum con- icarum ut ^ C ad CA ita C^ ad CZ, & ita divisim EC-^CA ad CA^CL seu E A 2Ld A L, & composite EA ad EA-\-AL seu E L ut E ad EC-h CA seu EB; ideoque, ob similitudinem triangulorum EAF, LIBER PRIMUS. 93 ELI.E CH, E B G, A F 2id L I \xt CH ad B G. Est itidem, ex natura sectionum conicarum, Z / seu CA^ad CD ut CD ad CH; atque ideo ex aequo perturbate ^ /" ad CZ^ ut CZ^ ad ^ 6^. Q. E. D. Corol. I. Hinc si tangentes duse F G, P Q tangentibus parallelis AF, BG occurrant in F & Gy P & Q, seque mutuo secent in O ; erit ex sequo perturbate A F a.d B Q ut A P 2A B G, &l divisim ut FP ad G Q, atque ideo ut i^ 6^ ad O G. Corol. 2. Unde etiam rectse duae P G, FQ, per puncta P &. G, F 81 Qy ductae, concurrent ad rectam A CB per centrum figurae & puncta contactuum A, B transeuntem. LEMMA XXV. Si parallelogrammi latera qtmtuor infinite producta tangant section- em quamcunque conicam, & abschictantur ad tangentem quamvis quintam ; smnantur autem laterum quorumvis duo7^um contermi- norum abscissce terminatcB ad angulos oppositos parallelogrammi : dico quod abscissa alterutra sit ad latus illud a quo est abscissa, ut pars lateris alterius contermini inter punctum contactus & latus tertium est ad abscissarum alteram, Tangant parallelogrammi ML /A^latera quatuor M L, I K, K L, M I sectionem conicam in A,B, C,D, & secet tangens quinta/^^ F M A L haec latera in F, Q, H 81 E ; sumantur autem laterum M I, K I abscissae M E, K Q, vel laterum K L, M L abscissae K H, M F : Q4 DE MOTU CORPORUM dico quod sit ME ad MI ut BK ad KQ; & K H ad i^rZ ut ^ 7^/ad M F. Nam per corollarlum primum lemmatls superlorls est ME ad ^ / ut ^ J/ seu B K 2idB Q,&i componendo M E did M I \it BKdidKQ, Q,E.D. Item K H ^d H L ut B K s^n A M 2id AE,& dividendo K H ad K L ut A M ad MK Q. E. D. Corol. I. Hinc sl datur parallelogrammum I K L M, circa datam sectionem conlcam descrlptum, dabltur rectangulum KQxME, ut & huic sequale rectangulum K Hx M F. ^quantur enim rectangula illa ob similitudinem triangulorum K Q H, M F E. CoroL 2. Et si sexta ducatur tangens eg tangentibus K I, MI occurrens in ^ & e ; rectangulum K QxM E sequabitur rectangulo Kq X Me; eritque KQ ad Me ut Kq ab ME, & divisim ut Qq ad Ee. Corol. 3. Unde etiam si E q, ^^ jungantur & bisecentur, & recta per puncta bisectionum agatur, transibit hsec per centrum sectionis conicae. Nam cum sit Qq did Eeut KQ ad Me, transibit eadem recta per medlum omnium Eq, eQ, M K (per lem. xxiii.) & medium rectae M K est centrum sectionis. PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA XIX. Trajectoriam describerey qucB rectas quinque positione datas continget. Dentur positione tangentes ^ ^ G^, ^ C /% GCD, FDE, EA, Figurse quadrllaterae sub quatuor qulbusvis contentse A B F E didi- gonales A F, B E biseca in i^ & -A^, & (per corol. 3. lem xxv.) recta MN per puncta bisectionum acta transibit per centrum trajecto- I LIBER PRIMUS. g^ rlse. Rursus figurae quadrilaterae B G D F^ sub aliis quibusvis qua- tuor tangentibus contentae, diagonales (ut ita dicam) B D, GF biseca in P & 0 : & recta PQ per puncta bisectionum acta tran- sibit per centrum trajectorise. Dabitur ergo centrum in concursu bisecantium. Sit illud O. Tangenti cuivis B C parallelam age K L^ ad eam distantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur, & acta K L tanget trajectoriam describendam. Secet haec tangencoo alias quasvis duas GC D, FD E m L & K. Per harum tangentium non parallelarum CZ, FK cum parallelis CF^ KL concursus C & Ky F& L age CK, FL concurrentes in K, & recta OK ducta & pro- ducta secabit tangentes parallelas CFy KL in punctis contactuum. Patet hoc per corol. 2. lem. xxiv. Eadem methodo invenire* licet alia contactuum puncta, & tum demum per construct. prob. xiv. trajectoriam describere. Q. E. F, Scholium. Problemata, . ubi dantur trajectoriarum vel centra vel asymptoti, includuntur in praecedentibus. Nam datis punctis & tangentibus una cum centro, dantur alia totidem puncta aliaeque tangentes a centro ex altera ejus parte aequaliter distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, & ejus terminus infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis cujusvis punc- 96 DE MOTU CORPORUM tum contactus abire In infinitum, & tangens vertetur in Asympto- ton, atque constructlones problematum praecedentlum vertentur In constructiones ubl Asymptotos datur. Postquam trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbilicos ejus hac methodo. In constructione & figura lemmatls xxi. fac ut angulorum moblHum P B N, P C N, crura B P, C P, quorum con- cursu trajectoria describebatur, sint sibi Invlcem parallela, eumque servantla sltum revolvantur circa polos suos B, C In figura Illa. Inte- rea vero describant altera angulorum illorum crura C N, B N, con- cursu suo K vel ky clrculum BGKC. Slt clrcuH hujus centrum O, Ab hoc centro ad regulam M N, ad quam altera Illa crura C N^ BN interea concurrebant, dum trajectoria descrlbebatur, demltte normalem O H clrculo occurrentem va K %i L, Et ubl crura illa altera C K,B K concurrunt ad punctum illud K quod regulae proplus est, crura prlma C P, B P parallela erunt axl majori, & perpendicu- laria mlnorl; & contrarium evenlet, si crura eadem concurrunt ad punctum remotlus Z. Unde si detur trajectoriae centrum, dabuntur axes. Hisce autem datis, umbillci sunt In promptu. Axlum vero quadrata sunt ad invicem mX. K H zA LH, & inde facile est trajectorlam specie datam per data quatuor puncta descrl- bere. Nam sl duo ex punctis datls constltuantur poli C, B, tertiui dablt angulos moblles, PCK, PBK ; hls autem datls describl potest clrculus BGKC. Tum ob datam specle trajectoriam, dabitui ratio O H 2A OK, Ideoque ipsa O H. Centro O & Intervallo O LIBER PRIMUS. ^j describe allum circulum, & recta, quae tangit hunc circulum, & transit per concursum crurum CK, B K, ubi crura prima C P, B P concurrunt ad quartum datum punctum, erit regula illa M N cujus ope trajectorla describetur. Unde etiam vicissim trapezium specie datum (si casus quidam impossibiles excipiantur) In data quavis sec- tlone conica inscribi potest. Sunt & alia lemmata quorum ope trajectoriae specie datse, datis punctis & tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per punctum quodvis positione datum ducatur, quae da- tam coni sectlonem in punctls duobus intersecet, & Intersectionum Intervallum blsecetur, punctum blsectionis tanget aliam coni sectionem ejusdem speclei cum prlore, atque axes habentem priorls axlbus parallelos. Sed propero ad magis utiHa. LE M M A XXVI. Trianguli specie. & magnittidine dati tres angidos ad rectas totidem positione datas, qucs non sunt omnes parallelcBy singulos ad singulas ponere. Dantur positione tres rectae infinitae A B, A C, B C^ & oportet trlangulum D E F\\,2l locare, ut angulus ejus D lineam A B, angulus E lineam A Cj & angulus E lineam B C tangat. . Super D E, D F %L E F describe tria circulorum segmenta D RE, D G F, E M F, quae capiant angulos anguHs B A C, A B C^ A C B aequales respectlve. Describantur autem haec segmenta ad eas partes Hnea- rum DE, D F, E F, ut Hterae DRED eodem ordlne cum Hterls BACB, Hter^ DGFD eodem cum Hteris A B C A, & Hterae EMFE eodem cum Hteris A C B A in orbem redeant; delnde compleantur haec segmenta In circulos integros. Secent circuH duo priores se mutuo in Gy sintque centra eorum P Bl Q, Junctis G P,P Q, cape G a 2id A B ut Gst G P ad P Q, & centro G, intervaHo G a describe circulum, qul secet clrculum primum D G E in a, Jungatur tum aD secans clrculum secundum DFG In ^, tum aE secans circulum tertium EMF in c. Et jam Hcet figuram A B Cdef constituere similem & aequalem figurae abc D E F. Quo facto perficitur problema. Agatur enim Fc ipsi a D occurrens in n, & jungantur aG, bG, G 98 DE MOTU CORPORUM QG,Q D,P D. Ex constructione est angulus EaD aequalis angulo CAB, & angulus^^/^^qualis angulo ACB, ideoque triangulum a n c triangulo ABC ^quiangulum. Ergo angulus a n c seu Fn D angulo ABC, ideoque angulo FbD sequalis est; & propterea ■4 punctum 71 incidit in pftinctum b, Porro angulus G P Q, qui dimii dius est anguli ad centrum G P D, sequalis est angulo ad circum- ferentiam GaD ; & angulus GQP, qui dimidius est anguli ac centrum GQ Dy sequalis est complemeijto ad duos rectos anguli a< LIBER PRIMUS. qq circumferentiam GbD, ideoque aequalis angulo Gba; suntque ideo triangula G P Q, G ab similia ; & 6^ ^ est ad <^ ^ ut G P 2,^ PQ; id est (ex constructione) ut 6^^ ad y^^. ^quantur itaque ab 81 A B ; & propterea triangula abc, A B C, quae modo similia esse probavimus, sunt etiam aequalia. Unde, cum tangant insuper trianguli D E F anguli D, E, F trianguli abc latera ab, ac, b c respective, compleri potest figura A B C d ef figurae ab c D E F similis & aequalis, atque eam complendo solvetur problema. Q. E. F. Corol. Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datae rectis tribus positione datis interjacebunt. Concipe triangulum D E F, puncto D ad latus E F accedente, & lateribus D E, DFm directum positis, mutari in lineam rectam, cujus pars data D E rectis positione datis A B, A C, 8l pars data D F rectis positione datis A B, B C interponi debet ; & applicando constructionem praecedentem ad hunc casum solvetur problema. PROPOSITIO XXVIII. PROBLEMA XX. Trajectoriam specie & magnitiidine datam describerej cujus partes datce rectis tribus positione datis i^iterjacebunt, Describenda sit trajectoria, quae sit similis & aequalis lineae curvae D E Fy quaeque a rectis tribus A B, A C, B C positione datis, in partes datis hujus partibus D E Sl E F similes & aequales secabitur. Age rectas D E, E F, D F, & trianguli hujus D E F pone an- guios Dy E, F ad rectas illas positione datas (per lem. xxvi) dein circa triangulum describe trajectoriam curvae D E F similem & aequalem. Q. E. F. lOO DE MOTU CORPORUM LEMMA XXVII. Trapezium specie datum describere, cujus angttli ad rectas quatuor positione datas, qttce neqtie omties parallelcB sunt, neque ad commune punctum convergunt, singuli ad singulas consistent. Dentur positione rectse quatuor A B C, A D, B D, CE ; quarum prima secet secundam in A, tertiam in B, & quartam in C; & de- scribendum sit trapezium/^>^ ^, quod sit trapezio F G // / simile ; & cujus angulus / angulo dato F sequalis, tangat rectam A B C; cseterique anguli g, h, i, caeteris angulis datis G, H, I sequales, tan- gant cseteras lineas A D, B D, C E respective. Jungatur F H &l super FG, F H, FI describantur totidem circulorum segmenta FSG, FTH, FVI; quorum primum FSG capiat angulum aequalem angulo B A D, secundum FTH capiat angulum sequalem angulo C B D, ac tertium FVI capiat angulum sequalem angulo A CE, Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum FG, FH, Fly ut literarum FSGF idem sit ordo circularis qui literarum B A D B, utque literse F T H F eodem ordine cum literis C B D C, & literse FVIF eodem cum literis A CEA in orbem redeant. Compleantur segmenta in circulos integros, sitque LIBER PRIMUS. jqj P centrum circull prlmi FS G, 8l Q centrum secundi F TH. Jungatur & utrinque producatur P Q, & in ea capiaturgi? in ea ratione 2id P Q quam habet ^ C ad A B, Capiatur autem 0 7? ad eas partes puncti Q ut literarum P, Q, R idem sit ordo atque li- terarum A, B, C: centroque R & intervallo 7? /^ describatur circulus quartus F N c secans circulum tertium F VI in c, Jungatur Fc secans circulum primum in a, & secundum in b, Agantur a G, dH, c ly Si figurae abc F G H I similis constitui potest figura A B C fghi. Quo facto erit trapeziumy"^^/ illud ipsum, quod constituere oportebat. Secent enlm circuli duo primi FS G, F TH se mutuo in K. Jungantur P K, Q K, RK, aK, b K, c K, 8i producatur Q P 2A L. Anguli ad circumferentias FaK, FbK, Fc K sunt semisses angu- lorum FP K, F Q K, FR K ad centra, ideoque angulorum illorum dimidiis LPK^LQK, LRK ^quales. Est ergo figura PQRK figurse abc K aequiangula & similis, & propterea ab est ad bc ut PQ2.AQR/\A est, ut ^ ^ ad i^ C. Angulis insuper Fa G, Fb H Fcl2^c{\xdinX.\ivfAgyfBh,fCz,^QT constructionem. Ergo figurae abc FG H I figura similis A B Cfgh i compleri potest. Quo facto trapeziumy^^/ constituetur simile trapezio FGHI, & angulis suis / g, h, i tanget rectas A B C, A D, B D, C E. Q. E. F. Corol. Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione datis dato ordine interjectae, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguli FG H, G H I usque eo, ut rectae F G, G H, H I in directum jaceant, & in hoc casu construendo problema ducetur YQQX.di fghi, cujus partes y^, gh, hi, rectis quatuor positione datis AB & A D, A D 81 B D, BD 81 C E interjectae, erunt ad invicem ut linese FG, G H, H I, eundemque servabunt ordinem inter se. Idem vero sic fit expeditius. Producantur A B sid K, 81 B D Sid L, ut sit B K 2id A B ut HI ad GH; & D L ad BD ut G I ad FG ; & jungatur K L occurrens rectae C^ in i. Producatur iL ad M, ut sit L M dAiLMt G H did HI, 8l agatur tum MQ ipsi L B parallela, rectaeque A D occurrens in^, twm gi secans A B, B D inf h. Dico factum. Secet enim Mg rectam A B m Q, 8l A D rectam K L m S, 8l agatur A P quae sit ipsi B D parallela & occurrat i L m Py & erunt gM ad Lh (gi ad h /, Mi ad Li.GI ad H I, A K 2id B K) &. I02 DE MOTU CORPORUM A P 2id B L in eadem ratione. Secetur D L m R wtsit D L ad RL m eadem illa ratione, & ob proportionales ^ 6^ 3.d g M, A S ^A A P, & D S 2id D L ; erit, ex aequo, ut ^6^ ad Lh itsi A S 2id B L & DS ad RL; & mixtim, ^Z-7?Z 2idL/i-BL utAS-DS 2id g-S-A S. Id est BR ad B /i ut A D Sid A g, ideoque ut B D ad gQ. Et vicissim B R ?A B D ut B /i ^d gQ, s^u f/i ad fg. Sed ex constructione linea B L eadem ratione secta fuit in D & R atque linea F/in G & H: ideoque ^st B R 2id B D ut FH ad FG. Ergo mX-" -u G lp fk est 2idfg ut i^//" ad -F C Cum igitur sit etiam ^ / ad ^ i ut Mi ad Z e, id est, ut 6^7 ad H I, patet lineas F I, f i in g & /i, G 8l H similiter sectas esse. Q. E. F. In constructione corollarii hujus postquam ducitur L K secans C E in i, producere licet i E ad V, ut sit E V 2A Ei ut FH ad H I, & agere F/ parallelam ipsi B D. Eodem recidit si centro iy intervallo / Hy describatur circulus secans B D in X^ & producatur iX ad K, ut sit i Y sequalis / F, & agatur Vf ipsi B D parallela. Problematis hujus sokitiones alias Wren?ius & Wallisijis olim excogitarunt. LIBER PRIMUS. 103 PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA XXI. Trajectoriam specie datam describere^ quce a rectis quatuor positione datis ifi partes secabitur^ ordine, specie & proportione datas. Descrlbenda sit trajectoria, quse simllis sit lineae curvae FGHI, & cujus partes, illius partlbus FG, G H, H I similes & proportio- nales, rectis AB81AD, ADSlBD, BDSiCE positione datis, prima primis, secunda secundis, tertia tertiis interjaceant. Actis rectis FGy G H, H I, FI, describatur (per lem. xxvii) trapezium fghi quod sit trapezio FGHI slmile, & cujus. anguli fygyh.i tangant rectas illas positione datas A By A D, B D, C E, singuli singulas dicto ordine. Dein circa hoc trapezium describatur trajec- toria curvae linese F G H I consimilis. Scholium. Construi etiam potest hoc problema ut sequitur. Junctls FG, GH, H I, F I produc G F 2A F, jungeque F H, I G, & angulis FGH, VFHidLC angulos CAK.DAL aequales. Concurrant AK, A L cum recta B D m K 8l L, &. inde agantur K M, LN, quarum KM constituat angulum ^ A^T^/sequalem angulo GHI, sitque ad AK ut est H I ad G H ; 81 L N constltuat angulum ALN aequalem angulo FHI, sltque ad AL ut H I 2A F H. Ducantur autem A K, KM, A L, LN did eas partes Ilnearum A D, A K, A L, ut hterae I04 DE MOTU CORPORUM CAKMC, ALKA, DALND eodem ordine cum literis FGH I F in orbem redeant ; & acta MN occurrat rectae C^ in i. Fac an- gulum iEP aequalem angulo I G F, sitque PE ad Ei \x\. F G ?A GI ; & per P agatur P Qf, quse cum recta ADE contineat angulum PQE ^qualem angulo FIGy rectaeque A i^ occurrat in/ & jungatur fL Agantur autem P E & P Q Sid e2is partes Hnearum CEy P E, ut literarum PEiP & PEQ P idem sit ordo circularis qui literarum FGHIFy & si super linea // eodem quoque literarum ordine con- stituatur trapezium y^^/ trapezio FGHI simile, & circumscribatur trajectoria specie data, solvetur problema. Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum in orbibus inventis determinemus. SECTIO VI. De inventione motuum in orbibus datis. PROPOSITIO XXX. PROBLEMA XXII. Corporis in data trajectoria parabolica moti invenire locitm ad tempus\ assignatum, Sit S umbilicus & A vertex principalis parabolse, sitque 4 -^kS^x sequale areae parabolicae abscindendae APS, quae radio SPy vel post excessum corporis de vertice descripta fuit, vel ante appulsum ejui LIBER PRIMUS, ad vertlcem descrlbenda est. Innotescit quantitas areae illius abscindendae ex tem- pore ipsi proportionali. Biseca AS \n G, erigeque perpendiculum 6^iYaequale 3 M, & circulus centro H, intervallo H S de- scriptus secablt parabolam in loco quaesito P, Nam, demissa ad axem perpendiculari PO & ducta PH, est AGq-^- GHq ( = HPq — A 0—A G: quad.-^-P 0—G H: quad) a & s ^AOq-^-POq-i GAO-2 GHxP 0 + A Gq+GHq, Unde 2GHXPO { = A0q + P0q-2 GAO)=AOq+i POq. Pro A Oq scribe A Ox ^^ ^; & applicatis terminis omnibus ad 3 P (9 ductisque In 2 ^ 6^, fiet 4 GHxA S {= i A OxP O-^-i A SxP O o o = are3e APS, Sed GH^r^X 3 M, & inde i GHx AS est 4 ^^'x M. Ergo area abscissa A P S aequalis est abscindendae \ A SxM.. Q.E.D. Corol. I. Hinc G H ^st ad A S, ut tempus quo corpus descripsit arcum A P 2id tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem A & perpendiculum ad axem ab umbilico kS erectum. Corol. 2. Et circulo A S P per corpus motum P perpetuo transe- unte, velocitas puncti H est ad velocitatem quam corpus habuit in vertice ^ ut 3 ad 8 ; ideoque in ea etiam ratione est linea G H 2A lineam rectam quam corpus tempore motus sui ab A ad /*, ea cum velocitate quam habult in vertice A, describere posset Corol. 3. Hinc etiam vice versa inveniri potest tempus quo corpus descripsit arcum quemvis assignatum AP. Junge AP & a.d medium ejus punctum erige perpendiculum rectae G H occurrens in H. I06 DE MOTU CORPORUM LEMMA XXVIII. Nulla extat figura ovalis cujus area, rectis pro lubittc abscissa, possit per cequationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri, Intra ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum re- volvatur perpetuo linea recta, uniformi cum motu, & interea in recta illa exeat punctum mobile de polo, pergatque semper ea cum velocitate, quae sit ut rectae illius intra ovalem quadratum. Hoc motu punctum illud describet spiralem gyris infinitis. Jam si areae ovalis a recta illa abscissae portio per finitam aequationem inveniri potest, invenietur etiam per eandem aequationem distantia puncti a polo, quae huic areae proportionalis est, ideoque omnia spiralis puncta per aequationem finitam inveniri possunt : & propterea rectae cu- jusvis positione datae intersectio cum spirali inveniri etiam potest per aequationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis numero infinitis, & aequatio, qua intersectio aliqua duarum linearum invenitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem, ideoque ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones. Quoniam circuH duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non invenietur nisi per aequationem duarum dimensionum, qua intersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per aequationem quatuor dimensionum, qua omnes simul inveniantur. Nam si inter- sectiones illae seorsim quaerantur, quoniam eadem est omnium lex & conditio, idem erit calculus in casu unoquoque, & propterea ea- dem semper conclusio, quae igitur debet omnes intersectiones simul complecti Sz: indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones sectionum conicarum & curvarum tertiae potestatis, eo quod sex esse possunt, simul prodeunt per aequationes sex dimensionum, & intersectiones duarum curvarum tertiae potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per aequationes dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret problemata omnia solida ad plana, & plusquam solida ad solida. Loquor hic de curvis potestat irreducibilibus. Nam si aequatio, per quam curva definitur, a 1 LIBER PRIMUS. 107 inferiorem potestatem reduci possit : curva non erit unica, sed ex duabus vel pluribus composita, quarum intersectiones per calculos diversos seorsim inveniri possunt. Ad eundem modum intersec- tiones binse rectarum & sectionum conicarum prodeunt semper per aequationes duarum dimensionum, ternae rectarum & curvarum irreducibilium tertiae potestatis per sequationes trium, quaternae rectarum & curvarum irreducibilium quartae potestatis per sequationes dimensionum quatuor, & sic in infinitum. Ergo rectae & spiralis intersectiones numero infinitae, cum curva haec sit simplex & in curvas plures irreducibilis, requirunt aequationes numero dimensionum & radicum infinitas, quibus intersectiones omnes possunt simul exhi- beri. Est enim eadem omnium lex & idem calculus. Nam si a polo in rectam illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendicu- lum illud una cum secante revolvatur circa polum, intersectiones spiralis transibunt in se mutuo, quaeque prima erat seu proxima, post unam revolutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps : nec interea mutabitur aequatio nisi pro mutata magnitudine quanti- tatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates illae post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, aequatio redibit ad formam primam, ideoque una eademque exhibebit intersectiones omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rectae & spiraHs per aequationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla extat ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem aequationem generaliter exhiberi. Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis describitur, capiatur Ovalis perimetro abscissae proportionale, probari potest quod longitudo perimetri nequit per finitam aequationem generaliter exhiberi. De ovalibus autem hic loquor quae non tangun- tur a figuris conjugatis in infinitum pergentibus. Corollarium, Hinc area ellipseos, quae radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per aequationem fini- tam ; & propterea per descriptionem curvarum geometrice rationalium determinari nequit. Curvas geometrice rationales appello quarum puncta omnia per longitudines aequationibus definitas, id est, per io8 DE MOTU CORPORUM longitudinum rationes complicatas, determinari possunt ; cseterasque (ut spirales, quadratrices, trochoides) geometrice irrationales. Nam longitudihes quae sunt vel non sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo elementorum) sunt arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur elHpseos tempori proportionalem abscindo per curvam geometrice irrationalem ut sequitur. PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XXIII. Corporis in data trajectoria elliptica moti invenire locum ad tempus assignatum, "I EUipseos A P B sit A vertex principalis, S umbilicus, & O cen- trum, sitque P corporis locus inveniendus. Produc O A 2id Gy ut sit OG 3id OA ut OA ad OS, Erige perpendiculum GH, centroque O & intervallo O G describe circulum G E F, 8l super regula G H, ceu fundo, progrediatur rota GE F revolvendo circa axem suum, & interea puncto suo A describendo trochoidem A L I, Quo facto, cape G K m ratione ad rotse perimetrum GE FG, ut est tempus, quo corpus progrediendo ab A descripsit arcum A P, ad tempus revolutionis unius in ellipsi. Erigatur perpendiculum K L occurrens trochoidi in Z, & acta LP ipsi KG parallela occurret elHpsi in] corporis loco quaesito P, Nam centro O, intervallo OA describatur semicirculus AQB,\ & arcui A Q occurrat LP si opus est producta in Q, junganturqu< LIBER PRIMUS. 109 SQ, OQ. Arcui EFG occurrat O Q m F, B>l m eandem OQ de- mittatur perpendiculum S R. Area A P S ^^t ut area AQS, id est, ut differentia inter sectorem OQA & triangulum OQS, sive ut differentia rectangulorum k OQxAQ & i O Q x S F, hoc est, ob datam ^ O Q, ut differentia inter arcum A Q & rectam 6^ 7?, ideoque (cum eaedem sint datae rationes SF ad sinum arcus AQ, OS did OAy OA ad OG, AQ 2id G F, & divisim AQ-SR ad 6^/^-sinu arcus AQ) ut G K differentia inter arcum G F &l sinum arcus A Q^ Q.E.D. Scholium, Caeterum, cum difficilis sit hujus curvse descriptio, praestat solu- tionem vero proximam adhibere. Inveniatur tum angulus quidam B, qui sit ad angulum graduum 57.29578, quem arcus radio aequalis subtendit, ut est umbilicorum distantia SH ad ellipseos diametrum A B ; tum etiam longitudo quaedam L, quae sit ad radium in eadem ratione inverse. Quibus semel inventis, problema deinceps confit per sequentem analysin. Per constructionem quamvis, vel utcunque conjecturam faciendo, cognoscatur corporis locus P proximus vero ejus loco /. Demissaque ad axem ellipseos ordinatim applicata P R, ex proportione diametrorum ellipseos, dabitur circuli circumscripti A Q B ordinatim applicata R Q, quae sinus est anguli A OQ ex- istente AO radio, quaeque ellipsin secat in P, Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoscatur etiam angulus tempori proportionaHs, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est tempus, quo corpus descripsit arcum Ap, ad tempus revolutionis unius in ellipsi. Sit angulus iste N. Tum capiatur & angulus D ad I lO DE MOTU CORPORUM angulum B, ut est sinus iste anguli AOQ 2A radium, & angulus E ad angulum N— y^O^+D, ut est longitudo L ad longitudinem ean- dem L cosinu anguli AOQ diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Postea capiatur tum angulus F ad angulum B, ut est sinus anguli AOQ-\-^ ad radium, tum angulus G ad angulum N— ^00— E + F ut est longitudo L ad longitudinem eandem cosinu anguli AOQ-^-'^ diminutam ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad angulum B, ut est sinus anguli AOQ-\-R-\-Gsid radium ; & angu- lus I ad angulum N —A OQ — E — G-^-H, ut est longitudo L ad eandem longitudinem cosinu anguli AOQ-\-E-]-G diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Et sic pergere licet in infinitum. Denique capiatur angulus A Oq aequalis angulo A O Q + E + G -h I + &c. Et ex cosinu ejus Or & ordinata />r, quse est ad sinum ejus qr ut ellipseos axis minor ad axem majorem, habebitur corporis locus correctus/. Si quando angulus N— ^ OQ-^-D nega- tivus est, debet signum -h ipsius E ubique mutari in — , & signum — in-h. Idem intelligendum est de signis ipsorum G & I, ubi anguli N-A OQ^E-\-F, & N-AOQ-E-^G-^H negativi prodeunt. Convergit autem series infinita AOQ-^E-\-G-\-l-^ &c. quam celer- rime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad ter- minum secundum E. Et fundatur calculus in hoc theoremate, quod area A P S sit ut differentia inter arcum A Q & rectam ab umbilico vS in radium O Q perpendiculariter demissam. Non dissimili calculo conficitur problema in hyperbola. Sit ejus centrum O, vertex Ay umbilicus 6^ & asymptotos O K. Cognoscatur LIBER PRIMUS. 1 1 1 quantitas arese abscindendae tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat conjectura de positione rectse S P, quae aream A P S abscindat verae proximam. Jungatur OP, & ab y^ & P ad asymptoton agantur AI, P K asymptoto alteri paral- / / lelae, & per tabulam logarith- morum dabitur area AIKP, eique aequalis area OPA, quae subducta de triangulo OPS relinquet aream ab- scissam A PS. Applicando areae abscindendae A & ab- scissae A P S differentiam duplam 2 APS—2 A vel 2 A — 2 A P S diA lineam SN, quae ab umbilico 6^ in ^ tangentem TP perpendicularis est, orietur longitudo chordae P Q, Inscribatur autem chorda illa PQ inter A 8c Py si area abscissa APS major sit area abscindenda A, secus ad puncti P contrarias partes : & punctum Q erit locus corporis accuratior. Et computatione repetita invenietur idem accuratior in perpetuum. Atque his calculis problema generaliter confit analytice. Verum usibus astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur. Existentibus A O, O B, O D semiaxibus elHpseos, & L ipsius latere recto, ac D differentia inter semiaxem minorem OD & lateris recti semissem \ L ; quaere tum angulum Y, cujus sinus sit ad radium ut est rectangulum sub differentia illa D, & semisumma a( axium A O-vO D 2A quadratum axis majoris^^; tum angulum Z, cujus sinus sit ad radium ut est duplum rectangulum sub umbilicorum distantia SH & differentia illa D ad triplum quadratum semiaxis majoris A O. His anguHs semel inventis; locus corporis sic deinceps determinabitur. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus B P descriptus est, seu motui medio (ut loquuntur) aequalem ; & angulum V, primam medii motus aequationem, ad angulum Y, aequationem maxi- I 12 DE MOTU CORPORUM mam primam, ut est sinus dupli anguli T ad radium ; atque angulum X, sequationem secundam, ad angulum Z, aequationem maximam secundam, ut est cubus sinus anguli T ab cubum radii. Angulorum T, V, X vel summse T + X H- V, si angulus T recto minor est, vel differentiae T+X — V, si is recto ^ major est rectisque duobus minor, aequalem cape angulum BHP, motum medium aequatum; &l s\ H P occurrat ellipsi in P, acta SP abscindet aream aI B SP tempori proportionalem quam- proxime. Haec praxis satis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorum V & X, in minutis secundis, si placet, positorum, figuras duas tresve primas invenirej sufficit. Sed & satis accurata est ad theoriam planetarum. Nam inj orbe vel Martis ipsius, cujus aequatio centri maxima est graduum decem, error vix superabit minutum unum secundum. Invento autem angulo motus medii aequati BHP, angulus veri motus BSP &j distantia S P m promptu sunt per methodum notissimam. Hactenus de motu corporum in lineis curvis. . Fieri autem potestj ut mobile recta descendat vel recta ascendat, & quae ad istiusmodij motus spectant, pergo jam exponere. SECTIO VII. De corporum ascensu & descensu rectilineo, PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA XXIV. Postto quoct vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distantice locorum a centro, spatia dejinire quce corpus recta cadendo datis temporibus describit, Cas. I. Si corpus non cadit perpendiculariter, descfibet id (pei corol. I. prop. xiii) sectionem aliquam conicam cujus umbilicus^ congruit cum centro virium. Sit sectio illa conica ARPB & um- bilicus ejus .S. Et primo si figura ellipsis est; super hujus axe majore! AB describatur semicirculus ADB, & per corpus decidens transeat recta DPC perpendicularis ad axem ; actisque D S, P S erit areaj LTBER PRIMUS. 113 ASD areae A S P, atque ideo etiam tempori proportionalis. Manente axe A B minuatur perpetuo latitudo ellipseos, & semper manebit area A S D tempori proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinitum : & orbe A P B jam coincidente cum axe A B 8l umbilico 6^ cum axis termino B, descendet corpus in recta A C, & area A B D evadet tempori proportionalis. Dabitur itaque spatium A C, quod corpus de loco A perpendiculariter cadendo tempore dato describit si modo tempori proportionalis capi- atur area A B D, & a puncto D ad rectam A B demittatur perpendicularis D C. Q. E. I. Cas. 2. Si figura illa R P B hyperbola est, describatur ad eandem diametrum principalem y^ ^ hyperbola rectan- gula ^^Z^: & quoniam arese CSP, CBfP, SPfB sunt ad areas CSD, CBED, SDEB, singulae ad singulas, in data ratione alitudi- num CP, C D; & area SPfB proportionalis est tempori quo corpus P movebitur per arcum PfB; erit etiam area S D E B eidem tempori proportionalis. Minuatur latus rec- tum hyperbolae RP B m infinitum manente latere transverso, & coibit arcus P B cum recta CB & umbilicus 6" cum vertice B & rec- ta SD cum recta BD. Proinde area BDEB proportionalis erit tempori quo corpus C recto descensu describit lineam C B. Q. E. 1. Cas. 3. Et simiH argumento si figura RP B parabola est, & eodem vertice prin- cipali B describatur alia parabola B E D, quse semper maneat data, interea dum para- bola prior, in cujus perimetro corpus P movetur, diminuto & in nihilum redacto ejus latere recto, conveniat cum Hnea C B ; fiet segmentum parabolicum B D EB proportionale tempori quo corpus illud P vel C descendet ad centrum 6^ vel B. Q, E. I. H 114 DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA IX. Positisjam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis C est ad velocitatem corporis centro B intervallo BC circuhcm describentis, in subduplicata ratione quam A C, distantia corporis a circidi vel hyperbolcE rectangulcs vertice ulteriore A, habet ad figurce semidiametrum principalem ^ A B. j^|| Bisecetur A B, communis utriusque figurae RPB, DEB dia- meter, in (9; & agatur recta P T, quse tangat figuram RPB mP, atque etiam secet communem illam diametrum A B (si opus est productam) in T; sitque 6^ F ad hanc rectam, & B Q ad hanc diametrum perpendicularis, atque figurse RPB latus rectum ponatur L. Constat per corol. ix. prop. xvi. quod corporis in Hnea RPB circa centrum S moventis velocitas in loco quovis P sit ad velocitatem corporis intervallo SP circa idem centrum circulum describentis LIBER PRIMUS. 115 siibduplicata ratione rectanguli l^ L x SP ad 6" F quadratum. Est au- tem ex conicis A C B ad C Pq ut 2 ^ (9 ad L, ideoque ^ aequale L. Ergo velocitates illae sunt ad invicem in subduplicata CPqxAOxSP j oT^ ^ o •• ^^ j ratione a r n ad o r qttaa. rorro ex conicis est C G' ad B O ut B O 3id TO, 8i composite vel divisim ut CB 2id B T. Unde vel dividendo vel componendo fit i^ (9 — vel + C (9 ad ^ (9 ut C 7" ad C P n ^ A O V. *s P B T id est, ^ Cad y^ 6^ ut C/^ ad BQ; indeque \^ ^B BQqxA CxSP ^^. . . . ^ . sequale est ^-pz — ^-p^ . Mmuatur jam m mnnitum iigurae ya C/ X Ij O RP B latitudo C P, sic ut punctum P coeat cum puncto C, punc- tumque 6^ cum puncto B, & linea S P cum linea B C, lineaque 6^ Y cum linea B Q ; 81 corporis jam recta descendentis in linea CB velocitas fiet ad velocitatem corporis centro B intervallo B C circulum j .^ . . ^j ,. ... BQqxACxSP , ^^ describentis, m subduplicata ratione ipsms ^— ^^ — ^-p^ — ad o r ^ hoc est (neglectis sequalitatis rationibus SP 2id BC & BQq ad ^S^K^) in subduplicata ratione A C 2id A O sive k A B, Q. E. D. Corol. I. Punctis B &l S coeuntibus, fit ZCad TSutAC^AA O. Corol. 2. Corpus ad datam a centro distantiam in circulo quovis revolvens, motu suo sursum verso ascendet ad duplam suam a centro distantiam. PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA X Si figura B E D parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis C cBqualis est velo- citati qua corpus centro B dimidio intervalli sui B C circulum uni- formiter describere potest. Nam corporis parabolam RP B circa centrum kS describentis voloci- tas in loco quovis P (per corol. vii. ii6 DE MOTU CORPORUM prop. xvi) aequalis est velocitati corporis dimidio intervalli S P cir- culum circa idem centrum 6" unifor- miter describentis. Minuatur pa- rabolae latitudo CP in infinitum eo, ut arcus parabolicus PfB cum recta C B, centrum vS cum vertice B', & intervallum SP cum intervallo B C coincidat, & constabit propo- sitio. Q. E, D, PROPOSITIO XXXV. THEOREMA XI. lisdem positis, dico quod area figiircs D E S, radio iftdefinito S D descripta, cF-qualis sit arecs quam corpus, radio dimidium lateris recti figurcB D E S cEquafite, circa ce^itrtim S uniformiter gyrandoy eodem tempore describere potest. Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineolam Cc cadendo describere, & interea corpus aliud K, uniformiter in circulo O K k circa centrum 6^ gyrando, arcum Kk describere. Eri- gantur perpendicula CD, cd occurrentia figurse D E S m D, d. Jungantur S D, S d, S K, S k & ducatur D d dM A S occurrens in T^ & ad eam demittatur perpendiculum 6^ Y. Cas. I. Jam si figura D E S circulus est vel hyperbola rectangula, bisecetur ejus transversa diameter ^ 6" in C>, & erit 6^ O dimidium lateris recti. Et quoniam est 2"Cad TD ut Cc 3id Dd, & TD ad TS ut CD ad SV, erit ex ^quo TCad TS ut CD x Cc ad SVxDd, Sed (per corol. i. prop. xxxiii) est 7"C ad TS ut A C did A O, puta si in coitu punctorum D, d capiantur linearum rationes ultimae. Ergo ^ C est ad ^ 6^ seu SK ut CD xCc ad S VxDd. Porro corporis descendentis velocitas in C est ad velocitatem corporis cir- culum intervallo SC circa centrum vS describentis in subduplicata ratione ^ C ad ^ 6^ vel SK (per prop. xxxiii). Et haec velocitas ad velocitatem corporis describentis circulum OKk in subduplicata ratione SK ad SC (per corol. vi prop. iv) & ex sequo velocitas prima ad ultimam, hoc est lineola C^ ad arcum A"^ in subduplicata ratione A C sid S C, id est in ratione ^ Cad CZ^. Quare est CDx Cc sequale A CxKk, & propterea ^ C ad kS^A' ut ^ CxKk ad; LIBER PRIMUS. 117 SYxDd, indeque SKxKk sequale SYxDd, & k SKxKk aequale k SYx D d, id ^st area K S k sequalls areae S D d, Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particulse K Sk, 81 S Dd, quae, si magnitudo earum minuatur & numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent aequalitatis, & propterea (per corollarium lemmatis iv) areae totae simul genitae sunt semper aequales. Q. E, D, Cas. 2. Quod si figura D E S parabola sit, invenie- tur esse ut supra CDxCc ad SYxDdut TCad TS, hoc est ut 2 ad i, ideoque t CD X Cc aequale esse k S Y / xD d. Sed corporis caden- / tis velocitas in C aequalis est velocitati qua clrculus inter- vallo k S C uniformiter des- cribi posslt (per prop. xxxiv). Et haec velocitas ad velocita- tem qua circulus radlo S K describi possit, hoc est, lineola Cc ad arcum K k (per corol. iiS DE MOTU CORPORUM VI. prop. iv) est in subduplicata ratione SK 2A\ SC, id est, in ratione SK ad T CZ?. Ouare est ^ SKy.Kk aequale \ CD x Cc, ideoque sequale I SYy.Dd, hoc est, area KSk aequalis areae SDd. ut supra. Q, E, D, PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA XXV. Corporis de loco dato A cadentis determittare tempora a descensiis, Super diametro A S, distantia corporis a centro sub initio, describe semicirculum ADS, ut & huic aequalem semicirculum O K H circa centrum .S. De corporis loco quov^s C erige ordinatim appHcatam C D, Junge SD, & areae A S D aequalem constitue sectorem OSK, Patet per prop. xxxv quod corpus cadendo describet spatium A C eodem tempore quo corpus aliud, uniformiter circa centrum 6" g)'rando, describere potest arcum O K, Q, E. F. PROPOSITIO XXXVII. PROBLEMA XXVI. Corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire tempora ascensus vel descensus. Exeat corpus de loco dato G secundum lineam G S cum velocitate 7K quacunque. In duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in LIBER PRIMUS. I i ^ clrculo velocitatem, qua corpus ad intervallum datum 6^ G circa cen- trum vS* revolvi posset, cape G A 2A\ A S. Si ratio illa est numeri binarii ad unitatem, punctum A infinite distat, quo casu parabola vertice S, axe 6" G, latere quovis recto describenda est. Patet hoc per prop. xxxiv. Sin ratio illa minor vel major est quam 2 ad i , priore casu circulus, posteriore hyperbola rectangula super diametro S A describi debet. Patet per prop. xxxiii. Tum centro 6^, inter- vallo sequante dimidium lateris recti, describatur circulus HkK,8i ad corporis descendentis vel ascendentis locum G^ & locum aHum quemvis C, erigantur perpendicula G ly C D occurrentia conicae sectioni vel circulo in /ac D, Dein junctis S I, S D, fiant segmen- tis SEIS, SEDS sectores HSK, HSk aequales, & per prop. xxxv corpus G describet spatium G C eodem tempore quo corpus K de- scribere potest arcum K k, Q, E, F, PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XII. Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seii distantice locortim a centro, dico quod cadentium temporay velocitates & spatia descripta sunt arcubus, arcuumque sinibus rectis & sinibtcs versis respective proportionalia. Cadat corpus de loco quovis A secundum rectam A S ; &. centro virium 6^ intervallo A Sy describatur circuli quadrans A E, sitque CD sinus rectus arcus cujusvis A D ; & cor- pus A, tempore A D, cadendo describit spa- tium A C, inque loco C acquiret velocitatem CD. Demonstratur eodem modo ex propositione X, quo propositio xxxii ex propositione xi demonstrata fijit. Corol. i. Hinc sequalia sunt tempora, quibus corpus unum de loco A cadendo pervenit ad centrum S, & corpus aliud revolvendo de- scribit arcum quadrantalem A D E. Corol. 2. Proinde aequalia sunt tempora omnia quibus corpora de locis quibusvis ad usque centrum cadunt. Nam revolventium tem- pora omnia periodica (per corol. iii. prop. iv) sequantur. \ I20 DE MOTU CORFORUM PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XXVII. Posita ctcjuscimque generis vi centripeta, & concessis figurarum curvilinearum quadraticris, requiritur corporis recta ascendentis vel descendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet : Et contra. De loco quovls A in recta A D E C cadat corpus E, deque loco ejus E erlgatur semper perpendlcularls E G, vi centrlpetae in loco illo ad centrum C tendenti pro- portlonalls : Sltque BFG linea curva quam punctum G perpetuo tanglt. Colncldat autem E G ipso motus inltio cum perpendlculari A B, & erlt corporls velocltas in loco quovls E ut recta, quae potest aream curvillneam ABGE, Q. E. I. \n E G caplatur E M rectse, quae potest aream ABGE, reclproce proportlonalls, & sit V L M llnea curva, quam punctum M perpetuo tanglt, & cujus asymptotos est recta AB producta; & erit tempus, quo corpus cadendo describlt llneam AE, ut area curvllinea ABTVME, Q,E,I. Etenim in recta A E caplatur linea quam mlnlma DE datae longi- tudinls, sltque D L F locus llneae EMG, ubl corpus versabatur in D; & si ea slt vis centrlpeta, ut recta, quae potest aream A B G E, slt ut descendentis velocltas : erlt area ipsa In dupllcata ratlone velocltatis, id est, si pro velocltatlbus in D & E, scribantur V & V + I, erlt area A B FD ut V V, & area A BGE utVV + 2VI-hII, & dlvlsim area D F G E ut 2 Y 1-^-1 1, ideoque LIBER PRIMUS. I2i IJp LrH ^^ 2 + ^ .^ ^g^^ gj primae quantitatum nascentium 2 V I . rationes sumantur, longitudo D F wt quantitas , ideoque etiam I X V ut quantitatis hujus dimidium -^y-^' Est autem tempus, quo corpus cadendo describit lineolam D E, ut lineola illa directe & velocitas V inverse, estque vis ut velocitatis incrementum I directe & tempus IxV inverse, ideoque si primae nascentmm rationes sumantur, ut ^ ^, hoc est, ut longitudo D F. Ergo vis ipsi D F vd E G proportionalis facit ut corpus ea cum velocitate descendat, quae sit ut recta quae potest aream A B G E, Q. E. D. Porro cum tempus, quo quaelibet longitudinis datae lineola DE describatur, sit ut velocitas inverse, ideoque inverse ut linea recta quae potest aream ABFD; sitque D L, atque ideo area nascens D L M E, ut eadem Hnea recta inverse : erit tempus ut area DLME, & summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est (per corol. lem. iv) tempus totum quo linea A E describitur ut area tota A T VME. Q. E. D. Corol. I. Si P sit locus, de quo corpus cadere debet, ut urgente aliqua uniformi vi centripeta nota (qualis vulgo supponitur gravitas) velocitatem acquirat in loco D aequalem velocitati, quam corpus aliud vi quacunque cadens acquisivit eodem loco D, & in perpendiculari D F capiatur D R, quae sit ad D F ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D, & compleatur rectangulum PD RQ, eique aequalis abscindatur area ABFD; erit A locus de quo corpus alterum cecidit. Namque completo rectangulo DRSE, cum sit area A BFD ad aream DFGE ut V V ad 2 V I, ideoque ut J V ad I, id est, ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis vi inaequabili cadentis ; & simiHter area P Q RD ad aream D RS E ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis ; sintque incrementa illa (ob aequalitatem tem- porum nascentium) ut vires generatrices, id est, ut ordinatim applicatae D F, D R, ideoque ut areae nascentes D FGE, D R SE ;Grunt ex aequo areae totae A B FD, P Q RD ad invicem ut semisses totarum velocitatum, & propterea, ob aequalitatem velocitatum, aequantur. 122 DE MOTU CGRPORUM Corol. 2. Unde si corpus quodllbet de loco quocunque D data cum velocitate vel sursum vel deorsum projiciatur, & detur lex vis centripetae, invenietur velocitas ejus in alio quovis loco e, erigendo ordinatam e g, 81 capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco D ut est recta, quse potest rectan- gulum P Q R D area curvilinea D Fge vel auctum, si locus e est loco D inferior, vel diminutum, si is superior est, ad rectam quae po- test rectangulum solum P Q R D. Corol. 3. Tempus quoque inno- tescet erigendo ordinatam e m reci- proce proportionalem lateri quadra- to ex PQRD^vd-DFge, & capiendo tempus quo corpus de- scripsit lineam Z> ^ ad tempus quo corpus alterum vi uniformi cecidit 3, P & cadendo pervenit ad D, ut area curvilinea D L me ad rectan- gulum 2 P D X D L. Namque tempus quo corpus vi uniformi des- cendens descripsit lineam P D est ad tempus quo corpus idem descrip- sit lineam PE in subduplicata ratione P D 2id P E/\di est (lineola Z^^ jamjam nascente) in ratione P D 2A P D-v\ D E seu 2 PZ^ ad 2 PD-\-DE, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit lineolam D E ut 2 P D 2id D E, ideoque ut rectangulum 2 P Dx DL ad aream DLME; estque tempus quo corpus utrumque descripsit lineolam D E 2id tempus quo corpus alterum inaequabili motu descripsit lineam D e, ut area DLME ad aream DLme, & ex aequo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2 PD x Z^ Z ad aream D Lme, LIBER PRIMUS. 123 SECTIO VIII. De inventione orbium in quibus corpora viribus quibusaciique centri- petis agitata revolvu7itur. PROPOSITIO XL. THEOREMA XIII. Si corpuSy cogente vi quacunque coitripeta^ ^noveatur utcunque, & corpus alitcd recta ascendat vel descendat, sintque eorum velocitates in aliquo cEqualium altitudinum casu cequales, velocitates eorum in omnibus cequalibus altitudinibus erunt cequales, Descendat corpus aliquod ab A per D, E, ad centrum C, & moveatur corpus aliud a K in linea curva V I K k. Centro C inter- vallis quibusvis describantur circuli concentrici D I, E K rectae A Cin D &: Ey curvaeque V I K m I 8>i K occurren- tes. Jungatur I C occurrens ipsi A'^ in iV; & in I K demittatur perpendiculum N T ; sitque circum- ferentiarum circulorum intervallum D E vel / N quam minimum, & habeant corpora m D 8l I velocitates sequales. Quoniam distantiae CD, CI sequantur, erunt vires centripetae '\vi D &l I aequales. Exponantur hae vires per aequales Hneolas D E, I N ; & si vis una I N (per legum corol. 2) resolvatur in duas N T 8l I T, vis N T, agendo secundum lineam N T corporis cursui / T K perpendicularem, nil mutabit velocitatem corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo cor- pus a cursu rectilineo, facietque ipsum de orbis tan- gente perpetuo deflectere, inque via curvilinea / T K k progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur : vis autem altera / T, secundum corporis cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam mini- mo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem. Proinde corporum m D 81 I accelerationes aequaHbus temporibus factae (si 124 DE MOTV CORFORUM sumantur linearum nascentium D Ey I N, I K, I T, iV^ 7" rationes primse) sunt ut linea D E, IT: tem- poribus autem inaequalibus ut lineae illae & tempora conjunctim. Tempora autem quibus D E &. I K describuntur, ob sequalitatem velocitatum sunt ut viae descriptae D E & I K, ideoque acceleratio- nes in cursu corporum per lineas D E & I K, sunt ut DE & / T, DE & /K conjunctim, id est ut DE qtmd, & /Tx/K rectangulum. Sed rectangtchcm / Tx/K sequale est /N quadrato, hoc est, sequale D E quad. & propterea accelerationes in transitu cor- porum a.D&/2idE&K aequales generantur. ^quales igitur sunt corporum velocitates in E & K : & eodem argumento semper reperientur aequales in subsequentibus aequalibus distantiis. Q. E. D. Sed & eodem argumento corpora aequivelocia & aequaliter a cen- tro distantia, in ascensu ad aequales distantias aequaliter retardabun- tur. Q. E. D. Corol. I. Hinc si corpus vel oscilletur pendens a filo, vel impe- dimento quovis politissimo & perfecte lubrico cogatur in linea cur- va moveri, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintque velocitates eorum in eadem quacunque altitudine aequales : erunt velocitates eorum in aliis quibuscunque aequalibus altitudinibus aequales. Namque corporis penduli filo vel impedimento vasis abso- lute lubrici idem praestatur quod vi transversa N T. Corpus eo non retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rec- tilineo discedere. Corol. 2. Hinc etiam si quantitas P sit maxima a centro distantia, ad quam corpus vel oscillans vel in trajectoria quacunque revolvens, deque quovis trajectoriae puncto, ea quam ibi habet velocitate sur- sum projectum ascendere possit ; sitque quantitas A distantia cor- poris a centro in alio quovis orbitae puncto, & vis centripeta sem- per sit ut ipsius A dignitas quaelibet A^-^ cujus index n—\ est numerus quilibet n unitate diminutus ; velocitas corporis in omni altitudine A erit ut J P«— A«, atque ideo datur. Namque velocitas recta ascendentis ac descendentis (per prop. xxxix) est in hac ipsa ratione. LIBER PRIMUS. 125 ( PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXVIII. Posita cujusctmqMe generis vi centripeta & concessis figurarum curvi' linearum qicadraticris, requirtmttcr ticm ttajectorice in quibus corpora movebtcnticry tum tempora motutcm in trajectoriis invefttis. Tendat vis quaelibet ad centrum C & invenienda sit trajectoria V I K k. Detur circulus V R centro C intervallo quovis C V de- scriptus, centroque eodem describantur alii quivis circuli I D, K E trajectoriam secantes in / & A' rectamque C V m D &l E. Age tum rectam C N I X secantem circulos K E, V R in iV & ^, tum rectam CKY occurrentem circulo VR in Y. Sint autem puncta I &L K sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per I 81 K Ai IB ad k; sitque punctum A locus ille de quo corpus aliud cadere debet, ut in loco D velocitatem acquirat sequalem velocitati corporis prioris in /. Et stantibus qua^ in propositione xxxix, lineola I K, dato tempore quam minimo descripta, erit ut velocitas, atque ideo ut recta quse potest aream AB F D, & triangulum I CK tempori proportionale dabitur, ideoque K N erit reciproce ut altitudo /C, id est, si detur quantitas aliqua Q, & altitudo / C nominetur A, ut Q. Hanc quantitatem — nominemus Z, & ponamus eam esse mag- 126 DE MOTU CORPORUM nitudinem ipsius Q ut sit in aliquo casu J A B FD ad Z ut est I K ad KN, & erit in omni casu J A BFD ad Z ut I K ^A K N, & ABFD ad Z Z ut IKq2.A. K N q, & divisim ^ ^T^Z^-ZZ ad ZZ vX I N quad. 2A K N quad, ideoque JA B FD — ZZ ad Z seu O O y.IN ^utlNsidKN, & propterea AxKN sequale — ^ A . jABFD-ZZ Unde cum YX x XC sit ad A x KN ut CXq ad A A, erit rectangu- lum XYy.XC sequale ^^ — ^^^ -. Isfitur si in perpen- AKJABFD-ZZ Q diculo DF capiantur semper D d, Dc ipsis Q X CX quad. 2JABFD-ZZ sequales respective, & describantur curvse 2 AA JABFD-ZZ lineae ad, ac, quas puncta b, c perpetuo tangunt ; deque puncto V ad lineam A C erigatur perpendiculum V a abscindens areas curvi- lineas V D b a, VDca, & erigantur etiam ordinatae F 2, Ex: quo- niam rectangulum D bxIN seu DbzE aequale est dimidio rectan- guli Ky.KN seu triangulo I CK; & rectangulum DcylN seu DcxE sequale est dimidio rectanguli YXyX C seu triangulo X C Y ; hoc est, quoniam arearum V D b a, VI C sequales semper LIBER PRIMVS. 127 sunt nascentes particulae D b z E, I C K,%i arearum VDca, VCX sequales semper sunt nascentes particulae DcxE, X C Y, erit area genita V Dba ^qualis arese genitae V I C, ideoque tempori propor- tionalis, & area genita V D c a sequalis sectori genito V C X. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco V, dabitur area ipsi proportionalis V D ba^ 81 inde dabitur corporis altitudo C D vel C I ; & area V D c a, eique aequalis sector V C X una cum ejus angulo V C I. Datis autem angulo V C I & altitudine CI datur locus /, in quo corpus completo illo tempore reperietur. Q. E. I. Corol. I. Hinc maximae minimaeque corporum altitudines, id est, apsides trajectoriarum expedite inveniri possunt. Sunt enim apsides puncta illa in quibus recta / C per centrum ducta incidit perpendicu- lariter in trajectoriam V I K : id quod fit ubi rectae I K & N K sequantur, ideoque ubi area A B F D aequalis est Z Z. Corol. 2. Sed & angulus K I N, in quo trajectoria alicubi secat lineam illam / C ex data corporis altitudine / C expedite invenitur ; nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut K N ad I K, id est, ut Z ad latus quadratum areae A B F D. Corol. 3. Si centro C & vertice principali V describatur sectio quaelibet conica V RS, & a quovis ejus puncto R agatur tangens R T occurrens axi infinitae pro- ducto C V in puncto T; dein juncta CR ducatur recta C P, quae aequalis sit abscissae C T angulumque VCP sectori VCR proportionalem constituat ; ten- dat autem ad centrum C vis centripeta cubo distantiae loco- rum a centro reciproce propor- tionalis, & exeat corpus de loco V justa cum velocitate secun- dum lineam rectae C V perpen- ^ dicularem : progredietur corpus illud in trajectoria VP Q quam punctum P perpetuo tangit ; ideoque si conica sectio VRS hyperbola sit, descendet idem ad centrum : sin ea ellipsis sit, ascendet illud perpetuo & abibit in infinitum. Et contra, si corpus quacunque cum velocitate exeat de loco F", & perinde ut incoeperit vel oblique 128 DE MOTU CORPORUM descendere ad centrum, vel ab eo oblique ascendere, figura V R S vel hyperbola sit vel ellipsis, inveniri potest trajectoria augen- do vel minuendo angulum VCP \ in data aliqua ratione. Sed &, vi centripeta in centrifugam versa, ascendet corpus oblique in tra- jectoria V P Q, quae invenitur capiendo angulum V C P sectori elliptico V R C proportionalem, & longitudinem C P longitudini C T aequalem ut supra. Consequuntur haec omnia ex propositione praecedente, per curvae cujusdam quadraturam, cujus inventionem, ut satis facilem, brevitatis gratia missam facio. PROPOSITIO XLII. PROBLEMA XXIX. Data lege vis centripetcs, requiritur motus corporis de loco dato^ data cum velocitate, secundum datam rectam egressi. Stantibus quae in tribus propositionibus praecedentibus : exeat corpus de loco / secundum lineolam I K, ea cum velocitate quam LIBER PRIMUS. 129 corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco P cadendo acquirere posset in D : sitque haec vis uniformis ad vim, qua corpus primum urgetur in I.wX. D R 2A D F. Pergat autem corpus versus k ; centroque C & intervallo Ck describatur circulus ke occurrens rectae P D m e, 81 erigantur curvarum B F g, abv, acw ordinatim applicatae eg, ev, ew. Ex dato rectangulo PDRQ, dataque lege vis centripetae qua corpus primum agitatur, datur curva linea BFg, per constructionem problematis xxvii, & ejus corol. i. Deinde ex dato angulo C I K datur proportio nascentium I K, K N, 8c inde, per constructionem prob. xxviii, datur quantitas Q, una cum curvis lineis adv, acw: ideoque, completo tempore quovis Dbve, datur tum corporis altitudo Ce vel C k, tum area Dcwe, eique aequalis sector XCy, angulusque I C k, & locus k in quo corpus tunc versabitur. Q. E. I. Supponimus autem in his propositionibus vim centripetam in recessu quidem a centro variari secundum legem quamcunque, quam quis imaginari potest, in aequalibus autem a centro distantiis esse undique eandem. Atque hactenus motum corporum in orbibus immobilibus consideravimus. Superest ut de motu eorum in orbi- bus, qui circa centrum virium revolvuntur, adjiciamus pauca. SECTIQ IX. De motu corporum, in orbibus mobilibus, deque motu apsidum. PROPOSITIO XLIII. PROBLEMA XXX. Efficiendum est ut corpus in trajectoria quacunque circa centrum virium revolvente perinde 7noveri possit, atque corpus aliud in eadem trajectoria quiescente, In orbe V P K positione dato revolvatur corpus P pergendo a V versus K. A centro C agatur semper C/, quae sit ipsi C P aequa- lis, angulumque V Cp angulo V C P proportionalem constituat ; & area, quam Hnea Cp describit, erit ad aream V C P, quam linea C P simul describit, ut velocitas lineae describentis Cp ad velocitatem lineae describentis C P ; hoc est, ut angulus VCp ad angulum VCPy ideoque in data ratione, & propterea tempori proportionalis. Cum I I30 DE MOTV CORPORUM U.,' area tempori proportlonalis sit quam linea Cp in plano immobili describit, manifestum est quod corpus, cogente justae quantitatis vi centripeta, revolvi possit una cum punc- to p in curva illa linea quam punctum idem / ratione jam exposita describit in plano immobili. Fiat angulus VCtt angulo P Cp, & linea Cu linese C Vy atque figura tcCp figurae VCP aequa- lis, & corpus in p semper existens movebitur in perimetro figurse revol- ventis ti Cp, eodemque tempore de- scribet arcum ejus 2cp quo corpus aliud P arcum ipsi similem & sequalem VP in figura quiescente V P K describere " :"" potest. Quaeratur igitur, per corollarium quintum propositionis vi, vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea quam punctum p describit in plano immobili, & solvetur problema. Q.E.F, /'X PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XIV. Differentia virium, quibtcs corpus iii orbe qiciesceiite, & corpus aliicd i7i eodem orbe revolvente ceqtcaliter moveri possmit, est in triplicata ratione commimis altiticdinis inverse. Partibus orbis quiescentis V P, Pjfif sunto similes & aequales orbis revolventis partes up, pk ; & punctorum P, K distantia intelligatur esse quam minima. A puncto k in rectam / C demitte perpendicu- lum k r, idemque produc ad m, ut sitmrdiAkr ut angulus V Cp ad angulum V C P. Quoniam corporum altitudines P C & p C, K C^ & kC semper aequantur, manifestum est quod linearum P C & p C incrementa vel decrementa semper sint aequalia, ideoque si corporum in locis P & p existentium distinguantur motus singuli (per legum corol. 2) in binos, quorum hi versus centrum, sive secundum lineas P C, p C determinentur, & alteri prioribus transversi sint, & secundum lineas ipsis P C, p C perpendiculares directionem ha- beant; motus versus centrum erunt aequales, & motus transversus corporis/ erit ad motum transversum corporis P, ut motus angularis LIBER PRIMUS. 131 llnese / C ad motum angularem lineae P C, id est, ut angulus V Cp ad angulum V C P. Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo utroque pervenit ad punctum K, corpus p aequali in centrum motu sequaliter movebitur a / versus C, ideoque completo illo tempore reperietur alicubi in linea m k r, quse per punctum k in lineam p C perpendicularis est ; & motu transverso acquiret distantlam a linea p C, quae sit ad dlstantlam quam corpus alterum P acqulrit a llnea P C, ut est motus transversus corporls p ad motum transversum corporls alterius P. Quare cum kr sequalls sit distantlae quam corpus P acquirit a linea PC, sitque wr ad kr m\, angulus V Cp ad angulum V C P, hoc est, ut motus transversus corporis / ad motum transver- sum corporis P, manifestum est quod corpus p completo illo tempore reperietur in loco vz. Haec ita se habebunt ubl corpora p Sl P aequaliter secundum lineas p C &. P C moventur, ideoque aequalibus viribus secundum lineas illas urgentur. Caplatur autem angulus pCn ad anguIum/C^ ut est angulus V Cp ad angulum VCP, sltque n C aequalls k C, & corpus p completo illo tempore revera reperletur in n ; ideoque vi majore urgetur quam corpus P, si modo 132 DE MOTU CORPORUM angulus n Cp angulo k Cp major est, id est si orbis upk vel movetur in consequentia, vel movetur in antecedentia majore celeritate quam sit dupla ejus qua linea CP in consequentia fertur ; & vi minore si orbis tardius movetur in antecedentia. Estque virium differentia ut locorum intervallum m n, per quod corpus illud / ipsius actione, dato illo temporis spatio, transferri debet. Centro C intervallo Cfi vel Ck describi intelligatur circulus secans lineas mr, mn P\ — \i productas in 5 & /, & erit rectangulum mny.mt sequale rectangulo mkxmsy ideoque m n sequale mkx ms mt Cum autem triangula/ Ck pCn dato tempore dentur magnitudine, sunt kr & mr, earumque differentia mk 8l summa m s reciproce ut altitudo p C, ideoque rectangulum mkxms ^^t reciproce ut quadratum altitudinis/ C Est 8l mt directe ut t ^;^ /, id est, ut altitudo / C Hse sunt primae rationes linearum nascentium ; & hinc fit ^ — ^^^j^^ jj ^^^ Hneola nas- mt cens mn, eique proportionalis virium differentia reciproce ut cubus altitudinis/C Q.E.D. k LIBER FRIMUS. 133 Corol. I. Hinc dlfferentla vlrlum In locis P 81 p, v^\ K 81 k, est ad vlm qua corpus motu circularl revolvi possit ab 7? ad A' eodem tempore quo corpus P in orbe immobili describlt arcum P K, ut lineola nascens m 71 ad sinum versum arcus nascentis R K, id est ut VI. VII. ad 3^ vel ut mkxms ad rk quadratum ; hoc est, si mt 2 kC capiantur datae quantitates F, G in ea ratlone ad invicem quam habet angulus V C P ad angulum V Cp, ut G G — F F ad F F. Et prop- terea, si centro C intervallo quovis C P vel Cp describatur sector clrcularis aequalis areae toti V P C, quam corpus P tempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto descripslt : dlfTferentla vlrlum, qulbus corpus P in orbe immoblH & corpus/ in orbe moblH revolvuntur, erit ad vim centripetam, qua corpus ali- quod, radlo ad centrum ducto, sectorem illum eodem tempore, quo descrlpta slt area V P C, uniformiter describere potuisset, ut G G — F F ad F F. Namque sector ille & area/ C k sunt ad invicem ut tempora quibus describuntur. Corol. 2. Si orbis VPK ellipsis sit umbilicum habens C & apsidem summam V ; eique similis & aequaHs ponatur elHpsis upk, ita ut slt semper/ C aequaHs P C, 8z. angulus V Cp sit ad angulum V C P in. data ratione G ad F ; pro altitudine autem P C wApC scribatur A, & pro eHIpseos latere recto ponatur 2 R : erit vis, qua corpus in el- ,..,.,. , . FF RGG-RFF ^ hpsi mobih revolvi potest, ut -r-r H r 7 & contra. bxpo- natur enim vis qua corpus revolvatur in immota elHpsi per quanti- F F F F . tatem , & vis in V erit . Vis autem qua corpus m AA CVquad. ^ circulo ad distantiam C K ea cum velocitate revolvi posset quam corpus in eHipsI revolvens habet in F, est ad vim qua corpus in ehipsi revolvens urgetur in apside F, ut dimidium lateris recti eHip- RFF seos ad circuH semidiametrum C V, Ideoque valet -7^77 — 7- : & vis, •n /^ /-^ x> pp quae sit ad hanc ut GG — FF ad FF, valet — 77-^7 — ; — : estque haec C V cub. vis (per hujus corol. 1) dlfferentla virium in V qulbus corpus P in eHIpsi Immota V P K, & corpus / in eHIpsi moblH upk revolvuntur : Unde cum (per hanc prop.) dlfferentla iha in aHa quavis altitudine A j ^ . DE MOTU CORPORUM sit ad seipsam in altitudine C F ut ad -^y^^ eadem dif- . , . ,. . 1 ,. RGG-RFF ferentia m omni altitudme A valebit A cud. leitur ad vim FF AA , qua corpus revolvi potest in ellipsi immobili V P K, addatur RGG-RFF o • .. FF RGG-RFF ^^^^^^^^ ^^^V^^^T— ' ^ componetur vis tota _ 4._^_^ qua corpus in ellipsi mobili tcpk iisdem temporibus revolvi possit. - Corol. 3. Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immobilis V P K ellipsis sit centrum habens in virium centro C ; eique similis, sequalis & concentrica ponatur ellipsis mobilis tcpk; sitque 2 R ellipseos hujus latus rectum principale, & 2 T latus transversum sive axis major, atque angulus VCp semper sit ad angulum VCP ut G ad F ; vires, quibus corpora in ellipsi immobili & mobili F FA ^ FFA temporibus sequaHbus revolvi possunt, erunt ut ^^ y & ^t; 7" + RGG-RFF LIBER PRIMUS. 135 CoroL 4. Et unlversaliter, si corporls altitudo maxima C V nomi- netur T, & radlus curvaturse quam orbls V P K habet In V, id est radlus clrcull aequallter curvl, nomlnetur R, & vls centrlpeta, qua corpus In trajectoria quacunque Immoblli V P K revolvl potest in V P P loco F, dlcatur , atque allls in locis P Indefinlte dicatur X, altitudine CP nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli V Cp ad angulum V CP : erit vls centrlpeta, qua corpus idem eos- dem motus in eadem trajectoria tcpk clrcularlter mota temporibus .. ' VRGG-VRFF iisdem peragere potest ut summa virium X H -z 7 • CoroL 5. Dato igitur motu corporis in orbe quocunque immobili, augeri vel minui potest ejus motus angularls clrca centrum vlrium in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur. CoroL 6. Igitur si ad rectam C Fposi- tione datam erigatur perpendiculum V P longitudlnis indeterminatae, jungaturque C P 81 ipsi aequalis agatur C/, constituens angulum V Cp, qui sit ad angulum VC P in data ratione ; vis qua corpus gyrari po- test in curva illa Vp k, quam punctum p perpetuo tangit, erit reciproce ut cubus altitudinis Cp, Nam corpus P per vim inertlse, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi potest in recta VP. Addatur vis in centrum C, cubo altitudlnis C P vel Cp reclproce proportionalis, & (per jam demonstrata) detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvam Vp k. Est autem hsec curva Vpk eadem cum curva illa VPQ in corol. 3 prop. xli inventa, in qua ibi dixlmus corpora hujusmodi viribus attracta oblique ascendere. \ 136 DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO XLV. PROBLEMA XXXI Orbium qui suni ciradis maxime finitimi requiruntur motus apsidum. Problema solvitur arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in ellipsi mobili (ut in propositionis superioris corol. 2 vel 3) revolvens describit in plano immobili, accedat ad formam orbis cujus apsides requiruntur, & quaerendo apsides orbis quem corpus illud in plano immobili describit. Orbes autem eandem acquirent formam, si vires centripetse quibus describuntur, inter se collatse, in sequalibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctum V apsis summa, & scribantur T pro altitudine maxima C V, K pro altitudine quavis alia C P vel Cp, & X pro altitudinum differentia C V—CP; & vis, qua corpus in ellipsi circa umbilicum suum C (ut F F in corol. 2) revolvente movetur, quaeque in corol. 2 erat ut t— t- + RGG-RFF ., , FFA-hRGG-RFF , . , ^ ^ , id est ut , substituendo T — X A cud. A cuo, . . RGG-RFF + TFF-FFX p , , . .,.^ pro A, erit ut . Keducenda similiter est A C2^d. vis alia quaevis centripeta ad fractionem cujus denominator sit A cud. 8i numeratores, facta homologorum terminorum collatione, statuendi sunt analogi. Res exempHs patebit. Exempl. I. Ponamus vim centripetam uniformem esse, ideo- A Cub. . / ., , ^ xr A • que ut -T 7 , sive (scribendo 1 — X pro A m numeratore) ut r^ CUO. T^^^.-3TTX + 3TXX-X^^^. ^ ,, A cub ' collatis numeratorum terminis correspondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fietRGG-RFF + TFFadT^^/5.ut-FFXad-3TTX-|-3TXX -X cub. sive ut-FF ad-^TT-f 3TX-X X. Jam cum orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum circulo ; & ob factas R, T sequales, atque X in infinitum diminutam, rationes ultimae erunt RGG ad T cub. ut — FF ad — 3 TT, seu GG ad TT ut FF ad 3 TT, & vicissim GG ad FF ut TT ad 3TT, idest, LIBER PRIMUS. 137 ut I ad 3 ; Ideoque G ad F, hoc est angulus VCp ad angulum VCP, ut I ad .^3 . Ergo cum corpus in ellipsi immobili, ab apside summa ad apsidem imam descendendo conficiat angulum V CP (ut ita dicam) graduum 180; corpus aliud in ellipsi mobili, atque ideo in orbe immobili de quo agimus, ab apside summa ad apsidem imam descendendo conficiet angulum V Cp graduum —j- : id ideo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centrl- peta describit, & orbis illius quem corpus in ellipsi revolvente gyros peragens describlt in plano quiescente. Per superiorem terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniforml cum vl centripeta in orbe propemodum circulari revolvens, inter apsidem summam & apsldem Imam con- ficlet semper angulum —j- graduum, seu 103 gr, 55 m. 23 sec. ad centrum ; perveniens ab apslde summa ad apsidem Imam ubl semel confeclt hunc angulum, & Inde ad apsldem summam rediens ubi Iterum confeclt eundem angulum ; & slc delnceps In infinitum. Exempl. 2. Ponamus vim centrlpetam esse ut altltudlnls A dignl- A« tas quaellbet A"""^ seu t- : ubi /^ — 3 & « slgnlficant dignitatum indi- ces quoscunque Integros vel fractos, ratlonales vel Irrationales, af- firmativos vel negativos. Numerator ille A" seu T--X|'* In serlem indetermlnatam per methodum nostram serierum convergentlum reducta, evadit T"-;^ X T«-^-|-^-^^^ X X T«-^ &c. Et collatis ' 2 hujus terminis cum termlnls numeratoris alterlus RGG — R F F -|- TFF -FFX,fitRGG-RFF + TFFadT«ut-FFad-;^T«-^-h^^^^ 2 X T"-' &c. Et sumendo rationes ultlmas ubi orbes ad formam cir- cularem accedunt, fit RGG ad T" ut — FF ad — ^^T"-', seu GG ad T"-^ ut F F ad ;^ T''-^ & vlclsslm G G ad F F ut T""^ ad n T—^ id est ut I ad ;^; Ideoque G ad F, id est angulus V Cp ad angulum VCP, ut I ad J n . Quare cum angulus VCP, In descensu cor- poris ab apside summa ad apsidem imam In elHpsI confectus, slt graduum 180; conficietur angulus V Cp, in descensu corporis ab 38 DE MOTU CORPORUM apside summa ad apsldem imam, in orbe propemodum circulari quem corpus quodvis vi centripeta dlgnltati A"~3 proportionali de- scrlbit, sequalls angulo graduum —j- ; & hoc angulo repetlto cor- pus redlblt ab apside ima ad apsidem summam, & slc deinceps in infinitum. Ut si vis centrlpeta slt ut dlstantla corporis a centro, id A* . est, ut A seu — , erit 7i aequalls 4 & >y ;/ sequalls 2 ; ideoque angu- lus inter apsidem summam & apsidem imam sequalls gr, seu 90 gr, Completa igitur quarta parte revolutlonls unlus corpus per- veniet ad apsidem imam, & completa alia quarta parte ad apsidem summam, & sic deinceps per vices in infinltum. Id quod etlam ex proposltione x manlfestum est. Nam corpus urgente hac vi centrlpeta revolvetur in elHpsi immoblH, cujus centrum est in centro vlrium. Quod si vls centripeta sit reciproce ut distantia, id est I A"" . directe ut -— seu — - , erit n sequalis 2, ideoque inter apsldem sum- /\. /\ mam & Imam angulus erlt graduum —r- seu 12^ gr. 16 77Z, 45 sec. & propterea corpus tali vi revolvens, perpetua anguli hujus repetltlone, vicibus alternls ab apside summa ad imam & ab ima ad summam perveniet in seternum. Porro si vis centrlpeta slt reclproce ut latus quadrato-quadratum undeclmse dignltatls altitudinis, id est reciproce ut A * , ideoque directe ut -r-Y\ seu ut -7— erit 7t aequahs A 4 A -^ T, & — /- gr. aequaUs 360 gr. & propterea corpus de apside summa discedens & subinde perpetuo descendens, perveniet ad apsidem imam ubi complevit revolutlonem integram, dein perpetuo ascensu complendo aham revolutionem integram, redibit ad apsidem sum- mam : & sic per vices in aeternum. Exempl. 3. Assumentes m & n pro qulbusvls indiclbus dignltatum altitudinis, 81 d, c pro numerls quibusvis datis, ponamus vim cen- tripetam esse ut ^^'"^^^\ id est, ut .^J^T-Xr + . in T-X|- A cnd. A cud. LIBER PRIMUS. 139 seu (per eandem methodum nostram serierum convergentium) ut A cub. & collatis numeratorum terminis, fiet RGG — RFF 4- TFF Tft 7ft - fft ad ^T"^ + cT«, ut-FF ^.d.-mbT^^-^-nci:''-' ^- ^ X T''^-^' 2 IV 7t~tZ + ^: X T"-^ &c. Et sumendo rationes ultimas quse prodeunt 2 ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit G G ad bT"'-^ ■\-cT''~^, ut FF ad mbT'''-'^nci:^-\ & vicissim GG ad F F ut ^ T'«-^4-^T«-' ad m b T'*-' -^-n c T'*-'. Quse proportio, exponendo altitudinem maximam C V seu T arithmetice per unitatem, fit G G ad F F ut b-\-c2Ldimb-\-nc, ideoque ut i ad . Unde est G ad F, id est b-^-c angulus VCp ad angulum VC P, ut i ad V^|-^ • Et propterea cum angulus V C P inter apsidem summam & apsidem imam in el- lipsi immobili sit i8o^n erit angulus V Cp inter easdem apsides, in orbe quem corpus vi centripeta quantitati — -z 7 — proportionali describit, sequalis angulo graduum 180 V -, r . Et eodem argu- mb-\-nc mento si vis centripeta sit ut , angulus inter apsides invenie- A cub. tur graduum 180 J '^ — • Nec secus resolvetur problema in m b — n c casibus difficilioribus. Quantitas, cui vis centripeta proportionalis est, resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes A cub. Dein pars data numeratoris qui ex illa operatione provenit ad ipsius partem alteram non datam, & pars data numeratoris hujus RGG — RFF-hTFF — FFX ad ipsius partem alteram non datam in eadem ratione ponendse sunt : Et quantitates superfluas delendo, scribendoque unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F. Corol. I. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri potest dignitas illa ex motu apsidum ; & contra. Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad apsidem eandem, sit 140 DE MOTU CORPORUM ad motum angularem revolutionls unius, seu graduum 360, ut nu- merus aliquis m ad numerum alium ;/, & altitudo nominetur A : nn erit vis ut altitudinis dig^nitas illa A "^*^ , cujus index est — 'x. mm ^ Id quod per exempla secunda manifestum est. Unde liquet vim illam in majore quam trlplicata altitudinis ratione, in recessu a centro, decrescere non posse : Corpus tali vi revolvens deque apside discedens, si cceperit descendere nunquam perveniet ad apsldem imam seu altitudinem minimam, sed descendet usque ad centrum, describens curvam illam lineam de qua egimus in corol. 3. prop. xli. Sin coeperit illud, de apside discedens, vel minimum ascendere ; ascendet in infinitum, neque unquam perveniet ad apsidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua actum est in eodem corol. & in corol. 6 prop. xliv. Sic & ubi vis, in recessu a centro, decrescit in majore quam triplicata ratione altitudinis, corpus de apside discedens, perinde ut coeperit descendere vel ascendere, vel descendet ad centrum usque vel ascendet in inflnitum. At si vis, in recessu a centro, vel decrescat in minore quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacunque ; corpus nunquam descendet ad centrum usque, sed ad apsidem imam aliquando perveniet : & contra, si corpus de apside ad apsidem alternis vicibus descendens & ascendens nunquam appellat ad centrum ; vis in recessu a centro aut augebitur, aut in minore quam triplicata altitudinis ratione decrescet : & quo citius corpus de apside ad apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel ij de apside summa ad apsidem summam alterno descensu & ascensu redi- erit ; hoc est, si fuerit m did n \xt ?> vel 4 vel 2 vel i^ ad i, ideoque 3valeat^ — 3 vel -7 — 3 vel 3 vel - — 3: erit vis ut mm 64"" 16"^ 4 9 A^~' vel A^~^ vel A*~' vel A^~', id est, reciproce ut A'~^ vel A ^^ vel A * vel A ^. Si corpus singulis revolutionibus re- dierit ad apsidem eandem immotam ; erit ;;^ ad ;^ ut i ad i, nn ideoque A*"'"* aequalis A seu ; & propterea decre- mentum virium in ratione duplicaja altitudinis, ut in praeceden- LIBER PRIMUS. 141 tibus demonstratum est. SI corpus partibus revolutionibus unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una tertia, vel una quarta, ad apsidem eandem redierit; erit m ad ^^ ut f vel I vel \ vel t ad i, ideoque A^~' sequalis A V- 3 yel At-3 vel A'~' vel A ''""^ 11 3 & propterea vis aut reciproce ut A~or vel As aut directe ut A^ vel A'3. Denique si corpus pergendo ab apside summa ad apsidem sum- mam confecerit revolutionem integram, & praeterea gradus tres, ideo- que apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in consequentia gradus tres; erit ;;^ ad ;^ ut 363 gr. ad 360 gr, sive ut 121 ad 120, »» — 29 523 ideoque A'" "" erlt sequale A ^****^ ; &. propterea vls centripeta 20523 4 reclproce ut A ^^" seu reciproce ut A ^ ^^ proxime. Decresclt igitur vis centripeta In ratione paulo majore quam duplicata, sed quae vicibus 59! propius ad duplicatam quam ad tripllcatam accedit. CoroL 2. Hinc etiam si corpus, vl centrlpeta quae sit reciproce ut quadratum altltudinls, revolvatur In ellipsl umbillcum habente In centro virium, & hulc vl centrlpetae addatur vel auferatur vls alla quaevls extranea; cognoscl potest (per exempla tertla) motus apsl- dum qul ex vi illa extranea orietur : & contra. Ut sl vis qua corpus revolvltur In elllpsl slt ut , & vis extranea ablata ut c A, A A A— ^A* Ideoque vis reliqua ut ; erit (in exemplls tertlls) b aequa- A cub, lls I, m aequalis i, & n aequalls 4, Ideoque angulus revolutionls inter apsides aequalis angulo graduum 1 80 V • Ponamus vlm I — 4 ^ Illam extraneam esse 357.45 partlbus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur In ellipsi, Id est c esse ssTAg, existente A vel T aequali i, & 180 V — — — evadet 180 V ItStI, seu 180.7623, Id est, I —4 c iSogr. 45 m. 44 s. Igltur corpus de apslde summa dlscedens, motu angulari 180 gr. 45 m. 44 s. perveniet ad apsidem imam, & hoc motu duplicato ad apsidem summam redlbit : ideoque apsis sum- ma singulis revolutionibus progrediendo conficiet i gr. 31 m, 28 sec, Apsis lunae est duplo velocior circiter. 142 r>E MOTU CORPORUM • ' Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per cen- trum virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam scriptores qui motum gravium tractant, considerare solent ascensus & descensus ponderum, tam obliquos in planis quibuscunque datis, quam perpendiculares : & pari jure mo- tus corporum viribus quibuscunque centra petentium, & planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana autem sup- ponimus esse politissima & absolute lubrica ne corpora retardent. Quinimo, in his demonstrationibus, vice planorum quibus corpora incumbunt quaeque tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, in quibus centra corporum moventur & orbitas movendo describunt. Et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis peractos subinde determinamus. SECTIO X. De motu corporum in superficiebus datis, deque funipe^idulorum motu reciproco. PROPOSITIO XLVI. PROBLEMA XXXII. Posita cujuscunque generis vi centripetay datoque tum viriuin centro iumplano quoczmque in quo corpus revolvitur, & concessis figuraru7n curvilinearzcm quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato, data cum velocitate, secundum rectam in plano illo data^n egressi. Sit 6^ centrum virium, kS C distantia minima centri hujus a plano dato, P corpus de loco P secundum rectam P Z egrediens, Q cor- pus idem in trajectoria sua revolvens, & PQR trajectoria illa, in plano dato descripta, quam invenire oportet. Jungantur C Q, g 6^, & si mQ S capiatur 6^ V proportionaHs vi centripetse qua corpus trahitur versus centrum S, & agatur V T quae sit parallela C Q & occurrat SC in T: vis 6^ F resolvetur (per legum corol. 2) in vires ST, TV ; quarum S T trahendo corpus secundum lineam plano perpendicula- rem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera T V, agendo secundum positionem plani, trahit corpus directe versus LIBER PRIMUS. 143 punctum C In plano datum, ideoque efficlt, ut corpus Illud in hoc plano perinde moveatur, ac si vis vS T tolleretur, & corpus vi sola T V revolveretur circa centrum C in spatio libero. Data autem vi centripeta T V qua corpus Q In spatio libero clrca centrum datum C revolvltur, datur (per prop. xlii) tum trajectorla P Q R, quam corpus descrlbit, tum locus Q, in quo corpus ad datum quodvls tempus versabitur, tum denique velocitas corporls In loco illo Q ; 81 contra. Q. E. I. PROPOSITIO XLVII. THEOREMA XV. Posito qtioci vis centripeta proportionalis sit distantics corporis a centro; corpora 07nnia iri planis quibusctmqiie revolventia describeiit ellipseSy & revolutio7ies temporibus c^qtcalibus peragent ; qucFque moventur in lineis rectis, ultro citroque discurrendoy singulas eundi & redeicndi periodos iisdem temporibus absolvent. Nam, stantlbus quae In superlore proposltlone, vis S V, qua corpus Q in plano quovis P Q R revolvens trahitur versus centrum S, est ut distantia S Q ; atque Ideo ob proportionales S V 81 SQ, T V 81 C Q, vis TV, qua corpus trahitur versus punctum C In orbis plano datum, est ut dlstantia CQ. Vires igitur, quibus corpora in plano 144 DE MOTU CORPORUM PQ R versantia trahuntur versus punctum C, sunt pro ratlone distan- tiarum aequales viribus quibus corpora undiquaque trahuntur versus centrum S ; ^ propterea corpora movebuntur iisdem temporibus, in iisdem figuris, in plano quovis P Q R circa punctum C, atque in spatlis Hberis circa centrum S ; ideoque (per corol. 2 prop. x & corol. 2 prop. xxxviii) temporibus semper sequalibus, vel describent ellipses in plano Illo clrca centrum C, vel periodos movendi ultro citroque In lineis rectis per centrum C in plano illo ductis complebunt. Q. E. D. Scholium. His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus curvis. Concipe Hneas curvas in plano describi, dein circum axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione superficies curvas describere ; tum corpora ita moveri ut eorum centra in hls superficiebus perpetuo reperiantur. Si corpora illa obHque ascendendo & descendendo currant ultro citroque ; pera- gentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, atque ideo in lineis curvis, quarum revolutione curvae illae superficies genitse sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his Hneis curvis considerare. LIBER PRIMUS. 145 PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XVI. Si rota globo extrinsecics ad angidos rectos insistat, & more rotarum revolvendo progrediatur 171 circulo maximo ; longitudo itineris cuTuilinei, quod ptmctum quodvis ifi rotce perimetro datum, ex quo globum tetigity confecit, (quodque cycloidem vel epicycloidem nominare licet) erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum ex eo tempore inter eundum tetigit^ ut summa diametrorum globi & rotce ad semidiametrum globi, PROPOSITIO XLIX. THEOREMA XVII. Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat & revolvendo progrediatur in circulo maximo ; loftgittcdo itineris curvilinei quod punctum quodvis in rotce perimetro datum, ex quo globum tetigitj confecit, erit ad duplicatum shiU7n versum arcus dimidii qui globicm toto hoc tentpore i^tter eu7idtcm tetigit, tct differentia diametrorum globi & rotce ad semidiametrum globi. Sit A B L globus, C centrum ejus, BP V rota ei insistens, E centrum rotae, B punctum contactus, & P punctum datum in perimetro rotse. Concipe hanc rotam pergere in circulo maximo A B L 3.h A per B versus Z, & inter eundum ita revolvi ut arcus A B, P B sibi invicem semper aequentur, atque punctum illud P in perimetro rotse datum interea describere viam curvilineam A P. Sit autem A P via tota curvilinea descripta ex quo rota globum tetigit in A, & erit viae hujus longitudo A P 2id duplum sinum versum arcus i P B, ut 2 C E ad CB. Nam recta C E (si opus est producta) occurrat rotae in F, junganturque C P, B P, E P, V P, & in CP productam demittatur normalis V F. Tangant P H, V H circulum in P & F concurrentes in H, secetque P H ipsam V F \vi G, 81 ad V P demittantur normales GI, H K. Centro item C & intervallo quovis describatur circulus 7i0 7n secans rectam CP in 7t, rotae perimetrum B P m 0, & viam curvilineam AP in m; centroque K 1 1^6 ^^ MOTU CORPORUM ^ V & intervallo F^ describatur circulus secans V P productam in q. Quoniam rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus B, manifestum est quod recta BP perpendicularis est ad lineam illam curvam A P quam rotae punctum P describit, atque ideo quod recta VP tanget hanc curvam in puncto P. Circuli nom radius sensim auctus vel diminutus sequetur tandem distantiae CP ; &, l LIBER PRIMVS, 147 ob similltudinem figurae evanescentis Pnomq & figurae P FG VI, ratio ultima lineolarum evanescentium P m, P n, P 0, P q, id est, ratio mutationum momentanearum curvae A P, rectee C P, arcus circularis BP, ac rectae VP, eadem erit quae linearum PV, PF, PG, P I respective. Cum autem V F a.d CF & V H 2A CV perpendicu- lares sint, angulique H V G, /^Ci^ propterea aequales ; & angulus V H G (ob angulos quadrilateri H V E P ad V & P rectos) angulo CEP aequalis est, similia erunt triangula V H G, CEP ; & inde fiet ut EP ad CE \t2. H G 2.d H V seu HP & ita A^/ad K P, & composite vel divisim ut C B ad C E ita P I dA P K, 81 duplicatis consequentibus ut C B ad 2 C E ita P/ ad P V, atque ita P q did P m. Est igitur decrementum lineae VP, id est, incrementum lineae B V— V P ad incrementum lineae curvae A P m data ratione C^ ad 2 C E, 8>L propterea (per corol. lem. iv) longitudines B V— V P & A P, incrementis illis genitae, sunt in eadem ratione. Sed, existente B V radio, est V P co-sinus anguli B V P seu \ B E P, ideoque B V— V P sinus versus est ejusdem anguli ; & propterea in hac rota, cujus radius estl-^F", erit BV— VP duplus sinus versus arcus \ BP\ Ergo AP est ad duplum sinum versum arcus^j^/* ut 2 C^ ad CB, Q.E.D. Lineam autem A P m propositione priore cycloidem extra globum, alteram in posteriore cycloidem intra globum distinctionis gratia nominabimua. Corol. I. Hinc si describatur cyclois integra A S L 81 bisecetur ea in S, erit longitudo partis P S did longitudinem VP (quae duplus est sinus anguli V B P, existente E B radio) ut 2 C^ ad C^, atque ideo in ratione data. Corol. 2. Et longitudo semiperimetri cycloidis A S aequabitur lineae rectae, quae est ad rotae diametrum B ^ut 2 CjE* ad CB. PROPOSITIO L. PROBLEMA XXXIII. Facere ut corpus pendulum oscilletur in cycloide data. Intra globum Q V S, centro C descriptum, detur cyclois Q RS bisecta in 7? & punctis suis extremis Q 81 S superficiei globi hinc inde occurrens. Agatur C R bisecans arcum Q S m O, 8l produ- catur ea ad A, ut sit C A 2Ld C O ut C O ad C R. Centro C 148 DE MOTU CORPORUM intervallo C A describatur globus exterior D A F, & intra hunc globum a rota, cujus diameter sit AOy describantur duse semicycloides AQy AS, quae globum interiorem tangant m Q &. S &, globo exteriori occurrant in A. A puncto illo Ay filo A P T longitudinem A R sequante, pendeat corpus T, & ita intra semicycloides A Q, A S oscilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo A R, filum parte sui superiore A P applicetur ad semicycloidem illam A P S versus quam peragitur motus, & circum eam ceu obstaculum flectatur, parteque reliqua P Z", cui semicyclois nondum objicitur, protendatur in lineam rectam ; & pondus T oscillabitur in cycloide data Q R S, Q. E. F. Occurrat enim filum P T tum cycloidi QRS m T, tum circulo QO S\w F, agaturque CV; & ad fili partem rectam P T, ^ punctis extremis P ac 7", erigantur perpendicula B P, T W, occurrentia rect^ C V in B & W. Patet, ex constructione & genesi simi- lium figurarum A S, S R, perpendicula illa P B, T /^ abscindere de C F longitudines VB, V W rotarum diametris O A, O R ^quales. Est igitur TP ad VP (duplum sinum anguli VBP existente \ B V radio) wt B W 2i ad C^ & divislm ^ (9 ad OR proportionales) ut CA -f- CO 2.&CA, vel, si bisecetur ^ F in ^, ut 2 C B 2id C B, Proinde (per corol. i prop. xlix) longitudo partis rectse fili P T aequatur semper cycloidis arcui P S, 81 filum totum A P T eequatur semper cycloidis arcui dimidio A P S, hoc est (per corol. 2 prop. xlix) longitudini A R. Et propterea vicissim si filum manet semper aequale longitudini AR movebitur punctum T in cycloide data QRS. Q.B.D, Corol. Filum A R sequatur semicycloidi A S, ideoque ad globi exterioris semidiametrum A C eandem habet rationem quam similis illi semicyclois S R habet ad globi interioris semidiametrum CO, PROPOSITIO LI. THEOREMA XVIII. Si vis cmtripeta tendens undique ad globi centrum C sit in locis sin- gulis ut distantia loci cujusque a centro, & /lac sola vi agente cor- pus T oscilletur (modojam descripto) in perimetro cycloidis Q RS : dico quod oscillationum utcunque incsqualium cequalia ertcnt tempora. Nam in cycloidis tangentem TW infinite productam cadat perpendiculum CX &jungatur C T Quoniam vis centripeta qua I50 DE MOTU CORPORUM corpus T impellitur versus C est ut distantia C T, atque haec (per legum corol. 2) resolvitur in partes C X, TX, quarum CX impellen- do corpu? directe a P distendit filum P T & per ejus resistentiam tota cessat, nullum alium edens effectum ; pars autem altera TX, urgendo corpus transversim seu versus X, directe accelerat motum ejus in cycloide ; manifestum est quod corporis acceleratio, huic vi acceleratrici proportionaHs, sit singulis momentis ut longitudo TX, id est, ob datas C F, JV V iisque proportionales TX, T W, ut longitudo T W, hoc est (per corol. i prop. xlix) ut longitudo arcus cycloidis TR. Pendulis igitur duobus A P T, A p t Ae perpendiculo A R insequaliter deductis & simul dimissis, accelerationes eorum semper erunt ut arcus describendi ZT?, t R. Sunt autem partes sub initio descriptae ut accelerationes, hoc est, ut tot^ sub initio describendae, & propterea partes qu^ manent describendae & accelerationes subsequentes, his partibus proportionales, sunt etiam ut tot^; & sic deinceps. Sunt igitur accelerationes, atque ideo velocitates genitae & partes his velocitatibus descriptae partesque describendae, semper ut totae ; & propterea partes describend^ datam LTBER PRIMUS. l^l servantes ratlonem ad invlcem slmul evanescent, id est, corpora duo osclllantla slmul pervenlent ad perpendlculum A R. Cumque vlclsslm ascensus perpendlculorum de loco Infimo R, per eosdem arcus cycloldales motu retrogrado factl, retardentur in locls slngulis a vlrlbus Ilsdem a quibus descensus accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum sequales esse, atque Ideo temporlbus sequallbus fieri ; & propterea, cum cycloldis partes duae R S 8i RQ ad utrumque perpendiculi latus jacentes sint similes & sequales, pendula duo osclllationes suas tam totas quam, dimidlas iisdem temporibus semper peragent. Q. E. D. Corol. Vis qua corpus T In loco quovis T acceleratur vel retardatur in cycloide, est ad totum corporis ejusdem pondus in loco altlssimo kS vel Q, ut cycloidis arcus TR ad ejusdem arcum S R vel QR^ PROPOSITIO LII. PROBLEMA XXXIV. Definire & velocitates pendulorum in locis singulis, & tempora quibus tum oscillationes totce, tum singula oscillationum partes peraguntur. Centro quovis G, intervallo G H cycloidis arcum RS aequante, describe semicirculum HKM semidiametro GK bisectum. Et si 152 DE MOTU COEFORUM vis centripeta, dlstantiis locorum a centro proportionalis, tendat ad centrum G, sitque ea in perimetro H I K sequalis vi centripetse in perimetro globi Q O S ad ipsius centrum tendenti ; & eodem tempore quo pendulum T dimittitur e loco supremo S, cadat corpus aliquod L ab H 2A G: quoniam vires quibus corpora urgentur sunt sequales sub initio & spatiis describendis TR, L G semper proportionales, atque ideo, si sequantur TR & L G, aequales in locis T & L ; patet corpora illa describere spatia S T, HL aequalia sub initio, ideoque subinde pergere aequaliter urgeri, & sequalia spatia describere. Quare (per prop. xxxviii) tempus quo corpus describit arcum kS T est ad tempus oscillationis unius, ut arcus H/, tempus quo corpus H perveniet ad Z, ad semiperipheriam G ^ YH H KM, tempus quo corpus H perveniet ad M, Et velocitas corporis penduli in loco T est ad velocitatem ipsius in loco infimo R, (hoc est, velocitas corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco G, seu incrementum momentaneum lineae H L ad incrementum momentaneum lineae HG, arcubus HI, HK aequabili fluxu crescenti- bus) ut ordinatim applicata LI ad radium GK, sive ut JSRq. — TRq. ad S R. Unde cum, in oscillationibus inaequaHbus, describantur aequalibus temporibus arcus totis oscillationum arcubus proportionales; habentur, ex datis temporibus, & velocitates & arcus descripti in oscillationibus universis. Qu^ erant primo invenienda. I LIBER PRIMUS. 1 5 3 Oscillentur jam funipendula corpora in cycloidibus diversis intra globos diversos, quorum diversae sunt etiam vires absolutae, descriptis: &, si vis absoluta globi cujusvis Q O S dicatur V, vis acceleratrix qua pendulum urgetur in circumferentia hujus globi, ubi incipit directe versus centrum ejus moveri, erit ut distantia corporis penduli a centro illo & vis absoluta globi conjunctim, hoc est ut C (9 x V. Itaque Hneola H Y, quse sit ut haec vis acceleratrix COy.V, describetur dato tempore ; &, si erigatur normahs Y Z circumferentise occurrens in Z, arcus nascens H Z denotabit datum illud tempus. Est autem arcus hic nascens H Z in supdupHcata ratione rectanguH G H Y, ideoque ut VG^ZTx C(9x V. Unde tempus osciHationis integrae in cycloide QRS (cum sit ut semiperipheria H K M, quae osciHationem iHam integram denotat, directe ; utque arcus H Z, qui datum tempus simiHter denotat, inverse) fiet wt G H directe & ^GHxCOxV inverse, hoc est, ob aequales GH & 6^^, ut . SR . . 1 X f ^^ r s/t^ — V' ^^^^ ^P^^ corol. prop. l) ut sJ-j-7=' — ^j • Itaque oscil- lationes in globis & cycloidibus omnibus, quibuscunque cum viribus absohitis factae, sunt in ratione quae componitur ex subdupHcata ratione longitudinis fiH directe, & subdupHcata ratione distantiae inter punctum suspensionis & centrum globi inverse, & subdupHcata ratione vis absolutae globi etiam inverse. Q, E. /. Corol. I. Hinc etiam osciHantium, cadentium & revolventium corporum tempora possunt inter se conferri. Nam si rotae, qua cyclois intra globum describitur, diameter constituatur aequaHs semidiametro globi cyclois evadet Hnea recta per centrum globi transiens, & osciHatio jam erit descensus & subsequens ascensus in hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quovis ad centrum, tum tempus huic aequale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem describit. Est enim hoc tempus (per casum secundum) ad tempus semiosciHationis in cycloide quavis g 7? kS ut i ad J^ . Corol. 2. Hinc etiam consectantur quae Wrennus & Hugenius de cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi diameter augeatur in infinitum : mutabitur ejus superficies sphaerica in planum, visque centripeta aget uniformiter secundum Hneas huic plano perpendi- I 54 ^E MOTU CORPORUM culares, & cyclois nostra abiblt in cycloidem vulgi. Isto autem in casu longitudo arcus cycloidis, inter planum illud & punctum describens, sequalis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus rotse inter idem planum & punctum describens ; ut invenit Wren^iiLs : Et pendulum inter duas ejusmodi cycloides in simili & sequali cycloide temporibus aequalibus oscillabitur, ut demonstravit Hugenius, Sed & descensus gravium, tempore oscillationis unius, is erit quem Htcge7tius indicavit. Aptantur autem propositiones a nobis demonstratae ad veram constitutionem terrae, quatenus rotse eundo in ejus circulis maximis describunt motu clavorum, perimetris suis infixorum, cycloides extra globum ; & pendula inferius in fodinis & cavernis terrse suspensa, in cycloidibus intra globos oscillari debent, ut oscillationes omnes evadant isochronse. Nam gravitas (ut in libro tertio docebitur) decrescit in progressu a superficie terrae, sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione simplici. PROPOSITIO LIII. PROBLEMA XXXV. Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire vires quibus corpora in datis curvis lineis oscillationes semper isochronas peragent, Oscilletur corpus T in curva quavis linea kS TR Q, cujus axis sit A R transiens per virium centrum C. Agatur TX quse curvam illam in corporis loco quovis T contingat, inque hac tangente TX capiatur TY sequaHs arcui T R. Nam longitudo arcus ilHus ex figurarum quadraturis, per methodos vulgares, innotescit. De puncto F educatur recta YZ tangenti perpendicularis. Agatur CT per pendiculari illi occurrens in Z, & erit vis centripeta proportionalis rect^ TZ. Q. E. /. Nam si vis, qua corpus trahitur de T versus C, exponatur per rectam TZ captam ipsi proportionalem, resolvetur hsec in vires T K, YZ ; quarum YZ trahendo corpus secundum longitudinem fili P T, motum ejus nil mutat, vis autem altera TY motum ejus in curva 6^ TR Q directe accelerat vel directe retardat Proinde cum hsec LIBER PRIMUS. 155 sit ut vla descrlbenda T R, acceleratlones corporis vel retardationes in oscillationum duarum (majorls & minoris) partlbus proportio- nalibus describendis, erunt semper ut partes illae, & propterea facient ut partes^ illse simul describantur. Corpora autem quse partes totls semper proportionales simul descrlbunt, simul descrlbent totas. Q. E. D. Corol. I. Hlnc sl corpus T, filo rectillneo A T 2i centro A pendens, describat arcum circularem vS TR Q, & Interea urgeatur se- cundum lineas parallelas deorsum a vl all- qua, quae sit ad vlm unlformem gravitatis, ut arcus T R 2id ejus sinum TN : sequalia erunt oscillatlonum slngularum tempora. Etenim ob parallelas TZ, A R, similla erunt triangula^ TN, ZTY; & propterea TZ erit ad ^ r ut T F ad TN; hoc est, si gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam A T, vis 156 DE MOTU CORPORUM T Z, qua oscillationes evadent isochronse, A T, ut arcus TR ipsi T^Fsequalis ad arcus illius sinum TN. Corol. 2. Et propterea in horologiis, si vires a machina in pendulum ad motum conservandum impressae ita cum vi gravitatis componi possint, ut vis tota deorsum sem- per sit ut linea quse oritur applicando rec- tangulum sub arcu T R &. radio A R ?id sinum T N, oscillationes omnes erunt iso- chronae. erit ad vim gravitatis PROPOSITIO LIV. PROBLEMA XXXVL Concessis figurarum curvilinearum quadraturis^ invenire tempora, quibus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibusctmque curvis, in plano per centrum virium transeunte descriptis, descendent & ascendent. Descendat corpus de loco quovis S, per lineam quamvis curvam STtR in plano per virium centrum C transeunte datam. Jun- gatur CS & dividatur eadem in par- tes innumeras a^quales, sitque JD d partium illarum aliqua. Centro C intervallis C D, Cd describantur circuli D T, dt, linese curvae 6^ TtR occurrentes in 7" & /. Et ex data tum lege vis centripetae, tum altitu- dine C kS* de qua corpus cecidit; a dabitur velocitas corporis in alia qua- vis altitudine C T (per prop. xxxix). Tempus autem, quo corpus descri- bit lineolam T /, est ut lineolae hujus longitudo, id est, ut secans anguli t T C directe, & velocitas inverse. Tempori huic proportionalis sit or- dinatim applicata DN ad rectam CS Q 5 P^\ \ V. \ n) ;\ 'V d ; ; / ; ; / / / / ; // // ;/ // /; ;;■ // :/ // ;; c :/ : LIBER PRIMUS. 157 per punctum D perpendicularls, & ob datam D d erit rectangulum DdxDN, hoc est area DNnd, eldem temporl proportlonale. Ergo si P Nn slt curva illa llnea quam punctum N perpetuo tangit, ejusque asymptotos sit recta 6" Q recta^ C S perpendlcularlter insistens : erit area SQ P N D proportlonalis tempori quo corpus descendendo descripsit lineam S T ; proindeque ex inventa illa area dabitur tempus. Q.E.I. PROPOSITIO LV. THEOREMA XIX. ,y Si corpus movetur in superficie quacunque curva, cujus axis per centrum virium transit, & a corpore in axem demittatur perpen- dicularisy eique parallela & cBqualis ab axis puncto quovis dato ducatur : dico quod parallela illa aream tempori proportionalem describet. S\t B K L superficies curva, T^corpus in ea revolvens, STR tra- jectoria, quam corpus in eadem describit, ^9 initium trajectoriae, OMKz^is superficiei curvae, TN recta a corpore in axem perpendlcularis, O P huic parallela & sequalls a puncto Oy quod in axe datur, educ- ta ; A P vestiglum trajec- toriae a puncto P in lineae volubllis OP plano A OP descriptum ; A vestigli inlti- um puncto ^S respondens ; T C recta a corpore ad cen- trum ducta; TG pars ejus vi centripetae, qua corpus urgetur in centrum C, pro- portlonaHs; TM recta ad superficiem curvam perpen- dicularls ; TI pars ejus vi presslonis, qua corpus urget superficlem vicissimque urgetur versus M a superficie, proportionalis ; .-•■' 0 , :^^1^ M \ y !./:>"■■■ N -1 i \~^~~— — — K ^ 1 V r\ \ C 158 DE MOTU CORPORUM P TF recta axi parallela per corpus transiens, &. G F, I H rectae a punctis 6^ & / in parallelam illam P/f /'T^perpendiculariter demissae. Dico jam, quod area A O P, radio (9P ab initio motus descripta, sit tempori proportionalis. Nam vis TG (per legum corol. 2) resol- vitur in vires T F, FG ; & vis TI in vires TH, H I. Vires autem TF, TH agendo secundum lineam P F plano AOP perpendicu- larem mutant solummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideoque motus ejus quatenus secundum positionem plani factus, hoc est, motus puncti P, quo trajectoriae vestigium APm hoc plano describitur, idem est ac si vires T F, TH tollerentur, & corpus solis viribus FG^ H I agi- taretur; hoc est, idem ac si corpus in plano A O P, vi centripeta ad centrum O tendente & summam virium FG 8l HI aequante, des- criberet curvam A P, Sed vi tah describitur area A OP (per prop. i) tempori proportionalis. Q. E. D. Corol. Eodem argumento si corpus, a viribus agitatum ad centra duo vel plura in eadem quavis recta C O data tendentibus, descri- beret in spatio Hbero Hneam quamcunque curvam 6^ T ; foret area A O P tempori semper proportionalis. LIBER PRIMUS. '59 r PROPOSITIO LVI. PROBLEMA XXXVII. Concessis figurarum curvilinearum qtcadraturis, datisque tum lege vis centripetcB ad centrtim datum teftdentisy tum stcperficie curva cujus axis per centrum illud transit ; invenienda est trajectoria quam corpus in eadem superficie descridet, de loco dato, data cum velocitatey versus plagam in superficie illa datam egressum. Stantibus quae in superiore propositione constructa sunt, exeat corpus T de loco dato .S secundum rectam positione datam in trajectoriam inveniendam S TR, cujus vestigium in plano B L O s\t A P. Et ex data corporis velocitate in altitudine ^S C, dabitur ejus velocitas in alia quavis alti- tudine TC. Ea cum velo- citate dato tempore quam minimo describat corpus tra- jectoriae suae particulam Tt, sitque Pp vestigium ejus in plano A O P descriptum. Jungatur Op, & circelli cen- tro T intervallo T t in superficie curva descripti vestigium in plano A OP sit ellipsis / Q. Et ob datum magnitudine circellum Tt, datamque ejus ab axe CO distantiam TN vel PO, da- bitur ellipsis illa / Q specie & magnitudine, ut & positi- one ad rectam P O. Cum- que area P O p sit tempori proportionalis, atque ideo ex dato tempore detur, dabitur angulus POp, Et inde dabitur ellipseos & rectse Op intersectio communis /, una cum angulo O Pp in quo trajec- toriae vestigium APp secat lineam O P. Inde vero (conferendo 1 6o DE MOTU CORPOR UM prop. XLi cum corol. suo 2) ratio determinandi curvam A Pp facile apparet. Tum ex singulis vestigii punctis P, erigendo ad planum A O P perpendicula P 7" superficiei curvae occurrentia in T, dabuntur singula trajectoriae puncta T. Q. E. /. SECTIO XI. De motu corporum viribus centripetis se mutuo petentium. Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim fieri solent ad corpora; & corporum trahentium & attractorum actiones semper mutuae sunt & aequales, per legem tertiam : adeo ut neque attrahens possit quiescere neque attractum, si duo sint corpora, sed ambo (per legum corollarium quartum) quasi attractione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur : & si plura sint corpora, quae vel ab unico attrahantur, & idem attrahant, vel omnia se mutuo attrahant; haec ita inter se moveri debeant, ut gravitatis centrum commune vel quiescat, vel uniformiter moveatur in directum. Qua de causa jam pergo motum exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam attrac- tiones, quamvis fortasse, si physice loquamur, verius dicantur impulsus. In mathematicis enim jam versamur; & propterea, missis disputationibus physicis, famihari utimur sermone, quo possimus a lectoribus mathematicis faciHus intelHgi. PROPOSITIO LVII. THEOREMA XX. Corpora duo se invicem trahentia describunt, & circum commune centrum gravitatis, & circum se mutuo, figuras similes. Sunt enim distantiae corporum a communi gravitatis centro reciproce proportionales corporibus ; atque ideo in data ratione ad invicem, & componendo in data ratione ad distantiam totam inter corpora. Feruntur autem hae distantiae circum terminum suum LIBER PRIMUS. l6l communem sequali motu angulari, propterea quod in directum semper jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo. Linese autem rectae, quae sunt in data ratione ad invicem, & aequali motu angulari circum terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos in planis, quae una cum his terminis vel quiescunt, vel motu quovis non angulari moventur, describunt omnino similes. Proinde similes sunt figurae, quae his distantiis circumactis describuntur. Q. E. D. PROPOSITIO LVIII. THEOREMA XXI. Si corpora dtio vlribus qicibicsvis se mutiio trahtmt, & interea revolvimttcr ciixa gravitatis centrimi commime: dico qtcod Jiguris^ qicas corpora sic mota describicnt circum se mtittco, potest figtcra similis & ceqicalis, circtcm corpics alterutrum immoticm, viribtcs iisdem describi, Revolvantur corpora S, P circa commune gravitatis centrum C, pergendo de 6* ad T, deque P 2id Q. A dato puncto ^ ipsis S Py T Q aequales & parallelae ducantur semper spy sq ; & curva pqVy quam punctum p revolvendo circum punctum immotum s describit, erit simiHs & aequaHs curvis, quas corpora Sy P describunt circum se mutuo : proindeque (per theor. xx) similis curvis S T & P Q V^ 5-.::: / quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis centrum C: idque quia proportiones Hnearum S C, CP, 8l SP vel sp ad invicem dantur. Cas. I. Commune iHud gravitatis centrum C, per legum corol- larium quartum, vel quiescit, vel movetur uniformiter in directum. Ponamus primo, quod id quiescit, inque s & p locentur corpora L i62 DE MOTU CORPORUM duo, immobile in s, mobile in/, corporibus S & P similia & aequalia. Dein tangant rect^ P R &l pr curvas P Q &, p (/ in P 8^ p, & producantur CQ&s^SidP&r. Et ob similitudinem figurarum CPPQ, sprq erit RQ 2id rq ut CP ad sp, ideoque in data ratione. Proinde si vis, qua corpus P versus corpus S, atque ideo versus centrum intermedium C attrahitur, esset ad vim, qua corpus p versus centrum s attrahitur, in eadem illa ratione data ; hae vires sequalibus temporibus attraherent semper corpora de tangentibus PRypr ad arcus PQ, pq per intervalla ipsis proportionalia RQ, rq, ideoque vis posterior efficeret, ut corpus / gyraretur in curva pqVy quae similis esset curvse P QV/in qua vis prior efficit, ut corpus P gyretur; & revolutiones iisdem temporibus complerentur. At quoniam vires illse non sunt ad invicem in ratione CP ad sp, sed (ob similitudinem & aequalitatem corporum S & s, P & p, & aequalitatem distantiarum SP, sp) sibi mutuo aequales ; corpora aequalibus temporibus aequaliter trahentur de tangentibus: & propterea, ut corpus posterius / trahatur per intervallum majus rq, requiritur tempus majus, idque in subduplicata ratione intervallorum ; propterea quod (per lemma decimum) spatia ipso motus initio descripta sunt in duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis p esse ad velocitatem corporis P in subduplicata ratione distantiae sp ad distantiam C P, eo ut temporibus, quae sint in eadem subduplicata ratione, describantur arcus pq, P Q, qui sunt in ratione integra : Et corpora P, p viribus aequalibus semper attracta describent circum centra quiescentia C & s figuras similes P Q V, pqv, quarum posterior p qv similis est & aequalis figurae, quam corpus P circum corpus mobile S describit. Q. E. D, Cas. 2. Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una cum spatio in quo corpora moventur inter se, progreditur unifor- LIBER PRIMUS. 163 miter In dlrectum ; & (per legum corollarium sextum) motus omnes in hoc spatio peragentur ut prius, ideoque corpora describent clrcum se mutuo figuras easdem ac prius, & propterea ^gwx^pqv similes & aequales. Q. E. D, Co7^ol. I. Hinc corpora duo virlbus distantiae suse proportionalibus se mutuo trahentia, describunt (per prop. x) & circum commune gravltatls centrum, & clrcum se mutuo, elHpses concentricas ; & vice versa, si tales figurae describuntur, sunt vlres distantiae proportionales. Co7^ol. 2. Et corpora duo, viribus quadrato distantiae suae reciproce proportionalibus, descrlbunt (per prop. xi, xii, xiii) & clrcum commune gravitatis centrum, & clrcum se mutuo, sectiones conlcas umblHcum habentes In centro, clrcum quod figurae describuntur. Et vice versa, sl tales figurae descrlbuntur, vires centripetae sunt quadrato distantiae reciproce proportlonales. Co7'ol. 3. Corpora duo quaevis clrcum gravitatis centrum commune gyrantia, radlls & ad centrum illud & ad se mutuo ductls, describunt areas temporlbus proportlonales. PROPOSITIO LIX. THEOREMA XXII. Corporiim duoriim S cS^ P, circa co^nmune gravitatis centrttm C revolventium, tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis alterutrius P, circa alterum immotum S gyrantis, & Jigtcris, qtue corpora circum se 7nutuo describunt, figura^n simile^n & csqualem describentis, i7t subduplicata ratio7ie corporis alterius S, ad summam corporum S + P. Namque, ex demonstratlone superloris propositionls, tempora, quibus arcus quivis slmlles P Q 8l p q describuntur, sunt in subdupH- cata ratione distantiarum C P & SP vel sp, hoc est, in subdupHcata ratlone corporis 6^ ad summam corporum S-\-P, Et componendo, summae temporum quibus arcus omnes similes PQ Sipq descrlbuntur, hoc est, tempora tota, quibus figurae totae similes describuntur, sunt in eadem subdupHcata ratione. Q. E, D, 1 64 ^E MOTU CGRPOR UM PROPOSITIO LX. THEOREMA XXIII. Si corpora duo S & V, viribtcs qtiadrato dista^itice stccs reciproce proportionalibics, se micttco trahentia, revolvicnticr circa gravitatis centricin commtcne : dico qtcod ellipseos, qicam corpics alterictrtim P hoc motic circa alterum S describit, axis principalis erit ad axe77t p7nncipalem ellipseos, qtcam corp2cs idem P circa altertcm qtciescens S eodem tempore periodico describere posset, ut stcmma corporum duorum S + P ad primtcm duorum medie proportionalium inter hanc summam & corpus illicd altericm S. Nam si descriptse elllpses essent sibi invicem aequales, tempora periodica (per theorema superius) forent in subduplicata ratlone corporis 6^ ad summam corporum S-\-P. Minuatur in hac ratlone tempus periodicum in ellipsi posteriore, & tempora perlodlca evadent sequalla ; elllpseos autem axis principalis (per prop. xv) mlnuetur in ratione, cujus hsec est sesquiplicata, id est in ratlone, cujus ratio 6^ ad S^P est trlpllcata; ideoque erit ad axem princlpalem elllpseos alterlus, ut prlmum duorum medie proportionalium inter S-\-P &l S ad S-\-P, Et inverse, axis principaHs ellipseos circa corpus mobile descriptae erit ad axem princlpalem descrlptae clrca immoblle, ut kS+P ad primum duorum medie proportionaHum inter S-\-P & 6^. Q. E, D. PROPOSITIO LXI. THEOREMA XXIV. Si corpora dico viribtcs quibusvis se mutuo trahefitia, 7ieque alias agitata vel impedita, quomodoctcnque moveanttcr ; mottcs eorum perifide se habebunt, ac si non t7'aherent se mutuo, sed utrumque a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem traheretur. Et viriiim t^^ahentium eadem erit lex respectu distantice corpoi^um a centro illo com^nuni atque respecttc distanticB totius inter corpora. J LIBER PRIMUS. 165 Nam vlres Ulae, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium ; ideoque eaedem sunt, ac si a corpore intermedio manarent. Q.E.D. Et quoniam datur ratio distantiae corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiam inter corpora, dabitur ratio cujusvis potestatis distantiae unius ad eandem potestatem distantiae alterius ; ut & ratio quantitatis cujusvis, quae ex una distantia & quantitatibus datis utcunque derivatur, ad quantitatem aliam, quae ex altera distantia, & quantitatibus totidem datis, datamque illam. distantiarum rationem ad priores habentibus simiHter derivatur. Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem ; vel ut quaehbet hujus distantiae potestas ; vel denique ut quantitas quaevis ex hac distantia 8z: quantitatibus datis quomodocunque derivata : erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem vel inverse ut corporis attractl dlstantia a centro illo communi, vel ut eadem distantiae hujus potestas, vel denique ut quantltas ex hac distantia & analogis quantltatibus datls slmlHter derivata. Hoc est vis trahentis eadem erit lex respectu distantlae utriusque. Q.E.D, PROPOSITIO LXII. PROBLEMA XXXVIII. Corportim dtcoriim^ quce viribus qicadrato distantics sucb reciproce proportionalibus se mtciuo traktmt, ac de locis datis demittuntur, determinare 7notus. Corpora (per theorema novlsslmum) perlnde movebuntur, ac si a corpore tertlo In communl gravltatis centro constltuto traherentur ; & centrum Illud ipso motus initlo qulescet per hypothesln ; & propterea (per legum corol. 4) semper quiescet. Determlnandi sunt igitur motus corporum (per prob: xxv) perlnde ac sl a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, & habebuntur motus corporum se mutuo trahentlum. Q. E. /. l66 D^ MOTU CORPORUM PROPOSITIO LXIII. PROBLEMA XXXIX. Corporum ' duorum^ qucs viribus quadrato distautice suce reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, deque locis datis, secundum datas rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determi^iare motus, Ex datis corporum motlbus sub inltlo, datur unlformls motus centri communis gravitatis, ut & motus spatll, quod una cum hoc centro movetur unlformlter in dlrectum, nec non corporum mo- tus inltiales respectu hujus spatli. Motus autem subsequentes (per legum corollarium qulntum, & theorema novlsslmum) perlnde fiunt In hoc spatlo, ac si spatlum Ipsum una cum communi illo gravitatis centro qulesceret, & corpora non traherent se mutuo, sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur. Corporis igltur alterutrius in hoc spatio mobill, de loco dato, secundum datam rectam, data cum velocltate exeuntls, & vi centrlpeta ad centrum illud tendente correpti, determlnandus est motus per problema nonum & vicesimum sextum: & habebltur simul motus corporls alterius circum idem centrum. Cum hoc motu componendus est uniformls ille systematis spatii & corporum In eo gyrantium motus progresslvus supra inventus, & habebitur motus absolutus corporum in spatio Immoblli. Q.E.I. PROPOSiriO LXIV. PROBLEMA XL. Viribus quibus corpo^^a se muttco tra/iunt crescentibus in simplici ratione distantiarum a centris: requiruntur motus plurijim cor- porum hiter se. Ponantur prlmo corpora duo T 8i L commune habentla gravitatis centrum D. Descrlbent ha^c (per corollarlum prlmum theore- matis xxi) ellipses centra habentes in D, quarum magnitudo ex problemate v innotesclt. Trahat jam corpus tertium 6^ prlora duo T &l L vlribus accelera- tricibus kS' 7", ^'Z, & ab ipsis vicissim trahatur. Vis 6^ T (per legum )T LIBER PRIMUS. 157 corol. 2) resolvltur In vlres SD, DT; & vls SL In vlres SD, DL. Vlres autem D T, D L, quae sunt ut Ipsarum summa T L, atque ideo ut vlres acceleratrlces qulbus corpora T 81 L se mutuo trahunt, addltae hls vlrlbus corporum T & L, prlor prlori & posterlor poste- rlorl, componunt vlres dis- tantlls D T 2ic DL propor- | tlonales, ut prlus, sed vlribus s A ^r \^ prlorlbus majores ; ideoque j \g \ (per corol. i prop. x, & j \ \ corol. I & 8 prop. iv) effi- | \ \ ciunt ut corpora illa descri- j \ \ bant elllpses ut prlus, sed \^ motu celeriore. Vlres reliquae ^^ acceleratrices S D 8c SD, actionlbus motricibus SDx T Sc SDxL, quae sunt ut corpora, trahendo corpora illa aequaliter & secundum lineas TL, L K, ipsi D S parallelas, nil mutant situs eorum ad invi- cem, sed faciunt ut ipsa aequaHter accedant ad llneam L K ; quam ductam conclpe per medium corporis S, & linese D S perpendlcu- larem. Impedletur autem iste ad lineam L K accessus faciendo ut systema corporum T 8>c L q:x una parte, & corpus 6^ ex altera, justls cum velocitatibus, gyrentur circa commune gravltatls centrum C. TaH motu corpus S, eo quod summa vlrium motricium SDxT & SDxLj dlstantlae C 6" proportlonaHum, tendit versus centrum C, describit enipsln circa idem C; & punctum D, ob proportionales CS, CD, descrlbet elHpsin consimilem e reglone. Corpora autem T8c L, viribus motricibus SDx T & SDxL, prius priore, posterius posteriore, aequaHter & secundum Hneas paraHelas TL & L K, ut dlctum est, attracta, pergent (per legum coroHarium quinturti & sextum) circa centrum mobile D elHpses suas describere, ut prius. Q.B.L Addatur jam corpus quartum F, & simlH argumento concludetur hoc & punctum C eHIpses clrca omnlum commune centrum gra- vltatis B descrlbere ; manentibus motlbus priorum corporum Z) L & S circa centra D 8l C, sed acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere Hcebit. Q. E. L. Haec ita se habent, etsi corpora T 8l L trahunt se mutuo vlribus acceleratricibus majoribus vel mlnoribus quam quibus trahunt corpora DE MOTU CORPORUM reliqua pro ratione distantiarum. Sunto mutuae omnium attractio- nes acceleratrices ad invicem ut distantiae ductae in corpora trahentia, & ex praecedentibus facile deducetur quod corpora omnia aequalibus temporibus periodicis ellipses varias, circa omnium commune gravitatis^^ centrum B, in plano immobili describunt. Q. E, I. PROPOSITIO LXV. THEOREMA XXV. Corpora phcra, quoriim vires decrescunt in dtiplicata ratione distan- tiarum ab eorundem centris, moveri posse inter se in ellipsib^cs ; & radiis ad umbilicos ductis areas describere temporibus proportionales quam proxime, In propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plures peraguntur in ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex virium a lege ibi posita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus ; neque fieri potest, ut corpora, secundum legem hic positam se mutuo trahentia, moveantur in elHpsibus accurate, nisi servando certam proportionem distantiarum ab invicem. In sequentibus autem casibus non multum ab elhpsibus errabitur. Cas. I. Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo distantias revolvi, tendantque ad singula vires absolutae proportionales iisdem corporibus. Et quoniam omnium commune gravitatis centrum (per legum corol. quartum) vel quiescit vel movetur uniformiter in directum, fingamus corpora minora tam parva esse, ut corpus maximum nunquam distet sensibihter ab hoc centro : & maximum illud vel quiescet, vel movebitur uniformiter in direc- tum, sine errore sensibili ; minora autem revolventur circa hoc maximum in ellipsibus, atque radiis ad idem ductis describent areas temporibus proportionales ; nisi quatenus errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gravitatis centro, vel per ac- tiones minorum corporum in se mutuo. Diminui autem possunt corpora minora, usque donec error iste, & actiones mutuae sint datis quibusvis minores ; atque ideo donec orbes cum elHpsibus quadrent, & areae respondeant temporibus, sine errore, qui non sit minor quovis dato. Q.E.O. LIBER PRIMUS. 169 Cas. 2. Flngamus jam systema corporum minorum modo jam descrlpto clrca maximum revolventium, alludve quodvls duorum cir- cum se mutuo revolventlum corporum systema progredl unlformlter in dlrectum, & interea vl corporls alterlus longe maxlmi & ad magnam distantlam sitl urgeri ad latus. Et quoniam sequales vlres acceleratrlces, qulbus corpora secundum llneas parallelas urgentur, non mutant sltus corporum ad Invicem, sed ut systema totum, servatis partlum motibus inter se, slmul transferatur, efficlunt : manlfestum est, quod ex attractlonlbus in corpus maxlmum nulla prorsus orletur mutatio motus attractorum inter se, nisi vel ex attrac- tlonum acceleratricum inaequalitate, vel ex incllnatione linearum ad invlcem, secundum quas attractlones fiunt. Pone ergo attractlones omnes acceleratrices in corpus maxlmum esse inter se reciproce ut quadrata distantiarum ; & augendo corporis maximi dlstantiam, donec rectarum ab hoc ad rellqua ductarum dlfferentlae respectu earum longltudlnls & incllnationes ad invicem mlnores slnt, quam datai qusevls ; perseverabunt motus partlum systematls inter se sine errorlbus, qul non sint qulbusvis datls minores. Et quoniam, ob exiguam partlum illarum ab invlcem dlstantiam, systema totum ad modum corporis unlus attrahltur ; movebltur idem hac attractione ad modum corporls unius ; hoc est, centro suo gravltatis descrlbet circa corpus maxlmum sectlonem aHquam conlcam (viz. hyperbolam vel parabolam attractione langulda, enipsln fortiore) & radio ad maxlmum ducto descrlbet areas temporlbus proportlonales, slne ulHs erroribus, nlsl quas partium dlstantlse, perexiguae sane & pro lubltu minuendae, valeant efficere. Q. E. O. SimlH argumento pergere Hcet ad casus magls composltos in infinltum. Corol. I. In casu secundo, quo propius accedit corpus omnium maximum ad systema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur motus partlum systematls inter se ; propterea quod Hnearum a cor- pore maxlmo ad has ductarum jam major est incHnatio ad invicem, majorque proportlonis InaequaHtas. Corol. 2. Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractiones acceleratrices partium systematis versus corpus omnium maxlmum non slnt ad invicem reclproce ut quadrata distantlarum a corpore IHo maxlmo ; praesertlm si proportionis hujus InzequaHtas major slt 170 DE MOTU CORPORUM quam inaequalltas proportionis distantiarum a corpore maximo. Nam si vis acceleratrix, aequaliter & secundum lineas parallelas agendo, nil perturbat motus inter se, necesse est, ut ex actionis inaequalitate perturbatio oriatur, majorque sit, vel minor pro majore, vel minore insequalitate. Excessus impulsuum majorum, agendo in aliqua cor- pora & non agendo in alia, necessario mutabunt situm eorum inter se. Et haec perturbatio addita perturbationi, quee ex linearum inclinatione & inaequalitate oritur, majorem reddet perturbationem totam. Corol. 3. Unde si systematis hujus partes in ellipsibus, vel circulis sine perturbatione insigni moveantur; manifestum est, quod eaedem a viribus acceleratricibus, ad aha corpora tendentibus, aut non urgentur nisi levissime, aut urgentur aequaHter & secundum Hneas paraHelas quamproxime. PROPOSITIO LXVI. THEOREMA XXVI. Si corpora hda, qtiorum vires decresmnt in dnplicata ratio7te dis- tantiarum, se mutuo traha?it ; & attractiones acceleratrices binorum quorumcunque i^i tertitim sint inter se reciproce 7it quadrata dis- tantiarum ; minora autem circa maxi^num revolvantur : dico quod interius circa intimu7n & maximum, radiis ad ipsu77t ductis, describet areas te^nporibzis magis proportio7tales, & figtcram ad formam ellipseos tmibilicicm i7i C07ic7crsu radioriwt habe7itis magis accedentem, si corptcs mxximum his att7-actio7iibtcs agitetur, quam si maximum illtcd vel a mi^toribus non att7^actu77i qtciescat, vel 7nulto mi7itcs vel mtclto magis attractzcm, aut multo fuinus aut 7nulto magis agitettcr. Llquet fere ex demonstratlone coronarii secundi propositionls praecedentis ; sed argumento magis distincto & latius cogente sic evincitur. Cas. I. Revolvantur corpora minora P &l S m eodem plano circa maximum T, quorum P describat orbem interiorem P A B, 81 S ^x- LIBER PRmUS. 171 terlorem E S E. Slt S K medlocrls distantia corporum P & S; 8c corporls P versus 6" attractio acceleratrix, in mediocrl illa distantia, exponatur per eandem. In dupllcata ratione SK ad SP caplatur SL ad SK, & erlt S L attractlo acceleratrlx corporis P versus 6^ in dlstantla quavls S P. Junge P T, elque parallelam age L M occur- rentem 6^ 7"in M ; & attractio S L resolvetur (per legum corol. 2) in attractiones S M, L M. Et sic urgebltur corpus P vi acceleratrice triplicl. Vis una tendit ad T, & orltur a mutua attractlone corporum T 81 P. Hac vi sola corpus P circum corpus T, sive immotum, sive hac attractione agltatum,. describere deberet & areas, radlo P T, temporlbus proportlonales, & ellipsin cui umbillcus est in centro corporis T. Patet hoc per prop. xi, & corollaria 2 & 3 theor. xxi. Vis altera est attractlonis L M, quae quonlam tendit a P ad 7", S( ►==-::::::"::: - -- superaddita vi priori coincidet cum ipsa, & sic faciet ut areae etiamnum temporibus proportionales descrlbantur per corol. 3 theor. xxi. At quoniam non est quadrato distantise P T reciproce proportionaHs, componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem, idque eo magis, quo major est proportio hujus vls ad vim priorem, cseteris paribus. Proinde cum (per prop. xi, & per corol. 2 theor. xxi) vis, qua elHpsIs circa umblHcum T descrlbitur, tendere debeat ad umblHcum iHum, & esse quadrato dlstantlse P T reciproce proportionaHs ; vis iHa composita, aberrando ab hac proportlone, faciet ut orbis PAB aberret a forma eHIpseos umblHcum habentls in T ; idque eo magis, quo major est aberratio ab hac proportlone ; atque ideo etiam quo major est proportio vis secundae Z J/ ad vlm prlmam, cseterls paribus. Jam vero vis tertia S M, trahendo corpus P secundum Hneam Ipsi 6^ T paraHelam, componet cum viribus prioribus vim, qu2e non ampHus dirigitur a P in T ; quaeque 172 DE MOTU CORPORUM ab hac determinatione tanto magis aberrat, quanto major est proportio hujus tertiae vis ad vires priores, caeteris paribus : atque ideo quae. faciet ut corpus P, radio TP^ areas non amplius temporibus proportionales describat ; atque ut aberratio ab hac proportionaHtate tanto major sit, quanto major est proportio vis hujus tertise ad vires caeteras. Orbis vero P A B aberrationem a forma elliptica praefata haec vis tertia duplici de causa adaugebit, tum quod non dirigatur a P ad T, tum etiam quod non sit reciproce proportionalis quadrato distantiae P T Quibus intellectis, manifestum est, quod areae temporibus tum maxime fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus caeteris, fit minima ; & quod orbis P A B tum maxime accedit ad praefatam formam elHpticam, ubi vis tam secunda quam tertia, sed praecipue vis tertia fit minima, vi prima manente. St^ Exponatur corporis T attractio acceleratrix versus S per Hneam SN ; & si attractiones acceleratrices S M, S N aequales essent; hae, trahendo corpora T 8i P aequaHter & secundum Hneas paraHelas, nil mutarent situm eorum ad invicem. lidem jam forent corporum iHorum motus inter se (per legum corol. vi) ac si hae attractiones toHerentur. Et pari ratione si attractio SN minor esset attractione S M, toHeret ipsa attractionis S M partem SN, 8i maneret pars sola MNy qua temporum & arearum proportionaHtas & orbitae forma iHa eHiptica perturbaretur. Et simiHter si attractio S N major esset attractione S M, oriretur ex differentia sola M N perturbatio propor- tionaHtatis & orbitae. Sic per attractionem S N reducitur semper attractio tertia superior SM ad attractionem M Ny attractione prima & secunda manentibus prorsus immutatis : & propterea areae ac tempora ad proportionaHtatem, & orbita P A B 3id formam prae- LIBER PRIMUS. I 73 fatam elllptlcam tum maxime accedunt, ubi attractio M N vel nulla est, vel quam fieri possit minima ; hoc est, ubi corporum P 81 T attractlones acceleratrlces, factae versus corpus S, accedunt quan- tum fieri potest ad aequalitatem ; id est, ubi attractlo S N non est nulla, neque minor minima attractlonum omnium S My sed inter attractionum omnium S M maximam & minimam quasi mediocris, hoc est, non multo major neque multo minor attractlone S K. Q.E.D. Cas. 2. Revolvantur jam corpora minora P, .S clrca maximum T in planis diversis ; & vls L M^ agendo secundum Hneam P T m plano orbitae P A B sitam, eundem habebit effectum ac prlus, neque corpus P de plano orbitae suae deturbablt. At vis altera N M^ agendo secundum Hneam quae ipsi kS T parallela est (atque ideo, quando corpus S versatur extra Hneam nodorum, incHnatur ad planum orbitae P A B) praeter perturbationem motus in longitudinem jam ante expositam, inducet perturbationem motus in latitudinem, trahendo corpus P de plano suae orbitae. Et haec perturbatio, in dato quovis corporum P & 7" ad invicem situ, erit ut vis IHa generans M N, ideoque minima evadet ubi M N est minlma, hoc est (uti jam exposui) ubi attractlo S N non est multo major, neque multo minor attractione S K. Q. E. D. Corol. I. Ex his faclle coHigitur, quod, si corpora plura minora P, S, R, &c. revolvantur clrca maximum T, motus corporis intimi P minlme perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maxi- mum T pariter a caeteris, pro ratione virium acceleratricum, attra- hitur & agitatur, atque caetera a se mutuo. Corol. 2. In systemate vero trium corporum T, P, S, si attrac- tiones acceleratrices binorum quorumcunque in tertium sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum ; corpus P, radio P T, aream circa corpus T velocius describet prope conjunctionem A & opposi- tlonem B, quam prope quadraturas C, D. Namque vis omnis qua corpus P urgetur & corpus T non urgetur, quaeque non agit secundum Hneam P T accelerat vel retardat descriptionem areae, perinde ut ipsa in consequentia vel in antecedentia dirigitur. TaHs est vis N M. Haec in transitu corporis P a C ad y^ tendit in consequentia, motumque accelerat ; dein usque ad D in antecedentia, & motum retardat; tum in consequentia usque ad B, 8c ultimo in antecedentla transeundo a ^ ad C - 174 DE MOTU CORPORUM Corol. 3. Et eodem argumento patet quod corpus P, caeteris parlbus, velocius movetur in conjunctione & oppositione quam in quadraturis. CoroL 4. Orbita corporis P, caeteris paribus, curvior est in qua- draturis quam in conjunctione & oppositione. Nam corpora velociora minus deflectunt a recto tramite. Et praeterea vis K L, vel N M, in conjunctione & oppositione contraria est vi, qua corpus T trahit corpus P ; ideoque vim illam minuit ; corpus autem P minus deflectet a recto tramite, ubi minus urgetur in corpus T, Corol. 5. Unde corpus P, caeteris paribus, longius recedet a corpore T in quadraturis, quam in conjunctione & oppositione. Haec ita se habent exckiso motu excentricitatis. Nam si orbita corporis P excentrica sit, excentricitas ejus (ut mox in hujus corol. 9 ostendetur) evadet maxima ubi apsides sunt in syzygiis ; indeque fieri potest ut corpus P, ad apsidem summam appellans, absit longius a corpore T in syzygiis quam in quadraturis. ■"k Corol. 6. Quoniam vis centripeta corporis centralis 7) qua corpus P retinetur in orbe suo, augetur in quadraturis per additionem vis L M, ac diminuitur in syzygiis per ablationem vis K L, 81 oh magnitudinem vis K L, magis diminuitur quam augetur; est autem vis illa centripeta (per corol. 2 prop. iv) in ratione composita ex ratione simphci radii TP directe & ratione dupHcata temporis periodici inverse : patet hanc rationem compositam diminui per actionem vis IC L ; ideoque tempus periodicum, si maneat orbis radius TP, augeri, idque in subdupHcata ratione, qua vis illa centripeta diminuitur : auctoque ideo vel diminuto hoc radio, tempus perio- dicum augeri magis, vel dlminui minus quam in radii hujus ratione LIBER PRIMUS. 17^ sesquiplicata (per corol. 6 prop. iv). Si vis illa corporis centralis paulatim languesceret, corpus P minus semper & minus attractum perpetuo recederet longius a centro T ; 8l contra, si vis illa augere- tur, accederet propius. Ergo si actio corporis longinqui S, qua vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices : augebitur simul ac diminuetur radius TP per vices ; & tempus periodicum auge- bitur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata radii, & ratione subduplicata, qua vis illa centripeta corporis centralis T, per incrementum vel decrementum actionis corporis longinqui S^ diminuitur vel augetur. Co7^oL 7. Ex prsemissis consequitur etiam, quod ellipseos a corpore P descriptae axis, seu apsidum linea, quoad motum angularem, progreditur & regreditur per vices, sed magis tamen progreditur, & per excessum progressionis fertur in consequentia. Nam vis qua corpus P urgetur in corpus T in quadraturis, ubi vis MN evanuit, componitur ex vi Z J/ & vi centripeta, qua corpus T trahit corpus P. Vis prior L M, si augeatur distantia P T, augetur in eadem fere ratione cum hac distantia, & vis posterior decrescit in duplicata illa ratione, ideoque summa harum virium decrescit in minore quam dupHcata ratione distantise P T, 81 propterea (per corol. i prop. xlv) efiicit ut aux, seu apsis summa, regrediatur. In conjunctione vero & oppositione vis, qua corpus P urgetur in corpus T, differentia est inter vim, qua corpus T trahit corpus P, & vim K L ; 81 differen- tia illa, propterea quod vis K L augetur quamproxime in ratione distantiae P T, decrescit in majore quam dupHcata ratione distantiae P T% ideoque (per corol. i prop. xlv) efficit ut aux progrediatur. In locis inter syzygias & quadraturas pendet motus augis ex causa utraque conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius excessu progre- diatur ipsa vel regrediatur. Unde cum vis K L m syzygiis sit quasi duplo major quam vis L M m quadraturis, excessus erit penes vim K L, transferetque augem in consequentia. Veritas autem hujus & praecedentis coroHarii faciHus intelHgetur concipiendo systema cor- porum duorum 7", P corporibus pluribus 6^, S, S, &c. in orbe E S E consistentibus, undique cingi. Namque horum actionibus actio ipsius T minuetur undique, decrescetque in ratione plusquam dupHcata distantiae. 176 DE MOTU CORPORUM Corol. 8. Cum autem pendeat apsidum progressus vel regressus a decremento vls centripetse facto in majori vel minori quam du- plicata ratione distantiae TP, in transitu corporis ab apside ima ad apsidem summam ; ut & a simili incremento in reditu ad apsid- em imam ; atque ideo maxirnus sit ubi proportio vis in apside summa ad vim in apside ima maxime recedit a duplicata ratione distantiarum inversa : manifestum est quod apsides in syzygiis suis, per vim ablatitiam KL seu N M^L M, progredientur velocius, inque quadraturis suis tardius recedent per vim addititiam L M, Ob diuturnitatem vero temporis, quo velocitas progressus vel tarditas regressus continuatur, fit hsec insequalitas longe maxima. CoroL 9. Si corpus aliquod, vi reciproce proportionali quadrato distantiae suae a centro, revolveretur circa hoc centrum in ellipsi ; & mox, in descensu ab apside summa seu auge ad apsidem imam, vis illa per accessum perpetuum vis novse augeretur in ratione plus- r g^.::::::::::::-;: A .^... L i^ quam duplicata distantiae diminutae : manifestum est quod corpus, perpetuo accessu vis illius novae impulsum semper in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi sola crescente in dupHcata ratione distantiae diminutae ; ideoque orbem describeret orbe elliptico interiorem, & in apside ima propius accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, accessu hujus vis novae, fiet magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab apside ima ad apsidem summam, decresceret iisdem gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad distantiam priorem, ideoque si vis decrescat in majori ratione, corpus jam minus attractum ascendet ad distantiam majorem & sic orbis excentricitas adhuc magis augebitur. Quare si ratio incrementi & decrementi vis centripetae singulis revol- utionibus augeatur, augebitur semper excentricitas ; & contra, LIBER FRIMUS. I 7 7 dimlnuetur eadem, si ratlo illa decrescat. Jam vero in systemate corporum T, P, Sy ubl apsldes orbls P A B sunt in quadraturls, ratlo illa incrementi ac decrementi mlnlma est, & maxima fit ubi apsides sunt In syzyglls. Si apsldes constltuantur in quadraturls, ratio prope apsides mlnor est & prope syzyglas major quam duplicata dlstantlarum, & ex ratlone Illa majori oritur augis motus dlrectus, uti jam dlctum est. At si consideretur ratio incrementi vel decrementi totius in progressu Inter apsides, haec mlnor est quam dupllcata dlstantiarum. VIs In apside ima est ad vim In apslde summa In mlnore quam dupllcata ratlone dlstantlae apsidls summse ab umbillco elllpseos ad dlstantlam apsidis imae ab eodem umblllco : & contra, ubi apsides constituuntur in syzyglis, vls in apside ima est ad vlm in apside summa in majore quam duplicata ratlone dlstantlarum. Nam vires L M m quadraturls addltae vlrlbus corporls T componunt vires in ratlone minore, & vires K L m syzyglls subductae a vlrlbus corporls T relinquunt vlres in ratione majore. Est igitur ratlo decrementi & incrementi totlus, in transltu inter apsides, mlnima in quadraturis, maxima in syzygiis : & propterea in transitu apsldum a quadraturls ad syzygias perpetuo augetur, augetque excentricltatem ellipseos ; inque transitu a syzygiis ad quadraturas perpetuo diminu- itur, & excentricitatem dlminuit. Corol. 10. Ut ratlonem ineamus errorum in latitudlnem, fingamus planum orbls E S T immobile manere ; & ex errorum exposlta causa manifestum est, quod ex virlbus N M, M L, quae sunt causa illa tota, vis M L agendo semper secundum planum orbis P A B, nunquam perturbat motus in latltudlnem ; quodque vis N M, ubi nodi sunt in syzygiis, agendo etlam secundum idem orbis planum, non perturbat hos motus ; ubi vero sunt in quadraturls, eos maxlme perturbat, corpusque P de plano orbis sui perpetuo trahendo, minuit inclinatlo- nem plani in transltu corporis a quadraturis ad syzygias, augetque vlcissim eandem in transitu a syzygiis ad quadraturas. Unde fit ut corpore in syzyglls exlstente inclinatio evadat omnium minlma, redeatque ad priorem magnitudlnem circlter, ubi corpus ad nodum proximum accedit. At si nodi constituantur in octantlbus post quadraturas, id est, inter C & A, D 81 B, intelligetur ex modo exposltis, quod, in transltu corporis P a nodo alterutro ad gradum inde nonagesimum, inclinatio plani perpetuo minuitur; deinde in M 178 DE MOTU CORPOR UM transitu per proximos 45 gradus, usque ad quadraturam proximam, inclinatio augetur, & postea denuo in transitu per alios 45 gradus, usque ad nodum proximum, diminuitur. Magis itaque diminuitur inclinatio quam augetur, & propterea minor est semper in nodo subsequente quam inpraecedente. Et simili ratiocinio, inclinatio magis augetur, quam diminuitur, ubi nodi sunt in octantibus alteris inter A &l D, B & C. Inclinatio igitur ubi nodi sunt in syzygiis est omnium maxima. In transitu eorum a syzygiis ad quadraturas, in singulis corporis ad nodos appulsibus, diminuitur; fitque omnium minima, ubi nodi sunt in quadraturis, & corpus in syzygiis : dein crescit iisdem gradibus, quibus antea decreverat ; nodisque ad syzygias 1 proximas appulsis, ad magnitudinem primam revertitur. ^^H CoroL II. Quoniam corpus P, ubi nodi sunt in quadraturis, perpetuo trahitur de plano orbis sui, idque in partem versus vS in transitu suo a nodo C per conjunctionem A ad nodum D ; & in r g^- M contrariam partem in transitu a nodo D per oppositionem B ad nodum C : manifestum est, quod in motu suo a nodo C corpus per- petuo recedit ab orbis sui plano primo CDy usque dum perventum est ad nodum proximum; ideoque in hoc nodo, longissime distans a plano illo primo CD, transit per planum orbis EST non in plani ilHus nodo altero D, sed in puncto quod inde vergit ad partes corporis S, quodque proinde novus est nodi locus in anteriora vergens. Et simili argumento pergent nodi recedere in transitu corporis de hoc nodo in nodum proximum. Nodi igitur in quadraturis constituti perpetuo recedunt ; in syzygiis, ubi motus in latitudinem nil pertur- batur, quiescunt; in locis intermediis, conditionis utriusque parti- LIBER PRIMUS. I ^g clpes, recedunt tardius : ideoque, semper vel retrogradi, vel statio- narii singulis revolutionibus feruntur in antecedentia. Corol. 1 2. Omnes illi in his corollariis descripti errores sunt paulo majores in conjunctione corporum P, S, quam in eorum oppositione ; idque ob majores vires generantes N M 8i M L, CoroL 13. Cumque rationes horum corollariorum non pendeant a magnitudine corporis S, obtinent praecedentia omnia, ubi corporis S tanta statuitur magnitudo, ut circa ipsum revolvatur corporum duorum T 81 P systema. Et ex aucto corpore S, auctaque ideo ipsius vi centripeta, a qua errores corporis P oriuntur, evadent errores illi omnes, paribus distantiis, majores in hoc casu quam in altero, ubi corpus 6" circum systema corporum P &, T revolvitur. CoroL 14. Cum autem vires N M^ M L, ubi corpus 6^ longinquum est, sint quamproxime ut vis S K 8>l ratio P T ^d S T conjunctim, hoc est, si detur tum distantia P T, tum corporis kS vis absoluta, ut 5 T cub. reciproce; sint autem vires illse N M, M L causae errorum 6 effectuum omnium, de quibus actum est in praecedentibus corol- lariis : manifestum est, quod effectus illi omnes, stante corporum T 81 P systemate, & mutatis tantum distantia S T 81 v\ absoluta corporis S, sint quamproxime in ratione composita ex ratione directa vis absolutae corporis Sy & ratione triplicata inversa distantiae 6^ Z! Unde si systema corporum T 8c P revolvatur circa corpus longin- quum S; vires illae NM, M L, & earum effectus erunt (per corol. 2 & 6, prop. iv) reciproce in duplicata ratione temporis periodici. Et inde etiam, si magnitudo corporis ^9 proportionaHs sit ipsius vi absolutae, erunt vires illae NM, ML, & earum effectus directe ut cubus diametri apparentis longinqui corporis 6" e corpore T spectati, & vice versa. Namque hae rationes eaedem sunt, atque ratio superior composita. CoroL 15. Et quoniam si, manentibus orbium ESE 8l P A B forma proportionibus & incHnatione ad invicem, mutetur eorum magnitudo & si corporum S 8l T vel maneant vel mutentur vires in data quavis ratione, hae vires (hoc est, vis corporis T, qua corpus P de recto tramite in orbitam P A B deflectere, & vis corporis S, qua corpus idem P de orbita illa deviare cogitur) agunt semper eodem modo, & eadem proportione : necesse est ut similes & pro- portionales sint effectus omnes, & proportionalia effectuum tempora ; l8o ^^ MOTU CORPORUM hoc est, ut errores omnes lineares sint ut orbium diametri, angulares vero iidem, qui prius, & errorum linearium similium vel angularium sequalium tempora ut orbium tempora periodica. Corol. i6. Unde, si dentur orbium formae & inclinatio ad invicem, & mutentur utcunque corporum magnitudines, vires & distantiae ; ex datis erroribus & errorum temporibus in uno casu, colligi possunt errores & errorum tempora in alio quovis, quam proxime : sed brevius hac methodo. Vires N M, M L, caeteris stantibus, sunt ut radius TP, & harum effectus periodici (per corol. 2 lem. x) ut vires, & quadratum temporis periodici corporis P conjunctim. Hi sunt errores Hneares corporis P, & hinc errores angulares e centro T spectati (id est, tam motus augis & nodorum, quam omnes in longitudinem & latitudinem errores apparentes) sunt, in quahbet revolutione corporis P, ut quadratum temporis revolutionis quam proxime. Conjungantur hse rationes cum rationibus corollarii 14, J & in quolibet corporum T, P, S systemate, ubi P circum T sibi propinquum, & T circum 6" longinquum revolvitur, errores angu- lares corporis P, de centro T apparentes, erunt, in singuHs revolu- tionibus corporis ilHus P, ut quadratum temporis periodici corporis P directe & quadratum temporis periodici corporis T inverse. Et inde motus medius augis erit in data ratione ad motum medium nodorum ; & motus uterque erit ut tempus periodicum corporis P directe & quadratum temporis periodici corporis T inverse. Au- gendo vel minuendo excentricitatem & incHnationem orbis PAB non mutantur motus augis & nodorum sensibiHter, nisi ubi eaedem sunt nimis magnae. LIBER PRIMVS. l8i Corol: 1 7. Cum autem linea LM nunc major sit nunc mlnor quam radlus P T, exponatur vls mediocrls L M per radlum illum P T ; & erit hsec ad vim mediocrem S K vel S N (quam exponere licet per S T) Mt longltudo P 7" ad longltudlnem ^9 T. Est autem vis mediocris ^'iV vel 6^ Z", qua corpus T^retlnetur in orbe suo circum S, ad vim, qua corpus P retinetur in orbe suo circum T, in ratlone composlta ex ratlone radli S T 2A radlum P T, 81 ratione dupllcata temporis perlodici corporls P clrcum T^ad tempus periodicum corporis T circum 6^. Et ex sequo, vis medlocrls L M 3.6. vim, qua corpus P retinetur in orbe suo circum T (quave corpus idem P, eodem tempore perlodlco, clrcum punctum quodvls immoblle T ad dlstantiam P 7"revolvi posset) est in ratione illa duplicata periodlcorum tem- porum. Datis igitur temporlbus periodicis una cum distantia P T, datur vis mediocris L M ; & ea data, datur etiam vis M N quamproxime per analogiam linearum P T, MN, Corol. 18. lisdem leglbus, quibus corpus P circum corpus T revolvitur, fingamus corpora plura flulda circum idem 7"ad sequales ab ipso distantias moveri ; deinde ex his contiguis factis conflari annulum fluidum, rotundum ac corpori T concentricum ; & singu- Ise annuH partes, motus suos omnes ad legem corporis P peragendo, propius accedent ad corpus T, & celerius movebuntur in conjunc- tione & opposltione ipsarum & corporis S, quam in quadraturis. Et nodi annuH hujus, seu intersectiones ejus cum plano orbitse corporis .S vel Z", quiescent in syzygiis ; extra syzygias vero move- buntur in antecedentia, & veloclssime quidem in quadraturis, tardius allis in locls. Annuli quoque inclinatlo variabitur, & axls ejus slngulis revolutionibus oscillabitur, completaque revolutione ad pristlnum situm redibit, nisi quatenus per praecessionem nodorum circumfertur. Corol. 19. Flngas jam globum corporis T, ex materia non fluida constantem, ampliari & extendi usque ad hunc annulum, & alveo per circultum excavato contlnere aquam, motuque eodem peri- odlco clrca axem suum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices acceleratus & retardatus (ut in superiore corollario) in syzygiis veloclor erlt, in quadraturis tardior quam superficies globi, & sic fluet in alveo refluetque ad modum marls. Aqua, revolvendo circa globi centrum quiescens, si tollatur attractio corporis S^ nullum acquiret l82 DE MOTU CORPORUM motum fluxus & refluxus. Par est ratlo globi uniformiter progre- dlentis in dlrectum, & Interea revolventls clrca centrum suum (per legum corol. v) ut & globl de cursu rectllineo unlformlter tracti (per legum corol. vi). Accedat autem corpus S, & ab Ipslus Insequa- bili attractlone mox turbabitur aqua. Etenlm major erlt attractlo aquae propioris, mlnor ea remotloris. Vis autem L M trahet aquam deorsum in quadraturis, facletque ipsam descendere usque ad syzy- gias; & vls KL trahet eandem sursum in syzygils, slstetque descensum ejus, & faclet ipsam ascendere usque ad quadraturas : nlsl quatenus motus fluendi & refluendi ab alveo aquse dlrigatur, & per frlctlonem aliquatenus retardetur. Corol. 20. Si annulus jam rigeat, & minuatur globus, cessabit motus fluendi & refluendi ; sed osclllatorius ille incHnationls motus & prsecessio nodorum manebunt. Habeat globus eundem axem cum annulo, gyrosque compleat ilsdem temporibus, & superficie sua con- tingat ipsum Interius, eique inhsereat ; & particlpando motum ejus, compages utriusque osclllabitur, & nodi regredientur. Nam globus, ut mox dlcetur, ad susclpiendas impresslones omnes indifferens est. Annuli globo orbati maxlmus incllnatlonis angulus est, ubl nodl sunt in syzyglls. Inde In progressu nodorum ad quadraturas conatur is incHnatlonem suam mlnuere, & isto conatu motum imprimit globo toti. Retinet globus motum impressum, usque dum annulus conatu contrario motum hunc tollat, imprlmatque motum novum in con- trarlam partem : Atque hac ratione maximus decrescentls incllna- tionis motus fit in quadraturis nodorum, & mlnimus incllnationls angulus In octantlbus post quadraturas ; dein maximus recHnatlonls motus In syzyglls, & maximus angulus in octantlbus proximis. Et LIBER PRIMUS. 183 eadem est ratio globi annulo nudati, qui in regionibus sequatoris vel altior est paulo quam juxta polos, vel constat ex materia paulo densiore. Supplet enim vicem annuli iste materiae in aequatoris regionibus excessus. Et quanquam, aucta utcunque globi hujus vi centripeta, tendere supponantur omnes ejus partes deorsum, ad modum gravitantium partium telluris, tamen phaenomena hujus & praecedentis corollarii vix inde mutabuntur; nisi quod loca maxi- marum & minimarum altitudinum aquae diversa erunt. Aqua enim jam in orbe suo sustinetur & permanet, non per vim suam centrifu- gam, sed per alveum in quo fluit Et praeterea vis L M trahit aquam deorsum maxime in quadraturis, & vis KL seu N M—L M trahit eandem sursum maxime in syzygiis. Et hae vires conjunctae desinunt trahere aquam deorsum & incipiunt trahere aquam sursum in octantibus ante syzygias, ac desinunt trahere aquam sursum incipi- untque trahere aquam deorsum in octantibus post syzygias. Et inde maxima aquae altitudo evenire potest in octantibus post syzygias, & minima in octantibus post quadraturas circiter ; nisi quatenus motus ascendendi vel descendendi ab his viribus impressus vel per vim insitam aquae paulo diutius perseveret, vel per impedimenta alvei paulo citius sistatur. Corol. 21. Eadem ratione, qua materia globi juxta aequatorem redundans efficit ut nodi regrediantur, atque ideo per hujus incre- mentum augetur iste regressus, per diminutionem vero diminuitur, & per ablationem tolHtur; si materia plusquam redundans tollatur, hoc est, si globus juxta aequatorem vel depressior reddatur, vel rarior quam juxta polos, orietur motus nodorum in consequentia. Corol. 22. Et inde vicissim, ex motu nodorum innotescit consti- tutio globi. Nimirum si globus polos eosdem constanter servat, & motus fit in antecedentia, materia juxta aequatorem redundat ; si in consequentia, deficit. Pone globum uniformem & perfecte circi- natum in spatiis Hberis primo quiescere ; dein impetu quocunque obHque in superficiem suam facto propelli, & motum inde conci- pere partim circularem, partim in directum. Quoniam globus iste ad axes omnes per centrum suum transeuntes indifferenter se habet, neque propensior est in unum axem, unumve axis situm, quam in aHum quemvis ; perspicuum est, quod is axem suum, axisque incH- nationem vi propria nunquam mutabit. ImpeHatur jam globus 1 84 DE MOTU CORPOR UM oblique, in eadem illa superficiei parte, qua prius, impulsu quocunque novo ; & cum citior vel serior impulsus effectum nil mutet, mani- festum est, quod hi duo impulsus successive impressi eundem pro- ducent niotum, ac si simul impressi fuissent, hoc est, eundem, ac si globus vi simplici ex utroque (per legum corol. ii) composita impulsus fuisset, atque ideo simplicem, circa axem inclinatione datum. Et par est ratio impulsus secundi facti in locum aHum quemvis in sequatore motus primi ; ut & impulsus primi facti in locum quemvis in aequatore motus, quem impulsus secundus sine primo generaret; atque ideo impulsuum amborum factorum in loca quaecunque : generabunt hi eundem motum circularem ac si simul & semel in locum intersectionis sequatorum motuum illorum, quos seorsim generarent, fuissent impressi. Globus igitur homogeneus & perfectus non retinet motus plures distinctos, sed impressos omnes componit & ad unum reducit, & quatenus in se est, gyratur semper motu simplici & uniformi circa axem unicum, incHnatione semper inva- riabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rotationis velocitatem mutare potest. Si globus plano quocunque, per centrum suum & centrum in quod vis dirigitur transeunte, dividi intelligatur in duo hemisphaeria ; urgebit semper vis illa utrumque hemisphserium aequahter, & propterea globum, quoad motum rota- tionis, nullam in partem inclinabit. Addatur vero alicubi inter polum & aequatorem materia nova in formam montis cumulata, & haec, perpetuo conatu recedendi a centro sui motus, turbabit motum globi, facietque ut poli ejus errent per ipsius superficiem, & circulos circum se punctumque sibi oppositum perpetuo describant. Neque corrigetur ista vaga^ionis enormitas, nisi locando montem illum vel in polo alterutro, quo in casu (per corol. 21) nodi aequatoris pro- gredientur; vel in aequatore, qua ratione (per corol. 20) nodi regredientur ; vel denique ex altera axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum libretur, & hoc pacto nodi vel progredientur, vel recedent, perinde ut mons & haecce nova materia sunt vel polo vel aequatori propiores. LIBER PRIMUS. PROPOSITIO LXVII. THEOREMA XXVII 185 Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius S, circa interiorum P, T commune gravitatis centricm O, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales & orbem ad formam ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis acce- dentem, qtiam circa corpus intimum & maximum T, radiis ad ipsum ductisy describere potest, Nam corporis vS attractlones ver- sus T Sl P componunt ipsius attrac- tionem absolutam, quae magis dirigitur in corporum T 8i P commune gravi- tatis centrum (7, quam in corpus maximum Z", quseque quadrato dis- tantise 6^ O magis est proportionalis ^^ ^ reciproce, quam quadrato distantiae 6" T: ut rem perpendenti facile constabit. PROPOSITIO LXVIII. THEOREMA XXVIII. Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius S^ circa interiorum Y & T commmie gravitatis centrum O, radiis ad centrum illicd diutis, describit areas temporibus,magis proportionales, & orbem ad formam ellipseos umbilicum in ce^itro eodem habentis magis accedente^n, si corpics ifitimum & maximum his attractionibus perinde atque ccetera agitetur, quam si id vel non attractum quiescaty vel multo magis aut mtclto minus attracttcm aut mtilto magis aut multo minus agitetur. Demonstratur eodem fere modo cum prop. Lxvi sed argumento prolixiore, quod ideo prsetereo. Sufficeret rem sic aestimare. Ex demonstratione propositionis novissimae liquet centrum, in quod I l86 DE MOTU CORPORUM corpus 6^ conjunctls vlribus urgetur, proxlmum esse communl cen- tro gravitatls duorum Illorum. Si colncideret hoc centrum cum centro illo communi, & quiesceret commune centrum gravitatis corporum trlum ; describerent corpus 6^ ex una parte, & commune centrum aliorum duorum ex altera . parte, circa commune omnlum cen- trum qulescens, elllpses accuratas. Llquet hoc per corollarlum secun- dum proposltionis lviii collatum cum demonstratis in prop. lxiv & lxv. Perturbatur iste motus elllptlcus ali- ^ ^ quantulum per dlstantlam centrl duorum a centro, in quod tertium 6* attrahltur. Detur praeterea motus communl trium centro, & augebltur perturbatlo. Prolnde mlnima est perturbatlo, ubl commune trium centrum qulescit ; hoc est, ubi corpus intimum & maximum T lege cseterorum attrahitur : fitque major semper, ubi trium com- mune Illud centrum, mlnuendo motum corporis T, moveri incipit, & magis delnceps maglsque agltatur. CoroL Et hinc, si corpora plura mlnora revolvantur circa maxl- mum, colHgere Hcet quod orbltae descrlptse propius accedent ad elHpticas, & arearum descrlptiones fient magis aequabiles, si corpora omnla virlbus acceleratriclbus, quae sunt ut eorum vires absolutae directe & quadrata dlstantiarum inverse, se mutuo trahant agitent- que, & orbltae cujusque umbillcus coHocetur in communi centro gravltatis corporum omnium interlorum (nlmlrum umbiHcus orbitae primae & Intlmae in centro gravitatls corporis maxlml & intiml ; ille orbltae secundae, in communi centro gravitatis corporum duorum intlmorum ; iste tertlae, In communi centro gravitatls trium interiorum; & sic deinceps) quam si corpus Intlmum qulescat & statuatur com- munis umbiHcus orbitarum omnlum. PROPOSITIO LXIX. THEOREMA XXIX. In systemate corporiim plurium A, B, Q D, &c. si corptis aliquod A trahit ccetera omnia B, C, D, &c. viribus acceleratricibus qucB sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente ; & corpus aliud LIBER PRIMUS. 187 B trahit etiam ccetera A, C, D, &c, viribtis qucs stcnt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente : eriint absolutce corpormn trahen- tium A, B vires ad iitvicem, tct sunt ipsa coi^pora A, B, qtcoricm sunt vires. Nam attractlones acceleratrices corporum omnium B, C, D ver- sus A, parlbus dlstantlls, slbl invlcem aequantur ex hypothesi ; & siminter attractlones acceleratrlces corporum omnium versus B^ paribus dlstantlls, sibi invicem sequantur. Est autem absoluta vis attractiva corporis A ad vlm absolutam attractivam corporis B, ut attractlo acceleratrlx corporum omnium versus A ad attractionem acceleratrlcem corporum omnlum versus B^ paribus distantiis ; & ita est attractio acceleratrix corporls B versus Ay ad attractlonem acceleratricem corporis A versus B. Sed attractio acceleratrix corporls B versus A est ad attractlonem acceleratrlcem corporis A versus B, ut massa corporis A ad massam corporls B ; propterea quod vires motrices, quae (per definitionem secundam, septlmam & octavam) sunt ut vires acceleratrices & corpora attracta conjunctlm, hic sunt (per motus legem tertiam) sibi invicem sequales. Ergo absoluta vls attractiva corporis A est ad absolutam vlm attractlvam corporls B, ut massa corporis A ad massam corporis B. Q. E. D. Corol. I. Hinc si singula systematis corpora A, B, C, D, &c., seorsim spectata trahant caetera omnia viribus acceleratricibus, quae sunt reciproce ut quadrata distantlarum a trahente ; erunt corporum illorum omnlum vires absolutae ad invicem ut sunt ipsa corpora. Corol. 2. Eodem argumento, si slngula systematls corpora A, B^ C, Dy &c. seorslm spectata trahant caetera omnia viribus accelera- trlclbus, quae sunt vel reciproce, vel directe in ratlone dignitatls cujuscunque distantiarum a trahente, quseve secundum legem quam- cunque communem ex dlstantlis ab unoquoque trahente definiuntur ; constat quod corporum illorum vires absolutae sunt ut corpora. Corol. 3. In systemate corporum, quorum vires decrescunt in ratione dupHcata dlstantlarum, si mlnora clrca maximum in elHpsibus, umblHcum communem in maxlmi inius centro habentlbus, quam fieri potest accuratissimis revolvantur; & radiis ad maxlmum illud i88 D^ MOTU CORPORUM ductis describant areas temporibus quam maxime proportionales : erunt corporum illorum vires absolutae ad invicem, aut accurate aut quamproxime, in ratione corporum ; & contra. Patet per corol. prop. Lxviii coUatum cum hujus corol. i. Scholmm. His propositionibus manuducimur ad analogiam inter vires cen- tripetas, & corpora centralia, ad quse vires illae dirigi solent. Ra- tioni enim consentaneum est, ut vires, quse ad corpora diriguntur, pendeant ab eorundem natura & quantitate, ut fit in magneticis. Et quoties hujusmodi casus incidunt, sestimandse erunt corporum attractiones, assignando singulis eorum particulis vires proprias, & colligendo summas virium. Vocem attractionis hic generaHter usurpo pro corporum conatu quocunque accedendi ad invicem : sive conatus iste fiat ab actione corporum, vel se mutuo petentium, vel per spiritus emissos se invicem agitantium; sive is ab actione setheris, aut aeris, mediive cujuscunque seu corporei seu incorpo- rei oriatur corpora innatantia in se invicem utcunque impellentis, Eodem sensu generah usurpo vocem impulsus, non species virium & qualitates physicas, sed quantitates & proportiones mathematicas in hoc tractatu expendens, ut in definitionibus explicui. In mathesi investigandae sunt virium quantitates & rationes illae, quae ex con- ditionibus quibuscunque positis consequentur : deinde, ubi in phy- sicam descenditur, conferendae sunt hae rationes cum phaenomenis ; ut innotescat quaenam virium conditiones singuHs corporum attracti- vorum generibus competant. Et tum demum de virium speciebus, causis & rationibus physicis tutius disputare Hcebit. Videamus igitur quibus viribus corpora sphaerica, ex particuHs modo jam exposito attractivis constantia, debeant in se mutuo agere ; & quales motus inde consequantun LIBER PRIMUS, 189 SECTIO XII. De corporum sphcBricorum viribus attractivis, PROPOSITIO LXX. THEOREMA XXX. Si ad sphcBriccB superficiei puncta singula tendant vires c^quales ceritripetcB decrescentes in duplicata ratione distantiarum apunctis : dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus nullam in partem attrahitur. Sit H I K L superficies illa sphaerica, & P corpusculum intus con- stitutum. Per P agantur ad hanc superficiem linese duae H K, I L, arcus quam minimos H I, K L intercipientes ; &, ob triangula HPI, LPK (per corol. 3 lem. vii) similia, arcus illi erunt distantiis H P, L P pro- portionales ; & superficiei sphaericae par- ticulse quaevis ad H I 81 K L, rectis per punctum P transeuntibus undique ter- minatae, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires harum particularum in corpus P exercitae sunt inter se aequales. Sunt enim ut particulae directe, & quadrata distantiarum inverse. Et hae duae rationes componunt rationem aequalitatis. Attractiones igitur, in contrarias partes aequaliter factae, se mutuo destruunt. Et simili argumento, attractiones omnes per totam sphaericam superficiem a contrariis attractionibus destruuntur. Proinde corpus P nullam in partem his attractionibus impellitur. Q, E. D. PROPOSITIO LXXI. THEOREMA XXXI. lisdem positis, dico quod -corpusculum extra sphcsricam superficiem constitutum attrahitur ad centrum sphcsrcSy vi reciproce proportionali quadrato distantice sucs ab eodem centro. 190 DE MOTU CORPORUM Sint A H KB, ahkb aequales duse superficles sphaericae, centris S, s, diametris A B, ab descriptse, 81 P, p corpuscula slta extrin- secus in dlametrls illis productls. Agantur a corpusculis llneae PHK, P ILy pkky pil, auferentes a circulis maximis AHB, akb, aequales arcus H K, kk & I L, il: et ad eas demittantur perpendicula S D, sd ; S E, se; I R, ir; quorum SD, i"^secent P L, plm P 81 /, Demittantur etlam ad diametros perpendlcula I Q, iq. Evanescant anguli D P E, dpe: & ob aequales D S & ds, E S & es, lineae P E, P E & pe, pf & lineola D E, df pro aequalibus habe- antur; qulppe quarum ratio ultlma, angulls illls D P E, dpe simul evanescentibus, est aequalitatls. HIs itaque constitutis, erit P/ ad P E \xt RI 2id DE, & pf ad / i ut df vel DE 2id ri; & ex aequo Plxpf ad P Expi ut R I ad ri, hoc est (per corol. 3 lem. vii) ut arcus I H 2id arcum ik, Rursus P I ad P S ut I Q did S E, & ps 2Ldp i ut se vel SE ad iq ; & ex aequo P I xp s Sid P S xp i ut IQ 2id iq. Et conjunctis ratlonibus P I quad. xpfxps ad p i quad. xP ExP S, ut IHxIQ ad ikxiq ; hoc est, ut superficles circu- laris, quam arcus IH convolutione semlcirculi A KB clrca dlametrum A B descrlbet, ad superficiem circularem, quam arcus ik con^ volutione semlcirculi akb circa diametrum ab descrlbet. Et vires, qulbus hae superficles secundum lineas ad se tendentes attrahunt corpuscula P 8c p, sunt (per hypothesln) ut ipsae superficies dlrecte, & quadrata distantlarum superficlerum a corporlbus inverse, hoc est, ut pfxps ad P Ex P S. Suntque hae vires ad Ipsarum partes obli- quas, quae (facta per legum corol. 11 resolutione virlum) secundum lineas P S, ps ad centra tendunt, ut P / ad P Q, 81 pi 2id p q ; id est (ob slmllia trlangula P IQ 81 P S E,piq 81 psf) ut P S 3id P E LIBER PRIMUS. I ^ I & / 5 ad pf. Unde, ex aequo, fit attractlo corpusculi hujus P versus 6^ ad attractionem corpusculi / versus s, ut ^^-^ — ^ ad pfxPFxPS - , 7 1 r^ O , T- . .,. — , hoc est, utps qtcad, ad /^6 qiiad. Lt simih arra- p s mento vires, quibus superficies convolutione arcuum KL, kl descriptae trahunt corpuscula, erunt ut / ^ qtcad. ad /* ^S qtcad. inque eadem ratione erunt vires superficierum omnium circularium in quas utraque superficies sphserica, capiendo semper sd aequalem SD & se aequalem SE, distingui potest. Et, per compositionem, vires totarum superficierum sphaericarum in corpuscula exercitae erunt in eadem ratione. Q.E.D, PROPOSITIO LXXII. THEOREMA XXXII. Si ad sphcBrce cujusvis punda singula tejidant vires csquales centripetcB decrescentes in dtcplicata ratione distantiartcm a punctis ; ac detur tum sphcBrcB de^isitas, tum ratio diametri sphcerce ad distantiam corpusculi a centro ejus : dico quod visy qua corpusculum attrahitur, proportionalis erit semidiametro sphcercs, Nam concipe corpuscula duo seorsim a sphaeris duabus attrahi, unum ab una & alterum ab altera, & distantias eorum a sphaerarum centris proportionales esse diametris sphaerarum respective, sphaeras autem resolvi in particulas similes & similiter positas ad corpuscula. Et attractiones corpusculi unius, factae versus singulas particulas sphaerae unius, erunt ad attractiones alterius versus analogas totidem particulas sphaerae alterius, in ratione composita ex ratione particu- larum directe & ratione duplicata distantiarum inverse. Sed particulae sunt ut sphaerae, hoc est, in ratione triplicata diametrorum, & distantiae sunt ut diametri ; & ratio prior directe una cum ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum. Q.E.D. Corol. I. Hinc si corpuscula in circulis, circa sphaeras ex materia 19' DE MOTU CORPORUM ccqualiter attractiva constantes, revolvantur ; sintque distantise a centris sphaerarum proportionales earundem diametris : tempora periodica erunt aequalia. Corol, 2. Et vice versa, si tempora periodica sunt aequalia ; distantise erunt proportionales diametris. Constant haec duo per corol. 3 prop. iv. CoroL 3. Si ad solidorum duorum quorumvis, simiHum & aequa- liter densorum, puncta singula tendant vires aequales centripetae, decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis ; vires, quibus corpuscula, ad solida illa duo simiHter sita, attrehentur ab iisdem, erunt ad invicem ut diametri solidorum. PROPOSITIO LXXIII. THEOREMA XXXIII. Si ad sphcErcB alicujus datce puncta singula tendant cBquales vires centripetcs decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis : dico quod corpusctilum intra spkceram constittctum attrahitur vi proportionali distantice sucs ab ipsius centro, In sphaera ABCD, centro ^'descripta, locetur corpusculum P ; Sl centro eodem S, intervallo SP, concipe sphaeram interi- orem P EQF describi. Manifestum est, (per prop. lxx) quod sphaericae superficies concentricae, ex quibus sphaerarum difife- rentia AEBF componitur, attractionibus suis per attractiones contrarias destructis, nil agunt in corpus P. Restat sola at- tractio sphaerae interioris P E Q F. Et (per prop. lxxii) haec est ut distantia P S. Q. E, D. Scholium, Superficies, ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure mathematicae, sed orbes adeo tenues, ut eorum crassitudo instar LIBER PRIMUS. 193 nihili sit; nimirum orbes evanescentes, ex quibus sphaera ultimo constat, ubi orbium illorum numerus augetur & crassitudo minuitur in infinitum. SimiHter per puncta, ex quibus linese, superficies, & soHda componi dicuntur, inteHigendae sunt particulae sequales mag- nitudinis contemnendse. PROPOSITIO LXXIV. THEOREMA XXXIV. lisdem positisy dico quod corpusculum extra sphcEram constitutum attrahitur vi reciproce proportionali quadrato dista^ttice sucs ab ipsius centro, Nam distinguatur sphaera in superficies sphaericas innumeras concentricas, & attractiones corpuscuH a singuHs superficiebus oriun- dae erunt reciproce proportionales quadrato distantiae corpuscuH a centro (per prop. lxxi). Et componendo fiet summa attractionum^ hoc est attractio corpusculi in sphaeram totam, in eadem ratione. CoroL I. Hinc in sequaHbus distantiis a centris homogenearum sphaerarum attractiones sunt ut sphaerae. Nam (per prop. lxxii) si distantiae sunt proportionales diametris sphaerarum, vires erunt ut diametri. Minuatur distantia major in iUa ratione; &, distantiis jam factis aequaHbus, augebitur attractio in dupHcata iUa ratione; ideoque erit ad attractionem alteram in trlpHcata iUa ratione, hoc est, in ratione sphaerarum. CoroL 2. In distantiis quibusvis attractiones sunt ut sphaerae appHcatae ad quadrata distantiarum. CoroL 3. Si corpusculum, extra sphaeram homogeneam positum, trahitur vi reciproce proportionaH quadrato distantiae suae ab ipsius centro, constet autem sphaera ex particuHs attractivis ; decrescet vis particulae cujusque in dupHcata ratione distantiae a particula. PROPOSITIO LXXV. THEOREMA XXXV. Si ad sphcBrce datcs ptmcta singula tendant vires csquales centripetcs, decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis ; dico quod N 1 94 ^^ ^O TU CORPOR UM sphcera qticevis alia similaris ab eadem attrahittcr vi reciproce proportionali qttadraio distantice centrorum. Nam particulae cujusvis attractio est reciproce ut quadratum distantiae suae a centro sphaerae trahentis (per prop. lxxiv), & propterea eadem est, ac si vis tota attrahens manaret de corpusculo unico sito in centro hujus sphaerae. Haec autem attractio tanta est, quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si modo illud a singuhs sphaerae attractae particuHs eadem vi traheretur, qua ipsas attrahit Foret autem illa corpuscuH attractio (per prop. lxxiv) reciproce proportionalis quadrato distantiae suae a centro sphaerae ; ideoque huic aequaHs attractio sphaerae est in eadem ratione. Q.E.D, Corol. I. Attractiones sphaerarum, versus aHas sphaeras homoge- neas, sunt ut sphaerae trahentes appHcatae ad quadrata distantiarum centrorum suorum a centris earum, quas attrahunt. Corol. 2. Idem valet, ubi sphaera attracta etiam attrahit. Namque hujus puncta singula trahent singula alterius eadem vi, qua ab ipsis vicissim trahuntur; ideoque cum in omni attractione urgeatur (per legem iii) tam punctum attrahens, quam punctum attractum, gemina- bitur vis attractionis mutuae, conservatis proportionibus. Corol. 3. Eadem omnia, quae superius de motu corporum circa umbiHcum conicarum sectionum demonstrata sunt, obtinent, ubi sphaera attrahens locatur in umbiHco, & corpora moventur extra sphaeram. Corol. 4. Ea vero, quae de motu corporum circa centrum conicarum sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peraguntur intra sphaeram. PROPOSITIO LXXVI. THEOREMA XXXVI. Si sphcercB in progressu a centro ad circumferentiam (quoad materice densitatem & vim attractivam) utcunque dissimilares, ifi progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt undique similares ; & vis attractiva puncti cupisque decrescit in duplicata ratione distantice corporis attracti: dico quod vis tota, qua LIBER PRIMVS. 195 hujusmodi sphcsra tma attrahit aliam, sit reciproce proportionalis quadrato distantics centrortim. Sunto sphaerse quotcunque concentricse slmilares A B, C D, E F, &c. quarum interiores additae exterioribus componant materiam densiorem versus centrum, vel subductae relinquant tenuiorem ; & hae (per prop. lxxv) trahent sphaeras aHas quotcunque concentricas similares G H, I K, L M, &c. slngulae singulas, viribus reciproce proportionaHbus quadrato distantiae 6^ P. Et componendo vel divi- dendo, summa virium illarum omnium, vel excessus aHquarum supra aHas ; hoc est, vis, qua sphaera tota, ex concentricis quibuscunque vel concentricarum dlf- ferentiis composita A B, trahit totam ex concentri- cis quibuscunque vel con- centricarum differentiis compositam GH ; erlt In eadem ratlone. Augeatur numerus sphaerarum con- centricarum in infinitum sic, ut materiae densitas una cum vi attractlva, In progressu a clrcumferentla ad centrum, secundum legem quamcunque crescat vel decrescat; &, addita materla non attractiva, compleatur ubivls densltas deficiens, eo ut sphaerae acquirant formam quamvis optatam ; & vls, qua harum una attrahet alteram, erit etlamnum, per argumentum superlus, in eadem IHa dlstantiae quadratae ratlone Inversa. Q. E. D. Corol. I. Hinc si ejusmodi sphaerae complures, sibi invicem per omnla slmiles, se mutuo trahant; attractiones acceleratrices slngularum in singulas erunt, in aequaHbus quibusvis centrorum distantiis, ut sphaerae attrahentes. Corol. 2. Inque distantiis quibusvis inaequaHbus, ut sphaerae attrahentes appHcatae ad quadrata distantiarum inter centra. Corol. 3. Attractiones vero motrices, seu pondera sphaerarum In sphaeras erunt, in aequaHbus centrorum distantiis, ut sphaerae attra- hentes & attractae conjunctim, id est, ut contenta sub sphaeris per multlpHcationem producta. 196 DE MOTU CCRPORUM Corol. 4. Inque dlstantils Insequallbus, ut contenta Illa directe & quadrata distantiarum inter centra inverse. CoroL .5. Eadem valent, ubl attractio oritur a sphserse utrlusque virtute attractiva mutuo exercita in sphaeram alteram. Nam viribus ambabus geminatur attractio, proportione servata. Corol. 6. SI hujusmodi sphaerae ahquae clrca alias qulescentes revolvantur, singulae circa singulas ; sintque distantiae inter centra revolventlum & quiescentlum proportlonales quiescentium diametris ; sequaha erunt tempora perlodlca. Corol. 7. Et vicissim, sl tempora perlodica sunt aequaha; distantiae erunt proportionales diametrls. Corol. 8. Eadem omnia, quae superius de motu corporum clrca umblhcos conicarum sectionum demonstrata sunt, obtinent ; ubl sphaera attrahens, formae & condltlonis cujusvis jam descrrptae, locatur in umbihco. CoroL 9. Ut & ubl gyrantla sunt etlam sphaerae attrahentes, conditionls cujusvls jam descriptae. PROPOSITIO LXXVII. THEOREMA XXXVII. Siad singula sphcerarmn pU7icta tendant vires centripetce proportionales distantiis ptmctoriim a corporibus attractis : dico quod vis composita, qua sphcsrcB dtice se mutuo trahenty est ut distantia inter centrd sphcerartim. Cas. I. Slt ^ ^^T^ sphaera; 6^ centrum ejus ; P corpusculum attractum, P A S B axls sphaerae per centrum corpuscuh translens ; E F, ^y plana duo, quibus sphaera secatur, huic axi perpendlcularia, & hlnc inde aequahter dlstantla a centro sphaerae ; G, g intersec- tiones planorum & axls; & H punctum quodvls in plano EF. Puncti -^ vis centripeta in corpusculum P, secundum hneam P //" exerclta. LIBER PRIMUS. 197 est ut dlstantia P H; & (per legum corol. 11) secundum lineam P G, seu versus centrum S, ut longitudo P G. Igitur punctorum omnium in plano E F, hoc est plani totius vis, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut distantia P G multiphcata per numerum punctorum, id est, ut sohdum quod continetur sub plano ipso E F 81 distantia iha P G. Et simihter vis plani ef, qua corpusculum P trahitur versus centrum Sy est ut planum ihud ductum in distantiam suam P g, sive ut huic sequale planum E F ductum in distantiam iham P^; & summa virium plani utriusque ut planum jfi^/^ductum in summam distantiarum P G + P g, id est, ut planum ihud ductum in duplam centri & corpuscuh distantiam P S, hoc est, ut duplum planum EF ductum in distantiam P S, vel ut summa aequahum planorum E F-\-ef ducta in distantiam eandem. Et simih argumento, vires omnium planorum in sphsera tota, hinc inde aequahter a centro sphaerae distantium, sunt ut summa planorum ducta in dis- tantiam P S, hoc est, ut sphaera tota & ut distantia P S conjunctim. Q. E. D. Cas. 2. Trahat jam corpusculum P sphaeram A E B F. Et eodem argumento probabitur quod vis, qua sphaera iha trahitur, erit ut distantia P S. Q. E D. Cas. 3. Componatur jam sphaera altera ex corpuscuhs innumeris P ; 81 quoniam vis, qua corpusculum unumquodque trahitur, est ut distantia corpuscuh a centro sphaerae primae & ut sphaera eadem conjunctim, atque ideo eadem est, ac si prodiret tota de corpusculo unico in centro sphaerae ; vis tota, qua corpuscula omnia in sphaera secunda trahuntur, hoc est, qua sphaera illa tota trahitur, eadem erit, ac si sphaera iha traheretur vi prodeunte de corpusculo unico in centro sphaerae primae, & propterea proportionahs est distantiae inter centra sphaerarum. Q. E. D. Cas. 4. Trahant sphaerae se mutuo, & vis geminata proportionem priorem servabit. Q. E. D. Cas. 5. Locetur jam corpusculum / intra sphaeram A E B F ; & quoniam vis plani ef in cbrpusculum est ut sohdum contentum sub plano iho & distantia pg ; & vis contraria plani E F vX sohdum contentum sub plano iho & distantia pG; erit vis ex utraque composita ut differentia sohdorum, hoc est, ut summa aequahum planorem ducta in senjissem differentiae disiantiarum, id. est, ut iqS DE MOTU CORFORUM summa illa ducta m p S dlstantlam corpusculi a centro sphaerae. Et simlli argumento, attractio planorum omnium E F, ef in sphsera tota, hoc est, attractlo sphaerse totlus, est conjunctim ut summa planorum omnium, seu sphsera tota, & ut /6" dlstantla corpusculi a centro sphaerae. Q. E, D, Cas. 6. Et si ex corpusculis innumeris / componatur sphaera nova, intra sphaeram priorem A E B F sita ; probabitur ut prius quod attractio, sive simplex sphaerae unius in alteram, sive mutua utriusque in se invicem, erit ut distantia centrorum/ S, Q. E. D. PROPOSITIO LXXVIII. THEOREMA XXXVIII. Si sphcsrce in progressu a cejitro ad circumferentiam sint tUcunqtie dissimilares & incBquabiles, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro dista^itiam sint tmdique similares : & vis attractiva puncti czcjusque sit tit distantia corporis attracti ; dico quod vis tota qua kujusmodi spkcercB ducB se mutuo trakunt sit proportionalis distanticB inter centra spkcsrarum. Demonstratur ex propositione praecedente eodem modo, quo propositio lxxvi ex propositione lxxv demonstrata fult. Corol. Quae superlus in propositionibus x & lxiv de motu cor- porum circa centra conicarum sectionum demonstrata sunt, valent ubi attractiones omnes fiunt vi corporum sphaericorum conditionis jam descriptae, & attracta corpora sunt sphaerae conditionis ejusdem. Sckolium. Attractionum casus duos insigniores jam dedi expositos ; nimirum ubi vires centripetae decrescunt in duplicata dlstantlarum ratlone, vel crescunt in distantlarum ratione simpHci; efficientes in utroque casu ut corpora gyrentur in conicis sectionibus, & componen- tes corporum sphaericorum vires centripetas eadem lege, in LIBER PRIMVS. 199 recessu a Centro, decrescentes vel crescentes cum seipsis : Quod est notatu dignum. Casus caeteros, qui conclusiones minus elegantes exhibent, sigillatim percurrere longum esset. Malim cunctos me- thodo generali simul comprehendere ac determinare, ut sequitun LEMMA XXIX. Si describantur centro S circulus quilibet A E B, dr' centro P circuli duo E F, ef, secantes priorem in E, e, lineamque PS in F, f; & ad Y ?i demittantur perpendicula E D, e d : dico quod, si distantia arcuum E F, e f in infinitum minui intelligatury ratio ultima linece evanescentis D dad lineam evanescentem F f ea sit, quce linecB FK ad /ineam P S. Nam si linea Pe secet arcum E F m q ; & recta jBe, quae cum arcu evanescente Ee coincidit, producta occurrat rectse -PkS' in T; & ah S demittatur m P E normalis SG : ob similia triangula D TE, dTe, DES; erit Dd ad Ee, ut D T Sid TE, seu DE ad ES; & ob triangula Eeq, ESG (per lem. viii & corol 3 lem. vii) Isimilia, erit Ee ad eq, seu F/, mX, E S did S G ; 81, ex sequo, Dd ad F/ ut DE ad SG; hoc est (ob similia triangula PDE,PGS) 200 DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO LXXIX. THEOREMA XXXIX Si superficies ob latitudinem infinite difninutam jamjam evanescens EFfe, convolutione sui circa axem P S, describat solidtcni sphcericum concavo-convexunty ad cujus particulas singulas cequales tendant cequales vires centripetcs : dico quod vis, qtia solidum illud trahit co7pusculum situm in P, est in ratione composita ex ratione solidi D E ^ X F f, dj" ratione vis qua particula data in loco F f traheret idem corpusculum, Nam si primo consideremus vim superficiei sphaericae F E, quae convolutione arcus F E generatur, & a linea de ubivis secatur in r ; erit superficiei pars annularis, convolutione arcus rE genita, ut lineola D d, manente sphaerse radio P^ (uti demonstravit Archi- medes in lib. de SphcBra & Cyli^idro), Et hujus vis, secundum line- as PE vel Pr undique in super- ficie conica sitas exercita, ut haec ipsa superficiei pars annularis ; hoc est, ut Hneola D d, vel, quod perinde est, ut rectangulum sub dato sphaerse radio PE & Hneola illa Dd: at secundum Hneam P S "dA centrum ^ tendentem minor in ratione P D ad P E^ ideoque ut P DxDd, Dividi jam inteHigatur Hnea DF m particulas innumeras aequales, quae singulae nominentur Dd; & superficies FE dividetur in totidem aequales annulos, quorum vires erunt ut summa omnium PDxDd, hoc est, ut \ P F q^\ P D q^ ideoque ViX.DE quad. Ducatur jam superficies F E in altitudinem Ff; & fiet soHdi EFfe vis exercita in corpusculum P ut DEq x Ff: puta si detur vis quam particula aHqua data i^y in distantia P/^ exer- cet in corpusculum P. At si vis iHa non detur, fiet vis soHdi E Ffe ut soHdum Z^iS'^ x Ff &i vis illa non data conjunctim. Q. E. D. LIBER rRIMUS. 20 1 PROPOSITIO LXXX: THEOREMA XL. Si ad sphcercB alicujus A B E, centro S descriptcs, particulas singulas cequales te^idant cequales vires centripetce, & ad sphcsrce axem A B, in quo corpusculum aliquod P locattcr, erigantur de punctis singulis D perpendicula D E, sphcErce occurre^itia in E, & in ipsis capiantur DE ^ X P S longitudines D N, qucs sint ut quantitas :^-= & iJis^ qtmni sphcsrcB particula sita in axe ad distantiam. P E exercet in corpusculum P, conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum P trahitur versus sphcEram, est ut area A N B comprehensa sub axe sphcBrcB A B, <5f linea curva A N B, quam punctum N per- petuo tajigit, Etenim stantlbus quae in lemmate & theoremate novlssimo con- structa sunt, concipe axem sphaerse A B dlvidi in particulas innu- E fi meras aequales D d, &i sphseram totam dividi in totidem laminas sphserlcas concavo-convexas E Ff e ; & erigatur perpendiculum d n^, Per theorema superius vis, qua lamina E Ffe trahit corpusculum P, est ut D E qy.Ff 81 vis particulse unius ad distantiam F E vel P,'F: 202 DE MOTU COEPORUM exercita conjunctim. Est autem (per lemma novissimum) D d 2A Ffyxt PE ^d P S,& inde P/ ^qualis ^-^^^ ; SiDEqxFf sequaleZP^in ^-= , & propterea vis laminae EFfe est ut D d in ^-— & vis particulse ad distantiam P F exercita con- junctim, hoc est (ex hypothesi) ut DJVxDd, seu area evanescens DNnd, Sunt igitur laminarum omnium vires, in corpus P exer- 4 citae, ut arese omnes D N nd, hoc est, sphaerae vis tota ut area tota ANB. Q,E.D. CoroL I. Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, & fiat D N ut DEoxPS . . t ,_ ,• ^-= ; erit vis tota, qua corpusculum a sphaera attrahitur, ut area ANB. . Corol. 2. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia corpuscuH a se attracti, & fiat D N ut -f— ; erit vis, qua P E q corpusculum P a sphaera tota attrahitur, ut area A N B. Corol. 3. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus D E QxP S distantiae corpusculi a se attracti, & fiat D N ut — ^r^ ; erit PEqq vis, qua corpusculum a tota sphsera attrahitur, ut area A N B. LIBER PRIMUS. 203 Corol, 4. Et universallter si vis centripeta ad singulas sphserse particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat autem ^ ,, DEqy.PS . . , ^ D N vX ^ 1. — r^ ; erit vis, qua corpusculum a sphaera tota at- P Ey. V trahitur, ut area A N B, PROPOSITIO LXXXI. PROBLEMA XLI. Stantibus jam positis, mensuranda est area A N B. A puncto P ducatur recta P H sphaeram tangens in Hy & ad axem PAB demissa normaU H I, bisecetur PI m L; & erit (per prop. xii Hb. 2 elem.) PEq aequale PSq-^-SEq-^-^PSD, Est autem SEq seu SHq (ob simihtudinem triangulorum SPH, SHI) aequale rectangulo P SL Ergo PEq aequale est contento sub PS & PS+S/-h2SD, hoc est, sub PS & 2LS-h2SD, id est, sub PS & 2 LD, Porro D E quad, aequale est SEq — SDq^ seu SEq — LSq+^SLD-LDq, id est, 2 S L D -- L D q- A LB. Nam L S q — S E q seu LSq — S A q (per prop. vi lib. 2 elem.) aequatur rectangulo A L B, Scribatur itaque 2 SL D — L D q — DEqxPS PE xV larium quartum propositionis praecedentis est ut longitudo ordina- 2SLDxPS tim apphcatae D N, resolvet sese m tres partes — ^-^ — r^ — ■ ALB pro DEq; & quantitas -, quae secundum corol- 204 DE MOTU CORPORUM LDq X PS PBxV ALBxPS ^ ^ ,^ : ubl si pro V scribatur ratio inversa P Ex V vis centripetae, & pro P E medium proportionale inter P S 8c 2 LD; tfes illae partes evadent ordinatlm appllcatse llnearum totl- dem curvarum, quarum arese per methodos vulgatas innotescunt. Q.E.F. ExempL i. Si vis centripeta ad singulas sphserae particulas ten- dens slt reclproce ut dlstantla; pro V scrlbe dlstantiam PE; dein 2 PSx LD pro PEq, & fiet DN ut SL^ h L D -- "^ f ^. 2 L D A L B Pone DN aequalem ejus duplo 2 S L— L D— LD & ordl- natae pars data 2 SL ducta in longitudinem A B describet aream rectangulam 2 S Lx A B ; & pars indefinita LD ducta normaHter in eandem longltudlnem per motum contlnuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel decrescendo aequetur semper longitudlni L D, describet aream ^^ ^, id est, aream SLxAB; qus subducta de area priore 2 S L x A B rehnquit aream S Lx A B. A L B Pars autem tertia , ducta Itidem per motum localem norma- liter in eandem longltudlnem, descrlbet aream i hyperboHcam ; quae subducta de area S L x A B rellnquet aream quaesltam A NB, U nde talis emergit problematis constructio. Ad puncta L, Ay B erlge perpendlcula L l, A a, B d, quorum A a Ipsi L B, &. B b ipsi L A aequetur. Asymptotis Z /, L B, per puncta a b descrlbatur hyperbola a b, Et acta chorda b a claudet aream a b a areae quaesltae A N B aequalem. ExempL 2, Si vls centrlpeta ad slngulas sphaerae particulas tendens sit reclproce ut cubus dlstantlae, vel (quod perlnde est) ut cubus P E ctib. 2A Sq pro V, ille applicatus ad planum quodvis datum ; scribe A€\n2 PSxLD ^roPEq; &L^^X.DN Mt ^ ^ ^ASq A S q PSxLD 2PS LIBER PRIMUS, 205 j. j^ , id est (ob continue proportionales P S, A S, S /) 2PSy^LDq ut LSI LD iSI- A LBxS/ 2LDq Si ducantur hujus partes tres in longitudinem A B, prima L S I generabit aream hyperboli ALBxSI 2LDq De prima subdu- cam; secunda \SI aream \ABy.SI; tertia ' ^ ^ aream ALBxSI ALBxSI ., ^ i/fz?^c/ zr-^r — , id est \ABxLb ; 81 rectangulum 2ASI sub- ductum de area hyperbolica AasbB rehnquet aream qusesitam A N B. Exempl. 3. Si vis centripeta, ad singulas sphserse particulas ten- dens, decrescit in quadruplicata ratione distantiae a particulis ; scribe -^-^-^ pro V, dein J^PSxLD pro PE, & fiet DN ut 2 A Scub, ISqxSL Slq SlqxALB i^ J2SI "^ JLDr2j2SI JLD2J2SI JLDqc 2o6 DE MOTU CORPORUM Cujus tres partes ductse in longitudinem A B, producunt areas to- Slq . .j . 2 SIqx S L . I I tidem, vtz. / ^ , m jy- , J2 SI JL A JLB J2 SI ^SIq^ALB^^ 3 J2 S I JL A cud. sJL B aid.' in JLB^ JLA; Et hse post debitam re- ductionem fiunt 1^-= , Slq, & SIq-{-- j^\ Hae vero, L 1 % L I 0 7" t. subductis posterioribus de priore, evadunt - — :r-^'- Proinde vis iLI tota, qua corpusculum P in sphaerae centrum trahitur, est ut PI id est, reciproce mX. P S cub. x P /. Q, E, I. Eadem methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra sphaeram, sed expeditius per theorema sequens. PROPOSITIO LXXXII. THEOREMA XLI. In sphcera centro S intervallo S A descripta, si capiantur S I, S A, S P continue proportionales : dico quod corpusculi intra sphceramy in loco quovis I, attractio est ad attractionem ipsius extra sphcsramy tn loco P, in ratione composita ex subduplicata ratione distantiarum a centro I S, P S, E MOTU CORPORUM sphaerse puncto quovis\£' manantes, esse ad Invicem in dlstantlls I E, P E, ut P E'' ad lE'' (ubi numerus n deslgnet indicem D EqxP S potestatum P E 8l I E) &. ordinatae illae fient ut ^ T)~pn ^ DEqxIS . , . . ^ ^ . -jr-p — r fTn^ quarum ratio ad mvicem est ut Pc^xIExIE'' ac ISxPExP E"". Quonlam ob continue proportionales SI, SE, SP, similia sunt triangula SPE, S E I, & inde fit I E 2id PE ut ISsid SE vel SA ; pro ratione I E adPE scribe rationem IS ad SA ; & ordinatarum ratio evadet PSxIE"" ad SA xPE"". Sed PS Sid S A subduplicata est ratio distantiarum P S, SI ; & I E"" ad PE*" {oh proportionales lE 2id P E ut IS aid SA) subduplicata est ratio virium in distantiis P6', I S. Ergo ordinat^, & propterea areae quas ordinatae describunt, hisque proportionales attractiones, sunt in ratione composita ex subdupHcatis illis rationibus. Q. E. D. PROPOSITIO LXXXIII. PROBLEMA XLII. Invenire vim qua corpusculum in centro spkcErce locatum ad ejus segmentum quodcunque attrahitur. Sit P corpus in centro sphaerae, & RBS D segmentum ejus plano PDS & superficie sphaerica PBS contentum. Superficie sphaerica^/^6^ centro P descripta secetur DB in E, ac distln- LIBER PRIMUS. 209 guatur segmentum in partes B R E F G S, FEDG. Sit autem superficies illa non pure mathematica, sed physica, profundi- tatem habens quam minimam. Nominetur ista profunditas O, & erit hsec superficies (per demonstrata Archimedis) ut P Fx D FxO, Ponamus praeterea vires attracti- vas particularum sphaerse esse reciproce ut ^- distantiarum dignitas illa, cujus index est n; & vis, qua superficies EFG trahit corpus P, erit (per prop. lxxix) ut DEqxO .. 2DFxO DFqxO ppn ^ i^ e^t, ut ^^_ -^^. Huic proportionale sit perpendiculum FN ductum in O ; & area curviHnea B D I, quam ordinatim applicata FN m longitudinem DB per motum continuum ducta describit, erit ut vis tota qua segmentum totum RBSD trahit corpus P. Q. E.I. PROPOSITIO LXXXIV. PROBLEMA XLIII. Invenire vim, qua corpusculumy extra centrum sphcsrce in axe segmenti cujusvis locatumy attrahitur ab eodem segmento. A segmento E B K trahatur corpus P in ejus axe ADB locatum. Centro P interval- \o P E describatur superficies sphaerica E FK, qua distingua- tur segmentum in partes duas EBKFE & EFKDE. Quaeratur vis partis prioris per prop. Lxxxi & vis partis pos- terioris per prop. lxxxiii; & summa virium erit vis segmen- ti totius EBKDE. Q.E.I. 2 I o DE MO TU CORFOR UM Scholhcm. Explicatis attractionibus corporum sphsericorum, jam pergere liceret ad. leges attractionum aliorum quorundam ex particulis attractivis similiter constantium corporum ; sed ista particulatim tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit propositiones quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, deque motibus inde oriundis, ob earum in rebus philosophicis aliqualem usum, subjungere. SECTIO XIII. De corportim non sphcBricoritm viribus attractivis, PROPOSITIO LXXXV. THEOREMA XLII. ^SV corporis attractiy ubi attrahenti contigtcum est, attractio longe/ortior sity quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem : vires particularum trahentis, in recessu corporis attracti, decrescunt in ratione plusqicam dicplicata distantiarum a particulis, Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a parti- culis ; attractio versus corpus sphsericum, propterea quod (per prop. Lxxiv) sit reciproce ut qudratum distantise attracti corporis a centro sphserae, haud sensibiliter augebitur ex contactu ; atque adhuc minus augebitur ex contactu, si attractio in recessu corporis attracti decrescat in ratione minore. Patet igitur propositio de sphseris attractivis. Et par est ratio orbium spharicorum concavorum corpora externa trahentium. Et multo magis res constat in orbibus corpora interius constituta trahentibus, cum attractiones passim per orbium cavitates ab attractionibus contrariis (per prop. lxx) tollantur, ideoque vel in ipso contactu nullse sunt. Quod si sphseris hisce orbibusque sphsericis partes quselibet a loco contactus remotse auferantur, & partes novse ubivis addantur : mutari possunt figurse horum corporum attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additse vel subductae, cum sint a loco contactus remotse, augebunt notabiliter attractionis excessum, qui ex contactu oritur. Constat igitur propositio de corporibus figurarum omnium. Q. E. D^ LIBER PRIMUS. 21 PROPOSITIO LXXXVI. THEOREMA XLIII. Si particulai^Mm, ex quibus corpus attractivum componiturj vires in recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam triplicata ratione distantiarum a particulis : attractio longe fortior erit in contactu, quam cum attrahens & attractum intervallo vel minim^ separantur ab invice^n, Nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi sphaeram trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem problematis xli in exemplo secundo ac tertio exhibitam. Idem, per exempla illa & theorema xli inter se collata, facile colligitur de attractionibus corporum versus orbes concavo-convexos, sive corpora attracta collocentur extra orbes, sive intra in eorum cavi- tatibus. Sed & addendo vel auferendo his sphaeris & orbibus ubivis extra locum contactus materiam quamHbet attractivam, eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis assignatam^ constabit propositio de corporibus universis. Q.E.D. PROPOSITIO LXXXVII. THEOREMA XLIV. Si corpora duo sibi invicem similia, & ex materia cBqualiter attractiva constantia, seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia & ad se similiter posita : attractiones acceleratrices corpusculorum in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpusculorum in eorum particulas totis proportionales, & in totis similiter positas. Nam si corpora distinguantur in particulas, quae sint totis propor- tionales, & in totis simiHter sitse ; erit, ut attractio in particulam quamHbet unius corporis ad attractionem in particulam correspon- dentem in corpore altero, ita attractiones in particulas singulas primi corporis ad attractiones in alterius particulas singulas correspondentes ; & componendo, ita attractio in totum primum corpus ad attractionem in totum secundum. Q. E. D. 2 12 DE MOTU CORPOR UM CoroL I. Ergo si vires attractivse particularum, augendo distantias corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis cujusvis distantiarum ; attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora directe, & distantiarum dignitates illae inverse. Ut si vires particularum decrescant in ratione duplicata distantiarum a cor- pusculis attractis, corpora autem sint ut A cub. & B ctcb, ideoque tum corporum latera cubica, tum corpusculorum attractorum distantiae a corporibus, vX A 8i B : attractiones acceleratrices in corpora A cub. o B cub. . , - Mi 1 • erunt ut — r & — . , id est, ut corporum latera illa cubica A quacl. B quad. A & B. Si vires particularum decrescant in ratione triplicata distantiarum a corpusculis attractis ; attractiones acceleratrices in ^ ^ A cub. o B ctib. . . , ^. . corpora tota erunt ut — & — — - , id est, a^quales. Si vires decrescant in ratione quadruplicata ; attractiones in corpora erunt ut A cub. o B cub. . . . , ^ * ^ rs T. ^ , —1 & — , id est, reciproce ut latera cubica A ci B. Et sic Aqq. Bqq. in caeteris. Corol. 2. Unde vicissim, ex viribus, quibus corpora similia trahunt corpuscula ad se similiter posita, colligi potest ratio decrementi virium particularum attractivarum in recessu corpusculi attracti ; si modo decrementum illud sit directe vel inverse in ratione aliqua distantiarum. PROPOSITIO LXXXVIII. THEOREMA XLV. St particularum cBqtcalium corporis cujusctmque vires attractivce sint ut distanticB locorum a particulis : vis corporis totius tendet ad ipsius centrum gravitatis ; & eadem erit cum vi globi ex materia consimili & ceqtiah constantis, & centrum habentis in ejus centro gravitatis, Corporis RSTV particulae A, B trahant corpusculum aliquod Z viribus, quae, si particulae aequantur inter se, sint ut distanti^ A Z, B Z ; sin particulae statuantur inaequales, sint ut hae particulae & ipsarum distantiae A Z, B Z conjunctim, sive (si ita loquar) ut hse particulae in distantias suas A Z, BZ respective ductae. Et exponantur LIBER PRIMUS. 213 hse vlres per contenta illa A xA Z 81 B x B Z. Jungatur A B, & secetur ea in G ut sit -^ 6^ ad ^ 6^ ut particula B ad particulam A; & erit G commune centrum gravitatis particularum A & B. Vis A X A Z (per legum corol. 11) resolvitur in vires A x G Z 8i A x A G & vis BxB Z in vires BxGZ&BxBG. Vires autem A xA G & B X B G, oh proportionales A ad B & B G a,d A G, sequantur ; @.„ ideoque cum dirigantur in partes ^ "•■"•J^^^^^^^^^^^^ contrarias, se mutuo destruunt. '•..•• Restant vires A xGZ&BxGZ, Tendunt hse ab Z versus centrum Gy & vim A -\-B X G Z compo- nunt ; hoc est, vim eandem ac si particulae attractivse A SlB consis- terent in eorum communi gravitatis centro G, globum ibi componentes. Eodem argumento, si adjungatur particula tertia C, & componatur hujus vis cum w\ A -\-B x G Z tendente ad centrum G; vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi illius in 6^ & particulae C; hoc est, ad commune centrum gravitatis trium particularum A, B, C; & eadem erit, ac si globus & particula C consisterent in centro illo communi, globum majorem ibi componentes. Et sic pergitur in infini- tum. Eadem est igitur vis tota particularum omnium corporis cujus- cunque R S T V, 3.0 si corpus illud, servato gravitatis centro, figuram globi indueret. Q. E,D, CoroL Hinc motus corporis 2X\x2sX\ Z idem erit, ac sl corpus at- trahens R S T V esset sphsericum : & propterea sl corpus illud attra- hens vel qulescat, vel progrediatur uniformiter in directum ; corpus attractum movebitur in elHpsi centrum habente in attrahentis centro gravitatis. PROPOSITIO LXXXIX. THEOREMA XLVI. Si corpora siiit plura ex particulis csqualibus constantia, quarum vires sunt ut distanticB locorum a singulis : vis ex oninium viribus compo- sita, qua corpusculum quodcunque trahitur, tendet ad trahentium commune centrum gravitatis ; & eadem erit, ac si trahentta tlla, 214 DE MOTU CORPORUM scTvato gravitatis cefitro commtmiy coirent & in globtim for- mare^ttur. Demonstratur eodem modo, atque propositio superior. Corol. Ergo motus corporis attracti idem erit, ac si corpora tra- hentia, servato communi gravitatis centro, coirent & in globum formarentur. Ideoque si corporum trahentium commune gravitatis centrum vel quiescit, vel progreditur uniformiter in Hnea recta; corpus attractum movebitur in elHpsi, centrum habente in communi illo tra- hentium centro gravitatis. PROPOSITIO XC. PROBLEMA XLIV. Si ad singula circuli cujuscunque puncta te?idant vires csquales centripetcey crescentes vel decrescentes in quacunque distajitiarum ratione: invenire vim, qua corpusculum attrahitur ubivis positum in recta, qucE plano circuli ad centrum ejus perpendictdariter insistit. Centro A intervallo quovis A Dy in plano, cui recta A P perpen- dicularis est, describi intelligatur circulus ; & invenienda sit vis, qua corpusculum quodvis P in eundem attrahitur. A circuH puncto quovis E ad corpusculum attractum PagaturrectaP^. InrectaP^ ca- piatur P F ipsi P E aequaHs, & eriga- tur normaHs F K^ quae sit ut vis qua punctum E trahit corpusculum P. Sitque I K L curva Hnea quam punc- tum K perpetuo tangit. Occurrat eadem circuH plano in L. In P A capiatur P H sequaHs P D, 8i eriga- tur perpendiculum H I curvae prae- dictae occurrens in /; & erit corpus- cuH P attractio in circulum ut area AHIL ducta in altitudinem A P. Q. E. I. Etenim in ^ ^ capiatur Hnea quam minima E e. Jungatur P e, & in P E, P A capiantur P C, P f ipsi P e aequales. Et quoniam LIBER PRIMUS. 2 I 5 vls, qua annull centro A intervallo A E m plano praedlcto descrlpti punctum quodvis E trahit ad se corpus P, ponitur esse ut F K, & inde vis, qua punctum illud trahit corpus P versus A, est ut A P X F K — — — , & vis, qua annulus totus trahlt corpus P versus A, ut APy.FK annulus & jr-= — conjunctlm ; annulus autem iste est ut rectan- P E gulum sub radlo A E 8l latitudine E e, 81 hoc rectangulum (ob proportlonales P E & A E, Ee & C E) aequatur rectangulo P E y. CE seu P ExFf; erit vis, qua annulus iste trahit corpus P versus y4 P yc F TC A, ut P ExFf & ^-= — conjunctim, id est, ut contentum Ffx FKxA P, sive ut area F K kf dxxctdi In A P, Et propterea summa virium, quibus annuH omnes in circulo, qui centro A & intervallo AD descrlbitur, trahunt corpus /^ versus Ay est ut area tota A HIKL ducta in A P, Q, E, D. Corol. I. Hinc si vires punctorum decrescunt in duplicata distan- tlarum ratione, hoc est, si sit FK ut ^ ^ r , atque ideo area P F quad, ^ AHIKL ut -=— : — ;t-t>; erit attractio corpusculi P in clrculum PA PH ^ ^ PA.. ^ ^ AH ut i-p^. id est, ut -^, Corol. 2. Et unlversaliter, si vires punctorum ad distantlas D sint reciproce ut distantiarum dignitas quaelibet D'*, hoc est, si sit FK ut :r— , ideoque area AHIKL ut ^ . ^p—rp — ;eritattrac- I PA tio corpusculi P in circulum ut ^_^ — lth-x • Corol. 3. Et si dlameter circuli augeatur in infinitum, & numerus n sit unitate major ; attractlo corpusculi P in planum totum infinitum P A erit reclproce ut P A*"-^, propterea quod terminus alter //«>-, evanescet. 2i6 i^E MOTU COKFORUM PROPOSITIO XCI. PROBLEMA XLV. Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi rotundi, ad cujus piincta singula tendtmt vires cequales centripetce in quacunque distantiarum ratione decrescentes. In solldum D ECG trahatur corpusculum P, situm in ejus axe A B. Circulo quolibet R F S ^lA hunc axem perpendiculari secetur hoc solidum, & in ejus semidiame- tro FS, in plano aliquo PALKB per axem transeunte, capiatur (per prop. xc) longitudo FK vi, qua corpusculum P in circulum illum attrahitur, proportionaHs. Tangat autem punctum K curvam Hneam LKI, planis extimorum circulorum A L & B I occurrentem in Z & /; & erit attractio corpuscuH P in soHdum ut area LABL Q.E.I Corol. cyHndrus A D E B circa axem A B revol- uto descriptus, & vires centripetae in singula ejus puncta tendentes sint reciproce ut quadrata distan- tiarum a punctis : erit attractio corpuscuH P in hunc cyHndrum utAB^PE+PD. Namordi- I. Unde si soHdum sit, parallelogrammo v I? & r i/ natim appHcata FK (per corol. i prop. xc) erit ut i P F Hujus P R' pars I ducta in longitudinem A B, describit aream ixAB: P F & pars altera -^^-^ ducta in longitudinem P B, describit PR L K I qua- eadem ducta aream i in PE-DA (Id quod ex curv^ dratura facile ostendi potest) ; & simiHter pars in longitudinem PA describit aream i in PD—AD, ductaque in ipsarum PB, PA differentiam AB describit arearum differentiam De in PE''PD. contento primo i xA B auferatur con- LJBER PRIMUS. 217 tentum postremum i in P^— /'/^, & restabit area L A B I aequalis I in A B—P E-^-P D. Ergo vis, huic areae proportionalis, est ixtAB-PE^-PD. CoroL 2. Hinc etiam vis innotescit, qua sphserois A G B C attrahit corpus quodvis P, exterius in axe suo A B situm. Sit NKRM sectio conica cujus ordinatim appHcata E R, ipsi P E perpendicularis, aequetur semper longitudini P D, quae ducitur ad punctum illud D, in quo appHcata ista sphaeroidem secat. A sphaeroidis verticibus A, B ad ejus axem AB erigantur perpendicula A K, B Mv^^is, A P, B P aequaHa respective, & propterea sectioni conicae occurrentia in K & M ; & jungatur A^J/auferens ab eadem segmentum K MRK. ; * -~-^ M Iq s c /^ / £ // "/ y/ri // ' / "^-^__A __^ ^^ X' ^i^ N / P / A B descripta trahit idem corpus, ut Sit autem sphaeroidis centrum 6^ & semidiameter maxima S C : %l vis, qua sphaerois trahit corpus P, erit ad vim, qua sphaera diametro ASyiCSq-P Sy^KMRK PSq^-CSq-ASq ad — =-— '—. . Et eodem computandi fundamento invenire Hcet ZP S qiiad. vires segmentorum sphaeroidis. Corol. 3. Quod si corpusculum intra sphaeroidem in axe coHoce- tur ; attractio erit ut ipsius distantia a centro. Id quod faciHus hoc argumento coHigitur, sive particula in axe sit, sive in aHa quavis diametro data. Sit A G O F sphaerois attrahens, 6" centrum ejus, & P corpus attractum. Per corpus iHud P agantur tum semidiameter S P A, tum rectae duae quaevis D E, FG sphaeroidi hinc inde occur- 2l8 DE MOTU CORPORUM rentes m D &. E, F 8i G ; sintque P C M, H L N superficies sphse- roidum duarum interiorum, exteriori similium & concentricarum, quarum prior transeat per corpus P, & secet rectas D E 8>l FG in B 8l C, posterior secet easdem rectas in //, / & K, L. Habeant autem sphaeroides omnes axem communem, & erunt rectarum partes hinc inde interceptae D P &l B E, FP 8lCG, DH8i lE, FK 8l L G sibi mutuo sequales ; propterea quod rectae D E, P B 8i H I bisecantur in eodem puncto, ut & rectae FG, P C 81 K L. Concipejam D P F, EPG designare conos oppositos, anguHs verticahbus DPF, EP G infinite parvis descriptos, 8l Hneas etiam D H, E I infinite parvas esse ; & conorum particulae sphaeroidum superficiebus abscissae DHKF, GLIE, ob aequaHtatem Hnearum D H^ E I, erunt ad invicem ut quadrata distantiarum suarum a corpusculo Py 8l propterea corpusculum iHud aequaHter trahent. Et pari ratione, si superficiebus sphaeroidum innumerarum simiHum con- centricarum & axem communem habentium dividantur spatia D P F, ^6^ C^ in particulas, hae omnes utrinque aequaHter trahent corpus P in partes contrarias. ^Equales igitur sunt vires coni DPF 8l segmenti conici EGCB, 8l per contrarietatem se mutuo destruunt. Et par est ratio virium materiae omnis extra sphaeroidem intimam PCBM. Trahitur igitur corpusP a sola sphaeroide intima PCBM, 8l propterea (per corol. 3 prop. lxxii) attractio ejus est ad vim, qua corpus A trahitur a sphaeroide tota A G O D, ut distantia P S ad distantiam A S. Q.E.D. PROPOSITIO XCII. PROBLEMA XLVI. Dato corpore attractivOy invenire rationem decrementi virium centri- petarum in ejus puncta singula tendentium. E corpore dato formanda est sphaera vel cyHndrus aHave figura regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi congruens, (per prop. lxxx, lxxxi & xci) inveniri potest. Dein factis expe- rimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, & lex LIBER FRIMUS. 219 attractlonis in totum inde patefacta dablt rationem decrementi virium partium singularum, quam invenire oportuit. PROPOSITIO XCIII. THEOREMA XLVII. Si solidtcm ex nna parte planum, ex reliquis autem partibus infini- ttim, constet ex particulis cequalibics cequaliter attractivis, quartcm vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujus- vis distantiarum plusquam quadraticce, & vi solidi totius corpus- culum ad utramvis plani partem coustitutum trahatur: dico quod solidi vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie plana, decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi a plano, & index ternario minor qtiam index potestatis distantiarum, Cas. I. Sit L 6^/planum quo solidum terminatur. Jaceat solidum autem ex parte plani hujus versus /, inque plana innumera m H M, nlN, oKO, &c. ipsi GL parallela resolvatur. Et prlmo collocetur corpus at- tractum C extra solidum. Agatur autem C G H I planis illis innumeris per- c pendicularis, & decrescant vires attractlvae punctorum solidi in ratione potestatls dlstantiarum, cujus index sit numerus n ternario non minor. Ergo (per corol. 3 prop. xc) vis, qua planum quodvis mH M trahit punctum C, est reciproce ut CH*'~''. In plano m H M C2l- piatur longitudo H M ipsi C H"~'' reciproce proportionalis, & erit vis illa ut H M. Simlliter in planis singuHs l G L, n I N, 0 K O, &c. capiantur longltudines G L, J N, K O, &c. ipsis C G"~'', C I"~^, C K^^^^y &c. reciproce proportionales ; & vlres plan- orum eorundem erunt ut longltudines captae, ideoque summa virium ut summa longltudinum, hoc est, vis solidi totius ut area L ■■•-- N 0 1 . h 6 i H : 771 I 71 K 0 220 DE MOTU CORPORUM N 0 c I K o G L O K \w infinitum versus O K producta. Sed area illa (per notas quadraturarum methodos) est reciproce ut C G"'^, & propterea vis solidi totius est reciproce ut C G*'~\ Q, E. D, Cas, 2. Collocetur jam corpusculum C ex parte plani IG L intra solidum, & capiatur distantia C K sequalis distantiae CG, Et solidi pars LGlo KO, planis parallelis l G L, o K O terminata, cor- pusculum C in medio situm nullam in partem trahet, contrariis oppositorum punctorum actionibus se mutuo per sequalitatem tollentibus. Proinde cor- pusculum C sola vi solidi ultra planum O K siti trahitur. Hsec autem vis (per casum primum) est reciproce ut C K''^^, hoc est (ob aequales CG.CK) reciproce ut C G^-\ Q, E, D, Corol, I. Hinc si solidum L G I N planis duobus infinitis paralleHs L G, I N utrinque terminetur; innotescit ejus vis attractiva, subdu- cendo de vi attractiva solidi totius infiniti L G K O vim attractivam partis ulterioris N I K O, in infinitum versus K O productae. Corol. 2. Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio ejus collata cum attractione partis citerioris nulHus pene est momenti, rejiciatur : attractio partis illius citerioris augendo distantiam decrescet quam proxime in ratione potestatis C G"~\ Corol, 3. Et hinc si corpus quodvis finitum & ex una parte planum trahat corpusculum e regione medii ilHus plani, & distantia inter corpusculum & planum coHata cum dimensionibus corporis attra- hentis perexigua sit, constet autem corpus attrahens ex particuHs homogeneis, quarum vires attractivae decrescunt in ratione potestatis cujusvis plusquam quadrupHcatae distantiarum ; vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime in ratione potestatis, cujus latus sit distantia iHa perexigua, & index ternario minor quam index potestatis prioris. De corpore ex particuHs constante, quarum vires attractivae decrescunt in ratione potestatis tripHcatae distantiarum, assertio non valet ; propterea quod, in hoc casu, attractio partis iHius ulterioris corporis infiniti in coroHario secundo, semper est infinite major quam attractio partis citerioris. LTBER PRIMVS. 2 2 l Scholhtm. Si corpus allquod perpendiculariter versus planum datum trahatur, & ex data lege attractionls quaeratur motus corporis : solvetur problema quaerendo (per prop. xxxix) motum corporis recta descendentls ad hoc planum, & (per legum corol. 11) componendo motum istum cum uniformi motu, secundum Hneas eldem plano parallelas facto. Et contra, si quseratur lex attractionis in planum secundum lineas perpendiculares factae, ea conditione ut corpus attractum in data quacunque curva Hnea moveatur, solvetur problema operando ad exemplum problematis tertii. Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applica- tas in series convergentes. Ut si ad basem A in angulo quovis dato ordinatim appHcetur longitudo B, quse sit ut basis dignitas quaeHbet A " ; & quaeratur vis qua corpus, secundum positionem ordinatim appHcatae, vel in basem attractum vel a basi fugatum, moveri possit in curva Hnea, quam ordinatim appHcata termi- no suo superiore semper attingit : Suppono basem augeri parte quam minima O, & ordinatlm appHcatam A + O | ^* resolvo in w ^ * ~ir mm—mn serlem infinitam A " + - O A ' + O O A &c. at- n 2nn que hujus termino in quo O duarum est dimensionum, id est, m — 2« termlno O O A " vim proportionalem esse suppono. Est 2 nn m — in mm—mn ^ "^ igitur vis quaesita ut A , vel quod perinde est, ut mm — mn ^ ~ir ,7 • 1. • 1. t 1 D . U t si ordmatim apphcata parabolam attmgat, existente m = 2, & n=: i: fiet vis ut data 2 B*', ideoque dabitur. Data igitur vi corpus movebitur in parabola, quemadmodum GalilcEus demonstravit. Quod si ordinatim appHcata hyperbolam attingat, existente m = o—\, & n=\ ; fiet vis ut 2 A~^ seu 2 B^ : ideoque vi. quae sit ut cubus ordinatim appHcatae, corpus movebitur in hyperbola, 222 DE MOTU CORPORUM Sed missis hujusmodi propositionibus, pergo ad alias quasdam de motu, quas nondum attigi. SECTIO XIV. De motu corporum minhnorum, quce viribtis centripetis ad singulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur. PROPOSITIO XCIV. THEOREMA XLVIII. Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrinque terminato, distinguantur ab invicemy & corpus in transitu per hoc spatitim attrahatur vel impellatjir perpe^idiculariter versus medium alteru- trum^ neque ulla alia vi agitettcr vel impediatur ; sit autem attractio, in ceqtialibus ab utroque plano distantiis ad eandem ipsius partem captis, ubique eadem: dico quod sinus incidentice in planum alterutrum erit ad sinum emergentics ex plano altero in ratione data. Cas, I. Sunto A a, B b plana duo parallela. Incidat corpus in planum prius A a secundum lineam G H, ac toto suo per spatium intermedium transitu attrahatur vel impellatur versus medium incidentise, eaque actione de- scribat lineam curvam H I, & emergat secundum lineam I K, Ad planum emergentise B b erigatur perpendiculum / M, occurrens tum linese inciden- tiae G H productae in M, tum plano incidentiae A am R ; & linea emergentiae K I producta occurrat H M m L, Centro L intervallo Z/describaturcircu- lus, secans tam HM in P & Q, quam M/ productam in N, & primo LIBER PRIMUS, 223 si attractio vel impulsus ponatur unlformis, erit (ex demonstratis GalilcBi) curva H I parabola, cujus hsec est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto & linea IM sequale sit 77J/ quadrato ; sed & linea H M bisecabitur in L. Unde si ad J// demittatur perpendiculum L O, cequales erunt J/6>, O R; & additis aequalibus O Hy O /, fient totae sequales MH, I R. Proinde cum I R detur, datur etiam M N ; estque rectangulum N" M I 2i6. rectangulum sub latere recto 81 1 Af, hoc est, ad H Mq, in data ratione. Sed rectangulum N M I aequale est rectangulo P M Q/\di est, differentiae quadratorum M Lq,8>i P Lq seu Llq; & HMq datam rationem habet ad sui ipsius quartam partem MLq : ergo datur ratio ML q — L I q ad M L q, & conver- tendo ratio / Iq ad ML q, & ratio dimidiata Z / ad ML. Sed in omni triangulo L M I, sinus angulorum sunt proportionales lateribus oppositis. Ergo datur ratio sinus anguli incldentiae L M R ad sinum anguli emergentiae L I R. Q. E. D. Cas. 2. Transeat jam corpus successive per spatia plura parallelis planis terminata, A ab B, B bc C, &c. & agitetur vi quae sit in sin- gulis separatim uniformis, at in diver- sis diversa ; & per jam demonstrata, ^ sinus incidentiae in planum primum \ A a erit ad sinum emergentiae ex plano ^ \~ secundo B b, in data ratione ; & X^ ~ # hic sinus, qui est sinus incidentiae in planum secundum B b, erit ad sinum emergentiae ex plano tertio C c, in data ratione ; & hic sinus ad sinum emergentiae ex plano quarto D d, in data ratione ; & slc in infinitum : & ex aequo, sinus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae ex plano ultlmo in data ratione. Minuantur jam planorum intervalla & augeatur numerus in infinitum, eo ut attractionis vel impulsus actio, secundum legem quamcunque assignatam, continua reddatur; & ratio slnus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae ex plano ultimo, semper data existens, etiamnum dabitur. Q. E. D, 2 24 DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO XCV. THEOREMA XLIX. lisdem positis ; dico quod velocitas corporis ante incidentiajn est ad ejus velocitatevt post enierge^itiam, ut sinus emergentice ad sinum incidentice, Capiantur A H, I d aequales, & erigantur perpendicula A G, d K occurrentia lineis incidentise & emergentiae G H, I K, in G 8i K. In Gi^capiatur T^ZTsequalis /A', & ad planum A a demittatur nor- maliter T v. Et (per legum corol. ii) distinguatur motus corporis in duos, unum planis A a, B b,C c, &c. perpendicularem, alterum iis- dem parallelum. Vis attractionis vel impulsus, agendo secundum lin- eas perpendiculares, nil mutat mo- tum secundum parallelas, & prop- ^ terea corpus hoc motu conficiet ^ aequalibus temporibus sequalia illa "^ secundum parallelas intervalla, quae sunt inter lineam A G & punctum Hy interque punctum / & lineam dK; hoc est, aequalibus tempori- bus describet lineas G H^ I K. Proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post emergentiam, ut G H 2A I K vel TH, id est, ut A H vel I d ad v H, hoc est (respectu radii T H vel I K) ut sinus emergentiae ad sinum incidentiae. Q.E,D, PROPOSITIO XCVI. THEOREMA L. lisdem positisy & quod motus ante incidentiam velocior sit quam postea : dico quod corpus, inclinando lineam incidenticSy reflecte- tur tandem, & angulus reflexionis fiet cequalis angulo incidentice. Nam concipe corpus inter parallela plana A a, B b, C c, &c. de- scribere arcus parabolicos, ut supra ; sintque arcus illi H P, P Q, Q R, &c. Et sit ea lineae incidentiae G H obliquitas ad planum pri- LIBER PRIMUS. 225 mum A a, ut slnus incidentiae sit ad radium circuli, cujus est sinus, in ea ratione quam habet idem sinus incidentise ad sinum emergen- tia^ ex plano D d, in spatium D deE: & ob sinum emergentise jam factum sequalem radlo, angulus emergentlae erlt rectus, Ideoque linea emergentiae coincldet cum plano D d. Pervenlat corpus ad hoc planum in puncto R; & quoniam llnea emergentlse colncidlt cum eodem plano, ^, ^n ,,/ ^ ' A ^^'^- -^^ a perspicuum est quod corpus b ^^"o i C G, QS 8z CE) CE^^BG-FR ad CE-FS, Verum (ob propor- tionales B G 2id CE & M-N ad N) est etiam CE-^BG ad CE ut M ad N ; ideoque divisim FR 2id FS ut M ad N ; & propterea (per corol. 2 prop. xcvii) superficies EF cogit corpus, in ipsam secundum lineam DF incidens, pergere in linea FR ad locum B. Q.E.D. Scholhim. Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures. Ad usus autem opticos maxime accommodatae sunt figurae sphaericae. Si perspicillorum vitra objectiva ex vitris duobus sphaerice figuratis & aquam inter se claudentibus conflentur; fieri potest ut a refrac- tionibus aquae errores refractionum, quae fiunt in vitrorum superficiebus extremis, satis accurate corrigantur. Talia autem vitra objectiva vitris ellipticis & hyperbolicis praeferenda sunt, non solum quod facihus & accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accuratius refringant Veruntamen diversa diversorum radiorum refrangibiHtas impedimento est, quo minus optica per figuras vel sphaericas vel aHas quascunque perfici possit. Nisi corrigi possint errores ilHnc oriundi, labor omnis in caeteris corrigendis imperite coHocabitur. DE MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS, SECTIO I. De motic corporum qtcibus resistitur in ratione velocitatis. PROPOSITIO I. THEOREMA I. Corporisy cui resistitur in ratione velocitatis, 77totus ex resistentia amissus est ut spatium move^ido confectum, NAM cum motus singulis temporis particulis aequalibus amissus sit ut velocitas, hoc est, ut itineris confecti particula : erit, componendo, motus toto tempore amissus ut iter totum. Q. E. D. CoroL Quare si corpus, gravitate omni destitutum, in spatiis liberis sola vi insita moveatur; ac detur tum motus totus sub initics tum etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum : dabitur spatium totum quod corpus infinito tempore describere potest. Erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum, ut motus totus sub initio ad motus illius partem amissam. LEMMA I. Quantitates differentiis suis proportionales sunt continue proportio7iales. Sit A ad A-B ut B ad B-C & C ad C-D &c., & conver- tendo fiet A ad B ut B ad C & C ad D &c. Q. E. D. DE MOTU CORPORUM, &^c. 23 1 PROPOSITIO II. THEOREMA II. Si corpori resistitiir in ratiofie velocitatis, & idem sola vi insita per medium similare moveattir, sumanttcr autem tempora cBqualia : velocitates in principiis singulorum temporum sunt in progressione geometrica, & spatia singulis temporibus descripta sunt ut velocitates, Cas. I. Dividatur tempus in particulas sequales ; & si ipsis particularum initiis agat vis resistentise impulsu unico, quae sit ut velocitas : erit decrementum velocitatis sing-ulis temporis particulis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis proportionales, & propterea (per lem. i lib. 11) continue proportionales. Proinde si ex sequali particularum numero componantur tempora quselibet sequalia, erunt velocitates ipsis temporum initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum capiuntur, omisso passim sequali terminorum intermediorum numero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex rationibus inter se iisdem terminorum intermediorum sequaliter repetitis, & propterea ese quoque rationes compositse inter se esedem sunt. Igitur velocitates, his terminis proportionales, sunt in progressione geometrica. Minuantur jam sequales illse temporum particulse, & augeatur earum numerus in infinitum, eo ut resistentise impulsus reddatur continuus; & velocitates in principiis sequalium temporum, semper continue proportionales, erunt in hoc etiam casu continue proportionales. Q. E. D. Cas. 2. Et divisim velocitatum differentise, hoc est, earum partes singuHs temporibus amissse, sunt ut totse : spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amissse (per prop. i lib 11) & propterea etiam ut totse. Q. E. D. Corol. Hinc si asymptotis rectanguHs A C, CH describatur hyperbola B G, sintque A B^ D G dA asymptoton A C perpendiculares, & exponatur tum corporis velocitas tum resistentia medii, ipso motus initio, per Hneam quamvis da- tam AC, elapso autem tempore aHquo per Hneam indefinitam DC: exponi potest tempus per aream ABGDy & spatium eo tempore descriptum per Hneam AD. Nam si area iHa per motum 32 DE MOTU CORPORUM puncti D augeatur unlformiter ad modum temporis, decrescet recta D C m ratione geometrica ad modum velocitatis, & partes rectae A C ^equallbus temporibus descriptse decrescent in eadem ratione. PROPOSITIO III. PROBLEMA I Corporis, ctci, dtmi in medio siniilari recta asceiidit vel descendit, resistitur ht ratione velocitatisy quodque ab ufii/ormi gravitate urgetur, definire motum, Corpore ascendente, exponatur gravitas per datum quodvis rectangulum B A C H, & resistentia medii initio ascensus per rectan- gulum B A D E sumptum ad contrarias partes rectse A B. Asymptotis rectangulis A C, CH, per punctum B describatur hyperbola secans perpendicula DE, de in G, g; & corpus ascen- dendo tempore Z^6^^^describet spatium EGge, tempore DGBA spatium ascensus totius E G B ; tempore ABKI spatium de- scensus B FK, atque tempore I Kki spatium descensus KFfk; & velocitates corporis (resistentiae medii proportionales) in horum temporum periodis erunt A B E D, A B e d, nulla, A B FI, A Bfi respective ; atque maxlma velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, erit B A C H, Resolvatur enim rectangulum B A C H m rectangula innumera A k, Kl, L m, Mn, &c. quae sint ut incrementa velocitatum aequali- bus totidem temporibus facta ; & ^ erunt nihil, A k, A l, A m, A n, &c. ut velocltates totae, atque ideo (per hypothesin) ut resistentiae medii principio singulorum tempo- a k l mn j A / k/ / E e Z^^ J— — S F / D d J i j L 1 c m n iH LIBER SECUNDUS. 233 nim sequallum. Fiat A C i2l.A A K veX A B H C 2id A B k K wt w\s gravitatis ad resistentiam in principio temporis secundi, deque vi gravi- tatis subducantur resistentiae, & manebunt ABHC, KkH C, L l HC, MinHC, &c. ut vires absolutae quibus corpus in principio singu- lorum temporum urgetur, atque ideo (per motus legem 11) ut in- crementa velocitatum, id est, ut rectangula A k, K l, L m, M n, &c. & propterea (per lem. i lib. 11) in progressione geometrica. Quare si rectae K k, L l^ Mm, N n, &c. productse occurrant hyperbolae in q, r, s, t, &c. erunt areae A B q K, KqrL, L rsM, M s tN, &c. aequales, ideoque tum temporibus tum viribus gravitatis semper aequalibus analogae. Est autem area A B q K (per corol. 3 lem. vii & lem. VIII lib. i) ad aream B kq ut Kq a.d ^ kq seu A C a.d i A K, hoc est, ut vis gravitatis ad resistentiam in medio temporis primi. Et simiH argumento areae q K L r, rLMs, sMNt, &c. sunt ad areas qklr, rlms, smnty &c. ut vires gravitatis ad resistentlas In medio temporls secundi, tertii, quarti, &c. Prolnde cum areae aequales BAKq, q K L r, rLMs, sMNt, &c. sint virlbus gravi- tatis analogae, erunt areae B kq, qklr, rlms, smnt, &c. resistentils in mediis singulorum temporum, hoc est (per hypothesln) veloclta- tlbus, atque ideo descriptls spatlls analogae. Sumantur analogarum summae, & erunt areae Bkq, Blr, Bms, Bnt, &c. spatlis totls descriptls analogae ; necnon areae A B q K, A B r L, A B s M, A B t N, &c. temporlbus. Corpus igltur inter descendendum, tem- pore quovis A B r L, descrlbit spatium B Ir, 81 tempore LrtN spatlum r/^^/. Q.E.D. Et simlHs est demonstratio motus expositi in ascensu. Q. E. D. Corol. I. Igltur velocltas maxima, quam corpus cadendo potest acquirere, est ad velocltatem dato quovis tempore acquisltam, ut vis data gravltatis, qua corpus Illud perpetuo urgetur, ad vim reslsten- tlae, qua in fine temporls Illius Impeditur. Corol. 2. Tempore autem aucto in progressione arithmetica, sum- ma velocitatls IlHus maxlmae ac velocitatls in ascensu, atque etlam earundem differentia In descensu decrescit In progressione geo- metrlca. Corol. 3. Sed & differentlae spatlorum, quae in aequalibus tem- porum differentiis descrlbuntur, decrescunt In eadem progressione geometrica. 234 DE MOTU CCRPORUM CoroL 4. Spatium vero a corpore descriptum differentia est duo- rum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus, & alterum ut velocitas, quae etiam ipso descensus initio sequantur inter se. PROPOSITIO IV. PROBLEMA II. Posito quod vis gravitatis in medio aliqtio similari 7iniformis sit, ac tendat perpendiailariter ad planum horizontis ; definire motiLm pro- jectilis in eodem, resistentiam velocitati proportionalem patie7itis, E loco quovis D egredia- tur projectile secundum lineam quamvis rectam D P, & per longitudinem D P exponatur ejusdem velocitas sub initio mo- tus. A puncto P ad lineam horizontalem D C demittatur perpendiculum P Cy & secetur DC in A, ut sit Z^ ^ ad ^ C ut resistentia medii, ex motu in altitudinem sub initio orta, ad vim gravitatis ; vel (quod pe- rinde est) ut sit rectangulum sub DA & DP Sid rectangu- lum sub A C & CP ut resisten- tia tota sub initio motus ad vim gravitatis. Asymptotis D C, CP describatur hyperbola quse- vis G TB S secans perpendi- cula D G, A B m G & B ; & compleatur parallelogrammum D G K Cy cujus latus G K secet A B in Q. Capiatur linea N in ratione ad Q B qusi D C sit ad CP; & ad rectae DC punctum quodvis B erecto perpendiculo K T, quod hyperbolae in T, & rec- Xas E H, G Ky D P in ly t 81 Foccurrat; in eo cape F^ aequalem LIBER SECUNDUS. 235 , vel, quod perlnde est, cape R r sequalem — ; & prqjec- tile tempore D RTG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DraF, quam punctum r semper tangit, perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo A B, 8l postea semper appropinquans ad asymptoton P C, Estque velocitas ejus in puncto quovis r ut curvse tangens r L. Q.E.I. Est enim N ad g^ ut Z^C ad CP seu DR ad R F, ideoque R V .. DRxQB ^ ^ ,., ^ ^ , , ,, DRxQB-^GT. aequalis z^ — ^ 8c R r {id est R V— V r seu ^^— ) ,. DRxAB-RDGT ^ . ^ sequalis ri^ . Exponatur jam tempus per aream RD G Ty & (per legum corol. 11) distinguatur motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum reslstentia sit ut motus, dlstinguetur etiam hsec in partes duas partlbus motus pro- portionales & contrarias : ideoque longltudo, a motu ad latus descripta, erlt (per prop. 11 hujus) ut linea D R, altltudo vero (per prop. III hujus) ut area DRxAB — RDGT, hoc est, ut Hnea Rr. Ipso autem motus initlo area RDGT ^qudXis, est rectan- 1 r^r. ^^ .J r .11 r, / D R X A B - D R X A Q. gulo DR xAQ, ideoque hnea illa R r (seu r^ -) tunc est ad DR ut A B-A Q seu g ^ ad N, id est, ut CP ad D C; atque Ideo ut motus In altltudinem ad motum In longitudinem sub Inl- tio. Cum Igitur Rr semper slt ut altltudo, ac DR semper ut longitudo, atque Rr ad DR sub Initio ut altltudo ad longitudinem : necesse est ut Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propterea ut corpus moveatur in HneaZ^r«/% quam punctum r perpetuo tanglt. Q.E.D. ^ , ^ . . o ,. DRxAB RDGT ., Corol. I. Est igitur /c r aequahs r^ r^ : ideoque . , X. ^ 1 T^ ' r. ^r 1. DRxAB ., si producatur R T ad X ut sit RX aequahs r^^ ; id est, si compleatur parallelogrammum A C P Yy jungatur D Y secans CP in Zy & producatur R T donec occurrat D YmX ; erit X r sequahs R D C T rri , & propterea temporl proportlonahs. Corol. 2. Unde sl capiantur innumerae C R, vel, quod perinde est, innumerae Z X m progressione geometrlca ; erunt totidem X r m 236 DE MOTU CORPORUM progressione arithmetica. Et hinc curva Z^ z' ^ /^ per tabulam loga- rithmorum facile delineatur. CoroL 3. Si vertice D, diametro D G deorsum producta, & la- tere recto quod sit ad 2 Z^ P ut resistentia tota ipso motus ini- tio ad vim gravitatis, parabola construatur : velocitas quacum corpus exire debet de loco D secundum rectam DP, ut in me- dio uniformi resistente describat curvam DraF, ea ipsa erit qua- cum exire debet de eodem loco D, secundum eandem rectam DP, ut in spatio non resistente describat parabolam. Namlatus \^ rectum parabolae hujus, ipso mo- ^ R D V quad. ^ ^. jf ; & Vr est ^_ Vr N 2 N autem quse, si duceretur, hyperbolam G TS tangeret in G, parallela est ipsi D A, ideoque Tt est — — — , & N erat — — ^ ^ . Et A tus initio, est tGT DRxTf seu Recta DC CP j. DRgxCKyCP ., , , . , propterea Fr est ^^^^ ^ , id est (ob proportionales Z^ i? &Z^C,Z7F&Z^P)^g^^^^,& latus rectum^i^ .. 2DPqxQB ., ,\ . , ^ CKx CP ' ^^^ ^ proportionales QB^ C K, D A & . ^. 2DPqxDA .j , ^^ ^ A Cx CP ' ^^^^^^^ ^^ 2 DP, ut DP X DA ad CPxA C; hoc est, ut resistentia ad gravitatem. Q.E.D. CoroL 4. Unde si corpus de loco quovis D, data cum velocitate, secundum rectam quamvis positione datam DP projiciatur ; & re- sistentia medii ipso motus initio detur : inveniri potest curva DraF, quam corpus idem describet. Nam ex data velocitate datur latus rectum parabolse, ut notum est. Et sumendo 2 Z> P ad latus illud rectum, ut est vis gravitatis ad vim resistentiae, datur D P. Dein LIBER SECUNDUS. 237 secando D C \vi A, Mt ^W. C P v. A C 2A D P y. D A In eadem illa ra- tione gravitatls ad reslstentlam, dabltur punctum A. Et Inde datur curva D r a F. Corol. 5. Et contra, sl datur curva D r a F, dabitur & velo- citas corporis & reslstentia me- dll In locls singulls r. Nam ex data ratlone CPxACdidDP y^DAy datur tum reslstentia medil sub Initio motus, tum la- tus rectum parabolse : & Inde datur etiam velocitas sub Inltio motus. Deinde ex longitudine tangentls rZ, datur & huic pro- portionalis velocitas, & velocl- tatl proportionalis reslstentla In loco quovls r. Corol. 6. Cum autem longl- tudo 2 D P slt ad latus rectum parabolae ut gravitas ad resisten- tiam in Z^; & ex aucta velocl- tate augeatur resistentia In eadem ratione, at latus rectum parabolae augeatur in rationellladuplicata: patet longltudinem 2 D P au- geri In ratione illa slmpllci, ideoque velocltatl semper proportlonalem esse, neque ex angulo CDP mutato augerl vel minui, nisi mutetur quoque velocltas. Co7^ol. 7. Unde Ilquet methodus determinandl curvam DraF ex phaenomenis quamproxime, & inde colllgendl reslstentlam & velo- citatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo slmilla & sequalia eadem cum velocitate, de loco D, secundum angulos dlversos CDP, CDp & cognoscantur loca F, f, ubl Incldunt in horizon- tale planum D C. Tum, assumpta quacunque longitudlne pro D P vel D p, fingatur quod resistentia In D sit ad gravitatem in ratione qualibet, & exponatur ratio illa per longitudlnem quamvls S M. 238 DE MOTU CORPOR UM Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta D P, in- Ff veniantur longitudines D F, Df, ac de ratione ^y^, per calculum inventa, auferatur ratio eadem per experimentum inventa, & ex- ponatur differentia per perpendiculum M N, Idem fac iterum ac ter- tio, assumendo semper novam resistentiae ad gravitatem rationem S M, 8l colligendo novam differentiam M N. Ducantur autem differentiae afifirmativse ad unam partem rectae S M, & negativae ad S M M^ N' alteram ; & per puncta N, N, N agatur curva regularis N N N se- cans rectam SMMM m X, & erit SX vera ratio resistenti^ ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda est longitudo D F per calculum ; & longitudo, quae sit ad assumptam longitudinem D P, ut longitudo D F per experimentum cognita ad longitudinem D F modo inventam, erit vera longitudo D P. Qua inventa, habetur tum curva linea DraF quam corpus describit, tum corporis velocitas & resistentia in locis singulis. ► LIBER SECUNDUS. ^^r. Scholium. Caeterum, resistentlam corporum esse in ratione velocitatis, hypothesls est magls mathematlca quam naturalls. In medlls, quae rlgore omni vacant, reslstentlse corporum sunt in dupHcata ratione velocltatum. Etenlm actione corporis velociorls communlcatur eldem medli quantltatl, tempore minore, motus major in ratlone majorls velocltatls ; ideoque tempore aequaH, ob majorem medii quantltatem perturbatam, communicatur motus in dupHcata ratione major; estque reslstentia (per. motus leg. ii & iii) ut motus com- munlcatus. Vldeamus igitur quales oriantur motus ex hac lege resistentiae. SECTIO II. De motu corporum quibus resistitur in dtcplicata ratione velocitatum. PROPOSITIO V. THEOREMA III. Si corpori resistitur in velocitatis ratione dtcplicata, & idem sola vi insita per medium similare movetur ; tempora vero sumantur in progressione geometrica a minoribus terminis ad majores pergente : dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progressio7ie geometrica inverse ; & quod spatia sunt csqualia^ quce singutis temporibus describuntur. Nam quoniam quadrato velocitatis proportionaHs est resistentia medii, & resistentiae proportionale est decrementum velocitatis ; si tempus in particulas innumeras aequales divldatur, quadrata velo- citatum singuHs temporum initiis erunt velocitatum earundem differentiis proportionaHa. Sunto temporis particulae IHae A K, K L, L My &c. in recta C B sumptae, & erigantur perpendicula A B, Kk, L t, Mm, &c. hyperbolae BklmG, centro C asymptotis 240 DE MOTU CORPORUM rectangulls C D, C H descriptae, occurrentla in B, k, /, m, &c. & erit AB ad Kk ut CK ad CA, & divlslm AB-Kk ad Kk ut AK ad CA, & vlclsslm A B-Kk ad A K ut Kk ad C^, ideoque ut y^ t^ X Kk ad y^^ X CA. Unde, cum AK &ABxCA dentur, erit ^i? —KkutABxKk; & ultlmo, ubi coeunt ^^ & A'/^, ut AB^. Et simili argumento erunt Kk—Ll, Ll^Mm, &c. ut ^^ ^imd. Ll qicad. &c. Linearum igltur A B, Kk, Ll, Mm quadrata sunt ut earun- dem differentiae; & idclrco, cum quadrata velocitatum fuerlnt etiam ut ipsarum dlfferentiae, slmilis erit ambarum progressio. Quo demonstrato, consequens est etlam ut jn arese his lineis descrlptae sint in pro- gressione consimili cum spatils quae velocitatibus describuntur. Ergo si velocitas initio prlml temporis A K exponatur per llneam A B, & velo- citas initio secundi KL per lineam Kk, & longitudo primo tempore descripta per aream AKkB; velo- citates omnes subsequentes expon- entur per lineas subsequentes L /, M m, &c. & longitudines descript^ per areas Kl, Lm, &c. Et composite, si tempus totum exponatur per summam partium suarum A M, longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum A MmB. Con- clpejam tempus A M 1X2, dividi in partes A K, K L, L M, &c. ut sint C^, CK, CL, CM, &c. in progressione geometrica; & erunt partes illae in eadem progresslone, & velocitates A B, K k, L /, Mm, &c. in progressione eadem inversa, atque spatia descripta A k, K l, Lm, &c. aequalia. Q.E.D. Corol. I. Patet ergo quod, si tempus exponatur per asymptoti partem quamvis A D, & velocitas in princlpio temporis per ordi- natim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam D G, & spatium totum descriptum per aream hyperbo- licam adjacentem ABGD; necnon spatlum, quod corpus ahquod eodem tempore A D, velocitate prima A B, in medio non resistente describere posset, per rectangulum A BxA D. Corol. 2. Unde datur spatium in medio reslstente descriptum, capiendo illud ad spatium quod velocitate uniformi A B ih medio LIBER SECUNDUS. 241 non resistente simul describi posset, ut est area hyperbollca A B G D ad rectangulum A BxA D., Corol. 3. Datur etlam resistentla medii, statuendo eam Ipso mo- tus Inltio sequalem esse vi unlforml centrlpetae, quse in cadente corpore, tempore A C, in medio- non reslstente, generare posset velocitatem A B. Nam si ducatur B 7" quse tangat hyperbolam in B^ & occurrat asymptoto in T; recta A T^sequalls erlt ipsi A C, & tem- pus exponet, quo reslstentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totam A B. Corol. 4. Et inde datur etiam proportio hujus reslstentiae ad vim gravltatis, aliamve quamvis datam vim centrlpetam. Corol. 5. Et vice versa, si datur proportlo resistentlae ad datam quamvls vim centripetam ; datur tempus A C, quo vls centripeta resistentlae aequalls generare posslt velocitatem quamvis A B : Sl inde datur punctum B per quod hyperbola, asymptotls C H, C D^ describi debet ; ut & spatium A B G D, quod corpus incipiendo motum suum cum velocltate illa A B, tempore quovis A D, in medio similari resistente describere potest. PROPOSITIO VI. THEOREMA IV. Corpoi^a sphcrrica homogeiiea & cBqtcalia, resistentiis in duplicata ratione velocitatum impedita, & solis viribus insitis incitata, tempori- 6us, q7CCB sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt semper csqualia spatia, & amittmit partes velocitatum proportionales totis. Asymptotis rectangulls C D, C H ^ descripta hyperbola quavis B b E e s^- cante perpendlcula y^ B, ab^ D B, de, in B, b, E, e, exponantur velocitates initlales per perpendicula AB,D E, & tempora per Hneas A a, Dd. Est ergo utAa3.d Dd ita (per hypothesln) DE ad A B, & ita (ex natura hyperbolae) CAa.d C D ; & componendo, ita C a ad Cd. Ergo areae A B b a, DEed, hoc est, spatia descripta Q 242 DR MOTU CORPORUM sequantur inter se, & velocitates primse A B, D E sunt ultimis^^, de, & propterea dlvidendo partlbus etlam suis amissis A B — ab, D E—de proportionales. Q. E. D. -^A PROPOSITIO VII. THEOREMA V. Corpora sphcErica qinbus resistitur in duplicata ratione velocitatum^ temporibus, qucs sunt tit motus primi directe & resistenticB primce inverse, amittent partes motuum proportionales totis, & spatia describent temporibus istis & velocitatibus primis conjunctim pro- portionalia, Namque motuum partes amissae sunt ut resistentiae & tempora conjunctim. Igitur ut partes illae sint totis proportionales, debebit resistentia & tempus conjunctim esse ut motus. Proinde tempus erit ut motus directe & resistentia inverse. Quare temporum par- ticulis in ea ratione sumptis, corpora amittent semper particulas motuum proportionales totis, ideoque retinebunt velocitates velocitati- bus suis primis semper proportionales. Et ob datam velocitatum rationem, describent semper spatia, quse sunt ut velocitates primae & tempora conjunctim. Q. E. D. CoroL I. Igitur si aequivelocibus corporibus resistitur in duplicata ratione diametrorum : globi homogenei quibuscunque cum veloci- tatibus moti, describendo spatla dlametris suis proportionalia, amit- tent partes motuum proportionales totis. Motus enlm globi cujusque erit ut ejus velocltas & massa conjunctim, id est, ut velocitas & cubus diametri ; resistentia (per hypothesin) erit ut quadratum dlametri & quadratum velocitatis conjunctlm ; & tempus (per hanc propositlonem) est in ratione priore directe & ratlone posteriore inverse, id est, ut diameter dlrecte & velocitas inverse ; ideoque spatlum, tempori & velocltati proportlonale, est ut diameten Corol. 2. Si aequiveloclbus corporlbus resistitur in ratione sesqui- plicata diametrorum : globl homogenei quibuscunque cum velocitati- bus moti, descrlbendo spatla in sesquipllcata ratlone diametrorum, amittent partes motuum proportionales totis. Corol. 3. Et unlversaliter, si aequiveloclbus corporibus resistitur in ratione dignltatis cujuscunque diametrorum : spatla qulbus globi homogenei, qulbuscunque cum velocitatlbus moti, amittent partes LIBER SECUNDUS. 243 motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicati. Sunto diametri D & E ; & si resistentiae, ubi velocitates a^quales ponuntur, sint ut D" & E'' : spatia quibus globi, quibuscunque cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut D^-'* & E^-". Et propterea globi homogenei describendo spatia ipsis D^"'* & E^-'' proportionalia, retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio. Corol. 4. Quod si globi non sint homogenei, spatium a globo densiore descriptum augeri debet in ratione densitatis. Motus enim, sub pari velocitate, major est in ratione densitatis, & tempus (per hanc propositionem) augetur in ratione motus directe, ac spatium descriptum in ratione temporis.. CoroL 5. Et si globi moveantur in mediis diversis ; spatium in medio, quod caeteris paribus magis resistit, diminuendum erit in ratione majoris resistentiae. Tempus enim (per hanc propositionem) diminuetur in ratione resistentiae auctae, & spatium in ratione temporis. LEMMA II. Mome7itum genitcB cequatur mo7nentis laterum singulorum ge^ierantium ift eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia cofiti^iue ductis. Genitam voco quantitatem omnem, quae ex lateribus vel terminis quibuscunque in arithmetica per multiplicationem, divisionem, & extractionem radicum ; in geometria per inventionem vel contentorum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium, sine additione & subductione generatur. Ejusmodi quantitates sunt facti, quoti, radices, rectangula, quadrata, cubi, latera quadrata, latera cubica, & similes. Has quantitates, ut indeterminatas & instabiles, & quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes, hic considero ; & earum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine momentorum intelligo : ita ut incrementa pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave tamen intelkxeris particulas finitas. Particulae finitae non sunt momenta, sed quantitates ipsae ex momentis genitae. IntelHgenda sunt principia jamjam nascentia finitarum 244 DE MOTU CORPORUM magnitudlniim. Neqiie enlm spectatur In hoc lemmate magnltudo momentorum, sed prima nascentlum proportlo. Eodem recldlt si loco momentorum usurpentur vel velocltates Incrementorum ac decrementorum (quas etlam motus, mutatlones & fluxlones quantlta- tum nomlnare llcet) vel finltse quaevls quantltates velocltatlbus hlsce proportlonales. Laterls autem cujusque generantls coefficlens est quantitas, quse orltur appllcando genitam ad hoc latus. Igitur sensus lemmatis est, ut, si quantitatum quarumcunque perpetuo motu crescentium vel decrescentlum A, B, C, &c. momenta, vel hls proportlonales mutatlonum velocitates dicantur ^, b, r, &c. momentum vel mutatio genlti rectangiili A B fuerit ^ B + <5 A, & geniti contenti A B C momentum fuerit ^BC + ^AC + ^AB: & genitarum dlgnltatum A^ A^ K\ A^ A^ A^ A', K-\ PC\ & A-i momenta 2 ^ A, 3 rt:A^ 4 aK\\aK\%a A\ i a A~^, ^ a A~^, -a A'', - 2 a hr\ & - 1 3 a A~^ respective. Et generaliter," ut dlgnltatls « cujuscunque A '" momentum fuerit aA *« . Item ut P^enitae m A^B momentum fuerit 2 ^AB + ^^A^; & genitse A^ B* C^ momentum ZaA^ B^ C^-f 4^A^ B^ C^+^^A^ B^ C; & genit^e -^' sive A^ B-2 momentum i a A? B~^ — 2 b A? Vr^ : & sic in caeteris. Demonstratur vero lemma in hunc modum. Cas. I. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum A B, ubi de lateribus A & B deerant momentorum dlmidia \ a &i \ b, fuit A — J^in B — T<5, seu AVi^l aV> — \ b A-^\ ab ; & quam prlmum latera A & B alterls momentorum dimidiis aucta sunt, evadit A-\-\ a in B + J^ seu AB + ^^B4-^^A + t«^. De hoc rectangulo 3ubducatur rectangulum prius, & maneblt excessus ^ B 4- <5 A. Igltur laterum incrementis totis a & b generatur rectanguli incrementum ^B + ^A. Q.E,D. Cas. 2. Ponatur A B semper sequale G, & eontenti ABC seu GC momentum (per cas. i) erit^C + ^G, id est (si pro G &^ 3cribantur A B & ^ B + ^ A) ^ B C-f^ A C + ^ A B. Et par est ratlo contenti $ub lateribus quotcunque. Q. E. D. LIBER SECUNDUS. 245 Cas. 3. Ponantur latera A, B, C sibi mutuo semper aequalia ; & ipsius A% id est rectanguli A B, momentum aV>-\-b h. erit 2 a A, ipsius autem A^ id est contenti A B C, momentum a^ C-\-d KC H-rAB erit 3 ^ A^ Et eodem argumento momentum dignitatis cujuscunque A" est n a A"~'. Q.E.D. Cas. 4. Unde cum ^ in A sit i, momentum ipsius — ductum A A in A, una cum — ducto in a erit momentum ipsius i, id est, nihiL Proinde momentum ipsius — seu ipsius A~' est ^^. Et generaliter A r^ cum — in A" sit i, momentum ipsius — ductum in A" una cum A« ^ A" — in fua A"~' erit nihil. Et propterea momentum ipsius — seu A-» erit- 1;;^. Q.E.D. Cas. 5. Et cum A ^ in A ^ sit A, momentum ipsius A ^ ductum in 2 A 2 erit a, per cas. 3 : ideoque momentum ipsius A ^ erit a 2 A2 sive \ a h '^ , Et generaliter si ponatur A "^ aequale B, erit A'" sequale B", ideoque m a A"""' aequale n b B"~', Bl m a A~' aequale m in — n n b B~' seu nb K " , ideoque — ^: A " aequale b, id est, aequale 71 m momento ipslus A'' , Q.E.D. Cas. 6. Igitur genitse cujuscunque A'" B" momentum est momen- tum ipsius A'" ductum in B", una cum momento ipsius B" ducto in A'", id est maK""-"- B^-^-nbB""-' A^" ; idque sive dignitatum in- dices m 81 n sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel nega- tivi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus. Q.E.D. Corol. I. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multipli- 246 DE MOTU CORPORUM cati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales ; & si detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut — 2 A, — B, D, 2 E, 3 F. CoroL 2. Et si in quatuor proportionalibus dua^ mediae dentur, momenta extremarum erunt ut eaedem extremse. Idem intelligendum est de lateribus rectanguli cujuscunque dati. CoroL 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera. Sckolmm. In epistola quadam ad D, y. Collinium nostratem 10 Decem. 1672 data, cum descripsissem methodum tangentium quam suspicabar eandem esse cum methodo Slusii tum nondum communicata ; sub- junxi : Hoc est unum particulare vel corollariu77t potius methodi generalis, qtcce extendii se citra molestum ulltim calculum, non modo ad diccendum tangentes adquasvis curvas sive geometricas sive mechanicas vel quomodocunque rectas lineas aliasve curvas respicienteSy verum etiam ad resolvendum alia abstrusiora problemattim genera de curvi- tatibuSy areis, longittidinibtis, centris gravitatis curvarum &c. neque (quemadmodum Huddenii methodtts de maximis & minimis) ad solas restringitur cequationes illas quce quantitatibus surdis sunt immunes. Hanc methodtcm i^itertextci alteri isti qua c^quationum exegesin instittco redtccendo eas ad series infinitas. Hactenus epistola. Et haec ultima verba spectant ad tractatum quem anno 1671 de his rebus scripseram. Methodi vero hujus generah's fundamentum continetur in lemmate praecedente. PROPOSITIO VIII. THEOREMA VI. Si corptcs in medio tmiformi, gravitate tcniformiter agente, recta ascendat vel descendaty & spatium tottcm desciHptum distingtcatur in partes c^qicales, inqtce principiis singularum partium (addendo resistentiam medii ad vim gravitatis, qtcando corptcs asce^idit, vel subduce7ido ipsam quando corpus descendit) investigentur LIBER SECUNDVS. 247 vires absolutcs ; dico quod vires illce absohctce sunt in progressione geometrica. Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam A C ; resistentia per lineam indefinitam A K ; vis absoluta in descensu corporis per differentiam K C ; velocitas corporis per lineam A P, quae sit media proportionalis inter A K 81 A C, ideoque in subduplicata ratione resistentiae ; incrementum resistentise data temporis particula factum per lineolam K L, & contemporaneum velocitatis incrementum per lineolam PQ; & centro C asymptotis rectangulis CA, C //' describa- tur hyperbola quaevis B N S, erectis perpendiculis y^ ^, KN, LO occurrens in D, N, O. Quoniam A K ^s\.vX A P q, erit hujus mo- mentum K L vX illius momen- tum 2APQ: id est, wtAPm KC; nam velocitatis incremen- tum PQ (per motus leg. 11) proportionale est vi generanti K C, Componatur ratio ipsius K L cum ratione ipsius K N, & fiet rectangulum KL x KN utAP xKCxKN; hoc est, ob datum rectangulum K Cx KN, ut A P. Atqui areae hyperbolicae KN O L ad rectangulum KL x KN ratio ultirna, ubi coeunt puncta K &: L, est aequalitatis. Ergo area illa hyperbolica evanescens est ut A P. Componitur igitur area tota hyperbolica A B O L ex par- ticulis KNO L velocitati A P semper proportionalibus, & propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est. Dividatur jam area illa in partes aequales ABMI, I M N K, K N O L, &c. & vires absolutae A C, I C, K C, L C, &c. erunt in progressione geometrica. Q. E. D. Et simili argumento, in ascensu corporis, sumendo, ad contrariam partem puncti A, aequales areas A Bmi, imnky knol, &c. constabit quod vires absolutse A C, i C, kC, l C, &c. sunt continue proportionales. Ideoque si spatia omnia in ascensu & descensu capi- antur aequalia ; omnes vires absolutae l C, kC, i C, A C, I C, K C, L C, &c. erunt continue proportionales. Q. E. D. Corol. I. Hinc si spatium descriptum exponatur per aream hyper- bolicam A B N K; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis Q P 248 ^^ MOTU CORPORUM & resistentia medii per lineas A C, A P & y^ A^ respective ; & vice versa. Corol. 2. Et velocitatis maximse, qiiam corpus in infinitum de- scendendo potest unquam acquirere, exponens est linea A C Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in subduplicata ratione, quam habet vis gravitatis ad medii resistentiam illam cognitam. PROPOSITIO IX. THEOREMA VII. Positis jam demonstratis, dico quod, si taiigentes anguloriim sectoris circularis & sectoris hyperbolici sumafitur velocitatibus proportion- aleSy existente radio justcs magnitudinis : erit temptcs omne ascendendi ad locum summum ut sector circuli^ & temptcs om7ie descendendi a loco summo ut sector hyperbola. Rectae A C, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis 8l aequa- lis ducatur A D. Centro D semidiametro A D describatur tum circuli quadrans A t E; tum hyperbola rectangula A V Z axem ha- bens A X, verticem principalem A, & asymptoton D C. Ducantur D p, D P, &, erit sector circularis A t D ut tempus omne ascendendi ad locum summum ; & sector hyperbolicus A TD ut tempus omne descendendi a loco summo : Si modo sectorum tangentes A p, A P sint ut velocitates. Cas. I. Agatur enim D v q abscindens sectoris A D t &, trianguli ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas tDv & q Dp. Cum particulae illse, ob angulum communem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula t D v ut ^^P^J^ quad^ p D quad. id est, ob datam tD, ut |^^^ S^dpD quad. est A D quad. + Ap quad. id est, A D qtcad. -|- A D x A k, s^u A D x Ck; & qDp ^sth A D xp q. Ergo sectoris particula tDv est ut ^-^; id est, LIBER SECUNDUS. 249 ut velocltatls decrementum quam minlmum / ^ dlrecte, & vls Illa Ck quae velocitatem dlminuit inverse ; atque ideo ut partlcula temporls decremento velocitatls respondens. Et componendo fit summa particularum omnium t D v m sectore A D t, ut summa particularum temporis singulis velocltatis decrescentis A p particulis amissis / q respondentlum, usque dum velocitas illa in nlhiluni diminuta evanuerit; hoc est, sector totus A D t ^st ut tempus totum ascendendi ad locum summum. Q.E.D. Cas, 2. Agatur DQ Fabscindens tum sectoris D A V, tum trian- guli D A Q partlculas quam minimas T D V 8>l P D Q ; 8c erunt hse partlculae ad invlcem ut D T q ad D P q/vdi est (si T X 81 A P parallelae slnt) ut Z^^^ ad Z^^ ^ vel TX q ad A P q, 81 divlsim ut D X q—T X q a.d D A q — A P q. Sed ex natura hyperbolae DXq — TXq est A D q, & per hypothesin A Pq est A DxA K. Ergo particul^ sunt ad invicem ut A D q ad A Dq—A DxA X ; id est, ut A D 2id A D—A X seu A C Sid CK : ideoque sectoris particula P D Q X A C ; atque ideo ob datas A C & A D, TD V est CK ut PQ j^-^y icl est, ut incrementum velocitatls directe, utque vis generans 250 DE MOTU CORPORUM incrementum inverse; atque ideo ut particula temporis incremento respondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis A P particulee P Q generantur, ut summa particularum sectoris A T D, id est, tempus totum ut sector totus. Q-E.D. Corol. I. Hinc si A P sequetur quartse parti ipsius A C, spatium quod corpus tempore quovis cadendo describit, erit ad spatium, quod corpus velocitate maxima A C, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area A B N K, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream A TD, qua tempus expo- nitur. Nam cum sit ^ C ad ^ P ut A P 2A A K, erit (per corol. i lem. II hujus) Z iif ad P (? ut 2 A K ?id A P, hoc est, ut 2 A P ad AQ& inde L K Sid iP Q ut A P ad iA C vd A B; est & KN SidACvdADutABsid CK; itaque ex a^quo LKNO ad DPQ utAPsid CK. Sed erat DPQ ad D T V ut CA^ad A C Ergo rursus ex aequo L KNO est ad D T V ut A P 2id A C; hoc est, ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum A B NK & ATD momenta LKNO & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitse ut spatia simul descripta, ideoque LIBER SECUNDUS. 25 1 areae totae ab Inltio genltse A B N K & A T D ut spatla tota ab inltio descensus descripta. Q. E. D. Corol. 2. Idem consequltur etiam de spatlo quod in ascensu descrlbitur. Nimirum quod spatlum illud omne sit ad spatium, unl- formi cum velocitate A C eodem tempore descrlptum, ut est area A B n k did sectorem A D t, Corol. 3. Velocltas corporls tempore A T D cadentis est ad ve- locltatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut trlangulum A P D z,di sectorem hyperbolicum A T D. Nam velocltas in medio non resistente foret ut tempus A TD, 8>l in medlo resistente est ut A P, id est, ut triangulum A P D. Et ve- locltates illae inltio descensus sequantur inter se, perinde ut areae illae A TD, A P D, Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocita- tem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum Ap D ad sectorem circularem A t D; sive ut recta A p ad arcum A t. Corol. 5. Est igitur tempus, quo corpus in medio reslstente ca- dendo velocitatem A P acquirlt, ad tempus, quo velocitatem maxi- mam A C in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut sector A D T 2id triangulum A D C: & tempus, quo velocitatem Ap m medlo reslstente ascendendo posslt amittere, ad tempus quo velocita- tem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere, ut arcus A t ad ejus tangentem Ap. Corol, 6. Hlnc ex dato tempore datur spatium ascensu vel de- scensu descriptum. Nam corporls in infinltum descendentis datur velocitas maxima (per corol. 2 & 3 theor. vi lib. 11) indeque datur tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acqulrere. Et sumendo sectorem A D T vel A D t 2A trlan- gulum ^ Z^ C in ratione temporis dati ad tempus modo inventum ; dabltur tum velocltas A P vel A p, tum area A B N K vel A Bnk, quae est ad sectorem A D T vd A D t ut spatium quaesltum ad spatium, quod tempore dato, cum velocitate illa maxima jam ante inventa, uniformiter describi potest. Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensiis spatio A B n k vd ABN K, dabitur tempus A D t vd A D T, 252 DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO X. PROBLEMA III. Tendat uni/ormis vls gravitatis directe ad plann?7t horizontis, sitcpte resistefitia tct medii densitas & qtiadratnm velocitatis cojijtmctim : requiritur ttim medii densitas in locis si^tgtilis, quce faciat ut corpns ifi data quavis linea curva moveatur; ttcm corporis velocitas & medii resistentia in locis singulis, Sit PQ planum illud plano schematis perpendiculare ; PFHQ linea curva plano huic occurrens in punctis P & Q; G, H, /, K loca quatuor corporis in hac curva ab /^ ad ^ pergentis \ 8l G D, HC, ID, K E ordinatae quatuor parallelae ab his punctis ad hori- zontem demissae, & Hneae horizontali P g ad puncta B, C, D, E insistentes; & sint BC, CD.DE distantiae ordinatarum inter se sequales. A punctis G & Hdu- cantur rectae GLy H N curvam tangentes m G &, H, & ordina- tis C H, D I sursum productis occurrentes in Z & A^, & com- pleatur parallelogrammum H C D M, Et tempora, quibus cor- pus describit arcus G H, H I, erunt in subdupHcata ratione altitu- dinum L H, N I, quas corpus temporibus ilHs describere posset, a tangentibus cadendo ; & velocitates erunt ut longitudines descriptae G H, H I directe & tempora inverse. Exponantur tempora per T & decrementum velocitatis & /, & velocitates per ^ J^ & ^^ G H HI Hoc decrementum tempore / factum exponetur per —- oritur a resistentia corpus retardante, & gravitate corpus acceler- ante. Gravitas, in corpore cadente & spatium TV^/ cadendo descri- bente, generat velocitatem, qua duplum illud spatium eodem tem- pore describi potuisset, ut Galilceics demonstravit ; id est, velocita- 2 N I ^ . rr r 1 .t — ^ — ; at m corpore arcum H I describente, auget arcum illum tem LIBER SECUNDUS. 253 sola lonofitudlne H I—H N seu MIy.NI HI ' ideoque generat tan- tum velocitatem 2MIy.NI Addatur haec velocltas ad decremen- tyHI tum prsedlctum, & habebltur decrementum velocitatis ex resistentla GH HI 2MIyNI sola oriundum, nempe tyHI Proindeque cum gravltas eodem tempore In corpore cadente generet velocltatem 2NI reslstentia erlt ad gravltatem ut GH HI . 2MIyNI ad NI , sive ut tyGH ^HI^ 2MIyNI ad 2 NL tyHI t ' T HI Jam pro absclssls C B, C D, C E scrlbantur— ^, o, 20. Pro ordlnata C H scrlbatur P, & pro M I scrlbatur serles qusellbet Q^+ R^^4-S6>3+ ^c. Et seriel termlni omnes post , prlmum^ nempe R^^ + Sd?3 + &c. erunt iV/, & ordlnatse DI, E K, & BG erunt P - Q ^ - R^^ - S ^3 _ &c. P - 2 Q^ - 4 R^d? - 8 S ^^ _ &c. &P + Q^ W jirecte & 4 R R i + QQ R inverse, hoc est, ut Q.E.I. RVi + QQ" Corol. I. Si tangens HN producatur utrinque donec occurrat ordinatae cuilibet A F m T: erit — -— aequalis V i + Q Q, ideoque in superioribus pro J i ^-QQ scribi potest. Qua ratione resistentia erit ad gravitatem ut ^Sx/Zrad ^RRx^C, velocitas erit ut H T , & medii densitas erit ut Sx^ C RxHT ACJK CoroL 2. Et hinc, si curva linea P FHQ definiatur per relationem inter basem seu abscissam A C & ordinatim appHcatam C H, ut moris est ; & valor ordinatim applicatse resolvatur in seriem conver- gentem : Problema per primos seriei terminos expedite solve- tur, ut in exemplis sequentibus. ^ ExempL i. Sit linea PFHQ semicirculus super diametro PQ descriptus, & requiratur medii densitas quse faciat ut projectile in hac linea moveatur. Bisecetur diameter P Q m A ; dic A Q, n; AC,a; CH, e; & CD,o: & erit Dlq seu A Q g—A D q = nn'-(ia'-2 ao-oo.sm LIBER SECUNDUS. 255 •2 ao — 0 0, & radlce per methodum nostram extracta, fiet D I ao 00 aaoo a o^ a^ o^ e 2 e 2 e^ 2 e^ ee ee-\-aa, & evadet D I=e e 2 e^ nno 0 &c. HIc scribatur ^^/^ pro anno^ &c. 2 ^^ 2 ^^ Hujusmodl series distinguo in termlnos successlvos In hunc modum. Termlnum prlmum appello, in quo quantltas infinite parva 0 non extat ; secundum, in quo quantltas illa est unius dimenslonis ; tertlum, in quo extat duarum ; quartum, in quo trium est; & slc in infinltum. Et primus termlnus, qui hic est e, denotablt semper longltudinem ordinatse C H Inslstentls ad inltlum Indefinltae quantltatls 0, Secundus termlnus, qui hic est , denotabit differentiam inter C H & D N, \d est, lineolam M N, quae abscinditur complendo parallelogrammum H C D M, atque ideo posltlonem tangentls Z^TV semper determinat; ut in hoc casu caplendo M N ad H M vX est ao . . rr^. . .,. nnoo . , ad 0, seu « ad ^. 1 ermmus tertms, qui hic est — , designa- e 2 e bit lineolam I N, quae jacet inter tangentem & curvam, ideoque determlnat angulum contactus I H N seu curvaturam quam curva linea habet in H, Si lineola illa I N finitae est magnltudinis, designabltur per termlnum tertium una cum sequentlbus in infinltum. At si Hneola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinlte mlnores tertlo, ideoque negllgi possunt Terminus quartus determlnat varlatlonem curvaturse, qulntus varlatlonem variationls, & slc deinceps. Unde obiter patet usus non contemnen- dus iiarum serierum in solutione problematum, quae pendent a tangentlbus & curvatura curvarum. Conferatur jam serles e — ao nnoo anno'^ — &c. cum ferie e 2 e^ 2 e^ P — Q^ — R^^ — S^3_&c. & perinde pro P, Q, R & S scrlbatur e, a nn ^ ann ^ , ^ ^ ., ,^ /7. n. n , & ^7-77 , & pro V I + Q Q scribatur v i H- a a 2e' 2 e^ seu & e e prodlbit medli densitas ut hoc est (ob datam ri) ut -, seu ^ ne ^ ^ e A C . ^ TT> id est, ut tangentis longitudo illa H T, quae ad semidlam^trum 56 DE MOTU CORPORUM A F ipsi P Q normaliter insistentem terminatur : & resistentia erit ad gravitatem ut 3 ^ ad 2 n, id est, ut 3 ^ C ad circuli diametrum PQ: velocitas autem erit ut J C II. Quare si corpus justa cum velocitate secundum lineam ipsi P Q parallelam exeat de loco 7% & medii densitas in singulis locis H sit ut longitudo tangen- tis H T, 81 resistentia etiam in loco aliquo H sit ad vim gravi- tatis ut 3 ^ C ad P Q, corpus illud describet circuli quadran- t^m FHQ. Q.E.I. p At si corpus idem de loco P, secundum lineam ipsi P Q perpen- dicularem egrederetur, & in arcu semicirculi P FQ moveri inciperet, sumenda esset A C seu a ad contrarias partes centri A, & propterea signum ejus mutandum esset & scribendum —■ a pro -h a. Quo pacto prodiret medii densitas ut — - . Negativam autem densitatem, hoc est, quae motus corporum accelerat, natura non admittit : & propterea naturaliter fieri non potest, ut corpus ascendendo a P de- scribat circuli quadrantem P F Ad hunc effectum deberet corpus a medio impellente accelerari, non a resistente impediri. Exempl. 2. Sit linea P FQ parabola, axem habens A F horizonti PQ perpendicularem, & requiratur medii densitas, quse faciat ut projectile in ipsa moveatur. Ex natura parabolae, rectangulum P DQ aequale est rectangulo sub ordinata D I 81 recta aliqua data : hoc est, si dicantur recta illa d; PC, a'/PQ, c;.CH, e; & CD, 0 ; rectangulum a->rO in c — a — o seu ac — aa — ^ ao-\-c 0 — 0 0 aequale est rectangulo 1 a c — a a b in D /, ideoqiie]^/^ / aequale , Jam scribendus ^—2 a 0 — 00 esset hujus seriei secundus 2 a 00 termmus \ 0 pro Q o, tertius item terminus —j- pro R^^. LIBER SECUNDUS. 257 Cum vero plures non slnt termlni, debeblt quartl coefficlens S evanescere, & propterea quantltas — — =^^, cui medil densltas proportionalis est, nihil erlt. Nulla igltur medii densitate move- bltur projectile In parabola, uti olim demonstravit Galilcsus, Q.E.L Exempl. 3. Slt linea A GK y hyperbola, asymptoton habens NX plano horizontall A K perpendicularem ; & quseratur medil densltas, quae faciat ut projectile moveatur In hac llnea. Slt MX asymptotos altera, ordlnatlm appllcatae D G pro- ductae occurrens in V ; & ex natura hyperbolae, rectangulum XVvci VG dabitur. Datur autem ratlo D N 2A VX, 81 propterea datur etlam rectan- gulum DN in VG, Sit illud dd: & completo parallelo- imT a bd k grammo D N X Z ; dlcatur B N, a; B D, 0 ; N X, c ; & ratlo data V Z ad Z X vel D N ponatur esse — . Et erit D N aequalls a^o. n bb m V G aequalls , V Z aequahs — a—Oy & GD seu NX— VZ— VG a — o n .. m m aequahs c a-\-— 0 n n bb a — o Resolvatur terminus bb m seriem a — o b b b b b b b b o o^ ^i^ i- convers^entem 1 ^H 0 0 -^ o^ &c. & net G D aequalis a aa a^ a^ m bb m bb bb ^ bb ^ ,,- c a 1 — 0 0 o^ o^ l A I mlnuetur In ratione illa duplicata. Augetur vero proportlo reslstentlae ad pondus, ubi yel gravitas specifica sub sequali magnitudine fit mlnor, vel medii densitas major, vel resistentla, ex magnitudine dlminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus. Reg, 4. Quoniam densitas medli prope verticem hyperbolae major est quam in loco A ; ut habeatur densitas mediocris, debet ratio minlmae tangentium 6^ 7" ad tangentem A H inveniri, & densltas in A augeri in ratione paulo majore quam semisummse harum tangentium ad minlmam tangentium G T, Reg, 5. Si dantur longitudines A H, A I, & describenda sit figura A GK : produc H N ad X, ut sit H X Sid A / utn-\-i ad i, centroque X & asymptotis MX, N X per punctum A describatur hyperbola, ea lege, ut sit ^ / ad quamvis F 6^ ut ^ F" ad X I'\ ^^g' 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratse sunt hae hyperbolae in ascensu corporis ab A, & minus accuratae In ejus descensu ad iT; & contra. Hyperbola conica mediocrem ratlonem tenet, estque caeteris slmpllcior. Igitur si hyperbola sit hujus generls, & punctum K, ubi corpus projectum incldet in rectam quamvis A N per punctum A transeuntem, quaeratur : occurrat producta A N asymptotis M X, NX m M &, N, 81 sumatur NK ipsi A M a^qualis. Reg, 7. Et hlnc liquet methoduu expedita determinandi hanc LIBER SECUNDUS. 263 hyperbolam ex ph^nomenls. Projiciantur corpora duo similia & cequaHa, eadem velocitate, in anguHs diversis H A K, h A k, inci- dantque in planum horizontis m K Sl k ; 81 notetur proportio A K ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo A /, assume utcunque longitudinem A H wd A h, & inde colHge graphice longitudines A K, A k, per reg. 6. Si ratio A K 2.d A k sit eadem cum ratione d ad e, longitudo A H recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita S M longitudinem SM a^qualem assumptse A H, 81 erige perpendiculum M N aequale rationum differentise "— ductze in rectam quamvis datam. SimiH methodo A k e ex assumptis pluribus longitudinlbus A H invenienda sunt plura puncta N, & per omnla agenda curva Hnea regularis N N X N, secans rectam SMMM in X. Assumatur demum A H aequaHs absclssae S X, 81 Inde denuo inveniatur longltudo A K ; & longltudlnes, quse sint ad assumptam longitudinem AI & hanc ultimam AH, ut longitudo AK per experlmentum cognita ad ultimo Inventam longitudinem A K, erunt verse ihae longitudines A I 81 A H, quas invenire oportuit. Hisce vero datls dabltur & reslstentia medll in loco A, quippe quae sit ad vlm gravltatls \xt A H 2id 2 A I. Augenda est autem densitas medii per reg. 4 & resistentla modo Inventa, sl in eadem ratlone augeatur, fiet accuratior. Reg. 8. Inventis longltudlnibus A H, HX; sl jam desideretur positio rectae A H, secundum quam projectile, data IHa cum velocitate emlssum, Incldlt In punctum quodvis K: ad puncta A 81 K erlgantur rectae A C, K F horizontl perpendiculares, quarum A C deorsum tendat, & aequetur Ipsi A I seu \ H X. Asymptotis A K, K F describatur hyperbola, cujus conjugata transeat per punctum C, centroque A & intervallo A H ' describatur clrculus secans hyperbolam IHam In puncto H; & projectile secundum rectam A H emissum incldet in punctum K. Q. E. /. Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur aHcubi in clrculo descripto. Agatur CH occurrens Ipsls A K 8l K F, iHI in E, huic In F; & ob paraHelas C H, MX & ^quales A C, A I, erit A E aequaHs A M, 264 DE MOTU CORFORUM & propterea etiam aequalis KN. Sed CB est ad A B wt F H 2id K Ny & propterea C E & F H aequantur. Incldlt ergo punctum H in hyperbolam asymptotls A K, K F descrlptam, cujus conjugata translt per punctum C, atque Ideo reperltur In communi intersectione hyperbolae hujus & circuH descripti. Q. E. D. Notandum est autem quod haec operatlo perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela slt, sive ad horlzontem In angulo quovls Incllnata : quodque ex duabus intersectionibus H, h duo prodeunt anguli N A H, NAh; & quod in praxi mechanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam interminatam CH ita appHcare ad punctum C, ut ejus pars FH, circulo & rectae FK interjecta, aequaHs sit ejus parti CE inter punctum C & rectam A K sitae. Quae de hyperboHs dicta sunt facile appHcantur ad parabolas. Nam si X A G K parabolam designet quam recta X V tangat in vertlce X, sintque ordinatim appHcatae lA, V G ut quaeHbet abscissarum X I, X V dlgnitates X F\ X V\' agantur XT, GT, A //, quarum X T parallela sit V G, & G T, A H parabolam tangant m G 81 A : & corpus de loco quovls A, secundum rectam A H productam, justa cum veloci- tate projectum, describet hanc parabolam, si modo densltas medii, in locis singuHs G, sit reclproce ut tangens G T. Velocitas autem in G ea erit quacum projectile pergeret, in spatlo non reslstente, in parabola conica vertlcem G, diametrum VG deorsum productam, 2 G T^ & latus rectum n 71 — n X VG habente. Et resistentia in G erit ad vim gravitatls \xt G T 2A 2 nn — 2 n n — 2 VG. Unde s\ N A K Hneam horlzontalem designet, & manente tum densitate medii in A, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcunque angulus N A H ; manebunt longltudlnes A H, A I, H X, & inde datur parabolae vertex X, & posltio rectae X I, 81 sumendo V G a.d / A ut X V'' ad XI", dantur omnla parabolae puncta G, per quae projectile transibit. LIBER SECUNDUS. 65 SECTIO III. De motic corporiLin qicibits resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejicsdem ratione duplicata. PROPOSITIO XI. THEOREMA VIII. Si corpori resistitur partim i^i ratione velocitatis, partim in veloci- tatis ratione duplicata, & idem sola vi insita in medio si^nilari movetur: sujnantur autem tempora in progressione arithmetica ; quantitates velocitatibus reciproce proportionales data quadam quan- titate auctce, erunt i7i progressione geometrica. Centro C, asymptotls rectangulis CADd^ C H, descrlbatur hyperbola B E e, Sc asymptoto CH parallelse slnt A B, D E, de. In asymptoto CD dentur puncta A, G : Et sl tempus exponatur per aream hyperbo- llcam^^^Z^ unlformlter crescentem ; dlco quod velocltas exponl potest per longltudlnem D Ey cujus reclproca GD una cum data C G componat longltudl- nem CZ^ In progresslone geometrlca cre- scentem. Slt enim areola DEed datum temporis incrementum quam mlnlmum, & erlt D d reclproce ut D E, ideoque I dlrecte ut C D. Ipslug autem GD decrementum, quod (per hujus lem. 11) est CG Dd erit ut CD CG^GD seu , Id est, ut GDq GDq GDq ' ' ^' GD Igltur tempore ABED per addltionem datarum particu- GDq larum jG'/^^^ unlformiter crescente, decrescit GD in . eadem ratione cum velocltate. Nam decrementum velocltatis est ut reslstentla, hoc 266 DE MOTV COBPORUM est (per hypothesln) iit summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis ; & ipsius -— — decre- Cr JD I o CG mentum est ut summa quantitatum — — & , quarum prior est ipsa-— , & posterior est ut ; proinde-^—-, ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas G D, ipsi — — reci- G D proce proportionaHs, quantitate data C G ^ augeatur; summa C D , t^m^ovQ. A B E D uniformiter crescente, crescet in progres- sione geometrica. Q. E. D. Corol. I. Igitur si, datis punctis A, G, exponatur tempus per aream hyperboli- cam ABEDy exponi potest velocitas per ipsius G D reciprocam 7^-7^. G D Corol. 2. Sumendo autem G A ?iA G D wt velocitatis reciproca sub initio ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ABED, invenietur punctum G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tem.pore inveniri potest. PROPOSITIO XII. THEOREMA IX. lisdem positis, dico qttod, si spatia descripta sumanttir in pj^ogressione arithmetica, velocitates data quadam qnantitate auct^e ertmt in pro- gressione geometrica. In asymptoto CD detur punctum R, & erecto perpendiculo RS, quod occurrat hyperbolae in S, exponatur descrlptum spatlum per aream hy- perbollcam RSED; & velocltas erit ut longitudo G D, quse cum data CG componlt longitudlnem C D In progressione geometrlca c" decrescentem, interea dum spatium RS E D augetur in arithmetica. LIBER SECUNDUS. 267 Etenim ob datum spatli incrementum E D de, lineola D d, quse decrementum est ipsius G D, erit reciproce ut ED, ideoque directe ut C D, hoc est, ut summa ejusdem G D 81 longitudinis datae CG. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE describitur, est ut resistentia & tempus conjunctim, id est, directe ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & inverse ut velocitas ; ideoque directe ut summa duarum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Decrementum igitur tam velocitatis quam lineae G D, est ut quantitas data & quantitas decres- cens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogae semper erunt quantitates decrescentes ; nimirum velocitas & linea G D, Q. E.D. CoroL I. Si velocltas exponatur per longitudinem G D^ spatium descrlptum erit ut area hyperbolica DESR. Corol. 2. Et sl utcunque assumatur punctum R, Invenietur punc- tum G caplendo GR ad GD, ut est velocitas sub Initlo ad velocltatem post spatlum quodvls RSED descrlptum. Invento autem puncto (7, datur spatlum ex data velocltate, & contra. Co7^oL 3. Unde cum (per prop. xi) detur velocitas ex dato tem- pore, & per hanc propositionem detur spatium ex data velocitate ; dabitur spatium ex dato tempore : & contra. PROPOSITIO XIII. THEOREMA X. Posito quod corpics ab 2cnifor7ni gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit ; & quod eide^n resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdon ratione duplicata: dico quod, si circuli & hyperbolcB diametris parallelce rectcB per cojijugatarum diametro- rum terminos ducantur, & velocitates sint 2ct segmenta qucedam parallelarimi a dato puncto ducta ; tempora erunt ut arearum sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi : df contra. Cas. I. Ponamus primo quod corpus ascendlt, centroque D & semidiametro quovis D B descrlbatur clrcull quadrans B E T E, 8i 268 DE MOTU CORPORUM per semidiametri DB terminum B agatur infinita B A P, semidia- metro Z^ /^ parallela. In ea detur punctum A, & capiatur segmen- tum A P velocitati proportionale. Et cum resistentiae pars altera sit ut velocitas & pars altera ut velocitatis quadratum ; sit resistentia tota vX AP qicad,-\-2BAP, Jungantur DA, DP circulum secantes in E ^c T, 8i exponatur gravitas per D A quad. ita ut sit gravitas ad resistentiam ut DAq ad APq-\-2BAP: & tempus ascensus totius erit ut circuli sector ED T, Agatur enim D VQ, abscindens & velocita- tis A P momentum P Q, 8i sectoris D E T momentum D TV dato temporis momento respondens ; & velocitatis decrementum illud PQ erit ut summa virium gravitatis D A q 8i rtsistentid^ APq+2BAPy id est (per prop. 12 lib. 2 elem.) ut DP quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportiohalis, est ut DP quad, & area DTV, quse est ad aream DPQ ut DTq ad DPq, est ut datum D Tq. Decrescit igitur area E D T uniformiter ad modum temporis futuri, per subductionem datarum particularum D T V, Sl propterea tempori ascensus totius proportionalis est. Q.E.D. Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem A P vX prius, & resistentia ponatur esse ut A P q-\-2B A P, and si vis gravitatis minor sit quam quse per DAq exponi possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit ABq — BDq gravitati proportionale, sitque Z^i^ipsi D B perpendicu- laris & sequalis, & per verticem T^describatur hyperbola FTVE, cujus semidiametri conjugatae sint DB & DF, quaeque secet DA in E, & DP, DQmT&i V; & erit tempus ascensus totius ut hyperbolae sector TDE. Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistenti^ APq-{-2BAP 8Lgr2ivltRt[s A Bq-BDq, id cst, utBPq-BDq. Est autem area D T V Sid aream D P Q, ut DTq ad DPq; ideoque, si ad i9/^demittatur perpendiculum G^ Z; ut G^ 7^^ seu GDq—DFq LIBER SECUNDUS. 269 ad B Dq, utque GDq ad B P q, 81 dlvislm ut DFq ad B Pq — B Dq. Quare cum 2iiCQ2L D P Q sit \xtPQ, id est, ut B Pq — B Dq ; erlt area D T V wt, datum D Fq. Decresclt igltur area E D T uniformlter singulls temporis particulis aequalibus, per subductionem particularem totidem datarum D T V, & propterea tempori proportionalis est. Q. E. D. Cas. 3. Sit A P velocitas in descensu corporls, & APq+ 2 BAP resistentla, & B D q — A B q vls gravitatls, exlstente angulo D B A recto. Et si centro D, vertlce princlpall B, describatur hyperbola rectangula BETV secans productas D A, DP & DQ In E, T & V; erit hyperbolae hujus sector DETut tempus totum descensus. Nam velocltatls Incrementum PQ, eique proportionaHs area D P Q, est ut excessus gravitatls supra reslstentlam, id est, \xt B D q --A Bq-2 B A P-A Pq seu BDq- BPq. Et areaZ^TF est ad aream DPQ ut D Tq ad D P q, ideoque ut G Tq seu GDq-BDq ad B P q, utque GDq ad BDq, & dlvIsImut^Z^^adi^/^^-i^P^. Quare cum area DP Q slt ut B D q—B Pq, erlt area D T V \xt datum B D q. Cresclt igitur area E D T uniformlter slngulis temporis particulls sequallbus, per addltionem totidem datarum particularum D T V^ 8l propterea tempori descensus proportionaHs est. Q. E. D. . Corol. Si centro D semidiametro D A per verticem A ducatur arcus A t slmlHs arcui E T, 8z. slmlHter subtendens angulum A D T : velocltas A P erlt ad velocitatem, quam corpus tempore E D T, in spatio non reslstente, ascendendo amlttere vel descendendo acqulrere posset, ut area trianguH D A P 2A aream sectorls D A t ; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas, in medio non reslstente, temporl, atque Ideo sectori hulc proportionaHs est; in medio reslstente est ut triangukim ; & in medlo utroque, ubi quam minima est, accedit ad rationem sequaHtatis, pro more sectoris & trianguH. Scholmm. Demonstrari etlam posset casus in ascensu corporis, ubi vis gravitatis minor est quam quse exponi possit per D Aq seu A B.q -h 270 DE MOTU CORPORUM B Dq, Si major quam qiise exponl possit per A B q — B Dq, & exponi debet per A B q. Sed propero ad alia. PROPOSITIO XIV. THEOREMA XI. lisdem positis, dico quod spatvain ascensu vel descensu descriptum, est 2ct differentia arecs per qtcam temptcs exp07iitur, & arece cujtcsdam alteriics qucB atcgetur vel diminuitur in progressione arithmetica ; si vires ex resistentia & gravitate compositce sinnanticr in progressione geometrica, Capiatur A C (in fig. tribus ultimis) gravitati, 81 A K resistentise H H \ \ 6 \ e/ c A /, B ^ Q.P i y / y^ r. K / ^^ y^ /^ ^;:^^ ^ y — 'f proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si cor- L IBER SE C UND US 271 piis descendlt, allter ad contrarlas. Erlgatur A b, quse slt 2id D B wX. D B q 3.d 4. B A C: & descrlpta ad asymptotos rectangulas C K, C H hyperbola b N, erectaque' K N 2A C K perpendlcularl, area AbN K augebltur vel dimlnuetur In progresslone arithmetlca, dum vlres CA' in progresslone geometrica sumuntur. Dico Igltur quod dlstantla corporls ab ejus altltudlne maxlma slt ut excessus areae A b-N K supra aream D E T. Nam cum AK slt ut reslstentla, Id est, ut APq-\-2 BAP; assumatur data qusevis quantitas Z, & ponatur A K aequaHs ^ — ; & (per hujus lemma 11) erlt ipsius AK momentum KL ^quale ^ ^^ ^ g-^^/-^ ^ ^ ^ seu ^-^, &are^ ^^A^A^ j.rr^i,T 1 2BPQXLO BPQxB D cnb, momentum K L C^yv aequale seu — - — 7—7 -7—=. ^ Z 2 Z X CKxA B Cas. I. Jam si corpus ascendit, sltque gravitas ut A B q + B D q existente B E T circulo (In figura prima) linea A C, quse gravitati proportlonalls est, erlt ^— ? , & DPq seu A Pq+2 BAP -^A B q-\-BDq erit A Kx Z-{-A Cx Z seu CKxZ ; ideoque area D TV erit ad aream DPQ utDTqvdDBq ad CKx Z. Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit. ut ABq — B D q, linea A C (In figura secunda) erit ^-j , 81 D T q erlt ad DPqutDEqs&uDBq2idiBPq—BDq s^uAPq+2 BAP + A B q—B D q, id est, ad AKxZ-\-A CxZ seu CKxZ. Ideoque, area DTV erit ad aream D P Q ut DBq ad CKx Z. Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit \xt B D q — A B q, Sl Hnea A C (In figura tertia) sequetur BDq—ABq ^^.^ ^^^^ DTV 2id aream D P Q Mt D B q ^d CK X Z : ut supra. Cum igltur areae IHae semper sint in hac ratione ; si pro area D T V, qua momentum temporis slbimet ipsi semper aequale exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta B Dxnty 272 DE MOTU CORPORUM erit area D P Q, id est, \ B Dy^PQ acl B DxmwtCKxZ ad B Dq. Atque Inde ^tPQxB D ctib. aequale 2 B DxntxCKxZ, & 2Lredd AdJVK momentum KLON superlus inventum fit PBxB Dx m AB X w, & restabit Auferatur areae DE T momentum D TV seu BD APy.BDy.m AB Est igitur dlfferentia momentorum, id est, momentum differentiae arearum, sequalis A P y. B Dy.m ATB n & H l 6 \ e/ B C A /, '/"---~_PN ^ QP / / ^ T. K y/^ \l^ y^ ^:^^ y — 'F B D xm propterea ob datum — ^^-o— ^^ velocitas A P, id est, ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque dlf- ferentia arearum & spatium Illud, proportionalibus momentis crescen- LIBER SECUNDVS. 27^ tia vel decrescentia & slmul incipientia vel simul evanescentia, sunt proportionalia. Q. E. D. Corol. Si longitudo, quae oritur applicando aream DET ^d lineam BD, dicatur M ; & longitudo alia V sumatur in ea ratione ad lon- gitudinem M, quam habet linea D A 2id lineam DE: spatium, quod corpus ascensu vel descensu toto in medio resistente de- scribit, erit ad spatium, quod corpus in medio non resistente e quiete cadendo eodem tempore describere potest, ut arearum prae- B DxV^ dictarum differentia ad — ^— - — ; ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in medio non resistente est in duplicata ratione BDxV^ temporls, slve ut V"" \ & ob datas B D & A B ut — ^— ^ — . Hsec ,. > DAgxBDxiM' ^ . . ,^ area sequalis est areae — =r^^=; -r-=, — , & ipsms J/momentum est m: D E qxA B DA q X B D X 2 M X 7n & propterea hujus arese momentum est \^ ^ -r-^ . Hoc D Eqy.A B autem momentum est ad momentum differentiae arearum praedicta- /izr-T^Q yiiATL- ' .APxBDxm DAqxBDxM rum DE T 81 AoNK, viz. ad -—=: , ut ^ A B D h q ad \BD X AP, sive ut J^ In DET 2id DAP; Ideoque, ubl areae Dhq D E T 8l D A P quam minimse sunt, in ratlone aequaHtatls. Area . . B DxV"" igitur , & differentla arearum D E T 8>l AbN K, quando A Jj omnes hae areae quam mlnlmae sunt, aequaHa habent momenta ; Ideoque sunt aequales. Unde cum velocltates, & propterea etiam spatia in medlo utroque In prlncipio descensus vel fine ascensus slmul descrlpta accedant ad aequahtatem ; ideoque tunc slnt ad invicem BDxV^ ut area ^ ^ , & arearum DETBnAbNK differentia ; & prae- A B ^ BDxV^ terea cum spatmm m medio non resistente sit perpetuo ut , & spatium in medio resistente sit perpetuo ut arearum D E T 81 AbNK differentla : necesse est, ut spatia in medio utroque, in aequa- llbus qulbuscunque temporlbus descripta, slnt ad Invlcem ut area s 2 74 DE MOTU CORPORUM illa ^^^^- . & areariim DET^AbNK differentla. Q. E. D, A B Scholium. Resistentla corporum sphsericorum in fluidls oritur partim ex tenacitate, partlm ex frictione, & partim ex densitate medii. Et resistentise partem illam, quae oritur ex densitate fluidi diximus esse in duplicata ratione velocitatis ; pars altera, quae oritur ex tenacitate fluidi, est uniformis, slve ut momentum temporis : ideoque jam pergere liceret ad motum corporum, qulbus resistitur partim vi uniformi seu in ratlone momentorum temporis, & partim in ratione duplicata velocitatis. Sed sufficit aditum patefecisse ad hanc speculationem in propositionlbus viii & ix, quse pra^cedunt, & eorum corollarlis. In iisdem utique pro corporis ascendentis resistentia uniformi, quae ex ejus gravitate oritur, substitui potest resistentia unlformis, quae oritur ex tenacitate medii, quando corpus sola vi insita movetur; & corpore recta ascendente addere licet hanc uniformem resistentiam vi gravitatis ; eandemque subducere, quando corpus recta descendit. Pergere etiam liceret ad motum corporum, quibus resistltur partim uniformiter, partim in ratione velocltatis, & partim in ratione dupllcata velocitatis. Et viam aperui in pro- positionibus praecedentibus xiii & xiv, in quibus etiam resistentia uniformis,- quae oritur ex tenacitate medii pro vi gravitatis substitui potest, vel cum eadem, ut prius, componi. Sed propero ad alia. SECTIO IV. De corporum circtdari mottc in mediis resistentibics. LE MM A III. Sit P Q R spiralis qucs secet radios omnes S P, S Q, S R, &c. in cEqualibtis angulis. Agatur recta P T qucs tangat eandem in ptmcto quovis P, secetque radium S Q inT \ & ad spiralem erectis perpen- LIBER SECUNDUS, diculis P O, Q O concurrentibus in O.jungahtr S O. Dico quod si puncta P cS* Q accedant ad invicem & coeant, angulus P S O evadet rectus, & ulti^na ratio rectanguli TQx2PS ad PQ quad, erit ratio cBqualitatis, Etenlm de angulis rectls OPQ, O QR subducantur anguli aequales SPQ, SQR, & manebunt anguli cequales O P S, O Q S. Ergo clrculus qui transit per puncta Oy Sy P transiblt etlam per punctum Q. Coeant puncta P & Q, & hic clrculus in loco coltus P Q tanget splralem, ideoque perpendiculariter seca- blt rectam O P. Flet igitur O P diameter circuli hujus, & angulus O S P m semicirculo rectus. Q. E. D. Ad OP demittantur perpen- dicula Q D, S E, 8i linearum rationes ultlmae erunt hujusmodi : TQ ad PD ut TS vel PS ad P E, seu 2 P6^ ad 2 PS; item PD ad PQ ut PQ 2Ld 2 PO; & ex aequo perturbate TQ 2id PQ utPQ ad2PS. UndQfit PQq 3£qu3lG TQx 2 PS. Q.E.D. PROPOSITIO XV. THEOREMA XII. Si medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis : dico quod corpus gyrari potest in spirali, quce radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato. Ponantur quae in superiore lemmate, & producatur SQ ad F, ut sit 6^ V aequalls S P. Tempore quovis, in medio resistente, describat corpus arcum quam mlnimum P Q, 81 tempore duplo arcum quam minimum P R ; 8c decrementa horum arcuum ex resistentla oriunda, sive defectus ab arcubus, qul in medio non resistente iisdem tempori- bus describerentur, erunt ad invicem ut quadrata temporum in quibus 2 76 DE MOTU CORPORUM generantur : Est itaque decrementum arcus P Q pars quarta de- crementi arcus P R. Unde etiam, si arese P SQ sequalis capiatur area Q S r, erit decrementu m arcus PQ sequale dimidio lineolse Rr; ideoque vis resistentiae & vis centripeta sunt ad invicem ut lineolaeiT^r &, T Q quas simul generant. Quoniam vis centri- peta, qua corpus urgetur in P, est reciproce ut S P q, & (per lem. x lib. i) lineola TQy quae vi illa generatur, est in ratione com- posita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcus PQ describitur (nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta, negligo) erit TQ x SP^, id est (per lemma novissimum) iP Q ^x SP, in ratione dupHcata temporis, ideoque tempus est ut P Q x s/SP ; & corporis velocitas, qua arcus P Q illo PO I tempore describitur, ut — -r — ^ - seu , hoc est, in subdupli- cata ratione ipsius S P reciproce. Et simiH argumento, velocitas qua arcus Q R describitur, est in subdupHcata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus iHi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad invicem, id est, in subdupHcata ratione SQ ad S P, sive vX S Q ad JSPxSQ ; & ob aequales angulos SPQ, SQr & aequales areas P SQ, Q Sr, est arcus P g ad arcum Q r ut SQ ad S P. Sumantur proportionaHum consequentium differentiae, & fiet arcus PQ ad arcum Rr ut S Q 2id SP- JSPxSQ, seu \ V Q. Nam punctis P & Q coeuntibus, ratio ultima SP^ JS P x 6^^ ad ^ VQ est aequaHta- tis. Quoniam decrementum arcus P Q, ex resistentia oriundum, sive hujus duplum Rr, est ut resistentia & quadratum temporis conjunctim; Rr erit resistentia ut adiVQ,& inde PQqxS P Rr fit ut Erat autem P Q ad Rr,utSQ \0S WQ sive ut PQqxSP PQxSPxSQ OPxSPq Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt, & an- gulus P VQ fit rectus ; & ob simiHa triangula P VQ, P S O, fit P Q LIBER SECUNDUS, 07- O S ad 1 Fg ut O P 2.di\0 S. Est igitur — — — — — — ut resistentia, id est, ^ - ^ OPxSPq in ratione densitatis medii in /* & ratione duplicata velocitatis con- junctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio -^-p^, & manebit medii densitas in P ut . Detur spiralis, & ob da- tam rationem O S 2id O P, densitas medii in P erit ut -—^. In me- o ± dio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro S P, cor- pus gyrari potest in hac spirali. Q, E. D. Corol. I. Velocitas in loco quovis P ea semper est, quacum cor- pus in medio non resistente eadem vi centripeta gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam S P. O S , Corol. 2. Medii densitas, si datur distantia S P, est ut -7^-5, sin di- O S stantia illa non datur, ut -r-5 — rr^. Et inde spiralis ad quamlibet cy M X o ± medii densitatem aptari potest. Corol. 3. Vis resistentiae in loco quovis P, est ad vim centripetam in eodem loco ut^OSdid O P. Nam vires illae sunt ad invicem ut ^RrSi TQ sive ut^^^^i^^ & ^-^^^> ^oc est, Mt-VQ 81 P Q, S (J S P seu ^O S 81 O P. Data igitur spirali datur proportio resistentise ad vim centripetam, & vice versa ex data illa proportione datur spiralis. Corol. 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis resistentiae minor est quam dimidium vis centripetae. Fiat resistentia aequalis dimidio vis centripetae, & spiralis conveniet cum linea recta P S, inque hac recta corpus descendet ad centrum ea cum velocitate, quae sit ad velocitatem, qua probavimus in superioribus in casu parabolae (theor. x Hb. i) descensum in medio non resistente fieri, in subdupHcata ratione unitatis ad numerum binarium. Et tempora descensus hic erunt reciproce ut velocitates, atque ideo dantur. Corol. 5. Et quoniam in aequaHbus a centro distantiis velocitas eadem est in spiraH PQR atque in recta SP, & longitudo spiraHs ad longitudinem rectae P S est in data ratione, nempe in ratione OP ad 2 78 DE MOTU CORPORUM O S ; tempus descensus in spirali erit ad tempus descensus in recta S P in eadem illa data ratione, proindeque datur. Corol. 6. Si centro 6^ intervallis duobus quibuscunque datis descri- bantur duo circuli ; & manentibus hisce circulis, mutetur utcunque angulus quem spiralis continet cum radio P S: numerus revolutio- num quas corpus intra circulonim circumferentias, pergendo in spi- rali a circumferentia ad circumferentiam, complere potest, est ut P S sive ut tangens anguli illius quem spiralis continet cum radio OS' OP PS; tempus vero revolutionum earundem ut -^r-^, id est, ut secans anguli ejusdem, vel etiam reciproce ut medii densitas. CoroL 7. Si corpus in medio, cujus densitas est reciproce ut distan- tia locorum a centro, revolutionem in curva quacunque A E B circa centrum illud fecerit, & radium primum A S m eodem angulo secu- erit in B quo prius in A, idque cum velocitate quae fuerit ad velo- citatem suam primam in A reciproce in subduplicata ratione distan- tiarum a centro (id est, ut ^ kS' ad mediam proportionalem inter A S & B S) corpus illud perget innumeras consimiles revolutiones B FCy C G D, &c. facere, & intersectionibus distinguet radium ^ 6^ in par- tes A Sy B S, CSy DS, &c. continue proportionales. Revolutionum LJBER SECUNDUS. 279 vero tempora erunt ut perimetri orbitarum AEB, BFC, CGD, 8cc. directe, & velocitates in principiis A, B, C, inverse ; id est, ut A 6*^, B S^, CS'K Atque tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tempus revolutionis primae, ut summa omnium continue pro- 333 portionalium A S'^, B S^, CS^, pergentium in infinitum, ad terminum primum A S- ; id est, ut termmus ille primus A S^ ad differentiam 3 3 duorum primorum A S^ — B S^, sive ut ^A S sid AB quam proxime. Unde tempus illud totum expedite invenitur. Coro/. 8. Ex his etiam praeter propter colligere licet motus corporum in mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut aliam quamcunque legem assignatam observat. Ceittro S, intervallis con- tinue proportionalibus SA, SB, SC, &c. describe circulos quotcunque, & statue tempus revolutionum inter perimetros duorum quorumvis ex his circulis, in medio de quo egimus, esse ad tempus revolutio- num inter eosdem in medio proposito, ut medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad medii, de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam proxime : Sed & in eadem quoque ratione esse secantem anguli quo spiralis prsefinita, in medio de quo egimus, secat radium A S, ad secantem anguli quo spiralis nova secat radium eundem in medio proposito : Atque etiam ut sunt eorundem angulorum tangentes ita esse numeros revokitionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si haec fiant passim inter circulos binos, continuabitur motus per circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter imaginari possimus quibus modis ac temporibus corpora in medio quocunque regulari gyrari debebunt. Corol. 9. Et quamvis motus excentrici in spiraHbus ad formam ovaHum accedentibus peragantur ; tamen concipiendo spiraHum iHarum singulas revolutiones iisdem ab invicem intervaHis distare, iisdemque gradibus ad centrum accedere cum spiraH superius descripta, inteHigemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi spiraHbus peragantur. 28o DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO XVI. THEOREMA XIII. Si medii densitas in locis singulis sit reciproce tU distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta reciproce ut dignitas qucelibet ejusdem distantice : dico quod corpus gyrari potest in spirali quce radios o?nnes a centro illo ductos intersecat in angtdo dato. Demonstratur eadem meth- odo cum propositlone superiore. Nam si vis centripeta in P slt reciproce ut distantia^ S P dig- nitas quaelibet SP"'^'^ cujus index p^ est n-{- i : colligetur ut supra, quod tempus, quo corpus descri- bit arcum quemvis P Q, erit ut PQx PS^'' ; & resistentia in P Rr . ut PQqxSP , sive ut i-knx VQ PQxSP^^xSQ , ideoque ut i-jnxOS OP X SP^^^' u ^ 1 1 i—\n X O S hoc est, ob datum — _ , reciproce ut S P"+\ Et propterea, OP cum velocitas sit reclproce ut SP^'\ densitas in P erit reciproce ut SP. Corol. I. Resistentia est ad vim centripetam ut i— J;^x C^^^ad OP. Corol. 2. Si vis centripeta sit reciproce ut SP cub. erit i —ln = o: ideoque resistentia & densitas medii nulla erit, ut in propositione nona hbrl primi. Corol. 3. Si vis centripeta sit reciproce ut dignitas ahqua radii SP cujus index est major numero 3, resistentia affirmativa in negativam mutabitur. Scholium. Cseterum haec propositio & superiores, quae ad media insequahter densa spectant, Intehigendse sunt de motu corporum adeo parvorum, LJBER SECUNUUS. 28 ut medil ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat. Resistentlam quoque caeteris paribus densitati proportionalem esse suppono. U nde in mediis, quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densltas eo usque augeri vel diminui, ut resistentiae vel tollatur excessus vel defectus suppleatur. PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IV. Invenire & vim centripetam & medii resistentiam, qua corpus in data spirali, data velocitatis lege, revolvi potest, Sit spiralls illa P Q R. Ex velocitate, qua corpus percurrit arcum quam minimum P Q, dabitur tempus, & ex altitudine TQ, quse est ut vis centripeta & quadratum temporis, dabitur vls. Delnde ex arearum, aequallbus temporum particulis confectarum PSQ 8>l QSR^ differentia RSr, dabltur corporis retardatio, & ex retardatione invenietur resistentia ac densitas medii. PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA V. Data lege vis centripetce, invenire medii densitatem in locis singulisj qua corpus datam spiralem describet, Ex vi centripeta Invenienda est velocitas in locis singulis, deinde 282 DE MOTU CORPORUM ex velocitatis retardatione quserenda medii densitas; ut in propositione superiore. Methodum vero tractandi hsec problemata aperui in hujus pro- positione decima, & lemmate secundo ; & lectorem in hujusmodi perplexis disquisitionibus diutius detinere nolo. Addenda jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque densitate & resistentia mediorum, in quibus motus hactenus expositi & his affines peraguntur. SECTIO V. De densitate & compressione fliddoriim, deque hydrostatica. Definitio Fluidi. Fluidum est corptis omne, cujus partes cedzmt vi cuicu7ique illatcey & cedendo facile moventur inter se. PROPOSITIO XIX. THEOREMA XIV. Fluidi homogenei & immoti, quod in vase quocunque immoto clauditur & undique comprimitur, partes omnes (seposita coridensationis, gravitatis, & virium omnium centripetarum consideratione) csqualiter premmitur undique, & sine omni. mottc a pressione illa orto permanent hi locis suis. Cas, I. In vase sphaerico y^ ^ C claudatur a. & uniformiter comprimatur fluidum undique : y^ "^\ dico quod ejusdem pars nulla ex illa pressione / /' \ movebitur. Nam si pars ahqua D moveatur, / ^\ F ^ \ necesse est ut omnes hujusmodi partes, | "^" ./\ | ad eandem a centro distantiam undique \ d > / b\ ■''' ^' '■'' •■''' / consistentes, simih motu simul moveantur; \ '■••'' 4 / atque hoc ideo quia simiHs & aequaHs est \ '"'^y pmnium pressio, & motus omnis exclusus ^--— — ^^^^ supponitur, nisi qui a pressione iHa oriatur. Atqui non possunt omnes ad centrum propius accedere, nisi fluidum ad centrum con- « LIBER SECUNDUS. 283 densetur; contra hypothesin. Non possunt longius ab eo recedere, nisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra hypo- thesin. Non possunt servata sua a centro distantia moveri in pla- gam quamcunque, quia pari ratione movebuntur in plagam contra- riam ; in plagas autem contrarias non potest pars eadem, eodem tempore, moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur. Q.E.D. Cas. 2. Dico jam, quod fluidi hujus partes omnes sphaericse aequa- liter premuntur undique. Sit enim E F pars sphaerica fluidi, & si hsec undique non premitur sequahter, augeatur pressio minor, usque dum ipsa undique prematur sequaHter ; & partes ejus, per casum primum, permanebunt in locis suis. Sed ante auctam pressionem permanebunt in locis suis, per casum eundem primum, & additione pressionis novae movebuntur de locis suis, per definitionem fluidi. Quae duo repugnant. Ergo falso dicebatur quod sphaera E F non undique premebatur aequaHter. Q. E. D. Cas. 3. Dico praeterea quod diversarum partium sphaericarum aequahs sit pressio. Nam partes sphaericae contiguae se mutuo pre- munt aequahter in puncto contactus, per motus legem iii. Sed &, per casum secundum, undique premuntur eadem vi. Partes igitur duae quaevis sphaericae non contiguae, quia pars sphaerica intermedia tangere potest utramque, prementur eadem vi. Q. E. D. Cas. 4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubique premuntur aequaHter. Nam partes duae quaevis tangi possunt a partibus sphae- ricis in punctis quibuscunque, & ibi partes illas sphaericas aequaHter premunt, per casum 3, & vicissim ab ilHs aequaHter premuntur, per motus legem tertiam. Q. E. D. Cas. 5. Cum igitur fluidi pars quaeHbit G H I m fluido reHquo tan- quam in vase claudatur, & undique prematur aequaHter, partes autem ejus se mutuo aequaHter premant & quiescant inter se; manifestum est quod fluidi cujuscunque G H I, quod undique premitur aequaHter, partes omnes se mutuo premunt aequaHter, & quiescunt inter se. Q.E.D. Cas. 6. Igitur si fluidum iflud in vase non rigido claudatur, & un- dique non prematur aequaHter; cedet idem pressioni fortiori, per definitionem fluiditatis. Cas. 7. Ideoque in vase rigido fluidum non sustinebit pressionem 284 DE MOTU CORPORUM fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, idque in momento temporis, quia latus vasis rigidum non persequitur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum, & sic pressio undique ad sequalitatem verget. Et quoniam fluidum, quam primum a parte magis pressa recedere conatur, inhibetur per resistentiam vasis ad latus oppositum ; reducetur pressio undique ad aeqilalitatem, in momento temporis, sine motu locali : & subinde partes fluidi, per casum quintum, se mutuo prement aequaliter, & quiescent inter se. Q.E.D. Corol. Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem fluido ubivis in externa superficie illatam, mutari possunt, nisi qua- tenus aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes intensius vel remissius sese premendo difficilius vel facilius labuntur inter se. PROPOSITIO XX. THEOREMA XV. Si fluidi sphcerici, & in cBqualibus a centro distantiis komogenei, fundo sphcBrico concentrico incumbentis partes singulcs versus centrum totius gravitent ; sicstinet fundum pondus cylindri, cujus basis cequalis est superficiei fimdi, & altitudo eadem qucefluidi incumbentis. Sit Z^Zf^superficies fundi, SlAEI superficies superior fluidi. Superficie- bus sphaericis innumeris B F K, C G L distinguatur fluidum in orbes concen- tricos sequaliter crassos ; & concipe vim gravitatis agere solummodo in su- \ perficiem superiorem orbis cujusque, & 1 sequales esse actiones in sequales partes superficierum omnium. Premiturergo superficies suprema AEv\ simplici gra- vitatis proprise, qua & omnes orbis su- premi partes & superficies secunda "- '"' B F K {^^x ^ro^. xix) pro mensura sua sequaliter premuntur. Pre- mitur prseterea superficies secunda B FK vi propri^ gravitatis, qu^ LIBER SECUNDUS. ^5 addlta vi priori facit pressionem duplam. Hac pressione, pro mensura sua, & insuper vi propriae gravitatis, id est, pressione tripla, urgetur superficies tertia C G L. Et similiter pressione quadrupla urgetur superficies quarta, quintupla quinta, & sic deinceps. Pressio igitur qua superiicies unaquaeque urgetur, non est ut quantitas solida fluidi incumbentis, sed ut numerus orbium ad usque summitatem fluidi; & sequatur gravltati orbis Infiml multipllcatse per numerum orbium : hoc est, gravitati solidi cujus ultlma ratlo ad cylindrum praefinitum (si modo orblum augeatur numerus & minuatur crassitudo in infinitum, sic ut actio gravitatls a superficie Infima ad supremam contlnua reddatur) fiet ratio aequalitatis. Sustinet ergo superficles infima pondus cylindri praefiniti. Q. E. D. Et simili argumentatione patet propositio, ubi gravitas decresclt in ratione quavls asslgnata distantlae a centro, ut & ubi fluldum sursum rarlus est, deorsum densius. Q. E. D. Corol. I. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis pondere, sed eam solummodo ponderis partem sustlnet quae in proposltione describitur ; pondere reliquo a fluidi figura fornicata sustentato. • Corol. 2. In aequalibus autem a centro distantiis eadem semper est* pressionls quantitas, sive superficies pressa sit horizonti parallela vel perpendicularls vel obHqua ; slve fluidum, a superficie pressa sursum continuatum, surgat perpendlculariter secundum Hneam rectam, vel serpit oblique per tortas cavitates & canales, easque regulares vel maxime irregulares, amplas vel angustissimas. Hlsce circumstantlis pressionem nll mutarl colllgitur, appHcando demonstratlonem theo- rematls hujus ad casus slngulos fluldorum. Corol. 3. Eadem demonstratione coHigltur etlam (per prop. xix) quod fluldi gravls partes nuHum, ex pressione ponderis incumbentls, acquirunt motum inter se ; sl modo excludatur motus qui ex condensatione orlatur. Corol. 4. Et propterea si aHud ejusdem gravitatis specificae corpus, quod sit condensationis expers, submergatur In hoc fluido, id ex pressione ponderis incumbentis nuHum acquiret motum : non descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare. Si sphaericum est manebit sphaericum, non obstante pressione; si quadra- tum est manebit quadratum : Idque sive molle sit, sive fluidissimum ; 286 DE MOTU CORPORUM sive fluldo llbere innatet, sive fiindo Incumbat. Habet enlm fluldl pars quaelibet interna ratlonem corporls submersi, & par est ratlo omnlum ejusdem magnltudlnis, figurse & gravitatls speclficae submersorum corporum. SI corpus submersum servato pondere liquesceret & indueret formam fluldl ; hoc, sl prlus ascenderet vel descenderet vel ex pressione figuram novam Indueret, etlam nunc ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere cogeretur : id adeo quia gravitas ejus caeteraeque motuumc ausae permanent. Atqui (per cas. 5 prop. xix) jam quiesceret & figuram retlneret; Ergo & prius. CoroL 5. Prolnde corpus quod speclfice gravius est quam fluldum sibl contlguum subsideblt, & quod speclfice levius est ascendet, motumque & figurae mutatlonem consequetur, quantum excessus ille vel defectus gravitatis eflicere posslt. Namque excessus Ille vel defectus ratlonem habet Impulsus, quo corpus, allas In aequlllbrlo cum fluidi partlbus constltutum, urgetur ; & comparari potest cum excessu vel defectu ponderls in lance alterutra librae. Corol. 6. Corporum Igltur in fluidis constitutorum duplex est gravltas : altera vera & absoluta, altera apparens, vulgaris & comparativa. Gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum tendit : relatlva & vulgarls est excessus gravitatis quo corpus magis tendit deorsum quam fluldum amblens. Prioris generis gravitate partes fluidorum & corporum omnium gravitant in locis suls : ideoque conjunctis ponderlbus componunt pondus totius. Nam totum omne grave esf, ut In vasis liquorum plenls experiri llcet ; & pondus totius aequale est ponderibus omnlum partlum, ideoque ex ilsdem com- ponitur. Alterius generls gravitate corpora non gravltant in locis suis, id est, inter se collata non praegravant, sed mutuos ad descendendum conatus impedientla permanent in locis suis, perinde ac si gravia non essent. Quae in aere sunt & non praegravant, vulgus gravia non judicat. Quae praegravant vulgus gravla judicat, quatenus ab aeris pondere non sustinentur. Pondera vulgi nihil aliud sunt quam excessus verorum ponderum supra pondus aeris. Unde & vulgo dicuntur levia, quae sunt mlnus gravla, aerlque praegravanti cedendo superlora petunt. Comparative levla sunt, non vere, quia descendunt in vacuo. SIc & in aqua corpora, quae ob majorem vel minorem gravitatem descendunt vel ascendunt, sunt comparatlve & LIBER SECUNDUS. 287 apparenter gravia vel levla, & eorum gravitas vel levitas compara- tiva & apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel superat gravitatem aquse vel ab ea superatur. Quae vero nec prse- gravando descendunt, nec praegravanti cedendo ascendunt, etiamsi veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen & in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est horum ca- suum demonstratio. Corol. 7. Quae de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis qui- buscunque viribus centripetis. CoroL 8. Proinde si medium, in quo corpus aliquod movetur, urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacunque vi centripeta, & corpus ab eadem vi urgeatur fortius ; differentia virium est vis illa motrix, quam in praecedentibus propositionibus ut vim centri- petam consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, differentia virium pro vi centrifuga haberi debet. CoroL 9. Cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent eorum figuras externas, patet insuper (per corollarium prop. xix) quod non mutabunt situm partium internarum inter se : proindeque, si animalia immergantur, & sensatio omnis a motu partium oriatur ; nec Isedent corpora immersa, nec sensationem ullam excitabunt, nisi qua- tenus haec corpora a compressione condensari possunt. Et par est ratio cujuscunque corporum systematis fluido comprimente circundati. Systematis partes omnes iisdem agitabuntur motibus, ac si in vacuo constituerentur, ac solam retinerent gravitatem suam comparativam, nisi quatenus fluidum vel motibus earum nonnihil resistat, vel ad easdem compressione conglutinandas requiratur. PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVI. Sit fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce propor- tionali deorsum trahantur: dico quod^ si distantics illce sumantur continue proportionales, densitates fluidi in iisdem distantiis erunt etiam continue proportionales, Designet A TV fundum sphaericum cui fluidum incumbit, S cen- trum, S A, SB, SQ S D, SE.SF, &c. distantias continue propor- 288 DE MOTU CORPORVM tionales. Erigantur perpendicula ^iY, BI, CK, D L, E M, FN, &c. quse sint ut densitates medii in locis A, B, C, D, E, F ; & specificse . .. j , . AH BI CK ^ gravitates in nsdem locis erunt ut , "^-^ ~r~^' ' quod . , AH BI CK p x:^. . , permde est, ut ^— b» 57^» T^' ^^- ^ ^^^^ pnmum has gravitates uni- formiter continuari ab ^ ad ^, a ^ ad C, a C ad D, &c. factis per gradus decrementis in punctis B, C, D, &c. Et hae gravitates ductse in altitudines A B, B C, C D, &c. conficient pressiones A H, BI, CK, &c. quibus fundum A T V ( juxta theorema xv) urgetur. Su- stinet ergo particula A pressiones omnes A H, BI, C A", Z^Z, pergendo in infinitum ; & particula B pressiones omnes prseter primam A H ; & parti- cula C omnes prseter duas primas AH,B I ; & sic deinceps : ideoque particulse primse A densitas A H est ad particulae secundse B densitatem B I ut summa omnium A H-\- B I-\- C K -\-D L, in in- finitum, ad summam omnium B I -\- C K+ D Z, &c. Et ^/densitas secundse B est ad C A' densitatem tertise C, ut sum- ma omnium B I+CK-\-DL, &c. ad summam omnium CK-\-DL, &c. Sunt igitur summse illse differentiis suisA H, B I, C K, &c. pro- portionales, atque ideo continue proportionales (per hujus lem. i) proindeque differentise A H, B I, CK, &c. summis proportionales, sunt etiam continue proportionales. Quare cum densitates in locis A, B, C, &c. sint ut A H, B I, CK, &c. erunt etiam hse continue pro- portionales. Pergatur per saltum, & ex sequo in distantiis SA, S C, SE continue proportionaHbus, erunt densitates A H, C K, E M con- tinue proportionales. Et eodem argumento, in distantiis quibusvis continue proportionahbus S A, S D, S G, densitSLtes A H, D L, GO erunt continue proportionales. Coeant jam puncta A, B, C, D, E, &c. eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo A ad summi- tatem fluidi continua reddatur, & in distantiis quibusvis continue proportionaHbus SA, SD, SG, densitates AH, D L, GO, semper ex- istentes continue proportionales, manebunt etiamnum continue pro- portionales. Q. E. D. Corol. Hinc si detur densitas fluidi in duobus locis, puta A & LIBER SECUNDUS. 289 E, colligi potest ejus densitas in alio quovis loco Q. Centro S, asymptotis rectangulis 6" Q, SX describatur hyperbola secans perpen- dicula A H,EM,QT ma,e, q, ut & perpendicula HX, M Y, TZ, ad asymptoton SX demissa, in h, m, & t. Fiat area YiJitZ did aream datam Y mhX ut area data E eqQ ad aream datam E eaA ; & linea Z t producta abscindet lineam Q T densitati pro- portionalem. Namque si lineae S A, S E, SQ sunt continue proportionales, erunt arese EeqQ, EeaA sequales, Sz: inde areae his proportionales YmtZ, X hmY etiam aequales, & lineae SX, SY, SZ, id est, AH, E M, QT continue proportionales, ut oportet. Et si Hneae S A, S E, S Q obtinent alium quemvis ordinem in serie continue proportionalium, lineae AH, EM, QT, ob proportionales areas hyperbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia ferie quantitatum continue proportionaHum. \ r \ \ t M m v.rt H T" PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVII. Sitfiiiidi ctcjtisdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a gravitate qtiadratis distantiarum suarum a centro reciproce proportionali deorsmn trahantur : dico quod, si distanticB sumantur in progressione musica, densitates fluidi in kis distantiis erunt in progressione geometrica, Designet 6^ centrum, & SA, SB, S Q S D, SE distantias in progressione geometrica. Erigantur perpendicula A H, B I, CK, &c. quae sint ut fluidi densitates in locis A, B, C, D, E, &c. & ipsius ,r . .. , , . AHBICK^^. e^ravitates specmcae m iisdem locis erunt ^ ^ , -7777- , ^ ^ , &c. r mge SAq SBq SCq has gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad B, secundam a, B 3id C, tertiam a C ad Z^, &c. Et hae ductae in altitudines A B, B C, CD, D E, &c. vel, quod perinde est, in distantias SA, SB, SC, &c. altitudinibus iHis proportionales, conficient exponentes pressionum 290 DE MOTU CORPORUM A ]-f R T C K — — , , &c. Quare cum densitates sint ut harum pressionum S A. S B S C ^ summae, differentiae densitatum A H—B I, BI—CKy &c. erunt AH BI CK ^ r . c ~^~A' ~SB' ~S~C ' ^entro .S, asymp- ut summarum differentiae totis SA, Sx describatur hyperbola quaevis, quae secet perpendicula A H, B I, CK, &c. in a, b, c, &c. ut & perpendicula ad asymptoton ^^^i; demissa H t, I ti, Kw in h, i, k ; &, densitatum differentiae tu, AH B I u w, &c. erunt ut &c. seu tp, u q, &c. ut , &c. Et rectangula tuy.th, tcwxuty , &c.. id est, ut -^ ^, B b. S A' SB A Hxth B Ix ui SA ' SB &c. Est enim, ex natura hyperbolae, SA 2id A H vel St, ut t h ad ^ ., AHxth , . ^^ . ... Blxui A a, ideoque ^r-^ — aequale A a. t.t simih argumento est SA SB p E D C B A 1/ K- V M \. . L . i K \. I \„ H ^ n m r l k . 4=_^ S P i J J f a V if / i ^ t aequale Bb, &c. Sunt autem A a, B b, C c, &c. continue proportio- nales, & propterea differentiis suis A a—B b, B b — Cc, &c. propor- tionales ; ideoque differentiis hisce proportionaHa sunt rectangula tp^ uq, &c. ut & summis differentiarum A a — Cc vel A a—Dd summae rectangulorum tp-^uq vel tp + uq-^-wr. Sunto ejusmodi termini quam plurimi, & summa omnium differentiarum, puta Aa—Ff, erit summae omnium rectangulorum, puta zth^i, proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur distantiae punctorum A, B, C, LIBER SECUNDUS. 20I &c. In infinitum, & rectangula illa evadent aequalia areae hyperbolicce zthn, ideoque huic areae proportionalis est differentia Aa—Ff. Sumantur jam distantiae quaeHbet, puta S A, SD, SF m progressione musica, & dififerentiae Aa — Dd, Dd—F/^vnnt aequales ; & prop- terea differentiis hisce proportionales areae thlx, xlnz aequales erunt inter se, & densitates St, Sx, S z, id est, A H, D L, FN, continue proportionales. Q.E.D. Corol. Hinc si dentur fluidi densitates duae quaevis, puta A H Sl Z?/, dabitur area thiti, harum differentiae tu respondens ; & inde invenietur densitas FN in altitudine quacunque S F, sumendo aream thnz ad aream illam datam thiu ut est differentia A a — Ff 2A differentiam A a—B b. Scholmm. SimiH argumentatione probari potest, quod si gravitas particula- rum fluidi diminuatur in tripHcata ratione distantiarum a centro, & quadratorum distantiarum S A, S B, S C, &c. reciproca (nempe SA cub. S A cub. SA cub. . . . ... ^ . — , —77-7^ — , ~~E^ — ) sumantur m progressione anthmetica ; o A q o li q o C ^ densitates A H, B I, C K, &c. erunt in progressione geometrica. Et si gravitas diminuatur in quadrupHcata ratione distantiarum, & cuborum distantiarum reciproca (puta ^ ^ ^, , ^ ■ ^; , ^^ ^ %, &c.) ^ SA cub. SB cub. S C cttb. sumantur in progressione arithmetica ; densitates A H, RI, C K, &c. erunt in progressione geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si gravitas particularum fluidi in omnibus distantiis eadem sit, & distantiae sint in progressione arithmetica, densitates erunt in progres- sione geometrica, uti Vir Cl. Edmundus Halleius invenit. Si gra- vitas sit ut distantia, & quadrata distantiarum sint in progressione arithmetica, densitates erunt in progressione geometrica. Et sic in infinitum. Haec ita se habent ubi fluidi compressione condensati densitas est ut vis compressionis, vel, quod perinde est, spatium a fluido occupatum reciproce ut haec vis. Fingi possunt aHae con- densationis leges, ut quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato- quadratum densitatis, seu tripHcata ratio vis eadem cum quadrupHcata ratione densitatis. Quo in casu, si gravitas est reciproce ut quadratum 292 DE MOTU COBPORUM distantiae a centro, densitas erit reciproce ut cubus distantiae. Fin gatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, & si gravitas est reciproce ut quadratum distantiae, densitas erit reciproce in sesquiplicata ratione distantise. Fingatur quod vis com- primens sit in duplicata ratione densitatis, & gravitas reciproce in ratione duplicata distantiae, & densitas erit reciproce ut distantia. Casus omnes percurrere longum esset. Cseterum per experimenta constat quod densitas aeris sit ut vis comprimens vel accurate vel saltem quam proxime : & propterea densitas aeris in atmosphaera terrae est ut pondus aeris totius incumbentis, id est, ut altitudo mercurii in barometro. 1 PROPOSITIO XXIII. THEOREMA XVIII. Sifiiddi ex partic7tlis se niutuo ftcgiefitibus compositi densitas sit ut compressio, vires centrificgcB partictdarum sunt reciproce proportion- ales distantiis centrorum suorum, Et vice versa, particulce viribus qucB sunt reciproce proportionales distantiis centrorum suortcm se mutuo fugientes componunt fiuidum elasticum, cujus densitas est compressioni p7'oportio7ialis. Includi intelligatur fluidum in spatio cubico A C E, dein com- pressione redigi in spatium cubicum minus ace; & particularum, similem situm inter se in utroque spatio obtinentium, distantiae erunt ut cuborum latera A B, ab ; & mediorum densitates reciproce ut spa- tia continentia AB cub, 81. ab cub. In cubi majoris latere plano ABCD capiatur quadratum DP sequale lateri plano cubi minoris db ; & ex hypothesi, pressio, qua quadratum D P urget fluidum inclusum, erit ad pressionem, qua illud quadratum db urget fluidum inclusum, ut medii densitates ad invicem, hoc est, ut ^^ cub. ad A B C2cb. Sed pressio, qua quadratum DB urget fluidum inclusum, est ad pressionem, qua quadratum DP urget idem fluidum, ut quadra- tum DB ad quadratum DP, hoc est, ut AB qtiad. ad ab quad. Ergo, a / d- A ^^ / B / f> -^ i j Gr ^ ^ h b "-9 ..--■ ^ c H D > LIBER SECUI^DUS. 293 ex aequo, pressio qua quadratum DB urget fluidum, est ad pressionem qua quadratum db urget fluidum, ut ^<5 ad -^^. Planis FGH, fghy per media cuborum ductis, distinguatur fluidum in duas partes, & hae se mutuo prement iisdem viribus, quibus premuntur a planis A C, ac, hoc est, in proportione ad ad AB : ideoque vires centrifugse, quibus hae pressiones sustinentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem particularum numerum similemque situm in utroque cubo, vires quas particulse omnes secundum plana FGH, fgh exercent in omnes, sunt ut vires quas singulae exercent in singulas. Ergo vires, quas singulae exercent in singulas secundum planum FG H m cubo majore, sunt ad vires, quas singulae exercent in singulas secundum ipldinum fgh in cubo minore, ut ad did AB, hoc est, reciproce ut distantiae particularum ad invicem. Q. E. D. Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce ut distantiae, id est, reciproce ut cuborum latera AB, ab ; summae virium erunt in eadem ratione, & pressiones laterum DB, d b ut summae virium ; & pressio quadrati D P ad pressionem lateris D B ut a b qicad. 2A A B quad. Et, ex aequo, pressio quadrati D P 2A pressionem lateris db ut ab cub. 2A A B cub. id est, vis compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem. Q. E. D. Scholium. ■ Simili argumento, si particularum vires centrifugae sint reciproce in duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-quadrata densitatum. Si vires centrifugae sint reciproce in triplicata vel quadrupHcata ratione distantiarum, cubi virium comprementium erunt ut quadrato-cubi vel cubo-cubi den- sitatum. Et universahter, si D ponatur pro distantia, & E pro densitate fluidi compressi, & vires centrifugae sint reciproce ut distantiae dignitas quaeHbet D", cujus index est numerus n; vires comprimentes erunt ut latera cubica dignitatis E"+^ cujus index est numerus 7i-\-2\ & contra. Intefligenda vero sunt haec omnia de particularum viribus centrifugis quae terminantur in particuHs proximis, aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in corporibus magneticis. Horum virtus attractiva terminatur fere in sui generis corporibus sibi proximis. Magnetis virtus per interpositam 2 94 DE MOTU CORPORUM laminam ferri contrahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non tam a magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum si particulae fugant alias sui generis particulas sibi proximas, in particulas autem remotiores virtutem nullam exerceant, ex hujusmodi particuHs componentur fluida de quibus actum est in hac propositione. Quod si particulae cujusque virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad aequalem condensationem majoris quantitatis fluidi. *An vero fluida elastica ex particuHs se mutuo fugantibus constent, qusestio physica est. Nos proprietatem fluidorum ex ejusmodi particuHs constantium mathematice demonstravimus, ut philosophis ansam praebeamus quaestionem illam tractandi. SECTIO VI. De moiu & resiste^itia corporum funependulorum. PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX. Qtiantitates materice in corporibus funependulis, qtcorum centra oscillationum a cefitro stcspensionis cequaliter distant, sunt in ratione composita ex ratione ponderum & ratione duplicata temporum oscillationum in vac7w, Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore generare potest, est ut vis & tempus directe, & materia inverse. Quo major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod per motus legem secundam manifestum est. Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo aequaliter distantibus sunt ut pondera : ideoque si corpora duo oscillando describant arcus aequales, & arcus illi dividantur in partes aequales ; cum tempora quibus corpora describant singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora oscillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscil- lationum partibus, ut vires motrices & tota oscillationum tempora directe & quantitates materiae reciproce : ideoque quantitates materiae ut vires & oscillationum tempora directe & velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce sunt ut tempora, atque LIBER SECUNDUS, 295 ideo tempora directe & velocitates reciproce sunt ut quadrata tem- porum, & propterea quantitates materiae sunt ut vires motrices & quadrata temporum, id est, ut pondera & quadrata temporum. Q,E,D. Corol, I. Ideoque si tempora sunt aequalia, quantitates materiae in singulis corporibus erunt ut pondera. Corol. 2. Si pondera sunt aequalia, quantitates materiae erunt ut quadrata temporum. Corol. 3. Si quantitates materiae aequantur, pondera erunt reci- proce ut quadrata temporum. Corol. 4. Unde cum quadrata temporum, caeteris paribus, sint ut longitudines pendulorum ; si & tempora & quantitates materiae ae- qualia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum. Corol. 5. Et universaliter, quantitas materiae pendulae est ut pon- dus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse. Corol. 6. Sed & in medio non resistente quantitas materiae pendu- lae est ut pondus comparativum & quadratum temporis directe & longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum est vis mo- trix corporis in medio quovis gravi, ut supra explicui ; ideoque idem praestat in tali medio non resistente atque pondus absolutum in vacuo. Corol. 7. Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se, quoad quantitatem materiae in singulis; tum comparandi pondera ejusdem corporis in diversis locis, ad cognoscendam variationem gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materiae in corporibus singulis eorum ponderi proportionalem esse. PROPOSITIO XXV. THEOREMA XX. Corpora Fu7iependula quibus, in medio quovis, resistitur in ratione momentorum temporis, & corpora funependula qucs in ejusdem gravi- tatis specificcB medio non resistente moventur^ oscillationes in cycloide eodem tempore peragurit, & arcuum partes proportionales simul de- scribicnt. Sit A B cycloidis arcus, quem corpus D tempore quovis in medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in C, ita ut C sit 296 DE MOTU CORPORUM infimum ejus punctum ; & erlt vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis D vel d vel E ut longitudo arcus C D vel C d vel C E. Exponatur vis illa per eundem arcum ; & cum resistentia sit ut momentum temporis, ideoque detur, exponatur eadem per da- tam arcus cycloidis partem CO, Si sumatur arcus O d m ratione ad arcum CD quam habet arcus 6^^ ad arcum CB : & vis qua corpus in d urgetur in medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra re- sistentiam C O, exponetur per arcum Od, ideoque erit ad vim, qua corpus D urgetur in medio non resistente in loco D, ut arcus Od ad arcum CD; & propterea etiam in loco B ut arcus 6^^ ad ar- cum CB. Proinde si corpora duo, D, d exeant de loco B, & his viribus urgeantur : cum vires sub initio sint ut arcus CB & O B, erunt velocitates primse & arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus ilH BD & B d, & arcus reHqui CD, Od erunt in ea- dem ratione. Proinde vires ipsis CD, Od proportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio, & propterea corpora pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates & arcus reliqui CD, Od semper erunt ut arcus toti CB, O B, & prop- terea arcus ilH reliqui simul describentur. Quare corpora duo D, d simul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in medio non resistente ad locum C, & alterum in medio resistente ad locum O. Cum autem velocitates in C & O sint ut arcus CB, O B ; erunt arcus, quos corpora ulterius pergendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto iHi C E &l O e. Vis qua corpus d in medio non resistente retardatur in E est ut C^, & vis qua corpus ^in medio LIBER SECUNDUS, 297 resistente retardatur in e est ut summa vis Ce 8l resistentiae C O, id est ut O e ; ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut arcubus CBy Oe proportionales arcus CB, O B ; proindeque velocitates, in data illa ratione retardatae, manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum CB & OB; & propterea si sumantur arcus toti A B, aB in eadem ratione, corpora D, d simul describent hos arcus, & in locis A & a motum omnem simul amittent. Iso- chronae sunt igitur oscillationes totae, & arcubus totis BA, Ba proportionales sunt arcuum partes quaelibet B D, B d vel B E, B e quse simul describuntur. Q.E.D. Corol. Igitur motus velocissimus in medio resistente non incidit in punctum infimum C, sed reperitur in puncto illo O, quo arcus totus descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in descensu suo a ^ ad (9. PROPOSITIO XXVI. THEOREMA XXI. Corporum funependtUorumy quibus resistitur in ratione velocitatum^ oscillationes in cycloide sunt Isochronce. Nam si corpora duo, a centris suspensionum aequaliter distantia, oscillando describant arcus inaequales, & velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti ; resistentiae velocitatibus proportionales, erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quae sint ut iidem arcus, auferantur vel addantur hae resistentiae, erunt differentiae vel summae ad invicem in eadem arcuum ratione : cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut hae differentiae vel summae, velocitates semper erunt ut arcus toti : Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione. Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere & arcus illos describere, vires, cum sint arcubus proportionales, generabunt velo- citates arcubus proportionales. Ergo velocitates semper erunt ut arcus toti describendi, & propterea arcus illi simul describentur. Q.E.D, 198 DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO XXVII. THEOREMA XXII. Si corporibus funependulis resistihir in duplicata ratione velocitatum, differenticB inter tempora oscillationwn in medio resistente ac tem- pora oscillationum i^i ejusdem gravitatis specificcB medio non re- sistente, erunt arcubus oscillando descriptis proportionales guam proxime. Nam pendulis aequalibus in medio resistente describantur arcus inaequales A, B ; & resistentia corporis in arcu A, erit ad resisten- tiam corporis in parte correspondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum, id est, ut A A ad B B, quam proxime. Si resistentia in arcu B esset ad resistentiam in arcu A ut A B ad A A ; tempora in arcubus A & B forent aequalia, per propositionem superiorem. Ideoque resistentia AA in arcu A, vel AB in arcu B, efficit excessum temporis in arcu A supra tempus in medio non resistente ; & resistentia BB efficit excessum temporis in arcu B supra tempus in medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires efficientes AB & BB quam proxime, id est, ut arcus A & B. Q.E.D. Corol. I. Hinc ex oscillationum temporibus, in medio resistente, in arcubus insequalibus factarum, cognosci possunt tempora oscil- lationum in ejusdem gravitatis specificse medio non resistente. Nam differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra tempus in medio non resistente, ut differentia arcuum ad arcum minorem. Corol. 2. Oscillationes breviores sunt magis isochronae, & brevis- simae iisdem temporibus peraguntur ac in medio non resistente, quam proxime. Earum vero, quae in majoribus arcubus fiunt, tempora sunt paulo majora, propterea quod resistentia in descensu corporis qua tempus producitur major sit pro ratione longitudinis in descensu descriptae, quam resistentia in ascensu subsequente qua tempus contrahitur. Sed & tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum medii. Nam corporibus tardescentibus paulo minus resistitur, pro ratione veloci- tatis, & corporibus acceleratis paulo magis quam iis quae unifor- miter progrediuntur : idque quia medium, eo quem a corporibus LIBER SECUNDUS. 299 I acceplt motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis agitatur, in posteriore minus ; ac proinde magis vel minus cum corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis re- sistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque causa tempus producitur. PROPOSITIO XXVIII. THEOREMA XXIII. Si corpori funependulo in cycloide oscillanti resistitur in ratione mo- mentortcm temporis, erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut excessus arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente descrip- tum, adpe^iduli longitudinem duplicatam. Designet B C arcum descensu descriptum, C a arcum ascensu de- scriptum, & A a differentiam arcuum : & stantibus quae in proposi- tione XXV constructa & demonstrata sunt, erit vis, qua corpus os- cillans urgetur in loco quovis D, ad vim resistentise ut arcus CI? ad arcum C O, qui semissis est differentiae illius A a. Ideoque vis, qua corpus oscillans urgetur in cycloidis principio seu puncto altis- simo, id est, vis gravitatis, erit ad resistentiam ut arcus cycloidis inter punctum illud supremum & punctum infimum C ad arcum C O ; id est (si arcus duplicentur) ut cycloidis totius arcus, seu dupla penduli longitudo, ad arcum A a. Q. E. D. 300 DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA VI. Posito qtiod corpori in cycloide oscillanti resistitur in duplicata ratione velocitatis : invenire resistentiam in locis singulis. Sit Ba arcus oscillatione integra descriptus, sitque C infimum cycloidis punctum, & CZ semissis arcus cycloidis totius, longitu- dini penduli sequalis ; & quaeratur resistentia corporis in loco quo- vis D. Secetur recta infinita O Q \n punctis O, S, P, Q, ea lege, ut (si erigantur perpendicula O K, S T, P /y Q E, centroque O & asymptotis O K, O Q describatur hyperbola TIGE secans perpendic- ula ST, PI, QE in T, I & E, & per punctum /agatur A^/^parallela asymptoto O Q occurrens asymptoto O K in K, & perpendiculis 6^ T & Q E in L & E) fuerit area hyperbolica P I E Q ad aream hyper- bolicam P I TS ut arcus B C descensu corporis descriptus ad arcum T K L. \ 1 ^H F i j i ^ "^ c » S \ T-E - <; \ M Ca ascensu descriptum, & area I E E did aream ILTmX. OQ ad OS. Dein perpendiculo i^iV^ abscindatur area hyperbolica P I N M quse sit ad aream hyperbolicam P lEQ ut arcus CZ ad arcum j^Cde- scensu descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur area hy- perbolicaP/6^y?, quae sit adaream PIEQ ut arcus quiHbet CD ad arcum B C descensu toto descriptum ; erit resistentia in loco D OR ad vim gravitatis, ut area ^ lEE-IGHdid aream P I N M. Nam cum vires a gravitate oriundae quibus corpus in locis Z, B, D, a urgetur, sint ut arcus CZ, CB, C D, C a, & arcus illi sint ut are^ LIBER SECUNDUS. 301 P IN M, PIEQ, PIGR, PI TS; exponantur tum arcus tum vlres per has areas respective. Sit insuper D d spatium quam minimum a corpore descendente descriptum, & exponatur idem per aream quam minimam R Gg r parallelis R G, r g comprehensam ; & pro- ducatur r g ad h, ut sint G H hg, & R Gg r contemporanea arearum O R IG H, P I G R decrementa. Et arese — -— I E F—I G H incremen- R r R r tum G Hhg^-~i I E F, seu RrxHG——r I E F, erit ad areae I E F PIGR decrementum RGgr^ seu RrxRG, ut HG — ad RG; ideoqueut ORxHG-^^IEF ad ORxGR seu OPx P I, hoc est (ob ^quaHa ORxHG, ORx HR-OR x GR, ORHK --OPIK, PIHR & PIGR^ IGH) ut PIGR^IGH^ ~-^ lEF 2.AOP IK Igitur si area -^ I EF-IGH dicatur Y, atque areae P I G R decrementum R Gg r detur, erit incrementum areae Y utPIGR-Y. Quod si V designet vim a gravitate orlundam, arcul descrlbendo C D proportlonalem, qua corpus urgetur in Z^, & R pro reslstentia ponatur ; erit V — R vis tota qua corpus urgetur In D. Est itaque incrementum velocitatls ut V — R & partlcula Illa temporis In qua factum est conjunctim : Sed & velocitas Ipsa est ut incrementum contemporaneum spatii descripti directe & particula eadem temporis inverse. Unde, cum resistentia per hypothesin sit ut quadratum velocitatls, Incrementum resistentise (per lem. 11) erlt ut velocltas & Incrementum velocltatis conjunctlm, id est, ut momentum spatii & V — R conjunctlm ; atque ideo, si momentum spatii detur, ut V — R ; id est, si pro vi V scribatur ejus exponens P I G R, & resistentia R exponatur per aHam aliquam aream Z, Mt P I G R -Z. Igitur area PIGR per datorum momentorum subductionem uniformiter decrescente, crescunt area Y in ratione P I G R^-Y, & area Z in ratione P I GR — Z. Et propterea si arese Y & Z simul incipiant & sub initio sequales sint, hse per additionem sequaHum momentorum pergent esse sequales, & sequaHbus itidem momentis 302 DE MOTU CORPORUM subinde decrescentes simul evanescent. Et viclssim, si simul incipi- unt & simul evanescunt, aequalia habebunt momenta & semper erunt aequales : id adeo quia si resistentia Z augeatur, velocitas una cum arcu illo Ca^ qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; & puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum C, resistentia citius evanescet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur. Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc est, in principio motus ubi arcus C D arcui CB sequatur & recta RG incidit in rectam Q Ey &, vs\ fine motus ubi arcus CD arcui O R Ca aequatur & jR G incidit in rectam .S T. Et area Y seu — — OR I E F'-! G H incipit desinitque ubi nulla est, ideoque ubi OQ T K L \ T h¥i Y 51- i j ^ ^ 0 5 \ > H . K \ M lEF & I G H sequalia sunt : hoc est (per constructionem) ubi recta R G incidit successive in rectas Q E & S T. Proindeque areae iUae simul incipiunt & simul evanescunt, & propterea semper sunt O /? aequales. Igitur area -r-— /EF—IGH aequahs est areae Z, per quam resistentia exponitur, & propterea est ad aream P I N M per quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gravitatem. Q. E. D. Corol. I. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravitatis, OP ut area -^ I E F yA aream P I N M. Corol. 2. Fit autem maxima, ubi area P IHR est ad aream lEF \it O R 2idi O Q. Eo enim in casu momentum ejus (nimirum P I G R — Y) evadit nullum. LIBER SECUNDUS. 303 Corol. 3. Hinc etlam innotescit velocitas in locis singulis : quippe quae est in subduplicata ratione resistentise, & ipso motus initio aequatur velocitati corporis in eadem cycloide sine omni resistentia oscillantis. Caeterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per hanc propositionem inveniendae sunt, visum est propositionem sequen- tem subjungere. PROPOSITIO XXX. THEOREMA XXIV. Si recta a B csqualis sil cycloidis arcui quem corpus oscillando describit, & ad singula ejus puncta D eriganttir perpendicula D K, quce sint ad longitudinem penduli ut resistentia corporis in arcus punctis cor- respondentibus ad vim gravitatis : dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum & arcum ascensu toto subsequente descriptum^ ducta in arcuum eorundem semisummam, csqualis erit arecs B K a ^ perpendiculis omnibus D K occupatce. Exponatur enim tum cycloidis arcus, oscillatione integra descrip- tus, per rectam illam sibi aequalem aB, tum arcus qui describere- tur in vacuo per longitudinem A B. Bisecetur ^ ^ in C, & punc- tum C repraesentabit infimum cycloidis punctum, & erit C D ut ^-^^'^ """^^^^E y^ ^^ ~--^ ^s,^ //^ 7n / 1 \ A ■/ K \ \ \ %^ / -^ / ^^''''^ AMN » d I> B vis a gravitate oriunda, qua corpus in D secundum tangentem cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem pen- duli quam habet vis in D ad vim gravitatis. Exponatur igitur vis 304 DE MOTU CORPORUM illa per longitudinem CD, 8i vis gravitatis per longitudinem pen- duli, & si in Z^^ capiatur D K in ea ratione ad longitudinem pen- duli quam habet resistentia ad gravitatem, erit DK exponens resistentiae. Centro C & intervallo CA vel CB construatur semicir- culus BEeA. Describat autem corpus tempore quam minimo spatium D d, 8i erectis perpendiculis D E, de circumferentiae occur- rentibus in ^ & ^, erunt haec ut velocitates quas corpus in vacuo, descendendo a puncto B, acquireret in locis D &. d. (Patet hoc per prop. lii lib. i.) Exponantur itaque hae velocitates per per- pendicula illa D E^ de ; sitque D F velocitas quam acquirit in D cadendo de B in medio resistente. Et si centro C & intervallo CT^ describatur circulus FfM occurrens rectis de 8l A B mf &, M^ erit M locus ad quem deinceps sine ulteriore resistentia ascen- deret, & ^/"velocitas quam acquireret in d. Unde etiam si Fg designet velocitatis momentum quod corpus D^ describendo spa- AMJsr " d D tium quam minimum D d, ex resistentia medii amittit; & suma- tur C N aequaHs Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps sine ulteriore resistentia ascenderet, Si M N erit decrementum ascensus ex velocitatis ilHus amissione oriundum. Ad df demittatur perpen- diculum Fm, & velocitatis D F decrementum Fg, a resistentia DK genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum fm ^v\ C D ge- nitum, ut vis generans D K ^d vim generantem C D. Sed & ob simiHa triangula Fmf Fhg, FDC, estfm ad Fm seu D d \xt CD ad D F; & ex aequo Fg ad D d ut D K 2id D F Item Fh ad Fg utDFsid CF; & ex aequo perturbate, FA seu MN adDdutDK ad CF seu CM; ideoque summa omnium MNx CM aequaHs erit summae omnium DdxDK. Ad punctum mobile J/erigi semper inteHigatur ordinata rectangula aequaHs indeterminatae CM, quae I LIBER SECUNDUS. 305 niotu continuo ducatur in totam longitudinem A a ; & trapezium ex illo motu descriptum sive huic aequale rectangulum A ay.\ a B aequabitur summae omnium M N y. C M, ideoque summae omnium DdxDK, id est, areae BK V Ta, Q. E, D, Corol. Hinc ex lege resistentiae & arcuum C a, C B differentia A a colligi potest proportio resistentiae ad gravitatem quam proxime. Nam si uniformis sit resistentia D K, figura B K Ta rectangulum erit s\xh B a & D K ; & inde rectangulum sub l B a 81 A a erit aequale rectangulo sub B a 81 D K, 8l D K aequalis erit i A a. Quare cum D K sit exponens resistentiae, & longitudo penduli exponens gravi- tatis, erit resistentia ad gravitatem ut 4^ ^ ^ ad longitudinem penduli ; omnino ut in prop. xxviii demonstratum est. Si resistentia sit ut velocitas, figura B K Ta ellipsis erit quam proxime. Nam si corpus, in medio non resistente, oscillatione integra describeret longitudinem B A, velocitas in loco quovis D foret ut circuli diametro A B descripti ordinatim applicata D E. Proinde cum ^ ^ in medio resistente, 8l B A m medio non resistente aequalibus circiter temporibus describantur ; ideoque velocitates in singulis ipsius Ba punctis, sint quam proxime ad velocitates in punctis cor- respondentibus longitudinis i?^, ut est ^^ ad BA; erit velocitas in puncto D in medio resistente ut circuli vel ellipseos super dia- metro B a descripti ordinatim applicata ; ideoque figura B K V Ta ellipsis erit quam proxime. Cum resistentia velocitati propor. tionalis supponatur, sit O V exponens resistentiae in puncto medio O ; 81 ellipsis B R FSa, centro O, semiaxibus O B, O V descripta, figuram B K V Ta, eique aequale rectangulum A a x B O, aequabit quamproxime. Est igitur A ax B O a.d O VxBOut area ellipseos hujus a.d O Vx B O : id est, A a a.d O V ut area semicircuH ad qua- dratum radii, sive ut 11 ad 7 circiter : Et propterea inr -^ ^ ad longi- tudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia in O ad ejusdem gravitatem. Quod si resistentia D K sit in dupHcata ratione velocitatis, figura B K V Ta fere parabola erit verticem habens V 8l axem O F, ide- oque aequalis erit rectangulo sub \ B a 8l O V quam proxime. Est igitur rectangulum sub \ B a 8i A a aequale rectangulo sub % B a 8i O F, ideoque O V aequaHs \ A a: & propterea corporis oscillantis re- sistentia in O ad ipsius gravitatem utl Aa a.d longitudinem penduH. u ;o6 DE MOTU CGRPORUM Atque has conclusionei; in rebus practicis abunde satis accuratas esse censeo. Nam cum ellipsis vel parabola B R V Sa congniat cum figura BKVTa in puncto medio V, hsec si ad partem altenitram B R Kvel V Sa excedit figuram illam, deficiet ab cadem ad partem alteram, & sic eidem aequabitur quam proxime. PROPOSITIO XXXI. THEOREMA XXV. Si corporis oscillantis resistentia in singulis arciium descriptorum partibus proportio7ialibus augeatur vel mitmatur in data ratione ; differentia inter arcum desceiisu descriptum & arcum subsequente ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione. Oritur enim differentia illa ex retardatione penduli per resistentiam medii, ideoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia retardans. In superiore propositione rectangulum sub recta \aB &l arcuum illorum C B, C^ differentia ^ ^ aequalis erat Tsx^TS^BKTa. AMN d I> Et area illa, si maneat longitudo a B, augetur vel diminuetur in ratione ordinatim appHcatarum D K ; hoc est, in ratione resistentiae, ideoque est ut longitudo a B 8l resistentia conjunctim. Proindeque rectangu- lum sub A a &i aB estut aB & resistentia conjunctim, & propterea A a \it resistentia. Q. E, D, Corol. I. Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in eodem medio erit ut arcus totus descriptus : & contra. Corol. 2. Si resistentia sit in dupHcata ratione velocitatis, differentia illa erit in duplicata ratione arcus totius : & contra. LIBER SECUNDUS. 307 Corol. 3. Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius : & contra. CoroL 4. Et si resistentia sit partim in ratione simplici velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata, differentia erit partim in ratione arcus totius & partim in ejus ratione duplicata : & contra. Eadem erit lex & ratio resistentise pro velocitate, quae est difFerentiae illius pro longitudine arcus. Corol. 5. Ideoque si, pendulo insequales arcus successive descri- bente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi differentia^ hujus pro longitudine arcus descripti ; habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi resistentiic pro velocitate majore vel minore. Scholiicm Gefierale. Ex his propositionibus, per oscillationes pendulorum in mediis quibuscunque, invenire licet resistentiam mediorum. Aeris vero re- sistentiam investigavi per experimenta sequentia. Globum ligneum pondere unciarum Romanarum 57A, diametro digitorum Londi- nensitim 61 fabricatum, filo tenui ab unco satis firmo suspendi, ita ut inter uncum & centrum oscillationis globi distantia esset pedum lo^. In filo punctum notavi pedibus decem & uncia una a centro suspen- sionis distans ; & e regione puncti illius collocavi regulam in digitos distinctam, quorum ope notarem longitudines arcuum a pendulo descriptas. Deinde numeravi oscillationes quibus globus octavam motus sui partem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendi- culo ad distantiam duorum digitorum, & inde demittebatur ; ita ut toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque oscillatione prima, ex descensu & ascensu subsequente composita, arcum digitorum fere quatuor : idem oscillationibus 1 64 amisit octavam motus sui partem, sic ut ultimo suo ascensu describeret arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo descensu descripsit arcum digitorum quatuor; amisit octavam motus partem oscilla- tionibus 121, ita ut ascensu ultimo describeret arcum digitorum 3|. Si primo descensu descripsit arcum digitorum octo, sexdecim, triginta duorum vel sexaginta quatuor; amisit octavam motus partem oscilla- tionibus 69, 35I, 18I, 9!, respective. Igitur differentia inter arcus descensu primo & ascensu ultimo descriptos, erat in casu primo, ^o8 J^^ MOTU CORPORUM 0 secundo, tertio, quarto, quinto, sexto, digitorum t, ^, i, 2, 4, 8 respec- tive. Dividantur eae differentiae per numerum oscillationum in casu unoquoque, & in oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum 3I, yh 15, 30, 60, 120 descriptus fuit, differentia arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum, erit imr, m, A, tt, ^t, 14 partes digiti respective. Hae autem in majoribus oscillationibus sunt in duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime, in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione ; & propterea (per corol. 2 prop. XXXI libri hujus) resistentia globi, ubi celerius movetur, est in duplicata ratione velocitatis quam proxime ; ubi tardius, paulo major quam in ea ratione. Designet jam V velocitatem maximam in oscillatione quavis, sint- que A, B, C quantitates datae, & fingamus quod differentia arcuum 3 2 sit AV + BV^ + CV . Cum velocitates maximae sint in cycloide ut semisses arcuum oscillando descriptorum, in circulo vero ut semissium arcuum illorum chordae ; ideoque paribus arcubus majores sint in cycloide quam in circulo, in ratione semissium arcuum ad eorundem chordas ; tempora autem in circulo sint majora quam in cycloide in velocitatis ratione reciproca ; patet arcuum differentias (quae sunt ut resistentia & quadratum temporis conjunctim) easdem fore, quam- proxime, in utraque curva : deberent enim differentiae illae in cycloide augeri, una cum resistentia, in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa simplici auctam ; & diminui, una cum quadrato temporis, in eadem duplicata ratione. Itaque ut reductio fiat ad cycloidem, eaedem sumendae sunt arcuum dif- ferentiae quae fuerunt in circulo observatae, velocitates vero maximae ponendae sunt arcubus vel dimidiatis vel integris, hoc est, numeris J, I, 2, 4, 8, 16 analogae. Scribamus ergo in casu secundo, quarto & sexto numeros i, 4 & 16 pro V; & prodibit arcuum differentia -^ = A + B-|-C in casu secundo; — =- = 4 A + 8 B-h 16 C o in casu quarto ; & -^^^^ 16 Ah- 64 B-f- 256 C in casu sexto. Et ex 9-3 his aequationibus, per debitam collationem & reductionem analyticam, fit A= 0,0000916, B = 0,0010847, & C== 0,0029558. Est igitur differentia arcuum ut 0,0000916 V -1-0,0010847 V^-|- 0,0029558 V'^ : LIBER SECUNDUS. 309 & propterea cum (per corollarium propositlonis xxx applicatum ad hunc casum) reslstentia globl In medio arcus oscillando descripti, ubi 3 velocltas est V, sit ad ipslus pondus ut tt A V+ i^ B V'^ 4-f CV^ ad longitudinem pendull ; si pro A, B & C scrlbantur numerl Inventl, fiet resistentla globi ad ejus pondus^ ut 0,0000583^ + 0,0007593 V^ + 0,0022169 V^ ad longitudinem pendull Inter centrum suspensionis & regulam, Id est, ad 121 dlgltos. Unde cum V in casu secundo deslgnet i, In quarto 4, In sexto 16 : erit reslstentla ad pondus globi in casu secundo ut 0,0030345 ad 121, In quarto ut 0,041748 ad 121, in sexto ut 0,61705 ad 121. Arcus quem punctum in filo notatum In casu sexto descrlpslt, erat o 120 1 seu 119/17 digitorum. Et propterea cum radlus esset 121 _ 9^ dlgitorum, & longltudo pendull inter punctum suspensionls & cen- trum globl esset 126 digitorum, arcus quem centrum globi descrlp- sit erat 124A digltorum. Quoniam corporis oscillantls vek)citas maxlma, ob resistentiam aerls, non Incidlt in punctum infimum arcus descripti, sed in medio fere loco arcus totlus versatur : hsec eadem erit circiter ac si globus descensu suo toto in medio non resistente describeret arcus Illius partem dimldiam digitorum 62A, idque In cyclolde, ad quam motum penduli supra reduximus : & propterea velocitas illa sequalls erlt velocltatl quam globus, perpen- dlculariter cadendo & casu suo describendo altitudinem arcus IHius sinui verso sequalem, acqulrere posset. Est autem slnus ille versus in cycloide ad arcum istum 62A ut arcus idem ad penduH longl- tudinem duplam 252, & propterea sequaHs digitls 15,278. Quare velocltas ea ipsa est quam corpus cadendo & casu suo spatium 15,278 digitorum descrlbendo acquirere posset. Tali Igitur cum velocltate globus resistentiam patltur, qua^ slt ad ejus pondus ut 0,61705 ad 121, vel (si resistentlae pars illa sola spectetur quae est in velocitatis ratlone duplicata) ut 0,56752 ad 121. Experimento autem hydrostatico inveni quod pondus globl hujus lignei esset ad pondus globi aquei magnltudinis ejusdem ut 55 ad 97 : & propterea cum 121 sit ad 213,4 in eadem ratione, erit re- sistentia globl aquel prsefata cum velocitate progredlentls ad ipslus pondus ut 0,56752 ad 213,4, id est, ut i ad 376A. Unde cum pon- 3IO DE MOTU CORPORUM dus globi aquel, quo tempore globus cum velocitate uniformiter continuata describat longitudinem digitorum 30,556, velocitatem illam omnem in globo cadente generare posset ; manifestum est quod vis reslstentiae eodem tempore uniformiter continuata tollere posset velocitatem minorem in ratlone i ad 376-5V, hoc est, velocitatls totlus partem — --^ Et propterea quo tempore globus, ea cum velocltate uniformiter continuata, longltudinem semldiametrl suae, seu digitorum 3iir, describere posset, eodem amltteret motus sui partem ^st^. Numerabam etiam oscillationes quibus pendulum quartam motus sui partem amisit. In sequente tabula numeri supremi denotant longitudinem arcus descensu prlmo descrlpti, in dlgitis & partibus digiti expressam : numeri medli- significant longitudinem arcus ascensu ultimo descripti ; & loco infimo stant numeri oscillatlonum. Experlmentum descrlpsi tanquam magis accuratum quam cum motus pars tantum octava amitteretur. Calculum tentet qui volet. Descenstis primus 2 4 8 16 32 64 Asceftstcs ultinms il 3 6 12 24 48 Numerus Oscillat. 374 272 162^ 83^ 4i§ 22§ Postea globum plumbeum diametro digitorum 2, & pondere un- ciarum Roina7iarimi 2 61 suspendi filo eodem, sic ut inter centrum globl & punctum suspenslonis intervallum esset pedum loj, & numerabam osclllatlones quibus data motus pars amitteretur. Tabu- larum subsequentium prior exhibet numerum oscillationum quibus pars octava motus totius cessavit ; secunda numerum osclllationum quibus ejusdem pars quarta amissa fuit. Descensus primus I 2 4 8 16 32 64 Ascensus ultimus H i 3^ 7 14 28 56 Nicmerus Oscillat. 226 228 193 140 90j 53 30 Descensus primus I 2 4 8 16 32 64 Ascensus ultimus 3 T \\ 3 6 12 24 48 Numerous Oscillat. 510 518 420 318 204 121 70 In tabula priore seligendo ex observationibus tertiam, quintam & I L IBER SEC UND US. 3 i i septlmam, & exponendo velocitates maximas in his observationibus particLilatim per niimeros i, 4, 16 respective, & generaliter per \_ quantitatem V ut supra : emerpfet In observatione tertia -^ = A + B 193 2 8 + C, in quinta — r== 4 A + 8 B + 16 C, in septima — =16^4-64^ 90^ 30 4-256 C. Hae vero aequationes reductae dant A == 0,001414, B =0,000297, C = 0,0008 79. Et inde prodit resistentla globl cum velocltate V moti in ea ratlone ad pondus suum unciarum 26^, quam habet 0,0009 V -f 0,000208 V^ 4- 0,000659 V^ ad penduli longitudlnem 121 digitorum. Et si spectemus eam solummodo resistentiae partem quae est in dupHcata ratlone velocitatis, h^ec erit ad pondus globi ut 0,000659 V^ ad 121 digitos. Erat autem haec pars resistentiae in experimento primo ad pondus globi Hgnel uncla- rurri 572^ ut 0,002217 V" ad 121 : & inde fit resistentia globl Hgnel ad reslstentlam globi phmibei (parlbus eorum velocitatlbus) ut 57/2 in 0,002217 ad 26I In 0,000659, Id est, ut 7J ad i. Diametri globorum duorum erant 61 & 2 digitorum, & harum quadrata sunt ad Invlcem ut 47t & 4, seu iitJ & i quamproxlme. Ergo resistentiae globorum aequivelocium erant in minore ratione quam dupHcata diametrorum. At nondum conslderavimus resistentlam fiH, quae certe permagna erat, ac de pendulorum inventa reslstentla subduci debet. Hanc accurate definire non potui, sed .majorem tamen in- veni quam partem tertiam resistentlae totlus mlnoris penduH ; & Inde dldici quod resistentiae globorum, dempta fiH reslstentia, sunt quam proxime In dupHcata ratione dlametrorum. Nam ratio 7J — \ ad I— ^, seu \o\ ad i non longe abest a diametrorum ratlone dupH- cata 1 1 xi ad i . Cum resistentia fiH in globis majoribus minoris sit momentl, tentavi etlam experlmentum In globo cujus diameter erat i8f digltorum. Longitudo penduH inter punctum suspenslonis & centrum oscIHa- tlonls erat dlgitorum 122J, inter punctum suspensionls & nodum in filo 109^ dig. Arcus primo penduH descensu a nodo descriptus 32 dig. Arcus ascensu ultimo post osciHationes qulnque ab eodem nodo descriptus 28 dig. Summa arcuum seu arcus totus oscinatlone mediocri descriptus 60 dlg. Differentla arcuum 4 dlg. Ejus pars decima seu dlfferentia intcr descensum & ascensum In oscinatione 312 DE MOTU CORPOR UM mediocri I dig. Ut radius 109J ad radium 1221 ita arcus totus 60 dig. oscillatione mediocri a nodo descriptus ad arcum totum 67-j dig. oscillatione mediocri a centro globi descriptum ; & ita differentia § ad differentiam novam 0,4475. Si longitudo penduli, manente longitudine arcus descripti, augeretur in ratione 126 ad 122J; tempus oscillationis augeretur & velocitas penduli diminueretur in ratione illa subduplicata, maneret vero arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum differentia 0,4475. Deinde si arcus descriptus augeretur in ratione 124^3. ad 671, differentia ista 0,4475 augeretur in duplicata illa ratione, ideoque evaderet 1,5295. Haec ita se haberent, ex hypothesi quod resistentia penduli esset in dupHcata ratione velocitatis. Ergo si pendulum describeret arcum totum 124/1 digitorum, & longitudo ejus inter punctum suspensionis & centrum oscillationis esset 126 digitorum, differentia arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum foret 1,5295 digitorum. Et haec differentia ducta in pondus globi penduH, quod erat unciarum 208, producit 318,136. Rursus ubi pendulum superius ex globo Hgneo constructum centro osciHationis, quod a puncto suspensionis digitos 126 distabat, describebat arcum totum 124^3^ digitorum, differentia arcuum descensu & ascensu descriptum fuit in — , \ 121 91 quae ducta in pondus globi, quod erat unciarum 57^^^ producit 49,396. Duxi autem differentias hasce in pondera globorum, ut invenirem eorum resistentias. Nam differentise oriuntur ex resis- tentiis, suntque ut resistentise directe & pondera inverse. Sunt igitur resistentiae ut numeri 318,136 & 49,396. Pars autem resisten- tiae globi minoris, quae est in dupHcata ratione velocitatis, erat ad resistentiam totam ut 0,56752 ad 0,61675, id est, ut 45,453 ad 49»39^ I ^ P^^s resistentiae globi majoris propemodum aequatur ipsius resistentiae toti ; ideoque partes iHae sunt ut 318,136 & 45,453 quamproxime, id est, ut 7 & i. Sunt autem globorum diametri i8t & 61 ; & harum quadrata 35 1^^ & 4711. sunt ut 7,438 & i, id est, ut globorum resistentiae 7 & i quamproxime. Differentia rationum haud major est, quam quae ex fiH resistentia oriri potuit. Igitur resistentiarum partes iHai quae sunt, paribus globis, ut quadrata velocitatum ; sunt etiam, paribus velocitatibus, ut quadrata diame- trorum globorum. LIBER SECUNDUS., 313 Csetenim globorum, quibus usus sum In his experlmentis, maximus non erat perfecte sphaerlcus, & propterea in calculo hic allato minutias quasdam brevitatis gratia neglexi ; de calculo accurato in experimento non satis accurato minime solHcItus. Optarim itaque, cum demon- stratio vacui ex his dependeat, ut experlmenta cum globis & pluribus & majoribus & magis accuratis tentarentur. Si globi sumantur in proportione geometrica, puta quorum dlametri sint digitorum 4, 8, 16, 32 ; ex progressione experimentorum colHgetur quid in globls adhuc majoribus evenire debeat. Jam vero conferendo resistentias dlversorum fluidorum inter se tentavi sequentla. Arcam Hgneam paravi longitudine pedum quatuor, latitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculo nudatam implevi aqua fontana, feclque ut immersa pendula in medio aquae oscillando moverentur. Globus autem plumbeus pondere i66i unciarum, dia- metro 3| digltorum movebatur ut In tabula sequente descrlpsimus, exlstente videHcet longitudine penduH a puncto supensionis ad punc- tum quoddam in filo notatum 126 digitorum, ad osciUationis autem centrum 1 34» digitorum. Arcus dcscensti prinio a pnncto in ^ filo notato descriptus, digiti 'toruni j riptus, \ 64 32 16 842 I i i Arcus ascensu ultimo descriptus, lo^.x^ ^ ^tI 3 3 3 ... ^ > 40 24 12 O 3 If 4 8 IF digitormn j Arcuum differentia motui amisso\ j^ g a 2 ' \ \ \ JtV proportionalis, digitorum ) Ntimerus Oscillationum in aqua IJ It 3 7 Ut 1% ^S^ Numerus Oscillationem in aere 85J 2%^] 535 In experimento columnse quartse, motus aequales oscinationibus 535 In aere, & i^ In aqua amissi sunt. Erant quldem osciHatlones in aere paulo celeriores quam In aqua. At si oscillationes in aqua in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in medio utroque fierent sequlveloces, maneret numerus idem oscIHationum \\ in aqua, qulbus motus idem ac prius amitteretur ; ob resistentiam auctam & simul quadratum temporis diminutum in eadem ratione ifla dupHcata. Paribus igitur pendulorum velocitatibus motus sequales in aere oscinatlonibus 535 & in aqua oscinationibus \\ amissi sunt; ideoque reslstentia penduH in aqua est ad ejus resistentlam in aere ut 535 314 DJl MO TU CORPOR UM ad il. Haec est proportlo resistentiariim totarum In casii columnee quartae. Designet jam A V + C V*- dififerentlam arcuum In descensu & subsequente ascensu descriptorum a globo in aere cum velocitate maxima V moto ; & cum velocltas maxima in casu column^ quartae sit ad velocltatem maxlmam In casu columna^ prlmce, ut i ad 8 ; & dlfferentia Illa arcuum In casu columnae quartae ad dlfferentiam In casu columnae prlmj^ ut ad — , seu ut 85^ ad 4280; scrlbamus in his casibus i & 8 pro velocltatlbus, atque 85! & 4280 pro differ- entlis arcuum, & fiet A + € = 85^ & 8 A + 64 € = 4280 seu A-l-8 C = 535 ; indeque per reductionem aequationum proveniet 7 ^ = 449^ & C = 64tt & A = 2It : atque ideo resistentia, cum sit ut tt A V-f f C V, erit ut 13A V-f 48A V. Quare in casu column^ quart^, ubi velocltas erat i, resistentia tota est ad partem suam quadrato velocitatis proportlonalem, ut 13^1 + 48^ seu 6iif ad 48 A ; & idcirco resistentia pendull in aqua est ad resistentlae partem illam in aere, quae quadrato velocitatis proportionalis est, quaeque sola in motibus velociorlbus conslderanda venit, ut ^iyf ad 48 A & 535 ad 1] con- junctlm, id est, ut 571 ad i. Si penduli in aqua osclllantis filum totum fuisset immersum, resistentia ejus fuisset adhuc major ; adeo ut penduli in aqua oscillantis reslstentia illa, quae velocitatls quadrato proportlonalls est, qu^que sola In corporibus velociorlbus consideranda venit, sit ad resistentiam ejusdem penduli totius, eadem cum veloci- tate in aere osclllantis, ut 850 ad i circiter, hoc est, ut densitas aqu^ ad densitatem aerls quamproxime. In hoc calculo sumi quoque deberet pars illa resistentiae penduli in aqua, quae esset ut quadratum velocitatls, sed (quod mirum forte vldeatur) resistentla in aqua augebatur in ratione velocltatls pkis- quam dupllcata. Ejus rei causam investlgando, in hanc incidl, quod arca nimis angusta esset pro magnltudine globi penduH, & motum aquae cedentis prae angustla sua nimis impediebat. Nam si globus pendulus, cujus dlameter erat dlgltl unius, immergeretur ; resistentia augebatur in duplicata ratione velocitatls quam proxime. Id tenta- bam construendo pendukim ex globis duobus, quorum inferior & minor oscillaretur in aqua, superior & major proxime supra aquam filo afiixus esset, & in aerc osclllando, adjuvaret motum pendull i6 8 4 2 ■ 12 6 0 ih 4 2 I i 3^ 6i I2t^ 2li I h 1 3 4 3 F A 1 T 4 T5 LIBER SECUNDUS. 315 cumque diuturniorem redderet. Experimenta autem hoc modo in- stituta se habebant ut in tabula sequente describitur. Arcus desceitsu primo descriptus Arcus ascensu ulti^no descriptus Arctmm diff. motui amisso propoj^t. Numerus Oscillationum 3I 6J I2t^ 21J 34 53 62 J Conferendo resistentias mediorum inter se, effeci etiam ut pendula ferrea oscillarentur in argento vivo. Longitudo fiH ferrei erat pedum quasi trium, & diameter globi penduli quasi tertia pars digiti. Ad filum autem proxime supra mercurium affixus erat globus ahus plumbeus satis magnus ad motum penduH diutius continuandum. Tum vasculum, quod capiebat quasi Hbras tres argenti vivi, implebam vicibus alternis argento vivo & aqua communi, ut pendulo in fluido utroque successive osciHante, invenirem proportionem resistentiarum : & prodiit resistentia argenti vivi ad resistentiam aquae ut 13 vel 14 ad I circiter : id est, ut densitas argenti vivi ad densitatem aquse. Ubi globum pendulum paulo majorem adhibebam, puta cujus diameter esset quasi \ vel f partes digiti, prodibat resistentia argenti vivi in ea ratione ad resistentiam aquae, quam habet numerus 12 vel 10 ad I circiter. Sed experimento priori magis fidendum est, propterea quod in his ultimis vas nimis angustum fuit pro magni- tudine globi immersi. AmpHato globo, deberet etiam vas ampHari. Constitueram quidem hujusmodi experimenta in vasis majoribus & in Hquoribus tum metaHorum fusorum, tum aHis quibusdam tam caHdis quam frigidis repetere : sed omnia experiri non vacat, & ex jam descriptis satis Hquet resistentiam corporum celeriter motorum densitati fluidorum in quibus moventur proportionalem esse quam proxime. Non dico accurate. Nam fluida tenaciora, pari densitate, proculdubio magis resistunt quam Hquidiora, ut oleum frigidum quam caHdum, caHdum quam aqua pluviaHs, aqua quam spiritus vini. Verum in Hquoribus, qui ad sensum satis fluidi sunt, ut in aere, in aqua seu dulci seu salsa, in spiritibus vini, terebinthi & saHum, in oleo a faecibus per destiHationem Hberato & calefacto, oleoque vitrioH & mercurio, ac metaHis Hquefactis, & siqui sint aHi, qui tam fluidi sunt ut in vasis agitati motum impressum diutius con- servent, effusique Hberrime in guttas decurrendo resolvantur, nuHus 3 1 6 J^E MOTU CORPOR UM dubito quin regula allata satis accurate obtineat : praesertim si experimenta in corporibus pendulis & majoribus & velocius motis instituantur. Denique cum nonnullorum opinio sit, medium quoddam aethereum & longe subtilissimum extare, quod omnes omnium corporum poros & meatus liberrime permeet ; a tali autem medio per corporum poros fluente resistentia oriri debeat : ut tentarem an resistentia, quam in motis corporibus experimur, tota sit in eorum externa superficie, an vero partes etiam internae in superficiebus propriis resistentiam nota- bilem sentiant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim longitudinis ab unco chalybeo satis firmo, mediante annulo chalybeo, suspendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad constituendum pendu- lum longitudinis praedictae. Uncus sursum praeacutus erat acie con- cava, ut annulus arcu suo superiore aciei innixus liberrime moveretur. Arcui autem inferiori annectebatur filum. Pendulum ita constitutum deducebam a perpendiculo ad distantiam quasi pedum sex, idque secundum planum aciei unci perpendiculare, ne annulus, oscillante pendulo, supra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum suspensionis, in quo annulus uncum tangit, immotum manere debet. Locum igitur accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, dein pendulo demisso notabam alia tria loca ad quae redibat in fine oscillationis primae, secundae ac tertiae. Hoc repetebam saepius, ut loca illa quam potui accuratissime invenirem. Tum pyxidem plumbo & gravioribus, quae ad manus erant, metallis implebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili quae circum pyxidem volvebatur ac dimidio partis reliquae quae inter uncum & pyxidem pendulam tendebatur. Nam filum tensum dimidio ponderis sui pendulum a perpendiculo digressum semper urget. Huic ponderi addebam pondus aeris quem pyxis capiebat. Et pondus totum erat quasi pars septuagesima octava pyxidis metallorum plenae. Tum quoniam pyxis metallorum plena, pondere suo ten- dendo filum, augebat longitudinem penduli, contrahebam filum ut penduli jam oscillantis eadem esset longitudo ac prius. Dein pen- dulo ad locum primo notatum retracto ac dimisso, numerabam oscillationes quasi septuaginta & septem, donec pyxis ad locum secundo notatum rediret, totidemque subinde donec pyxis ad LTBER SECUNDUS. Z^l locum tertio notatum rediret, atque rursus totidem donec pyxis reditu suo attingeret locum quartum. Unde concludo quod" resistentia tota pyxidis plense non majorem habebat proportionem ad resistentiam pyxidis vacuae quam 78 ad ']']. Nam si sequales essent ambarum resistentiae, pyxis plena, ob vim suam insitam septuagies & octies majorem vi insita pyxidis vacuae, motum suum oscillatorium tanto diutius conservare deberet, atque ideo completis semper oscillationi- bus 78 ad loca illa notata redire. Rediit autem ad eadem completis oscillationibus ]]. Designet igitur A resistentiam pyxidis in ipsius superficie externa, & B resistentiam pyxidis vacuae in partibus internis ; & si resistentiae corporum aequivelocium in partibus internis sint ut materia, seu numerus particularum quibus resistitur : erit 78 B resistentia pyxidis plenae in ipsius partibus internis : ideoque pyxidis vacuae resistentia tota A+B erit ad pyxidis plenae resistentiam totam A + 78 B ut 77 ad 78, & divisim A-|- B ad ]] B, ut ]] ad i, indeque A + B ad B ut 77 X 77 ad I, & divisim A ad B ut 5928 ad i. Est igitur resistentia pyxidis vacuae in partibus internis quinquies millies minor quam ejusdem resistentia in externa superficie, & amplius. Sic vero dis- putamus ex hypothesi quod major illa resistentia pyxidis plenae, non ab alia aHqua causa latente oriatur, sed ab actione sola fluidi alicujus subtilis in metallum inclusum. Hoc experimentum recitavi memoriter. Narn charta, in qua illud aliquando descripseram, intercidit. Unde fractas quasdam numerorum partes, quae memoria exciderunt, omittere compulsus sum. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum unco infirmo usus essem, pyxis plena citius retardabatur. Causam quae- rendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, & ejus oscillationibus obsequendo in partes omnes flectebatur. Parabam igitur uncum firmum, ut punctum suspensionis immotum maneret, & tunc omnia ita evenerunt uti supra descripsimus. 3 i : j DE MO TU CO R Pi VU/V SECTIO VII. ' De motufluidoriim & rcsisteritia projcctilmrii. PROPOSITIO XXXII. THEOREMA XXVI. Si corporum systemata duo similia ex cequali particularum 7tumero constenty & particulcB correspondc7ites similes sint & proportionales, singulcB in mio systeinate singulis i7i altero, & simititer sitcs inter sCy ac datam hadeant rationem densitatis ad invicenZy & inter se temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant (ece inter se qucB in uno sunt systemate & ece inter se qucc sunt in altero) & si non tangant se mutuo quce i7i eodem sunt systemate, nisi in momentis reflexionum, neque attrahanty vel fugent se mutuo, nisi viribus acceleratricibus qtccs sint tit particularum correspondentium diametri iftverse & quadrata velocitatum directe : dico quod systeinatum particulce illce pergent inter se temporibus proportionalibus similiter moveri. Corpora similia & similiter sita temporibus proportionalibus inter se similiter moveri dico, quorum situs ad invicem in fine temporum illorum semper sunt similes : puta si particulae unius systematis cum alterius particulis correspondentibus conferantur. Unde tempora erunt proportionalia, in quibus similes & proportionales figurarum similium partes a particulis correspondentibus describuntur. Igitur si duo sint ejusmodi systemata, particulse correspondentes, ob simi- Htudinem incceptorum motuum, pergent similiter moveri, usque donec sibi mutuo occurrant. Nam si nullis agitantur viribus, pro- gredientur uniformiter in lineis rectis per motus leg. i. Si viribus aliquibus se mutuo agitant, & vires illae sint ut particularum correspon- dentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe ; quoniam particularum situs sunt similes & vires proportionales, vires totae quibus particulse correspondentes agitantur, ex viribus singulis LIBER SECUNDUS. ^t^ agitantibiis (per legum corollarium secundum) compositae, similes habebunt determinationes, perinde ac si centra inter particulas similiter sita respicerent ; & erunt vires illae totae ad invicem ut vires singulse componentes, hoc est, ut correspondentium particularum diametri inverse, & quadrata velocitatum directe : & propterea efficient ut correspondentes particulae figuras similes describere pergant. Haec ita se habebunt (per corol. i & 8 prop. iv lib. i) si modo centra illa quiescant. Sin moveantur, quoniam ob translationum similitu- dinem, similes manent eorum situs inter systematum particulas ; similes inducentur mutationes in figuris quas particulae describunt. Similes igitur erunt correspondentium & similium particularum motus usque ad occursus suos primos, & propterea similes occursus, & similes reflexiones, & subinde (per jam ostensa) similes motus inter se donec iterum in se mutuo inciderint, & sic deinceps in infinitum. Q.E,D. Corol. I. Hinc si corpora duo quaevis, quae similia sint & ad systematum particulas correspondentes simiHter sita, inter ipsas tem- poribus proportionaHbus similiter moveri incipiant, sintque eorum magnitudines ac densitates ad invicem ut magnitudines ac densitates correspondentium particularum : haec pergent temporibus propor- tionalibus simiHter moveri. Est enim eadem ratio partium majorum systematis utriusque atque particularum. Corol. 2. Et si similes & simiHter positae systematum partes omnes quiescant inter se : & earum duae, quae caeteris majores sint, & sibi mutuo in utroque systemate correspondeant, secundum Hneas simiHter sitas simiH cum motu utcunque moveri incipiant : hae similes in reH- quis systematum partibus excitabunt motus, & pergent inter ipsas temporibus proportionaHbus simiHter moveri ; atque ideo spatia diametris suis proportionaHa describere. PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA XXVII. lisdem positis, dico quod systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata i^atione velocitatum suarum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis partium syste- matum. Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centri- 3 2 O 2^E MO TU CORPOR UM fugis quibus particulae systematum se mutuo agitant, partim ex occur- sibus & reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris autem generis resistentise sunt ad invicem ut vires totae motrices a quibus oriuntur, id est, ut vires totae acceleratrices & quantitates materiae in partibus correspondentibus ; hoc est (per hypothesin) ut quadrata velocitatum directe & distantiae particularum correspon- dentium inverse & quantitates materiae in partibus correspondentibus directe : ideoque cum distantiae particularum systematis unius sint ad distantias correspondentes particularum alterius, ut diameter par- ticulae vel partis in systemate priore ad diametrum particul^ vel partis correspondentis in altero, & quantitates materiae sint ut den- sitates partium & cubi diametrorum ; resistentiae sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium systematum. Q, E, D, Posterioris generis resistentiae sunt ut re- flexionum correspondentium numeri & vires conjunctim. Numeri autem reflexionum sunt ad invicem ut velocitates partium corre- spondentium directe, & spatia inter earum reflexiones inverse. Et vires reflexionum sunt ut velocitates & magnitudines & densitates partium correspondentium conjunctim ; id est, ut velocitates & dia- metrorum cubi & densitates partium. Et conjunctis his omnibus rationibus, resistentiae partium correspondentium sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametronim & densitates partium conjunctim. Q, E, D. Corol, I. Igitur si systemata illa sint fluida duo elastica ad modum aeris, & partes eorum quiescant inter se : corpora autem duo similia & partibus fluidorum quoad magnitudinem & densitatem propor- tionalia, & inter partes illas similiter posita, secundum lineas similiter positas utcunque projiciantur ; vires autem acceleratrices, quibus par- ticulae fluidorum se mutuo agitant, sint ut corporum projectorum diametri inverse, & quadrata velocitatum directe : corpora illa tem- poribus proportionalibus similes excitabunt motus in fluidis, & spatia similia ac diametris suis proportionalia describent. Corol, 2. Proinde in eodem fluido projectile velox resistentiam patitur, quae est in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam si vires, quibus particulae distantes se mutuo agitant, augerentur in duplicata ratione velocitatis, resistentia foret in eadem ratione dupli- cata accurate ; ideoque in medio, cujus partes ab invicem distan- t LIBER SECUNDUS. 321 tes sese vlrlbus nullis agltant, reslstentla est In dupllcata ratlone velocltatls accurate. Sunto Igltur medla tria A, B, C, ex partlbus slmlllbus & sequallbus & secundum dlstantlas sequales regularlter dlsposltls constantla. Partes mediorum A 81 B fuglant se mutuo vlrlbus quae sint ad invicem ut 7" & V, illae medii C ejusmodi virlbus omnlno destltuantur. Et si corpora quatuor sequalla D, E, F, G in hls medlis moveantur, prlora duo D Ba E m. prlorlbus duobus A 81 B, Sl altera duo E 8l G \n tertlo C ; sitque velocltas corporls D ad velocitatem corporls E, & velocltas corporls E ad velocltatem corporls G in subduplicata ratione virium T ad vlres V : resistentia corporis D erit ad resistentiam corporls E, & resistentia corporls E ad reslstentiam corporls G, in velocitatum ratlone dupllcata ; & propterea resistentia corporis D erit ad reslstentlam corporls E ut reslstentia corporis E ad resistentlam corporis G. Sunto corpora D Sz E eequlvelocla ut & corpora E 8c G ; & augendo velocitates corporum D 8l E m ratione quacunque, ac diminuendo vires par- ticularum medli B in eadem ratlone dupllcata, accedet medlum B ad formam & conditlonem medli C pro llbitu, & Idcirco resistentlse corporum aequalium & sequivelocium E 8l G \n his mediis, perpetuo accedent ad sequalltatem, ita ut earum differentia evadat tandem mlnor quam data qusevis. Proinde cum reslstentlse corporum D & E sint ad invicem ut reslstentise corporum E 81 G, accedent etlam hse simillter ad rationem sequalltatls. Corporum igitur D 8i E, ubi veloclsslme moventur, resistentise sunt sequales quam proxime : & propterea cum resistentla corporis E slt in dupllcata ratlone velocltatls, erit resistentia corporls D in eadem ratione quam prox- ime. Coro/. 3. Corporis in fluido quovis elastlco velocissime moti eadem fere est resistentia ac si partes fluldi virlbus suis centrlfugis destltue- rentur, seque mutuo non fugerent : si modo fluldl vis elastica ex partlcularum vlrlbus centrlfugls oriatur, & velocltas adeo magna sit ut vires non habeant satis temporis ad agendum. Corol. 4. Proinde cum reslstentise slmllium & ^qulveloclum cor- porum, in medlo cujus partes distantes se mutuo non fugiunt, sint ut quadrata dlametrorum ; sunt etlam sequlveloclum & celerrlme motorum corporum resistentise in fluido elastico ut quadrata diametrorum quam proxime. X 32 2 J^I^ MOTV COEPORUM Corol. 5. Et cum corpora similia, sequalia & sequivelocia, in me- diis ejusdem densitatis, quorum particulse se mutuo non fugiunt, sive particulce illae sint plures & minores, sive pauciores & majores, in eequalem materiae quantitatem temporibus cequalibus impingant, eique sequalem motus quantitatem imprimant, & vicissim (per motus legem tertiam) sequalem ab eadem reactionem patiantur, hoc est, sequaliter resistantur : manifestum est etiam quod in ejusdem densi- tatis fluidis elasticis, ubi velocissime moventur, aequales sint eorum resistentiae quam proxime ; sive fluida illa ex particulis crassioribus constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex medii sub- tilitate resistentia projectilium celerrime motorum non multum dimi- nuitur. Corol. 6. Haec omnia ita se habent in fluidis, quorum vis elastica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad instar lanae vel ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum inter se redduntur minus liberi : resistentia, ob minorem medii fluidi- tatem, erit major quam in superioribus corollariis. PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA XXVIII. Si globus & cylifidrus cFqualibus diametris descripti, in medio raro ex particulis csqualibus & ad cequales ab invicem distantias libere dis- positis constante, secuftdum plagam axis cylindri, cequali cum veloci- tate moveant7cr : erit resistentia globi duplo minor quam resistentia cytindri. Nam quoniam actio medii in corpus eadem est (per legum corbl. 5) sive corpus in medio quiescente moveatur, sive medii particulae eadem cum velocitate impingant in corpus quiescens : consideremus corpus tanquam quiescens, & videamus quo impetu urgebitur a medio movente. Designet igitur A B K I corpus sphaericum centro C semidiametro C A descriptum, & incidant particulae medii data cum velocitate in corpus illud sphaericum, secundum rectas ipsi A C parallelas: sitque F B ejusmodi recta. In ea capiatur L B semi- diametro C B aequalis, & ducatur B D quae sphaeram tangat in B. \n K C 81 B D demittantur perpendiculares B E, L Dy8i vis qua par- LIBER SECUNDUS. 323 K Tsr ticula meclii, secundum rectam F B oblique incldendo, globum ferit in B, erit ad vim qua particula eadem cylindrum O N GQ axe A CI circa globum descriptum perpendiculariter feriret in ^, ut L D ad LB vel BE ad BC. Rursus efficacia hujus vis ad movendum globum secundum incidentiae suse plagam FB vel A C, est ad ejusdem effi- caciam ad movendum globum se- cundum plagam determinationis suee, id est, secundum plagam rec- td^ B C qua globum directe urget ut B E 2A BC Et conjunctis rationibus, efficacia particulse iii globum secundum rectam F B oblique incldentis, ad movendum eundem secundum plagam Inci- dentlae suae, est ad efficaclam par- tlculse ejusdem secundum eandem rectam In cyllndrum perpendlcu- larlter Incidentls, ad Ipsum movendum In plagam eandem, vX B E quadratum 2A B C quadratum. Quare sl In b E, quse perpendicularls est ad cylindrl basem clrcularem N A O 81 sequalis radio A C, sum- hx\b t> L F f^\ c V ^ c > atur d H aequalls B E quad. ~CB erlt b H 2A b E ut effectus partlculae In globum ad effectum partlculae In cylindrum. Et propterea solidum quod a rectis omnibus b H occupatur erlt ad solldum quod a rectls omnibus b E occupatur, ut effectus particularum omnlum In globum ad effectum partlcularum omnlum In cyllndrum. Sed solidum prius est parabolols vertlce C, axe C A & latere recto C A descrlptum, & solidum posterius est cyllndrus parabololdi clrcumscrlptus : & notum est quod parabolols slt semlssls cyllndrl clrcumscriptl. Ergo vls tota medli in globum est duplo mlnor quam ejusdem vls tota In cylindrum. Et propterea sl partlculae medil qulescerent, & cyllndrus ac globus aequali cum velocltate moverentur, foret reslstentla globl duplo mlnor quam reslstentla cyllndri. Q.E.D. Scholmm. Eadem methodo figurae allae Inter se quoad reslstentiam comparari possunt, eaeque Invenlrl quae ad motus suos In mediis reslstentibus continuandos aptiores sunt. Ut sl base circulari C E B H, quae centro 324 DE MOTU CORPORUM O, radio O C describltur, & altitudine O D, construendum sit frustum coni C B G F, quod omnium eadem basi & altitudine constructorum & secundum plagam axis sui versus D progredientium frustorum minime resistatur : biseca altitudinem OD in g & produc O Q 2.di S mX. ^\X. Q S a^qualis Q C, Ba erit kS vertex coni cujus frustum quaeritur. Unde obiter, cum angulus CS B semper sit acutus, consequens est, quod si solidum A D B E convolutione figurae elliptlcae vel ovalis A D B E circa axem AB facta generetur, & tangatur figura generans a rectis tribus FGy G H, H I in punctis F, B & I, ea lege ut G H sit perpendicularis ad axem in puncto contactus By 8i FGy H I cum eadem 6^ Zf contineant angulos FGB, BH/ graduum 135, solidum, quod convolutione figurse A DFGH/E circa axem eundem^^^ generatur, minus resistitur quam solidum prius ; si modo utrumque secundum plagam axis sui A B progrediatur, & utriusque terminus B praecedat. Quam quidem proposltionem in construendis navibus non inutilem futuram esse censeo. . Quod si figura D N FG ejusmodi sit curva, ut, si ab ejus puncto quovis N ad axem A B demittatur perpendiculum N Ji/, & 2l puncto dato G ducatur recta G R quae parallela slt rectae figuram tangenti In N, & axem productum secet in R, fuerit J/ iV ad G R ut G R cub. ad ^BRxGBq; solidum quod figurae hujus revolutione circa axem A B facta describitur, in medio raro praedicto ab A ver- LIBER SECUNDUS. 325 sus B movendo, minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitu- dine & latitudine descriptum solidum circulare. PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA VII. Si medium rarum ex particidis quam minimis quiesceutibus cequalibus & ad ceqicales ab invicem distantias libere dispositis constet : invenire resistentiam globi in hoc medio uniformiter progredientis, Cas. I. Cylindrus eadem diametro & altitudine descriptus pro- gredi intelligatur eadem velocitate secundum longitudinem axis sui in eodem medio. Et ponamus quod particulae medii, in quas globus vel cylindrus incidit, vi reflexionis quam maxima resiliant. Et cum resistentia globi (per propositionem novissimam) sit duplo minor quam resistentia cylindri, & globus sit ad cylindrum ut duo ad tria, & cylindrus incidendo perpendiculariter in particulas, ipsas- que quam maxime reflectendo, duplam sui ipsius velocitatem ipsis communicet : cylindrus, quo tempore dimidiam longitudinem axis sui uniformiter progrediendo describit, communicabit motum parti- culis, qui sit ad totum cylindri motum ut densitas medii ad densi- tatem cylindri ; & globus, quo tempore totam longitudinem diame- tri suae uniformiter progrediendo describit, communicabit motum eundem particulis ; & quo tempore duas tertias partes diametri suse describit, communicabit motum particulis, qui sit ad totum globi motum ut densitas medii ad densitatem globi. Et propterea globus resistentiam patitur, quae sit ad vim qua totus ejus motus vel auferri possit vel generari quo tempore duas tertias partes diametri suse uniformiter progrediendo describit, ut densitas medii ad densitatem globi. Cas. 2. Ponamus quod particulse medii in globum vel cylindrum incidentes non reflectantur; & cylindrus incidendo perpendiculariter in particulas simplicem suam velocitatem ipsis communicabit, ideoque resistentiam patitur duplo minorem quam in priore casu, & resistentia globi erit etiam duplo minor quam prius. Cas. 3. Ponamus quod particulae medii vi reflexionis neque maxima neque nulla, sed mediocri aliqua resiliant a globo ; & resistentia globi o 26 DE MOTU CORPORUM erit in eadem ratione mediocri inter resistentiam in primo casu & resistentiam in secundo. Q. E. I. Corol, I. Hinc si globus & particuLx sint infinite dura, & vi omni elastica & propterea etiam vi omni reflexionis destituta : resistentia globi erit ad vim qua totus ejus motus vel auferri possit vel generari, quo tempore globus quatuor tertias partes diametri suse describit, ut densitas medii ad densitatem globi. CoroL 2. Resistentia globi, cceteris paribus, est in duplicata ratione velocitatis. Corol. 3. Resistentia globi, caeteris paribus, est in duplicata ratione diametri. Corol. 4. Resistentia globi, cseteris paribus, est ut densitas medii. Corol. 5. Resistentia globi est in ratione quae componitur ex duplicata ratione velocitatis & duplicata ratione diametri & ratione densitatis medii. Corol. 6. Et motus globi cum ejus resistentia sic exponi potest. Sit^^tempus quo globus per resistentiam suam uniformiter con- tinuatam totum suum motum amittere potest. Ad AB erigantur perpendicula AD, BC. Sitque BC motus ille totus, & per punctum C asymptotis AD, AB describatur hyperbola CF. Producatur AB ad punctum quodvis E. Erigatur per- pendiculum ^T^ hyperbolae occurrens in F. Compleatur parallelogrammum CBEG, & agatur AF ipsi BC occurrens in //. Et si globus tempore quovis BE, motu suo primo BC uniformiter continuato, in medio non resistente describat spatium CBEG per aream parallelogrammi expositum, idem in medio resistente describet spatium CBEF per aream hyperbolae expositum, & motus ejus in fine temporis ilHus exponetur per hyperbolae ordi- natam EF, amissa motus ejus parte FG. Et resistentia ejus in fine temporis ejusdem exponetur per longitudinem BH^ amissa resistentiae parte CH. Patent haec omnia per corol. i & 3 prop. v Hb. II. Corol. 7. Hinc si globus tempore T per resistentiam R uniformiter continuatam amittat motum suum totum M : idem globus tempore t in medio resistente, per resistentiam R in dupHcata velocitatis . .. ^M ratione decrescentem, amittet motus sui M partem .p . , ma- LIBER SECUNDUS. 327 TM nente parte = — ; & describet spatlum quod sit ad spatlum motu unlformi M eodem tempore / descrlptum, ut logarlthmus numerl Z. multiplicatus per numerum 2,302585092994 est ad numerum — , propterea quod area hyperbollca B C FE est ad rectangulum BCGE in hac proportione. Scholium. In hac propositione exposui resistentiam & retardationem projec- tlHum sphaericorum in medlls non continuis, & ostendi quod haec resistentia slt ad vim qua totus globi motus vel tolH possit vel gene- rarl quo tempore globus duas tertias diametri suse partes velocitate uniformlter contlnuata descrlbat, ut densltas medli ad densltatem globi, si modo globus & partlculse medli slnt summe elastlca & vi maxlma reflectendi polleant: quodque hsec vls slt duplo mlnor ubi globus & partlculse medii sunt infinite dura & vi reflectendi pror- sus destituta. In mediis autem continuis quaHa sunt aqua, oleum caHdum, & argentum vivum, in quibus globus non incidit immedlate in omnes fluldl particulas reslstentiam generantes, sed premlt tantum proximas partlculas & hse premunt aHas & hae aHas, reslstentla est adhuc duplo minor. Globus utique in hujusmodi mediis fluidissimis reslstentiam patltur quae est ad vim qua totus ejus motus vel toHi posslt vel generari quo tempore, motu IHo uniformiter contlnuato, partes octo tertias diametri suae descrlbat, ut densitas medii ad densi- tatem globi. Id quod in sequentibus conabimur ostendere. PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA VIII. AqucB de vase cylindrico per foramen in fundo fachcm effluentis defnire motMm. Slt ACDB vas cyHndricum, AB ejus orificium superius, CD fundum horizonti paraHelum, E F foramen clrculare in medio fundi, G centrum foramlnls, 81 G H axls cyHndrl horizonti perpendicularis. Et finge cyHndrum glaciei A P Q B ejusdem esse latitudinls cum 328 DE MOTU CORPORUM cavitate vasis, & axem eundem habere, & uniformi cum motu per- petuo descendere, & partes ejus quam primum attingunt superficiem A B liquescere, & in aquam conversas gravitate sua defluere in vas, & cataractam vel columnam aquse A B N F E M Q,-3.^^xiAo formare, & per foramen E F transire, idemque adsequate implere. Ea vero sit uniformis velocitas glaciei descendentis ut & aquae contigu^e in circulo A B, quam aqua cadendo & casu suo describendo alti- tudinem I H acquirere potest; & jaceant I H &L H G m directum, & per punctum / ducatur recta K L horizonti parallela & lateribus glaciei occurrens in A' & Z. Et velocitas aquae effluentis per foramen E F ea erit quam aqua cadendo ab / & casu suo describendo altitudinem / G acquirere po- test. Ideoque per theoremata Galilcei erit IG^AIHm duplicata ratione velocitatis aquae per foramen effluentis ad velocitatem aquae in circulo A B, hoc est, in duplicata ratione circuli A B 2id circulum i5'/^; nam hi circuli sunt reciproce ut velocitates aquarum quae per ipsos, eodem tempore & aequali quantitate, ad^quate tran- seunt. De velocitate aquae horizontem versus hic agitur. Et motus horizonti parallelus quo partes aquae cadentis ad invicem accedunt, cum non oriatur a gravitate, nec motum horizonti perpendicularem a gravitate oriundum mutet, hic non consideratur. Supponimus quidem quod partes aquae aliquantulum cohaerent, & per cohaesionem suam mter cadendum accedant ad invicem per motus horizonti parallelos, ut unicam tantum efforment cataractam & non in plures cataractas dividantur: sed motum horizonti parallelum, a cohaesione illa oriun- dum, hic non consideramus. Cas. I. Concipe jam cavitatem totam in vase, in circuitu aquae cadentis ABJVFEM, glacie plenam esse, ut aqua per glaciem tan- quam per infundibulum transeat. Et si aqua glaciem tantum non tangat, vel, quod perinde est, si tangat & per glaciem propter sum- mam ejus polituram quam liberrime & sine omni resistentia labatur ; haec defluet per foramen EF eadem velocitate ac prius, & pondus totum columnae aquae ABNFEM impendetur in defluxum ejus LIBER SECUNDUS. -^^o generandum uti prlus, & fundum vasis sustinebit pondus glaciei columnam ambientis. Liquescat jam glacies in vase ; & effluxus aquae, quoad velocitatem, idem manebit ac prius. Non minor erit, quia glacies in aquam resoluta conabitur descendere : non major, quia glacies in aquam resoluta non potest descendere nisi impediendo descensum aquae alterius descensui suo aequalem. Eadem vis eandem aquae effluentis velocitatem generare debet. vSed foramen in fundo vasls, propter obliquos motus partlcularum aquae effluentis, paulo majus esse debet quam prius. Nam particulae aquae jam non transeunt omnes per foramen perpendiculariter ; sed a lateribus vasis undique confluentes & in foramen convergentes, obliquis transeunt motibus ; & cursum suum deorsum flectentes in venam aquae exilientis conspirant, quae exilior est paulo infra foramen quam in Ipso foramine, existente ejus diametro ad diametrum fora- minis ut 5 ad 6, vel 51 ad 6\ quam proxime, sl modo diametros recte dimensus sum. Parabam utique laminam planam pertenuem in medio perforatam, exlstente clrcularls foraminls diametro partium quinque octavarum digltl. Et ne vena aquae exllientis cadendo acceleraretur & acceleratione redderetur angustior, hanc laminam non fundo sed lateri vasls affixi sic, ut vena illa egrederetur secundum llneam horlzontl parallelam. Deln ubl vas aqua plenum esset, aperul foramen ut aqua efflueret ; & venae diameter, ad distantiam quasl dlmidil dlgltl a foramlne quam accuratissime mensurata, prodilt partium vlgintl & unlus quadragesimarum digitl. Erat Igitur dlameter foramlnls hujus circularis ad diametrum venae ut 25 ad 21 quamproxlme. Aqua igltur transuendo per foramen, converglt undique, & postquam effluxit ex vase, tenulor reddltur conver- gendo, & per attenuationem acceleratur donec ad distantiam semissis digiti a foramine pervenerit, & ad distantlam illam tenuior & celerlor fit quam in ipso foramlne In ratlone 25x25^^ 21x21 seu 17 ad 12 quamproxlme, id est In subdupHcata ratione binaril ad unltatem circlter. Per experimenta vero constat quod quantitas aquae, quae per foramen clrculare In fundo vasis factum, dato tempore effluit, ea sit quae cum velocitate praedicta, non per foramen illud, sed per foramen circulare, cujus diameter est ad diametrum foramlnis illius ut 21 ad 25, eodem tempore effluere debet. Ideoque aqua 330 DE MOTU CORPORUM illa effluens velocitatem habet deorsiim in ipso foramine quam grave cadendo & casu suo describendo dimidiam altitudinem aquce in vase stagnantis acquirere potest quamproxime. Sed postquam exivit ex ' vase, acceleratur convergendo donec ad distantlam a foramine diametro foraminis prope sequalem pervenerit, & ve- locitatem acquisiverit majorem in ratione subduplicata binarii ad unitatem circiter; quam utique grave cadendo, & casu suo descri- bendo totam altitudinem aquae in vase stagnantis, acquirere potest quamproxime. In sequentibus igitur diameter venae designetur per foramen illud minus quod vocavimus E F, Et plano foraminis E F parallelum duci intelligatur planum aliud superius VW ad distantiam diametro foraminis aequalem circiter & foramine majore 6^ T pertusum ; per quod utique vena cadat, quae adaequate impleat foramen inferius EF, atque ideo cujus diameter sit ad diametrum foraminis inferioris ut 25 ad 21 circiter. Sic enim vena per foramen inferius perpen- diculariter transibit ; & quantitas aquae effluentis, pro magnitudine foraminis hujus, ea erit quam sohitio problematis postulat quam- proxime. Spatium vero, quod planis duobus & vena cadente clauditur, pro fundo vasis haberi potest. Sed ut solutio problematis simpHcior sit & magis mathematica, praestat adhibere planum solum inferius pro fundo vasis, & fingere quod aqua quae per glaciem ceu per infundibu- lum defluebat, & e vase per foramen E F in plano inferiore factum egrediebatur, motum suum perpetuo servet, & glacies quietem suam. In sequentibus igitur sit 6^ T diameter foraminis circularis centro Z descripti per quod cataracta effluit ex vase ubi aqua tota in vase fluida est. Et sit -fi*/^ diameter foraminis per quod cataracta cadendo adaequate transit, sive aqua exeat ex vase per foramen illud superius ^ 7) sive cadat per medium glaciei in vase tanquam per in- fundibulum. Et sit diameter foraminis superioris 6^ ?" ad diametrum inferioris E F \xt 2^ ad 21 circiter, & distantia perpendicularis inter plana foraminum aequahs sit diametro foraminis minoris E F, Et velocitas aquae e vase per foramen 6^ T exeuntis ea erit in ipso K LIBER SECUNDUS. 331 \ foramine deorsum qiiam corpus cadendo a dlmidio altitudinis IZ acquirere potest : velocitas autem cataractce utriusque cadentis ea erit in foramine EF, quam corpus cadendo ab altitudine tota IG acquiret. Cas. 2. Si foramen EF non sit in medio fundi vasis, sed fundum alibi perforetur : aqua effluet eadem cum velocitate ac prius, si modo eadem sit foraminis magnitudo. Nam grave ma- jori quidem tempore descendit ad eandem profunditatem per lineam obliquam quam per lineam perpendicularem, sed descen- dendo eandem velocitatem acquirit in utroque casu, ut Galilceus demonstravit. Cas. 3. Eadem est aquse velocitas effluentis per foramen in latere vasis. Nam si foramen parvum sit, ut intervallum inter superficies AB 81 KL quoad sensum evanescat, & vena aquae horizontaliter exilientis figuram parabolicam efformet : ex latere recto hujus parabolae colligetur, quod velocitas aquse effluentis ea sit quam corpus ab aquse in vase stao-nantis altitudine II G vel IG cadendo acquirere potuisset. Facto utique experimento inveni quod, si altitudo aquse stagnantis supra foramen esset viginti digitorum & altitudo foraminis supra planum horizonti parallelum esset quoque viginti digitorum, vena aqu^ prosiHentis incideret in planum illud ad distantiam digitorum 37 circiter a perpendiculo quod in planum illud a foramine demittebatur captam. Nam sine resistentia, vena incidere debuisset in planum illud ad distantiam digitorum 40, existente venae parabolic^ latere recto digitorum 80. Cas. 4. Quinetiam aqua effluens, si sursum feratur, eadem egredi- tur cum velocitate. Ascendit enim aquee exiHentis vena parva motu perpendiculari ad aquse in vase stagnantis altitudinem GH vel GI, nlsi quatenus ascensus ejus ab aeris resistentla aHquantulum impediatur ; ac proinde ea effluit cum velocitate quam ab altitudine illa cadendo acquirere potuisset. Aquae stagnantis particula unaquae- que undique premitur aequaHter (per prop. xix Hb. 2) & pressioni cedendo sequaH impetu in omnes partes fertur, sive descendat per foramen in fundo vasis, sive horizontaHter effluat per foramen in ejus latere, sive egrediatur in canalem & inde ascendat per foramen parvum in superiore canaHs parte factum. Et velocitatem qua aqua effluit eam esse, quam in hac propositione assignavimus, non sokmi 332 DE MOTU CORPORUM ratione colllgltur, sed etiam per experlmenta notissima jam descripta manlfestum est. Cas. 5. Eadem est aquae effluentls velocitas slve figura foraminls slt circularis sive quadrata vel triangularis aut alla qusecunque cir- culari aequalls. Nam velocitas aquse effluentis non pendet a figura foraminis sed oritur ab ejus altitudine infra planum KL. Cas. 6. Si vasls ABDC pars inferlor in aquam stagnantem im- mergatur, & altitudo aquae stagnantis supra fundum vasis sit GR : velocitas quacum aqua quae in vase est, effluet per foramen £J^ m aquam stagnantem, ea erit quam aqua cadendo & casu suo descri- bendo altitudinem /£ acqulrere potest. Nam pondus aquae omnis in vase quae inferior est superficie aquae stagnantis, sustinebitur in aequilibrio per pondus aquae stagnantis, ideoque motum aquae de- scendentis in vase minime accelerabit. Patebit etlam & hlc casus per experimenta, mensurando scilicet tempora quibus aqua effluit. Coro/. I. Hinc si aquae altitudo CA producatur ad A', ut sit AK ad CK in duplicata ratlone areae foramlnls in quavis fundi parte facti, ad aream circuli AB : velocitas aquae effluentis aequalis erit velocitati quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem KC acquirere potest. Corol. 2. Et vis, qua totus aquae exilientis motus generari potest, aequalis est ponderi cylindricae columnae aquae, cujus basis est foramen EF, & altitudo 2GI vel 2CK. Nam aqua exiliens, quo tempore hanc columnam aequat, pondere suo ab altitudine GI cadendo veloci- tatem suam, qua exIHt, acquirere potest. Corol. 3. Pondus aquae totius in vase ABDC est ad ponderis partem, quae in defluxum aquae impendltur, ut summa circulorum A B & E F ^A duplum circulum E F. Sit enim / O media proportionalls inter r- IH & IG ; & aqua per foramen EF egre- diens, quo tempore gutta cadendo ab / describere posset altitudinem I G, aequaHs erit cyHndro cujus basis est circulus EF & altitudo est 2 I G, id est, cyHndro cujus basis est circulus A B & altltudo est 2 10, nam circulus EF est ad clrculum A B m subdupHcata ratione altitudinis ///" ad al- T. t LIBER SECUNDUS. .^. titudinem / G, hoc est, in simplici ratione mediae proportionalis / O ad altitudinem / G : & quo tempore gutta cadendo ab / describere potest altitudinem / //, aqua egrediens aequalis erit cylindro cujus basis est circulus A B 8i altitudo est 2 / // : & quo tempore gutta cadendo ab / per // 2id G describit altitudinum differentiam //G, aqua egrediens, id est, aqua tota in solido A B N FEM sequalis erit dififerentiae cylindrorum, id est, cylindro cujus basis est AB & altitudo 2//O. Et propterea aqua tota in vase ABDC est ad aquam totam cadentem in solido A B NFE M \xt // G ad 2 //O, id est, ut //0+0Gad2//0,seu ///+ / O ^d 2 ///. Sed pondus aquae totius in solido A B NFE M in aquse defluxum impenditur : ac proinde pondus aquae totius in vase est ad ponderis partem quae in defluxum aquae impenditur, ut / // -\- / O ad 2///, atque ideo ut summa circulorum E F 81 A B ad duplum circulum E F. Corol. 4. Et hinc pondus aquae totius in vase ABDC est ad ponderis partem alteram quam fundum vasis sustinet, ut summa circulorum A B 8>l E F 2id diflerentiam eorundem circulorum. Corol. 5. Et ponderis pars, quam fundum vasis sustinet, est ad ponderis partem alteram, quae in defluxum aquae impenditur, ut diflerentia circulorum A B 81 EF ad duplum circulum minorem E F, sive ut area fundi ad dupkim foramen. Corol. 6. Ponderis autem pars, qua sola fundum urgetur, est ad pondus aquae totius, quae fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus A B a.d summam circulorum A B & E Fj sive ut circulus A B ad excessum dupli circuli A B supra fundum. Nam ponderis pars, qua sola fundum urgetur, est ad pondus aquae totius in vase, ut diflerentia circulorum AB & E F ad summam eorundem circulorum, per cor. 4 : & pondus aquae totius in vase est ad pondus aquae totius quae fundo perpendiculariter incumbit, ut circuhis A B a.d diflerentiam circulorum A B 8l E F. Itaque ex aequo perturbate, ponderis pars, qua sola fundum urgetur, est ad pondus aquae totius, quae fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus -^ ^ ad summam circulorum A B & E F ve\ excessum dupH circuH A B supra fundum. Co7^o/. 7. Si in medio foraminis E F \ocetur circellus P g centro G descriptus & horizonti parallehis : pondus aquae quam circellus ille sustinet, majus est pondere tertiae partis cyhndri aquae cujus basis 334 DE MOTU CORPORUM est circellus ille & altitudo est G H. Slt enim ADNFEM cataracta vel columna aquee cadentis axem habens G H \xt supra, & congelari intelligatur aqua omnis in vase, tam in circuitu cataractae quam supra circellum, ; cujus fluiditas ad promptissimum & ^ celerrimum aquae descensum non requiri- tur. Et siX, P H Q columna aquee supra circellum congelata, verticem habens H & altitudinem GH. Et finge cataractam hancce pondere suo toto cadere, & non incumbere in PHQ nec eandem premere, sed libere & sine frictione pra^terlabi, nisi forte in ipso glaciei vertice quo cataracta ipso cadendi initio incipiat esse cava. Et quemadmodum aqua in circuitu cataractce congelata A M E C, BNFD convexa est in superficie interna A ME, B N F v^rsxxs cataractam cadentem, sic etiam haec columna P HQ convexa erit versus cataractem, & propterea major cono cujus basis est circellus ille PQ 8i altitudo G H, id est, major tertia parte cylindri eadem base "& altitudine descripti. Sustinet autem circellus ille pondus hujus columnae, id est, pondus quod pondere coni seu terti^ partis cyHndri illius majus est. CoroL 8. Pondus aquse quam circellus valde parvus P Q sustinet, minor esse videtur pondere duarum tertiarum partium cyHndri aquae cujus basis est circellus ille & altitudo est H G. Nam stantibus jam positis, describi intelligatur dimidium sphaeroidis cujus basis est circellus ille & semiaxis sive altitudo est H G. Et h^c figura ^qua- lis erit duabus tertiis partibus cylindri ilHus & comprehendet columnam aquae congelatae PHQ cujus pondus circeHus iHe sustinet. Nam ut motus aquae sit maxime directus, columnae iHius superficies externa concurret cum basi P Q m angulo nonnihil acuto, propterea quod aqua cadendo perpetuo acceleratur & propter accelerationem fit tenuior; & cum angulus iHe sit recto minor haec columna ad inferiores ejus partes jacebit intra dimidium sph^roidis. Eadem vero sursum acuta erit seu cuspidata, ne horizontaHs motus aquae ad verticem sphaeroidis sit infinlte velocior quam ejus motus horizontem versus. Et quo mlnor est clrceHus P Q ^o LIBER SECUNDUS. 335 acutlor erlt vertex columnae ; & clrcello In Infinitum dlminuto, angulus PHQ in infinltum dlmlnuetur, and propterea columna jacebit intra dimidium sphaeroidis. Est igitur columna illa minor dimidio sphaeroldis, seu duabus tertiis partibus cyHndri cujus basis est circellus ille & altitudo GH. Sustlnet autem circellus vim aquse ponderi hujus columnae aequalem, cum pondus aquae ambientis in defluxum ejus impendatur. CoroL 9. Pondus aquae quam clrcellus valde parvus PQ sustlnet, aequale est ponderi cyHndri aquae cujus basis est circellus ille & alti- tudo est \G H quamproxime. Nam pondus hocce est medium arithmeticum Inter pondera coni & hemisphaeroldls praedlctae. At si clrcelkis ille non sit valde parvus, sed augeatur donec aequet foramen E F; hic sustinebit pondus aquae totius sibi perpendiculariter immlnentls, id est, pondus cylindri aquae cujus basis est circellus ille & altitudo est G H, Corol 10. Et (quantum sentio) pondus quod circellus sustinet, est semper ad pondus cyHndri aquae, cujus basis est clrceHus iHe & altitudo est \GH,ut E Fq ad E Fq — \PQq, sive ut circukis E F ad excessum circuH hujus supra semissem circeHi P Q quamproxime. L E M M A IV. Cylindri, qui secundtim lojigitudinem suam uniformiter progredittcr, resistentia ex aucta vel diminuta ejus longittidine 7ion mutatur ; ideoqite eadem est ciim resistentia circuli eadem diametro descripti & eadem velocitate secundum lineam rectamplano ipsitcs perpendictdarem progredientis. Nam latera cyHndri motui ejus minlme opponuntur : & cyHndrus, longitudine ejus in infinitum dlmlnuta, in circulum vertitur. 36 DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO XXXVII. THEOREMA XXIX. Cylindrij . qni in Jinido co77ipresso infinito & no7t elastico secundum longitudinem suam tmiformiter progreditur, resistentia, qucB oritur a magnitudijie sectionis tranverscs, est ad vim qua totus ejus motus, interea dicm quadruplum longitiidinis S7ice describit, vel tolli possit vel generari, ut densitas medii ad dejtsitatem cylindri quamproxiffie. Nam si vas A BD C fundo suo CD su- perficiem aquse stagnantis tangat, & aqua ex hoc vase per canalem cylindricum EFTS horizonti perpendicularem in aquam stagnantem effluat, locetur autem circellus PQ horizonti parallelus ubivis in medio canaHs, & producatur C^ ad K, ut ^\\.AK2ACK in duplicata ratione quam habet excessus orificii canalis E F supra circellum P Q z.A circulum AB: manifestum est (per cas. 5 cas. 6 & cor. I prop. xxxvi) quod velocitas aquse, transeuntis per spatium annulare inter circelkim & latera vasis, ea erit quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem KC vel / G acquirere potest. Et (per corol. x prop. xxxvi) si vasis latitudo sit infinita, ut lineola JY/ evanescat & altitudines I G, H G aequentur : vis aquse defluentis in circellum erit ad pondus cylindri cujus basis est circellus ille & altitudo est ll G, ut E Fq ad E Fq — IP Qq, quam proxime. Nam vis aquse, uniformi motu defluentis per totum canalem, eadem erit in circellum P Q, in quacunque canalis parte locatum. Claudantur jam canalis orificia E F, S T^ & ascendat circellus in fluido undique compresso & ascensu suo cogat aquam superiorem descendere per spatium annulare inter circellum & latera canalis : & velocitas circelli ascendentis erit ad velocitatem aquse descen- dentis ut differentia circulorum EF & PQ ad circulum PQ, & velocitas circelli ascendentis ad summam velocitatum, hoc est, ad K I li ^ B C i ?_? E S i' LIBER SECUNDUS. 337 •velocitatem relatlvam aquae descendentis qua prseterfluit circellum ascendentem, ut differentia circulorum E F & P Q ad circulum E F, sive ut E Fq — P Qq ad EFq. Sit illa velocitas relativa sequalis velocitati, qua supra ostensum est aquam transire per idem spatium annulare dum circellus interea immotus manet, id est, velocitati quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem / G acquirere potest : & vis aquae in circellum ascendentem eadem erit ac prius (per legum corol. v) id est, resistentia circelli ascendentis erit ad pondus cylindri aquae cujus basis est circellus ille & altitudo esti /Gj ut EFq ad E Fq — \ P Q q quamproxime. Velocitas autem circelli erit ad velocitatem, quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem I G acquirit, ut E Fq — P Q q ad E Fq. Augeatur amplitudo canalis in infinitum : & fationes illae inter EFq — PQq & EFqj interque EFq & EFq —^PQq accedent ultimo ad rationes aequalitatis. Et propterea velocitas circelli ea nunc erit quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem IG acquirere potest, resistentia vero ejus aequalis evadet ponderi cylindri cujus basis est circellus ille & altitudo dimidium est altitudinis I G, 2. qua cylindrus cadere debet ut velocitatem circelli ascendentis acquirat; & hac velocitate cylindrus, tempore cadendi, quadruplum longitudinis suae describet. Resistentia autem cylindri, hac velocitate secundum longitudinem suam progredientis, eadem est curn resistentia circelli (per lemma iv) ideoque sequalis est vi qua motus ejus, interea dum quadruplum longitudinis suae describit, generari potest quamproxime. Si longitudo cylindri augeatur vel minuatur : motus ejus ut & tempus, quo quadruplum longitudinis suae describit, augebitur vel minuetur in eadem ratione ; ideoque vis illa, qua motus auctus vel diminutus, tempore pariter aucto vel diminuto, generari vel tolli possit, non mutabitur; ac proinde etiamnum aequahs est resistentiae cylindri, nam & haec quoque immutata manet per lemma iv. Si densitas cylindri augeatur vel minuatur : motus ejus ut & vis qua motus eodem tempore generari vel tolH potest, in eadem ratione augebitur vel minuetur. Resistentia itaque cylindri cujuscunque erit ad vim qua totus ejus motus, interea dum quadruplum 33^ DE MOTU CORPORUM longitudinis suae describit, vel generari possit vel tolli, ut densitas medii ad densitatem cylindri quamproxime. Q. E. D. Fluidum autem comprimi debet ut sit continuum; continuum vero esse debet & non elasticum ut pressio omnis, quae ab ejus com- pressione oritur, propagetur in instanti, & in omnes moti corporis partes aequaliter agendo resistentiam non mutet. Pressio utique, quae a motu corporis oritur, impenditur in motum partium fluidi generandum & resistentiam creat. Pressio autem quae oritur a compressione fluidi, utcunque fortis sit, si propagetur in instanti, nullum generat motum in partibus fluidi continui, nullam omnino inducit motus mutationem; ideoque resistentiam nec auget nec minuit. Certe actio fluidi, quae ab ejus compressione oritur, fortior esse non potest in partes posticas corporis moti quam in ejus partes anticas, ideoque resistentiam in hac propositione descriptam minuere non potest : & fortior non erit in partes anticas quam in posticas, si modo propagatio ejus infinite velocior sit quam motus corporis pressi. Infinite autem velocior erit & propagabitur in instanti, si modo fluidum sit continuum & non elasticum. Co7'ol. I. Cylindrorum, qui secundum longitudines suas in mediis continuis infinitis uniformiter progrediuntur, resistentiae sunt in ratione quae componitur ex duplicata ratione velocitatum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis mediorum. CoroL 2. Si amplitudo canalis non augeatur in infinitum, sed cylindrus in medio quiescente incluso secundum longitudinem suam progrediatur, & interea axis ejus cum axe canalis coincidat : resistentia ejus erit ad vim qua totus ejus c motus, quo tempore quadruplum longitu- dinis suae describit, vel generari possit vel tolli, in ratione quae componitur ex ratione EFq ad EFq—kPQq semel, & ratione EFq ad EFq—PQq bis, & ratione den- sitatis medii ad densitatem cylindri. Corol. 3. lisdem positis, & quod longitudo L sit ad quadruplum longitudinis cylindri in ratione quae componitur ex ratione EFq — K I L A : B Hj 1 j C G; D £ ^^ S 1 LIBER SECUNDUS. 33^ \PQq ad E Fq semel, & ratione E Fq—P Qq ad EFq bis : resistentia cylindri erit ad vim qua totus ejus motus, interea dum longitudinem L describit, vel tolli possit vel generari, ut densitas medii ad densitatem cylindri. Scholiuni, In hac propositione resistentiam investigavimus quae oritur a sola magnitudine transversae sectionis cylindri, neglecta resistentiae parte quae ab obliquitate motuum oriri possit. Nam quemadmodum in casu primo propositionis xxxvi obliquitas motuum, quibus partes aquae in vase undique convergebant in foramen E F, impedivit effluxum aquae illius per foramen : sic in hac propositione, obliquitas motuum, quibus partes aquae ab anteriore cylindri termino pressae, cedunt pressioni & undique divergunt, retardat eorum transitum per loca in circuitu termini ilHus antecedentis versus posteriores partes cylindri, efficitque ut fluidum ad majorem distantiam com- moveatur & resistentiam auget, idque in ea fere ratione qua effluxum aquae e vase diminuit, id est, in ratione duplicata 25 ad 21 circiter. Et quemadmodum, in propositionis illius casu primo, effecimus ut partes aquae perpendiculariter & maxima copia transirent per foramen E F, ponendo quod aqua omnis in vase quae in circuitu cataractae congelata fuerat, & cujus motus obliquus erat & inutiHs, maneret sine motu : sic in hac propositione, ut obHquitas motuum toHatur, & partes aquae motu maxime directo & brevissimo cedentes faciUimum praebeant transitum cyHndro, & sola maneat resistentia, quae oritur a magnitudine sectionis transversae, quaeque diminui non potest nisi diminuendo diametrum cyHndri, concipiendum est quod partes fluidi, quarum motus sunt obHqui & inutiles & resistentiam creant, quiescant inter se ad utrumque cyHndri terminum, & cohaereant &cyHndrojungantur. SitABCD ^^ rectangulum, & ^mt A E 81 B E arcus duo paraboHci axe A B descripti, latere autem recto quod ^' sit ad spatium H G, describendum ^ ^ a cyHndro cadente dum velocitatem suam acquirit, ut H G did iA B. Sint etiam C F 81 D F arcus aHi duo paraboHci, axe CD 81 latere ^.Q DE MOTU CORPORUM recto quod slt prioris lateris . recti quadruplum descriptl ; & con- volutione figurse clrcum axem EF generetur solldum cujus medla pars ABDCsxt cyllndrus de quo aglmus, & partes extremae A B E & Ci^/^ contlneant partes fluldl Inter se qulescentes & in corpora duo riglda concretas, quae cylIndro'utrInque tanquam caput & cauda adh^reant. Et solldi ^^C/^Z^^, ^ ^g secundum longltudlnem axis sui ^ ^ FE In partes versus E progred- „. j i -\ ientis, reslstentla ea erit quamprox- #• | ^ .-•''' ^ ime quam in hac proposltlone ^ ^ descrlpsimus, id est, quse ratlonem illam habet ad vlm qua totus cyHndri motus, interea dum longltudo ^A C motu illo unlformlter contlnuato descrlbatur, vel tolli possit vel generari, quam densltas fluldi habet ad densltatem cyhndri quamproxime. Et hac vi reslstentia mlnor esse non potest quam in ratione 2 ad 3, per corol. 7 prop. XXXVI. L E M M A V. Si cylindruSy sphcera & sphcErois, quortim latitudines su7it cBquales, in medio canalis cylindrici ita locefitur successive ut eorum axes cum axe canalis coincidant : hcEC corpora fluxum aqtccB per canalem cequaliter impedient, Nam spatla inter canalem & cyHndrum, sphaeram & sphseroldem per quae aqua transit, sunt aequaha : & aqua per aequaha spatia sequahter transit. Haec ita se habent ex hypothesi, quod aqua omnis supra cyhndrum sphaeram vel sphaeroldem congelatur, cujus fluiditas ad celerrimum aquae transitum non requiritur, ut in corol. 7 prop. xxxvi exphcui. LIBER SECUNDUS. 341 L E M M A VI lisdem positis, corpora prcBdicta cequaliter urgentur ab aqua per canalem fluente, Patet per lemma v & motus legem tertlam. Aqua utlque & corpora se mutuo aequallter agunt. L E M M A VII. Si aqua quiescat in canali, & hcec corpora in partes contrarias cequali velocitate per canalem ferantur : ceqiiales eru7it eorum resistenticB inter se. Constat ex lemmate superlore, nam motus relatlvl Ildem inter se manent. Scholium. Eadem est ratlo corporum omnlum convexorum & rotundorum, quorum axes cum axe canalls colncldunt. Dlfferentla allqua ex majore vel mlnore frlctlone orlrl potest ; sed In hls lemmatls corpora esse politlsslma supponimus, & medil tenacltatem & frlctlonem esse nullam, & quod partes fluldl, quae motlbus suis obliquis & superfluls fluxum aquae per canalem perturbare, Impedire & retardare possunt, qulescant inter se tanquam gelu constrlctae, & corporlbus ad ipsorum partes anticas & posticas adhaereant, perlnde ut in scholio propositlo- nls praecedentls exposul. Agitur enim in sequentibus de resistentia omnium minima quam corpora rotunda, datis maxlmis sectionibus transversis descrlpta, habere possunt. Corpora fluidis innatantia, ubl moventur In directum, efliciunt ut fluidum ad partem antlcam ascendat, ad postlcam subsidat, prae- sertlm sl figura sint obtusa; & inde reslstentiam paulo majorem sentlunt quam si capite & cauda slnt acutis. Et corpora in fluidls elasticis mota, sl ante & post obtusa sint, fluldum paulo magis condensant ad anticam partem & paulo magis relaxant ad posticam ; & inde resistentiam paulo majorem sentiunt quam sl capite & cauda sint acutis. Sed nos In his lemmatis & proposltionibus non agimus 342 DE MOTU CORPORUM de fluidis elasticis, sed de non elasticis ; non de insidentibus fluido, sed de alte immersis. Et ubi resistentia corporum in fluidis non elasticis innotescit, augenda erit hsec resistentia aliquantulum tam in fluidis elasticis, qualis est aer, quam in superficiebus fluidorum stagnantium, qualia sunt maria & paludes. PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XXX. Glodty in fluido compresso infinito & non elastico tmiformiter' progredientis^ resistentia est ad vim qua totus ejus motuSy quo tempore octo tertias partes diametri sucE describit, vel tolli possit vel ge^ieraH, ut densitas fluidi ad densitatem globi quamproxime. Nam globus est ad cylindrum circumscriptum ut duo ad tria ; & propterea vis illa, quae tollere possit motum omnem cylindri interea dum cylindrus describat longitudinem quatuor diametrorum, globi motum omnem tollet interea dum globus describat duas tertias partes hujus longitudinis, id est, octo tertias partes diametri proprise. Resistentia autem cylindri est ad hanc vim quamproxime ut densitas fluidi ad densitatem cyHndri vel globi per prop. xxxvii & resistentia globi sequalis est resistentiae cylindri per lem. v, vi, vii. Q-E.D. Corol. i. Globorum, in mediis compressis infinitis, resistentise sunt in ratione quse componitur ex duplicata ratione velocitatis & duplicata ratione diametri & ratione densitatis mediorum. Corol. 2. Velocitas maxima quacum globus, vi ponderis sui comparativi, in fluido resistente potest descendere, ea est quam acquirere potest globus idem, eodem pondere, sine resistentia cadendo & casu suo describendo spatium quod sit ad quatuor tertias partes diametri suse ut densitas globi ad densitatem fluidi. Nam globus tempore casus sui, cum velocitate cadendo acquisita, describet spatium quod erit ad octo tertias diametri suse, ut densitas globi ad densitatem fluidi : & vis ponderis motum hunc generans erit ad vim quse motum eundem generare possit, quo tempore globus octo tertias diametri suse eadem velocitate describit, ut densitas LIBER SECUNDUS. 343 fluidi ad densitatem globi ; ideoque per hanc propositionem, vis ponderis aequalis erit vi resistentiae, & propterea globum accelerare non potest. Corol. 3. Data & densitate globi & velocitate ejus sub initio motus, ut & densitate fluidi compressi quiescentis in qua globus movetur ; datur ad omne tempus & velocitas globi & ejus resistentia & spatium ab eo descriptum, per corol. 7 prop. xxxv. Corol. 4. Globus in fluido compresso quiescente ejusdem secum densitatis movendo dimidiam motus sui partem prius amittet quam longitudinem duarum ipsius diametrorum descripserit, per idem corol. 7. PROPOSITIO XXXIX. THEOREMA XXXI. Globiy per fiuidum in canali cylindrico clausum & compressum U7iiformiter progredientis, resistentia est ad vim, qua tottcs ejus motuSy interea dum octo tertias partes diametri sucb descridit, vel generari possit vel tolli, in ratione quce componitur ex ratione orificii canalis ad excessum kujtcs orificii supra dimidium circuli maxifni globi, & ratione duplicata orificii canalis ad excessum hujus orificii supra circulum maximum globi, & ratione densitatis fiuidi ad densitatem globi quam- proxime. Patet per corol. 2 prop. xxxvii : procedit vero demonstratio quemadmodum in propositione prsecedente. Scholium. In propositionibus duabus novissimis (perinde ut in lem. v) suppono quod aqua omnis congelatur quse globum prsecedit, & cujus fluiditas auget resistentiam globi. Si aqua illa omnis liquescat, augebitur resistentia aliquantulum. Sed augmentum illud in his propositionibus parvum erit & negHgi potest, propterea quod convexa superficies globi totum fere oflicium glaciei faciat. 344 ^^ MOTV CORPORUM PROPOSITIO XL. PROBLEMA IX. Globi, in medio flicidissimo compresso progredientis, invenire resistentiam per phcsnometia. ija Sit A pondus globi in vacuo, B pondus ejus- in medio resistente, D diameter globi, F spatium quod sit ad * D ut densitas globi ad densitatem medii, id est, ut A ad A — B, G tempus quo globus pondere B sine resistentia cadendo describit spatium F, & H velocitas quam globus hocce casu suo acquirit. Et erit H velocitas maxima quacum globus, pondere suo B, in medio resistente potest descendere, per corol. 2 prop. xxxviii : & resistentia, quam globus ea cum velocitate descendens patitur, sequalis erit ejus ponderi B : resistentia vero, quam patitur in alia quacunque velocitate, erit ad pondus B in duplicata ratione velocitatis hujus ad velocitatem illam maximam H, per corol. i prop. xxxviii. Haec est resistentia quse oritur ab inertia materiae fluidi. Ea vero quse oritur ab elasticitate, tenacitate, & frictione partium ejus, sic investigabitur. Demittatur globus ut pondere suo B in fluido descendat ; & sit P tempus cadendi, idque in minutis secundis si tempus G in minutis secundis habeatur. Inveniatur numerus absolutus N qui con- 2 P gruit logarithmo 0,4342944819 -T^, sitque L logarithmus numeri N + 1 _ . N— I -^- :. & velocitas cadendo acquisita erit ^ H, altitudo autem 2PF descripta ^xiX.—^ — 1,3862943611 F + 4,6051 701 86 LF. Si fluidum satis profundum sit, negligi potest terminus 4,6051 701 86LF ; 2PF & erit -jp 1,3862943611 F altitudo descripta quamproxime. Pa- tent haec per Hbri secundi propositionem nonam & ejus corollaria, ex hypothesi quod globus nullam aHam patiatur resistentiam nisi quae oritur ab inertia materise. Si vero aliam insuper resistentiam patiatur, descensus erit tardior, & ex retardatione innotescet quantitas hujus resistentiae. LIBER SECUNDUS. 345 Ut corporis in fluido cadentis velocitas & descensus facilius innotescant, composui tabulam sequentem, cujus columna prima denotat tempora descensus, secunda exhibet velocitates cadendo acquisitas existente velocitate maxima loooooooo, tertia exhibet spatia temporibus ilHs cadendo descripta, existente 2 F spatio quod corpus tempore G cum velocitate maxima describit, & quarta exhibet spatia iisdem temporibus cum velocitate maxima descripta. Numeri 2 P in quarta columna sunt -pr-, & subducendo numerum 1,3862944 — 4,605 1 702 L, inveniuntur numeri in tertia columna, & multipHcandi sunt hi numeri per spatium F ut habeantur spatia cadendo descripta. Quinta his insuper adjecta est columna, quae continet spatia descripta iisdem temporibus a corpore, vi ponderis sui comparativi B, in vacuo cadente. Tempora Velocitates cadentis Spatia cadendo descripta Spatia motu Spatia cadendo P influido. influido. maximo descripta. descripta in vacuo. 0,001 G 99999IS 0,000001 F 0,002 F 0,000001 F 0,01 G 999967 0,0001 F 0,02 F 0,0001 F 0,1 G 9966799 0,0099834 F 0,2 F 0,01 F 0,2 G 19737532 0,0397361 F 0,4 F 0,04 F 0,3 G 29131261 0,0886815 F 0,6 F 0,09 F 0,4 G 37994896 0,1559070 F 0,8 F 0,16 F 0,5 G 46211716 0,2402290 F 1,0. F 0,25 F 0,6 G 53704957 0,3402706 F 1,2 F 0,36 F 0,7 G 60436778 0,4545405 F 1,4 F 0,49 F 0,8 G 66403677 0,5815071 F 1,6 F 0,64 F 0,9 G 71629787 0,7196609 F 1,8 F 0,81 F I G 76159416 0,8675617 F 2 F I F 2 G 96402758 2,6500055 F 4F 4 F 3 G 99505475 4,6186570 F 6 F 9 F 4 G 99932930 6,6143765 F 8 F 16 F 5 G 99990920 8,6137964 F 10 F 25 F 6 G 99998771 10,6137179 F 12 F 36 F 7 G 99999834 12,6137073 F ,4F 49 F 8 G 99999980 14,6137059 F 16 F 64 F 9 G 99999997 16,6137057 F 18 F 81 F 10 G 99999999I 18,6137056 F 20 F 100 F Scholium. Ut resistentias fluidorum investigarem per experimenta, paravi 346 D^ MOTU CORPORUM vas ligneum quadratum, longitudine & latitudine interna digitorum novem pedis LondinensiSy profunditate pedum novem cum semisse, idemque . implevi aqua pluviali ; & globis ex cera & plumbo incluso formatis, notavi tempora descensus globorum, existente descensus altitudine 1 1 2 digitorum pedis, Pes solidus cubicus Londinensts continet 76 libras Romanas aquse pluvialis, & pedis hujus digitus solidus continet ^ uncias librae hujus seu grana ^ 5 3 J ; & globus aqueus diametro digiti unius descriptus continet grana 132,645 in medio aeris, vel grana 132,8 in vacuo ; & globus quilibet alius est ut excessus ponderis ejus in vacuo supra pondus ejus in aqua. Exper, I. Globus, cujus pondus erat 156J granorum in aere & 77 granorum in aqua, altitudinem totam digitorum 112 tempore minutorum quatuor secundorum descripsit. Et experimento repe- tito, globus iterum cecidit eodem tempore minutorum quatuor secundorum. Pondus globi in vacuo est.156^ gran. & excessus hujus ponderis supra pondus globi in aqua est 79^! gran, Unde prodit globi diameter 0,84224 partium digiti. Est autem ut excessus ille ad pondus globi in vacuo, ita densitas aquse ad densitatem globi, & ita partes octo tertiae diametri globi (ms. 2,24597 dig.) ad spatium 2 F, quod proinde erit 4,4256 dig. Globus tempore minuti unius secundi, toto suo pondere granorum 156JI, cadendo in vacuo describet digitos 193^; & pondere granorum 77, eodem tempore, sine resistentia cadendo in aqua describit digitos 95,219; & tempore G, quod sit ad minutum unum secundum in subdupHcata ratione spatii F seu 2,2128 dig. ad 95,219 dig. describet 2,2128 dig. & velocitatem maximam H acquiret quacum potest • in aqua descendere. Est igitur tempus G 0^^15244. Et hoc tempore G, cum velocitate illa maxima H, globus describet spatium 2 F digitorum 4,4256; ideoque tempore minutorum quatuor secundorum describet spatium digitorum 116,1245. Subducatur spatium 1,3862944 F seu 3,0676 dig. & manebit spatium 113,0569 digitorum quod globus cadendo in aqua, in vase amplissimo, tempore minutorum qua- tuor secundorum describet. Hoc spatium, ob angustiam vasis lignei praedicti, minui debet in ratione quae componitur ex LIBER SECUNDUS. 347 subduplicata ratlone orificii vasis ad excessum orificii hujus supra semicirculum maximum globi & ex simplici ratione orificii ejusdem ad excessum ejus supra circulum maximum globi, id est, in ratione I ad 0,9914. Quo facto, habebitur spatium 112,08 digitorum, quod globus cadendo in aqua in hoc vase ligneo tempore minutorum quatuor secundorum per theoriam describere debuit quamproxime. Descripsit vero digitos 112 per experimentum. Exper. 2. Tres globi sequales, quorum pondera seorsim erant 1^\ granorum in aere & 5^3. granorum in aqua, successive demitte- bantur ; unusquisque cecidit in aqua tempore minutorum secun- dorum quindecim, casu suo describens altitudinem digitorum 112. Computum ineundo prodeunt pondus globi in vacuo 76^ gran, excessus hujus ponderis supra pondus in aqua 71^ gran. diameter globi 0,81296 dig. octo tertiae partes hujus diametri 2,16789 dig. spatium 2 F 2,3217 dig. spatium quod globus pondere ^^ gran. tempore i^'' sine resistentia cadendo describat 12,808 dig. 81 tempus G o^', 30 105 6. Globus igitur, velocitate maxima quacum potest in aqua vi ponderis ^^ gran. descendere, tempore 0^^301056 describet spatium 2,3217 dig. & tempore 15'' spatium 115,678 dig. Subducatur spatium 1,3862944 F seu 1,609 ^-^^- & manebit spatium 114,069 dig. quod proinde globus eodem tempore in vase latissimo cadendo describere debet. Propter angustiam vasis nostri detrahi debet spatium 0,895 dig. circiter. Et sic manebit spatium 113,174 dig. quod globus cadendo in hoc vase, tempore 1 5'' describere debuit per theoriam quamproxime. Descripsit vero digitos 112 per experi- mentum. Differentia est insensibiHs. Exper. 3. Globi tres sequales, quorum pondera seorsim erant 121 gran. in aere & i gran. in aqua, successive demittebantur ; & cadebant in aqua temporibus 46^', 47'^ & 50'^ describentes altitudinem digitorum 112. Per theoriam hi globi cadere debuerunt tempore 40'' circiter. Quod tardius ceciderunt, utrum minori proportioni resistentiae, quae a vi inertiae in tardis motibus oritur, ad resistentiam quae oritur ab aliis causis tribuendum sit; an potius bulluHs nonnullis globo adhaerentibus, vel rarefactioni cerae ad calorem vel tempestatis vel manus globum demittentis, vel etiam erroribus insensibihbus in 348 DE MOTU CORPORUM ponderandis globis in aqua, incertum esse puto. Ideoque pondus globi in aqua debet esse plurium granorum, ut experimentum certum & fide dignum reddatur. Exper. 4. Experimenta hactenus descripta ccepi, ut investigarem resistentias fluidorum, antequam theoria in propositionibus proxime praecedentibus exposita mihi innotesceret. Postea, ut theoriam inventam examinarem, paravi vas Hgneum latitudine interna digitorum 81, profunditate pedum quindecim cum triente. Deinde ex cera & plumbo incluso globos quatuor formavi, singulos pondere 1 39J granorum in aere & 7|. granorum in aqua. Et hos demisi ut tempora cadendi in aqua per pendulum, ad semi-minuta secunda oscillans, mensurarem. Globi, ubi ponderabantur & postea cadebant, frigidi erant & aHquamdiu frigidi manserant ; quia calor ceram rarefacit, & per rarefactionem diminuit pondus globi in aqua, & cera rarefacta non statim ad densitatem pristinam per frigus reducitun Antequam caderent, immergebantur penitus in' aquam ; ne pondere partis aHcujus ex aqua extantis descensus eorum sub initio acceleraretur. Et ubi penitus immersi quiescebant, demitte- bantur quam cautissime, ne impulsum aHquem a manu demittente acciperent. Ceciderunt autem successive temporibus osciHationum 47J, 481, 50 & 51, describentes altitudinem pedum quindecim & digitorum duorum. Sed tempestas jam paulo frigidior erat quam cum globi ponderabantur, ideoque iteravi experimentum aHo die, & globi ceciderunt temporibus osciHationum 49, 49^, 50 & 53, ac tertio temporibus osciHationum 491, 50, 51 & 53. Et experimento saepius capto, globi ceciderunt maxima ex parte temporibus osciHationum 49^ & 50. Ubi tardius cecidere, suspicor eosdem retardatos fuisse impingendo in latera vasis. Jam computum per theoriam ineundo, prodeunt pondus globi in vacuo 1392 granorum. Excessus hujus ponderis supra pondus globi in aqua 132J1 gran. Diameter globi 0,99868 dig. Octo tertiae partes diametri 2,66315 dig. Spatium 2 F 2,8066 dig. Spatium quod globus pondere 7J granorum, tempore minuti unius secundi, sine resistentia cadendo describit 9,88164 dig. Et tempus G o'^, 3 76843. Globus igitur, velocitate maxima, quacum pote^t in aqua vi ponderis 71 granorum descendere, tempore 0^^376843 de- LIBER SECUNDUS. ^.q scrlbit spatium 2,8066 digitorum, & tempore i" spatium 7,44766 digitorum, & tempore 25" seu oscillationum 50 spatium 186,1915 dig. Subducatur spatium 1,386294 F, seu 1,9454 dig. & manebit spatium 184,2461 dig. quod globus eodem tempore in vase latissimo describet. Ob angustiam vasis nostri, minuatur hoc spatium in ratione quae componitur ex subduplicata ratione orificii vasis ad excessum hujus orificii supra semicirculum maximum globi, & simplici ratione ejusdem orificii ad excessum ejus supra circulum maximum globi ; & habebitur spatium 181,86 digitorum, quod globus in hoc vase tempore oscillationum 50 describere debuit per theoriam quamproxime. Descripsit vero spatium 182 digitorum tempore oscillationum 49!^ vel 50 per experimentum. Exper. 5. Globi quatuor pondere \^\\ gran. in aere & 2\\ gran. in aqua saepe demissi cadebant tempore oscillationum 2 81, 29, 29I Sc 30, & nonnunquam 31, 32 & 33, descrlbentes altitudinem pedum quindecim & digitorum duorum. Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 29 quam- proxlme. Exper, 6. Globi qulnque pondere 2 1 2% gran. In aere & 79^ in aqua saepe demlssi cadebant tempore osclllationum 15, 15I, 16, 17 & 18, descrlbentes altltudlnem pedum qulndeclm & dlgitorum duorum. Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 15 quam- proxime. Exper. 7. Globi quatuor pondere 2(^i\gran. In aere & Z^l gra^t. in aqua ssepe demissi cadebant tempore oscillationum 291, 30, 301» 31» 32 & 33. describentes altitudinem pedum quindecim & dlgltl unius cum semisse. Per theorlam cadere debuerunt tempore osclllationum 28 quam- proxime. Causam Investigando cur globorum, ejusdem ponderis & magni- tudinis, allqul cltius alii tardlus caderent, in hanc Incldi ; quod globi, ubi primum demittebantur & cadere Incipiebant, oscillarent circum centra, latere illo quod forte gravlus esset primum descendente, & motum oscillatorium generante. Nam per oscillationes suas globus majorem motum communlcat aquse, quam si slne oscll- latlonibus descenderet ; & communicando amittit partem motus 350 DE MOTU CORPORUM proprii qiio descendere deberet : & pro majore vel minore oscil- latione, magis vel minus retardatur. Quinetiam globus recedit semper a latere suo quod per oscillationem descendit, & recedendo appropinquat lateribus vasis & in latera nonnunquam impingi- tur. Et hsec oscillatio in globis gravioribus fortior est, & in majoribus aquam magis agitat. Quapropter, ut oscillatio globorum minor redderetur, globos novos ex cera & plumbo construxi, infigendo plumbum in latus aliquod globi prope superficiem ejus ; & globum ita demisi, ut latus gravius, quoad fieri potuit, esset infimum ab initio descensus. Sic oscillationes factae sunt multo minores quam prius, & globi temporibus minus inaequalibus ceciderunt, ut in experimehtis sequentibus. Exper. 8. Globi quatuor, pondere granorum 139 in aere & 6\ in aqua, saepe demissi, ceciderunt temporibus oscillationum non plu- rium quam 52, non pauciorum quam 50, & maxima ex parte tem- pore oscillationum 51 circiter, describentes altitudinem digitorum 182. Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 52 circi- ter. Exper. (^. Globi quatuor, pondere granorum 2 73^ in aere & I40f in aqua, ssepius demissi, ceciderunt temporibus oscillationum non pauciorum quam 12, non plurium quam 13, describentes altitudinem digitorum 182. Per theoriam vero hi globi cadere debuerunt tempore oscillationum iij quamproxime. Exper. 10. Globi quatuor, pondere granorum 384 in aere & iiQjin aqua, saepe demissi, cadebant temporibus oscillationum 17^, 18, 18J & 19, describentes altitudinem digitorum 181^. Et ubi ceciderunt tempore oscillationum 19, nonnunquam audivi impulsum eorum in latera vasis antequam ad fundum pervenerunt. Per theoriam vero cadere debuerunt tempore oscillationum 155 quamproxime. Exper. II. Globi tres aequales, pondere granorum 48 in aere & 311 in aqua, saepe demissi, ceciderunt temporibus oscillationum 43^, 44. 444. 45 & 46, & maxima ex parte 44 & 45, describentes altitu- dinem digitorum 182J quamproxime. LIBER SECUNDUS. ^^I Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 46I cir- citer. Exper, 12. Globi tres aequales, pondere granorum 141 in aere & 41 in aqua, aliquoties demissi, ceciderunt temporibus oscillationum 61, 62, 63, 64, & 65, describentes altitudinem digitorum 182. Et per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 64I quamproxime. Per haec experimenta manifestum est quod, ubi globi tarde ceciderunt, ut in experimentis secundis, quartis, quintis, octavis, undecimis ac duodecimis, tempora cadendi recte exhibentur per theoriam : at ubi globi velocius ceciderunt, ut in experimentis sextis, nonis ac decimis, resistentia paulo major extitit quam in duplicata ratione velocitatis. Nam globi inter cadendum oscillant aHquantulum; & hsec oscillatio in globis levioribus & tardius cadentibus, ob motus languorem cito cessat ; in gravioribus autem & majoribus, ob motus fortitudinem diutius durat, & non nisi post plures oscillationes ab aqua ambienti cohiberi potest. Ouinetiam globi^ quo velociores sunt, eo minus premuntur a fluido ad posticas suas partes ; & si velocitas perpetuo augeatur, spatium vacuum tandem a tergo rehnquent, nisi compressio fluidi simul augeatur. Debet autem compressio fluidi (per prop. xxxii & xxxiii) augeri in duplicata ratione velocitatis, ut resistentia sit in eadem duplicata ratione. Quoniam hoc non fit, globi velociores paulo minus premuntur a tergo, & defectu pressionis hujus, resistentia eorum fit paulo major quam in duplicata ratione velocitatis. Congruit igitur theoria cum phsenomenis corporum cadentium in aqua, reHquum est ut examinemus phaenomena cadentium in aere. Exper. 13. A culmine ecclesise Sancti Pauli, in urbe Londini, mense Junio 1710, globi duo vitrei simul demittebantur, unus argenti vivi plenus, alter aeris ; & cadendo describebant altitudinem pedum Londinensium 220. Tabula Hgnea ad unum ejus terminum poHs ferreis suspendebatur, ad alterum pessulo Hgneo incumbebat; & globi duo huic tabulae impositi simul demittebantur, subtrahendo pessulum ope fiH ferrei ad terram usque demissi ut tabula poHs ferreis solummodo innixa super iisdem devolveretur, & eodem temporis momento pendulum ad minuta secunda osciHans, per filum 352 DE MOTU CORPORUM illud ferreum tractum demltteretur & osclllare inciperet. Dlametri & pondera globorum ac tempora cadendl exhlbentur In tabula sequente. GLOBORUM MERCURIO PLENORUM. GLOBORUM AERE PLENORUM. Pondera. Diametri. Tempora cadendi. Pondera. Diametri. Tempora cadendi. 908 gran. 983 866 747 808 784 0,8 digit. 0,8 0,8 0,75 0,75 0,75 4" 4— 4 4+ 4 4+ 510 gran. 642 599 515 483 641 5,1 digit. 5,2 5,1 5,0 5,0 5,2 8 8i 81 8" Caeterum tempora observata corrigi debent. Nam globi mercu- riales (per theoriam Galilm) minutis quatuor secundis describent pedes Lojidirmises 257, & pedes 220 minutis tantum 3" \2"'. Tabula lignea utlque, detracto pessulo, tardlus devolvebatur quam par erat, & tarda sua devolutlone impediebat descensum globorum sub initio. Nam globi incumbebant tabulae prope medlum ejus, & paulo quldem propiores erant axi ejus quam pessulo. Et hinc tem- pora cadendi prorogata fuerunt mlnutis tertils octodeclm circlter, & jam corrlgi debent detrahendo illa minuta, praesertim in globls majoribus qui tabulae devolventi paulo dlutlus incumbebant propter magnltudinem dlametrorum. Quo facto tempora, qulbus globl sex 8' 12' r 42' 42' r sr dlametro digltoruml cecidit tempore 8^'^ Pondus aquae hulc majores cecidere, evadent %" I2"\8l f A,2'", Globorum Igltur aere plenorum quintus quinque pondere granorum 483 constructus, \2'", descrlbendo altltudlnem pedum 220. globo aequaHs est 1 6600 granorum ; & pondus aerls eldem aequahs ^st i||oo gran. seu \^^^ gran. ideoque pondus globi in vacuo est 502,^ gran. & hoc pondus est ad pondus aeris globo aequahs, ut 502 A ad iqtit, & ita sunt 2 F ad octo tertias partes diametri globi, id est, ad 13J dlgitos. Unde 2 F prodeunt 28/^^. 11 dig. Globus cadendo in vacuo, toto suo pondere 502A granorum, tempore mlnuti unius secundi describlt dlgitos 193^ ut supra, & pondere 483 gran. describit dlgitos 185,905, & eodem pondere 483 gran. etiam LIBER SECUNDUS. 353 in vacuo descrlbit spatium F seu 14 ped. 5J dig. tempore 57''' ^^"" , & velocitatem maximam acquirit quacum possit in aere descendere. Hac velocitate globus, tempore 8''' 12'", describet spatium pedum 245 & digitorum 5J. Aufer 1,3863 F seu 20 ped. o\ dig. & manebunt 225 ped. 5 dig. Hoc spatium igitur globus, tempore Z" \2"\ cadendo describere debuit per theoriam. Descripsit vero spatium 220 pedum per experimentum. Differentia insensibilis est. Similibus computis ad reliquos etiam globos aere plenos applicatis, confeci tabulam sequentem. Globorum pondera. Diametri. Tempora cadendi ab altitudine pedum 220 Spatia describenda per theoriam. Excesstcs. $10 gran. 642 599 515 483 641 5»i p multiplicatus per 356 DE MOTU CORPORUM t numerum 2,302585093 est ad numerum qF- , per corol. 7 prop. XXXV. In motibus tardis resistentia potest esse paulo minor propterea quod figura globi paulo aptior sit ad motum quam figura cylindri eadem diametro descripti. In motibus velocibus resistentia potest esse paulo major, propterea quod elasticitas & compressio fluidi non augeantur in duplicata ratione velocitatis. Sed hujusmodi minutias hic non expendo. Et quamvis aer, aqua, argentum vivum & similia fluida, per di- visionem partium in infinitum, subtiliarentur & fierent media infinite fluida ; tamen globis projectis haud minus resisterent. Nam resistentia, de qua agitur in propositionibus praecedentibus, oritur ab inertia materise & inertiae materiae corporibus essentialis est & quantitati materiae semper proportionalis. Per divisionem partium fluidi, resistentia quae oritur a tenacitate & frictione partium diminui quidem potest : sed quantitas materiae per divisionem partium ejus non diminuitur ; & manente quantitate materiae, manet ejus vis inertiae, cui resistentia, de qua hic agitur, semper proportionalis est. Ut haec resistentia diminuatur, diminui debet quantitas materiae in spatiis per quae corpora moventur. Et propterea spatia coelestia, per quae globi planetarum & cometarum in omnes partes liberrime & sine omni motus diminutione sensibili perpetuo moventur, fluido omni corporeo destituuntur, si forte vapores longe tenuissimos & trajectos lucis radios excipias. Projectilia utique motum cient in fluidis progrediendo, & hic motus oritur ab excessu pressionis fluidi ad projectilis partes anticas supra pressionem ad ejus partes posticas, & non minor esse potest in mediis infinite fluidis quam in aere, aqua & argento vivo pro densitate materiae in singuHs. Hic autem pressionis excessus, pro quantitate sua, non tantum motum ciet in fluido, sed etiam agit in projectile ad motum ejus retardandum : & propterea resistentia in omni fluido est ut motus in fluido a projectili excitatus, nec minor esse potest in aethere subtilissimo pro densitate aetheris, quam in aere, aqua & argento vivo pro densitatibus horum fluidorum. LIBER SECUNDUS. 357 SECTIO VIII. De motu per fluida propagato. PROPOSITIO XLI. THEOREMA XXXII. Pressio non propagatitr per fluidum secundum lineas rectas, nisi ubi particulce fluidi in directum jacent. Si jaceant partlculse a, b, c, d, e in linea recta, potest quidem pres- sio directe propagari ah a2id e ; at particula e urgebit particulas oblique positas f 81 g oblique, & particulae illae / 8i g non sustinebunt pressionem illatam, nisi fulciantur a particulis ulterioribus h 81 k ; quatenus autem fulciuntur, premunt particulas fulcientes ; & hae non sustinebunt pressionem nisi fulciantur ab ulte- rioribus l 81 m easque premant, & sic deinceps in infinitum. Pressio igitur, quum primum propagatur ad particulas quae non in directum jacent, divaricare incipiet & oblique propagabitur in infinitum ; & postquam incipit oblique propagari, si inciderit in particulas ulteriores, quae non in directum jacent, iterum divaricabit ; idque toties, quoties in particulas non accurate in directum jacentes inciderit. Q.E.D. Corol. Si pressionis, a dato puncto per fluidum propagatae, pars aliqua obstaculo intercipiatur ; pars reliqua, quae non intercipitur, divaricabit in spatia pone obstaculum. Id quod sic etiam demon- strari potest. A puncto A propagetur pressio quaquaversum, idque si fieri potest secundum lineas rectas, & obstaculo iVi^ CA^perfora- to in B C intercipiatur ea omnis, praeter partem coniformem A P Q, quae per foramen circulare B C transit. Planis transversis de, fg, h i distinguatur conus A P Q va frusta ; & interea dum conus A B C, pressionem propagando, urget frustum conicum ulterius degf in superficie de, & hoc frustum urget frustum proximum fg ih in superficie/^, & frustum illud urget frustum tertium, & sic deinceps in infinitum ; manifestum est (per motus legem tertiam) quod fru- 358 DE MOTU CORPORUM stum primum defg, reactione frusti secundi fghi, tantum urgebitur & premetur in superficie fg, quantum urget & premit frustum illud secundum. Frustum igitur degfm\.^r conum AdeSi frustum fhig comprimitur utrinque, & propterea (per corol. 6 prop. xix) figuram suam servare nequit, nisi vi eadem comprimatur undique. Eodem igitur impetu quo premitur in superficiebus de, fg, cona- bitur cedere ad latera df, eg ; ibique (cum rigidum non sit, sed omnimodo fluidum) excurret ac dilatabitur, nisi fluidum ambiens adsit quo conatus iste cohibeatur. Proinde conatu excurrendi, premet tam fluidum ambiens ad latera df eg quam ix\x^\x\m f g h i eodem impetu ; & propterea pressio non minus propagabitur a lateribus df eg in spatia NO.KL hinc inde, quam propagatur a superficie fg versus P Q. Q, E, D. LIBER SECUNDUS. 359 PROPOSITIO XLII. THEOREMA XXXIII. Motus omnis per fiuidtim propagatus divergit a recto tramite in spatia immota. Cas. I. Propagetur motus a puncto A per foramen B C, pergat- que, si fieri potest, in spatio conico B CQP secundum lineas rectas divergentes a puncto A. Et ponamus primo quod motus iste sit undarum in superficie stagnantis aquse. Sintque de, fg, ki, kl, &c. undarum singularum partes altissimae, vallibus totidem inter- mediis ab invicem distinct^. Igitur quoniam aqua in undarum juo-is altior est quam in fluidi partibus immotis L K, N O, defluet eadem de jugorum terminis ., g. i /, &c. ^, / K ^, &c. hinc mde versus K L & N 0 : 8i quoniam in undarum vallibus depressior est quaminfluidi partibus immotis K L, N O ; defluet eadem de parti- bus illis immotis in undarum valles. Defluxu priore undarum juga, posteriore valles hinc inde dilatantur & propagantur versus KL^ ,6o DE MOTU CORPORUM N O. Et quoniam motus undarum ab A versus P Q ^X. per conti- nuum defluxum jugorum in valles proximos, ideoque celerior non est quam pro celeritate descensus ; & descensus aquse hinc inde versus KL & N O eadem velocitate peragi debet; propagabitur dilatatio undarum hinc inde versus K L 8l N O eadem velocitate qua undae ipsae ab A versus P Q recta progrediuntur. Proindeque spatium totum hinc inde versus KL & NO ab undis dilatatis r/^ r, shisy tklt, vmiiVy &c. occupabitur. Q.E.D, Heec ita se habere quilibet in aqua stagnante experiri potest. m. """"iiiii """"11,,.. m m ^^^ ^ ^^ — ,i.rtttW Cas. 2. Ponamus jam quod ^^,/^, ^i, kl,mn designent pulsus a puncto A per medium elasticum successive propagatos. Pulsus propagari concipe per successivas condensationes & rarefactiones medn sic ut pulsus cujusque pars densissima spharicam occupet superficem circa centrum A descriptam, & inter pulsus successivos ffiqualia mtercedant intervalia. Designent autem \m^2t dejg, hi, kl,&c. densissimas pulsuum partes, per foramen BC propagatas Et quoniam medium ibi densius est quam in spatiis hinc inde versus KL &JVO, dilatabit sese tam versus spatia illa /^L, NO utrinque LIBER SECUNDUS. »6l sita, quam versus pulsuum rariora intervalla ; eoque pacto rarius semper evadens e regione intervallorum ac densius e regione pulsuum, participabit eorundem motum. Et quoniam pulsuum progressivus motus oritur a perpetua relaxatione partium densiorum versus antecedentia intervalla rariora ; & pulsus eadem fere celeritate sese in medii partes quiescentes K L, N O hinc inde relaxare debent; pulsus illi eadem fere celeritate sese dilatabunt undique in spatia immota K L, N O, qua propagantur directe a centro A ; ideoque spatium totum K L O N occupabunt. Q.E.D. Hoc experimur in sonis, qui vel monte interposito audiuntur, vel in cubiculum per fenestram admissi sese in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis omnibus audiuntur, non tam reflexi a parietibus oppositis, quam a fenestra directe propagati, quantum ex sensu judicare licet. Cas. 3. Ponamus denique quod motus cujuscunque generis propagetur ab A per foramen B C : 8i quoniam propagatio ista non fit, nisi quatenus partes medii centro A propiores urgent commovent- que partes ulteriores ; & partes quse urgentur fluidae sunt, ideoque recedunt quaquaversum in regiones ubi minus premuntur : recedent esedem versus medii partes omnes quiescentes, tam laterales K L 8i N (9, quam anteriores P Q, eoque pacto motus omnis, quumprimum per foramen B C transiit, dilatari incipiet & inde tanquam a principio & centro in partes omnes directe propagari. Q.E.D. PROPOSITIO XLIII. THEOREMA XXXIV. Corpus omne tremulum in medio elastico propagabit motum pulsuum undique in directum ; in medio vero fion elastico motum circularem excitabit. Cas. I. Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo 8: re- deundo itu suo urgebunt & propellent partes medii sibi proximas, & urgendo compriment easdem & condensabunt ; dein reditu suo sinent partes compressas recedere & sese expandere. Igitur partes medii corpori tremulo proximee ibunt & redibunt per vices, ad instar partium corporis illius tremuli : & qua ratione partes corporis hujus agitabant hasce medii partes, hae similibus tremoribus agitata^ agitabunt partes sibi proximas, eaeque simiHter agitatse 362 J^R MOTU CORPORUM agitabunt ulterlores, & sic deinceps in infinitum. Et quemadmodum medii partes primae eundo condensantur & redeundo relaxantur, sic partes reliquae quoties eunt condensabuntur, & quoties redeunt sese expandent. Et propterea non omnes ibunt & simul redibunt (sic enim determinatas ab invicem distantias servando, non rarefierent & condensarentur per vices) sed accedendo ad invicem ubi conden- santur, & recedendo ubi rarefiunt, aliquae earum ibunt dum aliae redeunt ; idque vicibus alternis in infinitum. Partes autem euntes & eundo condensatae, ob motum suum progressivum, quo feriunt obstacula, sunt pulsus ; & propterea pulsus successivi a corpore omni tremulo in directum propagabuntur ; idque aequalibus circiter ab invicem distantiis, ob aequalia temporis intervalla, quibus corpus tremoribus suis singulis singulos pulsus excitat. Et quanquam corporis tremuli partes eant & redeant secundum plagam aliquam certam & determinatam, tamen pulsus inde per medium propagati sese dilatabunt ad latera, per propositionem praecedentem ; & a cor- pore illo tremulo tanquam centro communi, secundum superficies propemodum sphaericas & concentricas, undique propagabuntur. Cujus rei exemplum aliquod habemus in undis, quae si digito tremulo excitentur, non solum pergent hinc inde secundum plagam motus digiti, sed, in modum circulorum concentricorum, digitum statim cingent & undique propagabuntur. Nam gravitas undarum supplet locum vis elasticae. Cas, 2. Quod si medium non sit elasticum : quoniam ejus partes a corporis tremuli partibus vibratis pressae condensari nequeunt, propagabitur motus in instanti ad partes ubi medium facillime cedit, hoc est, ad partes quas corpus tremulum alioqui vacuas a tergo relinqueret. Idem est casus cum casu corporis in medio quocunque projecti. Medium cedendo projectilibus non recedit in infinitum; sed in circulum eundo pergit ad spatia quae corpus relinquit a tergo. Igitur quoties corpus tremulum pergit in partem quamcunque, medium cedendo perget per circulum ad partes quas corpus relinquit; & quoties corpus regreditur ad locum priorem, medium inde repelletur & ad locum suum priorem redibit. Et quamvis corpus tremulum non sit firmum, sed modis omnibus flexile, si tamen magnitudine datum maneat, qnoniam tremoribus suis nequit medium ubivis urgere, quin alibi eidem simul cedat, efficiet ut medium, LIBER SECUNDUS. 363 recedendo a partibus ubi premitur, pergat semper in orbem ad partes quae eidem cedunt. Q.E.D. Corol. Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium flammae ad pressionem, per medium ambiens, secundum lineas rectas propagandum conducere. Debebit ejusmodi pressio non ab agitatione sola partium flammae, sed a totius dilatatione derivari. I PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XXXV. Si aqua in canalis cruribus erectis K L, M N vicibus alternis ascendat & descendat ;■ construatur autem penduhcm cujus longitudo inter pu7ictttm suspensionis & centrum oscillationis cEquetur semissi longitudinis aqucs in canali : dico quod aqua ascendet & descendet iisdem temporibus quibus pe^tdulum oscillatur, Longitudinem aquae mensuro secundum axes canalis & crurum, eandem summae horum axium sequando ; & resistentiam aquae, quae oritur ab attritu canalis, hic non considero. Designent igitur A B, CD mediocrem altitudinem aquae in crure utroque ; & ubi aqua in crure KL ascendit ad altitudinem E F, descenderit aqua in crure J/iV ad altitudinem GH. Sit autem P corpus pendulum, V P filum, Fpunctum suspensionis, R P Q S cyddx'^ quam pendulum describat, P ejus punctum infimum, PQ arcus ahitudini AE aequahs. 364 DE MOTU CORPORUM Vis, qua motus aquae alternls vicibus acceleratur & retardatur, est excessus ponderis aquae in alterutro crure supra pondus in altero, ideoque, ubi aqua in crure K L ascendit 2A E F, & in crure altero descendit ad GH, vis illa est pondus duplicatum aquse EABF^ & propterea est ad pondus aquse totius m\. A E seu P Q 2A V P seu V-r K M P R. Vis etiam, qua pondus P in loco quovis Q acceleratur & retardatur in cycloide (per corol. prop. li) est ad ejus pondus totum, ut ejus distantia P Q 3. loco infimo P ad cycloidis longitu- dinem P R, Quare aquse & penduli, aequalia spatia A E, P Q describentium, vires motrices sunt ut pondera movenda ; ideoque, si aqua & pendulum in principio quiescunt, vires illae movebunl eadem aequaliter temporibus aequalibus, efficientque ut motu reciprocoj simul eant & redeant. Q.E.D, Corol. I. Igitur aquae ascendentis & descendentis, sive motus intensior sit sive remissior, vices omnes sunt isochronae. Corol. 2. Si longitudo aquae totius in canali sit pedum Parisiendm (i\ : aqua tempore minuti unius secundi descendet, & tempon minuti alterius secundi ascendet; & sic deinceps vicibus alternis inj infinitum. Nam pendulum pedum 3tV longitudinis tempore minuti unius secundi oscillatur. Corol. 3. Aucta autem vel diminuta longitudine aquae, augetur vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione subduplicata. LIBER SECVNDUS. 365 PROPOSITIO XLV. THEOREMA XXXVI. Undarum velocitas est in subduplicata ratione latitudimim. Consequitur ex constructione propositionis sequentis. PROPOSITIO XLVI. PROBLEMA X. Inve7iire velocitatem undaricm, Constituatur pendulum cujus longitudo, inter punctum suspensionis & centrum oscillationis, sequetur latitudini undarum : & quo tempore pendulum illud oscillationes singulas peragit, eodem undae progre- diendo latitudinem suam propemodum conficient. Undarum latitudinem voco mensuram transversam, quae vel vallibus imis, vel summis culminibus interjacet. Designet ABCDEF superficiem aquae stagnantis, undis successivis ascendentem ac descendentem ; sintque A, C, E, &c. undarum culmina, & B, D, F, &c. vales intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aquae successivum ascensum & descensum, sic ut ejus partes Ay C, E, &c. quae nunc altissimae sunt, mox fiant infimae ; & vis motrix, qua partes altissimae descendunt & infimae ascendunt, est pondus aquae elevatae ; alternus ille ascensus & descensus analogus erit motui reciproco aquae in canali, easdemque temporis leges observabit : & propterea (per prop. xliv) si distantiae inter undarum loca altissima A, Cy E & infima B, D, F aequentur duplae penduli longitudini ; partes altissimae A, C, E, tempore oscillationis unius evadent infimae, & tempore oscillationis alterius denuo ascendent. Igitur inter transitum undarum singularum tempus erit oscillationum duarum ; hoc est, unda describet latitudinem suam, quo tempore pendulum illud bis oscillatur ; sed eodem tempore pendulum, cujus longitudo quadrupla est, ideoque aequat undarum latitudinem, oscillabitur semel. Q,E,L Corol. I. Igitur undae, quae pedes Parisienses ^A latae sunt, tem- pore minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient ; 366 DE MOTU CORPORUM ideoque tempore minuti unius primi percurrent pedes 183J, & horse spatio pedes iiooo quamproxime. CoroL 2. Et undarum majorum vel minorum velocitas' augebitur vel diminuetur in subduplicata ratione latitudinis. Haec ita se habent ex hypothesi quod partes aquse recta ascendunt vel recta descendunt ; sed ascensus & descensus ille verius fit per circulum, ideoque tempus hac propositione non nisi quamproxime definitum esse affirmo. PROP. XLVII. THEOR. XXXVII. Pulsibus per fltiidum propagatis, singulce fltddi particulcs, motu reciproco brevissimo euntes & redeunteSj acce/erantur semper & retardantur pro lege oscillan- tis penduli. I Designent AB, BC, CD, &c. pulsuum successivo- rum a^quales distantias; ABCplsigam motus pulsuum ab A versus B propagati ; B, F, G puncta tria physica medii quiescentis in recta y^ C ad aequales ab invicem distantias sita ; Ee, Ffl Gg spatia sequalia perbrevia per quae puncta illa motu reciproco singuh*s vibrationibus eunt & redeunt ; e, 0, 7, loca quaevis intermedia eorundem punctorum ; 8l E F, FG Hneo- las physicas seu medii partes lineares punctis ilHs interjectas, & successive translatas in loca e ^, 0 7 & ^ff fg' Rectae Ee aequahs ducatur recta P S. Bisecetur eadem in O, centroque O & intervallo O P describatur circulus SlPi. Per hujus circumferentiam totam cum partibus suis exponatur tempus totum vibrationis unius cum ipsius partibus proportionalibus; sic ut completo tempore quovis PH w^\ PHSk, si demittatur ad PS perpendiculum LIBER SECUNDUS. 367 H L vel hl^ & capiatur Ee aequalis P L vel P/, punctum physicum E reperiatur in e. Hac lege punctum quodvis E, eundo ab E per e ad ^, & inde redeundo per e ad E, iisdem accelerationis ac retar- dationis gradibus vibrationes singulas peraget cum oscillante pendulo. Probandum est quod singula medii puncta physica tali motu agitari debeant. Fingamus igitur medium tah motu a causa quacunque cieri, & videamus quid inde sequatur. In circumferentia PHSh capiantur sequales arcus HL, LK v^\ hi, ik, eam habentes rationem ad circumferentiam totam quam habent aequales rectse EE, EG ad pulsuum intervallum totum B C, Et demissis perpendiculis IM, KN vel im, kn; quoniam puncta E, E, G motibus simiHbus successive agitantur, & vibrationes suas integras ex itu & reditu compositas interea peragunt dum pulsus transfer- tur a, B 2id C; si P H vel P H Sh sit tempus ab initio motus puncti E, GTit P / vel PHSi tempus ab initio motus puncti E, & PK vel PHSk tempus ab initio motus puncti G ; 81 propterea Ee, E(p, Gy erunt ipsis P L, P M, P N in itu punctorum, vel ipsis P l, P m, P n m punctorum reditu, aequales respective. Unde ey seu EG-^Gy — ^e in itu punctorum aequalis erit EG — L N, in reditu .autem aequahs ^ 6^-1-/;/. Sed ey latitudo est seu expansio partis medii E G m loco ey ; & propterea expansio partis illius in itu est ad ejus expansionem mediocrem, ut EG—LN2A E G; in reditu autem ut E G^-ln seu EG-\-L N 2A E G. Quare cum sit L N 2A KH ut IM ad radium OP, & KH ad EG ut circumferentia PHShP ad B C, id est, si ponatur V pro radio circuli circumferentiam haben- tis sequalem intervallo pulsuum ^ C, ut 6^ i^ ad V ; & ex aequo L N zA E G mX. I M ^dV \ erit expansio partis E G punctive physici E in loco ey ad expansionem mediocrem, quam pars illa habet in loco suo primo ^ (9, ut V-/ J/ ad V in itu, utque V ^-im ad V in reditu. Unde vis elastica puncti F in loco ey est ad vim ejus elasticam mediocrem in loco E G, ut y^JM^^ h ^^ ^^^' ^^ ^^^^^^ ^^^"^ "^ — ^ — ad — . Et eodem argumento vires elasticae punctorum V -\-i m V physicorum ^ & 6^ in itu, sunt ut ^ _ j^ j^ ^ V — KN ^^ 368 JDE MOTU CORPORUM - ; & virium differentia ad medii vim elasticam mediocrem, ut V HL-KN H ' H VY-Y xHL-Y xKN+HLxKN y "^ ^^^' ^'^ ,^^ ad -, sive ut HL — KN ad V, si modo (ob angustos limites vibrationum) supponamus HL & KN indefinite minores esse quantitate V. Quare cum quantitas V detur, differentia virium est ut HL — KN, hoc est (ob proportionales HL—KN ad HK, & OM ad Olvel OP, datasque HK & OP) ut OM; id est, si /7*bisecetur in O, ut Q(p. Et eodem argumento differentia virium elasticarum punctorum physicorum e & 7, in reditu lineolae physicae €7 est ut ^^. Sed differentia illa (id est, excessus vis elasticae puncti e supra vim elasticam puncti 7) est vis qua interjecta medii lineola physica €7 acceleratur in itu & retardatur in reditu ; & propterea vis acce- leratrix lineolae physicae e 7, est ut ipsius distantia a medio vibrationis loco 0. Proinde tempus (per prop. xxxviii lib. i) recte exponitur per arcum PI; & medii pars linearis e^ lege praescripta movetur id est, lege oscillantis penduli : estque par ratio partium omnium linearium ex quibus medium totum componitur. Q. E. D. Corol. Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplicatur in eorum progressu. Nam lineola physica e^, quumprimum *ad locum suum primum redierit, quiescet ; neque deinceps movebitur, nisi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiescet igitur quum primum pulsus a corpore tremulo propagari desinunt. PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XXXVIII Pulsuum in fiuido elastico propagatorum velocitates sunt i?t rationi composita ex subdtiplicata ratione vis elasticcs directe & subdtiplicata ratione densitatis inverse ; si modo fltcidi vis elastica ejusdem condensationi proportionalis esse supponatur. Cas. I. Si media sint homogenea, & pulsuum distantiae in hisl mediis aequentur inter se, sed motus in uno medio intensior sit : con-j LIBER SECUNDUS. 369 tractiones & dllatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. Accurata quidem non est haec proportio. Veruntamen nisi contrac- tiones & dilatationes sint valde intensae, non errabit sensibiliter, ideoque pro physice accurata haberi potest. Sunt autem vires elasticae motrices ut contractiones & dilatationes ; & velocitates partium aequalium simul genitae sunt ut vires. Ideoque aequales & correspondentes pulsuum correspondentium partes itus & reditus suos per spatia contractionibus & dilatationibus proportionaHa, cum velocitatibus quae sunt ut spatia, simul peragent : & propterea pulsus, qui tempore itus & reditus unius latitudinem suam progrediendo conficiunt, & in loca pulsuum proxime praecedentium semper succedunt, ob aequaHtatem distantiarum, aequali cum velocitate in medio utroque progredientur. Cas. 2. Sin pulsuum distantiae seu longitudines sint majores in uno medio quam in altero ; ponamus quod partes correspondentes spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singuHs vicibus eundo & redeundo describant : & aequales erunt earum contractiones & dilatationes. Ideoque si media sint homogenea, aequales erunt etiam vires iHae elasticae motrices quibus reciproco motu agitantur. Materia autem his viribus movenda est ut pulsuum latltudo ; & in eadem ratione est spatlum per quod singuHs vicibus eundo & redeundo moveri debent. Estque tempus itus & reditus unius in ratione composita ex ratione subdupHcata materiae & ratione subdupHcata spatii, atque Ideo ut spatium. Pulsus autem temporl- bus Itus & reditus unlus eundo latitudines suas conficlunt, hoc est, spatia temporlbus proportionaHa percurrunt; & propterea sunt aequive- loces. Cas. 3. In medlis igitur densitate & vl elastica paribus, pulsus omnes sunt aequiveloces. Quod si medli vel densitas vel vis elastlca Intendatur, quonlam vis motrix In ratione vls elasticae, & materla movenda In ratione densitatis augetur; tempus, quo motus ildem peragantur ac prlus, augebltur in subdupHcata ratlone densltatis, ac dlminuetur in subdupHcata ratlone vls elastlcae. Et propterea velocitas pulsuum erit in ratlone composlta ex ratlone subdupHcata densitatis medli Inverse & ratione subdupHcata vls elastlcae directe. Q.E.D. Haec proposltio ulterius pateblt ex constructlone sequentis. 2 A 370 DE MOTU CORPORUM PROPOSITIO XLIX. PROBLEMA XI Datis inedii densitate & vi elastica, invenire velocitatem pulstmm. Fingamus medium ab incumbente pondere pro more aeris nostri comprimi ; sitque A altitudo medii homogenei, cujus pondus adsequet pondus incumbens, & cujus densitas eadem sit cum densitate medii compressi, in quo pulsus propagantur. Constitui au- tem intelligatur pendulum, cujus longitudo inter punc- tum suspensionis & centrum oscillationis sit A : & quo tempore pendulum illud oscillationem integram ex itu & reditu compositam peragit, eodem pulsus eundo conficiet spatium circumferentiae circuli radio A descripti aequale. Nam stantibus quae in proposi- tione XLVii constructa sunt, si linea quaevis physica EF, singulis vibra- tionibus describendo spatium P S, urgeatur in extremis itus & reditus cujusque locis P & 6", a vi elastica quae ipsius ponderi aequetur ; pera- get haec vibrationes singulas quo tempore eadem in cycloide, cujus perimeter tota longitudini P6' aequalis est, oscillari posset : id adeo quia vires aequales aequalia corpuscula per ^equalia spa- tia simul impellent. Ouare cum oscillationum tempora sint in subduplicata ratione longitudinis pendulorum, & longitudo penduli aequetur dimidio arcui cycloidis totius ; foret tempus vibrationis unius ad tempus oscil- lationis penduli, cujus longitudo est A, in subduplicata ratione longitudinis \ P S s>^m P(9ad longitudinem A. Sed vis elastica, qua lineola physica E G, in locis suis extremis P, 6^ existens, urgetur, erat (in de- monstratione propositionis xlvii) ad ejus vim totam elasticam ut H L—K N 2A V, hoc est (cum punctum h G-- F- LIBER SECUNDUS. 371 K jam incldat in P) ut H K ad V : & vis illa tota, hoc est pondus incumbens quo lineola EG comprlmitur, est ad pondus lineolae ut ponderis incumbentis altitudo A ad lineolae longitudinem E G ; ideoque ex aequo, vis qua lineola ^ 6^ in locis suls P & S urgetur est ad lineolae illius pondus ut I/K x A did V x E Gy sive ut P 6> x A ad VV, nam //K erat ad E G ut jP (9 ad V. Quare cum tempora, quibus aequalia corpora per aequalia spatia impelluntur, sint reciproce in subduplicata ratione virium, erit tempus vibrationis unius, urgente vi Illa elastica, ad tempus vibrationis, urgente vl ponderls, In subduplicata ratione V V ad P O x A, atque Ideo ad tempus oscillationis penduli cujus longltudo est A in subduplicata ratlone VV ad P O X A, &, subdupllcata ratione P O a.d A conjunctim ; id est, in ratione integra V ad A. Sed tempore vibrationis unius ex itu & redltu compositae, pulsus progrediendo conficlt latitudinem suam B C. Ergo tempus, quo pulsus percurrlt spatlum B C, est ad tempus osclllationls unius ex Itu & redltu compositae, ut V ad A, id est, ut -^ C ad clrcumferentiam clrculi cujus radius est A. Tempus autem, quo pulsus percurret spatium B C, est ad tempus quo percurret longltudinem hulc circumferentiae aequalem, in eadem ratlone ; Ideoque tempore taHs osclllationls pulsus percurret longltudinem huic clrcumferentlae aequalem. Q. E. D. Corol. I. Velocitas pulsuum ea est, quam acqulrunt gravla aequa- liter accelerato motu cadendo, & casu suo describendo dlmidlum altitudlnis A. Nam tempore casus hujus, cum velocltate cadendo acquislta, pulsus percurret spatlum quod erit aequale toti altltudini A ; Ideoque tempore oscillationis unius ex Itu & redltu compositae percurret spatlum aequale circumferentlae circuH radio A descrlpti : est enim tempus casus ad tempus oscillationis ut radius circuli ad ejusdem clrcumferentlam. Corol. 2. Unde cum altltudo illa A sit ut fluidi vls elastica dlrecte 81 densitas ejusdem inverse ; velocitas pulsuum erit in ratione com- posita ex subduplicata ratione densitatis inverse & subdupHcata ratione vls elasticae directe. 372 DE MOTU CORPOR UM PROPOSITIO L. PROBLEMA XIL Inve7iire pulsuum dista^itias. Corporis, cujus tremore pulsus excitantur, inveniatur numerus vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur spatium quod pulsus eodem tempore percurrere possit, & pars inventa erit pulsus unius latitudo. Q.E.I, Scholium. Spectant propositiones novissimae ad motum lucis & sonorum. Lux enim cum propagetur secundum lineas rectas, in actione sola (per prop. xli & xlii) consistere nequit. Soni vero propterea quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud sunt quam aeris pulsus propagati, per prop. xliii. Confirmatur id ex tremoribus quos excitant in corporibus objectis, si modo vehementes sint & graves, quales sunt soni tympanorum. Nam tremores celeriores & breviores difficilius excitantur. Sed & sonos quosvis, in chordas corporibus sonoris unisonas impactos, excitare tremores notissimum est. Confirmatur etiam ex velocitate sonorum. Nam cum pondera specifica aquae pluvialis & argenti vivi sint ad invicem ut i ad 13I circiter, & ubi mercurius in Barometro altitudinem attingit digitorum Anglicorum 30, pondus specificum aeris & aquae pluvialis sint ad invicem ut i ad 870 circiter : erunt pondera specifica aeris & argenti vivi ut i ad 1 1 890. Proinde cum altitudo argenti vivi sit 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem nostrum subjectum comprimere posset, erit 356700 digitorum, seu pedum Anglicorum 29725. Estque haec altitudo illa ipsa quam in construc- tione superioris problematis nominavimus A. Circuli radio 29725 pedum descripti circumferentia est pedum 186768. Et cum pendu- lum digitos 39^ longum oscillationem ex itu & reditu compositam tempore minutorum duorum secundorum, uti notum est, absolvat; pendulum pedes 29725 seu digitos 356700 longum oscillationem consimilem tempore minutorum secundorum 190! absolvere debebit. Eo igitur tempore sonus progrediendo conficiet pedes 186768, ideoque tempore minuti unius secundi pedes 979. LIBER SECUNDUS. 373 Cseterum in hoc computo nulla habetur ratio crassitudinis solida- rum particularum aeris, per quam sonus utique propagatur in instanti. Cum pondus aeris sit ad pondus aquae ut i ad 870, & sales sint fere duplo densiores quam aqua ; si particulae aeris ponantur esse ejusdem circiter densitatis cum particulis vel aquae vel salium, & raritas aeris oriatur ab intervallis particularum : diameter parti- culae ' aeris erit ad intervallum inter centra particularum, ut i ad 9 vel 10 circiter, & ad intervallum inter particulas ut i ad 8 vel 9. Proinde ad pedes 979, quos sonus tempore minuti unius secundi juxta calculum superiorem conficiet, addere licet pedes ^i® seu 109 circiter, ob crassitudinem particularum aeris : & sic sonus tempore minuti unius secundi conficiet pedes 1088 circiter. His adde quod vapores in aere latentes, cum sint alterius elateris & alterius toni, vix aut ne vix quidem participant motum aeris veri quo soni propagantur. His autem quiescentibus, motus ille celerius propagabitur per solum aerem verum, idque in subdupli- cata ratione minoris materiae. Ut si atmosphaera constet ex decem partibus aeris veri & una parte vaporum, motus sonorum celerior erit in subdupHcata ratione 11 ad 10, vel in integra circiter ratione 21 ad 20, quam si propagaretur per undecim partes aeris veri : ideoque motus sonorum supra inventus, augendus erit in hac ratione. Quo pacto sonus, tempore minuti unius secundi, conficiet pedes 1 142. Haec ita se habere debent tempore verno & autumnali, ubi aer per calorem temperatum rarescit & ejus vis elastica nonnihil intendi- tur. At hyberno tempore, ubi aer per frigus condensatur, & ejus vis elastica remittitur, motus sonorum tardior esse debet in subdupli- cata ratione densitatis ; & vicissim aestivo tempore debet esse velocior. Constat autem per experimenta quod soni tempore minuti unius secundi eundo conficiunt pedes Londinenses plus minus 1142, Pari- sienses vero 1070. Cognita sonorum velocitate innotescunt etiam intervalla pulsuum. Invenit utique D. Sauvetir, factis a se experimentis, quod fistula aperta, cujus longitudo est pedum Parisiensium plus minus quinque, sonum edit ejusdem toni cum sono chordae quae tempore minuti unius secundi centies recurrit. Sunt igitur pulsus plus minus centum in spatio pedum Parisiensium 1070, quos sonus tempore 3 74 ^^ MOTU CORPOR UM minuti unius secundi percurrit ; ideoque pulsus unus occupat spatium pedum Parisiensium quasi lOiir, id est, duplam circiter longitudinem fistulae. Unde versimile est quod latitudines pulsuum, in omnium apertarum fistularum sonis, aequentur duplis longitudinibus fistula- rum. Porro cur soni cessante motu corporis sonori statim cessant, neque diutius audiuntur ubi longissime distamus a corporibus sonoris, quam cum proxime absumus, patet ex corollario propositionis xlvii libri hujus. Sed & cur soni in tubis stentorophonicis valde augentur ex allatis principiis manifestum est. Motus enim omnis reciprocus singuHs recursibus a causa generante augeri solet. Motus autem in tubis dilatationem sonorum impedientibus, tardius amittitur & fortius recurrit, & propterea a motu novo singuHs recursibus impresso magis augetur. Et haec sunt praecipua phaenomena sonorum. SECTIO IX. De motu circulari fliiidorum. H YPOTH ESIS. Resistentiam, qucs oritur ex defectu lubricitatis partiu7u fluidi, ccEteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes fltiidi separantur ab invicem. PROPOSITIO LI. THEOREMA XXXIX. Si cylindrus solidtcs infinite lo7igus in fluido uniformi & infi^iito circa axem positio7ie datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujtcs impulsu solo agattir fluidum in orbem, perseveret autem fluidi pars U7iaqucsque tmiformiter in motu suo ; dico quod tempora periodica partium fluidi sunt ut ipsarum distantice ab axe cylindri. Sit A FL cylindrus uniformiter circa axem 6^ in orbem actus, & circuHs concentricis B G M, CH N, D I O, E K P, &c. distinguatur fluidum in orbes cyHndricos innumeros concentricos soHdos ejusdem LIBER SECUNDUS. 375 crassltudinis. Et quoniam homogeneum est fluidum, impressiones contiguorum orbium in se mutuo factae erunt (per hypothesin) ut eorum translationes ab invicem, & superficies contiguae in quibus impressiones fiunt. Si impressio in orbem aliquem major est vel minor ex parte concava quam ex parte convexa ; praevalebit impressio fortior, & motum orbis vel accelerabit vel retardabit, prout in eandem regionem cum ipsius motu vel in contrariam dirigitur. Proinde ut orbis unusquisque in motu suo uniformiter perseveret, debent impressiones ex parte utraque sibi invicem sequari & fieri in regiones contrarias. U nde cum impressiones sunt ut contiguse superficies & harum translationes ab invicem, erunt translationes inverse ut superficies, hoc est, inverse ut superficierum distantise ab axe. Sunt autem differentiae motuum angularium circa axem ut hae translationes applicatae ad distantias, sive ut translationes directe & distantiae inverse ; hoc est, conjunctis rationibus, ut quadrata distantiarum inverse. Quare si ad infinitae rectae S A BC D EQ partes singulas erigantur perpendicula A a, B b, C c, D dy E e, &c. ipsarum SA, SB, SC, SD, SE, &c. quadratis / reciproce proportionalia, & per termi- | nos perpendicularium duci intelHgatur linea curva hyperbolica ; erunt sum- mae differentiarum, hoc est, motus toti angulares, ut respondentes summae Hnearum A a, B d, Cc, D d, E e, id " est, si ad constituendum medium uniformiter fluidum, orbium numerus augeatur & latitudo minuatur in infinitum, ut areae hyperbolicae his summis analog^e A aQ, B b Q, C c Q, D d Q, E eQ, &c. Et tempora motibus angularibus reciproce proportionaHa, erunt etiam his areis reciproce proportionaHa. Est igitur tempus periodicum particulae cujusvis D reciproce ut area DdQ, hoc est (per notas curvarum quadraturas) directe ut distantia S D. Q.E.D. Corol. I. Hinc motus angulares particularum fluidi sunt reciproce ut ipsarum distantiae ab axe cyHndri, & velocitates absolutae sunt aequales. T^ye DE MOTU CORPORUM Corol. 2. Si fluidum in vase cylindrico longitudinis infinitae contineatur, & cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem, sintque revolutionum tempora ut ipsorum semidiametri, & perseveret fluidi pars unaquaeque in motu suo : erunt partium singularum tempora periodica ut ipsarum distantise ab axe cylindrorum. Corol. 3. Si cylindro & fluido ad hunc modum motis addatur vel auferatur communis quilibet motus angularis ; quoniam hoc novo motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mutabuntur motus partium inter se. Nam translationes partium ab invicem pendent ab attritu. Pars qusehbet in eo perseverabit motu, qui, attritu utrinque in contrarias partes facto, non magis acceleratur quam retardatur. Corol. 4. Unde si toti cyHndrorum & fluidi systemati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi in cylindro quiescente. Corol. 5. Igitur si fluido & cylindro exteriore quiescentibus, revolvatur cylindrus interior uniformiter ; communicabitur motus circularis fluido, & paulatim per totum fluidum propagabitur ; nec prius desinet augeri quam fluidi partes singulae motum corollario quarto definitum acquirant. Corol, 6. Et quoniam fluidum conatur motum suum adhuc latius propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior nisi violenter detentus ; & accelerabitur ejus motus quoad usque tempora periodica cylindri utriusque aequentur inter se. Quod si cylindrus exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retardare ; & nisi cylindrus interior vi aliqua extrinsecus impressa motum illum conservet, efliciet ut idem paulatim cesset. Quae omnia in aqua profunda stagnante experiri licet. LIBER SECUNDUS. 377 PROPOSITIO LII. THEOREMA XL. Si sphcsra solida, in fluido uniformi & infinito, circa axern positione datum uniformi cu77i motu revolvatur, & ab hujus impulsu solo agattcr flttidum in orbem ; perseveret autem fltcidi pars tmaqucBqtce tcniformiter in ^nottc suo : dico quod tempora periodica partium fltcidi erunt ut quadrata distantiarum a centro sphcBrce, Cas, I. Sit AFL sphaera uniformiter circa axem 6^ in orbem acta, & circulis concentricis BGM, CHN, DIO, EKP, &c. distinguatur fluidum in orbes innumeros concentricos ejusdem crassitudinis. Finge autem orbes illos esse solidos ; & quoniam homogeneum est fluidum, impressiones contiguorum orbium in se mutuo factae erunt (per hypothesin) ut eorum translatio- nes ab invicem & superficies contiguae in quibus impressiones fiunt. Si impressio in orbem aHquem major est vel minor ex parte concava quam ex parte convexa ; praevalebit impressio fortior, & velocitatem orbis vel accelerabit vel retardabit, prout in eandem regionem cum ipsius motu vel in contrariam dirigitur. Proinde ut orbis unusquisque in motu suo perseveret uniformiter, debebunt impressiones ex parte utraque sibi invicem aequari, & fieri in regiones contrarias. Unde cum impressio- nes sint ut continguae superficies & harum translationes ab invicem ; erunt translationes inverse ut superficies, hoc est, inverse ut quadrata distantiarum superficierum a centro. Sunt autem diflerentiae motuum angularium circa axem ut hae translationes appHcatae ad distantias, sive ut translationes directe &: distantiae inverse ; hoc est, conjunctis rationibus, ut cubi distantianmi inverse. Quare si ad rectae infinitae S A B C D E Q partes singulas erigantur perpendicula ^ ^, ^5 ^, Cc, Dd, Ee, &c. ipsarum S A, SB, S C, S D, SE, &c. cubis reciproce 37^ DE MOTU CORPORUM proportlonalla, erunt summae dlfferentlarum, hoc est, motus totl angulares, ut respondentes summae llnearum A a, B d, Cc, D d, E e: id est (sl ad consltuendum medlum unlformlter fluldum, numerus orblum augeatur & latltudo mlnuatur in infinltum) ut areae hyperbollcae hls summls analogae A aQ, BbQ, CcQ, DdQy EeQ, &c. Et tempora perlodlca motlbus angularlbus reci- proce proportionaHa erunt etiam his areis reciproce proportlonaHa. Est igiturtempus periodlcum orbls cujus- vis D I O reciproce ut area DdQ, hoc est, per notas curvarum quadraturas, directe ut quadratum distantiae S D. Id quod volui primo demonstrare. Cas. 2. A centro sphaerae ducantur Infinitae rectae quam plurimae, quae cum axe datos contineant angulos, aequaHbus dlfferentlis se mutuo superantes ; & hls rectls circa axem revolutls concipe orbes in annulos innumeros secari ; & annulus unusqulsque habeblt annulos quatuor sibi contlguos, unum interlorem, alterum exteriorem Sc duos laterales. Attritu interiorls & exterioris non potest annulus unusqulsque, nisi in motu juxta legem casus primi facto, aequaHter & in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex demonstratione casus primi. Et propterea annulorum serles quaeHbet a globo In infinitum recta pergens, movebltur pro lege casus prlmi, nlsi quatenus impedltur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege facto attrltus annulorum ad latera nuHus est ; neque ideo motui quo mlnus hac lege fiat, impediet. Si annuH, qui a centro aequaHter distant, vel citius revolverentur vel tardlus juxta polos quam juxta^ ecHptlcam ; tardlores accelerarentur, & veloclores retardarentur al attrltu mutuo, & slc vergerent semper tempora periodica ad aequa- Htatem, pro lege casus prlmi. Non impedit igltur hlc attritus qu( minus motus fiat secundum legem casus prlml, & propterea lex iHaj obtlnebit : hoc est, annulorum slngulorum tempora perlodlca erunl ut quadrata distantiarum Ipsorum a centro globi. Quod volui secundol demonstrare. LTBER SECUNDUS. ^y^ Cas. 3. Divldatur jam annulus unusquisque sectionibus transversis In particulas innumeras constituentes substantiam absolute & unifor- miter fluidam ; & quoniam hse sectiones non spectant ad legem motus circularis, sed ad constitutionem fluidi solummodo conducunt, perseverabit motus circularis ut prius. His sectionibus annuli omnes quam minimi asperitatem & vlm attritus mutui aut non mutabunt, aut mutabunt sequaliter. Et manente causarum proportione manebit eflectuum proportio, hoc est, proportio motuum & periodicorum temporum. Q. E. D. Cseterum cum motus circularis, & inde orta vis centrifuga, major sit ad ecHpticam quam ad polos ; debebit causa aliqua adesse qua particulae singulse in circulis suis retineantur ; ne materia, quae ad eclipticam est, recedat semper a centro & per exteriora vorticis migret ad polos, indeque per axem ad eclipticam circulatione perpetua revertatur. Corol. I. Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi, sunt reciproce ut quadrata distantiarum a centro globi, & velocita- tes absolutse reciproce ut eadem quadrata applicata ad distantias ab axe. Corol. 2. Si globus in fluido quiescente slmilarl & infinito circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, communica- bitur motus fluido in morem vorticis, & motus iste paulatim pro- pagabitur In Infinitum ; neque prius cessabit in singuHs fluidi partibus accelerari, quam tempora periodica slngularum partlum sint ut quadrata distantlarum a centro globl. Corol. 3. Quoniam vortlcis partes interiores ob majorem suam velocitatem atterunt & urgent exterlores, motumque Ipsis ea actione perpetuo communlcant, & exterlores ilH eandem motus quantitatem In allos adhuc exteriores slmul transferunt, eaque actione servant quantitatem motus sui plane Invarlatam ; patet quod motus perpetuo transfertur a centro ad circumferentiam vorticis, & per infinltatem clrcumferentlse absorbetur. Materia Inter sphaericas duas quasvis superficles vorticl concentricas nunquam accelerabitur, eo quod motum omnem a materla Interiore acceptum transfert semper in exteriorem. Corol. 4. Proinde ad conservatlonem vorticis constanter In eodem movendl statu, requirltur principium aHquod activum, a quo globus eandem semper quantitatem motus acclpiat, quam Imprlmit In -;8o DE MOTU CORPORUM materiam vorticis. Sine tali principio necesse est ut* globus & vorticis partes interiores, propagantes semper motum suum in exterio- res, neque novum aliquem motum recipientes, tardescant paulatim & in orbem agi desinant. Corol. 5. Si globus alter huic vortici ad certam ab ipsius centro distantiam innataret, & interea circa axem inclinatione datum vi aliqua constanter revolveretur ; hujus motu raperetur fluidum in vorticem : & primo revolveretur hic vortex novus & exiguus una cum globo circa centrum alterius, & interea latius serperet ipsius motus, & paulatim propagaretur in infinitum, ad modum vorticis primi. Et eadem ratione, qua hujus globus raperetur motu vorticis alterius, raperetur etiam globus alterius motu hujus, sic ut globi duo circa intermedium ahquod punctum revolverentur, seque mutuo ob motum illum circularem fugerent, nisi per vim aHquam cohibiti. Postea si vires constanter impressae, quibus globi in motibus suis perseverant, cessarent, & omnia legibus mechanicis permitterentur, languesceret paulatim motus globorum (ob rationem in corol. 3 & 4 assignatam) & vortices tandem conquiescerent. Corol. 6. Si globi pkires datis in locis circum axes positione datos certis cum velocitatibus constanter revolverentur, fierent vortices totidem in infinitum pergentes. Nam globi singuH eadem ratione, qua unus aHquis motum suum propagat in infinitum, propagabunt etiam motus suos in infinitum, adeo ut fluidi infiniti pars unaquae- que eo agitetur motu qui ex omnium globorum actionibus resultat. Unde vortices non definientur certis Hmitibus, sed in se mutuo paulatim excurrent ; globique per actiones vorticum in se mutuo perpetuo movebuntur de locis suis, uti in coroHario superiore exposi- tum est ; neque certam quamvis inter se positionem servabunt, nisi per vim aHquam retenti. Cessantibus autem viribus iHis quse in globos constanter impressse conservant hosce motus, materia ob rationem in coroHario tertio & quarto assignatam, paulatim requiescet & in vortices agi desinet. Corol. 7. Si fluidum similare claudatur in vase sphaerico ac globi in centro consistentis uniformi rotatione agatur in vorticem, globus autem & vas in eandem partem circa axem eundem revolvantur, sintque eorum tempora periodica ut quadrata semidiametrorum : partes fluidi non prius perseverabunt in motibus suis sine accelera- LIBER SECUNDUS. -,gj j' tlone & retardatlone, quam sint eorum tempora periodlca ut quadrata distantiarum a centro vorticis. Alia nulla vorticis constitutio potest esse permanens. Corol. 8. Si vas, fluidum inclusum, & globus servent hunc motum, & motu prseterea communi angulari circa axem quemvis datum revolvantur ; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium fluidi in se invicem, non mutabuntur motus partium inter se. Nam translationes partium inter se pendent ab attritu. Pars quaeHbet in eo perseverabit motu, quo flt ut attritu ex uno latere non magis tardetur quam acceleretur attritu ex altero. Corol. 9. Unde si vas quiescat ac detur motus globi, dabitur motus fluidi. Nam concipe planum transire per axem globi & motu contrario revolvi ; & pone summam temporis revolutionis hujus & revolutionis globi esse ad tempus revolutionis globi, ut quadratum semidiametri vasis ad quadratum semidiametri globi : & tempora periodica partium fluidi respectu plani hujus erunt ut quadrata distantiarum suarum a centro globi. Corol. 10. Proinde si vas vel circa axem eundem cum globo, vel circa diversum aHquem data cum velocitate quacunque moveatur, dabitur motus fluidi. Nam si systemati toti auferatur vasis motus angularis, manebunt motus omnes iidem inter se qui prius, per corol. 8. Et motus isti per corol. 9 dabuntur. Corol. II. Si vas & fluidum quiescant & globus uniformi cum motu revolvatur, propagabitur motus paulatim per fluidum totum in vas, & circumagetur vas nisi violenter detentum, neque prius desinent fluidum & vas accelerari, quam sint eorum tempora periodica aequaHa temporibus periodicis globi. Quod si vas vi aHqua detineatur vel revolvatur motu quovis constanti & uniformi, deveniet medium paulatim ad statum motus in corolariis 8, 9 & 10 definiti, nec in aHo unquam statu quocunque perseverabit. Deinde vero si, viribus iHis cessantibus quibus vas & globus certis motibus revolvebantur, permittatur systema totum legibus mechanicis ; vas & globus in se invicem agent mediante fluido, neque motus suos in se mutuo per fluidum propagare prius cessabunt, quam eorum tempora periodica aequentur inter se, & systema totum ad instar corporis unius soHdi simul revolvatur. :.82 DE MOTU CGRPORUM Scholium. In his omnibus suppono fluidum ex materia quoad densitatem fluiditatem uniformi constare. Tale est in quo globus idem eode cum motu, in eodem temporis intervallo, motus similes & aequales,' ad aequales semper a se distantias, ubivis in fluido constitutus, pro- pagare possit. Conatur quidem materia per motum suum circularem recedere ab axe vorticis, & propterea premit materiam omnem ulteriorem. Ex hac pressione fit attritus partium fortior & separatio ab invicem diflicilior ; & per consequens diminuitur materise fluiditas. Rursus si partes fluidi sunt alicubi crassiores seu majores, fluiditas ibi minor erit, ob pauciores superficies in quibus partes separentur ab invicem. In hujusmodi casibus deficientem fluiditatem vel lubricitate partium vel lentore aHave aHqua conditione restitui sup- pono. Hoc nisi fiat, materia ubi minus fluida est magis cohaerebit & segnior erit, ideoque motum tardius recipiet & longius propagabit quam pro ratione superius assignata. Si figura vasis non sit sphae- rica, movebuntur particulae in Hneis non circularibus sed conformibus eidem vasis figurae, & tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium distantiarum a centro quamproxime. In partibus inter centrum & circumferentiam, ubi .latiora sunt spatia, tardiores erunt motus, ubi angustiora velociores, neque tamen particulae velociores petent circumferentiam. Arcus enim describent minus curvos, & conatus recedendi a centro non minus diminuetur per decrementum hujus curvaturae, quam augebitur per incrementum velocitatis. Per- gendo a spatiis angustioribus in latiora recedent paulo longius a centro, sed isto recessu tardescent ; & accedendo postea de latioribus ad angustiora accelerabuntur, & sic per vices tardescent & ac- celerabuntur particulae singulae in perpetuum. Haec ita se habebunt in vase rigido. Nam in fluido infinito constitutio vorticum innotescit per propositionis hujus coroHarium sextum. Proprietates autem vorticum hac propositione investigare conatus sum, ut pertentarem siqua ratione phaenomena coelestia per vortices expHcari possint. Nam phaenomenon est, quod planetarum circa jovem revolventium tempora periodica sunt in ratione sesquipHcata distantiarum a centro jovis ; & eadem regula obtinet in planetis qui circa solem revolvuntur. Obtinent autem hae regulae in plane- A LIBER SECUNDUS. 383 tls utrlsque quam accuratlssime, quatenus observationes astronomicae hactenus prodidere. Ideoque si planet^ illi a vorticibus circa jovem & solem revolventibus deferantur, debebunt etiam hi vortices eadem leo-e revolvi. Verum tempora periodica partium vorticis prodierunt in ratlone dupHcata distantiarum a centro motus : neque potest ratio illa diminui & ad rationem sesquipHcatam reduci, nisi vel materia vorticis eo fluidior slt quo longius distat a centro, vel resi- stentia, quae oritur ex defectu kibricitatis partium fluidi, ex aucta velocitate qua partes fluldi separantur ab invicem, augeatur in majori ratione quam ea est in qua velocitas augetur. Quorum tamen neutrum rationi consentaneum videtur. Partes crassiores & mlnus fluidae, nisi graves sint in centrum, circumferentiam petent ; & verisimile est quod, etiamsi demonstrationum gratia hypothesin talem initlo sectionls hujus proposuerim, ut resistentla velocitati proportionaHs esset, tamen resistentia in minori slt ratione quam ea velocitatis est. Quo concesso, tempora periodica partium vortlcis erunt in majori quam dupHcata ratione distantiarum ab ipsius centro. Quod si vortices (uti aHquorum est opinio) celerlus moveantur prope centrum, deln tardius usque ad certum Hmltem, tum denuo celerlus juxta clrcumferentlam ; certe nec ratio sesquipHcata neque aHa quaevis certa ac determinata obtinere potest. Viderint itaque philosophi quo pacto ph^enomenon IHud rationis sesquIpHcatse per vortices expHcari possit. PROPOSITIO LIII. THEOREMA XLI. Corpora, quce in vortice delata ht orbem redeunty ejusdem sunt densitatis cum vortice, & eade^n lege ctcm ipsius partibus quoad velocitatem & cursics determinationem moventur. Nam si vorticis pars aHqua exigua, cujus partlculse seu puncta physica datum servant situm inter se, congelari supponatur; hsec, quoniam neque quoad densitatem suam, neque quoad vim insltam aut figuram suam mutatur, movebltur eadem lege ac prius : & contra, si vortlcis pars congelata & soHda ejusdem sit densitatis cum reHquo vortice, & resolvatur in fluidum ; movebitur hsec eadem lege ac prius, nisl quatenus ipsius particulse jam fluidse factse moveantur ,84 DE MOTU CORPORUM inter se. Negllgatur igitur motus particularum inter se, tanquam ad totius motum progressivum nil spectans, & motus totius idem erit ac prius. Motus autem idem erit cum motu aliarum vorticis partium a centro sequaliter distantium, propterea quod solidum in fluidum resolutum fit pars vorticis caeteris partibus consimilis. Ergo solidum, si sit ejusdem densitatis cum materia vorticis, eodem motu cum ipsius partibus movebitur, in materia proxime ambiente relative quiescens. Sin densius sit, jam magis conabitur recedere a centro vorticis quam prius ; ideoque vorticis vim illam, qua prius in orbita sua tanquam in sequilibrio constitutum retinebatur, jam superans, recedet a centro & revolvendo describet spiralem, non amplius in eundem orbem rediens. Et eodem argumento si rarius sit, accedet ad centrum. Igitur non redibit in eundem orbem nisi sit ejusdem densitatis cum fluido. Eo autem in casu ostensum est, quod revolveretur eadem lege cum partibus fluidi a centro vorticis aequaliter distantibus. Q. E. D. Corol. I. Ergo solidum quod in vortice revolvitur & in eundem orbem semper redit, relative quiescit in fluido cui innatat. Corol. 2. Et si vortex sit quoad densitatem uniformis, corpus idem ad quamlibet a centro vorticis distantiam revolvi potest. Scholiitm. Hinc liquet planetas a vorticibus corporeis non deferri. Nam planetae secundum hypothesin Co- perniccEam circa solem delati re- volvuntur in ellipsibus umbilicum habentibus in sole, & radiis ad so- lem ductis areas describunt tem- poribus proportionales. At partes vorticis tali motu revolvi neque- p unt Designent A Dy B E, C F^ orbes tres circa solem 6" descrip- tos, quorum extimus C/^circulus sit soli concentricus, & interiorum duorum aphelia sint A, B 8>l peri- heha D, E. Ergo corpus quod revolvitur in orbe C Fy radio ad solem ducto areas temporibus pro LIBER SECUNDUS. 385 portlonales describendo, movebitur uniformi cum motu. Corpus autem, quod revolvitur in orbe B E, tardius movebitur in aphelio B & veloclus in perihello E, secundum leges astronomlcas ; cum tamen secundum leges mechanlcas materia vorticis in spatio angusti- ore inter A Sc C velocius moveri debeat quam in spatio latiore inter D & F ; Id est, in aphelio velocius quam in perihelio. Quae duo repugnant inter se. SIc In prlnclpio slgni virginls, ubi apheHum martls jam versatur, distantia inter orbes martls & veneris est ad distantiam eorundem orbLum In prlncipio signi plscium ut ternarius ad binarlum circiter, & propterea materla vortlcis inter orbes illos in princlpio plsclum debet esse veloclor quam In prlnciplo virginls In ratione ternarli ad blnarium. Nam quo angustius est spatlum per quod eadem materiae quantltas eodem revolutlonis unius tempore transit, eo majori cum velocitate transire debet. Igitur si terra in hac materla coelesti relative quiescens ab ea deferretur, & una circa solem revolveretur, foret hujus velocitas in principio piscium ad ejusdem velocltatem in principlo vlrginis in ratlone sesquialtera. Unde solis motus diurnus apparens in principio virginis major esset quam minutorum primorum septuaginta, & in princlplo plsclum minor quam minutorum quadraginta & octo : cum tamen (experientla teste) apparens iste soHs motus major sit in princlplo pisclum quam In princlplo vlrginis, & propterea terra velocior in princlplo virglnis quam in principlo piscium. Itaque hypothesis vorticum cum phsenomenls astronomlcis omnlno pugnat, & non tam ad expHcandos quam ad perturbandos motus coelestes conducit. Quomodo vero motus Isti in spatiis Hberis sine vorticibus peraguntur Intenigl potest ex Hbro primo, & in mundi systemate jam plenius docebltur. 2 B DE MUNDI SYSTEMATE. LIBER TERTIUS, IN libris prsecedentibus principia philosophiae tradidi, non tamei philosophica sed mathematica tantum, ex quibus videHcet ii rebus philosophicis disputari possit. Haec sunt motuum & viriJ um leges & conditiones, quae ad philosophiam maxime spectant. Eadem tamen, ne steriha videantur, illustravi schoHis quibusdam philosophicis, ea tractans quse generaHa sunt, & in quibus philosophia maxime fundari videtur, uti corporum densitatem & resistentiam, spatia corporibus vacua, motumque lucis & sonorum. Superest ut ex iisdem principiis doceamus constitutionem systematis mun- dani. De hoc argumento composueram Hbrum tertium methodo populari, ut a pluribus legeretur. Sed quibus principia posita satis inteHecta non fuerint, ii vim consequentiarum minime percipient, neque praejudicia deponent, quibus a multis retro annis insueverunt : & propterea ne res in disputationes trahatur, summam Hbri iHius transtuli in propositiones, more mathematico, ut ab iis soHs legantur qui principia prius evolverint. Veruntamen quoniam propositiones ibi quam plurimae occurrant, quae lectoribus etiam mathematice doctis moram nimiam injicere possint, auctor esse nolo ut quisquanr eas omnes evolvat; suffecerit siquis definitiones, leges motuum sectiones tres priores Hbri primi sedulo legat, dein transeat ad hun< Hbrum de mundi systemate, & reHquas Hbrorum priorum proposi- tiones hic citatas pro lubitu consulat. DE MUNDI SYSTEMATE, &-€. ^^^y REGUL^ PHILOSOPHA NDI, REGULA I. Causas rerum natMralium non plures admitti dedere, quam quce & ve^^cB sint & earum phcenomenis explicandis sufficiant. Dicimt utique philosophi : Natura nihil agit frustra, & frustra fit per plura quod fieri potest per pauciora. Natura enim simplex est & rerum causis superfluis non luxuriat. REGULA IL Ideoque effectuum naturalium ejtcsdem generis ecsdem assignandce sunt causce, quatenus fieri potest. Uti respirationis in homine & in bestia; descensus lapidum in Europa and in America ; lucis in igne cuHnari & in sole; reflexionis lucis in terra & in planetis. REGU LA I I L Qtialitates corporum quce intendi & remitti nequeunty quceqtie cor- poribus omfiibus cojnpettmt in quibus experimenta instittcere hcet, pro qualitatibus corporum tmiversorum habendce sunt. Nam quahtates corporum non nisi per experimenta innotescunt, ideoque generales statuendae sunt quotquot cum experimentis gene- rahter quadrant; & quae minui non possunt, non possunt auferri 388 DE MVNDI SYSTEMATE Certe contra experimentorum tenorem somnia temere confingenda non sunt, nec a naturae analogia recedendum est, cum ea simplex esse soleat & sibi semper consona. Extensio corporum non nisi per sensus innotescit nec in omnibus sentitur : sed quia sensibilibus omnibus competit de universis affirmatur. Corpora plura dura esse experimur. Oritur autem durities totius a duritie partium, & inde non horum tantum corporum quae sentiuntur sed 'aliorum etiam omnium particulas indivisas esse duras merito concludimus. Cor- pora omnia impenetrabilia esse non ratione sed sensu colligimus. Quse tractamus impenetrabilia inveniuntur, & inde concludimus impenetrabilitatem esse proprietatem corporum universorum. Cor- pora omnia mobilia esse, & viribus quibusdam (quas vires inertise vocamus) perseverare in motu vel quiete, ex hisce corporum visorum proprietatibus colHgimus. Extensio, durities, impenetrabilitas, mobi- Htas & vis inertia^ totius oritur ab extensione, duritie, impenetra- biHtate, mobiHtate & viribus inertiae partium : & inde concludimus omnes omnium corporum partes minimas extendi & duras esse & impenetrabiles & mobiles & viribus inerti^e praeditas. Et hoc est fundamentum philosophiae totius. Porro corporum partes divisas & sibi mutuo contiguas ab invicem separari posse ex phaenomenis novimus, & partes indivisas in partes minores ratione distingui posse ex mathematica certum est. Utrum vero partes iHae distinctae & nondum divisae per vires naturae dividi & ab invicem separari possint, incertum est. At si vel unico constaret experimento quod particula aHqua indivisa, frangendo corpus durum & soHdum, divi- sionem pateretur : concluderemus vi hujus regulae, quod non sokim partes divisae separabiles essent, sed etiam quod indivisae in infinituin, dividi possent. Denique si corpora omnia in circuitu terrae gravia esse in terram| idque pro quantitate materiae in singuHs, & lunam gravem esse ii terram pro quantitate materiae suae, & vicissim mare nostrum grav< esse in lunam, & planetas omnes graves esse in se mutuo, & come- tarum similem esse gravitatem in solem, per experimenta & obser- vationes astronomicas universaHter constet: dicendum erit per hanc regulam quod corpora omnia in se mutuo gravitant. Nam & for- tius erit argumentum ex phaenomenis de gravitate universaH, quai LIBER TERTIUS. 389 de corporum impenetrabilltate : de qua utique in corporibus coelesti- bus nullum experimentum, nullam prorsus observationem habemus. Attamen gravitatem corporibus essentialem esse minime affirmo. Per vim insitam intelligo solam vim inertise. Haec immutabilis est. Gravitas recedendo a terra diminuitur. R E G U L A IV. In philosophia experimentali, propositiones ex phcBnomenis per induc- tionem collectcE, non obstantibus contrariis hypothesibus^ pro veris aut accurate aut qua^nproxi^ne haberi debent, donec alia occurrerint phcenomena, per quce aut accuratiores reddantur aut exceptionibus obnoxice. Hoc fieri debet ne argumentum inductionis tollatur per hypo- theses. 390 DE MUNDI SYSTEMATE PH^NOMENA, PH^NOMENON I. Planetas cirmmjoviales, radiis ad centrumjovis ductis, areas describere temporibus proportionales, eorumqtie tempora periodica, stellis fixis gtiiescentibuSy esse in ratione sesquiplicata dista^itiarum ab ipsitcs centro, Constat ex observationibus astronomicis. Orbes horum planeta- rum non differunt sensibiliter a circulis jovi concentricis, & motus eorum in his circulis uniformes deprehenduntur. Tempora vero periodica esse in sesquiplicata ratione semidiametrorum orbium con- sentiunt astronomi ; & idem ex tabula sequente manifestum est. Satellitum jovializim tempora periodica. i^' i9^' 2/ 34^'; 3^- 13^- 13' 42'^ f' 3^- 42' 36'^ i6^- i6^- 32' 9^^ DistanticB satellitum a centro jovis. Ex observationibus Borelli Townlei per microm. . Cassini per telescop. . . Cassini per eclips. satell. I 2 3 4 5t 5.52 5 5t 8S 8.78 8 9 14 13,47 13 24t ^ 24.72 / 23 (Semidiam. 25TC novis. Ex temporibus periodicis . 5.667 9,017 14.384 25.299J Elongationes satellitum jovis & diametrum ejus D. Pound micrometris optimis determinavit ut sequitur. Elongatio maxima heliocentrica satellitis quarti a centro jovis micrometro in tubo quin- decim pedes longo capta fuit, & prodiit in mediocri jovis a terra distantia 8' 16'^ circiter. Ea satellitis tertii micrometro in telescopio LIBER TERTIUS. 39 1 pedes 123 longo capta fult, & prodiit in eadem jovis a terra distantla 4' 42 '^ Elongationes maximae reliquorum satellitum In eadem jovls a terra distantia ex temporibus periodicis prodeunt 1' 56'^ a^"]'" & i' ^\" 6'". Dlameter jovls mlcrometro in telescoplo pedes 123 longo ssepius capta fuit, & ad medlocrem jovls a sole vel terra dlstantiam reducta, semper minor prodiit quam \o'\ nunquam minor quam 38'^ saepius y^" . In telescopiis brevioribus hsec diameter est 40'Wel 41'^. Nam lux jovis per inaequalem refrangibilitatem nonnlhll dilatatur, & haec dllatatlo minorem habet ratlonem ad dlametrum jovls In longl- orlbus & perfectiorlbus telescopiis quam In brevlorlbus & minus per- fectis. Tempora qulbus satellltes duo, primus ac tertlus, transibant per corpus jovls, ab Inltlo fngressus ad Inltium exltus, & ab Ingressu completo ad exltum completum, observata sunt ope telescopil ejusdem longiorls. Et dlameter jovls in mediocrl ejus a terra dlstantla pro- dllt per transitum priml satellltls 37^^ & per transltum tertll 37I''. Tempus etlam quo umbra prlml satellltls translt per corpus jovis observatum fult, & inde dlameter jovls In mediocrl ejus a terra dls- tantia prodlit 37" circiter. Assumamus dlametrum ejus esse 37^" quamproxlme ; & elongationes maximse satellitls prlmi, secundl, tertil, & quartl aequales erunt semidiametrls jovis 5,965'; 9,494; 15,141 & 26,63 respective. P H ^ N O M E N O N 1 1 * Planetas circicmsaturnios, radiis ad saturnum ductis, areas describere temporibus proportionales, & eorum tempora periodica, stellis fixis quiescentibuSy esse in ratio7ie sesquiplicata distantiartcm ab ipsius centro. Cassifius utique ex observatlonibus suls distantias eorum a centro saturni & periodica tempora hujusmodl esse statult. Satellitum saturniorum tempora periodica. jd. 2ih. 18^ 27''; 2^- 17^- 41' 22^^ 4^- 12^- 25' \2"', \t 22^- \\' \^' \ 79^^- f 48' 00''. 392 DE MUNDI SYSTEMATE DistanticE satellitum a centro saturni in semidiametris annuli. Ex observatioiiibus i^J 2\ 3J 8 24 Ex temporibtis periodicis. 1,93 2,47 3,45 8 23,35 Quartl satellitis elongatio maxima a centro saturni ex observationlbus colligi solet esse semldlametrorum octo quamproxime. At elongatio maxlma satellltis hujus a centro saturni, micrometro optlmo in tele- scopio Hugeniano pedes 123 longo capta, prodiit semidlametrorum octo cum septem decimls partlbus semldiametrl. Et ex hac obser- J vatlone & temporlbus perlodicis, distantiae satellitum a centro saturni^ in semidlametrls annuH sunt 2,1; 2,69; 3,75; 8,7 & 25,35. Saturni diameter in eodem telescopio erat ad diametrum annuH ut 3 ad 7, & diameter annuH dlebus Maii 28 & 29 anni 1719 prodiit 43'^ Et inde diameter annuli In mediocri saturni a terra distantia est 42'' & diameter saturni \W . Haec ita sunt In telescopiis longlsslmis & optimis, propterea quod magnitudines apparentes corporum coel- estium in longloribus telescopiis majorem habeant proportionem ad dilatatlonem lucis in terminis illorum corporum quam in brevioribus. Si rejiclatur lux omnis erratica, manebit dlameter saturni haud major quam \6". PH^NOMENON III. Planetas quijique primarios mercurium^ venerem^ martem.jovem & saturnum orbibus suis solem cingere. Mercurium & venerem circa solem revolvl ex eorum phaslbus lunaribus demonstratur. Plena facle lucentes ultra solem siti sunt ; dlmldiata e regione solis ; falcata cls solem, per discum ejus ad modum macularum nonnunquam transeuntes. Ex martis quoque plena facle prope solis conjunctionem, & glbbosa in quadraturis, certum est, quod is solem amblt. De jove etlam & saturno Idem ex eorum phasibus semper plenls demonstratur : hos enim luce a sole mutuata splendere ex umbris satellitum in ipsos projectis manifestum est. LIBER TERTIUS. 393 PH^NOMENON IV Pla7ietarum quinqtce primariorum, & vel solis circa terram vel terrcB circa solem tempora periodica, stellis fixis quiescentibus, esse in ratione sesquiplicata mediocrium distantiarum a sole. Haec a Keplero inventa ratlo in confesso est apud omnes. Eadem iitique sunt tempora periodica, eaedemque orbium dimensiones, sive sol circa terram sive terra circa solem revolvatur. Ac de mensura quidem temporum periodicorum convenit inter astronomos universos. Magnitudines autem orbium Keplerus & Btcllialdus omnium diligen- tissime ex observationibus determinaverunt : & distantise mediocres, quse temporibus periodicis respondent, non differunt sensibiliter a distantiis quas illi invenerunt, suntque inter ipsas ut plurimum intermediae ; uti in tabula sequente videre licet. Planetarum ac telluris tempora periodica circa solem respectu fixarum^ in diebus & partibtis decimalibus diei. h 4 c? i ? ^ '0759.275. 4332,514- 686,9785. 365,2565. 224,6176. 87,9692. Planetarum ac telluris distanticB mediocres a sole. h 4 ^ * ? ^ Secundum ^^/J2 12,32 part. 12,28 12,20 12,08 11,48 ut \2 ad 11 i3t i2f I2§ Ilf i4t i3t Congrult Igitur theorla cum phaenomenls. Nam planetae magis^ Incalescunt ad lucem soHs versus aequatores suos, & propterea paulo^ magls Ibl decoquuntur quam versus polos. Quinetiam gravitatem per rotatlonem diurnam terrae nostrae minui sub aequatore atque Ideo terram ibl altlus surgere quam ad polos (sl materia ejus uniformlter densa sit) patebit per experimenta pen- dulorum quae recensentur In proposltione sequente. LIBER TERTIUS. ^jy PROPOSITIO XX. PROBLEMA IV. Invenire & i^iter se comparare pondera corporum in terrcs hujus regionibus diversis. Quonlam pondera inaequalium crurum canalls aqueae ACQqca aequalia sunt ; & pondera partlum, cruribus totis proportionalium & similiter in totls sitarum, sunt ad invicem ut pondera totorum, ideoque etiam aequantur inter se ; erunt pondera sequallum & in cruribus similiter sitarum partium reciproce ut crura, id est, reciproce ut 230 ad 229. Et par est ratlo homogeneorum & sequallum quorumvis & In canalis cruribus similiter sitorum corporum. Horum pondera sunt reciproce ut crura, id est, reciproce ut dlstantlse corporum a centro terrse. Proinde si corpora in supremis canalium partibus, sive in superficle terrae conslstant; erunt pondera eorum ad invicem reciproce ut distantlse eorum a centro. Et eodem argumento pondera, in aliis quibuscunque per totam terrse superficiem regionibus, sunt reciproce ut distantiae locorum a centro ; & propterea, ex hypothesi quod terra sphaerois sit, dantur proportione. Unde tale confit theorema, quod Incrementum ponderis pergendo ab ^quatore ad polos sit quam proxime ut sinus versus latitudinis dupHcatae vel, quod perlnde est, ut quadratum sinus rectl latitudinls. Et in eadem circiter ratione augentur arcus graduum latitudinis in meridiano. Ideoque cum latitudo Lictetics Parisiortm sit 48^'- 50^ ea locorum sub aequatore 00 ^ 00', & ea locorum ad polos 90 ^*'- & duplorum slnus versi sint 11334, 00000 & 20000, existente radio loooo, & gravltas ad polum sit ad gravitatem sub aequatore ut 230 ad 229, & excessus gravitatis ad polum ad gravitatem sub aequatore ut I ad 229 : erlt excessus gravitatls in latltudine LtcteticB ad gravi- tatem sub aequatore, ut i x IwJo^ ad 229, seu 5667 ad 2290000. Et propterea gravitates totae in his locis erunt ad Invicem ut 2295667 ad 2290000. Quare cum longitudines pendulorum aequahbus tem- poribus oscillantlum sint ut gravitates, & in latltudlne LuteticB Pari- siorum longltudo penduH singuHs minutls secundls oscinantls sit pedum trium Parisiensium & Hnearum 8^, vel potius ob pondus aeris 84 : longitudo penduH sub aequatore superabltur a longitudine syn- 2 D 4i8 DE MUNDI SYSTEMATE chroni penduli Parisiensis excessu lineae unius ^ Z^ partium mille- simarum linese. Et simili computo confit tabula sequens. Latitudo loci. Longitudo penduli. Mensura gradus unius in meridiano. grad. ped. lin. hexapedce. o 3 7,468 56637 5 3 7,482 56642 lO 3 7,526 56659 15 3 7,596 56687 20 3 7,692 56724 25 3 7,812 56769 30 3 7,948 56823 35 3 8,099 56882 40 3 8,261 56945 I 3 8,294 56958 2 3 8,327 56971 3 3 8,361 56984 4 3 8,394 56997 45 3 8,428 57010 6 3 8,461 57022 7 3 8,494 57035 8 3 8,528 57048 9 3 8,561 57061 50 3 8,594 57074 55 3 8,756 57137 60 3 8,907 57196 65 3 9,044 57250 70 3 9,162 57295 l^ 3 9,258 57332 80 3 9,329 57360 85 3 9,372 57377 90 3 9,387 57382 Constat autem per hanc tabulam quod graduum ina^qualitas tai parva sit, ut in rebus geographicis figura terrae pro sphaerica habei possit : prsesertim si terra paulo densior sit versus planum aequatoris quam versus polos. Jam vero astronomi aliqui in longinquas regiones ad observationes astronomicas faciendas missi observarunt quod horologia oscillatoria tardius moverentur prope aequatorem quam in regionibus nostris. Et primo quidem D. Richer hoc observavit anno 1672 in insula Cayennce. Nam dum observaret transitum fixarum per meridianum LIBER TERTIUS. ^j^ mense Aiigicsto, reperlt horologium suum tardius moveri quam pro medio motu solis, existente differentia 2' 28'' singulis diebus. De- inde faciendo ut pendulum simplex ad minuta singula secunda per horologium optimum mensurata oscillaret, notavit longitudinem penduli simplicis, & hoc fecit saepius singuHs septimanis per menses decem. Tum in Galliam redux contulit longitudinem hujus penduli cum longitudine penduli Parisiensis (quse erat trium pedum Parisi- ensium & octo Hnearum cum tribus quintis partibus lineae) & reperit brevlorem esse, existente dlfferentla llneae unlus cum quadrante. Postea Halleius noster clrca annum 1677 ad insulam Sanctce HelencB navlgans reperlt horologium suum oscillatorlum ibi tardius moverl quam Londini, sed dlfferentiam non notavlt. Pendulum vero brevlus reddldit plusquam octava parte digltl, seu Hnea una cum semlsse. • Et ad hoc efticiendum, cum longltudo cochleae In ima parte penduH non sufficeret, annulum Hgneum thecae cochleae & ponderl pendulo Interposult. Delnde anno 1682 D. Varin & D. Des Hayes Invenerunt longltudinem penduH slnguHs mlnutis secundis oscinantls in ob- servatorio reglo Parlslensl esse ped. 3 Hn. 81. Et In Insula Gorea eadem methodo longltudlnem penduH synchronl Invenerunt esse ped. 3 Hn. 61, exlstente longitudlnum differentla Hn. 2. Et eodem anno ad Insulas Guadaloupam & Martinicam navigantes, invenerunt longltudlnem penduH synchronl in his InsuHs esse ped. 3 Hn. 6i Posthac D. Couplet fiHus anno 1697 mense Julio horologium suum oscinatorlum ad motum soHs medlum in observatorio regio Parisiensi slc aptavit, ut tempore satls longo horologium cum motu soHs congrueret. Delnde Ulyssipponem navlgans invenlt quod mense Novembri proxlmo horologlum tardlus iret quam prius, exlstente dlfferentla 2^ 13^^ In horls 24. Et mense Martio sequente Paraibam navlgans Invenlt Ibi horologlum suum tardius ire quam Parisiis, exlstente dlfferentla 4' \2" In horls 24. Et affirmat pendulum ad mlnuta secunda osciUans brevlus fulsse Ulyssipponi Hnels 2\ & Paraibcs Hneis 3! quam Parisiis. Rectius posuisset differentlas esse i\ & 2I. Nam hae dlfferentiae differentiis temporum 2' 13'', & 4' 12^^ respondent. Crassiorlbus hujus observatlonibus mlnus fidendum est. 420 DE MUNDI SYSTEMATE Annis proximis (1699 & 1700) D. Des Hayes ad Americam denuo navigans determinavit quod in insulis Cayermce & Granadce longi- tudo penduli ad minuta secunda oscillantis esset paulo minor quam ped. 3 lin. 61^, quodque in insula S. Christophori longitudo illa esset ped. 3 lin. 6f, & quod in insula S. Dominici eadem esset ped. 3 lin. 7. ^ Annoque 1704. P. Feuilleus invenit in Porto-bello in America longitudinem penduli ad minuta secunda oscillantis esse pedum trium Parisiensium & linearum tantum 5^2, id est, tribus fere lineis breviorem quam Ltitetice Parisiorum, sed errante observatione. Nam deinde ad insulam Martinicam navigans, invenit longitu- dinem penduli isochroni esse pedum tantum trium Parisiensium & linearum ^f?. Latitudo autem Paraibcs est 6^- 38' ad austrum, & ea Po7'to-belli 9^' 33' ^^ boream, & latitudines insularum Caye^mce, Gorece, Guada- loupcB, Marti7iiccB, GranadcB, Sancti Christophori, & Sancti Dominici sunt respective 4^- 55', 14^- 40', 14^- oo^ 14^- 44', 12^- 6\ ly^- 19^, & 19^- 48' ad boream. Et excessus longitudinis penduli Parisiensis supra longitudines pendulorum isochronorum in hisi latitudinibus observatas sunt paulo majores quam pro tabula longi tudinum penduH superius computata. Et propterea terra aliquanto. altior est sub sequatore quam pro superiore calculo, & densior ad centrum quam in fodinis prope superficiem, nisi forte calores in zona torrida longitudinem pendulorum ahquantulum auxerint. Observavit utique D. Picartus quod virga ferrea, quse tempore hyberno ubi gelabant frigora erat pedis unius longitudine, ad ignem calefacta evasit pedis unius cum quarta parte Hneae. Deinde D. de la Hire observavit quod virga ferrea quae tempore consimili hyberno sex erat pedum longitudinis, ubi soli aestivo exponebatur evasit sex pedum longitudinis cum duabus tertiis partibus Hneae. In priore casu calor major fuit quam in posteriore, in hoc vero major fuit quam calor externarum partium corporis humani. Nam metalla ad solem aestivum valde incalescunt. At virga penduH in horologio osciHatorio nunquam exponi solet calori soHs aestivi, nunquam calorem concipit calori externae superficiei corporis humani aequalem. Et propterea virga penduH in horologio tres pedes longa paulo quidem longior erit tempore aestivo quam hyberno, sed excessu LIBER TERTIUS. 42 1 quartam partem linese unlus vlx superante. Prolnde differentia tota longltudlnls pendulorum quae in dlversls reglonlbus isochrona sunt dlverso calorl attrlbul non potest. Sed neque errorlbus astronomorum e Gallia mlssorum trlbuenda est haec dlfferentla. Nam quamvls eorum observatlones non perfecte congruant Inter se, tamen errores sunt adeo parvi ut contemni posslnt. Et in hoc concordant omnes, quod isochrona pendula sunt breviora sub aequatore quam in obser- vatorlo reglo Parlslensi, exlstente dlfferentla non mlnore quam Ilneae unius cum quadrante, non majore quam Hnearum 2I. Per observa- tiones D. Richeri In Cayenna factas dlfferentia fult Hneae unius cum quadrante. Per eas D. Des Hayes dlfferentia illa correcta prodllt lineae unlus cum semisse vel unius cum tribus quartls partlbus Hneae. Per eas aHorum mlnus accuratas prodiit eadem quasi duarum Hne- arum. Et haec discrepantla partim ab erroribus observationum, partim a dlsslmllltudine partlum internarum terrae & altitudlne mon- tium, & partim a diversis aeris caloribus orlri potult. Vlrga ferrea pedes tres longa tempore hyberno in Anglia brevior est quam tempore aestlvo, sexta parte llne^ unlus, quantum sentio. Ob calores sub aequatore auferatur haec quantitas de dlfferentla llneae unius cum quadrante a Richero observata, & maneblt linea \t% : quae cum llnea Itw?7 per theoriam jam ante collecta probe congruit. Richerns autem observatlones in Cayenna factas slngulls septimanls per menses decem iteravit, & longitudines penduli. In virga ferrea ibi notatas cum longitudlnlbus ejus in Gallia slmlllter notatis contullt. Quae diligentla & cautela in allis observatoribus defuisse vldetur. Si hujus observationibus fidendum est, terra altlor erlt ad ^quatorem quam ad polos excessu milliarium septendecim circiter, ut supra per theoriam prodiit. 42 2 DE MUNDI SYSTEMATE PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVII. Puncta csqtdnoctialia regredi, & axem terrce singtUis revolntiotiidns anmiis nutando bis iiiclinari in eclipticam & bis redire ad positionem priorem. Patet per corol. 20 prop. lxvi lib. i. Motus tamen iste nutandi perexiguus esset debet, & vix aut ne vix quidem sensibilis. PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVIII. Motus omnes lunares, omnesque motuimi incsquatitates ex allatis principiis consequi, Planetas majores, interea dum circa solem feruntur, posse alios minores circum se revolventes planetas deferre, & minores illos in ellipsibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi debere patet per prop. lxv lib. i. Actione autem solis perturbabuntur eorum motus multimode, iisque adficientur in^qualitatibus qu^ in luna nostra notantur. Haec utique (per corol. 2, 3, 4, & 5 prop. Lxvi) velocius movetur, ac radio ad terram ducto describit aream pro tempore majorem, orbemque habet minus curvum atque ideo propius accedit ad terram in syzygiis quam in quadraturis, nisi qua- tenus impedit motus eccentricitatis. Eccentricitas enim maxima est (per corol. 9 prop. lxvi) ubi apogaeum lunae in syzygiis versatur, & minima ubi idem in quadraturis consistit ; & inde luna in perigseo velocior est & nobis propior, in apogaeo autem tardior & remotior in syzygiis quam in quadraturis. Progreditur insuper apog^um, - & regrediuntur nodi, sed motu inaequabili. Et apog^um quiden^ (per corol. 7 & 8 prop. lxvi) velocius progreditur in syzygiis suis, tardius regreditur in quadraturis, & excessu progressus supra re- gressum annuatim fertur in consequentia. Nodi autem (per corol. 2 prop. Lxvi) quiescunt in syzygiis suis & velocissime regrediuntur in quadraturis. Sed & major est lunae latitudo maxima in ipsius quadraturis (per corol. ib prop. lxvi) quam in syzygiis : & motus medius tardior in perihelio terrae (per corol. 6 prop. lxvi) quam in ipsius aphelio. Atque hae sunt inaequalitates insigniores ab astrono- mis notatae. LIBER TERTIUS. 423 Sunt etlani aliae quaedam a prloribus astronomls non observatae inaequalitates, quibus motus lunares adeo perturbantur, ut nulla hac- tenus lege ad regulam aliquam certam reduci potuerint. Velocitates • enim seu motus horarii apogaei & nodorum lunae & eorundem aequationes, ut & differentia inter eccentricitatem maximam in syzy- giis & minimam in quadraturis, & inaequalitas quae variatio dicitur augentur ac diminuuntur annuatim (per corol. 14 prop. lxvi) in tripHcata ratione diametri apparentis solaris. Et variatio praeterea augetur vel diminuitur in dupHcata ratione temporis inter quadraturas quam proxime (per corol. i & 2 lem. x & corol. 16 prop. lxvi Hb. i) sed haec InaequaHtas in calculo astronomico ad prosthaphaeresin lunae referri solet, & cum ea confundi. PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA V. Motus inceqicales satellitum jovis & saturni a motibus lunaridus derivare, Ex motibus lunae nostrae motus analogi lunarum seu sateHItum jovis sic derivantur. Motus medius nodorum sateHitis extimi joviaHs, est ad motum medium nodorum lunae nostrae in ratione composita ex ratione dupHcata temporis periodici terrae circa solem ad tempus periodicum jovis clrca solem & ratione simpHci. temporis periodici sateHItis clrca jovem ad tempus periodicum lunae circa terram (per corol. 16 prop. Lxvi lib. i) ideoque annis centum conficlt nodus iste 8^- 24' in antecedentia. Motus medii nodorum satellitum interiorum sunt ad motum hujus ut illorum tempora periodica ad tempus perio- dicum hujus ? ^-/\/^ i^^ , _jC>^ altera parte sequatoris ; L locum quem luna tribus ante horis occu- pabat ; H locum telluris ei perpendiculariter subjectum ; h locum huic oppositum ; K, k loca inde gradibus 90 distantia ; C H, Ch maris altitudines maximas mensuratas a centro telkiris ; & C K, C k alti- tudines minimas : & si axibus H h, K k describatur ellipsis, deinde ellipseos hujus revolutione circa axem majorem Hk describatur sph^e- rois HPKhpk; designabit hsec figuram maris quam prox- ime, & erunt C F, Cf, C D, Cd altitudines maris in locis F, /, D, d. Quinetiam si in ]^[ praefata ellipseos revolutione punctum quodvis N describat circulum N M, secantem pa- rallelos Ff, Dd m locis qui- busvis R, T, & sequatorem A Em S ; erit CN altitudo maris in locis omnibus, R, S, T, sitis in hoc circulo. Hinc^in revolutione diurna loci cujusvis F affluxus erit maximus in F hora tertia post appulsum lunse ad meridianum supra horizontem ; postea defluxus maximus in Q hora tertia post occasum lunae ; dein affluxus maximus in / hora tertia post appulsum kmee ad meridianum infra horizontem ; ukimo defluxus maximus in Q hora tertia post ortum lunse ; & affluxus posterior in / erit minor quam affluxus prior in F Distinguitur enim mare totum in duos omnino fluctus hemisphaericos, unum in hemisphaerio KHk ad boream ver- gentem, akerum in hemisphaerio opposito Khk; quos igitur fluctum borealem & fluctum australem nominare licet. Hi fluctus semper sibi mutuo oppositi veniunt per vices ad meridianos locorum singulorum, interposito intervallo horarum lunarium duodecim. Cumque regiones boreales magis participant fluctum borealem, & australes magis australem, inde oriuntur ^stus akernis vicibus majores & minores in locis singuHs extra aequatorem, in quibus luminaria oriuntur & occidunt. ^stus autem major, luna in verticem loci decHnante, in- cidet in horam circiter tertiam post appulsum lun^ ad meridianum supra horizontem, & kma decHnationem mutante vertetur in minorem. Et fluxuum differentia maxima incidet in tempora solstitiorum ; praesertim si kmae nodus ascendens versatur in principio arietis. LIBER TERTIUS. ^^ Sic experientla compertum est, qiiod sestus matutini tempore hyber- no superent vespertinos & verspertini tempore sestivo matutinos, ad PlyimUlmm quidem altitudine quasi pedis unius, ad Bristoliam vero altitudine quindecim digitorum : observantibus Colepressio & Stimnio. Motus autem hactenus descripti mutantur aliquantulum per vim illam reciprocationis aquarum, qua maris aestus, etiam cessantibus luminarium actionibus, posset aliquamdiu perseverare. Conservatio hsecce motus impressi minuit differentiam ^stum alternorum ; & sestus proxime post syzygias majores reddit, eosque proxime post quadraturas minuit. Unde fit ut sestus alterni ad Plymuthum & Bristoliicm non multo magis differant ab invicem quam altitudine pedis unius vel digitorum quindecim ; utque aestus omnium maximi in iisdem portubus, non slnt prlml a syzygiis, sed tertii. Retardantur etiam motus omnes In transltu per vada, adeo ut aestus omnium maxlml in fretls qulbusdam & fluvlorum ostlis sint quarti vel etlam qulnti a syzygiis. Porro fieri potest ut sestus propagetur ab oceano per freta dlversa ad eundem portum, & cltlus transeat per aHqua freta quam per alia : quo in casu aestus Idem, in duos vel plures successive advenientes dlvisus, componere posslt motus novos diversorum generum. Fin- gamus aestus duos aequales a diversis locls In eundem portum venlre^ quorum prior praecedat alterum spatio horarum sex, Incldatque in horam tertlam ab appulsu hmae ad meridianum portus. SI luna in hocce suo ad merldlanum appulsu versabatur Iri aequatore, venlent slnguHs horis senls ^quales affluxus, qui In mutuos refluxus incidendo eosdem affluxibus aequabunt, & sic spatio diei IlHus efficient ut aqua tranquIHe stagnet. SI luna tunc decHnabat ab aequatore, fient sestus In oceano vlcibus alternis majores & mlnores, uti dlctum est; & Inde propagabuntur in hunc portum affluxus blnl majores & blni mlnores, vlclbus alternis. Affluxus autem blnl majores component aquam altissimam in medlo inter utrumque, affluxus major & mlnor faclet ut aqua ascendat ad mediocrem altitudinem in medlo Ipsorum, & inter affluxus blnos minores aqua ascendet ad altltudlnem mlnimam. SIc spatio viglntl quatuor horarum aqua non bis ut fierl solet sed semel tantum perveniet ad maximam altltudlnem & semel ad mini- mam ; & altltudo maxima, si luna decHnat In polum supra horizontem 42 8 DE MUNDI S YSTEMA TE loci, incidet in horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu lunee ad meridianum, atque luna declinationem mutante mutabitur in defluxum. Ouorum omnium exemplum in portu regni Tunqitini ad Batsham sub latitudine boreali 20^""' 50'. Halleitcs ex nautarum observationibus patefecit. Ibi aqua die transitum lunse per sequa- torem sequente stagnat, dein luna ad boream declinante incipit fluere & refluere, non bis, ut in aliis portubus, sed semel singulis diebus ; & aestus incidit in occasum lunae, defluxus maximus in ortum. Cum lunae declinatione augetur hic aestus usque ad diem septimum vel octavum, dein per alios septem dies iisdem gradibus decrescit, quibus antea creverat ; & hma dechnationem mutante cessat, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim subinde defluxus in occasum lunae & affluxus in ortum, donec luna iterum mutet decHnationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet, alter ab oceano Sinensi inter continentem & insulam Ltcconiam, alter a mari Indico inter continentem & insulam Borneo. An aestus spatio horarum duodecim a mari Indico & spatio horarum sex a mari Sinensi per freta illa venientes, & sic in horam tertiam & nonam lunarem incidentes, componant hujusmodi motus ; sitne aha marium illorum conditio, observationibus vicinorum Httorum determinandum rehnquo. Hactenus causas motuum lunae & marium reddidi. De quantitate motuum jam convenit aHqua subjungere. PROPOSITIO XXV. PROBLEMA VI. Invenire vires solis ad perturbandos motus luncB, Designet 6^ solem, Tterram, P lunam, CADB orbem kmae. In D SP capiatur SK ^equaHs ST; sitque SL ad SK in dupHcata ratione LIBER TERTIUS. .^Q S K 2A SP, 8c ipsl P T agatur parallela L M ; & si gravltas ac- celeratrix terrae In solem exponatur per dlstantlam 6" T vel S K, erit S L gravltas acceleratrlx lunae in solem. Ea componitur ex partlbus S M, L M, quarum L M 8l ipsius S M ^divs TM perturbat motum lunae, ut in libri prlmi prop. lxvi & ejus corollarlls expositum est. Ouatenus terra & luna circum commune gravitatls centrum re- volvuntur, perturbabltur etiam motus terrae circa centrum illud a vlrlbus consimlllbus ; sed summas tam vlrlum quam motuum referre licet ad lunam & summas virium per lineas Ipsls analogas T M 81 ML designare. Vis M L m medlocri sua quantltate est ad vim centripetam, qua luna in orbe suo clrca terram qulescentem ad dis- tantlam P T^revolvl posset, In dupllcata ratlone temporum perlodi- corum lunae circa terram & terrae clrca solem (per corol. 1 7 prop. lxvi lib. i) hoc est, in dupllcata ratione dierum 27 hor. 7 mln. 43 ad dies 365 hor. 6 min. 9, id est, ut 1000 ad 178725, seu i ad i^Sfl. Invenimus autem In propositione quarta quod, si terra & luna clrca commune gravltatis centrum revolvantur, earum distantia medlocrls ab invicem erit 60^ semidlametrorum mediocrium terrae quamproxime. Et vis, qua luna in orbe clrca terram qulescentem ad dlstantlam P T semidlametrorum terrestrium 60 J revolvi posset, est ad vlm, qua eodem tempore ad distantlam semidiametrorum 60 revolvi posset, ut 60J ad 60 ; & haec vis ad vim gravltatis apud nos ut i ad 60 X 60 quamproxime. Ideoque vls mediocris M L est ad vim gravitatis in superficie terrae ut i x 60^ ad 60 x 60 x 60 x 1 78!^, seu i ad 638092,6. Inde vero & ex proportione Hnearum TM, M Ly datur etlam vis T M : & hae sunt vlres solis quibus lunae motus per- turbantur. Q, E, /. PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA VII. Invenire incrementwn horarium arecs quam luna, radio ad terram dtcctOj in orbe circulari describit. Diximus aream, quam luna radio ad terram ducto descrlblt, esse tempori proportionalem, nisi quatenus motus lunaris ab actione solis turbatur. Inaequalltatem momentl vel Incrementl horarli hic mves- tigandam proponlrrius. Ut computatio facIHor reddatur, fingamus orbem luna^ clrcularem esse, & inaequalitates omnes negllgamus, ea 430 DE MUNDI SYSTEMATE sola excepta, de qua hic agltur. Ob ingentem vero solis distantlam ponamus etiam lineas S P, S T ^\k:i\ invicem parallelas esse. Hoc pacto vis LM reducetur semper ad mediocrem suam quantltatem TP, ut & vis TAI ad mediocrem suam quantltatem ^ P K. Hse vires (per legum corol. 2) componunt vim TL ; & haec vis, si in radium T P demittatur perpendiculum L E, resolvitur in vires T E, E L, quarum TE agendo semper secundum radium TP nec accelerat nec retardat descrlptionem arece TP C radlo illo T P factam ; & E L agendo secundum perpendiculum accelerat vel re- tardat ipsam, quantum accelerat vel retardat limam. Acceleratio illa lunae, in transitu ipsius a quadratura C ad conjunctionem A, singulis Irf temporis momentis facta, est ut ipsa vis accelerans E L, hoc est ut 2,PKxTK ^ Yp • -b-xponatur tempus per motum medium lunarem, vel (quod eodem fere recidit) per angulum C TP, vel etiam per arcum CP. Ad C r erigatur normalls CG ipsi C T sequalis. Et diviso arcu quadrantali ^ C in particulas innumeras aequales P/, &c. per quas sequales totidem particulae temporls exponi posslnt, ductaque//^ perpendiculari ad C T jungatur TC ipsis A^P, /§/ productis occur- rens in E&/; & erit /^A^aequalls TK, & K^ erit ad PA^ut P/> ad 7>, hoc est in data ratione, ideoque EK x Kk seu area FKkf^xit LIBER TERTIUS. .^j xPKx TK ut - — j^ , id est, \xt E L ; & composlte, area tota G C K F wt summa omnium virium E L tempore toto CP impressarum in lunam, atque ideo etiam ut velocitas hac summa genita, id est, ut acceleratlo descriptionis areae C TP, seu incrementum momentl. Vis, qua luna clrca terram qulescentem ad dlstantlam TP tempore suo perlo- dlco CADB dierum 27 hor. 7 min. 43 revolvi posset, efficeret ut corpus tempore C T cadendo descrlberet longitudlnem k C T 81 velocltatem simul acqulreret sequalem velocltatl, qua luna In orbe suo movetur. Patet hoc per corol. 9 prop. iv lib. i. Cum autem perpendlculum K d m TP demlssum slt Ipslus E L pars tertia & ipslus TP seii M L Inoctantibus pars dimldla, vls ^Z In octantlbus, ubl maxlma est, superablt vim M L m ratione 3 ad 2, ideoque erlt ad vim Illam, qua luna tempore suo perlodico clrca terram qulescentem revolvl posset, ut 100 ad 1x17872^ seu 11915, & tempore CT velocltatem generare deberet quse esset pars tItts velocitatls lunarls, tempore autem CP A velocltatem majorem generaret In ratione C A ad C T^seu TP. Exponatur vls maxlma E L inoctantlbus per aream F KxKk rectangulo \ TP x P p sequalem. Et velocitas, quam vis maxima tempore quovls CP generare posset, erlt ad velocltatem quam vls omnls mlnor ^ Z eodem tempore generat, ut rectangulum iTPxCP ad aream KCGF: tempore autem toto CPA velocl- tates genltae erunt ad invlcem ut rectangulum i TP x C A & trlangu- lum TCG, sive ut arcus quadrantalls CA & radlus TP. Ideoque (per prop. ix Hb. v elem.) velocltas posterior, toto tempore genita, erit pars tt^tt velocltatis lunse. Hulc lunae velocltatl, quse arese momento mediocrl analoga est, addatur & auferatur dlmldlum velocl- tatis alterius; & si momentum mediocre exponatur per numerum 11915, summa 11915 + 50 seu 11965 exhlbeblt momentum maxlmum areee in syzgyla A, ac dlfferentia 11915-50 seu 11865 ejusdem momentum minimum in quadraturls. Igitur arese temporlbus sequaHbus in syzgiis & quadraturls descrlptse sunt ad Invicem ut 11965 ad 11865. Ad momentum mlnlmum 11865 addatur momen- tum, quod slt ad momentorum differentlam 100 ut trapezium FKCG ad trlangulum TCG (vel quod perlnde est, ut quadratum slnus PK ad quadrantum radll TP, id est, ut P^ad TP) & summa exhibeblt momentum areae, ubi luna est in loco quovls intermedio P. 432 DE MUNDl SYSTEMATE Hsec omnia ita se habent, ex hypothesi quod sol & terra quiescunt, & kma tempore synodico dierum 27 hor. 7 min. 43 revolvitur. Cum autem periodus synodica lunaris vere sit dierum 29 hor. 12 & min. 44, -augeri debent momentorum incrementa in ratione temporis, id est, in ratione 1080853 ad 1 000000. Hoc pacto incrementum totum, quod erat pars itJtt momenti mediocris, jam fiet ejusdem pars ilfloa. Ideoque momentum areae in quadratura lunae erit ad ejus momentum in syzygia ut 11023 — 50 ad 11023 + 50, seu 10973 ad 11073; & ad ejus momentum, ubi luna in aHo quovis loco intermedio P versatur, ut 10973 ad 10973 + P fl^, existente videlicet TP sequali 100. Area igitur, quam luna radio ad terram ducto singulis temporis particuHs sequaHbus describit, est quam proxime ut summa numeri 219,46 & sinus versi dupHcatae distantiae lunae a quadratura proxima, in circulo cujus radius est unitas. Haec ita se habent ubi varlatio in octantibus est magnitudinis mediocris. Sin variatio ibi major sit vel minor, augeri debet vel minui sinus iHe versus in eadem ratione. PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA VIII. Ex motu horario luncB invenire ipsius distantiam a terra, Area, quam luna radio ad terram ducto singuHs temporis momentis describit, est ut motus horarius lunae & quadratum distantiae lunae a terra conjunctim ; & propterea distantia kmae a terra est in ratione composita ex subdupHcata ratione areae directe & subdupHcata ratione motus horarii inverse. Q, E, /. CoroL I. Hinc datur lunae diameter apparens : quippe quae sit reciproce ut ipsius distantia a terra. Tentent astronomi quam probe haec regula cum phaenomenis congruat. Corol. 2. Hinc etiam orbis lunaris accuratius ex phaenomenis quam antehac definiri potest. LIBER TERTIUS. ... PROPOSITIO XXVIII. PROBLEMA IX. Invenire diametros orbis in quo hma, siite eccentricitate, moveri deberet. Curvatura trajectoriae, quam moblle, si secundum trajectori^ illius perpendlculum trahatur, describit, est ut attractio directe & quadratum velocitatls inverse. Curvaturas Ilnearum pono esse inter se in ultlma proportlone sinuum vel tangentlum angulorum con- tactuum ad radios aequales pertinentlum, ubi radii illl in infinltum dimlnuuntur. Attractio autem lunae in terram in syzyglls est exces- sus gravltatis ipslus In terram supra vlm solarem 2 P K {vidie Jig. pag, 428) qua gravltas acceleratrlx lunse in solem superat gravltatem acce- leratrlcem terrse in solem vel ab ea superatur. In quadraturis autem attractio illa est summa gravitatis lunae in terram & vis solaris K T, qua luna in terram trahitur. Et hae attractiones, si "^ 2 J. ^ XT ^ 178725 2000 0 I7872S 1000 dxcatur N, sunt -Z^ - ^-^^ & ^' + ^^j^ quam proxime; seu ut 178725 N x C T q — 2000 A T q x C T Si 178725 N X ^ Tq -f- 1000 C Tq X A T Nam si gravitas accele- ratrix lunae in terram exponatur per numerum 178725, vls mediocris MLy qu^ in quadraturis est P T vel TK & lunam trahit in terram, erit 1000, & vls medlocris T M m syzygiis erlt 3000; de qua, si vls mediocris M L subducatur, manebit vis 2000 qua luna in syzyglls distrahitur a terra, quamque jam ante nominavl 2 P K. Velocltas autem lunae in syzygiis A & ^5 est ad ipsius velocitatem In quadra- turis C & Z^, ut C 7" ad A T 8z momentum areae quam luna radio ad terram ducto descrlbit in syzygils ad momentum ejusdem areae In quadraturls conjunctim, i. e. ut 11073 CT^ad 10973 ^ ^- Sumatur haec ratlo bis inverse & ratlo prlor semel directe, & fiet curvatura orbis lunarls in syzygiis ad ejusdem curvaturam In quadraturis ut 120406729 X 178725 A Tq X C Tq X N — 120406729 x 2000 A Tqq X C Tdid 12 261 1329 x 178725 y^ Tq x C Tq x N -h 12261 1329 X 1000 C Tqq x A T, l e. ut 2151969 A T x C T X N — 24081 y^ Tc7d. ad2i9i37i ATx CT x N + 12261 CTcub. Quonlam figura orbis lunarls ignoratur, hujus vice assumamus ellipsln DBCAy in cujus centro 7" terra collocetur, & cujus axis 2 E 434 DE MUNDJ SYSTEMATE sc major D C quadraturis, minor A B syzyglis interjaceat. Cum autem planum elllpseos hujus motu angularl clrca terram revolvatur, & tra- jectoria cujus curvaturam consideramus descrlbi debet in plano quod omni motu angulari omnino destltui- tur : consideranda erit figura, quam luna in ellipsi illa revolvendo descri- bit in hoc plano, hoc est figura Cp a^ cujus puncta singula p inveniuntur capiendo punctum quodvis P in el- lipsi, quod locum lunae repraesentet, & ducendo Tp sequalem TP, ea lege ut angulus P Tp sequalls sit motui apparenti soHs a tempore quadraturae C confecto; vel (quod eodem fere recidit) ut angulus C Tp sit ad angu- ^ lum C T P ut tempus revolutionis synodicae lunaris ad tempus revolu- tionis perlodicae seu 29"^- I2''' 44' ad 2^d. ^h. ^^f^ Capiatur igitur angulus C Ta in eadem ratione ad angulum rectum C TA, & sit longitudoJ Ta aequaHs longitudini TA ; & erit a apsis ima & C apsis summaj orbis hujus Cpa, Rationes autem ineundo invenio quod differentia inter curvaturam orbis Cp a m vertice a & curvaturam circuH centro T intervaHo TA descripti slt ad dlfferentiam inter curvaturam eHIp- seos in vertice A & curvaturam ejusdem circuH in dupHcata ratione anguH C TP ad angulum C Tp ; & quod curvatura eHIpseos in A sit ad curvaturam circuH iHIus in dupHcata ratione TA ad TC; & curvatura clrcuH iHIus ad curvaturam circuH centro T IntervaHo TCj descripti ut 7"C ad TA ; hujus autem curvatura ad curvaturam eHIpseos in C in dupHcata ratione TA ad TC; & dlfferentla inter curvaturam eHIpseos in vertice C & curvaturam clrcuH novissimi ad differentiam inter curvaturam figurae Tp a in vertlce C & curvaturam ejusdem circuH in dupHcata ratione anguH C Tp ad angulum C TP. Quae quidem rationes ex sinubus angulorum contactus ac differentia- rum angulorum faclle colllguntur. HIs autem inter se collatis, pro- dit curvatura figurae Cp a in a ad ipsius curvaturam in C ut -^ 7" cu6. + ^^a^CTq X A Tad CTcub, -f ^'^ A Tq x CT Ubi LIBER TERTIUS. 435 numerus iVoVo^ designat differentlam quadratorum angulorum C TP & C Tp applicatam ad quadratum anguli minoris C TP, seu (quod perinde est) differentiam quadratorum temporum 27^^- 7^- 43' & 29^- 12^- 44^ applicatam ad quadratum temporis 2"]^' f"- 43^ Igitur cum a designet syzygiam lunse & C ipsius quadraturam, proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvaturae orbis lunae in syzygiis ad ejusdem curvaturam in quadraturis, quam supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio C 7" ad A T, duco extrema & media in se invicem. Et termini prodeuntes ad A Tx C T applicati iiunt 2062,79 C Tqq—2i^i()6() N x C T cub, + 368676 Nx^ rxCr^+ 36342 ^ r^xCr^-362047 Nx y^ 7"^x C 7^+2191371 N x^ 7" ^2^3. + 4051,4 ATqq—o. Hic pro terminorum A T 8l C 7"semisumma N scribo i, & pro eorundem semidifferentia ponendo x, fit C T= i -\-x, & A T= i —x: quibus in aequatione scriptis, & sequatione prodeunte resoluta, obtinetur x sequalis 0,00719, & inde semidiameter CT fit 1,00719, & semi- diameter A T 0,99281, qui numeri sunt ut 7oA- & 692T quam prox- ime. Est igitur distantia lunae a terra in syzygiis ad ipsius distan- tiam in quadraturis (seposita scilicet eccentricitatis consideratione) ut 69^: ad 702T, vel numeris rotundis ut 69 ad 70. PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA X. Ifivenire variationem Iu7icb. Oritur haec inaequalitas partim ex forma elliptica orbis lunaris, partim ex inaequalitate momentorum areae, quam luna radio ad terram ducto describit. Si luna P in ellipsi DBCA circa terram in centro ellipseos quiescentem moveretur, & radio TP ad terram ducto de- scriberet aream C TP tempori proportionalem ; esset autem ellipseos semidiameter maxima C T ad semidiametrum minimam TA ut 70 ad 69 : foret tangens anguli C TP ad tangentem anguli motus medii a quadratura C computati, ut ellipseos semidiameter 7^^ ad ejusdem semidiametrum TC sgu 69 ad 70. Debet autem descriptlo are^ CTP/m progressu lun^ a quadratura ad syzygiam, ea ratione accelerari, ut ejus momentum in syzygia lun^ sit ad ejus momentum in quadratura ut 11073 ad 10973, utque excessus momenti in loco quovis intermedio P supra momentum in quadratura sit ut quadra- 43^ DE MUNDI SYSTEMATE S0 tum sinus anguli C TP. Id quod satis accurate fiet, si tangens anguli C T P diminuatur in subduplicata ratione numeri 10973 ^d numerum 11073, id est, in ratione numeri 68,6877 ^^ numerum 69. Quo pacto tangens anguli C TP jam erit ad tangentem motus medii ut 68,6877 ad 70, & angulus C TP in octantibus, ubi motus medius est ^S^""' invenietur 44^'- 27^ 2W qui subductus de angulo motus medii 45^''- relinquit variationem maximam 32' 32". Hsec ita se haberent si luna, pergendo a quadratura ad syzy- giam, describeret angulum C T A graduum tantum nonaginta. Verum ob motum terrae, quo sol in conse- quentia motu apparente transfertur, luna, priusquam solem assequitur, de- scribit angulum CTa angulo recto majorem in ratione temporis revolu- d tionis lunaris synodicse ad tempus re- volutionis periodicae, id est, in ratione 29^- 12^- 44' ad 27*^- 7^- 43'. Et hoc pacto anguli omnes circa centrum T dilatantur in eadem ratione, & variatio maxima, quae secus esset 32'] 32", jam aucta in eadem ratione fit 35' 10' Haec est ejus magnitudo in mediocri distantia solis a terra^^^neg- lectis differentiis quae a curvatura orbis magni majorique solis actionej in lunam falcatam & novam quam in gibbosam & plenam oriri possint. In aliis distantiis solis a terra variatio maxima est in ratione quae componitur ex duplicata ratione temporis revolutionis synodicae lunaris (dato anni tempore) directe & triplicata ratione distantiae solis a terra inverse. Ideoque in apogaeo solis variatio maxima est 33' 14'', & in ejus perigaeo 37' i \'\ si modo eccentricitas solis sit ad orbis magni semidiametrum transversam ut i6tl ad 1000. Hactenus variationem investigavimus in orbe non eccentrico, in quo utique luna in octantibus suis semper est in mediocri sua dis- tantia a terra. Si luna propter eccentricitatem suam magis vel minus distat a terra quam si locaretur in hoc orbe, variatio paulo major esse potest vel paulo minor quam pro regula hic allata : sed LIBER TERTIUS. 437 excessum vel defectum ab astronomls per phaenomena determinandum relinquo. PROPOSITIO XXX. PROBLEMA XI. Invenire motMm horarium nodorum lunce in orbe circulari. Designet S solem, T^terram, P lunam, NPn orbem lunse, Npn vestigium orbis in plano ecliptlcae ; N, n nodos, n TNm llneam nodorum infinite productam; P I , P A' perpendicula demlssa in llneas S T, Q q; P p perpendiculum demissum in planum eclipticse ; A B syzygias lunae in plano eclipticae ; A Z perpendiculum in llneam nodorum Nn ; Q,q quadraturas lunae in plano eclipticae, BapK per- pendiculum In lineam Q q quadraturls interjacentem. Vis solis ad perturbandum niotum lunae (per prop. xxv) duplex est, aitera Imeae LMm schemate propositionls IlHus, altera line^ ^^ T proportlonaHs. Et kma vi priore In terram, posteriore in solem secundum Hneam 438 DE MUNDI SYSTEMATE rectae S T ?i terra ad solem diictae parallelam trahltur. Vis prior L M agit secundum planum orbis lunaris, & propterea situm plani nil mutat. . Haec igitur negligenda est. Vis posterior M T qua planum orbis lunaris perturbatur eadem est cum vi 3 P KvA 3 ^ ^. Et haec vis (per prop. xxv) est ad vim qua luna in circulo circa terram quies- centem tempore suo periodico uniformiter revolvi posset, ut 3 / 7" ad radium circuli multipHcatum per numerum 178,725, sive ut/7^ad radium multiphcatum per 59,575. Caeterum in hoc calculo, & eo omni qui sequitur, considero lineas omnes a luna ad solem ductas tanquam parallelas lineae quae a terra ad solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum fere minuit effectus omnes in aHquibus casibus, quantum auget in aHis ; & nodorum motus mediocres quaerimus, neglectis istiusmodi minutiis, quae calculum nimis impeditum red- derent. Designet jam P M arcum, quem luna dato tempore quam minimo describit, 81 M L lineolam cujus dimidium luna, impellente vi prae- fata 2>^^y eodem tempore describere posset JunganturPZ, MP^ LIBER TERTIUS. 439 & producantur ese ad ;;/ & /, ubi secent planum eclipticse ; inque Tm demittatur perpendiculum P H. Et quoniam recta M L parallela est plano eclipticse, ideoque cum recta ml quse in plano illo jacet concurrere non potest, & tamen jacent hae rectse in plano communi LMPml; parallelae erunt hae rectae, & propterea similia erunt tri- angula L M P, l m P, Jam cum M P msit in plano orbis, in quo luna in loco P movebatur, incidet punctum m in lineam Nn per orbis illius nodos N, n ductam. Et quoniam vis qua dimidium lineolae L M generatur, si tota simul & semel in loco P impressa esset, generaret lineam illam totam ; & efficeret ut luna moveretur in arcu, cujus chorda esset L P, atque ideo transferret lunam de plano MP m T m planum L P IT; motus angularis nodorum a vi illa genitus aequalis erit angulo m Tl. Est autem ml 2idmP ut ML ad MP, ideoque, cum MP ob datum tempus data sit, est m l ut rectangulum ML x mP, id est, ut rectangulum I TxmP. Et angulus m Tl, si modo angulus _ , . ml _ LTxPm .. ,, , Tm / rectus sit, est ut -j^ — , & propterea ut ^i , id est (obpro- L TxPH portionales Tm &mP, TP & P Lf) ut jrp — » ideoque ob da- tam T P, ut L TxPLL. Quod si angulus Tm/ seu STN obliquus sit, erit angulus m Tl adhuc minor in ratione sinus anguli 6^ TN ad radium, seu A Z 2A A T Est igitur velocitas nodorum ut L TxP LLxAZ, sive ut contentum sub sinubus trium angulorum TPL,PTN8iSTN. Si anguli illi, nodis in quadraturis & luna in syzygia existentibus, recti sint, lineola m l abibit in infinitum, & angulus m Tl evadet an- gulo mP l aequalis. Hoc autem in casu angulus mP l est ad angu- lum P TM, quem luna eodem tempore motu suo apparente circa terram describit, ut i ad 59,575. Nam angulus mP l aequalis est angulo L P M, id est, angulo deflexionis lunae a recto tramite, quem sola vis praefata solaris 3 / 7", si tum cessaret lunae gravitas, dato illo tempore generare posset; & angulus P TM aequalis est angulo deflexionis lunae a recto tramite, quem vis illa, qua luna in orbe suo retinetur, si tum cessaret vis solaris 3 L T, eodem tempore generaret. Et hae vires, ut supra diximus, sunt ad invicem ut i ad 59,575- Ergo cum motus medius horarius lunae respectu fixarum sit 32' 56'^ 27 I2^'''', motus horarius nodi in hoc casu erit 33'' 10''^ 33"^' I2''-. Aliis 440 DE MUNDI SYSTEMATE '^ ^O^" ..w. autem in casibus motus iste horarius erit ad 2)1)' io" 2)V^' i2''- ut contentum sub sinubus angulorum trium TP I,P TN & STN (seu distantiarum lunae a quadratura, lunae a nodo & nodi a sole) ad cubum radii. Et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in negativum deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus regressivus in progressivum & progressivus in regressivum mutari. Unde fit ut nodi progrediantur quoties luna inter quadraturam alteru- tram & nodum quadraturse proximum versatur. Aliis in casibus regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum singulis mensibus feruntur in antecedentia. Corol. I. Hinc si a dati arcus quam minimi P J/terminis P 8i M ad lineam quadraturas jungentem Q q demittantur perpendicula P K, M k, eademque producantur donec secent lineam nodorum N n m D&Lci; erit motus horarius nodorum ut area J/P Z^ rt" & quadratum linese A Z conjunctim. Sunto enim P K, P H&lA Z pr^dicti tres O- sinus ; nempe P K sinus distantiae lunae a quadratura, P H sinus distantiae lunae a nodo, &, A Z sinus distantiae nodi a sole : & erit velocitas nodi ut contentum P KxP HxA Z, Est autem P T ad P K wt PM ^dKk, ideoque ob datas P T&PM est Kk ipsi PK proportionalis. Est & ^ T^ ad P Z^ ut ^ Z ad P H, & propterea PH rectangulo PDxAZ proportionalis. Et conjunctis rationibus PKxP H est ut contentum Kk xPJDxAZ, & PKxPHx A Z ut KkxPBx AZ qu. id est ut area P DdM &AZ qu. conjunctim Q.E.D. LIBER TERTIUS. 441 Corol. 2. In data quavls nodorum posltlone, motus horarlus medlocrls est semlssls motus horarll In syzyglls lunae, Ideoque est ad 16'' 35'^^ i6^^- 36^- utquadratum slnus dlstantlae nodorum asyzyglls ad quadratum radll, slve ut A Z qti. 2iA A T qtc, Nam sl luna unlforml cum motu perambulet semlclrculum Q A q summa omnium arearum P DdM, quo tempore luna perglt a g ad ^, erlt area QMdE quae ad circuli tangentem Q E termlnatur; & quo tempore luna attlnglt punctum n, summa illa erit area tota EQAn quam llnea P D descrlblt, dein luna pergente ab n ad q, llnea P D cadet extra clrculum, & aream ;^^^ ad clrcull tangentem qe termlnatam descrlbet ; quse, quonlam nodi prius regredlebantur, jam vero pro- gredluntur, subducl debet de area prlore, & cum aequaHs slt areae QEN, relinquet semicirculum N Q A n, Igitur summa omnlum arearum P D dM quo tempore luna semlclrculum descrlblt est area semlclrculi ; & summa omnium quo tempore luna clrculum descrlblt est area circuli totlus. At area PDdM, ubi luna versatur in syzyglis, est rectangulum sub arcu P M 8l radio P T ; & summa omnlum hulc aequallum arearum, quo tempore luna clrculum descrlblt, est rectangulum sub circumferentla tota & radio circuli ; & hoc rec- tangulum, cum sit sequale duobus clrcuHs, duplo majus est quam rectangulum prius. Proinde nodi ea cum velocitate unlformlter contlnuata. quam habent in syzygiis kmaribus spatium duplo majus descrlberent quam revera descrlbunt ; & propterea motus medlocrls quocum, si uniformlter contlnuaretur, spatlum a se inaequablll cum motu revera confectum describere possent, est semissis motus quem habent in syzyglis lunae. Unde cum motus horarius maxlmus, si nodi in quadraturls versantur, sit 33'' \d" i'^^- \2^', motus mediocris horarius in hoc casu erlt \6" 35''^ i6'''- 36''-. Et cum motus horarius nodorum semper sit mX. A Z q u. & area P DdM conjunctim, & prop- terea motus horarius nodorum in syzygils lunae ut A Z qu. & area P DdM conjunctlm, id est (ob datam aream P DdM in syzygiis descriptam) ut ^ Z ^ u. erlt etlam motus medlocris wt A Z qu. atque ideo hic motus, ubi nodi extra quadraturas versantur, erit ad 16" Zf' i6^^- 36^- \xtAZqu.2idATqu.Q.E.D. 442 DE MUNDI SYSTEMATE PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XII. Iiive7iire motzim horarium nodorum Imice in orbe elliptico. Designet Qpmaq elllpsin, axe majore Qq, minore ab descrip- tam, Q A q B circulum circumscriptum, T terram in utriusque centro communi, 6^ solem, p lunam in ellipsi motam, & p m arcum quem data temporis particula quam minima describit, N &l n nodos linea iV;^ junctos, /A^S: w/5perpendicula in axem g^demissa & hinc inde producta, donec occurrant circulo in P & M, & line^ nodorum in D & d. Et si luna, radio ad terram ducto, aream describat tem- pori proportionalem, erit motus horarius nodi in ellipsi ut area p D dm & A Z q conjunctim. LIBER TERTIUS, .,^ Nam si /*/^tangat circulum in P & producta occurrat T N m. F, 8ip/ tangat ellipsin in/ & producta occurrat eidem TJV m/, con- veniant autem hae tangentes in axe TQ a.d V; & si ML designet spatium quod luna in circulo revolvens, interea dum describit arcum PM, urgente & impellente vi praedicta 3 /T seu ^PA', motu transverso describere posset, & ml designet spatium quod luna in ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3 / Z seu Z P K, describere posset ; & producantur LP 81 Ip donec occurrant plano eclipticae in 6^ 8l g ; Sl jungantur FG 81 /g, quarum FG producta s&c^t p/pg & TQ in c, e & P respective, &/^ producta secet TQ in r. Quoniam vis 3 / Tscn 3 P /^ in circulo est ad vim 3 / T^seu 3p Kin ellipsi, ut P K 2A p K, seu A T 2A a T ; erit spatium \^Z vi priore genitum ad spatium ml vi posteriore genitum, ut P K 2A p K, id est, ob similes figuras P YKp & FY R c, ut FR ad cR. Est autem ML Sid FG (ob similia triangula PLM, PGF)ut PZ ad P G, hoc est (ob parallelas Lk, P K, G R) \it p l ^.d p e, id est (ob similia triangula, plm, cpe) ut /m ad c e; & inverse ut L Mest ad /m, seu FR ad cR, ita est FG Sid ce. Et propterea si/"^ esset ad ^ ^ ut /Ysid cY/id est, ut/r adcR (hoc est, ut/r ad FR & FR ad cR conjunctim, id est, ut/Tsid FT & FG ad ce conjunctim) quoniam ratio FG 2id ce utrinque ablata reHnquit rationes /g ad FG 8c /T ad F T, forety^ ad FG ut /Tsid F T; atque ideo anguli, quos FG 81 /g subtenderent ad terram T, aequarentur intef se. Sed anguH iHi (per ea quae in praecedente propositione exposuimus) sunt motus no- dorum, quo tempore luna in circulo arcum P M, in eHipsi arcum / m percurrit : & propterea motus nodorum in circulo & eUipsi aequarentur inter se. Haec ita se haberent, si modo/g esset ad ^^ ut ceYs fY /Y ad cY, id est, si /g aequaHs esset ^. Verum ob simiHa c X triangula /^/, cep, est /^ 2A ce ut /p ad cp ; ideoque/^ aequaHs est ^^ ^-'^ ; & propterea angulus, quem /g revera subtendit, est ad cp angulum priorem, quem FG subtendit, hoc est, motus nodorum in c e y. f ff eHipsi ad motum nodorum in circulo, ut haec /g seu — ad pri- orem/^ seu ""^^^^, id est, ut/p x ^Fad/Fx cp, seu// ad/F& C X 444 DE MUNDI SYSTEMATE cY 2A cp, hoc est, ^\ph ipsi TN parallela occurrat FP in h, ut Fh ad FY & FY ad FP ; hoc est, ut Fh ad /^P seu D i) ad Z^P, ideoque ut area Dpmd^A aream D P M d. Et propterea, cum (per corol. I prop. xxx) area posterior 8l A Z q conjunctim proportionaHa sint motui horario nodorum in circulo, erunt area prior & A Z q con- junctim proportionaHa motui horario nodorum in elHpsi. Q, E. P. i B C/y"k K ^V\ L /^ -/^ / \ \ /yii/n a 1 i' l Corol. Quare cum, in data nodorum positione, summa omnium liYQdiVum p D d m, quo tempore luna pergit a quadratura ad locum quemvis m, sit area 77zp Q E d, quse ad eHipseos tangentem Q E ter- minatur ; & summa omnium arearum iHarum, in revolutione integra, sit area eHipseos totius: motus mediocris nodorum in eHipsi erit ad motum mediocrem nodorum in circulo, ut ehipsis ad circulum ; LIBER TERTIUS. 445 id est, ut Ta ad TA, seu 69 ad 70. Et propterea, cum (per corol 2 prop. xxx) motus mediocris horarius nodorum in circulo sit ad 16" y^'" 16- 36- ut ^ Z qu. 2id A T qu, si capiatur angulus 16^^ 21-3-^ 30V. ad angulum 16" 35- 16^- 36- ut 69 ad 70, erit motus mediocris horarius nodorum in ellipsi ad \6" 21''' 3^^- 30^- ut A Z o ad A Tq; hoc est, ut quadratum sinus distanti^ nodi a sole ad qua- dratum radii. Caeterum luna, radio ad terram ducto, aream velocius describit in syzygiis quam in quadraturis, & eo nomine tempus in syzygiis con- trahitur, in quadraturis producitur ; & una cum tempore motus nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum areae in quadraturis lunse ad ejus momentum in syzygiis ut 10973 ad 11073, & propterea momentum mediocre in octantibus est ad excessum in syzygiis, defectumque in quadraturis, ut numerorum semisumma 11023 ad eorundem semidifferentiam 50. Unde cum tempus lun^ in singuHs orbis particulis sequaHbus sit reciproce ut ipsius velocitas, erit tempus mediocre in octantibus ad excessum temporis in qua- draturis, ac defectum in syzygiis, ab hac causa oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. Pergendo autem a quadraturis ad syzygiis, invenio quod excessus momentorum areae in locis singulis, supra momentum minimum in quadraturis, sit ut quadratum sinus distanti^ lunse a quadraturis quam proxime ; & propterea differentia inter momentum in loco quocunque & momentum mediocre in octantibus est ut differentia inter quadratum sinus distantiae lunae a quadraturis & quadratum sinus graduum 45, seu semissem quadrati radii ; & incrementum temporis in locis singulis inter octantes & quadraturas, & decrementum ejus inter octantes & syzygias, est in eadem ratione. Motus autem nodorum, quo tempore luna percurrit singulas orbis particulas aequales, acceleratur vel retardatur in dupHcata ratione temporis. Est enim motus iste, dum luna percurrit P M (caeteris paribus) ut J/Z, 81 M L est in dupHcata ratione temporis. Quare motus nodorum in syzygiis, eo tempore confectus quo luna datas orbis particulas percurrit, diminuitur in dupHcata ratione numeri 11073 ^^ numerum 11023 ; estque decrementum ad motum reH*quum ut 100 ad 10973, ^^ motum vero totum ut 100 ad 11073 quam proxime. Decrementum autem in locis inter octantes & syzygias, & incrementum in locis inter octantes & quadraturas, est quam 446 ^^ MUNDI SYSTEMATE proxime ad hoc decrementum, ut motus totus in locis illis ad motum totum in syzygiis & differentia inter quadratum sinus distantiae lunae a quadratura & semissem quadrati radii ad semissem quadrati radii conjunctim. Unde si nodi in quadraturis versentur, & capiantur loca duo aequaliter ab octante hinc inde distantia, & alia duo a syzygia & quadratura iisdem intervalHs distantia, deque decrementis motuum in locis duobus inter syzygiam & octantem subducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, quae sunt inter octantem & quadra- turam ; decrementum reliquum aequale erit decremento in syzygia : uti rationem ineunti facile constabit. Proindeque decrementum mediocre, quod de nodorum motu mediocri subduci debet, est pars quarta decrementi in syzygia. Motus totus horarius nodorum in syzygiis, ubi luna radio ad terram ducto aream tempori propor- tionalem describere supponebatur, erat ^i'^" /^2'" f^, Et decremen- tum motus nodorum, quo tempore luna jam velocior describit idem spatium, diximus esse ad hunc motum ut 100 ad 11073; ideoque decrementum ilkid est i"]'" \i'''- i r, cujus pars quarta 4'^^ 2^^^' ^S''* motui horario mediocri superius invento \6'' 21''' 3'''- ^o''- subducta rehnquit \6" \6"' 37'^- 42"^ motum mediocrem horariam correctum. Si nodi versantur extra quadraturas, & spectentur loca bina a syzygiis hinc inde aequaliter distantia ; summa motuum nodorum, ubi luna versatur in his locis, erit ad summam motuum, ubi luna in iisdem locis & nodi in quadraturis versantur, ut A Z ^u, 2id A T qu, Et decrementa motuum, a causis jam expositis oriunda, erunt ad invicem ut ipsi motus, ideoque motus reHqui erunt ad invicem ut -^ Z ^ ^. ad A T gu. 81 motus mediocres ut motus reliqui. Est itaque motus mediocris horarius correctus, in dato quocunque nodorum situ, ad \6" j^/// ^^iv. ^^y. ^|. jj^ ^ qu.^d A T qtc; id est, ut quadratum sinus distantiae nodorum a syzygiis ad quadratum radii. LIBER TERTIUS. 447 PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA XIII. Invetiire motum medium nodorum lunce, Motus medlus annuus est summa motuum omnium horariorum mediocrium In anno. Concipe nodum versarl in N, & slngulis horis completis retrahi In locum suum prlorem ut non obstante motu suo proprio datum semper servet situm ad stellas fixas. Interea vero solem S, per motum terrae, progredl a nodo & cursum annuum apparentem unlformiter complere. Slt autem A a arcus datus quam mlnlmus, quem recta T S 2A solem semper ducta, Intersectione sui & circuH N An, dato tempore quam mlnimo describlt : & motus horarlus medlocrls (per jam ostensa) erlt ut A Z q, Id est (ob pro- portlonales A Z, ZY) ut rectangulum sub A Z da Z Y, hoc est, ut area A Z Y a. Et summa omnlum horarlorum motuum medlocrium ab Inltlo, ut summa omnlum arearum a Y Z A, id est, ut area N A Z. Est autem maxima A Z Y a sequaHs rectangulo sub arcu Aa^ radlo clrculi; & propterea summa omnium rectangulorum In clrculo toto ad summam totldem maximorum, ut area circuH totius ad rectangu- lum sub circumferentia tota & radlo, Id est, ut i ad 2. Motus autem horarius rectangulo maxlmo respondens erat \6" i(i'" zT' 42^-. Et hlc motus, anno toto sidereo dlerum 365 hor. 6 mln. 9 fit 39^- 38' -]" ^d'\ Ideoque hujus dimidium i^^""' 49^ 3^' 55^'^ ^st 448 DE MUNDI SYSTEMATE motus medius nodorum circulo toti respondens. Et motus no- dorum, quo tempore sol pergit ab A^ad ^, est ad iq^""- 49' -^' 55''' ut area N A Z 2A circulum totum. Haec ita se habent ex hypothesi, quod nodus horis singuHs in locum priorem retrahitur, sic ut sol anno toto completo ad nodum eundem redeat a quo sub initio digressus fuerat. Verum per motum nodi fit ut sol citius ad nodum revertatur, & computanda jam est abbreviatio temporis. Cum sol anno toto conficiat 360 gradus, & nodus motu maximo eodem tempore conficeret 39^- 38' "]" 50^^^ seu 39,6355 gradus; & motus mediocris nodi in loco quovis A^sit ad ipsius motum mediocrem in quadraturis suis, ut ^ Z^ ad A Tq: erit motus soHs ad motum nodi in N, ut 360 A Tq ad 39,6355 A Zq ; id est, ut 9,0827667 A T q 2id A Zq, Unde si circuH totius circumfe- rentia NAn dividatur in particulas sequales A a, tempus quo sol percurrat particulam A a, si circulus quiesceret, erit ad tempus quo percurrit eandem particulam, si circulus una cum nodis circa centrum T revolvatur, reciproce ut 9.0827667 A Tq ad 9.0827667 A Tq ^-AZq, Nam tempus est reciproce ut velocitas qua particula per- curritur, & haec velocitas est summa velocitatum soHs & nodi. Igitur si tempus, quo sol sine motu nodi percurreret arcum N A, exponatur per sectorem N T A, & particula temporis quo percurreret arcum quam minimum A a, exponatur per sectoris particulam A Ta; & (per- pendiculo a Y m N 71 demisso) si in ^ Z capiatur dZy ejus lon- LIBER TERTIUS. 449 gltudlnis ut sit rectangulum dZ m Z Y 2A sectorls particulam A Ta ut A Z q ad 9,0827646 A Tq + A Z q, id est, ut sit d Z 2.^\ A Z wt A Tq ad 9,0827646 A Tq + A Z q ; rectangulum dZ in Z Fdesig- nabit decrementum temporis ex motu nodi oriundum, tempore toto quo arcus Aa percurritur. Et si punctum d tangit curvam N dG n, area curvilinea N dZ erit decrementum totum, quo tempore arcus totus N A percurritur; & propterea excessus sectoris NAT supra aream Nd Z erit tempus illud totum. Et quoniam motus nodi tem- pore minore minor est in ratione temporis, debebit etiam area A a YZ diminui in eadem ratione. Id quod fiet si capiatur In ^ Z longitudo eZ, quse sit ad longitudinem AZ \xt AZq 3id 9,0827646 A Tq + AZq, Sic enim rectangulum ^Z inZKerit ad aream AZYa ut decre- mentum temporis, quo arcus A a percurritur, ad tempus totum quo percurreretur, si nodus quiesceret : & propterea rectangulum illud respondebit decremento motus nodi. Et si punctum e tangat curvam NeFn, area tota NeZ, quae summa est omnium decrementorum, respondebit decremento toti quo tempore arcus A N percurritur ; & area reliqua N Ae respondebit motui reliquo, qui verus est nodi motus quo tempore arcus totus NA per solis & nodi conjunctos motus percurritur. Jam vero area semicirculi est ad aream figurse N eF7i, per methodum serierum infinitarum quaesitam, ut 793 ad 60 quamproxlme. Motus autem qui respondet circulo toti erat 19^' 49' Z" 55''' & propterea motus, qui ^gm^ NeFn duplicatae respondet, est i^- 29' 58'^ 2'". Qui de motu priore subductus re- linquit \^^' 19' ^" 53''' motum totum nodi respectu fixarum inter sui Ipsius conjunctiones cum sole ; & hic motus de solis motu annuo graduum 360 subductus, reHnquit 34i^''' 40' 54'' i" motum solis inter easdem conjunctlones. Iste autem motus est ad motum annuum 360^"^- ut nodi motus jam inventus i^^" 19' ^' ^z'" ad ipsius motum annuum, qui propterea erit i^^-"- 18' i'' 23'''. Hic est motus medius nodorum in anno sidereo. Idem per tabulas astronomicas est 19^' 21' 21'' ^d", Differentia minor est parte trecenteslma motus totius, & ab orbis lunaris eccentricitate & inclinatione ad planum eclipticae oriri videtur. Per eccentricitatem orbis motus nodorum nimis accele- ratur, & per ejus incHnationem vicissim retardatur aHquantulum & ad justam velocitatem reducitur. 2 F 4SO DE MUNDI SYSTEMATE PROPOSITIO XXXIII. PROBLEMA XIV. Invenire motum vertcm nodorum luncB, In tempore quod est ut area N T A—N d Z (in fig, prceced.) motus iste est ut area N A e, Sc inde datur. Verum ob nimiam calculi difficultatem prsestat sequentem problematis constructionem adhibere. Centro C, intervallo quovis C D, describatur circulus B EFD. Producatur Z^C ad ^, ut ^itAB^L^AC ut motus medius ad semissem motus veri mediocris, ubi nodi sunt in quadraturis, id est, ut iQT- i8^ i" 27,''' ad 19^- 49' 3'^ K^f\ atque ideo i? C ad ^ C ut motuum differentia 0^-31^ 2'' 32''^, ad motum posteriorem 19^- 49' 3'' 55''' hoc est, ut I ad 38117; dein per punctum D ducatur infinita Gg, quae tangat circulum in Z^; & si capiatur angulus BCE vel B C F aequalis duplae distantiae solis a loco nodi, per motum medium invento; & agatur y^ ^ vel ^ T^ secans perpendiculum D G m G ; & capiatur angulus qui sit ad motum totum nodi inter ipsius syzygias (id est, ad 9^- 11' 3^^) ut tangens D G ad circuli BED circumfer- entiam totam; atque angulus iste (pro quo angulus DAG usurpari potest) ad motum medium nodorum addatur ubi nodi transeunt a quadraturis ad syzygias, & ab eodem motu medio subducatur ubi transeunt a syzygiis ad quadraturas ; habebitur eorum motus verus. Nam motus verus sic inventus congruet quam proxime cum motu vero qui prodit exponendo tempus per aream N TA — NdZ & motum nodi per aream NAe; ut rem perpendenti & computa-i tiones instituenti constabit. Haec est aequatio semestris motus LIBER TERTIUS. 451 nodorum. Est & aequatio menstrua, sed quae ad Inventionem latltu- dinls lunae mlnlme necessarla est. Nam cum varlatlo Incllnationls orbis lunaris ad planum ecllptlcae duplici Inaequalltatl obnoxla slt, alteri semestrl, alterl autem menstruae ; hujus menstrua inaequalltas & sequatlo menstrua nodorum ita se mutuo contemperant & corrlgunt, ut ambae In determlnanda latltudine lunae negllgl possint Corol. Ex hac & praecedente propositlone llquet quod nodl in syzyglls suls quiescunt, in quadraturls autem regredluntur motu horario 16^^ \^"' 26'^ . Et quod aequatio motus nodorum in octan- tibus sit i^- 30'. Quae omnia cum phaenomenis ccelestibus probe quadrant. Scholmm. Alla ratione motum nodorum y. Machin Astron. Prof. Gresham. & Hen. Pemberton M.D. seorsum invenerunt. Hujus methodi mentio quaedam aHbi facta est. Et utriusque chartae, quas vidi, duas propositiones continebant & inter se in utrlsque congruebant. Char- tam vero D. Machin, cum prior in manus meas venerit, hic adjungam. De Motu Nodorum LuNiE. PROPOSITIO I. *' Motus solis meditis a nodo definiticr per meditcm proportionale ^^ geometricum inter motum ipsius solis medium & motum illum medio- *^ crem quo sol celerrime recedit a nodo in quadraturis. **Sit T locus ubl terra, N 7t Hnea nodorum kmae ad tempus *' quodvis datum, K TM hulc ad rectos angulos ducta, TA recta *' circum centrum revolvens ea cum velocltate angulari qua sol & nodus " a se invicem recedunt, ita ut angulus inter rectam quiescentem N n " & revolventem T A semper fiat aequahs dlstantlae locorum soHs & *' nodl. Jam sl recta quaevis TK dividatur in partes TS & SK quae *' sint ut motus soHs horarlus medius ad motum horarium medlocrem ** nodl in quadraturls, & ponatur recta TT/medla proportlonaHs inter '' partem TS & totam TK, h^c recta inter reHquas proportionaHs erit " motui medio soHs a nodo. 452 DE MUNDI SYSTEMATE '' Describatur enim circulus N KnM centro T & radio T K, eodemque centro & semiaxibus T H &i T N describatur ellipsis N H 11 L, 8l in tempore quo sol a nodo recedit per arcum N a, si ducatur recta Tda, area sectoris N Ta exponet summam motuum nodi & solis in eodem tempore. Sit igitur arcus a A quam minimus quem recta Tda prsefata lege revolvens in datd temporis particula uniformiter describit, & sector quam minimus TA a erit ut summa velocitatum qua sol & nodus tum temporis seorsim feruntur. Solis autem velocitas fere uniformis est, utpote cujus parva inaequalitas vix ullam inducit in medio nodorum motu varietatem. Altera pars hujus summae, nempe velocitas nodi in mediocri sua quan- titate, augetur in recessu a syzygiis in duplicata ratione sinus distantiae ejus a sole per Corol. Prop. 31 Lib. 3^' Princip. & cum maxima est in quadraturis ad solem in Ky eandem rationem, obtinet ad solis velocitatem ac ea quam habet S K ?id TS hod est ut (differentia quadratorum ex T K 8c TH vel) rectangulum K H M 2.A r/ir quadratum. Sed ellipsis NBH dividit secto- rem A Ta summae harum duarum velocitatum exponentem in duas partes ABba & BTb ipsis velocitatibus proportionales. Producatur enim B T 2id circulum in ft & a puncto B demitta- LIBER TERTIUS. 4^3 ' tur ad axem majorem perpendicularis B G, quse utrinque producta ^ occurrat circulo in punctis F 81 f; 8>l quoniam spatium A B ba est ' ad sectorem T B b vX rectangulum A B ^ ad B T quadratum ' (rectangulum enim illud sequatur differentiae quadratorum ex TA ' & TB ob rectam A ^ aequaliter & inaequaliter sectam in 7" & B), ' haec igitur ratio ubi spatium A B ba maximum est in K eadem ' erit ac ratio rectanguli K H M 2id H T quadratum. Sed maxima ' nodi mediocris velocitas erat ad solis velocitatem in hac ratione. * Igitur in quadraturis sector A Ta dividitur in partes velocitatibus * proportionales. Et quoniam rectang. K H M est zA H T quadr. ut ' FBf 2A BG quad. & rectangulum AB^ aequatur rectangulo FBf ' erit igitur areola A B b a ubi maxima est ad reHquum sectorem ' TBb, ut rectang. ABp 2id BG quadr. Sed ratio harum areolarum * semper erat ut A B fi rectang. ad ^ 2" quadratum ; & propterea ' areola A B ba in loco A minor est simili areola in quadraturis in ' duplicata ratione B G ad B T^ hoc est, in duplicata ratione sinus ' distantiae solis a nodo. Et proinde summa omnium areolarum * ABba nempe spatium ABN erit ut motus nodi in tempore quo sol 'digreditur a nodo per arcum N A. Et spatium rehquum nempe ' sector elHpticus N TB erit ut motus soHs medius in eodem tempore. * Et propterea quoniam annuus motus nodi medius is est qui fit in ^tempore quo sol periodum suam absolverit, motus nodi medius a ' sole erit ad motum ipsius soHs medium, ut area circuH ad aream ' eHipseos, hoc est, ut recta TK ad rectam T H mediam sciHcet ' proportionalem inter TK & TS ; vel quod eodem redit ut media * proportionaHs T H 2A rectam TS, PROPOSITIO II. ^^ Dato motti medio nodofum lunce invenire motttm verum. "Sit angulus A distantia soHs a loco nodi medio, sive motus "medius soHs a nodo. Tum si capiatur angulus B cujus tangens " sit ad tangentem anguH A ut TH ad TK, hoc est, in subdupHcata "■ ratione motus mediocris horarii soHs ad motum mediocrem hora- "rium soHs a nodo in quadraturis versante ; erit idem angulus B '' distantia soHs a loco nodi vero. Nam jungatur F T & ex demon- 454 DE MUNDI SYSTEMATE *' stratione propositionis superioris erit angulus F T N distantia solis " a loco nodi medio, angulus autem A T N distantia a loco vero, & '' tanorentes horum ancrulorum sunt inter se ut TK ad T H. o o " Corol. Hinc angulus FTA est aequatio nodorum lunae, sinusque ** hujus anguli ubi maximus est in octantibus est ad radium wX, K H " ad TK-\- T H. Sinus autem hujus sequationis in loco quovis ah*o " A est ad sinum maximum, ut sinus summae angulorum FTN -\- A TN ** ad radium : hoc est fere ut sinus duplae distantiae soHs a loco nodi *' medio (nempe 2 F TN) ad radium. Scholmm. **Si motus nodorum mediocris horarius in quadraturis sit 16'' " \(>" 37''' \2^ hoc est in anno toto sidereo 39° 38' "]" ^o'" erit '' TH ^A TKm subduphcata ratione numeri 9,0827646 ad numerum " 10,0827646, hoc est ut 18,6524761 ad 19,6524761. Et propterea ^' T H 2id H K \xt 18,6524761 ad i, hoc est, ut motus solis in anno ** sidereo ad motum nodi medium 19° 18' i^^ 23^'^f. "At si motus medius nodorum Lunae in 20 annis JuHanis sit ** 386"^ 50' 15^^ sicut ex observationibus in theoria kmae adhibitis ** deducitur : motus medius nodorum in anno sidereo erit 19° 20' 31^' " 58'^^ Et TH erit ad HK ut ^^o^"-- ad 19° 20' 31'' 58''' hoc^est " ut 18,61214 ad I. . Unde motus mediocris horarius nodorum in quad- " raturis evadet 16^' 18'^^ 48'^ Et eequatio nodorum maxima in '^octantibus 1° 29' 57' ,// }i PROPOSITIO XXXIV. PROBLEMA XV. Invenire variationem horariam inclinationis orbis lunaris ad plantim eclipticcs. Designent A & a syzygias ; Q & ^ quadraturas ; N & u nodos ; P locum lunae in orbe suo ; p vestigium loci iHius in plano ecHpticae ; & m T/ motum momentaneum nodorum ut supra. Et si ad Hneam Tm demittatur perpendicukim P G, jungatur p G, & producatur ea donec occurrat T/ in ^, & jungatur etiam Pg: erit angulus P Gp incHnatio orbis lunaris ad planum ecHpticae, ubi luna versatur in P ; & angukis P^^P incHnatio ejusdem post momentum temporis com- LIBER TERTIUS. 455 pletum; Ideoque angulus GPg variatio momentanea inclinatlonls. Est autem hic angulus GPg ad angulum GTg ut TG 2id PG 8l P p a.d P G conjunctim. Et propterea si pro momento temporis substituatur hora ; cum angulus G Tg (per prop. xxx) sit ad angulum 33 // iq/// ^;^^- ut / Tx P G X A Z 2Ld A T cicb. erlt angulus GPg (seu incHnationis horaria variatio) ad angulum 33'' 10' Q.E.L y^TGx^TidA Tcub. 33- ut ITxAZ PG Haec ita se habent ex hypothesi quod luna in orbe circulari uniformiter gyratur. Ouod si orbis ille elHptlcus sit, motus mediocris nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majorem; uti supra expositum est. Et in eadem ratione minuetur etiam incHnationis variatio. 456 DE MVNDI SYSTEMATE Corol. I. Si ad Nn erigatur perpendiculum TF, sitque / J/ motus horarius lunse in plano eclipticse ; & perpendicula / K, M k in Q T demissa & utrinque producta occurrant TT in I/ 8i /i : erit / 7" ad A TutKk ad Mp, & TG ad Hp ut TZ ad A T, ideoque / Tx 7 Cr sequale ^~- , hoc est, aequale arese Hp Mh ductse TZ in rationem -jtf^ * & propterea incHnationis variatio horaria ad n" \d" 33'^ ut Hp Mh ducta mAZy. ^^ x -^ ad ^ T cuL CoroL 2. Ideoque si terra & nodi singulis horis completis retraherentur a locis suis novis, & in loca priora in instanti semper reducerenter, ut situs eorum, per mensem integrum periodicum, datus* maneret ; tota inclinationis variatio tempore mensis illius foret ad 2^-^' \o"' 33'^ ut aggregatum omnium arearum Hp M h, in revolutione puncti / genitarum, & sub signis propriis + & — conjunc- P p tarum, ductum in ^ Z x T Z x \^ ad Mp xAT cub, id est, ut Pp circulus totus QAqa ductus in A Zx TZ x -^— ad Mp xAT cub. P Cr Pp hoc est ut circumferentia Q A qa ducta in A Zx TZ x ad 2 Mp^ xA T quad. CoroL 3. Proinde in dato nodorum situ variatio mediocris horariaJ ex qua per mensem uniformiter continuata variatio illa menstruaj generari posset, est ad 33'' \o'" 33'^ ut AZx TZx-—^ Sid 2 A Tq,\ P Cr A Z X TZ sive ut Pp X ^ ^ • ad P G^ X 4-^ r, id est (cum Pp sit ad P A Z X T Z ut sinus inclinationis praedictae ad radium, & — ^ sit ad 4 A ■s" ^ 1 ut sinus duplicati anguli A Tn ad radium quadruplicatum) ut "\ inclinationis ejusdem sinus ductus in sinum duplicatae distantiae | nodorum a sole ad quadruplum quadratum radii. CoroL 4. Quoniam inclinationis horaria variatio, ubi nodi in quadraturis versantur, est (per hanc propositionem) ad angulum 33^' LIBER TERTIUS. .^y lo''' it VitlTxAZxTGx^ 2.dA T cub, id est ut ^^^ ^^ PG \A T X -^ ad 2 y^ 7^; hoc est, ut sinus duplicatae distantiae lunae a qua- P G P i) draturis ductus in — ^ ad radium duplicatum : summa omnium varia- P G tionum horariarum, quo tempore luna in hoc situ nodorum transit a quadratura ad syzygiam (id est spatio horarum 177!) erit ad sum- mam totidem angulorum 33'^ \o"' 33'^ seu 5878'', ut summa omnium sinuum dupHcatae distantiae lunae a quadraturis ducta in — 2 ad summam totidem diametrorum ; hoc est, ut diameter ducta in -^ ad circumferentiam ; id est, si incHnatio sit 5^- i^ ut 7 x 10000 ad 22, seu 278 ad loooo. Proindeque variatio tota, ex summa omnium horari- arum variationum tempore praedicto conflata, est 163'^ seu 2' 43'^ PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA XVI. Dato tempore invenire inclinationem orbis lunaris ad planum eclipticcB. Sit A D sinus incHnationis maximae, 81 A B sinus inclinationis minimae. Bisecetur ^5* Z^ in C, & centro C intervallo B C describatur circulus i5 6^ Z^. In ^ C capiatur C^ in ea ratione ^.d E B quam A)- EB habet ad 2 ^^ : et si dato tempore constituatur angulus AEG ^quahs duphcatae distantiae nodorum a quadraturis, & ad ^ Z^ de- mittatur perpendiculum GH: erit A H sinws inclinationis quaesitae. 458 DE MUNDI SYSTEMATE Nam GEq cequale est GHq + HEq = B H D-^ HEq = H BD + HEq-BHq = HBD^BEq-2 BHxBE=BEq+\2 ECx BH=2 ECxAB -h 2 ECxBH=2 ECxAH Ideoque cum 2 E C detur est GEq ut A H, Designet jam A Eg duplicatam distantiam nodorum a quadraturis post datum aliquod momentum temporis completum, & arcus Gg ob datum angulum GEg erit Ah ut distantia G E. Est autem H h ad Gg ut G H ^d G C, 8i prop- terea H k est ut contentum G H x G g, seu G H x G E ; id est, utj ^^x GEqs^u — X A H, id est, ut A H & sinus anguli A E G^ G E G E conjunctim. Igitur si A H in casu aliquo sit 'sinus inclinationis, augebitur ea iisdem incrementis cum sinu inclinationis per Corol. 3 Propositionis superioris, & propterea sinui illi aequalis sempei manebit. Sed A H, ubi punctum G incidit in punctum alterutrui B vel D^ huic sinui aequalis est, & propterea eidem semper sequalis manet. Q. E. D. In hac demonstratione supposui augulum B E G, qui est duplicata distantia nodorum a quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes insequalitatum minutias expendere non vacat. Concipe jam angulum BEG rectum esse & in hoc casu Gg esse augmentum horarium duplae distantiae nodorum & soHs ab invicem ; & incHnationis vari- atio horaria in eodem casu (per Corol. 3 Prop. novissimae) erit ad 33^^ 10''^ 33^^ ut contentum sub incHnationis sinu A H 81 sinuanguH recti B E G, qui est dupHcata distantia nodorum a sole, ad quad- ruplum quadratum radii ; id est, ut mediocris incHnationis sinus A H ad radium quadrupHcatum ; hoc est (cum incHnatio iHa mediocris sit quasi 5^- 8^^) ut ejus sinus 896 ad radium quadrupHcatum 40000, sive ut 224 ad loooo. Est autem variatio tota, sinuum dif- LIBER TERTIUS. . --. ferentiae B D respondens, ad varlationem illam horariam ut dlameter B D 2id arcum Gg ; id est, ut diameter B D 2A semiclrcumferenti- 3.m B G D 81 tempus horarum 2079x0, quo nodus pergit a quadra- turls ad syzygias, ad horam unam conjunctim ; hoc est, ut 7 ad II & 2079117 ad I. Ouare si rationes omnes conjungantur, fiet variatio tota B D 2id 33'' 10''' 33^^ ut 224x7x20791^ ad 1 10000, id est, ut 29645 ad looo, & inde variatio illa B D prodibit 16' 23"i Haec est inclinationis variatio maxima quatenus locus lunce in orbe suo non consideratur. Nam inclinatio, si nodi in syzygiis versantur, nil mutatur ex vario situ lunae. At si nodi in quadraturis consistunt, inclinatio mlnor est ubi luna versatur in syzygiis, quam ubi ea ver- satur in quadraturis, excessu 2' 43''; uti in propositionis superio- ris Corollario quarto indlcavimus. Et hujus excessus dimidio 1' 21^^!^ variatio tota mediocris B D m quadraturis lunarlbus dimi- nuta fit 1 5' 2'^ in ipsius autem syzygiis aucta fit 1 7' 45'^ Si luna igitur in syzygiis constituatur, variatio tota in transitu nodorum a quadraturis ad syzygias erit i f 45'^ : ideoque si inclinatio^ ubi nodi in syzygiis versantur, sit 5^''' 1 7' 20'' ; eadem, ubi nodi sunt in quadraturis & luna in syzgyiis erit ^^^' 59' 35'^ Atque haec ita se habere confirmatur ex observatlonibus. Si jam desideretur orbis inclinatio illa, ubi luna In syzyglis & nodl ubivis versantur; fiat A B 2id A D vlX, slnus graduum 4 59' 35'' ad sinum graduum 5 i f 20'', & capiatur angulus A E G aequaHs dupHcatae distantiae nodorum a quadraturis ; & erit A H sinus incli- nationls quaesitae. Huic orbis incHnationi aequaHs est ejusdem incH- natio, ubi luna distat 90^'- a nodis. In aHIs lunae locis InaequaHtas menstrua, quam incHnationis varlatio admittit, in calculo latitudinls lunae compensatur, & quodammodo toHItur per inaequaHtatem men- struam motus nodorum (ut supra dlximus) ideoque in calculo lati- tudinis inius negHgi potest. Scholmm, Hisce motuum lunarium computationlbus ostendere volul, quod motus lunares per theoriam gravitatis a causis suis computari pos- sint. Per eandem theoriam Inveni praeterea quod aequatlo annua 4 6o DE MUNDI S YSTEMA TE medii motus lunae oriatur a varia dilatatione orbis lunae per vim solis juxta Corol. 6 Prop. lxvi Lib. I. Haec vis in perigseo solis major est, & orbem lunae dilatat; in apogaeo ejus minor est, & orbem illum contrahi permittit. In orbe dilatato luna tardius revolvitur, in contracto citius ; & aequatio annua, per quam haec inaequahtas com- pensatur, in apogaeo & perigaeo sohs nulla est, in mediocri sohs a terra distantia ad ii' 50'^ circiter ascendit, in ahis locis aequationi centri sohs proportionahs est ; & additur medio motui kmae ubi terra pergit ab apheho suo ad perihehum^ & in opposita orbis parte sub- ducitur. Assumendo radium orbis magni 1000 & eccentricitatem terrae \6\ haec aequatio, ubi maxima est, per theoriam gravitatis prodiit 11' 49^'. Sed eccentricitas terrae paulo major esse videtur, & aucta eccentricitate haec aequatio augeri debet in eadem ratione. Sit eccentricitas 16H, & aequatio maxima erit 11' 51'^ Inveni etiam quod in periheho terrae, propter majorem vim sohs, apogaeum & nodi lunae velocius moventur quam in apheho ejus, idque in triphcata ratione distantiae terrae a sole inverse. Et inde oriuntur aequationes annuae horum motuum aequationi centri sohs proportionales. Motus autem sohs est in duphcata ratione distantiae terrae a sole inverse, & maxima centri aequatio, quam haec inaequah- tas generat, est i^* 56^ 20'' praedictae sohs eccentricitati i6i4 con- gruens. Quod si motus sohs esset in triphcata ratione distantiae inverse, haec inaequahtas generaret aequationem maximam 2^''- 54' 30''. Et propterea aequationes maximae, quas inaequahtates motuum apo- gaei & nodorum lunae generant, sunt ad 2^- 54' 30^^ ut motus medius diurnus apogaei & motus medius diurnus nodorum lunae sunt ad motum medium diurnum sohs. Unde prodit aequatio maxima medii motus apogaei 19' 43'^, & aequatio maxima medii motus nodorum 9' 24''. Additur vero aequatio prior & subducitur posteri- or, ubi terra pergit a periheho suo ad aphehum : & contrarium fit in opposita orbis parte. Per theoriam gravitatis constitit etiam quod actio sohs in lunam paulo major sit, ubi transversa diameter orbis lunaris transit per solem, quam ubi eadem ad rectos est angulos cum hnea terram & solem jungente : & propterea orbis lunaris paulo major est in priore casu quam in posteriore. Et hinc oritur aha aequatio motus medii LIBER TERTIUS. .^j lunaris, pendens a situ apog^I lunae ad solem, quse quldem maxlma est cum apogaeum lunae versatur in octante cum sole ; & nulla cum illud ad quadraturas vel syzyglas pervenit : & motui medlo addltur in transltu apogaei lunae a solls quadratura ad syzyglam, & subducltur In transitu apogaei a syzygia ad quadraturam. Haec aequatlo, quam semestrem vocabo, in octantibus apogaei, quando maxlma est, ascendit ad 3^ 45^' circlter, quantum ex phaenomenls colllgere potul. Haec est ejus quantitas In medlocri solls distantla a terra. Augetur vero ac dlminuitur in trlplicata ratlone dlstantlae solis Inverse, Ideoque in maxima solls dlstantia est 3' 34'^ & in minima 3' 56" quamproxime: ubi vero apogaeum lunae sltum est extra octantes, evadlt minor; estque ad aequatlonem maximam, ut sinus duplae distantlae apogaei lunae a proxima syzygia vel quadratura ad radium. Per eandem gravltatls theorlam actlo solis in lunam paulo major est ubi linea recta per nodos lunae ducta transit per solem, quam ubi llnea illa ad rectos est angulos cum recta solem ac terram jungente. Et inde oritur alia medii motus lunarls aequatlo, quam semestrem secundam vocabo, quaeque maxima est ubi nodi in solls octantlbus versantur, & evanescit ubi sunt in syzygiis vel quadraturls, & In allis nodorum posltlonibus proportlonalls est sinui duplae distantiae nodi alterutrlus a proxlma syzygla aut quadratura : addltur vero medlo motul lunae, si sol distat a nodo sibi proximo in antecedentla, subducltur si in consequentia, & in octantlbus, ubi maxima est, ascendlt ad 47'^ in medlocri solls dlstantla a terra, uti ex theorla gravltatis colligo. In aliis solis dlstantlls haec aequatio maxlma in octantlbus nodorum est reclproce ut cubus dlstantiae solls a terra, ideoque in perigaeo solls ad 49'^ in apogaeo ejus ad 45'' clrclter ascendit. Per eandem gravitatis theorlam apogaeum lunae progredltur quam maxlme ubi vel cum sole conjungitur vel eldem opponltur, & regredltur ubi cum sole quadraturam faclt. Et eccentrlcltas fit maxima in priore casu & mlnima in posteriore per Corol. 7, 8 & 9 Prop. Lxvi Lib I. Et hae inaequalitates per eadem Corollarla per- magn^ sunt, & sequationem prlnclpalem apogaei generant, quam semestrem vocabo. Et aequatlo maxlma semestris est i2^'- 18' clrclter, quantum ex observationibus colligere potui. Horroxms noster lunam 462 DE MUNDl SYSTEMATE in ellipsi circum terram, in ejus umbilico inferiore constitutam, revolvi primus statuit. Halleitis centrum ellipseos in epicyclo locavit, cujus centrum uniformiter revolvitur circum terram. Et ex motu in epicyclo oriuntur inaequalitates jam dictse in progressu & regressu apogaei & quantitate eccentricitatis. Dividi intelligatur distantia mediocris lunse a terra in partes 1 00000, & referat T terram 81 T C eccentricitatem mediocrem lunse partium 5505. Producatur 7"C ad By ut sit CjB sinus sequationis maximae semestris 12^"- 18^ ad radium T Cj & circulus B DA centro C intervallo C B descriptus erit epicyclus ille in quo centrum orbis lunaris locatur & secundum ordinem literarum B D A revolvitur. Capiatur angulus B C D sequalis duplo argumento annuo, seu duplae distantise veri loci solis ab apogaeo lunse semel aequato, & erit CTD sequatio semestris apogsei lunse & TD eccentricitas orbis ejus in apogseum secundo sequatum tendens. Habitis autem lunae motu medio & apogaeo & eccentricitate, ut & orbis axe majore partium 200000 ; ex his eruetur verus lunae locus in orbe & distantia ejus a terra, idque per methodos notissimas. In perihelio terrae, propter majorem vim solis, centrum orbis lunae velocius movetur circum centrum C quam in apheHo, idque in triplicata ratione distantiae terrae a sole inverse. Ob sequationem centri soHs in argumento annuo comprehensam, centrum orbis lunse velocius movetur in epicyclo B DA m dupHcata ratione distantise terrse a sole inverse. Ut idem adhuc velocius moveatur in ratione simpHci distantiae inverse ; ab orbis centro D agatur recta D E ver- sus apogaeum lunae, seu rectae TC paraHela, & capiatur angulus EDF sequaHs excessui argumenti annui praedicti supra distantiam apogaei lunae a perigaeo soHs in consequentia ; vel quod perinde est capiatur LIBER TERTIUS. 463 angulus CZ^i^sequalis complemento anomallse verse solls ad gradus 360. 'E.X. s\t D F 2A D C \xt dupla eccentrlcitas orbls magni ad dis- tantlam medlocrem solls a terra & motus medlus dlurnus solls ab apogaeo lunae ad motum medium diurnum solls ab apogaeo proprlo conjunctlm, Id est, ut 33^ ad 1000 & 52' 2"]" \6'" ad 59^ 8'^ \o"' conjunctlm, sive ut 3 ad 100. Et conclpe centrum orbls lunse locari in puncto /%*& In eplcyclo, cujus centrum est D & radius DF, Interea revolvl dum punctum D progredltur in clrcumferentia circull DABD. Hac enim ratione velocltas, qua centrum orbls lunae in linea quadam curva circum centrum C descrlpta movebltur, erlt reclproce ut cubus dlstantlae solls a terra quamproxlme, ut oportet. Computatlo motus hujus difficills est, sed facillor reddetur per approxlmatlonem sequentem. Si distantia mediocrls lunae a terra slt partium 1 00000, & eccentricitas TC sit partium 5505 ut supra : recta C^ vel CD invenletur partlum 1172^, & recta D F partium 35y. Et haec recta ad distantiam TC subtendit angulum ad terram quem translatlo centrl orbls a loco D ad locum /^generat in motu centri hujus : & eadem recta dupllcata in sltu parallelo ad distantlam superloris umbillci orbis lunae a terra subtendit eundem angulum, quem utlque translatlo illa generat in motu umbillcl, & ad distantlam lunae a terra subtendlt angulum quem eadem translatlo generat in motu hmae, qulque propterea aequatio centri secunda dlcl potest. Et haec aequatio, In mediocri lunae distantia a terra,. est ut sinus anguli, quem recta illa Z^ /^ cum recta a puncto i^ ad lunam ducta contlnet quamproxime, &ubi maxima est evadit 2' 2^'\ Angulus autem quem recta D F 8c recta a puncto F ad lunam ducta comprehendunt in- venltur vel subducendo anguhim F D F ah anomaHa medla lunae, vel addendo distantlam lunae a sole ad distantiam apogaei lunae ab apogaeo soHs. Et ut radius est ad sinum anguH slc Inventi, ita 2' 25^^ sunt ad aequationem centri secundam, addendam si summa illa sit minor semiclrculo, subducendam si major. SIc habebltur ejus longitudo in ipsis luminarium syzygils. Cum atmosphaera terrae ad usque altitudinem mllllarium 35 vel 40 refrlngat lucem solls, & refrlngendo spargat eandem in umbram terrae, & spargendo lucem In confinlo umbrae dilatet umbram : ad dlametrum umbrae, quae per parallaxlm prodit, addo mlnutum unum primum in ecllpsibus lunae, vel minutum unum cum trlente. 464 DE MUJSIDI SYSTEMATE Theoria vero lunae primo in syzygiis, deinde in quadraturis, & ultimo in octantibus per phaenomena examinari & stabiHri debet. Et opus hocce aggressurus motus medios soHs & lunae ad tempus meridi- anum in observatorio regio Grenoviceiisi, die ultimo mensis Decembris anni 1 700 st. vet. non incommode sequentes adhibebit : nempe motum medium soHs YS ^o^'- 43^ \o'\ & apogsei ejus ss 7^"' 44' 30'^ & motum medium lunze ::::: i^^'- 21' oo'^ & apogaei ejus K 8^- 20' oo'^ & nodi ascendentis 51 '^l^'' i^ 20'' \ & differentiam meridianorum observatorii hujus & observatorii regii Parisiensis o^°''* 9™"- 20^^*"-. Motus autem medii lunae & apogaei ejus nondum satis accurate habentur. PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA XVII. Invenire vim solis ad mare movendnm. SoHs vis M L seu P T, in quadraturis kmaribus, ad perturbandos motus lunares erat (per Prop. xxv hujus) ad vim gravitatis apud nos, ut I ad 638092,6. Et vis T M—L M seu 2 P K m syzygiis lunaribus est duplo major. Hae autem vires, si descendatur ad super- ficiem terrae, diminuuntur in ratione distantiarum a centro terrae, id est, in ratione 60J ad i ; ideoque vis prior in superficie terrae est ad vim gravitatis ut i ad 38604600. Hac vi mare deprimitur in locis, quae 90 gradibus distant a sole. Vi altera, qu^ duplo major est, mare elevatur & sub sole & in regione soH opposita. Summa virium est ad vim gravitatis ut i ad 12868200. Et quoniam vis ea- dem eundem ciet motum, sive ea deprimat aquam in regionibus qu^ LIBER TERT2US. 465 90 gradibus distant a sole, slve elevet eandem in regionibus sub sole & soli oppositis, haec summa erit tota solis vis ad mare agitandum ; & eundem habebit effectum, ac si tota in regionibus sub sole & soli opposltis mare elevaret, In reglonibus autem quae 90 gradibus dlstant a sole nil ageret. Hsec est vis soHs ad mare clendum in loco quovls dato, ubl sol tam in vertice loci versatur quam In medlocrl sua distantia a terra. In ahls soHs positlonibus vls ad mare attollendum est ut slnus versus duplse altltudlnls solis supra horizontem loci dlrecte & cubus distantlae solis a terra inverse. CoroL Cum vis centrlfuga partium terrae a diurno terrae motu oriunda, quae est ad vlm gravltatls ut i ad 289, efficiat ut altltudo aquae sub aequatore superet ejus altltudlnem sub polls mensura pedum Parisiensium 85472, ut supra in prop. xix ; vls solarls de qua egimus, cum sit ad vlm gravit^tis ut i ad 12868200, atque Ideo ad vlm illam centrlfugam ut 289 ad 12868200 seu i ad 44527, efficiet ut altltudo aquae in regionlbus sub sole & soll oppositls superet altitudinem ejus in locis, quae 90 gradlbus distant a sole, mensura tantum pedis unlus Parisiensis & digltorum undeclm cum trlcesima parte digltl. Est enlm haec mensura ad mensuram pedum 85472 ut i ad 44527. PROPOSITIO XXXVII. PROBLEMA XVIII. Invenire vim luncB ad m^re movendum. Vis lunae ad mare movendum colllgenda est ex ejus proportione ad vim solis, & haec proportlo colligenda est ex proportione motuum maris, qul ab hls vlrlbus oriuntur. Ante ostlum fluvll Avonce ad lapldem tertium infra Bristoliam tempore verno & autumnall totus aquae ascensus In conjunctlone & opposltlone lumlnarium, observante Samuele Sturmio, est pedum plus mlnus 45, In quadraturis autem est pedum tantum 25. Altitudo prior ex summa vlrlum, posterior ex earundem dlfferentia oritur. Solis igitur & lunae in aequatore ver- santium & mediocrlter a terra dlstantlum sunto vires S & L, & erit L + S ad L — S ut 45 ad 25, seu 9 ad 5. 2 G 466 DE MUNDI SYSTEMATE In portu Plyrmithi aestus maris ex observatione Samtcelis Colepressi ad pedes plus minus sexdecim altitudine mediocri attollitur, ac tem- pore verno & autumnali altitudo aestus in syzygiis superare potest altitudinem ejus in quadraturis pedibus plus septem vel octo. Si maxima harum altitudinum differentia sit pedum novem, erit L + S ad L — S ut 2ol ad iil seu 41 ad 23. Quae proportio satis congruit cum priore. Ob magnitudinem sestus in portu Bristolice observa- tionibus Sturmii magis fidendum esse videtur, ideoque donec aliquid certius constiterit proportionem 9 ad 5 usurpabimus. Caeterum ob aquarum reciprocos motus aestus maximi non inci- dunt in ipsas luminarium syzygias, sed sunt tertii a syzygiis ut dictum fuit, seu proxime sequuntur tertium lunae post syzygias appulsum ad meridianum loci, vel potius (ut a Sturmio notatur) sunt tertii post diem novilunii vel plenilunii, seu post horam a novilunio vel pleni- lunio plus minus duodecimam, ideoque incidunt in horam a novilunio vel plenilunio plus minus quadragesimam tertiam. Incidunt vero in hoc portu in horam septimam circiter ab appulsu lunae ad meridianum loci ; ideoque proxime sequuntur appulsum lunae ad meridianum, ubi luna distat a sole vel ab oppositione soHs gradibus plus minus octodecim vel novemdecim in consequentia. ^stas & hyems maxime vigent, non in ipsis solstitiis, sed ubi sol distat a solstitiis decima circiter parte totius circuitus, seu gradibus plus minus 36 vel 37. Et simihter maximus aestus maris oritur ab appulsu lunae ad meridianum loci, ubi luna distat a sole decima circiter parte motus totius ab aestu ad aestum. Sit distantia illa graduum plus minus 18J. Et vis solis in hac distantia lunae a syzygiis & quadraturis minor erit ad augendum & ad minuendum motum maris avi lunae oriundum, quam in ipsis syzygiis & quadraturis, in ratione radii ad sinum com- plementi distantiae hujus duplicatae seu anguli graduum 37, hoc est, in ratione looooooo ad 7986355. Ideoque in analogia superiore pro S scribi debet 0,7986355 S. Sed & vis lunae in quadraturis, ob declinationem lunae ab aequa- tore, diminui debet. Nam luna in quadraturis, vel potius in gradu 18 J post quadraturas, in declinatione graduum plus minus 22 13^ versatur. Et luminaris ab aequatore declinantis vis ad mare mo- LIBER TERTIUS. 467 vendum dlminultur In duplicata ratlone sinus complementl declinatlonis quamproxlme. Et propterea vis lunse In his quadraturls est tan- tum 0,8570327 L. Est Igitur ^ + 0,79863558 ad 0,8570327^ — 0,79863558 ut 9 ad 5. Praeterea diametrl orbls, in quo luna slne eccentricitate moverl deberet, sunt ad invicem ut 69 ad 70 ; ideoque dlstantia lunae a terra in syzyglis est ad distantiam ejus in quadraturls ut 69 ad 70, cseterls parlbus. Et distantiae ejus in gradu 18I asyzyglls, ubi aestus maxlmus generatur, & in gradu 18J a quadraturls, ubi aestus minlmus generatur, sunt ad mediocrem ejus distantlam ut 69,098747 & 69>897345 ad 69!^. Vires autem lunae ad mare movendum sunt In trlpllcata ratlone distantlarum inverse, ideoque vires in maxima & mlnima harum dlstantiarum sunt ad vim in medlocri distantla ut 0,9830427 & 1,017522 ad I. Unde fit 1,017522^ +0,7986355 8 ad 0,9830427x0,8570327 L — 0,7986355 8 ut 9 ad 5. Et 8 ad L ut I ad 4,4815. Itaque cum vis solis slt ad vlm gravltatls ut i ad 12868200, vls lunae erit ad vim gravitatis ut i ad 2871400. Corol. I. Cum aqua vi solis agitata ascendat ad altitudinem pedls unius & undecim dlgltorum cum trlceslma parte dlgiti, eadem vi lunae ascendet ad altitudlnem octo pedum & dlgltorum 7A, & vi utraque ad altitudlnem pedum decem cum semisse, & ubi luna est in perigaeo ad altltudinem pedum duodeclm cum semisse & ultra, praesertim ubi aestus ventis spirantlbus adjuvatur. Tanta autem vls ad omnes maris motus excltandos abunde sufficit, & quantitati motuum probe respondet Nam in maribus quae ab oriente in occidentem late patent, uti in mari Pacifico & marls Atlantici & ^thiopici partibus extra tropicos, aqua attolli solet ad altitudinem pe- dum sex, novem, duodecim vel quindecim. In mari autem Pacifico, quod profundius est & latius patet, aestus dicuntur esse majores quam in Atlantico & ^thiopico. Etenim ut plenus sit aestus latitudo marls ab orlente in occidentem non minor esse debet quam graduum nonaglnta. In mari ^thiopico ascensus aquae intra tropicos minor est quam in zonls temperatls propter angustlam marls inter Africam & australem partem AniericcB. In medlo mari aqua neqult ascendere, nisl ad littus utrumque & orlentale & occldentale slmul descendat : 468 DE MUNDI SYSTEMATE cum tamen vicibus alternis ad littora illa in maribus nostris angustis descendere debeat. Ea de causa fluxus & refluxus in insulis, quse a littoribus longissime absunt, perexiguus esset solet. In portubus quibusdam, ubi aqua cum impetu magno per loca vadosa ad sinus alternis vicibus implendos & evacuandos influere & eflluere cogitur, fluxus & refluxus debent esse solito majores, uti ad Plymuthtim & pontem Chepstowce in Anglia ; ad montes S. MichcElis & urbem Abrincattcorum (vulgo Avranches) in Nor^nannia ; ad Cambaiatjz & Pegu in India orientali. His in locis mare, magna cum velocitate accedendo & recedendo, littora nunc inundat nunc arida relinquit ad multa millaria. Neque impetus influendi & remeandi prius frangi potest, quam aqua attollitur vel deprimitur ad pedes 30, 40, vel 50 & amplius. Et par est ratio fretorum oblongorum & vadosorum, uti Magellanici & ejus quo Anglia circundatur. ^stus in hujusmodi portubus & fretis per impetum cursus & recursus supra modum augetur. Ad littora vero quae descensu praecipiti ad mare profundum & apertum spectant, ubi aqua sine impetu effluendi & remeandi attolli & subsidere potest, magnitudo sestus respondet viribus solis & lunse. Corol. 2. Cum vis lunse ad mare movendum sit ad vim gravitatis ut I ad 2871400, perspicuum est quod vis illa sit longe minor quam quae vel in experimentis psndulorum vel in staticis aut hydrostaticis quibuscunque sentiri possit. In aestu solo marino haec vis sensibilem edit eflectum. Corol. 3. Quoniam vis lunae ad mare movendum est ad solis vim consimilem ut 4,4815 ad i, & vires illae (per corol. 14 prop. lxvi lib. i) sunt ut densitates corporum lunae & solis & cubi diametrorum apparentium conjunctim ; densitas lunae erit ad densitatem solis ut 4,4815 ad i directe & cubus diametri lunae ad cubum diametri soHs inverse : id est (cum diametri mediocres apparentes lunae & soHs sint 31' i6''y & 32' 12'') ut 4891 ad 1000. Densitas autem solis erat ad densitatem terrae ut 1000 ad 4000; & propterea densitas lunae est ad densitatem terrae ut 4891 ad 4000 seu 11 ad 9. Est igitur corpus lunae densius & magis terrestre quam terra nostra. LIBER TERTIUS, 469 CoroL 4. Et cum vera diameter lunae ex observationlbus astrono- micis sit ad veram diametrum terrse ut 100 ad 365 ; erit massa lunae ad massam terrse ut i ad 39,788. CoroL 5. Et gravitas acceleratrix in superficie lunae erit quasi triplo minor quam gravitas acceleratrix in superficie terrae. CoroL 6. Et distantia centri lunae a centro terrae erit ad distantiam centri lunae a communi gravitatis centro terrae & lunae, ut 40,788 ad 39,788. CoroL 7. Et mediocris distantia centri lunae a centro terrae in octantibus lunae erit semidiametrorum maximarum terrae 60I quam- proxime. Nam terrae semidiameter maxima fuit pedum Parisiensium 19658600, & mediocris distantia centrorum terrae & lunae, ex hujus- modi semidiametris 60I constans, aequalis est pjedibus 1 187379440. Et haec distantia (per corollarium superius) est ad distantiam centri lunae a communi gravitatis centro terrae & lunae ut 40,788 ad 39,788 : ideoque distantia posterior est pedum 11 58268534. Et cum luna revolvatur, respectu fixarum, diebus 2 7 horis 7 & minutis primis 43I ; sinus versus anguli, quem luna tempore minuti unius primi descri- bit, est 12 75 2 341, existente radio 1000,000000,000000. Et ut radius est ad hunc sinum versum, ita sunt pedes 1 158268534 ad pedes 14,7706353. Luna igitur vi illa, qua retinetur in orbe, cadendo in terram tempore minuti unius primi describet pedes 14,7706353. Et augendo hanc vim in ratione 178?^ ad 177!^ habebitur vis tota gravitatis in orbe lunae per Corol. Prop. iii. Et hac vi luna cadendo tempore minuti unius primi describet pedes 14,8538067. Et ad sexagesimam partem distantiae lunae a centro terrae, id est ad dis- tantiam pedum 197896573 a centro terrae, corpus grave tempore minuti unius secundi cadendo describet etiam pedes 14,8538067. Ideoque ad distantiam pedum 196 15800, qui sunt terrae semidiameter mediocris, grave cadendo describet pedes 15,11175, seu pedes 15 dig. I & lin. 4tt. Hic erit descensus corporum in latitudine gra- duum 45. Et per tabulam praecedentem in prop. xx descriptam descensus erit paulo major in latitudine LtcteticB Parisiorttm existente excessu quasi § partium lineae. Gravia igitur per hoc computum in latitudine LuteticB cadendo in vacuo describent tempore unius secundi pedes Parisienses 1 5 dig. i & lin. ^H circiter. Et si gravi- . 70 ^^ MUNDI SYSTEMATE tas minuatur auferendo vim centrifugam, quae oritur a motu diurno terrse in illa latitudine, gravia ibi cadendo describent tempore mi- nuti unius secundi pedes 15 dig. i & lin. \\. Et hac velocitate gravia cadere in latitudine Lutetice supra ostensum est ad prop. iv & XIX. CoroL 8. Distantia mediocris centrorum terrse & lunae in syzy- giis lunae est sexaginta semidiametrorum maximarum terrse, dempta tricesima parte semidiametri circiter. Et in quadraturis lunse dis- tantia mediocris eorundem centrorum est 60I semidiametrorum terrse. Nam hae duae distantiae sunt ad distantiam mediocrem lunae in octantibus ut 69 & 70 ad 69} per prop. xxviii. Corol. 9. Distantia mediocris centrorum terrae & lunae in syzygiis lunae est sexaginta semidiametrorum mediocrium terrae cum decima parte semidiametri. Et in quadraturis lunae distantia mediocris eorundem centrorum est sexaginta & unius semidiametrorum medio- crium terrae, dempta tricesima parte semidiametri. Corol. 10. In syzygiis lunae parallaxis ejus horizontalis mediocris in latitudinibus graduum o, 30, 38, 45, 52, 60, 90, est 57' 20", 5/ i6^ 57' H^ 5/ 12^ 57' lo'^ 57' 8^ 57' a!' respective. In his computationibus attractionem magneticam terrae non con- sideravi, cujus utique quantitas perparva est & ignoratur. Siquando vero haec attractio investigari poterit, & mensurae graduum in meridi- ano, ac longitudines pendulorum isochronorum in diversis parallelis, legesque motuum maris, & parallaxis lunae cum diametris apparen- tibus solis & lunae ex phaenomenis accuratius determinatae fuerint : licebit calculum hunc omnem accuratius repetere. PROPOSITIO XXXVIII. PROBLEMA XIX. Invenire figuram corporis luncs. Si corpus lunare fluidum esset ad instar maris nostri, vis terrae ad fluidum illud in partibus & citimis & ultimis elevandum esset ad vim lunae, qua mare nostrum in partibus & sub luna & lunae oppositis attollitur, ut gravitas acceleratrix lunae in terram ad gravitatem ac- celeratricem terrae in lunam & diameter lunae ad diametrum terrae LIBER TERTIUS. 471 conjunctim; id est, ut 39,788 ad i & 100 ad 365 conjunctim, seu 1081 ad 100. Unde cum mare nostrum vi lunae attollatur ad pedes 81, fluidum lunare vi terrae attolli deberet ad pedes 93. Eaque de causa figura lunae sphserois esset, cujus maxima diameter producta transiret per centrum terrse & superaret diametros perpendiculares excessu pedum 186. Talem igitur figuram luna affectat, eamque sub initio induere debuit. Q. E. I. Corol. Inde vero fit ut eadem semper lunae facies in terram obver- tatur. In alio enim situ corpus lunare quiescere non potest, sed ad hunc situm oscillando semper redibit. Attamen oscillationes, ob par- vitatem virium agitantium, essent longe tardissimae : adeo ut facies illa, quae terram semper respicere deberet, possit alterum orbis lunaris umbilicum (ob rationem in prop. xvii allatam) respicere, neque statim abinde retrahi & in terram converti. LEMMA I. Si A P E p terram designet uniformiter densam, ceiitroque C & polis P, p dr^ csquatore A E delineatam ; & si centro C radio C P describi intelligatur sphcBra P a p e ; ^^V autem Q R ptafttcm, cui recta a centro solis ad centrum terrcs ducta normaliter ifisistit ; & terrcB totius exterioris PapAPepE, quce sphcFra modo descripta altior est, par- ticulce singulcB conentur recedere hinc inde a plano O R, sitque conatus particulcB cujusque ut ejusdem distantia a plano : dico primo, quod tota particularum onmium in cequatoris circulo A E, extra globum 7miformiter per totum circuitum in morem annuli dispositartimy vis & efficacia ad terram circimt ce7itrum ejus rotandam sit ad totam par- ticularum totidem in csquatoris pzmcto A, quod a plano Q R maxime distat, consistentium vim & efficaciam ad terram consimili motu circu- lari circtcm centrum ejus movendamy ut unum ad duo. Et motus iste circutaris circum axem^ in commimi sectione ceqtiatoris & pla7ii Q R jace7ite7n^ peragetur. 4/2 DE MUNDI SYSTEMATE Nam centro K diametro I L describatur semicirculus I N L K, Dividi intelligatur semicircumferentia I N L in partes innumeras aequales, & a partibus singulis N ad diametrum I L demittantur sinus N M. Et summa quadratorum ex sinibus omnibus N M sequalis erit summae quadratorum ex sinibus K M, & summa utraque aequalis erit summae quadratorum ex totidem semidiametris K N ; ideoque summa quadratorum ex omnibus N M ^nt duplo minor quam summa auadratorum ex totidem semidiametris K N. Jam dividatur perimeter circuli ^ ^ in particulas totidem ^quales, & ab earum unaquaque F ad planum Q R demittatur perpendiculum /^6^, ut & a puncto A perpendiculum A H. Et vis, qua particula F recedit a plano Q R, erit ut perpendiculum illud FG per hypo- thesin, & haec vis ducta in distantiam C G erit efficacia particulae F ad terram circum centrum ejus convertendam. Ideoque efficacia particulae in loco F erit ad efficaciam particulae in loco A ut FGxGC^dAHyiH C, hoc est, ut FCg^d A Cq; & propterea efficacia tota particularum omnium in locis suis F erit ad efficaciam particularum totidem in loco A ut summa omnium FCq ad summam totidem A Cq, hoc est (per jam demonstrata) ut unum ad duo Q.E.D. Et quoniam particulae agunt recedendo perpendiculariter a plano Q R, idque aequaliter ab utraque parte hujus plani : eadem conver- LIBER TERTIUS, 473 tent circumferentiam circuli aequatoris, eique inhaerentem terram, circum axem tam in plano illo Q R quam in plano sequatoris jacentem. LEMMA II. lisdem positis : dico secundo quod vis & efficacia tota particularum om7tium extra globum undique sitarum ad terram circum cuxem eufidem rotandam sit ad vim totam particularum totidem, in csquatoris circulo A E uniformiter per totum circuitum in morem annuli dispositarum, ad terram consimili motu circulari move^tdam, ut duo ad quinque. Sit enim IK circulus quilibet minor sequatori AE parallelus, sintque Z, / particulae duae quaevis aequales in hoc circulo extra globum P ape sitae. Et si in planum Q /?, quod radio in solem ducto perpendiculare est, demittantur perpendicula L M, Im: vires totae, quibus particulae illae fugiunt planum Q Ry proportionales enmt perpendiculis illis LM, Im, Sit autem recta Z/ plano Pape parallela & bisecetur eadem in X, & per punctum X agatur JVn, quae parallela sit plano Q R & perpendicuHs L M, Im occurrat in N ac n, & in planum Q R demittatur perpendiculum XY. Et particularum L 8l l vires contrariae ad terram in contrarias partes rotandam sunt ut LMxMC &Ll7nxmQ hoc est, utLNxMC-{^NMxMC8i In 474 DE MUNDI SYSTEMATE xmC—nmxmQsew LNxMC+ NM x MC SiLNxmC— NM xmC : & harum differentia LNxM^n — N Mx M C+ m C est vis particularum ambarum simul sumptarum ad terram rotandam. Hujus differentise pars affirmativa LNxMm seu 2 LNxNX est ad particularum duarum ejusdem magnitudinis in A consistentium vim 2 A HxHCyVX LXq ad ACq, Et pars negativa NMx MC+mC seu 2 X VxC Y 3A particularum earundem in A consistentium vim 2 A HxH C, ut CX q ad A Cq. Ac proinde partium differentia, id est, particularum duarum L 81 l simul sumptarum vis ad terram rotandam est ad vim particularum duanim iisdem aequalium & in loco A consistentium ad terram itidem rotandam, ut LXq—CXq ad ACq. Sed si circuli /isf circumferentia I K dividatur in particulas innume- ras aequales Z, erunt omnes L X q ^id totidem I X q ut i 2id 2 (per lem. i) atque ad totidem A Cq, ut I Xq Sid 2 A Cq ; & totidem CXq ad totidem A C q vX 2 CXq ad 2 A C q. Quare vires conjunctae particularum omnium in circuitu circuli I K sunt ad vires conjunctas particularum totidem in loco A, ut I Xq—^CXq ad 2ACq: & propterea (per lem. i) ad vires conjunctas particularum totidem in circuitu circuli A E, ut I Xq—2 CXq ad A Cq. Jam vero si sphaerse diameter Pp dividatur in partes innumeras aequales, quibus insistant circuli totidem I K, materia in perimetro circuli cujusque IK erit ut IXq: ideoque vis materiae illius ad terram LIBER TERTIUS. 475 rotandam erit \it I X q in I X q—2 C X q. Et vis materlae ejusdem, si in circuli A E perimetro consisteret, esset vX I X q ya A C q. Et propterea vis particularum omnium materise totius, extra globum in perimetris circulorum omnium consistentis, est ad vim particularum totidem in perimetro circuli maximi A E consistentis, ut omnia I X q in I X q—2 CXq ad totidem/X^ in A Cq, hoc est, ut omniay^ Cq — C X q in A Cq—2> CX q^A totidem A Cq—C X q inA C q, id est, ut omnia A Cqq—^ A Cqx CX q-\-2) CX qq ad totidem A Cq q — A C q X C X q, hoc est, ut tota quantitas fluens, cujus fluxio est A Cqq — 4 A Cqx CXq-\-2> CXqq, ad totam quantitatem fluentem, cujus fluxio est A Cqq — A Cqx CX q ; ac proinde per methodum fluxio- num, ut A Cqqx CX—i A Cqx C X cud-{-i CX qc ad A Cq qx CX—iA CqxCX cub, id est, si pro CX scribatur tota Cp vel A C,vXt% A Cqc 2A% A Cq c, hoc est, ut duo ad quinque. Q, E. D. LEMMA III. lisdem positis : dico tertio quod motus terrce totius circu7n axemjam a7ite descriptum, ex motibus partictdarum omtmcm compositus^ erit ad motimi a7i7iuli prcEdicti circum cucem eundem in ratione, qucs componittir ex ratione materics in terra ad materiam in annulo & ratione trium quadratorum ex arcu quadrantali circuli cujuscunque ad duo quadrata ex dia^netro ; id est, hi ratione materice ad materiam & numeri 925275 ad mimerum 1 000000. Est enim motus cyHndri circum axem suum immotum revolventis ad motum sphserae inscriptse & simul revolventis, ut quseHbet quatuor sequaHa quadrata ad tres ex circuHs sibi inscriptis : & motus cyHndri ad motum annuH tenuissimi, sphseram & cyHndrum ad communem eorum contactum ambientis, ut duplum materise in cyHndro ad triplum materise in annulo ; & annuH motus iste circum axem cyHndri unifor- miter continuatus ad ejusdem motum uniformem circum diametrum propriam, eodem tempore periodico factum, ut circumferentia circuH ad duplum diametri. 476 DE MUNDI SYSTEMATE H YPOTHESIS I I Si annulus prcsdidus, terra omni reliqua stcblata^ soltis in orbe terrcB motu annuo circa solem ferretur^ & interea circa axem stmm^ ad planum eclipticce in angulo gradmim 23-J inclinattmt^ motu diurno revolveretur : idemforet motus ptmctorum cequinoctialium, sive afznulus istefluidus essety sive is ex materia rigida & fir^na constaret, PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XX. Invenire prcBcessionem c^quinoctiorum, Motus mediocris horarius nodorum lunae in orbe circulari, ubi nodi sunt in quadraturis, erat 16^^ 35'^' 16''' 36'', & hujus dimidium g// j^/// ^giv jgv (^ rationes supra explicatas) est motus medius horarius nodorum in tali orbe ; fitque anno toto sidereo 20^- 11' 46'^ Quoniam igitur nodi lunae in tali orbe conficerent annuatim 20^* 11' 46^' in antecedentia ; & si plures essent lunse motus nodorum cujusque (per corol. 16 prop. lxvi Hb. i) forent ut tempora periodica; si luna spatio diei siderei juxta superficiem terrae revolveretur, motus annuus nodorum foret ad 20^- 11^46^^ ut dies sidereus horarum 23 56' ad tempus periodicum lunae dierum 27 hor. 7 43^; id est, ut 1436 ad 39343. Et par est ratio nodorum annuli lunarum terram ambientis ; sive lunae illae se mutuo non contingant, sive liquescant & in annulum continuum formentur, sive denique annulus ille rigescat & inflexibilis reddatur. Fingamus igitur quod annulus iste quoad quantitatem materiae aequalis sit terrae omni P ap A P ep E quae globo Pape superior est ; (Vid. fig. pag, 474) & quoniam globus iste est ad terram illam supe- riorem ut a Cqu. ad A Cqu. — a C qu. id est (cum terrae semidiameter minor P C vAaC sit ad semidiametrum majorem y^ C ut 229 ad 230) ut 52441 ad459; si annulus iste terram secundum aequatorem cin- geret & uterque simul circa diametrum annuli revolveretur, motus annuli esset ad motum globi interioris (per hujus lem. iii) ut 459 ad 52441 & loooooo ad 925275 conjunctlm, hoc est, ut 4590 ad 485223 ; ideoque motus annuli esset atd summam motuum annuli ac globi, ut 4590 ad 489813. Unde si annulus globo adhaereat, & motum suum. LIBER TERTIUS. 477 quo ipslus nodi seu puncta aequinoctialla regrediuntur, cum globo communlcet : motus qui restablt in annulo erit ad ipsius motum prlorem, ut 4590 ad 489813; & propterea motus punctorum aequi- noctiallum dlmlnuetur in eadem ratlone. Erlt Igitur motus annuus punctorum sequlnoctlallum corporls ex annulo & globo compositi ad motum 20^''' 11' 46'^ ut 1436 ad 39343 & 4590 ad 489813 conjunctlm, id est, ut 100 ad 292369. Vlres autem quibus nodi lunarum (ut supra explicui) atque ideo quibus puncta aequinoctialla annuli regrediuntur (id est vlres 3/7^ injig.pag. 437 & 438) sunt in singulis partlculis ut distantiae particularum a plano Q Ry 81 his viribus partlculae illae planum fugiunt ; & propterea (per lem. 11) si materla annuli per totam globi superficiem in morem figurae P ap A P ep E ad superlorem illam terrae partem constltuendam sparge- retur, vis & efficacia tota partlcularum omnium ad terram circa quamvis aequatoris diametrum rotandam, atque ideo ad movenda puncta aequinoctlalia, evaderet minor quam prius in ratlone 2 ad 5. Ideoque annuus aequinoctiorum regressus jam esset ad 20^* i \' 46'^ ut 10 ad 73092 : ac prolnde fieret 9'' ^(i'" 50'^ Caeterum hic motus ob inclinationem plani aequatoris ad planum ecllpticae minuendus est, idque in ratione sinus 91706 (qui sinus est complementi graduum 23!) ad radlum 1 00000. Qua ratione motus iste jam fiet 9" "]'" 20'\ Haec est annua praecessio aequinoctiorum a vi solis oriunda. Vis autem lunae ad mare movendum erat ad vim solls ut 4,48 1 5 ad I circiter. Et vis lunae ad aequinoctia movenda est ad vim solis in eadem proportione. Indeque prodit annua aequinoctiorum prae- cessio a vi lunae oriunda 40'' ^2'" 52'^ ac tota praecesslo annua a vi utraque oriunda 50''' 00'^^ I2^\ Et hlc motus cum phaenomenis congruit. Nam praecessio aequinoctiorum ex observationibus astroni- mlcis est annuatlm minutorum secundorum plus minus qulnquaginta. Si altitudo terrae ad aequatorem superet altitudlnem ejus ad polos mllllaribus plurlbus quam 1 7J, materia ejus rarlor erit ad circum- ferentlam quam ad centrum : & praecessio aequinoctiorum ob alti- tudinem illam augeri, ob raritatem diminui debet. Descripsimus jam systema solis, terrae, lunae, & planetarum : superest ut de cometls nonnulla adjiciantur. 478 DE MUNDI SYSTEMATE LEMMA IV. Cometas esse luna stcperiores & in regione planetarzcm versari. Ut defectus parallaxeos diurnae extulit cometas supra regiones sublunares, sic ex parallaxi annua convincitur eorum descensus in regiones planetarum. Nam cometae, qui progrediuntur secundum ordinem signorum, sunt omnes sub exitu apparitionis aut solito tardiores aut retrogradi si terra est inter ipsos & solem ; at justo celeriores si terra vergit ad oppositionem. Et contra, qui pergunt contra ordinem signorum sunt justo celeriores in fine apparitionis si terra versatur inter ipsos & solem ; & justo tardiores vel retrogradi si terra sita est ad contrarias partes. Contingit hoc maxime ex motu terrae in vario ipsius situ, perinde ut fit in planetis, qui pro motu terrae vel conspirante vel contrario nunc retrogradi sunt, nunc tardius progredi videntur, nunc vero celerius. Si terra pergit ad eandem partem cum cometa, & motu angulari circa solem tanto celerius fertur, ut recta per terram & cometam perpetuo ducta con- vergat ad partes ultra cometam, cometa e terra spectatus ob motum suum tardiorem apparet esse retrogradus; sin terra tardius fertur, motus cometae (detracto motu terrae) fit saltem tardior. At si terra pergit in contrarias partes, cometa exinde velocior apparet. Ex acceleratione autem vel retardatione vel motu retrogrado distantia cometae in hunc modum colHgitur. Sunto "vQA, "V Q B, '? Q C observatae tres longitudines cometae sub initio motus, sitque ^ Q F LIBER TERTIUS. 479 longitudo ultlmo observata, ubi cometa videri desinit. Agatur recta ABC, cujus partes AB.BC rectls Q A 81 Q B, Q B 81 Q C inter- jectae slnt ad invlcem ut tempora inter observatlones tres prlmas. Producatur ^ C ad 6^, ut slt ^ 6^ ad A B ut tempus inter observa- tionem primam & ultimam ad tempus Inter observationem prlmam & secundam, & jungatur Q G. Et si cometa moveretur unlformlter in llnea recta, atque terra vel qulesceret, vel etlam in llnea recta unlformi cum motu progrederetur ; foret angulus 'V Q G longitudo cometse tempore observationis ultlmae. Angulus igitur FQ G, qui longitudi- num dlfferentla est, oritur ab insequalltate motuum cometae ac terrae. Hic autem angulus, si terra & cometa In contrarlas partes moventur, addltur angulo 'C Q G, 81 sic motum apparentem cometae veloclorem reddit : sln cometa pergit in easdem partes cum terra, eidem subdu- citur, motumque cometae vel tardiorem reddit, vel forte retrogradum ; uti modo exposui. Oritur igitur hic angulus praeclpue ex motu terrae, & idcirco pro parallaxi cometae merlto habendus est, neglecto videHcet ejus incremento vel decremento nonnullo, quod a cometae motu inaequabili in orbe proprlo orlri possit. Distantia vero cometae ex hac parallaxi sic colligitur. Designet 6^ solem, ac T orbem mag- num, a locum terrae in observatione prlma, c locum terrae in observa- 480 D^ MUNDI SYSTEMATE tione tertia, T locum terrae in observatione ultima, & 7" '■p lineam rectam versus principium arietis ductam. Sumatur angulus ^v T V aequalis angulo ^ Q F, hoc est, sequalis, longitudini cometae ubi terra versatur in T Jungatur ac, &i producatur ea ad g, ut sit ag 2id ac ut A G 2id A C, & erit g locus quem terra tempore observa- tionis ultimae, motu in recta ac uniformiter continuato, attingeret Ideoque si ducatur^fp ipsi T^ parallela, & capiatur angulus ^gV angulo ^ Q G aequalis, erit hic angulus ^ g V aequalis longitudini cometae e loco g spectati ; & angulus T V g parallaxis erit, quae oritur a translatione terrae de loco g in locum T: ac proinde V locus erit cometae in plano eclipticae. Hic autem locus V orbe Jcfvis inferior esse solet. Idem colligitur ex curvatura viae cometarum. Pergunt haec cor- pora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur celerius ; at in fine cursus, ubi motus apparentis pars illa, quae a parallaxi oritur, majorem habet proportionem ad motum totum apparentem, deflectere solent ab his circulis, & quoties terra movetur in unam partem, abire in partem contrariam. Oritur haec deflexio maxime ex parallaxi, propterea quod respondet motui terrae ; & insignis ejus quantitas, meo computo, collocavit disparentes cometas satis longe LIBER TERTIUS. 481 infrajovem. Unde consequens est quod in perigaeis & periheliis, ubi propius adsunt, descendunt ssepius infra orbes martis & inferi- orum planetarum. Confirmatur etiam propinquitas cometarum ex luce capitum. Nam corporis ccelestis a sole illustrati & in regiones longinquas abeuntis diminuitur splendor in quadruplicata ratione distantiae : in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis distantiam a sole, & in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem. Unde si detur & lucis quantitas & apparens diameter cometae dabitur dis- tantia, dicendo quod distantia sit ad distantiam planetae in ratione diametri ad diametrum directe & ratione subduplicata lucis ad lucem inverse. Sic minima capillitii cometae anni 1682 diameter, per tubum opticum sexdecim pedum a Flamstedio observata & micrometro mensurata, aequabat 2' o" \ nucleus autem seu stella in medio capitis vix decimam partem latitudinis hujus occupabat, ideoque lata erat tantum ii''vel 12", Luce vero & claritate capitis super- abat caput cometae anni 1680, stellasque primae vel secundae magni- tudinis aemulabatur. Ponamus saturnum cum annulo suo quasi quadruplo lucidiorem fuisse : & quoniam lux annuli propemodum aequabat lucem globi intermedii, & diameter apparens globi sit quasi 2\" ideoque lux globi & annuH conjunctim aequaret lucem globi cujus diameter esset 30'', erit distantia cometae ad distantiam saturni ut I ad J df inverse & 12'' ad y^" directe, id est, ut 24 ad 30 seu 4 ad 5. Rursus cometa anni 1665 mense aprih, ut auctor est Hevelius, claritate sua pene fixas omnes superabat, quinetiam ipsum saturnum, ratione coloris videlicet longe vividioris. Ouippe luci- dior erat hic cometa altero illo, qui in fine anni praecedentis appa- ruerat, & cum stellis primae magnitudinis conferebatur. Latitudo capilHtii erat quasi 6', at nucleus cum planetis ope tubi optici coHatus plane minor erat jove, & nunc minor corpore intermedio saturni, nunc ipsi aequaHs judicabatur. Porro cum diameter capil- Htii cometarum raro superet 8^ vel 12', diameter vero nuclei seu steHae centraHs sit quasi decima vel forte decima quinta pars diame- tri capiHitii, patet steHas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis magnitudinis cum planetis. Unde cum kix earum cum luce saturni non raro conferri possit eamque aHquando superet, manifestum 2 H 482 DE MUNDI SYSTEMATE est quod cometae omnes in perlhellls vel infra saturnum collocandi slnt vel non longe supra. Errant igltur toto coelo, qui cometas in reglonem fixarum prope ablegant : qua certe ratione non magis illustrarl deberent a sole nostro, quam planetae, qul hlc sunt, Illustran- tur a stelHs fixls. Haec dlsputavimus non conslderando obscurationem cometarum per fumum Illum maxime copiosum & crassum, quo caput circun- datur, quasl per nubem obtuse semper lucens. Nam quanto obscu- rius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad solem accedat necesse est, ut copia lucis a se reflexae planetas aemuletur. Inde verislmlle fit cometas longe infra sphaeram saturni descendere, uti ex parallaxi probavimus. Idem vero quam maxime confirmatur ex caudls. Hae vel ex reflexlone fumi sparsi per aethera vel ex luce capltis orluntur. Prlore casu minuenda est distantia cometarum, ne fumus a caplte semper ortus per spatla nimis ampla IncredlblH cum velocltate & expanslone propagetur. In posteriore referenda est lux omnls tam caudae quam capIlHtii ad nucleum capltis. Igitur si conclplamus lucem hanc omnem congregari & intra dlscum nuclei coarctari, nucleus IHe jam certe, quotles caudam maximam & fulgen- tisslmam emlttlt, jovem ipsum splendore suo multum superabit. Mlnore igitur cum dlametro apparente plus lucis emlttens, multo magis illustrabitur a sole, ideoque erit soli multo proplor. Ouinetiam capita sub sole delitescentla, & caudas cum maximas tum fulgentis- simas instar trablum ignitarum nonnunquam emlttentla, eodem ar- gumento infra orbem veneris collocari debent. Nam lux illa omnis si in stellam congregari supponatur, ipsam venerem ne dlcam veneres plures conjunctas quandoque superaret. Idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu cometarum a terra solem versus, ac decrescente in eorum recessu a sole versus terram. Sic enim cometa posterlor anni 1665 (obser- vante Hevelio) ex quo consplci coeplt remittebat semper de motu suo apparente, ideoque praeterierat perigaeum ; splendor vero capitis nihilomlnus indles crescebat, usque dum cometa radlls solarlbus obtectus desllt apparere. Cometa anni 1683 (observante eodem Hevelio) in fine mensls julii, ubi primum conspectus est, tardlssime movebatur, minuta prlma 40 vel 45 circiter singulis diebus In orbe LIBER TERTIUS. 483 suo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo augebatur usque ad Sept. 4, quando evasit graduum quasi quinque. Igitur toto hoc tempore cometa ad terram appropinquabat. Id quod etiam ex diametro capitis micrometro mensurata colligitur : quippe quam Heveliics reperit Atcg. 6 esse tantum 6' ^" inclusa coma, at Sept. 2 esse 9' f. Caput igitur initio longe minus apparuit quam in fine motus, at initio tamen in vicinia solis longe lucidius extitit quam circa finem, ut refert idem Hevelms. Proinde toto hoc tempore, ob recessum ipsius a sole, quoad lumen decrevit, non obstante accessu ad terram. Cometa anni 1618 circa medium mensis Decenibris & iste anni 1680 circa finem ejusdem mensis celerrime movebantur, ideoque tunc erant in perig^is. Verum splendor maximus capitum contigit ante duas fere septimanas, ubi modo exierant de radiis solaribus ; & splendor maximus caudarum paulo ante in majore vicinitate soHs. Caput cometae prioris, juxta observa- tiones Cysati, Decemb. i majus videbatur stelHs primae magnitudinis, & Decemb. 16 (jam in perigseo existens) magnitudine parum, splendore seu claritate luminis plurimum defecerat. yan. 7 Keplerus de capite incertus finem fecit observandi. Die 12 mensis Decemb. conspectum & a Flamstedio observatum est caput comet^ posterioris in distantia novem graduum a sole ; id quod stellse tertiae magnitudi- nis vix concessum fuisset. Decemb. 15 & 17 apparuit idem ut stella tertiee magnitudinis, diminutum utique splendore nubium juxta solem occidentem. Decemb. 26 velocissime motus, inque perigseo pro- pemodum existens, cedebat ori pegasi, stellae tertiae magnitudinis. Jan. 3 apparebat ut stella quartae, Jan. 9 ut stella quintae, Jan. 13 ob splendorem lunae crescentis disparuit. Jan. 25 vix aequabat stellas magnitudinis septimae. Si sumantur aequalia a perigaeo hinc inde tempora, capita quae temporibus ilHs in longinquis regionibus posita, ob ^quales a terra distantias, aequaHter lucere debuissent, in plaga soHs maxime splenduere, ex altera perigaei parte evanuere. Igitur ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna soHs & comet^ vicinitas in situ priore. Nam lux cometarum regularis esse solet & maxima apparere, ubi capita velocissime moventur atque ideo sunt in perig^is ; nisi quatenus ea major est in vicinia soHs. 484 DE MUNDI SYSTEMATE Corol. I. Splendent igitiir cometse luce solis a se reflexa. Corol, 2. Ex dictis etiam intelligitur cur cometse tantopere fre- quentant regionem solis. Si cernerentur in regionibus longe ultra saturnum, deberent saepius apparere in partibus soli oppositis. Forent enim terrae viciniores, qui in his partibus versarentur; & sol interpositus obscuraret caeteros. Verum percurrendo historias cometarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt in hemisphaerio solem versus quam in hemisphaerio opposito, praeter aHos proculdubio non paucos quos lux solaris obtexit. Nimirum in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt, neque adeo illustrantur a sole, ut nudis oculis se prius detegendos exhibeant, quam sint ipso jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo circa solem descripti pars longe major sita est a latere terrae, quod solem respicit; inque parte illa majore cometae, soli ut plurimum viciniores, magis illuminari solent. CoroL 3. Hinc etiam manifestum est, quod cceli resistentia destituuntur. Nam cometae vias obliquas & nonnunquam cursui planetarum contrarias secuti moventur omnifariam liberrime, & motus suos, etiam contra cursum planetarum, diutissime conservant. Fallor ni genus planetarum sint & motu perpetuo in orbem redeant. Nam quod scriptores aliqui meteora esse volunt, argumentum a capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere videtur. Capita cometarum atmosphaeris ingentibus cinguntur; & atmosphaerae inferne densiores esse debent. Unde nubes sunt, non ipsa cometarum corpora, in quibus mutationes illae visuntur. Sic terra si e planetis spectaretur luce nubium suarum proculdubio splenderet, & corpus firmum sub nubibus prope delitesceret. Sic cingula jovis in nubibus planetae illius formata sunt, quae situm mutant inter se, & firmum jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. Et multo magis corpora cometarum sub atmosphaeris & profundioribus & crassioribus abscondi debent. LIBER TERTIUS. 485 PROPOSITIO XL. THEOREMA XX. Cometas i7i sectio7iibtts conicis timbilicos in centro solis habentibus moveri, & radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere, Patet per corol. i prop. xiii libri primi collatum cum prop. viii, XII & XIII libri tertii. Corol. I. Hinc si cometae in orbem redeunt, orbes erunt ellipses & tempora periodica erunt ad tempora periodica planetarum in axium principalium ratione sesquiplicata. Ideoque cometse maxima ex parte supra planetas versantes & eo nomine orbes axibus majoribus descri- bentes tardius revolventur. Ut si axis orbis cometae sit quadruplo major axe. orbis saturni, tempus revolutionis cometae erit ad tempus revolutionis saturni, id est ad annos 30, ut \J\ (seu 8) ad i, ideoque erit annorum 240. Corol. 2. Orbes autem erunt parabolis adeo finitimi, ut eorum vice parabolae sine erroribus sensibilibus adhiberi possint. CoroL 3. Et propterea (per corol. 7 prop. xvi lib. i) velocitas cometae omnis erit semper ad velocitatem planetae cujusvis circa solem in circulo revolventis in subduplicata ratione duplae distantiae planetae a centro solis ad distantiam cometae a centro solis quam- proxime. Ponamus radium orbis magni, seu ellipseos in qua terra revolvitur, semidiametrum maximam esse partium 1 00000000 : & terra motu suo diurno mediocri describet partes 17202 12, & motu horario partes 71675I-. Ideoque cometa in eadem telluris a sole distantia mediocri ea cum velocitate quae sit ad velocitatem telluris ut ^2 ad i describet motu suo diurno partes 2432747, & motu horario partes 101364I. In majoribus autem vel minoribus distantiis motus tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum & horarium in subduplicata ratione distantiarum reciproce, ideoque datur. Corol. 4. Unde si latus rectum parabolae quadruplo majus sit radio orbis magni & quadratum radii illius ponatur esse partium 1 00000000 area quam cometa radio ad solem ducto singulis diebus describit erit 486 DE MUNDI SYSTEMATE partium 1216373!^, & singulis horis area illa erit partium 50682 J. Sin latus rectum majus sit vel minus in ratione quavis, erit area diurna & horaria major vel minor in eadem ratione subduplicata. L E M M A V. Invenire lineam curvam generis parabolici^ qtue per data qtiotctcnqtie puncta transibit. Sunto puncta illa A, B, C, D, E, F, &c. & ab iisdem ad rectam quamvis positione datam H N demitte perpendicula quotcunque A H, BI, CK,DL,EM,FN, Cas, I. Si punctorum H^ /, K^ Z, M, N sequalia sunt intervalla HI, I Kj K L, &c. collige perpendiculorum A H, B I, C K, &c. dififerentias primas b, ib, 3^, ^b, ^b, &c, secundas ^, 2c, 3^, 4^, &c. tertias d, 2d, 2,d, &c. id est, ita ut sit A H—BI=b, BI—CK=2b, CK^DL = ib, DL^EM=A,b,--EM^FN=^b, &c. dein ^- \ 2b 3b 4b 5b 2 c 3c 4c d 2 d 3 d e 26 f 2<5=:r, &c. & sic pergatur ad differentiam ultimam, quae hic est / Deinde erecta quacunque perpendiculari, i? 6^, qu^ fuerit ordinatim appHcata ad curvam quaesitam : ut inveniatur hujus longitudo, pone intervalla H I, I K, KL,LM, &c. unitates esse, & dic A H=a, — HS=p, \p m — IS=q, iq m-hSK=r, ir in + S L=s, is in -\-SM=t; pergendo videhcet ad usque penultimum perpendiculum ME, & prseponendo signa negativa terminis H S, I S, &c. qui LIBER TERTIUS. 487 jacent ad partes puncti kS versus A, & signa affirmativa terminis SK, SL, &c, qui jacent ad alteras partes puncti vS'. Et signis probe observatis, erit /^ S=a + dp-hc^ + dr + es +/^, &c. Cas. 2. Quod si punctorum //, /, K, L, &c. inaequalia sint inter- valla HL, I K, &c. collige perpendiculorum A H, BL C K, &c. differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas <5, 2 ^, 3 b, ^b, ^b ; secundas per intervalla bina divisas r, 2 ^, 3 r, 4 c, &c. tertias per intervalla terna divisas ^ 2 ^, 3 d, &c. quartas per intervalla quaterna divisas e, 2e, &c. & sic deinceps ; id est, ita ut sit b = AH-BI , BI-CK , CK-DL ^ ,. b - 2 b^ -_^^,.^ = ^^,3^ = — ^7->&c. dem.= -^^ 2b-zb lb-\b _ ^ , c-2 c 2 c- zc 2.= -^^, 3^ = ^^^^>&c.postea^=-^^, 2 d= ^^^ , &c. Inventis differentiis, dic A H=a,-HS=p, p m-IS=q, q \xi^-SK=r, rxxi^-SL^s.s 'm-\-SM=t; pergendo scilicet ad usque perpendiculum penultimum M E, & erit ordinatim applicata 7? kS= a + bp-\-cq-\-dr+es-\-/t, 8^c, Corol. Hinc arese curvarum omnium inveniri possunt quamproxi- me. Nam si curvse cujusvis quadrandae inveniantur puncta aliquot, & parabola per eadem duci intelligatur : erit area parabolae hujus eadem quamproxime cum area curvae illius quadrandae. Potest autem parabola per methodos notissimas semper quadrari Geome- trice. LEMM A VI. Ex observatis aliquot locis cornetce invenire locum ejus ad tempus qtcodvis intermedium datum. Designent HI, I K, K L, L M tempora inter observationes (in fig. prcsccd.) HA, I B, K C, LD, ME observatas quinque longi- tudines cometae, HS tempus datum inter observationem primam & longitudinem quaesitam. Et si per puncta A, B, C, D, E duci intelligatur curva regularis A B C D E, & per lemma superius inveniatur ejus ordinatim applicata R S, erit 7? 6^ longitudo quaesita. Eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur latitudo ad tempus datum. 488 DE MUNDI SYSTEMATE Si longitudinum observatarum parvse sint differentiae, puta gradu- um tantum 4 vel 5 sufifecerint observationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores sint differentiae, puta graduum 10 vel 20, debebunt observationes quinque adhiberi. L E M M A VII. Per datum punctum P dtccere rectam Ihieam B C, cujus partes P B, P C, rectis duabus positione datis A B, A C adscisscs, datam habeant rationem ad invicem. A puncto illo P ad rectarum alteru- tram A B ducatur recta quaevis P D, 8i producatur eadem versus rectam alteram A C usque ad E, ut sit P E ^d P D in data illa ratione. Ipsi A D parallela sit EC; & si agatur CPB, erit P C ad PB ut PE ad PD, Q,E,E LE M M A VIII. Sit A B Cparabota umbilicum habens S. Chorda A C bisecta in /-?.. I abscinddtur segmentum A B C I, cujus diameter sit l fi & vertex m. LIBER TERTIUS. 489 In\ pL producta capiatur m O cBqualis dimidio ipsitis I m. Jtmgatur O S, & producatur ea ad ^, ut sit S ^ ccqtcalis 2 S O. Et si cometa B moveatur in arcu C B A, Nam 4 ^'ai est latus rectum parabolae pertinens ad verticem /i. LE M M A X. Si producattir S jm adN & T, ut fiN sit pars tertia ipsius m I, df S P sit ad SN ut S N ad S fi, cometa, qico tempore describit arcum A juL C, si progrederetur ea semper ctcm velocitate quam habet in alii- tudine ipsi S P cBquali, describeret longitudinem c£qualem chordcs A C. Nam si cometa velocitate, quam habet in m, eodem tempore pro- grederetur uniformiter in recta, quae parabolam tangit in ytt ; area, quam radio ad punctum 6" ducto describeret, sequalis esset arese parabolicae A S C in. Ideoque contentum sub longitudine in tangente descripta & longitudine S ^jl esset ad contentum sub longitudinibus A C & SMy ut area A SCin ad triangulum A S C, id est, ut S N ad SM, Quare A C est ad longitudinem in tangente descriptam, ut ^'m ad S//. Cum autem velocitas cometae in altitudine S P sit (per corol. 6 prop. xvi lib. i) ad ejus velocitatem in altitudine 6^^ in subduplicata ratione SP Sid S fi inverse, id est, in ratione S fi Sid S N': longitudo hac velocitate eodem tempore descripta erit ad lon- LIBER TERTIUS. 49 1 gitudinem in tangente descriptam, ut vS/x ad SN. Igitur AC & lon- gitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in tangente descriptam in eadem ratione, sequantur inter se. Q. E. D. CoroL Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine ^^ + 1 /^^ eodem tempore describeret chordam A C quamproxime. LE M M A X I. Si cometa mottc onini privatus de altittidine S N seu S /i + H M demitteretur, ut caderet in solem, & ea semper vi tmiformiter con- tinuata urgeretur i^i solem, qua urgetur sub initio ; idem semisse temporis, quo in orbe suo describat arcum A C, descensu suo describeret spatium longitudini I m ceqtcale. Nam cometa, quo tempore describat arcum parabolicum A C, eodem tempore ea cum velocitate, quam habet in altitudine SP (per lemma novissimum) describet chordam A C, ideoque (per corol. 7 prop. XVI Hb. i) eodem tempore in circulo, cujus semidiameter esset S P, vi gravitatis suae revolvendo describeret arcum, cujus longitudo esset ad arcus parabolici chordam A C in subdupHcata ratione unitatis ad binarium. Et propterea eo cum pondere, quod habet in solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in solem, descri- beret semisse temporis illius (per corol. 9 prop. iv lib. i) spatium ^quale quadrato semissis chordae illius appHcato ad quadruplum A I Q altitudinis SP, id est, spatium — — ^. Unde cum pondus cometse m solem in altitudine S N %\X. ad ipsius pondus in solem in altitudine SP.mX. SP ad S^\ cometa pondere quod habet in altitudine SN Alq ., eodem tempore, in solem cadendo, descnbit spatmm , id est, spatium longitudini /m vel M tx aequale. Q.E.D. 492 DE MUNDI S YSTEMA TE PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXI. CometcB inparabola moti trajedoriam ex datis tribus observationibus determinare. Problema hocce longe difficillimum multimode aggressus, com- posui problemata quaedam in libro primo, quae ad ejus solutionem spectant. Postea solutionem sequentem paulo simpliciorem excogi- tavi. Seligantur tres observationes aequalibus temporum intervallis ab invicem quamproxime distantes. Sit autem temporis intervallum illud, ubi cometa tardius movetur, paulo majus altero, ita videlicet ut temporum differentia sit ad summam temporum, ut summa temporum ad dies plus minus sexcentos ; vel ut punctum E (in fig. lem. viii) ir- ^/ incidat in punctum M quamproxime, & inde aberret versus / potius quam versus A. Si tales observationes non praesto sint, inveniendus est novus cometae locus per lemma sextum. LIBER TERTIUS. 493 Designent .S' solem, T, t, t tria loca terrse In orbe magno, T A t B, T C observatas tres longitudlnes cometae, V tempus inter observatlonem prlmam & secundam, W tempus Inter secundam ac tertiam, X longltudlnem, quam cometa toto Illo tempore ea cum velocltate, quam habet in mediocrl telluris a sole distantla, descrl- bere posset, quseque (per corol. 3 prop. xl llb. iii) Invenienda est, 81 t V perpendiculum In chordam Tt. In observata longltudine media t B sumatur utcunque punctum B pro loco cometae In plano eclipticae, & inde versus solem 6^ ducatur linea B E, quae slt ad saglttam t V, ut contentum sub SB 81 S t quad. ad cubum hypote- nusae triangull rectanguh*, cujus latera sunt SB & tangens latltudinls cometae in observatione secunda ad radium t B. Et per punctum B agatur (per hujus lem. vii) recta A E C, cujus partes A E, E C, ad rectas TA & r C termlnatae, slnt ad invlcem ut tempora V & IV: & erunt A & C loca cometae In plano ecHptlcae in observatlone prl- ma ac tertla quamproxlme, sl modo B slt locus ejus recte assumptus In observatione secunda. Ad A C blsectam In / erige perpendlculum /t. Per punctum B age occultam Bt ipsi A Cparallelam. Junge occultam ^'/secantem A Cin X, & comple parallelogrammum z/Xh-. Cape /o- sequalem 3/X, & per solem kS age occultam a- ^ aequalem sScr-i-^zX. Et deletls jam Hterls A, E, C^ /y a. puncto B versus punctum ^ duc occultam novam B Ey quse sit ad priorem ^ ^ in dupHcata ratione dlstantlae ^ 6^ ad quantitatem S ^-\-\ A. Et per punctum E iterum duc rectam A E C eadem lege ac prlus, id est, ita ut ejus partes A E 8l E C sint ad invlcem ut tempora inter observatlones V 8l W. Et erunt A & C loca cometae magls accurate. Ad A C blsectam In / erlgantur perpendlcula A Af, C N, / O, quorum AM & CN sint tangentes latitudinum In observatlone prima ac tertia ad radlos TA 8ltC. Jungatur MN secans /O In O. Con- stituatur rectangulum //X/z ut prius. \n / A producta caplatur / D aequaHs S ix -\- ^ i\. Delnde in M N versus N capiatur M P, quae slt ad longitudinem supra inventam X in subdu- pHcata ratione medlocris dlstantlae teHurls a sole (seu semldlame- trl orbls magnl) ad distantiam O D. SI punctum P incidat In punctum N ; erunt A, B, C trla loca comet^, per quae orbls ejus In 494 ^^ MVNDI SYSTEMATE plano ecllpticse describi debet. Sin punctum P non incidat in punctum N ; in recta A C capiatur C G ipsi N P sequalis, ita ut puncta (? & P ad easdem partes rectae N C jaceant. Eadem methodo, qua puncta E, A, C, Gy ex assumpto puncto B inventa sunt, inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliis d & ^ puncta nova e, a, c, g, & e, a, k, y. Deinde si per G, g, y ducatur circumferentia circuli Ggy, secans rectam r C in Z: erit Z locus cometae in plano eclipticae. Et si in A C, ac, a k capiantur A F, af, a (p ipsis C G, c g, k y respective sequales, & per puncta F, f, ^" C^--.. - «, <^ ducatur circumferentia circuli Ff^^, secans rectam ^ 7" in X ; erit punctum X alius cometae locus in plano eclipticae. Ad puncta X 8i Z erigantur tangentes latitudinum cometae ad radios T X & rZ ; & habebuntur loca duo cometae in orbe proprio. Denique (per prop. xix lib. i) umbiHco 6" per loca illa duo describatur parabola, & haec erit trajectoria cometae. Q.E.I. Constructionis hujus demonstratio ex lemmatibus consequitur : quippe cum recta A C secetur in E in ratione temporum per lemma VII, ut oportet per lem. viii \ &l B E per lem. xi sit pars rectae B S vel .^ ^ in plano eclipticae arcui A B C &l chordae A E C inter- jecta ; & MP (per corol. lem. x) longitudo sit chordae arcus, quem LIBER TERTIUS. 495 cometa in orbe proprio inter observationem primam ac tertiam de- scribere debet, ideoque ipsi M N sequalis fuerit, si modo B sit verus cometae locus in plano eclipticae. Caeterum puncta B, b, /3 rion quaelibet, sed vero proxima eligere convenit. Si angulus A Q t/m quo vestigium orbis in plano eclipticse descriptum secat rectam / B, prseterpropter innotescat ; in angulo illo ducenda erit recta occulta A C, quse sit ad # 7"t in subduplicata ratione S Q 2A S t. Et agendo rectam S E B, cujus pars EB aequetur longitudini V t, determinabitur punctum B quod prima vice usurpare licet. Tum recta A C deleta & secundum prsecedentem constructionem iterum ducta, & inventa insuper longitudine M P ; in t B capiatur punctum b, ea lege, ut si T A, t C s^ mutuo secuerint in K, sit distantia V b Sid distantiam VB, in ratione composita ex ratione MP 2id MJV & ratione subduplicata S B 2id S b. Et eadem methodo inveniendum erit punctum tertium ^ si modo operationem tertio repetere lubet. Sed hac methodo operationes duse ut plurimum suffecerint. Nam si distantia B b perexigua obvenerit ; postquam inventa sunt puncta E,/& G, g, actse rectse E/ 81 6^^ secabunt TA & T C in punctis qusesitis X &, Z. Exemplum. Proponatur cometa anni 1680. Hujus motum a Elamstedio obser- vatum & ex observationibus computatum, atque ab Halleio ex iisdem observationibus correctum, tabula sequens exhibet. 496 DE MUNDI SYSTEMATE Cometcc. 1 Tem . appar. Teni. venim. Long. Solis. Longitudo. Lat. bor. h. / h. / // 0 / // 0 / // 0 / // 1680 Dec. 12 4 46 4 46 0 n I 51 23 A 6 32 30 8 28 0 21 6 32i 6 36 59 II 6 44 "♦TN 5 8 12 21 42 13 24 6 12 6 17 52 14 9 26 18 49 23 25 23 5 26 5 14 5 20 44 16 9 22 28 24 13 27 0 52 29 7 55 8 3 2 19 19 43 K 13 10 41 28 9 58 30 8 2 8 10 26 20 21 9 17 3« 20 28 II 53 1681 Jan. 5 5 51 6 I 3^ 26 22 18 T 8 48 53 26 15 7 9 6 49 7 0 53 :::^ 0 29 2 18 44 4 24 II 56 10 5 54 6 6 10 I 27 43 20 40 50 23 43 52 13 6 56 7 8 55 4 33 20 25 59 48 22 17 28 25 7 44 7 5« 42 16 45 36 b 9 35 0 17 56 30 30 8 7 8 21 53 21 49 5« 13 19 51 16 42 r8 Feb. 2 6 20 6 34 51 24 46 59 15 13 53 16 4 I 5 6 50 7 4 41 27 49 51 16 59 6 15 27 3 His adde observationes quasdam e nostris. 1681 Feb. 25 27 Mar. T 2 5 7 9 Tem. appar. Cometce Longitudo. CometiZ Lat. bor. h. 8 8 II 8 II 9 8 30 15 0 0 30 30 30 0 / // b 26 18 35 27 4 30 27 52 42 28 12 48 29 18 0 n 0 4 0 0 43 4 12 46 46 12 36 12 12 23 40 12 19 38 12 3 16 TT 57 0 II 45 52 Hae observationes telescopio septupedali, & micrometro filisque in foco telescopii locatis peractae sunt : quibus instrumentis & posi- tiones fixarum inter se & positiones cometse ad fixas determinavimus. Designet A stellam quartae magnitudinis in sinistro calcaneo Persei (Bayero o) B stellam sequentem tertiae magnitudinis in sinistro pede (Bayero ^ & C stellam sextae magnitudinis (Bayero 71) in talo ejus- dem pedis, ac D, E, F, G, H, /, K, Z, M, N, (9, Z, a, A 7, ^ stellas alias minores in eodem pede. Sintque p, P, Q, R, S^ T, V, Xy LIBER TERTIUS. 497 loca cometse In observationibus supra descriptis : & existente distantia A B partium Soi^, erat A C partium 52^, B C 58I, A D 57^^, B D 82A, CD 21%, AE 291, CE 57J, i^^49-, ^/273^, ^/521, CI 36A, Z>/ 53A>^^ 381,^7^43,^^^31!, FK 29, FB 23, /^C ^\ Y *s #K ZehAH i%\,DH sol, BN 46A, CN 31^ BL 45A, iV^Z 31I /^6^ erat ad 77/ ut 7 ad 6 & producta transibat inter stellas D &. E, sic ut distantia stellae D ab hac recta esset \ C D. L M erat ad ZiV ut 2 ad 9, & producta transibat per stellam H. His determinabantur positiones fixarum inter se. Tandem Poimdms noster iterum observavit positiones harum fixarum inter se, & earum longitudines & latitudines in tabulam sequentem retulit. Fixariim Longitudines Za/. boreal. 0 / // 0 / // A 6 26 41 50 12 8 36 B 28 40 23 I^ 17 54 C 27 58 30 12 40 25 E 26 27 17 12 52 7 F 28 28 37 II 52 22 G 26 56 8 12 4 58 H 27 II 45 12 2 I I 27 25 2 II 53 II K 27 42 7 II 53 26 Fixarum Longitudines Lat. boreal. 0 / // 0 / // L tt 29 33 34 12 7 48 M 29 18 54 12 7 20 N 28 48 29 12 31 9 Z 29 44 48 57 13 a 29 52 3 55 48 /? n 0 8 23 48 56 7 0 40 10 55 18 8 I 3 20 30 42 Positiones vero cometse ad has fixas observabam ut sequitur. Die veneris Feb. 25 st. vet. hor. 8i p.m. cometae in p existentis distantia a stella E erat minor quam A, A E, major quam \ A Ey 21 498 ^^^ MUNDI SYSTEMArE ideoque sequalis A A E proxime ; & angulus A p E nonnihil obtusus erat, sed fere rectus. Nempe si demitteretur 2A p E perpendiculum ab A, distantia cometae a perpendiculo illo erat \ p E. Eadem nocte hora 9J, cometae in P existentis distantia a stella E erat major quam — A E, minor quam — A E, ideoque aequaHs — A\ 5t 4I A E, seu i^ A E quamproxime. A perpendiculo autem a stella A ad rectam P E demisso distantia cometae erat -J P E. Die soHs Eed. 27 hor. 8t p.m. cometae in Q existentis distantia a stella O aequabat distantiam stellarum O & //, Sz recta Q O producta transibat inter stellas K & B. Positionem hujus rectae ob nubes intervenientes magis accurate definire non potui. Die martis Mart. i hor. 11 p.m. cometa in R existens stelHs K 6 C accurate interjacebat, & rectae C R K pars C R paulo major erat quam \ C K, &l paulo minor quam \ C K-^^ C R, ideoque aequaHs \ CK+^CRs^xxHCK. Die mercurii Mart. 2 hor. 8 p.m. cometae existentis in 6^ distantia a steHa C erat i EC quamproxime. Distantia steHae E a recta C S producta erat «V E C ; & distantia steHae B ab eadem recta erat quintuplo major quam distantia steHae E. Item recta A^^' producta transibat inter steHas H & 1^ quintuplo vel sextuplo propior existens steHae H quam steHae /. Die saturni Mart. 5 hor. iij p.m. cometa existente in T, recta y^ T^aequaHs erat \ M L, & recta L T producta transibat inter B & E, quadruplo vel quintuplo propior E quam B, auferens 3. B E quintam vel sextam ejus partem versus E Et M T producta tran- sibat extra spatium ^/^ad partes steHae B, quadruplo propior existens steHae B quam steHae E. Erat M steHa perexigua quae per telesco- pium .videri vix potuit & L steHa major quasi magnitudinis octavae. Die lunae Mart. 7 hor. g\ p.m. cometa existente in F, recta F a producta transibat inter B & E, auferens sl B E versus Et\ B E, & erat ad rectam Vfi ut 5 ad 4. Et distantia cometae a recta a fi erat Die mercurii Mart. 9 hora 8^ p.m. cometa existente in X, recta 7 X aequah's erat \yS,8i perpendiculum demissum a steHa S ad rectam y X erat I 7 ^. Eadem nocte hora 12, cometa existente in K, recta 7 V aequaHs LIBER TERTIUS. 499 erat \ y^, aut paulo minor, puta tV 7 ^, & perpendiculum demissum a stella ^ ad rectam 7 Kaequalis erat i 7 (^ vel t 7 «^ circiter. Sed cometa ob viciniam horizontis cerni vix potuit, nec locus ejus tam distincte ac in praecedentibus definiri. Ex hujusmodi observationibus per constructiones figurarum & computationes derivabam longitudines & latitudines cometae, & Poun- dius noster ex correctis fixarum locis loca cometse correxit, & loca correcta habentur supra. Micrometro parum affabre constructo usus sum, sed longitudinum tamen & latitudinum errores (quatenus ex observationibus nostris oriantur) minutum unum primum vix superant. Cometa autem ( juxta observationes nostras) in fine motus sui nota- biliter deflectere ccepit boream versus a parallelo quem in fine mensis Februarii tenuerat. Jam ad orbem cometse determinandum ; selegi ex observationibus hactenus descriptis tres, quas Flamstedius habuit Dec, 21, Jan. 5, & Jan. 25. Ex his inveni St partium 9842,1 81 V t partium 455, quales loooo sunt semidiameter orbis magni. Tum ad operationem primam assumendo t B partium 5657, inveni S B 9747, B E prima vice 412, S ^i 9503, A 413 : B E secunda vice 421, O D 10186, X 8528,4 MP 8450, AfN 8475, N P 25. Unde ad operationem secundam collegi distantiam td 5640. Et per hanc operationem inveni tandem distantias T X 4775 & t Z 11322. Ex quibus orbem definiendo, inveni nodos ejus descendentem in- ss & ascendentem in y^ i^' 53'; incHnationem plani ejus ad planum eclipticae ^i^""- 20'^; verticem ejus (seu perihehum cometae) distare a nodo 8^''- 38', & esse in^^^^"- 43' cum latitudine australi y^' 34'; & ejus latus rectum esse 236,8, areamque radio ad solem ducto singuh's diebus descriptam 93585, quadrato semidiametri orbis magni posito 100000000; come- tam vero in hoc orbe secundum seriem signorum processisse, & Decemb. Z^- &• 4' p.m. in vertice orbis seu periheHo fuisse. Haec omnia per scalam partium aequaHum & chordas angulorum ex tabula sinuum naturaHum coHectas determinavi graphice ; construendo schema satis amplum, in quo videHcet semidiameter orbis magni (partium 10000) aequaHs esset digitis 16^ pedis Anglicani. Tandem, ut constaret an cometa in orbe sic invento vere move- retur, coHegi per operationes partim arithmeticas partim graphicas loca cometae in hoc orbe ad observationum qiiarundam tempora : uti in tabula sequente videre licet. 500 DE MUNDI SYSTEMATE Dec. 12 29 Feb. 5 Mar. 5 Distimt. Comet. a Sole Long. Colled. Lat. Collect. Z^;/^. Obs. Lat. Obs. Differ. Long. ^^r- 2792 8403 16669 21737 gr. , n 6 32 K T3 13I ti 17 0 29 19I gr. 8 18.V 28 0 15 29t 12 4 n 6 34 K 13 iif » 16 591- 29 20« gr- / 8 26 28 lO^l^ 15 27I 12 3l + I + 2 — I -lorj rt Postea vero Hallems noster orbltam per calculum arlthmetlcum accuratlus determlnavlt, quam per descrlptlones llnearum fierl llcult ; & retlnult quldem locum nodorum In ss & i^ i^' 53', & Incllnati- onem planl prbltae ad ecllptlcam 6i^' 20' i, ut & tempus perlhelii cometae Decemb. 8"^ o''- 4' : dlstantlam vero perihelii a nodo ascen- dente in orbita cometai mensuratam invenit esse 9^- 20^ & latus rectum parabolae esse 2430 partium existente mediocri soHs a terra dlstantia partlum 1 00000. Et ex his datls, calculo Itldem arlthmetlco accurate instituto, loca cometse ad observationum tempora computavit, ut sequltur. Disiantia Errores in Tempus verum CometcB a O Long. comp. Lat. comp. Long. Lat. d. h. gr. gr. / // / / // Dec. 12 4 46 28028 YS 6 29 25 8 26 0 fior. -3 S — 2 0 21 6 37 61076 >♦♦♦» 5 6 30 21 43 20 — I 42 + 1 7 24 6 18 70008 18 48 20 25 22 40 — I 3 — 0 25 26 5 21 75576 28 22 45 27 I 36 — I 28 + 0 44 29 « 3 84021 K13 12 40 28 10 10 + 1 59 + 0 12 30 8 10 86661 17 40 5 28 II 20 + 1 45 — 0 33 Jan. 5 6 li IOI440 V 8 49 49 26 15 15 + 0 56 + 0 8 9 7 0 I 10959 18 44 36 24 12 54 + 0 32 + 0 58 lO 6 6 IT3162 20 41 0 23 44 10 + 0 10 + 0 18 13 7 9 120000 26 0 21 22 17 30 + 0 33 + 0 2 25 7 59 145370 « 9 33 40 17 57 55 — I 20 + 1 25 30 8 22 155303 13 17 41 16 42 7 — 2 10 — 0 II Feb. 2 6 35 160951 15 11 II 16 4 15 — 2 42 + 0 14 5 7 a\ 166686 16 58 25 15 29 13 — 0 41 + 2 10 25 8 41 202570 26 15 46 12 48 0 — 2 49 + 1 14 Mar. 5 II 39 216205 29 18 35 12 5 40 + 0 35 + 2 24 Apparult etlam hic cometa mense Nove^nbri praecedente & Co- burgi In Saxonia a D"°- Gottfried Kh^ch observatus est diebus mensis hujus quarto, sexto & undecimo, stylo veteri ; & ex positionibus LIBER TERTIUS. 501 ejus ad proximas stellas fixas ope telescopli nunc blpedalis nunc decempedalis satis accurate observatls, ac differentia Ipngitudlnum Cobiu^gi & Londini graduum undecim & locis fixarum a Ponndio nostro observatis, Halleins noster loca cometae determinavit ut sequitur. Novem. 3^- 17^* 2', ternpore apparente Londini, cometa erat in ^ 29^- 51' cum lat. bor. i^- 17' 45'^ Novem. ^^' 15^' 58' cometa erat in nj 3^- 23' cum lat. bor. i^- 6'. Nove7n. \o^' i6^- 31' cometa aequaliter distabat a stellis leonis o- ac T Bayero ; nondum vero attigit rectam easdem jungentem, sed parum abfuit ab ea. In stellarum catalogo Flamstediano cr tunc habuit ^ i^^'- 15' cum lat. bor. i^- 41' fere, r vero ttj 17^- 3J, cum lat. austr. o^- 34'. Et medium punctum inter has stellas fuit W 15^' 39'^, cum lat. bor. o^- 33^. Sit distantia cometae a recta illa 10' vel 12' circiter, & differentia longitudinum cometae & puncti illlus medii erit 7', & differentia latltudinum 7'^, circiter. Et inde cometa erat in n}^ 15^- 32' cum lat. bor. 26' circiter. Observatlo prima ex situ cometae ad parvas quasdam fixas abunde satis accurata fuit. Secunda etiam satis accurata fuit. In tertla, quae minus accurata fult, error minutonim sex vel septem subesse potuit, & vix major. Longitudo vero cometae in observatione prima, quae caeteris accuratlor fuit, In orbe praedicto parabolico computata erat 51 29^- 30' 22'', latitudo borealis i^- 25' f' 8i distantia ejus a sole 1 15546. Porro Halleitcs observando quod cometa Insignis intervallo anno- rum 575 quater apparulsset, scilicet mense Septembri post caedem Jnlii CcBsaris, anno Christi 531 Lainpadio & Oreste Coss., anno Christi 1106 mense Februario, & sub finem annl 1680, idque cum cauda longa & insigni (praeterquam quod sub mortem Ccssaris cauda ob incommodam telluris positionem minus apparuisset) quaesivit orbem elllpticum cujus axis major esset partium 1382957, existente mediocri distantia telluris a sole partium loooo : in quo orbe utique cometa annis 575 revolvl possit Et ponendo nodum ascendentem in QZ5 2^^- 2'; inclinationem planl orbis ad planum ecllptlcae ^i^""- 6' 48''; perlhelium cometae in hoc plano t ^^^" 44' 25''; tempus aequatum perihelii Decem. "j^- 23^- 9'; distantiam perihelii a nodo ascendente in 502 DE MUNDI SYSTEMATE plano eclipticae g''- 17' 35"^ & axem conjugatum 18481,2 : computavit motum cometae in hoc orbe elliptico. Loca autem ejus tam ex obser- vationibus deiucta quam in hoc orbe computata exhibentur in tabula sequente. , Tempus venim Louo^. obs. Za^. Bor. Lont^ -•. CO.'/l/>. Lat. comp. Errorcs in Long. Lat. d. Nav. 3 h. 16 47 ^?9 51 0 gr. 17 45 ^?9 51 22 gr. I / 17 3iB ^ -0 22 / // — 0 13 5 15 37 W 3 23 0 I 6 0 TIJ 3 24 32 I 6 9 - -I 32 -fo 9 10 16 18 15 32 0 0 27 0 15 33 2 0 ■25 7 H -I 2 — I 53 16 17 0 • :^ 8 16 45 0 53 7A 18 21 34 18 52 15 I 26 54 20 17 0 28 10 36 I 53 35 23 17 5 '^13 22 42 2 29 0 Dec. 12 4 46 n 6 32 30 8 28 0 n 6 31 20 8 29 66 — I 10 -f I 6 21 6 37 V**. C 8 12 21 42 13 ::^ 5 6 14 21 44 42 -i 58 -1-2 29 24 6 18 ^18 49 23 25 23 5 ^18 47 30 25 23 35 -I 53 -f 0 30 26 • 5 21 28 24 13 27 0 52 28 21 42 ^^ 2 I -2 31 + 1 9 29 8 3 yi^3 10 41 28 9 58 KI3 II 14- 28 10 38 + 0 33 + 0 40 30 8 10 17 38 20 28 II 53 17 38 27 28 II 37 + 0 7 — 0 16 >«. 5 6 14 T 8 48 53 26 15 7 T 8 48 51 26 14 57 — 0 2 — 0 10 9 7 I 18 44 4 24 II 56 18 43 51 24 12 17 -0 13 -f 0 21 10 6 6 20 40 5° 23 43 3? 20 40 ^2 23 43 25 — 0 27 — 0 7 • 13 7 9 25 59 48 22 17 28 26 0 8 22 16 32 -f 0 20 — 0 56 25 7 59 « 9 35 0 17 56 3° b 9 H II 17 56 6 — 0 49 — 0 24 30 8 22 13 19 51 16 42 18 13 18 28 16 40 5 -I 23 — 2 13 />^. 2 6 35 15 13 53 16 4 I 15 II 59 16 2 7 -I 54 - I 54 5 7 4^ 16 59 6 15 27 3 16 59 17 15 27 0 -fo II — 0 3 25 8 41 26 18 35 12 46 46 26 16 59 12 45 22 -I 36 — I 24 il/flr. I II 10 27 52 42 12 23 40 27 51 47 12 22 28 -0 55 — I 12 5 11 39 29 18 0 12 3 16 T.^9 20 II 12 2 50 + 2 II — 0 26 9 8 38 0 43 * II 45 52 n 0 42 43 II 45 35 — 0 21 — 0 17 Obsefvationes cometae hujus a principio ad finem non minus congruunt cum motu cometae in orbe jam descripto, quam motus planetarum congruere solent cum eorum theoriis, & congruendo probant unum & eundem fuisse cometam, qui toto hoc tempore apparuit, ejusque orbem hic recte definitum fuisse. In tabula praecedente omisimus observationes diebus Novenibris 16, 18, 20 & 23 ut minus accuratas. Nam cometa his etiam tem- poribus observatus fuit. Ponthcmcs utique & socii, Novem. 17 st. vet. hora sexta matutina Romce, id est, hora 5 10' Londini, fihs ad fixas applicatis, cometam observarunt in =^ 8^- 30' cum latitudine austrah o^- 40' Extant eorum observationes in tractatu, quem Pon- LIBER TERTIUS. 503 thcBus de hoc cometa in lucem edidit. Cellms, qiii aderat & observa- tiones suas in epistola ad D. Cassimcm misit, cometam eadem hora vidit in ^ S^""- 30' cum latitudine australi o^^^^o'. Eadem hora Galle- tius Avenioni (id est, hora matutina 5 42' Londini) cometam vidit in ^ S^''- sine latitudine. Cometa autem per theoriam jam fuit in =^ S^"- 16' 45'' cum latitudine austraH o^- 53' 7''. Nov. 18 hora matutina 6 30' Romcs (id est, hora 5 40' Londini) Ponthcsus cometam vidit in ^ i^^''- 30' cum latitudine australi i^- 20'. Cellius in ^ 13^- 30' cum latitudine australi i^"- oo^ Galletius autem hora matutina 5 30' Avenioni cometam vidit in ^ 13^ 00', cum latitudine austraU i^- oo^ Et R. P. Ango in academia Flexiensi apud Gallos hora quinta matutina (id est, hora 5 9^ Londini) come- tam vidit in medio inter stellas duas parvas, quarum una media est trium in recta Hnea in Virginis austraH manu, Bayero \|^, & altera est extrema alse Bayero 0. Unde cometa tunc fuit in ^ 12^'- 46' cum latitudine austraH 50'. Eodem die Boslo7iicB in Nova-Anglia in latitudine 42I graduum, hora quinta matutina, (id est Londini hora matutina 9 44') cometa visus est prope ^ 14^-, cum latitudine australi i^- 30^ uti a cl. Halleio accepi. Nov. 19 hora mat. 4^ Cantabrigice cometa (observante juvene quodam) distabat a Spica n quasi 2^' boreazephyrum versus. Erat autem Spica in ^ \cf- 23' 47'' cum lat austr. 2^'- \' 59''. Eodem die hor. 5 mat. Bostonicp, in N ova-Anglia com^tdi distabat a Spica W gradu uno, differentia latitudinum existente 40'. Eodem die in insula Jamaica cometa distabat a Spica intervaHo quasi gradus unius. Eodem die D. Arthtirus Storer ad fluvium Patuxent prope Hunt- ing-Creek in Maryla^id m confinio Virginics m lat. 38!^-, hora quinta matutina (id est, hora lo^ Londifti) cometam vidit supra Spicam nj, & cum Spica propemodum conjunctum, existente distantia inter eosdem quasi ^- Et ex his observationibus inter se coHatis coHigo quod hora 9 44' Londi7ti cometa erat in — 1 8^ 50' cum latitudine austraH i^""- 25' circiter. Cometa autem per theoriam jam erat in ^ i8^- 52' 15'' cum latitudine austraH i^'' 26' 54''. Nov. 20 D. Montenarus astronomiae professor Paduensis hora sexta matutina Venetiis (id est, hora 5 10' Londini) cometam vidit in ^ 23^- cum latitudine austraH i^""- 30'. Eodem die Bostonice distabat 504 ^^ MUNDI SYSTEMATE cometa a Spica nj' ^^'- longitudinis in orientem, ideoque erat in ^ 2 3^''- 24' circiter. Nov. 21 Poiithceus 81 socii hor. mat. yi cometam observarunt in =^ ^y^""- 5o'.cum latitudine australi i^'- i6^ Celliits in =^ 28^-, A^igo hora quinta matutina in ^ 27^* 45', Montenarus in ^ 27^-51. Eodem die in insula Jamaica cometa visus est prope principium Scorpii, eandemque circiter latitudinem habuit cum Spica Virginis, id est, ^^*"- 2', Eodem die ad horam quintam matutinam Ballasorce in India Orien- tali, (id est ad horam noctis praecedentis 1 1 20' Londini) capta est distantia cometa^ a Spica W 7^* 35' in orientem. In linea recta erat inter Spicam & Lancem, ideoque versabatur in ^ 26^"- 58' cum lat. australi i^- 11' circiter; & post horas 5 & 40' (ad horam sciHcet quintam matutinam Lojidifti) erat in =^ 28^''- i2^cumlat. austr. i^*" 16'. Per theoriam vero cometa jam erat in =2= 28^- 10' 36^^, cum latitudine austraH i^"- 53' 35'^ Nov. 22 Cometa visus est a Mo7itenaro in v\^ 2^^.33'. Bostonice autem in Nova-Anglia apparuit, in n\ ^s»-- circiter eadem fere cum latitudine ac prius, id est, i^""- 30^ Eodem die ad horam quintam matutinam Ballasorce cometa observebatur in \\ i^""- 50^ ; ideoque ad horam quintam matutinam Lo7idini cometa erit in n\^ 3^' 5' circiter. Eodem die Londini hora mat. 6i Hookiics noster cometam vidit in ir^^ 3^- 30' circiter, idque in Hnea recta quae transit per Spicam Virginis & Cor Leonis, non exacte quidem, sed a Hnea iHa paululum deflectentem ad . boream. Montenarus itidem notavit quod Hnea a cometa per Spicam ducta hoc die"& sequentibus transibat per australe latus Cordis Leonis, interposito perparvo intervaHo inter*Cor Leonis & hanc Hneam. Linea recta per Cor Leonis & Spicam Virginis transiens ecHpticam secuit in nj ^g'^- 46'; in angulo 2^' 51'. Et si cometa locatus fuisset in hac Hnea in tt|^ ^^^- ejus latitudo fuisset 2^- 26'. Sed cum cometa consentientibus Hookio & Mo7ite7iaro nonnihil distaret ab hac Hnea boream versus, latitudo ejus fuit paulo minor. Die 20 ex observatione Mo7itenari latitudo ejus propemodum aequabat latitudinem Spicse nj, eratque i^^^ 30' circiter, & consentientibus Hookio, Mo7ite7iaro & A7igo7ie perpetuo augebatur, ideoque jam sensibiliter major erat quam i^- 30'. Inter limites autem jam constitutos 2^"- 26' & i^"- 30' magnitudine mediocri latitudo erit i^ 58' circiter. Cauda cometse, consentien- tibus Hookio & Mo7ttena7'o, dirigebatur ad Spicam nj, declinans ali- LIBER TERTIUS. 505 quantiilum a stella ista, juxta Hookium in austrum, juxta Mo7itenartim jn boream ; ideoque declinatio illa vix fuit sensibilis, & cauda aequa- tori fere parallela existens aliquantulum deflectebatur ab oppositione solis boream versus. Nov. 23 st. vet. hora quinta matutina Noriburgi (id est hora 4I Londini) D. Zimmerman cometam vidit in n|^ 8^- 8^ cum latitudine australi- 2^' 31', captis sciHcet ejus distantiis a stellis fixis. Nov. 24 ante ortum soHs cometa visus est a Montenaro in 1T|^ 12^- 52', ad boreale latus rectae quse per Cor Leonis & Spicam Virgi- nis ducebatur, ideoque latitudinem habuit paulo minorem quam 2^- 38'. Haec latitudo, uti diximus, ex observationibus Montenari, Angonis & Hookii perpetuo augebatur ; ideoque jam paulo major erat quam i^''- 58'; & magnitudine mediocri, sine notabili errore, statui potest 2^- 18'. Latitudinem Ponthcstis & G alletius ]2im decre- visse volunt, & Cellius & observator in Nova Anglia eandem fere magnitudinem retinuisse, scilicet gradus unius vel unius cum semisse. Crassiores sunt observationes Pofithcei 8c Cellii, ese praesertim quae per azimuthos & altitudines capiebantur, ut & eae Galletii: melio- res sunt eae quae per positiones cometae ad fixas a Montenaro, Hookio, Angone & observatore in Nova Anglia, 8c nonnunquam a Ponthcso & Cellio sunt factae. Eodem die ad horam quintam matutinam Ballasorce cometa observabatur in R, 1 1^- 45' ; ideoque ad horam quintam matutinam Londini erat in n\^ 13^- circiter. Per theoriam vero cometa jam erat in n]^ 13^- 22' 42'^ Nov. 25 ante ortum soHs Montenarus cometam observavit in tt|^ 17!^ circiter. Et Cettius observavit eodem tempore quod cometa erat in Hnea recta inter steHam lucidam in dextro femore Virginis & lancem australem Librae, & haec recta secat viam cometae in tt|^ i 8^^^- 36^ Per theoriam vero cometa jam erat in tt\^ i 8i^' circiter. Congruunt igitur hae observationes cum theoria quatenus con- gruunt inter se, & congruendo probant unum & eundem fuisse cometam, qui toto tempore a quarto die Novembris ad usque nonum Martii apparuit. Trajectoria cometae hujus bis secuit plan- um ecHpticae, & propterea non fuit rectiHnea. EcHpticam secuit non in oppositis coeH partibus, sed in fine Virginis & principio Capricorni, intervaHo graduum 98 circiter ; ideoque cursus cometae plurimum de- 5o6 DE MUNDI SYSTEMATE flectebatiir a circulo maxlmo. Nam & mense Nove^nbri cursus ejus trlbus saltem gradlbus ab ecllptlca In austrum decllnabat, & postea mense Decembri gradlbus 29 vergebat ab ecllptlca In septentrlonem, partlbus duabus orbltae, In qulbus cometa tendebat in solem & redlbat a sole, angulo apparente graduum plus trlglnta ab invicem decllnantibus, ut observavit Montenarus. Pergebat hic cometa per slgna novem, a Leonis sclllcet ultlmo gradu ad prlnclplum Gemlnorum, praeter signum Leonls, per quod pergebat antequam viderl coepit ; & nulla alia extat theorla, qua cometa tantam ccell partem motu regulari percurrat. Motus ejus fuit maxime inaequablHs. Nam clrca dlem vigesimum Novembris descripslt gradus clrclter quinque singulis dlebus; deln motu retardato inter Novemb. 26 & Decemb. 12, spatlo scllicet dlerum quindecim cum semlsse, descrlpsit gradus tantum 40 ; postea vero motu iterum accelerato descripslt gradus fere quinque singuHs dlebus, antequam motus iterum retardari coepit. Et the- oria, quae motui tam inaequabili per maximam coeH partem probe respondet, quaeque easdem observat leges cum theoria planetarum, & cum accuratis observatlonibus astronomicls accurate congruit, non potest non esse vera. Caeterum trajectoriam quam cometa descrlp^it, & caudam veram quam singuHs in locis projecit, visum est annexo schemate in plano trajectoriae deHneatas exhibere : ubl A B C denotat trajectoriam cometae, D solem, D E trajectoriae axem, D F Hneam nodorum, LIBER TERTIUS. 507 GH intersectionem sphaerae orbis magni cum plano trajectoriae, / locum cometse Nov. 4 Ann. 1680, K locum ejusdem. A^(^z/. 11, Z, locum Nov. 19, M locum Dec. 12, N locum Dec. 21, O locum Dec. 29, P locum ya7i. 5 sequent., Q locum ^an. 25, 7? locum Fed. 5, S locum Fed. 25, T^locum Mar. 5, & Flocum Mar. 9. Observationes vero sequentes in cauda definienda adhibui. Nov. 4 & 6 cauda nondum apparuit. Nov. 1 1 cauda jam coepta non nisi semissem gradus unius longa tubo decempedali visa fuit. Nov. 17 cauda gradus amplius quindecim longa Ponthcso apparuit. Nov. 18 cauda ^o^''- longa, solique directe opposita in Nova-Anglia cernebatur, & protendebatur usque ad stellam <^, quae tunc erat in W 9^'"' 54'. Nov. 19 in Mary-land cauda visa fuit gradus 15 vel 20 longa. Dec. 10 cauda (observante Flamstedio) transibat per medium distantiae inter caudam serpentis Ophiuchi & stellam S in Aquilae austraii ala, & desinebat prope stellas A^ o), d in tabuHs Bayeri. Terminus igitur erat in YS 19^*, cum latitudine boreali 34t^- circiter. Dec. II cauda surgebat ad usque caput Sagittae (Bayero a, /3,) desinens in YS 2^^^- 43', cum latitudine boreaH 38^'"- 34'. Dec. 12 cauda transibat per medium Sagittae, nec longe ultra protendebatur, desinens in :;::: 4^'-, cum latitudine boreaH 42!^- circiter. InteUigenda sunt haec de longitudine caudae clarioris. Nam luce obscuriore, in coelo forsan magis sereno, cauda Dec. 12 hora 5 40^ Romce (ob- servante PonthcEo) supra Cygni uropygium ad gradus 10 sese extuHt ; atque ab hac steHa ejus latus ad occasum & boream min. 45 destitit. Lata autem erat cauda his diebus gradus 3, juxta terminum supe- riorem, ideoque medium ejus distabat a steHa iHa 2^''' 1 5' austrum versus, & terminus superior erat in K 22^'-, cum latitudine boreaH 6i^'. Et hinc longa erat cauda 70^- circiter. Dec. 21 eadem sur- gebat fere ad cathedram Cassiopeice, aequaHter distans a /3 & Schedir, & distantiam ab utraque distantiae earum ab invicem aequalem habens, ideoque desinens in T 24^''-, cum latitudine 47i^''". Dec. 29 cauda tangebat Scheat sitam ad sinistram, & intervaUum steHarum duarum in pede boreaH Andromedcs accurate complebat, & longa erat 54^' ; ideoque desinebat in « 19^*, cum latitudine 35^-. Jan, 5 cauda tetigit steHam ir in pectore A^idromedce ad latus ejus dextrum, & steHam /* in ejus cingulo ad latus sinistrum ; & (juxta observationes ^oS DE MUNDI SYSTEMATE nostras) longa erat 40^'- ; curva autem erat & convexo latere spectabat ad austrum. Cum clrculo per solem & caput cometae transeunte angulum confecit graduum 4 juxta caput cometae ; at juxta terminum alterum inclinabatur ad circulum illum in angulo 10 vel 11 graduum & chorda caudae cum circulo illo continebat angulum graduum octo. yan. 13 cauda luce satis sensibili terminabatur inter Alamech & Algol, & luce tenuissima desinebat e regione stellae k in latere Persei. Distantia termini caudae a circulo solem & cometam jungente erat 3^- 50^ & inclinatio chordae caudae ad circulum illum %^\ yan. 25 & 26 cauda luce tenui micabat ad longitudinem graduum 6 vel 7 ; & nocte una & altera sequente ubi coelum valde serenum erat, luce tenuissima & segerrime sensibili attingebat longitudinem graduum duodecim & paulo ultra. Dirigebatur autem ejus axis ad lucidam in humero orientali Aurigae accurate, ideoque declinabat ab oppositione soHs boream versus in angulo graduum decem. Denique Feb. 10 caudam ocuHs armatis aspexi gradus duos longam. Nam lux praedicta tenuior per vitra non apparuit. PonthcEus autem Feb. 7 se caudam ad longitudinem graduum 12 vidisse scribit. Feb. 25 & deinceps cometa sine cauda apparuit. Orbem jam descriptum spectanti & reHqua cometae hujus phaenomena in animo revolventi haud difficulter constabit, quod corpora cometarum sunt soHda, compacta, fixa ac durabiHa ad instar corporum planetarum. Nam si nihil aHud essent quam vapores vel exhalationes terrae, solis & planetarum, cometa hicce in transitu suo per viciniam solis statim dissipari debuisset. Est enim calor solis ut radiorum densitas, hoc est, reciproce ut quadratum distantiae locorum a sole. Ideoque cum distantia cometae a centro soHs Decemb. 8 ubi in perihelio versabatur esset ad distantiam terrae a centro solis ut 6 ad 1000 circiter, calor solis apud cometam eo tempore erat ad calorem solis aestivi apud nos ut 1 000000 ad 36, seu 28000 ad i. Sed calor aquae ebullientis est quasi triplo major quam calor quem terra arida concipit ad aestivum solem, ut expertus sum : & calor ferri candentis (si recte conjector) quasi triplo vel quadruplo major quam calor aquae ebullientis ; ideoque calor, quem terra arida apud cometam in perihelio versantem ex radiis solaribus concipere posset, quasi 2000 vicibus major quam calor ferri candentis. Tanto autem calore LIBER TERTIUS. 509 vapores & exhalationes omnlsque materia volatilis statim consumi ac dissipari debuissent. Cometa igitur in perihelio suo calorem immensum ad solem con- cepit, & calorem illum diutissime conservare potest. Nam globus ferri candentis digitum unum latus calorem suum omnem spatio hor^ unius in aere consistens vix amitteret. Globus autem major calorem diutius conservaret in ratione diametri, propterea quod superficies (ad cujus mensuram per contactum aeris ambientis refrige- ratur) in illa ratione minor est pro quantitate materiae suae calidae inckisse. Ideoque globus ferri candentis huic terrse aequalis, id est, pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem & idcirco annis 50000, vix refrigesceret. Suspicor tamen quod duratio caloris, ob causas latentes, augeatur in minore ratione quam ea diametri : & optarim rationem veram per experimenta investigari. Porro notandum est quod cometa mense Decembri, ubi ad solem modo incaluerat, caudam emittebat longe majorem & splendidiorem quam antea mense Novembri, ubi periheHum nondum attigerat. Et universahter caudae omnes maximae & fulofentissimae e cometis ori- untur statim post transitum eorum per regionem solis. Conduclt igitur calefactio cometae ad magnltudinem caudae. Et Inde colHgere videor quod cauda nlhll aHud slt quam vapor longe tenulsslmus, quem caput seu nucleus cometae per calorem suum emittlt. Caeterum de cometarum caudls triplex es.t oplnlo ; eas vel jubar esse soHs per transluclda cometarum caplta propagatum, vel oriri ex refractlone lucis in progressu Ipslus a caplte cometae in terram, vel denique nubem esse seu vaporem a caplte cometae jugiter surgen- tem & abeuntem In partes a sole aversas. Opinio prima eorum est qul nondum Imbutl sunt scientia rerum optlcarum. Nam jubar soHs In cublculo tenebroso non cernitur, nisl quatenus lux reflectltur e pulverum & fumorum partlcuHs .per aerem semper voHtantibus : ideoque in aere fumis crassioribus infecto splendidlus est & sensum fortlus ferit ; In aere clarlore tenuius est & aegrlus sentltur : in cce- Hs autem sine materia reflectente nuHum esse potest. Lux non cer- nitur quatenus In jubare est, sed quatenus Inde reflectltur ad oculos nostros. Nam vlsio non fit nlsi per radios qui In oculos impingunt. Requirltur Igltur materia aHqua reflectens in regione caudae, ne 5 I o ^^ MUNDI S YSTEMA TE coelum totum luce solis illustratum uniformiter splendeat. Opinio secunda multis premitur difficultatibus. Caudae nunquam variegan- tur coloribus : qui tamen refractionum solent esse comites insepara- biles. Lux fixarum & planetarum distincte ad nos transmissa demonstrat medium cceleste nulla vi refractiva pollere. Nam quod dicitur fixas ab j^gypiiis comatas nonnunquam visas fuisse, id, quoniam rarissime contingit, ascribendum est nubium refractioni fortuitse. Fixarum quoque radiatio & scintillatio ad refractiones tum oculorum tum aeris tremuli referendae sunt : quippe quse admotis oculo telescopiis evanescunt. Aeris & ascendentium vaporum tremore fit, ut radii facile de angusto pupillae spatio per vices detorqueantur, de latiore autem vitri objectivi apertura neutiquam. Inde est quod scintillatio in priori casu generetur, in posteriore autem cesset : & cessatio in posteriore casu demonstrat regularem transmissionem lucis per ccelos sine omni refractione sensibili. Nequis contendat quod caudae non soleant videri in cometis, cum eorum lux non est satis fortis, quia tunc radii secundarii non habent satis virium ad oculos movendos, & propterea caudas fixarum non cerni : sciendum est quod lux fixarum plus centum vicibus augeri potest mediantibus telescopiis, nec tamen caudse cernuntur. Planetarum quoque lux copiosior est, caudae vero nullae : cometae autem saepe caudatissimi sunt, ubi capitum lux tenuis est & valde obtusa. Sic enim cometa anni 1680, mense Deceynbri, quo tempore caput luce sua vix aequa- bat stellas secundae magnitudinis, caudam emittebat splendore nota- bili usque ad gradus 40, 50, 60 vel 70 longitudinis & ultra : postca Jan. 27 Sz: 28 caput apparebat ut stella septimae tantum magnitudi- nis, cauda vero luce quidem pertenui sed satis sensibili longa erat 6 vel 7 gradus, & luce obscurissima, quae cerni vix posset, porrigebatur ad gradum usque duodecimum vel paulo ultra : ut supra dictum est. Sed & Feb, 9 & 10 ubi caput nudis oculis videri desierat, caudam gradus duos longam per telescopium contemplatus sum. Porro si cauda oriretur ex refractione materiae coelestis, & pro figura coelorum defiecteretur de solis oppositione, deberet deflexio illa in iisdem coeli regionibus in eandem semper partem fleri. Atqui cometa anni 1680 Decemb. 28 hora 81^ p.m. Z^;/^/>2^ versabatur in K 8^- 41^ cum latitudine boreali 28^'- 6', sole existente in YS i8^'- 26'. Et co- LIBER TERTIUS. 511 meta annl 1577 Dec. 29 versabatur in K 8^- 41' cum latitudine boreali ^S^"' 40' sole etiam existente in v^ i8^'- 26' circiter. Utroque in casu terra versabatur in eodem loco, & cometa apparebat in eadem cceli parte : in priori tamen casu cauda cometse (ex meis & aliorum observationibus) declinabat angulo graduum 4^ ab oppositione solis aquilonem versus ; in posteriore vero (ex observationibus Tychonis) declinatio erat graduum 21 in austrum. Igitur repudiata coelorum refractione superest ut phaenomena caudarum ex materia aliqua lucem' reflectente deriventur. Caudas autem a capitibus oriri & in regiones a sole aversas ascendere confirmatur ex legibus quas observant. Ut quod in planis orbium cometarum per solem transeuntibus jacentes deviant ab oppositione solis in eas semper partes, quas capita in orbibus illis progredientia relinquunt. Quod spectatori in his planis constituto apparent in partibus a sole directe aversis ; digrediente autem specta- tore de his planis, deviatio paulatim sentitur, & indies apparet major. Quod deviatio caeteris paribus minor est ubi cauda obHquior est ad orbem cometae, ut & ubi caput cometae ad solem propius accedit ; praesertim si spectetur deviationis angulus juxta caput cometae. Prae- terea quod caudae non deviantes apparent rectae, deviantes autem incurvantur. Quod curvatura major est ubi major est deviatio, & magis sensibiHs ubi cauda caeteris paribus longior est : nam in brevi- oribus curvatura aegre animadvertitur. Quod deviationis angulus minor est juxta caput cometae, major juxta caudae extremitatem alteram, atque ideo quod cauda convexo sui latere partes respicit a quibus fit deviatio, quaeque in recta sunt linea a sole per caput cometae in infinitum ducta. Et quod caudae quae proHxiores sunt & latiores, & luce vegetiore mlcant, sint ad latera convexa paulo splendldlores & Hmite minus indistincto terminatae quam ad concava. Pendent igitur phaenomena caudae a motu capltls, non autem a regione coeH in qua caput consplcltur ; & propterea non fiunt per refractionem coelorum, sed a capite suppedltante materiam orluntur. Etenlm ut in aere nostro fumus corporis cujusvis igniti petit superiora, idque vel perpendlculariter si corpus quiescat, vel obHque si corpus move- atur in latus : ita in coeHs, ubi corpora gravitant in solem, fumi & vapores ascendere debent a sole (uti jam dlctum est) & superiora -j2 DE MUNDI SYSTEMATE vel recta petere, si corpus fumans quiescit; vel oblique, si corpus progrediendo loca semper deserit a quibus superiores vaporis partes ascenderant. Et obliquitas ista minor erit ubi ascensus vaporis velocior est : nimirum in vicinia solis & juxta corpus fumans. Ex obliquitatis autem diversitate incurvabitur vaporis columna : & quia vapor in columnae latere prsecedente paulo recentior est, ideo etiam is ibidem aliquanto densior erit, lucemque propterea copiosius re-. flectet, & limite minus indistincto terminabitur. De caudarum agitationibus subitaneis & incertis, deque earum figuris irregularibus, quas nonnulli quandoque describunt, hic nihil adjicio ; propterea quod vel a mutationibus aeris nostri & motibus nubium caudas aliqua ex parte obscuraiitium oriantur; vel forte a partibus viae lacteae, quse cum caudis praetereuntibus confundi possint, ac tanquam earum partes spectari. Vapores autem, qui spatiis tam immensis implendis sufficiant, ex cometarum atmosphaeris oriri posse, inteUigetur ex raritate aeris nostri. Nam aer juxta superficiem terrae spatium occupat quasi 850 partibus majus quam aqua ejusdem ponderis, ideoque aeris columna cylindrica pedes 850 alta ejusdem est ponderis cum aquae columna pedali latitudinis ejusdem. Columna autem aeris ad summitatem atmosphaerae assurgens aequat pondere suo columnam aquae pedes 33 altam circiter ; & propterea si columnae totius aereae pars inferior pedum 850 altitudinis dematur, pars reHqua superior aequabit pon- dere suo columnam aquae altam pedes 32, Inde vero (per regulam multis experimentis confirmatam, quod compressio aeris sit ut pon- dus atmosphaerae incumbentis, quodque gravitas sit reciproce ut quadratum distantiae locorum a centro terrae) computationem per corol. prop. xxii lib. 11 ineundo, inveni quod aer, si ascendatur a superficie terrae ad altitudinem semidiametri unius terrestris, rarior sit quam apud nos in ratione longe majori, quam spatii omnis infra orbem saturni ad globum diametro digiti unius descriptum. Ideoque globus aeris nostri digitum unum latus, ea cum raritate quam habe- ret in altitudine semidiametri unius terrestris, impleret omnes plane- tarum regiones usque ad sphaeram saturni & longe ultra. Proinde cum aer adhuc altior in immensum rarescat; & coma seu atmo- sphaera cometae, ascendendo ab illius centro, quasi decuplo altior sit LIBER TERTIUS. 513 quam superficles nuclei, deinde cauda adhuc altlus ascendat, debebit cauda esse quam rarlssima. Et quamvis ob longe crasslorem come- tarum atmosphaeram, magnamque corporum gravltationem solem versus, & gravitatlonem particularum aeris & vaporum in se mutuo, fien possit ut aer In spatils ccelestlbus inque cometarum caudls non adeo rarescat ; perexiguam tamen quantitatem aerls & vaporum ad omnla Illa caudarum phsenomena abunde sufficere, ex hac com- putatlone persplcuum est. Nam & caudarum inslgnls rarltas col- Hgltur ex astrls per eas translucentibus. Atmosphaera terrestrls luce solls splendens crassltudine sua paucorum mllHarium & astra omnia & ipsam lunam obscurat & extlngult penitus : per immensam vero caudarum crassitudlnem, luce parlter solari IHustratam, astra mlnima sine claritatis detrlmento translucere noscuntur. Neque major esse solet caudarum plurlmarum splendor, quam aerls nostrl in tenebroso cubiculo latltudine dlglti unius duorumve lucem soHs In jubare reflec- tentls. Quo temporis spatlo vapor a capite ad terminum caudae ascendit, cognosci fere potest ducendo rectam a termino caudse ad solem, & notando locum ubl recta IHa trajectoriam secat. Nam vapor in termlno caudae, si recta ascendat :a sole, ascendere ccepit a capite, quo tempore caput erat in loco Intersectlonls. At vapor non recta ascendit a sole, sed motum- cometae, quem ante ascensum suum habebat, retlnendo & cum motu ascensus sul eundem componendo ascendlt obHque. Unde verior erlt problematis solutlo, ut recta IHa, quae orbem secat, paraHela slt longltudinl caudae, vel potlus (ob motum curvIHneum cometae) ut eadem a Hnea caudae dlvergat. Hoc pacto inveni quod vapor, qui erat In termlno caudae yan. 25, ascendere coeperat a caplte ante Dec. 1 1, ideoque ascensu suo toto dies plus 45 consumpserat. At cauda IHa omnis quae Dec. 10 apparuit ascenderat spatio dierum IHorum duorum, qul a tempore perlheHI cometae elapsi fuerant. Vapor igitur sub inltio In vlclnia soHs celerrime ascen- debat, & postea cum motu per gravltatem suam semper retardato ascendere pergebat ; & ascendendo augebat longitudlnem caudae : cauda autem, quamdiu apparuit, ex vapore fere omni constabat, qui a tempore periheHI ascenderat ; & vapor, qul primus ascendlt & termlnum caudae composuit, non prlus evanult quam ob nimiam suam tam a sole iHustrante quam ab ocuHs nostris distantiam vlderi desilt. 2 K 514 DE MUNDI SYSTEMATE Unde etiam caudae cometarum allorum, quae breves sunt, non ascen- dunt motu celerl & perpetuo a capitlbus & mox evanescunt, sed sunt permanentes vaporum & exhalationum columnce, a capitlbus lentlssimo multorum , dlerum motu propagatse, quae, participando motum illum capitum quem habuere sub initio, per coelos una cum capitlbus moveri pergunt. Et hinc rursus colllgitur spatla ccelestia vi resistendi des- titui ; utpote in qulbus non sokim soHda planetarum & cometarum corpora, sed etlam rarlsslml caudarum vapores motus suos veloclssi- mos Hberrime peragunt ac diutlssime conservant. Ascensum caudarum ex atmosphaerls capitum & progressum in partes a sole aversas Keplerus ascribit actioni radlorum lucls materiam caudae secum raplentlum. Et auram longe tenuissimam in spatiis Hberrimls actloni radlorum cedere non est a ratione prorsus aHenum, non obstante quod substantiae crassae impeditissimls in regionlbus nostrls a radiis soHs sensibiHter propeHI nequeant. AHus particulas tam leves quam graves dari posse existimat, & materiam caudarum levitare, perque levitatem suam a sole ascendere. Cum autem gravitas corporum terrestrium sit ut materia in corporibus, ideoque servata quantitate materlae intendi & remltti nequeat, susplcor ascen- sum iHum ex rarefactione materiae caudarum potius oriri. Ascendit fumus in camlno impulsu aeris cui innatat. Aer IHe per calorem rarefactus ascendit ob diminutam suam gravitatem specificam, & fumum impHcatum rapit secum. Quidni cauda cometae ad eundem modum ascenderit a sole ? Nam radli solares non agitant media, qu^ permeant, nisl in reflexlone & refractione. Partlculae reflectentes ea actlone calefactae calefacient auram aetheream cui impHcantur. nia calore sibi communicato rarefiet, & ob dlminutam ea raritate gra- vltatem suam specificam, qua prius tendebat in solem, ascendet & secum rapiet particulas reflectentes ex qulbus cauda componitur : Ad ascensum vaporum conduclt etiam, quod hi gyrantur circa solem & ea actlone conantur a sole recedere, at soHs atmosphaera & materia coelorum vel plane quiescit, vel motu solo quem a soHs rotatione acceperit tardlus gyratur. Hae sunt causae ascensus caudarum in vicinia soHs, ubi orbes curviores sunt, & cometae intra densiorem & ea ratione graviorem soh*s atmosphaeram consistunt, & caudas quam longissimas mox emittunt. Nam caudae, quae tunc nascuntur, conservando motum suum & interea versus solem gravitando, mo- LIBER TERTIUS. 515 vebuntur clrca solem in ellipsibus pro more capitum, & per motum illum capita semper comitabuntur & iis liberrime adhserebunt. Gravitas enim vaporum in solem non magis efficiet ut caudae postea decidant a capitlbus solem versus, quam gravitas capitum efficere possit, ut haec decidant a caudis. Communi gravitate vel simul In solem cadent, vel slmul in ascensu suo retardabuntur ; ideoque gravitas illa non Impedlt, quo minus caudae & capita positionem quamcunque ad invicem a causis jam descriptls, aut ahls quibuscunque facinime acciplant & postea llberrime servent. Caudse igltur, quae in cometarum periheHIs nascuntur, in reglones longlnquas cum eorum capitibus abibunt, & vel Inde post longam annorum serlem cum Ilsdem ad nos redibunt, vel potius Ibi rarefactae paulatim evanescent. Nam postea In descensu capitum ad solem caudae novae breviusculae lento motu a capltibus propagarl debebunt, & sublnde in perlhelils cometarum Illorum, qui ad usque atmosphaeram solis descendunt, in immensum augerl. Vapor enim In spatlis Illls liberrimis perpetuo raresclt ac dilatatur. Qua ratione fit ut cauda omnis ad extremltatem superlorem latior sit quam juxta caput cometae. Ea autem rarefactione vaporem perpetuo dilatatum diffundi tandem & spargi per ccelos universos, deinde paulatlm in planetas per gravitatem suam attrahl, & cum eorum atmosphaeris miscerl rationl consentaneum videtur. Nam quemadmodum marla ad constitutionem terrae hujus omnino requiruntur, idque ut ex ils per calorem solls vapores copiose satis excltentur, qul vel In nubes coactl decidant In pluvils, & terram omnem ad procreationem vegetablHum irrigent & nutrlant ; vel In frlgidis montium verticlbus condensati (ut aliqul cum ratione philosophantur) decurrant in fontes & flumlna : sic ad conservationem marium & humorum in planetls requiri vldentur cometae, ex quorum exhalationibus & vaporibus condensatis qulcquld liquoris per vegetationem & putrefactionem consumitur & in terram aridam convertitur contlnuo supplerl & refici possit. Nam vegetablHa omnia ex Hquoribus omnino crescunt, dem magna ex parte in terram aridam per putrefactionem abeunt, & Hmus ex Hquoribus putrefactls perpetuo decidit. Hinc moles terrae aridae indies augetur, & Hquores, nisi aHunde augmentum sumerent, perpetuo decrescere deberent ac tandem deficere. Porro suspicor spiritum IHum, qui aeris nostrl pars minima est sed subtilissima & 5i6 DE MVNDI SYSTEMATE optima & ad rerum omnium vitam requiritur, ex cometis praecipue venire. Atmosphaerae cometarum in descensu eorem in solem excurrendo in caudas diminuuntur, & (ea certe in parte quae solem respicit) angustiores redduntur : & vicissim in recessu eorum a sole, ubi jam minus excurrunt in caudas, ampliantur ; si modo phaenomena eorum Heveliics recte notavit. Minim^ autem apparent, ubi capita jam modo ad solem calefacta in caudas maximas & fulgentissimas abiere, & nuclei fumo forsan crassiore & nigriore in atmosphaerarum partibus infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti calore excitatus crassior & nigrior esse solet. Sic caput cometae, de quo egimus, in aequahbus a sole ac terra distantiis obscurius apparuit post perihehum suum quam antea. Mense enim Decembri cum stellis tertiae magnitudinis conferri solebat, at mense Novembri cum stellis primae & secundae. Et qui utrumque viderant, majorem describunt cometam priorem. Nam juveni cuidam Cantabrigiensi, Novem, 19, cometa hicce kice sua quantumvis plumbea & obtusa aequabat Spicam Virginis, & clarius micabat quam postea. Et Mo7itenaro Nov. 20 st. vet. cometa apparebat major stelHs primae magnitudinis, existente cauda duorum graduum longitudinis. Et D. Storer Hteris, quae in manus nostras incidere, scripsit caput ejus mense Decembri^ ubi caudam maximam & fulgentissimam emittebat, parvum esse & magnitudine visibiH longe cedere cometae, qui mense Novembri ante soHs ortum apparuerat. Cujus rei rationem esse conjectabatur, quod materia capitis sub initio copiosior esset, & paulatim consu- meretur. Eodem spectare videtur, quod capita cometarum aHorum, qui cau- das maximas & fulgentissimas emiserunt, apparuerint subobscura & exigua. Nam anno 1668 Mart. 5 st. nov. hora septima vespertina R. P. Valentinus Estarzcins, Brasilice agens, cometam vidit horizonti proximum ad occasum soHs brumalem, capite minimo & vix conspicuo, cauda vero supra modum fulgente, ut stantes in Httore speciem ejus e mari reflexam facile cernerent. Speciem utique habebat trabis splendentis longitudine 23 graduum, ab occidente in austrum vergens, & horizonti fere paraHela. Tantus autem splendor tres solum dies durabat, subinde notabiHter decrescens ; & interea decrescente splendore aucta est magnitudine cauda. Unde etiam in LIBER TERTIUS. 517 Ltcsitania quartam fere coeli partem (id est, gradus 45) occupasse dicitur ab occidente in orientem splendore cum insigni protensa ; nec tamen tota apparuit, capite semper in his regionibus infra horizontem dehtescente. Ex incremento caudae & decremento splendoris manifestum est, quod caput a sole recessit, eique proxi- mum fuit sub initio, pro more cometse anni 1680. Et in chronico Saxonico simiHs legitur cometa anni 1106, cujus stella erat parva & obscicra (ut ille anni 1 680) sed splendor qtci ex ea exivit valde clartcs & qtcasi ingens trabs ad orientem & aquilonem tendebat^ ut habet etiam Hevelius ex Simeone Dtcnelmensi Monacho. Apparuit initio mensis Februarii, ac deinceps circa vesperam, ad occasum soHs brumalem. Inde vero & ex situ caudae colHgitur caput fuisse soH vicinum. A sole, inquit Matthceics Parisiensis, distabat qicasi cubito uno, ab hora tertia [rectius sexta] usqtce ad horam iionam radium ex se longum emittens. TaHs etiam erat ardentissimus iHe cometa ab Aristotele descriptus Hb. i. Meteor. 6, cicjtcs capict pri- mo die non conspecticm est, eo quod ante solcm vel saltem stcb radiis solaribus occidisset, sequente vero die qicantum potuit vistcm est. Nam quam minima fieri potest distantia solem reliqtcit, & mox occtcbuit. Ob nimitcm ardorem [caudse sciHcet] nondtcm apparebat capitis spar- stcs ignis, sed procedente te^npore (ait Aristoteles) cicm [cauda] jam minus flagraret, reddita est [capiti] cometce sua facies. Et splendorem sutcm ad te^^tiam usqice coeli partem [id est, ad 6o^''-] extendit. Apparicit aictem tempore hyberno [an. 4. olymp. 101] cSf ascendens icsqtce ad cingtclum Orionis ibi evanuit. Cometa iHe anni 16 18, qui e radiis solaribus caudatissimus emersit, steHas primse magnitudinis ^quare vel paulo superare videbatur, sed majores apparuere cometse non pauci, qui caudas breviores habuere. Horum aHqui Jovem, aHi Venerem vel etiam lunam sequasse traduntur. Diximus cometas esse genus planetarum in orbibus valde eccentri- cis circa solem revolventium. Et quemadmodum e planetis non caudatis minores esse solent, qui in orbibus minoribus & soH propio- ribus gyrantur, sic etiam cometas, qui in periheHis suis ad solem propius accedunt, ut plurimum minores esse, ne solem attractione sua nimis agitent, rationi consentaneum videtur. Orbium vero transversas diametros & revolutionum tempora periodica, ex coHatione cometarum in iisdem orbibus post longa temporum intervalla rede- 5 1 8 DE MUNDI S YSTEMA TE untlum, determinanda relinquo. Interea huic negotio propositio sequens lumen accendere potest. PROPOSITIO XLII. PROBLEMA XXII. Inventam cometce trajectoriam corrigere, Operatio i. Assumatur positio plani trajectoriae, per propositi- onem superiorem inventa ; & seligantur tria loca cometae obser- vationibus accuratissimis definita & ab invicem quam maxime distantia ; sitque A tempus inter primam & secundam, ac B tempus inter secundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo in perigeeo versari convenit, vel saltem non longe a perigaeo abesse. Ex his locis apparentibus inveniantur, per operationes trigonometricas, loca tria vera cometae in assumpto illo plano trajectoriae. Deinde per loca illa inventa, circa centrum soHs ceu umbiHcum, per operatio- nes arithmeticas ope prop. xxi lib. i institutas, describatur sectio conica : & ejus areae, radiis a sole ad loca inventa ductis terminatse, sunto D & E ; nempe D area inter observationem primam & secun- dam, & E area inter secundam ac tertiam. Sitque T tempus totum, quo area tota D -f- E velocitate cometae per prop. xvi lib. i inventa describi debet. Oper. 2. Augeatur longitudo nodorum plani trajectoriae, additis ad longitudinem illam 20' vel 30^ quae dicantur P ; & servetur plani illius inclinatio ad planum eclipticae. Deinde ex praedictis tribus cometae locis observatis inveniantur in hoc novo plano loca tria vera, ut supra : deinde etiam orbis per loca illa transiens, & ejusdem areae du^ inter observationes descriptae quae sint d 8l e, nec non tempus totum t quo area tota d-\-e describi debeat. Oper. 3. Servetur longitudo nodorum in operatione prima, & augeatur inclinatio plani trajectoriae ad planum eclipticae, additis ad inclinationem illam 20' vel 30', quae dicantur Q. Deinde ex obser- vatis praedictis tribus cometae locis apparentibus inveniantur in hoc novo plano loca tria vera, orbisque per loca illa transiens, ut & ejusdem areae duae inter observationes descriptae quae sint S & e, & tempus totum t quo area tota S-i-e describi debeat. LIBER TERTIUS. 519 Jam sit C ad i ut A ad B, & G ad i ut D ad E, &^ ad i ut ^ ad ^, & 7 ad I ut ^ ad e ; sitque S tempus verum inter observationem primam ac tertiam ; & signis + & — probe observatis quaerantur numeri rn & n ea lege, ut sit 2 G-2 C-mQ^ — mg-^nO — ny, & 2 T — 2 S cequale m T — m t -\^ nT — nr. Et si in operatione prima I designet inclinationem plani trajectoriae ad planum eclip- tic^e & K longitudinem nodi alterutrius, erit \ + nQ vera inclinatio plani trajectoriae ad planum eclipticse & K + mP vera longitudo nodi. Ac denique si in operatione prima, secunda ac tertia, quan- titates R, r & jo designent latera recta trajectoriae, & quantitates i. i i eiusdem latera transversa respective : erit R-^-mr—^n R + ;^p - ;.R verum latus rectum, & l ^ ,,, / „ ^, l + ^ x - ;^ L verum latus transversum trajectori^e quam cometa describit. Dato autem latere transverso datur etiam tempus periodicum cometae. O. E. I. '^ C^terum cometarum revolventium tempora periodica & orbium latera transversa haud satis accurate determinabuntur, nisi per col- lationem cometarum inter se, qui diversis temporibus apparent. Si plures comet^, post ^qualia temporum intervalla, eundem orbem descripsisse reperiantur, concludendum erit hos omnes esse unum & eundem cometam, in eodem orbe revolventem. Et tum demum ex revolutionum temporibus dabuntur orbium latera transversa, & ex his lateribus determinabuntur orbes elHptici. In hunc finem computandae sunt igitur cometarum plurium trajec- tori^, ex hypothesi quod sint paraboHca:. Nam hujusmodi trajectoriae cum phsnomenis semper congruent quamproxime. Id hquet, non tantum ex trajectoria parabohca cometae anni 1680, quam cum obser- vationibus supra contuh, sed etiam ex ea cometae iUius insignis, qui annis 1664 & 1665 apparuit & ab Hevelio observatus fuit. Is ex observationibus suis longitudines & latitudines hujus cometae com- putavit, sed minus accurate. Ex iisdem observationibus Hallems noster loca comet^ hujus denuo computavit, & tum demum ex locis sic inventis trajectoriam comet^ determinavit. Invenit autem ejus nodum ascendentem in n 21- 13' 55", inchnationem orbit^ ad planum echpticae 21^- 18' 40^ distantiam perihehi a nodo m orbita 520 DE MUNDI SYSTEMATE 49^^- 2f io'\ Perihelium in ^ 8*^''- 40' ^d' cum latitudine austrina heliocentrica i^^'- \' \^" . Cometam in periheHo Novem. 2^- 1 1^- 52' p.m. tempore aequato Londmi, vel i^*"- %' Gedani, stylo veteri, & latus rectum parabolae 410286, existente mediocri terrse a sole distantia 1 00000. Quam probe loca cometae in hoc orbe computata congruunt cum observationibus, patebit ex tabula sequente ab Halleio supputata. Temp. Appar. Gedaniy st. vet. Observata Cometcc distantia. Loca obse)-vata. Loca compu- tata in Orbe. 3'- Decemb. y i8h- 29J a Corde Leonis a Spica Virginis gr. / // gr. , ,, 46 24 20 Long. i^ 7 I 0 22 52 10 Lat. aust. 21 39 0 gr. , // :i^ 7 I 29 21 38 50 4 18 i-J- a Corde Leonis a Spica Virginis 46 2 45 23 52 40 Long. =2z 16 15 0 Lat. aust. 22 24 0 rii: 6 16 5 22 24 0 7 17 48 a Corde Leonis a Spica Virginis 44 48 0 27 56 40 Long. =2= 3 6 0 Lat. aust. 25 22 0 — 3 7 33 25 21 40 17 14 43 a Corde Leonis ab Hum. Orionis dext. 53 15 15 45 43 30 Long. ^ 2 56 0 Lat. aust. 49 25 0 51 2 56 0 49 25 0 19 9 25 a Procyone a Liicid. Mandib. Ceti 35 13 50 52 56 0 Long. n 20 40 30 Lat. aust. 45 48 0 1128 43 0 45 46 0 20 9 53J a Procyone a Lucid. Mandib. Ceti 40 49 0 40 4 0 Long. n 13 3 0 Lat. aust. 39 54 0 n 13 5 0 39 53 0 21 9 9i ab Hum. dext. Orionis a Lucid. Mandib. Ceti 26 21 25 29 28 0 Long. El 2 16 0 Lat. aust. 33 41 0 Q 2 18 30 33 39 40 22 9 0 ab Hum. dext. Orionis a Lucid. Mandib. Ceti 29 47 0 20 29 30 Long. b 24 24 0 Lat. aust. 2745 0 «24 27 0 27 46 0 26 7 58 a Lucida Arietis ab Aldebaran 23 20 0 26 44 0 Long. b 9 0 0 Lat. aust. 12 36 0 tt 9 2 28 12 34 13 27 6 45 a Lucida Arietis ab Aldebaran 20 45 0 28 10 0 Long. b 7 5 40 Lat. aust. 10 23 0 « 7 8 45 10 23 13 28 7 39 a Lucida Arietis a Palilicio 18 29 0 29 37 0 Long. « 5 24 45 Lat. aust. 8 22 50 « 5 27 52 8 23 37 31 6 45 a Cing. Androm. a Palilicio 30 48 10 32 53 30 Long. b 2 7 40 Lat. aust. 413 0 a 2 8 20 4 16 25 yan. 1665. 7 7 37y a Cing. Androm. a Palilicio 25 II 0 37 12 25 Long. T 28 24 47 Lat. bor. 0 54 0 T28 24 0 0 53 0 13 7 0 a Capite Androm. a Palilicio 28 7 to 38 55 20 Long. T 27 6 54 Lat. bor. 3 6 50 T27 6 39 3 7 40 24 7 29 a Cing. Androm. a Palilicio 20 32 15 40 5 0 Long. T 26 29 15 Lat. bor. 5 25 50 ^26 28 50 5 26 0 7 Feb. 8 37 Long. T 27 4 46 Lat. bor. 7 3 29 T27 24 55 7 3 15 22 8 46 Long. T 28 29 46 Lat. bor. 8 12 36 T28 29 58 8 10 25 I Mar. 8 16 Long. T 29 18 15 Lat. bor. 8 36 26 T29 18 20 8 36 12 7 8 37 Long. b 0 2 48 Lat. bor. 8 56 30 t< 0 2 42 8 56 56 LIBER TERTIUS. 521 Mense Febrtiario anni ineuntls 1665 stella prima Arietis, quam In sequentibus vocabo 7, erat in t 28^- 30' 15^' cum latitudine boreali ^^gr. g/ ^g/^^ Secunda Arietis erat in T 22>''' Cometa vero Fed. y^- 7' 30'' Parisiis (id est /^^^. yd. g/ ^^n Q^^ajii) st. vet. triangulum constituebat cum stellis illis y 8l A rectangulum ad 7. Et distantia cometae a stella 7 sequalls erat dlstantiae stellarum 7 & A, \d est i^""- 19' 46'' in clrculo magno, atque Ideo ea erat i^"- 20' 26'^ In parallelo latitudinis stellae 7. Quare si de longitudine stellae 7 detrahatur longltudo i^- 20' 26^', manebit longltudo cometae ff» 2 7^''' 9^ 49'^ Atczoictius ex hac sua observatlone cometam posult In rp 27^* o^ circiter. Et ex schemate, quo Hookitcs motum ejus deHneavit, is jam erat In n;* 26^- 59' 24^^ Ratlone mediocri posul eundem In T 2 7^''- 4' Afi" . Ex eadem observatione Atczoictiics latltudinem cometae jam posult 7^- & 4' vel 5' boream versus. Eandem rectius posuisset 7^- 3^ 29^', existente sclllcet differentla latltudlnum cometae & stellae 7 aequall dlfferentiae longitudlnum stellarum y & A. Feb. 2 2*^- 7^- 30' Lo7idiniy id est Feb. 22"^- 8^- 46' Gedani, distantla cometae a stella A, juxta observatlonem Hookii a selpso In schemate delineatam, ut & juxta observationes Atczoictii a Petito in schemate deHneatas, erat pars quinta dlstantiae Inter steHam A & primam arietls, seu 15' 57^^ Et distantia cometae a Hnea jungente steHam A & prlmam Arletis erat pars quarta ejusdem partls quintae, Id est 4^ Ideoque cometa erat in T 28^' 29^ 46'^ cum lat. bor. 8^''- 12^ 36^^ Mart. i^- "f- o' Londini, Id est Mai^t. i^- 8^- 16' Gedani, cometa observatus fuit prope secundam Arletis, existente distantla Inter eosdem ad distantiam Inter prlmam & secundam Arletls, hoc est ad i^'' 33') ut 4 ad 45 secundum Hookitcm, vel ut 2 ad 23 secundum Gottignies. Unde distantla cometae a secunda Arietis erat 8' \6" secundum Hookitcm, vel 8' ^" secundum Gottignies, vel ratione mediocri 8' 10'''. Cometa vero secundum Gottignies jam modo praetergressus fuerat secundam Arletls quasl spatlo quartae vel quintae partls Itineris uno dle confectl, Id est i' 35^^ circlter (quocum satis consentlt Aiczotctius) vel paulo minorem secundum Hookitcm, puta i\ Ouare sl ad longitudlnem primae Arletis addatur i\ & ad 522 DE MUNDl SYSTEMATE latltudlnem ejus 8' \o'\ habebltur longitudo cometae t ^g^""- i8', & latltudo borealis S^'- 36' 26". Mart. ^^- 7^' 30' Parisiis (Id est Mart. 'j^- &' 37' Gedani) ex observatlonibus AiizotUii distantla cometae a secunda Arietis aequalis erat distantlae secundae Arietis a stella A, id est 52' 29'^ Et differentia longitudlnum cometse & secundae Arietis erat 45' vel 46', vel ratione mediocri 45' yo" . Ideoque cometa erat in ^ o^- 2' 48^^ Ex schemate observatlonum Auzoutii, quod Petitus construxit, Hevelius deduxit latltudinem cometae 8^- 54^ Sed sculptor vlam cometae sub finem motus ejus irregulariter incurvavit, & Hevelius in schemate observatlonum Auzoutii a se constructo incurvatlonem irregularem correxit, & sic latitudlnem cometae fecit esse 8^''- 55' 2fl' . Et Irregularltatem paulo magls corrigendo, latitudo evadere potest 8^- 56', vel 8^" 57'. VIsus etiam fult hlc cometa Martii dle 9, & tunc locari debult in b o^""' 18', cum lat. bor. 9^" 3'!^ clrciter. Apparult hlc cometa menses tres slgnaque fere sex descripsit & uno dle gradus fere viginti confecit. Cursus ejus a clrculo maximo plurlmum deflexit, in boream incurvatus ; & motus ejus sub finem ex retrogrado factus est dlrectus. Et non obstante cursu tam insoHto, theorla a princlpio ad finem cum observatlonlbus non minus accurate congruit, quam theoriae planetarum cum eorum observa- tionlbus congruere solent, ut Inspicienti tabulam patebit. Subducenda tamen sunt minuta duo prima circiter, ubi cometa veloclssimus fuit ; id quod fiet auferendo duodecim minuta secunda ab angulo inter nodum ascendentem & periheHum, seu constltuendo angulum illum 49^''- 27^ 18'^ Cometae utriusque (& hujus & superlorls*) parallaxls annua Insignls fult, & inde demonstratur motus annuus terrae in orbe magno. Confirmatur etiam theoria per motum cometae, qui apparuit anno 1683. Hic fuit retrogradus in orbe, cujus planum cum plano ecHptlcae angulum fere rectum continebat. Hujus nodus ascendens (compu- tante Halleio) erat in ttj 23^''- 23^; incHnatlo orbltee ad ecHpticam 83^- ii^; periheHum in n 25^'- 29' 30'^; distantla periheHa a sole 56020, exlstente radlo orbis magni 1 00000 & tempore periheHi Jtclii 2^' 3^* 50'. Loca autem cometae in hoc orbe ab Halleio computata, & cum locis a Flanistedio observatls coHata, exhlbentur in tabula sequente. LIBER TERTIUS. 523 1683 r nrif^ .^/)//c CometiS Lat. Bor. Cojnetcv Lat. Bor. Differ. Differ. Tejnp. Mquat. Long. CojHp. Comp. Long. Obs. Obseru. Long. Lat. d. h. , gr. / // gr- / // gr. , // gr- / // gr. / // / ^^ M 13 12 55 ^ I 2 30 2513 5 42 2928 13 22313 6 42 29 28 20 + 1 0 +0 7 15 11 15 2 53 12 II 37 48 2934 0 II 39 43 293450 + 155 +0 50 17 10 20 4 45 45 10 7 6 293330 10 8 40 2934 0 + 1 34 +0 30 23 13 40 10 38 21 5 10 27 28 51 42 5 II 30 285028 + 1 3 — I 14 25 14 5 12 35 28 3 27 53 24 24 47 3 27 0 28 23 40 —053 — I 7 31 942 18 9 22 n27 55 3 26 22 52 n27 5424 26 22 25 —039 — 0 27 31 1455 18 21 53 27 41 7 26 16 57 27 41 8 26 14 50 +0 I —2 7 Aug. 2 14 56 20 17 16 25 2932 25 16 19 25 28 46 25 17 28 —0 46 + 1 9 4 10 49 22 2 50 23 18 20 24 1049 23 16 55 24 12 19 -I 25 + 1 30 6 10 9 23 56 45 20 42 23 2247 5 20 40 32 2249 5 -I 51 4-2 0 9 10 26 26 50 52 16 7 57 20 637 16 5 55 20 6 10 — 2 2 — 0 27 15 14 i ^ 2 47 13 3 3048 II 37 33 3 26 18 II 32 I —430 -5 32 16 15 10 348 2 043 7 93416 041 55 93413 — I 12 — 0 3 18 15 44 5 45 33 «2452 53 5 II 15 Austr. b 24 49 5 5 911 Austr. -348 —2 4 22 1444 9 35 49 II 7 14 5 1653 II 7 12 5 i6'5o —0 2 —0 3 23 15 52 10 36 48 7 2 18 817 9 7 I 17 8 16 41 — I I —0 28 26 16 2 ; 13 31 10 T2445 31 1638 0 T 24 44 0 16 38 20 —I 31 +0 20 Confirmatur etlam theoria per motum cometae retrogradi, qui apparuit anno 1682. Hujus nodus ascendens (computante Halleio) erat in i5 21^'' 16' 30''. Inclinatio orbitse ad planum eclipticse i;^'"' 56' o". Perihelium in ::::: 2^'- 52' 50'^ Distantia periheHa a sole 58328, existente radio orbis magni 1 00000. Et tempus aequatum perihelii Sept. ^- f"- 39^ Loca vero ex observationlbus Flamstedii computata, & cum locls per theorlam computatis collata, exhlbentur In tabula sequente. 1682 Locus Solis. Cometce Lat. Bor. Cometa Lat. Bor. Differ. Differ. Temp. Appar. Long. Comp. Comp. Long. ' Obs. Obsej^v. Long. Lat. d. h. / gr. / // gr. / // gr. / // gr. / // gr. / // / // 1 // Aug. 19 16 38 nj 7 0 7 R18 14 28 25 50 7 51t8 1440 25 49 55 — 0 12 -f 0 12 20 15 38 7 55 52 24 46 23 26 14 42 24 46 22 26 12 52 + 0 I + 1 50 21 8 21 8 36 14 2937 15 26 20 3 2938 2 26 17 37 — 0 47 -f 2 26 22 8 8 9 33 55 TT]^ 6 29 53 26 8 42 TTJ 6 30 3 26 7 12 — 0 10 + 1 30 29 8 20 16 22 40 =^12 37 54 18 37 47 —12 37 49 1834 5 + 0 5 + 342 30 7 45 17 19 41 1536 I 17 26 43 1535 18 17 27 T7 + 0 43 -0 34 Sept. 1 733 19 16 9 20 30 53 15 13 0 20 27 4 15 9 49 + 3 49 + 3 II 4 7 22 22 II 28 25 42 0 12 23 48 25 40 58 12 22 0 + 1 2 + 1 48 5 7 32 23 10 29 27 0 46 II 33 8 26 59 24 II 33 51 + 1 22 — 0 43 8 7 16 26 5 58 29 58 44 9 26 46 29 58 45 9 26 43 _0 I + 0 3 9 7 26 27 5 9 iTTL 0 44 10 8 49 10 ni 0 44 4 84825I-I-0 6 + 045 Confirmatur etlam theorla per motum retrogradum cometse, qui 524 DE MUNDI SYSTEMATE apparuit anno 1723. Hujus nodus ascendens (computante D. Brad- /eOy astronomiae apud Oxonienses professore Saviliano) erat in v 14^" 16'. Inclinatio orbitae ad planum eclipticae 49^' 59'. Perihelium in b i^^'- 15'' 2o'^ Distantia perihelia a sole 998651, existente radio orbis magni 1000000, & tempore aequato perihehi Septetn, j^d. j^h. jq/^ Loca vero cometae in hoc ovhft 2i Bradleo computata, & cum locis a seipso & patruo suo D. Poundio & a D. Halleio observatis collata exhibentur in tabula sequente. 1723 Comet. Long. Lat. Bor. Comet. Long. Lat. Bor. Differ. Differ. Tenip. ALqitat. Observat. Observat. Compiit. Comput. Long. Latit. d. h. , 0 / // 0 / // 0 / // 0 / // // // Odob. 985 ^7 22 15 5 2 0 :::::7 21 26 5 2 47 + 49 - 47 10 6 21 6 41 12 7 44" 13 6 41 42 7 43 18 - 50 + SS 12 7 22 5 39 58 it 55 0 5 40 19 II 54 55 — 21 H- 5 14 8 57 4 59 49 14 43 50 5 0 37 14 44 I _ 48 — II 15 6 35 4 47 41 ^5 40 5f 4 47 45 15 40 55 — 4 — 4 21 6 22 4 2 32 19 41 49 4 2 21 19 42 3 + II - 14 22 6 24 3 59 2 20 8 12 3 59 10 20 8 17 _ 8 - 5 24 8 2 3 55 29 . 20 55 18 3 55 II 20 55 9 + 18 + 9 29 8 56 3 56 17 22 20 27 3 56 42 22 20 10 - 25 + 17 30 6 20 3 58 9 22 32 28 3 58 17 22 32 12 - 8 + 16 ^^^- 5 5 53 4 16 30 23 38 33 4 16 23 23 3^ 7 + 7 + 26 8 7 6 4 29 36 24 4 30 4 29 54 24 4 40 _ 18 — 10 14 6 20 5 2 16 24 48 46 5 2 51 24 48 16 - 35 + 30 20 7 45 5 42 20 25 24 45 5 43 13 25 25 17 - 53 - 32 Dec. 7 6 45 8 4 J3 26 54 18 8 3 55 26 53 42 + ^8 + 36 His exempHs abunde satis manifestum est, quod motus cometa- rum per theoriam a nobis expositam non minus accurate exhibentur, quam solent motus planetarum per eorum theorias. Et propterea orbes cometarum per hanc theoriam enumerari possunt, & tempus periodicum cometae in quoHbet orbe revolventis tandem sciri, & tum demum orbium elHpticorum latera transversa & apheliorum altitudines innotescent. Cometa retrogradus, qui apparuit anno 1607, descrlpsit orbem, cujus nodus ascendens (computante Halleio) erat in « 20^' 21'; incHnatio plani orbis ad planum ecH*pticae erat 1 7^- 2' ; periheHum erat in :::: 2^'- 16'; & distantia periheHa a sole erat 58680, existente radio orbis magni 1 00000. Et cometa erat in periheHo j^^^/^^^. 16"^- 3^" 50'. Congruit hic orbis quamproxime cum orbe cometae, qui apparuit anno 1682. Si cometae hi duo fuerint unus & idem, re- LIBER TERTIUS. 525 volvetur hlc cometa spatio annorum 75, & axls major orbls ejus erit ad axem majorem orbis magni, ut Jc: 75x75 ad i, seu 1778 ad 100 circlter. Et distantia aphelia cometae hujus a sole erit ad distan- tlam mediocrem terrae a sole, ut 35 ad i circiter. Quibus cognitls haud difficile fuerit orbem elHptlcum cometae hujus determinare. Atque haec ita se habebunt sl cometa spatio annorum septuaglnta quinque in hoc orbe posthac redierit. Cometae reHqui majorl tempore revolvi vldentur & altius ascendere. Caeterum cometae, ob magnum eorum numerum & magnam aphehorum a sole dlstantiam & longam moram In aphellls, per gravitates in se mutuo nonnihil turbari debent, & eorum eccentrici- tates & revolutionum tempora nunc augerl aHquantulum, nunc di- mlnul. Proinde non est expectandum ut cometa idem In eodem orbe & ilsdem temporlbus perlodicls accurate redeat. Sufficlt sl mutationes non majores obvenerint, quam quae a causis praedictls oriantur. Et hlnc ratio redditur, cur cometae non comprehendantur zodl- aco more planetarum, sed Inde migrent & motibus varils in omnes coelorum reglones ferantur. SciHcet eo fine, ut In apheHIs suls, ubi tardlssime moventur, quam longissime distent ab Invicem, & se mutuo quam minime trahant. Qua de causa cometae qul altius descendunt, ideoque tardisslme moventur In apheHIs, debent altlus ascendere. Cometa, qui anno 1680 apparult, minus distabat a sole in perlhe- Ho suo quam parte sexta diametrl soHs ; & propter summam velo- citatem In viclnia IHa & densltatem aHquam atmosphaerae soHs, resistentiam nonnuHam sentire debuit & aHquantulum retardari & proplus ad solem accedere : & slnguHs revolutionibus accedendo ad solem Incldet is tandem In corpus soHs. Sed & in apheHo, ubi tardisslme movetur, aHquando per attractionem aHorum cometarum retardari potest, & subinde In solem Incidere. SIc etlam steHae fixse, quse paulatlm explrant In lucem & vapores, cometis In ipsas incidentibus reficl possunt, & novo aHmento accensae pro steHIs novis haberi. Hujus generis sunt steHae fixae, quae subito apparent, & sub initlo quam maxlme splendent, & subinde paulatim evanescunt. TaHs fuit steHa in cathedra Cassiopeiae quam Cornelius Gemma octavo Novembris 1572 lustrando IHam cceH partem nocte serena minime vidit ; at nocte proxlma {Novem. 9) vidit fixis omnibus splendidio- rem, & luce sua vix cedentem Veneri. Hanc Tycho Brahceus vldit 526 DE MUNDI SYSTEMATE undecimo ejusdem mensis ubi maxime splenduit ; & ex eo tempore paulatim decrescentem & spatio mensium sexdecim evanescentem observavit. Mense Novembri, ubi primum apparuit, Venerem luce sua aequabat; Mense Decejnbri nonnihil diminuta Jovem aequare videbatur. Anno 1573 mense Jamcario minor erat Jove & major Sirio, cui in fine Febi^icarii & Martii initio evasit aequalis. Mense Aprili & Maio stellis secundae magnitudinis, Jimio, Jiilio & Atcgusto stellis tertiae magnitudinis, Septembri, Octobri & Novembri stellis quartae, Decembrd & anni 1574 mense Januario stellis quintae, & mense Februario stellis sextae magnitudinis aequalis videbatur, & mense Martio ex oculis evanuit. Color illi ab initio clarus, albicans ac splendidus, postea flavus, & anni 1573 mense Mar t io rutil3.ns instar Martis aut stellae Aldebaran ; Maio autem albitudinem sublividam induxit, qualem in Saturno cernimus, quem colorem usque in finem servavit, semper tamen obscurior facta. Talis etiam fuit stella in dextro pede Serpentarii, quam Kepleri discipuli anno 1604 die 30 Septeynbris st. vet. apparere ccepisse observarunt & luce sua stellam Jovis superasse, cum nocte praecedente minime apparuisset. Ab eo vero tempore paulatim decrevit, & spatio mensium quindecim vel sexdecim ex oculis evanuit. Tali etiam stella nova supra modum splendente Hipparchus ad fixas observandas & in catalogum refe- rendas excitatus fuisse dicitur. Sed fixae, quae per vices apparent S: evanescunt, quaeque paulatim crescunt, & luce sua fixas tertiae magnitudinis vix unquam superant, videntur esse generis alterius, & revolvendo partem lucidam & partem obscuram per vices osten- dere. Vapores autem, qui ex sole & stellis fixis & caudis cometa- rum oriuntur, incidere possunt per gravitatem suam in atmosphaeras planetarum & ibi condensari & converti in aquam & spiritus humidos, & subinde per lentum calorem in sales & sulphura & tincturas & limum & lutum & argillam & arenam & lapides & coralla & substantias alias terrestres paulatim migrare. SCHOLIUM GENERALE, Hypothesis vorticum multis premitur difficultatibus. Ut planeta unusquisque radio ad solem ducto areas describat tempori pro- portionales, tempora periodica partium vorticis deberent esse in duplicata ratione distantiarum a sole. Ut periodica planetanim tem- LIBER TERTIUS. 527 pora slnt in proportione sesquiplicata distantiarum a sole, tempora periodlca partlum vortlcls deberent esse In sesqulpllcata distantlarum proportione. Ut vortlces minores circum Saturnum, Jovem & alios planetas gyrati conserventur & tranquille natent In vortice solls, tempora periodlca partium vorticis solaris deberent esse aequalia. Revolutlones solls & planetarum clrcum axes suos, quae cum motibus vorticum congruere deberent, ab omnibus hlsce proportloni- bus discrepant. Motus cometarum sunt summe regulares, & easdem leges cum planetarum motlbus observant, & per vortices expllcari nequeunt. Feruntur cometae motlbus valde eccentrlcis in omnes ccelorum partes, quod fieri non potest nlsi vortices tollantur. Projectllla in aere nostro solam aerls reslstentiam sentiunt. Sublato aere, ut fit in vacuo Boyliaiio, resistentia cessat, slquidem pluma tenuis & aurum solidum aequali cum velocltate in hoc vacuo cadunt. Et par est ratio spatlorum coelestium, quae sunt supra atmosphaeram terrae. Corpora omnia In Istis spatiis liberrlme moveri debent ; & propterea planetae & cometae in orbibus specle & positlone datis secundum leges supra exposltas perpetuo revolvi. Persevera- bunt quidem in orbibus suls per leges gravitatis, sed regularem orbium situm prlmltus acqulrere per leges hasce minime potuerunt. Planetae sex principales revolvuntur clrcum solem in circuHs soli concentricis, eadem motus dlrcctlone, in eodem plano quamproxlme. Lunae decem revolvuntur circum Terram, Jovem & Saturnum in circuHs concentricis, eadem motus directlone, in planis orbium planetarum quamproxime. Et hi omnes motus regulares originem non habent ex causis mechanlcls ; siquidem cometae in orbibus valde eccentricis, & in omnes coelorum partes Hbere feruntur. Ouo motus genere cometae per orbes planetarum celerrime & faciHime transeunt, & in apheHis suis, ubi tardiores sunt & dlutlus morantur, quam longlssime distant ab invicem, ut se mutuo quam minime trahant. Elegantissima haecce soHs, planetarum & cometarum compages non nisi consIHo & dominio entis intenigentis & potentls orlrl potuit. Et si steHae fixae sint centra slmlHum systematum, haec omnia slmlH consIHo constructa suberunt Unitcs dominlo : praesertlm cum lux fixarum sit ejusdem naturae ac lux soHs, & systemata omnia lucem in omnia invicem immittant. Et ne fixarum systemata per gravitatem suam in se mutuo cadant, hic eadem immensam ab invicem dlstantiam posuerit. ^28 DE MUNDI S YSTEMA TE HIc omnia reglt non ut anlma mundl, sed ut unlversorum domlnus. Et propter domlnlum suum, dominus versa^fs ^'^ ^"'^^'^^'''^ '''''' ^^^^ ^ TlavTOKpkTUip dlcl solet. Nam deus est vox relativa & ad servos refertur : & deltas est dominatio del, non in corpus proprium, uti sentiunt qulbus deus est anlma mundi, sed in servos. Deus summus est ens seternum, infinitum, absolute perfectum : sed ens utcunque perfectum sine dominio non est domlnus deus. Dlcimus enim deus meus, deus vester, deus Israelis, deus deorum, & dominus dominorum : sed non dicimus aeternus meus, aeternus vester, aeternus Israelis, seternus deorum ; non dicimus infinitus meus, vel perfectus meus. Hse appellationes relationem non habent ad servos. Vox deus passim ^ significat dominum : sed omnis dominus t> Pocockus noster vocem nou est deus. Domlnatio entis splrltualls deum dei deducit a voce Ai-abica . . r- . du (& in casu obiiquo di) coustituit, vera verum, summa summum, hcta rsrrpnnt^es^can! fictum. Et ex domiiiatione vera sequitur tur dii, /'j^a//;/. ixxxiv 6 & ^^^„1 vcrum esse vivum, intelllo^entem & po- Joan. X 45. Lt Aloses dici- '01 tur deus fratris Aaroii, & teutem ; ex rellquls perfectionibus summum deus regis Pharaoh \Exod. *- ^ 7i-> o iv 16 & vii I). Et eodem esse, vel summe perfectum. ^Eternus est & sensu animcE principum mor- ._. .- ^ .. •ix.j.i. tuorum oiim a gentibus vo- mhnitus, omnipotens & omnisciens, id est, aurat tetrefectuiiromS^?^"^^ ab ^temo in ^ternum, & adest ab infinito in infinitum : omnia regit ; & omnia cognoscit, qu^ fiunt aut fieri possunt. Non est eeternltas & infinitas, sed aeternus & infinitus ; non est duratio & spatium, sed durat & adest. Durat semper, & adest ubique, & existendo semper & ubique durationem & spatium constituit. Cum unaquaeque spatii particula sit semper, & unumquodque durationis indivisibile momentum tibiqtce, certe rerum omnium fabricator ac dominus non erit mcnquam, nusqttam. Omnis anima sentiens diversis temporibus, & in diversis sensuum, & motuum organis eadem est persona indlvislbilis. Partes dantur successivae in duratione, coexistentes in spatio, neutrae in persona hominis seu principio ejus cogitante ; & multo minus in substantia cogitante dei. Omnis homo, quatenus res sentiens, est unus & idem homo durante vita sua in omnibus & singuHs sensuum organis. Deus est unus & idem deus semper & ubique. Omnipraesens est non per virtntem solam, sed etiam per substantiam : nam virtus sine substantia subsistere non LIBER TERTIUS. 529 potest. In ipso^^continentur & moventur universa, ^i^a sentiebant veteres, ut - . . Pythagoras apud Ctceronej/t sed sine mutua passione. Deus nihil patitur de Natura deorum nb. i ; • ■1 -11 11 . Thales ; Anaxasroras ; Virei' ex corporum motibus : illa nullam sentmnt Uus Georgic. itb. iv v. 220, resistentiam ex omniprsesentia dei. Deum sum- ^hfj^^tii^lt. %k' i^Ll mum necessario existere in confesso est : Et initio ; ^m/^^j in Phaenom. sub initio. Ita etiam scnp- eadem necessitate semper est & 7cdwue, Unde tores sacri ut /iz«/«j in Act. .... xvii 27, 28 ; Johannes in etiam tOtUS est SUl SimillS, tOtUS OCUIUS, tOtUS Evang. xiv 2 ; Moses in auris, totus cerebrum, totus brachium, totus z>a^^v/ Psai.^?xxxix 7%,' 9 • vis sentiendi, intelligendi, & agendi, sed more >?Txii /2, ^sf nf y!L' minime humano, more minime corporeo, more T^{ ™^ ^3' ?4- Finge- ^ ' ^ iT ^ bant autem idololatrse sol- nobis prOrSUS inCOg^nitO. U t CSeCUS non habet ^m, lunam & astra, animas •^ , hominum & alias mundi ideam Colorum, SIC nOS ideam non habemUS partes esse partes dei summl 1 .y 1 ... . r> & ideo colendas sed falso. modorum, quibus deus sapientissimus sentit & intelHgit omnia. Corpore omni & figura corporea prorsus desti- tuitur, ideoque videri non potest, nec audiri, nec tangi, nec sub specie rei ahcujus corporei coli debet. Ideas habemus attributorum ejus, sed quid sit rei aHcujus substantia minime cognoscimus. Videmus tantum corporum figuras & colores, audimus tantum sonos, tangimus tantum superficies externas, olfacimus odores solos, & gustamus sapores : intimas substantias nullo sensu, nulla actione reflexa cognoscimus ; & multo minus ideam habemus substantise dei. Hunc cognoscimus solummodo per proprietates ejus & attributa, & per sapientissimas & optimas rerum structuras & causas finales, & admi- ramur ob perfectiones ; veneramur autem & coHmus ob dominium. CoHmus enim ut servi, & deus sine dominio, providentia, & causis finaHbus nihil aHud est quam fatum & natura. A cseca necessitate metaphysica, quae utique eadem est semper & ubique, nuHa oritur rerum variatio. Tota rerum conditarum pro locis ac temporibus diversitas ab ideis & voluntate entis necessario existentis solum- modo oriri potuit. Dicitur autem deus per aHegoriam videre, audire, loqui, ridere, amare, odio habere, cupere, dare, accipere, gaudere, irasci, pugnare, fabricare, condere, construere. Nam ser- mo omnis de deo a rebus humanis per simiHtudinem aHquam desumitur, non perfectam quidem, sed aHqualem tamen. Et haec de deo, de quo utique ex phsenomenis disserere ad philosophiam naturalem pertinet. Hactenus phaenomena cselorum & maris nostri per vim gravitatis 2 L 5 30 ^^ MUNDI S YS TEMA TE exposui, sed caiisam gravitatis nondum assignavi. Oritur utique haec vis a causa aliqua, quae penetrat ad usque centra solis & planetarum sine virtutis diminutione ; quaeque agit non pro quantitate superfi- cierum particularum, in quas agit (ut solent causse mechanicse) sed pro quantitate materise solidce ; & cujus actio in immensas distantias undique extenditur, decrescendo semper in dupHcata ratione distan- tiarum. Gravitas in solem componitur ex gravitatibus in singulas soHs particulas, & recedendo a sole decrescit accurate in dupHcata ratione distantiarum ad usque orbem Saturni, ut ex quiete apheHo- rum planetarum manifestum est, & ad usque ultima cometarum apheHa, si modo apheHa iHa quiescant. Rationem vero harum gravitatis proprietatum ex phsenomenis nondum potui deducere, 6 hypotheses non fingo. Quicquid enim ex phsenomenis non deducitur, hypothesis vocanda est ; & hypotheses seu metaphysicae, seu physicse, seu quaHtatum occuharum, seu mechanicse, in philosophia experimentali locum non habent. In hac philosophia propositiones deducuntur ex phsenomenis, & redduntur generales per inductionem. Sic impenetrabiHtas, mobiHtas & impetus corporum & leges motuum & gravitatis innotuerunt. Et satis est quod gravitas revera existat, & agat secundum leges a nobis expositas, & ad corporum cselestium & maris nostri motus omnes sufficiat. Adjicere jam Hceret nonnuHa de spiritu quodam subtiHssimo corpora crassa pervadente, & in iisdem latente ; cujus vi & actionibus particulse corporum ad minimas distantias se mutuo attrahunt, & contiguse factse cohserent ; & corpora electrica agunt ad distantias majores, tam repeHendo quam atj:rahendo corpuscula vicina ; & lux emittitur, reflectitur, refringitur, inflectitur, & corpora calefacit; & sensatio omnis excitatur, & membra animaHum ad voluntatem moventur, vibrationibus sciHcet hujus spiritus per soHda nervorum capiUamenta ab externis sensuum organis ad cerebrum & a cerebro in musculos propagatis. Sed hsec paucis exponi non possunt ; neque adest sufficiens copia experimentorum, quibus leges actionum hujus spiritus accurate determinari & monstrari debent. FINIS. I N D E X R E R U M ALPHABETICUS. N. B. Citationes factcB sicnt ad nor77iain scquentis exempli. III, lo: 484, 16: 514, 6 designant libri tertii propositionem decimam : pagince 484^^^ lineam lO^*" : pagincB 5 14^^ lineam &"'• ^quinoctioriim praecessio causae hujus motus indicantur III, 21. quantitas motus ex causis computatur III, .39- Aeris densitas ad quamlibet altitudinem colligi- tur ex prop. 22 lib. II ; quanta sit ad altitudinem unius semidiametri terrestris ostenditur 512, 24. elastica vis quali causse tribui possit II, 23. gravitas cum aquae gravitate collata^i^, 17. resistentia quanta sit, per experimenta pen- dulorum colligitur 310, 6; per experi- menta corporum cadentium & theoriam accuratius invenitur 355, 13. AnguH contactus non sunt omnes ejusdem generis, sed aUi ahis infinite minores 36, .23. Apsidum motus expenditur I, sect. 9, p. 129. Areae, quas corpora in gyros acta radiis ad centrum virium ductis describunt, con- feruntur cum temporibus descriptionum I, ;, 2, 3, 58, 65. Attractio corporum universorum demonstra- tur III, 7 ; qualis sit hujus demonstra- tionis certitudo ostenditur 388, 30. Attractionis causam vel modum auctor nus- quam definit 6, 2: 160, 18: 88, 12: 530, 2. C Cceli resistentia sensibili destituuntur III, 10 : 484, 16: 514, 6; & propterea fluido fere omni corporeo 356, 19. transitum luci praebent sine ulla refractione 510,2. Calore virga ferrea comperta est augeri longi- tudine 420, 25. Calor solis quantus sit in diversis a sole dis- tantiis 508, 25. quantus apud mercurium 406, i. quantus apud cometam anni 1680 in peri- helio versantem 508, 27. Centrum commune gravitatis corporum plu- rium ab actionibus corporum inter se non mutat statum suum vel motus vel quietis p. 19. Centrum commune gravitatis terrae, solis & planetarum omnium quiescere III, 11; confirmatur ex cor. 2 prop. 14 hb. III. Centrum commune gravitatis terrae & lunae motu annuo percurrit orbem magnum 410, 16. quibus intervallis distat a terra & luna 469, 6. Centrum virium, quibus corpora revolventia in orbibus retinentur, quali areariim indicio invenitur 43, 21. qua ratione ex datis revolventium velocita- tibus invenitur I, 5. Circuli circumferentia, qua lege vis centripetae tendentis ad punctum quodcunque datum describi potest a corpore revolvente I, 4,7,8. ^Cometae genus sunt planetarum, non meteororum 484, 20 : 508, 20. . luna superiores sunt, & in regione planeta- rum versantur p. 478. distantia eorum qua ratione per observa- tiones colligi potest quamproxime 478, penult. plures observati sunt in hemisphaerio solem versus, quam in hemisphaerio opposito ; & unde hoc fiat 484, 2. splendent luce solis a se reflexa 484, i; lux illa quanta esse solet 481, 4. 532 JNDEX RERUM. cingiintiir atmosphaeris ingentibus 482, 6 : 484, 23. , , . qui ad solem propuis accedunt ut plunmum minores esse existimantur 517, 33. quo fine non comprehenduntur zodiaco (more planetafum) sed in omnes coelo- rum regiones varie feruntur 525, 14. possunt aliquando in solem incidere & no- vum illi aUmentum ignis praebere 525, 21. usus eorum suggeritur 515, 19 : 526, 25. moventur in sectionibus conicis umbiHcos in centro soHs habentibus, & radiis ad solem ductis describunt areas temporibus proportionales. Et quidem in eUipsibus moventur, si in orbem redeunt, hae tamen parabolis erunt maxime finitimae III, 40. trajectoria parabolica ex datis tribus obser- vationibus invenitur III, 4 [ ; inventa cor- rigitur III, 42. locus in parabola invenitur ad tempus da- tum 485, 29 : I, 30. velocitas cum velocitate planetarum con- fertur485, 17. Cometarum caudae avertuntur a sole 511, 10. maximae sunt & fulgentissimse statim post transitum per viciniam solis 509, 15. insignis earum raritas 513, 8. origo& natura earundem 482, 13: 509, 19. quo temporis spatio a capite ascendunt 513» 17. Cometa annorum 1664 & 1665 hujus motus observatus expenditur, & cum theoria confertur p. 519. Cometa annorum 1680 & 1681 hujus motus observatus p. 496; idem com- putatus in orbe paraboHco p. 500 ; & in orbe eUiptico p. 502. trajectoria iUius & cauda singuHs in locis deUneantur p. 506. Cometa anni 1682 hujus motus coUatus cum theoria p. 523. comparuisse visus est anno 1607, itemmque rediturus videtur periodo 75 annorum 524, 10 a fine. Cometa anni 1683 hujus motus coUatus cum theoria p. 522. Cometa anni 1723 hujus motus coUatus cum theoria p. 523, 524.. . . . . , Curvae distmguuntur m geometrice rationales & geometrice irrationales 107, ult. Curvatura figurarum qua ratione sestimanda sit 255, 14: 433, 6. Cycloidis seu epicycloidis rectificatio I, 48, 49 : 154, i. eyoluta I, 50 : 154, 5. CyHndri attractio ex particuHs trahentibus compositi, quarum vires sunt reciproce ut quadrata distantiarum 216, 17. D Dei natura p. 528, 529. Descensus gravium in vacuo quantus sit, indi- catur 413, 21. Descensfis vel ascens{is rectiHnei spatia de- scripta, tempora descriptionum & velo- citates acquisitae conferuntur, posita cujuscunque generis vi centripeta I, sect. 7. Descensus & ascensus corporum in mediis resistentibus II, 3, 8, 9^ 40, 13, 14. EUipsis qua lege vis centripetae tendentis ad cen- trum figurae describitur a corpore revol- vente I, 10. qua lege vis centripeta; tendentis ad um- biHcum figurae describitur a corpore re- volvente I, ii. Fluidi definitio p. 282. Fluidorum densitas & compressio quas leges habent, ostenditur II, sect. 5. Fluidorum per foramen in vase factum efliu- entium determinatur motus II, 36. Fumi in camino ascensus obitur expHcatur 514, 20. Graduum in meridiano terrestri mensura ex- hibetur, & quam sit exigua inaequaHtas ostenditur ex theoria III, 20. Gravitas diversi est generis a vi magnetica 403, 3. mutua est inter terram & ejus partes 25,28. ejus causa non assignatur 530, 2. datur in planetas universos 399, 15; & pergendo a superficiebus planetarum sursum decrescit in dupHcata ratione distantiarum a centro III, 8, deorsum decrescit in simpHci ratione quamprox- ime III, 9. datur in corpora omnia, & proportionaHs est quantitati materiae in singuHs III, 7. INDEX RERUM, 533 Gravitatem esse vim illam, qua luna retine- tur in orbe III, 4; computo accuratiori comprobatur 469, 9. Gravitatem esse vim illam, qua planetae pri- marii & satellites Jovis & Satumi retin- entur in orbibus III, 5. H Hydrostaticae principia traduntur II, sect. 5. Hyperbola qua lege vis centrifugae tendentis a figurae centro describitur a corpore revolvente 54,8. qua lege vis centrifugae tendentis ab um- bilico figurae describitur a corpore revol- vente 58, i. qua lege vis centripetae tendentis ad um- bilicum figurae describitur a corpore re- volvente I, 12. Hypotheses cujuscunque generis rejiciuntur ab hac philosophia 530, 15. Inertiae vis definitur p. 2. Jovis tempus periodicum, 393, 18. distantia a sole 393, 21. diameter apparens 391, 5. diameter vera 405, 22. attractiva vis quanta sit 405, 4. pondus corporum in ejus superficie 405, 8. densitas 405, 24. quantitas materiae 405, 14. perturbatio a Saturno quanta sit 410, . 5 & 6. diametrorum proportio computo exhibetur 416, 6; & cum observationibus confer- tur ibid. post lin. 19. conversio circum axem quo tempore absol- vitur 416, 2. cingulorum causa subindicatur 48. 27. Locus definitur, & distinguitur in absolutum & relativum 7, i. Loca corporum in sectionibus conicis moto- rum inveniuntur ad tempus assignatum I, sect. 6. Lucis propagatio non est instantanea 225, 29; non fit per agitationem medii alicujus aetherei 372, 9. velocitas in diversis mediis diversa I, 95. reflexio quaedam explicatur I, 96. refractio explicatur I, 94; non fit in puncto solum incidentiae 226, 17. incurvatio prope corporum terminos ex- perimentis observata 225, 32. Lunae corporis figura computo colligitur III, 38. librationes explicantur III, 17. diameter mediocris apparens 468, 31 diameter vera 469, i. pondus corporum in ejus superficie 469, 4. densitas 468, penult. quantitas materiae 469, 3. distantia mediocris a terra quot continet maximas terrae semidiametros 469, 10 : quot mediocres 470, 6. parallaxis maxima in longitudinem paulo major est quam parallaxis maxima in latitudinem 387, 8. vis ad mare movendum quanta sit III, 37; non sentiri potest in experimentis pen- dulorum, vel in staticis aut hydrosta- ticis quibuscunque 468, 20. tempus periodicum 469, 17. tempus revolutionis synodicae 432, 3. motus & motuum inaequalitates a causis suis derivantur III, 22: p. 459 & seqq. Luna tardius revolvitur, dilatato orbe, in peri- helio terrae; citius in aphelio, contracto orbe, III, 22 : 460, 2. tardius revolvitur dilatato orbe in apogaei syzygiis cum sole ; citius in quadraturis apogaei contracto orbe 460, 32. tardius revolvitur dilatato orbe in syzygiis nodi cum sole ; citius in quadraturis nodi contracto orbe 461, 14. tardius movetur in quadraturis suis cum sole, citius in syzygiis; & radio ad ter- ram ducto describit aream pro tempore minorem in priore casu, majorem in pos- teriore III, 22. Inaequalitas harum arearum computatur III, 26. Orbem insuper habet magis curvum & longius a terra recedit in priore casu, minus cur- vum habet orbem & propius ad terram accedit in posteriore III, 22. Orbis hujus figura & proportio diametrorum ejus computo colligitur III, 28. Et subinde proponitur methodus inveniendi distantiam lunae a terra ex motu ejus ho- rario III, 27. apogaeum tardius movetur in aphelio ter- rae, velocius in^erihelio III, 22: 460, 15. apogaeum ubi est in solis syzygiis maxime progreditur; in quadraturis regreditur III, 22 : 461, 29. 534 INDEX RERUAL eccentricitas maxima est m apogaei syzygus cum sole, minima in quadraturis III, 22 : 461, 31. nodi tardius moventur in aphelio terrae, velocius in perihelio III, 22 : 460, 15. nodi quiescunt in syzygiis suis cum sole, & velocissime regrediuntur in quadraturis III, 22. Nodorum motus & inaequali- tates motuum computantur ex theoria gravitatis III, 30, 31, 32, 33. incHnatio orbis ad ecHpticam maxima est in syzygiis nodorum cum sole, minima in quadraturis I, 66, cor. 10. IncHna- tionis variationes computantur ex theoria gravitatis III, 34, 35. Lunarium motuum aequationes ad usus astro- nomicos p. 459, & seqq. Motus medii lunae aequatio annua 459, ult. asquatio semestris prima 460, 32. aequatio semestris secunda^^i, 14. aequatio centri prima 462, 15 : p. 109, & seqq. aequatio centri secunda 463, 12. Lunae variatio prima III, 29. Motus medii apogaei aequatio annua 460, 15. aequatio semestris 461, 29. Eccentricitatis aequatio semestris 461, 29. Motus medii nodorum sequatio annua 460, 15. aequatio semestris III, 33. IncHnationis orbitae ad eclipticam aequatio semestris 459, 22. Lunarium motuum theoria, qua methodo stabiHenda sit per observationes 464, i. M Magnetica vis 25, 23 : 293, antepen. : 403, 3: 471,20. Maris aestus a causis suis derivatur III, 24, 36, 37. Martis tempus periodicum 393, 18. distantia a sole 393, 21. apheHi motus 411, 8. Materiae quantitas definitur p. i. vis insita seu vis inertise definitur p. 2. vis impressa definitur p. 2. extensio, durities, impenetrabiHtas, mobiH- tas, vis inertiae, gravitas, qua ratione in- notescunt 387, penult: 530, 17. Materia subtiHs Cartesianoruin ad examen quoddam revocatur 316, 4. Mechanicae, quae dicuntur, potentiae expHcan- tur & demonstrantur p. 15 & 16 : p. 26. Mercurii tempus periodicum 393, 18. distantia a sole 393, 21. aphehi motus 411, 8. Methodus rationum primarum & ultimarum I, sect. i. transmutandi figuras in aHas, quae sunt ejus- dem ordinis analytici I, lem. 22, pag. 87 fluxionum II, lem. 2, p. 243. differentiaHs III, lem. 5 & 6, p. 486 & 487. inveniendi curvarum omnium quadraturas proxime veras 487, 16. serierum convergentium adhibetur ad solu- tionem problematum difliciHorum p. 137, 139, 221, 255, 449. Motus quantitas definitur p. i. Motus absolutus & relativus p. 7, 8, 9, 10. ab invicem secerni possunt, exemplo de- monstratur p. 11. Motus leges p. 13, & seqq. Motuum compositio & resohitio p. 15. Motus corporum congredientium post reflexi- onem, quaH experimento recte coHigi possunt, ostenditur 22, 22. Motus corporum in conicis sectionibus eccentricis I, sect. 3. in orbibus mobiHbus I, sect. 9. in superficiebus datis & fimependulorum motus reciprocus I, sect. 10. Motus corporum viribus centripetis se mutuo petentium I, sect. 11. Motus corporum minimorum, quae viribus centripetis ad singulas magni aHcujus corporis partes tendentibus agitantur I, sect. 14. Motus corporum quibus resistitur in ratione velocitatis II, sect. i. in dupHcata ratione velocitatis II, sect. 2. partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione dupHcata II, sect. 3. Motus corporum sola vi insita progredientium in mediis resistentibus II, i, 2, 5, 6, 7, 11, 12 : 326, 16. corporum recta ascendentium vel descen- dentium in mediis resistentibus, agente vi gravitatis unifi^rmi II, 3, 8, 9, 40, 13, 14. corponmi projectorum in mediis resistenti- bus, agente vi gravitatis uniformi II, 4, 10. INDEX RERUM, 535 corporum circumgyrantium in mediis resis- tentibus II, sect. 4. corporum funependulorum in mediis resis- tentibus II, sect. 6. Motus & resistentia fluidorum II, sect. 7. Motus per fluida propagatus II, sect. 8. Motus circularis seu vorticosus fluidorum II, sect. 9. Mundus originem non habet ex causis me- chanicis p. 527, 25. N Navium constructioni propositio non inutilis 324, 10. O Opticarum ovalium inventio, quam Cartesius celaverat I, 97. Cartesiani problematis generaHor solutio I, 98. Orbitarum inventio quas corpora describunt; de loco dato data cum velocitate, secundum datum rectam egressa ; ubi vis centripeta est reciproce ut quadratum distantiae & vis illius quan- titas absoluta cognoscitur I, 17. quas corpora describunt, ubi vires centri- petae sunt reciproce ut cubi distantiarum 51, ult: 127, 22: 135, 14. quas corpora viribus quibuscunque centri- petis agitata describunt I, sect. 8. Parabola, qua lege vis centripetae tendentis ad umbilicum figurae describitur a cor- pore revolvente I, 13. Pendulorum affectiones explicantur I, 50, 51, 52, 53 : II, sect. 6. Pendulorum isochronorum longitudines di- versae in diversis locorum latitudinibus inter se conferuntur, tum per observa- tiones, tum per theoriam gravitatis III, 20. Philosophandi regulae p. 387. Planetae non deferuntur a vorticibus corporeis 382, 31: 384, 22: 526, 32. Primarii solem cingunt 392, 21. moventur in eUipsibus umbilicum haben- tibus in centro soHs III, 13. radiis ad solem ductis describunt areas temporibus proportionales 394, 2 : III, 13. temporibus periodicis revolvuntur, quae sunt in sesquipHcata ratione distan- tiarum a sole 392, 2 : III, 13 & I, 15. retinentur in orbibus suis a vi gravitatis, quseVespicit solem, & est reciproce ut quadratum distantiae ab ipsius centro ni, 2, 5. Secundarii moventur in eUipsibus umbiHcum haben- tibus in centro primariorum III, 22. radiis ad primarios suos ductis describunt areas temporibus proportionales 390, 3: 391, 24: 394, 14: III, 22. temporibus periodicis revolvuntur, quae sunt in sesquipHcata ratione distantia- rum a primariis suis 390, 3 : 391, 24 : III, 22, & I, 15. retinentur in orbibus suis a vi gravitatis, quae respicit primarios, & est reciproce ut quadratum distantiae ab eorum cen- tris III, I, 3, 4, 5. Planetarum tempora periodica 393, 18. distantiae a sole 393, 21. orbium apheHa & nodi prope quiescunt III, 14. orbes determinantur III, 15, i6. loca in orbibus inveniuntur I, 31. densitas calori, quem a sole recipiunt, ac- commodatur 405, 33. conversiones diurnae sunt aequabiles III, axes sunt minores diametris, quae ad eos- dem axes normaHter ducuntur III, 18. Pondera corporum in terram vel solem vel planetam quemvis, paribus distantiis ab eorum centris, sunt ut quantitates materiae in corporibus III, 6. non pendent ab eorum formis & texturis 402, 8. in diversis terrae regionibus inveniuntur & inter se comparantur III, 20. Problematis Kepleriani solutio per trochoidem & per approximationes I, 31. Veterum de quatuor lineis, a Pappo memo- rati, a Cartesio per calculum algebraicum tentati, compositio geometrica 77, ante- penult. ProjectiHa, seposita medii resistentia, moveri in parabola colHgitur 22, 3 : 54, 5 : 221, 23 : 256, 23. ProjectiHum motus in mediis resistentibus II, 4, 10. 536 JNDEX RERUM. Pulsuum aeris, quibus soni propagantur, de- terminantur intervalla seu latitudines 11,50-373.32. . Haec intervalla m apertarum fistularum sonis aequari duplis longitudinibus fistu- larum verosimile est 374, 3- Quadratura generalis ovalium dari non potest per finitos terminos I, lem. 28, p. 106. Qualitates corporum qiia ratione innotescunt & admittuntur 387, 16. Quies vera & relativa p. 7, 8, 9, 10. R Resistentiae quantitas in mediis non continuis II, 35. in mediis continuis II, 38. in mediis cujuscunque generis, 327, 7. Resistentiarum theoria confirmatur per experimenta pendulorum II, 30, 31 sch. gen. p. 307. per experimenta corporum cadentium II, 40 : sch. p. 346. Resistentia mediorum est ut eorundem densitas caeteris paribus 314, 19 '- 315, 26: II, zz, 35, 38: 355» 23. . . est in duplicata ratione velocitatis corpor- um quibus resistitur caeteris paribus 239. 3 : 308, 9 : n, 33, 35, 38 : 351, 8. est in duplicata ratione diametri corporum sphaericorum quibus resistitur caeteris paribus 311, 22: 312 antepenult. : II, 33. 35. 38 : sch. p. 346. Resistentia fluidorum triplex est ; oriturque vel ab inertia materiae fluidae, vel a tenacitate partium ejus, vel a frictione 274, 3. Resistentia quae sentitur in fluidis fere tota est primi generis 354, 32, & minui non potest per subtiHtatem partium fluidi manente densitate 356, 8. Resistentiae globi ad resistentiam cyHndri proportio in medns non continuis II, 34. In mediis compressis p. 341, lemm. 7. Resistentia globi in mediis non continuis II, 35. In mediis compressis II, 38. Sed quomodo per experimenta invenienda sit, prop. 40. Resistentia, quam patitur a fluido frustum conicum, qua ratione fiat minima 323, antepenult. Resistentiae minimic soHdum 324, penult. SateHitis JoviaHs extimi elongatio maxima heHocen- trica a centro Jovis 404, ult. Htigaiiani elongatio maxima heHocentrica a centro Satumi 405, i. SateUitum JoviaHum tempora periodica & distantiae a centro Jovis 390, 12. Saturniorum tempora periodica & distantiae a centro Saturni 391, ult. 392, i. JoviaHum & Saturniorum inaequales motus a motibus lunae derivari posse ostenditur III, 23. Saturni tempus periodicum 393, 18. distantia a Sole 393, 21. diameter apparens 392, 19. diameter vera 405, 22. vis attractiva quanta sit 405, 4. pondus corporum in ejus superficie 405, 8. densitas 405, 24. quantitas materiae 405, 14. perturbatio a Jove quanta sit 409, 25. diameter apparens annuH quo cingitur .392, 13. . Sectiones conicae qua lege vis centripetae tendentis ad punctum quodcunque da- tum describuntur a corporibus revolven- tibus 65, 20. Sectionum conicanmi descriptio geomie- trica, ubi dantur umbiHci I, sect. 4. ubi non dantur umbiHci I, sect 5 ; ubi dantur centra vel asymptoti 95, 18. Sesquiphcata ratio definitur 36, 6. Sol circum planetarum omnium commune gra- vitatis centrum movetur III, 12. tempus ejus periodicum circa axem suum 411, 5 a fine. diameter ejus mediocris apparens, 468, 30 diameter vera 405, 22. paraHaxis ejus horizontaHs 405, 15. paraHaxin habet menstruam 410, 16. vis ejus attractiva quanta sit 405, 4. pondus corporum in ejus superficie 405. 8. densitas ejus 405, 24. quantitas materiae 405, 14. vis ejus ad perturbandos motus lunae 396, 15 : III, 25. vis ad mare movendum III, 36. INDEX RERUM. 537 Sonorum natura explicatur II, 43, 47, 48, 49, 50. propagatio divergit a recto tramite 361, 9: fit per agitationem aeris 372, 10. velocitas computo colligitur 372, 17 ; paululum major esse debet aestivo quam hyberno tempore per theoriam 373, 26. cessatio fit statim, ubi cessat motus cor- poris sonori 374, 26. augmentatio per tubos stentorophonicos 374, 9- Spatium absolutum & relativum p. 6, 7, 8. non est aequaliter plenum 402, 27. Sphaeroidis attractio, cujus particularum vires sunt reciproce ut quadrata distantiarum 217,4. Spirahs, quae secat radios suos omnes in angulo dato, qua lege vis centripetae tendentis ad centrum spiralis describi . potest a corpore revolvente, ostenditur I, 9 : II, 15, 16. Spiritum quendam corpora pervadentem & in corporibus latentem, ad phirima naturae phaenomena solvenda, requiri suggeritur 530, 23. Stellarum fixarum quies demonstratur 410, 27. radiatio & scintillatio quibus causis refer- endae sint 510, 8. Stellae novae unde oriri possmt 525, 28. Substantiae rerum omnium occultae sunt 530, 21. Tempus absolutum & relativum p. 6, 7. Temporis aequatio astronomica per horo- logium oscillatorium & eclipses satellitum Jovis comprobatur 8, 8. Tempora periodica corporum revolventium in elhpsibus ubi vires centripetae ad um- bihcum tendunt i, 15. Terrae dimensio per Norwooduvi 412, ult. ; per Ficariwn 413, 5 ; per Cassinuin 413, 7. figura invenitur, & proportio diametrorum, & mensura graduum in meridiano III, 19, 20. altitudinis ad aequatorem supra altitudinem ad polos quantus sit excessus 415, 20 : 421, antepenult &c. semidiameter maxima & minima 415, 25; mediocris 415, 20, &c. globus densior est quam si totus ex aqua constaret 406, 20. axis nutatio III, 21. motus annuus in orbe magno demonstratur III, 12, 13 : 522, 28. eccentricitas quanta sit 460, 10. aphehi motus quantus sit 411, 10. Vacuum datur, vel spatia omnia (si dicantur esse plena) non sunt equaliter plena 356, 19 : 402, penult. Velocitas maxima quam globus in medio resistente cadendo potest acquirere II, 38, cor 2. Velocitates corporum in sectionibus conicis motorum ubi vires centripetae ad um- bihcum tendunt I, 16. Veneris tempus periodicum 393, 18. distantia a sole 393, 21. aphehi motus 411, 11. Virium compositio & resolutio p. 15. Vires attractivae corponim sphaericorum ex particuhs quacunque lege trahentibus compositorum expenduntur I, sect. 12. non sphaericorum ex particuhs quacunque lege trahentibus compositorum expen- duntur I, sect 13. Vis centrifiiga corporum in sequatore terrae quanta sit 413, ult. Vis centripeta definitur p. 3. quantitas ejus absoluta definitur p. 4. quantitas. acceleratrix definitur p. 4. quantitas motrix definitur p. 5. proportio ejus ad vim quamhbet notam, qua ratione cohigenda sit, ostenditur 45, 10. Virium centripetarum inventio, ubi corpus in spatio non resistente, circa centrum im- mobile, in orbe quocunque revolvitur I, 6 : I, sect. 2 & 3. Viribus centripetis datis ad quodcunque punc- tum tendentibus, quibus figura quaevis a corpore revolvente describi potest; dan- tur vires centripetae ad ahud quodvis punctum tendentes, quibus eadem figura eodem tempore periodico describi potest 50' 3- . . Viribus centripetis datis quibus figura quaevis describitur a corpore revolvente ; dantur vires quibus figura nova describi potest, si ordinatae augeantur vel minuantur in ratione quacunque data, vel angulus ordinationis utcunque mutetur, manente tempore periodico 54, 10. 538 INDEX RERUM. Viribus centripetis in duplicata ratione dis- tantiarum decrescentibus, qusenam figurce describi possunt, ostenditur 59, 23 : 163, 10. Vi centripeta, quae sit reciproce ut cubus ordinatim appli- catse tendentis ad centrum virium maxi- me longinquum, corpus movebitur in data quavis coni sectione 51, 6. quae sit ut cubus ordinatim applicatae ten- dentis ad centrum virium maxime long- inquum, corpus movebitur in hyperbola 221, antepenult. Umbra terrestris in eclipsibus lun?e augenda est propter atmosphaerae refi-actionem 463, 5, a fine. Undamm in aquae stagnantis superficie propa- gatarum velocitas invenitur II, 46. Vorticum natura & constitutio ad examen revocatur II, sect. 9 : 481, 21 : 526, 32. Ut, Hujus voculse significatio mathematica definitur 34, 19. PRINTED BY ROBERT MACLEHOSE. A^ 0 '■i«fti#i€^vi v^fc^ I . JUL 1 C7 l^fv PLEASE DO NOT REMOVE CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY Astron Newton, (Sir) Isaac M Principia Physical & AppLed Sci.